Теорема виет: § Как решать уравнения по теореме Виета

Содержание

Теорема Виета

Решим уравнение: .

Если внимательно посмотреть на коэффициенты
этого квадратного уравнения, то можно увидеть, что сумма корней, которую
 нашли, равна второму коэффициенту. Правда, только взятому с
противоположным знаком. А произведение этих корней равно свободному члену. Так
вот таким свойством обладает любое приведенное квадратное уравнение.

Теорема: сумма корней
приведённого квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с
противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену
.

Т.е. мы с вами показали, что сумма
корней равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а
произведение этих же корней равно свободному члену уравнения. Значит, теорема
доказана.

При дискриминанте равном нулю квадратное
уравнение имеет один корень. Но если считать, что когда дискриминант равен
нулю, уравнение имеет два равных корня, то теорема будет верна и в этом случае.
Это следует из того, что при дискриминанте равном нулю корни уравнения также
можно найти по формуле:

Теорему, которую  доказали, называют теоремой
Виета
. Соотношения корней впервые обнаружил французский математик
Франсуа Виет.

Франсуа Виет внёс большой вклад в развитие
математики. По существу он создал новую алгебру. Виет ввёл в неё буквенную
символику и показал, как, оперируя символами, можно получить результат, который
применим к любым соответствующим величинам, т.е. решить задачу в общем виде.
Это положило начало коренному перелому в развитии алгебры: стало возможным
буквенное исчисление. Так, в частности, он предложил использовать буквы для
обозначения коэффициентов. Самым важным своим открытием Виет считал
установление связи между координатами и коэффициентами уравнений.

Пусть квадратное уравнение  имеет корни  и
. Равносильное ему приведенное квадратное уравнение
имеет вид:

И, следовательно, имеет те же корни.2 + 5*x + 4 = 0 ⇒ x1 + x2 = −5; x1*x2 = 4;

получаем корни : x1 = −1; x2 = −4.

Значение теоремы Виета

Теорема Виета позволяет нам решить любое квадратное приведённое уравнение практически за секунды. На первый взгляд это кажется достаточно сложной задачей, но после 5 10 уравнений, можно научиться видеть корни сразу.

Из приведённых примеров, и пользуясь теоремой, видно как можно значительно упростить решение квадратных уравнений, ведь используя эту теорему, можно решить квадратное уравнение практически без сложных расчётов и вычисления дискриминанта, а как известно чем меньше расчётов, тем сложнее допустить ошибку, что немаловажно.

Во всех примерах мы использовали это правило, опираясь на два важных предположения:

— приведённое уравнение, т.е. коэффициент при старшей степени равен единицы (это условие легко избежать. Можно использовать неприведенный вид уравнения, тогда будут допустимы следующие утверждения x1+x2=-b/a; x1*x2=c/a, но обычно сложнее решать :))

— когда уравнение будет иметь два различных корня. Мы предполагаем что неравенство верно и дискриминант строго больше нуля.

Поэтому, мы можем составить общий алгоритм решения по теореме Виета.

Общий алгоритм решения по теореме Виета

— Приводим  квадратное уравнение к приведённому виду, если уравнение дано нам в неприведённом виде. Когда коэффициенты в квадратном уравнении, которое раньше мы представили как приведённое,  получились дробными( не десятичными ), то в этом случае следует решать наше уравнение через дискриминант.

Также бывают случаи когда возврат к начальному уравнению позволяет нам работать с “удобными” числами.

— В случае когда коэффициенты уравнения являются целыми, следует решать уравнение по теореме Виета.

Примечание : Если в течении нескольких секунд, нам не удаётся найти корни по теореме Виета, то следует решать через дискриминант, это зачастую бывает быстрее.

Нужна помощь в учебе?

Предыдущая тема: Решение задач с помощью квадратных уравнений: алгоритм и примеры
Следующая тема:&nbsp&nbsp&nbspРешение дробных рациональных уравнений: схема и примеры

8.2.3. Теорема Виета.

Автор Татьяна Андрющенко На чтение 3 мин. Просмотров 994 Опубликовано

I. Теорема Виета для приведенного квадратного уравнения.

Сумма корней приведенного квадратного уравнения x2+px+q=0 равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену:

x1+x2=-p;  x1∙x2=q.

 Найти корни приведенного квадратного уравнения, используя теорему Виета.

Пример 1) x2-x-30=0. Это приведенное квадратное уравнение ( x2+px+q=0), второй коэффициент  p=-1, а свободный член q=-30. Сначала убедимся, что данное уравнение имеет корни, и что корни (если они есть) будут выражаться целыми числами. Для этого достаточно, чтобы дискриминант был полным квадратом целого числа.

Находим дискриминант D=b2— 4ac=(-1)2-4∙1∙(-30)=1+120=121=112.

Теперь по теореме Виета сумма корней должна быть равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, т.е. (-p), а произведение равно свободному члену, т.е. (q). Тогда:

x1+x2=1; x1∙x2=-30. Нам надо подобрать такие два числа, чтобы их произведение было равно -30, а сумма – единице. Это числа -5 и 6. Ответ: -5; 6.

Пример 2) x2+6x+8=0. Имеем приведенное квадратное уравнение со вторым коэффициентом р=6 и свободным членом q=8. Убедимся, что есть целочисленные корни. Найдем дискриминант D1, так как второй коэффициент – четное число. D1=32-1∙8=9-8=1=12. Дискриминант Dявляется полным квадратом числа 1, значит, корни данного уравнения являются целыми числами. Подберем корни по теореме Виета: сумма корней равна –р=-6, а произведение корней равно q=8. Это числа -4 и -2.

На самом деле: -4-2=-6=-р; -4∙(-2)=8=q. Ответ: -4; -2.

Пример 3) x2+2x-4=0. В этом приведенном квадратном уравнении второй коэффициент р=2, а свободный член q=-4. Найдем дискриминант D1, так как второй коэффициент – четное число. D1=12-1∙(-4)=1+4=5. Дискриминант не является полным квадратом числа, поэтому, делаем вывод: корни данного уравнения не являются целыми числами и найти их по теореме Виета нельзя. Значит, решим данное уравнение, как обычно, по формулам (в данном случае по формулам для частного случая с четным вторым коэффициентом). Получаем:

Пример 4). Составьте квадратное уравнение по его корням, если x1=-7, x2=4.

Решение. Искомое уравнение запишется в виде: x2+px+q=0, причем, на основании теоремы Виета –p=x1+x2=-7+4=-3 → p=3; q=x1∙x2=-7∙4=-28. Тогда уравнение примет вид: x2+3x-28=0.

Пример 5). Составьте квадратное уравнение по его корням, если:

II. Теорема Виета для полного квадратного уравнения ax2+bx+c=0.

Сумма корней равна минус b, деленному на а, произведение корней равно с, деленному на а:

x1+x2=-b/a;  x1∙x2=c/a.

Пример 6). Найти сумму корней квадратного уравнения 2x2-7x-11=0.

Решение.

Убеждаемся, что данное уравнение будет иметь корни. Для этого достаточно составить выражение для дискриминанта, и, не вычисляя его, просто убедиться, что дискриминант больше нуля. D=72-4∙2∙(-11)>0. А теперь воспользуемся теоремой Виета для полных квадратных уравнений.

x1+x2=-b:a=- (-7):2=3,5.

Пример 7). Найдите произведение корней квадратного уравнения 3x2+8x-21=0.

Решение.

Найдем дискриминант D1, так как второй коэффициент (8) является четным числом. D1=42-3∙(-21)=16+63=79>0. Квадратное уравнение имеет 2 корня, по теореме Виета произведение корней x1∙x2=c:a=-21:3=-7.     

Теорема Виета по алгебре 8 класса: формула, уравнения, примеры

В данной публикации мы рассмотрим теорему Виета, определяющую взаимосвязи между коэффициентами многочлена и его корнями, а также, научимся применять ее на практике для решения задач.

Формулировка теоремы

Если c1, c2…, cn являются корнями многочлена xn + a1xn−1 + a2xn−2 + … + an, где каждый корень взят соответствующее его кратности число раз, то:

коэффициенты a1, a2…, an можно выразить в виде симметрических многочленов от корней, т.е.:

  • a1 = −(c1 + c2 + … + cn)
  • a2 = c1c2 + c1c3 + … + c1cn + c2c3 + … + cn−1cn
  • a3 = −(c1c2c3 + c1c2c4 + … + cn−2cn−1cn)
  • an−1 = (−1)n−1(c1c2 … cn−1 + c1c2 … cn−2cn + … + c2c3 … cn
  • an = (−1)nc1c2 … cn

Другими словами, (−1)kak равняется сумме всех возможных произведений из k корней.

Примечание: теорема названа в честь французского маетиматика Франсуа Виета.

Квадратное уравнение

Для квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0 с корнями x1 и x2 справедливо:

Если уравнение имеет вид x2 + px + c = 0 (приведенная форма при a = 1), то:

Кубическое уравнение

Для кубического уравнения p(x) = ax3 + bx2 + cx + d = 0 с корнями x1, x2 и x3 справедливо:

Обратная теорема

Если для чисел x1 и x2 справедливы соотношения x1 + x2 = −p, а x1x2 = q, значит они являются корнями приведенного квадратного уравнения x2 + px + c = 0.

Примеры задач

Задание 1
Дано квадратное уравнение x2 − 70x + 600 = 0. Найдите его корни, используя теорему Виета.

Решение:
Используем соотношение корней для приведенного уравнения (т.к. a = 1):
x1 + x2 = 70
x1x2 = 600
Остается только подобрать числа x1 и x2, которые будут одновременно соответствовать данным уравнениям. В нашем случае – это 10 и 60.

Задание 2
Составьте уравнение, если известно, что его корни x1 и x2 равны 2 и −6, соответственно.

Решение:
Допустим, что у нас приведенное квадратное уравнение вида x2 + px + c = 0. В этом случае, исходя из установленных для него соотношений корней получаем:
p = −(x1 + x2) = −(2 + (−6)) = 4
q = x1x2 = 2 ⋅ (−6) = −12
Получаем уравнение, подставив найденные значения в формулу общего вида: x2 + 4x − 12 = 0.

Обобщенная теорема Виета

Пример 1. Разложить на множители квадратный трехчлен x2 — 2012x + 2011.

Решение.

Легко видеть, что x = 1 является корнем трехчлена. Убеждаемся в этом простой подстановкой. По формуле Виета

x1x2 = 

 = 2011 1*x2 = 2011 x2 = 2011. Следовательно, x2 — 2012x + 2011 = (x — 1)(x — 2011).

Ответ: x2 — 2012x + 2011 = (x — 1)(x — 2011).

Пример 2. Разложить на множители квадратный трехчлен 2012x2 + 2011x — 1.

Решение.

Простой подстановкой легко проверяется, что x = -1 является корнем квадратного трехчлена. По формуле Виета

x1x2 = 

-1*x2 =  x2 = .

Следовательно, 2012x2 + 2011x — 1= 2012(x + 1)(x — 

) = (x+1)(2012x-1).

Ответ: 2012x2 + 2011x — 1= 2012(x + 1)(x — 

) = (x+1)(2012x-1).

Таким образом, очень часто формулы Виета позволяют быстро подобрать целые корни квадратного трехчлена, не проводя громоздких вычислений. Кроме того, по коэффициентам трехчлена можно сделать выводы о знаках корней уравнения. Например, если корни трехчлена существуют, и

> 0, то или оба корня положительны, или оба отрицательны.

Пример 3. Определить знаки корней уравнения 5x2 — 33x + 10 = 0, не решая его.

Решение.

Дискриминант уравнения D = b2 — 4ac = 332 — 4*5*10 > 0, следовательно, уравнение имеет два действительных корня. По формулам Виета

То есть x1x2 > 0, значит оба корня имеют одинаковый знак. Но сумма корней > 0, следовательно, оба корня положительные числа.

Ответ: Уравнение имеет два положительных корня.

Кроме того, формулы Виета позволяют быстро проверить, является ли заданный набор чисел корнями многочлена. В общем, формулы Виета – это очень полезный инструмент в решении самых разных задач с многочленами. Эти формулы для квадратного трехчлена даже изложены в стихах неизвестным автором:

По праву достойна в стихах быть воспета
О свойствах корней теорема Виета.
Что лучше, скажи постоянства такого:
Умножишь ты корни — и дробь уж готова:
В числителе c, в знаменателе a,
А сумма корней тоже дроби равна
Хоть с минусом дробь эта, что за беда
В числителе b, в знаменателе a.

Выпишем формулы Виета для многочлена третьего и четвертого порядков.

Формулы Виета для многочлена третьего порядка

Если a(x) = a3*x3 + a2*x2 + a1*x + a0, то

Формулы Виета для многочлена четвертого порядка

Если a(x) = a4*x4 + a3*x3 + a2*x2 + a1*x + a0, то

Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ (Справочник по математике — Алгебра

Алгебраические уравнения

      Пусть   n   – произвольное натуральное число. Рассмотрим многочлен   n   – ой степени от переменной   x  

Pn (x) =
= a0 xn + a1 x n –1 +
+ … + an –1 x + an ,
(1)

коэффициенты которого

a0 ,  a1 , … , an –1 , an (2)

являются любыми комплексными числами.

      Заметим, что в этом случае коэффициент   a0   отличен от нуля, и введем следующее определение.

      Определение 1. Алгебраическим уравнением степени   n   с неизвестным   x   называют уравнение вида

      Определение 2. Корнем уравнения (3) называют вещественное или комплексное число   α ,   для которого

Pn (α) = 0 .

      Определение 3 . Число   α   называют корнем кратности   k   уравнения (3), если справедливо равенство

Pn (α) = (x – α )k Q (x) ,

где

.

Разложение многочленов на множители в комплексной области

      Основная теорема алгебры (теорема Гаусса) утверждает, что любое алгебраическое уравнение вида (3) имеет   n   корней, при условии, что каждый корень считается столько раз, какова его кратность.

      Если

z1 ,  z2 , … , zk –1 , zk

– полный набор корней уравнения (3), а

l1 ,  l2 , … , lk –1 , lk

– их кратности, то, во-первых,

l1 +  l2 + … + lk –1 + lk = n ,

а, во-вторых, справедливо равенство

(4)

      Замечание. Линейными множителями называют многочлены первой степени

x – z1 ,  x – z2 , … , xzk ,

входящие в формулу (4), а саму формулу (4) называют формулой разложения многочленов на линейные множители в комплексной области.

Разложение на множители многочленов с действительными коэффициентами

      Рассмотрим теперь многочлены степени   ,   все коэффициенты которых являются вещественными числами.

      Тогда справедливо следующее

      Утверждение. Если комплексное число

является корнем кратности   ls   многочлена с вещественными коэффициентами, то и комплексно сопряженное число

является корнем этого многочлена, причем тоже кратности   ls .

      Из утверждения вытекает, что в разложение (4) степень каждого бинома, содержащая комплексный корень   zs   и имеющая вид

(5)

входит в паре со степенью бинома, содержащей комплексно сопряженный корень     и имеющей вид

(6)

      А поскольку

то произведение каждой пары биномов (5) и (6), входящей в формулу (4), даёт степень квадратного трехчлена с вещественными коэффициентами:

      Следствие. Каждый многочлен ненулевой степени, коэффициенты которого являются вещественными числами, разлагается на множители, являющиеся многочленами с вещественными коэффициентами первой или второй степени.

      Пример. Разложить на множители многочлен четвертой степени

x4 + 1 .

      Решение.

Теорема (формулы) Виета

      Снова рассмотрим уравнение   n – ой степени от переменной   x  

(7)

и, немного изменив предыдущие обозначения, предположим, что

z1 ,  z2 , … , zn –1 , zn (8)

— его корни, причем в записи (8) каждый корень взят столько раз, какова его кратность.

      Тогда из формулы (4) вытекают следующие равенства, которые называют формулами Виета для уравнения   n – ой степени:

      Формулы Виета для   n = 2   доказаны в разделе «Квадратные уравнения» нашего справочника.

      При   n = 3   уравнение (7) имеет вид

а формулы Виета записываются так:

      В случае уравнения 4-ой степени

формулы Виета записываются так:

      На сайте можно также ознакомиться с нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

Научно-исследовательская работа «теорема виета для уравнений третьей и четвертой степени» математика

Муниципальное бюджетное
общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная
школа №64» г. Брянска

Городская научно-практическая
конференция

«Первые шаги в науку»

Научно-исследовательская
работа

«Теорема Виета для уравнений
третьей и четвертой степени»

Математика

Выполнил: ученик 11б класса

Шанов Илья Алексеевич

Научный руководитель:

учитель математики,

кандидат физ.-мат. наук

Быков Сергей Валентинович

Брянск 2012

Содержание

  1. Введение …………………………………………………………………
    3

  1. Цели и задачи ……………………………………………………………
    4

  1. Краткая историческая справка
    ………………………………………… 4

  1. Квадратное уравнение
    …………………………………………………. 5

  1. Кубическое уравнение
    …………………………………………………. 6

  1. Уравнение четвертой степени
    ………………………………………… 7

  1. Практическая часть
    ……………………………………………………. 9

  1. Список литературы ……………………………………………………
    12

  1. Приложение ……………………………………………………………
    13

Введение

Основная теорема алгебры
утверждает, что поле

является алгебраическим замкнутым,
другими словами, что уравнения n-ой
степени с комплексными коэффициентами
(в общем случае) над полем

имеет ровно n
комплексных корней. Уравнения третьей
степени решаются формулой Кордано.
Уравнения четвёртой степени методом
Феррари. Кроме того, что в теории алгебры
доказано, что если

корень уравнения, то

так же является корнем этого уравнения.
Для кубического уравнения возможны
следующие случаи:

  1. все три корня – действительные;

  2. два корня комплексных, один
    действительный.

Отсюда следует, что любое
кубическое уравнение имеет хотя бы один
действительный корень.

Для уравнения четвертой степени:

  1. Все четыре корня различные.

  2. Два корня действительных, два
    – комплексных.

  3. Все четыре корня комплексные.

Данная работа посвящена тщательному
изучению теоремы Виета: её формулировке,
доказательству, а так же решению задач
с применением этой теоремы.

Проделанная работа направлена
помощь ученика 11-х классов, которым
предстоит сдача ЕГЭ, а так же для юных
математиков, которым небезразличны
более простые и эффективные методы
решений в различных областях математики.

В приложении к этой работе
предоставляется сборник задач для
самостоятельного решения и закрепления
нового материала, исследуемого мной.

Этот вопрос нельзя оставлять
без внимания, так как он важен для
математики как для науки в целом, так и
для учащихся и интересующихся решение
подобных задач.

Цели и задачи работы:

Краткая историческая справка

По праву достойна в стихах
быть воспета 

О свойствах корней ТЕОРЕМА
ВИЕТА…

ФРАНСУА ВИЕТ(1540—1603) — французский
математик. По профессии юрист. В 1591 году
ввёл буквенные обозначения не только
для неизвестных величин, но и для
коэффициентов уравнений; благодаря
этому стало впервые возможным выражение
свойств уравнений и их корней общими
формулами. Ему принадлежит установление
единообразного приёма решения уравнений
2-й, 3-й и 4-й степеней. Среди открытий сам
Виет особенно высоко ценил установление
зависимости между корнями и коэффициентами
уравнений. Для приближённого решения
уравнений с численными коэффициентами
Виет предложил метод, схожий с позднейшим
методом Ньютона. В тригонометрии Франсуа
Виет дал полное решение задачи об
определении всех элементов плоского
или сферического треугольника по трём
данным, нашёл важные разложения cos  и
sin  по
степеням cos х и
sin х. 
Он впервые рассмотрел бесконечные
произведения. Сочинения Виета написаны
трудным языком и поэтому получили в
свое время меньшее распространение,
чем заслуживали.

Квадратное уравнение

Для начала вспомним формулы
Виета для уравнения второй степени,
которые мы узнали в программе школьного
курса обучения.

Теорема
Виета
для
квадратного уравнения (8 класс)

Если
и – корни квадратного уравнения
то

т. е. сумма корней приведённого
квадратного уравнения равна второму
коэффициенту, взятому с противоположным
знаком, а произведение корней равно
свободному члену.

Так же, вспомним теорему, обратную
теореме Виета
:

Если
числа p
и q
таковы, что

то и — корни уравнения

Теорема Виета замечательна тем,
что, не зная корней квадратного трехчлена,
мы легко можем вычислить их сумму и
произведение, то есть простейшие
симметричные выражения.

Теорема Виета позволяет угадывать
целые корни квадратного трехчлена.

Кубическое уравнение

Теперь перейдём, непосредственно,
к постановке и решению кубического
уравнения с помощью теоремы Виета.

Формулировка

Кубическое
уравнение — это уравнение
третьего порядка, вида

где a
≠ 0
.

Если
а = 1, то уравнение
называют приведённым кубическим
уравнением:

Итак, нужно доказать, что для
уравнения

справедлива следующая теорема:

пусть
корни данного уравнения,
тогда

Доказательство

Представим
многочлен

в виде

выполним
преобразования:

Итак,
получим, что

Два
многочлена равны тогда и только тогда,
когда равны их коэффициенты при
соответствующих степенях.

Это значит, что

Что и требовалось доказать.

Теперь рассмотрим теорему,
обратную теореме Виета для
уравнения третьей степени
.

Формулировка

Если
числа таковы, что

то эти числа являются корнями
уравнения

Уравнение четвертой степени

Теперь перейдём к постановке и
решению уравнения четвертой степени с
помощью теоремы Виета для уравнения
четвертой степени.

Формулировка

Уравнение
четвертой степени — уравнение вида

где
a ≠ 0.

Если
а = 1, то уравнение
называют приведённым

Итак,
докажем, что для уравнения

справедлива
следующая теорема: пусть
корни данного уравнения,
тогда

Доказательство

Представим
многочлен

в виде

выполним
преобразования:

Итак,
получим, что

Мы знаем, что два
многочлена равны тогда и только тогда,
когда равны их коэффициенты при
соответствующих степенях.

Это
значит, что

Что и требовалось доказать.

Рассмотрим теорему, обратную
теореме Виета для уравнения четвёртой
степени
.

Формулировка

Если
числа таковы,
что

то эти числа являются корнями
уравнения

Практическая часть

Теперь рассмотрим решения задач,
с помощью теорем Виета для уравнений
третьей и четвертой степени.

Задача
№1

  1. Найти сумму и произведение
    корней уравнения

  2. Решение:
    воспользуемся теоремой Виета, тогда
    получим, что

Ответ: 4,
-4.

Задача
№2

  1. Найти сумму и произведение
    корней уравнения

  2. Решение:
    воспользуемся теоремой Виета, тогда
    получим, что

Ответ: 16,
24.

Для решения данных уравнений
можно использовать формулы Кардано и
метод Феррари соответственно, но,
используя теорему Виета, мы заведомо
знаем сумму и произведение корней этих
уравнений.

Задача №3

  1. Составить уравнение третьей
    степени, если известно, что сумма корней
    равна 6, по парное произведение корней
    равно 3, а произведение -4.

  2. Решение: пользуясь формулой
    Виета, получим

Составим
уравнение, получим

Ответ:

Задача №4

  1. Составить уравнение третьей
    степени, если известно, что сумма корней
    равна 8, по
    парное произведение корней равно 4,
    утроенные произведение равно 12,
    а произведение 20.

  2. Решение: пользуясь формулой
    Виета, получим

Составим
уравнение, получим

Ответ:

С помощью теоремы Виета мы
легко составили уравнения по их корням.
Это самый рациональный способ решения
данных задач.

Задача №5

  1. Найдите
    S
    треугольника, длины сторон которого
    есть корни уравнения

  1. Решение:
    воспользуемся
    формула Герона

где a,
b,
c –
формулы Герона.

Раскроем
скобки и преобразуем выражение, получим

Заметим,
что подкоренное выражение является
кубическим выражением.
Воспользуемся теоремой Виета для
соответствующего ему кубического
уравнения, тогда имеем, что

Зная,
что
получим:

Ответ:

Из решения этой задачи видно,
что теорема Виета применима к задачам
из разных областей математики.

Заключение

В данной работе был исследован
метод решения уравнения третьей и
четвертой степеней с помощью теоремы
Виета. Выведенные в работе формулы
просты в использовании. В ходе исследования
стало очевидно, что в некоторых случаях
этот метод эффективен больше, чем формула
Кордано и метод Феррари для уравнений
третьей и четвёртой степеней соответственно.

Теорема Виета была применена на
практике. Был решён ряд задач, которые
помогли лучше закрепить новый материал.

Это исследование было для меня
очень интересным и познавательным.
Углубив свои знания в математике, я
открыл много интересного и с удовольствием
занимался данным исследованием.

Но мое исследование в области
решения уравнений на этом не закончено.
В будущем я планирую заняться исследованием
решения уравнения n-ой
степени с помощью теоремы Виета.

Хочу выразить огромную благодарность
своему научному руководителю, кандидату
физико-математических наук, а возможность
такого необычного исследования и
постоянное внимание в работе.

Список литературы

  1.  Виноградов
    И.М. Математическая
    энциклопедия. М., 1977.

  2. В. Б. Лидский, Л. В. Овсянников,
    А. Н. Тулайков, М. И. Шабунин. Задачи по
    элементарной математике, Физматлит,
    1980.

Приложение 1.
(Презентация)

Для воспроизведения
презентации нужно дважды щелкнуть на
область картинки (воспроизводится через
PowerPoint)).

Альтернативное доказательство формулы Виета (формула для суммирования корней многочлена)

Обратимся к комбинаторике и исчислению! Пойдем!

Фундамент (после этого раздела все гладко, обещаю!):

Рассмотрим многочлен степени $ n $, факторизованный следующим образом:

$$ P (x) = a (x-x_1) (x-x_2) . n P_ {qw} $$

В приведенном выше примере возьмем, например, суммирование $ P_ {12} $, это то же самое, что и $ P_ {21} $ из-за порядка, в котором мы удаляем корни, не имеет значения.{n} \ text {произведение n-k корней} $$

Это в точности утверждение Формулы

Виеты.

(PDF) Матричная теорема Виета

5. Дальнейшее обобщение

Пусть R — ассоциативное кольцо с единицей, а k — поле. Предположим, что зафиксировано

либо аддитивный гомоморфизм tr: R → k, удовлетворяющий условию trUV = trV U для любых

U, V ∈ R, либо кольцевой гомоморфизм det: R → k (или оба).

Предложение 5.1. Пусть A, B, X, Y ∈ R, причем X −Y необратимо.Если X

2

+ AX ​​+ B =

0, Y

2

+ AY + B = 0, то n tr A = — (tr X + tr Y) и / или det B = det Xdet Y, в зависимости от того, что определено как

.

Доказательство такое же, как в разделе 3.

Чтобы обобщить на произвольные кольца общий случай теоремы 1.1, нам понадобится явное

выражение для A

1

, A

n

через X

1

,. . . , X

n

.

Теорема 5.2. Пусть

A

1

= a

1

(X

1

,…, X

n

),

A

n

= a n

= a n

= a n

(X

1

,…, X

n

)

быть выражениями A

1

, A

n

через X

1

,. . . , X

n

, включающее кольцевые операции и взятие инверсий, и

допустимо там, где эти инверсии существуют (например, (3), (4), (5)).Тогда для любого X

1

,. . . , X

n

∈ R каждое из

равенств

tr a

1

(X

1

,…, X

n

) = — (tr X

1

+.. + Tr X

n

),

det a

n

(X

1

…, X

n

) = det (−X

1

). . . det (−X

n

)

сохраняется при условии, что существуют обе стороны (то есть tr или det определено, и инверсии участвуют

в

1

или

n

существуют в Р).

Теорема 5.2 не может быть доказана рассуждениями, аналогичными аргументам раздела 4. Но

известно, что тождества, которые выполняются для комплексных матриц, верны также в произвольных ассоциативных

кольцах с единицами (см. [A], раздел 12.4.3) . Следовательно, теорема 5.2 следует из теоремы 1.1.

Благодарность. Мы признательны К. Ициксону и И. Каплански за интересное обсуждение

.

Библиография

[A] М. Артин. Алгебра. Прентис Холл, Энглвуд Клис, штат Нью-Джерси, 1991.

[AW] S.L. Адлер, Юн-Ши Ву. Алгебраические и геометрические аспекты обобщенной квантовой динамики. Препринт hep-th 9405054.

[ГР] Гельфанд И. Ретах. Теория некоммутативных определителей и характеристических функций графов, I. Publ. du LACIM, Univ. de Qu´ebec` a Montr´eal, no.

14, С. 1–26.

[GKLLRT] И.М. Гельфанд, Д. Кроб, А. Ласку, Б. Леклерк, В.С. Ретах, Ж.–Ю. Thi-

бон. Некоммутативные симметрические функции.Препринт hep-th 9407124.

[GS] И.М. Гельфанд, М.М. Смирнов. Алгебра классов Черна-Саймонса и скобки Пуа-

на ней. Препринт hep-th 9 404103.

[K] Концевич М. Формальная (не) -коммутативная симплектическая геометрия. В: Гельфанд

Математический семинар, 1992. Birkhauser, Boston, 1993, P. 173–189.

6

Формула четвертого порядка — OeisWiki

На этой странице нет утвержденных изменений, поэтому она может быть проверена не на , а на .{2} + dx + e = 0 = (x-x_ {1}) (x-x_ {2}) (x-x_ {3}) (x-x_ {4}), \ quad a \ neq 0, \,}

дает систему четырех уравнений с четырьмя переменными (которые являются четырьмя корнями)

x1 + x2 + x3 + x4 = −ba = 4B, x1⋅x2 + x1⋅x3 + x1⋅x4 + x2⋅x3 + x2⋅x4 + x3⋅x4 = + ca = 6C, x1⋅x2⋅x3 + x1⋅x2⋅x4 + x1⋅x3⋅x4 + x2⋅x3⋅x4 = −da = 4D, x1⋅x2⋅x3⋅x4 = + ea = E. {\ displaystyle {\ begin {array} {l} \ displaystyle {\ begin {align} x_ {1} + x_ {2} + x_ {3} + x_ {4} & = — {\ frac {b} {a}} = 4B, \\ x_ {1} \ cdot x_ {2} + x_ {1} \ cdot x_ {3} + x_ {1} \ cdot x_ {4} + x_ {2} \ cdot x_ {3} + x_ {2} \ cdot x_ {4} + x_ { 3} \ cdot x_ {4} & = + {\ frac {c} {a}} = 6C, \\ x_ {1} \ cdot x_ {2} \ cdot x_ {3} + x_ {1} \ cdot x_ {2} \ cdot x_ {4} + x_ {1} \ cdot x_ {3} \ cdot x_ {4} + x_ {2} \ cdot x_ {3} \ cdot x_ {4} & = — {\ frac { d} {a}} = 4D, \\ x_ {1} \ cdot x_ {2} \ cdot x_ {3} \ cdot x_ {4} & = + {\ frac {e} {a}} = E.\ конец {выровненный}} \ конец {массив}}}

Если, то хотя бы один корень:

  • , если
    E = 0, D ≠ 0

    , то это простой корень;

  • , если
    E = 0, D = 0, C ≠ 0

    , то является двойным корнем;

  • , если
    E = 0, D = 0, C = 0, B ≠ 0

    , то является тройным корнем;

  • , если
    E = 0, D = 0, C = 0, B = 0

    , то является четверным корнем.

Если затем, разделив четвертое уравнение на третье уравнение, получить формулу для гармонической суммы корней, а разделив четвертое уравнение на второе уравнение, можно получить формулу для гармонической суммы произведений пар корней

1×1 + 1×2 + 1×3 + 1×3 = −de = 4DE, 1×1⋅x2 + 1×1⋅x3 + 1×1⋅x4 + 1×2⋅x3 + 1×2⋅x4 + 1×3⋅x4 = + ce = 6CE. {\ Displaystyle {\ begin {массив} {l} \ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {1} {x_ {1}}} + {\ frac {1} {x_ {2}}} + {\ frac {1} {x_ {3}}} + {\ frac {1} {x_ {3}}} & = — {\ frac {d} {e}} = 4 {\ frac {D} {E}}, \\ {\ frac {1} {x_ {1} \ cdot x_ {2}}} + {\ frac {1} {x_ {1} \ cdot x_ {3}}} + {\ frac {1} {x_ {1} \ cdot x_ {4}}} + {\ frac {1} {x_ {2} \ cdot x_ {3}}} + {\ frac {1} {x_ {2} \ cdot x_ {4}}} + {\ frac {1} {x_ {3} \ cdot x_ {4}}} & = + {\ frac {c} {e}} = 6 {\ frac {C} {E}}.\ end {align}} \ end {array}}}

См. также

.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *