Модуль синус х график: График y = sin│x│ — Построение графиков функции y=sinx содержащих переменную под знаком модуля

Содержание

Графики,содержащие знак модуля.Построение графиков,содержащих знак модуля. | Учебно-методический материал по алгебре (10 класс) по теме:

         

 Исследовательская работа

«Построение графиков

функций, аналитическое выражение которых содержит знак абсолютной величины»

                           

                                                             

                                                         

                                                2008  

               

Оглавление.

I. Введение——————————————————————————1

II. Основная часть.——————————————————————-1-13

    1. Историческая справка——————————————————- -3-4

    2.  Геометрическая интерпретация понятия |а|—————————- -4-5

    3.  График функции у=f |(х)|——————————————————5-8

    4. График функции у = | f (х)|  —————————————————8-10

    5. График функции  у=|f |(х)| | — —- ——————————————10-13

III. Заключение.————————————————————————-13

IV. Список литературы —————————————————————14

        

I. Введение.

        

         Построение графиков функций одна их интереснейших тем в школьной математике. Один из крупнейших математиков нашего времени Израиль Моисеевич Гельфанд писал: «Процесс построения графиков является способом превращения формул и описаний в геометрические образы. Это – построение графиков – является средством увидеть формулы и функции и проследить, каким образом эти функции меняются. Например, если написано , то вы сразу видите параболу; если , вы видите параболу, опущенную на четыре единицы; если же , то вы видите предыдущую параболу, перевернутую вниз. Такое умение видеть сразу формулу, и ее геометрическую интерпретацию – является важным не только для изучения математики, но и для других предметов. Это умение, которое остается с вами на всю жизнь, подобно умению ездить на велосипеде, печатать на машинке или водить машину».

        Хотя уравнения с модулями мы начали изучать уже с 6-го – 7-го класса, где мы проходили самые азы уравнений с модулями, я выбрала именно эту тему, потому что считаю, что она требует более глубокого и досконального исследования. Я хочу получить более широкие знания о модуле числа, различных способах построения графиков, содержащих знак абсолютной величины.

        Цель работы: изучить соответствующие теоретические материалы, выявить алгоритм построения графиков функций, аналитическое выражение которых содержит знак абсолютной величины.

        Объект исследования: линейные функции, аналитическое выражение которых содержит знак абсолютной величины.

        Методы исследования: построение графиков функций.

II. Основная часть.

1. Историческая справка.

          В первой половине ХVII века начинает складываться представление о функции как о зависимости одной переменной величины от другой. Так, французские математики Пьер Ферма (1601-1665) и Рене Декарт (1596-1650) представляли себе функцию как зависимость ординаты тоски кривой от ее абсциссы. А английский ученый Исаак Ньютон (1643-1727) понимал функцию как изменяющуюся в зависимости от времени координату движущейся точки. 

        Термин «функция» (от латинского function – исполнение , совершение) впервые ввел немецкий математик Готфрид Лейбниц(1646-1716). У него функция связывалась с геометрическим образом (графиком функции). В дальнейшем швейцарский математик Иоганн Бернулли(1667-1748) и член Петербургской Академии наук знаменитый математик XVIII века Леонард Эйлер(1707-1783) рассматривали функцию как аналитическое выражение. У Эйлера имеется и общее понимание функции как зависимости одной переменной величины от другой.

            Слово «модуль» произошло от латинского слова «modulus», что в переводе означает «мера». Это многозначное слово (омоним), которое имеет множество значений и применяется не только в математике, но и в архитектуре, физике, технике, программировании  и других точных науках.

В архитектуре — это исходная единица измерения, устанавливаемая для данного  архитектурного сооружения и служащая для выражения кратных соотношений его составных элементов.

В технике — это термин, применяемый в различных областях техники, не имеющий универсального значения и служащий для обозначения различных коэффициентов и величин, например модуль зацепления, модуль упругости и .т.п.

Модуль объемного сжатия( в физике)-отношение нормального напряжения в материале к относительному удлинению.

      Определение. Модуль числа a или абсолютная величина числа a равна  a, если a    больше или равно нулю и равна -a, если a меньше нуля:

   Из определения следует, что для любого действительного числа a,

2. Геометрическая интерпретация понятия модуля |а|

Каждому действительному числу можно поставить в соответствие точку числовой прямой, это точка будет геометрическим изображением данного действительного числа. Каждой точке числовой прямой соответствует её расстояние от начало отсчета, или длина отрезка, начало которого в точке начала отсчета, а конец – в данной точке. Длина отрезка всегда рассматривается как величина неотрицательная.   Геометрической интерпретацией действительного числа служит вектор, выходящий из начала отсчета и имеющий конец в точке, изображающей данное число. Длина этого вектора будет геометрической интерпретацией модуля данного действительного числа.

                                 

                                   -а                                     0                                   а

                             

                              3. График функции у=f |(х)|

у=f |(х)| — четная функция, т.к. | х | = | -х |, то f |-х| = f | х |

График этой функции симметричен относительно оси координат.

Следовательно, достаточно построить график функции у=f(х) для х>0,а затем достроить его левую часть, симметрично правой относительно оси координат.

Например, пусть графиком функции у=f(х) является кривая, изображенная на рис.1, тогда графиком функции у=f |(х)| будет кривая, изображенная на рис.2.

                                                                                      Рис.1          

                                                                                       Рис.2.

1. Построить график функции у= |х|

  1. Если х≥0, то |х| =х  и наша функция у=х, т.е. искомый график совпадает с биссектрисой первого координатного угла.
  2. Если х

Таким образом, искомый график есть ломанная, составленная из двух полупрямых. (Рис.3)

Из сопоставления двух графиков: у=х и у= |х|, я сделала  вывод, что второй получается из первого зеркальным отображением относительно ОХ той части первого графика, которая лежит под осью абсцисс. Это положение вытекает из определения абсолютной величины.

Можно ли применять этот метод построения графиков дл квадратичной функции, для графиков обратной пропорциональности, содержащие абсолютную величину?  Для этого я рассмотрела несколько  функций, и сделала для себя вывод.

 2. Например: у=х2 — |х| -3

а) Строю  у=х2 -х -3 для х>0.

Квадратичная функция, графиком является парабола, ветви которой направлены вверх, т.к. а = , а > 0

  1. х0 = —

 у0 =-4

(2; -4) – координаты вершины параболы.

  1. х=0, у= -3

(0; — 3) координаты точки пересечения графика функции с осью ОУ.

  1. у =0,  х2 -х -3 = 0

                  х2 -4х -12 = 0  Имеем, х1= — 2; х2 = 6.

(-2; 0) и (6; 0) – координаты точки пересечения графика функции с осью ОХ.

Если х

Значит, часть требуемого графика, соответствующая значениям х0.

б) Поэтому достраиваю для х

   

Вывод: Для построения графика функции у=f |(х)|  

  1. Достаточно построить график функции у=f(х) для х>0;
  2. Строить для х

                                         4. График функции у = | f (х)|          

 По определению абсолютной величины, можно данную функцию рассмотреть как совокупность двух линий:

у=f(х), если f(х) ≥0;  у  = — f(х), если f(х)

Для любой функции у = f(х), если f(х) >0, то | f (х)|  = f(х), значит в этой части график  функции у = | f (х)|  совпадает с графиком самой функции у=f(х). Если же f(х) f (х)| = — f(х),т.е. точка (х; | f (х)|  ) симметрична точке (х; f (х)) относительно оси ОХ. Поэтому для получения требуемого графика отражаем симметрично относительно оси ОХ «отрицательную» часть графика.

1. Построить график функции у= | х2 – х – 6 |.

а) Построить график функции у=  х2 – х – 6 . Квадратичная функция, графиком является парабола, ветви направлены вверх, т.к. а = 1, а >1.

 х0 = —

у0  = —       (1/2; — 6,25) координаты вершины

х=0; у = -6              (0; -6) координаты точки пересечения с осью ОУ.

у= 0, х2 – х – 6=0

    х1 = -2; х2 = 3.   (-2;0) и (3;0) –координаты точек пересечения с осью ОХ

б) Часть графика, расположенного в нижней полуплоскости, отобразить симметрично оси ОХ. (Рис.5)

Вывод: Для построения графика функции у=|f(х) |  

1.Построить график функции у=f(х) ;

2. На участках, где график расположен в нижней полуплоскости, т.е., где f(х)

(Рис.6, 7.)

     

                          5. График функции  у=|f |(х)| |

Применяя, определение абсолютной величины и исследуя, графиков функции

у = | 2 · |х | — 3|

у = | х2 – 5 · |х| |

у = | |х3 | — 2 |, я нашла алгоритм построения графиков.

 Для того чтобы построить график функции у=|f |(х)|  | надо:

1. Построить график функции у=f(х) для х>0.

2. Построить кривую графика, симметричную построенной относительно оси ОУ, т.к. данная функция четная.

3. Участки графика, расположенные в нижней полуплоскости, преобразовывать на верхнюю полуплоскость симметрично оси ОХ.

1. у = | 2 · |х | — 3|

1) Строю  у = 2х-3, для х>0.   (1; -1)     (; 0)

2) Строю прямую, симметричную построенной относительно оси ОУ.

3) Участки графика, расположенные в нижней полуплоскости, отображаю симметрично относительно оси ОХ.  Рис.8

2. у = | х2 – 5 · |х| |

а) Строю график функции у = х2 – 5 х     для  х>0.

Квадратичная функция, графиком является парабола, ветви направлены, т.к. а=1, а>0

х0 = -;    

       у0  = 6,25 -12,5 = -6,25        (2,5; -6,25) – координаты вершины

х=0; у=0;                                     (0; 0) – координаты точки пересечения с осью ОУ

у=0;      х2 – 5 х =0                   (0; 0) и ( 5; 0) – координаты точек пересечения с осью ОХ.

х1 =0; х2=5

(Рис.9)

б) Строю  часть графика, симметричную построенной относительно оси ОУ

в) Часть графика, расположенные в нижней полуплоскости, преобразовываю на верхнюю полуплоскость симметрично оси ОХ.

3. у =| |х|3 | — 2 |

  а) Строю у=х3 -2 для х > 0.

     х1= 0; у1= -2

    у2 = 0; х3 -2 =0

                х2 =

 б) Строю  часть графика, симметричную построенной относительно оси ОУ

 

 в) Часть графика, расположенные в нижней полуплоскости, преобразовываю на верхнюю полуплоскость симметрично оси ОХ. (Рис.10)

III. Заключение.

При выполнении исследовательской  работы я делала такие выводы:

— сформировала алгоритмы построения графиков  функций, аналитическое выражение которых содержит знак абсолютной величины.

Алгоритм построения графика функции у=f |(х)|  

    1.Построить график функции у=f(х) для х>0;

2.Построить для х

Алгоритм построения графика функции у=|f(х) |  

1.Построить график функции у=f(х) ;

2. На участках, где график расположен в нижней полуплоскости, т.е., где f(х)

Алгоритм построения графика функции у=|f |(х)|  |

1. Построить график функции у=f(х) для х>0.

2. Построить кривую графика, симметричную построенной относительно оси ОУ, т.к. данная функция четная.

3. Участки графика, расположенные в нижней полуплоскости, преобразовывать на верхнюю полуплоскость симметрично оси ОХ.

   — приобрела опыт построения графиков таких функций, как:

                                у=f |(х)|; у = | f (х)|;  у=|f |(х)| |;

    — научилась работать с дополнительной литературой и материалами, производить отбор

       научных сведений;

   — приобрела опыт выполнения графических работ на компьютере.

Список литературы:

  1. И. М.Гельфанд, Е.Г. Глаголева. Функции и графики. Издательство «Наука»
  2. Р.А. Калнин. Алгебра и элементарные функции. Издательство «Наука»
  3. М.К. Потапов, С.Н. Олехник. Конкурсные задачи по математики, Москва. «Наука»
  4. Ю. Н.Макарычев, Н.Г. Миндюк. Дополнительные главы к школьному учебнику.

Москва, «Просвещение».

у

0

х

0

у

х

х

у

х

у

Рис 3.

0

6

-6

-3

х

у

Рис.4

0

6

-6

-2

3

х

у

Рис.5

у

х

Рис.6

у

х

Рис.7

0

у

х

-3/2

3/2

-3

3

Рис.8

1

-1

-6

-6

0

5

5

Рис.9

-2

0

1

2

2

-2

у

х

Рис.10

Как изображается график функции y=sin[x] (модуль x) и какие свойства?

Функция y=cosec(x) — это одна из тригонометрических функций. Для того, чтобы понять, что это за функция, нужно вспомнить, что такое прямоугольный треугольник ( треугольник, в котором один из углов прямой, а два других — острые ), гипотенуза ( сторона треугольника противолежащая прямому углу), и катеты ( стороны треугольника, образующие прямой угол ). Катеты, в свою очередь, бывают прилежащие ( примыкающие к вершине острого угла ) и противолежащие.

Функция y=cosec(x) выражает отношение гипотенузы прямоугольного треугольника к противолежащему этому углу катету. Эта функция называется косеканс ( острого угла ).

А вот так выглядит график функции косеканс:

F(x)- обычно обозначают «у» и уравнение функции будет у=2х-2. Поскольку переменная «х» в первой степени, то это линейная функция. Чтобы построить график находим точки пересечения графика с осями координат. При х=0 у=-2, при у=0 х=1. Через эти точки проводим прямую являющуюся графиком функции. Эта прямая не проходит через A(2;1), что ошибочно указано в условии вопроса. При х=2 у=2, а не 1

Величина достоверности аппроксимации показывает насколько точная получилась линия тренда. Чем ближе величина достоверности аппроксимации к единицы, тем более точная линия тренда. Эта величина используется в Exsel при построении линий тренда.

Посёлок Афанасьево — определённо, находится где-то на Урале, в Северном Казахстане или в Западной Сибири. Только там такой резко континентальный климат, обусловивший огромную разницу между среднемесячными температурами января и июля — в январе -25, в июле 30.

Как мы видим из графика, с января по март среднемесячная температура в Афанасьевке ниже нуля. Потом наступает весна, среднемесячная температура поднимается выше нуля. На положительных отметках среднемесячная температура держится по октябрь, а в ноябре она снова идёт вниз, и так до конца года.2 = 1. Корни уравнения -1 и 1.

Далее найдем знак производной на промежутках от минус бесконечности до -1, от -1 до 1 и от 1 до плюс бесконечности. Получим, что f'(x) < 0 на первом промежутке, f'(x)>0 на втором, f'(x)<0 на третьем.

Соответственно функция убывает на первом и третьем промежутке и возрастает на втором, а х=-1 точка минимума, х=1 точка максимума.

далее найдем точки пересечения графика с осями координат. При х=0, f(x) = 0, при f(x) = 0, х=-v3 и x=v3. После этого можно строить схематический график.

Графики тригонометрических функций. Синусоида | Подготовка к ЕГЭ по математике

Категория: Справочные материалыФункции и графики

Смешное видео по теме 

График функции y=sinx

Если вы умеете работать с тригонометрическим кругом, то вам не составит труда построить график функции .

Переносим  все основные значения углов, представленные на круге, и соответствующие им значения синуса на координатную плоскость.

По оси абсцисс откладываем угол в радианах, по оси ординат — значения синуса угла.

.

Переносим  все основные значения углов, представленные на круге, и соответствующие им значения синуса на координатную плоскость.

По оси абсцисс откладываем угол в радианах, по оси ординат — значения синуса угла.

 

Нанесенные на координатную плоскость точки подсказывают нам плавную кривую.  Это и есть график функции на

Поскольку на тригонометрическом круге значения синуса повторяются через каждый круг (несколько кругов), то не составит труда построить график функции и на всей числовой прямой.

Указанный выше фрагмент графика синуса будет для нас являться как бы штампом. Тиражируя этот фрагмент, мы и получим вот такой график функции :

График функции называется синусоидой. График симметричен относительно начала координат.

График функции y=cosx

Точно также, как мы строили график при помощи тригонометрического круга, мы могли бы построить и .2$

Функции вида $f(x)=\sin x, g(x)=\cos x, h(x)=\tan x, k(x)=\cot x$ называются тригонометрическими функциями. Область определения $f(x)=\sin x $ и $g(x)=\cos x$ это все действительные числа $\mathbb{R}$. А области определения $h(x)=\tan x $ и $k(x)=\cot x$ следующие:

$h(x)=\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}, \cos x=0 \rightarrow x=k\pi+\dfrac{\pi}{2} \rightarrow$

$D_h=\mathbb{R}-\lbrace x|x=k\pi+\dfrac{\pi}{2}, k \in \mathbb{Z} \rbrace$

$h(x)=\cot x=\dfrac{\cos x}{\sin x}, \sin x=0 \rightarrow x=k\pi \rightarrow$

$D_k=\mathbb{R}-\lbrace x|x=k\pi, k \in \mathbb{Z} \rbrace$

Также отметим, что $-1 \leq \sin x \leq 1 $ и $ -1 \leq \cos x \leq 1$. Следовательно,

$R_f=[-1,1] \,\,\,\,\,\, R_g=[-1,1]$

Множество значений of $h(x)=\tan x $ и $k(x)=\cot x$ это все действительные числа $\mathbb{R}$.

Пример:
Найти область определения и множество значений $f(x)=\sin x+\cos x$.

Решение:
Область определения $\sin x $ и $\cos x$ это все действительные числа, следовательно область определения

$f(x)=\sin x+\cos x$

также все действительные числа.4 \pi x = 0 \rightarrow \sin \pi x=0 \rightarrow \pi x=k \pi \rightarrow x=k \in \mathbb{Z}$

Значит

$D_f=\mathbb{Z}$

Согласно $D_f=\mathbb{Z}$, можно переписать функцию как

$f(x)=\cos \pi x=\pm 1$

Теперь очевидно, что

$R_f= \lbrace \pm 1 \rbrace$

Пример:
Найти область определения и множество значений $f(x)=\sin (\log (\log x))$.

Решение:
Согласно тому, что уже было сказано относительно логарифмической функции

$D_f= \lbrace x| x \in \mathbb{R}; \log x>0,x>0 \rbrace$

$= \lbrace x| x\in \mathbb{R}, x>1,x>0 \rbrace =(1,+\infty)$

Также стоит отметить, что

$|\sin (\log (\log x))| \leq 1 \rightarrow |y| \leq 1 \rightarrow -1 \leq y \leq 1$

Значит

$R_f=[-1,1]$

График $f$ это

Определение:
Пусть $f$ функция, у которой область определения это $D_f$. Функция $f$ является инъективной тогда и только тогда, если для всех $x_1$ и $x_2$ в $D_f$, если $f(x_1)=f(x_2)$, то $x_1=x_2$.{\log x} \rightarrow y=(f \circ g)_{(x)}\,\,\, x \in (0,1) \rightarrow 0
Теперь, для того, чтобы найти множество значений $g \circ f$, отметим, что

$Z=(g\circ f)_{(x)}=x \rightarrow x=Z\in (1,+\infty) \rightarrow Z>1 \rightarrow R_{g \circ f}=(1,+\infty)$

Графиком $f$ является

Графиком $g$ является

График $f \circ g$ это

График $g \circ f$ это

Пример:
Если $f(x)=x-1$ and $(f \circ g)_{(x)}=\dfrac{1}{x-1}$, то найти область определения и множество значений $g \circ f$.

Решение:
Сначала найдем $ g \circ f$

$f(x)=x-1 \rightarrow f(g(x))=g(x)-1 \rightarrow (f \circ g)_{(x)}=g(x)-1 \rightarrow \\ \dfrac{1}{x-1}=g(x)-1 \rightarrow g(x)=\dfrac{x}{x+1}$

Значит

$y=(g \circ f)_{(x)}=g(f(x))=\dfrac{f(x)}{f(x)-1}=\dfrac{x-1}{x+1}$

Следовательно

$D_{g \circ f}=\lbrace x|x \in \mathbb{R}, x \neq 2 \rbrace \rightarrow D_{g \circ f}=\mathbb{R}-\lbrace 2 \rbrace$

Также

$y=\dfrac{x-1}{x-2} \rightarrow x=\dfrac{2y-1}{y-1}$

$R_{g \circ f}=\lbrace y | y \in \mathbb{R}, y \neq 1 \rbrace \rightarrow$

$R_{g \circ f}=\mathbb{R}-\lbrace 1 \rbrace$

График $f$ это

График $f \circ g$ это

Графиком $g$ является

Графиком $g \circ f$ является

Упражнения

1) Если $f(x)=2^{\log_2 x}$ and $g(x)=\dfrac{x-1}{x^2-x}$, то найти область определения и множество значений $f \circ g$.2 2kx \,\,\, -1 \leq \sin 2kx \leq 1$

$\rightarrow \sin 2kx= \pm 1 \rightarrow y=\dfrac{1}{4} , \sin 2x=0 \rightarrow y=1$

$\rightarrow \dfrac{1}{4} \leq y \leq 1 \rightarrow R_f=[\dfrac{1}{4},1]$

Part 1

Модуль math | Python 3 для начинающих и чайников

Модуль math – один из наиважнейших в Python. Этот модуль предоставляет обширный функционал для работы с числами.

math.ceil(X) – округление до ближайшего большего числа.

math.copysign(X, Y) — возвращает число, имеющее модуль такой же, как и у числа X, а знак — как у числа Y.

math.fabs(X) — модуль X.

math.factorial(X) — факториал числа X.

math.floor(X) — округление вниз.

math.fmod(X, Y) — остаток от деления X на Y.

math.frexp(X) — возвращает мантиссу и экспоненту числа.

math.ldexp(X, I) — X * 2i. Функция, обратная функции math.frexp().

math.fsum(последовательность) — сумма всех членов последовательности. Эквивалент встроенной функции sum(), но math.fsum() более точна для чисел с плавающей точкой.

math.isfinite(X) — является ли X числом.

math.isinf(X) — является ли X бесконечностью.

math.isnan(X) — является ли X NaN (Not a Number — не число).

math.modf(X) — возвращает дробную и целую часть числа X. Оба числа имеют тот же знак, что и X.

math.trunc(X) — усекает значение X до целого.

math.exp(X) — eX.

math.expm1(X) — eX — 1. При X → 0 точнее, чем math.exp(X)-1.

math.log(X, [base]) — логарифм X по основанию base. Если base не указан, вычисляется натуральный логарифм.

math.log1p(X) — натуральный логарифм (1 + X). При X → 0 точнее, чем math.log(1+X).

math.log10(X) — логарифм X по основанию 10.

math.log2(X) — логарифм X по основанию 2. Новое в Python 3.3.

math.pow(X, Y) — XY.

math.sqrt(X) — квадратный корень из X.

math.acos(X) — арккосинус X. В радианах.

math.asin(X) — арксинус X. В радианах.

math.atan(X) — арктангенс X. В радианах.

math.atan2(Y, X) — арктангенс Y/X. В радианах. С учетом четверти, в которой находится точка (X, Y).

math.cos(X) — косинус X (X указывается в радианах).

math.sin(X) — синус X (X указывается в радианах).

math.tan(X) — тангенс X (X указывается в радианах).

math.hypot(X, Y) — вычисляет гипотенузу треугольника с катетами X и Y (math.sqrt(x * x + y * y)).

math.degrees(X) — конвертирует радианы в градусы.

math.radians(X) — конвертирует градусы в радианы.

math.cosh(X) — вычисляет гиперболический косинус.

math.sinh(X) — вычисляет гиперболический синус.

math.tanh(X) — вычисляет гиперболический тангенс.

math.acosh(X) — вычисляет обратный гиперболический косинус.

math.asinh(X) — вычисляет обратный гиперболический синус.

math.atanh(X) — вычисляет обратный гиперболический тангенс.

math.erf(X) — функция ошибок.

math.erfc(X) — дополнительная функция ошибок (1 — math.erf(X)).

math.gamma(X) — гамма-функция X.

math.lgamma(X) — натуральный логарифм гамма-функции X.

math.pi — pi = 3,1415926…

math.e — e = 2,718281…

Графики функций и поверхностей в Python Питон Matplotlib

Построение графиков с помощью модуля Matplotlib в Python Питон.

В этом уроке мы разберём, как строить графики функций с помощью модуля Matplotlib в Python Питон.
Matplotlib это библиотека для Python, предназначенная для визуализации данных. В данном уроке мы разберём построение графиков функций в Питон на плоскости и построение поверхности в трёхмерном пространстве. Зачастую, именно Matplotlib используется в научных исследованиях и конференциях для демонстрации полученных данных.

Для построения графиков нужно импортировать модуль Pyplot. Pyplot это модуль для работы с графиками в Питоне. Pyplot это набор команд, созданных для построения графиков функций и уравнений. Для удобного построения графиков так же нужно использовать библиотеку NumPy.
Matplotlib, как и NumPy, встроен в среду разработки Spyder, поэтому их можно импортировать без предварительной установки.
import numpy as np

import matplotlib.pyplot as plt
as np и as plt означает, что когда мы будем вызывать функции и процедуры из модулей, вместо названия модулей мы будем использовать np и plt.

Для построения графика функции в Python нужно задать саму функцию. Её можно задать с помощью лямбда-функции. Лямбда-функция — это краткий способ записи обычной функции в одну строчку. В этом уроке мы рассмотрим построение синусоиды на Питоне. Синусоида задаётся функцией f(x) = sin(x).
y = lambda x: np.sin(x)
y это обозначение функции (для её вызова мы будем использовать y(x)), lambda это ключевое слово, обозначающее начало задания лямбда-функции, x это аргумент, использующийся в функции, после двоеточия задаётся функция. Так как в стандартном Python нет функции, возвращающей синус x, мы его задаём с помощью NumPy, его мы импортировали под именем np.

Все действия в Pyplot производятся на рисунках. Для построения графика функции в Python нужно сначала задать сетку координат. Сетка координат в python задается с помощью команды  plt.subplots().

fig = plt.subplots()

Мы должны определить область значений, на которой мы будем строить график функции в Питоне. Это делается с помощью linspace.
x = np.linspace(-3, 3, 100)
linspace создаёт массив с нижней границей -3 и верхней границей 3, в созданном массиве будет 100 элементов. Чем больше будет последнее число, тем больше значений функции будет рассчитываться, тем точнее будет отображаться график в Python.

После того, как мы создали систему координат, область построения, мы можем построить график в Питон. Для построения графика фуекции в Python нужно использовать команду plt.plot(x, y(x)), где x это аргумент, y(x) это функция от x, заданная с помощью лямбда-выражения.
plt.plot(x, y(x))

После того, как мы построили  график в Python, нужно показать его на рисунке. Для этого используется plt.show().
Полный код программы на python для рисования графика функции
# импортируем модули

import numpy as np

import matplotlib.pyplot as plt

# функция

y = lambda x: np.sin(x)

# создаём рисунок с координатную плоскость

fig = plt.subplots()

# создаём область, в которой будет

# — отображаться график

x = np.linspace(-3, 3,100)
# значения x, которые будут отображены

# количество элементов в созданном массиве

# — качество прорисовки графика 

# рисуем график

plt.plot(x, y(x))

# показываем график

plt.show()

Получим график синусоиды в python в отдельном окне

 

Отображение нескольких графиков на одном рисунке в Python

В одной области в python можно отобразить графики нескольких функций. Добавим aeyrwb. y=x  и нарисуем ее совместно с синусоидой.

Для этого введем еще одну функцию с помощью lambda
y1=lambda x: x

Построим график этой функции
plt.plot(x,y1(x))
В итоге программа в Python для построения графиков двух функций в одном окне

# импортируем модули

import numpy as np

import matplotlib.pyplot as plt

# функция

y = lambda x: np.sin(x)

y1=lambda x: x

# создаём рисунок с координатную плоскость

fig = plt.2

от двух аргументов. Аргументы x и y, функция z.
f = lambda x, y: x ** 2 — y ** 2

Чтобы начать рисовать трехмерные поверхности в Python нужно сначал задать область построения с помощью функции  plt.figure принимает параметр figsize(x, y), где x и y – ширина и высота рисунка в дюймах. Создадим рисунок в Python размером 12×6 дюймов для отображения графиков
fig = plt.figure(figsize = (12, 6))

В построенной области мы создадим рисунок, в котором будут отображено трёхмерное пространство с координатными осями и сама поверхность. В Питоне для этого используется fig.add_subplot(). 
ax = fig.add_subplot(1, 1, 1, projection = ‘3d’)

Функция в Python fig.add_subplot() разбивает область построения на клетки и задает в какой клетке рисовать трехмерный график. Так команда ax = fig.add_subplot(1, 1, 1, projection = ‘3d’) разбивает область построения на две клтки и в первую клетку будет отображаться трехмерный гарфик, благодаря аргументу projection = ‘3d’ 

Введём области отображения функции для каждого аргумента в Питон.
xval = np.linspace(-5, 5, 100)

yval = np.linspace(-5, 5, 100)

Нужно создать поверхность, которая будет отображаться на рисунке в Python. Для этого используется
surf = ax.plot_surface(x, y, z, rstride = 4, cstride = 4, cmap = cm.plasma)

Где x и y это принимаемые аргументы, z это получаемая функция, rstride и cstride отвечает за шаг прорисовки поверхности в Питон, чем меньше будут эти значения, тем более плавно будет выглядеть градиент на поверхности. С помощью cmap.plasma поверхность будет отображаться с цветовой схемой plasma. Например, существуют цветовые схемы, такие как viridis и magma. Полный список цветовых схем есть на сайте Matplotlib.
Пример программы на Python построение поверхности в трёхмерном пространстве# импортируем модули

from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D

import numpy as np

from matplotlib import cm

import matplotlib.pyplot as plt

# уравнение поверхности

f = lambda x, y: x ** 2 — y ** 2

# создаём полотно для рисунка

fig = plt.figure(figsize = (10, 10))

# создаём рисунок пространства с поверхностью

ax = fig.add_subplot(1, 1, 1, projection = ‘3d’)

# размечаем границы осей для аргументов

xval = np.linspace(-4, 4, 100)

yval = np.linspace(-4, 4, 100)

# создаём массив с xval столбцами и yval строками

# — в этом массиве будут храниться значения z

x, y = np.meshgrid(xval, yval)

# приравниваем z к функции от x и y 

z = f(x, y)

# создаём поверхность

surf = ax.plot_surface(

# отмечаем аргументы и уравнение поверхности

x, y, z, 

# шаг прорисовки сетки

# — чем меньше значение, тем плавнее

# — будет градиент на поверхности

rstride = 10,

cstride = 10,

# цветовая схема plasma

cmap = cm.plasma)

Получим график трехмерной поверхности в цветовой гамме в специальном окне

Изменим параметры построения трехмерной поверхности, уменьшим размер сетик, сделаем поверхность более плавной и точной для этого уменьшаем параметры и сменим цветовую гамму на viridis

rstride = 2,

cstride = 2,

cmap = cm.viridis)

Получим график трехмерной поверхности в Python более точный и в другой цветовой гамме

Вернуться к содержанию курса python Следующая тема Классы в Питон

Поделиться:

 

 

График функции sin(x)

Все онлайн калькуляторы

На сайте собраны калькуляторы, конвертеры, формулы, справочники, таблицы и много другой полезной и нужной информации для учёбы и работы.

Что такое синус угла

Синус угла — это отношение противолежащего катета BC к гипотенузе AB

\[ \LARGE sin \alpha = \frac{BC}{AB} \]

График синуса

График функции y = sin x отображает информацию с тригонометрического круга. По оси абцисс угол в радианах, по оси ординат синус угла. Пунктирная кривая это график функции y = sin x на промежутке [0; 2].

График синуса на всей числовой оси получается периодическим повторением данного фрагмента.Как видим, данный график симметричен относительно оси Y .

График функции sin(x)

В вашем браузере отключен Javascript.
Чтобы произвести расчеты, необходимо разрешить элементы ActiveX!
Больше интересного в телеграм @calcsbox

Поделитесь с другими:

Если материал понравился Вам и оказался для Вас полезным, поделитесь им со своими друзьями!

Читать по теме

Интересные статьи

  • 1 mBTC это сколько BTC ? Чему равен 1 сатоши ? Что такое сатоши ?

    Bitcoin, Биткойн, часто Биткоин (от англ. bit — единица информации «бит», англ. coin — «монета») — пиринговая (как торрент или e-mule) электронная платёжная система, использующая одноимённую виртуальную валюту.

  • Сколько метров в километре?

    В одном километре содержится тысяча метров. 1 км = 1000 м

  • Старинные русские меры длины, веса, объёма

    Система древнерусских мер длины включала в себя следующие основные меры: версту, сажень, аршин, локоть, пядь и вершок.

  • Что такое Ампер

    1 Ампер это сила тока, при которой через проводник проходит заряд 1 Кл за 1 сек.

  • Операции над числами
  • Формула периметра трапеции

    Периметр трапеции равен сумме длин всех четырех сторон

  • Сколько весит воздух?

    Воздух – это смесь газов, и которых состоит атмосфера нашей планеты Земля. Воздух состоит из азота (около 80% объема) , кислорода, благородных газов, даже углекислого газа.

  • Что такое масса, вес нетто и вес брутто: в чем разница? Что больше: вес, масса нетто или брутто?

    Вес — это физическая величина, а именно сила, воздействующая на горизонтальную поверхность или вертикальную подвеску.

1. Графики y = a sin x и y = a cos x

М. Борна

(a) Синусоидальная кривая

y = a sin t

Мы видим синусоидальные кривые во многих естественных явлениях, таких как волны на воде. Когда волны имеют больше энергии, они поднимаются и опускаются более энергично. Мы говорим, что они имеют большую амплитуду .

Исследуем форму кривой
л =
a sin t и посмотрите, что означает понятие «амплитуда ».

Поиграйте со следующим интерактивом.

Синусоидальная кривая Интерактивный

Вы можете изменить радиус окружности (который изменяет амплитуду синусоидальной кривой) с помощью ползунка.

Масштаб по горизонтальной оси t (и по окружности) составляет радиана . Помните, что π радиан — это `180 °`,
поэтому на графике значение «pi = 3,14» на оси t представляет «180 °», а «2pi = 6,28» эквивалентно «360 °».

Остановка

t = θ = 0

y = 70 sin (0) = 0

Авторские права © www.intmath.com Частота кадров: 0

Вы заметили?

  • Форма синусоидальной кривой образует регулярный узор (кривая повторяется после одного поворота колеса). Мы говорим, что такие кривые периодические . Период — это время, необходимое для прохождения одного полного цикла.
  • В интерактивном режиме, когда радиус круга составлял «50» единиц, кривая увеличивалась до «50» единиц и снижалась до «-50» на оси y . Эта величина синусоиды называется амплитудой графика . Это показывает, сколько энергии участвует в отображаемой величине. Более высокая амплитуда означает большую энергию.
  • Угол поворота в радианах совпадает со временем (в секундах). Подробнее о радианах. Все графики в этой главе относятся к углам в радианах.Радианы гораздо более полезны в инженерии и науке, чем ученые степени.
  • Когда угол находится в первом и втором квадрантах, синус положительный, а когда угол находится в 3-м и 4-м квадрантах, синус отрицательный.

[Источники: приведенная выше анимация в общих чертах основана на демонстрационном графике HumbleSoftware.]

Амплитуда

« a » в выражении y =
а грех
x представляет собой амплитуду графика.Это показатель того, сколько энергии содержит волна.

Амплитуда — это расстояние от положения «покоя» (также известного как среднее значение или среднее значение ) кривой. В интерактивном режиме выше амплитуда может быть изменена от «10» до «100» единиц.

Амплитуда всегда равна положительной величине . Мы могли бы написать это, используя знаки абсолютного значения. Для кривой y = a sin x ,

амплитуда `= | a |`

График синуса

x — с разной амплитудой

Начнем с y = sin x .

Имеет амплитуду `= 1` и период ` = 2pi`.

График `y = sin (x)` для `0 ≤ x ≤ 2pi`

Теперь посмотрим на график y = 5 sin x .

На этот раз амплитуда = 5, а период = 2 π . (Я использовал другой масштаб на оси и ).

График `y = 5sin (x)` для `0 ≤ x ≤ 2pi`

А теперь для y = 10 sin x .

Амплитуда = 10 и период = 2 π .

График `y = 10sin (x)` для `0 ≤ x ≤ 2pi`

Для сравнения, используя ту же шкалу осей y , вот графики

p ( x ) = sin x ,
q ( x ) = 5 sin x и
r ( x ) = 10 sin x

на одном комплекте осей.

Обратите внимание, что графики имеют тот же период (который равен «2pi»), но разные
амплитуда .

Графики `p (x), q (x)` и `r (x)` для `0 ≤ x ≤ 2pi`

(б) График косинуса

x — с разными амплитудами

Теперь посмотрим, как выглядит график y = a cos x . На этот раз угол отсчитывается от положительной вертикальной оси.

Косинусная кривая Интерактивный

Подобно синусоидальному интерактиву вверху страницы, вы можете изменить амплитуду с помощью ползунка.

Нажмите «Пуск», чтобы увидеть анимацию[email protected]) `.

Значение функции косинуса положительно в первом и четвертом квадрантах (помните, что на этой диаграмме мы измеряем угол от вертикальной оси) и отрицательно во 2-м и 3-м квадрантах.

Теперь посмотрим на график простейшей косинусной кривой,
y = cos x (= 1 cos x ).

График `y = cos (x)` для `0 ≤ x ≤ 2pi`

Отметим, что амплитуда `= 1` и период ` = 2π`.

Аналогично тому, что мы сделали с y = sin x выше, теперь мы видим графики

  • p ( x ) = cos
    х
  • q ( x ) = 5 cos
    х
  • r ( x) = 10 cos
    х

на одном комплекте осей, для сравнения:

Графики `p (x), q (x)` и `r (x)` для `0 ≤ x ≤ 2pi`

Примечание. Для косинусоидальной кривой, как и для синусоидальной кривой, период каждого графика одинаков (2pi), но
амплитуда изменилась.

Упражнения

Нарисуйте один цикл следующего без , используя
таблица значений! (Важно знать форму из этих
графики — не то, чтобы можно было соединять точки!)

Каждый имеет период «2 пи». Мы узнаем больше о периоде в следующем разделе Графики y = a sin bx.

В примерах используется t в качестве независимой переменной. В электронике переменная чаще всего составляет t .

1) i = sin t

Ответ

i = sin t

Мы видели эту кривую выше, за исключением того, что теперь мы используем i для тока и t для времени.Это очень распространенные переменные в тригонометрии.

График `i = sin (t)` для `0

Период = 2 π

Амплитуда `= 1`

2) v = cos t

Ответ

v = cos t

Мы снова видели эту кривую выше, за исключением того, что теперь мы используем v для напряжения и t для времени.

График `v = cos (t)` для `0

Период = 2 π

Амплитуда `= 1`

3) и = 3
sin т

Ответ

i = 3 sin t

График `i = 3sin (t)` для `0

Период = 2 π

Амплитуда `= 3`

4) E = −4
cos т

Ответ

E = −4 cos t

Переменная E используется для «электродвижущей силы», другого термина для обозначения напряжения.

График `E = -4cos (t)` для `0

Период = 2 π

Амплитуда `= 4`

Обратите внимание, что:

  • Отрицательный знак перед косинусом приводит к переворачиванию кривой косинуса «вверх ногами». То есть это зеркальное отображение по горизонтальной оси t .
  • Амплитуда — положительное число (это расстояние)

график sinx | график y = sin x

График sin x является периодической функцией с периодом 2π.Итак, мы нарисуем график y = sin (x) в интервале [0,2π]. График синуса выглядит так. Чтобы нарисовать график y = sin (x), мы будем использовать следующие шаги:
1) Нарисуйте ось Y с 0,1, -1 … на ней.
2) От начала координат проведите ось X.
a) если вам нужен график в π, отметьте точки π / 2, π, 3π / 2, 2π и т. Д.
Как мы знаем, sin (π) = 0, поэтому синусоида будет пересекаться в точках π, 2π, 3π и т. Д.
б) Если вы хотите, чтобы график был на числовой прямой, отметьте точки 1,2,3,4.{0} $ или 2π.
3) y = a sin (x) амплитуда ‘a’ равна 1, поэтому кривая будет до (0,1). Если y = 2 sin (x), то амплитуда будет 2, поэтому кривая будет до (0,2).
Здесь ask-math объясняет синусоиду только в радианах.
Шаг 1: Проведите ось Y и отметьте точки 0,1 и -1, поскольку амплитуда для графика y = sin (x) равна 1. Нарисуйте ось x от 0 и отметьте точки π, 2π, 3π. ..etc.Шаг 2: Поскольку sin (0) = 0, то синусоидальный график начинается с начала координат, или вы можете сказать, что синусоидальный график пересекает ось X в точке (0,0).
И sin (π / 2) = 1, что является максимумом для этого конкретного графика, поскольку амплитуда равна 1, поэтому синусоида достигает [π / 2,1].
аналогично sin (3π / 2) = -1, который максимален вдоль отрицательной оси Y, так что синусоида составляет до [3π / 2, -1].
Примечание: для y = 2 sin x амплитуда равна 2, а sin (π / 2) = 1, поэтому синусоида составляет до [π / 2,2] на положительной оси Y и [3π / 2, — 2] по отрицательной оси Y.
Поскольку sin x является возрастающей функцией, мы получаем график y = sin x в интервале [0, π / 2].Мы рисуем график y = sin x, используя тот факт, что sin (π- x) = sin x. Итак, наконец, мы рисуем его в интервале [π, 2π], используя тот факт, что sin (π + x) = -sin x, что означает, что график y = sin x в [π, 2π] является зеркальным отображением график y = sin x в [0, π].

Практика на графике sinx

1) Каков период y = 2 sin (x).
2) Запишите амплитуду y = 3 sin (x).
3) Нарисуйте график y = 2 sin (x). Математика 11-го класса

От графика sinx к дому

Covid-19 привел мир к феноменальному переходу.

Электронное обучение — это будущее уже сегодня.

Оставайтесь дома, оставайтесь в безопасности и продолжайте учиться !!!

Covid-19 повлиял на физическое взаимодействие между людьми.

Не позволяйте этому влиять на ваше обучение.

043TrigDerivatives.lbz

043TrigDerivatives.lbz

Предел sin x / x, когда x достигает 0

Через несколько минут нам будет важно узнать, что

есть.Вот график функции около 0.

График предполагает, что предел должен быть равен 1. Как мы можем доказать, что это правда?

Функция, предел которой мы берем, страдает ошибкой 0/0. До этого момента мы решали задачи 0/0, обращаясь к алгебре с целью вычленить общие термины, вызывающие проблему 0/0, а затем исключить их. К сожалению, этот вариант для нас недоступен.Вместо этого наша стратегия будет основана на теореме сжатия.

Теорема сжатия

Пусть g и две функции, которые сходятся к одному и тому же пределу:

If — функция, удовлетворяющая

для всех x , затем

Доказательство предела sin x / x

Доказательство того, что предел sin x / x , когда x приближается к 0, равен 1, будет использовать теорему сжатия. В частности, мы собираемся сравнить три области, которые зависят от x, и посмотреть, что происходит с этими областями, когда x переходит в 0.На рисунке ниже показаны три области, вписанные в круг радиусом 1.

Первая и самая маленькая область представляет собой сектор в форме пирога, ограниченный точками A, O и C. Средняя область представляет собой треугольник, ограниченный точками A, O и P. Внешняя область представляет собой сектор в форме пирога. сектор, ограниченный точками B, O и P. Из рисунка видно, что независимо от значения угла x , мы имеем

площадь сектора OAC <площадь треугольника OAP <площадь сектора OBP

(1)

Далее нам нужно определить площади этих областей как функцию x .Чтобы вычислить площади двух секторов, мы можем использовать аргумент пропорциональности: поскольку площадь всего круга с радиусом r равна, площадь сектора с радиусом r и центральным углом x равна

, потому что сектор представляет собой часть площади всего круга.

Чтобы вычислить площадь сектора OAC, нам нужно знать радиус этого сектора. Этот радиус определяется длиной линии от O до A. Мы можем использовать простой триггер, чтобы вычислить эту длину, как показано на рисунке ниже.

Поскольку гипотенуза треугольника OAC имеет длину 1, длина стороны OA равна cos x . Таким образом,

(2)

Мы можем определить площадь треугольника OAP следующим образом:

(3)

Поскольку внешний сектор имеет радиус 1 и центральный угол x, мы имеем

(4)

Объединение неравенства (1) с уравнениями (2), (3) и (4) дает

Напомним, что нас интересует значение sin x / x .Чтобы эта величина появилась в среднем выражении, разделим на 1/2 x cos x . Результат

Наконец, если мы воспользуемся тем фактом, что

, что приводит к

Получаем

и по теореме сжатия имеем

Предел (1 — cos x) / x, когда x стремится к 0

Близкая проблема, которую можно решить аналогичным методом, —

.

Текст дает очень хорошее доказательство того, что этот предел равен 0:

.

Альтернативная геометрическая проба

Если вы предпочитаете более геометрическое доказательство того, что этот предел равен 0, вот оно.Для начала нарисуем фигуру, на которой будет основано доказательство.

Окружность имеет радиус 1, а угол POA равен. Доказательство основано на соотношении

и поведение этого отношения по мере того, как угол приближается к 0. Первое, что следует отметить, это то, что, поскольку оба расстояния положительны, отношение будет больше 0. Если вы определите длины этих двух вещей, вы обнаружите, что

— именно то количество, которое нас интересует.Следующим шагом будет замена длины дуги от B до P на длину отрезка от B до P. Поскольку отрезок всегда будет короче дуги, выполнение этого переключения увеличит значение дробной части в целом. . У нас

Следующее, что нужно сделать, — это вычислить длины двух сегментов дроби справа. Мы уже знаем, что

Осталось только выяснить, какова длина отрезка ВР. Для этого рисуем более подробную картину треугольника ОБП.

Поскольку треугольник OBP является равнобедренным треугольником (обе стороны OB и OP имеют длину 1), мы можем видеть, что углы в точках B и P должны быть одинаковыми . Так как углы должны складываться до, получаем

или

Теперь посмотрим на соотношение, которое нам нужно понять:

Как только мы узнаем угол OBP, мы можем использовать тот факт, что треугольник ABP является прямоугольным, чтобы увидеть

Таким образом, мы имеем

В пределе, равном 0, мы видим, что член полностью вправо переходит в 0.Поскольку то, что нас интересует, оказывается в ловушке между двумя объектами, которые оба стремятся к нулю, он также должен упасть до 0.

Производные от

sin x и cos x

Мы можем использовать определение производной для вычисления производных элементарных триггерных функций.

Теорема Функция sin x дифференцируема везде, и ее производная равна cos x .

Proof И снова мы работаем от определения.

Единственная манипуляция, которая напрашивается сама собой, — это использовать формулу сложения для синуса, чтобы расширить член sin (x + h) .

Последнее естественным образом распадается на пределы, которые мы можем вычислить.

= cos x

Вы можете дополнительно убедиться в том, что производная синуса является косинусом, посмотрев на изображение двух функций, построенных рядом. В каждой точке наклон кривой sin x определяется производной, а именно cos x.Действительно, вы можете видеть, что когда sin x имеет нулевой наклон, косинус имеет значение 0 и так далее.

Аналогичные методы получат нас

Теорема Функция cos x везде дифференцируема, и ее производная равна -sin x .

Доказательство Из определения имеем

= -sin x

Производные других триггерных функций

Мы могли бы перейти к вычислению производных всех других триггерных функций из определения производной, но нет причин так усердно работать.Поскольку любая другая триггерная функция может быть выражена как комбинация синуса и косинуса, мы можем объединить два последних результата с правилами дифференцирования, которые мы разработали в прошлый раз.

Например, чтобы вычислить производную касательной, мы вычисляем

Применяем правило частного

Домашнее задание

Раздел 3.4: 3, 4, 9, 10, 18, 30, 33, 46

Производная абсолютного значения Sinx

ПРОИЗВОДНАЯ ОТ АБСОЛЮТНОЙ СТОИМОСТИ ГРЕХА X

В этом разделе мы узнаем, как найти производную от абсолютного значения (sinx).

Пусть | f (x) | — функция абсолютного значения.

Тогда формула для нахождения производной | f (x) | приведен ниже.

На основе данной формулы найдем производную от абсолютного значения sinx.

Производная от | sinx | :

| sinx | ​​’ = [Sinx / | sinx |] ⋅ (sinx) ‘

| sinx |’ = [sinx / | sinx |] ⋅ cosx

| sinx | ​​’ = (Sinx ⋅ cosx) / | sinx |

Производная абсолютного значения других тригонометрических функций

Производная от | cosx | :

| cosx | ‘ = [Cosx / | cosx |] ⋅ (cosx) ‘

| cosx |’ = [Cosx / | cosx |] ⋅ (-sinx)

| cosx | ‘ = — (sinx ⋅ cosx) / | cosx |

Производная от | tanx | :

| tanx | ‘ = [Tanx / | tanx |] ⋅ (tanx) ‘

| tanx |’ = [tanx / | tanx |] ⋅ sec²x

| tanx | ‘ = Сек 2 x ⋅ tanx / | tanx |

Производная от | cscx | :

| cscx | ‘ = [Cscx / | cscx |] ⋅ (cscx) ‘

| cscx |’ = [Cscx / | cscx |] ⋅ (-cscx ⋅ cotx)

| cscx | ‘ = — (csc 2 x ⋅ cotx) / | cscx |

Производная от | secx | :

| secx | ‘ = [Secx / | secx |] ⋅ (secx) ‘

| secx |’ = [Secx / | secx |] ⋅ (secx ⋅ tanx)

| secx | ‘ = — (sec 2 x ⋅ tanx) / | secx |

Производная от | cotx | :

| cotx | ‘ = [Cotx / | cotx |] ⋅ (cotx) ‘

| cotx |’ = [Cot / | cotx |] ⋅ (-csc 2 x)

| cotx | ‘ = — (csc 2 x ⋅ cotx) / | cotx |

Кроме того, что описано в этом разделе, если вам нужны другие математические данные, воспользуйтесь нашим пользовательским поиском Google здесь.

Если у вас есть какие-либо отзывы о наших математических материалах, напишите нам:

[email protected]

Мы всегда ценим ваши отзывы.

Вы также можете посетить следующие веб-страницы, посвященные различным вопросам математики.

ЗАДАЧИ СО СЛОВАМИ

Задачи со словами HCF и LCM

Задачи со словами на простых уравнениях

Задачи со словами на линейных уравнениях

Задачи со словами на квадратных уравнениях

13 Алгебраные задачи на слова

Проблемы со словами в поездах

Проблемы со словами по площади и периметру

Проблемы со словами по прямой и обратной вариации

Проблемы со словами по цене за единицу

Проблемы со словами по цене за единицу

Word задачи по сравнению ставок

Преобразование обычных единиц в текстовые задачи

Преобразование метрических единиц в текстовые задачи

Проблемы со словами по простым процентам

Проблемы со словами по сложным процентам

Проблемы со словами по типам ngles

Проблемы с дополнительными и дополнительными углами в словах

Проблемы со словами с двойными фактами

Проблемы со словами в тригонометрии

Проблемы со словами в процентах

Проблемы со словами о прибылях и убытках

Разметка и разметка Задачи

Задачи с десятичными словами

Задачи со словами о дробях

Задачи со словами о смешанных фракциях

Одношаговые задачи о словах с уравнениями

Проблемы со словами о линейных неравенствах

Слово соотношения и пропорции задачи

Проблемы со временем и рабочими словами

Проблемы со словами на множествах и диаграммах Венна

Проблемы со словами для возрастов

Проблемы со словами по теореме Пифагора

Процент числового слова pr проблемы

Проблемы со словами при постоянной скорости

Проблемы со словами при средней скорости

Проблемы со словами на сумме углов треугольника 180 градусов

ДРУГИЕ ТЕМЫ

Сокращения прибылей и убытков

Сокращение в процентах

Сокращение в таблице времен

Сокращение времени, скорости и расстояния

Сокращение соотношения и пропорции

Область и диапазон рациональных функций

Область и диапазон рациональных функций функции с отверстиями

График рациональных функций

График рациональных функций с отверстиями

Преобразование повторяющихся десятичных знаков в дроби

Десятичное представление рациональных чисел

Нахождение квадратного корня с помощью long di зрение

L.Метод CM для решения временных и рабочих задач

Преобразование задач со словами в алгебраические выражения

Остаток при делении 2 в степени 256 на 17

Остаток при делении 17 в степени 23 на 16

Сумма всех трехзначных чисел, делимых на 6

Сумма всех трехзначных чисел, делимых на 7

Сумма всех трехзначных чисел, делимых на 8

Сумма всех трехзначных чисел, образованных с использованием 1, 3 , 4

Сумма всех трех четырехзначных чисел, образованных ненулевыми цифрами

Сумма всех трех четырехзначных чисел, образованных с использованием 0, 1, 2, 3

Сумма всех трех четырехзначных чисел числа, образованные с использованием 1, 2, 5, 6

Домен, диапазон и состав функций

Домен, диапазон и состав функций

Область, диапазон и состав функций


Студентам было предложено дать решение второй задачи для
третий семинар.Центральным аспектом этой проблемы было рассмотрение
сложной формулы, определяющей функцию. Формула была
состав из 4 (а может и 5, в зависимости от того, как вы «читаете»)
функции. Каждая вещь была «легкой» или (по крайней мере, я надеялся) хорошо
известен. Это были:
ln arctan в кубе (формула: x 3 ) квадратный корень (ing) (формула:
sqrt (x) или x & frac12 ) минус 1 (формула: x – 1)

Судя по решениям, которые я читал, это был очень сложный
проблема.Я не предполагал, что решение будет таким недоступным и
сложно писать. Может быть, здесь я могу показать более простые примеры
состав, и вы можете увидеть, в чем заключаются трудности. Мастерская
проблема была довольно сложной.

Итак, давайте посмотрим на область, диапазон и графики двух функций: I
надеюсь, что то, что следует здесь, вам знакомо. После этого мы увидим некоторые
примеры композиций и обсудить, что происходит с доменами,
диапазоны и графики.

синус
График периодический и повторяется каждые 2Π.я
думаю, эта функция должна быть вам знакома.
Домен
Все реальные номера: R ,
также записывается как (–∞, + ∞). Мы можем
введите любое действительное число.
Диапазон
Выход из функционального блока «синус» (извините, правда
думайте так!) ограничено числами от –1 до 1,
включая обе конечные точки. Так что это [–1,1].
График
Или достаточно
в этом разобраться, надеюсь!

ln
Слева от оси Y нет ничего, а
то, что справа, на самом деле довольно «простое» — оно просто идет вверх, начиная с
От –∞ до + ∞.Надеюсь, это тоже знакомо.
Домен
Мы можем ввести только
положительные числа. Таким образом, домен равен (0, + ∞).
Диапазон
Выход для ln равен
неограниченный: возможно любое действительное число. Так что диапазон
R или (–∞, + ∞).
График
Или достаточно
в этом разобраться, надеюсь!

Теперь попробуем поработать с этими функциями. Я посмотрю на некоторые
композиции.

sin (ln (x))
Ну, логический «поток» выглядит примерно так:
x → ln (x) → sin (ln (x). Первая стрелка накладывает ограничение на
домен. Лучше не кормить ничем ≤0. Вторая стрелка
«возьмет» что угодно, потому что область синуса — это все
Р . Следовательно, область этой композиции
(0, ∞). А как насчет диапазона? Поскольку на выходе ln все
R , набор входов, которые «скармливаются» синусу, все реально
числа. И мы знаем, что набор результатов для этого
набор входных данных равен [–1,1].Так что я уверен, что вывод
sin (ln (x)), диапазон равен [–1,1].
Справа есть изображение графика y = sin (ln (x)), но предупреждение: этот график на самом деле намного сложнее
и страннее, чем то, что показано на этой картинке. График показан в
довольно обычное окно, с координатами x от 0 до 5 и y от
–1 к 1. Большая часть информации скрыта. Поскольку x приближается к 0
(в наших обозначениях x → 0 ), ln (x) убывает и
уменьшается и уменьшается, и дается все больше и больше отрицательных чисел
как входы в синус.Но затем синус колеблется. Получаем все выходы
соответствующие входам синуса (-∞, 0). Есть более точные
изображения ниже, которые также более запутаны.


Это менее обычное окно, в нем
что происходит для x в интервале [≈0, .5].
В этом окне x находится в [≈0, .05]. Есть еще шевеление и
вниз в качестве входных сигналов для синусоидального марша, кратного 2Π.
На самом деле существует бесконечно много колебаний вверх и вниз до
непосредственно справа от 0.Это все колебания синуса в
(–∞, 0) как бы переупаковывается все быстрее и быстрее при x → 0 + .
Я думаю, «колебание» более достойно, чем «покачивание»
но они означают то же самое.
Ну, вот и другая сторона, и сильно измененный горизонтальный масштаб.
(присмотритесь, пожалуйста). ln (x) возрастает при x → ∞, и на самом деле
все положительные действительные числа в конечном итоге становятся выходными. Ну это значит
что существует также бесконечно много колебаний , когда x становится
большие, но волны прибывают все медленнее и медленнее.Итак, вершины
неровности становятся все дальше и дальше друг от друга. Так что это тоже сбивает с толку
картина. Эти колебания представляют собой все колебания синуса в
(0, ∞) вроде переупакованы с другими часами, становятся медленнее
и медленнее.

лин (sin (x))
Попробуем это так: x → sin (x) → ln (sin (x)). Конечно есть
нет ограничений на входов на синус, но есть сильный
ограничение на входы в ln: они должны быть положительными. Итак, каждый интервал
где значения синуса (то, что я назвал , выводит )
не положительны, должны быть выброшены, чтобы эта композиция была
определенный.Посмотрим: в [0,2Π] синус положителен ровно в (0, Π)
(обратите внимание, что конечных точек там нет!), так что домен
ln (sin (x)) включает интервал (0, Π).
Вещи повторяются для каждого
кратное 2Π, поскольку синус периодичен с периодом 2Π и
поэтому область определения ln (sin (x) включает (2Π, 3Π) и
(4Π, 5Π) и (6Π, 7Π) и т.д.
домен также включает (–2Π, –Π) и
(–4Π, –3Π) и т. Д. Итак, домен такой странный
совокупность открытых интервалов длины Π, каждый из которых имеет расстояние
из следующего куска домена.

Но что может быть интереснее, так это ассортимент. В
значения синуса на (0, Π) — это просто числа от 0 до 1. Быть
точнее, эти числа представляют собой интервал (0,1]. Когда (0,1] скармливается
в ln, ну, мы только получаем, так как выводит значения, которые
соответствуют этим входам. Я знаю, что ln (1) равно 0. И я знаю
что ln имеет все отрицательные числа как выходы для чисел от 0 до
1. Таким образом, выходы для этой композиции равны (–∞, 0].
состав ln (sin (x)) не имеет ли НЕ
тот же диапазон, что и просто ln.Его диапазон составляет всего (–∞, 0], что значительно
меньший набор чисел.

Что вы должны извлечь из этого, пожалуйста?
Состав очень странный . Состав функций может сделать
как домен , так и диапазон функций меняется странно
способами. Ниже приводится краткое изложение того, что мы видели.

Функция Домен Диапазон
sin (x) (- & infin, ∞) [–1,1]
ln (x) (0, ∞) (- & infin, ∞)
sin (ln (x)) (0, ∞) [–1,1]
ln (sin (x)) ( 0, Π) и
все интервалы, полученные «перемещением» этого интервала на целые кратные
(положительное или отрицательное) из 2Π
(–∞, 0]

Дополнительные комментарии
Учащиеся сделали интересные и полезные комментарии в классе и после
класс об этом обсуждении.Эти комментарии были оценены.

Например, , как заметила г-жа О’Салливан,
что ее изображение (на графическом калькуляторе) y = ln (sin (x))
выглядело не так красиво и красиво, как на картинке выше. Этот
потому что (по сути) то, что делает калькулятор для отображения графика,
оценить функцию на 87 равных по горизонтали значениях в
ширину окна по горизонтали, а затем включить или подсветить, как
ну как можно пиксели, расположение на экране калькулятора,
соответствующие этим значениям.Если расстояние между образцами не совпадает
хорошо с кратными, которые важны для функции,
тогда изображение не будет хорошо выглядеть или не будет соответствовать фактическому
график функции. Справа — график, полученный путем выборки 87.
значения. Вы можете видеть, что части кривой не выглядят
одно и тоже. На моем графике выше было , а не , моя первая попытка создать
изображение для этих заметок. Мне действительно нужно около полдюжины
пытается. Картинка, которую я использовал, имела частоту дискретизации около 350 точек, и я
очень тщательно подбирали окно, чтобы картинка выглядела так
надо ! Технологии очень мощные, но компьютеры, как правило, умеют
именно то, что им велят делать.Иногда нужна осторожность!

Другой студент (имя которого я, к сожалению, не знаю) обсуждал
Проблема с семинаром у меня после нашего анализа функций здесь. В
Задача мастерской запрашивает домен и диапазон (arctan (ln (sqrt (x) -1))) 3 . Он сказал, что возможно
он мог только «беспокоиться» об арктане и кубе. Мой комментарий был таким
запись, в которой объясняется решение проблемы, потребует
рассмотреть все «кусочки» композиции, и что
объяснение должно быть довольно осторожным.В двух более простых
композиции, обсуждаемые здесь, я попытался объяснить, как соображения
домен и диапазон потребовали, чтобы мы рассмотрели обе задействованные функции и то, как
эти функции взаимодействовали друг с другом. Это взаимодействие обеспечивает
большинство раздражающих особенностей (извините, «интересные аспекты» могут быть
более дипломатичная фраза) примера. Итак, для задачи мастерской,
некоторое обсуждение взаимодействия каждой части композиции
нужно.


Обслуживает
greenfie @ math.rutgers.edu, последнее изменение — 02.10.2009.

Intensity — The Physics Hypertextbook

Обсуждение

зависимость интенсивности от амплитуды

Амплитуда звуковой волны может быть определена количественно несколькими способами, каждый из которых является мерой максимального изменения величины, которое происходит, когда волна распространяется через некоторый участок среды.

  • Амплитуды, связанные с изменением кинематических величин частиц, составляющих среду
    • Амплитуда смещения — это максимальное изменение положения.
    • Амплитуда скорости — это максимальное изменение скорости.
    • Амплитуда ускорения — это максимальное изменение ускорения.
  • Амплитуды, связанные с изменением объемных свойств сколь угодно малых областей среды
    • Амплитуда давления — это максимальное изменение давления (максимальное манометрическое давление).
    • Амплитуда плотности — это максимальное изменение плотности.

Измерение смещения также может оказаться невозможным.Для типичных звуковых волн максимальное смещение молекул в воздухе всего в сто или тысячу раз больше, чем у самих молекул — и какие технологии существуют для отслеживания отдельных молекул? Изменения скорости и ускорения, вызванные звуковой волной, одинаково трудно измерить в частицах, составляющих среду.

Колебания плотности незначительны и непродолжительны. Период звуковой волны обычно измеряется в миллисекундах. Есть несколько оптических методов, которые позволяют визуализировать интенсивные сжатия — разрежения, связанные с ударными волнами в воздухе, но это не те звуки, с которыми мы имеем дело в повседневной жизни.

Колебания давления, вызванные звуковыми волнами, гораздо легче измерить. Животные (в том числе люди) уже несколько сотен миллионов лет делают это с помощью устройств, называемых ушами. Люди уже около ста лет делают это электромеханически с помощью устройств, называемых микрофонами. Все типы амплитуд одинаково пригодны для математического описания звуковых волн, но амплитуды давления — это то, с чем мы, люди, наиболее тесно связаны.

В любом случае результаты таких измерений редко публикуются.Вместо этого измерения амплитуды почти всегда используются как необработанные данные в некоторых вычислениях. Когда это делается электронной схемой (например, схемами в телефоне, которые подключаются к микрофону), результирующее значение называется интенсивностью. Когда это выполняется нейронной цепью (например, цепями в вашем мозгу, которые соединяются с вашими ушами), возникающее в результате ощущение называется громкостью.

Интенсивность звуковой волны складывается из скорости и плотности передачи энергии. Это объективная величина, связанная с волной.Громкость — это реакция восприятия на физическое свойство интенсивности. Это субъективное качество, связанное с волной, и оно немного сложнее. Как правило, чем больше амплитуда, тем больше интенсивность, тем громче звук. Звуковые волны с большой амплитудой называют «громкими». Звуковые волны с малой амплитудой называют «тихими» или «мягкими». Слово «низкий» иногда также означает «тихий», но этого следует избегать. Используйте слово «низкий» для описания низкочастотных звуков.Громкость будет рассмотрена в конце этого раздела, после того, как будут определены термин уровень и его единица децибел.

По определению, интенсивность ( I ) любой волны является усредненной по времени мощностью (⟨ P ⟩), которую она передает на площадь ( A ) через некоторую область пространства. Традиционный способ указать усредненное по времени значение переменной величины — заключить его в угловые скобки (⟨⟩). Они похожи на символы «больше» и «меньше», но являются более высокими и менее заостренными.Это дает нам уравнение, которое выглядит так…

Единицей мощности в системе СИ является ватт, единицей измерения площади СИ является квадратный метр, поэтому единицей измерения интенсивности в системе СИ является ватт на квадратный метр. — единица, не имеющая специального названия.



Вт = Вт

м 2 м 2

интенсивность и смещение

Для простых механических волн, таких как звук, интенсивность связана с плотностью среды и скоростью, частотой и амплитудой волны.Это можно показать длинным ужасным расчетом. Если вы не хотите видеть, как делается колбаса, перейдите к уравнению непосредственно перед ярким столом.

Начнем с определения интенсивности. Замените мощность энергией (кинетической и упругой) с течением времени (один период для удобства).

I = K + U s ⟩ / T
А

Поскольку кинетическая и упругая энергии всегда положительны, мы можем разделить усредненную по времени часть на две части.

P ⟩ = K + U s
т
P ⟩ = К + U с
т т

Механические волны в сплошной среде можно рассматривать как бесконечный набор бесконечно малых связанных гармонических осцилляторов.Маленькие массы соединены с другими маленькими массами маленькими пружинами, насколько может видеть глаз. В среднем половина энергии в простом гармоническом осцилляторе кинетическая, а половина — упругая. Усредненная по времени полная энергия либо в два раза превышает среднюю кинетическую энергию, либо в два раза превышает среднюю потенциальную энергию.

P ⟩ = 2⟨ К = 2⟨ U с
т т

Давайте поработаем над кинетической энергией и посмотрим, куда она нас приведет.Он состоит из двух важных частей — массы и скорости.

K = ½ мв 2

Частицы в продольной волне смещаются из своего положения равновесия функцией, которая колеблется во времени и пространстве. Используйте для этого одномерное волновое уравнение.

s ( x , t ) = ∆ s sin



футов x ⎞⎤
⎟⎥
⎠⎦
λ

где…

s ( x , t ) = мгновенное перемещение в любом положении ( x ) и времени ( т, )
с = амплитуда смещения
ƒ = частота
λ = длина волны
π = всеми любимая математическая константа

Возьмите производную по времени, чтобы получить скорость частиц в среде (а не скорость волны в среде).

v ( x , t ) = s ( x , t )
т
v ( x , t ) = f s cos



футов x ⎞⎤
⎟⎥
⎠⎦
λ

Затем возведите его в квадрат.

v 2 ( x , t ) = 2 f 2 s 2 cos 2



футов x ⎞⎤
⎟⎥
⎠⎦
λ

По масс. Плотность, умноженная на объем, равна массе.Объем материала, о котором мы говорим, представляет собой коробку, площадь которой представляет собой поверхность, через которую распространяется волна, а длина — расстояние, на которое проходит волна. За один период волна продвинется вперед на одну длину волны (λ).

м = ρ V = ρ A λ

В объеме, охватываемом одной длиной волны, все частицы материи движутся с разной скоростью. Расчет необходим для объединения множества различных значений в одно интегрированное значение.Здесь мы имеем дело с периодической системой, повторяющейся снова и снова. Мы можем начать наш расчет в любое время, если закончим на один цикл позже. Для удобства выберем время равным нулю — начало синусоидальной волны.

λ
K ⟩ =

dK ( x , 0)
0
λ
K ⟩ =

½ (ρ A dx ) v 2 ( x , 0)
0
λ
K ⟩ =

½ (ρ A ) (4π 2 f 2 s 2 ) cos 2

— 2π x

dx
λ
0

Очистите константы.

½ (ρ A ) (4π 2 f 2 s 2 ) = 2π 2 ρ Af 2 s 2

Тогда работаем над интегралом. Это может показаться сложным, но это не так. Просто визуализируйте косинус-квадратную кривую, начерченную за один цикл. Видите, как он делит ограничивающий его прямоугольник на равные половины?

Высота этого прямоугольника равна единице (как в цифре 1 без единиц измерения), а его ширина равна одной длине волны.Это дает область в одну длину волны и половину области в половину длины волны.

λ


cos 2

— 2π x

dx = ½λ
λ
0

Сложите константы вместе с интегралом и разделите на один период, чтобы получить усредненную по времени кинетическую энергию.(Помните, что длина волны, разделенная на период, — это скорость волны.)

К =
(2π 2 ρ Af 2 s 2 ) (½λ)
1
т т
К = π 2 ρ Af 2 v s 2
т

На этом самая сложная часть завершена.Удвойте полученное выше уравнение и разделите на площадь…

I = п. = 2⟨ K ⟩ / T
А А
I = 2 (π 2 ρ Af 2 v s 2 )
А

Последний кусочек алгебры, и мы закончили.

I = 2π 2 ρ f 2 v s 2

Теперь у нас есть уравнение, которое связывает интенсивность ( I ) с амплитудой смещения (∆ s ).

Имеет ли смысл эта формула? Давайте посмотрим, как каждый из факторов влияет на интенсивность.

Факторы, влияющие на интенсивность звуковых волн
коэффициент комментария
I ∝ ρ Чем плотнее среда, тем интенсивнее волна.В этом есть смысл. Плотная среда помещает в любой объем больше массы, чем разреженная среда, а кинетическая энергия идет вместе с массой.
I f 2 Чем чаще волна вибрирует в среде, тем интенсивнее волна. Я вижу это мысленным взором. Тусклая волна, которая просто не приводит в движение среду, не несет в себе столько энергии, как волна, которая как сумасшедшая трясет среду.
I v Чем быстрее распространяется волна, тем быстрее она передает энергию.Здесь вы должны помнить, что интенсивность не столько измеряет количество переданной энергии, сколько измеряет скорость , с которой эта энергия передается.
I ∝ ∆ s 2 Чем больше амплитуда смещения, тем интенсивнее волна. Просто подумайте на мгновение об океанских волнах. Водная стена, вызванная ураганом, наносит гораздо больше урона, чем рябь в ванне. Метафора визуально некорректна, поскольку звуковые волны продольные, а океанские волны сложны, но интуитивно она верна.

Движение частиц можно описать в терминах смещения, скорости или ускорения. С этими величинами также может быть связана интенсивность. Мы только что завершили тяжелую работу по соотнесению интенсивности ( I ) с амплитудой смещения (∆ s ). Для полноты картины (и почему бы и нет) давайте также выведем уравнения для интенсивности в терминах амплитуды скорости (∆ v ) и амплитуды ускорения (∆ a ).

интенсивность и скорость

Как интенсивность соотносится с максимальной скоростью (амплитудой скорости)? Давай выясним.Начнем с одномерного волнового уравнения.

s ( x , t ) = ∆ s sin



футов x ⎞⎤
⎟⎥
⎠⎦
λ

Напомним, что скорость — это производная смещения по времени.

v ( x , t ) = s ( x , t )
т
v ( x , t ) = f s cos



футов x ⎞⎤
⎟⎥
⎠⎦
λ

Перед функцией косинуса стоит амплитуда скорости.

v = 2π f s

Решите это для амплитуды смещения.

Совсем недавно мы вывели уравнение для интенсивности через амплитуду смещения.

I = 2π 2 ρ f 2 v s 2

Объедините эти два уравнения…

I = 2π 2 ρ f 2 v

v 2

f

и упростить.

Теперь у нас есть уравнение, которое связывает интенсивность ( I ) с амплитудой скорости (∆ v ).

интенсивность и ускорение

Как интенсивность соотносится с максимальным ускорением (амплитудой ускорения)? Еще раз, давайте узнаем. И снова начнем с одномерного волнового уравнения.

s ( x , t ) = ∆ s sin



футов x ⎞⎤
⎟⎥
⎠⎦
λ

Напомним, что скорость — это производная смещения по времени…

v ( x , t ) = s ( x , t )
т
v ( x , t ) = f s cos



футов x ⎞⎤
⎟⎥
⎠⎦
λ

и что ускорение является производной скорости по времени.

a ( x , t ) = v ( x , t )
т
a ( x , t ) = −4π 2 f 2 s sin



футов x ⎞⎤
⎟⎥
⎠⎦
λ

Амплитуда ускорения — это значение перед синусоидальной функцией (без учета знака минус).

a = 4π 2 f 2 s

Переставьте это так, чтобы амплитуда смещения стала объектом.

Пора вернуть наше уравнение для интенсивности в терминах амплитуды смещения.

I = 2π 2 ρ f 2 v s 2

Объедините предыдущие два уравнения…

I = 2π 2 ρ f 2 v

а 2

2 f 2

и упростить.

Теперь у нас есть уравнение, которое связывает интенсивность ( I ) с амплитудой ускорения (∆ a ).

интенсивность и давление

Амплитуду звуковой волны гораздо легче измерить с помощью давления (объемное свойство материала, такого как воздух), чем с помощью смещения (смещения субмикроскопических молекул, составляющих воздух). Вот быстрый и грязный вывод более полезного уравнения интенсивности-давления из фактически бесполезного уравнения интенсивности-смещения.

Начните с уравнения, которое связывает интенсивность с амплитудой смещения.

I = 2π 2 ρ f 2 v s 2

А теперь давайте поиграем в небольшую игру с символами — игру под названием алгебра. Обратите внимание, что многие символы в приведенном выше уравнении возведены в квадрат. Возведите все в квадрат, умножив числитель и знаменатель на 2ρ v .

I = 2 ρ 2 f 2 v 2 s 2
v

Запишите числитель в виде квадрата величины.

I = (2πρ fv s ) 2
v

Посмотрите на стопку символов в скобках.

2πρ fv с

Посмотрите на единицы каждой физической величины.



кг 1 м м

м 3 с с 1

Сделайте еще немного волшебства — на этот раз не алгебры, а размерного анализа.

Па



кг = кг м = N =

м с 2 м 2 с 2 м 2

Единицами этого беспорядка являются паскали, поэтому величина в скобках в предыдущем уравнении — это давление, а точнее максимальное манометрическое давление.Теперь у нас есть уравнение, которое связывает интенсивность с амплитудой давления.

где…

I = интенсивность [Вт / м 2 ]
P = амплитуда давления [Па]
ρ = плотность [кг / м 3 ]
против = скорость волны [м / с]

Вот медленный и четкий вывод уравнения интенсивности-давления.Начнем с версии закона Гука, в которой используется объемный модуль ( K ).

Доля слева — это напряжение сжатия, также известное как давление ( P ). Доля справа — это деформация сжатия, также известная как относительное изменение объема (θ). Последний из этих двух — тот, который нас сейчас интересует. Представьте себе звуковую волну, которая растягивает и сжимает среду только в одном направлении. Если это так, то дробное изменение объема фактически такое же, как дробное изменение длины.

θ = В = ∂∆ s ( x , t )
В 0 x

Мы должны использовать здесь исчисление, чтобы получить это дробное изменение, поскольку бесконечно малые кусочки и части среды сжимаются и растягиваются с разной скоростью в разных точках пространства. Изменения длины описываются одномерным волновым уравнением.

s ( x , t ) = ∆ s sin



футов x ⎞⎤
⎟⎥
⎠⎦
λ

Его пространственная производная такая же, как дробное изменение объема.

θ = ∂∆ s ( x , t ) = — с cos



футов x ⎞⎤
⎟⎥
⎠⎦
x λ λ

Интересно отметить, что изменения объема не совпадают по фазе со смещениями, поскольку взятие производной изменило синус на отрицательный косинус.Изменение объема на 90 ° отстает от смещения, так как отрицательный косинус отстает от синуса на 90 °. Наиболее сильные изменения объема происходят в тех местах, где частицы возвращаются в свое положение равновесия.

Интересно, но сейчас не очень полезно. Нас больше интересует , каково значение этих экстремальных значений, чем , где они встречаются. Для этого мы заменяем выражение отрицательного косинуса его экстремальным абсолютным значением +1. Это оставляет нам это выражение для максимальной деформации (∆θ).

Если снова включить это в уравнение объемного модуля упругости, мы получим максимальное манометрическое давление.

P = K с
λ

А теперь за грязную работу. Вспомните эти два уравнения для скорости звука.

Подставить в предыдущее уравнение…

P = v 2 ρ f с
v

и упростить.

P = 2πρ fv s

Знакомо? Он находится в числителе выражения, которое появилось ранее.

I = (2πρ fv s ) 2
v

Замените стопку символов в скобках и смотрите. Мы снова получаем вот что — соотношение интенсивности и амплитуды давления.

где…

I = интенсивность [Вт / м 2 ]
P = амплитуда давления [Па]
ρ = плотность [кг / м 3 ]
против = скорость волны [м / с]

интенсивность и плотность

Изменения плотности среды, связанные со звуковой волной, прямо пропорциональны изменениям давления.Отношения следующие…

Это похоже на уравнение Ньютона-Лапласа для скорости звука в идеальном газе, но в нем отсутствует коэффициент теплоемкости γ (гамма). Почему?

Предполагая, что первое уравнение правильное, решите его относительно ∆ρ.

Возьмем зависимость амплитуды давления от амплитуды смещения…

P = 2πρ fv s

заменитель…

∆ρ = 2πρ fv s
v 2

и упростите, чтобы получить соотношение между плотностью и амплитудой смещения.

Скорее забавно. Попробуем еще что-нибудь.

Опять же, предполагая, что первое уравнение правильное, решите его относительно ∆ P .

P = ∆ρ v 2

Возьмите уравнение, которое связывает интенсивность с амплитудой давления…

сделать аналогичную замену…

и упростите, чтобы получить уравнение, которое связывает интенсивность с амплитудой плотности.

Не очень интересно, но теперь наш список исчерпан.

Зависимость интенсивности звука от амплитуды ρ = средняя плотность, ∆ρ = амплитуда плотности, ∆ a = амплитуда ускорения, f = частота, I = интенсивность, ∆ P = амплитуда давления, ∆ с = амплитуда смещения, v = скорость волны, ∆ v = амплитуда скорости
амплитуда интенсивность соединение
рабочий объем
I = 2π 2 ρ f 2 v s 2
скорость v = 2π f s
ускорение a = 2π f v
давление
плотность

уровней

НАПИШИТЕ ЭТУ ЧАСТЬ

Что такое уровень?

Типы уровней.

Я избавляюсь от всей своей мебели. Все это. И я собираюсь построить эти разные уровни со ступенями, и все они будут устланы множеством подушек. Знаете, как в Древнем Египте.

Cosmo Kramer, 1991

Учитывая периодический сигнал любого рода, его уровень интенсивности ( л + я ) в бел [B], определяется как базовая десять логарифму отношения его интенсивности к интенсивности опорного сигнала в .Поскольку эта единица измерения для большинства целей немного велика, принято делить бел на десятые или децибел [дБ]. Ремень — безразмерная единица.

звуковая волна, эта величина называется уровнем интенсивности звука , часто сокращенно SIL .

давление

уровень звукового давления, SPL

L I = 10 log

I

I 80
I 80
журнал

Я

I 0
= журнал

(∆ P 2 ) / (2ρ v )

(∆ P 0 2 ) / (2ρ v )
журнал

Я

I 0
= журнал

П 2

P 0
журнал

Я

I 0
= 2 журнала

П

P 0

текст

∆532

L P = 20 log

P

Банкноты

  • Обычно уровень звука составляет 0 дБ при силе давления 20 мкПа и частоте 1000 Гц.Это общепринятый порог слышимости человек. Звуки с интенсивностью ниже этого значения не слышны (вполне возможно) каждому человеку.
  • Для звука в воде и других жидкостях используется эталонное давление 1 мкПа.
  • Диапазон интенсивности слышимого звука настолько велик, что требуется шесть порядков величины, чтобы добраться от порога слышимости (20 мкПа ~ 0,5 пВт / м 2 ) до порога боли (20 Па ~ 0,5 Вт / м 2 ).
  • Белл был изобретен инженерами телефонной сети Bell в 1923 году и назван в честь изобретателя телефона Александра Грэхема Белла.
  • Уровень 0 дБ не то же самое, что интенсивность 0 Вт / м 2 , или амплитуда давления 0 Па, или амплитуда смещения 0 м.
  • Сигналы ниже порогового или эталонной величины являются отрицательными. Безмолвие имеет уровень отрицательной бесконечности.
  • Так как логарифм 2 по основанию 10 равен примерно 0.3, каждые дополнительные 3 дБ уровня соответствуют приблизительному удвоению амплитуды.
  • Увеличение на 10 децибел воспринимается людьми как звук примерно в два раза громче.
  • Другие примеры логарифмических шкал включают: магнитуды землетрясений (часто называемые по устаревшему названию — шкала Рихтера), pH, звездные величины, диаграммы электромагнитного спектра,… еще?
  • Преобразуйте уравнение в децибелах для уровня из соотношения в разность.
  • Извержение 1883 года в Кракатау, Индонезия (часто неправильно написанное Кракатау) имело интенсивность 180 дБ и было слышно на расстоянии 5000 км на Маврикии.Взрыв Кракатау зарегистрировал 172 децибела на расстоянии 100 миль от источника.

Было бы также разумно использовать натуральный логарифм вместо десятичного, но это гораздо, гораздо реже. Принимая во внимание периодический сигнал любого рода, отношение натурального логарифма его интенсивности опорного сигнала является мерой его уровня интенсивности ( L ) в непер [Np]. Как и в случае с белом, принято делить непер на десятые или децинепер [dNp].Непер также является безразмерной единицей.

L I = 10 ln

Я

I 0
L P = 20 ln

П

P 0

Непер и децинепер настолько редки по сравнению с белом и децибелом, что по сути являются ответом на простой вопрос.

Примечания и цитаты.

  • Цитата из Расс Роулетт из UNC: «[Непер] признает британского математика Джона Напьера, изобретателя логарифма. Напьер часто писал свое имя Джона Непер, и в своих трудах он использовал латинскую форму Иоанна Наперо». AHD «Шотландский математик, который изобрел логарифмы и ввел использование десятичной точки при написании чисел».
  • Значение в неперсах разности уровней двух значений ( F 1 и F 2 ) величины поля получается путем натурального логарифма отношения двух значений Δ L N = ln F 1 / F 2 .Для так называемых величин мощности (см. Ниже) коэффициент 0,5 включен в определение разницы уровней, Δ L N = 0,5 ln P 1 / P 2 . Два уровня количества полей отличаются на 1 Np, когда значения количества различаются на коэффициент e (основание натуральных логарифмов). (Уровни двух величин мощности различаются на 1 Np, если величины различаются в e 2 раз.) Поскольку отношение значений любого вида величины (или логарифм таких соотношений) является чистым числом, непер безразмерен. и может быть представлен как «один.»Из этой меры невозможно сделать вывод о том, какое количество рассматривается, поэтому во всех случаях необходимо четко указывать тип количества.

Запуск ракеты

Уровень интенсивности выбранных звуков в воздухе Источник: Лига слабослышащих и физиков тела (платная ссылка)
уровень (дБ) источник
−∞ абсолютная тишина
−24 звучит тише, чем это невозможно из-за беспорядочного движения молекул воздуха при комнатной температуре (∆ P = 1.27 мкПа)
−20,6 Самая тихая комната в мире (Microsoft Building 87, Редмонд, Вашингтон)
−9,4 бывшая самая тихая комната в мире (Orfield Laboratories, Миннеаполис, Миннесота)
0 порог слышимости, эталонное значение звукового давления (∆ P 0 = 20 мкПа)
10–20 дыхание нормальное, листья шелестят
20–30 шепчет на высоте 5 футов
30–40
40–50 кофеварка, библиотека, тихий офис, тихий спальный район
50–60 посудомоечная машина, электробритва, электрическая зубная щетка, большой кабинет, ливень, холодильник
60–70 кондиционер, салон автомобиля, будильник, фоновая музыка, нормальный разговор, телевизор, пылесос, стиральная машина
70–80 кофемолка, унитаз со сливом, движение по автостраде, фен
80–90 блендер, дверной звонок, интерьер автобуса, кухонный комбайн, вывоз мусора, интенсивное движение, ручная пила, газонокосилка, станки, шумный ресторан, тостер, телефонный звонок, чайник со свистком
> 85 OSHA 1910.95 (i) (1): Работодатели должны бесплатно предоставлять средства защиты слуха всем сотрудникам, подвергающимся 8-часовому средневзвешенному по времени 85 децибелам или более.
090–100 электродрель, кричал разговор, трактор, грузовик
100–110 детский плач, бумбокс, Заводское оборудование, Мотоцикл, школьные танцы, снегоуборщик, Снегоход, скрипучая игрушка, которую держат близко к уху, поезд метро, ​​Класс деревообработки
110–120 сирена скорой помощи, автомобильный гудок, цепная пила, дискотека, футбольный матч, реактивный самолет на рампе, воздуходувка для листьев, персональный музыкальный плеер на высоте, силовая пила, рок-концерт, кричать в ухо, симфонический концерт, видео-аркада,
113 громких хлопков (Аластер Галпин, Новая Зеландия, 2008 г.)
120–130 порог боли (∆ P = 20 Па), автостерео, концерт группы, цепная пила, молоток на гвоздь, тяжелая техника, пневматические дрели, гонки на серийных автомобилях, гром, дрель, ударная секция в symphony
125 Самая громкая птица (белая колокольчик, Procnias albus )
130–140 сирена воздушной тревоги, взлет реактивного самолета, отбойный молоток
140–150
150–160 артиллерийский огонь на высоте 500 футов, взрыв воздушного шара, капсюль, петарда, взлет реактивного двигателя
160–170 салют, пистолет, винтовка
170–180 ружье
180–190 , извержение вулкана Кракатау в 1883 году, Тунгусский метеор в 1908 году,
194 Самый громкий звук из возможных в атмосфере Земли
+ ∞ бесконечно громко

слух

  • громкость
    • Громкость — это реакция восприятия на физическое свойство интенсивности.
    • Увеличение уровня на 10 дБ воспринимается большинством слушателей как увеличение громкости вдвое.
    • Изменение уровня на 1 дБ практически незаметно для большинства слушателей
    • Поскольку громкость зависит от частоты и интенсивности, для регулировки громкости была разработана специальная единица — фон. Один фон — это громкость звука 1 дБ, 1000 Гц; 10 фон — это громкость звука 10 дБ, 1000 Гц; и так далее.
    • Если положить руку за ухо, интенсивность повысится на 6–8 дБ.
    • Просьба кого-то высказаться обычно приводит к усилению звука говорящего примерно на 10 дБ.
  • определение источника звука
    • Фазовые различия — это один из способов локализации звуков. Эффективен только для длин волн, превышающих 2 диаметра головы (расстояние от уха до уха). также известна как Interaural Time Difference (ITD)
    • Звуковые волны легко дифрагируют на длинах волн, превышающих диаметр головы человека (длина волны около 500 Гц равна 69 см).На более высоких частотах голова отбрасывает «тень». Звуки в одном ухе будут громче, чем в другом. также известен как Межвуковой перепад уровней (ILD)
  • Человеческое ухо может различить некоторые…
    • 280 различных уровней интенсивности (кажется маловероятным)
  • рыб
    • В отличие от наших ушей и гидрофонов, уши рыб не воспринимают звуковое давление, которое представляет собой сжатие молекул. Вместо этого они воспринимают движение частиц, крошечные возвратно-поступательные движения частиц в ответ на звуковые волны.

сейсмические волны

Расширенная цитата, которую необходимо перефразировать.

Шкалы звездных величин количественные. С помощью этих шкал измеряется размер землетрясения, выраженный амплитудой сейсмической волны (количество сотрясений в точке, удаленной от землетрясения), а не интенсивностью или степенью разрушительности. Большинство шкал магнитуд имеют логарифмическую основу, так что увеличение одного целого числа соответствует землетрясению в 10 раз сильнее, чем то, которое обозначено следующим меньшим числом.Это означает примерно 30-кратное увеличение количества выделяемой энергии. Таким образом, величина 5 соответствует движению земли примерно в 10 раз больше, чем величина 4, и примерно в 30 раз больше выделяемой энергии. Землетрясение магнитудой 5 в 100 раз превышает колебание земли и в 900 раз больше энергии, чем землетрясение магнитудой 3.

Шкала Рихтера была создана Чарльзом Рихтером в 1935 году в Калифорнийском технологическом институте. Он был создан для сравнения размеров землетрясений.Одним из наиболее ценных вкладов доктора Чарльза Ф. Рихтера было признание того, что сейсмические волны, излучаемые всеми землетрясениями, могут дать точные оценки их магнитуд. Он собрал записи сейсмических волн от большого количества землетрясений и разработал откалиброванную систему измерения их магнитуды. Он откалибровал свою шкалу звездных величин, используя измеренные максимальные амплитуды поперечных волн на сейсмометрах, особенно чувствительных к поперечным волнам с периодами около одной секунды. Записи должны были быть получены с помощью специального инструмента, называемого сейсмографом Вуда-Андерсона.Хотя его работа изначально была откалибрована только для этих конкретных сейсмометров и только для землетрясений в южной Калифорнии, сейсмологи разработали масштабные коэффициенты, чтобы расширить шкалу магнитуд Рихтера на многие другие типы измерений на всех типах сейсмометров по всему миру. Фактически, оценки магнитуд были сделаны для тысяч лунотрясений и двух землетрясений на Марсе.

Большинство оценок энергии исторически основывались на эмпирической зависимости, разработанной Бено Гутенбергом и Чарльзом Рихтером.

журнал 10 E с = 4,8 + 1,5 M с

, где энергия, E s , выражена в джоулях. Недостатком этого метода является то, что M s вычисляется из полосы пропускания приблизительно от 18 до 22 с. Теперь известно, что энергия, излучаемая землетрясением, сосредоточена в другой полосе частот и на более высоких частотах. Обратите внимание, что это не полная «внутренняя» энергия землетрясения, переданная от источников, таких как гравитационная энергия, или от источников, таких как тепловая энергия.Это только количество, излучаемое землетрясением в виде сейсмических волн, которое должно составлять небольшую часть общей энергии, передаваемой во время процесса землетрясения.

С появлением во всем мире современных сейсмографов с цифровой записью и широкополосным откликом, компьютеризированные методы теперь могут делать точные и точные оценки энергии на регулярной основе для всех крупных землетрясений. Теперь можно определить магнитуду, основанную на энергии, излучаемой землетрясением, M e .Эти величины энергии вычисляются из излучаемой энергии с использованием формулы

Чоя и Боутрайта (1995).

M e = ⅔ log 10 E s — 2,9

, где E s — излучаемая сейсмическая энергия в джоулях. M e , рассчитанный на основе высокочастотных сейсмических данных, является мерой сейсмического потенциала повреждения.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *