Что такое множество

Множество — это набор каких-либо объектов. Объекты, из которых состоит множество, называются элементами этого множества.

Например: множество школьников, множество машин, множество чисел.

В математике множество рассматривается намного шире. Мы не будем сильно углубляться в эту тему, поскольку она относится к высшей математике и на первых порах может создавать трудности для обучения. Мы рассмотрим только ту часть темы, с которой уже имели дело.

Обозначения

Множество чаще всего обозначают заглавными буквами латинского алфавита, а его элементы — строчными. При этом элементы заключаются в фигурные скобки.

Например, если наших друзей зовут Том, Джон и Лео, то мы можем задать множество друзей, элементами которого будут Том, Джон и Лео.

Обозначим множество наших друзей через заглавную латинскую букву F (friends), затем поставим знак равенства и в фигурных скобках перечислим наших друзей:

F = { Том, Джон, Лео }

Пример 2. Запишем множество делителей числа 6.

Обозначим через любую заглавную латинскую букву данное множество, например, через букву D

D

затем поставим знак равенства и в фигурных скобках перечислим элементы данного множества, то есть перечислим делители числа 6

D = { 1, 2, 3, 6 }

Если какой-то элемент принадлежит заданному множеству, то эта принадлежность указывается с помощью знака принадлежности ∈. К примеру, делитель 2 принадлежит множеству делителей числа 6 (множеству D). Записывается это так:

2 ∈ D

Читается как «2 принадлежит множеству делителей числа 6»

Если какой-то элемент не принадлежит заданному множеству, то эта не принадлежность указывается с помощью зачёркнутого знака принадлежности ∉. К примеру, делитель 5 не принадлежит множеству D. Записывается это так:

5 ∉ D

Читается как «5 не принадлежит множеству делителей числа 6»

Кроме того, множество можно записывать прямым перечислением элементов, без заглавных букв. Это может быть удобным, если множество состоит из небольшого количества элементов. Например, зададим множество из одного элемента. Пусть этим элементом будет наш друг Том:

{ Том }

Зададим множество, которое состоит из одного числа 2

{ 2 }

Зададим множество, которое состоит из двух чисел: 2 и 5

{ 2, 5 }

Множество натуральных чисел

Это первое множество с которым мы начали работать. Натуральными числами называют числа 1, 2, 3 и т.д.

Натуральные числа появились из-за потребности людей сосчитать те иные объекты. Например, посчитать количество кур, коров, лошадей. Натуральные числа возникают естественным образом при счёте.

В прошлых уроках, когда мы употребляли слово «число», чаще всего подразумевалось именно натуральное число.

В математике множество натуральных чисел обозначается заглавной латинской буквой N.

Например, укажем, что число 1 принадлежит множеству натуральных чисел. Для этого записываем  число 1, затем с помощью знака принадлежности ∈ указываем, что единица принадлежит множеству N

1 ∈ N

Читается как: «единица принадлежит множеству натуральных чисел»

Множество целых чисел

Множество целых чисел включает в себя все положительные и отрицательные числа, а также число 0.

Множество целых чисел обозначается заглавной латинской буквой Z.

Укажем, к примеру, что число −5 принадлежит множеству целых чисел:

−5 ∈ Z

Укажем, что 10 принадлежит множеству целых чисел:

10 ∈ Z

Укажем, что 0 принадлежит множеству целых чисел:

0 ∈ Z

В будущем все положительные и отрицательные числа мы будем называть одним словосочетанием — целые числа.

Множество рациональных чисел

Рациональные числа, это те самые обыкновенные дроби, которые мы изучаем по сей день.

Рациональное число — это число, которое может быть представлено в виде дроби , где a — числитель дроби, b — знаменатель.

В роли числителя и знаменателя могут быть любые числа, в том числе и целые (за исключением нуля, поскольку на нуль делить нельзя).

Например, представим, что вместо a стоит число 10, а вместо b — число 2

10 разделить на 2 равно 5. Видим, что число 5 может быть представлено в виде дроби , а значит число 5 входит во множество рациональных чисел.

Легко заметить, что число 5 также относится и ко множеству целых чисел. Стало быть множество целых чисел входит во множество рациональных чисел. А значит, во множество рациональных чисел входят не только обыкновенные дроби, но и целые числа вида −2, −1, 0, 1, 2.

Теперь представим, что вместо a стоит число 12, а вместо b — число 5.

12 разделить на 5 равно 2,4. Видим, что десятичная дробь 2,4 может быть представлена в виде дроби , а значит она входит во множество рациональных чисел. Отсюда делаем вывод, что во множество рациональных чисел входят не только обыкновенные дроби и целые числа, но и десятичные дроби.

Мы вычислили дробь    и получили ответ 2,4. Но мы могли бы выделить в этой дроби целую часть:

При выделении целой части в дроби , получается смешанное число . Видим, что смешанное число  тоже может быть представлено в виде дроби .  Значит во множество рациональных чисел входят и смешанные числа.

В итоге мы приходим к выводу, что множество рациональных чисел содержат в себе:

• целые числа
• обыкновенные дроби
• десятичные дроби
• смешанные числа

Множество рациональных чисел обозначается заглавной латинской буквой Q.

Например укажем, что дробь принадлежит множеству рациональных чисел. Для этого записываем саму дробь , затем с помощью знака принадлежности ∈ указываем, что дробь принадлежит множеству рациональных чисел:

∈ Q

Укажем, что десятичная дробь 4,5 принадлежит множеству рациональных чисел:

4,5 ∈ Q

Укажем, что смешанное число   принадлежит множеству рациональных чисел:

 ∈ Q

Вводный урок по множествам завершён. В будущем мы рассмотрим множества намного лучше, а пока рассмотренного в данном уроке будет достаточно.

Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже

Навигация по записям

Татьяна Мельничук | Числовые множества

Числовые множества

Число — это основное понятие математики, используемое для количественной характеристики, сравнения, нумерации объектов и их частей. Письменными знаками для обозначения чисел служат цифры, а также символы математических операций. Возникнув ещё в первобытном обществе из потребностей счёта, понятие числа с развитием науки значительно расширилось.

Множество натуральных чисел

Натуральные числа — это числа, возникающие при естественном счёте. Множество натуральных чисел обозначается символом . Иными словами, множество натуральных чисел — это множество .

Проблема нуля. Следует иметь в виду, что вопрос отнесения нуля к множеству натуральных чисел является нерешённой проблемой. Математикам всего мира так и не удалось договориться относительно того, следует ли включать в множество натуральных чисел, либо нет. Именно поэтому в математической литературе можно встретить также и такое определение множества натуральных чисел: . Однако, мы будем исходить из предположения, что не является элементом множества натуральных чисел.

Множество простых чисел

Крайне важным подмножеством множества натуральных чисел является множество простых чисел , для получения информации о котором я рекомендую обратиться к статье «Простые числа».

Множество целых чисел

Множество целых чисел — это объединение множества натуральных чисел с нулём и множеством чисел противоположных натуральным. Множество целых чисел обозначают символом . Таким образом, и .

Множество рациональных чисел

Рациональные числа — это числа, представимые в виде дроби , где и . Множество рациональных чисел обозначают символом . Таким образом, . В силу определения имеем: .

Иными словами, рациональные числа и только они — это бесконечные периодические десятичные дроби. В силу того, что всякую конечную десятичную дробь можно считать бесконечной периодической дробью с периодом нуль или девять, конечные десятичные дроби также являются элементами множества рациональных чисел.

Множество действительных чисел

Действительные (вещественные) числа — это числа, представляющие собой бесконечные десятичные дроби. Поскольку конечную десятичную дробь можно считать бесконечной периодической дробью с периодом нуль или девять, то всякая конечная десятичная дробь в силу определения также является элементом множества действительных чисел. Множество действительных чисел обозначают символом . Таким образом, .

Множество иррациональных чисел

Иррациональное число — это действительное число, которое не является рациональным, то есть число не представимое в виде дроби , где и . Иррациональные числа и только они являются бесконечными непериодическими десятичными дробями. Множество иррациональных чисел обозначается символом . Таким образом, .

Вернуться назад…

МЕТКИ >математика, множество, число

отзывы, фото и характеристики на Aredi.ru

Мы доставляем посылки в г. Калининград и отправляем по всей России

• 1

  Товар доставляется от продавца до нашего склада в Польше. Трекинг-номер не
  предоставляется.

• 2

  После того как товар пришел к нам на склад, мы организовываем доставку в г. Калининград.

• 3

  Заказ отправляется курьерской службой EMS или Почтой России. Уведомление с трек-номером вы
  получите по смс и на электронный адрес.

!

Ориентировочную стоимость доставки по России менеджер выставит после
оформления заказа.

Гарантии и возврат

Гарантии
Мы работаем по договору оферты, который является юридической гарантией того, что мы выполним
свои обязательства.

Возврат товара
Если товар не подошел вам, или не соответсвует описанию, вы можете вернуть его, оплатив
стоимость обратной пересылки.

• У вас остаются все квитанции об оплате, которые являются подтверждением заключения сделки.
• Мы выкупаем товар только с проверенных сайтов и у проверенных продавцов, которые полностью отвечают за доставку товара.
• Мы даем реальные трекинг-номера пересылки товара по России и предоставляем все необходимые документы по запросу.
• 5 лет успешной работы и тысячи довольных клиентов.

Рациональные числа — это периодические дроби

☰

Как известно, множество рациональных чисел (Q) включает в себя множества целых чисел (Z), которое в свою очередь включает множество натуральных чисел (N). Помимо целых чисел в рациональные числа входят дроби.

Почему же тогда все множество рациональных чисел рассматривают иногда как бесконечные десятичные периодические дроби? Ведь кроме дробей, они включают и целые числа, а также непериодические дроби.

Дело в том, что все целые числа, а также любую дробь можно представить в виде бесконечной периодической десятичной дроби. То есть для всех рациональных чисел можно использовать одинаковый способ записи.

Как представляется бесконечная периодическая десятичная дробь? В ней повторяющуюся группу цифр после запятой берут в скобки. Например, 1,56(12) — это дробь, у которой повторяется группа цифр 12, т. е. дробь имеет значение 1,561212121212… и так без конца. Повторяющаяся группа цифр называется периодом.

Однако в подобном виде мы можем представить любое число, если будем считать его периодом цифру 0, которая также повторяется без конца. Например, число 2 — это то же самое, что 2,00000…. Следовательно, его можно записать в виде бесконечной периодической дроби, т. е. 2,(0).

То же самое можно сделать и с любой конечной дробью. Например:

0,125 = 0,1250000… = 0,125(0)

Однако на практике не используют преобразование конечной дроби в бесконечную периодическую. Поэтому разделяют конечные дроби и бесконечные периодические. Таким образом, правильнее говорить, что к рациональным числам принадлежат

• все целые числа,
• конечные дроби,
• бесконечные периодические дроби.

При этом просто помнят, что целые числа и конечные дроби представимы в теории в виде бесконечных периодических дробей.

С другой стороны, понятия конечной и бесконечной дроби употребимы к десятичным дробям. Если говорить об обыкновенных дробях, то как конечную, так и бесконечную десятичную дробь можно однозначно представить в виде обыкновенной дроби. Значит, с точки зрения обыкновенных дробей, периодические и конечные дроби — это одно и то же. Кроме того, целые числа также могут быть представлены в виде обыкновенной дроби, если представить, что мы делим это число на 1.

Как представить десятичную бесконечную периодическую дробь в виде обыкновенной? Чаще используют примерно такой алгоритм:

1. Приводят дробь к виду, чтобы после запятой оказался только период.
2. Умножают бесконечную периодическую дробь на 10 или 100 или … так, чтобы запятая передвинулась вправо на один период (т. е. один период оказался в целой части).
3. Приравнивают исходную дробь (a) переменной x, а полученную путем умножения на число N дробь (b) — к Nx.
4. Из Nx вычитают x. Из b вычитаю a. Т. е. составляют уравнение Nx – x = b – a.
5. При решении уравнения получается обыкновенная дробь.

Пример перевода бесконечной периодической десятичной дроби в обыкновенную дробь:
x = 1,13333…
10x = 11,3333…
10x * 10 = 11,33333… * 10
100x = 113,3333…
100x – 10x = 113,3333… – 11,3333…
90x = 102
x =

Множество натуральных чисел — N, множество целых чисел Z, множество рациональных чисел Q, множество иррациональные чисел, множество действительных = вещественных чисел R. Понятия и обозначения, русский и английский = международный подходы. Обозначения

1.2.1. Обыкновенные дроби

Глава 1. Арифметика

1.2.

1.

2.1.

Можно еще больше расширить числовое множество – так, чтобы операция деления над натуральными числами была выполнима всегда. Для этого введем понятие дроби.

Если n = 1, то дробь имеет вид
и её часто записывают просто m. Отсюда, в частности, следует, что любое натуральное число представимо в виде обыкновенной дроби со знаменателем 1.

Например,
так как
Из этого определения следует, что дробь
равна любой дроби вида
где m – натуральное число. В самом деле, так как
то   Итак, мы готовы сформулировать следующее правило.

С помощью основного свойства дроби можно заменить данную дробь другой дробью, равной данной, но с меньшими числителем и знаменателем. Такая замена называется сокращением дроби. Например,
(здесь числитель и знаменатель разделили сначала на 2, а потом ещё на 2). Сокращение дроби можно провести тогда и только тогда, когда её числитель и знаменатель не являются взаимно простыми числами. Если же числитель и знаменатель данной дроби взаимно просты, то дробь сократить нельзя, например,
– несократимая дробь.

Справедливо следующее утверждение (его мы докажем ниже):

Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та дробь, числитель которой больше. Например,
Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та дробь, знаменатель которой меньше. Например,
Чтобы сравнить две дроби с разными числителями и знаменателями, нужно преобразовать обе дроби так, чтобы их знаменатели стали одинаковыми. Такое преобразование называется приведением дробей к общему знаменателю.

Пусть, например, даны две дроби  и 
Умножим числитель и знаменатель первой дроби на 7, получим
Умножим числитель и знаменатель второй дроби на 4, получим
Итак, две дроби
и
приведены к общему знаменателю:

Теперь знаменатели этих дробей одинаковы, значит,
Следовательно,
Ясно, что две дроби можно привести не к единственному общему знаменателю. Так, в нашем примере дроби  и 
можно привести к знаменателю 56. В самом деле:

Понятно, что эти две дроби можно привести к любому знаменателю, делящемуся одновременно на 4 и 7. Однако обычно стараются привести дроби к наименьшему общему знаменателю, который равен наименьшему общему кратному знаменателей двух данных дробей.
Пример 1

Привести дроби к наименьшему общему знаменателю:  и 

В рассмотренном примере числа 4 и 3 называют дополнительными множителями для первой и второй дроби соответственно.

Теперь мы можем определить арифметические действия с дробями.

Сложение. Если знаменатели дробей одинаковы, то чтобы сложить эти дроби, нужно сложить их числители; знаменатель остаётся прежним, то есть

Если знаменатели данных дробей разные, то дроби нужно сначала привести к общему знаменателю, а потом поступить, как описано выше.

Вычитание. Если две дроби имеют одинаковые знаменатели, то

Если знаменатели данных дробей различны, то сперва приводят дроби к общему знаменателю, а потом вычитают их по вышеприведённой формуле.

Умножение. Произведение двух дробей равно дроби, числитель которой равен произведению числителей данных дробей, а знаменатель равен произведению их знаменателей, то есть

Например,

Деление. Деление дробей осуществляют следующим образом:

Например,

В случае умножения и деления смешанных чисел всегда удобно переходить к неправильным дробям.

Пример 2

Сложить две дроби
и
Ответ представить в виде неправильной дроби.

Пример 3

Сложить две дроби
и
Ответ представить в виде неправильной дроби.

Теперь можно показать, что любую неправильную дробь можно представить в виде суммы натурального числа и правильной дроби (или в виде натурального числа, если дробь
такова, что число m кратно n, например, ).

Пример 4

Представить неправильную дробь в виде суммы натурального числа и правильной дроби: 1)
2)

Всякую неправильную дробь можно представить в виде смешанного числа (или в виде натурального числа). Понятно также, что верно и обратное: всякое смешанное число может быть представлено в виде неправильной дроби. Например,

Пример 5

Выполнить действия.



Цепные дроби (стр. 11 из 17)

Предположение, что выполнены все три неравенства (2), привело нас к противоречию, поэтому по крайней мере для одной из трех подходящих дробей

, , , взятой в качестве , должно выполняться неравенство ( ).

Придаваяk различные значения, получим бесконечное множество дробей, удовлетворяющих неравенству (

).

Докажем вторую часть.

Предположим, что при

, неравенство (1) удовлетворяется для бесконечного множества рациональных чисел . Тогда для каждой такой дроби неравенства , откуда, подставляя значение , получаем , а возводя в квадрат, получаем: . Так как , то при достаточно большом Q будем иметь: и, следовательно, целое число , = , что при целыхP иQ не может иметь места. Полученное противоречие показывает, что неравенство (1) может иметь место только для конечного числа рациональных чисел . Теорема доказана полностью.

Эта теорема была опубликована Гурвицем в 1891 году. Тот факт, что из трех соседних подходящих дробей по крайней мере одна даст приближение вида

, был доказан Борелем в 1903 году.

Последним теоремам можно дать и другое очень важное истолкование.

Рассмотрим для этого уравнение

, где – любое действительное иррациональное число. Исключая тривиальное решение x=y=0, это уравнение не может иметь решение в целых числах. Однако можно поставить задачу о приближенном его решении в целых числах, то есть о нахождении таких пар чисел x(x>0) и y, чтобы: или .

Теорема Гурвица-Бореля показывает, что для

всегда существует бесконечное множество таких пар; если же , то существуют такие действительные числа, для которых таких пар имеется лишь конечное множество.

Новая точка зрения получает в содружестве с методом Дирихле весьма значительное применение в теории диофантовых приближений.

§ 3. Квадратические иррациональности и периодические цепные дроби.

Рациональные числа представляют собой корни уравнений первой степени вида

с целыми коэффициентами.

Во множестве иррациональных чисел наиболее простыми являются те иррациональности, которые являются корнями квадратных уравнений с целыми коэффициентами; такие числа будем называть квадратическими иррациональностями.

Число

называется квадратической иррациональностью, если – иррациональный корень некоторого уравнения (1) с целыми коэффициентами, не равными одновременно нулю.

При таком

, очевидно, будет a 0, c 0. Коэффициентыa, b, c уравнения (1), очевидно, можно взять взаимно простыми; в этом случае дискриминант этого уравнения будем называть также дискриминантом . Корни уравнения (1) равны и , так что любую квадратическую иррациональность можно представить в виде , гдеP, Q – целые, аD (D>1) – целое неквадратное число.

Второй корень уравнения (1)

будем называть иррациональностью, сопряженной с .

В определении квадратической иррациональности особенно важно обратить внимание на то, что речь идет о квадратных уравнениях с целыми коэффициентами. Любое

является корнем квадратного уравнения и даже уравнения первой степени, например уравнений , x— =0.

Примеры:

1)

– квадратическая иррациональность, так как является иррациональным корнем уравнения .

2)

– квадратическая иррациональность, так как представляет собой иррациональный корень уравнения . Здесь P=–1, Q=–3, D=5.

3)

не является квадратической иррациональностью.

Действительно, корень любого квадратного уравнения с целыми коэффициентами имеет вид

, где P, Q, D , причем D>1. Если бы мы имели = , то, возводя это равенство в куб, мы получили бы, что – рациональное число, а следовательно, рациональным являлся бы и , а это не так.

Теорема: Всякая периодическая непрерывная дробь изображает квадратическую иррациональность.

Доказательство: Пусть

–смешанная периодическая цепная дробь, то есть , где – чисто периодическая цепная дробь.

Обозначим подходящие дроби к

и соответственно через и .

Так как

, то, согласно формуле (5) из 1.1 этой главы, . Выполнив необходимые преобразования, получаем: .

Из этой формулы видно, что

удовлетворяет квадратному уравнению с целыми коэффициентами. Кроме того, — число иррациональное, так как оно представляет бесконечную непрерывную дробь. Таким образом, — квадратическая иррациональность. Но по той же формуле , поэтому и является, очевидно, квадратической иррациональностью, что и требовалось доказать.

дробей

Сколько равных частей в целом

Нарезаем пиццу, и получаем дроби:

Верхнее число показывает, сколько ломтиков у нас .
Нижнее число показывает, сколько равных ломтиков было в пицце , разрезанных на .

Попробуйте сами:

Эквивалентные дроби

Некоторые дроби могут выглядеть по-разному, но на самом деле они одинаковы, например:

Обычно лучше показать ответ, используя простейшую дробь (в данном случае ¹ / ₂ ).Это называется упрощением или сокращением дроби

Числитель / знаменатель

Мы называем верхнее число числителем , это количество частей, которые у нас есть .
Нижнее число мы называем знаменателем , это количество частей целого , разделенных на .

Числитель Знаменатель

Просто запомните эти имена! (Если вы забыли просто подумайте «Вниз» -оминатор)

Сложение дробей

Легко складывать дроби с одинаковым знаменателем (то же нижнее число):

Одна четверть плюс одна четверть равняется двум четвертям, равняется половине

Другой пример:

Пять восьмых плюс одна восьмая равняется шести восьмым, равняется трем четвертям

Сложение дробей с разными знаменателями

Но как быть, когда знаменатели (нижние числа) не совпадают?

Три восьмых плюс четверть равно… какие?

Мы должны как-то сделать знаменателями одинаковыми.

В этом случае это просто, потому что мы знаем, что ¹ / ₄
совпадает с ² / ₈ :

Три восьмых плюс две восьмых равно пяти восьмым.

Есть два популярных метода, чтобы сделать знаменатели одинаковыми :

(Они оба работают нормально, используйте тот, который вам больше нравится.)

Что еще можно делать с дробями

Мы также можем:

Посетите Указатель дробей, чтобы узнать больше.

долей эквивалента

Эквивалентные дроби имеют одинаковое значение, хотя могут выглядеть по-разному.

Эти дроби действительно совпадают:

1
2
знак равно
2
4
знак равно
4
8

Почему они одинаковые? Потому что, когда вы умножаете или делите как верхнюю, так и нижнюю часть на одно и то же число, дробь сохраняет свое значение.

Следует помнить следующее правило:

«Измените нижнюю часть с помощью умножения или деления,
И то же самое необходимо применить к верхней части»

Вот почему эти дроби действительно совпадают:

И визуально это выглядит так:

См. Дроби на числовой прямой…

…
он показывает много эквивалентных дробей.

Также см. Таблицу дробей со многими примерами эквивалентных дробей.

Деление

Вот еще несколько эквивалентных дробей, на этот раз делением:

Тщательно выбирайте число, на которое вы делите, чтобы результаты (как верхние, так и нижние) оставались целыми числами.

Если мы продолжаем деление до тех пор, пока не сможем пойти дальше, значит, мы упростили дробь (сделали ее настолько простой, насколько это возможно).

Общая информация:

• Вы можете получить эквивалентные дроби, умножив или разделив как верхний, так и нижний на одинаковую величину.
• Вы только умножаете или делите, никогда не складываете и не вычитаете , чтобы получить эквивалентную дробь.
• Делите только тогда, когда верхняя и нижняя части остаются целыми числами.

Вычитание дробей

Возможно, сначала вы захотите прочитать «Сложение дробей».

Есть 3 простых шага для вычитания дробей

• Шаг 1. Убедитесь, что нижние числа (знаменатели) совпадают.
• Шаг 2. Вычтите верхние числа (числители). Поместите ответ в тот же знаменатель.
• Шаг 3. Упростите дробь (при необходимости).

Пример 1:

3
4
—
1
4

Шаг 1 .Нижние цифры уже такие же. Переходите сразу к шагу 2.

Шаг 2 . Вычтите верхние числа и поставьте ответ над тем же знаменателем:

.

3
4
—
1
4
знак равно
3–1
4
знак равно
2
4

Шаг 3 . Упростим дробь:

2
4
знак равно
1
2

(Если вы не уверены в последнем шаге, см. Эквивалентные дроби.)

Пример 2:

1
2
—
1
6

Шаг 1 . Нижние цифры разные. Видите, как ломтики бывают разных размеров? Нам нужно сделать их такими же, прежде чем мы сможем продолжить, потому что не может вычесть их следующим образом:

Чтобы сделать нижние числа одинаковыми, умножьте верхнюю и нижнюю часть первой дроби ( ¹ / ₂ ) на 3 следующим образом:

А теперь наш вопрос выглядит так:

Нижние числа (знаменатели) такие же, поэтому мы можем перейти к шагу 2.

Шаг 2 . Вычтите верхние числа и поставьте ответ над тем же знаменателем:

.

3
6
—
1
6
знак равно
3–1
6
знак равно
2
6

На картинке это выглядит так:

Шаг 3 . Упростим дробь:

2
6
знак равно
1
3

С ручкой и бумагой

А вот как это сделать ручкой и бумагой (нажмите кнопку воспроизведения):

Вычитание смешанных дробей

У меня есть специальная страница о сложении и вычитании смешанных дробей.

Делаем знаменатели одинаковыми

В предыдущем примере было легко сделать знаменатели одинаковыми, но это может быть сложнее … поэтому вам может потребоваться использовать либо

Они оба работают, используйте тот, который вам больше нравится!

Пример: кексы

Хотите продать кексы на базаре:

• Вам платят
  2
  5
  от общего объема продаж
• Но ты должен заплатить
  1
  4
  от общего объема продаж киоска

Сколько вы получаете?

Нам нужно вычесть
1
4
из
2
5

2
5
—
1
4
знак равно
?
?

Первые делают нижние числа (знаменатели) одинаковыми.

Умножить верхнюю и нижнюю часть ² / ₅ на 4 :

2 × 4
5 × 4
—
1
4
знак равно
?
?

И умножьте верхнюю и нижнюю часть ¹ / ₄ на 5 :

2 × 4
5 × 4
—
1 × 5
4 × 5
знак равно
?
?

Сейчас делаем расчеты:

8
20
—
5
20
знак равно
8–5
20
знак равно
3
20

Ответ: оставьте
3
20
от общего объема продаж.

Что такое дробь? — Определение, факты и пример

Что такое дробь?

Фракции представляют собой равные части целого или коллекции.

Часть целого : Когда мы делим целое на равные части, каждая часть является частью целого.

Например ,

Фракция коллекции : Фракции также представляют собой части набора или коллекции.

Например ,

Всего 5 детей.

3 из 5 — девушки. Итак, доля девушек составляет три пятых ( ³ ⁄ ₅ ).

2 из 5 — мальчики. Итак, доля мальчиков составляет две пятых ( ² ⁄ ₅ ).

Обозначение дробей

Дробь состоит из двух частей. Число в верхней части строки называется числителем. Он сообщает, сколько равных частей взяты из целого или коллекции.Число под чертой называется знаменателем. Он показывает общее делимое количество равных частей целого или общее количество равных частей, которые есть в коллекции.

Дроби на числовой строке : Дроби могут быть представлены на числовой строке, как показано ниже.

Например,

Примеры из жизни

Наиболее распространенные примеры дробей из реальной жизни — это одинаковые кусочки пиццы, фруктов, торта, плитки шоколада и т. Д.

Без примеров

Когда части целого разделены неравномерно, они не образуют дробей.

Виды фракций

Что такое дробь и сколько существует типов дробей

Что такое дробь и сколько типов дробей существует

Дробь

Число, которое сравнивает часть объекта или набор с целым, особенно частное двух целых чисел, записывается в форме xly, называется дробью .Дробь 1/3, означающая деление 1 на 3, может быть представлена ​​как 1 карандаш из коробки с 3 карандашами.
Дробь — это (i) часть целого. (ii) часть коллекции.

Дробь состоит из двух чисел, разделенных горизонтальной чертой. Число над горизонтальной линией называется числителем, а число под горизонтальной линией — знаменателем дроби.

Дробь как часть целого
Дробь — это часть целого.Представьте себе пиццу, разрезанную на кусочки. Из всех ломтиков получается 1 целая пицца. Каждый кусочек — это кусок пиццы.
Таня и Саня хотят разделить пиццу поровну.
Они решают разрезать пиццу с середины и разделить ее на две равные части. Каждая часть называется
половиной целого и записывается как \ (\ frac {1} {2} \). Обе сестры получают равные доли. Часть \ (\ frac {1} {2} \) целого является дробью.
Точно так же мы можем взять множество примеров из нашей повседневной жизни, чтобы показать дробь как часть целого.
На этом рисунке мы разделили треугольник на 3 равные части. Затененная часть показывает одну часть из трех, то есть \ (\ frac {1} {3} \). Здесь \ (\ frac {1} {3} \) — дробь, которая является частью всего треугольника.

Подробнее:

Дробь является частью коллекции
Дробь представляет собой части коллекции, числитель — это количество частей, которые у нас есть, а знаменатель — общее количество частей в коллекции.
Возьмем коллекцию из 12 звезд, и мы хотим заштриховать \ (\ frac {3} {4} \) коллекции.
Чтобы найти \ (\ frac {3} {4} \) из 12 звезд, мы разделим 12 звезд на четыре равные части.
Каждая часть содержит 3 звезды. Теперь мы можем заштриховать 3 части из 4 частей.
При подсчете находим, что общее количество закрашенных звезд составляет 9.
Другими словами, \ (\ frac {3} {4} \) из 12 звезд = 9 звезд.

Виды фракций

1. Подобные дроби: Дроби с одинаковыми знаменателями называются одинаковыми дробями.
   Примеры: \ (\ frac {1} {7} \), \ (\ frac {3} {7} \), \ (\ frac {2} {7} \), \ (\ frac {6} { 7} \) и т. Д. Подобны дробям.
2. В отличие от дробей: Дроби с разными знаменателями называются разнородными дробями.
   Примеры: \ (\ frac {2} {3} \), \ (\ frac {5} {7} \), \ (\ frac {6} {8} \), \ (\ frac {1} { 3} \) и т. Д. Не похожи на дроби.
3. Дробь единицы: Дробь, числитель которой равен 1, называется дробью единицы.
   Примеры: \ (\ frac {1} {3} \), \ (\ frac {1} {9} \), \ (\ frac {1} {8} \), \ (\ frac {1} { 5} \) и т. Д.все единицы дроби
4. Правильная дробь: Дробь, числитель которой меньше знаменателя, называется правильной дробью.
   Примеры: \ (\ frac {2} {3} \), \ (\ frac {5} {7} \), \ (\ frac {1} {6} \), \ (\ frac {3} { 9} \) и т. Д. Все являются правильными дробями.
5. Неправильная дробь: Дробь, числитель которой больше или равен знаменателю, называется неправильной дробью.
   Примеры: \ (\ frac {4} {3} \), \ (\ frac {7} {5} \), \ (\ frac {9} {9} \) и т. Д. — все неправильные дроби.
6. Смешанная дробь: Дробь, представляющая собой комбинацию целого числа и правильной дроби, называется смешанной дробью. Все неправильные дроби можно записать в виде смешанных дробей.
   Пример: 2 \ (\ frac {1} {4} \) — смешанная дробь, так как 2 — это целое число 4, а \ (\ frac {1} {4} \) — правильная дробь.
7. Эквивалентная дробь: Если \ (\ frac {c} {d} = \ frac {m \ times a} {m \ times b} \), то дроби \ (\ frac {a} {b} \) и \ (\ frac {c} {d} \) называются эквивалентными дробями, потому что они представляют одну и ту же часть целого.

   Например, заштрихованные части каждой из следующих фигур одинаковы, но представлены разными дробными числами.

   Их называют эквивалентными дробями.
   Итак, мы пишем \ (\ frac {1} {2} = \ frac {2} {4} = \ frac {4} {8} \) и т. Д.

8. Десятичные дроби: Дробь, знаменателем которой является любое из чисел 10,100,1000 и т. Д., Называется десятичной дробью.
   Например: \ (\ frac {8} {10}, \ frac {11} {100}, \ frac {17} {1000} \) и т. Д.являются десятичными дробями.
9. Вульгарные дроби: Дробь, знаменатель которой представляет собой целое число, кроме 10,100,1000 и т. Д., Называется вульгарной дробью.
   Например, \ (\ frac {2} {7}, \ frac {3} {8}, \ frac {11} {17} \) и т. Д. Являются вульгарными дробями.

Математика

Дроби: Введение в дроби

Урок 1: Знакомство с дробями

Что такое дроби?

A фракция является частью целого.Это меньше , чем 1 целиком, но больше 0 . В реальной жизни мы постоянно используем дроби. Вы когда-нибудь заказывали бургер весом четверть фунта? Или заметил, что ваш бензобак на полон на половину ? И то, и другое — доли от общего количества — целый фунт мяса или целый бак бензина.

Дроби немного похожи на выражения деления, но это не проблема, которую нужно решать. Они представляют собой способ выражения суммы .Как и числа, дроби говорят вам , сколько у вас чего-то.

Щелкните слайд-шоу, чтобы узнать, как работают дроби.

• Предположим, у вас есть одна пицца, разделенная на 8 ломтиков.

• Предположим, вы берете 1 из 8 ломтиков.

• Можно сказать, что вы взяли 1/8 пиццы. 1/8 — это дробь .

• Мы пишем так, потому что у пиццы 8 ломтиков …

• Мы пишем так, потому что у пиццы 8 ломтиков…и вы берете 1.

• Что, если вы возьмете 2 ломтика?

• Теперь вы берете 2/8 пиццы.

• Нижнее число 8 осталось прежним, поскольку пицца по-прежнему делится на такое же количество ломтиков.

• Верхнее число изменилось, так как сейчас мы говорим о 2 срезах.

• Можно также сказать, что осталось 6/8 ломтиков. Есть меньше, чем 1 пиццы, но больше 0 пицц. Вот почему мы используем дробь.

• Давайте посмотрим на другой пример того, как можно использовать дроби, чтобы показать часть чего-либо.

• Этот кофейник вмещает 4 чашки кофе. Щас полно.

• Мы могли бы записать это в виде дроби: 4/4. В наличии 4 чашки, всего из 4 чашки.

• Утром кофейник пустеет. Теперь осталось 3 стакана, так что он заполнен на 3/4.

• Теперь он заполнен на 2/4.

• А теперь заполнено на 1/4. У нас меньше, чем 1 кофейник, но у нас все еще больше, чем 0 кофейников. У нас осталось фракция банка.

Запись дробей

Каждая дробь состоит из двух частей: верхнего числа и нижнего числа. С математической точки зрения они называются числителем и знаменателем . Не беспокойтесь слишком много о запоминании этих имен.Если вы помните, что означает каждое число, вы сможете понять любую дробь.

Как вы видели в слайд-шоу, нижнее число или знаменатель — это количество частей, на которые делится целое. В нашем примере с пиццей мы сказали, что каждый кусок составляет 1/8 пиццы. Знаменатель был равен 8 , так как пицца была разделена на 8 ломтика.

Верхнее число или числитель относится к определенному количеству этих частей. Это позволяет нам узнать, о чем мы говорим.Поскольку мы говорим о на один кусок пиццы , наш числитель равен 1.

Давайте посмотрим на другой пример. Что, если мы разделим одну и ту же пиццу на 12 ломтика вместо 8 ? Если мы возьмем один кусок, это будет 1/12 часть пиццы — 1 ломтика из 12 ломтиков. Независимо от того, какую дробь вы пытаетесь написать, вы всегда пишете ее одинаково — с количеством частей внизу и частями, на которые вы ссылаетесь, вверху.

Попробуй!

Запишите эти изображения дробями.

Считывание дробей

В приведенном выше примере, если у вас была пицца с восемью ломтиками, каждый ломтик составлял бы 1/8 пиццы. Вы бы прочитали это так: одна восьмая .

Когда мы читаем или говорим о дробях, мы используем специальные числа, называемые порядковыми числами и числами. Хороший способ запомнить это — это то, что многие из них — это те же числа, которые вы используете, когда помещаете в порядок : третий, четвертый, пятый и так далее.

Возможно, вы уже знаете некоторые из этих чисел. Например, когда вы говорите своему боссу, что будете на работе через полчаса в час, вы говорите, что доберетесь туда через полчаса. Если вы помогаете подруге испечь пирог, и она просит у вас треть стакана сахара, вы можете передать ей мерный стаканчик с надписью 1/3.

Вот некоторые из наиболее часто используемых дробей:

Хорошее правило, которое следует запомнить: большинство порядковых номеров оканчиваются на «-е «.«Итак, 1/20 — это одна двадцатая. 1/35 — это одна тридцать пятая . 1/54 — это одна пятьдесят четвертая .

А как насчет дробей, у которых вверху нет единицы? Прочтите их, как если бы вы считали. Таким образом, если 1/5 — это одна -пятая, то 2/5 — это две- пятых, а 3/5 — это три -пятых. Верхнее число всегда будет «нормальным» числом, как те, которые вы используете для подсчета, а нижнее число всегда будет порядковым числом.

Попробуй!

Напишите дроби, соответствующие тексту.

Смешанные номера

Иногда вы можете увидеть дробь рядом с целым числом. Мы называем это смешанным номером . В следующем уроке мы поговорим о смешанных числах подробнее. А пока мы сконцентрируемся на том, чтобы научиться их читать. Давайте посмотрим на этот пример:

2 1/2 — смешанное число. Если мы говорим, что у нас есть 2 1/2 пиццы, это означает, что у нас есть , 2, целых пиццы и 1/2 другой пиццы. Вы можете прочитать 2 1/2 вот так: два с половиной .

Давайте попробуем другой пример. Что, если вы нальете 1 чашку чая, а затем налейте только 2/3 другой чашки? Вы могли бы написать эту ситуацию так:

Вы бы прочитали 1 2/3 так: одну и две трети. Помните, целое число всегда первое .

Попробуй!

Напишите правильное смешанное число рядом с каждой картинкой.

Целые дроби

Итак, вы узнали, что дробь — это часть целого.Например, 3/4 означает, что у вас есть три части из четыре часть всего . Но что, если бы у вас была такая дробь?

8/8

В этом примере у нас есть восемь частей из восемь частей всего . Если верхнее и нижнее число дроби совпадают, тогда дробь равна 1. Это потому, что у вас каждая часть, дроби или одно целое .Иногда это называют целиком фракцией .

Итак, если у вас есть восемь кусочков пиццы из восьми всего , у вас будет одна целая пицца.

Давайте посмотрим на другой пример: 8/8 и 2/2. Хотя эти дроби могут выглядеть по-разному, на самом деле они всего лишь два способа выразить одно и то же. Поскольку это целые дроби, 8/8 и 2/2 равны 1. И поскольку они оба равны 1, они также равны друг другу.

Попробуй!

Напишите правильную целую дробь под каждой картинкой.

/ ru / fractions / Comparing-and-Reduction-Fractions / content /

Дроби единицы — Полный курс арифметики

Каждая единичная дробь является частью числа 1. Половина от 1, треть, четвертая и так далее.

Вот как мы считаем. « Одна пятая, две пятых, три пятых» и так далее.

Таким образом, каждая дробь представляет собой количество долей единицы.

Знаменатель дроби обозначает единицу измерения. В числителе указывается их количество — сколько.

Пример 1. В дроби какое число единица и сколько их там?

Опять же, каждая дробь представляет собой сумму — число — долей единицы.

Символы для всех чисел арифметики
обозначают сумму единиц.

2 восьмых + 3 восьмых — это 5 восьмых. Добавляемая единица измерения -.

Это иллюстрирует следующий принцип:

Мы можем складывать или вычитать только вещи с одинаковыми именами,
которую мы называем единицей.
В приведенном выше примере имя того, что мы добавляем, — «восьмые».

Мы увидим это в Уроке 25. Знаменатель дроби не имеет другой функции, кроме как называть единицу измерения.

Пример 4. 1 сколько пятых?

Аналогично

И так далее.Мы можем выразить 1 как дробь с любым знаменателем .

Пример 5. Сложите и выразите сумму в виде неправильной дроби: