Решите уравнение 3x x 2 0: решите уравнение 3x-x^2=0 — Школьные Знания.com

alexxlab

Содержание

3x 2 0 уравнение

Вы искали 3x 2 0 уравнение? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное
решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и решение уравнения 3x 2 0, не
исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению
в вуз.
И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение.
Например, «3x 2 0 уравнение».

Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей
жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек
использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на
месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который
может решить задачи, такие, как 3x 2 0 уравнение,решение уравнения 3x 2 0,решите уравнение x 2 2x 3,решите уравнение x 3 2x 2 x 0. 3/3x == 4′, используя Scipy?

или другая библиотека с открытым исходным кодом Python: Numpy, Matplotlib …

python

math

numpy

scipy

Поделиться

Источник


Ali    

18 ноября 2012 в 00:00

2 ответа

  • Уравнение решить для X

    У меня есть следующее уравнение в строке y = 18774x + 82795 Решая для x я бы сделал это:- x = (y-82795) / 18774 Я знаю значение y Однако уравнение все время меняется и всегда находится в строковом формате Можно ли просто бросить исходное уравнение в Оператор Evaluate и заставить его автоматически…

  • Решить уравнение, используя bodmas в C#

    У меня есть уравнения типа (7+((8%2)(7%3))) . Я хочу решить эту проблему с помощью bod-mas: сначала скобки должны быть решены после того, как они делятся, умножаются, складываются и вычитаются. У меня есть программа, в которой пользователь создает формулу, используя зарплатные головы, такие как. 3.. используя arrayList

    Как решить для x с известной функцией в уравнении, используя numpy/scipy?

    У меня есть логнормальное распределение от scipy, и его параметры известны. import scipy log_norm_obj = scipy.stats.lognorm([log_mu], shape=sigma) Мне нужно решить для X, которая удовлетворяет…

    Уравнение решить для X

    У меня есть следующее уравнение в строке y = 18774x + 82795 Решая для x я бы сделал это:- x = (y-82795) / 18774 Я знаю значение y Однако уравнение все время меняется и всегда находится в строковом…

    Решить уравнение, используя bodmas в C#

    У меня есть уравнения типа (7+((8%2)(7%3))) . Я хочу решить эту проблему с помощью bod-mas: сначала скобки должны быть решены после того, как они делятся, умножаются, складываются и вычитаются. У…

    Как решить нелинейное уравнение без симпатии (max и min)?

    Как я могу решить уравнение типа x * max(x,15) + max(x, 45) / x = 10 с помощью библиотек python? Я вынужден не использовать библиотеку Sympy, потому что символические вычисления очень медленные. 2/10=100 Может ли MATLAB решить это уравнение напрямую, не имея доступа к символическому инструментарию? Если он не может этого сделать, как я могу…

    Как решить сложное уравнение с JavaScript

    У меня есть уравнение типа 23/(x+3) +[ (x-3)/(x+3) ] *2 = 57 Я хочу решить для x с java-script.Is есть любая библиотека javascript, чтобы решить эти типы equations.Thank вам за вашу помощь.

    Урок 12. решение алгебраических уравнений разложением на множители — Алгебра и начала математического анализа — 10 класс

    Алгебра и начала математического анализа, 10 класс

    Урок №12. Решение алгебраических уравнений разложением на множители.

    Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

    1) типы алгебраических уравнений;

    2) решение алгебраические уравнения методом разложения на множители;

    3) методы решения алгебраических уравнений.

    Глоссарий по теме

    Алгебраическое уравнение (полиномиальное уравнение) — уравнение вида P(x1, x2, …, xn)=0, где P — многочлен от переменных x1, x2, …, xn, которые называются неизвестными.

    Коэффициенты многочлена P обычно берутся из некоторого множества F, и тогда уравнение P(x1, x2, …, xn)=0 называется алгебраическим уравнение над множеством F.

    Степенью алгебраического уравнения называют степень многочлена P.

    Значения переменных x1, x2, …, xn, которые при подстановке в алгебраическое уравнение обращают его в тождество, называются корнями этого алгебраического уравнения.

    Биквадратными называются уравнения вида ах4 + bх2 + с = 0, где а, b, с – заданные числа, причем, а ≠ 0.

    Симметрическим уравнением 3-ей степени называют уравнение вида: ax3 + bx2 + bx + a = 0, где a, b –  заданные числа.

    Уравнение вида anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0=0 называется возвратным, если его коэффициенты, стоящие на симметричных позициях, равны, т.е. an-1=ak, при k=0, 1, …, n.

    Основная литература:

    Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл. – М.: Просвещение, 2014.

    Дополнительная литература:

    Шабунин М.И., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. Дидактические материалы Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл. – М.: Просвещение, 2017.

    Теоретический материал для самостоятельного изучения

    Давайте вспомним, что такое алгебраическое уравнение?

    Алгебраическое уравнение (полиномиальное уравнение) — уравнение вида P(x1, x2, …, xn)=0, где P — многочлен от переменных x1, x2, …, xn, которые называются неизвестными.

    Коэффициенты многочлена P обычно берутся из некоторого поля F, и тогда уравнение P(x1, x2, …, xn)=0 называется алгебраическим уравнение над полем F.

    Степенью алгебраического уравнения называют степень многочлена P.

    Например, уравнение

    является алгебраическим уравнением седьмой степени от трёх переменных (с тремя неизвестными) над полем вещественных чисел.

    Связанные определения. Значения переменных x1, x2, …, xn, которые при подстановке в алгебраическое уравнение обращают его в тождество, называются корнями этого алгебраического уравнения.

    Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

    1. Алгебраические уравнения, решаемые разложением на множители:

    Пример 1.

    x3 – 3x – 2 = 0.

    Решение: I способ

    D(–2) : ,

    Можно догадаться, что число х1 = –1 является корнем этого уравнения, так как –1 + 3 – 2 = 0.

    (х + 1)( х2 –х–2) = 0;

    х + 1 = 0 или х2 –х–2 = 0;

    х1 = –1 х2,3 = ;

    х2,3 = ;

    х2 = –1, х3 = 2

    Ответ: –1; 2.

    II способ

    x3 + х2 – х2 – х – 2x – 2 = 0;

    (x3 + х2) – (х2 + х) – 2(x + 1) = 0;

    х2(х + 1) – х(х + 1) – 2(х + 1) = 0;

    (х + 1) (х2 –х–2) = 0;

    (х + 1) (х + 1) (х –2) = 0;

    (х –2) = 0;

    х1 = –1, х2 = 2

    Ответ: –1; 2.

    1. Уравнения, сводящиеся к алгебраическим
      1. Биквадратные уравнения

    На прошлом уроке мы познакомились с данным видом уравнений

    Определение. Биквадратными называются уравнения вида ах4 + bх2 + с = 0, где а, b, с – заданные числа, причем, а ≠ 0.

    Метод решения

    Биквадратное уравнение приводится к квадратному уравнению при помощи подстановки у=х2.

    Новое квадратное уравнение относительно переменной у: ay2+by+c=0.

    Решая это уравнение, мы получаем корни квадратного уравнения

    y1 и y2.

    Решая эти два уравнения (y1=x12 и y2=x12) относительно переменной x, мы получаем корни данного биквадратного уравнения.

    Порядок действий при решении биквадратных уравнений

    1. Ввести новую переменную у=х2
    2. Подставить данную переменную в исходное уравнение
    3. Решить квадратное уравнение относительно новой переменной
    4. После нахождения корней (y1; y2) подставить их в нашу переменную у=х2 и найти исходные корни биквадратного уравнения

    Пример 2.

    х4 – 8х2 – 9 = 0.

    Решение: Пусть у = х2, где у 0; у2 – 8у – 9 = 0;

    По формулам Виета:

    у1 = –1; у2 = 9;

    Первое решение отбрасываем ( у 0),

    а из второго находим х1 = –3; х2 = 3.

    Ответ: х1 = –3; х2 = 3.

    2 Симметрические уравнения

    Решение симметрических уравнений рассмотрим на примере симметрических уравнений третьей степени.

    Симметрическим уравнением 3-ей степени называют уравнение вида ax3 + bx2 + bx + a = 0, где a, b –  заданные числа.

    Для того, чтобы успешно решать уравнения такого вида, полезно знать и уметь использовать следующие простейшие свойства симметрических уравнений:

    10.  У любого симметрического уравнения нечетной степени всегда есть корень, равный -1.

    Действительно, если сгруппировать в левой части слагаемые следующим образом: а(х3 + 1) + bx(х + 1) = 0, то есть возможность вынести общий множитель, т.е.

    (х + 1)(ах2 + (b – а)x + а) = 0, поэтому, 
    х + 1 = 0 или ах2 + (b – а)x + а = 0,

    первое уравнение и доказывает интересующее нас утверждение.

    20.  У симметрического уравнения корней, равных нулю, нет.

    30. При делении многочлена нечетной степени на (х + 1) частное является снова симметрическим многочленом.

    Пример 3.

    х3 + 2x2 + 2х + 1 = 0.

    Решение: У исходного уравнения обязательно есть корень х = –1.

    Разлагая далее левую часть на множители, получим

    (х + 1)(x2 + х + 1) = 0.

    Квадратное уравнение

    x2 + х + 1 = 0 не имеет корней.

    Ответ: –1.

    2 Возвратные уравнения

    Уравнение вида anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0=0 называется возвратным, если его коэффициенты, стоящие на симметричных позициях, равны, т.е. an-1=ak, при k=0, 1, …, n.

    Рассмотрим возвратное уравнение четвёртой степени вида

    ax⁴ + bx³ + cx² + bx + a = 0, где a, b и c — некоторые числа, причём a ≠ 0. Оно является частным случаем уравнения ax⁴ + bx³ + cx² + kbx + k²a = 0 при k = 1.

    Порядок действий при решении возвратных уравнений вида ax4 + bx3 + cx2 + bx + a = 0:

    • разделить левую и правую части уравнения на . При этом не происходит потери решения, так как x = 0 не является корнем исходного уравнения;
    • группировкой привести полученное уравнение к виду 
    • ввести новую переменную , тогда выполнено
      , то есть ; 

    в новых переменных рассматриваемое уравнение является квадратным: at2 +bt+c–2a=0;

    • решить его относительно t, возвратиться к исходной переменной.

    Пример 4

    2x4 – 3x3 – 7x2 –15x + 50 = 0.

    Решение: Разделим на x2, получим:

    Введем замену:
    Пусть

    тогда 2t2 – 3t – 27 = 0

    t=-3

    x2+3x+5=0

    D<0

    2×2-9x+10=0

    x=2; x=2,5

    Ответ: .

    Квадратные уравнения.Дидактический материал по алгебре 8 класс.

    Вариант 1.

    Реши уравнения:

    1) – 5,2x2 = 0;

    2) 19x2 + 14x – 5 = 0;

    3) 8x2 + 17x = 0;

    4) x2 – 2x – 3 = 0;

    5) – 9x2 – 15x – 4 = 0;

    6) – 35x2 – 33 = 0;

    7) x2 + 9x + 10 = 0;

    8) – 13x2 – 11x – 1 = 0.

    Вариант 2.

    Реши уравнения:

    1) – 24x2 – 7x + 2 = 0;

    2) – 21x2 + 16x – 3 = 0;

    3) x2 – 58 = 0;

    4) 71x2 = 0;

    5) – x2 + x – 12 = 0;

    6) x2 – 13x + 42 = 0;

    7) – 16x2 – 3x + 13 = 0;

    8) – 13x2 – 6x = 0

    Вариант 3.

    Реши уравнения:

    1) 13x2 – 12x + 2 = 0;

    2) – x2 + 11x – 13 = 0;

    3) – 19x2 + 17x = 0;

    4) x2 + x – 90 = 0;

    5) – 8x2 + 5x – 3 = 0;

    6) – 6x2 = 0;

    7) – 9x2 + 49 = 0;

    8) 20x2 + 19x + 3 = 0.

    Вариант 4.

    Реши уравнения:

    1) 4x2 + 12x + 9 = 0;

    2) x2 + 19x + 16 = 0;

    3) 5,7x2 = 0;

    4) – 34x2 + 19 = 0;

    5) x2 + 17x + 70 = 0;

    6) – 7x2 – x + 8 = 0;

    7) 3x2 – 20x = 0;

    8) – 4x2 – 3x – 6 = 0.

    Вариант 5.

    Реши уравнения:

    1) – x2 + 13x + 9 = 0;

    2) – 6,9x2 = 0;

    3) x2 + 24x = 0;

    4) x2 – 8x – 9 = 0;

    5) 10x2 – 13x – 3 = 0;

    6) x2 – 9 = 0;

    7) – 2x2 + 8x – 13 = 0;

    8) 7x2 – x – 30 = 0.

    Вариант 6.

    Реши уравнения:

    1) 21x2 – 17x + 2 = 0;

    2) – x2 – 9x – 2 = 0;

    3) – 8x2 – 11x = 0;

    4) 13x2 = 0;

    5) 12x2 + 47 = 0;

    6) – 10x2 – 9x + 2 = 0;

    7) x2 – 10x + 24 = 0;

    8) – 17x2 + 18x + 32 = 0.

    Вариант 7.

    Реши уравнения:

    1) – 13x2 + 8x = 0;

    2) – 16x2 – 16x – 3 = 0;

    3) – 14x2 – 19x – 1 = 0;

    4) x2 – 99 = 0;

    5) x2 + 6x – 7 = 0;

    6) – 20x2 = 0;

    7) x2 + 7x + 15 = 0;

    8) – 14x2 + 5x + 9 = 0.

    Вариант 8.

    Реши уравнения:

    1) – 6x2 + 19x – 8 = 0;

    2) x2 – 13x + 18 = 0;

    3) – 7x2 + 20x – 1 = 0;

    4) 0,099x2 = 0;

    5) 24x2 + x + 1 = 0;

    6) x2 + 13x + 42 = 0;

    7) – 81x2 + 100 = 0;

    8) 10x2 – 17x = 0.

    Вариант 9.

    Реши уравнения:

    1) – 25x2 + 10x – 1 = 0;

    2) – 2x2 – 5x + 3 = 0;

    3) 22x2 + 7x + 2 = 0;

    4) 12x2 – 11 = 0;

    5) x2 – 2x – 80 = 0;

    6) 8x2 + 3x = 0;

    7) – 5,54x2 = 0;

    8) x2 + 17x + 8 = 0.

    Вариант 10.

    Реши уравнения:

    1) x2 + 19x – 9 = 0;

    2) – 24x2 – 13x + 2 = 0;

    3) x2 – 49 = 0;

    4) x2 – 13x + 40 = 0;

    5) – 5x2 + 19x – 18 = 0;

    6) 29x2 = 0;

    7) – x2 – 20x = 0;

    8) 13x2 – 6x + 2 = 0.

    Вариант 11.

    Реши уравнения:

    1) – 15x2 + 15x + 2 = 0;

    2) – 81x2 = 0;

    3) 11x2 + 10x – 24 = 0;

    4) – x2 + x + 11 = 0;

    5) – 7x2 + 18x = 0;

    6) – 37x2 – 13 = 0;

    7) – 6x2 – 19x – 15 = 0;

    8) x2 + 7x – 30 = 0.

    Вариант 12.

    Реши уравнения:

    1) 6,09x2 = 0;

    2) x2 + 7x + 12 = 0;

    3) 2x2 + x – 12 = 0;

    4) – 2x2 + 15x – 13 = 0;

    5) 5x2 – 8x = 0;

    6) x2 + 5x + 20 = 0;

    7) 36x2 + 16x – 1 = 0;

    8) x2 – 61 = 0.

    Вариант 13.

    Реши уравнения:

    1) 10x2 – 7x + 1 = 0;

    2) – 100x2 + 49 = 0;

    3) – 9,84x2 = 0;

    4) 3x2 – 4x – 13 = 0;

    5) x2 – 4x – 45 = 0;

    6) 3x2 + 5x = 0;

    7) – 13x2 + 7x – 2 = 0;

    8) x2 + 3x – 12 = 0.

    Вариант 14.

    Реши уравнения:

    1) 18x2 = 0;

    2) – x2 – 3x + 1 = 0;

    3) – 5x2 – 14x = 0;

    4) 4x2 – 13x + 10 = 0;

    5) – 3x2 + 2 = 0;

    6) x2 – 6x + 5 = 0;

    7) – 4x2 + 4x – 1 = 0;

    8) – 4x2 – 5x – 6 = 0.

    Вариант 15.

    Реши уравнения:

    1) 3x2 + 5x – 2 = 0;

    2) x2 + 5x – 24 = 0;

    3) – x2 + 25x = 0;

    4) x2 – 81 = 0;

    5) – 3x2 – 4x – 14 = 0;

    6) – 21x2 + x + 2 = 0;

    7) – 71x2 = 0;

    8) x2 – 15x – 19 = 0.

    Вариант 16.

    Реши уравнения:

    1) 27x2 + 44 = 0;

    2) 0,5x2 = 0;

    3) x2 + 18x + 80 = 0;

    4) 3x2 + 14x + 16 = 0;

    5) x2 – 17x – 5 = 0;

    6) 6x2 + 19x + 6 = 0;

    7) 15x2 – 2x = 0;

    8) 9x2 – 15x + 4 = 0.

    Вариант 17.

    Реши уравнения:

    1) x2 – 54 = 0;

    2) – 2x2 – 3x + 4 = 0;

    3) – x2 – x – 15 = 0;

    4) – 7,29x2 = 0;

    5) x2 – 4x – 45 = 0;

    6) – 24x2 – 14x – 1 = 0;

    7) 16x2 + 17x = 0;

    8) 13x2 + 7x – 20 = 0.

    Вариант 18.

    Реши уравнения:

    1) – 9x2 + 4 = 0;

    2) 2x2 – 2x – 13 = 0;

    3) 6x2 – x – 1 = 0;

    4) – x2 + 9x – 17 = 0;

    5) – 8x2 – 19x = 0;

    6) 10x2 – x + 3 = 0;

    7) 6x2 = 0;

    8) x2 – 4x + 3 = 0.

    Вариант 19.

    Реши уравнения:

    1) – 3x2 + 7x = 0;

    2) 29x2 – 11 = 0;

    3) 9x2 + 6x + 1 = 0;

    4) – 88x2 = 0;

    5) x2 + 2x – 3 = 0;

    6) – x2 + 5x + 11 = 0;

    7) – 15x2 + x – 2 = 0;

    8) 2x2 + 11x – 90 = 0.

    Вариант 20.

    Реши уравнения:

    1) 13x2 + 10x + 2 = 0;

    2) – 26x2 + 9x + 2 = 0;

    3) x2 – 81 = 0;

    4) – 3x2 – x + 4 = 0;

    5) x2 + 17x + 72 = 0;

    6) 7,68x2 = 0;

    7) x2 – 25x = 0;

    8) x2 + 15x – 5 = 0.

    Вариант 21.

    Реши уравнения:

    1) x2 – 2x – 24 = 0;

    2) 21x2 – x – 2 = 0;

    3) – 13x2 – 14x – 1 = 0;

    4) – x2 – 11x + 13 = 0;

    5) – 4x2 + 17x – 5 = 0;

    6) – 5,021x2 = 0;

    7) 19x2 + 9x = 0;

    8) – 45x2 – 49 = 0.

    Вариант 22.

    Реши уравнения:

    1) – 9x2 + 11x + 4 = 0;

    2) x2 – 11x + 10 = 0;

    3) x2 + x + 10 = 0;

    4) – 3x2 – 17x + 56 = 0;

    5) x2 – 31 = 0;

    6) 10x2 = 0;

    7) – 12x2 – 13x = 0;

    8) – 9x2 + 18x – 8 = 0.

    Вариант 23.

    Реши уравнения:

    1) – x2 + 5x – 1 = 0;

    2) – 62x2 = 0;

    3) 2x2 + 14x + 1 = 0;

    4) x2 + 3x – 4 = 0;

    5) – 81x2 + 64 = 0;

    6) 4x2 – 9x + 11 = 0;

    7) – 42x2 – 13x – 1 = 0;

    8) – 8x2 + 19x = 0.

    Вариант 24.

    Реши уравнения:

    1) 24x2 – 17 = 0;

    2) – x2 + 11x + 19 = 0;

    3) 24x2 – 7x + 1 = 0;

    4) 5x2 – 12x = 0;

    5) – 25x2 – 10x – 1 = 0;

    6) 1,03x2 = 0;

    7) 2x2 – 3x – 65 = 0;

    8) x2 + 15x + 54 = 0.

    Вариант 25.

    Реши уравнения:

    1) x2 – 17x + 8 = 0;

    2) – 14x2 + 13x – 3 = 0;

    3) 15x2 + 17x – 26 = 0;

    4) x2 – 1 = 0;

    5) x2 – 6x – 40 = 0;

    6) x2 + 26x = 0;

    7) – 19x2 + 8x – 1 = 0;

    8) – 3,53x2 = 0.

    Вариант 26.

    Реши уравнения:

    1) 17x2 – 4x – 13 = 0;

    2) – 17x2 – 5x + 2 = 0;

    3) 30x2 – 7x – 1 = 0;

    4) – 19x2 – 10x = 0;

    5) x2 – 7x – 19 = 0;

    6) x2 – 5x + 4 = 0;

    7) 82x2 = 0;

    8) 47x2 + 27 = 0.

    Вариант 27.

    Реши уравнения:

    1) x2 + 3x – 18 = 0;

    2) x2 – 7 = 0;

    3) x2 + x + 14 = 0;

    4) – 34x2 = 0;

    5) – 2x2 + 7x = 0;

    6) – 77x2 + 18x – 1 = 0;

    7) 2x2 – 19x – 361 = 0;

    8) – 4x2 – 11x – 5 = 0.

    Вариант 28.

    Реши уравнения:

    1) 23x2 – 9x + 2 = 0;

    2) – 4x2 – 12x + 3 = 0;

    3) 2,7x2 = 0;

    4) x2 + 19x + 17 = 0;

    5) – 81x2 + 1 = 0;

    6) 13x2 – 14x = 0;

    7) – 35x2 + 3x + 2 = 0;

    8) x2 + 14x + 40 = 0.

    Вариант 29.

    Реши уравнения:

    1) – 4x2 + 9x + 55 = 0;

    2) 9x2 + x = 0;

    3) – 7,4x2 = 0;

    4) – x2 – 15x – 1 = 0;

    5) – 9x2 – 12x – 4 = 0;

    6) x2 – 3x – 28 = 0;

    7) 9x2 + 9x + 5 = 0;

    8) – 13x2 + 12 = 0.

    Вариант 30.

    Реши уравнения:

    1) x2 – 100 = 0;

    2) 3x2 – 5x – 50 = 0;

    3) – 21x2 + 11x + 2 = 0;

    4) x2 – 11x + 24 = 0;

    5) 53x2 = 0;

    6) – 3x2 – 2x – 9 = 0;

    7) x2 + 9x – 17 = 0;

    8) – x2 – 14x = 0.

    Вариант 31.

    Реши уравнения:

    1) 3x2 – 14x – 24 = 0;

    2) 36x2 – 13x + 1 = 0;

    3) x2 + 7x – 30 = 0;

    4) – x2 + 5x + 11 = 0;

    5) – 39x2 – 50 = 0;

    6) – 31x2 + 13x – 1 = 0;

    7) – 89x2 = 0;

    8) – 19x2 + x = 0.

    Вариант 32.

    Реши уравнения:

    1) – 5x2 – 17x + 12 = 0;

    2) – 8x2 + 17x – 6 = 0;

    3) 9,93x2 = 0;

    4) x2 – 29 = 0;

    5) 8x2 – 10x + 3 = 0;

    6) 15x2 – 19x = 0;

    7) x2 + 12x + 27 = 0;

    8) – x2 + 5x – 8 = 0.

    Вариант 33.

    Реши уравнения:

    1) – 6,5x2 = 0;

    2) – x2 + 19x – 16 = 0;

    3) – 27x2 + 3x + 2 = 0;

    4) – 7x2 – 7x – 6 = 0;

    5) x2 – x – 12 = 0;

    6) – 11x2 + 2x + 1 = 0;

    7) – 81x2 + 64 = 0;

    8) 15x2 + 16x = 0.

    Вариант 34.

    Реши уравнения:

    1) x2 – 10x + 21 = 0;

    2) – 11x2 – 7x = 0;

    3) – 4x2 + 12x – 9 = 0;

    4) 21x2 = 0;

    5) x2 + 15x + 6 = 0;

    6) 39x2 – 22 = 0;

    7) – 3x2 – 7x – 8 = 0;

    8) 3x2 – 7x – 26 = 0.

    Вариант 35.

    Реши уравнения:

    1) – 10x2 = 0;

    2) 12x2 – 11x – 5 = 0;

    3) – 9x2 + 4x – 5 = 0;

    4) – 2x2 + 11x + 285 = 0;

    5) – x2 + 11x + 14 = 0;

    6) – x2 + 24x = 0;

    7) x2 + 6x – 40 = 0;

    8) x2 – 81 = 0.

    Вариант 36.

    Реши уравнения:

    1) – 14x2 + 5x + 6 = 0;

    2) 5,4x2 = 0;

    3) – 30x2 + 15x + 1 = 0;

    4) – 13x2 + 16x + 20 = 0;

    5) x2 + 9x + 14 = 0;

    6) – x2 + 9x – 12 = 0;

    7) 11x2 – 6x = 0;

    8) 37x2 + 25 = 0.

    Вариант 37.

    Реши уравнения:

    1) – 8x2 – 17x – 2 = 0;

    2) x2 – 6x – 27 = 0;

    3) x2 – 61 = 0;

    4) 13x2 + 7x = 0;

    5) – 8,18x2 = 0;

    6) x2 + x + 13 = 0;

    7) 15x2 + 4x – 4 = 0;

    8) – 9x2 – 5x + 1 = 0.

    Вариант 38.

    Реши уравнения:

    1) 2x2 + x + 12 = 0;

    2) x2 – 12x + 35 = 0;

    3) – 9x2 + 4 = 0;

    4) – 6x2 + 12x + 7 = 0;

    5) 8x2 = 0;

    6) – x2 + 13x – 8 = 0;

    7) – 10x2 + 3x + 4 = 0;

    8) – 13x2 – 19x = 0.

    Вариант 39.

    Реши уравнения:

    1) 25x2 – 10x + 1 = 0;

    2) – 48x2 + 11 = 0;

    3) – 6x2 – 13x + 44 = 0;

    4) – 3x2 – x – 12 = 0;

    5) x2 – 5x – 4 = 0;

    6) – 2x2 + 3x = 0;

    7) x2 + 7x – 8 = 0;

    8) – 82x2 = 0.

    Вариант 40.

    Реши уравнения:

    1) – x2 – 9x – 13 = 0;

    2) 4x2 + 7x – 65 = 0;

    3) 5,7x2 = 0;

    4) x2 – 81 = 0;

    5) 18x2 – 5x – 2 = 0;

    6) x2 + 11x + 30 = 0;

    7) x2 – 14x = 0;

    8) – 6x2 + 4x – 3 = 0.

    Вариант 41.

    Реши уравнения:

    1) x2 – 3x – 28 = 0;

    2) – 19x2 + 6x + 13 = 0;

    3) – 2,341x2 = 0;

    4) – 3x2 – 11 = 0;

    5) 17x2 + 14x = 0;

    6) – 14x2 + 3x + 5 = 0;

    7) – x2 – 7x + 2 = 0;

    8) – 16x2 + 9x + 2 = 0.

    Вариант 42.

    Реши уравнения:

    1) 3x2 – 11x – 42 = 0;

    2) 36x2 = 0;

    3) x2 – 16x + 60 = 0;

    4) – 19x2 – 4x = 0;

    5) – 3x2 + x + 5 = 0;

    6) x2 – 54 = 0;

    7) – x2 + x – 7 = 0;

    8) – 45x2 + 18x – 1 = 0.

    Вариант 43.

    Реши уравнения:

    1) 29x2 – 18x + 1 = 0;

    2) – 36x2 + 1 = 0;

    3) – 2x2 + 13x = 0;

    4) – 6x2 + x + 12 = 0;

    5) x2 + x – 90 = 0;

    6) – 54x2 = 0;

    7) – 8x2 – 7x – 6 = 0;

    8) – x2 + 15x + 6 = 0.

    Вариант 44.

    Реши уравнения:

    1) x2 + 14x + 40 = 0;

    2) – 41x2 + 6 = 0;

    3) 13x2 – x = 0;

    4) 25x2 – 10x + 1 = 0;

    5) 1,9x2 = 0;

    6) 3x2 – x – 30 = 0;

    7) – 28x2 – 7x – 1 = 0;

    8) – x2 + 15x – 9 = 0.

    Вариант 45.

    Реши уравнения:

    1) – x2 – 3x + 11 = 0;

    2) – 5,4x2 = 0;

    3) x2 – x – 90 = 0;

    4) 6x2 – 11x – 52 = 0;

    5) – 4x2 + 8x – 11 = 0;

    6) x2 + 15x = 0;

    7) 14x2 + 9x + 1 = 0;

    8) x2 – 81 = 0.

    Вариант 46.

    Реши уравнения:

    1) – x2 – 7x + 11 = 0;

    2) – 3x2 – x + 3 = 0;

    3) – 3x2 – 20x – 17 = 0;

    4) – 19x2 – 4x = 0;

    5) – 14x2 – 9x – 1 = 0;

    6) 13x2 + 32 = 0;

    7) x2 – 5x + 4 = 0;

    8) 38x2 = 0.

    Вариант 47.

    Реши уравнения:

    1) – 2x2 + 5x + 88 = 0;

    2) – 95x2 = 0;

    3) – x2 – x – 20 = 0;

    4) – 19x2 – 13x – 2 = 0;

    5) 8x2 – 14x + 3 = 0;

    6) x2 – 58 = 0;

    7) – 17x2 + 19x = 0;

    8) x2 + 3x – 70 = 0.

    Вариант 48.

    Реши уравнения:

    1) 9,25x2 = 0;

    2) – x2 + 5x – 5 = 0;

    3) – 4x2 + 25 = 0;

    4) 8x2 – 19x = 0;

    5) 28x2 + 9x + 1 = 0;

    6) x2 + 15x + 54 = 0;

    7) – 2x2 + 2x + 17 = 0;

    8) – 44x2 – 19x – 2 = 0.

    Квадратное уравнение

    Предварительные навыки

    Что такое квадратное уравнение и как его решать?

    Мы помним, что уравнение это равенство, содержащее в себе переменную, значение которой нужно найти.

    Если переменная, входящая в уравнение, возведенá во вторую степень (в квадрат), то такое уравнение называют уравнением второй степени или квадратным уравнением.

    Например, следующие уравнения являются квадратными:

    Решим первое из этих уравнений, а именно x2 − 4 = 0.

    Все тождественные преобразования, которые мы применяли при решении обычных линейных уравнений, можно применять и при решении квадратных.

    Итак,  в уравнении x2 − 4 = 0 перенесем член −4 из левой части в правую часть, изменив знак:

    Получили уравнение x2 = 4. Ранее мы говорили, что уравнение считается решённым, если в одной части переменная записана в первой степени и её коэффициент равен единице, а другая часть равна какому-нибудь числу. То есть чтобы решить уравнение, его следует привести к виду x = a, где a — корень уравнения.

    У нас переменная x всё ещё во второй степени, поэтому решение необходимо продолжить.

    Чтобы решить уравнение x2 = 4, нужно ответить на вопрос при каком значении x левая часть станет равна 4. Очевидно, что при значениях 2 и −2. Чтобы вывести эти значения воспользуемся определением квадратного корня.

    Число b называется квадратным корнем из числа a, если b2 = a и обозначается как

    У нас сейчас похожая ситуация. Ведь, что такое x2 = 4? Переменная x в данном случае это квадратный корень из числа 4, поскольку вторая степень x прирáвнена к 4.

    Тогда можно записать, что . Вычисление правой части позвóлит узнать чему равно x. Квадратный корень имеет два значения: положительное и отрицательное. Тогда получаем x = 2 и x = −2.

    Обычно записывают так: перед квадратным корнем ставят знак «плюс-минус», затем находят арифметическое значение квадратного корня. В нашем случае на этапе когда записано выражение , перед следует поставить знак ±

    Затем найти арифметическое значение квадратного корня

    Выражение x = ± 2 означает, что x = 2 и x = −2. То есть корнями уравнения x2 − 4 = 0 являются числа 2 и −2. Запишем полностью решение данного уравнения:

    Выполним проверку. Подставим корни 2 и −2 в исходное уравнение и выполним соответствующие вычисления. Если при значениях 2 и −2 левая часть равна нулю, то это будет означать, что уравнение решено верно:

    В обоих случаях левая часть равна нулю. Значит уравнение решено верно.

    Решим ещё одно уравнение. Пусть требуется решить квадратное уравнение (x + 2)2 = 25

    Для начала проанализируем данное уравнение. Левая часть возведенá в квадрат и она равна 25. Какое число в квадрате равно 25? Очевидно, что числа 5 и −5

    То есть наша задача найти x, при которых выражение x + 2 будет равно числам 5 и −5. Запишем эти два уравнения:

    Решим оба уравнения. Это обычные линейные уравнения, которые решаются легко:

    Значит корнями уравнения (x + 2)2 = 25 являются числа 3 и −7.

    В данном примере как и в прошлом можно использовать определение квадратного корня. Так, в уравнения (x + 2)2 = 25 выражение (x + 2) представляет собой квадратный корень из числа 25. Поэтому можно cначала записать, что .

    Тогда правая часть станет равна ±5. Полýчится два уравнения: x + 2 = 5 и x + 2 = −5. Решив по отдельности каждое из этих уравнений мы придём к корням 3 и −7.

    Запишем полностью решение уравнения (x + 2)2 = 25

    Из рассмотренных примеров видно, что квадратное уравнение имеет два корня. Чтобы не забыть о найденных корнях, переменную x можно подписывать нижними индексами. Так, корень 3 можно обозначить через x1, а корень −7 через x2

    В предыдущем примере тоже можно было сделать так. Уравнение x2 − 4 = 0 имело корни 2 и −2. Эти корни можно было обозначить как x1 = 2 и x2 = −2.  

    Бывает и так, что квадратное уравнение имеет только один корень или вовсе не имеет корней. Такие уравнения мы рассмотрим позже.

    Сделаем проверку для уравнения (x + 2)2 = 25. Подставим в него корни 3 и −7. Если при значениях 3 и −7 левая часть равна 25, то это будет означать, что уравнение решено верно:

    В обоих случаях левая часть равна 25. Значит уравнение решено верно.

    Квадратное уравнение бывает дано в разном виде. Наиболее его распространенная форма выглядит так:

    ax2 + bx + c = 0,
    где a, b, c — некоторые числа, x — неизвестное.

    Это так называемый общий вид квадратного уравнения. В таком уравнении все члены собраны в общем месте (в одной части), а другая часть равна нулю. По другому такой вид уравнения называют нормальным видом квадратного уравнения.

    Пусть дано уравнение 3x2 + 2x = 16. В нём переменная x возведенá во вторую степень, значит уравнение является квадратным. Приведём данное уравнение к общему виду.

    Итак, нам нужно получить уравнение, которое будет похоже на уравнение ax2 + bx + c = 0. Для этого в уравнении 3x2 + 2x = 16 перенесем 16 из правой части в левую часть, изменив знак:

    3x2 + 2x − 16 = 0

    Получили уравнение 3x2 + 2x − 16 = 0. В этом уравнении a = 3, b = 2, c = −16.

    В квадратном уравнении вида ax2 + bx + c = 0 числа a, b и c имеют собственные названия. Так, число a называют первым или старшим коэффициентом; число b называют вторым коэффициентом; число c называют свободным членом.

    В нашем случае для уравнения 3x2 + 2x − 16 = 0 первым или старшим коэффициентом является 3; вторым коэффициентом является число 2;  свободным членом является число −16. Есть ещё другое общее название для чисел a, b и c — параметры.

    Так, в уравнении 3x2 + 2x − 16 = 0 параметрами являются числа 3, 2 и −16.

    В квадратном уравнении желательно упорядочивать члены так, чтобы они располагались в таком же порядке как у нормального вида квадратного уравнения.

    Например, если дано уравнение −5 + 4x2 + x = 0, то его желательно записать в нормальном виде, то есть в виде ax2+ bx + c = 0.

    В уравнении −5 + 4x2 + x = 0 видно, что свободным членом является −5, он должен располагаться в конце левой части. Член 4x2 содержит старший коэффициент, он должен располагаться первым. Член x соответственно будет располагаться вторым:

    Квадратное уравнение в зависимости от случая может принимать различный вид. Всё зависит от того, чему равны значения a, b и с.

    Если коэффициенты a, b и c не равны нулю, то квадратное уравнение называют полным. Например, полным является квадратное уравнение 2x2 + 6x − 8 = 0.

    Если какой-то из коэффициентов равен нулю (то есть отсутствует), то уравнение значительно уменьшается и принимает более простой вид. Такое квадратное уравнение называют неполным. Например, неполным является квадратное уравнение 2x2 + 6x = 0, в нём имеются коэффициенты a и b (числа 2 и 6), но отсутствует свободный член c.

    Рассмотрим каждый из этих видов уравнений, и для каждого из этих видов определим свой способ решения.

    Пусть дано квадратное уравнение 2x2 + 6x − 8 = 0. В этом уравнении a = 2, b = 6, c = −8. Если b сделать равным нулю, то уравнение примет вид:

    Получилось уравнение 2x2 − 8 = 0. Чтобы его решить перенесем −8 в правую часть, изменив знак:

    2x2 = 8

    Для дальнейшего упрощения уравнения воспользуемся ранее изученными тождественными преобразованиями. В данном случае можно разделить обе части на 2

    У нас получилось уравнение, которое мы решали в начале данного урока. Чтобы решить уравнение x2 = 4, следует воспользоваться определением квадратного корня. Если x2 = 4, то . Отсюда x = 2 и x = −2.

    Значит корнями уравнения 2x2 − 8 = 0 являются числа 2 и −2. Запишем полностью решение данного уравнения:

    Выполним проверку. Подставим корни 2 и −2 в исходное уравнение и выполним соответствующие вычисления. Если при значениях 2 и −2 левая часть равна нулю, то это будет означать, что уравнение решено верно:

    В обоих случаях левая часть равна нулю, значит уравнение решено верно.

    Уравнение, которое мы сейчас решили, является неполным квадратным уравнением. Название говорит само за себя. Если полное квадратное уравнение выглядит как ax2 + bx + c = 0, то сделав коэффициент b нулём получится неполное квадратное уравнение ax2 + c = 0.

    У нас тоже сначала было полное квадратное уравнение 2x2 + 6x − 4 = 0. Но мы сделали коэффициент b нулем, то есть вместо числа 6 поставили 0. В результате уравнение обратилось в неполное квадратное уравнение 2x2 − 4 = 0.

    В начале данного урока мы решили квадратное уравнение x2 − 4 = 0. Оно тоже является уравнением вида ax2 + c = 0, то есть неполным. В нем a = 1, b = 0, с = −4.

    Также, неполным будет квадратное уравнение, если коэффициент c равен нулю.

    Рассмотрим полное квадратное уравнение 2x2 + 6x − 4 = 0. Сделаем коэффициент c нулём. То есть вместо числа 4 поставим 0

    Получили квадратное уравнение 2x2 + 6x=0, которое является неполным. Чтобы решить такое уравнение, переменную x выносят за скобки:

    Получилось уравнение x(2x + 6) = 0 в котором нужно найти x, при котором левая часть станет равна нулю. Заметим, что в этом уравнении выражения x и (2x + 6) являются сомножителями. Одно из свойств умножения говорит, что произведение равно нулю, если хотя бы один из сомножителей равен нулю (или первый сомножитель или второй).

    В нашем случае равенство будет достигаться, если x будет равно нулю или (2x + 6) будет равно нулю. Так и запишем для начала:

    Получилось два уравнения: x = 0 и 2x + 6 = 0. Первое уравнение решать не нужно — оно уже решено. То есть первый корень равен нулю.

    Чтобы найти второй корень, решим уравнение 2x + 6 = 0. Это обычное линейное уравнение, которое решается легко:

    Видим, что второй корень равен −3.

    Значит корнями уравнения 2x2 + 6x = 0 являются числа 0 и −3. Запишем полностью решение данного уравнения:

    Выполним проверку. Подставим корни 0 и −3 в исходное уравнение и выполним соответствующие вычисления. Если при значениях 0 и −3 левая часть равна нулю, то это будет означать, что уравнение решено верно:

    Следующий случай это когда числа b и с равны нулю. Рассмотрим полное квадратное уравнение 2x2 + 6x − 4 = 0. Сделаем коэффициенты b и c нулями. Тогда уравнение примет вид:

    Получили уравнение 2x2 = 0. Левая часть является произведением, а правая часть равна нулю. Произведение равно нулю, если хотя бы один из сомножителей равен нулю. Очевидно, что x = 0. Действительно, 2 × 02 = 0. Отсюда, 0 = 0. При других значениях x равенства достигаться не будет.

    Проще говоря, если в квадратном уравнении вида ax2 + bx + c = 0 числа b и с равны нулю, то корень такого уравнения равен нулю.

    Отметим, что когда употребляются словосочетания «b равно нулю» или «с равно нулю«, то подразумевается, что параметры b или c вовсе отсутствуют в уравнении.

    Например, если дано уравнение 2x2 − 32 = 0, то мы говорим, что b = 0. Потому что если сравнить с полным уравнением ax2 + bx + c = 0, то можно заметить, что в уравнении 2x2 − 32 = 0 присутствует старший коэффициент a, равный 2; присутствует свободный член −32; но отсутствует коэффициент b.

    Наконец, рассмотрим полное квадратное уравнение ax2 + bx + c = 0. В качестве примера решим квадратное уравнение x2 − 2x + 1 = 0.

    Итак, требуется найти x, при котором левая часть станет равна нулю. Воспользуемся изученными ранее тождественными преобразованиями.

    Прежде всего заметим, что левая часть уравнения представляет собой квадрат разности двух выражений. Если мы вспомним как раскладывать многочлен на множители, то получим в левой части (x − 1)2.

    Рассуждаем дальше. Левая часть возведенá в квадрат и она равна нулю. Какое число в квадрате равно нулю? Очевидно, что только 0. Поэтому наша задача найти x, при котором выражение x − 1 равно нулю. Решив простейшее уравнение x − 1 = 0, можно узнать чему равно x

    Этот же результат можно получить, если воспользоваться квадратным корнем. В уравнении (x − 1)2 = 0 выражение (x − 1) представляет собой квадратный корень из нуля. Тогда можно записать, что . В этом примере записывать перед корнем знак ± не нужно, поскольку корень из нуля имеет только одно значение — ноль. Тогда получается x − 1 = 0. Отсюда x = 1.

    Значит корнем уравнения x2 − 2x + 1 = 0 является единица. Других корней у данного уравнения нет. В данном случае мы решили квадратное уравнение, имеющее только один корень. Такое тоже бывает.

    Не всегда бывают даны простые уравнения. Рассмотрим например уравнение x2 + 2x − 3 = 0.

    В данном случае левая часть уже не является квадратом суммы или разности. Поэтому нужно искать другие пути решения.

    Заметим, что левая часть уравнения представляет собой квадратный трехчлен. Тогда можно попробовать выделить полный квадрат из этого трёхчлена и посмотреть что это нам даст.

    Выделим полный квадрат из квадратного трёхчлена, располагающего в левой части уравнения:

    В получившемся уравнении перенесем −4 в правую часть, изменив знак:

    Теперь воспользуемся квадратным корнем. В уравнении (x + 1)2 = 4 выражение (x + 1) представляет собой квадратный корень из числа 4. Тогда можно записать, что . Вычисление правой части даст выражение x + 1 = ±2. Отсюда полýчится два уравнения: x + 1 = 2 и x + 1 = −2, корнями которых являются числа 1 и −3

    Значит корнями уравнения x2 + 2x − 3 = 0 являются числа 1 и −3.

    Выполним проверку:

    Пример 3. Решить уравнение x2 − 6x + 9 = 0, выделив полный квадрат.

    Выделим полный квадрат из левой части:

    Далее воспользуемся квадратным корнем и узнáем чему равно x

    Значит корнем уравнения x2 − 6x + 9 = 0 является 3. Выполним проверку:

    Пример 4. Решить квадратное уравнение 4x2 + 28x − 72 = 0, выделив полный квадрат:

    Выделим полный квадрат из левой части:

    Перенесём −121 из левой части в правую часть, изменив знак:

    Воспользуемся квадратным корнем:

    Получили два простых уравнения: 2x + 7 = 11 и 2x + 7 = −11. Решим их:

    Пример 5. Решить уравнение 2x2 + 3x − 27 = 0

    Это уравнение немного посложнее. Когда мы выделяем полный квадрат, первый член квадратного трёхчлена мы представляем в виде квадрата какого-нибудь выражения.

    Так, в прошлом примере первым членом уравнения был 4x2. Его можно было представить в виде квадрата выражения 2x, то есть (2x)2 = 22x2 = 4x2. Чтобы убедиться что это правильно, можно извлечь квадратный корень из выражения 4x2. Это квадратный корень из произведения — он равен произведению корней:

    В уравнении 2x2 + 3x − 27 = 0 первый член это 2x2. Его нельзя представить в виде квадрата какого-нибудь выражения. Потому что нет числá, квадрат которого равен 2. Если бы такое число было, то этим числом был бы квадратный корень из числа 2. Но квадратный корень из числа 2 извлекается только приближённо. А приближённое значение не годится для представления числá 2 в виде квадрата.

    Если обе части исходного уравнения умножить или разделить на одно и то же число, то полýчится уравнение равносильное исходному. Это правило сохраняется и для квадратного уравнения.

    Тогда можно разделить обе части нашего уравнения на 2. Это позвóлит избавиться от двойки перед x2 что впоследствии даст нам возможность выделить полный квадрат:

    Перепишем левую часть в виде трёх дробей со знаменателем 2

    Сократим первую дробь на 2. Остальные члены левой части перепишем без изменений. Правая часть по-прежнему станет равна нулю:

    Выделим полный квадрат.

    При представлении члена в виде удвоенного произведения, появление множителя 2 привело бы к тому, что этот множитель и знаменатель дроби сократились бы. Чтобы этого не произошло, удвоенное произведение было домножено на . При выделении полного квадрата всегда нужно стараться сделать так, чтобы значение изначального выражения не изменилось.

    Свернём полученный полный квадрат:

    Приведём подобные члены:

    Перенесём дробь в правую часть, изменив знак:

    Воспользуемся квадратным корнем. Выражение представляет собой квадратный корень из числа

    Для вычисления правой части воспользуемся правилом извлечения квадратного корня из дроби:

    Тогда наше уравнение примет вид:

    Полýчим два уравнения:

    Решим их:

    Значит корнями уравнения 2x2 + 3x − 27 = 0 являются числа 3 и .

    Корень удобнее оставить в таком виде, не выполняя деления числителя на знаменатель. Так проще будет выполнять проверку.

    Выполним проверку. Подставим найденные корни в исходное уравнение:

    В обоих случаях левая часть равна нулю, значит уравнение 2x2 + 3x − 27 = 0 решено верно.

    Решая уравнение 2x2 + 3x − 27 = 0, в самом начале мы разделили обе его части на 2. В результате получили квадратное уравнение, в котором коэффициент перед x2 равен единице:

    Такой вид квадратного уравнения называют приведённым квадратным уравнением.

    Любое квадратное уравнение вида ax2 + bx + c = 0 можно сделать приведённым. Для этого нужно разделить обе его части на коэффициент, который располагается перед x². В данном случае обе части уравнения ax2 + bx + c = 0 нужно разделить на a

    Пример 6. Решить квадратное уравнение 2x2 + x + 2 = 0

    Сделаем данное уравнение приведённым:

    Выделим полный квадрат:

    Получили уравнение , в котором квадрат выражения равен отрицательному числу . Такого быть не может, поскольку квадрат любого числа или выражения всегда положителен.

    Следовательно, нет такого значения x, при котором левая часть стала бы равна . Значит уравнение не имеет корней.

    А поскольку уравнение равносильно исходному уравнению 2x2 + x + 2 = 0, то и оно (исходное уравнение) не имеет корней.

    Формулы корней квадратного уравнения

    Выделять полный квадрат для каждого решаемого квадратного уравнения не очень удобно.

    Можно ли создать универсальные формулы для решения квадратных уравнений? Оказывается можно. Сейчас мы этим и займёмся.

    Взяв за основу буквенное уравнение ax2 + bx + c = 0, и выполнив некоторые тождественные преобразования, мы сможем получить формулы для вывода корней квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0. В эти формулы можно будет подставлять коэффициенты a, b, с и получать готовые решения.

    Итак, выделим полный квадрат из левой части уравнения ax2 + bx + c = 0. Сначала сделаем данное уравнение приведённым. Разделим обе его части на a

    Теперь в получившемся уравнении выделим полный квадрат:

    Перенесем члены и в правую часть, изменив знак:

    Приведём правую часть к общему знаменателю. Дроби, состоящие из букв, привóдят к общему знаменателю методом «крест-нáкрест». То есть знаменатель первой дроби станóвится дополнительным множителем второй дроби, а знаменатель второй дроби станóвится дополнительным множителем первой дроби:

    В числителе правой части вынесем за скобки a

    Сократим правую часть на a

    Поскольку все преобразования были тождественными, то получившееся уравнение имеет те же корни, что и исходное уравнение ax2 + bx + c = 0.

    Уравнение будет иметь корни только тогда, если правая часть больше нуля или равна нулю. Это потому что в левой части выполнено возведéние в квадрат, а квадрат любого числа положителен или равен нулю (если в этот квадрат возвóдится ноль). А чему будет равна правая часть зависит от того, что будет подставлено вместо переменных a, b и c.

    Поскольку при любом a не рáвным нулю, знаменатель правой части уравнения всегда будет положительным, то знак дроби будет зависеть от знака её числителя, то есть от выражения b2 − 4ac.

    Выражение b2 − 4ac называют дискриминантом квадратного уравнения. Дискриминант это латинское слово, означающее различитель. Дискриминант квадратного уравнения обозначается через букву D

    D = b2 − 4ac

    Дискриминант позволяет заранее узнать имеет ли уравнение корни или нет. Так, в предыдущем задании мы долго решали уравнение 2x2 + x + 2 = 0 и оказалось, что оно не имеет корней. Дискриминант же позволил бы нам заранее узнать, что корней нет. В уравнении 2x2 + x + 2 = 0 коэффициенты a, b и c равны 2, 1 и 2 соответственно. Подставим их в формулу D = b2−4ac

    D = b2 − 4ac = 12 − 4 × 2 × 2 = 1 − 16 = −15.

    Видим, что D (оно же b2 − 4ac) является отрицательным числом. Тогда нет смысла решать уравнение 2x2 + x + 2 = 0, выделяя в нём полный квадрат, потому что когда мы дойдем до уравнения вида , окажется что правая часть станет меньше нуля (из-за отрицательного дискриминанта). А квадрат числа не может быть отрицательным. Следовательно, корней у данного уравнения не будет.

    Станóвится понятно почему древние люди считали выражение b2 − 4ac различителем. Это выражение подобно индикатору позволяет различить уравнение имеющего корни от уравнения, не имеющего корней.

    Итак, D равно b2 − 4ac. Подставим в уравнении вместо выражения b2 − 4ac букву D

    Если дискриминант исходного уравнения окажется меньше нуля (D < 0), то уравнение примет вид:

    В этом случае говорят, что у исходного уравнения корней нет, поскольку квадрат любого числа не должен быть отрицательным.

    Если дискриминант исходного уравнения окажется больше нуля (D > 0), то уравнение примет вид:

    В этом случае уравнение будет иметь два корня. Для их вывода воспользуемся квадратным корнем:

    Получили уравнение . Из него полýчится два уравнения: и . Выразим x в каждом из уравнений:

    Получившиеся два равенства это и есть универсальные формулы для решения квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0. Их называют формулами корней квадратного уравнения.

    Чаще всего эти формулы обозначаются как x1 и x2. То есть для вычисления первого корня используется формула c индексом 1; для вывода второго корня — формула с индексом 2. Обозначим свои формулы так же:

    Очерёдность применения формул не важнá.

    Решим например квадратное уравнение x2 + 2x − 8 = 0 с помощью формул корней квадратного уравнения. Коэффициенты данного квадратного уравнения это числа 1, 2 и −8. То есть, a = 1, b = 2, c = −8.

    Прежде чем использовать формулы корней квадратного уравнения, нужно найти дискриминант этого уравнения.

    Найдём дискриминант квадратного уравнения. Для этого воспользуемся формулой D = b2 − 4ac. Вместо переменных a, b и c у нас будут коэффициенты уравнения x2 + 2x − 8 = 0

    D = b2 − 4ac = 22− 4 × 1 × (−8) = 4 + 32 = 36

    Дискриминант больше нуля. Значит уравнение имеет два корня. Теперь можно воспользоваться формулами корней квадратного уравнения:

    Значит корнями уравнения x2 + 2x − 8 = 0 являются числа 2 и −4. Проверкой убеждаемся, что корни найдены верно:

    Наконец, рассмотрим случай когда дискриминант квадратного уравнения равен нулю. Вернёмся к уравнению . Если дискриминант равен нулю, то правая часть уравнения примет вид:

    И в этом случае квадратное уравнение будет иметь только один корень. Воспользуемся квадратным корнем:

    Далее выражаем x

    Это ещё одна формула для вывода корня квадратного корня. Рассмотрим её применение. Ранее мы решили уравнение x2 − 6x + 9 = 0, имеющее один корень 3. Решили мы его методом выделения полного квадрата. Теперь попробуем решить с помощью формул.

    Найдём дискриминант квадратного уравнения. В этом уравнении a = 1, b = −6, c = 9. Тогда по формуле дискриминанта имеем:

    D = b2 − 4ac = (−6)2 − 4 × 1 × 9 = 36 − 36 = 0

    Дискриминант равен нулю (D = 0). Это означает, что уравнение имеет только один корень, и вычисляется он по формуле

    Значит корнем уравнения x2 − 6x + 9 = 0 является число 3.

    Для квадратного уравнения, имеющего один корень также применимы формулы и . Но применение каждой из них будет давать один и тот же результат.

    Применим эти две формулы для предыдущего уравнения. В обоих случаях получим один и тот же ответ 3

    Если квадратное уравнение имеет только один корень, то желательно применять формулу , а не формулы и . Это позволяет сэкономить время и место.

    Пример 3. Решить уравнение 5x2 − 6x + 1 = 0

    Найдём дискриминант квадратного уравнения:

    Дискриминант больше нуля. Значит уравнение имеет два корня. Воспользуемся формулами корней квадратного уравнения:

    Значит корнями уравнения 5x2 − 6x + 1 = 0 являются числа 1 и .

    Ответ: 1; .

    Пример 4. Решить уравнение x2 + 4x + 4 = 0

    Найдём дискриминант квадратного уравнения:

    Дискриминант равен нулю. Значит уравнение имеет только один корень. Он вычисляется по формуле

    Значит корнем уравнения x2 + 4x + 4 = 0 является число −2.

    Ответ: −2.

    Пример 5. Решить уравнение 3x2 + 2x + 4 = 0

    Найдём дискриминант квадратного уравнения:

    Дискриминант меньше нуля. Значит корней у данного уравнения нет.

    Ответ: корней нет.

    Пример 6. Решить уравнение (x + 4)2 = 3x + 40

    Приведём данное уравнение к нормальному виду. В левой части располагается квадрата суммы двух выражений. Раскрóем его:

    Перенесём все члены из правой части в левую часть, изменив их знаки. В правой части останется ноль:

    Приведём подобные члены в левой части:

    В получившемся уравнении найдём дискриминант:

    Дискриминант больше нуля. Значит уравнение имеет два корня. Воспользуемся формулами корней квадратного уравнения:

    Значит корнями уравнения (x + 4)2 = 3x + 40 являются числа 3 и −8.

    Ответ: 3; −8.

    Пример 7. Решить уравнение

    Умнóжим обе части данного уравнения на 2. Это позвóлит нам избавиться от дроби в левой части:

    В получившемся уравнении перенесём 22 из правой части в левую часть, изменив знак. В правой части останется 0

    Приведём подобные члены в левой части:

    В получившемся уравнении найдём дискриминант:

    Дискриминант больше нуля. Значит уравнение имеет два корня. Воспользуемся формулами корней квадратного уравнения:

    Значит корнями уравнения являются числа 23 и −1.

    Ответ: 23; −1.

    Пример 8. Решить уравнение

    Умнóжим обе части на наименьшее общее кратное знаменателей обеих дробей. Это позвóлит избавиться от дробей в обеих частях. Наименьшее общее кратное чисел 2 и 3 это число 6. Тогда получим:

    В получившемся уравнении раскроем скобки в обеих частях:

    Теперь перенесём все члены из правой части в левую часть, изменив у них знаки. В правой части останется 0

    Приведём подобные члены в левой части:

    В получившемся уравнении найдём дискриминант:

    Дискриминант больше нуля. Значит уравнение имеет два корня. Воспользуемся формулами корней квадратного уравнения:

    Значит корнями уравнения являются числа и 2.

    Примеры решения квадратных уравнений

    Пример 1. Решить уравнение x2 = 81

    Это простейшее квадратное уравнение, в котором надо определить число, квадрат которого равен 81. Таковыми являются числа 9 и −9. Воспользуемся квадратным корнем для их вывода:

    Ответ: 9, −9.

    Пример 2. Решить уравнение x2 − 9 = 0

    Это неполное квадратное уравнение. Для его решения нужно перенести член −9 в правую часть, изменив знак. Тогда получим:

    Ответ: 3, −3.

    Пример 3. Решить уравнение x2 − 9x = 0

    Это неполное квадратное уравнение. Для его решения сначала нужно вынести x за скобки:

    Левая часть уравнения является произведением. Произведение равно нулю, если хотя один из сомножителей равен нулю.

    Левая часть станет равна нулю, если отдельно x равно нулю, или если выражение x − 9 равно нулю. Получится два уравнения, одно из которых уже решено:

    Ответ: 0, 9.

    Пример 4. Решить уравнение x2 + 4x − 5 = 0

    Это полное квадратное уравнение. Его можно решить методом выделения полного квадрата или с помощью формул корней квадратного уравнения.

    Решим данное уравнение с помощью формул. Сначала найдём дискриминант:

    D = b2 − 4ac = 42 − 4 × 1 × (−5) = 16 + 20 = 36

    Дискриминант больше нуля. Значит уравнение имеет два корня. Вычислим их:

    Ответ: 1, −5.

    Пример 5. Решить уравнение

    Умнóжим обе части на наименьшее общее кратное чисел 5, 3 и 6. Это позвóлит избавиться от дробей в обеих частях:

    В получившемся уравнении перенесём все члены из правой части в левую часть, изменив знак. В правой части останется ноль:

    Приведём подобные члены:

    Решим получившееся уравнение с помощью формул:

    Ответ: 5, .

    Пример 6. Решить уравнение x2 = 6

    В данном примере как и в первом нужно воспользоваться квадратным корнем:

    Однако, квадратный корень из числа 6 не извлекается. Он извлекается только приближённо. Корень можно извлечь с определённой точностью. Извлечём его с точностью до сотых:

    Но чаще всего корень оставляют в виде радикала:

    Ответ:

    Пример 7. Решить уравнение (2x + 3)2 + (x − 2)2 = 13

    Раскроем скобки в левой части уравнения:

    В получившемся уравнении перенесём 13 из правой части в левую часть, изменив знак. Затем приведём подобные члены:

    Получили неполное квадратное уравнение. Решим его:

    Ответ: 0, −1,6.

    Пример 8. Решить уравнение (5 + 7x)(4 − 3x) = 0

    Данное уравнение можно решить двумя способами. Рассмотрим каждый из них.

    Первый способ. Раскрыть скобки и получить нормальный вид квадратного уравнения.

    Раскроем скобки:

    Приведём подобные члены:

    Перепишем получившееся уравнение так, чтобы член со старшим коэффициентом располагался первым, член со вторым коэффициентом — вторым, а свободный член располагался третьим:

    Чтобы старший член стал положительным, умнóжим обе части уравнения на −1. Тогда все члены уравнения поменяют свои знаки на противоположные:

    Решим получившееся уравнение с помощью формул корней квадратного уравнения:

    Второй способ. Найти значения x, при которых сомножители левой части уравнения равны нулю. Этот способ удобнее и намного короче.

    Произведение равно нулю, если хотя бы один из сомножителей равен нулю. В данном случае равенство в уравнении (5 + 7x)(4 − 3x) = 0 будет достигаться, если выражение (5 + 7x) равно нулю, или же выражение (4 − 3x) равно нулю. Наша задача выяснить при каких x это происходит:

    Примеры решения задач

    Предстáвим, что возникла необходимость построить небольшую комнату, площадь которой 8 м2. При этом длина комнаты должна быть в два раза больше её ширины. Как определить длину и ширину такой комнаты?

    Сделаем примерный рисунок этой комнаты, который иллюстрирует вид сверху:

    Обозначим ширину комнаты через x. А длину комнаты через 2x, потому что по условию задачи длина должна быть в два раза больше ширины. Множитель 2 и выполнит это требование:

    Поверхность комнаты (её пол) является прямоугольником. Для вычисления площади прямоугольника, нужно длину данного прямоугольника умножить на его ширину. Сделаем это:

    2x × x

    По условию задачи площадь должна быть 8 м2. Значит выражение 2x × x следует приравнять к 8

    2x × x = 8

    Получилось уравнение. Если решить его, то можно найти длину и ширину комнаты.

    Первое что можно сделать это выполнить умножение в левой части уравнения:

    2x2 = 8

    В результате этого преобразования переменная x перешла во вторую степень. А мы говорили, что если переменная, входящая в уравнение, возведенá во вторую степень (в квадрат), то такое уравнение является уравнением второй степени или квадратным уравнением.

    Для решения нашего квадратного уравнения воспользуемся изученными ранее тождественными преобразованиями. В данном случае можно разделить обе части на 2

    Теперь воспользуемся квадратным корнем. Если x2 = 4, то . Отсюда x = 2 и x = −2.

    Через x была обозначена ширина комнаты. Ширина не должна быть отрицательной, поэтому в расчёт берём только значение 2. Такое часто бывает при решении задачи, в которых применяется квадратное уравнение. В ответе получаются два корня, но условию задачи удовлетворяет только один из них.

    А длина была обозначена через 2x. Значение x теперь известно, подставим его в выражение 2x и вычислим длину:

    2x = 2 × 2 = 4

    Значит длина равна 4 м, а ширина 2 м. Это решение удовлетворяет условию задачи, поскольку площадь комнаты равна 8 м2

    4 × 2 = 8 м2

    Ответ: длина комнаты составляет 4 м, а ширина 2 м.

    Пример 2. Огородный участок, имеющий форму прямоугольника, одна сторона которого на 10 м больше другой, требуется обнести изгородью. Определить длину изгороди, если известно, что площадь участка равна 1200 м2

    Решение

    Длина прямоугольника, как правило, больше его ширины. Пусть ширина участка x метров, а длина (x + 10) метров. Площадь участка составляет 1200 м2. Умножим длину участка на его ширину и приравняем к 1200, получим уравнение:

    x(x + 10) = 1200

    Решим данное уравнение. Для начала раскроем скобки в левой части:

    Перенесём 1200 из правой части в левую часть, изменив знак. В правой части останется 0

    Решим получившееся уравнение с помощью формул:

    Несмотря на то, что квадратное уравнение имеет два корня, в расчёт берём только значение 30. Потому что ширина не может выражаться отрицательным числом.

    Итак, через x была обозначена ширина участка. Она равна тридцати метрам. А длина была обозначена через выражение x + 10. Подставим в него найденное значение x и вычислим длину:

    x + 10 = 30 + 10 = 40 м

    Значит длина участка составляет сорок метров, а ширина тридцать метров. Эти значения удовлетворяют условию задачи, поскольку если перемножить длину и ширину (числа 40 и 30) получится 1200 м2

    40 × 30 = 1200 м2

    Теперь ответим на вопрос задачи. Какова длина изгороди? Чтобы её вычислить нужно найти периметр участка.

    Периметр прямоугольника это сумма всех его сторон. Тогда:

    P = 2(a + b) = 2 × (40 + 30) = 2 × 70 = 140 м.

    Ответ: длина изгороди огородного участка составляет 140 м.

    Задания для самостоятельного решения

    Задание 1. Решить уравнение:

    Решение:

    Ответ: 2; −2.

    Задание 2. Решить уравнение:

    Решение:

    Ответ: корней нет.

    Задание 3. Решить уравнение:

    Решение:

    Ответ: 3; −3.

    Задание 4. Решить уравнение, используя выделение полного квадрата:

    Решение:

    Ответ: 3; −13.

    Задание 5. Решить уравнение, используя выделение полного квадрата:

    Решение:

    Ответ: 12; 4.

    Задание 6. Решить уравнение, используя выделение полного квадрата:

    Решение:

    Ответ: 7; 5.

    Задание 7. Решить уравнение:

    Решение:

    Ответ: 0; 1.

    Задание 8. Решить уравнение:

    Решение:

    Ответ: 0; −3.

    Задание 9. Решить уравнение:

    Решение:

    Ответ: 7; −7.

    Задание 10. Решить уравнение:

    Решение:

    Ответ:

    Задание 11. Решить уравнение:

    Решение:

    Ответ: 5; −5.

    Задание 12. Решить уравнение:

    Решение:

    Ответ: 7; 2

    Задание 13. Решить уравнение:

    Решение:

    Ответ: корней нет.

    Задание 14. Решить уравнение:

    Решение:

    Ответ:

    Задание 15. Решить уравнение:

    Решение:

    Ответ: 1; −5.

    Задание 16. Решить уравнение:

    Решение:

    Ответ: 5; −9.

    Задание 17. Решить уравнение:

    Решение:

    Ответ: −3; −4.

    Задание 18. Решить уравнение:

    Решение:

    Ответ: .

    Понравился урок?
    Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках



    Возникло желание поддержать проект?
    Используй кнопку ниже

    Навигация по записям

    15×1 to 5 8×24

    Jan 20, 2009 · He has 15×1 and 15x.75 listed on his web site. Dinzag also sells custom AK-74 style brakes. Thanks to Dinzag. I was able to thread and install 17×1 and 5/8×24 AK-74 style brakes on my Saiga S-308’s. Larry « TRITON 42S II is the silencer for you who value performance in a non-obtrusive profile. With the 42mm diameter you can rest assured that the TRITON 42S II does not disturb your vision even with low magnification scopes or red dot sights.

    Hausken JD224 5/8×24 8mm. Kr 3690,-14972. Bestillingsvare. … 15×1 Bestillingsvare. 17×1 På lager. 18×1 Bestillingsvare. 5/8″x 24 På lager. Har du spørsmål om … The silencer adapter 5/8×24 TPI to M15x1 : a solution to switch from the American thread to the German thread. On this page you will find a silencer adapter 5/8×24 TPI to M15x1. It meets a specific need : to transform the 5/8×24 TPI thread of your firearm into an M15x1 thread.

    frein de bouche 15×1 frein de bouche 18×100 frein de bouche 308 win frein de bouche 5/8×24 308 frein de bouche blaser r8 frein de bouche browning frein de bouche calibre 12 frein de bouche df 2000 frein de bouche df 2000 prix frein de bouche df2000 frein de bouche mosin nagant frein de bouche mosin nagant 91/30 frein de bouche sako frein de … 5 stars isn’t enough for these guys. Had a factory BCM upper disassembled (which is an absolute pain), barrel chopped to 14.5″, suppressor muzzle device pinned and welded, and was all done and back at my doorstep in 6 days. Could not be happier with the work, service, and turnaround time.

    спросил 16 Фев, 15 от it ВСЕЗНАЮЩЕЕ ОКО (73,530 баллов) в категории Алгебра.VDB, der Verband Deutscher Büchsenmacher und Waffenfachhändler e.V. (Geschäftsstelle Gisselberger Straße 10, 35037 Marburg — Tel. 06421/48075-00 — Fax 06421/48075-99 — [email protected])

    Modern Warriors, LLC 491 North Bluff Street, #206 St. George, UT 84770 Hours: Mon – Fri: 9:00am – 6:00 pm Saturday: 10:00 am – 4:00 pm. Contact Us Advanced Armament Corp (AAC) muzzle devices are available now at MGW. We carry the Blastout system, the blackout & brakeout 2.0 flash hiders and muzzle brakes, with and without silencer mounts for the AAC quick-mount suppressors. All of which are available in 51 and 90 tooth variations.

    BioMath: квадратичные функции

    Квадратное уравнение — это уравнение, которое можно записать в форме

    ax 2 + bx + c = 0.

    Обратите внимание, что мы решаем это же уравнение, чтобы найти корни квадратичной функции. Решить квадратное уравнение означает найти такие значения x , при которых выполняется приведенное выше уравнение. Вы можете решить квадратные уравнения, заполнив квадрат, используя формулу корней квадратного уравнения или, в редких случаях, используя факторизацию.Мы обсудим факторинг в конце этого раздела. В большинстве случаев решение квадратных уравнений проще всего выполнить с помощью формулы корней квадратного уравнения. Теперь мы рассмотрим несколько примеров.

    Пример 1: Решение квадратных уравнений

    Предположим, вас попросили решить уравнение,

    −4 x 2 + x + 9 = 6.

    Чтобы использовать квадратичную формулу, мы должны получить это уравнение в виде ax 2 + bx + c = 0 as,

    −4 x 2 + x + 3 = 0.

    Теперь мы находим решения, используя формулу корней квадратного уравнения как,

    , что дает два решения,

    Таким образом, мы заключаем, что уравнение −4 x 2 + x + 9 = 6 имеет два решения: x = −3/4 и x = 1.

    Пример 2: Решение квадратных уравнений

    В некоторых случаях использование формулы квадратного уравнения не обязательно для решения квадратного уравнения.Рассмотрим следующие уравнения:

    18 x — 3 x 2 = 0,

    4 x 2 — 9 = 0.

    Обратите внимание, что первое уравнение не имеет постоянного члена в левой части, а второе уравнение не имеет члена x в левой части. Таким образом, мы можем решить эти уравнения без формулы корней квадратного уравнения. Чтобы решить первое уравнение, 18 x — 3 x 2 = 0, мы вычитаем 3 x как,

    18 x — 3 x 2 = 3 x (6 — x ) = 0.

    Теперь мы можем использовать тот факт, что если 3 x (6 — x ) = 0, то либо 3 x = 0, либо 6 — x = 0. Уравнение 3 x = 0 подразумевает x = 0. Уравнение 6− x = 0 подразумевает x = 6. Таким образом, у нас есть два решения: x = 0 и x = 6. Не допускайте следующей ошибки при решении это уравнение,

    Обратите внимание, что, исключив x в обеих частях уравнения, мы потеряли решение x = 0.Имейте в виду, что отмена x — это то же самое, что разделение на x с обеих сторон. Помните, что деление на x допустимо только для x ≠ 0, потому что деление на ноль не определено.

    Чтобы решить второе уравнение, 4 x 2 — 9 = 0, мы имеем,

    При извлечении квадратного корня из обеих частей приведенного выше уравнения обязательно учитывайте как положительный, так и отрицательный корни.

    Решение квадратных уравнений с помощью факторинга

    В некоторых случаях квадратное уравнение можно решить путем факторизации. Например, рассмотрим следующее уравнение:

    x 2 — 6 x + 8 = 0.

    Это уравнение можно решить путем факторизации. В частности, −4 и −2 складываются с −6 (коэффициент x ) и умножаются на 8 (постоянный член). Таким образом, мы можем разложить уравнение на множители x 2 -6 x + 8 = 0 как,

    ( x — 4) ( x — 2) = 0.

    Теперь воспользуемся тем, что если ( x — 4) ( x — 2) = 0, то либо x — 4 = 0, либо x — 2 = 0. Таким образом, у нас есть решения x = 4 и x = 2. Факторинг следует использовать только тогда, когда вы можете быстро идентифицировать факторизованную форму. Факторинг намного сложнее, когда старший коэффициент не равен 1. Если это так
    (т.е. a ≠ 1), вероятно, проще всего использовать формулу корней квадратного уравнения.

    Помните, что вы всегда можете использовать формулу корней квадратного уравнения для поиска решений.

    *****

    Теперь попробуйте несколько задач, связанных с квадратичными функциями.

    Проблемы

    Решение квадратных уравнений: выбор метода

    Purplemath

    Когда вы решаете квадратные уравнения в своем домашнем задании, вы часто можете получить «подсказку» относительно лучшего метода, основанного на теме и заголовке раздела.Например, если вы работаете над домашним заданием в разделе «Решение с помощью факторинга», то вы знаете, что должны решать с помощью факторинга. Но в обзоре главы и на тесте вы не знаете, из какого раздела вашего учебника была взята та или иная квадратичная диаграмма. Какой метод лучше использовать?

    Вы можете использовать квадратичную формулу для всего, но формула может занять много времени.

    Например:

    MathHelp.com

    • Решить (

      x + 1) ( x — 3) = 0.

    Чтобы решить это квадратное уравнение, я мог бы перемножить выражение в левой части, упростить поиск коэффициентов, вставить эти значения коэффициентов в квадратную формулу и перейти к ответу.

    Но зачем мне это? Я имею в виду, ради всего святого, это факторинг, и они уже учли его и установили для меня равным нулю. Хотя квадратичная формула определенно дала бы мне правильный ответ, зачем с ней возиться?

    Вместо этого я сразу решу два фактора, которые они мне дали:

    ( x + 1) ( x — 3) = 0

    x + 1 = 0, x — 3 = 0

    x = –1, x = 3

    Это было быстро! И мой ответ:

    Кстати, строгого порядка решений нет.Да, я обычно располагаю свои решения в числовом порядке, поэтому в приведенном выше случае отрицательный ответ предшествовал положительному. Но, если ваш инструктор ничего не сказал (и я был бы удивлен, если бы это было так), приведенный выше ответ был бы столь же правильным, если бы он был написан как « x = 3, –1».

    Квадратичное выражение в левой части знака «равно» не учитывается.

    (Как я очень быстро это узнал? Чтобы факторизовать, должны быть целые множители ac = (1) (- 4) = –4, что в сумме дает b = 1.Я вижу, что их нет.)

    Эта квадратичная величина не была предоставлена ​​мне в «(переменная часть) 2 равно (некоторое число)», поэтому решение путем извлечения квадратных корней невозможно.

    Я мог бы решить это уравнение, заполнив квадрат, но это утомительно и чревато ошибками. Я мог бы попытаться решить, построив график, но лучшее, что я смогу сделать, это получить десятичное приближение из моего «программного обеспечения» (то есть моего графического калькулятора).

    Чтобы получить точный и быстрый ответ, я воспользуюсь квадратичной формулой:

    Поскольку в инструкциях ничего не упоминается о десятичных приближениях, я оставлю свой ответ в форме квадратного корня:

    • Решить

      x 2 — 3 x — 4 = 0.

    Это уравнение не настроено для меня как готовое к извлечению квадратного корня, и я никогда не буду использовать завершение квадрата, если они специально не скажут мне об этом. Однако, прежде чем применять квадратичную формулу, я сначала быстро проверю, можно ли факторизовать выражение в левой части этого уравнения.

    Существуют ли целые множители ac = (1) (- 4) = –4, которые в сумме дают –3? Да: –4 и +1.Таким образом, эта квадратичная величина факторизуема, и я уже нашел числа, которые можно использовать для ее разложения (поскольку ведущий коэффициент равен 1):

    x 2 — 3 x — 4 = 0

    ( x + 1) ( x — 4) = 0

    x + 1 = 0, x — 4 = 0

    x = –1, x = 4

    И я закончил, просто так быстро.Мой ответ:

    Квадратичное выражение в левой части этого уравнения состоит всего из двух членов, и ни один из них не вычитается, поэтому я не буду использовать простые методы разложения на множители. Но я замечаю, что это разница квадратов, и я знаю, что могу множить разницу квадратов.

    x 2 — 4 = 0

    ( x + 2) ( x — 2) = 0

    x + 2 = 0, x — 2 = 0

    x = –2, x = 2

    Тогда мой ответ:

    Примечание: я мог бы переместить 4 в правую часть уравнения, а затем извлечь квадратный корень из любой стороны x 2 = 4.Этот метод дал бы мне тот же ответ, что и приведенный выше факторинг. Если не указано иное, вы должны использовать тот метод, который вам больше нравится.

    • Решить 6

      x 2 + 11 x — 35 = 0.

    Ик.

    Квадратичное выражение в левой части этого уравнения может разложить на множитель , но похоже, что поиск факторизации, если таковая имеется, будет неприятным объемом работы.Сейчас я чувствую себя немного бездумным и ленивым, поэтому я воспользуюсь квадратичной формулой. Во время работы мне нужно не забывать ставить ± перед радикалом и ставить черту дроби под всем числителем, представляя собой целую часть « b 2 ± (квадратный корень)»:

    Значения решения являются дробями без радикалов, что означает, что квадратичное могло быть разложено на множители . Но теперь у меня есть ответ, поэтому меня больше не волнует факторизация.

    Это квадратное выражение состоит из двух членов и ничего не вычитает, так что либо это разница квадратов (которую я могу разложить на множители), либо ее можно отформатировать как «(переменная часть) 2 равно (число)», чтобы я мог квадратный корень с обеих сторон. Поскольку 48 не является квадратом, я не могу применить формулу разности квадратов. Вместо этого мне придется извлекать квадратный корень из обеих частей:

    Итак, мой точный ответ:

    Примечание. Если вам специально не сказано предоставлять десятичное приближение для решений, содержащих радикалы, вы должны предположить, что они хотят, чтобы вы дали «точную» форму ответа; то есть они хотят видеть эти квадратные корни.

    В этом квадратичном выражении есть два члена, которые легко множить:

    x 2 -7 x = 0

    x ( x -7) = 0

    x = 0, x — 7 = 0

    x = 0, x = 7

    Мой ответ:

    • Найдите решения квадратичного уравнения, представленного в таблице ниже:

    x -значение

    –1

    0

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    y -значение

    16

    9

    4

    1

    0

    1

    4

    9

    Прежде чем я паникую, я думаю об одном методе «решения», который не включает в себя фактическое квадратное уравнение: решение с помощью построения графиков.

    Когда они хотят, чтобы я решил квадратное уравнение с помощью построения графиков, они на самом деле просят меня найти точки пересечения x соответствующей квадратичной функции . И под словом «найти» они подразумевают «с красивой картинки». Но дело в том, что они хотят, чтобы я отметил связь между ними и предоставил затем значения x , когда y = 0.

    Я могу сделать это по картинке или по Т-образной диаграмме значений.В данном случае вместо графика мне дали таблицу. Есть две точки, у которых одна из координат равна нулю; а именно (0, 9) и (3, 0). Что из этого я хочу? Тот, у которого y = 0, это вторая из двух точек. И мое решение — соответствующее значение x .

    Скорее всего, вы не увидите много, а может быть, и каких-либо других упражнений этого последнего типа.

    Кстати, если вам интересно, почему было только одно решение этой квадратичной, это потому, что (предполагаемое и лежащее в основе) уравнение было ( x — 3) 2 = 0.Итак, одно решение было «повторено».

    При решении квадратных уравнений в целом сначала перенесите все на одну сторону от знака «равно» (что уже было сделано в приведенных выше примерах). Затем сначала проверьте, есть ли очевидное факторинг или очевидное извлечение квадратного корня, которое вы можете сделать. Если нет, то обычно лучше прибегать к квадратичной формуле. Но не используйте квадратичную формулу для всего; хотя он всегда даст вам ответ — в конечном итоге — это не всегда самый быстрый метод.А скорость может иметь большое значение в ходе тестов по времени.

    URL: https://www.purplemath.com/modules/solvquad6.htm

    Решите квадратные уравнения по квадратичной формуле — элементарная алгебра

    Цели обучения

    К концу этого раздела вы сможете:

    • Решите квадратные уравнения, используя формулу корней квадратного уравнения
    • Используйте дискриминант, чтобы предсказать количество решений квадратного уравнения
    • Определите наиболее подходящий метод для решения квадратного уравнения

    Прежде чем начать, пройдите тест на готовность.

    1. Упростить:.
      Если вы пропустили эту проблему, просмотрите (рисунок).
    2. Упростить:.
      Если вы пропустили эту проблему, просмотрите (рисунок).
    3. Упростить:.
      Если вы пропустили эту проблему, просмотрите (рисунок).

    Когда мы решали квадратные уравнения в последнем разделе, завершая квадрат, мы каждый раз предпринимали одни и те же шаги. К концу набора упражнений вы, возможно, задавались вопросом: «А нет ли более простого способа сделать это?» Ответ — «да». В этом разделе мы выведем и воспользуемся формулой, чтобы найти решение проблемы. квадратное уровненеие.

    Мы уже видели, как решить формулу для конкретной переменной «в целом», чтобы мы проделали алгебраические шаги только один раз, а затем использовали новую формулу, чтобы найти значение конкретной переменной. Теперь мы рассмотрим этапы завершения квадрата в целом, чтобы решить квадратное уравнение для x . Возможно, будет полезно взглянуть на один из примеров в конце последнего раздела, где мы решали уравнение формы, когда вы читаете алгебраические шаги ниже, поэтому вы видите их как с числами, так и со словом «в целом».’

    Последнее уравнение — квадратичная формула.

    Квадратичная формула

    Решения квадратного уравнения вида даются формулой:

    Чтобы использовать квадратичную формулу, мы подставляем значения в выражение в правой части формулы. Затем мы делаем все математические вычисления, чтобы упростить выражение. Результат дает решение (я) квадратного уравнения.

    Как решить квадратное уравнение с помощью квадратичной формулы

    Решите, используя дискриминант.

    Решите, используя дискриминант.

    Решите, используя дискриминант.

    Если вы произносите формулу во время написания каждой задачи, вы быстро запомните ее. И помните, квадратная формула — это уравнение. Обязательно начинайте с «».

    Решите, используя дискриминант.

    Решите, используя дискриминант.

    Решите, используя дискриминант.

    Когда мы решали квадратные уравнения с помощью свойства квадратного корня, мы иногда получали ответы с радикалами. То же самое может случиться и при использовании квадратичной формулы. Если в качестве решения мы получаем радикал, окончательный ответ должен иметь радикал в его упрощенной форме.

    Решите, используя дискриминант.

    Решение

    Мы можем использовать квадратичную формулу, чтобы найти переменную в квадратном уравнении, независимо от того, называется ли оно « x ».

    Решите, используя дискриминант.

    Решите, используя дискриминант.

    Решите, используя дискриминант.

    Решите, используя дискриминант.

    Решите, используя дискриминант.

    Мы не можем извлечь квадратный корень из отрицательного числа. Итак, когда мы подставляем, и в квадратную формулу, если величина внутри радикала отрицательна, квадратное уравнение не имеет реального решения.Мы увидим это в следующем примере.

    Решите, используя дискриминант.

    Решите, используя дискриминант.

    Решите, используя дискриминант.

    Все квадратные уравнения, которые мы решили до сих пор в этом разделе, были записаны в стандартной форме,. Иногда нам нужно сделать некоторую алгебру, чтобы привести уравнение в стандартную форму, прежде чем мы сможем использовать квадратичную формулу.

    Решите, используя дискриминант.

    Решите, используя дискриминант.

    Решите, используя дискриминант.

    Когда мы решали линейные уравнения, если в уравнении было слишком много дробей, мы «очищали дроби», умножая обе части уравнения на ЖК-дисплей. Это дало нам возможность решить эквивалентное уравнение — без дробей. Мы можем использовать ту же стратегию с квадратными уравнениями.

    Решите, используя дискриминант.

    Решите, используя дискриминант.

    Решите, используя дискриминант.

    Подумайте об уравнении. Мы знаем из принципа нулевого произведения, что это уравнение имеет только одно решение:.

    В следующем примере мы увидим, как использование квадратичной формулы для решения уравнения с полным квадратом также дает только одно решение.

    Решите, используя дискриминант.

    Решение

    Вы узнали, что это идеальный квадрат?

    Решите, используя дискриминант.

    Решите, используя дискриминант.

    Использование дискриминанта для предсказания числа решений квадратного уравнения

    Когда мы решали квадратные уравнения в предыдущих примерах, иногда мы получали два решения, иногда одно решение, иногда нет реальных решений. Есть ли способ предсказать количество решений квадратного уравнения, не решая его на самом деле?

    Да, количество внутри корня квадратной формулы позволяет нам легко определить количество решений.Эта величина называется дискриминантом.

    Дискриминант

    В квадратичной формуле величина называется дискриминантом.

    Давайте посмотрим на дискриминант уравнений на (Рисунок), (Рисунок) и (Рисунок), а также на количество решений этих квадратных уравнений.

    Когда дискриминант положительный квадратное уравнение имеет два решения .

    Когда дискриминант равен нуль квадратное уравнение имеет одно решение .

    Когда дискриминант отрицательный квадратное уравнение не имеет реальных решений .

    Определите количество решений каждого квадратного уравнения:

    ⓐⓑⓒⓓ

    ⓐ нет реальных решений ⓑ 2 ⓒ 1 ⓓ нет реальных решений

    Определите количество решений каждого квадратного уравнения:

    ⓐⓑⓒⓓ

    ⓐ 2 ⓑ нет реальных решений ⓒ 1 ⓓ 2

    Определите наиболее подходящий метод для решения квадратного уравнения

    Мы использовали четыре метода для решения квадратных уравнений:

    • Факторинг
    • Свойство квадратного корня
    • Завершение квадрата
    • Квадратичная формула

    Вы можете решить любое квадратное уравнение с помощью квадратичной формулы, но это не всегда самый простой метод.

    Определите наиболее подходящий метод решения квадратного уравнения.

    1. Сначала попробуйте Факторинг . Если квадратичные множители легко, этот метод очень быстрый.
    2. Далее попробуйте применить свойство квадратного корня . Если уравнение соответствует форме или, его можно легко решить с помощью свойства квадратного корня.
    3. Используйте квадратичную формулу . Любое квадратное уравнение можно решить с помощью квадратной формулы.

    А как насчет метода завершения квадрата? Большинство людей считают этот метод громоздким и предпочитают не использовать его.Нам нужно было включить его в эту главу, потому что мы завершили квадрат в целом, чтобы получить квадратную формулу. Вы также будете использовать процесс завершения квадрата в других областях алгебры.

    Определите наиболее подходящий метод для решения каждого квадратного уравнения:

    ⓐⓑⓒ

    Решение

    ⓐ

    Так как уравнение находится в, наиболее подходящим методом является использование свойства квадратного корня.

    ⓑ

    Мы понимаем, что левая часть уравнения представляет собой трехчлен полного квадрата, поэтому факторинг будет наиболее подходящим методом.

    ⓒ

    Приведите уравнение в стандартную форму.

    В то время как наша первая мысль может заключаться в том, чтобы попробовать факторинг, размышления обо всех возможностях проб и ошибок приводят нас к выбору квадратичной формулы как наиболее подходящего метода

    Определите наиболее подходящий метод для решения каждого квадратного уравнения:

    ⓐⓑⓒ

    ⓐ коэффициент ⓑ Свойство квадратного корня ⓒ Квадратичная формула

    Определите наиболее подходящий метод для решения каждого квадратного уравнения:

    ⓐⓑⓒ

    ⓐ Квадратичная формула ⓑ факторинг ⓒ Свойство квадратного корня

    Практика ведет к совершенству

    Решите квадратные уравнения с помощью квадратичной формулы

    В следующих упражнениях решите, используя квадратичную формулу.

    Использование дискриминанта для прогнозирования числа решений квадратного уравнения

    В следующих упражнениях определите количество решений каждого квадратного уравнения.

    ⓐ нет реальных решений ⓑ 1
    ⓒ 2 ⓓ нет реальных решений

    ⓐ 1 ⓑ нет реальных решений
    ⓒ 1 ⓓ 2

    Определите наиболее подходящий метод решения квадратного уравнения

    В следующих упражнениях определите наиболее подходящий метод (разложение на множители, квадратный корень или квадратная формула) для решения каждого квадратного уравнения. Не решай.

    коэффициент ⓑ квадратный корень
    ⓒ Квадратичная формула

    коэффициент ⓑ квадратный корень
    коэффициент

    Повседневная математика

    Ракета запускается прямо с корабля в море.Решите уравнение для количества секунд, в течение которых ракета будет находиться на высоте 640 футов.

    Архитектор проектирует холл гостиницы. Она хочет иметь треугольное окно, выходящее в атриум, с шириной окна на 6 футов больше высоты. Из-за ограничений по энергопотреблению площадь окна должна составлять 140 квадратных футов. Решите уравнение для высоты окна.

    Письменные упражнения

    Решите уравнение
    ⓐ, заполнив квадрат
    ⓑ с помощью квадратичной формулы
    ⓒ Какой метод вы предпочитаете? Почему?

    ⓐⓑ
    ⓒ ответы будут отличаться

    Решите уравнение
    ⓐ, заполнив квадрат
    ⓑ с помощью квадратичной формулы
    ⓒ Какой метод вы предпочитаете? Почему?

    Самопроверка

    ⓐ После выполнения упражнений используйте этот контрольный список, чтобы оценить свое мастерство в достижении целей этого раздела.

    ⓑ Что этот контрольный список говорит вам о вашем мастерстве в этом разделе? Какие шаги вы предпримете для улучшения?

    Глоссарий

    дискриминант
    В квадратной формуле величина называется дискриминантом.

    Как решить уравнение x2 3x 2 0 с помощью математики класса 11 квадратичных CBSE

    Подсказка: Этот вопрос из темы решения квадратных уравнений. Мы должны решить этот вопрос, используя формулу корней квадратного уравнения.2} — 3x — 2 = 0 $ — это $ x = \ dfrac {{3 + \ sqrt {17}}} {2} $ и $ x = \ dfrac {{3 — \ sqrt {17}}} {2}. $.

    Примечание: Для решения вопросов, в которых вас просят найти корни квадратных уравнений по квадратной формуле, вам необходимо знать формулу. Мы также можем решить эту проблему, используя другие методы поиска корней квадратного уравнения, такие как метод завершения квадратного и факторного метода.

    Калькулятор для поиска сложных решений квадратных уравнений

    Программа для решения квадратных уравнений.Введите значения для ax 2 + bx + c = 0; a = b = c = Решение: X 1 =: X 2 =

    Мы можем использовать квадратичную формулу, чтобы найти нули этой функции, установив f (x) = Ax2 + Bx + C = 0. Технически мы также можем найти сложные корни для него, но обычно просят работать только с настоящими корнями. Квадратичная формула представлена ​​как: −B ± √B2 — 4AC 2A = x

    Помните, что квадратная формула решает «ax 2 + bx + c = 0» для значений x. Также помните, что это означает, что вы пытаетесь найти точки пересечения x графика.Когда формула дает отрицательное значение внутри квадратного корня, теперь вы можете упростить этот ноль, используя комплексные числа.

    20 ноя, 2015 · Для каждого квадратного уравнения может быть одно или несколько решений. Они называются корнями квадратного уравнения. Для квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0 сумма его корней = –b / a и произведение его корней = c / a.

    Solve может давать явные представления для решений всех линейных уравнений и неравенств над целыми числами и может решать большую часть диофантовых уравнений, описанных в литературе.Когда expr включает только полиномиальные условия над действительными или сложными доменами, Solve [expr, vars] всегда сможет исключить кванторы.

    Совместное решение линейного уравнения и квадратного уравнения задается точкой или точками пересечения прямой и параболы, представляющих уравнения. Чтобы найти решение, исключите y (или x) заменой; и решить квадратное уравнение, образованное таким образом относительно x (или y). Затем найдите соответствующие значения y (или x).

    решение квадратных уравнений с комплексными решениями дополнительные примеры 1.2 \) только с левой стороны, добавив 19 с каждой стороны. Добавьте 19 с каждой стороны Это решение вопроса в форме сюрда, которое дает точное …

    Решение квадратных уравнений путем выполнения квадратичных действий

    Следовательно, мы имеем x2 — 3x + 1 = x2 — 3x + — + 1 = х — 2 -. Решение квадратных уравнений путем завершения квадрата. Теперь мы можем применить метод завершения квадрата для решения квадратных уравнений. Чтобы завершить квадрат для уравнения, мы добавим коэффициент с каждой стороны, чтобы получить квадрат.

    На следующей диаграмме показано, как использовать метод Завершение квадрата для решения квадратных уравнений. Прокрутите страницу вниз, чтобы увидеть больше примеров и решений решения квадратных уравнений с помощью заполнения квадрата. Завершение квадрата — решение квадратных уравнений. Примеры: 1. x 2 + 6x — 7 = 0. 2. 2x 2 — 10x — 3 = 0. 3. -x 2 — 6x + 7 = 0.

    (a) Используйте процесс факторизации и завершения квадрата в квадратичной функции, чтобы показать нули, экстремальные значения и симметрию графика и интерпретировать их с точки зрения контекста.A.SSE.3a. Выберите и создайте эквивалентную форму выражения, чтобы раскрыть и объяснить свойства величины, представленной выражением. (a) Разложите квадратное выражение на множители, чтобы выявить нули функции, которую оно определяет.

    Завершение квадрата, иногда называемое x 2 x 2, — это метод, который используется в алгебре для преобразования квадратного уравнения из стандартной формы, ax 2 + bx + c, в форму вершины, a (x-h) 2 + k. Форма вершины — это простой способ решить или найти нули квадратных уравнений.

    В этом видео показано анимированное руководство по упрощению квадратных выражений и уравнений путем заполнения квадрата. Показаны примеры того, как заполнить квадрат для факторизации любого выражения и решения уравнений. Решение квадратных уравнений по формуле. При использовании формулы квадратного уравнения не забывайте знаменатель «2a». Кроме того, будьте …

    Решите квадратные уравнения Имя: _____ Факторинг http://math.about.com Оценка: / 10

    Метод 3 — Решение с использованием квадратичной формулы Шаг 1 — получите значения a, b и c для использования в формуле Решите x2 + 2x — 8 = 0 Решения x = -4 или 2 ax2 + bx + c = 0 x2 + 2x — 8 = 0 Следовательно, a = 1, b = 2, c = -8 Шаг 2 — подставьте эти значения для a, b и c в формулу корней квадратного уравнения и перейдите к упрощению и решите для xx = -b ± √ (b2…

    Урок 4 повторно научитесь решать уравнения с переменными на каждой стороне

    Посетите https://sites.google.com/site/lmsmathhenry/, чтобы получить дополнительные уроки. Решение уравнений с использованием всех 5 шагов: 1. Избавьтесь от скобок, раздавая 2. Комбинируйте … x + 4y = 2 Решите уравнение для одной переменной. x-3y = 9 Выберите одно из уравнений. x = Решить относительно x. Изолировать x с одной стороны. Подставьте выражение для другого уравнения и решите. () + 4y = 2 Подставим выражение для. = 2 Объедините похожие термины.= Вычесть с обеих сторон. y = разделить каждую сторону на. Затем мы хотим удалить любые лишние термины на стороне, где находится переменная. Это означает, что -7 нужно уйти. Добавляя 7 к каждой стороне, мы получаем: 30> 10x Затем мы делим на 10: 3> x Осталось только прочитать это правильно. В уравнениях левая и правая части равны, и при желании их можно менять местами. Математика · 1 десятилетие назад. Решение уравнений с переменными с каждой стороны …? Как я могу решить уравнение 1 / 2b + 4 = 1 / 8b + 88? сначала получите обе переменные с одной стороны.так как 1 / 8b положителен в правой части, u должен вычесть 1 / 8b из 1 / 2b, в результате получится 3 / 8b + 4 = 88. В качестве другого способа научить решать уравнения с переменными с обеих сторон — Попросите учащихся использовать алгебры ® и матрицу предложений алгебры для моделирования каждого уравнения. Попросите учащихся изолировать переменную, собрав все члены переменных с одной стороны от знака равенства и все термины, которые не имеют переменной с другой стороны … Завершите, чтобы решить и проверить каждое уравнение. 1. 4 z720 1Check: z 20 z Объедините похожие термины.4 () 7 () 20 1 3 3 z Разделить. z t1 4 8 21 Проверка: t Объедините похожие термины. 1 4 () 8 9 Вычесть. 1 8 21 т 21 3 3 т Разделить. t 4 21 21 12 3 3 12 4 25 4 16 3 9 21 4 4 21 7 21 21 28 49 21 2 3 1 3 21 7 7 Решение уравнений с переменными с обеих сторон … 4 года назад. 2. Сохранить. Доля. Редактировать. Копировать и редактировать. НОВАЯ ВИКТОРИНА СУПЕР ПРОЕКТ. Решение уравнений с переменными на обоих … x = 2 Завершите решение, добавив 5 к каждой стороне, а затем разделив каждую сторону на 4. Следовательно, решение задачи 9 2x — 5 = 27 равно x = 2.Теперь, когда мы рассмотрели пару примеров решения экспоненциальных уравнений с одной и той же базой, давайте перейдем к джекпоту. друзей = каждый общий джекпот ÷ 4 = 500 000 В алгебраическом порядке переменная J обозначает неизвестную сумму джекпота: J 4 = 500 000 Чтобы решить уравнение, мы умножаем обе стороны на 4. 4 • J 4 = 500 000 • 4 J = 2 000 000 Джекпот составил 2 000 000 долларов. Урок 4 Повторно научите оценивать суммы и различия Когда в проблеме используется слово «примерно», вы должны найти оценку. Оценка — это ответ, близкий к точному.При оценке вы можете округлить до ближайших десяти, сотен, тысяч или десяти тысяч. Оценка: 1,262 + 639. Округляем до ближайших сотен 1,262 + 639. Затем добавьте. решить уравнения с переменными с обеих сторон легкая алгебра 6062. Поздравляю, Пользователь! Вы успешно завершили этот набор навыков !! Щелкните Сертификат, чтобы просмотреть свои сертификаты. Все обретают счастье, следуя одному и тому же пути. Б. Члены семьи должны заниматься одинаковыми занятиями. C. Дети слишком молоды, чтобы иметь собственные мечты.D. Каждый человек должен следовать. Математика. Поездка на джипни в Лусене стоит 9 песо за первые 4 километра, а каждый дополнительный километр добавляет к стоимости проезда 0,75 песо. Шаг 4: После разделения () установите each () = на 0 и найдите переменную. Шаг 5: Проверьте каждый из корней в ОРИГИНАЛЬНОМ квадратном уравнении. 1. Найдите корни: r2 12r 35 0 2. Решите относительно y: y2 11y 24 0 3. Найдите нули: x2 5x 6 0 4. Решите относительно y: y2 3y 28 Квадратичное уравнение (стандартная форма): Шаг 4: Один раз () разделены, установите each () = в 0 и решите для переменной.Шаг 5: Проверьте каждый из корней в ОРИГИНАЛЬНОМ квадратном уравнении. 1. Найдите корни: r2 12r 35 0 2. Решите относительно y: y2 11y 24 0 3. Найдите нули: x2 5x 6 0 4. Решите относительно y: y2 3y 28 Квадратичное уравнение (стандартная форма): решить уравнения- с переменными с обеих сторон-легкая алгебра 6062. Поздравляю, Пользователь! Вы успешно завершили этот набор навыков !! Щелкните Сертификат, чтобы просмотреть свои Сертификаты. Урок 2–4 Уравнения без решения или бесконечное множество решений Проверьте свое понимание Определите решения для каждого из следующих уравнений.3. 3 (2z +4) + 2) 4. 1) 2 (2x 2) + x 5. 8b + 3-10b = Некоторые уравнения верны для всех значений переменной. В уравнениях этого типа решениями являются действительные числа. Решение для переменной: решение для переменной с одной стороны, используя сложение и вычитание. Часто бывает, что не вся информация известна. В математике мы представляем эти неизвестные значения как переменные. Видеоролики этого урока будут представлять собой серию видео, в которых вы шаг за шагом научитесь решать переменные в уравнениях. Практика C 2-7 Одношаговые уравнения с рациональными числами УРОК Решение уравнений с рациональными числами в основном такое же, как решение уравнений с целыми или целыми числами: используйте обратные операции, чтобы изолировать переменную.1 4 z 16 y 8 7 8 4 4 z 16 4 3 8 8 z 64 y 1 8 0 1 2 8 1 1 4 x 3,5 17,42 26t 317,2 3,5 Вычесть 3,53,5 x 20,92 2 2 6 6 t … I ‘ Я уверен, что вам не составит труда решить это небольшое уравнение и получить ответ, x = 2. Что станет интересным, так это если вы позволите каждой стороне уравнения равняться y и изобразите каждую сторону в виде линии, как показано ниже. Как видите, точка пересечения линий — это точка (2, 1), в которой x = 2. Раздел 1.1 — Линейные уравнения Найдите размер каждой стороны. Т С Р 2х 3х 5х.2 = 0, {x, y})

    Решение систем уравнений с двумя переменными. Система линейного уравнения состоит из двух или более уравнений и одного. В системе линейных уравнений каждому уравнению соответствует прямая линия, и одна из них. Следовательно, мы должны умножить второе уравнение на 2 с обеих сторон и получить

    Решение уравнений с переменными с обеих сторон. Направления: Решите каждое уравнение. Используйте свой ответ на navi. грамм. а. т. е. через ма. z. е. Покажи свой . Работа. x = — 1 2

    Запишите каждое матричное уравнение и решите, используя обратную матрицу.4. {x y 2 x 2y 6 5. {2 x 3y 1 x 2y 1 a. Напишите матричное уравнение AX B. a. Напишите матричное уравнение AX B. 11 12 x y 2 6 23 12 x y 1 1 b. Найдите определитель. 1 б. Найдите определитель. 1 в. А 1 с. А 1 2 1 11 2 3 12 д. Решите относительно x и y. d. Решите относительно x и y. 2, 4 5, 3 …

    и 1 красный билет на 1200 очков Напишите и решите систему уравнений, чтобы определить стоимость каждого типа билетов. Практика Б. Решение линейных систем с тремя переменными Используйте исключение для решения каждой системы уравнений.3-6 LESSON TEKS 2A.3.B aa207c03-6_pr_TX.indd 24207c03-6_pr_TX.indd 24 33/23/06 8:30:15 AM / 23/06 8:30:15

    Урок 4 Дополнительные практические уравнения с Переменные с каждой стороны Решите каждое уравнение. Проверьте свое решение. … 16. 7b 4 = 2b + 16 4 17. 2y 3 = 5 2y 2 18. 3m = 2m + 7 7

    УРОК 9 Получение и графическое отображение линейных уравнений формы y 5 mx 1 b 199 Ранее вы узнали насчет наклона. В этом уроке вы узнаете, как написать уравнение линии. Используйте то, что вы знаете, чтобы попытаться решить указанную ниже проблему.Кендра — слепая бегунья-марафонец, тренирующаяся на Паралимпийских играх среди юниоров. Тренер Кендры рисует линию, представляющую

    Решение линейных уравнений с переменными с обеих сторон. Если вы хотите решить линейное уравнение с переменными с обеих сторон, первым делом нужно выделить переменные с одной стороны. Как только вы это сделаете, мы сможем выполнить вычитание, сложение, перекрестное умножение или любые другие необходимые шаги для решения уравнения.

    CCSS.Math.Content.HSA.REI.C.7 Решите простую систему, состоящую из линейного уравнения и квадратного уравнения с двумя переменными алгебраически и графически.Например, найдите точки пересечения между линией y = -3 x и кругом x 2 + y 2 = 3.

    Учащиеся учатся применять навыки, приобретенные в 6 и 7 классах, в отношении символических обозначений и свойств. равенства, чтобы записать и решить уравнения с одной переменной, а затем с двумя переменными. Материалы для учащихся состоят из страниц для каждого урока в Модуле 4.

    Составьте и решите уравнение, чтобы найти значение 𝑚𝑚. 5. Три линии пересекаются в одной точке.Задайте и решите уравнение, чтобы найти значение 𝑟𝑟. 6. Три прямые пересекаются в вершине луча. Задайте и решите уравнение, чтобы найти значение каждой переменной на диаграмме. 7. Составьте и решите уравнение, чтобы найти значение 𝑥𝑥.

    Свойства равенства используются для решения уравнений, каждая сторона которых имеет переменные. Если уравнение верно для всех значений x, то оно имеет бесконечно много решений; если это неверно для любого значения x, то у него нет решений. Буквальные уравнения — это уравнения с двумя или более переменными.Они решаются путем переписывания уравнения

    Когда вы решаете уравнение, идея состоит в том, чтобы получить переменную отдельно. Что вы делаете с одной стороной уравнения, вы должны делать с другой стороной. • Чтобы решить уравнение вычитания, используйте сложение. • Чтобы решить уравнение сложения, используйте вычитание. Решите и проверьте: y 8 14. y 8 14 y 8 814 Вычтите 8 с обеих сторон. y 0 6 Объедините похожие термины. y 6

    решить-уравнения-с-переменными-с обеих сторон-easy 6062 algebra. Поздравляю, Пользователь! Вы успешно завершили этот набор навыков !! Щелкните Сертификат, чтобы просмотреть свои сертификаты.

    Пример 4: Решите уравнение. 5p — 4 = 3p + 20. Если бы две переменные находились на одной стороне уравнения, вы могли бы объединить их, но это другое. Мы должны «перебросить» одну сторону на другую. Вычтем по 3p с каждой стороны от знака равенства. 5р — 4 = 3п + 20-3п -3п 2п — 4 = 20 Теперь прибавьте по 4 с каждой стороны. + 4 + 4

    Решите, используя квадратичную формулу: 5 n 2 + 4 n — 4 = 0 5 n 2 + 4 n — 4 = 0. Когда мы подставляем a, b и c в квадратную формулу и подкоренное выражение отрицательно, квадратное уравнение будет иметь мнимые или комплексные решения.

    Шаг 6: правильный ответ или нет, мы можем увидеть, подставив решение, найденное с помощью, в исходные уравнения. Обе части уравнения должны быть равны после упрощения каждого выражения. Давайте разберемся, как решить экспоненциальное уравнение на примере. Решите: 4 2x − 1 = 64. Применяя вышеуказанный шаг: Здесь нет одинаковых баз.

    Урок 4 Домашнее задание Практикуйтесь Решите двухэтапные уравнения Решите каждое уравнение. Проверьте свое решение. 1. 4h + 6 = 30 2. −2 7 y + 5 = -9 3.-3t + 6 = 0 4. -8 + 8g = 56 5. 5k — 7 = -7 6. 19 + 13x = 32 7. — −1 5 b — −2 5 = -2 8. -1n + 1 = 11 9. −3 4 f + 5 = -5 10. 5d — 3.3 = 7.2 11. 3 = 0.2m — 7 12. 1.3z + 1.5 = 5.4 13.

    Я не знаком с неравенствами, включая одно абсолютное значение с переменные с обеих сторон. Затем я решил для каждой стороны отдельно, следующим образом. Вот как я выучил это снова в алгебре I. Вы можете разделить это на два уравнения. Поскольку знак — $ \ le $, значит, уравнение 1 и уравнение 2 верны.

    Найдите длину каждой стороны.В равнобедренном треугольнике это треугольник с двумя сторонами равной длины. Третья сторона на 30 м короче, чем удвоенная длина каждой конгруэнтной стороны.

    Если, мы не можем разделить на 3 или вычесть 3 из обеих частей уравнения, чтобы найти x. Или, если это уравнение, у нас все еще есть проблема с выделением переменной. Нам нужен процесс решения экспоненциальных уравнений. Экспоненциальные уравнения бывают двух видов. В одном случае можно получить одинаковую основу для каждой стороны уравнения. Когда это…

    В нашем предыдущем уроке мы изучили, как использовать правило Крамера с двумя переменными. Примеры решения систем линейных уравнений с тремя переменными с использованием правила Крамера. Для этого я могу вручную решить определитель каждой матрицы на бумаге, используя приведенную выше формулу.

    УРОК 9 Получение и графическое отображение линейных уравнений формы y 5 mx 1 b 199 Ранее вы узнали об уклоне. В этом уроке вы узнаете, как написать уравнение линии. Используйте то, что вы знаете, чтобы попытаться решить указанную ниже проблему.Кендра — слепая бегунья-марафонец, тренирующаяся на Паралимпийских играх среди юниоров. Тренер Кендры рисует линию, представляющую

    Система уравнений 2 Системы уравнений Исключение Решение систем линейных уравнений викторины Created with That Quiz — тестового сайта по математике для учащихся всех уровней.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *