Примеры на нахождение нод: § Наибольший общий делитель. Как найти НОД

Содержание

Нок и нод примеры для решения. Нахождение наименьшего общего кратного, способы, примеры нахождения НОК. Как проверить, что число делится на другое число без остатка

Представленный ниже материал является логическим продолжением теории из статьи под заголовком НОК — наименьшее общее кратное, определение, примеры, связь между НОК и НОД . Здесь мы поговорим про нахождение наименьшего общего кратного (НОК)
, и особое внимание уделим решению примеров. Сначала покажем, как вычисляется НОК двух чисел через НОД этих чисел. Дальше рассмотрим нахождение наименьшего общего кратного с помощью разложения чисел на простые множители. После этого остановимся на нахождении НОК трех и большего количества чисел, а также уделим внимание вычислению НОК отрицательных чисел.

Навигация по странице.

Вычисление наименьшего общего кратного (НОК) через НОД

Один из способов нахождения наименьшего общего кратного основан на связи между НОК и НОД . Существующая связь между НОК и НОД позволяет вычислять наименьшее общее кратное двух целых положительных чисел через известный наибольший общий делитель. Соответствующая формула имеет вид НОК(a, b)=a·b:НОД(a, b)

. Рассмотрим примеры нахождения НОК по приведенной формуле.

Пример.

Найдите наименьшее общее кратное двух чисел 126
и 70
.

Решение.

В этом примере a=126
, b=70
. Воспользуемся связью НОК с НОД, выражающуюся формулой НОК(a, b)=a·b:НОД(a, b)
. То есть, сначала нам предстоит найти наибольший общий делитель чисел 70
и 126
, после чего мы сможем вычислить НОК этих чисел по записанной формуле.

Найдем НОД(126, 70)
, используя алгоритм Евклида: 126=70·1+56
, 70=56·1+14
, 56=14·4
, следовательно, НОД(126, 70)=14
.

Теперь находим требуемое наименьшее общее кратное: НОК(126, 70)=126·70:НОД(126, 70)=
126·70:14=630
.

Ответ:

НОК(126, 70)=630
.

Пример.

Чему равно НОК(68, 34)
?

Решение.

Так как 68
делится нацело на 34
, то НОД(68, 34)=34
. Теперь вычисляем наименьшее общее кратное: НОК(68, 34)=68·34:НОД(68, 34)=
68·34:34=68
.

Ответ:

НОК(68, 34)=68
.

Заметим, что предыдущий пример подходит под следующее правило нахождения НОК для целых положительные чисел a
и b
: если число a
делится на b
, то наименьшее общее кратное этих чисел равно a
.

Нахождение НОК с помощью разложения чисел на простые множители

Другой способ нахождения наименьшего общего кратного базируется на разложении чисел на простые множители . Если составить произведение из всех простых множителей данных чисел, после чего из этого произведения исключить все общие простые множители, присутствующие в разложениях данных чисел, то полученное произведение будет равно наименьшему общему кратному данных чисел
.

Озвученное правило нахождения НОК следует из равенства НОК(a, b)=a·b:НОД(a, b)
. Действительно, произведение чисел a
и b
равно произведению всех множителей, участвующих в разложениях чисел a
и b
. В свою очередь НОД(a, b)
равен произведению всех простых множителей, одновременно присутствующих в разложениях чисел a
и b
(о чем написано в разделе нахождение НОД с помощью разложения чисел на простые множители).

Приведем пример. Пусть мы знаем, что 75=3·5·5
и 210=2·3·5·7
. Составим произведение из всех множителей данных разложений: 2·3·3·5·5·5·7
. Теперь из этого произведения исключим все множители, присутствующие и в разложении числа 75
и в разложении числа 210
(такими множителями являются 3
и 5
), тогда произведение примет вид 2·3·5·5·7
. Значение этого произведения равно наименьшему общему кратному чисел 75
и 210
, то есть, НОК(75, 210)= 2·3·5·5·7=1 050
.

Пример.

Разложив числа 441
и 700
на простые множители, найдите наименьшее общее кратное этих чисел.

Решение.

Разложим числа 441
и 700
на простые множители:

Получаем 441=3·3·7·7
и 700=2·2·5·5·7
.

Теперь составим произведение из всех множителей, участвующих в разложениях данных чисел: 2·2·3·3·5·5·7·7·7
. Исключим из этого произведения все множители, одновременно присутствующие в обоих разложениях (такой множитель только один – это число 7
): 2·2·3·3·5·5·7·7
. Таким образом, НОК(441, 700)=2·2·3·3·5·5·7·7=44 100
.

Ответ:

НОК(441, 700)= 44 100
.

Правило нахождения НОК с использованием разложения чисел на простые множители можно сформулировать немного иначе. Если ко множителям из разложения числа a
добавить недостающие множители из разложения числа b
, то значение полученного произведения будет равно наименьшему общему кратному чисел a
и b

.

Для примера возьмем все те же числа 75
и 210
, их разложения на простые множители таковы: 75=3·5·5
и 210=2·3·5·7
. Ко множителям 3
, 5
и 5
из разложения числа 75
добавляем недостающие множители 2
и 7
из разложения числа 210
, получаем произведение 2·3·5·5·7
, значение которого равно НОК(75, 210)
.

Пример.

Найдите наименьшее общее кратное чисел 84
и 648
.

Решение.

Получаем сначала разложения чисел 84
и 648
на простые множители. Они имеют вид 84=2·2·3·7
и 648=2·2·2·3·3·3·3
. К множителям 2
, 2
, 3
и 7
из разложения числа 84
добавляем недостающие множители 2
, 3
, 3
и 3
из разложения числа 648
, получаем произведение 2·2·2·3·3·3·3·7
, которое равно 4 536
. Таким образом, искомое наименьшее общее кратное чисел 84
и 648
равно 4 536
.

Ответ:

НОК(84, 648)=4 536
.

Нахождение НОК трех и большего количества чисел

Наименьшее общее кратное трех и большего количества чисел может быть найдено через последовательное нахождение НОК двух чисел. Напомним соответствующую теорему, дающую способ нахождения НОК трех и большего количества чисел.

Теорема.

Пусть даны целые положительные числа a 1 , a 2 , …, a k
, наименьшее общее кратное m k
этих чисел находится при последовательном вычислении m 2 =НОК(a 1 , a 2)
, m 3 =НОК(m 2 , a 3)
, …, m k =НОК(m k−1 , a k)
.

Рассмотрим применение этой теоремы на примере нахождения наименьшего общего кратного четырех чисел.

Пример.

Найдите НОК четырех чисел 140
, 9
, 54
и 250
.

Решение.

В этом примере a 1 =140
, a 2 =9
, a 3 =54
, a 4 =250
.

Сначала находим m 2 =НОК(a 1 , a 2)=НОК(140, 9)
. Для этого по алгоритму Евклида определяем НОД(140, 9)
, имеем 140=9·15+5
, 9=5·1+4
, 5=4·1+1
, 4=1·4
, следовательно, НОД(140, 9)=1
, откуда НОК(140, 9)=140·9:НОД(140, 9)=
140·9:1=1 260
. То есть, m 2 =1 260
.

Теперь находим m 3 =НОК(m 2 , a 3)=НОК(1 260, 54)
. Вычислим его через НОД(1 260, 54)
, который также определим по алгоритму Евклида: 1 260=54·23+18
, 54=18·3
. Тогда НОД(1 260, 54)=18
, откуда НОК(1 260, 54)=
1 260·54:НОД(1 260, 54)=
1 260·54:18=3 780
. То есть, m 3 =3 780
.

Осталось найти m 4 =НОК(m 3 , a 4)=НОК(3 780, 250)
. Для этого находим НОД(3 780, 250)
по алгоритму Евклида: 3 780=250·15+30
, 250=30·8+10
, 30=10·3
. Следовательно, НОД(3 780, 250)=10
, откуда НОК(3 780, 250)=
3 780·250:НОД(3 780, 250)=
3 780·250:10=94 500
. То есть, m 4 =94 500
.

Таким образом, наименьшее общее кратное исходных четырех чисел равно 94 500
.

Ответ:

НОК(140, 9, 54, 250)=94 500
.

Во многих случаях наименьшее общее кратное трех и большего количества чисел удобно находить с использованием разложений данных чисел на простые множители. При этом следует придерживаться следующего правила. Наименьшее общее кратное нескольких чисел равно произведению, которое составляется так: ко всем множителям из разложения первого числа добавляются недостающие множители из разложения второго числа, к полученным множителям добавляются недостающие множители из разложения третьего числа и так далее
.

Рассмотрим пример нахождения наименьшего общего кратного с использованием разложения чисел на простые множители.

Пример.

Найдите наименьшее общее кратное пяти чисел 84
, 6
, 48
, 7
, 143
.

Решение.

Сначала получаем разложения данных чисел на простые множители: 84=2·2·3·7
, 6=2·3
, 48=2·2·2·2·3
, 7
(7
– простое число , оно совпадает со своим разложением на простые множители) и 143=11·13
.

Для нахождения НОК данных чисел к множителям первого числа 84
(ими являются 2
, 2
, 3
и 7
) нужно добавить недостающие множители из разложения второго числа 6
. Разложение числа 6
не содержит недостающих множителей, так как и 2
и 3
уже присутствуют в разложении первого числа 84
. Дальше к множителям 2
, 2
, 3
и 7
добавляем недостающие множители 2
и 2
из разложения третьего числа 48
, получаем набор множителей 2
, 2
, 2
, 2
, 3
и 7
. К этому набору на следующем шаге не придется добавлять множителей, так как 7
уже содержится в нем. Наконец, к множителям 2
, 2
, 2
, 2
, 3
и 7
добавляем недостающие множители 11
и 13
из разложения числа 143
. Получаем произведение 2·2·2·2·3·7·11·13
, которое равно 48 048
.

НОД — это наибольший общий делитель.

Чтобы найти наибольший общий делитель нескольких чисел необходимо:

  • определить множители, общие для обоих чисел;
  • найти произведение общих множителей.

Пример нахождения НОД:

Найдем НОД чисел 315 и 245.

315 = 5 * 3 * 3 * 7;

245 = 5 * 7 * 7.

2. Выпишем множители, общие для обоих чисел:

3. Найдем произведение общих множителей:

НОД(315; 245) = 5 * 7 = 35.

Ответ: НОД(315; 245) = 35.

Нахождение НОК

НОК — это наименьшее общее кратное.

Чтобы найти наименьшее общее кратное нескольких чисел необходимо:

  • разложить числа на простые множители;
  • выписать множители, входящие в разложение одного из чисел;
  • допишем к ним недостающие множители из разложения второго числа;
  • найти произведение получившихся множителей.

Пример нахождения НОК:

Найдем НОК чисел 236 и 328:

1. Разложим числа на простые множители:

236 = 2 * 2 * 59;

328 = 2 * 2 * 2 * 41.

2. Выпишем множители, входящие в разложение одного из чисел и допишем к ним недостающие множители из разложения второго числа:

2; 2; 59; 2; 41.

3. Найдем произведение получившихся множителей:

НОК(236; 328) = 2 * 2 * 59 * 2 * 41 = 19352.

Ответ: НОК(236; 328) = 19352.

Для нахождения НОД (наибольшего общего делителя) двух чисел необходимо:

2. Найти (подчеркнуть) все общие простые множители в полученных разложениях.

3. Найти произведение общих простых множителей.

Для нахождения НОК (наименьшего общего кратного) двух чисел необходимо:

1. Разложить данные числа на простые множители.

2. Разложение одного из них дополнить теми множителями разложения другого числа, которых нет в разложении первого.

3. Вычислить произведение полученных множителей.

Сейчас и в дальнейшем мы будем подразумевать, что хотя бы одно из данных чисел отлично от нуля. Если все данные числа равны нулю, то их общим делителем является любое целое число, а так как целых чисел бесконечно много, то мы не можем говорить о наибольшем из них. Следовательно, нельзя говорить о наибольшем общем делителе чисел, каждое из которых равно нулю.

Теперь мы можем дать определение наибольшего общего делителя
двух чисел.

Определение.

Наибольший общий делитель
двух целых чисел – это наибольшее целое число, делящее два данных целых числа.

Для краткой записи наибольшего общего делителя часто используют аббревиатуру НОД – Наибольший Общий Делитель. Также наибольший общий делитель двух чисел a
и b
часто обозначают как НОД(a, b)
.

Приведем пример наибольшего общего делителя (НОД)
двух целых чисел. Наибольший общий делитель чисел 6
и −15
равен 3
. Обоснуем это. Запишем все делители числа шесть: ±6
, ±3
, ±1
, а делителями числа −15
являются числа ±15
, ±5
, ±3
и ±1
. Теперь можно найти все общие делители чисел 6
и −15
, это числа −3
, −1
, 1
и 3
. Так как −3

Определение наибольшего общего делителя трех и большего количества целых чисел аналогично определению НОД двух чисел.

Определение.

Наибольший общий делитель
трех и большего количества целых чисел – это наибольшее целое число, делящее одновременно все данные числа.

Наибольший общий делитель n
целых чисел a 1 , a 2 , …, a n
мы будем обозначать как НОД(a 1 , a 2 , …, a n)
. Если найдено значение b
наибольшего общего делителя этих чисел, то можно записать НОД(a 1 , a 2 , …, a n)=b
.

В качестве примера приведем НОД четырех целых чисел −8
, 52
, 16
и −12
, он равен 4
, то есть, НОД(−8, 52, 16, −12)=4
. Это можно проверить, записав все делители данных чисел, выбрав из них общие и определив наибольший общий делитель.

Отметим, что наибольший общий делитель целых чисел может быть равен одному из этих чисел. Это утверждение справедливо в том случае, если все данные числа делятся на одно из них (доказательство приведено в следующем пункте этой статьи). Например, НОД(15, 60, −45)=15
. Это действительно так, так как 15
делит и число 15
, и число 60
, и число −45
, и не существует общего делителя чисел 15
, 60
и −45
, который превосходит 15
.

Особый интерес представляют так называемые взаимно простые числа , — такие целые числа, наибольший общий делитель которых равен единице.

Свойства наибольшего общего делителя, алгоритм Евклида

Наибольший общий делитель обладает рядом характерных результатов, иными словами, рядом свойств. Сейчас мы перечислим основные свойства наибольшего общего делителя (НОД)
, формулировать их мы будем в виде теорем и сразу приводить доказательства.

Все свойства наибольшего общего делителя мы будем формулировать для положительных целых чисел, при этом будем рассматривать лишь положительные делители этих чисел.

    Наибольший общий делитель чисел a
    и b
    равен наибольшему общему делителю чисел b
    и a
    , то есть, НОД(a, b)=НОД(a, b)
    .

    Это свойство НОД напрямую следует из определения наибольшего общего делителя.

    Если a
    делится на b
    , то множество общих делителей чисел a
    и b
    совпадает со множеством делителей числа b
    , в частности, НОД(a, b)=b
    .

    Доказательство.

    Любой общий делитель чисел a
    и b
    является делителем каждого из этих чисел, в том числе и числа b
    . С другой стороны, так как a
    кратно b
    , то любой делитель числа b
    является делителем и числа a
    в силу того, что делимость обладает свойством транзитивности, следовательно, любой делитель числа b
    является общим делителем чисел a
    и b
    . Этим доказано, что если a
    делится на b
    , то совокупность делителей чисел a
    и b
    совпадает с совокупностью делителей одного числа b
    . А так как наибольшим делителем числа b
    является само число b
    , то наибольший общий делитель чисел a
    и b
    также равен b
    , то есть, НОД(a, b)=b
    .

    В частности, если числа a
    и b
    равны, то НОД(a, b)=НОД(a, a)=НОД(b, b)=a=b
    . К примеру, НОД(132, 132)=132
    .

    Доказанное свойство наибольшего делителя позволяет нам находить НОД двух чисел, когда одно из них делится на другое. При этом НОД равен одному из этих чисел, на которое делится другое число. Например, НОД(8, 24)=8
    , так как 24
    кратно восьми.

    Если a=b·q+c
    , где a
    , b
    , c
    и q
    – целые числа, то множество общих делителей чисел a
    и b
    совпадает со множеством общих делителей чисел b
    и c
    , в частности, НОД(a, b)=НОД(b, c)
    .

    Обоснуем это свойство НОД.

    Так как имеет место равенство a=b·q+c
    , то всякий общий делитель чисел a
    и b
    делит также и c
    (это следует из свойств делимости). По этой же причине, всякий общий делитель чисел b
    и c
    делит a
    . Поэтому совокупность общих делителей чисел a
    и b
    совпадает с совокупностью общих делителей чисел b
    и c
    . В частности, должны совпадать и наибольшие из этих общих делителей, то есть, должно быть справедливо следующее равенство НОД(a, b)=НОД(b, c)
    .

    Сейчас мы сформулируем и докажем теорему, которая представляет собой алгоритм Евклида
    . Алгоритм Евклида позволяет находить НОД двух чисел (смотрите нахождение НОД по алгоритму Евклида). Более того алгоритм Евклида позволит нам доказать приведенные ниже свойства наибольшего общего делителя.

    Прежде чем дать формулировку теоремы, рекомендуем освежить в памяти теорему из раздела теории , которая утверждает, что делимое a
    может быть представлено в виде b·q+r
    , где b
    – делитель, q
    – некоторое целое число, называемое неполным частным, а r
    – целое число, удовлетворяющее условию , называемое остатком.

    Итак, пусть для двух ненулевых целых положительных чисел a
    и b
    справедлив ряд равенств

    заканчивающийся, когда r k+1 =0
    (что неизбежно, так как b>r 1 >r 2 >r 3 , …
    — ряд убывающих целых чисел, и этот ряд не может содержать более чем конечное число положительных чисел), тогда r k
    – это наибольший общий делитель чисел a
    и b
    , то есть, r k =НОД(a, b)
    .

    Доказательство.

    Докажем сначала, что r k
    является общим делителем чисел a
    и b
    , после чего покажем, что r k
    не просто делитель, а наибольший общий делитель чисел a
    и b
    .

    Будем двигаться по записанным равенствам снизу вверх. Из последнего равенства можно сказать, что r k−1
    делится на r k
    . Учитывая этот факт, а также предыдущее свойство НОД, предпоследнее равенство r k−2 =r k−1 ·q k +r k
    позволяет утверждать, что r k−2
    делится на r k
    , так как и r k−1
    делится на r k
    и r k
    делится на r k
    . По аналогии из третьего снизу равенства заключаем, что r k−3
    делится на r k
    . И так далее. Из второго равенства получаем, что b
    делится на r k
    , а из первого равенства получаем, что a
    делится на r k
    . Следовательно, r k
    является общим делителем чисел a
    и b
    .

    Осталось доказать, что r k =НОД(a, b)
    . Для достаточно показать, что любой общий делитель чисел a
    и b
    (обозначим его r 0
    ) делит r k
    .

    Будем двигаться по исходным равенствам сверху вниз. В силу предыдущего свойства из первого равенства следует, что r 1
    делится на r 0
    . Тогда из второго равенства получаем, что r 2
    делится на r 0
    . И так далее. Из последнего равенства получаем, что r k
    делится на r 0
    . Таким образом, r k =НОД(a, b)
    .

    Из рассмотренного свойства наибольшего общего делителя следует, что множество общих делителей чисел a
    и b
    совпадает с множеством делителей наибольшего общего делителя этих чисел. Это следствие из алгоритма Евклида позволяет найти все общие делители двух чисел как делители НОД этих чисел.

    Пусть a
    и b
    – целые числа, одновременно не равные нулю, тогда существуют такие целые числа u 0
    и v 0
    , то справедливо равенство НОД(a, b)=a·u 0 +b·v 0
    . Последнее равенство представляет собой линейное представление наибольшего общего делителя чисел a
    и b
    , это равенство называют соотношением Безу, а числа u 0
    и v 0
    – коэффициентами Безу.

    Доказательство.

    По алгоритму Евклида мы можем записать следующие равенства

    Из первого равенства имеем r 1 =a−b·q 1
    , и, обозначив 1=s 1
    и −q 1 =t 1
    , это равенство примет вид r 1 =s 1 ·a+t 1 ·b
    , причем числа s 1
    и t 1
    — целые. Тогда из второго равенства получим r 2 =b−r 1 ·q 2 =
    b−(s 1 ·a+t 1 ·b)·q 2 =−s 1 ·q 2 ·a+(1−t 1 ·q 2)·b
    . Обозначив −s 1 ·q 2 =s 2
    и 1−t 1 ·q 2 =t 2
    , последнее равенство можно записать в виде r 2 =s 2 ·a+t 2 ·b
    , причем s 2
    и t 2
    – целые числа (так как сумма, разность и произведение целых чисел является целым числом). Аналогично из третьего равенства получим r 3 =s 3 ·a+t 3 ·b
    , из четвертого r 4 =s 4 ·a+t 4 ·b
    , и так далее. Наконец, r k =s k ·a+t k ·b
    , где s k
    и t k
    — целые. Так как r k =НОД(a, b)
    , и, обозначив s k =u 0
    и t k =v 0
    , получим линейное представление НОД требуемого вида: НОД(a, b)=a·u 0 +b·v 0
    .

    Если m
    – любое натуральное число, то НОД(m·a, m·b)=m·НОД(a, b)
    .

    Обоснование этого свойства наибольшего общего делителя таково. Если умножить на m
    обе стороны каждого из равенств алгоритма Евклида, то получим, что НОД(m·a, m·b)=m·r k
    , а r k
    – это НОД(a, b)
    . Следовательно, НОД(m·a, m·b)=m·НОД(a, b)
    .

    На этом свойстве наибольшего общего делителя основан способ нахождения НОД с помощью разложения на простые множители .

    Пусть p
    – любой общий делитель чисел a
    и b
    , тогда НОД(a:p, b:p)=НОД(a, b):p
    , в частности, если p=НОД(a, b)
    имеем НОД(a:НОД(a, b), b:НОД(a, b))=1
    , то есть, числа a:НОД(a, b)
    и b:НОД(a, b)
    — взаимно простые.

    Так как a=p·(a:p)
    и b=p·(b:p)
    , и в силу предыдущего свойства, мы можем записать цепочку равенств вида НОД(a, b)=НОД(p·(a:p), p·(b:p))=
    p·НОД(a:p, b:p)
    , откуда и следует доказываемое равенство.

    Только что доказанное свойство наибольшего общего делителя лежит в основе .

    Сейчас озвучим свойство НОД, которое сводит задачу нахождения наибольшего общего делителя трех и большего количества чисел к последовательному отысканию НОД двух чисел.

    Наибольший общий делитель чисел a 1 , a 2 , …, a k
    равен числу d k
    , которое находится при последовательном вычислении НОД(a 1 , a 2)=d 2
    , НОД(d 2 , a 3)=d 3
    , НОД(d 3 , a 4)=d 4
    , …, НОД(d k-1 , a k)=d k
    .

    Доказательство базируется на следствии из алгоритма Евклида. Общие делители чисел a 1
    и a 2
    совпадают с делителями d 2
    . Тогда общие делители чисел a 1
    , a 2
    и a 3
    совпадают с общими делителями чисел d 2
    и a 3
    , следовательно, совпадают с делителями d 3
    . Общие делители чисел a 1
    , a 2
    , a 3
    и a 4
    совпадают с общими делителями d 3
    и a 4
    , следовательно, совпадают с делителями d 4
    . И так далее. Наконец, общие делители чисел a 1 , a 2 , …, a k
    совпадают с делителями d k
    . А так как наибольшим делителем числа d k
    является само число d k
    , то НОД(a 1 , a 2 , …, a k)=d k
    .

На этом закончим обзор основных свойств наибольшего общего делителя.

Список литературы.

  • Виленкин Н.Я. и др. Математика. 6 класс: учебник для общеобразовательных учреждений.
  • Виноградов И.М. Основы теории чисел.
  • Михелович Ш.Х. Теория чисел.
  • Куликов Л.Я. и др. Сборник задач по алгебре и теории чисел: Учебное пособие для студентов физ.-мат. специальностей педагогических институтов.

Наибольшее натуральное число, на которое делятся без остатка числа a и b, называют наибольшим общим делителем
этих чисел. Обозначают НОД(a, b).

Рассмотрим нахождения НОД на примере двух натуральных чисел 18 и 60:

  • 1 Разложим числа на простые множители:
    18
    = 2 × 3 × 3

    60
    = 2 × 2 × 3 × 5
  • 2 Вычеркнуть из разложения первого числа все множители которые не входят в разложения второго числа, получим 2 × 3 × 3
    .
  • 3 Перемножаем оставшиеся простые множители после вычеркивания и получаем наибольший общий делитель чисел: НОД(18
    , 60
    )=2 × 3
    = 6
    .
  • 4 Заметим что не важно из первого или второго числа вычеркиваем множители, результат будет одинаков:
    18
    = 2 × 3 × 3

    60
    = 2 × 2 × 3 × 5
  • 324
    , 111
    и 432

    Разложим числа на простые множители:

    324
    = 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 3

    111
    = 3 × 37

    432
    = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3

    Вычеркнуть из первого числа, множители которых нету во втором и третьем числе, получим:

    2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 = 3

    В результате НОД(324
    , 111
    , 432
    )=3

    Нахождение НОД с помощью алгоритма Евклида

    Второй способ нахождения наибольшего общего делителя с помощью алгоритма Евклида
    . Алгоритм Евклида является наиболее эффективным способом нахождения НОД
    , используя его нужно постоянно находить остаток от деления чисел и применять рекуррентную формулу
    .

    Рекуррентная формула
    для НОД, НОД(a, b)=НОД(b, a mod b)
    , где a mod b — остаток от деления a на b.

    Алгоритм Евклида
    Пример Найти наибольший общий делитель чисел

    7920
    и 594

    Найдем НОД(7920
    , 594
    ) с помощью алгоритма Евклида, вычислять остаток от деления будем с помощью калькулятора.

  • НОД(7920
    , 594
    )
  • НОД(594
    , 7920
    mod 594
    ) = НОД(594
    , 198
    )
  • НОД(198
    , 594
    mod 198
    ) = НОД(198
    , 0
    )
  • НОД(198
    , 0
    ) = 198
    • 7920 mod 594 = 7920 — 13 × 594 = 198
    • 594 mod 198 = 594 — 3 × 198 = 0
    • В результате получаем НОД(7920
      , 594
      ) = 198

      Наименьшее общее кратное

      Для того, чтобы находить общий знаменатель при сложении и вычитании дробей с разными знаменателями необходимо знать и уметь рассчитывать наименьшее общее кратное
      (НОК).

      Кратное числу « a » — это число, которое само делится на число « a » без остатка.

      Числа кратные 8 (то есть, эти числа разделятся на 8 без остатка): это числа 16, 24, 32 …

      Кратные 9: 18, 27, 36, 45 …

      Чисел, кратных данному числу a бесконечно много, в отличии от делителей этого же числа. Делителей — конечное количество.

      Общим кратным двух натуральных чисел называется число, которое делится на оба эти числа нацело
      .

      Наименьшим общим кратным
      (НОК) двух и более натуральных чисел называется наименьшее натуральное число, которое само делится нацело на каждое из этих чисел.

      Как найти НОК

      НОК можно найти и записать двумя способами.

      Первый способ нахождения НОК

      Данный способ обычно применяется для небольших чисел.

    1. Выписываем в строчку кратные для каждого из чисел, пока не найдётся кратное, одинаковое для обоих чисел.
    2. Кратное числа « a » обозначаем большой буквой «К».

    Пример. Найти НОК 6 и 8 .

    Второй способ нахождения НОК

    Этот способ удобно использовать, чтобы найти НОК для трёх и более чисел.

    Количество одинаковых множителей в разложениях чисел может быть разное.

  • Подчеркнуть в разложении меньшего числа (меньших чисел) множители, которые не вошли в разложение бóльшего числа (в нашем примере это 2) и добавить эти множители в разложение бóльшего числа.
    НОК (24, 60) = 2 · 2 · 3 · 5 · 2
  • Полученное произведение записать в ответ.
    Ответ: НОК (24, 60) = 120
  • Оформить нахождение наименьшего общего кратного (НОК) можно также следующим образом. Найдём НОК (12, 16, 24) .

    24 = 2 · 2 · 2 · 3

    Как видим из разложения чисел, все множители 12 вошли в разложение 24 (самого бóльшего из чисел), поэтому в НОК добавляем только одну 2 из разложения числа 16 .

    НОК (12, 16, 24) = 2 · 2 · 2 · 3 · 2 = 48

    Ответ: НОК (12, 16, 24) = 48

    Особые случаи нахождения НОК

  • Если одно из чисел делится нацело на другие, то наименьшее общее кратное этих чисел равно этому числу.
  • Например, НОК (60, 15) = 60
    Так как взаимно простые числа не имеют общих простых делителей, то их наименьшее общее кратное равно произведению этих чисел.

    На нашем сайте вы также можете с помощью специального калькулятора найти наименьшее общее кратное онлайн, чтобы проверить свои вычисления.

    Если натуральное число делится только на 1 и на само себя, то оно называется простым.

    Любое натуральное число всегда делится на 1 и на само себя.

    Число 2 — наименьшее простое число. Это единственное чётное простое число, остальные простые числа — нечётные.

    Простых чисел много, и первое среди них — число 2 . Однако нет последнего простого числа. В разделе «Для учёбы» вы можете скачать таблицу простых чисел до 997 .

    Но многие натуральные числа делятся нацело ещё и на другие натуральные числа.

    • число 12 делится на 1 , на 2 , на 3 , на 4 , на 6 , на 12 ;
    • число 36 делится на 1 , на 2 , на 3 , на 4 , на 6 , на 12 , на 18 , на 36 .
    • Числа, на которые число делится нацело (для 12 это 1, 2, 3, 4, 6 и 12) называются делителями числа.

      Делитель натурального числа a — это такое натуральное число, которое делит данное число « a » без остатка.

      Натуральное число, которое имеет более двух делителей называется составным.

      Обратите внимание, что числа 12 и 36 имеют общие делители. Это числа: 1, 2, 3, 4, 6, 12 . Наибольший из делителей этих чисел — 12 .

      Общий делитель двух данных чисел « a » и « b » — это число, на которое делятся без остатка оба данных числа « a » и « b ».

      Наибольший общий делитель
      (НОД) двух данных чисел « a » и « b » — это наибольшее число, на которое оба числа « a » и « b » делятся без остатка.

      Кратко наибольший общий делитель чисел « a » и « b » записывают так
      :

      Пример: НОД (12; 36) = 12 .

      Делители чисел в записи решения обозначают большой буквой «Д».

      Числа 7 и 9 имеют только один общий делитель — число 1 . Такие числа называют взаимно простыми числами
      .

      Взаимно простые числа
      — это натуральные числа, которые имеют только один общий делитель — число 1 . Их НОД равен 1 .

      Как найти наибольший общий делитель

      Чтобы найти НОД двух или более натуральных чисел нужно:

    • разложить делители чисел на простые множители;
    • Вычисления удобно записывать с помощью вертикальной черты. Слева от черты сначала записываем делимое, справа — делитель. Далее в левом столбце записываем значения частных.

      Поясним сразу на примере. Разложим на простые множители числа 28 и 64 .

      Подчёркиваем одинаковые простые множители в обоих числах.
      28 = 2 · 2 · 7

    64 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2
    Находим произведение одинаковых простых множителей и записать ответ;
    НОД (28; 64) = 2 · 2 = 4

    Ответ: НОД (28; 64) = 4

    Оформить нахождение НОД можно двумя способами: в столбик (как делали выше) или «в строчку».

    Первый способ записи НОД

    Найти НОД 48 и 36 .

    НОД (48; 36) = 2 · 2 · 3 = 12

    Второй способ записи НОД

    Теперь запишем решение поиска НОД в строчку. Найти НОД 10 и 15 .

    На нашем информационном сайте вы также можете с помощью программы помощника найти наибольший общий делитель онлайн, чтобы проверить свои вычисления.

    Нахождение наименьшего общего кратного, способы, примеры нахождения НОК.

    Представленный ниже материал является логическим продолжением теории из статьи под заголовком НОК — наименьшее общее кратное, определение, примеры, связь между НОК и НОД. Здесь мы поговорим про нахождение наименьшего общего кратного (НОК)
    , и особое внимание уделим решению примеров. Сначала покажем, как вычисляется НОК двух чисел через НОД этих чисел. Дальше рассмотрим нахождение наименьшего общего кратного с помощью разложения чисел на простые множители. После этого остановимся на нахождении НОК трех и большего количества чисел, а также уделим внимание вычислению НОК отрицательных чисел.

    Навигация по странице.

    Вычисление наименьшего общего кратного (НОК) через НОД

    Один из способов нахождения наименьшего общего кратного основан на связи между НОК и НОД. Существующая связь между НОК и НОД позволяет вычислять наименьшее общее кратное двух целых положительных чисел через известный наибольший общий делитель. Соответствующая формула имеет вид НОК(a, b)=a·b:НОД(a, b)
    . Рассмотрим примеры нахождения НОК по приведенной формуле.

    Найдите наименьшее общее кратное двух чисел 126 и 70 .

    В этом примере a=126 , b=70 . Воспользуемся связью НОК с НОД, выражающуюся формулой НОК(a, b)=a·b:НОД(a, b) . То есть, сначала нам предстоит найти наибольший общий делитель чисел 70 и 126 , после чего мы сможем вычислить НОК этих чисел по записанной формуле.

    Найдем НОД(126, 70) , используя алгоритм Евклида: 126=70·1+56 , 70=56·1+14 , 56=14·4 , следовательно, НОД(126, 70)=14 .

    Теперь находим требуемое наименьшее общее кратное: НОК(126, 70)=126·70:НОД(126, 70)= 126·70:14=630 .

    Чему равно НОК(68, 34) ?

    Так как 68 делится нацело на 34 , то НОД(68, 34)=34 . Теперь вычисляем наименьшее общее кратное: НОК(68, 34)=68·34:НОД(68, 34)= 68·34:34=68 .

    Заметим, что предыдущий пример подходит под следующее правило нахождения НОК для целых положительные чисел a и b: если число a делится на b , то наименьшее общее кратное этих чисел равно a .

    Нахождение НОК с помощью разложения чисел на простые множители

    Другой способ нахождения наименьшего общего кратного базируется на разложении чисел на простые множители. Если составить произведение из всех простых множителей данных чисел, после чего из этого произведения исключить все общие простые множители, присутствующие в разложениях данных чисел, то полученное произведение будет равно наименьшему общему кратному данных чисел
    .

    Озвученное правило нахождения НОК следует из равенства НОК(a, b)=a·b:НОД(a, b) . Действительно, произведение чисел a и b равно произведению всех множителей, участвующих в разложениях чисел a и b . В свою очередь НОД(a, b) равен произведению всех простых множителей, одновременно присутствующих в разложениях чисел a и b (о чем написано в разделе нахождение НОД с помощью разложения чисел на простые множители).

    Приведем пример. Пусть мы знаем, что 75=3·5·5 и 210=2·3·5·7 . Составим произведение из всех множителей данных разложений: 2·3·3·5·5·5·7 . Теперь из этого произведения исключим все множители, присутствующие и в разложении числа 75 и в разложении числа 210 (такими множителями являются 3 и 5), тогда произведение примет вид 2·3·5·5·7 . Значение этого произведения равно наименьшему общему кратному чисел 75 и 210 , то есть, НОК(75, 210)= 2·3·5·5·7=1 050 .

    Разложив числа 441 и 700 на простые множители, найдите наименьшее общее кратное этих чисел.

    Разложим числа 441 и 700 на простые множители:

    Получаем 441=3·3·7·7 и 700=2·2·5·5·7 .

    Теперь составим произведение из всех множителей, участвующих в разложениях данных чисел: 2·2·3·3·5·5·7·7·7 . Исключим из этого произведения все множители, одновременно присутствующие в обоих разложениях (такой множитель только один – это число 7): 2·2·3·3·5·5·7·7 . Таким образом, НОК(441, 700)=2·2·3·3·5·5·7·7=44 100 .

    НОК(441, 700)= 44 100 .

    Правило нахождения НОК с использованием разложения чисел на простые множители можно сформулировать немного иначе. Если ко множителям из разложения числа a добавить недостающие множители из разложения числа b , то значение полученного произведения будет равно наименьшему общему кратному чисел a и b
    .

    Для примера возьмем все те же числа 75 и 210 , их разложения на простые множители таковы: 75=3·5·5 и 210=2·3·5·7 . Ко множителям 3 , 5 и 5 из разложения числа 75 добавляем недостающие множители 2 и 7 из разложения числа 210 , получаем произведение 2·3·5·5·7 , значение которого равно НОК(75, 210) .

    Найдите наименьшее общее кратное чисел 84 и 648 .

    Получаем сначала разложения чисел 84 и 648 на простые множители. Они имеют вид 84=2·2·3·7 и 648=2·2·2·3·3·3·3 . К множителям 2 , 2 , 3 и 7 из разложения числа 84 добавляем недостающие множители 2 , 3 , 3 и 3 из разложения числа 648 , получаем произведение 2·2·2·3·3·3·3·7 , которое равно 4 536 . Таким образом, искомое наименьшее общее кратное чисел 84 и 648 равно 4 536 .

    Нахождение НОК трех и большего количества чисел

    Наименьшее общее кратное трех и большего количества чисел может быть найдено через последовательное нахождение НОК двух чисел. Напомним соответствующую теорему, дающую способ нахождения НОК трех и большего количества чисел.

    Пусть даны целые положительные числа a 1 , a 2 , …, a k , наименьшее общее кратное m k этих чисел находится при последовательном вычислении m 2 =НОК(a 1 , a 2) , m 3 =НОК(m 2 , a 3) , …, m k =НОК(m k−1 , a k) .

    Рассмотрим применение этой теоремы на примере нахождения наименьшего общего кратного четырех чисел.

    Найдите НОК четырех чисел 140 , 9 , 54 и 250 .

    Сначала находим m 2 =НОК(a 1 , a 2)=НОК(140, 9) . Для этого по алгоритму Евклида определяем НОД(140, 9) , имеем 140=9·15+5 , 9=5·1+4 , 5=4·1+1 , 4=1·4 , следовательно, НОД(140, 9)=1 , откуда НОК(140, 9)=140·9:НОД(140, 9)= 140·9:1=1 260 . То есть, m 2 =1 260 .

    Теперь находим m 3 =НОК(m 2 , a 3)=НОК(1 260, 54) . Вычислим его через НОД(1 260, 54) , который также определим по алгоритму Евклида: 1 260=54·23+18 , 54=18·3 . Тогда НОД(1 260, 54)=18 , откуда НОК(1 260, 54)= 1 260·54:НОД(1 260, 54)= 1 260·54:18=3 780 . То есть, m 3 =3 780 .

    Осталось найти m 4 =НОК(m 3 , a 4)=НОК(3 780, 250) . Для этого находим НОД(3 780, 250) по алгоритму Евклида: 3 780=250·15+30 , 250=30·8+10 , 30=10·3 . Следовательно, НОД(3 780, 250)=10 , откуда НОК(3 780, 250)= 3 780·250:НОД(3 780, 250)= 3 780·250:10=94 500 . То есть, m 4 =94 500 .

    Таким образом, наименьшее общее кратное исходных четырех чисел равно 94 500 .

    НОК(140, 9, 54, 250)=94 500 .

    Во многих случаях наименьшее общее кратное трех и большего количества чисел удобно находить с использованием разложений данных чисел на простые множители. При этом следует придерживаться следующего правила. Наименьшее общее кратное нескольких чисел равно произведению, которое составляется так: ко всем множителям из разложения первого числа добавляются недостающие множители из разложения второго числа, к полученным множителям добавляются недостающие множители из разложения третьего числа и так далее
    .

    Рассмотрим пример нахождения наименьшего общего кратного с использованием разложения чисел на простые множители.

    Найдите наименьшее общее кратное пяти чисел 84 , 6 , 48 , 7 , 143 .

    Сначала получаем разложения данных чисел на простые множители: 84=2·2·3·7 , 6=2·3 , 48=2·2·2·2·3 , 7 (7 – простое число, оно совпадает со своим разложением на простые множители) и 143=11·13 .

    Для нахождения НОК данных чисел к множителям первого числа 84 (ими являются 2 , 2 , 3 и 7) нужно добавить недостающие множители из разложения второго числа 6 . Разложение числа 6 не содержит недостающих множителей, так как и 2 и 3 уже присутствуют в разложении первого числа 84 . Дальше к множителям 2 , 2 , 3 и 7 добавляем недостающие множители 2 и 2 из разложения третьего числа 48 , получаем набор множителей 2 , 2 , 2 , 2 , 3 и 7 . К этому набору на следующем шаге не придется добавлять множителей, так как 7 уже содержится в нем. Наконец, к множителям 2 , 2 , 2 , 2 , 3 и 7 добавляем недостающие множители 11 и 13 из разложения числа 143 . Получаем произведение 2·2·2·2·3·7·11·13 , которое равно 48 048 .

    Следовательно, НОК(84, 6, 48, 7, 143)=48 048 .

    НОК(84, 6, 48, 7, 143)=48 048 .

