Подготовка школьников к ЕГЭ (Справочник по математике — Стереометрия

Основные определения и свойства цилиндра

      Рассмотрим две паралллельные плоскости паралллельные плоскости   α   и   β   и произвольную окружность радиуса   r   с центром в точке   O ,   лежащую в плоскости   α   (рис. 1).

Рис.1

      Если из каждой точки окружности опустить перпендикуляр на плоскость   β,   то основания этих перпендикуляров образуют на плоскости   β   окружность радиуса   r,   центр   O₁   которой является основанием перпендикуляра, опущенного из точки   O   на плоскость   β   (рис.2).

Рис.2

      Определение 1.

      Замечание 1. Цилиндрическую поверхность часто называют боковой поверхностью цилиндра. Боковая поверхность цилиндра и основания цилиндра вместе составляют полную поверхность цилиндра.

      Замечание 2. Каждая образующая цилиндра параллельна оси цилиндра, а длина каждой образующей цилиндра равна высоте цилиндра.

     Замечание 3. Прямая   OO₁   является осью симметрии цилиндра, а середина отрезка   OO₁   является центром симметрии цилиндра.

Сечения цилиндра

      Определение 2. Сечением цилиндра называют пересечение цилиндра с плоскостью.
      Если сечение проходит через ось цилиндра, то такое сечение называют осевым сечением цилиндра (рис. 3).

Рис.3

      На рисунке 3 изображено одно из осевых сечений цилиндра – прямоугольник   AA₁B₁B .

     Замечание 4. Каждое осевое сечение цилиндра с радиусом  r и высотой   h   является прямоугольником со сторонами   2r   и   h .

      Определение 3. Перпендикулярным сечением цилиндра называют сечение, перпендикулярное оси цилиндра (рис. 4).

Рис.4

      Замечание 5. Любым перпендикулярным сечением цилиндра будет круг радиуса   r .

      Замечание 6. Более подробно случаи взаимного расположения цилиндра и плоскости рассматриваются в разделе нашего справочника «Взаимное расположение цилиндра и плоскости в пространстве».

Объем цилиндра. Площадь боковой поверхности цилиндра.

Площадь полной поверхности цилиндра

      Для цилиндра с радиусом   r   и высотой   h   (рис. 5)

Рис.5

введем следующие обозначения

      Тогда справедливы следующие формулы для вычисления объема, площади боковой и полной поверхности цилиндра:

S_осн = πr²,

V = S_оснh = πr²h,

S_бок= 2πrh,

S_полн = 2πr² + 2πrh =
= 2π(r + h).

      Замечание 7. Формула объема цилиндра   V = πr²h   может быть получена из формулы объема правильной n – угольной призмыформулы объема правильной n – угольной призмы

при помощи предельного перехода, когда число сторон правильной призмы n неограниченно возрастает. Однако доказательство этого факта выходит за рамки школьной программы.

      На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике.

Сечения цилиндра — Энциклопедия по машиностроению XXL

В предыдущих параграфах были рассмотрены кривые линии, полученные в результате плоских сечений цилиндра и конуса, а также чертежи плоских деталей со сложным криволинейным контуром. Рассмотрим чертежи деталей с криволинейными поверхностями.  [c.225]

СЕЧЕНИЕ ЦИЛИНДРА ПЛОСКОСТЬЮ  [c.96]

Примером плоского сечения цилиндра может служить часть пылесборника машины для очистки литых деталей (рис. 174, я). Плоская крышка А трубы пылесборника наклонена к оси трубы и ограничена эллипсом.  [c.98]

Строим нормальное сечение цилиндра плоскостью Qyi ]л определяем натуральную величину линии сечения.  [c.291]

Пример. Построить наклонное сечение цилиндра плоскостью (рис. 121).  [c.134]

Заданная секущая плоскость пересекает только цилиндрическую поверхность. Следовательно, в сечении цилиндра получаем плоскую фигуру, ограниченную эллипсом (см. 32). Большая ось эллипса равна отрезку 1-5-, а малая — отрезку 3 7 (диаметру цилиндра).  [c.134]

Строим новую проекцию линии сечения цилиндра плоскостью А—А, используя приведенные ранее в п. 6.4 правила.  [c.135]

Границами сечения цилиндра плоскостью типа у (рис. 153) параллельной оси вращения являются образующие, проходящие через точки (1-2), (Г-2 ). На фронтальной проекции конкурирующие точки 1 и 2 г не обозначены, чтобы не загромождать изображения. Этот приём используется и в других примерах.  [c.151]

Рассмотрим применение способа на примере пересечения прямого кругового конуса с осью вращения 1(12) и эллиптического цилиндра с осью симметрии 4(42) (рис. 189). В сечении цилиндра плоскостью, перпендикулярной оси я(я2), будут эллипсы, а в сечении под углом (р, изображенном как основание цилиндра, будут окружности диаметра (1. Эти окружности называют круговыми сечениями.» Не трудно догадаться, что у этого цилиндра есть ещё одно направление, в котором сечения тоже будут круговыми.  [c.189]

Поскольку количество точек для построения лекальных кривых определяется количеством частей, на которые делится нормальное сечение цилиндра, оно зависит от необходимой степени точности выполнения развертки. Отметим, не приводя доказательств, что кривые, ограничивающие построенную развертку, являются синусоида ми.  [c.119]

Так как деформация при кручении зависит от величины крутящего момента, действующего в данном сечении, необходимо рассмотреть методику определения крутящего момента в любом сечении цилиндра. В месте закрепления цилиндра (рис. 131, б) возникает реактивный крутящий момент Л1р, равный внешнему крутящему моменту М, приложенному к свободному концу цилиндра. Рассечем цилиндр плоскостью / и рассмотрим равновесие его нижней части (рис. 131, в). Для нахождения нижней части в равновесии необходимо, чтобы момент внутренних сил упругости в данном сечении уравновешивал реактивный момент Мр, равный М  [c.188]

Таким образом, крутящий момент, действующий в любом сечении цилиндра, являющийся моментом внутренних сил упругости, численно равен моменту внешней пары сил, действующей по любую сторону от сечения.  [c.188]

Пс закону Гука напряжение в сечении цилиндра  [c.191]

Сумма таких элементарных моментов, взятая, по всей площади поперечного сечения цилиндра, равна крутящему моменту М р, который действует в рассматриваемом сечении цилиндра и в данном конкретном случае равен внешнему моменту М  [c.191]

На основании этого цилиндр можно рассматривать как составленный из отдельных колец, нанизанных на ось. Поперечные сечения цилиндра при деформации остаются плоскими,  [c.447]

Нормальным сечением цилиндра называется сечение, перпендикулярное к его образующим. У эллиптического цилиндра, как известно ( 30), нормальным сечением является эллипс. Для задания секущей плоскости  [c.162]

На чертеже показано построение точек А, В, С, О, Е, Р, О и Н натурального вида сечения. Эти точки построены при помощи их высот и широт. Эллипсы, которые получаются в сечениях цилиндров, построены по их осям, при этом малая ось каждого эллипса равна диаметру соответствующего цилиндра, а большая — отрезку проекции Е 2. заключенному между проекциями очерковых образующих цилиндра.  [c.165]

Прямая строфоида — фокаль эллиптических сечений цилиндра, когда ось пучка секущих плоскостей проходит через точку А перпендикулярно к осевому сечению цилиндра АОу. Циссоида — место точек М (рис. 2, д),  [c.21]

Заметим, что в силу тонкостенности кольца, представляющего собой сечение цилиндра, по которому действуют напряжения 02, площадь его подсчитана как произведение длины окружности на толщину стенки.  [c.262]

Радиальное перемещение произвольно взятой точки обозначим через и. Величина и является функцией текущего радиуса г и не изменяется по длине цилиндра. За положительное направление для г примем направление от оси цилиндра (рис. 309). Что касается перемещений вдоль оси, то будем считать, что они возникают только как следствие общего удлинения или укорочения цилиндра. Если осевые перемещения существуют, то они распределены так, что поперечные сечения цилиндра остаются плоскими.  [c.276]

В сечениях цилиндра (как осевых, так и поперечных) возникают изгибающие моменты и нормальные силы. Они определяются через напряжения и о ,, аналогично тому, как это делалось для круглой пластины.  [c.317]

Развертка цилиндра вращения. Выбирают горизонтальную прямую линию и на нен спрямляют линию нормального сечения цилиндра вращения — окружность радиусом г. Строят развертку боковой поверхности цилиндра. На развертке помечают прямолинейные образующие, проходящие через характерные точки линии пересечения цилиндра с конусом. Эти точки замечают на соответствующих образующих, Они определяют линию пересечения поверхностей на развертке. Полная развертка цилиндра вращения представляется разверткой его боковой поверхности и основаниями — окружностями радиуса г.  [c.20]

Натуральный вид фигуры сечения цилиндра плоскостью Р построен способом перемены плоскостей проекций на плоскости перпендикулярной плоскости V. Большая ось эллипса — отрезок 1,7,Г 7, малая — отрезок 4,10,= 4.  [c.112]

Переносное нормальное ускорение wl точки М направлено по радиусу МО, кругового сечения цилиндра, проходящего через точку /И, причем  [c.216]

Таким образом, радиус кривизны винтовой линии с постоянным шагом больше, чем радиус / кругового сечения цилиндра.  [c.81]

Рассмотрим элемент массы, находящийся между двумя бесконечно близкими поперечными сечениями цилиндра плоскостями, параллельными плоскости хОу (рис. 7,6). Находим  [c.61]

В уравнения (h) входят четыре неизвестных хс, q>, R и F Чтобы задача была определенной, необходимо составить еще одно уравнение. В случае качения без скольжения необходимое уравнение можно составить из кинематических соображений. Действительно, в этом случае точка С касания поперечного сечения цилиндра и прямой линии АВ является мгновенным центром скоростей ( 111 т. 1). Поэтому полагаем  [c.410]

Здесь с — координаты торцевых сечений цилиндра, нормальных к его образующим. Далее находим  [c.489]

Предположим, что боковая поверхность цилиндра свободна от напряжений, а на 5 ) и 5i заданы произвольные силовые воздействия. Из механических соображений ясно, что если характерный размер поперечного сечения цилиндра мал по сравнению с его высотой, то на достаточном удалении от торцов характер распределения внешних воздействий не будет сказываться на напряженно-деформированном состоянии — главную роль будут играть такие интегральные характеристики, как  [c.63]

Рассмотрим образование цилиндроида. Возьмем цилиндр (рис. 276), образующими которого являются горизонтальные прямые линии. В данном случае они взяты параллельно и плоскости V. Цилиндр пересечем двумя горизонтально-проецирующими плоскостями Nift м NiH. Эти плоскости между собой пересекаются по вертикальной прямой линии fg, f g. Сечениями цилиндра являются кривые линии аЬ, а Ь и d, d.  [c.187]

Все точки производящей перемещаются в плоскостях, перпендикулярных к образующим аксоида-цилиндра. Ходами их точек являются кривые линии, являющиеся эвольвентами линий сечения цилиндра-аксоида этими плоскостями. Проекции таких линий на плоскость Q имеют общую эволюту — направляющунз линию цилиндра-аксоида.  [c.364]

Действительно, круговое сечение цилиндра можно принять за параллель некоторой сферы. Например, окружность радиуса ell (рис. 263, 6) может быть параллелью многих сфер, центры которых располагаются на прямой, проведенной через j перпендикулярно к плоскости параллели. Если же мы на этом перпендикуляре возьмем точку в пересечении с осью конуса, то такую точку (с фронт проекцией 0 ) можно принять за центр сферы с радиусом 0 1, пересекающей цилиндр по окруж—НОШХааддаз li э конус вращения — по окружности с диаметром 2 3. Отсюда мы получаем точки, фронт, проекции которых сливаются в одну точку е (одна из этих точек — на обращенной к нам части линии пересечения, другая — на ей симметричной).  [c.220]

Сечением цилиндра плоскостью р, образующей острый угол с осью вращения, является эллипс с сопряжёнными диаметрами [АВ] и[СО]. В примере его фронтальная проекция изображается пря.мой [А2В2], горизонтальная проекция — окружностью, а профильная — эллипсом. Плоскость р пересекается с верх-1им основанием цилиндра по прямой 3-3. Толстой линией обведены изображения изделия, полученного из цилиндрической заготовки, срезанной плоскостями.  [c.151]

Проведём проецирующую плоскость у(у2) параллельно круговому сечению цилиндра. Она рассечет цилиндр по окружности т(т2), которая изобразится отрезком внутри очерка цилиндра. Из проекции центра ШгПцг окружности  [c.189]

Черс прямую т проведена плоскость и>, пересекающая цилиндрическую поверхность по образующим. Для этого, как известно, плоскость должна быть параллельна образующим (или оси) цилиндра. На чертежах она определена прямсж т и прямой а, про ходящей через некоторую точку А прямой т и параллельной оси цилиндра ш т [ а). (Другие плоскости, в частности проецирующие, проходящие через прямую т, дадут в сечении цилиндра более сложные, лекальные кривые линии.)  [c.82]

Точка 2 найдена с помЬщъю вспомогательного сечении пршильной плоскостью размер а получен на нормальном сечении цилиндра повернутом во фронтальное п[c.25]

В осевых сечениях цилиндра (плоскость АВСО элемента) по условиям осевой симметрии касательные напряжения отсутствуют и сохраняются только нормальные напряжения а , называемые окружными. В поперечных сечениях цилиндра (поверхность СОЕР элемента) касательные напряжения также предпола1 аются равными нулю. Основанием к этому служит условие независимости перемещений и от координаты г.  [c.277]

Так к ж цилир др катится без скольжения, то точка R соприкасания среднего сечення цилиндра с плоскостью является мгновенным центром скоростей среднего сечения.  [c.238]

Предположим, что массовые силы отсутствуют и что сечение цилиндра плоскостью Хз = onst— односвязная область в плоскости (xi,. Гг) Для решения задачи применим полуобратный метод, т. е. попытаемся угадать вид некоторых характеристик напряженно-деформировакного состояния, остальные же величины будем искать таким образом, чтобы удовлетворить всем уравнениям теории упругости.  [c.64]

Гипотеза (2.116) вытекает из того, что каждое сечение цилиндра плоскостью Хз = onst поворачивается около оси Ох на угол, пропорциональный Хз (а — коэффициент пропорциональности) (2.117) означает, что точки, расположенные на прямой Jt i = onst, 2= onst, смещаются вдоль Oxg на одну и ту же величину.  [c.65]

Сечение цилиндра вращения плоскостью — Энциклопедия по машиностроению XXL

В какую кривую переходит плоское сечение цилиндра вращения (плоскостью, наклонной к его оси) на развертке цилиндра  [c.339]

Еще один пример построения фигуры сечения цилиндра вращения плоскостью дан на рис. 367. Это построение выполнено при помощи способа перемены плоскостей проекций. Секущая плоскость задана пересекающимися прямы ш — фронталью (АЕ) и профильной прямой (АР). Так как профильная проекция фронтали и фронтальная проекция профильной прямой лежат на одной прямой (а = а», а» » — а р ), то эти прямые лежат соответственно в плоскостях V я W (см. рис. 367, слева вверху). Ось У/Ш проходит через а Т(а р ).  [c.240]

Пример 2. Сечение цилиндра вращения плоскостью. В сечении цилиндра вращения плоскостью можно получить различные фигуры  [c.83]

Сечение цилиндра вращения плоскостью  [c.151]

В сечении цилиндра вращения плоскостью можно получить различные фигуры  [c.151]

За вспомогательные цилиндрические поверхности принимают цилиндры, направляющими кривыми линиями которых служат меридиональные сечения поверхности вращения. Направления образующих цилиндров перпендикулярны к плоскостям их направляющих линий, т. е. перпендикулярны к плоскостям меридиональных сечений поверхности вращения.  [c.274]

Границами сечения цилиндра плоскостью типа у (рис. 153) параллельной оси вращения являются образующие, проходящие через точки (1-2), (Г-2 ). На фронтальной проекции конкурирующие точки 1 и 2 г не обозначены, чтобы не загромождать изображения. Этот приём используется и в других примерах.  [c.151]

Рассмотрим применение способа на примере пересечения прямого кругового конуса с осью вращения 1(12) и эллиптического цилиндра с осью симметрии 4(42) (рис. 189). В сечении цилиндра плоскостью, перпендикулярной оси я(я2), будут эллипсы, а в сечении под углом (р, изображенном как основание цилиндра, будут окружности диаметра (1. Эти окружности называют круговыми сечениями.» Не трудно догадаться, что у этого цилиндра есть ещё одно направление, в котором сечения тоже будут круговыми.  [c.189]

Цилиндрические поверхности в общем случае развертываются теми же способами, что и призматические. На черт. 342 способом нормального сечения построена развертка боковой поверхности наклонного цилиндра вращения. Для этого цилиндр пересечен плоскостью а, перпендикулярной к его образующим, которая делит поверхность цилиндра на две части.  [c.118]

Однако весьма часто заранее известен вид кривой, получающейся в сечении поверхности плоскостью. В этом случае линия пересечения может быть построена при помощи основных элементов, определяющих эту кривую. Так, сфера пересекается плоскостью всегда по окружности. Цилиндр вращения пересекается плоскостью, в общем случае, по эллипсу. Если же секущая плоскость параллельна или перпендикулярна оси цилиндра, то в сечении получается соответственно пара параллельных прямых или окружность (рис. 165).  [c.156]

Образующие цилиндра имеют длину, равную 3 г, и делятся пополам фронтальной плоскостью осевой линии тора (окружности радиусом Л). Тор имеет три системы круговых сечений. Одна система таких сечений находится в плоскостях, перпендикулярных к оси вращения, другая в проецирующих плоскостях, вращающиеся вокруг этой оси.  [c.22]

Неустойчивость движения жидкости может проявляться не только в переходе от ламинарного режима к турбулентному, но и в резком изменении макроскопической структуры потока. Например, при движении вязкой жидкости между соосными вращающимися цилиндрами линиями тока могут служить плоские кривые в виде концентрических окружностей (см. п. 8.4). Но при определенных условиях такой характер течения может нарушиться, и в зазоре между цилиндрами возникнут крупные кольцевые вихри с осями, параллельными окружной скорости. Сечения таких вихрей плоскостью, проходящей через ось вращения, показаны на рис. 9.4.  [c.363]

О применении этих выводов можно сказать следующее. Пусть имеем цилиндр вращения. Пересечем его произвольной плоскостью, не параллельной образующей цилиндра. Тогда в сечении получим кривую, которая является эллипсом. В самом деле, эту кривую можем рассматривать как фигуру, являющуюся параллельной проекцией окружности основания цилиндра.  [c.38]

Пример 58. Рассмотрим движение частицы, к которой не приложено активных сил, по цилиндру вращения, радиус ортогонального сечения которого равен I, Геодезической линией на цилиндре служит винтовая линия. Пусть касательная к ней образует с плоскостью ортогонального сечения цилиндра угол а. Тогда уравнения траектории в цилиндрических координатах будут  [c.208]

Далее можно показать, что если два корня % равны друг другу, например, Лх = Яг, то имеется бесконечное множество главных осей, лежащих в плоскости, нормальной к 3. Так будет, если тело симметрично относительно некоторой оси, щ направлено по этой оси. Однородные тела — цилиндр круглого или квадратного сечения, тело вращения и т. п. — обладают осевой симметрией. Однородный шар обладает центральной симметрией, и любая ось, проходящая через центр, — главная.  [c.232]

Цилиндрическая поверхность второго порядка (цилиндр второго порядка) имеет три разновидности. Если направляющая эллипс, то цилиндр называется эллиптическим (рис. 237). Он имеет две плоскости симметрии, линия пересечения которых является осью симметрии цилиндра. Если плоскость наклонена к оси, а следовательно, и к образующим цилиндра, то сечением будет эллипс, отнощение длин осей которого зависит от угла наклона секущей плоскости к образующим. Когда сечение плоскостью, перпендикулярной оси, представляет собой окружность, то поверхность называется цилиндрической поверхностью вращения. Плоскость, параллельная образующим, может рассечь цилиндр по двум параллельным прямым или одной (двойной) прямой.  [c.82]

На рис. 192 показано построение линии пересечения тора с поверхностями двух цилиндров вращения. Одна цилиндрическая поверхность является проектирующей относительно плоскости Н, другая — проектирующей поверхностью относительно плоскости V. Нахождение точек линии пересечения в обоих случаях выполняется с помощью сечения поверхностей плоскостями, параллельными плоскости У (т. е. перпендикулярными оси вращения тора).  [c.134]

Лекальные кривые широко применяются в очертаниях различных деталей и предметов. Например, профили зубчатых колес и кулачков, очертания кронштейнов, подвесок, посуды и мебели. Лекальные кривые могут быть также получены в результате сечения цилиндра, конуса и других тел вращения плоскостью.  [c.69]

Истинная величина сечения цилиндра плоскостью Р получается следующим построением. Окружность основания цилиндра делится на произвольное число равных частей (в данном случае на 12 частей), и через точки деления проводятся вертикально-проектирующие линии, которые, пересекая вертикальную проекцию основания цилиндра, дают точки 8, Т, 9 и т. д. Через эти точки проводятся образующие цилиндра. Точки пересечения образующих с секущей плоскостью Р обозначим через Г, 2 и т. д. Затем путем вращения совмещаем секущую плоскость с горизон-  [c.103]

Линию пересечения поверхностей вращения находят с помощью вспомогательных секущих плоскостей или методом секущих сфер. Первый способ изложен в 32. На рис. 183, а линия пересечения двух цилиндров найдена с помощью секущих плоскостей, расположенных параллельно плоскости V. На плоскости V получается сечение цилиндров в виде прямоугольников. Точки пересечения прямоугольников принадлежат искомой линии пересечения цилиндров.  [c.130]

Возьмём цилиндр второго порядка (на черт. 26 это — цилиндр вращения с образующими, параллельными плоска—сти V) и пересечём его какими-либо двумя плоскостями и Рд. Линия пересечения этих плоскостей ККх перпендикулярна к Н. Оставляя, одно из сечений цилиндра неподвижным, будем параллельно переносить другое в направлении КК . Каждая из образующих цилиндра переместится при этом в некоторое новое положение и станет при этом прямолинейной образующей некоторой новой линейчатой поверхности, которую мы и назовём цилиндроидом.  [c.277]

Линиями среза называют линии, получаемые от пересечения поверхностей вращения плоскостями. Часто на чертежах деталей требуется построить проекции таких кривых. На рис. 215, б изображен стол прибора для испытания твердости металла. Боковая поверхность этой детали получается при сечении поверхностей сферы, цилиндра и конуса плоскостью.  [c.126]

При пересечении плоскостью многогранника (например, призмы, пирамиды и др.) в сечении получается многоугольник с вершинами, расположенными на ребрах многогранника. При пересечении плоскостью тел вращения (цилиндра, конуса и др.) фигура сечения часто ограничена кривой линией. Точки этой кривой находят при помощи вспомогательных линий-прямых или окружностей, взятых на поверхности тела. Точки пересечения этих линий с секущей плоскостью будут искомыми точками контура криволинейного сечения.  [c.94]

Плоскость, касающаяся этого цилиндра по его образующей, касается поверхности вращения в точке пересечения образующей цилиндра с меридиональным сечением поверхности. Как видно, и здесь касательная плоскость к вспомогательному цилиндру является касательной плоскостью к поверхности вращения в ее точке.  [c.274]

Р е ш е н и е. Из двух заданных поверхностей лишь одна поверхность вращения— коническая. Другая же поверхность не является поверхностью вращения. Это цилиндр, называемый наклонным круговым,— круговым, так как он имеет ряд круговых параллельных между собою сеченнй. В данном случае такие сечения параллельны пл. Н. Кроме того, имеется общая ддя конуса и цилиндра плоскость симметрии, параллельная пл. V-  [c.220]

У поверхностей вращения этими линиями будут параллели (окружности) у линейчатых поверхностей, включая линейчатые винтовые поверхности,— образующие (прямые линии) у поверхностей второго порядка — их прямолинейные образующие (конус, цилиндр, однополостный гиперболоид, косая плоскость) или их круговые сечения (конус, эллиптический  [c.151]

Зубчатые колеса имеют третье измерение вдоль осей вращения — ширину зубчатого венца Ьк> (рис. 10.3, а) основная окружность в этом случае является торцовым сечением основного цилиндра. Эвольвентные поверхности зубьев образуются линиями, расположенными на производящей плоскости перекатывающейся без скольжения по основному цилиндру.  [c.97]

Будем решать задачу об определении напряженно-деформированного состояния цилиндра с использованием принципа Сен-Венана. Предположим, что перемещение некоторой точки О на So равно нулю, так же как и тензор вращения в этой точке, и выберем начало декартовой системы отсчета в этой точке. Ось Охз направим параллельно образующим цилиндра, а оси Oxi и 0x2 расположим в плоскости сечения Sn. Пусть главный вектор внешних воздействий на равен Р, главный момент —М. Тогда  [c.64]

При сечении тела вращения плоскостью образуется кривая линия, которая в пространстве определяется рядом точек. Чем больше точек определено, тем точнее будет построена кривая. При построении этой кривой линии в первую очередь находят характерные точки секущей плоскости и поверхности рассекаемого тела вращения (цилиндра, конуса и др.). Чтобы бблегчить решение заданий, целесообразно положения характерных и дополнительных точек определять при помощи вспомогательных секущих плоскостей. К характерным точкам относятся высшая, низшая, крайние левая и правая.  [c.9]

Действительно, круговое сечение цилиндра можно принять за параллель некоторой сферы. Например, окружность радиуса ell (рис. 263, 6) может быть параллелью многих сфер, центры которых располагаются на прямой, проведенной через j перпендикулярно к плоскости параллели. Если же мы на этом перпендикуляре возьмем точку в пересечении с осью конуса, то такую точку (с фронт проекцией 0 ) можно принять за центр сферы с радиусом 0 1, пересекающей цилиндр по окруж—НОШХааддаз li э конус вращения — по окружности с диаметром 2 3. Отсюда мы получаем точки, фронт, проекции которых сливаются в одну точку е (одна из этих точек — на обращенной к нам части линии пересечения, другая — на ей симметричной).  [c.220]

Сечением цилиндра плоскостью р, образующей острый угол с осью вращения, является эллипс с сопряжёнными диаметрами [АВ] и[СО]. В примере его фронтальная проекция изображается пря.мой [А2В2], горизонтальная проекция — окружностью, а профильная — эллипсом. Плоскость р пересекается с верх-1им основанием цилиндра по прямой 3-3. Толстой линией обведены изображения изделия, полученного из цилиндрической заготовки, срезанной плоскостями.  [c.151]

Цилиндр вращения (от греч. иуНпс1г08 — валик). Умение использовать геометрическое тело или его поверхность при конструировании предполагает умение различать проекции крайних образующих — АВ, СО, ЕР и ОН, ограничивающих его очертания на плоскостях проекций, в данном случае на фронтальной и профильной, а также любой другой образующей, например КЕ (рис. 4.3, а) умение строить проекции ортогональной сети, образованной производящими линиями — прямой и окружностью (рис. 4.3,6), и на ее основе — сквозных прямоугольного (рис. 4.3,в) и треугольного (рис. 4.3,г) отверстий и при необходимости уметь строить проекции точек, заданных одной проекцией, в данных примерах фронтальной А2 и профильной Вз (рис. 4.3,сечения плоскостью, наклонной к оси цилиндра — эллипса, малая ось которого всегда равна диаметру цилиндра, а большая — зависит от угла а (рис. 4.3, е). При неполном плоском сечении его нужно дополнять до полного, как  [c.86]

Оказывается, что решению, приводящему к наименьшему значению Rkp, отвечает чисто мнимая функция (/г). Поэтому при /г = ккр не только Imoo = О, но и вообще со = 0. Это значит, что первая потеря устойчивости стационарным вращением жидкости приводит к возникновению другого, тоже стационарного течения ). Оно представляет собой тороидальные вихри (их называют тэйлоровскими), регулярно расположенные вдоль длины цилиндров. Для случая вращения обоих цилиндров в одну сторону, на рис. 14 схематически изображены проекции линий тока этих вихрей на плоскость меридионального сечения цилиндров  [c.145]

Каждая из винтовых линий МдЛ1 и М М является геометрическим местом точек, которыми в процессе зацепления зуб одного колеса касается последовательно зуба другого колеса. Эти линии называют контактными. В любом сечении цилиндров плоскостью, перпендикулярной к их осям, находится только одна точка зацепления (точка перес-ечения плоскости с линией зацепления МоМ), в которой в некоторый момент времени происходит совпадение двух точек, принадлежащих различным контактным линиям, т. е. происходит касание сопряженных поверхностей зубьев. Поэтому зацепление М. Л. Новикова называют точечным. Таким образом, в отличие от обычных эвольвентных косозубых колес здесь образуется не поле зацепления, а линия зацепления. Кроме точки зацепления в упомянутой плоскости находится также мгновенный центр относительного вращения, соответствующий этой плоскости. Мгновенный центр перемещается по оси Р Р от точки Ра к точке Р с такой же скоростью, с какой точка зацепления перемещается по линии зацепления М М, и описывает на равномерно вращающихся начальных цилиндрах винтовые линии РцР и Р Р. Точки контактных линий, совпадающие в точке зацепления, имеют различные скорости. Например, скорость Vmi точки Ml, принадлежащей первой контактной линии, равна произведению OiM fflj и перпендикулярна к 0,уИ, а скорость Vm, точки М , принадлежащей второй контактной линии, равна произведению О М 2 и перпендикулярна к О М. Относительная скорость Vm.m, этих точек, являющаяся скоростью скольжения контактных линий одной по другой, связана со скоростями Vm, и Vm, векторным уравнением  [c.226]

Увеличивая число поперечных сечений на рассматриваемом участке по длине вала, за счет их сгущения, получим на плоскости В плавную кривую, образованную точками пересечения с этой плоскостью искривленных радиусов или, иначе, образованную точками вала, соверщившими в составе поперечных сечений колец одинаковый крутильный поворот. Таким образом, в плоскости осевого сечения вала можно отметить точки, располагающиеся до деформации вала на кривой, которая в результате деформации вала, оставаясь плоской, повернется на угол ф вокруг оси вала. Эта кривая ортогональна контурной кривой в осевом сечении вала. Вследствие осевой симметрии крутильной деформации точно такая же кривая может быть отмечена в любом из осевых сечений. Эти кривые образуют поверхность вращения, ортогональную боковой поверхности вала. Совокупность точек, лежащих на этой поверхности при кручении круглого вала переменного диаметра, поворачивается как жесткий диск. Эта поверхность, в случае если вал становится круглым цилиндром, превращается в плоскость поперечного сечения, а ее меридиан превращается в радиус круглого поперечного сечения цилиндра. Если вал имеет коническую форму, эти поверхности становятся сферическими с центром в вершине конуса.  [c.91]

Вектор скорости центра сечения цилиндра плоскостью, параллельной плоскости движения жидкости, обозначим через U, а угловую скорость вращения — через U. В рассматриваемый момент времени t выберем полярную ось Ох в направлении вектора скорэсти U и полярный угол будем отсчитывать против хода часовой стрелки (рис. 44). В полярных координатах граничные условия прилипания частиц жидкости к поверхности рассматриваемого цилиндра будут представляться в виде  [c.170]

IV. Длина малой оси получена путем сечения конуса вертикальной плоскостью, проходящей через точку О. Это сечение будет окружностью, которую вращением вокруг горизонтальной оси повернули в горизонтальное положение, а хорда 041 будет являться половиной длины малой оси эллипса, т. е. 04i — = 0/У=0///. По большой и малой осям эллипса строят эллипс способом, описанным на рис. 43. Точки 5 V) и 6 VI) ограничивают часть эллипса, относящуюся к сечению конуса плоскостью по линии Т—Т. Секущая плоскость пересекает цилиндр по части эллипса, отдельные точки которого получены так заднее основание цилиндра (окружность) повернуто вокруг горизонтального диаметра до положения, параллельного горизонтальной плоскости проекций (на рис. 65 показана половина этой окружности). Тогда отрезок а8 соответствует половине длины хорды VII VIII, отрезок Ы0 — половине длины хорды IX X и соответственно отрезок 12i — половине длины хорды XI XII. Соединяя последовательно найденные точки, получим истинную величину сечения.  [c.37]

Для иллюстрации метода приведем результаты расчетов некоторых частных случаев. На рис. 29, 30, 31 показаны зависимости компонентов тензора эффективной проводимости двухфазной системы от концентрации высокопроводящей фазы, проводимость которой принята равной единице. Проводимость другой фазы в этом и других, рассмотренных, далее случаях составляет у==10″ Система представлена совокупностью одинаково ориентированных бесконечных эллиптических цилиндров, отношение осей эллипсов — поперечных сечений цилиндров равно 10 , 10- , где щ — длина /-Й оси эллипса. Хотя уфО, на трафиках достаточно четко отмечаются особенности — пороги протекания. Так, например, в случае а2/а1 = 10″ для проводимости вдоль первой оси порог Р близок к 0,4, для второй оси Р2 = 0,6. На рис. 32, 33, 34 аналогичные зависимости даны для систем, включения в которых представляют собой вытянутые вдоль первой оси эллипсоиды вращения с отношением осей й2/а1 = аз/й = 0,5 10- Ю- , Очевидно такие системы в плоскости (2.3) изотропны. Пороги протекания при а2/а ==10- в этом случае составляют Р1 0,2, Рг = Рз== 0,4. Если включения — сплюснутые вдоль первой оси эллипсоиды вращения, отношения осей а2/а1 = аз/а1 = 1, 2, 10, 100, то зависимости компонентов тензора эффективной проводимости от Р выглядят следующим образом (рис. 35—38).  [c.142]

что является, как найти, разновидности

Кратко о цилиндре

Цилиндр — это геометрическая фигура, которая ограничена цилиндрической поверхностью и двумя плоскими окружностями.

Также можно сказать, что это тело вращения, возникающее при вращении прямоугольника вокруг его стороны.

Осевое сечение

Это сечение фигуры плоскостью, проходящей через ее ось. Оно является прямоугольником. Таким образом, любое сечение, параллельное оси цилиндра (и перпендикулярное его основанию), становится прямоугольником. Сторонами этой фигуры будет диаметр цилиндра и высота его оси.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Как найти площадь сечения

Формула 1

\(S = d*h,\)

где \(d\) — диаметр, а \(h\) — высота всей фигуры.

Источник: reader.lecta.rosuchebnik.ru

Также есть формулы для расчета площади сечения, параллельного оси геометрического тела (но не пересекающего ее).

Формула 2

\(S = a*h, \)

где \(a\) — хорда.

Источник: bezikev.ru

Осевое сечение наклонного цилиндра

Сечение наклонного цилиндра по оси представляет собой параллелограмм. Его стороны нам уже известны: одна из них равна диаметру d, как и в случае с прямой фигурой. Другая — длина образующего отрезка. Ее мы можем обозначить буквой b.

Для точного определения всех параметров параллелограмма недостаточно знать только длины его сторон. Для расчета площади фигуры нам понадобится один из ее углов. Допустим, что острый угол между плоскостью и направляющий равен α. Тогда формула S параллелограмма будет выглядеть следующим образом:

\(S = d * b * sin(α)\)

Источник: present5.com

Примеры задач

Рассмотрим пару задач на осевое сечение с решениями.

Задача 1

Дан круглый прямой цилиндр. Его осевое сечение является квадратом. Вопрос: чему равна S сечения, если площадь поверхности всего цилиндра — 100 см²?

Решение

Чтобы найти S квадрата, нужно сначала определить радиус или диаметр окружности цилиндра. Для этого вспомним формулу для нахождения площади самого цилиндра:

\(Sц = 2pi * r * (r + h)\)

Так как осевое сечение — квадрат, значит радиус основания в два раза меньше высоты фигуры. В таком случае, формула будет выглядеть так:

\(Sц = 2pi * r * (r + 2r) = 6 * pi * r²\)

Исходя из этого, будем выражать радиус:

\(r = √(Sц / (6*pi))\)

Если сторона квадратного сечения равна диаметру основания цилиндра, то для определения площади квадрата S используем формулу:

\(S = (2*r)2 = 4*r2 = 2*Sц/ (3*pi)\)

Подставим известные данные (\(Sц = 100см^2\)) и получим площадь сечения \(S = 21,23 см²\).

Ответ: \(S = 21,23 см²\).

Задача 2

Дано: ABCD — осевое сечение цилиндра. Площадь сечения \(Sc\) равна \(10 м²\), а площадь основания \(Sо— 5 м²\). Найти высоту цилиндра.

Решение

Так как площадь основания — круг, то \(Sо = pi * r²\). Тогда \(r = √(Sо/pi) = √(5/pi).\)

Так как площадь сечения  — прямоугольник, то \(Sc = AB * BC = h * 2r.\) Тогда \(h = Sc/(2r) = 10/(2√(5/pi)) = 5√(pi/5) = √(5pi).\)

Ответ: \(h = √(5pi).\)

Сечение цилиндра и конуса плоскостями, параллельными основаниям

ЦЕЛЬ ЗАДАНИЯ. Научиться изображать сечения цилиндра и конуса, параллельные их основаниям, в перспективе.

ПОСТАНОВКА ЗАДАНИЯ. Изобразите на листе вертикальные цилиндр и конус одинаковой высоты. Выполните сечения этих тел тремя горизонтальными плоскостями.

РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ ЗАДАНИЯ. Рассмотрите ортогональные проекции. В центре листа нарисуйте цилиндр и конус, расположенные ниже линии горизонта на воображаемой горизонтальной плоскости так, чтобы большие оси эллипсов их оснований лежали на одной горизонтальной прямой. Основания цилиндра и конуса – одинаковые по размеру и раскрытию эллипсы. Разницу в раскрытии верхнего и нижнего оснований цилиндра сделайте достаточно заметной. Теперь представьте три горизонтальные плоскости, расположенные на одинаковом расстоянии друг от друга, которые рассекают геометрические тела и делят их вертикальные оси на равные отрезки. Сечения цилиндра и конуса плоскостями, параллельными их основаниям – окружности, в перспективном рисунке – эллипсы. Изобразите оси эллипсов сечений цилиндра и конуса – горизонтальные линии, общие для обоих геометрических тел (рис. 3.99).

В цилиндре секущие эллипсы и эллипсы оснований подчинены единой системе: все пять эллипсов объединены двумя вертикальными образующими, их большие оси равны, а раскрытие равномерно уменьшается от нижнего эллипса к верхнему. В конусе эллипсы уменьшаются не только по раскрытию, но и по длине больших осей от эллипса основания к вершине.

Сначала нарисуйте сечения цилиндра. Это лучше сделать в определенной последовательности. Сначала изобразите эллипс, который делит цилиндр пополам. Длина большой оси секущего эллипса определена крайними образующими цилиндра. Длина его малой оси равна среднему арифметическому между длинами малых осей эллипсов верхнего и нижнего оснований. Таким же способом разделите каждую половину цилиндра.

Теперь нарисуйте сечения конуса. Как вы помните, большие оси эллипсов в сечении конуса лежат на продолжении больших осей эллипсов в сечении цилиндра. Начните с рисунка нижнего секущего эллипса. Его раскрытие меньше, чем раскрытие эллипса основания конуса. Найдите раскрытие эллипса основания, для этого графически определите, сколько раз его малая ось укладывается в большой оси. Разметьте на осях секущего эллипса эллипс того же раскрытия, что и эллипс основания. А затем, несколько уменьшив малую ось, изобразите секущий эллипс. Проверьте правильность эллипса сечения конуса, сравнив его раскрытие с раскрытием соответствующего эллипса сечения цилиндра. Раскрытия секущих эллипсов, расположенных на одном уровне, должны быть равны. Изобразите остальные эллипсы в сечении конуса, также сверяя их с эллипсами цилиндра (рис. 3.100).

Обратите внимание еще на одну особенность в изображении сечений конуса. В отличие от эллипсов цилиндра, крайние точки больших осей эллипсов сечения конуса не лежат на его образующих, что хорошо видно на примере конуса на рис. 3.101. Образующие конуса проходят по касательной к эллипсам сечения, также как и к эллипсу основания конуса.

Завершая рисунок, проверьте правильность раскрытия эллипсов – постройте вертикальные сечения конуса и цилиндра плоскостями, проходящими через центры окружностей их оснований (рис. 3.101). Линии пересечения горизонтальных и вертикальной секущих плоскостей должны быть параллельны, а значит, сходиться в точке на линии горизонта.

Вертикальные сечения можно использовать не только для проверки, но и для определения раскрытия секущих эллипсов тел вращения. Например, если известны раскрытия верхнего и нижнего оснований вертикального цилиндра, нарисовать любое горизонтальное сечение можно следующим образом. Задайте место большой оси эллипса горизонтального сечения цилиндра (рис. 3.103). Затем постройте любое вертикальное сечение, определив направление параллельных линий, принадлежащих основаниям (рис. 3.104). Проведите еще одну параллельную прямую через центр окружности горизонтального сечения (рис. 3.105). Точки пересечения этой прямой с вертикальным сечением цилиндра определят раскрытие секущего эллипса (рис. 3.106).

Презентация «Цилиндр. Сечение цилиндра плоскостью»

« Не делай никогда того, чего не знаешь,

но научись всему, что следует знать»

Пифагор  

10.02.17

10.02.17

Объемные тела. Тела вращения

ЦИЛИНДР

Сечения цилиндра плоскостью

Примеры цилиндров

Слово цилиндр — означает от греческого слова “ валик ”, “ каток ”.

Цилиндром называется тело, которое состоит из двух кругов, совмещаемых параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих кругов.

10.02.17

• Цилиндр можно рассматривать как тело, полученное при вращении прямоугольника вокруг его стороны как оси.

Основные определения

Основаниями цилиндра называются круги, полученные в результате вращения сторон прямоугольника, смежных со стороной принадлежащей оси вращения.

Образующими цилиндра называются отрезки, соединяющие соответствующие точки окружностей кругов.

O 1

Н

O

R

Радиусом цилиндра называется радиус его основания.

Высотой цилиндра называется расстояние между плоскостями оснований.

Осью цилиндра называется прямая, проходящая через центры оснований.

10.02.17

Цилиндр: основные свойства

• Основания цилиндра равны и лежат в параллельных плоскостях.
• Образующие цилиндра параллельны и равны.

O 1

• Боковая поверхность цилиндра составлена из образующих.
• Поверхность цилиндра состоит из оснований и боковой поверхности.

O

• Развертка цилиндра представляет собой прямоугольник и два круга

O

10.02.17

7

Сечения цилиндра

Сечение цилиндра плоскостью, проходящей через ось цилиндра, называется осевым сечением .

Сечение цилиндра плоскостью, параллельной оси цилиндра, представляет собой прямоугольник.

O 1

O 1

O

O

O 1

O 1

Сечение цилиндра плоскостью, проходящей под углом к оси цилиндра, представляет собой эллипс.

Сечение цилиндра плоскостью, перпендикулярной оси цилиндра, представляет собой круг , равный основанию.

O

O

10.02.17

8

Осевое сечение цилиндра – сечение цилиндра плоскостью, проходящей через ось цилиндра.

S=a*b

Сечение цилиндра плоскостью, параллельной к оси.

Сечение цилиндра плоскостью, перпендикулярной к оси.

S= π R²

Плоскость, проходящая через образующую прямого цилиндра и перпендикулярная осевому сечению, проведённому через эту образующую, называется касательной плоскостью цилиндра

Задание

Площади осевых сечении двух цилиндров равны. Равны ли высоты этих цилиндров?

3 см

5 см

5 см

3 см

Задача №1

Радиус основания цилиндра 2 м , высота 3 м . Найдите диагональ осевого сечения.

В

О

А

3м

D

2м

О 1

С

Задача №2

Высота цилиндра 24 см , радиус основания 4 см . Найдите площадь осевого сечения цилиндра.

В

А

24

D

4

С

Задача №3

Площадь осевого сечения цилиндра

42 см 2 , высота цилиндра 7 см . Найдите площадь основания цилиндра.

В

А

7

D

С

Формулы площади поверхности и объема тел вращения

Название тела

Формула площади бок. поверхности

Цилиндр   

Формула площади полной поверхности

Формула объема

L

L=

O

S = S бок + 2 S осн

V = S осн *H

10.02.17

1,5, значит смесь переливаться не будет . «

Задача №4, стр. 24.Сборник задач по математике с профессиональной направленностью (методическое пособие)

Цилиндрическая форма имеет диаметр 20 см и высоту 6 см. В неё выливают 1 л смеси для пудинга, объём которой при кипячении увеличивается в 1,5 раза. Не будет ли пудинг переливаться через край формы?

Решение.

V = πR 2 H ;

D=20 cm, R=10cm

V = 3,14·100·6 = 1881 см 3 = 1,881л — объём формы;

1 литр = 1000 cm ²

1000·1,5 = 1500см²=1,5 л – объём смеси.

1,881 1,5, значит смесь переливаться не будет .

Пудинг творожный с орехами

Ингредиенты: творог — 500г; яйцо — 5 шт.; сахар — 1/2 стакана; сухари – 4 ст.л.; изюм — 10г; орехи — 50г; цедра лимона; сливочное масло — 3 ст.л.

Способ приготовления.

Толченые сухари просеять сквозь решето. Орехи мелко нарубить, поджарить в духовке до светло-коричневого цвета и растереть с 2 ст. л. сахара. Изюм очистить и промыть в теплой воде. B протертый сквозь сито творог прибавить сахар, 3 ст. л. растопленного масла, яичные желтки, 1/2 чайной л. соли, лимонную цедру и тщательно взбить. 3атем смешать творожную массу с сухарями, орехами, изюмом, добавить взбитые в густую пену яичные белки и перемешать все.

Форму для пудинга смазать внутри маслом, посыпать песком и наполнить творожной массой. Форму заполнить на 3/4, закрыть крышкой и поместить в большую кастрюлю с водой (вода должна заполнять 1/2 высоты формы). На дно кастрюли положить толстую бумагу или марлю.

Кастрюлю накрыть крышкой и варить пудинг примерно 1 час, подливая воду. Равномерная упругость поднявшейся и слегка отставшей от краев массы является признаком готовности пудинга.

Практическая часть урока. Работа с моделями.

Каждый студент работает с моделью цилиндра, которые сами сделали.

Задание.

Вычислить по модели, используя измерительные приборы:

• Площадь полной поверхности;
• Площадь боковой поверхности;
• Площадь основания;
• Радиус;
• Высоту.

Подведение итога урока .

Вопросы:

• Встречаются ли в производственной практике предметы похожие на тела вращения? Что это за предметы?
• Какие кондитерские изделия напоминают модели круглых тел?
• Что нового и полезного для себя вы взяли с данного урока?
• Какие математические понятия использовались на уроке?
• Нужны ли вам знания по математике в профессиональной практике?
• Что нового вы узнали на уроке?
• Какие задания для вас были трудными?
• Что понравилось и не понравилось на уроке?
• Какие вопросы по новой теме возникли?

Домашнее задание:

Геометрия 6-10 кл. А. В. Погорелов.

№ 4, №8 стр. 260.

Спасибо за внимание!

10.02.17

Цилиндр. Формулы и свойства

Определение.

Цилиндр — это геометрическое тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя плоскостями (основами цилиндра).

Цилиндрическая поверхность — поверхность, получаемая при движении прямой (образующей L) параллельно самой себе, вдоль плоской кривой направляющей.

Основания цилиндра — плоские фигуры, образованные пересечением цилиндрической поверхности с двумя плоскостями.

Круговой цилиндр

В большинстве случаев под цилиндром подразумевается прямой круговой цилиндр, у которого направляющая — окружность, а основания перпендикулярны образующей. У такого цилиндра имеется ось симметрии.

Прямой круговой цилиндр можно описать, как объёмного фигуру, образующуюся вращением прямоугольника вокруг своей стороны на 360°.

Определение. Радиус цилиндра r — это радиус основания цилиндра.

Определение. Диаметр цилиндра d — это диаметр основания цилиндра.

Определение. Высота цилиндра h — это расстояние между основаниями цилиндра.

Определение. Ось цилиндра — это прямая O₁O₂, которая проходит через центры оснований цилиндра.

Определение. Поверхность цилиндра состоит из цилиндрической поверхности и оснований цилиндра.

Определение. Осевое сечение цилиндра — это сечение цилиндра плоскостью, проходящей через ось цилиндра.

Определение. Касательная плоскость к цилиндру — это плоскость, которая проходит через образующую цилиндра и перпендикулярно к осевому сечении цилиндра.

Формула. Объём цилиндра:

где r — радиус основы, h — высота цилиндра, d — диаметр основы.

Формула. Площадь ,боковой поверхности цилиндра:

S_b = 2πrh = πdh

Формула. Полная площадь поверхности цилиндра:

S = 2πr(h + r)

Косой цилиндр — цилиндр, основы которого не параллельны (Рис.2)

Наклонный цилиндр — цилиндр, у которого образующие не перпендикулярно основам цилиндра (Рис.3 — наклонный круговой цилиндр).

Площадь поперечного сечения цилиндра

Здесь представлена ​​формула, необходимая для вычисления площади поперечного сечения цилиндра. Сопровождающие разработанные примеры должны помочь вам понять его использование.

Одним из моих любимых предметов изучения геометрии было вычисление площади и объема различных трехмерных объектов. Это важный математический предмет, который находит применение в инженерии. Каждый геометрический объект отличается своей отчетливой формой.Это характеризуется различной площадью поверхности, объемом и площадью поперечного сечения этих объектов.

Какова площадь поперечного сечения цилиндра?

Хотите написать для нас? Что ж, мы ищем хороших писателей, которые хотят распространять информацию. Свяжитесь с нами, и мы поговорим …

Давайте работать вместе!

При анализе различных геометрических форм одной из наиболее важных характеристик является площадь поперечного сечения. Поперечное сечение — это перпендикулярное сечение любого геометрического объекта, которое берется перпендикулярно самой длинной оси, проходящей через него.Цилиндр можно определить как трехмерную поверхность, образованную точками, равноудаленными от отрезка прямой, простирающегося в пространстве. Отрезок водопроводной трубы — это пример объекта цилиндрической формы.

Поперечное сечение цилиндра будет перпендикулярно самой длинной оси, проходящей через центр цилиндра. Представьте себе круглый объект, такой как труба, и разрезаете его перпендикулярно по длине. Какой будет форма поперечного сечения? Учитывая, что цилиндр имеет две круглые грани на обоих концах, форма поперечного сечения обязательно должна быть окружностью.Тонкий поперечный срез цилиндра будет кругом, и поэтому формула площади поперечного сечения цилиндра будет такой же, как формула для площади круга.

Формула

Итак, вот формула:

Площадь поперечного сечения цилиндра = π x R2

, где π — постоянная величина (= 3,14159265), которая представляет собой отношение длины окружности к диаметру круга, а R — радиус цилиндра. Итак, все, что вам нужно знать, чтобы рассчитать площадь поперечного сечения, — это его радиус.Квадрат радиуса, умноженный на π, даст вам значение площади поперечного сечения. Единица площади поперечного сечения будет зависеть от единицы длины, используемой для измерения радиуса. Поскольку π безразмерно, единицей измерения площади может быть метр ² , см ² или даже фут ² .

Решенный пример

Задача : Рассмотрим цилиндр радиусом 3 метра и высотой 6 метров. Какой будет площадь поперечного сечения этого цилиндра
Решение: Используя приведенную выше формулу для расчета, значение площади поперечного сечения будет:

Площадь поперечного сечения = π x (3 метра) 2 = 3.14159265 x 9 = 28,2743385 м2

Поперечное сечение цилиндра представляет собой эллипс

Вот интерактивная WebGL-версия визуальной диаграммы, которая сопровождается доказательством элементарного факта, что поперечное сечение цилиндра — эллипс:

Полноэкранная версия.

Я был вдохновлен на это, когда увидел приведенную ниже диаграмму в разделе «Геометрия и воображение».

Для цилиндра радиуса $ r $ и плоскости, пересекающей его, доказательство выглядит следующим образом.Представьте себе цилиндр полым, в который плотно помещены две сферы (то есть с радиусом $ r $), так что они соприкасаются с пересекающейся плоскостью. Утверждается, что эти точки, где сфера касается поперечного сечения, являются фокусами эллипса. Мы покажем, что это эллипс, доказав, что сумма расстояний от фокусов до любой точки на границе постоянна.

Возьмем произвольную точку на эллипсе $ p $. Затем назовем длины двух красных линий $ r_ {v, p} $ и $ r_ {h, p} $ для вертикальной красной линии и «горизонтальной» (связанной с эллипсом) красной линии из $ p $.Интерактивная визуализация выше перебирает значения $ p $. Точно так же длины синих линий будут обозначаться $ b_ {v, p} $ и $ b_ {h, p} $.

Затем обратите внимание, что две красные линии на визуализации касаются сферы: стенка цилиндра касается сферы во всех точках, где они соприкасаются, а пересекающаяся плоскость касается сферы.

Теперь вспомните (или убедитесь сами), что касательные к сфере, которые пересекаются в одной точке, имеют одинаковую длину.То есть $ r_ {v, p} = r_ {h, p} $ и $ b_ {v, p} = b_ {h, p} $ для всех $ p $.

Более того, две вертикальные линии всегда дают в сумме константу: $ r_ {v, p} + b_ {v, p} = K $ для всех $ p $.

Объединение этих двух уравнений дает $ r_ {h, p} + b_ {h, p} = K $ для всех $ p $, что показывает, что поперечное сечение является эллипсом.

Я думаю, что это свидетельство хорошей математической иллюстрации, что рисунок из «Геометрии и воображение» легче следовать (для меня), чем интерактивный трехмерный.Но есть что-то очень приятное в том, чтобы увидеть, как эти старые диаграммы «оживают».

Я сделал это с помощью библиотеки mathbox.

Площадь криволинейной поверхности цилиндра

Поперечное сечение цилиндра радиуса R, где находится…

Контекст 1

… A, B и C — положительные константы материала, T — температура, а T — температура нематического переохлаждения. * Упругие свойства системы описываются плотностью упругой свободной энергии f e. Упругая часть свободной энергии в глубине нематической фазы может быть эквивалентно записана как F e = n d r. 3 2 Здесь K — новая упругая постоянная, возникающая из-за вклада Фрэнка в упругую свободную энергию. Для подробного описания наших расчетов броуновской молекулярной динамики мы перенаправляем читателя к работе.12. В нашем подходе две стержневидные молекулы на гексагональной решетке, ориентированные вдоль единичных векторов ei и ej и разделенные расстоянием r ij, взаимодействуют посредством молекулярного взаимодействия g ij ͑ ␧ ͒ 12, которое зависит от ͉ r ij ͉ = r и относительных углов между векторами ei, ej и r ij. Здесь ␧ ഛ 1 — коэффициент ориентационной анизотропии, изменяющий важность межмолекулярных ориентаций взаимодействующих молекул в g ij ͑ ␧ ͒. При ␧ = 0 получаем изотропное взаимодействие Лебволя – Лашера 15. Здесь взаимодействие между двумя молекулами, разделенными r, определяется только ͑ e i · e j ͒ 2.Упругая анизотропия потенциала вводится как ␧ Ͼ 0. Здесь важны все комбинации скалярных произведений между единичными векторами e i, e j и r ij / r. Они неравномерно взвешены для получения соответствующих соотношений между упругими постоянными Фрэнка K 11, K 22 и K 33, которые представляют, соответственно, деформации растяжения, скручивания и изгиба образца ЖК. Геометрия в нашем исследовании изображена на рис. 3, где мы поместили два точечных дефекта с противоположным знаком прочности намотки на главной оси, направленной вдоль оси z нашей локальной системы координат ͒ капилляра.Начальное относительное расстояние между двумя дефектами равно. Нематическая структура в капилляре d, представленная на рис. 3, соответствует так называемой ускользнувшей радиальной структуре с двумя точечными дефектами, которая является другой базовой структурой внутри цилиндрически ограниченного образца нематического ЖК с гомеотропным закреплением. Эти два дефекта с течением времени развивают топологически эквивалентную кольцевую дисклинационную структуру, ось симметрии которой перпендикулярна оси ma-12,13 или ограничивающего цилиндра. В конце концов обе кольцевые структуры сливаются в единую петлевую дисклинационную структуру.В зависимости от размера составного контура возможны два возможных сценария развития равновесной структуры. Равновесные конфигурации в нашем случае представлены топологически эквивалентными структурами ER или PPLD, изображенными на рис. 1. Последняя развивается, если типичный размер ␰ r составленной петли достаточно велик по сравнению с типичным размером R ограничивающей цилиндрической полости. Если ␰ r слишком мало, ER является равновесной структурой. После столкновения кольцевого гиперболического и радиального дефекта они образуют общую структуру, которая представляет собой замкнутую линию дефекта ͑ петлю ͒, содержащую прочность намотки 1/2, изображенную на 12 рис.4. Наше моделирование показало, что если мы сохраняем постоянными как начальное относительное расстояние, так и размер ограничивающего капилляра, радиус возникающей петли зависит только от упругих свойств. Упругие свойства изменялись за счет изменения фактора ориентационной анизотропии. Получено критическое значение ориентационной анизотропии ␧ C, разделяющее два возможных сценария развития торцевой структуры. Для систем, где ␧ Ͻ ␧ C возникшая петля начинает уменьшаться в размерах и исчезает, оставляя после себя бездефектную структуру ЭР.Если система характеризуется как Ͼ ␧ C, то размер петли будет увеличиваться для развития конечной структуры PPLD. Эти две концевые структуры топологически эквивалентны. Плотность свободной энергии молекул внутри петли f P обычно отличается от плотности вне петли, обозначенной f E. Здесь нижние индексы P и E представляют структуры PPLD и ER соответственно. На рис. 5 структуру PPLD мы обозначили как PP. Величина где структура of = K — директор поверхностного поля, зависит от соотношения напряжений и размеров исходной длины образовавшейся петли и петли свободной структуры.разность плотностей энергии ͉ f P — f E ͉. В следующей формуле. 6 ͒ we ␰ ͑ C приближенно представляет собой размер петли структуры, состоящей из петли вместе с содержащимися и наиболее затронутыми молекулами ЖК, так как это обязательно сферическое ядро. Чтобы запустить Толщину, эволюция петли игнорируется. Концевая структура — Свободная структура. энергия На рис. 6 изображена наша система, как читается, например, размер Ref. «критического» цикла из 16 ͒ меняет F = — с 4 ␲ ͉ f относительно P — f E ͉ ␰ r 3 на + 4 R ␲␰, если r 2 ␴ we + f alter E ͩ V — ␰ 4.␲ r 3 simulation, моделирование ͑ 4 ͒ 3 3 где surface — поверхностное натяжение образовавшейся петлевой структуры. Поверхностное натяжение в нашем подходе считается постоянным, но на самом деле оно ослабевает по мере того, как мы движемся по поверхности ядра от плоскости дисклинации петли. Причиной поверхностного натяжения является взаимодействие между молекулами, находящимися на «внутренней стороне» дисклинации петли, с молекулами, окруженными петлей. Взаимодействие ослабевает по мере увеличения расстояния между молекулами около петли и другими молекулами, составляющими ядро.В уравнении. 4 ͒ первый член представляет собой образование новой нематической структуры PPLD. Система предпочитает такую ​​конфигурацию, поэтому этот термин имеет отрицательный знак. Напротив, формирование границы раздела между двумя структурами требует затрат энергии, поэтому система хотела бы избежать этого. Последний член представляет собой свободную энергию остальной системы вне петлевой структуры. Далее мы вводим f E = K / 2 ͉͒ ٌ n ͉ 2 Ӎ K / R 2, где R — длина корреляции вне контура в ограниченной зоне ER.Постоянная упругости K зависит также от ␧. Теперь уравнение. ͑ 4 ͒ можно переписать как ⌬ F = — 4 3 ␲ ͩ ͉ ⌬ f ͉ — R K 2 ͪ ␰ r 3 + 4 ␲␴␰ r 2. ͑ 5 ͒ Здесь ⌬ F = F — f E V и ⌬ f = f P — f E. Минимизация уравнения. 5 ͒ относительно ␰ r, получаем r ͑ C ͒ = ͉ ⌬ f ͉ R 2 2 R / ␴ 2 + ␰, ͑ 6, где ␴ = K — длина корреляции поверхностного натяжения возникшей петлевой структуры. В уравнении. 6 ͒ ␰ ͑ C ͒ представляет размер цикла, который необходим для запуска эволюции конечной структуры PPLD. На рис. 6 показано, как размер «критического» цикла изменяется по отношению к R, если мы изменим ␰.Результаты моделирования довольно хорошо вписываются в линию с = 56. Две другие линии нарисованы, чтобы прояснить значение ␴. Из рис. 6 мы можем сделать вывод, что при некотором R размер ͑ C ͒, который запускает концевую структуру r PPLD, может быть меньше при больших значениях ␰ ␴. Причиной тому является поверхность возникшего ядра, которая при больших значениях ␰ ␴ делает окружающую метастабильную структуру ЭР более восприимчивой к влияниям молекул на поверхности ядра, которое содержит стабильную структуру PPLD.В нашем моделировании мы обнаружили значения ͑ C ͒, изменив начальное расстояние между точечными дефектами. Увеличивая начальное разделение, увеличивается и общий цикл, который создается после столкновения. Однако начальное разделение ограничено из-за экранирования взаимодействий. Таким образом, наибольшее начальное расстояние между обоими дефектами 17–19 не может превышать 2 R. Поэтому невозможно точно определить размер ͑ C ͒ для крупных капилляров. Размер r критической петлевой структуры достигает насыщения при ͑ B ͒ = 2 ␴ / ͉ ⌬ f, что характеризует критический размер возникающей петлевой структуры в объеме.При более низких значениях радиуса R система из-за ее сильного гомеотропного сцепления предпочитает структуру PPLD 17,20. Следовательно, возникшая петля при таком размере контейнера не изменила бы структуру системы. Мы должны начать наши соображения о критическом радиусе петли с того размера контейнера, при котором структура внутри контейнера без дефектов будет стабильной структурой ER. Обозначим этот размер контейнера как R min. При некотором заданном радиусе цилиндра RL ജ R min r ͑ C ͒ ͑ ​​R ͒ по-прежнему равно «нулю», что означает, что для R min ഛ R ഛ RL размер каждого начального домена ͑ петли ͒ будет сверхкритическим и вызовет структурный переход от ER к структуре PPLD.Размер R L зависит от потенциала, действующего между молекулами ЖК, и геометрии контейнера. По мере увеличения размера цилиндра при R → ρ ͑, представляющем объем, величина ␰ ͑ C ͒ ͑ ​​R ͒ должна достигнуть своего объемного значения. r Но на самом деле должно существовать какое-то наивысшее значение радиуса цилиндра R H, при котором ограничивающие стенки больше не влияют на конечную структуру системы. При R ജ R H мы можем рассматривать систему как объемную. Подчеркнем также, что начальный размер петли зависит не более чем от начального расстояния между двумя точечными дефектами, которые хотели бы уничтожить.Здесь потенциал играет второстепенную роль. Из-за ограничения начального расстояния между дефектами размер возникающего зародыша ограничен. Далее мы перейдем к обсуждению того, как наблюдаемая система развивается во времени, если межмолекулярный потенциал изменяется путем изменения значения коэффициента анизотропии. Радиус домена в нашем обсуждении будет выражаться как ␰ = ␰ ͑ ␶, ␧ ͒, где ␶ — собственное время, определенное …

Видеоурок: Определение объема цилиндра

Стенограмма видео

В этом видео мы будем
речь о том, как найти объем баллона.Сначала мы взглянем на
призмы и как рассчитать объем призмы. А потом мы объясним, как
цилиндр — круговая призма. Наконец, мы рассмотрим несколько
примеры цилиндров и как рассчитать их объемы.

Прежде чем говорить о цилиндрах
тогда давайте подумаем о призмах. Призма — это трехмерная фигура с
постоянное сечение. Например, вот кубоид. Я отметил в поперечном сечении
с этим синим полосатым кусочком здесь.И если бы я разрезал эту призму на
в любой точке, этот кубоид, в любой точке здесь, так что давайте скажем здесь, как
это, и посмотрите на полученный срез, у меня все равно будет точно такой же крест
раздел.

Вот еще один пример призмы,
звездчатая призма. То поперечное сечение, которое представляет собой звезду
форма одинакова по всей длине призмы. А вот круглая призма. Эта круглая форма одинакова для всех
путь через призму.На самом деле эта круглая призма
специальное название баллона.

Теперь, прежде чем мы зайдем слишком далеко, подумайте
Что касается объемов, давайте поговорим о кубе, каждая сторона которого равна единице. Площадь поперечного сечения этого
куб будет одна единица на одну единицу, что равно единице в квадрате. Теперь мы можем вычислить объем
умножение площади поперечного сечения на длину или, в данном случае, высоту
призма. Итак, это будет один раз один, что
равно единице.А поскольку это объем, это единицы
в кубе.

Теперь, если мы возьмем нашу кубическую единицу
куб и сложите его поверх другого такого же куба, у нас будет две кубических единицы. Теперь треть составляет три кубических
единицы измерения. А четвертый составляет четыре кубических
единиц и так далее. Но что, если бы мы начали с двух
этих кубических единиц рядом друг с другом? Теперь каждый раз, когда мы добавляем дополнительный
слой, мы добавляем еще две кубические единицы.Итак, три слоя дают нам шесть кубических
единицы измерения. И четыре слоя дают нам восемь
кубические единицы. Итак, общая идея состоит в том, что для
объем, вы берете площадь поперечного сечения, которая у нас здесь, и умножаете ее на
количество слоев, длина или высота этой призмы.

Теперь, как мы уже говорили, цилиндр
это просто призма с круглой площадью поперечного сечения. Итак, снова, чтобы определить громкость,
мы просто вычисляем площадь поперечного сечения и умножаем ее на высоту.Чем выше он становится, тем больше
объем. Теперь помните, чтобы проработать площадь
круга, это квадрата радиуса. Итак, если мы назовем наш радиус 𝑟, то
площадь равна 𝜋 умноженной на в квадрате. И если я позволю высоте моей
цилиндра, или длина моего цилиндра, будет, потому что объем равен
площадь поперечного сечения, умноженная на высоту, можно сказать, что объем равен в квадрате
раз ℎ.И вот результат, что мы
будет использоваться в наших примерах в оставшейся части этого видео.

Например, найти объем
цилиндр округлен до ближайшей десятой. И круг на конце
наш цилиндр имеет радиус 4,2 фута. И у цилиндра есть высота
6,5 футов.

Итак, отметим 𝑟,
радиус равен 4,2, а высота ℎ равна 6,5. Итак, наш подход будет
что объем равен площади поперечного сечения, умноженной на высоту.А поскольку поперечный
Площадь — круг, площадь будет в раз больше квадрата радиуса. Итак, это 𝜋 раз 4,2
в квадрате. Теперь важно помнить
что в квадрате возводится только 4,2, а не. Итак, это будет 𝜋 раз
17,64, что дает нам площадь 55,41769441 и т. Д. Квадратных футов.

Но чтобы выработать объем,
помните, нам также нужно умножить на высоту.Итак, давайте добавим это к нашему
разработка. И 55,41769441 умножить на 6,5 дает
us 360.2150137 и т. д. в кубических футах. Но вопрос попросил нас
округлите наш ответ до ближайшей десятой. Итак, я расскажу обо всем
вверх после десятого, а затем просто украдкой взгляните на следующую цифру, чтобы увидеть
нужно ли мне округлить это до большего или нет. Что ж, следующая цифра — это всего лишь
один. А если было пять или больше,
тогда мы округлим два до трех.Но это не так; это всего лишь
один. Итак, мы сохраним его как
два. Итак, наш ответ ближайшим
десятая — 360,2 кубических футов.

Теперь давайте посмотрим на похожий
пример. Но на этот раз нам дали
диаметр цилиндра, а не радиус.

Теперь помните, что радиус
половина диаметра. Итак, чтобы вычислить радиус, мы
просто нужно 14 разделить на два или умножить на половину.И это дает нам семь
дюймы. И формула нашего объема
равно 𝜋𝑟 в квадрате ℎ. Итак, подставляя
числа для радиуса семи дюймов и высоты 13 дюймов, мы получили 𝜋
умножить на семь в квадрате, умножить на 13. Опять же, важно
помните, что в квадрате стоит только семерка, а не. Итак, это 𝜋 раз 49 раз
13. И когда мы помещаем это в нашу
калькулятор и округляем до десятых, получаем 2001.2 кубических дюйма.

В этом примере мы
попросили найти объем цилиндра радиусом четыре сантиметра и
высота 14 сантиметров. Нам также сказали, что у нас есть
оставить ответ в виде 𝜋.

Теперь есть пара
вещи здесь. Во-первых, нам не дали
диаграмма. И во-вторых, мы должны оставить наши
ответ в виде 𝜋, так что это не вопрос простого ввода числа в
калькулятор и делаем любое округление.Теперь вам не нужна диаграмма,
но очень часто рисование диаграммы помогает вам систематизировать свои мысли о
вопрос. Итак, я бы порекомендовал
делаем быстрый набросок. Итак, вот и наш цилиндр. Его высота 14
сантиметров и радиусом четыре сантиметра.

Далее мы можем выписать
формула для объема. Объем цилиндра 𝜋
умножить радиус в квадрате на его высоту.И мы можем заменить в
числа, которые нам даны, так что равно четырём квадратам, умноженным на 14, то есть 𝜋
умножить на 16 умножить на 14. И 16 умножить на 14 будет 224. Итак, наш ответ — 224 раза.
𝜋. Итак, из вопроса, оба
наши измерения были даны в сантиметрах. Итак, объем будет в
кубические сантиметры. Так что у нас это. Это наш ответ. 224 𝜋 кубических сантиметра. Итак, когда в вопросе говорится
оставьте свой ответ в виде, это означает, что он должен быть кратным 𝜋.

Теперь мы можем сделать вещи
немного сложнее, превратив эти вещи в слова или рассказы
проблемы. Итак, а не просто явно
говоря, что у нас есть цилиндр, и сообщая вам, какой радиус и высота
есть и просто производя этот расчет, вы должны выяснить значение
разные переменные из контекста вопроса.

Итак, давайте посмотрим на некоторые
такие примеры.

При том, что примерно 7,5
галлонов воды можно заполнить один кубический фут, примерно сколько целых галлонов воды
будет в цилиндрическом резервуаре для воды диаметром 20 футов и высотой 12 футов,
если он был полным?

Ладно, сначала давай сделаем немного
диаграмма. Здесь у нас есть цилиндрический
резервуар, полностью заполненный водой, глубиной или высотой 12 футов и диаметром 20
ноги.Итак, сначала мы можем записать
что объем равен 𝜋, умноженному на квадрат радиуса, умноженный на высоту. Теперь мы можем вставить числа
что мы знаем. Что ж, радиус составляет половину
диаметр, поэтому половина 20 равна 10. Итак, квадрат радиуса идет
быть 10 в квадрате. И важно помнить
что в квадрате стоит только 10, а не 𝜋. А рост 12, так что мы
надо умножить этот ответ на 12.

Итак, это вычисление 𝜋
умножить на 10 в квадрате, что равно 100, умножить на 12, так что 𝜋 умножить на 1200 или 1200 𝜋 куб.
ноги. Сейчас я собираюсь
оставьте мой ответ в виде in для максимальной точности. Если бы я начал округлять до нескольких
десятичных разрядов, я бы перенес эти ошибки округления в свои вычисления и
мой окончательный ответ может быть совершенно неверным. Итак, мы разработали
объем резервуара в кубических футах, но вопрос говорит, сколько целых галлонов
воды будет в цилиндрическом резервуаре для воды.

Теперь каждый кубический фут
содержит 7,5 галлонов воды. Итак, если есть 1200𝜋 куб.
футов, будет в 7,5 раз больше галлонов воды. Итак, расчет нам нужен
для расчета количества галлонов 7,5 умножить на 1200𝜋, что я могу сделать на моем
калькулятор. Теперь можно округлить вправо
в конце вопроса. И в вопросе говорилось о том, как
много целых галлонов, поэтому мне нужно округлить до ближайшего целого галлона.Итак, глядя на наш номер здесь,
это будет 28274. Итак, мы можем написать наш ответ
красиво и аккуратно в конце 28274 галлона воды.

Которая имеет больший объем, а
куб с ребрами длиной четыре сантиметра или цилиндр с радиусом три
сантиметров, а рост восемь сантиметров?

Итак, что нам здесь нужно делать
вычислить объем куба, а также вычислить объем
цилиндр, а затем сравните два.Итак, сначала куб, нарисуем
эскиз, четыре сантиметра на четыре сантиметра на четыре сантиметра. И объем просто будет
четыре раза четыре раза четыре. А поскольку единицы длины были
сантиметров, наш объем будет в кубических сантиметрах. И четыре раза четыре раза четыре
равно 64. Итак, объем куба равен
64 кубических сантиметра.

А теперь краткий набросок
цилиндр.И воспользуйтесь формулой объема
равно 𝜋 квадрата радиуса, умноженного на высоту. Теперь давайте вспомним, что
в квадрате применяется только к трем. Это не относится к 𝜋. Итак, у нас раз по три
в квадрате восемь. А три в квадрате — девять. Итак, девять умножить на восемь равно 72. Итак, у нас умножить на 72. Теперь он не требует уровня
точности в вопросе. Но я округлил это до двух
десятичных знаков, чтобы дать мне 226.19 кубических сантиметров.

Итак, опять замеры
были в сантиметрах, объем — в кубических сантиметрах, а две цифры
которые мы должны сравнить, выражены в одних и тех же единицах измерения, кубических сантиметрах. Теперь мы можем сравнить их. А 226.19 явно много
больше 64, поэтому цилиндр имеет больший объем.

А теперь подведем итоги
научился. Во-первых, цилиндр — это разновидность
призма с круглым поперечным сечением.Далее, чтобы рассчитать объем
призмы, вы находите площадь поперечного сечения и умножаете ее на длину, или
иногда называется высотой призмы. Объем цилиндра 𝑉 равен
равна 𝜋 квадрата радиуса, умноженного на высоту.

И главный совет, всегда проверяйте, были
вы указали диаметр или радиус цилиндра в вопросе. Это действительно важно. И наконец, отвечая на рассказ
проблемы, обязательно прочтите вопрос внимательно, чтобы найти соответствующую информацию
и проверьте свои единицы.Кроме того, всегда думайте о том, чтобы нарисовать
диаграмма, потому что это может быть действительно полезно, чтобы систематизировать свои мысли по проблеме.

Цилиндр

А

цилиндр

представляет собой твердое тело, состоящее из двух конгруэнтных

круги

в параллельных плоскостях, их интерьеры и все

сегменты линии

параллельно сегменту, содержащему центры обоих кругов с концами на круговых областях.

Круги и их внутренность — это

базы

.В

радиус

цилиндра — радиус основания. В

высота

цилиндра представляет собой перпендикулярный отрезок от плоскости одного основания к плоскости другого, а

высота

цилиндра — длина высоты.

В

ось

цилиндра — это отрезок, содержащий центры двух оснований. Если ось перпендикулярна плоскостям двух оснований, цилиндр представляет собой

правый цилиндр

; в противном случае это

косой цилиндр.

Цилиндр тесно связан с

призма

, поэтому формулы для их

площади поверхности

относятся к.

Запомните формулы для бокового

площадь поверхности призмы

является

п

час

а общая площадь поверхности равна

п

час

+

2

B

.Поскольку основание цилиндра — окружность, подставим

2

π

р

для

п

а также

π

р

2

для

B

где

р

— радиус основания цилиндра.

Итак, формула для

боковой

площадь поверхности цилиндра

является

L

.S

. А

.

знак равно

2

π

р

час

. (Боковая поверхность цилиндра в развернутом и уложенном виде представляет собой прямоугольник, размеры которого равны высоте цилиндра и окружности основания.)

Пример 1:

Найдите площадь боковой поверхности цилиндра с радиусом основания

3

дюймов и высотой

9

дюймы.

L

. S

. А

.

знак равно

2

π

(

3

)

(

9

)

знак равно

54

π

в.2

≈

169.56

в.

2

Общая формула для

общая площадь поверхности

цилиндра

Т

. S

. А

.

знак равно

2

π

р

час

+

2

π

р

2

.

Пример 2:

Найдите общую площадь поверхности цилиндра с радиусом основания

5

дюймов и высотой

7

дюймы.

Т

. S

. А

.знак равно

2

π

(

5

)

(

7

)

+

2

π

(

5

)

2

знак равно

70

π

+

50

π

знак равно

120

π

в.2

≈

376.8

в.

2

В

объем

цилиндра равна площади основания, умноженной на высоту цилиндра

(

V

знак равно

π

р

2

час

).

Пример 3:

Найдите объем цилиндра радиуса

3

см и рост

10

см.

V

знак равно

π

(

3

)

2

(

10

)

знак равно

90

π

см

3

≈

282.6

см

3

Цилиндр

Цилиндр — это трехмерная геометрическая фигура с двумя одинаковыми параллельными основаниями (обычно кругами) и изогнутой поверхностью, которая «оборачивается» вокруг оснований. На рисунке ниже показаны два типа цилиндров.

Ниже приведены несколько реальных примеров цилиндров. Слева изображение цилиндрического органа.Справа вверху — цистерна цилиндрической формы, а справа внизу — несколько промышленных цистерн цилиндрической формы.

Свойства цилиндра

Цилиндр состоит из двух конгруэнтных параллельных оснований, которые обычно представляют собой окружности, и изогнутой боковой поверхности, которая пересекает основания по их периметру (окружности для круговых цилиндров).

Высота h цилиндра — это длина отрезка прямой, перпендикулярного основанию. Радиус кругового цилиндра равен радиусу его основания, как показано выше.

Любое поперечное сечение, параллельное основаниям цилиндра, образует форму, совпадающую с обоими основаниями.

Два круглых поперечных сечения для кругового цилиндра показаны красным выше. Они совпадают с обоими основаниями. Это верно для любого параллельного поперечного сечения цилиндра.

Классифицирующие цилиндры

Сегмент линии, соединяющий центры оснований, может использоваться, чтобы определить, является ли цилиндр прямым или наклонным цилиндром.Отрезок, соединяющий центры двух оснований правого цилиндра, перпендикулярен обоим основаниям. Если нет, то это наклонный цилиндр. Косой цилиндр наклоняется.

Площадь правого кругового цилиндра

Площадь поверхности A правого кругового цилиндра равна

.

A = 2πr ² + 2πrh

Где r — радиус основания, а h — высота. В правой части уравнения 2πr ² — это площадь двух оснований, а 2πrh — площадь боковой поверхности.

Если вы разрежете прямоугольный цилиндр по высоте и разложите его ровно, вы получите двухмерную сетку, как показано выше. Площадь одного круглого основания πr ² . Высота прямоугольной боковой поверхности h. Длина такая же, как окружность оснований, или 2πr. Следовательно, площадь боковой поверхности составляет 2πrh.

Объем цилиндра

Объем V цилиндра равен площади одного из его оснований (B), умноженной на его высоту (h).

V = Bh

Для кругового цилиндра с радиусом основания r площадь основания равна πr ² .Следовательно, объем кругового цилиндра равен

.

V = πr ² ч

.