Содержание
Возведение в степень: правила, примеры, дробная степень
Мы разобрались, что вообще из себя представляет степень числа. Теперь нам надо понять, как правильно выполнять ее вычисление, т.е. возводить числа в степень. В этом материале мы разберем основные правила вычисления степени в случае целого, натурального, дробного, рационального и иррационального показателя. Все определения будут проиллюстрированы примерами.
Понятие возведения в степень
Начнем с формулирования базовых определений.
Определение 1
Возведение в степень — это вычисление значения степени некоторого числа.
То есть слова «вычисление значение степени» и «возведение в степень» означают одно и то же. Так, если в задаче стоит «Возведите число 0,5 в пятую степень», это следует понимать как «вычислите значение степени (0,5)5.
Теперь приведем основные правила, которым нужно придерживаться при таких вычислениях.
Как возвести число в натуральную степень
Вспомним, что такое степень числа с натуральным показателем. Для степени с основанием a и показателем n это будет произведение n-ного числа множителей, каждый из которых равен a. Это можно записать так:
Чтобы вычислить значение степени, нужно выполнить действие умножения, то есть перемножить основания степени указанное число раз. На умении быстро умножать и основано само понятие степени с натуральным показателем. Приведем примеры.
Пример 1
Условие: возведите -2 в степень 4.
Решение
Используя определение выше, запишем: (−2)4=(−2)·(−2)·(−2)·(−2). Далее нам нужно просто выполнить указанные действия и получить 16.
Возьмем пример посложнее.
Пример 2
Вычислите значение 3272
Решение
Данную запись можно переписать в виде 327·327. Ранее мы рассматривали, как правильно умножать смешанные числа, упомянутые в условии.
Выполним эти действия и получим ответ: 327·327=237·237=52949=103949
Если в задаче указана необходимость возводить иррациональные числа в натуральную степень, нам потребуется предварительно округлить их основания до разряда, который позволит нам получить ответ нужной точности.
Разберем пример.
Пример 3
Выполните возведение в квадрат числа π.
Решение
Для начала округлим его до сотых. Тогда π2≈(3,14)2=9,8596. Если же π≈3.14159, то мы получим более точный результат: π2≈(3,14159)2=9,8695877281.
Отметим, что необходимость высчитывать степени иррациональных чисел на практике возникает сравнительно редко. Мы можем тогда записать ответ в виде самой степени (ln 6)3 или преобразовать, если это возможно: 57=1255.
Отдельно следует указать, что такое первая степень числа. Тут можно просто запомнить, что любое число, возведенное в первую степень, останется самим собой:
a1=a
Это понятно из записи .
От основания степени это не зависит.
Пример 4
Так, (−9)1=−9, а 73, возведенное в первую степень, останется равно 73.
Как возвести число в целую степень
Для удобства разберем отдельно три случая: если показатель степени — целое положительное число, если это ноль и если это целое отрицательное число.
В первое случае это то же самое, что и возведение в натуральную степень: ведь целые положительные числа принадлежат ко множеству натуральных. О том, как работать с такими степенями, мы уже рассказали выше.
Теперь посмотрим, как правильно возводить в нулевую степень. При основании, которое отличается от нуля, это вычисление всегда дает на выходе 1. Ранее мы уже поясняли, что 0-я степень a может быть определена для любого действительного числа, не равного 0, и a0=1.
Пример 5
Примеры:
50=1, (-2,56)0=1230=1
00- не определен.
У нас остался только случай степени с целым отрицательным показателем. Мы уже разбирали, что такие степени можно записать в виде дроби 1az, где а — любое число, а z — целый отрицательный показатель. Мы видим, что знаменатель этой дроби есть не что иное, как обыкновенная степень с целым положительным показателем, а ее вычислять мы уже научились. Приведем примеры задач.
Нужна помощь преподавателя?
Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!
Описать задание
Пример 6
Возведите 2 в степень -3.
Решение
Используя определение выше, запишем: 2-3=123
Подсчитаем знаменатель этой дроби и получим 8: 23=2·2·2=8.
Тогда ответ таков: 2-3=123=18
Пример 7
Возведите 1,43 в степень -2.
Решение
Переформулируем: 1,43-2=1(1,43)2
Вычисляем квадрат в знаменателе: 1,43·1,43. Десятичные дроби можно умножить таким способом:
В итоге у нас вышло (1,43)-2=1(1,43)2=12,0449. Этот результат нам осталось записать в виде обыкновенной дроби, для чего необходимо умножить ее на 10 тысяч (см. материал о преобразовании дробей).
Ответ: (1,43)-2=1000020449
Отдельный случай — возведение числа в минус первую степень. Значение такой степени равно числу, обратному исходному значению основания: a-1=1a1=1a.
Пример 8
Пример: 3−1=1/3
913-1=13964-1=164 .
Как возвести число в дробную степень
Для выполнения такой операции нам потребуется вспомнить базовое определение степени с дробным показателем: amn=amnпри любом положительном a, целом m и натуральном n.
Определение 2
Таким образом, вычисление дробной степени нужно выполнять в два действия: возведение в целую степень и нахождение корня n-ной степени.
У нас есть равенство amn=amn, которое, учитывая свойства корней, обычно применяется для решения задач в виде amn=anm. Это значит, что если мы возводим число a в дробную степень m/n, то сначала мы извлекаем корень n-ной степени из а, потом возводим результат в степень с целым показателем m.
Проиллюстрируем на примере.
Пример 9
Вычислите 8-23.
Решение
Способ 1. Согласно основному определению, мы можем представить это в виде: 8-23=8-23
Теперь подсчитаем степень под корнем и извлечем корень третьей степени из результата: 8-23=1643=133643=133433=14
Способ 2. Преобразуем основное равенство: 8-23=8-23=83-2
После этого извлечем корень 83-2=233-2=2-2 и результат возведем в квадрат: 2-2=122=14
Видим, что решения идентичны. Можно пользоваться любым понравившимся способом.
Бывают случаи, когда степень имеет показатель, выраженный смешанным числом или десятичной дробью. Для простоты вычислений его лучше заменить обычной дробью и считать, как указано выше.
Пример 10
Возведите 44,89 в степень 2,5.
Решение
Преобразуем значение показателя в обыкновенную дробь: 44,892,5=44,8952.
А теперь выполняем по порядку все действия, указанные выше: 44,8952=44,895=44,895=44891005=44891005=6721025=67105==1350125107100000=13 501,25107
Ответ: 13 501,25107.
Если в числителе и знаменателе дробного показателя степени стоят большие числа, то вычисление таких степеней с рациональными показателями — довольно сложная работа. Для нее обычно требуется вычислительная техника.
Отдельно остановимся на степени с нулевым основанием и дробным показателем. Выражению вида 0mn можно придать такой смысл: если mn>0, то 0mn=0mn=0; если mn<0 нуль остается не определен. Таким образом, возведение нуля в дробную положительную степень приводит к нулю: 0712=0, 0325=0, 00,024=0, а в целую отрицательную — значения не имеет: 0-43.
Как возвести число в иррациональную степень
Необходимость вычислить значение степени, в показателе которой стоит иррациональное число, возникает не так часто. На практике обычно задача ограничивается вычислением приблизительного значения (до некоторого количества знаков после запятой). Обычно это считают на компьютере из-за сложности таких подсчетов, поэтому подробно останавливаться на этом не будем, укажем лишь основные положения.
Если нам нужно вычислить значение степени a с иррациональным показателем a, то мы берем десятичное приближение показателя и считаем по нему. Результат и будет приближенным ответом. Чем точнее взятое десятичное приближение, тем точнее ответ. Покажем на примере:
Пример 11
Вычислите приближенное значение 2 в степени 1,174367….
Решение
Ограничимся десятичным приближением an=1,17. Проведем вычисления с использованием этого числа: 21,17≈2,250116. Если же взять, к примеру, приближение an=1,1743, то ответ будет чуть точнее: 21,174367.
51}=0.$
Дробь в степени числа. Нахождение дробной степени числа
Задача.
Вычислите значение выражения
Решение.
Пояснение.
Сначала запишем 0,75 как простую дробь — 3/4. Получим результат первой итерации (строка 2)
Теперь, учитывая, что 16 — это двойка в четвертой степени, 8 — в третьей, 4 — в квадрате, запишем то же самое выражение как степень с основанием 2 (строка 3)
Учтем следующее свойство степени:
(an )m=anm
Число в степени, возводимое в степень равно числу в степени, равной их произведению
(строка 4)
Вычислим получившиеся значения степени (строка 5)
Учтем следующее свойство степени:
a
n
a
m
= a
n+m
Произведение двух одинаковых чисел в разную степень равно этому числу в степени, равной сумме этих степеней
(строка 6)
Корни и степени, возведение в степень, извлечение корня |
Описание курса
| Операции с корнями на основе ствойств степени
как возвести число в дробную степень примеры
Как возвести число в дробную степень, если не представлять, как это работает, то можно, наверное, свихнуться! Но друзья мои! Я с вами и сегодня мы разберемся в такой непонятной
вещи, как число в дробной дроби!