Как корень записать в виде степени: Как представить корень в виде степени — ошкольное образовательное учреждение № 4 «Алёнушка»

Содержание

Тестовые задания по алгебре. Степень.

Тест №3. Функция y = ax² и её свойства.

I вариант.

№1. Какая линия является графиком функции y = ax²?

A) прямая B) окружность C) парабола D) прямая, проходящая через начало координат

№2. Графиком каких функций является парабола?

A) y = 2х — 4 B) y = C) y = D) y = — 5 х²

№3. В каких координатных четвертях лежит график функции y = 4x²?

A) I и II B) I и IV C) II и III D) III и IV

№4. Какие из прямых являются осью симметрии графика функции y = 5x²?

A) у = 1 B) у = — х C) у = 0 D) х = 0

№5. Укажите вершину параболы у = х².

A) А( 0; ) B) А( 0; 0 ) C) А( D) А( ; )

№6. Какая из точек А( -3; — 9), В(3; 6 ), С( 4 ; 16 ), D( 1; -1 ) принадлежит графику функции у = х²?

A) точка А B) точка В C) точка С D) точка D

№7. Для функции у = 2х² найдите у ( -1 ).

A) 2 B) — 2 C) — 4 D) 4

№8. У каких из функций 1) у = 0,2х² 2) у = — х² 3) у = — х² 4) у = х² ветви параболы направлены вниз?

A) 1 и 4 B) 2 и 3 C) 3 и 4 D) 1 и 2

№9. Какие из точек А( 5; — 25), В(3; 12 ), С( — 1,5 ; 2,25 ), D( 0; 0 ) принадлежат графику функции у = х²?

A) точка А B) точка В C) точки С и D D) точки А и В

№10. В каких координатных четвертях лежит график функции у = — х²?

A) I и IV B) II и III C) III и IV D) I и II

№11. Для функции у = — 2х² найдите значение у, которое соответствует значению

х = — 3.

A) у = — 12 B) у = — 18 C) у = 18 D) у = 12

№12. При каком значении а точка А(3 ; а) принадлежит графику функции у = 3х²?

A) а = 9 B) а = 27 C) а = — 9 D) а = — 27

№13. График функции у = ах² проходит через точку А( 2 ; — 8 ). Найдите значение а.

A) а = 1 B) а = 2 C) а = — 2 D) нет правильного ответа

№14. Для функции у = — 2х² найдите значение аргумента, если у = — 18.

A) х = 3 и х = — 3 B) х = 3 C) х = — 3 D) х = 9

№15. Какие из точек A( 0;0 ), B( 1;1 ), C( — 1; — 1 ), D( 3 ; — 9 ), E( 4; — 2 )не принадлежат графику функции у = — х²?

A) точки А и С B) точки С и D C) точки А и D D) точки В и Е

№16. Как изменится площадь квадрата, если его сторону увеличить в 4 раза?

A) увеличится в 4 раза B) увеличится в 2 раза

C) увеличится в 16 раз D) уменьшится в 4 раза.

№17. Сколько точек пересечения имеют графики функций у = х² и у = 5 – х?

A) 1 B) 2 C) бесконечное множество D) нет общих точек.

№18. Дана функция у = — 2х². Какие из следующих утверждений правильные?

A) Значение функции не отрицательное число.

B) На промежутке функция возрастает.

C) График функции расположен над осью Ох.

D) График функции симметричен относительно оси Оу.

№19. Функции заданы формулами у = х², у = — х², у = 4. График какой из этих функций пересекает прямая у = — 5?

A) у = — х² B) у = х² C) у = 4 D) у = 4 и у = х²

№20. При каком значении а ветви параболы, заданной формулой у = — ах², будут направлены вверх?

A) а = 0 B) а = 1 C) а = — 4 D) а = 5

№21. При х = — 3 значение функции у = ах² равно – 9. Тогда значение а равно

A) 1 B) — 1 C) D) —

№22. Как надо изменить сторону квадрата, чтобы его площадь уменьшилась

в 49 раз?

A) увеличить в 7 раз B) уменьшить в 7 раз

C) увеличить в 49 раз D) уменьшить в 49 раз.

№23. Дана функция у = х² и (х₀; у₀ ) – координаты некоторой точки графика функции. Известно, что х_{0 ·}у₀ = — 125. Найдите координаты этой точки.

A) ( — 5; 25 ) B) ( 5; — 25 ) C) (- 25; 5 ) D) ( 25; — 5 )

№24. Какие из чисел являются решением уравнения х² = -х?

A) 1 B) 0 C) — 2 D) — 1

№25. Дана функция у = х². Известно, что произведение абсциссы и ординаты некоторой точки графика этой функции равно 216. Найдите разность абсциссы и ординаты этой точки.

A) — 30 B) — 40 C) — 50 D) — 20

Тест №3. Функция y = ax² и её свойства.

II вариант.

№1. Какая линия является графиком функции y = 0,2x²?

A) окружность B) прямая, проходящая через начало координат

C) парабола D) прямая

№2. Графиком каких функций является парабола?

A) y = B) y = — 3x² C) y = 6x — 7 D) y =

№3. В каких координатных четвертях лежит график функции y = — 4x²?

A) I и II B) II и III C) I и IV D) III и IV

№4. Какие из прямых являются осью симметрии графика функции y = 10x²?

A) х = 0 B) у = 0 C) х = 1 D) у = — х

№5. Укажите вершину параболы у = х².

A) А( B) А( 0; 0 ) C) А( 0; ) D) А( ; )

№6. Какая из точек А( 1; 3 ), В(27; 0 ), С( -1 ; — 12 ), D(- 3; — 27 ) принадлежит графику функции у = 3х²?

A) точка А B) точка В C) точка С D) точка D

№7. Для функции у = 5х² найдите у ( -3 ).

A) 30 B) — 30 C) — 45 D) 45

№8. У каких из функций 1) у = 0,2х² 2) у = — х² 3) у = 5 х² 4) у = — 0,2 х² ветви параболы направлены вверх?

A) 1 и 4 B) 2 и 4 C) 1 и 3 D) 2 и 3

№9. Какая из точек А( 2 ; 4), В(- 2,5; 6,25 ), С( — 6 ; 36 ), D( 3;10 ) не принадлежат графику функции у = х²?

A) точка А B) точка В C) точка С D) точка D

№10. В каких координатных четвертях лежит график функции у = х²?

A) III и IV B) I и II C) I и III D) II и IV

№11. Для функции у = — 4х² найдите значение у, которое соответствует значению

х = — 3.

A) у = 24 B) у = — 36 C) у = 36 D) у = — 24

№12. При каком значении b точка B(3 ; b) принадлежит графику функции у = — 2х²?

A) b = 9 B) b = — 9 C) b = — 18 D) b = — 27

№13. График функции у = ах² проходит через точку А( 2 ; — 2 ). Найдите значение а.

A) а = — B) а = C) а = 1 D) a = — 1

№14. Для функции у = 3х² найдите значение аргумента, если у = — 27.

A) х = 3 B) х = — 3 C) х = — 9 D) нет верного ответа

№15. Какие из точек A( 2; — 4 ), B( 3;9 ), C( -4; 16 ), D( 3 ; 6 ) принадлежат графику функции у = х²?

A) точка А B) точки B и C C) точки А и D D) нет верного ответа

№16. Как изменится площадь квадрата, если его сторону увеличить в 5 раза?

A) увеличится в 25 раз B) уменьшится в 25 раз

C) увеличится в 25 раз D) уменьшится в 5 раз.

№17. Сколько точек пересечения имеют графики функций у = — х² и у = 4 ?

A) 1 B) 2 C) нет общих точек D) бесконечное множество

№18. Дана функция у = 2х². Какие из следующих утверждений правильные?

A) Значение функции отрицательное число.

B) На промежутке функция убывает.

C) График функции расположен в I и II координатных четвертях.

D) Вершина параболы в точке ( 0; 2 ).

№19. Функции заданы формулами у = х², у = — х², у =34. График какой из этих функций пересекает прямая у = — 4?

A) у = х² B) у = — х² C) у = 3 D) не пересекает ни один график

№20. При каком значении а ветви параболы, заданной формулой у = ах², будут направлены вниз?

A) а = 4 B) а = 1 C) а = 0 D) а = — 3

№21. При х = — 4 значение функции у = ах² равно – 48. Тогда значение а равно

A) 2 B) — 2 C) 3 D) — 3

№22. Как надо изменить сторону квадрата, чтобы его площадь уменьшилась

в 9 раз?

A) уменьшить в 3 раза B) увеличить в 3 раза

C) уменьшить в 9 раз D) увеличить в 9 раз.

№23. Дана функция у = х² и (х₀; у₀ ) – координаты некоторой точки графика функции. Известно, что х_{0 ·}у₀ = — 216. Найдите координаты этой точки.

A) ( — 6; 36 ) B) ( — 6; — 36 ) C) (6 ; — 36 ) D) ( 6 ; 36 )

№24. Какие из чисел являются решением уравнения х² = х?

A) — 1 B) 3 C) 1 D) 0

№25. Дана функция у = х². Известно, что произведение абсциссы и ординаты некоторой точки графика этой функции равно — 125. Найдите сумму абсциссы и ординаты этой точки.

A) 18 B) 24 C) 10 D) 20

Коды правильных ответов.

Тест №3.

04.Счет, степени, корни — MAPHY.COM

Основные теоретические сведения

Некоторые рекомендации к проведению алгебраических вычислений, преобразований и упрощений

При выполнении численных вычислений с большим количеством операций и дробей желательно выполнять следующие рекомендации:

Переводите десятичные дроби в обыкновенные, т.е. такие у которых есть числитель и знаменатель.
Не старайтесь посчитать сразу все выражение. Выполняйте вычисления по одному действию, пошагово. При этом учтите, что:
- сначала выполняют операции в скобках;
- затем считают произведения и/или деления;
- потом суммируют или вычитают;
- и в последнюю очередь, если это была многоэтажная дробь, делят уже полностью упрощенный числитель на тоже полностью упрощенный знаменатель;
- причем выполняя в первую очередь операции в скобках также соблюдают ту же последовательность, сначала произведения или деления внутри скобок, потом суммирование или вычитание в скобках, а если внутри скобки есть другая скобка то действия в ней выполняются прежде всего.
Не спешите умножать и делить «страшные числа». Скорее всего, в одном из следующих действий что-то сократится. Чтобы проще было сократить можно числа раскладывать на простые множители.
При сложении и вычитании выделяйте в дробях целую часть (если это возможно). При умножении и делении, наоборот, приводите дробь к виду без целой части.

От корней в знаменателе принято избавляться. Для избавления от корня над всем знаменателем умножают числитель и знаменатель на выражение, равное знаменателю. Для избавления от корня над частью знаменателя умножают числитель и знаменатель на сопряженное знаменателю выражение. В этом случае образуется разность квадратов (сопряжённым для (a — b) является выражение (a + b) и наоборот).

При преобразовании или упрощении алгебраических выражений последовательность действий такова:

Разложить на множители все, что можно разложить на множители.
Сократить все, что можно сократить.
И только потом приводить к общему знаменателю. Ни в коем случае не пытайтесь сразу сломя голову приводить к общему знаменателю. Пример будет становиться чем дальше, тем страшнее.
Снова разложить на множители и сократить.

Для того чтобы перевести десятичную периодическую дробь в обыкновенную (с числителем и знаменателем) необходимо:

Из числа, стоящего до второго периода в исходной периодической дроби вычесть число, стоящее до первого периода в этой же дроби и записать полученную разность в числитель будущей обыкновенной дроби.
В знаменателе же записать столько девяток, сколько цифр в периоде исходной дроби, и столько нулей, сколько цифр между запятой и первым периодом.
Не забыть про целую часть, если она есть.

При решении задач из данной темы также необходимо помнить много сведений из предыдущих тем. Приведём далее основные из них.

Формулы сокращенного умножения

При выполнении различных алгебраических преобразований часто удобно пользоваться формулами сокращенного умножения. Зачастую эти формулы применяются не столько для того чтобы сократить процесс умножения, а наоборот скорее для того, чтобы по результату понять, что его можно представить как произведение некоторых множителей. Таким образом, данные формулы нужно уметь применять не только слева направо, но и справа налево. Перечислим основные формулы сокращенного умножения:

Последние две формулы также часто удобно использовать в виде:

Квадратный трехчлен и теорема Виета

В случае когда квадратное уравнение имеет два корня, соответствующий квадратный трехчлен может быть разложен на множители по следующей формуле:

Если квадратное уравнение имеет один корень, то разложение соответствующего квадратного трехчлена на множители задается следующей формулой:

Только в случае если квадратное уравнение имеет два корня (т.е. дискриминант строго больше ноля) выполняется Теорема Виета. Согласно Теореме Виета, сумма корней квадратного уравнения равна:

Произведение корней квадратного уравнения согласно теореме Виета может быть вычислено по формуле:

Итак, еще раз о теореме Виета:

Если D < 0 (дискриминант отрицателен), то уравнение корней не имеет и теорему Виета применять нельзя.
Если D > 0 (дискриминант положителен), то уравнение имеет два корня и теорема Виета прекрасно работает.
Если D = 0, то уравнение имеет единственный корень, для которого бессмысленно вводить понятие суммы или произведения корней, поэтому теорему Виета тоже не применяем.

Основные свойства степеней

У математических степеней есть несколько важных свойств, перечислим их:

Последнее свойство выполняется только при n > 0. Ноль можно возводить только в положительную степень. Ну а основное свойство отрицательной степени записывается следующим образом:

Основные свойства математических корней

Математический корень можно представить в виде обычной степени, а затем пользоваться всеми свойствами степеней приведёнными выше. Для представления математического корня в виде степени используют следующую формулу:

Тем не менее можно отдельно выписать ряд свойств математических корней, которые основываются на свойствах степеней описанных выше:

Для арифметических корней выполняется следующее свойство (которое одновременно можно считать определением корня):

Последнее справедливо: если n – нечетное, то для любого a; если же n – четное, то только при a больше либо равном нолю. Для корня нечетной степени выполняется также следующее равенство (из под корня нечетной степени можно выносить знак «минус»):

Так как значение корня четной степени может быть только неотрицательным, то для таких корней имеется следующее важное свойство:

Итак всегда нужно помнить, что под корнем четной степени может стоять только неотрицательное выражение, и сам корень тоже есть неотрицательное выражение. Кроме того, нужно отметить, что если используется запись со значком математического корня, то показатель степени этого корня может быть только целым числом, причем это число должно быть больше либо равно двум:

Основные свойства квадратного корня

Квадратным корнем называется математический корень второй степени:

Квадратный корень можно извлечь только из неотрицательного числа. При этом значение квадратного корня также всегда неотрицательно:

Для квадратного корня существует два важных свойства, которые важно очень хорошо запомнить и не путать:

Если под корнем стоит несколько множителей, то корень можно извлекать из каждого из них по-отдельности. При этом важно понимать, что каждый из этих множителей по-отдельности (а не только их произведение) должны быть неотрицательными:

Как извлечь корень из числа в степени. Формулы степеней и корней

Часто преобразование и упрощение математических выражений требует перехода от корней к степеням и наоборот. Данная статья рассказывает о том, как осуществлять перевод корня в степень и обратно. Рассматривается теория, практические примеры и наиболее распространенные ошибки.

Переход от степеней с дробными показателями к корням

Допустим, мы имеем число с показателем степени в виде обыкновенной дроби — a m n . Как записать такое выражение в виде корня?

Ответ вытекает из самого определения степени!

Определение

Положительное число a в степени m n — это корень степени n из числа a m .

При этом, обязательно должно выполнятся условие:

a > 0 ; m ∈ ℤ ; n ∈ ℕ .

Дробная степень числа нуль определяется аналогично, однако в этом случае число m принимается не целым, а натуральным, чтобы не возникло деления на 0:

0 m n = 0 m n = 0 .

В соответствии с определением, степень a m n можно представить в виде корня a m n .

Например: 3 2 5 = 3 2 5 , 1 2 3 — 3 4 = 1 2 3 — 3 4 .

Однако, как уже было сказано, не следует забывать про условия: a > 0 ; m ∈ ℤ ; n ∈ ℕ .

Так, выражение — 8 1 3 нельзя представить в виде — 8 1 3 , так как запись — 8 1 3 попросту не имеет смысла — степень отрицательных чисел на определена.При этом, сам корень — 8 1 3 имеет смысл.

Переход от степеней с выражениями в основании и дробными показателями осуществляется аналогично на всей области допустимых значений (далее — ОДЗ) исходных выражений в основании степени.

Например, выражение x 2 + 2 x + 1 — 4 1 2 можно представить в виде квадратного корня x 2 + 2 x + 1 — 4 .Выражение в степени x 2 + x · y · z — z 3 — 7 3 переходит в выражение x 2 + x · y · z — z 3 — 7 3 для всех x , y , z из ОДЗ данного выражения.

Обратная замена корней степенями, когда вместо выражения с корнем записывается выражения со степенью, также возможна. Просто перевернем равенство из предыдущего пункта и получим:

Опять же, переход очевиден для положительных чисел a . Например, 7 6 4 = 7 6 4 , или 2 7 — 5 3 = 2 7 — 5 3 .

Для отрицательных a корни имеют смысл. Например — 4 2 6 , — 2 3 . Однако, представить эти корни в виде степеней — 4 2 6 и — 2 1 3 нельзя.

Можно ли вообще преобразовать такие выражения со степенями? Да, если произвести некоторые предварительные преобразования. Рассмотрим, какие.

Используя свойства степеней, можно выполнить преобразования выражения — 4 2 6 .

4 2 6 = — 1 2 · 4 2 6 = 4 2 6 .

Так как 4 > 0 , можно записать:

В случае с корнем нечетной степени из отрицательного числа, можно записать:

A 2 m + 1 = — a 2 m + 1 .

Тогда выражение — 2 3 примет вид:

2 3 = — 2 3 = — 2 1 3 .

Разберемся теперь, как корни, под которыми содержатся выражения, заменяются на степени, содержащие эти выражения в основании.

Обозначим буквой A некоторое выражение. Однако не будем спешить с представлением A m n в виде A m n . Поясним, что здесь имеется в виду. Например, выражение х — 3 2 3 , основываясь на равенстве из первого пункта, хочется представить в виде x — 3 2 3 . Такая замена возможна только при x — 3 ≥ 0 , а для остальных икс из ОДЗ она не подходит, так как для отрицательных a формула a m n = a m n не имеет смысла.

Таким образом, в рассмотренном примере преобразование вида A m n = A m n является преобразованием, сужающим ОДЗ, а из-за неаккуратного применения формулы A m n = A m n нередко возникают ошибки.

Чтобы правильно перейти от корня A m n к степени A m n , необходимо соблюдать несколько пунктов:

В случае, если число m — целое и нечетное, а n — натуральное и четное, то формула A m n = A m n справедлива на всей ОДЗ переменных.
Если m — целое и нечетное, а n — натуральное и нечетное,то выражение A m n можно заменить:
— на A m n для всех значений переменных, при которых A ≥ 0 ;
— на — — A m n для для всех значений переменных, при которых A
Если m — целое и четное, а n — любое натуральное число, то A m n можно заменить на A m n .

Сведем все эти правила в таблицу и приведем несколько примеров их использования.

Вернемся к выражению х — 3 2 3 . Здесь m = 2 — целое и четное число, а n = 3 — натуральное число. Значит, выражение х — 3 2 3 правильно будет записать в виде:

х — 3 2 3 = x — 3 2 3 .

Приведем еще один пример с корнями и степенями.

Пример. Перевод корня в степень

x + 5 — 3 5 = x + 5 — 3 5 , x > — 5 — — x — 5 — 3 5 , x

Обоснуем результаты, приведенные в таблице. Если число m — целое и нечетное, а n — натуральное и четное, для всех переменных из ОДЗ в выражении A m n значение A положительно или неотрицательно (при m > 0). Именно поэтому A m n = A m n .

Во втором варианте, когда m — целое, положительное и нечетное, а n — натуральное и нечетное, значения A m n разделяются. Для переменных из ОДЗ, при которых A неотрицательно, A m n = A m n = A m n . Для переменных, при которых A отрицательно, получаем A m n = — A m n = — 1 m · A m n = — A m n = — A m n = — A m n .

Аналогично рассмотрим и следующий случай, когда m — целое и четное, а n — любое натуральное число. Если значение A положительно или неотрицательно, то для таких значений переменных из ОДЗ A m n = A m n = A m n . Для отрицательных A получаем A m n = — A m n = — 1 m · A m n = A m n = A m n .

Таким образом, в третьем случае для всех переменных из ОДЗ можно записать A m n = A m n .

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Для извлечения корня в Excel и возведения числа в степень используются встроенные функции и математические операторы. Рассмотрим на примерах.

Примеры функции КОРЕНЬ в Excel

Встроенная функция КОРЕНЬ возвращает положительное значение квадратного корня. В меню «Функции» она находится в категории «Математические».

Синтаксис функции: =КОРЕНЬ(число).

Единственный и обязательный аргумент представляет собой положительное число, для которого функция вычисляет квадратный корень. Если аргумент имеет отрицательное значение, Excel вернет ошибку #ЧИСЛО!.

В качестве аргумента можно указывать конкретное значение либо ссылку на ячейку с числовым значением.

Рассмотрим примеры.

Функция вернула квадратный корень числа 36. Аргумент – определенное значение.

Функция ABS возвращает абсолютное значение числа -36.».

Формулы степеней
используют в процессе сокращения и упрощения сложных выражений, в решении уравнений и неравенств.

Число c
является n
-ной степенью числа a
когда:

Операции со степенями.

1. Умножая степени с одинаковым основанием их показатели складываются:

a m
·a n = a m + n .

2. В делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются:

3. Степень произведения 2-х либо большего числа множителей равняется произведению степеней этих сомножителей:

(abc…) n = a n · b n · c n …

4. Степень дроби равняется отношению степеней делимого и делителя:

(a/b) n = a n /b n .

5. Возводя степень в степень, показатели степеней перемножают:

(a m) n = a m n .

Каждая вышеприведенная формула верна в направлениях слева направо и наоборот.

Например
. (2·3·5/15)² = 2²·3²·5²/15² = 900/225 = 4
.

Операции с корнями.

1. Корень из произведения нескольких сомножителей равняется произведению корней из этих сомножителей:

2. Корень из отношения равен отношению делимого и делителя корней:

3. При возведении корня в степень довольно возвести в эту степень подкоренное число:

4. Если увеличить степень корня в n
раз и в тоже время возвести в n
-ую степень подкоренное число, то значение корня не поменяется:

5. Если уменьшить степень корня в n
раз и в тоже время извлечь корень n
-ой степени из подкоренного числа, то значение корня не поменяется:

Степень с отрицательным показателем.
Степень некоторого числа с неположительным (целым) показателем определяют как единицу, деленную на степень того же числа с показателем, равным абсолютной величине неположительного показателя:

Формулу a m
:a n =a m — n
можно использовать не только при m
> n
, но и при m
n
.

Например
. a
4:a 7 = a 4 — 7 = a -3
.

Чтобы формула a m
:a n =a m — n
стала справедливой при m=n
, нужно присутствие нулевой степени.

Степень с нулевым показателем.
Степень всякого числа, не равного нулю, с нулевым показателем равняется единице.

Например
. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Степень с дробным показателем.
Чтобы возвести действительное число а
в степень m/n
, необходимо извлечь корень n
-ой степени из m
-ой степени этого числа а
.

Поздравляю: сегодня мы будем разбирать корни — одну из самых мозговыносящих тем 8-го класса.:)

Многие путаются в корнях не потому, что они сложные (чего там сложного-то — пара определений и ещё пара свойств), а потому что в большинстве школьных учебников корни определяются через такие дебри, что разобраться в этой писанине могут разве что сами авторы учебников. Да и то лишь с бутылкой хорошего виски.{2}}=1$.

Кубические корни тоже часто встречаются — не надо их бояться:

\[\begin{align} & \sqrt{27}=3; \\ & \sqrt{-64}=-4; \\ & \sqrt{343}=7. \\ \end{align}\]

Ну, и парочка «экзотических примеров»:

\[\begin{align} & \sqrt{81}=3; \\ & \sqrt{-32}=-2. \\ \end{align}\]

Если вы не поняли, в чём разница между чётной и нечётной степенью — перечитайте определение ещё раз. Это очень важно!

А мы тем временем рассмотрим одну неприятную особенность корней, из-за которой нам и потребовалось вводить раздельное определение для чётных и нечётных показателей.

Зачем вообще нужны корни?

Прочитав определение, многие ученики спросят: «Что курили математики, когда это придумывали?» И вправду: зачем вообще нужны все эти корни?

Чтобы ответить на этот вопрос, вернёмся на минутку в начальные классы. Вспомните: в те далёкие времена, когда деревья были зеленее, а пельмени вкуснее, основная наша забота была в том, чтобы правильно умножать числа. Ну, что-нибудь в духе «пять на пять — двадцать пять», вот это вот всё. Но ведь можно умножать числа не парами, а тройками, четвёрками и вообще целыми комплектами:

\[\begin{align} & 5\cdot 5=25; \\ & 5\cdot 5\cdot 5=125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=625; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=3125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=15\ 625. \end{align}\]

Однако суть не в этом. Фишка в другом: математики — людишки ленивые, поэтому им было в лом записывать умножение десяти пятёрок вот так:

Поэтому они придумали степени. Почему бы вместо длинной строки не записать количество множителей в виде верхнего индекса? Типа вот такого:

Это же очень удобно! Все вычисления сокращаются в разы, и можно не тратить кучу листов пергамента блокнотиков на запись какого-нибудь 5 183 . Такую запись назвали степенью числа, у неё нашли кучу свойств, но счастье оказалось недолгим.

После грандиозной пьянки, которую организовали как раз по поводу «открытия» степеней, какой-то особо упоротый математик вдруг спросил: «А что, если нам известна степень числа, но неизвестно само число?» Вот, действительно, если нам известно, что некое число $b$, допустим, в 5-й степени даёт 243, то как нам догадаться, чему равно само число $b$?

Проблема эта оказалась гораздо более глобальной, чем может показаться на первый взгляд.{n}}=a\]

Не спорю: зачастую эти корни легко считаются — мы видели несколько таких примеров выше. Но всё-таки в большинстве случаев, если вы загадаете произвольное число, а затем попробуете извлечь из него корень произвольной степени, вас ждёт жестокий облом.

Да что там! Даже самый простой и всем знакомый $\sqrt{2}$ нельзя представить в привычном нам виде — как целое число или дробушка. А если вы вобьёте это число в калькулятор, то увидите вот это:

\[\sqrt{2}=1,414213562…\]

Как видите, после запятой идёт бесконечная последовательность цифр, которые не подчиняются никакой логике. Можно, конечно, округлить это число, чтобы быстро сравнить с другими числами. Например:

\[\sqrt{2}=1,4142…\approx 1,4 \lt 1,5\]

Или вот ещё пример:

\[\sqrt{3}=1,73205…\approx 1,7 \gt 1,5\]

Но все эти округления, во-первых, довольно грубые; а во-вторых, работать с примерными значениями тоже надо уметь, иначе можно словить кучу неочевидных ошибок (кстати, навык сравнения и округления в обязательном порядке проверяют на профильном ЕГЭ).

Поэтому в серьёзной математике без корней не обойтись — они являются такими же равноправными представителями множества всех действительных чисел $\mathbb{R}$, как и давно знакомые нам дроби и целые числа.

Невозможность представить корень в виде дроби вида $\frac{p}{q}$ означает, что данный корень не является рациональным числом. Такие числа называются иррациональными, и их нельзя точно представить иначе как с помощью радикала, либо других специально предназначенных для этого конструкций (логарифмов, степеней, пределов и т.д.). Но об этом — в другой раз.

Рассмотрим несколько примеров, где после всех вычислений иррациональные числа всё же останутся в ответе.

\[\begin{align} & \sqrt{2+\sqrt{27}}=\sqrt{2+3}=\sqrt{5}\approx 2,236… \\ & \sqrt{\sqrt{-32}}=\sqrt{-2}\approx -1,2599… \\ \end{align}\]

Естественно, по внешнему виду корня практически невозможно догадаться о том, какие числа будут идти после запятой.{2}}$:

График квадратичной функции даёт два корня: положительный и отрицательный

Попробуем с помощью этого графика посчитать $\sqrt{4}$. Для этого на графике проведена горизонтальная линия $y=4$ (отмечена красным цветом), которая пересекается с параболой в двух точках:${{x}_{1}}=2$ и ${{x}_{2}}=-2$. Это вполне логично, поскольку

С первым числом всё понятно — оно положительное, поэтому оно и есть корень:

Но что тогда делать со второй точкой? Типа у четвёрки сразу два корня? Ведь если возвести в квадрат число −2, мы тоже получим 4. Почему бы тогда не записать$\sqrt{4}=-2$? И почему учителя смотрят на подобные записи так, как будто хотят вас сожрать?:)

В том-то и беда, что если не накладывать никаких дополнительных условий, то квадратных корней у четвёрки будет два — положительный и отрицательный. И у любого положительного числа их тоже будет два. А вот у отрицательных чисел корней вообще не будет — это видно всё по тому же графику, поскольку парабола нигде не опускается ниже оси y
, т.{3}}$:

Кубическая парабола принимает любые значения, поэтому кубический корень извлекается из любого числа

Из этого графика можно сделать два вывода:

Ветви кубической параболы, в отличие от обычной, уходят на бесконечность в обе стороны — и вверх, и вниз. Поэтому на какой бы высоте мы ни проводили горизонтальную прямую, эта прямая обязательно пересечётся с нашим графиком. Следовательно, кубический корень можно извлечь всегда, абсолютно из любого числа;
Кроме того, такое пересечение всегда будет единственным, поэтому не нужно думать, какое число считать «правильным» корнем, а на какое — забить. Именно поэтому определение корней для нечётной степени проще, чем для чётной (отсутствует требование неотрицательности).

Жаль, что эти простые вещи не объясняют в большинстве учебников. Вместо этого нам начинают парить мозг всякими арифметическими корнями и их свойствами.

Да, я не спорю: что такое арифметический корень — тоже надо знать. И я подробно расскажу об этом в отдельном уроке. Сегодня мы тоже поговорим о нём, поскольку без него все размышления о корнях $n$-й кратности были бы неполными.

Но сначала надо чётко усвоить то определение, которое я дал выше. Иначе из-за обилия терминов в голове начнётся такая каша, что в итоге вообще ничего не поймёте.

А всего-то и нужно понять разницу между чётными и нечётными показателями. Поэтому ещё раз соберём всё, что действительно нужно знать о корнях:

Корень чётной степени существует лишь из неотрицательного числа и сам всегда является неотрицательным числом. Для отрицательных чисел такой корень неопределён.
А вот корень нечётной степени существует из любого числа и сам может быть любым числом: для положительных чисел он положителен, а для отрицательных — как намекает кэп, отрицательный.

Разве это сложно? Нет, не сложно. Понятно? Да вообще очевидно! Поэтому сейчас мы немного потренируемся с вычислениями.

Основные свойства и ограничения

У корней много странных свойств и ограничений — об этом будет отдельный урок.{2}}$, напротив, означает, что мы сначала извлекаем корень из некого числа $a$ и лишь затем возводим результат в квадрат. Поэтому число $a$ ни в коем случае не может быть отрицательным — это обязательное требование, заложенное в определение.

Таким образом, ни в коем случае нельзя бездумно сокращать корни и степени, тем самым якобы «упрощая» исходное выражение. Потому что если под корнем стоит отрицательное число, а его показатель является чётным, мы получим кучу проблем.

Впрочем, все эти проблемы актуальны лишь для чётных показателей.

Вынесение минуса из-под знака корня

Естественно, у корней с нечётными показателями тоже есть своя фишка, которой в принципе не бывает у чётных. А именно:

\[\sqrt{-a}=-\sqrt{a}\]

Короче говоря, можно выносить минус из-под знака корней нечётной степени. Это очень полезное свойство, которое позволяет «вышвырнуть» все минусы наружу:

\[\begin{align} & \sqrt{-8}=-\sqrt{8}=-2; \\ & \sqrt{-27}\cdot \sqrt{-32}=-\sqrt{27}\cdot \left(-\sqrt{32} \right)= \\ & =\sqrt{27}\cdot \sqrt{32}= \\ & =3\cdot 2=6. \end{align}\]

Это простое свойство значительно упрощает многие вычисления. Теперь не нужно переживать: вдруг под корнем затесалось отрицательное выражение, а степень у корня оказалась чётной? Достаточно лишь «вышвырнуть» все минусы за пределы корней, после чего их можно будет умножать друг на друга, делить и вообще делать многие подозрительные вещи, которые в случае с «классическими» корнями гарантированно приведут нас к ошибке.

И вот тут на сцену выходит ещё одно определение — то самое, с которого в большинстве школ и начинают изучение иррациональных выражений. И без которого наши рассуждения были бы неполными. Встречайте!

Арифметический корень

Давайте предположим на минутку, что под знаком корня могут находиться лишь положительные числа или в крайнем случае ноль. Забьём на чётные/нечётные показатели, забьём на все определения, приведённые выше — будем работать только с неотрицательными числами. Что тогда?

А тогда мы получим арифметический корень — он частично пересекается с нашими «стандартными» определениями, но всё же отличается от них.{n}}=a$.

Как видим, нас больше не интересует чётность. Взамен неё появилось новое ограничение: подкоренное выражение теперь всегда неотрицательно, да и сам корень тоже неотрицателен.

Чтобы лучше понять, чем арифметический корень отличается от обычного, взгляните на уже знакомые нам графики квадратной и кубической параболы:

Область поиска арифметического корня — неотрицательные числа

Как видите, отныне нас интересуют лишь те куски графиков, которые расположены в первой координатной четверти — там, где координаты $x$ и $y$ положительны (или хотя бы ноль). Больше не нужно смотреть на показатель, чтобы понять: имеем мы право ставить под корень отрицательное число или нет. Потому что отрицательные числа больше в принципе не рассматриваются.

Возможно, вы спросите: «Ну и зачем нам такое кастрированное определение?» Или: «Почему нельзя обойтись стандартным определением, данным выше?»

Что ж, приведу всего одно свойство, из-за которого новое определение становится целесообразным.{2}}}=\sqrt{4} \gt 0. \\ \end{align}$

Как видите, в первом случае мы вынесли минус из-под радикала (имеем полное право, т.к. показатель нечётный), а во втором — воспользовались указанной выше формулой. Т.е. с точки зрения математики всё сделано по правилам.

WTF?! Как одно и то же число может быть и положительным, и отрицательным? Никак. Просто формула возведения в степень, которая прекрасно работает для положительных чисел и нуля, начинает выдавать полную ересь в случае с отрицательными числами.

Вот для того, чтобы избавиться от подобной неоднозначности, и придумали арифметические корни. Им посвящён отдельный большой урок, где мы подробно рассматриваем все их свойства. Так что сейчас не будем на них останавливаться — урок и так получился слишком затянутым.

Алгебраический корень: для тех, кто хочет знать больше

Долго думал: выносить эту тему в отдельный параграф или нет. В итоге решил оставить здесь. Данный материал предназначен для тех, кто хочет понять корни ещё лучше — уже не на среднем «школьном» уровне, а на приближенном к олимпиадному.{n}}=a \right. \right\}\]

Принципиальное отличие от стандартного определения, приведённого в начале урока, состоит в том, что алгебраический корень — это не конкретное число, а множество. А поскольку мы работаем с действительными числами, это множество бывает лишь трёх типов:

Пустое множество. Возникает в случае, когда требуется найти алгебраический корень чётной степени из отрицательного числа;
Множество, состоящее из одного-единственного элемента. Все корни нечётных степеней, а также корни чётных степеней из нуля попадают в эту категорию;
Наконец, множество может включать два числа — те самые ${{x}_{1}}$ и ${{x}_{2}}=-{{x}_{1}}$, которое мы видели на графике квадратичной функции. Соответственно, такой расклад возможен лишь при извлечении корня чётной степени из положительного числа.

Последний случай заслуживает более подробного рассмотрения. Посчитаем парочку примеров, чтобы понять разницу.

Пример. Вычислите выражения:
\[\overline{\sqrt{4}};\quad \overline{\sqrt{-27}};\quad \overline{\sqrt{-16}}.\]
Решение. С первым выражением всё просто:
\[\overline{\sqrt{4}}=\left\{ 2;-2 \right\}\]
Именно два числа входят в состав множества. Потому что каждое из них в квадрате даёт четвёрку.
\[\overline{\sqrt{-27}}=\left\{ -3 \right\}\]
Тут мы видим множество, состоящее лишь из одного числа. Это вполне логично, поскольку показатель корня — нечётный.
Наконец, последнее выражение:
\[\overline{\sqrt{-16}}=\varnothing \]

Получили пустое множество. Потому что нет ни одного действительного числа, которое при возведении в четвёртую (т.е. чётную!) степень даст нам отрицательное число −16.

Финальное замечание. Обратите внимание: я не случайно везде отмечал, что мы работаем с действительными числами. Потому что есть ещё комплексные числа — там вполне можно посчитать и $\sqrt{-16}$, и многие другие странные вещи.
Однако в современном школьном курсе математики комплексные числа почти не встречаются. Их вычеркнули из большинства учебников, поскольку наши чиновники считают эту тему «слишком сложной для понимания».

На этом всё. В следующем уроке мы рассмотрим все ключевые свойства корней и научимся, наконец, упрощать иррациональные выражения.:)

Пришло время разобрать способы извлечения корней
. Они базируются на свойствах корней , в частности, на равенстве , которое справедливо для любого неотрицательного числа b.

Ниже мы по очереди рассмотрим основные способы извлечения корней.

Начнем с самого простого случая – с извлечения корней из натуральных чисел с использованием таблицы квадратов, таблицы кубов и т.п.

Если же таблицы квадратов, кубов и т.п. нет под руками, то логично воспользоваться способом извлечения корня, который подразумевает разложение подкоренного числа на простые множители.

Отдельно стоит остановиться на , что возможно для корней с нечетными показателями.

Наконец, рассмотрим способ, позволяющий последовательно находить разряды значения корня.

Приступим.

Использование таблицы квадратов, таблицы кубов и т.д.

В самых простых случаях извлекать корни позволяют таблицы квадратов, кубов и т.д. Что же представляют собой эти таблицы?

Таблица квадратов целых чисел от 0
до 99
включительно (она показана ниже) состоит из двух зон. Первая зона таблицы располагается на сером фоне, она с помощью выбора определенной строки и определенного столбца позволяет составить число от 0
до 99
. Для примера выберем строку 8
десятков и столбец 3
единицы, этим мы зафиксировали число 83
. Вторая зона занимает оставшуюся часть таблицы. Каждая ее ячейка находится на пересечении определенной строки и определенного столбца, и содержит квадрат соответствующего числа от 0
до 99
. На пересечении выбранной нами строки 8
десятков и столбца 3
единицы находится ячейка с числом 6 889
, которое является квадратом числа 83
.

Таблицы кубов, таблицы четвертых степеней чисел от 0
до 99
и так далее аналогичны таблице квадратов, только они во второй зоне содержат кубы, четвертые степени и т.д. соответствующих чисел.

Таблицы квадратов, кубов, четвертых степеней и т.д. позволяют извлекать квадратные корни, кубические корни, корни четвертой степени и т.д. соответственно из чисел, находящихся в этих таблицах. Объясним принцип их применения при извлечении корней.

Допустим, нам нужно извлечь корень n
-ой степени из числа a
, при этом число a
содержится в таблице n
-ых степеней. По этой таблице находим число b
такое, что a=b n
. Тогда , следовательно, число b
будет искомым корнем n
-ой степени.

В качестве примера покажем, как с помощью таблицы кубов извлекается кубический корень из 19 683
. Находим число 19 683
в таблице кубов, из нее находим, что это число является кубом числа 27
, следовательно, .

Понятно, что таблицы n
-ых степеней очень удобны при извлечении корней. Однако их частенько не оказывается под руками, а их составление требует определенного времени. Более того, часто приходится извлекать корни из чисел, которые не содержатся в соответствующих таблицах. В этих случаях приходится прибегать к другим методам извлечения корней.

Разложение подкоренного числа на простые множители

Достаточно удобным способом, позволяющим провести извлечение корня из натурального числа (если конечно корень извлекается), является разложение подкоренного числа на простые множители. Его суть заключается в следующем
: после его достаточно легко представить в виде степени с нужным показателем, что позволяет получить значение корня. Поясним этот момент.

Пусть из натурального числа a
извлекается корень n
-ой степени, и его значение равно b
. В этом случае верно равенство a=b n
. Число b
как любое натуральное число можно представить в виде произведения всех своих простых множителей p 1 , p 2 , …, p m
в виде p 1 ·p 2 ·…·p m
, а подкоренное число a
в этом случае представляется как (p 1 ·p 2 ·…·p m) n
. Так как разложение числа на простые множители единственно, то разложение подкоренного числа a
на простые множители будет иметь вид (p 1 ·p 2 ·…·p m) n
, что дает возможность вычислить значение корня как .

Заметим, что если разложение на простые множители подкоренного числа a
не может быть представлено в виде (p 1 ·p 2 ·…·p m) n
, то корень n
-ой степени из такого числа a
нацело не извлекается.

Разберемся с этим при решении примеров.

Пример.

Извлеките квадратный корень из 144
.

Решение.

Если обратиться к таблице квадратов, данной в предыдущем пункте, то хорошо видно, что 144=12 2
, откуда понятно, что квадратный корень из 144
равен 12
.

Но в свете данного пункта нас интересует, как извлекается корень с помощью разложения подкоренного числа 144
на простые множители. Разберем этот способ решения.

Разложим 144
на простые множители:

То есть, 144=2·2·2·2·3·3
. На основании с полученным разложением можно провести такие преобразования: 144=2·2·2·2·3·3=(2·2) 2 ·3 2 =(2·2·3) 2 =12 2
. Следовательно, .

Используя свойства степени и свойства корней , решение можно было оформить и немного иначе: .

Ответ:

Для закрепления материала рассмотрим решения еще двух примеров.

Пример.

Вычислите значение корня .

Решение.

Разложение на простые множители подкоренного числа 243
имеет вид 243=3 5
. Таким образом, .

Ответ:

Пример.

Является ли значение корня целым числом?

Решение.

Чтобы ответить на этот вопрос, разложим подкоренное число на простые множители и посмотрим, представимо ли оно в виде куба целого числа.

Имеем 285 768=2 3 ·3 6 ·7 2
. Полученное разложение не представляется в виде куба целого числа, так как степень простого множителя 7
не кратна трем. Следовательно, кубический корень из числа 285 768
не извлекается нацело.

Ответ:

Нет.

Извлечение корней из дробных чисел

Пришло время разобраться, как извлекается корень из дробного числа. Пусть дробное подкоренное число записано в виде как p/q
. Согласно свойству корня из частного справедливо следующее равенство . Из этого равенства следует правило извлечения корня из дроби
: корень из дроби равен частному от деления корня из числителя на корень из знаменателя.

Разберем пример извлечения корня из дроби.

Пример.

Чему равен квадратный корень из обыкновенной дроби 25/169
.

Решение.

По таблице квадратов находим, что квадратный корень из числителя исходной дроби равен 5
, а квадратный корень из знаменателя равен 13
. Тогда . На этом извлечение корня из обыкновенной дроби 25/169
завершено.

Ответ:

Корень из десятичной дроби или смешанного числа извлекается после замены подкоренных чисел обыкновенными дробями.

Пример.

Извлеките кубический корень из десятичной дроби 474,552
.

Решение.

Представим исходную десятичную дробь в виде обыкновенной дроби: 474,552=474552/1000
. Тогда . Осталось извлечь кубические корни, находящиеся в числителе и знаменателе полученной дроби. Так как 474 552=2·2·2·3·3·3·13·13·13=
(2·3·13) 3 =78 3
и 1 000=10 3
, то и . Осталось лишь завершить вычисления .

Ответ:

Извлечение корня из отрицательного числа

Отдельно стоит остановиться на извлечении корней из отрицательных чисел. При изучении корней мы сказали, что когда показатель корня является нечетным числом, то под знаком корня может находиться отрицательное число. Таким записям мы придали следующий смысл: для отрицательного числа −a
и нечетного показателя корня 2·n−1
справедливо . Это равенство дает правило извлечения корней нечетной степени из отрицательных чисел
: чтобы извлечь корень из отрицательного числа нужно извлечь корень из противоположного ему положительного числа, и перед полученным результатом поставить знак минус.

Рассмотрим решение примера.

Пример.

Найдите значение корня .

Решение.

Преобразуем исходное выражение, чтобы под знаком корня оказалось положительное число: . Теперь смешанное число заменим обыкновенной дробью: . Применяем правило извлечения корня из обыкновенной дроби: . Осталось вычислить корни в числителе и знаменателе полученной дроби: .

Приведем краткую запись решения: .

Ответ:

Порязрядное нахождение значения корня

В общем случае под корнем находится число, которое при помощи разобранных выше приемов не удается представить в виде n
-ой степени какого-либо числа. Но при этом бывает необходимость знать значение данного корня, хотя бы с точностью до некоторого знака. В этом случае для извлечения корня можно воспользоваться алгоритмом, который позволяет последовательно получить достаточное количество значений разрядов искомого числа.

На первом шаге данного алгоритма нужно выяснить, каков старший разряд значения корня. Для этого последовательно возводятся в степень n
числа 0, 10, 100, …
до того момента, когда будет получено число, превосходящее подкоренное число. Тогда число, которое мы возводили в степень n
на предыдущем этапе, укажет соответствующий старший разряд.

Для примера рассмотрим этот шаг алгоритма при извлечении квадратного корня из пяти. Берем числа 0, 10, 100, …
и возводим их в квадрат, пока не получим число, превосходящее 5
. Имеем 0 2 =05
, значит, старшим разрядом будет разряд единиц. Значение этого разряда, а также более младших, будет найдено на следующих шагах алгоритма извлечения корня.

Все следующие шаги алгоритма имеют целью последовательное уточнение значения корня за счет того, что находятся значения следующих разрядов искомого значения корня, начиная со старшего и продвигаясь к младшим. К примеру, значение корня на первом шаге получается 2
, на втором – 2,2
, на третьем – 2,23
, и так далее 2,236067977…
. Опишем, как происходит нахождение значений разрядов.

Нахождение разрядов проводится за счет перебора их возможных значений 0, 1, 2, …, 9
. При этом параллельно вычисляются n
-ые степени соответствующих чисел, и они сравниваются с подкоренным числом. Если на каком-то этапе значение степени превзойдет подкоренное число, то значение разряда, соответствующее предыдущему значению, считается найденным, и производится переход к следующему шагу алгоритма извлечения корня, если же этого не происходит, то значение этого разряда равно 9
.

Поясним эти моменты все на том же примере извлечения квадратного корня из пяти.

Сначала находим значение разряда единиц. Будем перебирать значения 0, 1, 2, …, 9
, вычисляя соответственно 0 2 , 1 2 , …, 9 2
до того момента, пока не получим значение, большее подкоренного числа 5
. Все эти вычисления удобно представлять в виде таблицы:

Так значение разряда единиц равно 2
(так как 2 2 5
). Переходим к нахождению значения разряда десятых. При этом будем возводить в квадрат числа 2,0, 2,1, 2,2, …, 2,9
, сравнивая полученные значения с подкоренным числом 5
:

Так как 2,2 2 5
, то значение разряда десятых равно 2
. Можно переходить к нахождению значения разряда сотых:

Так найдено следующее значение корня из пяти, оно равно 2,23
. И так можно продолжать дальше находить значения : 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, …
.

Для закрепления материала разберем извлечение корня с точностью до сотых при помощи рассмотренного алгоритма.

Сначала определяем старший разряд. Для этого возводим в куб числа 0, 10, 100
и т.д. пока не получим число, превосходящее 2 151,186
. Имеем 0 3 =02 151,186
, таким образом, старшим разрядом является разряд десятков.

Определим его значение.

Так как 10 3 2 151,186
, то значение разряда десятков равно 1
. Переходим к единицам.

Таким образом, значение разряда единиц равно 2
. Переходим к десятым.

Так как даже 12,9 3
меньше подкоренного числа 2 151,186
, то значение разряда десятых равно 9
. Осталось выполнить последний шаг алгоритма, он нам даст значение корня с требуемой точностью.

На этом этапе найдено значение корня с точностью до сотых: .

В заключение этой статьи хочется сказать, что существует масса других способов извлечения корней. Но для большинства задач достаточно тех, которые мы изучили выше.

Список литературы.

Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра: учебник для 8 кл. общеобразовательных учреждений.
Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10 — 11 классов общеобразовательных учреждений.
Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика (пособие для поступающих в техникумы).

Отрицательная степень числа | Алгебра

Степень с отрицательным показателем

Число с отрицательным показателем степени равно дроби, числителем которой является единица, а знаменателем данное число с положительным показателем.

d^-c =	1	; 7^-5 =	1	; a^-5 =	1	.
	d^c		7⁵		a⁵

Чтобы разобраться, почему число в отрицательной степени равно дроби, надо вспомнить правило деления степеней с одинаковыми основаниями:

При делении степеней с одинаковыми основаниями из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.

Следовательно, если степень делимого будет меньше степени делителя, то в результате получится число с отрицательной степенью:

a⁵ : a⁸ = a^{5 — 8} = a^-3.

Если записать деление в виде дроби, то при сокращении в числителе останется 1, а в знаменателе число будет иметь положительную степень:

Значит:

Пример 1. Замените дробь степенью с отрицательным показателем:

Решение:

Пример 2. Представьте в виде степени с отрицательным показателем:

Решение:

1	= (m + n)^-2.
(m + n)²

Действия над степенями с отрицательными показателями

При умножении отрицательных степеней с одинаковыми основаниями показатели степеней складываются:

При делении отрицательных степеней с одинаковыми основаниями из показателя степени делимого вычитается показатель делителя:

Чтобы возвести произведение в отрицательную степень, надо возвести в эту степень каждый сомножитель отдельно:

Чтобы возвести дробь в отрицательную степень, надо возвести в эту степень отдельно числитель и знаменатель:

При возведении одной степени (положительной или отрицательной) в степень (положительную или отрицательную) показатели степеней перемножаются:

Степень с рациональным показателем

Просмотр содержимого документа

«Степень с рациональным показателем»

Устный счет

10/7/18 10:00:08 PM

Вычислите: ,
Представить в виде обыкновенной дроби:

0,5; 1,2; 0,75; 1,5; 0,4; 0,1; 0,25.

Обозначения числовых множеств

Множество натуральных чисел. Используются при счете.
Множество целых чисел (натуральные + натуральные со знаком “-”+ нуль).
Множество рациональных чисел (дроби)
Множество иррациональных чисел (корни)
Действительные числа (рациональные+иррациональные)

10/7/18 10:00:08 PM

Степень с натуральным показателем

a — основание степени, n – показатель степени

Степень с целым показателем

10/7/18 10:00:08 PM

Степень с рациональным показателем

Урок алгебры в 9 классе

Определение

10/7/18 10:00:08 PM

Если n – натуральное число,

И обратно:

Задание № 1. Записать в виде степени с рациональным показателем

10/7/18 10:00:08 PM

Задание № 2. Записать в виде корня из степени с целым показателем

Задание № 3. Вычислите:

10/7/18 10:00:08 PM

Задание № 3. Вычислите:

10/7/18 10:00:08 PM

0, b0) Примеры «

Свойства степени с рациональным показателем

10/7/18 10:00:08 PM

Все свойства степени с натуральным показателем верны и для степени с любым рациональным показателем и положительным основанием. (p и q – рациональные числа, a0, b0)

0, b0) Примеры «

10/7/18 10:00:08 PM

Свойства степени с рациональным показателем (2)

Верно и обратное (p и q – рациональные числа, a0, b0)

Задание 4. Вычислите:

10/7/18 10:00:08 PM

Задание 4. Вычислите:

10/7/18 10:00:08 PM

Задание № 5. Записать в виде степени с рациональным показателем

10/7/18 10:00:08 PM

Задание № 5. Записать в виде степени с рациональным показателем

10/7/18 10:00:08 PM

Домашнее задание

Вычислите:

№ 64, 65

10/7/18 10:00:08 PM

10/7/18 10:00:09 PM

Свойства степеней. Примеры.

10/7/18 10:00:09 PM

Свойства степеней (2). Примеры.

10/7/18 10:00:09 PM

Степень с целым показателем. Стандартный вид числа

Вопросы
занятия:

· повторить понятие степени с целым показателем;

· повторить свойства степени с целым показателем;

· вспомнить, что значит представить число в
стандартном виде и где такое представление удобно использовать.

Материал урока

Определение.

Произведение n одинаковых множителей а
можно записать в виде степени:

То есть мы с вами сейчас будем говорить о степени с
натуральным показателем

Пример.

Вторую степень числа мы привыкли называть квадратом
числа, а третью степень — кубом.

В некоторых случаях значение степени равно
отрицательному числу.

Напомним все частные случаи степени с натуральным
показателем.

Возведение в степень — это действие третьей ступени. Его
выполняют перед действиями второй ступени (умножением и делением) и первой
ступени (сложением и вычитанием).

Определим порядок действий в данных выражениях с
учётом знаний о порядке выполнения действий.

Пример.

Чтобы успешно справляться с возведением в степень,
необходимо помнить свойства степени с натуральным показателем.

Рассмотрим несколько примеров.

Воспользуемся всеми этими свойствами и найдём значение
данного числового выражения.

Пример.

Мы с вами повторили понятие степени с натуральным
показателем, а сейчас вспомним определение и свойства степени с целым
показателем.

Теперь, повторив понятие степени с целым показателем,
напомним её свойства:

Вычислим значения данных выражений.

Пример

Часто для упрощения действий над числами, для
сравнения чисел и не только применяют стандартный вид числа. В этом то и
помогают знания о степени с целым показателем.

Напомним, что понимают под стандартным видом числа.

Пример

Далее вспомним, как стандартный вид числа применяют
при сравнении чисел и как он помогает упростить вычисления.

Больше то число, порядок которого больше. Если же
числа имеют равные порядки, то больше то, у которого числовой множитель больше.

Пример

Итоги урока

Мы с вами повторили понятие степени с целым
показателем и напомнили её свойства. А так же вспомнили, что значит представить
число в стандартном виде и где такое представление удобно использовать.

Калькулятор степеней. Возведение дроби или числа в степень

С помощью калькулятора можно рассчитать любые учебные и практические задачи. Калькулятор степеней онлайн поможет быстро и точно возвести любое число в заданную степень. Вам необходимо вначале ввести число, которое нужно возвести в степень (основание степени), затем ввести показатель степени, после чего нажать кнопку Вычислить.

Возведение числа в степень

Возведение экспоненты в степень

Возведение в степень представляет собой арифметическую операцию умножения числа самого на себя столько раз, в какой степени оно находится. Степени играют значительную роль в прикладных науках — с помощью степенных функций описываются множество реальных процессов. Воспользовавшись степенной функцией, можно рассчитать сумму дохода, которую получит вкладчик от депозита в банке через несколько лет и т.д.

В общем виде степень можно записать как «aⁿ», где число а — основание, n — показатель степени. Степенью числа «a» с показателем «n» называется произведение п множителей, каждый из которых равен числу «a».

a × a × a × a … × a = a

ⁿ

Основные действия со степенями

Степенью числа с показателем, равным 1, будет само число.
Любое число, возведенное в нулевую степень, равно единице a⁰ = 1.
Ноль в натуральной степени равен нулю.
Единица в любой степени будет равняться 1.
Основанием степени может быть как число положительное, так и отрицательное или ноль.
При возведении положительного числа в натуральную степень в результате имеем положительное число, при возведении нуля получается ноль.
При возведении отрицательного числа в четную степень получаем положительное число.
При возведении отрицательного числа в нечетную степень результат будет отрицательным.
Показатель степени может быть не только положительным, но и отрицательным. Если требуется возвести число в отрицательную степень, нужно единицу разделить на основание в положительной степени.

a

^-n = 1 / aⁿ

Чтобы возвести число «a» в дробную степень m/n, необходимо извлечь из «a» корень n-й степени, а затем полученный результат возвести в степень с показателем m.

ROOTS AND EXPONENTS: РЕШАЕМЫЕ УПРАЖНЕНИЯ: SYMPLIFY ROOTS: ELEMENTAL AND HIGH SCHOOL

Содержимое этой страницы:

Введение
Корни как полномочия, свойства полномочий, важное свойство, произведение и соотношение корней
Решенные упражнения: упрощающих выражений с корнями

Введение

Power является выражением этого типа

a ^b = a · a · · · a · a

Это выражение представляет собой результат умножения основания , на ,
само по себе столько раз, сколько указывает экспонента , b . n = a $$

Другими словами,
n -й корень числа a
число b , которое в степени n равно a
(Итак, b ⁿ = a ).

Число n называется степенью корня и
называется подкоренным элементом и корня.

Давайте посмотрим на некоторые частные случаи:

Корень степени n = 2 известен как
корень квадратный .
Пример:
Квадратный корень из 9 равен 3, потому что 3 в степени двойки равно 9.
$$ \ sqrt {9} = 3 $$
Корень степени n = 3 известен как
кубический корень .
Пример:
Кубический корень из -8 равен -2, потому что -2 в степени трех равняется -8.
$$ \ sqrt [3] {- 8} = -2 $$

Важно:
Нет корней с четной степенью
(2, 4, 6, 8 ..) отрицательных чисел
(это комплексные числа), но там
являются корнями отрицательных чисел, если степень
нечетное число.

СВОЙСТВА ДАННЫХ

Товар

Мощность

Частное

Отрицательная экспонента

Обратный

Обратное обратное

Важное свойство

Вероятно, мы будем использовать чаще всего следующее свойство:

$$ a ^ \ frac {b} {c} = \ sqrt [c] {a ^ b} $$

Произведение и соотношение корней

Произведение двух корней с одинаковым
степень — это корень (той же степени) произведения подкоренных выражений,
это,

$$ \ sqrt [n] {a} \ cdot \ sqrt [n] {b} = \ sqrt [n] {a \ cdot b} $$

То же самое и с частным:

$$ \ frac {\ sqrt [n] {a}} {\ sqrt [n] {b}} = \ sqrt [n] {\ frac {a} {b}} $$

Упростите выражения дробными показателями

Упражнение 1

Показать решение

У нас есть квадратный корень, записанный в виде степени.Мощность представляет:

Мы знаем, что квадратный корень из 9 равен 3, но мы можем записать 9 как
9 = 3 ² , чтобы лучше понять, как исчезает квадратный корень
(это то, что мы будем делать с более сложными выражениями):

Упражнение 2

Показать решение

Пишем власть в виде корня.Поскольку знаменатель
показатель степени равен 4, это четвертый
корень степени (корень четвертой степени):

Обратите внимание, что числитель 3 остается показателем степени подкоренного выражения.

Мы не можем удалить термин из корня, потому что
это корень четвертой степени, и для этого
подкоренное выражение должно иметь показатель больше
или равно 4.

Упражнение 3

Показать решение

Мы можем записать квадратный корень в виде степени для работы с показателем степени:

Теперь применим свойства степеней:
у нас есть степень степени, поэтому мы умножаем показатели:

Запишем степень в виде корня (четвертая степень):

Мы выразили подкоренное выражение как продукт, который нужно увидеть
есть фактор, который мы можем извлечь из
выражение.Поскольку это корень четвертой степени, мы можем написать
5 для каждого 5 ⁴ мы имеем в подкоренном выражении:

Мы не можем дальше упрощать выражение.

Упражнение 4

Показать решение

Помните, что продукт
корни с одинаковой степенью — это корень
с той же степенью
произведение подкоренных выражений:

Потому что у нас в числителе корень
и знаменатель (в той же степени) мы можем
запишите их как один корень:

Примечание: : шаг выше обусловлен свойствами степеней, потому что

Теперь мы можем упростить дробь подкоренного выражения:

В связи с тем, что у нас 1 в
числитель
и его квадратный корень равен 1, мы собираемся
снова записать два корня:

Вычисляем куб частного:

Наконец, математики не любят корни в
знаменатель, поэтому умножаем в числителе
и знаменатель по корню, чтобы он оставался
в числителе:

Упражнение 5

Показать решение

Запишем корень двенадцатой степени как степень:

Мы упростили дробь экспоненты.Теперь запишем подкоренное выражение (49) в виде степени:
49 = 7 ² .

Упражнение 6

Показать решение

Это упражнение может показаться сложным, потому что
в корнях есть корни, но единственное
нам нужно написать квадрат
корни как силы и применяют свойства
of powers (мощность мощности):

Упражнение 7

Показать решение

Мы пишем 72 как сила для применения свойств:

Запишем дробную экспоненту как кубический корень, и мы сможем извлечь множитель:

Обратите внимание, что поскольку это куб
корень (третья степень), мы можем извлечь 3
от подкоренного выражения для каждого 3 ³ .

Упражнение 8

Показать решение

Запишем корни степенями:

Теперь мы запишем 4 как степень, 4 = 2 ² , чтобы иметь возможность упростить:

Упражнение 9

Показать решение

Мы записываем числа и корни в экспоненциальной форме, чтобы применить свойства:

Следовательно,

Упражнение 10

Показать решение

Мы записываем корни в виде степеней (один — куб, а другой — квадрат), а 9 — как
9 = 3 ²

Теперь умножаем все показатели (степень степени):

Наконец, упростим дроби в показателях степени:

Мы можем извлечь множитель:

Как обычно, мы удалим корень из знаменателя.

Поскольку это кубический корень, мы должны умножить его дважды
в числителе и в знаменателе, чтобы он исчез:

Упражнение 11

Показать решение

Прежде всего, потому что мы
иметь дробь в степени минус единицы,
мы пишем обратное, чтобы экспонента исчезла:

Теперь, поскольку все корни квадратные, мы можем их умножить:

Упростим дробь:

Теперь немного поработаем, чтобы
избегаем корня в знаменателе: разделяем корни

Умножаем и делим на корень 2:

Упражнение 12

Показать решение

Выражение довольно пугающее, но все, что нам нужно сделать, это записать все корни как степени:

Обратите внимание, что мы записали все показатели только за один шаг.

Упростим показатель степени:

Упражнение 13

Показать решение

У нас есть корень отрицательного числа, но поскольку это куб
корень (неравномерная степень), он существует.

Запишем кубический корень в виде степени:

Умножаем показатели (степень степени):

Обратите внимание, что мы можем удалить отрицательный знак, потому что (-5) ² = 5 ²

Упражнение 14

Показать решение

Запишем пять корней как степени:

Умножаем показатели (степень степени):

Дробь равна 1.

Следовательно,

Упражнение 15

Показать решение

Мы можем извлечь 4 как общий множитель в подкоренном выражении:

4 оставляет квадратный корень как 2 (потому что это 2 ² ):

Нам нужно понять, что подкоренное выражение является результатом биномиальной теоремы Ньютона (квадрат вычитания):

Наконец, корень исключает квадрат

Важно: На самом деле, когда мы отменяем квадратный корень с
число в квадрате нам нужно написать абсолютное значение

Это связано с тем, что если значение x делает полином
x — 3 отрицательное, (когда x <3 ), тогда степень двойки составляет
подкоренное выражение положительное и, следовательно, квадратный корень существует и является
положительное число.Но, если мы не запишем число как
абсолютное значение, когда мы исключаем корень,
получаем отрицательное число и, как следствие, ложное равенство.

Давайте посмотрим на пример:

Предположим, что x = 0 . Затем

Но

Однако, если мы запишем абсолютное значение, мы получим

Matesfacil.ком
от J. Llopis под лицензией
творческий
Международная лицензия Commons Attribution-NonCommercial 4.0.

Создание математических выражений без предсказания в EquatI

Последнее изменение: пятница, 21 августа 2020 г., 10:17:53 BST

Только начинаете работать с EquatIO ? Вот несколько быстрых инструкций, чтобы начать вставлять математические вычисления в документы Google без использования Math Prediction . Обратите внимание: Это не полный список.), чтобы переместить курсор вверх в слот для экспоненты, куда вы затем можете вставить показатель. Когда вы закончите, используйте клавишу со стрелкой вправо (⇨), чтобы выйти из слота экспоненты и продолжить вводить уравнение.

Допустим, мы хотим показать теорему Пифагора:

Для подстрочного индекса используйте клавишу подчеркивания (_) для ввода подстрочного индекса. Снова используйте клавишу со стрелкой вправо (⇨), когда закончите вводить нижний индекс, чтобы завершить оставшуюся часть уравнения.

Так, например, мы можем записать химическую формулу молекулы воды:

Дроби и смешанные числа

Чтобы вставить простую дробь, просто введите числитель, нажмите клавишу /, затем введите знаменатель.Используйте клавишу со стрелкой вправо (⇨), чтобы продолжить ввод остальной части уравнения.

Итак, если бы мы хотели сложить несколько дробей, это выглядело бы так:

Мы также можем немного усложнить эти дроби, добавив несколько членов к числителю или знаменателю.

Для этого просто введите числитель, выделите или выберите его, а затем нажмите клавишу /, чтобы вставить дробь.

Когда вы закончите вводить члены в знаменателе, используйте клавишу со стрелкой вправо (⇨), чтобы перейти к остальной части уравнения.

Квадратный корень

Чтобы вставить квадратный корень, просто введите \ sqrt, а затем нажмите клавишу Enter или Tab, чтобы вставить символ квадратного корня. Затем просто введите число или выражение, которое вы хотите включить под квадратный корень. По завершении используйте клавишу Enter, чтобы продолжить вводить оставшуюся часть уравнения.

Так, например, если мы хотим записать квадратный корень из 16, это будет выглядеть так:

Дополнительные команды

\ div = знак деления

\ times = знак умножения

\ cdot = знак умножения точки

\ pi = символ пи

греческих символов

\ sqrt [3] = кубический корень

\ sqrt [n] = корень n-й степени

основных операций — корни | Шмооп

Корни

Корни своего рода противоположности сил.

Квадратный корень из 9, записанный как, означает, «сколько раз само по себе дает ответ 9?»

3 ², или 3 во второй степени (3 × 3) равно 9.
Итак, квадратный корень из 9 равен 3.

Кубический корень из 8, записанный как, означает «что само число трижды равно 8? »

2 ³, или 2 в третьей степени (2 × 2 × 2) равно 8.
Таким образом, кубический корень из 8 равен 2.

Порядок операций (PEMDAS) всегда применяется, даже для корнеплоды.Когда под корневым символом есть операция по упрощению, она может быть или не быть в круглых скобках, но нам нужно сначала упростить операцию, как если бы она была в скобках, а затем взять корень. Вот пример.

Чтобы решить эту проблему, мы сначала добавляем материал внутри символа квадратного корня.

Теперь извлекаем квадратный корень. Какое число, умноженное само на себя, дает нам 25? Хм … мы знаем, что 5 × 5 = 25, поэтому квадратный корень из 25 должен быть 5.

Отрицательные числа

Вот важный лакомый кусочек, который мы не можем не подчеркнуть: Вы не можете взять квадрат корень отрицательного числа.

Само число никогда не может быть отрицательным, потому что отрицательное, умноженное на отрицательное, является положительным, а положительное, умноженное на положительное, также положительно. Во всей вселенной нет реального числа, которое мы могли бы возвести в квадрат, чтобы получить отрицательный ответ. Так что ответа на проблему нет, поскольку 7 × 7 = +49 и (-7) × (-7) = +49 тоже.

Однако вы можете взять кубический корень отрицательного числа, потому что, если мы умножим отрицательное число само на себя три раза, мы все равно получим отрицательный ответ.Три негатива составляют негатив.

Например, поскольку (-3) × (-3) × (-3) = -27, кубический корень из -27 равен -3. В математике:

Математическая кнопка «Отменить»

Помните, как в начале этого увлекательного чтения мы говорили, что корни подобны противоположностям сил? Теперь, когда мы знаем, что такое корни, мы можем проиллюстрировать это.

Что мы получим, если возвести квадратный корень из 25?

() ²

Сначала мы извлекаем квадратный корень из 25, чтобы получить 5, а затем возводим в квадрат 5, что снова дает нам 25.

() ² = (5) ² = 25

Это обратные операции, потому что что бы первая операция (квадратный корень) ни делала с нашими 25, вторая операция (возведенная в квадрат) отменяет ее. Это также работает по-другому: если мы извлечем квадратный корень из 5 ², мы снова получим 5. Это немного похоже на собаку, преследующую свой хвост, но для тебя это обратная операция.

Дробные экспоненты — объяснения и примеры

Показатели — это степени или индексы. Экспоненциальное выражение состоит из двух частей: основания, обозначаемого как b, и показателя степени, обозначаемого как n.Общая форма экспоненциального выражения: b ⁿ. Например, 3 x 3 x 3 x 3 можно записать в экспоненциальной форме как 3 ⁴, где 3 — основание, а 4 — показатель степени. Они широко используются в алгебраических задачах, и по этой причине важно изучить их, чтобы облегчить изучение алгебры.

Правила решения дробных показателей становятся сложной задачей для многих студентов. Они будут тратить свое драгоценное время, пытаясь понять дробные показатели, но это, конечно, огромная путаница в их умах.Не волнуйся. В этой статье разобраны, что вам нужно делать, чтобы понять и решить проблемы, связанные с дробными показателями

Первый шаг к пониманию того, как решать дробные показатели, — это краткое описание того, что именно они есть, и как обращаться с показателями, когда они объединяются либо делением, либо умножением.

Что такое дробная экспонента?

Дробная экспонента — это метод выражения степеней и корней вместе.Общая форма дробного показателя:

b ^{n / m} = (^m √ b ) ⁿ = ^m √ (b ⁿ ), позвольте нам определите некоторые термины этого выражения.

Подкоренное выражение находится под знаком корня √. В данном случае подкоренное выражение — b ⁿ

Порядок / индекс радикала

Индекс или порядок радикала — это число, обозначающее извлекаемый корень.В выражении: b ^{n / m} = (^m √ b ) ⁿ = ^m √ (b ⁿ ) порядок или индекс корня — это число м.

Это число, корень которого вычисляется. База обозначается буквой b.

Степень определяет, сколько раз значение корня умножается само на себя, чтобы получить основание. Обычно обозначается буквой n.

Как решить дробные показатели?

Давайте узнаем, как решить дробные показатели с помощью приведенных ниже примеров.

Примеры

= (3 ²) ^1/2

= 3

= 2,828

4 ^3/2 = 4 ^{3 × (1/2)}

= √ (4 ³) = √ (4 × 4 × 4)

= √ (64) = 8

Альтернативно;

4 ^3/2 = 4 ^{(1/2) × 3}

= (√4) ³ = (2) ³ =

27 ^4/3 = 27 ^{4 × (1/3)}

= ∛ (27 ⁴) = ³ √ (531441) = 81

В качестве альтернативы;

27 ^4/3 = 27 ^{(1/3) × 4}

= ∛ (27) ⁴ = (3) ⁴ = 81

Упростить: 125 ^1/3
125 ^1/3 = ∛125
= [(5) ³] ^1/3
= (5) ¹
= 5
Вычислить: (8/27) ^4/3
(8/27) ^4/3
8 = 2 ³ и 27 = 3 ³
Итак, (8/27) ^4/3 = (2 ³/3 ³) ^4/3
= [(2/3) ³] ^4/3
= (2/3) ⁴
= 2/3 × 2/3 × 2/3 × 2/3
= 16/81

Как умножить дробные показатели с одинаковым основанием

Умножение членов с одинаковым основанием и дробными показателями равносильно сложению показателей.Например:

x ^1/3 × x ^1/3 × x ^1/3 = x ^{(1/3 + 1/3 + 1/3)}

= x ¹ = x

Поскольку x ^1/3 подразумевает «кубический корень из x », он показывает, что если x умножить в 3 раза, произведение будет x.

Рассмотрим другой случай, когда;

x ^1/3 × x ^1/3 = x ^{(1/3 + 1/3)}

= x ^2/3, это можно выразить as ∛x ²

Пример 2

Тренировка: 8 ^1/3 x 8 ^1/3

Решение

8 ^1/3 x 8 ^1/3 = 8 ^{1/3 + 1/3} = 8 ^2/3

= ∛8 ²

И поскольку кубический корень из 8 можно легко найти,

Следовательно , ∛8 ² = 2 ² = 4

Также можно встретить умножение дробных показателей, имеющих разные числа в знаменателях, в этом случае показатели складываются так же, как и дроби.

Пример 3

x ^1/4 × x ^1/2 = x ^{(1/4 + 1/2)}

= x ^{(1 / 4 + 2/4)}

= x ^3/4

Как разделить дробные экспоненты

При делении дробного показателя с тем же основанием мы вычитаем показатели. Например:

x ^1/2 ÷ x ^1/2 = x ^{(1/2 — 1/2)}

= x ⁰ = 1

Это означает, что любое число деление на себя эквивалентно единице, и это имеет смысл с правилом нулевой экспоненты, согласно которому любое число, возведенное в степень 0, равно единице.

Пример 4

16 ^1/2 ÷ 16 ^1/4 = 16 ^{(1/2 — 1/4)}

= 16 ^{(2 / 4 — 1/4)}

= 16 ^1/4

= 2

Вы можете заметить, что 16 ^1/2 = 4 и 16 ^1/4 = 2.

Отрицательное дробное число показатели степени

Если n / m — положительное дробное число и x> 0;
Тогда x ^{-n / m} = 1 / x ^{n / m} = (1 / x) ^{n / m}, и это означает, что x ^{-n / m} является обратной величиной x ^{n / м}.

В целом; если основание x = a / b,

Тогда (a / b) ^{-n / m} = (b / a) ^{n / m}.

Пример 5

Рассчитать: 9 ^-1/2

Решение
9 ^-1/2
= 1/9 ^1/2
= (1/9) ^1/2
= [(1/3) ²] ^1/2
= (1/3) ¹
= 1/3

Пример 6

Решить: (27/125) ^-4/3

Решение
(27/125) ^-4/3
= (125/27) ^4/3
= (5 ³/3 ³) ^4/3
= [(5/3) ³] ^4/3
= (5/3) ⁴
= (5 × 5 × 5 × 5) / (3 × 3 × 3 × 3)
= 625/81

Практические вопросы

Оценить 8 ^2/3
Разработать выражение (8a ² б ⁴) ^1/3
Решить: a ^3/4 a ^4/5
[(4 ^-3/2 x ^2/3 y ^-7/4) / (2 ^3/2 x ^{— 1/3} y ^3/4)] ^2/3
Вычислить: 5 ^1/2 5 ^3/2
Вычислить: (1000 ^1/3) / (400 ^{— 1/2})

Ответы

4.
2a ^2/3 b ^4/3.
а ^31/20.
x ^2/3 / 8y ^5/3
25.
200.

Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урок

Силы и корни — формулы, примеры, викторина | Учебник по математике

В этом учебном пособии по математике мы вводим экспоненты / степени и корни с использованием формул, решаемых примеров и практических вопросов.

Полномочия и корни | Формулы, решенные примеры, практические задачи

Показатели, также называемые степенями, представляют собой способ выражения числа, умноженного на само себя определенное количество раз.

Когда мы записываем число a , на самом деле это ¹, выраженное как a в степени 1.

а ² = а * а

a ³ = a * a * a
:
:
a ⁿ = a * a * a * a *. . . п раз.

Основные формулы в Powers and Roots

Вот несколько основных формул, используемых для решения вопросов об экспонентах:

(a ^м) ⁿ = (a ⁿ) ^m = a ^mn
и ^м.a ⁿ = a ^{m + n}
а ^м = 1 / а ^м
a ^м / a ⁿ = a ^m-n = 1 / a ^n-m
(ab) ⁿ = a ⁿ b ⁿ
(a / b) ⁿ = a ⁿ / b ⁿ
а ⁰ = 1

2 ² = 4. 2 ³ = 8. Это то, что мы узнаем в экспонентах.

√4 = 2. ³ √8 = 2.Это то, что мы узнаем в корнях.

Здесь √ называется квадратным корнем или порядка 2 ^nd.

³ √ называется кубическим корнем или порядка 3 ^{-го порядка}.

Аналогичным образом мы можем получить корень числа любого порядка.

ⁿ √a называется surd порядка n.

Обозначение ⁿ √ называется радикальным знаком,

n называется порядком сурда и

а называется подкоренным.

Вот несколько основных формул, используемых для решения вопросов о корнях:

ⁿ √a = a ^{1 / n}
ⁿ √ab = ⁿ √a * ⁿ √b
ⁿ √ (a / b) = ⁿ √a / ⁿ √b
(ⁿ √a) ⁿ = a

Решенные примеры в Powers & Roots

Рассмотрим несколько примеров:

Задача 1. Упростить (7.5 * 10 ⁵) / (25 * 10 ^-4)

Решение :

(7,5 * 10 ⁵) / (25 * 10 ^-4)

→ (75 * 10 ⁴) / (25 * 10 ^-4)

Отмена 75 с 3 умножением на 25 и применение формулы ^m / a ⁿ = a ^m-n

→ 3 * 10 ^{4 — (- 4)}

→ 3 * 10 ⁸

Задача 2. Найдите x, если 3 ^2x-1 + 3 ^{2x + 1} = 270.

Решение :

Вычитая обыкновенный термин, получаем

→ 3 ^2х-1 (1 + 3 ²)

Обратите внимание, что здесь мы применили формулу a ^{m + n} = a ^m .a ⁿ в письменной форме 3 ^{2x + 1} как произведение 3 ^2x-1 и 3 ².

→ 3 ^2x-1 (10) = 270

→ 3 ^2х-1 = 27

→ 3 ^2x-1 = 3 ³

→ 2х-1 = 3

→ х = 2.

Задача 3. Упростить [10 [(216) ^1/3 + (64) ^1/3] ³] ^3/4

Решение :

[10 [(6 ³) ^1/3 + (4 ³) ^1/3] ³] ^3/4

→ [10 [6 + 4] ³] ^3/4

→ [10 (10) ³] ^3/4

→ (10 ⁴) ^3/4

→ 10 ³ = 1000.

Задача 4. Упростить [4 ^0,08 * (2 ^0,22) ²] ¹⁰ / [16 ^0,16 * (2 ⁴) ^0,74 * (4 ²) ^0,1]

Решение :

[4 ^0,08 * (2 ^0,22) ² ] ¹⁰ / [16 ^0,16 * (2 ⁴) ^0,74 * (4 ²) ^0,1]

Применяя формулу (a ^m) ⁿ = (a ⁿ) ^m к подчеркнутой части,

→ [4 ^0.08 * (2 ²) ^0,22] ¹⁰ / [16 ^0,16 * (2 ⁴) ^0,74 * (4 ²) ^0,1]

→ [4 ^0,08 * 4 ^0,22] ¹⁰ / [16 ^0,16 * (2 ⁴) ^0,74 * (4 ²) ^0,1]

Применяя формулу a ^m .a ⁿ = a ^{m + n} к числителю,

→ [4 ^{0,08 + 0,22}] ¹⁰ / [16 ^0.16 * (2 ⁴) ^0,74 * (4 ²) ^0,1]

Упрощение знаменателя,

→ [4 ^0,3] ¹⁰ / [(4 ²) ^0,16 * (4 ²) ^0,74 * (4 ²) ^0,1]

Применяя формулу a ^m .a ⁿ = a ^{m + n}

→ 4 ³ / [(4 ²) ^{0,16 + 0,74 + 0,1}]

→ 4 ³ / (4 ²) ¹

Применяя формулу a ^m / a ⁿ = a ^m-n,

= 4.

Задача 5. Упростить √ (5 + 3√2) + [1 / √ (5 + 3√2)]

Решение :

Упрощение такого выражения также означает, что знаменатель следует рационализировать. Рационализация выражения означает удаление всех имеющихся квадратных корней.

Термин, который рационализирует, называется сопряженным. В этом примере, чтобы рационализировать 5 + 3√2, мы используем 5-3√2. Следовательно, 5-3√2 называется сопряженным с 5 + 3√2 и наоборот.

Рассмотрим 5 + 3√2 = x.

[√x + (1 / √x)] ² = x + 1 / x + 2 * √x * 1 / √x

→ (5 + 3√2) + (1 / (5 + 3√2)) + 2

В знаменателе 5 + 3√2. Чтобы удалить квадратный корень, умножим 1 / (5 + 3√2) на (5-3√2) / (5-3√2). Умножение на это никоим образом не меняет значения термина, но помогает рационализировать знаменатель и упростить выражение.

→ (5 + 3√2) + ((5-3√2) / (5 + 3√2) (5-3√2) ) + 2

Применяя формулу (a + b) (a-b) = a ² — b ² к подчеркнутой части,

→ (5 + 3√2) + [(5-3√2) / (5 ² — (3√2) ²] + 2

→ (5 + 3√2) + [(5-3√2) / (25 — (9 * 2)] + 2

→ (5 + 3√2) + [(5-3√2) / 7] + 2

→ [7 (5 + 3√2) + (5-3√2) + 2 (7)] / 7

→ [35 + 21√2 + 5 — 3√2 + 14] / 7

→ [54 + 18√2] / 7

Поскольку исходное выражение было возведено в квадрат для исключения корней, нам нужно применить квадратный корень к этому выражению.

→ √ ([54 + 18√2] / 7)

Примечание. Поскольку мы знали, что результат выражения будет положительным, мы смогли возвести в квадрат, а затем извлечь квадратный корень из выражения. Если есть сомнения в том, что это может быть отрицательно, мы воздержимся от этого.

Задача 6. Если a ² + b ² + c ² = ab + bc + ca, упростить [x ^a / x ^b] ^ab * [x ^b / x ^c] ^bc * [x ^c / x ^a] ^ca

Решение :

Применяя ^m / a ⁿ = a ^m-n, получаем

→ (x ^a-b) ^a-b * (x ^b-c) ^b-c * (x ^c-a) ^c-a

Применяя формулу (a-b) ² = a ² + b ² -2ab в экспоненте,

→ x ^{(a ² + b ² — 2ab)} * x ^{(b ² + c ² — 2bc)} * x ^{(c ² + a ² — 2ca )}

Применение a ^м.a ⁿ = a ^{m + n}

→ x ^{(a ² + b ² — 2ab + b ² + c ² — 2bc + c ² + a ² — 2ca)}

→ x ^{(2 (a ² + b ² + c ² — (ab + bc + ca)))}

→ х ^{(2 (0))}

→ х ⁰ = 1.

Задача 7. Что больше: ⁴ √3 или ³ √4?

Решение :

Чтобы сравнить два сюрда, они должны быть похожими i.е., они должны быть одного порядка.

⁴ √3 — это сюрд из 4 ^{-го порядка}, а ³ √4 — это сюрд из 3 ^{-го порядка}.

⁴ √3 можно записать как 3 ^1/4, а ³ √4 как 4 ^1/3.

Пока еще нет возможности сравнить. Для этого нам нужно взять НОК двух заказов и выразить их как сурды одного заказа.

НОК 3 и 4 равно 12.

1/4 можно записать как (1/4) * (3/3) = 3/12 И 1/3 можно записать как (1/3) * (4/4) = 4/12.

3 ^1/4 можно записать как 3 ^3/12 4 ^1/3 можно записать как 4 ^4/12.

3 ^3/12 = (3 ³) ^1/12 = ¹² √27 4 ^4/12 = (4 ⁴) ^1/12 = ¹² √256

Теперь сравнение между ¹² √27 и ¹² √256.

Очевидно, что ¹² √256 больше, чем 256> 27.

Следовательно, ³ √4> ⁴ √3

Тест на полномочия и корни: решите следующие проблемы :

Проблема 1

Если (2 ¹⁰,2 ⁿ,4 ³) / (8 ⁿ,16) = 16, найдите n.

A. 3
B. 2
C. 5
D. 4

Ответ 1

Д.

Пояснение

(2 ¹⁰.2 ⁿ. (2 ²) ³) / (2 ³) ⁿ. 2 ⁴ = 2 ⁴

Применяя формулу a ^m / a ⁿ = a ^m-n и принимая только экспоненты,

→ 16 + п — (3n + 4) = 4

→ 12 + п — 3n — 4 = 4

Задача 2

Если x ^{a + b + c} = 3, найдите значение (x ^{2a — b} / x ^-b). (x ^{2b — c} / x ^-c).(x ^{2c — a} / x ^-a)

A. 3
B. 6
C. 9
D. Нет

Ответ 2

Пояснение :

Применение ^m / a ⁿ = a ^m-n,

→ x ^{2a — b + b}. х ^{2б — с + с}. х ^{2c — а + а}

Применение ^m .a ⁿ = a ^{m + n},

→ х ^{2a + 2b + 2c}

→ (х ^{а + б + с}) ²

→ 3 ² = 9

Что такое экспонента

Показатель — это количество раз, когда определенное число умножается само на себя.2` читается как «5 в степени 2» или «5 в степени 2».
Товарная форма номеров
Большие числа, разбитые на более мелкие формы, известны как числовые продукты.
Чтобы найти числовую форму продукта, скажем, 4 ⁷
4 ⁷ записано в форме продукта как 4 ⁷ = 4 × 4 × 4 × 4 × 4 × 4 × 4
Выражение формы произведения чисел показателем
Чтобы выразить произведение чисел на экспоненты, мы посчитаем, сколько раз
число умноженное само на себя.Это показатель этого числа.
Чтобы найти экспоненциальную форму чисел, скажем, 32.
Напишите форму произведения 32. 32 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 2 ⁵.
Здесь 2 умножается на себя в 5 раз. Так что показатель степени равен 5, а основание равно
дано 2.
Получаем показатель степени 2 ⁵.
Простой пример
2 ⁷
Пояснение:
Давайте найдем простые множители 128.
128 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 2 ⁷
Здесь 2 умножается на себя в 7 раз. Таким образом, показатель равен 7, а база дана
2.
Получаем показатель степени 2 ⁷.
2 ⁴
Пояснение:
Найдем простые делители 32.
32 = 2 х 2 х 2 х 2 = 2 ⁴
Здесь 2 умножается на себя в 5 раз. Таким образом, показатель степени равен 4, а основание — 2.
Получаем показатель степени 2 ⁴.
Квадрат числа
Квадрат числа является произведением некоторого целого числа на себя.2.
Квадрат отрицательного числа является положительным числом.
Простой пример
1225
Пояснение:
пл.35.
= (-35) ²
= (-35) × (-35)
= 1225
Примеры квадрата переменных:
1. ab ² = a × b × b
2. (ab) ² = ab × ab
3.(ab) ^-2 = — (ab) × (-ab) = (ab) ²
Куб числа
Куб числа — это просто число, умноженное на себя в 3 раза.
Например, чтобы найти куб из 3.
Куб из 3 равен 3 умноженным на 3.
Куб из 3 = 3 × 3 × 3 = 27.
Мы можем выразить это в экспоненциальной форме как 3 ³
Примечание:
Куб отрицательного числа является отрицательным числом.
Простой пример
15625
Пояснение:
Найдите куб 25.
= (-25) ³
= (-25) × (-25) × (-25)
= -15625
Примеры куб переменных:
1.ab ³ = a × b × b x b
2. (ab) ³ = ab × ab × ab
Какое значение имеют числа в экспоненциальной форме?
Мы можем найти значение чисел, представленных в экспоненциальной форме, умножив основание
с самим собой, сколько раз дан показатель степени.
Найти значение 3 ⁵.
3 ⁵ означает умножение 3 на себя 5 раз.
3 ⁵ = 3 × 3 × 3 × 3 × 3
3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 243.
Показатель: проблемы со словами
См. Картинку ниже. Ящики находятся в группе по 4. Подсчитайте количество ящиков в группе.
и запишите их в форме экспоненты и продукта.Как ты мог прочитать этот номер? Найдите значение этого числа в экспоненциальной форме.

64
Пояснение:

Групповые номера ящиков — 3.В каждой группе по 4 бокса. Так что база
равен 4, а показатель степени равен 3. Мы можем записать это в форме экспоненты как 4 ³.

Форма произведения 4 ³ = 4 × 4 × 4
Мы можем читать 4 ³ как 4, увеличенное до 3.
Значение 4 ³ = 4 × 4 × 4 = 64
Пожалуйста, смотрите картинку ниже.Звезды в группе из 12. Подсчитайте количество звезд в группе.
и запишите их в форме экспоненты и продукта. Как ты мог прочитать этот номер?
Найдите значение этого числа в экспоненциальной форме.

20736
Пояснение:
Групповые номера звезд — 4.В каждой группе по 12 звезд. Так что база
равно 12, а показатель степени равен 4. Мы можем записать это в форме экспоненты как 12 ⁴.
Форма изделия 12 ⁴ = 12 × 12 × 12 × 12
Мы можем прочитать 12 ⁴ как 12, увеличенное до 4.
Значение 12 ⁴ = 12 × 12 × 12 × 12 = 20736
Правила экспоненты
Любое число с показателем 0 (кроме 0) равно 1.Таким образом, x ⁰ = 1.
Примеры: 5 ⁰ = 1, 15 ⁰ = 1, 123 ⁰ = 1, 154 ⁰ =
1, 120 ⁰ = 1
Когда база увеличена до положительного значения мощности; х ¹ = х

Примеры: (10) ¹ = 10, (15) ¹ = 15, (124) ¹ = 124 и
(-10) ¹ = -10, (-15) ¹ = -15, (-124) ¹ = -124
Простой пример
64/729
Пояснение:
(2/3) ⁶
Здесь 2/3 — основание, а 6 — показатель степени.
Для (2/3) ⁶ среднее значение 2/3 равно 6 раз. Так что,

(2/3) ⁶ = 2/3 × 2/3 × 2/3 × 2/3 × 2/3
× 2/3 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2/3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 64/729

Когда база увеличена до отрицательного значения мощности; х ^-1 = 1 / х.
Примеры: 5 ^-6 = 1/5 ⁶, 4 ^-3 = 1/4 ³, 7 ^-5 =
1/7 ⁵
1/20736
Пояснение:
(12) ^-4
Здесь 12 — основание, а -4 — показатель степени.
Для (12) ^-4 среднее 1 / (12) ⁴
(12) ^-4 = 1 / (12) ⁴
= 1/12 × 1/12 × 1/12 × 1/12 = 1 × 1 × 1 × 1/12 × 12 × 12 × 12 = 1/20736
Объем воды
Задача слова:
Емкость кубической формы на треть заполнена керосиновым маслом.Каждая сторона контейнера
9 дюймов в длину. Какой объем керосина в кубических дюймах?

243 кубических дюйма
Пояснение:
Объем куба = (сторона) ³
Объем кубической емкости = 9 ³ = 9 × 9 × 9 = 729.
Объем кубической тары 729 кубических дюймов.
Объем керосина в кубических дюймах
= 729/3 = 243 кубических дюйма
Правило умножения при одинаковом основании
Когда мы умножаем числа с одинаковым основанием, основание продукта остается
то же и показатели добавляются, чтобы получить индекс продукта.
Например: 8 ⁴ × 8 ^{5 =} 8 ^{4 + 5} = 8 ⁹
Примечание:
Если a — любое рациональное число, а m и n — любые положительные целые числа, тогда a ^m ×
a ⁿ ^{= a ^{m + n}}
Простой пример
7 ⁹
Пояснение:
7 ⁵ × 7 ⁴
^{= (7 × 7 × 7 × 7 × 7) × (7 × 7 × 7 × 7)}
^{= (7 × 7 × 7 × 7 × 7 × 7 × 7 × 7 × 7)}
^{= число 7, (5 + 4) умноженное на} = 7 ⁹
^{Таким образом,} 7 ⁵ × 7 ⁴ = 7 ⁹
Средний Пример:
(7/5) ³ × (7/5) ⁸
= ^{(7/5) ^{3 + 8}
= (7/5) ¹¹}
Предварительный пример:
(y) ⁴ × (y) ⁶
⁼ (y) ^{4 + 6}
⁼ (y) ¹⁰
Пример из реальной жизни: проблема со словами
Группе работодателей был дан проект, состоящий из трех частей.Есть 3 ²
способов заполнить 2 документа в Части A. Есть 3 ² способов заполнить
2 документа в Части Б. Сколько существует способов завершить проект? Все 4?
документы?

Есть 81 способ завершить проект.
Пояснение:
Есть 3 ² способов заполнить 2 документа в Части A. Есть 3 ²
способов заполнить 2 документа в Части Б. Количество способов завершить проект
все 4 документа являются продуктом 3 ² и 3 ²
Произведение 3 ² и 3 ²
= 3 ^{2 ×} 3 ²
= 3 ^{2 + 2}
= 3 ⁴
= 81
Правило деления при одинаковом основании

Если a — любое рациональное число, отличное от 0, а m и n — любые положительные целые числа, такие
что m> n, тогда a ^m ÷ a ⁿ = a ^m-n
Примечание:
Когда мы делим числа с одинаковым основанием, основание остается прежним и
показатели вычитаются.
Если индекс дивиденда больше, чем у делителя, вычесть показатель степени.
делителя от дивиденда.
Простой пример
1/8 ⁵
Пояснение:
= 8 ^9-4

= 8 ⁵
8 ⁴ ÷ 8 ⁹ ^{= 1/8 ^9-4
^{= 1/8 ⁵}}
Средний Пример:
1296
Пояснение:
6 ⁸ ÷ 6 ⁴
^{= (6 × 6 × 6 × 6 × 6 × 6 × 6 × 6)} ÷ ^{(6 × 6 × 6 × 6)}
^{= (6 × 6 × 6 × 6)}
^{= 1296}
Предварительный пример:
32/243
Пояснение:
⁼ (2/3) ⁸ ^-3
= (2/3) ⁵
= (2/3) × (2/3) × (2/3) × (2/3) × (2/3)
= 2 × 2 × 2 × 2 × 2/3 × 3 × 3 × 3 × 3
= 32/243
Предварительный пример;
(а) ⁴ × (а) ⁶
= 1 / (а) ^6-4
= 1 / (а) ²
Пример из реальной жизни
В обществе проводится опрос о работе на дому для женщин и мужчин.Установлено, что 7 ⁶ женщин выполняли работу из дома, но только 7 ²
мужчины выполняли работу из дома. Во сколько раз больше женщин выполняли работу из дома?

Еще 2401 женщина выполняла работу из дома.
Пояснение:

Чтобы больше женщин работали из дома, мы должны разделить эти
два выражения показаны для женщин и мужчин. То есть 7 ⁶ и 7 ²
7 ⁶/7 ²
= 7 ^6-2
= 7 ⁴
^{= 7 × 7 × 7 × 7}
^{= 2401}
Правило индексации числа в индексной форме
Если x — любое рациональное число, а m и n — натуральные числа, то

(x ^м) ⁿ = (x) ^{m × n}
Если мы скажем: (2 ³) ⁵
(2 ³) ⁵
Умножьте индекс.
(2 ³) ⁵ = (2) ^{3 × 5} = 2 ¹⁵
Простой пример
(а ⁴) ⁵
(а ⁴) ⁵
= а ^{4 × 5}
= а ²⁰
Средний Пример
81/256
Пояснение:
[(-3/4) ²] ²
Умножим числовые индексы.
= (-3/4) ^{2 × 2}
= (-3/4) ⁴
= -3 × -3 × -3 × -3 / 4 × 4 × 4 × 4
= 81/256
Правило индексации продукта
Если x и y — любые рациональные числа, а m — любые положительные целые числа, то

(x × y) ^м = x ^м × y ^м.
Если мы скажем, (4 × 3) ⁷.
(4 × 3) ⁷ = (4) ⁷ × (3) ⁷
Простой пример
(а × б) ⁵
(а × б) ⁵ = (а) ⁵ × (б) ⁵
Средний Пример:
1000
Пояснение:
(5 × 2) ³
= (5) ³ × (2) ³
= (5 × 5 × 5) × (2 × 2 × 2)
= 1000
Предварительный пример:
4/225
Пояснение:
(1/3 × 2/5) ²
= (1/3) ² × (2/5) ²
= 1 × 1 × 2 × 2/3 × 3 × 5 × 5
= 4/225
Правило индексации числа в форме числитель-знаменатель
Если x / y — любое рациональное число, а m — любое натуральное число, то
(x / y) ^м = x ^м / y ^м
Скажем,
(3/5) ² = 3 ²/5 ² и (x / y) ² = x ² / y ²
Простой пример
625/16
Пояснение:
(5/2) ⁴
= (5) ⁴ / (2) ⁴
= (5 × 5 × 5 × 5) / (2 × 2 × 2 × 2)
= 625/16
Средний Пример:
36/25
Пояснение:
(-6/5) ²
= (-6) ² / (5) ²
= (-6 × -6) / (5 × 5)
= 36/25
Дополнительные примеры с большим количеством правил вместе
Расширенный пример:
100
Пояснение:
(5 × 2) ³ ÷ (5 × 2) ¹
Здесь мы сначала вычтем индекс.
= (5 × 2) ³ ^-1
= (5 × 2) ²
= (5) ² × (2) ²
= 5 × 5 × 2 × 2
= 100
3125
Пояснение:
Сначала мы добавим сюда индекс.
= (5 ¹) ^{2 + 3}
= (5 ¹) ⁵
= 5 ^{1 × 5}
= 5 ⁵
= 3125
1/36
Пояснение:
(а × б) ³ ÷ (а × б) ⁵
= 1 / (a × b) ⁵ ^-3
= 1 / (а × б) ²
= 1 / (2 × 3) ^{² поместите значение ^{для a = 2 и b = 3
= 1 / (2) ² × (3) ²
1/2 × 2 × 3 × 3
= 1/36}}
1
Пояснение:
(а) ⁰ ÷ (б) ⁰
= (15) ⁰ ÷ (17) ⁰ поместите значение ^{для a = 15 и b
= 17
= 1 ÷ 1
= 1}
Дробный индекс
Квадрат числа отображается записью числа с показателем 2.
Индекс ½ представляет собой квадратный корень из числа.
Они известны как дробные индексы.
Скажем, квадрат 4, мы запишем как 4 ².
Теперь, если мы хотим записать квадратный корень из 4, мы запишем как 4 ^1/2.
Также как кубический корень из 8 записывается как 8 ^1/3
Примечание:
Корень n-й степени числа отображается индексом 1 / n.
Как читать числа как дробные индексы?
См. Следующие примеры:
9 ^1/2 означает квадратный корень из 9.
1000 ^1/3 означает кубический корень из 1000.
625 ^1/4 означает корень четвертой степени из 625.
1000 ^{1 / 10} означает квадратный корень из 1000.
Простой пример
4
Пояснение:
4 × 4 × 4 × 4 = 256.
Следовательно, 4 ⁴ = 256.
И наоборот, 4 — это корень четвертой степени из 256.
16
Пояснение:
16 × 16 = 256.
Следовательно, 16 ² = 256.
И наоборот, 16 — это квадратный корень из 256.
Средний Пример:
Найдите значения следующих порядковых номеров.
125 ^1/3 = кубический корень из 125 = 5
144 ^1/2 = квадратный корень из 144 = 12
216 ^1/3 = кубический корень из 216 = 6
169 ^1/2 = квадратный корень из 169 = 13
Дробное умножение индексов
Как вы знаете, если a — любое рациональное число, а m и n — любые положительные целые числа, тогда
a ^m × a ⁿ = a ^{m + n}

То же правило применяется для дробных индексов, когда мы умножаем числа как
индексная форма с той же базой.
Если мы говорим: 7 ^1/2 × 7 ^1/3
Сложите порядковые номера. 7 ^1/2 × 7 ^1/3 = 7 ^{1/2 + 1/3}
Упростите форму добавленного указателя. 7 ^{1/2 + 1/3} = 7 ^{3 + 2/6}
7 ^{3 + 2/6} = ^{7 ^5/6 означает 5 ^th мощность
корень 6 ^th из 7.}
Простой пример
9 ^2/3 означает степень 2 ^и степени 3 ^-го корня из 9.
Пояснение:
9 ^1/3 × 9 ^1/3
= 9 ^{1/3 + 1/3}
= 9 ^{1 + 1/3}
= 9 ^2/3
14 ^9/20 означает 9 ^th степень 20 ^th корень из 14.
Пояснение:
14 ^1/4 × 14 ^1/5
= 14 ^{1/4 + 1/5}
= 14 ^{5 + 4/20}
= 14 ^9/20
x ^8/15 означает 8 ^th степень корня 15 ^th x.
Пояснение:
^{x1 / 3} x x ^1/5
= х ^{1/3 + 1/5}
= х ^{5 + 3/15}
= х ^8/15
Деление дробных индексов
Если a — любое рациональное число, отличное от 0, а m и n — любые положительные целые числа, такие
что m> n, тогда a ^m ÷ a ⁿ = a ^m-n
То же правило применяется для дробных индексов, когда мы умножаем числа как
индексная форма с той же базой.

Если мы скажем,
7 ^1/3 ÷ 7 ^1/3
Вычтите порядковые номера. 7 ^1/3 ÷ 7 ^1/3 = 7 ^{1/3 — 1/3}
Упростите форму индекса. = 7 ^{1/3 — 1/3} = 7 ⁰
Запишите значение. 7 ⁰ = 1
Простой пример
9 ^2/3 означает степень 2 ^и степени 3 ^-го корня из 9.
Пояснение:
13 ^1/4 ÷ 13 ^1/5
= 13 ^{1 / 4- 1/5}
= 13 ^{5-4 / 20}
= 13 ^1/20
13 ^1/20 означает 20 ^{-й корень} из 13.
m ^2/15 означает степень 2 ^nd из 15 ^th, корень m.
Пояснение:
м ^1/3 ÷ м ^1/5
= м ^{1/3 — 1/5}
= м ^{5-3 / 15}
= м ^2/15
8 ^1/12 означает корень 12 ^th из 8.
Пояснение:
8 ^1/4 ÷ 8 ^1/6
= 8 ^{1/4 — 1/6}
= 8 ^{3-2 / 12}
= 8 ^1/12
Правило индекса числа для дробных индексов
Если x — любое рациональное число, а m и n — натуральные числа, то

(x ^м) ⁿ = x ^{м x n}
Если мы говорим ^, (2 ^1/3) ^1/5
Умножьте числовые индексы.(2 ^1/3) ^1/5 = 2 ^{1/3 × 1/5}
Упростить форму индекса. 2 ^{1/3 × 1/5} = 2 ^1/15
Запишите значение. 2 ^1/15
Простой пример
25 ^1/4
Пояснение:
(25) ^{1/2 × 1/2}
Умножьте числовые индексы.

= 25 ^1/4
8 ^1/18
Пояснение:
8 ^{1/2 × 1/9}
Умножьте числовые индексы.

= 8 ^1/18
y ^1/6
Пояснение:
y ^{1/2 × 1/3}
Умножьте числовые индексы.

= у ^1/6
Правило индекса продукта для дробных индексов
Если x и y — любые рациональные числа, а m — любые положительные целые числа, то

(x × y) ^м = x ^м × y ^м.
Можно сказать,
(5 × 3) ^1/7 = (5) ^1/ ⁷ × (3) ^1/ ⁷
Или (a × b) ^1/5 = (a) ^{^1/ ⁵ × (b) ^{^1/ ⁵}}
Простой пример
Упростить (5 × 9) 1/3
(5 × 9) ^1/3
= (5) ^1/ ³ × (9) ^1/ ³
Средний Пример:
10
Пояснение:
(125 × 8) ^1/ ³
= (125) ^1/ ³ × (8) ^1/ ³
= 5 × 2
= 10
80
Пояснение:
(100 × 64) ^1/ ²
= (100) ^1/ ² × (64) ^{^1/ ²
= 10 × 8
= 80}
Дополнительные примеры с большим количеством правил вместе
Простой пример:
20
Пояснение:
(625 × 256) ^1/ ² ÷ (625 × 256) ^1/ ⁴
= (625 × 256) ^1/ ² ^{— 1/} ⁴ ^{= (625 × 256) ^1/ ⁴ ^{= (625) ^1/ ⁴ ^{× (256) ^1/ ⁴
= 5 × 4
= 20}}}
27
Пояснение:

[(81) ¹] ^1/2 × [(81) ¹] ^1/4
= [(81) ¹] ^1/2 ^{+ 1/4}
= (81 ^{) ^3/4
Означает степень 3 ^nd из 4 ^th, корень из 81.
= 27}
Предварительный пример:
2 ^2/15 × 3 ^2/15
Пояснение:

(a × b) ^{^1/ ³ ÷ (a × b) ^{^1/ ⁵ поместил значение ^для}} a = 2 и b = 3

= (2 × 3) ^{^1/ ³ ÷ (2 × 3) ^{^1/ ⁵
= (2 × 3) ^{^{1 / 3-} ^1/5
= (2 × 3) ^{^{5-3 / 15}
= (2 × 3) ^2/15
= 2 ^2/15 × 3 ^2/15}}}}
Что следует помнить
Для любого заданного числа составлять пары…
Советы
Когда мы умножаем / делим индексы с одинаковым основанием, основание остается неизменным.
Чтобы записать числа в виде степени 10, первое число должно быть от 1 до 10 и
другой — степень 10.
Думаю:
Какой из них больше 73 или 37?
Каким может быть значение (1) ¹⁰⁰⁰
Если задано 8 ³ ÷ 3 ². Вы можете добавить экспоненты? Если нет! ‘Почему’?
Mathematics_ _solutions for Class 8 Math Глава 3
Страница № 15:
Вопрос 1:
Выразите следующие числа в виде индекса.
(1) Корень пятой степени из 13
(2) Корень шестой из 9
(3) Корень квадратный из 256
(4) Корень кубический из 17
(5) Корень восьмой из 100
(6) Корень седьмой из 30
Ответ:
Известно, что
n ^th корень a выражается как a ^{1/ n}.
(1) Корень пятой степени из 13
= (13) ^1/5
(2) Корень шестой степени из 9
= (9) ^1/6
(3) Корень квадратный из 256
= (256) ^1/2
(4) Кубический корень из 17
= (17) ^1/3
(5) Корень восьмой из 100
= (100) ^1/8
(6) Корень седьмой из 30
= (30) ^1/7
Страница № 15:
Вопрос 2:
Запишите в форме «корень n ^th из a» в каждом из следующих чисел.
(1) 8114
(2) 4912
(3) 1515
(4) 51219
(5) 100119
(6) 617
Ответ:
Известно, что
n ^th корень a выражается как a ^{1/ n}.
1 8114
= корень четвертой степени из 81
2 4912
= корень квадратный из 49
3 1515
= корень пятой степени из 15
4 51219
= корень девятой степени из 512
5 100119
= корень девятый из 100
6 617
= Корень седьмой из 6
Страница № 16:
Вопрос 1:
Заполните следующую таблицу.
Старший № Число Мощность рута Корень силы
(1) 22532 Куб квадратного корня из 225 Корень квадратный из куба 225
(2) 4545
(3) 8167
(4) 100410
(5) 2137
Ответ:
ст.№ Число Мощность рута Корень силы
(1) 22532 куб квадратного корня из 225 квадратный корень из куба 225
(2) 4545 4 ^th степень 5 ^th корень 45 5 ^th корень 4 ^th мощность 45
(3) 8167 6 ^th степень 7 ^th корень 81 7 ^th корень 6 ^th степень 81
(4) 100410 4 ^th степень 10 ^th корень 100 10 ^th корень 4 ^th степень 100
(5) 2137 куб из 7 ^th корень из 21 7 ^th корень из куба 21
Страница № 16:
Вопрос 2:
Запишите следующие числа в виде рациональных индексов.
(1) Корень квадратный из 5-й степени из 121
(2) Куб из корня 4-й степени из 324
(3) Корень 5-й степени из квадрата 264
(4) Куб из кубического корня из 3
Ответ:
Известно, что,
a ^{m / n} = ( a ^m ) ^{1/ n} означает ‘ n ^th корень m ^th мощность а ‘.
a ^{m / n} = ( a ^{1/ n}) ^m означает m ^th мощность n ^th корень ‘.
(1) Квадратный корень из 5 ^th в степени 121
= 121512 = 12152
(2) Куб из 4 ^th корень из 324
= 324143 = 32434
(3) 5 ^th корень из квадрата 264
= 264215 = 26425
(4) Куб кубического корня из 3
= 3133 = 333
Страница № 18:
Вопрос 1:
Найдите кубические корни следующих чисел.
(1) 8000
(2) 729
(3) 343
(4) −512
(5) −2744
(6) 32768
Ответ:
(1) Чтобы найти кубический корень из 8000, сначала разложим 8000 на множители.
8000 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 5 × 5 × 58000 = 4 × 4 × 4 × 5 × 5 × 5 = 43 × 53 = 4 × 53 am × bm = a × bm8000 = 203∴ 80003 = 20
(2) Чтобы найти кубический корень из 729, сначала разложим 729 на множители.
729 = 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3729 = 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 3 × 33 = 93∴7293 = 9
(3) Чтобы найти кубический корень из 343, давайте сначала разложите 343 на множители.
343 = 7 × 7 × 7 = 73∴3433 = 7
(4) Чтобы найти кубический корень из −512, сначала разложим 512 на множители.
512 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 25 12 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 8 × 8 × 8 × = 83-512 = -8 × -8 × -8 = -83∴-5123 = -8
(5) Чтобы найти кубический корень из −2744, сначала разложим на множители 2744.
2744 = 2 × 2 × 2 × 7 × 7 × 72744 = 2 × 7 × 2 × 7 × 2 × 7 = 2 × 73 = 143-2744 = -143∴-27443 = -14
(6) Чтобы найти кубический корень из 32768, сначала разложим 32768 на множители.
32768 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 232768 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32 × 32 × 32 = 323∴327683 = 32
Страница № 18:
Вопрос 2:
Упростить:
(1) 271253
(2) 16543
Ответ:
1 271253 = 3 × 3 × 35 × 5 × 53 = 33533 = 3533 ambm = abm = 35
2 16543 = 2 × 2 × 2 × 22 × 3 × 3 × 33 = 2 × 2 × 23 × 3 × 33 = 23333 = 2333 ambm = abm = 23
Страница № 18:
Вопрос 3:
Если 7293 = 9, то 0.0007293 =?
Ответ:
Принято, что,
7293 = 90,0007293 = 72
0003 = 72^{00003 =}033 = 9100 = 0,09
Просмотреть решения NCERT для всех глав класса 8
.

Старший №	Число	Мощность рута	Корень силы
(1)	22532	Куб квадратного корня из 225	Корень квадратный из куба 225
(2)	4545
(3)	8167
(4)	100410
(5)	2137

ст.№	Число	Мощность рута	Корень силы
(1)	22532	куб квадратного корня из 225	квадратный корень из куба 225
(2)	4545	4 ^th степень 5 ^th корень 45	5 ^th корень 4 ^th мощность 45
(3)	8167	6 ^th степень 7 ^th корень 81	7 ^th корень 6 ^th степень 81
(4)	100410	4 ^th степень 10 ^th корень 100	10 ^th корень 4 ^th степень 100
(5)	2137	куб из 7 ^th корень из 21	7 ^th корень из куба 21