Дайте определение линейного уравнения с одной переменной: Дайте определение линейного уравнения с одной переменной.Приведите примеры.​

Содержание

Линейные уравнения с одной переменной.

Тема: «Линейное уравнение с одной переменной» 6 класс

Цели:

Образовательные: повторить понятие линейного уравнения с одной переменной, закрепить знания учащихся по данной теме с использованием алгоритма решения линейного уравнения.

Развивающие: развивать умения пользоваться опорным конспектом в ходе решения уравнений; развивать внимательность, аккуратность; развивать умения работать самостоятельно и в парах, ставить перед собой цель и делать выводы, выполнять арифметические вычисления.

Воспитательные: воспитывать внимательность учащихся, создание позитивного отношения учащихся к учению, умения ясно и четко излагать свои мысли, способствовать математической и общей грамотности.

Тип урока: урок закрепления ранее изученного материала
Оборудование: презентация, ОСУДы, тренажеры.

Ход урока:
1. Организационный момент:

Сегодня на уроке мы с вами закрепим понятие линейного уравнения с одной переменной; повторим алгоритм решения уравнения.

В конце урока подытожим вашу работу.

А сейчас проверь дружок,
Ты готов начать урок?
Всё ль на месте, всё ль в порядке,
Ручка, книжка и тетрадки?

Все ли правильно сидят?
Все ль внимательно глядят?
Каждый хочет получать
Только лишь оценку “5”!

2.Игра «Самый умный»

  • 1. Дайте определение корня уравнения.

  • 2. Какое число является корнем уравнения 2х — 5 = х + 2 ?

  • 3. Что значит решить уравнение?

  • 4. Какие уравнения называются равносильными?

  • 5. Сформулируйте 1 свойство уравнений.

  • 6. Сформулируйте 1 свойство уравнений.

  • 7. Дайте определение линейного уравнения с одной переменной.

  • 8. Свойства числовых равенств

  • Если а=в , то а+с=в+с

  • 9. Свойства числовых равенств :

  • Если а=в ,то ас=вс

  • 10. Если а=в, с=d ,то а+с=в+d

  • Устно решите уравнение:

  • а) 2х = 0 г) 6х = 3

  • б) 3х = 1 д) 3х + 9 = 0

  • в) х — 2 = 0

3.Обобщение и систематизация знаний

Игра «Лабиринт»

«Восстанови уравнение»

  • 1) 3х=…; х=-11

  • 2) 5х=…; х=0

3) х=…; х=14

4. Работа в парах

Повторение алгоритма решения уравнения по ОСУДУ

5. Работа с тренажером

1) Три задания: нпс – ппс – впс.

Окончание работы 5+30 сек

Выполнение заданий. Учащиеся делают синхронно один хлопок и приступают к выполнению задания. По окончании работы, учащиеся обмениваются тетрадями, звучит команда «Ручка в руках – это ошибка». Поэтапная проверка выполнения заданий.

  • 1) НПС-5 18+3х=х+14 х=-2

  • 2) ППС-5 0,5а+23=7-2а

  • а=6,4

  • 3) ВПС-5 3(х+3)=5х-5

  • 3х+9=5х-5

  • х=7

2) Три задания: нпс – ппс – впс.

Окончание работы 5+30 сек

Выполнение заданий. Учащиеся делают синхронно один хлопок и приступают к выполнению задания. По окончании работы, учащиеся обмениваются тетрадями, звучит команда «Ручка в руках – это ошибка». Поэтапная проверка выполнения заданий.

1 вариант

  • 1) НПС-6 2х+9=15-х х=2

  • 2) ППС-6 1,3х+1=1-7х

  • х=0

  • 3) ВПС-6 3х-1=2(х-2)

  • 3х-1=2х-4

х=-3

2 вариант

  • 1) НПС-7 15-у=13-11у х=-0,2

  • 2) ППС-7 0,9х+16=6-1,1х

  • х=-5

  • 3) ВПС-7 3(х+5)=7-5х

  • 3х+15=7-5х

  • х=-1

Подведение итога работы по тренажерам. Какие ошибки были допущены? На каких этапах? Что вызвало затруднение?

6. Итоги урока.

7. Д/з

8. Рефлексия «Букет настроений»

Тема линейное уравнение с одной переменной цели урока

Тема:
Линейное
уравнение с одной переменной

Цели
урока:

Общеобразовательные:

  • закрепить
    понятия линейные уравнения;

  • закрепить
    умение учащихся решать уравнения,
    приводимые к линейным.

Развивающие:

развить
внимательность и сосредоточенность,
развивать математическое мышление,
научить анализировать полученные
результаты;

Воспитательные:

воспитывать
внимательность учащихся, создание
позитивного отношения учащихся к
изученному разделу, умения ясно и четко
излагать свои мысли, способствовать
математической и общей грамотности.

Тип
урока:
приобретение
новых знаний и их закрепление

Ход
урока:

I.
Проверка домашнего
задания
: № 4.6 (б), №
4.7(г), № 4.8(б)

№4.6
(б) №4.7 (г)

№ 4.8(б)

а)

II.
1. Устная работа
: (по
презентации):

2.
Проверим свои знания:

1. — Что называется уравнением?

— Что называется корнем
уравнения?

— Что значит решить уравнение?

— Какие уравнения называются
равносильными?

— Сформулируйте свойства
уравнений.

— Дайте определения линейного
уравнения с одной переменной.

3.

IV.
Закрепление: № 4.12 (а, в)

а)
,
х – любое число

б)

, х – решения нет

V.
Обобщить возможные случаи при решении
линейных уравнений

VII.
Решить уравнение:

Способ
первый
:
Второй способ:

;

;

;

;

;
16у + 21 — 20у + 6 = 0;

;
.
4у = 27;
.

VI.
Закрепление: № 4.14 (а, в), 4.16(а), 4.17

№ 4.14
(а, в)

а)
,

в)

,

№4.16(а)

,
х – решения нет

№4.17

а)
,

б)
,

VII.
Домашняя работа: № 4.9, 4.12(б, г) , 4.14 (б, г),
3.52

VIII.
Итог урока:

Итак, сегодня на уроке мы с вами
решали уравнения приводимые к линейным
уравнениям. Давайте вспомним основные
понятия:

1. Какое
уравнение с одной переменной называется
линейным?

2.    
Сколько
корней может быть у линейного уравнения?

IX.
Самостоятельная работа:

VIII.
Поиграем, закрепим.

1.

2.

Что такое линейное уравнение | Алгебра

Что такое линейное уравнение? Что называется корнем линейного уравнения? Сколько корней имеет линейное уравнение? Что значить решить линейное уравнение?

В курсе алгебры 7 класса линейное уравнение определяется следующим образом.

Определение.

Линейное уравнение с одной переменной — это уравнение вида ax=b, где a и b — числа, x — переменная.

Корнем линейного уравнения называется значение переменной, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство.

Например, корень уравнения 5x=40 равен 8, так как при x=8 это уравнение превращается в верное числовое равенство:

5∙8=40

40=40.

Количество корней линейного уравнения зависит от значения a (коэффициента перед x).

При a≠0 линейное уравнение имеет единственное решение.

Чтобы найти x, обе части уравнения нужно разделить на число, стоящее перед иксом:

   

   

Любое число можно разделить на 2, 5 и числа, которые могут быть представлены в виде произведения только двоек и пятёрок ( например, любое число можно разделить на 10, так как 10=2∙5; на 40, так как 40=2∙2∙2∙5).

В остальных случаях ответ записывают в виде обыкновенной дроби (если дробь неправильная, следует выделить из нее целую часть).

При a=0, b≠0 линейное уравнение

   

не имеет решений.

При любом значении x левая часть уравнения равна нулю, а правая — отлична от нуля. То есть нет ни одного значения x, при котором уравнение обратилось бы в верное числовое равенство.

При a=0, b=0 линейное уравнение

   

имеет бесконечное множество решений.

При любом значении x левая часть уравнения 0x=0 обращается в нуль, в правой части также стоит нуль. Значит, любое число является корнем этого уравнения, то есть, при любом значении x это уравнение обращается в верное числовое равенство.

Возможные решения линейных уравнений можно изобразить в виде схемы.

Решить линейное уравнение — значит, найти корень (корни) уравнения, либо убедиться, что уравнение не имеет корней.

Решение многих уравнений сводится к решению линейных уравнений.

Уравнения с одной переменной [wiki.eduVdom.com]

Уравнение с одной переменной — это равенство, содержащее переменную.

Корень уравнения — это значение переменной, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство.

Решить уравнение означает найти все его корни или доказать, что корней нет.

Равносильные уравнения — уравнения с одними и теми же корнями.

Следующие преобразования: перенос слагаемого из одной части в другую с изменением знака этого слагаемого; умножение или деление обеих частей уравнения на одно и то же не равное нулю число приводят уравнение к равносильному ему уравнению.

Линейное уравнение с одной переменной — это уравнение вида a*x = b, где х — переменная, а и b — некоторые числа.

  1. Если а = 0 и b = 0, то это уравнение имеет бесконечно много решений;

  2. Если а ≠ 0, то это уравнение имеет один корень: $x = \frac{b}{a}$

  3. Если а = 0 и b ≠ 0, то это уравнение не имеет корней.

—-
Пример 1. Решите уравнение $\frac{2x-1}{3} — \frac{x+1}{2} = 2$

Решение:

  • $\frac{2x-1}{3} — \frac{x+1}{2} = 2$

  • $\frac{(2x-1)*2}{3*2} — \frac{(x+1)*3}{2*3} = 2$

  • $\frac{(4x-2) — (3x+3)}{6} = 2$

  • $\frac{4x-2 — 3x-3}{6} = 2$

  • $\frac{x — 5}{6} = 2$

  • $x — 5 = 2*6$

  • $x — 5 = 12$

  • $x = 12 + 5$

  • $x = 17$

Ответ: 17.


Пример 2. Решите уравнение $5x + \frac{2x+3}{4} = \frac{3x-1}{2} + 4x$

Решение:

  • $5x + \frac{2x+3}{4} = \frac{3x-1}{2} + 4x$

  • $\frac{20x+2x+3}{4} = \frac{3x-1+8x}{2}$

  • $\frac{22x+3}{4} = \frac{11x-1}{2}$

  • $22x+3 = 22x-2$

  • $22x-22x = -2-3$

  • $0 = -5$, но такого быть не может, значит данное уравнение не имеет корней.

Ответ: нет корней.

subjects/mathematics/уравнения_с_одной_переменной.txt · Последние изменения: 2013/02/02 17:42 —

определение, решение, свойства и примеры

Уравнение с двумя переменными и его решение

Уравнение вида ax+by = c, где a,b,c — данные числа, называется линейным уравнением с двумя переменными x и y.

Например: 2x+5y = 6; -x+1,5y = 0; $\frac{1}{2}$ x-8y = 7

Уравнение с двумя переменными может быть не только линейным, т. 3+y = 7$

Решением уравнения с двумя переменными называется упорядоченная пара значений переменных (x,y), обращающая это уравнение в тождество.

О тождествах – см. §3 данного справочника

Например: для уравнения 2x+5y=6 решениями являются пары

x = -2, y = 2; x = -1,y = 1,6; x = -3,y = 2,4 и т.д.

Уравнение имеет бесконечное множество решений.

Свойства уравнения с двумя переменными

Уравнения с двумя переменными, имеющие одни и те же решения, называют равносильными. Уравнения с двумя переменными, не имеющие решений, также считают равносильными.

Уравнения с двумя переменными имеют такие же свойства, как и уравнения с одной переменной:

  • если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую и изменить его знак, получится уравнение, равносильное данному;
  • если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же, отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.

Например: $2x+5y = 6 ⟺5y = -2x+6 \iff y = -0,4x+1,2$

Примеры

Пример 1. Из данного линейного уравнения выразите y через x и x через y:

Алгоритм: рассмотрим 3x+4y=10

1) оставим слагаемое с выражаемой переменной с одной стороны, остальные слагаемые перенесем в другую сторону: 4y=-3x+10

2) разделим полученное уравнение слева и справа на коэффициент при выражаемой переменной: y=-0,75x+2,5 — искомое выражение y(x).

Аналогично для x(y): $3x+4y = 10 \iff 3x = -4y+10 \iff x = -1 \frac{1}{3} y+3 \frac{1}{3}$

Линейное уравнение

$x = \frac{2}{3} y+3 \frac{2}{3}$

$ y = — \frac{x}{7}+1 \frac{1}{7}$

Пример 2. Составьте линейное уравнение с двумя переменными, решением которого является пара чисел:

Алгоритм: рассмотрим (1;5)

1) составим любой двучлен вида ax+by, например 2x+3y

2) подставим данные x = 1, y = 5 в двучлен и запишем результат 2x+3y = 17 — это искомое уравнение.

Пример 3. Составьте уравнение с двумя переменными, решениями которого являются две пары чисел:

а) (1;5) и (2;4)

Искомое уравнение имеет вид ax+by=c. Подставим обе пары:

$$ {\left\{ \begin{array}{c} a+5b = c \\ 2a+4b = c \end{array} \right.} \Rightarrow a+5b = 2a+4b \Rightarrow a = b $$

Пусть a = b = 1. Тогда x+y = 1+5 = 2+4 = 6

x+y = 6 — искомое уравнение.

б) (0;2) и (2;5)

Искомое уравнение имеет вид ax+by = c. Подставим обе пары:

$$ {\left\{ \begin{array}{c} 0+2b = c \\ 2a+5b = c \end{array} \right.} \Rightarrow 2b = 2a+5b \Rightarrow a = -1,5b $$

Пусть b = -2. Тогда a = 3 и уравнение:

$3x-2y = 3\cdot0-2\cdot2 = 3\cdot2-2\cdot5 = -4$

3x-2y = -4 — искомое уравнение.

Пример 4. Найдите двузначное число, которое в два раза больше суммы своих цифр.

Пусть a-цифра десятков (a = 1,2,…,9), b- цифра единиц (b = 0,1,…,9).

По условию: 10a+b = 2(a+b)

$$10a+b = 2a+2b \Rightarrow 8a = b$$

Единственное возможное решение: a = 1, b = 8

Ответ:18

Пример 5. Найдите двузначное число, которое при умножении на сумму своих цифр даёт 370.

Пусть a-цифра десятков (a = 1,2,…,9), b- цифра единиц (b = 0,1,…,9).

По условию: (10a+b)(a+b) = 370

Разложим 370 на простые множители: $370 = 2\cdot5\cdot37$

Возможные значения для суммы a+b = {2;5;10}

Рассмотрим a+b = 2. Тогда 10a+b = $\frac{370}{a+b} = \frac{370}{2} = 185 — не \quad двузначное \quad число \Rightarrow$

$a+b \neq 2$

Рассмотрим a+b = 5. Тогда 10a+b = $\frac{370}{5} = 74 \Rightarrow a = 7, b = 4, a+b \neq 5$.

Рассмотрим a+b = 10. Тогда 10a+b = $\frac{370}{10} = 37 \Rightarrow a = 3, b = 7, a+b = 10$.

Значит, искомое число 37.

Ответ: 37

Конспект урока «Линейное уравнение с двумя переменными» 7 класс (А.Г. Мерзляк)

• Давайте вместе искать ответы на поставленные вами вопросы.

Линейным уравнением с двумя переменными называется уравнение вида ax + by = c,

где a,b и c – некоторые числа, а x и y –переменные.

• Среди данных уравнений найдите линейные уравнения с 2 переменными и назовите

коэффициенты а, в, с: а) 6х = 96; б) 7х-5у = 2; в) 4х + 3у⁷; г) х + у = 15; д) х-у = 3.

• Линейные уравнения с двумя переменными, как и все уравнения надо решать.

• Найдите корни уравнения х-у = 12

• Сколько решений имеет это уравнение? (Множество)

• Как вы нашли корни уравнения? (Подбором)

• Как выяснить будет ли данная пара чисел корнем уравнения? (Проверить подстановкой)

• Уравнение x – y = 12 при x = 8, y =-4 обращается в верное равенство 8 – (-4) = 12. Говорят,

что пара значений переменных x = 8, y = -4 является решением этого уравнения).

Попробуйте дать определение решения линейного уравнения с двумя переменными?

(Дети дают определение)

Решением уравнения с двумя переменными называется пара значений переменных,

обращающая это уравнение в верное равенство.

Пары значений переменных иногда записывают короче: (х; у) В такой записи на первом

месте пишут значение x а на втором — y. Одно из решений рассмотренного уравнения

может быть записано в виде (8; -4).

Уравнения с двумя переменными, имеющие одни и те же решения (или не имеющие

решений), называются равносильными.

• Приведите примеры равносильных уравнений. (х+у=7 и х=7-у; =-4 и = -2)

Уравнения с двумя переменными обладают такими же свойствами, что и уравнения с

одной переменной:

1. Если в уравнении перенести любой член из одной части в другую, изменив его знак, то

получится уравнение равносильное данному.

2. Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число (не равное

нулю), то получится уравнение равносильное данному.

• По аналогии с первой строкой, давайте заполним вторую строку таблицы, тем самым

обобщая новый материал.

Рассмотрим уравнение 4x + 2y = 10. Используя свойства уравнений, выразим одну переменную

через другую.

Можем выразить переменную х через переменную у. Для этого оставим 4х в левой части

уравнения, а 2у перенесем в правую, изменив его знак. Получаем равносильное уравнение

4х = – 2у+10.

Разделим каждую часть этого уравнения на число 4, получим равносильное уравнение

х= -0,5у+2,5.

Для того, чтобы выразить переменную у через переменную х, сначала перенесем 4x из левой

части в правую, изменив его знак. Получаем равносильное уравнение 2y = 10 — 4x.

Разделим каждую часть этого уравнения на число 2, получим равносильное уравнение

у = 5 — 2x.

Таким образом, мы выразили одну переменную через другую.

Пользуясь этим равенством, для каждого значения x можно вычислить значение y.

Если x = 2, то y = 5 — 2· 2 = 1.

Если x = -2, то y = 5 — 2· (-2) = 9. Пары чисел (2; 1), (-2; 9) – решения данного уравнения.

Таким образом, данное уравнение имеет бесконечно много решений.

V. Работа с учебником. Открываем учебники на странице 195.

— Найдите в учебниках место, где выделена главная идея темы нашего урока.

Конспект. Урока по алгебре в 7 классе. По теме:

Тема: «Сложение дробей с одинаковыми

Урок по математике. 4 класс. Программа «Школа 2100». по учебнику Л.Г.Петерсон (4 класс, 2 часть, урок 3) Тема: «Сложение дробей с знаменателями». Урок открытия новых знаний. Подготовила: Моисеева Е.Р.

Подробнее

Доли Обыкновенные дроби

Доли Обыкновенные дроби Вопросы к рассмотрению: 1. Доля 2. Половина, треть, четверть 3. Обыкновенная дробь 4. Что показывают числитель и знаменатель дроби 5. Из истории дробей Мама купила арбуз. Разрезала

Подробнее

Урок 2 ( 14 22; с. 4, 5 учебника)

сумму? (Сложения.) разность? (Вычитания.) на сколько больше или меньше? (Вычитания.) VI. Домашнее задание 1. Выполнить задания 12, 13 (с. 4, учебник). 2. Индивидуальное задание на развитие внимания и сообразительности:

Подробнее

Конспект открытого урока

Конспект открытого урока Учитель: Класс: Тема урока: Дата проведения урока: Цели урока: Задачи урока: Применяемые технологии: Токарева Е. А. 3 «А» «Решение уравнений» 5 февраля 2013 года — повышение уровня

Подробнее

Учитель начальных классов: Левыкина А. В

Конспект открытого урока по математике на тему «Сложение и вычитание трехзначных чисел на основе знания их разрядного состава». 2 «А» класс Учитель начальных классов: Левыкина А. В. 15.03.12. Цели: формирование

Подробнее

ОТКРЫТЫЙ УРОК АЛГЕБРЫ В 9-А КЛАССЕ.

113 Учитель математики Кузнецова Г. Ю. ОТКРЫТЫЙ УРОК АЛГЕБРЫ В 9-А КЛАССЕ. Тип урока Тема: Объяснения нового материала и первичного закрепления полученных знаний. «Целое уравнение и его корни». Цели урока:

Подробнее

y 12 = 2y 7,5 y 2y = 12 7,5 -y = 4,5 y = — 4,5

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждениесредняя общеобразовательная школа 7г. Белгорода Разработка урока по теме «Решение уравнений» (6 класс) Подготовила учитель математики Гриценко Т. Г.

Подробнее

Тема: Равнобедренные треугольники.

Конспект урока по учебнику И. И. Аргинской «Математика. 2 класс» (1-4) Учитель Шульженко Ольга Игоревна г. Москва ГБОУ «Школа с углублённым изучением иностранных языков 1900» Тема: Равнобедренные треугольники.

Подробнее

Оборудование: проектор, ноутбуки, рабочие листы, тетради, учебники, раздаточный материал

Достаточно часто в школах мы встречаем ситуацию, когда учитель прекрасно объясняет материал, учащиеся его внимательно слушают, но через несколько минут, выходя из кабинета, забывают, о чем шла речь на

Подробнее

Вынесение общего множителя за скобки

Муниципальное общеобразовательное учреждение Средняя общеобразовательная школа с. Высокое Унечского района Брянской области Открытый урок по математике в 7 класс Вынесение общего множителя за скобки Учитель

Подробнее

ФОРМУЛА КОРНЕЙ КВАДРАТНОГО УРАВНЕНИЯ

Методическая разработка по алгебре (8 класс) ФОРМУЛА КОРНЕЙ КВАДРАТНОГО УРАВНЕНИЯ Амосова Галина Владимировна, учитель математики и информатики ГБОУ СОШ 2 Василеостровского района Санкт-Петербурга «Метод

Подробнее

Сложение и вычитание смешанных чисел

Предмет: Математика Класс: 5 «Б» класс Сложение и вычитание смешанных чисел Учебник: Математика: 5 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, М.С. Якир.

Подробнее

Конспект урока по теме:

Муниципальное общеобразовательное бюджетное учреждение «Лицей 5» Конспект урока по теме: «Функции y = x 1 и y = x 2» Учитель: Сагарда И.В. г. Оренбург 2016 г. Аннотация к уроку Данный урок разработан в

Подробнее

Технологическая карта урока

Технологическая карта урока 1. Учитель: 2. Класс: 5 Дата: Предмет: математика 3. Место и роль урока в изучаемой теме: урок комплексного применения знаний и умений (урок закрепления) третий урок в блоке

Подробнее

Тематическое планирование 8 класса

Тип урока : Урок изучения нового материала ИН Комбинированный урок- К Урок применения знаний и умений ПЗУ Урок закрепления изученного ЗИ Урок обобщения и систематизации знаний ОСЗ Урок проверки и коррекции

Подробнее

Тема: Решение систем уравнений

Цель урока: МОУ гимназия 11 г. Елец Липецкой области Разработчик: учитель информатики Губина Т.Н. Методическая разработка системы интегрированных уроков по информатике и математике в 10 классе Урок 7 Тема:

Подробнее

Линейные уравнения — определение, формулы, примеры и решения

Линейные уравнения — это не что иное, как еще одно подмножество «уравнений». Любые линейные вычисления, требующие более одной переменной, могут быть выполнены с помощью линейных уравнений. Стандартная форма линейного уравнения с одной переменной имеет вид ax + b = 0. Здесь x — переменная, а a и b — константы. В то время как стандартная форма линейного уравнения с двумя переменными имеет вид ax + by = c. Здесь x и y — переменные, а a, b и c — константы.

Что такое линейное уравнение?

Математическое выражение, имеющее знак равенства со знаком «=», называется уравнением. Линейные уравнения — это уравнения степени 1.

Определение линейного уравнения

Линейное уравнение — это уравнение, записанное для двух разных переменных. Это уравнение будет линейной комбинацией этих двух переменных, и может присутствовать константа. Удивительно, но когда любое линейное уравнение отображается на графике, оно обязательно дает прямую линию — отсюда и название: линейные уравнения.

Примеры линейных уравнений

Линейное уравнение можно записать по-разному. Любое простое уравнение относительно x и y можно назвать линейным уравнением, если оно следует определенному набору правил. Например, наивысшая (и единственная) степень обеих переменных — x и y — в уравнении должна быть 1. Кроме этого, могут присутствовать константы (переменные нулевой степени). Чтобы лучше понять, какие уравнения можно назвать линейными или нет, взгляните на следующие уравнения.

Уравнения Линейное или нелинейное
y = 8x — 9 линейная
y = x 2 — 7 Нелинейный
√y + x = 6 Нелинейный
y + 3x — 1 = 0 линейная
y 2 — x = 9 Нелинейный

Что такое линейное уравнение

Линейные уравнения — это широкий спектр уравнений в целом. Могут быть линейные уравнения с одной переменной, линейные уравнения с двумя переменными и так далее. В каждом уравнении одно остается постоянным: наивысшая (и единственная) степень всех переменных в уравнении должна быть 1. Кроме этого, могут присутствовать константы (переменные нулевой степени). Давайте взглянем на следующую игру под названием «Читатель мыслей», которая поможет вам лучше понять линейные уравнения.

Appu создал игру под названием «Mind Reader». Он хочет поиграть со своими друзьями.Поэтому он просит одного из своих друзей, Кайру, придумать число, умножить его на 2 и вычесть из него 5. Затем он спрашивает ее окончательный результат. Кайра говорит: «Это 13», поэтому Аппу сразу же говорит, что изначально Кайра думал о 9. Кайра кивает, и друзья Аппу, включая Кайру, удивлены! Все хотят знать, как работает игра Mind Reader. Вы знаете, как это работает? К концу этого короткого урока вы поймете, как это работает.

Формула линейного уравнения

Формула линейного уравнения составляется от случая к случаю и основана на количестве переменных и самих переменных. Во-первых, переменные должны быть независимыми друг от друга. Предположим, у вас есть x как переменная, тогда вы не можете сохранить x 2 как другую переменную. Во-вторых, наивысшая (и единственная) степень всех переменных в уравнении должна быть 1. Кроме этого, могут присутствовать константы (переменные нулевой степени). Давайте посмотрим на стандартную форму линейного уравнения с переменными x и y:

График линейных уравнений

График линейного уравнения с одной переменной x образует вертикальную линию, параллельную оси y, и наоборот, тогда как график линейного уравнения с двумя переменными x и y образует прямую линию.Причина, по которой уравнение первой степени называется линейным уравнением, состоит в том, что его геометрическое представление представляет собой прямую линию. Выше приведены несколько примеров того, как мы строим линейные уравнения на графике.

Как решать линейные уравнения?

Давайте посмотрим, как решить любое уравнение. Уравнение похоже на весы с одинаковыми весами с обеих сторон. Если мы прибавим или вычтем одно и то же число из обеих частей уравнения, оно все равно останется в силе. Точно так же, если мы умножим или разделим одно и то же число в обеих частях уравнения, оно все равно останется в силе.Рассмотрим уравнение 3x — 2 = 4. Мы выполним математические операции с левой и правой частями, чтобы не нарушить баланс. Теперь добавим 2 с обеих сторон, чтобы уменьшить левую до 3 раз. Это не нарушит баланс. Новое значение LHS равно 3x — 2 + 2 = 3x, а новое значение RHS равно 4 + 2 = 6. Теперь давайте разделим обе стороны на 3, чтобы уменьшить LHS до x. Таким образом, имеем x = 2 . Это всего лишь один из способов решения таких уравнений. Еще один и более эффективный способ — это графическое решение линейных уравнений.

Важные моменты

  • Значения переменной, которая делает линейное уравнение истинным, называются решением или корнем линейного уравнения.
  • На решение линейного уравнения не повлияет добавление, вычитание, умножение или деление одного и того же числа в обе стороны уравнения.
  • График линейного уравнения с одной или двумя переменными представляет собой прямую линию.


Что такое линейное уравнение? Объясните на примере.

Уравнение вида ax + by = c называется линейным уравнением. Здесь x и y — переменные, а a, b и c — константы. Примеры линейного уравнения:

  • y = 4x — 3
  • 7лет — 5x = 1
  • г = 2

Какова формула линейного уравнения?

Стандартная форма линейного уравнения с одной переменной имеет вид ax + b = 0. Здесь x — переменная, а a и b — константы. В то время как стандартная форма линейного уравнения с двумя переменными имеет вид ax + by = c.Здесь x и y — переменные, а a, b и c — константы.

Что такое простое определение линейного уравнения?

Уравнение, которое можно записать в форме ax + by = c, называется линейным уравнением. Это стандартная форма линейного уравнения с двумя переменными x и y.

Почему это называется линейным уравнением?

Это называется линейным уравнением, потому что если вы попытаетесь построить график данного уравнения с переменными x и y на графике с осями как x и y, вы получите линию в качестве результата.Следовательно, оно называется линейным уравнением.

Как вы решаете линейные уравнения? Привести пример.

Мы можем попробовать решить линейное уравнение, переместив переменную часть в одну сторону уравнения, а числовую часть — в другую. Например, x — 1 = 5 — 2x можно решить, взяв числовые части в правой части уравнения, сохранив переменные в левой части. Следовательно, мы получаем x + 2x = 5 + 1. Таким образом, 3x = 6. Отсюда мы можем решить, сказав, что x = 2.

Что такое линейное уравнение в алгебре?

Линейное уравнение в алгебре — это уравнение, которое может быть записано в форме ax + by = c.

Могут ли линейные уравнения иметь дроби?

Да, в линейных уравнениях могут быть дроби только при условии, что знаменатель дробной части является постоянным значением. 2-4 (х + 3)

Утверждения 1 и 2 верны для всех допустимых значений 4.Такие утверждения называются тождествами. Обратите внимание, что присвоение значения 0 переменной x в операторе 2 недопустимо.

Утверждения 3 и 4 верны для некоторых, но не для всех значений x. Утверждение 3 истинно, только если равно 8. Утверждение 4 истинно, только если x равно -3 или 6. Такие утверждения называются уравнениями.

Утверждения 5 и 6 неверны для любого значения x и называются ложными утверждениями.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ Набор всех чисел, которые удовлетворяют уравнению, называется набором решений уравнения.Элементы в наборе решений называются корнями уравнения

Чтобы проверить, является ли значение переменной корнем уравнения, подставьте значение переменной в уравнение, чтобы увидеть, равно ли значение правой части уравнения значению левой части уравнения.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ Уравнение называется линейным, если все переменные в уравнении имеют показатель степени, равный 1, и если ни один член уравнения не имеет более одной переменной в качестве фактора. 2 + x-6 не является линейным уравнением.

Уравнение 1x + xy = 9 не является линейным уравнением относительно x и y.

В этой главе рассматриваются линейные уравнения с одной переменной

Эквивалентные уравнения

ОПРЕДЕЛЕНИЕ Два уравнения называются эквивалентами , если они имеют один и тот же набор решений.

Уравнения 5x + 7 = 2 и x = -1 эквивалентны. Два уравнения имеют один и тот же набор решений, {-1}.

Наборы решений некоторых уравнений очевидны при осмотре.Набор решений уравнения x + 4 = 10 равен {6}, поскольку 6 — единственное число, которое при добавлении к 4 равно 10. Набор решений уравнения 5x — 2 = 3 (x + 4) не равен так очевидно.

Чтобы решить уравнение, то есть найти множество его решений, можно применить две теоремы, чтобы получить эквивалентное уравнение, решение которого очевидно.

ТЕОРЕМА 1 lfP, Q и T — многочлены от одной и той же переменной, а P = Q — уравнение, тогда P — Q и P + T = Q + T эквивалентны.

Теорема 1 утверждает, что для уравнения P = Q мы можем добавить любой многочлен T от той же переменной, что и P и Q, к обеим сторонам уравнения, получив таким образом эквивалентное уравнение P + T = Q + T.

Два уравнения 4x -1 = 3x +5 и 4x — 1 + (1 — 3x) = 3x + 5 + (1-3x), которые упрощаются до x = 6, эквивалентны. Их набор решений — {6}.

ТЕОРЕМА 2

Два уравнения x = 2 и 5 (x) = 5 (2), то есть 5x = 10, эквивалентны.2 = 25 равно {-5,5}.

Примечание Набор решений линейного уравнения с одной переменной имеет ровно один элемент.

Решение уравнений

Учитывая линейное уравнение с одной переменной, мы можем использовать одну или обе предыдущие две теоремы, чтобы сформировать эквивалентное уравнение вида 1x = a, множество решений которого равно {a}.

Когда коэффициент переменной в уравнении не равен 1, как в случае b / cx = d, эквивалентное уравнение вида 1x = ac можно получить, умножив обе части уравнения на мультипликативную обратную (обратную) величину коэффициента x в исходном уравнении.

Мультипликативная обратная величина к b / c равна c / b, так как b / c * c / b = 1.

Таким образом, если коэффициент переменной имеет вид b / c, умножьте обе части уравнения на c / b.

ПРИМЕР Найдите набор решений уравнения 14x = -21.

Решение Коэффициент при x равен 14

Множитель, обратный 14, равен 1/14.

Умножьте обе части уравнения на 1/14.

1/14 (14x) = 1/14 (-21) 1 * x = — (21/14) x = — (3/2)

Набор решений: {- (3/2)}.

Давайте посмотрим, как наш решатель линейных уравнений решает это и подобные уравнения. Нажмите кнопку «Решить похожие», чтобы увидеть больше примеров.

ПРИМЕР Найдите набор решений уравнения x / -4 = 12.

Решение Член x / -4 = — (1/4) x.

Коэффициент при x равен -1/4.

Множитель, обратный — (1/4), равен — (4/1).

Умножьте обе части уравнения на — (4/1)

— (4/1) (х / -4) = — (4/1) (12)

1 * х = -48

х = -48

Набор решений: {-48}.

Примечание Поскольку x означает 1x, мы опускаем 1.

ПРИМЕР Найдите набор решений уравнения 5 / 7x = 15

Решение

Мультипликативная обратная величина 5/7 равна 7/5.

Умножьте обе части уравнения на 7/5.

7/5 * 5 / 7x = 7/5 (15)

Следовательно, x = 7/5 * 15/1 = 21

Набор решений: {21}

ПРИМЕР Найдите набор решений уравнения 1.3х = -39.

Решение Когда коэффициент переменной находится в десятичной форме, будет проще, если его заменить на обыкновенную дробь:

1,3x = -39 эквивалентно 13 / 10x = -39

Умножьте обе части уравнения на 10/13

10/13 * 13 / 10x = 10/13 (-39)

Следовательно, x = 10/13 * -39/1 = — ((10 * 39) / 13) = -30

Набор решений: {-30}

Давайте посмотрим, как наш математический калькулятор решает это и подобные уравнения. Нажмите кнопку «Решить похожие», чтобы увидеть больше примеров.

ПРИМЕР Найдите набор решений уравнения — ((7x) / 8) = 35/36.

Решение Коэффициент при x равен — (7/8).

Мультипликативная обратная величина — (7/8) равна — (8/7)

Умножьте обе части уравнения на — (8/7)

— (8/7) (- (7/8) x) = — (8/7) (35/36)

Следовательно, x = — ((8 * 35) / (7 * 36)) = — (10/9)

Набор решений: {10/9}.

Если уравнение содержит более одного члена, содержащего переменную в качестве фактора, объедините члены, используя закон распределения умножения.

ПРИМЕР Найдите набор решений уравнения 3x + 4x-2x = 8.

Решение

3x + 4x-2x = 8

(3 + 4 + 2) х = 8

5x = 8

Следовательно, x = 8/5

Набор решений: {8/5}.

Когда некоторые члены уравнения содержат дроби, чтобы облегчить объединение одинаковых членов, сформируйте эквивалентное уравнение, содержащее только целые числа. 2 = 72

Умножьте обе части уравнения на 72/1:

.

72/1 (8 / 9x-1 / 6x-3 / 4x) = 72/1 (1/8)

72/1 (8 / 9x) +72/1 (- (1/6) x) +72/1 (- (3/4) x) = 9

64x-12x-54x = 9

(64-12-54) х = 9

-2x = 9

х = -9/2

Чтобы проверить ответ, подставьте -9/2 вместо x в каждой части исходного уравнения отдельно:

Набор решений: {-9/2}.

Давайте посмотрим, как наш решатель линейных уравнений решает это и подобные уравнения. Нажмите кнопку «Решить похожие», чтобы увидеть больше примеров.

ПРИМЕР Перечислить элементы в наборе

Решение Рассмотрим утверждение

2x + 3x — 5x = 0

(2 + 3-5) х = 0

0x = 0

Поскольку 0x = 0 истинно для любого действительного значения x, мы имеем

ПРИМЕР Перечислить элементы в наборе

Решение Рассмотрим утверждение

10x-8x-2x = 4

(10-8-2) х = 4

0x = 4

Поскольку 0x = 4 неверно для любого реального значения x, мы имеем

Иногда обе стороны уравнения содержат члены, в которых переменная является фактором, а также члены, в которых переменная не используется в качестве фактора. Чтобы найти набор решений уравнения, сформируйте эквивалентное уравнение, в котором есть все члены с переменной в качестве фактора на одной стороне уравнения. Термины, не имеющие переменной в качестве фактора, должны появиться на другой стороне.

Эквивалентное уравнение может быть составлено путем добавления отрицательных (аддитивных обратных) членов к обеим сторонам уравнения.

Рассмотрим уравнение 8x-5 = 6x + 7

Прибавляем (+5) к обеим сторонам: 8x-5 + 5 = 6x + 7 + 5

8x + 0 = 6x + 12

8x = 6x +12

Добавьте (-6x) к обеим сторонам: 8x + (- 6x) = 6x + 12 + (- 6x)

2x = 12

х = 6

Набор решений: {6}.

Замечание Важно понимать разницу между двумя уравнениями

3x = 15 и 3 + x = 15

В 3x = 15, 3 — коэффициент при x; таким образом, чтобы найти x, умножьте обе части уравнения на (1/3).

1/3 (3x) — 1/3 (15)

х = 5

Набор решений: {5}.

В 3 + x = 15, 3 — член; таким образом, чтобы найти x, прибавьте (-3) к обеим частям уравнения.

3 + х + (- 3) = 15 + (- 3)

х = 12

Набор решений: {12}.

ПРИМЕР Решите уравнение 2x-x-3 = 10 + 7x-4

Решение Добавьте (+3 -7x) к обеим частям уравнения.

2x-x-3 + (+ 3-7x) -10 + 7x-4 + (+ 3-7x)

2x-x-3 + 3-7x = 10 + 7x-4 + 3-7x

-6x = 9

х = — (9/6) = — (3/2)

Набор решений: {-3/2}.

Примечание Если уравнение содержит смешанные числа, замените смешанные числа на неправильные дроби.

ПРИМЕР Решите уравнение 31 / 2x-22 / 3x-7 = x / 6 + 12/3.

Решение Сначала замените смешанные числа на неправильные дроби

7 / 2x-8 / 3x-7 = x / 6 + 5/3

Умножьте обе части уравнения на наименьшее общее кратное 2, 3, 6 и 3, которое равно 6.

6/1 (7 / 2x-8 / 3x-7) = 6/1 (x / 6 + 5/3)

6/1 (7 / 2x) +6/1 (-8 / 3x) +6/1 (-7) = 6/1 (x / 6) +6/1 (5/3)

21x-16x-42 = x + 10

Добавьте (+ 42-x) к обеим частям уравнения.

21x-16x-42 + 42-x = x + 10 + 42-x

4x = 52

х = 13

Набор решений: {13}.

Давайте посмотрим, как наш калькулятор линейных уравнений решает это и подобные уравнения. Нажмите кнопку «Решить похожие», чтобы увидеть больше примеров.

Линейные и нелинейные уравнения

Пояснение:

Данное уравнение имеет вид y = 2x + 3.Поскольку уравнение имеет две переменные x и y, возьмем две
случайные значения x и вычислить соответствующие значения y, подставив x в уравнение.

Возьмем x = 1 и x = –1.

х у

+1 2 (+1) + 3 = 5
–1 2 (–1) + 3 = 1

Теперь нанесем две точки (1,5) и (–1,1) на график, как показано на рисунке.
ниже.

Теперь вы можете просто соединить эти две точки прямой линией, и это даст вам
требуемый график данного уравнения.

Вы также можете изменить полученный график в виде прямой линии, взяв более двух точек.
и объединение их в качестве уравнения является линейным уравнением первой степени.Полный сюжет
график по 5 точкам (1,5) , (0,3) , (–1,1) , (–2, –1) , (–3, –3) был показано ниже, которое представляет собой прямую линию, как и ожидалось.

Math 1010 on-line — Линейные уравнения

  1. Уникальное решение

    Предполагать
    . В этом случае есть одно и только одно решение,
    а именно

    Например, уравнение имеет
    решение, и другого решения нет. Мы говорим, что
    уравнение имеет уникальное решение . Это, безусловно, самый частый и
    самый главный случай.

  2. Нет решений

    Предположим

    а также . В этой ситуации у нас есть
    уравнение вроде и явно нет решения нет .


  3. Бесконечно много решений

    Предположим

    а также .В этой ситуации у нас есть
    уравнение
    и это явно верно для всех значений. Есть
    бесконечно много решений .

Очевидно, что других возможностей нет, и мы отмечаем важное
тот факт, что линейное уравнение может не иметь ни одного, одного или бесконечного множества
решения.
Например, невозможно, чтобы линейное уравнение
есть два решения.

Суть решения линейного уравнения состоит в том, чтобы признать, что
уравнение является линейным, и преобразовать его в приведенную выше простую форму. В оставшейся части этой страницы этот процесс будет проиллюстрирован для
все более сложные уравнения.

Материал на этой странице иллюстрирует три наших

принципы:

Ниже вы увидите несколько примеров того, как уравнение, линейность которого
неочевидно, может быть преобразовано в однозначно линейное уравнение. В
примеры охватывают большинство или все техники, необходимые для этого класса,
но, конечно, список далеко не исчерпывающий.

  • Пример 1.

    Вычитаем и с обеих сторон и получаем новое и
    эквивалентное линейное уравнение

  • Пример 2.

    Вычитаем с обеих сторон и получаем уравнение, подобное
    что в предыдущем примере.

  • Пример 3.

    Применяем распределительный закон к обеим сторонам и получаем

    что похоже на уравнение в предыдущем примере.

  • Пример 4.

    Две стороны одинаковы, если их взаимные значения одинаковы, и поэтому
    получить такое уравнение
    в примере 1:

  • Пример 5.

    Замена двух сторон их взаимными в этом не помогает.
    дело. Нам нужно избавиться от знаменателей. Для этого мы умножаем
    с обоими знаменателями с обеих сторон и получим

    Отмена общих множителей дает уравнение, подобное приведенному в Примере 3:

Вкратце таковы принципы. Есть конечно отличные
еще много примеров и упражнений в вашем учебнике.

Нелинейные уравнения

Важно понимать, что не все уравнения линейны.Например, уравнение

имеет решения и, и это не линейно.
Поскольку у него есть два решения, что невозможно для линейного
уравнение, мы можем сказать, не пытаясь, что его нельзя преобразовать в.

Линейное уравнение | Britannica

Линейное уравнение , утверждение, что многочлен первой степени, то есть сумма набора членов, каждый из которых является произведением константы и первой степени переменной, равен константе. В частности, линейное уравнение в переменных n имеет вид a 0 + a 1 x 1 +… + a n x = c , в котором x 1 ,…, x n — переменные, коэффициенты a 0 ,…, a n , а c — постоянная. Если существует более одной переменной, уравнение может быть линейным по некоторым переменным, но не по другим. Таким образом, уравнение x + y = 3 является линейным как для x , так и для y, , тогда как x + y 2 = 0 является линейным для x , но не для y. Любое уравнение двух переменных, линейных по каждой, представляет собой прямую линию в декартовых координатах; если постоянный член c = 0, прямая проходит через начало координат.

Подробнее по этой теме

Восточноазиатская математика: Решение систем одновременных линейных уравнений

Девять глав посвящает главу решению одновременных линейных уравнений, то есть совокупности отношений между …

Система уравнений, имеющая общее решение, называется системой одновременных уравнений. Например, в системе

оба уравнения удовлетворяются решением x = 2, y = 3. Точка (2, 3) является пересечением прямых линий, представленных двумя уравнениями. См. Также правило Крамера .

Получите подписку Britannica Premium и получите доступ к эксклюзивному контенту.
Подпишитесь сейчас

Линейное дифференциальное уравнение первой степени относительно зависимой переменной (или переменных) и ее (или их) производных. В качестве простого примера обратите внимание на dy / dx + Py = Q , в котором P и Q могут быть константами или могут быть функциями независимой переменной, x, , но не включают зависимую переменную, лет. В особом случае, когда P является константой и Q = 0, это представляет собой очень важное уравнение для экспоненциального роста или распада (например, радиоактивного распада), решение которого: y = k e Px , где e — основание натурального логарифма.

Решение линейных уравнений: все типы

An

уравнение

должен иметь знак равенства,
как в

3

Икс

+

5

знак равно

11

.

А

линейное уравнение

— это переменная, в которой переменные умножаются на числа или добавляются к числам, и ничего более сложного, чем это (без экспонентов, квадратных корней,

1

Икс

, или любой другой забавный бизнес).

А

решение

к уравнению это число
который можно подключить к переменной, чтобы получить истинное числовое выражение.

Например, подставив

2

для

Икс

в

3

Икс

+

5

знак равно

11

дает

3

(

2

)

+

5

знак равно

11

, что говорит

6

+

5

знак равно

11

; это правда!
Так

2

это решение.

Но как начать с уравнения и получить (не догадываться)
решение?

Одношаговые линейные уравнения

Некоторые линейные уравнения можно решить за одну операцию.
Для этого типа уравнения используйте

обратный
операция

решать.


Пример 1:

Решить для

п

.

п

+

8

знак равно

10

Обратной операцией сложения является вычитание.Итак, вычтите

8

с обеих сторон.

п

+

8

8

знак равно

10

8

п

знак равно

2


Пример 2:

Решить для

y

.

3

4

y

знак равно

15

Обратная операция умножения — это деление.Итак, разделите обе стороны на

3

4

(

что то же самое, что умножение на

4

3

)

.

4

3

3

4

y

знак равно

4

3

15

y

знак равно

20

Двухступенчатые линейные уравнения

Чаще всего нам нужны две операции для решения линейного
уравнение.


Пример 3:

Решить для

Икс

.

3

Икс

+

5

знак равно

11

3

Икс

+

5

знак равно

11

Данный
уравнение.

3

Икс

+

5

5

знак равно

11

5

Чтобы изолировать переменную, мы следуем порядку операций в обратном порядке. Мы отменяем сложение перед отменой умножения.

Вычесть

5

с обеих сторон.

3

Икс

знак равно

6

Мы отменили одну операцию. Еще один.

3

Икс

3

знак равно

6

3

Разделите обе стороны на

3

.

Икс

знак равно

2

Мы решили уравнение!

То, что делает эти уравнения

линейный

является
что высшая сила

Икс

является

Икс

1

(нет

Икс

2

или другой
полномочия; для тех, см.

квадратные уравнения

а также

многочлены

).

Другие линейные уравнения имеют более одной переменной: например,

y

знак равно

3

Икс

+

2

. Это уравнение имеет не одно, а бесконечно много решений; решения могут быть

нарисованный

как линия на плоскости.

Системы линейных уравнений

В первой половине этого учебника мы будем в первую очередь сосредоточены на понимании решений систем линейных уравнений.

Определение

Уравнение с неизвестными x, y, z, … называется линейным , если обе части уравнения являются суммой (постоянных) кратных x, y, z, … плюс необязательная константа.

Например,

3x + 4y = 2z − x − z = 100

— линейные уравнения, но

3x + yz = 3sin (x) −cos (y) = 2

— нет.

Обычно мы перемещаем неизвестные в левую часть уравнения, а константы — вправо.

Система линейных уравнений представляет собой набор нескольких линейных уравнений, например

Ax + 2y + 3z = 62x − 3y + 2z = 143x + y − z = −2. (1.1.1)

Определение (наборы решений)
  • Решение системы уравнений — это список чисел x, y, z, …, которые делают все уравнения истинными одновременно.
  • Набор решений системы уравнений — это совокупность всех решений.
  • Решение система означает нахождение всех решений с формулами, включающими некоторое количество параметров.

Система линейных уравнений не требует решения.Например, не существует чисел x и y, при которых одновременно выполняются следующие два уравнения:

Сх + 2у = 3х + 2у = −3.

В данном случае набор решений — пустой . Поскольку это довольно важное свойство системы уравнений, оно имеет собственное название.

Определение

Система уравнений называется несогласованной , если она не имеет решений. В противном случае он называется , согласованный .

Решение системы уравнений от n переменных — это список из n чисел. Например, (x, y, z) = (1, −2,3) является решением (1.1.1). Поскольку в этом тексте мы будем изучать решения систем уравнений, сейчас хорошее время, чтобы исправить наши представления о списках чисел.

Мы используем R для обозначения набора всех действительных чисел, то есть числовой прямой. Он содержит числа вроде 0,32, −π, 104, …

.

Определение

Пусть n — целое положительное число. Определяем

Rn = все упорядоченные наборы вещественных чисел (x1, x2, x3, …, xn).

Набор из n действительных чисел называется точкой Rn.

Другими словами, Rn — это просто набор всех (упорядоченных) списков n действительных чисел. Сейчас мы нарисуем Rn, но имейте в виду, что — это определение . Например, (0,32, −π) и (1, −2,3) являются точками R3.

Пример (числовая строка)

Когда n = 1, мы просто возвращаем R: R1 = R. Геометрически это числовая прямая.

Пример (Евклидова плоскость)

Когда n = 2, мы можем рассматривать R2 как плоскость xy. Мы можем это сделать, потому что каждая точка на плоскости может быть представлена ​​упорядоченной парой действительных чисел, а именно ее координатами x и y.

Пример (3-пробел)

Когда n = 3, мы можем думать о R3 как о пространстве , в котором мы (кажется) живем. Мы можем это сделать, потому что каждая точка в пространстве может быть представлена ​​упорядоченной тройкой вещественных чисел, а именно ее x-, y- и z-координаты.

Так что же такое R4? или R5? или Rn? Их труднее визуализировать, поэтому вам нужно вернуться к определению: Rn — это набор всех упорядоченных наборов n действительных чисел (x1, x2, x3, …, xn).

Они по-прежнему являются «геометрическими» пространствами в том смысле, что наша интуиция относительно R2 и R3 часто распространяется на Rn.

Мы сделаем определения и теоремы, применимые к любому Rn, но мы будем рисовать только изображения для R2 и R3.

Сила использования этих пространств заключается в возможности пометить различных объектов интереса, таких как геометрические объекты и решения систем уравнений, точками Rn.

В приведенных выше примерах с психологической точки зрения было полезно заменить список из четырех чисел (представляющих поток трафика) или из 841 числа (представляющих QR-код) одним фрагментом данных: точкой в ​​некотором Rn.Это мощная концепция; начиная с раздела 2.2, мы будем почти исключительно записывать решения систем линейных уравнений таким способом.

Прежде чем обсуждать, как решить систему линейных уравнений ниже, полезно увидеть некоторые изображения того, как эти наборы решений выглядят геометрически.

Одно уравнение с двумя переменными

Рассмотрим линейное уравнение x + y = 1. Мы можем переписать это как y = 1 − x, что определяет прямую на плоскости: наклон равен −1, а точка пересечения по оси x равна 1.

Определение (линии)

Для наших целей линия — это луч, который равен прямым и бесконечным в обоих направлениях.

Одно уравнение в трех переменных

Рассмотрим линейное уравнение x + y + z = 1. Это неявное уравнение для плоскости в пространстве.

Определение (самолеты)

Плоскость — это плоский лист, бесконечный во всех направлениях.

Уравнение x + y + z + w = ​​1 определяет «3-плоскость» в 4-м пространстве, и, в более общем смысле, одно линейное уравнение с n переменными определяет «(n − 1) -плоскость» в n-пространстве. .Мы уточним эти утверждения в разделе 2.7.

Два уравнения с двумя переменными

Теперь рассмотрим систему двух линейных уравнений

Cx − 3y = −32x + y = 8.

Каждое уравнение индивидуально определяет линию на плоскости, изображенную ниже.

Решение системы обоих уравнений — это пара чисел (x, y), которая делает оба уравнения одновременно истинными. Другими словами, это точка, лежащая одновременно на обеих линиях. На картинке выше видно, что есть только одна точка пересечения линий: следовательно, эта система имеет ровно одно решение.(Это решение (3,2), как может убедиться читатель. )

Обычно две линии на плоскости пересекаются в одной точке, но, конечно, это не всегда так. Рассмотрим теперь систему уравнений

Cx − 3y = −3x − 3y = 3.

Они определяют параллельных прямых на плоскости.

Тот факт, что линии не пересекаются, означает, что система уравнений не имеет решения. Конечно, это легко увидеть алгебраически: если x − 3y = −3, то не может быть и x − 3y = 3.

Есть еще одна возможность. Рассмотрим систему уравнений

Cx − 3y = −32x − 6y = −6.

Второе уравнение кратно первому, поэтому эти уравнения определяют такую ​​же линию на плоскости.

В этом случае решений системы уравнений бесконечно много.

Два уравнения с тремя переменными

Рассмотрим систему двух линейных уравнений

Bx + y + z = 1x − z = 0.

Каждое уравнение индивидуально определяет плоскость в пространстве.Решениями системы обоих уравнений являются точки, лежащие на обеих плоскостях. На картинке ниже мы видим, что плоскости пересекаются в линию. В частности, у этой системы бесконечно много решений.

Рисунок 21 Плоскости, определяемые уравнениями x + y + z = 1 и x − z = 0, пересекаются красной линией, которая является множеством решений системы обоих уравнений.

В общем случае решение системы уравнений от n переменных является пересечением «(n − 1) -плоскостей» в n-пространстве. Это всегда какое-то линейное пространство, о чем мы поговорим в разделе 2.4.

Согласно этому определению, решение системы уравнений означает запись всех решений через некоторое количество параметров. Мы дадим систематический способ сделать это в Разделе 1.3; а пока мы дадим параметрические описания в примерах предыдущего раздела.

Строки

Рассмотрим линейное уравнение x + y = 1 этого примера. В этом контексте мы называем x + y = 1 неявным уравнением линии. Мы можем записать ту же строку в параметрической форме следующим образом:

(x, y) = (t, 1 − t) для любого t∈R.

Это означает, что каждая точка на прямой имеет вид (t, 1 − t) для некоторого действительного числа t. В этом случае мы называем t параметром , поскольку он параметризует точек на линии.

Теперь рассмотрим систему двух линейных уравнений

Bx + y + z = 1x − z = 0

этого примера. Все вместе они образуют неявных уравнений для линии в R3. (Для определения линии в пространстве необходимы как минимум два уравнения.) Эта линия также имеет параметрическую форму с одним параметром t:

(х, у, z) = (t, 1-2t, t).

Рисунок 24 Плоскости, определяемые уравнениями x + y + z = 1 и x − z = 0, пересекаются желтой линией, которая параметризуется как (x, y, z) = (t, 1−2t, t). Переместите ползунок, чтобы изменить параметризованную точку.

Обратите внимание, что в каждом случае параметр t позволяет нам использовать R до , обозначая точек на линии. Однако ни одна из линий не совпадает с числовой прямой R: действительно, каждая точка в первой строке имеет две координаты, как точка (0,1), и каждая точка во второй строке имеет три координаты, например (0,1 , 0).

Самолеты

Рассмотрим линейное уравнение x + y + z = 1 этого примера. Это неявное уравнение плоскости в пространстве. У этой плоскости есть уравнение в параметрической форме : мы можем записать каждую точку на плоскости как

(x, y, z) = (1 − t − w, t, w) для любого, w∈R.

В данном случае нам нужны два параметра t и w для описания всех точек на плоскости.

Рисунок 26 — Плоскость в R3, определяемая уравнением x + y + z = 1. Эта плоскость параметризуется двумя числами t, w; переместите ползунки, чтобы изменить параметризованную точку.

Обратите внимание, что параметры t, w позволяют нам использовать от R2 до для обозначения точек на плоскости. Однако эта плоскость , а не такая же, как плоскость R2: действительно, каждая точка на этой плоскости имеет три координаты, как и точка (0,0,1).

Когда существует уникальное решение, как в этом примере, нет необходимости использовать параметры для описания набора решений.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.