Решение определенного интеграла онлайн: ∫ Найти интеграл от y = f(x) = e^(-x) dx (e в степени (минус х))

Содержание

Решение интегралов онлайн калькулятор

Интегрирование или решение интегралов — операция, обратная дифференцированию. Геометрический смысл интеграла для функции у = f (х) — это площадь криволинейной трапеции.

Решение определенного интеграла предполагает поиск значения функции в заданных пределах.

Если интеграл неопределенный (нет границ интегрирования), решение предполагает нахождение первообразной:
ʃ – значок интеграла;
dх — значок дифференциала;
f (х) — подынтегральная функция;
f (х) dх — подынтегральное выражение;
F (х) — первообразная функция;
С — константа, которая плюсуется к ответу в любом неопределенном интеграле.

Решение интеграла означает нахождение определенной функции F (х) + C.

Если продифференцировать первообразную, мы должны получить исходное подынтегральное выражение.

Чтобы решить неопределенный интеграл, нужно превратить его в определенную функцию F (х) + C, используя таблицу.

Если интеграл табличного вида, значит он уже решен. В противном случае, интеграл нужно привести к одному из табличных интегралов, применяя основные свойства, правила и приемы решения.

Свойства интегралов:

Существуют функции, интеграл от которых нельзя выразить через элементарные функции. Решаются интегралы от таких функций с помощью таких приемов, как

  • — замена подынтегральной функции близкой к ней функцией, интеграл от которой можно выразить через элементарные функции;
  • — интегрирование по частям по формуле:

Для решения интегралов от дробно-рациональных функций, дробь раскладывают на простейшие, выделяют полный квадрат, после чего в числителе создают дифференциал знаменателя.

Чтобы решить интеграл от дробно-иррациональных функций, необходимо в подкоренном выражении выделить полный квадрат, после чего в числителе создать дифференциал подкоренного выражения.

Калькулятор решения интегралов поможет вам справиться с любыми задачами. Вам нужно:

  • ввести в ячейку калькулятора подынтегральное выражение;
  • ввести верхний предел для интеграла;
  • ввести нижний предел для интеграла. 2+x+1) соответствует Math.pow (x,4)*Math.cos (Math.pow (x,2)+x+1)

    Определенный интеграл, примеры решений

    Определенный интеграл от функции на промежутке обозначается и равен разности двух значений первообразной функции, вычисленных при и (формула Ньютона-Лейбница):

       

    Геометрический смысл определенного интеграла. Определенный интеграл есть площадь криволинейной трапеции ограниченной графиком функции , осью и прямыми и (рис. 1), то есть

       

    Для вычисления определенных интегралов подходят все методы, которые используются для нахождения неопределенных интегралов.

    Примеры

    ПРИМЕР 1




    Задание Вычислить интеграл

       

    Решение Преобразуем подынтегральное выражение

       

    Разобьем интеграл от суммы на сумму интегралов и вынесем за знак интеграла константы:

       

    Полученные интегралы являются табличными, вычислим их:

       

       

       

    Ответ

    ПРИМЕР 2




    Задание Вычислить интеграл

       

    Решение Вынесем константу за знак интеграла и вычислим полученный табличный интеграл:

       

    Ответ

    ПРИМЕР 3




    Задание Вычислить интеграл

       

    Решение Сделаем замену , при этом пределы интегрирования изменятся: и . Подставляя все это в исходный интеграл, получим:

       

       

    Ответ

    ПРИМЕР 4




    Задание Вычислить интеграл

       

    Решение Внесем под знак дифференциала, тогда

       

    Подставляя все в исходный интеграл, получим:

       

       

    Ответ

    ПРИМЕР 5




    Задание Вычислить площадь криволинейной трапеции ограниченной функцией , осью и прямыми и .
    Решение Сделаем рисунок (рис. 2).

    По геометрическому смыслу определенного интеграла нахождение площади заданной криволинейной трапеции сводится к вычислению интеграла

       

    Вычислим этот интеграл:

    (кв. ед.)

    Ответ

    Примеры решения определенных интегралов с объяснением. Решение определенного интеграла онлайн. Вычисление определённых интегралов методом интегрирования по частям и методом замены переменной

    Онлайн сервис на сайт
    позволяет находить решение определенного интеграла онлайн
    . Решение проводится автоматически на сервере и в течении нескольких секунд пользователю выдается результат. Все онлайн сервисы на сайте абсолютно бесплатны, а решение выдается в удобном и понятном виде. Также нашим преимуществом является, что мы предоставляем возможность пользователю ввести границы интегрирования, в том числе и пределы интегрирования: минус и плюс бесконечность. Таким образом, решить определенный интеграл становится просто, быстро и качественно. Важно, что сервер позволяет вычислять определенные интегралы онлайн
    сложных функций, решение которых на иных онлайн-сервисах часто является невозможным ввиду несовершенства их систем. Мы предоставляем очень простой и интуитивно понятный механизм для ввода функций и возможность выбора переменной интегрирования, для чего вам не приходится переводить заданную в одной переменной функцию в другую, исключая связанные с этим ошибки и опечатки. Также на странице даны ссылки на теоретические статьи и таблицы по решению определенных интегралов. Всё в совокупоности позволит вам вычислять определенный интеграл онлайн очень быстро и при желании найти и разобраться с теорией решения определенных интегралов. На http://сайт вы также можете переходить на другие сервисы: онлайн решение пределов, производных, суммы рядов. Перейти же на вкладку решения неопределенных интегралов онлайн совсем просто — ссылка находится в ряду среди полезных ссылок. Более того, сервис постоянно совершенствуется и развивается, и с каждым днем появляются всё новые и новые возможности и усовершенствования. Решайте определенные интегралы
    вместе с нами! Все онлайн сервисы доступны даже незарегистрировшимся пользователям и абсолютно бесплатны.

    Решая определенный интеграл у нас вы можете проверить своё собственное решение или избавиться от излишних трудоемких вычислений и довериться высокотехнологичной автоматизированной машине. Вычисляемая на сервисе точность удовлетворит практически любые инженерные нормы. Часто для многих табличных определенных интегралов результат выдается в точном выражении (используя общеизвестные константы и неэлементарные функции).


    В каждой главе будут и задачи для самостоятельного решения, к которым можно
    посмотреть ответы.

    Понятие определённого интеграла и формула Ньютона-Лейбница

    Определённым интегралом

    от непрерывной функции f
    (x
    ) на конечном отрезке [a
    , b
    ] (где ) называется приращение какой-нибудь её первообразной на этом отрезке. (Вообще, понимание заметно облегчится, если повторить тему неопределённого интеграла) При этом употребляется запись

    Как видно на графиках внизу (приращение первообразной функции обозначено ), определённый
    интеграл может быть как положительным, так и отрицательным числом
    (Вычисляется
    как разность между значением первообразной в верхнем пределе и её же значением в
    нижнем пределе, т. е. как F
    (b
    ) — F
    (a
    )).

    Числа a
    и b
    называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, а отрезок [a
    , b
    ] – отрезком интегрирования.

    Таким образом, если F
    (x
    ) – какая-нибудь первообразная функция для f
    (x
    ), то, согласно определению,

    (38)

    Равенство (38) называется формулой Ньютона-Лейбница

    . Разность F
    (b
    ) – F
    (a
    ) кратко записывают так:

    Поэтому формулу Ньютона-Лейбница будем записывать и так:

    (39)

    Докажем, что определённый интеграл не зависит от того, какая первообразная подынтегральной функции взята при его вычислении. Пусть F
    (x
    ) и Ф(х
    ) – произвольные первообразные подынтегральной функции. Так как это первообразные одной и той же функции, то они отличаются на постоянное слагаемое: Ф(х
    ) = F
    (x
    ) + C
    . Поэтому

    Тем самым установлено, что на отрезке [a
    , b
    ] приращения всех первообразных функции f
    (x
    ) совпадают.

    Таким образом, для вычисления
    определённого интеграла необходимо найти любую первообразную подынтегральной
    функции, т.е. сначала следует найти неопределённый интеграл. Постоянная
    С

    из последующих вычислений исключается. Затем применяется формула Ньютона-Лейбница:
    в первообразную функцию подставляется значение верхнего предела
    b

    , далее — значение
    нижнего предела
    a

    и вычисляется разность
    F(b) — F(a)

    . Полученное число и будет
    определённым интегралом.
    .

    При a
    = b
    по определению принимается

    Пример 1.

    Решение. Сначала найдём неопределённый интеграл:

    Применяя формулу Ньютона-Лейбница к первообразной

    (при С
    = 0), получим

    Однако при вычислении определённого интеграла лучше не находить отдельно первообразную, а сразу записывать интеграл в виде (39).

    Пример 2.
    Вычислить определённый интеграл

    Решение. Используя формулу

    Найти определённый интеграл самостоятельно, а затем посмотреть решение

    Свойства определённого интеграла

    Теорема 2.
    Величина определённого интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования
    , т.е.

    (40)

    Пусть F
    (x
    ) – первообразная для f
    (x
    ). Для f
    (t
    ) первообразной служит та же функция F
    (t
    ), в которой лишь иначе обозначена независимая переменная. Следовательно,

    На основании формулы (39) последнее равенство означает равенство интегралов

    Теорема 3.
    Постоянный множитель можно выносить за знак определённого интеграла
    , т.е.

    (41)

    Теорема 4.
    Определённый интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме определённых интегралов от этих функций
    , т.е.

    (42)

    Теорема 5.
    Если отрезок интегрирования разбит на части, то определённый интеграл по всему отрезку равен сумме определённых интегралов по его частям
    , т.е. если

    (43)

    Теорема 6.
    При перестановке пределов интегрирования абсолютная величина определённого интеграла не меняется, а изменяется лишь его знак
    , т. е.

    (44)

    Теорема 7
    (теорема о среднем). Определённый интеграл равен произведению длины отрезка интегрирования на значение подынтегральной функции в некоторой точке внутри его
    , т.е.

    (45)

    Теорема 8.
    Если верхний предел интегрирования больше нижнего и подынтегральная функция неотрицательна (положительна), то и определённый интеграл неотрицателен (положителен), т.е. если

    Теорема 9.
    Если верхний предел интегрирования больше нижнего и функции и непрерывны, то неравенство

    можно почленно интегрировать
    , т.е.

    (46)

    Свойства определённого интеграла позволяют упрощать непосредственное вычисление интегралов.

    Пример 5.
    Вычислить определённый интеграл

    Используя теоремы 4 и 3, а при нахождении первообразных – табличные интегралы (7) и (6), получим

    Определённый интеграл с переменным верхним пределом

    Пусть f
    (x
    ) – непрерывная на отрезке [a
    , b
    ] функция, а F
    (x
    ) – её первообразная. Рассмотрим определённый интеграл

    (47)

    а через t
    обозначена переменная интегрирования, чтобы не путать её с верхней границей. При изменении х
    меняется и опредёленный интеграл (47), т.е. он является функцией верхнего предела интегрирования х
    , которую обозначим через Ф
    (х
    ), т.е.

    (48)

    Докажем, что функция Ф
    (х
    ) является первообразной для f
    (x
    ) = f
    (t
    ). Действительно, дифференцируя Ф
    (х
    ), получим

    так как F
    (x
    ) – первообразная для f
    (x
    ), а F
    (a
    ) – постояная величина.

    Функция Ф
    (х
    ) – одна из бесконечного множества первообразных для f
    (x
    ), а именно та, которая при x
    = a
    обращается в нуль. Это утверждение получается, если в равенстве (48) положить x
    = a
    и воспользоваться теоремой 1 предыдущего параграфа.

    Вычисление определённых интегралов методом интегрирования по частям и методом замены переменной

    где, по определению, F
    (x
    ) – первообразная для f
    (x
    ). Если в подынтегральном выражении произвести замену переменной

    то в соответствии с формулой (16) можно записать

    В этом выражении

    первообразная функция для

    В самом деле, её производная, согласно правилу дифференцирования сложной функции
    , равна

    Пусть α и β – значения переменной t
    , при которых функция

    принимает соответственно значения a
    и b
    , т.е.

    Но, согласно формуле Ньютона-Лейбница, разность F
    (b
    ) – F
    (a
    ) есть

    Для того чтобы научиться решать определенные интегралы необходимо:

    1) Уметь находить
    неопределенные интегралы.

    2) Уметь вычислить
    определенный интеграл.

    Как видите, для того чтобы освоить определенный интеграл, нужно достаточно хорошо ориентироваться в «обыкновенных» неопределенных интегралах. Поэтому если вы только-только начинаете погружаться в интегральное исчисление, и чайник еще совсем не закипел, то лучше начать с урока Неопределенный интеграл. Примеры решений
    .

    В общем виде определенный интеграл записывается так:

    Что прибавилось по сравнению с неопределенным интегралом? Прибавились пределы интегрирования
    .

    Нижний предел интегрирования

    Верхний предел интегрирования
    стандартно обозначается буквой .
    Отрезок называется отрезком интегрирования
    .

    Прежде чем мы перейдем к практическим примерам, небольшое «факью» по определенному интегралу.

    Что такое определенный интеграл?
    Я бы мог вам рассказать про диаметр разбиения отрезка, предел интегральных сумм и т.д., но урок носит практический характер. Поэтому я скажу, что определенный интеграл – это ЧИСЛО. Да-да, самое что ни на есть обычное число.

    Есть ли у определенного интеграла геометрический смысл?
    Есть. И очень хороший. Самая популярная задача – вычисление площади с помощью определенного интеграла
    .

    Что значит решить определенный интеграл?
    Решить определенный интеграл – это значит, найти число.

    Как решить определенный интеграл?
    С помощью знакомой со школы формулы Ньютона-Лейбница:

    Формулу лучше переписать на отдельный листочек, она должна быть перед глазами на протяжении всего урока.

    Этапы решения определенного интеграла следующие:

    1) Сначала находим первообразную функцию (неопределенный интеграл). Обратите внимание, что константа в определенном интеграле никогда не добавляется
    . Обозначение является чисто техническим, и вертикальная палочка не несет никакого математического смысла, по сути – это просто отчёркивание. Зачем нужна сама запись ? Подготовка для применения формулы Ньютона-Лейбница.

    2) Подставляем значение верхнего предела в первообразную функцию: .

    3) Подставляем значение нижнего предела в первообразную функцию: .

    4) Рассчитываем (без ошибок!) разность , то есть, находим число.

    Всегда ли существует определенный интеграл?
    Нет, не всегда.

    Например, интеграла не существует, поскольку отрезок интегрирования не входит в область определения подынтегральной функции (значения под квадратным корнем не могут быть отрицательными). А вот менее очевидный пример: . Такого интеграла тоже не существует, так как в точках , отрезка не существует тангенса. Кстати, кто еще не прочитал методический материал Графики и основные свойства элементарных функций
    – самое время сделать это сейчас. Будет здорово помогать на протяжении всего курса высшей математики.

    Для того чтобы определенный интеграл вообще существовал, необходимо чтобы подынтегральная функция быланепрерывнойна отрезке интегрирования
    .

    Из вышесказанного следует первая важная рекомендация: перед тем, как приступить к решению ЛЮБОГО определенного интеграла, нужно убедиться в том, что подынтегральная функция непрерывна на отрезке интегрирования
    . По студенческой молодости у меня неоднократно бывал казус, когда я подолгу мучался с нахождением трудной первообразной, а когда наконец-то ее находил, то ломал голову еще над одним вопросом: «что за ерунда получилась?». В упрощенном варианте ситуация выглядит примерно так:

    ???!!!

    Нельзя подставлять отрицательные числа под корень!

    Если для решения (в контрольной работе, на зачете, экзамене) Вам предложен несуществующий интеграл вроде

    то нужно дать ответ, что интеграла не существует и обосновать – почему.

    Может ли определенный интеграл быть равен отрицательному числу?
    Может. И отрицательному числу. И нулю. Может даже получиться бесконечность, но это уже будетнесобственный интеграл
    , коим отведена отдельная лекция.

    Может ли нижний предел интегрирования быть больше верхнего предела интегрирования?
    Может, и такая ситуация реально встречается на практике.

    – интеграл преспокойно вычисляется по формуле Ньютона-Лейбница.

    Без чего не обходится высшая математика? Конечно же, без всевозможных свойств. Поэтому рассмотрим некоторые свойства определенного интеграла.

    В определенном интеграле можно переставить верхний и нижний предел, сменив при этом знак:

    Например, в определенном интеграле перед интегрированием целесообразно поменять пределы интегрирования на «привычный» порядок:

    – в таком виде интегрировать значительно удобнее.

    Как и для неопределенного интеграла, для определенного интеграла справедливы свойства линейности:

    – это справедливо не только для двух, но и для любого количества функций.

    В определенном интеграле можно проводить замену переменной интегрирования
    , правда, по сравнению с неопределенным интегралом тут есть своя специфика, о которой мы еще поговорим.

    Для определенного интеграла справедлива формула интегрирования по частям
    :

    Пример 1

    Решение:

    (1) Выносим константу за знак интеграла.

    (2) Интегрируем по таблице с помощью самой популярной формулы . Появившуюся константу целесообразно отделить от и вынести за скобку. Делать это не обязательно, но желательно – зачем лишние вычисления?

    (3) Используем формулу Ньютона-Лейбница

    .

    Сначала подставляем в верхний предел, затем – нижний предел. Проводим дальнейшие вычисления и получаем окончательный ответ.

    Пример 2

    Вычислить определенный интеграл

    Это пример для самостоятельно решения, решение и ответ в конце урока.

    Немного усложняем задачу:

    Пример 3

    Вычислить определенный интеграл

    Решение:

    (1) Используем свойства линейности определенного интеграла.

    (2) Интегрируем по таблице, при этом все константы выносим – они не будут участвовать в подстановке верхнего и нижнего предела.

    (3) Для каждого из трёх слагаемых применяем формулу Ньютона-Лейбница:

    СЛАБОЕ ЗВЕНО в определенном интеграле – это ошибки вычислений и часто встречающаяся ПУТАНИЦА В ЗНАКАХ. Будьте внимательны! Особое внимание заостряю на третьем слагаемом:

    – первое место в хит-параде ошибок по невнимательности, очень часто машинально пишут

    (особенно, когда подстановка верхнего и нижнего предела проводится устно и не расписывается так подробно). Еще раз внимательно изучите вышерассмотренный пример.

    Следует заметить, что рассмотренный способ решения определенного интеграла – не единственный. При определенном опыте, решение можно значительно сократить. Например, я сам привык решать подобные интегралы так:

    Здесь я устно использовал правила линейности, устно проинтегрировал по таблице. У меня получилась всего одна скобка с отчёркиванием пределов:

    (в отличие от трёх скобок в первом способе). И в «целиковую» первообразную функцию, я сначала подставил сначала 4, затем –2, опять же выполнив все действия в уме.

    Какие недостатки у короткого способа решения? Здесь всё не очень хорошо с точки зрения рациональности вычислений, но лично мне всё равно – обыкновенные дроби я считаю на калькуляторе.
    Кроме того, существует повышенный риск допустить ошибку в вычислениях, таким образом, студенту-чайнику лучше использовать первый способ, при «моём» способе решения точно где-нибудь потеряется знак.

    Несомненными преимуществами второго способа является быстрота решения, компактность записи и тот факт, что первообразная

    находится в одной скобке.

    Данный калькулятор позволяет решить определенный интеграл онлайн. По сути, вычисление определенного интеграла
    — это нахождение числа, которое равно площади под графиком функции. Для решения необходимо задать границы интегрирования и интегрируемую функцию. После интегрирования система найдет первообразную для заданной функции, вычислит её значения в точках границах интегрирования, найдет их разность, что и будет являться решением определенного интеграла. Чтобы решить неопределенный интеграл вам необходимо воспользоваться похожим онлайн калькулятором, который находится на нашем сайте по ссылке — Решить неопределенный интеграл .

    Мы позволяем вычислить определенный интеграл онлайн
    быстро и надежно. Вы получите всегда верное решение. Причем для табличных интегралов ответ будет представляться в классическом виде, то есть выражаться через известные константы, такие как число «пи», «экспонента» и т.д. Все вычисления полностью бесплатны и не требуют регистрации. Решая определенный интеграл у нас, вы избавите себя от трудоемких и сложных вычислений, либо решив интеграл самостоятельно — вы сможете проверить полученное вами решение.

    Введите функцию, для которой надо найти интеграл

    Калькулятор предоставляет ПОДРОБНОЕ решение определённых интегралов.

    Этот калькулятор находит решение определенного интеграла от
    функции f(x) с данными верхними и нижними пределами.

    Примеры

    С применением степени
    (квадрат и куб) и дроби

    (x^2 — 1)/(x^3 + 1)

    Квадратный корень

    Sqrt(x)/(x + 1)

    Кубический корень

    Cbrt(x)/(3*x + 2)

    С применением синуса и косинуса

    2*sin(x)*cos(x)

    Арксинус

    X*arcsin(x)

    Арккосинус

    X*arccos(x)

    Применение логарифма

    X*log(x, 10)

    Натуральный логарифм

    Экспонента

    Tg(x)*sin(x)

    Котангенс

    Ctg(x)*cos(x)

    Иррациональне дроби

    (sqrt(x) — 1)/sqrt(x^2 — x — 1)

    Арктангенс

    X*arctg(x)

    Арккотангенс

    X*arсctg(x)

    Гиберболические синус и косинус

    2*sh(x)*ch(x)

    Гиберболические тангенс и котангенс

    Ctgh(x)/tgh(x)

    Гиберболические арксинус и арккосинус

    X^2*arcsinh(x)*arccosh(x)

    Гиберболические арктангенс и арккотангенс

    X^2*arctgh(x)*arcctgh(x)

    Правила ввода выражений и функций

    Выражения могут состоять из функций (обозначения даны в алфавитном порядке):
    absolute(x)

    Абсолютное значение x

    (модуль x
    или |x|
    )
    arccos(x)

    Функция — арккосинус от x
    arccosh(x)

    Арккосинус гиперболический от x
    arcsin(x)

    Арксинус от x
    arcsinh(x)

    Арксинус гиперболический от x
    arctg(x)

    Функция — арктангенс от x
    arctgh(x)

    Арктангенс гиперболический от x
    e
    e
    число, которое примерно равно 2. 3

    — возведение в степень
    x + 7

    — сложение
    x — 6

    — вычитание

    Другие функции:
    floor(x)

    Функция — округление x
    в меньшую сторону (пример floor(4.5)==4.0)
    ceiling(x)

    Функция — округление x
    в большую сторону (пример ceiling(4.5)==5.0)
    sign(x)

    Функция — Знак x
    erf(x)

    Функция ошибок (или интеграл вероятности)
    laplace(x)

    Функция Лапласа

    Калькулятор Интегралов • По шагам! — Блины на дрожжевом тесте

    Наверху страницы введите функцию, которую Вы хотите проинтегрировать. Переменная интегрирования, пределы интегрирования и другие параметры могут быть изменены в разделе «Настройки». Нажмите «=» чтобы запустить интегрирование/нахождение первообразной функции. Результат будет показан ниже на этой странице.

    Как работает Калькулятор Интегралов

    Для тех кому интересны технические подробности, в этой части рассказывается как устроен и работает Калькулятор Интегралов. Сначала синтаксический анализатор (па́рсер) анализирует исходное математическое выражение. Он преобразует его в форму более удобную для компьютера, а именно в форму дерева (см. картинку ниже). В процессе такого преобразования, Интегральный Калькулятор должен соблюдать порядок операций с учетом их приоритета. Так же, как и то, что в математических выражениях знак умножения часто опускается, например, мы обычно пишем «5x» вместо «5*x». Калькулятор Интегралов должен уметь понимать такие случаи и сам добавлять знак умножения. Па́рсер написан на JavaScript, и основывается на алгоритме сортировочной станции, поэтому может исполняться прямо в браузере. Это дает возможность генерировать удобочитаемое выражение на ходу, преобразуя получающееся дерево в код для (Ла́тех). С помощью MathJax происходит генерация картинки и ее отображение в браузере. По нажатию кнопки «=», Калькулятор Интегралов отправляет математическое выражение вместе с параметрами (переменной интегрирования и пределами интегрирования) на сервер, где оно анализируется еще раз. В этот раз выражение преобразуется в форму которая будет понятна системе компьютерной алгебры Maxima (Ма́ксима). Ма́ксима вычисляет интеграл математической функции. Результат Ма́ксимы снова преобразуется в Ла́тех а затем показывается пользователю. Первообразная вычисляется с помощью алгоритма Ри́ша, который достаточно замысловат для понимания человеком. Именно поэтому задача показывать промежуточные шаги решения интегралов является такой сложной. Для того чтобы всё-таки показать пошаговое решение, Калькулятор Интегралов использует такие же методы, которыми бы воспользовался человек. Алгоритм, который это осуществляет, разрабатывался в течении нескольких лет и был написан на собственном языке программирования Ма́ксимы. Программа содержит более чем 17000 строк кода. Если интегрируемое выражение совпадает по форме с уже известным, алгоритм применяет заранее определённые правила для решения интеграла (например, метод неопределённых коэффициентов для рациональных функций, тригонометрическую подстановку в интегралах с квадратным корнем из квадратичной функции или интегрирование по частям для продуктов определенных функций). Если же оно не совпадает с уже известным, тогда алгоритм пробует разные подстановки и преобразования пока интеграл не будет решен или пока не закончится отведённое для этого время или же пока не кончатся все возможные варианты. С одной стороны, у Калькулятора нет математической интуиции, которая бы очень помогла в поисках первообразной, но зато, с другой стороны, Калькулятор в состоянии перепробовать большое количество разных вариантов за очень короткое время. Такое пошаговое вычисление первообразной по правилам, зачастую, более компактно и элегантно чем вычисленное Ма́ксимой. Еще один режим работы «Проверка решения» должен решить сложную задачу по определению являются ли два математических выражения равными друг другу. Разница между выражениями вычисляется и упрощается с помощью Ма́ксимы настолько, насколько это возможно. К примеру, это может быть переписывание тригонометрических/гиперболических функций в их экспоненциальные формы. Если удается упростить разницу до нуля — задача выполнена. В противном случае, применяется вероятностный алгоритм, который вычисляет и сравнивает оба выражения в случайно выбранных местах. В случае с первообразной, вся процедура повторяется для каждой производной, т. к. первообразная может отличаться константой. Интерактивные графики функций вычисляются в браузере и отрисовываются на Сanvas («Холст») из HTML5. Для каждой математической функции, которая должна быть отрисована, Калькулятор создает функцию JavaScript, которая затем вычисляется с шагом, необходимым для правильного отображения графика. Все сингулярности (например полюса) функции обнаруживаются в процессе отрисовки и обрабатываются отдельно. Управление жестами для мобильных устройств сделано на основе Если у Вас есть вопросы или пожелания, а так же идеи как улучшить Калькулятор Интегралов, пожалуйста пишите мне на e-mail.

    вычислить тройной интеграл онлайн

    Вы искали вычислить тройной интеграл онлайн? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное

    решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и калькулятор тройных интегралов, не

    исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению

    в вуз.

    И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение.

    Например, «вычислить тройной интеграл онлайн».

    Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей

    жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек

    использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на

    месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который

    может решить задачи, такие, как вычислить тройной интеграл онлайн, калькулятор тройных интегралов, онлайн решение тройного интеграла, онлайн решение тройных интегралов, решение тройных интегралов онлайн, тройной интеграл калькулятор онлайн, тройной интеграл онлайн калькулятор, тройные интегралы онлайн. На этой странице вы найдёте калькулятор,

    который поможет решить любой вопрос, в том числе и вычислить тройной интеграл онлайн. Просто введите задачу в окошко и нажмите

    «решить» здесь (например, онлайн решение тройного интеграла).

    Где можно решить любую задачу по математике, а так же вычислить тройной интеграл онлайн Онлайн?

    Решить задачу вычислить тройной интеграл онлайн вы можете на нашем сайте. Бесплатный

    онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо

    сделать — это просто

    ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести

    вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице

    калькулятора.

    Решение определенного интеграла онлайн бесплатно

    Полезные ссылки:

    Решение неопределенного интеграла

    Как вводить функции (подробно)

    Таблица интегралов

    Методы интегрирования (теория)

    Введите переменную: (от a до z)

    Выберите нижний предел интегрирования:

    Выберите верхний предел интегрирования:

    Пример функции: sqrt(x^2+1)+sin(x)

    xyπe123÷триг. функции

    a2ababexp456×стереть

    ()|a|ln789-↑↓

    √3√Cloga0. ↵+←→

    TRIG:sincostancotcscsecназад

    INVERSE:arcsinarccosarctanacotacscasecстереть

    HYPERB:sinhcoshtanhcothxπ↑↓

    OTHER:’, y=<>←→

    Что делать, если решение не появляется (пустой экран)?

    Данный калькулятор по решению интегралов онлайн построен на основе системы WolframAlpha Mathematica. Все права на его использование принадлежат компании Wolfram Alpha LLC!

    Определенный интеграл

    Онлайн сервис на позволяет находить решение определенного интеграла онлайн. Решение проводится автоматически на сервере и в течении нескольких секунд пользователю выдается результат. Все онлайн сервисы на сайте абсолютно бесплатны, а решение выдается в удобном и понятном виде. Также нашим преимуществом является, что мы предоставляем возможность пользователю ввести границы интегрирования, в том числе и пределы интегрирования: минус и плюс бесконечность. Таким образом, решить определенный интеграл становится просто, быстро и качественно. Важно, что сервер позволяет вычислять определенные интегралы онлайн сложных функций, решение которых на иных онлайн-сервисах часто является невозможным ввиду несовершенства их систем. Мы предоставляем очень простой и интуитивно понятный механизм для ввода функций и возможность выбора переменной интегрирования, для чего вам не приходится переводить заданную в одной переменной функцию в другую, исключая связанные с этим ошибки и опечатки. Также на странице даны ссылки на теоретические статьи и таблицы по решению определенных интегралов. Всё в совокупоности позволит вам вычислять определенный интеграл онлайн очень быстро и при желании найти и разобраться с теорией решения определенных интегралов. На вы также можете переходить на другие сервисы: онлайн решение пределов, производных, суммы рядов. Перейти же на вкладку решения неопределенных интегралов онлайн совсем просто — ссылка находится в ряду среди полезных ссылок. Более того, сервис постоянно совершенствуется и развивается, и с каждым днем появляются всё новые и новые возможности и усовершенствования. Решайте определенные интегралы вместе с нами! Все онлайн сервисы доступны даже незарегистрировшимся пользователям и абсолютно бесплатны.

    Решая определенный интеграл у нас вы можете проверить своё собственное решение или избавиться от излишних трудоемких вычислений и довериться высокотехнологичной автоматизированной машине. Вычисляемая на сервисе точность удовлетворит практически любые инженерные нормы. Часто для многих табличных определенных интегралов результат выдается в точном выражении (используя общеизвестные константы и неэлементарные функции).

    Похожие сервисы:

    Вычислить определенный интеграл

    Calculate definite integral online

    Поделиться ссылкой:

    Похожее

    Несобственный интеграл 1-го и 2-го рода. Сходимость несобственного интеграла. Примеры решения задач онлайн

    Понятие несобственного
    интеграла является обобщением понятия определенного интеграла на случай, когда
    либо промежуток интегрирования бесконечен (интеграл имеет бесконечные пределы
    интегрирования), либо подынтегральная функция в некоторых точках обращается в
    бесконечность.

    Несобственные интегралы 1-го рода

    Рассмотрим несобственные
    интегралы первого рода.

    Если функция

     определена
    на промежутке

     и при
    любом

     существует
    определенный интеграл


    то можно рассматривать


    этот

    предел

    и называют
    несобственным интегралом от функции

     на
    промежутке

    . Его обозначают


    примем, если предел
    конечен, то говорят, что несобственный интеграл сходится, а функция

     интегрируема
    на промежутке

    ; если же предел бесконечен или вовсе не
    существует, то говорят, что несобственный интеграл расходится, а функция

     не интегрируема
    на

    .

    Таким образом, по
    определению, если существует


    то


    Подобным образом
    определяются несобственные интегралы и для других бесконечных промежутков:



    Так как несобственные
    интегралы с бесконечными пределами получаются предельным переходом из соответствующих
    определенных (собственных) интегралов, то на первые переносятся все те свойства
    последних, которые сохраняются при этом предельном переходе.

    Несобственные интегралы 2-го рода

    Перейдем теперь к
    рассмотрению несобственного интеграла от неограниченной функции (несобственного
    интеграла второго рода). Пусть функция

     определена
    на отрезке

    , за исключением точки

    , в окрестности которой она не ограничена.
    Если существует определенный интеграл


    при любом

    , то можно рассматривать


    Этот предел называется
    несобственным интегралом второго рода на

     от
    неограниченной на нем функции

     и
    обозначается


    При этом, если

    предел
    существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся, а
    неограниченная функция

     – интегрируемой
    на

    .
    Если же

    предел
    бесконечен или вовсе не
    существует, то несобственный интеграл называется расходящимся, а функция

     – не
    интегрируемой на

    .

    Аналогично определяется
    несобственный интеграл для случая, когда функция

     определена
    на отрезке

    , за исключением точки

    , в окрестности которой она не ограничена.

    В случае, если точка
    разрыва функции

     – точка

     – лежит
    между точками

     и

     и несобственные интегралы на отрезках

     и

     существуют,
    то считают, то


    Задания на определенный интеграл. Интегралы – что это, как решать, примеры решений и объяснение для чайников. Правила вычисления интегралов для чайников

    Данный калькулятор позволяет решить определенный интеграл онлайн. По сути, вычисление определенного интеграла
    — это нахождение числа, которое равно площади под графиком функции. Для решения необходимо задать границы интегрирования и интегрируемую функцию. После интегрирования система найдет первообразную для заданной функции, вычислит её значения в точках границах интегрирования, найдет их разность, что и будет являться решением определенного интеграла. Чтобы решить неопределенный интеграл вам необходимо воспользоваться похожим онлайн калькулятором, который находится на нашем сайте по ссылке — Решить неопределенный интеграл .

    Мы позволяем вычислить определенный интеграл онлайн
    быстро и надежно. Вы получите всегда верное решение. Причем для табличных интегралов ответ будет представляться в классическом виде, то есть выражаться через известные константы, такие как число «пи», «экспонента» и т.д. Все вычисления полностью бесплатны и не требуют регистрации. Решая определенный интеграл у нас, вы избавите себя от трудоемких и сложных вычислений, либо решив интеграл самостоятельно — вы сможете проверить полученное вами решение.

    Онлайн сервис на сайт
    позволяет находить решение определенного интеграла онлайн
    . Решение проводится автоматически на сервере и в течении нескольких секунд пользователю выдается результат. Все онлайн сервисы на сайте абсолютно бесплатны, а решение выдается в удобном и понятном виде. Также нашим преимуществом является, что мы предоставляем возможность пользователю ввести границы интегрирования, в том числе и пределы интегрирования: минус и плюс бесконечность. Таким образом, решить определенный интеграл становится просто, быстро и качественно. Важно, что сервер позволяет вычислять определенные интегралы онлайн
    сложных функций, решение которых на иных онлайн-сервисах часто является невозможным ввиду несовершенства их систем. Мы предоставляем очень простой и интуитивно понятный механизм для ввода функций и возможность выбора переменной интегрирования, для чего вам не приходится переводить заданную в одной переменной функцию в другую, исключая связанные с этим ошибки и опечатки. Также на странице даны ссылки на теоретические статьи и таблицы по решению определенных интегралов. Всё в совокупоности позволит вам вычислять определенный интеграл онлайн очень быстро и при желании найти и разобраться с теорией решения определенных интегралов. На http://сайт вы также можете переходить на другие сервисы: онлайн решение пределов, производных, суммы рядов. Перейти же на вкладку решения неопределенных интегралов онлайн совсем просто — ссылка находится в ряду среди полезных ссылок. Более того, сервис постоянно совершенствуется и развивается, и с каждым днем появляются всё новые и новые возможности и усовершенствования. Решайте определенные интегралы
    вместе с нами! Все онлайн сервисы доступны даже незарегистрировшимся пользователям и абсолютно бесплатны.

    Решая определенный интеграл у нас вы можете проверить своё собственное решение или избавиться от излишних трудоемких вычислений и довериться высокотехнологичной автоматизированной машине. Вычисляемая на сервисе точность удовлетворит практически любые инженерные нормы. Часто для многих табличных определенных интегралов результат выдается в точном выражении (используя общеизвестные константы и неэлементарные функции).


    В каждой главе будут и задачи для самостоятельного решения, к которым можно
    посмотреть ответы.

    Понятие определённого интеграла и формула Ньютона-Лейбница

    Определённым интегралом

    от непрерывной функции f
    (x
    ) на конечном отрезке [a
    , b
    ] (где ) называется приращение какой-нибудь её первообразной на этом отрезке. (Вообще, понимание заметно облегчится, если повторить тему неопределённого интеграла) При этом употребляется запись

    Как видно на графиках внизу (приращение первообразной функции обозначено ), определённый
    интеграл может быть как положительным, так и отрицательным числом
    (Вычисляется
    как разность между значением первообразной в верхнем пределе и её же значением в
    нижнем пределе, т. е. как F
    (b
    ) — F
    (a
    )).

    Числа a
    и b
    называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, а отрезок [a
    , b
    ] – отрезком интегрирования.

    Таким образом, если F
    (x
    ) – какая-нибудь первообразная функция для f
    (x
    ), то, согласно определению,

    (38)

    Равенство (38) называется формулой Ньютона-Лейбница

    . Разность F
    (b
    ) – F
    (a
    ) кратко записывают так:

    Поэтому формулу Ньютона-Лейбница будем записывать и так:

    (39)

    Докажем, что определённый интеграл не зависит от того, какая первообразная подынтегральной функции взята при его вычислении. Пусть F
    (x
    ) и Ф(х
    ) – произвольные первообразные подынтегральной функции. Так как это первообразные одной и той же функции, то они отличаются на постоянное слагаемое: Ф(х
    ) = F
    (x
    ) + C
    . Поэтому

    Тем самым установлено, что на отрезке [a
    , b
    ] приращения всех первообразных функции f
    (x
    ) совпадают.

    Таким образом, для вычисления
    определённого интеграла необходимо найти любую первообразную подынтегральной
    функции, т.е. сначала следует найти неопределённый интеграл. Постоянная
    С

    из последующих вычислений исключается. Затем применяется формула Ньютона-Лейбница:
    в первообразную функцию подставляется значение верхнего предела
    b

    , далее — значение
    нижнего предела
    a

    и вычисляется разность
    F(b) — F(a)

    . Полученное число и будет
    определённым интегралом.
    .

    При a
    = b
    по определению принимается

    Пример 1.

    Решение. Сначала найдём неопределённый интеграл:

    Применяя формулу Ньютона-Лейбница к первообразной

    (при С
    = 0), получим

    Однако при вычислении определённого интеграла лучше не находить отдельно первообразную, а сразу записывать интеграл в виде (39).

    Пример 2.
    Вычислить определённый интеграл

    Решение. Используя формулу

    Найти определённый интеграл самостоятельно, а затем посмотреть решение

    Свойства определённого интеграла

    Теорема 2.
    Величина определённого интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования
    , т.е.

    (40)

    Пусть F
    (x
    ) – первообразная для f
    (x
    ). Для f
    (t
    ) первообразной служит та же функция F
    (t
    ), в которой лишь иначе обозначена независимая переменная. Следовательно,

    На основании формулы (39) последнее равенство означает равенство интегралов

    Теорема 3.
    Постоянный множитель можно выносить за знак определённого интеграла
    , т.е.

    (41)

    Теорема 4.
    Определённый интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме определённых интегралов от этих функций
    , т.е.

    (42)

    Теорема 5.
    Если отрезок интегрирования разбит на части, то определённый интеграл по всему отрезку равен сумме определённых интегралов по его частям
    , т.е. если

    (43)

    Теорема 6.
    При перестановке пределов интегрирования абсолютная величина определённого интеграла не меняется, а изменяется лишь его знак
    , т.е.

    (44)

    Теорема 7
    (теорема о среднем). Определённый интеграл равен произведению длины отрезка интегрирования на значение подынтегральной функции в некоторой точке внутри его
    , т.е.

    (45)

    Теорема 8.
    Если верхний предел интегрирования больше нижнего и подынтегральная функция неотрицательна (положительна), то и определённый интеграл неотрицателен (положителен), т.е. если

    Теорема 9.
    Если верхний предел интегрирования больше нижнего и функции и непрерывны, то неравенство

    можно почленно интегрировать
    , т.е.

    (46)

    Свойства определённого интеграла позволяют упрощать непосредственное вычисление интегралов.

    Пример 5.
    Вычислить определённый интеграл

    Используя теоремы 4 и 3, а при нахождении первообразных – табличные интегралы (7) и (6), получим

    Определённый интеграл с переменным верхним пределом

    Пусть f
    (x
    ) – непрерывная на отрезке [a
    , b
    ] функция, а F
    (x
    ) – её первообразная. Рассмотрим определённый интеграл

    (47)

    а через t
    обозначена переменная интегрирования, чтобы не путать её с верхней границей. При изменении х
    меняется и опредёленный интеграл (47), т.е. он является функцией верхнего предела интегрирования х
    , которую обозначим через Ф
    (х
    ), т.е.

    (48)

    Докажем, что функция Ф
    (х
    ) является первообразной для f
    (x
    ) = f
    (t
    ). Действительно, дифференцируя Ф
    (х
    ), получим

    так как F
    (x
    ) – первообразная для f
    (x
    ), а F
    (a
    ) – постояная величина.

    Функция Ф
    (х
    ) – одна из бесконечного множества первообразных для f
    (x
    ), а именно та, которая при x
    = a
    обращается в нуль. Это утверждение получается, если в равенстве (48) положить x
    = a
    и воспользоваться теоремой 1 предыдущего параграфа.

    Вычисление определённых интегралов методом интегрирования по частям и методом замены переменной

    где, по определению, F
    (x
    ) – первообразная для f
    (x
    ). Если в подынтегральном выражении произвести замену переменной

    то в соответствии с формулой (16) можно записать

    В этом выражении

    первообразная функция для

    В самом деле, её производная, согласно правилу дифференцирования сложной функции
    , равна

    Пусть α и β – значения переменной t
    , при которых функция

    принимает соответственно значения a
    и b
    , т.е.

    Но, согласно формуле Ньютона-Лейбница, разность F
    (b
    ) – F
    (a
    ) есть

    Примеры вычисления неопределённых интегралов

    Вычисление интеграла по таблице

    Интегрирование подстановкой:

    Примеры вычисления интегралов

    Основная формула Ньютона – Лейбница

    Вычисления подстановкой

    Глава 4 Дифференциальные уравнения.

    Дифференциальным уравнением
    называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную х

    , искомую функции у

    и ее производные или дифференциалы.

    Символически дифференцированное уравнение записывается так:

    Дифференциальное уравнение называется обыкновенным
    , если искомая функция зависит от одного независимого переменного.

    Порядком
    дифференциального уравнения называется порядок старшей производной (или дифференциала), входящей в данное уравнение.

    Решением
    (или интегралом
    ) дифференциального уравнения называется такая функция, которая обращает это уравнение в тождество.

    Общим решением
    (или общим интегралом
    ) дифференциального уравнения называется такое решение, в которое входит столько независимых произвольных постоянных, каков порядок уравнения. Так, общее решение дифференциального уравнения первого порядка содержит одну произвольную постоянную.

    Частным решением
    дифференциального уравнения называется решение, полученное из общего при различных числовых значениях произвольных постоянных. Значения произвольных постоянных находятся при определенных начальных значениях аргумента и функции.

    График частного решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.

    Общему решению дифференциального уравнения соответствует совокупность (семейство) всех интегральных кривых.

    Дифференциальным уравнением первого порядка
    называется уравнение, в которое входят производные (или дифференциалы) не выше первого порядка.

    Дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными
    называется уравнение вида

    Для решения этого уравнения нужно сначала разделить переменные:

    а затем проинтегрировать обе части полученного равенства:

    1.
    Найти общее решение уравнения

    o Разделив переменные имеем

    Интегрируя обе части полученного уравнения:

    Так как произвольная постоянная С
    может принимать любые числовые значения, то для удобства дальнейших преобразований вместо C
    мы написали (1/2) lnC.
    Потенцируя последнее равенство получим

    Это и есть общее решение данного уравнения.

    Литература

    В. Г. Болтянский, Что такое дифференцирование, «Популярные лекции по математике»,

    Выпуск 17, Гостехиздат 1955 г., 64 стр.

    В. А. Гусев, А. Г. Мордкович «Математика»

    Г. М. Фихтенгольц «Курс дифференциального и интегрального исчисления», том 1

    В. М. Бородихин, Высшая математика, учеб. пособие, ISBN 5-7782-0422-1.

    Никольский С. М. Глава 9. Определенный интеграл Римана // Курс математического анализа. — 1990. — Т. 1.

    Ильин В. А., Позняк, Э. Г. Глава 6. Неопределенный интеграл // Основы математического анализа. — 1998. — Т. 1. — (Курс высшей математики и математической физики).

    Демидович Б.П. Отдел 3. Неопределенный интеграл // Сборник задач и упражнений по математическому анализу. — 1990. — (Курс высшей математики и математической физики).

    Валуцэ И.И., Дилигул Г.Д. Математика для техникумов на базе средней школы: Учеб.пособие-2-е изд.перераб. и доп. М.6Наука. 1989

    Колягин Ю.М. Яковлев Г.Н. математика для техникумов. Алгебра и начала анализа 1 и 2 часть. Издательство «Наукка» М., 1981г.

    Щипачев В.С. Задачи по высшей математике: Учеб. Пособие для вузов. Высш. Шк. 1997г.

    Богомолов Н.В практические занятия по математике: учеб. Пособие для техникумов. Высш. Шк 1997г.

    Решение интегралов – задача легкая, но только для избранных. Эта статья для тех, кто хочет научиться понимать интегралы, но не знает о них ничего или почти ничего. Интеграл… Зачем он нужен? Как его вычислять? Что такое определенный и неопределенный интегралы?

    Если единственное известное вам применение интеграла – доставать крючком в форме значка интеграла что-то полезное из труднодоступных мест, тогда добро пожаловать! Узнайте, как решать простейшие и другие интегралы и почему без этого никак нельзя обойтись в математике.

    Изучаем понятие «

    интеграл»

    Интегрирование было известно еще в Древнем Египте. Конечно, не в современном виде, но все же. С тех пор математики написали очень много книг по этой теме. Особенно отличились Ньютон

    и Лейбниц

    , но суть вещей не изменилась.

    Как понять интегралы с нуля? Никак! Для понимания этой темы все равно понадобятся базовые знания основ математического анализа. Сведения о , необходимые и для понимания интегралов, уже есть у нас в блоге.

    Неопределенный интеграл

    Пусть у нас есть какая-то функция f(x)

    .

    Неопределенным интегралом функции f(x)

    называется такая функция F(x)

    , производная которой равна функции f(x)

    .

    Другими словами интеграл – это производная наоборот или первообразная. Кстати, о том, как читайте в нашей статье.

    Первообразная существует для всех непрерывных функций. Также к первообразной часто прибавляют знак константы, так как производные функций, различающихся на константу, совпадают. Процесс нахождения интеграла называется интегрированием.

    Простой пример:

    Чтобы постоянно не высчитывать первообразные элементарных функций, их удобно свести в таблицу и пользоваться уже готовыми значениями.

    Полная таблица интегралов для студентов

    Определенный интеграл

    Имея дело с понятием интеграла, мы имеем дело с бесконечно малыми величинами. Интеграл поможет вычислить площадь фигуры, массу неоднородного тела, пройденный при неравномерном движении путь и многое другое. Следует помнить, что интеграл – это сумма бесконечно большого количества бесконечно малых слагаемых.

    В качестве примера представим себе график какой-нибудь функции.

    Как найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции? С помощью интеграла! Разобьем криволинейную трапецию, ограниченную осями координат и графиком функции, на бесконечно малые отрезки. Таким образом фигура окажется разделена на тонкие столбики. Сумма площадей столбиков и будет составлять площадь трапеции. Но помните, что такое вычисление даст примерный результат. Однако чем меньше и уже будут отрезки, тем точнее будет вычисление. Если мы уменьшим их до такой степени, что длина будет стремиться к нулю, то сумма площадей отрезков будет стремиться к площади фигуры. Это и есть определенный интеграл, который записывается так:

    Точки а и b называются пределами интегрирования.

    «

    Интеграл»

    Кстати!
    Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на

    Правила вычисления интегралов для чайников

    Свойства неопределенного интеграла

    Как решить неопределенный интеграл? Здесь мы рассмотрим свойства неопределенного интеграла, которые пригодятся при решении примеров.

    • Производная от интеграла равна подынтегральной функции:
    • Константу можно выносить из-под знака интеграла:
    • Интеграл от суммы равен сумме интегралов. Верно также для разности:

    Свойства определенного интеграла

    • Знак интеграла изменяется, если поменять местами пределы интегрирования:
    • При любых
      точках a
      , b
      и с
      :

    Мы уже выяснили, что определенный интеграл – это предел суммы.pi=pi + (sin pi – sin 0)=pi + (0 – 0)=pi $$

    Решение прикладных задач сводится к вычислению интеграла, но не всегда это возможно сделать точно. Иногда необходимо знать значение определенного интеграла с некоторой степенью точности, к примеру, до тысячной.

    Существуют задачи, когда следовало бы найти приближенное значение определенного интеграла с необходимой точностью, тогда применяют численное интегрирование такое, как метод Симпосна, трапеций, прямоугольников. Не все случаи позволяют вычислить его с определенной точностью.

    Данная статья рассматривает применение формулы Ньютона-Лейбница. Это необходимо для точного вычисления определенного интеграла. Будут приведены подробные примеры, рассмотрены замены переменной в определенном интеграле и найдем значения определенного интеграла при интегрировании по частям.

    Формула Ньютона-Лейбница

    Когда функция y = y ( x ) является непрерывной из отрезка [ a ; b ] ,а F ( x ) является одной из первообразных функции этого отрезка, тогда формула Ньютона-Лейбница считается справедливой. Запишем ее так ∫ a b f ( x ) d x = F ( b ) – F ( a ) .

    Данную формулу считают основной формулой интегрального исчисления.

    Чтобы произвести доказательство этой формулы, необходимо использовать понятие интеграла с имеющимся переменным верхним пределом.

    Когда функция y = f ( x ) непрерывна из отрезка [ a ; b ] , тогда значение аргумента x ∈ a ; b , а интеграл имеет вид ∫ a x f ( t ) d t и считается функцией верхнего предела. Необходимо принять обозначение функции примет вид ∫ a x f ( t ) d t = Φ ( x ) , она является непрерывной, причем для нее справедливо неравенство вида ∫ a x f ( t ) d t ‘ = Φ ‘ ( x ) = f ( x ) .

    Зафиксируем, что приращении функции Φ ( x ) соответствует приращению аргумента ∆ x , необходимо воспользоваться пятым основным свойством определенного интеграла и получим

    Φ ( x + ∆ x ) – Φ x = ∫ a x + ∆ x f ( t ) d t – ∫ a x f ( t ) d t = = ∫ a x + ∆ x f ( t ) d t = f ( c ) · x + ∆ x – x = f ( c ) · ∆ x

    где значение c ∈ x ; x + ∆ x .

    Зафиксируем равенство в виде Φ ( x + ∆ x ) – Φ ( x ) ∆ x = f ( c ) . По определению производной функции необходимо переходить к пределу при ∆ x → 0 , тогда получаем формулу вида Φ ‘ ( x ) = f ( x ) . Получаем, что Φ ( x ) является одной из первообразных для функции вида y = f ( x ) , расположенной на [ a ; b ] . Иначе выражение можно записать

    F ( x ) = Φ ( x ) + C = ∫ a x f ( t ) d t + C , где значение C является постоянной.

    Произведем вычисление F ( a ) с использованием первого свойства определенного интеграла. Тогда получаем, что

    F ( a ) = Φ ( a ) + C = ∫ a a f ( t ) d t + C = 0 + C = C , отсюда получаем, что C = F ( a ) . Результат применим при вычислении F ( b ) и получим:

    F ( b ) = Φ ( b ) + C = ∫ a b f ( t ) d t + C = ∫ a b f ( t ) d t + F ( a ) , иначе говоря, F ( b ) = ∫ a b f ( t ) d t + F ( a ) . Равенство доказывает формулу Ньютона-Лейбница ∫ a b f ( x ) d x + F ( b ) – F ( a ) .

    Приращение функции принимаем как F x a b = F ( b ) – F ( a ) . С помощью обозначения формулу Ньютона-Лейбница принимает вид ∫ a b f ( x ) d x = F x a b = F ( b ) – F ( a ) .

    Чтобы применить формулу, обязательно необходимо знать одну из первообразных y = F ( x ) подынтегральной функции y = f ( x ) из отрезка [ a ; b ] , произвести вычисление приращения первообразной из этого отрезка. Рассмотрим несколько примером вычисления, используя формулу Ньютона-Лейбница.

    Произвести вычисление определенного интеграла ∫ 1 3 x 2 d x по формуле Ньютона-Лейбница.

    Рассмотрим, что подынтегральная функция вида y = x 2 является непрерывной из отрезка [ 1 ; 3 ] , тогда и интегрируема на этом отрезке. По таблице неопределенных интегралов видим, что функция y = x 2 имеет множество первообразных для всех действительных значений x , значит, x ∈ 1 ; 3 запишется как F ( x ) = ∫ x 2 d x = x 3 3 + C . Необходимо взять первообразную с С = 0 , тогда получаем, что F ( x ) = x 3 3 .

    Воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница и получим, что вычисление определенного интеграла примет вид ∫ 1 3 x 2 d x = x 3 3 1 3 = 3 3 3 – 1 3 3 = 26 3 .

    Ответ: ∫ 1 3 x 2 d x = 26 3

    Произвести вычисление определенного интеграла ∫ – 1 2 x · e x 2 + 1 d x по формуле Ньютона-Лейбница.

    Заданная функция непрерывна из отрезка [ – 1 ; 2 ] , значит, на нем интегрируема. Необходимо найти значение неопределенного интеграла ∫ x · e x 2 + 1 d x при помощи метода подведения под знак дифференциала , тогда получаем ∫ x · e x 2 + 1 d x = 1 2 ∫ e x 2 + 1 d ( x 2 + 1 ) = 1 2 e x 2 + 1 + C .

    Отсюда имеем множество первообразных функции y = x · e x 2 + 1 , которые действительны для всех x , x ∈ – 1 ; 2 .

    Необходимо взять первообразную при С = 0 и применить формулу Ньютона-Лейбница. Тогда получим выражение вида

    ∫ – 1 2 x · e x 2 + 1 d x = 1 2 e x 2 + 1 – 1 2 = = 1 2 e 2 2 + 1 – 1 2 e ( – 1 ) 2 + 1 = 1 2 e ( – 1 ) 2 + 1 = 1 2 e 2 ( e 3 – 1 )

    Ответ: ∫ – 1 2 x · e x 2 + 1 d x = 1 2 e 2 ( e 3 – 1 )

    Произвести вычисление интегралов ∫ – 4 – 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x и ∫ – 1 1 4 x 3 + 2 x 2 d x .

    Отрезок – 4 ; – 1 2 говорит о том, что функция, находящаяся под знаком интеграла, является непрерывной, значит, она интегрируема. Отсюда найдем множество первообразных функции y = 4 x 3 + 2 x 2 . Получаем, что

    ∫ 4 x 3 + 2 x 2 d x = 4 ∫ x d x + 2 ∫ x – 2 d x = 2 x 2 – 2 x + C

    Необходимо взять первообразную F ( x ) = 2 x 2 – 2 x , тогда, применив формулу Ньютона-Лейбница, получаем интеграл, который вычисляем:

    ∫ – 4 – 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x = 2 x 2 – 2 x – 4 – 1 2 = 2 – 1 2 2 – 2 – 1 2 – 2 – 4 2 – 2 – 4 = 1 2 + 4 – 32 – 1 2 = – 28

    Производим переход к вычислению второго интеграла.

    Из отрезка [ – 1 ; 1 ] имеем, что подынтегральная функция считается неограниченной, потому как lim x → 0 4 x 3 + 2 x 2 = + ∞ , тогда отсюда следует, что необходимым условием интегрируемости из отрезка. Тогда F ( x ) = 2 x 2 – 2 x не является первообразной для y = 4 x 3 + 2 x 2 из отрезка [ – 1 ; 1 ] , так как точка O принадлежит отрезку, но не входит в область определения. Значит, что имеется определенный интеграл Римана и Ньютона-Лейбница для функции y = 4 x 3 + 2 x 2 из отрезка [ – 1 ; 1 ] .

    Ответ: ∫ – 4 – 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x = – 28 , имеется определенный интеграл Римана и Ньютона-Лейбница для функции y = 4 x 3 + 2 x 2 из отрезка [ – 1 ; 1 ] .

    Перед использованием формулы Ньютона-Лейбница нужно точно знать о существовании определенного интеграла.

    Замена переменной в определенном интеграле

    Когда функция y = f ( x ) является определенной и непрерывной из отрезка [ a ; b ] , тогда имеющееся множество [ a ; b ] считается областью значений функции x = g ( z ) , определенной на отрезке α ; β с имеющейся непрерывной производной, где g ( α ) = a и g β = b , отсюда получаем, что ∫ a b f ( x ) d x = ∫ α β f ( g ( z ) ) · g ‘ ( z ) d z .

    Данную формулу применяют тогда, когда нужно вычислять интеграл ∫ a b f ( x ) d x , где неопределенный интеграл имеет вид ∫ f ( x ) d x , вычисляем при помощи метода подстановки.

    Произвести вычисление определенного интеграла вида ∫ 9 18 1 x 2 x – 9 d x .

    Подынтегральная функция считается непрерывной на отрезке интегрирования, значит определенный интеграл имеет место на существование. Дадим обозначение, что 2 x – 9 = z ⇒ x = g ( z ) = z 2 + 9 2 . Значение х = 9 , значит, что z = 2 · 9 – 9 = 9 = 3 , а при х = 18 получаем, что z = 2 · 18 – 9 = 27 = 3 3 , тогда g α = g ( 3 ) = 9 , g β = g 3 3 = 18 . При подстановке полученных значений в формулу ∫ a b f ( x ) d x = ∫ α β f ( g ( z ) ) · g ‘ ( z ) d z получаем, что

    ∫ 9 18 1 x 2 x – 9 d x = ∫ 3 3 3 1 z 2 + 9 2 · z · z 2 + 9 2 ‘ d z = = ∫ 3 3 3 1 z 2 + 9 2 · z · z d z = ∫ 3 3 3 2 z 2 + 9 d z

    По таблице неопределенных интегралов имеем, что одна из первообразных функции 2 z 2 + 9 принимает значение 2 3 a r c t g z 3 . Тогда при применении формулы Ньютона-Лейбница получаем, что

    ∫ 3 3 3 2 z 2 + 9 d z = 2 3 a r c t g z 3 3 3 3 = 2 3 a r c t g 3 3 3 – 2 3 a r c t g 3 3 = 2 3 a r c t g 3 – a r c t g 1 = 2 3 π 3 – π 4 = π 18

    Нахождение можно было производить, не используя формулу ∫ a b f ( x ) d x = ∫ α β f ( g ( z ) ) · g ‘ ( z ) d z .

    Если при методе замены использовать интеграл вида ∫ 1 x 2 x – 9 d x , то можно прийти к результату ∫ 1 x 2 x – 9 d x = 2 3 a r c t g 2 x – 9 3 + C .

    Отсюда произведем вычисления по формуле Ньютона-Лейбница и вычислим определенный интеграл. Получаем, что

    ∫ 9 18 2 z 2 + 9 d z = 2 3 a r c t g z 3 9 18 = = 2 3 a r c t g 2 · 18 – 9 3 – a r c t g 2 · 9 – 9 3 = = 2 3 a r c t g 3 – a r c t g 1 = 2 3 π 3 – π 4 = π 18

    Ответ: ∫ 9 18 2 x 2 x – 9 d x = π 18

    Интегрирование по частям при вычислении определенного интеграла

    Если на отрезке [ a ; b ] определены и непрерывны функции u ( x ) и v ( x ) , тогда их производные первого порядка v ‘ ( x ) · u ( x ) являются интегрируемыми, таким образом из этого отрезка для интегрируемой функции u ‘ ( x ) · v ( x ) равенство ∫ a b v ‘ ( x ) · u ( x ) d x = ( u ( x ) · v ( x ) ) a b – ∫ a b u ‘ ( x ) · v ( x ) d x справедливо.

    Формулу можно использовать тогда, необходимо вычислять интеграл ∫ a b f ( x ) d x , причем ∫ f ( x ) d x необходимо было искать его при помощи интегрирования по частям.

    Произвести вычисление определенного интеграла ∫ – π 2 3 π 2 x · sin x 3 + π 6 d x .

    Функция x · sin x 3 + π 6 интегрируема на отрезке – π 2 ; 3 π 2 , значит она непрерывна.

    Пусть u ( x ) = х , тогда d ( v ( x ) ) = v ‘ ( x ) d x = sin x 3 + π 6 d x , причем d ( u ( x ) ) = u ‘ ( x ) d x = d x , а v ( x ) = – 3 cos π 3 + π 6 . Из формулы ∫ a b v ‘ ( x ) · u ( x ) d x = ( u ( x ) · v ( x ) ) a b – ∫ a b u ‘ ( x ) · v ( x ) d x получим, что

    ∫ – π 2 3 π 2 x · sin x 3 + π 6 d x = – 3 x · cos x 3 + π 6 – π 2 3 π 2 – ∫ – π 2 3 π 2 – 3 cos x 3 + π 6 d x = = – 3 · 3 π 2 · cos π 2 + π 6 – – 3 · – π 2 · cos – π 6 + π 6 + 9 sin x 3 + π 6 – π 2 3 π 2 = 9 π 4 – 3 π 2 + 9 sin π 2 + π 6 – sin – π 6 + π 6 = 9 π 4 – 3 π 2 + 9 3 2 = 3 π 4 + 9 3 2

    Решение примера можно выполнить другим образом.

    Найти множество первообразных функции x · sin x 3 + π 6 при помощи интегрирования по частям с применением формулы Ньютона-Лейбница:

    ∫ x · sin x x 3 + π 6 d x = u = x , d v = sin x 3 + π 6 d x ⇒ d u = d x , v = – 3 cos x 3 + π 6 = = – 3 cos x 3 + π 6 + 3 ∫ cos x 3 + π 6 d x = = – 3 x cos x 3 + π 6 + 9 sin x 3 + π 6 + C ⇒ ∫ – π 2 3 π 2 x · sin x 3 + π 6 d x = – 3 cos x 3 + π 6 + 9 sincos x 3 + π 6 – – – 3 · – π 2 · cos – π 6 + π 6 + 9 sin – π 6 + π 6 = = 9 π 4 + 9 3 2 – 3 π 2 – 0 = 3 π 4 + 9 3 2

    Ответ: ∫ x · sin x x 3 + π 6 d x = 3 π 4 + 9 3 2

    b`

    `= F (б) -F (а)`

    где

    `F (x)` — интеграл от `f (x)`;

    `F (b)` — значение интеграла на верхнем пределе, `x = b`; и

    `F (a)` — значение интеграла на нижнем пределе, `x = a`.

    Это выражение называется определенным интегралом . Обратите внимание, что это не включает константу
    интеграция
    и дает нам определенное значение (число) при
    конец расчета.(n + 1)) / (n + 1) + K` (если `n ≠ -1`)

    Когда мы заменяем, мы меняем переменную, поэтому мы не можем
    используйте одинаковые верхний и нижний пределы. Мы можем либо:

    • Выполните задачу как неопределенный интеграл сначала , затем
      использовать верхний и нижний пределы позже
    • Решите проблему, используя новую переменную и
      новые верхний и нижний пределы
    • Показать правильную переменную для верхнего и нижнего предела
      во время фазы замены.4] `

      `= 0`, как и раньше.

      Этот второй подход будет весьма полезен позже, когда
      замены становятся более сложными (например, тригонометрические
      замена).

      Приложение: Работа

      Эйнштейн катается на велосипеде. 3 + 3 (2))]`

      `= -1 / 3 [1 / 36-1 / 14]`

      `= 0.014550`

      Таким образом, смещение объекта от времени t = 2 до t = 3 составляет 0,015 единиц.

      См. Подробнее: смещение, скорость и ускорение как приложения интеграции.

      ПРИМЕЧАНИЕ 1: Как видно из приведенных выше приложений работы, среднего значения и смещения, определенный интеграл можно использовать для поиска не только площадей под кривыми.

      ПРИМЕЧАНИЕ 2: Определенный интеграл только дает нам площадь , когда вся кривая находится на выше оси x в
      область от x = a до x = b.2+ 1`.

      Затем находим дифференциал:

      `du = 2x \ dx`

      Но в вопросе нет «` 2x \ dx` «(только» dx` «), поэтому
      мы не можем правильно заменить что-либо в вопросе на «du». Это означает, что мы не можем решить ее ни одним из используемых методов интеграции.
      выше. 2 + 1`

      Тогда найдем дифференциал:

      `du = 2x \ dx`

      Затем мы могли бы перейти к нахождению интеграла, как мы делали в примерах выше, заменив `2x \ dx` на` du` , а часть квадратного корня на `sqrt u`.2 + 1) \ dx`

      ( Примечание: Исторически все определенные интегралы аппроксимировались численными методами до того, как Ньютон и Лейбниц разработали методы интегрирования, которые мы изучили до сих пор в этой главе.)

      Мы можем использовать два различных численных метода для вычисления интеграла:

      Мы встречаемся с этими методами в следующих двух разделах.

      Определенные интегралы — Исчисление 2

      Если вы считаете, что контент, доступный через Веб-сайт (как определено в наших Условиях обслуживания), нарушает
      или другие ваши авторские права, сообщите нам, отправив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее
      то
      информацию, описанную ниже, назначенному ниже агенту.Если репетиторы университета предпримут действия в ответ на
      ан
      Уведомление о нарушении, оно предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, которая предоставила такой контент
      средствами самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.

      Ваше Уведомление о нарушении прав может быть отправлено стороне, предоставившей доступ к контенту, или третьим лицам, таким как
      в виде
      ChillingEffects.org.

      Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатов), если вы существенно
      искажать информацию о том, что продукт или действие нарушает ваши авторские права.Таким образом, если вы не уверены, что контент находится
      на Веб-сайте или по ссылке с него нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к юристу.

      Чтобы отправить уведомление, выполните следующие действия:

      Вы должны включить следующее:

      Физическая или электронная подпись правообладателя или лица, уполномоченного действовать от их имени;
      Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены;
      Описание характера и точного местонахождения контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права, в \
      достаточно подробностей, чтобы позволить репетиторам университетских школ найти и точно идентифицировать этот контент; например нам требуется
      а
      ссылка на конкретный вопрос (а не только на название вопроса), который содержит содержание и описание
      к какой конкретной части вопроса — изображению, ссылке, тексту и т. д. — относится ваша жалоба;
      Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; а также
      Ваше заявление: (а) вы добросовестно считаете, что использование контента, который, по вашему мнению, нарушает
      ваши авторские права не разрешены законом, владельцем авторских прав или его агентом; (б) что все
      информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство, что вы
      либо владелец авторских прав, либо лицо, уполномоченное действовать от их имени.

      Отправьте жалобу нашему уполномоченному агенту по адресу:

      Чарльз Кон
      Varsity Tutors LLC
      101 S. Hanley Rd, Suite 300
      St. Louis, MO 63105

      Или заполните форму ниже:

      Искусство решения проблем

      Интеграл — одно из двух основных понятий исчисления, наряду с производной.

      Начальный уровень

      Во вводных текстах для средней школы интеграл часто представлен в двух частях: неопределенный интеграл и определенный интеграл .Хотя этому подходу не хватает математической формальности, он имеет то преимущество, что его легко понять и удобно использовать в большинстве приложений, особенно в физике.

      неопределенный интеграл

      Неопределенный интеграл, или первообразная, является частичным обратным производной. То есть, если производная функции записывается как, то неопределенный интеграл от равен, где — действительная константа. Это потому, что производная константы равна.

      Обозначение
      Правила неопределенных интегралов

      Определенный интеграл

      Определенный интеграл — это также площадь под кривой между двумя точками и.Например, площадь под кривой между и, как и площадь под осью x, считается отрицательной областью.

      Определение и обозначения
      Правила определенных интегралов
      • для любого.

      Официальное использование

      Понятие интеграла — одна из ключевых идей в нескольких областях высшей математики, включая анализ и топологию. Интеграл можно определить несколькими способами, которые можно применить к нескольким различным настройкам.Однако наиболее распространенным определением, наиболее близким к определенному интегралу, является Интеграл Римана

      Riemann Integral

      Пусть

      Пусть

      Мы говорим, что это Интегрируемая по Риману на тогда и только тогда, когда

      так, что if — это разделение с тегами на, где — сумма Римана относительно

      .

      считается интегралом on и записывается как

      2f3876024e3b8d9e4506f2173c591cbfaca665de

      Еще один интеграл, обычно используемый во вводных текстах, — это интеграл Дарбу (который часто называют интегралом Римана).

      Интеграл Дарбу

      Пусть

      Мы говорим, что это Интегрируемая по Дарбу в том и только в том случае, если, где и являются соответственно нижней суммой и верхней суммой по отношению к разбиению

      Обозначения, используемые для интеграла Дарбу, такие же, как и для Римана. интеграл.


      Изображение должно находиться здесь. Вы можете помочь нам, создав его и отредактировав. Спасибо.


      Прочие определения

      Другие важные определения интегрирования включают интеграл Римана-Стилтьеса, интеграл Лебега, интеграл Хенстока-Курцвейла и т. Д.

      Значение

      • Слово интеграл является прилагательной формой существительного «целое число». Таким образом, является цельным, пока не является.

      См. Также

      приемов интеграции | Блестящая вики по математике и науке

      Интегрирование по частям дает возможность напрямую изменить подынтегральное выражение и, как и исследование обратных функций, является геометрическим утверждением.Однако это утверждение о геометрии операторов исчисления, и любая его визуализация будет лежать в совершенно другом пространстве. Однако может применяться та же интуиция. Интеграция по частям — очень мощный инструмент, и многие проблемы на этой странице могут быть решены этим (и другими элементарными методами) без необходимости чего-либо более сложного.

      Интегрирование по частям утверждает, что для любых дифференцируемых функций u (x) u (x) u (x) и v (x) v (x) v (x) имеет место следующая эквивалентность:

      ∫u (x) v ′ (x) dx = u (x) v (x) −∫v (x) u ′ (x) dx.{n + 1} \ right) \, dx \\
      & = \ frac {m} {n + 1} B (m-1, \, n + 1).
      \ end {align} B (m, n) = ∫01 xm (1 − x) ndx = 0 − n + 1m ∫01 xm − 1⋅ (- (1 − x) n + 1) dx = n + 1m B (m − 1, n + 1). Таким образом, B (m, n) = mn + 1⋅m − 1n + 2 ⋯ 1n + mB (0, n + m) = m! n! (m + n + 1) !. B (m, \, n) = \ frac {m} {n + 1} \ cdot \ frac {m-1} {n + 2} \ cdots \ frac {1} { п + т} В (0, п + т) = \ гидроразрыва {м! n!} {(m + n + 1)!}. B (m, n) = n + 1m ⋅n + 2m − 1 ⋯ n + m1 B (0, n + m) = (m + n +1)! М! П!. □ _ \ квадрат □

      Узнайте больше о бета-функции (с правильно смещенными индексами) здесь.

      Отправьте свой ответ

      ∫01 (1 − x2) 9×9 dx \ int_0 ^ 1 \ left (1-x ^ 2 \ right) ^ 9 x ^ 9 \, dx ∫01 (1 − x2) 9x9dx

      Пусть III обозначает значение интеграла выше.{-1}? I-1?

      Integral (Definite) — веб-формулы

      , где F (x) — антипроизводная от f (x). Мы называем a и b нижним и верхним пределами интегрирования соответственно. Интегрируемая функция f (x) называется интегрируемой функцией.

      Обратите внимание, что константы интегрирования не записываются в определенных интегралах, поскольку они всегда сокращаются в них:

      Определение определенного интеграла с использованием сумм Римана:
      Для функции f (x), непрерывной на интервале [a, b], мы делим интервал на n подинтервалов равной ширины Δx и из каждого интервала выбираем точку,.Тогда определенный интеграл от f (x) от a до b равен

      Свойства определенного интеграла:
      1. Мы можем поменять местами пределы любого определенного интеграла; все, что нам нужно сделать, это прикрепить знак минус к интегралу, когда мы это сделаем.

      2. Если верхний и нижний пределы совпадают, то работы делать не нужно, интеграл равен нулю.

      3., где c — любое число. Таким образом, как и в случае с пределами, производными и неопределенными интегралами, мы можем вычесть константу.

      4.Мы можем разбить определенные интегралы на сумму или разность.

      5. где c — любое число. Это свойство более важно, чем мы могли подумать вначале. Одно из основных применений этого свойства — сообщить нам, как мы можем интегрировать функцию по соседним интервалам, [a, c] и [c, b]. Однако обратите внимание, что c не обязательно должно быть между a и b.

      6. Смысл этого свойства состоит в том, чтобы заметить, что пока функция и пределы одинаковы, переменная интегрирования, которую мы используем в определенном интеграле, не повлияет на ответ.

      7. c — любое число.

      8. Если f (x) ≥ 0 и a ≤ x ≤ b, то

      9. Если f (x) ≥ g (x) и a ≤ x ≤ b, то

      10. Если m ≤ f (x) ≤ M для a ≤ x ≤ b, тогда

      11.

      Пример 1: Оценить
      Решение: Использование интеграции по частям с:

      что приводит к

      Пример 2: Учитывая это, и определить значение.

      Этот пример в основном является примером свойства 5, хотя в решении также есть несколько вариантов использования свойства 1.

      Нам нужно выяснить, как правильно разбить интеграл, используя свойство 5, чтобы мы могли использовать заданные фрагменты информации. Сначала отметим, что есть интеграл, в одном из пределов которого стоит «-5». Это не нижний предел, но мы можем использовать свойство 1, чтобы в конечном итоге это исправить. Другой предел — 100, поэтому это число c, которое мы будем использовать в свойстве 5.

      Мы сможем получить значение первого интеграла, но второго все еще нет в списке известных интегралов. .Однако у нас есть второй предел, в котором есть предел 100. Другой предел для этого второго интеграла — -10, и это будет c в этом приложении свойства 5.

      На этом этапе все, что нам нужно сделать, это использовать свойство 1 для первого и третьего интеграла, чтобы получить пределы до совпадают с известными интегралами. После этого мы можем подключиться к известным интегралам.

      Пример 3: Оценить
      Решение: В этом случае интеграл может быть найден, поскольку две точки разрыва t = ± 1/2 находятся за пределами интервала интегрирования.Пределы замены и преобразования в этом случае:

      Тогда интеграл будет:

      Пример 4: Используйте определение предела определенного интеграла для вычисления.
      Решение: разделите интервал [0,3] на n равных частей по длине.

      для i = 1,2,3, …… п. Выберите точки выборки, которые будут правыми конечными точками подынтервалов и заданы как

      для i = 1,2,3, …… п. Функция f (x) = x2 -1.

      Таким образом, определенный интеграл равен:

      Определенные интегралы на TI-83/84

      Определенные интегралы на TI-83/84

      Авторские права 20022020 Стэн Браун

      Резюме:
      Ваш TI-83/84 может вычислить любой определенный интеграл
      с помощью числового процесса.Это может быть вам большим подспорьем в
      проверка вашей работы. На этой странице показаны два способа вычисления
      Определенный интеграл с числовыми пределами , и как построить
      накопительная функция . Обычные предостережения о числовом
      методы применяются, особенно когда функция работает некорректно.

      Определенные интегралы

      Определенные интегралы на главном экране

      TI-83/84 вычисляет определенный интеграл, используя
      fnint () функция. Чтобы получить доступ к функции, нажмите кнопку
      [ MATH ], а затем прокрутите вверх или вниз, чтобы найти
      9: fnint (.

      Пример: Предположим, вы должны найти определенный интеграл
      .
      По симметрии это
      , который оценивается как
      −2 (cos π / 4 — cos 0) =
      −2 (√2 / 2 — 1) = 2 − √2,
      приблизительно 0,5858.

      Вот как это проверить на TI-83/84:

      На главном экране выберите fnint . [ MATH ] [ 9 ]
      Первый аргумент: подынтегральное выражение | sin x | [ MATH ] [] [ 1 ] для абс. составляет π ] [] 4
      Необязательный пятый аргумент, допуск , обычно не требуется. [) ] [ ENTER ]

      Определенные интегралы на экране графика

      Когда вы построили график функции, вы можете интегрировать TI-83/84
      которые функционируют численно на любом видимом интервале. Например,
      предположим, вы построили график | sin x |. Чтобы найти интеграл из
      От −π / 4 до π / 4, выполните следующие действия:

      Запрос численного интегрирования. [ 2-й F4 составляет CALC ] 7
      Ответьте на нижний предел? Подсказка. марки π ] [] 4
      [ ENTER ]

      (Окно просмотра для этих снимков экрана
      От −2π до 2π в направлении x и
      От −2 до 2 в направлении y .)

      Накопительные функции

      Накопительная функция — это определенный интеграл, в котором нижняя
      предел интегрирования остается постоянным
      но верхний предел — переменная. Вы можете построить график накопления
      на вашем TI-83/84, и найдите накопленное значение для любого x.

      Например, рассмотрим
      .
      Вот как это построить.

      Определите подынтегральное выражение в Y1 .
      (Можно использовать x как независимый
      Переменная; помните, что переменная интегрирования — это всего лишь фиктивная величина.)
      [ Y = ] [ MATH ] [] [ 1 ] [ sin ] [ x, T, θ, n ] [) ] [) ] [ ENTER ]
      Определите накопительную функцию в Y2 .Это fnint (подынтегральное выражение, x , 0, x ). [MATH] [9] пасты fnint (.

      [ VARS ] [] [ 1 ] [ 1 ] пасты Y1 .

      Завершить функцию:
      [,] [x, T, θ, n] [,] 0 [,] [x, T, θ, n]

      Необязательно:
      Курсор слева от Y2 и нажмите [ENTER]
      несколько раз, чтобы изменить строку, которая будет отслеживать накопление
      функция.
      Установите Xmin на нижний предел интеграции, и
      установите Ymin и Ymax на любые значения
      смысл в проблеме.
      [ОКНО] . Здесь я выбрал от −2 до 5 для
      y диапазон.
      Функции накопления требуют много вычислений, и это
      заставляет их график очень медленно. Вы можете ускорить построение графиков , изменив
      настройка Xres (ценой более неровного графика).
      Теперь отобразите график. Будьте готовы ждать довольно много
      пока.
      Пресс [ГРАФИК]

      Вы можете использовать функцию Trace , чтобы найти значение
      функции накопления для любого желаемого x.
      Нажмите [TRACE] . Обратите внимание на выражение функции в
      левый верхний угол.

      Нажмите [], чтобы отследить функцию накопления. (Может
      подождите, пока он не отобразится.)

      Введите желаемое значение x, и TI-83/84 вычислит
      накопление.
      Пример: 3 [2nd] [π] [] 2 [ENTER]

      5.3: Основная теорема основ исчисления

      В предыдущих двух разделах мы рассмотрели определенный интеграл и его связь с площадью под кривой функции. К сожалению, пока что единственными доступными нам инструментами для вычисления значения определенного интеграла являются формулы геометрической площади и пределы сумм Римана, и оба подхода чрезвычайно громоздки.В этом разделе мы рассмотрим несколько более мощных и полезных методов вычисления определенных интегралов.

      Эти новые методы основаны на взаимосвязи между дифференциацией и интеграцией. Эта взаимосвязь была открыта и исследована как сэром Исааком Ньютоном, так и Готфридом Вильгельмом Лейбницем (среди прочих) в конце 1600-х — начале 1700-х годов, и она систематизирована в том, что мы сейчас называем Фундаментальной теоремой исчисления , которая состоит из двух частей, которые мы изучите в этом разделе.Само ее название указывает на то, насколько важна эта теорема для всего развития математического анализа.

      Вклад Исаака Ньютона в математику и физику изменил наш взгляд на мир. Обнаруженные им отношения, систематизированные как законы Ньютона и закон всемирного тяготения, до сих пор преподаются как основополагающий материал в физике, а его вычисления породили целые области математики. Чтобы узнать больше, прочтите краткую биографию Ньютона с мультимедийными роликами.

      Основная теорема исчисления, часть 1: Интегралы и первообразные

      Основная теорема исчисления — чрезвычайно мощная теорема, которая устанавливает связь между дифференцированием и интегрированием и дает нам способ вычислять определенные интегралы без использования сумм Римана или вычисления площадей.x_af (t) dt, \]

      , то \ (F ′ (x) = f (x) \) над \ ([a, b] \).

      Здесь стоит упомянуть пару тонкостей. Во-первых, комментарий к обозначениям. Обратите внимание, что мы определили функцию \ (F (x) \) как определенный интеграл другой функции, \ (f (t) \), от точки a до точки x. На первый взгляд это сбивает с толку, потому что мы несколько раз говорили, что определенный интеграл — это число, а здесь похоже, что это функция. Ключевым моментом здесь является заметить, что для любого конкретного значения x определенный интеграл является числом.Таким образом, функция \ (F (x) \) возвращает число (значение определенного интеграла) для каждого значения x.

      Во-вторых, стоит прокомментировать некоторые ключевые следствия этой теоремы. Не зря ее называют фундаментальной теоремой исчисления. Он не только устанавливает связь между интеграцией и дифференцированием, но также гарантирует, что любая интегрируемая функция имеет первообразную. В частности, он гарантирует, что любая непрерывная функция имеет первообразную.2 − cosx \)

      Фундаментальная теорема исчисления, часть 2: оценочная теорема

      Фундаментальная теорема исчисления, часть 2, возможно, самая важная теорема в исчислении. После неустанных усилий математиков в течение примерно 500 лет появились новые методы, которые предоставили ученым необходимые инструменты для объяснения многих явлений. b_af (x) dx = F (b) -F (a).b_a \) для обозначения выражения \ (F (b) −F (a) \). Мы используем эту вертикальную черту и связанные с ней пределы a и b, чтобы указать, что мы должны оценить функцию \ (F (x) \) на верхнем пределе (в данном случае b) и вычесть значение функции \ (F ( x) \) оценивается на нижнем пределе (в данном случае a).

      Фундаментальная теорема исчисления , часть 2 (также известная как оценочная теорема ) утверждает, что если мы можем найти первообразную для подынтегрального выражения, то мы можем вычислить определенный интеграл, вычислив первообразную в конечных точках интервала. и вычитание.3} {3} −4 (−2)] \)

      \ (\ Displaystyle = (\ гидроразрыва {8} {3} −8) — (- \ гидроразрыва {8} {3} +8) \)

      \ (\ displaystyle = \ frac {8} {3} −8+ \ frac {8} {3} −8 = \ frac {16} {3} −16 = — \ frac {32} {3}. \ )

      Анализ

      Обратите внимание, что мы не включили термин «+ C» при написании первообразной. Причина в том, что согласно Фундаментальной теореме исчисления, часть 2, любое первообразное работает. Итак, для удобства мы выбрали первообразную с \ (C = 0. \). Если бы мы выбрали другую первообразную, постоянный член сократился бы.Это всегда происходит при вычислении определенного интеграла.

      Область только что рассчитанной области изображена на рисунке. Обратите внимание, что область между кривой и осью x находится ниже оси x. Площадь всегда положительна, но определенный интеграл все равно может давать отрицательное число (чистая площадь со знаком). Например, если это функция прибыли, отрицательное число указывает на то, что компания работает с убытками в течение данного интервала.

      Рисунок \ (\ PageIndex {3} \): Оценка определенного интеграла может дать отрицательное значение, даже если площадь всегда положительна.{−4} dx. \)

      Подсказка

      Используйте правило мощности.

      Ответ

      \ (\ frac {7} {24} \)

      Пример \ (\ PageIndex {8} \): Гонка на роликах

      Джеймс и Кэти мчатся на роликовых коньках. Они мчатся по длинной прямой трассе, и тот, кто проехал дальше через 5 секунд, получает приз. Если Джеймс может кататься со скоростью \ (f (t) = 5 + 2t \) ft / sec, а Кэти может кататься со скоростью \ (g (t) = 10 + cos (\ frac {π} {2}) t) \) ft / sec, кто выиграет гонку?

      Решение

      Нам нужно интегрировать обе функции в интервале \ ([0,5] \) и посмотреть, какое значение больше.5_0 \]

      \ [= (50+ \ frac {2} {π}) — (0− \ frac {2} {π} sin0) ≈50.6. \]

      Кэти откатилась примерно на 50,6 футов за 5 секунд. Кэти выигрывает, но ненамного!

      Упражнение \ (\ PageIndex {7} \)

      Предположим, Джеймс и Кэти проводят матч-реванш, но на этот раз судья останавливает соревнование всего через 3 секунды. Изменит ли это результат?

      Подсказка

      Измените пределы интеграции по сравнению с приведенными в примере.

      Ответ

      Кэти по-прежнему выигрывает, но с гораздо большим отрывом: Джеймс проезжает на 24 фута за 3 секунды, а Кэти — на 29.3634 фута за 3 секунды.

      Парашютист в свободном падении

      Джули — заядлая парашютистка. У нее за поясом более 300 прыжков, и она овладела искусством корректировать положение своего тела в воздухе, чтобы контролировать скорость падения. Если она выгибает спину и направляет живот к земле, она достигает конечной скорости примерно 120 миль в час (176 футов / сек). Если, вместо этого, она поворачивает свое тело с опущенной головой, она падает быстрее, достигая конечной скорости 150 миль в час (220 футов / сек).

      Рисунок \ (\ PageIndex {5} \): Парашютисты могут регулировать скорость своего прыжка, изменяя положение своего тела во время свободного падения. (кредит: Джереми Т. Лок)

      Поскольку Джули будет двигаться (падать) в нисходящем направлении, мы предполагаем, что нисходящее направление положительно, чтобы упростить наши вычисления. Джули выполняет свои прыжки с высоты 12 500 футов. После выхода из самолета она сразу же начинает падать со скоростью \ (v (t) = 32t.\)

      Она продолжает ускоряться в соответствии с этой функцией скорости, пока не достигнет предельной скорости. После того, как она достигает предельной скорости, ее скорость остается постоянной, пока она не натянет трос и не замедлится, чтобы приземлиться.

      Во время своего первого прыжка за день Джули принимает более медленное положение «животом вниз» (конечная скорость составляет 176 футов / сек). Используя эту информацию, ответьте на следующие вопросы.

      1. Через какое время после выхода из самолета Джули достигает предельной скорости?
      2. Основываясь на вашем ответе на вопрос 1, составьте выражение, включающее один или несколько интегралов, которые представляют расстояние, на которое Джули падает через 30 секунд.
      3. Если Джули натягивает шнур на высоте 3000 футов, сколько времени она проведет в свободном падении?
      4. Джули натягивает рипкорд на высоте 3000 футов. Для полного раскрытия парашюта и замедления ее движения требуется 5 секунд, за это время она падает еще на 400 футов. После того, как ее купол полностью раскрыт, ее скорость снижается до 16 футов / сек. Найдите общее время, которое Джули проводит в воздухе с момента выхода из самолета до момента, когда ее ноги касаются земли. Во время второго прыжка за день Джули решает, что хочет упасть немного быстрее, и ориентируется в положении «голова опущена».Ее конечная скорость в этом положении составляет 220 футов в секунду. Ответьте на эти вопросы, основываясь на этой скорости:
      5. Сколько времени нужно Джули, чтобы достичь предельной скорости в этом случае?
      6. Перед тем, как натянуть трос, Джули переориентирует свое тело в положение «животом вниз», чтобы она двигалась не так быстро, когда ее парашют открывается. Если она начнет этот маневр на высоте 4000 футов, сколько времени она проведет в свободном падении, прежде чем начнет переориентацию?

      Некоторые прыгуны носят « вингсьюты » (см. Рисунок).Эти костюмы имеют тканевые вставки между руками и ногами и позволяют владельцу скользить в свободном падении, как белка-летяга. (Действительно, костюмы иногда называют «костюмами белки-летяги».) При ношении этих костюмов конечная скорость может быть снижена примерно до 30 миль в час (44 фута / сек), что позволяет владельцу намного дольше находиться в воздухе. Флайеры вингсьютов все еще используют парашюты для приземления; Хотя вертикальные скорости находятся в пределах безопасности, горизонтальные скорости могут превышать 70 миль в час, что слишком быстро для безопасной посадки.

      Рисунок \ (\ PageIndex {6} \): Тканевые панели на руках и ногах вингсьюта снижают вертикальную скорость падения парашютиста. (кредит: Ричард Шнайдер)

      Ответьте на следующий вопрос, основываясь на скорости в вингсьюте.

      7. Если Джули надевает вингсьют перед своим третьим за день прыжком и натягивает шнур на высоте 3000 футов, сколько времени она сможет провести, планируя в воздухе

      Ключевые понятия

      • Теорема о среднем значении для интегралов утверждает, что для непрерывной функции на отрезке времени существует такое значение c, что \ (f (c) \) равно среднему значению функции. b_af (x) dx.b_af (x) dx = F (b) −F (a). \)

        Глоссарий

        основная теорема исчисления
        теорема, центральная для всего развития математического анализа, которая устанавливает связь между дифференцированием и интегрированием
        основная теорема исчисления, часть 1
        использует определенный интеграл для определения первообразной функции
        основная теорема исчисления, часть 2
        (также теорема оценки ), мы можем вычислить определенный интеграл, оценив первообразную подынтегральной функции в конечных точках интервала и вычтя
        Теорема о среднем значении для интегралов
        гарантирует, что существует точка c , такая что \ (f (c) \) равно среднему значению функции

        Авторы

        • Гилберт Стрэнг (Массачусетский технологический институт) и Эдвин «Джед» Херман (Харви Мадд) со многими авторами.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *