Формула иксов дискриминанта: § Школьная математика. Математика 6 класс. Уроки по математике. Математика 5 класс

Содержание

Формула дискриминанта через k

Формула №1:

b ± √D
x
= ————, где
D = b 2 – 4ac.
2
a

Латинской буквой D обозначают дискриминант.

Дискриминант — это выражение, от которого зависит число корней данного уравнения.

Если D 0, то уравнение имеет два корня.

Пример . Решим уравнение 12x 2 + 7x + 1 = 0.

Сначала вычислим дискриминант.

D = b 2 – 4ac = 7 2 – 4 · 12 · 1 = 49 – 48 = 1.

D > 0. Значит, уравнение имеет корни (причем два корня), а значит, можно вычислять дальше.

Чтобы найти корни, применим формулу корней квадратного уравнения:

Находим оба значения x:

Формула №2.

Из формулы №1 можно получить другую формулу, которой удобно пользоваться в случаях, когда второй коэффициент – четное число. В этом случае раскладываем его на множители, один из которых – множитель 2. То есть второй коэффициент представляем в виде 2k, где k – это половина изначально заданного числа. Тогда удобно пользоваться формулой:

k ± √D1
x = ———
, где D1 = k 2 – ac
a

Пример . Решим уравнение 5x 2 – 16x + 3 = 0.

Записываем -16x в виде 2 · (-8x). Тогда k = -8, a = 5, c = 3. Мы уже можем найти дискриминант D1:

Теперь находим оба значения x:

При решении квадратного уравнения по данным формулам целесообразно поступать следующим образом:

1) вычислить дискриминант и сравнить его с нулем;

2) если дискриминант положителен или равен нулю, то воспользоваться формулой корней; если дискриминант отрицателен, то записать, что корней нет.

Дискриминант квадратного уравнения – это выражение, находящееся под корнем в формуле нахождения корней квадратного уравнения. Дискриминант обозначается латинской буквой D.

Все формулы нахождения корней квадратных уравнений можно записать короче с помощью дискриминанта:

Дискриминант позволяет определить, имеет ли уравнение корни и сколько их, не решая само уравнение:

  1. Если дискриминант больше нуля, то уравнение имеет два корня.
  2. Если дискриминант равен нулю, то уравнение имеет один корень.
  3. Если дискриминант меньше нуля, то уравнение не имеет корней.

Несмотря на то, что есть несколько формул дискриминанта, чаще всего используют первую:

так как она относится к формуле:

которая является универсальной формулой нахождения корней квадратного уравнения. Данная формула подходит даже для неполных квадратных уравнений.

Решение квадратных уравнений через дискриминант

Для решения квадратного уравнения по формуле можно сначала вычислить дискриминант и сравнить его с нулём. В зависимости от результата, либо искать корни по формуле, либо сделать вывод, что корней нет.

Пример 1. Решить уравнение:

Определим, чему равны коэффициенты:

D = b 2 — 4ac = (-4) 2 — 4 · 3 · 2 = 16 — 24 = -8, D 2 — 6x + 9 = 0

Определим, чему равны коэффициенты:

D = b 2 — 4ac = (-6) 2 — 4 · 1 · 9 = 36 — 36 = 0, D = 0

Уравнение имеет всего один корень:

Определим, чему равны коэффициенты:

D = b 2 — 4ac = (-4) 2 — 4 · 1 · (-5) = 16 + 20 = 36, D > 0

Мы уже разобрали, как решать квадратные уравнения. Теперь давайте более подробно рассмотрим, что называют дискриминантом квадратного уравнения.

Вернемся к нашей формуле для нахожденя корней квадратного уравнения.

x1;2 =

−b ± √ b 2 − 4ac
2a

Выражение « b 2 − 4ac », которое находится под корнем, принято называть дискриминантом и обозначать буквой « D ».

По-другому, через дискриминант формулу нахождения корней квадратного уравнения можно записать так:

x1;2 =

, где « D = b 2 − 4ac »

По одной из версий термин «Дискриминант» произошел от латинского discriminantis, что означает «отличающий» или «различающий».

В зависимости от знака « D » (дискриминанта) квадратное уравнение может иметь два, один или ни одного корня. Рассмотрим все три случая.

I случай

D > 0
(дискриминант больше нуля)

D —> , где « D = b 2 − 4ac »
—> —> D = b 2 − 4ac
D = 5 2 − 4 · 2 · (−7)
D = 25 + 56
D = 81
D > 0

x1;2 =

x1;2 =

x1;2 =

x2 = −5 − 9 4 x1 = 4 4 x2 = −14 4 x1 = 1 x2 = −3 2 4 x1 = 1 x2 = −3 1 2

Ответ: x1 = 1; x2 = −3

Вывод: когда « D > 0 » в квадратном уравнении два корня .

II случай

D = 0
(дискриминант равен нулю)

16x 2 − 8x + 1 = 0

D = b 2 − 4ac
D = (−8) 2 − 4 · 16 · 1
D = 64 − 64
D = 0

x1;2 =

x1;2 =

x1;2 =

x =

x =

Ответ: x =

Вывод: когда « D = 0 » в квадратном уравнении один корень .

III случай

D
(дискриминант меньше нуля)

D = b 2 − 4ac
D = (−6) 2 − 4 · 9 · 2
D = 36 − 72
D = −36
D

x1;2 =

x1;2 =

Ответ: нет действительных корней

Вывод: когда « D » в квадратном уравнении нет корней .

Нахождение дискриминанта, формула, сравнение с нулём

Дискриминант — многозначный термин. В данной статье речь пойдёт о дискриминанте многочлена, который позволяет определить, есть ли у данного многочлена действительные решения. Формула для квадратного многочлена встречается в школьном курсе алгебры и анализа. Как найти дискриминант? Что нужно для решения уравнения?

Квадратный многочлен, как искать его корни

Квадратным многочленом или уравнением второй степени называется i * w ^ 2 + j * w + k равный 0, где «i» и «j» — первый и второй коэффициент соответственно, «k» — константа, которую иногда именуют «свободным членом», а «w» — переменная. Его корнями окажутся все значения переменной, при которых оно превращается в тождество. Такое равенство допустимо переписать, как произведение i, (w — w1) и (w — w2) равное 0. В этом случае очевидно, что если коэффициент «i» не обращается в ноль, то функция в левой части станет нулевой только в случае, если x принимает значение w1 или w2. Эти значения являются результатом приравнивания многочлена к нулю.

Для нахождения значения переменной, при котором квадратный многочлен обращается в ноль, используется вспомогательная конструкция, построенная на его коэффициентах и названная дискриминантом. Эта конструкция рассчитывается согласно формуле D равняется j * j — 4 * i * k. Зачем она используется?

  1. Она говорит, имеются ли действительные результаты.
  2. Она помогает их высчитать.

Как это значение показывает наличие вещественных корней:

  • Если оно положительное, то можно найти два корня в области действительных чисел.
  • Если дискриминант равен нулю, то оба решения совпадают. (1/2).
  • Нахождение результата в соответствии с формулой (-j +/- d) / (2 * i).
  • Подстановка полученного результата в исходное равенство для проверки.
  • Некоторые частные случаи

    В зависимости от коэффициентов решение может несколько упрощаться. Очевидно, что если коэффициент перед переменной во второй степени равен нулю, то получается линейное равенство. Когда коэффициент перед переменной в первой степени нулевой, то возможны два варианта:

    1. многочлен раскладывается в разность квадратов при отрицательном свободном члене;
    2. при положительной константе действительных решений найти нельзя.

    Если свободный член нулевой, то корни будут {0; -j}

    Но есть и другие частные случаи, упрощающие нахождение решения.

    Приведенное уравнение второй степени

    Приведенным именуют такой квадратный трёхчлен, где коэффициент перед старшим членом — единица. Для данной ситуации применима теорема Виета, гласящая, что сумма корней равняется коэффициенту при переменной в первой степени, помноженному на -1, а произведение соответствует константе «k». 2 + 18 * i * j * k * m.

    Допустим, дискриминант превосходит ноль. Это значит, что имеется три корня в области действительных чисел. При нулевом есть кратные решения. Если D < 0, то два корня комплексно-сопряженные, которые дают отрицательное значение при возведении в квадрат, а также один корень — вещественный.

    Видео

    Наше видео подробно расскажет о вычислении дискриминанта.

    Формула дискриминанта — правила и примеры вычисления корней квадратных уравнений

    Общие сведения


    Решение квадратных уравнений — одно из ключевых моментов в математике. Ещё древние вавилоняне и греки пытались найти закономерности при решении таких равенств. Но первым, кто описал методы нахождения дополнением квадрата, был индийский философ Будхаяма. Именно он предложил записывать уравнения в виде: ax 2 = c и ax 2 + bx = c. В дальнейшем способы усовершенствовались. Так, Евклид предложил метод геометрического вычисления ответа.


    Но наиболее значимым стало открытие Буля. Изучая формулы различных уравнений, он пришёл к выводу, что выражения почти всегда можно упростить, заменив переменные другим набором, содержащим новые неизвестные. При этом, найдя их, определить первоначальные уже не составляет труда.


    Такой способ был применён и к квадратному уравнению. Благодаря ему стало возможным упростить квадратичную форму с двумя переменными, используя дискриминант. Это понятие тесно связано с многочленом, имеющим следующий вид: d (m) = a 0 *mn + a 1 *mn-1 + a 2 *mn-2 + … + a n-1 *m + a n, где m — искомое неизвестное, a n, a n-1, a n-2, … a 1 и a 0 — числовые постоянные.


    Термин «дискриминант» был придуман не математиками, но успешно стал ими использоваться при вычислении квадратичных функций. Произошёл он от латинского слова discriminans, что в дословном переводе означает «разделяющий». Важной величиной стало значение, придуманное Булем и имеющее вид b2 — 4ac. Учёный открыл, что после того как переменные линейно изменятся, дискриминант будет равняться первоначальному, умноженному на член, находимому из функции поведения неизвестных.


    При решении равенств, содержащих формулу дискриминанта и его корней, используют формулу для быстрого определения количества возможных решений и их числового нахождения. Математически определение записывают следующим образом: p (x) = m + mx + ⋯ + mx, m ≠ 0, где: D (p) = m∏(m − m). То есть дискриминантом многочлена p (x) является сумма произведений корней на неизвестный коэффициент в основном поле их существования.

    Смысл дискриминанта


    Дискриминант — одно из эффективных решений квадратных выражений. С его помощью легко можно выявить, сколько корней имеет уравнение или установить, что их нет. Применять его можно как к полным квадратным равенствам, так и неполным. Но всё же во втором случае использовать дискриминант не нужно.


    Эта тема изучается в седьмом и восьмом классе средней школы. Лучше понять смысл параметра поможет простой пример. Пусть имеется уравнение вида m2 + 2m — 8 = 0. Не имея понятие о дискриминанте, решение уравнения сводится к приведению его к формуле квадрата суммы m2 + 2m +1 — 1- 8 = 0. Добавление и вычитание единицы возможно, так как в итоге получается сложение с нулём.


    Первые три члена представляют собой квадрат суммы, который можно свернуть по формуле сокращённого умножения до вида a2 +2ab + b2 = (a+b)2. Отсюда, применительно к рассматриваемому примеру, получится: (m + 1)2 — 1 — 8 = 0. После преобразований с переносом неизвестного в одну сторону (а известных — в другую) и раскрытием скобки получится равенство: (m + 1)2 = 9. То есть возможными решениями будут m = 2 для (m + 1) = 3 и m = -4 для (m + 1) = -3.


    В общем виде все эти преобразования можно выполнить в следующей последовательности:

    1. Уравнение am2 + bm + c = 0 нужно переписать в приведённом виде, то есть разделить каждый член на первый коэффициент: m2 + bm / a + c / a = 0.
    2. Согласно формуле сокращённого умножения нужно добиться того, чтобы при неизвестном во втором члене стояло удвоенное произведение. Поэтому числитель и знаменатель нужно помножить на двойку: m2 + 2bm / 2a + c / a = 0.
    3. Полученное выражение стоит переписать в более наглядном виде m 2 + 2 m * (b /2 a) + c / a = 0. Это равенство являлось бы приведённым к формуле сокращённого умножения, если бы в последнем члене был квадрат.
    4. Ко второму члену следует прибавить и вычесть (b/2a)2. В итоге получится m2 + 2m * (b/2a) + (b/2a)2 — (b/2a)2 + c/a = 0.
    5. Первые три слагаемые — это классическая формула квадрата суммы. Применив её, получится: (m + b/2a)2 = (b/2a)2 — c/a.
    6. Затем нужно раскрыть скобки и привести к общему знаменателю. Получится конструкция вида (m + b/2a)2 = b 2 -4 ac /4 a 2.
    7. Умножив на 4a2 обе части. Выражение примет вид (2 am + b)2 = b 2 — 4 ac.


    Многочлен b2 — 4ac было решено принять за дискриминант. Это выражение по сути и определяет возможность существования решений и количество корней. Выполнив его расчёт, фактически и находится ответ уравнения.

    Взаимосвязь параметра


    Объяснение дискриминанта имеет и графическое обоснование. Физически задача заключается в комплексном подходе установления взаимосвязи. Фактически это фиксирование нулей параболы уравнения, то есть точек, в которой она пересекает ось абсциссы. Знак при переменной в квадрате будет определять положение веток параболы. Они будут идти вверх при a > 0, и вниз, если a < 0.


    Исходя из этого, дискриминант равняется отношению суммы или разности числового коэффициента, стоящего возле неизвестного в первой степени с корнем квадратным из b 2 — 4 ac к удвоенному произведению первого коэффициента в уравнениях x1 = (- b + √ b 2 — 4 ac) / 2a; x2 = (- b — √ b 2 — 4 ac) / 2a. Подкоренное выражение называют формулой сокращённого дискриминанта.


    Дискриминант при нахождении корней уравнения может принимать три значения:

    1. Отрицательное. В случае, когда он меньше нуля, точный квадрат должен равняться числу с минусом, чего не может быть из-за свойств квадратной степени. Поэтому при таком положении вещей решений или действительных корней у уравнения нет. График уравнения не пересекает ось абсциссы.
    2. Равное нулю. Это состояние характеризуется уравнением вида: (2 am + b)2 = 0. Так как квадрат числа может быть равен нулю, только если это число нулевое, то рассматриваемое уравнение можно переписать как m = — b / 2a. Это и есть упрощённая формула при дискриминанте, равному 0. На графике существует лишь одна точка пересечения с осью абсциссы.
    3. Положительное. Это наиболее распространённый случай и самый тяжёлый для проведения расчётов. При нём из обеих частей уравнения теоремы (2 am + b) 2 = b 2 — 4 ac надо извлечь квадратный корень. В итоге получится 2am + b =± √D. Тут следует отметить следующее: минус возникает из-за того, что возводимое в квадрат число может быть как положительное, так и отрицательное. Например, 92 = 81 и -92 = 81. Из этого выражения можно выразить неизвестное. Оно будет равняться половинному значению m = (-b ± √D) / 2a. Парабола пересекает ось абсцисс в двух точках.


    Последнее выражение является формулой корней квадратного уравнения. Именно с её помощью могут решаться равенства, в степени которых стоит двойка. Через дискриминант можно вычислять корни и уравнений больших порядков. Для этого используются приёмы понижения степени до квадратного. Но эти операции учащиеся начинают изучать на уроках в выпускном классе, когда проходят решение уравнений n-го порядка.

    Типовые примеры


    Даже зная правило поиска корней через дискриминант, научиться быстро вычислять корни уравнения не получится, если не практиковаться. Поэтому решение практических задач обязательно входит школьную в программу обучения:

    1. Дано равенство 6x2 — 13x +2 = 0. Нужно определить количество его корней, если они существуют, их числовые значения. В первую очередь нужно нарисовать таблицу, в которую выписаны все заданные коэффициенты. Так: a = 6; b = -13; c = 2. Эти значения нужно подставить в формулу дискриминанта и найти его: D = b2 — 4ac = (-13)2 — 4 * 6 *2 = 149 — 68 = 121. То есть D больше нуля. Значит, согласно правилу, уравнение будет иметь два корня. Теперь их нужно рассчитать: x1 = (13 + √126) / 2 * 6 = 2; x2 = (13 — √126) / 2 * 6 = 1/6. Задание решено.

    2. Определить возможность решения уравнения 4m2 — 2m — 3 = 2. Для приведения к удобному виду двойку нужно перенести влево. В итоге получится 4m2 — 2m — 5 =0. Дискриминант равняется: D = 4 — 4 * 4 * (-5) = 4 + 80 = 84. Так как он больше нуля, то корней будет два. Тут сложность заключается в том, что нет целого числа, которое равнялось бы корню из √84. Однако, √84 = √4 * √21 = 2 √21. Используя формулы, получаем что m = (2 ± 2√21) / 2 * 4. Двойку можно вынести в числителе за скобки, получив тем самым удобную запись: m = (2 * (1 ±√21) / 2 * 4 = (1 ± √21) / 4. Это выражение и есть искомое решение.


    3. Решить уравнение: x /3 — x2 / 4 + 1 /6 = 3x / 2 — 4x2 / 3. Для упрощения равенства нужно правую и левую сторону умножить на двенадцать: 12x / 3 — 12 * x2 / 4 + 12 /6 = (3 * 12x) / 2 — (4 * 12x2) / 3. Получится 4 x — 3 x 2 + 2 = 18 x — 16 x 2. Члены нужно привести к стандарту: 4 x — 3 x 2 + 2 — 18 x + 16 x 2 = 13 x 2 — 14 x + 2 = 0. Считаем дискриминант: D = (-14)2 — 4 * 13 * 2 = 92. Он больше нуля, поэтому есть смысл искать корни: X = (14 ± √ 92) / 2 * 13 = (14 ± 2 √ 23) / 2 * 13 = 2 (7±√23) / 2 *13 = (7± √23) /13.


    Таким образом, любое выражение нужно стремиться переписать так, чтобы оно приняло классический вид. Это может быть умножение или деление на какое-либо число, поиск общего знаменателя. А уже после нужно искать дискриминант, по виду которого можно определить, есть ли смысл в дальнейшем нахождении корней уравнения.

    Вычисления на онлайн-калькуляторе


    Поиск решений уравнения через дискриминант — довольно простая тема. Необходимо запомнить всего две формулы и свойства, зависящие от значения дискриминанта. Но на практике попадаются примеры содержащие интегралы, логарифмы, экспоненциальные функции. При этом всё это может быть записано в виде сложных дробей.


    Решая задания самостоятельно, даже имея большой опыт и знания, есть вероятность допущения ошибки. Поэтому при вычислении сложных примеров стоит использовать онлайн-калькуляторы.


    Из сервисов, предлагающих такие услуги, можно отметить:

    • Math.semestr;
    • Kontrolnaya-rabota;
    • Onlinemschool;
    • Wpcalc;
    • Webmath.


    Эти российские сайты. Их интерфейс интуитивно понятен. Для выполнения вычислений не нужно указывать персональные данные или платить за услуги. От пользователя лишь требуется записать в предложенную форму квадратное уравнение или даже матрицу, состоящую из них. Программа автоматически выполнит нужный расчёт и предоставит пошаговое решение. Кроме того, на сайтах решателей уравнений содержится в кратком виде теоретический материал и типовые примеры с подробным решением.


    Даже ничего не понимающий в дискриминантах человек, воспользовавшись онлайн-калькулятором несколько раз, сможет восполнить пробелы в знаниях, самостоятельно научиться решать примеры, узнает, как правильно должен писаться дискриминант. Использование онлайн-сайтов для математических решений позволяет сэкономить время и получить точный результат.

    Квадратное уравнение

    Квадратное уравнение

    — это уравнение вида a x2 + b x + c = 0, где a не равно 0.

    Геометрический смысл

    Графиком квадратичной функции является парабола. Решениями (корнями) квадратного уравнения называют точки пересечения параболы с осью абсцисс. Если парабола, описываемая квадратичной функцией, не пересекается с осью абсцисс, уравнение не имеет вещественных корней. Если парабола пересекается с осью абсцисс в одной точке (вершине параболы), уравнение имеет один вещественный корень (также говорят, что уравнение имеет два совпадающих корня). Если парабола пересекает ось абсцисс в двух точках, уравнение имеет два вещественных корня.

    Если коэффициент a положительный, ветви параболы направлены вверх, если отрицательный — ветви параболы направлены вниз. Если коэффициент b положительный, то вершина параболы лежит в левой полуплоскости, если отрицательный — в правой полуплоскости.



    Вывод формулы для решения квадратного уравнения

    Формулу для решения квадратного уравнения a x2 + b x + c = 0 можно получить так:

    • перенесем c в правую часть a x2 + b x = — c

    • умножим уравнение на 4a (2a x)2 + 4a b x = — 4a c

    • добавим b2 к обоим частям (2a x)2 + 4a b x + b2 = b2 — 4a c

    • в левой части выделим полный квадрат (2a x + b)2 = b2 — 4a c

    • извлечем квадратный корень 2a x + b = ± √b2 — 4a c

    • перенесем b в правую часть 2a x = — b ± √b2 — 4a c

    • разделим уравнение на 2a



      x =  -b ± √b2 — 4a c
      2 a



    Дискриминант квадратного уравнения

    Дискриминантом

    квадратного уравнения называют число равное D = b2 − 4ac

    Квадратное уравнение с вещественными коэффициентами может иметь от 0 до 2 вещественных корней в зависимости от значения дискриминанта:

    • при D > 0 корней два, и они вычисляются по формуле



      x1,2 =  -b ± √D
      2 a
    • при D = 0 корень один (два равных или совпадающих корня), кратности 2:
    • при D
      x1,2 = 

      -b ± i√-D


      2 a




    Теорема Виета

    Приведенным квадратным уравнением

    называется уравнение, в котором коэффициент при x2 равен единице. Такое уравнение может быть получено делением всего выражения на коэффициент a: x2 + px + q = 0,
    где p = ba, q = ca

    Сумма корней приведённого квадратного уравнения

    x2 + px + q = 0 равна коэффициенту p, взятому с обратным знаком, а произведение корней равно свободному члену q:
          x1 + x2 = -p,      x1x2 = q.


    Разложение квадратного уравнения на множители

    Если известны оба корня квадратного уравнения, его можно разложить по формуле

    ax2 + bx + c = a(x — x1)(x — x2)



    Примеры решения квадратных уравнений

    Например. Найти корни квадратного уравнения: 2x2 + 5x + 3 = 0

    D = 52 — 4·3·2 = 25 — 24 = 1




    x1 =  5 + √1  = -1,
    2·2



    x2 =  5 — √1  = -1 1
    2·2 2

    Упражнения. Квадратные уравнения.

    Формула для нахождения дискриминанта

    Дискриминант квадратного уравнения – это выражение, находящееся под корнем в формуле нахождения корней квадратного уравнения. Дискриминант обозначается латинской буквой D.

    Все формулы нахождения корней квадратных уравнений можно записать короче с помощью дискриминанта:

    Дискриминант позволяет определить, имеет ли уравнение корни и сколько их, не решая само уравнение:

    1. Если дискриминант больше нуля, то уравнение имеет два корня.
    2. Если дискриминант равен нулю, то уравнение имеет один корень.
    3. Если дискриминант меньше нуля, то уравнение не имеет корней.

    Несмотря на то, что есть несколько формул дискриминанта, чаще всего используют первую:

    так как она относится к формуле:

    которая является универсальной формулой нахождения корней квадратного уравнения. Данная формула подходит даже для неполных квадратных уравнений.

    Решение квадратных уравнений через дискриминант

    Для решения квадратного уравнения по формуле можно сначала вычислить дискриминант и сравнить его с нулём. В зависимости от результата, либо искать корни по формуле, либо сделать вывод, что корней нет.

    Пример 1. Решить уравнение:

    Определим, чему равны коэффициенты:

    D = b 2 – 4ac = (-4) 2 – 4 · 3 · 2 = 16 – 24 = -8, D 2 – 6x + 9 = 0

    Определим, чему равны коэффициенты:

    D = b 2 – 4ac = (-6) 2 – 4 · 1 · 9 = 36 – 36 = 0, D = 0

    Уравнение имеет всего один корень:

    Определим, чему равны коэффициенты:

    D = b 2 – 4ac = (-4) 2 – 4 · 1 · (-5) = 16 + 20 = 36, D > 0

    Мы уже разобрали, как решать квадратные уравнения. Теперь давайте более подробно рассмотрим, что называют дискриминантом квадратного уравнения.

    Вернемся к нашей формуле для нахожденя корней квадратного уравнения.

    x1;2 =

    −b ± √ b 2 − 4ac
    2a

    Выражение « b 2 − 4ac », которое находится под корнем, принято называть дискриминантом и обозначать буквой « D ».

    По-другому, через дискриминант формулу нахождения корней квадратного уравнения можно записать так:

    x1;2 =

    , где « D = b 2 − 4ac »

    По одной из версий термин «Дискриминант» произошел от латинского discriminantis, что означает «отличающий» или «различающий».

    В зависимости от знака « D » (дискриминанта) квадратное уравнение может иметь два, один или ни одного корня. Рассмотрим все три случая.

    I случай

    D > 0
    (дискриминант больше нуля)

    D –> , где « D = b 2 − 4ac »
    –> –> D = b 2 − 4ac
    D = 5 2 − 4 · 2 · (−7)
    D = 25 + 56
    D = 81
    D > 0

    x1;2 =

    x1;2 =

    x1;2 =

    x2 = −5 − 9 4 x1 = 4 4 x2 = −14 4 x1 = 1 x2 = −3 2 4 x1 = 1 x2 = −3 1 2

    Ответ: x1 = 1; x2 = −3

    Вывод: когда « D > 0 » в квадратном уравнении два корня .

    II случай

    D = 0
    (дискриминант равен нулю)

    16x 2 − 8x + 1 = 0

    D = b 2 − 4ac
    D = (−8) 2 − 4 · 16 · 1
    D = 64 − 64
    D = 0

    x1;2 =

    x1;2 =

    x1;2 =

    x =

    x =

    Ответ: x =

    Вывод: когда « D = 0 » в квадратном уравнении один корень .

    III случай

    D
    (дискриминант меньше нуля)

    D = b 2 − 4ac
    D = (−6) 2 − 4 · 9 · 2
    D = 36 − 72
    D = −36
    D

    x1;2 =

    x1;2 =

    Ответ: нет действительных корней

    Вывод: когда « D » в квадратном уравнении нет корней .

    Решение квадратных уравнений. Дискриминант. Формула дискриминанта. Теорема Виета.

    Квадратным уравнением называется уравнение вида

    ,

    a,b,c – постоянные (числовые) коэффициенты.

    В общем случае решение квадратных уравнений сводится к нахождению дискриминанта:

    Формула дискриминанта: .

    О корнях квадратного уравнения можно судить по знаку дискриминанта (D) :

    • D>0 – уравнение имеет 2 различных вещественных корня
    • D=0 – уравнение имеет 2 совпадающих вещественных корня
    • D 2 .

    Формула сворачивания квадратного уравнения. Решение квадратных уравнений с помощью дискриминанта

    Квадратные уравнения изучают в 8 классе, поэтому ничего сложного здесь нет. Умение решать их совершенно необходимо.

    Квадратное уравнение — это уравнение вида ax
    2 + bx
    + c
    = 0, где коэффициенты a
    , b
    и c
    — произвольные числа, причем a ≠ 0.

    Прежде, чем изучать конкретные методы решения, заметим, что все квадратные уравнения можно условно разделить на три класса:

    1. Не имеют корней;
    2. Имеют ровно один корень;
    3. Имеют два различных корня.

    В этом состоит важное отличие квадратных уравнений от линейных, где корень всегда существует и единственен. Как определить, сколько корней имеет уравнение? Для этого существует замечательная вещь — дискриминант
    .

    Дискриминант

    Пусть дано квадратное уравнение ax
    2 + bx
    + c
    = 0. Тогда дискриминант — это просто число D
    = b
    2 − 4ac
    .

    Эту формулу надо знать наизусть. Откуда она берется — сейчас неважно. Важно другое: по знаку дискриминанта можно определить, сколько корней имеет квадратное уравнение. А именно:

    1. Если D
    2. Если D
      = 0, есть ровно один корень;
    3. Если D
      > 0, корней будет два.

    Обратите внимание: дискриминант указывает на количество корней, а вовсе не на их знаки, как почему-то многие считают. Взгляните на примеры — и сами все поймете:

    Задача. Сколько корней имеют квадратные уравнения:

    1. x
      2 − 8x
      + 12 = 0;
    2. 5x
      2 + 3x
      + 7 = 0;
    3. x
      2 − 6x
      + 9 = 0.

    Выпишем коэффициенты для первого уравнения и найдем дискриминант:
    a
    = 1, b
    = −8, c
    = 12;
    D
    = (−8) 2 − 4 · 1 · 12 = 64 − 48 = 16

    Итак, дискриминант положительный, поэтому уравнение имеет два различных корня. Аналогично разбираем второе уравнение:
    a
    = 5; b
    = 3; c
    = 7;
    D
    = 3 2 − 4 · 5 · 7 = 9 − 140 = −131.

    Дискриминант отрицательный, корней нет. Осталось последнее уравнение:
    a
    = 1; b
    = −6; c
    = 9;
    D
    = (−6) 2 − 4 · 1 · 9 = 36 − 36 = 0.

    Дискриминант равен нулю — корень будет один.

    Обратите внимание, что для каждого уравнения были выписаны коэффициенты. Да, это долго, да, это нудно — зато вы не перепутаете коэффициенты и не допустите глупых ошибок. Выбирайте сами: скорость или качество.

    Кстати, если «набить руку», через некоторое время уже не потребуется выписывать все коэффициенты. Такие операции вы будете выполнять в голове. Большинство людей начинают делать так где-то после 50-70 решенных уравнений — в общем, не так и много.

    Корни квадратного уравнения

    Теперь перейдем, собственно, к решению. Если дискриминант D
    > 0, корни можно найти по формулам:

    Основная формула корней квадратного уравнения

    Когда D
    = 0, можно использовать любую из этих формул — получится одно и то же число, которое и будет ответом. Наконец, если D

    1. x
      2 − 2x
      − 3 = 0;
    2. 15 − 2x
      − x
      2 = 0;
    3. x
      2 + 12x
      + 36 = 0.

    Первое уравнение:
    x
    2 − 2x
    − 3 = 0 ⇒ a
    = 1; b
    = −2; c
    = −3;
    D
    = (−2) 2 − 4 · 1 · (−3) = 16.

    D
    > 0 ⇒ уравнение имеет два корня. Найдем их:

    Второе уравнение:
    15 − 2x
    − x
    2 = 0 ⇒ a
    = −1; b
    = −2; c
    = 15;
    D
    = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.

    D
    > 0 ⇒ уравнение снова имеет два корня. Найдем их

    \[\begin{align} & {{x}_{1}}=\frac{2+\sqrt{64}}{2\cdot \left(-1 \right)}=-5; \\ & {{x}_{2}}=\frac{2-\sqrt{64}}{2\cdot \left(-1 \right)}=3. \\ \end{align}\]

    Наконец, третье уравнение:
    x
    2 + 12x
    + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
    D = 12 2 − 4 · 1 · 36 = 0.

    D = 0 ⇒ уравнение имеет один корень. Можно использовать любую формулу. Например, первую:

    Как видно из примеров, все очень просто. Если знать формулы и уметь считать, проблем не будет. Чаще всего ошибки возникают при подстановке в формулу отрицательных коэффициентов. Здесь опять же поможет прием, описанный выше: смотрите на формулу буквально, расписывайте каждый шаг — и очень скоро избавитесь от ошибок.

    Неполные квадратные уравнения

    Бывает, что квадратное уравнение несколько отличается от того, что дано в определении. Например:

    1. x
      2 + 9x
      = 0;
    2. x
      2 − 16 = 0.

    Несложно заметить, что в этих уравнениях отсутствует одно из слагаемых. Такие квадратные уравнения решаются даже легче, чем стандартные: в них даже не потребуется считать дискриминант. Итак, введем новое понятие:

    Уравнение ax
    2 + bx
    + c
    = 0 называется неполным квадратным уравнением, если b
    = 0 или c
    = 0, т.е. коэффициент при переменной x
    или свободный элемент равен нулю.

    Разумеется, возможен совсем тяжелый случай, когда оба этих коэффициента равны нулю: b
    = c
    = 0. В этом случае уравнение принимает вид ax
    2 = 0. Очевидно, такое уравнение имеет единственный корень: x
    = 0.

    Рассмотрим остальные случаи. Пусть b
    = 0, тогда получим неполное квадратное уравнение вида ax
    2 + c
    = 0. Немного преобразуем его:

    Поскольку арифметический квадратный корень существует только из неотрицательного числа, последнее равенство имеет смысл исключительно при (−c
    /a
    ) ≥ 0. Вывод:

    1. Если в неполном квадратном уравнении вида ax
      2 + c
      = 0 выполнено неравенство (−c
      /a
      ) ≥ 0, корней будет два. Формула дана выше;
    2. Если же (−c
      /a
      )

    Как видите, дискриминант не потребовался — в неполных квадратных уравнениях вообще нет сложных вычислений. На самом деле даже необязательно помнить неравенство (−c
    /a
    ) ≥ 0. Достаточно выразить величину x
    2 и посмотреть, что стоит с другой стороны от знака равенства. Если там положительное число — корней будет два. Если отрицательное — корней не будет вообще.

    Теперь разберемся с уравнениями вида ax
    2 + bx
    = 0, в которых свободный элемент равен нулю. Тут все просто: корней всегда будет два. Достаточно разложить многочлен на множители:

    Вынесение общего множителя за скобку

    Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда находятся корни. В заключение разберем несколько таких уравнений:

    Задача. Решить квадратные уравнения:

    1. x
      2 − 7x
      = 0;
    2. 5x
      2 + 30 = 0;
    3. 4x
      2 − 9 = 0.

    x
    2 − 7x
    = 0 ⇒ x
    · (x
    − 7) = 0 ⇒ x
    1 = 0; x
    2 = −(−7)/1 = 7.

    5x
    2 + 30 = 0 ⇒ 5x
    2 = −30 ⇒ x
    2 = −6. Корней нет, т.к. квадрат не может быть равен отрицательному числу.

    4x
    2 − 9 = 0 ⇒ 4x
    2 = 9 ⇒ x
    2 = 9/4 ⇒ x
    1 = 3/2 = 1,5; x
    2 = −1,5.

    Квадратное уравнение – решается просто! *Далее в тексте «КУ».
    Друзья, казалось бы, что может быть в математике проще, чем решение такого уравнения. Но что-то мне подсказывало, что с ним у многих есть проблемы. Решил посмотреть сколько показов по запросу в месяц выдаёт Яндекс. Вот что получилось, посмотрите:

    Что это значит? Это значит то, что около 70000 человек в месяц ищут данную информацию, при чём это лето, а что будет среди учебного года — запросов будет в два раза больше. Это и неудивительно, ведь те ребята и девчата, которые давно окончили школу и готовятся к ЕГЭ, ищут эту информацию, также и школьники стремятся освежить её в памяти.

    Несмотря на то, что есть масса сайтов, где рассказывается как решать это уравнение, я решил тоже внести свою лепту и опубликовать материал. Во-первых, хочется чтобы по данному запросу и на мой сайт приходили посетители; во-вторых, в других статьях, когда зайдёт речь «КУ» буду давать ссылку на эту статью; в-третьих, расскажу вам о его решении немного больше, чем обычно излагается на других сайтах. Приступим!
    Содержание статьи:

    Квадратное уравнение – это уравнение вида:

    где коэффициенты a,
    b
    и с произвольные числа, при чём a≠0.

    В школьном курсе материал дают в следующем виде – условно делается разделение уравнений на три класса:

    1. Имеют два корня.

    2. *Имеют только один корень.

    3. Не имеют корней. Здесь стоит особо отметить, что не имеют действительных корней

    Как вычисляются корни? Просто!

    Вычисляем дискриминант. Под этим «страшным» словом лежит вполне простая формула:

    Формулы корней имеют следующий вид:

    *Эти формулы нужно знать наизусть.

    Можно сразу записывать и решать:

    Пример:

    1. Если D > 0, то уравнение имеет два корня.

    2. Если D = 0, то уравнение имеет один корень.

    3. Если D

    Давайте рассмотрим уравнение:

    По данному поводу, когда дискриминант равен нулю, в школьном курсе говорится о том, что получается один корень, здесь он равен девяти. Всё правильно, так и есть, но…

    Данное представление несколько несколько некорректно. На самом деле получается два корня. Да-да, не удивляйтесь, получается два равных корня, и если быть математически точным, то в ответе следует записывать два корня:

    х 1 = 3 х 2 = 3

    Но это так – небольшое отступление. В школе можете записывать и говорить, что корень один.

    Теперь следующий пример:

    Как нам известно – корень из отрицательного числа не извлекается, поэтому решения в данном случае нет.

    Вот и весь процесс решения.

    Квадратичная функция.

    Здесь показано, как решение выглядит геометрически. Это крайне важно понимать (в дальнейшем в одной из статей мы подробно будем разбирать решение квадратного неравенства).

    Это функция вида:

    где х и у — переменные

    a, b, с – заданные числа, при чём a ≠ 0

    Графиком является парабола:

    То есть, получается, что решая квадратное уравнение при «у» равном нулю мы находим точки пересечения параболы с осью ох. Этих точек может быть две (дискриминант положительный), одна (дискриминант равен нулю) и ни одной (дискриминант отрицательный). Подробно о квадратичной функции можете посмотреть
    статью у Инны Фельдман.

    Рассмотрим примеры:

    Пример 1:
    Решить 2x
    2
    +8
    x
    –192=0

    а=2 b=8 c= –192

    D = b
    2
    –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

    Ответ: х 1 = 8 х 2 = –12

    *Можно было сразу же левую и правую часть уравнения разделить на 2, то есть упростить его. Вычисления будут проще.

    Пример 2:
    Решить


    x 2
    –22
    x+121 = 0

    а=1 b=–22 c=121

    D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0

    Получили, что х 1 = 11 и х 2 = 11

    В ответе допустимо записать х = 11.

    Ответ: х = 11

    Пример 3:
    Решить

    x 2 –8x+72 = 0

    а=1 b= –8 c=72

    D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224

    Дискриминант отрицательный, решения в действительных числах нет.

    Ответ: решения нет

    Дискриминант отрицательный. Решение есть!

    Здесь речь пойдёт о решении уравнения в случае когда получается отрицательный дискриминант. Вы что-нибудь знаете о комплексных числах? Не буду здесь подробно рассказывать о том, почему и откуда они возникли и в чём их конкретная роль и необходимость в математике, это тема для большой отдельной статьи.

    Понятие комплексного числа.

    Немного теории.

    Комплексным числом z называется число вида

    z = a + bi

    где a и b – действительные числа, i – так называемая мнимая единица.

    a+bi

    – это ЕДИНОЕ ЧИСЛО, а не сложение.

    Мнимая единица равна корню из минус единицы:

    Теперь рассмотрим уравнение:

    Получили два сопряжённых корня.

    Неполное квадратное уравнение.

    Рассмотрим частные случаи, это когда коэффициент «b» или «с» равен нулю (или оба равны нулю). Они решаются легко без всяких дискриминантов.

    Случай 1. Коэффициент b = 0.

    Уравнение приобретает вид:

    Преобразуем:

    Пример:

    4x 2 –16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = –2

    Случай 2. Коэффициент с = 0.

    Уравнение приобретает вид:

    Преобразуем, раскладываем на множители:

    *Произведение равно нулю тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

    Пример:

    9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 или x–5 =0

    x 1 = 0 x 2 = 5

    Случай 3. Коэффициенты b = 0 и c = 0.

    Здесь понятно, что решением уравнения всегда будет х = 0.

    Полезные свойства и закономерности коэффициентов.

    Есть свойства, которые позволяют решить уравнения с большими коэффициентами.

    а
    x
    2
    +
    bx
    +
    c
    =0
    выполняется равенство

    a
    +
    b
    + с = 0,
    то

    — если для коэффициентов уравнения а
    x
    2
    +
    bx
    +
    c
    =0
    выполняется равенство

    a
    + с =
    b
    ,
    то

    Данные свойства помогают решить определённого вида уравнения.

    Пример 1: 5001
    x
    2
    –4995
    x
    – 6=0

    Сумма коэффициентов равна 5001+(
    4995)+(
    6) = 0, значит

    Пример 2: 2501
    x
    2
    +2507
    x
    +6=0

    Выполняется равенство a
    + с =
    b
    ,
    значит

    Закономерности коэффициентов.

    1. Если в уравнении ax 2 + bx + c = 0 коэффициент «b» равен (а 2 +1), а коэффициент «с» численно равен коэффициенту «а», то его корни равны

    аx 2 + (а 2 +1)∙х+ а= 0 = > х 1 = –а х 2 = –1/a.

    Пример. Рассмотрим уравнение 6х 2 +37х+6 = 0.

    х 1 = –6 х 2 = –1/6.

    2. Если в уравнении ax 2 – bx + c = 0 коэффициент «b» равен (а 2 +1), а коэффициент «с» численно равен коэффициенту «а», то его корни равны

    аx 2 – (а 2 +1)∙х+ а= 0 = > х 1 = а х 2 = 1/a.

    Пример. Рассмотрим уравнение 15х 2 –226х +15 = 0.

    х 1 = 15 х 2 = 1/15.

    3. Если в уравнении
    ax 2
    + bx

    c = 0
    коэффициент «b»

    равен (a 2

    – 1), а коэффициент «c»

    численно равен коэффициенту «a»
    ,
    то его корни равны

    аx 2 + (а 2 –1)∙х – а= 0 = > х 1 = – а х 2 = 1/a.

    Пример. Рассмотрим уравнение 17х 2 +288х – 17 = 0.

    х 1 = – 17 х 2 = 1/17.

    4. Если в уравнении ax 2 – bx – c = 0 коэффициент «b» равен (а 2 – 1), а коэффициент с численно равен коэффициенту «а», то его корни равны

    аx 2 – (а 2 –1)∙х – а= 0 = > х 1 = а х 2 = – 1/a.

    Пример. Рассмотрим уравнение 10х 2 – 99х –10 = 0.

    х 1 = 10 х 2 = – 1/10

    Теорема Виета.

    Теорема Виета называется по имени знаменитого французского математика Франсуа Виета. Используя теорему Виета, можно выразить сумму и произведение корней произвольного КУ через его коэффициенты.

    45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

    В сумме число 14 дают только 5 и 9. Это корни. При определённом навыке, используя представленную теорему, многие квадратные уравнения вы сможете решать сходу устно.

    Теорема Виета, кроме того. удобна тем, что после решения квадратного уравнения обычным способом (через дискриминант) полученные корни можно проверять. Рекомендую это делать всегда.

    СПОСОБ ПЕРЕБРОСКИ

    При этом способе коэффициент «а» умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его и называют способом «переброски».
    Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета и, что самое важное, когда дискриминант есть точный квадрат.

    Если а
    ± b+c
    ≠ 0, то используется прием переброски, например:

    2х
    2 – 11х+
    5 = 0 (1) => х
    2 – 11х+
    10 = 0 (2)

    По теореме Виета в уравнении (2) легко определить, что х 1 = 10 х 2 = 1

    Полученные корни уравнения необходимо разделить на 2 (так как от х 2 «перебрасывали» двойку), получим

    х 1
    = 5 х 2
    =
    0,5.

    Каково обоснование? Посмотрите что происходит.

    Дискриминанты уравнений (1) и (2) равны:

    Если посмотреть на корни уравнений, то получаются только различные знаменатели, и результат зависит именно от коэффициента при х 2:

    У второго (изменённого) корни получаются в 2 раза больше.

    Потому результат и делим на 2.

    *Если будем перебрасывать тройку, то результат разделим на 3 и т.д.

    Ответ: х 1 = 5 х 2 = 0,5

    Кв. ур-ие и ЕГЭ.

    О его важности скажу кратко – ВЫ ДОЛЖНЫ УМЕТЬ РЕШАТЬ быстро и не задумываясь, формулы корней и дискриминанта необходимо знать наизусть. Очень многие задачи, входящие в состав заданий ЕГЭ, сводятся к решению квадратного уравнения (геометрические в том числе).

    Что стоит отметить!

    1. Форма записи уравнения может быть «неявной». Например, возможна такая запись:

    15+ 9x 2 — 45x = 0 или 15х+42+9x 2 — 45x=0 или 15 -5x+10x 2 = 0.

    Вам необходимо привести его к стандартному виду (чтобы не запутаться при решении).

    2. Помните, что х это неизвестная величина и она может быть обозначена любой другой буквой – t, q, p, h и прочими.

    Копьевская сельская средняя общеобразовательная школа

    10 способов решения квадратных уравнений

    Руководитель: Патрикеева Галина Анатольевна,

    учитель математики

    с.Копьево, 2007

    1. История развития квадратных уравнений

    1.1 Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне

    1.2 Как составлял и решал Диофант квадратные уравнения

    1.3 Квадратные уравнения в Индии

    1.4 Квадратные уравнения у ал- Хорезми

    1.5 Квадратные уравнения в Европе XIII — XVII вв

    1.6 О теореме Виета

    2. Способы решения квадратных уравнений

    Заключение

    Литература

    1.

    История развития квадратных уравнений

    1.1 Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне

    Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени еще в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до н. э. вавилоняне.

    Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их клинописных текстах встречаются, кроме неполных, и такие, например, полные квадратные уравнения:

    X

    2

    +

    X

    = ¾;

    X

    2



    X

    = 14,5

    Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает по существу с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводят только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены.

    Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, в клинописных текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений.

    1.2 Как составлял и решал Диофант квадратные уравнения.

    В «Арифметике» Диофанта нет систематического изложения алгебры, однако в ней содержится систематизированный ряд задач, сопровождаемых объяснениями и решаемых при помощи составления уравнений разных степеней.

    При составлении уравнений Диофант для упрощения решения умело выбирает неизвестные.

    Вот, к примеру, одна из его задач.

    Задача 11.

    «Найти два числа, зная, что их сумма равна 20, а произведение — 96»

    Диофант рассуждает следующим образом: из условия задачи вытекает, что искомые числа не равны, так как если бы они были равны, то их произведение равнялось бы не 96, а 100. Таким образом, одно из них будет больше половины их суммы, т.е. 10 + х

    , другое же меньше, т.е. 10 — х

    . Разность между ними

    .

    Отсюда уравнение:

    (10 + х)(10 — х) = 96

    100 — х 2
    = 96

    х 2
    — 4 = 0 (1)

    Отсюда х = 2

    . Одно из искомых чисел равно 12

    , другое 8

    . Решение х = -2

    для Диофанта не существует, так как греческая математика знала только положительные числа.

    Если мы решим эту задачу, выбирая в качестве неизвестного одно из искомых чисел, то мы придем к решению уравнения

    у(20 — у) = 96,

    у 2
    — 20у + 96 = 0. (2)

    Ясно, что, выбирая в качестве неизвестного полуразность искомых чисел, Диофант упрощает решение; ему удается свести задачу к решению неполного квадратного уравнения (1).

    1.3

    Квадратные уравнения в Индии

    Задачи на квадратные уравнения встречаются уже в астрономическом тракте «Ариабхаттиам», составленном в 499 г. индийским математиком и астрономом Ариабхаттой. Другой индийский ученный, Брахмагупта (VII в.), изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой канонической форме:

    ах 2
    +

    b

    х = с, а > 0. (1)

    В уравнении (1) коэфиценты, кроме а

    , могут быть и отрицательными. Правило Брахмагупты по существу совпадает с нашим.

    В Древней Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. В одной из старинных индийских книг говорится по поводу таких соревнований следующее: «Как солнце блеском своим затмевает звезды, так ученый человек затмит славу другого в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи». Задачи часто облекались в стихотворную форму.

    Вот одна из задач знаменитого индийского математика XII в. Бхаскары.

    Задача 13.

    «Обезьянок резвых стая А двенадцать по лианам…

    Власть поевши, развлекалась. Стали прыгать, повисая…

    Их в квадрате часть восьмая Сколько ж было обезьянок,

    На поляне забавлялась. Ты скажи мне, в этой стае?»

    Решение Бхаскары свидетельствует о том, что он знал о двузначности корней квадратных уравнений (рис. 3).

    Соответствующее задаче 13 уравнение:

    (
    x

    /8) 2
    + 12 =

    x

    Бхаскара пишет под видом:

    х 2
    — 64х = -768

    и, чтобы дополнить левую часть этого уравнения до квадрата, прибавляет к обеим частям 32 2

    , получая затем:

    х 2
    — 64х + 32 2
    = -768 + 1024,

    (х — 32) 2
    = 256,

    х — 32 = ± 16,

    х 1
    = 16, х 2
    = 48.

    1.4 Квадратные уравнения у ал – Хорезми

    В алгебраическом трактате ал — Хорезми дается классификация линейных и квадратных уравнений. Автор насчитывает 6 видов уравнений, выражая их следующим образом:

    1) «Квадраты равны корнями», т.е. ах 2
    + с =

    b

    х.

    2) «Квадраты равны числу», т.е. ах 2
    = с.

    3) «Корни равны числу», т.е. ах = с.

    4) «Квадраты и числа равны корням», т.е. ах 2
    + с =

    b

    х.

    5) «Квадраты и корни равны числу», т.е. ах 2
    +

    bx

    = с.

    6) «Корни и числа равны квадратам», т.е.

    bx

    + с = ах 2
    .

    Для ал — Хорезми, избегавшего употребления отрицательных чисел, члены каждого их этих уравнений слагаемые, а не вычитаемые. При этом заведомо не берутся во внимание уравнения, у которых нет положительных решений. Автор излагает способы решения указанных уравнений, пользуясь приемами ал — джабр и ал — мукабала. Его решения, конечно, не совпадает полностью с нашим. Уже не говоря о том, что оно чисто риторическое, следует отметить, например, что при решении неполного квадратного уравнения первого вида

    ал — Хорезми, как и все математики до XVII в., е учитывает нулевого решения, вероятно, потому, что в конкретных практических задачах оно не имеет значения. При решении полных квадратных уравнений ал — Хорезми на частных числовых примерах излагает правила решения, а затем и геометрические доказательства.

    Задача 14.

    «Квадрат и число 21 равны 10 корням. Найти корень» (подразумевается корень уравнения х 2
    + 21 = 10х).

    Решение автора гласит примерно так: раздели пополам число корней, получишь 5, умножишь 5 само на себя, от произведения отними 21, останется 4. Извлеки корень из 4, получишь 2. Отними 2 от5, получишь 3, это и будет искомый корень. Или же прибавь 2 к 5, что даст 7, это тоже есть корень.

    Трактат ал — Хорезми является первой, дошедшей до нас книгой, в которой систематически изложена классификация квадратных уравнений и даны формулы их решения.

    1.5 Квадратные уравнения в Европе

    XIII



    XVII

    вв

    Формулы решения квадратных уравнений по образцу ал — Хорезми в Европе были впервые изложены в « Книге абака», написанной в 1202 г. итальянским математиком Леонардо Фибоначчи. Этот объемистый труд, в котором отражено влияние математики, как стран ислама, так и Древней Греции, отличается и полнотой, и ясностью изложения. Автор разработал самостоятельно некоторые новые алгебраические примеры решения задач и первый в Европе подошел к введению отрицательных чисел. Его книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и в Германии, Франции и других странах Европы. Многие задачи из « Книги абака» переходили почти во все европейские учебники XVI — XVII вв. и частично XVIII.

    Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единому каноническому виду:

    х 2
    +

    bx

    = с,

    при всевозможных комбинациях знаков коэффициентов b

    , с

    было сформулировано в Европе лишь в 1544 г. М. Штифелем.

    Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде имеется у Виета, однако Виет признавал только положительные корни. Итальянские математики Тарталья, Кардано, Бомбелли среди первых в XVI в. Учитывают, помимо положительных, и отрицательные корни. Лишь в XVII в. Благодаря труда Жирара, Декарта, Ньютона и других ученых способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.

    1.6 О теореме Виета

    Теорема, выражающая связь между коэффициентами квадратного уравнения и его корнями, носящая имя Виета, была им сформулирована впервые в 1591 г. следующим образом: «Если B

    +

    D

    , умноженное на A



    A

    2

    , равно BD

    , то A

    равно В

    и равноD

    ».

    Чтобы понять Виета, следует вспомнить, что А

    , как и всякая гласная буква, означало у него неизвестное (наше х
    ), гласные же В,

    D

    — коэффициенты при неизвестном. На языке современной алгебры вышеприведенная формулировка Виета означает: если имеет место

    (а +

    b

    )х — х 2
    =

    ab

    ,

    х 2
    — (а +

    b

    )х + а

    b

    = 0,

    х 1
    = а, х 2
    =

    b

    .2 − 4ac.
    1. Если D 0, корней будет два.
    C первым вариантом понятно, корней нет. Если дискриминант D > 0, корни можно найти cледующим образом:
    x12 = (-b +- √D) / 2a.
    Что касается второго варианта, когда D = 0, можно использовать верхнюю формулу.

    Квадратные уравнения начинают изучать в школьной программе по курсу математики. Но, к большому сожалению, далеко не каждый понимает и знает как правильно решить квадратное уравнение и вычислить его корни. Для начала разберемся что такое квадратное уравнение.

    Что такое квадратное уравнение

    Под термином квадратное уравнение принято подразумевать алгебраическое уравнение общего вида. Данное уравнение имеет следующий вид: ax2 + bx + c = 0, при этом a, b и c являются какими — либо определенными числами, x — неизвестное. Данные три числа принято называть коэффициентами квадратного уравнения:

    • a — первый коэффициент;
    • b — второй коэффициент;
    • с — третий коэффициент.

    Как найти корни квадратного уравнения

    Для того, чтобы вычислить, чему будут равняться корни квадратного уравнения, необходимо найти дискриминант уравнения. Дискриминантом квадратного уравнения называется выражение, которое равняется и вычисляется по формуле b2 — 4ac. Если дискриминант больше нуля, корень вычисляется по формуле: х = -b +-корень из дискриминанта разделить на 2 а.

    Рассмотрим на примере уравнения 5х в квадрате — 8х +3 = 0

    Дискриминант равен восемь в квадрате, минус четыре умножить на пять, умножить на три, то есть = 64 — 4*5*3 = 64-60 = 4

    х1 = 8 +-корень из четырех разделить на два умноженное на пять = 8 +2/10 = 1

    х2 = 8-2/10 = 6/10 = 3/5 = 0, 6

    Соответственно, корнями данного квадратного уравнения будут являться 1 и 0,6.

    Надеюсь, изучив данную статью, вы научитесь находить корни полного квадратного уравнения.

    С помощью дискриминанта решаются только полные квадратные уравнения, для решения неполных квадратных уравнений используют другие методы, которые вы найдете в статье «Решение неполных квадратных уравнений».

    Какие же квадратные уравнения называются полными? Это уравнения вида ах 2 + b x + c = 0
    , где коэффициенты a, b и с не равны нулю. Итак, чтобы решить полное квадратное уравнение, надо вычислить дискриминант D.

    D = b 2 – 4ас.

    В зависимости от того какое значение имеет дискриминант, мы и запишем ответ.

    Если дискриминант отрицательное число (D

    Если же дискриминант равен нулю, то х = (-b)/2a. Когда дискриминант положительное число (D > 0),

    тогда х 1 = (-b — √D)/2a , и х 2 = (-b + √D)/2a .

    Например. Решить уравнение х 2
    – 4х + 4= 0.

    D = 4 2 – 4 · 4 = 0

    x = (- (-4))/2 = 2

    Ответ: 2.

    Решить уравнение 2х 2

    + х + 3 = 0.

    D = 1 2 – 4 · 2 · 3 = – 23

    Ответ: корней нет
    .

    Решить уравнение 2х 2

    + 5х – 7 = 0
    .

    D = 5 2 – 4 · 2 · (–7) = 81

    х 1 = (-5 — √81)/(2·2)= (-5 — 9)/4= – 3,5

    х 2 = (-5 + √81)/(2·2) = (-5 + 9)/4=1

    Ответ: – 3,5 ; 1
    .

    Итак представим решение полных квадратных уравнений схемой на рисунке1.

    По этим формулам можно решать любое полное квадратное уравнение. Нужно только внимательно следить за тем, чтобы уравнение было записано многочленом стандартного вида

    ах 2


    + bx + c,
    иначе можно допустить ошибку. Например, в записи уравнения х + 3 + 2х 2 = 0, ошибочно можно решить, что

    а = 1, b = 3 и с = 2. Тогда

    D = 3 2 – 4 · 1 · 2 = 1 и тогда уравнение имеет два корня. А это неверно. (Смотри решение примера 2 выше).

    Поэтому, если уравнение записано не многочленом стандартного вида, вначале полное квадратное уравнение надо записать многочленом стандартного вида (на первом месте должен стоять одночлен с наибольшим показателем степени, то есть ах 2



    , затем с меньшим
    bx
    , а затем свободный член с.

    При решении приведенного квадратного уравнения и квадратного уравнения с четным коэффициентом при втором слагаемом можно использовать и другие формулы. Давайте познакомимся и с этими формулами. Если в полном квадратном уравнении при втором слагаемом коэффициент будет четным (b = 2k), то можно решать уравнение по формулам приведенным на схеме рисунка 2.

    Полное квадратное уравнение называется приведенным, если коэффициент при х 2



    равен единице и уравнение примет вид х 2 + px + q = 0
    . Такое уравнение может быть дано для решения, либо получается делением всех коэффициентов уравнение на коэффициент а
    , стоящий при х 2



    .

    На рисунке 3 приведена схема решения приведенных квадратных
    уравнений. Рассмотрим на примере применение рассмотренных в данной статье формул.

    Пример. Решить уравнение

    3х 2



    + 6х – 6 = 0.

    Давайте решим это уравнение применяя формулы приведенные на схеме рисунка 1.

    D = 6 2 – 4 · 3 · (– 6) = 36 + 72 = 108

    √D = √108 = √(36 · 3) = 6√3

    х 1 = (-6 — 6√3)/(2 · 3) = (6 (-1- √(3)))/6 = –1 – √3

    х 2 = (-6 + 6√3)/(2 · 3) = (6 (-1+ √(3)))/6 = –1 + √3

    Ответ: –1 – √3; –1 + √3

    Можно заметить, что коэффициент при х в этом уравнении четное число, то есть b = 6 или b = 2k , откуда k = 3. Тогда попробуем решить уравнение по формулам, приведенным на схеме рисунка D 1 = 3 2 – 3 · (– 6) = 9 + 18 = 27

    √(D 1) = √27 = √(9 · 3) = 3√3

    х 1 = (-3 — 3√3)/3 = (3 (-1 — √(3)))/3 = – 1 – √3

    х 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3)))/3 = – 1 + √3

    Ответ: –1 – √3; –1 + √3
    . Заметив, что все коэффициенты в этом квадратном уравнении делятся на 3 и выполнив деление, получим приведенное квадратное уравнение x 2 + 2х – 2 = 0 Решим это уравнение, используя формулы для приведенного квадратного
    уравнения рисунок 3.

    D 2 = 2 2 – 4 · (– 2) = 4 + 8 = 12

    √(D 2) = √12 = √(4 · 3) = 2√3

    х 1 = (-2 — 2√3)/2 = (2 (-1 — √(3)))/2 = – 1 – √3

    х 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3)))/2 = – 1 + √3

    Ответ: –1 – √3; –1 + √3.

    Как видим, при решении этого уравнения по различным формулам мы получили один и тот же ответ. Поэтому хорошо усвоив формулы приведенные на схеме рисунка 1 , вы всегда сможете решить любое полное квадратное уравнение.

    blog.сайт,
    при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

    Формула дискриминанта — правила и примеры вычисления корней квадратных уравнений

    Существует несколько способов решений квадратного уравнения. Один из них — применение формулы дискриминанта. Помня общее выражение и алгоритм, вычислить корни степенного равенства второй степени не составит труда. Естественно, нужно хорошо знать арифметику, выполнение действий с дробями и сам принцип. При этом дискриминант — это не просто удобный параметр, используя который, можно найти решение. Это ещё и характеристика, имеющая объяснимый геометрический смысл.

    Общие сведения

    Решение квадратных уравнений — одно из ключевых моментов в математике. Ещё древние вавилоняне и греки пытались найти закономерности при решении таких равенств. Но первым, кто описал методы нахождения дополнением квадрата, был индийский философ Будхаяма. Именно он предложил записывать уравнения в виде: ax 2 = c и ax 2 + bx = c. В дальнейшем способы усовершенствовались. Так, Евклид предложил метод геометрического вычисления ответа.

    Но наиболее значимым стало открытие Буля. Изучая формулы различных уравнений, он пришёл к выводу, что выражения почти всегда можно упростить, заменив переменные другим набором, содержащим новые неизвестные. При этом, найдя их, определить первоначальные уже не составляет труда.

    Такой способ был применён и к квадратному уравнению. Благодаря ему стало возможным упростить квадратичную форму с двумя переменными, используя дискриминант. Это понятие тесно связано с многочленом, имеющим следующий вид: d (m) = a 0 *mn + a 1 *mn-1 + a 2 *mn-2 + … + a n-1 *m + a n, где m — искомое неизвестное, a n, a n-1, a n-2, … a 1 и a 0 — числовые постоянные.

    Термин «дискриминант» был придуман не математиками, но успешно стал ими использоваться при вычислении квадратичных функций. Произошёл он от латинского слова discriminans, что в дословном переводе означает «разделяющий». Важной величиной стало значение, придуманное Булем и имеющее вид b2 — 4ac. Учёный открыл, что после того как переменные линейно изменятся, дискриминант будет равняться первоначальному, умноженному на член, находимому из функции поведения неизвестных.

    При решении равенств, содержащих формулу дискриминанта и его корней, используют формулу для быстрого определения количества возможных решений и их числового нахождения. Математически определение записывают следующим образом: p (x) = m + mx + ⋯ + mx, m ≠ 0, где: D (p) = m∏(m − m). То есть дискриминантом многочлена p (x) является сумма произведений корней на неизвестный коэффициент в основном поле их существования.

    Смысл дискриминанта

    Дискриминант — одно из эффективных решений квадратных выражений. С его помощью легко можно выявить, сколько корней имеет уравнение или установить, что их нет. Применять его можно как к полным квадратным равенствам, так и неполным. Но всё же во втором случае использовать дискриминант не нужно.

    Эта тема изучается в седьмом и восьмом классе средней школы. Лучше понять смысл параметра поможет простой пример. Пусть имеется уравнение вида m2 + 2m — 8 = 0. Не имея понятие о дискриминанте, решение уравнения сводится к приведению его к формуле квадрата суммы m2 + 2m +1 — 1- 8 = 0. Добавление и вычитание единицы возможно, так как в итоге получается сложение с нулём.

    Первые три члена представляют собой квадрат суммы, который можно свернуть по формуле сокращённого умножения до вида a2 +2ab + b2 = (a+b)2. Отсюда, применительно к рассматриваемому примеру, получится: (m + 1)2 — 1 — 8 = 0. После преобразований с переносом неизвестного в одну сторону (а известных — в другую) и раскрытием скобки получится равенство: (m + 1)2 = 9. То есть возможными решениями будут m = 2 для (m + 1) = 3 и m = -4 для (m + 1) = -3.

    В общем виде все эти преобразования можно выполнить в следующей последовательности:

  • Уравнение am2 + bm + c = 0 нужно переписать в приведённом виде, то есть разделить каждый член на первый коэффициент: m2 + bm / a + c / a = 0.
  • Согласно формуле сокращённого умножения нужно добиться того, чтобы при неизвестном во втором члене стояло удвоенное произведение. Поэтому числитель и знаменатель нужно помножить на двойку: m2 + 2bm / 2a + c / a = 0.
  • Полученное выражение стоит переписать в более наглядном виде m 2 + 2 m * (b /2 a) + c / a = 0. Это равенство являлось бы приведённым к формуле сокращённого умножения, если бы в последнем члене был квадрат.
  • Ко второму члену следует прибавить и вычесть (b/2a)2. В итоге получится m2 + 2m * (b/2a) + (b/2a)2 — (b/2a)2 + c/a = 0.
  • Первые три слагаемые — это классическая формула квадрата суммы. Применив её, получится: (m + b/2a)2 = (b/2a)2 — c/a.
  • Затем нужно раскрыть скобки и привести к общему знаменателю. Получится конструкция вида (m + b/2a)2 = b 2 -4 ac /4 a 2.
  • Умножив на 4a2 обе части. Выражение примет вид (2 am + b)2 = b 2 — 4 ac.
  • Многочлен b2 — 4ac было решено принять за дискриминант. Это выражение по сути и определяет возможность существования решений и количество корней. Выполнив его расчёт, фактически и находится ответ уравнения.

    Взаимосвязь параметра

    Объяснение дискриминанта имеет и графическое обоснование. Физически задача заключается в комплексном подходе установления взаимосвязи. Фактически это фиксирование нулей параболы уравнения, то есть точек, в которой она пересекает ось абсциссы. Знак при переменной в квадрате будет определять положение веток параболы. Они будут идти вверх при a > 0, и вниз, если a < 0.

    Исходя из этого, дискриминант равняется отношению суммы или разности числового коэффициента, стоящего возле неизвестного в первой степени с корнем квадратным из b 2 — 4 ac к удвоенному произведению первого коэффициента в уравнениях x1 = (- b + √ b 2 — 4 ac) / 2a; x2 = (- b — √ b 2 — 4 ac) / 2a. Подкоренное выражение называют формулой сокращённого дискриминанта.

    Дискриминант при нахождении корней уравнения может принимать три значения:

  • Отрицательное. В случае, когда он меньше нуля, точный квадрат должен равняться числу с минусом, чего не может быть из-за свойств квадратной степени. Поэтому при таком положении вещей решений или действительных корней у уравнения нет. График уравнения не пересекает ось абсциссы.
  • Равное нулю. Это состояние характеризуется уравнением вида: (2 am + b)2 = 0. Так как квадрат числа может быть равен нулю, только если это число нулевое, то рассматриваемое уравнение можно переписать как m = — b / 2a. Это и есть упрощённая формула при дискриминанте, равному 0. На графике существует лишь одна точка пересечения с осью абсциссы.
  • Положительное. Это наиболее распространённый случай и самый тяжёлый для проведения расчётов. При нём из обеих частей уравнения теоремы (2 am + b) 2 = b 2 — 4 ac надо извлечь квадратный корень. В итоге получится 2am + b =± √D. Тут следует отметить следующее: минус возникает из-за того, что возводимое в квадрат число может быть как положительное, так и отрицательное. Например, 92 = 81 и -92 = 81. Из этого выражения можно выразить неизвестное. Оно будет равняться половинному значению m = (-b ± √D) / 2a. Парабола пересекает ось абсцисс в двух точках.
  • Последнее выражение является формулой корней квадратного уравнения. Именно с её помощью могут решаться равенства, в степени которых стоит двойка. Через дискриминант можно вычислять корни и уравнений больших порядков. Для этого используются приёмы понижения степени до квадратного. Но эти операции учащиеся начинают изучать на уроках в выпускном классе, когда проходят решение уравнений n-го порядка.

    Типовые примеры

    Даже зная правило поиска корней через дискриминант, научиться быстро вычислять корни уравнения не получится, если не практиковаться. Поэтому решение практических задач обязательно входит школьную в программу обучения:

  • Дано равенство 6x2 — 13x +2 = 0. Нужно определить количество его корней, если они существуют, их числовые значения. В первую очередь нужно нарисовать таблицу, в которую выписаны все заданные коэффициенты. Так: a = 6; b = -13; c = 2. Эти значения нужно подставить в формулу дискриминанта и найти его: D = b2 — 4ac = (-13)2 — 4 * 6 *2 = 149 — 68 = 121. То есть D больше нуля. Значит, согласно правилу, уравнение будет иметь два корня. Теперь их нужно рассчитать: x1 = (13 + √126) / 2 * 6 = 2; x2 = (13 — √126) / 2 * 6 = 1/6. Задание решено.
  • Определить возможность решения уравнения 4m2 — 2m — 3 = 2. Для приведения к удобному виду двойку нужно перенести влево. В итоге получится 4m2 — 2m — 5 =0. Дискриминант равняется: D = 4 — 4 * 4 * (-5) = 4 + 80 = 84. Так как он больше нуля, то корней будет два. Тут сложность заключается в том, что нет целого числа, которое равнялось бы корню из √84. Однако, √84 = √4 * √21 = 2 √21. Используя формулы, получаем что m = (2 ± 2√21) / 2 * 4. Двойку можно вынести в числителе за скобки, получив тем самым удобную запись: m = (2 * (1 ±√21) / 2 * 4 = (1 ± √21) / 4. Это выражение и есть искомое решение.

  • Решить уравнение: x /3 — x2 / 4 + 1 /6 = 3x / 2 — 4x2 / 3. Для упрощения равенства нужно правую и левую сторону умножить на двенадцать: 12x / 3 — 12 * x2 / 4 + 12 /6 = (3 * 12x) / 2 — (4 * 12x2) / 3. Получится 4 x — 3 x 2 + 2 = 18 x — 16 x 2. Члены нужно привести к стандарту: 4 x — 3 x 2 + 2 — 18 x + 16 x 2 = 13 x 2 — 14 x + 2 = 0. Считаем дискриминант: D = (-14)2 — 4 * 13 * 2 = 92. Он больше нуля, поэтому есть смысл искать корни: X = (14 ± √ 92) / 2 * 13 = (14 ± 2 √ 23) / 2 * 13 = 2 (7±√23) / 2 *13 = (7± √23) /13.

  • Таким образом, любое выражение нужно стремиться переписать так, чтобы оно приняло классический вид. Это может быть умножение или деление на какое-либо число, поиск общего знаменателя. А уже после нужно искать дискриминант, по виду которого можно определить, есть ли смысл в дальнейшем нахождении корней уравнения.

    Вычисления на онлайн-калькуляторе

    Поиск решений уравнения через дискриминант — довольно простая тема. Необходимо запомнить всего две формулы и свойства, зависящие от значения дискриминанта. Но на практике попадаются примеры содержащие интегралы, логарифмы, экспоненциальные функции. При этом всё это может быть записано в виде сложных дробей.

    Решая задания самостоятельно, даже имея большой опыт и знания, есть вероятность допущения ошибки. Поэтому при вычислении сложных примеров стоит использовать онлайн-калькуляторы.

    Из сервисов, предлагающих такие услуги, можно отметить:

    • Math.semestr;
    • Kontrolnaya-rabota;
    • Onlinemschool;
    • Wpcalc;
    • Webmath.

    Эти российские сайты. Их интерфейс интуитивно понятен. Для выполнения вычислений не нужно указывать персональные данные или платить за услуги. От пользователя лишь требуется записать в предложенную форму квадратное уравнение или даже матрицу, состоящую из них. Программа автоматически выполнит нужный расчёт и предоставит пошаговое решение. Кроме того, на сайтах решателей уравнений содержится в кратком виде теоретический материал и типовые примеры с подробным решением.

    Даже ничего не понимающий в дискриминантах человек, воспользовавшись онлайн-калькулятором несколько раз, сможет восполнить пробелы в знаниях, самостоятельно научиться решать примеры, узнает, как правильно должен писаться дискриминант. Использование онлайн-сайтов для математических решений позволяет сэкономить время и получить точный результат.

    Предыдущая

    МатематикаТранспортир — как правильно пользоваться инструментом для построения и измерения углов?

    Следующая

    МатематикаКак решать пропорции — правила, методы и примеры вычислений

    Квадратичная формула


    Часто считается, что проще всего решить квадратные уравнения с помощью факторизации. Однако для квадратичных структур, которые не подлежат факторизации, квадратичная формула может применяться для поиска решений. Квадратичная формула получается из процесса завершения квадрата, и она работает с каждым уравнением.

    Для решения квадратных уравнений:

    1.Попробуйте фактор.

    2. Если факторинг невозможен, используйте квадратную формулу —

    , где ax 2 + bx + c = 0

    Примечание: i =, так.

    Использование дискриминанта

    Значение под знаком корня, b 2 4 ac , называется дискриминантом . Значение дискриминанта многое говорит о решениях уравнения:

    • Если значение дискриминанта положительное, есть два реальных решения для x , что означает, что график решения имеет два различных интерцепта x .
    • Если значение дискриминанта равно нулю, существует одно реальное решение для x , что означает, что график решения имеет один интервал x .
    • Если отрицательное число находится внутри квадратного корня, интерцепции x отсутствуют. Решения не являются действительными числами, но должны быть выражены в виде комплексных чисел.
    положительное число внутри квадратного корня ноль внутри квадратного корня отрицательное число внутри квадратного корня
    два реальных решения одно (повторяющееся) действительное решение два комплекса решения
    два разных x -перехват один (повторяющийся) x -перехват нет x -перехват

    предварительное вычисление алгебры — Почему дискриминант в квадратичной формуле показывает количество реальных решений?

    Подумайте об этом геометрически $ — $, затем вычислите. 2} + bx + c, где a, b и c — действительные числа, но a \ ne 0.

  • Шаг 2: Переместите константу \ color {red} c в правую часть уравнения, вычтя обе части на \ color {red} c.
  • Шаг 3: Разделите все уравнение на коэффициент при квадрате члена, который равен \ large {a}.
  • Шаг 4: Теперь определите коэффициент линейного члена \ large {x}.
  • Шаг 5: Разделите его на 2 и возведите в 2-ю степень. Затем упростите его еще больше.
  • Шаг 6: Добавьте результат шага 5 к обеим сторонам уравнения.
  • Шаг 7: Упростите правую часть уравнения. Будьте осторожны, складывая дроби с разными знаменателями. Убедитесь, что вы нашли правильный наименьший общий знаменатель (ЖКД) при выполнении сложения.
  • Шаг 8: Выразите трехчлен в левой части уравнения как квадрат бинома.
  • Шаг 9: Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения, чтобы исключить показатель степени 2 бинома.
  • Шаг 10: Упростить. Убедитесь, что вы добавили \ color {red} \ pm с правой стороны уравнения. Левая часть больше не содержит мощности 2.
  • Шаг 11: Сохраните переменную x слева, вычтя обе части на \ Large {b \ over {2a}}.
  • Шаг 12: Упростите, и готово!

Я надеюсь, что вы найдете пошаговое решение полезным в выяснении того, как квадратная формула выводится с использованием метода завершения квадрата.


Возможно, вас заинтересует:

Квадратичная формула

Дискриминантное определение, примеры и решения

Содержание

Мы в Cuemath считаем, что математика — это жизненный навык. Наши эксперты по математике сосредотачиваются на том, «почему» стоит за «что». 2-4ac \\ [0.2 + bx + c = 0 \) — значения \ (x \), которые удовлетворяют уравнению.

Их можно найти по формуле корней квадратного уравнения:

\ (x = \ dfrac {-b \ pm \ sqrt {D}} {2 a} \)

Хотя мы не можем найти корни, просто используя дискриминант, мы можем определить природу корней следующим образом:

  • Если \ (D> 0 \), квадратное уравнение имеет два разных действительных корня:
    \ [\ dfrac {-b \ pm \ sqrt {\ text {Положительное число}}} {2 a} \]
    дает два корня
  • Если \ (D = 0 \), квадратное уравнение имеет только один действительный корень:
    \ [\ dfrac {-b \ pm \ sqrt {0}} {2 a} = \ dfrac {-b} {2 a} \]
    это единственный рут
  • Если \ (D <0 \), квадратное уравнение не имеет действительных корней., то есть имеет два комплексных корня:
    \ [\ dfrac {-b \ pm \ sqrt {\ text {Отрицательное число}}} {2 a} \]
    дает два сложных корня.

Это потому, что квадратный корень отрицательного числа дает мнимое число. т.е. \ (\ sqrt {-1} = i \)

Корень — это не что иное, как координата x точки пересечения с x.

График квадратного уравнения в каждом из этих трех случаев может быть следующим.


Калькулятор дискриминанта (с графиком)

Вот «Дискриминантный калькулятор».2-4ac \)

  • Квадратное уравнение имеет:
    (i) два неравных действительных корня, когда \ (D> 0 \)
    (ii) только один действительный корень, когда \ (D = 0 \)
    (iii) нет действительных корней или два комплексных корня, когда \ (D <0 \)
  • Помогите своему ребенку набрать больше баллов с помощью запатентованного БЕСПЛАТНОГО диагностического теста Cuemath. Получите доступ к подробным отчетам, индивидуальным планам обучения и БЕСПЛАТНОЙ консультации. Попытайтесь пройти тест сейчас.


    Решенные примеры

    Вот несколько примеров дискриминантов и их решения. 2 + Bx + C = 0 \),

    \ [\ begin {align} A & = 9 \\ [0.4} \)

    CLUEless в математике? Узнайте, как учителя CUEMATH объяснят вашему ребенку Discriminant , используя интерактивные симуляции и рабочие листы, чтобы им больше никогда не приходилось запоминать что-либо по математике!

    Изучите интерактивные и персонализированные онлайн-классы Cuemath, которые сделают вашего ребенка экспертом по математике. Забронируйте БЕСПЛАТНОЕ пробное занятие сегодня!


    Практические вопросы

    Вот несколько занятий для вас.{2} -24 x + 2 = 0} \) имеет только одно действительное решение.


    Образцы материалов олимпиады по математике

    IMO (Международная олимпиада по математике) — это конкурсный экзамен по математике, который ежегодно проводится для школьников. Он побуждает детей развивать свои навыки решения математических задач с точки зрения соревнований.

    Вы можете БЕСПЛАТНО скачать образцы работ по оценкам ниже:

    Чтобы узнать больше об олимпиаде по математике щелкните здесь


    Часто задаваемые вопросы (FAQ)

    1.2–4 (\ sqrt {3}) (10 \ sqrt {3}) \\ [0,2 см] & = 121-120 \\ [0,2 см] & = 1 \ end {выровнено} \]

    Таким образом, дискриминант данного уравнения равен:

    \ (\ mathbf {D} \) или \ (\ mathbf {\ Delta = 1} \)

    3. Как использовать дискриминантную формулу?

    Мы можем использовать дискриминант, чтобы определить природу корней.

    Квадратное уравнение имеет:
    (i) два неравных действительных корня, когда \ (D> 0 \)
    (ii) только один действительный корень, когда \ (D = 0 \)
    (iii) нет действительных корней или два комплексных корня, когда \ (D <0 \)

    Дискриминант — iitutor

    Формула $ x = \ dfrac {-b \ pm \ sqrt {b ^ 2-4ac}} {2a} $ дает решения общего квадратного уравнения $ ax ^ 2 + bx + c = 0 $.2 + 10k + 9 & \ ge 0 \\
    (k + 1) (k + 9) & \ ge 0 \\
    \, следовательно, k & \ le -9 \ text {или} \ ge -1 \\
    \ end {align} \)

    Алгебра Алгебраические дроби Биномиальное расширение Емкость Цепочка Правило Геометрия круга Общее различие Общее соотношение Формула составного угла Дифференциация Двойная угловая формула Уравнение Экспонента Экспоненциальная функция Факториалы Факторизовать функции Геометрическая последовательность Геометрическая последовательность Законы преобразования индекса длины Неравенство Логарифмические функции Массовое преобразование Математическая индукция Идеальная квадратная простая факторизация Вероятность Правило произведения Доказательство Квадратичная квадратичная факторизация Правило частного Рациональные функции Последовательность построения эскизов Графы Surds Преобразование времени Тригонометрические функции Тригонометрические свойства Объем

    Дискриминант — Центр академической поддержки

    Что такое дискриминант квадратичной функции и для чего он используется?

    Дискриминант квадратичной функции — это значение, определяемое значениями a, b, и c функции.Это значение скажет нам, сколько решений будет у квадратичной. Это также позволяет нам проделать некоторую работу по упрощению квадратной формулы, прежде чем мы начнем решать.

    Наша стандартная формула для квадратичной функции:

    y = ax 2 + bx + c

    Дискриминант — это то же самое, что и часть квадратной формулы, стоящая под корнем (квадратный корень). Вот общая формула дискриминанта.

    b 2 — 4 ac

    Интерпретация дискриминанта

    Дискриминантная формула получается из радикала в квадратной формуле.Наши правила о квадратных корнях гласят, что мы не можем иметь отрицательные числа под корнем, если мы не хотим работать с мнимым числом i . Нам не нужно будет использовать мнимые числа для работы с дискриминантом.

    Значение дискриминанта говорит вам, имеет ли квадратичный 2 решения, 1 решение или нет реальных решений.

    · Если b 2 — 4 ac упрощается до положительного числа, то квадратичная функция имеет 2 решения.

    · Если b 2 — 4 ac упрощается до 0, то квадратичная функция имеет 1 решение.

    · Если b 2 — 4 ac упрощается до отрицательного числа, то квадратичная функция не имеет действительных решений.

    Квадратичная система, имеющая 2 решения, дважды пересечет ось x .

    Квадратичная функция, имеющая 1 решение, будет касаться оси x своей вершиной.

    Квадратичная диаграмма, не имеющая реальных решений, не будет пересекать ось x .

    Например,

    Используйте дискриминант, чтобы определить, сколько решений будет у квадратичной. Затем используйте формулу корней квадратного уравнения, чтобы найти эти решения.

    2 x 2 + 5 x + 3 = 0

    · Шаг 1. Найдите свои значения для a , b, и c

    o Наша общая формула квадратичного уравнения: ax 2 + bx + c = 0.

    § Это означает, что a = 2, b = 5 и c = 3

    § Убедитесь, что одна часть уравнения равна нулю.Обычно это можно сделать путем сложения или вычитания

    · Шаг 2. Подставьте свои значения для a , b и c в дискриминантную формулу и упростите результат

    o Дискриминантная формула: b 2 — 4 ac

    5 2 — 4 (2) (3)

    25–24

    1

    · Шаг 3: Интерпретируйте результаты.

    o Если результат положительный, имеем 2 реальных решения

    o Если результат равен нулю, мы имеем 1 реальное решение

    o Если результат отрицательный, у нас нет реальных решений (2 мнимых решения)

    § Наш результат — 1, что является положительным числом.Это означает, что у нас будет 2 решения.

    · Шаг 4. Подставьте значения a, b, и c в формулу корней квадратного уравнения, чтобы найти решения уравнения.

    Практические задачи

    Воспользуйтесь дискриминантом, чтобы определить, сколько реальных решений будет иметь каждая квадратичная функция, а затем используйте формулу корней квадратного уравнения, чтобы найти любые существующие решения.

    1. 5 x 2 + 16 x — 84 = 0 2.3 x 2 — 41 x + 110 = 0

    3. -2 x 2 + 8 x — 5 = 0 4. 18 x 2 — 45 x — 50 = 0

    5. 3 x 2 — 44 x = -96 6.5 x 2 — 47 x = 156

    % PDF-1.4
    %
    388 0 объект
    >
    эндобдж

    xref
    388 168
    0000000016 00000 н.
    0000004866 00000 н.
    0000004980 00000 н.
    0000006585 00000 н.
    0000006913 00000 п.
    0000007027 00000 н.
    0000007382 00000 п.
    0000007764 00000 н.
    0000012310 00000 п.
    0000012667 00000 п.
    0000012938 00000 п.
    0000013050 00000 п.
    0000013307 00000 п.
    0000013478 00000 п.
    0000013787 00000 п.
    0000014139 00000 п.
    0000014695 00000 п.
    0000015083 00000 п.
    0000015465 00000 п.
    0000015902 00000 н.
    0000020121 00000 п.
    0000020391 00000 п.
    0000020580 00000 п.
    0000020843 00000 п.
    0000021107 00000 п.
    0000021196 00000 п.
    0000021801 00000 п.
    0000021970 00000 п.
    0000022342 00000 п.
    0000022781 00000 п.
    0000022964 00000 н.
    0000023082 00000 п.
    0000023582 00000 п.
    0000023775 00000 п.
    0000027838 00000 п.
    0000028203 00000 п.
    0000028436 00000 п.
    0000033482 00000 п.
    0000033754 00000 п.
    0000033884 00000 п.
    0000034456 00000 п.
    0000034752 00000 п.
    0000034916 00000 п.
    0000035294 00000 п.
    0000035850 00000 п.
    0000036043 00000 п.
    0000036306 00000 п.
    0000036587 00000 п.
    0000036727 00000 н.
    0000039197 00000 п.
    0000039532 00000 п.
    0000039935 00000 н.
    0000044013 00000 п.
    0000044463 00000 п.
    0000044874 00000 п.
    0000045177 00000 п.
    0000045264 00000 п.
    0000050093 00000 п.
    0000050403 00000 п.
    0000050584 00000 п.
    0000050989 00000 п.
    0000051191 00000 п.
    0000055739 00000 п.
    0000056221 00000 п.
    0000056385 00000 п.
    0000056655 00000 п.
    0000057012 00000 п.
    0000060099 00000 п.
    0000064373 00000 п.
    0000064540 00000 п.
    0000064798 00000 п.
    0000069033 00000 п.
    0000069396 00000 п.
    0000069806 00000 п.
    0000070324 00000 п.
    0000070686 00000 п.
    0000070919 00000 п.
    0000071307 00000 п.
    0000071655 00000 п.
    0000072073 00000 п.
    0000072445 00000 п.
    0000077290 00000 п.
    0000081743 00000 п.
    0000087153 00000 п.
    0000112495 00000 н.
    0000113277 00000 н.
    0000113402 00000 н.
    0000116210 00000 н.
    0000118378 00000 н.
    0000120651 00000 н.
    0000121294 00000 н.
    0000122976 00000 н.
    0000123803 00000 н.
    0000125315 00000 н.
    0000150888 00000 н.
    0000151622 00000 н.
    0000152509 00000 н.
    0000157047 00000 н.
    0000157082 00000 н.
    0000157160 00000 н.
    0000171703 00000 н.
    0000172034 00000 н.
    0000172100 00000 н.
    0000172216 00000 н.
    0000172251 00000 н.
    0000172329 00000 н.
    0000191300 00000 н.
    0000191631 00000 н.
    0000191697 00000 н.
    0000191813 00000 н.
    0000191947 00000 н.
    0000192341 00000 н.
    0000192494 00000 н.
    0000192900 00000 н.
    0000193155 00000 н.
    0000193652 00000 н.
    0000193957 00000 н.
    0000194278 00000 н.
    0000194372 00000 н.
    0000195070 00000 н.
    0000195344 00000 н.
    0000195653 00000 н.
    0000195740 00000 н.
    0000196393 00000 н.
    0000196656 00000 н.
    0000196959 00000 н.
    0000197152 00000 н.
    0000197605 00000 н.
    0000197915 00000 н.
    0000198326 00000 н.
    0000198765 00000 н.
    0000199154 ​​00000 н.
    0000199490 00000 н.
    0000199820 00000 н.
    0000200238 00000 н.
    0000200716 00000 н.
    0000201026 00000 н.
    0000201434 00000 н.
    0000201858 00000 н.
    0000203231 00000 н.
    0000203568 00000 н.
    0000203948 00000 н.
    0000204430 00000 н.
    0000204764 00000 н.
    0000205082 00000 н.
    0000206483 00000 н.
    0000206783 00000 н.
    0000246506 00000 н.
    0000246545 00000 н.
    0000249656 00000 н.
    0000249695 00000 н.
    0000252806 00000 н.
    0000252845 00000 н.
    0000253690 00000 н.

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован.