{2}}x=0\).

Показательные уравнения, формулы и примеры

Простейшие показательные уравнения

В зависимости от знака такое уравнение имеет различное количество корней:

1. если , то уравнение (1) решений не имеет, то есть
   

      




2. если , то
   

      

Уравнения вида

1. Если .
2. Если .

Уравнения вида

Уравнения такого типа равносильны уравнению

Уравнения вида

1. Если , то обе части такого уравнения равны для любых .
2. Если , то уравнение эквивалентно уравнению .
3. В случае, если , то уравнение эквивалентно системе

Решение показательных уравнений сведением к общему основанию

Если левая и правая части заданного показательного уравнения содержат только произведения, частные, корни или степени, то рациональнее при помощи основных формул для степеней привести обе части равенства к одному основанию, то есть к уравнению вида (2).

Решение показательных уравнений вынесением общего множителя

Если показательное уравнение содержит выражение вида , причем показатели степени отличаются только свободным коэффициентом, то для решения необходимо вынести за скобки наименьшую степень .

Приведение показательных уравнений к квадратным

К показательным уравнениям, которые можно привести к квадратным, относятся следующие уравнения.

где — некоторые числа, .

В этом случае выполняется замена

где — некоторые ненулевые числа, причем , — произвольное действительное число. Для сведения к квадратному обе части уравнения необходимо умножить на :

Далее заменой получаем квадратное уравнение

Однородные показательные уравнения

Делением обеих его частей на (или ), сводим уравнение к показательному вида :

Схема решения таких уравнений следующая:

1) Делим обе части уравнения или на , или на , в результате получаем:

или

;

2) заменой последнее уравнение сводится к квадратному:

Показательные уравнения | Материалы для подготовки к ЕГЭ по математике ЕГЭ-Студия

Рассмотрим уравнение 2^x = 8. В какую степень надо возвести 2, чтобы получить 8? Ясно, что в степень 3.

Более того, x = 3 — единственное решение данного уравнения. Почему? Это легко понять, посмотрев на график показательной функции y = 2^x: данная функция монотонно возрастает и потому каждое своё значение принимает ровно один раз. Иными словами, не существует других
значений x, кроме 3, таких, что 2^x = 8.

Простейшее показательное уравнение — это уравнение вида

где a > 1 или 0 < a < 1.

Если b > 0, то уравнение (1) имеет решение, и притом единственное. Действительно, при a > 1 показательная функция монотонно возрастает, а при 0 < a < 1 — монотонно убывает; в любом случае она принимает каждое своё значение ровно один раз.

А вот если b ⩽ 0, то уравнение (1) не имеет решений: ведь показательная функция может принимать только положительные значения.

Любое показательное уравнение после соответствующих преобразований сводится к решению одного или нескольких простейших.

В задачах достаточно представить левую и правую части в виде степеней с одинаковым основанием.

1.

Вспоминаем, что 125 = 5³. Уравнение приобретает вид: 5^x−7 = 5⁻³

В силу монотонности показательной функции показатели степени равны: x − 7 = −3, откуда x = 4.

2.
Поскольку  , уравнение можно записать в виде:

Дальнейшее ясно:

Теперь рассмотрим более сложные уравнения.

3.

Здесь лучше всего вынести за скобку двойку в наименьшей степени:

4.

Делаем замену

Тогда   и относительно t мы получаем квадратное уравнение: Его корни: и

В первом случае имеем: откуда

Во втором случае: решений нет.

Ответ: 3.

5.

Замечаем, что а :

Делим обе части на положительную величину :

Делаем замену
Полученное квадратное уравнение имеет корни −1 и  .

В случае
решений нет.

В случае

имеем единственный корень

Ответ:

Вообще, показательные уравнения вида

называются однородными. Для них существует стандартный приём решения — деление обеих частей на  (эта величина не равна нулю, так как показательная функция может принимать только положительные значения). Именно этим приёмом мы в данной задаче и воспользовались.

С однородными уравнениями, кстати, мы уже встречались — в тригонометрии. Это были уравнения вида
Их мы решали похожим приёмом — делением на

Решение показательных уравнений

Цели и задачи урока:

1. Знать определение показательного уравнения, определение однородного
   показательного уравнения второй степени.
2. Уметь решать показательные уравнения, применяя различные способы.
3. Развивать и совершенствовать умения применять имеющиеся у учащихся
   знания в изменяемой ситуации.
4. Воспитывать у учащихся аккуратность, культуру поведения, чувство
   ответственности.

Тип урока: комбинированный.

Оборудование урока:

• доска, компьютер, экран, мультимедийный проектор;
• тетради, чистые листы для самостоятельной работы.

План урока:

1. Организационный момент.
2. Проверка домашнего задания.
3. Подготовка учащихся к активному и сознательному усвоению нового
   материала.
4. Усвоение новых знаний.
5. Проверка понимания учащимися нового материала.
6. Закрепление нового материала.
7. Информация учащихся о домашнем задании.
8. Итог урока.

Ход урока

I. Организационный момент.

Задача: подготовить учащихся к работе на уроке.

II. Проверка домашнего задания.

Задачи: установить правильность и осознанность выполнения всеми
учащимися домашнего задания; установить пробелы в знаниях; совершенствовать
знания, умения и навыки в области решения показательных уравнений.

1. На экране высвечивается правильное решение домашнего задания. Ученики
проверяют правильность выполнения своего решения, исправляют ошибки, задают
вопросы, оценивают свое решение.

2. Всему классу предлагается устный диктант.

А) Вычислите: 2⁵; 3⁴; 5³;
;
; 215⁰.

Б) Назвать степень числа: а) 32; б) 27; в) 625; г) 343; д) 243.

В)Какие уравнения называются показательными?

Г) Решите уравнения:

а) 2^х = 2;

б) 3^х+1 = 9;

в) 4^х-3 = 1;

г) 2^х = 3^х.

III. Подготовка учащихся к активному и сознательному усвоению нового
материала.

Задача: с помощью создания проблемой ситуации подвести учащихся к
новому виду показательных уравнений.

Учитель обращает внимание учеников на экран. На экране показательные
уравнения. Ученикам предлагается выписать уравнения по группам.

1. Уравнения, решаемые переходом к одному основанию.
2. Уравнения, решаемые разложением на множители.
3. Уравнения, приводимые к квадратным.

Предлагаемые уравнения:

1) 2^х+1 + 2^х-1 + 2^х = 28;

2) 25^х – 6*5^х + 5 = 0;

3) 6*4^х – 13*6^х + 6*9^х = 0;

4) 2^2х – 6*2^х + 8 = 0;

5) 24^х-1 + 24^х-2 – 24^х-3 = 160;

6) 0,2^х+0,5 = 5*0,04^х;

7) 7^2х+1 + 7^2х+2 + 7^2х+3 = 57;

8) 0,4^4-5х = 0,16.

В ходе обсуждения оказалось, что только уравнение под номером 3 учащиеся не
отнесли ни в одну из групп.

IV. Усвоение новых знаний.

Задачи: ввести понятие однородных показательных уравнений второй
степени, познакомить учащихся со способом их решения, добиться умения определять
вид однородных уравнений, отработать навыки их решения.

Учитель дает определение однородных показательных уравнений второй степени и
показывает алгоритм решения таких уравнений.

А*a^2х + В*a^х*b^х + С*b^2х = 0

1. Так как b^2x 0, то
разделим обе части уравнения на b^2x, имеем

A* + B*
+ C = 0

2. Введем новую переменную
= t, получим
квадратное уравнение At² + Bt + C = 0

3. Находим корни квадратного уравнения и выполняем обратную замену.

4. Решаем полученные показательные уравнения.

5. Записываем ответ.

По данному алгоритму ученики вместе с учителем решают уравнение под номером
3.

V. Проверка понимания учащимися нового материала.

Задача: установить, усвоили ли учащиеся способ решения нового вида
уравнений.

На экране появляются уравнения. Ученикам предлагается назвать их вид и способ
решения.

Предлагаемые уравнения:

1) 2*2^2х – 3*10^х – 5*5^2х = 0;

2) 32^х+1 – 4*21^х – 7*7^2х = 0;

3) 5*3^2х + 7*15^х – 6*25^х = 0;

4) 3*49^х – 2*14^х = 2^2х.

VI. Закрепление нового материала.

Задачи: закрепить у учащихся знания и умения, которые они получили на уроке.

К доске вызываются два ученика, они решают уравнения под номерами один и два.
В случае затруднения еще раз повторяют алгоритм решения однородных показательных
уравнений.

Самостоятельная работа. 1 вариант решает уравнение под номером три, второй
вариант – под номером четыре.

Для проверки работы ученики обмениваются листами, на экране появляется
правильное решение. Ученики оценивают работу соседа.

VII. Информация учащихся о домашнем задании.

1. Повторить свойства показательной функции.
2. Повторить все изученные способы решения показательных уравнений.
3. Решить уравнения, которые ученики выписывали по группам на уроке.

VIII. Итог урока.

Решение показательных уравнений. Видеоуроки

В этой статье вы познакомитесь со всеми типами показательных уравнений и алгоритмами их решения, научитесь  распознавать, к какому типу принадлежит показательное уравнение, которое вам надо решить, и применять для его решения соответствующий метод.   Подробное решение примеров показательных уравнений каждого типа вы сможете посмотреть в соответствующих ВИДЕОУРОКАХ.

Показательным уравнением называется уравнение, в котором неизвестное содержится в показателе степени.

Прежде чем начать решать показательное уравнение, полезно сделать несколько предварительных действий, которые могут значительно облегчить ход его решения.   Вот эти действия:

1. Разложите все основания степеней на простые множители.

2. Корни представьте в виде степени.

3. Десятичные дроби представьте в виде обыкновенных.

4. Смешанные числа запишите в виде неправильных дробей.

Пользу этих действий вы осознаете в процессе решения уравнений.

Рассмотрим основные типы показательных уравнений и алгоритмы их решения.

1. Уравнение вида

Это уравнение равносильно уравнению  

Посмотрите в этом ВИДЕОУРОКЕ решение уравнения  этого типа.

2. Уравнение вида

В уравнениях этого типа:

а) все степени имеют одинаковые основания

б) коэффициенты при неизвестном в показателе степени равны.

Чтобы решить это уравнение, нужно вынести за скобку множитель в наименьшей степени.

Пример решения уравнения этого типа:

посмотрите в ВИДЕОУРОКЕ.

3. Уравнение вида

Уравнения этого типа отличаются тем, что

а) все степени имеют одинаковые основания

б) коэффициенты при неизвестном в показателе степени разные.

Уравнения такого типа решаются с помощью замены переменных. Прежде чем вводить замену, желательно  освободиться от свободных членов в показателе степени. (, , и т.д)

Посмотрите  в ВИДЕОУРОКЕ решение уравнения этого типа:

4. Однородные уравнения вида

Отличительные признаки однородных уравнений:

а) все одночлены имеют одинаковую степень,

б) свободный член равен нулю,

в) в уравнении присутствуют степени с двумя различными основаниями.

Однородные уравнения решаются по сходному алгоритму.

Чтобы решить уравнение такого типа, разделим обе части уравнения на  (можно разделить на  или на )

Внимание! При делении правой и левой части уравнения на выражение, содержащее неизвестное, можно потерять корни. Поэтому необходимо проверить, не являются ли корни того выражения, на которое мы делим обе части уравнения, корнями исходного уравнения.

В нашем случае, поскольку выражение не равно нулю ни при каких значениях неизвестного, мы можем делить на него без опаски. Разделим  левую часть уравнения на это выражение почленно. Получим:

Сократим числитель и знаменатель второй и третьей дроби:

Введем замену:

, причем при всех допустимых значениях неизвестного.

Получим квадратное уравнение:

Решим квадратное уравнение, найдем значения , которые удовлетворяют условию , а затем вернемся к исходному неизвестному.

Смотрите в ВИДЕОУРОКЕ подробное решение  однородного уравнения:

5. Уравнение вида

При решении этого уравнения будем исходить из того, что 

Исходное равенство выполняется   в двух случаях:

1. Если , поскольку 1 в любой степени равна 1,

или

2. При выполнении двух условий:

Посмотрите в ВИДЕОУРОКЕ подробное решение уравнения

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Основные типы показательных неравенств | Подготовка к ЕГЭ по математике

Сегодня решаем показательные неравенства.

Рассмотрим основные типы  показательных неравенств.

При решении показательных неравенств мы будем использовать следующие переходы:

и

Поясним, первый переход возникает в силу возрастания  показательной функции , второй – в силу убывания функции .

Показательные неравенства, сводящиеся к простейшим

Задание 1.

Решить неравенство .

Решение:

Перепишем неравенство следующим образом:

А далее вот так:

Так как – возрастающая функция, то знак неравенства остается без изменения при переходе к новому неравенству:

Ответ: .

Задание 2.

Решить неравенство:

Решение:

Перепишем неравенство следующим образом:

Заметим, что  .

В силу того, что основание степени () меньше 1, то есть мы имеем дело с убывающей функцией, переходим к следующему неравенству (не забывая поменять знак на ):

Ответ:

 Однородные показательные неравенства 

Задание 3.

Решить неравенство:

Решение:

Вынесем за скобку

Тогда  переходим к следующему неравенству (в силу того, что основание степени больше 1, знак неравенства не меняется):

Ответ:

Показательные неравенства, сводящиеся к квадратным

Задание 4.

Решить неравенство

Решение:

Разделим обе части неравенства на 3:

Мы видим квадратное неравенство относительно которое будем решать методом интервалов.

Имеем:

или

или 

Ответ:

Задание 5.

Решить неравенство

Решение:

Мы видим квадратное неравенство относительно , которое будем решать методом интервалов.

Находим при помощи дискриминанта корни квадратного трехчлена . Переходим к следующему неравенству:

Получаем: или . Заметьте, нет смысла указывать, что  , так как по определению положительно.

Итак,

Ответ:

Задание 6.

Решить неравенство

Решение:

Разделим обе части неравенства на (можно и на , – как хотите…). Заметим, .

Заметим, что . Аналогично с .

Мы имеем квадратное неравенство относительно

которое будем решать методом интервалов.

Воспользуемся следующим способом превращения суммы в произведение:

где – корни уравнения (в случае неотрицательного дискриминанта квадратного трехчлена).

Заготавливаем шаблончик  и находим корни при помощи дискриминанта, тогда

То есть

Ответ:

Задание 7.

Решить неравенство

Решение:

Перепишем неравенство следующим образом:

Домножим обе части неравенства на   (заметим, ):

Ответ:

Показательные неравенства, сводящиеся к рациональным

Задание 8.

Решить неравенство:  

Решение:

Переносим все в левую сторону неравенства и приводим к общему знаменателю:

Мы можем “отбросить” сумму в силу ее положительности:

Неравенство равносильно следующему:

Ответ:

Неравенства, решаемые графическим методом

Задание 9.

Решить неравенство:

 Решение:

Рассмотрим функции и Обе они определены на . Первая – возрастает, вторая – убывает. Значит, уравнение имеет не более одного решения. Несложно заметить, что является корнем указанного уравнения.

А значит, если вернуться к неравенству и посмотреть на него с графической точки зрения,  мы должны взять те значения , которые отвечают за ту часть графика , что лежит выше графика , то есть .

Ответ:

Для самостоятельной работы:

Решить неравенства:

1.

Ответ: + показать

2.

Ответ: + показать

3.

Ответ: + показать

4.

Ответ: + показать

{-2}

5.

Ответ: + показать

6.

Ответ: + показать

7.

Ответ: + показать

(-1;1]

8.

Ответ: + показать

.

Способы решения показательных уравнений — презентация онлайн

1. Способы решения показательных уравнений

2.

Определение показательного уравнения

ОПР Уравнение, в котором переменная
содержится в показателе степени,
называется показательным.
Примеры показательных уравнений:
x
2
1. 4
4.3 4 5
1
2. 4 16
5. 4 2 1 0
3. 3 3 1 0
6. 9 43 2 6
x
x
2x
x
2
x
x
x 1
x
1
x
2x 3
3 x
0

3. Способы решения показательных уравнений

Графический
1. Построить графики
двух функций (левая и
правая части
уравнения)
2. Найти абсциссы точек
пересечения графиков
3. Записать ответ
Аналитические
1.
2.
3.
4.
Приравнивание
показателей
Вынесение общего
множителя за скобки
Введение новой
переменной
Использование
однородности

4. Графический способ решения

Пример: Решить графически уравнение
2 4
x
4
y 2
2
1
x
y 4
Ответ: х=2
дальше

5.

Аналитические способы

1. Приравнивание показателей
2. Вынесение общего множителя за
скобки
3. Введение новой переменной
4. Использование однородности

6. 1. Приравнивание показателей

Суть метода:
1. Уединить слагаемое, содержащее
переменную
2. Привести степени к одному основания
3. Приравнять показатели
4. Решить полученное уравнение
5. Записать ответ

7. Пример

3 x 27 0
3 x 27
3 x 33
x 3
Ответ: x 3

8. 2. Вынесение общего множителя за скобки

Примечание: выносим за скобки
множитель с меньшим
показателем.

9. Пример

3 3
x
x 3
78
3 1 3 78
x
3
3 26 78
x
3 3
x 1
x
Ответ:
x 1

10. 3. Введение новой переменной

4
2x
5 4 4 0
x
Пусть
4x t
t 2 5t 4 0
D 25 16 9
Тогда уравнение примет вид:
t1
5 3
4
2
4 4
x
x 1
t2
5 3
1
2
x
0
4
4
4 1;
x
x 0
Ответ: x 1; x 0.

11. 4. Однородные уравнения

ОПР Показательные уравнения вида a
называются однородными.
f ( x)
b
f ( x)
Суть метода: Так как показательная функция не
может принимать значение, равное нулю, и обе
части уравнения можно делить на одно и то же
неравное нулю число, разделим обе части
f ( x)
уравнения, например, на b .

12. Пример

2 3
x
x
x
x
2
3
x
x
3
3
x
2
1
3
x
2
2
3
3
x 0
Ответ: x 0
0

13. Определите способ решения уравнений

2)3 2 0
x
x
(однородное уравнение)
x
1 1
3) 0 (приравнивание показателей)
3 3
4)25 x 5x 2 0
(замена переменной)
1
6) 2 (приравнивание показателей)
2
x
8)52 x 1 52 x 3 4,8
(вынесение за скобки)

Решение однородного дифференциального уравнения второго порядка с комплексными корнями

Или, более конкретно, линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с комплексными корнями. Да уж, с diff eq всегда много. Да, и мы добавим начальное состояние только для акул и очков. Проблема выглядит так:

Найдите вещественное решение задачи начального значения \ (y » + 4y = 0 \) с \ (y (0) = 0 \) и \ (y ‘(0) = 1 \). Ваше решение должно иметь реальную стоимость, иначе вы не получите полную оценку!

Если вы помните, шаги для решения однородной разницы второго порядка.2 \), \ (y ‘\) с \ (r \) и \ (y \) с 1. Достаточно просто:

На шаге 2 мы решаем это квадратное уравнение, чтобы получить два корня. Корни будут комплексными числами, но это нормально:

Шаг 3 говорит нам записать результирующие базовые решения, используя наши два корня:

Но когда мы переходим к шагу 4, у нас возникает проблема. Мы должны найти решение с реальной оценкой . Ясно, что все, что содержит \ (i \), не является вещественным.Итак, мы СОЛНЫ на этом? Возможно, нет. Оказывается, мы можем сделать реальное решение из двух нереальных базисных решений, используя два трюка (и разве diff. Eq. Не сводится к трюкам)?

Наша первая уловка пришла к нам из Швейцарии через некоего Леонарда Эйлера (произносится «Ойлер»). Она называется, естественно, формулой Эйлера и рассказывает нам, как мы можем превратить комплексную экспоненциальную функцию в сложную тригонометрическую функцию. Не беспокойтесь о том, почему это работает, просто знайте, что формула:

Довольно круто, да? Другой трюк, который мы собираемся использовать, заключается в том, что любая линейная комбинация решений данного линейного дифференциального уравнения является также решением.Другими словами, мы можем нарезать наши решения на части (умножая их на константы и складывая их вместе), чтобы получить больше решений.

Очевидно, мы хотим делать наши нарезки и кубики таким образом, чтобы в итоге получить реальное решение. Но какой именно путь не так очевиден. Итак, я покажу вам, и вы можете более или менее полагаться на эту технику для решения схожих типов проблем. Мы собираемся определить два новых решения: одно путем добавления наших базовых решений, а другое путем их вычитания:

Используя формулу Эйлера, мы можем переписать эти экспоненциальные базисные решения в терминах триггерных функций.Напомним, что косинус — это четная функция, а синус — нечетная функция, поэтому мы можем сделать небольшое упрощение с отрицательным корнем:

Подставляя это в уравнения для \ (y_ {3} \) и \ (y_ {4} \), мы можем упростить их и получить два хороших, чистых, довольно новых решения:

Теперь мы можем составить линейную комбинацию из этих решений, чтобы получить наше общее решение:

Ах, вы можете сказать, а как насчет этого \ (i \) во втором семестре? Обратите внимание, что теперь, когда он благополучно перенесен в начало члена, мы можем просто определить новые постоянные коэффициенты для членов.В конце концов, \ (i \) может быть ненастоящим, но все равно константа. Итак, определяем:

и получаем:

Я знаю, дешевый трюк. Но это работает! Теперь, когда у нас есть действительное общее решение, мы можем использовать начальные условия, чтобы найти \ (C_1 \) и \ (C_2 \) и получить решение нашей проблемы с начальным значением:

Вот и все. Как вы могли ожидать из другого опыта, который вы имели с дифференциальными уравнениями, существует ряд не столь очевидных приемов, которые вы должны использовать для решения проблемы.Лучше всего с точки зрения экзамена просто запомнить эти приемы и практиковаться в их многократном применении к аналогичным задачам из учебника.

17.1: Линейные уравнения второго порядка — Математика LibreTexts

Обычно цель работы с дифференциальными уравнениями — найти решение. Другими словами, мы хотим найти функцию (или функции), удовлетворяющую дифференциальному уравнению. Техника, которую мы используем для поиска этих решений, зависит от формы дифференциального уравнения, с которым мы работаем.3y = 0. \]

Обратите внимание, что \ (y \) и его производные появляются в относительно простой форме. Они умножаются на функции от \ (x \), но сами по себе не возводятся в какую-либо степень и не умножаются вместе. Как обсуждалось ранее, уравнения первого порядка с аналогичными характеристиками называются линейными. То же самое и с уравнениями второго порядка. Также обратите внимание, что все члены в этом дифференциальном уравнении включают либо \ (y \), либо одну из его производных. Нет терминов, включающих только функции от \ (x \).2 \) член справа от знака равенства не содержит \ (y \) или какой-либо из его производных. Следовательно, это дифференциальное уравнение неоднородно .

Определение: однородные и неоднородные линейные уравнения

Дифференциальное уравнение второго порядка является линейным, если его можно записать в виде

\ [a_ {2} (x) y » + a) {1} (x) y ‘+ a_ {0} (x) y = r (x), \ label {17.1} \]

, где \ (a_ {2} (x), a_ {1} (x), a_ {0} (x), \) и \ (r (x) \) — функции с действительными значениями, а \ (a_ {2 } (x) \) не равно нулю тождественно. {y ‘} \) аналогичным образом запрещены в линейных дифференциальных уравнениях.

Обратите внимание, что уравнения не всегда могут быть представлены в стандартной форме (форма, показанная в определении). Может быть полезно переписать их в этой форме, чтобы решить, являются ли они линейными или же линейное уравнение однородно.

Пример \ (\ PageIndex {1} \): классификация уравнений второго порядка

Классифицируйте каждое из следующих уравнений как линейное или нелинейное. Если уравнение линейное, дополнительно определите, является ли оно однородным или неоднородным.2 \) срок.

Подсказка

При необходимости запишите уравнение в стандартной форме (Equation \ ref {17.1}). Проверьте степени или функции \ (y \) и его производных.

Ответьте на

Нелинейный линейный

Ответ б

неоднородный

Позже в этом разделе мы увидим некоторые методы решения конкретных типов дифференциальных уравнений.2у » — ху ‘+ у = 0. \ label {ex2} \]

Подсказка

Вычислите производные и подставьте их в дифференциальное уравнение.

Ответ

Это требует вычисления \ (y ‘\) и \ (y’ ‘\).

\ [y ‘= \ dfrac {dy} {dx} = 4x \ nonumber \]

и

\ [y » = \ dfrac {dy ‘} {dx} = 4 \ nonumber \]

Вставляем эти производные вместе с \ (y = 2x ^ 2 \) в уравнение \ ref {ex2}.2 \ overset {\ checkmark} {=} 0 \ end {align *} \]

Да, это решение дифференциального уравнения в уравнении \ ref {ex2}.

Хотя простое нахождение любого решения дифференциального уравнения важно, математики и инженеры часто хотят выйти за рамки поиска одного решения дифференциального уравнения и найти всех решений дифференциального уравнения. Другими словами, мы хотим найти общее решение . Как и в случае с дифференциальными уравнениями первого порядка, общее решение (или семейство решений) дает полный набор решений дифференциального уравнения.Важное различие между уравнениями первого и второго порядка состоит в том, что с уравнениями второго порядка нам обычно нужно найти два разных решения уравнения, чтобы найти общее решение. Если мы найдем два решения, то любая линейная комбинация этих решений также будет решением. Сформулируем этот факт в виде следующей теоремы.

Теорема: ПРИНЦИП СУПЕРПОЗИЦИИ

Если \ (y_1 (x) \) и \ (y_2 (x) \) являются решениями линейного однородного дифференциального уравнения, то функция

\ [y (x) = c_1y_1 (x) + c_2y_2 (x), \ label {super} \]

, где \ (c_1 \) и \ (c_2 \) — константы, также является решением.{-4t}, \), которое также является решением дифференциального уравнения. Оказывается, чтобы найти общее решение дифференциального уравнения второго порядка, мы должны найти два линейно независимых решения . Мы определяем эту терминологию здесь.

Определение: линейно зависимые функции

Набор функций \ (f_1 (x), f_2 (x), \ ldots, f_n (x) \) называется линейно зависимым , если есть константы \ (c_1, c_2, \ ldots c_n, \) , не все ноль, такое, что

\ [c_1f_1 (x) + c_2f_2 (x) + \ cdots + c_nf_n (x) = 0 \]

для всех \ (x \) на интересующем интервале.Набор функций, который не является линейно зависимым, называется линейно независимым .

В этой главе мы обычно тестируем наборы только из двух функций на предмет линейной независимости, что позволяет нам упростить это определение. С практической точки зрения мы видим, что две функции линейно зависимы, если одна из них тождественно равна нулю или если они являются постоянными кратными друг другу.

Сначала мы покажем, что если функции удовлетворяют условиям, указанным ранее, то они линейно зависимы.Если одна из функций тождественно равна нулю, скажем, \ (f_2 (x) \ Equiv 0 \), тогда выберите \ (c_1 = 0 \) и \ (c_2 = 1, \), и условие линейной зависимости будет выполнено. Если, с другой стороны, ни \ (f_1 (x) \), ни \ (f_2 (x) \) не равны тождественно нулю, но \ (f_1 (x) = Cf_2 (x) \) для некоторой константы \ (C, \), затем выберите \ (c_1 = C \) и \ (c_2 = -1, \), и снова условие выполнено.

Далее мы покажем, что если две функции линейно зависимы, то либо одна тождественно равна нулю, либо они являются постоянными кратными друг другу.Предположим, что \ (f_1 (x) \) и \ (f_2 (x) \) линейно независимы. Тогда существуют константы \ (c_1 \) и \ (c_2, \), не равные нулю, такие, что

\ [c_1f_1 (x) + c_2f_2 (x) = 0 \]

для всех \ (x \) на интересующем интервале. Затем

\ [c_1f_1 (x) = — c_2f_2 (x). \]

Теперь, поскольку мы заявили, что \ (c_1 \) и \ (c_2 \) не могут одновременно быть равными нулю, предположим, что \ (c_2 \ neq 0. \) Тогда есть два случая: либо \ (c_1 = 0 \) или \ (c_1 \ neq 0. \) Если \ (c_1 = 0, \), то

\ [\ begin {align *} 0 = -c_2f_2 (x) \\ [4pt] 0 = f_2 (x), \ end {align *} \]

, поэтому одна из функций тождественно равна нулю.Теперь предположим \ (c_1 \ neq 0. \) Тогда

\ [f_1 (x) = \ left (- \ dfrac {c_2} {c_1} \ right) f_2 (x) \]

, и мы видим, что функции являются постоянными кратными друг другу.

Теорема: линейная зависимость двух функций

Две функции, \ (f_1 (x) \) и \ (f_2 (x), \), называются линейно зависимыми, если одна из них тождественно равна нулю или если \ (f_1 (x) = Cf_2 (x) \ ) для некоторой константы \ (C \) и для всех \ (x \) на интересующем интервале. Функции, которые не являются линейно зависимыми, называются линейно независимыми .{-3x} \)

1. \ (f_1 (x) = 3x \) и \ (f_2 (x) = 3x + 1 \)

Решение

1. \ (f_2 (x) = 5f_1 (x), \), поэтому функции линейно зависимы.
2. Не существует такой константы \ (C \), что \ (f_1 (x) = Cf_2 (x), \), поэтому функции линейно независимы.
3. Не существует такой константы \ (C \), что \ (f_1 (x) = Cf_2 (x), \), поэтому функции линейно независимы. Пусть вас не смущает тот факт, что показатели степени кратны друг другу.{3x}. \)

   Подсказка

   Являются ли функции постоянными кратными друг другу?

   Ответ

   Линейно независимый

   Если мы можем найти два линейно независимых решения дифференциального уравнения второго порядка, то мы можем объединить их, чтобы найти общее решение. Этот результат формально сформулирован в следующей теореме.

   Теорема: общее решение однородного уравнения

   Если \ (y_1 (x) \) и \ (y_2 (x) \) являются линейно независимыми решениями линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка, то общее решение дается формулой

   \ [y (x) = c_1y_1 (x) + c_2y_2 (x), \]

   , где \ (c_1 \) и \ (c_2 \) — константы.

   Когда мы говорим, что семейство функций является общим решением дифференциального уравнения, мы имеем в виду, что

   1. каждое выражение этой формы является решением, а
   2. каждое решение дифференциального уравнения может быть записано в такой форме, что делает эту теорему чрезвычайно действенной.

   Если мы сможем найти два линейно независимых решения дифференциального уравнения второго порядка, мы фактически найдем всех решений дифференциального уравнения второго порядка — весьма примечательное утверждение.{3x} \]

   Уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

   Теперь, когда мы лучше разбираемся в линейных дифференциальных уравнениях, мы собираемся сосредоточиться на решении уравнений второго порядка вида

   \ [ay » + by ‘+ cy = 0, \ tag {17.2} \]

   где \ (a, b, \) и \ (c \) — константы.

   Поскольку все коэффициенты являются константами, решениями, вероятно, будут функции с производными, которые являются постоянными кратными самим себе. {i \ theta} = \ cos \ theta + i \ sin \ theta} _ {\ text {формула Эйлера}} \ label {Эйлер} \]

   для всех действительных чисел \ (\ theta \).{x} (c_1 \ cos 2x + c_2 \ sin 2x). \]

   Сводка результатов

   Мы можем решить линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, найдя корни соответствующего характеристического уравнения. Форма общего решения меняется в зависимости от того, имеет ли характеристическое уравнение различные действительные корни; единственный повторяющийся настоящий корень; или комплексно-сопряженные корни. Эти три случая кратко описаны в Таблице \ (\ PageIndex {1} \).

   \ (y » — 2y ‘+ 10y = 0 \)
   \ (y » + 14y ‘+ 49y = 0 \)

   Подсказка

   Найдите корни характеристического уравнения.{-7x} \)

   Задачи начального значения и граничные задачи

   До сих пор мы находили общие решения дифференциальных уравнений. Однако дифференциальные уравнения часто используются для описания физических систем, и человек, изучающий эту физическую систему, обычно что-то знает о состоянии этой системы в один или несколько моментов времени. Например, если дифференциальное уравнение с постоянным коэффициентом показывает, насколько сильно сжат амортизатор мотоцикла, мы можем знать, что гонщик неподвижно сидит на своем мотоцикле в начале гонки, время \ (t = t_0.\) Это означает, что система находится в равновесии, поэтому \ (y (t_0) = 0, \) и сжатие амортизатора не меняется, поэтому \ (y ‘(t_0) = 0. \) С этими двумя начальными условий и общее решение дифференциального уравнения, мы можем найти конкретное решение дифференциального уравнения, которое удовлетворяет обоим начальным условиям. Этот процесс известен как , решающий задачу начального значения . (Напомним, что мы обсуждали начальные проблемы во введении в дифференциальные уравнения.Обратите внимание, что уравнения второго порядка имеют две произвольные константы в общем решении, и поэтому нам требуются два начальных условия, чтобы найти решение начальной задачи.

   Иногда мы знаем состояние системы в два разных момента. Например, мы могли бы знать \ (y (t_0) = y_0 \) и \ (y (t_1) = y_1. \) Эти условия называются граничными условиями, а поиск решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего граничным условиям, называется решение краевой задачи.

   Математики, ученые и инженеры заинтересованы в понимании условий, при которых задача с начальным значением или краевая задача имеет единственное решение. {x}.{x} (2 \ cos 3x — \ sin 3x) \ nonumber \]

   Пример \ (\ PageIndex {9} \): задача начального значения, представляющая систему пружина-масса

   Следующая задача с начальным значением моделирует положение объекта с массой, прикрепленной к пружине. Пружинно-массовые системы подробно рассмотрены в Приложениях. Решение дифференциального уравнения дает положение массы относительно нейтрального (равновесного) положения (в метрах) в любой момент времени. (Обратите внимание, что для пружинно-массовых систем этого типа принято определять направление вниз как положительное.{-1} \ приблизительно -0,3679 \). В момент времени \ (t = 1, \) масса движется вверх со скоростью \ (0,3679 \) м / сек.

   Упражнение \ (\ PageIndex {9} \)

   Предположим, что следующая задача с начальным значением моделирует положение (в футах) массы в системе пружина-масса в любой момент времени. Решите задачу с начальным значением и нанесите решение на график. Каково положение массы в момент времени \ (t = 0,3 \) сек? Насколько быстро он движется за время \ (t = 0,1 \) сек? В каком направлении?

   \ [y » + 14y ‘+ 49y = 0, \, y (0) = 0, \, y’ (0) = 1 \]

   Подсказка

   Используйте начальные условия, чтобы определить значения для \ (c_1 \) и \ (c_2 \).{-0,7} \ приблизительно 0,1490. \) Масса движется вниз со скоростью \ (0,1490 \) фут / сек.

   Пример \ (\ PageIndex {10} \): решение краевой задачи

   В Примере 17.6f. мы решили дифференциальное уравнение \ (y » + 16y = 0 \) и нашли общее решение как \ (y (t) = c_1 \ cos 4t + c_2 \ sin 4t. \). Если возможно, решите граничное значение проблема, если граничные условия следующие:

   1. \ (y (0) = 0, y (\ frac {\ pi} {4}) = 0 \)
   2. \ (y (0) = 1, y (0) = 1, y (\ frac {\ pi} {8}) = 0 \)
   3. \ (y (\ frac {\ pi} {8}) = 0, y (\ frac {3 \ pi} {8}) = 2 \)

   Решение

   У нас

   \ [у (х) = c_1 \ cos 4t + c_2 \ sin 4t.\ nonumber \]

   1. Применяя первое граничное условие, данное здесь, мы получаем \ (y (0) = c_1 = 0. \) Таким образом, решение имеет вид \ (y (t) = c_2 \ sin 4t. \) Когда мы применяем второе граничное условие, однако, мы получаем \ (y (\ frac {\ pi} {4}) = c_2 \ sin (4 (\ frac {\ pi} {4})) = c_2 \ sin \ pi = 0 \) для всех значений \ (c_2 \). Граничных условий недостаточно для определения значения \ (c_2, \), поэтому эта краевая задача имеет бесконечно много решений. Таким образом, \ (y (t) = c_2 \ sin 4t \) является решением для любого значения \ (c_2 \).
   2. Применяя первое граничное условие, данное здесь, мы получаем \ (y (0) = c_1 = 1. \) Применение второго граничного условия дает \ (y (\ frac {\ pi} {8}) = c_2 = 0, \ ) так что \ (c_2 = 0. \) В этом случае мы имеем единственное решение: \ (y (t) = \ cos 4t \).
   3. Применяя первое граничное условие, данное здесь, мы получаем \ (y (\ frac {\ pi} {8}) = c_2 = 0. \) Однако применение второго граничного условия дает \ (y (\ frac {3 \ pi } {8}) = — c_2 = 2, \) поэтому \ (c_2 = -2. \) У нас не может быть \ (c_2 = 0 = -2, \), поэтому эта краевая задача не имеет решения.

   несколько простых примеров из Physclips

   Дифференциальные уравнения включают дифференциал одной величины: насколько быстро эта величина изменяется относительно изменения другой. Например, обыкновенное дифференциальное уравнение в x (t) может включать x, t, dx / dt, d 2 x / dt 2 и, возможно, другие производные. Мы рассмотрим два простых примера обыкновенных дифференциальных уравнений ниже, решим их двумя разными способами и покажем, что в них нет ничего пугающего — по крайней мере, не в отношении простых, с которыми вы встретитесь во вводном курсе физики.(И к тому времени, когда вы встретитесь со сложными уравнениями на втором и последнем курсе физики, вы уже будете заниматься более формальным изучением дифференциального исчисления по своим математическим предметам.) Мы предполагаем, что вы уже немного знакомы с математическим расчетом. Если нет, сначала прочтите это введение. Методы решения дифференциальных уравнений Существует несколько различных способов решения дифференциальных уравнений, которые я перечислю в приблизительном порядке их популярности.Я также классифицирую их иначе, чем в учебниках. Узнай или найди . Конечно! Уже решено очень много дифференциальных уравнений. Некоторые из них вы узнаете, а другие можете найти. Это , безусловно, наиболее распространенный способ, которым ученые или математики «решают» дифференциальные уравнения. Таким же образом некоторые (нечисловые) компьютерные программы решают дифференциальные уравнения. Замена .Часто дифференциальное уравнение можно упростить, заменив ту или иную переменную. Это может превратить ее в решение, которое уже решено (см. Выше) или которое может быть решено одним из других методов. (Пакеты программного обеспечения тоже это делают.) Эта категория решений включает в себя ряд методов, которым вы научитесь на втором курсе курса математики. Угадай и попробуй . Другой очень распространенный метод решения дифференциальных уравнений: угадайте, каким может быть решение, подставьте его и, если это не решение или не полное решение, измените предположение, пока не получите полное решение. Это используется часто — чаще, чем можно предположить, читая книги и статьи, где процесс обычно кажется довольно элегантным. Во многих случаях вы знаете что-то об изучаемой системе, что дает вам ключ к разгадке. Опыт, конечно, тоже помогает. Однако ниже мы увидим, что угадать иногда легко. Измените более простое решение . Если вы знаете решение уравнения, которое является упрощенной версией того, с которым вы столкнулись, попробуйте изменить решение более простого уравнения, чтобы превратить его в решение более сложного. Преобразование . Некоторые дифференциальные уравнения легче решать при математическом преобразовании. Это основное использование преобразований Лапласа. Численное решение. Если все вышеперечисленное терпит неудачу, то алгоритм, обычно реализуемый на компьютере, может решить эту проблему явно, вычисляя производные как отношения. Обычно это крайний метод по двум причинам. Во-первых, он дает вам решение только для одного конкретного набора граничных условий и параметров, тогда как все вышеперечисленное дает вам общие решения.Во-вторых, он имеет ограниченную точность: числовые дервиативы по своей сути зашумлены. Интеграция . Этот метод элегантен, но часто бывает трудным (или невозможным). Иногда можно умножить уравнение на коэффициент интегрирования, чтобы сделать интегрирование возможным. Особые типы . Это расплывчатое название включает специальные методы, которые работают с определенными типами уравнений. Это тоже касается обучения на высших курсах математики. Аналоговое решение. Некоторые дифференциальные уравнения легко решаются аналоговыми компьютерами. Они очень быстрые и поэтому подходят для задач управления «в реальном времени». Их недостатки — ограниченная точность и то, что аналоговые компьютеры сейчас редкость. Ниже мы показываем два примера решения общих уравнений. Они просты, потому что имеют только постоянные коэффициенты, но именно с ними вы столкнетесь на первом курсе физики. Эти уравнения можно решить несколькими способами, описанными выше, но мы проиллюстрируем только два метода. Пример 1: Экспоненциальный рост и спад Один из распространенных примеров — рост популяции простых организмов, не ограниченных пищей, водой и т. Д. Пусть число организмов в любой момент времени t равно x (t). Скорость, с которой производятся новые организмы (dx / dt), пропорциональна количеству уже существующих с константой пропорциональности α. Итак, дифференциальное уравнение: Прежде чем идти дальше, , что мы уже знаем? Подумайте, что означает эта ситуация: если число удвоится (скажем) за один день, то на второй день их будет вдвое больше для воспроизводства, поэтому популяция снова удвоится на второй день и так далее.Это говорит нам, какое решение мы ищем: геометрическое или экспоненциальное увеличение (пример показан справа: подробнее об экспоненциальной функции по этой ссылке). Поскольку это простое уравнение, давайте решим его интегрированием. Для этого уравнения можно разделить переменные , то есть перестроить уравнение так, чтобы одна сторона включала только x, а другая — только t. Здесь получаем где C — постоянная интегрирования.(Подробнее о функции журнала и константах интегрирования в исчислении Physclips.) Константы интегрирования обычно находятся из граничных условий: в данном случае это означает знание x при некотором значении t. В этом примере предположим, что мы знаем, что в момент времени t = 0 x = x 0 . Замена дает Разница между двумя журналами — это логарифм отношения, поэтому и, взяв антилоги (или возведя каждую сторону в степень е): Проверим габариты. e αt — это число, поэтому x имеет те же размеры и единицы измерения, что и x 0 : это хорошо! Аргумент экспоненциальной функции должен быть числом, так что это означает, что a имеет размерность обратного времени. α — это пропорциональная скорость прироста населения, поэтому это доля в раз, так что да, размеры верны. Из-за этих размеров принято определять τ = 1 / α, что дает решение В примере справа τ (или 1 / α) называется постоянной времени , или характеристическим временем.Теперь его смысл ясен: когда t = τ, x / x 0 равно e 1 = 2,72. По истечении двух постоянных времени (когда t = 2τ) имеем x / x 0 = e 2 = 7,39 и т. Д. X увеличивается в e раз на каждом временном интервале τ. (Подробнее об экспоненциальной функции по этой ссылке.) Кстати, на этом стоит остановиться и отметить, что дифференциальные уравнения почти всегда являются только приближениями. Невозможно иметь систему, описываемую этим уравнением.Например, популяция любого вида не может расти экспоненциально. Процитируем только одно ограничение: как только организмы занимают твердую сферу, радиус которой увеличивается со скоростью света, любой дальнейший рост не может быть экспоненциальным. (Об этом стоит помнить, когда политики становятся одержимыми достижением роста чего угодно, но особенно населения.) Экспоненциальное уменьшение В приведенном выше примере α было положительным. Теперь рассмотрим случай, когда коэффициент при t отрицателен, например, радиоактивный распад.Если имеется N (t) радиоактивных ядер в момент времени t и N 0 при t = 0, и если их скорость распада (-dN / dt) пропорциональна количеству неразложившихся ядер с константой пропорциональности α, то Выполняя ту же интеграцию, что и выше, мы имеем где в данном случае τ — время, необходимое для изменения численности населения в е −1 = 0,37, и так далее. Пример 2: Простое гармоническое движение Мы смотрим на простое гармоническое движение в Physclips, сначала кинематически (т.е. описывая и количественно оценивая движение), затем физически в Колебаниях. В последнем мы цитируем решение и демонстрируем, что оно удовлетворяет дифференциальному уравнению. Давайте посмотрим более внимательно и воспользуемся этим как примером решения дифференциального уравнения. В направлении x второй закон Ньютона говорит нам, что F = ma = m.d 2 x / dt 2 , а здесь сила — kx. Это дает нам дифференциальное уравнение: где x — это смещение массы m от равновесия в момент времени t, а k — жесткость пружины, к которой прикреплена масса. Что мы уже знаем? Теперь, даже если мы никогда не видели массы, прикрепленной к пружине, мы можем угадать поведение. Сначала тривиальный: если масса покоится и находится в равновесии, то она там и останется. Поведение. Если мы смещаем груз и отпускаем его, пружина ускоряет его в направлении положения равновесия (x = 0). Когда он достигает этого места, сила на нем равна нулю, но он движется с ненулевой скоростью.Таким образом, из-за своей инерции он проскакивает: он продолжает движение за пределы x = 0. Однако с этой стороны от x = 0 пружина замедляет его, в конечном итоге останавливая. Но сила пружины теперь велика, поэтому он ускоряется в противоположном направлении, возвращаясь к x = 0. Когда он попадает туда, он пролетает мимо … Хорошо, он колеблется. Итак, мы будем искать решение, которое колеблется . Другой момент заключается в том, что мы пренебрегли трением, чтобы прийти к этому уравнению.Таким образом, нет ничего, что могло бы преобразовать механическую энергию, поэтому система будет колебаться вечно. Это тоже важно в нашем решении. Размеры тоже помогают. Левая часть — это ускорение, поэтому k / m должно иметь размерность (время) −2 . Таким образом, характеристическое время τ в этом уравнении равно τ −2 = k / m или τ = (m / k) ½ . Величина, обратная времени, — это частота, поэтому 1 / τ может быть частотой или, возможно, угловой частотой, или, по крайней мере, относящейся к ним.Мы узнаем. Это хорошее время, чтобы использовать метод Guess и попробовать метод решения . Нам нужно решение, которое постоянно колеблется и обладает тем свойством, что его вторая производная пропорциональна самой себе, но отрицательна. Все это делает функция синуса. Теперь мы не можем записать x = sin t по причинам размерности: аргумент синусоидальной функции не может иметь размерностей: он дается в радианах (что является отношением или числом).Можем написать sin (2πft) или, что то же самое, sin (ωt), где f — циклическая частота (количество полных циклов синусоидальной волны в единицу времени), а ω = 2πf — угловая частота (количество радиан в единицу времени). Однако sin (ωt) — это число, и нам нужно, чтобы длина имела те же размеры, что и x, поэтому возможное решение: Когда мы описывали простое гармоническое движение, мы назвали A амплитудой : функция синуса изменяется от -1 до +1, поэтому движение изменяется от -A до + A. Однако есть проблема с этим предложенным решением: у него x = 0 при t = 0. Что было бы нормально, если бы я дал ему толчок, чтобы запустить его из состояния покоя, но что, если я отпущу массу из состояния покоя в какой-то точке из равновесия? В последнем случае мне понадобится x = A cos (ωt). Общее решение должно учитывать эти и любые другие начальные условия. Вместо этого мы пишем: Можно ли решить эту проблему? Берем производные и получаем Итак, это решение при условии, что ω 2 = k / m.Или, если хотите, мы можем написать общее решение как Однако для элегантности мы обычно пишем Итак, вернемся к рассмотрению φ. Если мы начнем движение (t = 0) с v = 0 при x = A, тогда φ должен быть 90 °: у нас есть функция cos вместо синуса. В качестве альтернативы, если мы начнем с максимальной (положительной) скорости при x = 0, тогда нам понадобится φ = 0. Мы приводим примеры этих случаев на странице фона для колебаний.Однако мы могли бы начать с любой комбинации начального смещения x = x 0 и v = v 0 . Итак, для общего случая (x 0 ≠ 0, v 0 ≠ 0) мы можем заменить, чтобы получить Мы можем решить их в терминах A и φ, сначала разделив два уравнения, затем возведя их в квадрат и сложив. Итак, для этих данных начальных условий мы можем найти комбинацию констант A и φ, так что это общее решение. Сколько граничных условий? В нашем первом примере нам нужно было найти только одну константу интегрирования, поэтому нужно было найти только одно начальное условие (или другое граничное условие).Второй пример был уравнением второго порядка, требующим двух интегрирований или двух граничных условий. Здесь мы могли бы указать два из начального смещения, скорость и ускорение, или некоторые другие два параметра. Затухающие и вынужденные колебания Выше мы решили уравнение d 2 x / dt 2 + ω 2 x = 0, где ω 2 = k / m. Давайте теперь добавим дополнительный член: линейный член в dx / dt.Это дает уравнение для затухающих колебаний: d 2 x / dt 2 + β dx / dt + ω 2 x = 0, где ω 2 = k / m и где β> 0. Физически этот термин соответствует силе, пропорциональной скорости. Что мы можем догадаться о решении и как нам изменить полученное выше решение, чтобы оно удовлетворяло нашему новому дифференциальному уравнению? Опять же, мы можем использовать наши знания о физической системе: когда мы прикладываем силу, направление которой противоположно направлению скорости, мы замедляем ее.Таким образом, мы ожидаем одного из двух возможных ответов: либо он должен колебаться, при этом величина колебаний постепенно уменьшается с течением времени, либо (если демпфирование достаточно велико), он может замедлиться до остановки, даже не колеблясь. Это подсказывает нам возможность решения вида x = A e −βt sin (ωt + φ). Мы уже можем это попробовать. Но это не совсем решение. А что, если демпфирующая сила замедляет вибрацию? Почему бы не попробовать (ω + δω) вместо ω = k / m и посмотреть, дает ли это решение для подходящего значения δω? Давайте добавим еще одно усложнение: давайте начнем встряхивать частицу с помощью дополнительной осциллирующей силы, скажем, F = F 0 sin Ωt.Это дает нам новое дифференциальное уравнение: d 2 x / dt 2 + β dx / dt + ω 2 x = F 0 sin Ωt. Это уравнение вынужденных колебаний. Что произойдет, если мы позволим этой системе развиваться, пока ее поведение не станет стабильным? Здесь мы снова можем угадать решение, подставить его в дифференциальное уравнение, а затем попытаться изменить его или выбрать подходящие значения его параметров. Почему бы не попробовать сначала и, если вы хотите проверить, перейдите к Затухающие колебания и Принудительные колебания, где мы обсуждаем физику, показываем примеры и решаем уравнения. Уравнения в частных производных: волновое уравнение Когда у нас есть функция y (t), мы можем легко определить dy / dx как наклон графика y (x). Но теперь рассмотрим y (x, t). В нашем примере это будет смещение y точки на строке как функция положения на строке x и времени t. Итак, теперь мы можем думать о двух разных производных. Мы пишем их по-разному. (Мы также представили их в разделе на странице «Исчисление».) Здесь мы будем решать волновое уравнение, уравнение движения волны в струне.(См. Введение в Waves I и Waves II.) ∂y / ∂x. Думайте об этом как dy / dx в заданное постоянное время t. Представьте, что вы делаете снимок (время постоянно): на изображении в момент времени t, это наклон формы y (x) в момент фотографии. ∂y / ∂t. Думайте об этом как dy / dt в данной позиции x. Это просто скорость в направлении y в определенной точке x на струне. (Кстати, не скорость волны). Возьмем стандартный пример.Бегущая синусоида с амплитудой A, частотой f = 2πω и длиной волны λ = 2π / k имеет уравнение y = A sin (kx — ωt), поэтому ∂y / ∂x = kA cos (kx — ωt), который представляет собой наклон струны в положении x и в момент времени t, и ∂y / ∂t = — ωA cos (kx — ωt), которая представляет собой скорость точки на струне в точках x и t. Теперь все эти три выражения являются функциями y (x, t): это кривые y (x), которые изменяются с течением времени t. Итак, следующая анимация изображает их таким образом (чего не могут сделать учебники!).Вы можете приостановить анимацию, чтобы проверить уклоны y (x), а также проверить правильность формы выражения скорости. Два нижних графика — вторые производные по тем же переменным: ∂y 2 / ∂x 2 = — k 2 A sin (kx — ωt), что представляет собой скорость изменения наклона струны при изменении x, и ∂y 2 / ∂t 2 = — ω 2 A sin (kx — ωt), что является ускорением точка на веревочке. Они имеют важное физическое значение: первый определяет кривизну струны. Если ∂y 2 / ∂x 2 = 0, то наклон постоянный, значит, прямой. Это означает, что натяжение T действует в противоположных направлениях на противоположных концах, не создавая чистой силы. Однако, если сегмент изогнут (∂y 2 / ∂x 2 ≠ 0), на него действует сила. Для постоянной кривизны на небольшой длине L чистая сила пропорциональна L. Нам известно ускорение, поэтому мы можем применить второй закон Ньютона. Масса сегмента равна мкл, где μ — масса единицы длины μ. Запись закона Ньютона в виде a = F / m дает: ∂y 2 / ∂t 2 = ( T / μ) ∂y 2 / ∂x 2 Оглядываясь назад на наши выражения для двух вторых производных, мы видим, что они являются нашими постоянными, умноженными на нашу исходную функцию y = A sin (kx — ωt). Это означает, что y = A sin (kx — ωt) является решением волнового уравнения при условии, что T / μ = ω 2 / к 2 .Мы также видели в Волны я, что ω / k — это скорость волны, v. Которая, наконец, связывает скорость волны с физическими свойствами T и μ струны: Скорость волны больше, если струна натянута сильнее, и меньше, если струна имеет большую массу на единицу длины.

   Решения серии

   дифференциальных уравнений — Calculus Volume 3

   Цели обучения

   • Используйте степенные ряды для решения дифференциальных уравнений первого и второго порядка.

   В разделе «Введение в степенные ряды» мы изучили, как функции могут быть представлены в виде степенных рядов. Мы также увидели, что мы можем найти серийные представления производных таких функций, почленно дифференцируя степенной ряд. Это дает и. В некоторых случаях эти представления степенного ряда можно использовать для поиска решений дифференциальных уравнений.

   Имейте в виду, что в этом тексте эта тема рассматривается очень кратко. Большинство вводных учебников по дифференциальным уравнениям включают целую главу о решениях степенных рядов.В этом тексте есть только один раздел по теме, поэтому здесь не рассматриваются некоторые важные вопросы, особенно вопросы, связанные с существованием решений. В этом разделе были выбраны примеры и упражнения, для которых существуют силовые решения. Однако энергетические решения существуют не всегда. Тем из вас, кто интересуется более строгим подходом к этой теме, следует обратиться к тексту о дифференциальных уравнениях.

   Решения дифференциальных уравнений серии

   Найдите решение в виде степенного ряда для следующих дифференциальных уравнений.

   1. Предположим (шаг 1). Затем, и (шаг 2). Мы хотим найти такие значения коэффициентов, чтобы

      Мы хотим, чтобы индексы наших сумм совпадали, чтобы мы могли выразить их с помощью единственного суммирования. То есть мы хотим переписать первое суммирование так, чтобы оно начиналось с
      . Чтобы повторно проиндексировать первый член, замените n на внутри суммы и измените нижний предел суммирования на. Мы получаем

      .

      Это дает

      Поскольку разложения функций в степенной ряд уникальны, это уравнение может быть истинным, только если коэффициенты каждой степени x равны нулю.Итак, у нас

      Это рекуррентное соотношение позволяет нам выразить каждый коэффициент через коэффициент двумя членами ранее. Это дает одно выражение для четных значений n и другое выражение для нечетных значений n . Посмотрев сначала на уравнения, содержащие четные значения n , мы увидим, что

      Таким образом, в общем случае, когда n четное, (шаг 5).
      Для уравнений с нечетными значениями n , мы видим, что

      Следовательно, обычно, когда n нечетное, (шаг 5 продолжение).
      Собирая все вместе, получаем

      Переиндексируя суммы для отдельного учета четных и нечетных значений n , получаем

      Анализ части а.
      Как и ожидалось для дифференциального уравнения второго порядка, это решение зависит от двух произвольных констант. Однако обратите внимание, что наше дифференциальное уравнение является дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами, но решение степенного ряда, похоже, не имеет привычного вида (содержащего экспоненциальные функции), который мы привыкли видеть.Более того, поскольку это общее решение этого уравнения, мы должны иметь возможность записать любое решение в этой форме, и неясно, может ли решение степенного ряда, которое мы только что нашли, действительно быть записано в этой форме.
      К счастью, после написания представлений степенного ряда и некоторой алгебры мы обнаруживаем, что если мы выберем

      то имеем и и

      Итак, мы фактически нашли такое же общее решение. Обратите внимание, что этот выбор и не очевиден.Это тот случай, когда мы знаем, каким должен быть ответ, и по сути «перепроектировали» наш выбор коэффициентов.

   2. Предположим (шаг 1). Затем, и (шаг 2). Мы хотим найти такие значения коэффициентов, чтобы

      Взяв внешние факторы внутри суммирования, получим

      Теперь, при первом суммировании, мы видим, что термин when или равен нулю, поэтому мы можем добавить эти члены обратно в нашу сумму, чтобы получить

      Точно так же в третьем члене мы видим, что, когда выражение оценивается как ноль, мы также можем добавить этот член обратно.У нас

      Тогда нам нужно только сдвинуть индексы во втором члене. Получаем

      Таким образом, имеем

      Глядя на коэффициенты при каждой степени x , мы видим, что постоянный член должен быть равен, а коэффициенты всех остальных степеней x должны быть равны нулю. Затем, сначала посмотрев на постоянный член,

      Ибо у нас

      Поскольку мы видим, что

      и, следовательно,

      Для четных значений n имеем

      В общем (шаг 5).
      Для нечетных значений n имеем

      В общем (продолжение шага 5).
      Собирая все вместе, получаем

   Найдите решение в виде степенного ряда для следующих дифференциальных уравнений.

   Подсказка

   Следуйте стратегии решения проблем.

   Мы завершаем этот раздел кратким введением в функции Бесселя.Полное рассмотрение функций Бесселя выходит далеко за рамки этого курса, но мы немного познакомимся с этой темой, чтобы увидеть, как серийные решения дифференциальных уравнений используются в реальных приложениях. Уравнение Бесселя порядка n имеет вид

   Это уравнение возникает во многих физических приложениях, особенно в тех, которые связаны с цилиндрическими координатами, такими как вибрация круглой головки барабана и переходный нагрев или охлаждение цилиндра. В следующем примере мы находим решение уравнения Бесселя порядка 0 в виде степенного ряда.

   Power Series Решение уравнения Бесселя

   Найдите решение уравнения Бесселя порядка 0 в виде степенного ряда и нанесите его на график.

   Убедитесь, что выражение, найденное на (Рисунок), является решением уравнения Бесселя порядка 0.

   Подсказка

   Разделите степенной ряд член за членом и подставьте его в дифференциальное уравнение.

   Ключевые понятия

   • Представления функций степенным рядом иногда можно использовать для поиска решений дифференциальных уравнений.
   • Продифференцируйте степенной ряд по члену и подставьте в дифференциальное уравнение, чтобы найти отношения между коэффициентами степенного ряда.

   Найдите решение в виде степенного ряда для следующих дифференциальных уравнений.

   Дифференциальное уравнение — это уравнение Бесселя первого порядка.Используйте степенной ряд формы, чтобы найти решение.

   Упражнения для повторения главы

   Верно или неверно ? Обоснуйте свой ответ доказательством или контрпримером.

   Если и являются обоими решениями, то также является решением.

   Следующая система алгебраических уравнений имеет единственное решение:

   является решением дифференциального уравнения второго порядка

   Чтобы найти частное решение дифференциального уравнения второго порядка, вам нужно одно начальное условие.

   Классифицируйте дифференциальное уравнение. Определите порядок, является ли он линейным и, если линейный, является ли дифференциальное уравнение однородным или неоднородным. Если уравнение является однородным и линейным второго порядка, найдите характеристическое уравнение.

   второго порядка, линейный, однородный,

   нелинейная неоднородная первого порядка

   Найдите общее решение для следующих проблем.

   Для следующих проблем, если возможно, найдите решение проблемы начального значения.

   Найдите решение краевой задачи для следующих задач.

   Для следующей задачи составьте и решите дифференциальное уравнение.

   Следующие задачи рассматривают «биения», которые возникают, когда вынуждающий член дифференциального уравнения вызывает «медленные» и «быстрые» амплитуды. Рассмотрим общее дифференциальное уравнение, управляющее незатухающим движением. Предположим, что

   Найдите общее решение этого уравнения ( Подсказка: вызов ).

   Предполагая, что система запускается из состояния покоя, покажите, что конкретное решение можно записать как

   [T] Используя полученные ранее решения, нарисуйте решение системы на интервале. Найдите аналитически период быстрой и медленной амплитуд.

   Для следующей задачи составьте и решите дифференциальные уравнения.

   Дифференциальные уравнения

   Дифференциальные уравнения

   Эти уравнения, содержащие производную,
   вовлекают темпы изменения — так часто появляются
   в инженерном или научном контексте.
   Решение уравнения включает интегрирование.

   Дан порядок дифференциального уравнения.

   по самой высокой используемой производной.

   Дана степень дифференциального уравнения.

   по степени мощности высшей
   производная используется.

   Примеры: —

   Типы дифференциальных уравнений: —

   Дифференциальные уравнения первого порядка

   Решение прямым интегрированием

   Общее решение дифференциальных уравнений вида
   можно найти с помощью прямого интегрирования.
   Подстановка значений начальных условий даст

   Пример

   Решите уравнение

   Найдите конкретное решение для
   дифференциальное уравнение

   при y = 5 при x = 3

   Пример

   Прямая линия с уклоном 2 проходит через
   точка (1,3).Найдите уравнение прямой.

   Разделимые переменные

   Дифференциальное уравнение с разделением переменных равно единице
   в котором уравнение может быть записано со всеми членами
   для одной переменной на одной стороне уравнения, а для другой
   условия с другой стороны.

   Пример

   Найти общее решение дифференциального уравнения

   Пример

   Найти общее решение дифференциального уравнения

   Пример

   Найдите частное решение дифференциального уравнения

   при y = 2 при x = 1

   Частичные дроби необходимы, чтобы преобразовать левую часть уравнения в форму, которая может быть интегрирована.

   т.

   , который интегрируется в общее решение

   заменяющие значения для конкретного решения

   Линейные дифференциальные уравнения

   Это дифференциальные уравнения первой степени.

   описывает общее линейное дифференциальное уравнение порядка n,
   где a _n (x), a _n-1 (x) и т. д. и f (x) — заданные функции
   x или константы.

   Луи Арбогаст представил дифференциальный оператор
   D = d / dx, что упрощает общее уравнение до

   или

   Если f (x) = 0, уравнение называется однородным.
   Если f (x) ≠ 0, уравнение неоднородно

   Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

   Для решения уравнений вида

   1) Экспресс по стандартной форме

   где P и Q — функции x или константы

   2) Умножьте обе части на
   Интегрирующий коэффициент

   3) Напишите

   4) Интегрируйте правую часть,

   при необходимости использовать интеграцию по частям

   5) Разделите обе стороны на коэффициент интегрирования.

   Это дает общее решение.

   6) Используйте любые начальные условия, чтобы найти

   частные решения.

   Пример

   Найдите общее решение уравнения

   т.

   Пример

   Найдите общее решение уравнения

   , где x ≠ 2, и, следовательно, найти частное решение
   для y = 1, когда x = -1

   Линейные дифференциальные уравнения второго порядка

   Для решения уравнений вида

   1) Запишите вспомогательное уравнение
   am ² + bm + c = 0

   (почему это работает, UCL.ac.uk)

   2) Исследовать дискриминант
   вспомогательное уравнение.

   3) Для настоящих и отчетливых корней, м ₁ и м ₂ ,

   общее решение —

   4) Для настоящих и равных корней

   общее решение —

   5) Для комплексно-сопряженных корней

   m ₁ = p + iq и m ₂ = p — iq,
   общее решение —

   6) Используйте любые начальные условия, чтобы найти
   конкретное решение.

   Пример

   Найдите общее решение уравнения

   и конкретное решение, для которого
   y = 7, когда x = 0 и dy / dx = 7

   Пример

   Найдите общее решение уравнения

   и конкретное решение для
   y = 0 и dy / dx = 3, когда x = 0

   Пример

   Найдите общее решение уравнения

   Неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка

   Решение уравнений вида

   состоит из двух частей, дополнительная функция (CF)
   и частный интеграл (PI).

   , поэтому Q (x) = CF + PI

   CF — это общее решение, описанное выше.
   для решения однородных уравнений.

   Частный интеграл находится путем замены
   форма, аналогичная Q (x) в уравнении левой части,
   и приравнивая коэффициенты.

   • Если Q (x) является линейной функцией, попробуйте y = Cx + D
   • Если Q (x) квадратично, попробуйте Cx ² + Dx + E
   • Если Q (x) — волновая функция, попробуйте CSinx + Dcosx
   • Если Q (x) — константа, попробуйте y = C
   • Если Q (x) равно e ^kx , попробуйте y = Ce ^kx

   PI не может иметь ту же форму, что и любой из терминов в CF,
   , поэтому необходимо соблюдать осторожность
   чтобы убедиться, что это не так.
   В такой ситуации обычно используется дополнительный член x.
   введен в ИП.

   Частное решение находится заменой
   начальные условия в общее решение.
   Не надо просто использовать CF !!!

   Пример

   Найдите общее решение уравнения

   Пример

   Найдите общее решение уравнения

   и конкретное решение для
   y = 0 и dy / dx = 5, когда x = 0

   Теперь подставьте их обратно в исходное уравнение

   Теперь найдите конкретное решение

   Уф !!

   Подробнее

   http: // en.wikipedia.org/wiki/Differential_equation
   http://en.wikipedia.org/wiki/Ordinary_differential_equation
   http://en.wikipedia.org/wiki/Linear_differential_equation
   http://en.wikipedia.org/wiki/Superposition10_principle
   http://en.wikipedia.org/wiki/Integrating_factor

   Некоторые примеры дифференциальных уравнений

   http://en.wikipedia.org/wiki/Examples_of_differential_equations
   http://en.wikipedia.org/wiki/RC_circuit
   http: // en.wikipedia.org/wiki/Classical_mechanics
   http://en.wikipedia.org/wiki/Dynamical_systems
   http://en.wikipedia.org/wiki/Numerical_methods
   http://en.wikipedia.org/wiki/Newton% 27s_Laws
   http://en.wikipedia.org/wiki/Radioactive_decay
   http://en.wikipedia.org/wiki/Wave_equation
   http://en.wikipedia.org/wiki/Schr%C3%B6dinger_equation
   http: //en.wikipedia.org/wiki/Shallow_water_equations
   http://en.wikipedia.org/wiki/Maxwell%27s_equations
   http: //en.wikipedia.org / wiki / Harmonic_oscillator
   http://en.wikipedia.org/wiki/Vector_space
   http://en.wikipedia.org/wiki/Method_of_undetermined_coefficients
   http://en.wikipedia.org/wiki/Euler%27s_formula
   http://en.wikipedia.org/wiki/Poisson%27s_equation
   http://en.wikipedia.org/wiki/Quantum_mechanics
   http://en.wikipedia.org/wiki/Verhulst_equation

   Рабочий лист Diff eq

   Рассмотрим дифференциальное уравнение (a) Пусть y будет частным решением данного дифференциала (Xluation для 1 <<5, так что прямая y = –2 касается графика f.Найдите координату lþ точки касания и определите, имеет ли f локальный максимум, локальный минимум или ни одного в этой точке. Обосновать ответ.

   (EQ 1) (EQ 2) Разделив номинальный ток первичной обмотки на номинальный ток, мы получим: (EQ 3) (EQ 4) Расчетное соотношение для CT 2 ниже; следовательно, значение ТТ блока равно 1000 А. НАСТРОЙКИ НА УСТАНОВКУ (МИН PKP, ПЕРЕРЫВ 1 И 2) В этом примере настройка минимального срабатывания 0,1 о.е. равна 0,1 × 1000 А = дифференциальный ток 100 А.

   18.Рассмотрим дифференциальное уравнение dy x dx y. (a) На представленных осях нарисуйте поле наклона для данного дифференциального уравнения. (b) Нарисуйте кривую решения, которая проходит через точку (0, 1) на вашем поле уклона. (c) Найдите частное решение x дифференциального уравнения с начальным условием f 01.

   Ti-84 плюс рассчитать частичную фракцию. Математика, решающая второй порядок, введение в решения домашних заданий по абстрактной алгебре, факторизации многочленов, рабочие листы «завершение квадрата», калькулятор рациональных выражений (пример:) радикальный калькулятор (пример:) рабочие листы для минусовых чисел ks3, рабочий лист целых чисел (пример:) решения дифференциала второго порядка уравнение, упрощающее показатель степени.2 \). Мы поговорим о двух методах решения этих чудовищ. Сначала долгий, утомительный и громоздкий метод, а затем сокращенный метод с использованием «интегрирующих факторов».

   Дифференциальные уравнения широко известны как язык, на котором выражаются законы природы.