Исследовать интеграл на сходимость: ∫ Решение несобственного интеграла — Калькулятор Онлайн

Содержание

Исследование несобственного интеграла на сходимость

Примеры исследования несобственных интегралов на сходимость

Пример 1 Исследовать на сходимость . Вычислим интеграл по определению: .

Таким образом, данный интеграл сходится при a>1 и расходится при a£1.

Пример 2 Исследовать на сходимость . Вычислим интеграл по определению: .

Таким образом, данный интеграл сходится при a 0), а интеграл сходится при m>-1 (пример 2). Аналогично, для интеграла I2 :

, а интеграл сходится при m+n -1 и m+n -1 т. е. при m>-2 (пример1).

Для подынтегральная функции в несобственном интеграле первого рода I2 подберем эквивалентную:

т. к. arctgx » p/2 при x® ¥. Следовательно, по второму признаку сравнения интеграл I2 будет сходится при m+n -2 и m+n -1 (пример 1).

Интеграл I2 является несобственным интегралом первого рода. Подобрать функцию, эквивалентную подынтегральной функции, такую, чтобы она не содержала показательной функции, не удается. Поэтому использовать признак сравнения 2, как в предыдущих примерах, нельзя. Применим первый признак сравнения, для чего используем следующий известный факт:

При a>0 и любом p. Из этого, и того, что функция xpe-ax непрерывна, следует, что эта функция ограничена, т. е. существует такая константа M>0, что xpe-ax -1.

Пример 6 Исследовать на сходимость .

Проведем замену переменной: t = lnx, и получим

.

Разбиение интеграла на два произведено аналогично примеру 5. Интеграл I1 полностью эквивалентен интегралу I1 из примера 5 и, следовательно, сходится при q 1. Однако, на этом исследование сходимости этого интеграла не закончено, так как использованный признак сходимости дает только достаточные условия сходимости. Поэтому нужно исследование сходимости при 1-p£0.

Рассмотрим случай p=1. Тогда интеграл I2 эквивалентен , который сходится при q>1 (заметим, что в этом случае интеграл I1 расходится) и расходится в противном случае.

При p 0, и, следовательно, начиная с некоторого А>1 выполнено TQE(1-P)T ³ M=const>0. Тогда для интеграла I2 справедлива оценка

,

Где интеграл в правой части расходится, что и доказывает расходимость интеграла I2 .

Суммируя полученные результаты, получаем что исходный интеграл сходится при q 1, в противном случае интеграл расходится.

Пример 6 Исследовать на абсолютную и условную сходимость .

Разобьем исходный интеграл на два:

.

Сходимость. Интеграл I1 эквивалентен , т. е. сходится при p 0 т. к. первообразная sin(x) ограничена, а функция 1/xp монотонно стремится к нулю при x стремящемся к бесконечности.

Покажем, что при p£0 интеграл расходится. Воспользуемся для этого критерием Коши, а точнее его отрицанием

.

Возьмем в качестве R1и R2 следующие величины: R1=2pk и R2=2pk+p/2, тогда

, при p>0.

Таким образом, интеграл сходится при 0

Абсолютная сходимость Абсолютная сходимость интеграла I1 уже установлена, рассмотрим абсолютную сходимость I2 . Оценим интеграл сверху:

, т. е. интеграл сходится при p>1.

Для доказательства расходимости при p£1 оценим интеграл снизу

.

Разобьем последний интеграл от разности функций на разность интегралов

.

Если оба интеграла сходятся, то и интеграл от разности сходится, если один из интегралов расходится, а другой сходится – то интеграл от разности расходится. В случае расходимости обоих интегралов сходимость интеграла от разности подлежит дальнейшему исследованию. Нас интересует второй из описанных случаев.

расходится (пример 1) при p p>0 (см. Сходимость), следовательно интеграл оценивается снизу расходящимся интегралом, т. е. расходится.

Случай p³1 нас не интересует, т. к. при этих значениях параметра интеграл расходится.

Таким образом, исходный интеграл сходится абсолютно при 0

1. Несобственные интегралы с бесконечными пределами

Вспомним определение интеграла как предела интегральных сумм:

В определении предполагается, что интервал интегрирования конечен, а функция f (x) непрерывна в нем. Нарушение этих предположений приводит к несобственным интегралам.

Определение. Если интеграл стремится к конечному пределу при неограниченном возрастании “b”, то этот предел называют несобственным интегралом с бесконечной верхней границей от функции f (x) и обозначают символом

В этом случае говорят, что несобственный интеграл существует или сходится.

Если указанный предел не существует или существует, но бесконечен, то говорят, что интеграл не существует или расходится.

Аналогично определяется несобственный интеграл с бесконечной нижней границей:

Несобственный интеграл с двумя бесконечными границами определяется формулой:

где с – любая фиксированная точка на оси Ох.

Итак, несобственные интегралы могут быть с бесконечно нижней границей, с бесконечно верхней границей, а также с двумя бесконечными границами.

Признаки сходимости. Абсолютная и условная сходимость

Интеграл существует только тогда, когда существует каждый из интегралов: и .

Пример. Исследовать на сходимость интеграл

Полагая с = 0, получим:

т.е. интеграл сходится.

Иногда нет необходимости вычислять несобственный интеграл, а достаточно лишь знать, сходится он или расходится, сравнив его с другим интегралом.

Теорема сравнения несобственных интегралов.

Пусть в интервале [a; +¥) функции f (x) и j (х) непрерывны и удовлетворяют неравенству 0 £ j (x) £ f (x). Тогда:

а) если интеграл сходится, то сходится

б) если интеграл расходится, то также расходится.

Пример.1. Исследовать, сходится ли интеграл:

Решение. Заметим, что при 1 £ x :

= 1

Следовательно, сходится и его значение, меньше 1.

Пример. 2. Исследовать, сходится ли интеграл

Замечаем, что

Но, .

Следовательно, расходится и данный интервал.

Теорема. Если интеграл сходится, то сходится и интеграл .

В этом случае последний интеграл называется абсолютно сходящимся.

Если интеграл от расходится, то об интеграле от f (x) на одном этом основании ещё ничего сказать нельзя: он может расходиться, а может и сходиться. В последнем случае (т.е. когда сходится, расходится говорят, что сходится условно (не абсолютно).

Пример. Исследовать сходимость интеграла

Здесь подынтегральная функция – знакопеременная.

Замечаем, что

Но

Следовательно, интеграл сходится.

Отсюда следует, что сходится и данный интеграл.

Итак, для определения сходимости несобственного интеграла можно его сравнивать с другим интегралом, который заведомо сходится или расходится.

Несобственные интегралы от разрывных функций

Если на отрезке [a; b] функция f (x) имеет несколько (конечное число) точек разрыва первого рода, это “препятствие” легко устранить, разбив отрезок точками разрыва на несколько отрезков, вычислить определенные интегралы на каждом отдельном участке и результаты сложить.

Рассмотрим определенный интеграл от функции, неограниченной при приближении к одному из концов отрезка [a; b], например, .

(В таких случаях обычно говорят : ’’Функция имеет бесконечный разрыв на правом конце отрезка интегрирования’’.)

Ясно, что обычное определение интеграла здесь теряет свой смысл.

Определение. Несобственным интегралом от функции f(x), непрерывной при а £ х

Таким образом, данный интеграл расходится на всем отрезке [-1, 1]. Отметим, что если бы мы стали вычислять данный интеграл, не обращая внимания на разрыв подынтегральной функции в точке x = 0, то получили бы неверный результат. Действительно,

, что невозможно.

Итак, для исследования несобственного интеграла от разрывной функции, необходимо «разбить» его на несколько интегралов и исследовать их.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Как то на паре, один преподаватель сказал, когда лекция заканчивалась – это был конец пары: «Что-то тут концом пахнет». 8413 – | 8030 – или читать все.

78.85.5.224 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)

очень нужно

Введите функцию, для которой необходимо вычислить несобственный интеграл

Найдём решение несобственного интеграла с заданными пределами интегрирования.

Примеры

С применением степени
(квадрат и куб) и дроби

С применением синуса и косинуса

Гиберболические синус и косинус

Гиберболические тангенс и котангенс

Гиберболические арксинус и арккосинус

Гиберболические арктангенс и арккотангенс

Правила ввода выражений и функций

© Контрольная работа РУ – калькуляторы онлайн

Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов по бесконечному промежутку

§5. Абсолютная
и условная сходимость несобственных
интегралов по бесконечному промежутку

До сих
пор рассматривались интегралы от
знакоположительных (знакопостоянных)
функций. Теперь пусть подынтегральная
функция таких ограничений не имеет, то
есть может быть и знакочередующейся
функцией.

Если
наряду с собственным интегралом по
бесконечному промежутку
сходится
и интеграл

по этому же промежутку, то первый интеграл
называется абсолютно сходящимся.

Если
интеграл
сходится,
а интеграл

расходится, то первый интеграл называется
условно сходящимся.

Пример
8.
Исследовать на абсолютную сходимость
интеграл: .

Решение.
В начале исследуется данный интеграл
вообще на сходимость, для чего проведем
интегрированние по частям: пусть

тогда
,
далее
.
Так как последний интеграл сходится,
то по признаку сравнения сходится и
интеграл
,
причем абсолютно. Исходный интеграл

при этом является сходящимся (кстати,
сходимость этого можно определить
быстрее с помощью признака сходимости
Дирихле, который будет рассмотрен
позже). Чтобы исследовать исходный
интеграл на абсолютную сходимость, надо
рассмотреть интеграл:
.
Так как

при
,
то имеем:
.
Интеграл

аналогично исходному интегралу

сходится, а интеграл

расходится; стало быть, и интеграл

является расходящимся. При этом исходный
интеграл является условно сходящимся.

Упражнение
8
. Установить условную сходимость
интеграла:
.

Пример
9.
Исследовать на абсолютную сходимость
интеграл:
.

Решение:

;
стало быть, интеграл сходится абсолютно.

Упражнение 9. Установить
абсолютную сходимость интеграла:
.

Установить
условную сходимость при отсутствии
абсолютной сходимости в ряде случаев
позволяет так называемый признак
сходимости Дирихле
, в котором
исследуется структура подынтегральной
функции, если ее можно представить в
виде произведения двух функций, а именно:
,
где

интегрируема и ограничена, то есть:

(7) ;

а функция

при

непрерывно дифференцируема и монотонна,
причем:

(8) .

При
выполнении условий, налагаемых на
функции

и

интеграл

(9)

сходится.

С
помощью этого признака условную
сходимость интеграла в примере 8 при
отсутсвии абсолютной сходимости можно
определить следующим образом:

Имеем
интеграл
,
который не является абсолютно сходящимся.

Представим
подынтегральную функцию этого интеграла
в виде произведения двух функций, то
есть:
,
где
,
а
.
Функция

интегрируема и ограничена на бесконечном
промежутке, так как:
,
а
.
Поскольку все условия признака Дирихле
(Формулы (7) и (8)) выполнены, то
исследуемый интеграл

сходится условно, ибо абсолютная
сходимость этого интеграла места не
имеет, что было показано в примере 8.

Пример
10
. Исследовать на абсолютную и условную
сходимость интеграл:

Решение. Сначала
сделаем в исследуемом интеграле замену
переменной:

пусть
,
тогда
;
если
;
если
;
итак, имеем:

где

является функцией интегрируемой и
ограниченной на бесконечном промежутке
(формула (7)), а

(выполняется формула (8)). Поскольку
все условия признака Дирихле (формулы
(7) и (8)) выполнены, то исследуемый
интеграл

сходится. Исследуем интеграл на абсолютную
сходимость, для чего рассмотрим интеграл
.
Т.к.

при
,
то
.
Интеграл

сходится по признаку Дирихле, а интеграл

расходящийся; стало быть, интеграл

тоже расходящийся, при этом исследуемый
интеграл

сходится условно.

Упражнение
10
. Установить условную сходимость
интегралов Фронеля:

; .

Интеграл
типа (9) можно исследовать на условную
сходимость ещё и с помощью так называемого
признака сходимости Абеля, в котором
так же исследуется структура подынтегральной
функции, если её можно представить в
виде произведения двух функций

и
,
на которые теперь наклкдываются
следующие ограничения: интеграл от
функции

по бесконечному промежутку, то есть:

(10)

сходится,
а функция

при

непрерывно дифференциируема, монотонна
и непрерывна, а потому имеет конечный
предел, то есть:

(11) ,
.

При
выполнении указанных условий ((10) и
(11)) интеграл типа (9) сходится.

Пример 11. Установить сходимость
интеграла:
,
используя признак Абеля.

Решение. Исследуемый интеграл
представим следующим образом:
,
где
,
а
.
Так как интеграл от функции

по бесконечному промежутку сходится
(см. пример (8)), а
,
то все условия признака Абеля выполнены;
стало быть, исследуемый интеграл
сходящийся. Характер сходимости исходного
итеграла (сходится условно или абсолютно)
определится после исследования данного
интеграла на абсолютную сходимость,
для чего надо исследовать интеграл:
.
Так как
,
то
.

Интеграл

сходится по признаку Дирихле, так как
,
а
.
Интеграл

расходится, что можно установить по
предельному признаку сравнения:

при
;
тогда в кочестве сопоставляемой функции
имеем
,
а
,
что означает расходимость интеграла
.
Стало быть, интеграл

тоже расходящийся. Теперь ясен и характер
сходимости исходного интеграла
:
он сходится условно.

Упражнение
11
. Исследовать характер сходимости
интеграла:
.

§6.
Признаки сравнения несобственных
интегралов

от
разрывных функций

Общий
и предельный признаки сравнения
несобственных интегралов от разрывных
функций аналогичны таким же признакам
для несобственных интегралов по
бесконечному промежутку (формулы (4) и
(6)). Пусть функции

и
,
неотрицательные на промежутке

и интегрируемы на каждом отрезке
,.
Тогда, если функции

и

удовлетворяют на промежутке

неравенству:
,
то имеем:

и из сходимости интеграла

следует сходимость интеграла
,
а из расходимости интеграласледует
расходимость интеграла
.
Возможные ситуации сопоставлений
интегралов исследуемого и известного
такие же, как это представлено в
соотношениях
.
Далее, если существует, отличный от
нуля, конечный предел:

(12)

,

то
интегралы

и

ведут себя одинаково: то есть сходятся
или расходятся одновременно. В частности,
если функции

и

эквивалентны при
,
то эти функции одновременно либо
интегрируемы, либо неинтегрируемы на
промежутке
.

В
качестве частного признака сравнения
несобственных интегралов от разрывных
функций используется интеграл с
параметром
:

(13)

,

который
сходится при
и
расходится при
.
В самом деле,
,
откуда следует, что дробь, стоящая в
правой части равенства терпит бесконечный
разрыв при

и
;
если же
,
то дробь разрыва не имеет и интеграл
(13) сходящийся. В более общей форме
частный признак сравнения несобственных
интегралов от разрывных функций можно
представить так:

(13
а,б)

или
,

где,
как и раньше, интегралы сходятся при

и расходятся при
.

Пример
12.
Исследовать несобственные
интегралы от разрывных функций на
сходимость:

а).
;
б).
;
в).
;
г).
.

Решения.
а). Так как на промежутке

имеет место неравенство:
,
то имеем сопоставление интегралов в
виде частного и общего признаков
сравнения:
.

Поскольку
интеграл в правой части неравенства
сходится (формула(13)),то исследуемый
интеграл тоже сходится согласно общему
признаку сравнения несобственных
интегралов.

б).
Пусть
,
а
;
тогда имеем сопоставление интегралов:
опорного (формула(13а))

и исследуемого в виде предельного
признака сравнения (формула (12)):
;
так как опорный интеграл расходится,
то расходится и исследуемый интеграл.

в).
Используем методику поиска опорного
интеграла, описанную для несобственных
интегралов первого рода:

1).,
что означает, что подынтегральная
функция
имеет
одну особенность в точке
,
где она терпит бесконечный разрыв (при
вычислении предела использовалась
эквивалентность функций при
,
а именно:
).

2). в
качестве сопоставляемой функции
используем

, которая эквивалентна функции

при
;
то есть:
,
а поскольку интеграл

сходящийся (формула(13)), то и исследуемый
интеграл тоже сходящийся.

г).
Подынтегральная функция
терпит
бесконечный разрыв в точке
,
так как
.
Исследуя разложение функции

в точке
,
будем иметь:
;
в качестве функции

возьмём
;
тогда предельный признак сравнения
даёт:
,
а поскольку

расходится, то расходится и исследуемый
интеграл.

Упражнения
12.
Исследовать интегралы на
сходимость:

а)
; б);
в);
г).

§7. Абсолютная
и условная сходимость несобственных
интегралов от разрывных функций

Как и в
случае несобственных интегралов по
бесконечному промежутку, критерий Коши
(формула (3)) для несобственных интегралов
от разрывных функций в практических
целях мало пригоден (используется иногда
для установления расходимости). Тем не
менее, определим этот критерий для
несобственных интегралов второго рода.
Итак, пусть функция f(x)
определена на промежутке [a,
b), интегрируема на
любом отрезке [a, c],
с<b, и неограниченна
в левой окрестности точки x=b.
Тогда для сходимости интеграла

необходимо и достаточно, чтобы для
любого числа

существовало такое число
,
чтобы при любых

и
,
принадлежащих интервалу
,
выполнялось соотношение:

(14) .

Абсолютная
и условная сходимость для несобственных
интегралов от разрывных функций
определяется аналогично тому, как это
было сделано для несобственных интегралов
по бесконечному промежутку ( см. §5) , а
именно: несобственный интеграл от
разрывной функций

называется абсолютно сходящимся, если
сходится интеграл
,
и условно сходящимся, если интеграл

сходится, а интеграл
расходится.

Пример
13.
Установить абсолютную
сходимость интеграла:

Решение.

. Так как последний интеграл сходится,
то искомый интеграл J
сходится по общему признаку сравнения,
причём сходится абсолютно.

Упражнение
13
. Установить абсолютную
сходимость интеграла:
.

Если абсолютная
сходимость несобственного интеграла
от разрывной функции места не имеет, то
исследовать исходный интеграл на
условную сходимость как и в случае с
несобственными интегралами по бесконечному
промежутку помогают достаточные признаки
сходимости Дирихле и Абеля (формулы
(7)(11)).
В случае несобственных интегралов
второго рода упомянутые признаки
сходимости определяются так:

15. Признак
Дирихле.
Интеграл

сходится, если: 1).функция
непрерывна
и имеет ограниченную первообразную
на;
2).функция

непрерывно дифференцируема и монотонна
на
,
причём.

16. Признак
Абеля.
Интеграл

сходится, если: 1).функция

непрерывна на

и интеграл

сходится; 2).функция
ограничена,
непрерывно дифференцируема и монотонна
на
,
то есть имеет конечный предел:.

Пример
14.
Определить характер сходимости
интеграла:

.

Решение.
Сходимость интеграла устанавливаем с
помощью признака Абеля: пусть

, тогда
,
а
,
и сходимость интеграла:

(это несобственный интеграл первого
рода от знакопеременной подынтегральной
функции, который сходится по признаку
Дирихле (см. пример и упражнение №8)),
при этом исходный интеграл J
сходится по признаку Абеля.

Характер
сходимости исходного интеграла J
можно установить, исследовав его на
абсолютную сходимость, то есть изучив
интеграл:

.
Так как
,
то
расходится,

,где
;
пусть
,
,
;
если x=0+,
;
если x =1, t
= 2.

Этот интеграл
сходится по признаку Дирихле, а интеграл

расходится, так как расходится
;
итак, исходный интеграл

сходится условно.

Упражнение
14
. Определить характер сходимости
интеграла:

Пример
15.
Исследовать сходимость интеграла:
.

Решение.
Исследуемый интеграл имеет одну
особенность в точке x=0.
Пусть:
,

,

;
если x = 0+, то
;
если
,

.

Тогда:

и интеграл исходный является расходящимся.

Упражнение
15
. Исследовать интеграл на
сходимость:
.

Литература

  1. Агеев О.Н.,
    Шведова И.Г. Несобственные интегралы
    и интегралы, зависящие от параметра.
    Учебное пособие, М., МГТУ, 1993.

  1. Зарубин В.С.
    и др. Интегральное исчисление функций
    одного переменного. М., МГТУ, 1999.

  1. Ильин В.А.,
    Поздняк Э.Г. Основы математического
    анализа. Часть II. М., Наука,
    1973.

  1. Кудрявцев
    и др. Сборник задач по математическому
    анализу (интегралы, ряды). М., Наука,
    1986.

  1. Данко П.Е. и
    др. Высшая математика в упражнениях и
    задачах. Часть I. М., Высшая
    школа, 1986.

  1. Ляшко И.И. и
    др. Справочное пособие по математическому
    анализу (введение в анализ, производная,
    интеграл). Киев, Высшая школа, 1984.

Ответы к упражнениям

Упр. 1). а).
;
б). расходится; в).
.

Упр. 2). а).
;
б). 1; в).
.

Упр. 3). а).

; б). –1; в). расходится.

Упр. 4). а).
;
б). расходится; в).
.

Упр. 5). а).
Расходится; б). сходится.

Упр. 6). а).
Сходится ; б). расходится.

Упр. 7). а).
Сходится; б). сходится; в). сходится; г).
расходится.

Упр. 11). Сходится
условно.

Упр. 12). а).
Сходится; б). сходится; в). сходится; г).
расходится.

Упр. 14). Сходится
условно.

Упр. 15).
Расходится.

Приложение
1. Главные значения расходящихся
несобственных интегралов

К несобственным интегралам
относятся так называемые интегралы в
смысле главного значения. Если
несобственный интеграл существует
(сходится), то существует и интеграл в
смысле главного значения и эти интегралы
совпадают. Из существования интеграла
в смысле главного значения не следует
существование (сходность) соответствующего
несобственного интеграла. Рассмотрим
подробнее главные значения расходящихся
несобственных интегралов по бесконечному
промежутку и от разрывных функций.

Пусть функция f
(x) определена на всей
числовой оси и интегрируема на любом
отрезке этой оси. Если существует предел:

1.
,

то он
называется главным значением несобственного
интеграла по бесконечному промежутку
от функции f (x)
и обозначается символом:
,
где V и P
есть начальные буквы французских слов
«Valeur Principal»,
обозначающих «главное значение».
Итак, имеем по определению

2.
.

В случае неотрицательной функции
f (x) главное
значение несобственного интеграла по
бесконечному промежутку отождествляется
с площадью неограниченной области между
осью абсцисс и графиком этой функции.

Интеграл от нечетной функции fh
(x) (fh
(-x)= -fh
(x)) по любому симметричному
относительно начала координат отрезку
[-R; R] равен
нулю. По этой причине и главное значение
несобственного интеграла по бесконечному
промежутку от такой функции принимается
равным нулю, то есть:

3.
,

где fh
(x) есть функция нечетная.

Например,
,
в то время как несобственный интеграл

есть расходящийся; в самом деле:
,
то есть оба предела бесконечны; стало
быть и сам несобственный интеграл
расходится.

Аналогично равны нулю главные
значения следующих расходящихся
несобственных интегралов от нечетных
функций по бесконечному промежутку:
;
;
.

Интеграл от четной функции fr
(x) (fr
(x)= fr
(-x)) по любому симметричному
относительно начала координат отрезку
[-R; R] равен
удвоенному значению интеграла от этой
функции на отрезке [0; R].
Главное значение несобственного
интеграла по бесконечному промежутку
от четной функции fr
(x) существует, если
несобственный интеграл от этой функции
по промежутку [0; +)
сходится. Таким образом, имеем:

4.
,

где fr
(x) есть функция четная.

Например,
,
в то время как несобственный интеграл

расходится; в самом деле:

,
где интегралы j2 и
j4 есть расходящиеся,
а потому и исходный интеграл расходится.

Главные значения несобственных
интегралов по бесконечному промежутку
от следующих четных функций:
;
;

— не существуют, ибо расходятся
соответствующие несобственные интегралы
от этих функций; в самом деле:
;
;
,
;
xdx= =dv,
,
где безынтегральный член и предпоследний
интеграл расходятся; стало быть и
исходный интеграл расходится.

Упражнения: а)
;
б) .

Известно, что сумма, разность и
произведение четных функций есть функция
тоже четная; сумма и разность нечетных
функций есть функция нечетная, а
произведение четного числа нечетных
функций есть функция четная, в то время
как произведение нечетного числа
нечетных функций есть функция нечетная.
Области определений четной и нечетной
функций симметричны относительно начала
координат. Любую функцию общего вида
(ни четную, ни нечетную), определенную
на симметричном относительно начала
координат интервале, можно представить
в виде суммы двух функций: четной (fr
(x)) и нечетной (fh
(x)) c общей
для всех трех функций областью определения,
то есть:

5.
f (x)= fr
(x)+ fh
(x).

Это представление единственно,
что нетрудно показать: так как f
(-x)= fr
(-x)+ +fh
(-x)= fr
(x)- fh
(x), то с учетом соотношения
(5) имеем систему двух уравнений с двумя
неизвестными fr
(x) и fh
(x):

из которой выражения для функций: четной
fr (x)
и нечетной fh
(x),- определяется однозначно,
а именно:

6а.
,

6б.
.

Например, представим функцию
общего вида

в виде суммы функций четной fr
(x) и нечетной fh
(x): согласно формул (6а) и
(6б) имеем:
;
;
что верно, ибо:
.

Понятие главного значения можно
применить и к несобственным интегралам
от разрывных функций, если особая точка,
в которой имеет место разрыв функции,
находится внутри отрезка интегрирования.
Пусть функция f (x)
интегрируема на промежутках: (a;
с-ε] и [с+ε; b),
ε> 0,- и неограниченна в окрестности
точки
;
тогда интегралом в смысле главного
значения несобственного интеграла от
разрывной функции называется предел:

7.
.

Этот
предел обозначается так:
.
Итак, имеем по определению:

8.
,

где f
(c)=
.
Если существует несобственный интеграл
от разрывной функции
,
то существует и интеграл в смысле
главного значения, и эти интегралы
равны. Из существования интеграла в
смысле главного значения не следует
существование соответствующего
несобственного интеграла от разрывной
функции.

Например,
,
в то время как несобственный интеграл

не существует; в самом деле:
,
где оба интеграла расходятся.

Упражнения: а)
;
б)
.

Пример:
.

Решение.
В исследуемом интеграле две особые
точки (x1= 1, x2=
2) и бесконечный промежуток интегрирования;
поэтому разбиваем исходный интеграл
на пять (!) интегралов, в каждом из которых
будет только по одной особенности:
.
Последний интеграл сходится, а потому
его величина равна главному значению
этого интеграла, то есть
.
Далее найдем величину этого интеграла:
.
Остальные интегралы расходящиеся, а
потому и исходный интеграл расходится.
Посчитаем теперь главное значение
расходящейся части интеграла, то есть:
.
Для этого разобьем интеграл на два
интеграла, в каждом из которых особая
точка будет находиться внутри
соответствующего отрезка интегрирования:
.

Далее
;
.
Итак, имеем:
.

Упражнения: а)

б)
.

Приложение 2 . Варианты контрольных
заданий: исследовать на
сходимость.

1

сх.

13

сх.

25

расх.

2

сх.усл.

14

расх.

26

сх.

3

сх.

15

расх.

27

сх

4

сх.

16

сх.

28

расх.

5

расх.

17

расх.

29

сх.

6

расх

18

сх.усл.

30

сх

7

расх.

19

сх.
усл.

31

сх

8

сх. усл.

20

сх.
абс.

32

сх. усл.

9

сх.
абс

21

сх. абс.

33

сх.

10

сх.усл

22

сх. абс.

34

расх.

11

сх.

23

сх.аб.

35

расх.

12

расх.

24

сх.
абс.

36

расх.

37

расх.

50

сх.
абс.

63

сх.

38

сх.

51

расх.

64

сх.

39

расх.

52

сх.абс.

65

т сх.

40

расх.

53

сх.абс.

66

сх.

41

сх.

54

сх.

67

сх.

42

сх.

55

сх.

68

расх.

43

cх.

56

сх.

69

сх.

44

сх.

57

сх.

70

сх.

45

сх.
абс.

58

сх.

71

сх.
усл

46

сх. абс.

59

сх.

72

сх. абс.

47

сх.
абс.

60

сх.

73

сх.

48

сх. абс.

61

сх.

74

сх.

49

расх.

62

сх.

75

сх.

76

сх.
абс.

78

расх.

80

расх.

77

сх. {-1} = \varepsilon,$$ и поэтому исходный интеграл сходится неравномерно по параметру $y$ на множестве $Y = [0, +\infty)$.

[свернуть]

К оглавлению

Список литературы

К оглавлению

Тест

Лимит времени: 0

Информация

Рекомендую проверить насколько хорошо усвоен материал, пройдя следующий тест.

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается…

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Правильных ответов: 0 из 2

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Средний результат

 

 

Ваш результат

 

 

Рубрики
  1. Математический анализ
    0%

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

  1. С ответом

  2. С отметкой о просмотре

  1. Задание 1 из 2

    Определение равномерной сходимости. b f(x,y) \, dx < \varepsilon$

  2. Задание 2 из 2

    Выберите пункт, который не является одним из условий сходимости несобственного интеграла на множестве $Y$

Таблица лучших: Несобственные интегралы, зависящие от параметра

максимум из 6 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Поделиться ссылкой:

Похожее

Calculus II — интегральный тест

Показать общее уведомление

Показать мобильное уведомление

Показать все заметки Скрыть все заметки

Это немного заранее, но я хотел сообщить всем, что мои серверы будут проходить техническое обслуживание 17 и 18 мая с 8:00 AM CST до 14:00 PM CST. Будем надеяться, что единственное неудобство будет заключаться в периодическом «потерянном / разорванном» соединении, которое следует исправить, просто перезагрузив страницу. В остальном обслуживание (скрестив пальцы) должно быть «невидимым» для всех.

Пол
6 мая 2021 г.

Похоже, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана (, т.е. , вероятно, вы используете мобильный телефон). Из-за характера математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме.Если ваше устройство не находится в альбомном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку от вашего устройства (вы сможете прокручивать их, чтобы увидеть их), а некоторые пункты меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

Раздел 4-6: Интегральное испытание

Последней темой, которую мы обсуждали в предыдущем разделе, был гармонический ряд. В этом обсуждении мы заявили, что гармонический ряд является расходящимся рядом.{{\, \ infty}} {{\ frac {1} {x} \, dx}} = \ infty \]

, и поэтому мы назвали это интегральное расхождение (да, это тот же термин, который мы здесь используем для рядов…).

Итак, как это помогает нам доказать, что гармонический ряд расходится? Что ж, вспомните, что мы всегда можем оценить площадь, разбив интервал на сегменты, а затем нарисовав прямоугольники и используя сумму площадей всех прямоугольников в качестве оценки фактической площади. Давайте сделаем то же самое для этой задачи и посмотрим, что у нас получится.

Мы разделим интервал на подынтервалы шириной 1 и возьмем значение функции в левой конечной точке как высоту прямоугольника. На изображении ниже показаны первые несколько прямоугольников для этой области.

Итак, площадь под кривой примерно равна

.

\ [\ begin {align *} A & \ приблизительно \ left ({\ frac {1} {1}} \ right) \ left (1 \ right) + \ left ({\ frac {1} {2}} \ справа) \ left (1 \ right) + \ left ({\ frac {1} {3}} \ right) \ left (1 \ right) + \ left ({\ frac {1} {4}} \ right) \ left (1 \ right) + \ left ({\ frac {1} {5}} \ right) \ left (1 \ right) + \ cdots \\ & = \ frac {1} {1} + \ frac { 1} {2} + \ frac {1} {3} + \ frac {1} {4} + \ frac {1} {5} + \ cdots \\ & = \ sum \ limits_ {n = 1} ^ \ infty {\ frac {1} {n}} \ end {align *} \]

Теперь обратите внимание на несколько моментов, связанных с этим приближением. 2}}}} \]

Поскольку все члены положительны, мы знаем, что частичные суммы должны быть возрастающей последовательностью.2}}}}

, поэтому последовательность частичных сумм является ограниченной последовательностью.

Во втором разделе, посвященном последовательностям, мы привели теорему, которая утверждает, что ограниченная и монотонная последовательность гарантированно сходится. Это означает, что последовательность частичных сумм является сходящейся последовательностью. Итак, кого это волнует? Напомним, это означает, что ряды также должны быть сходящимися!

Итак, мы снова смогли связать ряд с несобственным интегралом (который мы могли вычислить), и ряд и интеграл имели одинаковую сходимость.

Мы проделали изрядную работу в обоих этих примерах, чтобы определить сходимость двух рядов. К счастью для нас, нам не нужно делать всю эту работу каждый раз. Идеи этих двух примеров можно обобщить в следующем тесте.

Интегральный тест

Предположим, что \ (f \ left (x \ right) \) — непрерывная положительная убывающая функция на интервале \ (\ left [{k, \ infty} \ right) \) и что \ (f \ left ( n \ right) = {a_n} \) тогда

  1. Если \ (\ displaystyle \ int _ {\, k}} ^ {{\, \ infty}} {{f \ left (x \ right) \, dx}} \) сходится, то \ (\ displaystyle \ sum \ limits _ {\, n = k} ^ \ infty {{a_n}} \).\ infty {{a_n}} \).

Формальное доказательство этого теста можно найти в конце этого раздела.

Следует отметить несколько моментов по поводу интегрального теста. Во-первых, нижний предел неправильного интеграла должен быть тем же значением, с которого начинается ряд.

Во-вторых, функция не обязательно должна быть убывающей и положительной везде в интервале. Все, что действительно требуется, — это чтобы в конечном итоге функция стала положительной и убывающей.\ infty {{a_n}} \]

Итак, первая серия — это не что иное, как конечная сумма (независимо от того, насколько велика \ (N \)) конечных членов, и поэтому она будет конечной. Таким образом, исходный ряд будет сходящимся / расходящимся только в том случае, если второй бесконечный ряд справа сходится / расходится, и проверка может быть выполнена на втором ряду, поскольку он удовлетворяет условиям проверки.

Аналогичное рассуждение можно сделать и с использованием несобственного интеграла.

Требование теста, чтобы функция / серия была убывающей и положительной во всем диапазоне, требуется для доказательства.Однако на практике нам нужно только убедиться, что функция / ряд в конечном итоге является убывающей и положительной функцией / рядом. Также обратите внимание, что при вычислении интеграла в тесте нам фактически не нужно вырезать увеличивающуюся / отрицательную часть, поскольку наличие небольшого диапазона, в котором функция увеличивается / отрицательно, не изменит интеграл с сходящегося на расходящийся или с расходящиеся к сходящимся.

Есть еще один очень важный момент, который необходимо сделать в связи с этим тестом.2}}}}

Итак, мы получили верхнюю границу значения ряда, но не фактическое значение ряда. Фактически, с этого момента мы не будем спрашивать значение ряда, мы будем только спрашивать, сходится ли ряд или расходится. В следующем разделе мы рассмотрим оценку значений ряда, но даже в этом разделе мы не сможем получить значения ряда. {{\, t}} {{\ frac {1} {{x \ ln x}} \, dx}} \ hspace {0.2}} \ справа) \]

Эта функция имеет две критические точки (которые сообщают нам, где производная меняет знак) в \ (x = \ pm \ frac {1} {{\ sqrt 2}} \). Поскольку мы начинаем с \ (n = 0 \), мы можем игнорировать отрицательную критическую точку. Выбрав пару контрольных точек, мы увидим, что функция возрастает на интервале \ (\ left [{0, \ frac {1} {{\ sqrt 2}}} \ right] \) и убывает на \ ( \ left [{\ frac {1} {{\ sqrt 2}}, \ infty} \ right) \). Следовательно, в конечном итоге функция будет уменьшаться, и это все, что нам нужно для использования интегрального теста.\ infty {\ frac {1} {{\ sqrt n}}} \) Показать решение

Для этого ряда \ (p = \ frac {1} {2} \ le 1 \) и поэтому ряд расходится по факту.

Последнее, что мы сделаем в этом разделе, — это быстрое доказательство выполнения интегрального теста. По сути, мы провели доказательство уже в начале раздела, когда вводили интегральный тест, но давайте рассмотрим его формально для общей функции. \ infty {{a_n}} \).Первоначальный тестовый оператор был для серии, которая начиналась с общего \ (n = k \), и хотя доказательство может быть выполнено для этого, будет проще, если мы предположим, что серия начинается с \ (n = 1 \).

Другой способ справиться с \ (n = k \) — мы можем выполнить сдвиг индекса и начать серию с \ (n = 1 \), а затем выполнить интегральный тест. В любом случае будет достаточно доказательства теста для \ (n = 1 \).

Также обратите внимание, что хотя мы позволили первым нескольким членам ряда увеличиваться и / или быть отрицательными в рабочих задачах, это доказательство действительно требует, чтобы все члены были убывающими и положительными.

Давайте начнем и оценим площадь под кривой на интервале \ (\ left [{1, n} \ right] \), и мы недооценим площадь, взяв прямоугольники шириной один, высота которых является правой конечной точкой. Это дает следующий рисунок.

Теперь обратите внимание, что,

\ [f \ left (2 \ right) = {a_2} \ hspace {0,5 дюйма} f \ left (3 \ right) = {a_3} \ hspace {0,5 дюйма} \ cdots \ hspace {0,5 дюйма} f \ left (n \ right) = {a_n} \]

Приблизительная площадь

\ [A \ приблизительно \ left (1 \ right) f \ left (2 \ right) + \ left (1 \ right) f \ left (3 \ right) + \ cdots + \ left (1 \ right) f \ left (n \ right) = {a_2} + {a_3} + \ cdots {a_n} \]

, и мы знаем, что это занижает фактическую площадь, поэтому

\ [\ sum \ limits_ {i = 2} ^ n {{a_i}} = {a_2} + {a_3} + \ cdots {a_n} <\ int _ {{\, 1}} ^ {{\, n} } {{е \ влево (х \ вправо) \, dx}} \]

Теперь предположим, что \ (\ int _ {{\, 1}} ^ {{\, \ infty}} {{f \ left (x \ right) \, dx}} \) сходится, и поэтому \ ( \ int _ {{\, 1}} ^ {{\, \ infty}} {{f \ left (x \ right) \, dx}} \) должно иметь конечное значение. {{\, \ infty}} {{f \ left (x \ right) \, dx}} \) расходится.\ infty {{a_n}} \) расходящийся ряд.

Перед тем, как покинуть этот раздел, важно отметить, что для использования интегрального теста члены ряда ДОЛЖНЫ в конечном итоге быть убывающими и положительными. В противном случае тест не работает. Также помните, что тест определяет только сходимость ряда и НЕ дает значения ряда.

Сходимость и расходимость несобственных интегралов

Сходимость и расходимость несобственных интегралов

Сходимость и расходимость несобственных интегралов

Рассмотрим функцию f ( x ), которая демонстрирует поведение типа I или типа II.
на интервале [ a , b ] (другими словами, интеграл несобственный).Ранее мы видели, что этот интеграл
определяется как предел. Таким образом, у нас есть два случая:

1
предел существует (и является числом), в этом случае мы говорим, что
несобственный интеграл — сходящийся ;
2
предел не существует или он бесконечен, тогда мы говорим
что несобственный интеграл равен расходящимся .

Если несобственный интеграл разбить на
сумма несобственных интегралов (потому что f ( x ) представляет более одного
неправильное поведение на [ a , b ]), то интеграл сходится тогда и только тогда
если любой единственный несобственный интеграл сходится.

Пример. Рассмотрим функцию на [0,1]. У нас есть

Следовательно, несобственный интеграл

сходится тогда и только тогда, когда несобственные интегралы

сходятся. Другими словами, если один из этих интегралов равен
расходится, интеграл
будет расходиться.

p-интегралы Рассмотрим функцию (где p > 0) для. Смотря на
эта функция внимательно мы видим, что f ( x ) представляет собой неправильное поведение
при 0 и только.Чтобы обсудить сближение или
расхождение

нам нужно изучить два несобственных интеграла

У нас есть

а также

Для обоих пределов нам нужно вычислить неопределенный интеграл

У нас есть два случая:

, если p = 1, то имеем

если, то имеем

Чтобы принять решение о схождении или расхождении двух вышеупомянутых
несобственные интегралы, нам необходимо рассмотреть случаи: p <1, p = 1 и p
> 1.

Если p <1, то имеем

а также

Если p = 1, то имеем

а также

Если p > 1, имеем

а также

p-Test: Независимо от значения числа p ,
несобственный интеграл

всегда расходится.Кроме того, у нас есть

это
сходится тогда и только тогда, когда p <1
это
сходится тогда и только тогда, когда p > 1

На следующих страницах мы увидим, как несколько простых тестов помогут в
решение, сходится или расходится несобственный интеграл.

[Геометрия]
[Алгебра]
[Дифференциальные уравнения]

[Исчисление]
[Комплексные переменные]
[Матричная алгебра]
[Тригонометрия]

С.Домашняя страница O.S MATHematics

Вам нужна дополнительная помощь? Пожалуйста, разместите свой вопрос на нашем

S.O.S. Математика CyberBoard.

Mohamed A. Khamsi
Вт 3 декабря 17:39:00 MST 1996

Авторские права 1999-2021 MathMedics, LLC. Все права защищены.

Свяжитесь с нами

Math Medics, LLC. — П.О. Box 12395 — El Paso TX 79913 — США

пользователей онлайн за последний час

11.3 Тесты на сходимость неправильных интегралов

Исчисление одной действительной переменной Пхенг Ким Винг

Глава 11: Методы интеграции Раздел 11.3:
Тесты на сходимость неправильных интегралов

11,3
Испытания
Для сходимости неправильных интегралов

Возврат
К содержанию

Перейти к проблемам и решениям

Существуют несобственные интегралы, которые нельзя вычислить
фундаментальная теорема исчисления, поскольку первообразные
их подынтегральных выражений не могут быть найдены.В этой ситуации мы все еще можем
определить сходятся они или нет по
проверка их сходимости, которая выполняется путем сравнения их с более простыми несоответствующими
интегралы, поведение которых (сходимость
или расхождение) известно.

Перейти к проблемам и решениям Вернуться к
Вверх страницы

Проверки сходимости несобственных интегралов выполняются
сравнивая эти интегралы с известными более простыми несобственными
интегралы.Теперь мы рассмотрим некоторые из таких интегралов. Они известны как
p -интегралы.

Фиг.2,3

Модель p Интегралы

Все 4 интеграла выше с показателем p в знаменателе называются p -интегралами .Различить их
мы уточняем, в чем заключается их неправильная точка зрения. Обобщена их основная терминология.
в таблице ниже.

Обратите внимание, что at в имени интеграла используется для указания неправильного
точка интеграла. Обратите внимание, что интегралы
p являются несобственными интегралами основных типов типа .

Теорема 2.1 p Интегралы

Каждый интеграл выше называется p -интеграл .Обратите внимание, что часть ii является частным случаем 1-го интеграла части iii, где a = 0.

Доказательство

Следовательно,
аналогично части ii :

Пример 2.1

Для каждого из следующих интегралов определите,
сходится или расходится, не вычисляя его.

Решение

EOS

Перейти к проблемам и решениям Вернуться к
Вверх страницы

3. Стандартный сравнительный тест (SCT)

Предположим, у нас есть функция f
и мы хотим знать, сходится или расходится его интеграл.Если f ( x ) может быть
по сравнению с
интеграл p -интеграл, то мы можем нарисовать
вывод об интеграле ф .


Доказательство теоремы 3.1 ниже использует следующие
свойство действительных чисел.

Фундаментальный
Недвижимость за реальными номерами

Теорема 3.1
Стандартный сравнительный тест (SCT)

Этот тест на сходимость несобственного базового типа
интеграл называется стандартным сравнительным тестом , сокращенно
SCT .

Доказательство

EOP

Примечания 3.1

Пример 3.1

Установить совпадение или расхождение следующих
интеграл, не вычисляя его.

Решение

сходится.

EOS

Перейти к проблемам и решениям Вернуться к
Вверх страницы

4.Сравнительный тест пределов (LCT)

SCT не всегда применяется

Соотношение интегрантов

Теорема 4.1
Тест сравнения пределов (LCT)

Предположим:

, где L — некоторое
конечное положительное число.Тогда несобственные интегралы от f
и г с теми же пределами
интегрирование ведут себя одинаково, т.е. либо сходятся, либо оба расходятся.

Поскольку этот тест на сходимость несобственной
интеграл использует предел, он называется тестом сравнения пределов ,
сокращенно LCT .

Доказательство

EOP

Когда мы не можем найти неподходящий интеграл для применения
преобразуя SCT в данный несобственный интеграл, мы попробуем LCT.

Пример 4.1

Определите, сходится ли следующий интеграл или
расходится без расчета:

Решение 1

Таким образом, по LCT данный интеграл сходится.

EOS

Решение 2

EOS

Пример 4.2

Установить сходимость или расхождение этого интеграла.
без фактического расчета:

Раствор

EOS

Перейти к проблемам и решениям Вернуться к
Вверх страницы

Сравнения
Между правильными интегралами

Сравнение собственных интегралов происходит из
свойства определенных интегралов, и мы уже знаем о них.
См. Раздел
9.3 Теорема 6.1 Часть 6
. Напомним, что все собственные интегралы конечны.
числа, поэтому все они сходятся.
Однако мы можем захотеть сравнить правильный интеграл функции f с другим правильным интегралом, если первообразная
из ф
не может быть найден. Для примера см. Проблема
& Решение 4
.

Сравнения с
Не-
p -Интегральные

p -интегралы
не единственные интегралы, используемые в сравнительных тестах.Есть другие функции
что иногда должно быть
использовал. Пример иллюстрации: Проблема
& Решение 4
.

Вернуться к началу страницы

1. Для каждого из следующих интегралов определите
сходится ли он или расходится, не вычисляя его.

Раствор

а. Единственный неправильный балл — 0. Нарушение:

Вернуться к началу страницы

2. Установить схождение или расхождение каждого из
следующие интегралы, не вычисляя его.

Раствор

Вернуться к началу страницы

3. Для каждого из следующих интегралов решите
сходится ли он или расходится, без фактического вычисления его значения.

Раствор

расходится.

Вернуться к началу страницы

Раствор

г. У нас:

Примечание

В части b первое сравнение проводится между надлежащими
интегралов, а второй — до интеграла, который не является интегралом p .
См. Часть 5 .

Вернуться к началу страницы

5. Докажите, что:

сходится, не пытаясь вычислить его значение.

Раствор

Вернуться к началу страницы Вернуться
К содержанию

5.3. Тесты на расхождение и интегральные характеристики — Calculus Volume 2

Цели обучения

  • 5.3.1 Используйте тест на расхождение, чтобы определить, сходится или расходится ряд.
  • 5.3.2 Используйте интегральный тест для определения сходимости ряда.
  • 5.3.3 Оценить ценность ряда, найдя границы его остаточного члена.

В предыдущем разделе мы определили сходимость или расходимость нескольких рядов, явно вычисляя предел последовательности частичных сумм {Sk}. {Sk}. На практике точное вычисление этого предела может быть затруднено или невозможно. К счастью, существует несколько тестов, которые позволяют нам определять сходимость или расхождение для многих типов рядов. В этом разделе мы обсудим два из этих тестов: тест дивергенции и интегральный тест.В оставшейся части этой главы мы рассмотрим несколько других тестов, а затем резюмируем, как и когда их использовать.

Тест расходимости

Чтобы ряд ∑n = 1∞an∑n = 1∞an сходился, n-й член anan должен удовлетворять условию an → 0an → 0 при n → ∞.n → ∞.

Следовательно, из алгебраических предельных свойств последовательностей

limk → ∞ak = limk → ∞ (Sk − Sk − 1) = limk → ∞Sk − limk → ∞Sk − 1 = S − S = 0. limk → ∞ak = limk → ∞ (Sk − Sk − 1) = limk → ∞Sk − limk → ∞Sk − 1 = S − S = 0.

Следовательно, если ∑n = 1∞an∑n = 1∞an сходится, n-й член an → 0an → 0 при n → ∞.п → ∞. Важным следствием этого факта является следующее заявление:

Еслиan0asn → ∞, ∑n = 1∞ расходится. Еслиan↛0asn → ∞, n = 1∞ расходится.

(5,8)

Этот тест известен как тест дивергенции, потому что он дает способ доказать, что ряд расходится.

Теорема 5.8

Тест расходимости

Если limn → ∞an = c ≠ 0limn → ∞an = c ≠ 0 или limn → ∞anlimn → ∞an не существует, то ряд ∑n = 1∞an∑n = 1 ∞an расходится.

Важно отметить, что обратное утверждение этой теоремы неверно.То есть, если limn → ∞an = 0, limn → ∞an = 0, мы не можем сделать никаких выводов о сходимости ∑n = 1∞an.∑n = 1∞an. Например, limn → 0 (1 / n) = 0, limn → 0 (1 / n) = 0, но гармонический ряд ∑n = 1∞1 / n∑n = 1∞1 / n расходится. В этом разделе и в остальных разделах этой главы мы покажем еще много примеров из таких серий. Следовательно, хотя мы можем использовать тест расходимости, чтобы показать, что ряд расходится, мы не можем использовать его, чтобы доказать, что ряд сходится. В частности, если an → 0, an → 0, проверка дивергенции неубедительна.

Пример 5.13

Использование теста дивергенции

Для каждой из следующих серий примените тест дивергенции. Если тест на расхождение доказывает, что ряд расходится, укажите это. В противном случае укажите, что тест дивергенции безрезультатен.

  1. ∑n = 1∞n3n − 1∑n = 1∞n3n − 1
  2. ∑n = 1∞1n3∑n = 1∞1n3
  3. ∑n = 1∞e1 / n2∑n = 1∞e1 / n2
Решение
  1. Поскольку n / (3n − 1) → 1/3 ≠ 0, n / (3n − 1) → 1/3 ≠ 0, по тесту дивергенции мы можем заключить, что
    ∑n = 1∞n3n − 1∑n = 1∞n3n − 1
    расходится.
  2. Поскольку 1 / n3 → 0,1 / n3 → 0, проверка дивергенции неубедительна.
  3. Поскольку e1 / n2 → 1 ≠ 0, e1 / n2 → 1 ≠ 0, по критерию расходимости ряд
    ∑n = 1∞e1 / n2∑n = 1∞e1 / n2
    расходится.

КПП 5.12

Что тест расходимости говорит нам о ряду ∑n = 1∞cos (1 / n2)? ∑n = 1∞cos (1 / n2)?

Интегральный тест

В предыдущем разделе мы доказали, что гармонический ряд расходится, рассматривая последовательность частичных сумм {Sk} {Sk} и показывая, что S2k> 1 + k / 2S2k> 1 + k / 2 для всех натуральных чисел k.k. В этом разделе мы используем другую технику, чтобы доказать расходимость гармонического ряда. Этот метод важен, потому что он используется для доказательства расходимости или сходимости многих других рядов. Этот тест, называемый интегральным тестом, сравнивает бесконечную сумму с неправильным интегралом. Важно отметить, что этот тест может применяться только тогда, когда мы рассматриваем ряд, все члены которого положительны.

Чтобы проиллюстрировать, как работает интегральный тест, используйте в качестве примера гармонический ряд.На рисунке 5.12 мы изобразили гармонический ряд, нарисовав последовательность прямоугольников с областями 1,1 / 2,1 / 3,1 / 4,… 1,1 / 2,1 / 3,1 / 4,… вместе с функция f (x) = 1 / xf (x) = 1 / x. Из графика мы видим, что

N = 1k1n = 1 + 12 + 13 + ⋯ + 1k> ∫1k + 11xdx. N = 1k1n = 1 + 12 + 13 + ⋯ + 1k> ∫1k + 11xdx.

Следовательно, для каждого k, k k-я частичная сумма SkSk удовлетворяет

Sk = ∑n = 1k1n> ∫1k + 11xdx = lnx | 1k + 1 = ln (k + 1) −ln (1) = ln (k + 1). Sk = ∑n = 1k1n> ∫1k + 11xdx = lnx | 1k + 1 = ln (k + 1) — ln (1) = ln (k + 1).

Поскольку limk → ∞ln (k + 1) = ∞, limk → ∞ln (k + 1) = ∞, мы видим, что последовательность частичных сумм {Sk} {Sk} не ограничена.Следовательно, {Sk} {Sk} расходится, и, следовательно, расходится и ряд ∑n = 1∞1n∑n = 1∞1n.

Рисунок 5.12 Сумма площадей прямоугольников больше площади между кривой f (x) = 1 / xf (x) = 1 / x и осью xx для x≥1.x≥1. Поскольку площадь, ограниченная кривой, бесконечна (как вычислено с помощью неправильного интеграла), сумма площадей прямоугольников также бесконечна.

Теперь рассмотрим ряд ∑n = 1∞1 / n2.n = 1∞1 / n2. Мы покажем, как с помощью интеграла можно доказать сходимость этого ряда.На рис. 5.13 мы зарисовываем последовательность прямоугольников с областями 1,1 / 22,1 / 32,… 1,1 / 22,1 / 32,… вместе с функцией f (x) = 1 / x2.f (x ) = 1 / х2. Из графика видим, что

N = 1k1n2 = 1 + 122 + 132 + ⋯ + 1k2 <1 + ∫1k1x2dx. N = 1k1n2 = 1 + 122 + 132 + ⋯ + 1k2 <1 + ∫1k1x2dx.

Следовательно, для каждого k, k k-я частичная сумма SkSk удовлетворяет

Sk = ∑n = 1k1n2 <1 + ∫1k1x2dx = 1−1x | 1k = 1−1k + 1 = 2−1k <2. Sk = ∑n = 1k1n2 <1 + ∫1k1x2dx = 1−1x | 1k = 1− 1к + 1 = 2−1к <2.

Мы заключаем, что последовательность частичных сумм {Sk} {Sk} ограничена.Мы также видим, что {Sk} {Sk} — возрастающая последовательность:

Sk = Sk − 1 + 1k2fork≥2. Sk = Sk − 1 + 1k2fork≥2.

Поскольку {Sk} {Sk} возрастает и ограничено, по теореме о монотонной сходимости оно сходится. Следовательно, ряд ∑n = 1∞1 / n2∑n = 1∞1 / n2 сходится.

Рисунок 5.13 Сумма площадей прямоугольников меньше суммы площади первого прямоугольника и площади между кривой f (x) = 1 / x2f (x) = 1 / x2 и осью xx для x. ≥1.x≥1. Поскольку площадь, ограниченная кривой, конечна, сумма площадей прямоугольников также конечна.

Мы можем расширить эту идею, чтобы доказать сходимость или расхождение для многих различных рядов. Предположим, что ∑n = 1∞an∑n = 1∞an — это ряд с положительными членами anan такой, что существует непрерывная положительная убывающая функция ff, где f (n) = anf (n) = an для всех натуральных чисел. Тогда, как на рис. 5.14 (a), для любых целых k, k k-я частичная сумма SkSk удовлетворяет

Sk = a1 + a2 + a3 + ⋯ + ak Следовательно, если ∫1∞f (x) dx∫1∞f (x) dx сходится, то последовательность частичных сумм {Sk} {Sk} ограничена.Поскольку {Sk} {Sk} — возрастающая последовательность, если она также является ограниченной последовательностью, то по теореме о монотонной сходимости она сходится. Мы заключаем, что если ∫1∞f (x) dx∫1∞f (x) dx сходится, то ряд seriesn = 1∞an∑n = 1∞an также сходится. С другой стороны, из рисунка 5.14 (b) для любого целого числа k, k k-я частичная сумма SkSk удовлетворяет условию

Sk = a1 + a2 + a3 + ⋯ + ak> ∫1k + 1f (x) dx. Sk = a1 + a2 + a3 + ⋯ + ak> ∫1k + 1f (x) dx.

Если limk → ∞∫1k + 1f (x) dx = ∞, limk → ∞∫1k + 1f (x) dx = ∞, то {Sk} {Sk} является неограниченной последовательностью и поэтому расходится.В результате расходится и ряд ∑n = 1∞an∑n = 1∞an. Мы заключаем, что если ∫1∞f (x) dx∫1∞f (x) dx расходится, то n = 1∞an∑n = 1∞an расходится.

Рисунок 5.14 (a) Если мы можем вписать прямоугольники внутри области, ограниченной кривой y = f (x) y = f (x) и осью xx, а площадь, ограниченная этими кривыми для x≥1x≥1, будет конечной , то сумма площадей прямоугольников также конечна. (b) Если набор прямоугольников описывает область, ограниченную y = f (x) y = f (x) и осью xx для x≥1x≥1, и область имеет бесконечную площадь, то сумма площадей прямоугольники тоже бесконечны.

Теорема 5.9

Интегральный тест

Предположим, что ∑n = 1∞an∑n = 1∞an — это ряд с положительными членами an.an. Предположим, что существуют функция ff и натуральное число NN такие, что выполняются следующие три условия:

  1. ff непрерывный,
  2. ff уменьшается, а
  3. f (n) = anf (n) = an для всех целых чисел n≥N.n≥N.
    Тогда
    N = 1∞an и N∞f (x) dx∑n = 1∞an и N∞f (x) dx
    оба сходятся или оба расходятся (см. рис. 5.14).

Хотя сходимость N∞f (x) dx∫N∞f (x) dx влечет сходимость соответствующего ряда ∑n = 1∞an, ∑n = 1∞an, это не означает, что значение интеграла и серии такие же.Они могут быть разными, и часто бывают такими. Например,

∑n = 1∞ (1e) n = 1e + (1e) 2+ (1e) 3 + ⋯ ∑n = 1∞ (1e) n = 1e + (1e) 2+ (1e) 3 + ⋯

— геометрический ряд с начальным членом a = 1 / ea = 1 / e и отношением r = 1 / e, r = 1 / e, который сходится к

1 / e1− (1 / e) = 1 / e (e − 1) /e=1e−1.1/e1− (1 / e) = 1 / e (e − 1) / e = 1e − 1.

Однако соответствующий интеграл ∫1∞ (1 / e) xdx∫1∞ (1 / e) xdx удовлетворяет условию

∫1∞ (1e) xdx = ∫1∞e − xdx = limb → ∞∫1be − xdx = limb → ∞ − e − x | 1b = limb → ∞ [−e − b + e − 1] = 1e.∫ 1∞ (1e) xdx = ∫1∞e − xdx = limb → ∞∫1be − xdx = limb → ∞ − e − x | 1b = limb → ∞ [−e − b + e − 1] = 1e.

Пример 5.14

Использование интегрального теста

Для каждого из следующих рядов используйте интегральный тест, чтобы определить, сходится ли ряд или расходится.

  1. ∑n = 1∞1 / n3∑n = 1∞1 / n3
  2. ∑n = 1∞1 / 2n − 1∑n = 1∞1 / 2n − 1
Решение
  1. Сравнить
    ∑n = 1∞1n3 и 1∞1x3dx. N = 1∞1n3 и 1∞1x3dx.
    У нас
    ∫1∞1x3dx = limb → ∞∫1b1x3dx = limb → ∞ [−12×2 | 1b] = limb → ∞ [−12b2 + 12] = 12. 1∞1x3dx = limb → ∞∫1b1x3dx = limb → ∞ [−12×2 | 1b] = конечность → ∞ [−12b2 + 12] = 12.
    Таким образом, интеграл ∫1∞1 / x3dx∫1∞1 / x3dx сходится, а значит, и ряд
    ∑n = 1∞1n3.∑n = 1∞1n3.
  2. Сравнить
    ∑n = 1∞12n − 1 и 1∞12x − 1dx. N = 1∞12n − 1 и 1∞12x − 1dx.
    С
    ∫1∞12x − 1dx = limb → ∞∫1b12x − 1dx = limb → ∞2x − 1 | 1b = limb → ∞ [2b − 1−1] = ∞, ∫1∞12x − 1dx = limb → ∞∫1b12x− 1dx = конечность → ∞ 2x − 1 | 1b = конечность → ∞ [2b − 1−1] = ∞,
    интеграл ∫1∞1 / 2x − 1dx∫1∞1 / 2x − 1dx расходится, поэтому
    ∑n = 1∞12n − 1∑n = 1∞12n − 1
    расходится.

КПП 5.13

Используйте интегральный тест, чтобы определить, сходится или расходится ряд ∑n = 1∞n3n2 + 1∑n = 1∞n3n2 + 1.

Модель

p — серия

Гармонический ряд ∑n = 1∞1 / n∑n = 1∞1 / n и ряд ∑n = 1∞1 / n2∑n = 1∞1 / n2 являются примерами типа ряда, называемого р -серия.

Определение

Для любого действительного числа p, p ряд

называется серией p .

Мы знаем, что серия p сходится, если p = 2p = 2, и расходится, если p = 1.p = 1. А как насчет других значений p? P? В общем, трудно, если не невозможно, вычислить точное значение большинства pp-серий.Однако мы можем использовать представленные до сих пор тесты, чтобы доказать, сходится ли pp-ряд или расходится.

Если p <0, p <0, то 1 / np → ∞, 1 / np → ∞, а если p = 0, p = 0, то 1 / np → 1.1 / np → 1. Следовательно, по тесту дивергенции

∑n = 1∞1 / np расходится, если p≤0. ∑n = 1∞1 / np расходится, еслиp≤0.

Если p> 0, p> 0, то f (x) = 1 / xpf (x) = 1 / xp — положительная непрерывная убывающая функция. Поэтому при p> 0, p> 0 воспользуемся интегральным тестом, сравнивая

N = 1∞1npand∫1∞1xpdx. N = 1∞1npand∫1∞1xpdx.

Мы уже рассматривали случай, когда p = 1.р = 1. Здесь мы рассматриваем случай, когда p> 0, p ≠ 1. p> 0, p ≠ 1. В этом случае

∫1∞1xpdx = limb → ∞∫1b1xpdx = limb → ∞11 − px1 − p | 1b = limb → ∞11 − p [b1 − p − 1]. 1∞1xpdx = limb → ∞∫1b1xpdx = limb → ∞ 11 − px1 − p | 1b = конечность → ∞11 − p [b1 − p − 1].

Потому что

b1 − p → 0ifp> 1 и b1 − p → ∞ifp <1, b1 − p → 0ifp> 1 и b1 − p → ∞ifp <1,

заключаем, что

∫1∞1xpdx = {1p − 1ifp> 1∞ifp≤1.∫1∞1xpdx = {1p − 1ifp> 1∞ifp≤1.

Следовательно, ∑n = 1∞1 / np∑n = 1∞1 / np сходится, если p> 1p> 1, и расходится, если 0

Таким образом,

∑n = 1∞1np {сходится, если p> 1, расходится, если p≤1.∑n = 1∞1np {сходится, если p> 1, расходится, если p≤1.

(5,9)

Пример 5.15

Испытание на сходимость

p -серии

Для каждого из следующих рядов определите, сходится он или расходится.

  1. ∑n = 1∞1n4∑n = 1∞1n4
  2. ∑n = 1∞1n2 / 3∑n = 1∞1n2 / 3
Решение
  1. Это серия p с p = 4> 1, p = 4> 1, поэтому ряд сходится.
  2. Поскольку p = 2/3 <1, p = 2/3 <1, ряд расходится.

КПП 5.14

Сходится или расходится ряд ∑n = 1∞1n5 / 4∑n = 1∞1n5 / 4?

Оценка стоимости серии

Предположим, мы знаем, что ряд ∑n = 1∞an∑n = 1∞an сходится, и хотим оценить сумму этого ряда. Конечно, мы можем аппроксимировать эту сумму, используя любую конечную сумму ∑n = 1Nan∑n = 1Nan, где NN — любое положительное целое число. Вопрос, который мы здесь рассматриваем, заключается в следующем: для сходящегося ряда ∑n = 1∞an, ∑n = 1∞an, насколько хорошо приближение ∑n = 1Nan? ∑n = 1Nan? Более конкретно, если мы допустим

RN = ∑n = 1∞an − ∑n = 1NanRN = ∑n = 1∞an − ∑n = 1Nan

будет остатком, когда сумма бесконечного ряда аппроксимируется N-йN-й частичной суммой, насколько велико RN? RN? Для некоторых типов рядов мы можем использовать идеи интегрального теста для оценки RN.РН.

Теорема 5.10

Оценка остатка из интегрального теста

Предположим, что ∑n = 1∞an∑n = 1∞an — сходящийся ряд с положительными членами. Предположим, что существует функция ff, удовлетворяющая следующим трем условиям:

  1. ff непрерывный,
  2. ff уменьшается, а
  3. f (n) = anf (n) = an для всех целых чисел n≥1.n≥1.

Пусть SNSN будет N -й частичной суммой ∑n = 1∞an.∑n = 1∞an. Для всех натуральных чисел N, N,

SN + ∫N + 1∞f (x) dx <∑n = 1∞an Другими словами, остаток RN = ∑n = 1∞an − SN = ∑n = N + 1∞anRN = ∑n = 1∞an − SN = ∑n = N + 1∞an удовлетворяет следующей оценке:

N + 1∞f (x) dx (5,10)

Это известно как оценка остатка.

Мы проиллюстрировали оценку остатка от интегрального теста на рис. 5.15. В частности, представляя остаток RN = aN + 1 + aN + 2 + aN + 3 + ⋯ RN = aN + 1 + aN + 2 + aN + 3 + ⋯ как сумму площадей прямоугольников, мы видим, что площадь прямоугольников ограничено сверху N∞f (x) dx∫N∞f (x) dx и ограничено снизу N + 1∞f (x) dx.∫N + 1∞f (x) dx. Другими словами,

RN = aN + 1 + aN + 2 + aN + 3 + ⋯> ∫N + 1∞f (x) dxRN = aN + 1 + aN + 2 + aN + 3 + ⋯> ∫N + 1∞f (x) dx

и

RN = aN + 1 + aN + 2 + aN + 3 + ⋯ <∫N∞f (x) dx. RN = aN + 1 + aN + 2 + aN + 3 + ⋯ <∫N∞f (x) dx.

Мы заключаем, что

N + 1∞f (x) dx С

N = 1∞an = SN + RN, ∑n = 1∞an = SN + RN,

, где SNSN — N-я частичная сумма, заключаем, что

SN + ∫N + 1∞f (x) dx <∑n = 1∞an ∫N + 1∞f (x) dx.aN + 1 + aN + 2 + aN + 3 + ⋯> ∫N + 1∞f (x) dx. Следовательно, интеграл является либо завышением, либо занижением ошибки.

Пример 5.16

Оценка стоимости серии

Рассмотрим ряд ∑n = 1∞1 / n3.∑n = 1∞1 / n3.

  1. Вычислите S10 = ∑n = 1101 / n3S10 = ∑n = 1101 / n3 и оцените ошибку.
  2. Определите наименьшее необходимое значение NN, чтобы SNSN оценил ∑n = 1∞1 / n3∑n = 1∞1 / n3 с точностью до 0,001.0.001.
Решение
  1. Используя вычислительную утилиту, имеем
    S10 = 1 + 123 + 133 + 143 + ⋯ + 1103≈1.19753.S10 = 1 + 123 + 133 + 143 + ⋯ + 1103≈1,19753.
    По остаточной оценке мы знаем
    RN <∫N∞1x3dx.RN <∫N∞1x3dx.
    У нас
    ∫10∞1x3dx = limb → ∞∫10b1x3dx = limb → ∞ [−12×2] Nb = limb → ∞ [−12b2 + 12N2] = 12N2.10∞1x3dx = limb → ∞∫10b1x3dx = limb → ∞ [−12×2] Nb = конечность → ∞ [−12b2 + 12N2] = 12N2.
    Следовательно, ошибка R10 <1/2 (10) 2 = 0,005. R10 <1/2 (10) 2 = 0,005.
  2. Найдите такой NN, что RN <0,001.RN <0,001. В части а. мы показали, что RN <1 / 2N2.RN <1 / 2N2. Следовательно, остаток RN <0,001RN <0.001 до тех пор, пока 1 / 2N2 <0,001,1 / 2N2 <0,001. То есть нам нужно 2N2> 1000, 2N2> 1000. Решая это неравенство для N, N, мы видим, что нам нужно N> 22,36.N> 22,36. Чтобы убедиться, что остаток находится в пределах желаемой суммы, нам нужно округлить до ближайшего целого числа. Следовательно, минимально необходимое значение N = 23.N = 23.

КПП 5.15

Для ∑n = 1∞1n4, ∑n = 1∞1n4 вычислите S5S5 и оцените ошибку R5.R5.

Раздел 5.3. Упражнения

Для каждой из следующих серий, если применяется проверка дивергенции, либо укажите, что limn → ∞anlimn → ∞an не существует, либо найдите limn → ∞an.limn → ∞an. Если тест на расхождение неприменим, укажите, почему.

141.

an = (2n + 1) (n — 1) (n + 1) 2an = (2n + 1) (n — 1) (n + 1) 2

142.

an = (2n + 1) 2n (3n2 + 1) nan = (2n + 1) 2n (3n2 + 1) n

144.

ан = 2n + 3n10n / 2an = 2n + 3n10n / 2

148.

an = 1 − cos2 (1 / n) sin2 (2 / n) an = 1 − cos2 (1 / n) sin2 (2 / n)

149.

ан = (1−1n) 2nan = (1−1n) 2n

Укажите, сходится ли данный pp-ряд.

154.

∑n = 1∞1n23∑n = 1∞1n23

155.

∑n = 1∞1n43∑n = 1∞1n43

156.

∑n = 1∞nenπ∑n = 1∞nenπ

157.

∑n = 1∞nπn2e∑n = 1∞nπn2e

Используйте интегральный тест, чтобы определить, сходятся ли следующие суммы.

158.

∑n = 1∞1n + 5∑n = 1∞1n + 5

159.

∑n = 1∞1n + 53∑n = 1∞1n + 53

160.

∑n = 2∞1nlnn∑n = 2∞1nlnn

161.

∑n = 1∞n1 + n2∑n = 1∞n1 + n2

162.

∑n = 1∞en1 + e2n∑n = 1∞en1 + e2n

163.

∑n = 1∞2n1 + n4∑n = 1∞2n1 + n4

164.

∑n = 2∞1nln2n∑n = 2∞1nln2n

Выразите следующие суммы как pp-ряды и определите, сходится ли каждая из них.

165.

∑n = 1∞2 − lnn∑n = 1∞2 − lnn ( Подсказка: 2 − lnn = 1 / nln22 − lnn = 1 / nln2.)

166.

∑n = 1∞3 − lnn∑n = 1∞3 − lnn ( Подсказка: 3 − lnn = 1 / nln33 − lnn = 1 / nln3.)

167.

∑n = 1∞n2−2lnn∑n = 1∞n2−2lnn

168.

∑n = 1∞n3−2lnn∑n = 1∞n3−2lnn

Используйте оценку RN≤∫N∞f (t) dtRN≤∫N∞f (t) dt, чтобы найти оценку остатка RN = ∑n = 1∞an − ∑n = 1NanRN = ∑n = 1∞an −n = 1Nan, где an = f (n) .an = f (n).

169.

∑n = 110001n2∑n = 110001n2

170.

∑n = 110001n3∑n = 110001n3

171.

∑n = 1100011 + n2∑n = 1100011 + n2

172.

∑n = 1100n / 2n∑n = 1100n / 2n

[T] Найдите минимальное значение NN такое, что оценка остатка ∫N + 1∞f

173.

an = 1n2, an = 1n2, ошибка <10-4 <10-4

174.

an = 1n1.1, an = 1n1.1, ошибка <10-4 <10-4

175.

an = 1n1.01, an = 1n1.01, погрешность <10-4 <10-4

176.

an = 1nln2n, an = 1nln2n, ошибка <10-3 <10-3

177.

an = 11 + n2, an = 11 + n2, ошибка <10-3 <10-3

В следующих упражнениях найдите такое значение NN, чтобы RNRN было меньше желаемой ошибки. Вычислите соответствующую сумму ∑n = 1Nan∑n = 1Nan и сравните ее с данной оценкой бесконечного ряда.

178.

an = 1n11, an = 1n11, ошибка <10−4, <10−4, ∑n = 1∞1n11 = 1.000494… ∑n = 1∞1n11 = 1.000494…

179.

an = 1en, an = 1en, ошибка <10−5, <10−5, ∑n = 1∞1en = 1e − 1 = 0.581976… ∑n = 1∞1en = 1e − 1 = 0,581976…

180.

an = 1en2, an = 1en2, ошибка <10-5, <10-5, ∑n = 1∞n / en2 = 0,40488139857… ∑n = 1∞n / en2 = 0,40488139857…

181.

an = 1 / n4, an = 1 / n4, ошибка <10−4, <10−4, ∑n = 1∞1 / n4 = π4 / 90 = 1.08232 ... ∑n = 1∞1 / n4 = π4 / 90 = 1,08232 ...

182.

an = 1 / n6, an = 1 / n6, ошибка <10−6, <10−6, ∑n = 1∞1 / n4 = π6 / 945 = 1.01734306 ..., ∑n = 1∞1 / n4 = π6 / 945 = 1,01734306 ...,

183.

Найдите предел при n → ∞n → ∞ для 1n + 1n + 1 + ⋯ + 12n. 1n + 1n + 1 + ⋯ + 12n. ( Подсказка: Сравните с ∫n2n1tdt.) ∫n2n1tdt.)

184.

Найти предел при n → ∞n → ∞ для 1n + 1n + 1 + ⋯ + 13n1n + 1n + 1 + ⋯ + 13n

Следующие несколько упражнений призваны дать представление о приложениях, в которых возникают частичные суммы гармонических рядов.

185.

В некоторых приложениях вероятности, таких как так называемая оценка Уоттерсона для прогнозирования частоты мутаций в популяционной генетике, важно иметь точную оценку числа Hk = (1 + 12 + 13 + + 1k). Hk = (1 + 12 + 13 + ⋯ + 1к). Напомним, что Tk = Hk − lnk Tk = Hk − lnk убывает.Вычислите T = limk → ∞TkT = limk → ∞Tk с точностью до четырех знаков после запятой. ( Подсказка: 1k + 1 <∫kk + 11xdx1k + 1 <∫kk + 11xdx.)

186.

[T] Полная выборка с заменой, иногда называемая проблемой сборщика купонов , формулируется следующим образом: Предположим, у вас есть NN уникальных элементов в корзине. На каждом этапе предмет выбирается случайным образом, идентифицируется и кладется обратно в корзину. Задача спрашивает, каково ожидаемое количество шагов E (N) E (N), которое требуется, чтобы нарисовать каждый уникальный элемент хотя бы один раз.Оказывается, E (N) = NE (N) = N. HN = N (1 + 12 + 13 + + 1N) HN = N (1 + 12 + 13 + ⋯ + 1N). Найдите E (N) E (N) для N = 10,20 и 50N = 10,20 и 50.

187.

[T] Самый простой способ перетасовать карты — это взять верхнюю карту и вставить ее в случайное место в колоде, что называется случайной вставкой сверху, и затем повторить. Мы будем считать, что колода перемешивается случайным образом после того, как было сделано достаточно случайных верхних вставок, чтобы карта, изначально находившаяся внизу, достигла верха, а затем была вставлена ​​случайным образом. Если в колоде nn карт, то вероятность того, что вставка будет ниже карты, изначально внизу (назовите эту карту B) B), равна 1 / n.1 / п. Таким образом, ожидаемое количество случайных вставок вверху, прежде чем BB перестанет быть внизу, равно n . Как только одна карта оказывается ниже B, B, есть два места ниже BB, и вероятность того, что случайно вставленная карта окажется ниже BB, равна 2 / n.2 / n. Ожидаемое количество верхних случайных вставок до того, как это произойдет, будет n / 2.n / 2. Две карты под BB теперь расположены в случайном порядке. Продолжая этот путь, найдите формулу для ожидаемого числа верхних случайных вставок, необходимых для того, чтобы колода была перемешана случайным образом.

188.

Предположим, скутер может проехать 100100 км с полным баком топлива. Предполагая, что топливо может передаваться от одного скутера к другому, но может перевозиться только в баке, представьте процедуру, которая позволит одному из скутеров проехать 100HN100HN км, где HN = 1 + 1/2 + ⋯ + 1 / N. HN = 1 + 1/2 + ⋯ + 1 / N.

189.

Покажите, что для применения оценки остатка на [N, ∞) [N, ∞) достаточно, чтобы f (x) f (x) убывала на [N, ∞), [N, ∞), но для ff требуется не убывает на [1, ∞). [1, ∞).

190.

[T] Используйте оценку остатка и интегрирование по частям, чтобы аппроксимировать ∑n = 1∞n / en∑n = 1∞n / en с погрешностью меньше 0,0001.0,0001.

191.

Сходится ли ∑n = 2∞1n (lnn) p∑n = 2∞1n (lnn) p, если pp достаточно велико? Если да, то для какого p? P?

192.

[T] Предположим, что компьютер может суммировать один миллион членов в секунду расходящегося ряда ∑n = 1N1n.∑n = 1N1n. Используйте интегральный тест, чтобы приблизительно определить, сколько секунд потребуется, чтобы сложить достаточно членов, чтобы частичная сумма превысила 100.100.

193.

[T] Быстрый компьютер может суммировать один миллион членов в секунду расходящегося ряда ∑n = 2N1nlnn.∑n = 2N1nlnn. Используйте интегральный тест, чтобы приблизительно определить, сколько секунд потребуется, чтобы сложить достаточно членов, чтобы частичная сумма превысила 100,100.

Репетитор по математике — Интеграл — Теория

Репетитор по математике — Интеграл — Теория — Неправильный интеграл

Довольно часто нас не заботит точное значение интеграла, мы
просто нужно знать сходится он или нет.Поскольку большинство интегралов равны
довольно сложно оценить, обычно проще просто сравнить
интегрировать функцию в другую, более простую функцию, а затем использовать это сравнение
чтобы прийти к какому-то выводу. В этом разделе мы рассмотрим только основные
несобственные интегралы — то есть с одной «проблемой». Более общие интегралы
всегда вычисляется путем разбиения их на несколько основных интегралов (с одним
проблема), затем к каждому из них мы применяем тесты сходимости. Из-за симметрии
ситуации, сформулируем наши теоремы сравнения для случая, когда
проблема появляется в правой конечной точке.

Сначала предположим, что задействованные функции положительны. Этот
значительно упрощает нашу ситуацию. Как мы наблюдали
раньше было только два
альтернативы в этом случае: либо площадь под графиком конечна, либо
бесконечно.

Теорема (Сравнительный тест).

Пусть b будет действительным числом или b = ∞,
позволять
a < b .Пусть f и g будут
функции, непрерывные и неотрицательные на
[ a , b ) и
f g on
[ a , b ).

Если
сходится, то также
сходится.

Если
расходится, то и
расходится.

Идея этого теста должна быть ясна из рисунка:

Если площадь под графиком г конечна, то и должна быть
меньшая площадь под графиком ф .И наоборот, если область под
График f имеет бесконечную площадь, тогда большая область под графиком
г тоже должно быть.

Изображение также дает понять, что сравнение может работать только в одном
направление и два вышеупомянутых следствия не могут быть истинными как эквивалентности.
Например, предположим, что площадь под графиком f конечна.
Так как область под графиком г больше, вывода нет
возможно: его площадь может быть конечной, но также бесконечной.Это главное
Недостаток сравнительного теста.

Пример:

Определите, сходится ли следующий интеграл:

Этот интеграл может быть фактически вычислен с использованием дробных дробей, но он
На этот вопрос проще ответить с помощью сравнительного теста. Отметим, что для
положительный x ,
.
Поскольку интеграл

сходится (это мы помним, см.
Свойства и примеры),
Сравнительный тест, также рассматриваемый интеграл сходится.

Мы только что увидели главное преимущество сравнительного теста: очень часто он очень
легкий. Этот пример был типичным. Для (сложной) функции находим
функция сравнения, как правило, мощная, потому что их поведение нам хорошо известно.
Затем мы пытаемся установить какое-то неравенство. Если нам повезет, мы получим
вывод довольно легко. Если нам не повезет, мы увидим основные
Недостаток этого теста в действии:

Пример:

Определите, сходится ли следующий интеграл:

Опять же, этот интеграл можно фактически вычислить с использованием дробных дробей, но
мы пробуем это с помощью сравнительного теста.Отметим, что для положительного x ,
.
Тестовый интеграл

сходится (как и раньше), но на этот раз неравенство сравнения идет не так
Кстати и никаких выводов сделать нельзя. Не удалось выполнить сравнительный тест (как и раньше). Это
Следует отметить, что фактически эта проблема может быть решена с помощью
Сравнительный тест, но требует более тонкого выбора тестовой функции
г . Обоснование неравенства требует некоторой работы, поэтому
в конце концов, вместо этого проще использовать другой тест.Любопытный читатель будет
Найдите решение с помощью сравнительного теста здесь.

Этот пример показывает, что недостаточно просто провести сравнение. Дано
функция f , мы пытаемся найти подходящую (простую) тестовую функцию. Если
есть естественный кандидат h , который меньше f , он будет
быть полезным, только если его интеграл расходится; искали бы такие х если бы
мы подозревали, что интеграл f расходится, и хотели это доказать.Если есть естественный кандидат g , который больше f , он
будет полезен, только если его интеграл сходится; мы бы попробовали найти такой
g , если мы заподозрили, что интеграл от f сходится.

Сравнительный тест также можно рассматривать как обобщение
следующий факт ( ср.
Свойства интеграла Римана):

Если f и g интегрируемы по Риману на [a, b] и
f г
на [ a , b ], затем

По сути, сравнительный тест говорит, что то же самое верно и для
неотрицательные функции и несобственные интегралы.Однако тогда неравенство
между интегралами не совсем верно (так как они могут не существовать), скорее, это
имеет следующий смысл: если «меньший интеграл» бесконечен, то
«больший», естественно, также должен быть бесконечным, поскольку только бесконечность удовлетворяет
неравенство
∞ ≤ А .

С другой стороны, если «больший интеграл» конечен, то так и должно быть.
«меньший», и его значение должно быть меньше или равно. Это «неравенство
подход »также хорошо иллюстрирует, почему сравнительный тест работает только в одну сторону.Мы покажем это, вернувшись к нашим первым двум примерам.

В первом мы можем представить, что интегрируя неравенство
мы получаем
неравенство

Теперь кажется естественным, что данный интеграл сходится, мы даже получаем
верхняя граница его значения.

Во втором примере мы можем представить, что интегрируя неравенство
мы получаем
неравенство

В этом неравенстве данный интеграл может быть конечным числом, но
также до бесконечности (как, конечно,
∞ ≥ 1/3).Таким образом, вывод невозможен.

Теперь также должно быть более ясно, почему мы требуем, чтобы функция f была
неотрицательный. Если бы мы позволили ему опуститься ниже оси x , мы получили бы
нет контроля над тем, сколько площади он там скапливается. Таким образом, сравнительный тест
для функций, которые сильно меняют знак, должны быть задействованы две тестовые функции,
один предотвращает слишком большой f , а другой —
для получения слишком большой площади ниже оси x .Такой сложный тест
обычно не требуется, и мы можем использовать более простой (но менее мощный) тест,
сравнительный тест, который отслеживает f с использованием абсолютного значения:

Теорема (Сравнительный тест — версия абсолютного значения).

Пусть b будет действительным числом или b = ∞,
позволять
a < b . Пусть f и g будут
функции, непрерывные на [ a , b ) и пусть
| f | ≤ г
по [ a , b ).

Если
сходится, то также

сходится.


Следующий тест — гораздо более сильный инструмент, чем тест сравнения. В
в частности, его вывод заявлен как эквивалентность, поэтому он не разделяет
главный недостаток сравнительного теста. Его главный недостаток в том, что
его правильное применение требует дополнительной работы.

Теорема (предельное сравнение).
Пусть b будет действительным числом или b = ∞,
пусть a < b . Пусть f и g будут
функции, непрерывные на [ a , b ), пусть
f ≥ 0
там. Предположим, что предел
существует конечно,
но не
равняется нулю. Тогда интеграл

сходится тогда и только тогда, когда интеграл

сходится.

Этот тест работает несколько иначе.Учитывая функцию f , мы
найти тестовую функцию г , которая не обязательно должна быть больше
или менее f ; на самом деле, иногда он может быть выше, а иногда
опускаться ниже f . Важно то, что по мере приближения x к
b (с соответствующей стороны, т.е. с a ), эти две функции
должны быть в основном равными (до кратного). Это подтверждается с помощью «лимита»
сравнение на b «, что является в точности предельным предположением в Limit
Сравнительный тест.Таким образом, мы подтверждаем, что наше предположение о тестовой функции было
верный. Обычно (для «правильного» предположения) предел должен быть равен 1.
Это будет означать, что когда x приближается к b , соотношение
примерно один.
Умножая, получаем, что если x близко к b , то
f ( x ) ∼ г ( x )
(имеется в виду, что они примерно одинаковы). Тогда кажется естественным, что также

Таким образом, эти интегралы должны быть примерно одинаковыми, и вывод
Теорема кажется ясной.Если один из интегралов конечен, то должен быть конечный
Другие. Если один из них расходится, другой — тоже.

Проверка сравнения пределов также верна для функций, которые всегда
отрицательный. Фактически, его можно применять даже к функциям, которые не
обязательно сохраните свои приметы. Но чтобы заработало, изменения не должны
случаются «слишком часто». Поскольку точное указание этого условия не стоит
проблема, люди обычно игнорируют этот более общий взгляд и просто используют это
тест с неотрицательными функциями.

Пример:

Определите, сходится ли следующий интеграл:

Если x близко к бесконечности, то есть если это действительно большое число, то
в знаменателе квадрат будет преобладать, остальное мы можем игнорировать. Этот
мотивирует наш выбор тестовой функции:
г ( x ) = 1 / x 2 .
Теперь мы должны обосновать, что наш выбор правильный:

Предел существует и не равен нулю, поэтому данная функция и
выбранные тестовые функции действительно очень похожи на бесконечность.Поскольку мы знаем
что интеграл

сходится, следует, что сходится и данный интеграл.

Это была типичная задача теста сравнения предельных значений. Сначала мы нашли тест
функция. Затем мы использовали limit, чтобы оправдать свой выбор. Тогда мы
посмотрел соответствующий интеграл с пробной функцией, исследовал его
сходимость, и в итоге мы перенесли этот вывод на данный интеграл.
Краткое изложение стратегии выбора правильной тестовой функции и некоторых
важные примеры мы ссылаемся на
Обзор методов — несобственные интегралы
а также
Решенные проблемы — неправильные интегралы.

Следует отметить, что тест сравнения пределов не лучше (в смысле
более общего), чем сравнительный тест. Есть проблемы, когда
сравнение через неравенство может быть достигнуто, в то время как сравнение предела
в принципе невозможно. Одна из таких проблем — в
Решенные проблемы — Неправильно
Интегралы.

Все три указанных выше теста имеют сопутствующую версию, которая обрабатывает этот случай.
когда есть проблема в левой конечной точке интервала.Поскольку
модификации очевидны, мы предпочитаем показывать его применение на одной задаче.
Мы также используем эту возможность, чтобы показать, как это работает, когда «проблема» не в
бесконечность, но вертикальная асимптота.

Пример:
Решите, сходится ли следующий интеграл:

Имеется проблема x = 2. Мы утверждаем, что если
x близко к 2 (справа), тогда данная функция ведет себя
почти в точности как
.Это требование должно быть обосновано:

Мы видим, что наше предположение было правильным, поскольку предел дал ненулевое число.
Теперь нам нужно
исследуем соответствующий несобственный интеграл для нашей тестовой функции:

Этот интеграл расходится, так как это одна из степеней, которые мы исследовали в
Свойства и примеры, и мы
Запомни. По тесту предельного сравнения также расходится данный интеграл.

Хотя приведенное выше решение правильно соответствует тесту сравнения предельных значений, оно может
стоит взглянуть на смысл всей процедуры. Результат лимита в
приведенное выше сравнение означает, что если x действительно близко к 2 (из
прямо тогда
.
Отсюда следует также сходство интегралов от 2 вправо. В
квадратный корень из 2 является мультипликативной константой, поэтому мы можем вынести его и
получить сравнение

Поскольку тестовый интеграл справа расходится и умножение на
ненулевое число не может исправить это, также интеграл слева должен быть
расходящиеся.Мы также видим, что мультипликативная константа, которую мы получаем во время
сравнение пределов может быть проигнорировано в наших рассуждениях, потому что оно не может
влияют на сходимость наших интегралов (но он должен быть ненулевым для
это).

Теперь читатель, вероятно, задается вопросом, как мы пришли к тестовой функции.
Действительно, это довольно сложно и требует немалого опыта, даже
тогда это может быть сложно. Это основная причина, по которой сравнительные тесты
в основном используется для задач с бесконечностью, соответственно отрицательной бесконечностью.Там
мы можем представить, что x — действительно большое число, и наша интуиция может
помогите нам определить, какие части данной функции становятся неважными.


Назад к теории — несобственные интегралы

Тесты сходимости серии

Определение сходимости и расхождения в серии

Неполная сумма ряда n th

a n определяется как S n = a 1 + a 2

+ 3 +… + а . Если последовательность этих частичных

sum {S n } сходится к L, тогда сумма ряда сходится

к L. Если {S n } расходится, то сумма ряда расходится.

Операции с конвергентными сериями

Если n

= A, а b n

= B, то также сходятся, как указано:

ca n = cA

(a n

+ b n ) = A + B
(a n

— b n ) = A — B


Список тестов сходимости в алфавитном порядке

Абсолютная сходимость

Если серия

| a n | сходится, то ряд

n тоже сходится.

Испытание чередующейся серии

Если для всех n, значение n положительное, не возрастающее (т. Е.

0 n + 1 <= a n ) и приближается к нулю, то

переменная серия
(-1) n

a n и

(-1) н-1 а н

оба сходятся.

Если чередующийся ряд сходится, то остаток R N

= S — S N (где S — точная сумма бесконечного ряда и

S N — сумма первых N членов ряда) ограничена

по | R N | <= a N + 1

Удаление первых N условий

Если N — натуральное число, то ряд

a n и

а н

п = N + 1

оба сходятся или оба расходятся.

Тест прямого сравнения

Если 0 <= a n <= b n для всех n больше

чем некоторое положительное целое число N, то применяются следующие правила:

Если b n

сходится, то

n сходится.

Если n

расходится, то

b n расходится.

Сходимость геометрических серий

Геометрический ряд равен
.

a r n = a + a r + a r 2 + a r 3 + …

Если | r | <1, то следующий геометрический ряд сходится к a / (1 - р).

Если | r | > = 1, то указанный геометрический ряд расходится.

Интегральный тест

Если для всех n> = 1, f (n) = a n и f положительно,

непрерывный, а затем убывающий

либо оба сходятся, либо оба расходятся.

Если указанный ряд сходится, то остаток R N = S —

S N (где S — точная сумма бесконечного ряда, а S N

является суммой первых N членов ряда) ограничено 0 <= R N

<= (Н..) f (x) dx.

Тест сравнения предельных значений

Если lim (n ->) (a n

/ b n ) = L,

где a n , b n > 0 и L конечно и положительно,

затем сериал

a n и

b n либо сходятся, либо расходятся.

n th -Term Test for Divergence

Если последовательность {a n } не сходится к нулю, то ряд

a n расходится.

Конвергенция серии p

Серия p определяется номером
1 / n p

= 1/1 p + 1/2 p + 1/3 p + …

где p> 0 по определению.

Если p> 1, то ряд сходится.

Если 0

Тест на соотношение

Если для всех n, n

0, то применяются следующие правила:

Пусть L = lim (n ->)

| a n + 1 / a n |.

Если L <1, то ряд n сходится.

Если L> 1, то ряд

a n расходится.

Если L = 1, то проверка в безрезультатна .

Корневой тест

Пусть L = lim (n ->)

| a n | 1 / п .

Если L <1, то ряд n сходится.

Если L> 1, то ряд

a n расходится.

Если L = 1, то проверка в безрезультатна .

Конвергенция серии Тейлора

Если f имеет производные всех порядков в интервале I с центром

в точке c, то ряд Тейлора сходится, как показано:
(1 / n!)

f (n) (c) (x — c) n = f (x)

тогда и только тогда, когда lim (n ->)

RN = 0 для всех x в I.

Остаток R N = S — S N ряда Тейлора (где

S — это точная сумма бесконечного ряда, а S N — сумма

первых N членов ряда) равно (1 / (n + 1)!) f (n + 1) (z)

(x — c) n + 1 , где z — некоторая константа между x и c.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

2021 © Все права защищены.