Как решать уравнения по дискриминанту: Как найти Дискриминант? 🤔 Формулы, Примеры решений.

Содержание

Как найти Дискриминант? 🤔 Формулы, Примеры решений.

Понятие квадратного уравнения

Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Значение неизвестных нужно найти так, чтобы при их подстановке в пример получилось верное числовое равенство.

Например, возьмем выражение 8 + 4 = 12. При вычислении левой части получается верное числовое равенство, то есть 12 = 12.

Уравнением можно назвать выражение 8 + x = 12, с неизвестной переменной x, значение которой нужно найти. Результат должен быть таким, чтобы знак равенства был оправдан, и левая часть равнялась правой.

Степень уравнения можно определить по наибольшей степени, в которой стоит неизвестное. Если неизвестное стоит во второй степени, значит, такое уравнение является квадратным.

Квадратное уравнение — это ax2 + bx + c = 0, где a — первый или старший коэффициент, не равный нулю, b — второй коэффициент, c — свободный член.

Есть три вида квадратных уравнений:

  • не имеют корней;
  • имеют один корень;
  • имеют два различных корня.

Чтобы ваш ребенок легко справиться с будущими экзаменами, запишите его на курс подготовки к ОГЭ или ЕГЭ по математике в Skysmart. На занятиях с личным преподавателем он потренируется решать пробные варианты экзамена на время, увидит свои сильные и слабые стороны, разберется в каждой сложной теме и выработает тактику поведения на экзамене, чтобы добиться отличных результатов без стресса.

Записывайтесь на бесплатный пробный урок математики: познакомим с платформой, наметим программу обучения и вдохновим ребенка.

Понятие дискриминанта

Дискриминант квадратного уравнения — это выражение, которое находится под корнем в формуле нахождения корней квадратного уравнения. Дискриминант в переводе с латинского означает «отличающий» или «различающий» и обозначается буквой D.

Дискриминант — отличный помощник, чтобы понять, сколько в уравнении корней.

Чаще всего для поиска дискриминанта используют формулу:

В этом ключе универсальная формула для поиска корней квадратного уравнения выглядит так:

Эта формула подходит даже для неполных квадратных уравнений.

Но есть и другие формулы — все зависит от вида уравнения. Чтобы в них не запутаться, сохраняйте табличку или распечатайте ее и храните в учебнике.

Как решать квадратные уравнения через дискриминант

В 8 классе на алгебре можно встретить задачу по поиску действительных корней квадратного уравнения. Для этого важно перед использованием формул найти дискриминант и убедиться, что он неотрицательный. Только после этого вычисляем значения корней. Если дискриминант отрицательный, значит уравнение не имеет действительных корней.

Алгоритм решения квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0:

  • как найти дискрининант: D = b2 − 4ac;
  • если дискриминант отрицательный — зафиксировать, что действительных корней нет;
  • если дискриминант равен нулю — вычислить единственный корень уравнения по формуле х = — b2/2a;
  • если дискриминант положительный — найти два действительных корня квадратного уравнения по формуле корней

А вот и еще одна табличка: в ней вы найдете формулы для поиска корней квадратных уравнений при помощи дискриминанта:

Чтобы запомнить алгоритм решения квадратных уравнений и с легкостью его использовать, важно практиковаться. Вперед!

Примеры решения квадратных уравнений с помощью дискриминанта

Пример 1. Решить уравнение: 3x2 — 4x + 2 = 0.

Как решаем:

  1. Определим коэффициенты: a = 3, b = -4, c = 2.
  2. Найдем дискриминант: D = b2 — 4ac = (-4)2 — 4 * 3 * 2 = 16 — 24 = -8.

Ответ: D < 0, корней нет.

Пример 2. Решить уравнение: x2 — 6x + 9 = 0.

Как решаем:

  1. Определим коэффициенты: a = 1, b = -6, c = 9.
  2. Найдем дискриминант: D = b2 — 4ac = (-6)2 — 4 * 1 * 9 = 36 — 36 = 0.
  3. D = 0, значит уравнение имеет один корень:

Ответ: корень уравнения 3.

Пример 3. Решить уравнение: x2 — 4x — 5 = 0.

Как решаем:

  1. Определим коэффициенты: a = 1, b = -4, c = -5.
  2. Найдем дискриминант: D = b2 — 4ac = (-4)2 — 4 * 1 * (-5) = 16 + 20 = 36.
  3. D > 0, значит уравнение имеет два корня:

     

x1 = (4 + 6) : 2 = 5,

x2 = (4 — 6) : 2 = -1.

Ответ: два корня x1 = 5, x2 = -1.

Не желаешь повторить формулы сокращенного умножения?

Решение квадратных уравнений

Квадратные уравнения изучают в 8 классе, поэтому ничего сложного здесь нет. Умение решать их совершенно необходимо.

Квадратное уравнение — это уравнение вида ax2 + bx + c = 0, где коэффициенты a, b и c — произвольные числа, причем a ≠ 0.

Прежде, чем изучать конкретные методы решения, заметим, что все квадратные уравнения можно условно разделить на три класса:

  1. Не имеют корней;
  2. Имеют ровно один корень;
  3. Имеют два различных корня.

В этом состоит важное отличие квадратных уравнений от линейных, где корень всегда существует и единственен. Как определить, сколько корней имеет уравнение? Для этого существует замечательная вещь — дискриминант.

Дискриминант

Пусть дано квадратное уравнение ax2 + bx + c = 0. Тогда дискриминант — это просто число D = b2 − 4ac.

Эту формулу надо знать наизусть. Откуда она берется — сейчас неважно. Важно другое: по знаку дискриминанта можно определить, сколько корней имеет квадратное уравнение. А именно:

  1. Если D < 0, корней нет;
  2. Если D = 0, есть ровно один корень;
  3. Если D > 0, корней будет два.

Обратите внимание: дискриминант указывает на количество корней, а вовсе не на их знаки, как почему-то многие считают. Взгляните на примеры — и сами все поймете:

Задача. Сколько корней имеют квадратные уравнения:

  1. x2 − 8x + 12 = 0;
  2. 5x2 + 3x + 7 = 0;
  3. x2 − 6x + 9 = 0.

Выпишем коэффициенты для первого уравнения и найдем дискриминант:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8)2 − 4 · 1 · 12 = 64 − 48 = 16

Итак, дискриминант положительный, поэтому уравнение имеет два различных корня. Аналогично разбираем второе уравнение:
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 32 − 4 · 5 · 7 = 9 − 140 = −131.

Дискриминант отрицательный, корней нет. Осталось последнее уравнение:
a = 1; b = −6; c = 9;
D = (−6)2 − 4 · 1 · 9 = 36 − 36 = 0.

Дискриминант равен нулю — корень будет один.

Обратите внимание, что для каждого уравнения были выписаны коэффициенты. Да, это долго, да, это нудно — зато вы не перепутаете коэффициенты и не допустите глупых ошибок. Выбирайте сами: скорость или качество.

Кстати, если «набить руку», через некоторое время уже не потребуется выписывать все коэффициенты. Такие операции вы будете выполнять в голове. Большинство людей начинают делать так где-то после 50-70 решенных уравнений — в общем, не так и много.

Корни квадратного уравнения

Теперь перейдем, собственно, к решению. Если дискриминант D > 0, корни можно найти по формулам:

Основная формула корней квадратного уравнения

Когда D = 0, можно использовать любую из этих формул — получится одно и то же число, которое и будет ответом. Наконец, если D < 0, корней нет — ничего считать не надо.

Задача. Решить квадратные уравнения:

  1. x2 − 2x − 3 = 0;
  2. 15 − 2x − x2 = 0;
  3. x2 + 12x + 36 = 0.

Первое уравнение:
x2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = −3;
D = (−2)2 − 4 · 1 · (−3) = 16.

D > 0 ⇒ уравнение имеет два корня. Найдем их:

Второе уравнение:
15 − 2x − x2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2)2 − 4 · (−1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ уравнение снова имеет два корня. Найдем их

\[\begin{align} & {{x}_{1}}=\frac{2+\sqrt{64}}{2\cdot \left( -1 \right)}=-5; \\ & {{x}_{2}}=\frac{2-\sqrt{64}}{2\cdot \left( -1 \right)}=3. \\ \end{align}\]

Наконец, третье уравнение:
x2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 122 − 4 · 1 · 36 = 0.

D = 0 ⇒ уравнение имеет один корень. Можно использовать любую формулу. Например, первую:

\[x=\frac{-12+\sqrt{0}}{2\cdot 1}=-6\]

Как видно из примеров, все очень просто. Если знать формулы и уметь считать, проблем не будет. Чаще всего ошибки возникают при подстановке в формулу отрицательных коэффициентов. Здесь опять же поможет прием, описанный выше: смотрите на формулу буквально, расписывайте каждый шаг — и очень скоро избавитесь от ошибок.

Неполные квадратные уравнения

Бывает, что квадратное уравнение несколько отличается от того, что дано в определении. Например:

  1. x2 + 9x = 0;
  2. x2 − 16 = 0.

Несложно заметить, что в этих уравнениях отсутствует одно из слагаемых. Такие квадратные уравнения решаются даже легче, чем стандартные: в них даже не потребуется считать дискриминант. Итак, введем новое понятие:

Уравнение ax2 + bx + c = 0 называется неполным квадратным уравнением, если b = 0 или c = 0, т.е. коэффициент при переменной x или свободный элемент равен нулю.

Разумеется, возможен совсем тяжелый случай, когда оба этих коэффициента равны нулю: b = c = 0. В этом случае уравнение принимает вид ax2 = 0. Очевидно, такое уравнение имеет единственный корень: x = 0.

Рассмотрим остальные случаи. Пусть b = 0, тогда получим неполное квадратное уравнение вида ax2 + c = 0. Немного преобразуем его:

Решение неполного квадратного уравнения

Поскольку арифметический квадратный корень существует только из неотрицательного числа, последнее равенство имеет смысл исключительно при (−c/a) ≥ 0. Вывод:

  1. Если в неполном квадратном уравнении вида ax2 + c = 0 выполнено неравенство (−c/a) ≥ 0, корней будет два. Формула дана выше;
  2. Если же (−c/a) < 0, корней нет.

Как видите, дискриминант не потребовался — в неполных квадратных уравнениях вообще нет сложных вычислений. На самом деле даже необязательно помнить неравенство (−c/a) ≥ 0. Достаточно выразить величину x2 и посмотреть, что стоит с другой стороны от знака равенства. Если там положительное число — корней будет два. Если отрицательное — корней не будет вообще.

Теперь разберемся с уравнениями вида ax2 + bx = 0, в которых свободный элемент равен нулю. Тут все просто: корней всегда будет два. Достаточно разложить многочлен на множители:

Вынесение общего множителя за скобку

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда находятся корни. В заключение разберем несколько таких уравнений:

Задача. Решить квадратные уравнения:

  1. x2 − 7x = 0;
  2. 5x2 + 30 = 0;
  3. 4x2 − 9 = 0.

x2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x1 = 0; x2 = −(−7)/1 = 7.

5x2 + 30 = 0 ⇒ 5x2 = −30 ⇒ x2 = −6. Корней нет, т.к. квадрат не может быть равен отрицательному числу.

4x2 − 9 = 0 ⇒ 4x2 = 9 ⇒ x2 = 9/4 ⇒ x1 = 3/2 = 1,5; x2 = −1,5.

Смотрите также:

  1. Теорема Виета
  2. Следствия из теоремы Виета
  3. Тест на тему «Значащая часть числа»
  4. Правила комбинаторики в задаче B6
  5. Как представить обычную дробь в виде десятичной
  6. Задача B15: частный случай при работе с квадратичной функцией

Дискриминант квадратного уравнения. Формулы дискриминанта

Дискриминант квадратного уравнения — это выражение, находящееся под корнем в формуле нахождения корней квадратного уравнения. Дискриминант обозначается латинской буквой  D.

Все формулы нахождения корней квадратных уравнений можно записать короче с помощью дискриминанта:

Дискриминант позволяет определить, имеет ли уравнение корни и сколько их, не решая само уравнение:

  1. Если дискриминант больше нуля, то уравнение имеет два корня.
  2. Если дискриминант равен нулю, то уравнение имеет один корень.
  3. Если дискриминант меньше нуля, то уравнение не имеет корней.

Несмотря на то, что есть несколько формул дискриминанта, чаще всего используют первую:

D = b2 — 4ac,

так как она относится к формуле:

,

которая является универсальной формулой нахождения корней квадратного уравнения. Данная формула подходит даже для неполных квадратных уравнений.

Решение квадратных уравнений через дискриминант

Для решения квадратного уравнения по формуле можно сначала вычислить дискриминант и сравнить его с нулём. В зависимости от результата, либо искать корни по формуле, либо сделать вывод, что корней нет.

Пример 1. Решить уравнение:

3x2 — 4x + 2 = 0.

Определим, чему равны коэффициенты:

a = 3,  b = -4,  c = 2.

Найдём дискриминант:

D = b2 — 4ac = (-4)2 — 4 · 3 · 2 = 16 — 24 = -8,

D < 0.

Ответ: корней нет.

Пример 2.

x2 — 6x + 9 = 0.

Определим, чему равны коэффициенты:

a = 1,  b = -6,  c = 9.

Найдём дискриминант:

D = b2 — 4ac = (-6)2 — 4 · 1 · 9 = 36 — 36 = 0,

D = 0.

Уравнение имеет всего один корень:

Ответ:  3.

Пример 3.

x2 — 4x — 5 = 0.

Определим, чему равны коэффициенты:

a = 1,  b = -4,  c = -5

Найдём дискриминант:

D = b2 — 4ac = (-4)2 — 4 · 1 · (-5) = 16 + 20 = 36,

D > 0.

Уравнение имеет два корня:

x1 = (4 + 6) : 2 = 5,

x2 = (4 — 6) : 2 = -1.

Ответ:  5,  -1.

Решение (корни) квадратного уравнения

Квадратным уравнением называется уравнение вида ax² + bx + c = 0,
где x — переменная, которая в уравнении присутствует в квадрате, a, b, c — некоторые числа, причём a ≠ 0.

Например, квадратным является уравнение

2x² — 3x + 1 = 0,

в котором a = 2, b = — 3, c = 1.

В квадратном уравнении ax² + bx + c = 0
коэффициент a называют первым коэффициентом, b — вторым коэффициентом, c — свободным членом.

Уравнения вида ax² + bx = 0,

где c =0,

ax² + c = 0,

где b =0, и

ax² = 0,

где a =0 и b =0,

называются неполными квадратными уравнениями.

Найти корни квадратного уравнения значит решить квадратное уравнение.

Для вычисления корней квадратного уравния служит выражение b² — 4ac,
которое называется дискриминантом квадратного уравнения и обозначается буквой D.

Корни квадратного уравнения имеют следующие сферы применения:

— для разложении квадратного трёхлена на множители, что, в свою очередь, является
приёмом упрощения выражений (например, сокращения дробей, вынесение за скобки общего знаменателя и т.д.) в частности,
при нахождении пределов, производных и интегралов;

— для решения задач на соотношения параметров меняющегося объекта (корни квадратного уравнения,
чаще всего один, являются обычно конечным решением).

График квадратичного трёхлена ax² + bx + c
левой части квадратного уравнения — представляет собой параболу, ось симметрии которой параллельна
оси 0y. Число точек пересечения параболы с осью
0x определяет число корней квадратного уравнения. Если точек
пересечения две, то квадратное уравнение имеет два действительных корня, если точка пересечения
одна, то квадратное уравнение имеет один действительный корень, если парабола не пересекает
ось 0x, то квадратное уравнение не имеет действительных
корней. На рисунке ниже изображены три упомянутых случая.

Как видно на рисунке, красная парабола пересекает ось 0x
в двух точках, зелёная — в одной точке, а жёлтая парабола не имеет точек пересечения с осью
0x.

1. Если дискриминант больше нуля (),
то квадратное уравнение имеет два различных действительных корня.

Они вычисляются по формулам:

и

.

Часто пишется так: .

2. Если дискриминант равен нулю (),
то квадратное уравнение имеет только один действительный корень, или, что то же самое — два равных действительных корня,
которые равны .

3. Если дискриминант меньше нуля (),
то квадратное уравнение не имеет действительных корней, а имеет комплексные корни, но нахождение комплексных корней
в этой статье рассматривать не будем. В общем случае правильным решением является констатация того,
что квадратное уравнение не имеет действительных корней.

Пример 1. Определить, сколько действительных корней имеет квадратное уравнение:

.

Решение. Найдём дискриминант:

.

Дискриминант больше нуля, следовательно, квадратное уравнение имеет два действительных корня.

Путём преобразования в квадратное уравнение следует решать и дробные
уравнения, в которых хотя бы одно из слагаемых — дробь, в знаменателе которой присутствует неизвестное, например, .
О том, как это делается — в материале Решение дробных уравнений с преобразованием в квадратное уравнение.


Проверить решение можно с помощью онлайн калькулятора квадратных уравнений.

Пример 2. Определить, сколько действительных корней имеет квадратное уравнение:

.

Решение. Найдём дискриминант:

.

Дискриминант равен нулю, следовательно, квадратное уравнение имеет один действительный корень.

Пример 3. Определить, сколько действительных корней имеет квадратное уравнение:

.

Решение. Найдём дискриминант:

.

Дискриминант меньше нуля, следовательно, квадратное уравнение не имеет действительных корней.


Проверить решение можно с помощью онлайн калькулятора квадратных уравнений.

Находить корни квадратного уравнения требуется при решении многих
задач высшей математики, например, при нахождении пределов,
интегралов, исследовании
функций на возрастание и убывание
и других.

Пример 4. Найти корни квадратного уравнения:

.

В примере 1 нашли дискриминант этого уравнения:

,

Решение квадратного уравнения найдём по формуле для корней:


Проверить решение можно с помощью онлайн калькулятора квадратных уравнений.

Корни приведённого квадратного уравнения

Формула корней приведённого уравнения имеет вид:

.

Существуют формулы, связывающие корни квадратного уравнения с его
коэффициентами. Они впервые были получены французским математиком Ф.Виетом.

Теорема Виета. Если квадратное уравнение
ax² + bx + c = 0
имеет действительные корни, то их сумма равна — b/a,
а произведение равно с/a:

Следствие. Если приведённое квадратное уравнение
x² + px + q = 0
имеет действительные корни и
, то

Пояснение формул: сумма корней приведённого квадратного уравнения равна второму
коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному
члену.

Следовательно, теорему Виета можно применять и для поиска корней
приведённого квадратного уравнения.


Если известны корни квадратного уравнения, то трёхчлен, представляющий собой левую часть уравнения, можно
разложить на множители по следующей формуле:

.

Этот приём часто используется для упрощения выражений, особенно сокращения дробей.

Пример 9. Упростить выражение:

.

Решение. Числитель данной дроби можем рассматривать как квадратный трёхчлен в отношении x
и разложить его на множители, предварительно найдя его корни. Найдём дискриминант квадратного уравнения:

.

Корни квадратного уравнения будут следующими:

.

Разложим квадратный многочлен на множители:

.

Упростили выражение, проще не бывает:

.


Проверить решение можно с помощью онлайн калькулятора квадратных уравнений.

Пример 10. Упростить выражение:

.

Решение. И числитель, и знаменатель — квадратные трёхчлены. Значит, их можно разложить
на множители, предварительно найдя корни соответствующих квадратных уравнений. Находим дискриминант первого квадратного уравнения:

.

Корни первого квадратного уравнения будут следующими:

.

Находим дискриминант второго квадратного уравнения:

.

Так как дискриминант равен нулю, второе квадратное уравнение имеет два совпадающих корня:

.

Подставим корни квадратных уравнений, разложим числитель и знаменатель на множители и получим:

.


Проверить решение можно с помощью онлайн калькулятора квадратных уравнений.

Упрощать выражения путём решения квадратных уравнений требуется
при решении многих задач высшей математики, например, при
нахождении пределов,
интегралов,
исследовании
функций на возрастание и убывание
и других.

Разумеется, квадратного трёхчлена может может и не быть в выражении в первоначальном виде,
он может быть получен в процессе предварительных преобразований выражения.

Формула корней квадратного уравнения «переоткрывалась» неоднократно. Один
из первых дошедших до наших дней выводов этой формулы принажлежит индийскому математику
Брахмагупте (около 598 г. ). Среднеазиатский учёный аль-Хорезми (IX в.) получил эту формулу
методом выделения полного квадрата с помощью геометрической иллюстрации. Суть его рассуждений
видна из рисунка ниже (он рассматривает уравнение x² + 10x = 39).

Площадь большого квадрата равна (x + 5)².
Она складывается из площади x² + 10x
заштрихованной фигуры, равной левой части рассматриваемого уравнения, и площади четырёх
квадратов со стороной 5/2, равной 25. Получается следующее уравнение и его решение:

Пример 11. Отрезок ткани стоит 180 у.ед. Если бы ткани в отрезке было на 2,5 м больше
и цена отрезка оставалась бы прежней, то цена 1 м ткани была бы на 1 у.ед. меньше. Сколько ткани в отрезке?

Решение. Примем количество ткани в отрезке за x и получим уравнение:

Приведём обе части уравнения к общему знаменателю:

Произведём дальнейшие преобразования:

Получили квадратное уравнение, которое и решим:

Ясно, что количество ткани не может быть отрицательным, поэтому в качестве ответа из двух корней квадратного уравнения подходит лишь один корень — положительный.

Ответ: в отрезке 20 м ткани.


Проверить решение можно с помощью онлайн калькулятора квадратных уравнений.

Пример 12. Товар, количество которого 187,5 кг, взвешивают в одинаковых ящиках.
Если в каждом ящике количество товара уменьшить на 2 кг, то следовало бы использовать на 2 ящика больше и при этом
2 кг товара остались бы невзвешенными. Сколько кг товара взвешивают в каждом ящике?

Решение. Примем за x количество товара, взвешиваемого в одном ящике. Тогда получим уравнение:

Приведём обе части уравнения к общему знаменателю, произведём дальнейшие преобразования и получим квадратное уравнение.
Процесс записывается так:

Найдём дискриминант:

Найдём корни квадратного уравнения:

Количество товара не может быть отрицательным, поэтому в качестве ответа из двух корней квадратного уравнения подходит лишь положительный корень.

Ответ: в одном ящике взвешивают 12,5 кг ткани.


Проверить решение можно с помощью онлайн калькулятора квадратных уравнений.

Другие темы в блоке «Школьная математика»

Как решать квадратное уравнение

Как решать квадратные уравнения

Алгоритм решения квадратного уравнения


Речь идет о поиске только действительных корней квадратного уравнения.

Шаг 1:  Записываем уравнение в стандартном виде

В общем виде квадратное уравнение можно записать так:

Здесь — любое ненулевое число,  — любые числа, a — то число, которое необходимо найти. Такой вид уравнения называют стандартным. Например, — квадратное уравнение в стандартном виде, причем , и . Число называют старшим коэффициентом, число — свободным коэффициентом. А все выражение вида называют квадратным трехчленом.

Типичная ошибка: считать, что , то есть забыть про знак «-«.

Cтоит заметить, что все коэффициенты уравнения можно уменьшить в раза. Уравнение примет вид . Числа , и , естественно, изменились (уменьшились!). Зато корни уравнения остались прежними. Поэтому всегда стоит проверять, а нельзя ли таким образом упростить уравнение, чтобы легче было далее находить корни.

Итак, первым делом необходимо привести квадратное уравнение  к стандартному виду. Для этого можно раскрывать скобки, приводить подобные слагаемые, переносить слагаемые из одной части уравнения в другую (при этом слагаемые меняют знак). Например, . Раскрываем скобки: . Приводим подобные слагаемые: . Переносим все слагаемые из правой части в левую: (повторю: такие слагаемые меняют свой знак).  И опять приводим подобные слагаемые: . Получим квадратное уравнение в стандартном виде. Причем , и .

Типичная ошибка: забыть поменять знак слагаемого при переносе.

Типичная ошибка: перепутать слагаемые местами и неправильно определить коэффициенты. Например, . И кажется, что , и . На самом деле, , и .

Интересный случай: предположим, что получилось уравнение . Чему равно ? На этот вопрос не каждый может ответить уверенно. Ответ: .

Интересный случай: дано уравнение . Мы смело раскрываем скобки и переносим и из правой части в левую. Но после приведения подобных слагаемых получается уравнение .  Нет ! Ни о каком стандартном виде квадратного уравнения здесь не может быть и речи просто потому, что это не квадратное уравнение, а совсем другая история под названием «Линейное уравнение».

Замечание: опытные в квадратных уравнениях математики советуют всегда делать коэффициент положительным. Для этого левую и правую части уравнения всегда можно домножить на . Например, заменим на . По-простому говоря, каждое слагаемое меняет знак. Да, это другое уравнение и коэффициенты другие. Но корни у него такие же, как и у исходного уравнения. Поэтому далее спокойно можно работать с новым. Зачем делать положительным? Например, затем, чтобы было меньше арифметических ошибок, когда будем находить дискриминант. Что такое дискриминант, узнаем в следующем шаге.

Шаг 2: Находим дискриминант.

У нас есть квадратное уравнение в виде . Вычисляем число , которое называется дискриминантом квадратного уравнения. Например, для уравнения дискриминант равен .

Типичная ошибка: часто вместо пишут  , то есть забывают скобки, но это уже , а не .

Типичная ошибка: неправильно определяют коэффициенты , и

Типичная ошибка: в слагаемом неправильно определяют окончательный знак. Например, в все-таки в итоге получается , а не .

Редкая ошибка: дискриминант пишут с большой буквы, видимо, из уважения или считая, что это фамилия.

Шаг 3: Находим корни уравнения

У нас есть дискриминант . Далее все зависит от его знака.

Если , то корней у уравнения нет. Ответ: корней нет. Вот так внезапно решение закончилось. Например, в уравнении дискриминант равен . Поэтому корней нет. Кстати, что это значит? Это значит, что какое бы число вы не выбрали, подстановка его в выражение вместо никогда не даст . Проверим число , например: . Не ноль. То есть — не корень. Аналогично с любым другим числом: ноль никогда не получится.

Если , то . Числа и — это как раз те коэффициенты из стандартной записи уравнения. Например, в уравнении дискриминант . Тогда . Ответ: .

Типичная ошибка: неправильно подставляют в формулу . Ошибаются со знаком. Ведь если , например, то .

Если . То в ответе будет два корня, которые можно найти по формулам и . Например, в уравнении дискриминант . Тогда и . Так как , то и . Ответ: .

Замечание: часто для сокращения пишут две формулы в одной: .

Замечание: иногда дискриминант может оказаться «некрасивым», например, . Такое может быть, и терять самообладание не стоит. Совет один: перепроверить решение и, если ошибка не найдена, со спокойной совестью решать дальше. Чаще всего задачи придумывают так, чтобы дискриминант были полным квадратом (кстати, полезно выучить таблицу квадратов чисел от 1 до 20). Но иногда попадаются ответы вида .

Типичная ошибка: неправильно находят . Например, считают, что . На самом деле, . Отрицательным выражение быть не может (по определению арифметического квадратного корня).

Вот и весь алгоритм. Конечно, есть еще много деталей. Например, есть неполные квадратные уравнения, когда лучше решать способами без дискриминанта. Есть еще уравнения, сводящиеся к квадратным. Есть еще поиск комплексных корней квадратного уравнения (для ЕГЭ это излишне). Кстати, проверить свое решение квадратного уравнения всегда можно здесь. Далее стоит изучить теорему Виета, понять, а как возникает формула для дискриминанта, как быть с уравнением третьей степени.

Полный пример решения квадратного уравнения.

Условие

Решить уравнение

Решение

Согласно алгоритму, раскрываем скобки: .
На всякий случай, расписал все подробно. Но вообще такие действия надо научиться делать почти устно. Более того, лучше заметить, что к первому слагаемому применима формула сокращенного умножения, точнее, разность квадратов. Такие формулы позволяют значительно экономить время и силы (потренироваться можно здесь).
Но продолжим решение: . Приводим подобные слагаемые и переносим в левую часть уравнения: .
Изменим знак : .
Находим дискриминант. Так как , и , то . Дискриминант , поэтому у уравнения два корня: и .
Осталось заметить, что корни можно упростить, ведь .
Получаем окончательный ответ, который запишем одной формулой: .
Как видите, малейшая неточность в арифметических вычислениях — и весь труд в итоге напрасен.
Поэтому стоит потренироваться выполнять арифметические вычисления устно и без ошибок.

Ответ:  

Задачи для самостоятельного решения

Номера 41, 42, 43, 51, 52, 53  (ответы находятся после условий)

все статьи по математике

 

Решение квадратных уравнений.

Дискриминант. Формула дискриминанта. ( Дискриминат на 4 и на 1). Теорема Виета. 3 способа.

Квадратным уравнением называется уравнение вида

                 ,

где

x — переменная,

a,b,c — постоянные (числовые) коэффициенты.

В общем случае решение квадратных уравнений сводится к нахождению дискриминанта



Формула дискриминанта: .

       О корнях квадратного уравнения можно судить по знаку дискриминанта (D) :

  • D>0 — уравнение имеет 2 различных вещественных корня
  • D=0 — уравнение имеет 2 совпадающих вещественных корня
  • D<0 — уравнение имеет 2 мнимых корня (для непродвинутых пользователей — корней не имеет)

В общем случае корни уравнения равны:

                 .

Очевидно, в случае с нулевым дискриминантом, оба корня равны

                 .

Если коэффициент при х четный, то имеет смысл вычислять не дискриминант, а четверть дискриминанта:

                

В таком случае корни уравнения вычисляются по формуле:

                

Теорема Виета.

Приведенным квадратным уравнением называется уравнение вида

                ,

то есть квадратное уравнение с единичным коэффициентом при старшем члене.

В этом случае целесообразно применять теорему Виета, которая позволяет получить относительно корней уравнения следующую систему уравнений:

                 .

Следует заметить, что любое квадратное уравнение может стать приведенным, если его поделить на коэффициент при старшем члене, то есть при х2. 2–4*a*c.
Корни (решения) квадратного уравнения зависят от знака дискриминанта (D) :
D>0 – уравнение имеет 2 различных действительных корня;
D=0 — уравнение имеет 1 корень (2 совпадающих корня):
D<0 – не имеет действительных корней (в школьной теории). В ВУЗах изучают комплексные числа и уже на множестве комплексных чисел уравнение с отрицательным дискриминантом имеет два комплексных корня.
Формула для вычисления дискриминанта достаточно проста, поэтому множество сайтов предлагают онлайн калькулятор дискриминанта. Мы с такого рода скриптами еще не разобрались, поэтому кто знает, как это реализовать просим писать на почту Этот адрес электронной почты защищён от спам-ботов. У вас должен быть включен JavaScript для просмотра..

Общая формула для нахождения корней квадратного уравнения:

Корни уравнения находим по формуле
Если коэффициент при переменной в квадрате парный то целесообразно исчислять не дискриминант, а четвертую его часть
В таких случаях корни уравнения находят по формуле

Вторая способ нахождения корней — это Теорема Виета.

Формулируется теорема не только для квадратных уравнений, но и для многочленов. Это Вы можете почитать в Википедии или других электронных ресурсах. Однако для упрощения рассмотрим ту ее часть, которая касается приведенных квадратных уравнений, то есть уравнений вида (a=1)
Суть формул Виета заключается в том, что сумма корней уравнения равна коэффициенту при переменной, взятому с противоположным знаком. Произведение корней уравнения равно свободном члену. Формулами теорема Виета имеет запись.
Вывод формулы Виета достаточно прост. Распишем квадратное уравнение через простые множители
Как видите все гениальное одновременно является простым. Эффективно использовать формулу Виета когда разница корней по модулю или разница модулей корней равна 1, 2. Например, следующие уравнения по теореме Виета имеют корни

До 4 уравнения анализ должен выглядеть следующим образом. Произведение корней уравнения равно 6, следовательно корнями могут быть значения (1, 6) и (2, 3) или пары с противоположным знаком. Сумма корней равна 7 (коэффициент при переменной с противоположным знаком). Отсюда делаем вывод что решения квадратного уравнения равны x=2; x=3.
Проще подбирать корни уравнения среди делителей свободного члена, корректируя их знак с целью выполнения формул Виета. В начале это кажется трудно сделать, но с практикой на ряде квадратных уравнений такая методика окажется эффективнее вычисления дискриминанта и нахождения корней квадратного уравнения классическим способом.
Как видите школьная теория изучения дискриминанта и способов нахождения решений уравнения лишена практического смысла — «Зачем школьникам квадратное уравнение?», «Какой физический смысл дискриминанта?».

Давайте попробуем разобраться,

что описывает дискриминант?

В курсе алгебры изучают функции, схемы исследования функции и построения графика функций. Из всех функций важное место занимает парабола, уравнение которой можно записать в виде
Так вот физический смысл квадратного уравнения — это нули параболы, то есть точки пересечения графика функции с осью абсцисс Ox
Свойства парабол которые описаны ниже попрошу Вас запомнить. Придет время сдавать экзамены, тесты, или вступительные экзамены и Вы будете благодарны за справочный материал. Знак при переменной в квадрате соответствует тому, будут ли ветки параболы на графике идти вверх (a>0),

или парабола ветвями вниз (a<0).

Вершина параболы лежит посередине между корнями

Физический смысл дискриминанта:

Если дискриминант больше нуля (D>0) парабола имеет две точки пересечения с осью Ox.
Если дискриминант равен нулю (D=0) то парабола в вершине касается оси абсцисс.
И последний случай, когда дискриминант меньше нуля (D<0) – график параболы принадлежит плоскости над осью абсцисс (ветки параболы вверх), или график полностью под осью абсцисс (ветки параболы опущены вниз).

Неполные квадратные уравнения

Если в квадратном уравнении коэффициент при свободном члене или переменной равны нулю то такие уравнения называют неполными. Корни уравнений находим по упрощенной формуле
График функций всегда симметричен относительно начала координат. Стоит отметить, что уравнение имеет действительные корни только тогда, когда в уравнении чередуются знаки при коэффициентах «+, -» или «-, +».
Неполное квадратное уравнение вида
одним из корней всегда имеет точку x=0.
В таком контексте решения квадратных уравнений становится нужным, а при построении графиков парабол, еще и визуально интересным времяпрепровождением, особенно если речь идет о школьном занятии по анализу графика функций, или изучении темы парабол. Поэтому в 8, 9 классе рекомендуем эти две темы в алгебре сочетать.
Если материал помог Вам в обучении, просьба поделиться с друзьями ссылкой на статью!

Квадратичная формула: решения и дискриминант

Purplemath

Приведем еще несколько примеров.

  • Решите

    x ( x — 2) = 4. Округлите ответ до двух десятичных знаков.

Я не только не могу применить квадратичную формулу на данном этапе, но и не могу использовать множители.Почему? Потому что это уравнение пока что в правильном виде.

И я, , конечно же, не могу с невозмутимым видом утверждать, что « x = 4, x — 2 = 4», потому что это , а не , как работает «решение с использованием факторинга».

Независимо от того, какой метод решения я собираюсь использовать — факторизирую ли я на множители или использую квадратичную формулу для поиска ответов — я должен сначала преобразовать уравнение в форму «(квадратичный) = 0».

MathHelp.com

Первое, что я сделаю здесь, это умножу на левую часть, а затем переместу 4 из правой части в левую:

x ( x -2) = 4

x 2 -2 x = 4

x 2 — 2 x — 4 = 0

Поскольку нет множителей при (1) (- 4) = –4, которые в сумме дают –2, то эта квадратичная величина не множится. (Другими словами, невозможно, чтобы решение « x = 4, x — 2 = 4» с ложным факторингом могло быть хоть немного правильным.)

Значит, факторинг не сработает, но я могу использовать квадратичную формулу; в этом случае я вставлю значения a = 1, b = –2 и c = –4:

.

Тогда ответ:

x = –1.24, x = 3,24 с округлением до двух десятичных знаков.


Для справки, вот как выглядит график соответствующей квадратичной, y = x 2 -2 x -4, выглядит так:

Как видите, решения квадратичной формулы совпадают с интерцепциями x . Точки пересечения графика с осью x дают значения, которые решают исходное уравнение.

Существует еще одна связь между решениями из квадратичной формулы и графиком параболы: вы можете определить, сколько интервалов x вы получите, исходя из значения внутри квадратного корня. Аргумент (то есть содержание) квадратного корня, являющийся выражением b 2 — 4 ac , называется «дискриминантом», потому что, используя его значение, вы можете «различать» (что уметь различать) различные типы решений.

В данном случае значение дискриминанта b 2 — 4 ac было 20; в частности, значение было , а не ноль, и было , а не отрицательным. Поскольку значение не было отрицательным, уравнение должно было иметь по крайней мере одно (действительное) решение; поскольку значение не было нулевым, два решения должны были быть разными (то есть они должны были отличаться друг от друга).


  • Решить 9

    x 2 + 12 x + 4 = 0.Оставьте свой ответ в точной форме.

Используя a = 9, b = 12 и c = 4, квадратичная формула дает мне:

Тогда ответ:


В первом примере на этой странице я получил два решения, потому что значение дискриминанта (то есть значение внутри квадратного корня) было ненулевым и положительным. В результате часть формулы «плюс-минус» дала мне два различных значения; один для «плюсовой» части числителя и другой для «минусовой» части. Однако в этом случае квадратный корень уменьшился до нуля, поэтому плюс-минус ни для чего не учитывался.

Такое решение, при котором вы получаете только одно значение, потому что «плюс или минус ноль» ничего не меняет, называется «повторяющимся» корнем, потому что x равно

–2 / 3 , но оно равно этому значению как бы вдвое: –2 / 3 + 0 и –2 / 3 — 0.

Вы можете лучше увидеть это повторение, если разложите квадратичный множитель (и, поскольку решения были хорошими аккуратными дробями, квадратичный должен множить ): 9 x 2 + 12 x + 4 = (3 x + 2) (3 x + 2) = 0, поэтому первый множитель дает нам 3 x + 2 = 0, поэтому

x = –2 / 3 , и (из второго, идентичный коэффициент) 3 x + 2 = 0, поэтому x = –2 / 3 снова .

Каждый раз, когда вы получаете ноль внутри квадратного корня квадратной формулы, вы получаете только одно решение уравнения в смысле получения одного числа, которое решает уравнение. Но вы получите два решения в том смысле, что одно значение будет подсчитано дважды. Другими словами, дискриминант (то есть выражение b 2 — 4 ac ) с нулевым значением означает, что вы получите одно «повторяющееся» значение решения.


Ниже показан график связанной функции, y = 9 x 2 + 12 x + 4, выглядит так:

Парабола только касается оси x при

x = –2 / 3 ; это на самом деле не пересекает.Это соотношение всегда верно: если у вас есть корень, который встречается ровно дважды (или, что то же самое, если вы получаете ноль внутри квадратного корня), то график будет «целовать» ось в значении решения, но он не пройдет через ось.


Поскольку нет множителей при (3) (2) = 6, которые в сумме дают 4, эта квадратичная величина не множится. Но квадратичная формула работает всегда; в этом случае я вставлю значения a = 3, b = 4 и c = 2:

На данный момент у меня есть отрицательное число внутри квадратного корня.Если вы еще не узнали о комплексных числах, вам придется остановиться на этом, и ответ будет «нет решения»; если вы знаете комплексные числа, то можете продолжить вычисления:

Таким образом, в зависимости от вашего уровня обучения ваш ответ будет одним из следующих:

решения с вещественными числами: нет решения

комплексно-числовых решений:


Партнер


Но знаете ли вы о комплексах или нет, вы знаете, что вы не можете изобразить свой ответ, потому что вы не можете изобразить квадратный корень из отрицательного числа на правильном декартовом месте. На оси x таких значений нет. Поскольку вы не можете найти графическое решение квадратичной функции, разумно не должно быть никаких перехватов x (потому что вы можете построить график с перехватом x ).


Вот график связанной функции, y = 3 x 2 + 4 x + 2:

Как видите, график не пересекает ось x и даже не касается ее.Это соотношение всегда верно: если вы получите отрицательное значение внутри квадратного корня, тогда не будет решения действительного числа и, следовательно, не будет x -перехватов. Другими словами, если дискриминант (являющийся выражением b 2 — 4 ac ) имеет отрицательное значение, то у вас не будет графических нулей.

(взаимосвязь между дискриминантом (являющимся значением внутри квадратного корня), типом решения (два различных решения, одно повторяющееся решение или отсутствие графически отображаемых решений) и количеством x -перехватов на графике (два , один или ни один) сведены в диаграмму на следующей странице. )


URL: https://www.purplemath.com/modules/quadform2.htm

Все знаки указывают на дискриминант

Все знаки указывают на дискриминант

У вас когда-нибудь был один из этих Magic 8 Balls? Они выглядят как комично негабаритные шары для пула, но в них встроено плоское окно, так что вы можете видеть, что находится внутри 20-гранного кубика, плавающего в отвратительной непрозрачной синей слизи.Предположительно, бильярдный шар обладает прогностическими способностями; все, что вам нужно сделать, это задать ему вопрос, встряхнуть, и медленно, мистическим образом, как покрытая нефтью печать, выходящая из разлива нефти, игральная кость поднимется к окошку и откроет ответ на ваш вопрос.

Квадратное уравнение содержит своего рода Magic 8 Ball. Выражение b 2 — 4 ac под знаком радикала называется дискриминантом , и оно может фактически определить для вас, сколько решений имеет данное квадратное уравнение, если вы не хотите на самом деле вычислять их. Учитывая, что квадратное уравнение, которое невозможно сформулировать, требует много работы для решения (квадратная формула изобилует тоннами арифметики, а для завершения квадратного метода требуется целая куча шагов), часто бывает полезно заглянуть в загадочную мистику, чтобы сделать убедитесь, что уравнение даже имеет любых вещественных числовых решений, прежде чем вы потратите какое-либо время на их поиски.

Talk the Talk

Дискриминант — это выражение b 2 -4 ac , которое определено для любого квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0.По знаку выражения можно определить, сколько действительных чисел имеет квадратное уравнение.

Вот как работает дискриминант. Дано квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0, подставьте коэффициенты в выражение b 2 -4 ac , чтобы увидеть, какие результаты:

  • Если вы получите положительное число, квадратичная функция будет иметь два уникальных решения.
  • Если вы получите 0, у квадратичного будет ровно одно решение — двойной корень.
  • Если вы получите отрицательное число, у квадратичной не будет реальных решений, только два мнимых. (Другими словами, решения будут содержать числа и , о которых вы узнали в «Борьбе с радикалами».)

Дискриминант не является магическим. Это просто показывает, насколько важен этот радикал в формуле корней квадратного уравнения. Если, например, его подкоренное выражение равно 0, вы получите

для одного решения. Если, однако, b 2 -4 ac отрицательно, то внутри квадратного корня в квадратной формуле будет отрицательное значение, что означает только мнимые решения.

Пример 4 : Не вычисляя их, определите, сколько реальных решений имеет уравнение 3 x 2 — 2 x = -1.

Решение : Установите квадратное уравнение равным 0, добавив 1 к обеим сторонам.

У вас есть проблемы

Задача 4: Не вычисляя их, определите, сколько реальных решений имеет уравнение 25 x 2 -40 x + 16 = 0.

Установите a = 3, b = -2 и c = 1 и оцените дискриминант.

  • b 2 — 4 ac
  • = (- 2) 2 — 4 (3) (1)
  • = 4-12
  • = -8

Поскольку дискриминант отрицательно, квадратное уравнение не имеет вещественных числовых решений, только два мнимых.

Выдержки из Полное руководство для идиотов по алгебре 2004 У. Майкл Келли. Все права защищены, включая право на полное или частичное воспроизведение в любой форме. Используется по договоренности с Alpha Books , ​​членом Penguin Group (USA) Inc.

Эту книгу можно приобрести на Amazon.com и Barnes & Noble.

Чтение: Дискриминант | Промежуточная алгебра

Цели обучения

  • Определите дискриминант и используйте его для классификации решений квадратных уравнений

Дискриминант

Квадратичная формула не только генерирует решения квадратного уравнения, но и рассказывает нам о природе решений. {2} -4ac [/ latex], он сообщает нам, являются ли решения действительными или комплексными числами, и сколько решений каждого типа ожидать.{2} -4x + 10 = 0 [/ latex] имеет два сложных решения.

В последнем примере мы проведем корреляцию между количеством и типом решений квадратного уравнения и графиком соответствующей функции.

Пример

Используйте следующие графики квадратичных функций, чтобы определить, сколько и какого типа решения будет у соответствующего квадратного уравнения [latex] f (x) = 0 [/ latex]. Определите, будет ли дискриминант больше, меньше или равен нулю для каждого из них.{2}} — 4ac [/ латекс]. Он определяет количество и тип решений квадратного уравнения. Если дискриминант положительный, существуют [latex] 2 [/ latex] вещественные решения. Если это [latex] 0 [/ latex], существует [latex] 1 [/ latex] реальное повторяющееся решение. Если дискриминант отрицательный, существуют [latex] 2 [/ latex] комплексные решения (но нет реальных решений).

Дискриминант также может рассказать нам о поведении графика квадратичной функции.

Найти корни квадратного уравнения с помощью дискриминанта

Если вы считаете, что контент, доступный через Веб-сайт (как определено в наших Условиях обслуживания), нарушает одно
или другие ваши авторские права, сообщите нам, отправив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее
в
информацию, описанную ниже, назначенному ниже агенту.Если репетиторы университета предпримут действия в ответ на
ан
Уведомление о нарушении, оно предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, которая предоставила такой контент
средствами самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.

Ваше Уведомление о нарушении прав может быть отправлено стороне, предоставившей доступ к контенту, или третьим лицам, таким как
в виде
ChillingEffects. org.

Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатам), если вы существенно
искажать информацию о том, что продукт или действие нарушает ваши авторские права.Таким образом, если вы не уверены, что контент находится
на Веб-сайте или по ссылке с него нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к юристу.

Чтобы отправить уведомление, выполните следующие действия:

Вы должны включить следующее:

Физическая или электронная подпись правообладателя или лица, уполномоченного действовать от их имени;
Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены;
Описание характера и точного местонахождения контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права, в \
достаточно подробностей, чтобы позволить репетиторам университетских школ найти и точно идентифицировать этот контент; например, мы требуем
а
ссылка на конкретный вопрос (а не только на название вопроса), который содержит содержание и описание
к какой конкретной части вопроса — изображению, ссылке, тексту и т. д. — относится ваша жалоба;
Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; а также
Ваше заявление: (а) вы добросовестно считаете, что использование контента, который, по вашему мнению, нарушает
ваши авторские права не разрешены законом, владельцем авторских прав или его агентом; (б) что все
информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство, что вы
либо владелец авторских прав, либо лицо, уполномоченное действовать от их имени.

Отправьте жалобу нашему уполномоченному агенту по адресу:

Чарльз Кон
Varsity Tutors LLC
101 S. Hanley Rd, Suite 300
St. Louis, MO 63105

Или заполните форму ниже:

Квадратные уравнения

Пример квадратного уравнения :

Квадратные уравнения образуют красивые кривые, такие как эта:

Имя

Название Quadratic происходит от «quad», что означает квадрат, потому что переменная возводится в квадрат (например, x 2 ).

Его также называют «уравнением степени 2» (из-за «2» на x )

Стандартная форма

Стандартная форма квадратного уравнения выглядит так:

  • a , ​​ b и c — известные значения. не может быть 0.
  • « x » — это переменная или неизвестно (мы еще не знаем).

Вот несколько примеров:

2x 2 + 5x + 3 = 0 В этом a = 2 , ​​ b = 5 и c = 3
x 2 — 3x = 0 Это немного сложнее:

  • Где ? Ну a = 1 , ​​так как мы обычно не пишем «1x 2 »
  • б = −3
  • А где c ? Ну c = 0 , ​​поэтому не показан.
5x — 3 = 0 Ой! Это , а не квадратное уравнение: оно отсутствует x 2

(другими словами a = 0 , ​​что означает, что он не может быть квадратичным)

Поиграйте с ним

Поиграйте с «Проводником квадратного уравнения», чтобы увидеть:

  • график, а
  • решений (называемых «корнями»).

Скрытые квадратные уравнения!

Как мы видели ранее, Стандартная форма квадратного уравнения —

Но иногда квадратное уравнение так не выглядит!

Например:

Скрытый в стандартной форме a, b и c
x 2 = 3x — 1 Переместить все термины в левую часть x 2 — 3x + 1 = 0 a = 1, b = −3, c = 1
2 (ширина 2 — 2w) = 5 Развернуть (снять скобки),

и переместите 5 влево
2 Вт 2 — 4 Вт — 5 = 0 a = 2, b = −4, c = −5
z (z − 1) = 3 Разверните и переместите 3 влево z 2 — z — 3 = 0 a = 1, b = −1, c = −3

Как их решить?

« решений » квадратного уравнения, где равно нулю .

Их еще называют « корней », а иногда « нулей »

Обычно существует 2 решения (как показано на этом графике).

И есть несколько разных способов найти решения:

Или мы можем использовать специальную квадратичную формулу :

Просто введите значения a, b и c и выполняйте вычисления.

Сейчас мы рассмотрим этот метод более подробно.

О квадратичной формуле

Плюс / Минус

Прежде всего, что это за плюс / минус, который выглядит как ±?

± означает ДВА ответа:

x = −b + √ (b 2 — 4ac) 2a

x = −b — √ (b 2 — 4ac) 2a

Вот пример с двумя ответами:

Но не всегда так получается!

  • Представьте, что кривая «просто касается» оси x.
  • Или представьте, что кривая настолько высока, что даже не пересекает ось x!

Вот тут-то нам и помогает «Дискриминант» . ..

Дискриминант

Вы видите b 2 — 4ac в приведенной выше формуле? Он называется Дискриминант , ​​потому что он может «различать» возможные типы ответов:

  • когда b 2 — 4ac положительный, мы получаем два Реальных решения
  • , когда он равен нулю, мы получаем только ОДНО реальное решение (оба ответа одинаковы)
  • при отрицательном значении получаем пару Комплексных решений

Комплексные решения? Давайте поговорим о них после того, как мы увидим, как использовать формулу.

Использование квадратичной формулы

Просто введите значения a, b и c в квадратичную формулу и выполните вычисления.

Пример: Решить 5x

2 + 6x + 1 = 0

Коэффициенты: a = 5, b = 6, c = 1

Квадратичная формула: x =
−b ± √ (b 2 — 4ac)
2a

Вставьте a, b и c: x =
−6 ± √ (6 2 — 4 × 5 × 1)
2 × 5

Решить: x =
−6 ± √ (36 — 20)
10

х =
−6 ± √ (16)
10

х =
−6 ± 4
10

х = -0. 2 или -1

Ответ: x = −0,2 или x = −1

И мы их видим на этом графике.

Чек -0,2 : 5 × ( −0,2 ) 2 + 6 × ( −0,2 ) + 1

= 5 × (0,04) + 6 × (-0,2) + 1

= 0,2 — 1,2 + 1

= 0
Чек -1 : 5 × ( −1 ) 2 + 6 × ( −1 ) + 1

= 5 × (1) + 6 × (-1) + 1

= 5–6 + 1

= 0

Вспоминая формулу

Добрый читатель предложил спеть это к «Pop Goes the Weasel»:

«x равно минус b «Вокруг тутового куста
плюс или минус квадратный корень Обезьяна погналась за лаской
из квадрата b минус четыре a c Обезьяна думала, что все было весело
ВСЕ по двум a « Поп! идет ласка »

Попробуйте спеть несколько раз, и она застрянет у вас в голове!

Или вы можете вспомнить эту историю:

х =
−b ± √ (b 2 — 4ac)
2a

«Негативный мальчик думал, да или нет, о том, чтобы пойти на вечеринку,
на вечеринке он разговаривал с квадратным мальчиком, но не с четырьмя классными цыпочками.
В 2 часа ночи все было кончено.
«

Комплексные решения?

Когда Дискриминант (значение b 2 — 4ac ) отрицателен, мы получаем пару Комплексных решений … что это означает?

Это означает, что наш ответ будет включать мнимые числа. Ух ты!

Пример: Решить 5x

2 + 2x + 1 = 0

Коэффициенты равны : a = 5, b = 2, c = 1

Обратите внимание, что дискриминант отрицательный: b 2 — 4ac = 2 2 — 4 × 5 × 1
= −16

Используйте квадратичную формулу : x =
−2 ± √ (−16)
10

√ (−16)
= 4 i
(где i — мнимое число √ − 1)

Итак: x =
−2 ± 4 и
10

Ответ: x = −0.2 ± 0,4 и

График не пересекает ось абсцисс. Вот почему мы пришли к комплексным числам.

В некотором смысле это проще: нам не нужно больше вычислений, просто оставим -0,2 ± 0,4 i .

Пример: Решить x

2 — 4x + 6,25 = 0

Коэффициенты равны : a = 1, b = −4, c = 6,25

Обратите внимание, что дискриминант отрицательный: b 2 — 4ac = (−4) 2 — 4 × 1 × 6.25
= −9

Используйте квадратичную формулу : x = — (- 4) ± √ (−9) 2

√ (−9) = 3 i
(где i — мнимое число √ − 1)

Итак: x = 4 ± 3 i 2

Ответ: x = 2 ± 1,5 i

График не пересекает ось абсцисс.Вот почему мы пришли к комплексным числам.

НО перевернутое зеркальное отображение нашего уравнения действительно пересекает ось x в 2 ± 1,5 (примечание: отсутствует i ).

Просто интересный факт для вас!

Сводка

  • Квадратичное уравнение в стандартной форме: ax 2 + bx + c = 0
  • Квадратичные уравнения могут быть разложены на множители
  • Квадратичная формула: x =
    −b ± √ (b 2 — 4ac)
    2a

  • Когда дискриминант ( b 2 −4ac ) равен:
    • положительный, есть 2 реальных решения
    • ноль, есть одно реальное решение
    • негатив, есть 2 комплексных решения

Дискриминант в квадратных уравнениях — наглядное руководство с примерами, практическими задачами и бесплатным PDF-файлом для печати

Чтобы понять, что делает дискриминант, важно хорошо понимать:

Предварительное требование 2: Какое решение квадратное уравнение:

Отвечать

Решение можно представить двумя разными способами. 2 + \ blue bx + \ color {green} c $$.

  • Графически, поскольку y = 0 — ось x, решение находится там, где парабола пересекает ось x. (работает только для реальных решений) .
  • На рисунке ниже левая парабола имеет 2 реальных решения (красные точки), средняя парабола имеет 1 реальное решение (красная точка), а самая правая парабола не имеет реальных решений (да, у нее есть мнимые решения).

    Как выглядит дискриминант?

    Отвечать

    Похоже на … число.

    5, 2, 0, -1 — каждое из этих чисел является дискриминантом для 4 различных квадратных уравнений.

    И вообще, что такое дискриминант?

    Отвечать

    Дискриминант — это число , которое можно вычислить из любого квадратного уравнения. 2-4 \ cdot \ красный 3 \ cdot \ color {зеленый} 5
    \\
    \ text {Дискриминант} = \ в коробке {6}
    $

    Что говорит нам эта формула?

    Отвечать

    Дискриминант сообщает нам следующую информацию о квадратном уравнении:

    • Если решение — действительное число или мнимое число.
    • Рациональное ли решение или иррациональное.2 + 2x + 1 $$.

      Практика 1

      Вычислите дискриминант, чтобы определить количество и характер решений следующего квадратного уравнения:
      $$ y = x² — 2x + 1 $$. 2-4 \ cdot \ красный 1 \ cdot \ color {зеленый} 1
      \\
      & = \ в коробке {0}
      \ end {выровнен}
      $$

      Поскольку дискриминант равен нулю, мы должны ожидать 1 реальное решение, которое вы можете увидеть на графике ниже.

      Практика 2

      Воспользуйтесь дискриминантом, чтобы узнать природу и количество решений:
      $$ y = x² — x — 2 $$.2-4 \ cdot \ red 1 \ cdot \ color {green} {-2}
      \\
      & = 1 — -8
      \\
      & = 1 + 8 = \ 9 в штучной упаковке
      \ end {выровнен}
      $$

      Поскольку дискриминант положительный и рациональный, у этого уравнения должно быть 2 реальных рациональных решения. Как вы можете видеть ниже, если вы используете квадратичную формулу для поиска фактических решений, вы действительно получите 2 реальных рациональных решения.

      Практика 3

      Вычислите дискриминант, чтобы определить характер и количество решений: y = x² — 1.2} — 4 \ color {Magenta} {(1)} \ color {Blue} {(- 1)} = 4
      $$

      Поскольку дискриминант положительный и представляет собой полный квадрат, у нас есть два вещественных решения, которые являются рациональными.

      Опять же, если вы хотите увидеть реальные решения и график, просто посмотрите ниже:

      Практика 4

      Вычислите дискриминант, чтобы определить характер и количество решений: y = x² + 4x — 5. 2} — 4 \ color {Magenta} {(1)} \ color {Blue} {(- 5)}
      \\
      16-4 (-5) = 16 +20
      \\
      = 36
      $$

      Поскольку дискриминант этого квадратного уравнения является положительным и представляет собой полный квадрат, существуют два рациональных решения.

      Практика 5

      Вычислите дискриминант, чтобы определить характер и количество решений: y = x² — 4x + 5.

      Покажи ответ

      В этом квадратном уравнении y = x² — 4x + 5. 2} — 4 \ color {Magenta} {(1)} \ color {Blue} {(5)}
      \\
      = 16-20 = -4
      $$

      Поскольку дискриминант отрицательный, у этого квадратного уравнения нет реальных решений. Единственные решения мнимые.

      Ниже приведено изображение этого квадратичного графика.

      Практика 6

      Найдите дискриминант, чтобы определить природу и количество решений: y = x² + 4. 2} — 4 \ color {Magenta} {(1)} \ color {Blue} {(4)} = -16
      $$

      Поскольку дискриминант отрицательный, у этого квадратного уравнения есть два мнимых решения.

      Решения: 2i и -2i.

      Ниже приведено изображение этого графика уравнений.

      Практика 7

      Найдите дискриминант, чтобы определить природу и количество решений: y = x² + 25.2} — 4 \ color {Magenta} {(1)} \ color {Blue} {(25)} = -100
      $$

      Поскольку дискриминант отрицательный, у этого квадратного уравнения есть два мнимых решения.

      Решения 5i и -5i.

      11.4. Решите квадратные уравнения, используя квадратичную формулу

      Решите квадратные уравнения, используя квадратную формулу

      Когда мы решали квадратные уравнения в последнем разделе, завершая квадрат, мы каждый раз предпринимали одни и те же шаги. К концу набора упражнений вы, возможно, задавались вопросом: «А нет ли более простого способа сделать это?» Ответ — «да». Математики ищут закономерности, когда делают что-то снова и снова, чтобы облегчить свою работу. В этом разделе мы выведем и воспользуемся формулой для нахождения решения квадратного уравнения.

      Мы уже видели, как решить формулу для конкретной переменной «в целом», чтобы мы проделали алгебраические шаги только один раз, а затем использовали новую формулу, чтобы найти значение конкретной переменной. {2} -6 x = -5 \).2 — 6x + 5 = 0 \)

      Определите значения \ (\ color {cyan} a \), \ (\ color {red} b \), \ (\ color {limegreen} c \). \ ({\ color {cyan} a = 1} \), \ ({\ color {red} b = -6} \), \ ({\ color {limegreen} c = 5} \) Напишите квадратную формулу. Затем подставьте значения \ (a, b, c \). Упростить.

      \ (x = \ dfrac {6 \ pm \ sqrt {36-20}} {2} \)

      \ (x = \ dfrac {6 \ pm \ sqrt {16}} {2} \)

      \ (x = \ dfrac {6 \ pm 4} {2} \)

      Перепишите, чтобы показать два решения.

      \ (x = \ frac {6 + 4} {2}, \ quad x = \ frac {6-4} {2} \)

      Упростить. {2} +10 x + 11 = 0 \).{2} -4 a c}} {2 a} \)

      Затем подставьте значения \ (a, b \) и \ (c \). Упростить.

      \ (x = \ dfrac {-10 \ pm \ sqrt {100-88}} {4} \)

      \ (x = \ dfrac {-10 \ pm \ sqrt {12}} {4} \)

      Упростим радикал.

      \ (x = \ dfrac {-10 \ pm 2 \ sqrt {3}} {4} \)

      Выносим за скобки общий множитель в числителе.

      \ (x = \ dfrac {\ color {red} {2} (- 5 \ pm \ sqrt {3})} {4} \)

      Удалите общие множители.

      \ (x = \ dfrac {-5 \ pm \ sqrt {3}} {2} \)

      Перепишите, чтобы показать два решения. {2} + b x + c = 0 \). Иногда нам нужно сделать некоторую алгебру, чтобы привести уравнение в стандартную форму, прежде чем мы сможем использовать квадратичную формулу.

      Пример \ (\ PageIndex {5} \)

      Решите через дискриминант: \ (x (x + 6) + 4 = 0 \).

      Решение :

      Наш первый шаг — получить уравнение в стандартной форме.

      Упражнение \ (\ PageIndex {9} \)

      Решите через дискриминант: \ (x (x + 2) −5 = 0 \).

      Ответ

      \ (x = -1 + \ sqrt {6}, x = -1- \ sqrt {6} \)

      Упражнение \ (\ PageIndex {10} \)

      Решите через дискриминант: \ (3y (y − 2) −3 = 0 \).

      Ответ

      \ (y = 1 + \ sqrt {2}, y = 1- \ sqrt {2} \)

      Когда мы решали линейные уравнения, если в уравнении было слишком много дробей, мы очищали дроби, умножая обе части уравнения на ЖК-дисплей.

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован.