Как решить систему неравенств с модулем: Решение системы неравенств с модулем

Содержание

Решение системы неравенств с модулем

Решим систему неравенств с модулем из варианта №50 А. Ларина.

Решим каждое неравенство системы по отдельности, а потом совместим решения обоих неравенств на одной координатной прямой.

1. Решим первое неравенство системы.

Чтобы решить неравенство, содержащее модули, нужно раскрыть модули.

Приравняем каждое подмодульное выражение к нулю и найдем точки, в которых подмодульные выражения меняют знак.

Нанесем эти значения на числовую прямую:

Мы получили три промежутка. Найдем знаки каждого подмодульного выражения на каждом промежутке:

Раскроем модули на каждом промежутке (мы можем граничные точки  и  включать в оба промежутка):

а)

На этом промежутке оба подмодульных выражения отрицательны, поэтому мы раскрываем модули с противоположным знаком:

(1)

Так как исходное неравенство «превращается» в неравенство (1) только при , получим систему неравенств:

.

Решим первое неравенство, и получим систему:

.

Решением системы неравенств является промежуток:

б)

На этом промежутке первое подмодульное выражение положительно, а второе отрицательно, поэтому первый модуль мы раскрываем с тем же знаком, а второй с противоположным.

Получаем неравенство:

(2)

Так как исходное неравенство «превращается» в неравенство (2) только при , получим систему неравенств:

или

Решением системы неравенств является промежуток:

в)

На этом промежутке оба подмодульных выражения положительны, поэтому оба модуля мы раскрываем с тем же знаком.

Получаем неравенство:

(3)

Так как исходное неравенство «превращается» в неравенство (3) только при , получим систему неравенств:

или

Решением системы является промежуток:

Объединим три промежутка и получим решение первого неравенства исходной системы:

2. Решим второе неравенство системы.

Приведем левую часть неравенства к общему основанию. Сначала разложим на множители знаменатель первой дроби:

Решим это неравенство методом интервалов.

Найдем корни числителя и знаменателя и нанесем их на числовую ось.

На самом правом промежутке , поэтому знаки расставим так:

Нас интересуют промежутки со знаком «-«:

следовательно, решение этого неравенства:

Совместим решения первого и второго неравенств исходной системы на одной координатной прямой и найдем их пересечение:

 

Ответ: [-2;1)(2;2,4]

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Решение неравенств с модулем. Модуль раскрытие. Неравенства содержащие модуль. Неравенства с модулем примеры решения.

Как решать неравенства с модулем?

Методы решения систем линейных неравенств отличаются от методов решения линейных уравнений тем, что знаки неравенства не позволяют выполнять подстановку, как мы это делаем с уравнениями.2\)  \(—>\) \(6x\geq -9\) \(—>\) \(x\geq -1,5\)

Ответ: \([-1,5; +∞)\)


Пример 2. Решить неравенство \(\left|3+2x\right|\le \:7\).  Система

Решение.  \(\left|3+2x\right|\le \:7\)     \(—>\)    \(3+2x\le \:7\) и  \(3+2x\ge \:-7\)  или  \(-7\le \:3+2x\le \:7\)

                                                          \(x\le \:2\)         и   \(x\ge \:-5\)                       \(-5\le \:x\le \:2\)

Ответ: [-5;2];


  Пример 3. Решить неравенство \(\left|3x-5\right|<\:4\)

Решение:         \(-4<3x-5<4\)  \(—>\) \(\frac{1}{3}<x<3\)

   

                         

Ответ: \((\frac{1}{3};3)\);


Пример 4. Решить неравенство \(\left|x-8\right|\ge \:\:3\)

Решение: Совокупность  \(\) \(\left[ \begin{gathered} x-8\le \:-3\\ x-8\ge \:3 \\ \end{gathered} \right.\)  \(—>\) \(\left[ \begin{gathered} x\le \:5\\ x\ge \:11 \\ \end{gathered} \right.\)

Ответ: \((+∞;5)⋃ (11;+∞)\)

Больше уроков и заданий по математике вместе с преподавателями нашей онлайн-школы «Альфа». Запишитесь на пробное занятие уже сейчас!


Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!

Решение неравенств с модулем | Математика, которая мне нравится

Для решения неравенств с модулем следует раскрыть модуль так же, как это делалось при решении уравнений, а затем решить полученные неравенства на соответствующих множествах (иными словами, решить полученные системы неравенств).

Пример 1. Решить неравенство

   

Решение. Рассмотрим два случая: 1) и 2) .

1) В этом случае неравенство равносильно системе

   

Преобразуя первое неравенство к виду , получим (см. рис. 13):

Рис. 13

Решение неравенства (-\infty;0]\cup[5;+\infty).

Преобразуя второе неравенство , получим (см. рис. 14):

Рис. 14

Решение неравенства . Решением системы является пересечение решений неравенств, то есть .

2) В этом случае неравенство равносильно системе:

   

Решение первого неравенства (см. рисунок к случаю 1)). Неравенство преобразуется к , его решение (см. рис. 15):

Рис. 15

Решение системы — пересечение множеств решений двух неравенств, то есть .

Общее решение исходного неравенства — объединение решений обоих случаев.

Ответ. .

Замечание. В данном случае проще было из определения модуля получить двойное неравенство , а затем его решить.

Пример 2. Решить неравенство

   

Решение. Точки и (корни выражений, стоящих под модулем) разбивают всю числовую ось на три интервала, на каждом из которых следует раскрыть модули.

1) При выполняется , и неравенство имеет вид , то есть . В этом случае ответ .

2) При выполняется , неравенство имеет вид , то есть . Это неравенство верно при любых значениях переменной , и, с учетом того, что мы решаем его на множестве , получаем ответ во втором случае .

3) При выполняется , неравенство преобразуется к , и решение в этом случае . Общее решение неравенства — объединение трех полученных ответов.

Ответ. .

Задачи. Решите неравенства:

1. .

2. .

3. .

4. .

8 класс неравенства с модулем

Вы искали 8 класс неравенства с модулем? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное
решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и алгоритм решения неравенств с модулем, не
исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению
в вуз.
И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение.
Например, «8 класс неравенства с модулем».

Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей
жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек
использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на
месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который
может решить задачи, такие, как 8 класс неравенства с модулем,алгоритм решения неравенств с модулем,дробные неравенства с модулем,дробные неравенства с модулем как решать,как раскрывается модуль в неравенствах,как раскрывать модуль в неравенствах,как раскрыть модуль в неравенстве,как решать дробные неравенства с модулем,как решать модульные неравенства,как решать неравенства с двумя модулями,как решать неравенства с модулем,как решать неравенства с модулем 10 класс,как решать неравенства с модулем 8 класс,как решать неравенства с модулем 9 класс,как решать неравенства с модулем дробные,как решать неравенства с модулями,как решать неравенство с двумя модулями,как решаются неравенства с модулем,как решить неравенства с модулем,как решить неравенство с модулем,как решить неравенство с модулем 9 класс,как решить систему неравенств с модулем,калькулятор неравенств с модулем,квадратное неравенство с модулем,квадратные неравенства с модулем,квадратные неравенства с модулем примеры решения,линейные неравенства с модулем,линейные неравенства с модулем примеры решения,методы решения неравенств с модулем,модули неравенства,модуль больше модуля,модуль в неравенствах,модуль неравенства,модульное неравенство,модульные неравенства,модульные неравенства как решать,модульные неравенства решение,неравенств с модулем,неравенства дробные с модулем,неравенства модули,неравенства модуль,неравенства онлайн с модулем,неравенства с двумя модулями как решать,неравенства с двумя модулями решение,неравенства с модулем,неравенства с модулем 10 класс,неравенства с модулем 10 класс как решать,неравенства с модулем 10 класс примеры,неравенства с модулем 8 класс примеры решения,неравенства с модулем 9 класс,неравенства с модулем 9 класс как решать,неравенства с модулем 9 класс примеры решения,неравенства с модулем дробные,неравенства с модулем как решать,неравенства с модулем как решать 8 класс,неравенства с модулем как решать 9 класс,неравенства с модулем квадратные,неравенства с модулем онлайн,неравенства с модулем онлайн решение,неравенства с модулем примеры,неравенства с модулем примеры 10 класс,неравенства с модулем примеры решения,неравенства с модулем примеры решения 10 класс,неравенства с модулем примеры решения 8 класс,неравенства с модулем примеры решения 9 класс,неравенства с модулем решение,неравенства с модулем решение онлайн,неравенства с модулем сложные,неравенства с модулем теория,неравенства с модулями,неравенства с модулями как решать,неравенства с модулями онлайн,неравенства с модулями примеры,неравенства содержащие модуль,неравенство с двумя модулями,неравенство с двумя модулями как решать,неравенство с модулем,неравенство с модулем квадратное,неравенство с модулем примеры,неравенство с модулем решение,неравенство с модулем решение онлайн,неравенство с модулем решить онлайн,онлайн неравенства с модулем,онлайн решение неравенств с модулем,онлайн решение неравенств с модулями,онлайн решение неравенства с модулем,примеры неравенств с модулем,примеры неравенства с модулем,примеры неравенства с модулями,примеры решение неравенств с модулем,примеры с модулем неравенства,простейшие неравенства с модулем,раскрытие модуля в неравенствах,решение квадратных неравенств с модулем,решение модулей неравенства,решение модульных неравенств,решение неравенств методом интервалов с модулем,решение неравенств онлайн с модулем,решение неравенств онлайн с модулями,решение неравенств с двумя модулями,решение неравенств с модулем,решение неравенств с модулем 10 класс примеры,решение неравенств с модулем калькулятор онлайн,решение неравенств с модулем методом интервалов,решение неравенств с модулем онлайн,решение неравенств с модулем онлайн с подробным решением,решение неравенств с модулем примеры,решение неравенств с модулем примеры 10 класс,решение неравенств с модулем решение онлайн,решение неравенств с модулем с подробным решением,решение неравенств с модулями,решение неравенств с модулями 10 класс,решение неравенств с модулями онлайн,решение неравенств содержащих модуль,решение неравенства модулей,решение неравенства онлайн с модулем,решение неравенства с двумя модулями,решение неравенства с модулем,решение неравенства с модулем онлайн,решение неравенство с модулем онлайн,решение онлайн модульных неравенств,решение онлайн неравенства с модулем,решения неравенств с модулем,решите неравенство с модулем,решить неравенства с модулем онлайн с решением,решить неравенство онлайн с модулем,решить неравенство онлайн с модулем с подробным решением,решить неравенство онлайн с подробным решением с модулем,решить неравенство с модулем,решить неравенство с модулем онлайн с подробным решением,решить неравенство с модулем онлайн с решением,решить онлайн неравенство с модулем,системы неравенств с модулем,сложные неравенства с модулем,способы решения неравенств с модулем,способы решения неравенств с модулями,теория неравенства с модулем,уравнения и неравенства с модулем 8 класс,уравнения и неравенства с модулем примеры с решением. На этой странице вы найдёте калькулятор,
который поможет решить любой вопрос, в том числе и 8 класс неравенства с модулем. Просто введите задачу в окошко и нажмите
«решить» здесь (например, дробные неравенства с модулем).

Где можно решить любую задачу по математике, а так же 8 класс неравенства с модулем Онлайн?

Решить задачу 8 класс неравенства с модулем вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный
онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо
сделать — это просто
ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести
вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице
калькулятора.

Презентация — Решение неравенств с модулями

Слайды и текст этой онлайн презентации

Слайд 1

Неравенства с модулями
11 класс презентация—— Абрамова Светлана Ивановна

Слайд 2

Неравенства вида |f(x)| 0 равносильны двойному неравенству –a Неравенства вида |f(x)| > a при a ≤ 0 имеют решением всю область определения функции f(x). При a > 0 исходное неравенство равносильно двум неравенствам : f(x) > a и f(x)

Слайд 3

Решить неравенство : |3 — 8×2| > -3
Решение.
Поскольку модуль всегда заведомо больше отрицательного числа, решением этого неравенства является область определения функции, стоящей под знаком модуля, т.е. любое рациональное число.
Ответ : x ∈ (-∞;∞)

Слайд 4

Решить неравенство: |x2 — 2x| ≤ 0
Решением этого неравенства будут корни уравнения x2-2x=0 ,т.е. x1=0 и x2=2.
Ответ : x ϵ {0} ᴜ {2}
Решить неравенство : |7×2 + 8| ≤ -3
Неравенство решений не имеет, так как модуль всегда положителен.
Ответ : x ϵ ∅
Решение.
Решение.

Слайд 5

Решить неравенство : |x2 — 7x| ≥ 12
Решение.
Корни уравнения: x1=3 и x2=4 ; решением этого неравенства будет интервал: x ∈[3;4]
Равносильные неравенства x2 — 7x ≥ 12 и x2 — 7x ≤ -12 сводятся к квадратным x2 — 7x -12 ≥ 0 и x2 — 7x + 12 ≤ 0.
Решаем первое неравенство.
Корни уравнения :x1= 7− 97 2 и x2= 7+ 97 2 ; решением этого неравенства будут два полубесконечных интервала : (-∞; 7− 97 2 ] и [ 7+ 97 2 ;∞)
Решаем второе неравенство.
Следовательно, решением исходного неравенства будут три интервала решений квадратных неравенств.
Ответ : x ∈(−∞; ????− ???????? ???? ] ᴜ ????;???? ᴜ [ ????+ ???????? ???? ;∞)

Слайд 6

Решить неравенство : | 3????+1 ????−3 | ≤ 3
Решение.
Данное неравенство равносильно двойному : -3 ≤ 3????+1 ????−3 ≤ 3.
 3????+1 ????−3 ≤ 3
 3????+1 ????−3 ≥ -3
3????+1 ????−3 + 3 ≥ 0
3????+1+3???? −9 ????−3 ≥ 0
6???? −8 ????−3 ≥0
(6x – 8)(x – 3) ≥ 0
x ≠ 3
x ϵ ( -∞ ; 4 3 ] ᴜ ( 3 ; ∞)
3????+1 ????−3 — 3 ≤ 0
3????+1−3????+9 ????−3 ≤ 0
10 ???? −3 ≤ 0
x – 3 x ϵ ( — ∞ ; 3 )
Ответ : x ϵ ( — ∞ ; 4 3 )

Слайд 7

Неравенства вида |f(x)|≤ g(x) сводятся к равносильной системе:
f(x) ≤ g(x) f(x) ≥ -g(x) ,
а неравенства вида |f(x)|≥ g(x) – к аналогичной равносильной системе:
f(x) ≥ g(x) f(x) ≤ -g(x) .

Слайд 8

Решить неравенство : |x2 — 8x + 15|Решение .
Равносильная система неравенств
x2 — 8x + 15 3 — x
сводится к решению двух равносильных неравенств :
x2 — 9x + 18 0
x1 = 3 x2 = 6
x1 = 3 x2 = 4
x ϵ ( 3 ; 6 ) x ϵ ( -∞ ; 3) ᴜ ( 4 ; ∞ )
Ответ : x ϵ ( 4 ; 6 )
3
3
4
6

Слайд 9

Решить неравенство : |x2 – 2x — 3| > 3x — 3
Решение .
Равносильная система неравенств
x2 – 2x – 3 > 3x – 3 x2 – 2x – 3 как и в предыдущем примере, сводится к системе квадратных неравенств :
x2 –5x > 0 x2 + x – 6 x1 = 0 x2 = 5
x1 = -3 x2 = 2
x ϵ ( -∞ ; 0 ) ᴜ ( 5 ; ∞ ) x ϵ ( -3 ; 2 )
-3
2
0
5
Ответ : x ϵ ( -3 ; 0 )

Слайд 10

Неравенства вида F(|f(x)|) v 0 заменой y=|f(x)| сводятся к равносильной системе :
F(y) v 0 y ≥ 0

Слайд 11

Решить неравенство : |x — 4|3 + |x — 4|> 2
Решение .
Заменой y=|x — 4| исходное неравенство сводится к равносильной системе :
y 3 + y > 2 y ≥ 0
y3 + y – 2 y3 – y2
y2 + y y2 – y
2у – 2 2у – 2
y — 1 y2 + y + 2
0



Первое неравенство y 3 + y — 2 > 0 – рациональное. Решать его нужно методом интервалов для рациональных и дробно-рациональных неравенств, предварительно разложив левую часть на множители. Корень у=1 кубического трехчлена угадывается сразу. Поэтому, деля y 3 + y — 2 на у – 1 или применяя метод неопределенных коэффициентов с использованием теоремы Безу, разложим выражение на два сомножителя – линейный и квадратный.

Слайд 12

Таким образом,
y 3 + y – 2 = (у – 1)(y2 + y + 2)
Итак, равносильная система приняла вид :
(у – 1)(y2 + y + 2)>0 y≥0 ,
откуда у>1
Переходя к переменной х, получаем простейшее неравенство |х — 4| > 1, которое разбивается на два равносильных : х – 4 > 1, или х > 5, и х – 4 Ответ : x ϵ ( -∞ ; 3) ᴜ ( 5 ; ∞ )

Слайд 13

Неравенства вида F(ϕ(x) ;|f(x)|) v 0 сводятся к двум равносильным системам :
f(x)≥0 F(ϕ(x) ; f(x)) v 0
f(x)

Слайд 14

Решить неравенство : x2 + 2|x + 3| — 10 ≤ 0
Решение .
Равносильные системы :
x + 3 ≥ 0 x2 + 2(x + 3) – 10 ≤ 0
x + 3 x ≥ -3 x2 + 2x – 4 ≤ 0
x x ≥ -3 x1= -1 + 5 x2= -1 — 5
x x ϵ [-3 ; -1 + 5 ]
x ϵ [1 — 17 ; -1 + 5 ]
Ответ : x ϵ [ 1 — ???????? ; -1 + ???? ]
и

Слайд 15

Неравенства вида |f(x)|>|g(x)|, как и соответствующие уравнения, сводятся к равносильному [ f(x) ]2 > [ g(x) ]2 .

Слайд 16

Решить неравенство : |2x — 5| — |4x + 7|≥ 0
Решение .
Приводим исходное неравенство к виду
|2x — 5| ≥ |4x + 7|
и возводим в квадрат :
(2x – 5)2 ≥ (4x + 7)2
Раскрывая скобки и приводя подобные члены, получаем квадратное неравенство :
3×2 + 19x + 6 ≤ 0
3×2 + 19x + 6 = 0
x1= — 6 x2= — 1 3
Решением неравенства является интервал [ -6 ; — 1 3 ] , он же – решением исходного неравенства с модулями.
Ответ : x ϵ [ -6 ; — 1 3 ]

Слайд 17

Неравенства вида |f1(x)|±|f2(x)|±…±|fn(x)| v a решаются тем же самым методом интервалов, что и уравнения с модулем. Разница лишь в том, что в данном случае в каждом интервале решается не уравнение, а неравенство и из решений неравенства выбираются те, которые принадлежат данному интервалу. В остальном метод интервалов остается тем же, что и при решении уравнений с модулем.
Не следует путать этот метод с методом интервалов, применяемым для решения рациональных и дробно-рациональных неравенств.
Внимание!

Слайд 18

Решить неравенство : |x|- 2|x + 1|+ 3|x + 2|≥ 4
Решение .
Найдем сначала все xi , разбивающие числовую ось на интервалы и получающиеся как решения уравнений fj (xi )=0 : х=0; х + 1=0 ; х + 2=0. Таким образом, границами интервалов являются числа x1=0, x2=-1 и x3=-2. Отметим эти значения на числовой оси для каждого из полученных интервалов определим знаки выражений, стоящих под знаком модуля :
I
II
III
IV
-2
-1
0
x x 0
x 0 x + 2 > 0
x>0 x + 1 > 0 x + 2 > 0
Раскроем модули на интервале I (x≤-2) :
-x + 2( + 1) – 3(x + 2) ≥ 4
После преобразования получаем
-2х – 4 ≥ 4 ,
откуда х ≤ -4

Слайд 19

Этот интервал входит в интервал I и является решением исходного неравенства.
II интервал ( -2≤ х ≤-1 ) :
-х+ 2(х + 1) + 3(х + 2) ≥ 4
4х + 8 ≥ 4 ,
откуда х≥-1
Решением в этом интервале является точка х=-1
III интервал ( -1≤ х ≤0 ) :
-х – 2(х + 1) + 3(х + 2) ≥ 4
4 ≥ 4
В результате мы получили истинное неравенство ( заметим, что, если бы неравенство было строгим, оно становилось бы ложным). Следовательно, весь интервал III является решением исходного неравенства.
IV интервал ( х≥0 )
х – 2(х + 1) + 3( + 2) ≥ 4
2х + 4 ≥ 4 ,
откуда х≥0
Таким образом, весь интервал IV является решением исходного неравенства. Заметим, что решения, полученные в интервалах II, III и IV, «сливаются» по граничным точкам x1=-1 и x2=0 в единый интервал [-1 ; ∞). ????+ ???????? ???? ;∞)
Ответ : ( -∞ ; -4 ] ᴜ [ -1 ; ∞ )

Слайд 20

! Презентация составлена учителем математики Абрамовой С.И. К элективному курсу 11 класс по теме « Решение Неравенств модулями» 24.12.18г

Слайд 21

Решение задач по математике

Каталог примеров

  • Категория: PHP
  • Категория: Алгебраические преобразования, уравнения, неравенства
    • Как упростить выражение с дробями на тестах по математике
    • Решение дробно-рационального уравнения высшей степени методом замены переменной
    • Решение неравенств онлайн, пример с высшими степенями
    • Решение неравенства с многочленами высших степеней.
    • Решение системы неравенств
    • Решение уравнения с двумя параметрами
    • Решить неравенство, содержащее кубическую функцию.
    • Упростить выражение, примеры. Упростить выражение с дробными функциями
    • Упростить выражение наиболее оптимальным способом
    •   Решение системы неравенств с тремя неравенствами, содержащими квадратичную и кубическую функции
    • Возведение одночленов в степень
    • Деление простейших рациональных дробей со знаменателями-одночленами высших степеней.
    • Докажите, что при любых любых значениях истинны неравенства
    • Иррациональные уравнения примеры.
    • Использование формулы разности кубов при упрощении выражений
    • Исследование функции онлайн 4 степени
    • Исследование функции онлайн с квадратичной функцией в числителе и знаменателе
    • Исследование функции онлайн, содержащей квадратичную функцию в числителе и знаменателе.
    • Исследование функции онлайн, функции третьей , четвертой степени
    • Исследование функции с квадратичной функцией в числителе и линейной в знаменателе
    • Исследовать полином шестой степени и построить ее график
    • исследовать функцию второй степени и построить ее график
    • Исследуем функцию в знаменетеле которой произведение линейных функций
    • Как решать кубические уравнения
    • Как решить неравенство с дробями
    • Нахождение множества решений неравенства
    • Необходимо упростить выражение.
    • Необходимо построить график графики функций, заданную вот такой формулой
    • Нестандартные способы решения решение квадратных уравнений. Метод замены
    • Построить график функции заданной формулой
    • Построить график функции, провести ее полное исследование
    • Пример на упрощение выражений
    • Пример на упрощение выражения
    • Пример на упрощение выражения
    • Пример решения дробно рациональных уравнений
    • Примеры как решать биквадратные уравнения
    • примеры построения графиков
    • Примеры решения системы линейных уравнений.
    • Провести полное исследование и построить график функции седьмой степени
    • Разложение многочлена на множители
    • Разложение многочленов на множители. Применение различных способов
    • разложить на множители
    • Решаем неравенств, имеющих в левой левой части дробное выражение с квадратичными функциями
    • Решаем неравенство с четвертой степенью интервалов
    • Решение иррациональных уравнений с переменной z
    • Решение биквадратного уравнения методом замены
    • Решение биквадратного уравнения методом замены переменной
    • Решение биквадратного уравнения методом замены переменной
    • Решение биквадратных уравнений онлайн
    • Решение биквадратных уравнений онлайн
    • Решение двойного неравенства онлайн с модулем в числителе и знаменателе
    • Решение двойных неравенств на тестах по математике
    • решение дробно-рациональных выражений, приводящих к квадратным
    • Решение дробно-рациональных уравнений с параметрами
    • Решение дробно-рациональных уравнений, сводящихся к квадратным
    • Решение задач на округление с недостатком
    • Решение иррациональное уравнение с параметрами.
    • Решение иррациональных уравнений, содержащих кубический корень.
    • Решение квадратичного неравенства с модулем
    • Решение квадратичных неравенств онлайн с модулем
    • Решение квадратного уравнения с квадратичными многочленами в числителе и знаменателе
    • Решение квадратных уравнений методом замены переменной
    • Решение квадратных уравнений по формуле дискриминанта
    • Решение квадратных уравнений с квадратным трехчленом в числителе и знаменателе
    • Решение квадратных уравнений с модулями
    • Решение квадратных уравнений с преобразованием левой и правой части уравнения.
    • Решение квадратных уравнений, содержащих алгебраические преобразования.
    • Решение линейных неравенств онлайн с модулем в знаменателе
    • Решение линейных неравенств с дробными выражениями
    • решение линейных неравенств, содержащих модуль
    • Решение линейных уравнений с дробями в левой и правой части
    • Решение на тестах по математике неравенств онлайн, содержащих модуль
    • Решение на тестах по математике неравенств содержащих модуль и кубическую функцию в правой части
    • Решение неравенств c кубическими степенями
    • Решение неравенств  онлайн с дробями наиболее оптимальным способом
    • Решение неравенств высших степеней онлайн .
    • Решение неравенств онлайн методом замены переменных
    • Решение неравенств онлайн на тестах по математике, имеющих очень большую степень
    • Решение неравенств онлайн с двумя квадратичными функциями в знаменателе
    • Решение неравенств онлайн с квадратичными функциями в знаменателе дроби
    • Решение неравенств онлайн со сложными дробно-рациональными дробями
    • Решение неравенств онлайн, содержащих в числителе и знаменателе произведение квадратных трехчленов
    • Решение неравенств онлайн, содержащих многочлен четвертой степени в левой части
    • Решение неравенств онлайн, содержащих модуль в знаменателе и квадратичную функцию в числителе
    • Решение неравенств онлайн, содержащих модуль.
    • Решение неравенств онлайн, содержащих произведение квадратичных функций
    • Решение неравенств онлайн, содержащих произведение функций в левой части и линейную функцию в правой
    • Решение неравенств онлайн, содержащих разность дробей
    • Решение неравенств онлайн. Дробно-рациональное неравенство
    • Решение неравенств онлайн. Применение группировки для решения неравенств
    • Решение неравенств онлайн. Решение квадратичных неравенств.
    • Решение неравенств с выносом за скобки многочлена
    • Решение неравенств с квадратичной функцией под модулем.
    • Решение неравенств с квадратичной функцией в числителе и знаменателе
    • Решение неравенств с квадратичной функцией в числителе и знаменателе.
    • Решение неравенств с линейной функцией в правой части
    • Решение неравенств с линейными и квадратичными функциями в знаменателе
    • Решение неравенств с линейными функциями в модулях
    • Решение неравенств с многочленом пятой степени
    • Решение неравенств с модулем в знаменателе.
    • Решение неравенств с модулем. Квадратичная функция в модуле.
    • Решение неравенств с применением разности кубов
    • Решение неравенств с применением формул сокращенного умножения
    • Решение неравенств с применением формулы разности квадратов
    • Решение неравенств с произведением многочленов в числителе и знаменателе
    • Решение неравенств с произведением квадратичных функций в числителе и знаменателе
    • Решение неравенств содержащих параметр
    • Решение неравенств третьей степени онлайн методом замены
    • Решение неравенств четвертой степени заменой
    • Решение неравенств, содержащих куб суммы
    • Решение неравенств, содержащих линейные функции в числителе дроби в левой части
    • Решение неравенства 3 степени
    • Решение неравенства онлайн с квадратичной функцией под модулем в левой части и линейной под модулем в правой
    • Решение неравенства онлайн с модулем и квадратичной функцией в левой части
    • Решение неравенства онлайн. Пример, в котором нужно решить систему
    • Решение неравенства с 4 квадратичными функциями
    • Решение неравенства с двумя модулями
    • Решение неравенства с квадратичной функцией под модулем.
    • Решение неравенства с модулем
    • Решение неравенства с модулем
    • Решение неравенства с модулем в знаменателе
    • Решение неравенства с модулем квадратичной функциии в знаменателе
    • Решение неравенства с модулями и дробями
    • Решение неравенства с одинаковой квадратичной функцией
    • Решение неравенства, содержащего произведение многочленов в числителе и знаменателе
    • Решение нескольких линейных уравнений с параметром и модулем
    • Решение показательных уравнений онлайн с применением свойств степеней с рациональным показателем и свойств показательной функции
    • Решение показательных уравнений онлайн.
    • Решение показательных уравнений с линейными функциями в степенях
    • Решение примеров с отрицательными степенями
    • Решение примеров с упрощением радикалов на тестах по математике
    • Решение рациональных уравнений, сводящихся к квадратным
    • Решение систем квадратных неравенств
    • Решение систем линейных неравенств
    • Решение систем линейных уравнений второй степени методом выражения неизвестной
    • Решение систем линейных уравнений с двойными неравенствами
    • Решение систем линейных уравнений с дробными коэффициентами
    • Решение систем линейных уравнений с модулями
    • Решение систем неравенств
    • Решение систем неравенств на тестах по математике
    • Решение систем неравенств онлайн на тестах по математике
    • Решение систем неравенств онлайн с квадратичными функциями
    • Решение систем неравенств с квадратичными функциями
    • Решение систем уравнений , в которой одна из переменных в квадрате
    • Решение систем уравнений с 3 неизвестными
    • Решение систем уравнений с 4 неизвестными
    • Решение систем уравнений с дробями повышенного уровня сложности
    • Решение систем уравнений с переменными с высшими степенями
    • Решение систем уравнений с произведением многочленов
    • Решение систем уравнений с суммой и произведением неизвестных
    • Решение систем уравнений уравнений с x и у в числителе дроби
    • Решение системы линейных уравнений
    • Решение системы неравенств c линейными функциями в каждом неравенстве
    • Решение системы неравенств онлайн
    • Решение системы неравенств онлайн с квадратичными функциями
    • Решение системы неравенств, содержащее кубическое неравентсво
    • Решение сложного дробно-рационального уравнения
    • Решение сложного неравенства с применением формул сокращенного умножения
    • Решение сложных дробно-рациональных неравенств
    • Решение сложных квадратных уравнений онлайн
    • решение сложных неравенств
    • Решение уравнений высших степеней с дробями
    • Решение уравнений методом замены переменной
    • Решение уравнений онлайн с большим числом многочленов
    • Решение уравнений онлайн с квадратичной функцией в знаменателе под знаком модуля
    • Решение уравнений с двумя  множителями, в которых стоят квадратичные функции
    • Решение уравнений с модулем и параметром
    • Решение уравнений с параметрами
    • Решение уравнений третьей степени с дробной частью
    • Решение уравнений, сводящихся к квадратным
    • Решение уравнений, сводящихся к квадратным применением свойств сокращенного умножения.
    • Решение уравнения с заменой переменных
    • Решении неравенств методом подбора
    • Решения задач на свойства степеней
    • Решить неравенство онлайн методом интервалов,применив при этом метод группировки слагаемых.
    • Решить биквадратное уравнение.
    • Решить дробно-рациональное кубическое уравнение наиболее оптимальным способом.
    • Решить Дробно-рациональное неравенство онлайн
    • Решить дробно-рациональное уравнение высшей степени с дробями.
    • Решить квадратное уравнение наиболее оптимальным способом.
    • Решить линейное неравенство,  содержащее дроби в обеих частях
    • Решить неравенство онлайн наиболее оптимальным способом
    • Решить неравенство  с дробями
    • Решить неравенство высших степеней методом интервалов
    • Решить неравенство онлайн наиболее оптимальным методом
    • Решить неравенство онлайн с многочленом третьей степени
    • Решить неравенство онлайн, содержащее произведение многочленов
    • Решить неравенство онлайн, содержащее высшие степени
    • Решить неравенство онлайн, содержащее высшие степени
    • Решить неравенство онлайн, содержащее дробно-рациональные выражения
    • Решить неравенство онлайн, содержащее модуль.
    • Решить неравенство онлайн, содержащее произведение многочленов высших степеней.
    • Решить неравенство онлайн, содержащее произведение  многочленов
    • Решить неравенство онлайн, содержащее сумму дробно-рациональных функций
    • Решить неравенство онлайн. Квадратичная функция.
    • Решить неравенство онлайн. Неравенство высших степеней.
    • Решить неравенство онлайн.  Дробно-рациональные функции
    • Решить неравенство оптимальным способом
    • Решить неравенство с модулем
    • Решить неравенство, содержащее высокую степень,  методом интервалов
    • Решить неравенство, содержащее дробно-рациональную функцию
    • Решить неравенство, содержащее дробно-рациональные выражения в левой и правой части
    • Решить неравенство, содержащее произведение кубической и квадратной функций.
    • Решить неравенство, содержащее произведение многочленов.
    • Решить неравенство, содержащее произведении многочленов
    • Решить неравенство, содержащую высшую степень  методом интервалов
    • Решить систему неравенств наиболее оптимальным способом.
    • Решить систему неравенств с модулями
    • Решить систему неравенств, содержащую неравенства второй степени
    • Решить систему неравенств.
    • Решить систему неравенств.
    • Решить систему уравнений с тремя неизвестными методом выражения неизвестной величины
    • Решить систему уравнений, выразив x,y,z через u и v.
    • Решить уравнение высшей степени
    • Решить уравнение высшей степени, используя метод замены переменных
    • Решить уравнение онлайн, используя замену переменной
    • Решить уравнение онлайн, содержащее в левой и правой части дробно-рациональные выражения с   квадратичными функциями.
    • Решить уравнение онлайн, содержащее выражения под знаком модуля в левой и правой части уравнения
    • Решить уравнение четвертой степени, используя группировку и вынесение общего множителя
    • Тождественное преобразование рациональных выражений с использованием формулы разницы квадратов
    • Тождественные преобразования рациональных выражений
    • Упросить выражение оптимальным способом
    • Упростить выражение примеры
    • Упростить выражение примеры. Сложение и вычитание рациональных дробей с одинаковыми  знаменателями
    • Упростить выражение примеры. Упрощение дробно-рациональных выражений.
    • Упростить выражение с дробями.
    • Упростить выражение с помощью преобразований
    • Упростить выражение типичные примеры для тестов по математике
    • Упростить выражение, содержащее дробные выражения
    • Упрощение выражение с радикалами
    • Упрощение выражений на тестах по математике доказательство с использованием тождественных преобразований.
    • Упрощение выражений на тестах по математике. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями. Простейшие примеры
    • Упрощение выражений при умножении рациональных дробей
    • Упрощение выражений с корнями
    • Упрощение выражений с кубическими корнями
    • Упрощение выражений с многоэтажными дробями
    • Упрощение выражений с помощью разности квадратов
    • Упрощение выражений с помощью формул квадрата суммы.
    • Упрощение выражений с помощью формулы разности квадратов
    • Упрощение выражений с помощью формулы умножения дробей
    • Упрощение выражений с применением формул разложения квадратного трехчлена на множители
    • Упрощение выражений с применением формулы суммы кубов и куб разности
    • Упрощение выражений с радикалами.
    • Упрощение выражений с тремя действиями
    • Упрощение выражений, возведение рационального выражения в степень.
    • Упрощение выражений, сложение рациональных дробей с многочленами в знаменателе
    • Упрощение выражений, содержащих деление многочленов
    • Упрощение выражений, содержащих деление рациональных дробей
    • Упрощение выражений, содержащих степень с рациональным показателем
    • Упрощение выражений, содержащих умножение дробей с квадратичными функциями
    • Упрощение выражения, содержащего операции деления
  • Категория: Другое
  • Категория: Логарифмические, показательные уравнения , неравенства
  • Категория: Начала анализа
    • Задача на нахождение числа касательных.
    • Исследование и построение графика функции четвертой степени
    • Исследование функции онлайн, содержащей многочлен пятой степени в числителе и седьмой в знаменателе.
    • Исследование графика функции с многочленом четвертой степени в знаменателе
    • Исследование дробно-рациональной функции и построения ее графика
    • Исследование дробной функции и построение ее графика
    • Исследование онлайн функции с кубом в знаменателе
    • Исследование рациональной функции и с построение ее графика
    • Исследование функции десятой степени
    • Исследование функции онлайн с кубической функцией в числителе
    • Исследование функции онлайн с числителем шестой степени
    • Исследование функции онлайн, заданной частным квадратичной и кубичной функций
    • Исследование функции пятой степени
    • Исследование функции с линейной функцией в числителе и знаменателе
    • Исследование функции с многочленом шестой степени в числителе
    • Исследование функции с числителем пятой степени
    • Исследовать график дробно-линейной функции и правильно построить график
    • Исследовать функцию 4 степени и построить график
    • Исследовать функцию высших степеней и построить ее график
    • Исследовать функцию и построить ее график
    • Исследовать функцию и построить ее график онлайн.
    • Исследуем онлайн функцию, заданную многочленом четвертой степени в числителе
    • Исследуем функцию, в которой в знаменателе произведение квадратичных функций
    • Исследуем функцию, заданную многочленом четвертой степени
    • на исследование функций
    • Найти значение производной в точке
    • Нахождение производной сложной функции и построение её графика
    • Полное исследование сложной функции и построение ее графика
    • Построение график функции с кубом в числителе и знаменателе
    • Построение графика дробно-линейной функции
    • Построение графика кубической функции
    • Построение графика с квадратичными функциями в числителе и знаменателе
    • Построение графика с кубической функцией в числителе и линейной в знаменателе
    • Построение графика с функцией шестой степени в числителе
    • Построение графика функции с полным исследованием
    • Построение графика функции с квадратичной функцией в числителе и линейной в знаменателе
    • Построение графика функции с многочленом пятой степени в знаменателе
    • Построение графика функции, в знаменателе которой многочлен пятой степени
    • Построение графиков на тестах по математике
    • Построение графиков функций онлайн. Нахождение производной в точке
    • Построить график функции и провести ее полное исследование. Функция дробно-рациональная
    • Построить график дробной-линейной функции и провести ее полное исследование.
    • Построить график квадратичной функции методом полного исследования
    • Построить график кубической функции
    • Построить график кубической функции, проведя ее полное исследование
    • Построить график функции дробной функции, содержащей функцию четвертой степени в знаменателе, проведя полное исследование.
    • Построить график функции и провести ее полное исследование
    • Построить график функции онлайн, заданной следующей формулой
    • Построить график функции пятой степени
    • Построить график функции, содержащей дроби.
    • Построить и исследовать график функции, заданной такой формулой.
    • Провести исследование функции и построить ее график
    • Провести исследование функции и построить ее график.
    • Провести полное исследование функции . После этой исследования построить ее график.
    • Производная дроби примеры
    • Укажите график нечетной функции
  • Категория: Планиметрия
  • Категория: Прогрессии
  • Категория: Стереометрия
  • Категория: Текстовые задачи
  • Категория: Тригонометрия
  • Категория: Числа и выражения

Каждый год выпускники стараются успешно завершить обучение и успешно сдать
вступительные экзамены, чтобы поступить в высшие учебные заведения и стать студентами.

Многие ищут решение задач по математике,
чтобы к этому подготовиться.

В данный момент аттестация проводится в форме внешнего независимого
оценивания (ЗНО). Результат тестов по математике засчитывается как балл государственной итоговой
аттестации (ДПА) . Выпускникам, которые прошли ЕГЭ по математике, алгебре, геометрии выдается сертификат
с его результатами, в соответствии с которым вносится соответствующая запись в дополнение к аттестату.
Чтобы набрать необходимое количество баллов недостаточно формально овладеть школьным материалом –
необходимы углубленные знания, практика в решении задач, умение правильно и четко изложить на бумаге
решение задачи, сопровождая его необходимыми схемами, рисунками, формулами.

Этот сайт с решениями задач по математике
поможет в комплексной подготовке абитуриента к независимому внешнему тестированию по математике. Он
решит с вами задачи, которые в разное время предлагались для решения школьникам и абитуриентам при
поступлении в высшие учебные заведения.

Разбор задач , уроки позволят вам успешно сдать непростые экзамены и легко
овладеть такими науками, как алгебра и геометрия. Вы научитесь выполнять алгебраические преобразования,
сможете упростить любое выражение, изучите алгебраические формулы. Вы успешно освоите решение уравнений,
систем уравнений, неравенств, систем неравенств (квадратные, иррациональные, показательные,
логарифмические, тригонометрические).

Сложности в решение задач на составление уравнений? На сайте приведены
решения задач с полным описанием. Геометрия дается сложнее, чем алгебра? На сайте приведены решения
задач из разделов планиметрия и стереометрия, разобраны примеры решения на нахождение неизвестных
геометрических элементов, площадей фигур, методики доказательств утверждений.

Сайт- хороший помощник при подготовке домашних заданий и подготовке к
тестам

Сайт нужен для получения и лучшего усвоения большего количества информации,
более глубоких знаний, а также приобретения навыков по реализации полученных знаний на практике.
Специалиста можно найти, обратившись в специальные агентства, поместив объявление в средствах массовой
информации. Однако , попав на этот сайт, вы уже нашли то, что искали. У автора — большой опыт подготовки
к ЗНО по математике, ДПА по математике, ЗНО по физике, ДПА по физике. Вы можете посмотреть отзывы на
соответствующей странице. Все мои ученики успешно сдавали ЗНО с результатом от 180 баллов, а результат
ДПА всегда был не ниже 9. Поэтому вы можете быть уверены в результативности занятий.

3.2.4. Неравенства с модулем






Глава 3. Решение уравнений и неравенств

3.2.



3.2.4.

Основные способы решений неравенств с модулем во многом совпадают с методами решения аналогичных уравнений. Единственное отличие, пожалуй, связано с тем, что, решая неравенства с модулем (как, впрочем, и неравенства вообще), нужно очень внимательно совершать равносильные переходы и следить не только за тем, чтобы не приобрести новые решения, но и за тем, чтобы не потерять уже имеющиеся.

Стандартный путь решения неравенств с модулем заключается в том, что координатная прямая разбивается на промежутки (границами этих промежутков являются нули подмодульных выражений), а затем неравенство решается на каждом из промежутков.

Этот метод работает всегда. Правда, в отдельных случаях может быть затруднена его техническая реализация, например, очень тяжело или невозможно найти корни подмодульных выражений и пр. Однако, это сложности иного плана. Нужно понимать, что раскрытие модуля по определению неизменно приводит к цели. Конечно же, этот метод не является оптимальным: в условиях конкурсного экзамена важен не только результат, но и то время, которое потрачено на его получение.

Рассмотрим методы, не связанные с поиском нулей функций, стоящих под знаком модуля.

Рассмотрим неравенство
Очевидно, что те x, для которых g (x) < 0, не являются решениями. Значит, если x является решением, то для него g (x) ≥ 0, и согласно геометрическому смыслу модуля, как расстоянию на координатной оси, данное неравенство равносильно системе
Таким образом, имеем


Аналогично можно рассмотреть неравенство
Неравенство выполнено для тех x, для которых g (x) < 0 и функции f (x) и g (x) определены. Для тех x, для которых g (x) ≥ 0, имеем равносильную совокупность


Заметим, что последняя совокупность является равносильной нашему неравенству и при g (x) ≤ 0. В этом можно непосредственно убедиться, учтя g (x) ≤ 0 и вспомнив определение знака совокупности.


Как видно, в простых случаях особых преимуществ метод перехода к равносильной системе не имеет, но иногда его преимущества весьма заметны.


Пример 2

Решите неравенство


Как видно, найти значения x, при которых подмодульное выражение обращается в нуль, чрезвычайно затруднительно. Однако переход к равносильной системе значительно упрощает дело. Имеем:



Ответ. 





Решение абсолютных уравнений и неравенств (алгебра 1, линейные неравенства) — Mathplanet

Абсолютное число числа a записывается как

$$ \ осталось | a \ right | $$

And представляет собой расстояние между a и 0 на числовой прямой.

Уравнение абсолютного значения — это уравнение, которое содержит выражение абсолютного значения. Уравнение

$$ \ осталось | x \ right | = a $$

Имеет два решения x = a и x = -a, потому что оба числа находятся на расстоянии a от 0.

Чтобы решить уравнение абсолютного значения как

$$ \ осталось | x + 7 \ вправо | = 14 $$

Вы начинаете с того, что превращаете его в два отдельных уравнения, а затем решаете их по отдельности.

$$ x + 7 = 14 $$

$$ x + 7 \, {\ color {green} {- \, 7}} \, = 14 \, {\ color {green} {- \, 7}} $$

$$ x = 7 $$

или

$$ x + 7 = -14 $$

$$ x + 7 \, {\ color {green} {- \, 7}} \, = -14 \, {\ color {green} {- \, 7}} $$

$$ x = -21 $$

Уравнение абсолютного значения не имеет решения, если выражение абсолютного значения равно отрицательному числу, поскольку абсолютное значение никогда не может быть отрицательным.

Неравенство

$$ \ осталось | х \ право | <2 $$

Представляет расстояние между x и 0, которое меньше 2

Тогда как неравенство

$$ \ осталось | x \ right |> 2 $$

Представляет расстояние между x и 0, которое больше 2

Вы можете записать неравенство по абсолютным значениям как составное неравенство.

$$ \ осталось | x \ right | <2 \: или

$$ — 2

Это верно для всех неравенств по абсолютным значениям.

$$ \ осталось | ax + b \ right | 0 $$

$$ = — c

$$ \ осталось | ax + b \ right |> c, \: где \: c> 0 $$

$$ = ax + b <-c \: или \: ax + b> c $$

Вы можете заменить> выше на ≥ и <на ≤.

При решении неравенства абсолютного значения необходимо сначала выделить выражение абсолютного значения на одной стороне неравенства, прежде чем решать неравенство.


Пример

Решите неравенство абсолютных значений

$$ 2 \ влево | 3x + 9 \ вправо | <36 $$

$$ \ frac {2 \ left | 3x + 9 \ right |} {2} <\ frac {36} {2} $$

$$ \ осталось | 3x + 9 \ вправо | <18 $$

$$ — 18 <3x + 9 <18 $$

$$ — 18 \, {\ color {green} {- \, 9}} <3x + 9 \, {\ color {green} {- \, 9}} <18 \, {\ color {green} { - \, 9}} $$

$$ — 27 <3x <9 $$

$$ \ frac {-27} {{\ color {green} 3}} <\ frac {3x} {{\ color {green} 3}} <\ frac {9} {{\ color {green} 3} } $$

$$ — 9


Видеоурок

Решите уравнение абсолютного значения

$$ 4 \ влево | 2x -1 \ вправо | -2 = 10 $$

Неравенство абсолютных значений

Неравенство абсолютных значений

Абсолютное неравенство

Вот шаги, которые необходимо выполнить при решении абсолютного значения
неравенства:

  1. Выделите выражение абсолютного значения в левой части
    неравенство.
  2. Если число с другой стороны знака неравенства равно
    отрицательный, ваше уравнение либо не имеет решения, либо все действительные числа являются решениями.
    Используйте знак каждой стороны неравенства, чтобы решить, какой из этих случаев
    держит. Если число по другую сторону знака неравенства положительное,
    перейти к шагу 3.
  3. Удалите полосы абсолютных значений, установив составное неравенство.
    Тип знака неравенства в задаче подскажет нам, как настроить
    сложное неравенство.
  4. Если ваша проблема имеет знак больше, чем (ваша проблема
    теперь говорит, что абсолютное значение больше числа), затем установите
    сложное неравенство «или», которое выглядит следующим образом:

    (количество внутри абсолютного значения) <- (число на другом боковая сторона)
    ИЛИ

    (количество внутри абсолютного значения)> (число на другой стороне)

    Такая же установка используется для ³
    знак.

    Если ваше абсолютное значение на меньше числа, тогда
    установить составное неравенство из трех частей, которое выглядит так:

    — (число на другой стороне) <(количество внутри абсолютного значение) <(число на другой стороне)

    Такая же установка используется для £
    знак

  5. Решите неравенства.

Поначалу этот процесс может немного сбивать с толку, так что будьте
пациент, пока учится решать эти задачи. Давайте посмотрим на несколько примеров.

Пример 1: | x + 4 | — 6 <9

Шаг 1: Изолировать абсолютное
значение
| х + 4 | — 6 <9

| x + 4 | <15

Шаг 2: Номер включен
другая сторона отрицательная?
Нет, это положительное число, 15.Переходим к шагу 3.
Шаг 3: Установить
сложное неравенство
Знак неравенства в нашей задаче меньше
знак, поэтому мы установим неравенство из 3 частей:

-15 <х + 4 <15

Шаг 4: Решить
составное неравенство
-19 <х <11

Пример 2: | 2x 1 | — 7 ³
-3

Шаг 1: Изолировать абсолютное
значение
| 2x 1 | — 7 ³ -3

| 2x 1 | ³ 4

Шаг 2: Is
число на другой стороне отрицательное число?
Нет, это положительное число, 4.Переходим к шагу 3.
Шаг 3: Установить
сложное неравенство
Знак неравенства в нашей задаче больше
или знак равенства, поэтому составим составное неравенство со словом
«или же»:

2x 1 £ -4 или 2x 1
³ 4

Шаг 4: Решить
неравенства
2x 1 £ -4 или 2x
1 ³ 4

2x £ -3 или 2x ³
5

x £ -3/2 или x ³
5/2

Пример 3: | 5x + 6 | + 4 <1

Шаг 1: Изолировать
абсолютное значение
| 5x + 6 | + 4 <1

| 5x + 6 | <-3

Шаг 2: Is
число на другой стороне отрицательное число?
Да, это отрицательное число, -3.

Посмотрите на признаки каждой стороны неравенства
для определения решения проблемы:

| 5x + 6 | <-3

положительный <отрицательный

Это утверждение неверно, поэтому решения нет.
к этой проблеме.

Пример 4: | 3x 4 | + 9> 5

Шаг 1: Изолировать
абсолютное значение
| 3х 4 | + 9> 5

| 3x 4 | > -4

Шаг 2: Is
число на другой стороне отрицательное число?
Да, это отрицательное число, -4.

Посмотрите на признаки каждой стороны неравенства
для определения решения проблемы:

| 3x 4 | > -4

положительный> отрицательный

Это утверждение всегда верно, поэтому решение
проблема — все действительные числа

абсолютных неравенств | Purplemath

Purplemath

Существует много возможностей для ошибок с абсолютным неравенством, поэтому давайте рассмотрим эту тему медленно и попутно рассмотрим несколько полезных картинок.Когда мы закончим, я надеюсь, что у вас в голове будет хорошее представление о том, что происходит, и вы не сделаете некоторые из наиболее распространенных ошибок. Как только вы поймете, как работает это неравенство, это действительно не так уж и плохо.

MathHelp.com

Давайте сначала вернемся к исходному определению абсолютного значения: «| x | — это расстояние x от нуля.»Например, и –2, и & плюс; 2 — это две единицы от нуля, как вы можете видеть на изображении ниже:

Это означает, что их абсолютные значения будут равны 2; то есть имеем:

| –2 | = | +2 | = 2

Имея в виду это определение и картинку, давайте рассмотрим некоторые неравенства по абсолютным значениям.

  • Решить |

    x | <3 и изобразите его решение.

Это неравенство. Если решением уравнения абсолютного значения являются точки (как на приведенном выше рисунке), решением неравенства абсолютного значения (или «неравенством») будут интервалы.

В этом неравенстве они просят меня найти все значения x , которые находятся менее чем на три единицы от нуля в любом направлении , поэтому решением будет набор всех точек, которые меньше чем на три единицы от нуля.Сначала я нарисую числовую линию:

Глядя на неравенство, я вижу, что число 1 будет работать как решение, как и –1, потому что каждое из них меньше трех единиц от нуля. Число 2 будет работать, как и –2. Но 4 не сработает, равно как и –4, потому что они слишком далеки от нуля. Даже 3 и –3 не будут работать (хотя они на грани), потому что это неравенство «меньше» (но не равно).

Однако число 2,99 будет работать, как и –2,99. Другими словами, все точки между –3 и 3, но фактически не включая –3 или 3, будут работать как решения этого неравенства. Итак, графически решение выглядит так:

(Открытые кружки на концах синей линии указывают «до этих точек, но не включая их». В вашей книге могут использоваться круглые скобки вместо кружков.)

Переводя эту картинку в алгебраические символы, я получаю следующее решение:

Этот шаблон для неравенства «меньше» по абсолютной величине всегда верен:

Дано неравенство в виде | x | < a , решение всегда будет иметь вид — a < x < a .

Между прочим, правильная конъюнкция для неравенства «меньше» по абсолютной величине — «и». Почему? Потому что переменная содержится в одном интервале. В приведенном выше примере x было одновременно «больше –3» и «меньше +3». x находится в интервале, который одновременно удовлетворяет обоим неравенствам. Итак, «и» — правильное соединение.

Даже когда упражнения станут более сложными, вышеприведенная схема все равно будет действовать.


  • Решить | 2

    x + 3 | <6.

Поскольку это неравенство «меньше чем» по абсолютному значению, мой первый шаг — очистить абсолютное значение в соответствии с шаблоном «меньше». Потом решу линейное неравенство.

| 2 x + 3 | <6

–6 <2 x + 3 <6

Это образец для «меньше чем».Продолжая, я вычту 3 из всех трех «сторон» неравенства:

–6 — 3 <2 x + 3 — 3 <6 - 3

–9 <2 x <3

–9/2 < x <3/2

Решение исходного неравенства по модулю, | 2 x + 3 | <6, это интервал:


Другой случай неравенства абсолютных значений — это случай «больше чем».

  • Решить |

    x | > 2 и график.

Сначала я начну с числовой строки.

Решением данного неравенства будет набор всех точек, отстоящих от нуля более чем на две единицы. Например, –3 будет работать, как и +3; –4 будет работать, как и +4. Но –1 не сработает, равно как и +1, потому что они слишком близки к нулю.Даже –2 не будет работать, как и +2 (хотя они на грани), потому что это неравенство «больше» (но не равно).

Однако +2.01 будет работать, как и –2.01. Другими словами, решением будет , две отдельные секции : одна секция будет содержать все точки более чем на две единицы от нуля слева от , а другая секция будет содержать все точки более чем на две единицы от нуля до правый . Графически решение выглядит так:

Переводя это графическое решение в символы, я получаю:

Обратите внимание! Решением этого неравенства «больше чем» по модулю являются ДВА регулярных неравенства, а не одно.НЕ пытайтесь записать это как одно неравенство. Если вы попытаетесь записать это решение как «–2> x > 2», ваш ответ будет засчитан неверно. Почему? Потому что, если вы вытащите x посередине, вы увидите, что скажете «–2> 2», что определенно будет , а не правдой. Потратьте лишние полсекунды и напишите решение правильно.

Этот шаблон для неравенства «больше чем» по абсолютной величине всегда верен:

Учитывая неравенство | x | > a , решение всегда начинается с разделения неравенства на две части: x <- a или x > a .

И, кстати, правильное союз — «или», а не «и». Почему? Потому что переменная не может находиться в обоих интервалах решения и в одно и то же время. В приведенном выше примере x не может быть одновременно «меньше –2» и «больше +2» одновременно . Поэтому мы используем «или» для таких решений.


Филиал


Даже когда неравенства усложняются, вышеупомянутый образец все еще сохраняется.

  • Решить | 2

    x — 3 | > 5.

Первое, что мне нужно сделать, это очистить полосы абсолютного значения, разделив неравенство на две части. Затем я решу два регулярных неравенства.

| 2 x — 3 | > 5

2 x — 3 <–5 или 2 x — 3> 5

Это модель неравенства «больше чем» по абсолютной величине.

2 x <–2 или 2 x > 8

x <–1 или x > 4

Эта ПАРА неравенств является решением исходного неравенства по абсолютной величине.


Есть еще одна ситуация, с которой вы можете столкнуться: вам будет дана пара неравенств, и вам будет предложено найти соответствующее неравенство по абсолютным значениям.Этот процесс может показаться немного странным, поэтому я приведу пару примеров того, как он работает.

  • Найдите утверждение о неравенстве абсолютного значения, которое соответствует –2

    < x <4.

Чтобы понять это, я сначала смотрю на конечные точки. Минус два и плюс четыре — это шесть единиц. Половина шести — это три. Это говорит мне, что я хочу скорректировать это неравенство так, чтобы оно относилось к –3 и +3, а не к –2 и +4.Для этого я вижу, что могу отрегулировать значения на левом и правом концах, вычитая 1 из всех трех «сторон» неравенства:

–2 < x <4

–2 — 1 < x — 1 <4 - 1

–3 < x — 1 <3

Поскольку последняя строка выше находится в формате «меньше чем» для неравенств абсолютных значений, мое неравенство решения будет иметь форму «абсолютное значение (чего-то) меньше 3».(Что-то) — это кусок посередине, где находится переменная. Итак, я могу преобразовать мою последнюю строку выше в следующее:


  • Найдите утверждение о неравенстве абсолютного значения, которое соответствует неравенствам

    x ≤ 19 или x ≥ 24

То, что они дали мне, состоит из двух частей, соединенных знаком «или», поэтому я знаю, что это будет неравенство «больше, чем» по абсолютной величине.

Для начала смотрю на конечные точки. Девятнадцать и 24 — это пять единиц. Половина из пяти — 2,5. Поэтому я хочу скорректировать неравенство, чтобы оно относилось к –2,5 и +2,5, а не к +19 и +24. Поскольку 19 — (–2,5) = 21,5 и 24 — 2,5 = 21,5, я вижу, что мне нужно вычесть всего 21,5:

x ≤ 19 или x ≥ 24

x — 21,5 ≤ 19 — 21,5 или x — 21.5 ≥ 24 — 21,5

x — 21,5 ≤ –2,5 или x — 21,5 ≥ 2,5

Поскольку последняя строка выше — это формат «больше чем», неравенство абсолютных значений будет иметь форму «абсолютное значение (чего-то) больше или равно 2,5». (Что-то) будет частью, в которой находится переменная. Итак, я могу преобразовать мою последнюю строку выше в:


Предупреждение: есть один вопрос типа «уловка» для такого рода задач, когда они попытаются сбить вас с толку при выполнении домашнего задания или тестов.Они попросят вас решить что-то вроде «| x + 2 | <–1». Но может ли абсолютное значение когда-либо быть отрицательным, не говоря уже о том, чтобы было меньше, чем отрицательным? Нет! Таким образом, это неравенство не имеет решения; это даже не имеет смысла. Не тратьте много времени на то, чтобы «решить» эту проблему; просто напишите «нет решения».

Точно так же, если вам дано что-то вроде «| x — 2 |> –3», первое, что следует отметить, это то, что все абсолютные значения равны нулю или положительны.В частности, они никогда не отрицательные. Они просят вас ввести значения x , которые сделают выражение абсолютного значения больше отрицательного числа. Поскольку абсолютное значение всегда будет больше , чем любого отрицательного числа , решением должно быть «все x » или «все действительные числа».


Вы можете использовать виджет Mathway ниже, чтобы попрактиковаться в решении абсолютных неравенств. Попробуйте выполнить указанное упражнение или введите свое собственное.Затем нажмите кнопку и выберите «Решить для x», чтобы сравнить свой ответ с ответом Матвея.

(Нажмите «Нажмите, чтобы просмотреть шаги», чтобы перейти непосредственно на сайт Mathway для платного обновления.)


URL: https://www.purplemath.com/modules/absineq.htm

2.6. Решение абсолютных уравнений и неравенств

Из графика видно, что обе функции совпадают, где \ (x = −5 \) и \ (x = 1 \). Решения соответствуют точкам пересечения.

Для применения теоремы необходимо изолировать абсолютное значение. Общие шаги для решения уравнений абсолютных значений приведены в следующем примере.

Не все уравнения абсолютных значений имеют два решения.

Пример \ (\ PageIndex {4} \):

Решите: \ (| 7 x — 6 | + 3 = 3 \).

Решение

Начните с выделения абсолютного значения.

Только ноль имеет нулевое абсолютное значение, \ (| 0 | = 0 \). Другими словами, \ (| X | = 0 \) имеет одно решение, а именно \ (X = 0 \). Поэтому установите аргумент \ (7x — 6 \) равным нулю, а затем решите относительно \ (x \).

Геометрически одно решение соответствует одной точке пересечения.

Рисунок \ (\ PageIndex {4} \)

Ответ :

Решение: \ (\ frac {6} {7} \).

Если дано уравнение с двумя абсолютными значениями вида \ (| a | = | b | \), то \ (b \) должно быть таким же, как \ (a \), или наоборот. Например, если \ (a = 5 \), то \ (b = \ pm 5 \) и мы имеем:

Другими словами, если два выражения абсолютного значения равны, то аргументы могут быть одинаковыми или противоположными.

Абсолютные неравенства значений

Начнем с рассмотрения решений следующего неравенства:

\ (| х | \ leq 3 \)

Абсолютное значение числа представляет собой расстояние от начала координат.Следовательно, это уравнение описывает все числа, расстояние от которых до нуля меньше или равно \ (3 \). Мы можем построить график этого набора решений, заштриховав все такие числа.

Рисунок \ (\ PageIndex {6} \)

Конечно, мы можем видеть, что существует бесконечно много решений для \ (| x | ≤3 \), ограниченных \ (- 3 \) и \ (3 \). Выразите этот набор решений, используя обозначение набора или обозначение интервала следующим образом:

В этом тексте мы будем выражать решения в интервальной нотации. В общем, для любого алгебраического выражения \ (X \) и любого положительного числа \ (p \):

Эта теорема верна и для строгих неравенств.Другими словами, мы можем преобразовать любое неравенство абсолютных значений, включающее « меньше », в составное неравенство, которое можно решить обычным образом.

Пример \ (\ PageIndex {7} \):

Решите и изобразите набор решений: \ (| x + 2 | <3 \).

Решение

Ограничьте аргумент \ (x + 2 \) символами \ (- 3 \) и \ (3 \) и решите.

Здесь мы используем открытые точки для обозначения строгих неравенств на графике следующим образом.

Рисунок \ (\ PageIndex {7} \)

Ответ :

Используя обозначение интервалов, \ ((- 5,1) \).

Решение \ (| x + 2 | <3 \) можно интерпретировать графически, если мы положим \ (f (x) = | x + 2 | \) и \ (g (x) = 3 \), а затем определим где \ (f (x)

Рисунок \ (\ PageIndex {7} \)

Решение состоит из всех \ (x \) — значений, где график \ (f \) находится ниже графика \ (g \). В этом случае мы видим, что \ (| x + 2 | <3 \), где \ (x \) - значения находятся между \ (- 5 \) и \ (1 \). Чтобы применить теорему, мы должны сначала выделить абсолютное значение.

Пример \ (\ PageIndex {8} \):

Решите: \ (4 | x + 3 | — 7 ≤ 5 \).

Решение

Начните с выделения абсолютного значения.

Затем примените теорему и перепишите неравенство абсолютных значений как составное неравенство.

Решить.

Заштрихуйте решения на числовой прямой и представьте ответ в виде интервалов. Здесь мы используем закрытые точки для обозначения инклюзивных неравенств на графике следующим образом:

Рисунок \ (\ PageIndex {8} \)

Ответ :

Используя обозначение интервалов, \ ([- 6,0] \)

Упражнение \ (\ PageIndex {3} \)

Решите и изобразите набор решений: \ (3 + | 4 x — 5 | <8 \).

Ответ

Обозначение интервалов: \ ((0, \ frac {5} {2}) \)

Рисунок \ (\ PageIndex {9} \)

www.youtube.com/v/sX6ppL2Fbq0

Затем мы исследуем решения неравенства, которое включает « больше », как в следующем примере:

\ (| х | \ geq 3 \)

Это неравенство описывает все числа, расстояние от которых до начала координат больше или равно \ (3 \). На графике мы можем заштриховать все такие числа.

Рисунок \ (\ PageIndex {10} \)

Существует бесконечно много решений, которые можно выразить с помощью обозначений множеств и интервалов следующим образом:

В общем случае для любого алгебраического выражения \ (X \) и любого положительного числа \ (p \):

Теорема верна и для строгих неравенств. Другими словами, мы можем преобразовать любое неравенство абсолютных значений, включающее « больше », в составное неравенство, описывающее два интервала.

Пример \ (\ PageIndex {9} \):

Решите и изобразите набор решений: \ (| x + 2 |> 3 \).

Решение

Аргумент \ (x + 2 \) должен быть меньше \ (- 3 \) или больше \ (3 \).

3} \\ {x <- 5} \ quad \ quad \ quad \ quad \ quad \: x> 1 \ end {array} \)

Рисунок \ (\ PageIndex {11} \)

Ответ :

Используя обозначение интервалов, \ ((- ∞, −5) ∪ (1, ∞) \).

Решение \ (| x + 2 |> 3 \) можно интерпретировать графически, если мы положим \ (f (x) = | x + 2 | \) и \ (g (x) = 3 \), а затем определим где \ (f (x)> g (x) \) путем построения графиков как \ (f \), так и \ (g \) на одном и том же наборе осей.

Рисунок \ (\ PageIndex {12} \)

Решение состоит из всех \ (x \) — значений, где график \ (f \) находится над графиком \ (g \). В этом случае мы видим, что \ (| x + 2 |> 3 \), где \ (x \) — значения меньше \ (- 5 \) или больше \ (1 \). Чтобы применить теорему, мы должны сначала выделить абсолютное значение.

Пример \ (\ PageIndex {10} \):

Решить: \ (3 + 2 | 4x — 7 | ≥ 13 \).

Решение

Начните с выделения абсолютного значения.

Затем примените теорему и перепишите неравенство абсолютных значений как составное неравенство.

Решить.

Заштрихуйте решения на числовой прямой и представьте ответ в виде интервалов.

Рисунок \ (\ PageIndex {13} \)

Ответ :

Используя обозначение интервалов, \ ((- ∞, 12] ∪ [3, ∞) \)

Упражнение \ (\ PageIndex {4} \)

Решить и построить график: \ (3 | 6 x + 5 | — 2> 13 \).

Ответ

Используя обозначение интервалов, \ (\ left (- \ infty, — \ frac {5} {3} \ right) \ cup (0, \ infty) \)

Рисунок \ (\ PageIndex {14} \)

www.youtube.com/v/P6HjRz6W4F4

До этого момента наборы решений линейных неравенств по модулю состояли из одного ограниченного интервала или двух неограниченных интервалов. Это не всегда так.

Пример \ (\ PageIndex {11} \):

Решить и построить график: \ (| 2x − 1 | +5> 2 \).

Решение

Начните с выделения абсолютного значения.

2} \\ {| 2 х — 1 | > — 3} \ end {array} \)

Обратите внимание, что у нас абсолютное значение больше отрицательного числа.Для любого действительного числа x абсолютное значение аргумента всегда будет положительным. Следовательно, любое действительное число решит это неравенство.

Рисунок \ (\ PageIndex {15} \)

Геометрически мы можем видеть, что \ (f (x) = | 2x − 1 | +5 \) всегда больше, чем \ (g (x) = 2 \).

Рисунок \ (\ PageIndex {16} \)

Ответ :

Все действительные числа, \ (ℝ \).

Пример \ (\ PageIndex {12} \):

Решить и построить график: \ (| x + 1 | + 4≤3 \).

Решение

Начните с выделения абсолютного значения.

В этом случае мы видим, что изолированное абсолютное значение должно быть меньше или равно отрицательному числу. Опять же, абсолютное значение всегда будет положительным; отсюда можно сделать вывод, что решения нет.

Геометрически мы можем видеть, что \ (f (x) = | x + 1 | +4 \) никогда не меньше, чем \ (g (x) = 3 \).

Рисунок \ (\ PageIndex {17} \)

Ответ : \ (Ø \)

Таким образом, существует три случая для уравнений и неравенств абсолютных значений. Отношения \ (=, <, \ leq,> \) и \ (≥ \) определяют, какую теорему применять.

Случай 1: Уравнение абсолютного значения:

Рисунок \ (\ PageIndex {18} \)

Случай 2. Неравенство абсолютных значений, включающее «

меньше ».

Рисунок \ (\ PageIndex {19} \)

Случай 3. Неравенство абсолютных значений, включающее «

больше ».

Рисунок \ (\ PageIndex {20} \)

6.3 — Уравнения и неравенства с абсолютным значением

Поскольку это неравенство «больше чем», решение можно переписать в соответствии с правилом «больше чем».

[латекс] \ Displaystyle х + 3 <-4 \, \, \, \, \, \, \, \ text {или} \, \, \, \, \, \, \, x + 3> 4 [/ латекс]

Решите каждое неравенство.

[латекс] \ begin {array} {r} x + 3 <-4 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, x + 3> 4 \\\ подчеркивание {\, \, \, \, — 3 \, \, \, \, \, — 3} \, \, \, \, \, \, \ , \, \, \, \, \, \, \, \, \ underline {\, \, \, \, \, \, — 3 \, \, — 3} \\ x \, \, \, \, \, \, \, \, \, <- 7 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \ , x \, \, \, \, \, \, \, \, \,> 1 \\\\ x <-7 \, \, \, \, \, \, \, \ text {или} \ , \, \, \, \, \, x> 1 \, \, \, \, \, \, \, \ end {array} [/ latex]

Проверьте решения в исходном уравнении, чтобы убедиться, что они работают.Проверьте конечную точку первого связанного уравнения [latex] −7 [/ latex] и конечную точку второго связанного уравнения 1.

[латекс] \ displaystyle \ begin {array} {r} \, \, \, \ left | x + 3 \ right |> 4 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \ left | х + 3 \ вправо |> 4 \\\ влево | -7 + 3 \ right | = 4 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \ left | 1 + 3 \ право | = 4 \\\, \, \, \, \, \, \, \ влево | -4 \ right | = 4 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \ , \, \, \, \ влево | 4 \ право | = 4 \\\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, 4 = 4 \, \, \, \, \, \, \, \ , \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, 4 = 4 \ конец {array} [/ latex]

Попробуйте [latex] -10 [/ latex], значение меньше [latex] -7 [/ latex], и 5, значение больше 1, чтобы проверить неравенство.

[латекс] \ Displaystyle \ begin {array} {r} \, \, \, \, \, \ left | x + 3 \ right |> 4 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \ left | х + 3 \ вправо |> 4 \\\ влево | -10 + 3 \ right |> 4 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \ left | 5 + 3 \ right |> 4 \\\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \ left | -7 \ right |> 4 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \ , \, \, \ влево | 8 \ right |> 4 \\\, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, 7> 4 \, \, \, \, \, \ , \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, 8> 4 \ end {array} [/ latex]

Оба решения проверяют!

Ответ

Неравенство: [латекс] \ displaystyle x <-7 \, \, \, \, \, \ text {or} \, \, \, \, \, x> 1 [/ latex]

Интервал: [латекс] \ left (- \ infty, -7 \ right) \ cup \ left (1, \ infty \ right) [/ latex]

График:

абсолютных величин неравенств | Как разрешить абсолютные неравенства | Графическое изображение абсолютных неравенств

28 сентября 2020

Время чтения: 5 минут

Введение

Существуют различные аспекты функции абсолютного значения, и один из них представляет собой интересную концепцию неравенства абсолютного значения, которая является пересечением абсолютного значения и неравенства.

Неравенства абсолютных значений имеют дело с неравенствами … … Однако существует несколько методов решения неравенств абсолютных значений, таких как использование основных свойств, рассмотрение случаев, визуализация графиков и т. Д. концептуализировать шаги, необходимые для решения неравенства абсолютных ценностей.

Также читайте:


Неравенства абсолютных значений

Уравнение абсолютного значения не имеет решения, если выражение абсолютного значения равно отрицательному числу, поскольку абсолютное значение не может быть отрицательным.

Итак, мы можем записать как… .. неравенство по абсолютной величине как составное неравенство .

Неравенства абсолютного значения имеют дело с неравенствами \ ((<, ≤,>, ≥) \) в выражениях со знаком абсолютного значения.

Решите неравенство абсолютных значений: — \ (x: | x-9 | <4 \)

Решение

Простой и легкий способ решить уравнение: —

\ [\ begin {align} & \ left | xa \ right | = \ {~ -x \ text {} + \ text {} a \ qquad \ text {for} ~ x \ text {} <\ text {} a \\\\ & \ {~~ x \ текст {} - \ text {} a \ qquad \ text {for} ~ x ~ \ ge a \\ \ end {align} \]

Для любого действительного числа x

x, его абсолютное значение определяется как

\ (\ left | x \ right | \ text {} = \ text {} \ left \ {\ text {} x \ text {if} x \ text {}> \ text {} 0 \ quad 0 \ text {if} x \ text {} = \ text {} 0 \ quad-x \ text {if} x \ text {} <\ text {} 0 ~ \ right \} \)

Функция \ (f (x) = ∣x∣ \) также называется функцией модуля

Какие основные правила необходимо учитывать при решении неравенств по абсолютным значениям? Перейдем к рассмотрению таких свойств абсолютных неравенств.

Основные свойства абсолютных неравенств

Пусть \ (x \) будет гибким или алгебраическим выражением и пусть a будет действительным числом, так что \ (a> 0. \)

И затем, решая неравенства по абсолютным значениям, имейте в виду следующее:

И для f (x) и g (x), функций от x, поэтому мы имеем следующие неравенства по абсолютным значениям:

  • \ (∣f (x) ∣ ≤ g (x) ⇔ −g (x) ≤ f (x) ≤ g (x) \)
  • \ (∣f (x) ∣ ≤ g (x) ⇔ −g (x) ≤ f (x) ≤ g (x) \ text {or} f (x) ≥ g (x) \)
  • )

  • \ (∣f (x) ∣
  • \ (∣f (x) ∣> g (x) ⇔ f (x) <−g (x) \ text {или} f (x)> g (x) \)

Вот некоторые другие свойства неравенства абсолютных значений:

  1. \ (∣a + b∣ ≤ ∣ a ∣ + ∣b∣ \) с равенством, если оба имеют одинаковый знак, т.е.е. \ (ab> 0 \)
  2. \ (∣ a — b ∣ ≤ ∣a∣ + ∣b∣ \) с равенством, если они имеют разные знаки, т.е. \ (ab <0. \)

Как решить абсолютные неравенства

Здесь мы узнаем, как решать неравенства по абсолютным значениям:

Значение

\ (| x | \) — это расстояние x от нуля.

Например, и \ (- 2 \), и \ (+ 2 \) представляют собой две единицы от нуля, как вы можете видеть на изображении ниже:

Это означает, что их абсолютные значения будут равны \ (2; \), то есть у нас есть:

\ [| –2 | = | +2 | = 2 \]

Давайте рассмотрим некоторые проблемы неравенства абсолютных значений, чтобы лучше понять, как решать неравенства абсолютных значений.

Проблемы с абсолютным неравенством

Решение неравенств с абсолютным значением \ (| x | <3, \) и как построить график неравенств по абсолютным значениям.

Решение

В этом неравенстве по абсолютным значениям требуется решить неравенства по абсолютным значениям и найти все значения x, которые находятся менее чем на три единицы от нуля в любом направлении, поэтому решением будет набор всех точек. которые менее чем на три единицы от нуля.

Сначала я нарисую числовую линию:

Глядя на неравенство, я вижу, что число 1 будет работать как решение, так же как и –1, потому что каждое из них меньше трех единиц от нуля. Число 2 будет работать так же, как и –2. Но 4 не будет работать, как и –4, потому что они слишком далеки от нуля. Даже 3 и –3 не будут работать (хотя они на грани), потому что это неравенство «меньше» (но не равно).

Все-таки число 2,99 будет работать, как и –2.99. Другими словами, все точки между –3 и 3, но фактически не включая –3 или 3, будут работать как решения этого неравенства. Итак, построив график неравенства абсолютных значений, решение выглядит так:

Переводя эту картинку в алгебраические символы, я получаю следующее решение:

\ [- 3

Решение неравенств с абсолютным значением: \ (| 2x + 3 | <6. \)

Решение

Так как это неравенство «меньше чем» абсолютного значения, мой первый шаг — очистить абсолютное значение в соответствии с шаблоном «меньше чем».

\ [\ begin {align} & | 2x + 3 | <6 \\\\ & - 6 <2x + 3 <6 \ end {align} \]

Это образец для «меньше чем». Продолжая, я вычту 3 из всех трех «сторон» неравенства:

\ [\ begin {align} & — 6 — 3 <2x + 3 - 3 <6 - 3 \\ & - 9 <2x <3 \\ & - \ frac {9} {2}

Решение фактического неравенства по абсолютной величине, \ (| 2x + 3 | <6 \), это интервал:

\ (- \ frac {9} {2}

График абсолютных неравенств

Еще один способ решения неравенств абсолютных значений — построение графиков неравенств абсолютных значений.Теперь, как построить график неравенства по абсолютным значениям?

График абсолютных неравенств значений

\ (Y ≥ 2 | х + 1 | −5 \)

Решение

Шаги, необходимые для построения графиков неравенств абсолютных значений, практически такие же, как и для линейных неравенств.

Шаг 1 Посмотрите на символ неравенства, чтобы убедиться, что график пунктирный

Шаг 2 Нарисуйте график, как будто это равенство.

Шаг 3 Выберите точку не на линии, чтобы проверить, где нужно затенять.

Итак, сначала отметим, что

≥ используется, поэтому график абсолютных значений будет иметь сплошную линию. Затем мы переходим к построению графиков неравенств абсолютных значений. Это уравнение состоит из трех компонентов.

Первый —

+1 внутри абсолютного значения. Затем сместим наш график влево на одну единицу.

Далее идет

−5 снаружи. Это сдвинет наш график на пять единиц вниз.

Последний, есть

2 умножение абсолютного значения. Это объяснит, какой наклон будут у линий. Применяя все к основному графику абсолютных значений, получаем:

\ [Y = 2 | x + 1 | −5 \]

Последний шаг — выбрать точку не на линии для проверки. Поскольку (0,0) нет в строке, я выберу это.

\ [\ begin {align} & (0) ≥ 2 | (0) + 1 | — 5 \\\\ & 0 ≥ 2 | 1 | — 5 \\\\ & 0 ≥ 2 — 5 \\\\ & 0 ≥ — 3 \ end {align} \]

Значит, ноль больше или равен трем отрицательным? Соответственно, (0,0) находится внутри графика, закрашиваем внутреннюю часть.


Таблица абсолютных неравенств

Cuemath имеет множество рабочих листов по неравенству абсолютных значений, которые тщательно составлены таким образом, чтобы помочь в укреплении концепций неравенства по абсолютным значениям и способах решения неравенств по абсолютным значениям. Эти уравнения абсолютных значений и таблица неравенств доступны по этой ссылке — https://www.cuemath.com/algebra/inequalities-involving-absolute-values/


Сводка

Неравенства абсолютного значения будут составлять 2 набора решений из-за природы абсолютного значения.Мы решаем, записывая два уравнения: одно равное положительному значению, а второе — отрицательному.

Решения абсолютного неравенства значений могут быть проверены графически.

Понятие абсолютного значения сложно, потому что уравнения с абсолютным значением обычно имеют более одного решения. Эта глава помогает облегчить трудности, связанные с уравнениями и неравенствами с абсолютными значениями, и понять, как решать неравенства по абсолютным значениям, предоставляя конкретные шаги, которые необходимо соблюдать при решении неравенств по абсолютным значениям.Это также вводит идею критической точки. Эта идея, а также шаги, которые мы используем, будут полезны в других разделах алгебры — например, при построении графиков неравенств абсолютных значений более чем одной переменной. Таким образом, важно освоить их сейчас.

Автор Неха Тьяги


Часто задаваемые вопросы (FAQ)

Что означают абсолютные значения с неравенством?

Неравенство абсолютного значения — это неравенство, имеющее знак абсолютного значения с переменной внутри.

Каковы правила абсолютного значения?

В математике важное правило абсолютного значения действительного числа x обозначает | x | — неотрицательное значение x независимо от его знака. Другими словами, | x | = x, если x положительно, и | x | = −x, если x отрицательно (в этом случае −x положительно), и | 0 | = 0.

Какова цель абсолютного значения?

Когда вы видите абсолютное значение в задаче или уравнении, это означает, что все, что находится внутри абсолютного значения, всегда положительно.Абсолютные значения обычно используются в задачах, связанных с расстоянием, а иногда и с неравенствами.

Почему абсолютное значение всегда положительно?

Нет. Абсолютное значение всегда положительное. Поскольку это расстояние, на котором число находится от 0, оно всегда будет положительным.

Является ли 0 абсолютным значением?

Абсолютное значение 0 равно 0. (Причина в том, почему, поскольку мы не говорим, что абсолютное значение числа положительно: ноль не является ни отрицательным, ни положительным.)

Абсолютные неравенства

An

абсолютная величина


неравенство

является

неравенство

со знаком абсолютного значения с переменной внутри.

Неравенства по абсолютным значениям (

< ):

Неравенство

|

Икс

|

< 4 означает, что расстояние между Икс а также 0 меньше чем 4 .

Так,

Икс

>

4

А ТАКЖЕ

Икс

< 4 . Набор решений { Икс | - 4 < Икс < 4 } .

При решении неравенств по абсолютным значениям необходимо учитывать два случая.

Дело

1

: Выражение внутри символов абсолютного значения положительно.

Дело

2

: Выражение внутри символов абсолютного значения отрицательное.

Решение — это

пересечение

решений этих двух случаев.

Другими словами, для любых реальных чисел

а

а также

б

, если

|

а

|

< б , тогда а < б А ТАКЖЕ а >

б

.


Пример 1

:

Решить и построить график.

|

Икс

7

|

< 3

Чтобы решить такое неравенство, нам нужно разбить его на

сложное неравенство

.

Икс

7

< 3 а также Икс - 7 >

3

.

3

< Икс - 7 < 3

Добавлять

7

к каждому выражению.

3

+

7

< Икс - 7 + 7 < 3 + 7 4 < Икс < 10

График выглядит так:

Неравенства по абсолютным значениям (

>

):

Неравенство

|

Икс

|

>

4

означает, что расстояние между

Икс

а также

0

больше, чем

4

.

Так,

Икс

< - 4 ИЛИ ЖЕ Икс >

4

. Набор решений

{

Икс

|

Икс

< - 4 или же Икс >

4

}

.

При решении неравенств по абсолютным значениям необходимо учитывать два случая.

Дело

1

: Выражение внутри символов абсолютного значения положительно.

Дело

2

: Выражение внутри символов абсолютного значения отрицательное.

Другими словами, для любых реальных чисел

а

а также

б

, если

|

а

|

>

б

, тогда

а

>

б

А ТАКЖЕ

а

< - б .


Пример 2

:

Решить и построить график.

|

Икс

+

2

|

4

Разделим на два неравенства.

Икс

+

2

4

ИЛИ ЖЕ

Икс

+

2

4

Вычесть

2

с каждой стороны каждого неравенства.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.