Онлайн неравенства с модулем: Решение неравенств с модулем онлайн · Как пользоваться Контрольная Работа РУ

Содержание

Решение дробно рациональных неравенств онлайн калькулятор. Решение неравенств с модулем. Линейные неравенства. Решение, примеры

Неравенство
это выражение с, ≤, или ≥. Например, 3x — 5 Решить неравенство означает найти все значения переменных, при которых это неравенство верно.
Каждое из этих чисел является решением неравенства, а множество всех таких решений является его множеством решений
. Неравенства, которые имеют то же множество решений, называются эквивалентными неравенствами
.

Линейные неравенства

Принципы решения неравенств аналогичны принципам решения уравнений.

Принципы решения неравенств

Для любых вещественных чисел a, b,
и c
:
Принцип прибавления неравенств
: Если a
Принцип умножения для неравенств
: Если a 0 верно, тогда ac
Если a bc также верно.
Подобные утверждения также применяются для a ≤ b.

Когда обе стороны неравенства умножаются на отрицательное число, необходимо полностью изменить знак неравенства.
Неравенства первого уровня, как в примере 1 (ниже), называются линейными неравенствами
.

Пример 1
Решите каждое из следующих неравенств. Затем изобразите множество решений.
a) 3x — 5
b) 13 — 7x ≥ 10x — 4
Решение

Любое число, меньше чем 11/5, является решением.
Множество решений есть {x|x

Чтобы сделать проверку, мы можем нарисовать график y 1 = 3x — 5 и y 2 = 6 — 2x. Тогда отсюда видно, что для x

Множеством решений есть {x|x ≤ 1}, или (-∞, 1]. График множества решений изображён ниже.

Двойные неравенства

Когда два неравенства соединены словом и
, или
, тогда формируется двойное неравенство
.
Двойное неравенство, как
-3
и
2x + 5 ≤ 7
называется соединённым
, потому что в нём использовано и
. Запись -3
Двойные неравенства могут быть решены с использованием принципов прибавления и умножения неравенств.

Пример 2
Решите -3
Решение
У нас есть

Множество решений {x|x ≤ -1 или
x > 3}. Мы можем также написать решение с использованием обозначения интервала и символ для объединения
или включения обоих множеств: (-∞ -1] (3, ∞). График множества решений изображен ниже.

Для проверки, нарисуем y 1 = 2x — 5, y 2 = -7, и y 3 = 1. Заметьте, что для {x|x ≤ -1 или
x > 3}, y 1 ≤ y 2 или
y 1 > y 3 .

Неравенства с абсолютным значением (модулем)

Неравенства иногда содержат модули. Следующие свойства используются для их решения.
Для а > 0 и алгебраического выражения x:
|x|
|x| > a эквивалентно x или x > a.
Подобные утверждения и для |x| ≤ a и |x| ≥ a.

Например,
|x|
|y| ≥ 1 эквивалентно y ≤ -1 или
y ≥ 1;
и |2x + 3| ≤ 4 эквивалентно -4 ≤ 2x + 3 ≤ 4.

Пример 4
Решите каждое из следующих неравенств. Постройте график множества решений.
a) |3x + 2|
b) |5 — 2x| ≥ 1

Решение

a) |3x + 2|

Множеством решением есть {x|-7/3

b) |5 — 2x| ≥ 1
Множеством решением есть {x|x ≤ 2 или
x ≥ 3}, или (-∞, 2] . В следующем примере такая скобка используется.

Запишем ответ: х ≥ -0,5
через промежутки:

х ∈ [-0,5; +∞)

Читается: икс принадлежит промежутку от минус 0,5, включая,
до плюс бесконечности.

Бесконечность не может включаться никогда. Это не число, это символ. Поэтому в подобных записях бесконечность всегда соседствует с круглой скобкой.

Такая форма записи удобна для сложных ответов, состоящих из нескольких промежутков. Но — именно для окончательных ответов. В промежуточных результатах, где предполагается дальнейшее решение, лучше использовать обычную форму, в виде простого неравенства. Мы с этим в соответствующих темах разберёмся.

Популярные задания с неравенствами.

Сами по себе линейные неравенства просты. Поэтому, частенько, задания усложняются. Так, чтобы подумать надо было. Это, если с непривычки, не очень приятно.) Но полезно. Покажу примеры таких заданий. Не для того, чтобы вы их выучили, это лишнее. А для того, чтобы не боялись при встрече с подобными примерами. Чуть подумать — и всё просто!)

1. Найдите любые два решения неравенства 3х — 3

Если не очень понятно, что делать, вспоминаем главное правило математики:

Не знаешь, что нужно — делай, что можно!)

х 1

И что? Да ничего особенного. Что нас просят? Нас просят найти два конкретных числа, которые являются решением неравенства. Т.е. подходят под ответ. Два любых
числа. Собственно, это и смущает.) Подходит парочка 0 и 0,5. Парочка -3 и -8. Да этих парочек бесконечное множество! Какой ответ правильный?!

Отвечаю: все! Любая парочка чисел, каждое из которых меньше единицы, будет правильным ответом.
Пишите, какую хотите. Едем дальше.

2. Решить неравенство:

4х — 3
0

Задания в таком виде встречаются редко. Но, как вспомогательные неравенства, при нахождении ОДЗ, например, или при нахождении области определения функции, — встречаются сплошь и рядом. Такое линейное неравенство можно решать как обычное линейное уравнение. Только везде, кроме знака «=» (равно
) ставить знак «
» (не равно
). Так к ответу и подойдёте, со знаком неравенства:

х
0,75

В более сложных примерах, лучше поступать по-другому. Сделать из неравенства равенство. Вот так:

4х — 3 =
0

Спокойно решить его, как учили, и получить ответ:

х = 0,75

Главное, в самом конце, при записи окончательного ответа, не забыть, что мы нашли икс, который даёт равенство.
А нам нужно — неравенство.
Стало быть, этот икс нам как раз и не нужен.) И надо записать его с правильным значком:

х
0,75

При таком подходе получается меньше ошибок. У тех, кто уравнения на автомате решает. А тем, кто уравнения не решает, неравенства, собственно, ни к чему…) Ещё пример популярного задания:

3. Найти наименьшее целое решение неравенства:

3(х — 1) 5х + 9

Сначала просто решаем неравенство. Ракрываем скобки, переносим, приводим подобные… Получаем:

х > —
6

Не так получилось!? А за знаками следили!? И за знаками членов, и за знаком неравенства…

Опять соображаем. Нам нужно найти конкретное число, подходящее и под ответ, и под условие «наименьшее целое».
Если сразу не осеняет, можно просто взять любое число и прикинуть. Два больше минус шести? Конечно! А есть подходящее число поменьше? Разумеется. Например, ноль больше -6. А ещё меньше? Нам же самое маленькое из возможных надо! Минус три больше минус шести! Уже можно уловить закономерность и перестать тупо перебирать числа, правда?)

Берём число поближе к -6. Например, -5. Ответ выполняется, -5 > —
6. Можно найти ещё число, меньше -5, но больше -6? Можно, например -5,5… Стоп! Нам сказано целое
решение! Не катит -5,5! А минус шесть? Э-э-э! Неравенство строгое, минус 6 никак не меньше минус 6!

Стало быть, правильный ответ: -5.

Надеюсь, с выбором значения из общего решения всё понятно. Ещё пример:

4. Решить неравенство:

7 3х+1 13

Во как! Такое выражение называется тройным неравенством.
Строго говоря, это сокращённая запись системы неравенств. Но решать такие тройные неравенства всё равно приходится в некоторых заданиях… Оно решается безо всяких систем. По тем же тождественным преобразованиям.

Надо упростить, довести это неравенство до чистого икса. Но… Что куда переносить!? Вот тут самое время вспомнить, что перенос влево-вправо, это сокращённая форма
первого тождественного преобразования.

А полная форма звучит вот как: К обеим частям уравнения (неравенства) можно прибавить/отнять любое число, или выражение.

Здесь три части. Вот и будем применять тождественные преобразования ко всем трём частям!

Итак, избавимся от единички в средней части неравенства. Отнимем от всей средней части единичку. Чтобы неравенство не изменилось, отнимем единичку и от оставшихся двух частей. Вот так:

7 -13х+1-1 13-1

6 12

Уже лучше, правда?) Осталось разделить все три части на тройку:

2 х 4

Вот и всё. Это ответ. Икс может любым числом от двойки (не включая) до четвёрки (не включая). Этот ответ тоже записывается через промежутки, такие записи будут в квадратных неравенствах. Там они — самое обычное дело.

В конце урока повторю самое главное. Успех в решении линейных неравенств зависит от умения преобразовывать и упрощать линейные уравнения. Если при этом следить за знаком неравенства,
проблем не будет. Чего я вам и желаю. Отсутствия проблем.)

Если Вам нравится этот сайт…

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся — с интересом!)

можно познакомиться с функциями и производными.

Неравенства с модулем

Существует несколько способов решения неравенств, содержащих модуль. Рассмотрим некоторые из них.

1) Решение неравенства с помощью геометрического свойства модуля.

Напомню, что такое геометрическое свойство модуля: модуль числа x – это расстояние от начала координат до точки с координатой x.

В ходе решения неравенств этим способом может возникнуть 2 случая:

1. |x| ≤ b, тогда картинка решения выглядит так:

И неравенство с модулем очевидно сводится к системе двух неравенств. Тут знак может быть и строгим, в этом случае точки на картинке будут «выколотыми».

2. |x| ≥ b, тогда картинка решения выглядит так:

И неравенство с модулем очевидно сводится к совокупности двух неравенств. Тут знак может быть и строгим, в этом случае точки на картинке будут «выколотыми».

Пример 1.

Решить неравенство |4 – |x|| 3.

Решение.

Данное неравенство равносильно следующей совокупности:

[4 – |x| ≤ -3
[4 – |x| ≥ 3.

Хочу напомнить принципиальное отличие понятия совокупности от понятия системы. Когда мы ставим знак системы « { », мы подразумеваем, что выполняются и первое и второе неравенства одновременно, то есть мы ищем общие решения двух неравенств. Когда мы ставим знак совокупности « [ », мы подразумеваем, что выполняется или первое неравенство, или второе, то есть мы ищем те значения неизвестного x, которые являются решением либо первого, либо второго неравенства.

Теперь решаем систему.

[-|x| ≤ -7
[-|x| ≥ -1,
[|x| ≥ 7
[|x| ≤ 1.

Решаем отдельно первое неравенство:

[x ≥ 7
[x ≤ -7.

Решаем отдельно второе неравенство:

{x ≥ -1
{x ≤ 1.

Мы получили совокупность, состоящую из подсовокупности и системы. Решением исходного неравенства будут все x, которые удовлетворяют хотя бы одному неравенству из совокупности и каждому из неравенств системы.

Ответ: x € (-∞; -7] U [-1;1] U [7; +∞]

Пример 2.

Решить неравенство ||x+2| – 3| 2.

Решение.

Данное неравенство равносильно следующей системе.

{|x + 2| – 3 ≥ -2
{|x + 2| – 3 ≤ 2,
{|x + 2| ≥ 1
{|x + 2| ≤ 5.

Решим отдельно первое неравенство системы. Оно эквивалентно следующей совокупности:

[x + 2 ≥ 1
[x + 2 ≤ -1,
[x ≥ -1
[x ≤ -3.

Решим отдельно второе неравенство системы. Оно эквивалентно следующей системе:

{x + 2 ≤ 5
{x + 2 ≥ -5,
{x ≤ 3
{x ≥ -7.

Мы получили систему, состоящую из подсистемы и совокупности. Решением исходного неравенства будут все x, которые являются одновременно решением совокупности и решением подсистемы.

Ответ: х € [-7; -3] U [-1; 3].

2) Решение неравенств, используя определение модуля.

Напомню для начала определение модуля.

|a| = a, если a 0 и |a| = -a, если a < 0.

Например, |34| = 34, |-21| = -(-21) = 21.

Пример 1.

Решить неравенство 3|x – 1| x + 3.

Решение.

Используя определение модуля получим две системы:

{x – 1 ≥ 0
{3(x – 1) ≤ x + 3

и

{x – 1 < 0
{-3(x – 1) ≤ x + 3.

Решая первую вторую системы в отдельности, получим:

{x ≥ 1
{x ≤ 3,

{x < 1
{x ≥ 0.

Решением исходного неравенства будут все решения первой системы и все решения второй системы.

Ответ: x € [0; 3].

3) Решение неравенств методом возведения в квадрат.

Пример 1.

Решить неравенство |x2 – 1| < | x2 – x + 1|.

Решение.

Возведем обе части неравенства в квадрат. Замечу, что возводить обе части неравенства в квадрат можно только в том случае, когда они обе положительные. В данном случае у нас и слева и справа стоят модули, поэтому мы можем это сделать.

(|x2 – 1|)2 < (|x2 – x + 1|)2.

Теперь воспользуемся следующим свойством модуля: (|x|)2 = x2.

(x2 – 1)2 < (x2 – x + 1)2,

(x2 – 1)2 – (x2 – x + 1)2 < 0.

Дальше лучше всего воспользоваться формулой разности квадратов. Можно, конечно и возводить в квадрат левую и правую скобку, но это займет гораздо больше времени.

(x2 – 1 – x2 + x – 1)( x2 – 1 + x2 – x + 1) < 0,

(x – 2)(2x2 – x) < 0,

x(x – 2)(2x – 1) < 0.

Решаем методом интервалов.

Ответ: x € (-∞; 0) U (1/2; 2)

4) Решение неравенств методом замены переменных.

Пример.

Решить неравенство (2x + 3)2 – |2x + 3| 30.

Решение.

Заметим, что (2x + 3)2 = (|2x + 3|)2. Тогда получим неравенство

(|2x + 3|)2 – |2x + 3| ≤ 30.

Сделаем замену y = |2x + 3|.

Перепишем наше неравенство с учетом замены.

y2 – y ≤ 30,

y2 – y – 30 ≤ 0.

Разложим квадратный трехчлен, стоящий слева, на множители.

D = 121,

y1 = (1 + 11) / 2,

y2 = (1 – 11) / 2,

y1 = 6,

y2 = -5.

(y – 6)(y + 5) ≤ 0.

Решим методом интервалов и получим:

-5 ≤ y ≤ 6.

Вернемся к замене:

-5 ≤ |2x + 3| ≤ 6.

Данное двойное неравенство равносильно системе неравенств:

{|2x + 3| ≤ 6
{|2x + 3| ≥ -5.

Решим каждое из неравенств в отдельности.

Первое равносильно системе

{2x + 3 ≤ 6
{2x + 3 ≥ -6.

Решим ее.

{x ≤ 1.5
{x ≥ -4.5.

Второе неравенство очевидно выполняется для всех x, так как модуль по определению число положительное. Так как решение системы – это все x, которые удовлетворяют одновременно и первому и второму неравенству системы, то решением исходной системы будет решение ее первого двойного неравенства (ведь второе верно для всех x).

Ответ: x € [-4,5; 1,5].

© blog.tutoronline.ru,
при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Онлайн-урок №9 «Метод интервалов при решении неравенств. Уравнения и неравенства с модулем.»

Линейные неравенства

Символическая запись, в которой два числа или выражения, содержащие переменные, связаны знаком «больше» (>) или «меньше» (<), называется неравенством. Наряду со строгими неравенствами (а>b) рассматривают и нестрогие неравенства: а≥b.
Свойства неравенств:
1. Если a>b и b>с, то a>с
2. Если a>b, то a+с>b+с, с – любое число. 
3. Если a>b и с>d, то a+с>b+d. Неравенства одинакового смысла можно почленно складывать. 
4. Если a,b,с,d — положительные числа и a>b,с>d, то aс >bd. Неравенства одинакового смысла можно почленно умножать (с учетом знаков).
5. Если a>b ,с<d, то a-с>b-d. Неравенства противоположного смысла можно почленно вычитать, оставляя знак первого неравенства.

Решить неравенство с одной переменной – значит найти все его решения, то есть значения переменной, при которых неравенство истинно, или доказать, что их нет.
Правила решения неравенств:
1) Любое слагаемое неравенства можно перенести из одной части неравенства в другую с противоположным знаком, не изменив при этом знак неравенства.
2) Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же положительное число, не изменив при этом знак неравенства.
3) Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный.
Пример: ⇔⇔⇔

Системы и совокупности линейных неравенств

Если неравенства объединены в систему, то решением системы будут те значения переменных, которые удовлетворяют одновременно всем неравенствам. Решение системы соответствует пересечению решений всех неравенств.
Если неравенства объединены в совокупность, то решением ее будут те значения переменных, которые удовлетворяют хотя бы одному из неравенств совокупности. Решение совокупности соответствует объединению решений всех неравенств.

Квадратичные неравенства

Неравенства вида >(<;≥;≤)0 называются квадратичными. Здесь a,b,c – любые действительные числа, a≠0. Есть несколько случаев решения квадратичных неравенств:
1)  ветви параболы направлены вверх, квадратное уравнение имеет два корня. Внутри интервала корней значения квадратного трехчлена отрицательны, вне интервала корней – положительны, в корнях квадратный трехчлен обращается в ноль;

2)  ветви параболы направлены вверх, квадратное уравнение имеет один корень. Значения квадратного трехчлена положительны при всех значениях аргумента, кроме корня – здесь квадратный трехчлен обращается в ноль;
3)  ветви параболы направлены вверх, квадратное уравнение не имеет корней. Значения квадратного трехчлена положительны при всех значениях аргумента;
4)  ветви параболы направлены вниз, квадратное уравнение имеет два корня. Внутри интервала корней значения квадратного трехчлена положительны, вне интервала корней – отрицательны, в корнях квадратный трехчлен обращается в ноль;
5) ветви параболы направлены вниз, квадратное уравнение имеет один корень. Значения квадратного трехчлена отрицательны при всех значениях аргумента, кроме корня – здесь квадратный трехчлен обращается в ноль;
6)  ветви параболы направлены вниз, квадратное уравнение не имеет корней. Значения квадратного трехчлена отрицательны при всех значениях аргумента.

Решение рациональных неравенств методом интервалов

Пример: ≥0
Решение: При решении примера будет сформулирован общий алгоритм решения неравенств методом интервалов. Он относится и к неравенствам с многочленами и к рациональным неравенствам. Чтобы пользоваться указанным алгоритмом, неравенство изначально следует привести к виду, когда по одну сторону некое выражение, а по другую ноль.
1. Найти нули функции: 
2. Определить ОДЗ: 
3. Разбить область значений аргумента на интервалы нулями функции и точками разрыва ОДЗ. Точки, которые будут входить в решение неравенства обозначаются закрашенными, а которые не будут входить – выколотыми.
Точки расставляют по следующему принципу:
– закрашенные точки ставятся для нулей функции, если неравенство нестрогое;
– выколотые точки ставятся для нулей функции, если неравенство было строгое, и для точек разрыва ОДЗ функции.
В нашем случае мы поставим на оси координат выколотые точки для x=-0,4 и x=1, а закрашенные для x=1,5 и x=-3.
4. Определить знак функции на каждом интервале. 
Для определения знаков есть два способа: 
– брать на каждом интервале пробную точку, подставлять ее в функцию и определять знак – такой знак функция будет сохранять на всем интервале; 
– с помощью пробной точки определить знак на крайнем правом интервале, а далее чередовать знаки при переходе через точки нулей функции и разрывов ОДЗ. Такой подход верен только при отсутствии множителей в четных степенях и модулей в неравенстве. Следует знать, что если какой-то множитель имеет четную степень, например, функция содержит множитель , то при переходе через точку x=2 знак функции сохраняется.
Для обозначения знаков промежутков удобно изображать характерную «змейку», которая рисуется над осью координат для положительных значений и под осью для отрицательных значений функции.
В нашем случае проверим, к примеру, знак функции в точке 10 для простоты расчетов: – функция на крайнем правом интервале отрицательна.
Далее на каждом из интервалов просто чередуем знаки функции, т.к. нет множителей в четных степенях и модулей.

5. Выписать в ответ объединение промежутков, которые соответствуют знаку неравенства, т.е. если в неравенстве интересуют значения больше нуля, то выписать промежутки с положительными значениями, и аналогично для других вариантов. Здесь важно помнить о том, что выколотые точки не входят в решение неравенства, а закрашенные точки входят. 
Ответ: x∈[-3; -0,4)∪(1;1,5].

Неравенства с модулем
При решении модульных неравенств необходимо учитывать условия раскрывания модулей, а в остальном они решаются как обычные неравенства.
Пример: решить неравенство:.
Решение:

Ответ: x∈(-∞;1/3).

Подготовка к успешной сдаче ЕГЭ по математике. Профильный уровень. Часть 2

ЕГЭ по математике является обязательным для каждого российского школьника и одним из самых сложных экзаменов. Сдать ЕГЭ по математике на высокий балл и поступить в выбранный вуз Вам помогут подготовительные курсы в «Специалисте»!

Этот курс является логическим продолжением курса «Подготовка к успешной сдаче ЕГЭ по математике. Профильный уровень. Часть 1
». Прохождение обоих курсов в комплексе позволит получить твердые, полные знания по предмету и успешно справиться с экзаменом.

На этом курсе рассматриваются вопросы профильного уровня ЕГЭ повышенного и высокого уровней сложности, каждое задание которого требует развернутого ответа и оценивается определенным количеством баллов.

Пройдя курс, вы восполните все пробелы в знаниях по математике старших классов, систематизируете уже имеющиеся навыки и знания, научитесь решать сложные задачи по алгебре и геометрии. Вместе с нашими высококвалифицированными преподавателями вы рассмотрите и проанализируете все возможные варианты решения задач ЕГЭ, а также разберете алгоритмы и методы рассуждения для получения максимальных баллов за задачу. Особое внимание уделяется разбору ошибок, чаще всего встречающихся при сдаче ЕГЭ и правильному оформлению работ.

Хотите получить высокий балл на ЕГЭ по математике? Записывайтесь на этот курс!

Программа составлена с учетом требований ФИПИ.

В стоимость курса входят учебные материалы, разработанные преподавателями «Специалиста» на основе последних разработок ФИПИ 2017 г. Обучение ведется по уникальной авторской методике педагогов центра.

Курс читается в соответствии с последними изменениями в структуре и содержании заданий ЕГЭ, а также с учетом изменений в системе оценки результатов.

Важно! Для успешного прохождения курса вы уже должны уметь решать простейшие показательные, логарифмические, тригонометрические уравнения и неравенства, а также задачи по геометрии и стереометрии. 

Если вы совсем уверены в своих силах, возможно вам стоит обратить внимание на наш курс Подготовка к успешной сдаче ЕГЭ по математике. Интенсив.

* По результатам экзаменов прошлых лет за задачи № 13 и № 15 менее четверти сдававших удалось получить хотя бы по одному баллу. Один балл за задачу № 14 (стереометрия) смогли набрать лишь 4% старшеклассников.  Справиться с задачей № 16 (планиметрия) и получить за нее максимальный балл смог только 1 школьник из 500. По остальным заданиям статистика еще хуже.  Наши занятия призваны исправить ситуацию.

▶▷▶▷ неравенства с модулем гдз

▶▷▶▷ неравенства с модулем гдз

Интерфейс Русский/Английский
Тип лицензия Free
Кол-во просмотров 257
Кол-во загрузок 132 раз
Обновление: 15-10-2019

неравенства с модулем гдз — Неравенства с модулем — math-helpernet math-helpernetelementarnaya-matematika Cached Неравенства с модулем При решении неравенств, содержащих переменную под знаком модуля, используется определение модуля функции: Математика Неравенства с модулем — YouTube wwwyoutubecom watch?vsAY2jRsZOZI Cached Как решать неравенства с модулем? ЕГЭ и ОГЭ по математике — Duration: 12:09 Равиль Хасанов 6,557 views Неравенства С Модулем Гдз — Image Results More Неравенства С Модулем Гдз images Решение неравенств с модулем wwwberdovcomdocsmodulireshenie-neravenstv-s Cached Капитан Очевидность как бы намекает, что для решения неравенств с модулем необходимо знать две вещи: Как решаются неравенства ; Что такое модуль Начнём со второго пункта Определение модуля Решение неравенств с модулем методом рационализации wwwyoutubecom watch?vyI3GknGatRQ Cached Статья с разбором решений неравенств с модулем из реальных прототипов заданий ЕГЭ по математике методом Неравенства с модулем: примеры и достаточные знания uztestruabstracts?idabstract287227 Cached Неравенства с модулем : примеры и достаточные знания, необходимые для решения заданий; Степень с целым показателем; Все формулы по теме Степень Степень с произвольным показателем УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА С МОДУЛЕМ Репетитор по математике ege-okrucategoryuravneniya-i-neravenstva-s Cached В видеолекции Графический метод решения задач с параметрами подробно разобрано 7 примеров задач с параметрами, начиная с очень простых и заканчивая реальными задачами из Задания 18 ЕГЭ по математике Алгебра Урок 8 Неравенства, системы неравенств — ЁП epmatrumodul-algebraurok-8-neravenstva Cached Системой неравенств называют два неравенства с одной неизвестной, которые объединены в общую систему фигурной скобкой Пример системы неравенств: x 4 0 2 x 3 x 2 Алгоритм решения системы неравенств Неравенства с модулем, примеры решений rusolverbookcomprimery-reshenijprimery-resheniya-ne Cached У нас собраны примеры решения неравенств с модулем разных видов Каждое неравенство содержит подробное решение и ответ Видеотека Решение уравнений и неравенств с модулем ege-okru20141120videoteka-reshenie Cached Две видеолекции и шесть видеоуроков помогут вам научиться решать уравнения и неравенства с модулем Репетитор по математике Сайт репетитора по математике Фельдман Инны Владимировны Контрольная работа по алгебре 11 класс по теме:Решение infourokrukontrolnaya-rabota-po-algebre-klass Cached Зачетная работа по теме Решение уравнений и неравенств с модулем Вариант 2 (1-4) Решите уравнения (5-6) Решите неравенства Promotional Results For You Free Download Mozilla Firefox Web Browser wwwmozillaorg Download Firefox — the faster, smarter, easier way to browse the web and all of 1 2 3 4 5 Next 53,300

  • Неравенства с модулем. Задачи из вступительных экзаменов в МГУ. Задачи для самостоятельного решения.
  • Методы решения неравенств с модулем.
    Алгебраические преобразования, уравнения, неравенства (250) Логарифмические, показательные уравнения, неравенства (8) Числа и выражения (3) Решение неравенства о
  • огарифмические, показательные уравнения, неравенства (8) Числа и выражения (3) Решение неравенства онлайн с модулем и квадратичной функцией в левой части.
    Марина С., онлайн репетитор по математике написал(a) 12.11.2011. Существует несколько способов решения неравенств, содержащих модуль.
    Комарова О. М. Неравенства с модулем Электронный ресурс Международный каталог для учителей, преподавателей и студентов Конспекты уроков. Режим доступа: http:xn—-dtbhtbbrhebfpirq0k.xn--p1aimatem9-klassfile8363-neravenstva-s-modulem…
    Помогите с решением неравенства с модулем, пожалуйста: x2- xx. Http iphonekit ru pomogite s resheniem neravenstva s modulem pozhalujsta x 2 x x 2.
    Joomla! — the dynamic portal engine and content management system. Г) 4 — х S х. Раскройте модули: а) Зл2 -2з; а) зgt;5 — бЩ;
    Образование, учебная литература (99110) Товары для дачи, сада и огорода (34034) Всё для дома -10 Товары для детей (24930)

онлайн репетитор по математике написал(a) 12.11.2011. Существует несколько способов решения неравенств

неравенства (250) Логарифмические

  • содержащих переменную под знаком модуля
  • начиная с очень простых и заканчивая реальными задачами из Задания 18 ЕГЭ по математике Алгебра Урок 8 Неравенства
  • системы неравенств — ЁП epmatrumodul-algebraurok-8-neravenstva Cached Системой неравенств называют два неравенства с одной неизвестной

Нажмите здесь , если переадресация не будет выполнена в течение нескольких секунд неравенства с модулем гдз Поиск в Все Картинки Ещё Видео Новости Покупки Карты Книги Все продукты Решение неравенств с модулем Павел Бердов berdovcomreshenie фев Ответы и решения Сегодня Неравенства вида Модуль меньше функции Это одна из Уравнения и неравенства с модулем Репетитор по уравнения и Поэтому научиться решать уравнения и неравенства с модулем должен каждый выпускник средней школы Неравенства с модулем YouTube фев Большой урок, посвящённый решению неравенств с модулем Основная страница урока myoutubecom Уравнения и неравенства с модулем PDF DocPlayerru И В Яковлев Материалы по математике MathUsru Уравнения и неравенства с модулем В данной статье мы Уравнения с модулем Подготовка к ЕГЭ по математике Уравнения с модулем видаxa; xy; xy Уравнения с модулем чтобы получить максимум на ЕГЭ по математике Важно проследить, чтобы ответы соответствовали интервалу! Неравенства с модулем Новый взгляд на решение neravenstva s окт Неравенства с модулем Наиболее сложно решаемыми задачами школьной математики Неравенства с модулем примеры и достаточные знания Неравенства с модулем примеры и достаточные знания, необходимые для решения заданий Решение неравенств с модулем Математика, которая мне hijosrureshenieneravenstvs Неравенства с модулем , их решение, примеры РS напишите, пожалуйста, ответы к и Ответить PDF Неравенства с модулем schoolcollectionedurucatalogview как иначе решать неравенства с модулем ; Объединяя ответы всех трех случаев, получим ответ за дачи Урок Решение неравенств с модулем , содержащих открытыйурокрфстатьи Методы решения неравенств с модулем , содержащие параметр по определению модуля, Ответы Ученик ГДЗ по алгебре класс Белянина, Кинащук, Черевка р гдз пор ГДЗ по алгебре класс Белянина, Кинащук, Черевка р Уравнения и неравенства , содержащие модуль Уравнения и неравенства с модулями и методика их июл Ко всем упражнениям даются ответы , наиболее сложные задания сопровождаются решениями Неравенства с модулем , примеры решений SolverBook rusolverbookcomprimeryresheniya У нас собраны примеры решения неравенств с модулем разных видов Каждое неравенство содержит Неравенства с модулем РЕШУ ЕГЭ математика ЕГЭ Раздел кодификатора ФИПИРешу ЕГЭ Метод интервалов, Введение замены, Неравенства с модулями Калькулятор онлайн Решение неравенств линейных mathsolutionruinequalit Программа решения неравенств не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное решение с пояснениями, ГДЗ по алгебре, Дидактические материалы по алгебре wwwmy gdz comdidakticheskie УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА , СОДЕРЖАЩИЕ ПЕРЕМЕННУЮ СО ЗНАКОМ МОДУЛЯ а имеет два корня; Картинки по запросу неравенства с модулем гдз Помогите с неравенством Алгебра класс Пар Упр gdz pomogites Здравствуйте! Как записать неравенство с модулем в виде двойного неравенства x ; x ГДЗ по алгебре класс дидактические материалы eurokiorg gdz Решебник по алгебре за класс авторы Феоктистов издательство Мнемозина Задание Вариант Неравенства Решение уравнения с модулем фев Решение уравнений с модулем с подробным разбором тригонометрического уравнения с модулем Наносим ответы на каждом промежутке, а не сами промежутки Как решать неравенства Решение неравенств основные viripitruPage_htm Основные методы решения неравенств А В либо А В, если их ответы совпадают Если А В и В А, Севрюков ПФ, Смоляков АН Уравнения и неравенства с psyofficerusevrjuko Категория Учебники для школы Готовые домашние задания по математике Просмотров Севрюков Название Уравнения и неравенства с модулями и методика их решения Формат Неравенства с модулями Курсотека kursotekarucourse Системы уравнений и неравенств Равносильность неравенств, решение неравенств Неравенства с модулями Задачи по школьной математике Неравенства с модулем wwwitmathrepetitorruzadachipo мар Неравенства с модулем Задачи для самостоятельного решения Модуль и его свойства PDF неравенства Abiturientru abiturientruZan ноя задания неравенства ЕГЭ профильного уровня Неравенства , содержащие выражения с модулями Стандартные Ответы к подготовительным заданиям Модульные неравенства , модули , модульные уравнения egegiablogspotcomblogpost_ Решебник ГДЗ по математике ЕГЭ и ОГЭ ГИА по математике Решение заданий любой сложности Уравнения и неравенства с модулем Графики функций Стандартный алгоритм решения уравнений и неравенств с модулем Для решения уравнений и неравенств, Напомните, пожалуйста, как решаются неравенства с двумя модулями Существует несколько способов решения неравенств , содержащих модуль Рассмотрим некоторые из них Абсолютная величина модуль действительного числа resolventarusprmodulht Справочник по математике для школьников алгебра свойства модуля неравенство треугольника уравнения остается лишь решить две этих системы и объединить полученные ответы Решение неравенств Калькулятор Онлайн с подробным kontrolnayarabotaru Подробное решение любых неравенств онлайн Логарифмических, показательных, тригонометрических Числовые промежутки, неравенство с переменной fizmatbymathnumerical_intervals Решением неравенства называется такое значение переменной, при котором это неравенство обращается в Задание ГДЗ по математике класс Мерзляк АГ gdz netzadanie gdz po Задание ГДЗ по математике класс Мерзляк АГ, Полонский ВБ, Якир МС Модуль числа прямой целые значения переменной, при которых верны неравенства Уравнения с модулями Модули Math mathcomuravneniyas Уравнения с модулями Модули Модуль абсолютное значение позитивного числа или нуля есть это число, Неравенства онлайн Решение неравенств Mathbiz Mathbiz решение неравенств онлайн алгебраические, тригонометрические, трансцендентные, линейные, Гдз класс по русскому языку полякова часть Математика pinterestcom Гдз класс по русскому языку полякова часть Неравенства с модулем Логарифмические неравенства Математика Нестандартные методы решения неравенств Скачать Математика Нестандартные методы решения неравенств и их систем Коропец ЗЛ, Коропец АА Теорема о корне Неравенства , содержащие модули Ответы Доказательство некоторого важного неравенства для модулей wwwcyberforumruthreadht некоторого важного неравенства для модулей Алгебра Ответы с готовыми решениями App Store ГДЗ и Решебник по Алгебре Apple гдз решебник Рейтинг , отзывов Бесплатно iOS Обучение авг Загрузите этот контент ГДЗ и Решебник по Алгебре и используйте уравнения неравенства, уравнения неравенства с модулем , Абсолютная ценность и неравенства Решение уравнений с модулем в курсе математики класса uchportalrupubl июн Корнями уравнения называются значения переменной, при которых уравнение обращается в Математика Школьный сайт pzschoolucozruindexmatematika дн назад Модуль предназначен для подготовки к ЕГЭ по математике и ориентирован на Уравнения и системы уравнений ГДЗ по математике математика, алгебра, геометрия Тема Неравенства и системы неравенств Материалы При решении неравенств вы должны свободно владеть понятием числового Раскрываем знак модуля Ответы х ; х ; х Число, которое является или не является решением osvitanameyavlyaetsyayavlyaetsya фев Число является не является решением неравенства t Алгебра Как Решать?задание ,,пожалуйста Домашка и https gdz domashkarukak Ответы на похожие вопросы Когда решаешь неравенства с модулем нужно рассматривал два случая,когда Решение неравенств с модулем онлайн сделать домашку blogruslanaua?doreshenies авг Сайт с помощью информационного неравенства является Решение неравенств с модулем онлайн на викторину в викторине, гдз высшая математика для экономистов, Модуль числа Примеры решения уравнений и неравенств sntpeczruviewshtml ГДЗ по Русскому Языку класс Ладыженская, Тростенцова? , часть Решения по Учебнику ГДЗ по русскому Решение примера решебник гдз скачать DocBazaru Страница Решение задания гдз из учебника Алгебра, класс Дидактические материалы В Уравнения и неравенства , содержащие переменную под знаком модуля С Иррациональные неравенства Видеоурок Алгебра Класс neravenstva Видеоурок Иррациональные неравенства по предмету Алгебра за класс Далее будем рассматривать неравенства с модулем Список литературы Мордкович АГ Алгебра и начала DOC Научиться решать уравнения и неравенства с модулем и educationsimcatru_ Научиться решать уравнения и неравенства с модулем и параметром Текстовые Решебник к книге Под ред Неравенства с модулем простейшие неравенства с Если неравенство содержит несколько модулей , то находят значения x , при которых выражение, стоящее под Равносильные неравенства , преобразование неравенств Равносильные неравенства неравенства , имеющие одни и те же решения при невнимательном использовании свойств корней, логарифмов и модуля Цены и сроки Способы оплаты Вопросы и ответы Действующие В ответ на официальный запрос мы удалили некоторые результаты с этой страницы Вы можете ознакомиться с запросом на сайте LumenDatabaseorg Запросы, похожие на неравенства с модулем гдз неравенства с модулем задания решение неравенств с модулем класс неравенства с модулем формулы решение неравенств с модулем методом интервалов решение неравенств с модулем онлайн неравенство с двумя модулями неравенства с модулем егэ неравенства с двойным модулем След Войти Версия Поиска Мобильная Полная Конфиденциальность Условия Настройки Отзыв Справка

Неравенства с модулем. Задачи из вступительных экзаменов в МГУ. Задачи для самостоятельного решения. Методы решения неравенств с модулем.
Алгебраические преобразования, уравнения, неравенства (250) Логарифмические, показательные уравнения, неравенства (8) Числа и выражения (3) Решение неравенства онлайн с модулем и квадратичной функцией в левой части.
Марина С., онлайн репетитор по математике написал(a) 12.11.2011. Существует несколько способов решения неравенств, содержащих модуль.
Комарова О. М. Неравенства с модулем Электронный ресурс Международный каталог для учителей, преподавателей и студентов Конспекты уроков. Режим доступа: http:xn—-dtbhtbbrhebfpirq0k.xn--p1aimatem9-klassfile8363-neravenstva-s-modulem…
Помогите с решением неравенства с модулем, пожалуйста: x2- xx. Http iphonekit ru pomogite s resheniem neravenstva s modulem pozhalujsta x 2 x x 2.
Joomla! — the dynamic portal engine and content management system. Г) 4 — х S х. Раскройте модули: а) Зл2 -2з; а) зgt;5 — бЩ;
Образование, учебная литература (99110) Товары для дачи, сада и огорода (34034) Всё для дома -10 Товары для детей (24930)

ОГЭ по математике | Задание 21

Задание 21 из ОГЭ по математике открывает вторую часть экзаменационного билета, предназначенную для оценки углубленных знаний девятиклассников. За его выполнение начисляется 2 балла. Если будет допущена вычислительная ошибка или описка, но при этом логика решения сохранится, то будет начислен 1 балл.

В данном случае нужно решить уравнение (обычно кубическое или биквадратное), неравенство, систему уравнений или неравенств, алгебраическое выражение. Большой выбор разновидностей примеров несколько усложняет подготовку. Алгоритм решения зависит от того, с каким видом придется столкнуться, универсальных рекомендаций в этом случае нет. Наиболее распространенный вариант — уравнение, так что изучению этого раздела математики следует уделить побольше времени.

Что нужно знать?

Перед экзаменом повторите еще раз следующие темы:

  • сокращение дробей;
  • уравнения и их системы;
  • неравенства;
  • преобразования рациональных выражений.

Секреты успеха

Несмотря на то, что вторая часть билета сложнее первой, справиться с заданием вполне реально, для этого не нужно дополнительных знаний, достаточно внимательно изучить школьный курс алгебры. Обязательно потренируйтесь перед экзаменом в решении заданий такого типа.

Во время тестирования постарайтесь быстро выполнить задачи первой части, чтобы для сложных разновидностей осталось больше времени.

При изучении условия обратите внимание на поставленный вопрос. Распространенная ошибка — приступать к вычислениям, не поняв до конца, какой ответ требуется.

В решении можно использовать методы введения новых переменных, разложения на множители, а также иные стандартные приемы, которые были изучены на уроках алгебры.

Обязательно проверяйте каждый свой шаг. В процессе преобразований выражений есть большой риск «потерять» минус, перепутать цифру, допустить ошибку в подсчетах. В таком случае, даже если все остальные шаги будут выполнены верно, ответ получится неправильный. В таком случае за выполнение задания будет начислен всего один балл вместо двух. Чтобы избежать такой обидной промашки, не пренебрегайте проверками каждого совершенного действия и окончательного результата.

Мы желаем вам плодотворной подготовки и легкой сдачи ОГЭ!

Вице-президент Всемирного банка приветствует решимость Узбекистана продолжить рыночные реформы несмотря на вызовы пандемии COVID-19

ТАШКЕНТ, 19 мая 2021 г. – Анна Бьерде, вице-президент Всемирного банка по региону Европы и Центральной Азии, посетила Узбекистан с официальным визитом 14-18 мая с. г. Состоялись рабочие встречи с Президентом Узбекистана Шавкатом Мирзиёевым, представителями правительства и парламента страны, гражданского общества, частного сектора и международными партнерами по вопросам социально-экономического развития.

«Всемирный банк приветствует планы правительства продолжить прозрачный и инклюзивный переход к рыночной экономике и сложные, но нужные реформы, несмотря на кризис, спровоцированный пандемией COVID-19. Мы будем и далее содействовать этим процессам посредством реализации нашей новой программы партнерства со страной. В её рамках будут обозначены сферы, в которых Банк окажет финансовое и консультативное содействие правительству в период с 2022 по 2026 гг. Тем самым мы поддержим реализацию собственной стратегии развития Узбекистана на ближайшие пять лет», – отметила г-жа Бьерде.

Вице-президент Всемирного банка провела продуктивные переговоры с Президентом Шавкатом Мирзиёевым, Председателем Сената Олий Мажлиса (парламента) Танзилой Нарбаевой, первым заместителем Председателя Сената Олий Мажлиса Содиком Сафоевым, заместителем Премьер-министра и министром экономического развития и сокращения бедности Джамшидом Кучкаровым, заместителем Премьер-министра и министром инвестиций и внешней торговли Сардором Умурзаковым, а также министром финансов Тимуром Ишметов.

В ходе встреч обсуждались меры правительства по реализации рыночных реформ, снижению бедности и безработицы среди населения, повышению уровня жизни в сельских районах, расширению доступа граждан к услугам здравоохранения, образования, социальной защиты, водоснабжения, созданию условий для развития частного сектора, а также улучшению делового и инвестиционного климата.

Стороны также рассмотрели прогресс, достигнутый Узбекистаном в реформировании государственных институтов, предприятий с участием государства, финансового, энергетического, транспортного и других секторов экономики, искоренении принудительного труда, снижении гендерного неравенства, развитии «зеленой» экономики, а также укреплении торговых и транспортных связей между странами Центрально Азии.

Г-жа Бьерде приняла участие в церемонии подписания соглашений о предоставлении кредитов со стороны Всемирного банка на сумму 289 млн долл., а также грантов со стороны Государственного секретариата Швейцарии по экономическим вопросам на сумму 7,8 млн долл. Данные средства позволят правительству реализовать проект по улучшению доступа к услугам водоснабжения и канализации для 500 тыс. человек в трех областях Узбекистана, а также проект по развитию национальной инновационной системы, способной функционировать в условиях рыночной экономики.

В ходе визита в Ташкент вице-президент Всемирного банка также провела рабочие встречи с представителями гражданского общества, частного сектора и международными партнерами по вопросам социально-экономического развития. Обсуждались вопросы более эффективного сотрудничества Банка с названными сторонами с целью содействия правительству в дальнейшей реализации важных реформ.

Узбекистан – одна из четырех стран, которую посетила г-жа Бьерде в рамках своего первого официального визита в Центральную Азию. Во время своего рабочего турне по региону она также побывала в Казахстане, Кыргызской Республике и Таджикистане.

Г-жа Бьерде, гражданка Швеции, заняла пост вице-президента Всемирного банка по региону Европы и Центральной Азии 1 мая 2020 г. На этой должности она возглавляет стратегическую, аналитическую, операционную и информационную деятельность Банка в этой части мира.

В настоящее время посредством предоставления технической помощи и финансирования Всемирный банк содействует Узбекистану в реализации 24 проектов на сумму около 4,3 млрд долл. Они вносят вклад в осуществление важных экономических реформ, развитие сельского хозяйства, здравоохранения, образования, водоснабжения и санитарии, энергетики, транспорта, системы социальной защиты, модернизацию городской и сельской инфраструктуры, а также в смягчение последствий COVID-19 для здравоохранения, экономики и граждан страны.

2.8: Устранение неравенств абсолютных значений

Цели обучения

К концу этого раздела вы сможете:

  • Решите уравнения абсолютных значений
  • Решите неравенства абсолютных значений с «меньше чем»
  • Решите неравенства абсолютных значений с помощью «больше чем»
  • Решить приложения с абсолютным значением

Прежде чем начать, пройдите тест на готовность.

  1. Вычислить: \ (- | 7 | \).
    Если вы пропустили эту проблему, просмотрите [ссылка] .
  2. Введите \ (<,>, <,>, \) или \ (= \) для каждой из следующих пар чисел.
    ⓐ \ (| −8 | \ text {___} — | −8 | \) ⓑ \ (12 \ text {___} — | −12 | \) ⓒ \ (| −6 | \ text {___} — 6 \) Ⓓ \ (- (- 15) \ text {___} — | −15 | \)
    Если вы пропустили эту проблему, просмотрите [ссылка] .
  3. Упростить: \ (14−2 | 8−3 (4−1) | \).
    Если вы пропустили эту проблему, просмотрите [ссылка] .

Решите уравнения абсолютных значений

Готовясь к решению уравнений абсолютного значения, мы пересматриваем наше определение абсолютного значения .

АБСОЛЮТНОЕ ЗНАЧЕНИЕ

Абсолютное значение числа — это его расстояние от нуля на числовой прямой.

Абсолютное значение числа n записывается как \ (| n | \) и \ (| n | \ geq 0 \) для всех чисел.

Абсолютные значения всегда больше или равны нулю.

Мы узнали, что число и его противоположность находятся на одинаковом расстоянии от нуля на числовой прямой. Поскольку они находятся на одинаковом расстоянии от нуля, они имеют одинаковое абсолютное значение.Например:

  • \ (- 5 \) на 5 единиц от 0, поэтому \ (| −5 | = 5 \).
  • \ (5 \) находится на расстоянии 5 единиц от 0, поэтому \ (| 5 | = 5 \).

Рисунок \ (\ PageIndex {1} \) иллюстрирует эту идею.

Рисунок \ (\ PageIndex {1} \): числа 5 и \ (- 5 \) отстоят на пять единиц от нуля.

Для уравнения | x | = 5, | x | = 5 мы ищем все числа, которые делают это утверждение истинным. Мы ищем числа, расстояние от которых до нуля равно 5. Мы только что видели, что и 5, и −5−5 — это пять единиц от нуля на числовой прямой.Они являются решениями уравнения.

\ (\ begin {array} {ll} {\ text {If}} & {| x | = 5} \\ {\ text {then}} & {x = −5 \ text {или} x = 5} \\ \ end {array} \)

Решение можно упростить до одного оператора, написав \ (x = \ pm 5 \). Это читается так: « x равно положительному или отрицательному 5».

Мы можем обобщить это на следующее свойство для уравнений абсолютного значения.

УРАВНЕНИЯ АБСОЛЮТНОЙ СТОИМОСТИ

Для любого алгебраического выражения u и любого положительного действительного числа a ,

\ [\ begin {array} {ll} {\ text {if}} & {| u | = a} \\ {\ text {then}} & {u = −a \ text {или} u = a} \\ \ nonumber \ end {array} \]

Помните, что абсолютное значение не может быть отрицательным числом.

Пример \ (\ PageIndex {1} \)

Решить:

  1. \ (| х | = 8 \)
  2. \ (| у | = −6 \)
  3. \ (| z | = 0 \)
Решение а

\ (\ begin {array} {ll} {} & {| x | = 8} \\ {\ text {Запишите эквивалентные уравнения.}} & {X = −8 \ text {или} x = 8} \ \ {} & {x = \ pm 8} \\ \ end {array} \)

Решение b

\ (\ begin {array} {ll} {} & {| y | = −6} \\ {} & {\ text {Нет решения}} \\ \ end {array} \)
Поскольку абсолютное значение равно всегда положительный, у этого уравнения нет решений.

Решение c

\ (\ begin {array} {ll} {} & {| z | = 0} \\ {\ text {Запишите эквивалентные уравнения.}} & {Z = −0 \ text {или} z = 0} \ \ {\ text {Since} −0 = 0,} & {z = 0} \\ \ end {array} \)
Оба уравнения говорят нам, что z = 0z = 0, и поэтому существует только одно решение.

УПРАЖНЕНИЕ \ (\ PageIndex {2} \)

Решить:

  1. \ (| x | = 2 \)
  2. \ (| у | = −4 \)
  3. \ (| z | = 0 \)
Ответьте на

\ (\ pm 2 \)

Ответ б

нет решения

Ответ c

0

УПРАЖНЕНИЕ \ (\ PageIndex {3} \)

Решить:

  1. \ (| х | = 11 \)
  2. \ (| у | = −5 \)
  3. \ (| z | = 0 \)
Ответьте на

\ (\ pm 11 \)

Ответ б

нет решения

Ответ c

0

Чтобы решить уравнение абсолютного значения , мы сначала выделяем выражение абсолютного значения, используя те же процедуры, которые мы использовали для решения линейных уравнений.Выделив выражение абсолютного значения, мы перепишем его как два эквивалентных уравнения.

Как решать уравнения абсолютных значений

Пример \ (\ PageIndex {4} \)

Решите \ (| 5x − 4 | −3 = 8 \).

Решение

УПРАЖНЕНИЕ \ (\ PageIndex {5} \)

Решите: \ (| 3x − 5 | −1 = 6 \).

Ответ

\ (x = 4, \ space x = — \ frac {2} {3} \)

УПРАЖНЕНИЕ \ (\ PageIndex {6} \)

Решите: \ (| 4x − 3 | −5 = 2 \).

Ответ

\ (x = −1, \ space x = \ frac {5} {2} \)

Здесь приведены шаги для решения уравнения абсолютного значения.

РЕШАЙТЕ УРАВНЕНИЯ АБСОЛЮТНОЙ ЗНАЧЕНИЯ.

  1. Изолировать выражение абсолютного значения.
  2. Напишите эквивалентные уравнения.
  3. Решите каждое уравнение.
  4. Проверьте каждое решение.

Пример \ (\ PageIndex {7} \)

Решите \ (2 | x − 7 | + 5 = 9 \).

Решение
\ (2 | х − 7 | + 5 = 9 \)
Выделите выражение абсолютного значения. \ (2 | х − 7 | = 4 \)
\ (| х − 7 | = 2 \)
Напишите эквивалентные уравнения. \ (x − 7 = −2 \) или \ (x − 7 = 2 \)
Решите каждое уравнение. \ (x = 5 \) или \ (x = 9 \)
Чек:

Упражнение \ (\ PageIndex {8} \)

Решите: \ (3 | x − 4 | −4 = 8 \).

Ответ

\ (х = 8, \ пробел х = 0 \)

Упражнение \ (\ PageIndex {9} \)

Решите: \ (2 | x − 5 | + 3 = 9 \).

Ответ

\ (х = 8, \ пробел х = 2 \)

Помните, абсолютное значение всегда положительно!

Пример \ (\ PageIndex {10} \)

Решить: \ (| \ frac {2} {3} x − 4 | + 11 = 3 \).

Решение

\ (\ begin {array} {ll} {} & {| \ frac {2} {3} x − 4 | = −8} \\ {\ text {Изолировать член абсолютного значения.}} & {| \ frac {2} {3} x − 4 | = −8} \\ {\ text {Абсолютное значение не может быть отрицательным.}} & {\ text {Нет решения}} \\ \ end {array} \)

Упражнение \ (\ PageIndex {11} \)

Решить: \ (| \ frac {3} {4} x − 5 | + 9 = 4 \).

Ответ

Нет решения

Упражнение \ (\ PageIndex {12} \)

Решить: \ (| \ frac {5} {6} x + 3 | + 8 = 6 \).

Ответ

Нет решения

Некоторые из наших уравнений абсолютного значения могут иметь форму \ (| u | = | v | \), где u и v — алгебраические выражения. Например, \ (| x − 3 | = | 2x + 1 | \).

Как бы мы их разрешили? Если два алгебраических выражения равны по модулю, то они либо равны друг другу, либо отрицательны. Свойство для уравнений абсолютного значения говорит, что для любого алгебраического выражения u и положительного действительного числа a , если \ (| u | = a \), то \ (u = −a \) или \ ( и = а \).

Это говорит нам, что

\ (\ begin {array} {llll}
{\ text {if}} & {| u | = | v |} & {} & {}
\\ {\ text {then}} & {| u | = v} & {\ text {или}} & {| u | = −v}
\\ {\ text {и так}} & {u = v \ text {или} u = −v} & {\ text {или}} & {u = −v \ text {or} u = — (- v)}
\\ \ end {array} \)

Это приводит нас к следующему свойству для уравнений с двумя абсолютными значениями.

УРАВНЕНИЯ С ДВУМЯ АБСОЛЮТНЫМИ ЗНАЧЕНИЯМИ

Для любых алгебраических выражений: u и v ,

\ [\ begin {array} {ll} {\ text {if}} & {| u | = | v |} \\ {\ text {then}} & {u = −v \ text {или} u = v} \\ \ nonumber \ end {array} \]

Когда мы берем величину, противоположную количеству, мы должны быть осторожны со знаками и добавлять круглые скобки там, где это необходимо.

Пример \ (\ PageIndex {13} \)

Решите: \ (| 5x − 1 | = | 2x + 3 | \).

Решение

\ (\ begin {array} {ll} {} & {} & {| 5x − 1 | = | 2x + 3 |} & {} \\ {} & {} & {} & {} \\ {\ text {Напишите эквивалентные уравнения.}} & {5x − 1 = — (2x + 3)} & {\ text {or}} & {5x − 1 = 2x + 3} \\ {} & {5x − 1 = −2x − 3} & { \ text {или}} & {3x − 1 = 3} \\ {\ text {Решите каждое уравнение.}} & {7x − 1 = −3} & {} & {3x = 4} \\ {} & { 7x = −2} & {} & {x = 43} \\ {} & {x = −27} & {\ text {or}} & {x = 43} \\ {\ text {Проверить.}} & {} & {} & {} \\ {\ text {Мы оставляем вам чек.}} & {} & {} & {} \\ \ end {array} \)

Упражнение \ (\ PageIndex {14} \)

Решите: \ (| 7x − 3 | = | 3x + 7 | \).

Ответ

\ (x = — \ frac {2} {5}, \ space x = \ frac {5} {2} \)

Упражнение \ (\ PageIndex {15} \)

Решите: \ (| 6x − 5 | = | 3x + 4 | \).

Ответ

\ (х = 3, х = 19 \)

Решите абсолютные неравенства, используя значение «меньше чем»

Давайте теперь посмотрим, что происходит, когда у нас есть неравенство по абсолютной величине . Все, что мы узнали о решении проблемы неравенства, по-прежнему актуально, но мы должны учитывать, как абсолютная ценность влияет на нашу работу. Мы снова посмотрим на наше определение абсолютного значения. Абсолютное значение числа — это его расстояние от нуля на числовой прямой.Для уравнения \ (| x | = 5 \) мы увидели, что и 5, и \ (- 5 \) равны пяти единицам от нуля на числовой прямой. Они являются решениями уравнения.

\ [\ begin {array} {lll} {} & {| x | = 5} & {} \\ {x = −5} & {\ text {or}} & {x = 5} \\ \ nonumber \ end {array} \]

А как насчет неравенства \ (| x | \ leq 5 \)? Где числа, расстояние между которыми меньше или равно 5? Мы знаем, что \ (- 5 \) и 5 ​​- это пять единиц от нуля. Все числа от \ (- 5 \) до 5 меньше пяти единиц от нуля (рисунок \ (\ PageIndex {2} \)).

Рисунок \ (\ PageIndex {2} \).

В более общем виде мы можем видеть, что если \ (| u | \ leq a \), то \ (- a \ leq u \ leq a \) (рисунок \ (\ PageIndex {3} \)).

Рисунок \ (\ PageIndex {3} \).

Этот результат резюмирован здесь.

НЕРАВЕНСТВА АБСОЛЮТНОЙ СТОИМОСТИ С \ (<\) ИЛИ \ (\ leq \)

Для любого алгебраического выражения u и любого положительного действительного числа a ,

\ [\ text {if} \ quad | u |

После решения неравенства часто бывает полезно проверить некоторые моменты, чтобы увидеть, имеет ли решение смысл.График решения делит числовую прямую на три части. Выберите значение в каждом разделе и подставьте его в исходное неравенство, чтобы увидеть, делает ли оно истинным неравенство или нет. Хотя это не полная проверка, она часто помогает проверить решение.

Пример \ (\ PageIndex {16} \)

Решите \ (| x | <7 \). Постройте график решения и запишите решение в интервальной записи.

Решение
Запишите эквивалентное неравенство.
Постройте график решения.
Запишите решение, используя интервальную запись.

Чек:

Для проверки проверьте значение в каждом разделе числовой строки, показывающей решение. Выберите числа, такие как −8, −8, 1 и 9.

УПРАЖНЕНИЕ \ (\ PageIndex {17} \)

Постройте график решения и запишите его в интервальной записи: \ (| x | <9 \).

Ответ

УПРАЖНЕНИЕ \ (\ PageIndex {18} \)

Постройте график решения и запишите его в интервальной записи: \ (| x | <1 \).

Ответ

Пример \ (\ PageIndex {19} \)

Решите \ (| 5x − 6 | \ leq 4 \). Постройте график решения и запишите решение в интервальной записи.

Решение
Шаг 1. Выделите выражение абсолютного значения.
Изолировано.
\ (| 5x − 6 | \ leq 4 \)
Шаг 2. Запишите эквивалентное сложное неравенство. \ (- 4 \ leq 5x − 6 \ leq 4 \)
Шаг 3. Решите сложное неравенство. \ (2 \ leq 5x \ leq 10 \)
\ (\ frac {2} {5} \ leq x \ leq 2 \)
Шаг 4. Постройте график решения.
Шаг 5. Запишите решение, используя интервальную запись. \ ([\ frac {2} {5}, 2] \)
Чек:
Чек предоставляется вам.

УПРАЖНЕНИЕ \ (\ PageIndex {20} \)

Решите \ (| 2x − 1 | \ leq 5 \). Постройте график решения и запишите решение в виде интервалов:

.

Ответ

УПРАЖНЕНИЕ \ (\ PageIndex {21} \)

Решите \ (| 4x − 5 | \ leq 3 \).Постройте график решения и запишите решение в виде интервалов:

.

Ответ

РЕШИТЬ АБСОЛЮТНЫЕ НЕРАВЕНСТВА СТОИМОСТИ С помощью \ (<\) ИЛИ \ (\ leq \)

  1. Изолировать выражение абсолютного значения.
  2. Напишите эквивалентное сложное неравенство.

    \ [\ begin {array} {lll} {| u |

  3. Решите составное неравенство.
  4. Изобразите решение
  5. Напишите решение, используя интервальную запись.

Решите неравенство абсолютных значений с помощью «больше, чем»

Что происходит с неравенством по абсолютной стоимости, имеющим «больше чем»? Мы снова посмотрим на наше определение абсолютного значения. Абсолютное значение числа — это его расстояние от нуля на числовой прямой.

Мы начали с неравенства \ (| x | \ leq 5 \). Мы видели, что числами, расстояние между которыми меньше или равно пяти от нуля на числовой прямой, были \ (- 5 \) и 5, а все числа между \ (- 5 \) и 5 ​​(Рисунок \ (\ PageIndex {4 } \)).

Рисунок \ (\ PageIndex {4} \).

Теперь мы хотим рассмотреть неравенство \ (| x | \ geq 5 \). Где числа, расстояние от нуля которых больше или равно пяти?

И снова \ (- 5 \) и 5 ​​равны пяти единицам от нуля и поэтому включены в решение. Числа, расстояние от которых до нуля больше пяти единиц, будут меньше \ (- 5 \) и больше 5 в числовой строке (рисунок \ (\ PageIndex {5} \)).

Рисунок \ (\ PageIndex {5} \).

В более общем плане мы можем видеть, что если \ (| u | \ geq a \), то \ (u \ leq −a \) или \ (u \ leq a \).См. рисунок .

Рисунок \ (\ PageIndex {6} \).

Этот результат резюмирован здесь.

НЕРАВЕНСТВА АБСОЛЮТНОЙ СТОИМОСТИ С \ (> \) ИЛИ \ (\ geq \)

Для любого алгебраического выражения u и любого положительного действительного числа a ,

\ [\ begin {array} {lll} {\ text {if}} & {\ quad | u |> a,} & {\ quad \ text {then} u <−a \ text {или} u> a } \\ {\ text {if}} & {\ quad | u | \ geq a,} & {\ quad \ text {then} u \ leq −a \ text {или} u \ geq a} \\ \ nonumber \ end {array} \]

Пример \ (\ PageIndex {22} \)

Решите \ (| x |> 4 \).Постройте график решения и запишите решение в интервальной записи.

Решение
\ (| х |> 4 \)
Запишите эквивалентное неравенство. \ (x <−4 \) или \ (x> 4 \)
Постройте график решения.
Запишите решение, используя интервальную запись. \ ((- \ inf, −4) \ чашка (4, \ inf) \)
Чек:

Чтобы проверить, проверьте значение в каждом разделе числовой строки, показывающей решение. Выберите числа, такие как −6, −6, 0 и 7.

УПРАЖНЕНИЕ \ (\ PageIndex {23} \)

Решите \ (| x |> 2 \). Постройте график решения и запишите решение в интервальной записи.

Ответ

УПРАЖНЕНИЕ \ (\ PageIndex {24} \)

Решите \ (| x |> 1 \).Постройте график решения и запишите решение в интервальной записи.

Ответ

Пример \ (\ PageIndex {25} \)

Решите \ (| 2x − 3 | \ geq 5 \). Постройте график решения и запишите решение в интервальной записи.

Решение
\ (| 2x − 3 | \ geq 5 \)
Шаг 1. Выделите выражение абсолютного значения. Он изолирован.
Шаг 2. Запишите эквивалентное сложное неравенство. \ (2x − 3 \ leq −5 \) или \ (2x − 3 \ geq 5 \)
Шаг 3. Решите сложное неравенство. \ (2x \ leq −2 \) или \ (2x \ geq 8 \)
\ (x \ leq −1 \) или \ (x \ geq 4 \)
Шаг 4. Постройте график решения.
Шаг 5. Запишите решение, используя интервальную запись. \ ((- \ inf, −1] \ cup [4, \ inf) \)
Чек:
Чек предоставляется вам.

УПРАЖНЕНИЕ \ (\ PageIndex {26} \)

Решите \ (| 4x − 3 | \ geq 5 \). Постройте график решения и запишите решение в интервальной записи.

Ответ

УПРАЖНЕНИЕ \ (\ PageIndex {27} \)

Решите \ (| 3x − 4 | \ geq 2 \). Постройте график решения и запишите решение в интервальной записи.

Ответ

РЕШИТЬ АБСОЛЮТНЫЕ НЕРАВЕНСТВА СТОИМОСТИ С ПОМОЩЬЮ \ (> \) ИЛИ \ (\ geq \).

  1. Изолировать выражение абсолютного значения.
  2. Напишите эквивалентное сложное неравенство.

    \ [\ begin {array} {lll}
    {| u | > a} & {\ quad \ text {эквивалентно}} & {u <−a \ quad \ text {или} \ quad u> a}
    \\ {| u | \ geq a} & {\ quad \ text {эквивалентно}} & {u \ leq −a \ quad \ text {или} \ quad u \ geq a}
    \\ {| u | > a} & {\ quad \ text {эквивалентно}} & {u <−a \ quad \ text {или} \ quad u> a}
    \\ {| u | \ geq a} & {\ quad \ text {эквивалентно}} & {u \ leq −a \ quad \ text {или} \ quad u \ geq a}
    \\ \ nonumber \ end {array} \]

  3. Решите составное неравенство.
  4. Изобразите решение
  5. Напишите решение, используя интервальную запись.

Решайте приложения с абсолютным значением

Неравенство абсолютных значений часто используется в производственном процессе. Изделие должно быть изготовлено с почти идеальными характеристиками. Обычно существует определенный допуск отклонения от допустимых характеристик. Если отличие от спецификаций превышает допуск, товар отклоняется.

\ [| \ text {actual-ideal} | \ leq \ text {терпимость} \ nonumber \]

Пример \ (\ PageIndex {28} \)

Идеальный диаметр стержня, необходимого для станка, — 60 мм. Фактический диаметр может отличаться от идеального на \ (0,075 \) мм. Какой диапазон диаметров будет приемлем для заказчика, не вызывая брака прутка?

Решение

\ (\ begin {array} {ll} {} & {\ text {Let} x = \ text {фактическое измерение}} \\ {\ text {Используйте неравенство абсолютных значений, чтобы выразить эту ситуацию.}} & {| \ text {actual-ideal} | \ leq \ text {толерантность}} \\ {} & {| x − 60 | \ leq 0.075} \\ {\ text {Перепишите как составное неравенство.}} & {- 0.075 \ leq x − 60 \ leq 0.075} \\ {\ text {Решите неравенство.}} & {59.925 \ leq x \ leq 60.075} \\ {\ text {Ответьте на вопрос.}} & {\ text {Диаметр стержня может находиться в диапазоне}} \\ {} & {59,925 мм \ text {и} 60,075 мм.} \\ \ end {array} \)

УПРАЖНЕНИЕ \ (\ PageIndex {29} \)

Идеальный диаметр стержня, необходимого для станка, составляет 80 мм.Фактический диаметр может отличаться от идеального на 0,009 мм. Какой диапазон диаметров будет приемлем для заказчика, не вызывая брака прутка?

Ответ

Диаметр стержня может составлять от 79,991 до 80,009 мм.

УПРАЖНЕНИЕ \ (\ PageIndex {30} \)

Идеальный диаметр стержня, необходимого для станка, — 75 мм. Фактический диаметр может отличаться от идеального на 0,05 мм.Какой диапазон диаметров будет приемлем для заказчика, не вызывая брака прутка?

Ответ

Диаметр стержня может составлять от 74,95 до 75,05 мм.

Воспользуйтесь этим онлайн-ресурсом для получения дополнительных инструкций и практики решения линейных абсолютных уравнений и неравенств.

  • Решение линейных абсолютных уравнений и неравенств

Ключевые понятия

  • Абсолютное значение
    Абсолютное значение числа — это расстояние от 0 на числовой прямой.
    Абсолютное значение числа n записывается как \ (| n | \) и \ (| n | \ geq 0 \) для всех чисел.
    Абсолютные значения всегда больше или равны нулю.
  • Уравнения абсолютных значений
    Для любого алгебраического выражения u и любого положительного действительного числа a ,
    \ (\ begin {array} {ll} {\ text {if}} & {\ quad | u | = a} \\ {\ text {then}} & {\ quad u = −a \ text {или} u = a} \\ \ end {array} \)
    Помните, что абсолютное значение не может быть отрицательным числом .
  • Как решать уравнения абсолютных значений
    1. Изолировать выражение абсолютного значения.
    2. Напишите эквивалентные уравнения.
    3. Решите каждое уравнение.
    4. Проверьте каждое решение.
  • Уравнения с двумя абсолютными значениями
    Для любых алгебраических выражений: u и v ,
    \ (\ begin {array} {ll} {\ text {if}} & {\ quad | u | = | v |} \\ {\ text {then}} & {\ quad u = −v \ text {или} u = v} \\ \ end {array} \)
  • Абсолютные неравенства значений с \ (<\) или \ (\ leq \)
    Для любого алгебраического выражения u и любого положительного действительного числа a ,
    \ (\ begin {array} {llll} {\ text {if}} & {\ quad | u | = a} & {\ quad \ text {then}} & {- a
  • Как решить неравенство абсолютных значений с помощью \ (<\) или \ (\ leq \)
    1. Изолировать выражение абсолютного значения.
    2. Напишите эквивалентное сложное неравенство.
      \ (\ begin {array} {lll} {| u |
    3. Решите составное неравенство.
    4. Изобразите решение
    5. Запишите решение, используя интервальную запись
  • Абсолютные неравенства значений с \ (> \) или \ (\ geq \)
    Для любого алгебраического выражения u и любого положительного действительного числа a ,
    \ (\ begin {array} {lll} {\ text {if}} & {\ quad | u |> a,} & {\ text {then} u <−a \ text {или} u> a} \\ {\ text {if}} & {\ quad | u | \ geq a,} & {\ text {then} u \ leq −a \ text {или} u \ geq a} \\ \ end {array} \)
  • Как решить неравенство абсолютных значений с помощью \ (> \) или \ (\ geq \)
    1. Изолировать выражение абсолютного значения.
    2. Напишите эквивалентное сложное неравенство.
      \ (\ begin {array} {lll} {| u |> a} & {\ quad \ text {эквивалентно}} & {\ quad u <−a \ text {или} u> a} \\ { | u | \ geq a} & {\ quad \ text {эквивалентно}} & {\ quad u \ leq −a \ text {или} u \ geq a} \\ \ end {array} \)
    3. Решите составное неравенство.
    4. Изобразите решение
    5. Запишите решение, используя интервальную запись

Узнайте об абсолютном неравенстве

В этом видео мы узнаем, как решать абсолютные неравенства.Не забудьте изобразить свое неравенство! После того, как вы закончите этот урок, просмотрите все наши уроки Алгебры 1 и попрактикуйтесь.

При удалении скобок абсолютного значения не забудьте перевернуть знак неравенства и отрицать обратную сторону неравенства!

Например:

Вычтите 8 с обеих сторон, чтобы выделить величины в скобках абсолютного значения

Теперь удалите скобки абсолютного значения и разделите уравнение на 2 случая, как показано ниже

Примеры

Пример 1

Сначала разделите 2, чтобы выделить величины в скобках абсолютного значения

Теперь удалите скобки абсолютного значения и разделите уравнение на 2 случая.

Пример 2

Убрать скобки абсолютного значения и разделить уравнение на 2 случая

Стенограмма видеоурока

Давайте рассмотрим решение абсолютных неравенств.

Мы собираемся объединить наши знания в решении абсолютных уравнений и решении неравенств.

Давайте посмотрим на эти:

Давайте разделим это на две части:

и

Давайте подумаем о нашем правиле неравенства:

Если мы умножаем или делим на отрицательное число, мы меняем знак.

В первом неравенстве мы сохраняем знак, потому что ответ положительный.

Во втором неравенстве мы меняем знак, потому что получим отрицательный результат.

Теперь давайте решим

и

Опять же, давайте перевернем знак, потому что мы делим на отрицательное число.

Давайте изобразим это, используя номер строки, который начинается и заканчивается на.

Давайте нарисуем открытый круг в, а затем проведем линию вправо.

Затем давайте нарисуем открытый круг в, а затем проведем линию, идущую влево.

Здесь линии встречаются.

Это пример союза «и».

Другой пример дизъюнкции «или».

Итак, хороший ключ к пониманию того, будет ли у вас конъюнкция, — это взглянуть на исходное неравенство.

Если абсолютное значение само по себе имеет знак «меньше», который выглядит как буква «с», то это будет союз.

А если нет, то это будет дизъюнкция «или».

А теперь займемся этими двумя.

Решим первое неравенство.

Поскольку абсолютное значение имеет знак «меньше», отсюда мы знаем, что у нас будет конъюнкция.

Здесь два уравнения:

и

Мы перевернули знак во втором неравенстве, потому что у нас знак минус.

Теперь давайте решим

А потом

Теперь нам нужно решить два неравенства

и

Тогда давайте решим обе проблемы:

Потом еще один. Здесь мы ожидаем, что это будет дизъюнкция, потому что она больше, чем.

Целочисленные неравенства с абсолютными значениями — видео и стенограмма урока

Целочисленные неравенства

В математике вы знаете, как мы решаем уравнения, такие как x + 7 = 10 для неизвестной переменной? Таким же образом можно решить неравенства, например x + 7 <10.Но помните, что для неравенства мы получаем диапазон чисел для нашего ответа.

Например, решение x + 7 <10 дает нам x <3. Итак, наши ответы включают все числа меньше 3. Мы решили это, вычитая 7 с обеих сторон, чтобы получить x отдельно. . Мы использовали тот же процесс, что и для решения наших стандартных уравнений.

Что ж, теперь мы можем ввести неравенства с абсолютными значениями. Для решения этих типов проблем используются те же методы, что и для решения наших уравнений и неравенств, но в них есть несколько интересных моментов.Позволь мне показать тебе.

Допустим, у нас есть эта проблема.

| x — 1 | <3

Проблема выглядит достаточно простой. Если бы у нас там не было абсолютного значения, мы бы просто добавили 1 к обеим сторонам, чтобы решить нашу проблему. Что ж, у нас есть абсолютная ценность и неравенство. Поскольку у нас есть абсолютное значение, нам нужно создать две проблемы, которые нужно решить из нашей, потому что мы можем иметь два разных абсолютных значения, равных одному и тому же. Помните | 9 | = 9, но | -9 | = 9.

Поскольку у нас есть переменная, которую нужно найти, мы запишем два неравенства без абсолютного значения. Таким образом, мы имеем ( x — 1) <3 и - ( x — 1) <3. Для второго неравенства мы можем умножить на -1 с обеих сторон, чтобы переместить отрицательный знак. Помните, что всякий раз, когда вы умножаете или делите на минус в неравенстве, ваш знак неравенства меняется.

Итак, теперь у нас x — 1> -3. Наши два неравенства теперь равны x — 1 <3 и x — 1> -3.Хороший способ запомнить эту часть решения неравенства с абсолютным значением — просто не забыть установить два неравенства, одно точно такое же, как ваше исходное уравнение, но без абсолютного значения, а другое с перевернутым неравенством и числом со знаком минус.

Теперь мы можем закончить решение, как обычно. Мы добавляем 1 к обеим сторонам неравенства для обоих неравенств. Получаем x <4 и x > -2. Мы можем записать наш окончательный ответ как -2 < x <4.

А что, если бы в нашей задаче вместо этого был символ «больше»?

| x — 1 | > 3

Будем решать эту задачу так же, как если бы у нас был символ «меньше». Мы создаем два неравенства: одно такое же, только без абсолютного значения, а второе с перевернутым неравенством и числом с отрицательным знаком. У нас есть ( x — 1)> 3 и ( x — 1) <-3. Теперь мы можем решить каждое неравенство. Мы прибавляем 1 к обеим частям обоих неравенств.Получаем x > 4 и x <-2. Однако на этот раз мы должны написать наш ответ так: x > 4 ИЛИ x <-2.

Первое, что вам нужно иметь в виду при решении неравенств с абсолютными значениями, это то, что вам нужно создать два неравенства для решения одной вашей проблемы. Первое неравенство — это ваша проблема без абсолютного значения, а второе неравенство — это то же неравенство, но с перевернутым неравенством и числом с отрицательным знаком.

Второе, что вам нужно иметь в виду, это то, что если ваша проблема меньше или меньше или равна, ваш ответ может быть записан как a < x < b , где a и b — это два ваших ответа. Номер и всегда является младшим номером. Если ваша проблема больше или больше или равна, то вашим ответом будут два ваших ответа с оператором ИЛИ между ними.

Третье, что касается неравенств с абсолютным значением, заключается в том, что если вы когда-нибудь столкнетесь с проблемой, когда у вас абсолютное значение меньше 0, то ваш ответ не будет решением, потому что ваше абсолютное значение никогда не может быть меньше 0.Кроме того, если вы столкнетесь с проблемой, когда ваше абсолютное значение больше отрицательного числа, тогда вашим ответом будет все x или все действительные числа, потому что ваше абсолютное значение всегда будет положительным числом и, следовательно, всегда будет больше, чем отрицательное число.

Рассмотрим еще пару примеров.

Пример 1

| x + 2 | <5

Начнем с написания двух неравенств из нашей одной задачи. Получаем ( x + 2) <5 и ( x + 2)> -5.Обратите внимание, что для второго неравенства неравенство переворачивается, и числовая часть отрицательна. Теперь мы можем решить оба неравенства. Отнимаем 2 с обеих сторон. Получаем x <3 и x > -7. Поскольку в нашей задаче используется символ «меньше», мы запишем наш ответ как -7 < x <3.

Пример 2

| x + 100 | <-3

Ага! Это проблема с подвохом. Помните третье, о чем мы должны помнить? Верно.Если наше абсолютное значение когда-либо меньше 0, тогда мы автоматически получим ответ без решения.

Итоги урока

Давайте рассмотрим то, что мы узнали. Абсолютное значение — это расстояние от 0 числа. Для решения неравенств с абсолютными значениями используются те же методы, что и для устранения неравенств. Мы помним, что если мы разделим или умножим на отрицательное число, наше неравенство изменится.

Чтобы начать решение неравенства с абсолютным значением, нужно установить два неравенства для решения.Первое неравенство будет нашей проблемой без абсолютного значения. Во втором неравенстве знак неравенства будет перевернут, а числовая часть — с отрицательным знаком.

Если наша задача меньше или меньше или равна, то наш ответ может быть записан как a < x < b , где a — меньший ответ. Если наша проблема больше или больше или равна, то нашим ответом будут два наших ответа с оператором ИЛИ между ними.

Если мы видим проблему с абсолютным значением меньше 0, то ответом всегда будет отсутствие решения. Если мы увидим проблему с абсолютным значением больше отрицательного числа, то ответ будет x .

Результат обучения

Развивайте свою способность решать неравенство, имеющее абсолютные значения, выполнив этот урок.

Абсолютное неравенство

— Блог Magoosh — Экзамен GMAT®

Это чрезвычайно сложная категория вопросов, которая редко встречается в GMAT.Во-первых, пара практических задач по алгебре GMAT.

1) Темно-фиолетовая область на числовой прямой отображается полностью. Какое из следующих неравенств определяет этот регион?

(А) 10 <| x + 10 | <80

(B) 10 <| x - 100 | <80

(C) | x — 20 | <70

(D) | x — 20 | <| х - 90 |

(E) | x — 55 | <35

2) Если | x | <20 и | x - 8 | > | x + 4 |, что из следующего выражает допустимый диапазон для x?

(A) –12

(B) –20

(C) –20

(D) –20

(E) –20

3) Если | (x — 3) 2 + 2 | <| x - 7 | , что из следующего выражает допустимый диапазон для x?

(A) 1

(B) 1

(C) — 1

(D) x <- 1 и 4

(E) — 7

Пояснения к ним будут даны после обсуждения.

Сложный тип вопроса

Я хочу прояснить, что этот тип вопросов очень сложный, что может создать проблемы даже для учащихся, относительно сильных в математике. Я также хочу прояснить, что мы могли бы отправить 50 человек для сдачи 50 отдельных тестов GMAT, и, возможно, ни один из них не увидит такой вопрос на своем GMAT. Это очень редкий жанр вопросов, и он будет задан только в том случае, если вы выполняете разделы Quant, а CAT бросал в вас все, включая кухонную раковину!

Если вы найдете то, что я говорю в этой статье блога, полезным, это здорово: это может дать вам некоторое представление о других, более простых вопросах, связанных с абсолютными ценностями и / или неравенством.Если вы все еще не уверены, не волнуйтесь: вы вряд ли увидите этот тип вопросов в день тестирования.

Размышление об абсолютных значениях

По сути, абсолютное значение — это расстояние, и геометрическое размышление о нем часто является ключом к сложным вопросам об абсолютных значениях . Наивное понимание абсолютной ценности состоит в том, что она «делает вещи позитивными». Хотя это, несомненно, верно, это не всегда самый математически продуктивный способ понять концепцию.Несомненно, | +5 | = +5 и что | -5 | = +5. Мы могли бы сказать, что оба верны, потому что абсолютное значение «делает все положительным», или мы могли бы сказать, что эти два числа, +5 и –5, находятся на расстоянии 5 от нуля на числовой прямой.

Эта геометрическая интерпретация расстояния становится значительно более важной, когда мы имеем дело с алгеброй. Выражение | x | расстояние от x до нуля. Выражение | x — 6 | расстояние от x до +6. Выражение | x + 2 | — это расстояние от x до — 2: чтобы понять это, запомните, что x + 2 = x — (- 2).В общем случае выражение | x — c | — расстояние от любого x до фиксированной точки x = c.

Эта дистанционная интерпретация заменяет множество сложных вычислений. Например, если бы нам нужно было решить неравенство | x — 10 | ≥ | x — 20 |, это просто говорит о том, что расстояние от x до 20 меньше, чем расстояние от x до 10 — другими словами, x ближе к 20, чем к 10, и из-за «или равно» часть, это может быть также такое же расстояние. Ну, точка x = 15 — единственная точка на числовой прямой, которая равноудалена от x = 10 и x = 20.Если x должен быть либо на равном расстоянии от 10 и 20, либо ближе к 20, тогда он должен быть в точке x = 15 или вправо. Любая точка между 15 и 20 ближе к 20, чем к 10, а любая точка справа от 20 должна быть ближе к 20, чем к 10. Таким образом, решение равно 15 ≤ x.

Какой регион обозначается неравенством | x — 25 | > 10? Что ж, все, что мы говорим, это то, что мы должны быть более чем на 10 единиц от точки x = 25. Если мы пойдем на 10 единиц влево, мы получим x = 15: мы не можем быть здесь, на расстоянии. равно 10, но мы могли бы быть левее x = 15 на расстоянии более 10.Если мы пойдем на 10 единиц вправо, мы получим x = 35: мы не можем быть здесь, на расстоянии, равном 10, но мы могли бы быть справа от x = 35, на расстоянии более 10. Таким образом , решение включает пару областей x <15 и 35

Обратите внимание, что x = 25 является точкой симметрии этой диаграммы, поскольку все находится на расстоянии от этой точки.

Сводка неравенств по абсолютным значениям

Приведенная выше точка зрения может дать вам некоторое представление об этой проблеме.Если у вас были какие-то моменты «ага», читая это, то, возможно, вы захотите еще раз попробовать практические задачи, прежде чем переходить к решениям, приведенным ниже. Решения могут дать вам больше информации о решении проблем.

Практика Объяснение проблемы

1) Шаг первый: найдите среднюю точку региона. Средняя точка, находящаяся на полпути между 20 и 90, равна 55. Другими словами, 20 и 90 имеют одинаковое расстояние от 55, расстояние 35. Эти конечные точки не включены, но область включает все точки, которые находятся на расстоянии от от x = 55, что меньше 35.Переводя это на математические вычисления, мы получаем следующее:

| x — 55 | <35

Ответ = (E)

2) Некоторые люди могут подумать, что это требует сложных вычислений, но многое из этого можно сделать с помощью простого пространственного анализа. Посмотрите на второе неравенство, более сложное: | x — 8 | > | х + 4 |. Все это говорит о том, что мы ищем такие точки, что расстояние до x = 8 больше, чем расстояние от x = –4; другими словами, нам нужны все точки, которые ближе к x = –4 и дальше от x = 8.

Средняя точка между x = –4 и x = 8 — это точка x = 2. Эта точка не включена, потому что она равноудалена от обеих точек, но все, что находится слева от этой точки на числовой прямой, ближе к x = — 4, чем до x = 8. Все это сложное неравенство упрощается до x <2.

Объедините это с первым неравенством | x | <20, что в отрицательной области означает, что x должно быть больше –20. Таким образом, допустимая область составляет –20

Ответ = (B)

3) Для этого нам нужно проявить смекалку в нескольких отношениях.Прежде всего, выражение внутри абсолютного значения слева имеет форму [квадрат] + [положительное число]. Все, что возведено в квадрат, равно нулю или положительно, потому что что-то в квадрате никогда не может быть отрицательным. Когда мы добавляем положительное число, мы гарантируем, что оно всегда положительное. Таким образом, абсолютные значения вокруг него совершенно излишни, потому что в любом случае он всегда положителен. Мы можем удалить эти знаки абсолютного значения слева, изменив математический смысл оператора на один бит.

Другое выражение (x — 7) может быть положительным или отрицательным, в зависимости от значения x, поэтому оно может быть равно + (x — 7) или может быть равно — (x — 7). Мы должны расследовать оба случая.

Подумайте о графике параболы.

Это парабола, открывающаяся вверх, с обеих сторон. Как вы, возможно, знаете,

Кроме того, вершина параболы находится на этой оси симметрии. Для этой конкретной параболы мы получаем x = — (- 7) / (2 * 1) = 7/2 как ось симметрии.Подставьте это значение, чтобы найти высоту вершины.

Нам не нужно решать это последнее выражение. Дробь 49/4 находится между 12 и 13, поэтому, когда это вычитается из 18, мы получаем что-то между 5 и 6. Другими словами, вершина этой параболы начинается с выше оси x и продолжается с до . Другими словами, он никогда не бывает отрицательным, никогда не меньше нуля. Это означает, что неравенство Case I не имеет решений и .

Мы можем решить уравнение, чтобы найти граничные точки.Нам придется разложить квадратичный фактор на множители.

Подумайте о графике этой параболы.

Это также парабола, открывающаяся вверх, также парабола, которая поднимается вверх с обеих сторон. Он равен нулю при x = 1 и x = 4, поэтому его вершина должна быть между ними, и между этими двумя точками он должен быть отрицательным и положительным слева от x = 1 и справа от x = 4. Таким образом, решение неравенства случая II: 1 .

Поскольку в случае I решения не было, решение в случае II — это все.

Ответ = (A)

Готовы получить отличный результат GMAT? Начните здесь.

Самые популярные ресурсы

9.2 Абсолютные уравнения и неравенства

Презентация на тему: «9.2 Абсолютные уравнения и неравенства» — стенограмма презентации:

ins [data-ad-slot = «4502451947»] {display: none! important;}}
@media (max-width: 800px) {# place_14> ins: not ([data-ad-slot = «4502451947»]) {display: none! important;}}
@media (max-width: 800px) {# place_14 {width: 250px;}}
@media (max-width: 500 пикселей) {# place_14 {width: 120px;}}
]]>

1

9.2 Абсолютные уравнения и неравенства

2

Используйте определение расстояния как абсолютное значение.
Цель 1 Используйте определение расстояния для абсолютного значения. Горка

3

Используйте определение расстояния как абсолютное значение.
Абсолютное значение числа x, записанное | x |, представляет собой расстояние от x до 0 на числовой прямой.Например, решения | x | = 5 равны 5 и 5, как показано ниже. Нам необходимо понимать концепцию абсолютного значения, чтобы решать уравнения или неравенства, включающие абсолютные значения. Мы решаем их, решая соответствующее составное уравнение или неравенство. Расстояние равно 5, поэтому | 5 | = 5. Расстояние равно 5, поэтому | 5 | = 5. Сдвинуть

4

Используйте определение расстояния как абсолютное значение.
Слайд

5

Решите уравнения вида | ax + b | = k, если k> 0.
Цель 2 Решить уравнения вида | ax + b | = k, для k> 0. Сдвинуть

6

Используйте определение расстояния как абсолютное значение.
Помните, что поскольку абсолютное значение относится к расстоянию от начала координат, уравнение абсолютного значения будет состоять из двух частей. Горка

7

ПРИМЕР КЛАССА 1 Решение уравнения с абсолютными значениями Решите | 3x — 4 | = 11.3x — 4 =  или x — 4 = 11 3x — =  x — = 3x = 7 3x = 15 x = 5 Проверьте, подставив и 5 в исходное уравнение абсолютного значения, чтобы убедиться, что набор решений является решением: сдвиньте

8

Решите неравенства вида | ax + b |
Задача 3 Решить неравенства вида | ax + b | k, для k> 0. Сдвинуть

9

] [Решить | 3x — 4 |  11.3x — 4 ≤ 11 или 3x — 4  11
КЛАССНЫЙ ПРИМЕР 2 Решение абсолютного неравенства с помощью> Solve | 3x — 4 |  11. 3x — 4 ≤  или x — 4  11 3x — ≤  x —  3x ≤  x  15 x  5 Проверьте решение. Множество решений: График состоит из двух интервалов. Решение: 8-4-2 2 4 6-5-1 3 7-3 5 1] [Слайд

10

[] Решить | 3x — 4 | ≤ 11. 11 ≤ 3x — 4 ≤ 11 11 + 4 ≤ 3x — 4 ≤ 11+ 4
ПРИМЕР КЛАССА 3 ​​Решение неравенства абсолютного значения с помощью

11

Решите неравенства вида | ax + b | k, для k> 0.
При решении уравнений абсолютных величин и неравенств типов из примеров 1, 2 и 3 помните следующее: 1.Описанные методы применимы, когда константа стоит только на одной стороне уравнения или неравенства и является положительной. 2. Абсолютные уравнения и неравенства абсолютных значений вида | ax + b | > k переводить в составные утверждения «или». 3. Абсолютные неравенства вида | ax + b |

12

Решите уравнения абсолютных значений, требующие перезаписи.
Цель 4 Решить уравнения абсолютных значений, требующие перезаписи. Горка

13

Сначала получите только абсолютное значение по одну сторону от знака равенства.
КЛАССНЫЙ ПРИМЕР 4 Решение уравнения абсолютных значений, которое требует переписывания Solve | 3x + 2 | + 4 = 15. Сначала получите только абсолютное значение по одну сторону от знака равенства. | 3x + 2 | + 4 = 15 | 3x + 2 | + 4-4 = 15-4 | 3x + 2 | = 11 3x + 2 =  или x + 2 = 11 3x = 13 3x = 9 x = 3 Набор решений: Решение: Слайд

14

Набор решений: (, 7)  (3, )
ПРИМЕР КЛАССА 5 Устранение неравенств абсолютных значений, требующих переписывания Решите неравенство.| х + 2 | — 3> 2 | x + 2 | > 5 x + 2> или x + 2 < 5 x> x <7 Набор решений: (, 7)  (3, ) Решение: сдвиньте

15

Решите неравенство. | х + 2 | — 3 <2 | x + 2 | <5
ПРИМЕР КЛАССА 5 Устранение неравенств абсолютных значений, требующих переписывания (продолжение) Решите неравенство. | х + 2 | — 3 <2 | x + 2 | <5 5

16

Решите уравнения вида | ax + b | = | cx + d | .
Цель 5 Решить уравнения вида | ax + b | = | cx + d | . Горка

17

Решение | ax + b | = | cx + d |
Решите уравнения вида | ax + b | = | cx + d |. Решение | ax + b | = | cx + d | Чтобы решить уравнение абсолютного значения вида | ax + b | = | cx + d | , решите составное уравнение ax + b = cx + d или ax + b =  (cx + d). Горка

18

Убедитесь, что набор решений —
КЛАССНЫЙ ПРИМЕР 6 Решение уравнения с двумя абсолютными значениями Решить | 4x — 1 | = | 3x + 5 |.4x — 1 = 3x или x — 1 =  (3x + 5) 4x — 6 = 3x или x — 1 = 3x — 5  6 =  x или x =  4 x = или Убедитесь, что набором решений является Решение : Горка

19

Решать частные случаи абсолютных уравнений и неравенств.
Цель 6 Решить частные случаи абсолютных уравнений и неравенств. Горка

20

Особые случаи абсолютного значения
Решите особые случаи уравнений и неравенств абсолютных значений.Особые случаи абсолютного значения 1. Абсолютное значение выражения никогда не может быть отрицательным; то есть | a |  0 для всех действительных чисел a. 2. Абсолютное значение выражения равно 0 только тогда, когда выражение равно 0. Слайд

21 год

Решите каждое уравнение. | 6x + 7 | = — 5
ПРИМЕР КЛАССА 7 Решение особых случаев уравнений абсолютных значений Решите каждое уравнение. | 6x + 7 | = — 5 Абсолютное значение выражения никогда не может быть отрицательным, поэтому у этого уравнения нет решений.Множество решений — . Решение: выражение будет равно 0, только если Решение уравнения равно 12. Набор решений — {12}, всего с одним элементом. Горка

22

Решите каждое неравенство. | x | > — 1
ПРИМЕР КЛАССА 8 Решение особых случаев абсолютных неравенств Решите каждое неравенство. | x | > — 1 Абсолютное значение числа всегда больше или равно 0. Набор решений — (is, ).| х — 10 | — 2 ≤ –3 | x — 10 | ≤ –1 Добавьте по 2 с каждой стороны. Не существует числа, абсолютное значение которого меньше –1, поэтому неравенство не имеет решения. Множество решений — . | х + 2 | ≤ 0 Значение | x + 2 | никогда не будет меньше 0. | x + 2 | будет равно 0, когда x = –2. Набор решений: {–2}. Решение: слайд

4.3 Линейные абсолютные неравенства — Промежуточная алгебра

Абсолютные значения — это положительные величины, что означает, что они представляют положительное значение любого числа.

Например, | −5 | и | +5 | одинаковы, причем оба имеют одинаковое значение 5, а | −99 | и | +99 | оба имеют одинаковую стоимость 99.

При использовании в неравенствах абсолютные значения становятся граничным пределом числа.

При рисовании границ неравенств на числовом графике используйте следующие условные обозначения:

Для ≤ или ≥ используйте [скобки] в качестве предельных значений.

Для <или> используйте (круглые скобки) как границы.

Если неравенство имеет абсолютное значение, сначала выделите абсолютное значение, чтобы построить график решения и / или записать его в интервальной нотации. Следующие примеры иллюстрируют выделение и решение неравенства с абсолютным значением.

Решить, построить график и обозначить интервал для неравенства

Сначала выделим неравенство:

На данный момент известно, что неравенство ограничено числом 4. В частности, оно находится между −4 и 4.

Это означает, что

Это решение на числовой прямой выглядит так:

Чтобы записать решение в интервальной записи, используйте символы и числа в числовой строке:

Другие примеры неравенств по абсолютным значениям приводят к алгебраическому выражению, ограниченному неравенством.

Решить, построить график и обозначить интервал для неравенства

Это означает, что необходимо решить неравенство:

Чтобы записать решение в интервальной записи, используйте символы и числа в числовой строке:

Решить, построить график и обозначить интервал для неравенства

Сначала выделите неравенство, вычтя 9 с обеих сторон:

Разделите обе стороны на −2 и переверните смысл:

На данный момент известно, что выражение неравенства находится между −3 и 3, поэтому

Все, что осталось, это изолировать.Сначала вычтите 1 из всех трех частей:

Затем разделите все три части на 4:

В интервальной записи это записывается как

При решении этих уравнений важно помнить, что абсолютное значение всегда положительно. Если задано абсолютное значение меньше отрицательного числа, решения не будет, потому что абсолютное значение всегда будет положительным, т.е.е., больше отрицательного. Точно так же, если абсолютное значение больше отрицательного, ответом будут все действительные числа.

Это означает, что:

Примечание: поскольку бесконечность никогда не может быть достигнута, используйте круглые скобки вместо скобок при написании бесконечности (положительной или отрицательной) в обозначении интервала.

Для вопросов с 1 по 33 решите каждое неравенство, нанесите его решение на график и укажите интервалы.

Клавиша ответа 4.3

Абсолютное значение — легко

Введение

Как использовать абсолютное значение в реальном мире? Абсолютное значение полезно для расчета колебаний температуры, разницы в высоте и глубине, расстояний, а также для многих других приложений.

Абсолютное значение , также известное как модуль , может быть определено как расстояние числа от нуля, величина действительного числа без учета знака или числового значения числа.

Чтобы указать абсолютное значение числа, введите число или переменную между двумя вертикальными полосами .

В алгебре 1 студенты учатся решать, строить графики и записывать решения для уравнений абсолютного значения , неравенств абсолютного значения и функций абсолютного значения для использования в классе и в реальном мире.

Решения проблем с абсолютными значениями могут быть отображены с использованием символов набора или интервалов .Правильная нотация включает фигурные скобки {}, скобки [], круглые скобки () и другие символы для предоставления информации в кратком формате $ \ mathbb {R} $ $ \ cap $.

Уравнения абсолютных значений

Уравнения абсолютных значений могут иметь более одного решения или не иметь решения вообще.

$ \ begin {align}
| x | & = 2 \\
х & = 2, -2 \\
х & = {-2, 2}
\ end {align}

долл. США

$ \ begin {align}
| x | & = -2 \\
x & = \ text {нет решения}
\ end {align}

долл. США

Неравенства абсолютных значений

Абсолютные значения неравенства имеют разные форматы в зависимости от того, на неравенство меньше ; меньше или равно ; больше ; или больше или равно .Они известны как составные неравенства . Решения сложных неравенств записываются в виде неравенств, разделенных « и » для неравенств, меньших или равных или меньших или равных, или « или » для значений неравенств, превышающих или равных или превышающих.

$ \ begin {align}
\ left | x \ right | \ le 2 \\
-2 \ leq x \ leq2 \\
x \ geq -2 \ thinspace \ text {AND} \ thinspace x \ leq 2 \\
х = [-2, 2]
\ end {align}

долл. США

$ \ begin {align}
\ влево | х \ вправо | \ ge 2 \\
x \ leq -2 \ quad \ text {OR} \ quad x \ geq 2 \\
x = (- \ infty \:, \: — 2] \ cup \: [2, \: \ infty \ 🙂
\ end {align}

долл. США

Графики неравенств абсолютных значений имеют различный вид в зависимости от того, модели графа меньше, чем; меньше или равно; больше чем; или больше или равно неравенству.Использование открытых или закрытых кружков демонстрирует, включены ли конечные точки в решение.

Функции абсолютных значений

Функции абсолютного значения имеют вход и выход, а график абсолютных функций состоит из двух частей и имеет V-образную форму. Графы функций, состоящие из более чем одной части, называются кусочными функциями.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *