Однородные показательные уравнения примеры: Однородные показательные уравнения | Логарифмы

{2}}x=0\).

Содержание

Показательные уравнения, формулы и примеры

Простейшие показательные уравнения

   

В зависимости от знака такое уравнение имеет различное количество корней:

  1. если , то уравнение (1) решений не имеет, то есть

       


  2. если , то

       

Уравнения вида

  1. Если .
  2. Если .

Уравнения вида

   

Уравнения такого типа равносильны уравнению

   

Уравнения вида

  1. Если , то обе части такого уравнения равны для любых .
  2. Если , то уравнение эквивалентно уравнению .
  3. В случае, если , то уравнение эквивалентно системе

Решение показательных уравнений сведением к общему основанию

Если левая и правая части заданного показательного уравнения содержат только произведения, частные, корни или степени, то рациональнее при помощи основных формул для степеней привести обе части равенства к одному основанию, то есть к уравнению вида (2).

Решение показательных уравнений вынесением общего множителя

Если показательное уравнение содержит выражение вида , причем показатели степени отличаются только свободным коэффициентом, то для решения необходимо вынести за скобки наименьшую степень .

Приведение показательных уравнений к квадратным

К показательным уравнениям, которые можно привести к квадратным, относятся следующие уравнения.

   

где — некоторые числа, .

В этом случае выполняется замена

   

   

где — некоторые ненулевые числа, причем , — произвольное действительное число. Для сведения к квадратному обе части уравнения необходимо умножить на :

   

Далее заменой получаем квадратное уравнение

   

Однородные показательные уравнения

Делением обеих его частей на (или ), сводим уравнение к показательному вида :

   

Схема решения таких уравнений следующая:

1) Делим обе части уравнения или на , или на , в результате получаем:

   

или

;

2) заменой последнее уравнение сводится к квадратному:

   

Показательные уравнения | Материалы для подготовки к ЕГЭ по математике ЕГЭ-Студия

Рассмотрим уравнение 2x = 8. В какую степень надо возвести 2, чтобы получить 8? Ясно, что в степень 3.

Более того, x = 3 — единственное решение данного уравнения. Почему? Это легко понять, посмотрев на график показательной функции y = 2x: данная функция монотонно возрастает и потому каждое своё значение принимает ровно один раз. Иными словами, не существует других
значений x, кроме 3, таких, что 2x = 8.

Простейшее показательное уравнение — это уравнение вида

где a > 1 или 0 < a < 1.

Если b > 0, то уравнение (1) имеет решение, и притом единственное. Действительно, при a > 1 показательная функция монотонно возрастает, а при 0 < a < 1 — монотонно убывает; в любом случае она принимает каждое своё значение ровно один раз.

А вот если b ⩽ 0, то уравнение (1) не имеет решений: ведь показательная функция может принимать только положительные значения.

Любое показательное уравнение после соответствующих преобразований сводится к решению одного или нескольких простейших.

В задачах достаточно представить левую и правую части в виде степеней с одинаковым основанием.

1.

Вспоминаем, что 125 = 53. Уравнение приобретает вид: 5x−7 = 5−3

В силу монотонности показательной функции показатели степени равны: x − 7 = −3, откуда x = 4.

2.
Поскольку  , уравнение можно записать в виде:

Дальнейшее ясно:

Теперь рассмотрим более сложные уравнения.

3.

Здесь лучше всего вынести за скобку двойку в наименьшей степени:

4.

Делаем замену

Тогда   и относительно t мы получаем квадратное уравнение: Его корни: и

В первом случае имеем: откуда

Во втором случае: решений нет.

Ответ: 3.

5.

Замечаем, что а :

Делим обе части на положительную величину :

Делаем замену
Полученное квадратное уравнение имеет корни −1 и  .

В случае
решений нет.

В случае

имеем единственный корень

Ответ:

Вообще, показательные уравнения вида

называются однородными. Для них существует стандартный приём решения — деление обеих частей на  (эта величина не равна нулю, так как показательная функция может принимать только положительные значения). Именно этим приёмом мы в данной задаче и воспользовались.

С однородными уравнениями, кстати, мы уже встречались — в тригонометрии. Это были уравнения вида
Их мы решали похожим приёмом — делением на

Решение показательных уравнений

Цели и задачи урока:

  1. Знать определение показательного уравнения, определение однородного
    показательного уравнения второй степени.
  2. Уметь решать показательные уравнения, применяя различные способы.
  3. Развивать и совершенствовать умения применять имеющиеся у учащихся
    знания в изменяемой ситуации.
  4. Воспитывать у учащихся аккуратность, культуру поведения, чувство
    ответственности.

Тип урока: комбинированный.

Оборудование урока:

  • доска, компьютер, экран, мультимедийный проектор;
  • тетради, чистые листы для самостоятельной работы.

План урока:

  1. Организационный момент.
  2. Проверка домашнего задания.
  3. Подготовка учащихся к активному и сознательному усвоению нового
    материала.
  4. Усвоение новых знаний.
  5. Проверка понимания учащимися нового материала.
  6. Закрепление нового материала.
  7. Информация учащихся о домашнем задании.
  8. Итог урока.

Ход урока

I. Организационный момент.

Задача: подготовить учащихся к работе на уроке.

II. Проверка домашнего задания.

Задачи: установить правильность и осознанность выполнения всеми
учащимися домашнего задания; установить пробелы в знаниях; совершенствовать
знания, умения и навыки в области решения показательных уравнений.

1. На экране высвечивается правильное решение домашнего задания. Ученики
проверяют правильность выполнения своего решения, исправляют ошибки, задают
вопросы, оценивают свое решение.

2. Всему классу предлагается устный диктант.

А) Вычислите: 25; 34; 53;
;
; 2150.

Б) Назвать степень числа: а) 32; б) 27; в) 625; г) 343; д) 243.

В)Какие уравнения называются показательными?

Г) Решите уравнения:

а) 2х = 2;

б) 3х+1 = 9;

в) 4х-3 = 1;

г) 2х = 3х.

III. Подготовка учащихся к активному и сознательному усвоению нового
материала.

Задача: с помощью создания проблемой ситуации подвести учащихся к
новому виду показательных уравнений.

Учитель обращает внимание учеников на экран. На экране показательные
уравнения. Ученикам предлагается выписать уравнения по группам.

  1. Уравнения, решаемые переходом к одному основанию.
  2. Уравнения, решаемые разложением на множители.
  3. Уравнения, приводимые к квадратным.

Предлагаемые уравнения:

1) 2х+1 + 2х-1 + 2х = 28;

2) 25х – 6*5х + 5 = 0;

3) 6*4х – 13*6х + 6*9х = 0;

4) 2 – 6*2х + 8 = 0;

5) 24х-1 + 24х-2 – 24х-3 = 160;

6) 0,2х+0,5 = 5*0,04х;

7) 72х+1 + 72х+2 + 72х+3 = 57;

8) 0,44-5х = 0,16.

В ходе обсуждения оказалось, что только уравнение под номером 3 учащиеся не
отнесли ни в одну из групп.

IV. Усвоение новых знаний.

Задачи: ввести понятие однородных показательных уравнений второй
степени, познакомить учащихся со способом их решения, добиться умения определять
вид однородных уравнений, отработать навыки их решения.

Учитель дает определение однородных показательных уравнений второй степени и
показывает алгоритм решения таких уравнений.

А*a + В*aх*bх + С*b = 0

1. Так как b2x 0, то
разделим обе части уравнения на b2x, имеем

A* + B*
+ C = 0

2. Введем новую переменную
= t, получим
квадратное уравнение At2 + Bt + C = 0

3. Находим корни квадратного уравнения и выполняем обратную замену.

4. Решаем полученные показательные уравнения.

5. Записываем ответ.

По данному алгоритму ученики вместе с учителем решают уравнение под номером
3.

V. Проверка понимания учащимися нового материала.

Задача: установить, усвоили ли учащиеся способ решения нового вида
уравнений.

На экране появляются уравнения. Ученикам предлагается назвать их вид и способ
решения.

Предлагаемые уравнения:

1) 2*2 – 3*10х – 5*5 = 0;

2) 32х+1 – 4*21х – 7*7 = 0;

3) 5*3 + 7*15х – 6*25х = 0;

4) 3*49х – 2*14х = 2.

VI. Закрепление нового материала.

Задачи: закрепить у учащихся знания и умения, которые они получили на уроке.

К доске вызываются два ученика, они решают уравнения под номерами один и два.
В случае затруднения еще раз повторяют алгоритм решения однородных показательных
уравнений.

Самостоятельная работа. 1 вариант решает уравнение под номером три, второй
вариант – под номером четыре.

Для проверки работы ученики обмениваются листами, на экране появляется
правильное решение. Ученики оценивают работу соседа.

VII. Информация учащихся о домашнем задании.

  1. Повторить свойства показательной функции.
  2. Повторить все изученные способы решения показательных уравнений.
  3. Решить уравнения, которые ученики выписывали по группам на уроке.

VIII. Итог урока.

Решение показательных уравнений. Видеоуроки

В этой статье вы познакомитесь со всеми типами показательных уравнений и алгоритмами их решения, научитесь  распознавать, к какому типу принадлежит показательное уравнение, которое вам надо решить, и применять для его решения соответствующий метод.   Подробное решение примеров показательных уравнений каждого типа вы сможете посмотреть в соответствующих ВИДЕОУРОКАХ.

Показательным уравнением называется уравнение, в котором неизвестное содержится в показателе степени.

Прежде чем начать решать показательное уравнение, полезно сделать несколько предварительных действий, которые могут значительно облегчить ход его решения.   Вот эти действия:

1. Разложите все основания степеней на простые множители.

2. Корни представьте в виде степени.

3. Десятичные дроби представьте в виде обыкновенных.

4. Смешанные числа запишите в виде неправильных дробей.

 

Пользу этих действий вы осознаете в процессе решения уравнений.

Рассмотрим основные типы показательных уравнений и алгоритмы их решения.

1. Уравнение вида

Это уравнение равносильно уравнению  

Посмотрите в этом ВИДЕОУРОКЕ решение уравнения  этого типа.

 

 

2. Уравнение вида

В уравнениях этого типа:

а) все степени имеют одинаковые основания

б) коэффициенты при неизвестном в показателе степени равны.

Чтобы решить это уравнение, нужно вынести за скобку множитель в наименьшей степени.

Пример решения уравнения этого типа:

посмотрите в ВИДЕОУРОКЕ.

 

3. Уравнение вида

Уравнения этого типа отличаются тем, что

а) все степени имеют одинаковые основания

б) коэффициенты при неизвестном в показателе степени разные.

Уравнения такого типа решаются с помощью замены переменных. Прежде чем вводить замену, желательно  освободиться от свободных членов в показателе степени. (, , и т.д)

Посмотрите  в ВИДЕОУРОКЕ решение уравнения этого типа:

 

4. Однородные уравнения вида

Отличительные признаки однородных уравнений:

а) все одночлены имеют одинаковую степень,

б) свободный член равен нулю,

в) в уравнении присутствуют степени с двумя различными основаниями.

Однородные уравнения решаются по сходному алгоритму.

Чтобы решить уравнение такого типа, разделим обе части уравнения на  (можно разделить на  или на )

Внимание! При делении правой и левой части уравнения на выражение, содержащее неизвестное, можно потерять корни. Поэтому необходимо проверить, не являются ли корни того выражения, на которое мы делим обе части уравнения, корнями исходного уравнения.

В нашем случае, поскольку выражение не равно нулю ни при каких значениях неизвестного, мы можем делить на него без опаски. Разделим  левую часть уравнения на это выражение почленно. Получим:

Сократим числитель и знаменатель второй и третьей дроби:

Введем замену:

, причем при всех допустимых значениях неизвестного.

Получим квадратное уравнение:

Решим квадратное уравнение, найдем значения , которые удовлетворяют условию , а затем вернемся к исходному неизвестному.

Смотрите в ВИДЕОУРОКЕ подробное решение  однородного уравнения:

5. Уравнение вида

При решении этого уравнения будем исходить из того, что 

Исходное равенство выполняется   в двух случаях:

1. Если , поскольку 1 в любой степени равна 1,

или

2. При выполнении двух условий:

Посмотрите в ВИДЕОУРОКЕ подробное решение уравнения