Что такое корень числа: § Что такое квадратный корень

Содержание

КОРЕНЬ ЧИСЛА — это… Что такое КОРЕНЬ ЧИСЛА?

  • Корень квадратный — Квадратный корень из (корень 2 й степени)  это решение уравнения вида . Несмотря на то, что в первую очередь под и подразумеваются числа, в различных рассмотрениях они могут быть математическими объектами различной природы, в том числе такими как …   Википедия

  • КОРЕНЬ — КОРЕНЬ, рн , мн. рни, рней, муж. 1. Подземная часть растения, служащая для укрепления его в почве и всасывания из неё воды и питательных веществ. Главный, боковой, придаточный к. Воздушные корни (у лиан и нек рых других растенийвысоко над землёй …   Толковый словарь Ожегова

  • КОРЕНЬ — (математическое), 1) Корень степени n из числа a Число, n я степень которого равна заданному числу a (обозначается ; a называется подкоренным выражением). Действие нахождения корня называется извлечением корня. 2) Решение уравнения значение… …   Современная энциклопедия

  • Корень (матем. ) — КОРЕНЬ (математическое), 1) Корень степени n из числа a число, n я степень которого равна заданному числу a (обозначается ; a называется подкоренным выражением). Действие нахождения корня называется извлечением корня. 2) Решение уравнения… …   Иллюстрированный энциклопедический словарь

  • КОРЕНЬ КУБИЧЕСКИЙ — (обозначение 3Ц), число, которое необходимо дважды умножить на само себя для получения заданного числа. Например, кубический корень из 64 равняется 4, поскольку 4x4x4 = 64. В этом случае записывают: 3Ц64 = 4. В терминах алгебры кубический корень… …   Научно-технический энциклопедический словарь

  • КОРЕНЬ — в математике ..1) корень степени n из числа a всякое число x (обозначаемое , a называется подкоренным выражением), n я степень которого равна a (). Действие нахождения корня называется извлечением корня2)] Корень уравнения число, которое после… …   Большой Энциклопедический словарь

  • КОРЕНЬ КВАДРАТНЫЙ — КОРЕНЬ КВАДРАТНЫЙ, число, обозначаемое как х, которое при умножении на само себя дает число х. Квадратный КОРЕНЬ из 4 равен 2, следовательно Ц4 = 2; Ц2 = 1,4142 (с точностью до четырех разрядов десятичной дроби). Отрицательные числа имеют… …   Научно-технический энциклопедический словарь

  • КОРЕНЬ (в математике) — КОРЕНЬ, в математике 1) корень степени n из числа a всякое число x (обозначаемое , a называется подкоренным выражением), n я степень которого равна a (). Действие нахождения корня называется извлечением корня. 2) Корень уравнения число, которое… …   Энциклопедический словарь

  • Корень из числа — КОРЕНЬ, рня, мн. рни, рней, м. Толковый словарь Ожегова. С.И. Ожегов, Н.Ю. Шведова. 1949 1992 …   Толковый словарь Ожегова

  • Корень (в математике) — Корень в математике, 1) К. степени n из числа а ≈ число х (обозначаемое ), n я степень которого равна а (то есть xn = а). Действие нахождения К. называют извлечением корня. При а ¹ 0 существует n различных значений К. (вообще говоря,… …   Большая советская энциклопедия

  • Правила квадратного корня — Квадратный Корень

    Применение операции корня к числам

    Квадратный корень из числа  — это такое число, квадрат которого (результат умножения на себя) равен , то есть решение уравнения относительно переменной . [1][2] Часто под этим понятием подразумевают более узкое — т. н. арифметический квадратный корень — неотрицательное число.

    Рациональные числа

    Корень из рационального числа является рациональным числом, только если и (после сокращения общих множителей) являются квадратами натуральных чисел.

    Непрерывная дробь
    корня из рационального числа всегда является периодической (возможно с
    предпериодом) что позволяет с одной стороны легко вычислять хорошие
    рациональные приближения к ним с помощью линейных рекуррент, а с другой
    стороны ограничивает точность приближения: , где зависит от [3][4]. Верно и обратное: любая периодическая цепная дробь является квадратичной иррациональностью.

    Действительные числа

    При натуральных уравнение
    не всегда разрешимо в рациональных числах, что и привело к появлению
    новых числовых полей. Древнейшее из таких расширений — поле вещественных
    (действительных) чисел.

    Теорема. Для любого положительного числа a существует ровно два вещественных корня, которые равны по модулю и противоположны по знаку.[5]

    Неотрицательный квадратный корень из положительного числа называется арифметическим квадратным корнем и обозначается с использованием знака радикала .[6]

    Комплексные числа

    Над полем комплексных чисел решений всегда два, отличающихся только
    знаком (за исключением квадратного корня из нуля). Корень из
    комплексного числа часто обозначают как , однако использовать это обозначение нужно осторожно. Распространённая ошибка:

    Для извлечения квадратного корня из комплексного числа удобно
    использовать экспоненциальную форму записи комплексного числа: если

    ,

    то (см. Формула Муавра)

    ,

    где корень из модуля понимается в смысле арифметического значения, а k
    может принимать значения k=0 и k=1, таким образом в итоге в ответе
    получаются два различных результата.

    Вещественный анализ

    График функции

    Квадратным корнем называют также функцию вещественной переменной , которая каждому ставит в соответствие арифметическое значение корня.[7] Эта функция является частным случаем степенной функции с . Эта функция является гладкой при , в нуле же она непрерывна справа, но не дифференцируема.

    Обобщения

    Квадратные корни вводятся как решения уравнений вида и для других объектов: матриц[8], функций[9], операторов[10] и т. п. В качестве операции при этом могут использоваться достаточно произвольные мультипликативные операции, например, суперпозиция.

    В алгебре применяется следующее формальное определение: Пусть  — группоид и . Элемент называется квадратным корнем из если .

    Квадратный корень в элементарной геометрии

    Квадратные корни тесно связаны с элементарной геометрией: если дан отрезок длины 1, то с помощью циркуля и линейки
    можно построить те и только те отрезки, длина которых записывается
    выражениями, содержащими целые числа, знаки четырёх действий арифметики, квадратные корни и ничего сверх того. [11]

    Квадратный корень в информатике

    Во многих языках программирования функционального уровня (а также языках разметки типа LaTeX) функция квадратного корня обозначается как sqrt (от англ. square root «квадратный корень»).

    Алгоритмы нахождения квадратного корня

    Нахождение или вычисление квадратного корня заданного числа называется извлечением (квадратного) корня.

    Разложение в ряд Тейлора

    при .

    Арифметическое извлечение квадратного корня

    Для квадратов чисел верны следующие равенства:

    и так далее.

    То есть, узнать целую часть
    квадратного корня числа можно, вычитая из него все нечётные числа по
    порядку, пока остаток не станет меньше следующего вычитаемого числа или
    равен нулю, и посчитав количество выполненных действий. Например, так:

    Выполнено 3 действия, квадратный корень числа 9 равен 3.

    Недостатком такого способа является то, что если извлекаемый корень
    не является целым числом, то можно узнать только его целую часть, но не
    точнее. В то же время такой способ вполне доступен детям, решающим
    простейшие математические задачи, требующие извлечения квадратного
    корня.

    Грубая оценка

    Многие алгоритмы вычисления квадратных корней из положительного действительного числа S
    требуют некоторого начального значения. Если начальное значение слишком
    далеко от настоящего значения корня, вычисления замедляются. Поэтому
    полезно иметь грубую оценку, которая может быть очень неточна, но легко
    вычисляется. Если S ≥ 1, пусть D будет числом цифр S слева от десятичной запятой. Если S < 1, пусть D будет числом нулей, идущих подряд, справа от десятичной запятой, взятое со знаком минус. Тогда грубая оценка выглядит так:

    Если D нечётно, D = 2n + 1, тогда используем
    Если D чётно, D = 2n + 2, тогда используем

    Два и шесть используются потому, что и

    При работе в двоичной системе (как внутри компьютеров), следует использовать другую оценку (здесь D это число двоичных цифр).

    Геометрическое извлечение квадратного корня

    В частности, если , а , то [12]

    Итерационный аналитический алгоритм

    Основная статья: Итерационная формула Герона

    тогда

    Столбиком

    Этот способ позволяет найти приближённое значение корня из любого
    действительного числа с любой наперёд заданной точностью. Такой способ
    может быть освоен даже школьником. К недостаткам способа можно отнести
    увеличивающуюся сложность вычисления с увеличением количества найденных
    цифр.

    Для ручного извлечения корня применяется запись, похожая на деление столбиком.
    Выписывается число, корень которого ищем. Справа от него будем
    постепенно получать цифры искомого корня. Пусть извлекается корень из
    числа
    с конечным числом знаков после запятой. Для начала мысленно или метками
    разобьём число N на группы по две цифры слева и справа от десятичной
    точки. При необходимости, группы дополняются нулями — целая часть
    дополняется слева, дробная справа. Так 31234.567 можно представить, как
    03 12 34 . 56 70. В отличие от деления снос производится такими группами
    по 2 цифры.

    1. Записать число (в примере — 69696) на листке.
    2. Найти , квадрат которого меньше или равен группе старших разрядов числа (старшая группа — самая левая не равная нулю), а квадрат больше группы старших разрядов числа. Записать найденное справа от N (это очередная цифра искомого корня). (На первом шаге примера , а ).
    3. Записать квадрат под старшей группой разрядов. Провести вычитание из старшей группы разрядов выписанного квадрата числа и записать результат вычитания под ними.
    4. Слева от этого результата вычитания провести вертикальную черту и
      слева от черты записать число равное уже найденным цифрам результата (мы
      их выписываем справа от N) умноженное на 20. Назовём это число . (На первом шаге примера это число просто есть , на втором ).
    5. Произвести снос следующей группы цифр, то есть дописать следующие две цифры числа справа от результата вычитания. Назовем число, полученное соединением результата вычитания и очередной группы из двух цифр. (На первом шаге примера это число , на втором ). Если сносится первая группа после десятичной точки числа , то нужно поставить точку справа от уже найденных цифр искомого корня.
    6. Теперь нужно найти такое , что меньше или равно , но больше, чем . Записать найденное справа от N, как очередную цифру искомого корня. Вполне возможно, что
      окажется равным нулю. Это ничего не меняет — записываем 0 справа от уже
      найденных цифр корня. (На первом шаге примера это число 6, так как , но ) Если число найденных цифр уже удовлетворяет искомой точности прекращаем процесс вычисления.
    7. Записать число под . Провести вычитание столбиком числа из и записать результат вычитания под ними. Перейти к шагу 4.

    Наглядное описание алгоритма:

    МНИМ.КОРЕНЬ (функция МНИМ.КОРЕНЬ) — Служба поддержки Office

    В этой статье описаны синтаксис формулы и использование МВАШQRT
     в Microsoft Excel.

    Описание

    Возвращает значение квадратного корня из комплексного числа, представленного в текстовом формате x + yi или x + yj.

    Синтаксис

    МНИМ.КОРЕНЬ(компл_число)

    Аргументы функции МНИМ.КОРЕНЬ описаны ниже.


    • Компл_число    — обязательный аргумент. Комплексное число, из которого требуется извлечь квадратный корень.

    Замечания

    • Для преобразования коэффициентов при действительной и мнимой части в комплексное число используйте функцию КОМПЛЕКСН.

    • Квадратный корень из комплексного числа определяется следующим образом:

      где

      и

      и

    Пример

    Скопируйте образец данных из следующей таблицы и вставьте их в ячейку A1 нового листа Excel. Чтобы отобразить результаты формул, выделите их и нажмите клавишу F2, а затем — клавишу ВВОД. При необходимости измените ширину столбцов, чтобы видеть все данные.



    Формула


    Описание

    =МНИМ. КОРЕНЬ(«1+i»)

    Квадратный корень комплексного числа 1+i

    1,09868411346781+0,455089860562227i

    Как вычислить квадратный корень числа в Excel

    Microfost Excel – чрезвычайно мощный инструмент, который можно использовать для выполнения сложных вычислений. Однако многие случайные пользователи используют Excel только для основных нужд таблицы, не используя его для выполнения даже простейших математических операций. Но бывают ситуации, когда вам приходится проводить расчеты в Excel, чтобы ускорить процесс. Одним из наиболее распространенных расчетов, которые приходится выполнять пользователям Excel, является определение квадратного корня из числа.

    Имея это в виду, мы создали статью с пятью различными методами, которые помогут вам вычислить квадратный корень числа в Excel. Все они приведут к одному и тому же результату, но некоторые из них легче, чем другие. Приведенные ниже методы упорядочены по сложности, поэтому подумайте о том, чтобы придерживаться первых трех методов, если вы не заядлый пользователь Excel.

    Давай начнем!

    Метод 1: вычисление квадратного корня с использованием функции SQRT

    Использование функции КОРЕНЬ – один из самых простых способов узнать квадратный корень числа. Его чрезвычайно легко использовать, поскольку все, что вам нужно сделать, это передать номер (или ссылку) ячейки, содержащей номер, в функцию SQRT.

    Синтаксис этого метода:

    КОРЕНЬ (число)

    Примечание: число является заполнителем для фактического числа или для ссылки на ячейку, которая содержит число.

    Пример

    Для простоты предположим, что мы хотим найти квадратный корень из числа 9 (расположенного на A2). Чтобы сделать это с помощью функции SQRT, все, что нам нужно сделать, это вставить следующую формулу в ячейку результата (B2): ‘= SQRT (A2)’.

    Использование функции КОРЕНЬ

    Примечание: имейте в виду, что мы также могли использовать номер напрямую вместо ссылки на ячейку – = SQRT (9)

    Однако есть одна небольшая проблема при использовании функции SQRT напрямую – если вы попытаетесь передать отрицательное число, будет отображаться # ЧИСЛО! ошибка вместо фактического результата.

    Пример # ЧИСЛО! ошибка

    Чтобы избежать #NUM! ошибок при использовании функции SQRT рекомендуется использовать функцию ABS вместе с функцией SQRT. Функция ABS преобразует число в абсолютное число. В нашем случае он преобразует отрицательные числа в положительные. Вот пример:

    Пример использования функции ABS

    Метод 2: вычисление квадратного корня с использованием степенной функции

    Использование функции СТЕПЕНЬ – еще один способ вычислить квадратный корень числа в Excel. Однако она работает несколько иначе, чем функция SQRT. Используя функцию СТЕПЕНЬ, мы можем найти квадратный корень из определенного числа, возведя это число в N-ю степень.

    Вот синтаксис метода:

    МОЩНОСТЬ (число; мощность)

    Примечание: число – это местозаполнитель для действительного числа или ссылки на ячейку, а степень – это показатель степени для возведения числа в эту степень.

    Учитывая тот факт, что мы хотим найти квадратный корень из числа, мы можем использовать атрибут мощности как «1/2». (1/2) в ячейке результата даст нам число квадратного корня.

    Пример использования оператора экспоненты для нахождения квадратного корня из числа

    Метод 4: использование скриптов VBA для нахождения квадратного корня числа

    Этот метод является немного продвинутым, поэтому, если вам неудобно работать со сценариями VBA, подумайте о том, чтобы придерживаться первых трех методов. Четвертый способ найти квадратный корень из числа – использовать коды VBA.

    Чтобы справиться с этим конкретным сценарием, есть два разных кода, которые вы можете использовать для возврата квадратного корня из числа. Продолжайте читать ниже коды, а также инструкции по их обеспечению.

    Код VBA 1: возврат квадратного корня при выделении ячейки

    Всякий раз, когда вы запускаете этот код VBA, он проверяет значение выбранной ячейки. Если это значение является числом, он будет напрямую вычислять квадратный корень из этого числа и отображать его в окне сообщения.

    Но имейте в виду, что этот код будет работать только до тех пор, пока вы не выберете более одной ячейки. (1/2) MsgBox “Квадратный корень” & sq & “равен” & sqr, vbOKOnly, “Значение квадратного корня” Else MsgBox “Пожалуйста, введите число.”, VbOKOnly, “Error” End If End Sub Как вставить и запустить код VBA в Excel

    Если вы решите использовать код VBA, вы можете выбрать один из двух представленных выше – выберите тот, который имеет больше смысла для того, что вы пытаетесь сделать.

    Но чтобы использовать этот код, вам нужно знать, как его сначала вставить и запустить. Вот краткое руководство по всему этому на случай, если вам понадобится дальнейшее руководство:

    1. Откройте электронную таблицу, к которой вы хотите применить код VBA, и нажмите Alt + F11, чтобы открыть редактор Visual Basic (VBE).
    2. Как только вы войдете в редактор Visual Basic, щелкните правой кнопкой мыши электронную таблицу, на которую вы нацеливаетесь, и выберите «Вставить»> «Модуль» (используя контекстное меню). Модуль.” width=”488″ height=”436″ srcset=”https://cdn.appuals.com/wp-content/uploads/2018/10/module. jpg 488w, https://cdn.appuals.com/wp-content/uploads/2018/10/module-150×134.jpg 150w, https://cdn.appuals.com/wp-content/uploads/2018/10/module-300×268.jpg 300w” sizes=”(max-width: 488px) 100vw, 488px”/>Щелкните таблицу правой кнопкой мыши и выберите Вставить> Модуль.
    3. Во вновь открытом модуле скопируйте один из кодов VBA, которые мы показали выше.Вставка кода VBA
    4. После того, как код был вставлен. нажмите Ctrl + S, чтобы сохранить изменения. Затем выберите место для измененного документа Excel и нажмите кнопку «Сохранить».Сохранение измененного документа Excel
    5. Если появится сообщение о том, что проект VB нельзя сохранить как книгу без макросов, нажмите «Нет» в ответ на запрос.Выбор типа файла с поддержкой макросов
    6. В разделе «Тип файла» установите для типа файла значение «Книга с поддержкой макросов Excel».Установка типа файла в качестве книги Excel с поддержкой макросов
    7. После сохранения кода нажмите Alt + Q, чтобы закрыть редактор VBA и вернуться в свою книгу.
    8. Теперь, чтобы открыть код VBA, который вы создали ранее, нажмите Alt + F8, чтобы открыть диалоговое окно Macro. Как только вы попадете туда, выберите макрос, который вы хотите запустить, и нажмите кнопку «Выполнить».Запуск кода VBA, который мы создали ранее
    9. Через некоторое время вы увидите результат своего кода VBA.Результат кода VBA 1

    Метод 5: использование Power Query для преобразования чисел в квадратные корни

    Это самый продвинутый метод из всех, но у этой стратегии есть огромное преимущество – она ​​позволяет преобразовывать несколько чисел в их квадратные корни.

    Создание мощного запроса, способного сделать это, – это небольшая работа, но она сэкономит вам много времени, если у вас есть много чисел, которые необходимо преобразовать в квадратные корни.

    Еще одним большим преимуществом этого мощного запроса является то, что вы получите динамический метод – это означает, что каждый раз, когда вы вводите новое значение в свою таблицу, он автоматически возвращает квадратный корень из этого числа.

    Если вы решили создать запрос мощности, способный сделать это, следуйте приведенным ниже инструкциям:

    1. Сначала выберите любую ячейку в таблице и перейдите на ленту вверху, чтобы выбрать «Данные»> «Получить и преобразовать данные», затем нажмите «Из таблицы».Выделив любую ячейку, перейдите к Data и нажмите From Table / Range (в разделе Get & Transform Data).
    2. Как только вы щелкнете по нему, Excel откроет мощный редактор запросов, содержащий вашу таблицу. Нажмите ОК, чтобы подтвердить создание вашей таблицы.Создание таблицы из ваших чисел
    3. В редакторе Power Query перейдите на ленту вверху и щелкните вкладку «Добавить столбец». Затем нажмите Custom Column.Перейдите в Добавить столбец и нажмите Пользовательский столбец.
    4. Это откроет новое окно Custom Column. Как только вы доберетесь туда, введите квадратный корень под именем нового столбца. Затем спуститесь вниз и вставьте следующую формулу в поле Формула настраиваемого столбца: = Number. {2n+1}} \right) \\ \end{align}\]

      Мы будем использовать эти свойства на всю катушку в третьей части урока. А пока начнём с более простых вещей.

      1. Корни из точных степеней

      При работе с корнями многие ученики допускают одну и ту же ошибку. Они пытаются подменить чёткие правила алгебры интуитивными размышлениями. И на первый взгляд всё выглядит хорошо. Взгляните на примеры:

      Во всех трёх случаях мы видим, что под корнем стоят точные квадраты. Их можно переписать так:

      Может показаться, что для упрощения выражения достаточно убрать степень и знак корня. На практике это не так:

      Из третьей строки видно, что просто убрать степень и корень с отрицательного основания нельзя, ведь корень не может быть отрицательным! Вторая строка объясняет нам, что именно происходит: квадрат делает число под корнем положительным, а дальше мы извлекаем этот самый корень и вновь получаем положительное число. В итоге строки 1 и 2 ведут к извлечению корня из одного и того же числа — 64.

      Вывод?

      1.1. Корень из точного квадрата

      А вывод такой: корень из квадрата не меняет положительные числа, а отрицательные меняет на противоположные. Это в точности совпадает с определением модуля:

      Для удобства дальнейших размышлений предлагаю взять на вооружение вот такое определение модуля:

      Это определение чрезвычайно полезно для решения сложных задач с параметрами. Об этом как-нибудь в следующий раз. А пока давайте потренируемся:

      Опыт моих учеников: поначалу довольно непривычно выписывать эти множители (1, 0 и −1), но затем человек привыкает и пишет всё на автомате. А затем и вовсе перестаёт писать — всё происходит в его голове, но навык добавления множителей остаётся (и очень пригодится, когда мы считаем коэффициенты многочленов).

      Потренируйтесь самостоятельно:

      Задание. Найдите значение выражения:

      [Показать ответы]

      Отдельное внимания заслуживают двойные корни, вложенные друг в друга:

      Для них замена корня модулем тоже работает, но возникает вопрос: как корректно раскрыть модуль? Придётся сравнивать корни:

      Откуда такое смелое утверждение во второй строке? Существует два способа доказать неравенство в красных скобках:

      • 1. Использовать свойства корней;
      • 2.Составить цепочку неравенств.

      Я приведу оба:

      Сравнение корней — отдельная серьёзная тема. Ей посвящён целый урок. Поэтому давайте просто решим второе задание:

      Задание. Вычислите значение выражения:

      [показать ответ]

      1.2. Корень из чётной степени

      Идём дальше. Вновь запишем нашу волшебную формулу:

      Капитан очевидность как бы намекает: эта формула верна не только для квадратов, но и для всех чётных степеней:

      Другими словами, корень из любой чётной степени понижает эту степень ровно в два раза, но взамен навешивает на неё модуль! Рассмотрим примеры:

      Обратите внимание на последнюю строку: изначально под корнем стоит довольно громоздкое число. Вычислять его напролом — возводить в квадрат, а затем извлекать корень — безумие. Но формула понижения степени редуцирует задачу до устной — отличная экономия времени на экзамене.:)

      Попробуйте сами:

      Задание 2. Найдите значение выражения:

      [Показать ответы]

      Вывод: если видите корень из степени, то смело понижайте степень вдвое, убирайте корень, но взамен ставьте модуль. Всегда. Обязательно. Ок? Переходим ко второй части урока.

      2. Корни из произведения и частного

      Перед тем как давать какие-либо новый формулы, напомню важный факт. Корень из суммы не равен сумме корней:

      Иначе мы бы получили вот такие бредовые выкладки:

      Вроде бы, капитаноочевидно, но многие даже в старших классах допускают такие ошибки.

      А теперь разберём ещё два свойства корней.

      2.1. Умножение и деление корней

      Корни можно умножать и делить. Правила просты:

      Примеры:

      Попробуйте сами:

      Задание 3. Найдите значение выражения:

      [показать ответы]

      Как видите, с помощью формул мы разбиваем сложный корень на несколько простых.

      Мы знаем, то все формулы работают как слева-направо, так и справа-налево, поэтому корни можно «склеивать». При этом новый корень может легко вычисляться, хотя исходные части — не вычисляются вообще. Например:

      Попробуйте повторить этот трюк:

      Задание 4. Найдите значение выражения:

      [показать ответы]

      2.

      2. Проблемы с областью определения

      Но есть одна тонкость. Взгляните, например, на формулу произведения корней:

      Напомню: знак радикала обозначает арифметический квадратный корень, который извлекается только из неотрицательных чисел и сам является числом неотрицательным.

      С левой стороны от знака равенства стоит один корень, а справа — целых два. Поэтому области определения левой и правой части этого равенства различны:

      В чём конкретно состоит различие?

      В первой строке мы видим произведение, поэтому неравенство (1) верно всякий раз, когда знаки множителей совпадают. В частности, оба множителя могут быть отрицательными, но их произведение всё равно будет положительным.

      Вторая строка — система из двух неравенств, и здесь отрицательные числа нас уже не устроят. Вывод:

      Красным я выделил ситуацию, которая допустима для корня из произведения, но становится недопустимой для произведения корней.

      Поскольку любое равенство определено лишь тогда, когда определена и левая, и правая его части, дополним исходные правила специальными требованиями:

      И вот в таком виде их уже можно использовать — везде и всегда!

      Может показаться, что эти ограничения несущественны. Или искусственны. Чуть выше мы никак их не учитывали и всё прекрасно посчитали. Поэтому вопрос: когда ограничения области определения становятся существенным?

      Ответ: когда под корнями стоят не конкретные числа, а переменные. К примеру, пусть даны числа:

      Очевидно, что произведение двух отрицательных чисел будет положительным. И хотя корень из произведения будет определён, извлекать корни из отдельных множителей нельзя:

      Значит, нужно сделать так, чтобы множители под корнем стали положительными. И тут нам на помощь приходит старое доброе число −1:

      Добавление минусов к каждому из двух множителей нисколько не повлияло на произведение, но привело к возникновению двух новых множителей, каждый из которых уже точно положителен:

      Помните об этом преобразовании, когда сталкиваетесь с произведением отрицательных выражений под знаком корня. Источником такой отрицательности могут быть условия задачи, либо следствия из области определения (такое часто встречается в логарифмических уравнениях и неравенствах, которые изучаются в 10—11 классах).

      Ну а мы немного потренируемся и пойдём к третьей части урока — работе с переменными.

      Задание 5. Найдите значение выражения:

      [показать ответы]

      Переходим к самому весёлому.:)

      3. Работа с переменными

      Если не считать определения, то мы знаем о корнях две вещи. Во-первых, корни понижают степени, но добавляют модули:

      Во-вторых, корни можно умножать и делить. Но не всегда:

      До сих пор мы тренировались лишь на конкретных числах. И многие могут удивляться: зачем все эти рассуждения про модули и ограничения?

      Сейчас мы заменим числа буквами — и задача резко усложнится. Или не усложнится — если вы внимательно изучите то, что написано дальше.:)

      3.1. Раскрытие модуля через свойства степеней

      Начнём с простого. Мы уже знаем, как избавляться от точной степени:

      Попробуем применить эту формулу к двум различным выражениям:

      В первой строке мы без труда раскрыли модуль, поскольку знаем, что число под модулем отрицательно. Затем посчитали — получили ответ.

      Но как раскрыть модуль во второй строке? Ведь правила раскрытия будут меняться в зависимости от того, какое значение принимает переменная. И если никаких дополнительных ограничений на переменную нет, то модуль так и останется нераскрытым. Взгляните:

      Замените выражение тождественно равным, не содержащим знака корня:

      Из приведённых примеров видно:

      • В строках (2) и (4) мы можем раскрыть модуль, ничего не зная о переменной;
      • В строках (1) и (3) раскрыть модуль не удалось.

      Почему? Чётные степени в строках (2) и (4) при любом значении переменной будут положительным числом или нулём. Поэтому модуль однозначно раскрывается со знаком «плюс».

      Нечётная степень в строках (1) и (3) таким свойством не обладает: она может оказаться как положительным числом, так и отрицательным. Поэтому модуль раскрыть нельзя.

      Попробуйте сами:

      Задание. Замените выражение тождественно равным, не содержащим знака корня:

      [показать ответ]

      Чётные степени всегда неотрицательны, нечётные степени могут принимать любой знак:

      Тем не менее, модуль нечётной степени тоже можно раскрыть. Если в задаче есть дополнительные условия.

      3.2. Учёт дополнительных ограничений

      Зачастую в самом условии задачи содержатся ограничения на переменную, которые помогают однозначно раскрыть модуль. Пример:

      Упростите выражение:

      Работаем по тем правилам, которые изучали выше:

      Обратите внимание: в строке (2) чётные степени под корнем дают три неотрицательных числа, поэтому корень можно разбить на три изолированных множителя — область определения при этом не поменяется; затем в строке (3) мы видим чётную степень под модулем и раскрываем его.

      Ещё раз запишем результат и дополним его исходными условиями:

      В первом случае выражение под модулем положительно или ноль, поэтому модуль однозначно раскрывается со знаком «плюс». Во втором — отрицательно или ноль, поэтому модуль раскрывается со знаком «минус»:

      Возможно, у вас возникает вопрос: почему мы пишем множитель 1 или −1, но не рассматриваем отдельно множитель 0? В этом фишка модуля:

      Таким образом, в нуле модуль можно раскрывать любым удобным способом.

      Попробуйте самостоятельно:

      Задание. Упростите выражение:

      [показать ответ]

      Это были весьма примитивные выражения, сводящиеся к раскрытию модуля. На них мы отработали важный новый навык. Теперь воспользуемся этим навыком для решения более интересных задач.

      3.3. Упрощение выражений

      Последний и самый интересный раздел этого урока.

      Откуда берутся дополнительные ограничения на переменные? Существует ровно два источника таких ограничений:

      • 1.Условие задачи. Например, если переменная — это длина отрезка на чертеже, то можно без ущерба для здоровья полагать, что она неотрицательна (а если всё-таки отрицательна, то у вас неправильный чертёж).
      • 2.Неявные следствия из исходного выражения / уравнения / неравенства. Тут всё намного интереснее: анализ следствий из исходного условия — увлекательный процесс, доступный лишь хорошо подготовленным ученикам.

      Начнём с первого пункта — ограничений, явно указанных в условии задачи. Примеры:

      Упростите выражение:

      С первым выражением всё просто:

      Со вторым уже интереснее. Заметим, что в первом числителе стоит формула сокращённого умножения, а дробь под корнем гарантированно имеет неотрицательный числитель и знаменатель:

      Вспомним исходные ограничения:

      И раскроем модули:

      Как видите, нам удалось избавиться не только от модулей, но и от дробей.:)

      Обратите внимание

      Материал, представленный дальше, относится скорее к следующему уроку — «Внесение и вынесение множителей из-под знака корня». Его изучение прямо сейчас не является обязательным, но может оказаться весьма полезным для сильных учеников.

      Наконец, разберёмся с неявными ограничениями. Ещё раз запишем самую первую формулу:

      Пусть известно, что подмодульное выражение неотрицательно. Тогда модуль можно убрать:

      С отрицательными величинами тоже можно провернуть такой трюк:

      Но любое равенство работает как слева-направо, так и справа-налево. Следовательно, если нам известен знак переменной, мы можем внести её под знак корня:

      Это замечание позволит упрощать выражения, которые неподготовленному ученику покажутся неприступными.

      Остаётся лишь один вопрос: где взять знак переменной? Ответ: ограничения на переменную часто скрыты в области определения. Например:

      Упростите выражения:

      Решение:

      В первой строке мы видим корень, поэтому выпишем область определения. Это даст нам ограничения на переменную и поможет внести её под знак корня:

      То же самое со вторым выражением:

      В итоге мы получили выражение, тождественно равное нулю. Однако помните: это равенство сохраняется только для отрицательных значений переменной! Для положительных значений исходное выражение вообще не определено.

      Операция, которую мы только что провернули, как раз и называется внесением переменной под знак радикала.

      В заключение хотел бы рассмотреть типичную ситуацию для сложных алгебраических задач, когда под корнем стоят, на первый взгляд, противоположные числа.

      Упростите выражение:

      Заметим, что самый первый корень накладывает жёсткие ограничения на переменную:

      Под остальными корнями стоят неотрицательные выражения, поэтому дальше всё просто:

      Наличие неявного ограничения позволило нам раскрыть модуль даже у нечётной степени. Обратите внимание на этот переход:

      Как мы помним из краткой вводной, минусы можно выносить (и вносить) из основания нечётной степени. Это можно сделать как после раскрытия модуля, так и в самом начале — прямо под корнем:

      Красным я отметил одинаковые выражения, стоящие под корнем и в основании степени. Именно такая форма записи (а не игра с минусами) является предпочтительной, например, в логарифмических уравнениях и неравенствах.

      Но это тема совсем другого урока. А на сегодня хватит.:)

      Смотрите также:

      1. Умножение корней n-й степени
      2. Корень степени N
      3. Тест к уроку «Площади многоугольников на координатной сетке» (средний)
      4. Задача B3 — работа с графиками
      5. Пробный ЕГЭ 2012 от 7 декабря. Вариант 8 (без производной)
      6. Как решать биквадратное уравнение

      Иррациональные числа: Корень из двух


      Несложно заметить: число √2 встречается там, где речь идёт о квадратах или удвоении площади. И где же это происходит? Начнём, пожалуй, с вещей, которые ежедневно попадают нам в руки. Таких, как бумага в принтере.


      Формат бумаги — стандартизованный размер бумажного листа. Все страны мира, кроме Канады и США, пользуются международным стандартом ISO 216. Все форматы бумаги ISO имеют одно и то же соотношение сторон, равное 1 ÷ √2, так называемому отношению Лихтенберга (немецкий учёный Георг Лихтенберг в 1768 году первый заметил преимущества использования бумажного листа с таким отношением сторон).

      Интересно следующее: поскольку отношение большей стороны к меньшей постоянно, при последовательном разрезании листа А0 на меньшие форматы левый нижний край, правый верхний и точки, в которых сходятся три разреза, согласно теореме Фалеса, будут лежать на одной прямой.


      Этот формат был создан в 1975 году на основе немецкого стандарта DIN 476 и отличается от него только бо́льшими допустимыми погрешностями. Базовый лист бумаги (А0) имеет площадь в 1 м² и соотношение сторон 1 ÷ √2. Все остальные размеры получаются разрезанием длинной стороны на две равные части, то есть площадь следующего листа равна половине площади предыдущего. Такое соотношение сторон сохраняется для всех последующих меньших форматов.


      Арифметически это связано с равенством 
      . А именно: пусть стороны листа были x и √2x. Уменьшая вторую сторону в два раза и оставляя первую неизменной, мы уменьшаем площадь прямоугольника в два раза. Стороны стали x и . Найдём теперь отношение меньшей стороны к большей:


      У фотографов тоже есть причина использовать число √2. Рассмотрим круг радиусом R. Его площадь равна πR². Если мы хотим построить круг вдвое большей площади, как вы думаете, на какое число необходимо умножить радиус? А если вдвое меньшей — на какое разделить? Опять нас ждёт встреча с числом √2.


      Как это связано с фотографией? Когда мы снимаем в ручном режиме, то настраиваем фокус и экспозицию. Последняя определяется выдержкой и диафрагмой объектива — отверстием переменного радиуса, которое позволяет регулировать поток света, попадающего через объектив на плёнку или матрицу фотоаппарата. Если свет яркий, отверстие диафрагмы уменьшают, чтобы не засветить кадр. Если же света мало — пасмурный день или вообще ночное время, — отверстие диафрагмы увеличивают, иначе кадр получится слишком тёмным. Размеры диафрагмы имеют фиксированное значение: при закрытии на одно деление площадь отверстия уменьшается вдвое, ну а радиус, соответственно, в √2 раз. Делениям на шкале диафрагмы соответствуют так называемые
      диафрагменные числа: 2; 2,8; 4; 5,6; 8; 11; 16; 22 и так далее. Закономерность неочевидна, но на самом деле это не что иное, как приближённые значения степеней числа √2 (округлённые почему-то не по математическим законам):


      Это связано с тем, что если мы хотим получить ряд кругов площадью каждый вдвое меньше предыдущего, то радиус исходного круга мы должны будем последовательно делить на √2. Таким образом, отношение радиусов двух произвольных кругов из этого ряда всегда будет равно степени числа √2.

      Поиск гармонии


      Пифагорейцы изучали связь между гармонией природы и математикой, поэтому они искали числовые пропорции во всех окружающих явлениях. И, надо сказать, преуспели в этом. Например, выяснилось, что гармонические соотношения между нотами соответствуют определённым отношениям целых чисел (стоит ли говорить, что частоту звука можно напрямую связать с длиной струны — геометрической величиной).


      Число √2 как пропорциональное отношение часто встречается в архитектуре: оно есть во всех квадратах, которые только можно начертить. Поэтому корень из двух занимает почётное место в искусстве, прежде всего в архитектуре и дизайне.


      В барселонском
      парке Гуэль, спроектированном великим Антонио Гауди, вместо чётких прямых линий мы наблюдаем очертания различной кривизны; центральным элементом паркового ансамбля является терраса, поддерживаемая греческими колоннами. Изогнутый потолок, причудливые формы постройки могут вызвать ложное ощущение, что архитектор не придерживался какой-либо рациональной системы. Однако если посмотреть план сооружения, сразу видно, что его стабильность обеспечена геометрией квадратов, в вершины которых Гауди поместил вершины колонн. Ещё на чертеже можно заметить правильные восьмиугольники (октагоны), в которых тоже скрыто наше любимое число √2, ведь в каждом октагоне есть как минимум три квадрата.


      Слабость к правильному вось­миугольнику питали архитекторы разных эпох. Купол кафедрального флорентийского собора Санта-Мария-дель-­Фьоре, Башня Ветров в Афинах, замок ­Кастель-дель-Монте на юге Италии, Капелла Карла Великого в немецком Ахене и многие другие постройки, всех не перечислить, имеют форму октагона.


      Возможно, корень из двух не самое примечательное иррациональное число. Есть множество иррациональных чисел (π, экспонента е) и соотношений (например, золотое сечение), о которых можно рассказать больше интересного. Но важно понимать, что изучение таких чисел началось именно с √2. Его открытие перевернуло представления человечества о числе, положило начало изучению чисел как непрерывного множества и расширило возможности познания мира. В результате идея, что числа лежат в основе всех проявлений науки и техники, сегодня уже не вызывает сомнений. 

      Арифметический квадратный корень

      Если а больше или равно 0 и n – натуральное число, которое больше 1, то будет существовать только лишь одно, неотрицательно число х, при котором выполняется равенство . Именно это число х и называется арифметическим квадратным корнем n-ой степени из неотрицательного числа а. Число а называют подкоренным числом, а n – показателем корня . Если n = 2, то показатель корня обычно опускают и называют такое выражение арифметическим квадратным корнем. Стоит отметить, что довольно-таки часто вместо слова «корень» употребляют слово «радикал».

      А теперь давайте рассмотрим, как можно извлечь квадратный корень из натурального числа.

      Например, нам необходимо извлечь корень из натурального числа к, причем нам точно, известно, что корень извлекается. Чтобы сделать это довольно удобным способом, следует воспользоваться следующими правилами:

      1. Разбить число к на грани (начинать с последней цифры и справа налево) и включить в каждую грань по две рядом стоящие цифры. При этом стоит обратить внимание, что если к состоит из четного числа цифр, то в первой левой грани будет 2 цифры, если же число цифр в к нечетное, то в первой левой грани будет 1 цифра. Количество наших граней показывает количество цифр результата. На первый взгляд все просто и понятно.
      2. Далее нам необходимо подобрать наибольшую цифру, но такую, чтобы ее квадрат не превосходил числа, которое находится в первой грани. Эта цифра и будет первой цифрой результата.
      3. Полученную первую цифру результата возводим в квадрат и вычитаем полученное из первой грани число, а затем припишем к найденной разности справа вторую грань. У нас выйдет какое-то число А.(1/2)

        корень | математика | Britannica

        Корень , в математике, решение уравнения, обычно выражаемое в виде числа или алгебраической формулы.

        В IX веке арабские писатели обычно называли один из равных множителей числа джадхр («корень»), а их средневековые европейские переводчики использовали латинское слово , основание (от которого происходит прилагательное , радикал ). . Если a — положительное действительное число, а n — положительное целое число, существует уникальное положительное действительное число x такое, что x n = a .Это число — (главное) n корень -й степени из a — записывается как n Квадратный корень из √ a или a 1/ n . Целое число n называется индексом корня. Для n = 2 корень называется квадратным корнем и записывается как квадратный корень из √ a . Корень 3 Квадратный корень из √ a называется кубическим корнем из a . Если a отрицательное, а n нечетное, уникальный отрицательный корень n -й степени из a называется основным.Например, главный кубический корень из –27 равен –3.

        Если целое число (положительное целое число) имеет рациональный корень n -й степени, т. Е. Тот, который может быть записан как обычная дробь, то этот корень должен быть целым числом. Таким образом, 5 не имеет рационального квадратного корня, потому что 2 2 меньше 5, а 3 2 больше 5. Ровно n комплексных чисел удовлетворяют уравнению x n = 1, и они равны называется комплекс n корней -й единицы.Если правильный многоугольник из n сторон вписан в единичный круг с центром в начале координат так, что одна вершина лежит на положительной половине оси x , радиусы вершин — это векторы, представляющие комплекс n . n корней единства. Если корень, вектор которого составляет наименьший положительный угол с положительным направлением оси x , обозначен греческой буквой омега, ω, то ω, ω 2 , ω 3 ,…, ω n = 1 составляют все корни n -й степени из единицы.Например, ω = — 1 / 2 + Квадратный корень из √ −3 / 2 , ω 2 = — 1 / 2 Квадратный корень из √ −3 / 2 и ω 3 = 1 — все кубические корни из единицы. Любой корень, обозначаемый греческой буквой эпсилон, ε, который имеет свойство ε, ε 2 ,…, ε n = 1 давать все корни n -й степени из единицы, называется примитивным. Очевидно, проблема нахождения корней n -й степени из единицы эквивалентна задаче вписания правильного многоугольника из n сторон в круг.Для каждого целого числа n корни n -й степени из единицы могут быть определены в терминах рациональных чисел с помощью рациональных операций и радикалов; но они могут быть построены с помощью линейки и циркуля (т. е. определены в терминах обычных операций арифметики и извлечения квадратного корня) только в том случае, если n является произведением различных простых чисел в форме 2 h + 1, или 2 k раз больше, или имеет форму 2 k .Если a — комплексное число, а не 0, уравнение x n = a имеет ровно n корней, а все n -ые корни из a являются произведениями любого из них. этих корней на n корней -й степени из единицы.

        Член корень был перенесен из уравнения x n = a во все полиномиальные уравнения. Таким образом, решение уравнения f ( x ) = a 0 x n + a 1 x n — 1 +… + a n — 1 x + a n = 0, при a 0 ≠ 0, называется корнем уравнения.Если коэффициенты лежат в комплексном поле, уравнение n -й степени имеет ровно n (не обязательно различных) комплексных корней. Если коэффициенты действительны и n нечетно, значит, существует действительный корень. Но уравнение не всегда имеет корень в поле коэффициентов. Таким образом, x 2 — 5 = 0 не имеет рационального корня, хотя его коэффициенты (1 и –5) являются рациональными числами.

        Получите подписку Britannica Premium и получите доступ к эксклюзивному контенту.Подпишитесь сейчас

        В более общем смысле термин корень может применяться к любому числу, которое удовлетворяет любому заданному уравнению, будь то полиномиальное уравнение или нет. Таким образом, π является корнем уравнения x sin ( x ) = 0.

        Шлюз

        Veuillez réessayer dans quelques instants. Si le problème persiste,
        veuillez communiquer avec le service de soutien Technique de Alberta Education (доступный
        en anglais seulement).

        Телефон : 780-427-5318
        (Composer d’abord le 310-0000 pour obtenir une ligne sans frais)
        Телекопье: 780-427-1179
        Adresse de Courriel: cshelpdesk @ gov.ab.ca

        арифметика — Почему невозможно извлечь квадратный корень из отрицательного числа?

        JChau спросил в отдельном вопросе, возможно ли когда-либо, чтобы квадратный корень из числа был отрицательным, и другой пользователь переместился, чтобы это было закрыто как дубликат этого. С тех пор он был удален, но вот мой ответ на этот другой вопрос, который здесь также уместен.2 = у $. Таким образом, и $ + 7 $, и $ -7 $ являются квадратными корнями из 49 $.

        Однако для положительных вещественных чисел $ x $ по определению функция квадратного корня , примененная к $ x $, дает положительный квадратный корень. Часто можно сокращать «функцию квадратного корня, примененную к $ x $» или, что эквивалентно, «положительный квадратный корень из $ x $», как просто «квадратный корень из $ x $», если не возникает путаницы. Следовательно, мы имеем $ \ sqrt {49} = + 7 $, несмотря на то, что $ -7 $ также является квадратным корнем.

        Функция квадратного корня, как и все истинные функции, является однозначной, а не многозначной, поэтому, если бы нам было поручено создать нашу собственную функцию квадратного корня с нуля, нам пришлось бы делать выбор между двумя квадратными корнями каждого положительное число как значение, которое принимает функция; если мы хотим еще больше наложить непрерывность (и, следовательно, гладкость для $ x> 0 $), нам придется установить $ \ sqrt {x} $ либо всегда как положительный квадратный корень, либо всегда как отрицательный квадратный корень.На данный момент вполне понятный выбор — всегда делать положительный выбор.

        Такая же ситуация «необходимости сделать выбор» возникает, если кто-то хочет определить функцию извлечения квадратного корня для комплексных чисел. Мы не можем долго навязывать такие же условия непрерывности и получать прямой ответ — вместо этого мы должны сформировать своего рода «баррикаду», в которой значение квадратного корня резко возрастает, когда мы пересекаем эту баррикаду. Это называется срезом ветки.

        Стандартная ветвь в $ \ Bbb C $ — это то место, где мы рассматриваем отрицательную действительную ось как часть квадранта над ней, но не как часть квадранта под ней.{1/2} $ принимает значения на отрицательной действительной оси.

        Другое слово для $ \ ln $ и $ \ sqrt {} $ со стандартной ветвью — это главное значение .

        Идея сечений ветвей ведет к более сложным темам анализа: монодромии (которая относится к «обходу» сингулярности, например, пересечению ветки, упомянутой ранее), а также к римановым поверхностям, которые можно рассматривать как то, что мы получаем, когда мы откажитесь разрезать плоскость на ветви и вместо этого рассмотрите функцию многозначной и посмотрите на ее график (хотя я, вероятно, разделываю это описание).

        Формула квадратного корня

        — объяснение, формула, метод первичной факторизации и важные часто задаваемые вопросы

        Что такое квадратный корень?

        Квадратный корень — одна из самых важных функций в математике, которая имеет широкий спектр применения в повседневной жизни, а также в научных расчетах. Квадратный корень из любого числа в математике — это такое число, которое при умножении на само себя дает произведение, равное числу, квадратный корень которого необходимо определить.Квадратный корень из числа представлен как число, записанное в символе «√». Квадратный корень числа «x» записывается как √x. Квадратный корень из числа может быть представлен в экспоненциальной форме как число в степени ½. Квадратный корень из числа «x» можно записать в экспоненциальной форме как (x) 1/2.

        Что такое формула идеального квадратного числа и квадратного корня?

        Очень важно понять, что такое квадратный корень из полного квадратного числа, прежде чем четко понимать, что такое корень в математике.В математике точное квадратное число может быть тем числом, которое получается как произведение любого целого числа на себя. При использовании формулы квадратного корня для точных квадратных чисел в качестве ответа будет получено целое число. т.е. квадратный корень из полного квадратного числа всегда является целым числом.

        Что такое корень в математике?

        Существует несколько методов нахождения квадратного корня из числа, среди которых есть несколько знакомых:

        1. Метод разложения на простые множители

        2. Метод повторного вычитания

        3. Метод среднего

        4. Метод предположений и проверки

        5. Метод числовой линии

        6. Метод длинного деления

        Поиск формулы квадратного корня методом простой факторизации

        Метод простой факторизации — это метод, в котором числа выражаются как произведение их простых множителей.Идентичные простые множители объединяются в пары, и произведение одного элемента из каждой пары дает квадратный корень из числа. Этот метод также можно использовать, чтобы определить, является ли число точным квадратом. Однако этот метод нельзя использовать для нахождения квадратного корня из десятичных чисел, которые не являются точными квадратами.

        Пример: вычислить корень 576.

        Решение:

        576 разложено на простые множители следующим образом.

        9246

        1

        72

        9246

        9247

        2

        576

        2

        288

        2

        36

        2

        18

        3

        1

        Таким образом, 576 можно записать как произведение простых чисел как:

        576 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 3

        Квадратный корень из 576 = 2 x 2 x 2 x 3 = 24

        Формула квадратного корня с использованием метода повторного вычитания

        Это метод, в котором число, квадратный корень, который необходимо определить, многократно вычитается на последовательное нечетное число, пока разница не станет равной нулю.Количество вычитаний дает корень числа. Этот метод можно использовать только для нахождения квадратного корня из полных квадратных чисел.

        Пример: вычислить квадратный корень из 16

        Решение:

        Число вычитается из нечетных чисел, начиная с 1.

        16 — 1 = 15

        15 — 3 = 12

        12 — 5 = 7

        7-7 = 0

        Число вычитаний здесь равно 4. Итак, квадратный корень из 16 равен 4.

        Метод среднего квадратного корня Формула:

        В этом методе для нахождения квадратного корня используется понятие среднего. заданного десятичного числа.Этот метод удобно использовать для нахождения квадратного корня из целых чисел с точностью до нескольких десятичных знаков.

        Пример. Вычислить квадратный корень из 3 с помощью метода среднего.

        Решение:

        Два квадратных числа, между которыми лежит 3 ‘, — это 1 и 4. Итак, квадратный корень из 3 лежит между 1 и 2. Найдите среднее значение этих двух чисел, чтобы получить квадратный корень из 3.

        Квадратный корень из 3 = (1 + 2) / 2 = 3/2 = 1,5, что неточно. Таким образом, нахождение среднего продолжается как

        Квадратный корень из 3 = (1.5 + 2) / 2 = 1,75, что приблизительно равно квадратному корню из 3.

        Интересные факты о формуле квадратного корня:

        • Операции извлечения квадратного и квадратного корня являются математическими операциями, обратными друг другу.

        • Квадратный корень из квадрата числа — это само число.

        • Квадрат квадратного корня из числа — это само число.

        Какое влияние оказывает корневое число (счастливое число) на вашу жизнь

        В этой статье мы познакомим вас с основами номера Root и некоторыми важными фактами о нем.Нумерология — это способ предсказать события в жизни и направить их к положительному результату, а число Корня — один из самых простых способов сделать это.

        Число корня также известно как Число жизненного пути. Он очень наглядно отображает различные аспекты вашей жизни и полезен, чтобы подробно узнать о любом человеке и его жизненном пути.

        Корневое число — это, по сути, сумма даты рождения человека, то есть даты, в которую он родился. Корневое число может отображать характер человека и его поведенческие модели.Полезно искать информацию, касающуюся времени его рождения и его положительных и отрицательных сторон.

        Корневое число имеет особое значение в нумерологии, с помощью которого можно предсказать будущие события в жизни человека. Номер корня — это простой способ узнать о человеке.

        Корневое число — это простой способ узнать о человеке, в отличие от астрологии, где для получения любой информации требуются дата, время и место рождения, а иногда время и место рождения могут быть неправильными или неточными.Из-за этого составить гороскоп человеку становится сложно. В подобных ситуациях нумерология играет свою роль и выступает в качестве решения этих проблем.

        Как вычислить число корня

        Номер корня основан на дате вашего рождения, то есть дате рождения человека. Диапазон числа от 1 до 9, и он рассчитывается на основе даты рождения человека. Например, если человек родился 2 января, то корневое число будет 2.
        Если число дат превышает 9, то оба числа даты суммируются и приводятся к цифре от 1 до 9. Например, если человек родился 25 августа, то число корня будет 2 + 5. = 7.

        Или, если дата рождения — 28 ноября, тогда сумма снова будет суммирована и приведена к единственной цифре, т. Е. 2 ​​+ 8 = 10 = 1 + 0 = 1. В этом случае число корня будет 1. Корневое число говорит вам о характере, поведении, слабостях и т. Д. Человека и о том, как можно добиться оптимизма, чтобы добиться положительных изменений в жизни.

        Знайте свой корневой номер

        • Число корня для людей, рожденных 1, 10, 19, 28, равно 1.
        • Корневое число для людей, родившихся 2, 11, 20, 29, равно 2.
        • Число корня для людей, рожденных 3, 12, 21, 30 лет, равно 3.
        • Число корня для людей, родившихся 4, 13, 22, 31 года, равно 4.
        • Число корня для людей, родившихся 5, 14, 23 года, равно 5.
        • Корневое число для людей, рожденных 6, 15, 24 года, равно 6.
        • Число корня для людей, родившихся 7,16,25 года, равно 7.
        • Число корня для людей, родившихся 8,17, 26, равно 8.
        • Число корня для людей, родившихся 9, 18, 27, равно 9.

        Чтобы получить отчет по нумерологическому анализу жизни, нажмите на эту ссылку: Нумерологический анализ жизни

        кубических корней | Блестящая вики по математике и науке

        Кубический корень комплексного числа несколько неоднозначен.\ text {rd} Третьи корни единства.

        Каковы значения i3 \ sqrt [3] {i} 3i?


        ОТВЕЧАТЬ

        Во-первых, необходимо записать комплексное число в полярной форме. Для iii, r = ∣i∣ = 1r = | i | = 1r = ∣i∣ = 1 и θ = arccot ​​(01) = π2 + 2kπ \ theta = \ text {arccot} \ left (\ frac {0} { 1} \ right) = \ frac {\ pi} {2} + 2k \ piθ = arccot ​​(10) = 2π + 2kπ, где kkk — целое число.

        i = eiπ / 2 = ei5π / 2 = ei9π / 2i3 = i1 / 3i3 = (eiπ / 2) 1/3 = eiπ / 6 = 32 + i2i3 = (ei5π / 2) 1/3 = ei5π / 6 = — 32 + i2i3 = (ei9π / 2) 1/3 = ei3π / 2 = −i.{i3 \ pi / 2} & = & -i.
        \ end {array} i3i 3i 3i 3i ===== eiπ / 2i1 / 3 (eiπ / 2) 1/3 (ei5π / 2) 1/3 (ei9π / 2) 1/3 ==== ei5π / 2eiπ / 6ei5π / 6ei3π / 2 ==== ei9π / 223 + 2i −23 + 2i −i.

        Есть три возможных результата для i3 \ sqrt [3] {i} 3i: 32 + i2 \ dfrac {\ sqrt {3}} {2} + \ dfrac {i} {2} 23 + 2i, −32 + i2- \ dfrac {\ sqrt {3}} {2} + \ dfrac {i} {2} −23 + 2i и −ii − i. □ _ \ квадрат □

        Степени и корни: квадратные корни

        В нашей серии статей о степенях и корнях мы переходим к квадратным корням. Посмотрите видео ниже, чтобы узнать некоторые основы этой важной математической концепции.

        Теперь мы можем говорить о квадратных корнях. Во многих контекстах в математике мы знаем из задач квадрат числа или можем выполнить вычисления и получить значение квадрата числа. И затем мы должны найти исходное число, которое было возведено в квадрат.

        Так, например, мы можем прийти к такой ситуации, как x в квадрате = 5. Теперь, если квадрат искомого числа оказывается точным квадратом, тогда это прекрасно. Это легко решить.

        Получение x в квадрате равным полному квадрату — это роскошь.А этого обычно не бывает. Если учесть все числа от 1 до 100, от 1 до 100 включительно, только 10 из них являются точными квадратами, а остальные 90 — не идеальными квадратами. А точные квадраты становятся все более редкими по мере того, как числа становятся больше. Квадратные корни и квадратные обозначения дают нам возможность говорить о ситуации, когда квадрат переменной не равен полному квадрату.

        Опять же, это гораздо чаще, чем приравнивание к полному квадрату. Так, например, рассмотрим x в квадрате = 2.Ну, конечно, 2 — не идеальный квадрат. Нет целого числа, которое мы могли бы возвести в квадрат, чтобы получить 2. И предположим, что мы хотим решить для x, ну, конечно, x, он может иметь два значения, может быть что-то отрицательное, которое мы возведем в квадрат, чтобы получить положительное, или может быть что-то положительное, которое мы квадрат, чтобы получить значение.

        Но как мы можем говорить об этой стоимости? Какое число в квадрате будет равно 2? Ну, опять же, ясно, что это не целое число. Это должно быть десятичное число, и это десятичное число должно быть от 1 до 2, потому что 1 в квадрате — это 1, а 2 в квадрате — 4.Итак, чтобы получить что-то в квадрате, равное 2, оно должно быть между этими двумя.

        Итак, мы обозначаем положительное число, которое в квадрате равняется двум, как это. И мы можем назвать это, иногда это квадратный корень из 2, иногда это просто корень 2 или радикал 2, по-разному говорить об этом числе. Квадратные корни и возведение в квадрат отменяют друг друга. Именно так, как сложение и вычитание отменяют друг друга. Именно так, как умножение и деление уничтожают друг друга.

        Это обратные операции или, с более сложной точки зрения, обратные функции. Итак, это число, квадратный корень из 2, на самом деле настоящее число. Он имеет право на существование, он имеет такое же право, как 5 или 13 или любое другое действительное число в числовой строке. Квадратный корень из 2 — это истинное число, оно находится на числовой прямой и фактически представляет собой десятичную дробь, которая оставляет где-то между 1 и 2.

        Изображение Luisrftc

        Связь этого числа, квадратного корня из 2, с остальной математикой объясняется тем фактом, что мы по определению знаем, что если бы мы возводили его в квадрат, в результате мы получили бы 2.Мы упоминали, что уравнение x в квадрате = 2 на самом деле будет иметь два решения: одно положительное и одно отрицательное. Когда этот знак записан, записывается знак квадратного корня, это означает только положительный корень.

        Если бы мы хотели говорить об отрицательном корне, нам пришлось бы записать отрицательный знак и сказать отрицательный квадратный корень из 2. Таким образом, мы могли бы говорить как о положительном, так и о отрицательном. Теперь многие студенты не понимают, когда включать или не включать отрицательный квадратный корень.И это очень тонкое различие.

        Отрицательный квадратный корень

        Ситуация номер один, если знак квадратного корня записан разработчиком теста, если он действительно напечатан на странице как часть задачи, то это означает, что следует учитывать только положительные корни. Но во многих случаях, что случается в задаче, переменная возведена в квадрат. Или, другими словами, мы делаем наши вычисления, меняем наши уравнения, мы получаем переменную в квадрате.

        И затем мы сами должны инициировать процесс извлечения квадратного корня, чтобы найти x.Что ж, такое случается, если извлечение квадратного корня начинаем мы, тогда мы всегда должны учитывать как положительный, так и отрицательный корень. Итак, вот два упрощенных практических вопроса, очевидно, это не формат реальных тестовых вопросов, это своего рода упрощение поваренной книги.

        Но остановите видео и подумайте об этом, и подумайте, есть ли у этих двух вопросов одинаковый ответ или нет.

        Квадратные корни: практическая проблема первая

        Хорошо, в вопросе 1 говорится, что корень 2> 1? Обратите внимание, что корень 2 напечатан на странице.На самом деле это часть проблемы. И этот символ, символ квадратного корня, означает извлечение только положительного корня.

        Изображение Lucky Business

        Итак, мы говорим только о положительном квадратном корне из 2. Он больше единицы? Ну, конечно, она больше единицы, она находится между 1 и 2. Так что да, она больше 1. Номер 2, очень, очень отличается, теперь мы говорим о переменной k, k в квадрате = 2. Мы хотим кое-что знать. о k, поэтому мы сами должны инициировать извлечение квадратного корня.

        Что ж, когда мы извлекаем квадратный корень для определения k, это может означать, что k является положительным квадратным корнем из 2, или это может означать, что k является отрицательным квадратным корнем из 2. Мы не знаем, является ли k положительным или отрицательный. Ну, если это положительный квадратный корень из 2, он больше 1, но если это отрицательный квадратный корень из 2, он не больше 1.

        Потому что каждый положительный результат больше любого отрицательного. И поэтому мы не можем это определить. Мы не знаем, это невозможно определить, поэтому здесь C — ответ.И поэтому очень важно понимать, что это два очень разных вопроса, на которые можно ответить по-разному. Теперь я, конечно, отмечу, что когда мы извлекаем квадратный корень из положительного числа, результат всегда положительный.

        Хорошо, если q положительно, то квадратный корень из q положителен. Таким образом, возникает вопрос, что произойдет, если q не положительно? Итак, во-первых, можем ли мы извлечь квадратный корень из нуля? И ответ: конечно, можем. Мы знаем, что 0 в квадрате — это 0, и поэтому, если 0 в квадрате равно 0, это означает, что квадратный корень из 0 равен 0.

        Мы можем извлечь квадратный корень из 0, и он равен 0, отлично, без двусмысленности. Можем ли мы извлечь квадратный корень из отрицательного числа? Хм, теперь мы на сложном пути. Технически ответ — да, но здесь нужно быть осторожным. Как вы помните, квадратный корень из отрицательного числа дает нам мнимое число. Это означает, что если мы извлекаем квадратный корень из отрицательного числа, мы покидаем черту действительного числа.

        У нас не будет никакого значения ответа, которое находится в прямой числовой строке, но это можно сделать.Фактически получается квадратный корень из 25, что равно 5i. Итак, это мнимое число. Итак, если проблема заключается в том, чтобы указать, что все числа являются действительными числами, это невозможно, потому что 5i не является действительным числом.

        Он не живет на прямой числовой прямой, он живет где-то еще. Подробнее о мнимых и комплексных числах мы поговорим позже. В оставшейся части этого видео мы будем рассматривать реальные числа, а не мнимые, но это будет позже.Но вкратце я скажу, что если A> 0 или = 0, то квадратный корень из A также> 0 или = 0.

        Если A <0, то квадратный корень из A кратен i, мы оставили строку действительных чисел. Обратите внимание, что квадратный корень из A никогда не дает отрицательного действительного числа, и это важно. Так, например, если тест записывает квадратный корень из A = B, и нам говорят, что A и B являются действительными числами, тогда, записывая это со знаком равенства, тест гарантирует, что это разумный и полностью действительный математическое уравнение.

        Итак, это означает, что мы сразу знаем, что A должно быть больше или равно 0, а b должно быть больше или равно 0. Таким образом, технически этот знак, квадратный корень, называется главным. знак квадратного корня. Это означает, что из двух возможных квадратных корней этот конкретный знак возвращает только положительный корень.

        Многие этого не знают. Многие люди просто называют это знаком квадратного корня и не понимают, что это на самом деле гораздо более тонкая техническая вещь.Это главный знак квадратного корня, который означает единственный положительный знак квадратного корня. Итак, если в тесте говорится: решите уравнение x в квадрате = 5, то, конечно, есть два решения.

        Положительное решение — x = корень 5, отрицательное решение — x = — корень 5. Это два числа на числовой прямой, которые в квадрате равны 5, они, конечно, симметричны относительно нуля. И по определению, возведя их в квадрат, мы получаем 5. Теперь тест ожидает, что вы распознаете и упростите квадратные корни из полных квадратов.

        Так, например, если он дает вам квадратный корень из 36, он будет ожидать, что вы знаете, что это = 6. Но это очень важно, тест не ожидает, что вы получите точное значение квадратного корня, которое не т выходят равномерно. Итак, если появляется квадратный корень из 41, никто на земле не ожидает, что вы получите квадратный корень из 41 в уме.

        Так что вам не о чем беспокоиться. Но тест требует, чтобы вы знали некоторые базовые приближения. Конечно, вы можете найти десятичное значение квадратного корня из 41 с помощью калькулятора, но часто тест даже не интересуется этим.Его интересует ваша способность приблизительно. Итак, в первую очередь для положительных чисел квадратный корень сохраняет порядок неравенства.

        Что это значит? Другими словами, если мы знаем, что A

        Это означает, что мы знаем, что 41 — это значение между 36 и 49. Оно находится между этими двумя точными квадратами. Итак, если мы возьмем квадратный корень из этих трех чисел, который говорит нам, что квадратный корень из 41 должен находиться в диапазоне от 6 до 7. Таким образом, тест ожидает, что вы сможете это сделать.

        И вы сможете относительно быстро вычислить, для квадратных корней, которые не выходят равномерно, по крайней мере, между двумя целыми числами. Вы могли приблизительно найти его на числовой прямой.Итак, опять же, вы не должны знать это точное значение, но вы должны знать целые числа, которые находятся между ними. Есть также несколько простых квадратных корней, для которых вы должны знать приблизительные значения.

        Квадратные корни, которые вы должны знать

        И это три важных вопроса, которые нужно знать: квадратный корень из 2 приблизительно равен 1,4, квадратный корень из 3 приблизительно равен 1,7. Квадратный корень из 5 составляет приблизительно 2,2, если вы знаете эти три, и просто знаете их с точностью до одной десятой. Очевидно, что это десятичные дроби, которые используются во веки веков, и вам не о чем беспокоиться.

        Если вы просто запомните их с точностью до одной десятой, тогда вы сможете в значительной степени приблизиться, как мы увидим в других видеороликах. Итак, этот знак, главный знак квадратного корня является оператором, точно так же, как сложение, вычитание, умножение и деление, и, как они, он может работать с числами или переменными. Мы должны быть внимательны с этим оператором, он отменяет возведение в квадрат, но это не полная противоположность.

        Пример

        Например, предположим, что y отрицательно, тогда, конечно, y в квадрате будет положительным.Тогда квадратный корень из y в квадрате также будет положительным. Другими словами, мы начинаем с отрицательного, но если мы извлекаем квадрат и извлекаем квадратный корень, мы не заканчиваем отрицательным, мы заканчиваем положительным. Так что мы не вернемся к тому, с чего начали. Технически, поскольку всегда положительно независимо от того, является ли y положительным или отрицательным, мы должны сказать, что квадратный корень из y в квадрате = абсолютное значение y.

        Другими словами, это всегда что-то положительное. Ну, если ноль, конечно, он равен нулю, но в остальном он положительный.Если в задаче появляется переменная в квадрате, и мы хотим извлечь квадратный корень и отменить квадрат, мы снова должны включить положительный и отрицательный знак, чтобы учесть оба корня. Итак, если мы получаем x в квадрате = K, то мы знаем, что x = плюс или минус квадратный корень из K.

        Квадратные корни — практическая задача два

        Вот практическая задача. Поставьте видео на паузу, а потом мы поговорим об этом.

        Хорошо, давай поговорим об этом. Если x- 3 в квадрате = 16, это означает, что мы можем извлечь квадратный корень из обеих частей.И, конечно же, поскольку мы сами извлекаем квадратный корень, мы должны включать знак плюс или минус.

        Итак, x-3 = плюс или минус 4. И тогда мы получаем два уравнения, в одном из которых x-3 = положительное число 4, а в другом x-3 = -4. Итак, мы можем решить и получить либо x = 7, либо x = -1. И это два решения исходного уравнения. Давай проверим, давай убедимся.

        Если x равно 7, то 7 минус 3 равно 4 или в квадрате равно 16. Если x равно отрицательному 1, отрицательное 1 минус 3 будет отрицательным 4.А отрицательные 4 в квадрате также равны 16. Итак, это два решения этого уравнения. Мы также должны учитывать, как квадратные корни относятся к теме экспоненциального роста, которую мы обсуждали ранее в этом модуле.

        Там мы сказали, что если 1

        Если возведение в квадрат увеличивает эти числа, извлечение квадратного корня должно уменьшить их. И снова, если мы говорим о числах больше единицы, если мы возведем их в квадрат, мы получим большее число. Если мы извлечем квадратный корень, мы получим меньшее число. Так что все это верно для чисел больше единицы.

        Но, как мы видели в этом уроке, все наоборот для положительных чисел меньше единицы, другими словами, дробей между 1 и 0. Если b — дробь между 1 и 0, тогда, когда мы увеличиваем его степени, когда мы увеличивая его до степени, он становится все меньше, меньше и меньше.Итак, три к мощности, продолжайте увеличивать мощность, тройка становится все больше, больше и больше.

        Но треть мощности продолжает становиться все меньше, меньше и меньше, каждый раз, когда мы забираем одну треть того, что было раньше. В частности, если у нас есть дробь от 0 до 1, то, возведя ее в квадрат, мы получим меньшее число. Итак, если b — дробь от 0 до 1, b> b в квадрате. Что ж, если возведение в квадрат уменьшает эти числа, то из этого следует, что извлечение квадратного корня в противоположном направлении должно сделать эти числа больше.

        И снова, для дроби от 0 до 1 квадратный корень из b должен быть> b. Подумайте об этом, подумайте о числе, начнем с двух третей. Дробь больше половины? Теперь, если мы возведем его в квадрат, конечно, это означает, что две трети х две трети, мы умножим его на числитель и знаменатель, мы получим четыре девятых.

        И четыре девятых — это доля меньше половины. Итак, ясно, что квадратный корень из четырех девятых = две трети.И две трети> четырех девятых, потому что четыре девятых меньше половины, а две трети больше половины. Итак, это один числовой пример того, как извлечение квадратного корня из дроби приводит к большему числу.

        Квадратные корни — Практическая задача 3

        Вот практическая задача, поставьте видео на паузу, а потом мы поговорим об этом.

        Хорошо, давайте подумаем об этом. Если 7K — целое положительное число и если квадратный корень из K> K, то является ли K целым числом? Что ж, если квадратный корень из K> K, тогда K должно быть числом от 0 до 1, оно не может быть целым числом.

        Оно должно быть либо одной седьмой, либо кратным одной седьмой. Две седьмых, есть три седьмых или так далее, поэтому мы абсолютно уверены, что это тот случай, когда это не может быть целым числом. Итак, ответ — Б, здесь нет ничего неопределенного, это абсолютно не может быть целым числом. Таким образом, этот знак, этот очень хитрый знак, большинство людей называют его знаком квадратного корня.

        Действительно, это главный квадратный корень. Знак главного квадратного корня всегда имеет положительный результат.Если мы сами извлекаем квадратный корень, мы должны учитывать как положительный, так и отрицательный корень. И снова, очень важно, если в задаче печатается знак квадратного корня, значит, мы имеем дело только с положительным корнем.

        Если в задаче есть переменная в квадрате или если в нашей собственной работе мы завершаемся квадратом переменной, и мы сами должны извлекать квадратный корень, тогда мы должны учитывать как положительные, так и отрицательные стороны. Мы рассмотрели некоторые основные приближения для квадратных корней, важно знать эти приближения.Мы говорили о том, что если b — число> 1, то, конечно, возведение в квадрат увеличивает число, но извлечение квадратного корня уменьшает число.

        И если b представляет собой дробь от 0 до 1, то возведение в квадрат делает его меньше, а извлечение квадратного корня увеличивает.

        .

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован.