Содержание
Метод Гаусса — определение с примерами решения
Содержание:
- Опишем метод Гаусса подробнее
- Примеры с решением
Одним из наиболее универсальных и эффективных методов решений линейных алгебраических систем является метод Гаусса, состоящий в последовательном исключении неизвестных.
Пусть дана система уравнений (4.3)
Процесс решения по методу Гаусса состоит из двух этапов. На нервом этапе (прямой ход) система приводится к i ступенчатому (в частности, треугольному) виду.
Приведенная ниже система имеет ступенчатый вид
где
Коэффициенты называются главными элементами системы. На втором этапе (обратный ход) идет последовательное определение неизвестных из этой ступенчатой системы.
По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:
Опишем метод Гаусса подробнее
Прямой ход. Будем считать, что элемент (если то первым в системе запишем уравнение, в котором коэффициент при отличен от нуля).
Преобразуем систему (4.3), исключив неизвестное во всех уравнениях, кроме первого (используя элементарные преобразования системы).
Для этого умножим обе части первого уравнения на и сложим почленно со вторым уравнением системы.
Затем умножим обе части первого уравнения на и сложим с третьим уравнением сиап стемы. Продолжая этот процесс, получим эквивалентную систему
Здесь
новые значения коэффициентов и правых частей, которые полу чаю юя после первого шага. Аналогичным образом, считая главным элементом исключим неизвестное из всех уравнений системы, кроме первого и второго, и так далее.
Продолжаем этот процесс, пока это возможно. Если в процессе приведения системы (4.3) к ступенчатому виду появятся нулевые уравнения, т. е. равенства вида их отбрасывают. Если же появится уравнение вида то это свидетельствует о несовместности системы. Второй этап {обратный ход) заключается в решении ступенчатой системы.
Ступенчатая система уравнений, вообще говоря, имеет бесчисленное множество решений.
В последнем уравнении этой системы выражаем первое неизвестное через остальные неизвестные Затем подставляем значение в предпоследнее уравнение системы и выражаем затем находим Придавая свободным неизвестным произвольные значения, получим бесчисленное множество решений системы.
Возможно вам будут полезны данные страницы:
Замечания: 1. Если ступенчатая система оказывается треугольной, т. е. то исходная система имеет единственное решение. Из последнего уравнения находим хп, из предпоследнего уравнения далее поднимаясь по системе вверх, найдем все остальные неизвестные На практике удобнее работать не с системой (4.3), а с расширенной ее матрицей, выполняя все элементарные преобразования над ее строками. Удобно, чтобы коэффициент был равен 1 (уравнения переставить местами, либо разделить обе части уравнения на ).
Примеры с решением
Пример 4.4.
Решить систему методом Гаусса:
Решение:
В результате элементарных преобразований над расширенной матрицей системы
исходная система свелась к ступенчатой:
Поэтому общее решение системы: Если положить, например, то найдем одно из частных решений этой системы
Пример 4.
5.
Решить систему методом Гаусса:
Решение:
Произведем элементарные преобразования над строчками расширенной матрицы системы:
Полученная матрица соответствует системе
Осуществляя обратный ход, находим Рассмотрим решение системы (1.25) т линейных уравнений с п неизвестными. Заметим, что матрица коэффициентов системы не обязательно должна быть квадратной.
Предлагаемые методы решения систем линейных алгебраических уравнений сводятся к элементарным преобразованиям над уравнениями системы.
Преобразования Гаусса удобно проводить, осуществляя преобразования не самих уравнений, а строк матрицы их коэффициентов.
Рассмотрим матрицу
(1.33) называемую расширенной матрицей системы (1.25), так как в нее, кроме коэффициентов матрицы А системы (1.25), дополнительно включен столбец свободных членов В. Метод Гаусса (метод последовательного исключения неизвестных.
Рассмотрим систему (1.25) в случае
Суть метода Гаусса заключается в том, что с помощью элементарных преобразований расширенная матрица системы (1.33) приводится к равносильной матрице ступенчатого вида по алгоритму поиска ранга матрицы (см. пример 1.13). Это и есть прямой ход метода Гаусса.
На основании полученной ступенчатой матрицы составляется новая система уравнений, равносильная исходной, из которой последовательно, начиная с последнего уравнения, находятся все неизвестные; это суть обратного хода метода Гаусса.
Пример 1.18.
Решить систему уравнений методом Гаусса:
Решение:
Расширенная матрица системы имеет вид
Используя элементарные преобразования (см. пример 1.14), сведем эту матрицу к ступенчатой, не забывая при этом, что теперь в строке уже не три, а четыре элемента.
Вспомнив, что до черты стоят коэффициенты системы уравнений, а после нее — столбец свободных членов, выпишем получившуюся систему уравнений:
Теперь применим обратный ход метода Гаусса.
Из последнего 4 2 тл уравнения полученной системы найдем
Из второго уравнения найдем Аналогично найдем из первого уравнения, подставив в него уже наиденные два неизвестных
Получим решение системы
Предлагаем читателю убедиться, что найденные числа образуют решение данной системы. Расширенная матрица системы. Ступенчатая матрица. Метод Гаусса. Коэффициенты системы (1.1) удобно объединить в прямоугольную таблицу, называемую матрицей системы. Для матрицы принято обозначение:
Матрица содержит т горизонтальных рядов, называемых строками, и вертикальных рядов, называемых столбцами, числа называются ее элементами. Таким образом, первый индекс элемента — это номер строки (номер уравнения системы (1.1)), а второй индекс — номер столбца (или номер неизвестного коэффициентом при котором является уравнении системы (1.1)).
Например, матрица
квадратная матрица 3-го — единичная матрица 2-го порядка. Если к матрице А добавить столбец из свободных членов, то получим так называемую расширенную матрицу А* системы, содержащую всю информацию о системе:
Для системы из примера 1.
1 матрицей системы является а расширенной матрицей этой системы является матрица На практике элементарным преобразованиям подвергают не саму систему, а ее расширенную матрицу.
Преобразованиям двух типов над системой (1.1) соответствуют два типа элементарных преобразований над строками матрицы 1-й тип — перестановка местами двух любых ее строк; 2-й тип — сложение соответствующих элементов двух любых строк, все элементы одной из которых предварительно умножены на одно и то же число.
Целью элементарных преобразований является приведение расширенной матрицы системы (1.1) к так называемой ступенчатой форме.
Определение 1.6. Матрица называется ступенчатой, если для нее выполняются следующие условия: 1) если какая-либо строка данной матрицы состоит из нулей, то и все последующие строки также состоят из нулей; 2) если — первый ненулевой элемент строки, а — первый ненулевой элемент строки,то Так, например, матрица
является ступенчатой.
Матрица из одной строки считается ступенчатой по определению. Теорема 1.2. Любую матрицу Л конечным числом элементарных преобразований первого и второго типов можно преобразовать в ступенчатую матрицу.
Пример 1.7.
Привести к ступенчатому виду матрицу
Решение:
Выполним следующие элементарные преобразования над матрицей
1) к элементам второй строки прибавим элементы первой строки и из элементов третьей строки вычтем элементы первой строки, в результате преобразуется к виду: — расширенная матрица системы.
2) переставим вторую и третью строки:
3) из третьей строки полученной матрицы вычтем вторую строку, умноженную на 3, получим:
На приведении расширенной матрицы системы (1.1) к ступенчатой матрице основан метод Гаусса, или метод последовательного исключения неизвестных. Система линейных уравнений с расширенной ступенчатой матрицей называется ступенчатой системой, по теореме 1.1 она будет равносильна соответствующей системе в форме (1.
1). Приведение системы (1.1) к ступенчатой форме называется прямым ходом метода Гаусса.
Решение полученной ступенчатой системы называется обратным ходом метода Гаусса. Он может быть выполнен как в форме последовательного определения неизвестных, начиная с последнего уравнения ступенчатой системы, так и в форме преобразования матрицы к ступенчатой матрице специального вида.
Пример 1.8.
Решить методом Гаусса систему уравнений
Решение:
Прямой ход метода Гаусса. В примере 1.7 матрица при помощи элементарных преобразований приведена к ступенчатой матрице
Теперь матрице сопоставим систему, для которой она будет расширенной матрицей:
Обратный ход метода Гаусса. 1-й способ. Имеем: . 2-й способ.
Умножим последнюю строку матрицы на 1 /5, сложим со второй строкой, после чего к первой строке прибавим последнюю, умноженную на (-2), с целью получить нули в третьем столбце:
Напишем систему с расширенной матрицей
Ответ: система совместная и определенная, она имеет единственное решение:
Алгоритм решения неопределенной системы линейных уравнений методом Гаусса » ProcMem.
Ru Линейная Алгебра
п.10. Алгоритм решения неопределенной системы линейных уравнений методом Гаусса.
Пусть дана система .
1. Выписываем расширенную матрицу системы .
2. Пользуясь элементарными преобразованиями строк расширенной матрицы, приводим ее к ступенчатому виду.
Далее, вся работа проводится с полученной системой ступенчатого вида.
3. Убеждаемся, что базисный минор матрицы системы является базисным минором расширенной матрицы системы, т.е. . В противном случае, система несовместна, т.е. не имеет решений.
4. Вычисляем размерность пространства решений соответствующей однородной системы : .
5. Определяем, какие переменные системы будут независимыми, а какие зависимыми:
а) те переменные, коэффициенты при которых входят в базисный минор объявляем независимыми, их оставляем в левых частях уравнений системы;
б) оставшиеся переменные объявляем зависимыми, их переносим в правую часть уравнений. Зависимых переменных должно быть штук.
6. Обозначаем зависимые переменные буквами греческого алфавита: , если их не очень много; или буквой с индексами, например: .
7. Придавая зависимым переменным какие-нибудь числовые значения, находим частное решение данной системы X*.
8. Обнуляем столбец свободных членов в системе и, двигаясь от последнего уравнения системы к первому (снизу вверх), выражаем независимые переменные системы через зависимые.
9. Записываем общее решение соответствующей однородной системы.
10. Записываем общее решение данной неоднородной системы.
11. Выписываем полученную фундаментальную систему решений соответствующей однородной системы.
12. Записываем множество решений данной неоднородной системы в виде суммы линейной оболочки, натянутой на фундаментальную систему решений и частного решения Х*.
13. Записываем ответ (из пункта 10 и 12).
Пример 1. Решить систему: .
Решение.
1) Выписываем расширенную матрицу системы :
.
2) Пользуясь элементарными преобразованиями строк расширенной матрицы, приводим ее к ступенчатому виду:
а) умножаем первую строку на (–2) и прибавляем ко второй строке, затем умножаем первую строку на (–1) и прибавляем к третьей:
;
б) умножаем вторую строку на (–1) и прибавляем к третьей:
.
3) Находим базисные миноры матрицы системы и расширенной матрицы системы:
– базисный минор матрицы системы;
– базисный минор расширенной матрицы системы.
Мы видим, что , . Так как , то данная система является несовместной, т.е. не имеет решений.
Ответ. Система не имеет решений.
Пример 2. Решить систему: .
Приводим расширенную матрицу системы к ступенчатому виду:
.
В результате получили квадратную систему
с определителем системы . Следовательно, система имеет единственное решение:
.
Ответ: .
Пример 3. Решить систему: .
1) Приводим расширенную матрицу системы к ступенчатому виду:
.
2) Находим базисные миноры матрицы системы и расширенной матрицы системы:
– базисный минор матрицы системы и он же базисный минор расширенной матрицы системы, . Следовательно, полученная система , которая равносильна данной, имеет решения, т.е. является совместной.
3) Вычисляем размерность пространства решений соответствующей однородной системы: . Следовательно, из трех неизвестных системы, два неизвестных и объявляем независимыми, а неизвестное объявляем зависимым.
4) Обозначаем зависимую неизвестную и переносим его в правую часть уравнения:
.
5) Полагаем , получаем частное решение системы:
.
6) Обнуляем столбец свободных членов системы и получаем соответствующую однородную систему:
.
7) Выписываем общее решение соответствующей однородной системы:
.
8) Выписываем решение неоднородной системы:
.
9) Фундаментальная система решений соответствующей однородной системы состоит из одного столбца:
.
10) Множество решений данной системы:
.
Ответ: общее решение системы: , ;
множество решений системы: .
Пример 4. Решить систему: .
Решение. Расширенная матрица системы:
.
Коэффициент при , равный 1, можно принять за базисный минор, так что .
Соответствующая однородная система имеет вид:
,
размерность пространства ее решений:
.
Обозначим – три свободные переменные. Систему можно записать так:
.
Полагая , получаем частное решение данной системы: или
.
Соответствующая однородная система имеет вид:
.
Тогда ее общее решение имеет вид:
,
где .
Общее решение данной неоднородной системы:
,
где .
Фундаментальная система решений соответствующей однородной системы:
.
Множество решений данной системы:
или .
Ответ: общее решение системы
,
где ; множество решений системы:
.
п.11. Формулы Крамера.
Теорема. Пусть квадратная система линейных уравнений и . Тогда единственное решение системы можно найти по формулам:
, ,
где – определитель матрицы системы, – столбцы матрицы системы,
– определитель системы, в котором i-й столбец заменен столбцом свободных членов В. Эти формулы называются формулами Крамера.
Доказательство. Так как , то матрица А – обратимая и из равенства получаем:
,
откуда и следуют формулы Крамера. Проработка деталей оставляется читателю.
Теорема доказана.
Еще записи по теме
Решение систем линейных уравнений методом Гаусса с примером
Метод Гаусса не требует никаких глубоких математических познаний и доступен практически каждому — достаточно просто понимать алгоритм вычислений и справляться с простейшими действиями, такими, как сложение и умножение. Кроме того, этот метод подходит для тех случаев, когда применить методы Крамера или обратной матрицы невозможно по условию задачи.
Рассмотрим решение систем уравнений методом Гаусса на примере.
Пример решения систем линейных уравнений методом Гаусса.
Изучим принцип работы метода на примере, взяв следующую систему уравнений:
Первое, что нужно сделать — это записать нашу задачу в виде матрицы расширенного вида — иначе говоря, оставить в уравнениях только числовые коэффициенты.
Затем при помощи элементарных преобразований получившаяся матрица приводится к виду «треугольника». Делается это в несколько шагов:
1. Первая и вторая строки матрицы меняются местами.
2. Во вторую, третью и четвертую строку добавляются элементы первой строки, умноженные на – 5, — 3 и — 4.
3. Вторая и третья строки снова меняются местами, в то время как к третьей и четвертой добавляются элементы второй строки (умноженные на 4 и 1).
4. Затем из четвертого уравнения вычитается третье (умноженное на 11 и – 3).
Записывается все это следующим образом:
Получившаяся матрица переводится обратно в исходную систему уравнений:
Как видно по картинке, мы получили искомый «треугольник».
Теперь остается только решить простейшие уравнения.
5х4 = 30, следовательно, х4 = 6. Подставляем результат в третью строку:
Теперь, опираясь на полученные результаты, решаем уравнение из второй строки:
И последний шаг — найти значение х1, что не составит никакого труда, учитывая уже имеющиеся у нас данные:
Система уравнений полностью решена. Можно записывать ответ: х1 = 7, х2 = — 8, х3 = — 5, х4 = 6.
Похожие статьи
Метод исключения Гаусса — случай противоречивой системы
Мы продолжаем рассматривать метод исключения Гаусса.
Ранее мы подготовили несколько руководств, охватывающих теоретические основы и примеры, включая применение матричного представления. Тем не менее, все эти примеры предлагали системы линейных уравнений, у которых есть решение. Однако это не всегда так. Выполняя домашнее задание или задание по линейной алгебре, вы можете столкнуться с разными ситуациями. Фактически, есть три возможности: система линейных уравнений может иметь либо единственное решение, либо бесконечное множество решений, либо вообще не иметь решения.В этом разделе мы обсудим последний случай.
Решим следующую систему линейных алгебраических уравнений:
\ left \ {\ begin {align} 2x_1-x_2 + 3x_3 = 4 \\ — 3x_1 + 2x_2 + x_3 = 5 \\ — 4x_1 + 2x_2-6x_3 = 1 \ end {align} \ right.
Вот видеоверсия этого руководства:
Как вы знаете, мы можем либо работать с системой в форме уравнений (как написано выше), либо использовать матричное представление системы.
Выберем второй подход и рассмотрим матрицу коэффициентов для данной системы:
A = \ begin {pmatrix} 2 & -1 & 3 \\ — 3 & 2 & 1 \\ — 4 & 2 & -6 \ end {pmatrix}, \ vec {b} = \ begin {pmatrix} 4 \\ 5 \\ 1 \ end { pmatrix}, \ vec {x} = \ begin {pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \ end {pmatrix}, \ tilde {A} = \ begin {pmatrix} 2 & -1 & 3 & | & 4 \\ — 3 & 2 & 1 & | & 5 \\ — 4 & 2 & -6 & | & 1 \ end {pmatrix}
В этих терминах данная система представлена следующим образом:
A \ vec {x} = \ vec {b}
Мы намерены получить нашу систему в треугольной (или эшелонированной) форме.Напомним, что мы можем менять местами строки матрицы, складывать или вычитать их, умножать или делить на действительное ненулевое число. Также обратите внимание, что поскольку у нас ненулевая правая часть системы, то есть наша система не является однородной, мы должны сделать все необходимые преобразования с расширенной матрицей \ tilde {A}, содержащей правые части уравнений, а не A. Распространенная ошибка — не учитывать \ vec {b}, поэтому не забывайте об этом, выполняя домашнее задание по алгебре.
Таким образом, мы работаем с такой матрицей:
\ tilde {A} = \ begin {pmatrix} 2 & -1 & 3 & | & 4 \\ — 3 & 2 & 1 & | & 5 \\ — 4 & 2 & -6 & | & 1 \ end {pmatrix}
Сначала разделим первую строку на 2.Остальные строки остаются нетронутыми:
\ begin {pmatrix} 1 & — \ frac {1} {2} & \ frac {3} {2} & | & 2 \\ — 3 & 2 & 1 & | & | & 5 \\ — 4 & 2 & -6 & | & 1 \ end {pmatrix}
Теперь мы хотим исключить первое неизвестное x_1 из всех уравнений, кроме первого. Для этого сначала вычитаем первую строку, умноженную на (-3), из второй:
\ begin {pmatrix} 1 & — \ frac {1} {2} & \ frac {3} {2} & | & 2 \\ 0 & \ frac {1} {2} & \ frac {11} {2} & | & 11 \\ — 4 & 2 & -6 & | & 1 \ end {pmatrix}
Теперь умножаем вторую строку на $ 2 $ (чтобы получить коэффициент 1 перед x_2):
\ begin {pmatrix} 1 & — \ frac {1} {2} & \ frac {3} {2} & | & 2 \\ 0 & 1 & \ frac11 & | & 22 \\ — 4 & 2 & -6 & | & 1 \ end {pmatrix }
Также мы вычитаем первую строку раз (-4) из третьей строки:
\ begin {pmatrix} 1 & — \ frac {1} {2} & \ frac {3} {2} & | & 2 \\ 0 & 1 & \ frac11 & | & 22 \\ 0 & 0 & 0 & | & 9 \ end {pmatrix}
Хорошо, мы успешно исключили x_1 из второго и третьего уравнения.
Собственно, дальше идти не нужно. Давайте внимательнее посмотрим на третью строку нашей матрицы (которая обозначает третье уравнение). Мы получили уравнение 0 = 9, что явно неверно. Это означает, что данная система не имеет решений. Такие системы называют несовместимыми.
В следующем разделе мы обсудим случай, когда система линейных алгебраических уравнений имеет бесконечно много решений. Как правило, если вы выполняете метод исключения Гаусса, вам нужно быть внимательным и проверять систему на каждом этапе.Такой подход позволяет избежать лишних вычислений и экономит ваше время, как в только что рассмотренном примере.
Эта статья основана на одном из вопросов, полученных от наших клиентов. У вас есть собственные вопросы по математике? Спрашивайте и получайте ответы, мы помогаем.
Метод исключения Гаусса
Далее: Строка с уменьшенным эшелоном
Up: Операции со строками и аналог
Предыдущая: Операции со строками и аналог
Содержание
D EFINITION 2.
2.10 (Метод прямого / исключения Гаусса)
Исключение Гаусса — это метод решения линейной системы
(состоящий из
уравнения в
неизвестные)
путем приведения дополненной матрицы
в верхнетреугольную форму
Этот процесс исключения также называется методом прямого исключения.
Следующие примеры иллюстрируют процедуру исключения Гаусса.
E XAMPLE 2.2,11
Решите линейную систему по Гауссу
метод устранения.
Решение: В этом случае расширенная матрица
Метод продолжается по
следующие шаги.
- Развязка
а также
уравнение (или
). - Разделите
уравнение
(или же
). - Добавить
разуравнение
уравнение
(или же).
- Добавить
разуравнение
уравнение (или
).
- Умножьте
уравнение
(или же
).
Последнее уравнение дает
второе уравнение теперь дает
Наконец, первое уравнение дает
Следовательно, множество
решения
УНИКАЛЬНЫЙ
РЕШЕНИЕ .
E XAMPLE 2.2.12
Решите линейную систему по Гауссу
метод устранения.
Решение: В этом случае расширенная матрица
и метод работает следующим образом:
- Добавить
умножить первое уравнение на второе уравнение.
- Добавить
умножить первое уравнение на третье уравнение. - Добавить
умножить второе уравнение на третье уравнение
Таким образом, множество решений есть
с участием
произвольный. Другими словами, в системе БЕСКОНЕЧНЫЙ НОМЕР.
РЕШЕНИЙ .
E XAMPLE 2.2.13
Решите линейную систему по Гауссу
метод устранения.
Решение: В этом случае расширенная матрица
и метод работает следующим образом:
- Добавить
умножить первое уравнение на второе уравнение. - Добавить
умножить первое уравнение на третье уравнение. - Добавить
умножить второе уравнение на третье уравнение
Третье уравнение на последнем шаге:
Это никогда не применимо ни к какому значению
Следовательно
В системе НЕТ РЕШЕНИЯ .
Замечание 2.2.14
Обратите внимание, что для решения линейной системы
нужно
применять только элементарные
строковые операции с расширенной матрицей
Далее: Строка с уменьшенным эшелоном
Up: Операции со строками и аналог
Предыдущая: Операции со строками и аналог
Содержание
2007-09-12
Исключение Гаусса: метод и примеры — видео и стенограмма урока
Что такое исключение по Гауссу?
Возможно, вам интересно узнать об этом втором шаге.Что теперь по Гауссу? Исключение Гаусса — это процесс использования допустимых строковых операций над матрицей до тех пор, пока она не перейдет в сокращенную форму эшелона строк.
Существует три типа допустимых операций со строками , которые могут выполняться с матрицей.
- OP1 — Поменять местами два ряда.
- OP2 — Умножить все записи строки на ненулевое число.
- OP3 — Добавить строку, кратную одной, к целевой строке. (Примечание: целевая строка — единственная строка, которая изменяется в этом процессе.)
Важно понимать, что это всего лишь правила игры. То, как мы будем применять их в той или иной ситуации, будет зависеть от того, какая матрица нам дана. Имейте в виду, что наша цель — преобразовать матрицу в более простую форму, названную сокращенной формой эшелона строк (RREF) , используя серию этих операций со строками.
Форма сокращенного эшелона строк
Мы говорим, что матрица находится в форме сокращенного эшелона строк, если она удовлетворяет следующим требованиям:
- При чтении слева направо первая ненулевая запись в любой строке равна 1.Это называется ведущей записью в строке.
- Начальная запись в строке всегда находится справа от ведущих записей в строках над ней.
- Любой столбец с ведущей записью имеет нули над и под ним.
Вот пример матрицы в форме RREF (не относящейся к нашему примеру). Первые записи выделены жирным шрифтом.
Пример исключения Гаусса
Теперь, когда мы знаем правила игры (операции со строками) и цель (RREF), пришло время разработать пример.Предположим, вы знаете, как найти расширенную матрицу только что рассмотренного примера матрицы.
В первой позиции строки 1 уже стоит 1. Нам нужны нули под ней. Используйте операции OP3. Далее мы используем R 1 для строки 1, R 2 для строки 2 и R 3 для строки 3.
Добавить (-3) R 1 до R 2. Почему стоит выбрать именно эту операцию? Дело в том, что R 1 уже имеет 1 в лидирующей позиции.
Таким образом, мы можем умножить это на противоположность ведущей записи целевой строки R 2. Когда строки добавляются, -3 отменяет 3, чтобы получить 0 в результате.
| (-3) R 1 | -3 | -6 | -3 | -9 |
| + р 2 | 3 | 2 | 1 | 3 |
| Результат | 0 | -4 | -2 | -6 |
Результат заменяет R 2, но R 1 фактически не изменяется в самой матрице.
В первой строке строки 2 стоит -4. Чтобы вместо этого получить 1, умножьте всю строку на (-1/4). Это OP2.
Теперь мы снова используем OP3, чтобы сделать все остальные записи 0 в том же столбце.
Другой OP2 изменит -4 на 1 в ведущей записи строки 3.
Наконец, используйте OP3, чтобы избавиться от ненулевой записи над первой записью в столбце 3.
Прошло некоторое время, но сейчас мы поместили матрицу в RREF! Кстати, теперь, когда этапы исключения Гаусса выполнены, мы можем считать решение исходной системы уравнений. Решение находится в последнем столбце: (0, 2, -1).
Краткое содержание урока
Частью процесса решения системы линейных уравнений является использование метода исключения Гаусса. Исключение Гаусса — это процесс использования допустимых строковых операций над матрицей до тех пор, пока она не перейдет в сокращенную форму эшелона строк. Метод включает выбор серии допустимых операций со строками, которые преобразуют данную матрицу в гораздо более простую форму.
Три операции со строками , используемые для решения системы, следующие:
- OP1 — Поменять местами две строки
- OP2 — Умножить все записи строки на ненулевое число
- OP3 — Добавить строку, кратную одной, к целевой строке
Более простая форма называется сокращенной формой эшелона строк (RREF) , в которой:
- Первая ненулевая запись в любой строке равна 1.
- Начальная запись в строке всегда находится справа от ведущих записей в строках над ней.
- Любой столбец с ведущей записью имеет нули над и под ним.
Исключение по Гауссу и обратная замена
Рассмотрим систему линейных уравнений:
(1)
\ begin {align} a_ {11} x_1 + a_ {12} x_2 + \ cdots + a_ {1n} x_n = b_1 \\ a_ {21} x_1 + a_ {22} x_2 + \ cdots + a_ {2n} x_n = b_2 \\ \ vdots \ quad \ quad \ quad \ vdots \ quad \ quad \ quad \ quad \ vdots \ quad \ quad \ vdots \: \: \\ a_ {m1} x_1 + a_ {m2} x_2 + \ cdots + a_ {mn} x_n = b_m \ end {align}
Если мы возьмем так называемую расширенную матрицу этой системы, то есть матрицу, соответствующую коэффициентам и константам системы, $ \ begin {bmatrix} a_ {11} & a_ {12} & \ cdots & a_ {1n} & b_1 \\ a_ {21} & a_ {22} & \ cdots & a_ {2n} & b_2 \\ \ vdots & \ vdots & & \ vdots & \ vdots \\ a_ {m1} & a_ { m2} & \ cdots & a_ {mn} & b_ {m} \ end {bmatrix} $ и свести его к форме Row Echelon Form, тогда мы сможем довольно легко решить систему.
Например, рассмотрим следующую систему линейных уравнений:
(2)
\ begin {align} 2x + 3y -z = 2 \\ 2x + 4y + z = 4 \\ x + 2y + z = 1 \\ \ end {align}
Расширенная матрица для этой системы: $ \ begin {bmatrix} 2 & 3 & -1 & 2 \\ 2 & 4 & 1 & 4 \\ 1 & 2 & 1 & 1 & 1 \ end {bmatrix} $. Если мы уменьшим эту матрицу до REF, мы получим следующую матрицу (как вы должны убедиться):
(3)
\ begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 & -9 \\ 0 & 1 & 0 & 6 \\ 0 & 0 & 1 & -2 \ end {bmatrix}
Из этой матрицы мы можем извлечь следующий набор линейных уравнений, с которым намного проще работать:
(4)
\ begin {align} x + 0y + 0z = -9 \\ 0x + y + 0z = 6 \\ 0x + 0y + z = -2 \ end {align}
Очевидно, мы видим решение $ (x, y, z) = (-9, 6, -2) $ исходной системы линейных уравнений.Иногда нам, возможно, придется также использовать алгебраическую технику обратной подстановки, которую мы сейчас опишем.
Рассмотрим следующую расширенную матрицу для системы из 3 линейных уравнений и 4 неизвестных $ x_1, x_2, x_3, x_4 $, которая уже была помещена в REF:
(5)
\ begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 2 & 6 \\ 0 & 0 & 1 & 3 & 2 \ end {bmatrix}
Отсюда получаем следующие линейные уравнения:
(6)
\ begin {align} x_1 + 0x_2 + 0x_3 + 4x_4 = -1 \\ 0x_1 + x_2 + 0x_3 + 2x_4 = 6 \\ 0x_1 + 0x_2 + x_3 + 3x_4 = 2 \ end {align}
Переменные $ x_1, x_2, x_3 $ соответствуют ведущим $ 1 $ s в матрице, поэтому мы называем их ведущими переменными , а переменная $ x_4 $ называется свободной переменной или опорной точкой .
Чтобы решить эту систему, мы позволяем нашим свободным переменным равняться некоторому произвольному значению, скажем, $ t $. Итак, пусть $ x_4 = t $ для $ t \ in \ mathbb {R} $. Таким образом, мы получаем общее решение:
(7)
\ begin {align} x_1 = -1 — 4t \\ x_2 = 6 — 2t \\ x_3 = 2 — 3t \\ x_4 = t \ end {align}
То есть для всех $ t \ in \ mathbb {R} $ существует решение $ (x_1, x_2, x_3, x_4) = (-1 — 4t, 6 — 2t, 2 — 3t, t) $. Ведь для любого значения $ t \ in \ mathbb {R} $ мы получаем соответствующее решение системы, а значит, эта система имеет бесконечно много решений.
Пример 1
Дайте следующую матрицу REF, которая представляет систему из 3 линейных уравнений с 3 переменными $ x_1, x_2, x_3 $, найдите решение.
(8)
\ begin {bmatrix} 1 & 1 & 0 & 4 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \ end {bmatrix}
Получаем следующую систему линейных уравнений:
(9)
\ begin {align} x_1 + x_2 = 4 \\ x_2 + x_3 = 2 \\ x_3 = 4 \ end {align}
Сначала отметим, что $ x_3 = 4 $.
Мы можем обратно подставить это во второе уравнение, чтобы получить:
(10)
\ begin {align} x_2 + x_3 = 2 \\ x_2 + (4) = 2 \\ x_2 = -2 \ end {align}
Следовательно, $ x_2 = -2 $. Наконец, мы можем подставить эту информацию в первое уравнение, чтобы получить:
(11)
\ begin {align} x_1 + x_2 = 4 \\ x_1 + (-2) = 4 \\ x_1 = 6 \ end {align}
Следовательно, у нас есть одно решение для нашей системы, а именно $ (x_1, x_2, x_3) = (6, -2, 4) $
Метод исключения Гаусса | Суперпроф
Метод исключения Гаусса — еще один метод поиска решения системы.Он выполняется на расширенной матрице, и мы используем операции со строками, чтобы найти решение конкретной системы. Система должна содержать линейные уравнения, иначе метод исключения Гаусса будет пустой тратой времени и усилий. Другое название этого метода — «сокращение строк». В этом методе два этапа: одно — прямое исключение, а другое — обратная замена.
Оба метода разные.
Многие студенты думают, что они различаются по операциям, но это неверно, они различаются по результатам.Это означает, что они дают разные результаты. Прямое исключение фокусируется на сокращении строк для перевода расширенной матрицы в эшелонированную форму. Самая большая цель прямого исключения — выяснить, есть ли у системы решения или нет? В случае, если в системе нет решения, значит, нет причин сокращать матрицу на следующем этапе.
Однако, если система выглядит многообещающей, выполняется обратная подстановка, чтобы найти результат решения. Это также последний шаг метода исключения Гаусса, и он найдет результат матрицы.
Система трех уравнений с тремя неизвестными
Метод Гаусса заключается в использовании метода исключения , так что в каждом уравнении на одно неизвестное меньше, чем в предыдущем уравнении.
1. Поместите уравнение с коэффициентом x : 1 или −1 в качестве первого уравнения.
Если это невозможно с x, сделайте с y или z и измените порядок неизвестных:
2.Выполните метод исключения с 1-м и 2-м уравнениями от до , исключите член x во 2-м уравнении . Затем во втором уравнении поместите результат операции:
После сложения обоих уравнений:
3. Проделайте то же самое с 1-м и 3-м уравнениями с по , исключите член . x :
После сложения обоих уравнений:
4.Выполните метод исключения с помощью 2-го и 3-го уравнения:
Сложение обоих уравнений:
5. Получится другая эквивалентная система:
6. Решите систему:
Примеры
Q.1
Сложение обоих уравнений:
000
000
000
Сложение обоих уравнений:
Q.
2
Складываем оба уравнения:
Складываем оба уравнения:
000
000
000
000
000
000
000
000 уравнение приведет к следующему:
Лучшие репетиторы по математике
Первый урок бесплатно
Word
70 Q000 9000.1 Покупатель в супермаркете заплатил в общей сложности 156 долларов за 24 литра молока, 6 кг ветчины и 12 литров оливкового масла. Подсчитайте цену каждой позиции, зная, что 1 литр масла стоит в три раза дороже 1 литра молока, а 1 кг ветчины стоит столько же, сколько 4 литра масла и 4 литра молока.
молоко x
ветчина y
оливковое масло z
Размещение
:
000
000 долларов
000
ветчина 16 долларов
оливковое масло 3 доллара
Q.
2 Видеомагазин специализируется на фильмах трех жанров: детский, вестерн и ужасы. Известно, что:
60% детских фильмов плюс 50% вестернов составляют 30% всех фильмов.
20% детских, 60% вестернов и 60% фильмов ужасов составляют половину всех фильмов в видеомагазине.
Вестернов на 100 больше, чем детских.
Найдите количество фильмов в каждом жанре.
children x
western y
horror z
Поместив уравнение 3 в оба уравнения:
Сложив оба уравнения:
000
000
дети 500 фильмов
вестерн 600 фильмов
ужасы 900 фильмов
Q.3 Стороны треугольника равны 26, 28 и 34 см. В центре каждой вершины расположены три касательные друг к другу окружности. Вычислите длину радиуса каждого круга.
Гауссово-Иорданское исключение | Задачи по математике
Исключение Гаусса-Иордана
Определение
Рассмотрим систему линейных уравнений $ m \ times n $:
\ begin {align *}
a_ {1 1} x_1 + a_ {1 2} x_2 + \ cdots + a_ {1 n} x_n & = b_1 \\
a_ {2 1} x_1 + a_ {2 2} x_2 + \ cdots + a_ {2 n} x_n & = b_2 \\
a_ {3 1} x_1 + a_ {3 2} x_2 + \ cdots + a_ {3 n} x_n & = b_3 \\
& \ vdots \\
a_ {m 1} x_1 + a_ {m 2} x_2 + \ cdots + a_ {mn} x_n & = b_m \\
\ end {align *}
- Матрица коэффициентов системы:
\ [\ begin {bmatrix}
a_ {1 1} & a_ {1 2} & \ cdots & a_ {1 n} \\
a_ {2 1} & a_ {2 2} & \ cdots & a_ {2 n} \\
\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\
a_ {m 1} & a_ {m 2} & \ cdots & a_ {mn}
\ end {bmatrix} \] - Расширенная матрица системы :
\ [\ left [\ begin {array} {rrrr | r}
a_ {1 1} & a_ {1 2} & \ cdots & a_ {1 n} & b_1 \ \
a_ {2 1} & a_ {2 2} & \ cdots & a_ {2 n} & b_2 \\
\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots & \ vdots \\
a_ {m 1} & a_ {m 2} & \ cdots & a_ {mn} & b_m
\ end {array} \ right]
\] - [Исключение Гаусса-Джордана]
Для данной системы линейных уравнений мы можем найти решение следующим образом.
Эта процедура называется методом исключения Гаусса-Джордана .- Напишите расширенную матрицу системы линейных уравнений.
- Используйте элементарные операции со строками, чтобы преобразовать расширенную матрицу в (сокращенную) форму эшелона строк.
- Напишите систему линейных уравнений, соответствующую матрице, в виде ряда строк.
- Решите систему, используя обратную замену.
= решение
Проблемы
- Решите следующую систему, преобразовав расширенную матрицу в уменьшенную форму эшелона.Укажите выполненные вами элементарные операции со строками.
\ begin {align *}
x_1 + x_2-x_5 & = 1 \\
x_2 + 2x_3 + x_4 + 3x_5 & = 1 \\
x_1-x_3 + x_4 + x_5 & = 0
\ end {align *} - Решите следующую систему линейных уравнений, используя метод исключения Гаусса.
\ begin {align *}
x + 2y + 3z & = 4 \\
5x + 6y + 7z & = 8 \\
9x + 10y + 11z & = 12
\ end {align *} - Решите следующую систему линейных уравнений методом исключения Гаусса-Жордана.
\ begin {align *}
6x + 8y + 6z + 3w & = — 3 \\
6x-8y + 6z-3w & = 3 \\
8y \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, — 6w & = 6
\ end {align *} - Решите следующую систему линейных уравнений, преобразовав ее расширенную матрицу к приведенной эшелонированной форме (исключение Гаусса-Жордана).Найдите векторную форму для общего решения.
\ begin {align *}
x_1-x_3-3x_5 & = 1 \\
3x_1 + x_2-x_3 + x_4-9x_5 & = 3 \\
x_1-x_3 + x_4-2x_5 & = 1.
\ end {align *} - Данная матрица является расширенной матрицей для системы линейных уравнений. Приведите векторный вид общего решения.
\ [\ left [\ begin {array} {rrrrr | r}
1 & 0 & -1 & 0 & -2 & 0 \\
0 & 1 & 2 & 0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\
\ end {array} \ right].\] - Решите следующую систему линейных уравнений и задайте векторную форму для общего решения.
\ begin {align *}
x_1 -x_3 -2x_5 & = 1 \\
x_2 + 3x_3-x_5 & = 2 \\
2x_1 -2x_3 + x_4 -3x_5 & = 0
\ end {align *}
( The Государственный университет Огайо ) - Определите, находятся ли следующие расширенные матрицы в форме сокращенного ряда строк, и вычислите наборы решений связанных с ними систем линейных уравнений.
(a) $ \ left [\ begin {array} {rrr | r} 1 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & -3 \\ 0 & 0 & 1 & 6 \ end {массив } \ right] $.{\ prime \ prime} (x) $ обозначают первую и вторую производные соответственно. - (a) Найдите функцию $ g (\ theta) = a \ cos (\ theta) + b \ cos (2 \ theta) + c \ cos (3 \ theta) $ такую, что $ g (0) = g (\ pi / 2) = g (\ pi) = 0 $, где $ a, b, c $ — константы.
(b) Найдите действительные числа $ a, b, c $ такие, что функция $ g (\ theta) = a \ cos (\ theta) + b \ cos (2 \ theta) + c \ cos (3 \ theta) $ удовлетворяет $ g (0) = 3 $, $ g (\ pi / 2) = 1 $ и $ g (\ pi) = -5 $. - Двухзначное число имеет два свойства: сумма цифр равна 11, и если число записано с перевернутыми цифрами и вычтено из исходного числа, результат будет 45.Найдите номер.
7.6 Решение систем с исключением Гаусса — Колледжская алгебра
Цели обучения
В этом разделе вы:
- Напишите расширенную матрицу системы уравнений.
- Напишите систему уравнений из расширенной матрицы.
- Выполняет операции со строками в матрице.
- Решите систему линейных уравнений с помощью матриц.
Рисунок 1 Немецкий математик Карл Фридрих Гаусс (1777–1855).
Карл Фридрих Гаусс жил в конце 18-го и начале 19-го веков, но до сих пор считается одним из самых плодовитых математиков в истории. Его вклад в математику и физику охватывает такие области, как алгебра, теория чисел, анализ, дифференциальная геометрия, астрономия и оптика. Его открытия в области теории матриц изменили способ работы математиков за последние два столетия.
Мы впервые столкнулись с методом исключения Гаусса в системах линейных уравнений: две переменные.В этом разделе мы еще раз вернемся к этой технике решения систем, на этот раз с использованием матриц.
Запись расширенной матрицы системы уравнений
Матрица может служить средством представления и решения системы уравнений. Чтобы выразить систему в матричной форме, мы извлекаем коэффициенты переменных и констант, и они становятся элементами матрицы. Мы используем вертикальную линию, чтобы отделить записи коэффициентов от констант, по сути заменяя знаки равенства.Когда система написана в такой форме, мы называем ее расширенной матрицей.
Например, рассмотрим следующую систему уравнений 2 × 22 × 2.
3x + 4y = 74x − 2y = 53x + 4y = 74x − 2y = 5
Мы можем записать эту систему в виде расширенной матрицы:
[344−2 | 75] [344−2 | 75]
Мы также можем написать матрицу, содержащую только коэффициенты. Это называется матрицей коэффициентов.
Система уравнений три на три, например
3x − y − z = 0 x + y = 5 2x − 3z = 23x − y − z = 0 x + y = 5 2x − 3z = 2
имеет матрицу коэффициентов
[3−1−111020−3] [3−1−111020−3]
и представлен расширенной матрицей
[3−1−111020−3 | 052] [3−1−111020−3 | 052]
Обратите внимание, что матрица написана так, что переменные выстраиваются в свои собственные столбцы: x -термов идут в первый столбец, — -термов во втором столбце и z -термов в третьем. столбец.Очень важно, чтобы каждое уравнение было записано в стандартной форме ax + by + cz = dax + by + cz = d, чтобы переменные совпадали. Если в уравнении отсутствует член переменной, коэффициент равен 0.
How To
Для системы уравнений напишите расширенную матрицу.
- Запишите коэффициенты членов x как числа в первом столбце.
- Запишите коэффициенты членов и в виде чисел во втором столбце.
- Если имеется z -термов, запишите коэффициенты в виде чисел в третьем столбце.
- Нарисуйте вертикальную линию и напишите константы справа от нее.
Пример 1
Запись расширенной матрицы для системы уравнений
Напишите расширенную матрицу для данной системы уравнений.
x + 2y − z = 32x − y + 2z = 6 x − 3y + 3z = 4 x + 2y − z = 32x − y + 2z = 6 x − 3y + 3z = 4
Решение
Расширенная матрица отображает коэффициенты переменных и дополнительный столбец для констант.
[12−12−121−33 | 364] [12−12−121−33 | 364]
Попробуй # 1
Запишите расширенную матрицу данной системы уравнений.
4x − 3y = 113x + 2y = 44x − 3y = 113x + 2y = 4
Написание системы уравнений из расширенной матрицы
Мы можем использовать расширенные матрицы, чтобы помочь нам решать системы уравнений, потому что они упрощают операции, когда системы не обременены переменными. Однако важно понимать, как переключаться между форматами, чтобы поиск решений был более плавным и интуитивно понятным.Здесь мы будем использовать информацию в расширенной матрице, чтобы записать систему уравнений в стандартной форме.
Пример 2
Написание системы уравнений из расширенной матричной формы
Найдите систему уравнений из расширенной матрицы.
[1−3−52−5−4−354 | −256] [1−3−52−5−4−354 | −256]
Решение
Когда столбцы представляют переменные x, x, y, y и z, z,
[1−3−52−5−4−354 | −256] → x − 3y − 5z = −22x − 5y − 4z = 5−3x + 5y + 4z = 6 [1−3−52−5−4−354 | −256] → x − 3y − 5z = −22x − 5y − 4z = 5−3x + 5y + 4z = 6
Попробуй # 2
Напишите систему уравнений из расширенной матрицы.
[1−112−13011 | 51−9] [1−112−13011 | 51−9]
Выполнение операций со строками в матрице
Теперь, когда мы можем писать системы уравнений в форме расширенной матрицы, мы рассмотрим различные операции со строками, которые могут выполняться с матрицей, такие как сложение, умножение на константу и перестановка строк.
Выполнение строковых операций над матрицей — это метод, который мы используем для решения системы уравнений. Чтобы решить систему уравнений, мы хотим преобразовать матрицу в форму строки-эшелона, в которой есть единицы вниз по главной диагонали от верхнего левого угла до нижнего правого угла и нули в каждой позиции ниже главной диагонали. как показано.
Форма строки-эшелон [1ab01d001] Форма строки-эшелон [1ab01d001]
Мы используем операции со строками, соответствующие операциям с уравнениями, чтобы получить новую матрицу, эквивалентную строкам в более простой форме. Вот рекомендации по получению формы рядного эшелона.
- В любой ненулевой строке первым ненулевым числом является 1. Оно называется ведущим 1.
- Любые нулевые строки помещаются внизу матрицы.
- Любая ведущая 1 находится ниже и правее предыдущей ведущей 1.
- Любой столбец, в начале которого стоит 1, имеет нули во всех остальных позициях в столбце.
Чтобы решить систему уравнений, мы можем выполнить следующие операции со строками, чтобы преобразовать матрицу коэффициентов в форму ряда строк и выполнить обратную подстановку, чтобы найти решение.
- Поменяйте местами ряды. (Замечание: Ri↔RjRi↔Rj)
- Умножьте строку на константу. (Замечание: cRicRi)
- Добавить произведение одной строки на константу к другой строке. (Замечание: Ri + cRj) Ri + cRj)
Каждая из строковых операций соответствует операциям, которые мы уже научились решать системы уравнений с тремя переменными.С помощью этих операций есть несколько ключевых шагов, которые быстро достигнут цели написания матрицы в виде эшелона строк. Чтобы получить матрицу в виде эшелона строк для поиска решений, мы используем метод исключения Гаусса, который использует операции со строками для получения 1 в качестве первой записи, чтобы строку 1 можно было использовать для преобразования оставшихся строк.
Исключение по Гауссу
Метод исключения Гаусса относится к стратегии, используемой для получения многоуровневой формы матрицы. Цель состоит в том, чтобы записать матрицу AA с номером 1 в качестве записи вниз по главной диагонали и иметь все нули внизу.
A = [a11a12a13a21a22a23a31a32a33] → После исключения по Гауссу A = [1b12b1301b23001] A = [a11a12a13a21a22a23a31a32a33] → После исключения по Гауссу A = [1b12b1301b23001]
первый шаг может быть использован в качестве первого шага из 1-й строки по Гауссу. чтобы изменить строки ниже.
Как сделать
Учитывая расширенную матрицу, выполните операции со строками для получения формы «строка-эшелон».
- Первое уравнение должно иметь старший коэффициент 1.При необходимости поменяйте местами строки или умножьте на константу.
- Используйте операции со строками, чтобы получить нули в первом столбце под первой записью 1.
- Используйте операции со строками, чтобы получить 1 в строке 2, столбце 2.
- Используйте операции со строками, чтобы получить нули в столбце 2 под записью 1.
- Используйте операции со строками, чтобы получить 1 в строке 3, столбце 3.
- Продолжайте этот процесс для всех строк, пока в каждой записи по главной диагонали не будет 1, а внизу будут только нули.
- Если какие-либо строки содержат все нули, поместите их внизу.
Пример 3
Решение системы 2 × 22 × 2 методом исключения Гаусса
Решите данную систему методом исключения Гаусса.
2x + 3y = 6 x − y = 122x + 3y = 6 x − y = 12
Решение
Сначала запишем это как расширенную матрицу.
[231−1 | 612] [231−1 | 612]
Нам нужна 1 в строке 1, столбце 1. Этого можно добиться, поменяв местами строку 1 и строку 2.
R1↔R2 → [1−123 | 126] R1↔R2 → [1−123 | 126]
Теперь у нас есть 1 как первая запись в строке 1, столбце 1.Теперь давайте получим 0 в строке 2, столбце 1. Это можно сделать, умножив строку 1 на −2, −2 и затем добавив результат к строке 2.
−2R1 + R2 = R2 → [1−105 | 125 ] −2R1 + R2 = R2 → [1−105 | 125]
У нас есть только один шаг, чтобы умножить строку 2 на 15,15.
15R2 = R2 → [1−101 | 121] 15R2 = R2 → [1−101 | 121]
Использовать обратную замену. Вторая строка матрицы представляет y = 1. y = 1. Подставьте обратно y = 1y = 1 в первое уравнение.
x− (1) = 12 x = 32x− (1) = 12 x = 32
Решением является точка (32,1).(32,1).
Попробуй # 3
Решите данную систему методом исключения Гаусса.
4x + 3y = 11 x − 3y = −14x + 3y = 11 x − 3y = −1
Пример 4
Использование исключения Гаусса для решения системы уравнений
Используйте метод исключения Гаусса для решения заданной 2 × 22 × 2
система уравнений.
2x + y = 14x + 2y = 6 2x + y = 14x + 2y = 6
Решение
Запишите систему как расширенную матрицу.
[2142 | 16] [2142 | 16]
Получить 1 в строке 1, столбце 1.Этого можно добиться, умножив первую строку на 12,12.
12R1 = R1 → [11242 | 126] 12R1 = R1 → [11242 | 126]
Далее нам нужен 0 в строке 2, столбце 1. Умножим строку 1 на −4−4 и прибавим строку 1 к строке 2.
−4R1 + R2 = R2 → [11200 | 124] −4R1 + R2 = R2 → [11200 | 124]
Вторая строка представляет уравнение 0 = 4,0 = 4. Следовательно, система непоследовательна и не имеет решения.
Пример 5
Решение зависимой системы
Решите систему уравнений.
3x + 4y = 126x + 8y = 243x + 4y = 126x + 8y = 24
Решение
Выполните операции со строками в расширенной матрице, чтобы попытаться получить форму строки-эшелона.
A = [3468 | 1224] A = [3468 | 1224] −12R2 + R1 = R1 → [0068 | 024] R1↔R2 → [6800 | 240] −12R2 + R1 = R1 → [0068 | 024] R1↔ R2 → [6800 | 240]
Матрица заканчивается всеми нулями в последней строке: 0y = 0,0y = 0. Таким образом, существует бесконечное количество решений и система классифицируется как зависимая. Чтобы найти общее решение, вернитесь к одному из исходных уравнений и решите относительно y.y.
3x + 4y = 12 4y = 12−3x y = 3−34x3x + 4y = 12 4y = 12−3x y = 3−34x
Итак, решение этой системы — (x, 3−34x).(x, 3−34x).
Пример 6
Выполнение операций со строками в расширенной матрице 3 × 3 для получения формы Row-Echelon
Выполните операции со строками для данной матрицы, чтобы получить форму строки-эшелона.
[1−342−56−334 | 366] [1−342−56−334 | 366]
Решение
В первой строке уже есть 1 в строке 1, столбце 1. Следующим шагом является умножение строки 1 на −2−2 и прибавление ее к строке 2. Затем замените строку 2 результатом.
−2R1 + R2 = R2 → [1−3401−2−334 | 306] −2R1 + R2 = R2 → [1−3401−2−334 | 306]
Затем получите ноль в строке 3, столбце 1.
3R1 + R3 = R3 → [1−3401−20−616 | 3015] 3R1 + R3 = R3 → [1−3401−20−616 | 3015]
Затем получаем ноль в строке 3, столбце 2.
6R2 + R3 = R3 → [1−3401−2004 | 3015] 6R2 + R3 = R3 → [1−3401−2004 | 3015]
Последний шаг — получить 1 в строке 3, столбце 3.
14R3 = R3 → [1−3401−2001 | 3−6154] 14R3 = R3 → [1−3401−2001 | 3−6154]
Попробуй # 4
Запишите систему уравнений в виде строк.
x − 2y + 3z = 9 − x + 3y = −42x − 5y + 5z = 17 x − 2y + 3z = 9 − x + 3y = −42x − 5y + 5z = 17
Решение системы линейных уравнений с использованием матриц
Мы видели, как написать систему уравнений с расширенной матрицей, а затем как использовать строковые операции и обратную подстановку для получения строчно-эшелонированной формы.Теперь мы перейдем на шаг дальше от строковой формы, чтобы решить систему линейных уравнений 3 на 3. Общая идея состоит в том, чтобы исключить все переменные, кроме одной, с помощью операций со строками, а затем выполнить обратную замену для поиска других переменных.
Пример 7
Решение системы линейных уравнений с использованием матриц
Решите систему линейных уравнений с помощью матриц.
x − y + z = 82x + 3y − z = −23x − 2y − 9z = 9x − y + z = 82x + 3y − z = −23x − 2y − 9z = 9
Решение
Сначала мы пишем расширенную матрицу.
[1−1123−13−2−9 | 8−29] [1−1123−13−2−9 | 8−29]
Затем мы выполняем строковые операции для получения формы «строка-эшелон».
−2R1 + R2 = R2 → [1−1105−33−2−9 | 8−189] −3R1 + R3 = R3 → [1−1105−301−12 | 8−18−15] −2R1 + R2 = R2 → [1−1105−33−2−9 | 8−189] −3R1 + R3 = R3 → [1−1105−301−12 | 8−18−15]
Самый простой способ получить 1 в строке 2 столбец 1 предназначен для замены R2R2 и R3.R3.
Обмен R2 и R3 → [1−11801−12−1505−3−18] Обмен R2andR3 → [1−11801−12−1505−3−18]
Тогда
−5R2 + R3 = R3 → [1−1101−120057 | 8−1557] −157R3 = R3 → [1−1101−12001 | 8−151] −5R2 + R3 = R3 → [1−1101−120057 | 8− 1557] −157R3 = R3 → [1−1101−12001 | 8−151]
Последняя матрица представляет собой эквивалентную систему.
x − y + z = 8 y − 12z = −15 z = 1x − y + z = 8 y − 12z = −15 z = 1
Используя обратную подстановку, мы получаем решение как (4, −3,1) . (4, −3,1).
Пример 8
Решение зависимой системы линейных уравнений с помощью матриц
Решите следующую систему линейных уравнений, используя матрицы.
−x − 2y + z = −1 2x + 3y = 2y − 2z = 0 − x − 2y + z = −1 2x + 3y = 2y − 2z = 0
Решение
Запишите расширенную матрицу.
[−1−2123001−2 | −120] [- 1−2123001−2 | −120]
Сначала умножьте строку 1 на −1−1, чтобы получить 1 в строке 1, столбце 1.Затем выполните операции со строками, чтобы получить форму эшелона строк.
−R1 → [12−123001−2 | 120] −R1 → [12−123001−2 | 120] R2↔R3 → [12−101−2230 | 102] R2↔R3 → [12−101−2230 | 102] −2R1 + R3 = R3 → [12−101−20−12 | 100] −2R1 + R3 = R3 → [12−101−20−12 | 100] R2 + R3 = R3 → [12−101−2000 | 210] R2 + R3 = R3 → [12−101−2000 | 210]
Последняя матрица представляет следующая система.
x + 2y − z = 1 y − 2z = 0 0 = 0x + 2y − z = 1 y − 2z = 0 0 = 0
Мы видим из тождества 0 = 00 = 0, что это зависимая система с бесконечным числом решений.Затем мы находим общее решение. Решив второе уравнение для yy и подставив его в первое уравнение, мы можем решить для zz через x.x.
x + 2y − z = 1 y = 2zx + 2 (2z) −z = 1 x + 3z = 1 z = 1 − x3x + 2y − z = 1 y = 2zx + 2 (2z) −z = 1 x + 3z = 1 z = 1 − x3
Теперь мы подставляем выражение для zz во второе уравнение, чтобы решить относительно yy через xx
y − 2z = 0z = 1 − x3y − 2 (1 − x3) = 0y = 2−2x3y − 2z = 0z = 1 − x3y − 2 (1 − x3) = 0y = 2−2×3
Общее решение: ( x, 2−2×3,1 − x3).(х, 2−2×3,1 − x3).
Попробуй # 5
Решите систему, используя матрицы.
x + 4y − z = 42x + 5y + 8z = 15x + 3y − 3z = 1x + 4y − z = 42x + 5y + 8z = 15x + 3y − 3z = 1
Вопросы и ответы
Можно ли решить любую систему линейных уравнений методом исключения Гаусса?
Да, система линейных уравнений любого размера может быть решена методом исключения Гаусса.
Как сделать
Для данной системы уравнений решите с помощью матриц с помощью калькулятора.
- Сохранить расширенную матрицу как матричную переменную [A], [B], [C],….[A], [B], [C],….
- Используйте функцию ref ( в калькуляторе, вызывая каждую матричную переменную по мере необходимости.
Пример 9
Решение систем уравнений с матрицами с помощью калькулятора
Решите систему уравнений.
5x + 3y + 9z = −1−2x + 3y − z = −2 − x − 4y + 5z = 1 5x + 3y + 9z = −1−2x + 3y − z = −2 − x − 4y + 5z = 1
Решение
Напишите расширенную матрицу для системы уравнений.
[539−23−1−1−45 | −1−2−1] [539−23−1−1−45 | −1−2−1]
На странице матриц калькулятора введите расширенную матрицу выше в качестве матричной переменной [A].[А].
[A] = [539−1−23−1−2−1−451] [A] = [539−1−23−1−2−1−451]
Используйте функцию ref ( в калькуляторе, вызов матричной переменной [A]. [A].
Оценить.
[1359515011321−47001−24187] → x + 35y + 95z = −15y + 1321z = −47z = −24187 [1359515011321−47001−24187] → x + 35y + 95z = −15y + 1321z = −47z = −24187
Использование обратная подстановка, решение будет (61187, −92187, −24187). (61187, −92187, −24187).
Пример 10
Применение матриц 2 × 2 к финансам
Кэролайн инвестирует в общей сложности 12 000 долларов в две муниципальные облигации, одна из которых выплачивает 10.5% годовых, а другой — 12% годовых. Годовой процент, полученный по двум инвестициям в прошлом году, составил 1335 долларов. Сколько было вложено по каждой ставке?
Решение
У нас есть система двух уравнений с двумя переменными. Пусть x = x = сумма, инвестированная под 10,5%, а y = y = сумма, инвестированная под 12%.
x + y = 12,0000,105x + 0,12y = 1,335 x + y = 12,0000,105x + 0,12y = 1,335
В качестве матрицы мы имеем
[110.1050.12 | 12,0001,335] [110.1050.12 | 12,0001,335]
Умножьте строку 1 на −0,105−0,105 и прибавьте результат к строке 2.
[1100.015 | 12,00075] [1100.015 | 12,00075]
Затем
0,015y = 75 y = 5,0000,015y = 75 y = 5,000
Итак, 12,000-5,000 = 7,000. 12,000-5,000 = 7,000.
Таким образом, 5 000 долларов США были инвестированы под 12% годовых и 7 000 долларов США — под 10,5% годовых.
Пример 11
Применение матриц 3 × 3 к финансам
Ava инвестирует в общей сложности 10 000 долларов в три счета, один из которых платит 5% годовых, другой — 8%, а третий — 9%.Годовой процент, полученный по трем инвестициям в прошлом году, составил 770 долларов. Сумма, вложенная под 9%, была вдвое больше суммы, инвестированной под 5%. Сколько было вложено по каждой ставке?
Решение
У нас есть система трех уравнений с тремя переменными. Пусть xx будет суммой, инвестированной под 5%, пусть yy будет суммой, инвестированной под 8%, и пусть zz будет суммой, инвестированной под 9%. Таким образом,
x + y + z = 10,0000,05x + 0,08y + 0,09z = 770 2x − z = 0 x + y + z = 10,0000.05x + 0,08y + 0,09z = 770 2x − z = 0
В качестве матрицы имеем
[1110.050.080.0920−1 | 10,0007700] [1110.050.080.0920−1 | 10,0007700]
Теперь мы выполняем исключение по Гауссу, чтобы получить форму строки-эшелон.
−0.05R1 + R2 = R2 → [11100.030.0420−1 | 10,0002700] −2R1 + R3 = R3 → [11100.030.040−2−3 | 10,000270−20,000] 10.03R2 = R2 → [01101430−2 −3 | 10,0009,000−20,000] 2R2 + R3 = R3 → [111014300−13 | 10,0009,000−2,000] −0,05R1 + R2 = R2 → [11100.030.0420−1 | 10,0002700] — 2R1 + R3 = R3 → [11100.030.040−2−3 | 10,000270−20,000] 10.03R2 = R2 → [01101430−2−3 | 10,0009,000−20,000] 2R2 + R3 = R3 → [111014300−13 | 10,0009,000−2,000]
В третьей строке указано −13z = −2,000; −13z = −2,000; таким образом, z = 6000. z = 6000.
Вторая строка говорит нам, что y + 43z = 9000.y + 43z = 9000. Подставляя z = 6000, z = 6000, мы получаем
y + 43 (6000) = 9000y + 8000 = 9000y = 1000y + 43 (6000) = 9000y + 8000 = 9000y = 1000
. х + у + г = 10,000. х + у + г = 10,000. Подставив y = 1,000y = 1,000 и z = 6,000, z = 6,000, мы получим
x + 1,000 + 6,000 = 10,000 x = 3,000x + 1,000 + 6,000 = 10,000 x = 3,000
Ответ: 3,000 долларов вложены под 5% годовых, 1000 долларов инвестировано под 8%, а 6000 долларов — под 9%.
Попробуй # 6
Небольшая обувная компания взяла ссуду в размере 1 500 000 долларов на расширение своего ассортимента. Часть денег была взята под 7%, часть — под 8%, часть — под 10%. Сумма займа под 10% в четыре раза превышала сумму займа под 7%, а годовая процентная ставка по всем трем займам составляла 130 500 долларов. Используйте матрицы, чтобы найти сумму займа по каждой ставке.
7.6 Упражнения по разделам
Устные
1.
Можно ли записать любую систему линейных уравнений в виде расширенной матрицы? Объясните, почему да или почему нет.Объясните, как написать эту расширенную матрицу.
2.
Можно ли любую матрицу записать в виде системы линейных уравнений? Объясните, почему да или почему нет. Объясните, как написать эту систему уравнений.
3.
Есть только один правильный метод использования строковых операций над матрицей? Попытайтесь объяснить две различные операции со строками, которые можно использовать для решения расширенной матрицы [931−2 | 06]. [931−2 | 06].
4.
Можно ли решить матрицу с нулевым элементом на диагонали? Объясните, почему да или почему нет. Что бы вы сделали, чтобы исправить ситуацию?
5.
Может ли матрица с 0 элементами для всей строки иметь одно решение? Объясните, почему да или почему нет.
Алгебраические
Для следующих упражнений напишите расширенную матрицу линейной системы.
6.
8x − 37y = 82x + 12y = 38x − 37y = 82x + 12y = 3
7.
16y = 49x − y = 2 16y = 49x − y = 2
8.
3x + 2y + 10z = 3−6x + 2y + 5z = 13 4x + z = 183x + 2y + 10z = 3−6x + 2y + 5z = 13 4x + z = 18
9.
x + 5y + 8z = 1912x + 3y = 43x + 4y + 9z = −7 x + 5y + 8z = 1912x + 3y = 43x + 4y + 9z = −7
10.
6x + 12y + 16z = 4 19x − 5y + 3z = −9 x + 2y = −86x + 12y + 16z = 4 19x − 5y + 3z = −9 x + 2y = −8
Для следующих упражнений запишите линейную систему из расширенной матрицы.
11.
[−256−18 | 526] [- 256−18 | 526]
12.
[341017 | 10439] [341017 | 10439]
13.
[320−1−94857 | 3−18] [320−1−94857 | 3−18]
14.
[8291−175003 | 433810] [8291−175003 | 433810]
15.
[45−2015887−3 | 122−5] [45−2015887−3 | 122−5]
Для следующих упражнений решите систему методом исключения Гаусса.
16.
[1000 | 30] [1000 | 30]
17.
[1010 | 12] [1010 | 12]
18.
[1245 | 36] [1245 | 36]
19.
[−124−5 | −36] [- 124−5 | −36]
20.
[−2002 | 1−1] [- 2002 | 1−1]
21.
2x − 3y = −95x + 4y = 58 2x − 3y = −95x + 4y = 58
22.
6x + 2y = −43x + 4y = −176x + 2y = −43x + 4y = −17
23.
2x + 3y = 12 4x + y = 142x + 3y = 12 4x + y = 14
24.
−4x − 3y = −2 3x − 5y = −13−4x − 3y = −2 3x − 5y = −13
25.
−5x + 8y = 310x + 6y = 5−5x + 8y = 310x + 6y = 5
26.
3x + 4y = 12−6x − 8y = −24 3x + 4y = 12−6x − 8y = −24
27.
−60x + 45y = 12 20x − 15y = −4−60x + 45y = 12 20x − 15y = −4
28.
11x + 10y = 4315x + 20y = 6511x + 10y = 4315x + 20y = 65
29.
2x − y = 23x + 2y = 172x − y = 23x + 2y = 17
30.
−1.06x − 2.25y = 5.51−5.03x − 1.08y = 5.40−1.06x − 2.25y = 5.51−5.03x − 1.08y = 5,40
31.
34x − 35y = 414x + 23y = 134x − 35y = 414x + 23y = 1
32.
14x − 23y = −112x + 13y = 314x − 23y = −112x + 13y = 3
33.
[100011001 | 314587] [100011001 | 314587]
34.
[101110011 | 5020−90] [101110011 | 5020−90]
35.
[123056008 | 479] [123056008 | 479]
36.
[−0.10.3−0.1−0.40.20.10.60.10.7 | 0.20.8−0.8] [- 0.10.3−0.1−0.40.20.10.60.10.7 | 0,20,8−0,8]
37.
−2x + 3y − 2z = 3 4x + 2y − z = 94x − 8y + 2z = −6−2x + 3y − 2z = 3 4x + 2y − z = 94x − 8y + 2z = −6
38.
x + y − 4z = −4 5x − 3y − 2z = 0 2x + 6y + 7z = 30 x + y − 4z = −4 5x − 3y − 2z = 0 2x + 6y + 7z = 30
39.
2x + 3y + 2z = 1 −4x − 6y − 4z = −210x + 15y + 10z = 5 2x + 3y + 2z = 1 −4x − 6y − 4z = −210x + 15y + 10z = 5
40.
x + 2y − z = 1 − x − 2y + 2z = −23x + 6y − 3z = 5 x + 2y − z = 1 − x − 2y + 2z = −23x + 6y − 3z = 5
41.
x + 2y − z = 1 − x − 2y + 2z = −23x + 6y − 3z = 3 x + 2y − z = 1 − x − 2y + 2z = −23x + 6y − 3z = 3
42.
x + y = 2 x + z = 1 − y − z = −3 x + y = 2 x + z = 1 − y − z = −3
43.
x + y + z = 100 x + 2z = 125 − y + 2z = 25x + y + z = 100 x + 2z = 125 − y + 2z = 25.
44.
14x − 23z = −1215x + 13y = 4715y − 13z = 2914x − 23z = −1215x + 13y = 4715y − 13z = 29
45.
−12x + 12y + 17z = −5314 12x − 12y + 14z = 3 14x + 15y + 13z = 2315−12x + 12y + 17z = −5314 12x − 12y + 14z = 3 14x + 15y + 13z = 2315
46.
−12x − 13y + 14z = −296 15x + 16y − 17z = 431210−18x + 19y + 110z = −4945−12x − 13y + 14z = −296 15x + 16y − 17z = 431210−18x + 19y + 110z = — 4945
Расширения
Для следующих упражнений используйте метод исключения Гаусса для решения системы.
47.
x − 17 + y − 28 + z − 34 = 0x + y + z = 6x + 23 + 2y + z − 33 = 5x − 17 + y − 28 + z − 34 = 0x + y + z = 6x. + 23 + 2у + г — 33 = 5
48.
x − 14 − y + 14 + 3z = −1 x + 52 + y + 74 − z = 4 x + y − z − 22 = 1x − 14 − y + 14 + 3z = −1 x + 52 + y + 74-г = 4 х + у-г-22 = 1
49.
x − 34 − y − 13 + 2z = −1x + 52 + y + 52 + z + 52 = 8x + y + z = 1x − 34 − y − 13 + 2z = −1x + 52 + y + 52 + z + 52 = 8x + y + z = 1
50.
x − 310 + y + 32−2z = 3x + 54 − y − 18 + z = 32x − 14 + y + 42 + 3z = 32x − 310 + y + 32−2z = 3x + 54 − y − 18 + z = 32x − 14 + y + 42 + 3z = 32
51.
x − 34 − y − 13 + 2z = −1x + 52 + y + 52 + z + 52 = 7x + y + z = 1x − 34 − y − 13 + 2z = −1x + 52 + y + 52 + z + 52 = 7x + y + z = 1
Реальные приложения
Для следующих упражнений настройте расширенную матрицу, описывающую ситуацию, и найдите желаемое решение.
52.
Ежедневно в магазине кексов продается 5 000 кексов со вкусом шоколада и ванили. Если вкус шоколада в 3 раза популярнее, чем аромат ванили, сколько кексов продается в день?
53.
В конкурирующем магазине кексов ежедневно продаются кексы на сумму 4520 долларов. Шоколадные кексы стоят 2,25 доллара, а кексы из красного бархата — 1,75 доллара. Если общее количество кексов, проданных в день, составляет 2200, сколько штук каждого вкуса продается каждый день?
54.
Вы вложили 10 000 долларов в два счета: один с простой процентной ставкой 3%, а другой — с процентной ставкой 2,5%. Если ваша общая выплата процентов по истечении одного года составила 283,50 доллара, какая сумма была на каждом счете по истечении года?
55.
Вы вложили 2300 долларов на счет 1 и 2700 долларов на счет 2.Если общая сумма процентов по истечении одного года составляет 254 доллара, а на счете 2 процентная ставка в 1,5 раза выше, чем на счете 1, каковы процентные ставки? Предположим простые процентные ставки.
56.
Bikes’R’Us производит велосипеды по 250 долларов. Он стоит производителю 180 долларов за велосипед плюс стартовый взнос в размере 3500 долларов. Через сколько проданных велосипедов производитель выйдет на уровень безубыточности?
57.
Крупный магазин бытовой техники рассматривает возможность приобретения пылесосов у небольшого производителя. Магазин сможет приобрести пылесосы по 86 долларов каждый, со стоимостью доставки 9 200 долларов, независимо от того, сколько пылесосов будет продано.Если магазин должен начать получать прибыль после продажи 230 единиц, сколько они должны взимать плату за пылесосы?
58.
Три самых популярных вкуса мороженого — это шоколад, клубника и ваниль, составляющие 83% вкусов, продаваемых в магазине мороженого. Если ваниль продается на 1% больше, чем в два раза больше клубники, а шоколад продается на 11% больше, чем ваниль, сколько в общем потреблении мороженого приходится на ароматы ванили, шоколада и клубники?
59.
В магазине мороженого возрастает спрос на три вкуса.В прошлом году банановое, тыквенное и мороженое с каменистой дорогой составили 12% от общего объема продаж мороженого. В этом году на те же три вида мороженого пришлось 16,9% продаж мороженого. Продажи по каменистой дороге увеличились вдвое, продажи бананов увеличились на 50%, а продажи тыквы — на 20%. Если у мороженого по каменистой дороге было на один процент меньше продаж, чем у бананового, узнайте, какой процент продаж мороженого было произведено каждым отдельным мороженым в прошлом году.
60.
Пакет с ореховой смесью содержит кешью, фисташки и миндаль.Всего в сумке 1000 орехов, а миндаля на 100 меньше, чем фисташек. Кешью весит 3 г, фисташки — 4 г, миндаль — 5 г. Если мешок весит 3,7 кг, узнайте, сколько орехов каждого вида в нем.
61.
Пакет с ореховой смесью содержит кешью, фисташки и миндаль. Изначально в сумке было 900 орехов. Было съедено 30% миндаля, 20% кешью и 10% фисташек, и теперь в сумке осталось 770 орехов. Первоначально кешью было на 100 штук больше, чем миндаля.Для начала выясните, сколько орехов каждого типа было в пакете.
.