Решение неравенств методом интервалов

Цели:

1. Обобщить использование метода интервалов для решения неравенств,
2. Показать широкие возможности этого метода для решения неравенств, содержащих переменные под знаком log, , и тригонометрические функции.

Мы будем рассматривать неравенства, правая часть которых равна нулю, а левая часть представлена в виде произведения или частного функций.

Идея метода: Знак произведения или частного определяется знаком сомножителей.

Рис.1

Линейная функция с ненулевым угловым коэффициентом меняет знак при переходе через нуль функции, причём справа от нуля знак функции совпадает со знаком углового коэффициента.

Рис.2

Квадратный трёхчлен с D>0 при переходе через каждый нуль функции меняет свой знак, причём правее большего корня знак квадратного трёхчлена совпадает со знаком его старшего коэффициента. [1]

Эти соображения приводят к следующей схеме решения неравенства:

Пример 1:[1]

1. Найдём нули числителя: , , .
2. Найдём нули знаменателя: .
3. Наносим найденные нули на числовую ось. Т.к. неравенство строгое, то все нули изображаем выколотыми точками, которые разбивают числовую ось на интервалы:

Рис. 3

На самом правом из них знак каждого сомножителя совпадает со знаком его старшего коэффициента:

Следовательно, дробь на этом промежутке тоже отрицательна.

1. При переходе через каждый из отмеченных нулей, один и только один из сомножителей меняет знак, и поэтому каждый раз меняется знак дроби. Учитывая это, расставляем в интервалах знаки (как показано на Рис.3).
2. Выбираем интервалы, на которых дробь отрицательна.
3. Записываем ответ: .

В рассмотренном примере 1, знаки в промежутках знакопостоянства функции чередуются. Однако делать обобщение, что так будет происходить всегда, разумеется, не следует.

Пример 2:

1. нули числителя:

   -2 – нуль второй кратности

2. нули знаменателя:
3. наносим найденные нули на числовую ось, т.к. неравенство не строгое, то нули числителя изображаем заштрихованными точками, а нуль знаменателя мы выкалываем, т.к. это число не входит в область определения неравенства:

Рис.4

Обозначим нуль второй кратности галочкой, чтобы не забыть. Т.к. числитель всегда принимает положительные значения, то на правом крайнем промежутке знак будет зависеть от знака старшего коэффициента знаменателя, т.е. «+». Левее «1» знаменатель будет отрицательным, а числитель положительным, поэтому при переходе через число -2 знак не меняется:

Рис.5

Это поможет понять следующая геометрическая картинка (Рис.6):

Рис.6

4. Для записи ответа выбираем промежуток, где стоит знак «+» и заштрихованную точку , при которой дробь обращается в нуль.
   
   Ответ:

Вывод: при переходе через нуль чётной кратности, знак не меняется.

Решить по вариантам, с последующим обсуждением у доски.

I вариант

Пример 3:

1. нули числителя:

   ;

2. нули знаменателя:

   ;
   — нуль второй кратности

Рис.7

Ответ:

II вариант

Пример 4:

1. нули числителя:
   — нуль второй кратности
2. нули знаменателя:

   ;
   — нуль третьей кратности

Рис.8

Ответ:

Применение метода интервалов не ограничивается решением рациональных неравенств.

Универсальность метода основана на достаточно наглядном свойстве непрерывных функций: «Если на интервале (a;b) функция f(x) непрерывна и не обращается в нуль, то на этом интервале она сохраняет знак».

Пример 5: [1] ,

Будем решать это неравенство по той же схеме, но не на всей оси, а на области определения логарифмической функции, т.е. на промежутке (*):

1. нули числителя:

   ; — не входит в (*)

2. нули знаменателя:

   ;

Рис. 9

3. на самом правом промежутке
   , ,

Следовательно на этом промежутке левая часть неравенства отрицательна

4. при переходе через каждый корень меняет знак один и только один из сомножителей. Учитывая это, расставляем знаки на остальных промежутках.

Ответ: .

Пример 6:

1. нули числителя:

   корней нет

2. нули знаменателя:
3. решение изображаем на рис. 10:

Рис.10

Квадратный трёхчлен в числителе не имеет корней и не меняет свой знак. Его знак совпадает со знаком старшего коэффициента, т.е. «+».

Ответ:.

Пример 7: ОДЗ:

Приведём неравенство к такому виду, чтобы в правой части был «0»:

1. нули числителя:

;;;

2. нули знаменателя:
3. решение изображаем на рис. 11:

Рис.11

Ответ:.

Пример 8:

ОДЗ:

Рис.12

1. нули числителя:
2. нули знаменателя:

, но ОДЗ удовлетворяет только

3. решение изображаем на рис. 13:

Рис.13

Ответ:.

Задание на дом: (Решение предоставлено в Приложении1)

1. Ответ:.
2. Ответ:.
3. Ответ:.
4. Ответ: .
5. Ответ:.

Задания для факультативный занятий предоставлены в Приложении2.

Вывод: Как известно, линейная, квадратичная, степенная, показательная, логарифмическая и тригонометрические функции, а так же их композиции и функции, получаемые из них с помощью арифметических действий, непрерывны в своей области определения. Поэтому метод интервалов можно применять при решении практически всех неравенств школьного курса. Метод интервалов позволяет представить множество решений неравенства в виде объединения промежутков, границы которых либо корни соответствующего уравнения, либо граничные точки области определения.

Список литературы:

[1] «Метод интервалов» //Журнал «Квант» No12, 1985 г.

Метод интервалов: примеры, решения

Метод интервалов принято считать универсальным для решения неравенств. Иногда этот метод также называют методом промежутков. Применим он как для решения рациональных неравенств с одной переменной, так и для неравенств других видов. В нашем материале мы постарались уделить внимание всем аспектам вопроса.

Что ждет вас в данном разделе? Мы разберем метод промежутков и рассмотрим алгоритмы решения неравенств с его помощью. Затронем теоретические аспекты, на которых основано применение метода.

Особое внимание мы уделяем нюансам темы, которые обычно не затрагиваются в рамках школьной программы. Например, рассмотрим правила расстановки знаков на интервалах и сам метод интервалов в общем виде без его привязки к рациональным неравенствам.

Алгоритм

Кто помнит, как происходит знакомство с методом промежутков в школьном курсе алгебры? Обычно все начинается с решения неравенств вида f(x)<0 (знак неравенства может быть использован любой другой, например, ≤, > или ≥). Здесь f(x) может быть многочленом или отношением многочленов. Многочлен, в свою очередь, может быть представлен как:

• произведение линейных двучленов с коэффициентом 1 при переменной х;
• произведение квадратных трехчленов со старшим коэффициентом 1 и с отрицательным дискриминантом их корней.

Приведем несколько примеров таких неравенств:

(x+3)·(x2−x+1)·(x+2)3≥0,

(x-2)·(x+5)x+3>0 ,

(x−5)·(x+5)≤0,

(x2+2·x+7)·(x-1)2(x2-7)5·(x-1)·(x-3)7≤0 .

Запишем алгоритм решения неравенств такого вида, как мы привели в примерах, методом промежутков:

• находим нули числителя и знаменателя, для этого числитель и знаменатель выражения в левой части неравенства приравниваем к нулю и решаем полученные уравнения;
• определяем точки, которые соответствуют найденным нулям и отмечаем их черточками на оси координат;
• определяем знаки выражения f(x) из левой части решаемого неравенства на каждом промежутке и проставляем их на графике;
• наносим штриховку над нужными участками графика, руководствуясь следующим правилом: в случае, если неравенство имеет знаки < или ≤ изображается, штрихуются «минусовые» промежутки, если же мы работаем с неравенством, имеющим знаки > или ≥, то выделяем штриховкой участки, отмеченные знаком «+».

Четреж, с которым мы будем работать, может иметь схематический вид. Излишние подробности могут перегружать рисунок и затруднять решение. Нас будет мало интересовать маштаб. Достаточно будет придерживаться правильного расположения точек по мере роста значений их координат.

При работе со строгими неравенствами мы будем использовать обозначение точки в виде круга с незакрашенным (пустым) центром. В случае нестрогих неравенств точки, которые соответствуют нулям знаменателя, мы будем изображать пустыми, а все остальные обычными черными.

Отмеченные точки разбивают координатную прямую на несколько числовых промежутков. Это позволяет нам получить геометрическое представление числового множества, которое фактически является решением данного неравенства.

Научные основы метода промежутков

Основан подход, положенный в основу метода промежутков, основан на следующем свойстве непрерывной функции: функция сохраняет постоянный знак на интервале (a, b), на котором эта функция непрерывна и не обращается в нуль. Это же свойство характерно для числовых лучей (−∞, a) и (a, +∞).

Приведенное свойство функции подтверждается теоремой Больцано-Коши, которая приведена во многих пособиях для подготовки к вступительным испытаниям.

Обосновать постоянство знака на промежутках также можно на основе свойств числовых неравенств. Например, возьмем неравенство x-5x+1>0 . Если мы найдем нули числителя и знаменателя и нанесем их на числовую прямую, то получим ряд промежутков: (−∞, −1), (−1, 5) и (5, +∞).

Возьмем любой из промежутков и покажем на нем, что на всем промежутке выражение из левой части неравенства будет иметь постоянный знак. Пусть это будет промежуток (−∞, −1). Возьмем любое число t из этого промежутка. Оно будет удовлетворять условиям t<−1, и так как −1<5, то по свойству транзитивности, оно же будет удовлетворять и неравенству t<5.

Используя оба полученных неравенства и свойство числовых неравенств, мы можем предположить, что t+1<0 и t−5<0. Это значит, что t+1 и t−5 – это отрицательные числа независимо от значения t на промежутке (−∞, −1).

Используя правило деления отрицательных чисел, мы можем утверждать, что значение выражения t-5t+1 будет положительным. Это значит, что значение выражения x-5x+1 будет положительным при любом значении x из промежутка (−∞, −1). Все это позволяет нам утверждать, что на промежутке, взятом для примера, выражение имеет постоянный знак. В нашем случае это знак «+».

Нахождение нулей числителя и знаменателя

Алгоритм нахождения нулей прост: приравниваем выражения из числителя и знаменателя к нулю и решаем полученные уравнения. При возникновении затруднений можно обратиться к теме «Решение уравнений методом разложения на множители». В этом разделе мы ограничимся лишь рассмотрением примера.

Рассмотрим дробь x·(x-0,6)x7·(x2+2·x+7)2·(x+5)3. Для того, чтобы найти нули числителя и знаменателя, приравняем их к нулю для того, чтобы получить и решить уравнения: x·(x−0,6)=0 и x7·(x2+2·x+7)2·(x+5)3=0.

В первом случае мы можем перейти к совокупности двух уравнений x=0 и x−0,6=0, что дает нам два корня 0 и 0,6. Это нули числителя.

Второе уравнение равносильно совокупности трех уравнений x7=0, (x2+2·x+7)2=0, (x+5)3=0. Проводим ряд преобразований и получаем x=0, x2+2·x+7=0, x+5=0. Корень первого уравнения 0, у второго уравнения корней нет, так как оно имеет отрицательный дискриминант, корень третьего уравнения -5. Это нули знаменателя.

0 в данном случае является одновременно и нулем числителя, и нулем знаменателя.

В общем случае, когда в левой части неравенства дробь, которая не обязательно является рациональной, числитель и знаменатель точно также приравниваются к нулю для получения уравнений. Решение уравнений позволяет найти нули числителя и знаменателя.

Определение знаков на интервалах

Определить знак интервала просто. Для этого можно найти значение выражения из левой части неравенства для любой произвольно выбранной точки из данного интервала. Полученный знак значения выражения в произвольно выбранной точке промежутка будет совпадать со знаком всего промежутка.

Рассмотрим это утверждение на примере.

Возьмем неравенство x2-x+4x+3≥0. Нулей числителя выражение, расположенное в левой части неравенства, нулей не имеет. Нулем знаменателя будет число -3. Получаем два промежутка на числовой прямой (−∞, −3) и (−3, +∞).

Для того, чтобы определить знаки промежутков, вычислим значение выражения x2-x+4x+3 для точек, взятых произвольно на каждом из промежутков.

Из первого промежутка (−∞, −3) возьмем −4. При x=−4 имеем (-4)2-(-4)+4(-4)+3=-24 . Мы получили отрицательное значение, значит весь интервал будет со знаком «-».

Для промежутка (−3, +∞)проведем вычисления с точкой, имеющей нулевую координату. При x=0 имеем 02-0+40+3=43. Получили положительное значение, что значит, что весь промежуток будет иметь знак «+».

Можно использовать еще один способ определения знаков. Для этого мы можем найти знак на одном из интервалов и сохранить его или изменить при переходе через нуль. Для того, чтобы все сделать правильно, необходимо следовать правилу: при переходе через нуль знаменателя, но не числителя, или числителя, но не знаменателя мы можем поменять знак на противоположный, если степень выражения, дающего этот нуль, нечетная, и не можем поменять знак, если степень четная. Если мы получили точку, которая является одновременно нулем числителя и знаменателя, то поменять знак на противоположный можно только в том случае, если сумма степеней выражений, дающих этот нуль, нечетная.

Если вспомнить неравенство, которое мы рассмотрели в начале первого пункта этого материала, то на крайнем правом промежутке мы можем поставить знак «+».

Теперь обратимся к примерам.

Возьмем неравенство (x-2)·(x-3)3·(x-4)2(x-1)4·(x-3)5·(x-4)≥0 и решим его методом интервалов. Для этого нам необходимо найти нули числителя и знаменателя и отметить их на координатной прямой. Нулями числителя будут точки 2, 3, 4, знаменателя точки 1, 3, 4. Отметим их на оси координат черточками.

Нули знаменателя отметим пустыми точками.

Так как мы имеем дело с нестрогим неравенством, то оставшиеся черточки заменяем обычными точками.

Теперь расставим точки на промежутках. Крайний правый промежуток (4, +∞) будет знак +.

Продвигаясь справа налево будем проставлять знаки остальных промежутков. Переходим через точку с координатой 4. Это одновременно нуль числителя и знаменателя. В сумме, эти нули дают выражения (x−4)2 и x−4. Сложим их степени 2+1=3 и получим нечетное число. Это значит, что знак при переходе в данном случае меняется на противоположный. На интервале (3, 4) будет знак минус.

Переходим к интервалу (2, 3) через точку с координатой 3. Это тоже нуль и числителя, и знаменателя. Мы его получили благодаря двум выражениям (x−3)3 и (x−3)5, сумма степеней которых равна 3+5=8. Получение четного числа позволяет нам оставить знак интервала неизменным.

Точка с координатой 2 – это нуль числителя. Степень выражения х-2 равна 1 (нечетная). Это значит, что при переходе через эту точку знак необходимо изменить на противоположный.

У нас остался последний интервал (−∞, 1). Точка с координатой 1 – это нуль знаменателя. Он был получен из выражения (x−1)4, с четной степенью 4. Следовательно, знак остается прежним. Итоговый рисунок будет иметь вот такой вид:

Применение метода интервалов особенно эффективно в случаях, когда вычисление значения выражения связано с большим объемом работы. Примером может стать необходимость вычисления значения выражения

x+3-343·x2+6·x+112·x+2-34(x-1)2·x-235·(x-12)

в любой точке интервала 3-34,3-24.

Будем считать, что с правилами определения знаков для промежутков мы разобрались. Идем дальше.

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание

Примеры решения неравенств методом интервалов

Теперь займемся применением полученных знаний и навыков на практике.

Пример 1

Решите неравенство (x-1)·(x+5)2(x-7)·(x-1)3≤0 .

Решение

Целесообразно применить для решения неравенства метод интервалов. Находим нули числителя и знаменателя. Нули числителя 1 и -5, нули знаменателя 7 и 1. Отметим их на числовой прямой. Мы имеем дело с нестрогим неравенством, поэтому нули знаменателя отметим пустыми точками, нуль числителя -5 отметим обычной закрашенной точкой.

Проставим знаки промежутков, используя правила изменения знака при переходе через нуль. Начнем с крайнего правого промежутка, для которого вычислим значение выражения из левой части неравенства в точке, произвольно взятой из промежутка. Получим знак «+». Перейдем последовательно через все точки на координатной прямой, расставляя знаки, и получим:

Мы работаем с нестрогим неравенством, имеющим знак ≤. Это значит, что нам необходимо отметить штриховкой промежутки, отмеченные знаком «-».

Ответ: (-∞,1)∪(1,7) .

Решение рациональных неравенств в большинстве случаев требует их предварительного преобразования к нужному виду. Только после этого появляется возможность использовать метод интервалов. Алгоритмы проведения таких преобразований рассмотрены в материале «Решение рациональных неравенств».

Рассмотрим пример преобразования квадратных трехчленов в записи неравенств.

Пример 2

Найдите решение неравенства (x2+3x+3)(x+3)x2+2·x-8>0.

Решение

Давайте посмотрим, действительно ли дискриминанты квадратных трехчленов в записи неравенства отрицательны. Это позволит нам определить, позволяет ли вид данного неравенства применить для решения метод интервалов.

Вычислим дискриминант для трехчлена x2+3·x+3: D=32−4·1·3=−3<0. Теперь вычислим дискриминант для трехчлена x2+2·x−8: D’=12−1·(−8)=9>0. Как видите, неравенство требует предварительного преобразования. Для этого представим трехчлен x2+2·x−8 как (x+4)·(x−2), а потом применим метод интервалов для решения неравенства (x2+3·x+3)·(x+3)(x+4)·(x-2)>0 .

Ответ: (-4,-3)∪(2,+∞) .

Обобщенный метод интервалов

Обобщенный метод промежутков применяется для решения неравенств вида f(x)<0 (≤, >, ≥), где f(x) – произвольное выражение с одной переменной x.

Все действия проводятся по определенному алгоритму. При этом алгоритм решения неравенств обобщенным методом интервалов будет несколько отличаться от того, что мы разобрали ранее:

• находим область определения функции f и нули этой функции;
• отмечаем на координатной оси граничные точки;
• наносим на числовую прямую нули функции;
• определяем знаки промежутков;
• наносим штриховку;
• записываем ответ.

На числовой прямой необходимо отмечать в том числе и отдельные точки области определения. К примеру, областью определения функции служит множество (−5, 1]∪{3}∪[4, 7)∪{10}. Это значит, что нам необходимо отметить точки с координатами −5, 1, 3, 4, 7 и 10. Точки −5 и 7 изобразим пустыми, остальные можно выделить цветным карандашом для того, чтобы отличать их затем от нулей функции.

Нули функции в случае нестрогих неравенств наносятся обычными (закрашенными) точками, строгих – пустыми точками. Если нули совпадают с граничными точками или отдельными точками области определения, то их можно перекрасить в черный цвет, сделав пустыми или закрашенными в зависимости от вида неравенства.

Запись ответа представляет собой числовое множество, которое включает в себя:

• промежутки со штриховкой;
• отдельные точки области определения со знаком плюс, если мы имеем дело с неравенством, знак которого > или ≥ или со знаком минус, если в неравенстве есть знаки < или ≤.

Теперь стало понятно, что тот алгоритм, который мы привели в самом начале темы, является частным случаем алгоритма применения обобщенного метода интервалов.

Рассмотрим пример применения обобщенного метода интервалов.

Пример 3

Решите неравенство x2+2·x-24-34·x-3x-7<0 .

Решение

Вводим функцию f такую, что f(x)=x2+2·x-24-34·x-3x-7 . Найдем область определения функции f:

x2+2·x-24≥0x≠7D(f)=(-∞,-6]∪[4,7)∪(7,+∞) .

Теперь найдем нули функции. Для этого проведем решение иррационального уравнения:

x2+2·x-24-34·x-3=0

Получаем корень x=12.

Для обозначения граничных точек на оси координат используем оранжевый цвет. Точки -6,4 у нас будут закрашенными, а 7 оставляем пустой. Получаем:

Отметим ноль функции пустой точкой черного цвета, так как мы работаем со строгим неравенством.

Определяем знаки на отдельных промежутках. Для этого возьмем по одной точке из каждого промежутка, например, 16, 8, 6 и −8, и вычислим в них значение функции f:

f(16)=162+2·16-24-34·16-316-7=264-159>0f(8)=82+2·8-24-34·8-38-7=56-9<0f(6)=62+2·6-24-34·6-36-7=24-152-1==15-2·242=225-962>0f(-8)=-82+2·(-8)-24-34·(-8)-3-8-7=24+3-15<0

Расставляем только что определенные знаки, и наносим штриховку над промежутками со знаком минус:

Ответом будет являться объединение двух промежутков со знаком «-»:(−∞, −6]∪(7, 12).

В ответ мы включили точку с координатой -6. Это не нуль функции, который мы бы не включили в ответ при решении строгого неравенства, а граничная точка области определения, которая входит в область определения. Значение функции в этой точке отрицательное, это значит, что она удовлетворяет неравенству.

Точку 4 мы в ответ не включили, точно также, как не включили весь промежуток [4, 7). В этой точке, точно также, как и на всем указанном промежутке значение функции положительно, что не удовлетворяет решаемому неравенству.

Запишем это еще раз для более четкого понимания: цветные точки необходимо включать в ответ в следующих случаях:

• эти точки являются частью промежутка со штриховкой,
• эти точки являются отдельными точками области определения функции, значения функции в которых удовлетворяют решаемому неравенству.

Ответ: (−∞, −6]∪(7, 12).

Решение неравенств методом интервалов: разбираем на конкретном примере

Одним из методов решения различных неравенств является метод интервалов. Он применяется для неравенств вида: 

• f(x)>0, 
• f(x)>=0, 
• f(x)
• f(x)
• f(x)/g(x) >0,
• f(x)/g(x)>=0,
• f(x)/g(x)<0,
• f(x)/g(x)<=0.

Где f(x) и g(x) это некоторые многочлены, которые разложены на простейшие множители. 

Простейшие множители, это множители вида (х-а).

Разберем метод интервалов на достаточно общем конкретном примере.

Метод интервалов на конкретном примере

Пусть в результате преобразований исходного неравенства мы пришли к следующему неравенству:

^{(x-3)2*(x-7)3*(x+1)} / _{(x-2)*(x+4)²}  >= 0.

Обратите внимание, что в каждом из сомножителей переменная стоит на первом месте, то есть (х-2) а не (2-х).К такому виду всегда можно привести данные скобки умножая их на -1, и при этом не забывая менять знак.

Теперь нам необходимо на числовой прямой отметить все точки в которых  в числителе или знаменателе получается нуль.2. Степень четная значит знак остается таким же «минус». И так продолжаем до конца, пока у каждого промежутка не будет свой знак.

Получится следующая картинка.

Теперь остаётся только записать ответ.  По условию нам нужно выписать все значения, при которых неравенство  больше либо равно нулю. Значит в ответ включаем все интервалы где у нас стоит знак «плюс».

• Х принадлежит [-1,2)U{3}U[7,+∞).

Если точка выколотая, значит она не включается в ответ, и у неё рисуется круглая скобка, если точка обычная, то она включается в ответ и у неё пишется квадратная скобка.

Важно не забыть отдельные точки, как например точку 3 в нашем примере. Она обычная, и в ней указанная дробь будет равняться нулю, значит её тоже надо записать в ответ.

Нужна помощь в учебе?

Предыдущая тема: Решение неравенств второй степени с одной переменной: приводим примеры
Следующая тема:&nbsp&nbsp&nbspЦелое уравнение и его корни: четыре степени уравнений

Метод интервалов: обучение и контроль | Консультация по алгебре (10 класс):

Метод интервалов

Метод интервалов (или как его еще иногда называют метод промежутков) – это универсальный метод решения неравенств. Он подходит для решения разнообразных неравенств, однако наиболее удобен в решении рациональных неравенств с одной переменной. Поэтому в школьном курсе алгебры метод интервалов вплотную привязывают именно к рациональным неравенствам, а решению других неравенств с его помощью практически не уделяют внимания.

Разберем алгоритм применения метода интервалов и  все его тонкости. Начнем с того, что приведем алгоритм решения неравенств методом интервалов. Дальше поясним, на каких теоретических аспектах он базируется, и разберем шаги алгоритма, в частности, подробно остановимся на определении знаков на интервалах. После этого перейдем к практике и покажем решения нескольких типовых примеров. А в заключение рассмотрим метод интервалов в общем виде (то есть, без привязки к рациональным неравенствам), другими словами, обобщенный метод интервалов.

Итак, нам предстоит рассмотреть следующие вопросы:

• Алгоритм метода интервалов
• На чем основан метод интервалов?
• Как находить нули числителя и знаменателя?
• Как определять знаки на интервалах?
• Как правильно записать ответ?
• Примеры решения неравенств методом интервалов

Алгоритм метода интервалов

Если неравенство имеет  вид  f(x) 0 или f(x) ≤ 0 или f(x) ≥0), то его удобно решать методом интервалов. Для наглядности приведем примеры подобных неравенств: (x−7)·(x+7) ≤ 0 или  

(x+4)·(x2−x+1)·(x+2)3 ≥ 0   или    > 0 или    ≤ 0  и т. д.

Перейдем к алгоритму решения неравенств подобного  вида методом интервалов, а затем рассмотрим примеры его применения к решению неравенств. Итак, алгоритм  метода интервалов:

1. Сначала находят нули каждого множителя, а если в левой части неравенства – дробь, то находят нули числителя и нули знаменателя. (Нули числителя и знаменателя – это значения переменной, при которых числитель и знаменатель становятся равными нулю ). Для этого каждый множитель левой части  (числитель и знаменатель)  приравнивают к нулю, и решают  полученные уравнения. 

*Примечание. Важно понимать, что нулями каждого множителя левой части (нулями числителя и знаменателя) могут быть любые числа, среди которых может отсутствовать  число 0.

2. На  числовую прямую наносят точки, соответствующие найденным в пункте 1) нулям.  (Не обязательно соблюдать  единичные отрезки, достаточно   придерживаться известного правила:  точка с меньшей координатой находится левее точки с большей координатой).  После этого определяют, как их  надо изобразить: темными или светлыми (выколотыми). При решении строгого неравенства (со знаком ) все точки изображаются светлыми (выколотыми). При решении нестрогого неравенства (со знаком ≤ или ≥) точки, отвечающие нулям знаменателя, изображаются выколотыми, а оставшиеся отмеченные  точки –  темными. Все отмеченные точки разбивают координатную прямую на несколько числовых промежутков.
3. Определяют знаки выражения f(x) из левой части решаемого неравенства на каждом промежутке (как это делается, подробно расскажем в одном из следующих пунктов), и над ними проставляются + или − в соответствии с определенными  знаками.
4. Наконец, при решении неравенства со знаком или ≥   –  над промежутками, отмеченными знаком «+». В результате получается геометрическое представление числового множества, которое и является искомым решением неравенства.

На чем основан метод интервалов?

В основе метода интервалов лежит следующее свойство непрерывной функции: если на интервале  (a, b) функция f(х) непрерывна и не обращается в нуль, то она на этом интервале сохраняет постоянный знак. Аналогичное свойство справедливо и для числовых лучей (−∞, a) и (a, +∞). Для выражений f(x), имеющих указанный в предыдущем пункте вид, постоянство знака на промежутках можно обосновать и иначе, с помощью свойств числовых неравенств  с  учетом правила умножения и деления чисел с одинаковыми знаками и разными знаками.

Как находить нули числителя и знаменателя?

С нахождением нулей числителя и знаменателя дроби обычно не возникает никаких проблем. Выражения из числителя и знаменателя приравниваются к нулю, и решаются полученные уравнения. При необходимости выполняют  разложение на множители числителя и знаменателя.

Рассмотрим пример. Решить неравенство:  ≤ 0

 Решение.

Преобразуем левую часть неравенства. Для этого разложим на множители

х2 + 5х – 6 = 0

D = 52 – 4 ∙ 1 ∙ (– 6) = 25 + 24 = 49

х1 =  =  – 6

х2 =  =  1

Применяя формулу ax2 + bx + c = a(x – x1)(x – x2), получим:  х2 + 5х – 6 = (х + 6)(х – 1). Кроме того, по формуле разности квадратов  = (х – 5)(х + 5). Неравенство примет вид:

 ≤ 0, после сокращения на х – 5 окончательно получаем: ≤ 0

Нули числителя и знаменателя:

(х – 5)2 = 0                         х + 6 = 0        х – 1 = 0         х + 5 = 0

(х – 5)(х – 5) = 0                х = – 6           х = 1               х  = – 5

х = 5 или х = 5

При решении уравнения (х – 5)2 = 0 получились два одинаковых корня, равных 5. В таких случаях говорят: «Кратность корня 5 равна двум». Как  влияет такая ситуация на решение неравенства рассмотрим на следующем этапе. А пока нанесем полученные числа на числовую  прямую слева направо в порядке возрастания: -6, -5, 1. 5. Точки, соответствующие числам  -6, -5, 1, — выколотые, т.к. они обращают знаменатель в ноль, а на ноль делить нельзя. Точка с координатой 5 будет темной, т.к. при х=5 числитель обратится  в ноль, а поскольку  мы решаем нестрогое неравенство, то такое значение допустимо.

Как определять знаки на интервалах?

Знаки левой части неравенства на каждом интервале можно определять двумя способами. Самый надежный способ состоит в  следующем. Из каждого интервала выбирают произвольное число  и вычисляют значение  левой части неравенства. Знак полученного результата – это и есть знак левой части на выбранном интервале. Вернемся к неравенству. Найденные числа разбили числовую прямую на интервалы (–∞; – 6), (– 6;. – 5), (– 5; 1), (1; 5), (5; +∞). Определим знак дроби    на каждом интервале.

Из интервала (–∞; – 6) выберем число  – 7. Подставим его вместо х и определим знак результата:

 = . Получаем отрицательное число. Значит, на интервале (–∞; – 6) знак дроби «–».

Из интервала (– 6; – 5) выберем число – 5,5. Снова определим знак:

=. Очевидно, в ответе получится положительное число. Поэтому на интервале (– 6; – 5) знак дроби «+».

Из интервала (– 5; 1) выберем число 0.    =  . Результат отрицателен. На интервале  (– 5; 1) знак дроби «–».

Из интервала (1; 5) выберем число 2,   = . На  интервале (1; 5) знак дроби «+».

Из интервала (5; +∞) выберем число 6, =. На  интервале (5; +∞) знак дроби «+».

Существует и другой подход к определению знаков, состоящий в нахождении знака на одном из интервалов и его сохранении или изменении при переходе к соседнему интервалу через нуль. Нужно придерживаться следующего правила. При переходе через нуль числителя (или знаменателя) знак изменяется, если степень выражения, дающего этот нуль, нечетная, и не изменяется, если четная. Кстати, если выражение в левой части неравенства имеет вид   , то на крайнем правом промежутке будет знак плюс. В данном примере знак будет меняться при переходе через нули знаменателя, т. е. при переходе через  – 6, – 5, и 1, т.к. каждый множитель в знаменателе имеет первую (нечетную) степень. При переходе через точку 5, являющуюся нулем числителя, знак меняться не будет, т. к. выражение в числителе имеет четную степень. В этом мы смогли убедиться, определяя знак дроби выше.

Как правильно записать ответ?

Неравенство    ≤ 0, которое мы привели к виду ≤ 0, содержит знак ≤ , поэтому в ответ будут записаны интервалы, на которых дробь отрицательна, т.е. (–∞; – 6), (– 5; 1). Кроме того, при х=5 (изолированная точка) неравенство верно и поэтому число 5 – одно из решений неравенства. Однако, это значение может быть потеряно в связи с тем, что расположено между двумя интервалами, не входящими в ответ. Подводя итоги, записываем

ответ:   (–∞; – 6) ⋃ (– 5; 1) ⋃  .

Пример 2

Решите  неравенство   > 0.

Решение:

найдем нули числителя и знаменателя.

 х – 5 = 0             х + 1 = 0

х = 5                    х =  – 1

Точки, соответствующие нулям числителя и знаменателя, изображаем выколотыми (светлыми) в силу того, что неравенство строгое. Полученные  числа разбивают числовую прямую на три промежутка (−∞, −1), (−1, 5) и (5, +∞). Определим знак дроби   на каждом из этих промежутков.  На промежутках (−∞, −1) и (5, +∞) дробь   положительна, а на интервале (−1, 5) отрицательна. В ответ записываем промежутки со знаком плюс.

Ответ: (−∞, −1) ⋃ (5, +∞).

Пример 3

Решите  неравенство    . Так как при решении квадратного уравнения  х2 – х + 4 = 0 дискриминант отрицателен, то нулей числителя нет, а нулем знаменателя является число −3. (числитель этой дроби положителен при любом х, т. к. парабола у = х2 – х + 4, ветви которой направлены вверх,  не пересекает ось абсцисс). Число −3 делит числовую прямую на два промежутка (−∞, −3) и (−3, +∞). Определим знаки на них. Очевидно, что справа от  – 3 знак будет положительным, а слева от – 3 – отрицательным. Так как неравенство имеет знак , то в ответ записываем промежуток со знаком +. Ответ: (−3, +∞).

Примеры решения неравенств методом интервалов

1. Решить неравенство (x + 1)(x – 1)(x – 2) > 0.

2. Решить неравенство: 

3. Решить неравенство 

4. Решить неравенство        .

Тренировочные  задания (не для проверки)

Решите неравенства, применяя метод интервалов:

Критерии оценивания

На оценку «5» нужно решить 13 неравенств без ошибок

На оценку «4» нужно решить 11 неравенств без ошибок

На оценку «3» нужно решить 7 неравенств без ошибок

Репетитор по математике о методе интервалов — Колпаков Александр Николаевич

Для того, чтобы успешно преподавать математику в условиях жесткой экономии времени репетитору необходимо научиться выделять из потока материала наиболее востребованные на экзамене темы и задачи. Одним из важнейших разделов является метод интервалов (метод промежутков). Если репетитор по математике вовремя раскроет ученику суть алгоритма, это позволит не только открыть перспективу решения большого класса задач на неравенства (логарифмических, показательных, рациональных и иррациональных), но и обеспечить усвоение смежных тем, так или иначе связанных с неравенствами, например, исследование функций.

Подготовка к ЕГЭ по математике с прицелом на часть «С» обычно начинается у репетиторов с обучения решению алгебраических уравнений и неравенств. Это вполне разумно, так как в процессе работы с многочленами и дробями можно повторить сразу несколько тем: формулы сокращенного умножения, приведение дробей к общему знаменателю, разложение квадратного трехчлена и др. Какие сложности может испытать репетитор по математике при попытке объяснить школьнику суть метода интервалов? В каком порядке и объеме следует давать данную тему среднему ученику?

Метод интервалов – одна из немногих тем, которая не требует от репетитора предварительной теоретической подготовки, ибо аналогичная задача была поставлена при изучении темы «квадратные неравенств». Разница только в том, что параболу легко построить по ее нулям, а для графика функций, состоящих из трех и более скобок, требуются дополнительные исследования. Фактически репетитору по математике достаточно поставить перед учеником задачу поиска промежутков знакопостоянства левой части. Если ученик не понимает смысла данного термина – нужно вернуться назад к свойствам функций и квадратным неравенствам.

Какую терминологию использует репетитор по математике?

Как известно, перед тем как определять поведение графика на промежутках необходимо найти границы промежутков знакопостоянства. Они могут быть или нулями функции, или точками, в которых значений не существует. Для того, чтобы репетитор по математике смог обеспечить ученика точными и короткими инструкциями — комментариями в процессе решения неравенств, лучше всего ввести для точек единый термин. Я называю их «критическими». Это общее название дял нулей числителя и знаменателя. Чтобы напомнить ученику о начальном этапе работы алгоритма решения достаточно произнести: «Найдем критические точки».

Как репетитор по математике поясняет правило чередования знаков?

Существует два способа для расстановки знаков между найденными критическими точками:
1) Использование пробных точек в каждом промежутке.
2) Поиск знака в каком-нибудь одном из них с последующим применением законов чередования знаков на всей оси (надеюсь, что репетиторам математики оно известно). Второе удобнее и практичнее, но без первого понять метод знаков чрезвычайно трудно. Некоторые репетиторы по математике ограничиваются тем, что просто сообщают ученику правило перехода через четную и нечетную степень и просто закрепляют его на большом количестве заданий.

Я действую иначе. Правило чередования можно и нужно объяснять. Для этого репетитор по математике использует самый простой пример сочетания линейных скобок (не более трех) и сравнивает распределение их знаков в двух пробных точках соседних промежутков. Все скобки (кроме одной) эти знаки повторят, а поменяет его та скобка, от которой образовалась общая граница данных промежутков. На это обстоятельство репетитор по математике обращает особое внимание учащегося. Затем нужно спросить: «Как изменится распределение знаков в случае наличия четной степени у рассматриваемой скобки?». Обычно на такой вопрос ученики отвечают правильно.

Подмеченная закономерность тут же фиксируется репетитором по математике в виде записи правила чередования: при переходе через критическую точку, образованную от линейной скобки в нечетной степени знак на промежутке меняется, а если степень четная – сохраняется. Пожалуй, это основной момент в теме, к пониманию которой репетитор по математике так стремится.

Определение знака в правом промежутке

Чаще всего репетитор по математике может обойтись и без подстановки пробных точек. Для этого нужно обратить внимание на особенность чисел из правого промежутка. Если мы возмем в качестве пробной точки очень большое число, например, 1000000, то получим в каждой скобке тот же знак, какой имеется у коэффициента перед переменной. Если ее степень нечетная – она этот знак сохранит. Поэтому он будет определяться произведением коэффициентов, расположенных в скобках с нечетными степенями. Я предпочитаю оформить это наблюдение в виде правила и записать в теоретическую тетрадь. Правый промежуток наиболее удобен для репетитора по математике в плане разъяснения правил быстрого определения знака (справа всегда можно найти число, заведомо большее любой критической точки). Учитывая это обстоятельство, можно не производить вычислений внутри линейной скобки вообще. Репетитору по математике хватит следующего комментария: «Модуль числа из правого промежутка настолько велик, что в независимости от свободного слагаемого линейной скобки ее знак совпадет с коэффициентом при иксе». Поэтому мы смотрим только на знаки старших коэффициентов и подписываем их над каждой скобкой для финального учета.

Советы репетитора по оформлению решений

Отработка моторики действий по выполнению любого математического алгоритма – чрезвычайно важный этап в работе с учеником (особенно с не самым сильным). В методе интервалов есть несколько формальных моментов, о которых репетитор по математике предупреждает ученика и которые желательно соблюдать:
1) При переносе критических точек на рисунок сначала надо пересчитать их количество, затем равномерно распределить по числовой оси, а уже потом прикреплять к ним числа в порядке возрастания. Как часто бывает? Ученик отмечает первую же попавшую ему на глаза критическую точку посередине оси, затем еще одну. После этого выясняется, что третья точка находится между двумя предыдущими, а четвертая между третьей и второй и так далее. В результате информация концентрируются в середине рисунка, и он теряет разборчивость. Приходится переделывать заново.

Инструкция репетитора по математике с поэтапным переносом точек позволяет снижать вероятность не только появления скопления знаков в узкой части рисунка, но и избегать ошибок при расстановке и сравнении. Почему? Потому, что является возможность организовать последовательный перенос точек, от наименьшей до наибольшей. Каждая следующая сравнивается только с предыдущей (в соответствии с порядком возрастания или убывания). Для того, чтобы не пропустить какую-либо из них и быстрее сравнить оставшиеся границы будущих промежутков репетитор по математике вычеркивает отмеченные точки из списка таким образом:

В таком же ключе репетитор по математике настоятельно рекомендует ученику отмечать точки.
2) Знаки на промежутках должны располагаться по другую сторону от прямой (в верхней ее части), а критические точки подписываться по другую сторону (в нижней).

3) Тем самым репетитор по математике расчищает рисунок и делает его более читабельным. Для того, чтобы интервальные знаки не тонули в общей картине их желательно рисовать жирными и длинными.

О выделении промежутков

В учебниках математики, а также на уроках с репетиторами при оформлении решений методом интервалов часто можно встретить загадочные бугорки — кружева, расположенные над промежутками вдоль всей оси. Как и любой другой знак, поставленный репетитором, он должен быть объяснен ученику. Линии не несут никакой смысловой нагрузки, а только выделяют промежутки для того, чтобы они не утонули в потоке пробных точек (изображенных вместе с критическими). Если репетитор по математике отказывается от их использования, то и выделять ничего не нужно. Это является дополнительным аргумент в пользу применения правила чередования знаков. Линиями лучще всего выделять сам ответ.

О выделении критических точек
Нули числителя, как известно, отмечаются согласно знаку неравенства (закрашиваются в случае нестрого знака и выкалываются в случае строгого), а нули знаменателя всегда отмечаются пустыми. Для того, чтобы в голове ученика это обстоятельство надежно отложилось, репетитору по математике следует принять определенные правила оформления записей. Под начальным неравенством проводитяс вертикальная линия. Слева от нее репетитор по математике записывает нули числителя, а справа нули знаменателя. Рядом с каждой колонкой можно указать характер переноса точек на рисунок. Я обычно рисую закрашенную точку у входящих в ответ нулей числителя и пустую точку рядом со списком нулей знаменателя.

О типичных ошибках учеников

Условия применимости метода интервалов должны отработаны репетитором по математике особым образом. Наиболее распространенной ошибкой учащихся в данной теме является использование алгоритма при отсутствии нуля в правой части. Нужно предложить отдельные задания на выявление подобных случаев. Кроме правого нуля выражение в левой части должно быть представлено в виде произведения линейных скобок. У дробей числитель и знаменатель должны быть также разложены на множители. За усвоением этих моментов репетитор по математике обязан следить самым пристальным образом. Кроме ошибок, связанных с условиями применимости метода интервалов, к типичным промахам относится пропуск нулевой критической точки. Она образуется от множителей вида .

Как далеко репетитор по математике углубляется в метод интервалов?

Cуществуют множество ситуаций, которые сводятся к рассматриваемому методу. Одних только алгебраических случаев насчитывается почти с десяток. Это целые и дробные левые частьи, различные комбинации степеней и разложений, совпадения критических точек и сокращения дробей, невозможность разложения скобок на линейные, множители — модули. Если репетитор нацелен дать сильному ученику полноценную подготовку к ЕГЭ по математике, он должен рассмотреть все виды задач. Для логарифмических и показательных неравенств очень актуален расширенный метод интервалов, о котором мы поговорим отдельно.

Оригинальные задания репетитора.
Однотипность любых математических упражнений угнетает даже взрослого ученика. Поэтому для их разнообразия репетитору приходится постоянно что-то выдумывать. В задачах на метод интервалов я использую следующий прием. В качестве дополнения к домашнему заданию предлагаю составить неравенство, левая часть которого имела бы заранее составленное распределение знаков, например:
Нестандартное задание репетитора по математике понравится ученику, а в отдельных случаях поможет стимулировать интерес к занятиям, и, как следствие, к самому предмету.

С уважением, А.Н. Колпаков. Репетитор по математике. Москва. Подготовка к ЕГЭ.

Задача 15 (С3). Рациональные неравенства. Методы решения уравнений и неравенств с модулем. — Математика (профильный)

Конспект занятия «Задача 15 (С3). Рациональные неравенства. Методы решения уравнений и неравенств с модулем.»

Решенте рациональных неравенств

Рассмотрим стандартный приём решения рациональных неравенств, основанный на сведении данного неравенства к неравенству для многочлена, метод решения которого (метод интервалов) нам уже известен. Итак, рассмотрим рациональное неравенство

где f (x) и g (x) − рациональные функции, то есть функции, представимые в виде отношения многочленов. Перенося обе части рационального неравенства в левую часть, представим её в виде отношения двух многочленов:  (Такой вид неравенства называется стандартным.)

1. Привести неравенство к стандартному виду 

2. Разложить на множители многочлены P (x) и Q (x) (как мы знаем, для этого придётся решить уравнения P (x) = 0 и Q (x) = 0).

3. Нули числителя, не совпадающие с нулями знаменателя, отметить на числовой оси точками, а нули знаменателя − кружочками (эти точки, очевидно, не входят в ОДЗ рациональной функции и потому они как будто «выколоты» из числовой оси).

4. Подставить мысленно в неравенство очень большое число (большее самого большого из корней числителя и знаменателя) для того, чтобы определить, какой знак имеет рациональная функция на самом правом интервале. Провести кривую знаков, проходя через все точки, отмеченные на числовой прямой, меняя или не меняя знак в зависимости от суммарной степени двучлена, отвечающего данной точке.

5. Записать ответ, обращая особое внимание на граничные точки, часть из которых может быть «выколота».

Таким образом, для нестрогих рациональных неравенств имеем по определению 

Решение неравенств, содержащих выражение под знаком модуль

Основные способы решений неравенств с модулем во многом совпадают с методами решения аналогичных уравнений. Только, решая неравенства с модулем (как, впрочем, и неравенства вообще), нужно очень внимательно совершать равносильные переходы и следить не только за тем, чтобы не приобрести новые решения, но и за тем, чтобы не потерять уже имеющиеся.

Стандартный путь решения неравенств с модулем заключается в том, что координатная прямая разбивается на промежутки, границами этих промежутков являются нули подмодульных выражений, а затем неравенство решается на каждом из промежутков.

Этот метод работает всегда. Нужно понимать, что раскрытие модуля по определению неизменно приводит к цели. Конечно же, этот метод не является оптимальным: в условиях ЕГЭ, где важен не только результат, но и то время, которое потрачено на его получение. Рассмотрим методы, не связанные с поиском нулей функций, стоящих под знаком модуля.

Решение неравенств с модулем:

1) |x+a|≤b⇔−(b+a)≤x≤b−a, где a0,b0a0,b0

2) |x+a|≥b⇔x≤−(a+b) или x≥−(a−b), где a0,b0a0,b0

3) x²≤a²⇔|x|≤a, a0 ⇔ −a≤x≤a

4) x²≥a²⇔|x|≥a,a0⇔x≤−a или x≥a .

5) |f(x)|⇔f²(x)²⇔(f(x)−k)⋅(f(x)+k)⇔f2(x)⇔(f(x)−k)⋅(f(x)+k)

6) Неравенства вида  |f₁(x)|+|f₂(x)|≤|f₃(x)| содержащие алгебраическую сумму двух и более модулей, решают методом промежутков:

• разобьем числовую ось точками, в которых обращаются в нуль выражения, стоящие под знаком модуля.

• выбирая на этих промежутках контрольные точки, проверяем, удовлетворяется ли на них заданное неравенство или нет.

• ответом к задаче служит объединение промежутков, где выполняется данное неравенство.

Задачи к теме:

1. Решите неравенство  

2. Решите неравенство

3. Решите неравенство  

4. Решите неравенство

5. Решите неравенство

6. Решить неравенство:

7. Решить неравенство:

8. Решить неравенство:

9. Решить неравенство:

Неравенства

Отметим множество решений неравенства на числовой прямой и запишем ответ в виде числового промежутка.

 Алгебраические неравенства.

Квадратные неравенства. Рациональные неравенства высших степеней.

Дробно-рациональные неравенства.

Методы решения неравенств зависят в основном от того, к какому классу относятся функции, составляющие неравенство.

1. I. Квадратные неравенства, то есть неравенства вида

ax² + bx + c > 0 (< 0), a ≠ 0.

Будем считать, что a>0. Если это не так, то умножив обе части неравенства на -1 и изменив знак неравенства на противоположный, получим желаемое.

Чтобы решить неравенство можно:

1. Квадратный трехчлен разложить на множители, то есть неравенство записать в виде

a (x — x₁) (x — x₂) > 0 (< 0).

2. Корни многочлена нанести на числовую ось. Корни разбивают множество действительных чисел на промежутки, в каждом из которых соответствующая квадратичная функция будет знакопостоянной.
3. Определить знак a (x — x₁) (x — x₂) в каждом промежутке и записать ответ.

Если квадратный трехчлен не имеет корней, то при D<0 и a>0 квадратный трехчлен при любом x положителен.

Примеры:

• Решить неравенство. x² + x — 6 > 0.

Решение.

Разложим квадратный трехчлен на множители (x + 3) (x — 2) > 0

Ответ: x  (-∞; -3)  (2; +∞).

2) (x — 6)² > 0

Решение:

Это неравенство верно при любом х, кроме х = 6.

Ответ: (-∞; 6)  (6; +∞).      

3) x² + 4x + 15 < 0.

Решение:

Здесь D < 0, a = 1 > 0. Квадратный трехчлен положителен при всех х.

Ответ: x Î Ø.

Решить неравенства:

1. 1 + х — 2х² < 0.                              Ответ:
2. 3х² — 12х + 12 ≤ 0. Ответ:
3. 3х² — 7х + 5 ≤ 0. Ответ:
4. 2х² — 12х + 18 > 0.          Ответ:
5. При каких значениях a неравенство

      x² — ax >  выполняется для любых х?               Ответ:

1. II. Рациональные неравенства высших степеней, то есть неравенства вида

a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + … + a₁x + a₀ > 0 (<0), n>2.

Многочлен высшей степени следует разложить на множители, то есть неравенство записать в виде

a_n (x — x₁) (x — x₂) ·…· (x — x_n) > 0 (<0).

Отметить на числовой оси точки, в которых многочлен обращается в нуль.

Определить знаки многочлена на каждом промежутке.

Примеры:

1) Решить неравенство x⁴ — 6x³ + 11x² — 6x < 0.

Решение:

x⁴ — 6x³ + 11x² — 6x = x (x³ — 6x² + 11x -6) = x (x³ — x² — 5x² + 5x +6x — 6) =x (x — 1)( x² -5x + 6) =

x (x — 1) (x — 2) (x — 3). Итак, x (x — 1) (x — 2) (x — 3)<0

Ответ: (0; 1)  (2; 3).

2) Решить неравенство  (x -1)⁵ (x + 2) (x — ½)⁷ (2x + 1)⁴ <0.

Решение:

Отметим на числовой оси точки, в которых многочлен обращается в нуль. Это х = 1, х = -2, х =  ½, х = — ½.

В точке х = — ½ смены знака не происходит, потому что двучлен (2х + 1) возводится в четную степень, то есть выражение (2x + 1)⁴ не меняет знак при переходе через точку х = — ½.

Ответ: (-∞; -2)  (½; 1).

3) Решить неравенство: х² (х + 2) (х — 3) ≥ 0.

Решение:

Данное неравенство равносильно следующей совокупности

 Решением (1) является х  (-∞; -2)  (3; +∞). Решением (2) являются х = 0, х = -2, х = 3. Объединяя полученные решения, получаем х Î (-∞; -2]  {0}  [3; +∞).

Ответ: х  (-∞; -2]  {0}  [3; +∞).

Решить неравенства:

1. (5х — 1) (2 — 3х) (х + 3) > 0. Ответ:
2. x³ + 5x² +3x — 9 ≤ 0. Ответ:
3. (x — 3) (x — 1)² (3x — 6 — x²) < 0. Ответ:
4. (x² -x)² + 3 (x² — x) + 2 ≥ 0. Ответ:

III. Дробно-рациональные неравенства.

При решении таких неравенств можно придерживаться следующей схемы.

1. Перенести все члены неравенства в левую часть.
2. Все члены неравенства в левой части привести к общему знаменателю, то есть неравенство записать в виде

 > 0 (<0).

3. Найти значения х, при которых функция y=может менять свой знак. Это корни уравнений
4. Нанести найденные точки на числовую ось. Эти точки разбивают множество действительных чисел на промежутки, в каждом их которых функция будет знакопостоянной.
5. Определить знак в каждом промежутке, вычисляя, например, значение данного отношения в произвольной точке каждого промежутка.
6. Записать ответ, обращая особое внимание на граничные точки промежутков. При решении строгого неравенства >0 (<0) граничные точки в ответ не включаются. При решении нестрогого неравенства ≥ 0 ( ≤ 0), если точка является корнем знаменателя, то она не включается в ответ (даже если она одновременно является корнем числителя). Если же точка является корнем одного числителя, то она включается в ответ.

Примеры.

1). Решить неравенство .

Решение:  > 0, > 0,  > 0

Найдем нули числителя и знаменателя. Это х = 3, х = 5, х=1. Наносим найденные точки на числовую ось и определяем знаки  в каждом промежутке   

Выбираем любой х(5; +), например х = 10. Тогда  < 0.

               Выбираем х = 4 (3; 5).

Получаем  > 0. При х = 2 (1; 3). Получаем > 0.

Наконец, при х = 0 (-; 1). Вычисляем   < 0.

Ответ: х (1; 3)  (3; 5).

2). Найти сумму целых решений неравенства.

Решение. Найдем нули числителя и знаменателя дроби. Это х = -1, х=8, х = 3, х= 5.

Нанесем найденные точки на числовую ось и определим знак дроби в каждом промежутке, вычисляя значение этой дроби в произвольной точке каждого промежутка.

Решением исходного неравенства является

х [-1, 3)  (3; 5)  {8}. Найдем сумму целых решений: -1 +1+0+ 2 + 4 + 8 = =14.

Ответ: 14.

рациональных функций | Безграничная алгебра

Введение в рациональные функции

Рациональная функция — это такая функция, что [latex] f (x) = \ frac {P (x)} {Q (x)} [/ latex], где [latex] Q (x) \ neq 0 [/ latex] ; область определения рациональной функции может быть вычислена.

Цели обучения

Описать рациональные функции, включая их области

Основные выводы

Ключевые моменты

• Рациональная функция — это любая функция, которую можно записать как отношение двух полиномиальных функций, где многочлен в знаменателе не равен нулю.
• Область [latex] f (x) = \ frac {P (x)} {Q (x)} [/ latex] — это набор всех точек [latex] x [/ latex], знаменатель которых [latex] ] Q (x) [/ latex] не равно нулю.
• Ограничения области рациональной функции можно определить, установив знаменатель равным нулю и решив. Значения [latex] x [/ latex], при которых знаменатель равен нулю, называются сингулярностями и не находятся в области определения функции.

Ключевые термины

• домен : набор всех входных значений ([latex] x [/ latex]), по которым определяется функция.
• рациональная функция : Любая функция, значение которой может быть выражено как частное двух многочленов (где многочлен в знаменателе не равен нулю).
• особенности : Значения [latex] x [/ latex], при которых рациональная функция не определена, для которых знаменатель [latex] Q (x) [/ latex] равен нулю.
• вертикальная асимптота : вертикальная прямая линия, к которой кривая приближается произвольно близко к бесконечности.
• знаменатель : Число или выражение, записанное под чертой в дробной части (например, [latex] 2 [/ latex] в [latex] \ frac {1} {2} [/ latex]).

Рациональные функции

Рациональная функция — это любая функция, которую можно записать как отношение двух полиномиальных функций. Ни коэффициенты многочленов, ни значения, принимаемые функцией, не обязательно являются рациональными числами.

Любая функция одной переменной, [latex] x [/ latex], называется рациональной функцией, если и только если она может быть записана в форме:

[латекс] f (x) = \ dfrac {P (x)} {Q (x)} [/ латекс]

, где [латекс] P [/ латекс] и [латекс] Q [/ латекс] являются полиномиальными функциями от [латекса] x [/ latex] и [латекса] Q (x) \ neq 0 [/ latex].

Обратите внимание, что каждая полиномиальная функция является рациональной функцией с [latex] Q (x) = 1 [/ latex]. Функция, которую нельзя записать в виде многочлена, например [latex] f (x) = \ sin (x) [/ latex], не является рациональной функцией. Однако прилагательное «иррациональное» обычно не используется для обозначения функций.

Постоянная функция, такая как [latex] f (x) = \ pi [/ latex], является рациональной функцией, поскольку константы являются полиномами. Обратите внимание, что сама функция рациональна, хотя значение [latex] f (x) [/ latex] иррационально для всех [latex] x [/ latex].

Область рациональной функции

Область определения рациональной функции [latex] f (x) = \ frac {P (x)} {Q (x)} [/ latex] — это набор всех значений [latex] x [/ latex], для которых знаменатель [латекс] Q (x) [/ латекс] не равен нулю.

В качестве простого примера рассмотрим рациональную функцию [latex] y = \ frac {1} {x} [/ latex]. Домен состоит из всех значений [latex] x \ neq 0 [/ latex]. 2 — 4 = 0 [/ latex].2 [/ latex] должно быть равно [latex] -2 [/ latex]. Поскольку это условие не может быть удовлетворено действительным числом, область определения функции — все действительные числа.

Асимптоты

Рациональная функция может иметь не более одной горизонтальной или наклонной асимптоты и много возможных вертикальных асимптот; их можно рассчитать.

Цели обучения

Определите, когда асимптота рациональной функции будет горизонтальной, наклонной или вертикальной

Основные выводы

Ключевые моменты

• Асимптота кривой — это линия, расстояние между которой и кривой приближается к нулю, поскольку они стремятся к бесконечности.
• Есть три вида асимптот: горизонтальная, вертикальная и наклонная.
• Рациональная функция имеет не более одной горизонтальной асимптоты или наклонной (наклонной) асимптоты и, возможно, несколько вертикальных асимптот.
• Вертикальные асимптоты встречаются в особенностях рациональной функции или точках, в которых функция не определена. Они возникают только в сингулярностях, где соответствующий линейный множитель в знаменателе остается после отмены.
• Существование горизонтальной или наклонной асимптоты зависит от степеней полиномов в числителе и знаменателе
  .

Ключевые термины

• асимптота : прямая линия, к которой кривая приближается произвольно близко, уходя в бесконечность.
• наклонный : Непрямой или перпендикулярный; ни параллельно, ни под прямым углом к ​​основанию; косой; склонен.
• рациональная функция : Любая функция, значение которой может быть выражено как частное двух многочленов (где многочлен в знаменателе не равен нулю).

Типы асимптот

В аналитической геометрии асимптота кривой — это такая линия, что расстояние между кривой и линией приближается к нулю, поскольку они стремятся к бесконечности.

Существует три вида асимптоты: горизонтальная , вертикальная и наклонная . Горизонтальные асимптоты кривых — это горизонтальные линии, к которым график функции приближается, поскольку [latex] x [/ latex] стремится к [latex] + \ infty [/ latex] или [latex] — \ infty [/ latex]. Горизонтальные асимптоты параллельны оси [latex] x [/ latex].

Вертикальные асимптоты — это вертикальные линии, вблизи которых функция неограниченно растет. Они параллельны оси [латекс] y [/ латекс].

Асимптота, которая не является ни горизонтальной, ни вертикальной, называется наклонной (или наклонной) асимптотой. Это диагональные линии, так что разница между кривой и линией приближается к [латексу] 0 [/ латексу], поскольку [латекс] x [/ латекс] стремится к [латексу] + \ infty [/ latex] или [латексу] — \ инфты [/ латекс].

Каждый тип асимптоты показан на графике ниже.

График с асимптотами: График функции с горизонтальной ([latex] y = 0 [/ latex]), вертикальной ([latex] x = 0 [/ latex]) и наклонной асимптотой (синяя линия).

Пример 1

Рассмотрим график уравнения [latex] f (x) = \ frac {1} {x} [/ latex], показанный ниже. Координаты точек на кривой имеют вид [latex] (x, \ frac {1} {x}) [/ latex], где [latex] x [/ latex] — это число, отличное от 0.

График [latex] f (x) = 1 / x [/ latex]: И ось [latex] x [/ latex], и ось [latex] y [/ latex] являются асимптотами.

Обратите внимание, что по мере того, как положительные значения [latex] x [/ latex] становятся все больше и больше, соответствующие значения [latex] y [/ latex] становятся бесконечно малыми.Однако независимо от того, насколько большим становится [латекс] x [/ latex], [latex] \ frac {1} {x} [/ latex] никогда не бывает [latex] 0 [/ latex], поэтому кривая никогда не касается [ латекс] х [/ латекс] -ось. Ось [latex] x [/ latex] — это горизонтальная асимптота кривой.

Точно так же, когда положительные значения [латекс] x [/ латекс] становятся все меньше и меньше, соответствующие значения [латекс] y [/ латекс] становятся все больше и больше. Таким образом, кривая тянется все дальше и дальше вверх по мере приближения к оси [латекс] y [/ латекс].[Latex] y [/ latex] -ось — это вертикальная асимптота кривой.

Асимптоты рациональных функций

Рациональная функция имеет не более одной горизонтальной или наклонной асимптоты и, возможно, несколько вертикальных асимптот.

Вертикальные асимптоты возникают только тогда, когда знаменатель равен нулю. Другими словами, вертикальные асимптоты возникают в особенностях или точках, в которых рациональная функция не определена. Вертикальные асимптоты возникают только в сингулярностях, когда соответствующий линейный множитель в знаменателе остается после сокращения.

Например, рассмотрим функцию:

[латекс] f (x) = \ dfrac {(x-1) (x + 2)} {(x-1) (x + 1)} [/ latex]

Из линейных множителей в знаменателе можно определить, что существуют две особенности: [latex] x = 1 [/ latex] и [latex] x = -1 [/ latex]. Однако линейный коэффициент [латекс] (x-1) [/ latex] отменяется коэффициентом в числителе. Таким образом, единственная вертикальная асимптота для этой функции — [latex] x = -1 [/ latex].

Степень числителя и степень знаменателя определяют, существуют ли горизонтальные или наклонные асимптоты.

Существование горизонтальной асимптоты зависит от степени полинома в числителе ([латекс] n [/ латекс]) и степени полинома в знаменателе ([латекс] m [/ латекс]). Возможны три случая:

1. Если [latex] n> m [/ latex], то горизонтальной асимптоты нет (Однако, если [latex] n = m + 1 [/ latex], то наклонная асимптота существует).
2. Если [latex] n
3. Если [латекс] n = m [/ latex], то существует горизонтальная асимптота, и уравнение имеет следующий вид:

[латекс] \ quad \ quad y = \ frac {\ text {Коэффициент члена наивысшей степени в числителе}} {\ text {Коэффициент члена наивысшей степени в знаменателе}} [/ latex]

Когда числитель рациональной функции имеет степень ровно на единицу больше знаменателя, функция имеет наклонную (наклонную) асимптоту.2 (x + 1)} [/ латекс].

Обратите внимание, что, исходя из линейных множителей в знаменателе, сингулярности существуют при [latex] x = 1 [/ latex] и [latex] x = -1 [/ latex]. Также обратите внимание, что один линейный коэффициент [латекс] (x-1) [/ latex] отменяется с числителем. Однако один линейный коэффициент [латекс] (x-1) [/ латекс] остается в знаменателе, потому что он возведен в квадрат. Следовательно, существует вертикальная асимптота при [latex] x = 1 [/ latex]. Линейный коэффициент [латекс] (x + 1) [/ latex] также не отменяет; таким образом, вертикальная асимптота также существует при [latex] x = -1 [/ latex].2 + 16} [/ латекс].

Поскольку многочлены в числителе и знаменателе имеют одинаковую степень ([latex] 2 [/ latex]), мы можем определить, что существует одна горизонтальная асимптота и нет наклонной асимптоты.

Коэффициент при наивысшей степени мощности равен [латекс] 2 [/ латекс] в числителе и [латекс] 1 [/ латекс] в знаменателе. Следовательно, горизонтальная асимптота имеет вид:

[латекс] y = \ frac {2} {1} = 2 [/ латекс]

Решение задач с помощью рациональных функций

[latex] x [/ latex] -перехваты рациональных функций находят, устанавливая полином в числителе равным [latex] 0 [/ latex] и решая для [latex] x [/ latex].

Цели обучения

Используйте числитель рациональной функции, чтобы найти ее нули

Основные выводы

Ключевые моменты

• Перехваты [latex] x [/ latex] (также известные как нули или корни) функции — это точки, в которых график пересекает ось [latex] x [/ latex]. Рациональные функции могут иметь ноль, один или несколько [latex] x [/ latex] -перехватов.
• Для любой функции перехватчики [latex] x [/ latex] являются значениями [latex] x [/ latex], для которых функция имеет нулевое значение: [latex] f (x) = 0 [/ latex] .
• Для рациональных функций существуют перехватчики [latex] x [/ latex], когда числитель равен [latex] 0 [/ latex]. Для [латекса] f (x) = \ frac {P (x)} {Q (x)} [/ latex], если [latex] P (x) = 0 [/ latex], то [latex] f (x ) = 0 [/ латекс].

Ключевые термины

• знаменатель : Число или выражение, записанное под чертой в виде дроби (таким образом, [latex] 2 [/ latex] в [latex] \ frac {1} {2} [/ latex]). 2 — x — 1} [/ латекс]

  Рациональные функции можно изобразить на координатной плоскости.Мы можем использовать алгебраические методы для вычисления их [latex] x [/ latex] -перехватов (также известных как нули или корни), то есть точек, где график пересекает ось [latex] x [/ latex]. Рациональные функции могут иметь ноль, один или несколько [latex] x [/ latex] -перехватов.

  Для любой функции перехватчики [latex] x [/ latex] являются значениями [latex] x [/ latex], для которых функция имеет нулевое значение: [latex] f (x) = 0 [/ latex] .

  В случае рациональных функций, перехватчики [latex] x [/ latex] существуют, когда числитель равен [latex] 0 [/ latex].2 — 3x + 2 \\ & = (x — 1) (x — 2) \ end {align} [/ latex]

  Решения для этого многочлена: [latex] x = 1 [/ latex] или [latex] x = 2 [/ latex]. Это означает, что эта функция имеет [latex] x [/ latex] -перехваты в [latex] 1 [/ latex] и [latex] 2 [/ latex].

  Пример 2

  Найдите [latex] x [/ latex] -перехваты функции:

  [латекс] f (x) = \ dfrac {1} {x} [/ латекс]

  Здесь числитель является константой, поэтому его нельзя установить равным [латекс] 0 [/ латекс].2 — 10} [/ latex]: [latex] x [/ latex] -перехватов существуют в [latex] x = — \ sqrt {2}, 0, \ sqrt {2} [/ latex].

  Упрощение, умножение и деление рациональных выражений

  Рациональное выражение можно рассматривать как дробь, и им можно управлять с помощью умножения и деления.

  Цели обучения

  Практика упрощения, умножения и деления рациональных выражений

  Основные выводы

  Ключевые моменты

  • Рациональное выражение — это частное двух многочленов, где многочлен в знаменателе не равен нулю.
  • Рациональные выражения часто можно упростить, удалив термины, которые можно вычесть из числителя и знаменателя. Это могут быть числа или функции [latex] x [/ latex].
  • Рациональные выражения можно перемножать. Числители каждого умножаются вместе, а также их знаменатели. Иногда можно упростить получившуюся дробь.
  • Рациональные выражения можно разделить друг на друга. Это соответствует правилам деления дробей, где дивиденд умножается на обратную величину делителя. 0 [/ latex].Важно отметить, что поскольку все показатели положительные, невозможно разделить на [латекс] х [/ латекс].

  Рациональное выражение — это дробь, содержащая многочлены, где многочлен в знаменателе не равен нулю. Как и дробь, состоящая из чисел, рациональное выражение можно упрощать, умножать и делить. Правила выполнения этих операций часто отражают правила упрощения, умножения и деления дробей. Выполнение этих операций с рациональными выражениями часто включает в себя выведение полиномиальных выражений из числителя и знаменателя.2 + 5x + 2} [/ латекс]

  Это выражение необходимо сначала разложить на множители, чтобы получить выражение

  [латекс] \ displaystyle \ frac {(x + 2) (x + 3)} {(2x + 1) (x + 2)} [/ латекс]

  , что после исключения общего множителя [латекс] (x + 2) [/ latex] из числителя и знаменателя дает упрощенное выражение

  [латекс] \ displaystyle \ frac {x + 3} {2x + 1} [/ латекс]

  Умножение рациональных выражений

  Рациональные выражения можно умножать и делить аналогично дробям. 2 + x — 2} [/ латекс]

  Выражение не подлежит дальнейшему упрощению.

  Неполные дроби

  Частичное разложение на дробь — это процедура, используемая для уменьшения степени числителя или знаменателя рациональной функции.

  Цели обучения

  Практика разбиения рациональной функции на частичные дроби

  Основные выводы

  Ключевые моменты

  • Частичное разложение на дробь — это процедура, используемая для уменьшения степени числителя или знаменателя рациональной функции, и включает в себя разделение одного отношения на несколько более простых соотношений.С математической точки зрения, дробное разложение превращает функцию вида [латекс] \ frac {f (x)} {g (x)} [/ latex], где [latex] f [/ latex] и [latex] g [ / latex] оба многочлены в функцию вида [latex] \ sum_ {j} \ frac {f_ {j} (x)} {g_ {j} (x)} [/ latex], где [latex] g_ {j} (x) [/ latex] — многочлены, которые являются множителями [latex] g (x) [/ latex].
  • Основная причина разложения рациональной функции на сумму более простых дробей состоит в том, чтобы упростить выполнение линейных операций над суммой. 3 -7x -6} = \ frac {1} {x + 2} + \ frac {3} {x-3} + \ гидроразрыв {4} {x + 1} [/ латекс]

    С математической точки зрения, расширение частичной дроби используется для изменения рациональной функции в форме [latex] \ frac {f (x)} {g (x)} [/ latex], где [latex] f [/ latex] и [latex] g [/ latex] — многочлены в функцию вида [latex] \ sum_ {j} \ frac {f_ {j} (x)} {g_ {j} (x)} [/ latex].Знаменатели членов этого суммирования, [латекс] g_ {j} (x) [/ latex], являются многочленами, которые являются множителями [latex] g (x) [/ latex], и, как правило, имеют более низкую степень.

    Основная мотивация разложения рациональной функции на сумму более простых дробей состоит в том, чтобы упростить выполнение линейных операций над суммой. Сокращение сложных математических задач с помощью частичной декомпозиции дроби позволяет нам сосредоточиться на вычислении каждого отдельного элемента разложения, а не на более сложной рациональной функции.

    Шаги к разложению рациональной функции

    Допустим, у нас есть рациональная функция [latex] R (x) = \ frac {f (x)} {g (x)} [/ latex], где степень числителя меньше степени знаменателя. Предположим, [latex] R (x) [/ latex] имеет знаменатель, который учитывается в других выражениях, например [latex] g (x) = P (x) \ cdot Q (x) [/ latex], и что нет повторяющиеся корни.

    Первый шаг к разложению функции [латекс] R (x) [/ latex] — разложить ее знаменатель на множители:

    [латекс] \ Displaystyle R (x) = \ frac {f (x)} {(x — a_1) (x — a_2) \ cdots (x — a_p)} [/ латекс]

    , где [латекс] a_1,…, a_p [/ latex] являются корнями [латекса] g (x) [/ latex].

    Тогда мы можем записать [латекс] R (x) [/ latex] как сумму частичных дробей:

    [латекс] R (x) = \ frac {c_1} {(x — a_1)} + \ frac {c_2} {(x — a_2)} + \ cdots + \ frac {c_p} {(x — a_p)} [/ латекс]

    где [латекс] c_1,…, c_p [/ latex] — константы.

    Чтобы завершить процесс, мы должны определить значения этих коэффициентов [latex] c_i [/ ​​latex]. Чтобы найти коэффициент, умножьте связанный с ним знаменатель на рациональную функцию [латекс] R (x) [/ latex]:

    [латекс] c_i = (x — a_i) R (x) [/ латекс]

    Это даст выражение со значением [latex] x [/ latex].2 (x + 3)} [/ latex], для которого [latex] x = 1 [/ latex] является повторяющимся корнем), необходимо предпринять дополнительные шаги для разложения функции.

  • Для рациональной функции [latex] R (x) = \ frac {f (x)} {g (x)} [/ latex], если степень [latex] f (x) [/ latex] больше, чем или равна степени [latex] g (x) [/ latex], функция не может быть разложена прямым способом. Необходимо выполнить евклидово деление [латекса] f [/ latex] на [latex] g [/ latex] с использованием полиномиального деления в столбик, в результате чего [latex] f (x) = E (X) g (x) + h (x) [/ латекс].Разделив на [латекс] g (x) [/ latex], получим [латекс] \ frac {f (x)} {g (x)} = E (x) + \ frac {h (x)} {g (x )} [/ latex], который затем можно выполнить разложение на [latex] \ frac {h (x)} {g (x)} [/ latex].

  Ноль в числителе простых дробей

  Правило 2: Ноль в числителе простых дробей

  Числитель может принимать значение нуля в
  доля. Любая разрешенная дробь (знаменатель не равен нулю) с
  числитель, равный нулю, имеет общее значение ноль.

  Это означает, что у всех есть дробь
  значение ноль, потому что числители равны нулю.

  Пример 1: Найдите
  числитель, знаменатель, символ деления и значение для простого
  доля .

  Ответ. В числителе 0, в знаменателе 9,
  символ деления -, а значение дроби — 0, потому что
  значение числителя равно нулю.

  Пример 2: Найдите числитель, знаменатель, деление
  символ и значение для простой дроби.

  Ответ. В числителе 0, в знаменателе -11,
  символ деления -, а значение дроби — 0, потому что
  значение числителя равно нулю.

  Пример 3: Найдите числитель, знаменатель, деление
  символ и значение для простой дроби.

  Ответ. Не является допустимой дробью, без значения, потому что знаменатель
  не может иметь нулевое значение. (См. Правило 1).

  Решите следующие задачи и нажмите
  на ответ, чтобы проверить свои результаты.

  Задача 1: Напишите числитель,
  знаменатель и символ деления простой дроби.

  Ответ

  Задача 2: Напишите числитель, знаменатель и символ деления.
  для простой дроби.

  Ответ

  Задача 3: Напишите числитель, знаменатель и
  символ деления простой дроби.

  Ответ

  Задача 4: Запишите числитель, знаменатель и символ деления.
  для простой дроби.

  Ответ

  Меню Назад к идентификации
  Простые дроби

  Домашняя страница S.O.S MATHematics

  Вам нужна дополнительная помощь? Пожалуйста, разместите свой вопрос на нашем

  S.O.S. Математика CyberBoard.

  Автор: Нэнси
  Маркус
  

  Авторские права 1999-2021 MathMedics, LLC. Все права защищены.
  
  Свяжитесь с нами
  
  Math Medics, LLC. — П.О. Box 12395 — El Paso TX 79913 — США
  
  пользователей онлайн за последний час

  3.5 — Рациональные функции и асимптоты

  3.5 — Рациональные функции и асимптоты

  Рациональная функция — это функция, которая
  можно записать как отношение двух
  многочлены, где знаменатель
  не ноль.

  f (x) = p (x) / q (x)

  Домен

  Область определения рациональной функции — это все действительные значения, кроме знаменателя q (x) = 0.

  Корни

  Корни, нули, решения, пересечения по оси x (как хотите их называть) рациональной функции.
  будут места, где p (x) = 0. То есть полностью игнорировать знаменатель.Что бы ни делало
  нулевой числитель будет корнями рациональной функции, точно так же, как они были корнями
  полиномиальная функция ранее.

  Если вы можете записать его в факторизованной форме, то вы можете сказать, будет ли он пересекать или касаться оси x в
  каждое пересечение по x зависит от того, является ли кратность множителя нечетной или четной.

  Вертикальные асимптоты

  Асимптота — это линия, к которой кривая приближается, но не пересекает. Уравнения вертикали
  асимптоты можно найти, найдя корни q (x).Полностью игнорируйте числитель, когда
  при поиске вертикальных асимптот имеет значение только знаменатель.

  Если вы можете записать его в факторизованной форме, то вы можете сказать, будет ли граф асимптотическим в
  в том же направлении или в разных направлениях, в зависимости от того, является ли множественность четной или нечетной.

  Асимптотика в одном направлении означает, что кривая будет идти вверх или вниз как слева, так и
  правые части вертикальной асимптоты. Асимптотика в разные стороны означает, что одна сторона
  кривой будет идти вниз, а другая сторона кривой будет идти вверх на вертикальной асимптоте.

  Горизонтальные асимптоты

  Горизонтальная линия — это асимптота только в крайнем левом и крайнем правом углу
  график. «Дальний» левый или
  «крайнее правое» определяется как что-либо за вертикальными асимптотами или пересечениями по оси x.
  Горизонтальные асимптоты не асимптотичны в середине. Это нормально пересечь
  горизонтальная асимптота в
  середина.

  Местоположение горизонтальной асимптоты определяется, глядя на степени
  числитель (n) и знаменатель (m).

  • Если n
  • Если n = m, то y = a _n / b _m — горизонтальная асимптота. То есть соотношение ведущих
    коэффициенты.
  • Если n> m, горизонтальная асимптота отсутствует. Однако, если n = m + 1, имеется наклонный или наклонный
    асимптота.

  Отверстия

  Иногда множитель появляется в числителе и знаменателе. Предположим, что
  коэффициент (x-k) находится в числителе и знаменателе. Поскольку множитель стоит в знаменателе, x = k
  не будет в домене функции.Это означает, что может произойти одно из двух. Там
  будет либо вертикальная асимптота при x = k, либо будет дыра при x = k.

  Давайте посмотрим, что будет в каждом из этих случаев.

  • В знаменателе больше (x-k) множителей. После разделения всех повторяющихся факторов
    (x-k) по-прежнему в знаменателе. Множители в знаменателе дают вертикальные асимптоты.
    Следовательно, будет вертикальная асимптота при x = k.
  • В числителе больше (x-k) множителей.После разделения всех повторяющихся факторов
    (x-k) все еще стоит в числителе. Множители в числителе дают пересечение по оси x. Но потому что
    нельзя использовать x = k, на графике по оси x будет дыра.
  • В числителе и знаменателе одинаковое количество множителей (x-k). После разделения
    из всех факторов (потому что есть равные количества), не остается (x-k) вообще. Потому что там
    нет (x-k) в знаменателе, нет вертикальной асимптоты при x = k. Потому что нет (х-к)
    в числителе нет точки пересечения с x при x = k.На графике просто дыра, где-то
    кроме оси абсцисс. Чтобы найти точное местоположение, подставьте x = k в сокращенную функцию
    (вы не можете подключить его к оригиналу, он там undefined) и посмотрите, какое значение y вы получите.

  Косые асимптоты

  Когда степень числителя ровно на единицу больше степени знаменателя,
  график рациональной функции будет иметь наклонную асимптоту. Другое название косой
  асимптота — наклонная асимптота.

  Чтобы найти уравнение наклонной асимптоты, выполните деление в столбик (синтетическое, если оно работает) на
  деление знаменателя на числитель. Поскольку x становится очень большим (это крайний левый или крайний правый
  о чем я говорил) остальная часть становится совсем маленькой, почти нулевой. Итак, чтобы найти
  уравнение наклонной асимптоты, выполнить деление в длину и отбросить остаток.

  рациональных выражений: поиск области

  Рациональный
  Выражения: поиск домена (стр.
  1 из 3)

  Разделы: Поиск
  область, Упрощение рациональных выражений

  ---

  «Рациональное выражение»
  является полиномиальной дробью, и все, что вы могли бы сделать с обычными дробями
  можно обойтись рациональными выражениями.Однако, поскольку есть переменные
  в рациональных выражениях есть некоторые дополнительные соображения.

  Когда вы имели дело с дробями,
  вы знали, что в числителе дроби могут быть любые целые числа
  и знаменатель, если вы не пытались разделить на ноль. Когда имеешь дело
  с рациональными выражениями вам часто нужно будет вычислять выражение,
  и может быть полезно знать, какие значения вызовут деление на ноль,
  так что вы можете избежать этих значений x .Так
  вероятно, первое, что вы сделаете с рациональными выражениями, — это найдите их области.

  • Найдите домен
    ³ / _x .

  Домен все значения
  что x разрешено быть. Поскольку я не могу делить на ноль (деление на ноль не
  разрешено), мне нужно найти все значения x , которые вызовут деление на ноль.Тогда в домене будут все других значений x .
  Когда этот знаменатель равен нулю? Когда x = 0,

  Тогда домен «все x не равны нулю» .

  • Определить домен
    из ^x / ₃ .

    Авторские права
    © Элизабет Стапель 2003-2011 Все права защищены

  Домену все равно
  что находится в числителе рационального выражения.Домен только
  под влиянием нулей знаменателя. Будет «3»
  когда-либо равняется нулю? Конечно нет. Поскольку знаменатель никогда не будет равен
  ноль, независимо от того, какое значение x , то для этого рационального выражения нет запрещенных значений,
  а x может быть любым. Таким образом, домен «все x » .

  • Отдать домен
    следующее выражение:

  Чтобы найти домен, я
  игнорируйте « x + 2″ в
  числитель (так как числитель не вызывает деления на ноль) и
  вместо этого я посмотрю на знаменатель.Я установлю знаменатель равным
  к нулю и решите. x -значения
  в решении будут значения x
  что приведет к делению на ноль. Тогда домен будет иметь все остальные значения x .

  x ² + 2 x — 15 = 0
  ( x + 5) ( x — 3) = 0
  x = –5, x = 3

  По факторингу
  квадратичный,
  Я нашел нули знаменателя.Тогда доменом будут все остальные x -значения:
  
  • Найдите домен
    следующее выражение:

  Чтобы найти домен, я
  найти нули знаменателя:

  Это не имеет решения,
  так что знаменатель никогда не равен нулю.Тогда домен «все x » .

  Вверх | 1 | 2 | 3 | Вернуться к указателю Далее >>

  Цитируйте эту статью как:

  Стапель, Елизавета. «Рациональные выражения: поиск предметной области». Пурпурная математика . Доступна с https: // www.purplemath.com/modules/rtnldefs.htm . Доступ [Дата] [Месяц] 2016

  Поиск корней — Бесплатная справка по математике

  Что такое «рут»?

  Корень — это значение, для которого заданная функция равна нулю. Когда эта функция отображается на графике, корнями являются точки, в которых функция пересекает ось x.

  Для функции \ (f (x) \) корнями являются значения x, для которых \ (f (x) = 0 \).Например, с функцией \ (f (x) = 2-x \) единственный корень будет \ (x = 2 \), потому что это значение дает \ (f (x) = 0 \).

  Конечно, легко найти корни такой тривиальной проблемы, но как насчет чего-то безумного вроде этого:

  $$ f (x) = \ frac {(2x-3) (x + 3)} {x (x-2)} $$

  Шаги по поиску корней рациональных функций

  1. Установите каждый множитель в числителе равным нулю.

  2. Решите этот множитель относительно x.

  3. Проверьте множители знаменателя, чтобы убедиться, что вы не делите на ноль!

  Коэффициенты числителя

  Помните, что коэффициент — это что-то умножаемое или делимое, например \ ((2x-3) \) в приведенном выше примере. Итак, два множителя в числителе — это \ ((2x-3) \) и \ ((x + 3) \). Если или из этих факторов могут быть равны нулю, тогда вся функция будет равна нулю. Не имеет значения (ну, есть исключение), что говорит остальная часть функции, потому что вы умножаете на член, равный нулю.

  Итак, суть в том, чтобы выяснить, как сделать числитель нулевым, и вы нашли свои корни (также известные как нули по понятным причинам!). В этом примере у нас есть два множителя в числителе, поэтому любой из них может быть равен нулю. Давайте установим их (по отдельности) равными нулю, а затем решим для значений x:

  $$ 2x — 3 = 0 $$
  $$ 2x = 3 $$
  $$ x = \ frac {3} {2} $$

  И

  $$ x + 3 = 0 $$
  $$ x = -3 $$

  Итак, \ (x = \ frac {3} {2} \) и \ (x = -3 \) становятся нашими корнями для этой функции. Они также являются пересечениями по оси x при нанесении на график, потому что y будет равно 0, когда x равен 3/2 или -3.

  Факторы знаменателя

  Как и в числителе, знаменатели умножаются на два множителя. Это \ (x \) и \ (x-2 \). Приравняем их к нулю и решим:

  $$ x = 0 $$

  И

  $$ x — 2 = 0 $$
  $$ x = 2 $$

  Это , а не корней этой функции. Посмотрите, что происходит, когда мы подставляем 0 или 2 для x. В знаменателе получаем ноль, что означает деление на ноль. Это означает, что на данный момент функции не существует.Фактически, x = 0 и x = 2 становятся нашими вертикальными асимптотами (нулями в знаменателе). Итак, существует вертикальная асимптота при x = 0 и x = 2 для указанной выше функции.

  Вот геометрическое изображение того, как выглядит приведенная выше функция, включая ОБА x-пересечения и ОБЕИ вертикальные асимптоты:

  Сводка

  Корни функции — это значения x, для которых функция равна нулю. Их также называют нулями. Когда дана рациональная функция, обнулить числитель путем обнуления факторов по отдельности.Убедитесь, что ваши нули не превращают знаменатель в нуль, потому что тогда у вас будет не корень, а вертикальная асимптота.

  Найдите корни данного уравнения ниже:

  MathScene — Пределы — Урок 1

  MathScene — Пределы — Урок 1

  2008 Rasmus ehf og Jhann sak

  
  
  Урок 1

  .

  Пределы и функции, определенные интервалом

  ---

  Что происходит со значением функции как x
  становится бесконечно большим? Неужели функция тоже становится бесконечно большой? Делает
  он достигает максимума или минимума? Что на самом деле происходит? Это то, что мы собираемся
  для размышления в следующем тексте.

  Мы знаем, что не можем
  делим на ноль, но что произойдет, если мы разделим на число, очень близкое к нулю?
  Мы увидим, что иногда график
  функция идет вверх или вниз почти перпендикулярно около этой точки, а иногда
  график не может пройти через точку, оставив бесконечно малую дыру.

  Математика использует
  концепция пределов для рассмотрения проблем такого рода.

  Посмотрите на функцию

  Калькулятор Casio, кажется, рисует прямую
  линии, когда вас попросят построить график этой функции (см. диаграмму).Если вы выберете большой
  масштаб, например INIT в V-Window, вы можете заметить крошечный разрыв на графике, когда
  x = 1. Это потому, что, когда x = 1, мы делим на ноль, и функция
  не определено в этом пункте. Область определения функции — D _f = R \ {1}.

  А теперь попробуем отработать
  что происходит как
  x приближается к 1.
  Математически это записывается следующим образом:

  Лим — это аббревиатура от латинского слова «лаймы».
  что означает предел.Приведенное выше обозначение означает значение, до которого функция
  стремится по мере приближения x к 1.

  Мы можем использовать алгебру, чтобы упростить функцию
  но не следует упускать из виду исходную функцию и проблему деления на
  нуль.

  Теперь у нас больше нет
  проблема деления на ноль, поэтому мы можем поместить значение x = 1 в выражение (
  вычислитьf (1)).

  = 1 + 1 = 2

  Это показывает нам, что
  функция

  стремится к значению 2, когда x стремится к 1.

  На графике f (x) действительно есть дыра, где x = 1 (см. График) Мы можем заполнить эту дыру, если определим непрерывная функция с тем же алгебраическим выражением, но с добавлением значения что функция может принимать при x = 1. Эта новая функция g (x) определена следующим образом:

  Таким образом получаем показанный непрерывный график .

  Функции, которые определены таким образом с дополнительными
  чем одно выражение, в зависимости от значений, которые принимает x, называются
  интервальные определенные функции.

  ---

  Пример 1

  Найдите значение

  В этом случае нет
  проблема деления на ноль, поэтому мы можем поместить число 2 в выражение
  вместо x.

  2 ³
  2 ² = 8 4 = 4

  Функция f (x) = x ³
  x ² становится все ближе и ближе к 4 по мере того, как x становится все ближе и ближе
  к 2.

  ---

  Пример 2

  Находить
  Лимит

  В этом случае мы не можем дать
  x значение 3, так как это будет означать деление на ноль. Однако мы можем факторизовать
  выражение в числителе и исключить множитель x 3

  Положите значение 3 дюйма для x.

  ---

  Пример 3

  Найдите предел

  Теперь мы не можем упростить
  выражение, поэтому мы пытаемся найти решение, подставляя значения x, близкие к
  1.Мы выбираем значения как немного больше, так и немного меньше 1.

  См. Следующую таблицу значений.

  График состоит из двух частей.
  с вертикальной асимптотой по x = 1.

  Давайте посмотрим, что происходит
  когда x приближается к значению 1. Из графика видно, что мы должны
  рассматривать отдельно значения выше и ниже x = 1.2 / (D11). Обе формулы
  скопировал.

  Мы видим, что когда x равно
  меньше 1, то есть когда x приближается к значению 1 слева (слева от
  число 1 на оси x) значения
  f (x) (столбец B) все ближе и ближе к ∞. Когда x больше
  чем 1, который приближается к 1 справа, функция f (x) стремится к + ∞.
  Конечно, бесконечности не существует, как бы большое число вы ни вообразили.
  всегда существует еще больший.

  Рисуем следующие
  вывод:

  Предел

  не существует.

  ---

  Снидми 4

  Учтите предел.

  Мы не можем ввести значения x
  которые меньше нуля, потому что квадратный корень отрицательного числа не
  существовать.
  В этих условиях мы можем говорить только о пределе справа, то есть
  когда x больше 0.

  Следующие обозначения
  используемый:

  The +
  Знак показывает, что x приближается к 0 справа (x> 0).

  Калькулятор CASIO
  показывает следующий график:

  График спускается с
  ось y, а затем идет вправо по оси x. Ни x, ни f (x) не принимают
  отрицательные значения. Для малых значений x значения y большие
  и для больших значений x значения y малы.Очевидно, что f (x) стремится к
  бесконечность, когда x стремится к нулю, поэтому
  не существует.

  ---

  Пример 5

  Находить
  если он существует.

  Не очевидно, как мы можем
  отменить это выражение, но тот факт, что значение x = 1 делает как
  числитель и нулевой знаменатель говорят нам, что факторизация возможна.
  Использование правила (a b) (a + b) = a ² b ² дает
  следующий.

  Чтобы найти предел функции f (x), когда x стремится к a, существует три различные ситуации, которые могут возникнуть: 1. Вычисляем f (a) (a подставляется в выражение вместо x). 2. Если числитель и знаменатель f (x) равен нулю, когда x = a, тогда f (x) может быть факторизован и упрощается за счет отмены.Затем, если возможно, вычисляется f (a). 3. Если, когда x = a, знаменатель равен нулю, а числитель не равен ноль, то предел не существует.

  ---

  Пример 6

  Рассмотрим следующий интервал определенная функция: График показан здесь. Прямая y = x + 3 заканчивается точкой (1, 4) (не доходя до точки).Линия y = x + 1 начинается в точке (1, 2) (включая эту точку, которая показана на графике сплошной точкой)

  В этом примере предел f (x)
  поскольку x стремится к 1, не существует, поскольку это зависит от того, больше ли x или
  менее 1.

  и

  Говорят, что функция f (x) быть непрерывным в точке (a, f (a)), если оно существует в интервале около x = a и Если это верно для всех значений x в области определения f (x), то мы говорим, что функция непрерывный. И наоборот, если функция непрерывна, то она непрерывна в каждом точка своего домена.

  Теперь посмотрим на пределы
  когда x стремится к
  + или бесконечность.

  Это не проблема
  при рассмотрении полиномиальных функций. Поскольку x стремится к бесконечности (+ или),
  функция также стремится к бесконечности. Будет ли это + или бесконечность, зависит
  на срок с наибольшей мощностью.
  Ни логарифм
  функции, экспоненциальные функции или функции квадратного корня представляют любые
  проблема.

  Это другое дело
  однако с рациональными функциями
  (функции в виде f (x) / g (x)).

  При рассмотрении

  нам нужно посмотреть, числитель или знаменатель увеличивает
  быстрее.

  Если числитель, f (x),
  увеличивается быстрее, чем x стремится к бесконечности, тогда предел не существует, но
  стремится к + или бесконечности.

  Однако, если знаменатель g (x) увеличится больше
  быстро, то ограничение, вероятно, будет стремиться к определенному значению.

  ---

  Пример 7

  А теперь давайте посмотрим на некоторые
  примеры, где x стремится к бесконечности.

  а)

  Здесь знаменатель стремится к бесконечности, а числитель
  не меняется. Когда мы делим на число, которое становится все больше и больше,
  результат становится меньше и
  меньшее стремится к нулю. Так что предел равен нулю.

  ---

  б)

  Здесь знаменатель
  увеличивается быстрее, чем числитель, поэтому дробь становится меньше и
  меньшее стремится к нулю.

  ---

  в)

  Это противоположно пункту b).
  Числитель увеличивается быстрее, а результат становится все больше и больше.
  стремится к бесконечности. Мы говорим, что предела не существует.
  (NB. В некоторых текстах предел называется бесконечностью).

  ---

  г)

  В этом примере
  знаменатель имеет более высокую степень, чем числитель, и поэтому увеличивает больше
  быстро.Дробь стремится к нулю, поэтому

  0, если g (x) увеличивается быстрее, чем f (x) . Это произойдет, если для Например, степень знаменателя g (x) больше, чем степень числителя f (x).

  ---

  Пример 8

  Находить .

  Что происходит, когда
  числитель и знаменатель — многочлены одной степени? Оба увеличивают
  одинаково быстро. Если мы разделим все на наивысшую степень x (в
  этот чехол x ² )
  мы можем найти решение.

  Поскольку x стремится к бесконечности, два
  члены в числителе x / x ² и 2 / x ² стремятся к нулю, оставляя
  us с 1 в числителе и 2 в знаменателе.Таким образом, результат:

  Проблемы с пределами рациональных функций, где числитель и знаменатель — многочлены одинаковой степени, могут быть решается делением всего на наивысшую степень x.

  ---

  Попрактикуйтесь в этих методах, затем возьмите
  тест 1 по пределам.

  шт. не забудьте заполнить свой
  контрольный список.

  Многочлен числителя — обзор

  Опять же, многочлены числителя и знаменателя выражаются в терминах кратких производных. Полный список латеральных алгебраических передаточных функций в этой форме приведен в Приложении 3.

  Пример 5.6

  Этот пример иллюстрирует использование метода пространства состояний для получения матрицы латерально-направленной передаточной функции.Данные для Lockheed C-5A были получены от Heffley and Jewell (1972). Данные относятся к условиям полета на высоте 20 000 футов и числу Маха 0,6 и относятся к осям корпуса самолета. Хотя данные даны в американских имперских единицах, они преобразованы в единицы СИ просто для иллюстрации. Нормализованные производные были получены на основе данных, при этом было уделено особое внимание обеспечению правильности единиц измерения. Здесь перечислены производные, и, как и в предыдущих примерах, отсутствующие производные считаются незначительными и приравниваются к нулю.

  yv = −0,10601 / slv = −0,00701 / m / snv = 0,00231 / m / syp = 0lp = −0,98801 / snp = −0,09211 / syr = −189,586m / slr = 0,28201 / snr = −0,20301 / syϕ = 9.8073 м / с2lϕ = 0nϕ = 0yψ = 0,3768 м / с2lψ = 0nψ = 0yξ = −0,0178 м / с2lξ = 0,43401 / с2nξ = 0,03431 / с2yζ = 3,3936 м / с2lζ = 0,18701 / с2nζ = −0,52201 / с2

  в боковом направлении Уравнение состояния получается путем подстановки производных значений в уравнение (4.69):

  (5.58) [v˙p˙r˙ϕ˙ψ˙] = [- 0.1060−189.5869.80730.3768−0.007−0.9880.282000.0023−0.0921−0.203000100000100 ] [vprϕψ] + [- 0,01783.39360.4340.1870.0343−0.5220000] [ξζ]

  Полное уравнение вывода:

  (5.59) [vprϕψ] = [1000001000001000001000001] [vprϕψ] + [0000000000] [ξζ]

  Матрица передаточной функции была рассчитана с использованием Программа CC . Матрицы A, , B , C, и D вводятся в программу, и вызывается команда для поиска матрицы передаточной функции. Распечатка результата дает следующее:

  (5.60) G (s) = 1Δ (s) N (s)

  , где уравнение (5.60) является сокращенной версией уравнения (5.57) и

  (5.61) N (s) = [- 0,018 с (с + 0,15) (с − 0,98) (с + 367,35) 3,394 с (с − 0,012) (с + 1,05) (с + 2,31) 0,434 с (с − 0,002) (с2 + 0,33 с + 0,57) 0,187 с (с − 0,002) (с + 1,55) (с − 2,16) 0,343 с (с + 0,69) (с2−0,77) с + 0,51) -0,522 с (с + 1,08) (с2 + 0,031 с + 0,056) 0,434 (с-0,002) (с2 + 0,33 с + 0,57) 0,187 (с-0,002) (с + 1,55) (с-2,16) 0,343 (s + 0,69) (s2−0,77s + 0,51) −0,522 (s + 1,08) (s2 + 0,031s + 0,056)]

  Общий знаменатель, поперечный характеристический многочлен, равен

  (5,62) Δ (s ) = s (s + 0,01) (s + 1,11) (s2 + 0,18 s + 0.58)

  Характеристический многочлен поперечного направления делится на три действительных корня и комплексную пару корней. Его корни или полюса обеспечивают полное описание характеристик поперечной устойчивости самолета. Нулевой корень указывает на нейтральную устойчивость по рысканью, первый ненулевой действительный корень описывает режим спирали , второй действительный корень описывает режим оседания крена , а комплексная пара корней описывает режим колебательного голландского крена .

  Очень важно запомнить единицы передаточных функций, составляющих матрицу передаточной функции, которые составляют

  (5.63) единиц G (s) = 1Δ (s) [Nξv (s) Nζv (s) Nξp (s) Nζp (с) Nξr (с) Nζr (с) Nξϕ (с) Nζϕ (с) Nξψ (с) Nζψ (с)] = [м / с / радм / с / радрад / с / радрад / с / радрад / с / радрад / с / радрад / радрад / рад / рад / рад]

  Таким образом, интересующие передаточные функции могут быть получены путем анализа уравнения (5.61) вместе с уравнением (5.62). Например, передаточная функция, описывающая реакцию руля направления на скорость бокового скольжения, задается как

  (5.64) v (s) ζ (s) = Nζv (s) Δ (s) = 3,394 (s − 0,012) (s + 1,05) (s + 29,31) (s + 0,01) (s + 1,11) (s2 + 0,18 s + 0,58) м / с / рад

  Сравнение этих результатов с результатами исходного исходного материала в Heffley and Jewell (1972) обнаруживает ряд небольших численных расхождений. Отчасти это связано с числовым округлением, используемым для сохранения разумного размера этой иллюстрации, а отчасти с различиями в вычислительных алгоритмах, используемых для получения решений.