    Нахождение наименьшего общего кратного отрицательных чисел

    Иногда встречаются задания, в которых требуется найти наименьшее общее кратное чисел, среди которых одно, несколько или все числа являются отрицательными. В этих случаях все отрицательные числа нужно заменить противоположными им числами, после чего находить НОК положительных чисел. В этом и состоит способ нахождения НОК отрицательных чисел. Например, НОК(54, −34)=НОК(54, 34) , а НОК(−622, −46, −54, −888)= НОК(622, 46, 54, 888) .

    Мы можем так поступать, потому что множество кратных числа a совпадает со множеством кратных числа −a (a и −a – противоположные числа). Действительно, пусть b – какое-то кратное числа a , тогда b делится на a , и понятие делимости утверждает существование такого целого числа q , что b=a·q . Но будет справедливо и равенство b=(−a)·(−q) , которое в силу того же понятия делимости означает, что b делится на −a , то есть, b есть кратное числа −a . Справедливо и обратное утверждение: если b – какое-то кратное числа −a , то b является кратным и числа a .

    Найдите наименьшее общее кратное отрицательных чисел −145 и −45 .

    Заменим отрицательные числа −145 и −45 на противоположные им числа 145 и 45 . Имеем НОК(−145, −45)=НОК(145, 45) . Определив НОД(145, 45)=5 (например, по алгоритму Евклида), вычисляем НОК(145, 45)=145·45:НОД(145, 45)= 145·45:5=1 305 . Таким образом, наименьшее общее кратное отрицательных целых чисел −145 и −45 равно 1 305 .

    www.cleverstudents.ru

    Продолжаем изучать деление. В данном уроке мы рассмотрим такие понятия, как НОД
    и НОК
    .

    НОД
    — это наибольший общий делитель.

    НОК
    — это наименьшее общее кратное.

    Тема довольно скучная, но разобраться в ней нужно обязательно. Не понимая этой темы, не получится эффективно работать с дробями, которые являются настоящей преградой в математике.

    Наибольший общий делитель

    Определение. Наибольшим общим делителем чисел a
    и b
    a
    и b
    делятся без остатка.

    Чтобы хорошо понять это определение, подставим вместо переменных a
    и b
    любые два числа, например, вместо переменной a
    подставим число 12, а вместо переменной b
    число 9. Теперь попробуем прочитать это определение:

    Наибольшим общим делителем чисел 12
    и 9
    называется наибольшее число, на которое 12
    и 9
    делятся без остатка.

    Из определения понятно, что речь идёт об общем делителе чисел 12 и 9, причем этот делитель является наибольшим из всех существующих делителей. Этот наибольший общий делитель (НОД) нужно найти.

    Для нахождения наибольшего общего делителя двух чисел, используется три способа. Первый способ довольно трудоёмкий, но зато позволяет хорошо понять суть темы и прочувствовать весь ее смысл.

    Второй и третий способы довольны просты и дают возможность быстро найти НОД. Мы с вами рассмотрим все три способа. А какой применять на практике — выбирать вам.

    Первый способ заключается в поиске всех возможных делителей двух чисел и в выборе наибольшего из них. Рассмотрим этот способ на следующем примере: найти наибольший общий делитель чисел 12 и 9
    .

    Сначала найдём все возможные делители числа 12. Для этого разделим 12 на все делители в диапазоне от 1 до 12. Если делитель позволит разделить 12 без остатка, то мы будем выделять его синим цветом и в скобках делать соответствующее пояснение.

    12: 1 = 12
    (12 разделилось на 1 без остатка, значит 1 является делителем числа 12)

    12: 2 = 6
    (12 разделилось на 2 без остатка, значит 2 является делителем числа 12)

    12: 3 = 4
    (12 разделилось на 3 без остатка, значит 3 является делителем числа 12)

    12: 4 = 3
    (12 разделилось на 4 без остатка, значит 4 является делителем числа 12)

    12: 5 = 2 (2 в остатке)
    (12 не разделилось на 5 без остатка, значит 5 не является делителем числа 12)

    12: 6 = 2
    (12 разделилось на 6 без остатка, значит 6 является делителем числа 12)

    12: 7 = 1 (5 в остатке)
    (12 не разделилось на 7 без остатка, значит 7 не является делителем числа 12)

    12: 8 = 1 (4 в остатке)
    (12 не разделилось на 8 без остатка, значит 8 не является делителем числа 12)

    12: 9 = 1 (3 в остатке)
    (12 не разделилось на 9 без остатка, значит 9 не является делителем числа 12)

    12: 10 = 1 (2 в остатке)
    (12 не разделилось на 10 без остатка, значит 10 не является делителем числа 12)

    12: 11 = 1 (1 в остатке)
    (12 не разделилось на 11 без остатка, значит 11 не является делителем числа 12)

    12: 12 = 1
    (12 разделилось на 12 без остатка, значит 12 является делителем числа 12)

    Теперь найдём делители числа 9. Для этого проверим все делители от 1 до 9

    9: 1 = 9
    (9 разделилось на 1 без остатка, значит 1 является делителем числа 9)

    9: 2 = 4 (1 в остатке)
    (9 не разделилось на 2 без остатка, значит 2 не является делителем числа 9)

    9: 3 = 3
    (9 разделилось на 3 без остатка, значит 3 является делителем числа 9)

    9: 4 = 2 (1 в остатке)
    (9 не разделилось на 4 без остатка, значит 4 не является делителем числа 9)

    9: 5 = 1 (4 в остатке)
    (9 не разделилось на 5 без остатка, значит 5 не является делителем числа 9)

    9: 6 = 1 (3 в остатке)
    (9 не разделилось на 6 без остатка, значит 6 не является делителем числа 9)

    9: 7 = 1 (2 в остатке)
    (9 не разделилось на 7 без остатка, значит 7 не является делителем числа 9)

    9: 8 = 1 (1 в остатке)
    (9 не разделилось на 8 без остатка, значит 8 не является делителем числа 9)

    9: 9 = 1
    (9 разделилось на 9 без остатка, значит 9 является делителем числа 9)

    Теперь выпишем делители обоих чисел. Числа выделенные синим цветом и являются делителями. Их и выпишем:

    Выписав делители, можно сразу определить, какой является наибольшим и общим.

    Согласно определению, наибольшим общим делителем чисел 12 и 9, является число, на которое 12 и 9 делятся без остатка. Наибольшим и общим делителем чисел 12 и 9 является число 3

    И число 12 и число 9 делятся на 3 без остатка:

    Значит НОД (12 и 9) = 3

    Второй способ нахождения НОД

    Теперь рассмотрим второй способ нахождения наибольшего общего делителя. Суть данного способа заключается в том, чтобы разложить оба числа на простые множители и перемножить общие из них.

    Пример 1
    . Найти НОД чисел 24 и 18

    Сначала разложим оба числа на простые множители:

    Теперь перемножим их общие множители. Чтобы не запутаться, общие множители можно подчеркнуть.

    Смотрим на разложение числа 24. Первый его множитель это 2. Ищем такой же множитель в разложении числа 18 и видим, что он там тоже есть. Подчеркиваем обе двойки:

    Снова смотрим на разложение числа 24. Второй его множитель тоже 2. Ищем такой же множитель в разложении числа 18 и видим, что его там второй раз уже нет. Тогда ничего не подчёркиваем.

    Следующая двойка в разложении числа 24 также отсутствует в разложении числа 18.

    Переходим к последнему множителю в разложении числа 24. Это множитель 3. Ищем такой же множитель в разложении числа 18 и видим, что там он тоже есть. Подчеркиваем обе тройки:

    Итак, общими множителями чисел 24 и 18 являются множители 2 и 3. Чтобы получить НОД, эти множители необходимо перемножить:

    Значит НОД (24 и 18) = 6

    Третий способ нахождения НОД

    Теперь рассмотрим третий способ нахождения наибольшего общего делителя. Суть данного способа заключается в том, что числа подлежащие поиску наибольшего общего делителя раскладывают на простые множители. Затем из разложения первого числа вычеркивают множители, которые не входят в разложение второго числа. Оставшиеся числа в первом разложении перемножают и получают НОД.

    Например, найдём НОД для чисел 28 и 16 этим способом. В первую очередь, раскладываем эти числа на простые множители:

    Получили два разложения: и

    Теперь из разложения первого числа вычеркнем множители, которые не входят в разложение второго числа. В разложение второго числа не входит семерка. Её и вычеркнем из первого разложения:

    Теперь перемножаем оставшиеся множители и получаем НОД:

    Число 4 является наибольшим общим делителем чисел 28 и 16. Оба этих числа делятся на 4 без остатка:

    Пример 2.
    Найти НОД чисел 100 и 40

    Раскладываем на множители число 100

    Раскладываем на множители число 40

    Получили два разложения:

    Теперь из разложения первого числа вычеркнем множители, которые не входят в разложение второго числа. В разложение второго числа не входит одна пятерка (там только одна пятёрка). Её и вычеркнем из первого разложения

    Перемножим оставшиеся числа:

    Получили ответ 20. Значит число 20 является наибольшим общим делителем чисел 100 и 40. Эти два числа делятся на 20 без остатка:

    НОД (100 и 40) = 20.

    Пример 3.
    Найти НОД чисел 72 и 128

    Раскладываем на множители число 72

    Раскладываем на множители число 128

    2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2

    Теперь из разложения первого числа вычеркнем множители, которые не входят в разложение второго числа. В разложение второго числа не входят две тройки (там их вообще нет). Их и вычеркнем из первого разложения:

    Получили ответ 8. Значит число 8 является наибольшим общим делителем чисел 72 и 128. Эти два числа делятся на 8 без остатка:

    НОД (72 и 128) = 8

    Нахождение НОД для нескольких чисел

    Наибольший общий делитель можно находить и для нескольких чисел, а не только для двух. Для этого числа, подлежащие поиску наибольшего общего делителя, раскладывают на простые множители, затем находят произведение общих простых множителей этих чисел.

    Например, найдём НОД для чисел 18, 24 и 36

    Разложим на множители число 18

    Разложим на множители число 24

    Разложим на множители число 36

    Получили три разложения:

    Теперь выделим и подчеркнём общие множители в этих числах. Общие множители должны входить во все три числа:

    Мы видим, что общие множители для чисел 18, 24 и 36 это множители 2 и 3. Перемножив эти множители, мы получим НОД, который ищем:

    Получили ответ 6. Значит число 6 является наибольшим общим делителем чисел 18, 24 и 36. Эти три числа делятся на 6 без остатка:

    НОД (18, 24 и 36) = 6

    Пример 2.
    Найти НОД для чисел 12, 24, 36 и 42

    Разложим на простые множители каждое число. Затем найдём произведение общих множителей этих чисел.

    Разложим на множители число 12

    Разложим на множители число 42

    Получили четыре разложения:

    Теперь выделим и подчеркнём общие множители в этих числах. Общие множители должны входить во все четыре числа:

    Мы видим, что общие множители для чисел 12, 24, 36, и 42 это множители 2 и 3. Перемножив эти множители, мы получим НОД, который ищем:

    Получили ответ 6. Значит число 6 является наибольшим общим делителем чисел 12, 24, 36 и 42. Эти числа делятся на 6 без остатка:

    НОД (12, 24 , 36 и 42) = 6

    Из предыдущего урока мы знаем, что если какое-то число без остатка разделилось на другое, его называют кратным этого числа.

    Оказывается, кратное может быть общим у нескольких чисел. И сейчас нас будет интересовать кратное двух чисел, при этом оно должно быть максимально маленьким.

    Определение. Наименьшее общее кратное (НОК) чисел a
    и b —
    a
    и b
    a
    и число b
    .

    Определение содержит две переменные a
    и b
    . Давайте подставим вместо этих переменных любые два числа. Например, вместо переменной a
    подставим число 9, а вместо переменной b
    подставим число 12. Теперь попробуем прочитать определение:

    Наименьшее общее кратное (НОК) чисел 9
    и 12 —
    это наименьшее число, которое кратно 9
    и 12
    . Другими словами, это такое маленькое число, которое делится без остатка на число 9
    и на число 12
    .

    Из определения понятно, что НОК это наименьшее число, которое делится без остатка на 9 и на 12. Этот НОК требуется найти.

    Для нахождения наименьшего общего кратного (НОК) можно пользоваться двумя способами. Первый способ заключается в том, что можно выписать первые кратные двух чисел, а затем выбрать среди этих кратных такое число, которое будет общим для обоих чисел и маленьким. Давайте применим этот способ.

    В первую очередь, найдем первые кратные для числа 9. Чтобы найти кратные для 9, нужно эту девятку поочерёдно умножить на числа от 1 до 9. Получаемые ответы будут кратными для числа 9. Итак, начнём. Кратные будем выделять красным цветом:

    Теперь находим кратные для числа 12. Для этого, поочерёдно умножаем 12 на все числа 1 до 12.

    Но многие натуральные числа делятся нацело ещё и на другие натуральные числа.

    Например
    :

    Число 12 делится на 1, на 2, на 3, на 4, на 6, на 12;

    Число 36 делится на 1, на 2, на 3, на 4, на 6, на 12, на 18, на 36.

    Числа, на которые число делится нацело (для 12 это 1, 2, 3, 4, 6 и 12) называются делителями числа
    . Делитель натурального числа a
    — это такое натуральное число, которое делит данное число a
    без остатка. Натуральное число, которое имеет более двух делителей, называется составным
    . Обратите внимание, что числа 12 и 36 имеют общие делители. Это числа: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Наибольший из делителей этих чисел — 12.

    Общий делитель двух данных чисел a
    и b
    — это число, на которое делятся без остатка оба данных числа a
    и b
    . Общий делитель нескольких чисел (НОД)
    — это число, служащее делителем для каждого из них.

    Кратко наибольший общий делитель чисел a
    и b
    записывают так:

    Пример
    : НОД (12; 36) = 12.

    Делители чисел в записи решения обозначают большой буквой «Д».

    Пример:

    НОД (7; 9) = 1

    Числа 7 и 9 имеют только один общий делитель — число 1. Такие числа называют взаимно простыми
    чи слами
    .

    Взаимно простые числа
    — это натуральные числа, которые имеют только один общий делитель — число 1. Их НОД равен 1.

    Наибольший общий делитель (НОД), свойства.

    • Основное свойство: наибольший общий делитель m
      и n
      делится на любой общий делитель этих чисел. Пример
      : для чисел 12 и 18 наибольший общий делитель равен 6; он делится на все общие делители этих чисел: 1, 2, 3, 6.
    • Следствие 1: множество общих делителей m
      и n
      совпадает с множеством делителей НОД(m
      , n
      ).
    • Следствие 2: множество общих кратных m
      и n
      совпадает с множеством кратных НОК (m
      , n
      ).

    Это означает, в частности, что для приведения дроби к несократимому виду надо разделить её числитель и знаменатель на их НОД.

    • Наибольший общий делитель чисел m
      и n
      может быть определён как наименьший положительный элемент множества всех их линейных комбинаций:

    и поэтому представим в виде линейной комбинации чисел m
    и n
    :

    Это соотношение называется соотношением Безу
    , а коэффициенты u
    и v
    коэффициентами Безу
    . Коэффициенты Безу эффективно вычисляются расширенным алгоритмом Евклида. Это утверждение обобщается на наборы натуральных чисел — его смысл в том, что подгруппа группы , порождённая набором , — циклическая и порождается одним элементом: НОД (a
    1 , a
    2 , … , a n
    ).

    Вычисление наибольшего общего делителя (НОД).

    Эффективными способами вычисления НОД двух чисел являются алгоритм Евклида
    и бинарный
    алгоритм
    . Кроме того, значение НОД (m
    ,n
    ) можно легко вычислить, если известно каноническое разложение чисел m
    и n
    на простые множители:

    где — различные простые числа, а и — неотрицательные целые числа (они могут быть нулями, если соответствующее простое отсутствует в разложении). Тогда НОД (m
    ,n
    ) и НОК (m
    ,n
    ) выражаются формулами:

    Если чисел более двух: , их НОД находится по следующему алгоритму:

    — это и есть искомый НОД.

    Также, для того, чтобы найти наибольший общий делитель
    , можно разложить каждое из заданных чисел на простые множители . Потом выписать отдельно только те множители, которые входят во все заданные числа. Потом перемножаем между собой выписанные числа — результат перемножения и есть наибольший общий делитель.

    Разберем пошагово вычисление наибольшего общего делителя:

    1. Разложить делители чисел на простые множители:

    Вычисления удобно записывать с помощью вертикальной черты. Слева от черты сначала записываем делимое, справа — делитель. Далее в левом столбце записываем значения частных. Поясним сразу на примере. Разложим на простые множители числа 28 и 64.

    2. Подчёркиваем одинаковые простые множители в обоих числах:

    28 = 2
    . 2
    . 7

    64 = 2
    . 2
    . 2 . 2 . 2 . 2

    3. Находим произведение одинаковых простых множителей и записываем ответ:

    НОД (28; 64) = 2 . 2 = 4

    Ответ: НОД (28; 64) = 4

    Оформить нахождение НОД можно двумя способами: в столбик (как делали выше) или «в строчку».

    Первый способ записи НОД:

    Найти НОД 48 и 36.

    НОД (48; 36) = 2 . 2 . 3 = 12

    Второй способ записи НОД:

    Теперь запишем решение поиска НОД в строчку. Найти НОД 10 и 15.

    Д (10) = {1, 2, 5, 10}

    Д (15) = {1, 3, 5, 15}

    Д (10, 15) = {1, 5}

    Страница не найдена — ПриМат

    © 2012-2016: Нохум-Даниэль Блиндер (11), Анастасия Лозинская (10), Елизавета Савицкая (8), Игорь Любинский (8), Юлия Стерлянко (8), Денис Стехун (8), Александр Базан (7), Валентин Малявко (7), Анна Чалапчий (7), Константин Берков (7), Олег Шпинарев (7), Кирилл Волков (6), Татьяна Корнилова (6), Влад Радзивил (6), Максим Швандт (6), Людмила Рыбальченко (6), Елизавета Снежинская (5), Вадим Покровский (5), Даниил Радковский (5), Влад Недомовный (5), Александр Онищенко (5), Андрей Метасов (5), Денис Базанов (5), Александр Ковальский (5), Александр Земсков (5), Марина Чайковская (5), Екатерина Шибаева (5), Мария Корень (5), Анна Семененко (5), Мария Илларионова (5), Сергей Черкес (5), Алиса Ворохта (5), Валерия Заверюха (5), Яков Юсипенко (4), Ольга Слободянюк (4), Руслан Авсенин (4), Екатерина Фесенко (4), Дмитрий Заславский (4), Алина Малыхина (4), Андрей Лисовой (4), Полина Сорокина (4), Кирилл Демиденко (4), Дмитрий Стеценко (4), Александр Рапчинский (4), Святослав Волков (4), Иван Мясоедов (4), Владислав Стасюк (4), Алёна Гирняк (4), Николай Царев (4), Валентин Цушко (4), Павел Жуков (4), Роман Бронфен-Бова (4), Артём Романча (4), Анна Шохина (4), Иван Киреев (4), Никита Савко (4), Кондрат Воронов (4), Алина Зозуля (4), Иван Чеповский (4), Артем Рогулин (4), Игорь Чернега (4), Даниил Кубаренко (4), Ольга Денисова (4), Татьяна Осипенко (4), Вячеслав Иванов (3), Валерия Ларикова (3), Евгений Радчин (3), Андрей Бойко (3), Милан Карагяур (3), Александр Димитриев (3), Иван Василевский (3), Руслан Масальский (3), Даниил Кулык (3), Стас Коциевский (3), Елизавета Севастьянова (3), Павел Бакалин (3), Антон Локтев (3), Андрей-Святозар Чернецкий (3), Николь Метри (3), Евелина Алексютенко (3), Константин Грешилов (3), Марина Кривошеева (3), Денис Куленюк (3), Константин Мысов (3), Мария Карьева (3), Константин Григорян (3), Колаев Демьян (3), Станислав Бондаренко (3), Ильдар Сабиров (3), Владимир Дроздин (3), Кирилл Сплошнов (3), Карина Миловская (3), Дмитрий Козачков (3), Мария Жаркая (3), Алёна Янишевская (3), Александра Рябова (3), Дмитрий Байков (3), Павел Загинайло (3), Томас Пасенченко (3), Виктория Крачилова (3), Таисия Ткачева (3), Владислав Бебик (3), Илья Бровко (3), Максим Носов (3), Филип Марченко (3), Катя Романцова (3), Илья Черноморец (3), Евгений Фищук (3), Анна Цивинская (3), Михаил Бутник (3), Станислав Чмиленко (3), Катя Писова (3), Дмитрий Дудник (3), Дарья Кваша (3), Игорь Стеблинский (3), Артем Чернобровкин (3), Виктор Булгаков (3), Дмитрий Мороз (3), Богдан Павлов (3), Игорь Вустянюк (3), Андрей Яроцкий (3), Лаура Казарян (3), Екатерина Мальчик (3), Анатолий Осецимский (3), Иван Дуков (3), Дмитрий Робакидзе (3), Вячеслав Зелинский (3), Данила Савчак (3), Дмитрий Воротов (3), Стефания Амамджян (3), Валерия Сиренко (3), Георгий Мартынюк (3), Виктор Иванов (3), Георгий Луценко (2), Владислав Гринькив (2), Александр Дяченко (2), Анна Неделева (2), Никита Строгуш (2), Настя Панько (2), Кирилл Веремьев (2), Даниил Мозгунов (2), Андрей Зиновьев (2), Андрей Данилов (2), Даниил Крутоголов (2), Наталия Писаревская (2), Дэвид Ли (2), Александр Коломеец (2), Александра Филистович (2), Евгений Рудницкий (2), Олег Сторожев (2), Евгения Максимова (2), Алексей Пожиленков (2), Юрий Молоканов (2), Даниил Кадочников (2), Александр Колаев (2), Александр Гутовский (2), Павел Мацалышенко (2), Таня Спичак (2), Радомир Сиденко (2), Владислав Шиманский (2), Илья Балицкий (2), Алина Гончарова (2), Владислав Шеванов (2), Андрей Сидоренко (2), Александр Мога (2), Юлия Стоева (2), Александр Розин (2), Надежда Кибакова (2), Майк Евгеньев (2), Евгений Колодин (2), Денис Карташов (2), Александр Довгань (2), Нина Хоробрых (2), Роман Гайдей (2), Антон Джашимов (2), Никита Репнин (2), Инна Литвиненко (2), Яна Юрковская (2), Гасан Мурадов (2), Богдан Подгорный (2), Алексей Никифоров (2), Настя Филипчук (2), Гук Алина (2), Михаил Абабин (2), Дмитрий Калинин (2), Бриткариу Ирина (2), Никита Шпилевский (2), Алексей Белоченко (2), Юлиана Боурош (2), Никита Семерня (2), Владимир Захаренко (2), Дмитрий Лозинский (2), Яна Колчинская (2), Юрий Олейник (2), Кирилл Бондаренко (2), Елена Шихова (2), Татьяна Таран (2), Наталья Федина (2), Настя Кондратюк (2), Никита Гербали (2),

    определение, примеры и свойства. Различные способы найти НОД

    Запомните!

    Если натуральное число делится только на 1
    и на само себя, то оно называется простым.

    Любое натуральное число всегда делится на 1
    и на само себя.

    Число 2
    — наименьшее простое число. Это единственное чётное простое число, остальные простые числа — нечётные.

    Простых чисел много, и первое среди них — число 2
    . Однако нет последнего простого числа. В
    разделе «Для учёбы»
    вы можете скачать таблицу простых чисел до 997
    .

    Но многие натуральные числа делятся нацело ещё и на другие натуральные числа.

    Например:

    • число 12

      делится на 1
      ,
      на 2
      , на 3
      , на 4
      ,
      на 6
      , на 12
      ;

    • число 36

      делится на 1
      ,
      на 2
      ,
      на 3
      ,
      на 4
      ,
      на 6
      ,
      на 12
      ,
      на 18
      ,
      на 36
      .

    Числа, на которые
    число делится нацело
    (для 12
    это
    1, 2, 3, 4, 6
    и 12
    ) называются
    делителями числа.

    Запомните!

    Делитель натурального числа a
    — это такое
    натуральное число, которое делит данное
    число «a
    » без остатка.

    Натуральное число, которое имеет более двух делителей называется составным.

    Обратите внимание, что числа 12
    и
    36
    имеют общие делители.
    Это числа: 1, 2, 3, 4, 6, 12
    .
    Наибольший из делителей этих чисел — 12
    .

    Общий делитель двух данных чисел «a
    » и «b
    » — это число, на которое делятся без остатка
    оба данных числа «a
    » и «b
    ».

    Запомните!

    Наибольший общий делитель
    (НОД) двух данных чисел
    «a
    » и
    «b
    » — это наибольшее число, на которое оба
    числа «a
    » и
    «b
    » делятся без остатка.

    Кратко наибольший общий делитель чисел «a
    » и «b
    » записывают так
    :

    НОД (a; b)
    .

    Пример: НОД (12; 36) = 12
    .

    Делители чисел в записи решения обозначают большой буквой «Д».

    Д (7) = {1, 7}

    Д (9) = {1, 9}

    НОД (7; 9) = 1

    Числа
    7
    и 9
    имеют
    только один общий делитель — число 1
    .
    Такие числа называют взаимно простыми числами
    .

    Запомните!

    Взаимно простые числа
    — это натуральные числа, которые имеют только
    один общий делитель — число 1
    . Их НОД
    равен 1
    .

    Как найти наибольший общий делитель

    Чтобы найти НОД двух или более натуральных чисел нужно:

    1. разложить делители чисел на простые
      множители;

    Вычисления удобно записывать с помощью вертикальной черты. Слева от черты сначала записываем делимое,
    справа — делитель. Далее в левом столбце записываем значения частных.

    Поясним сразу на примере. Разложим на простые множители числа 28
    и 64
    .

    1. Подчёркиваем одинаковые
      простые множители в обоих числах.

      28 = 2
      · 2
      · 7

      64 = 2
      · 2
      · 2 · 2 · 2 · 2

    2. Находим произведение одинаковых простых множителей и записать ответ;

      НОД (28; 64) = 2 · 2 = 4

      Ответ: НОД (28; 64) = 4

    Оформить нахождение НОД можно двумя способами:
    в столбик (как делали выше) или «в строчку».

    Нахождение наибольшего общего делителя трех и большего количества чисел может быть сведено к последовательному нахождению НОД двух чисел. Мы об этом упоминали, при изучении свойств НОД. Там мы сформулировали и доказали теорему: наибольший общий делитель нескольких чисел a 1 , a 2 , …, a k
    равен числу d k
    , которое находится при последовательном вычислении НОД(a 1 , a 2)=d 2
    , НОД(d 2 , a 3)=d 3
    , НОД(d 3 , a 4)=d 4
    , …,НОД(d k-1 , a k)=d k
    .

    Давайте разберемся, как выглядит процесс нахождения НОД нескольких чисел, рассмотрев решение примера.

    Пример.

    Найдите наибольший общий делитель четырех чисел 78
    , 294
    , 570
    и 36
    .

    Решение.

    В этом примере a 1 =78
    , a 2 =294
    , a 3 =570
    , a 4 =36
    .

    Сначала по алгоритму Евклида определим наибольший общий делитель d 2
    двух первых чисел 78
    и 294
    . При делении получаем равенства 294=78·3+60
    ; 78=60·1+18
    ;60=18·3+6
    и 18=6·3
    . Таким образом, d 2 =НОД(78, 294)=6
    .

    Теперь вычислим d 3 =НОД(d 2 , a 3)=НОД(6, 570)
    . Опять применим алгоритм Евклида:570=6·95
    , следовательно, d 3 =НОД(6, 570)=6
    .

    Осталось вычислить d 4 =НОД(d 3 , a 4)=НОД(6, 36)
    . Так как 36
    делится на 6
    , тоd 4 =НОД(6, 36)=6
    .

    Таким образом, наибольший общий делитель четырех данных чисел равен d 4 =6
    , то есть,НОД(78, 294, 570, 36)=6
    .

    Ответ:

    НОД(78, 294, 570, 36)=6
    .

    Разложение чисел на простые множители также позволяет вычислять НОД трех и большего количества чисел. В этом случае наибольший общий делитель находится как произведение всех общих простых множителей данных чисел.

    Пример.

    Вычислите НОД чисел из предыдущего примера, используя их разложения на простые множители.

    Решение.

    Разложим числа 78
    , 294
    , 570
    и 36
    на простые множители, получаем 78=2·3·13
    ,294=2·3·7·7
    , 570=2·3·5·19
    , 36=2·2·3·3
    . Общими простыми множителями всех данных четырех чисел являются числа 2
    и 3
    . Следовательно, НОД(78, 294, 570, 36)=2·3=6
    .

    Ответ:

    НОД(78, 294, 570, 36)=6
    .

    К началу страницы

    Нахождение НОД отрицательных чисел

    Если одно, несколько или все числа, наибольший делитель которых нужно найти, являются отрицательными числами, то их НОД равен наибольшему общему делителю модулей этих чисел. Это связано с тем, что противоположные числа a
    и −a
    имеют одинаковые делители, о чем мы говорили при изучении свойств делимости.

    Пример.

    Найдите НОД отрицательных целых чисел −231
    и −140
    .

    Решение.

    Модуль числа −231
    равен 231
    , а модуль числа −140
    равен 140
    , иНОД(−231, −140)=НОД(231, 140)
    . Алгоритм Евклида дает нам следующие равенства:231=140·1+91
    ; 140=91·1+49
    ; 91=49·1+42
    ; 49=42·1+7
    и 42=7·6
    . Следовательно,НОД(231, 140)=7
    . Тогда искомый наибольший общий делитель отрицательных чисел−231
    и −140
    равен 7
    .

    Ответ:

    НОД(−231, −140)=7
    .

    Пример.

    Определите НОД трех чисел −585
    , 81
    и −189
    .

    Решение.

    При нахождении наибольшего общего делителя отрицательные числа можно заменить их абсолютными величинами, то есть, НОД(−585, 81, −189)=НОД(585, 81, 189)
    . Разложения чисел 585
    , 81
    и 189
    на простые множители имеют соответственно вид585=3·3·5·13
    , 81=3·3·3·3
    и 189=3·3·3·7
    . Общими простыми множителями этих трех чисел являются 3
    и 3
    . Тогда НОД(585, 81, 189)=3·3=9
    , следовательно,НОД(−585, 81, −189)=9
    .

    Ответ:

    НОД(−585, 81, −189)=9
    .

    35. Корені многочлена. Теорема Безу. (33 и выше)

    36. Кратні корені, критерій кратності кореня.

    Рассмотрим два основных метода нахождения НОД двумя основными способами: с использованием алгоритма Евклида и путем разложения на простые множители. Применим оба метода для двух, трех и большего количества чисел.

    Алгоритм Евклида для нахождения НОД

    Алгоритм Евклида позволяет с легкостью вычислить наибольший общий делитель для двух положительных чисел. Формулировки и доказательство алгоритма Евклида мы привели в разделе «Наибольший общий делитель: определитель, примеры».

    Суть алгоритма заключается в том, чтобы последовательно проводить деление с остатком, в ходе которого получается ряд равенств вида:

    a = b · q 1 + r 1 , 0

    Мы можем закончить деление тогда, когда r k + 1 = 0
    , при этом r k = НОД (a , b)
    .

    Пример 1

    64
    и 48
    .

    Решение

    Введем обозначения: a = 64 , b = 48 .

    На основе алгоритма Евклида проведем деление 64
    на 48
    .

    Получим 1 и остаток 16 . Получается, что q 1 = 1 , r 1 = 16 .

    Вторым шагом разделим 48
    на 16 , получим 3 . То есть q 2 = 3
    , а r 2 = 0 .
    Таким образом число 16 – это наибольший общий делитель для чисел из условия.

    Ответ:
    НОД (64 , 48) = 16 .

    Пример 2

    Чему равен НОД чисел 111
    и 432
    ?

    Решение

    Делим 432
    на 111
    . Согласно алгоритму Евклида получаем цепочку равенств 432 = 111 · 3 + 99 , 111 = 99 · 1 + 12 , 99 = 12 · 8 + 3 , 12 = 3 · 4 .

    Таким образом, наибольший общий делитель чисел 111
    и 432
    – это 3 .

    Ответ:
    НОД (111 , 432) = 3 .

    Пример 3

    Найдите наибольший общий делитель чисел 661 и 113 .

    Решение

    Проведем последовательно деление чисел и получим НОД (661 , 113) = 1
    . Это значит, что 661 и 113 – это взаимно простые числа. Мы могли выяснить это до начала вычислений, если бы обратились к таблице простых чисел.

    Ответ:
    НОД (661 , 113) = 1 .

    Нахождение НОД с помощью разложения чисел на простые множители

    Для того, чтобы найти наибольший общий делитель двух чисел методом разложения на множители, необходимо перемножить все простые множители, которые получаются при разложении этих двух чисел и являются для них общими.

    Пример 4

    Если мы разложим числа 220 и 600 на простые множители, то получим два произведения: 220 = 2 · 2 · 5 · 11
    и 600 = 2 · 2 · 2 · 3 · 5 · 5
    . Общими в этих двух произведениях будут множители 2 , 2 и 5 . Это значит, что НОД (220 , 600) = 2 · 2 · 5 = 20
    .

    Пример 5

    Найдите наибольший общий делитель чисел 72
    и 96
    .

    Решение

    Найдем все простые множители чисел 72
    и 96
    :

    72 36 18 9 3 1 2 2 2 3 3

    96 48 24 12 6 3 1 2 2 2 2 2 3

    Общими для двух чисел простые множители: 2 , 2 , 2 и 3 . Это значит, что НОД (72 , 96) = 2 · 2 · 2 · 3 = 24
    .

    Ответ:
    НОД (72 , 96) = 24 .

    Правило нахождения наибольшего общего делителя двух чисел основано на свойствах наибольшего общего делителя, согласно которому НОД (m · a 1 , m · b 1) = m · НОД (a 1 , b 1) , где m – любое целое положительное число.

    Нахождение НОД трех и большего количества чисел

    Независимо от количества чисел, для которых нам нужно найти НОД, мы будем действовать по одному и тому же алгоритму, который заключается в последовательном нахождении НОД двух чисел. Основан этот алгоритм на применении следующей теоремы: НОД нескольких чисел a 1 , a 2 , … , a k
    равен числу d k
    , которое находится при последовательном вычислении НОД (a 1 , a 2) = d 2
    , НОД (d 2 , a 3) = d 3 , НОД (d 3 , a 4) = d 4 , … , НОД (d k — 1 , a k) = d k .

    Пример 6

    Найдите наибольший общий делитель четырех чисел 78 , 294 , 570 и 36
    .

    Решение

    Введем обозначения: a 1 = 78 , a 2 = 294 , a 3 = 570 , a 4 = 36 .

    Начнем с того, что найдем НОД чисел 78 и 294: d 2 =
    НОД (78 , 294) = 6
    .

    Теперь приступим к нахождению d 3 = НОД (d 2 , a 3) = НОД (6 , 570) . Согласно алгоритму Евклида 570 = 6 · 95 .
    Это значит, что d 3 =
    НОД (6 , 570) = 6
    .

    Найдем d 4 = НОД (d 3 , a 4) = НОД (6 , 36) . 36
    делится на 6 без остатка. Это позволяет нам получить d 4 =
    НОД (6 , 36) = 6
    .

    d 4 = 6
    , то есть, НОД (78 , 294 , 570 , 36) = 6
    .

    Ответ:

    А теперь давайте рассмотрим еще один способ вычисления НОД для тех и большего количества чисел. Мы можем найти НОД, перемножив все общие простые множители чисел.

    Пример 7

    Вычислите НОД чисел 78 , 294 , 570 и 36
    .

    Решение

    Произведем разложение данных чисел на простые множители: 78 = 2 · 3 · 13 , 294 = 2 · 3 · 7 · 7 , 570 = 2 · 3 · 5 · 19 , 36 = 2 · 2 · 3 · 3 .

    Для всех четырех чисел общими простыми множителями будут числа 2 и 3 .

    Получается, что НОД (78 , 294 , 570 , 36) = 2 · 3 = 6
    .

    Ответ:
    НОД (78 , 294 , 570 , 36) = 6 .

    Нахождение НОД отрицательных чисел

    Если нам приходится иметь дело с отрицательными числами, то для нахождения наибольшего общего делителя мы можем воспользоваться модулями этих чисел. Мы можем так поступить, зная свойство чисел с противоположными знаками: числа n
    и — n
    имеют одинаковые делители.

    Пример 8

    Найдите НОД отрицательных целых чисел − 231
    и − 140
    .

    Решение

    Для выполнения вычислений возьмем модули чисел, данных в условии. Это будут числа 231 и 140 . Запишем это кратко: НОД (− 231 , − 140) =
    НОД (231 , 140) . Теперь применим алгоритм Евклида для нахождения простых множителей двух чисел: 231 = 140 · 1 + 91 ; 140 = 91 · 1 + 49 ; 91 = 49 · 1 + 42 ; 49 = 42 · 1 + 7 и 42 = 7 · 6
    . Получаем, что НОД (231 , 140) = 7 .

    А так как НОД (− 231 , − 140) =
    НОД (231 , 140)
    , то НОД чисел − 231
    и − 140
    равен 7
    .

    Ответ:
    НОД (− 231 , − 140) = 7 .

    Пример 9

    Определите НОД трех чисел − 585 , 81 и − 189
    .

    Решение

    Заменим отрицательные числа в приведенном перечне на их абсолютные величины, получим НОД (− 585 , 81 , − 189) =
    НОД (585 , 81 , 189)
    . Затем разложим все данные числа на простые множители:
    585 = 3 · 3 · 5 · 13 , 81 = 3 · 3 · 3 · 3 и 189 = 3 · 3 · 3 · 7
    . Общими для трех чисел являются простые множители 3 и 3 . Получается, что НОД (585 , 81 , 189) = НОД (− 585 , 81 , − 189) = 9 .

    Ответ:
    НОД (− 585 , 81 , − 189) = 9 .

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

    Продолжим разговор о наименьшем общем кратном, который мы начали в разделе « НОК – наименьшее общее кратное, определение, примеры». В этой теме мы рассмотрим способы нахождения НОК для трех чисел и более, разберем вопрос о том, как найти НОК отрицательного числа.

    Вычисление наименьшего общего кратного (НОК) через НОД

    Мы уже установили связь наименьшего общего кратного с наибольшим общим делителем. Теперь научимся определять НОК через НОД. Сначала разберемся, как делать это для положительных чисел.

    Определение 1

    Найти наименьшее общее кратное через наибольший общий делитель можно по формуле НОК (a , b) = a · b: НОД (a , b) .

    Пример 1

    Необходимо найти НОК чисел 126 и 70 .

    Решение

    Примем a = 126 , b = 70 . Подставим значения в формулу вычисления наименьшего общего кратного через наибольший общий делитель НОК (a , b) = a · b: НОД (a , b) .

    Найдет НОД чисел 70 и 126 . Для этого нам понадобится алгоритм Евклида: 126 = 70 · 1 + 56 , 70 = 56 · 1 + 14 , 56 = 14 · 4 , следовательно, НОД (126 , 70) = 14
    .

    Вычислим НОК:
    НОК (126 , 70) = 126 · 70: НОД (126 , 70) = 126 · 70: 14 = 630 .

    Ответ:
    НОК (126 , 70) = 630 .

    Пример 2

    Найдите нок чисел 68 и 34 .

    Решение

    НОД в данном случае нейти несложно, так как 68 делится на 34 . Вычислим наименьшее общее кратное по формуле: НОК (68 , 34) = 68 · 34: НОД (68 , 34) = 68 · 34: 34 = 68 .

    Ответ:
    НОК (68 , 34) = 68 .

    В этом примере мы использовали правило нахождения наименьшего общего кратного для целых положительных чисел a и b: если первое число делится на второе, что НОК этих чисел будет равно первому числу.

    Нахождение НОК с помощью разложения чисел на простые множители

    Теперь давайте рассмотрим способ нахождения НОК, который основан на разложении чисел на простые множители.

    Определение 2

    Для нахождения наименьшего общего кратного нам понадобится выполнить ряд несложных действий:

    • составляем произведение всех простых множителей чисел, для которых нам нужно найти НОК;
    • исключаем их полученных произведений все простые множители;
    • полученное после исключения общих простых множителей произведение будет равно НОК данных чисел.

    Этот способ нахождения наименьшего общего кратного основан на равенстве НОК (a , b) = a · b: НОД (a , b) . Если посмотреть на формулу, то станет понятно: произведение чисел a и b равно произведению всех множителей, которые участвуют в разложении этих двух чисел. При этом НОД двух чисел равен произведению всех простых множителей, которые одновременно присутствуют в разложениях на множители данных двух чисел.

    Пример 3

    У нас есть два числе 75 и 210 . Мы можем разложить их на множители следующим образом: 75 = 3 · 5 · 5
    и 210 = 2 · 3 · 5 · 7
    . Если составить произведение всех множителей двух исходных чисел, то получится: 2 · 3 · 3 · 5 · 5 · 5 · 7
    .

    Если исключить общие для обоих чисел множители 3 и 5 , мы получим произведение следующего вида: 2 · 3 · 5 · 5 · 7 = 1050
    . Это произведение и будет нашим НОК для чисел 75 и 210 .

    Пример 4

    Найдите НОК чисел 441
    и 700
    , разложив оба числа на простые множители.

    Решение

    Найдем все простые множители чисел, данных в условии:

    441 147 49 7 1 3 3 7 7

    700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7

    Получаем две цепочки чисел: 441 = 3 · 3 · 7 · 7 и 700 = 2 · 2 · 5 · 5 · 7 .

    Произведение всех множителей, которые участвовали в разложении данных чисел, будет иметь вид: 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 5 · 7 · 7 · 7
    . Найдем общие множители. Это число 7 . Исключим его из общего произведения: 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 5 · 7 · 7
    . Получается, что НОК (441 , 700) = 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 5 · 7 · 7 = 44 100
    .

    Ответ:
    НОК (441 , 700) = 44 100 .

    Дадим еще одну формулировку метода нахождения НОК путем разложения чисел на простые множители.

    Определение 3

    Раньше мы исключали из всего количества множителей общие для обоих чисел. Теперь мы сделаем иначе:

    • разложим оба числа на простые множители:
    • добавим к произведению простых множителей первого числа недостающие множители второго числа;
    • получим произведение, которое и будет искомым НОК двух чисел.

    Пример 5

    Вернемся к числам 75 и 210 , для которых мы уже искали НОК в одном из прошлых примеров. Разложим их на простые множители: 75 = 3 · 5 · 5
    и 210 = 2 · 3 · 5 · 7
    . К произведению множителей 3 , 5 и 5
    числа 75 добавим недостающие множители 2
    и 7
    числа 210 . Получаем: 2 · 3 · 5 · 5 · 7 .
    Это и есть НОК чисел 75 и 210 .

    Пример 6

    Необходимо вычислить НОК чисел 84 и 648 .

    Решение

    Разложим числа из условия на простые множители: 84 = 2 · 2 · 3 · 7
    и 648 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 3
    . Добавим к произведению множителей 2 , 2 , 3 и 7
    числа 84 недостающие множители 2 , 3 , 3 и
    3
    числа 648 . Получаем произведение 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 3 · 7 = 4536 .
    Это и есть наименьшее общее кратное чисел 84 и 648 ​​​​​​ ​.

    Ответ:
    НОК (84 , 648) = 4 536 .

    Нахождение НОК трех и большего количества чисел

    Независимо от того, с каким количеством чисел мы имеем дело, алгоритм наших действий всегда будет одинаковым: мы будем последовательно находить НОК двух чисел. На этот случай есть теорема.

    Теорема 1

    Предположим, что у нас есть целые числа a 1 , a 2 , … , a k
    . НОК m k
    этих чисел находится при последовательном вычислении m 2 = НОК (a 1 , a 2) , m 3 = НОК (m 2 , a 3) , … , m k = НОК (m k − 1 , a k) .

    Теперь рассмотрим, как можно применять теорему для решения конкретных задач.

    Пример 7

    Необходимо вычислить наименьшее общее кратное четырех чисел 140 , 9 , 54 и 250
    .

    Решение

    Введем обозначения: a 1 = 140 , a 2 = 9 , a 3 = 54 , a 4 = 250 .

    Начнем с того, что вычислим m 2 = НОК (a 1 , a 2) = НОК (140 , 9) . Применим алгоритм Евклида для вычисления НОД чисел 140 и 9: 140 = 9 · 15 + 5 , 9 = 5 · 1 + 4 , 5 = 4 · 1 + 1 , 4 = 1 · 4 . Получаем: НОД (140 , 9) = 1 , НОК (140 , 9) = 140 · 9: НОД (140 , 9) = 140 · 9: 1 = 1 260 . Следовательно, m 2 = 1 260 .

    Теперь вычислим по тому е алгоритму m 3 = НОК (m 2 , a 3) = НОК (1 260 , 54) . В ходе вычислений получаем m 3 = 3 780 .

    Нам осталось вычислить m 4 = НОК (m 3 , a 4) = НОК (3 780 , 250) . Действуем по тому же алгоритму. Получаем m 4 = 94 500 .

    НОК четырех чисел из условия примера равно 94500 .

    Ответ:
    НОК (140 , 9 , 54 , 250) = 94 500 .

    Как видите, вычисления получаются несложными, но достаточно трудоемкими. Чтобы сэкономить время, можно пойти другим путем.

    Определение 4

    Предлагаем вам следующий алгоритм действий:

    • раскладываем все числа на простые множители;
    • к произведению множителей первого числа добавляем недостающие множители из произведения второго числа;
    • к полученному на предыдущем этапе произведению добавляем недостающие множители третьего числа и т.д.;
    • полученное произведение будет наименьшим общим кратным всех чисел из условия.

    Пример 8

    Необходимо найти НОК пяти чисел 84 , 6 , 48 , 7 , 143 .

    Решение

    Разложим все пять чисел на простые множители: 84 = 2 · 2 · 3 · 7 , 6 = 2 · 3 , 48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 , 7 , 143 = 11 · 13 . Простые числа, которым является число 7 , на простые множители не раскладываются. Такие числа совпадают со своим разложением на простые множители.

    Теперь возьмем произведение простых множителей 2 , 2 , 3 и 7 числа 84 и добавим к ним недостающие множители второго числа. Мы разложили число 6 на 2 и 3 . Эти множители уже есть в произведении первого числа. Следовательно, их опускаем.

    Продолжаем добавлять недостающие множители. Переходим к числу 48 , из произведения простых множителей которого берем 2 и 2 . Затем добавляем простой множитель 7 от четвертого числа и множители 11 и 13 пятого. Получаем: 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 7 · 11 · 13 = 48 048 . Это и есть наименьшее общее кратное пяти исходных чисел.

    Ответ:
    НОК (84 , 6 , 48 , 7 , 143) = 48 048 .

    Нахождение наименьшего общего кратного отрицательных чисел

    Для того, чтобы найти наименьшее общее кратное отрицательных чисел, эти числа необходимо сначала заменить на числа с противоположным знаком, а затем провести вычисления по приведенным выше алгоритмам.

    Пример 9

    НОК (54 , − 34) = НОК (54 , 34) , а НОК (− 622 , − 46 , − 54 , − 888) = НОК (622 , 46 , 54 , 888) .

    Такие действия допустимы в связи с тем, что если принять, что a
    и − a
    – противоположные числа,
    то множество кратных числа a
    совпадает со множеством кратных числа − a
    .

    Пример 10

    Необходимо вычислить НОК отрицательных чисел − 145
    и − 45
    .

    Решение

    Произведем замену чисел − 145
    и − 45
    на противоположные им числа 145
    и 45
    . Теперь по алгоритму вычислим НОК (145 , 45) = 145 · 45: НОД (145 , 45) = 145 · 45: 5 = 1 305 , предварительно определив НОД по алгоритму Евклида.

    Получим, что НОК чисел − 145 и − 45
    равно 1 305
    .

    Ответ:
    НОК (− 145 , − 45) = 1 305 .

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

    Наибольший общий делитель – это еще один показатель, позволяющий упростить работу с дробями. Очень часто в результате вычислений получаются дроби с очень большими значениями числителя и знаменателя. Сокращать поэтапно такие числа можно, но это крайне долго, поэтому проще сразу найти НОД и сократить на него. Разберемся в теме подробнее.

    Что такое НОД?

    Наибольший общий делитель (НОД) ряда чисел – это наибольшее число, на которое можно без остатка разделить каждое из чисел ряда.

    Как найти НОД?

    Для того, чтобы найти НОД необходимо каждое из чисел разложить на простые множители и выделить общую часть.

    Специальной формулы для этого не придумали, зато есть алгоритм вычисления.

    Приведем пример нахождения наибольшего общего делителя двух натуральных чисел: 540 и 252. Разложим 640 на простые множители. Последовательность действий такова:

    • Делим число на наименьший из возможных простых чисел. То есть, если число можно разделить на 2, 3 или 5, то сначала нужно делить на 5. Просто, чтобы не запутаться.
    • Получившийся результат делим на наименьшее из возможных простых чисел.
    • Повторяем деление каждого полученного результата, пока не получим простое число.

    Теперь проведем ту же процедуру на практике.

    • 540: 2=270
    • 270:2=135
    • 135: 3 =45
    • 45: 3=15
    • 15: 5 = 3

    Запишем результат в виде равенства 540=2*2*3*3*3*5. Для того, чтобы записать результат, нужно последнее получившееся число умножить на все делители.

    Аналогично поступим с числом 252:

    • 252: 2=126
    • 126: 2=63
    • 63: 3=21
    • 21: 3 = 7

    Запишем результат: 252=2*2*3*3*7.

    В каждом разложении есть одинаковые числа. Найдем их, это два числа 2 и два числа 3. Отличаются только 7 и 3*5.

    Для того, чтобы найти НОД нужно перемножить общие множетели. То есть в произведении будет две двойки и две тройки.

    НОД=2*2*3*3=36

    Как можно это использовать?

    Задача:

    сократить дробь $$252\over540$$.

    НОД для двух этих чисел мы уже находили, теперь просто воспользуемся уже посчитанным значением.

    Сократим числитель и знаменатель дроби на 36 и получим ответ.

    $${252\over540} ={7\over15}$$ — чтобы быстро сократить, достаточно посмотреть на разложение чисел.

    Если 540=2*2*3*3*3*5, а НОД=36=2*2*3*3, то 540 = 36*3*5. И если мы поделим 540 на 36, то получим 3*5=15.

    Без НОД нам пришлось бы в одну длинную строку писать сокращения. К тому же, бывают случаи, когда непонятно, можно ли сократить дробь вообще. Для таких ситуаций в математике и придумали разложение чисел на простые множители и НОД.

    Что мы узнали?

    Мы узнали, что такое наибольший общий делитель пары чисел, разобрались, как можно использовать показатель на практике, решили задачу на нахождение НОД и применение НОД для сокращения дробей. Поняли, что с использованием НОД можно проще и быстрее сократить громоздкие дроби, найдя НОД для числителя и знаменателя.

    Тест по теме

    Оценка статьи

    Средняя оценка: 4.3
    . Всего получено оценок: 204.

    Алгоритм евклида для нахождения нод и нок

    Эта статья про нахождение наибольшего общего делителя (НОД) двух и большего количества чисел. Сначала рассмотрим алгоритм Евклида, он позволяет находить НОД двух чисел. После этого остановимся на методе, позволяющем вычислять НОД чисел как произведение их общих простых множителей. Дальше разберемся с нахождением наибольшего общего делителя трех и большего количества чисел, а также приведем примеры вычисления НОД отрицательных чисел.

    Навигация по странице.

    Алгоритм Евклида для нахождения НОД

    В статье наибольший общий делитель (НОД), определение, примеры, свойства НОД мы сформулировали и доказали алгоритм Евклида. Алгоритм Евклида является универсальным способом, позволяющим вычислять наибольший общий делитель двух положительных целых чисел.

    Напомним суть алгоритма Евклида. Для нахождения наибольшего общего делителя двух чисел a и b ( a и b – целые положительные числа, причем a больше или равно b ) последовательно выполняется деление с остатком, которое дает ряд равенств вида

    Деление заканчивается, когда rk+1=0 , при этом rk=НОД(a, b) .

    Рассмотрим примеры нахождения НОД по алгоритму Евклида.

    Найдите наибольший общий делитель чисел 64 и 48 .

    Воспользуемся алгоритмом Евклида. В этом примере a=64 , b=48 .

    Делим 64 на 48 , получаем 64:48=1 (ост. 16) (при необходимости смотрите правила и примеры деления с остатком), что можно записать в виде равенства 64=48·1+16 , то есть, q1=1 , r1=16 .

    Теперь делим b на r1 , то есть, 48 делим на 16 , получаем 48:16=3 , откуда имеем 48=16·3 . Здесь q2=3 , а r2=0 , так как 48 делится на 16 без остатка. Мы получили r2=0 , поэтому это был последний шаг алгоритма Евклида, и r1=16 является искомым наибольшим общим делителем чисел 64 и 48 .

    Покажем решение еще одного примера, но теперь обойдемся без подробных пояснений шагов алгоритма Евклида.

    Чему равен НОД чисел 111 и 432 ?

    Из свойств наибольшего общего делителя мы знаем, что НОД(111, 432)=НОД(432, 111) . Воспользуемся алгоритмом Евклида для нахождения НОД(432, 111) .

    Разделив 432 на 111 , получаем равенство 432=111·3+99 .

    На следующем шаге делим 111 на 99 , имеем 111=99·1+12 .

    Деление 99 на 12 дает равенство 99=12·8+3 .

    А 12 на 3 делится без остатка и 12=3·4 . Поэтому это последний шаг алгоритма Евклида, и НОД(432, 111)=3 , следовательно, и искомый наибольший общий делитель чисел 111 и 432 равен 3 .

    Для закрепления материала найдем с помощью алгоритма Евклида наибольший общий делитель чисел 661 и 113 .

    Найдите НОД(661, 113) по алгоритму Евклида.

    Выполняем деление: 661=113·5+96 ; 113=96·1+17 ; 96=17·5+11 ; 17=11·1+6 ; 11=6·1+5 ; 6=5·1+1 , наконец, 5=1·5 . Таким образом, НОД(661, 113)=1 , то есть, 661 и 113 – взаимно простые числа.

    Заметим, что если бы мы с самого начала обратились к таблице простых чисел, то выяснили бы, что числа 661 и 113 – простые, откуда можно было бы сразу сказать, что их наибольший общий делитель равен 1 .

    Нахождение НОД с помощью разложения чисел на простые множители

    Рассмотрим еще один способ нахождения НОД. Наибольший общий делитель может быть найден по разложениям чисел на простые множители. Сформулируем правило: НОД двух целых положительных чисел a и b равен произведению всех общих простых множителей, находящихся в разложениях чисел a и b на простые множители.

    Приведем пример для пояснения правила нахождения НОД. Пусть нам известны разложения чисел 220 и 600 на простые множители, они имеют вид 220=2·2·5·11 и 600=2·2·2·3·5·5 . Общими простыми множителями, участвующими в разложении чисел 220 и 600 , являются 2 , 2 и 5 . Следовательно, НОД(220, 600)=2·2·5=20 .

    Таким образом, если разложить числа a и b на простые множители и найти произведение всех их общих множителей, то этим будет найден наибольший общий делитель чисел a и b .

    Рассмотрим пример нахождения НОД по озвученному правилу.

    Найдите наибольший общий делитель чисел 72 и 96 .

    Разложим на простые множители числа 72 и 96 :

    То есть, 72=2·2·2·3·3 и 96=2·2·2·2·2·3 . Общими простыми множителями являются 2 , 2 , 2 и 3 . Таким образом, НОД(72, 96)=2·2·2·3=24 .

    В заключение этого пункта заметим, что справедливость приведенного правила нахождения НОД следует из свойства наибольшего общего делителя, которое утверждает, что НОД(m·a1, m·b1)=m·НОД(a1, b1) , где m – любое целое положительное число.

    Нахождение НОД трех и большего количества чисел

    Нахождение наибольшего общего делителя трех и большего количества чисел может быть сведено к последовательному нахождению НОД двух чисел. Мы об этом упоминали, при изучении свойств НОД. Там мы сформулировали и доказали теорему: наибольший общий делитель нескольких чисел a1, a2, …, ak равен числу dk , которое находится при последовательном вычислении НОД(a1, a2)=d2 , НОД(d2, a3)=d3 , НОД(d3, a4)=d4 , …, НОД(dk-1, ak)=dk .

    Давайте разберемся, как выглядит процесс нахождения НОД нескольких чисел, рассмотрев решение примера.

    Найдите наибольший общий делитель четырех чисел 78 , 294 , 570 и 36 .

    Сначала по алгоритму Евклида определим наибольший общий делитель d2 двух первых чисел 78 и 294 . При делении получаем равенства 294=78·3+60 ; 78=60·1+18 ; 60=18·3+6 и 18=6·3 . Таким образом, d2=НОД(78, 294)=6 .

    Теперь вычислим d3=НОД(d2, a3)=НОД(6, 570) . Опять применим алгоритм Евклида: 570=6·95 , следовательно, d3=НОД(6, 570)=6 .

    Осталось вычислить d4=НОД(d3, a4)=НОД(6, 36) . Так как 36 делится на 6 , то d4=НОД(6, 36)=6 .

    Таким образом, наибольший общий делитель четырех данных чисел равен d4=6 , то есть, НОД(78, 294, 570, 36)=6 .

    НОД(78, 294, 570, 36)=6 .

    Разложение чисел на простые множители также позволяет вычислять НОД трех и большего количества чисел. В этом случае наибольший общий делитель находится как произведение всех общих простых множителей данных чисел.

    Вычислите НОД чисел из предыдущего примера, используя их разложения на простые множители.

    Разложим числа 78 , 294 , 570 и 36 на простые множители, получаем 78=2·3·13 , 294=2·3·7·7 , 570=2·3·5·19 , 36=2·2·3·3 . Общими простыми множителями всех данных четырех чисел являются числа 2 и 3 . Следовательно, НОД(78, 294, 570, 36)=2·3=6 .

    НОД(78, 294, 570, 36)=6 .

    Нахождение НОД отрицательных чисел

    Если одно, несколько или все числа, наибольший делитель которых нужно найти, являются отрицательными числами, то их НОД равен наибольшему общему делителю модулей этих чисел. Это связано с тем, что противоположные числа a и −a имеют одинаковые делители, о чем мы говорили при изучении свойств делимости.

    Найдите НОД отрицательных целых чисел −231 и −140 .

    Модуль числа −231 равен 231 , а модуль числа −140 равен 140 , и НОД(−231, −140)=НОД(231, 140) . Алгоритм Евклида дает нам следующие равенства: 231=140·1+91 ; 140=91·1+49 ; 91=49·1+42 ; 49=42·1+7 и 42=7·6 . Следовательно, НОД(231, 140)=7 . Тогда искомый наибольший общий делитель отрицательных чисел −231 и −140 равен 7 .

    Определите НОД трех чисел −585 , 81 и −189 .

    При нахождении наибольшего общего делителя отрицательные числа можно заменить их абсолютными величинами, то есть, НОД(−585, 81, −189)= НОД(585, 81, 189) . Разложения чисел 585 , 81 и 189 на простые множители имеют соответственно вид 585=3·3·5·13 , 81=3·3·3·3 и 189=3·3·3·7 . Общими простыми множителями этих трех чисел являются 3 и 3 . Тогда НОД(585, 81, 189)=3·3=9 , следовательно, НОД(−585, 81, −189)=9 .

    Алгоритм Евклида – это алгоритм нахождения наибольшего общего делителя (НОД) пары целых чисел.

    Наибольший общий делитель (НОД) – это число, которое делит без остатка два числа и делится само без остатка на любой другой делитель данных двух чисел. Проще говоря, это самое большое число, на которое можно без остатка разделить два числа, для которых ищется НОД.

    Алгоритм нахождения НОД делением

    1. Большее число делим на меньшее.
    2. Если делится без остатка, то меньшее число и есть НОД (следует выйти из цикла).
    3. Если есть остаток, то большее число заменяем на остаток от деления.
    4. Переходим к пункту 1.

    Пример:
    Найти НОД для 30 и 18.
    30 / 18 = 1 (остаток 12)
    18 / 12 = 1 (остаток 6)
    12 / 6 = 2 (остаток 0)
    Конец: НОД – это делитель 6.
    НОД (30, 18) = 6

    В цикле в переменную a или b записывается остаток от деления. Цикл завершается, когда хотя бы одна из переменных равна нулю. Это значит, что другая содержит НОД. Однако какая именно, мы не знаем. Поэтому для НОД находим сумму этих переменных. Поскольку в одной из переменных ноль, он не оказывает влияние на результат.

    Алгоритм нахождения НОД вычитанием

    1. Из большего числа вычитаем меньшее.
    2. Если получается 0, то значит, что числа равны друг другу и являются НОД (следует выйти из цикла).
    3. Если результат вычитания не равен 0, то большее число заменяем на результат вычитания.
    4. Переходим к пункту 1.

    Пример:
    Найти НОД для 30 и 18.
    30 – 18 = 12
    18 – 12 = 6
    12 – 6 = 6
    6 – 6 = 0
    Конец: НОД – это уменьшаемое или вычитаемое.
    НОД (30, 18) = 6

    Добавляйте авторские материалы и получите призы от Инфоурок

    Еженедельный призовой фонд 100 000 Р

    Устанавливая рекомендуемое программное обеспечение вы соглашаетесь
    с лицензионным соглашением Яндекс.Браузера и настольного ПО Яндекса .

    Международные дистанционные олимпиады «Эрудит III»

    Доступно для всех учеников
    1-11 классов и дошкольников

    Рекордно низкий оргвзнос

    по разным предметам школьной программы (отдельные задания для дошкольников)

    Идёт приём заявок

    Описание презентации по отдельным слайдам:

    Алгоритм нахождения НОД и НОК

    Наибольший общий делитель (НОД) Наибольший общий делитель (НОД) двух данных чисел «a» и «b» — это наибольшее число, на которое оба числа «a» и «b» делятся без остатка.

    Нахождение НОД Чтобы найти НОД двух или более натуральных чисел нужно: 1) Разложить числа на простые множители. 2) Взять одинаковые простые множители в обоих числах. 3) Найти произведение одинаковых простых множителей.

    Найдем НОД двух чисел 30 и 18 30=2*3*5 18=2*3*3 НОД=2*3=6

    Определите НОД 2450 и 3500

    Определите НОД 324, 111 и 432

    Что такое алгоритм? Алгори́тм — набор инструкций, описывающих порядок действий исполнителя для достижения некоторого результата

    Пример алгоритма из жизни

    Евклид Евкли́д или Эвкли́д (др.-греч. Εὐκλείδης, от «добрая слава», время расцвета — около 300 года до н. э.) — древнегреческий математик, автор первого из дошедших до нас теоретических трактатов по математике. Биографические сведения об Евклиде крайне скудны. Достоверным можно считать лишь то, что его научная деятельность протекала в Александрии в III в. до н. э. Евклид — первый математик Александрийской школы. Его главная работа «Начала» (Στοιχεῖα, в латинизированной форме — «Элементы») содержит изложение планиметрии, стереометрии и ряда вопросов теории чисел; в ней он подвёл итог предшествующему развитию древнегреческой математики и создал фундамент дальнейшего развития математики. Из других его сочинений по математике надо отметить «О делении фигур», сохранившееся в арабском переводе, 4 книги «Конические сечения», материал которых вошёл в произведение того же названия Аполлония Пергского, а также «Поризмы», представление о которых можно получить из «Математического собрания» Паппа Александрийского. Евклид — автор работ по астрономии, оптике, музыке и др.

    Алгоритм Евклида Алгоритм Евклида – это алгоритма нахождения НОД. Выделяют два способа реализации алгоритма: методом деления и методом вычитания. Рассмотрим отдельно каждый из них.

    Метод вычитания Из большего числа вычитаем меньшее. Если получается 0, то значит, что числа равны друг другу и являются НОД (следует выйти из цикла). Если результат вычитания не равен 0, то большее число заменяем на результат вычитания. Переходим к пункту 1.

    Нод и нок 1800 с решением. Нахождение наименьшего общего кратного, способы, примеры нахождения НОК



    Назад
    Вперёд

    Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

    С понятиями наибольшего общего делителя(НОД) и
    наименьшего общего кратного(НОК) учащиеся
    средней школы, встречаются в шестом классе.
    Данная тема всегда трудна для усвоения. Дети
    часто путают эти понятия, не понимают, зачем их
    нужно изучать. В последнее время и в
    научно-популярной литературе встречаются
    отдельные высказывания о том, что данный
    материал нужно исключить из школьной программы.
    Думаю, что это не совсем верно, и изучать его
    нужно если не на уроках, то во внеурочное время на
    занятиях школьного компонента обязательно, так
    как это способствует развитию логического
    мышления школьников, повышению скорости
    вычислительных операций, умению решать задачи
    красивыми методами.

    При изучении темы «Сложение и вычитание дробей
    с разными знаменателями» мы учим детей находить
    общий знаменатель двух или более чисел. Например,
    нужно сложить дроби 1/3 и 1/5. Учащиеся без труда
    находят число, делящееся без остатка на 3 и 5 . Это
    число 15. Действительно, если числа небольшие, то
    их общий знаменатель найти легко, зная хорошо
    таблицу умножения. Кто-то из ребят замечает, что
    это число является произведением чисел 3 и 5. У
    детей складывается мнение, что всегда таким
    образом можно найти общий знаменатель для чисел.
    К примеру вычитаем дроби 7/18 и 5/24. Найдем
    произведение чисел 18 и 24 . Оно равно 432. Получили
    уже большое число, а если дальше нужно
    производить какие-то вычисления(особенно это
    касается примеров на все действия), то
    вероятность ошибки возрастает. А вот найденное
    наименьшее общее кратное чисел (НОК), что в этом
    случае равнозначно наименьшему общему
    знаменателю (НОЗ)-число 72 -значительно облегчит
    вычисления и приведет к более быстрому решению
    примера, а тем самым сэкономит время, отведенное
    на выполнение данного задания, что играет
    немаловажную роль при выполнении итоговых
    тестовых, контрольных работ, особенно во время
    итоговой аттестации.

    При изучении темы «Сокращение дробей» можно
    двигаться последовательно деля числитель и
    знаменатель дроби на одно и то же натуральное
    число, используя при этом признаки делимости
    чисел, получив в конечном итоге несократимую
    дробь. Например, нужно сократить дробь 128/344.
    Разделим сначала числитель и знаменатель дроби
    на число 2, получим дробь 64/172. Ещё раз поделим
    числитель и знаменатель полученной дроби на 2,
    получим дробь 32/86. Поделить ещё раз числитель и
    знаменатель дроби на 2 , получим несократимую
    дробь 16/43. Но сокращение дроби можно выполнить
    гораздо проще, если мы найдем наибольший общий
    делитель чисел 128 и 344. НОД(128, 344) = 8. Разделив
    числитель и знаменатель дроби на это число,
    получим сразу несократимую дробь.

    Нужно показать детям разные способы нахождения
    наибольшего общего делителя (НОД) и наименьшего
    общего кратного (НОК)чисел. В простых случаях
    удобно находить наибольший общий делитель (НОД) и
    наименьшее общее кратное (НОК)чисел путем
    простого перебора. Когда числа становятся
    больше, можно использовать разложение чисел на
    простые множители. В учебнике шестого класса
    (автор Н.Я.Виленкин)показан следующий способ
    нахождения наибольшего общего делителя
    (НОД)чисел. Разложим числа на простые множители:

    • 16 = 2*2*2*2
    • 120 = 2*2*2*3*5

    Затем из множителей, входящих в разложение
    одного из этих чисел, вычеркиваем те, которые не
    входят в разложение другого числа. Произведение
    оставшихся множителей и будет являться
    наибольшим общим делителем этих чисел. В данном
    случае это число 8. На своем опыте убедилась в том,
    что детям более понятно, если мы подчеркиваем
    одинаковые множители в разложениях чисел, а
    затем в одном из разложений находим произведение
    подчеркнутых множителей. Это и есть наибольший
    общий делитель данных чисел. В шестом классе дети
    активны и любознательны. Можно поставить перед
    ними следующую задачу: попробуйте описанным
    способом найти наибольший общий делитель чисел
    343 и 287. Сразу не видно, как разложить их на простые
    множители. И вот здесь можно рассказать им про
    замечательный способ, придуманный древними
    греками, позволяющий искать наибольший общий
    делитель(НОД)без разложения на простые
    множители. Этот метод отыскания наибольшего
    общего делителя впервые описан в книге Евклида
    «Начала». Его называют алгоритмом Евклида.
    Заключается он в следующем: Вначале делят
    большее число на меньшее. Если получается
    остаток, то делят меньшее число на остаток. Если
    снова получается остаток, то делят первый
    остаток на второй. Так продолжают делить до тех
    пор, пока в остатке не получится нуль. Последний
    делитель и есть наибольший общий делитель
    (НОД)данных чисел.

    Вернемся к нашему примеру и для наглядности
    запишем решение в виде таблицы.

    Делимое Делитель Частное Остаток
    343 287 1 56
    287 56 5 7
    56 7
    8 0

    Итак, НОД(344,287) = 7

    А как найти наименьшее общее кратное (НОК) тех
    же чисел? Нет ли и для этого какого-нибудь
    способа, не требующего предварительного
    разложения этих чисел на простые множители?
    Оказывается, есть, и притом очень простой. Нужно
    перемножить эти числа и разделить произведение
    на найденный нами наибольший общий делитель(НОД).
    В данном примере произведение чисел равно 98441.
    Делим его на 7 и получаем число 14063. НОК(343,287) = 14063.

    Одной из трудных тем в математике является
    решение текстовых задач. Нужно показать учащимся, как с помощью понятий «Наибольший общий
    делитель (НОД)» и «Наименьшее общее кратное
    (НОК)» можно решать задачи, которые порой трудно
    решить обычным способом. Здесь уместно
    рассмотреть с учащимися наряду с задачами,
    предложенными авторами школьного учебника,
    старинные и занимательные задачи, развивающие
    любознательность детей и повышающие интерес к
    изучению данной темы. Умелое владение этими
    понятиями позволяет учащимся увидеть красивое
    решение нестандартной задачи. А если у ребенка
    после решения хорошей задачи поднимается
    настроение-это признак успешной работы.

    Таким образом, изучение в школе таких понятий,
    как «Наибольший общий делитель(НОД)» и
    «Наименьшее общее кратное (НОК)»чисел

    Позволяет экономить время, отводимое на
    выполнение работы, что приводит к значительному
    увеличению объема выполненных заданий;

    Повышает скорость и точность выполнения
    арифметических операций, что ведет к
    значительному уменьшению количества
    допускаемых вычислительных ошибок;

    Позволяет находить красивые способы решения
    нестандартных текстовых задач;

    Развивает любознательность учащихся,
    расширяет их кругозор;

    Создает предпосылки для воспитания
    разносторонней творческой личности.

    Но многие натуральные числа делятся нацело ещё и на другие натуральные числа.

    Например
    :

    Число 12 делится на 1, на 2, на 3, на 4, на 6, на 12;

    Число 36 делится на 1, на 2, на 3, на 4, на 6, на 12, на 18, на 36.

    Числа, на которые число делится нацело (для 12 это 1, 2, 3, 4, 6 и 12) называются делителями числа
    . Делитель натурального числа a
    — это такое натуральное число, которое делит данное число a
    без остатка. Натуральное число, которое имеет более двух делителей, называется составным
    .

    Обратите внимание, что числа 12 и 36 имеют общие делители. Это числа: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Наибольший из делителей этих чисел — 12. Общий делитель двух данных чисел a
    и b
    — это число, на которое делятся без остатка оба данных числа a
    и b
    .

    Общим кратным
    нескольких чисел называется число, которое делится на каждое из этих чисел. Например
    , числа 9, 18 и 45 имеют общее кратное 180. Но 90 и 360 — тоже их общие кратные. Среди всех jбщих кратных всегда есть наименьшее, в данном случае это 90. Это число называется наименьшим
    общим кратным (НОК)
    .

    НОК всегда натуральное число, которое должно быть больше самого большого из чисел, для которых оно определяется.

    Наименьшее общее кратное (НОК). Свойства.

    Коммутативность:

    Ассоциативность:

    В частности, если и — взаимно-простые числа , то:

    Наименьшее общее кратное двух целых чисел m
    и n
    является делителем всех других общих кратных m
    и n
    . Более того, множество общих кратных m, n
    совпадает с множеством кратных для НОК(m, n
    ).

    Асимптотики для могут быть выражены через некоторые теоретико-числовые функции.

    Так, функция Чебышёва
    . А также:

    Это следует из определения и свойств функции Ландау g(n)
    .

    Что следует из закона распределения простых чисел.

    Нахождение наименьшего общего кратного (НОК).

    НОК(a, b
    ) можно вычислить несколькими способами:

    1. Если известен наибольший общий делитель , можно использовать его связь с НОК:

    2. Пусть известно каноническое разложение обоих чисел на простые множители:

    где p 1 ,…,p k
    — различные простые числа, а d 1 ,…,d k
    и e 1 ,…,e k
    — неотрицательные целые числа (они могут быть нулями, если соответствующее простое отсутствует в разложении).

    Тогда НОК (a
    ,b
    ) вычисляется по формуле:

    Другими словами, разложение НОК содержит все простые множители , входящие хотя бы в одно из разложений чисел a, b
    , причём из двух показателей степени этого множителя берётся наибольший.

    Пример
    :

    Вычисление наименьшего общего кратного нескольких чисел может быть сведено к нескольким последовательным вычислениям НОК от двух чисел:

    Правило.
    Чтобы найти НОК ряда чисел, нужно:

    — разложить числа на простые множители;

    — перенести во множители искомого произведения самое большое разложение (произведение множителей самого большого числа из заданных), а потом добавить множители из разложения других чисел, которые не встречаются в первом числе или стоят в нем меньшее число раз;

    — полученное произведение простых множителей будет НОК заданных чисел.

    Любые два и более натуральных чисел имеют свое НОК. Если числа не кратны друг другу или не имеют одинаковых множителей в разложении, то их НОК равно произведению этих чисел.

    Простые множители числа 28 (2, 2, 7) дополнили множителем 3 (числа 21), полученное произведение (84) будет наименьшим числом, которое делится на 21 и 28 .

    Простые множители наибольшего числа 30 дополнили множителем 5 числа 25, полученное произведение 150 больше самого большого числа 30 и делится на все заданные числа без остатка. Это наименьшее произведение из возможных (150, 250, 300…), которому кратны все заданные числа.

    Числа 2,3,11,37 — простые, поэтому их НОК равно произведению заданных чисел.

    Правило
    . Чтобы вычислить НОК простых чисел, нужно все эти числа перемножить между собой.

    Еще один вариант:

    Чтобы найти наименьшее общее кратное (НОК) нескольких чисел нужно:

    1) представить каждое число как произведение его простых множителей, например:

    504 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 7 ,

    2) записать степени всех простых множителей:

    504 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 7 = 2 3 · 3 2 · 7 1 ,

    3) выписать все простые делители (множители) каждого из этих чисел;

    4) выбрать наибольшую степень каждого из них, встретившуюся во всех разложениях этих чисел;

    5) перемножить эти степени.

    Пример
    . Найти НОК чисел: 168, 180 и 3024.

    Решение
    . 168 = 2 · 2 · 2 · 3 · 7 = 2 3 · 3 1 · 7 1 ,

    180 = 2 · 2 · 3 · 3 · 5 = 2 2 · 3 2 · 5 1 ,

    3024 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 7 = 2 4 · 3 3 · 7 1 .

    Выписываем наибольшие степени всех простых делителей и перемножаем их:

    НОК = 2 4 · 3 3 · 5 1 · 7 1 = 15120.

    Тема «Кратные числа» изучается в 5 классе общеобразовательной школы. Ее целью является совершенствование письменных и устных навыков математических вычислений. На этом уроке вводятся новые понятия — «кратные числа» и «делители», отрабатывается техника нахождения делителей и кратных натурального числа, умение находить НОК различными способами.

    Эта тема является очень важной. Знания по ней можно применить при решении примеров с дробями. Для этого нужно найти общий знаменатель путем расчета наименьшего общего кратного (НОК).

    Кратным А считается целое число, которое делится на А без остатка.

    Каждое натуральное число имеет бесконечное количество кратных ему чисел. Наименьшим считается оно само. Кратное не может быть меньше самого числа.

    Нужно доказать, что число 125 кратно числу 5. Для этого нужно первое число разделить на второе. Если 125 делится на 5 без остатка, то ответ положительный.

    Данный способ применим для небольших чисел.

    При расчёте НОК встречаются особые случаи.

    1. Если необходимо найти общее кратное для 2-х чисел (например, 80 и 20), где одно из них (80) делится без остатка на другое (20), то это число (80) и есть наименьшее кратное этих двух чисел.

    НОК (80, 20) = 80.

    2. Если два не имеют общего делителя, то можно сказать, что их НОК — это произведение этих двух чисел.

    НОК (6, 7) = 42.

    Рассмотрим последний пример. 6 и 7 по отношению к 42 являются делителями. Они делят кратное число без остатка.

    В этом примере 6 и 7 являются парными делителями. Их произведение равно самому кратному числу (42).

    Число называется простым, если делится только само на себя или на 1 (3:1=3; 3:3=1). Остальные называются составными.

    В другом примере нужно определить, является ли 9 делителем по отношению к 42.

    42:9=4 (остаток 6)

    Ответ: 9 не является делителем числа 42, потому что в ответе есть остаток.

    Делитель отличается от кратного тем, что делитель — это то число, на которое делят натуральные числа, а кратное само делится на это число.

    Наибольший общий делитель чисел a
    и b
    , умноженный на их наименьшее кратное, даст произведение самих чисел a
    и b
    .

    А именно: НОД (а, b) х НОК (а, b) = а х b.

    Общие кратные числа для более сложных чисел находят следующим способом.

    Например, найти НОК для 168, 180, 3024.

    Эти числа раскладываем на простые множители, записываем в виде произведения степеней:

    168=2³х3¹х7¹

    2⁴х3³х5¹х7¹=15120

    НОК (168, 180, 3024) = 15120.


    Рассмотрим три способа нахождения наименьшего общего кратного.

    Нахождение путём разложения на множители

    Первый способ заключается в нахождении наименьшего общего кратного путём разложения данных чисел на простые множители.

    Допустим, нам требуется найти НОК чисел: 99, 30 и 28. Для этого разложим каждое из этих чисел на простые множители:

    Чтобы искомое число делилось на 99, на 30 и на 28, необходимо и достаточно, чтобы в него входили все простые множители этих делителей. Для этого нам необходимо взять все простые множители этих чисел в наибольшей встречающейся степени и перемножить их между собой:

    2 2 · 3 2 · 5 · 7 · 11 = 13 860

    Таким образом, НОК (99, 30, 28) = 13 860. Никакое другое число меньше 13 860 не делится нацело на 99, на 30 и на 28.

    Чтобы найти наименьшее общее кратное данных чисел, нужно разложить их на простые множители, затем взять каждый простой множитель с наибольшим показателем степени, с каким он встречается, и перемножить эти множители между собой.

    Так как взаимно простые числа не имеют общих простых множителей, то их наименьшее общее кратное равно произведению этих чисел. Например, три числа: 20, 49 и 33 — взаимно простые. Поэтому

    НОК (20, 49, 33) = 20 · 49 · 33 = 32 340.

    Таким же образом надо поступать, когда отыскивается наименьшее общее кратное различных простых чисел. Например, НОК (3, 7, 11) = 3 · 7 · 11 = 231.

    Нахождение путём подбора

    Второй способ заключается в нахождении наименьшего общего кратного путём подбора.

    Пример 1. Когда наибольшее из данных чисел делится нацело на другие данные числа, то НОК этих чисел равно большему из них. Например, дано четыре числа: 60, 30, 10 и 6. Каждое из них делится нацело на 60, следовательно:

    НОК (60, 30, 10, 6) = 60

    В остальных случаях, чтобы найти наименьшее общее кратное используется следующий порядок действий:

    1. Определяем наибольшее число из данных чисел.
    2. Далее находим числа, кратные наибольшему числу, умножая его на натуральные числа в порядке их возрастания и проверяя делятся ли на полученное произведение остальные данные числа.

    Пример 2. Дано три числа 24, 3 и 18. Определяем самое большое из них — это число 24. Далее находим числа кратные 24, проверяя делится ли каждое из них на 18 и на 3:

    24 · 1 = 24 — делится на 3, но не делится на 18.

    24 · 2 = 48 — делится на 3, но не делится на 18.

    24 · 3 = 72 — делится на 3 и на 18.

    Таким образом, НОК (24, 3, 18) = 72.

    Нахождение путём последовательного нахождения НОК

    Третий способ заключается в нахождении наименьшего общего кратного путём последовательного нахождения НОК.

    НОК двух данных чисел равно произведению этих чисел, поделённого на их наибольший общий делитель.

    Пример 1. Найдём НОК двух данных чисел: 12 и 8. Определяем их наибольший общий делитель: НОД (12, 8) = 4. Перемножаем данные числа:

    Делим произведение на их НОД:

    Таким образом, НОК (12, 8) = 24.

    Чтобы найти НОК трёх и более чисел используется следующий порядок действий:

    1. Сначала находят НОК каких-нибудь двух из данных чисел.
    2. Потом, НОК найденного наименьшего общего кратного и третьего данного числа.
    3. Затем, НОК полученного наименьшего общего кратного и четвёртого числа и т. д.
    4. Таким образом поиск НОК продолжается до тех пор, пока есть числа.

    Пример 2. Найдём НОК трёх данных чисел: 12, 8 и 9. НОК чисел 12 и 8 мы уже нашли в предыдущем примере (это число 24). Осталось найти наименьшее общее кратное числа 24 и третьего данного числа — 9. Определяем их наибольший общий делитель: НОД (24, 9) = 3. Перемножаем НОК с числом 9:

    Делим произведение на их НОД:

    Таким образом, НОК (12, 8, 9) = 72.

    Наименьшее общее кратное двух чисел непосредственно связано с наибольшим общим делителем этих чисел. Эта связь между НОД и НОК
    определяется следующей теоремой.

    Теорема.

    Наименьшее общее кратное двух положительных целых чисел a
    и b
    равно произведению чисел a
    и b
    , деленному на наибольший общий делитель чисел a
    и b
    , то есть, НОК(a, b)=a·b:НОД(a, b)
    .

    Доказательство.

    Пусть М
    – какое-нибудь кратное чисел a
    и b
    . То есть, М
    делится на a
    , и по определению делимости существует некоторое целое число k
    такое, что справедливо равенство M=a·k
    . Но М
    делится и на b
    , тогда a·k
    делится на b
    .

    Обозначим НОД(a, b)
    как d
    . Тогда можно записать равенства a=a 1 ·d
    и b=b 1 ·d
    , причем a 1 =a:d
    и b 1 =b:d
    будут взаимно простыми числами . Следовательно, полученное в предыдущем абзаце условие, что a·k
    делится на b
    , можно переформулировать так: a 1 ·d·k
    делится на b 1 ·d
    , а это в силу свойств делимости эквивалентно условию, что a 1 ·k
    делится на b 1
    .

    Также нужно записать два важных следствия из рассмотренной теоремы.

      Общие кратные двух чисел совпадают с кратными их наименьшего общего кратного.

      Это действительно так, так как любое общее кратное M
      чисел a
      и b
      определяется равенством M=НОК(a, b)·t
      при некотором целом значении t
      .

      Наименьшее общее кратное взаимно простых положительных чисел a
      и b
      равно их произведению.

      Обоснование этого факта достаточно очевидно. Так как a
      и b
      взаимно простые, то НОД(a, b)=1
      , следовательно, НОК(a, b)=a·b:НОД(a, b)=a·b:1=a·b
      .

    Наименьшее общее кратное трех и большего количества чисел

    Нахождение наименьшего общего кратного трех и большего количества чисел можно свести к последовательному нахождению НОК двух чисел. Как это делается, указано в следующей теореме.a 1 , a 2 , …, a k
    совпадают с общими кратными чисел m k-1
    и a k
    , следовательно, совпадают с кратными числа m k
    . А так как наименьшим положительным кратным числа m k
    является само число m k
    , то наименьшим общим кратным чисел a 1 , a 2 , …, a k
    является m k
    .

    Список литературы.

    • Виленкин Н.Я. и др. Математика. 6 класс: учебник для общеобразовательных учреждений.
    • Виноградов И.М. Основы теории чисел.
    • Михелович Ш.Х. Теория чисел.
    • Куликов Л.Я. и др. Сборник задач по алгебре и теории чисел: Учебное пособие для студентов физ.-мат. специальностей педагогических институтов.

    Примеры известных алгоритмов

    Примеры известных алгоритмов

    Алгоритм Евклида (нахождение наибольшего общего делителя)

    Алгоритм Евклида – это алгоритм нахождения наибольшего общего делителя (НОД) пары целых чисел.
    Наибольший общий делитель (НОД) – это число, которое делит без остатка два числа и делится само без остатка на любой другой делитель данных двух чисел. Проще говоря, это самое большое число, на которое можно без остатка разделить два числа, для которых ищется НОД.

    Описание алгоритма нахождения НОД делением
    1. Большее число делим на меньшее.
    2. Если делится без остатка, то меньшее число и есть НОД (следует выйти из цикла).
    3. Если есть остаток, то большее число заменяем на остаток от деления.
    4. Переходим к пункту 1.

    Пример:
    Найти НОД для 30 и 18.
    30/18 = 1 (остаток 12)
    18/12 = 1 (остаток 6)
    12/6 = 2 (остаток 0). Конец: НОД – это делитель. НОД (30, 18) = 6

    Перебор делителей («тестирование простоты»)

    Перебор делителей – это алгоритм, предназначенный для определения, какое число перед нами: простое или составное.
    Алгоритм заключается в последовательном делении заданного натурального числа на все целые числа, начиная с двойки и заканчивая значением меньшим или равным квадратному корню тестируемого числа. Если хотя бы один делитель делит тестируемое число без остатка, то оно является составным. Если у тестируемого числа нет ни одного делителя, делящего его без остатка, то такое число является простым.

    Решето Эратосфена — алгоритм определения простых чисел

    Решето Эратосфена – это алгоритм нахождения простых чисел до заданного числа n. В процессе выполнения данного алгоритма постепенно отсеиваются составные числа, кратные простым, начиная с 2.

    Наибольший общий делитель — правила, алгоритмы и примеры нахождения НОД

    Понятие НОД


    Определение, что такое НОД в математике, звучит следующим образом: наибольший делитель, общий для чисел a и b, есть такое наибольшее число, на которое описанные значения смогут разделиться без остатка.


    Для наилучшего понимания того, как найти НОД двух чисел, вместо указанных переменных достаточно подставлять простые числа, например, 12 и 9. То есть самым наименьшим делимым числом для 12 и 9 является то, которое позволяет найти решение без остатка.


    Задача по нахождению НОД может решаться тремя способами. Каждый из них применяется в зависимости от того, насколько быстро требуется найти необходимый показатель:

    1. Первый метод схож с алгоритмом Евклида для нахождения НОД. Он достаточно трудоемкий и канонический. Необходимо искать все возможные делители, а через них — наибольший делитель, являющийся общим для значений. Если выписывать все показатели, на которые поделятся 12 и 9, наибольшим окажется 3.
    2. Второй способ предполагает разложение пары чисел на простые множители и перемножение наибольших из них между собой.
    3. Суть следующего способа: компоненты, которые подлежат поиску наибольшего общего делителя, начинают раскладывать на простые множители. Это значит, что из разложения первого нужно вычеркнуть множители, какие не попадают во второе значение. Остальные показатели в первом разложении перемножаются и оказываются НОД.


    Лучше всего рассматривать применение указанных методов через определенный класс задач, которые помогают при дальнейшем изучении теорем, касающихся дробей. Формулы для указанной темы очень доступны для понимания ученикам и учителям.

    Метод разложения


    Суть второй методики заключается в разложении на простые множители и перемножении общих из них. В качестве примера можно рассмотреть представление НОД для показателей 18 и 24:

    1. Оба параметра раскладываются на множители — 24 на 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, а 18 на 1, 2, 3, 6, 9, 18. Происходит поиск общих значений.
    2. Необходимо перемножать между собой общие множители. Если есть риск запутаться, то стоит подчеркивать общие значения.
    3. В результате поиска соотношений выделяют в качестве общих значений 2 и 3. После перемножения они дают число 6. Именно это линейное число и считается наибольшим объединенным делителем.


    Способ является достаточно простым. Однако из-за некоторого объема операций можно оказаться в сложной ситуации с поиском общих делителей, поэтому следует рассмотреть еще один способ.

    Вычеркивание показателей


    Для третьей методики характерно вычеркивание из разложения тех показателей, которые не проходят во второе число. Есть такие виды НОД, которые могут сильно отличаться, но все равно позволяют найти нужный показатель. Например, нужно найти наибольший делитель для значений 28 и 16:

    1. Сначала раскладывают оба параметра на простые множители. Для 28 таковыми считаются 1, 2, 4, 7, 14, 28, для 16 это 1, 2, 4, 8,16.
    2. Из разложения первого объекта по формуле следует вычеркнуть показатель 7, так как он не входит в группу делителей второго.
    3. После перемножения наибольшим делителем оказывается 4. Проверка в виде деления на него 28 и 16 показывает, что именно он и является нужным НОДом.


    Аналогично можно отыскать для других значений, например, 100 и 40. После разложения из первого перечеркивается лишняя пятерка. Перемножение дает 20, который после поверки оказывается наибольшим делителем.

    Несколько значений


    Несмотря на кажущуюся сложность, доказать, что возможно найти НОД для нескольких чисел без помощи онлайн-калькуляторов, вполне реально. Значения, подлежащие поиску, необходимо разложить на множители. После чего ищется произведение общих простейших множителей.


    Есть такие числа как 18, 24 и 36. Разложение 18 дает такие коэффициенты как 1, 2, 3, 6, 9 и 18. Затем 24 и 36 необходимо править по аналогичному методу. Если составить таблицу, то можно найти следующие общие показатели в виде 2 и 3. Они считаются общими для всех трех чисел.


    Перемножив между собой, получается делимое число 6. Оно также подходит под разложение 18, 24 и 36, а также считается наибольшим общим делителем для всех трех параметров. Аналогичный принцип срабатывает и для четырех и более чисел, когда потребуется найти делитель на любом уровне сложности вплоть до максимального.

    Наименьшее общее кратное


    Помимо НОД, существует еще и наименьшее общее кратное, или НОК. Если сказать по-другому, то таковым свойством можно считать число, которое без остатка будет разделяться на число a и число b.


    Как и для НОД, поиск НОК может осуществляться тремя похожими с предшествующими способами. Каждым из них можно воспользоваться в зависимости от ситуации и удобства решения задания:

    • Первый метод достаточно простой и распространенный. Необходимо записать кратные первых чисел, после чего подобрать такое число, чтобы оно являлось общим для всех и наименьшим.
    • Также возможно раскладывать кратные на простые натуральные множители. В этом случае переписываются множители из первого разложения и прибавляются недостающие во второе. Получаемые значения перемножают между собой и получают НОК.
    • Особняком стоит третий метод, который работает при соблюдении определенных условий. Одним из них является то, что НОК ищут для двух чисел, и на предыдущих этапах был найден наибольший общий делитель.


    На последнем методе стоит остановиться несколько подробнее. Он является не только сравнительно менее громоздким, но и обладает определенным преимуществом в виде уже найденного НОД и более простого алгоритма решения.

    Совмещение делителей


    Такая методика характерна для тех примеров, в которых требуется единовременное нахождение НОД и НОК двух чисел. Например, необходимо отыскать для чисел 24 и 12 НОК и НОК. Действовать нужно в следующем порядке:

    • Первым делом нужно найти НОД. Для этого надлежит раскладывать оба числа, отыскать общий показатель 12.
    • После этого 24 и 12 перемножаются между собой. Результатом становится 288.
    • Полученное число требуется разделять на НОД от 24 и 12. Полученный ответ 24 говорит о том, что именно оно является наименьшим общим кратным для 24 и 12.


    Сходный механизм действует и при поиске НОК и НОД исходя из другой пары чисел. В каждом примере необходимо сначала отыскать наибольший делитель, перемножить два числа и получить наименьшее кратное.


    Что касается решения с помощью интернет-ресурсов, то на сегодняшний день имеется много онлайн-калькуляторов и программ, которые дают возможность сравнительно быстро найти НОД и НОК и подсказать грамотные пути решения.


    Нахождение наибольшего делителя и НОК является не только распространенной, но и сравнительно трудной задачей для учеников средней школы. Ведь если не рассмотреть подробно такую тему, то дальнейшее изучение дробей, которые включают в себя числитель и знаменатель, окажется практически невозможным.


    Важно грамотно использовать ресурсы на специальных математических сайтах, где могут подробно и понятно объяснить разложение дробей и нахождение общих делителей. Бояться ошибиться в такой теме не стоит, поскольку при правильном подходе она пройдет достаточно быстро, а вычисление различных по уровню сложности примеров не составит особых сложностей.

    Уравнение узла

    — обзор

    2.5 Теорема Тевенина

    Иногда бывает полезно изолировать часть схемы, чтобы упростить анализ изолированной части схемы, а не писать уравнения цикла или узла для полной схемы и решать их одновременно. Теорема Тевенина позволяет нам изолировать интересующую нас часть схемы. Затем мы заменяем оставшуюся схему простой последовательной эквивалентной схемой, таким образом, теорема Тевенина упрощает анализ.

    Две теоремы выполняют аналогичные функции. Только что описанная теорема Тевенина является первой, а вторая называется теоремой Нортона . Теорема Тевенина используется, когда входным источником является источник напряжения, а теорема Нортона используется, когда входным источником является источник тока. Теорема Нортона используется редко, поэтому ее объяснение предоставляется читателю, чтобы он мог выкопать из учебника, если он когда-либо понадобится.

    Правила теоремы Тевенина начинаются с заменяемого компонента или части схемы.Ссылаясь на рисунок 2.7, снова загляните в клеммы (слева от C и R 3 в направлении точки X X на рисунке) заменяемой цепи. Рассчитайте напряжение холостого хода ( В, TH ), если смотреть на эти клеммы (используйте правило делителя напряжения).

    Рисунок 2.7. Оригинальная схема.

    Посмотрите на клеммы заменяемой цепи, закоротите независимые источники напряжения и рассчитайте полное сопротивление между этими клеммами.Последний шаг — заменить эквивалентную схему Тевенина на деталь, которую вы хотели заменить, как показано на рисунке 2.8.

    Рисунок 2.8. Эквивалентная схема Тевенина для рисунка 2.7.

    Эквивалентная схема Тевенина представляет собой простую последовательную схему, поэтому дальнейшие вычисления упрощаются. Упрощение схемных расчетов часто является достаточной причиной для использования теоремы Тевенина, поскольку оно устраняет необходимость решения нескольких одновременных уравнений. Подробная информация о том, что происходит в цепи, которая была заменена, недоступна при использовании теоремы Тевенина, но это не является следствием, потому что вас это не интересовало.

    В качестве примера теоремы Тевенина давайте вычислим выходное напряжение ( В, OUT ), показанное на рисунке 2.9 (a). Первый шаг — встать на клеммы X Y спиной к выходной цепи и рассчитать видимое напряжение холостого хода ( В, TH ). Это прекрасная возможность использовать правило делителя напряжения для получения уравнения (2.13):

    Рисунок 2.9. Пример эквивалентной схемы Тевенина.

    (2.13) VTH = VR2R1 + R2

    Все еще стоит на клеммах X Y , шаг 2 — это вычисление импеданса, видимого на этих клеммах (замкните источники напряжения). Импеданс Тевенина — это параллельный импеданс R 1 и R 2 , рассчитанный по уравнению (2.14). А теперь сойдите с клемм X Y , прежде чем повредить их своими большими ногами. Шаг 3 заменяет схему слева от X Y эквивалентной схемой Тевенина V TH и R TH .

    (2.14) RTH = R1R2R1 + R2 = R1‖R2

    (Примечание: две параллельные вертикальные полосы (‖) используются для обозначения параллельных компонентов.)

    Последним шагом является расчет выходного напряжения. Обратите внимание, что снова используется правило делителя напряжения. Уравнение (2.15) описывает выходное напряжение, и оно естественно получается в виде ряда делителей напряжения, что имеет смысл. Это еще одно преимущество правила делителя напряжения: ответы обычно приходят в узнаваемой форме, а не в беспорядке коэффициентов и параметров.

    (2.15) VOUT = VTHR4RTH + R3 + R4 = V (R2R1 + R2) R4R1R2R1 + R2 + R3 + R4

    Анализ схемы выполнен в сложном виде на рисунке 2.10, поэтому вы можете увидеть преимущества использования теоремы Тевенина. . Цепи назначены два тока контура: I 1 и I 2 . Затем записываются уравнения цикла (2.16) и (2.17):

    Рисунок 2.10. Анализ проделан на собственном горьком опыте.

    (2,16) V = I1 (R1 + R2) −I2R2

    (2,17) I2 (R2 + R3 + R4) = I1R2

    Уравнение (2.17) переписывается как Уравнение (2.18) и подставляется в Уравнение (2.16) для получения Уравнения (2.19):

    (2.18) I1 = I2R2 + R3 + R4R2

    (2.19) V = I2 (R2 + R3 + R4R2) (R1 + R2) −I2R2

    Члены перегруппированы в уравнении (2.20). Закон Ома используется для записи уравнения (2.21), а заключительные замены производятся в уравнении (2.22).

    (2,20) I2 = VR2 + R3 + R4R2 (R1 + R2) −R2

    (2,21) VOUT = I2R4

    (2,22) VOUT = VR4 (R2 + R3 + R4) (R1 + R2) R2 − R2

    Это много лишней работы без всякой выгоды.Кроме того, ответ не в удобной для использования форме, потому что делители напряжения не распознаются. Следовательно, требуется больше алгебры, чтобы получить ответ в удобной для использования форме.

    Что такое узловой анализ? Пошаговый анализ

    Определение узлового анализа

    Узловой анализ — это метод, который обеспечивает общую процедуру анализа схем с использованием узловых напряжений в качестве переменных схемы. Узловой анализ также называется методом узлового напряжения .
    Некоторые особенности узлового анализа:

    • Узловой анализ основан на применении Закона Кирхгофа (KCL).
    • Имея «n» узлов, придется решать «n-1» одновременных уравнений.
    • Решая «n-1» уравнения, можно получить напряжения всех узлов.
    • Количество нереференсных узлов равно количеству узловых уравнений, которые могут быть получены.

    Типы узлов в узловом анализе

    • Неопорный узел — это узел, который имеет определенное напряжение узла.например Здесь Узел 1 и Узел 2 — это нереференсные узлы.
    • Опорный узел — это узел, который действует как опорная точка для всех остальных узлов. Его также называют Datum Node.

    Типы опорных узлов

    1. Заземление шасси — Этот тип опорного узла действует как общий узел для более чем одной цепи.
    2. Заземление — Когда потенциал земли используется в качестве эталона в любой цепи, этот тип эталонного узла называется заземлением.

    Решение схемы с использованием узлового анализа

    Основные шаги, используемые в узловом анализе
    1. Выберите узел в качестве опорного узла.Назначьте напряжения V 1 , V 2 … V n-1 для остальных узлов. Напряжения указаны относительно опорного узла.
    2. Примените KCL к каждому из неопорных узлов.
    3. Используйте закон Ома, чтобы выразить токи ответвления через узловые напряжения.

    Узел Всегда предполагает, что ток течет от более высокого потенциала к более низкому потенциалу в резисторе. Следовательно, ток выражается следующим образом:

    IV. После применения закона Ома получите узловые уравнения n-1 в терминах узловых напряжений и сопротивлений.

    В. Решите уравнения узлов n-1 для значений узловых напряжений и в результате получите требуемые узловые напряжения.

    Узловой анализ с источниками тока

    Узловой анализ с источниками тока очень прост и обсуждается на примере ниже.

    Пример: вычисление узловых напряжений в следующей схеме

    В следующей схеме у нас есть 3 узла, из которых один является опорным узлом, а два других не являются опорными узлами — Узел 1 и Узел 2.

    Шаг I. Назначьте напряжения узлов как v 1 и 2 , а также отметьте направления токов ответвления относительно опорных узлов

    Шаг II. Примените KCL к узлам 1 и 2
    KCL на узле 1
    KCL на узле 2
    Шаг III. Примените закон Ома к уравнениям KCL
    • Закон Ома к уравнению KCL в узле 1

    Упрощая приведенное выше уравнение, мы получаем

    • Теперь закон Ома к уравнению KCL в узле 2

    Упрощая приведенное выше уравнение, мы получаем

    Шаг IV .Теперь решите уравнения 3 и 4, чтобы получить значения v 1 и v 2 as,
    Используя метод исключения

    И подставив значение v 2 = 20 В в уравнение (3), мы получаем:

    Следовательно напряжения узлов: v 1 = 13,33 В и v 2 = 20 В.

    Узловой анализ с источниками напряжения

    Случай I. Если источник напряжения подключен между эталонным узлом и не эталонным узлом, мы просто устанавливаем напряжение в не эталонном узле равным напряжению источника напряжения и его анализа можно сделать так же, как и с текущими источниками.v 1 = 10 Вольт.

    Дело II. Если источник напряжения находится между двумя не опорными узлами, то он образует суперузл, анализ которого выполняется следующим образом:

    Анализ надузла

    Определение суперузла

    Всякий раз, когда источник напряжения (независимый или зависимый) подключается между двумя неопорными узлами. узлов, то эти два узла образуют обобщенный узел, называемый Супер узлом. Таким образом, суперузел можно рассматривать как поверхность, охватывающую источник напряжения и два его узла.

    На приведенном выше рисунке источник 5 В подключен между двумя нереференсными узлами Узел 2 и Узел 3. Итак, здесь Узел 2 и Узел 3 образуют Супер узел.

    Свойства надузла
    • На надузле всегда известна разница между напряжением двух неопорных узлов.
    • Суперузел не имеет собственного напряжения
    • Суперузл требует применения как KCL, так и KVL для его решения.
    • Любой элемент может быть подключен параллельно источнику напряжения, образующему суперузл.
    • Надузел удовлетворяет KCL как простой узел.
    Как решить любую схему, содержащую надузел

    Давайте рассмотрим пример, чтобы понять, как решить схему, содержащую надузел

    Здесь источник напряжения 2 В подключен между узлом-1 и узлом-2, и он образует надузел с резистором 10 Ом. в параллели.
    Примечание. Любой элемент, подключенный параллельно источнику напряжения, образующему суперузел, не имеет никакого значения, потому что v 2 — v 1 = 2 В всегда, независимо от номинала резистора.Таким образом, можно удалить 10 Ом, перерисовать схему и применить KCL к суперузлу, как показано на рисунке, дает

    , выражая и в терминах узловых напряжений.

    Из уравнений 5 и 6 мы можем записать как

    Следовательно, v 1 = — 7,333 В и v 2 = — 5,333 В, что является необходимым ответом.

    4. Алгоритмы поиска пути и графа

    Кратчайший путь (взвешенный) с Apache Spark

    В разделе «Поиск в ширину с Apache Spark» мы узнали, как найти кратчайший путь между двумя узлами.Этот кратчайший путь был основан на переходах и поэтому не совпадает с кратчайшим путем с взвешиванием , который дает нам кратчайшее общее расстояние между городами.

    Если мы хотим найти кратчайший взвешенный путь (в данном случае расстояние), нам нужно использовать свойство cost , которое используется для различных типов взвешивания.
    Этот параметр недоступен по умолчанию для GraphFrames, поэтому нам нужно написать собственную версию Weighted Shortest Path, используя его структуру aggregateMessages .В большинстве наших примеров алгоритмов для Spark используется более простой процесс вызова алгоритмов из библиотеки, но у нас есть возможность писать свои собственные функции.
    Более подробную информацию о aggregateMessages можно найти в разделе «Передача сообщений через AggregateMessages» руководства пользователя GraphFrames.

    Наконечник

    По возможности мы рекомендуем использовать уже существующие протестированные библиотеки.
    Написание собственных функций, особенно для более сложных алгоритмов, требует более глубокого понимания наших данных и расчетов.

    Следующий пример следует рассматривать как эталонную реализацию, и его необходимо оптимизировать перед запуском на более крупном наборе данных.
    Те, кто не заинтересован в написании собственных функций, могут пропустить этот пример.

    Перед тем, как создать нашу функцию, мы импортируем несколько библиотек, которые мы будем использовать:

      из   graphframes.lib   import   AggregateMessages   as   AM 
      из   pyspark.sql   импорт   функции   как   F  

    Модуль aggregateMessages является частью библиотеки GraphFrames и содержит несколько полезных вспомогательных функций.

    Теперь напишем нашу функцию.
    Сначала мы создаем определяемую пользователем функцию, которую будем использовать для построения путей между нашим источником и местом назначения:

      add_path_udf   =   F  .   udf   (  лямбда   путь  ,   id  :   путь   +   [  id  ],           ))  

    А теперь о главной функции, которая вычисляет кратчайший путь, начиная с исходной точки и возвращается, как только пункт назначения был посещен:

      def   short_path   (  g  ,   origin  ,   destination  ,   column_name   =   "cost"  ):  
          если   г  .  вершина  .   фильтр   (  g  .   вершины  .   id   ==   назначение  )  .   счетчик   ()   ==   0  : 
              возврат   (  искра  .   createDataFrame   (  sc  .   emptyRDD   (),   g  .  вершина  .   схема  ) 
                     .   withColumn   (  «путь»  ,   F  .   массив   ())) 
    
          вершины   =   (  g  .   вершины  .   withColumn   (  "посещенный"        F       False )) 
                     .  withColumn   (  "расстояние"  ,   F  .   при   (  g  .   вершины               происхождение  ,   0  ) 
                                 .   иначе   (  float   (  "inf"  ))) 
                     .  withColumn   (  «путь»  ,   F  .   массив   ())) 
          cached_vertices   =   AM  .   getCachedDataFrame   (  вершины  ) 
          g2   =   GraphFrame   (  cached_vertices  ,   g  .   ребра  ) 
    
         , а   g2  .  вершина  .   фильтр   (  'посещено == False'  )  .   первый   (): 
              current_node_id   =   g2  .   вершина  .   фильтр   (  'посещено == False'  )  .   сорт 
                                                  (  «дистанция»  )  .  первый   ()  .   id 
    
              msg_distance   =   AM  .   край   [  имя_столбца  ]   +   AM  .   src   [  'расстояние'  ] 
              msg_path   =   add_path_udf   (  AM  .   src   [  «путь»  ],   AM  .  src   [  "id"  ]) 
              msg_for_dst   =   F  .   при   (  AM  .   src   [  'id'  ]   ==   current_node_id  , 
                                   Ф  .   struct   (  msg_distance  ,   msg_path  )) 
              new_distances   =   g2  .  aggregateMessages   (  F  .   min   (  AM  .   msg  )  .   alias   alias   (псевдоним  )
                                                   sendToDst   =   msg_for_dst  ) 
    
              new_visited_col   =   F  .   когда   (
                  г2  .  вершина  .   посетил   |   (  g2  .   вершины  .   id   ==   current_node_id  ), 
                                                      Истинно  )  .   иначе   (  Ложь  ) 
              new_distance_col   =   F  .  , когда   (  new_distances   [  "aggMess"  ]  .  isNotNull   ()   и 
                                       (  new_distances  .   agMess   [  "col1"  ] 
                                       <  g2  .   вершина  .   расстояние  ), 
                                       новые_дистанции  .   агМесса   [  "col1"  ]) 
                                      .  иначе   (  g2  .   вершины  .   расстояние  ) 
              new_path_col   =   F  .  , когда   (  new_distances   [  «aggMess»  ]  .   isNotNull   ()   & 
                             (  new_distances  .   agMess   [  "col1"  ] 
                             <  g2  .  вершина  .   расстояние  ),   new_distances  .   агМесса   [  «col2»  ] 
                            .   отливка   (  "массив <строка>"  ))  .   иначе   (  g2  .   вершины  .   путь  ) 
    
              new_vertices   =   (  g2  .  вершина  .   присоединиться   (  new_distances  ,   на   =   "id"  , 
                                               как   =   "left_outer"  ) 
                             .   drop   (  new_distances   [  "id"  ]) 
                             .   withColumn   (  "посещено"  ,   new_visited_col  ) 
                             .  withColumn   (  "newDistance"  ,   new_distance_col  ) 
                             .   withColumn   (  "newPath"  ,   new_path_col  ) 
                             .   падение   (  «агМесс»  ,   «расстояние»  ,   «путь»  ) 
                             .  withColumn Переименовано   (  'newDistance'  ,   'distance'  ) 
                             .   withColumn Переименовано   (  'newPath'  ,   'path'  )) 
              cached_new_vertices   =   AM  .   getCachedDataFrame   (  new_vertices  ) 
              g2   =   GraphFrame   (  cached_new_vertices  ,   g2  .  кромки  ) 
             , если   g2  .   вершина  .   фильтр   (  g2  .   вершины  .   id   ==   назначение  )  .   первый   ()  .   посетил  : 
                  возвращает   (  g2  .   вершины  .  фильтр   (  g2  .   вершины  .   id   ==   назначение  ) 
                         .   withColumn   (  «newPath»  ,   add_path_udf   (  «путь»  ,   «id»  )) 
                         .   drop   (  «посещенный»  ,   «путь»  ) 
                         .  withColumnПереименован   (  "newPath"  ,   "путь"  )) 
          возврат   (  искра  .   createDataFrame   (  sc  .   пустойRDD   (),   g         
                 .   со столбцом   (  «путь»  ,   F  .  массив   ()))  
    Предупреждение

    Если мы храним ссылки на какие-либо DataFrames в наших функциях, нам необходимо кэшировать их с помощью функции AM.getCachedDataFrame , иначе мы столкнемся с утечкой памяти во время выполнения.
    В функции shorttest_path мы используем эту функцию для кэширования вершин и new_vertices DataFrames.

    Если бы мы хотели найти кратчайший путь между Амстердамом и Колчестером, мы могли бы назвать эту функцию так:

      результат   =   short_path   (  g  ,   "Amsterdam"  ,   "Colchester"  ,   "cost"  )  )
      счет  .  выберите   (  "id"  ,   "расстояние"  ,   "путь"  )  .   показать   (  усечь   =   Ложь  )  

    , который вернет следующий результат:

    id расстояние путь

    Колчестер

    347,0

    [Амстердам, Ден Хааг, Хук ван Холланд, Феликстоу, Ипсвич, Колчестер]

    Общее расстояние кратчайшего пути между Амстердамом и Колчестером составляет 347 км и проходит через Ден Хааг, Хук ван Холланд, Феликстоу и Ипсвич.Напротив, кратчайший путь с точки зрения количества взаимосвязей между местоположениями, который мы разработали с помощью алгоритма поиска в ширину (вернитесь к рис. 4-4), приведет нас через Иммингем, Донкастер и Лондон.

    Расчет высоты двоичного дерева

    Мы начинаем новую область компьютерных наук. Если у вас есть несколько лет опыта в области компьютерных наук или исследований, и вы заинтересованы в том, чтобы поделиться этим опытом с сообществом (и, конечно же, получать деньги за свою работу), загляните на страницу «Напишите для нас».Ура, Евгений

    1. Обзор

    В этом руководстве, , мы обсудим, как найти высоту двоичного дерева на примере.

    2. Определение

    Начнем с определения высоты двоичного дерева.

    Высота узла в двоичном дереве - это наибольшее количество ребер на пути от конечного узла к целевому узлу. Если к целевому узлу не подключены никакие другие узлы, высота этого узла будет равна.Высота двоичного дерева - это высота корневого узла всего двоичного дерева. Другими словами, высота двоичного дерева равна наибольшему количеству ребер от корня до самого дальнего листового узла.

    Аналогичное понятие в двоичном дереве - это глубина дерева. Глубина узла в двоичном дереве - это общее количество ребер от корневого узла до целевого узла. Точно так же глубина двоичного дерева - это общее количество ребер от корневого узла до самого дальнего листового узла.

    Одно важное наблюдение здесь заключается в том, что , когда мы вычисляем глубину всего двоичного дерева, она эквивалентна высоте двоичного дерева.

    3. Пример

    Возьмем двоичное дерево:

    Во-первых, мы вычисляем высоту узла. Итак, согласно определению, высота узла - это наибольшее количество ребер на пути от листового узла к узлу. Мы видим, что для узла есть два пути: и. Наибольшее количество ребер среди этих двух путей будет.Следовательно, высота узла равна.

    Теперь давайте посчитаем высоту двоичного дерева. От корня мы можем иметь три разных пути, ведущих к листовым узлам:, и. Среди этих трех путей путь содержит наибольшее количество ребер. Следовательно, высота дерева .

    Далее мы хотим найти глубину узла. Теперь мы видим, что от корня есть только один путь к узлу, и у него одно ребро. Следовательно, глубина узла равна.Глубина двоичного дерева равна высоте дерева. Следовательно, глубина двоичного дерева равна .

    4. Алгоритм

    Теперь мы знаем определение высоты двоичного дерева. Давайте посмотрим на алгоритм определения высоты двоичного дерева:

    Мы начинаем алгоритм, беря корневой узел в качестве входного. Затем мы вычисляем высоту левого и правого дочерних узлов корня. Если у корня нет дочернего узла, мы возвращаем высоту дерева как.

    Мы рекурсивно вызываем все узлы из левого и правого поддерева корневого узла, чтобы вычислить высоту двоичного дерева. Наконец, когда мы вычисляем высоту левого и правого поддерева, мы берем максимальную высоту из обоих и добавляем к ней единицу. Число, возвращаемое алгоритмом, будет высотой двоичного дерева.

    5. Анализ сложности времени

    В лучшем случае у нас может быть только один узел в двоичном дереве. В таком случае мы выполняем только первое условие алгоритма, когда корень null , и возвращаем высоту дерева как. Здесь временная сложность будет .

    Обычно мы вычисляем высоту каждого узла в дереве. Мы вызываем все узлы рекурсивно, вычисляем высоту левого и правого поддерева от корневого узла и, наконец, возвращаем высоту всего двоичного дерева. Следовательно, мы посещаем все узлы в дереве.

    Рассмотрим количество узлов в двоичном дереве. Следовательно, временная сложность будет .

    6.Вывод

    В этом уроке мы обсудили, как вычислить высоту двоичного дерева. Мы представили рекурсивный алгоритм и анализ временной сложности, необходимой для алгоритма.

    физическая химия - Что такое угловые и радиальные узлы?

    В принятом ответе есть красивые картинки, но есть пара небольших фактических неточностей в последнем абзаце. Вот еще немного математики, чтобы проиллюстрировать, что происходит.

    Атомные орбитали, которые являются одноэлектронными волновыми функциями, делятся на две составляющие: радиальную и угловую волновые функции

    $$ \ psi_ {nlm} (r, \ theta, \ phi) = R_ {nl} (r) Y_ {lm} (\ theta, \ phi) $$

    так называемые, потому что они имеют только радиальную ($ r $) и угловую ($ \ theta $, $ \ phi $) зависимости соответственно.* \ psi $) также равен нулю.

    Радиальный узел возникает, когда радиальная волновая функция равна нулю. Поскольку радиальная волновая функция зависит только от $ r $, это означает, что каждый радиальный узел соответствует одному конкретному значению $ r $. (Радиальная волновая функция может быть равна нулю, когда $ r = 0 $ или $ r \ to \ infty $, но они не считаются радиальными узлами.)

    Аналогично, угловой узел - это просто область, где угловая волновая функция равна нулю. * В случае p-орбиталей это плоскость. Однако угловые узлы не обязательно , обязательно должны быть плоскостями, как мы увидим позже.

    Количество радиальных и угловых узлов определяется формами волновых функций, которые выводятся путем решения уравнения Шредингера. Для данной орбитали с квантовыми числами $ (n, l) $ существует $ n-l-1 $ радиальных узлов и $ l $ угловых узлов, как описано ранее.

    Пример

    Давайте взглянем на одну из волновых функций водорода 3d с $ (n, l) = (3,2) $. $ a_0 $ - боровский радиус атома водорода. Мы ожидаем $ 3-2-1 = 0 $ радиальных узлов и $ 2 $ угловых узлов.\ circ $. Оба эти решения представляют собой угловые узлы. Вот как они выглядят:

    Пунктирные линии - угловые узлы. Это не самолеты, а скорее конусов . Они соответствуют одному конкретному значению $ \ theta $, которое в сферических координатах представляет собой угол, образованный положительной осью $ z $; Эти углы я обозначил на схеме. 2} $ - исключение, которое было специально выбрано в качестве примера, потому что его угловые узлы не являются плоскостями.

    Обнаружение смежных узлов и краев | Модель графа

    Часто бывает важно найти ребра, которые соединяются с данным узлом.
    и узлы, которые соединяются с противоположными концами этих краев.

    Пример графа

    IGraph предоставляет набор методов для подсчета и поиска как входящих, так и исходящих ребер.
    владельца порта, а также все грани инцидента независимо от их направления.

    степень (владелец: IPortOwner): номер
    Подсчитывает ребра, которые начинаются или заканчиваются у данного владельца порта (узла или края).В примере узел A имеет степень 3.
    EdgeAt (владелец: IPortOwner, тип: AdjacencyTypes): IListEnumerable
    Возвращает перечислимое число со всеми ребрами, которые начинаются или заканчиваются у данного владельца порта (узла или ребра).
    В примере ребра в узле A - это Edge 1, Edge 2 и Edge 3.
    inDegree (владелец: IPortOwner): номер
    Подсчитывает ребра, которые заканчиваются у данного владельца порта (узла или края).
    В примере узел A имеет входную степень 1.
    inEdgesAt (владелец: IPortOwner): IListEnumerable
    Возвращает перечислимое число со всеми краями, которые заканчиваются у данного владельца порта (узла или края).В этом примере входящее ребро узла A - Edge 1.
    outDegree (владелец: IPortOwner): номер
    Подсчитывает ребра, которые начинаются у данного владельца порта (узла или края).
    В примере узел A имеет исходную степень 2.
    outEdgesAt (владелец: IPortOwner): IListEnumerable
    Возвращает перечислимое число со всеми ребрами, которые начинаются у данного владельца порта (узла или ребра).
    В этом примере исходящие ребра в узле A - это Edge 2 и Edge 3.

    Те же методы доступны и для портов:

    outDegree (порт: IPort): номер
    inDegree (порт: IPort): номер
    градуса (порт: IPort): номер
    Подсчитывает ребра, которые начинаются, заканчиваются или начинаются или заканчиваются на данном порте.
    outEdgesAt (порт: IPort): IListEnumerable
    inEdgesAt (порт: IPort): IListEnumerable
    EdgeAt (порт: IPort, тип: AdjacencyTypes): IListEnumerable
    Возвращает перечислимое число со всеми ребрами, которые начинаются, заканчиваются или начинаются или заканчиваются у данного владельца порта (узла или ребра).

    Дальнейший анализ можно выполнить, используя следующие методы, которые позволяют найти узлы, которые подключаются к другому концу
    инцидентных ребер в данном узле:

    соседей (узел: INode): IEnumerable
    Возвращает перечислимое число с владельцами противоположных портов всех ребер, которые начинаются или заканчиваются у данного владельца порта.Соседями узла A являются узлы B, C и D.
    преемников (узел: INode): IEnumerable
    Возвращает перечислимое число с владельцами целевых портов всех ребер, которые начинаются с данного владельца порта.
    Наследниками узла A являются узлы C и D.
    предшественники (узел: INode): IEnumerable
    Возвращает перечислимое число с владельцами исходных портов всех ребер, которые заканчиваются у данного владельца порта.
    Предшественником узла A является узел B.

    yFiles for HTML Complete обеспечивает поддержку более сложного анализа графов, такого как DFS и анализ связности.
    Глава «Анализ графов» знакомит с алгоритмами анализа графов, предоставляемыми yFiles для HTML.

    Паттернов - Neo4j Cypher Manual

    Сопоставление с образцом переменной длины в версиях 2.1.x и более ранних не обеспечивает уникальность отношений для образцов, описанных в одном предложении MATCH .Это означает, что следующий запрос: MATCH (a) - [r] -> (b), p = (a) - [] -> (c) RETURN *, Relations (p) AS rs может включать r как часть набора rs .
    Это поведение было изменено в версиях 2.2.0 и более поздних, так что r будет исключен из набора результатов, поскольку это лучше соответствует правилам уникальности отношений, как описано здесь сопоставление пути Cypher.
    Если у вас есть шаблон запроса, который должен восстанавливать отношения, а не игнорировать их, как обычно диктуют правила уникальности отношений, вы можете выполнить это, используя несколько предложений сопоставления, как показано ниже: MATCH (a) - [r] -> (b) MATCH p = (a) - [] -> (c) ВОЗВРАТ *, отношения (p) .Это будет работать во всех версиях Neo4j, которые поддерживают предложение MATCH , а именно 2.0.0 и новее.

    Вместо описания длинного пути с использованием последовательности из множества описаний узлов и взаимосвязей в шаблоне, многие взаимосвязи (и промежуточные узлы) могут быть описаны путем указания длины в описании взаимосвязи шаблона.
    Например:

    Это описывает граф из трех узлов и двух отношений, все в одном пути (путь длиной 2).Это эквивалентно:

    Также можно указать диапазон длин: такие шаблоны отношений называются «отношениями переменной длины».
    Например:

    Это минимальная длина 3 и максимальная 5.
    Он описывает граф либо из 4 узлов и 3 отношений, 5 узлов и 4 отношений, либо из 6 узлов и 5 отношений, соединенных вместе одним путем.

    Любую границу можно не указывать. Например, чтобы описать пути длиной 3 или более, используйте:

    Для описания путей длиной 5 или меньше используйте:

    Обе границы могут быть опущены, что позволяет описывать пути любой длины:

    В качестве простого примера возьмем график и запрос ниже:

    Запрос

      МАТЧ (я) - [: ЗНАЕТ * 1..2] - (удаленный_френд)
    ГДЕ me.name = 'Filipa'
    ВОЗВРАТ remote_friend.name  
    Таблица 1. Результат
    remote_friend.name

    «Дилшад»

    «Андерс»

    Рядов: 2

    Этот запрос находит данные в графе, форма которых соответствует шаблону: в частности, узел (со свойством имени 'Filipa' ), а затем связанные узлы KNOWS , находящиеся на расстоянии одного или двух прыжков.

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован.