Уравнения с модулем. Исчерпывающий гид (ЕГЭ — 2021)

4. Для каждого интервала запишем и решим уравнение. Важно проследить, чтобы ответы соответствовали интервалу!

Примеры:

I. \(\displaystyle x<-3\).

Здесь оба модуля раскрываем «с минусом»:

\(\displaystyle-\left( x+3 \right)+\left( 2{x}-1 \right)=1\text{ }\Leftrightarrow \text{ }-{x}-3+2{x}-1=1\text{ }\Leftrightarrow \text{ }x=5\text{ }>-3\) – этот корень сторонний.

II. \(\displaystyle-3\le x<\frac{1}{2}\).

Здесь первый модуль раскрываем «с плюсом», а второй – «с минусом»:

\(\displaystyle\left( x+3 \right)+\left( 2{x}-1 \right)=1\text{ }\Leftrightarrow \text{ }x+3+2{x}-1=1\text{ }\Leftrightarrow \text{ }x=-\frac{1}{3}\) – этот корень попадает в «свой» интервал, значит, он подходит.

III. \(\displaystyle x\ge \frac{1}{2}\).

Здесь оба модуля раскрываем «с плюсом»:

\(\displaystyle\left( x+3 \right)-\left( 2{x}-1 \right)=1\text{ }\Leftrightarrow \text{ }x+3-2{x}+1=1\text{ }\Leftrightarrow \text{ }x=3\) – этот корень тоже является решением.

Проверим полученные корни:

I. \(\displaystyle x=5:\text{ }\left| 5+3 \right|-\left| 2\cdot 5-1 \right|=8-9=-1\ne 1\) (корень и правда сторонний).

II. \(\displaystyle x=-\frac{1}{3}:\text{ }\left| -\frac{1}{3}+3 \right|-\left| 2\cdot \left( -\frac{1}{3} \right)-1 \right|=\frac{8}{3}-\frac{5}{3}=1\).

III. \(\displaystyle x=3:\text{ }\left| 3+3 \right|-\left| 2\cdot 3-1 \right|=6-5=1\).

Ответ: \(\displaystyle-\frac{1}{3};\text{ }3.\)

Примеры:

Решения:

1. \( \displaystyle \left| x+2 \right|-\left| 3{x}-1 \right|+\left| 4-x \right|=3\)\( \displaystyle \left[ \begin{array}{l}x+2=0\text{  }\Rightarrow \text{  }x=-2\\3{x}-1=0\text{  }\Rightarrow \text{ }x=\frac{1}{3}\\4-x=0\text{  }\Rightarrow \text{  }x=4\end{array} \right.\) 

I. \( \displaystyle -2\le x<\frac{1}{3}.\)

\( \displaystyle -\left( x+2 \right)+\left( 3{x}-1 \right)+\left( 4-x \right)=3\)

\( \displaystyle x=2>-2\Rightarrow \) – корень сторонний

II.  \( \displaystyle -2\le x<\frac{1}{3}\)

\( \displaystyle \left( x+2 \right)+\left( 3{x}-1 \right)+\left( 4-x \right)=3\Leftrightarrow \)

\( \displaystyle 3x=-2\Leftrightarrow x=-\frac{2}{3}\in \left[ -2;\frac{1}{3} \right)\) – подходит

III. \( \displaystyle \frac{1}{3}\le x<4\)

\( \displaystyle \left( x+2 \right)-\left( 3{x}-1 \right)+\left( 4-x \right)=3\Leftrightarrow \)

\( \displaystyle -3x=-4\Leftrightarrow x=\frac{4}{3}\in \left[ \frac{1}{3};4 \right)-\) подходит

IV. \( \displaystyle x\ge 4\)

\( \displaystyle \left( x+2 \right)-\left( 3{x}-1 \right)-\left( 4-x \right)=3\Leftrightarrow \)

\( \displaystyle x=4\Leftrightarrow x=-4<4\text{ }-\) корень сторонний

Ответ: \( -\frac{2}{3};\text{  }\frac{4}{3}.\)

2. \( \left| 3{x}-5 \right|+\left| 3+2x \right|=2\left| x+1 \right|\text{  }\Leftrightarrow \text{  }\left| 3{x}-5 \right|+\left| 3+2x \right|-2\left| x+1 \right|=0. \)

\( \left[ \begin{array}{l}3{x}-5=0\text{  }\Rightarrow \text{ }x=\frac{5}{3}\\3+2x=0\text{  }\Rightarrow \text{ }x=-\frac{3}{2}\\x+1=0\text{    }\Rightarrow \text{  }x=-1\end{array} \right.\)

I. \( \displaystyle x<-\frac{3}{2}\)

\( \displaystyle -\left( 3{x}-5 \right)-\left( 3+2x \right)+2\left( x+1 \right)=0\Leftrightarrow \)

\( \displaystyle -3x=-4\Leftrightarrow x=\frac{4}{3}>-\frac{3}{2}\Rightarrow \) корень сторонний

II. \( \displaystyle -\frac{3}{2}\le x<-1\)

\( \displaystyle -\left( 3{x}-5 \right)+\left( 3+2x \right)+2\left( x+1 \right)=0\Leftrightarrow \)

\( \displaystyle x=-10<-1\Rightarrow \) корень сторонний

III. \( \displaystyle -1\le x<\frac{5}{3}\)

\( \displaystyle -\left( 3{x}-5 \right)+\left( 3+2x \right)-2\left( x+1 \right)=0\Leftrightarrow \)

\( \displaystyle -3x=-6\Leftrightarrow x=2\text{  }>\frac{5}{3}\Rightarrow \) корень сторонний

IV. \( \displaystyle x\ge \frac{5}{3}\)

\( \displaystyle \left( 3{x}-5 \right)+\left( 3+2x \right)-2\left( x+1 \right)=0\Leftrightarrow \)

\( \displaystyle 3x=4\Leftrightarrow x=\frac{4}{3}<\frac{5}{3}\Rightarrow \) корень сторонний

Итак, ни на одном интервале не нашлось корней.  Значит, решений это уравнение не имеет.

Ответ: Решений не имеет.

Как решать уравнения с модулем

Одна из самых сложных тем для учащихся  – это решение уравнений, содержащих переменную под знаком модуля. Давайте разберемся для начала с чем же это связано? Почему, например, квадратные уравнения большинство детей щелкает как орешки, а с таким далеко не самым сложным понятием как модуль имеет столько проблем?

На мой взгляд, все эти сложности связаны с отсутствием четко сформулированных правил для решения уравнений с модулем. Так, решая квадратное уравнение, ученик точно знает, что ему нужно сначала применять формулу дискриминанта, а затем формулы корней квадратного уравнения. А что делать, если в уравнении встретился модуль? Постараемся четко описать необходимый план действий на случай, когда уравнение содержит неизвестную под знаком модуля. К каждому случаю приведем несколько примеров.

Но для начала вспомним определение модуля. Итак,  модулем числа a называется само это число, если a неотрицательно и  -a, если  число a меньше нуля. Записать это можно так:

|a| = a, если a ≥ 0 и |a| = -a, если a < 0

Говоря о геометрическом смысле модуля, следует помнить, что каждому действительному числу соответствует определенная точка на числовой оси – ее  координата. Так вот, модулем или абсолютной величиной числа называется расстояние от этой точки до начала отсчета числовой оси. Расстояние всегда задается положительным числом. Таким образом, модуль любого отрицательного числа есть число положительное. Кстати, даже на этом этапе многие ученики начинают путаться. В модуле может стоять какое угодно число, а вот результат применения модуля всегда число положительное.

Теперь перейдем непосредственно к решению уравнений.

1. Рассмотрим уравнение вида |x| = с, где с – действительное число. Это уравнение можно решить с помощью определения модуля.

Все действительные числа разобьем на три группы: те, что больше нуля, те, что меньше нуля, и третья группа – это число 0. Запишем решение в виде схемы:

                             {±c, если с > 0

 Если |x| = c, то x = {0, если с = 0

                             {нет корней, если с < 0

Примеры:

1) |x| = 5, т.к. 5 > 0, то x = ±5;

2) |x| = -5, т.к. -5 < 0, то уравнение не имеет корней;

3) |x| = 0, то x = 0.

2. Уравнение вида |f(x)| = b, где b > 0. Для решения данного уравнения необходимо избавиться от модуля. Делаем это так: f(x) = b или f(x) = -b. Теперь необходимо решить отдельно каждое из полученных уравнений. Если в исходном уравнении b< 0, решений не будет.

Примеры:

1) |x + 2| = 4, т.к. 4 > 0, то

x + 2 = 4 или x + 2 = -4

x = 2             x = -6

2) |x² – 5| = 11, т.к. 11 > 0, то

x² – 5 = 11 или x² – 5 = -11

x² = 16            x² = -6

x = ± 4             нет корней

3) |x² – 5x| = -8 , т. к. -8 < 0, то уравнение не имеет корней.

3. Уравнение вида |f(x)| = g(x). По смыслу модуля такое уравнение будет иметь решения, если его правая часть больше или равна нулю, т.е. g(x) ≥ 0. Тогда будем иметь:

f(x) = g(x) или f(x) = -g(x).

Примеры:

1) |2x – 1| = 5x – 10. Данное уравнение будет иметь корни, если 5x – 10 ≥ 0. Именно с этого и начинают решение таких уравнений.

1. О.Д.З. 5x – 10 ≥ 0

              5x ≥ 10  

               x ≥ 2.  

2. Решение:

2x – 1 = 5x – 10 или 2x – 1 = -(5x – 10)

3x = 9                     7x = 11

x = 3                       x = 11/7

3. Объединяем О.Д.З. и решение, получаем:

Корень x = 11/7 не подходит по О.Д.З., он меньше 2, а x = 3 этому условию удовлетворяет.

Ответ: x = 3  

2) |x – 1| = 1 – x².

1. О.Д.З. 1 – x² ≥ 0. Решим методом интервалов данное неравенство:

             (1 – x)(1 + x) ≥ 0

             -1 ≤ x ≤ 1  

2. Решение:

x – 1 = 1 – x²      или   x – 1 = -(1 – x²)

x² + x – 2 = 0            x² – x = 0

x = -2 или x = 1         x = 0 или x = 1

3. Объединяем решение и О.Д.З.:

Подходят только корни x = 1 и x = 0.

Ответ: x = 0, x = 1. 

4. Уравнение вида |f(x)| = |g(x)|. Такое уравнение равносильно двум следующим уравнениям f(x) = g(x) или f(x) = -g(x).

Пример:

1) |x² – 5x + 7| = |2x – 5|. Данное уравнение равносильно двум следующим:

x² – 5x + 7  = 2x – 5 или x² – 5x +7  = -2x + 5   

x² – 7x + 12  = 0            x² – 3x + 2  = 0

x = 3 или x = 4             x = 2 или x = 1  

Ответ: x = 1, x = 2, x = 3, x = 4.

5. Уравнения, решаемые методом подстановки (замены переменной). Данный метод решения проще всего объяснить на конкретном примере. Так, пусть дано квадратное уравнение с модулем:

 x² – 6|x| + 5 = 0. По свойству модуля x² = |x|², поэтому уравнение можно переписать  так:

|x|² – 6|x| + 5 = 0. Сделаем замену |x| = t ≥ 0, тогда будем иметь:

t² – 6t + 5 = 0. Решая данное уравнение, получаем, что t = 1 или t = 5. Вернемся к замене:

|x| = 1 или |x| = 5

x = ±1        x = ± 5

Ответ: x = -5, x = -1, x = 1, x = 5. 

Рассмотрим еще один пример:

x² + |x| – 2 = 0. По свойству модуля  x² = |x|², поэтому

|x|² + |x| – 2 = 0. Сделаем замену |x| = t ≥ 0, тогда:

t² + t – 2 = 0. Решая данное уравнение, получаем, t = -2 или t = 1. Вернемся к замене:

|x| = -2   или |x| = 1

Нет корней     x = ± 1

Ответ: x = -1, x = 1.

6. Еще один вид уравнений – уравнения со «сложным» модулем. К таким уравнениям относятся уравнения, в которых есть «модули в модуле». Уравнения данного вида можно решать, применяя свойства модуля.

Примеры:

1) |3 – |x|| = 4. Будем действовать так же, как и в уравнениях второго типа. Т.к. 4 > 0, то получим два уравнения:

3 – |x| = 4 или  3 – |x| = -4.

Теперь выразим в каждом уравнении модуль х, тогда |x| = -1 или |x| = 7.

Решаем каждое из полученных уравнений. В первом уравнении нет корней, т.к. -1 < 0, а во втором x = ±7.

Ответ x = -7, x = 7.

2) |3 + |x + 1|| = 5. Решаем это уравнение аналогичным образом:

3 + |x + 1| = 5      или     3 + |x + 1| = -5

|x + 1| = 2                       |x + 1| = -8

x + 1 = 2 или x + 1 = -2.   Нет корней.

x = 1            x = -3

Ответ: x = -3, x = 1.

Существует еще и универсальный метод решения уравнений с модулем. Это метод интервалов. Но мы его рассмотрим в дальнейшем.

© blog.tutoronline.ru,
при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Уравнения и неравенства с модулем

Эта статья посвящена приёмам решения различных уравнений и неравенств, содержащих
переменную под знаком модуля.

Если на экзамене вам попадётся уравнение или неравенство с модулем, его можно решить,
вообще не зная никаких специальных методов и пользуясь только определением модуля. Правда,
занять это может часа полтора драгоценного экзаменационного времени.

Поэтому мы и хотим рассказать вам о приёмах, упрощающих решение таких задач.

Прежде всего вспомним, что

Рассмотрим различные типы уравнений с модулем. (К неравенствам перейдём позже.)

Слева модуль, справа число

Это самый простой случай. Решим уравнение

Есть только два числа, модули которых равны четырём. Это 4 и −4. Следовательно, уравнение
равносильно совокупности двух простых:

или

Второе уравнение не имеет решений. Решения первого: x = 0 и x = 5.

Ответ: 0; 5.

Переменная как под модулем, так и вне модуля

Здесь приходится раскрывать модуль по определению. . . или соображать!

1.

Уравнение распадается на два случая, в зависимости от знака выражения под модулем.
Другими словами, оно равносильно совокупности двух систем:

Решение первой системы: . У второй системы решений нет.
Ответ: 1.

2.

Первый случай: x ≥ 3. Снимаем модуль:

Число , будучи отрицательным, не удовлетворяет условию x ≥ 3 и потому не является корнем исходного уравнения.

Выясним, удовлетворяет ли данному условию число . Для этого составим разность и определим её знак:

Значит, больше трёх и потому является корнем исходного уравнения

Второй случай: x < 3. Снимаем модуль:

Число . больше, чем , и потому не удовлетворяет условию x < 3. Проверим :

Значит, . является корнем исходного уравнения.

Ответ:

3.

Снимать модуль по определению? Страшно даже подумать об этом, ведь дискриминант — не полный квадрат. Давайте лучше воспользуемся следующим соображением: уравнение вида |A| = B равносильно совокупности двух систем:

То же самое, но немного по-другому:

Иными словами, мы решаем два уравнения, A = B и A = −B, а потом отбираем корни, удовлетворяющие условию B ≥ 0.

Приступаем. Сначала решаем первое уравнение:

Затем решаем второе уравнение:

Теперь в каждом случае проверяем знак правой части:

Стало быть, годятся лишь и .

Ответ:

Квадратные уравнения с заменой |x| = t

Решим уравнение:

Поскольку , удобно сделать замену |x| = t. Получаем:

Ответ: ±1.

Модуль равен модулю

Речь идёт об уравнениях вида |A| = |B|. Это — подарок судьбы. Никаких раскрытий модуля по определению! Всё просто:

Например, рассмотрим уравнение: . Оно равносильно следующей совокупности:

Остаётся решить каждое из уравнений совокупности и записать ответ.

Два или несколько модулей

Решим уравнение:

Не будем возиться с каждым модулем по отдельности и раскрывать его по определению — слишком много получится вариантов. Существует более рациональный способ — метод интервалов.

Выражения под модулями обращаются в нуль в точках x = 1, x = 2 и x = 3. Эти точки делят числовую прямую на четыре промежутка (интервала). Отметим на числовой прямой эти точки и расставим знаки для каждого из выражений под модулями на полученных интервалах. (Порядок следования знаков совпадает с порядком следования соответствующих модулей в уравнении.)

Таким образом, нам нужно рассмотреть четыре случая — когда x находится в каждом из интервалов.

Случай 1: x ≥ 3. Все модули снимаются «с плюсом»:

Полученное значение x = 5 удовлетворяет условию x ≥ 3 и потому является корнем исходного уравнения.

Случай 2: 2 ≤ x ≤ 3. Последний модуль теперь снимается «с минусом»:

Полученное значение x также годится — оно принадлежит рассматриваемому промежутку.

Случай 3: 1 ≤ x ≤ 2. Второй и третий модули снимаются «с минусом»:

Мы получили верное числовое равенство при любом x из рассматриваемого промежутка [1; 2] служат решениями данного уравнения.

Случай 4: x ≤ 1 ≤ 1. Второй и третий модули снимаются «с минусом»:

Ничего нового. Мы и так знаем, что x = 1 является решением.

Ответ: [1; 2] ∪ {5}.

Модуль в модуле

Решим уравнение:

Начинаем с раскрытия внутреннего модуля.

1) x ≤ 3. Получаем:

Выражение под модулем обращается в нуль при . Данная точка принадлежит рассматриваемому
промежутку. Поэтому приходится разбирать два подслучая.

1.1) Получаем в этом случае:

Это значение x не годится, так как не принадлежит рассматриваемому промежутку.

1.2) . Тогда:

Это значение x также не годится.

Итак, при x ≤ 3 решений нет. Переходим ко второму случаю.

2) x ≥ 3. Имеем:

Здесь нам повезло: выражение x + 2 положительно в рассматриваемом промежутке! Поэтому никаких подслучаев уже не будет: модуль снимается «с плюсом»:

Это значение x находится в рассматриваемом промежутке и потому является корнем исходного уравнения.

Ответ: 4.

Так решаются все задачи данного типа — раскрываем вложенные модули по очереди, начиная с внутреннего.

Читайте также о том, как решать неравенства с модулем.

Модуль в модуле

Среди примеров на модули часто встречаются уравнения где нужно найти корни модуля в модуле, то есть уравнение вида
||a*x-b|-c|=k*x+m.
Если k=0, то есть правая сторона равна постоянной (m) то проще искать решение уравнения с модулями графически. Ниже приведена методика раскрытия двойных модулей на распространенных для практики примерах. Хорошо разберите алгоритм вычисления уравнений с модулями, чтобы не иметь проблем на контрольных, тестах, и просто, чтобы знать.

Пример 1. Решить уравнение модуль в модуле |3|x|-5|=-2x-2.
Решение: Всегда начинают раскрывать уравнения с внутреннего модуля
|x|=0 <-> x=0.
В точке x=0 уравнения с модулем разделяется на 2.
При x < 0 подмодульная функция отрицательная, поэтому при раскрытии знак меняем на противоположный
|-3x-5|=-2x-2.
При x>0 или равно, раскрывая модуль получим
|3x-5|=-2x-2.
Решим уравнение для отрицательных переменных (x < 0). Оно разлагается на две системы уравнений. Первое уравнение получаем из условия, что функция после знака равенства неотрицательна. Второе — раскрывая модуль в одной системе принимаем, что подмодульная функция положительная, в иной отрицательная — меняем знак правой или левой части (зависит от методики преподавания).

Из первого уравнения получим что решение не должно превышать (-1), т.е.

Это ограничение полностью принадлежит области в которой решаем. Перенесем переменные и постоянные по разные стороны равенства в первой и второй системе

и найдем решение

Оба значения принадлежат промежутку что рассматривается, то есть являются корнями.
Рассмотрим уравнение с модулями при положительных переменных
|3x-5|=-2x-2.
Раскрывая модуль получим две системы уравнений

Из первого уравнения, которое является общим для двух сиcтем, получим знакомое условие

которое в пересечении с множеством, на котором ищем решение дает пустое множество (нет точек пересечения). Итак единственными корнями модуля с модулем являются значения
x=-3; x=-1,4.

Пример 2. Решить уравнение с модулем ||x-1|-2|=3x-4.
Решение: Начнем с раскрытия внутреннего модуля
|x-1|=0 <=> x=1.
Подмодульная функция меняет знак в единице. При меньших значениях она отрицательная, при больших — положительная. В соответствии с этим при раскрытии внутреннего модуля получим два уравнения с модулем
x |-(x-1)-2|=3x-4;
x>=1 -> |x-1-2|=3x-4.
Обязательно проверяем правую сторону уравнения с модулем, она должна быть больше нуля.
3x-4>=0 -> x>=4/3.
Это означает, что первое из уравнений нет необхидноcти решать, поcкольку оно выпиcано для x< 1,что не соответствует найденному условию. Раскроем модуль во втором уравнении
|x-3|=3x-4 ->
x-3=3x-4 или x-3=4-3x;
4-3=3x-x или x+3x=4+3;
2x=1 или 4x=7;
x=1/2 или x=7/4.
Получили два значения, первое из которых отвергаем, поскольку не принадлежит нужному интервалу. Окончательно уравнение имеет одно решение x=7/4.

Пример 3. Решить уравнение с модулем ||2x-5|-1|=x+3.
Решение: Раскроем внутренний модуль
|2x-5|=0 <=> x=5/2=2,5.
Точка x=2,5 разбивает числовую ось на два интервала. Соответственно, подмодульная функция меняет знак при переходе через 2,5. Выпишем условие на решение с правой стороны уравнения с модулем.
x+3>=0 -> x>=-3.
Итак решением могут быть значения, не меньше (-3). Раскроем модуль для отрицательного значения внутреннего модуля
|-(2x-5)-1|=x+3;
|-2x+4|=x+3.
Этот модуль также при раскрытии даст 2 уравнения
-2x+4=x+3 или 2x-4=x+3;
2x+x=4-3 или 2x-x=3+4;
3x=1; x=1/3 или x=7.
Значение x=7 отвергаем, поскольку мы искали решение на промежутке [-3;2,5]. Теперь раскрываем внутренний модуль для x>2,5. Получим уравнение с одним модулем
|2x-5-1|=x+3;
|2x-6|=x+3.
При раскрытии модуля получим следующие линейные уравнения
-2x+6=x+3 или 2x-6=x+3;
2x+x=6-3 или 2x-x=3+6;
3x=3; x=1 или x=9.
Первое значение x=1 не удовлетворяет условие x>2,5. Так что на этом интервале имеем один корень уравнения с модулем x=9, а всего их два (x=1/3).Подстановкой можно проверять правильность выполненных вычислений
Ответ: x=1/3; x=9.

Пример 4. Найти решения двойного модуля ||3x-1|-5|=2x-3.
Решение: Раскроем внутренний модуль уравнения
|3x-1|=0 <=> x=1/3.
Точка x=2,5 делит числовую ось на два интервала, а заданное уравнение на два случая. Записываем условие на решение, исходя из вида уравнения с правой стороны
2x-3>=0 -> x>=3/2=1,5.
Отсюда следует, что нас интересуют значения >=1,5. Таким образом модульное уравнения рассматриваем на двух интервалах
[1,5; 2,5], [2,5; +бесконечность).
Раскроем модуль при отрицательных значениях внутреннего модуля [1,5; 2,5]
|-(3x-1)-5|=2x-3;
|-3x-4|=2x-3.
Полученный модуль при раскрытии делится на 2 уравнения
-3x-4=2x-3 или 3x+4=2x-3;
2x+3x=-4+3 или 3x-2x=-3-4;
5x=-1; x=-1/5 или x=-7.
Оба значения не попадают в промежуток [1,5; 2,5], то есть не являются решениями уравнения с модулями. Далее раскроем модуль для x>2,5. Получим следующее уравнение
|3x-1-5|=2x-3;
|3x-6|=2x-3.
Раскрывая модуль, получим 2 линейные уравнения
3x-6=2x-3 или –(3x-6)=2x-3;
3x-2x=-3+6 или 2x+3x=6+3;
x=3 или 5x=9; x=9/5=1,8.
Второе значение из найденных не соответствует условию x>2,5, его мы отвергаем.
Наконец имеем один корень уравнения с модулями x=3.
Выполняем проверку
||3*3-1|-5|=2*3-3 3=3.
Корень уравнения с модулем вычислено правильно.
Ответ: x=1/3; x=9.

Примеров с модулями где есть один или несколько вложенных модулей в интернете или методичке можно найти немало. Схема их вычислений ничем не отличается от приведенной выше. Для проверки знаний прошу решить следующие задачи.

Равнение на модуль в модуле:

• ||3x-3|-2|=5-2x;
• ||5x-3|-3|=3x-1;
• ||2x-7|-4|=x-2;
• ||5x-4|-8|=x+4;
• ||2x-2|-3|=1;
• ||x-2|-3|=4-x.

Похожие материалы:

19. Уравнения с модулем | Контрольные работы по математике и другим пре

Модулем (Абсолютной величиной) Числа называется неотрицательное число:

(3.9)

Геометрическая интерпретация модуля: – это расстояние от точки А до точки Х на координатной оси, в частности, – это расстояние от точки 0 до точки Х.

Свойства модуля:

1) 2) 3)

4) 5) 6)

7) 8) 9)

Пусть – некоторое алгебраическое выражение. Тогда, используя определение модуля (3.9) при соответствующих предположениях, можно раскрыть знак абсолютной величины данного выражения:

Уравнение, содержащее выражение с неизвестной Х под знаком модуля, называется Уравнением с модулем. Рассмотрим основные типы уравнений с модулем и методы их решения.

I тип: уравнение вида

(3. 10)

Где А – число, – некоторое выражение с неизвестной Х.

1. Если уравнение (3.10) решений не имеет.

2. Если уравнение (3.10) равносильно уравнению

3. Если уравнение (3.10) равносильно совокупности уравнений:

II тип: Уравнение вида

Где – некоторые выражения с неизвестной Х.

Решать это уравнение можно несколькими способами.

1-й способ – используя определения модуля:

2-й способ – используя подход к решению, как к уравнениям I типа с дополнительным условием на знак выражения

З а м е ч а н и е. 1-й или 2-й способ решения таких уравнений выбирают в зависимости от того, какое из неравенств или решается легче.

3-й способ – метод интервалов. Необходимо:

1) найти те значения Х, для которых

2) нанести полученные значения Х на числовую ось;

3) определить знаки для каждого из полученных интервалов;

4) нарисовать кривую знаков;

5) решить уравнение на каждом промежутке в отдельности, раскрывая модуль согласно рисунку;

6) для каждого конкретного промежутка проверить, принадлежат ли полученные корни этому промежутку;

7) в ответе указать совокупность всех полученных корней.

III тип: Уравнения, содержащие несколько модулей. Если их два, то это уравнение вида

(3.11)

Где – некоторые выражения с неизвестной Х.

1-й способ – можно использовать определение модуля и рассматривать 4 случая возможных знаков Этот способ, как правило, не является рациональным.

2-й способ – Метод интервалов. Необходимо нарисовать столько числовых осей и кривых знаков, сколько модулей в уравнении. Для уравнения (3.11) рисуют две оси, располагая их одна под другой (одна ось для вторая – для ). Для каждого выражения и следует изобразить кривую знаков на соответствующей оси. Затем раскрывают модули, используя рисунок, и решают уравнение отдельно на каждом промежутке. Подходят только те корни, которые принадлежат рассматриваемому промежутку. В ответе необходимо указать совокупность полученных корней.

IV тип: Уравнение вида

(3.12)

Где – некоторые выражения с неизвестной Х;

1-й способ – решение уравнения (3. 12) сводится к решению совокупности уравнений:

2-й способ – метод интервалов (не рационально).

3-й способ – после возведения уравнения в квадрат и использования свойства модуля уравнение сводится к равносильному:

Полученное уравнение решается в зависимости от его типа.

V тип: Уравнения, решаемые заменой переменной, например:

Где – некоторые выражения с неизвестной Х;

По свойству модуля оно записывается в виде

Вводят замену и решают полученное квадратное уравнение относительно неизвестной У. Затем необходимо вернуться к старой переменной. В случае 2-х различных корней квадратного уравнения это будет совокупность уравнений I типа:

Если корень единственный, то остается решить уравнение

Необходимо помнить, что в случае отрицательного значения уравнение с модулем не имеет решений.

Пример 1. Решить уравнение

Решение. Это уравнение I типа. Его ОДЗ:

Уравнение записывается в виде

На ОДЗ можно сократить и получаем

откуда т. е.

Получаем корни которые подходят по ОДЗ.

Пример 2. Решить уравнение

Решение. Это уравнение II типа. Его ОДЗ: Оно имеет решение, если т. е. при Таким образом, для получаем:

(3.13)

Решим отдельно полученные дробно-рациональные уравнения. Первое уравнение сводится к виду

откуда

Это квадратное уравнение решений не имеет, так как

Из второго уравнения совокупности (3.13) получаем

т. е.

Квадратное уравнение имеет корни:

Т. е. первый корень не принадлежит множеству на котором решали уравнение, следовательно, ответом является только

Пример 3. Решить уравнение

Решение. Имеем уравнение II типа, которое решим по определению модуля:

(3.14)

Решаем первую систему совокупности (3.14):

Значение не подходит по условию Следовательно, корнем является

Решаем вторую систему совокупности (3.14):

Получили ответ

Пример 4. Решить уравнение

Решение. Поскольку то уравнение записывается в виде

Это уравнение относится к III типу уравнений.

Его ОДЗ: Решим методом интервалов.

Нулями выражений, стоящих под модулем, являются и Эти значения разбивают числовую ось на три промежутка (рис. 3.1).

Рис. 3.1

Раскрыв модули на каждом из полученных промежутков, с учетом их знаков, получим совокупность систем:

Решим отдельно системы:

III.

Решением данного уравнения являются значения и

Пример 5. Решить уравнение

Решение. Запишем уравнение в виде

Оно относится к IV типу. Возведем обе его части в квадрат:

После упрощения имеем:

т. е.

Получаем – корень.

Пример 6. Решить уравнение

Решение. ОДЗ: т. е.

Преобразуем данное уравнение к виду

Заменяем

Уравнение приобретает вид

Решаем его как дробно-рациональное и получаем:

Последнее квадратное уравнение имеет корни:

Возвращаясь к переменной Х, получаем:

Второе уравнение совокупности решений не имеет, так как слева положительное выражение, а справа – отрицательное.

Первое уравнение совокупности сводится к I типу уравнений с модулем и равносильно совокупности при условии

Приходим к совокупности

т. е.

Решение имеет только второе уравнение совокупности, его корни:

Оба они подходят по ОДЗ.

Пришли к ответу:

Пример 7. Решить уравнение

Решение. ОДЗ:

С учетом ОДЗ данное уравнение равносильно уравнению:

Используя свойства модуля (имеем сумму двух неотрицательных величин), получаем:

Т. е. – решение полученной системы, оно подходит по ОДЗ.

Получили ответ:

Решение уравнений с модулем (часть 1)

Уравнения с модулем с решениями (часть 1)

перейти к содержанию

Свойства модуля (справочник)

1. Найдите корни уравнения

Решение

Так как и для любого , то . Поэтому и уравнение принимает вид , откуда . Условию удовлетворяет только число .

Ответ:

2. Найдите сумму корней уравнения

Решение

www.itmathrepetitor.ru Раскроем модуль. Для этого рассмотрим первый случай: . Тогда . Корнями этого уравнения являются числа и . После проверки остается только .

Второй случай: . Тогда , откуда . Условию удовлетворяет только .

Сумма корней равна

Ответ:

3. Найдите произведение корней уравнения .

Решение

Пусть , тогда , откуда или , то есть или . Первое уравнение имеет корни , второе уравнение корней не имеет, так как . Значит, произведение корней исходного уравнения равно .

Ответ:

4. Найдите сумму корней уравнения

Решение

www.itmathrepetitor.ru , что равносильно при условии . Корнями первого уравнения совокупности являются числа и , корнями второго — числа и . Неравенству удовлетворяют только и . Значит, сумма корней исходного уравнения равна .

Ответ: 

5. Найдите разность между наибольшим и наименьшим корнями уравнения

Решение

. Пусть , тогда и , то есть или . Первое уравнение корней не имеет, так как . Из второго следует, что . Сумма этих корней равна .

Ответ: 

6. Найдите сумму корней уравнения

Решение

Уравнение равносильно совокупности , откуда  Избавимся от знаменателя: .

Ответ: 

7. Найдите сумму корней уравнения

Решение

www.itmathrepetitor.ru Уравнение равносильно совокупности , откуда . Сумма корней равна .

Ответ: 

8. Решите уравнение

Решение

Нули модулей равны и . Рассмотрим три случая: . Для каждого из них модули раскрываются с определенным знаком.

Первый случай.

, то есть — любое число. С учетом ограничения случая, .

Второй случай. 

. С учетом ограничения случая, корней нет.

Третий случай. 

, то есть корней нет.

Ответ: 

9. Найдите сумму корней уравнения

Решение

Нули модулей равны и . Рассмотрим три случая: . Для каждого из них модули раскрываются с определенным знаком.

Первый случай.

. Найденный корень удовлетворяет ограничению случая.

Второй случай. 

. С учетом ограничения случая, корней нет.

Третий случай. 

. Найденный корень удовлетворяет ограничению случая.

Сумма корней исходного уравнения равна .

Ответ: 

10. Найдите произведение корней уравнения

Решение

Уравнение равносильно совокупности , откуда . Произведение корней равно .

Ответ: 

смотрите раздел «Математика»

Методическое пособие по теме «Уравнения с модулем» (10 класс)

Комсомольская ОШ №5 І – ІІІ ступеней

РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ, СОДЕРЖАЩИХ ЗНАК МОДУЛЯ

2017 год

АННОТАЦИЯ

Решение уравнений с модулем вызывает у учащихся затруднения.

Анализируя задания вступительных экзаменов, необходимо отметить, что очень часто предлагаются задания с модулями. Чтобы помочь учащимся научиться решать уравнения с модулями предлагается данный материал.

Уравнения с модулем разделены на группы по способу их решения. К каждой группе дается теоретический материал, необходимый для решения уравнений данной группы.

Даны решения уравнений каждой группы, а к отдельным уравнениям алгоритм их решения, что позволяет учащимся самообучаться.

Этот материал можно применять на уроках при работе по группам и индивидуально как в классе, так и для домашней работы.

Предназначается учащимся стерших классов.

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ

СОДЕРЖАЩИЕ ПЕРЕМЕННУЮ ПОД ЗНАКОМ МОДУЛЯ

Определение модуля

1. Простейшими уравнениями с модулем являются уравнения вида , (1)

где и — некоторые функции.

Для того чтобы решить данное уравнение, нужно найти сначала все решения уравнения =, принадлежащие множеству , затем решить уравнение = на множестве ; объединение множеств найденных решений составляет множество всех решений уравнения (1). Другими словами, уравнение (1) равносильно совокупности систем

или

Пример 1.

Решите уравнение .

Решение.

Исходное уравнение равносильно совокупности систем:

или

или

Ответ: — 3; — 2; 2; 3.

2. Уравнение вида равносильно совокупности систем (можно решить двумя способами)

или

Пример 2.

Решите уравнение

Решение.

Данное уравнение равносильно совокупности систем:

1)

не удовлетворяет условию , следовательно, система имеет решение .

2)

не удовлетворяет условию , следовательно, вторая система имеет решение .

Ответ: .

3. Уравнение вида , где — некоторые функции, равносильно совокупности систем

Пример 3.

Решите уравнение

Решение.

Данное уравнение равносильно совокупности двух систем:

1) , система не имеет решений.

2) , .

Ответ:

4. При решении уравнения, в котором под знаком модуля находится выражение, содержащее модуль, следует сначала освободиться от внутренних модулей, а затем в полученных уравнениях раскрыть оставшиеся модули.

Пример 4.

Решите уравнение .

Решение.

Данное уравнение равносильно совокупности двух систем

или

то есть совокупности систем

или

Вторая система решений не имеет. Первая система равносильна двум следующим системам:

или

или

Ответ: 0.

5.Метод разбиения на промежутки. Уравнение вида (2)

Решается методом интервалов (или методом разбиения на промежутки). Для этого находят сначала все точки, в которых

Эти точки делят область допустимых значений уравнения (2) на промежутки, на каждом из которых все функции сохраняют знак (считаем знак каждого модуля на указанном промежутке). Затем переходят от уравнения (2) и совокупности систем, не содержащих знаков модуля.

Пример 5.

Решите уравнение .

Решение.

1)

2)

3)

Ответ:

Пример 6.

Решите уравнение .

Решение.

0 2 7

1) нет решений.

2) нет решений.

3) нет решений.

4) нет решений.

Ответ: корней нет.

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ

І способ

Раскрыть модуль по определению

ІІ способ

Возведение обеих частей в квадрат

ІІІ способ

Метод разбиения на промежутки

ПРИМЕРЫ

Пример №1

Решение

І способ (по определению)

Ответ: -1; 7.

ІІ способ (возведение обеих частей в квадрат)

Ответ: -1; 7.

Пример №2

Решение

І способ (по определению)

Ответ: нет решения

ІІ способ (возведение обеих частей в квадрат)

Так как правая часть функция, то

Ответ: нет решения.

Пример №3

Решение

Воспользуемся методом возведения в квадрат обеих частей.

Ответ:

Пример №4

Решение

Используем метод разбиения на промежутки.

-2 -1

Ответ: -2,5; -0,5.

Пример №5

Решение.

Разложим на линейные множители.

По теореме Виета

Получили

Решим методом разбиения на интервалы

0 1 2

Если , тогда

Так как , то на данном промежутке решением является .

Если , тогда

Так как , то на данном промежутке нет решения.

Если , тогда

Так как , то на данном промежутке нет решения.

Если , тогда

Так как , то на данном промежутке решением является .

Ответ: ; .

РЕШИ САМОСТОЯТЕЛЬНО.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17. Найдите наименьшее целое значение , удовлетворяющее уравнению .

18. Найдите все корни уравнения , удовлетворяющие неравенству .

ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ.

1.

2. Воспользуйтесь методом разбиения на промежутки.

16. . 17. . 18.

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ

С МОДУЛЕМ, СОДЕРЖАЩИЕ ПАРАМЕТР.

1. Для каждого значения параметра найдите число корней уравнения .

Решение. Запишем уравнение в виде , так как не является корнем уравнения. Количество корней данного уравнения будет соответствовать количеству точек пересечения графика функции с прямой . Построим график функции , который состоит из двух частей:

при ;

при .

Из рисунка видно, что

при имеет единственную точку пересечения, а значит, единственный корень;

при имеет две точки пересечения, а значит, исходное уравнение имеет два корня;

при — одна точка пересечения, а значит, уравнение имеет единственный корень.

Осталось проверить, сколько корней имеет исходное уравнение при и .

Пусть , тогда исходное уравнение примет вид . Определим количество корней данного уравнения.

— единственный корень.

Пусть , тогда имеем уравнение:

— единственный корень.

Ответ: при уравнение имеет единственный корень;

при уравнение имеет два корня;

при уравнение имеет единственное решение.

2. Для каждого значения параметра найдите число корней уравнения .

Решение. Перепишем уравнение в виде .

Для решения задачи определим количество точек пересечения графика функции и . Построим график функции

,

который состоит из двух частей:

при ;

при

Из рисунка видно, что при любом значении параметра исходное уравнение имеет один корень.

Ответ: при любом значении параметра исходное уравнение имеет один корень.

3. При каких значениях параметра уравнение

Имеет хотя бы одно решение?

Решение. Подмодульная функция

Пусть , тогда

(1)

Если , то , так как , причем равенство достигается только при , то есть .

Если , то , равенство достигается только при .

Итак, при всех . Так как , то уравнение (1) равносильно системе и только при найденных значениях параметра исходное уравнение имеет решение, а именно .

Ответ: при и

РЕШИ САМОСТОЯТЕЛЬНО.

1. Для каждого значения параметра найдите число корней уравнения

2. Для каждого значения параметра найдите число корней уравнения

3. При каких значениях параметра уравнение имеет хотя бы одно решение?

ОТВЕТЫ

1. При уравнение имеет единственный корень;

при уравнение имеет два корня.

2. При любом значении параметра уравнение имеет единственный корень.

3. При и

Решение более простых абсолютных уравнений | Purplemath

Purplemath

Когда мы берем абсолютное значение числа, мы всегда получаем положительное число (или ноль). Независимо от того, был ли вход положительным или отрицательным (или нулевым), выход всегда положительный (или нулевой). Например, | 3 | = 3 и | –3 | = 3 тоже.

Это свойство — положительное и отрицательное превращение в положительное — делает решение абсолютных уравнений немного сложным.Но как только вы усвоите «трюк», они не так уж и плохи. Начнем с простого:

MathHelp.com

Я уже решил эту проблему в своем обсуждении выше:

Значит, x должно быть равно 3 или равно –3.

Но как мне решить эту проблему, если я, , не знаю, уже ответ? Я буду использовать свойство положительного / отрицательного абсолютного значения, чтобы разделить уравнение на два случая, и я буду использовать тот факт, что знак «минус» в отрицательном случае означает «противоположный знак», а не «отрицательное число».

Например, если у меня x = –6, то «- x » означает «противоположность x » или, в данном случае, — (- 6) = +6, положительное число.Знак «минус» в «- x » просто указывает на то, что я меняю знак на x . Это означает, что , а не , означает отрицательное число. Это различие очень важно!

Каким бы ни было значение x , взятие абсолютного значения x делает его положительным. Поскольку значение x изначально могло быть положительным, а может быть отрицательным, я должен признать этот факт, когда удаляю столбцы абсолютного значения.Я делаю это, разбивая уравнение на два случая. Для этого упражнения это следующие случаи:

а. Если значение x было неотрицательным (то есть, если оно было положительным или нулевым) для начала, то я могу вывести это значение из столбцов абсолютного значения, не меняя его знака, давая мне уравнение x = 3.

г. Если значение x изначально было отрицательным, то я могу вывести это значение из столбцов абсолютного значения, изменив знак на x , получив уравнение — x = 3, которое решает как х = –3.

Тогда мое решение —

Кстати, мы можем проверить это решение графически. Когда мы пытаемся решить уравнение абсолютных значений | x | = 3, мы, по сути, приравниваем два линейных уравнения друг другу и находим, где они пересекаются. Например:

Выше я построил график y ₁ = | x | (синяя линия, которая выглядит как «V») и y ₂ = 3 (зеленая горизонтальная линия).Эти два графика пересекаются при x = –3 и x = +3 (две красные точки).

Если вы хотите проверить свои ответы на тесте (перед тем, как сдать его), может быть полезно подключить каждую сторону исходного уравнения абсолютного значения в ваш калькулятор как их собственные функции; затем спросите у калькулятора точки пересечения.

Конечно, любое решение также можно проверить, вставив его обратно в исходное упражнение и подтвердив, что левая часть (LHS) уравнения упрощается до того же значения, что и правая часть (RHS). уравнение.Вот мой чек для приведенного выше уравнения:

Если вы когда-нибудь сомневаетесь в своем решении уравнения, попробуйте построить график или попробуйте снова вставить свое решение в исходный вопрос. Проверяю свою работу всегда нормально!

Шаг выше, где уравнение абсолютного значения было переформулировано в двух формах, одна со знаком «плюс», а другая со знаком «минус», дает нам удобный способ упростить ситуацию: когда мы изолировали абсолютное значение и перейти к снятию стержней, мы можем разделить уравнение на два случая; мы обозначим эти случаи, поставив «минус» на противоположной стороне уравнения (для одного случая) и «плюс» на противоположной стороне (для другого).Вот как это работает:

• Решить |

  x + 2 | = 7 и проверьте свое решение (я).

Абсолютное значение выделено в левой части уравнения, поэтому я уже настроил его, чтобы разделить уравнение на два случая. Чтобы очистить столбцы абсолютного значения, я должен разделить уравнение на два возможных случая, по одному для каждого случая, если содержимое столбцов абсолютного значения (то есть, если «аргумент» абсолютного значения) отрицательное, и если он неотрицательный (то есть положительный или нулевой).Для этого я создаю два новых уравнения, единственное различие между которыми — это знак в правой части. Сначала сделаю «минус»:

x + 2 = –7

x + 2 = –7

x = –9

Теперь я займусь неотрицательным случаем, когда я могу просто опустить столбцы и решить:

Теперь мне нужно проверить свои решения.Я сделаю это, вставив их обратно в исходное уравнение, поскольку оценщик не видит, как я проверяю графики на моем графическом калькуляторе.

Оба решения проверяют, поэтому мой ответ:

• Решить | 2

  x — 3 | — 4 = 3

Во-первых, я выделю часть уравнения, относящуюся к абсолютным значениям; то есть я получу само выражение абсолютного значения с одной стороны от знака «равно», а все остальное — с другой стороны:

| 2 x — 3 | — 4 = 3

| 2 x — 3 | = 7

Теперь я очищу столбцы абсолютных значений, разделив уравнение на два случая, по одному для каждого знака аргумента.Сначала сделаю отрицательный случай:

2 x — 3 = –7

2 x = –4

x = –2

А затем сделаю неотрицательный случай:

2 x — 3 = 7

2 x = 10

х = 5

Это упражнение не говорит мне о проверке, поэтому я не буду.(Но, если бы я хотел, я мог бы вставить «abs (2X – 3) –4» и «3» в свой калькулятор (как Y1 и Y2, соответственно), и увидеть, что точки пересечения были на моем x -значения.) Мой ответ:

URL: https://www.purplemath.com/modules/solveabs.htm

Модульный арифметический решатель

— Калькулятор сравнения

Поиск инструмента

Решатель модульных уравнений

Инструмент / решатель для решения модульного уравнения.Модульное уравнение — это математическое выражение, представленное в форме сравнения по крайней мере с одной неизвестной переменной.

Результаты

Модуль решения модульных уравнений

— dCode

Тэги: Арифметика

Поделиться

dCode и другие

dCode является бесплатным, а его инструменты являются ценным подспорьем в играх, математике, геокешинге, головоломках и задачах, которые нужно решать каждый день!
Предложение? обратная связь? Жук ? идея ? Запись в dCode !

Калькулятор модульных уравнений

Решение уравнений с несколькими модулями

В частном случае одно неизвестное с несколькими уравнениями с несколькими модулями , есть китайская теорема об остатках:

Ответы на вопросы (FAQ)

Что такое модульное уравнение? (Определение)

Модульное уравнение — это уравнение (или система уравнений, по крайней мере, с одной неизвестной переменной), действительное в соответствии с линейным сравнением (по модулю / модулю).С модулем вместо того, чтобы говорить о равенстве, принято говорить о конгруэнтности.

Для системы уравнений с несколькими модулями (нелинейной) это другой расчет, который может быть решен с помощью калькулятора, решающего китайскую проблему остатков, доступную в dCode.

Как решить модульное уравнение?

Как решить несколько уравнений?

Введите по одному уравнению в каждой строке или разделите их оператором &&.

Как написать символ сравнения ≡?

Нет необходимости писать ≡ (конгруэнтно), чтобы dCode мог решать уравнения, достаточно знака равенства =.

Задайте новый вопрос

Исходный код

dCode сохраняет за собой право собственности на исходный код онлайн-инструмента Modular Equation Solver. За исключением явной лицензии с открытым исходным кодом (обозначенной CC / Creative Commons / free), любой алгоритм, апплет или фрагмент «Modular Equation Solver» (преобразователь, решатель, шифрование / дешифрование, кодирование / декодирование, шифрование / дешифрование, переводчик) или любой «Modular Equation Solver» Функция Equation Solver (вычисление, преобразование, решение, дешифрование / шифрование, дешифрование / шифрование, декодирование / кодирование, перевод), написанная на любом информатическом языке (Python, Java, PHP, C #, Javascript, Matlab и т. Д.)) и никакая загрузка данных, скрипт, копипаст или доступ к API для «Modular Equation Solver» не будут бесплатными, то же самое для автономного использования на ПК, планшете, iPhone или Android! dCode распространяется бесплатно и онлайн.

Нужна помощь?

Пожалуйста, посетите наше сообщество dCode Discord для запросов о помощи!
NB: для зашифрованных сообщений проверьте наш автоматический идентификатор шифра!

Вопросы / комментарии

Сводка

Похожие страницы

Поддержка

Форум / Справка

Ключевые слова

модульный, модуль, модуль, уравнение, сравнение, конгруэнтность, модуль, равенство, калькулятор

Ссылки

Источник: https: // www.dcode.fr/modular-equation-solver

© 2021 dCode — Идеальный «инструментарий» для решения любых игр / загадок / геокэшинга / CTF.

Алгебра 1 | SkillsCommons Support

Вернуться к развитию Ed Open CourseWare

Предварительный просмотр онлайн-программы: Алгебра 1

Аудитория: Разработчики учебных заведений, производственное обучение и студенты

Алгебра 1 является частью серии Essential Pre-College Math (EPM), состоящей из 16 онлайн-модулей для самостоятельного изучения, которые охватывают различные темы, от базовых свойств чисел до факторизации и построения графиков многочленов.Модули предназначены для того, чтобы помочь учащимся просмотреть или усвоить контент, обычно охватываемый курсами предварительной алгебры и алгебры I, преподаваемыми в средней школе, и в то же время представлять материал с аутентичными примерами, показывающими, как математика используется в различных областях обучения, связанных с работа для инженеров-архитекторов или строителей. Модульная структура модулей для самостоятельного обучения позволяет студентам работать над своими слабыми местами, не требуя от них тратить время на материал, который они уже освоили.Этот курс прошел тщательную проверку профильных экспертов.

Обзор предметной области
Обзор малого и среднего бизнеса: Алгебра 1

Начальный курс алгебры Модуль 1: Уравнения первой степени и неравенства в одной переменной

Студенты будут использовать свойства равенства и действительных чисел для решения уравнений первой степени, неравенств и абсолютных значений. Начальный модуль алгебры 1: Уравнения первой степени и неравенства с одной переменной, состоит из 2 заданий, введения и 5 разделов: предварительная оценка, начало модуля 1 Введение, раздел 1: Действительные числа, Раздел 2: Свойства сложения и умножения равенства и уравнений, Раздел 3: Неравенства, Раздел 4: Абсолютное значение и неравенства, Раздел 5: Перевод словесных заявлений в математические утверждения, Пост-оценка.

Предварительный просмотр онлайн-курса: Модуль 1 алгебры: Уравнения первой степени и неравенства с одной переменной
Материалы для загрузки: Модуль 1: Уравнения первой степени и неравенства с одной переменной

Начальный курс алгебры Модуль 2: Линейные уравнения I

Студенты будут отображать решения линейных уравнений на плоскости и составлять уравнения по точкам и наклонам. Начальный модуль алгебры 2: Линейные уравнения I включает: Предварительная оценка, Введение: Линейные уравнения I, Раздел 1: Прямоугольная система координат, Раздел 2: Графики прямых линий, Раздел 3: Наклон, Раздел 4: Формы линейных уравнений, Пост -Оценка.

Предварительный просмотр онлайн-курса: Начальная алгебра Модуль 2: Линейные уравнения I
Материалы для загрузки: Начальный курс алгебры Модуль 2: Линейные уравнения I

Начальный курс алгебры Модуль 3: Линейные уравнения II

Студенты будут использовать графический калькулятор, чтобы найти наиболее подходящую линию, решить различные прикладные задачи, связанные с линейными уравнениями, определить функции и использовать обозначения функций. Модуль включает: Предварительная оценка, Модуль 3 Введение, Раздел 1: Введение в линейную регрессию, Раздел 2: Введение в приложения, включающие линейные уравнения, Раздел 3: Введение в линейные функции, Пост-оценка.

Предварительный просмотр онлайн-курса: Начальный модуль алгебры 3: Линейные уравнения II
Материалы для загрузки: Начальный курс алгебры Модуль 3: Линейные уравнения II

Начальный курс алгебры Модуль 4: Системы линейных уравнений и неравенства с двумя переменными

Начальный курс алгебры Модуль 5: Выражение переменной I

Начальный курс алгебры Модуль 6: Выражение переменной II

Учащиеся будут управлять выражениями переменных, используя свойства действительных чисел и правила возведения в степень, а также использовать методы для решения полиномиальных функций.Модуль включает: Предварительная оценка, Модуль 6 Введение: Выражение переменной II, Раздел 1: Умножение 1, Раздел 2: Умножение 2, Раздел 3: Деление с многочленами, Раздел 4: Полиномы от нескольких переменных, Раздел 5: Алгебра функций , Пост-оценка.

Предварительный просмотр онлайн-курса: Модуль 6 для начинающих: Выражение переменной II
Материалы для загрузки: Модуль 6 для начала алгебры: Выражение переменной II

Начало алгебры Модуль 7: Факторинг

Студенты успешно разложат на множители выражения второй и третьей степени, используя общие методы факторизации, и будут использовать правило свойства нулевого фактора для решения уравнений и функций второй степени.Модуль включает: Предварительная оценка, Введение: Факторинг, Раздел 1: Введение в полиномиальные уравнения, Раздел 2: Уравнения второй степени общего типа, Раздел 3: Факторинг уравнений второй степени с ведущим коэффициентом, Раздел 4: Специальные факторизации, Раздел 5 : Общие стратегии факторинга многочленов, пост-оценка.

Предварительный просмотр онлайн-курса: Начальный модуль алгебры 7: Факторинг
Материалы для загрузки: Начальный курс алгебры Модуль 7: Факторинг

Модуль 8 для начинающих: построение полиномиальных уравнений в виде графиков

Все, что вам нужно знать — настоящий Python

В этой статье вы узнаете все о математическом модуле Python math .Математические вычисления — неотъемлемая часть большинства разработок Python. Независимо от того, работаете ли вы над научным проектом, финансовым приложением или каким-либо другим видом программирования, вам просто не избежать математики.

Для простых математических вычислений в Python вы можете использовать встроенные математические операторы , такие как сложение ( + ), вычитание ( - ), деление (/) и умножение ( * ). . Но более сложные операции, такие как экспоненциальные, логарифмические, тригонометрические или степенные функции, не встроены.Означает ли это, что вам нужно реализовать все эти функции с нуля?

К счастью, нет. Python предоставляет модуль, специально разработанный для математических операций более высокого уровня: модуль math .

К концу этой статьи вы узнаете:

• Что такое модуль Python math
• Как использовать функции модуля math для решения реальных задач
• Какие константы математического модуля , включая пи, тау и число Эйлера
• В чем разница между встроенными функциями и математическими функциями
• В чем разница между math , cmath и NumPy

Здесь вам пригодится математический опыт, но не беспокойтесь, если математика не ваша сильная сторона.Эта статья объяснит основы всего, что вам нужно знать.

Итак, приступим!

Знакомство с Python

math Module

Модуль Python math — важная функция, предназначенная для работы с математическими операциями. Он поставляется в стандартной версии Python и был там с самого начала. Большинство функций модуля math представляют собой тонкие оболочки математических функций платформы C.Поскольку его основные функции написаны на CPython, модуль math эффективен и соответствует стандарту C.

Модуль Python math предлагает вам возможность выполнять общие и полезные математические вычисления в вашем приложении. Вот несколько практических применений модуля math :

• Вычисление комбинаций и перестановок с использованием факториалов
• Расчет высоты столба с помощью тригонометрических функций
• Расчет радиоактивного распада с использованием экспоненциальной функции
• Расчет кривой подвесного моста с использованием гиперболических функций
• Решение квадратных уравнений
• Моделирование периодических функций, таких как звуковые и световые волны, с использованием тригонометрических функций

Поскольку модуль math входит в состав версии Python, вам не нужно устанавливать его отдельно.Использование — это просто импорт модуля:

Вы можете импортировать модуль Python math , используя указанную выше команду. После импорта вы можете сразу использовать его.

Константы математического модуля

Модуль

Модуль Python math предлагает множество предопределенных констант . Доступ к этим константам дает несколько преимуществ. Во-первых, вам не нужно вручную жестко закодировать их в своем приложении, что сэкономит вам много времени.Кроме того, они обеспечивают согласованность всего кода. Модуль включает в себя несколько известных математических констант и важных значений:

• Pi
• Тау
• Число Эйлера
• бесконечность
• Не число (NaN)

В этом разделе вы узнаете о константах и ​​о том, как их использовать в коде Python.

Pi

Пи (π) — это отношение длины окружности ( c ) к ее диаметру ( d ):

π = с / д

Это соотношение всегда одинаково для любого круга.

Пи — это иррациональное число , что означает, что его нельзя выразить простой дробью. Следовательно, у пи бесконечное количество десятичных знаков, но оно может быть приблизительно равно 22/7 или 3,141.

Интересный факт: Пи — самая признанная и известная математическая константа в мире. У него есть своя собственная дата празднования, называемая Днем Пи, которая приходится на 14 марта (3/14).

Вы можете получить доступ к пи следующим образом:

>>>

  >>> математ.Пи
3,1415589793
  

Как видите, число пи в Python дается с точностью до пятнадцати десятичных знаков. Количество предоставленных цифр зависит от базового компилятора C. По умолчанию Python печатает первые пятнадцать цифр, а math.pi всегда возвращает значение с плавающей запятой.

Итак, каковы некоторые из способов, которыми пи может быть вам полезен? Вы можете рассчитать длину окружности, используя 2π r , где r — радиус окружности:

>>>

  >>> г = 3
>>> окружность = 2 * математика.пи * р
>>> f "Окружность круга = 2 * {math.pi: .4} * {r} = {окружность: .4}"
'Окружность круга = 2 * 3,142 * 3 = 18,85'
  

Вы можете использовать math.pi для вычисления длины окружности. Вы также можете рассчитать площадь круга по формуле π r ² следующим образом:

>>>

  >>> г = 5
>>> площадь = math.pi * r * r
>>> f "Площадь круга = {math.pi: .4} * {r} * {r} = {area: .4}"
«Площадь круга = 3.142 * 5 * 5 = 78,54 '
  

Вы можете использовать math.pi для вычисления площади и длины окружности. Когда вы выполняете математические вычисления с помощью Python и сталкиваетесь с формулой, в которой используется π, рекомендуется использовать значение пи, заданное модулем math , вместо жесткого кодирования значения.

Тау

Тау (τ) — отношение длины окружности к ее радиусу. Эта константа равна 2π, или примерно 6,28. Как и пи, тау — иррациональное число, потому что оно просто пи умноженное на два.

Во многих математических выражениях используется 2π, и использование тау вместо этого может помочь упростить ваши уравнения. Например, вместо вычисления длины окружности с 2π r , мы можем подставить tau и использовать более простое уравнение τ r .

Однако использование тау в качестве постоянной окружности все еще обсуждается. Вы можете свободно использовать 2π или τ по мере необходимости.

Вы можете использовать тау, как показано ниже:

>>>

  >>> математ.тау
6,283185307179586
  

Подобно math.pi , math.tau возвращает пятнадцать цифр и является значением с плавающей запятой. Вы можете использовать тау для вычисления длины окружности с τ r , где r — радиус, следующим образом:

>>>

  >>> г = 3
>>> окружность = math.tau * r
>>> f "Окружность круга = {math.tau: .4} * {r} = {окружность: .4}"
'Окружность круга = 6,283 * 3 = 18,85'
  

Вы можете использовать math.tau вместо 2 * math.pi , чтобы привести в порядок уравнения, содержащие выражение 2π.

Число Эйлера

Число Эйлера

( e ) — это константа, являющаяся основанием натурального логарифма , математической функции, которая обычно используется для расчета скорости роста или распада. Как и в случае с пи и тау, число Эйлера — иррациональное число с бесконечным числом десятичных знаков. Значение e часто приблизительно равно 2,718.

Число Эйлера

является важной константой, поскольку оно имеет множество практических применений, таких как расчет роста населения с течением времени или определение скорости радиоактивного распада.Вы можете получить доступ к числу Эйлера из математического модуля следующим образом:

>>>

  >>> math.e
2,718281828459045
  

Как и в случае с math.pi и math.tau , значение math.e дается с точностью до пятнадцати десятичных знаков и возвращается как значение с плавающей запятой.

бесконечность

Бесконечность не может быть определена числом. Скорее, это математическая концепция, представляющая что-то бесконечное или безграничное.Бесконечность может идти в любом направлении, положительном или отрицательном.

Вы можете использовать бесконечность в алгоритмах , когда вы хотите сравнить заданное значение с абсолютным максимальным или минимальным значением. Значения положительной и отрицательной бесконечности в Python следующие:

>>>

  >>> f "Положительная бесконечность = {math.inf}"
'Положительная бесконечность = бесконечность'
>>> f "Отрицательная бесконечность = {-math.inf}"
'Отрицательная бесконечность = -inf'
  

Бесконечность не является числовым значением.Вместо этого он определяется как math.inf . Python представил эту константу в версии 3.5 как эквивалент float ("inf") :

>>>

  >>> float ("inf") == math.inf
Правда
  

И float ("inf"), и math.inf представляют концепцию бесконечности, в результате чего math.inf больше любого числового значения:

>>>

  >>> x = 1e308
>>> math.inf> x
Правда
  

В приведенном выше коде math.inf больше, чем значение x , 10 ³⁰⁸ (максимальный размер числа с плавающей запятой), которое является числом с двойной точностью.

Точно так же -math.inf меньше любого значения:

>>>

  >>> y = -1e308
>>> y> -math.inf
Правда
  

Отрицательная бесконечность меньше значения y , что составляет -10 ³⁰⁸ . Никакое число не может быть больше или меньше отрицательной бесконечности.Вот почему математические операции с math.inf не изменяют значение бесконечности:

>>>

  >>> math.inf + 1e308
инф
>>> math.inf / 1e308
инф
  

Как видите, ни сложение, ни деление не изменяют значение math.inf .

Не число (NaN)

Не число или NaN на самом деле не является математическим понятием. Он возник в области информатики как ссылка на значения, которые не являются числовыми.Значение NaN может быть связано с недопустимыми входными данными или может указывать на то, что переменная, в которой должно быть числовым, была повреждена текстовыми символами или символами.

Всегда рекомендуется проверять, является ли значение NaN. Если это так, то это может привести к недопустимым значениям в вашей программе. Python представил константу NaN в версии 3.5.

Вы можете увидеть значение math.nan ниже:

NaN не является числовым значением. Вы можете видеть, что значение math.nan — это nan , то же значение, что и float ("nan") .

Арифметические функции

Теория чисел — это раздел чистой математики, изучающий натуральные числа. Теория чисел обычно имеет дело с положительными целыми числами или целыми числами.

Модуль Python math предоставляет функции, которые полезны в теории чисел, а также в теории представлений , связанной области. Эти функции позволяют рассчитать ряд важных значений, включая следующие:

• факториалы числа
• наибольший общий делитель двух чисел
• Сумма итераций

Найдите факториалы с помощью Python

factorial ()

Возможно, вы встречали математические выражения вроде 7! или 4! перед.Восклицательные знаки не означают, что числа взволнованы. Скорее, «!» — это факториал , символ . Факториалы используются при поиске перестановок или комбинаций. Вы можете определить факториал числа, умножив все целые числа от выбранного числа до 1.

В следующей таблице показаны значения факториала для 4, 6 и 7:

Из таблицы видно, что 4 !, или четыре факториала, дает значение 24 путем умножения диапазона целых чисел от 4 до 1.Аналогично 6! и 7! дают значения 720 и 5040 соответственно.

Вы можете реализовать факториальную функцию в Python, используя один из нескольких инструментов:

1. для петель
2. Рекурсивные функции
3. math.factorial ()

Сначала вы рассмотрим факториальную реализацию с использованием цикла для . Это относительно простой подход:

  def fact_loop (число):
    если число <0:
        возврат 0
    если num == 0:
        возврат 1

    факториал = 1
    для i в диапазоне (1, num + 1):
        факториал = факториал * я
    возврат факториала
  

Вы также можете использовать рекурсивную функцию, чтобы найти факториал.Это более сложно, но и более элегантно, чем использование петли для . Вы можете реализовать рекурсивную функцию следующим образом:

  def fact_recursion (число):
    если число <0:
        возврат 0
    если num == 0:
        возврат 1

    return num * fact_recursion (число - 1)
  

Примечание: В Python существует ограничение на глубину рекурсии, но эта тема выходит за рамки данной статьи.

В следующем примере показано, как можно использовать для циклических и рекурсивных функций :

>>>

  >>> fact_loop (7)
5040

>>> fact_recursion (7)
5040
  

Несмотря на то, что их реализации различны, их возвращаемые значения одинаковы.

Однако реализация собственных функций только для получения факториала числа отнимает много времени и неэффективно. Лучше использовать math.factorial () . Вот как можно найти факториал числа с помощью math.factorial () :

>>>

  >>> math.factorial (7)
5040
  

Этот подход возвращает желаемый результат с минимальным количеством кода.

factorial () принимает только положительные целые числа.Если вы попытаетесь ввести отрицательное значение, вы получите ValueError :

>>>

  >>> math.factorial (-5)
Отслеживание (последний вызов последний):
  Файл "", строка 1, в 
ValueError: factorial () не определен для отрицательных значений
  

Ввод отрицательного значения приведет к ошибке ValueError , чтение factorial () не определено для отрицательных значений .

factorial () также не принимает десятичные числа.Это даст вам ValueError :

>>>

  >>> math.factorial (4.3)
Отслеживание (последний вызов последний):
  Файл "", строка 1, в 
ValueError: factorial () принимает только целые значения
  

Ввод десятичного значения приводит к ошибке ValueError чтение factorial () принимает только целые значения .

Вы можете сравнить время выполнения для каждого из методов факториала, используя timeit () :

>>>

  >>> импортное время
>>> timeit.timeit ("fact_loop (10)", globals = globals ())
1,063997201999996

>>> timeit.timeit ("fact_recursion (10)", globals = globals ())
1,815312818999928

>>> timeit.timeit ("math.factorial (10)", setup = "import math")
0,10671788000001925
  

Пример выше иллюстрирует результаты timeit () для каждого из трех факторных методов.

timeit () выполняет один миллион циклов при каждом запуске. В следующей таблице сравнивается время выполнения трех факториальных методов:

Как видно из времени выполнения, factorial () работает быстрее, чем другие методы. Это из-за его базовой реализации C. Метод, основанный на рекурсии, самый медленный из трех. Хотя вы можете получить разные тайминги в зависимости от вашего CPU , порядок функций должен быть таким же.

factorial () не только быстрее, чем другие методы, но и более стабилен. Когда вы реализуете свою собственную функцию, вы должны явно указать код для случаев бедствия , например, обработку отрицательных или десятичных чисел. Одна ошибка в реализации может привести к ошибкам. Но при использовании factorial () вам не нужно беспокоиться о случаях катастрофы, потому что функция обрабатывает их все. Поэтому по возможности рекомендуется использовать factorial () .

Найдите максимальное значение с помощью

ceil ()

math.ceil () вернет наименьшее целое значение, которое больше или равно заданному числу. Если число является положительным или отрицательным десятичным числом, функция вернет следующее целочисленное значение, превышающее данное значение.

Например, вход 5,43 вернет значение 6, а вход -12,43 вернет значение -12. math.ceil () может принимать положительные или отрицательные действительные числа в качестве входных значений и всегда будет возвращать целочисленное значение.

Когда вы вводите целочисленное значение в ceil () , оно возвращает то же число:

>>>

  >>> math.ceil (6)
6
>>> math.ceil (-11)
-11
  

math.ceil () всегда возвращает одно и то же значение, если на входе задано целое число. Чтобы увидеть истинную природу ceil () , вы должны ввести десятичные значения:

>>>

  >>> math.ceil (4.23)
5
>>> math.ceil (-11,453)
-11
  

Если значение положительное (4.23), функция возвращает следующее целое число, большее значения (5). Когда значение отрицательное (-11,453), функция также возвращает следующее целое число, большее значения (-11).

Функция вернет ошибку TypeError , если вы введете значение, не являющееся числом:

>>>

  >>> math.ceil ("x")
Отслеживание (последний вызов последний):
  Файл "", строка 1, в 
TypeError: должно быть действительное число, а не str
  

Вы должны ввести число в функцию.Если вы попытаетесь ввести любое другое значение, вы получите TypeError .

Найдите минимальное значение с

этажом ()

floor () вернет ближайшее целое значение, которое меньше или равно заданному числу. Эта функция ведет себя противоположно ceil () . Например, ввод 8,72 вернет 8, а ввод -12,34 вернет -13. floor () может принимать в качестве входных данных положительные или отрицательные числа и возвращает целочисленное значение.

Если вы введете целочисленное значение, функция вернет то же значение:

>>>

  >>> math.floor (4)
4
>>> math.floor (-17)
-17
  

Как и в случае с ceil () , когда вход для floor () является целым числом, результат будет таким же, как входное число. Вывод отличается от ввода только при вводе десятичных значений:

>>>

  >>> math.floor (5.532)
5
>>> math.floor (-6.432)
-7
  

Когда вы вводите положительное десятичное значение (5.532), оно вернет ближайшее целое число, которое меньше введенного числа (5). Если вы введете отрицательное число (-6,432), оно вернет следующее наименьшее целочисленное значение (-7).

Если вы попытаетесь ввести значение, не являющееся числом, функция вернет ошибку TypeError :

>>>

  >>> math.floor ("x")
Отслеживание (последний вызов последний):
  Файл "", строка 1, в 
TypeError: должно быть действительное число, а не str
  

Вы не можете вводить нечисловые значения в качестве входных данных для ceil () .Это приведет к ошибке TypeError .

Усечение чисел с усечением

()

Когда вы получаете число с десятичной точкой, вы можете оставить только целую часть и исключить десятичную часть. В модуле math есть функция под названием trunc () , которая позволяет вам делать именно это.

Удаление десятичного значения - это тип округления. При использовании trunc () отрицательные числа всегда округляются в сторону увеличения до нуля, а положительные числа всегда округляются в сторону уменьшения до нуля.

Вот как функция trunc () округляет положительные или отрицательные числа:

>>>

  >>> math.trunc (12.32)
12
>>> math.trunc (-43,24)
-43
  

Как видите, 12,32 округляется вниз до 0, что дает результат 12. Таким же образом -43,24 округляется вверх до 0, что дает значение -43. trunc () всегда округляется до нуля независимо от того, положительное или отрицательное число.

При работе с положительными числами trunc () ведет себя так же, как floor () :

>>>

  >>> математ.trunc (12.32) == math.floor (12.32)
Правда
  

trunc () ведет себя так же, как floor () для положительных чисел. Как видите, возвращаемое значение обеих функций одинаково.

При работе с отрицательными числами trunc () ведет себя так же, как ceil () :

>>>

  >>> math.trunc (-43.24) == math.ceil (-43.24)
Правда
  

Если число отрицательное, floor () ведет себя так же, как ceil () .Возвращаемые значения обеих функций одинаковы.

Найдите близость чисел с помощью Python

isclose ()

В определенных ситуациях - особенно в области науки о данных - вам может потребоваться определить, близки ли два числа друг к другу. Но для этого сначала нужно ответить на важный вопрос: насколько близко равно близко ? Другими словами, каково определение слова «закрыть»?

Что ж, Мерриам-Вебстер скажет вам, что близость означает «близость во времени, пространстве, эффекте или градусе».«Не очень-то полезно, правда?

Например, возьмите следующий набор чисел: 2.32, 2.33 и 2.331. Когда вы измеряете близость по двум десятичным знакам, 2,32 и 2,33 близки. Но на самом деле 2.33 и 2.331 ближе. Таким образом, близость - понятие относительное. Невозможно определить близость без какого-то порога.

К счастью, модуль math предоставляет функцию под названием isclose () , которая позволяет вам установить свой собственный порог или допуск для близости.Он возвращает Истина , если два числа находятся в пределах установленного вами допуска близости, и в противном случае возвращает Ложь .

Давайте посмотрим, как сравнить два числа, используя допуски по умолчанию:

• Относительный допуск или rel_tol - это максимальная разница, которая считается «близкой» по отношению к величине входных значений. Это процент толерантности. Значение по умолчанию - 1e-09 или 0,000000001.
• Абсолютный допуск или abs_tol - это максимальная разница, которая считается «близкой», независимо от величины входных значений.Значение по умолчанию - 0,0.

isclose () вернет True , если выполняется следующее условие:

абс (a-b) <= max (rel_tol * max (abs (a), abs (b)), abs_tol).

isclose использует приведенное выше выражение для определения близости двух чисел. Вы можете подставить свои собственные значения и посмотреть, близки ли какие-либо два числа.

В следующем случае 6 и 7 не близки к :

>>>

  >>> математ.isclose (6, 7)
Ложь
  

Числа 6 и 7 не считаются близкими, поскольку относительный допуск установлен для девяти десятичных знаков. Но если вы введете 6,999999999 и 7 с одинаковым допуском, тогда они будут считаться близкими:

>>>

  >>> math.isclose (6.999999999, 7)
Правда
  

Вы можете видеть, что значение 6.999999999 находится в пределах девяти десятичных знаков 7. Следовательно, исходя из относительного допуска по умолчанию, 6.999999999 и 7 считаются близкими.

Вы можете отрегулировать относительный допуск, как хотите, в зависимости от ваших потребностей. Если установить для параметра rel_tol значение 0,2, то 6 и 7 считаются близкими:

>>>

  >>> math.isclose (6, 7, rel_tol = 0.2)
Правда
  

Вы можете заметить, что 6 и 7 сейчас близки. Это потому, что они находятся в пределах 20% друг от друга.

Как и в случае с rel_tol , вы можете настроить значение abs_tol в соответствии с вашими потребностями. Чтобы считаться близкими, разница между входными значениями должна быть меньше или равна значению абсолютного допуска.Вы можете установить abs_tol следующим образом:

>>>

  >>> math.isclose (6, 7, abs_tol = 1.0)
Правда
>>> math.isclose (6, 7, abs_tol = 0,2)
Ложь
  

Когда вы устанавливаете абсолютный допуск на 1, числа 6 и 7 близки, потому что разница между ними равна абсолютному допуску. Однако во втором случае разница между 6 и 7 не меньше или равна установленному абсолютному допуску 0,2.

Вы можете использовать abs_tol для очень малых значений:

>>>

  >>> математ.isclose (1, 1.0000001, abs_tol = 1e-08)
Ложь
>>> math.isclose (1, 1.00000001, abs_tol = 1e-08)
Правда
  

Как видите, вы можете определить близость очень маленьких чисел с помощью isclose . Несколько особых случаев, касающихся близости, можно проиллюстрировать с помощью значений nan и inf :

>>>

  >>> math.isclose (math.nan, 1e308)
Ложь
>>> math.isclose (math.nan, math.nan)
Ложь

>>> math.isclose (math.inf, 1e308)
Ложь
>>> math.isclose (math.inf, math.inf)
Правда
  

Из приведенных выше примеров видно, что nan не близко ни к какому значению, даже самому себе. С другой стороны, inf не близок ни к каким числовым значениям, даже к очень большим, а близко к себе .

Функции питания

Функция мощности принимает любое число x в качестве входных данных, увеличивает x до некоторой степени n и возвращает x ⁿ в качестве выходных данных.Модуль Python math предоставляет несколько функций, связанных с питанием. В этом разделе вы узнаете о степенных функциях, экспоненциальных функциях и функциях извлечения квадратного корня.

Вычислить степень числа с помощью

pow ()

Степенные функции имеют следующую формулу, где переменная x - это основание , переменная n - степень , а a может быть любой константой :

Степенная функция

В приведенной выше формуле значение основания x возведено в степень n .

Вы можете использовать math.pow () , чтобы получить степень числа. Существует встроенная функция pow () , которая отличается от math.pow () . Вы узнаете разницу позже в этом разделе.

math.pow () принимает два следующих параметра:

>>>

  >>> math.pow (2, 5)
32,0
>>> math.pow (5, 2.4)
47,546789696
  

Первый аргумент - это базовое значение, а второй аргумент - это значение мощности.В качестве входных данных можно указать целое или десятичное значение, и функция всегда возвращает значение с плавающей запятой. Есть несколько особых случаев, определенных в math.pow () .

Когда основание 1 возводится в степень любого числа n, получается результат 1.0:

>>>

  >>> math.pow (1.0, 3)
1.0
  

Когда вы повышаете базовое значение 1 до любого значения мощности, вы всегда получите 1,0 в результате. Точно так же любое базовое число, возведенное в степень 0, дает результат 1.0:

>>>

  >>> math.pow (4, 0.0)
1.0
>>> math.pow (-4, 0,0)
1.0
  

Как видите, любое число, возведенное в степень 0, даст в результате 1.0. Вы можете увидеть этот результат, даже если база равна нан :

>>>

  >>> math.pow (math.nan, 0,0)
1.0
  

Возведение нуля в степень любого положительного числа даст в результате 0,0:

>>>

  >>> math.pow (0.0, 2)
0,0
>>> math.pow (0,0, 2,3)
0,0
  

Но если вы попытаетесь возвести 0,0 в отрицательную степень, результатом будет ValueError :

>>>

  >>> math.pow (0,0, -2)
Отслеживание (последний вызов последний):
  Файл "", строка 1, в 
ValueError: ошибка математического домена
  

Ошибка ValueError возникает только тогда, когда основание равно 0. Если основание - любое другое число, кроме 0, тогда функция вернет допустимое значение мощности.

Помимо math.pow () , в Python есть два встроенных способа определения степени числа:

1. х ** у
2. pow ()

Первый вариант прост. Возможно, вы уже использовали его раз или два. Тип возвращаемого значения определяется входными данными:

>>>

  >>> 3 ** 2
9
>>> 2 ** 3,3
9,84
06759329
  

Когда вы используете целые числа, вы получаете целочисленное значение.Когда вы используете десятичные значения, тип возвращаемого значения изменяется на десятичное значение.

Второй вариант - универсальная встроенная функция. Вам не нужно использовать импорт, чтобы использовать его. Встроенный метод pow () имеет три параметра:

1. База номер
2. мощность номер
3. Модуль упругости номер

Первые два параметра являются обязательными, а третий - необязательным. Вы можете вводить целые или десятичные числа, и функция вернет соответствующий результат на основе ввода:

>>>

  >>> pow (3, 2)
9
>>> pow (2, 3.3)
9,84
06759329
  

Встроенный pow () имеет два обязательных аргумента, которые работают так же, как base и power в синтаксисе x ** y . pow () также имеет третий параметр, который является необязательным: модуль . Этот параметр часто используется в криптографии. Встроенный pow () с дополнительным параметром модуля эквивалентен уравнению (x ** y)% z . Синтаксис Python выглядит так:

>>>

  >>> pow (32, 6, 5)
4
>>> (32 ** 6)% 5 == pow (32, 6, 5)
Правда
  

pow () возводит основание (32) в степень (6), а затем результат делится по модулю на число модуля (5).В этом случае результат равен 4. Вы можете подставить свои собственные значения и увидеть, что и pow (), и данное уравнение дают одинаковые результаты.

Несмотря на то, что все три метода вычисления мощности делают одно и то же, между ними есть некоторые различия в реализации. Время выполнения для каждого метода следующее:

>>>

  >>> timeit.timeit ("10 ** 308")
1,0078728999942541

>>> timeit.timeit ("pow (10, 308)")
1.047615700008464

>>> timeit.timeit ("math.pow (10, 308)", setup = "import math")
0,1837239999877056
  

В следующей таблице сравнивается время выполнения трех методов, измеренное с помощью timeit () :

Из таблицы видно, что math.pow () работает быстрее, чем другие методы, а встроенный pow () является самым медленным.

Причина эффективности math.pow () заключается в способе его реализации. Он полагается на базовый язык C. С другой стороны, pow () и x ** y используют собственную реализацию оператора ** входного объекта. Однако math.pow () не может обрабатывать комплексные числа (что будет объяснено в следующем разделе), тогда как pow () и ** могут.

Найдите натуральную экспоненту с помощью

exp ()

Вы узнали о силовых функциях в предыдущем разделе. С экспоненциальными функциями дело обстоит немного иначе. Вместо основания, являющегося переменной, переменной становится мощность. Выглядит это примерно так:

Общая экспоненциальная функция

Здесь a может быть любой константой, а x , которое является значением мощности, становится переменной.

Так что же такого особенного в экспоненциальных функциях? Значение функции быстро растет по мере увеличения значения x .Если основание больше 1, то значение функции непрерывно увеличивается по мере увеличения x . Особое свойство экспоненциальных функций состоит в том, что наклон функции также непрерывно увеличивается по мере увеличения x .

Вы узнали о числе Эйлера в предыдущем разделе. Это основание натурального логарифма. Он также играет роль с экспоненциальной функцией. Когда число Эйлера включается в экспоненциальную функцию, оно становится естественной экспоненциальной функцией :

Естественная экспоненциальная функция

Эта функция используется во многих реальных ситуациях.Возможно, вы слышали о термине экспоненциальный рост , который часто используется в отношении роста человеческой популяции или скорости радиоактивного распада. Оба они могут быть вычислены с использованием естественной экспоненциальной функции.

Модуль Python math предоставляет функцию exp () , которая позволяет вычислять натуральную экспоненту числа. Вы можете найти значение следующим образом:

>>>

  >>> math.exp (21)
1318815734,4832146
>>> математика.ехр (-1,2)
0,301194211214
  

Входное число может быть положительным или отрицательным, и функция всегда возвращает значение с плавающей запятой. Если число не является числовым значением, метод вернет ошибку TypeError :

.
>>>

  >>> math.exp ("x")
Отслеживание (последний вызов последний):
  Файл "", строка 1, в 
TypeError: должно быть действительное число, а не str
  

Как видите, если ввод является строковым значением, тогда функция возвращает ошибку TypeError , чтение должно быть действительным числом, а не str .

Вы также можете вычислить показатель степени, используя выражение math.e ** x или используя pow (math.e, x) . Время выполнения этих трех методов следующее:

>>>

  >>> timeit.timeit ("math.e ** 308", setup = "import math")
0,17853009998701513

>>> timeit.timeit ("pow (math.e, 308)", setup = "import math")
0,21040189999621361

>>> timeit.timeit ("math.exp (308)", setup = "import math")
0,125878200007719
  

В следующей таблице сравнивается время выполнения вышеуказанных методов, измеренное с помощью timeit () :

Вы можете видеть, что math.exp () быстрее, чем другие методы, а pow (e, x) - самый медленный. Это ожидаемое поведение из-за базовой реализации C модуля math .

Также стоит отметить, что e ** x и pow (e, x) возвращают одинаковые значения, но exp () возвращает немного другое значение.Это связано с различиями в реализации. В документации Python отмечается, что exp () более точен, чем два других метода.

Практический пример с

exp ()

Радиоактивный распад происходит, когда нестабильный атом теряет энергию из-за испускания ионизирующего излучения. Скорость радиоактивного распада измеряется с помощью периода полураспада, который представляет собой время, необходимое для распада половины количества родительского ядра. Вы можете рассчитать процесс распада по следующей формуле:

Уравнение радиоактивного распада

Вы можете использовать приведенную выше формулу для расчета оставшегося количества радиоактивного элемента через определенное количество лет.Переменные данной формулы следующие:

• N (0) - исходное количество вещества.
• N (t) - это количество, которое все еще остается и еще не разложилось по прошествии некоторого времени ( t ).
• T - период полураспада распадающегося количества.
• e - число Эйлера.

Научные исследования определили период полураспада всех радиоактивных элементов.Вы можете подставить значения в уравнение, чтобы рассчитать оставшееся количество любого радиоактивного вещества. Давай попробуем сейчас.

Радиоизотоп стронций-90 имеет период полураспада 38,1 года. В пробе содержится 100 мг Sr-90. Вы можете рассчитать оставшиеся миллиграммы Sr-90 через 100 лет:

>>>

  >>> half_life = 38,1
>>> начальный = 100
>>> время = 100
>>> оставшийся = начальный * math.exp (-0,693 * время / период полураспада)
>>> f "Оставшееся количество Sr-90: {осталось}"
«Оставшееся количество Sr-90: 16.22044604811303 '
  

Как видите, период полураспада установлен на 38,1, а продолжительность установлена ​​на 100 лет. Вы можете использовать math.exp , чтобы упростить уравнение. Подставляя значения в уравнение, вы можете обнаружить, что через 100 лет остается 16,22 мг Sr-90.

Логарифмические функции

Логарифмические функции можно рассматривать как инверсию экспоненциальных функций. Они обозначаются в следующей форме:

Общая логарифмическая функция

Здесь a - основание логарифма, которое может быть любым числом.Вы узнали об экспоненциальных функциях в предыдущем разделе. Экспоненциальные функции могут быть выражены в виде логарифмических функций и наоборот.

Питон натуральный бревно с бревном

()

Натуральный логарифм числа - это его логарифм по основанию математической константы e , или числа Эйлера:

Натуральная логарифмическая функция

Как и экспоненциальная функция, натуральный логарифм использует константу e . Обычно это обозначается как f (x) = ln (x), где e неявно.

Вы можете использовать натуральный логарифм так же, как экспоненциальную функцию. Он используется для расчета таких величин, как скорость роста населения или скорость радиоактивного распада элементов.

log () имеет два аргумента. Первый является обязательным, а второй - необязательным. С одним аргументом вы можете получить натуральный логарифм (с основанием e ) входного числа:

>>>

  >>> math.log (4)
1,3862943611198906
>>> математика.журнал (3.4)
1,2237754316221157
  

Однако функция возвращает ValueError , если вы вводите неположительное число:

>>>

  >>> math.log (-3)
Отслеживание (последний вызов последний):
  Файл "", строка 1, в 
ValueError: ошибка математического домена
  

Как видите, в log () нельзя ввести отрицательное значение. Это связано с тем, что значения журнала не определены для отрицательных чисел и нуля.

С двумя аргументами вы можете вычислить логарифм от первого аргумента до основания второго аргумента:

>>>

  >>> математ.журнал (math.pi, 2)
1.651496129472319
>>> math.log (math.pi, 5)
0,711260668712669
  

Вы можете увидеть, как значение изменяется при изменении базы журнала.

Общие сведения

log2 () и log10 ()

Модуль Python math также предоставляет две отдельные функции, которые позволяют вычислять значения журнала с основанием 2 и 10:

1. log2 () используется для вычисления логарифмического значения по основанию 2.
2. log10 () используется для вычисления значения журнала с основанием 10.

С помощью log2 () вы можете получить значение журнала с основанием 2:

>>>

  >>> math.log2 (math.pi)
1.6514961294723187
>>> math.log (math.pi, 2)
1.651496129472319
  

Обе функции преследуют одну и ту же цель, но в документации Python отмечается, что log2 () более точен, чем использование log (x, 2) .

Вы можете вычислить логарифмическое значение числа по основанию 10 с помощью log10 () :

>>>

  >>> математ.log10 (math.pi)
0,4971498726941338
>>> math.log (math.pi, 10)
0,4971498726941338
  

В документации Python также упоминается, что log10 () более точен, чем log (x, 10) , хотя обе функции имеют одну и ту же цель.

Практический пример с натуральным бревном

В предыдущем разделе вы видели, как использовать math.exp () для вычисления оставшегося количества радиоактивного элемента через определенный период времени. С математикой .log () , вы можете определить период полураспада неизвестного радиоактивного элемента, измерив массу через определенный интервал. Следующее уравнение можно использовать для расчета периода полураспада радиоактивного элемента:

Уравнение радиоактивного распада

Переставляя формулу радиоактивного распада, вы можете сделать период полураспада ( T ) предметом формулы. Переменные данной формулы следующие:

• T - период полураспада распадающегося количества.
• N (0) - исходное количество вещества.
• N (t) - это количество, которое остается и еще не разложилось по прошествии определенного периода времени ( t ).
• ln - натуральное бревно.

Вы можете подставить известные значения в уравнение для расчета периода полураспада радиоактивного вещества.

Например, представьте, что вы изучаете образец неопознанного радиоактивного элемента.Когда это было обнаружено 100 лет назад, размер образца составлял 100 мг. После 100 лет распада осталось всего 16,22 мг. Используя формулу выше, вы можете рассчитать период полураспада этого неизвестного элемента:

>>>

  >>> начальное = 100
>>> Осталось = 16,22
>>> время = 100
>>> half_life = (-0,693 * время) / math.log (оставшееся / начальное)
>>> f "Период полураспада неизвестного элемента: {half_life}"
'Период полураспада неизвестного элемента: 38.09942398335152'
  

Вы можете видеть, что неизвестный элемент имеет период полураспада примерно 38.1 год. Основываясь на этой информации, вы можете идентифицировать неизвестный элемент как стронций-90.

Прочие важные

math Функции модуля

Модуль Python math имеет множество полезных функций для математических вычислений, и в этой статье подробно рассмотрены только некоторые из них. В этом разделе вы кратко узнаете о некоторых других важных функциях, доступных в модуле math .

Вычислить наибольший общий делитель

наибольший общий делитель (НОД) двух положительных чисел - это наибольшее положительное целое число, которое делит оба числа без остатка.

Например, НОД 15 и 25 равны 5. Вы можете разделить 15 и 25 на 5 без остатка. Нет большего числа, делающего то же самое. Если взять 15 и 30, то НОД будет 15, потому что и 15, и 30 можно разделить на 15 без остатка.

Вам не нужно реализовывать свои собственные функции для расчета GCD. Модуль Python math предоставляет функцию под названием math.gcd () , которая позволяет вычислить НОД двух чисел.В качестве входных данных можно указать положительные или отрицательные числа, и он вернет соответствующее значение НОД. Однако вы не можете ввести десятичное число.

Вычислить сумму итераций

Если вы когда-нибудь захотите найти сумму значений итерации без использования цикла, то math.fsum () , вероятно, самый простой способ сделать это. Вы можете использовать итерации, такие как массивы, кортежи или списки, в качестве входных данных, и функция возвращает сумму значений. Встроенная функция под названием sum () также позволяет вычислять сумму итераций, но fsum () более точна, чем sum () .Подробнее об этом можно прочитать в документации.

Вычислить квадратный корень

Квадратный корень числа - это значение, которое при умножении на себя дает число. Вы можете использовать math.sqrt () , чтобы найти квадратный корень из любого положительного действительного числа (целого или десятичного). Возвращаемое значение всегда является значением с плавающей запятой. Функция выдаст ValueError , если вы попытаетесь ввести отрицательное число.

Преобразование значений углов

В реальных сценариях, а также в математике, вы часто сталкиваетесь со случаями, когда вам нужно измерять углы для выполнения вычислений.Углы можно измерять в градусах или радианах. Иногда приходится переводить градусы в радианы и наоборот. Модуль math предоставляет функции, которые позволяют это делать.

Если вы хотите преобразовать градусы в радианы, вы можете использовать math.radians () . Он возвращает значение введенного градуса в радианах. Точно так же, если вы хотите преобразовать радианы в градусы, вы можете использовать math.degrees () .

Расчет тригонометрических значений

Тригонометрия - это изучение треугольников.Он касается отношения между углами и сторонами треугольника. Тригонометрия в основном интересует прямоугольные треугольники (в которых один внутренний угол равен 90 градусам), но ее также можно применить к другим типам треугольников. Модуль Python math предоставляет очень полезные функции, которые позволяют выполнять тригонометрические вычисления.

Вы можете вычислить значение синуса угла с помощью math.sin () , значение косинуса с помощью math.cos () и значение тангенса с помощью math.загар () . Модуль math также предоставляет функции для вычисления арксинуса с math.asin () , арккосинуса с math.acos () и арктангенса с math.atan () . Наконец, вы можете вычислить гипотенузу треугольника, используя math.hypot () .

Новые дополнения к математическому модулю

в Python 3.8

С выпуском Python версии 3.8 в модуль math было внесено несколько новых дополнений и изменений.Новые дополнения и изменения заключаются в следующем:

• comb (n, k) возвращает количество способов выбора k элементов из n элементов без повторения и без определенного порядка .

• perm (n, k) возвращает количество способов выбора k элементов из n элементов без повторения и с заказом .

• isqrt () возвращает целочисленный квадратный корень неотрицательного целого числа.

• prod () вычисляет произведение всех элементов во входной итерации. Как и в случае с fsum () , этот метод может принимать итерации, такие как массивы, списки или кортежи.

• dist () возвращает евклидово расстояние между двумя точками p и q , каждая из которых задана как последовательность (или итерация) координат. Две точки должны иметь одинаковый размер.

• hypot () теперь обрабатывает более двух измерений.Ранее он поддерживал максимум два измерения.

cmath vs math

Комплексное число представляет собой комбинацию действительного и мнимого числа. Он имеет формулу a + bi , где a - действительное число, а bi - мнимое число. Действительные и мнимые числа можно объяснить следующим образом:

• Действительное число - это буквально любое число, которое вы можете придумать.
• Мнимое число - это число, возведение которого в квадрат дает отрицательный результат.

Действительным числом может быть любое число. Например, 12, 4,3, -19,0 ​​- все действительные числа. Мнимые числа отображаются как и . На следующем изображении показан пример комплексного числа:

.
Комплексное число

В приведенном выше примере 7 - действительное число, а 3i - мнимое число. Комплексные числа в основном используются в геометрии, исчислении, научных расчетах и ​​особенно в электронике.

Функции модуля Python math не приспособлены для обработки комплексных чисел. Однако Python предоставляет другой модуль, который может специально работать с комплексными числами, модуль cmath . Модуль Python math дополняется модулем cmath , который реализует многие из тех же функций, но для комплексных чисел.

Вы можете импортировать модуль cmath следующим образом:

Поскольку модуль cmath также входит в пакет Python, вы можете импортировать его так же, как вы импортировали модуль math .Прежде чем работать с модулем cmath , вы должны знать, как определить комплексное число. Вы можете определить комплексное число следующим образом:

>>>

  >>> c = 2 + 3j
>>> c
(2 + 3j)

>>> тип (c)
<класс 'сложный'>
  

Как видите, вы можете определить, что число действительно сложное, используя type () .

Примечание: В математике мнимая единица обычно обозначается i . В некоторых областях более привычно использовать j для того же самого.В Python вы используете j для обозначения мнимых чисел.

Python также предоставляет специальную встроенную функцию под названием complex () , которая позволяет создавать комплексные числа. Вы можете использовать комплекс () следующим образом:

>>>

  >>> c = комплекс (2, 3)
>>> c
(2 + 3j)

>>> тип (c)
<класс 'сложный'>
  

Вы можете использовать любой метод для создания комплексных чисел. Вы также можете использовать модуль cmath для вычисления математических функций для комплексных чисел следующим образом:

>>>

  >>> cmath.sqrt (с)
(1.8581072140693775 + 0.6727275964137814j)

>>> cmath.log (c)
(1,3622897515267103 + 0,6947382761967031j)

>>> cmath.exp (c)
(-16.0670844 + 12.02063434789931j)
  

В этом примере показано, как вычислить квадратный корень, логарифмическое значение и экспоненциальное значение комплексного числа. Вы можете прочитать документацию, если хотите узнать больше о модуле cmath .

NumPy против

math

Для математических вычислений можно использовать несколько известных библиотек Python.Одна из самых известных библиотек - Numerical Python или NumPy. Он в основном используется в научных вычислениях и в областях науки о данных. В отличие от модуля math , который является частью стандартной версии Python, вам необходимо установить NumPy для работы с ним.

Сердце NumPy - это высокопроизводительная структура данных N -мерного (многомерного) массива. Этот массив позволяет выполнять математические операции со всем массивом без циклического перебора элементов.Все функции библиотеки оптимизированы для работы с объектами N-мерного массива.

И модуль math , и библиотека NumPy могут использоваться для математических вычислений. NumPy имеет несколько общих черт с модулем math . NumPy имеет подмножество функций, подобных математическим функциям модуля , которые имеют дело с математическими вычислениями. И NumPy, и math предоставляют функции, которые имеют дело с тригонометрическими, экспоненциальными, логарифмическими, гиперболическими и арифметическими вычислениями.

Есть также несколько фундаментальных различий между math и NumPy. Модуль Python math больше ориентирован на работу со скалярными значениями, тогда как NumPy лучше подходит для работы с массивами, векторами и даже матрицами.

При работе со скалярными значениями функции модуля math могут быть быстрее, чем их аналоги в NumPy. Это связано с тем, что функции NumPy преобразуют значения в массивы под капотом, чтобы выполнять над ними вычисления.NumPy работает намного быстрее при работе с размерными массивами N из-за оптимизации для них. За исключением fsum () и prod () , функции модуля math не могут обрабатывать массивы.

Заключение

Из этой статьи вы узнали о модуле Python math . Модуль предоставляет полезные функции для выполнения математических вычислений, которые имеют множество практических приложений.

Из этой статьи вы узнали:

• Что такое модуль Python math
• Как использовать математических функций с практическими примерами
• Какие константы математического модуля , включая пи, тау и число Эйлера, равны
• В чем разница между встроенными функциями и математическими функциями
• В чем разница между math , cmath и NumPy

Понимание того, как использовать математические функции - это первый шаг.Пришло время применить полученные знания в реальных жизненных ситуациях. Если у вас есть какие-либо вопросы или комментарии, оставьте их в разделе комментариев ниже.

Модуль 6: Глава 7 - Многоступенчатые уравнения и неравенства

Цели

Вы сможете:

·
Найдите решения проблем приложений
используя алгебраические уравнения

·
Решите многоступенчатые уравнения

·
Решите неравенства, добавляя и вычитая

.

·
Решите неравенства, умножив или разделив

·
Решение формул и буквальных уравнений для
заданная переменная

Предварительные знания

При решении уравнений есть некоторые вещи, которые вы должны знать
прежде, чем вы начнете.Вы должны были познакомиться с уравнениями в математике 1
и математика 2 курса. Для тех, кто забыл, вот несколько полезных
подсказки, чтобы вызвать вашу память.

Подсказки для решения уравнения:

·
Выполните обратные / противоположные операции

о
Противоположность сложению - вычитание

.

о
Противоположность вычитанию - сложение

.

о
Противоположность умножению - деление

.

о
Противоположность делению - умножение

.

о
Противоположность положительному - отрицательная (так
вычесть)

о
Противоположность отрицательному - положительная (так
добавить)

·
Получите переменные на одной стороне и числа на
другой

·
Что вы делаете с одной стороны, вы ДОЛЖНЫ делать с другой.
другое

·
Знак / операция ВСЕГДА находится перед
номер

Лаборатория алгебры решения одношаговых уравнений предоставит вам обзор
решение одношаговых уравнений.Используйте эту информацию как основу для решения двухэтапной
уравнения. Solving Equation # 1 показывает, как решить 1-Step Equations.
используя сложение и вычитание. Solving Equations # 2 показывает, как решать одношаговые уравнения.
с помощью умножения и деления.

Дополнительная помощь

Следующие ресурсы помогут вам лучше визуализировать
именно то, что вы делаете, когда балансируете уравнения.

Визуальный
Уравнения можно использовать для
те из вас, кому трудно понять концепцию
балансируя уравнения, вот сайт, который предоставляет вам наглядные материалы, чтобы вы могли
лучше понять, что вы делаете на самом деле, когда сдвигаете термин с одной стороны
к другому.

Вы можете использовать сайт Balancing для помощи
вы понимаете, какую операцию вам следует сделать следующей. Цель - получить
переменная = число. Как только вы это сделаете, на экране появится зеленая отметка.
твоя проблема. На этом сайте также показано, что происходит, когда вы выполняете то же самое.
операция по обеим сторонам уравнения.

Алгебра
Весы Balance Scales предоставляют виртуальное средство для манипуляций, которое поможет вам
узнайте, как сбалансировать уравнения и какие действия делать дальше.

Практика с обратной связью

IXL.com дает вам возможность попрактиковаться
решение одношаговых уравнений с немедленной обратной связью.

Решение двухэтапных уравнений

Теперь, когда вы освежили свой мозг, решив 1-шаговый
уравнения, используйте эти знания и примените их для решения двухэтапных уравнений. Лаборатория алгебры Решение двухэтапных уравнений дает вам важные советы по
решение двухэтапных уравнений, проведет вас через 3 примера и предоставит вам
5 задач для самостоятельной отработки с немедленной обратной связью. Solving Equations 3 видео проведет вас через решение двухэтапного
уравнения. Решение двухэтапных уравнений видео
работает через 5 примеров задач с подробными объяснениями.

Практика с обратной связью

XP Math и IXL.com позволяют попрактиковаться в решении двухэтапных уравнений с немедленным
Обратная связь.

Упрощение алгебраических выражений

Чтобы упростить алгебраические выражения, вы
должен понимать концепцию объединения похожих терминов. Подобные термины - это числа, которые имеют точно такую ​​же переменную. Как
Старая поговорка гласит: «Нельзя сравнивать яблоки с апельсинами». Это означает, что вы можете только
сравнивать однотипные вещи.

Класс алгебры предоставляет словарь, необходимый для понимания этого раздела, и
показывает, как определять похожие термины. Упрощение алгебраических выражений учит, как идентифицировать подобное
термины, и как их объединить, а также предлагает вам 3 задачи
практика с объяснениями.Видео Объединение похожих терминов для упрощения демонстрирует, как вы определяете похожие термины,
и используйте эту информацию для упрощения выражений. Объединение одинаковых терминов в двух переменных
Выражения видео добавляет
уровень сложности из предыдущего видео, добавив еще одну переменную в
выражения. Объединение одинаковых терминов для решения алгебраических задач
Уравнения видео показывает вам
как комбинировать похожие термины, и вместо того, чтобы просто упрощать выражения, вы решаете
для переменной.

Дистрибутив
свойство требует, чтобы вы взяли то, что находится снаружи, и умножили это на
все, что находится внутри скобок. См. Ниже:

Решение буквальных уравнений для
Переменная

A буквальное уравнение
это уравнение, которое в основном состоит из букв / переменных и символов операций, в основном
в виде формулы. Решение буквальных уравнений не сильно отличается от
решение уравнения; вы просто пытаетесь изолировать конкретную переменную, которая
среди других переменных.

Allow Bright Storm , чтобы помочь вам разобраться с одним из наиболее упрощенных буквальных значений.
уравнений, d = r * t, а также ссылки на другие видеоролики, посвященные материалам
для этого модуля. Purple Math прогулки
вы через решение часто используемых алгебраических выражений. Они начинаются с простого, и
становиться все труднее по мере продвижения. Попробуйте бросить вызов себе, работая
через более сложные выражения с сайтом.Видео Решение буквального уравнения для области
проведет вас через решение для конкретной переменной в формуле площади. В
видео Решение буквальных уравнений с сложением или
Вычитание и Решение многоступенчатых буквальных уравнений для
Переменная показывает, как делать то, что написано в их названиях.

Практика с обратной связью

Литерал
Уравнение дает
вам с 5 практическими задачами, и вы можете сравнить свою работу с
решения.Практическая викторина Решение
Буквальные уравнения для переменной позволяют узнать, какие проблемы у вас возникли.
Неправильно, а где в разделе можно найти аналогичный пример.

Устранение неравенств путем добавления или
Вычитание

Напомним, что неравенства состоят из:

Когда дело доходит до решения неравенств с помощью сложения и
вычитание, вы решите их так же, как и обычные уравнения. Единственный
разница в том, что вместо знака =; будет одно из четырех неравенств
знаки выше.

Часто после того, как вы разрешили неравенство, вы будете
попросил изобразить решение. Каждое решение будет нанесено на числовую линию.
При построении графика неравенства на числовой прямой вам НЕОБХОДИМО следующее:
помнить.

Разрешить PowerPoint
, чтобы пройти через различные этапы решения уравнений с использованием сложения.
и вычитание. Решение
Неравенства путем добавления видео поможет вам решить одноэтапные неравенства путем
сложение и решение
Неравенства путем вычитания видео помогает решить одностадийные неравенства.
путем вычитания.Видео Решение
и Graphing Inequalities работает с примерами решения и
построение графиков одношаговых неравенств с использованием сложения и вычитания.

Иногда вам дадут график и попросят его использовать.
информация для определения того, что представляет собой график неравенства. Используйте Writing
неравенства из графиков в
научитесь смотреть на график и определять неравенство, которое он представляет.

Решение
Linear Inequalities, этот сайт знакомит вас с неравенством, что
их графики выглядят так, решая неравенства с помощью сложения и вычитания,
решение неравенств с помощью умножения и деления, а также решение двухэтапных
неравенства.Этот сайт должен быть ссылкой на вас в этом модуле, так как
вы работаете с неравенством.

Практика с обратной связью

Письмо
Сайт неравенства
дает вам базовые знания в области письма и понимания
неравенства, и позволяет практиковаться с обратной связью. Неравенства
on Number Lines позволяет попрактиковаться в чтении графиков неравенства с
немедленная обратная связь. Также используйте Practice
Тест , чтобы узнать, в каких проблемах вы ошиблись и где
в разделе вы можете найти аналогичный пример.

Решение неравенств умножением
или Разделение

Аналогично решению уравнений умножением и делением
аналогично решению неравенств путем умножения и деления. Однако есть
одну ОЧЕНЬ важную вещь, которую вы должны запомнить: Когда вы умножаете ИЛИ делите на отрицательное
число, вы ДОЛЖНЫ перевернуть знак неравенства.

PowerPoint :
Решение неравенств с умножением и делением поможет вам
через 5 примеров решения неравенств умножения и деления. Math.com
Inequalities проведет вас через решение неравенств с помощью деления и
умножение и позволяет практиковаться с обратной связью.

Видео Решение
Неравенства путем умножения дает вам подсказки и примеры
решение и построение графиков одношаговых неравенств с использованием умножения и видео Решение
Неравенства путем деления дает вам подсказки и примеры
решение и построение графиков одношаговых неравенств с использованием деления. Решение
Одношаговые неравенства с умножением и делением - это видео,
рассматривает несколько примеров проблем из того, что указано в заголовке. Решение
Word Problem Inequalities Видео дает вам слово из реальной жизни
проблема, и поможет вам решить и построить график.

Практика с обратной связью

Решить
1-шаговое линейное неравенство позволяет попрактиковаться в решении 1-шагового
неравенства с использованием сложения / вычитания / умножения / и деления с
немедленная обратная связь. Если вы чувствуете себя продвинутым, воспользуйтесь этим сайтом, чтобы попрактиковаться.
решение более продвинутых неравенств Решите
Продвинутые линейные неравенства.

Устранение двухэтапных неравенств

Теперь, когда вы познакомились с одношаговым решением
неравенства, теперь пора взять эти знания и применить их, решая двухэтапные
неравенства. Решение двухэтапного неравенства мало чем отличается от решения
2-х ступенчатое уравнение, за исключением нескольких отличий, упомянутых в разделах
выше.

Решение
Линейное неравенство знакомит вас с символами неравенства, и
проведет вас через решение некоторых двухэтапных неравенств. Math.com
проведет вас через объяснения и примеры решения двухэтапных уравнений и
неравенство; это также позволяет вам практиковаться с обратной связью в конце
урок. Решение линейного
Неравенства, умножение и деление проведет вас через решение
2-шаговые неравенства с использованием умножения и деления, а также с использованием
распределительное свойство.

Видео, Как
to Solve 2-step Inequalities , проведет вас через решение двух двухэтапных неравенств.
неравенства с использованием сложения / вычитания и умножения / деления. Решение
Двухэтапное неравенство - это видео, которое поможет вам решить и
графическое отображение двухшаговых уравнений. Испытайте себя, применив свои знания
дроби и решение неравенств к этому видео, Решение
Неравенства, содержащие дроби 90 203.

Практика с обратной связью

Решить
Двухступенчатые линейные неравенства позволяют
вы практикуете решение двухэтапных неравенств с помощью сложения / вычитания /
умножение / и деление с немедленной обратной связью. Практика
Тест позволяет узнать, в каких проблемах вы ошиблись и где
в разделе вы можете найти аналогичный пример.

Решение многоступенчатых уравнений

Для решения многошаговых уравнений вам потребуется
чтобы вспомнить и применить информацию, полученную ранее в этом модуле. Иногда вы будете
необходимо упростить, объединить похожие термины или даже распространить, прежде чем вы сможете решить
уравнения. Ключ в том, чтобы распознать то, что вы делали раньше, и
начнем с этого.У этих проблем часто есть несколько способов решить одну и ту же проблему.
решение.

Алгебра
Лабораторное решение многоступенчатых уравнений дает вам советы по решению
многоступенчатые уравнения, и позволяет вам решать некоторые практические задачи с
немедленная обратная связь. Онлайн
Math Learning работает на основе письменных примеров, а также предоставляет видеоролики.
чтобы показать вам, как решать многоступенчатые уравнения с целыми числами, дробями,
и десятичные дроби.

Яркий
Видео Storm , обязательно посмотрите все 3 задачи под заголовком
«Примеры проблемных видео.Даются как отличные подсказки, так и прекрасные объяснения!
Следующее видео, Решение многоступенчатых уравнений
решает 4 задачи, связанные с объединением одинаковых терминов, и
распределительное свойство. Решение
Многоступенчатые уравнения, использующие свойство распределения , помогут вам решить
тип проблем, упомянутых в заголовке.
Решение уравнений путем добавления противоположных
нарушает важный шаг к решению многоступенчатых уравнений. Иногда вы
встретит дроби в ваших уравнениях, разрешите Решение
Уравнения, содержащие дроби видео, чтобы помочь вам в их решении.

Практика с обратной связью

Перейти на практику Hotmath
Задачи и проверьте свои знания о решении двухэтапных и
многоступенчатые уравнения. Всего задач 24, выберите не менее 12. Работа.
решите эти проблемы самостоятельно и используйте сайт, чтобы проверить свою работу и
ответы. с одной переменной
уравнения: решение многоступенчатых уравнений позволяет попрактиковаться в решении многоступенчатых
уравнения с немедленной обратной связью.

Решение уравнений с переменными на
Обе стороны

Используйте PowerPoint:
Решение уравнений с переменными с обеих сторон , чтобы помочь вам начать работу
на эту тему. Решение
Уравнения алгебры с переменными на обеих сторонах проведет вас через три
примеры решения уравнений с переменными с обеих сторон, с пошаговым
объяснения и использование маркеров для выделения терминов. Решение
Уравнение работает с 6 примерами, каждый из которых постепенно становится больше.
сложно, используя многоступенчатые уравнения и уравнения с переменными на обоих
сторон, вместе с распределительной собственностью.

Использование
Сложение и вычитание для получения переменной на одной стороне видео помогает
вы должны пройти через первые шаги для решения подобных проблем.Видео, Решение
Уравнения с переменными на обеих сторонах , проведет вас через несколько
примеры уравнений с переменными с обеих сторон. Решение
Многоступенчатые уравнения с переменными на обеих сторонах Видео поможет вам
через пару примеров проблем, упомянутых в заголовке.

Практика с обратной связью

Пункт назначения
Math Workout дает вам реальные жизненные сценарии, в которых уравнение было бы
используется для решения, вы применяете свои знания и получаете немедленную обратную связь о своем
ответы.Также возьмите Practice
Проведите тест , и вы узнаете, в каких проблемах вы ошиблись и где
в разделе вы можете найти аналогичный пример.

Виды деятельности:

1) Просмотреть в Интернете
материалы видео и сайты

2) Учебная работа:

·
Mod 6 CW
1 : Учебник Холта-МакДугала : стр. 298: 1, 8, 20; стр. 302: 4, 14, 24, 42;
стр. 306: 2, 10, 15, 17 .Работайте в Dabbleboard, делитесь работой с группой
участников, и помочь исправить работу других участников группы. Отправляйте только 1 ответ на
группа по каждому вопросу в документе Word, сделав снимок экрана

·
Mod 6 CW 2 :
Учебник Холта-МакДугала : стр. 324: 2, 8, 13, 30; стр. 316: 1, 4, 10,
13; стр. 320: 1, 5, 8 . Работайте в Dabbleboard, делитесь работой с группой
участников, и помочь исправить работу других участников группы. Отправляйте только 1 ответ на
группа по каждому вопросу в документе Word, сделав снимок экрана

·
Mod 6 CW 3 :
Учебник Холта-МакДугала : стр.324: 2, 6, 10; стр. 328: 2, 6, 8 . Делать
работать в Dabbleboard, делиться работой с участниками группы и помогать исправлять другие
работа члена группы. Отправляйте только 1 ответ на группу, на вопрос, в Word
документ, сделав снимок экрана

3) Сообщения в блогах

· 14 неделя

·
15 неделя

4) Оценки

·
Тест: с 7-1 по 7-3 (система курса)

·
Модуль 6 Тест (система курса)

·
Проектов

о
Equation PowerPoint - Создайте PowerPoint из 5 слайдов.На каждом слайде вы должны решить 1 задачу из 5 разных разделов этого
глава. Каждая задача должна иметь каждый шаг, показанный с помощью анимации.
Обязательно используйте по крайней мере 2 цвета на слайде, чтобы получить важную информацию для
ваша проблема выделиться. Вы также должны включить либо очень подробный письменный
пояснения к каждому слайду или очень подробный голос за кадром для каждого слайда.

Рубрика

Уравнение PowerPoint