Признаки делимости на 32: Признаки делимости | Математика

Содержание

на 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11

В данной публикации мы рассмотрим признаки делимости на числа от 2 до 11, сопроводив их примерами для лучшего понимания.

Признак делимости – это алгоритм, используя который можно сравнительно быстро определить, является ли рассматриваемое число кратным заранее заданному (т.е. делится ли на него без остатка).

Признак делимости на 2

Число делится на 2 тогда и только тогда, когда его последняя цифра является четной, т.е. также делится на два.

Примеры:

  • 4, 32, 50, 112, 2174 – последние цифры этих чисел четные, значит они делятся на 2.
  • 5, 11, 37, 53, 123, 1071 – не делятся на 2, т.к. их последние цифры являются нечетными.

Признак делимости на 3

Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма всех его цифр, также, делится на три.

Примеры:

  • 18 – делится на 3, т.к. 1+8=9, а число 9 делится на 3 (9:3=3).
  • 132 – делится на 3, т.к. 1+3+2=6, а 6:3=2.
  • 614 – не кратно 3, т.к. 6+1+4=11, а 11 не делится без остатка на 3 (11:3=32/3).

Признак делимости на 4

Двузначное число

Число делится на 4 тогда и только тогда, когда сумма удвоенной цифры в разряде его десятков и цифры в разряде единиц, также, делится на четыре.

Примеры:

  • 64 – делится на 4, т.к. 6⋅2+4=16, а 16:4=4.
  • 35 – не делится на 4, т.к. 3⋅2+5=11, а 11:4=23/4.

Число разрядов больше 2

Число кратно 4, когда две его последние цифры образуют число, делящееся на четыре.

Примеры:

  • 344 – делится на 4, т.к. 44 кратно 4 (по алгоритму выше: 4⋅2+4=12, 12:4=3).
  • 5219 – не кратно 4, т.к. 19 не делится нацело на 4.

Примечание:

Число делится на 4 без остатка, если:

  • в его последнем разряде стоят цифры 0, 4 или 8, а предпоследний разряд при этом является четным;
  • в последнем разряде – 2 или 6, а в предпоследнем – нечетные цифры.

Признак делимости на 5

Число делится на 5 тогда и только тогда, когда его последняя цифра – это 0 или 5.

Примеры:

  • 10, 65, 125, 300, 3480 – делятся на 5, т.к. оканчиваются на 0 или 5.
  • 13, 67, 108, 649, 16793 – не делятся на 5, т.к. их последние цифры – не 0 или 5.

Признак делимости на 6

Число делится на 6 тогда и только тогда, когда он одновременно кратно и двум, и трем (см. признаки выше).

Примеры:

  • 486 – делится на 6, т.к. делится на 2 (последняя цифра 6 – четная) и на 3 (4+8+6=18, 18:3=6).
  • 712 – не делится на 6, т.к. оно кратно только 2.
  • 1345 – не делится на 6, т.к. не является кратным ни 2, ни 3.

Признак делимости на 7

Число делится на 7 тогда и только тогда, когда сумма утроенного числа его десятков и цифры в разряде единиц, также, делится на семь.

Примеры:

  • 91 – делится на 7, т.к. 9⋅3+1=28, а 28:7=4.
  • 105 – делится на 7, т.к. 10⋅3+5=35, а 35:7=5 (в числе 105 – десять десятков).
  • 812 – делится на 7. Здесь следующая цепочка: 81⋅3+2=245, 24⋅3+5=77, 7⋅3+7=28, а 28:7=4.
  • 302 – не делится на 7, т.к. 30⋅3+2=92, 9⋅3+2=29, а число 29 на 7 не делится.

Признак делимости на 8

Трехзначное число

Число делится на 8 тогда и только тогда, когда сумма цифры в разряде единиц, удвоенной цифры в разряде десятков и учетверенной в разряде сотен делится на восемь.

Примеры:

  • 264 – делится 8, т.к. 2⋅4+6⋅2+4=24, а 24:8=3.
  • 716 – не делится 8, т.к. 7⋅4+1⋅2+6=36, а 36:8=41/2.

Число разрядов больше 3

Число делится на 8, когда три последние цифры образуют число, делящееся на 8.

Примеры:

  • 2336 – делится на 8, т.к. 336 кратно 8.
  • 12547 – не кратно 8, т.к. 547 не делится без остатка на восемь.

Признак делимости на 9

Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма всех его цифр, также, делится на девять.

Примеры:

  • 324 – делится на 9, т.к. 3+2+4=9, а 9:9=1.
  • 921 – не делится на 9, т.к. 9+2+1=12, а 12:9=11/3.

Признак делимости на 10

Число делится на 10 тогда и только тогда, когда оно оканчивается на ноль.

Примеры:

  • 10, 110, 1500, 12760 – кратные 10 числа, последняя цифра – 0.
  • 53, 117, 1254, 2763 – не делятся на 10.

Признак делимости на 11

Число делится на 11 тогда и только тогда, когда модуль разности сумм четных и нечетных разрядов равен нулю или делится на одиннадцать.

Примеры:

  • 737 – делится на 11, т.к. |(7+7)-3|=11, 11:11=1.
  • 1364 – делится на 11, т.к. |(1+6)-(3+4)|=0.
  • 24587 – не делится на 11, т.к |(2+5+7)-(4+8)|=2, а 2 не делится на 11.

Сайт учителя математики Машенковой Т. А.

                                                   Признаки делимости
Признак делимости на 2.

Целое число делится на 2 тогда и только тогда, когда последняя его цифра делится на 2 (т.е. число четное).                                          Например, 288 делится на 2, т.к. 8 делится на 2.
Признак делимости на 3.

Целое число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3. 
                                                        Например, 462 делится на 3, т.к. 4 + 6 + 2 = 12 делится на 3.
Признак делимости на 4.

Целое число делится на 4 тогда и только тогда, когда число, образованное последними двумя цифрами делится на 4.                                             Например, 1352 делится на 4, т.к. 52 делится на 4.
Признак делимости на 5.

Целое число делится на 5 тогда и только тогда, когда последняя цифра числа делится на 5 (т.е. число оканчивается на 5 или на 0).
                                                                           Например, 235 делится на 5, т. к. 5 делится на 5.
Признак делимости на 6.

Целое число делится на 6 тогда и только тогда, когда оно одновременно делится на 2 и на 3 (т.е. число четное и сумма цифр числа делится на 3).
                                                        Например, 4602 делится на 6, т.к. 4602 — четное и 4 + 6 + 0 + 2 = 12 делится на 3.
Признак делимости на 8.

Целое число делится на 8 тогда и только тогда, когда число, образованное последними тремя цифрами делится на 8.                                  Например, 32168 делится на 8, т.к. 168 делится на 8.
Признак делимости на 9.

Целое число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9.
                                                                                           Например, 756 делится на 3, т.к. 7 + 5 + 6 = 18 делится на 9.
Признак делимости на 10.

Целое число делится на 10 тогда и только тогда, когда число оканчивается на 0.
                                                         Например, 2030 делится на 10, т.к. оканчивается на 0.
Признак делимости на 11.
Целое число делится на 11 тогда и только тогда, когда разница суммы цифр, стоящих на нечетных местах (начиная с цифры единиц) и суммы цифр стоящих на четных местах делится на 11.

                                                               Например, 918390 делится на 11, т.к.  (1 + 3 + 0) -(9 + 8 + 9) = 4-26 = -22 делится на 11
 Признак делимости на 2n (n N).

В общем случае, число делится на 2n тогда и только тогда, когда число образованное последними n цифрами делится на 2n (nN).
                                                         Например, 14532320 делится на 32 (25), т.к. 32320 делится на 32.
Признак делимости на 5n (n N).

В общем случае, число делится на 5n тогда и только тогда, когда число образованное последними n цифрами делится на 5n (nN).
                                                         Например, 12625 делится на 125 (53), т.к. 625 делится на 125.
Признак делимости на 10n (n N).

В общем случае, число делится на 10n тогда и только тогда, когда число оканчивается на n нулей
(nN).                                              Например, 150000 делится на 10000 (104), т.к. число оканчивается на 4 нуля.
Признак делимости на 7(на 13)
Целое число делится на 7(на 13) тогда и только тогда, когда разница суммы чисел, образующих грани по три цифры в грани (начиная с цифры единиц)на нечетных местах и суммы четных граней делится на 7(на 13).
                                                                              Например, 254 390 815 делится на 7, т.к. 815+254-390=679, а число 679 делится на 7.

Признак делимости на 16 | Математика

Делимость натурального числа на 16 зависит от четырёх последних цифр в его записи.

1-й признак делимости на 16

Натуральное число делится без остатка на 16:

— если последние четыре цифры в его записи образуют число, которое делится на 16;

— если его запись оканчивается четырьмя нулями.

Чтобы не проверять делимость на 16 числа, образованного четырьмя последними цифрами, непосредственным делением, можно воспользоваться другим признаком.

2-й признак делимости на 16

Натуральное число делится на 16 без остатка, если сумма — цифра из разряда тысяч, умноженная на 8, плюс цифра из разряда сотен, умноженная на 4, плюс цифра из разряда десятков, умноженная на 10, плюс цифра из разряда единиц, — делится на 16.

Схематически второй признак делимости на 16 для четырёхзначного числа можно изобразить так:

Для шестизначного числа делимость на 16 схематически выглядит так:

Примеры.

Определить, какие из данных чисел делятся без остатка на 16:

1) 1072;

2) 1553;

3) 2198;

4) 15472;

5) 86448;

6) 102192;

7) 105504;

8) 514352.

Решение:

1) 1072: 8∙1+4∙0+10∙7+2=8+0+70+2=80. Так как 80 делится на 16, то и 1072 делится на 16 нацело.

2) 1553 не делится на 8, так как его запись оканчивается нечётной цифрой.

3) 2198: 8∙2+4∙1+10∙9+8=16+4+90+8=118. 118 на 16 не делится. Следовательно, 2198 не делится без остатка на 16.

4) 15472: 8∙5+4∙4+10∙7+2=40+16+70+2=128. Поскольку 128 кратно 16, 15472 также кратно 16.

5) 86448: 8∙6+4∙4+10∙4+8=48+16+40+8=112. Так как 112 делится на 16, то и 86448 делится на 16.

6) 102192: 8∙2+4∙1+10∙9+2=16+4+90+2=112. 112 делится на 16. Значит, 102192 делится на 16 нацело.

7) 105504: 8∙5+4∙5+10∙0+4=40+20+0+4=64. Так как 64 делится на 4, 105505 делится на 16.

8) 514352: 8∙4+4∙3+10∙5+2=32+12+50+2=96. 96 делится на 16. Следовательно, и 514352 делится на 16.

Ответ: 1072; 15472; 86448; 102192; 105504; 514352.

Признак делимости на 8 | Математика

Делимость нацело числа на 8 зависит от последних трёх цифр в его записи.

Признак делимости на 8

Натуральное число делится без остатка на 8,

— если его запись оканчивается тремя цифрами, образующими число, которое делится без остатка на 8;

— если его запись оканчивается тремя нулями.

Проверить делимость на 8 трёхзначного числа проще всего непосредственным делением. Но и в этом случае есть признак.

Признак делимости трёхзначного числа на 8

Трёхзначное число 

   

(то есть его запись состоит из цифр a, b и c соответственно) делится без остатка на 8, если

   

делится на 8

(к умноженному на 4 числу сотен прибавляем удвоенное число десятков и число единиц и проверяем делимость полученной суммы на 8).

Примеры.

1) Определить, какие из данных трёхзначных чисел делятся без остатка на 8:

952; 528; 236; 794.

Решение:

Делимость этих чисел на 8 можно проверить непосредственным делением. Если же использовать признак делимости на 8 трёхзначного числа, получим:

4∙9+2∙5+2=48. Так как 48 делится на 8, то и 952 делится на 8.

4∙5+2∙2+8=32. 32 делится на 8, значит 528 также делится на 8.

4∙2+2∙3+6=20. Поскольку 20 не делится на 8, то и 236 не делится нацело на 8.

4∙7+2∙9+4=50. 50 не делится на 8, следовательно, 794 не делится без остатка на 8.

2) Какие из чисел делятся нацело на 8:

12320; 5246; 75000; 688975; 234984; 813758; 943552; 420783; 382268; 563000; 231608; 117376; 492170; 571824; 45657.

Решение:

Прежде всего отбросим все нечётные числа:

688975, 420783, 45657 — они не делятся на 8 без остатка.

Выберем числа, запись которых оканчивается тремя нулями:

75000, 563000 — они делятся на 8.

В оставшихся числах проверяем делимость на 8 числа, образованного тремя последними цифрами:

12320  делится на 8, так как 320 делится на 8 без остатка;

5246 не делится на 8, так как 246 не делится на 8;

234984 делится на 8, так как 984 кратно 8;

813758 не делится на 8, поскольку 758 не делится на 8 без остатка;

943552 делится на 8, потому что 552 делится на 8;

382268 не делится на 8, так как 268 не делится на 8;

231608 делится на 8, потому что 608 делится на 8;

117376 делится на 8, так как 376 делится нацело на 8;

492170 не делится на 8 без остатка, так как 170 не делится на 8;

571824 делится на 8, потому что 824 кратно 8.

Ответ: 12320; 75000; 234984; 943552; 563000; 231608; 117376; 571824.

ДЕЛЕНИЕ НА 8: НАЦЕЛО И С ОСТАТКОМ

Благодарен вашему
журналу за публикацию моего
материала о признаке делимости
целых чисел на 7 (см. «Наука и
жизнь» № 10, 1997 г.). Рискну
предложить еще один новый признак
делимости, но уже на 8.

Я перелистал
много книг по занимательной
математике, но такого признака не
нашел нигде.

Общепринятый
признак делимости на 8 выглядит так:
число делится на 8 в том и только в
том случае, если его последние три
цифры образуют число, делящееся на
8.

Этот способ
деления основан на том, что все
числа, кратные 1000, делятся на 8 без
остатка.

Значит,
определение признака делимости на 8
любых многозначных целых чисел
сводится в итоге к определению
признака делимости на 8 трехзначных
чисел.

Трехзначные числа
и будем рассматривать.

Б. А. Кордемский
сводит делимость уже трехзначных
чисел к делимости двузначных
(образованных цифрами сотен и
десятков): «На 8 делится всякое
трехзначное число, у которого
двузначное число, образованное
цифрами сотен и десятков, сложенное
с половиной числа единиц, делится
на 4».

Он приводит
пример с числом 592. Применяя к нему
признак делимости, получаем:

59 + 1 = 60,

где 1 — это 2:2,
половина числа единиц.

Число 60 делится на
4, значит, число 592 делится на 8 без
остатка.

При данном методе
определения остатка от деления
надо учитывать, что трехзначные
числа, оканчивающиеся нечетной
цифрой (1, 3, 5, 7, 9), надо сначала
«округлить» в разряде единиц
до ближайшей большей или меньшей
четной цифры и в конечном
результате опять же учесть эту
единицу, то есть прибавить ее или
отнять. Это первое.

Второе: в
некоторых случаях сумма
двузначного числа, образованного
цифрами сотен и десятков, и
половины единиц будет также
трехзначным числом, что опять же не
совсем удобно. Это будет
происходить с рядом чисел в
промежутке от 968 до 999.

Однако всех этих
неудобств — прибавления (вычитания)
1 и оперирования трехзначными
числами — можно избежать.

Вспомним, что
четное число сотен — 2, 4, 6, 8 (200, 400, 600,
800) делится на 8 без остатка.
Следовательно, у таких, к примеру,
чисел, как 059, 237, 461, 632, 844, определить
остаток от деления на 8 можно сразу
по двузначному числу,
составленному из десятков и единиц,
то есть по числам 59, 37, 61, 32, 44.
Достаточно в уме разделить эти
двузначные числа на 8.

Если цифры сотен в
трехзначных исходных числах
нечетны (1, 3, 5, 7, 9), то опять же делим
на 8 двузначные числа, образованные
десятками и единицами, но в этом
случае прибавляем (или отнимаем) к
двузначным числам цифру 4. Этот факт
следует из того, что все целые
нечетные сотни (100, 300, 500, 700, 900) при
делении на 8 дают один остаток — 4.

Для примера
возьмем числа 165, 371, 587, 716, 923.
«Превратим» их в двузначные
числа, прибавляя (можно отнимая) 4:

69, 75, 91, 20, 27.

Делить эти
двузначные числа на 8 опять же
просто. Остатки от делений и будут
остатками от деления на 8 исходных
трехзначных чисел.

А как поступить,
если трехзначное число 997?

Выше говорилось,
что цифру 4 можно не только
прибавлять, но и отнимать от
двузначного числа. Значит, делить
на 8 будем уже число 93: 97- 4 = 93.

Так происходит
«избавление» от трехзначных
чисел.

Обобщая все
вышесказанное, алгоритм
упрощенного признака делимости на 8
целых чисел можно записать так:
отделяем, отсчитывая справа, три
цифры исходного числа; если третья
справа цифра четная (0, 2, 4, 6, 8), то
делим на 8 только число,
образованное двумя крайними
правыми цифрами; остаток от этого
деления и будет остатком от деления
на 8 всего исходного числа; если
третья справа цифра в исходном
числе нечетная (1, 3, 5, 7, 9), делим на 8 число,
образованное двумя крайними
правыми цифрами, плюс (минус) 4;
остаток от деления этой суммы и
даст остаток от деления на 8 всего
исходного целого числа.

Как видно, этот
признак делимости совсем прост, и
для его освоения понадобятся
минимальные усилия и знание
элементарной арифметики.


Литература

Кордемский Б. А. Математическая
смекалка. М., 1991.

Воробьев Н. Н. Признаки
делимости. М., 1980.

Гарднер М. Математические
досуги. М., 1995.

Признак делимости на 9: примеры, доказательство

В данной статье будет дана формулировка признака делимости на 9 с его доказательством. Заключительным этапом будет приведение примера делимости на 9 с разным значением переменной.

Признак делимости на 9, примеры

Рассмотрим сам признак делимости на 9: когда сумма цифр целого числа делится на 9, тогда само число также делится на 9; когда сумма цифр не делится на 9, тогда очевидно, что и число не будет делиться на 9.

Для того, чтобы использовать данный признак делимости, необходимо разбираться  в сложении натуральных чисел. Известно, что из простых натуральных чисел существует только число 9, которое способно поделиться на 9 без остатка, то есть подходит под выше написанное определение.

Пример 1

Определить, какие из приведенных чисел 621, −32 112, 222, −331 поделятся на 9 без остатка.

Решение

Для решения задания необходимо перейти к вычислению сумм каждого из предложенных чисел. Получаем, что 6+2+1=9, 3+2+1+1+2=9, 2+2+2=8 и 3+3+1=7. Видно, что только 9 поделится на 9, а 8 и 7 нет. Отсюда имеем, что 621 и -32112 поделятся на 9 а 222 и -331 не поделятся.

Ответ: 621 и −32 112.

Бывают случаи, когда сумма цифр является трехзначным числом. Когда имеем число 945, то сумма его цифр – это 18, а сумма цифр 999888777666555 равняется 105. Тогда для установления делимости на 9 нужно применять правило несколько раз.

Пример 2

Определить, делится ли число 876 505 998 872 на 9.

Решение

Необходимо воспользоваться признаком делимости на 9. Переходим к вычислению суммы цифр заданного числа. Тогда получим, что 8+7+6+5+0+5+9+9+8+8+7+2=74. Чтобы определить, будет ли делиться 74 на 9,нужно найти сумму цифр. Тогда получаем, что 7+4=11, а 1+1=2. Отсюда следует, что 2 не поделится на 9. То есть число 74 на 9 не делится.

Ответ: не делится.

Чтобы проверить, будет делиться число на 9 или нет, нужно произвести деление на 9. Применение признака делимости на 9 и непосредственное деление на 9 занимает практически одно и то же время.

Доказательство признака делимости на 9

Чтобы доказать признак делимости на 9, нужно использовать дополнительные результаты.

Когда разложим по рядам любое натуральное число а, правила умножения натурального числа на 10, 100, 1000 позволяет представить все при помощи записи a=an·10n+an−1·10n−1+…+a2·102+a1·10+a0, где an, an−1, …, a0являются цифрами, записанных слева направо. Имеем, что 10=9+1, 100=99+1=11·9+1, 1 000=999+1=111·9+1, …, тогда  число а можно представить в виде a=an·11. ..1·9+1+…+a2·11·9+1+a1·(1·9+1)+a0.

Нужно преобразовать выражения до вида a=9·11…1·an+…+11·a2+1·a1+an+…+a2+a1+a0.

Отсюда получаем, что сумма an+…+a2+a1+a0 является суммой всех цифр, входящих в состав числа а. Чтобы запись была краткой, запишем a=9·11…1·an+…+11·a2+1·a1+A. Данное преобразование числа а применяется при доказательстве признака делимости на 9.

Используем 2 свойства делимости:

  • для возможности деления а на b нужно производить деление модуля а на модуль b;
  • при возможности деления на число b всего выражения a=s+t очевидно, что и все выражение поделится на b.

Рассмотрим само доказательство признака делимости на 9 вместе с необходимыми и достаточными условиями.

Теорема 1

Для того, чтобы целое число а делилось на 9 без остатка, необходимо и достаточно, что и сумма цифр числа а делилась на 9.

Доказательство 1

При а=0 теорема очевидна. Если а отлично от нуля, а его модуль – это натуральное число, тогда представим его в виде суммы вида a=9·11. ..1·an+…+11·a2+1·a1+A, что и было представлено задолго до написания теоремы. Выражение 9·11…1·an+…+11·a2+1·a1 имеет множитель 9, а сумма скобок – это натуральное число при любых an, an−1, …, a1. Видно, что свойство делимости подходит для выражения. Необходимо доказать, что сумма всех цифр (A) делится на 9, тогда и само число разделится на 9.

Если A делится на 9, тогда по равенству a=9·11…1·an+…+11·a2+1·a1+A и по второму указанному перед теоремой свойству имеем, что и модуль а будет делиться на 9. Получим, что и само число а будет делиться на 9. Достаточное свойство доказано.

Доказательство необходимого свойства включает в себя деление на 9 числа а при делении суммы всех цифр числа а.

Когда а будет делиться на 9, тогда и модуль числа разделится на 9. Это возможно благодаря первому свойству делимости. Из a=9·11…1·an+…+11·a2+1·a1+A и второго свойства видно, что A поделится на 9 без остатка. Необходимое свойство доказано.

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание

Другие случаи делимости на 9

Рассмотрим примеры решения примеров с доказательством делимости на 9, когда имеется буквенное выражение.

Пример 3

Будет ли выражение 10n−1  делиться на 9 при натуральном n?

Решение

Видим, что . То есть сумма цифр числа  равняется 9n, а 9n делится на 9 без остатка. Значит, что выражение соответствует признаку делимости при любом значении n.

Ответ: делится.

Имеются случаи, когда делимость на 9 нельзя определить при помощи деления на 9. Тогда выражение представляется в виде произведения нескольких множителей, где один из них делится на 9. Рассмотрим два таких способа. Решим примеры с помощью бинома Ньютона.

Пример 4

Определить, делится ли выражение 4n+6n-1 на 9 при любом значении n.

Решение

Представляем 4 в виде 3+1, используем формулу бинома Ньютона и получим:

4n+6n-1=3+1n+6n-1==Cn0·3n+Cn1·3n-1·1+…+Cnn-2·32·1n-1+Cnn-1·3·n-1+Cnn·1n++6n-1==3n+Cn1·3n-1+…+Cnn-2·32+n·3+1+6n-1==3n+Cn1·3n-1+…+Cnn-2·32+9n

Когда n=1, получаем, что 4n+6n-1=41+6·1-1=9. Очевидно, что 9 делится на 9. Когда значение n больше 1, тогда видно, что сумма 3n+Cn1·3n-1+. ..+Cnn-2·32+9n может быть упрощена при помощи выноса 9 за скобки. Получим выражение вида 9·3n-2+Cn1·3n-3+…+Cnn-2·30+n. Очевидно, что произведение поделится на 9, а значение выражения в скобке удовлетворяет условию n>1  и является натуральным числом. Отсюда имеем, что 4n+6n-1 делится на 9 при любых натуральных значениях n.

Ответ: делится.

Если исходное выражение c n переменной в виде многочлена, тогда используется такой способ. При доказательстве n=9·m, n=9·m+1, …, n=9·m+8, где m является целым числом, а исходное выражение делится на 9, тогда очевидно, что делимость будет доказана при любом значении n.

Пример 5

Доказать, что n6-8n4+16n2 будет делиться на 9 при любом значении n.

Решение

Чтобы удобней было вычислять, нужно выражение n6-8n4+16n2 разложить на множители. тогда получим, что

n6-8n4+16n2=n2·(n4-8n2+16)=n2·(n2-4)2==n2·(n-2)2·(n+2)2

Пусть m будет целым числом. Отсюда имеем, что n=9·m даст выражение вида n2·(n-2)2·(n+2)2=(9m)2·(9m-2)2·(9m+2)2. Так как имеется множитель 9, то очевидно, что выражение поделится на 9.

Если выражение вида n=9·m+1, то получим, что

n2·(n-2)2·(n+2)2=(9m+1)2·(9m-1)2·(9m+3)2==9m+12·9m-12·9·3m+12

Данное произведение поделится на 9, так как есть множитель 9. Таким же образом проверяется выражение вида n2·(n-2)2·(n+2)2 при n=9·m+2, n=9·m+3, …, n=9·m+8

Отсюда видно, что делимость на 9 доказана, значит, выражение делится на 9 при любом значении n.

Рассмотрим пример при помощи метода математической индукции.

Пример 6

Доказать, что выражение 4n+6n-1 делится на 9 при любом значении n.

Решение

Чтобы доказать делимость на 9, необходимо использовать формулу математической индукции.

Когда n=1, то выражение 4n+6n-1 равняется 9, значит и делится на 9. Если предположить, что n=k, тогда выражение запишется так 4k+6k-1. Оно тоже делится на 9.

По предыдущему шагу понятно, что 4n+6n-1 будет делиться на число 9 при n=k+1.

Получаем, что

4k-1+6·(k+1)-1==4·4k+6k+5==4·(4k+6k-1)-18k+9==4·(4k+6k-1)-9·(2k-1)

Тогда из разности вида 4·4k+6k-1 видно, что она делится на 9. Предыдущий шаг показал, что 4k+6k-1 делится на 9 также, как и 9·(2k-1). Отсюда получаем, что вся разность поделится на 9. Можно говорить о том, что выражение 4n+6n-1 при n=k+1 будет делиться на 9.

Данное задание было решено при помощи метода математической индукции. Получили в результате, что заданное выражение поделится на 9 при любом целом значении n.

Признаки Делимости Чисел на 2, 3, 5, 9, 10

Что такое «признак делимости»

Признак делимости числа — это такая особенность числа, которая еще до выполнения деления позволяет определить, кратно ли число делителю.

Истинный путь джедая, чтобы зря не пыхтеть над числами, которые в конечном итоге не делятся. 

Однозначные, двузначные и трехзначные числа

Однозначное число — это такое число, в составе которого один знак (одна цифра). Девять однозначных натуральных чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Двузначные числа — такие, в составе которых два знака (две цифры). Цифры могут повторяться или быть различными.

Например:

Трехзначные числа — числа, в составе которых три знака (три цифры).

Например:

Чётные и нечётные числа

Число называют четным тогда, когда оно делится на два без остатка. А нечетные числа — те, что на два без остатка не делятся. Все просто!

  • Число «0» считается четным числом. 
  • 0,  8,  24,  66, 88,  100,  120  — чётные.
  • 1,  7,  31,  75,  91,  111,  311  — нечётные.

Признаки делимости чисел

Признак делимости на 2. Сразу можно сказать, что число делится на 2, если последняя цифра четная.

Например:

  • Число 51352 можно разделить на 2, так как последняя цифра (2) делится на 2 без остатка.

Признак делимости на  3. Сумма цифр числа должна делиться на 3.

Например:

  • 20715 можно поделить на 3, так как 2 + 0 + 7 + 1 + 5 = 15 делится на 3.

Признаки делимости на  4.  Число делится на 4, если две последние цифры — 0 или если они образуют цифру, которая делится на 4.

Например:

  • 84100 делится на 4, так как в конце стоят два нуля.
  • Число 5324 и 1108 тоже делятся на 4, так как последние цифры образуют числа (24 и 08), которые делятся на 4.

Признаки делимости на  5.  Число делится на 5, если заканчивается на 0 или 5. 

Например:

  • 540 и 545 делятся на 5.

Признак делимости на  6.  На 6 делятся те числа, которые могут одновременно делится на 2 и на 3.

Например:

  • Число 612 делится на 2 и на 3.

Признаки делимости на  8. Число делится на 8, если три последних цифры — 0 или если они образуют число, которое делится на 8.

Например:

  • 43000 делится на 8, так как 43(000) оканчивается нулями
  • 8128 — тоже делится на 8: последние три цифры образуют число 128, которое делится на 8.

Признак делимости на  9.  Число делится на 9, если сумма цифр делится на 9.

Например:

  • 1737 — сумма цифр 1 + 7 + 3 + 7 = 18. 18 делится на 9.

Признаки делимости на  10, 100. Числа, которые заканчиваются на 0, 00, 000 делятся на 10, 100, 1000 и так далее.

Например:

  • 890 делится на 10.
  • 1200 делится на 100.

У нас есть очень крутая статья — деление в столбик, возможно тебе будет интересно!

В детской школе Skysmart считать ученикам помогает веселый енот Макс и его друзья. Вместо скучных параграфов ребенка ждут интерактивные упражнения с мгновенной автоматической проверкой и онлайн-доска, где можно рисовать и чертить вместе с преподавателем. А еще развивающие игры, квесты и головоломки на любой возраст и уровень.

Запишите ребенка на бесплатный вводный урок математики, чтобы он учился эффективно в удовольствие!

Правил делимости для полномочий 2

В этой предыдущей публикации я писал о некоторых правилах делимости различных чисел. В этом посте я упомянул, что легко вывести правила делимости для составных чисел, разбив их на простые произведения, а затем проверив делимость на каждое из этих простых чисел.

Одна проблема, которая беспокоила меня с того времени, — это проблема нахождения правил делимости для степеней двойки (4, 8, 16, 32 и т. Д.). Проблема в том, что в этих числах единственным простым делителем является 2.2) состоит в том, что последние 2 цифры числа должны делиться на 4. Кажется достаточно справедливым для 4 и, возможно, даже 8.

Но для того, чтобы число делилось на 16, последние 4 цифры должны делиться на 16. Чтобы последние 5 цифр делились на 32, последние 5 цифр должны делиться на 32. Как видите, правило делимости становится почти таким же обременительным в применении, как и фактическое деление целого числа на 16 или 32. Фактически, в во многих случаях вы можете пытаться проверить делимость чисел на 16 или 32, которые могут даже не иметь 4 или 5 цифр! Таким образом, проверка делимости становится реальным случаем деления и совсем не экономит труд.

В том же посте я также придумал правило делимости для 16, которое, кажется, менее трудоемко в применении, чем проверка делимости последних 4 цифр на 16. Правило казалось соблазнительно простым, соблазняя меня ложным чувством правильности . На самом деле, я удивлен, что никто не указал на то, что опубликованное мною правило совершенно неверно!

Да, совершенно не так. Правило скопировано ниже для справки:

… можно также взять сумму первой цифры, удвоенной второй цифры, 4-кратной 3-й цифры и 8-кратной четвертой цифры (цифры нумеруются справа, а не слева) и проверьте эту сумму на делимость на 16.

Почему это не так? Ну даже на 16-м не работает! Применяя это правило к числу 16, вы получаете сумму как 8, и поэтому 16 не должно делиться на 16. Очевидно, что с правилом что-то не так!

Проблема в том, что, поскольку правило было просто расширением правил, которые действительно работают для 2, 4 и 8, было легко поверить, что оно сработает. А его простота делает его еще более привлекательным, затуманивая ваши суждения. Мне было бы легко проверить, действительно ли это работает, но я этого не сделал.

Итак, мы должны вывести еще одно простое правило делимости для 16. Обратите внимание, что 10000 делится на 16, поэтому любое придуманное нами правило должно зависеть от последних 4 цифр, но никакая другая часть числа (другие части числа добавляют только 10000 к числу, и поскольку 10000 делится на 16, они не влияют на делимость числа на 16). Точно так же правило делимости числа 32 должно зависеть от последних 5 цифр, но не от другой части числа. Вы уловили идею.

Итак, напомним, следующие правила действительно работают:

Правило делимости для 2: если последняя цифра делится на 2, все число делится на 2.

Правило делимости для 4: (a) Если последние 2 цифры делятся на 4, все число делится на 4. (b) В качестве альтернативы, если последняя цифра + удвоенная цифра перед этим делится на 4, все число делится на 4.

Правило делимости для 8: (a) Если последние 3 цифры делятся на 4, все число делится на 8. (b) Второе правило аналогично тому, которое используется для 4. Возьмем сумму трех чисел: первое число — это сама последняя цифра.Второе число — это двойная предпоследняя цифра. Третье число в 4 раза больше цифры 3 с конца. Если эта сумма делится на 8, то все число делится на 8.

(c) Кроме того, 8 имеет еще одно правило делимости. Разделите последние 3 цифры на два блока: первый — с двумя последними цифрами номера, а второй — с третьей цифрой с конца. Теперь добавьте первый кусок к 4-кратному второму фрагменту, и если сумма делится на 8, то все число делится на 8.

Это последнее правило появилось в результате множества экспериментов и составляет основу для вывода правил для более высоких степеней 2. Давайте применим его, например, к 368. Мы разделили последние 3 цифры на две части. Первый кусок будет 68, а второй — 3. Затем мы прибавляем 4 * 3 к 68, чтобы получить 80. Поскольку 80 делится на 8, мы заключаем, что 368 делится на 8.

Пока что я не нашли какие-либо контрпримеры для этих правил, так что они, похоже, выдерживают реальные анекдотические испытания.

Как упоминалось ранее, простое расширение второго правила делимости для 8 не работает на 16. Почему? Не имею представления. Похоже, что правило не работает, когда вы переходите от проверки делимости на однозначное число (8) к двузначному числу (16).

Однако расширение третьего правила делимости на 8 действительно работает для 16. Вдобавок я, кажется, наткнулся на общее правило проверки делимости с помощью блоков цифр (блоков из 2, 3 и т. Д.).).

Таким образом, правила делимости на 16 следующие:

Правило делимости для 16: (a) Если последние 4 цифры числа делятся на 16, все число равно. (b) Как вариант, разделите последние 4 цифры номера на 2 части по 2 цифры в каждом. Добавьте первый фрагмент (последние 2 цифры) к 4-кратному второму фрагменту (предыдущие 2 цифры). Если эта сумма делится на 16, то все число делится на 16. (c) Кроме того, существует третье правило. Разделите последние 4 цифры на один трехзначный фрагмент (последние 3 цифры) и один однозначный фрагмент (четвертая цифра с конца). Добавьте первый кусок и 8 раз второй кусок. Если эта сумма делится на 16, все число делится на 16.

Давайте применим их к некоторым числам, чтобы увидеть, работают ли они. Возьмем, к примеру, 16. Применение второго или третьего правила выше тривиально (в обоих случаях первый фрагмент равен 16 или 016, а второй фрагмент равен 00 или 0, поэтому их сумма дает нам 16, что, очевидно, делится на 16). Для чего-то более сложного, давайте попробуем это, например, на 560. Два блока для правила номер 2 — это 60 и 05.Добавление 60 к 4 * 5 дает нам 80, что делится на 16, поэтому 560 делится на 16.

Теперь давайте попробуем это на 4-значном числе. Возьмем, к примеру, 3888. Два фрагмента — это 88 и 38. 88 + 4 * 38 = 240. Повторное применение правила дает нам 40 + 4 * 2 = 48. Мы знаем, что 48 делится на 16, поэтому мы заключаем, что 3888 делится на 16.

Применение третьего правила к 3888 дает нам два фрагмента, 888 и 3. 888 + 8 * 3 = 912. На этом этапе мы можем применить второе правило, чтобы получить 12 + 9 * 4 = 48, что делится на 16. .Таким образом, мы можем заключить, что 3888 делится на 16, используя также третье правило.

Теперь перейдем к 32. Очевидно, верно, что если последние 5 цифр делятся на 32, все число равно (потому что 100 000 делятся на 32). Некоторые более простые правила можно вывести, используя работу, которую мы проделали для 8 и 16. Фактически, расширив правила для 8 и 16 до 32, мы можем вывести 4 различных правила делимости для 32. Вот они:

Правило делимости для 32: (a) Если последние 5 цифр делятся на 32, все число делится на 32.(b) Разделите последние 5 цифр номера на 3 части по 2 цифры, 2 цифры и 1 цифру (последние 2 цифры, предыдущие 2 цифры и пятая цифра с конца). Если последний кусок + 4 раза следующий фрагмент + 16 раз третий фрагмент делится на 32, тогда все число равно. (c) Разделите последние 5 цифр на две части, первая из которых содержит последние 3 цифры номера, а вторая — 2 цифры, предшествующие этому. Если первый фрагмент + 8 раз второй фрагмент делится на 32, тогда все число равно. (d) Это правило является логическим продолжением двух предыдущих правил: разделите последние 5 цифр на две части, первая — с последними 4 цифрами номера, а вторая — с 5-й цифрой с конца. Если сумма первого фрагмента и 16-кратного второго фрагмента делится на 16, все число равно.

Давайте попробуем эти правила на примере номера. Возьмем 37024. Для второго правила 3 ​​блока — это 24, 70 и 3. Возьмем 24 + 4 * 70 + 16 * 3. Мы находим, что сумма равна 352. Повторно применяя правило, мы получаем 52 + 3 * 4 = 64.Мы знаем, что 64 делится на 32, поэтому заключаем, что 37024 делится на 32.

Для третьего правила наши порции равны 024 и 37. 24 + 8 * 37 = 320. Очевидно, 320 делится на 32, поэтому один раз И снова третье правило дает нам тот же сигнал делимости.

Для четвертого правила наши блоки — это 7024 и 3. 7024 + 16 * 3 — это 7072. На этом этапе мы можем переключиться либо на второе, либо на третье правило, чтобы продолжить проверку на делимость. Согласно второму правилу, наши чанки равны 72, 70 и 0. 72 + 4 * 70 = 352. Мы знаем, что 352 делится на 32, поэтому четвертое правило также подтверждает делимость на 32.

Хорошо, так что к настоящему времени шаблон для вывода правил делимости для степеней двойки кажется ясным. Сначала определите последние n цифр числа, где n — степень двойки, для которой необходимо проверить делимость. Разделите эти последние n цифр на части по крайней мере из m цифр, где m — количество цифр в степени 2, для которых мы проверяем делимость (чтобы мы могли использовать 1-значные фрагменты для 2, 4 и 8, но должны переключиться на как минимум 2-значные фрагменты для 16, 32 и 64 и 3-значные фрагменты для 128 и т. д.).п. Просто, не правда ли?

Хорошо, значит, что-то из вышеперечисленного верно, а что-то нет. Проверка правильности некоторых правил, представленных здесь, а также вывод новых правил очень просты с использованием арифметики по модулю. Я обнаружил это примерно через неделю после появления этого поста, и вы можете прочитать о моих открытиях в этом последующем посте.

Я оставлю вывод правил делимости для 64 (и 128 и других высших степеней) читателю. Я также оставлю читателям тщательную проверку этих правил, чтобы убедиться, что нет никаких нарушителей правил.Мне нравится думать об этом как о краудсорсинговом тестировании и отладке! Итак, попробуйте эти правила на разных числах и посмотрите, не сработает ли какое-либо из этих правил. Помните, что контрпримеры могут быть ложноотрицательными (число на самом деле делимым, но правило говорит, что это не так) или ложными срабатываниями (число не делится, но правило гласит, что это так). Ну что ж, удачи и удачи!

Правила делимости

Это полный урок с инструкциями и упражнениями по концепции делимости и правилам общей делимости, предназначенный для 5-го или 6-го класса.Во-первых, в нем кратко рассматриваются понятия множителя, делителя и числа, делимого на другое. Затем даются «простые» правила делимости на 2, 5, 10, 100 и 1000. Остальная часть урока сосредоточена на правилах деления на 3, 9, 6, 4 и 8 и содержит множество упражнений, в том числе забавные лабиринты и загадки с числами.

Шесть — это коэффициент из 48, потому что
6 × ( число ) равно 48.

Произведение 6 и 8 записывается 6
× 8. Мы тоже можем
решите это и обнаружите, что
произведение 6 и 8 равно 48.

Мы говорим, что
8 — делитель из 48,
потому что деление 48 ÷ 8
является
даже (остатка нет).

Условия , фактор и
делитель означает то же самое.Например, 7 — это
делитель 84, потому что 84 ÷ 7 — четное деление. Однако это
также означает, что 7 × ( число ) = 84, поэтому 7 — это коэффициент 84.

1. Ответ. В каждом случае объясните, почему
или почему бы и нет.

а. Является ли 8 множителем 100?

г. Является ли 7 множителем 3500?

г. 9 делит ли число 50?

Число делится на на другое число, если деление четное
(остатка нет).

Пример 1. 7,854 делится на
13?

Проверить, разделить
(либо длинным делением
или калькулятор)
7 854 ÷ 13

Получаете 604.153846… Дивизион
был
нет
даже, так что 7 854 НЕ делится на
на 13.

Пример 2. Is
2 × 3 × 17 делится на 10? К 6?

2 × 3 × 17 равно 6 ×
17.Ответ на этот вопрос не может заканчиваться цифрой 0,
, поэтому
число не делится на 10.

Это число IS делится на 6, так как
это 6 умноженное на число
(6 умноженное на 17).
Помните, если 6 — это коэффициент

номер,
это также делитель.

2. Ответ. В каждом случае объясните, почему или почему нет (обоснуйте свой ответ).

а. Делится ли 283 на 13?

г. Делится ли 13 × 2,809 на 13?

г. — это 3 × 3 × 3 × 3 × 3
делится на 2?

г. Делится ли 9896 на 7?

e. — это 2 × 758
× 5 делится на 10?

ф. Делится ли 2 × 15 × 2 × 7 на 4?

Правила простой делимости
(Вы уже должны знать
эти.)

Число делится на 2 , если оно заканчивается на 0,
2, 4, 6 или 8.Они называются даже
номера
.

Число делится на 5 , если оно заканчивается на 0
или 5.

Число делится на 10 , если оно заканчивается на
0. Например, 56 930 делится на 10.

Число делится на 100 , если оно заканчивается на
«00». Например, 450 000 делится на 100.

Число делится на 1000 , если оно заканчивается на
«000».Например, 450 000 делится на 1000.

3. Отметьте знаком «x», если число делится на 2, 5, 10, 100 или 1000.

Делится на

2 5 10 100 1000
825
400
332

Делится на

2 5 10 100 1000
600 200
56 000
307,995

Число делится на 3, если сумма
его цифры делятся на 3.

Пример. Проверить, есть ли
93025 делится на 3
сложите цифры:

9 + 3 + 0
+ 2 + 5 = 19

Так как 19 — это , а не , делимое на 3, то и 93025 не делится.

Совет: при добавлении
цифр, можно полностью пропустить любые
цифры, которые делятся на 3
(а именно 3, 6 и 9).

Например, чтобы проверить, делится ли 993,768
по 3,
просто добавьте 7 + 8 = 15 и опустите 9, 9, 3 и 6. Поскольку
15 делится
на 3, то есть 993 768.

4. Делятся ли эти числа на 3? Если да, выполните длинное деление и
разделите число на 3.

а. 539

г. 43 719

г. 9 032

5. Измените одну из цифр в номере 238 882
.
так что оно делится на 3, но не делится на на 2.

6.

Кто я?

«Мне от 50 до 100.
Я делюсь на 3 и на 4.
Моя цифра десятков — это двойная цифра моих единиц «.

Кто я?

«Ты найдешь меня
от 110 до
140…
Я не заканчиваю на нуле.
И я делимый
на 12. ”

Правило делимости числа 9 почти идентично правилу делимости числа 3:
А
число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9.

Пример. Проверить, является ли 105 642
делимый
на 9 сложите его цифры:

1 + 0 + 5 + 6 + 4 + 2 =
18

Так как 18, — это делится на 9, значит, 105 642.

7. Делятся ли эти числа на 9? Если да, сделайте длинное деление и разделите число на 9.

а. 888

г. 576

г. 44 082

Число делится на 6 , если оно делится как на 2, так и на 3.

8.Отметьте «x», если число делится на 2, 3, 5, 6 или 9.

Делится на

2 3 5 6 9
589
558

Делится на

2 3 5 6 9
495
3,594

Совет! Если вы знаете, что число делится на
номер н ,
затем вы можете пропустить счет до n
, чтобы найти больше чисел, которые также
делится на число n !

Например, вы знаете
что 100 это
делится на 4. Затем 100 — 4
= 96 также делится на 4.

Пропуск по четыре — вверх или вниз — до
получать
список чисел, которые делятся на 4:

100, 96, 92, 88, 84 и т. Д. ИЛИ
100, 104, 108, 112, 116, 120 и т. Д.

Это последовательные числа, делящиеся на 4.

9. а. Составьте список из пяти последовательных номеров
которые делятся на 9, начиная с
с 99.

г. Составьте список из пяти последовательных номеров, которые
делятся на
7, обратный отсчет
с 686.

А
число делится на 4 , если число образовано из его последних двух
цифр делится на 4.

Пример. Чтобы проверить, делится ли 5789 на 4, просто посмотрите на
номер 89. Это не
делится на 4, поэтому ни одно из них не является 5789.

Почему это работает? Потому что 100 делится на 4. Итак, мы уже
знаю, что 5700 — это
делится на 4. С этого момента мы просто пропускаем счет на 4
чтобы получить список чисел, кратных 4:
5,704, 5,708, 5,712, 5,716 и
так далее, что соответствует 4, 8, 12, 16 и так далее.
Следовательно, это
достаточно посмотреть на две последние цифры.

10. Отметьте «x», если число делится на 2, 3, 4, 5, 6 или 9.

Делится на

2 3 4 5 6 9
1,755
298
4 000
3,270

Делится на

2 3 4 5 6 9
3,548
277
237
10,999
Число делится на 8 , если половина его делится на 4.

11. Отметьте «x», если число делится на 2, 3, 4, 5, 6, 8 или 9.

Делится на

2 3 4 5 6 8 9
628
405

Делится на

2 3 4 5 6 8 9
938
224

12. Заполните выкройки. Обратите внимание на образцы в остатках !

а.
26 ÷ 4 = ______ Р ____

27 ÷
4 = ______ Р ____

28 ÷ 4 = ______ Р ____

29 ÷ 4 = ______ R ____

30 ÷ 4 = ______ R ____

31 ÷ 4 = ______ R ____

32 ÷ 4 = ______ R ____

б .
78 ÷
3 = ______ Р ____

79 ÷ 3 = ______ Р ____

80 ÷ 3 = ______ R ____

81 ÷ 3 = ______ R ____

82 ÷ 3 = ______ R ____

83 ÷ 3 = ______ R ____

84 ÷ 3 = ______ R ____

г. 54 ÷ 7 = ______ Р ____

55 ÷ 7 = ______ Р ____

56 ÷ 7 = ______ Р ____

57 ÷ 7 = ______ R ____

58 ÷ 7 = ______ R ____

59 ÷ 7 = ______ R ____

60 ÷ 7 = ______ Р ____

13.Мы знаем, что 686 делится на 7.

а. Что такое
остаток, если 687 делится на 7?

г. Что такое
остаток, если 688 делится на 7?

г. Каков остаток от деления 689 на 7?


14. Вот факт: 1881 делится на 11 без остатка.

а. Что такое
остаток, если 1882 разделить на 11?

г. Что такое
остаток, если 1886 разделить на 11?

г. Что такое
остаток, если 1890 разделить на 11?

15. а.
Найдите число, которое делится на 6 и находится в диапазоне от 90 до 100.

г. Найдите число, у которого остается остаток 1 при делении на 6 и которое находится между
90 и 100.

16. Лабиринты!
Найдите свой путь от слева к справа , двигаясь вправо, влево,
вверх или вниз (не
по диагонали), используя числа, которые делятся на данное число.Каждый
Число на вашем пути имеет
должно быть больше , чем предыдущее число на вашем пути.

Можно делить на 4:

18 52 100 502 300 312 348 322
16 44 64 446 292 144 360 422
6 16 72 292 280 266 436 232
86 94 104 144 216 204 568 522
60 54 128 132 244 286 572 588
12 8 12 90 308 312 78 544
15 12 136 98 254 308 348 548
44 48 66 166 256 388 428 444

Можно делить на 3:

5 15 23 392 486 500 510 581
3 9 14 298 471 492 501 555
6 21 35 255 444 504 398 577
15 27 39 65 408 354 345 362
17 37 41 99 103 287 285 311
21 33 44 81 88 204 234 254
22 36 51 69 127 171 202 189
9 16 33 72 108 132 156 166

17.

Кто я?

«Я делимый
на 8, но не на 5.
я
мне больше 25, но меньше 45 ».

Кто я?

«Я делюсь на 6.
Я больше
чем 200
но меньше 220. Сумма моих цифр 3. »


Этот урок взят из книги Марии Миллер Math Mammoth Multiplication & Division 3, опубликованной на сайте www.HomeschoolMath.net с разрешения автора. Авторские права © Мария Миллер.


Правило делимости числа (тест делимости)

Число делится на 2, 4, 8, 16, 32, .. 2 n , когда число, образованное последним, двумя, тремя, четырьмя, пятью … N цифр делится на 2, 4, 8, 16, 32, .. 2 n соответственно.

Пример: 1246384 делится на 8, потому что число образовано последними тремя цифрами i.е. 384 делится на 8. Число 89764 делится на 4, потому что число, образованное двумя последними цифрами, 64 делится на 4.

B. Делимость на 3 и 9

Число делится на 3 или 9 когда сумма цифр номера делится на 3 или 9 соответственно.

Пример: 313644 делится на 3, потому что сумма цифр — 3 + 1 + 3 + 6 + 4 + 4 = 21 делится на 3.

Число 212364 делится на 9, потому что сумма цифр — 2 + 1 + 2 + 3 + 6 + 4 = 18 делится на 9.

C. Делится на 6, 12, 14, 15, 18 ..

Каждый раз, когда нам нужно проверить делимость числа N на составное число C, число N должно делиться на все простые множители ( наивысшая степень каждого простого множителя), присутствующего в C.

делимость на 6: число должно делиться как на 2, так и на 3.

деление на 12: число должно делиться как на 3, так и на 4.

делимость на 14: число должно делиться как на 2, так и на 7 .

деление на 15: число должно делиться как на 3, так и на 5.

деление на 18: число должно делиться как на 2, так и на 9.

ПРИМЕРЫ

Шестизначное число 73A998 делится на 6. Сколько значений A возможно?

Ответ: Поскольку число заканчивается четной цифрой, число делится на 2. Чтобы найти делимость на 3, нам нужно считать сумму цифр числа.

Сумма цифр = 7 + 3 + A + 9 + 9 + 8 = 36 + A.

Чтобы число делилось на 3, сумма цифр должна делиться на 3. Следовательно, A может принимать значения, равные 0, 3, 6 и 9.

Ответ = 4

D. Делимость на 7, 11 и 13

Пусть число будет… .kjlhgfedcba, где a, b, c, d — соответственно цифры единиц, десятки, сотни, тысячи цифр и так далее. Начиная справа налево, последовательно составляем группы из трехзначных чисел и продолжаем до конца. Необязательно, чтобы крайняя левая группа состояла из трех цифр.

Группирование указанного числа в группы по три, справа налево, выполняется следующим образом Ã kj, ihg, fed, cba

Мы добавляем альтернативные группы (1 st , 3 rd , 5 и т. Д. И 2 , 4 , 6 и т. Д.), Чтобы получить два набора номеров, N 1 и N 2 .

В приведенном выше примере N 1 = cba + ihg и N 2 = fed + kj

Пусть D будет разностью двух чисел, N 1 и N 2 i.е. D = N 1 — N 2 .

Если D делится на 7, то исходное число делится на 7.

Если D делится на 11, то исходное число делится на 11

Если D делится на 13, то исходное число делится на 13.

Следствие:

Любое шестизначное, двенадцатизначное, восемнадцатизначное или любое такое число с числом цифр, кратным 6, делится на КАЖДЫЙ из 7, 11 и 13, если все его цифры совпадают с .

Например, 666666, 888888888888 и т. Д. Делятся на 7, 11 и 13.

Пример

Найдите, делится ли число 2

76 на 7.

Ответ: Мы составляем группы из трех, как сказано выше. — 29 088 276

N 1 = 29 + 276 = 305 и N 2 = 88

D = N 1 — N 2 = 305 — 88 = 217. Мы видим, что D делится на 7 Следовательно, исходное число делится на 7.

Найдите цифру A, если число 888….888A999… .999 делится на 7, где цифры 8 и 9 равны 50.

Решение: мы знаем, что 888888 и 999999 делятся на 7. Следовательно, 8, записанные 48 раз подряд и 9, записанные 48 раз подряд, будут делиться на 7. Следовательно, нам нужно найти значение A, для которого число 88A99 делится на 7. Пробным путем мы можем найти A is = 5.
Answer = 5.

Еще немного gyan’on Числа:

Делители числа
Делители числа-2

Do you знаете, что у нас есть форум, где вы можете получить ответы на все свои количественные сомнения?
http: // tathagat.mba / forum /

Правила делимости — 4, 5, 8, 10 — Made Easy

Билли Бонка помешан на приготовлении сладких угощений.
Покупатели любят его восхитительные конфетные смеси, и последняя партия готова. Билли просто нужно разделить партию на упаковки по 4, 5, 8 или 10 угощений.

Чтобы выяснить это, Билли Бонка может использовать правила делимости .
В своей последней партии Билли сделал 1516 шариков черники, 1035 кубиков карамели и 1600 полосок клубники, и у него есть упаковка для 4, 5, 8 и 10 угощений в упаковке.Билли хочет упаковать угощения без остатков, поэтому он должен разделить количество угощений между упаковками поровну . Ладно, приступим к работе. Какие конфеты Билли может упаковать в упаковки по 5 штук?

Делимость на 5

Во-первых, давайте перечислим кратность из 5.
5, 10, 15, 20, 25, 30 и так далее. Что общего у всех мультипликаторов? Все они заканчиваются на 5 или 0.
Итак, чтобы число было делимым на 5, оно должно заканчиваться на 5 или 0.Число 1516 не заканчивается на 5 или ноль. Итак, мы можем смело сказать Билли, что 1516 не делится на 5 без остатка.
Что касается последних двух чисел, 1035 и 1600, одно заканчивается на 5, а другое на 0, поэтому оба числа должны делиться на 5.

Делимость на 10

Но что, если Билли захочет разделить конфеты на упаковки по 10 штук? Он мог вычислить это, используя деление в столбик, но есть более быстрый способ определить, делится ли число на 10 .
Поскольку каждое число, кратное 10, заканчивается на 0, число делится на 10, если оно также заканчивается на 0.Количество шариков черники не заканчивается на 0, поэтому это число не делится на 10.

Делимость на 4

Может, Билли упакует конфеты в группы по 4 штуки? Есть специальное правило, которое вы можете использовать, решая, делится ли число на 4, просто сосредоточьтесь на последних двух цифрах ! Верно! Независимо от длины числа, если последние две цифры делятся на 4, то целое число также делится на 4.

Давай попробуем.Последние две цифры числа 1516 равны 16, а поскольку 16 равно делится на 4, 1516 также должно делиться на 4.
Чтобы проверить, мы можем выполнить деление в столбик. 4 переходит в 15 три раза, сбивают один. 4 переходит в 31 семь раз, вычтите 28 из 31 и, наконец, уменьшите 6.
Вы бы посмотрели на это ?! 1516 делится на 4!

Но почему это работает? При делении на 4 вы действительно просто делите на 2 дважды!
Разделите на два, а затем снова на два.Если частное — целое число, то делимое делится на 4.
Для 1035 последние две цифры — 35. Делится ли 35 без остатка на 4?
Наконец, если две последние цифры рассматриваемого числа равны 0, то число делится на 4! Довольно просто, правда?

Делимость на 8

А как насчет пакетов по 8 штук?
Хотя правило 8 может показаться немного сложным, оно может сэкономить вам много времени.
Для кратных 8, если последние три цифры делятся на 8, то все число делится на 8.Делится ли 516 на 8? 8 переходит в 51 шесть раз, уменьшите 6, и поскольку 8 не переходит в 36 четное количество раз, 516 не делится на 8 без остатка и, следовательно, ни то, ни другое не равно 1516.

Использование правил делимости

Что Билли может сделать с 1035 кубиками жевательной карамели? Давайте воспользуемся правилами делимости , чтобы выяснить это. Последние три цифры — 035, и это не делится на 8. Вау, это было быстро и легко! Как отобрать конфету у ребенка! И наконец, давайте посмотрим, делится ли 1600 на 8.

8 переходит в 60 семь раз, сбивают 0. Никакого остатка! Поскольку 600 делится на 8 без остатка, 1600 также должно делиться на 8!
Ранее мы говорили, что дважды разделить число на 2 — это то же самое, что разделить на 4 один раз. Тот же принцип применяется при решении, делится ли число на 8 . Мы можем разделить на 2 трижды, и если каждое из частных является целым числом, то исходное число делится на 8!

Сводка правил делимости

Итак, просто на обзор.

Число делится на 10 , если оно заканчивается на 0
Число делится на 5 , если оно заканчивается на 5 или 0 .
Число делится на 4 , если последние 2 цифр делятся на без остатка на 4 или если делится на 2 дважды, а частное — это целое число .
Число делится на на 8 , если последние 3 цифры делятся на без остатка на 8 или если делится на 2 три раза, а частное является целым числом
.

Хорошо, вернемся к Билли.
Билли все это выяснил. Эта партия вкусностей будет готова к отправке в кратчайшие сроки. Это просто здорово!
Если только он не решит составлять колоды комбинаций. О, парень!

Делимость натуральных чисел. Критерии делимости

Критерии делимости натуральных чисел

О натуральном числе b мы говорим, что это делитель натурального числа a , если существует натуральное число c такое, что a = b c .

Мы можем сказать, что a кратно b .

Пишем б | a и мы читаем b делим или b делим .

Свойства делимости отношений

  1. Для любого натурального числа a имеем a | a , где a не является нулем.
  2. Независимо от натурального числа a , затем a | 0, где не нуль (не 0) и 1 | а .
  3. Какие бы ни были натуральные числа a и b , тогда a | a • b и b | a • b (произведение двух натуральных чисел делится на каждый множитель произведения), где a и b не равны нулю.
  4. Какие бы ни были натуральные числа a, b, c, , если a | b и b | c , затем a | c , где a и b отличны от 0.
  5. Какие бы ни были натуральные числа a, b, c , если a | b и a | c , затем a | ( b ± c ), где a отличается от 0.
  6. Какие бы ни были натуральные числа a, b, c , если a | b , затем a | c • b , где a не равно нулю.

Критерии делимости

Критерий делимости на 2

Натуральное число делится на 2, если последняя цифра четная (0,2,4,6,8).

Например: 16 делится на 2 (последняя цифра делится на 2).

37 не делится на 2 (потому что 7, последняя цифра, не делится на 2).

Критерий делимости на 3

Натуральное число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3.

Например, : 32139 делится на 3; 3 + 2 + 1 + 3 + 9 = 18

Критерий делимости на 9

Натуральное число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9. Этот критерий аналогичен критерию 3 .

Например, . 21543057 делится на 9 9; 2 + 1 + 5 + 4 + 3 + 0 + 5 + 7 = 27

Критерий делимости на 4

Натуральное число делится на 4, если 2-значное число из последних 2-х цифр делится на 4.

Например, . 4 | 2032, потому что 4 | 32

4 | 128, потому что 4 | 28.

Критерий делимости на 5

Натуральное число делится на 5, если последняя цифра 0 или 5.

Пример: 5 | 35, 5 | 110

Критерий делимости на 25

Натуральное число делится на 25, если число из двух последних цифр делится на 25.

Например, . 25 | 3850 потому что 25 | 50

Критерий делимости на 11

Натуральное число делится на 11, если разница между цифрами , расположенными на нечетных местах , и суммой цифр , расположенных на четных местах , является кратным 11 .

Например, : 1925: 11 = 175; (9 + 5) — (1 + 2) = 11

1012: 11 = 92; (1 + 1) — (0 + 2) = 0

Критерий делимости на 10, 100, 1000, 10.000, 100.000, 1.000.000 и т. Д.

Натуральное число делится на 10, если его последняя цифра 0,

на 100, если его последние две цифры — 00,

на 1000, если его последние 3 цифры 000,

на 10.000, если его последние четыре цифры — 0000,

на 100000, если его последние пять цифр 00000,

на 1.000.000, если его последние шесть цифр — 000000

и и так далее !

Ключевые слова:
делимость, арифметика, критерии делимости, деление, умножение

Калькулятор коэффициента

  • Коэффициент 1: 1

  • Коэффициенты 2: 1, 2

  • Факторы 3: 1, 3

  • Коэффициенты 4: 1, 2, 4

  • Коэффициенты 5: 1, 5

  • Факторы 6: 1, 2, 3, 6

  • Коэффициенты 7: 1, 7

  • Факторы 8: 1, 2, 4, 8

  • Коэффициенты 9: 1, 3, 9

  • Коэффициенты 10: 1, 2, 5, 10

  • Факторы 11: 1, 11

  • Факторы 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12

  • Факторы 13: 1, 13

  • Множители 14: 1, 2, 7, 14

  • Факторы 15: 1, 3, 5, 15

  • Факторы 16: 1, 2, 4, 8, 16

  • Факторы 17: 1, 17

  • Факторы 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18

  • Факторы 19: 1, 19

  • Факторы 20: 1, 2, 4, 5, 10, 20

  • Факторы 21: 1, 3, 7, 21

  • Коэффициенты 22: 1, 2, 11, 22

  • Факторы 23: 1, 23

  • Факторы 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24

  • Факторы 25: 1, 5, 25

  • Факторы 26: 1, 2, 13, 26

  • Множители 27: 1, 3, 9, 27

  • Факторы 28: 1, 2, 4, 7, 14, 28

  • Факторы 29: 1, 29

  • Факторы 30: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30

  • Факторы 31: 1, 31

  • Факторы 32: 1, 2, 4, 8, 16, 32

  • Коэффициенты 33: 1, 3, 11, 33

  • Коэффициенты 34: 1, 2, 17, 34

  • Факторы 35: 1, 5, 7, 35

  • Факторы 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36

  • Коэффициенты 37: 1, 37

  • Коэффициенты 38: 1, 2, 19, 38

  • Коэффициенты 39: 1, 3, 13, 39

  • Коэффициенты 40: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40

  • Коэффициенты 41: 1, 41

  • Факторы 42: 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42

  • Коэффициенты 43: 1, 43

  • Коэффициенты 44: 1, 2, 4, 11, 22, 44

  • Факторы 45: 1, 3, 5, 9, 15, 45

  • Коэффициенты 46: 1, 2, 23, 46

  • Коэффициенты 47: 1, 47

  • Факторы 48: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48

  • Факторы 49: 1, 7, 49

  • Коэффициенты 50: 1, 2, 5, 10, 25, 50

  • Коэффициенты 51: 1, 3, 17, 51

  • Факторы 52: 1, 2, 4, 13, 26, 52

  • Факторы 53: 1, 53

  • Коэффициенты 54: 1, 2, 3, 6, 9, 18, 27, 54

  • Коэффициенты 55: 1, 5, 11, 55

  • Факторы 56: 1, 2, 4, 7, 8, 14, 28, 56

  • Коэффициенты 57: 1, 3, 19, 57

  • Факторы 58: ​​1, 2, 29, 58

  • Коэффициенты 59: 1, 59

  • Коэффициенты 60: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60

  • Факторы 61: 1, 61

  • Факторы 62: 1, 2, 31, 62

  • Факторы 63: 1, 3, 7, 9, 21, 63

  • Факторы 64: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64

  • Факторы 65: 1, 5, 13, 65

  • Факторы 66: 1, 2, 3, 6, 11, 22, 33, 66

  • Коэффициенты 67: 1, 67

  • Факторы 68: 1, 2, 4, 17, 34, 68

  • Факторы 69: 1, 3, 23, 69

  • Факторы 70: 1, 2, 5, 7, 10, 14, 35, 70

  • Коэффициенты 71: 1, 71

  • Факторы 72: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72

  • Факторы 73: 1, 73

  • Коэффициенты 74: 1, 2, 37, 74

  • Факторы 75: 1, 3, 5, 15, 25, 75

  • Факторы 76: 1, 2, 4, 19, 38, 76

  • Факторы 77: 1, 7, 11, 77

  • Факторы 78: 1, 2, 3, 6, 13, 26, 39, 78

  • Факторы 79: 1, 79

  • Факторы 80: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 40, 80

  • Факторы 81: 1, 3, 9, 27, 81

  • Коэффициенты 82: 1, 2, 41, 82

  • Факторы 83: 1, 83

  • Факторы 84: 1, 2, 3, 4, 6, 7, 12, 14, 21, 28, 42, 84

  • Факторы 85: 1, 5, 17, 85

  • Коэффициенты 86: 1, 2, 43, 86

  • Коэффициенты 87: 1, 3, 29, 87

  • Факторы 88: 1, 2, 4, 8, 11, 22, 44, 88

  • Факторы 89: 1, 89

  • Коэффициенты 90: 1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90

  • Коэффициенты 91: 1, 7, 13, 91

  • Коэффициенты 92: 1, 2, 4, 23, 46, 92

  • Коэффициенты 93: 1, 3, 31, 93

  • Коэффициенты 94: 1, 2, 47, 94

  • Коэффициенты 95: 1, 5, 19, 95

  • Факторы 96: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 32, 48, 96

  • Коэффициенты 97: 1, 97

  • Факторы 98: 1, 2, 7, 14, 49, 98

  • Коэффициенты 99: 1, 3, 9, 11, 33, 99

  • Коэффициенты 100: 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100

  • Коэффициенты 104: 1, 2, 4, 8, 13, 26, 52, 104

  • Коэффициенты 105: 1, 3, 5, 7, 15, 21, 35, 105

  • Факторы 108: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 27, 36, 54, 108

  • Коэффициенты 110: 1, 2, 5, 10, 11, 22, 55, 110

  • Факторы 112: 1, 2, 4, 7, 8, 14, 16, 28, 56, 112

  • Коэффициенты 117: 1, 3, 9, 13, 39, 117

  • Коэффициенты 120: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120

  • Коэффициенты 121: 1, 11, 121

  • Коэффициенты 125: 1, 5, 25, 125

  • Факторы 126: 1, 2, 3, 6, 7, 9, 14, 18, 21, 42, 63, 126

  • Коэффициенты 130: 1, 2, 5, 10, 13, 26, 65, 130

  • Факторы 132: 1, 2, 3, 4, 6, 11, 12, 22, 33, 44, 66, 132

  • Факторы 135: 1, 3, 5, 9, 15, 27, 45, 135

  • Коэффициенты 140: 1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70, 140

  • Факторы 144: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 16, 18, 24, 36, 48, 72, 144

  • Факторы 147: 1, 3, 7, 21, 49, 147

  • Коэффициенты 150: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 25, 30, 50, 75, 150

  • Факторы 162: 1, 2, 3, 6, 9, 18, 27, 54, 81, 162

  • Факторы 169: 1, 13, 169

  • Коэффициенты 175: 1, 5, 7, 25, 35, 175

  • Коэффициенты 180: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 30, 36, 45, 60, 90, 180

  • Факторы 189: 1, 3, 7, 9, 21, 27, 63, 189

  • Факторы 192: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 32, 48, 64, 96, 192

  • Факторы 196: 1, 2, 4, 7, 14, 28, 49, 98, 196

  • Факторы 200: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 25, 40, 50, 100, 200

  • Факторы 210: 1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 14, 15, 21, 30, 35, 42, 70, 105, 210

  • Факторы 216: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 27, 36, 54, 72, 108, 216

  • Факторы 225: 1, 3, 5, 9, 15, 25, 45, 75, 225

  • Коэффициенты 240: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 20, 24, 30, 40, 48, 60, 80, 120, 240

  • Факторы 245: 1, 5, 7, 35, 49, 245

  • Факторы 250: 1, 2, 5, 10, 25, 50, 125, 250

  • Факторы 256: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256

  • Факторы 270: 1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 27, 30, 45, 54, 90, 135, 270

  • Факторы 288: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 16, 18, 24, 32, 36, 48, 72, 96, 144, 288

  • Факторы 294: 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42, 49, 98, 147, 294

  • Факторы 300: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 25, 30, 50, 60, 75, 100, 150, 300

  • Факторы 343: 1, 7, 49, 343

  • Коэффициенты 360: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90, 120, 180 , 360

  • Факторы 375: 1, 3, 5, 15, 25, 75, 125, 375

  • Коэффициенты 400: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 25, 40, 50, 80, 100, 200, 400

  • Факторы 500: 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100, 125, 250, 500

  • Факторы 625: 1, 5, 25, 125, 625

  • тестов на делимость с примерами | Математика переднего крыльца

    Что такое делимость?

    Когда мы говорим, что число делится на другое число, мы имеем в виду, что если мы разделим целое число на другое целое число, результатом будет целое число. Например, $ 267 $ делится на $ 9 $, так как $ 267 \ div 9 = 29 $.>

    Многие числа можно проверить на делимость, не разделяя их. (видео ниже)

    Некоторые тесты делимости можно провести, посмотрев на единичную цифру.
    Число:
    $ \ bullet $ делится на $ 2 $ — если единичная цифра четная $ (2,4,6,8,0) $
    $ \ bullet $ делится на 5 $ — если единичная цифра равна 5 $ $ или $ 0 $
    $ \ bullet $ делится на $ 10 $ — если единичная цифра равна $ 0 $

    Некоторые тесты на делимость можно провести, сложив все цифры вместе.
    Число:
    $ \ bullet $, делимое на 3 $ — если сумма цифр делится на 3 $,
    $ \ bullet $ делится на 9 $ — если сумма цифр делится на 9 $

    отл. $ 87 $ делится на $ 3 $, потому что 8 + 7 = 15 и 1 + 5 = 6, а $ 6 $ делится на $ 3 $
    пр. 261 доллар делится на 9 долларов, потому что 2 + 6 + 1 = 9 и 9 долларов делится на 9 долларов.

    Несколько менее распространенных тестов на делимость:
    Число:
    $ \ bullet $ делится на $ 4 $ — если последние две цифры делятся на $ 4 $
    $ \ bullet $ делятся на 8 $ — если последние три цифры делятся на $ 8 $

    $ \ bullet $ делится на $ 6 $ — если он следует правилам для $ 2 $ и $ 3
    $ \ bullet $ делится на $ 12 $ — если он следует правилам для $ 3 $ и $ 4 $

    отл.

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован.