Как определить проекцию скорости тела: Как найти проекцию скорости на ось х

Содержание

обьясните как написать уровнение проекции скорости от времени

Графики зависимости скорости от времени при равноускоренном движении 

1. Как вы уже знаете, описать механическое движение тела можно аналитически и графически. Рассмотрим графический способ описания равноускоренного прямолинейного движения. 

Построим график зависимости проекции скорости на ось X от времени для такого движения. Предположим, что тело, начальная скорость которого 4 м/с, движется прямолинейно вдоль оси X с ускорением 1 м/с2. Формула для проекции скорости на ось X в этом случае имеет вид: vx = 4 + t (м/с). 
Поскольку зависимость vx(t) линейная, то ее графиком является прямая, проходящая через точку, для которой при t = 0 vx = 4 м/с (рис. 24). 
Если начальная скорость тела v0 = 0, то график зависимости проекции скорости на ось X от времени пройдет через начало координат. 
2. Предположим, что направление скорости тела совпадает с положительным направлением оси X, но модуль скорости уменьшается. В этом случае проекция ускорения на ось Xотрицательна, и график зависимости проекции скорости на ось X от времени имеет вид, представленный на рисунке 25 (участок графика AB). В момент времени t = 3 c (точка B) скорость тела стала равной нулю. Тело в этот момент времени останавливается, а затем движется к началу координат. При этом проекция его скорости на ось X отрицательна, а модуль скорости возрастает. Проекция ускорения на ось X также отрицательна. 
3. По графику зависимости проекции скорости на ось X от времени можно определить проекцию ускорения тела на эту ось. Для этого выберем на графике два произвольных моментавремени и найдем изменение скорости за этот промежуток времени. 
Например, проекция начальной скорости тела (см. рис. 25) v0x = 6 м/с, а в момент времени t = 2 с проекция скорости vx = 2 м/с. Следовательно, скорось тела изменилась на –4 м/с (2 м/с – 6 м/с) за 2 с: ax = = –2 м/с2. В данном случае модуль скорости тела уменьшался и направление вектора скорости не совпадало с положительным направлением оси X. Поэтому проекция ускорения на осьX отрицательна. 
Формула для проекции скорости тела на ось X в этом случае имеет вид: vx = 6 – 2t (м/с).

Глава 2. Ускорение. Равноускоренное движение

Характеристикой изменения скорости является ускорение. Эта величина определяется как отношение изменения скорости тела к тому интервалу времени, за который это изменение произошло


(2.1)

где и — скорости тела в конце и начале интервала времени .
Из определения (2.1) следует, что вектор ускорения тела отличен от нуля только в том в случае, когда изменяется вектор скорости.
При этом направление вектора определяется направлением разности , и может не совпадать с направлениями векторов и .
Поэтому в задаче 2.1.1 ситуации, перечисленные в ответах 1, 3 и 4, возможны в следующих случаях. В 1 — когда тело, поворачивая на восток, в некоторый момент времени имеет вектор скорости, направленный на север. В 3 — при равноускоренном движении. В 4 — например, в такой ситуации:
тело бросили вертикально вверх и в верхней точке траектории оно имеет нулевую скорость и ускорение, равное ускорению свободного падения. Ситуация, сформулированная в ответе 2, невозможна: если у тела постоянная скорость, то у него равное нулю и, следовательно, постоянное ускорение.

В задаче 2.1.2 вектор скорости в конце любого интервала времени меньше вектора скорости в начале этого интервала. Поэтому при направлении вектора скорости на юг вектор изменения скорости, а, следовательно, и вектор ускорения направлены на север (ответ 3).

Если тело движется с постоянной скоростью, координата линейно зависит от времени, причем наклон графика определяется скоростью. Поэтому скорость тела уменьшается, если уменьшается угол наклона графика зависимости координаты от времени к оси времени (задача 2.1.3 — ответ 4).

Движение тела, при котором его ускорение (как величина, так и направление) не изменяется, называется равноускоренным (задача 2. 1.4 — ответ 4). Из определения ускорения (2.1) следует, что при равноускоренном движении зависимость скорости от времени является линейной. Поэтому равноускоренному движению в задаче 2.1.5 отвечает график 1 (несмотря на то, что скорость тела убывает). В этой связи отметим, что равноускоренность означает не то, что тело постоянно разгоняется, а то, что оно имеет «равное ускорение».

При равноускоренном движении зависимости радиус-вектора тела по отношению к произвольной системе координат и скорости тела от времени даются соотношениями


(2.2)


(2.3)

где и — радиус-вектор и скорость тела в момент времени , — ускорение тела. После проецирования на оси координат зависимости (2.2) и (2.3) позволяют находить координаты тела и проекции его скорости на оси в любые моменты времени.

В задаче 2.1.6 зависимость (2.2) в проекциях на ось , которая направлена параллельно ускорению и начало которой находится в точке начала движения, дает

Поскольку тело движется из начала координат и только в одну сторону, то, очевидно, координата тела совпадает с пройденным путем. Поэтому при ускорении через 20 с после начала движения пройденный путь будет равен 100 м (ответ 2). Из этого результата следует, что задача 2.1.7 является обратной по отношению к задаче 2.1.6, поэтому правильный ответ для времени, за которое тело пройдет путь 100 м — 20 с (ответ 1).

В задаче 2.1.8 необходимо использовать зависимость (2.3) для скорости. Так как по условию автомобиль движется из состояния покоя, проекция зависимости (2.3) на ось , направленную вдоль вектора ускорения, имеет вид

где – проекция вектора скорости тела на ось . Так как в момент времени , находим (правильный ответ – 2).

Сравнивая данную в задаче 2.1.9 зависимость координаты от времени с законом (2.2), заключаем, что начальная скорость тела ,
проекция ускорения тела на ось – . Поэтому из (2.3) получаем зависимость скорости тела от времени .

Из этой зависимости следует, что скорость тела равна нулю при (правильный ответ 2). Можно было также найти скорость как производную координаты по времени. Дифференцируя данную в условии функцию, получим тот же ответ

Зависимость проекции скорости от времени на ось, направленную вертикально вверх, для тела из задачи 2.1.10 имеет вид

где — начальная скорость тела. Подставляя в эту формулу время , находим скорость тела через 0,5 с после броска (ответ 3).
Знак «плюс» для проекции скорости на рассматриваемую ось показывает, что через 0,5 c после броска вектор скорости тела все еще направлен вверх.

Чтобы найти время подъема тела, брошенного вертикально вверх, на максимальную высоту (задача 2.2.1) используем то обстоятельство, что в верхней точке траектории скорость тела равна нулю. Поэтому подстановка времени подъема в зависимость скорости от времени дает

где — начальная скорость тела. Отсюда получаем для времени подъема (ответ 4).
А самую максимальную высоту подъема (задача 2.2.2) можно найти, подставляя найденное время подъема в зависимость координаты тела по вертикальной оси от времени

Подстановка в эту формулу числовых значений дает (ответ 1).

Пусть время, затраченное телом на прохождение участка пути длиной , отсчитанного от начальной точки, равно , а время, затраченное телом на прохождение участка пути длиной ,
отсчитанного от этой же точки, равно (задача 2.2.3). Тогда из уравнения движения (2. 2) в проекции на ось, направленную вдоль вектора ускорения тела, имеем

Деля первое уравнение на второе и извлекая из этого отноше-ния квадратный корень, находим

что означает, что время прохождения пути меньше времени прохождения пути в раз (ответ 2).

В некоторых ситуациях приходится применять одновременно обе зависимости — и координаты и скорости. Например, в задаче 2.2.4 зависимости координаты тела по вертикальной оси и проекции скорости на эту ось имеют вид

Из первой зависимости находим время, за которое тело поднимается на высоту

(Два корня для времени получилось, поскольку на рассматриваемой высоте тело побывало дважды — в процессе подъема и в процессе спуска.) Подставляя эти значения времени в уравнение для скорости, получим для проекции скорости на вертикальную ось на высоте :

(«плюс» — на подъеме, «минус» — на спуске). Отсюда находим величину скорости тела на этой высоте — 15 м/с (ответ 3).

Иногда в задачах на равноускоренное движение требуется найти интервалы времени или расстояния, отсчитанные не от момента начала движения или от начального положения тела. Трудность таких задач заключается в том, что такие времена или расстояния сами не входят в уравнения равноускоренного движения. В этом случае искомые интервалы времени или расстояния удобно находить как разность интервалов времени или расстояний, отсчитанных от начала движения. Например, зависимость координаты автомобиля от времени в задаче 2.2.5 дается соотношением

где — ускорение автомобиля, в качестве начала координат выбрана точка начала движения.
Из этой зависимости находим, что через 2 с после начала движения автомобиль окажется на расстоянии 4 м от начальной точки, через 3 с после начала движения — на расстоянии 9 м от начальной точки. Поэтому за третью секунду движения автомобиль пройдет путь 5 м — ответ 3.

Аналогично в задаче 2.2.6 из зависимости координаты тела от времени находим, что автомобиль окажется на расстоянии 2 м от начальной точки через время с, на расстоянии 3 м — через время с. Поэтому на прохождение третьего метра пути автомобиль затратит время с (ответ 2).

В задаче 2.2.7 следует из зависимости скорости от времени найти время падения, а затем подставить его в зависимость координаты от времени. Правильный ответ — 1.

При движении тела под углом к горизонту вектор ускорения тела направлен вертикально вниз (ускорение свободного падения — ).
Поэтому проекция зависимости скорости от времени (2.3) на горизонтальную ось имеет вид

где – начальная скорость тела, – угол, под которым бросили тело (проекция вектора ускорения тела на горизонтальную ось равна нулю).
Из этой формулы следует, что проекция скорости на горизонтальную ось не зависит от времени (задача 2. 2.8 – правильный ответ 4).

Дальность полета тела, брошенного под углом к горизонту, определяется из проекции уравнения (2.2) на горизонтальную ось

где — проекция вектора начальной скорости на горизонтальную ось, — полное время движения.
По условию задачи 2.2.9 проекции векторов начальной скорости тел на горизонтальную ось одинаковы (это подчеркнуто на рисунке в условии с помощью вертикальной пунктирной прямой).
Поэтому дальше улетит то из них, у которого больше время движения. А оно, в свою очередь, определяется проекцией уравнения (2.2) на вертикальную ось

поскольку в момент падения вертикальная координата тела равна нулю. Отсюда следует, что время движения равно , т.е. определяется проекцией вектора начальной скорости на вертикальную ось. А она по условию больше у тела 1, которое, таким образом, и улетит дальше (ответ 1).

Задача 2.2.10 содержит небольшой «подвох». При движении тела по прямой и в одном направлении пройденный путь равен разности координат конца и начала траектории.
В этом случае можно, выбрав начало координат в начальной точке, найти пройденный путь, просто подставляя время в уравнение для координаты. В нашем же случае тело движется сначала вверх, потом вниз.
Действительно, время подъема для тела, брошенного вертикально вверх со скоростью 20 м/с, равно 2 с. А пройденный путь нужно найти за 3 с после броска.
Поэтому пройденный путь складывается из максимальной высоты подъема (для тела, брошенного со скоростью 20 м/с, она равна 20 м) и длины участка пути от верхней точки траектории до точки, в которой тело окажется через 3 с после броска.
Координату этой точки в системе координат, начало которой расположено на земле, а ось направлена вертикально вверх, можно найти, подставляя это значение времени в уравнение

(все величины заданы в международной системе единиц СИ). В результате находим, что пройденный телом путь равен 25 м (ответ 3).





Что такое проекция скорости на ось х. Прямолинейное равномерное движение

Равномерное движение
– это движение с постоянной скоростью,
то есть когда скорость не изменяется (v = const) и ускорения или замедления не происходит (а = 0).

Прямолинейное движение
– это движение по прямой линии,
то есть траектория прямолинейного движения – это прямая линия.

Равномерное прямолинейное движение
– это движение,
при котором тело за любые равные промежутки времени совершает одинаковые перемещения.
Например, если мы разобьём какой-то временной интервал на отрезки по одной секунде,
то при равномерном движении тело будет перемещаться на одинаковое расстояние за
каждый из этих отрезков времени.

Скорость равномерного прямолинейного движения не зависит от времени и в каждой
точке траектории направлена также, как и перемещение тела. То есть вектор перемещения
совпадает по направлению с вектором скорости. При этом средняя скорость за любой
промежуток времени равна мгновенной скорости: v cp = v
Скорость равномерного прямолинейного движения
– это физическая векторная величина,
равная отношению перемещения тела
за любой промежуток времени к значению этого промежутка t:

Таким образом, скорость равномерного прямолинейного движения показывает,
какое перемещение совершает материальная точка за единицу времени.

Перемещение
при равномерном прямолинейном движении определяется формулой:

Пройденный путь
при прямолинейном движении равен модулю перемещения.
Если положительное направление оси ОХ совпадает с направлением движения,
то проекция скорости на ось ОХ равна величине скорости и положительна:

V x = v, то есть v > 0
Проекция перемещения на ось ОХ равна: s = vt = x – x 0
где x 0 – начальная координата тела,
х – конечная координата тела (или координата тела в любой момент времени)

Уравнение движения
, то есть зависимость координаты тела от времени х = х(t),
принимает вид:

Х = x 0 + vt
Если положительное направление оси ОХ противоположно направлению движения тела,
то проекция скорости тела на ось ОХ отрицательна, скорость меньше нуля (v х = x 0 — vt

Зависимость скорости, координат и пути от времени

Зависимость проекции скорости тела от времени показана на рис. 1.11.
Так как скорость постоянна (v = const), то графиком скорости является прямая линия,
параллельная оси времени Ot.

Рис. 1.11. Зависимость проекции скорости тела от времени при равномерном прямолинейном движении.

Проекция перемещения на координатную ось численно равна площади прямоугольника ОАВС (рис. 1.12),
так как величина вектора перемещения равна произведению вектора скорости на время,
за которое было совершено перемещение.

Рис. 1.12. Зависимость проекции перемещения тела от времени при равномерном прямолинейном движении.

График зависимости перемещения от времени показан на рис. 1.13. Из графика видно,
что проекция скорости равна

V = s 1 / t 1 = tg α
где α – угол наклона графика к оси времени.
Чем больше угол α, тем быстрее движется тело, то есть тем больше его скорость
(больший путь тело проходит за меньшее время). Тангенс угла наклона касательной к
графику зависимости координаты от времени равен скорости: tg α = v

Рис. 1.13. Зависимость проекции перемещения тела от времени при равномерном прямолинейном движении.

Зависимость координаты от времени показана на рис. 1.14. Из рисунка видно, что

Tg α 1 > tg α 2
следовательно, скорость тела 1 выше скорости тела 2 (v 1 > v 2). tg α 3 = v 3
Если тело покоится, то графиком координаты является прямая, параллельная оси времени, то есть х = х 0

Рис. 1.14. Зависимость координаты тела от времени при равномерном прямолинейном движении.

На чертежах изображения геометрических тел строятся при использовании метода проекции. Но для этого одного изображения недостаточно, необходимо минимум две проекции. С помощью них и определяются точки в пространстве. Следовательно, нужно знать, как найти проекцию точки.

Проекция точки

Для этого потребуется рассмотреть пространство двугранного угла, с расположенной внутри точкой (А). Здесь используются горизонтальная П1 и вертикальная П2 плоскости проекций. Точка (А) проецируется на проекционные плоскости ортогонально. Что касается перпендикулярных проецирующих лучей, то они объединяются в проецирующую плоскость, перпендикулярную плоскостям проекций. Таким образом, при совмещении горизонтальной П1 и фронтальной П2 плоскостей путем вращения по оси П2 / П1, получаем плоский чертеж.

Затем перпендикулярно оси показывается линия с расположенными на ней точками проекции. Так получается комплексный чертеж. Благодаря построенным отрезкам на нем и вертикальной линии связи, легко можно определять положение точки относительно проекционных плоскостей.

Чтобы было проще понять, как найти проекцию, необходимо рассмотреть прямоугольный треугольник. Его короткая сторона является катетом, а длинная – гипотенузой. Если выполнить на гипотенузу проекцию катета, то она поделится на два отрезка. Для определения их величины, нужно выполнить расчет набора исходных данных. Рассмотрим на данном треугольнике, способы расчета основных проекций.

Как правило, в данной задаче указывают длину катета N и длину гипотенузы D, чью проекцию и требуется найти. Для этого узнаем, как найти проекцию катета.

Рассмотрим способ нахождения длины катета (А). Учитывая, что среднее геометрическое от проекции катета и длины гипотенузы равняется искомой нами величине катета: N = √(D*Nd).

Как найти длину проекции

Корень из произведения можно найти возведением в квадрат значения длины искомого катета (N), а затем поделенного на длину гипотенузы: Nd = (N / √ D)² = N² / D. При указании в исходных данных значений только катетов D и N, длину проекции следует находить при помощи теоремы Пифагора.
Найдем длину гипотенузы D. Для этого нужно воспользоваться значениями катетов √ (N² + T²), а затем подставить полученное значение в следующую формулу нахождения проекции: Nd = N² / √ (N² + T²).

Когда в исходных данных указаны данные о длине проекции катета RD, а также данные о величине гипотенузы D, следует вычислять длину проекции второго катета ND при помощи простой формулы вычитания: ND = D – RD.

Проекция скорости

Рассмотрим, как найти проекцию скорости. Для того чтобы заданный вектор представлял описание движения, его следует разместить в проекции на координатные оси. Различают одну координатную ось (луч), две координатные оси (плоскость) и три координатные оси (пространство). При нахождении проекции необходимо из концов вектора опустить перпендикуляры на оси.

Для того чтобы уяснить значения проекции, необходимо узнать, как найти проекцию вектора.

Проекция вектора

При движении тела перпендикулярно относительно оси, проекция будет представлена в виде точки, и иметь значение равное нулю. Если же движение осуществляется параллельно координатной оси, то проекция будет совпадать с модулем вектора. В случае, когда тело движется таким образом, что вектор скорости направлен под углом φ относительно оси (х), проекция на данную ось будет являться отрезком: V(x) = V cos(φ), где V – это модель вектора скорости.Когда направления вектора скорости и координатной оси совпадают, то проекция является положительной, и наоборот.

Возьмем следующее координатное уравнение: x = x(t), y = y(t), z = z(t). 2).

Для выполнения
расчетов скоростей и ускорений необходимо
переходить от записи уравнений в
векторной форме к записи уравнений в
алгебраической форме.

Векторы начальной
скорости
и ускорениямогут иметь различные направления,
поэтому переход от векторной записи
уравнений к алгебраической может
оказаться весьма трудоемким.

Известно, что
проекция суммы двух векторов на какую-либо
координатную ось равна сумме проекций
слагаемых векторов на ту же ось.

График скорости

Из уравнения

следует, что графиком зависимости
проекции скорости равноускоренного
движения от времени является прямая.
Если проекция начальной скорости на
ось OX равна нулю, то прямая проходит
через начало координат.

Основные
виды движения

    а
    n
    = 0,
    a


    = 0

    прямолинейное равномерное движение;

    а
    n
    = 0,
    a


    =
    const

    – прямолинейное равнопеременное
    движение;

    а
    n
    = 0,
    a



    0 –
    прямолинейное
    с переменным ускорением;

    а
    n
    =
    const
    ,
    a


    = 0 –
    равномерное
    по окружности

    а
    n
    =
    const
    ,
    a


    =
    const

    – равнопеременное по окружности

    а
    n

    const
    ,
    a


    const

    – криволинейное с переменным ускорением.

Вращательное движение твердого тела.

Вращательное
движение твердого тела относительно
неподвижной оси



– движение, при котором все точки
твердого тела описывают окружности,
центры которых лежат на одной прямой,
называемой осью
вращения.


Равномерное движение по окружности

Рассмотрим наиболее
простой вид вращательного движения, и
уделим особое внимание центростремительному
ускорению.

При равномерном
движении по окружности значение скорости
остается постоянным, а направление
вектора скорости
изменяется в процессе движения.

Из подобия
треугольников OAB и BCD следует

Если интервал
времени ∆t
мал, то мал и угол .
При малых значениях угла 
длина хорды AB примерно равна длине дуги
AB, т.е.

.
Т.к.
,
,
то получаем

.

Поскольку

,
то получаем

Период и частота

Промежуток времени,
за который тело совершает полный оборот
при движении по окружности, называется
периодам
обращения



(Т
).
Т.к. длина окружности равна 2

R
,
период обращения при равномерном
движении тела со скоростью v
по окружности радиусом R
равняется:

Величина, обратная
периоду обращения, называется частотой.



Частота показывает, сколько оборотов
по окружности совершает тело в единицу
времени:

(с -1)

Определение

Равномерное прямолинейное движение — это движение с постоянной скоростью, при котором ускорение отсутствует, а траектория движения представляет собой прямую линию.

Скорость равномерного прямолинейного движения не зависит от времени и в каждой точке траектории направлена так же, как и перемещение тела. То есть вектор перемещения совпадает по направлению с вектором скорости. При этом средняя скорость за любой промежуток времени равна мгновенной скорости: $\left\langle v\right\rangle =v$

Определение

Скорость равномерного прямолинейного движения — это физическая векторная величина, равная отношению перемещения тела $\overrightarrow{S}$ за любой промежуток времени к значению этого промежутка t:

$$\overrightarrow{v}=\frac{\overrightarrow{S}}{t}$$

Таким образом, скорость равномерного прямолинейного движения показывает, какое перемещение совершает материальная точка за единицу времени.

Перемещение при равномерном прямолинейном движении определяется формулой:

$$ \overrightarrow{S} = \overrightarrow{v} \cdot t $$

Пройденный путь при прямолинейном движении равен модулю перемещения. Если положительное направление оси ОХ совпадает с направлением движения, то проекция скорости на ось ОХ равна величине скорости и положительна: $v_x = v$, то есть $v $>$ 0$

Проекция перемещения на ось ОХ равна: $s = v_t = x — x0$

где $x_0$ — начальная координата тела, $х$ — конечная координата тела (или координата тела в любой момент времени)

Уравнение движения, то есть зависимость координаты тела от времени $х = х(t)$, принимает вид: $х = x_0 + v_t$

Если положительное направление оси ОХ противоположно направлению движения тела, то проекция скорости тела на ось ОХ отрицательна, скорость меньше нуля ($v $

Зависимость проекции скорости тела от времени показана на рис. 1. Так как скорость постоянна ($v = const$), то графиком скорости является прямая линия, параллельная оси времени Ot.

Рис. 1. Зависимость проекции скорости тела от времени при равномерном прямолинейном движении.

Проекция перемещения на координатную ось численно равна площади прямоугольника ОАВС (рис. 2), так как величина вектора перемещения равна произведению вектора скорости на время, за которое было совершено перемещение.

Рис. 2. Зависимость проекции перемещения тела от времени при равномерном прямолинейном движении.

График зависимости перемещения от времени показан на рис. 3. Из графика видно, что проекция скорости на ось Ot численно равна тангенсу угла наклона графика к оси времени:

Рис. 3. Зависимость проекции перемещения тела от времени при равномерном прямолинейном движении.

Зависимость координаты от времени показана на рис. 4. Из рисунка видно, что

tg $\alpha $1 $>$ tg $\alpha $2, следовательно, скорость тела 1 выше скорости тела 2 (v1 $>$ v2).

tg $\alpha $3 = v3 $

Рис. 4. Зависимость координаты тела от времени при равномерном прямолинейном движении.

Если тело покоится, то графиком координаты является прямая, параллельная оси времени, то есть х = х0

Задача 1

Два поезда движутся на встречу друг другу по параллельным рельсам. Скорость первого поезда 10 метров в секунду, длина первого поезда 500 метров. Скорость второго поезда 30 метров в секунду, длина второго поезда 300 метров. Определить в течение какого времени второй поезд будет ехать мимо первого.

Дано: $v_1$=10 м/с; $v_2$=30 м/с; $L_1$=500 м; $L_2$=300 м

Найти: t — ?

Время, в течение которого поезда будут проходить мимо друг друга, можно определить, разделив общую длину поездов на их относительную скорость. Скорость первого поезда относительно второго определяется по формуле v= v1+v2 Тогда формула для определения времени принимает вид: $t=\frac{L_1+L_2}{v_1+v_2}=\frac{500+300}{10+30}=20\ c$

Ответ: второй поезд будет ехать мимо первого в течение 20 секунд.

Задача 2

Определить скорость течения реки и скорость катера в стоячей воде, если известно, что катер проходит расстояние 300 километров по течению за 4 часа, а против течения — за 6 часов.

Дано: $L$=300000 м; $t_1$=14400 с; $t_2$=21600 с

Найти: $v_p$ — ?; $v_k$ — ?

Скорость катера по течению реки относительно берега $v_1=v_k+v_p$, а против течения $v_2=v_k-v_p$ . Запишем закон движения для обоих случаев:

Решив уравнения относительно vp и vk, получаем формулы для расчета скорости течения реки и скорости катера.

Скорость течения реки: $v_p=\frac{L\left(t_2-t_1\right)}{2t_1t_2}=\frac{300000\left(21600-14400\right)}{2\times 14400\times 21600}=3,47\ м/с$

Скорость катера: $v_к=\frac{L\left(t_2+t_1\right)}{2t_1t_2}=\frac{300000\left(21600+14400\right)}{2\times 14400\times 21600}=17,36\ м/с$

Ответ: скорость течения реки равна 3,47 метров в секунду, скорость катера равна 17,36 метров в секунду.

Скорость является одной из основных характеристик . Она выражает саму суть движения, т.е. определяет то отличие, которое имеется между телом неподвижным и телом движущимся.

Единицей измерения скорости в системе СИ является м/с
.

Важно помнить, что скорость – величина векторная. Направление вектора скорости определяется по движения. Вектор скорости всегда направлен по касательной к траектории в той точке, через которую проходит движущееся тело (рис.1).

К примеру, рассмотрим колесо движущегося автомобиля. Колесо вращается и все точки колеса движутся по окружностям. Брызги, разлетающиеся от колеса, будут лететь по касательным к этим окружностям, указывая направления векторов скоростей отдельных точек колеса.

Таким образом, скорость характеризует направление движения тела (направление вектора скорости) и быстроту его перемещения (модуль вектора скорости).

Отрицательная скорость

Может ли скорость тела быть отрицательной? Да, может. Если скорость тела отрицательна, это значит, что тело движется в направлении, противоположном направлению оси координат в выбранной системе отсчета. На рис.2 изображено движение автобуса и автомобиля. Скорость автомобиля отрицательна, а скорость автобуса положительна. Следует помнить, что говоря о знаке скорости, мы имеем ввиду проекцию вектора скорости на координатную ось.

Равномерное и неравномерно движение

В общем случае скорость зависит от времени. По характеру зависимости скорости от времени, движение бывает равномерное и неравномерно.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Равномерное движение
– это движение с постоянной по модулю скоростью.

В случае неравномерного движения говорят о :

Примеры решения задач по теме «Скорость»

ПРИМЕР 1

Задание Автомобиль прошел первую половину пути между двумя населенными пунктами со скоростью 90 км/ч, а вторую половину – со скоростью 54 км/ч. Определите среднюю скорость автомобиля.
Решение Было бы неверным вычислять среднюю скорость автомобиля как среднее арифметическое двух указанных скоростей.

Воспользуемся определением средней скорости:

Так как предполагается прямолинейное равномерное движение, знаки векторов можно опустить.

Время, потраченное автомобилем на прохождение всего отрезка пути:

где — время, затраченное на прохождение первой половины пути, а — время, затраченное на прохождение второй половины пути.

Суммарное перемещение равно расстоянию между населенными пунктами, т.е. .

Подставив эти соотношения в формулу для средней скорости, получим:

Переведем скорости на отдельных участках в систему СИ:

Тогда средняя скорость автомобиля:

(м/с)

Ответ Средняя скорость автомобиля равна 18,8 м/с

ПРИМЕР 2

Задание Автомобиль проехал 10 секунд со скоростью 10 м/с, а затем ехал еще 2 минуты со скоростью 25 м/с. Определить среднюю скорость автомобиля.
Решение Сделаем рисунок.

Всего вопросов: 20

Вопрос 1. Изображен график скорости движения мотоцикла от времени. Чему равна скорость мотоцикла в момент времени t=5c?

Вопрос 2. На рисунке изображен график зависимости скорости прямолинейного движения тела от времени. Чему равно ускорение тела?

Вопрос 3. На рисунке изображен график зависимости скорости прямолинейного движения тела от времени. Чему равно ускорение тела?

Вопрос 4. На рисунке изображена зависимость скорости движения тела от времени. На каком из участков тело движется равноускоренно?

Вопрос 5. На рисунке представлен график зависимости скорости движения тела от времени. На каком из участков тело движется равноускоренно?

Вопрос 6. На рисунке представлен график зависимости скорости движения тела от времени. На каком из участков тело движется равноускоренно?

Вопрос 7. На рисунке изображен график зависимости скорости движения тела от времени. Используя данные графика, запишите уравнение зависимости скорости от времени движения тела.

Вопрос 8. Проекция скорости тела изменяется с течением времени так, как показано на рисунке. Какое из нижеприведенных уравнений соответствует зависимости координаты этого тела от времени? (В момент начала наблюдения тело находилось на расстоянии двух метров левее начала координат)

Вопрос 9. Проекция скорости тела изменяется с течением времени так, как показано на рисунке. Какое из нижеприведенных уравнений, соответствует зависимости координаты этого тела от времени? (Учитывая, что в момент начала наблюдения рассматриваемая точка находилась на расстоянии 5 м левее начала координат)

Вопрос 10. По графику зависимости модуля скорости от времени, представленному на рисунке, определите перемещение тела за 2 с.

Вопрос 11. Используя информацию, приведенную на рисунке, определить проекцию перемещения тела через 14 с после начала движения.

Вопрос 12. Используя информацию, приведенную на рисунке, определить путь пройденный телом за девять секунд.

Вопрос 13. Автомобиль начинает двигаться равноускоренно и вдруг тормозит. Какой вид графика соответствует зависимости ускорения автомобиля от времени?

Вопрос 14. На рисунке 1 изображен график зависимости ускорения от времени движения тела. Как зависит скорость движения этого тела от времени (рисунок 2), если начальная скорость равна нулю?

Вопрос 15. На рисунке приведен график зависимости проекции скорости тела от времени. Определить в какой момент времени тело остановилось.

Вопрос 16. На рисунке представлен график зависимости проекции скорости от проекции перемещения. Определить ускорение этого тела.

Вопрос 17. На рисунке представлен график зависимости проекции скорости двух тел от времени. Определите скорость первого тела через три секунды после начала движения.

Вопрос 18. Определить, в каком соотношении между собой находятся проекции перемещения тел, графики зависимости проекций скоростей от времени которых, показаны на рисунке, в момент времени, когда скорости тел одинаковы?

Вопрос 19. На рисунке приведен график зависимости проекции скорости трех тел от времени. В каком из нижеприведенных соотношений находятся значения модулей ускорений и перемещений этих тел в момент времени 10 с?

Вопрос 20. Тело, имеющее начальную скорость 2 м/с, направленную против выбранной оси координат, двигается с ускорением, график зависимости проекции которого от времени приведен на рисунке. Какой из нижеприведенных графиков соответствует зависимости проекции скорости этого тела от времени для промежутка времени (0, 8) с?


9 Класс — Физика

posted Oct 15, 2009, 1:24 AM by Дмитрий Белозёров

 

[

updated Dec 23, 2014, 6:24 AM
]

 

Из курса физики седьмого класса мы помним, что механическое движение тела – это его перемещение во времени относительно других тел. Исходя из таких сведений, мы можем предположить необходимый набор инструментов для расчета движения тела.

Во-первых, нам необходимо нечто, относительно чего мы будем производить наши расчеты. Далее, нам потребуется условиться, каким образом мы будем определять положение тела относительно этого «нечто». И наконец, нужно будет как-то фиксировать время. Таким образом, для того, чтобы рассчитать, где будет находиться в конкретный момент тело, нам понадобится система отсчета. 

Система отсчета в физике

Системой отсчета в физике называют совокупность тела отсчета, системы координат, связанной с телом отсчета, и часы или иной прибор для отсчета времени. При этом всегда следует помнить, что всякая система отсчета условна и относительна. Всегда можно принять другую систему отсчета, относительно которой любое движение будет иметь совершенно другие характеристики.

Относительность – это вообще немаловажный аспект, который следует учитывать практически при любых расчетах в физике. Например, во многих случаях мы далеко не в любой момент времени можем определить точные координаты движущегося тела.

В частности, мы не можем расставить наблюдателей с часами на каждых ста метрах вдоль железнодорожного пути от Москвы до Владивостока. В таком случае мы рассчитываем скорость и местоположение тела приближенно в течение какого-то отрезка времени.

Нам не важна точность до одного метра при определении местоположения поезда на пути в несколько сотен или тысяч километров. Для этого в физике существуют приближения. Одним из таких приближений является понятие «материальная точка».

Материальная точка в физике

Материальной точкой в физике обозначают тело, в случаях, когда его размерами и формой можно пренебречь. При этом считается, что материальная точка имеет массу исходного тела.

Например, при расчете времени, которое понадобится самолету, чтобы долететь из Новосибирска до Новополоцка, нам не важны размеры и форма самолета. Достаточно знать, какую скорость он развивает и расстояние между городами. В случае же, когда нам надо рассчитать сопротивление ветра на определенной высоте и при определенной скорости, то тут уж никак не обойтись без точного знания формы и размеров того же самолета.

Практически всякое тело можно считать материальной точкой либо когда расстояние, преодолеваемое телом велико в сравнении с его размерами, либо когда все точки тела двигаются одинаково. Например, автомобиль, проехавший несколько метров от магазина до перекрестка, вполне сравним с этим расстоянием. Но даже в такой ситуации его можно считать материальной точкой, потому что все части автомобиля перемещались одинаково и на равное расстояние.

А вот в случае, когда нам надо разместить тот же автомобиль в гараже, его уже никак не сочтешь материальной точкой. Придется учитывать его размеры и форму. Это тоже примеры, когда необходимо учитывать относительность, то есть относительно чего мы производим конкретные расчеты.

 

Для того, чтобы определить положение тела, которое совершило некоторое перемещение, можно графически приставить вектор перемещения к начальному положению тела. Но на практике часто встречаются задачи в которых необходимо вычислить положение тела, то есть записать его координаты в некоторой системе координат.

В этом случае вычисления будут производиться не с самим векторами, а с их проекциями на координатные оси и с их модулями. Эти величины которые будут представлять собой некоторые числа, положительные или отрицательные, но не будут иметь направления.

Рассмотрим следующую задачу

Необходимо определить координату движущегося тела, по известной начальной координате и известному вектору перемещения.

  • Два катера двигаются по реке в противоположных направлениях. В 100 км от пристани П они встречаются. Продолжая движение, за некоторое время t  первый катер переместился от места встречи на 60 км к востоку,  второй переместился ха это же время на 50 км к западу. 

Определить координаты катеров по отношению к пристани и расстояние между ними.

Построим координатную ось Ох, параллельно прямой вдоль которой двигаются катера. Начало  оси х=0 совместим с пристанью. За положительное направление примем направление на восток.

Спроецируем начала и концы  векторов перемещений s1 и s2 на ось Ох, получим отрезки sx1 и sx2. Эти отрезки будут являться проекциями  данных векторов.

Проекция вектора на ось, будет положительной, если вектор сонаправлен с осью, и отрицательной, если вектор направлен в противоположную оси сторону.

В нашем случае sx1 положительная проекция, а sx2 отрицательная проекция.

Проекция вектора, будет равна разности координат конца и начала вектора.

В нашем случае имеем:

Теперь выразим из этих уравнений координаты x1 и x2.

Расстояние между двумя катерами будет равно модулю разности их координат,

Мы получили формулы для вычисления координат точек и расстояния между ними.

Из условия задачи, катера встретились на расстоянии 100 км от пристани. х0 – точка встречи. Следовательно расстояние от х0 до пристани(начала координат) 100 км. х0=100 км.

Так как мы выбрали ось Ох параллельно векторам перемещений катеров. Длины отрезков sx1 и sx2  будут равны длинам векторов s1 и s2. Модуль каждой проекции будет равен модулю соответствующего ей вектора.

По условию у нас даны числа 50 км и 60 км, это и есть модули векторов соответствующий перемещений. 

  • sx1=60 км. 
  • sx2=-50 км.

В итоге получаем, 

  • x1=100+60 = 160 км.
  • x2=100-50=50 км.
  • l=|160-50|=110 км.

Ответ: х1=160 км, х2=50 км, l=110 км.

 

Довольно часто в физике приходится иметь дело с прямолинейным равномерным движением. Задача нахождения перемещения при равномерном прямолинейном движении довольно проста.

По определению скорость равномерного прямолинейного движения – постоянная векторная величина, которая равна отношению перемещения тела за некий промежуток времени к величине этого промежутка:

v(->) = s(->) /t,  откуда следует,что перемещение  s(->) = v(->) * t .

где v(->) – скорость (векторная величина), s(->) – перемещение (векторная величина), t – время. 

При работе с векторными величинами для нахождения числовых значений величин применяют значения проекций конкретных величин на оси. В случае равномерного прямолинейного движения направления векторов скорости и перемещения совпадают, поэтому можно смело использовать в расчетах модульные значения. Тогда формула принимает вид:

s = v*t

Но такая формула известна уже давно, и в ней под буквой s понимали путь, пройденный телом. Так что же такое s – путь или модуль перемещения?

Как характеризуется перемещение тела при прямолинейном равномерном движении?

Дело в том, что при равномерном и прямолинейном движении модуль вектора перемещения за некий промежуток времени будет равен пройденному телом пути за тот же промежуток времени. Это утверждение можно подтвердить рисунком.

Если изобразить векторно скорость движения тела в зависимости от времени, то модуль такого перемещения при равномерном прямолинейном движении будет в любой момент времени совпадать с путем, пройденным за это время телом.

Если же направление тела будет меняться, то пройденный путь будет больше значения модуля перемещения. Поэтому принятое нами равенство справедливо только для случаев, когда тело двигается равномерно и прямолинейно.

Можно изобразить данную ситуацию графически. Для этого проведем из точки 0 оси скорости и времени. (Рис. 1)Если применить проекции значений скорости и времени на оси, то тогда мы увидим, что скорость, как величина постоянная является прямой, проходящей параллельно оси времени.

И если мы проведем перпендикуляры от временной оси в начальный и конечный моменты времени к линии скорости, то получим прямоугольник, площадь которого и будет равна перемещению за данный промежуток времени.

Рис. 1

Стороны этого прямоугольника будут равны все тем же значениям v и t. Таким образом, мы видим, что и при построении проекций векторных величин, принятое нами выше равенство сохраняет свою справедливость.

В случае же, когда мы имеем в расчетах дело с двумя телами, двигающимися равномерно и прямолинейно, при этом совпадают направления их движения, то расчеты также можно производить, применяя приведенную выше формулу.

Если же два тела двигаются равномерно и прямолинейно, а направления их движения противоположны, но расположены вдоль одной оси, то можно по-прежнему использовать в расчетах значения их модулей. Но необходимо будет брать значение величин для одного тела со знаком минус в зависимости от того, направление какого из тел мы примем за положительное.

 

Хотите провести эксперимент? Да запросто. Возьмите длинную линейку, положите ее горизонтально и приподнимите один конец. У вас получится наклонная плоскость. А теперь возьмите монетку и положите на верхний конец линейки. Монетка начнет скользить вниз по линейке, проследите, как будет двигаться монетка с одинаковой скоростью или нет.

Вы заметите, что скорость монетки будет постепенно возрастать. И изменение скорости будет напрямую зависеть от угла наклона линейки. Чем угол наклона круче, тем большую скорость будет набирать монетка к концу пути.

Изменение скорости монетки

Можно попытаться узнать, как меняется скорость монетки за каждый одинаковый промежуток времени. В случае с линейкой и монеткой в домашних условиях это трудно проделать, но в условиях лаборатории можно зафиксировать, что при постоянном угле наклона скользящая монетка за каждую секунду изменяет свою скорость на одинаковую величину.

Такое движение тела, когда его скорость за любые равные промежутки времени меняется одинаково, а тело при этом движется по прямой линии, называется в физике прямолинейным равноускоренным движением. Под скоростью в данном случае понимается скорость в каждый конкретный момент времени.

Такая скорость называется мгновенной скоростью. Мгновенная скорость тела может меняться по-разному: быстрее, медленнее, может возрастать, а может уменьшаться. Для того чтобы охарактеризовать это изменение скорости, вводят величину, называемую ускорением.

Понятие ускорения: формула

Ускорение это физическая величина, показывающая, насколько изменилась скорость тела за каждый равный промежуток времени. Если скорость меняется одинаковым образом, то ускорение будет величиной постоянной. Так происходит в случае прямолинейного равноускоренного движения. Формула для ускорения выглядит следующим образом:

a = (v — v_0 )/ t,

где a ускорение, v   конечная скорость, v_0 начальная скорость, t время. 

Измеряется ускорение в метрах на секунду в квадрате (1 м/с2). Немного странная на первый взгляд единица очень легко объясняется: ускорение= скорость/время=(м/с)/с , откуда и выводится такая единица.

Ускорение величина векторная. Оно может быть направлена либо в ту же сторону, что и скорость, если скорость возрастает, либо в противоположную сторону, если скорость уменьшается. Пример второго варианта это торможение. Если, например, автомобиль тормозит, то скорость его уменьшается. Тогда ускорение будет являться отрицательной величиной, и направлено оно будет не по ходу движения автомобиля, а в обратную сторону.

В случаях, когда скорость у нас меняется от нуля до какой-либо величины, например, при старте ракеты, либо в случае, когда скорость наоборот уменьшается до нуля, например, при торможении поезда до полной остановки, можно использовать в расчетах только одно значение скорости. Формула тогда примет вид: a =v /t  для первого случая либо же: a = v_0 /t для второго.

 

Проекцию скорости на ось Ох при прямолинейном равноускоренном движении можно найти по следующей формуле:

Выразим из этой формулы, формулу для проекции скорости которую имело лвижущееся тело к концу  некоторого промежутка времени t.

То есть, зная проекцию вектора начальной скорости V0x  и проекцию вектора ускорения ax в любой момент времени можно вычислить проекцию вектора мгновенной скорости Vx, которую будет иметь тело в данной точке.

  • Представим зависимость скорости от времени при равноускоренно движении в виде графика.

Графиком уравнения Vx=V0x+ax*t будет прямая линия. Расположение этой лини в системе координат будет определяться значениями ax b V0x.

График проекции скорости тела при нулевой начальной скорости

На следующем рисунке представлен график проекции вектора скорости движущегося тела, которое в начальный момент времени имел нулевую скорость, и двигалось равноускоренно и прямолинейно с ускорением ax=1,5 м/(с^2) в течение 40 секунд.2) в течение 4 секунд.

Для построения такого графика, также достаточно взять несколько значений переменной  t и посчитать в них значение проекции скорости Vx. А потом соединить их прямой линией. Как видите, график имеет начальную точку не в нуле, в значении, которое имеет начальная скорость.

График проекции скорости тела при торможении

Если бы ускорение было отрицательным, то есть тело постепенно тормозило, то график составлял бы с положительным направлением оси Ох тупой угол. 

Ниже представлен график такой ситуации.

Из графика видно, что тело начинало свое движение со скоростью 20 м/с, и постепенно замедляло её. За 10 секунд, оно полностью остановилось.

 

Попытаемся вывести формулу для нахождения проекции вектора перемещения тела, которое двигается прямолинейно и равноускоренно, за любой промежуток времени.

Для этого обратимся к графику зависимости проекции скорости прямолинейного равноускоренного движения от времени.

График зависимости проекции скорости прямолинейного равноускоренного движения от времени

Ниже на рисунке представлен график, для проекции скорости некоторого тела, которое движется с начальной скорость V0 и постоянным ускорением а.

Если бы у нас было равномерное прямолинейное движение, то для вычисления проекции вектора перемещения, необходимо было бы посчитать площадь фигуры под графиком проекции вектора скорости.

Теперь докажем, что и в случае равноускоренного прямолинейного движения проекция вектора перемещения Sx будет определяться таким же образом. То есть проекция вектора перемещения будет равняться площади фигуры под графиком проекции вектора скорости.

Найдем площадь фигуры ограниченную осью оt, отрезками АО и ВС, а также отрезком АС.

 

Выделим на оси ot малый промежуток времени db. Проведем через эти точки перпендикуляры к оси времени, до их пересечения с графикос проекции скорости. Отметим точки пересечения a и c. За этот промежуток времени скорость тела поменяется от Vax до Vbx.

Если взять этот промежуток достаточно малым, то можно считать что скорость остается практически неизменной, а следовательно мы будем иметь на этом промежутке дело с равномерным прямолинейным движением.2=4*S1.

За промежуток t3=3*t1, это тело совершит перемещение S3=9*S1 и т.д., для любого натурального n. Это конечно же будет выполняться, при условии, что время должно отсчитываться от одного и того же момента.

На следующем рисунке хорошо представлена эта зависимость.

  • OA:OB:OC:OD:OE = 1:4:9:16:25.

При увеличении промежутка времени, который отсчитывается от начал движения, в целое число раз по сравнению с t1, модули векторов  перемещений будут возрастать как ряд квадратов последовательных натуральных чисел.

Помимо этой закономерности, из представленного выше рисунка можно установить еще одну, следующую закономерность:

  • OA:AB:BC:CD:DE = 1:3:5:7:9.

За последовательные равные промежутки времени, модули векторов перемещений, совершаемых телом, будут относиться между собой как ряд последовательных нечетных чисел.

Стоит отметить, что такие закономерности будут верными только в равноускоренном движении. То есть они являются как бы неким своеобразным признаком равноускоренного движения. Если необходимо проверить, является ли движение равноускоренным, то можно проверить эти закономерности, и если они будут выполняться, то движение будет равноускоренным.

  •  

    Представьте себе электричку. Она едет тихонько по рельсам, развозя пассажиров по дачам. И вдруг сидящий в последнем вагоне хулиган и тунеядец Сидоров замечает, что на станции «Сады» в вагон входят контролеры. Билет, естественно, Сидоров не купил, а штраф платить ему хочется еще меньше.

    Относительность движения безбилетника в поезде

    И вот, чтобы его не поймали, он быстренько совершает перемещение при прямолинейном равномерном движении в другой вагон. Контролеры, проверив билеты у всех пассажиров, движутся в том же направлении. Сидоров опять переходит в следующий вагон и так далее.

    И вот, когда он достигает первого вагона и идти дальше уже некуда, оказывается, что поезд как раз доехал до нужной ему станции «Огороды», и счастливый Сидоров выходит, радуясь тому, что проехал зайцем и не попался.

    Что мы можем извлечь из этой остросюжетной истории? Мы можем, без сомнения, порадоваться за Сидорова, а можем, кроме того, обнаружить еще один небезынтересный факт.

    В то время, как поезд за пять минут проехал пять километров от станции «Сады» до станции «Огороды», заяц Сидоров за это же время преодолел такое же расстояние плюс расстояние, равное длине поезда, в котором он ехал, то есть около пяти тысяч двухсот метров за те же пять минут.

    Получается, что Сидоров двигался быстрее электрички. Впрочем, такую же скорость развили и следующие за ним по пятам контролеры. Учитывая, что скорость поезда была около 60 км/ч впору выдать им всем несколько олимпийских медалей.

    Однако, конечно же, никто такой глупостью заниматься не будет, потому что все понимают, что невероятная скорость Сидорова была развита им только лишь относительно неподвижных станций, рельсов и огородов, и обусловлена эта скорость была передвижением поезда, а вовсе не невероятными способностями Сидорова.

    Относительно же поезда Сидоров двигался вовсе и не быстро и не дотягивает не то что до олимпийской медали, но даже до ленточки от нее. Вот тут-то мы и сталкиваемся с таким понятием как относительность движения.

    Понятие относительности движения: примеры

    Относительность движения не имеет определения, так как не является физической величиной. Относительность механического движения проявляется в том, что некоторые характеристики движения, такие как скорость, путь, траектория и так далее, относительны, то есть зависят от наблюдателя. В различных системах отсчета эти характеристики будут различны.

    Кроме приведенного примера с гражданином Сидоровым в поезде, можно взять практически любое движение любого тела и показать, насколько оно относительно. Идя на работу, вы двигаетесь вперед относительно дома и в то же время передвигаетесь назад относительно автобуса, на который опоздали.

    Вы стоите на месте относительно плеера в кармане и несетесь с огромной скоростью относительно звезды по имени Солнце. Каждый ваш шаг будет гигантским расстоянием для молекулы асфальта и ничтожным для планеты Земля. Любое движение, как и все его характеристики всегда имеют смысл только относительно чего-либо еще.

    В этом и заключается понятие относительности движения.

  •  

    С древнейших времен движение материальных тел не переставало волновать умы ученых. Так, например, сам Аристотель считал, что если на тело не действуют никакие силы, то такое тело всегда будет находиться в покое.

    И лишь только спустя 2000 лет итальянский ученый Галилео Галилей смог исключить из формулировки Аристотеля слово «всегда». Галилей понял, что пребывание тела в состоянии покоя не является единственным следствием отсутствия внешних сил.

    Тогда Галилей заявил: тело, на которое не действуют никакие силы, будет либо находиться в покое, либо двигаться равномерно прямолинейно. То есть, движение с одинаковой скоростью по прямой траектории, с точки зрения физики, равнозначно состоянию покоя.

    Что есть состояние покоя?

    В жизни этот факт наблюдать очень сложно, поскольку всегда имеет место сила трения, которая не дает предметам и вещам покидать свои места. Но если представить себе бесконечно длинный, абсолютно скользкий и гладкий каток, на котором стоит тело, то станет очевидно, что если придать телу импульс, то тело будет двигаться бесконечно долго и по одной прямой.

    И в самом деле, на тело действую только две силы: сила тяжести и сила реакции опоры. Но расположены они на одной прямой и направлены друг против друга. Таким образом, по принципу суперпозиции, мы имеем, что общая сила, действующая на такое тело равна нулю.

    Однако это идеальный случай. В жизни сила трения проявляет себя почти во всех случаях. Галилей сделал важное открытие, приравняв состояние покоя и движение с постоянной скоростью по прямой линии. Но этого было недостаточно. Оказалось, что условие это выполняется не во всех случаях.

    Ясность в этот вопрос внес Исаак Ньютон, обобщивший исследования Галилея и, таким образом, сформулировавший Первый Закон Ньютона.

    Первый закон Ньютона: формулируем сами

    Существуют две формулировки первого закона Ньютона современная и формулировка самого Исаака Ньютона. В исходном варианте первый закон Ньютона несколько неточен, а современный вариант в попытках исправить эту неточность оказался очень запутанным и потому неудачным. Ну а так как истина всегда где-то рядом, то попытаемся найти это «рядом» и разобраться, что же представляет собой данный закон.

    Современная формулировка звучит следующим образом: «Существуют такие системы отсчёта, называемые инерциальными, относительно которых материальная точка при отсутствии внешних воздействий сохраняет величину и направление своей скорости неограниченно долго».

    Инерциальные системы отсчета

    Инерциальными называют системы отсчета, в которых выполняется закон инерции. Закон же инерции заключается в том, что тела сохраняют свою скорость неизменной, если на них не действуют другие тела. Получается очень неудобоваримо, малопонятно и напоминает комичную ситуацию, когда на вопрос: “Где это «тут»?” отвечают: “Это здесь”, а на следующий логичный вопрос: “А где это «здесь»?” отвечают: “Это тут”. Масло масляное. Замкнутый круг.

    Формулировка самого Ньютона такова: «Всякое тело продолжает удерживаться в состоянии покоя или равномерного и прямолинейного движения, пока и поскольку оно не понуждается приложенными силами изменить это состояние».

    Однако на практике этот закон выполняется не всегда. Убедиться в этом можно элементарно. Когда человек стоит, не держась за поручни, в движущемся автобусе, и автобус резко тормозит, то человек начинает двигаться вперед относительно автобуса, хотя его не понуждает к этому ни одна видимая сила.

    То есть, относительно автобуса первый закон Ньютона в изначальной формулировке не выполняется. Очевидно, что он нуждается в уточнении. Уточнением и является введение инерциальных систем отсчета. То есть, таких систем отсчета, в которых первый закон Ньютона выполняется. Это не совсем понятно, поэтому попробуем перевести все это на человеческий язык.

    Инерциальные и неинерциальные системы отсчета

    Свойство инерции любого тела таково, что до тех пор, пока тело остается изолированным от других тел, оно будет сохранять свое состояние покоя или равномерного прямолинейного движения. «Изолированным» — это значит никак не связанным, бесконечно удаленным от других тел.

    На практике это означает, что если в нашем примере за систему отсчета принять не автобус, а какую-то звезду на окраине Галактики, то первый закон Ньютона будет абсолютно точно выполняться для беспечного пассажира, не держащегося за поручни. При торможении автобуса он будет продолжать свое равномерное движение, пока на него не подействуют другие тела.

    Вот такие системы отсчета, которые никак не связаны с рассматриваемым телом, и которые никак не влияют на инертность тела, называются инерциальными. Для таких систем отсчета первый закон Ньютона в его исходной формулировке абсолютно справедлив.

    То есть закон можно сформулировать так: в системах отсчета, абсолютно никак не связанных с телом, скорость тела при отсутствии стороннего воздействия остается неизменной. В таком виде первый закон Ньютона легко доступен для понимания.

    Проблема заключается в том, что на практике очень сложно рассматривать движение конкретного тела относительно таких систем отсчета. Мы не можем переместиться на бесконечно далекую звезду и оттуда осуществлять какие-либо опыты на Земле.

    Поэтому за такую систему отсчета условно часто принимают Землю, хотя она и связана с находящимися на ней телами и влияет на характеристики их движения. Но для многих расчетов такое приближение оказывается достаточным. Поэтому примерами инерциальных систем отсчета можно считать Землю для расположенных на ней тел, Солнечную систему для ее планет и так далее.

    Первый закон Ньютона не описывается какой-либо физической формулой, однако с помощью него выводятся другие понятия и определения. По сути, этот закон постулирует инертность тел. И таким образом выходит, что для инерциальных систем отсчета закон инерции и есть первый закон Ньютона.

    Еще примеры инерциальных систем и первого закона Ньютона

    Так, например, если тележка с шаром будет ехать сначала по ровной поверхности, с постоянной скоростью, а потом заедет на песчаную поверхность, то шар внутри тележки начнет ускоренное движение, хотя никакие силы на него не действуют (на самом деле, действуют, но их сумма равна нулю).

    Происходит это от того, что система отсчета (в данном случае, тележка) в момент попадания на песчаную поверхность, становится неинерциальной, то есть перестает двигаться с постоянной скоростью.      

    Первый Закон Ньютона вносит важное разграничение между инерциальными и неинерциальными системами отсчета. Также важным следствием этого закона является тот факт, что ускорение, в некотором смысле, важнее скорости тела.

    Поскольку движение с постоянной скоростью по прямой линии суть нахождение в состоянии покоя. Тогда как движение с ускорением явно свидетельствуют о том, что либо сумма сил, приложенных к телу, не равно нулю, либо сама система отсчета, в которой находится тело, является неинерциальной, то есть движется с ускорением.

    Причем ускорение может быть как положительным (тело ускоряется), так и отрицательным (тело замедляется).  

  •  

    Второй закон Ньютона связывает вместе три, на первый взгляд, совершенно не связанные друг с другом величины: ускорение, массу и силу. Хотите легко и быстро, на примерах понять, как это происходит? Запросто. Надо будет проделать пару элементарных опытов и немного порассуждать.

    Элементарный опыт по второму закону Ньютона

    Начнем с практической части. Нагрузите чем-нибудь две сумки или два пакета. Один чуть-чуть, а второй очень сильно. Только пакеты берите покрепче. А теперь примерно с одинаковой силой по очереди резко поднимите оба пакета вверх. Вы увидите, что легкий пакет практически взлетит, а вот тяжелый перемещаться будет намного медленнее.

    А теперь другой опыт положите на землю футбольный мячик и пните его пару раз. Один раз легонько, а второй раз со всей силы. Понаблюдайте, как изменится скорость мяча после пинка. В первом случае он потихоньку откатится на небольшое расстояние, во втором улетит далеко и на весьма приличной скорости. Ну вот и все, с практической частью закончили. Теперь немного порассуждаем.

    Действие равнодействующей силы

    Мы знаем, что скорость тела изменяется под действием приложенной к нему силы. Если на тело действуют несколько сил, то находят равнодействующую этих сил, то есть некую общую суммарную силу, обладающую определенным направлением и числовым значением.

    То есть, фактически, все случаи приложения различных сил в конкретный момент времени можно свести к действию одной равнодействующей силы. Таким образом, чтобы найти, как изменилась скорость тела, нам надо знать, какая сила действует на тело.

    Какое ускорение получает тело?

    В зависимости от величины и направления силы тело получит то или иное ускорение. Это четко видно в опыте с мячом. Когда мы подействовали на тело небольшой силой, мяч ускорился не очень сильно. Когда же сила воздействия увеличилась, то мяч приобрел гораздо большее ускорение. То есть, ускорение связано с приложенной силой прямо пропорционально. Чем больше сила воздействия, тем большее ускорение приобретает тело.

    От чего еще зависит ускорение, полученное телом в результате воздействия на него? Вспомним первую часть нашего опыта. Ускорение двух грузов у нас было ощутимо разным, хотя силу мы старались прикладывать одинаковую. А вот масса грузов у нас отличалась. И в случае с большей массой ускорение тела было небольшим, а в случае меньшей массы намного большим.

    То есть, второй вывод это то, что масса тела напрямую связана с ускорением, приобретаемым телом в результате воздействия силы. При этом, масса тела обратно пропорциональна полученному ускорению. Чем больше масса, тем меньше будет величина ускорения.

    Второй Закон Ньютона: формула и определение

    Исходя из всего вышесказанного, приходим к тому, что можно записать второй закон Ньютона в виде следующей формулы:

    a =F / m  ,

    где a   ускорение,  F   сила воздействия, m масса тела.

    Соответственно, второму закону Ньютона можно дать такое определение: ускорение, приобретаемое телом в результате воздействия на него, прямо пропорционально силе или равнодействующей сил этого воздействия и обратно пропорционально массе тела. Это и есть второй закон Ньютона.

  •  

    В первом законе Ньютона говорится о поведении тела, изолированного от воздействия других тел. Второй закон говорит о прямо противоположной ситуации. В нем рассматриваются случаи, когда тело или несколько тел воздействуют на данное.

    Оба эти закона описывают поведение одного конкретного тела. Но во взаимодействии всегда участвуют минимум два тела. Что будет происходить с обоими этими телами? Как описать их взаимодействие? Анализом этой ситуации и занялся Ньютон после формулировки своих первых двух законов. Займемся и мы такими же изысканиями.

    Взаимодействие двух тел

    Мы знаем, что при взаимодействии воздействуют друг на друга оба тела. Не бывает такого, чтобы одно тело толкнуло другое, а второе в ответ никак не отреагировало бы. Такое может происходить среди по-разному воспитанных людей, но никак не в природе.

    Мы знаем, что если мы пинаем мяч, то мяч в ответ пинает нас. Другое дело, что мяч имеет намного меньшую массу, чем тело человека, и потому его воздействие практически не ощутимо.

    Однако, если вы попробуете пнуть тяжелый железный мяч, то живо ощутите это ответное воздействие. Фактически, мы каждый день по многу раз пинаем очень и очень тяжелый мяч нашу планету. Мы толкаем ее каждым своим шагом, только при этом отлетает не она, а мы. А все потому, что планета в миллионы раз превосходит нас по массе.

    Соотношение сил во взаимодействии между телами

    Так что из этих рассуждений видно, что при взаимодействии двух тел, не только первое действует на второе с некоторой силой, но и второе в ответ действует на первое также с некоторой силой. Возникает вопрос: а как соотносятся эти силы? Какая из них больше, какая меньше?

    Для этого необходимо проделать некоторые измерения. Потребуются два динамометра, но в домашних условиях их вполне могу заменить два безмена. Они измеряют вес, а вес это тоже сила, только выраженная в единицах массы в случае безмена. Поэтому, если у вас есть два безмена, то проделайте следующее.

    Один из них оденьте колечком на что-то неподвижное, например, на гвоздь в стене, а второй соедините с первым крючками. И потяните за колечко второго безмена. Проследите за показаниями обоих приборов. Каждый из них покажет силу, с которой на него воздействует другой безмен.

    И хотя мы тянем только за один из них, окажется, что показания обоих, как на очной ставке, будут совпадать. Получается, что сила, с которой мы воздействуем вторым безменом на первый, равна силе, с которой первый безмен воздействует на второй.

    Третий закон Ньютона: определение и формула

    Сила действия равна силе противодействия. В этом и состоит суть третьего закона Ньютона. Определение его таково: силы, с которыми два тела действуют друг на друга, равны по величине и противоположны по направлению. Третий закон Ньютона можно записать в виде формулы:

    F_1  = — F_2,

    Где F_1 и F_2 силы действия друг на друга соответственно первого и второго тела.

    Справедливость третьего закона Ньютона была подтверждена многочисленными экспериментами. Этот закон справедлив как для случая, когда одно тело тянет другое, так и для случая, когда тела отталкиваются. Все тела во Вселенной взаимодействуют друг с другом, подчиняясь этому закону.

  •  

    Как вы думаете, одновременно ли долетят до земли, сброшенные с крыши перо, пластиковая бутылка и монета? Можно проделать такой опыт и убедиться, что монета приземлится первой, бутылка второй, а перо долго будет болтаться в воздухе и может вообще не долететь до земли, если его подхватит и унесет внезапный ветерок.

    Так ли свободно свободное падение тел?

    Соответственно, делаем вывод, что свободное падение тел не подчиняется какому-либо одному правилу, и все предметы падают на землю по-своему. Тут бы как говорится, и сказке конец, но некоторые физики на этом не успокоились и предположили, что на свободное падение тел может оказывать влияние сила сопротивления воздуха и, соответственно, такие результаты эксперимента нельзя считать окончательными.

    Они взяли длинную стеклянную трубку и поместили в нее перо, дробинку, деревянную пробку и монету. Потом они закупорили трубку, откачали из нее воздух и перевернули.2)/2   (если  v_0 = 0),   соответственно,

    где v конечная скорость, v_0 начальная скорость, s перемещение, t время, g ускорение свободного падения.

    Вывод, что свободное падение любых тел происходит одинаково, на первый взгляд кажется нелепым с точки зрения повседневного опыта. Но на самом деле все правильно и логично. Просто, незначительная на первый взгляд величина сопротивления воздуха для многих падающих тел оказывается довольно ощутимой, а потому очень сильно замедляет их падение.

  •  

    Как нам уже известно, сила тяжести действует на все тела, которые находятся на поверхности Земли и вблизи неё. При этом не важно, находятся ли они в состоянии покоя или совершают движение.

    Если некоторое тело будет свободно падать на Землю, то при этом оно будет совершать равноускоренное движение, причем скорость будет возрастать постоянно, так как вектор скорости и вектор ускорения свободного падения будут сонаправлены между собой.

    Суть движения вертикально вверх

    Если же подбросить некоторое тело вертикально вверх, и при этом считать что сопротивление воздуха отсутствует, то можно считать что оно тоже совершает равноускоренное движение, с ускорением свободного падения, которое вызвано силой тяжести. Только в этом случае, скорость, которую мы придали телу при броске, будет направлена вверх, а ускорение свободного падения направлено вниз, то есть они будут противоположно направлены друг к другу. Поэтому скорость будет постепенно уменьшаться.

    Через некоторое время наступит момент, когда скорость станет равняться нулю. В этот момент тело достигнет своей максимальной высоты и на какой-то момент остановится. Очевидно, что, чем большую начальную скорость мы придадим телу, тем на большую высоту оно поднимется к моменту остановки.

    • Далее, тело начнет равноускоренно падать вниз, под действием силы тяжести.

    Как решать задачи

    Когда вы столкнетесь с задачами на движение тела вверх, при котором не учитывается сопротивление воздуха и другие силы, а считается, что на тело действует только сила тяжести, то так как движение равноускоренное, то можно применять те же самые формулы, что и при прямолинейном равноускоренном движении с некоторой начальной скорость V0.2)/2.

  • Необходимо также учитывать, что при движении вверх вектор ускорения свободного падения направлен вниз, а вектор скорости вверх,  то есть они разнонаправлены, а следовательно, их проекции будут иметь разные знаки.

    Например, если Ось Ох направить вверх, то проекция вектора скорости при движении вверх, будет положительна, а проекция ускорения свободного падения отрицательна. Это надо учитывать, подставляя значения в формулы, иначе получится совершенно неверный результат.

  •  

    Все мы ходим по Земле потому, что она нас притягивает. Если бы Земля не притягивала все находящиеся на ее поверхности тела, то мы, оттолкнувшись от нее, улетели бы в космос. Но этого не происходит, и всем известно о существовании земного притяжения.

    Притягиваем ли мы Землю? Притягивает Луна!

    А притягиваем ли мы сами к себе Землю? Смешной вопрос, правда? Но давайте разберемся. Вы знаете, что такое приливы и отливы в морях и океанах? Каждый день вода уходит от берегов, неизвестно где шляется несколько часов, а потом, как ни в чем не бывало, возвращается обратно.

    Так вот вода в это время находится не неизвестно где, а примерно посредине океана. Там образуется что-то наподобие горы из воды. Невероятно, правда? Вода, которая имеет свойство растекаться, сама не просто стекается, а еще и образует горы. И в этих горах сосредоточена огромная масса воды.

    Просто прикиньте весь объем воды, который отходит от берегов во время отливов, и вы поймете, что речь идет о гигантских количествах. Но раз такое происходит, должна же быть какая-то причина. И причина есть. Причина кроется в том, что эту воду притягивает к себе Луна.

    Вращаясь вокруг Земли, Луна проходит над океанами и притягивает к себе океанические воды. Луна вращается вокруг Земли, потому что она притягивается Землей. Но, выходит, что она и сама при этом притягивает к себе Землю. Земля, правда, для нее великовата, но ее влияние оказывается достаточным для перемещения воды в океанах.

    Сила и закон всемирного тяготения: понятие и формула

    А теперь пойдем дальше и подумаем: если два громадных тела, находясь неподалеку, оба притягивают друг друга, не логично ли предположить, что и тела поменьше тоже будут притягивать друг друга? Просто они намного меньше и сила их притяжения будет маленькой?

    Оказывается, что такое предположение абсолютно верно.2 .

    Возвращаясь к нашему исходному вопросу: «притягиваем ли мы Землю?», мы можем с уверенностью ответить: «да». Согласно третьему закону Ньютона мы притягиваем Землю ровно с такой же силой, с какой Земля притягивает нас. Силу эту можно рассчитать из закона всемирного тяготения.

    А согласно второму закону Ньютона воздействие тел друг на друга какой-либо силой выражается в виде придаваемого ими друг другу  ускорения. Но придаваемое ускорение зависит от массы тела.

    Масса Земли велика, и она придает нам ускорение свободного падения. А наша масса ничтожно мала по сравнению с Землей, и поэтому ускорение, которое мы придаем Земле, практически равно нулю. Именно поэтому мы притягиваемся к Земле и ходим по ней, а не наоборот.

  •  

    Одним из частных случаев всемирного тяготения является тот факт, что все тела притягиваются к Земле. Для нас, жителей планеты Земля, сила тяжести имеет огромное значение.

    Сила, с которой тело некоторой массы m будет притягиваться к Земле, согласно закону всемирного тяготения будет вычисляться по следующей формуле:

    Где Мз — масса земли,
    Rз — радиус земли,
    G — гравитационная постоянная = 6,67234(14),
    m — масса тела

    Но значение этой силы будет отличаться от значения силы тяжести которую мы вычисляем по формуле Fт =m*g.2).

  • Отсюда можно выразить значение g.

    Как видите масса тела сократилась, а следовательно масса тела никак не влияет на ускорение свободного падения тел, которые находятся на Земле или вблизи её поверхности. А будет зависеть только от радиуса Земли, а точнее от расстояния от центра Земли, до центра данного тела массы m.

    Если мы например поднимем тело на некоторую высоту h, то расстояние между центрами Земли и тела увеличится, а следовательно должно измениться ускорение свободного падения тела.

    Так как расстояние в таком случае будет (Rз+h), то ускорение свободного падения на высоте h от поверхности Земли можно вычислить по формуле:

    Чем больше мы поднимем тело над Землей, тем будет меньше ускорение свободного падения. Следовательно, будет уменьшатся и сила тяжести которая действует на это тело. Чаще всего этим увеличением пренебрегают, так как расстояние, на которое поднимается тело от поверхности Земли, по сравнению с радиусом Земли пренебрежимо мало.

    Например, если человек массой 80 кг поднялся на гору высотой 3 км, то действующая на него сила тяжести уменишилась всего на 0.7 Н. Это очень мало, поэтому в таких случаях при расчетах берут вблизи поверхности земли значение ускорения свободного падения g=9,81.

    Применение формулы для других небесных тел

    Формула, которую мы записали выше, подходит также для вычисления ускорения свободного падения на любых небесных объектах. То есть вместо радиуса и массы Земли необходимо подставить радиус и массу данного небесного объекта.

  •  

    Мы знаем, что все тела притягиваются друг к другу. В частности, Луна, например, притягивается к Земле. Но возникает вопрос: если Луна притягивается к Земле, почему она вращается вокруг нее, а не падает на Землю?

    Для того чтобы ответить на этот вопрос, необходимо рассмотреть виды движения тел. Мы уже знаем, что движение может быть равномерным и неравномерным, но существуют и другие характеристики движения. В частности, в зависимости от направления различают прямолинейное и криволинейное движение.

    Прямолинейное движение

    Известно, что тело двигается под действием приложенной к нему силы. Можно проделать несложный эксперимент, показывающий, как направление движения тела будет зависеть от направления приложенной к нему силы. Для этого потребуется произвольный предмет небольшого размера, резиновый шнур и горизонтальная или вертикальная опора.

    Привязывает шнур одним концом к опоре. На другом конце шнура закрепляем наш предмет. Теперь, если мы оттянем наш предмет на некоторое расстояние, а потом отпустим, то увидим, как он начнет двигаться в направлении опоры. Его движение обусловлено силой упругости шнура. Именно так Земля притягивает все тела на ее поверхности, а также летящие из космоса метеориты.

    Только вместо силы упругости выступает сила притяжения. А теперь возьмем наш предмет на резинке и толкнем его не в направлении к/от опоры, а вдоль нее. Если бы предмет не был закреплен, он бы просто улетел в сторону. Но так как его держит шнур, то шарик, двигаясь в сторону, слегка растягивает шнур, тот тянет его обратно, и шарик чуть меняет свое направление в сторону опоры.

    Криволинейное движение по окружности

    Так происходит в каждый момент времени, в итоге шарик движется не по первоначальной траектории, но и не прямолинейно к опоре. Шарик будет двигаться вокруг опоры по окружности. Траектория его движения будет криволинейной. Именно так вокруг Земли двигается Луна, не падая на нее.

    Именно так притяжение Земли захватывает метеориты, которые летят близко от Земли, но не прямо на нее. Эти метеориты становятся спутниками Земли. При этом от того, каким был их первоначальный угол движения по отношению к Земле, зависит, как долго они пробудут на орбите. Если их движение было перпендикулярно Земле, то они могут находиться на орбите бесконечно долго. Если же угол был меньше 90˚, то они будут двигаться по снижающейся спирали, и постепенно все-таки упадут на землю.

    Движение по окружности с постоянной по модулю скоростью

    Еще один момент, который следует отметить, это то, что скорость криволинейного движения по окружности меняется по направлению, но одинакова по значению. А это означает, что движение по окружности с постоянной по модулю скоростью происходит равноускорено.

    Так как направление движения меняется, значит, движение происходит с ускорением. А так как оно меняется одинаково в каждый момент времени, следовательно, движение будет равноускоренным. А сила притяжения является силой, которая обусловливает постоянное ускорение.

    Луна двигается вокруг Земли именно благодаря этому, но если вдруг когда-либо движение Луны изменится, например, в нее врежется очень крупный метеорит, то она вполне может сойти со своей орбиты и упасть на Землю. Нам остается лишь надеяться, что этот момент не наступит никогда.

  •  

    Вы когда-нибудь соревновались, кто дальше кинет камень или снежок? Все мальчишки наверняка проходили через это. И все знают, что чтобы камень пролетел как можно дальше, надо кинуть его как можно сильнее. То есть нужно придать ему как можно большую скорость.

    Сила человеческой руки ограничена, и камень мы можем кинуть относительно недалеко. Намного большую скорость телам могут придать различные артиллерийские орудия. Снаряды могут преодолевать несколько километров и даже десятков километров. Однако всегда траекторией всех этих летящих тел является дуга, концом упирающаяся в землю.

    Бексонечно долгое вращение вокруг Земли

    Если же пойти дальше и предположить, что мы можем придать телу намного большую скорость? Такую, что дуга, которую тело опишет, будет уже не упираться в землю, а проходить на некотором расстоянии вокруг всей Земли? Тогда получится, что мы получим тело, способное бесконечно долго вращаться вокруг Земли.

    Единственное, что будет мешать нам это сопротивление воздуха. Значит надо избавиться от него. Избавиться от сопротивления воздуха мы можем на большой высоте. На высоте свыше трехсот километров воздуха уже практически нет. Именно начиная с такой высоты, и запускают искусственные спутники Земли. Спутники вращаются вокруг Земли по различным орбитам, но все они не падают на Землю.

    Движение спутника — пример свободного падения

    Это происходит потому, что запущены они были со скоростью, достаточной для того, чтобы преодолеть земное притяжение. Как ни странно звучит, движение спутника вокруг Земли это пример свободного падения тела.

    Происходит оно с ускорением, как и положено свободно падающему телу, только ускорение это не увеличивает скорость тела по модулю, а изменяет по направлению. Поэтому спутники и движутся по орбите.

    Первая и вторая космическая скорость

    Скорость, необходимая для того, чтобы тело начало вращаться по орбите вокруг Земли не падая, называется первой космической скоростью. Она составляет от 7,9 км/с. Чем больше высота тела над землей, тем величина этой скорости меньше.

    На высоте, например, 500 км эта скорость составляет уже 7,6 км/с. Это объясняется тем, что гравитационные силы уменьшаются с увеличением расстояния между телами. Первой космической скоростью обусловлено движение искусственных спутников земли.

    А есть ли такая скорость, которая позволит совсем вырваться из оков земного притяжения? Такая скорость есть и называется она второй космической скоростью. Она составляет 11,2 км/с. При такой скорости тела описывают вокруг Земли не дугу, а эллипс, и тело удаляется на расстояние, достаточное для полного освобождения от земного притяжения. Такую скорость развивают ракеты, которые уходят в космическое пространство прочь от Земли.

  •  

    Проделаем несколько несложных преобразований с формулами. По второму закону Ньютона силу можно найти: F=m*a. Ускорение находится следующим образом: a=v⁄t . Таким образом получаем: F=m*v/t.

    Определение импульса тела: формула

    Выходит, что сила характеризуется изменением произведения массы на скорость во времени. Если обозначить это произведение некой величиной, то мы получим изменение этой величины во времени как характеристику силы. Эту величину назвали импульсом тела. Импульс тела выражается формулой:

    p=m*v ,

    где p импульс тела, m масса, v скорость.

    Импульс это векторная величина, при этом его направление всегда совпадает с направлением скорости. Единицей импульса является килограмм на метр в секунду (1 кг*м/с).

    Что же такое импульс тела: как понять?

    Попробуем по-простому, «на пальцах» разобраться, что такое импульс тела. Если тело покоится, то его импульс равен нулю. Логично. Если скорость тела изменяется, то у тела появляется некий импульс, который характеризует величину приложенной к нему силы.

    Если воздействие на тело отсутствует, но оно движется с некоторой скоростью, то есть имеет некий импульс, то его импульс означает, какое воздействие способно оказать данное тело при взаимодействии с другим телом.

    В формулу импульса входит масса тела и его скорость. То есть чем большей массой и/или скоростью обладает тело, тем большее воздействие оно может оказать. Это понятно и из жизненного опыта.

    Чтобы сдвинуть тело небольшой массы, нужна небольшая сила. Чем больше масса тела, тем большее придется приложить усилие. То же самое касается и скорости, которую сообщают телу. В случае же воздействия самого тела на другое, импульс также показывает величину, с которой тело способно действовать на другие тела. Эта величина напрямую зависит от скорости и массы исходного тела.

    Импульс при взаимодействии тел

    Возникает еще один вопрос: что произойдет с импульсом тела при его взаимодействии с другим телом? Масса тела измениться не может, если оно остается целым, а вот скорость может измениться запросто. При этом скорость тела изменится в зависимости от его массы.

    В самом деле, понятно, что при столкновении тел с очень разными массами, скорость их изменится по-разному. Если летящий на большой скорости футбольный мяч врежется в неготового к этому человека, например зрителя, то зритель может упасть, то есть приобретет некоторую небольшую скорость, но точно не полетит как мячик.

    А все потому, что масса зрителя намного больше массы мяча. Но при этом сохранится неизменным общий импульс этих двух тел. 

    Закон сохранения импульса: формула

    В этом и заключается закон сохранения импульса: при взаимодействии двух тел их общий импульс остается неизменным. Закон сохранения импульса действует только в замкнутой системе, то есть в такой системе, в которой нет воздействия внешних сил или их суммарное действие равно нулю.

    В реальности практически всегда на систему тел оказывается стороннее воздействие, но общий импульс, как и энергия, не пропадает в никуда и не возникает из ниоткуда, он распределяется между всеми участниками взаимодействия. 

    Закон сохранения импульса для двух тел в виде формулы будет выглядеть следующим образом:

    (p_1′ ) +(p_2′ ) = (p_1 ) + (p_2 ),

    где левая часть уравнения это сумма импульсов тел после взаимодействия, а правая часть после взаимодействия. Уравнение говорит нам, что общий импульс (сумма импульсов) остается неизменнным.

  •  

    Реактивное движение — это все же движение. А мы знаем, что чтобы происходило движение, необходимо воздействие некоторой силы. Тело либо само должно оттолкнуться от чего-нибудь, либо стороннее тело должно толкнуть данное. Это хорошо известно и понятно нам из жизненного опыта.

    От чего оттолкнуться в космосе?

    У поверхности Земли можно оттолкнуться от поверхности либо от находящихся на ней предметов. Для передвижения по поверхности используют ноги, колеса, гусеницы и так далее. В воде и воздухе можно отталкиваться от самих воды и воздуха, имеющих определенную плотность, и потому позволяющих взаимодействовать с ними. Природа для этого приспособила плавники и крылья.

    Человек создал двигатели на основе пропеллеров, которые во много раз увеличивают площадь контакта со средой за счет вращения и позволяют отталкиваться от воды и воздуха. А как быть в случае безвоздушного пространства? От чего отталкиваться в космосе? Там нет воздуха, там ничего нет. Как осуществлять полеты в космосе? Вот тут-то и приходит на помощь закон сохранения импульса и принцип реактивного движения. Разберем подробнее.

    Импульс и принцип реактивного движения

    Импульс это произведение массы тела на его скорость. Когда тело неподвижно, его скорость равна нулю. Однако тело обладает некоторой массой. При отсутствии сторонних воздействий, если часть массы отделится от тела с некоторой скоростью, то по закону сохранения импульса, остальная часть тела тоже должна приобрести некоторую скорость, чтобы суммарный импульс остался по-прежнему равным нулю.

    Причем скорость оставшейся основной части тела будет зависеть от того, с какой скоростью отделится меньшая часть. Чем эта скорость будет выше, тем выше будет и скорость основного тела. Это понятно, если вспомнить поведение тел на льду или в воде.

    Если два человека будут находиться рядом, а потом один из них толкнет другого, то он не только придаст тому ускорение, но и сам отлетит назад. И чем сильнее он толкнет кого-либо, тем с большей скоростью отлетит сам.

    Наверняка, вам приходилось бывать в подобной ситуации, и вы можете представить себе, как это происходит. Так вот, именно на этом и основано реактивное движение.

    Ракеты, в которых реализован этот принцип, выбрасывают некоторую часть своей массы на большой скорости, вследствие чего сами приобретают некоторое ускорение в противоположном направлении.

    Потоки раскаленных газов, возникающие в результате сгорания топлива, выбрасываются через узкие сопла для придания им максимально большой скорости. При этом, на величину массы этих газов уменьшается масса ракеты, и она приобретает некую скорость. Таким образом реализован принцип реактивного движения в физике.

    Принцип полета ракеты

    В ракетах применяют многоступенчатую систему. Во время полета нижняя ступень, израсходовав весь свой запас топлива, отделяется от ракеты, чтобы уменьшить ее общую массу и облегчить полет.

    Количество ступеней уменьшается, пока не остается рабочая часть в виде спутника или иного космического аппарата. Топливо рассчитывают таким образом, чтобы его хватило как раз для выхода на орбиту.

    При посадках на космические тела рассчитывают количество топлива для посадки и на обратный путь, если он запланирован.

  • Равномерное прямолинейное движение

    Равномерное движение – это движение с постоянной скоростью,
    то есть когда скорость не изменяется (v = const) и ускорения или замедления не происходит (а = 0).

    Прямолинейное движение – это движение по прямой линии,
    то есть траектория прямолинейного движения – это прямая линия.

    Равномерное прямолинейное движение – это движение,
    при котором тело за любые равные промежутки времени совершает одинаковые перемещения.
    Например, если мы разобьём какой-то временной интервал на отрезки по одной секунде,
    то при равномерном движении тело будет перемещаться на одинаковое расстояние за
    каждый из этих отрезков времени.

    Скорость равномерного прямолинейного движения не зависит от времени и в каждой
    точке траектории направлена также, как и перемещение тела. То есть вектор перемещения
    совпадает по направлению с вектором скорости. При этом средняя скорость за любой
    промежуток времени равна мгновенной скорости:

    vcp = v

    Скорость равномерного прямолинейного движения – это физическая векторная величина,
    равная отношению перемещения тела
    за любой промежуток времени к значению этого промежутка t:

    = / t

    Таким образом, скорость равномерного прямолинейного движения показывает,
    какое перемещение совершает материальная точка за единицу времени.

    Перемещение при равномерном прямолинейном движении определяется формулой:

    = • t

    Пройденный путь при прямолинейном движении равен модулю перемещения.
    Если положительное направление оси ОХ совпадает с направлением движения,
    то проекция скорости на ось ОХ равна величине скорости и положительна:

    vx = v,	то есть v > 0

    Проекция перемещения на ось ОХ равна:

    s = vt = x – x0

    где x0 – начальная координата тела,
    х – конечная координата тела (или координата тела в любой момент времени)

    Уравнение движения, то есть зависимость координаты тела от времени х = х(t),
    принимает вид:

    х = x0 + vt

    Если положительное направление оси ОХ противоположно направлению движения тела,
    то проекция скорости тела на ось ОХ отрицательна, скорость меньше нуля (v

    х = x0 - vt

    Зависимость скорости, координат и пути от времени

    Зависимость проекции скорости тела от времени показана на рис. 1.11.
    Так как скорость постоянна (v = const), то графиком скорости является прямая линия,
    параллельная оси времени Ot.

    Рис. 1.11. Зависимость проекции скорости тела от времени при равномерном прямолинейном движении.

    Проекция перемещения на координатную ось численно равна площади прямоугольника ОАВС (рис. 1.12),
    так как величина вектора перемещения равна произведению вектора скорости на время,
    за которое было совершено перемещение.

    Рис. 1.12. Зависимость проекции перемещения тела от времени при равномерном прямолинейном движении.

    График зависимости перемещения от времени показан на рис. 1.13. Из графика видно,
    что проекция скорости равна

    v = s1 / t1 = tg α

    где α – угол наклона графика к оси времени.

    Чем больше угол α, тем быстрее движется тело, то есть тем больше его скорость
    (больший путь тело проходит за меньшее время). Тангенс угла наклона касательной к
    графику зависимости координаты от времени равен скорости:

    tg α = v

    Рис. 1.13. Зависимость проекции перемещения тела от времени при равномерном прямолинейном движении.

    Зависимость координаты от времени показана на рис. 1.14. Из рисунка видно, что

    tg α1 > tg α2

    следовательно, скорость тела 1 выше скорости тела 2 (v1 > v2).

    tg α3 = v3 < 0

    Если тело покоится, то графиком координаты является прямая, параллельная оси времени, то есть

    х = х0

    Рис. 1.14. Зависимость координаты тела от времени при равномерном прямолинейном движении.

    Скорость прямолинейного равноускоренного движения: график скорости

     

    Проекцию скорости на ось Ох при прямолинейном равноускоренном движении можно найти по следующей формуле:

    Выразим из этой формулы, формулу для проекции скорости которую имело лвижущееся тело к концу  некоторого промежутка времени t.

    То есть, зная проекцию вектора начальной скорости V0x  и проекцию вектора ускорения ax в любой момент времени можно вычислить проекцию вектора мгновенной скорости Vx, которую будет иметь тело в данной точке.2) в течение 4 секунд.

    Для построения такого графика, также достаточно взять несколько значений переменной  t и посчитать в них значение проекции скорости Vx. А потом соединить их прямой линией. Как видите, график имеет начальную точку не в нуле, в значении, которое имеет начальная скорость.

    График проекции скорости тела при торможении

    Если бы ускорение было отрицательным, то есть тело постепенно тормозило, то график составлял бы с положительным направлением оси Ох тупой угол. 

    Ниже представлен график такой ситуации.

    Из графика видно, что тело начинало свое движение со скоростью 20 м/с, и постепенно замедляло её. За 10 секунд, оно полностью остановилось.

    Нужна помощь в учебе?

    Предыдущая тема: Прямолинейное равноускоренное движение и ускорение
    Следующая тема:&nbsp&nbsp&nbspПеремещение при прямолинейном равноускоренном движении

    4.3 Движение снаряда — Университетская физика, том 1

    Снаряд фейерверка взрывается высоко и далеко

    Во время фейерверка снаряд запускается в воздух с начальной скоростью 70,0 м / с под углом 75,0 ° и 75,0 ° над горизонтом, как показано на рисунке 4.13. Взрыватель рассчитан на то, чтобы зажечь снаряд, когда он достигнет своей наивысшей точки над землей. (а) Рассчитайте высоту взрыва снаряда. б) Сколько времени проходит между запуском снаряда и взрывом? (c) Каково горизонтальное смещение снаряда при взрыве? (d) Каково полное смещение от точки запуска до самой высокой точки?

    Рисунок 4.13 Траектория выстрела фейерверка. Взрыватель настроен так, чтобы взорвать снаряд в наивысшей точке его траектории, которая находится на высоте 233 м и 125 м по горизонтали.

    Стратегия

    Движение можно разбить на горизонтальные и вертикальные движения, в которых ax = 0ax = 0 и ay = −g.ay = −g. Затем мы можем определить x0x0 и y0y0 равными нулю и найти желаемые величины.

    Решение

    (a) Под «высотой» мы подразумеваем высоту или вертикальное положение y над начальной точкой.Наивысшая точка любой траектории, называемая апексом , достигается, когда vy = 0.vy = 0. Поскольку мы знаем начальную и конечную скорости, а также начальное положение, мы используем следующее уравнение, чтобы найти y :
    vy2 = v0y2−2g (y − y0) .vy2 = v0y2−2g (y − y0).

    Поскольку y0y0 и vyvy оба равны нулю, уравнение упрощается до

    0 = v0y2−2gy. 0 = v0y2−2gy.

    Решение y дает

    Теперь мы должны найти v0y, v0y, составляющую начальной скорости в направлении y .Он задается формулами v0y = v0sinθ0, v0y = v0sinθ0, где v0v0 — начальная скорость 70,0 м / с, а θ0 = 75 ° θ0 = 75 ° — начальный угол. Таким образом,

    v0y = v0sinθ = (70,0 м / с) sin75 ° = 67,6 м / sv0y = v0sinθ = (70,0 м / с) sin75 ° = 67,6 м / с

    и y равно

    y = (67,6 м / с) 22 (9,80 м / с2). y = (67,6 м / с) 22 (9,80 м / с2).

    Таким образом, имеем

    Обратите внимание, что поскольку верх положительный, начальная вертикальная скорость положительна, как и максимальная высота, но ускорение свободного падения отрицательно. Отметим также, что максимальная высота зависит только от вертикальной составляющей начальной скорости, так что любой снаряд с калибром 67.Начальная вертикальная составляющая скорости 6 м / с достигает максимальной высоты 233 м (без учета сопротивления воздуха). Цифры в этом примере приемлемы для больших фейерверков, снаряды которых достигают такой высоты перед взрывом. На практике сопротивлением воздуха нельзя пренебречь, поэтому начальная скорость должна быть несколько больше, чем заданная для достижения той же высоты.

    (b) Как и во многих других физических задачах, существует несколько способов решения, пока снаряд достигает своей наивысшей точки.В этом случае самый простой способ — использовать vy = v0y − gt.vy = v0y − gt. Поскольку vy = 0vy = 0 на вершине, это уравнение сводится к просто

    или

    t = v0yg = 67,6 м / с 9,80 м / с2 = 6,90 с. t = v0yg = 67,6 м / с 9,80 м / с2 = 6,90 с.

    Это время также подходит для больших фейерверков. Если вы видите запуск фейерверка, обратите внимание, что проходит несколько секунд, прежде чем снаряд взорвется. Другой способ найти время — использовать y = y0 + 12 (v0y + vy) t.y = y0 + 12 (v0y + vy) t. Это оставлено вам в качестве упражнения.

    (c) Поскольку сопротивлением воздуха можно пренебречь, ax = 0ax = 0 и горизонтальная скорость постоянна, как обсуждалось ранее. Горизонтальное смещение — это горизонтальная скорость, умноженная на время, как задано формулой x = x0 + vxt, x = x0 + vxt, где x0x0 равно нулю. Таким образом,

    , где vxvx — это x -компонент скорости, равной

    .
    vx = v0cosθ = (70,0 м / с) cos75 ° = 18,1 м / с. vx = v0cosθ = (70,0 м / с) cos75 ° = 18,1 м / с.

    Время t для обоих движений одинаково, поэтому x равно

    х = (18.1 м / с) 6,90 с = 125 м. X = (18,1 м / с) 6,90 с = 125 м.

    Горизонтальное движение — это постоянная скорость при отсутствии сопротивления воздуха. Обнаруженное здесь горизонтальное смещение могло быть полезно для предотвращения падения фрагментов фейерверка на зрителей.
    | s → | = 1252 + 2332 = 264m | s → | = 1252 + 2332 = 264m
    Φ = tan − 1 (233125) = 61.8 °. Φ = tan − 1 (233125) = 61,8 °.

    Обратите внимание, что угол для вектора смещения меньше начального угла запуска. Чтобы понять, почему это так, просмотрите рисунок 4.11, на котором показана кривизна траектории к уровню земли.

    снарядов — Математика A-Level, версия

    Этот раздел охватывает доработку снарядов.

    Когда частица выбрасывается из земли, она будет следовать изогнутой траектории, прежде чем упасть на землю. Как далеко перемещается частица, будет зависеть от скорости проецирования и угла проецирования.

    Уравнения сувата могут быть адаптированы для решения задач, связанных со снарядами.

    Разберем общий случай. Частица проецируется со скоростью u (м / с) под углом a к горизонтали:

    Диапазон

    Дальность (R) снаряда — это горизонтальное расстояние, которое он проходит во время движения.

    Теперь s = ut + ½ при 2

    Используя это уравнение по вертикали, мы получаем, что a = -g (ускорение свободного падения) и начальная скорость в вертикальном направлении — это usina (путем разрешения).Отсюда:

    Используя уравнение по горизонтали:

    Помните, что нет ускорения по горизонтали, поэтому здесь a = 0.

    Когда частица возвращается на землю, y = 0. Подставляя это в (1):

    0 = utsina — ½ gt 2
    t (usina — ½ gt) = 0
    t = 0 или t = 2u sina (3)
    g

    Следовательно, когда x = R, t = 2u sina / g

    Подставляя в (2):

    R = ucosa (2u sina)
    г

    • Таким образом, диапазон составляет

    Время полета

    Время, когда мяч находится в воздухе, определяется формулой (3).

    Время полета =

    Максимальный диапазон

    Если частица проецируется с фиксированной скоростью, она перемещается на наибольшее расстояние по горизонтали, если она проецируется под углом 45 ° к горизонтали. Это связано с тем, что максимальное значение sin2a может быть равно 1, а sin2a = 1, когда a = 45 °.

    Скорость

    Скорость частицы в любой момент может быть вычислена из уравнения v = u + at.

    Применяя это уравнение по горизонтали, мы находим:

    Применяя его по вертикали, мы получаем, что:

    Чтобы найти скорость или направление частицы в любой момент во время движения, найдите горизонтальную и вертикальную составляющие скорости, используя приведенные выше формулы и используйте теорему Пифагора:

    Пример

    Ядро стреляет под углом 30 ° к горизонтали со скоростью 25 мс. -1 .

    а) Сколько времени осталось до удара?
    б) Как далеко пролетит пушечное ядро, прежде чем ударится о землю?

    а) Когда частица ударяется о землю, y = 0.

    с = ut + ½ при 2

    Применяя это уравнение по вертикали, когда частица ударяется о землю:
    0 = 25Tsin30 — ½ gT 2 (где T — время полета)

    Следовательно, T (25sin30 — ½ gT) = 0
    Итак, T = 0 или T = (50sin30) / g

    Следовательно, время полета 2.55с (3сф)

    b) Диапазон можно найти, вычислив горизонтальное расстояние, пройденное частицей за время T, найденное в части (a)

    с = ut + ½ при 2

    Применяя это уравнение по горизонтали:
    R = 25Tcos30
    = 25 × 2,55 × 0,866
    = 55,231 …

    Следовательно, пройденное расстояние по горизонтали составляет 55,2 м (3sf)

    Угол проецирования толкания

    Угол проецирования для толкания ядра

    Введение

    Оптимальный угол проецирования

    Преподавание в бакалавриате

    Введение

    Один из самых известных «результатов» науки о механике заключается в том, что оптимальный угол проекции для достижения максимального горизонтального диапазона составляет 45 °.Однако также хорошо известно, что настоящие спортсмены в видах спорта, связанных со снарядами, редко используют угол 45.
    Например, типичные углы проекции толкателей ядра мирового класса составляют около 37.
    Некоторые исследователи
    отметил, что в толкании ядра посадка примерно на 2 м ниже пусковой.
    Даже в этом случае это дает лишь небольшое уменьшение рассчитанного оптимального угла проекции (примерно до 42).

    Причина расхождения между теорией и практикой заключается в том, что скорость проецирования и высота взлета, достигаемые спортсменом, составляют , а не независимо от угла проецирования, как предполагается при обычном расчете оптимального угла проецирования.Эксперименты показали, что скорость проецирования, которую может создать спортсмен, уменьшается на с увеличением угла проецирования, и что это существенно снижает оптимального угла проецирования.

    Оптимальный угол проецирования

    Стандартное мнение о том, что оптимальный угол проекции при толкании ядра составляет около 42 °, можно понять, используя известную формулу для дальности полета снаряда в свободном полете.

    Для выбранных скоростей проецирования можно построить ряд кривых зависимости расстояния от угла проецирования.
    Эти кривые показывают, что оптимальный угол проецирования составляет чуть менее 45 °.

    Этот набор расчетов содержит серьезную ошибку.
    В расчетах не учитывается тот факт, что спортсмен не может бросить с одинаковой скоростью при всех углах проекции.Скорость проецирования, которую может создать спортсмен, постоянно уменьшается на , поскольку спортсмен пытается выполнить бросок с все большим и большим углом проекции.

    Уменьшение скорости проецирования с увеличением угла проецирования является результатом двух факторов.

    • При броске с большим углом проекции толкатель ядра должен затрачивать большее усилие во время фазы подачи, чтобы преодолеть вес выстрела, и поэтому для ускорения выстрела доступно меньшее усилие (т.е. производят скорость проецирования).

    • Структура человеческого тела способствует созданию силы в горизонтальном направлении больше, чем в вертикальном.
      Принимая во внимание только силу верхней части тела, большинство спортсменов могут поднять больший вес в упражнении для жима лежа, чем в упражнении для пресса от плеч.

    Оптимальный угол проекции для спортсмена получается путем объединения отношения скорость-угол для спортсмена с уравнением для дальности полета снаряда в свободном полете.Оптимальный угол проекции для спортсмена не просто 45, а около 34.

    Рассчитанный выше оптимальный угол проекции применим только к рассматриваемому спортсмену.
    У каждого спортсмена есть уникальное соотношение скорости и угла, которое зависит от их роста, силы и техники броска.
    Это означает, что у каждого спортсмена свой индивидуальный оптимальный угол проецирования.
    Оптимальный угол проекции для толкателя ядра мирового класса может составлять от 26 до 38.

    Чтобы узнать больше об исследовании толкания ядра, см .:

    Линторн Н.П. (2001).
    Оптимальный угол выброса при толкании ядра.
    Журнал спортивных наук , 19 (5), 359-372.
    (Издатель)

    Линторн, Н.
    Оптимальные углы проекции в бросках и прыжках.
    CoachesInfo.com .

    Оптимальные углы проецирования при обучении в бакалавриате

    Работа над оптимальными углами проецирования была включена в мои занятия по биомеханике.Я подготовил электронную таблицу Microsoft Excel и учебник по построению графиков, чтобы изучить оптимальный угол проецирования при толкании ядра.
    Этот урок подчеркивает, что оптимальный угол проецирования в спорте не равен 45.

    Снаряд Движение Спорт Наука Степень физического воспитания

    Q4 E Пример 15 — Движение снаряда

    Предлагаемое использование темы:
    Математика / физика (уровень A / AS), спортивные науки (степень 1/2)

    Введение

    Снаряд — это тело, падающее в свободном падении, на которое действуют только силы тяжести (9.81 мс²) и сопротивление воздуха. Объект должен быть сброшен с высоты, брошен вертикально вверх или под углом, чтобы считаться снарядом. Путь, по которому летит снаряд, известен как траектория. Если бы гравитации не было, снаряд летел бы по постоянной прямой. Однако наличие силы тяжести вынуждает снаряды двигаться по параболической траектории, таким образом, сила тяжести ускоряет объекты вниз.

    Факторы, влияющие на траекторию:
    a) Угол проекции
    b) Скорость проекции
    c) Относительная высота проекции

    Для анализа движения снаряда оно делится на два компонента: горизонтальное движение и вертикальное движение.Перпендикулярные компоненты движения независимы друг от друга, т.е. горизонтальное и вертикальное движения снаряда независимы. Горизонтальное движение объекта не имеет внешних сил, действующих на него (за исключением сопротивления воздуха, которое обычно не учитывается). Из-за отсутствия горизонтальных сил снаряд остается в движении с постоянной горизонтальной скоростью, преодолевая равные расстояния за равные периоды времени. Таким образом, горизонтального ускорения не происходит. Однако степень вертикальной скорости уменьшается под действием силы тяжести.Сила тяжести действует на начальную вертикальную скорость копья, уменьшая скорость до нуля. Вертикальная скорость, равная нулю, представляет собой вершину траектории, что означает, что снаряд достиг максимальной высоты. Во время полета снаряда вниз вертикальная скорость увеличивается за счет действия силы тяжести.

    Начальная скорость (Vi) снаряда, выпущенного под углом к ​​горизонтали, имеет как горизонтальную (Vh), так и вертикальную (Vv) составляющие.При расчете горизонтального движения ускорение принимается равным 0 мс², поскольку в горизонтальном направлении нет сил. Таким образом, отсутствие ускорения означает, что начальная горизонтальная скорость и конечная горизонтальная скорость одинаковы. Ускорение при вертикальном движении составляет 9,81 мс², поскольку сила тяжести является единственной силой в вертикальном направлении. Это значение является постоянным независимо от веса, размера и т. Д. Проецируемого объекта. Если объект выпущен и приземлился на той же высоте, то начальная скорость и конечная скорость будут одинаковыми, с той лишь разницей, что конечная скорость будет в противоположном направлении.Пиковая высота, достигаемая объектом, может быть найдена, если принять высоту пика как конечную скорость, которая равна 0 мс‾¹, так как, когда объект достигает максимальной высоты, вертикальная скорость равна 0 мс. Если объект падает с высоты, начальная скорость (u) равна 0 мс‾¹, и по ней может быть рассчитана конечная скорость.
    Законы постоянного ускорения можно использовать для определения горизонтальной и вертикальной составляющих снаряда. Эти уравнения могут применяться только к горизонтальному и вертикальному движениям снаряда — они не могут применяться к результирующему движению.Используются три уравнения:

    1. v = u + при
    2. v² = u² + 2as
    3. с = ut + ½at²

    Где:
    u = начальная скорость (мс‾¹)
    v = конечная скорость (мс‾¹)
    a = ускорение (мс‾²)
    t = время (с)
    с = смещение (м)

    Объективы

    • Для сравнения движения снаряда при пяти различных метаниях копья с помощью программного обеспечения Quintic
    • Для расчета пройденного расстояния, начальной скорости и угла выброса копья

    Методы

    Видео были откалиброваны и оцифрованы с помощью программного обеспечения Quintic.
    Данные были экспортированы в файл Excel, где они использовались для расчета всех переменных метания копья. Графики были составлены с использованием этой информации. Неподвижные изображения были сняты из видео, чтобы обозначить различные этапы упражнения.

    Функции используемого программного обеспечения Quintic:

    • Модуль одноточечной оцифровки
    • Фильтр Баттерворта
    • Калибровка
    • Интерактивный график и дисплеи данных
    • Экспорт данных
    • Захват нескольких изображений

    Результаты

    Каждый из метаний копья был проанализирован с использованием одноточечной оцифровки.Каждый кадр с момента выпуска до конца ролика был оцифрован. Используя результаты оцифровки, были рассчитаны такие значения, как расстояние метания, время метания и максимальная высота, достигнутая копьем.

    Рисунок 1: Последовательность нескольких изображений метания Javelin

    Таблица 1: Результаты пяти метаний копья

    График 1: Начальная скорость метания копья

    График 1 показывает начальные скорости всех бросков.Начальная скорость метания копья определяет высоту и длину траектории, при условии, что все остальные факторы остаются постоянными. У броска 2 была самая высокая начальная средняя скорость 28,13 мс, а у остальных — 21,48 мс, 19,70 мс, 22,11 мс‾¹ и 20,87 мс для бросков 1-5 соответственно.

    Зная начальное значение скорости, можно определить горизонтальное и вертикальное значения. Горизонтальная скорость копья остается постоянной в течение всего времени полета из-за отсутствия внешних сил, действующих на горизонтальное движение.С другой стороны, вертикальная скорость постоянно меняется из-за силы тяжести. Таблица 1 показывает, что для всех бросков конечная вертикальная скорость больше начальной и имеет отрицательное значение. Это связано с тем, что копье выпущено с высоты. Если объект проецируется и приземляется на одной и той же высоте, то начальная скорость и конечная скорость совпадают. Однако, если объект проецируется с высоты и приземляется ниже этой высоты, конечная скорость будет больше начальной скорости и в противоположном направлении.Все броски имеют отрицательную конечную скорость, так как все копья выпущены с высоты. Бросок 2 имеет большую конечную вертикальную скорость, чем остальные, -19,55 мс‾¹. Это связано с тем, что он прошел большее расстояние и достиг большей высоты, поэтому сила тяжести действовала на копье в течение более длительного периода времени, прежде чем он ударился о землю. Тремя основными переменными, которые влияют на метание копья, являются начальная скорость, угол выпуска и высоты выпуска копья. Одной из этих переменных недостаточно, чтобы обеспечить хороший бросок.Из расчетов в таблице 1, бросок 2 считается самым успешным, так как он прошел самое большое расстояние 82,37 м. В этом броске можно увидеть тенденцию по сравнению с другими. Бросок 2 имеет наименьший угол выброса (40,65 °), самую высокую начальную скорость (28,13 м‾¹) и запускается с максимальной высоты (2,38 м). Все это вместе приводит к броску на самую дальнюю дистанцию.

    График 2: угол выпуска и расстояние выброса

    Форма траектории снаряда определяется углом проекции.Оптимальный угол выброса снаряда, выпущенного на уровне земли, составляет 45º. Если относительная высота выступа увеличивается, угол выпуска должен уменьшаться. И наоборот, если относительная высота выступа уменьшается, угол выпуска должен увеличиваться. Оптимальный угол выпуска при метании копья составляет 34-36º. Однако этот угол не принимает во внимание внешние факторы, такие как ветер, и поэтому его необходимо изменять в соответствии с минимизацией или максимизацией его воздействия. Если ветер дует против полета копья, то угол выпуска следует немного уменьшить, а при метании в попутный ветер угол выпуска должен быть больше.

    Рисунок 2: Угол выпуска метательного копья

    График 2 и рисунок 1 показывают углы выпуска пяти метаний копья в возрастающем порядке по сравнению с метанным расстоянием. Бросок с наименьшим углом (бросок 2, 40,65 °), безусловно, достиг самой длинной дистанции (82,37 м). Остальные броски не следуют той же схеме, при этом наибольший угол выпуска находится на втором месте по длине.Это связано с тем, что угол выпуска — только один из факторов, влияющих на расстояние выброса, и хотя угол выпуска может быть не близок к оптимальному, другие факторы могут быть более точными, что дает хороший результат. Увеличение угла выпуска может привести к увеличению расстояния

    График 3 и рисунок 2 показывают различную высоту, на которой были выпущены копья. Бросок 2, у которого была самая длинная дистанция, 82,37 м, имел самую высокую точку сброса 2,38 м. Остальные броски выполняются с высотой 1.80 м, 1,96 м, 2,02 м и 1,68 м соответственно.

    График 3: освобожденная высота и выброшенное расстояние

    Высота, на которой выпущено копье, влияет на оптимальный угол выпуска. Чем больше высота, тем меньше должен быть угол, чтобы увеличить расстояние метания. Высота выпуска может в основном определяться естественным ростом спортсмена и может выдерживать более высоких спортсменов с небольшим преимуществом над своими конкурентами.Поэтому метателям копья часто приходится определять собственный оптимальный угол выпуска в соответствии со своим ростом. Обычно, когда скорость снаряда и угол выброса остаются постоянными, чем выше высота полета, тем больше время полета. Следовательно, чем больше время полета, тем больше расстояние.

    Рисунок 3: Высота от земли

    График 4: Угол вылета копья

    График 4 сравнивает высоту выпуска с углом выпуска.Можно было бы ожидать, что с увеличением высоты угол уменьшается. Оптимальный угол выпуска от уровня земли — 45º; таким образом, все броски должны производиться под углом менее 45 °. Только три метателя имеют угол выброса менее 45 °, бросок 2, при котором копье выпущено на 2,38 м над землей под углом 40,65 °, бросок 4, при котором копье выпущено на высоте 2,02 м над землей под углом 43,41 °. и бросок 5, который выпустил копье на 1,68 м над землей под углом 43.63º. Два других броска имели углы чуть выше 45 °, составляющие 45,55 ° и 45,58 ° для бросков 1 и 3 соответственно. Уменьшение угла их выпуска может увеличить дальность метания копья.

    Заключение:
    Понимание того, как работает движение снаряда, очень полезно для определения того, как лучше всего двигать объект. Что касается метания копья, то умение рассчитывать различные переменные помогает спортсмену разработать лучшую технику для него лично, чтобы метать самую длинную дистанцию.Часто, глядя на метательное движение объекта, можно выявить ошибки на других этапах техники. Например, начальная скорость копья может использоваться как показатель количества движения, созданного во время подготовительной фазы действия. Часто низкая начальная скорость является результатом потери импульса во время этой фазы, и поэтому необходимо изменить методику, чтобы улучшить начальную скорость. То же самое и с другими видами спорта, такими как толкание ядра, баскетбол, вбрасывание в футбол и многие другие.

    Расстояние до снаряда можно также рассчитать, используя начальную скорость, угол выпуска и высоту выпуска, по следующему уравнению:

    Расстояние = Vi * cos Θ [Vi * sin Θ + √ ((Vi² * sin² Θ) + (2 * h * g)) / g]

    Где:

    Vi = начальная скорость (мс‾¹)
    Θ = угол выпуска (град)
    h = высота выпуска (м)
    g = ускорение свободного падения (9.81 мс²)

    Projectile Motion

    Projectile Motion
    Движение снаряда

    Объект бросает прямо вверх с вершины здания высотой h футов с начальной скоростью v футов в секунду. Высота объекта как функция времени может быть смоделирована функцией h (t) = –16t 2 + vt + h, где h (t) — высота объекта (в футах) через t секунд после него. брошен.

    Если нам задана начальная скорость (или скорость) объекта и высота здания, мы можем использовать эту модель, чтобы определить, сколько времени требуется, чтобы объект достиг разной высоты.В этой модели предполагается, что объект не попадает в верхнюю часть здания на обратном пути к земле и что сопротивление ветра минимально.

    Вот шаги, необходимые для решения проблем движения снаряда:

    Шаг 1 : Установите данное уравнение равным соответствующей высоте.
    Шаг 2 : Решите уравнение, найденное на шаге 1, установив уравнение равным нулю и разложив уравнение на множители.
    Шаг 3 : В зависимости от проблемы определите, какой ответ или ответы верны. Не забудьте указать единицы в своем окончательном ответе.

    Пример 1 — Мяч бросается прямо вверх с вершины здания высотой 128 футов с начальной скоростью 32 фута в секунду. Высота шара как функция времени может быть смоделирована функцией h (t) = –16t 2 + 32t + 128.Сколько времени потребуется, чтобы мяч коснулся земли?

    Шаг 1 : Установите данное уравнение равным соответствующей высоте. В этом случае мы устанавливаем уравнение равным нулю, потому что высота земли равна нулю.
    Шаг 2 : Решите уравнение, найденное на шаге 1, установив уравнение равным нулю и разложив уравнение на множители.
    Шаг 3 : В зависимости от проблемы определите, какой ответ или ответы верны.Не забудьте указать единицы в своем окончательном ответе. В этом случае есть только один положительный ответ, который имеет смысл, потому что мяч ударится о землю только один раз.

    Пример 2 — Мяч бросается прямо вверх с вершины здания высотой 288 футов с начальной скоростью 48 футов в секунду. Высота мяча как функция времени может быть смоделирована функцией h (t) = –16t 2 + 48t + 288. Когда мяч достигнет высоты 320 футов?

    Шаг 1 : Установите данное уравнение равным соответствующей высоте.В этом случае мы устанавливаем уравнение равным 320, потому что мы хотим определить, когда высота будет 320 футов.
    Шаг 2 : Решите уравнение, найденное на шаге 1, установив уравнение равным нулю и разложив уравнение на множители.
    Шаг 3 : В зависимости от проблемы определите, какой ответ или ответы верны. Не забудьте указать единицы в своем окончательном ответе.В этом случае есть два положительных ответа, которые имеют смысл, потому что мяч достигнет 320 футов один раз на пути вверх и еще раз на пути вниз.

    Щелкните здесь для практических задач

    Пример 3 — Ракета запускается прямо с вершины здания высотой 24 фута с начальной скоростью 92 фута в секунду. Высота ракеты как функция времени может быть смоделирована функцией h (t) = –16t 2 + 92t + 24.Сколько времени потребуется, чтобы ракета упала на землю?

    Шаг 1 : Установите данное уравнение равным соответствующей высоте. В этом случае мы устанавливаем уравнение равным нулю, потому что высота земли равна нулю.
    Шаг 2 : Решите уравнение, найденное на шаге 1, установив уравнение равным нулю и разложив уравнение на множители.
    Шаг 3 : В зависимости от проблемы определите, какой ответ или ответы верны.Не забудьте указать единицы в своем окончательном ответе. В этом случае есть только один положительный ответ, который имеет смысл, потому что мяч ударится о землю только один раз.

    Щелкните здесь для практических задач

    Пример 4 — Мяч падает прямо в воздухе с высоты 4 фута с начальной скоростью 64 фута в секунду. Высота шара как функция времени может быть смоделирована функцией h (t) = –16t 2 + 64t + 4.Когда мяч достигнет высоты 52 футов?

    Шаг 1 : Установите данное уравнение равным соответствующей высоте. В этом случае мы устанавливаем уравнение равным 52, потому что мы хотим определить, когда высота будет 52 фута.
    Шаг 2 : Решите уравнение, найденное на шаге 1, установив уравнение равным нулю и разложив уравнение на множители.
    Шаг 3 : В зависимости от проблемы определите, какой ответ или ответы верны.Не забудьте указать единицы в своем окончательном ответе. В этом случае есть два положительных ответа, которые имеют смысл, потому что мяч достигнет 52 футов один раз на пути вверх и еще раз на пути вниз.

    Щелкните здесь для практических задач

    Движение снаряда

    Движение снаряда

    3.3.
    Projectile Motion

    Самый большой азарт в бейсболе — это хоумран. Движение мяча по изогнутой траектории в трибуны — это распространенный тип двумерного движения, называемого «движением снаряда».«Хорошее описание такого движения часто можно получить, если предположить, что сопротивление воздуха отсутствует.

    ОБЗОР КОНЦЕПЦИИ Следуя подходу, описанному на рис. 3.6, мы рассматриваем горизонтальную и вертикальную части движения отдельно. В горизонтальном или осевом направлении движущийся объект (снаряд) не замедляется при отсутствии сопротивления воздуха. Таким образом, компонент x скорости остается постоянным на своем начальном значении или v x = v 0x , а компонент x ускорения равен x = 0 м / с 2 .Однако в вертикальном или y-направлении снаряд испытывает действие силы тяжести. В результате y-составляющая скорости v y не постоянна, а изменяется. Компонент y ускорения a y — это ускорение силы тяжести вниз. Если путь или траектория снаряда близка к поверхности земли, y имеет магнитуду 9,80 м / с 2 . Таким образом, в этом тексте фраза «движение снаряда» означает, что x = 0 м / с 2 и y равны ускорению свободного падения, как показано в краткой концепции на рисунке 3.8 резюмирует. Пример 2 и другие примеры в этом разделе иллюстрируют, как уравнения кинематики применяются к движению снаряда.

    Рисунок 3.8
    ОБЗОР КОНЦЕПЦИИ При движении снаряда горизонтальная или x-составляющая ускорения равна нулю, а вертикальная или y-составляющая ускорения — это ускорение свободного падения. На этой покадровой фотографии кошка демонстрирует движение снаряда в воздухе, предполагая, что эффекты сопротивления воздуха можно игнорировать.(© Стивен Далтон / Фотоисследователи).
    Пример 2 Пакет помощи при падении

    На рис. 3.9 показан самолет, движущийся горизонтально с постоянной скоростью +115 м / с на высоте 1050 м. Направления вправо и вверх были выбраны как положительные. Самолет выпускает «посылку», которая падает на землю по криволинейной траектории. Не обращая внимания на сопротивление воздуха, определите время, необходимое для того, чтобы пакет упал на землю.

    Рисунок 3.9

    Пакет, падающий с самолета, является примером движения снаряда, что обсуждается в примерах 2 и 3.

    Рассуждения
    Время, необходимое для того, чтобы посылка упала на землю, — это время, за которое посылка упадет на расстояние 1050 м по вертикали. При падении он движется как вправо, так и вниз, но эти две части движения происходят независимо. Поэтому мы можем сосредоточиться исключительно на вертикальной части.Отметим, что первоначально пакет движется в горизонтальном направлении или по оси x, а не по оси y, так что v 0y = 0 м / с. Кроме того, когда пакет ударяется о землю, компонент y его смещения составляет y = –1050 м, как показано на рисунке. Это ускорение свободного падения, поэтому y = –9,80 м / с 2 . Эти данные резюмируются следующим образом:

    Данные направления y
    г a y v y v 0y т
    –1050 м –9.80 м / с 2 0 м / с ?

    С этими данными можно использовать уравнение 3.5b () для определения времени спада.

    Идея решения проблем
    Переменные y, a y , v y и v 0y являются скалярными компонентами. Следовательно, для обозначения направления с каждым из них должен стоять алгебраический знак (+ или -).

    Решение
    Поскольку v 0y = 0 м / с, это следует из уравнения 3.5b это и

    Свободно падающий пакет в Примере 2 набирает вертикальную скорость при спуске. Горизонтальная составляющая скорости, однако, сохраняет свое начальное значение v 0x = + 115 м / с на протяжении всего спуска. Поскольку самолет также движется с постоянной горизонтальной скоростью +115 м / с, он остается прямо над падающим пакетом. Пилот всегда видит пакет прямо под самолетом, как показано пунктирными вертикальными линиями на рисунке 3.9 шоу. Этот результат является прямым следствием того факта, что упаковка не имеет ускорения в горизонтальном направлении. В действительности сопротивление воздуха могло бы замедлить пакет, и он не оставался бы непосредственно под самолетом во время снижения. Рисунок 3.10 дополнительно поясняет этот момент, показывая, что происходит с двумя пакетами, выпущенными одновременно с одной и той же высоты. Пакет B получает начальную составляющую скорости v 0x = + 115 м / с в горизонтальном направлении, как в Примере 2, и пакет следует по пути, показанному на рисунке.Пакет A, с другой стороны, сбрасывается с неподвижного аэростата и падает прямо на землю, поскольку v 0x = 0 м / с. Оба пакета одновременно упали на землю.

    Рисунок 3.10

    Пакет A и пакет B выпускаются одновременно на одной высоте и одновременно ударяются о землю, потому что их переменные y (y, a y и v 0y ) одинаковы.

    Не только пакеты на Рисунке 3.10 достигают земли одновременно, но y-компоненты их скоростей также равны во всех точках на пути вниз. Однако пакет B ударяется о землю с большей скоростью, чем пакет A. Помните, что скорость — это величина вектора скорости, а скорость B имеет компонент x, а скорость A — нет. Величина и направление вектора скорости для пакета B в момент непосредственно перед тем, как пакет ударяется о землю, вычисляются в Примере 3.

    Пример 3 Скорость пакета Care Package

    Важной особенностью движения снаряда является что нет ускорения в горизонтальном направлении или в направлении оси x.В концептуальном примере 4 обсуждается интересное значение этой функции.

    Концептуальный пример 4 Я выстрелил пулей в воздух…

    Предположим, вы едете в кабриолете с опущенным верхом. Автомобиль движется вправо с постоянной скоростью. Как показано на рис. 3.11, вы наводите винтовку прямо вверх и стреляете из нее. Где бы пуля приземлилась при отсутствии сопротивления воздуха — позади вас, впереди вас или в стволе винтовки?

    Рисунок 3.11

    Автомобиль движется с постоянной скоростью вправо, а винтовка направлена ​​прямо вверх. При отсутствии сопротивления воздуха пуля, выпущенная из винтовки, не имеет ускорения в горизонтальном направлении. В результате пуля попадет обратно в ствол винтовки.

    Обсуждение и решение Если бы сопротивление воздуха присутствовало, пуля замедлилась бы и она приземлилась бы позади вас, к задней части автомобиля. Однако сопротивление воздуха отсутствует, поэтому нужно более внимательно относиться к движению пули.Перед выстрелом из винтовки пуля, винтовка и автомобиль движутся вместе, поэтому пуля и винтовка имеют такую ​​же горизонтальную скорость, что и автомобиль. При выстреле из винтовки пуле придается дополнительная составляющая скорости в вертикальном направлении; пуля сохраняет скорость автомобиля в качестве начальной горизонтальной составляющей скорости, поскольку винтовка направлена ​​прямо вверх. Поскольку для замедления нет сопротивления воздуха, пуля не испытывает горизонтального ускорения. Таким образом, горизонтальная составляющая скорости пули не меняется.Он сохраняет свою первоначальную ценность и остается такой же, как у винтовки и автомобиля. В результате, пуля все время остается прямо над винтовкой и упадет прямо обратно в ствол винтовки , , как показано на рисунке. Эта ситуация аналогична ситуации на рис. 3.9, где посылка при падении остается прямо под плоскостью.

    Родственное домашнее задание:
    Концептуальный вопрос 12, проблема 34

    Концептуальное моделирование 3.1

    В этом моделировании, которое обсуждается в концептуальном примере 4 и проиллюстрировано на рисунке 3.11, вы можете изменить траекторию пули, изменив скорость автомобиля и начальную скорость пули. Кроме того, моделирование показывает компоненты x и y скорости пули, когда пуля движется по воздуху.

    Родственное домашнее задание: Концептуальный вопрос 7, задача 34

    Часто снаряды, такие как футбольные мячи и бейсбольные мячи, запускаются в воздух под углом по отношению к земле.Зная начальную скорость снаряда, можно получить большой объем информации о движении. Например, в примере 5 показано, как рассчитать максимальную высоту, достигаемую снарядом.

    Пример 5 Высота начальной точки

    Также можно найти общее время или «время зависания», в течение которого футбольный мяч на рис. 3.12 находится в воздухе. Пример 6 показывает, как определить это время.

    Пример 6 Время полета стартового снаряда

    Еще одна важная особенность движения снаряда называется «дальность полета».«Дальность, как показано на рисунке 3.12, представляет собой горизонтальное расстояние, пройденное между пуском и приземлением, при условии, что снаряд возвращается на тот же вертикальный уровень, на котором он был выпущен. Пример 7 показывает, как получить диапазон.

    Концептуальное моделирование 3.2

    Это моделирование позволит вам изучить движение снаряда наряду с концепциями максимальной высоты и дальности. Вы можете контролировать начальную скорость и угол шара, а затем видеть, как компоненты его скорости меняются со временем, когда он движется по изогнутой траектории.Моделирование также отображает графики положения и скорости как функции времени.

    Сопутствующее домашнее задание: Задачи 18, 73

    Пример 7 Диапазон Kickoff

    Диапазон в предыдущем примере зависит от угла q , по которому выстреливается снаряд выше горизонтали. Когда сопротивление воздуха отсутствует, максимальный диапазон достигается при.

    Проверьте свое понимание 3

    Снаряд запускается в воздух по параболической траектории, показанной на чертеже. Сопротивления воздуха нет. В любой момент снаряд имеет скорость v и ускорение a. Какой из рисунков или несколько не может представлять направления для v и a в любой точке траектории?

    Справочная информация:
    В основе этого вопроса лежит фундаментальная природа движения снаряда, равно как и природа гравитации.

    По аналогичным вопросам (в том числе по расчетам) см. Тест самооценки 3.1. Этот тест описан в конце этого раздела.

    В примерах, рассмотренных до сих пор, использовалась информация о начальном местоположении и скорости снаряда для определения конечного местоположения и скорости. В примере 8 рассматривается противоположная ситуация и показано, как конечные параметры могут использоваться с уравнениями кинематики для определения начальных параметров.

    Бейсболист совершает хоумран, и мяч приземляется на сиденье слева, на 7,5 м выше точки, в которой он был поражен. Он приземляется со скоростью 36 м / с под углом 28 ° от горизонтали (см. Рисунок 3.13). Не обращая внимания на сопротивление воздуха, найдите начальную скорость, с которой мяч покидает биту.

    Рисунок 3.13

    Скорость и местоположение бейсбольного мяча при приземлении можно использовать для определения его начальной скорости, как показано в примере 8.

    Рассуждения
    Чтобы найти начальную скорость, мы должны определить ее величину (начальная скорость v 0 ) и ее направление (угол q на чертеже). Эти величины связаны с горизонтальной и вертикальной составляющими начальной скорости (v 0x и v 0y ) соотношениями

    Следовательно, необходимо найти v 0x и v 0y , что мы и проделаем с уравнениями кинематики.

    Решение
    Поскольку сопротивление воздуха игнорируется, горизонтальная составляющая скорости v x остается постоянной на протяжении всего движения. Таким образом,

    Значение для v 0y может быть получено из уравнения 3.6b и данных, отображаемых ниже (см. Рисунок 3.13 для положительного и отрицательного направлений):

    Данные направления y
    г a y v y v 0y т
    +7.5 м –9,80 м / с 2 (–36 sin 28 °) м / с ?

    При определении v 0y мы выбираем знак плюса для квадратного корня, потому что вертикальная составляющая начальной скорости указывает вверх на рис. 3.13, что является положительным направлением. Начальная скорость v 0 и угол q бейсбольного мяча равны

    Interactive LearningWare 3.2

    В 1971 году астронавт Алан Шепард шел по поверхности Луны. В момент прихоти он ударил мячом для гольфа, который был запущен вверх и пошел по знакомой траектории. Однако эта траектория отличалась от той, которая была бы на Земле, потому что ускорение свободного падения на Луне примерно в шесть раз меньше, чем на Земле. Представьте себе тот же шар на земле, запущенный под тем же углом и с одинаковой скоростью. Найдите отношение (а) максимальной высоты лунного шара к максимальной высоте земного шара и (б) дальности полета лунного шара к дальности действия земного шара.

    Родственное домашнее задание: Задачи 19, 23

    При движении снаряда величина ускорения силы тяжести существенно влияет на траекторию. Например, бейсбольный мяч или мяч для гольфа на Луне полетел бы намного дальше и выше, чем на Земле, если бы был запущен с той же начальной скоростью. Причина в том, что гравитация Луны примерно в шесть раз меньше земной.

    Раздел 2.6 указывает, что определенные типы симметрии относительно времени и скорости присутствуют для свободно падающих тел. Эта симметрия также присутствует в движении снаряда, поскольку снаряды свободно падают в вертикальном направлении. В частности, время, необходимое снаряду для достижения максимальной высоты H, равно времени, затраченному на возвращение на землю. Кроме того, на рис. 3.14 показано, что скорость v объекта на любой высоте над землей на восходящей части траектории равна скорости v на той же высоте на нисходящей части.Хотя две скорости одинаковы, скорости разные, потому что они указывают в разных направлениях. Концептуальный пример 9 показывает, как использовать этот тип симметрии в своих рассуждениях.

    Рисунок 3.14

    Скорость v снаряда на заданной высоте над землей одинакова на восходящей и нисходящей частях траектории. Однако скорости различаются, поскольку они указывают в разных направлениях.

    Концептуальный пример 9 Два способа бросить камень

    С вершины утеса над озером человек бросает два камня.Камни имеют одинаковую начальную скорость v 0 , но камень 1 бросается вниз под углом q ниже горизонтали, а камень 2 бросается вверх под тем же углом над горизонтом, как показано на рис. 3.15. Не обращайте внимания на сопротивление воздуха и решите, какой камень ударяет в воду с большей скоростью.

    Рисунок 3.15
    Два камня сбрасываются со скалы с одинаковыми начальными скоростями v 0 , но под одинаковыми углами q , которые находятся ниже и выше горизонтали.В концептуальном примере 9 сравниваются скорости, с которыми камни ударяются о воду внизу.

    Обсуждение и решение Мы можем предположить, что камень 1, брошенный вниз, ударится по воде с большей скоростью. Чтобы показать, что это не так, давайте проследим путь камня 2, когда он поднимается на максимальную высоту и падает обратно на землю. Обратите внимание на точку P на рисунке, где камень 2 возвращается на свою первоначальную высоту; здесь скорость камня 2 равна v 0 , но его скорость направлена ​​под углом q ниже горизонтали.Это именно тот тип симметрии снаряда, который показан на рис. 3.14. Таким образом, в этот момент камень 2 имеет скорость, идентичную скорости, с которой камень 1 бросается вниз с вершины утеса. С этого момента скорость камня 2 изменяется точно так же, как и скорость камня 1, поэтому оба камня ударяются о воду с одинаковой скоростью.

    Родственное домашнее задание:
    Задачи 37, 65

    Во всех примерах этого раздела снаряды движутся по криволинейной траектории.В общем, если единственное ускорение вызвано действием силы тяжести, форму траектории можно представить как параболу.

    Тест самооценки 3.1

    Проверьте свое понимание материала разделов 3.1, 3.2 и 3.3:

    · Движение в двух измерениях для постоянного ускорения · Уравнения кинематики · Движение снаряда

    Используйте Тест самооценки 3.1, чтобы проверить свое понимание этих концепций.

    Авторские права © 2000-2003 John Wiley & Sons, Inc. или связанных компаний. Все права защищены.

    4.3 Движение снаряда — University Physics Volume 1

    Задачи обучения

    К концу этого раздела вы сможете:

    • Используйте одномерное движение в перпендикулярных направлениях для анализа движения снаряда.
    • Рассчитайте дальность, время полета и максимальную высоту снаряда, который выпущен и попадает в плоскую горизонтальную поверхность.
    • Найдите время полета и скорость удара снаряда, который приземляется на высоте, отличной от высоты запуска.
    • Рассчитайте траекторию полета снаряда.

    Движение снаряда — это движение объекта, брошенного или выброшенного в воздух, при котором происходит только ускорение под действием силы тяжести. Применения движения снаряда в физике и технике многочисленны.Некоторые примеры включают метеоры при входе в атмосферу Земли, фейерверки и движение любого мяча в спорте. Такие объекты называются снарядами , а их путь называется траекторией . Движение падающих объектов, описанное в разделе «Движение по прямой», представляет собой простой одномерный тип движения снаряда, в котором нет горизонтального движения. В этом разделе мы рассматриваем двумерное движение снаряда и не учитываем влияние сопротивления воздуха.

    Самый важный факт, о котором следует помнить, это то, что движений вдоль перпендикулярных осей являются независимыми и, таким образом, могут быть проанализированы отдельно. Мы обсуждали этот факт в статье «Векторы смещения» и «Векторы скорости», где мы увидели, что вертикальные и горизонтальные движения независимы. Ключ к анализу двумерного движения снаряда состоит в том, чтобы разбить его на два движения: одно по горизонтальной оси, а другое по вертикали. (Этот выбор осей является наиболее разумным, поскольку ускорение силы тяжести является вертикальным; таким образом, нет ускорения вдоль горизонтальной оси, когда сопротивление воздуха незначительно.) Как обычно, мы называем горизонтальную ось осью x , а вертикальную ось — осью y . Необязательно, чтобы мы использовали этот выбор осей; это просто удобно в случае ускорения свободного падения. В других случаях мы можем выбрать другой набор осей. (Рисунок) иллюстрирует обозначение смещения, где мы определяем

    — полное смещение, а

    и

    — его составляющие векторы по горизонтальной и вертикальной осям соответственно.Величины этих векторов равны s , x и y .

    Рис. 4.11. Полное смещение s футбольного мяча в точке на его пути. Вектор

    имеет компоненты

    и

    по горизонтальной и вертикальной осям. Его величина равна s, и он составляет угол θ с горизонтом.

    Чтобы полностью описать движение снаряда , мы должны включить скорость и ускорение, а также смещение.Мы должны найти их компоненты по осям x- и y . Предположим, что все силы, кроме силы тяжести (например, сопротивление воздуха и трение), незначительны. Определив положительное направление как восходящее, компоненты ускорения будут очень простыми:

    Поскольку сила тяжести вертикальная,

    Если

    , это означает, что начальная скорость в направлении x равна конечной скорости в направлении x , или

    С этими условиями для ускорения и скорости, мы можем записать кинематику (Уравнение) через (Уравнение) для движения в однородном гравитационном поле, включая остальные кинематические уравнения для постоянного ускорения из Движение с постоянным ускорением.Кинематические уравнения движения в однородном гравитационном поле становятся кинематическими уравнениями с

    Горизонтальное перемещение

    Вертикальное перемещение

    Используя эту систему уравнений, мы можем анализировать движение снаряда, учитывая некоторые важные моменты.

    Стратегия решения проблем: движение снаряда
    1. Разложите движение на горизонтальные и вертикальные компоненты по осям x и y .Величины составляющих смещения

      по этим осям равны x и y. Величины компонент скорости

      , где v — величина скорости, а θ — ее направление относительно горизонтали, как показано на (Рисунок).

    2. Рассматривайте движение как два независимых одномерных движения: одно горизонтальное, а другое вертикальное.Используйте кинематические уравнения для горизонтального и вертикального движения, представленные ранее.
    3. Найдите неизвестные в двух отдельных движениях: одном горизонтальном и одном вертикальном. Обратите внимание, что единственная общая переменная между движениями — это время t . Процедуры решения проблем здесь такие же, как и для одномерной кинематики, и проиллюстрированы в следующих решенных примерах.
    4. Перекомбинируйте величины в горизонтальном и вертикальном направлениях, чтобы найти полное смещение.

      и скорость

      Определите величину и направление смещения и скорости, используя

      .

      , где θ — направление смещения

    Рисунок 4.12 (a) Мы анализируем двумерное движение снаряда, разбивая его на два независимых одномерных движения по вертикальной и горизонтальной осям. (б) Горизонтальное движение простое, потому что

    и

    — постоянная величина. (c) Скорость в вертикальном направлении начинает уменьшаться по мере того, как объект поднимается. В самой высокой точке вертикальная скорость равна нулю. Когда объект снова падает на Землю, вертикальная скорость снова увеличивается по величине, но указывает в направлении, противоположном начальной вертикальной скорости.(d) Движения по осям x и y объединяются для получения полной скорости в любой заданной точке траектории.

    Пример

    Снаряд фейерверка взрывается высоко и далеко

    Во время фейерверка снаряд выстреливает в воздух с начальной скоростью 70,0 м / с под углом

    выше горизонтали, как показано на (Рисунок). Взрыватель рассчитан на то, чтобы зажечь снаряд, когда он достигнет своей наивысшей точки над землей. (а) Рассчитайте высоту взрыва снаряда.б) Сколько времени проходит между запуском снаряда и взрывом? (c) Каково горизонтальное смещение снаряда при взрыве? (d) Каково полное смещение от точки запуска до самой высокой точки?

    Рис. 4.13. Траектория выстрела фейерверка. Взрыватель настроен так, чтобы взорвать снаряд в наивысшей точке его траектории, которая находится на высоте 233 м и 125 м по горизонтали.

    Стратегия

    Движение можно разбить на горизонтальное и вертикальное, в котором

    и

    Затем мы можем определить

    и

    равняться нулю и найти желаемые количества.

    Решение

    (a) Под «высотой» мы понимаем высоту или вертикальное положение y над начальной точкой. Наивысшая точка любой траектории, называемая апексом , достигается, когда

    Поскольку мы знаем начальную и конечную скорости, а также начальное положение, мы используем следующее уравнение, чтобы найти y :

    Потому что

    и

    равны нулю, уравнение упрощается до

    Решение y дает

    Теперь мы должны найти

    составляющая начальной скорости в направлении y .Выдается

    где

    — начальная скорость 70,0 м / с,

    — начальный угол. Таким образом,

    и y равно

    Таким образом, имеем

    Обратите внимание, что поскольку верх положительный, начальная вертикальная скорость положительна, как и максимальная высота, но ускорение свободного падения отрицательно.Отметим также, что максимальная высота зависит только от вертикальной составляющей начальной скорости, так что любой снаряд с начальной вертикальной составляющей скорости 67,6 м / с достигает максимальной высоты 233 м (без учета сопротивления воздуха). Цифры в этом примере приемлемы для больших фейерверков, снаряды которых достигают такой высоты перед взрывом. На практике сопротивлением воздуха нельзя пренебречь, поэтому начальная скорость должна быть несколько больше, чем заданная для достижения той же высоты.

    (b) Как и во многих других физических задачах, существует несколько способов решения, пока снаряд достигает своей наивысшей точки. В этом случае самый простой способ — использовать

    .

    Потому что

    на вершине, это уравнение сводится просто к

    или

    Это время также подходит для больших фейерверков. Если вы видите запуск фейерверка, обратите внимание, что проходит несколько секунд, прежде чем снаряд взорвется.Другой способ узнать время — использовать

    .

    Это оставлено вам в качестве упражнения.

    (c) Поскольку сопротивление воздуха незначительно,

    , а горизонтальная скорость постоянна, как обсуждалось ранее. Горизонтальное смещение — это горизонтальная скорость, умноженная на время, равное

    .

    где

    равно нулю. Таким образом,

    где

    — это составляющая скорости x , равная

    .

    Время t для обоих движений одинаково, поэтому x равно

    Горизонтальное движение — это постоянная скорость при отсутствии сопротивления воздуха.Обнаруженное здесь горизонтальное смещение могло быть полезно для предотвращения падения фрагментов фейерверка на зрителей. Когда снаряд взрывается, сопротивление воздуха оказывает большое влияние, и многие осколки падают прямо под ним.

    (d) Горизонтальная и вертикальная составляющие смещения были только что рассчитаны, поэтому все, что здесь нужно, — это найти величину и направление смещения в наивысшей точке:

    Обратите внимание, что угол для вектора смещения меньше начального угла запуска.Чтобы понять, почему это так, просмотрите (рисунок), на котором показана кривизна траектории к уровню земли.

    При решении (рисунок) (а), выражение, которое мы нашли для y , действительно для любого движения снаряда, когда сопротивление воздуха незначительно. Назовем максимальную высоту х = х . Затем

    Это уравнение определяет максимальную высоту снаряда над его стартовой позицией и зависит только от вертикальной составляющей начальной скорости.

    Проверьте свое понимание

    Камень сброшен со скалы горизонтально

    со скоростью 15,0 м / с. (а) Определите начало системы координат. (б) Какое уравнение описывает горизонтальное движение? (c) Какие уравнения описывают вертикальное движение? (г) Какова скорость камня в точке удара?

    [показывать-ответ q = ”fs-id1165168031779 ″] Показать решение [/ показывать-ответ]

    [скрытый-ответ a = ”fs-id1165168031779 ″]

    (a) Выберите вершину утеса, куда бросается камень из начала системы координат.Хотя это произвольно, мы обычно выбираем время t = 0, чтобы соответствовать началу координат. (b) Уравнение, описывающее горизонтальное движение:

    с

    это уравнение становится

    (c) (рисунок) — (рисунок) и (рисунок) описывают вертикальное движение, но с

    эти уравнения значительно упрощаются и становятся

    и

    (d) Мы используем кинематические уравнения, чтобы найти составляющие x и y скорости в точке удара.Используя

    и учитывая, что точка удара равна -100,0 м, мы находим, что составляющая скорости при ударе y равна

    Нам дается компонент x ,

    , поэтому мы можем рассчитать общую скорость при ударе: v = 46,8 м / с и

    ниже горизонтали.
    [/ hidden-answer]

    Пример

    Расчет движения снаряда: теннисист

    Теннисист выигрывает матч на стадионе Артура Эша и отбивает мяч на трибунах со скоростью 30 м / с и под углом

    над горизонтом ((Рисунок)).Спускаясь вниз, зритель ловит мяч на 10 м выше точки удара. (а) Подсчитайте время, за которое теннисный мяч достигает зрителя. (б) Каковы величина и направление скорости мяча при ударе?

    Рисунок 4.14 Траектория удара теннисного мяча о трибуны.

    Стратегия

    Опять же, разделение этого двумерного движения на два независимых одномерных движения позволяет нам найти желаемые величины. Время нахождения снаряда в воздухе определяется только его вертикальным движением.Таким образом, сначала мы решаем t . Пока мяч поднимается и опускается вертикально, горизонтальное движение продолжается с постоянной скоростью. В этом примере запрашивается окончательная скорость. Таким образом, мы рекомбинируем результаты по вертикали и горизонтали, чтобы получить

    в конечный момент времени t , определенный в первой части примера.

    Решение

    (a) Пока мяч находится в воздухе, он поднимается, а затем падает в конечное положение на 10,0 м выше его начальной высоты.Мы можем найти время для этого, используя (Рисунок):

    Если взять начальную позицию

    равняется нулю, тогда конечная позиция будет y = 10 м. Начальная вертикальная скорость — это вертикальная составляющая начальной скорости:

    Подставив в (рисунок) вместо y , мы получим

    Перестановка членов дает квадратное уравнение в t :

    Использование формулы корней квадратного уравнения дает т = 3.79 с и т = 0,54 с. Поскольку мяч находится на высоте 10 м два раза на протяжении своей траектории — один раз по пути вверх и один раз по пути вниз, — мы выбираем более длительное решение для времени, которое требуется мячу, чтобы достичь зрителя:

    Время движения снаряда полностью определяется вертикальным движением. Таким образом, любой снаряд, который имеет начальную вертикальную скорость 21,2 м / с и приземляется на 10,0 м ниже своей начальной высоты, проводит в воздухе 3,79 с.

    (б) Мы можем найти окончательные горизонтальную и вертикальную скорости

    и

    с использованием результата из (а).Затем мы можем объединить их, чтобы найти величину вектора полной скорости

    и угол

    делает с горизонтальным. С

    является постоянным, мы можем найти его в любом горизонтальном положении. Мы выбираем начальную точку, потому что знаем как начальную скорость, так и начальный угол. Следовательно,

    Окончательная вертикальная скорость определяется выражением (Рисунок):

    с

    было найдено в части (а) как 21.2 м / с, имеем

    Величина конечной скорости

    это

    Направление

    находится через арктангенс:

    Значение

    (a) Как упоминалось ранее, время движения снаряда полностью определяется вертикальным движением. Таким образом, любой снаряд, который имеет начальную вертикальную скорость 21,2 м / с и приземляется 10.0 м ниже начальной высоты проводит в воздухе 3,79 с. (b) Отрицательный угол означает, что скорость равна

    .

    ниже горизонтали в точке удара. Этот результат согласуется с тем фактом, что мяч сталкивается с точкой с другой стороны от вершины траектории и, следовательно, имеет отрицательную составляющую скорости y . Величина скорости меньше, чем величина ожидаемой начальной скорости, поскольку он падает на 10,0 м над отметкой пуска.

    Время полета, траектория и дальность

    Интерес представляют время полета, траектория и дальность полета снаряда, выпущенного по плоской горизонтальной поверхности и ударяющегося по этой же поверхности. В этом случае кинематические уравнения дают полезные выражения для этих величин, которые выводятся в следующих разделах.

    Время полета

    Мы можем вычислить время полета снаряда, который одновременно запускается и ударяется о плоскую горизонтальную поверхность, выполнив некоторые манипуляции с кинематическими уравнениями.Отметим, что положение и смещение в y должны быть нулевыми при запуске и при ударе о ровную поверхность. Таким образом, мы устанавливаем смещение в y равным нулю и находим

    Факторинг, у нас

    Решение для т дает нам

    Это время полета для снаряда, выпущенного и попавшего в плоскую горизонтальную поверхность. (Рисунок) не применяется, когда снаряд приземляется на высоте, отличной от того, на каком он был выпущен, как мы видели на (Рисунок), когда теннисист отбивает мяч в трибуны.Другое решение, t = 0, соответствует времени запуска. Время полета линейно пропорционально начальной скорости в направлении y и обратно пропорционально g . Таким образом, на Луне, где сила тяжести в шесть раз меньше земной, снаряд, запущенный с той же скоростью, что и на Земле, будет лететь в шесть раз дольше.

    Траектория

    Траектория снаряда может быть найдена путем исключения временной переменной t из кинематических уравнений для произвольного t и решения для y ( x ).Берем

    , поэтому снаряд запускается из исходной точки. Кинематическое уравнение для x дает

    Подставляя выражение для t в уравнение для положения

    дает

    Переставляя сроки, получаем

    Это уравнение траектории имеет вид

    , которое представляет собой уравнение параболы с коэффициентами

    Диапазон

    Из уравнения траектории мы также можем найти диапазон , или горизонтальное расстояние, пройденное снарядом.Факторинг (рисунок), имеем

    Положение y равно нулю как для точки запуска, так и для точки удара, поскольку мы снова рассматриваем только плоскую горизонтальную поверхность. Установка y = 0 в этом уравнении дает решение x = 0, соответствующее точке запуска, и

    соответствует точке удара. Использование тригонометрического тождества

    и установив x = R для диапазона, находим

    Обратите особое внимание на то, что (рисунок) действительно только для запуска и удара о горизонтальную поверхность.Мы видим, что диапазон прямо пропорционален квадрату начальной скорости

    .

    и

    , и он обратно пропорционален ускорению свободного падения. Таким образом, на Луне дальность полета будет в шесть раз больше, чем на Земле при той же начальной скорости. Кроме того, из множителя

    видно, что

    , что диапазон максимален на

    Эти результаты показаны на (Рисунок). В (а) мы видим, что чем больше начальная скорость, тем больше диапазон.В (b) мы видим, что диапазон максимален на

    Это верно только для условий, в которых сопротивление воздуха не учитывается. Если учесть сопротивление воздуха, максимальный угол будет несколько меньше. Интересно, что тот же диапазон обнаружен для двух начальных углов пуска, которые в сумме составляют

    °.

    Снаряд, выпущенный с меньшим углом, имеет меньшую вершину, чем больший угол, но они оба имеют одинаковую дальность.

    Рис. 4.15. Траектории полета снарядов на ровной поверхности.(а) Чем больше начальная скорость

    , тем больше диапазон для данного начального угла. (б) Влияние начального угла

    на дальность полета снаряда с заданной начальной скоростью. Обратите внимание, что диапазон такой же для начальных углов

    и

    , хотя максимальные высоты этих путей различаются.

    Пример

    Сравнение снимков в гольф

    Гольфист оказывается в двух разных ситуациях на разных лунках.На второй лунке он находится в 120 м от грина и хочет отбить мяч на 90 м и позволить ему вылететь на лужайку. Он направляет выстрел низко к земле, на

    .

    в горизонтальное положение, чтобы мяч катился после удара. На четвертой лунке он находится в 90 м от грина и хочет, чтобы мяч упал с минимальным перекатом после удара. Здесь он направляет выстрел на

    .

    в горизонтальное положение, чтобы свести к минимуму перекатывание после удара. Оба выстрела попадают и попадают на ровную поверхность.

    (а) Какова начальная скорость мяча во второй лунке?

    (b) Какова начальная скорость мяча на четвертой лунке?

    (c) Напишите уравнение траектории для обоих случаев.

    (d) Постройте траектории.

    Стратегия

    Мы видим, что уравнение дальности имеет начальную скорость и угол, поэтому мы можем найти начальную скорость как для (a), так и для (b). Когда у нас есть начальная скорость, мы можем использовать это значение для записи уравнения траектории.

    Решение

    (а)

    (б)

    (в)

    (d) Используя графическую утилиту, мы можем сравнить две траектории, которые показаны на (Рисунок).

    Рис. 4.16. Две траектории мяча для гольфа с дальностью 90 м. Точки удара обоих находятся на том же уровне, что и точка взлета.

    Значение

    Начальная скорость для выстрела на

    больше начальной скорости выстрела на

    Примечание из (Рисунок), что два снаряда, выпущенные с одинаковой скоростью, но под разными углами, имеют одинаковую дальность, если углы запуска складываются с

    .

    Углы запуска в этом примере складываются, чтобы получить число больше

    .

    Таким образом, выстрел на

    должен иметь большую стартовую скорость, чтобы достичь 90 м, иначе он приземлится на меньшем расстоянии.

    Проверьте свое понимание

    Если бы два удара в гольф на (Рис.) Были произведены с одинаковой скоростью, какой удар имел бы наибольшую дальность?

    [show-answer q = ”fs-id1165166636799 ″] Показать решение [/ show-answer]

    [скрытый-ответ a = ”fs-id1165166636799 ″]

    Удар для гольфа на

    [/ hidden-answer]

    Когда мы говорим о дальности полета снаряда на ровной поверхности, мы предполагаем, что R очень мала по сравнению с окружностью Земли.Если, однако, дальность полета велика, Земля изгибается под ударом снаряда, и ускорение силы тяжести меняет направление на траектории. Диапазон больше, чем предсказывалось уравнением дальности, приведенным ранее, потому что снаряд должен упасть дальше, чем на ровной поверхности, как показано на (Рисунок), который основан на чертеже в книге Ньютона Principia. Если начальная скорость достаточно велика, снаряд выходит на орбиту. Поверхность Земли опускается на 5 м каждые 8000 м. За 1 с объект падает на 5 м без сопротивления воздуха.Таким образом, если объекту задана горизонтальная скорость

    (или

    у поверхности Земли, он выйдет на орбиту вокруг планеты, потому что поверхность постоянно падает от объекта. Это примерно скорость космического челнока на низкой околоземной орбите, когда он работал, или любого спутника на низкой околоземной орбите. Эти и другие аспекты орбитального движения, такие как вращение Земли, более подробно рассматриваются в книге «Гравитация».

    Рисунок 4.17 Снаряд в спутник. В каждом показанном здесь случае снаряд запускается с очень высокой башни, чтобы избежать сопротивления воздуха. С увеличением начальной скорости радиус действия увеличивается и становится больше, чем на ровной поверхности, потому что Земля изгибается под своим путем. Со скоростью 8000 м / с достигается орбита.

    Резюме

    • Движение снаряда — это движение объекта, подверженного только ускорению свободного падения, где ускорение постоянно, как у поверхности Земли.
    • Чтобы решить задачи о движении снаряда, мы анализируем движение снаряда в горизонтальном и вертикальном направлениях, используя одномерные кинематические уравнения для x и y .
    • Время полета снаряда, выпущенного с начальной вертикальной скоростью.

      на ровной поверхности дает

      Это уравнение действительно только тогда, когда снаряд приземляется на той же высоте, с которой был запущен.

    • Максимальное горизонтальное расстояние, пройденное снарядом, называется дальностью. Опять же, уравнение для диапазона действительно только тогда, когда снаряд приземляется на той же высоте, с которой он был запущен.

    Концептуальные вопросы

    Ответьте на следующие вопросы относительно движения снаряда по ровной поверхности, предполагая незначительное сопротивление воздуха, с начальным углом, не равным

    или

    (a) Скорость когда-либо равна нулю? (б) Когда скорость минимальна? Максимум? (c) Может ли скорость когда-либо быть такой же, как начальная скорость в любой момент времени, кроме t = 0? (d) Может ли скорость когда-либо быть такой же, как начальная скорость в любой момент времени, кроме t = 0?

    [показывать-ответ q = ”fs-id1165167780957 ″] Показать решение [/ показывать-ответ]

    [скрытый-ответ a = ”fs-id1165167780957 ″]

    а.нет; б. минимум на вершине траектории и максимум при старте и ударе; c. нет, скорость — вектор; d. да, где приземляется

    [/ hidden-answer]

    Ответьте на следующие вопросы относительно движения снаряда по ровной поверхности, предполагая незначительное сопротивление воздуха, с начальным углом, не равным

    или

    (a) Ускорение всегда равно нулю? (б) Ускорение когда-либо в том же направлении, что и компонент скорости? (c) Ускорение когда-либо противоположно направлению компонента скорости?

    Монета кладется на край стола так, чтобы она немного свешивалась.Четверть скользит горизонтально по поверхности стола перпендикулярно краю и ударяется о десятицентовую монету. Какая монета первой падает на землю?

    [show-answer q = ”fs-id1165166623383 ″] Показать решение [/ show-answer]

    [скрытый-ответ a = ”fs-id1165166623383 ″]

    Они оба одновременно упали на землю.

    [/ hidden-answer]

    Проблемы

    Пуля выпускается горизонтально с высоты плеча (1,5 м) с начальной скоростью 200 м / с. а) Сколько времени проходит до того, как пуля упадет на землю? (б) Как далеко пуля летит по горизонтали?

    [show-answer q = ”fs-id1165168072758 ″] Показать решение [/ show-answer]

    [скрытый-ответ a = ”fs-id1165168072758 ″]

    а.

    , г.

    [/ hidden-answer]

    Мрамор скатывается со столешницы высотой 1,0 м и ударяется об пол на расстоянии 3,0 м от края стола в горизонтальном направлении. а) Как долго мрамор витает в воздухе? б) С какой скоростью мрамор отрывается от края стола? (c) С какой скоростью он падает на пол?

    Дротик бросается горизонтально со скоростью 10 м / с в мишень мишени для дротика 2.На расстоянии 4 м, как показано на следующем рисунке. (а) Насколько далеко ниже намеченной цели попадает дротик? (б) Что ваш ответ говорит вам о том, как опытные игроки в дартс бросают свои дротики?

    [показывать-ответ q = ”fs-id1165168078466 ″] Показать решение [/ показывать-ответ]

    [скрытый-ответ a = ”fs-id1165168078466 ″]

    а.

    , г. Они стремятся высоко.

    [/ hidden-answer]

    Самолет, летящий горизонтально со скоростью 500 км / ч на высоте 800 м, сбрасывает ящик с припасами (см. Следующий рисунок).Если парашют не открывается, как далеко от точки сброса ящик ударяется о землю?

    Предположим, что самолет в предыдущей задаче выпускает снаряд горизонтально в направлении своего движения со скоростью 300 м / с относительно плоскости. (а) На каком расстоянии от точки выброса снаряд ударяется о землю? б) С какой скоростью он ударяется о землю?

    [show-answer q = ”fs-id1165167989106 ″] Показать решение [/ show-answer]

    [скрытый-ответ a = ”fs-id1165167989106 ″]

    а.,

    г.

    [/ hidden-answer]

    Питчер фастбола может бросать бейсбольный мяч со скоростью 40 м / с (90 миль / ч). (a) Предполагая, что питчер может выпустить мяч на расстоянии 16,7 м от пластины дома, поэтому мяч движется горизонтально, сколько времени требуется мячу, чтобы добраться до пластины дома? (b) Как далеко мяч падает между рукой питчера и тарелкой хозяина?

    Снаряд запускается под углом

    и приземляется через 20 с на той же высоте, на которой был запущен.а) Какова начальная скорость снаряда? б) Какая максимальная высота? (c) Каков диапазон? (d) Рассчитайте смещение от точки запуска до положения на траектории за 15 с.

    [показывать-ответ q = ”fs-id1165166793284 ″] Показать решение [/ показывать-ответ]

    [скрытый-ответ a = ”fs-id1165166793284 ″]

    а.

    , г.

    г.

    г.

    [/ hidden-answer]

    Баскетболист делает бросок в корзину 6.1 м и 3,0 м над полом. Если мяч выпущен на высоте 1,8 м от пола под углом

    выше горизонтали, какой должна быть начальная скорость, если он пройдет через корзину?

    В определенный момент воздушный шар находится на высоте 100 м и снижается с постоянной скоростью 2,0 м / с. Именно в этот момент девушка бросает мяч горизонтально относительно себя с начальной скоростью 20 м / с. Когда она приземлится, где она найдет мяч? Не обращайте внимания на сопротивление воздуха.

    [show-answer q = ”fs-id11651665

    ″] Показать решение [/ show-answer]

    [скрытый-ответ a = ”fs-id11651665

    ″]

    [/ hidden-answer]

    Человек на мотоцикле, едущем с постоянной скоростью 10 м / с, бросает пустую банку прямо вверх относительно себя с начальной скоростью 3,0 м / с. Найдите уравнение траектории, которую видит полицейский на обочине дороги. Предположим, что исходное положение банки — это точка, в которую она брошена.Не обращайте внимания на сопротивление воздуха.

    В прыжке в длину спортсмен может прыгнуть на расстояние 8,0 м. На какое максимальное расстояние спортсмен может прыгнуть на Луне, где ускорение свободного падения в шесть раз меньше земного?

    [показывать-ответ q = ”fs-id1165167996165 ″] Показать решение [/ показывать-ответ]

    [скрытый-ответ a = ”fs-id1165167996165 ″]

    [/ hidden-answer]

    Максимальное горизонтальное расстояние, на которое мальчик может бросить мяч, составляет 50 метров. Предположим, он может бросать с одинаковой начальной скоростью под любым углом.Насколько высоко он подбрасывает мяч, когда бросает его прямо вверх?

    Камень сброшен со скалы под углом

    по горизонтали. Высота обрыва 100 м. Начальная скорость камня 30 м / с. а) Насколько высоко над краем утеса поднимается скала? б) Как далеко он переместился по горизонтали, когда находится на максимальной высоте? (c) Через какое время после выброса он падает на землю? г) Каков радиус действия скалы? (e) Каковы горизонтальное и вертикальное положение скалы относительно края обрыва при t = 2.0 с, т = 4,0 с и т = 6,0 с?

    [показывать-ответ q = ”fs-id1165167746378 ″] Показать решение [/ показывать-ответ]

    [скрытый-ответ a = ”fs-id1165167746378 ″]

    а.

    ,
    г.

    ,

    г.

    ,

    г.

    ,

    e.

    [/ hidden-answer]

    Пытаясь спастись от преследователей, секретный агент спускается на лыжах со склона

    .

    ниже горизонтали на скорости 60 км / ч. Чтобы выжить и приземлиться на снегу на 100 м ниже, он должен преодолеть ущелье шириной 60 м. Он это делает? Не обращайте внимания на сопротивление воздуха.

    Игрок в гольф на фервее находится в 70 м от грина, который находится ниже уровня фервея на 20 м.Если гольфист отбивает мяч под углом

    с начальной скоростью 20 м / с, как близко она подходит к зеленому?

    [показывать-ответ q = ”fs-id1165168065281 ″] Показать решение [/ показывать-ответ]

    [скрытый-ответ a = ”fs-id1165168065281 ″]

    Таким образом, удар игрока в гольф попадает на расстояние 13,3 м от грина.

    [/ hidden-answer]

    Снаряд выпущен по холму, основание которого находится на расстоянии 300 м.Снаряд выпущен на

    над горизонтом с начальной скоростью 75 м / с. Холм можно представить как плоскость с уклоном

    °.

    к горизонтали. Относительно системы координат, показанной на следующем рисунке, уравнение этой прямой линии равно

    .

    Куда на холме приземляется снаряд?

    Астронавт на Марсе бьет футбольный мяч под углом

    с начальной скоростью 15 м / с.Если ускорение свободного падения на Марсе составляет 3,7 м / с, (а) какова дальность футбольного удара по плоской поверхности? б) Какова будет дальность такого же удара на Луне, где сила тяжести в шесть раз меньше земной?

    [Показать-ответ q = ”fs-id1165166572087 ″] Показать решение [/ раскрыть-ответ]

    [скрытый-ответ a = ”fs-id1165166572087 ″]

    а.

    ,
    г.

    [/ hidden-answer]

    Майк Пауэлл является рекордсменом по прыжкам в длину из 8.95 м, установлен в 1991 году. Если он отрывался от земли под углом

    какова была его начальная скорость?

    Робот-гепард

    MIT может перепрыгивать через препятствия высотой 46 см и развивает скорость 12,0 км / ч. (а) Если робот запускается под углом

    на этой скорости, какова его максимальная высота? б) Какой должен быть угол запуска, чтобы достичь высоты 46 см?

    [показывать-ответ q = ”fs-id1165167842253 ″] Показать решение [/ показывать-ответ]

    [скрытый-ответ a = ”fs-id1165167842253 ″]

    а.

    [/ hidden-answer]

    г. Асама в Японии — действующий вулкан. В 2009 году в результате извержения были выброшены твердые вулканические породы, упавшие на 1 км по горизонтали от кратера. Если бы вулканические породы были запущены под углом

    °.

    относительно горизонтали и приземлились на 900 м ниже кратера, (а) какова была бы их начальная скорость и (б) каково время их полета?

    Дрю Брис из Нового Орлеана Сэйнтс умеет бросать футбольный мяч 23.0 м / с (50 миль / ч). Если он направит бросок под углом

    от горизонтали, на какое расстояние он пролетит, если должен быть пойман на той же высоте, что и брошенный?

    [показывать-ответ q = ”fs-id1165168098591 ″] Показать решение [/ показывать-ответ]

    [скрытый-ответ a = ”fs-id1165168098591 ″]

    [/ hidden-answer]

    Лунный движущийся аппарат, использовавшийся в конце миссии НАСА «Аполлон », достиг неофициальной наземной скорости Луны 5.0 м / с — астронавт Юджин Сернан. Если бы марсоход двигался с такой скоростью по плоской лунной поверхности и ударился о небольшую неровность, которая отбрасывала его от поверхности под углом

    °.

    как долго он будет «летать» на Луне?

    Высота футбольных ворот 2,44 м. Игрок отбивает мяч ногой на расстоянии 10 м от ворот под углом

    Какова начальная скорость футбольного мяча?

    [show-answer q = ”fs-id1165167854326 ″] Показать решение [/ show-answer]

    [скрытый-ответ a = ”fs-id1165167854326 ″]

    [/ hidden-answer]

    Олимп-Монс на Марсе — крупнейший вулкан Солнечной системы, высотой 25 км и радиусом 312 км.Если вы стоите на вершине, с какой начальной скоростью вам нужно было бы запустить снаряд из пушки по горизонтали, чтобы очистить вулкан и приземлиться на поверхности Марса? Обратите внимание, что Марс имеет ускорение свободного падения

    .

    В 1999 году Робби Книвел первым прыгнул через Гранд-Каньон на мотоцикле. В узкой части каньона (ширина 69,0 м), двигаясь со взлетной рампы 35,8 м / с, он достиг другой стороны. Какой у него был угол запуска?

    [Показать-ответ q = ”fs-id1165168009639 ″] Показать решение [/ раскрыть-ответ]

    [скрытый-ответ a = ”fs-id1165168009639 ″]

    [/ hidden-answer]

    Вы бросаете бейсбольный мяч с начальной скоростью 15.0 м / с под углом

    по горизонтали. Какой должна быть начальная скорость мяча при

    на планете, которая имеет вдвое большее ускорение силы тяжести, чем Земля, чтобы достичь той же дальности? Рассмотрим запуск и удар о горизонтальную поверхность.

    Аарон Роджерс бросает мяч со скоростью 20,0 м / с в свой широкий ресивер, который бежит прямо по полю со скоростью 9,4 м / с на 20,0 м. Если Аарон бросает мяч, когда дальний приемник достигает 10.0 м, под каким углом должен быть Аарон, чтобы запустить мяч, чтобы получатель поймал его на отметке 20,0 м?

    [показывать-ответ q = ”fs-id1165166777489 ″] Показать решение [/ показывать-ответ]

    [скрытый-ответ a = ”fs-id1165166777489 ″]

    Широкому ресиверу требуется 1,1 с, чтобы покрыть последние 10 м своего бега.

    [/ hidden-answer]

    Глоссарий

    движение снаряда
    движение объекта, подверженного только ускорению свободного падения
    диапазон
    максимальная горизонтальная дальность полета снаряда
    время вылета
    время нахождения снаряда в воздухе
    траектория
    Путь полета снаряда в воздухе

    .

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *