Решение квадратного уравнения через дискриминант: § Дискриминант. Решение квадратных уравнений через дискриминант

Содержание

Решение квадратных уравнений. Дискриминант. Формула дискриминанта. ( Дискриминат на 4 и на 1). Теорема Виета. 3 способа.

Квадратным уравнением называется уравнение вида

                 ,

где

x — переменная,

a,b,c — постоянные (числовые) коэффициенты.

В общем случае решение квадратных уравнений сводится к нахождению дискриминанта



Формула дискриминанта: .

       О корнях квадратного уравнения можно судить по знаку дискриминанта (D) :

  • D>0 — уравнение имеет 2 различных вещественных корня
  • D=0 — уравнение имеет 2 совпадающих вещественных корня
  • D<0 — уравнение имеет 2 мнимых корня (для непродвинутых пользователей — корней не имеет)

В общем случае корни уравнения равны:

                 .

Очевидно, в случае с нулевым дискриминантом, оба корня равны

                 .

Если коэффициент при х четный, то имеет смысл вычислять не дискриминант, а четверть дискриминанта:

                

В таком случае корни уравнения вычисляются по формуле:

                

Теорема Виета.

Приведенным квадратным уравнением называется уравнение вида

                ,

то есть квадратное уравнение с единичным коэффициентом при старшем члене.

В этом случае целесообразно применять теорему Виета, которая позволяет получить относительно корней уравнения следующую систему уравнений:

                 .

Следует заметить, что любое квадратное уравнение может стать приведенным, если его поделить на коэффициент при старшем члене, то есть при х2.

Решение полных квадратных уравнений

Покажем, как вывести эти формулы:

Последнюю формулу можно существенно упростить в случае, если b делится на 2, то есть b = 2k. Тогда формула для корней квадратного уравнения будет иметь вид

,
где k =

.

Полученную формулу для корней квадратного уравнения в случае четного коэффициента b можно переписать и без использования буквы k:

или
, где D1 = (

)2 — ac.

Очевидно, полученные формулы для корней полных квадратных уравнений можно использовать и для решения неполных уравнений, хотя проще использовать способы решения неполных квадратных уравнений.

Пример 1. Решить квадратное уравнение 4x2 -28x + 49 = 0.

Решение.

Вычислим дискриминант квадратного трехчлена. У нас a = 4, b = -28, c = 49.

Так как b = -28 — четное число, то вычислим дискриминант D1 :

D1 = (

)2 — ac = (-14)2 — 4*49 = 196 — 196 = 0, следовательно, уравнение имеет единственный корень
x = .

Это уравнение также можно решить без вычисления дискриминанта, преобразовав квадратный трехчлен по формуле сокращенного умножения:

4x2 -28x + 49 = 0 (2x — 7)2 = 0 2x = 7 x =

.

Ответ:

.

Пример 2. Решить уравнение .

Решение.

Приведем к общему знаменателю левую часть уравнения:

Умножив обе части уравнения на -6, получим x2 + 3x = 0. Это неполное квадратное уравнение решим способом разложения на множители:

.

Ответ: -3,0.

Пример 3. Решить уравнение .

Решение.
Приведем к общему знаменателю левую часть и правую части уравнения:

.

Умножив обе части уравнения на 15, получим:

6x2 + 3x = 20x-10 6x2 + 3x — 20x + 10 = 0 6x2 — 17x + 10 = 0.

Вычислим дискриминант квадратного трехчлена: a = 6, b = -17, c = 10,
D = b2 — 4ac = (-17)2 — 4*6*10 = 289 — 240 = 49 > 0, следовательно, уравнение имеет два действительных корня.

Ответ:

, 2.

Пример 4. Решить уравнение .

Решение.

Вычислим дискриминант квадратного трехчлена. У нас a = 1, b = 2√2, c = 1.

Так как b = 2√2, то есть b делится на 2 (

= √2), вычислим дискриминант D1:

D1 = (

)2 — ac = (√2)2 — 1*1 = 1 > 0. Cледовательно, уравнение имеет два действительных корня.

Ответ: -√2-1, -√2+1.

Пример 5. Решить уравнение .

Решение.

Умножим левую и правую части уравнения на 6:

Вычислим дискриминант полученного квадратного трехчлена. У нас a = 3, b = -6, c = 2.

Так как b = -6, то есть b делится на 2 (

= 3), вычислим дискриминант D1:

D1 = (b/2)2 — ac = 32 — 3*2 = 3 > 0. Cледовательно, уравнение имеет два действительных корня.

Ответ:

Квадратное уравнение, корни квадратного уравнения, решение квадратного уравнения.

Квадратное уравнение – что это?

 

Квадратное уравнение – это уравнение, которое имеет вид:

\(ax^2+bx+c=0\)

 

Что такое a, b и с? Это коэффициенты. 2-4ac\),

где D – дискриминант, а a, b, c – коэффициенты квадратного уравнения.

 

Чем конкретно нам может помочь дискриминант?

  1. Если D < 0 – то квадратное уравнение не имеет решений;
  2. Если D = 0 – то уравнение будет иметь только один корень;
  3. Если D > 0 – то уравнение имеет два решения.

То есть благодаря дискриминанту мы будем знать о результате и количестве решений квадратного уравнения.

Итак, мы посчитали, чему равен наш дискриминант, потом определили количество решений уравнения, что дальше? А дальше определяем корни квадратного уравнения по формулам.

  1. В первом случае, когда D < 0, считать ничего не нужно, т.к. уравнение не имеет решений. Это значит, что корней квадратного уравнения на множестве действительных чисел нет.
  2. Во втором варианте, когда D = 0, решение будет одно и единственный корень квадратного уравнения будет равен: \(x=\frac{-b}{2a}\)
  3. Третий случай, при D > 0, наиболее сложный из всех трех возможных: в ответе должно получиться два корня квадратного уравнения.

\(x_1=\frac{-b+\sqrt D}{2a}\)– первый корень квадратного уравнения;

\(x_1=\frac{-b-\sqrt D}{2a}\)– второй корень квадратного уравнения.

 

Решение квадратных уравнений на самом деле не настолько сложное, как кажется на первый взгляд. Всего-то нужно запомнить несколько формул и алгоритм действий. Главное — не бояться вида квадратных уравнений, мы уверены: все у тебя получится! Запишись на бесплатный пробный урок тут и разберись с тем, что тебе непонятно.

Больше уроков и заданий по математике вместе с преподавателями нашей онлайн-школы «Альфа». Запишитесь на пробное занятие уже сейчас!


Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!

Квадратные уравнения | LAMPA — платформа для публикации учебных материалов

Определение

Уравнение вида ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0ax2+bx+c=0 называется квадратным уравнением. 2=0\Leftrightarrow x+3=0\Leftrightarrow x=-3{.}x2+6x+9=0⇔(x+3)2=0⇔x+3=0⇔x=−3.

Квадратное уравнение с чётным вторым коэффициентом

Если в квадратном уравнении axbx = 0 второй коэффициент b является чётным, то решение этого уравнения можно немного упростить. Дискриминант для такого уравнения можно вычислить по формуле Dk− ac, а корни по формулам и .

Примеры

Решим квадратное уравнение x+ 6− 16 = 0. В нём второй коэффициент является чётным. Чтобы воспользоваться формулами для чётного коэффициента, нужно сначала узнать чему равна переменная k.

Любое четное число n можно представить в виде произведения числа 2 и числа k, то есть 2k.

n = 2k

Например, число 10 можно представить как 2 × 5.

10 = 2 × 5

В этом произведении = 5.


Число 12 можно представить как 2 × 6.

12 = 2 × 6

В этом произведении = 6.


Число −14 можно представить как 2 × (−7)

В этом произведении = −7.

Как видим, сомножитель 2 не меняется. Меняется только сомножитель k.

В уравнении x+ 6x − 16 = 0 вторым коэффициентом является число 6. Это число можно представить как 2 × 3. В этом произведении = 3. Теперь можно воспользоваться формулами для чётного коэффициента.

Найдем дискриминант по формуле Dk− ac

Dk− ac = 3− 1 × (−16) = 9 + 16 = 25

Теперь вычислим корни по формулам: и .

Значит корнями уравнения x+ 6x − 16 = 0 являются числа 2 и −8.

В отличие от стандартной формулы для вычисления дискриминанта (D=b− 4ac), в формуле Dk− ac не нужно выполнять умножение числа 4 на ac.

И в отличие от формул и формулы и не содержат в знаменателе множитель 2 что опять же освобождает нас от дополнительных вычислений.


Пример 2. Решить квадратное уравнение 5x− 6+ 1=0

Второй коэффициент является чётным числом. Его можно представить в виде 2 × (−3). То есть = −3. Найдём дискриминант по формуле Dk− ac

Dk− ac = (−3)− 5 × 1 = 9 − 5 = 4

Дискриминант больше нуля. Значит уравнение имеет два корня. Для их вычисления воспользуемся формулами и


Пример 3. Решить квадратное уравнение x− 10− 24 = 0

Второй коэффициент является чётным числом. Его можно представить в виде 2 × (−5). То есть = −5. Найдём дискриминант по формуле Dk− ac

Dk− ac = (−5)− 1 × (−24) = 25 + 24 = 49

Дискриминант больше нуля. Значит уравнение имеет два корня. Для их вычисления воспользуемся формулами и

Обычно для определения числа k поступают так: делят второй коэффициент на 2.

Действительно, если второй коэффициент b является чётным числом, то его можно представить как b = 2k. Чтобы из этого равенства выразить сомножитель k, нужно произведение b разделить на сомножитель 2

Например, в предыдущем примере для определения числа k можно было просто разделить второй коэффициент −10 на 2


Пример 5. Решить квадратное уравнение

Коэффициент b равен . Это выражение состоит из множителя 2 и выражения . То есть оно уже представлено в виде 2k. Получается, что

Найдём дискриминант по формуле Dk− ac

Дискриминант больше нуля. Значит уравнение имеет два корня. Для их вычисления воспользуемся формулами и

При вычислении корня уравнения получилась дробь, в которой содержится квадратный корень из числа 2. Квадратный корень из числа 2 извлекается только приближённо. Если выполнить это приближённое извлечение, а затем сложить результат с 2, и затем разделить числитель на знаменатель, то получится не очень красивый ответ.

В таких случаях ответ записывают, не выполняя приближённых вычислений. В нашем случае первый корень уравнения будет равен .

Вычислим второй корень уравнения:


Вывод формул

Давайте наглядно увидим, как появились формулы для вычисления корней квадратного уравнения с чётным вторым коэффициентом.

Рассмотрим квадратное уравнение axbx = 0. Допустим, что коэффициент b является чётным числом. Тогда его можно обозначить как 2k

b = 2k

Заменим в уравнении axbx = 0 коэффициент b на выражение 2k

ax+ 2kx = 0

Теперь вычислим дискриминант по ранее известной формуле:

D = b− 4ac = (2k)4ac = 4k− 4ac

Вынесем в получившемся выражении за скобки общий множитель 4

D = b− 4ac = (2k)2 − 4ac = 4k− 4ac = 4(k− ac)

Что можно сказать о получившемся дискриминанте? При чётном втором коэффициенте он состоит из множителя 4 и выражения k− ac.

В выражении 4(k− ac) множитель 4 постоянен. Значит знак дискриминанта зависит от выражения k− ac. Если это выражение меньше нуля, то и D будет меньше нуля. Если это выражение больше нуля, то и D будет больше нуля. Если это выражение равно нулю, то и D будет равно нулю.

То есть выражение k− ac это различитель — дискриминант. Такой дискриминант принято обозначать буквой D1

Dk− ac

Теперь посмотрим как выводятся формулы и .

В нашем уравнении axbx = 0 коэффициент b заменён на выражение 2k. Воспользуемся стандартными формулами для вычисления корней. То есть формулами и . Только вместо b будем подставлять 2k. Также на забываем, что D у нас равно выражению 4(k− ac)

Но ранее было сказано, что выражение k− ac обозначается через D1. Тогда в наших преобразованиях следует сделать и эту замену:

Теперь вычислим квадратный корень, расположенный в числителе. Это квадратный корень из произведения — он равен произведению корней. Остальное перепишем без изменений:

Теперь в получившемся выражении вынесем за скобки общий множитель 2

Сократим получившуюся дробь на 2

Аналогично вывóдится формула для вычисления второго корня:

Задания для самостоятельного решения

Задание 1. Решить уравнение:

Решение:

Ответ: 1; 0,6

Задание 2. Решить уравнение:

Решение:

Ответ:

Задание 3. Решить уравнение:

Решение:

Ответ: 1; −1,4

Задание 4. Решить уравнение:

Решение:

Ответ:

Задание 5. Решить уравнение:

Решение:

Ответ:

Задание 6. Решить уравнение:

Решение:

Ответ:

Задание 7. Решить уравнение:

Решение:

Ответ:


Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках



Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже

Навигация по записям

Квадратное уравнение

Квадратное уравнение – решается просто! *Далее в тексте «КУ». Друзья, казалось бы, что может быть в математике проще, чем  решение такого уравнения. Но что-то мне  подсказывало, что с ним у многих есть проблемы. Решил посмотреть сколько показов по запросу в месяц выдаёт Яндекс. Вот что получилось, посмотрите:

Что это значит? Это значит то, что около 70000 человек в месяц ищут данную информацию, при чём это лето, а что будет среди учебного года — запросов будет в два раза больше. Это и неудивительно, ведь те ребята и девчата, которые давно окончили школу и готовятся к ЕГЭ, ищут эту информацию, также и школьники стремятся освежить её в памяти.

Несмотря на то, что есть масса сайтов, где рассказывается как решать это уравнение, я решил тоже внести свою лепту и опубликовать материал. Во-первых, хочется чтобы по данному запросу и на мой сайт приходили посетители; во-вторых, в других статьях, когда зайдёт речь «КУ» буду давать ссылку на эту статью; в-третьих, расскажу вам о его решении немного больше, чем обычно излагается на других сайтах. Приступим! Содержание статьи:

Квадратное уравнение.

Квадратичная функция.

Дискриминант отрицательный. Решение есть!

Неполные квадратные уравнения.

Полезные свойства и закономерности коэффициентов.

Теорема Виета.

Квадратное уравнение и ЕГЭ.

Квадратное уравнение – это уравнение вида:

где коэффициенты a,b и с произвольные числа, при чём a≠0.

В школьном курсе материал дают в следующем виде – условно делается разделение уравнений на три класса:

1. Имеют два корня.

2. *Имеют только один корень.

3. Не имеют корней. Здесь стоит особо отметить, что не имеют действительных корней

Пусть пока  будет так. *Далее поясню, некорректность второго пункта.

Как вычисляются корни? Просто!

Вычисляем дискриминант. Под этим «страшным» словом лежит вполне простая формула:

Формулы корней имеют следующий вид:

*Эти формулы нужно знать наизусть.

Можно сразу записывать и решать:

Пример:

Далее не трудно заметить, что число корней зависит от этого самого дискриминанта:

1. Если D > 0, то уравнение имеет два корня.

2. Если D = 0, то уравнение имеет один корень.

3. Если D < 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Давайте рассмотрим уравнение:

По данному поводу, когда дискриминант равен нулю, в школьном курсе говорится о том, что получается один корень, здесь он равен девяти. Всё правильно, так и есть, но…

Данное представление несколько несколько некорректно. На самом деле получается два корня. Да-да, не удивляйтесь, получается два равных корня, и если быть математически точным, то в ответе следует записывать два корня:

х1= 3      х2= 3

Но это так – небольшое отступление. В школе можете записывать и говорить, что корень один.

Теперь следующий пример:

Как нам известно – корень из отрицательного числа не извлекается, поэтому решения в данном случае нет.

Вот и весь процесс решения.

Квадратичная функция.

Здесь показано, как решение выглядит геометрически. Это крайне важно понимать (в дальнейшем в одной из статей мы подробно будем разбирать решение квадратного неравенства).

Это функция вида:

где х и у — переменные 

a, b, с – заданные числа, при чём a ≠ 0

Графиком является парабола:

То есть, получается, что решая квадратное уравнение при «у» равном нулю мы находим точки пересечения параболы с осью ох. Этих точек может быть две (дискриминант положительный), одна (дискриминант равен нулю) и ни одной (дискриминант отрицательный). Подробно о квадратичной функции можете посмотреть статью у Инны Фельдман.

Рассмотрим примеры:

Пример 1: Решить  2x2+8x–192=0

а=2   b=8   c= –192

D = b2–4ac = 82–4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

Ответ: х1= 8   х2= –12 

*Можно было сразу же левую и правую часть уравнения разделить на 2, то есть упростить его. Вычисления будут проще.

Пример 2: Решить  x2–22x+121 = 0

а=1   b=–22   c=121

D = b2–4ac =(–22)2–4∙1∙121 = 484–484 = 0

Получили, что  х1= 11  и   х2= 11 

В ответе допустимо записать х = 11.

Ответ: х = 11

Пример 3: Решить  x2–8x+72 = 0

а=1   b= –8   c=72

D = b2–4ac =(–8)2–4∙1∙72 = 64–288 = –224

Дискриминант отрицательный, решения в действительных числах нет.

Ответ: решения нет

Дискриминант отрицательный. Решение есть!

Здесь речь пойдёт о решении уравнения в случае когда получается отрицательный дискриминант. Вы что-нибудь знаете о комплексных числах? Не буду здесь подробно рассказывать о том, почему и откуда они возникли и в чём их конкретная роль и необходимость в математике, это тема для большой отдельной статьи.

Понятие комплексного числа.

Рекомендация: не пытайтесь представить комплексное число в реальной жизни, это всё равно, что представить бесконечность, четвёртое измерение или что-то сверх нашего сознания.

Немного теории.

Комплексным числом z называется число вида

z = a + bi

где a и b  – действительные числа, i  – так называемая мнимая единица.

a+bi – это ЕДИНОЕ  ЧИСЛО, а не сложение.

Мнимая единица равна корню из минус единицы:

Теперь рассмотрим уравнение:

Получили два сопряжённых корня.

Неполное квадратное уравнение.

Рассмотрим частные случаи, это когда коэффициент «b» или «с» равен нулю (или оба равны нулю). Они решаются легко без всяких дискриминантов.

Случай 1. Коэффициент b = 0.

Уравнение приобретает вид:

Преобразуем:

Пример:

4x2–16 = 0     =>   4x2 =16     =>   x2 = 4    =>      x1 = 2     x2 = –2

Случай 2. Коэффициент с = 0.

Уравнение приобретает вид:

Преобразуем, раскладываем на множители:

*Произведение равно нулю тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

Пример:

9x2–45x = 0   =>   9x (x–5) =0   =>   x = 0   или   x–5 =0

x1 = 0     x2 = 5

Случай 3. Коэффициенты   b = 0   и   c = 0.

Здесь понятно, что решением уравнения всегда будет х = 0.

Полезные свойства и закономерности коэффициентов.

Есть свойства, которые позволяют решить уравнения с большими коэффициентами.

— если для коэффициентов уравнения аx2+bx+c=0  выполняется равенство

a + b + с = 0, то

— если для коэффициентов уравнения аx2+bx+c=0  выполняется равенство

a + с = b, то

Данные свойства помогают решить определённого вида уравнения.

Пример 1:   5001x2–4995x – 6=0

Сумма коэффициентов равна 5001+(– 4995)+(– 6) = 0, значит

Пример 2:   2501x2+2507x+6=0

Выполняется равенство a + с = b, значит

Закономерности коэффициентов.

1. Если в уравнении ax2 + bx + c = 0 коэффициент «b» равен (а2 +1), а коэффициент «с»  численно равен коэффициенту «а», то его корни равны

аx2 + (а2 +1)∙х+ а= 0    = >   х1= –а    х2= –1/a.

Пример. Рассмотрим уравнение  6х2 +37х+6 = 0.

х1= –6    х2= –1/6.

2. Если в уравнении ax2 – bx + c = 0 коэффициент «b» равен (а2 +1),  а коэффициент «с»  численно равен коэффициенту «а», то его корни равны

аx2 – (а2 +1)∙х+ а= 0      = >   х1= а    х2= 1/a.

 Пример. Рассмотрим уравнение 15х2 –226х +15 = 0.

х1= 15    х2= 1/15.

3. Если в уравнении ax2 + bx – c = 0 коэффициент «b» равен (a2 – 1), а коэффициент «c» численно равен коэффициенту «a», то его корни равны

аx2 + (а2 –1)∙х – а= 0    = >    х1= – а    х2= 1/a.

Пример. Рассмотрим уравнение 17х2 +288х – 17 = 0.

х1= – 17    х2= 1/17.

4. Если в уравнении  ax2 – bx – c = 0  коэффициент «b» равен (а2 – 1), а коэффициент с численно равен коэффициенту «а», то его корни равны

аx2 –  (а2 –1)∙х – а= 0      = >   х1=  а    х2= – 1/a.

Пример. Рассмотрим уравнение 10х2– 99х –10 = 0.

х1= 10    х2= – 1/10

Теорема Виета.

Теорема Виета называется по имени знаменитого французского математика Франсуа Виета. Используя теорему Виета, можно выразить сумму и произведение корней произвольного КУ через его коэффициенты.

Теорема: Пусть квадратное уравнение  aх2 + bx + c = 0   имеет корни  хи  х2, тогда справедливы формулы Виета

Доказательство:

Пример. Рассмотрим уравнение  х2– 14х + 45 = 0.  Запишем a=1   b= –14   c=45.

Ответ определить  несложно, возможны следующие варианты произведений

45 = 1∙45    45 = 3∙15    45 = 5∙9.

В сумме число 14 дают только 5 и 9. Это корни. При определённом навыке, используя представленную теорему, многие квадратные уравнения вы сможете решать сходу устно.

Теорема Виета, кроме того. удобна тем, что после решения квадратного уравнения обычным способом (через дискриминант) полученные корни можно проверять. Рекомендую это делать всегда. 

СПОСОБ ПЕРЕБРОСКИ

При этом способе коэффициент «а» умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его и называют способом «переброски». Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета и, что самое важное, когда дискриминант есть точный квадрат.

Если а ± b+c ≠ 0, то используется прием переброски, например:

2х2 – 11х+5 = 0  (1)      =>     х2 – 11х+10 = 0  (2)     

По теореме Виета в уравнении (2) легко определить, что  х1 = 10  х2 = 1

Полученные корни уравнения необходимо разделить на 2 (так как от х2 «перебрасывали» двойку), получим

х1 = 5  х2 = 0,5.

Каково обоснование? Посмотрите что происходит.

Дискриминанты уравнений (1) и (2) равны:

Если посмотреть на корни уравнений, то получаются только различные знаменатели, и результат зависит именно от коэффициента при х2:

У второго (изменённого) корни получаются в 2 раза больше.

Потому результат и делим на 2.

*Если будем перебрасывать тройку, то результат разделим на 3 и т.д.

Ответ: х1 = 5  х2 = 0,5

 

Кв. ур-ие и ЕГЭ.

О его важности скажу кратко – ВЫ ДОЛЖНЫ УМЕТЬ РЕШАТЬ быстро и не задумываясь, формулы корней и дискриминанта необходимо знать наизусть. Очень многие задачи, входящие в состав заданий  ЕГЭ, сводятся к решению квадратного уравнения (геометрические в том числе).

Что стоит отметить!

1. Форма записи уравнения может быть «неявной». Например, возможна такая запись: 

15+ 9x2— 45x = 0  или  15х+42+9x2— 45x=0  или   15 -5x+10x2 = 0.

Вам необходимо привести его к стандартному виду (чтобы не запутаться при решении).

2. Помните, что х это неизвестная величина и она может быть обозначена любой другой буквой – t, q, p, h    и прочими.

3. Если получите большой дискриминант, то посмотрите как можно извлечь такой корень без калькулятора.

На этом всё. Надеюсь, статья была для вас полезной.

Получить материал статьи в формате PDF

С уважением, Александр Крутицких.

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

Как решается через дискриминант. Решение квадратных уравнений

Квадратные уравнения часто появляются во время решения различных задач физики и математики. В данной статье мы рассмотрим, как решать эти равенства универсальным способом «через дискриминант». Примеры использования полученных знаний также даются в статье.

О каких уравнениях пойдет речь?

На рисунке ниже изображена формула, в которой x — неизвестная переменная, а латинские символы a, b, c представляют собой некоторые известные числа.

Каждый из этих символов называется коэффициентом. Как можно заметить, число «a» стоит перед переменной x, возведенной в квадрат. Это максимальная степень представленного выражения, поэтому оно называется квадратным уравнением. Часто используют другое его название: уравнение второго порядка. Само значение a — это квадратный коэффициент (стоящий при переменной в квадрате), b — это линейный коэффициент (он находится рядом с переменной, возведенной в первую степень), наконец, число c — свободный член.

Отметим, что вид уравнения, который изображен на рисунке выше, является общим классическим квадратным выражением. Помимо него существуют другие уравнения второго порядка, в которых коэффициенты b, c могут быть нулевыми.

Когда ставят задачу решить рассматриваемое равенство, то это означает, что такие значения переменной x нужно найти, которые бы ему удовлетворяли. Здесь первым делом нужно запомнить следующую вещь: поскольку максимальная степень икса — это 2, то данный тип выражений не может иметь больше, чем 2 решения. Это означает, что если при решении уравнения были найдены 2 значения x, которые ему удовлетворяют, то можно быть уверенным, что не существует никакого 3-го числа, подставляя которое вместо x, равенство также бы являлось истиной. Решения уравнения в математике называют его корнями.

Способы решения уравнений второго порядка

Решения уравнений этого типа требует знания некоторой теории о них. В школьном курсе алгебры рассматривают 4 различных метода решения. Перечислим их:

  • с помощью факторизации;
  • используя формулу для полного квадрата;
  • применяя график соответствующей квадратичной функции;
  • используя уравнение дискриминанта.

Плюс первого метода заключается в его простоте, однако, он не для всех уравнений может применяться. Второй способ является универсальным, однако несколько громоздким. Третий метод отличается своей наглядностью, но он не всегда удобен и применим. И, наконец, использование уравнения дискриминанта — это универсальный и достаточно простой способ нахождения корней абсолютно любого уравнения второго порядка. Поэтому в статье рассмотрим только его.

Формула для получения корней уравнения

Обратимся к общему виду квадратного уравнения. Запишем его: a*x²+ b*x + c =0. Перед тем как пользоваться способом его решения «через дискриминант», следует приводить равенство всегда к записанному виду. То есть оно должно состоять из трех слагаемых (или меньше, если b или c равен 0).

Например, если имеется выражение: x²-9*x+8 = -5*x+7*x², то сначала следует перенести все его члены в одну сторону равенства и сложить слагаемые, содержащие переменную x в одинаковых степенях.

В данном случае эта операция приведет к следующему выражению: -6*x²-4*x+8=0, которое эквивалентно уравнению 6*x²+4*x-8=0 (здесь левую и правую части равенства мы умножили на -1).

В примере выше a = 6, b=4, c=-8. Заметим, что все члены рассматриваемого равенства всегда суммируются между собой, поэтому если появляется знак «-«, то это означает, что отрицательным является соответствующий коэффициент, как число c в данном случае.

Разобрав этот момент, перейдем теперь к самой формуле, которая дает возможность получения корней квадратного уравнения. Она имеет вид, который представлен на фото ниже.

Как видно из этого выражения, оно позволяет получать два корня (следует обратить внимание на знак «±»). Для этого в него достаточно подставить коэффициенты b, c, и a.

Понятие о дискриминанте

В предыдущем пункте была приведена формула, которая позволяет быстро решить любое уравнение второго порядка. В ней подкоренное выражение называют дискриминантом, то есть D = b²-4*a*c.

Почему эту часть формулы выделяют, и она даже имеет собственное название? Дело в том, что дискриминант связывает в единое выражение все три коэффициента уравнения. Последний факт означает, что он полностью несет информацию о корнях, которую можно выразить следующим списком:

  1. D>0: равенство имеет 2 различных решения, причем оба они представляют собой действительные числа.
  2. D=0: у уравнения всего один корень, и он является действительным числом.

Задача на определение дискриминанта

Приведем простой пример, как найти дискриминант. Пусть дано такое равенство: 2*x² — 4+5*x-9*x² = 3*x-5*x²+7.

Приведем его к стандартному виду, получаем: (2*x²-9*x²+5*x²) + (5*x-3*x) + (- 4-7) = 0, откуда приходим к равенству: -2*x²+2*x-11 = 0. Здесь a=-2, b=2, c=-11.

Теперь можно воспользоваться названной формулой для дискриминанта: D = 2² — 4*(-2)*(-11) = -84. Полученное число является ответом на поставленную задачу. Поскольку в примере дискриминант меньше нуля, то можно сказать, что данное квадратное уравнение не имеет действительных корней. Его решением будут только числа комплексного типа.

Пример неравенства через дискриминант

Решим задачи несколько иного типа: дано равенство -3*x²-6*x+c = 0. Необходимо найти такие значения c, для которых D>0.

В данном случае известно лишь 2 из 3 коэффициентов, поэтому рассчитать точное значение дискриминанта не получится, однако известно, что он является положительным. Последний факт используем при составлении неравенства: D= (-6)²-4*(-3)*c>0 => 36+12*c>0. Решение полученного неравенства приводит к результату: c>-3.

Проверим полученное число. Для этого вычислим D для 2 случаев: c=-2 и c=-4. Число -2 удовлетворяет полученному результату (-2>-3), соответствующий дискриминант будет иметь значение: D = 12>0. В свою очередь, число -4 не удовлетворяет неравенству (-4Таким образом, любые числа c, которые больше -3, будут удовлетворять условию.

Пример решения уравнения

Приведем задачу, которая заключается не только в нахождении дискриминанта, но и в решении уравнения. Необходимо найти корни для равенства -2*x²+7-9*x = 0.

В этом примере дискриминант равен следующему значению: D = 81-4*(-2)*7= 137. Тогда корни уравнения определятся так: x = (9±√137)/(-4). Это точные значения корней, если вычислить приближенно корень, тогда получатся числа: x = -5,176 и x = 0,676.

Геометрическая задача

Решим задачу, которая потребует не только умения вычислять дискриминант, но и применения навыков абстрактного мышления и знания, как составлять квадратные уравнения.

У Боба было пуховое одеяло размером 5 x 4 метра. Мальчик захотел пришить к нему по всему периметру сплошную полосу из красивой ткани. Какой толщины будет эта полоса, если известно, что у Боба имеется 10 м² ткани.

Пусть полоса будет иметь толщину x м, тогда площадь ткани по длинной стороне одеяла составит (5+2*x)*x, а поскольку длинных сторон 2, то имеем: 2*x*(5+2*x). По короткой стороне площадь пришитой ткани составит 4*x, так как этих сторон 2, то получаем значение 8*x. Отметим, что к длинной стороне было добавлено значение 2*x, поскольку длина одеяла увеличилась на это число. Общая пришитая к одеялу площадь ткани равна 10 м². Поэтому получаем равенство: 2*x*(5+2*x) + 8*x = 10 => 4*x²+18*x-10 = 0.

Для этого примера дискриминант равен: D = 18²-4*4*(-10) = 484. Его корень равен 22. Воспользовавшись формулой, находим искомые корни: x = (-18±22)/(2*4) = (-5; 0,5). Очевидно, что из двух корней подходит по условию задачи только число 0,5.

Таким образом, полоса из ткани, которую пришьет Боб к своему одеялу, будет иметь ширину 50 см.

», то есть
уравнения первой степени. В этом уроке мы разберем, что называют квадратным
уравнением
и как его решать.

Что называют квадратным уравнением

Важно!

Степень уравнения определяют по наибольшей
степени, в которой
стоит неизвестное.

Если максимальная степень, в которой стоит неизвестное — «2
»,
значит, перед вами квадратное
уравнение.

Примеры квадратных уравнений

  • 5x 2 − 14x + 17 = 0
  • −x 2 + x + = 0
  • x 2 + 0,25x = 0
  • x 2 − 8 = 0

Важно!

Общий вид квадратного уравнения выглядит так:

A
x 2 + b
x + c
= 0

«a
», «b
» и «c
» — заданные числа.

  • «a
    » — первый или старший коэффициент;
  • «b
    » — второй коэффициент;
  • «c
    » — свободный член.

Чтобы найти «a
», «b
» и «c
»
нужно сравнить свое уравнение с общим видом квадратного уравнения
«ax 2 + bx + c = 0
».

Давайте потренируемся определять
коэффициенты «a
», «b
»
и «c
» в квадратных уравнениях.

5x 2 − 14x + 17 = 0

−7x 2 − 13x + 8 = 0

−x 2 + x + = 0

x 2 + 0,25x = 0

Уравнение Коэффициенты
  • a = −7
  • b = −13
  • с = 8
x 2 − 8 = 0

Как решать квадратные уравнения

В отличии от линейных уравнений для решения квадратных уравнений используется специальная
формула для нахождения корней
.

Запомните!

Чтобы решить квадратное уравнение нужно:

  • привести квадратное уравнение к общему виду «ax 2 + bx + c = 0
    ».
    То есть в правой части должен остаться только «0
    »;
  • использовать формулу для корней:

Давайте на примере разберем, как применять формулу для нахождения корней квадратного уравнения. Решим квадратное уравнение.

X 2 − 3x − 4 = 0

Уравнение «
x 2 − 3x − 4 = 0
» уже приведено к общему виду «ax 2 + bx + c = 0
» и не требует дополнительных упрощений.
Для его решения нам достаточно применить формулу нахождения корней квадратного уравнения
.

Определим коэффициенты «a
», «b
» и
«c
» для этого уравнения.

x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =

С её помощью решается любое
квадратное уравнение.

В формуле «x 1;2 =
» часто заменяют подкоренное выражение
«b 2 − 4ac
» на букву «D
» и называют
дискриминантом
. Более подробно понятие дискриминанта рассматривается в уроке
«Что такое дискриминант ».

Рассмотрим другой пример квадратного уравнения.

x 2 + 9 + x = 7x

В данном виде определить коэффициенты «a
», «b
» и
«c
» довольно сложно.
Давайте вначале приведем уравнение к общему виду «ax 2 + bx + c = 0
».

X 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x − 7x = 0
x 2 + 9 − 6x = 0
x 2 − 6x + 9 = 0

Теперь можно использовать формулу для корней.

X 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x =

x = 3

Ответ: x = 3

Бывают случаи, когда в квадратных уравнениях нет корней. Такая ситуация возникает, когда в формуле под корнем
оказывается отрицательное число.

Надеюсь, изучив данную статью, вы научитесь находить корни полного квадратного уравнения.

С помощью дискриминанта решаются только полные квадратные уравнения, для решения неполных квадратных уравнений используют другие методы, которые вы найдете в статье «Решение неполных квадратных уравнений».

Какие же квадратные уравнения называются полными? Это уравнения вида ах 2 + b x + c = 0
, где коэффициенты a, b и с не равны нулю. Итак, чтобы решить полное квадратное уравнение, надо вычислить дискриминант D.

D = b 2 – 4ас.

В зависимости от того какое значение имеет дискриминант, мы и запишем ответ.

Если дискриминант отрицательное число (D

Если же дискриминант равен нулю, то х = (-b)/2a. Когда дискриминант положительное число (D > 0),

тогда х 1 = (-b — √D)/2a , и х 2 = (-b + √D)/2a .

Например. Решить уравнение х 2
– 4х + 4= 0.

D = 4 2 – 4 · 4 = 0

x = (- (-4))/2 = 2

Ответ: 2.

Решить уравнение 2х 2

+ х + 3 = 0.

D = 1 2 – 4 · 2 · 3 = – 23

Ответ: корней нет
.

Решить уравнение 2х 2

+ 5х – 7 = 0
.

D = 5 2 – 4 · 2 · (–7) = 81

х 1 = (-5 — √81)/(2·2)= (-5 — 9)/4= – 3,5

х 2 = (-5 + √81)/(2·2) = (-5 + 9)/4=1

Ответ: – 3,5 ; 1
.

Итак представим решение полных квадратных уравнений схемой на рисунке1.

По этим формулам можно решать любое полное квадратное уравнение. Нужно только внимательно следить за тем, чтобы уравнение было записано многочленом стандартного вида

ах 2


+ bx + c,
иначе можно допустить ошибку. Например, в записи уравнения х + 3 + 2х 2 = 0, ошибочно можно решить, что

а = 1, b = 3 и с = 2. Тогда

D = 3 2 – 4 · 1 · 2 = 1 и тогда уравнение имеет два корня. А это неверно. (Смотри решение примера 2 выше).

Поэтому, если уравнение записано не многочленом стандартного вида, вначале полное квадратное уравнение надо записать многочленом стандартного вида (на первом месте должен стоять одночлен с наибольшим показателем степени, то есть ах 2



, затем с меньшим
bx
, а затем свободный член с.

При решении приведенного квадратного уравнения и квадратного уравнения с четным коэффициентом при втором слагаемом можно использовать и другие формулы. Давайте познакомимся и с этими формулами. Если в полном квадратном уравнении при втором слагаемом коэффициент будет четным (b = 2k), то можно решать уравнение по формулам приведенным на схеме рисунка 2.

Полное квадратное уравнение называется приведенным, если коэффициент при х 2



равен единице и уравнение примет вид х 2 + px + q = 0
. Такое уравнение может быть дано для решения, либо получается делением всех коэффициентов уравнение на коэффициент а
, стоящий при х 2



.

На рисунке 3 приведена схема решения приведенных квадратных
уравнений. Рассмотрим на примере применение рассмотренных в данной статье формул.

Пример. Решить уравнение

3х 2



+ 6х – 6 = 0.

Давайте решим это уравнение применяя формулы приведенные на схеме рисунка 1.

D = 6 2 – 4 · 3 · (– 6) = 36 + 72 = 108

√D = √108 = √(36 · 3) = 6√3

х 1 = (-6 — 6√3)/(2 · 3) = (6 (-1- √(3)))/6 = –1 – √3

х 2 = (-6 + 6√3)/(2 · 3) = (6 (-1+ √(3)))/6 = –1 + √3

Ответ: –1 – √3; –1 + √3

Можно заметить, что коэффициент при х в этом уравнении четное число, то есть b = 6 или b = 2k , откуда k = 3. Тогда попробуем решить уравнение по формулам, приведенным на схеме рисунка D 1 = 3 2 – 3 · (– 6) = 9 + 18 = 27

√(D 1) = √27 = √(9 · 3) = 3√3

х 1 = (-3 — 3√3)/3 = (3 (-1 — √(3)))/3 = – 1 – √3

х 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3)))/3 = – 1 + √3

Ответ: –1 – √3; –1 + √3
. Заметив, что все коэффициенты в этом квадратном уравнении делятся на 3 и выполнив деление, получим приведенное квадратное уравнение x 2 + 2х – 2 = 0 Решим это уравнение, используя формулы для приведенного квадратного
уравнения рисунок 3.

D 2 = 2 2 – 4 · (– 2) = 4 + 8 = 12

√(D 2) = √12 = √(4 · 3) = 2√3

х 1 = (-2 — 2√3)/2 = (2 (-1 — √(3)))/2 = – 1 – √3

х 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3)))/2 = – 1 + √3

Ответ: –1 – √3; –1 + √3.

Как видим, при решении этого уравнения по различным формулам мы получили один и тот же ответ. Поэтому хорошо усвоив формулы приведенные на схеме рисунка 1 , вы всегда сможете решить любое полное квадратное уравнение.

сайт,
при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Среди всего курса школьной программы алгебры одной из самых объемных тем является тема о квадратных уравнениях. При этом под квадратным уравнением понимается уравнение вида ax 2 + bx + c = 0, где a ≠ 0 (читается: а умножить на икс в квадрате плюс бэ икс плюс цэ равно нулю, где а неравно нулю). При этом основное место занимают формулы нахождения дискриминанта квадратного уравнения указанного вида, под которым понимается выражение, позволяющее определить наличие или отсутствие корней у квадратного уравнения, а также их количество (при наличии).

Формула (уравнение) дискриминанта квадратного уравнения

Общепринятая формула дискриминанта квадратного уравнения выглядит следующим образом: D = b 2 – 4ac. Вычисляя дискриминант по указанной формуле, можно не только определить наличие и количество корней у квадратного уравнения, но и выбрать способ нахождения этих корней, которых существует несколько в зависимости от типа квадратного уравнения.

Что значит если дискриминант равен нулю \ Формула корней квадратного уравнения если дискриминант равен нулю

Дискриминант, как следует из формулы, обозначается латинской буквой D. В случае, когда дискриминант равен нулю, следует сделать вывод, что квадратное уравнение вида ax 2 + bx + c = 0, где a ≠ 0, имеет только один корень, который вычисляется по упрощенной формуле. Данная формула применяется только при нулевом дискриминанте и выглядит следующим образом: x = –b/2a, где х – корень квадратного уравнения, b и а – соответствующие переменные квадратного уравнения. Для нахождения корня квадратного уравнения необходимо отрицательное значение переменной b разделить на удвоенное значение переменной а. Полученной выражение будет решением квадратного уравнения.

Решение квадратного уравнения через дискриминант

Если при вычислении дискриминанта по вышеприведенной формуле получается положительное значение (D больше нуля), то квадратное уравнение имеет два корня, которые вычисляются по следующим формулам: x 1 = (–b + vD)/2a, x 2 = (–b – vD)/2a. Чаще всего, дискриминант отдельно не высчитывается, а в значение D, из которого извлекается корень, просто подставляется подкоренное выражение в виде формулы дискриминанта. Если переменная b имеет четное значение, то для вычисления корней квадратного уравнения вида ax 2 + bx + c = 0, где a ≠ 0, можно также использовать следующие формулы: x 1 = (–k + v(k2 – ac))/a, x 2 = (–k + v(k2 – ac))/a, где k = b/2.

В некоторых случаях для практического решения квадратных уравнений можно использовать Теорему Виета, которая гласит, что для суммы корней квадратного уравнения вида x 2 + px + q = 0 будет справедливо значение x 1 + x 2 = –p, а для произведения корней указанного уравнения – выражение x 1 x x 2 = q.

Может ли дискриминант быть меньше нуля

При вычислении значения дискриминанта можно столкнуться с ситуацией, которая не попадает ни под один из описанных случаев – когда дискриминант имеет отрицательное значение (то есть меньше нуля). В этом случае принято считать, что квадратное уравнение вида ax 2 + bx + c = 0, где a ≠ 0, действительных корней не имеет, следовательно, его решение будет ограничиваться вычислением дискриминанта, а приводимые выше формулы корней квадратного уравнения в данном случае применяться не будут. При этом в ответе к квадратному уравнению записывается, что «уравнение действительных корней не имеет».

Поясняющее видео:

Дискриминант — Концепция — Алгебра Видео от Brightstorm

Дискриминант — это член под квадратным корнем в квадратной формуле, который сообщает нам количество решений квадратного уравнения. Если дискриминант положительный, мы знаем, что у нас есть 2 решения. Если он отрицательный, решений нет, а если дискриминант равен нулю, у нас есть одно решение. Дискриминант вычисляется путем возведения в квадрат члена «b» и вычитания 4-кратного члена «а», умноженного на член «с».

Дискриминант — действительно удобный инструмент, когда вам кажется, что вы получаете странный ответ. Вот почему. Дискриминант говорит вам, сколько существует решений квадратного уравнения или сколько пересечений по оси x существует для параболы. Он не говорит вам, каковы эти числа, каковы значения пересечения x, он просто говорит вам, сколько их должно быть. И похоже, что это бесполезно, но на самом деле это особенно важно, когда вы проверяете свою работу.
Вот как это выглядит. Дискриминант — это формула b в квадрате минус 4ac, помня, что a, b и c — это коэффициенты квадратичной функции в стандартной форме. Он сообщает вам количество решений квадратного уравнения. Если дискриминант больше нуля, есть два решения. Если дискриминант меньше нуля, решений нет, а если дискриминант равен нулю, есть одно решение.
Это то, что вам просто необходимо запомнить. Это идет рука об руку с формулой корней квадратного уравнения.Так что, если вы, ребята, это усвоили, в этом будет большой смысл. Если вы еще не выучили квадратную формулу, вы, вероятно, выучите ее завтра на уроке математики. Просто знайте, что вы смотрите на то, действительно ли b в квадрате минус 4ac больше нуля, меньше нуля или равно нулю. И это говорит мне, сколько ответов я должен получить. Он не говорит мне, каковы ответы, просто сколько из них мне нужно, чтобы решить проблему.

Все знаки указывают на дискриминант

Все знаки указывают на дискриминант

У вас когда-нибудь был один из этих Magic 8 Balls? Они выглядят как комично негабаритные шары для пула, но в них встроено плоское окно, так что вы можете видеть, что находится внутри 20-гранного кубика, плавающего в отвратительной непрозрачной синей слизи.Предположительно, бильярдный шар обладает прогностическими способностями; все, что вам нужно сделать, это задать ему вопрос, встряхнуть, и медленно, мистическим образом, как покрытая нефтью печать, выходящая из разлива нефти, игральная кость поднимется к маленькому окошку и откроет ответ на ваш вопрос.

Квадратное уравнение содержит что-то вроде Magic 8 Ball. Выражение b 2 — 4 ac под знаком радикала называется дискриминантом , и оно может фактически определить для вас, сколько решений имеет данное квадратное уравнение, если вам не хочется на самом деле вычислять их.Учитывая, что квадратное уравнение, которое невозможно сформулировать, требует много работы для решения (квадратная формула изобилует тоннами арифметики, а для завершения квадратного метода требуется целая куча шагов), часто бывает полезно заглянуть в загадочную загадку, чтобы сделать убедитесь, что уравнение даже имеет любых решений в виде вещественных чисел, прежде чем вы потратите какое-либо время на их поиски.

Talk the Talk

Дискриминант — это выражение b 2 — 4 ac , которое определено для любого квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0.По знаку выражения можно определить, сколько действительных чисел имеет квадратное уравнение.

Вот как работает дискриминант. Учитывая квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0, подставьте коэффициенты в выражение b 2 — 4 ac , чтобы увидеть, какие результаты:

  • Если вы получите положительное число, у квадратичной будет два уникальных решения.
  • Если вы получите 0, у квадратичной будет ровно одно решение, двойной корень.
  • Если вы получите отрицательное число, у квадратичной не будет реальных решений, только два мнимых. (Другими словами, решения будут содержать и , о которых вы узнали в «Борьбе с радикалами».)

Дискриминант — это не волшебство. Это просто показывает, насколько важен этот радикал в формуле корней квадратного уравнения. Если, например, его подкоренное выражение равно 0, то вы получите

единственное решение. Если, однако, b 2 — 4 ac отрицательно, то внутри квадратного корня в квадратной формуле будет отрицательное значение, что означает только мнимые решения.

Пример 4 : Не вычисляя их, определите, сколько реальных решений имеет уравнение 3 x 2 — 2 x = -1.

Решение : Установите квадратное уравнение равным 0, прибавив 1 к обеим сторонам.

У вас есть проблемы

Задача 4: Не вычисляя их, определите, сколько реальных решений имеет уравнение 25 x 2 -40 x + 16 = 0.

Установите a = 3, b = -2 и c = 1 и оцените дискриминант.

  • b 2 — 4 ac
  • = (- 2) 2 — 4 (3) (1)
  • = 4 — 12
  • = -8

Поскольку дискриминант отрицательно, квадратное уравнение не имеет вещественных числовых решений, только два мнимых.

Выдержки из Полное руководство для идиотов по алгебре 2004 У. Майкла Келли. Все права защищены, включая право на полное или частичное воспроизведение в любой форме. Используется по договоренности с Alpha Books , членом Penguin Group (USA) Inc.

Эту книгу можно приобрести на Amazon.com и Barnes & Noble.

Дискриминантное определение, примеры и решения

Содержание

Мы в Cuemath считаем, что математика — это жизненный навык. Наши эксперты по математике сосредотачиваются на том, «почему» стоит за «что». Учащиеся могут исследовать огромное количество интерактивных листов, наглядных пособий, симуляторов, практических тестов и многого другого, чтобы глубже понять концепцию. 2-4ac \\ [0.2 + bx + c = 0 \) — значения \ (x \), которые удовлетворяют уравнению.

Их можно найти по формуле корней квадратного уравнения:

\ (x = \ dfrac {-b \ pm \ sqrt {D}} {2 a} \)

Хотя мы не можем найти корни, просто используя дискриминант, мы можем определить природу корней следующим образом:

  • Если \ (D> 0 \), квадратное уравнение имеет два разных действительных корня:
    \ [\ dfrac {-b \ pm \ sqrt {\ text {Положительное число}}} {2 a} \]
    дает два корня
  • Если \ (D = 0 \), квадратное уравнение имеет только один действительный корень:
    \ [\ dfrac {-b \ pm \ sqrt {0}} {2 a} = \ dfrac {-b} {2 a} \]
    это единственный рут
  • Если \ (D <0 \), квадратное уравнение не имеет действительных корней., т.е. имеет два комплексных корня:
    \ [\ dfrac {-b \ pm \ sqrt {\ text {Отрицательное число}}} {2 a} \]
    дает два сложных корня.

Это потому, что квадратный корень отрицательного числа приводит к мнимому числу. то есть \ (\ sqrt {-1} = i \)

Корень — это не что иное, как координата x точки пересечения с x.

График квадратного уравнения в каждом из этих трех случаев может быть следующим.


Калькулятор дискриминанта (с графиком)

Вот и «Дискриминантный калькулятор».2-4ac \)

  • Квадратное уравнение имеет:
    (i) два неравных действительных корня, когда \ (D> 0 \)
    (ii) только один действительный корень, когда \ (D = 0 \)
    (iii) нет действительных корней или два комплексных корня, когда \ (D <0 \)
  • Помогите своему ребенку набрать больше баллов с помощью запатентованного БЕСПЛАТНОГО диагностического теста Cuemath. Получите доступ к подробным отчетам, индивидуальным планам обучения и БЕСПЛАТНОЙ консультации. Попытайтесь пройти тест сейчас.


    Решенные примеры

    Вот несколько примеров дискриминантов и их решения. 2 + Bx + C = 0 \),

    \ [\ begin {align} A & = 9 \\ [0.4} \)

    CLUEless в математике? Узнайте, как учителя CUEMATH объяснят вашему ребенку Discriminant , используя интерактивные симуляции и рабочие листы, чтобы им больше никогда не приходилось запоминать что-либо по математике!

    Изучите интерактивные и персонализированные онлайн-классы Cuemath, чтобы сделать своего ребенка экспертом по математике. Забронируйте БЕСПЛАТНОЕ пробное занятие сегодня!


    Практические вопросы

    Вот несколько занятий для вас.{2} -24 x + 2 = 0} \) имеет только одно действительное решение.


    Образцы материалов олимпиады по математике

    IMO (Международная олимпиада по математике) — это конкурсный экзамен по математике, который ежегодно проводится для школьников. Он побуждает детей развивать свои навыки решения математических задач с точки зрения соревнований.

    Вы можете БЕСПЛАТНО скачать образцы работ по оценкам ниже:

    Чтобы узнать больше об олимпиаде по математике щелкните здесь


    Часто задаваемые вопросы (FAQ)

    1.2–4 (\ sqrt {3}) (10 \ sqrt {3}) \\ [0,2 см] & = 121-120 \\ [0,2 см] & = 1 \ end {выровнено} \]

    Таким образом, дискриминант данного уравнения:

    \ (\ mathbf {D} \) или \ (\ mathbf {\ Delta = 1} \)

    3. Как пользоваться дискриминантной формулой?

    Мы можем использовать дискриминант, чтобы определить природу корней.

    Квадратное уравнение имеет:
    (i) два неравных действительных корня, когда \ (D> 0 \)
    (ii) только один действительный корень, когда \ (D = 0 \)
    (iii) нет действительных корней или два комплексных корня, когда \ (D <0 \)

    Решение квадратных уравнений с квадратичной формулой

    Purplemath

    Кто-то (возможно, в Индии седьмого века) решал множество квадратных уравнений, завершая квадрат.В какой-то момент он (и, да, тогда это был бы парень) заметил, что он всегда делал одни и те же шаги в одном и том же порядке для каждого уравнения.

    Великая сила алгебры заключается в том, что она дает нам возможность работать с абстракциями, такими как формулы, которые всегда работают. Это может избавить нас от бремени и беспорядка, связанного с необходимостью возиться с числами каждый раз, когда мы делаем одно и то же. Используя эту способность по отношению к решению квадратичных квадратов путем завершения квадрата, он составил формулу из того, что он делал; а именно квадратичная формула, которая гласит:

    MathHelp.com

    Квадратичная формула: дано квадратное уравнение в следующей форме:

    … где a , b и c — числовые коэффициенты членов квадратичного уравнения, значение переменной x определяется следующим уравнением:

    Квадратичная формула хороша тем, что она всегда работает.Есть некоторые квадраты (на самом деле большинство из них), которые мы не можем решить с помощью факторинга. Но квадратная формула всегда даст ответ, независимо от того, было ли квадратное выражение факторизованным.

    Давайте попробуем еще раз эту первую задачу с предыдущей страницы, но на этот раз мы будем использовать квадратичную формулу вместо трудоемкого процесса завершения квадрата:

    • Используйте квадратичную формулу для решения

      x 2 — 4 x — 8 = 0

    Квадратичная формула требует, чтобы у меня было квадратичное выражение с одной стороны от знака «равно» и «ноль» с другой стороны.Они уже дали мне уравнение в такой форме. Кроме того, Формула выражается в виде числовых коэффициентов при квадратичном выражении. Глядя на коэффициенты в этом уравнении, я вижу, что a = 1, b = –4 и c = –8. Я вставлю эти числа в формулу и упрощу. (Я должен получить тот же ответ, что и раньше.)

    Это тот же ответ, который я получил ранее, который подтверждает, что квадратичная формула работает так, как задумано.Еще раз, мой окончательный ответ:


    Самое приятное в квадратичной формуле (по сравнению с завершением квадрата) состоит в том, что мы просто подставляем формулу. Нет никаких «шагов», которые нужно запомнить, и, следовательно, меньше возможностей для ошибок. При этом:

    Следите за тем, чтобы не пропустить знак «±» перед радикалом.

    Не проводите дробную линию только под квадратным корнем, потому что она также находится под начальной частью «- b ».

    Не забывайте, что знаменатель формулы — «2 a », а не просто «2». То есть, когда ведущий член представляет собой что-то вроде «5 x 2 », вам нужно не забыть поместить значение « a = 5» в знаменатель.

    Используйте круглые скобки вокруг коэффициентов, когда вы впервые вставляете их в формулу, особенно когда любой из этих коэффициентов отрицательный, чтобы не потерять знаки «минус».


    • Решите 4

      x 2 + 3 x — 2 = 0, используя квадратичную формулу.

    Сначала я зачитаю значения коэффициентов, которые буду подставлять в формулу:

    Теперь все, что мне нужно сделать, это вставить эти значения в формулу и упростить, чтобы получить ответ:

    x = [- (3) ± sqrt {(3) 2 — 4 (4) (- 2}] / [2 (4)]

    = [–3 ± sqrt {9 + 32}] / [8]

    = [–3 ± sqrt {41}] / [8]

    Абсолютно ничего не упростить, так что я закончил.Мой ответ:

    x = [–3 ± sqrt {41}] / [8]


    Вы должны обязательно запомнить квадратную формулу. Меня не волнует, скажет ли ваш учитель, что даст вам его на следующем тесте; все равно запомните его, потому что он вам понадобится позже. Это не так уж и долго, и есть даже песня, которая поможет вам запомнить ее на мелодию «Pop Goes the Weasel»:

    X равно отрицательному B
    Плюс или минус квадратный корень
    Из квадрата B минус четыре A C
    Всего два A

    (Вышеупомянутая песня для меня не оригинальна.Я узнал это в другом месте.)

    При использовании формулы будьте осторожны, потому что, пока вы делаете свою работу аккуратно, квадратичная формула каждый раз будет давать вам правильный ответ.

    У меня есть урок по квадратичной формуле, в котором представлены рабочие примеры и показана связь между дискриминантом (часть « b 2 — 4 ac » внутри квадратного корня), количеством и типом решений квадратное уравнение и график соответствующей параболы.Если вам нужна дополнительная помощь с формулой, изучите урок по указанной выше гиперссылке.


    Вы можете использовать виджет Mathway ниже, чтобы попрактиковаться в решении квадратных уравнений с помощью квадратной формулы. Попробуйте выполнить указанное упражнение или введите свое собственное. Затем нажмите кнопку и выберите «Решить с помощью квадратичной формулы», чтобы сравнить свой ответ с ответом Матвея. (Или пропустите виджет и перейдите на следующую страницу.)

    (Нажмите «Нажмите, чтобы просмотреть шаги», чтобы перейти непосредственно на сайт Mathway для платного обновления.)



    URL: https://www.purplemath.com/modules/solvquad4.htm

    Найти корни квадратного уравнения с помощью дискриминанта

    Если вы считаете, что контент, доступный через Веб-сайт (как определено в наших Условиях обслуживания), нарушает
    или несколько ваших авторских прав, сообщите нам, отправив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее
    в
    информацию, описанную ниже, назначенному ниже агенту.Если репетиторы университета предпримут действия в ответ на
    ан
    Уведомление о нарушении, оно предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, которая предоставила такой контент
    средствами самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.

    Ваше Уведомление о нарушении прав может быть отправлено стороне, предоставившей доступ к контенту, или третьим лицам, таким как
    в виде
    ChillingEffects.org.

    Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатам), если вы существенно
    искажать информацию о том, что продукт или действие нарушает ваши авторские права.Таким образом, если вы не уверены, что контент находится
    на Веб-сайте или по ссылке с него нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к юристу.

    Чтобы отправить уведомление, выполните следующие действия:

    Вы должны включить следующее:

    Физическая или электронная подпись правообладателя или лица, уполномоченного действовать от их имени;
    Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены;
    Описание характера и точного местонахождения контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права, в \
    достаточно подробностей, чтобы позволить репетиторам университетских школ найти и точно идентифицировать этот контент; например нам требуется
    а
    ссылка на конкретный вопрос (а не только на название вопроса), который содержит содержание и описание
    к какой конкретной части вопроса — изображению, ссылке, тексту и т. д. — относится ваша жалоба;
    Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; а также
    Ваше заявление: (а) вы добросовестно полагаете, что использование контента, который, по вашему мнению, нарушает
    ваши авторские права не разрешены законом, владельцем авторских прав или его агентом; (б) что все
    информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство, что вы
    либо владелец авторских прав, либо лицо, уполномоченное действовать от их имени.

    Отправьте жалобу нашему уполномоченному агенту по адресу:

    Чарльз Кон
    Varsity Tutors LLC
    101 S. Hanley Rd, Suite 300
    St. Louis, MO 63105

    Или заполните форму ниже:

    квадратных уравнений | Решенные задачи и практические вопросы

    В этой статье мы рассмотрим квадратные уравнения — определения, форматы, решенные задачи и примеры вопросов для практики.

    Квадратное уравнение — это многочлен, наивысшая степень которого равна квадрату переменной (x 2 , y 2 и т. Д.)

    Определения

    Моном — это алгебраическое выражение, содержащее только один член.

    Пример: x 3 , 2x, y 2 , 3xyz и т. Д.

    Многочлен — это алгебраическое выражение, содержащее более одного члена.

    В качестве альтернативы можно указать —

    Многочлен формируется путем сложения / вычитания нескольких одночленов.

    Пример: x 3 + 2y 2 + 6x + 10, 3x 2 + 2x-1, 7y-2 и т. Д.

    Многочлен, содержащий два члена, называется биномиальным выражением .

    Многочлен, содержащий три члена, называется трехчленным выражением .

    Стандартное квадратное уравнение выглядит так:

    топор 2 + bx + c = 0

    Где a, b, c — числа и a≥1.

    a, b называются коэффициентами x, , 2, и x соответственно, а c называется константой.

    Ниже приведены примеры некоторых квадратных уравнений:

    1) x 2 + 5x + 6 = 0, где a = 1, b = 5 и c = 6.

    2) x 2 + 2x-3 = 0, где a = 1, b = 2 и c = -3

    3) 3x 2 + 2x = 1

    → 3x 2 + 2x-1 = 0, где a = 3, b = 2 и c = -1

    4) 9x 2 = 4

    → 9x 2 -4 = 0, где a = 9, b = 0 и c = -4

    Для каждого квадратного уравнения может быть одно или несколько решений.Они называются корнями квадратного уравнения.

    Для квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0,

    сумма его корней = –b / a и произведение его корней = c / a.

    Квадратное уравнение может быть выражено как произведение двух биномов.

    Например, рассмотрим следующее уравнение

    х 2 — (а + б) х + аб = 0

    x 2 -ax-bx + ab = 0

    х (х-а) -b (х-а) = 0

    (х-а) (х-б) = 0

    x-a = 0 или x-b = 0
    x = a или x = b

    Здесь a и b называются корнями данного квадратного уравнения.

    Теперь давайте вычислим корни уравнения x 2 + 5x + 6 = 0.

    Мы должны взять два числа, сложить которые мы получим 5 и умножить получим 6. Это 2 и 3.

    Выразим средний член как сложение 2х и 3х.

    → х 2 + 2х + 3х + 6 = 0

    → х (х + 2) +3 (х + 2) = 0

    → (х + 2) (х + 3) = 0

    → x + 2 = 0 или x + 3 = 0

    → x = -2 или x = -3

    Этот метод называется факторингом .

    Ранее мы видели, что сумма корней равна –b / a, а произведение корней равно c / a. Давайте проверим это.

    Сумма корней уравнения x 2 + 5x + 6 = 0 равна -5, а произведение корней равно 6.

    Корни этого уравнения -2 и -3 при сложении дают -5, а при умножении дают 6.

    Решенные примеры квадратных уравнений

    Решим еще несколько примеров этим методом.

    Задача 1: Решить для x: x 2 -3x-10 = 0

    Решение :

    Выразим -3x как сумму -5x и + 2x.

    → х 2 -5x + 2x-10 = 0

    → х (х-5) +2 (х-5) = 0

    → (х-5) (х + 2) = 0

    → x-5 = 0 или x + 2 = 0

    → x = 5 или x = -2

    Задача 2: Решите для x: x 2 -18x + 45 = 0

    Решение :

    Числа, которые в сумме дают -18 и дают +45 при умножении: -15 и -3.

    Переписывая уравнение,

    → х 2 -15x-3x + 45 = 0

    → х (х-15) -3 (х-15) = 0

    → (х-15) (х-3) = 0

    → x-15 = 0 или x-3 = 0

    → x = 15 или x = 3

    До сих пор коэффициент x 2 был равен 1.Давайте посмотрим, как решить уравнения, в которых коэффициент при x 2 больше 1.

    Задача 3: Решить относительно x: 3x 2 + 2x = 1

    Решение :

    Переписывая наше уравнение, получаем 3x 2 + 2x-1 = 0

    Здесь коэффициент при x 2 равен 3. В этих случаях мы умножаем константу c на коэффициент x 2 . Следовательно, произведение выбранных нами чисел должно быть равно -3 (-1 * 3).

    Выражение 2x как суммы + 3x и –x

    → 3x 2 + 3x-x-1 = 0

    → 3х (х + 1) -1 (х + 1) = 0

    → (3x-1) (x + 1) = 0

    → 3x-1 = 0 или x + 1 = 0

    → x = 1/3 или x = -1

    Задача 4: Решите для x: 11x 2 + 18x + 7 = 0

    Решение :

    В этом случае сумма выбранных чисел должна быть равна 18, а произведение чисел должно быть равно 11 * 7 = 77.

    Это можно сделать, представив 18x как сумму 11x и 7x.

    → 11x 2 + 11x + 7x + 7 = 0

    → 11x (x + 1) +7 (x + 1) = 0

    → (х + 1) (11x + 7) = 0

    → x + 1 = 0 или 11x + 7 = 0

    → x = -1 или x = -7/11.

    Факторинг — это простой способ найти корни. Но этот метод применим только к уравнениям, которые можно разложить на множители.

    Например, рассмотрим уравнение x 2 + 2x-6 = 0.

    Если мы возьмем +3 и -2, их умножение даст -6, но их сложение не даст +2. Следовательно, это квадратное уравнение нельзя разложить на множители.

    Для этого вида уравнений мы применяем формулу корней квадратного уравнения, чтобы найти корни.

    Квадратичная формула для нахождения корней,

    x = [-b ± √ (b 2 -4ac)] / 2a

    Теперь давайте найдем корни приведенного выше уравнения.

    x 2 + 2x-6 = 0

    Здесь a = 1, b = 2 и c = -6.

    Подставляя эти значения в формулу,

    x = [-2 ± √ (4 — (4 * 1 * -6))] / 2 * 1

    → x = [-2 ± √ (4 + 24)] / 2

    → x = [-2 ± √28] / 2

    Когда мы получаем неполный квадрат в квадратном корне, мы обычно пытаемся выразить его как произведение двух чисел, одно из которых является точным квадратом. Это сделано для упрощения. Здесь 28 может быть выражено как произведение 4 и 7.

    → x = [-2 ± √ (4 * 7)] / 2

    → x = [-2 ± 2√7] / 2

    → x = 2 [-1 ± √7] / 2

    → х = -1 ± √7

    Следовательно, √7-1 и -√7-1 являются корнями этого уравнения.

    Рассмотрим другой пример.

    Решить относительно x: x 2 = 24 — 10x

    Решение :

    Переписывая уравнение в стандартную квадратичную форму,

    x 2 + 10x-24 = 0

    Какие два числа при сложении дают +10, а при умножении — -24? 12 и -2.

    Значит, это можно решить методом факторинга. Но давайте решим его новым методом, применив формулу корней квадратного уравнения.

    Здесь a = 1, b = 10 и c = -24.

    x = [-10 ± √ (100 — 4 * 1 * -24)] / 2 * 1

    x = [-10 ± √ (100 — (- 96))] / 2

    x = [-10 ± √196] / 2

    x = [-10 ± 14] / 2

    x = 2 или x = -12 — корни.

    Дискриминант

    Для уравнения ax 2 + bx + c = 0, b 2 -4ac называется дискриминантом и помогает в определении природы корней квадратного уравнения.

    Если b 2 -4ac> 0, корни действительны и различны.

    Если b 2 -4ac = 0, корни действительны и равны.

    Если b 2 -4ac <0, корни не являются действительными (они комплексные).

    Рассмотрим следующий пример:

    Задача: Найдите характер корней уравнения x 2 + x + 12 = 0.

    Решение :

    b 2 -4ac = -47 для этого уравнения. Итак, у него сложные корни. Давайте проверим это.

    → [-1 ± √ (1-48)] / 2 (1)

    → [-1 ± √-47] / 2

    √-47 обычно записывается как i √47, указывая на то, что это мнимое число.

    Значит проверено.

    Тест по квадратным уравнениям: решите следующую

    Проблема 1

    Решить относительно x: x 2 -15x + 56 = 0

    A. x = 14 или x = 4
    B. x = 8 или x = 7
    C. x = 28 или x = 2
    D. Все вышеперечисленное

    Ответ 1

    Б.

    Пояснение

    Только 8 и 7 удовлетворяют условиям сложения до 15 и получения произведения 56.

    Проблема 2

    Найти x, если 2x 2 + 7x + 4 = 0

    A. -7 ± √17 / 4
    B. -7 ± √7 / 4
    C. [-7 ± √17] / 4
    D. [-7 ± √17] / 2

    Ответ 2

    C.

    Пояснение :

    Применяя формулу корней квадратного уравнения и подставляя a = 2, b = 7 и c = 4, мы получаем ответ как C.

    Проблема 3

    При каком значении k уравнение x 2 -12x + k = 0 имеет действительные и равные корни?
    А.6
    Б. 35
    В. 12
    Д. 36

    Ответ 3

    Д.

    Пояснение

    b 2 -4ac = 0, чтобы уравнение имело действительные и равные корни.
    144-4к = 0 → к = 36

    Пройдите этот доступный онлайн-курс по квадратным уравнениям. Из решения, построения графиков и записи квадратного уравнения вы узнаете все шаг за шагом. Щелкните ниже.
    Квадратные уравнения; Ваше полное руководство

    Квадратичная формула — объяснение и примеры

    К настоящему времени вы знаете, как решать квадратные уравнения с помощью таких методов, как завершение квадрата, разность квадрата и формула полного квадрата трехчлена.

    В этой статье мы узнаем, как решать квадратные уравнения, используя два метода, а именно квадратную формулу и графический метод . Прежде чем мы углубимся в эту тему, давайте вспомним, что такое квадратное уравнение.

    Что такое квадратное уравнение?

    Квадратное уравнение в математике определяется как многочлен второй степени, стандартная форма которого — ax 2 + bx + c = 0, где a, b и c — числовые коэффициенты, а a 0.

    Термин вторая степень означает, что по крайней мере один член в уравнении возведен в степень двойки. В квадратном уравнении переменная x является неизвестным значением, для которого нам нужно найти решение.

    Примеры квадратных уравнений: 6x² + 11x — 35 = 0, 2x² — 4x — 2 = 0, 2x² — 64 = 0, x² — 16 = 0, x² — 7x = 0, 2x² + 8x = 0 и т. Д. Например, вы можете заметить, что в некоторых квадратных уравнениях отсутствуют термины «c» и «bx».

    Как пользоваться формулой корней квадратного уравнения?

    Предположим, что ax 2 + bx + c = 0 — наше стандартное квадратное уравнение.Мы можем вывести квадратную формулу, заполнив квадрат, как показано ниже.

    Выделите член c в правой части уравнения

    топор 2 + bx = -c

    Разделите каждый член на a.

    x 2 + bx / a = -c / a

    Выразить в виде полного квадрата
    x 2 + b x / a + (b / 2a) 2 = — c / a + (b / 2a) 2

    (x + b / 2a) 2 = (-4ac + b 2 ) / 4a 2

    (x + b / 2a) = ± √ (-4ac + b 2 ) / 2a

    x = — b / 2a ± √ (b 2 — 4ac) / 2a

    x = [- b ± √ (b 2 — 4ac)] / 2a ……….(Это квадратная формула)

    Наличие плюса (+) и минуса (-) в формуле корней квадратного уравнения означает, что существует два решения, например:

    x 1 = (-b + √b2 — 4ac) / 2a

    А,

    x 2 = (-b — √b2 — 4ac) / 2a

    Два вышеуказанных значения x известны как корни квадратного уравнения. Корни квадратного уравнения зависят от природы дискриминанта. Дискриминант является частью формулы корней квадратного уравнения в виде b 2 — 4 ас.Квадратное уравнение имеет два разных действительных корня дискриминанта.

    Когда значение дискриминанта равно нулю, тогда уравнение будет иметь только один корень или решение. А если дискриминант отрицательный, то квадратное уравнение не имеет действительного корня.

    Как решать квадратные уравнения?

    Давайте решим несколько примеров задач, используя формулу корней квадратного уравнения.

    Пример 1

    Используйте формулу корней квадратного уравнения, чтобы найти корни x 2 -5x + 6 = 0.

    Решение

    Сравнение уравнения с общей формой ax 2 + bx + c = 0 дает,

    a = 1, b = -5 и c = 6

    b 2 — 4ac = (-5) 2 — 4 × 1 × 6 = 1

    Подставить значения в формулу корней квадратного уравнения

    x 1 = (-b + √b2-4ac) / 2a

    ⇒ (5 + 1) / 2

    = 3

    x 2 = (-b — √b2-4ac) / 2a

    ⇒ (5 — 1) / 2

    = 2

    Пример 2

    Решите квадратное уравнение, представленное ниже, по формуле корней квадратного уравнения:

    3x 2 + 6x + 2 = 0

    Решение

    Сравнение задачи с общей формой квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0 дает,

    a = 3, b = 6 и c = 2

    x = [- b ± √ (b 2 — 4ac)] / 2a

    ⇒ [- 6 ± √ (6 2 — 4 * 3 * 2)] / 2 * 3

    ⇒ [- 6 ± √ (36–24)] / 6

    ⇒ [- 6 ± √ (12)] / 6

    x 1 = (-6 + 2√3) / 6

    ⇒ — (2/3) √3

    x 2 = (-6– 2√3) / 6

    ⇒ — (4/3) √3

    Пример 3

    Решить 5x 2 + 6x + 1 = 0

    Решение

    Сравнивая с квадратным уравнением, получаем,

    а = 5, б = 6, с = 1

    Теперь примените формулу корней квадратного уравнения:

    x = −b ± √ (b 2 — 4ac) 2a

    Заменить значения a, b и c

    ⇒ x = −6 ± √ (6 2 — 4 × 5 × 1) 2 × 5

    ⇒ x = −6 ± √ (36-20) 10

    ⇒ x = −6 ± √ (16) 10

    ⇒ х = −6 ± 410

    ⇒ х = — 0.2, −1

    Пример 4

    Решить 5x 2 + 2x + 1 = 0

    Решение

    Коэффициенты:

    а = 5, б = 2, с = 1

    В данном случае дискриминант отрицательный:

    b 2 — 4ac = 2 2 — 4 × 5 × 1

    = −16

    Теперь примените формулу корней квадратного уравнения;

    х = (−2 ± √ −16) / 10

    ⇒√ (−16) = 4

    Где i — мнимое число √ − 1

    ⇒x = (−2 ± 4i) / 10

    Следовательно, x = −0.2 ± 0,4i

    Пример 5

    Решить x 2 — 4x + 6,25 = 0

    Решение

    Согласно стандартной форме квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0, мы можем наблюдать это;

    а = 1, Ь = −4, с = 6,25

    Определите дискриминанты.

    b 2 — 4ac = (−4) 2 — 4 × 1 × 6,25

    = −9 ………………. (отрицательный дискриминант)

    ⇒ x = — (- 4) ± √ (−9) / 2

    ⇒ √ (−9) = 3i; где i — мнимое число √ − 1

    ⇒ х = (4 ± 3i) / 2

    Следовательно, x = 2 ± 1.5i

    Как построить квадратное уравнение?

    Чтобы построить квадратное уравнение, выполните следующие действия:

    • Для данного квадратного уравнения перепишите уравнение, приравняв его к y или f (x)
    • Выберите произвольные значения x и y для построения кривой
    • Теперь изобразите функцию.
    • Считайте корни там, где кривая пересекает или касается оси x.

    Решение квадратных уравнений с помощью построения графиков

    Построение графиков — это еще один метод решения квадратных уравнений.Решение уравнения получается путем считывания отрезков x на графике.

    При решении квадратных уравнений графическим методом есть три возможности:

    • Уравнение имеет один корень или решение, если X-отрезок графика равен 1.
    • Уравнение с двумя корнями имеет 2 интерцепта x
    • Если нет x — точек пересечения, то уравнение не имеет реальных решений.

    Давайте изобразим несколько примеров квадратных уравнений.В этих примерах мы нарисовали наши графики с помощью графического программного обеспечения, но чтобы вы хорошо поняли этот урок, нарисуйте свои графики вручную.

    Пример 1

    Решите уравнение x 2 + x — 3 = 0 графическим методом

    Решение

    Наши произвольные значения показаны в таблице ниже:

    Пересечения по x равны x = 1,3 и x = –2,3. Следовательно, корни квадратного уравнения равны x = 1.3 и x = –2,3

    Пример 2

    Решите уравнение 6x — 9 — x 2 = 0.

    Решение

    Выберите произвольные значения x.

    Кривая касается оси x в точке x = 3. Следовательно, 6 x — 9 — x 2 = 0 имеет одно решение (x = 3).

    Пример 3

    Решите уравнение x 2 + 4x + 8 = 0 графическим методом.

    Решение

    Выберите произвольные значения x.

    В этом примере кривая не касается оси x и не пересекает ее. Следовательно, квадратное уравнение x 2 + 4x + 8 = 0 не имеет действительных корней.

    Практические вопросы

    Решите следующие квадратные уравнения, используя формулу корней квадратного уравнения и графический метод:

    1. x 2 — 3x −10 = 0
    2. x 2 + 3x + 4 = 0
    3. x 2 −7x + 12 = 0
    4. x 2 + 14x + 45 = 0
    5. 9 + 7x = 7x 2
    6. x 2 + 4x + 4 = 0
    7. x 2 — 9x + 14 = 0
    8. 2x 2 — 3x = 0
    9. 4𝑥 2 — 4𝑥 + 5 = 0
    10. 4𝑥 2 — 8𝑥 + 1 = 0
    11. x 2 + 4x — 12 = 0
    12. 10x 2 + 7x — 12 = 0
    13. 10 + 6x — x 2 = 0
    14. 2x 2 + 8x — 25 = 0
    15. x 2 + 5x — 6 = 0
    16. 3x 2 — 27x + 9
    17. 15 — 10х — х 2
    18. 5x 2 + 10x + 15
    19. 24 + 12x — 2x 2
    20. x 2 −12x + 35 = 0

    Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урок

    .

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован.