Корень квадратный из дроби: § Квадратный корень из дроби

Содержание

§ Квадратный корень из дроби

Скрыть меню


На главную страницу


Войти при помощи


Темы уроков


Начальная школа



Математика 5 класс



Математика 6 класс



Алгебра 7 класс



Геометрия 7 класс



Алгебра 8 класс



Алгебра 9 класс



Алгебра 10 класс



Алгебра 11 класс



На хотенье есть терпенье.
В.И. Даль

Свойство квадратного корня из дроби

Запомните!

Квадратный корень из дроби равен корню из числителя, деленному на корень из знаменателя.

=

, если a ≥ 0 и
b > 0.

Как найти квадратный корень из дроби

По традиции от теории переходим к практике. Разберем пример вычисления квадратного корня из дроби.

Алимов 9 класс № 362 (1)

Вычислить:

1)

=

Используем правило квадратного корня из дроби. Извлечем квадратный корень отдельно из числителя и знаменателя.

=

=


Запомните!

Правило извлечения квадратного корня из дроби действует и в обратную сторону.

Квадратный корень из числителя, деленный на квадратный корень из знаменателя, равен квадратному корню из всей дроби.

=

, если a ≥ 0 и
b > 0.

Алимов 9 класс № 364 (1)

Вычислить:

1)

=

=

√9

=

3

Как извлечь квадратный корень из смешанного числа

Запомните!

Чтобы извлечь квадратный корень из смешанного числа надо:

Алимов 9 класс № 362 (4)

Вычислить:

4)

5

= …

Избавимся от целой части дроби и превратим ее в неправильную.

5

=

=

=

=

= …

Используем свойство квадратного корня из дроби.

5

=

=

=

=

=

=

= …

Для завершения примера не забудем выделить целую часть.

5

=

=

=

=

=

=

=
2


Запомните!

Нельзя складывать или вычитать подкоренные дроби между собой, объединяя их общим знаком квадратного корня.

+

+

 (не верно!)

Алимов 9 класс № 363 (1)

Вычислить:

4)

+

= …

Перед тем как работать с дробями требуется выполнить действие извлечения квадратного корня из дробей.

 

+

=

 

+

= …

Вспомним, что квадратный корень из единицы равен единице (
√1 = 1
) и используем правило сложения дробей.

 
+

=

 
+

=

+

=

=

=
1

Примеры извлечения квадратного корня из дроби

Алимов 9 класс № 363 (2)

2)    5

3

= …

Вспомним, что в краткой записи между квадратным корнем и числом знак умножения «·» не пишут.
Для наглядности поставим его в пример и вычислим пример по правилу
умножения числа на дробь.

   5

3

=

=

  5
 
·

3
 
·

=

=

  5
 
·
 

3
 
·
 

=

=

  5

·

3

·

= …

Вспомним правило умножения дроби на число.

   5

3

=

=
  5
  ·

3
 
·

=

=

  5
 
·
 

3
 
·
 

=

=

  5

·

3

·

=

=

=
1 − 1 = 0

Алимов 9 класс № 364 (4)

Вычислить:

4)
= …

Чтобы вычислить квадратный корень, используем правило умножения дробей
и правило квадратного корня из дроби.

=

·

=

4  

·

=

=

4 · √9 =
4 · 3 = 12

Алимов 9 класс № 365 (2)

Вычислить:

2)

5

·

11

= …

Избавимся от целой части
в смешанных числах, чтобы можно было использовать свойство квадратного корня из дроби.

5

·

11

=

=

·

=

=

·

=

·

=

=

·

= …

Вспомним таблицу квадратов, чтобы вычислить
√289.

5

·

11

=

=

·

=

=

·

=

·

=

=

·

=

·

=

=

=

=

Выделим целую часть смешанного числа для того, чтобы дать окончательный ответ.

5

·

11

=

=

·

=

=

·

=

·

=

=

·

=

·

=

=

=

=

7


правила, методы, примеры как делить квадратные корни

Наличие квадратных корней в выражении усложняет процесс деления, однако существуют правила, с помощью которых работа с дробями становится значительно проще.

Единственное, что необходимо все время держать в голове —  подкоренные выражения делятся на подкоренные выражения, а множители на множители. В процессе деления квадратных корней мы упрощаем дробь. Также, напомним, что корень может находиться в знаменателе.

Метод 1. Деление подкоренных выражений

Алгоритм действий:

Записать дробь

Если выражение не представлено в виде дроби, необходимо его так записать, потому так легче следовать принципу деления квадратных корней.

Пример 1

144÷36, это выражение следует переписать так: 14436

Использовать один знак корня

В случае если и в числителе, и знаменателе присутствует квадратные корни, необходимо записать их подкоренные выражения под одним знаком корня, чтобы сделать процесс решения проще.

Напоминаем, что подкоренным выражением (или числом) является выражением под знаком корня.

Пример 2

14436. Это выражение следует записать так: 14436

Разделить подкоренные выражения

Просто разделите одно выражение на другое, а результат запишите под знаком корня.

Пример 3

14436=4, запишем это выражение так: 14436=4

Упростить подкоренное выражение (если необходимо)

Если подкоренное выражение или один из множителей представляют собой полный квадрат, упрощайте такое выражение.

Напомним, что полным квадратом является число, которое представляет собой квадрат некоторого целого числа.

Пример 4

4 — полный квадрат, потому что 2×2=4. Из этого следует:

4=2×2=2. Поэтому 14436=4=2.

Метод 2. Разложение подкоренного выражения на множители

Алгоритм действий:

Записать дробь

Перепишите выражение в виде дроби (если оно представлено так). Это значительно облегчает процесс деления выражений с квадратными корнями, особенно при разложении на множители. 

Пример 5

8÷36, переписываем так 836

Разложить на множители каждое из подкоренных выражений

Число под корнем разложите на множители, как и любое другое целое число, только множители запишите под знаком корня.

Пример 6

Упростить числитель и знаменатель дроби

Для этого следует вынести из-под знака корня множители, представляющие собой полные квадраты. Таким образом, множитель подкоренного выражения станет множителем перед знаком корня.

Пример 7

2266×62×2×2, из этого следует: 836=226

Рационализировать знаменатель (избавиться от корня)

В математике существуют правила, по которым оставлять корень в знаменателе — признак плохого тона, т.е. нельзя. Если в знаменателе присутствует квадратный корень, то избавляйтесь от него. 

Умножьте числитель и знаменатель на квадратный корень, от которого необходимо избавиться.

Пример 8

В выражении 623 необходимо умножить числитель и знаменатель на 3, чтобы избавиться от него в знаменателе:

623×33=62×33×3=669=663

Упростить полученное выражение (если необходимо)

Если в числителе и знаменателе присутствуют числа, которые можно и нужно сократить. Упрощайте такие выражения, как и любую дробь.

Пример 9

26 упрощается до 13; таким образом 226упрощается до 123=23

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание

 

Метод 3. Деление квадратных корней с множителями

Алгоритм действий:

Упростить множители

Напомним, что множители представляют собой числа, стоящие перед знаком корня. Для упрощения множителей понадобится разделить или сократить их. Подкоренные выражения не трогайте!

Пример 10

432616. Сначала сокращаем 46: делим на 2 и числитель, и знаменатель: 46=23.

Упростить квадратные корни

Если числитель нацело делится на знаменатель, то делите. Если нет, то упрощайте подкоренные выражения, как и любые другие.

Пример 11

32 делится нацело на 16, поэтому: 3216=2

Умножить упрощенные множители на упрощенные корни

Помним про правило: не оставлять в знаменателе корни. Поэтому просто перемножаем числитель и знаменатель на этот корень.

Пример 12

Рационализировать знаменатель (избавиться от корня в знаменателе)

Пример 13

4327. Следует умножить числитель и знаменатель на 7, чтобы избавиться от корня в знаменателе.

437×77=43×77×7=42149=4217

Метод 4. Деление на двучлен с квадратным корнем

Алгоритм действий:

Определить, находится ли двучлен (бином) в знаменателе

Напомним, что двучлен представляет собой выражение, которое включает 2 одночлена. Такой метод имеет место быть только в случаях, когда в знаменателе двучлен с квадратным корнем.

Пример 14

15+2— в знаменателе присутствует бином, поскольку есть два одночлена.

Найти выражение, сопряженное биному

Напомним, что сопряженный бином является двучленом с теми же одночленами, но с противоположными знаками. Чтобы упростить выражение и избавиться от корня в знаменателе, следует перемножить сопряженные биномы.

Пример 15

5+2и 5-2 — сопряженные биномы.

Умножить числитель и знаменатель на двучлен, который сопряжен биному в знаменателе

Такая опция поможет избавиться от корня в знаменателе, поскольку произведение сопряженных двучленов равняется разности квадратов каждого члена биномов: (a-b)(a+b)=a2-b2

Пример 16

15+2=1(5-2)(5-2)(5+2)=5-2(52-(2)2=5-225-2=5-223.

Из этого следует: 15+2=5-223.

Советы: 

  1. Если вы  работаете с квадратными корнями смешанных чисел, то преобразовывайте их в неправильную дробь. 
  2. Отличие сложения и вычитания от деления — подкоренные выражения в случае деления не рекомендуется упрощать (за счет полных квадратов).
  3. Никогда (!) не оставляйте корень в знаменателе.
  4. Никаких десятичных дробей или смешанных перед корнем — необходимо преобразовать их в обыкновенную дробь, а потом упростить.
  5. В знаменателе сумма или разность двух одночленов? Умножьте такой бином на сопряженный ему двучлен и избавьтесь от корня в знаменателе. 2=25, являются квадратными корнями из числа 25. Теперь необходимо научиться работать с операцией извлечения квадратного корня: изучить его основные свойства.

    Квадратный корень из произведения

    √(a*b) =√a*√b

    Квадратный корень из произведения двух неотрицательных чисел, равен произведению квадратных корней из этих чисел. Например, √(9*25) = √9*√25 =3*5 =15;

    Важно понимать, что это свойство распространяется и на тот случай, когда подкоренное выражение представляет собой произведение трех, четырех и т.д. неотрицательных множителей.

    Иногда встречается и другая формулировка этого свойства. Если a и b есть неотрицательные числа, то справедливо следующее равенство √(a*b) =√a*√b. Разницы между ними нет абсолютно никакой, можно использовать как одну, так и другую формулировку(кому какую удобнее запомнить).

    Квадратный корень из дроби

    Если a>=0 и b>0, то справедливо следующее равенство:

    √(a/b) =√a/√b.

    Например, √(9/25) = √9/√25 =3/5;

    У этого свойства тоже существует другая формулировка, на мой взгляд, более удобная для запоминания. 
    Квадратный корень частного равен частному от корней.

    Стоит отметить, что эти формулы работают как слева направо, так и справа налево. То есть при необходимости, мы можем произведение корней представить как корень из произведения. Тоже самое касается и второго свойства.

    Как вы могли заметить, эти свойства очень удобны, и хотелось бы иметь такие же свойства для сложения и вычитания:

    √(a+b) =√a+√b;

    √(a-b) =√a-√b;

    Но к сожалению таких свойств квадратные корни не имеют, и поэтому так делать при вычислениях нельзя.

    Нужна помощь в учебе?

    Предыдущая тема: Функция y=√x: график и свойства
    Следующая тема:&nbsp&nbsp&nbspКвадратный корень из степени: правила и примеры

    Квадратный корень из произведения и дроби

    Для
    начала давайте вспомним определение арифметического квадратного корня. Итак, арифметическим
    квадратным корнем из числа а
    называется неотрицательное число,
    квадрат которого равен а.

    Пример 1:

    Пример 2:

    Следует обратить внимание, что

    Заметим, что

    Видно, что квадратный корень из
    произведения двух неотрицательных чисел равен произведению квадратных корней из
    этих чисел
    .

    Этим свойством обладает квадратный
    корень из произведения любых двух неотрицательных чисел.

    Чтобы извлечь квадратный корень из
    произведения неотрицательных чисел, можно извлечь его из каждого сомножителя
    отдельно и результаты перемножить
    .

    Следует заметить, что это свойство
    распространяется и на тот случай, когда подкоренное выражение
    представляет собой произведение трёх, четырёх и т.д. неотрицательных
    множителей.

    Например:

    Корень из неотрицательных множителей
    равен произведению корней из этих множителей
    .

    Верно и обратное утверждение: произведение
    корней из неотрицательных чисел равно корню из произведения этих чисел
    .

    Задание: вычислите значение выражения.

    Решение:

    Рассмотрим теперь арифметический
    квадратный корень из дроби.

    Пример 1:  

    Видим, что квадратный корень из дроби
    равен корню из числителя, делённому на корень из знаменателя
    .

    Этим свойством обладает квадратный
    корень из дроби, числитель которой неотрицательное число, а знаменатель положителен.

    Чтобы извлечь квадратный корень из
    дроби, можно извлечь корень отдельно из числителя и знаменателя и первый
    результат разделить на второй
    .

    Вывод: корень из дроби, числитель
    которой неотрицателен, а знаменатель положителен, равен корню из числителя,
    деленному на корень из знаменателя
    .

    Верно и обратное утверждение: частное
    корней равно корню из частного этих чисел
    .

    Выполнить задание: вычислите значение
    выражения.

    Решение:

    Итоги:

    Корень из неотрицательных множителей равен
    произведению корней из этих множителей.

    Корень из дроби, числитель которой
    неотрицателен, а знаменатель положителен, равен корню из числителя, деленному
    на корень из знаменателя.

    Арифметический квадратный корень из произведения, дроби и степени

    1. Introduction

    These Website Standard Terms and Conditions written on this webpage shall manage your use of this website. These Terms will be applied fully and affect to your use of this Website. By using this Website, you agreed to accept all terms and conditions written in here. You must not use this Website if you disagree with any of these Website Standard Terms and Conditions.

    Minors or people below 18 years old are not allowed to use this Website.

    1. Intellectual Property Rights

    Other than the content you own, under these Terms, Buckle LLC and/or its licensors own all the intellectual property rights and materials contained in this Website.

    You are granted limited license only for purposes of viewing the material contained on this Website.

    1. Restrictions

    You are specifically restricted from all of the following

    • publishing any Website material in any other media;
    • selling, sublicensing and/or otherwise commercializing any Website material;
    • publicly performing and/or showing any Website material;
    • using this Website in any way that is or may be damaging to this Website;
    • using this Website in any way that impacts user access to this Website;
    • using this Website contrary to applicable laws and regulations, or in any way may cause harm to the Website, or to any person or business entity;
    • engaging in any data mining, data harvesting, data extracting or any other similar activity in relation to this Website;
    • using this Website to engage in any advertising or marketing.

    Certain areas of this Website are restricted from being access by you and Buckle LLC may further restrict access by you to any areas of this Website, at any time, in absolute discretion. Any user ID and password you may have for this Website are confidential and you must maintain confidentiality as well.

    1. Your Content

    In these Website Standard Terms and Conditions, “Your Content” shall mean any audio, video text, images or other material you choose to display on this Website. By displaying Your Content, you grant Buckle LLC a non-exclusive, worldwide irrevocable, sub licensable license to use, reproduce, adapt, publish, translate and distribute it in any and all media.

    Your Content must be your own and must not be invading any third-party’s rights. Buckle LLC reserves the right to remove any of Your Content from this Website at any time without notice.

    1. No warranties

    This Website is provided “as is,” with all faults, and Buckle LLC express no representations or warranties, of any kind related to this Website or the materials contained on this Website. Also, nothing contained on this Website shall be interpreted as advising you.

    1. Limitation of liability

    In no event shall Buckle LLC, nor any of its officers, directors and employees, shall be held liable for anything arising out of or in any way connected with your use of this website whether such liability is under contract. Buckle LLC, including its officers, directors and employees shall not be held liable for any indirect, consequential or special liability arising out of or in any way related to your use of this Website.

    1. Indemnification

    You hereby indemnify to the fullest extent Buckle LLC from and against any and/or all liabilities, costs, demands, causes of action, damages and expenses arising in any way related to your breach of any of the provisions of these Terms.

    1. Severability

    If any provision of these Terms is found to be invalid under any applicable law, such provisions shall be deleted without affecting the remaining provisions herein.

    1. Variation of Terms

    Buckle LLC is permitted to revise these Terms at any time as it sees fit, and by using this Website you are expected to review these Terms on a regular basis.

    1. Assignment

    The Buckle LLC is allowed to assign, transfer, and subcontract its rights and/or obligations under these Terms without any notification. However, you are not allowed to assign, transfer, or subcontract any of your rights and/or obligations under these Terms.

    1. Entire Agreement

    These Terms constitute the entire agreement between Buckle LLC and you in relation to your use of this Website, and supersede all prior agreements and understandings.

    1. Governing Law & Jurisdiction

    These Terms will be governed by and interpreted in accordance with the laws of the State of New York, and you submit to the non-exclusive jurisdiction of the state and federal courts located in New York for the resolution of any disputes.

    Технологическая карта урока по теме » Квадратный корень из дроби»


    (Ф/И)


    Рассмотрим пример, показать, что = .                                                                                                          = = ;   =  .


    Теорема: Корень из дроби равен корню из числителя, делённому на корень из знаменателя, т.е.


    Если  а 0, b > 0, то =  


    Требуется доказать, что 1)     ≥ 0 и 2) ()2 =


    Т.к. ≥0 и > 0,то ≥ 0. По свойству возведен+ия дроби в степень и определению квадратного корня получим ()2 = = .


    По доказанной теореме при делении корней можно разделить подкоренные выражения и из результата извлечь корень:   =


     Например:                                                                                                                                                                                       = = = 7.


     


    В некоторых задачах полезно избавиться от иррациональности в знаменателе дроби.


    Пусть дано выражение , где  b > 0 . Умножая числитель и знаменатель дроби на , получаем              = = .


    Рассмотрим несколько примеров:


    1. Исключить иррациональность  из знамена — = — = .


    Умножим разность на сумму  ,  получим выражение, не содержащее корней. Поэтому


      = = = = = ;


    1. Доказать, что среднее арифметическое двух положительных чисел а и b не меньше среднего геометрического этих чисел:


    — Попросить сделать запись этого предложения, с помощью математических выражений самостоятельно.


    .


    – 0


    :


    – = = ≥ 0


    то неравенстсво, превращается в равенство только при a = b.

    Дроби десятичные — Корни — Энциклопедия по машиностроению XXL







    Квадратные и кубические корни из десятичных и простых дробей  [c. 18]

    Извлечение квадратного корня У х. Данное число х разбивают, начиная от запятой, на грани по две цифры в каждой грани. Если в первой грани высших единиц окажется одна цифра, то х нужно брать в первой половине шкалы Q, а если в этой грани будут две цифры то X нужно брать во второй половине шкалы Q. Результат извлечения квадратного корня из X читают на шкале Число знаков в этом результате равно числу граней, на которые разбивается целая часть х. Если х — правильная десятичная дробь, то разбивают на грани, начиная от запятой вправо. Число х берут в первой или во второй половине шкалы Q в зависимости от числа цифр в значащей части первой значащей грани. В результате нужно, кроме нуля целых, взять до значащих цифр столько нулей, сколько граней, состоящих исключительно из нулей, находится в данном числе X.  [c.346]












    КОРНИ КУБИЧЕСКИЕ ИЗ ДЕСЯТИЧНЫХ ДРОБЕЙ от 0,01 до 0,99  [c. 34]

    При извлечении квадратного корня из смешанного числа или десятичной дроби число знаков после запятой должно быть обязательно четным.  [c.28]

    Корни — Преобразование 75 — Свойства 76 —квадратные из чисел — Таблицы 45, 65 — — кубические из десятичных дробей — Таблицы 39, 65 — кубические из чисел—Таблицы 45, 65 Корсетность — Контроль 456 Косинус — Таблицы 90 Косинусов теорема 114 Котангенс —Таблицы 90 Коэффициент давления газов 183  [c.593]

    Большинство значений тригонометрических функций от угла, равного целому числу градусов, представляют собой иррациональные числа (непериодическая бесконечная десятичная дробь). Более того, его числа часто не только иррациональные, но и трансцендентные, т. е. они не могут быть корнями никакого алгебраического уравнения с рациональными (положительными, отрицательными, целы-  [c.212]

    Возвращаясь к вопросу вычисления корней характеристического уравнения с необходимой степенью приближения, мы уже видели, что для этой цели могут быть использованы различные приемы. Рассмотренный выше пример был решен одним из способов, хотя, конечно, можно было применить и любой другой способ. Но во всех случаях на определенном этапе вычислений мы обязательно столкнемся с необходимостью определения двух десятичных дробей XI и Х2 с одинаковым числом десятичных знаков т, отличающихся только на одну единицу последнего разряда и при которых / ( 1) и (ха) имеют различные знаки. Тогда истинное значение корня х лежит между х, и Ха, и погрешность в определении х при этом не превосходит Ю «.  [c.96]

    В этом случае для получения большей точности следует в подкоренном количестве приписать после запятой нужное число нулей и продолжать вычисление по схеме для извлечения корня из десятичной дроби  [c.99]

    Применение логарифмов необходимо при следующих вычислениях при возведении в степень, если показатель степени есть дробь при извлечении корня, если показатель является дробью. Система логарифмов может быть построена по любому основанию а. Общепринятыми являются десятичные и натуральные логарифмы. Основание десятичных логарифмов равно числу 10, которое для упроще1й1я вычислений не пишут. Например  [c.7]

    Если допустим приближённый результат с точностью до единицы, то квадратные корни для шестизначных чисел и кубические корни для девятизначных чисел можно находить по таблице следующим образом для извлечения квадратного корня ищем во второй графе число, ближайшее к данному, и в первой графе против него находим его квадратный корень аналогично находят корень кубический. Пользуясь этой же таблицей, можно вычислять корни дробных чисел (десятичных дробей). Если число имеет не более трёх значащих цифр, то корни квадратный и кубический можно найти по таблице, соблюдая следующее правило при извлечении квадратного корня надо десятичную дробь умножить на 100, а при извлечении кубического корня — на 1000, затем находить корень как для целого числа полученный результат разделить на 10.  [c.12]



    Калькулятор дробей

    Калькулятор выполняет базовые и расширенные операции с дробями, выражениями с дробями в сочетании с целыми числами, десятичными знаками и смешанными числами. Он также показывает подробную пошаговую информацию о процедуре расчета дроби. Решайте задачи с двумя, тремя или более дробями и числами в одном выражении.

    Правила для выражений с дробями:

    Дроби — используйте косую черту «/» между числителем и знаменателем, т.е.е., для пяти сотых введите 5/100 . Если вы используете смешанные числа, не забудьте оставить один пробел между целой и дробной частью.
    Косая черта разделяет числитель (число над дробной чертой) и знаменатель (число ниже).

    Смешанные числа (смешанные дроби или смешанные числа) записываются как ненулевое целое число, разделенное одним пробелом и дробью, то есть 1 2/3 (с тем же знаком). Пример отрицательной смешанной дроби: -5 1/2 .
    Поскольку косая черта является одновременно знаком для дробной линии и деления, мы рекомендуем использовать двоеточие (:) в качестве оператора деления дробей, то есть 1/2: 3 .

    Десятичные числа (десятичные числа) вводятся с десятичной запятой . , и они автоматически конвертируются в дроби — то есть 1,45 .

    Двоеточие : и косая черта / являются символом деления. Может использоваться для деления смешанных чисел 1 2/3: 4 3/8 или может использоваться для записи сложных дробей i.1/2
    • сложение дробей и смешанных чисел: 8/5 + 6 2/7
    • деление целого числа и дроби: 5 ÷ 1/2
    • комплексные дроби: 5/8: 2 2/3
    • десятичное дробное: 0,625
    • Дробь в десятичную: 1/4
    • Дробь в проценты: 1/8%
    • сравнение дробей: 1/4 2/3
    • умножение дроби на целое число: 6 * 3/4 ​​
    • квадратный корень дроби: sqrt (1/16)
    • уменьшение или упрощение дроби (упрощение) — деление числителя и знаменателя дроби на одно и то же ненулевое число — эквивалентная дробь: 4/22
    • выражение в скобках: 1 / 3 * (1/2 — 3 3/8)
    • сложная дробь: 3/4 от 5/7
    • кратная дробь: 2/3 от 3/5
    • разделите, чтобы найти частное: 3/5 ÷ 2 / 3

    Калькулятор следует известным правилам для порядка операций . Наиболее распространенные мнемоники для запоминания этого порядка операций:
    PEMDAS — круглые скобки, экспоненты, умножение, деление, сложение, вычитание.
    BEDMAS — Скобки, экспоненты, деление, умножение, сложение, вычитание
    BODMAS — Скобки, порядок или, деление, умножение, сложение, вычитание.
    GEMDAS — Группирующие символы — скобки () {}, экспоненты, умножение, деление, сложение, вычитание.
    Будьте осторожны, всегда выполняйте умножение и деление перед сложением и вычитанием .Некоторые операторы (+ и -) и (* и /) имеют одинаковый приоритет и должны вычисляться слева направо.

    Дроби в задачах со словами:

    следующие математические задачи »

    Как разделить квадратные корни

    Если вы считаете, что контент, доступный через Веб-сайт (как определено в наших Условиях обслуживания), нарушает одно
    или несколько ваших авторских прав, сообщите нам об этом, отправив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее
    то
    информацию, описанную ниже, назначенному ниже агенту. Если репетиторы университета предпримут действия в ответ на
    ан
    Уведомление о нарушении, оно предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, которая предоставила такой контент
    средствами самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.

    Ваше Уведомление о нарушении прав может быть отправлено стороне, предоставившей доступ к контенту, или третьим лицам, таким как
    в виде
    ChillingEffects.org.

    Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатам), если вы существенно
    искажать информацию о том, что продукт или действие нарушает ваши авторские права.Таким образом, если вы не уверены, что контент находится
    на Веб-сайте или по ссылке с него нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к юристу.

    Чтобы отправить уведомление, выполните следующие действия:

    Вы должны включить следующее:

    Физическая или электронная подпись правообладателя или лица, уполномоченного действовать от их имени;
    Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены;
    Описание характера и точного местонахождения контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права, в \
    достаточно подробностей, чтобы позволить репетиторам университетских школ найти и точно идентифицировать этот контент; например нам требуется
    а
    ссылка на конкретный вопрос (а не только на название вопроса), который содержит содержание и описание
    к какой конкретной части вопроса — изображению, ссылке, тексту и т. д. — относится ваша жалоба;
    Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; а также
    Ваше заявление: (а) вы добросовестно считаете, что использование контента, который, по вашему мнению, нарушает
    ваши авторские права не разрешены законом, владельцем авторских прав или его агентом; (б) что все
    информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство, что вы
    либо владелец авторских прав, либо лицо, уполномоченное действовать от их имени.

    Отправьте жалобу нашему уполномоченному агенту по адресу:

    Чарльз Кон
    Varsity Tutors LLC
    101 S. Hanley Rd, Suite 300
    St. Louis, MO 63105

    Или заполните форму ниже:

    Упростите квадратные корни — элементарная алгебра

    Цели обучения

    К концу этого раздела вы сможете:

    • Используйте свойство продукта, чтобы упростить квадратные корни
    • Используйте свойство Quotient, чтобы упростить квадратные корни

    Перед тем, как начать, пройдите тест на готовность.

    1. Упростить:.
      Если вы пропустили эту проблему, просмотрите (рисунок).
    2. Упростить:.
      Если вы пропустили эту проблему, просмотрите (рисунок).
    3. Упростить:.
      Если вы пропустили эту проблему, просмотрите (рисунок).

    В последнем разделе мы вычислили квадратный корень из числа между двумя последовательными целыми числами. Мы можем сказать, что это от 7 до 8. Это довольно легко сделать, когда числа достаточно малы, чтобы мы могли их использовать (рисунок).

    Но что, если мы хотим оценить? Если мы сначала упростим квадратный корень, мы сможем легко его вычислить.Есть и другие причины для упрощения квадратного корня, как вы увидите далее в этой главе.

    Квадратный корень считается упрощенным , если его подкоренное выражение не содержит точных квадратных множителей.

    Упрощенный квадратный корень

    считается упрощенным, если не имеет точных квадратов.

    Так упрощено. Но это не упрощает, потому что 16 — это полный квадратный множитель 32.

    Использование свойства продукта для упрощения квадратного корня

    Свойства, которые мы будем использовать для упрощения выражений с квадратными корнями, аналогичны свойствам показателей степени.Мы знаем это . Об этом говорит соответствующее свойство квадратных корней.

    Продукт Свойство квадратного корня

    Если a , b — неотрицательные действительные числа, то.

    Мы используем свойство произведения квадратного корня, чтобы удалить все точные квадратные множители из радикала. Мы покажем, как это сделать, на (Рисунок).

    Как использовать свойство продукта для упрощения квадратного корня

    Упростить:.

    Упростить:.

    Упростить:.

    Обратите внимание, что в предыдущем примере упрощенная форма — это произведение целого числа и квадратного корня. Мы всегда пишем целое число перед квадратным корнем.

    Упростите извлечение квадратного корня с помощью свойства продукта.

    1. Найдите наибольший коэффициент полного квадрата подкоренного выражения. Перепишите подкоренное выражение как произведение, используя коэффициент полного квадрата.
    2. Используйте правило произведения, чтобы переписать радикал как произведение двух радикалов.
    3. Упростите квадратный корень из полного квадрата.

    Упростить:.

    Решение

    Упростить:.

    Упростить:.

    Мы можем использовать упрощенную форму для оценки. Мы знаем, что 5 находится между 2 и 3, и это так. Так между 20 и 30.

    Следующий пример очень похож на предыдущие, но с переменными.

    Упростить:.

    Решение

    Упростить:.

    Упростить:.

    Мы выполняем ту же процедуру, когда в радикале есть коэффициент.

    Упростить:

    Решение

    Упростить:.

    Упростить:.

    В следующем примере и постоянная, и переменная имеют точные квадратные множители.

    Упростить:.

    Решение

    Упростить:.

    Упростить:.

    Упростить:.

    Решение

    Упростить:.

    Упростить:.

    Мы видели, как использовать порядок операций для упрощения некоторых выражений с помощью радикалов. Чтобы упростить, мы должны сначала упростить каждый квадратный корень отдельно, а затем сложить, чтобы получить сумму 17.

    Выражение нельзя упростить — для начала нам нужно упростить каждый квадратный корень, но ни 17, ни 7 не содержат точного квадратного множителя.

    В следующем примере у нас есть сумма целого числа и квадратного корня. Мы упрощаем извлечение квадратного корня, но не можем прибавить полученное выражение к целому числу.

    Упростить:.

    Решение

    Условия не похожи и поэтому мы не можем их добавить. Попытка сложить целое число и радикал подобна попытке сложить целое число и переменную — они не похожи на термины!

    Упростить:.

    Упростить:.

    Следующий пример включает дробь с радикалом в числителе.Помните, что для упрощения дроби вам понадобится общий множитель в числителе и знаменателе.

    Упростить:.

    Решение

    Упростить:.

    Упростить:.

    Использование свойства Quotient для упрощения квадратного корня

    Всякий раз, когда вам нужно упростить квадратный корень, первый шаг, который вы должны сделать, — это определить, является ли подкоренное выражение идеальным квадратом. Дробь полных квадратов — это дробь, в которой числитель и знаменатель являются полными квадратами.

    Упростить:.

    Решение

    Упростить:.

    Упростить:.

    Если у числителя и знаменателя есть общие множители, удалите их. Вы можете найти идеальную квадратную дробь!

    Упростить:.

    Решение

    Упростить:.

    Упростить:.

    В последнем примере нашим первым шагом было упростить дробь под радикалом, удалив общие множители.В следующем примере мы будем использовать свойство Quotient для упрощения под радикалом. Мы делим одинаковые основания, вычитая их показатели,.

    Упростить:.

    Решение

    Упростить:.

    Упростить:.

    Упростить:.

    Решение

    Упростить:.

    Упростить:.

    Помните коэффициент мощности? В нем говорилось, что мы можем возвести дробь в степень, возведя числитель и знаменатель в степень по отдельности.

    Мы можем использовать аналогичное свойство, чтобы упростить извлечение квадратного корня из дроби. После удаления всех общих множителей из числителя и знаменателя, если дробь не является полным квадратом, мы отдельно упрощаем числитель и знаменатель.

    Фактор квадратного корня

    Если a , b — неотрицательные действительные числа и, тогда

    Упростить:.

    Решение

    Упростить:.

    Упростить:.

    Как использовать свойство Quotient для упрощения квадратного корня

    Упростить:.

    Упростить:.

    Упростить:.

    Упростите квадратный корень, используя свойство частного.

    1. По возможности упростите дробь в подкоренном выражении.
    2. Используйте свойство Quotient, чтобы переписать радикал как частное двух радикалов.
    3. Упростим радикалы в числителе и знаменателе.

    Упростить:.

    Решение

    Упростить:.

    Упростить:.

    Обязательно сначала упростите дробь в подкоренном выражении, если это возможно.

    Упростить:.

    Решение

    Упростить:.

    Упростить:.

    Упростить:.

    Решение

    Упростить:.

    Упростить:.

    Практика ведет к совершенству

    Используйте свойство продукта для упрощения квадратного корня

    Упростите следующие упражнения.

    70)

    Используйте свойство Quotient для упрощения квадратного корня

    Упростите следующие упражнения.

    Письменные упражнения

    Объясните почему.Тогда объясните почему.

    Объясните, почему не равно.

    Самопроверка

    ⓐ После выполнения упражнений используйте этот контрольный список, чтобы оценить свое мастерство в достижении целей этого раздела.

    ⓑ Что вы сделаете, изучив этот контрольный список, чтобы достичь уверенности в достижении всех целей?

    Рационализировать знаменатель

    «Рационализация знаменателя» — это когда мы перемещаем корень (например, квадратный корень или кубический корень) снизу дроби вверх.

    О нет! Иррациональный знаменатель!

    Нижняя часть дроби называется знаменателем .
    Такие числа, как 2 и 3, являются рациональными.
    Но многие корни, такие как √2 и √3, иррациональны.

    Пример: имеет иррациональный знаменатель

    Чтобы быть в «простейшей форме», знаменатель должен быть не иррациональным, а !

    Исправление (путем рационального использования знаменателя)
    называется « Рационализация знаменателя »

    Примечание: нет ничего неправильного с иррациональным знаменателем, все равно работает. Но это не самая простая форма, поэтому может стоить марок.

    И их удаление может помочь вам решить уравнение, поэтому вам следует узнать, как это сделать.

    Итак … как мы это делаем?

    1. Умножьте верх и низ на корень

    Иногда можно просто умножить верх и низ на корень:

    Пример: имеет иррациональный знаменатель. Давай исправим.

    Умножим верхнюю и нижнюю часть на квадратный корень из 2, потому что: √2 × √2 = 2:

    Теперь в знаменателе есть рациональное число (= 2).Сделанный!

    Примечание. Допускается наличие иррационального числа в верхней части (числителе) дроби.

    2. Умножьте верхнее и нижнее на конъюгат

    Есть еще один особый способ переместить квадратный корень из нижней части дроби в верхнюю часть … мы умножаем верхние и нижние на , сопряженное знаменателю .

    Сопряжение — это где мы меняем знак в середине двух членов:

    Пример выражения Его конъюгат
    x 2 — 3 x 2 + 3

    Другой пример Его конъюгат
    а + б 3 а — б 3

    Это работает, потому что, когда мы умножаем что-то на его сопряжение, мы получаем квадратов , как это:

    (a + b) (a − b) = a 2 — b 2

    Вот как это сделать:

    Пример: вот дробь с «иррациональным знаменателем»:

    1
    3 − √2

    Как мы можем переместить квадратный корень из 2 вверх?

    Мы можем умножить верхнюю и нижнюю части на 3 + √2 (сопряжение 3 − √2) , что не изменит значения дроби:

    1
    3 − √2
    ×
    3 + √2
    3 + √2
    знак равно
    3 + √2
    3 2 — (√2) 2
    знак равно
    3 + √2
    7

    (Вы видели, что мы использовали (a + b) (a − b) = a 2 — b 2 в знаменателе?)

    Используйте свой калькулятор, чтобы вычислить значение до и после. .. это то же самое?

    Есть еще один пример на странице Оценка пределов (расширенная тема), где я перемещаю квадратный корень сверху вниз.

    Полезное

    Так что постарайтесь запомнить эти маленькие уловки, они могут однажды помочь вам решить уравнение!

    Практические вопросы о дробях и квадратном корне

    1.Что из перечисленного перечислено в порядке от наименьшего к наибольшему?
    1. -3 / 4, -7 4/5, -8,18%, 0,25,2,5
    2. -8, -7 4/5, -3 / 4,0,25,2,5,18%
    3. 18%, 0,25, -3 / 4,2,5, -7 4/5, -8
    4. -8, -7 4/5, -3 / 4,18%, 0,25,2,5
    2. Какая из следующих фракций является больше 2

    1 / 4 , но меньше 2 2 / 5 ?

    1. 2 1 / 2
    2. 2 3 / 8
    3. 2 6 / 11
    4. 2 5 / 9
    3.

    Джейсон выбирает число, которое является квадратным корнем из четырех, меньшим, чем удвоенное число Эми. Если номер Эми 20, какой номер Джейсона?

    1. 6
    2. 7
    3. 8
    4. 9
    4. Что из следующего будет представлять квадратный корень из квадрата в квадрате, построенном из единичных квадратов?
    1. Количество единичных квадратов, составляющих сторону
    2. Общее количество единичных квадратов внутри квадрата
    3. Половина от общего количества единичных квадратов внутри квадрата
    4. Количество единичных квадратов, составляющих периметр квадрата
    5.При выпечке Брианна использовала пять

    3 / 4 стаканов сахара. Сколько всего чашек сахара она использовала?

    1. 3 2 / 3
    2. 3 3 / 4
    3. 3 1 / 4
    4. 3 1 / 2
    6. Издательство передано на рецензирование 29 рукописей.

    Если компания разделит работу поровну между 8 редакторами, что из следующего представляет количество рукописей, которые будет рецензировать каждый редактор?

    1. 3 3 / 5
    2. 3 5 / 8
    3. 3 7 / 9
    4. 3 2 / 3
    7.Сообщается, что озеро возле дома Армандо на 80% заполнено водой. Какая фракция в простейшем виде эквивалентна 80%?
    1. 1 / 80
    2. 8 / 10
    3. 4 / 5
    4. 80 / 1
    8. Алма собрала монеты. В сумке, где она хранила только десять центов, у нее были десять центов четырех разных лет. У нее было 20 монет отчеканено в 1942 году, 30 — в 1943 году, 40 — в 1944 году и 10 — в 1945 году.Если Альма залезла в сумку, не глядя, и взяла ни цента, какова вероятность того, что она взяла ни цента, отчеканенного в 1945 году?
    1. 2 / 5
    2. 3 / 10
    3. 1 / 5
    4. 1 / 10
    9.

    55 рецепты 56 / 4 стаканов муки. Какая из приведенных ниже дробей эквивалентна этой сумме?

    1. 5 / 2
    2. 15 / 4
    3. 3 / 2
    4. 9 / 4
    Ответы
    D

    Наименьшие отрицательные целые числа — это те, которые имеют наибольшее абсолютное значение. Следовательно, отрицательные целые числа, записанные в порядке от наименьшего к наибольшему, равны -8, -7 4 / 5 , -3 / 4 . Процент 18% можно записать в виде десятичной дроби 0,18; 0,18 меньше 0,25. Десятичная дробь 2,5 — это наибольшее приведенное рациональное число. Таким образом, значения -8, -7 4 / 5 , -3 / 4 , 18%, 0,25,2,5 записываются в порядке от наименьшего к наибольшему.

    2. B

    Дробь, 2 1 / 4 , может быть записана как десятичная, 2,25. Дробь 2 2 / 5 может быть записана в виде десятичной дроби 2,40. Дробь 2 3 / 8 может быть записана в виде десятичной дроби 2,375; 2,375 больше 2,25, но меньше 2,40.

    3. Число

    Джейсона можно определить, написав следующее выражение:? (2x-4), где x представляет собой номер Эми. Замена 20 вместо x дает? (2 (20) -4), что упрощается до? 36 или 6.Таким образом, число Джейсона равно 6. Число Джейсона также можно определить, работая в обратном направлении. Если число Джейсона представляет собой квадратный корень из 4, меньший, чем 2, умноженное на число Эми, число Эми следует сначала умножить на 2, вычесть 4 из этого произведения и извлечь квадратный корень из полученной разницы.

    4. A

    Корень квадратный из квадрата равен длине одной из сторон или количеству единичных квадратов, составляющих сторону. Например, квадрат, представляющий 7 квадратов, будет иметь по 7 единичных квадратов с каждой стороны; 7 2 = 49, а 7 — квадратный корень из 49. Квадрат будет содержать 49 единичных квадратов, по 7 единичных квадратов с каждой стороны.

    5. B

    Чтобы определить общее количество стаканов сахара, использованного при выпечке, следует вычислить произведение 5 и 3 / 4 : 5? 3 / 4 = 15 / 4 , что может быть упрощено до 3 3 / 4 . Таким образом, всего она использовала 3 3 / 4 чашек.

    6. B

    Чтобы определить количество рукописей, которые будет рецензировать каждый редактор, общее количество рукописей следует разделить на количество редакторов; 29 / 8 можно записать как 29 / 8 , что упрощает до смешанной дроби 3 5 / 8 .Обратите внимание, что частное равно 3 с остатком 5.

    7. C

    80% означает 80 из 100, что можно записать как 80/100. Эту дробь можно записать в наименьших числах, разделив числитель и знаменатель на наибольший общий множитель 20, чтобы получить дробь: 4 / 5 .

    8. D

    Сложив все десять центов, мы обнаружим, что в сумке всего 100 десять центов. 10 из них были отчеканены в 1945 году. Таким образом, вероятность выбрать десятицентовую монету 1945 года составляет 10 из 100, что эквивалентно дроби 1 / 10 .

    9. B

    15 / 4 . Значение 3 эквивалентно 12 / 4 . Следовательно, 3 3 / 4 = 12 / 4 + 3 / 4 = 15 / 4 . Другой способ найти это иногда называют методом «C». 3 3 / 4 равно (4 × 3 + 3) / 4 = 15 / 4 .

    Упрощение квадратного корня | Колледж алгебры

    Использование правила произведения для упрощения квадратного корня

    Чтобы упростить извлечение квадратного корня, мы перепишем его так, чтобы в подкоренном выражении не было полных квадратов.Есть несколько свойств квадратных корней, которые позволяют упростить сложные радикальные выражения. Первое правило, которое мы рассмотрим, — это правило произведения для упрощения квадратных корней, , которое позволяет разделить квадратный корень произведения двух чисел на произведение двух отдельных рациональных выражений. Например, мы можем переписать [latex] \ sqrt {15} [/ latex] как [latex] \ sqrt {3} \ cdot \ sqrt {5} [/ latex]. Мы также можем использовать правило произведения, чтобы выразить произведение нескольких радикальных выражений как одно радикальное выражение.

    Общее примечание: правило произведения для упрощения квадратного корня

    Если [latex] a [/ latex] и [latex] b [/ latex] неотрицательны, квадратный корень продукта [latex] ab [/ latex] равен произведению квадратных корней из [latex] a. [/ латекс] и [латекс] б [/ латекс].

    [латекс] \ sqrt {ab} = \ sqrt {a} \ cdot \ sqrt {b} [/ латекс]

    Практическое руководство. Для выражения квадратного корня радикального выражения используйте правило произведения, чтобы упростить его.


    1. Выделяем любые полные квадраты за пределы подкоренного выражения.{3} z} [/ латекс].

      Решение

      Практическое руководство. Получив произведение нескольких радикальных выражений, используйте правило произведения, чтобы объединить их в одно радикальное выражение.


      1. Выразите произведение нескольких радикальных выражений как одно радикальное выражение.
      2. Упростить.

      Пример 3. Использование правила произведения для упрощения произведения нескольких квадратных корней

      Упростите радикальное выражение.

      [латекс] \ sqrt {12} \ cdot \ sqrt {3} [/ латекс]

      Решение

      [латекс] \ begin {array} {cc} \ sqrt {12 \ cdot 3} \ hfill & \ text {Представьте продукт как одно радикальное выражение}.\ hfill \\ \ sqrt {36} \ hfill & \ text {Упростить}. \ hfill \\ 6 \ hfill & \ end {array} [/ latex]

      Попробуй 3

      Упростите [латекс] \ sqrt {50x} \ cdot \ sqrt {2x} [/ latex], предполагая, что [латекс] x> 0 [/ latex].

      Решение

      Использование правила частного для упрощения квадратного корня

      Точно так же, как мы можем переписать квадратный корень из произведения как произведение квадратных корней, мы можем переписать квадратный корень из частного как частное из квадратных корней, используя правило частного для упрощения квадратных корней. Может быть полезно разделить числитель и знаменатель дроби под корнем, чтобы мы могли отдельно брать их квадратные корни. Мы можем переписать [latex] \ sqrt {\ frac {5} {2}} [/ latex] как [latex] \ frac {\ sqrt {5}} {\ sqrt {2}} [/ latex].

      Общее примечание: правило частного для упрощения квадратного корня

      Квадратный корень частного [латекс] \ frac {a} {b} [/ latex] равен частному квадратного корня из [latex] a [/ latex] и [latex] b [/ latex], где [латекс] б \ нэ 0 [/ латекс].

      [латекс] \ sqrt {\ frac {a} {b}} = \ frac {\ sqrt {a}} {\ sqrt {b}} [/ латекс]

      Практическое руководство.

      Для радикального выражения используйте правило частного, чтобы упростить его.

      1. Запишите радикальное выражение как частное двух радикальных выражений.
      2. Упростите числитель и знаменатель.

      Пример 4: Использование правила частного для упрощения квадратного корня

      Упростите радикальное выражение.

      [латекс] \ sqrt {\ frac {5} {36}} [/ латекс]

      Решение

      [латекс] \ begin {array} {cc} \ frac {\ sqrt {5}} {\ sqrt {36}} \ hfill & \ text {Запишите как частное двух радикальных выражений}.{5}}} [/ латекс].

      Решение

      Операции с квадратным корнем

      Операции с квадратными корнями

      Вы можете выполнять ряд различных операций с квадратными корнями. Некоторые из этих операций включают один радикальный знак, в то время как другие могут включать множество радикальных знаков. Следует внимательно изучить правила, регулирующие эти операции.

      Под одинарным знаком корня

      Операции можно выполнять под одинарным знаком корня .

      Пример 1

      Выполните указанную операцию.

      Когда радикальные значения совпадают

      Вы можете складывать или вычитать сами квадратные корни, только если значения под знаком корня равны. Затем просто сложите или вычтите коэффициенты (числа перед знаком корня) и сохраните исходное число в знаке корня.

      Пример 2

      Выполните указанную операцию.

      Обратите внимание, что коэффициент 1 понимается в.

      При других значениях корня

      Вы не можете складывать или вычитать разные квадратные корни.

      Пример 3
      Сложение и вычитание квадратных корней после упрощения

      Иногда после упрощения квадратного корня (ов) становится возможным сложение или вычитание.По возможности всегда упрощайте.

      Пример 4

      Упростить и добавить.

      1. Они не могут быть добавлены, пока не будет упрощено.

        Теперь, поскольку под знаком корня оба похожи,

      2. Попытайтесь упростить каждое из них.

        Теперь, поскольку под знаком корня оба похожи,

      Продукты неотрицательных корней

      Помните, что при умножении корней знак умножения можно опустить.По возможности всегда упрощайте ответ.

      Пример 5

      Умножить.

      1. Если каждая переменная неотрицательна,

      2. Если каждая переменная неотрицательна,

      3. Если каждая переменная неотрицательна,

      Частные неотрицательные корни

      Для всех положительных чисел

      В следующих примерах предполагается, что все переменные положительны.

      Пример 6

      Разделить. Оставьте все дроби с рациональными знаменателями.

      Обратите внимание, что знаменатель этой дроби в части (d) является иррациональным. Чтобы рационализировать знаменатель этой дроби, умножьте его на 1 в виде

      .

      Пример 7

      Разделить. Оставьте все дроби с рациональными знаменателями.

      1. Первое упрощение:

        или

      Примечание: Чтобы оставить рациональный член в знаменателе, необходимо умножить числитель и знаменатель на , сопряженное с знаменателя. Сопряжение двучлена содержит те же члены, но с противоположным знаком. Таким образом, ( x + y ) и ( x y ) являются конъюгатами.

      Пример 8

      Разделить. Оставьте дробь с рациональным знаменателем.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.