Что если дискриминант меньше 0: § Дискриминант. Решение квадратных уравнений через дискриминант

2\)                               \(D=1-4 \cdot (-9) \cdot 8=289\)       

                             \(x_1=\frac{6-10}{2}=-2\)                                                     \(x_1=\frac{-1+17}{-18}=\frac{16}{-18}=-\frac{8}{9}\)                          \(x_2=\frac{6+10}{2}=8\)                                                         \(x_2=\frac{-1-17}{-18}=\frac{-18}{-18}=1\)

   \((x-8)(x+2)<0\)                                                     \(-9(x+\frac{8}{9})(x-1)≤0\)


  • Начертите числовую ось и отметьте на ней найденные корни. Если неравенство строгое (со знаком \(<\) или \(>\)) то точки должны быть выколоты, если неравенство нестрогое (со знаком \(≤\) или \(≥\)), то точки должны быть закрашены.


                            


  • Нанесенные корни разбивают числовую ось на несколько интервалов.

    В первом справа интервале поставьте:

       \(-\) знак плюс если перед скобками ничего не стоит или стоит положительное число

       \(-\) знак минус если перед скобками стоит знак минус.

    В следующих за ним интервалах поставьте чередующиеся знаки.


                              



  • Заштрихуйте подходящие интервалы, то есть числовые промежутки:

       \(-\) со знаком «\(+\)», если в неравенстве стояло «\(>0\)» или «\(≥0\)»

       \(-\) со знаком «\(-\)», если в неравенстве стояло «\(<0\)» или «\(≤0\)»


                                


  • Выпишите в ответ те интервалы, которые вы заштриховали.
    Внимание! При строгих знаках неравенства (\(<\) или \(>\)) границы интервала НЕ ВХОДЯТ в решение, при этом в ответе сам интервал записывается в виде \((x_1;x_2)\) – скобки круглые. При нестрогих знаках неравенства (\(≤\) или \(≥\)) — границы интервала ВХОДЯТ в решение, и ответ записывается в виде \([x_1;x_2]\), с квадратными скобками на точках.


    Ответ: \((-2;8)\)                                                             Ответ: \((-∞;\frac{8}{9}]∪[1;∞)\)


  • Пример. 2\)

    \(x_1=\frac{-10-14}{6}=-4\)          \(x_2=\frac{-10+14}{6}=\frac{2}{3}\)


     


     


    Когда корни найдены, запишем неравенство в разложенном на множители виде.



    \(3(x+4)(x-\frac{2}{3})≥0\)


    Теперь начертим числовую ось, отметим на ней корни и расставим знаки на интервалах.




    Выпишем в ответ интересующие нас интервалы . Так как знак неравенства \(≥\), то нам нужны интервалы со знаком \(+\), при этом сами корни мы включаем в ответ (скобки на этих точках – квадратные).



    Ответ: \(x∈(-∞;-4]∪[ \frac{2}{3};∞)\)

    Содержание

    Квадратные неравенства с отрицательным и равным нулю дискриминантом


    Алгоритм выше работает, когда дискриминант больше нуля, то есть квадратный трехчлен имеет \(2\) корня. 2-64<0\)

    \(D=-4 \cdot 64<0\)


    Когда выражение слева меньше нуля?


    Всегда. Значит неравенство выполняется при любых \(x\).



    Ответ: \(x∈(-∞;∞)\)


     



    Смотрите также:
    Дробно-рациональные неравенства

    Скачать статью

    Решение Неравенств через Метод Интервалов

    Определение квадратного неравенства

    Неравенство — алгебраическое выражение, в котором используются знаки ≠, <, >, ≤, ≥.

    Числовое неравенство — это такое неравенство, в записи которого по обе стороны от знака находятся числа или числовые выражения.

    Решение — значение переменной, при котором неравенство становится верным. 2 + bx + c меньше нуля — это числовой промежуток, где парабола лежит ниже оси ОХ.

    Если квадратное неравенство нестрогое, то корни входят в числовой промежуток. А если строгое — не входят.

    Чтобы ребенок еще лучше учился в школе, запишите его на уроки математики в современную онлайн-школу Skysmart.

    Наши преподаватели понятно объяснят что угодно — от дробей до неравенств — и ответят на вопросы, которые бывает неловко задать перед всем классом. А еще помогут догнать сверстников и справиться со сложной контрольной.

    Решение неравенства методом интервалов

    Метод интервалов — это специальный алгоритм, который предназначен для решения рациональных неравенств.

    Рациональное неравенство имеет вид f(x) ≤ 0, где f(x) — рациональная функция. При этом знак может быть любым: >, <, ≤, ≥.

    Сейчас мы узнаем про интервалы в контексте решения квадратных неравенств.

    Интервал — это некий промежуток числовой прямой, то есть все возможные числа, заключенные между двумя числами — концами интервала. 2 + bx + c из левой части квадратного неравенства.

  • Изобразить координатную прямую и при наличии корней отметить их на ней.

    Если неравенство строгое, нужно отметить корни пустыми (выколотыми) точками. Если нестрогое — обычными точками. Именно эти точки разбивают координатную ось на промежутки.

  • Определить, какие знаки имеют значения трехчлена на каждом промежутке (если на первом шаге нашли нули) или на всей числовой прямой (если нулей нет). И проставить над этими промежутками + или − в соответствии с определенными знаками.
  • Если квадратное неравенство со знаком > или ≥ — наносим штриховку над промежутками со знаками +.

    Если неравенство со знаком < или ≤, то наносим штриховку над промежутками со знаком −.

    В результате получаем геометрический образ некоторого числового множества — это и есть решение неравенства.

    Либо вместо штриховки можно нарисовать «арки» для интервалов. Справа налево, начиная с +, проставить чередуя знаки + и −. 2 есть отрицательное число -4, и свободный член -7 тоже отрицателен.

    • Когда квадратный трехчлен при D > 0 имеет два корня, то знаки его значений на промежутках чередуются. Это значит, что достаточно определить знак на одном из трех промежутков и расставить знаки над оставшимися промежутками, чередуя их. В результате возможна одна из двух последовательностей: +, −, + или −, +, −.
    • Если квадратный трехчлен при D = 0 имеет один корень, то этот корень разбивает числовую ось на два промежутка, а знаки над ними будут одинаковыми. Это значит, что достаточно определить знак над одним из них и над другим поставить такой же. При этом получится, либо +, +, либо −, −.
    • Когда квадратный трехчлен корней не имеет (D < 0), то знаки его значений на всей числовой прямой совпадают как со знаком старшего коэффициента a, так и со знаком свободного члена c.

    Теперь мы знаем пошаговый алгоритм. 2 — 5x + 6 ≥ 0.

    Как решаем:

    1. Разложим квадратный трехчлен на множители.

      Неравенство примет вид:

      (х — 3) * (х — 2) ≥ 0

    2. Проанализируем два сомножителя:

      Первый: х — 3. Этот сомножитель может поменять знак при х = 3, значит при х < 0 это выражение отрицательно: х — 3 < 0, а при х > 0 принимает положительные значения: х — 3 > 0.

      Второй: х — 2. Для этого сомножителя такая «знаковая» точка: х = 2.

      Вывод: знак произведения (х — 3) * (х — 2) меняется только при переходе переменной через значения х = 3 и х = 2.

      В этом весь смысл метода интервалов: определить интервалы значений переменной, на которых ситуация не меняется и рассматривать их как единое целое.

    3. Построим чертеж.
    4. Рассмотрим интервалы в том же порядке, как пишем и читаем: слева направо.

      х < 0 — на этом интервале ситуация не изменяется, значит, для того, чтобы определить ситуацию, можно взять любое значение из этого интервала и подставить его в произведение. Например: х = -1. Подставляем:

      (-1 — 3) * (-1 — 2) = -4 * (-3) = 12

      12 > 0

      Вывод: при х < 0 верно неравенство (х — 3) * (х — 2) > 0.

      Отобразим эти данные на чертеже:

      2 < x < 3 — на этом интервале ситуация не меняется, значит, для того, чтобы определить ситуацию нужно взять любое значение из этого интервала и подставить его в произведение. Например: х = 2,5.

      Подставляем:

      • (2,5 — 3) (2,5 — 2) = -0,5 * 0,5 = — 0,25 < 0

      Вывод: при 2 < x < 3 верно неравенство (х — 3) * (х — 2) < 0. Отметим на чертеже:

      х > 3 — на этом интервале ситуация не изменяется. Значит нужно взять любое значение из этого интервала и подставить его в произведение. Например: х = 25.

      Подставляем:

      • (25 — 3) (25 — 2) = 22*23 = 506 > 0

      Вывод: при х > 3 верно неравенство (х — 3) * (х — 2) > 0. Внесем эти данные в чертеж.

    5. Исходное неравенство: (х — 3) * (х — 2) ≥ 0.

      Если (х — 3) * (х — 2) > 0:

      (x — 3) * (x + 3/2) > 0.

      Если (х — 3) (х — 2) = 0 — при х1 = 3, х2 = 2.

      Удовлетворяющие неравенству точки закрасим, а не удовлетворяющие — оставим пустыми.

    Ответ: х ≤ 0, х ≥ 3.

    Пример 2. Применить метод интервалов для решения неравенства х2+4х+3 < 0.

    Как решить неравенство методом интервалов нам уже известно. Поэтому можем оформить решение кратко:

    Ответ: -3 < x < -2.

    Пример 3. Выполнить решение квадратного неравенства методом интервалов:

    Как решаем:

    1. Находим корни квадратного трехчлена, который находится в левой части:
    2. Так как мы решаем строгое неравенство, то на координатной прямой изображаем выколотую точку с координатой 7:
    3. Теперь определим знаки на двух полученных промежутках (−∞, 7) и (7, +∞).

      Это легко сделать, потому что дискриминант квадратного трехчлена равен нулю, а старший коэффициент со знаком минус. Фиксируем знаки: −, −:

    4. Так как мы решаем неравенство со знаком <, то изобразим штриховку над интервалами со знаками минус:

      Очевидно, решениями являются оба промежутка (−∞, 7), (7, +∞).

    5.  

    Ответ: (−∞, 7), (7, +∞).

    В онлайн-школе Skysmart ученики решают такие задачки на специальной онлайн-доске. А еще отслеживают личный прогресс и получают поддержку учителя по самым коварным вопросам.

    Запишите ребенка на бесплатный вводный урок математики: покажем, как у нас все устроено и вдохновим на учебу!

    Линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами в математике

    Линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами

    Рассмотрим метод решения линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами:

    Линейной комбинацией функций

    и называется выражение вида

    где

    — некоторые произвольные постоянные.

    Функции

    и называются линейно независимыми, если если их линейная комбинация обращается в нуль тогда и только тогда, когда коэффициенты равны нулю.

    Теорема 7.2. Если

    и — линейно независимые частные решения линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка, то общее решение данного уравнения является линейной комбинацией этих частных решений.

    Следовательно, чтобы найти общее решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, надо знать два его частных линейно независимых решения:

    и .

    Будем искать частное решение дифференциального уравнения в виде

    . Подставляя эту функцию в уравнение, выводим:

    Очевидно, функция

    будет решением дифференциального уравнения, если число к является корнем квадратного уравнения

    которое называется характеристическиль уравнением исходного дифференциального уравнения.

    Как известно, для корней данного квадратного трехчлена возможны три случая.

    • Если дискриминант больше нуля , то корни характеристического уравнения действительные, простые:
    • Если дискриминант равен нулю ( = 0), то корни характеристического уравнения действительные, кратные:
    • Если дискриминант меньше нуля ( < 0), то корни характеристического уравнения комплексно-сопряженные:

    где

    — действительная, — мнимая часть комплексного числа; — мнимая единица.

    Теорема 7.3. Общее решение

    линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка строится в зависимости от дискриминанта и корней характеристического уравнения:

    где

    — некоторые произвольные постоянные.

    Пример:

    Найти частные решения заданных линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами, удовлетворяющие начальным условиям:

    ► Составим характеристическое уравнение, заменяя в дифференциальном уравнении производные неизвестной функции у соответствующими степенями неизвестного

    заменим на — на а на 1. В результате получим квадратное уравнение:

    Дискриминант уравнения больше нуля:

    В таком случае, корни характеристического уравнения действительные, простые:

    Следовательно, общее решение дифференциального уравнения имеет вид

    Частное решение получим из общего, используя для определения произвольных постоянных заданные начальные условия:

    Решая полученную систему, находим значения произвольных постоянных:

    После подстановки найденных значений в общее решение, искомое частное решение принимает вид

    ► Составим характеристическое уравнение:

    Дискриминант уравнения равен нулю:

    В таком случае, корни характеристического уравнения действительные, кратные:

    Следовательно, общее решение дифференциального уравнения имеет вид

    Найдем производную общего решения и определим произвольные постоянные из начальных условий:

    Находим значения произвольных постоянных:

    и подставим их в общее решение. Искомое частное решение принимает вид

    Составим характеристическое уравнение:

    Дискриминант меньше нуля:

    В таком случае, корни характеристического уравнения комплексно-сопряженные:

    где

    Следовательно, общее решение дифференциального уравнения имеет вид

    Используем для определения произвольных постоянных заданные начальные условия:

    Отсюда

    После подстановки найденных значений в общее решение, получим:

    Этот материал взят со страницы заказа помощи по математике, там можно заказать помощь и ознакомиться с краткой теорией по предмету математика:

    Онлайн помощь по математике

    Возможно эти страницы вам будут полезны:

    Квадратные уравнения — SBP-Program

    Квадратные уравнения

    Уравнение вида

    ax2 + bx + c = 0

    называется квадратным. В нём a, b, c – числа и «а» не равно нулю. Числа a, b называются коэффициентами, а число «с» называется свободным членом.

    Дискриминант

    Пусть дано квадратное уравнение:

    ax2 + bx + c = 0

    Дискриминант – это число, определяемое так:

    D = b2 – 4ac

    Имеются три случая:

    1. Если дискриминант больше нуля, то квадратное уравнение имеет два различных корня, эти корни вычисляют по формулам:
        и  
    2. Если дискриминант равен нулю, то квадратное уравнение имеет единственный корень, который вычисляется по формуле:

      иногда говорят, что в этом случае квадратное уравнение имеет два одинаковых корня

    3. Если дискриминант меньше нуля, то квадратное уравнение не имеет действительных корней.

    Приведенное квадратное уравнение

    Если коэффициент «a» в квадратном уравнении ax2 + bx + c = 0 равен единице, такое квадратное уравнение называется приведенным. Обычно приведенное квадратное уравнение записывают в виде:

    x2 + px + q = 0

    Дискриминант приведенного квадратного уравнения:

    D = b2 – 4ac = p2 – 4q

    Если дискриминант больше нуля, то корни квадратного уравнения находим по формуле:

    Если дискриминант равен нулю, то корни квадратного уравнения находим по формуле:

    Если дискриминант меньше нуля, то квадратное уравнение не имеет действительных корней.

    Неполное квадратное уравнение

    Если в квадратном уравнении ax2 + bx + c = 0 коэффициент «b» или свободный член «c» равны нулю, то такое квадратное уравнение называется неполным.

    Находить корни такого уравнения можно по тем же формулам, что и для обычного квадратного уравнения.

    Дискриминант — квадратный трехчлен — Большая Энциклопедия Нефти и Газа, статья, страница 2

    Дискриминант — квадратный трехчлен

    Cтраница 2

    Если дискриминант квадратного трехчлена равен нулю, то этот трехчлен можно представить в виде ах2 Ьх — — с аа ( х-х, где х — корень трехчлена.
     [16]

    Если дискриминант квадратного трехчлена равен нулю, то этот квадратный трехчлен разлагается на два одинаковых линейных множителя.
     [17]

    Так как дискриминант квадратного трехчлена равен D — — — 24 0, то этот квадратный трехчлен на линейные множители не разлагается.
     [18]

    Так как дискриминант квадратного трехчлена x2 x 3 меньше нуля, то этот трехчлен на линейные множители не разлагается.
     [19]

    Так как дискриминант квадратного трехчлена 2л 3 — Зх — — 4 отрицательный и коэффициент при я2 положительный, то данное неравенство решений не имеет.
     [20]

    Так как дискриминант квадратного трехчлена z2 10z 26 отрицателен ( D — 4), а коэффициент при г2 положителен, то квадратный трехчлен положителен при всех значениях переменной г, а следовательно, и при всех значениях хну.
     [21]

    Следовательно, дискриминант квадратного трехчлена ах2 Ьх 4 — с должен быть неотрицательным.
     [22]

    Ох, если дискриминант квадратного трехчлена отрицателен ( см. указание 4 из гл.
     [23]

    Пусть D есть дискриминант квадратного трехчлена.
     [24]

    Каким должен быть дискриминант квадратного трехчлена, чтобы он разлагался на линейные множители: а) разные; б) одинаковые.
     [25]

    Величина d называется дискриминантом квадратного трехчлена.
     [26]

    Выражение Ь2 — 4ас называется дискриминантом квадратного трехчлена. Представление квадратной функции в виде ( 1) называется выделением полного квадрата.
     [27]

    Итак, а 0, Если дискриминант квадратного трехчлена ш 2 — х — j — l — а отрицателен или равен нулю, то неравенство ( 1) решений не имеет и, значит, ( 2) не следует из него. Если дискриминант положителен, как в данном случае, то решения неравенства ( 1) заключены между его корнями.
     [28]

    Из рассмотренного вытекает, что если дискриминант квадратного трехчлена ax bx с положителен, то этот трехчлен принимает как положительные, так и отрицательные значения.
     [29]

    Постоянная k выбирается из условия равенства пулю дискриминанта квадратного трехчлена, стоящего под знаком корпя.
     [30]

    Страницы:  

       1

       2

       3

       4




    Характеристическое уравнение — Энциклопедия по экономике








    Решение. Составим характеристическое уравнение (11.31)  [c.272]

    Характеристическое уравнение 271 Целая положительная степень квадратной матрицы 260 Циклическая компонента 134 Частная корреляция 128, 129  [c.306]

    Рассмотрим транспонированную матрицу дТ. Из свойств определителя следует, что характеристическое уравнение матрицы дТ совпадает с характеристическим уравнением мат-  [c.263]

    Пусть А есть квадратная матрица порядка п. Собственные значения (называемые также собственными числами) матрицы А определяются как корни характеристического уравнения  [c. 34]

    Векторы х и у называются собственным вектором (столбцом) и собственным вектором-строкой А, соответствующими собственному значению Л. Собственные векторы обычно нормируются некоторым образом, чтобы сделать их единственными, например так, чтобы х х = у у = 1 (когда х и у — вещественные). Не все корни характеристического уравнения могут быть различными. Каждый корень считается столько раз, какова его кратность. Когда корень (собственное значение) появляется больше одного раза, он называется кратным собственным значением] если он появляется только один раз, то он называется простым собственным значением.  [c.34]

    Как видно, чтобы получить характеристическое уравнение (18.12), достаточно заменить в данном уравнении (18.10) производные соответствующими степенями неизвестной k.  [c.376]

    Если действительное число k является корнем характеристического уравнения, то, как было показано, ekx — частное решение уравнения (18.10). Поиск другого частного решения, линейно  [c. 376]

    При решении характеристического уравнения могут встретиться три случая корни характеристического уравнения действительные и различные, корни равные, нет действительных корней. Справедлива следующая  [c.377]

    Теорема. 1. Пусть характеристическое уравнение (18.12) уравнения (18.10) имеет действительные корни k и 2, причем ki k2. Тогда общее решение уравнения (18.10) имеет вид  [c.377]

    Если характеристическое уравнение (18.12) имеет только один корень , то общее решение уравнения (18.10) имеет вид  [c.377]

    П Пусть корни характеристического уравнения (18.12) действительные и различные, т. е. k k2. Тогда  [c.377]

    Таким образом, для случая, когда характеристическое уравнение имеет два действительных корня, теорема доказана.  [c.377]

    Это линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами р = 0 и q = о 2. Соответствующее характеристическое уравнение  [c.378]

    Соответствующее характеристическое уравнение имеет вид  [c. 380]

    Поведение решения однородного дифференциального уравнения зависит от дискриминанта характеристического уравнения. Возможны три случая дискриминант D больше нуля дискриминант равен нулю дискриминант меньше нуля. 1. Если дискриминант  [c.380]

    Теорема 1. Если т не является корнем характеристического уравнения  [c.387]

    Если т — корень характеристического уравнения  [c.387]

    РП(Х] — 4 — многочлен нулевой степени, т — 3 не совпадает ни с одним из из корней характеристического уравнения. Поэтому  [c.388]

    В правой части заданного уравнения етх = е° х = 1, поэтому т = 0. Число нуль не является корнем характеристического уравнения. Следовательно, частное решение у заданного уравнения следует искать в виде многочлена второй степени, т. е.  [c.388]

    Решение. Характеристическое уравнение  [c.389]

    В общем случае не существует метода отыскания фундаментальной системы решений и общего решения уравнения (18.21). Только в частном случае, когда в уравнении (18. 21) все коэффициенты Pi(x) являются постоянными числами, существует метод нахождения фундаментальной системы решений и общего решения уравнения (18.21). Этот метод, основанный на использовании характеристического уравнения  [c.399]

    В правой части заданного уравнения имеется многочлен второй степени и етх = е° х = 1. Так как число т = 0 не является корнем характеристического уравнения, то частное решение у следует искать в виде многочлена второй степени, т.е.  [c.400]

    Если все п корней kj характеристического уравнения различны и Zj — соответствующие вектора матрицы Р, то общее решение системы (19.7) имеет вид  [c.408]

    Решение. Решаем характеристическое уравнение  [c.408]

    Это обыкновенное линейное однородное дифференциальное уравнение. Так как характеристическое уравнение  [c.411]

    Приведем пример решения системы дифференциальных уравнений, у которой соответствующее характеристическое уравнение не имеет действительных корней.  [c.415]

    Уравнение (20. 2 + b*x + c = 0
    ,где x

    переменная, a,b,c
    – константы; a0
    . Задача состоит в отыскании корней уравнения.

    Геометрический смысл квадратного уравнения

    Графиком функции, которая представлена квадратным уравнением является парабола. Решения (корни) квадратного уравнения — это точки пересечения параболы с осью абсцисс (х)
    . Из этого следует, что есть три возможных случая:
    1)
    парабола не имеет точек пересечения с осью абсцисс. Это означает, что она находится в верхней плоскости с ветками вверх или нижней с ветками вниз. В таких случаях квадратное уравнение не имеет действительных корней (имеет два комплексных корня).

    2)
    парабола имеет одну точку пересечения с осью Ох
    . Такую точку называют вершиной параболы, а квадратное уравнение в ней приобретает свое минимальное или максимальное значение. В этом случае квадратное уравнение имеет один действительный корень (или два одинаковых корня).

    3)
    Последний случай на практике интересный больше — существует две точки пересечения параболы с осью абсцисс. 2
    и осуществим преобразование

    Отсюда находим

    Формула дискриминанта и корней квадратного уравнения

    Дискриминантом называют значение подкоренного выраженияЕсли он положительный то уравнение имеет два действительных корня, вычисляемые по формулеПри нулевом дискриминант квадратное уравнение имеет одно решение (два совпадающих корня), которые легко получить из приведенной выше формулы при D=0
    При отрицательном дискриминант уравнения действительных корней нет. Однако исують решения квадратного уравнения в комплексной плоскости, и их значение вычисляют по формуле

    Теорема Виета

    Рассмотрим два корня квадратного уравнения и построим на их основе квадратное уравнение.С записи легко следует сама теорема Виета: если имеем квадратное уравнение видато сумма его корней равна коэффициенту p
    , взятому с противоположным знаком, а произведение корней уравнения равен свободному слагаемому q
    . Формульная запись вышесказанного будет иметь видЕсли в классическом уравнении константа а
    отлична от нуля, то нужно разделить на нее все уравнение, а затем применять теорему Виета. 2+x-6=0
    .

    Решение:
    В случаях когда есть малые коэффициенты при х
    целесообразно применять теорему Виета. По ее условию получаем два уравнения

    С второго условия получаем, что произведение должно быть равно -6
    . Это означает, что один из корней отрицателен. Имеем следующую возможную пару решений{-3;2}, {3;-2}
    . С учетом первого условия вторую пару решений отвергаем.
    Корни уравнения равны

    Задача 5.
    Найти длины сторон прямоугольника, если его периметр 18
    см, а площадь 77
    см 2 .

    Решение:
    Половина периметра прямоугольника равна сумме соседних сторон. Обозначим х
    – большую сторону, тогда 18-x
    меньшая его сторона. Площадь прямоугольника равна произведению этих длин:
    х(18-х)=77;

    или
    х 2 -18х+77=0.

    Найдем дискриминант уравнения

    Вычисляем корни уравнения

    Если х=11
    ,
    то 18-х=7
    ,
    наоборот тоже справедливо (если х=7
    , то 21-х=9
    ).

    Задача 6.
    Разложить квадратное 10x 2 -11x+3=0
    уравнения на множители.

    Решение:
    Вычислим корни уравнения, для этого находим дискриминант

    Подставляем найденное значение в формулу корней и вычисляем

    Применяем формулу разложения квадратного уравнения по корнями

    Раскрыв скобки получим тождество. 2+(2а+6)х-3а-9=0
    имеет более одного корня?

    Решение:
    Рассмотрим сначала особые точки, ими будут значения а=0
    и а=-3
    . При а=0
    уравнение упростится до вида 6х-9=0; х=3/2
    и будет один корень. При а= -3
    получим тождество 0=0
    .
    Вычислим дискриминант

    и найдем значения а
    при котором оно положительно

    С первого условия получим а>3
    . Для второго находим дискриминант и корни уравнения

    Определим промежутки где функция принимает положительные значения. Подстановкой точки а=0
    получим 3>0
    .
    Итак, за пределами промежутка (-3;1/3)
    функция отрицательная. Не стоит забывать о точке а=0
    ,
    которую следует исключить, поскольку в ней исходное уравнение имеет один корень.
    В результате получим два интервала, которые удовлетворяют условию задачи

    Подобных задач на практике будет много, постарайтесь разобраться с заданиями самостоятельно и не забывайте учитывать условия, которые взаимоисключают друг друга. Хорошо изучите формулы для решения квадратных уравнений, они довольна часто нужны при вычислениях в разных задачах и науках.

    Надеюсь, изучив данную статью, вы научитесь находить корни полного квадратного уравнения.

    С помощью дискриминанта решаются только полные квадратные уравнения, для решения неполных квадратных уравнений используют другие методы, которые вы найдете в статье «Решение неполных квадратных уравнений».

    Какие же квадратные уравнения называются полными? Это уравнения вида ах 2 + b x + c = 0
    , где коэффициенты a, b и с не равны нулю. Итак, чтобы решить полное квадратное уравнение, надо вычислить дискриминант D.

    D = b 2 – 4ас.

    В зависимости от того какое значение имеет дискриминант, мы и запишем ответ.

    Если дискриминант отрицательное число (D

    Если же дискриминант равен нулю, то х = (-b)/2a. Когда дискриминант положительное число (D > 0),

    тогда х 1 = (-b — √D)/2a , и х 2 = (-b + √D)/2a .

    Например. Решить уравнение х 2
    – 4х + 4= 0.

    D = 4 2 – 4 · 4 = 0

    x = (- (-4))/2 = 2

    Ответ: 2.

    Решить уравнение 2х 2

    + х + 3 = 0.

    D = 1 2 – 4 · 2 · 3 = – 23

    Ответ: корней нет
    .

    Решить уравнение 2х 2

    + 5х – 7 = 0
    .

    D = 5 2 – 4 · 2 · (–7) = 81

    х 1 = (-5 — √81)/(2·2)= (-5 — 9)/4= – 3,5

    х 2 = (-5 + √81)/(2·2) = (-5 + 9)/4=1

    Ответ: – 3,5 ; 1
    .

    Итак представим решение полных квадратных уравнений схемой на рисунке1.

    По этим формулам можно решать любое полное квадратное уравнение. Нужно только внимательно следить за тем, чтобы уравнение было записано многочленом стандартного вида

    ах 2


    + bx + c,
    иначе можно допустить ошибку. Например, в записи уравнения х + 3 + 2х 2 = 0, ошибочно можно решить, что

    а = 1, b = 3 и с = 2. Тогда

    D = 3 2 – 4 · 1 · 2 = 1 и тогда уравнение имеет два корня. А это неверно. (Смотри решение примера 2 выше).

    Поэтому, если уравнение записано не многочленом стандартного вида, вначале полное квадратное уравнение надо записать многочленом стандартного вида (на первом месте должен стоять одночлен с наибольшим показателем степени, то есть ах 2



    , затем с меньшим
    bx
    , а затем свободный член с.

    При решении приведенного квадратного уравнения и квадратного уравнения с четным коэффициентом при втором слагаемом можно использовать и другие формулы. Давайте познакомимся и с этими формулами. Если в полном квадратном уравнении при втором слагаемом коэффициент будет четным (b = 2k), то можно решать уравнение по формулам приведенным на схеме рисунка 2.

    Полное квадратное уравнение называется приведенным, если коэффициент при х 2



    равен единице и уравнение примет вид х 2 + px + q = 0
    . Такое уравнение может быть дано для решения, либо получается делением всех коэффициентов уравнение на коэффициент а
    , стоящий при х 2



    .

    На рисунке 3 приведена схема решения приведенных квадратных
    уравнений. Рассмотрим на примере применение рассмотренных в данной статье формул.

    Пример. Решить уравнение

    3х 2



    + 6х – 6 = 0.

    Давайте решим это уравнение применяя формулы приведенные на схеме рисунка 1.

    D = 6 2 – 4 · 3 · (– 6) = 36 + 72 = 108

    √D = √108 = √(36 · 3) = 6√3

    х 1 = (-6 — 6√3)/(2 · 3) = (6 (-1- √(3)))/6 = –1 – √3

    х 2 = (-6 + 6√3)/(2 · 3) = (6 (-1+ √(3)))/6 = –1 + √3

    Ответ: –1 – √3; –1 + √3

    Можно заметить, что коэффициент при х в этом уравнении четное число, то есть b = 6 или b = 2k , откуда k = 3. Тогда попробуем решить уравнение по формулам, приведенным на схеме рисунка D 1 = 3 2 – 3 · (– 6) = 9 + 18 = 27

    √(D 1) = √27 = √(9 · 3) = 3√3

    х 1 = (-3 — 3√3)/3 = (3 (-1 — √(3)))/3 = – 1 – √3

    х 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3)))/3 = – 1 + √3

    Ответ: –1 – √3; –1 + √3
    . Заметив, что все коэффициенты в этом квадратном уравнении делятся на 3 и выполнив деление, получим приведенное квадратное уравнение x 2 + 2х – 2 = 0 Решим это уравнение, используя формулы для приведенного квадратного
    уравнения рисунок 3.

    D 2 = 2 2 – 4 · (– 2) = 4 + 8 = 12

    √(D 2) = √12 = √(4 · 3) = 2√3

    х 1 = (-2 — 2√3)/2 = (2 (-1 — √(3)))/2 = – 1 – √3

    х 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3)))/2 = – 1 + √3

    Ответ: –1 – √3; –1 + √3.

    Как видим, при решении этого уравнения по различным формулам мы получили один и тот же ответ. Поэтому хорошо усвоив формулы приведенные на схеме рисунка 1 , вы всегда сможете решить любое полное квадратное уравнение.

    blog.сайт,
    при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

    Квадратные уравнения изучают в 8 классе, поэтому ничего сложного здесь нет. Умение решать их совершенно необходимо.

    Квадратное уравнение — это уравнение вида ax
    2 + bx
    + c
    = 0, где коэффициенты a
    , b
    и c
    — произвольные числа, причем a ≠ 0.

    Прежде, чем изучать конкретные методы решения, заметим, что все квадратные уравнения можно условно разделить на три класса:

    1. Не имеют корней;
    2. Имеют ровно один корень;
    3. Имеют два различных корня.

    В этом состоит важное отличие квадратных уравнений от линейных, где корень всегда существует и единственен. Как определить, сколько корней имеет уравнение? Для этого существует замечательная вещь — дискриминант
    .

    Дискриминант

    Пусть дано квадратное уравнение ax
    2 + bx
    + c
    = 0. Тогда дискриминант — это просто число D
    = b
    2 − 4ac
    .

    Эту формулу надо знать наизусть. Откуда она берется — сейчас неважно. Важно другое: по знаку дискриминанта можно определить, сколько корней имеет квадратное уравнение. А именно:

    1. Если D
    2. Если D
      = 0, есть ровно один корень;
    3. Если D
      > 0, корней будет два.

    Обратите внимание: дискриминант указывает на количество корней, а вовсе не на их знаки, как почему-то многие считают. Взгляните на примеры — и сами все поймете:

    Задача. Сколько корней имеют квадратные уравнения:

    1. x
      2 − 8x
      + 12 = 0;
    2. 5x
      2 + 3x
      + 7 = 0;
    3. x
      2 − 6x
      + 9 = 0.

    Выпишем коэффициенты для первого уравнения и найдем дискриминант:
    a
    = 1, b
    = −8, c
    = 12;
    D
    = (−8) 2 − 4 · 1 · 12 = 64 − 48 = 16

    Итак, дискриминант положительный, поэтому уравнение имеет два различных корня. Аналогично разбираем второе уравнение:
    a
    = 5; b
    = 3; c
    = 7;
    D
    = 3 2 − 4 · 5 · 7 = 9 − 140 = −131.

    Дискриминант отрицательный, корней нет. Осталось последнее уравнение:
    a
    = 1; b
    = −6; c
    = 9;
    D
    = (−6) 2 − 4 · 1 · 9 = 36 − 36 = 0.

    Дискриминант равен нулю — корень будет один.

    Обратите внимание, что для каждого уравнения были выписаны коэффициенты. Да, это долго, да, это нудно — зато вы не перепутаете коэффициенты и не допустите глупых ошибок. Выбирайте сами: скорость или качество.

    Кстати, если «набить руку», через некоторое время уже не потребуется выписывать все коэффициенты. Такие операции вы будете выполнять в голове. Большинство людей начинают делать так где-то после 50-70 решенных уравнений — в общем, не так и много.

    Корни квадратного уравнения

    Теперь перейдем, собственно, к решению. Если дискриминант D
    > 0, корни можно найти по формулам:

    Основная формула корней квадратного уравнения

    Когда D
    = 0, можно использовать любую из этих формул — получится одно и то же число, которое и будет ответом. Наконец, если D

    1. x
      2 − 2x
      − 3 = 0;
    2. 15 − 2x
      − x
      2 = 0;
    3. x
      2 + 12x
      + 36 = 0.

    Первое уравнение:
    x
    2 − 2x
    − 3 = 0 ⇒ a
    = 1; b
    = −2; c
    = −3;
    D
    = (−2) 2 − 4 · 1 · (−3) = 16.

    D
    > 0 ⇒ уравнение имеет два корня. Найдем их:

    Второе уравнение:
    15 − 2x
    − x
    2 = 0 ⇒ a
    = −1; b
    = −2; c
    = 15;
    D
    = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.

    D
    > 0 ⇒ уравнение снова имеет два корня. Найдем их

    \[\begin{align} & {{x}_{1}}=\frac{2+\sqrt{64}}{2\cdot \left(-1 \right)}=-5; \\ & {{x}_{2}}=\frac{2-\sqrt{64}}{2\cdot \left(-1 \right)}=3. \\ \end{align}\]

    Наконец, третье уравнение:
    x
    2 + 12x
    + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
    D = 12 2 − 4 · 1 · 36 = 0.

    D = 0 ⇒ уравнение имеет один корень. Можно использовать любую формулу. Например, первую:

    Как видно из примеров, все очень просто. Если знать формулы и уметь считать, проблем не будет. Чаще всего ошибки возникают при подстановке в формулу отрицательных коэффициентов. Здесь опять же поможет прием, описанный выше: смотрите на формулу буквально, расписывайте каждый шаг — и очень скоро избавитесь от ошибок.

    Неполные квадратные уравнения

    Бывает, что квадратное уравнение несколько отличается от того, что дано в определении. Например:

    1. x
      2 + 9x
      = 0;
    2. x
      2 − 16 = 0.

    Несложно заметить, что в этих уравнениях отсутствует одно из слагаемых. Такие квадратные уравнения решаются даже легче, чем стандартные: в них даже не потребуется считать дискриминант. Итак, введем новое понятие:

    Уравнение ax
    2 + bx
    + c
    = 0 называется неполным квадратным уравнением, если b
    = 0 или c
    = 0, т.е. коэффициент при переменной x
    или свободный элемент равен нулю.

    Разумеется, возможен совсем тяжелый случай, когда оба этих коэффициента равны нулю: b
    = c
    = 0. В этом случае уравнение принимает вид ax
    2 = 0. Очевидно, такое уравнение имеет единственный корень: x
    = 0.

    Рассмотрим остальные случаи. Пусть b
    = 0, тогда получим неполное квадратное уравнение вида ax
    2 + c
    = 0. Немного преобразуем его:

    Поскольку арифметический квадратный корень существует только из неотрицательного числа, последнее равенство имеет смысл исключительно при (−c
    /a
    ) ≥ 0. Вывод:

    1. Если в неполном квадратном уравнении вида ax
      2 + c
      = 0 выполнено неравенство (−c
      /a
      ) ≥ 0, корней будет два. Формула дана выше;
    2. Если же (−c
      /a
      )

    Как видите, дискриминант не потребовался — в неполных квадратных уравнениях вообще нет сложных вычислений. На самом деле даже необязательно помнить неравенство (−c
    /a
    ) ≥ 0. Достаточно выразить величину x
    2 и посмотреть, что стоит с другой стороны от знака равенства. Если там положительное число — корней будет два. Если отрицательное — корней не будет вообще.

    Теперь разберемся с уравнениями вида ax
    2 + bx
    = 0, в которых свободный элемент равен нулю. Тут все просто: корней всегда будет два. Достаточно разложить многочлен на множители:

    Вынесение общего множителя за скобку

    Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда находятся корни. В заключение разберем несколько таких уравнений:

    Задача. Решить квадратные уравнения:

    1. x
      2 − 7x
      = 0;
    2. 5x
      2 + 30 = 0;
    3. 4x
      2 − 9 = 0.

    x
    2 − 7x
    = 0 ⇒ x
    · (x
    − 7) = 0 ⇒ x
    1 = 0; x
    2 = −(−7)/1 = 7.

    5x
    2 + 30 = 0 ⇒ 5x
    2 = −30 ⇒ x
    2 = −6. Корней нет, т.к. квадрат не может быть равен отрицательному числу.

    4x
    2 − 9 = 0 ⇒ 4x
    2 = 9 ⇒ x
    2 = 9/4 ⇒ x
    1 = 3/2 = 1,5; x
    2 = −1,5.

    Квадратное уравнение – решается просто! *Далее в тексте «КУ».
    Друзья, казалось бы, что может быть в математике проще, чем решение такого уравнения. Но что-то мне подсказывало, что с ним у многих есть проблемы. Решил посмотреть сколько показов по запросу в месяц выдаёт Яндекс. Вот что получилось, посмотрите:

    Что это значит? Это значит то, что около 70000 человек в месяц ищут данную информацию, при чём это лето, а что будет среди учебного года — запросов будет в два раза больше. Это и неудивительно, ведь те ребята и девчата, которые давно окончили школу и готовятся к ЕГЭ, ищут эту информацию, также и школьники стремятся освежить её в памяти.

    Несмотря на то, что есть масса сайтов, где рассказывается как решать это уравнение, я решил тоже внести свою лепту и опубликовать материал. Во-первых, хочется чтобы по данному запросу и на мой сайт приходили посетители; во-вторых, в других статьях, когда зайдёт речь «КУ» буду давать ссылку на эту статью; в-третьих, расскажу вам о его решении немного больше, чем обычно излагается на других сайтах. Приступим!
    Содержание статьи:

    Квадратное уравнение – это уравнение вида:

    где коэффициенты a,
    b
    и с произвольные числа, при чём a≠0.

    В школьном курсе материал дают в следующем виде – условно делается разделение уравнений на три класса:

    1. Имеют два корня.

    2. *Имеют только один корень.

    3. Не имеют корней. Здесь стоит особо отметить, что не имеют действительных корней

    Как вычисляются корни? Просто!

    Вычисляем дискриминант. Под этим «страшным» словом лежит вполне простая формула:

    Формулы корней имеют следующий вид:

    *Эти формулы нужно знать наизусть.

    Можно сразу записывать и решать:

    Пример:

    1. Если D > 0, то уравнение имеет два корня.

    2. Если D = 0, то уравнение имеет один корень.

    3. Если D

    Давайте рассмотрим уравнение:

    По данному поводу, когда дискриминант равен нулю, в школьном курсе говорится о том, что получается один корень, здесь он равен девяти. Всё правильно, так и есть, но…

    Данное представление несколько несколько некорректно. На самом деле получается два корня. Да-да, не удивляйтесь, получается два равных корня, и если быть математически точным, то в ответе следует записывать два корня:

    х 1 = 3 х 2 = 3

    Но это так – небольшое отступление. В школе можете записывать и говорить, что корень один.

    Теперь следующий пример:

    Как нам известно – корень из отрицательного числа не извлекается, поэтому решения в данном случае нет.

    Вот и весь процесс решения.

    Квадратичная функция.

    Здесь показано, как решение выглядит геометрически. Это крайне важно понимать (в дальнейшем в одной из статей мы подробно будем разбирать решение квадратного неравенства).

    Это функция вида:

    где х и у — переменные

    a, b, с – заданные числа, при чём a ≠ 0

    Графиком является парабола:

    То есть, получается, что решая квадратное уравнение при «у» равном нулю мы находим точки пересечения параболы с осью ох. Этих точек может быть две (дискриминант положительный), одна (дискриминант равен нулю) и ни одной (дискриминант отрицательный). Подробно о квадратичной функции можете посмотреть
    статью у Инны Фельдман.

    Рассмотрим примеры:

    Пример 1:
    Решить 2x
    2
    +8
    x
    –192=0

    а=2 b=8 c= –192

    D = b
    2
    –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

    Ответ: х 1 = 8 х 2 = –12

    *Можно было сразу же левую и правую часть уравнения разделить на 2, то есть упростить его. Вычисления будут проще.

    Пример 2:
    Решить


    x 2
    –22
    x+121 = 0

    а=1 b=–22 c=121

    D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0

    Получили, что х 1 = 11 и х 2 = 11

    В ответе допустимо записать х = 11.

    Ответ: х = 11

    Пример 3:
    Решить

    x 2 –8x+72 = 0

    а=1 b= –8 c=72

    D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224

    Дискриминант отрицательный, решения в действительных числах нет.

    Ответ: решения нет

    Дискриминант отрицательный. Решение есть!

    Здесь речь пойдёт о решении уравнения в случае когда получается отрицательный дискриминант. Вы что-нибудь знаете о комплексных числах? Не буду здесь подробно рассказывать о том, почему и откуда они возникли и в чём их конкретная роль и необходимость в математике, это тема для большой отдельной статьи.

    Понятие комплексного числа.

    Немного теории.

    Комплексным числом z называется число вида

    z = a + bi

    где a и b – действительные числа, i – так называемая мнимая единица.

    a+bi

    – это ЕДИНОЕ ЧИСЛО, а не сложение.

    Мнимая единица равна корню из минус единицы:

    Теперь рассмотрим уравнение:

    Получили два сопряжённых корня.

    Неполное квадратное уравнение.

    Рассмотрим частные случаи, это когда коэффициент «b» или «с» равен нулю (или оба равны нулю). Они решаются легко без всяких дискриминантов.

    Случай 1. Коэффициент b = 0.

    Уравнение приобретает вид:

    Преобразуем:

    Пример:

    4x 2 –16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = –2

    Случай 2. Коэффициент с = 0.

    Уравнение приобретает вид:

    Преобразуем, раскладываем на множители:

    *Произведение равно нулю тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

    Пример:

    9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 или x–5 =0

    x 1 = 0 x 2 = 5

    Случай 3. Коэффициенты b = 0 и c = 0.

    Здесь понятно, что решением уравнения всегда будет х = 0.

    Полезные свойства и закономерности коэффициентов.

    Есть свойства, которые позволяют решить уравнения с большими коэффициентами.

    а
    x
    2
    +
    bx
    +
    c
    =0
    выполняется равенство

    a
    +
    b
    + с = 0,
    то

    — если для коэффициентов уравнения а
    x
    2
    +
    bx
    +
    c
    =0
    выполняется равенство

    a
    + с =
    b
    ,
    то

    Данные свойства помогают решить определённого вида уравнения.

    Пример 1: 5001
    x
    2
    –4995
    x
    – 6=0

    Сумма коэффициентов равна 5001+(
    4995)+(
    6) = 0, значит

    Пример 2: 2501
    x
    2
    +2507
    x
    +6=0

    Выполняется равенство a
    + с =
    b
    ,
    значит

    Закономерности коэффициентов.

    1. Если в уравнении ax 2 + bx + c = 0 коэффициент «b» равен (а 2 +1), а коэффициент «с» численно равен коэффициенту «а», то его корни равны

    аx 2 + (а 2 +1)∙х+ а= 0 = > х 1 = –а х 2 = –1/a.

    Пример. Рассмотрим уравнение 6х 2 +37х+6 = 0.

    х 1 = –6 х 2 = –1/6.

    2. Если в уравнении ax 2 – bx + c = 0 коэффициент «b» равен (а 2 +1), а коэффициент «с» численно равен коэффициенту «а», то его корни равны

    аx 2 – (а 2 +1)∙х+ а= 0 = > х 1 = а х 2 = 1/a.

    Пример. Рассмотрим уравнение 15х 2 –226х +15 = 0.

    х 1 = 15 х 2 = 1/15.

    3. Если в уравнении
    ax 2
    + bx

    c = 0
    коэффициент «b»

    равен (a 2

    – 1), а коэффициент «c»

    численно равен коэффициенту «a»
    ,
    то его корни равны

    аx 2 + (а 2 –1)∙х – а= 0 = > х 1 = – а х 2 = 1/a.

    Пример. Рассмотрим уравнение 17х 2 +288х – 17 = 0.

    х 1 = – 17 х 2 = 1/17.

    4. Если в уравнении ax 2 – bx – c = 0 коэффициент «b» равен (а 2 – 1), а коэффициент с численно равен коэффициенту «а», то его корни равны

    аx 2 – (а 2 –1)∙х – а= 0 = > х 1 = а х 2 = – 1/a.

    Пример. Рассмотрим уравнение 10х 2 – 99х –10 = 0.

    х 1 = 10 х 2 = – 1/10

    Теорема Виета.

    Теорема Виета называется по имени знаменитого французского математика Франсуа Виета. Используя теорему Виета, можно выразить сумму и произведение корней произвольного КУ через его коэффициенты.

    45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

    В сумме число 14 дают только 5 и 9. Это корни. При определённом навыке, используя представленную теорему, многие квадратные уравнения вы сможете решать сходу устно.

    Теорема Виета, кроме того. удобна тем, что после решения квадратного уравнения обычным способом (через дискриминант) полученные корни можно проверять. Рекомендую это делать всегда.

    СПОСОБ ПЕРЕБРОСКИ

    При этом способе коэффициент «а» умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его и называют способом «переброски».
    Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета и, что самое важное, когда дискриминант есть точный квадрат.

    Если а
    ± b+c
    ≠ 0, то используется прием переброски, например:

    2х
    2 – 11х+
    5 = 0 (1) => х
    2 – 11х+
    10 = 0 (2)

    По теореме Виета в уравнении (2) легко определить, что х 1 = 10 х 2 = 1

    Полученные корни уравнения необходимо разделить на 2 (так как от х 2 «перебрасывали» двойку), получим

    х 1
    = 5 х 2
    =
    0,5.

    Каково обоснование? Посмотрите что происходит.

    Дискриминанты уравнений (1) и (2) равны:

    Если посмотреть на корни уравнений, то получаются только различные знаменатели, и результат зависит именно от коэффициента при х 2:

    У второго (изменённого) корни получаются в 2 раза больше.

    Потому результат и делим на 2.

    *Если будем перебрасывать тройку, то результат разделим на 3 и т.д.

    Ответ: х 1 = 5 х 2 = 0,5

    Кв. ур-ие и ЕГЭ.

    О его важности скажу кратко – ВЫ ДОЛЖНЫ УМЕТЬ РЕШАТЬ быстро и не задумываясь, формулы корней и дискриминанта необходимо знать наизусть. Очень многие задачи, входящие в состав заданий ЕГЭ, сводятся к решению квадратного уравнения (геометрические в том числе).

    Что стоит отметить!

    1. Форма записи уравнения может быть «неявной». Например, возможна такая запись:

    15+ 9x 2 — 45x = 0 или 15х+42+9x 2 — 45x=0 или 15 -5x+10x 2 = 0.

    Вам необходимо привести его к стандартному виду (чтобы не запутаться при решении).

    2. Помните, что х это неизвестная величина и она может быть обозначена любой другой буквой – t, q, p, h и прочими.

    Поработаем с квадратными уравнениями
    . Это очень популярные уравнения! В самом общем виде квадратное уравнение выглядит так:

    Например:

    Здесь а
    =1; b
    = 3; c
    = -4

    Здесь а
    =2; b
    = -0,5; c
    = 2,2

    Здесь а
    =-3; b
    = 6; c
    = -18

    Ну, вы поняли…

    Как решать квадратные уравнения?
    Если перед вами квадратное уравнение именно в таком виде, дальше уже всё просто. Вспоминаем волшебное слово дискриминант

    . Редкий старшеклассник не слышал этого слова! Фраза «решаем через дискриминант» вселяет уверенность и обнадёживает. Потому что ждать подвохов от дискриминанта не приходится! Он прост и безотказен в обращении. Итак, формула для нахождения корней квадратного уравнения выглядит так:

    Выражение под знаком корня – и есть тот самый дискриминант
    . Как видим, для нахождения икса, мы используем только a, b и с
    . Т.е. коэффициенты из квадратного уравнения. Просто аккуратно подставляем значения a, b и с
    в это формулу и считаем. Подставляем со своими знаками!

    Например, для первого уравнения а
    =1; b
    = 3; c
    = -4. Вот и записываем:

    Пример практически решён:

    Вот и всё.

    Какие случаи возможны при использовании этой формулы? Всего три случая.

    1. Дискриминант положительный. Это значит, из него можно извлечь корень. Хорошо корень извлекается, или плохо – вопрос другой. Важно, что извлекается в принципе. Тогда у вашего квадратного уравнения – два корня. Два различных решения.

    2. Дискриминант равен нулю. Тогда у вас одно решение. Строго говоря, это не один корень, а два одинаковых
    . Но это играет роль в неравенствах, там мы поподробнее вопрос изучим.

    3. Дискриминант отрицательный. Из отрицательного числа квадратный корень не извлекается. Ну и ладно. Это означает, что решений нет.

    Всё очень просто. И что, думаете, ошибиться нельзя? Ну да, как же…
    Самые распространённые ошибки – путаница со знаками значений a, b и с
    . Вернее, не с их знаками (где там путаться?), а с подстановкой отрицательных значений в формулу для вычисления корней. Здесь спасает подробная запись формулы с конкретными числами. Если есть проблемы с вычислениями, так и делайте
    !

    Предположим, надо вот такой примерчик решить:

    Здесь a = -6; b = -5; c = -1

    Допустим, вы знаете, что ответы у вас редко с первого раза получаются.

    Ну и не ленитесь. Написать лишнюю строчку займёт секунд 30. А количество ошибок резко сократится
    . Вот и пишем подробно, со всеми скобочками и знаками:

    Это кажется невероятно трудным, так тщательно расписывать. Но это только кажется. Попробуйте. Ну, или выбирайте. Что лучше, быстро, или правильно? Кроме того, я вас обрадую. Через некоторое время отпадёт нужда так тщательно всё расписывать. Само будет правильно получаться. Особенно, если будете применять практические приёмы, что описаны чуть ниже. Этот злой пример с кучей минусов решится запросто и без ошибок!

    Итак, как решать квадратные уравнения
    через дискриминант мы вспомнили. Или научились, что тоже неплохо. Умеете правильно определять a, b и с
    . Умеете внимательно
    подставлять их в формулу корней и внимательно
    считать результат. Вы поняли, что ключевое слово здесь – внимательно?

    Однако частенько квадратные уравнения выглядят слегка иначе. Например, вот так:

    Это неполные квадратные уравнения

    . Их тоже можно решать через дискриминант. Надо только правильно сообразить, чему здесь равняются a, b и с
    .

    Сообразили? В первом примере a = 1; b = -4;
    а c
    ? Его вообще нет! Ну да, правильно. В математике это означает, что c = 0

    ! Вот и всё. Подставляем в формулу ноль вместо c,
    и всё у нас получится. Аналогично и со вторым примером. Только ноль у нас здесь не с
    , а b
    !

    Но неполные квадратные уравнения можно решать гораздо проще. Безо всякого дискриминанта. Рассмотрим первое неполное уравнение. Что там можно сделать в левой части? Можно икс вынести за скобки! Давайте вынесем.

    И что из этого? А то, что произведение равняется нулю тогда, и только тогда, когда какой-нибудь из множителей равняется нулю! Не верите? Хорошо, придумайте тогда два ненулевых числа, которые при перемножении ноль дадут!
    Не получается? То-то…
    Следовательно, можно уверенно записать: х = 0
    , или х = 4

    Всё. Это и будут корни нашего уравнения. Оба подходят. При подстановке любого из них в исходное уравнение, мы получим верное тождество 0 = 0. Как видите, решение куда проще, чем через дискриминант.

    Второе уравнение тоже можно решить просто. Переносим 9 в правую часть. Получим:

    Остаётся корень извлечь из 9, и всё. Получится:

    Тоже два корня. х = +3 и х = -3
    .

    Так решаются все неполные квадратные уравнения. Либо с помощью вынесения икса за скобки, либо простым переносом числа вправо с последующим извлечением корня.
    Спутать эти приёмы крайне сложно. Просто потому, что в первом случае вам придется корень из икса извлекать, что как-то непонятно, а во втором случае выносить за скобки нечего…

    А теперь примите к сведению практические приёмы, которые резко снижают количество ошибок. Тех самых, что из-за невнимательности.… За которые потом бывает больно и обидно…

    Приём первый
    . Не ленитесь перед решением квадратного уравнения привести его к стандартному виду. Что это означает?
    Допустим, после всяких преобразований вы получили вот такое уравнение:

    Не бросайтесь писать формулу корней! Почти наверняка, вы перепутаете коэффициенты a, b и с.
    Постройте пример правильно. Сначала икс в квадрате, потом без квадрата, потом свободный член. Вот так:

    И опять не бросайтесь! Минус перед иксом в квадрате может здорово вас огорчить. Забыть его легко… Избавьтесь от минуса. Как? Да как учили в предыдущей теме! Надо умножить всё уравнение на -1. Получим:

    А вот теперь можно смело записывать формулу для корней, считать дискриминант и дорешивать пример. Дорешайте самостоятельно. У вас должны получиться корни 2 и -1.

    Приём второй.
    Проверяйте корни! По теореме Виета. Не пугайтесь, я всё объясню! Проверяем последнее
    уравнение. Т.е. то, по которому мы записывали формулу корней. Если (как в этом примере) коэффициент а = 1
    , проверить корни легко. Достаточно их перемножить. Должен получиться свободный член, т.е. в нашем случае -2. Обратите внимание, не 2, а -2! Свободный член со своим знаком

    . Если не получилось – значит уже где-то накосячили. Ищите ошибку. Если получилось — надо сложить корни. Последняя и окончательная проверка. Должен получиться коэффициент b
    с противоположным

    знаком. В нашем случае -1+2 = +1. А коэффициент b
    , который перед иксом, равен -1. Значит, всё верно!
    Жаль, что это так просто только для примеров, где икс в квадрате чистый, с коэффициентом а = 1.
    Но хоть в таких уравнениях проверяйте! Всё меньше ошибок будет.

    Приём третий
    . Если в вашем уравнении есть дробные коэффициенты, — избавьтесь от дробей! Домножьте уравнение на общий знаменатель, как описано в предыдущем разделе. При работе с дробями ошибки, почему-то так и лезут…

    Кстати, я обещал злой пример с кучей минусов упростить. Пожалуйста! Вот он.

    Чтобы не путаться в минусах, домножаем уравнение на -1. Получаем:

    Вот и всё! Решать – одно удовольствие!

    Итак, подытожим тему.

    Практические советы:

    1. Перед решением приводим квадратное уравнение к стандартному виду, выстраиваем его правильно
    .

    2. Если перед иксом в квадрате стоит отрицательный коэффициент, ликвидируем его умножением всего уравнения на -1.

    3. Если коэффициенты дробные – ликвидируем дроби умножением всего уравнения на соответствующий множитель.

    4. Если икс в квадрате – чистый, коэффициент при нём равен единице, решение можно легко проверить по теореме Виета. Делайте это!

    Дробные уравнения. ОДЗ.

    Продолжаем осваивать уравнения. Мы уже в курсе, как работать с линейными уравнениями и квадратными. Остался последний вид – дробные уравнения
    . Или их ещё называют гораздо солиднее – дробные рациональные уравнения
    . Это одно и то же.

    Дробные уравнения.

    Как ясно из названия, в этих уравнениях обязательно присутствуют дроби. Но не просто дроби, а дроби, у которых есть неизвестное в знаменателе
    . Хотя бы в одном. Например:

    Напомню, если в знаменателях только числа
    , это линейные уравнения.

    Как решать дробные уравнения
    ? Прежде всего – избавиться от дробей! После этого уравнение, чаще всего, превращается в линейное или квадратное. А дальше мы знаем, что делать… В некоторых случаях оно может превратиться в тождество, типа 5=5 или неверное выражение, типа 7=2. Но это редко случается. Ниже я про это упомяну.

    Но как избавиться от дробей!? Очень просто. Применяя всё те же тождественные преобразования.

    Нам надо умножить всё уравнение на одно и то же выражение. Так, чтобы все знаменатели посокращались! Всё сразу станет проще. Поясняю на примере. Пусть нам требуется решить уравнение:

    Как учили в младших классах? Переносим все в одну сторону, приводим к общему знаменателю и т.д. Забудьте, как страшный сон! Так нужно делать, когда вы складываете или вычитаете дробные выражения. Или работаете с неравенствами. А в уравнениях мы сразу умножаем обе части на выражение, которое даст нам возможность сократить все знаменатели (т.е., в сущности, на общий знаменатель). И какое же это выражение?

    В левой части для сокращения знаменателя требуется умножение на х+2
    . А в правой требуется умножение на 2. Значит, уравнение надо умножать на 2(х+2)
    . Умножаем:

    Это обычное умножение дробей, но распишу подробно:

    Обратите внимание, я пока не раскрываю скобку (х + 2)
    ! Так, целиком, её и пишу:

    В левой части сокращается целиком (х+2)
    , а в правой 2. Что и требовалось! После сокращения получаем линейное
    уравнение:

    А это уравнение уже решит всякий! х = 2
    .

    Решим ещё один пример, чуть посложнее:

    Если вспомнить, что 3 = 3/1, а 2х = 2х/
    1, можно записать:

    И опять избавляемся от того, что нам не очень нравится – от дробей.

    Видим, что для сокращения знаменателя с иксом, надо умножить дробь на (х – 2)
    . А единицы нам не помеха. Ну и умножаем. Всю
    левую часть и всю
    правую часть:

    Опять скобки (х – 2)
    я не раскрываю. Работаю со скобкой в целом, как будто это одно число! Так надо делать всегда, иначе ничего не сократится.

    С чувством глубокого удовлетворения сокращаем (х – 2)
    и получаем уравнение безо всяких дробей, в линеечку!

    А вот теперь уже раскрываем скобки:

    Приводим подобные, переносим всё в левую часть и получаем:

    Классическое квадратное уравнение. Но минус впереди – нехорош. От него можно всегда избавиться, умножением или делением на -1. Но если присмотреться к примеру, можно заметить, что лучше всего это уравнение разделить на -2! Одним махом и минус исчезнет, и коэффициенты посимпатичнее станут! Делим на -2. В левой части – почленно, а в правой – просто ноль делим на -2, ноль и получим:

    Решаем через дискриминант и проверяем по теореме Виета. Получаем х = 1 и х = 3
    . Два корня.

    Как видим, в первом случае уравнение после преобразования стало линейным, а здесь – квадратным. Бывает так, что после избавления от дробей, все иксы сокращаются. Остаётся что-нибудь, типа 5=5. Это означает, что икс может быть любым
    . Каким бы он не был, всё равно сократится. И получится чистая правда, 5=5. Но, после избавления от дробей, может получиться и совсем неправда, типа 2=7. А это означает, что решений нет
    ! При любом иксе получается неправда.

    Осознали главный способ решения дробных уравнений
    ? Он прост и логичен. Мы меняем исходное выражение так, чтобы исчезло всё то, что нам не нравится. Или мешает. В данном случае это – дроби. Точно так же мы будем поступать и со всякими сложными примерами с логарифмами, синусами и прочими ужасами. Мы всегда
    будем от всего этого избавляться.

    Однако менять исходное выражение в нужную нам сторону надо по правилам
    , да… Освоение которых и есть подготовка к ЕГЭ по математике. Вот и осваиваем.

    Сейчас мы с вами научимся обходить одну из главных засад на ЕГЭ
    ! Но для начала посмотрим, попадаете вы в неё, или нет?

    Разберём простой пример:

    Дело уже знакомое, умножаем обе части на (х – 2)
    , получаем:

    Напоминаю, со скобками (х – 2)
    работаем как с одним, цельным выражением!

    Здесь я уже не писал единичку в знаменателях, несолидно… И скобки в знаменателях рисовать не стал, там кроме х – 2
    ничего нет, можно и не рисовать. Сокращаем:

    Раскрываем скобки, переносим всё влево, приводим подобные:

    Решаем, проверяем, получаем два корня. х = 2
    и х = 3
    . Отлично.

    Предположим в задании сказано записать корень, или их сумму, если корней больше одного. Что писать будем?

    Если решите, что ответ 5, – вы попали в засаду
    . И задание вам не засчитают. Зря трудились… Правильный ответ 3.

    В чём дело?! А вы попробуйте проверку сделать. Подставить значения неизвестного в исходный
    пример. И если при х = 3
    у нас всё чудненько срастётся, получим 9 = 9, то при х = 2
    получится деление на ноль! Чего делать нельзя категорически. Значит х = 2
    решением не является, и в ответе никак не учитывается. Это так называемый посторонний или лишний корень. Мы его просто отбрасываем. Окончательный корень один. х = 3
    .

    Как так?! – слышу возмущённые возгласы. Нас учили, что уравнение можно умножать на выражение! Это тождественное преобразование!

    Да, тождественное. При маленьком условии – выражение, на которое умножаем (делим) – отлично от нуля
    . А х – 2
    при х = 2
    равно нулю! Так что всё честно.

    И что теперь делать?! Не умножать на выражение? Каждый раз проверку делать? Опять непонятно!

    Спокойно! Без паники!

    В этой тяжелой ситуации нас спасут три магических буквы. Я знаю, о чем вы подумали. Правильно! Это ОДЗ

    . Область Допустимых Значений.

    2 — 4ac — положительное число, тогда существует 2 действительных корня. Вы должны создать новый ComplexNumber [] размера 2 и поместить в него два ComplexNumber, каждый из которых имеет сложный компонент со значением 0 (и настоящие компоненты установлены как корни). Для консистенции сначала положите меньший из 2 корней.

  • Если дискриминант равен 0, то есть только один корень. Поскольку тип возвращаемого значения метода всегда один и тот же, вам все равно следует создать новый ComplexNumber [], размером всего один, и поместить ComplexNumber с соответствующим набором реальных значений и сложным компонентом 0.

  • Если дискриминант меньше 0, то есть 2 корня, каждый из которых имеет ненулевые комплексные компоненты. Решите для отдельных частей и сохраните их в 2 комплексных числа, которые затем помещаются в один массив.

  • Я сделал следующее. Мне уже было трудно решить этот вопрос, поэтому я хотел бы, чтобы кто-нибудь сказал мне, где я ошибся, поскольку программа продолжала показывать ошибку компилятора.

    Это программа JAVA !

    Любая подсказка поможет.Спасибо за ваше время и помощь.

      общедоступный статический complexNumber [] coomplexNumbers (double a, double b, double c) {
      if (a == 0 && b == 0 && c == 0) {// Все значения являются корнями
     return null;
      }
      else if (a == 0 && b == 0) {// без корней
     вернуть новый complexNumber [0];
      }
      else if (a == 0) {
     вернуть новый complexNumber [] {- ​​c / b}; /
      }
      еще{
     двойной дискриминант = b * b-4 * a * c;
     если (дискриминант <0)
    
      вернуть новый complexNumber [0];
         иначе, если (дискриминант == 0)
    
       вернуть новый complexNumber [] {(-b + Math.sqrt (дискриминант)) / (2 * a)};
         еще
    
      return new complexNumber [] {
          (-b + Math.sqrt (дискриминант)) / (2 * a),
          (-b - Math.sqrt (дискриминант)) / (2 * a)
      }
     }
        }
      

    Решение квадратичных неравенств

    ... и более ...

    Квадратичная

    Квадратное уравнение (в стандартной форме) выглядит так:

    Квадратичное Уравнение в стандартной форме

    ( a , b и c могут иметь любое значение, за исключением того, что a не может быть 0.)

    Выше приведено уравнение (=), но иногда нам нужно решить такие неравенства:

    Обозначение

    слов

    Пример

    >

    больше

    x 2 + 3x> 2

    <

    менее

    7x 2 <28

    больше или равно

    5 ≥ х 2 - х

    меньше или равно

    2 года 2 + 1 ≤ 7 лет

    Решение

    Решение неравенств очень похоже на решение уравнений... мы делаем почти то же самое.

    При решении уравнения мы пытаемся найти точки ,

    , например, помеченные "= 0"
    Но когда мы решаем неравенства
    мы пытаемся найти интервал (с) ,

    , например, помеченные "> 0" или "<0"

    Вот что мы делаем:

    • найти "= 0" точки
    • между точками "= 0" - это интервала , которые либо
      • больше нуля (> 0) или
      • меньше нуля (<0)
    • , затем выберите тестовое значение, чтобы узнать, какое оно (> 0 или <0)

    Вот пример:

    Пример: x

    2 - x - 6 <0

    x 2 - x - 6 имеет эти простые коэффициенты (потому что я хотел упростить!):

    (х + 2) (х − 3) <0

    Сначала , найдем где равно ноль:

    (х + 2) (х − 3) = 0

    Равно нулю, когда x = −2 или x = +3

    , потому что, когда x = −2, тогда (x + 2) равно нулю
    или
    когда x = +3, то (x − 3) равно нулю

    Итак, между −2 и +3, функция будет либо

    • всегда больше нуля или
    • всегда меньше чем ноль

    Мы не знаем какой... еще!

    Давайте выберем промежуточное значение и проверим его:

    При x = 0: x 2 - x - 6

    = 0–0–6

    = −6

    Таким образом, между -2 и +3 функция будет на меньше, чем на , чем ноль.

    И это тот регион, который нам нужен, так что ...

    x 2 - x - 6 <0 в интервале (−2, 3)

    Примечание: x 2 - x - 6> 0 на интервале (−∞, −2) и (3, + ∞)

    А вот график x 2 - x - 6:

    • Уравнение равно нулю при −2 и 3
    • Неравенство "<0" истинно между −2 и 3.

    Также попробуйте Grapher неравенства.

    Что делать, если он не проходит через ноль?

    Вот график x 2 - x + 1

    Нет баллов "= 0"!

    Но от этого все становится проще!

    Поскольку линия не пересекает y = 0, это должно быть либо:

    • всегда> 0 или
    • всегда <0

    Итак, все, что нам нужно сделать, это проверить одно значение (скажем, x = 0), чтобы увидеть, выше или ниже оно.

    A Пример "Реальный мир"

    Каскадер прыгнет с 20-метрового здания.

    Высокоскоростная камера готова снимать его на высоте от 15 до 10 метров над землей.

    Когда его снимать на камеру?

    Мы можем использовать эту формулу для расстояния и времени:

    d = 20-5 т 2

    • d = расстояние от земли (м) и
    • t = время от прыжка (секунды)

    (Примечание: если вам интересна формула, она упрощена от d = d 0 + v 0 t + ½a 0 t 2 , где d 0 = 20 ,
    v 0 = 0
    и a 0 = −9.81 , г.
    в
    ускорение свободного падения.)

    Ладно, поехали.

    Сначала , давайте набросаем вопрос:

    Требуемое расстояние от 10 м до 15 м :

    10

    И мы знаем формулу для d:

    10 <20 - 5 т 2 <15

    Теперь решим!

    Сначала вычтем 20 с обеих сторон:

    −10 <−5 т 2 <−5

    Теперь умножьте обе стороны на - (1/5). Но поскольку мы умножаем на отрицательное число, неравенства изменят направление… прочтите «Решение неравенств», чтобы понять, почему.

    2> т 2 > 1

    Для наглядности меньшее число должно быть слева, а большее - справа. Так что давайте поменяем их местами (и убедимся, что неравенства по-прежнему указывают правильно):

    1 2 <2

    Наконец, мы можем безопасно извлекать квадратные корни, поскольку все значения больше нуля:

    √1

    Съемочную группу можем сказать:

    "Фильм из 1.От 0 до 1,4 секунды после прыжка »

    выше квадратичной

    Те же идеи могут помочь нам решить более сложные неравенства:

    Пример: x

    3 + 4 ≥ 3x 2 + x

    Во-первых, приведем его в стандартном виде:

    x 3 - 3x 2 - x + 4 ≥ 0

    Это кубическое уравнение (наивысший показатель - куб, т. Е. X 3 ), и его трудно решить, поэтому давайте изобразим его вместо этого:

    Нулевые точки: приблизительно :

    А на графике мы видим интервалы, где он больше (или равен) нулю:

    • От −1.2-4ac` известен как дискриминант .

      Дискриминант указывает на три возможности. Если дискриминант положительный и больше нуля, решение ого уравнения будет иметь различных корня (два разных корня), что приведет к графику функции, дважды пересекающей ось «x».

      Если дискриминант равен нулю, то будет равных корня и будет только один ответ. График просто коснется оси «x».2 + 4 (3) (- гидроразрыв (2) (3)) = (3) + 1 = 0`

      `4-8 + 4 = 0`

      Ознакомьтесь с нашим приложением для iOS: множество вопросов, которые помогут вам попрактиковаться в математике GCSE. Загрузите бесплатно в App Store (требуются покупки в приложении).

      Квадратичная формула

      Квадратичная формула

      В этом разделе мы разработаем формулу, которая дает решения любого квадратного уравнения в стандартной форме. Для этого мы начнем с общего квадратного уравнения в стандартной форме и решим относительно x , заполнив квадрат.Здесь a , b и c - действительные числа и a 0:

      .

      ax2 + bx + c = 0 Стандартная форма квадратного уравнения. Max2 + bx + ca = 0a Разделим обе части на a.x2 + bax + ca = 0 Вычтем ca из обеих сторон. X2 + bax = −ca

      Определите константу, завершающую квадрат: возьмите коэффициент x , разделите его на 2 и возведите в квадрат.

      (b / a2) 2 = (b2a) 2 = b24a2

      Добавьте это к обеим сторонам уравнения, чтобы получить квадрат, а затем разложите на множители.

      x2 + bax + b24a2 = −ca + b24a2 (x + b2a) (x + b2a) = - ca + b24a2 (x + b2a) 2 = −4ac4a2 + b24a2 (x + b2a) 2 = b2−4ac4a2

      Решите, извлекая корни.

      (x + b2a) 2 = b2−4ac4a2x + b2a = ± b2−4ac4a2x + b2a = ± b2−4ac2ax = −b2a ± b2−4ac2ax = −b ± b2−4ac2a

      Этот вывод дает нам формулу, которая решает любое квадратное уравнение в стандартной форме. Учитывая ax2 + bx + c = 0, где a , b и c являются действительными числами и a ≠ 0, решения могут быть вычислены с использованием квадратной формулы Формула x = −b ± b2−4ac2a, которая дает решения любого квадратного уравнения в стандартной форме ax2 + bx + c = 0, где a , b и c - действительные числа и a 0.:

      х = −b ± b2−4ac2a

      Пример 1

      Решите через дискриминант: 2x2−7x − 15 = 0.

      Решение:

      Начните с определения коэффициентов каждого члена: a , b и c .

      a = 2 b = −7 c = −15

      Подставьте эти значения в формулу корней квадратного уравнения, а затем упростите.

      x = −b ± b2−4ac2a = - (- 7) ± (−7) 2−4 (2) (- 15) 2 (2) = 7 ± 49 + 1204 = 7 ± 1694 = 7 ± 134

      Разделите «плюс или минус» на два уравнения и выполните дальнейшее упрощение.

      x = 7−134 или x = 7 + 134x = −64x = 204x = −32x = 5

      Ответ: Решения - 32 и 5.

      Предыдущий пример может быть решен путем факторинга следующим образом:

      2x2−7x − 15 = 0 (2x + 3) (x − 5) = 02x + 3 = 0 или x − 5 = 02x = −3x = 5x = −32

      Конечно, если квадратичное выражение множится, то лучше всего решить уравнение путем факторизации. Однако не все квадратичные многочлены так легко разложить на множители. Квадратичная формула дает нам возможность решать все квадратные уравнения.

      Пример 2

      Решите через дискриминант: 3x2 + 6x − 2 = 0.

      Решение:

      Начните с определения a , b и c .

      а = 3 Ь = 6 с = −2

      Подставьте эти значения в формулу корней квадратного уравнения.

      x = −b ± b2−4ac2a = - (6) ± (6) 2−4 (3) (- 2) 2 (3) = - 6 ± 36 + 246 = −6 ± 606

      Здесь мы видим, что 60 = 4 × 15 и, таким образом, дробь может быть дополнительно упрощена.

      = −6 ± 606 = −6 ± 4 × 156 = −6 ± 2156 = 2 (−3 ± 15) 63 = −3 ± 153

      Важно отметить, что здесь есть два решения:

      x = −3−153 или x = −3 + 153

      Мы можем использовать ±, чтобы записать два решения в более компактной форме.

      Ответ: Решения -3 ± 153.

      Иногда отсутствуют термины. В этом случае используйте 0 в качестве коэффициента.

      Пример 3

      Решите через формулу корней квадратного уравнения: x2−45 = 0.

      Решение:

      Это уравнение эквивалентно

      1x2 + 0x − 45 = 0

      И мы можем использовать следующие коэффициенты:

      а = 1 б = 0 с = -45

      Подставьте эти значения в формулу корней квадратного уравнения.

      x = −b ± b2−4ac2a = - (0) ± (0) 2−4 (1) (- 45) 2 (1) = 0 ± 0 + 1802 = ± 1802 = ± 36 × 52 = ± 652 = ± 35

      Поскольку коэффициент при x был равен 0, мы могли решить это уравнение, извлекая корни.В качестве упражнения решите ее этим методом и убедитесь, что результаты совпадают.

      Ответ: Решения ± 35.

      Часто решения квадратных уравнений нереальны.

      Пример 4

      Решите через формулу корней квадратного уравнения: x2−4x + 29 = 0.

      Решение:

      Начните с определения a , b и c . Здесь

      а = 1 б = −4 с = 29

      Подставьте эти значения в формулу корней квадратного уравнения, а затем упростите.

      x = −b ± b2−4ac2a = - (- 4) ± (−4) 2−4 (1) (29) 2 (1) = 4 ± 16−1162 = 4 ± −1002 Отрицательное подкоренное выражение = 4 ± 10i2 Два комплексных решения = 42 ± 10i2 = 2 ± 5i

      Проверьте эти решения, подставив их в исходное уравнение.

      Чек x = 2−5i

      Чек x = 2 + 5i

      x2−4x + 29 = 0 (2−5i) 2−4 (2−5i) + 29 = 04−20i + 25i2−8 + 20i + 29 = 025i2 + 25 = 025 (−1) + 25 = 0−25 + 25 = 0 ✓

      x2−4x + 29 = 0 (2 + 5i) 2−4 (2 + 5i) + 29 = 04 + 20i + 25i2−8−20i + 29 = 025i2 + 25 = 025 (−1) + 25 = 0 −25 + 25 = 0 ✓

      Ответ: Решения 2 ± 5i.

      Уравнение не может быть дано в стандартной форме. Общие шаги по использованию формулы квадратичного уравнения приведены в следующем примере.

      Пример 5

      Решите: (5x + 1) (x − 1) = x (x + 1).

      Решение:

      Шаг 1 : Запишите квадратное уравнение в стандартной форме с нулем на одной стороне знака равенства.

      (5x + 1) (x − 1) = x (x + 1) 5x2−5x + x − 1 = x2 + x5x2−4x − 1 = x2 + x4x2−5x − 1 = 0

      Шаг 2 : Определите a , b и c для использования в формуле квадратов.Здесь

      а = 4 Ь = −5 с = −1

      Шаг 3 : подставьте соответствующие значения в формулу корней квадратного уравнения, а затем упростите.

      x = −b ± b2−4ac2a = - (- 5) ± (−5) 2−4 (4) (- 1) 2 (4) = 5 ± 25 + 168 = 5 ± 418

      Ответ: Решение 5 ± 418.

      Попробуй! Решить: (x + 3) (x − 5) = - 19

      Ответ: 1 ± i3

      Дискриминант

      Если дано квадратное уравнение в стандартной форме, ax2 + bx + c = 0, где a , b и c - действительные числа и a ≠ 0, то решения могут быть вычислены с использованием формулы корней квадратного уравнения:

      х = −b ± b2−4ac2a

      Как мы видели, решения могут быть рациональными, иррациональными или сложными.Мы можем определить количество и тип решений, изучая дискриминант Выражение внутри радикала квадратной формулы b2−4ac., Выражение внутри радикала b2−4ac. Если значение этого выражения отрицательное, то уравнение имеет два сложных решения. Если дискриминант положительный, то уравнение имеет два действительных решения. А если дискриминант равен 0, то уравнение имеет одно действительное решение, двойной корень.

      Пример 6

      Определите тип и количество решений: 2x2 + x + 3 = 0.

      Решение:

      Начнем с определения a , b и c . Здесь

      а = 2 б = 1 с = 3

      Подставьте эти значения в дискриминант и упростите.

      b2−4ac = (1) 2−4 (2) (3) = 1-24 = −23

      Поскольку дискриминант отрицательный, заключаем, что реальных решений нет. Они сложные.

      Ответ: Два сложных решения.

      Если мы воспользуемся формулой корней квадратного уравнения в предыдущем примере, то обнаружим, что отрицательный подкоренный элемент вводит мнимую единицу, и мы останемся с двумя комплексными решениями.

      x = −b ± b2−4ac2a = - (1) ± −232 (2) = - 1 ± i234 = −14 ± 234i Два комплексных решения

      Примечание : Иррациональные и комплексные решения квадратных уравнений всегда появляются в сопряженных парах.

      Пример 7

      Определите тип и количество решений: 6x2−5x − 1 = 0.

      Решение:

      В этом примере

      а = 6 Ь = −5 с = −1

      Подставьте эти значения в дискриминант и упростите.

      b2−4ac = (- 5) 2−4 (6) (- 1) = 25 + 24 = 49

      Поскольку дискриминант положительный, мы заключаем, что уравнение имеет два действительных решения. Кроме того, поскольку дискриминант представляет собой полный квадрат, мы получаем два рациональных решения.

      Ответ: Два рациональных решения

      Поскольку дискриминант представляет собой полный квадрат, мы могли бы решить предыдущее квадратное уравнение путем факторизации или использования квадратной формулы.

      Решить на множитель: Решите через формулу корней квадратного уравнения:
      6x2−5x − 1 = 0 (6x + 1) (x − 1) = 06x + 1 = 0orx − 1 = 06x = −1x = 1x = −16 x = −b ± b2−4ac2a = - (- 5) ± 492 (6) = 5 ± 712x = 5−712orx = 5 + 712x = −212x = 1212x = −16x = 1

      Учитывая особое условие, когда дискриминант равен 0, мы получаем только одно решение - двойной корень.

      Пример 8

      Определите тип и количество решений: 25x2−20x + 4 = 0.

      Решение:

      Здесь a = 25, b = −20 и c = 4, и мы имеем

      b2−4ac = (- 20) 2−4 (25) (4) = 400−400 = 0

      Поскольку дискриминант равен 0, мы заключаем, что уравнение имеет только одно действительное решение, двойной корень.

      Ответ: Одно рациональное решение

      Так как 0 - это полный квадрат, мы можем решить указанное выше уравнение путем факторизации.

      25x2−20x + 4 = 0 (5x − 2) (5x − 2) = 05x − 2 = 0 или 5x − 2 = 05x = 25x = 2x = 25x = 25

      Здесь 25 - решение, которое встречается дважды; это двойной корень.

      Пример 9

      Определите тип и количество решений: x2−2x − 4 = 0.

      Решение:

      Здесь a = 1, b = −2 и c = −4, и мы имеем

      b2−4ac = (- 2) 2−4 (1) (- 4) = 4 + 16 = 20

      Поскольку дискриминант положительный, можно сделать вывод, что уравнение имеет два действительных решения.Кроме того, поскольку 20 не является полным квадратом, оба решения иррациональны.

      Ответ: Два иррациональных решения.

      Если мы воспользуемся формулой корней квадратного уравнения в предыдущем примере, то обнаружим, что положительное подкоренное выражение в формуле корней квадратного уравнения приводит к двум действительным решениям.

      x = −b ± b2−4ac2a = - (- 2) ± 202 (1) Положительный дискриминант = 2 ± 4 × 52 = 2 ± 252 = 2 (1 ± 5) 21 = 1 ± 5 Два иррациональных решения

      Два реальных решения: 1−5 и 1 + 5. Обратите внимание, что эти решения иррациональны; мы можем приблизить значения на калькуляторе.

      1−5≈ − 1,24 и 1 + 5≈3,24

      Таким образом, если дано любое квадратное уравнение в стандартной форме, ax2 + bx + c = 0, где a , b и c - действительные числа и a and 0, то мы имеем следующее:

      Положительный дискриминант: b2−4ac> 0 Два действительных решения Нулевой дискриминант: b2−4ac = 0 Одно действительное решение Отрицательный дискриминант: b2−4ac <0 Два комплексных решения

      Кроме того, если дискриминант неотрицательный и представляет собой полный квадрат, то решения уравнения рациональны; в противном случае они иррациональны.Как мы увидим, знание количества и типа решений заранее помогает нам определить, какой метод лучше всего подходит для решения квадратного уравнения.

      Попробуй! Определите количество и тип решений: 2x2 = x − 2.

      Ответ: Два сложных решения.

      Основные выводы

      • Мы можем использовать квадратную формулу для решения любого квадратного уравнения в стандартной форме.
      • Чтобы решить любое квадратное уравнение, мы сначала перепишем его в стандартной форме ax2 + bx + c = 0, подставим соответствующие коэффициенты в формулу корней квадратного уравнения, x = −b ± b2−4ac2a, а затем упростим.
      • Мы можем определить количество и тип решений любого квадратного уравнения в стандартной форме, используя дискриминант b2−4ac. Если значение этого выражения отрицательное, то уравнение имеет два сложных решения. Если дискриминант положительный, то уравнение имеет два действительных решения.А если дискриминант равен 0, то уравнение имеет одно действительное решение, двойной корень.
      • Мы можем далее классифицировать реальные решения на рациональные или иррациональные числа. Если дискриминант представляет собой полный квадрат, корни рациональны, и уравнение будет множителем. Если дискриминант не является полным квадратом, корни иррациональны.

      Тематические упражнения

        Часть A: Квадратичная формула

          Определите коэффициенты a , b и c , используемые в квадратной формуле.Не решайте.

          Решите с помощью разложения на множители, а затем решите, используя формулу корней квадратного уравнения.Проверить ответы.

          Решите, извлекая корни, а затем решите, используя формулу корней квадратного уравнения.Проверить ответы.

          Решите, используя формулу корней квадратного уравнения.

          Предположим, что p и q являются ненулевыми целыми числами, и используем формулу корней квадратного уравнения, чтобы найти x .

          Решите по алгебре.

        1. Высота в футах, достигаемая бейсбольным мячом, подбрасываемым вверх со скоростью 48 футов в секунду от земли, определяется выражением h (t) = - 16t2 + 48t, где t представляет время в секундах после подбрасывания мяча. В какое время бейсбол достигает 24 футов? (Округлите до ближайшей десятой секунды.)

        2. Высота в футах снаряда, выпущенного вверх со скоростью 32 фута в секунду с высоты 64 фута, определяется как h (t) = - 16t2 + 32t + 64.В какое время после пуска снаряд попадает в землю? (Округлите до ближайшей десятой секунды.)

        3. Прибыль в долларах от эксплуатации конвейерной линии, производящей индивидуальную униформу каждый день, определяется как P (t) = - 40t2 + 960t − 4000, где t представляет количество часов, в течение которых линия находится в эксплуатации. Определите количество часов, в течение которых сборочная линия должна работать, чтобы получать прибыль в размере 1760 долларов в день.

        4. Производственная компания определила, что дневная выручка R в тысячах долларов определяется как R (n) = 12n − 0,6n2, где n представляет собой количество поддонов с проданным продуктом. Определите количество поддонов, которые необходимо продать, чтобы поддерживать выручку на уровне 60 тысяч долларов в день.

        5. Площадь прямоугольника составляет 10 квадратных дюймов.Если длина на 3 дюйма больше ширины более чем в два раза, то найдите размеры прямоугольника. (Округлите до ближайшей сотой доли дюйма.)

        6. Площадь треугольника 2 квадратных метра. Если основание на 2 метра меньше высоты, найдите основание и высоту. (Округлите до сотых долей метра.)

        7. Для безопасного использования лестницы основание должно располагаться на расстоянии примерно 14 длины лестницы от стены.Если использовать 32-футовую лестницу безопасно, то насколько высоко от здания поднимается ее верх? (Округлите до ближайшей десятой доли фута.)

        8. Длина прямоугольника вдвое больше его ширины. Если диагональ прямоугольника составляет 10 сантиметров, найдите размеры прямоугольника. (Округлите до ближайшей десятой доли сантиметра.)

        9. Предполагая сухие дорожные условия и среднее время реакции, безопасный тормозной путь в футах для определенного автомобиля определяется как d (x) = 120x2 + x, где x представляет собой скорость автомобиля в милях в час.Определите безопасную скорость автомобиля, если вы планируете остановиться на расстоянии 50 футов. (Округлите до ближайшей мили в час.)

        10. Ширина прямоугольного твердого тела на 2,2 сантиметра меньше его длины, а глубина - 10 сантиметров.

          Определите длину и ширину, если общий объем твердого тела равен 268.8 кубических сантиметров.

        11. Представитель компании проехал 25 миль на машине, а затем еще 30 миль на вертолете. Если вертолет разгоняется до 10 миль в час менее чем в два раза быстрее автомобиля, а общая поездка занимает 1 час, то какова средняя скорость автомобиля? (Округлите до ближайшей мили в час.)

        12. Джо может раскрасить типичную комнату за 1.На 5 часов меньше времени, чем у Джеймса. Если Джо и Джеймс могут покрасить 2 комнаты, работая вместе за 8-часовую смену, то сколько времени потребуется Джеймсу, чтобы покрасить одну комнату? (Округлите до ближайшей десятой части часа.)

        Часть B: Дискриминант

          Вычислите дискриминант и используйте его для определения количества и типа решений. Не решайте.

          Найдите ненулевое целое число p , чтобы следующие уравнения имели одно действительное решение.(Подсказка: если дискриминант равен нулю, тогда будет одно реальное решение.)

        Часть C: Обсуждение

        1. Когда мы говорим о квадратном уравнении в стандартной форме ax2 + bx + c = 0, почему необходимо утверждать, что a ≠ 0? Что произойдет, если a равно нулю?

        2. Изучите и обсудите историю квадратной формулы и решений квадратных уравнений.

        3. Решите mx2 + nx + p = 0 для x , заполнив квадрат.

      Ответы

      1. ± 32

      2. ± i63

      3. -1 ± 22

      4. 5 ± 212

      5. 5 ± 332

      6. 16 ± 236i

      7. 15 ± 25i

      8. 2 ± 102

      9. 18 ± 78i

      10. −3 ± 334

      11. 1 ± 33i

      12. 12 ± я

      13. х = −1 ± 1−4p2p

      14. х = −1 ± 1 + 4p2

      15. х = -1p

      16. 0.6 секунд и 2,4 секунды

      17. Длина: 6,22 дюйма; ширина: 1,61 дюйма

      1. −3; два комплексных решения

      2. 16; два рациональных решения

      3. 25; два рациональных решения

      4. −72; два комплексных решения

      5. 9; два рациональных решения

      6. -1; два комплексных решения

      7. 25; два рациональных решения

      Дискриминация

      Дэйв из средней школы Бернема начал нас с того, что показал, что седьмое утверждение никогда не является истинным. 2 = 0 $.2-bx-c = 0 $ также не имеет вещественных корней.

      Джулиан и одноклассники также придумали свой собственный дискриминирующий вопрос

      (13) Деревья с отрицательными дискриминантами способны стоять.

      Ответ:

      НИКОГДА НЕ ВЕРНО
      У них нет настоящих корней.

      Что означает дискриминант 0? - AnswersToAll

      Что это значит, когда дискриминант равен 0?

      Положительный дискриминант указывает, что квадратичная функция имеет два различных решения в виде действительных чисел.Дискриминант, равный нулю, указывает, что у квадратичного решения есть повторяющееся вещественное число. Отрицательный дискриминант указывает, что ни одно из решений не является действительным числом.

      Что вы делаете, когда дискриминант равен 0?

      Дискриминант - это часть под квадратным корнем в формуле корней квадратного уравнения, b²-4ac. Если оно больше 0, уравнение имеет два действительных решения. Если оно меньше 0, реальных решений нет. 2 - 4 a c.Когда дискриминант больше нуля, корни не равны и действительны. Когда дискриминант равен нулю, корни равны и действительны.

      Что произойдет, если у вас отрицательный дискриминант?

      Отрицательный дискриминант В квадратный корень отрицательного числа входит мнимое число i. Это означает, что если у вас отрицательный дискриминант, вы получите два сложных решения. Если оба решения сложные, вы не увидите их на графике.

      Сколько корней будет, если дискриминант отрицательный?

      Это отрицательно, поэтому у этого уравнения есть два комплексных корня.

      Какое значение имеет дискриминант B 2 4ac?

      Что лучше всего объясняет, почему выражение плюс или минус StartRoot b возведено в квадрат минус 4 AC EndRoot?

      Что лучше всего объясняет, почему выражение плюс или минус StartRoot b в квадрате минус 4 a c EndRoot не может быть переписано как b плюс или минус StartRoot отрицательное 4 a c EndRoot на следующем шаге? Квадратный корень из членов, разделенных сложением и вычитанием, не может быть вычислен по отдельности. 2 + bx, свойство вычитания равенства наилучшим образом оправдывает первый шаг.В нем говорится, что когда вы вычитаете одно и то же число в обеих частях уравнения, выражения на обеих сторонах остаются равными.

      Какое значение дискриминанта квадратного уравнения 3 x2 2x?

      какое значение дискриминанта квадратного уравнения –3 = –x2 2x? дискриминант = b2 - 4ac –8 4 8 16.

      Каковы значения B и C в квадратном уравнении?

      Хотя факторинг не всегда может быть успешным, квадратная формула всегда может найти решение.Квадратичная формула использует «a», «b» и «c» от «ax2 + bx + c», где «a», «b» и «c» - это просто числа; они представляют собой «числовые коэффициенты» квадратного уравнения, которые вам дали решить.

      Как мы можем использовать квадратные уравнения в реальной жизни?

      Квадратные уравнения фактически используются в повседневной жизни, например, при вычислении площадей, определении прибыли продукта или формулировании скорости движения объекта. Квадратные уравнения относятся к уравнениям с по крайней мере одной переменной в квадрате, причем наиболее стандартной формой является ax² + bx + c = 0.

      В каких профессиях используются квадратные уравнения?

      Примерами работ, в которых используются квадратные уравнения, являются актуарии, математики, статистики, экономисты, физики и астрономы. В математике квадратное уравнение определяется как полиномиальное уравнение, которое имеет один или несколько членов, а переменные возводятся не выше второй степени.

      Почему все коники - квадратные уравнения?

      Все конические сечения являются квадратичными, поскольку имеют уравнения второй степени.

      Кто изобрел квадратное уравнение?

      Персидский математик IX века Мухаммад ибн Муса аль-Хваризми решал квадратные уравнения алгебраически. Квадратичная формула, охватывающая все случаи, была впервые получена Симоном Стевином в 1594 году. В 1637 году Рене Декарт опубликовал «Геометри», содержащую частные случаи квадратичной формулы в той форме, которую мы знаем сегодня.

      Дискриминант квадратичного

      Для квадратного уравнения дискриминант квадратичного может сказать нам природу корней этого уравнения.

      Квадратное уравнение имеет вид: & nbsp & nbsp ax 2 + bx + c & nbsp = & nbsp 0

      a , b и c & nbsp - рациональные числа, & nbsp a ≠ 0.

      Уравнение такого типа имеет дискриминант: & nbsp & nbsp b 2 - 4 ac .{2} -4ac}} {2a}}

      Что говорит нам Дискриминант

      Если дискриминант квадратичного уравнения оказывается равным нулю, корни / решения уравнения действительны и равны, то есть один корень.

      Если результатом является положительное число, корни действительные и неравные, то есть два разных корня, и если дискриминант меньше нуля, то реальных корней / решений нет.

      Подведем итоги:

      1) & nbsp & nbsp b 2 - 4 ac & nbsp> & nbsp 0 & nbsp & nbsp: & nbsp & nbsp Два отдельных настоящих корня.

      2) & nbsp & nbsp b 2 - 4 ac & nbsp = & nbsp 0 & nbsp & nbsp: & nbsp & nbsp Два равных корня, один корень.

      3) & nbsp & nbsp b 2 - 4 ac & nbsp & nbsp & nbsp: & nbsp & nbsp Настоящих корней нет.

      Напоминание о том, как это выглядит в виде графика.


      Дискриминант квадратичного, примеры

      (1.1)

      Сколько корней имеет уравнение & nbsp & nbsp y & nbsp = & nbsp 2 x 2 + 5 x - 3 & nbsp?

      Решение

      ( ax 2 + bx + c ) & nbsp & nbsp Здесь: & nbsp & nbsp a = 2 & nbsp & nbsp b = 5 & nbsp & nbsp3 58

      => & nbsp b 2 - 4 ac & nbsp = & nbsp 5 2 - ( 4 × 2 × (- 3 ))

      = & nbsp 25 - (- 24 )

      = & nbsp 25 + 24 & nbsp = & nbsp 49

      49 & nbsp> & nbsp 0 , & nbsp, так что уравнение & nbsp y & nbsp = & nbsp 2 x 2 + 5 x - root & nbsp real has nbsp .

      Фактически мы можем решить уравнение здесь, разложив на множители, чтобы получить 2 корня, если это необходимо.

      & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp 2 x 2 + 5 x -3 = 0

      => & nbsp ( 2 x - 1 ) ( x + 3 ) = 0 & nbsp & nbsp, & nbsp & nbsp x = {\ frac {1} {2} } & nbsp & nbsp & nbsp x = - 3

      (1.2)

      Найдите значение & nbspm & nbsp, если корни & nbsp & nbsp y & nbsp = & nbsp 9 x 2 - 12 x + m & nbsp равны? & Nbsp

      Решение

      ( ax 2 + bx + c ) & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp a = 9 & nbsp & nbsp b = 12 & nbsp & nbsp

      = c m

      => & nbsp b 2 - 4 ac & nbsp = & nbsp 12 2 - ( 4 × 9 × м)

      = & nbsp 144 - 36 м

      Поскольку корни равны, & nbsp 144 - 36 m & nbsp должно равняться 0 .

      144 - 36 m & nbsp = & nbsp 0 ,

      144 = 36 м,

      \ bf {\ frac {144} {36}} = m & nbsp & nbsp, & nbsp & nbsp m = 4

      (1,3)

      Учитывая, что & nbspk & nbsp - действительное число, покажите, что корни уравнения

      k x 2 + 5 x + 5 & nbsp = & nbsp k & nbsp & nbsp всегда реальны.

      Решение

      к x 2 + 5 x + 5 & nbsp = & nbsp k & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp может стать & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp k

      5 x 2 902 x 2 9043 + 5 - k & nbsp = & nbsp 0

      Обработайте & nbsp 5 - k & nbspas & nbsp & nbsp c & nbsp в квадратном уравнении.

      ( топор 2 + bx + c )

      a = k & nbsp & nbsp b = 5 & nbsp & nbsp c = 5 - k

      => & nbsp b 2 - 4 ac & nbsp = & nbsp 5 2 - ( 4 × k × ( 5 - k))

      = & nbsp 25 - 4 k ( 5 - k)

      = & nbsp 25 - 20 k - 4 k 2

      = & nbsp 4 к 2 - 20 к + 25

      = & nbsp ( 2 k - 5 ) ( 2 k - 5 )

      => ( 2 k - 5 ) & nbsp≥ & nbsp 0

      Поскольку & nbspk & nbsp является действительным числом, любой & nbsp ( 2 k - 5 ) & nbsp всегда будет положительным или нулевым, поэтому корни или корень в этом случае действительно будут действительными.

      Добавить комментарий

      Ваш адрес email не будет опубликован.

      2022 © Все права защищены.