Как раскладывать корни на множители: внесение и вынесение, примеры, определения

Содержание

внесение и вынесение, примеры, определения

На первый взгляд может показаться, что процедура разложения квадратного корня на множители сложная и неприступная. Но это не так. В этой статье мы расскажем вам, как подступиться к квадратному корню и множителям, а также легко и просто разложить квадратный корень, воспользовавшись двумя проверенными методами.

Разложение корня на множители

Для начала определим цель процедуры разложения квадратного корня на множители. Цель — упростить квадратный корень и записать его в удобном для вычислений виде. 

Определение 1

Разложение квадратного корня на множители — нахождение двух или нескольких чисел, которые, при условии перемножения их друг на друга, дадут число равное исходному. Например: 4×4 = 16. 

Если вы найдете множители, то сможете легко упростить выражение с квадратным корнем или вовсе его упразднить:

Пример 1

Разделите подкоренное число на 2, если оно четное.  

Подкоренное число всегда следует делить на простые числа, поскольку любое значение простого числа можно разложить на простые множители. Если у вас нечетное число, то попробуйте разделить его на 3. Не делится на 3? Делите дальше на 5, 7, 9 и т.д.

Запишите выражение в виде корня произведения двух чисел.

Например, можно упростить таким способом 98:=98÷2=49. Из этого следует, что 2×49=98, поэтому можно переписать задачу следующим образом: 98=(2×49).

Продолжите раскладывать числа, пока под корнем не останется произведение двух одинаковых чисел и других чисел.

Возьмем наш пример (2×49):

Поскольку 2 уже и так максимально упрощено, необходимо упростить 49. Ищем простое число, на которое можно разделить 49. Очевидно, что ни 3, ни 5 не подходят. Остается 7: 49÷7=7, поэтому 7×7=49.

Записываем пример в следующем виде: (2×49)=(2×7×7).

Упростите выражение с квадратным корнем.

Поскольку в скобках у нас произведение 2 и двух одинаковых чисел (7), то мы можем вынести за знак корня число 7.

Пример 2

(2×7×7)=(2)×(7×7)=(2)×7=7(2).

В тот момент, когда под корнем оказалось два одинаковых числа, останавливайтесь с разложением чисел на множители. Конечно, если вы использовали все возможности по максимуму.

Запомните: существуют корни, которые можно упрощать многократно.

В таком случае, числа, которые мы выносим из-под корня, и числа, которые стоят перед ним, перемножаются.

Пример 3

180=(2×90)180=(2×2×45)180=245

но 45 можно разложить на множители и еще раз упростить корень.

180=2(3×15)180=2(3×3×5)180=2×35180=65

Когда невозможно получить два одинаковых числа под знаком корня, это значит, что упростить такой корень нельзя. 

Если после разложения подкоренного выражения на произведение простых чисел, у вас не получилось получить два одинаковых числа, то такой корень упростить нельзя.

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание

Пример 4

70=35×2, поэтому 70=(35×2)

35=7×5, поэтому (35×2)=(7×5×2)

Как видим, все три множителя — простые числа, которые нельзя разложить на множители. Среди них нет одинаковых чисел, поэтому не представляется возможным вынести целое число из-под корня. Упростить 70нельзя.

Полный квадрат

Запомните несколько квадратов простых чисел.

Квадрат числа получается, если умножить его на самого себя, т.е. при возведении в квадрат. Если вы запомните десяток квадратов простых чисел, то это очень упростить вам жизнь в дальнейшем упрощении корней.

Пример 5

12=122=432=942=1652=2562=3672=4982=6492=81102=100

В случае если под знаком корня квадратного корня находится полный квадрат, то стоит убрать знак корня и записать квадратный корень данного полного квадрата. 

Сложно? Нет:

Пример 6

1=14=29=316=425=536=649=764=881=9100=10

Попробуйте разложить число под знаком корня на произведения полного квадрата и другого числа.

Если вы видите, что подкоренное выражение раскладывается на произведение полного квадрата и какого-либо числа, то, запомнив несколько примеров, вы существенно сэкономите время и нервы:

Пример 7

50=(25×2)=52.  Если подкоренное число оканчивается на 25, 50 или 75, вы всегда можете разложить его на произведение 25 и какого-то числа.

1700=(100×17)=1017. Если подкоренное число оканчивается на 00, вы всегда можете разложить его на произведение 100 и какого-то числа.

72=(9×8)=38. Если сумма цифр подкоренного числа равна 9, вы всегда можете разложить его на произведение 9 и какого-то числа.

Попробуйте разложить подкоренное число на произведение нескольких полных квадратов: вынесите их из-под знака корня и перемножьте.

Пример 8

72=(9×8)72=(9×4×2)72=9×4×272=3×2×272=62

Разложение квадратного корня на множители: внесение и вынесение. Извлечение корней: способы, примеры, решения

На первый взгляд может показаться, что процедура разложения квадратного корня на множители сложная и неприступная. Но это не так. В этой статье мы расскажем вам, как подступиться к квадратному корню и множителям, а также легко и просто разложить квадратный корень, воспользовавшись двумя проверенными методами.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Разложение корня на множители

Для начала определим цель процедуры разложения квадратного корня на множители. Цель
— упростить квадратный корень и записать его в удобном для вычислений виде.

Определение 1

Разложение квадратного корня на множители — нахождение двух или нескольких чисел, которые, при условии перемножения их друг на друга, дадут число равное исходному. Например: 4×4 = 16.

Если вы найдете множители, то сможете легко упростить выражение с квадратным корнем или вовсе его упразднить:

Пример 1

Разделите подкоренное число на 2, если оно четное.

Подкоренное число всегда следует делить на простые числа, поскольку любое значение простого числа можно разложить на простые множители. Если у вас нечетное число, то попробуйте разделить его на 3. Не делится на 3? Делите дальше на 5, 7, 9 и т.д.

Запишите выражение в виде корня произведения двух чисел.

Например, можно упростить таким способом 98: = 98 ÷ 2 = 49 . Из этого следует, что 2 × 49 = 98 , поэтому можно переписать задачу следующим образом: 98 = (2 × 49) .

Продолжите раскладывать числа, пока под корнем не останется произведение двух одинаковых чисел и других чисел.

Возьмем наш пример (2 × 49) :

Поскольку 2 уже и так максимально упрощено, необходимо упростить 49 . Ищем простое число, на которое можно разделить 49 . Очевидно, что ни 3 , ни 5 не подходят. Остается 7: 49 ÷ 7 = 7 , поэтому 7 × 7 = 49 .

Записываем пример в следующем виде: (2 × 49) = (2 × 7 × 7) .

Упростите выражение с квадратным корнем.

Поскольку в скобках у нас произведение 2 и двух одинаковых чисел (7) , то мы можем вынести за знак корня число 7 .

Пример 2

(2 × 7 × 7) = (2) × (7 × 7) = (2) × 7 = 7 (2) .

В тот момент, когда под корнем оказалось два одинаковых числа, останавливайтесь с разложением чисел на множители. Конечно, если вы использовали все возможности по максимуму.

Запомните: существуют корни, которые можно упрощать многократно.

В таком случае, числа, которые мы выносим из-под корня, и числа, которые стоят перед ним, перемножаются.

Пример 3

180 = (2 × 90) 180 = (2 × 2 × 45) 180 = 2 45

но 45 можно разложить на множители и еще раз упростить корень.

180 = 2 (3 × 15) 180 = 2 (3 × 3 × 5) 180 = 2 × 3 5 180 = 6 5

Когда невозможно получить два одинаковых числа под знаком корня, это значит, что упростить такой корень нельзя.

Если после разложения подкоренного выражения на произведение простых чисел, у вас не получилось получить два одинаковых числа, то такой корень упростить нельзя.

Пример 4

70 = 35 × 2 , поэтому 70 = (35 × 2)

35 = 7 × 5 , поэтому (35 × 2) = (7 × 5 × 2)

Как видим, все три множителя — простые числа, которые нельзя разложить на множители. Среди них нет одинаковых чисел, поэтому не представляется возможным вынести целое число из-под корня. Упростить
70 нельзя.

Полный квадрат

Запомните несколько квадратов простых чисел.

Квадрат числа получается, если умножить его на самого себя, т.е. при возведении в квадрат. Если вы запомните десяток квадратов простых чисел, то это очень упростить вам жизнь в дальнейшем упрощении корней.

Пример 5

1 2 = 1 2 2 = 4 3 2 = 9 4 2 = 16 5 2 = 25 6 2 = 36 7 2 = 49 8 2 = 64 9 2 = 81 10 2 = 100

В случае если под знаком корня квадратного корня находится полный квадрат, то стоит убрать знак корня и записать квадратный корень данного полного квадрата.

Сложно? Нет:

Пример 6

1 = 1 4 = 2 9 = 3 16 = 4 25 = 5 36 = 6 49 = 7 64 = 8 81 = 9 100 = 10

Попробуйте разложить число под знаком корня на произведения полного квадрата и другого числа.

Если вы видите, что подкоренное выражение раскладывается на произведение полного квадрата и какого-либо числа, то, запомнив несколько примеров, вы существенно сэкономите время и нервы:

Пример 7

50 = (25 × 2) = 5 2 . Если подкоренное число оканчивается на 25, 50 или 75, вы всегда можете разложить его на произведение 25 и какого-то числа.

1700 = (100 × 17) = 10 17 . Если подкоренное число оканчивается на 00, вы всегда можете разложить его на произведение 100 и какого-то числа.

72 = (9 × 8) = 3 8 . Если сумма цифр подкоренного числа равна 9, вы всегда можете разложить его на произведение 9 и какого-то числа.

Попробуйте разложить подкоренное число на произведение нескольких полных квадратов: вынесите их из-под знака корня и перемножьте.

Пример 8

72 = (9 × 8) 72 = (9 × 4 × 2) 72 = 9 × 4 × 2 72 = 3 × 2 × 2 72 = 6 2

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Формулы корней. Свойства квадратных корней.

Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно «не очень…»
И для тех, кто «очень даже…»)

В предыдущем уроке мы разобрались, что такое квадратный корень . Пришла пора разобраться, какие существуют формулы для корней
, каковы свойства корней
, и что со всем этим можно делать.

Формулы корней, свойства корней и правила действий с корнями
— это, по сути, одно и то же. Формул для квадратных корней на удивление немного. Что, безусловно, радует! Вернее, понаписать всяких формул можно много, но для практической и уверенной работы с корнями достаточно всего трёх. Все остальное из этих трёх проистекает. Хотя и в трех формулах корней многие плутают, да…

Начнём с самой простой. Вот она:

Если Вам нравится этот сайт…

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся — с интересом!)

можно познакомиться с функциями и производными.

Для вычисления квадратного корня без калькулятора существует несколько методов.

Как найти корень из числа – 1 способ

  • Один из методов заключается в разложении на множители того числа, которое находится под корнем. Эти составляющие в результате умножения образуют подкоренное значение. Точность полученного результата зависит от числа под корнем.
  • Например, если взять число 1 600 и начать раскладывать его на множители, то рассуждение построится таким образом: данное число кратно 100, значит, его можно разделить на 25; так как корень из числа 25 извлекается, то число является квадратным и подходит для дальнейших вычислений; при делении получаем еще одно число – 64. Это число тоже квадратное, поэтому корень извлекается хорошо; после этих расчетов под корнем можно записать число 1600 в виде произведения 25 и 64.
  • Одно из правил извлечения корня гласит, что корень из произведения множителей равен числу, которое получается при умножении корней из каждого множителя. Это значит, что: √(25*64) = √25 * √64. Если из 25 и 64 извлечь корни, то получим такое выражение: 5 * 8 = 40. То есть, квадратный корень из числа 1600 равен 40.
  • Но бывает так, что число, находящееся под корнем, не раскладывается на два множителя, из которых извлекается целый корень. Обычно такое можно осуществить только для одного из множителей. Поэтому чаще всего найти абсолютно точный ответ в таком уравнении не получается.
  • В таком случае можно высчитать только приблизительное значение. Поэтому нужно извлечь корень из множителя, который является квадратным числом. Это значение затем умножить на корень из второго числа, которое не является квадратным членом уравнения.
  • Выглядит это таким образом, например, возьмем число 320. Его можно разложить на 64 и 5. Из 64 целый корень извлечь можно, а из 5 – нет. Поэтому, выражение будет выглядеть так: √320 = √(64*5) = √64*√5 = 8√5.
  • Если есть необходимость, то можно найти приблизительное значение этого результата, вычислив
    √5 ≈ 2,236, следовательно, √320 = 8 * 2,236 = 17,88 ≈ 18.
  • Также число под корнем можно разложить на несколько простых множителей, а одинаковые можно вынести из-под него. Пример: √75 = √(5*5*3) = 5√3 ≈ 8,66 ≈ 9.

Как найти корень из числа – 2 способ

  • Другой способ заключается в делении в столбик. Деление происходит аналогично, но только искать нужно квадратные числа, из которых потом извлекать корень.
  • В этом случае квадратное число пишем сверху и отнимаем его в левой части, а извлеченный корень снизу.
  • Теперь второе значение нужно удвоить и записать снизу справа в виде: число_х_=. Пропуски необходимо заполнить числом, которое будет меньше или равно необходимому значению слева – все как в обычном делении.
  • При необходимости этот результат снова вычитается слева. Такие вычисления продолжаются до тех пор, пока результат не будет достигнут. Нули также можно добавлять, пока не получите нужное количество знаков после запятой.

Цель упрощения квадратного корня – это переписать его в такой форме, которую проще использовать в вычислениях.
Разложение числа на множители – это нахождение двух или нескольких чисел, которые при перемножении дадут исходное число, например, 3 х 3 = 9. Найдя множители, вы сможете упростить квадратный корень или вообще избавиться от него. Например, √9 = √(3×3) = 3.

Если подкоренное число четное, разделите его на 2.
Если подкоренное число нечетное, попробуйте разделить его на 3 (если число на 3 не делится, делите его на 5, 7 и так далее по списку простых чисел). Делите подкоренное число исключительно на простые числа, так как любое число можно разложить на простые множители. Например, вам не нужно делить подкоренное число на 4, так как 4 делится на 2, а вы уже разделили подкоренное число на 2.

Перепишите задачу как корень из произведения двух чисел.
Например, упростим √98: 98 ÷ 2 = 49, поэтому 98 = 2 x 49. Перепишите задачу так: √98 = √(2 x 49).

  • Продолжите разложение чисел до тех пор, пока под корнем не останется произведение двух одинаковых чисел и других чисел.
    Это имеет смысл, если задуматься о смысле квадратного корня: √(2 х 2) равен числу, которое, будучи умноженным само на себя, будет равно 2 х 2. Очевидно, что это число 2! Повторите описанные выше действия для нашего примера: √(2 х 49).

    • 2 уже максимально упрощено, так как это простое число (см. список простых чисел выше). Поэтому разложите на множители число 49.
    • 49 на 2, 3, 5 не делится. Поэтому переходите к следующему простому числу – 7.
    • 49 ÷ 7 = 7, поэтому 49 = 7 x 7.
    • Перепишите задачу так: √(2 x 49) = √(2 x 7 x 7).
  • Упростите квадратный корень.
    Так как под корнем находится произведение 2 и двух одинаковых чисел (7), вы можете вынести такое число за знак корня. В нашем примере: √(2 x 7 x 7) = √(2)√(7 x 7) = √(2) x 7 = 7√(2).

    • Как только под корнем вы получили два одинаковых числа, вы можете остановиться с разложением чисел на множители (если их все еще можно разложить). Например, √(16) = √(4 х 4) = 4. Если вы продолжите разложение чисел на множители, вы получите тот же ответ, но проделаете больше вычислений: √(16) = √(4 х 4) = √(2 х 2 х 2 х 2) = √(2 х 2) √(2 х 2) = 2 х 2 = 4.
  • Некоторые корни можно упрощать многократно.
    В этом случае числа, выносимые из-под знака корня, и числа, стоящие перед корнем, перемножаются. Например:

    • √180 = √(2 x 90)
    • √180 = √(2 x 2 x 45)
    • √180 = 2√45, но 45 можно разложить на множители и еще раз упростить корень.
    • √180 = 2√(3 x 15)
    • √180 = 2√(3 x 3 x 5)
    • √180 = (2)(3√5)
    • √180 = 6√5
  • Если вы не можете получить два одинаковых числа под знаком корня, то такой корень упростить нельзя.
    Если вы разложили подкоренное выражение на произведение простых множителей, и среди них нет двух одинаковых чисел, то такой корень упростить нельзя. Например, попробуем упростить √70:

    • 70 = 35 x 2, поэтому √70 = √(35 x 2)
    • 35 = 7 x 5, поэтому √(35 x 2) = √(7 x 5 x 2)
    • Все три множителя являются простыми, поэтому их больше нельзя разложить на множители. Все три множителя разные, поэтому вы не сможете вынести целое число из-под знака корня. Следовательно, √70 упростить нельзя.
  • Квадратный трехчлен.

    2+33x+40=5(x+5)(x+1,6)\)
    Ответ: \(-1,6\)


    Смотрите также:
    Квадратный трехчлен (шпаргалка)

    Скачать статью

    Сумма квадратов под корнем формула

    Извлечение квадрантного корня из числа не единственная операция, которую можно производить с этим математическим явлением. Так же как и обычные числа, квадратные корни складывают и вычитают.

    Правила сложения и вычитания квадратных корней

    Такие действия, как сложение и вычитание квадратного корня, возможны только при условии одинакового подкоренного выражения.

    Можно сложить или вычесть выражения 2 3 и 6 3 , но не 5 6 и 9 4 . Если есть возможность упростить выражение и привести его к корням с одинаковым подкоренным числом, то упрощайте, а потом складывайте или вычитайте.

    Действия с корнями: основы

    6 50 – 2 8 + 5 12

    1. Упростить подкоренное выражение. Для этого необходимо разложить подкоренное выражение на 2 множителя, один из которых, — квадратное число (число, из которого извлекается целый квадратный корень, например, 25 или 9).
    2. Затем нужно извлечь корень из квадратного числа и записать полученное значение перед знаком корня. Обращаем ваше внимание, что второй множитель заносится под знак корня.
    3. После процесса упрощения необходимо подчеркнуть корни с одинаковыми подкоренными выражениями — только их можно складывать и вычитать.
    4. У корней с одинаковыми подкоренными выражениями необходимо сложить или вычесть множители, которые стоят перед знаком корня. Подкоренное выражение остается без изменений. Нельзя складывать или вычитать подкоренные числа!

    Если у вас пример с большим количеством одинаковых подкоренных выражений, то подчеркивайте такие выражения одинарными, двойными и тройными линиями, чтобы облегчить процесс вычисления.

    Давайте попробуем решить данный пример:

    6 50 = 6 ( 25 × 2 ) = ( 6 × 5 ) 2 = 30 2 . Для начала необходимо разложить 50 на 2 множителя 25 и 2, затем извлечь корень из 25, который равен 5, а 5 вынести из-под корня. После этого нужно умножить 5 на 6 (множитель у корня) и получить 30 2 .

    2 8 = 2 ( 4 × 2 ) = ( 2 × 2 ) 2 = 4 2 . Сперва необходимо разложить 8 на 2 множителя: 4 и 2. Затем из 4 извлечь корень, который равен 2, а 2 вынести из-под корня. После этого нужно умножить 2 на 2 (множитель у корня) и получить 4 2 .

    5 12 = 5 ( 4 × 3 ) = ( 5 × 2 ) 3 = 10 3 . Сперва необходимо разложить 12 на 2 множителя: 4 и 3. Затем извлечь из 4 корень, который равен 2, и вынести его из-под корня. После этого нужно умножить 2 на 5 (множитель у корня) и получить 10 3 .

    Результат упрощения: 30 2 – 4 2 + 10 3

    30 2 – 4 2 + 10 3 = ( 30 – 4 ) 2 + 10 3 = 26 2 + 10 3 .

    В итоге мы увидели, сколько одинаковых подкоренных выражений содержится в данном примере. А сейчас попрактикуемся на других примерах.

    • Упрощаем ( 45 ) . Раскладываем 45 на множители: ( 45 ) = ( 9 × 5 ) ;
    • Выносим 3 из-под корня ( 9 = 3 ) : 45 = 3 5 ;
    • Складываем множители у корней: 3 5 + 4 5 = 7 5 .
    • Упрощаем 6 40 . Раскладываем 40 на множители: 6 40 = 6 ( 4 × 10 ) ;
    • Выносим 2 из-под корня ( 4 = 2 ) : 6 40 = 6 ( 4 × 10 ) = ( 6 × 2 ) 10 ;
    • Перемножаем множители, которые стоят перед корнем: 12 10 ;
    • Записываем выражение в упрощенном виде: 12 10 – 3 10 + 5 ;
    • Поскольку у первых двух членов одинаковые подкоренные числа, мы можем их вычесть: ( 12 – 3 ) 10 = 9 10 + 5 .

    Как мы видим, упростить подкоренные числа не представляется возможным, поэтому ищем в примере члены с одинаковыми подкоренными числами, проводим математические действия (складываем, вычитаем и т.д.) и записываем результат:

    ( 9 – 4 ) 5 – 2 3 = 5 5 – 2 3 .

    Советы:

    • Перед тем, как складывать или вычитать, необходимо обязательно упростить (если это возможно) подкоренные выражения.
    • Складывать и вычитать корни с разными подкоренными выражениями строго воспрещается.
    • Не следует суммировать или вычитать целое число или корень: 3 + ( 2 x ) 1 / 2 .
    • При выполнении действий с дробями, необходимо найти число, которое делится нацело на каждый знаменатель, потом привести дроби к общему знаменателю, затем сложить числители, а знаменатели оставить без изменений.

    Готовиться с нами – ЛЕГКО!

    Эффективное решение существует!

    Вы ищете теорию и формулы для ЕГЭ по математике ? Образовательный проект «Школково» предлагает вам заглянуть в раздел «Теоретическая справка». Здесь представлено пособие по подготовке к ЕГЭ по математике, которое фактически является авторским. Оно разработано в соответствии с программой школьного курса и включает такие разделы, как арифметика, алгебра, начала анализа и геометрия (планиметрия и стереометрия). Каждое теоретическое положение, содержащееся в пособии по подготовке к ЕГЭ по математике, сопровождается методически подобранными задачами с подробными разъяснениями.

    Таким образом, вы не только приобретете определенные знания. Полный справочник для ЕГЭ по математике поможет вам научиться логически и нестандартно мыслить , выполнять самые разнообразные задачи и грамотно объяснять свои решения. 2=400\ hline end]

    Факт 3.
    Какие действия можно выполнять с квадратными корнями?
    (ullet) Сумма или разность квадратных корней НЕ РАВНА квадратному корню из суммы или разности, то есть [sqrt apmsqrt b
    e sqrt] Таким образом, если вам нужно вычислить, например, (sqrt<25>+sqrt<49>) , то первоначально вы должны найти значения (sqrt<25>) и (sqrt<49>) , а затем их сложить. Следовательно, [sqrt<25>+sqrt<49>=5+7=12] Если значения (sqrt a) или (sqrt b) при сложении (sqrt a+sqrt b) найти не удается, то такое выражение дальше не преобразуется и остается таким, как есть. Например, в сумме (sqrt 2+ sqrt <49>) мы можем найти (sqrt<49>) – это (7) , а вот (sqrt 2) никак преобразовать нельзя, поэтому (sqrt 2+sqrt<49>=sqrt 2+7) . Дальше это выражение, к сожалению, упростить никак нельзя (ullet) Произведение/частное квадратных корней равно квадратному корню из произведения/частного, то есть [sqrt acdot sqrt b=sqrtquad ext<и>quad sqrt a:sqrt b=sqrt] (при условии, что обе части равенств имеют смысл)
    Пример: (sqrt<32>cdot sqrt 2=sqrt<32cdot 2>=sqrt<64>=8) ; (sqrt<768>:sqrt3=sqrt<768:3>=sqrt<256>=16) ; (sqrt<(-25)cdot (-64)>=sqrt<25cdot 64>=sqrt<25>cdot sqrt<64>= 5cdot 8=40) . (ullet) Пользуясь этими свойствами, удобно находить квадратные корни из больших чисел путем разложения их на множители.
    Рассмотрим пример. Найдем (sqrt<44100>) . Так как (44100:100=441) , то (44100=100cdot 441) . По признаку делимости число (441) делится на (9) (так как сумма его цифр равна 9 и делится на 9), следовательно, (441:9=49) , то есть (441=9cdot 49) .
    Таким образом, мы получили: [sqrt<44100>=sqrt<9cdot 49cdot 100>= sqrt9cdot sqrt<49>cdot sqrt<100>=3cdot 7cdot 10=210] Рассмотрим еще один пример: [sqrt<dfrac<32cdot 294><27>>= sqrt<dfrac<16cdot 2cdot 3cdot 49cdot 2><9cdot 3>>= sqrt< dfrac<16cdot4cdot49><9>>=dfrac<sqrt<16>cdot sqrt4 cdot sqrt<49>><sqrt9>=dfrac<4cdot 2cdot 7>3=dfrac<56>3]
    (ullet) Покажем, как вносить числа под знак квадратного корня на примере выражения (5sqrt2) (сокращенная запись от выражения (5cdot sqrt2) ). Так как (5=sqrt<25>) , то [5sqrt2=sqrt<25>cdot sqrt2=sqrt<25cdot 2>=sqrt<50>] Заметим также, что, например,
    1) (sqrt2+3sqrt2=4sqrt2) ,
    2) (5sqrt3-sqrt3=4sqrt3)
    3) (sqrt a+sqrt a=2sqrt a) . 2) , поэтому (sqrt<16>=4) . А вот извлечь корень из числа (3) , то есть найти (sqrt3) , нельзя, потому что нет такого числа, которое в квадрате даст (3) .
    Такие числа (или выражения с такими числами) являются иррациональными. Например, числа (sqrt3, 1+sqrt2, sqrt<15>) и т.п. являются иррациональными.
    Также иррациональными являются числа (pi) (число “пи”, приблизительно равное (3,14) ), (e) (это число называют числом Эйлера, приблизительно оно равно (2,7) ) и т.д.
    (ullet) Обращаем ваше внимание на то, что любое число будет либо рациональным, либо иррациональным. А вместе все рациональные и все иррациональные числа образуют множество, называющееся множеством действительных (вещественных) чисел. Обозначается это множество буквой (mathbb) .
    Значит, все числа, которые на данный момент мы знаем, называются вещественными числами.

    Факт 5.
    (ullet) Модуль вещественного числа (a) – это неотрицательное число (|a|) , равное расстоянию от точки (a) до (0) на вещественной прямой. 2\ &2>2,25 end] Видим, что мы получили неверное неравенство. Следовательно, наше предположение было неверным и (sqrt 2-1 .
    Заметим, что прибавление некоторого числа к обеим частям неравенства не влияет на его знак. Умножение/деление обеих частей неравенства на положительное число также не влияет на его знак, а умножение/деление на отрицательное число меняет знак неравенства на противоположный!
    Возводить обе части уравнения/неравенства в квадрат можно ТОЛЬКО ТОГДА, когда обе части неотрицательные. Например, в неравенстве из предыдущего примера возводить обе части в квадрат можно, в неравенстве (-3 нельзя (убедитесь в этом сами)! (ullet) Следует запомнить, что [egin&sqrt 2approx 1,4\[1ex] &sqrt 3approx 1,7 end] Знание приблизительного значения данных чисел поможет вам при сравнении чисел! (ullet) Для того, чтобы извлечь корень (если он извлекается) из какого-то большого числа, которого нет в таблице квадратов, нужно сначала определить, между какими “сотнями” оно находится, затем – между какими “десятками”, а потом уже определить последнюю цифру этого числа. 2=168cdot 168=28224) .
    Следовательно, (sqrt<28224>=168) . Вуаля!

    Для того чтобы достойно решить ЕГЭ по математике, прежде всего необходимо изучить теоретический материал, который знакомит с многочисленными теоремами, формулами, алгоритмами и т. д. На первый взгляд может показаться, что это довольно просто. Однако найти источник, в котором теория для ЕГЭ по математике изложена легко и понятно для учащихся с любым уровнем подготовки, – на деле задача довольно сложная. Школьные учебники невозможно всегда держать под рукой. А найти основные формулы для ЕГЭ по математике бывает непросто даже в Интернете.

    Почему так важно изучать теорию по математике не только для тех, кто сдает ЕГЭ?

    1. Потому что это расширяет кругозор . Изучение теоретического материала по математике полезно для всех, кто желает получить ответы на широкий круг вопросов, связанных с познанием окружающего мира. Все в природе упорядоченно и имеет четкую логику. Именно это и отражается в науке, через которую возможно понять мир.
    2. Потому что это развивает интеллект . Изучая справочные материалы для ЕГЭ по математике, а также решая разнообразные задачи, человек учится логически мыслить и рассуждать, грамотно и четко формулировать мысли. У него вырабатывается способность анализировать, обобщать, делать выводы.

    Предлагаем вам лично оценить все преимущества нашего подхода к систематизации и изложению учебных материалов.

    Внимание!
    К этой теме имеются дополнительные
    материалы в Особом разделе 555.
    Для тех, кто сильно «не очень. »
    И для тех, кто «очень даже. » )

    В предыдущем уроке мы разобрались, что такое квадратный корень. Пришла пора разобраться, какие существуют формулы для корней, каковы свойства корней, и что со всем этим можно делать.

    Формулы корней, свойства корней и правила действий с корнями – это, по сути, одно и то же. Формул для квадратных корней на удивление немного. Что, безусловно, радует! Вернее, понаписать всяких формул можно много, но для практической и уверенной работы с корнями достаточно всего трёх. Все остальное из этих трёх проистекает. Хотя и в трех формулах корней многие плутают, да.

    Начнём с самой простой. Вот она:

    Напоминаю (из предыдущего урока): а и b – неотрицательные числа! Иначе формула смысла не имеет.

    Это свойство корней, как видите простое, короткое и безобидное. Но с помощью этой формулы корней можно делать массу полезных вещей! Разберём на примерах все эти полезные вещи.

    Полезная вещь первая. Эта формула позволяет нам умножать корни.

    Как умножать корни?

    Да очень просто. Прямо по формуле. Например:

    Казалось бы, умножили, и что? Много ли радости?! Согласен, немного. А вот как вам такой пример?

    Из множителей корни ровно не извлекаются. А из результата – отлично! Уже лучше, правда? На всякий случай сообщу, что множителей может быть сколько угодно. Формула умножения корней всё равно работает. Например:

    Так, с умножением всё ясно, зачем нужно это свойство корней – тоже понятно.

    Полезная вещь вторая. Внесение числа под знак корня.

    Как внести число под корень?

    Предположим, что у нас есть вот такое выражение:

    Можно ли спрятать двойку внутрь корня? Легко! Если из двойки сделать корень, сработает формула умножения корней. А как из двойки корень сделать? Да тоже не вопрос! Двойка – это корень квадратный из четырёх!

    Корень, между прочим, можно сделать из любого неотрицательного числа! Это будет корень квадратный из квадрата этого числа. 3 – корень из 9. 8 – корень из 64. 11 – корень из 121. Ну, и так далее.

    Конечно, расписывать так подробно нужды нет. Разве что, для начала. Достаточно сообразить, что любое неотрицательное число, умноженное на корень, можно внести под корень. Но – не забывайте! – под корнем это число станет квадратом самого себя. Это действие – внесение числа под корень – можно ещё назвать умножением числа на корень. В общем виде можно записать:

    Процедура простая, как видите. А зачем она нужна?

    Как и любое преобразование, эта процедура расширяет наши возможности. Возможности превратить жестокое и неудобное выражение в мягкое и пушистое). Вот вам простенький пример:

    Как видите, свойство корней, позволяющее вносить множитель под знак корня, вполне годится для упрощения.

    Кроме того, внесение множителя под корень позволяет легко и просто сравнивать значения различных корней. Безо всякого их вычисления и калькулятора! Третья полезная вещь.

    Как сравнивать корни?

    Это умение очень важно в солидных заданиях, при раскрытии модулей и прочих крутых вещах.

    Сравните вот эти выражения. Какое из них больше? Без калькулятора! С калькулятором каждый. э-э-э. короче, каждый справится!)

    Так сразу и не скажешь. А если внести числа под знак корня?

    Запомним (вдруг, не знали?): если число под знаком корня больше, то и сам корень – больше! Отсюда сразу правильный ответ, безо всяких сложных вычислений и расчётов:

    Здорово, да? Но и это ещё не всё! Вспомним, что все формулы работают как слева направо, так и справа налево. Мы пока формулу умножения корней слева направо употребляли. Давайте запустим это свойство корней наоборот, справа налево. Вот так:

    И какая разница? Разве это что-то даёт!? Конечно! Сейчас сами увидите.

    Предположим, нам нужно извлечь (без калькулятора!) корень квадратный из числа 6561. Кое-кто на этом этапе и падёт в неравной борьбе с задачей. Но мы упорные, мы не сдаёмся! Полезная вещь четвёртая.

    Как извлекать корни из больших чисел?

    Вспоминаем формулу извлечения корней из произведения. Ту, что я чуть выше написал. Но где у нас произведение!? У нас огромное число 6561 и всё. Да, произведения здесь нет. Но если нам надо – мы его сделаем! Разложим это число на множители. Имеем право.

    Для начала сообразим, на что делится это число ровно? Что, не знаете!? Признаки делимости забыли!? Зря. Идите в Особый раздел 555, тема «Дроби», там они есть. На 3 и на 9 делится это число. Потому, что сумма цифр (6+5+6+1=18) делится на эти числа. Это один из признаков делимости. На три нам делить ни к чему (сейчас поймёте, почему), а вот на 9 поделим. Хотя бы и уголком. Получим 729. Вот мы и нашли два множителя! Первый – девятка (это мы сами выбрали), а второй – 729 (такой уж получился). Уже можно записать:

    Улавливаете идею? С числом 729 поступим аналогично. Оно тоже делится на 3 и 9. На 3 опять не делим, делим на 9. Получаем 81. А это число мы знаем! Записываем:

    Всё получилось легко и элегантно! Корень пришлось по кусочкам извлекать, ну и ладно. Так можно поступать с любыми большими числами. Раскладывать их на множители, и – вперёд!

    Кстати, а почему на 3 делить не надо было, догадались? Да потому, что корень из трёх ровно не извлекается! Имеет смысл раскладывать на такие множители, чтобы хотя бы из одного корень хорошо извлекался. Это 4, 9, 16 ну, и так далее. Делите своё громадное число на эти числа поочерёдно, глядишь, и повезёт!

    Но не обязательно. Может и не повезти. Скажем, число 432 при разложении на множители и использовании формулы корней для произведения даст такой результат:

    Ну и ладно. Всё равно мы упростили выражение. В математике принято оставлять под корнем самое маленькое число из возможных. В процессе решения все зависит от примера (может и без упрощения всё посокращается), а вот в ответе надо дать результат, который уже дальнейшему упрощению не поддаётся.

    Кстати, знаете, что мы с вами сейчас с корнем из 432 сделали?

    Мы вынесли множители из-под знака корня! Вот так называется эта операция. А то попадётся задание – «вынести множитель из-под знака корня» а мужики-то и не знают. ) Вот вам ещё одно применение свойства корней. Полезная вещь пятая.

    Как вынести множитель из-под корня?

    Легко. Разложить подкоренное выражение на множители и извлечь корни, которые извлекаются. Смотрим:

    Ничего сверхъестественного. Важно правильно выбрать множители. Здесь мы разложили 72 как 36·2. И всё получилось удачно. А могли разложить иначе: 72 = 6·12. И что!? Ни из 6, ни из 12 корень не извлекается. Что делать?!

    Ничего страшного. Или поискать другие варианты разложения, или продолжать раскладывать всё до упора! Вот так:

    Как видим, всё получилось. Это, кстати, не самый быстрый, но самый надёжный способ. Раскладывать число на самые маленькие множители, а затем собирать в кучки одинаковые. Способ успешно применяется и при перемножении неудобных корней. Например, надо вычислить:

    Перемножать всё – сумасшедшее число получится! И как потом из него корень извлекать?! Опять на множители раскладывать? Не, лишняя работа нам ни к чему. Сразу раскладываем на множители и собираем одинаковые по кучкам:

    Вот и всё. Конечно, раскладывать до упора не обязательно. Всё определяется вашими личными способностями. Довели пример до состояния, когда вам всё ясно, значит, можно уже считать. Главное – не ошибаться. Не человек для математики, а математика для человека!)

    Применим знания к практике? Начнём с простенького:

    Внеклассный урок — Квадратный трехчлен.

    Разложение квадратного трехчлена на множители

    Квадратный трехчлен. Разложение квадратного трехчлена на множители

     

    Квадратным трехчленом называется многочлен вида ax2 + bx + c, где x – переменная, a, b, c – некоторые числа, причем a ≠ 0.

    Коэффициент а называют старшим коэффициентом, cсвободным членом квадратного трехчлена.

     

    Примеры квадратных трехчленов:

    2x2 + 5x + 4   (здесь a = 2, b = 5, c = 4)

    x2 – 7x + 5  (здесь a = 1, b = -7, c = 5)

    9x2 + 9x – 9  (здесь a = 9, b = 9, c = -9)

     

    Коэффициент b или коэффициент c либо оба коэффициента одновременно могут быть равны нулю. Например:

    5x2 + 3(здесь a = 5, b = 3, c = 0, поэтому значение c в уравнении отсутствует).

    6x2 – 8  (здесь a = 6, b = 0, c = -8)

    2x2  (здесь a = 2, b = 0, c = 0)

     

    Значение переменной, при котором многочлен обращается в ноль, называют корнем многочлена.

    Чтобы найти корни квадратного трехчлена ax2 + bx + c, надо приравнять его к нулю –
     то есть решить квадратное уравнение ax2 + bx + c = 0 (см.раздел «Квадратное уравнение»).

     

    Разложение квадратного трехчлена на множители

    Трехчлен ax2 + bx + c, имеющий корни x1 и x2, можно разложить на множители
    по следующей формуле:

    a(x – x1)(x – x2).

     

    Пример:

    Разложим на множители трехчлен 2x2 + 7x – 4.

    Мы видим: коэффициент а = 2.

    Теперь найдем корни трехчлена. Для этого приравняем его к нулю и решим уравнение

    2x2 + 7x – 4 = 0.

    Как решается такое уравнение – см. в разделе «Формулы корней квадратного уравнения. Дискриминант». Здесь же мы сразу назовем результат вычислений. Наш трехчлен имеет два корня:

    x1 = 1/2, x2 = –4.

    Подставим в нашу формулу значения корней, вынеся за скобки значение коэффициента а, и получим:

    2x2 + 7x – 4 = 2(x – 1/2) (x + 4).

    Полученный результат можно записать иначе, умножив коэффициент 2 на двучлен x – 1/2:

    2x2 + 7x – 4 = (2x – 1) (x + 4).

    Задача решена: трехчлен разложен на множители.

     

    Такое разложение можно получить для любого квадратного трехчлена, имеющего корни.

    ВНИМАНИЕ!

    Если дискриминант квадратного трехчлена равен нулю, то этот трехчлен имеет один корень, но при разложении трехчлена этот корень принимают как значение двух корней – то есть как одинаковое значение x1 и x2.

    К примеру, трехчлен имеет один корень, равный 3. Тогда x1 = 3, x2 = 3.

    Разложение на простые множители

    Простые и составные числа

    Базовое понятие, с которым необходимо познакомиться, — это что такое простые и что такое составные числа. Простое число — это число, которое без остатка делится только на себя и на единицу. Составное число — это число, у которого есть делитель отличный от себя и единицы. Например, число — простое, а — составное, так как .

    Запомните, что единица не относится ни к простым, ни к составным числам! Понятие простое/составное применимо только для натуральных чисел, .

    Теперь мы ввести понятие «разложить на простые множители». Это значит, представить число как произведение простых чисел. Делается это очень просто: мы представляем число как произведение хоть каких-нибудь множителей, а дальше каждый множитель «дробим» до тех пор, пока не получится произведение только из простых чисел. Кстати, для подбора хоть какого-нибудь делителя нам помогут признаки делимости.

    К слову, существует теорема, которая называется основная теорема арифметики: У любого натурального числа большего , существует единственное разложение на простые множители. Это знание позволяет раскладывать нам число так, как нам удобно, не боясь получить разные разложения.

    Запомните, у каждого числа всего одно разложение на простые множители!

    Например:

    Или:

    Разложение на простые множители. Повышенный уровень

    Немного сложнее дело обстоит с разложением на простые множители чисел типа или . Дело в том, что ни один признак делимости на небольшие числа не «выдаст» Вам, на что делится каждое из этих число, потому что они оба — произведение сравнительно крупных простых чисел: , а . Пытаясь найти, на что делится любое из этих чисел, нам ничего не остаётся, кроме как пробовать делить его на всё большие и большие простые множители. Однако, данный перебор может быть довольно долгим и утомительным. А если это число на самом деле простое, и мы не найдём его делителя? Неужели перебирать необходимо до самого исследуемого числа?

    Ответ — нет! Есть теорема, которая ограничивает данный перебор, правда она для тех, кто знает, что такое «квадратный корень»:
    У любого составного числа есть делитель не превосходящий квадратного корня их этого числа.

    Пользоваться ей очень просто:

    1. Определяем корень из исследуемого числа (желательно взять с небольшим перебором)
    2. Перебираем все простые числа до этого корня в качестве делителя исходного числа
    3. Если оно поделилось на кого-то, то вот оно — искомое разложение на множители (не обязательно простые)
    4. Если ни на кого не поделилось, то делаем вывод, что исходное число является простым.

    Например, для числа корень можно оценить числом , то есть пробовать делить его необходимо только на простые числа до , среди которых мы наткнёмся на , на которое оно поделится.

    В олимпиаде для поступающих в 5 класс физико-математического лицея само разложение на простые множители как задание не встречается (на год, во всяком случае). Однако знать, что это такое необходимо, так как это облегчит решение уравнений, которые обязательно встретятся.

    Как вынести число за корень

    Внимание!
    К этой теме имеются дополнительные
    материалы в Особом разделе 555.
    Для тех, кто сильно «не очень. »
    И для тех, кто «очень даже. » )

    В предыдущем уроке мы разобрались, что такое квадратный корень. Пришла пора разобраться, какие существуют формулы для корней, каковы свойства корней, и что со всем этим можно делать.

    Формулы корней, свойства корней и правила действий с корнями – это, по сути, одно и то же. Формул для квадратных корней на удивление немного. Что, безусловно, радует! Вернее, понаписать всяких формул можно много, но для практической и уверенной работы с корнями достаточно всего трёх. Все остальное из этих трёх проистекает. Хотя и в трех формулах корней многие плутают, да.

    Начнём с самой простой. Вот она:

    Напоминаю (из предыдущего урока): а и b – неотрицательные числа! Иначе формула смысла не имеет.

    Это свойство корней, как видите простое, короткое и безобидное. Но с помощью этой формулы корней можно делать массу полезных вещей! Разберём на примерах все эти полезные вещи.

    Полезная вещь первая. Эта формула позволяет нам умножать корни.

    Как умножать корни?

    Да очень просто. Прямо по формуле. Например:

    Казалось бы, умножили, и что? Много ли радости?! Согласен, немного. А вот как вам такой пример?

    Из множителей корни ровно не извлекаются. А из результата – отлично! Уже лучше, правда? На всякий случай сообщу, что множителей может быть сколько угодно. Формула умножения корней всё равно работает. Например:

    Так, с умножением всё ясно, зачем нужно это свойство корней – тоже понятно.

    Полезная вещь вторая. Внесение числа под знак корня.

    Как внести число под корень?

    Предположим, что у нас есть вот такое выражение:

    Можно ли спрятать двойку внутрь корня? Легко! Если из двойки сделать корень, сработает формула умножения корней. А как из двойки корень сделать? Да тоже не вопрос! Двойка – это корень квадратный из четырёх!

    Корень, между прочим, можно сделать из любого неотрицательного числа! Это будет корень квадратный из квадрата этого числа. 3 – корень из 9. 8 – корень из 64. 11 – корень из 121. Ну, и так далее.

    Конечно, расписывать так подробно нужды нет. Разве что, для начала. Достаточно сообразить, что любое неотрицательное число, умноженное на корень, можно внести под корень. Но – не забывайте! – под корнем это число станет квадратом самого себя. Это действие – внесение числа под корень – можно ещё назвать умножением числа на корень. В общем виде можно записать:

    Процедура простая, как видите. А зачем она нужна?

    Как и любое преобразование, эта процедура расширяет наши возможности. Возможности превратить жестокое и неудобное выражение в мягкое и пушистое). Вот вам простенький пример:

    Как видите, свойство корней, позволяющее вносить множитель под знак корня, вполне годится для упрощения.

    Кроме того, внесение множителя под корень позволяет легко и просто сравнивать значения различных корней. Безо всякого их вычисления и калькулятора! Третья полезная вещь.

    Как сравнивать корни?

    Это умение очень важно в солидных заданиях, при раскрытии модулей и прочих крутых вещах.

    Сравните вот эти выражения. Какое из них больше? Без калькулятора! С калькулятором каждый. э-э-э. короче, каждый справится!)

    Так сразу и не скажешь. А если внести числа под знак корня?

    Запомним (вдруг, не знали?): если число под знаком корня больше, то и сам корень – больше! Отсюда сразу правильный ответ, безо всяких сложных вычислений и расчётов:

    Здорово, да? Но и это ещё не всё! Вспомним, что все формулы работают как слева направо, так и справа налево. Мы пока формулу умножения корней слева направо употребляли. Давайте запустим это свойство корней наоборот, справа налево. Вот так:

    И какая разница? Разве это что-то даёт!? Конечно! Сейчас сами увидите.

    Предположим, нам нужно извлечь (без калькулятора!) корень квадратный из числа 6561. Кое-кто на этом этапе и падёт в неравной борьбе с задачей. Но мы упорные, мы не сдаёмся! Полезная вещь четвёртая.

    Как извлекать корни из больших чисел?

    Вспоминаем формулу извлечения корней из произведения. Ту, что я чуть выше написал. Но где у нас произведение!? У нас огромное число 6561 и всё. Да, произведения здесь нет. Но если нам надо – мы его сделаем! Разложим это число на множители. Имеем право.

    Для начала сообразим, на что делится это число ровно? Что, не знаете!? Признаки делимости забыли!? Зря. Идите в Особый раздел 555, тема «Дроби», там они есть. На 3 и на 9 делится это число. Потому, что сумма цифр (6+5+6+1=18) делится на эти числа. Это один из признаков делимости. На три нам делить ни к чему (сейчас поймёте, почему), а вот на 9 поделим. Хотя бы и уголком. Получим 729. Вот мы и нашли два множителя! Первый – девятка (это мы сами выбрали), а второй – 729 (такой уж получился). Уже можно записать:

    Улавливаете идею? С числом 729 поступим аналогично. Оно тоже делится на 3 и 9. На 3 опять не делим, делим на 9. Получаем 81. А это число мы знаем! Записываем:

    Всё получилось легко и элегантно! Корень пришлось по кусочкам извлекать, ну и ладно. Так можно поступать с любыми большими числами. Раскладывать их на множители, и – вперёд!

    Кстати, а почему на 3 делить не надо было, догадались? Да потому, что корень из трёх ровно не извлекается! Имеет смысл раскладывать на такие множители, чтобы хотя бы из одного корень хорошо извлекался. Это 4, 9, 16 ну, и так далее. Делите своё громадное число на эти числа поочерёдно, глядишь, и повезёт!

    Но не обязательно. Может и не повезти. Скажем, число 432 при разложении на множители и использовании формулы корней для произведения даст такой результат:

    Ну и ладно. Всё равно мы упростили выражение. В математике принято оставлять под корнем самое маленькое число из возможных. В процессе решения все зависит от примера (может и без упрощения всё посокращается), а вот в ответе надо дать результат, который уже дальнейшему упрощению не поддаётся.

    Кстати, знаете, что мы с вами сейчас с корнем из 432 сделали?

    Мы вынесли множители из-под знака корня! Вот так называется эта операция. А то попадётся задание – «вынести множитель из-под знака корня» а мужики-то и не знают. ) Вот вам ещё одно применение свойства корней. Полезная вещь пятая.

    Как вынести множитель из-под корня?

    Легко. Разложить подкоренное выражение на множители и извлечь корни, которые извлекаются. Смотрим:

    Ничего сверхъестественного. Важно правильно выбрать множители. Здесь мы разложили 72 как 36·2. И всё получилось удачно. А могли разложить иначе: 72 = 6·12. И что!? Ни из 6, ни из 12 корень не извлекается. Что делать?!

    Ничего страшного. Или поискать другие варианты разложения, или продолжать раскладывать всё до упора! Вот так:

    Как видим, всё получилось. Это, кстати, не самый быстрый, но самый надёжный способ. Раскладывать число на самые маленькие множители, а затем собирать в кучки одинаковые. Способ успешно применяется и при перемножении неудобных корней. Например, надо вычислить:

    Перемножать всё – сумасшедшее число получится! И как потом из него корень извлекать?! Опять на множители раскладывать? Не, лишняя работа нам ни к чему. Сразу раскладываем на множители и собираем одинаковые по кучкам:

    Вот и всё. Конечно, раскладывать до упора не обязательно. Всё определяется вашими личными способностями. Довели пример до состояния, когда вам всё ясно, значит, можно уже считать. Главное – не ошибаться. Не человек для математики, а математика для человека!)

    Применим знания к практике? Начнём с простенького:

    В данном материале мы продолжим рассказывать о том, как преобразовывать рациональные выражения, а конкретно о том, как правильно выносить множитель из-под знака корня. В первом пункте объясним, зачем нужно такое преобразование, далее покажем, как именно оно делается и сформулируем общее для всех случаев правило. Далее покажем, какие существуют методы, чтобы привести подкоренное выражение к удобному для преобразования виду, и разберем примеры решений задач.

    Что такое вынесение множителя из-под знака корня

    Чтобы лучше понять суть подобного преобразования, нужно сначала сформулировать, что такое вообще вынесение множителя из-под знака корня. Сформулируем определение:

    Вынесение множителя из-под знака корня представляет собой замену выражения B n · C n на произведение B · C n с условием, что n – нечетное число, или же на произведение B · C – где n – четное число, а B и C – другие числа и выражения.

    Если мы имеем в виду только квадратный корень, то есть число n равно двум, то процесс вынесения множителя можно свести к замене выражения B 2 · C на произведение B · C . Отсюда и название данного преобразования: после того, как оно было проведено, множитель B y оказывается свободным от знака корня.

    Приведем примеры, поясняющие данное определение. Так, допустим, у нас есть выражение 2 2 · 3 . Оно аналогично B 2 · C , где B равно двум, а C – трем. Заменив данный корень на произведение 2 · 3 и опустив знаки модулей (это можно сделать, поскольку оба множителя являются положительными числами), мы получим 2 · 3 . Мы вынесли множитель 2 2 из-под знака корня.

    Приведем еще один пример подобного преобразования. У нас есть выражение ( x 2 – 3 · x · y · z ) 2 · x = x 2 – 3 · x · y · z · x . Здесь из-под корня был вынесен не просто числовой множитель, а целое выражение с переменными ( x 2 − 3 · x · y · z ) 2 .

    Оба примера относятся к случаю вынесения множителя из-под квадратного корня. Можно также производить данные преобразования и для корней n -ной степени. Вот пример с кубическим корнем: ( 3 · a 2 ) 3 · 2 · a 2 3 = 3 · a 2 · 2 · a 2 3

    Пример с корнем шестой степени: 1 2 · x 2 + y 2 6 · 5 · ( x 2 + y 2 ) 6 можно преобразовать в произведение 1 2 · x 2 + y 2 · 5 · ( x 2 · y 2 ) 6 , которое, в свою очередь, упрощается до 1 2 · ( x 2 + y 2 ) · 5 · ( x 2 + y 2 ) 6 . В данном случае мы выносим множитель 1 2 · x 2 + y 2 6 .

    Мы выяснили, что такое вынесение множителя из-под знака корня. Теперь перейдем к доказательствам, т.е. поясним, почему произведение, полученное в итоге данного преобразования, равнозначно исходному выражению.

    Почему возможно заменить корень на произведение

    В этом пункте мы будем разбираться, как возможна такая замена и почему корень B n · C n равнозначен произведениям B · C n и B · C n . Обратимся к ранее изученным теоретическим положениям.

    Когда мы разбирали преобразование иррациональных выражений, у нас получились некоторые важные результаты, которые мы собрали в таблицу. Здесь нам будут нужны только два из них:

    1. Выражение A · B n при условии нечетности n может быть заменено на A n · B n , а для четных n – A n · B n .

    2. Выражение A n n при нечетном значении n может быть преобразовано в A , а при четном – в | A | .

    Используя эти результаты и зная основные свойства модуля, мы можем вывести следующее:

    • при четном n : B n · C n = B n n · C n = B · C n ;
    • при нечетном n : B n · C n = B n n · C n = B n n · C n = B · C n .

    Эти выражения лежат в основе преобразований, которые мы проводим, вынося множитель из-под знака корня.

    Следовательно, можно вывести две формулы:

    • B 1 n · B 2 n · . . . · B k n · C n = B 1 · B 2 · . . . · B k · C n для нечетного n ;
    • B 1 n · B 2 n · . . . · B k n · C n = B 1 · B 2 · . . . · B k · C n для четного n .

    Здесь B 1 , B 2 , и др. могут быть как числами, так и выражениями.

    С помощью данных формул можно выполнить вынесение из-под корня сразу нескольких множителей.

    Основное правило вынесения множителя из-под корня

    Когда нам нужно решать примеры с подобными преобразованиями, чаще всего приходится предварительно приводить подкоренное выражение к виду B n · C . С учетом этого момента мы можем записать следующие правила.

    Для вынесения множителя из-под корня в выражении A n нужно предварительно привести корень к виду B n · C n и после этого перейти к произведению B · C n (при нечетном показателе) или к B · C n (при четном показателе, при необходимости раскрываем модули).

    Таким образом, схема решения подобных задач выглядит следующим образом:

    A n → B n · C n → B · C n , е с л и n – н е ч е т н о е B · C n , е с л и n – ч е т н о е

    Если нам надо вынести несколько множителей, то действуем так:

    A n → B 1 n · B 2 n · . . . · B k n · C n → B 1 · B 2 · . . . · B k · C n , е с л и n – н е ч е т н о е B 1 · B 2 · . . . · B k · C n , е с л и n – ч е т н о е

    Теперь можно переходить к решению задач.

    Задачи на вынесение множителя из-под знака корня

    Условие: выполните вынесение множителя за знак корня в трех выражениях: 2 2 · 7 , – 1 2 3 2 · 5 , ( – 0 , 4 ) 7 · 11 7 .

    Решение

    Мы видим, что подкоренные выражения во всех трех случаях уже имеют нужный нам вид. Поскольку в первых двух примерах показателем корня является четное число, а в третьем – нечетное, записываем следующее:

    1. Показатель корня равен 2 . Берем правило вынесения множителя для четного показателя и вычисляем: 2 2 · 7 = 2 · 7 = 2 · 7
    2. Во втором выражении показатель тоже четный, значит, – 1 2 3 2 · 5 = – 1 2 3 · 5 = 1 2 3 · 5
      В этом случае мы можем сначала преобразовать выражения, исходя из основных свойств корня:
      – 1 2 3 2 · 5 = – 1 2 · 1 2 3 2 · 5 = 1 2 3 2 · 5
      А потом уже выносить множитель: 1 2 3 2 · 5 = 1 2 3 · 5 = 1 2 3 · 5 .
    3. Последнее выражение имеет нечетный показатель, поэтому нам понадобится другое правило: ( – 0 , 4 ) 7 · 11 7 = – 0 , 4 · 11 7 .
      Возможен и такой вариант расчета:
      – 0 , 4 7 · 11 7 = ( – 1 ) 7 · 0 , 4 7 · 11 7 = = – 0 , 4 7 · 11 7 = – 0 , 4 7 · 11 7 = – 0 , 4 · 11 7
      ​​​​​​Или такой:
      – 0 , 4 7 · 11 7 = ( – 1 ) 7 · 0 , 4 7 · 11 7 = = – 0 , 4 7 · 11 7 = 0 , 4 7 · – 11 7 = 0 , 4 · – 11 7 = – 0 , 4 · 11 7

    Ответ: 1 ) 2 · 7 ; 2 ) 1 2 3 · 5 ; 3 ) – 0 , 4 · 11 7 .

    Условие: преобразуйте выражение ( – 2 ) 4 · ( 0 , 3 ) 4 · 7 4 · 11 4 .

    Решение:

    При помощи схемы, приведенной во втором пункте статьи, мы можем вынести из-под корня сразу три множителя.

    ( – 2 ) 4 · ( 0 , 3 ) 4 · 7 4 · 11 4 = = – 2 · 0 , 3 · 7 · 11 4 = 4 , 2 · 11 4

    Можно сделать преобразование в несколько шагов, вынося множителя по одному, но так будет гораздо дольше.

    Есть и другой способ. Преобразуем само выражение, приведя его к виду B n · C . После этого уже будем выносить множители:

    ( – 2 ) 4 · ( 0 , 3 ) 4 · 7 4 · 11 4 = = ( – 2 · 0 , 3 · 7 ) 4 · 11 4 = ( – 4 , 2 ) 4 · 11 4 = = – 4 , 2 · 11 4 = 4 , 2 · 11 4

    Ответ: ( – 2 ) 4 · ( 0 , 3 ) 4 · 7 4 · 11 4 = – 4 , 2 · 11 4 = 4 , 2 · 11 4 .

    Разберем более подробно тот случай, когда подкоренное выражение требует предварительного преобразования. Здесь есть несколько моментов, которые нужно дополнительно пояснить.

    Предварительное преобразование подкоренного выражения

    Мы уже отмечали, что выражение под корнем не всегда имеет удобный для нас вид. Часто корень дан как A n , и множитель, который нужно вынести, не представлен в явном виде. Иногда это обозначено в условии, но довольно часто множитель приходится определять самостоятельно. Посмотрим, как надо действовать в этих случаях.

    Допустим, нам надо вынести заранее определенный множитель B . Естественно, подкоренное выражение должно быть таким, чтобы эта операция была возможна. Тогда для преобразования A n в B n · C n достаточно определить второй множитель, т.е. вычислить значение C из выражения A = B n · C .

    Условие: есть выражение 24 · x 3 . Вынесите из-под знака корня множитель 2 3 .

    Решение

    Здесь мы имеем n = 3 , A = 24 · x , B 3 = 2 3 . Тогда из A = B n · С вычисляем C = A : ( B n ) = 24 · x : ( 2 3 ) = 3 · x .

    Значит, 24 · x 3 = 2 3 · 3 · x 3 . Подкоренное выражение имеет нужный нам вид, и мы можем воспользоваться правилом для нечетного показателя и подсчитать: 24 · x 3 = 2 3 · 3 · x 3 = 2 · 3 · x 3 .

    Ответ: 24 · x 3 = 2 · 3 · x 3 .

    А как быть в случае, если множитель, который нужно вынести, не указан? Тогда у нас есть определенная свобода выбора, и мы можем использовать несколько подходов к решению задачи.

    Допустим, нам дано выражение, под корнем у которого стоит степень или произведение нескольких степеней. В таком случае, зная основные свойства степени, мы можем преобразовать выражение в удобный для нас вид с очевидно указанными множителями для вынесения.

    Условие: необходимо вынести множитель из-под корня в трех выражениях – 2 4 · 5 4 , 2 7 · 5 4 , 2 22 · 5 4 .

    Решение

    Преобразование первого выражения не представляет особой сложности, т.к. подобные примеры мы уже разбирали. Сразу вычисляем: 2 4 · 5 4 = 2 · 5 4 = 2 · 5 4 .

    Во втором примере легко догадаться, как преобразовать подкоренное выражение: нужно просто представить 2 7 как 2 4 · 2 3 .

    2 7 · 5 4 = 2 4 · 2 3 · 5 4 = 2 4 · 40 4 = 2 · 40 4 = 2 · 40 4

    В последнем примере также нужно начать с преобразования подкоренного выражения. Сразу отметим, что итоговый вид будет таким:

    2 5 4 · 2 2 · 5 4

    Теперь покажем, как именно прийти к этому виду. Сначала выполняем деление 22 на 4 , получаем 5 с остатком 2 (если нужно, повторите, как правильно выполнять деление с остатком). Иначе говоря, 22 можно рассматривать как 4 · 5 + 2 . Используя свойства степени, можем записать:

    2 22 + 2 5 · 4 + 2 = 2 5 · 4 · 2 2 = ( 2 5 ) 4 · 2 2

    2 22 · 5 4 = ( 2 5 ) 4 · 2 2 · 5 4 = ( 2 5 ) 4 · 20 4 = = 2 5 · 20 4 = 32 · 20 4

    Ответ: 1 ) 2 4 · 5 4 = 2 · 5 4 , 2 ) 2 7 · 5 4 = 2 · 40 4 , 3 ) 2 22 · 5 4 = 32 · 20 4 .

    Если выражение под корнем не является степенью или произведением степеней, надо попробовать представить его в таком виде. Чаще всего встречаются следующие случаи.

    Подкоренное выражение – натуральное составное число. Тогда мы сразу можем увидеть нужные множители, которые надо вынести из-под знака корня, предварительно разложив данное число на простые множители.

    Условие: выполните вынесение множителя из-под знака корня в следующих выражениях: 1 ) 45 ; 2 ) 135 ; 3 ) 3456 ; 4 ) 102 .

    1. Выполняем разложение 45 на простые множители.

    45 15 5 1 3 3 5

    То есть 45 = 3 · 3 · 5 = 3 2 · 5 , а 45 = 3 2 · 5 . В этом выражении видно, что выносить мы будем множитель 3 2 . Вычисляем:

    3 2 · 5 = 3 · 5 = 3 · 5

    1. Теперь представим в нужном виде число 135 и получим: 135 = 3 · 3 · 3 · 5 = 3 3 · 15 . Иначе можно записать, что 3 2 · 3 · 5 = 3 2 · 15 . Следовательно, 135 = 3 2 · 15 . Мы видим, что вынесению из-под знака корня подлежит множитель 3 2 :

    3 2 · 15 = 3 · 15 = 3 · 15

    1. Разложим на простые множители число 3456 :

    3456 1728 864 432 216 108 54 27 9 3 1 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3

    У нас получилось, что 3456 = 2 7 · 3 3 , а 3456 = 2 7 · 3 3 . Поскольку 2 7 = 2 3 · 2 + 1 = ( 2 3 ) 2 · 2 и 3 3 = 3 2 · 3 , то 2 7 · 3 3 = ( 2 3 ) 2 · 2 · 3 2 · 3 = ( 2 3 ) 2 · 3 2 · 6 = = 2 3 · 3 · 6 = 24 · 6

    1. Представим натуральное число 102 как произведение простых множителей и получим 2 · 3 · 17 . Видим, что все множители имеют показатель, равный единице, а показатель корня в этом примере равен двум. Следовательно, в данном примере ни один множитель не нужно выносить из-под знака корня, то есть такое действие для 102 нецелесообразно.

    Ответ: 1 ) 45 = 3 · 5 ; 2 ) 135 = 3 · 15 ; 3 ) 3456 = 24 · 6 ; 4 ) 102 .

    Теперь разберем, как решать примеры, у которых подкоренное выражение представлено в виде обыкновенной дроби. В этом случае следует числитель и знаменатель разложить на простые множители и посмотреть, можно ли вынести какие-то из них за знак корня. Если у нас есть десятичная дробь или смешанное число, предварительно заменяем их обыкновенными дробями, после чего переходим от корня отношения к отношению корней.

    Условие: выполните вынесение множителя за корень в выражении 200 · 0 , 000189 · x 3 и упростите его.

    Решение

    Для начала перейдем от десятичной дроби к обыкновенной и разложим ее числитель и знаменатель на простые множители.

    0 , 189 = 189 1000000 = 3 3 · 7 2 6 · 5 6

    Используя свойства степени, перепишем выражение в следующем виде:

    3 2 2 · 5 2 3 · 7

    Подставим получившееся выражение в исходное и получим:

    200 · 0 , 000189 · x 3 = = 200 · 3 2 2 · 5 2 3 · 7 · x 3 = = 200 · 3 2 2 · 5 2 · 7 · x 3 = 6 · 7 · x 3

    К такому же ответу можно прийти и с помощью других преобразований:

    200 · 0 , 000189 · x 3 = = 200 · 189 1000000 · x 3 = 200 · 189 1000000 3 · x 3 = = 200 · 189 3 1000000 3 · x 3 = 200 · 3 3 · 7 3 100 3 3 · x 3 = = 200 · 3 · 7 3 100 · x 3 = 6 · 7 3 · x 3 = 6 · 7 · x 3

    Ответ: 200 · 0 , 000189 · x 3 = 6 · 7 · x 3 .

    Иными словами, для обнаружения множителя, который можно вынести за знак корня, можно преобразовывать подкоренное выражение любыми допустимыми способами.

    Условие: выполните упрощение иррационального выражения 2 · ( 3 + 2 · 2 ) .

    Решение

    Мы можем преобразовать выражение в скобках как 2 + 2 · 2 + 1 и далее как 2 2 + 2 · 2 · 1 + 1 2 .

    То, что у нас получилось, можно свернуть в квадрат суммы с помощью формулы сокращенного умножения: 2 2 + 2 · 2 · 1 + 1 = 2 + 1 2 .

    В итоге: 2 · 3 + 2 · 2 = 2 · 2 + 1 2 . Теперь выносим 2 + 1 2 за знак корня и упрощаем выражение:

    2 · 2 + 1 2 = 2 · 2 + 1 = = 2 · 2 + 1 = 2 + 2

    Ответ: 2 · 3 + 2 · 2 = 2 + 2 .

    Теперь посмотрим, как вынести из-под знака корня выражение, содержащее переменные. В целом можно сказать, что для этого используются те же методы, что и при работе с числами.

    Условие: вынесите множитель из-под знака корня в выражениях ( x – 5 ) 5 4 и ( x – 5 ) 6 4 .

    Решение

    1. Выполняем преобразование в первом примере.

    ( x – 5 ) 5 4 = ( x – 5 ) 4 · x – 5 4 = x – 5 · x – 5 4

    Знак модуля можно опустить. Посмотрим, каким условием определяется область допустимых значений переменной для исходного выражения. Таким условием будет неравенство ( x − 5 ) 5 ≥ 0 . Для его решения выбираем метод интервалов и получаем x ≥ 5 . Если значение x принадлежит области допустимых значений, то значением выражения x – 5 будет неотрицательное число. Значит, можем записать следующее:

    x – 5 · x – 5 4 = x – 5 · x – 5 4

    1. ( x – 5 ) 6 4 = ( x – 5 ) 4 · x – 5 2 4 = = x – 5 · ( x – 5 ) 2 4 = x – 5 · x – 5 2 4

    Выполним сокращение показателей корня и степени на два. Обратимся к таблице результатов из статьи о преобразовании иррациональных выражений, о которой мы говорили выше. Возьмем из нее следующий результат: выражение A m n · m можно заменить на A n при условии, что m и n – натуральные числа. Следовательно,

    x – 5 · x – 5 2 4 = x – 5 · x – 5

    Нужно ли здесь убирать знак модуля? Посмотрим на область допустимых значений данного выражения: ее составляют все действительные числа, поскольку ( x − 5 ) 6 ≥ 0 для любого x . При этом значения x − 5 могут быть больше 0 , если x > 5 , равными 0 или отрицательными. Значит, оставляем выражение в виде x – 5 · x – 5 или представляем его в виде системы уравнений

    ( x – 5 ) · x – 5 , x ≥ 5 ( 5 – x ) · 5 – x , x 5

    Ответ: 1 ) ( x – 5 ) 5 4 = ( x – 5 ) · x – 5 4 ; 2 ) ( x – 5 ) 6 4 = x – 5 · x – 5 .

    Условие: выполните упрощение выражения x 5 + 2 · x 4 · y + x 3 · y 2 .

    Решение

    Выносим за скобки x 3 и получаем x 3 · ( x 2 + 2 · x · y + y 2 ) . Выражение в скобках можно представить в виде квадрата суммы: x 3 · ( x 2 + 2 · x · y + y 2 ) = x 3 · ( x + y ) 2 .

    Теперь видим множители, подлежащие вынесению из-под корня: x 3 · ( x + y ) 2 = x 2 · x · ( x + y ) 2 = x · x + y · x

    Также мы можем убрать знаки модуля, в которых находится x, поскольку область допустимых значений будет определена условием x 5 + 2 · x 4 · y + x 3 · y 2 ≥ 0 . Оно равносильно x 3 · ( x + y ) 2 ≥ 0 , а из него можно сделать вывод, что x ≥ 0 . У нас получилось, что x · x + y · x .

    Ответ: x 5 + 2 · x 4 · y + x 3 · y 2 = x · x + y · x .

    Это все, что мы хотели бы вам рассказать о вынесении множителя за знак корня. В следующей статье мы разберем обратное действие – внесение множителя под корень.

    Как выносить из под корня число

    Часто вынесение множителя (числа) из под знака корня может быть необходимо для совершения каких-либо арифметических операций, например, для сокращения дроби или вынесения общего множителя и дальнейшего преобразования выражения.

    Давайте рассмотрим основные арифметические правила и определения, необходимые для того, чтобы понять, как вынести число из под корня.

    Необходимые операции и определения

    Разложение выражения на множители — это преобразование этого числа в произведение нескольких сомножителей без изменения значения исходного выражения.

    Это довольно частая операция, необходимая для вынесения множителя из-под знака корня.

    Для разложения на множители используются следующие приёмы:

    • Вынесение за скобки общего множителя;
    • Группировка множителей;
    • Применение формул сокращённого умножения;
    • Комбинация вышеизложенных методов.2$.

      Оба продемонстрированных выше метода можно комбинировать.

      Свойства корня

      Теперь перейдём к более детальному рассмотрению корня.

      Корнем $n$-нной степени из числа $b$ называют число, которое нужно возвести в $n$-нную степень чтобы получить число $b$:

      Процесс получения корня называется его извлечением.

      Левая часть равенства вида $sqrt[n] = m$ называется радикалом, то, что стоит непосредственно под знаком корня — подкоренным выражением, а число, стоящее слева сверху перед знаком корня называется показателем корня.

      Правая же часть равенства после знака «равно» называется корнем $n$-нной степени из числа $b$.

      Задай вопрос специалистам и получи
      ответ уже через 15 минут!

      При извлечении числа из-под корня нужно учитывать то, что в случае с корнем нечётной степени возможен лишь один ответ, математически это запишется так: $sqrt[n] = b$, тогда как в случае с извлечением корня чётной степени ответа будет два, причём один с положительным знаком, а другой с отрицательным, это записывается так: $sqrt[n]= ±b$.

      Также существует ещё одна теорема, которую нужно знать при вынесении множителя из-под знака корня:

      Для извлечения корня $n$-ой степени из произведения, моно извлечь его из каждого сомножителя отдельно, а результаты перемножить. Математически это запишется так: $sqrt[n]=sqrt[n]sqrt[n]sqrt[n]left(1
      ight)$.

      Докажем эту теорему для случая если под корнем стоит положительное число, а степень $n$ является нечётной.

      Применим эту логику к равенству $(1)$.

      Для этого возведём в степень правую часть равенства. Но для того чтобы сделать это, необходимо возвести в степень произведение, а для этого нужно возвести в степень каждый сомножитель и затем перемножить их все между собой:

      Получилось выражение, стоящее под знаком корня, а это значит, что теорема доказана.

      Правила вынесения множителя из под знака корня

      Вынесение множителя из-под знака корня $n$-ой степени — это упрощение выражения с помощью записи какого-либо множителя, являющегося частью подкоренного выражения, перед знаком корня. Например, $sqrt[6] <192>= sqrt[6] <64 cdot 3>= 2 sqrt[6]<3>$.

      Для вынесения множителей из-под знака корня необходимо показатель выносимого множителя разделить на показатель корня и разместить перед корнем этот множитель с тем показателем степени, который получится в результате этого деления:

      В частном случае, если приходится иметь дело с квадртным корнем, степень множителя, который необходимо вынести, нужно разделить на два, а сам множитель записать перед знаком корня:

      В случае если приходится иметь дело с множителем-дробью, можно извлечь по отдельности корень из числителя и знаменателя, например:

      Общий порядок вынесения множителя из под корня такой:

      1. Сначала подкоренное значение раскладывается на множители непосредственно под знаком корня, а у этих множителей выделяются показатели степени.
      2. Затем показатель степени при множителе делится на показатель корня, а сам выносимый множитель записывается слева от радикала.

      Вынесите множитель из-под знака корня в следующих выражениях:

      Так и не нашли ответ
      на свой вопрос?

      Просто напиши с чем тебе
      нужна помощь

      Факторинг и свойство квадратного корня

      Результаты обучения

      • Разложите на множители квадратное уравнение для его решения. {2} -4 = 0 [/ latex], являются квадратными уравнениями.Они используются бесчисленным количеством способов в области инженерии, архитектуры, финансов, биологии и, конечно же, математики.

        Часто самым простым методом решения квадратного уравнения является разложение на множители . Факторинг означает поиск выражений, которые можно перемножить, чтобы получить выражение на одной стороне уравнения.

        Если квадратное уравнение можно разложить на множители, оно записывается как произведение линейных членов. Решение путем факторизации зависит от свойства нулевого продукта, которое гласит, что если [latex] a \ cdot b = 0 [/ latex], то [latex] a = 0 [/ latex] или [latex] b = 0 [/ latex] , где a и b — действительные числа или алгебраические выражения.Другими словами, если произведение двух чисел или двух выражений равно нулю, то одно из чисел или одно из выражений должно быть равно нулю, потому что ноль, умноженный на что-либо, равен нулю.

        При умножении множителей уравнение расширяется до строки членов, разделенных знаками плюс или минус. Таким образом, в этом смысле операция умножения отменяет операцию факторинга. Например, разверните факторизованное выражение [латекс] \ left (x — 2 \ right) \ left (x + 3 \ right) [/ latex], умножив два множителя вместе.{2} + x — 6 = 0 [/ latex] в стандартной форме.

        Мы можем использовать свойство нулевого произведения для решения квадратных уравнений, в которых мы сначала должны вычесть наибольший общий множитель (GCF), и для уравнений, которые также имеют специальные формулы факторизации, такие как разность квадратов, оба из которых мы увидим позже в этом разделе.

        Общее примечание: свойство нулевого произведения и квадратные уравнения

        Свойство нулевого продукта указывает

        [латекс] \ text {If} a \ cdot b = 0, \ text {then} a = 0 \ text {или} b = 0 [/ latex],

        , где a и b — действительные числа или алгебраические выражения.{2} [/ latex], равно 1. У нас есть один метод разложения квадратных уравнений на множители в этой форме.

        Как сделать: для квадратного уравнения со старшим коэффициентом 1 разложите его на множители

        1. Найдите два числа, произведение которых равно c , а сумма равна b .
        2. Используйте эти числа, чтобы записать два множителя в форме [латекс] \ left (x + k \ right) \ text {или} \ left (xk \ right) [/ latex], где k — одно из найденных чисел на шаге 1. Используйте числа в точности так, как они есть.{2} + x — 6 = 0 [/ latex], мы ищем два числа, произведение которых равно [latex] -6 [/ latex], а сумма равна 1. Начните с рассмотрения возможных множителей [latex] -6 [/латекс].

          [латекс] \ begin {array} {l} 1 \ cdot \ left (-6 \ right) \ hfill \\ \ left (-6 \ right) \ cdot 1 \ hfill \\ 2 \ cdot \ left (-3 \ right) \ hfill \\ 3 \ cdot \ left (-2 \ right) \ hfill \ end {array} [/ latex]

          Последняя пара, [latex] 3 \ cdot \ left (-2 \ right) [/ latex] суммируется до 1, так что это числа. Обратите внимание, что подойдет только одна пара чисел.Затем запишите факторы.

          [латекс] \ left (x — 2 \ right) \ left (x + 3 \ right) = 0 [/ латекс]

          Чтобы решить это уравнение, мы используем свойство нулевого произведения. Установите каждый коэффициент равным нулю и решите.

          [латекс] \ begin {array} {l} \ left (x — 2 \ right) \ left (x + 3 \ right) = 0 \ hfill \\ \ left (x — 2 \ right) = 0 \ hfill \ \ x = 2 \ hfill \\ \ left (x + 3 \ right) = 0 \ hfill \\ x = -3 \ hfill \ end {array} [/ latex]

          Два решения: [латекс] x = 2 [/ латекс] и [латекс] x = -3 [/ латекс]. Мы можем видеть, как решения соотносятся с графиком ниже.\ circ [/ latex] угол, а [latex] c [/ latex] относится к гипотенузе. Он находит неизмеримое применение в архитектуре, инженерии, науках, геометрии, тригонометрии и алгебре, а также в повседневных приложениях.

          Мы используем теорему Пифагора, чтобы найти длину одной стороны треугольника, когда у нас есть длины двух других. Поскольку каждый член в теореме возведен в квадрат, когда мы решаем сторону треугольника, мы получаем квадратное уравнение. Мы можем использовать методы решения квадратных уравнений, которые мы узнали в этом разделе, чтобы найти недостающую сторону.{2} = 128 \ hfill \\ a = \ sqrt {128} \ hfill \\ a = 8 \ sqrt {2} \ hfill \ end {array} [/ latex]

          Попробуйте

          Используйте теорему Пифагора для решения задачи прямоугольного треугольника: отрезок a имеет размер 4 единицы, отрезок b имеет размер 3 единицы. Найдите длину гипотенузы.

          Внесите свой вклад!

          У вас была идея улучшить этот контент? Нам очень понравится ваш вклад.

          Улучшить страницуПодробнее

          Факторинг и корни многочленов

          Факторинг и корни многочленов

          Что такое факторинг?

          Если вы запишете многочлен как произведение двух или более многочленов, вы получите факторизованных многочленов.Вот пример:

          Многочлены x -3 и называются множителями полинома. Обратите внимание, что степени множителей 1 и 2 соответственно складываются в степень 3 многочлена, с которого мы начали. Таким образом, факторизация разбивает сложный многочлен на более простые части с более низкой степенью.

          Мы еще не закончили; мы можем сделать лучше: мы можем учитывать

          Теперь мы разложили многочлен на три линейных многочлена (= степени 1).Линейные многочлены — самые простые многочлены. Мы не можем сделать ничего лучше. Всякий раз, когда мы не можем дальше разложить на множители, мы говорим, что разложили на множители , полином полностью .


          Корни многочленов.

          Тесно связанная концепция — это корень , также называемый нулем полинома. Число x = a называется корнем многочлена f ( x ), если

          Еще раз рассмотрим многочлен

          Подставим в полином x = 3.

          Следовательно, x = 3 является корнем многочлена.
          Обратите внимание, что ( x -3) — коэффициент.

          Давайте подключимся к полиному:

          Таким образом, является корнем многочлена.
          Обратите внимание, что это коэффициент.


          Корни и факторинг.

          Это не случайно! Когда выражение ( x a ) является множителем полинома f ( x ), тогда f ( a ) = 0 .

          Поскольку мы уже учли

          есть более простой способ проверить, что x = 3 и являются корнями f ( x ), используя правую часть:

          Это работает наоборот?
          Давайте посмотрим на пример: рассмотрим многочлен. Обратите внимание, что x = 2 является корнем из f ( x ), поскольку

          ( x -2) множитель? Вы делаете ставку!
          Мы можем проверить это, используя длинное полиномиальное деление:

          Таким образом, мы можем учитывать

          Подведем итоги: нахождение корня x = a многочлена f ( x ) равносильно использованию ( x a ) в качестве линейного множителя f ( x ).Точнее:

          Дан полином f ( x ) степени n , а
          число a , то

          тогда и только тогда, когда есть
          полином q ( x ) степени n -1, так что


          Упражнение 1.

          Запишите многочлен с корнями x = 1, x = 2 и x = 3/4.

          Ответ.
          Упражнение 2.

          Запишите многочлен с корнями x = -1, x = 3 и x = 0.

          Ответ.
          Упражнение 3.

          Разложите многочлен на множители. Обратите внимание, что f (-2) = 0.

          Ответ.
          Упражнение 4.

          Полностью разложите полином на множители. Обратите внимание, что и.

          Ответ.

          [Назад]
          [Следующий]

          [Алгебра]
          [Тригонометрия]
          [Комплексные переменные]
          [Исчисление]
          [Дифференциальные уравнения]
          [Матричная алгебра] Домашняя страница S.O.S MATHematics

          Вам нужна дополнительная помощь? Пожалуйста, разместите свой вопрос на нашем

          С.ОПЕРАЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ. Математика CyberBoard.

          Гельмут Кнауст
          Вс 8 июня 13:42:54 MDT 1997

          Авторские права 1999-2021 MathMedics, LLC. Все права защищены.

          Свяжитесь с нами

          Math Medics, LLC. — П.О. Box 12395 — El Paso TX 79913 — США

          пользователей онлайн за последний час

          Факторинг и упрощение квадратного корня

          Если вы считаете, что контент, доступный через Веб-сайт (как определено в наших Условиях обслуживания), нарушает
          или другие ваши авторские права, сообщите нам, отправив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее
          в
          информацию, описанную ниже, назначенному ниже агенту.Если репетиторы университета предпримут действия в ответ на
          ан
          Уведомление о нарушении, оно предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, которая предоставила такой контент
          средствами самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.

          Ваше Уведомление о нарушении прав может быть отправлено стороне, предоставившей доступ к контенту, или третьим лицам, таким как
          в виде
          ChillingEffects.org.

          Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатам), если вы существенно
          искажать информацию о том, что продукт или действие нарушает ваши авторские права.Таким образом, если вы не уверены, что контент находится
          на Веб-сайте или по ссылке с него нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к юристу.

          Чтобы отправить уведомление, выполните следующие действия:

          Вы должны включить следующее:

          Физическая или электронная подпись правообладателя или лица, уполномоченного действовать от их имени;
          Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены;
          Описание характера и точного местонахождения контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права, в \
          достаточно подробностей, чтобы позволить репетиторам университетских школ найти и точно идентифицировать этот контент; например нам требуется
          а
          ссылка на конкретный вопрос (а не только на название вопроса), который содержит содержание и описание
          к какой конкретной части вопроса — изображению, ссылке, тексту и т. д. — относится ваша жалоба;
          Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; а также
          Ваше заявление: (а) вы добросовестно считаете, что использование контента, который, по вашему мнению, нарушает
          ваши авторские права не разрешены законом, владельцем авторских прав или его агентом; (б) что все
          информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство, что вы
          либо владелец авторских прав, либо лицо, уполномоченное действовать от их имени.

          Отправьте жалобу нашему уполномоченному агенту по адресу:

          Чарльз Кон
          Varsity Tutors LLC
          101 S. Hanley Rd, Suite 300
          St. Louis, MO 63105

          Или заполните форму ниже:

          2.5: Поиск факторов из корней

          1. Последнее обновление
          2. Сохранить как PDF

          Без заголовков

          Один из методов решения уравнений заключается в нахождении множителей полиномиального выражения в уравнении и последующей установке каждого множителя равным нулю.{2} +8 x + 15 = 0 \\
          (x + 5) (x + 3) = 0 \\
          x + 5 = 0 \ quad x + 3 = 0 \\
          x = -5 \ quad x = -3
          \ end {array}
          \]
          В этом процессе аргументация состоит в том, что если \ ((x + 5) \) times \ ((x + 3) \) равно нулю, то одно из этих выражений должно быть равным нулю. Устанавливая их равными нулю, мы находим решения \ (x = -5, -3. \). Подставляя их обратно в факторизованное выражение, мы видим следующее:
          \ [
          (-5 + 5) (- 5+ 3) = 0 * -2 = 0
          \]
          и
          \ [
          (-3 + 5) (- 3 + 3) = 2 * 0 = 0
          \]
          Этот процесс также работает в обратном порядке.{2} +13 x-10 = 0
          \ end {array}
          \]

          Упражнения 2.5
          Найдите квадратное уравнение, имеющее указанные корни.
          1) \ (\ quad 4, -1 \)
          2) \ (\ quad -2,7 \)
          3) \ (\ quad \ frac {3} {2}, 1 \)
          4) \ ( \ quad- \ frac {1} {5}, \ frac {2} {3} \)
          5) \ (\ quad \ frac {1} {3}, 3 \)
          6) \ (\ quad-4 , \ frac {2} {5} \)
          7) \ (\ quad \ frac {1} {2}, — \ frac {7} {2} \)
          8) \ (\ quad-1, \ frac {3} {5} \)
          9) \ (\ quad- \ frac {2} {3}, — 3 \)
          10) \ (\ quad- \ frac {2} {3}, — \ frac { 3} {4} \)
          11) \ (\ quad- \ frac {5} {2}, 3 \)
          12) \ (\ quad-6, -2 \)

          Нахождение факторов и корней многочленов

          Хорошо, мы прошли немного дальше вверх по Полиномиальной горе и зашли в новый тупик.Теперь нам нужно найти множители и корни многочленов.

          Эй, наши полиномиальные приятели догнали нас и, кажется, немного успокоились. У них есть для нас многочлен.

          2 x 3 + x 2 — 2 x — 1

          Начнем с нашего нового открытия — теоремы об остатках. Он скажет нам, является ли что-то фактором этого многочлена. Однако он не может сказать нам, правильно ли мы выбрали лотерейные номера.

          Например, x — 1 фактор? Является ли x — 1 одним из номеров лото?

          Чтобы ответить на первый вопрос, мы можем подставить x = 1 в полином.Если мы получаем 0, то x — 1 является множителем, потому что он делит многочлен без остатка. Если мы не получим 0, значит, это не так.

          P (1) = 2 (1) 3 + (1) 2 — 2 (1) — 1

          = 2 + 1-2-1

          = 0

          Да, это означает что x — 1 является множителем этого многочлена. Это ничего не говорит нам о наших шансах на Powerball. Хорошо, что мы не возлагали на это все надежды.

          Что теперь? Факторы перемножаются, поэтому должен остаться хотя бы еще один фактор.

          Наши друзья-инопланетяне говорят, что мы можем использовать синтетическое деление, чтобы найти другие факторы.

          Мы пошли вперед и выложили все за один прием. Мы видим, что 2 x 3 + x 2 — 2 x — 1, деленное на x — 1:

          2 x 2 + 3 x + 1

          Это наш другой фактор, но мы можем множить , что немного больше, чтобы получить:

          2 x 2 + 3 x + 1 =
          (2 x + 1) ( x + 1)

          Это означает, что наш полином фактически равен:

          P ( x ) = (2 x + 1) ( x + 1) ( x — 1)

          Сделано вы забыли наш первый множитель x — 1? Он все еще там.Теперь мы можем установить каждый коэффициент равным нулю, чтобы найти корни. Это дает нам -1 и 1.

          Отлично. Это все, что мы хотели узнать, и все это перед чаем. Как насчет того, чтобы мы продолжали подниматься на Полиномиальную гору, решив еще несколько задач?

          Пример задачи

          Посмотрите, является ли x + 1 множителем x 4 + x 3 + 3 x 2 x + 1.

          Мы подключаем и пыхтеть, вставив в полином x = -1.

          P (-1) = (-1) 4 + (-1) 3 + 3 (-1) 2 — (-1) + 1

          = 1 — 1 + 3 + 1 + 1

          = 5

          Конец линии, шланг. 5 определенно не 0, поэтому x + 1 не является множителем для этого многочлена. Он не распределяется равномерно. Мози переходит к следующей проблеме.

          Пример задачи

          Написать многочлен с корнями -3, 3 и 2.

          Ха. Похоже, на этот раз нам нужно вернуться назад.Слушайте внимательно, и вы можете услышать, что Пол мертв.

          Если корни равны -3, 3 и 2, это означает, что множители следующие:

          ( x + 3), ( x — 3), ( x — 2)

          Подключите каждый корень in для x , и вы будете получать ноль, ноль, ноль каждый раз. Итак, наш полином должен быть:

          P ( x ) = ( x + 3) ( x — 3) ( x -2)

          Что умножается на:

          P ( x ) = ( x 2 — 9) ( x — 2)

          P ( x ) = x 3 — 2 x 2 — 9 x + 18

          Подождите, мы только что узнали, что Пол на самом деле не мертв.Ложная сигнализация.

          Пример задачи

          Найти все корни x 3 + 3 x 2 x — 3.

          Теперь это немного сложнее. Что мы будем делать, если нам не даны факторы?

          Что ж, у магии долгая, хотя и ненадежная история использования в подобных случаях. Однако большинство людей не могут использовать клерики 7-го уровня прорицание, так что, возможно, нам стоит попробовать что-нибудь еще.

          Все наши множители имеют форму x a . a нужно умножить на константу в конце многочлена, в данном случае -3. Это означает, что нашему множителю (для полинома) нужен множитель (из этой константы).

          Коэффициенты постоянной -3 равны ± 3 и ± 1. Мы выберем один и пропустим его по теореме об остатке. 3 звучит хорошо. Если P (3) = 0, то 3 является корнем, что означает, что x — 3 является множителем.

          P (3) = (3) 3 + 3 (3) 2 — (3) — 3

          = 27 + 27 — 6

          = 48

          3 не является корнем.Давайте угадаем что-нибудь еще, например -3.

          P (-3) = (-3) 3 + 3 (-3) 2 — (-3) — 3

          = -27 + 27 + 3 — 3

          = 0

          Хорошо. Шаг первый: готово. Это означает, что x + 3 является фактором. Теперь мы можем использовать синтетическое деление, чтобы найти другие факторы, а затем все корни.

          Это дает нам x 2 — 1 в качестве другого фактора. Мы можем разложить этот множитель на множители, чтобы получить ( x + 1) ( x — 1).

          Это означает, что наш многочлен:

          P ( x ) = ( x + 3) ( x + 1) ( x — 1)

          Это, дорогой Шмупер, дает нам корни of -3, -1 и 1.

          Мы сделали это. Мы такие умные (не для того, чтобы хвастаться или что-то в этом роде).

          Пример задачи

          Найти все корни x 3 + 2 x 2 — 25 x — 50, учитывая, что один корень равен 5.

          Если один корень равен 5, это означает x — коэффициент 5.Мы можем использовать синтетическое деление, чтобы найти остальное.

          Другой наш коэффициент — x 2 + 7 x + 10. Дальнейший факторинг предоставляет фитинговые вентиляторы — э-э, ответы.

          ( x + 2) ( x + 5)

          Это означает, что наш полный полином равен:

          P ( x ) = ( x — 5) ( x + 2) ( x + 5)

          Корни этого многочлена равны x = 5, -2 и -5.

          Наконец. Молодец, математик. Вперед и вверх.

          Учебное пособие: теорема о рациональном корне и разложение многочленов на множители

          Теперь, когда у нас есть представление о том, как рисовать разложенные полиномы с учетом конечного поведения, а также пересечений, отскоков и сдвигов по оси x, давайте разберемся, как работать с полиномами, которые начинаются со стандартного ( не факторизованная) форма. Мы сосредоточимся на теореме о рациональном корне как на нашем методе выбора, который, как вы, возможно, догадались по названию, поможет найти любые рациональные корни, которые может иметь многочлен ( рациональное : числа, которые можно записать как дробь целых чисел).

          Все возможности

          Теорема о рациональном корне позволяет нам найти все рациональные числа, которые могут быть корнями уравнения. Иногда список возможностей, которые мы генерируем, будет большим, но это все равно конечный список, так что это лучшее начало, чем случайный поиск чисел, чтобы увидеть, являются ли они корнями.

          Теорема о рациональном корне: шаг за шагом

          1. Запишите все множители постоянного члена многочлена, включая его самого и один.
          2. Запишите все множители ведущего коэффициента.
          3. Запишите все возможные дроби, где числитель является множителем постоянного члена, а знаменатель — множителем старшего коэффициента. Старайтесь быть систематическими, чтобы использовать все возможности.
          4. Эти дроби, как положительная, так и отрицательная версия каждой из них, являются вашими возможными рациональными корнями.
          5. Теперь, когда у вас есть список возможных корней, вы можете проверить каждый из них, чтобы увидеть, является ли он корнем многочлена.Проверьте, подставив число вместо x в многочлен (это корень, если результат равен 0), или путем синтетического деления на число (это корень, если остаток равен 0).
          6. Перекрестите варианты, которые не выходят из вашего списка, пока вы их проверяете.
          7. Когда вы найдете корень, который работает, синтетически разделите его на этот корень, чтобы получить полином более низкой степени, который получается после его факторизации. Теперь примените теорему о рациональном корне к этому новому многочлену — теперь у вас может быть меньше возможностей!
          8. Как только вы перейдете к квадратному уравнению, вы можете найти корни, используя любой из типичных методов квадратного уравнения.

          Пример:

          Давайте рассмотрим шаги с этим многочленом:

          1. Постоянный срок — 6. Факторы: 1, 2, 3, 6
          2. Опережающий коэффициент равен 2. Факторы: 1, 2
          3. Возможные рациональные корни:,,,,,,,. Они упрощаются до 1, 2, 3, 6,, 1,, 3. Некоторые из них повторяются, поэтому наш окончательный список:,,,,,; всего 12 возможностей.
          4. Проверить каждый возможный корень:
            1. Не рут.
            2. Не рут.
            3. Мы нашли рут!
          5. Используйте синтетическое или длинное деление, чтобы вынести корень за скобки:
          6. является квадратичным, поэтому мы можем найти его корни, как и любой другой квадратичный.Я учту множитель:, так что многочлен факторизуется, а корни равны 2, и -3.

          Другой пример:

          1. Постоянный срок -4. Факторы: 1, 2, 4
          2. Опережающий коэффициент равен 1. Факторы: 1, 2
          3. Возможные рациональные корни:,,,,,. В конце концов, возможные корни — это,, и, всего 8 возможных рациональных корней.
          4. Test Roots (на этот раз я буду использовать синтетическое деление, как показано на видео ниже!)


          Итак, что вы думаете — можно ли преобразовать многочлен из стандартной формы в факторизованную форму? У вас есть вопросы, которые вы хотите задать мне о процессе? Пожалуйста, дайте мне знать, оставив комментарий ниже!

          3.Как разложить многочлены

          на множители

          На этой странице мы узнаем, как разложить многочлены на множители с 3 членами (степень 2), 4 членами (степень 3) и 5 ​​членами (степень 4).

          Мы будем использовать теоремы об остатке и множителях , чтобы разложить многочлены на их множители.

          Что мы ищем?

          Пример 1

          Пример полинома (со степенью 3):

          p ( x ) = 4 x 3 — 3 x 2 — 25 x — 6

          Множители этого многочлена:

          ( x — 3), (4 x + 1) и ( x + 2)

          Обратите внимание, что для полинома 3 степени существует 3 фактора .Когда мы умножаем эти 3 члена в скобках, мы получим многочлен p ( x ).

          Мы увидим, как найти эти множители ниже, в разделе Как разложить многочлены на 4 члена?

          Краткое описание процесса

          В общем, будем:

          1. Найдите один множитель , используя теорему об остатке
          2. Разделим многочлен на коэффициент , который мы нашли, что даст нам более простой многочлен для работы с
          3. .

          4. Найдите один множитель более простого полинома и разделите еще раз
          5. .

          6. Продолжайте, пока не дойдете до трехчлена , который мы обычно легко можем разложить на множители.

          Как разложить многочлены на 3 члена?

          Пример 2

          Вот пример полинома с 3 членами:

          q ( x ) = x 2 x + 6

          Мы узнали, что это квадратный многочлен (также называемый трехчленом из-за трех членов), и мы видели, как разложить их на множители ранее в разделах «Факторинг трехчленов» и «Решение квадратных уравнений путем разложения».

          Нам нужно найти числа a и b такие, что

          q ( x ) = x 2 — 5 x + 6 = ( x a ) ( x b )

          Обычно это включает в себя некоторые угадывания и проверки, чтобы получить правильную комбинацию чисел. Число 6 ( константа полинома) имеет множители 1, 2, 3 и 6 (и отрицательные значения каждого из них также возможны), поэтому очень вероятно, что наши a и b будут выбраны из этих числа.

          После непродолжительных испытаний получаем:

          x 2 -5 x + 6 = ( x -2) ( x -3)

          Мы говорим, что коэффициенты из x 2 -5 x + 6 равны ( x -2) и ( x -3).

          Обратите внимание на то, что наш трехчленный многочлен имеет степень , 2 , а количество множителей также равно 2.

          Как разложить многочлены на множители с 4 членами?

          Пример 3

          Выше мы обсудили кубический многочлен p ( x ) = 4 x 3 — 3 x 2 -25 x — 6, который имеет степень 3 (поскольку наибольшая степень размером x получается 3).

          Найдем множители p ( x ).

          Обратите внимание, что коэффициент x 3 равен 4, и нам нужно будет учесть это в нашем решении.

          Мы ищем решение в следующих строках (в скобках 3 выражения, потому что наибольшая степень нашего многочлена равна 3):

          4 x 3 — 3 x 2 — 25 x — 6 = ( ax b ) ( cx d ) ( fx г )

          Множители 4 равны 1, 2 и 4 (и, возможно, их отрицания), поэтому a , c и f будут выбраны из этих чисел.Это должно быть так, чтобы мы получили 4 x 3 в нашем полиноме.

          Мы наблюдаем −6 как постоянный член нашего полинома, поэтому числа b , d и g , скорее всего, будут выбраны из множителей −6, которые равны ± 1, ± 2, ± 3 или ± 6.

          Однако нам потребовалось бы слишком много времени, чтобы перепробовать все рассмотренные комбинации. Нам нужно будет их все перемножить, чтобы увидеть, какая комбинация действительно дает p ( x ).

          Итак, мы пойдем по другому пути.

          Нахождение одного фактора: Мы пробуем некоторые из возможных более простых факторов и смотрим, «работают» ли они. Если мы разделим многочлен на выражение и не найдем остатка , то мы найдем коэффициент .

          Более простой способ — использовать теорему об остатке , с которой мы встречались в предыдущем разделе, Теоремы о множителях и остатках. Там написано:

          Если полином f ( x ) делится на ( x r ) и получается остаток R , то f ( r ) = R .

          Мы ищем выражение (называемое линейным членом ) , которое даст нам остаток от 0, если мы разделим на него многочлен.

          Проба 1: Мы пробуем ( x — 1) и находим остаток, подставляя 1 (обратите внимание, что это положительный 1) на p ( x ).

          p (1) = 4 (1) 3 — 3 (1) 2 — 25 (1) — 6 = 4 — 3 — 25 — 6 = −30 ≠ 0

          Испытание 2: Мы пробуем ( x + 1) и находим остаток, подставляя -1 (обратите внимание, что он отрицательный 1) на p ( x ).

          p (−1) = 4 (−1) 3 -3 (−1) 2 -25 (−1) — 6 = −4-3 + 25-6 = 12 ≠ 0

          Испытание 3: Мы пробуем ( x -2) и находим остаток, подставляя 2 (обратите внимание, что он положительный) на p ( x ).

          p (2) = 4 (2) 3 — 3 (2) 2 — 25 (2) — 6 = 32 — 12 — 50 — 6 = −36 ≠ 0

          Испытание 4: Мы пробуем ( x + 2) и находим остаток, подставляя −2 (обратите внимание, что он отрицательный) на p ( x ).

          p (−2) = 4 (−2) 3 -3 (−2) 2 -25 (−2) — 6 = −32-12 + 50-6 = 0

          Поскольку остаток равен 0, мы можем заключить, что ( x + 2) — это коэффициент .

          Итак, мы можем написать p ( x ) = ( x + 2) × (что-то)

          Чтобы узнать, что находится во второй скобке, нам нужно разделить p ( x ) на ( x + 2). Мы видели, как делить многочлены в предыдущем разделе, теоремы о множителях и остатках.2-22x`. «-3x-6» `-25x — (- 22x)` = -3x`. «-3x-6» Умножить `(x + 2)` на `-3 = -3x-6` `0` `-6 — (- 6) = 0` Это остаток.

          Итак, теперь мы можем написать p ( x ) = ( x + 2) (4 x 2 — 11 x — 3).

          Итак, эта вторая скобка представляет собой всего лишь трехчлен (трехчленный квадратичный многочлен), и мы можем довольно легко разложить его на множители, используя процесс разложения триномов на множители.

          (4 x 2 — 11 x — 3) = (4 x +1) ( x — 3)

          Итак, сложив все вместе, можно записать многочлен p ( x ):

          p ( x ) = 4 x 3 — 3 x 2 — 25 x — 6 = ( x — 3) (4 x + 1) ( x + 2)

          То есть коэффициенты для p ( x ) равны:

          ( x — 3), (4 x + 1) и ( x + 2)

          Как разложить многочлены на множители с 5 членами?

          Пример 4

          Разложите на множители полином r ( x ) = 3 x 4 + 2 x 3 -13 x 2 -8 x + 4.

          Решение

          Поскольку степень этого многочлена равна 4, мы ожидаем, что наше решение будет иметь вид

          3 x 4 + 2 x 3 — 13 x 2 — 8 x + 4 = (3 x a 1 ) ( x a 2 ) ( x a 3 ) ( x a 4 )

          В первой скобке стоит 3 (поскольку множители 3 равны 1 и 3, и она должна быть в одной из скобок.) Остальные неизвестные должны быть выбраны из 4 множителей, которые равны 1, 2 или 4.

          Еще раз воспользуемся теоремой об остатке , чтобы найти один множитель. Мы разделим r ( x ) на этот коэффициент, и это даст нам кубический многочлен (степени 3). Мы найдем множитель этого куба, а затем разделим кубический на этот множитель. Затем мы остаемся с трехчленом, который обычно относительно просто множить.

          Trial 1: Мы пытаемся заменить x = 1 и обнаруживаем, что это не удается (это не дает нам ноль).

          r (1) = 3 (1) 4 + 2 (1) 3 — 13 (1) 2 — 8 (1) + 4 = −12

          Испытание 2: Мы пытаемся заменить x = −1, и на этот раз мы нашли множитель.

          r (1) = 3 (-1) 4 + 2 (-1) 3 -13 (-1) 2 -8 (-1) + 4 = 0

          Мы заключаем, что ( x + 1) — это коэффициент из r ( x ). 2-12x + 4`.2 + 5x-2 = (3x-1) (x + 2) `

          Итак, сложив все вместе, получаем:

          r ( x ) = 3 x 4 + 2 x 3 — 13 x 2 — 8 x + 4 = (3 x — 1 ) ( x + 1) ( x — 2) ( x + 2)

          Использование системы компьютерной алгебры для разложения многочленов на множители

          Что, если нам нужно разложить на множители подобные полиномы?

          Пример 5: x 2 — 5.2 x + 6.751

          У этого трехчлена нет «хороших» чисел, и потребуется немного повозиться, чтобы разложить его на множители путем осмотра. Мы могли бы использовать квадратичную формулу, чтобы найти факторы.

          Пример 6: 2,9 x 3 — π x 2 — 4,97 x + 43883

          Вышеупомянутый кубический многочлен также имеет довольно неприятные числа. Найти первый множитель и затем разделить полином на него было бы довольно сложно.

          Пример 7: 3175 x 4 + 256 x 3 — 139 x 2 — 8 7x + 480

          Этот многочлен четвертой степени (степень 4) имеет «хорошие» числа, но комбинация чисел, которую нам нужно было бы попробовать, огромна. Множители 480 равны

          .

          {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 20, 24, 30, 32, 40, 48, 60, 80, 96, 120, 160, 240, 480}

          Нам также следует рассмотреть недостатки каждого из них.

          Когда полином имеет достаточно высокую степень, даже с «хорошими» числами, рабочая нагрузка по нахождению множителей будет довольно высокой. Например:

          Пример 8: x 5 — 4 x 4 7 x 3 + 14 x 2 — 44 x + 120

          Коэффициенты 120 следующие, и нам нужно будет продолжать, пока один из них не «сработает».

          {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120}

          Фактически, в этом случае первым множителем (после попытки `+ -1` и` -2`) на самом деле является `(x-2)`.

          В таких случаях лучше реализовать следующее:

          • Мы в основном являемся конечными факторами, поэтому мы можем решать полиномиальные уравнения (где многочлен установлен равным нулю, и нам нужно найти «корни» уравнения)
          • Вышеупомянутые методы — математические методы, которые «приятно знать», но они действительно полезны только в том случае, если числа в полиноме «хороши», а множители легко вычисляются без особых проб и ошибок.

          Рассмотрим решение получше.

          Решение с использованием систем компьютерной алгебры

          Примеры 5 и 6 действительно не содержат хороших факторов, даже когда мы получаем компьютер, чтобы найти их для нас.

          В примере 7 есть факторы (данные Wolfram | Alpha)

          `3175,` (x — 0,637867), `(x + 0,645296),` (x + (0,0366003 — 0,604938 i)), `(x + (0,0366003 + 0,604938 i))`

          Я не тороплюсь делать это на бумаге!

          Рассмотрим пример 8, который был:

          x 5 — 4 x 4 7 x 3 + 14 x 2 — 44 x + 120

          Используя Wolfram | Alpha, получаем

          ( x -2) ( x -5) ( x + 3) ( x 2 + 4) = 0

          Обратите внимание, что в этом примере 5 элементов в скобках не указаны.

          Следующий выглядит устрашающе:

          Пример 9: x 4 + 0,4 x 3 — 6,49 x 2 + 7,244 x — 2,112 = 0

          Позволяя Wolfram | Alpha делать за нас работу, получаем:

          `0,002 (2 x — 1) (5 x — 6) (5 x + 16) (10 x — 11)`

          Итак, хотя процесс поиска этих факторов интересно узнать, лучше использовать доступные инструменты.

          В ближайшее время

          В следующем разделе мы узнаем, как решать полиномиальные уравнения.

          .

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован.