Биссектрисы трапеции

Рассмотрим некоторые задачи, в которых биссектрисы углов трапеции пересекаются.

I. Биссектрисы углов при боковой стороне трапеции пересекаются.

 1)∠ABC+∠BAD=180º(как внутренние односторонние при AD∥BC и секущей AB).

2) ∠ABK+∠KAB=(∠ABC+∠BAD):2=90º(так как биссектрисы делят углы пополам).

3) Так как сумма углов треугольника равна 180º, в треугольнике ABK имеем: ∠ABK+∠KAB+∠AKB=180º, отсюда ∠AKB=180-90=90º.

Вывод:

Биссектрисы углов при боковой стороне трапеции пересекаются под прямым углом.

Это утверждение, в частности, применяется при решении базовой задачи на трапецию, в которую вписана окружность.

 Пусть биссектриса угла ABC пересекает сторону AD в точке S. Тогда треугольник ABS — равнобедренный с основанием BS (доказательство можно посмотреть здесь). Значит, его биссектриса AK является также медианой, то есть точка K — середина BS.

Если M и N — середины боковых сторон трапеции, то MN — средняя линия трапеции и MN∥AD.

Так как M и K — середины AB и BS, то MK — средняя линия треугольника ABS и MK∥AS.

Поскольку через точку M можно провести лишь одну прямую, параллельную данной, точка K лежит на средней линии трапеции.

Вывод:

Точка пересечения биссектрис трапеции, прилежащих к боковой стороне, лежит на средней линии трапеции.

II. Точка пересечения биссектрис острых углов при основании трапеции принадлежит другому основанию.

 В этом случае треугольники ABK и DCK — равнобедренные с основаниями AK и DK соответственно.

 Таким образом, BC=BK+KC=AB+CD.

Вывод:

Если биссектрисы острых углов трапеции пересекаются в точке, принадлежащей меньшему основанию, то меньшее основание равно сумме боковых сторон трапеции.

В частности, у равнобедренной трапеции в этом случае меньшее основание в два раза больше боковой стороны.

III.Точка пересечения биссектрис тупых углов при основании трапеции принадлежит другому основанию.

 В этом случае треугольники ABF и DCF — равнобедренные с основаниями BF и CF соответственно.

 Отсюда AD=AF+FD=AB+CD.

Вывод:

Если биссектрисы тупых углов трапеции пересекаются в точке, принадлежащей большему основанию, то большее основание равно сумме боковых сторон трапеции.

У равнобедренной трапеции в этом случае большее основание в два раза больше боковой стороны.

Биссектрисы углов при боковой стороне трапеции

Рассмотрим два полезных свойства, которыми обладают биссектрисы углов при боковой стороне трапеции.

Утверждение 1.

Биссектрисы углов при боковой стороне трапеции пересекаются под прямым углом.

Дано: ABCD — трапеция, AD ∥ BC,

CO — биссектриса ∠BCD,

DO — биссектриса ∠ADC.

Доказать:∠COD=90º.

Доказательство:

∠ADC+∠BCD=180º (как внутренние односторонние углы при AD ∥ BC  и секущей CD).

Так как CO — биссектриса ∠BCD, то

Так как DO — биссектриса ∠ADC,

Следовательно,

По теореме о сумме углов треугольника

Отсюда,

Что и требовалось доказать.

Утверждение 2.

Биссектрисы углов при боковых сторонах трапеции пересекаются в точке,  лежащей на средней линии трапеции.

Дано: ABCD — трапеция, AD ∥ BC,

CO — биссектриса ∠BCD,

DO — биссектриса ∠ADC,

MN — средняя линия трапеции.

Доказать: O ∈ MN.

Доказательство:

1) Рассмотрим треугольник COD — прямоугольный (по доказанному утверждению 1).

Проведем из вершины прямого угла COD медиану ON.

По свойству медианы, проведенной к гипотенузе,

2) Так как ON=CN, треугольник OCN — равнобедренный с основанием OC.

Следовательно,

(как углы при основании равнобедренного треугольника).

Так как CO — биссектриса ∠BCD, 

Значит,

А так как эти углы — внутренние накрест лежащие при ON и BC и секущей OC, то ON ∥ BC (по признаку параллельности прямых).

Имеем: прямая ON параллельна основанию трапеции BC и проходит через середину боковой стороны CD. Следовательно, эта прямая содержит среднюю линию трапеции. Таким образом, точка O лежит на средней линии трапеции.

Что и требовалось доказать.

Интересные свойства трапеции | Образовательная социальная сеть

Слайд 1

Проектная работа « Интересные свойства трапеции » Выполнили : ученицы 10 класса Кудзаева Эллина Баззаева Диана МКОУ СОШ с. Н.Батако Руководитель: Гагиева А.О. 20.11.2015 года

Слайд 2

Цель работы: Рассмотреть свойства трапеции, которые в школьном курсе геометрии не изучаются, но при решении геометрических задач ЕГЭ из развернутой части С 4 бывает необходимо знать и уметь применять именно эти свойства .

Слайд 3

Свойства трапеции: Если трапеция разделена прямой, параллельной ее основаниям, равным a и в , на две равновеликие трапеции. Тогда отрезок к этой прямой, заключенный между боковыми сторонами, равен a В к

Слайд 4

Свойство отрезка, проходящего через точку пересечения диагоналей трапеции . Отрезок, параллельный основаниям, проходящий через точку пересечения диагоналей равен: а в с

Слайд 5

Свойства трапеции: Отрезок прямой, параллельной основаниям трапеции, заключенный внутри трапеции, разбивается ее диагоналями на три части. Тогда отрезки, прилегающие к боковым сторонам, равны между собой. МР=ОК Р М О К

Слайд 6

Свойства равнобедренной трапеции: Если в трапецию можно вписать окружность, то радиус окружности есть среднее пропорциональное отрезков, на которые точка касания делит боковую сторону. О С В А Д . Е О

Слайд 7

Свойства равнобедренной трапеции: Если центр описанной окружности лежит на основании трапеции, то её диагональ перпендикулярна боковой стороне О А В С Д

Слайд 8

Свойства равнобедренной трапеции: В равнобедренную трапецию можно вписать окружность, если боковая сторона равна её средней линии. С В А Д h

Слайд 9

1)Если в условии задачи сказано, что в прямоугольную трапецию вписана окружность, можно использовать следующие свойства: 1. Сумма оснований трапеции равна сумме боковых сторон. 2. Расстояния от вершины трапеции до точек касания вписанной окружности равны. 3. Высота прямоугольной трапеции равна ее меньшей боковой стороне и равна диаметру вписанной окружности. 4. Центр вписанной окружности является точкой пересечения биссектрис углов трапеции. 5. Если точка касания делит боковую сторону на отрезки m и n , то радиус вписанной окружности равен

Слайд 10

Свойства прямоугольной трапеции, в которую вписана окружность: 1) Четырехугольник, образованный центром вписанной окружности, точками касания и вершиной трапеции — квадрат, сторона которого равна радиусу. (AMOE и BKOM — квадраты со стороной r ). 2) Если в прямоугольную трапецию вписана окружность, то площадь трапеции равна произведению ее оснований: S=AD*BC

Слайд 11

Доказательство : Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту: Обозначим CF=m , FD=n . Поскольку расстояния от вершин до точек касания равны, высота трапеции равна двум радиусам вписанной окружности, а

Слайд 12

I. Биссектрисы углов при боковой стороне трапеции пересекаются под углом 90º . 1)∠ABC+∠BAD=180º(как внутренние односторонние при AD∥BC и секущей AB). 2) ∠ABK+∠KAB=(∠ABC+∠BAD):2=90º(так как биссектрисы делят углы пополам). 3) Так как сумма углов треугольника равна 180º, в треугольнике ABK имеем: ∠ABK+∠KAB+∠AKB=180º, отсюда ∠AKB=180-90=90º. Вывод: Биссектрисы углов при боковой стороне трапеции пересекаются под прямым углом. Это утверждение применяется при решении задач на трапецию, в которую вписана окружность .

Слайд 13

I I .Точка пересечения биссектрис трапеции, прилежащих к боковой стороне, лежит на средней линии трапеции. Пусть биссектриса угла ABC пересекает сторону AD в точке S. Тогда треугольник ABS — равнобедренный с основанием BS Значит, его биссектриса AK является также медианой, то есть точка K — середина BS. Если M и N — середины боковых сторон трапеции, то MN — средняя линия трапеции и MN∥AD. Так как M и K — середины AB и BS, то MK — средняя линия треугольника ABS и MK∥AS. Поскольку через точку M можно провести лишь одну прямую, параллельную данной, точка K лежит на средней линии трапеции.

Слайд 14

III. Точка пересечения биссектрис острых углов при основании трапеции принадлежит другому основанию. В этом случае треугольники ABK и DCK — равнобедренные с основаниями AK и DK соответственно. Таким образом, BC=BK+KC=AB+CD. Вывод: Если биссектрисы острых углов трапеции пересекаются в точке, принадлежащей меньшему основанию, то меньшее основание равно сумме боковых сторон трапеции. У равнобедренной трапеции в этом случае меньшее основание в два раза больше боковой стороны.

Слайд 15

I V. Точка пересечения биссектрис тупых углов при основании трапеции принадлежит другому основанию. В этом случае треугольники ABF и DCF — равнобедренные с основаниями BF и CF соответственно. Отсюда AD=AF+FD=AB+CD. Вывод: Если биссектрисы тупых углов трапеции пересекаются в точке, принадлежащей большему основанию, то большее основание равно сумме боковых сторон трапеции. У равнобедренной трапеции в этом случае большее основание в два раза больше боковой стороны.

Слайд 16

Если равнобедеренную трапецию со сторонами а,в,с , d можно вписать и около неё можно описать окружности, то площадь трапеции равна

Интересные свойства трапеции — презентация онлайн

1. Проектная работа « Интересные свойства трапеции »

2. Цель работы:

Рассмотреть свойства трапеции,
которые в школьном курсе геометрии
не изучаются, но при решении
геометрических задач ЕГЭ из
развернутой части С 4 бывает
необходимо знать и уметь применять
именно эти свойства .

3. Свойства трапеции:

Если трапеция разделена прямой,
параллельной ее основаниям, равным a и в,
на две равновеликие трапеции. Тогда отрезок
к этой прямой, заключенный между боковыми
сторонами, равен
2
2
a
к
В
к
а в
2

4. Свойство отрезка, проходящего через точку пересечения диагоналей трапеции. 

Свойство отрезка, проходящего через точку
пересечения диагоналей трапеции.
Отрезок, параллельный основаниям,
проходящий через точку пересечения
диагоналей равен:
2ав
в
с
а
с
а в

5. Свойства трапеции:

Отрезок прямой, параллельной
основаниям трапеции, заключенный
внутри трапеции, разбивается ее
диагоналями на три части. Тогда отрезки,
прилегающие к боковым сторонам, равны
между собой.
МР=ОК
М
Р
О
К

6. Свойства равнобедренной трапеции:

Если в трапецию можно вписать
окружность, то радиус окружности есть
среднее пропорциональное отрезков, на
которые точка касания делит боковую
сторону.
В
С
r ОЕ АЕ ЕД
ОО
.
А
Д
Е

7. Свойства равнобедренной трапеции:

Если центр описанной окружности лежит
на основании трапеции, то её диагональ
перпендикулярна боковой стороне
АС СД
В
А
С
О
Д

8. Свойства равнобедренной трапеции:

В равнобедренную трапецию можно
вписать окружность, если боковая
сторона равна её средней линии.
В
С
ВС АД
АВ
; h 2r
2
h
А
Д

9. 1)Если в условии задачи сказано, что в прямоугольную трапецию вписана окружность, можно использовать следующие свойства:

1. Сумма оснований трапеции равна сумме
боковых сторон.
2. Расстояния от вершины трапеции до точек
касания вписанной окружности равны.
3. Высота прямоугольной трапеции равна ее
меньшей боковой стороне и равна диаметру
вписанной окружности.
4. Центр вписанной окружности является точкой
пересечения биссектрис углов трапеции.
5. Если точка касания делит боковую сторону на
отрезки m и n, то радиус вписанной окружности
равен
r mn

10. Свойства прямоугольной трапеции, в которую вписана окружность:

1) Четырехугольник, образованный центром
вписанной окружности, точками касания и
вершиной трапеции — квадрат, сторона которого
равна радиусу. (AMOE и BKOM — квадраты со
стороной r).
2) Если в прямоугольную трапецию вписана
окружность, то площадь трапеции равна
произведению ее оснований: S=AD*BC

11. Доказательство :

Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований
на высоту:
Обозначим CF=m, FD=n. Поскольку расстояния от вершин до
точек касания равны, высота трапеции равна двум радиусам
вписанной окружности, а
r
mn , r 2 mn
AD AE ED r n,
BC DK KC r m,
r n r m
2r ( 2r m n) r
2
2r 2 rm rn r 2 r 2 rm rn
S
r 2 mn rm rn (mn rm ) (r 2 nr )
m(n r ) r (n r ) (n r )( m r ) BC AD

12. I. Биссектрисы углов при боковой стороне трапеции пересекаются под углом 90º .

1)∠ABC+∠BAD=180º(как внутренние односторонние
при AD∥BC и секущей AB).
2) ∠ABK+∠KAB=(∠ABC+∠BAD):2=90º(так как
биссектрисы делят углы пополам).
3) Так как сумма углов треугольника равна 180º, в
треугольнике ABK имеем: ∠ABK+∠KAB+∠AKB=180º,
отсюда ∠AKB=180-90=90º.
Вывод: Биссектрисы углов при боковой стороне
трапеции пересекаются под прямым углом.
Это утверждение применяется при решении задач
на трапецию, в которую вписана окружность.

13. I I .Точка пересечения биссектрис трапеции, прилежащих к боковой стороне, лежит на средней линии трапеции.

Пусть биссектриса угла ABC пересекает
сторону AD в точке S. Тогда треугольник ABS
— равнобедренный с основанием BS
Значит, его биссектриса AK является также
медианой, то есть точка K — середина BS.
Если M и N — середины боковых сторон
трапеции, то MN — средняя линия трапеции и
MN∥AD.
Так как M и K — середины AB и BS, то MK —
средняя линия треугольника ABS и MK∥AS.
Поскольку через точку M можно провести
лишь одну прямую, параллельную данной,
точка K лежит на средней линии трапеции.

14. III. Точка пересечения биссектрис острых углов при основании трапеции принадлежит другому основанию.

В этом случае треугольники ABK и DCK —
равнобедренные с основаниями AK и DK соответственно.
Таким образом, BC=BK+KC=AB+CD.
Вывод:
Если биссектрисы острых углов трапеции
пересекаются в точке, принадлежащей меньшему
основанию, то меньшее основание равно сумме
боковых сторон трапеции.
У равнобедренной трапеции в этом случае меньшее
основание в два раза больше боковой стороны.

15. IV.Точка пересечения биссектрис тупых углов при основании трапеции принадлежит другому основанию.

В этом случае треугольники ABF и DCF — равнобедренные с
основаниями BF и CF соответственно.
Отсюда AD=AF+FD=AB+CD.
Вывод:
Если биссектрисы тупых углов трапеции пересекаются в
точке, принадлежащей большему основанию, то большее
основание равно сумме боковых сторон трапеции.
У равнобедренной трапеции в этом случае большее
основание в два раза больше боковой стороны.
Если равнобедеренную трапецию со
сторонами а,в,с,d можно вписать и
около неё можно описать окружности,
то площадь трапеции равна
S
abcd

Трапеция. Свойства, признаки трапеции | Подготовка к ЕГЭ по математике

Трапеция – четырехугольник, у которого только одна пара сторон параллельна (а другая пара сторон не параллельна).

Параллельные стороны трапеции называются основаниями. Другие две — боковые стороны.
Если боковые стороны равны, трапеция называется равнобедренной.

Трапеция,  у которой есть  прямые углы при боковой стороне, называется прямоугольной.

Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции.

Свойства трапеции

1. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

2. Биссектриса любого угла трапеции отсекает на её основании (или продолжении) отрезок, равный боковой стороне.

3. Треугольники и , образованные отрезками диагоналей и основаниями трапеции, подобны.

Коэффициент подобия –

Отношение площадей этих треугольников есть .

4. Треугольники и , образованные отрезками диагоналей и боковыми сторонами трапеции, имеют одинаковую площадь.

5. В трапецию можно вписать окружность, если сумма оснований трапеции равна сумме её боковых сторон.

6. Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен полуразности оснований и лежит на средней линии.

7. Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений её боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой.

8. Если сумма углов при любом основании трапеции равна 90°, то отрезок, соединяющий середины оснований, равен их полуразности.

Свойства и признаки равнобедренной трапеции

1. В равнобедренной трапеции углы при любом основании равны.

2. В равнобедренной трапеции длины диагоналей равны.

3. Если трапецию можно вписать в окружность, то трапеция – равнобедренная.

4. Около равнобедренной трапеции можно описать окружность.

5. Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то высота равна полусумме оснований.

Вписанная  окружность

Если в трапецию вписана окружность с радиусом   и она делит боковую сторону точкой касания на два отрезка —  и ,  то

Площадь

или где   – средняя линия

Смотрите хорошую подборку  задач с трапецией (входят в ГИА и часть В ЕГЭ) здесь и здесь.

Смотрите также площадь трапеции.

Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ (Справочник по математике — Планиметрия

Основные определения и свойства трапеций

      Подробнее со свойствами средней линии трапеции можно ознакомиться в разделе нашего справочника «Средняя линия трапеции».

      В разделе нашего справочника «Типы четырёхугольников» представлена схема классификации трапеций. В том же разделе представлена таблица, в которой описаны всевозможные типы трапеций.

Свойства и признаки равнобедренных трапеций

      На сайте можно также ознакомиться с нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

Геометрия Точка пересечения биссектрис тупых углов при основании трапеции принадлежит другому

Задача: точка пересечения биссектрис тупых углов при основании трапеции принадлежит другому основанию. Найдите площадь трапеции, если ее боковые стороны равны 10 см и 17 см, а высота — 8 см.

Решение:

Ответ: площадь трапеции = 132 см2

Свойства биссектрис трапеции

Биссектрисой угла трапеции называется луч, проведенный из вершины трапеции и делящий угол пополам.

Свойства биссектрисы угла трапеции

1. Биссектриса отсекается от основания (или его продолжения на прямой за пределами самой фигуры) отрезок такой же длины, что и боковая сторона:
2. Биссектрисы углов при боковой стороне трапеции пересекаются под прямым углом:
3. Точка пересечения биссектрис трапеции, прилежащих к боковой стороне, лежит на средней линии трапеции.
4. Точка пересечения биссектрис тупых углов при основании трапеции принадлежит другому основанию.

Рассмотрим некоторые задачи, в которых биссектрисы углов трапеции пересекаются.

I. Биссектрисы углов при боковой стороне трапеции пересекаются.

1)∠ABC+∠BAD=180º(как внутренние односторонние при AD∥BC и секущей AB).

2) ∠ABK+∠KAB=(∠ABC+∠BAD):2=90º(так как биссектрисы делят углы пополам).

3) Так как сумма углов треугольника равна 180º, в треугольнике ABK имеем: ∠ABK+∠KAB+∠AKB=180º, отсюда ∠AKB=180-90=90º.

Вывод:

Биссектрисы углов при боковой стороне трапеции пересекаются под прямым углом.

Это утверждение, в частности, применяется при решении базовой задачи на трапецию, в которую вписана окружность.

Пусть биссектриса угла ABC пересекает сторону AD в точке S. Тогда треугольник ABS — равнобедренный с основанием BS. Значит, его биссектриса AK является также медианой, то есть точка K — середина BS.

Если M и N — середины боковых сторон трапеции, то MN — средняя линия трапеции и MN∥AD.

Так как M и K — середины AB и BS, то MK — средняя линия треугольника ABS и MK∥AS.

Поскольку через точку M можно провести лишь одну прямую, параллельную данной, точка K лежит на средней линии трапеции.

Вывод:

Точка пересечения биссектрис трапеции, прилежащих к боковой стороне, лежит на средней линии трапеции.

II. Точка пересечения биссектрис острых углов при основании трапеции принадлежит другому основанию.

В этом случае треугольники ABK и DCK — равнобедренные с основаниями AK и DK соответственно.

Таким образом, BC=BK+KC=AB+CD.

Вывод:

Если биссектрисы острых углов трапеции пересекаются в точке, принадлежащей меньшему основанию, то меньшее основание равно сумме боковых сторон трапеции.

В частности, у равнобедренной трапеции в этом случае меньшее основание в два раза больше боковой стороны.

III.Точка пересечения биссектрис тупых углов при основании трапеции принадлежит другому основанию.

В этом случае треугольники ABF и DCF — равнобедренные с основаниями BF и CF соответственно.

Отсюда AD=AF+FD=AB+CD.

Вывод:

Если биссектрисы тупых углов трапеции пересекаются в точке, принадлежащей большему основанию, то большее основание равно сумме боковых сторон трапеции.

У равнобедренной трапеции в этом случае большее основание в два раза больше боковой стороны.

* 5 * 5 * 5 * 5 * 5 *

Удачи тебе на экзаменах! У тебя всё получится — мы в тебя верим!

Поделись этой информацией с помощью кнопок ниже (облегчи учёбу другим ученикам, и будет тебе плюс в карму!)

Свойства срединного сегмента трапеции — Задача 1

Промежуточный сегмент трапеции соединяет середины двух конгруэнтных сторон трапеции и параллелен паре параллельных сторон.

Длина среднего сегмента — это сумма двух оснований, деленная на 2. Помните, что основания трапеции — это две параллельные стороны.

Чтобы найти углы внутри трапеции, помните, что, поскольку две стороны параллельны, другие стороны можно рассматривать как поперечные, образуя соответствующие углы и те же внутренние боковые углы.Используя то, что известно о соответствующих и одинаковых внутренних углах, можно найти размеры недостающих углов трапеции.

В этой задаче нас просят найти длину этого сегмента и меру этих двух углов. Что ж, давайте начнем с того, что мы знаем об этой проблеме?

Хорошо, я вижу, что эта точка — середина этой стороны, а эта точка — середина этой другой стороны.Поскольку у меня две параллельные стороны, это будет трапеция, и, поскольку это средние точки, я создал срединный сегмент и две ключевые вещи, которые я знаю о средних сегментах, во-первых, это то, что они параллельны двух оснований, поэтому я собираюсь вернуться сюда и отметить этот средний сегмент как параллельный, и я также знаю, что длина моего среднего сегмента — это среднее значение двух оснований, поэтому, если вы сложите две базы и разделенные на 2, вы получите длину вашего среднего сегмента.

Итак, давайте найдем первый. ‘a’ — это расстояние до нашего среднего сегмента, поэтому я собираюсь сказать, что a равно среднему значению ваших двух оснований, которые равны 10 и 18. Итак, 10 и 18 равны 28, поэтому a равно 28, деленному на 2, поэтому a это 14, и наши единицы здесь — сантиметры, поэтому я собираюсь написать это 14 см.

Теперь найдем x. Что ж, поскольку эти две линии параллельны, я могу думать об этой стороне прямо здесь как о поперечине, создающей соответствующие углы, которые всегда совпадают. Итак, x конгруэнтен 55 градусам, потому что соответствующие углы должны быть конгруэнтными.Теперь, чтобы найти y, мне нужно будет смотреть на эту сторону как на поперечную.

Несколько способов выяснить это. Первый способ — сказать, что 120 градусов соответствует этому углу прямо здесь, поэтому этот угол должен быть 120 градусов. 120 градусов и y находятся на одной стороне поперечной, и они находятся между двумя параллельными линиями, поэтому это одна и та же сторона, что означает, что y плюс 120 градусов должны быть дополнительными, поэтому, если я вычитаю 120 градусов, я вижу, что y должен быть 60 градусов.

Итак, два ключевых момента в решении этой проблемы: один — помнить, что средний сегмент и трапеция параллельны двум основаниям, а их длина равна сумме двух оснований, деленных на 2.

Свойства равнобедренных трапеций | Caddell Prep Online

Узнайте о свойствах равнобедренных трапеций, включая отношения между противоположными сторонами, противоположными углами, смежными углами, диагоналями и углами, образованными диагоналями.

Равнобедренная трапеция: Трапеция с одной парой параллельных линий и конгруэнтными непараллельными сторонами.

Равнобедренные трапеции — это особые типы трапеций, у которых пара непараллельных ветвей конгруэнтна друг другу.Это означает, что трапеция кажется симметричной, а диагонали равны по длине.

Подобно равнобедренному треугольнику, равнобедренные трапеции имеют конгруэнтные углы основания. Это означает, что два меньших угла конгруэнтны друг другу, а два больших угла конгруэнтны друг другу.

Когда диагонали нарисованы, они не делят друг друга пополам. Нижняя часть двух диагоналей конгруэнтна друг другу, а верхняя часть двух диагоналей также конгруэнтна друг другу.

Равнобедренная трапеция также имеет два противоположных треугольника, образованных подобными друг другу диагоналями, то есть все их стороны и углы пропорциональны. Два других образованных противоположных треугольника конгруэнтны друг другу по бокам.

Трапеции и их свойства

Овладейте семью столпами успеха в школе

Повысьте успеваемость и снизьте уровень стресса

Средняя часть трапеции .(также называемый средним) создается путем проведения линии от середины одной ноги до середины другой ноги.

Длину средней части можно рассчитать, сложив длину двух оснований и разделив ее на два.

Средняя часть EF = AB + DC / 2

Трапеция может иметь прямой угол

Базовые углы равнобедренной трапеции совпадают, а противоположные углы являются дополнительными.

∠A и ∠B и ∠D и ∠C совпадают

∠A и ∠C и ∠B и ∠D дополнительные

Углы, образованные сторонами на одной стороне трапеции, смежны углы, и являются дополнительными.(добавить к 180 градусам)

∠A и ∠D и ∠B и ∠C смежные и дополнительные

• Трапеция — это четырехугольник с ровно одной парой параллельных сторон.

• Параллельные стороны трапеции образуют основания.

• Сумма внутренних углов трапеции равна 360 градусам, а углы с каждой стороны трапеции являются дополнительными.

• Трапеция имеет четыре вершины, также называемые углами.

• Середина трапеции — это линия, соединяющая середину двух сторон.

• Трапеция имеет одну пару параллельных сторон. У параллелограмма две пары параллельных сторон.

• Дополнительно есть прямые трапеции и равнобедренные трапеции.

• Равнобедренная трапеция — это трапеция с двумя параллельными сторонами, причем две другие стороны совпадают.

• Кроме того, диагонали равнобедренного треугольника совпадают.

• Углы основания равнобедренной трапеции совпадают.

• У правой трапеции два прямых угла.

• В Великобритании трапеция называется трапецией.

Common Core Standard. 7.G.6

Вам тоже может понравиться……

Из этого видео вы узнаете ….

Формула для определения периметра трапеции

Пошаговая инструкция для определения периметра

Видео определяет высоту проблема

Какова высота равнобедренной трапеции с основанием 10 и 18 единиц, длиной стороны 4 единицы и углом 50 градусов? (см. рисунок)

Внутренние углы трапеции складываются в 360 градусов.

Углы трапеции

Определения и свойства четырехугольников

Определения и свойства четырехугольников

Определения и некоторые свойства четырехугольников

Четырехугольники ниже перечислены в порядке сверху вниз и слева направо в соответствии с динамическим иерархическим четырехугольным деревом , с которого связана эта страница, но двойники друг друга сгруппированы рядом друг с другом для отображения боковой угол дуальность .Приведены только некоторые важные свойства. Поскольку четырехугольники ниже в иерархии наследуют ВСЕ свойства тех, с которыми они связаны сверху, только некоторые дополнительных свойств даны ниже. Также обратите внимание, что каждый из четырехугольников, представленных ниже, может быть определен математически несколькими разными, но эквивалентными способами. Таким образом, приведенные ниже определения, в основном основанные на симметрии, не уникальны.

Четырехугольник — Замкнутая плоская фигура с четырьмя вершинами A , B , C и D , соединенные четырьмя прямыми сторонами AB , BC , CD и DA . Свойства : Если выпуклый, без углов отражения, сумма внутренних и внутренних углов обеих диагоналей равна 360 ⁰ . Если вогнутый, то сумма одного угла отражения, одной диагонали внешнего и внутреннего углов равна 360 ⁰ . Если пересечь, два угла отражения, две диагонали, внешний и внутренний угол, сумма равняется 720 ⁰ .

Примечание : Большинство описанных выше свойств четырехугольника подтверждены в моей книге Некоторые приключения в евклидовой геометрии и доступны в виде загружаемого PDF-файла или печатной книги. My Key Curriculum Press book Rethinking Proof with Sketchpad также содержит некоторые действия по доказательству для равнобедренной трапеции, циклического четырехугольника, описанного четырехугольника, ромба и суммы внутренних углов скрещенного четырехугольника, а также некоторые обсуждения и обобщения на более высокие многоугольники. в заметках учителя.

Майкл де Вильерс, создан в 2008 г .; последнее обновление — 26 сентября 2016 г.

Четырехугольники Недвижимости | Параллелограммы, Трапеция, Ромб

Нажмите здесь, чтобы посмотреть это проницательное видео.

Лучшие университеты мира

В этом руководстве по основным понятиям геометрии мы рассмотрим типы и свойства четырехугольников: параллелограмм, прямоугольник, квадрат, ромб, трапецию.

определение:

Четырехугольник — это простая замкнутая фигура с четырьмя сторонами.

Виды четырехугольников

Есть пять типов четырехугольников.

• Параллелограмм
• Прямоугольник
• Площадь
• Ромб
• Трапеция

Общим свойством всех четырехугольников является то, что сумма всех их углов равна 360 °.

Давайте посмотрим на свойства различных четырехугольников.

Параллелограмм

Свойства параллелограмма

• Противоположные стороны параллельны и совпадают.
• Противоположные углы совпадают.
• Прилегающие углы являются дополнительными.
• Диагонали делят друг друга пополам, и каждая диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника.
• Если один из углов параллелограмма — прямой угол, тогда все остальные углы прямые, и он становится прямоугольником.

Важные формулы параллелограммов

• Площадь = L * H
• Периметр = 2 (L + B)

Прямоугольники

Свойства прямоугольника

• Противоположные стороны параллельны и совпадают.
• Все углы прямые.
• Диагонали совпадают и делят друг друга пополам (делят друг друга поровну).
• Противоположные углы, образованные в точке пересечения диагоналей, совпадают.
• Прямоугольник — это особый тип параллелограмма с прямыми углами.

Важные формулы для прямоугольников

• Если длина L, а ширина B, то

Длина диагонали прямоугольника = √ (L ² + B ² )

• Площадь = L * B
• Периметр = 2 (L + B)

Квадраты

Недвижимость квадрата

• Все стороны и углы совпадают.
• Противоположные стороны параллельны друг другу.
• Диагонали совпадают.
• Диагонали перпендикулярны и делят друг друга пополам.
• Квадрат — это особый тип параллелограмма, все углы и стороны которого равны.
• Кроме того, параллелограмм становится квадратом, если диагонали равны правым биссектрисам друг друга.

Важные формулы для квадратов

• Если «L» — длина стороны квадрата, тогда длина диагонали = L √2.
• Площадь = L ² .
• Периметр = 4 л

Ромб

Свойства ромба

• Все стороны совпадают.
• Противоположные углы совпадают.
• Диагонали перпендикулярны и делят друг друга пополам.
• Соседние углы являются дополнительными (например, A + ∠B = 180 °).
• Ромб — это параллелограмм, диагонали которого перпендикулярны друг другу.

Важные формулы для ромба

Если a и b — длины диагоналей ромба,

• Площадь = (a * b) / 2
• Периметр = 4 л

Трапеция

Свойства трапеции

• Основания трапеции параллельны друг другу (MN ⫽ OP).
• Нет сторон, углы и диагонали не совпадают.

Важные формулы для трапеции

• Площадь = (1/2) ч (Д + Д ₂ )
• Периметр = L + L ₁ + L ₂ + L ₃

Обзор объектов недвижимости

Обобщая то, что мы узнали до сих пор, для удобства использования и запоминания:

Узнать больше о:
— Свойства линий и углов
— Свойства и формулы кругов
— Типы треугольников и свойства

Как найти угол в трапеции

Если вы считаете, что контент, доступный через Веб-сайт (как определено в наших Условиях обслуживания), нарушает одно
или другие ваши авторские права, сообщите нам, отправив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее
то
информацию, описанную ниже, назначенному ниже агенту.Если репетиторы университета предпримут действия в ответ на
ан
Уведомление о нарушении, он предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, которая предоставила такой контент
средствами самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.

Ваше Уведомление о нарушении прав может быть отправлено стороне, предоставившей доступ к контенту, или третьим лицам, таким как
в виде
ChillingEffects.org.

Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатов), если вы существенно
искажать информацию о том, что продукт или действие нарушает ваши авторские права.Таким образом, если вы не уверены, что контент находится
на Веб-сайте или по ссылке с него нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к юристу.

Чтобы отправить уведомление, выполните следующие действия:

Вы должны включить следующее:

Физическая или электронная подпись правообладателя или лица, уполномоченного действовать от их имени;
Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены;
Описание характера и точного местонахождения контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права, в \
достаточно подробностей, чтобы позволить репетиторам университетских школ найти и точно идентифицировать этот контент; например, мы требуем
а
ссылка на конкретный вопрос (а не только на название вопроса), который содержит содержание и описание
к какой конкретной части вопроса — изображению, ссылке, тексту и т. д. — относится ваша жалоба;
Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; а также
Ваше заявление: (а) вы добросовестно считаете, что использование контента, который, по вашему мнению, нарушает
ваши авторские права не разрешены законом, владельцем авторских прав или его агентом; (б) что все
информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство, что вы
либо владелец авторских прав, либо лицо, уполномоченное действовать от их имени.

Отправьте жалобу нашему уполномоченному агенту по адресу:

Чарльз Кон
Varsity Tutors LLC
101 S. Hanley Rd, Suite 300
St. Louis, MO 63105

Или заполните форму ниже:

Трапеция, средняя линия и средний сегмент трапеции и треугольника

Четырехугольник с двумя противоположными параллельными сторонами называется трапецией (трапеция) .

Параллельные стороны трапеции называются основаниями (AB и CD), а те, которые не параллельны, называются ножками (AD и BC).
Если ноги равны по длине, трапеция называется равнобедренная .
DE и CF — высота .

Средняя линия трапеции

Линия, соединяющая середины сторон, которые не параллельны, называется средней линией (или средним сегментом) трапеции.

Линия MN является средней линией ABCD. А сегмент MN — это средний сегмент ABCD.

AM = MD
BN = NC

Средняя линия трапеции параллельна ее сторонам.
В нашем случае — MN || AB || ОКРУГ КОЛУМБИЯ.

Теорема 1:

Если линия, проходящая через середину отрезка трапеции, параллельна ее основаниям,
затем линия проходит через середину другой ноги.

Теорема 2:

Средний отрезок трапеции составляет половину длины двух параллельных сторон.

Другими словами:
$ \ overline {MN} = \ frac {\ overline {AB} + \ overline {DC}} {2} $

Середина треугольника

Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, называется средним сегментом треугольника.

Он параллелен третьей стороне, а его длина вдвое меньше длины третьей стороны.

Теорема : Если отрезок пересекает середину одной стороны треугольника и параллелен другой стороне того же треугольника, то этот отрезок делит третью сторону пополам.

$ \ overline {AM} = \ overline {MC} $ и $ \ overline {BN} = \ overline {NC} $ =>

$ MN || AB $
$ \ overline {MN} = \ frac {\ overline {AB}} {2} $

Применение свойств средних сегментов

Разделите отрезок на равные отрезки без измерения.

Задание: Разделите данный сегмент $ \ overline {AB} $ на 5 равных сегментов без измерения.

Решение:

Пусть p — произвольный луч с началом A, не лежащий на AB. На п. Рисуем последовательно пять равных отрезков.
$ \ overline {AA_1} = \ overline {A_1A_2} = \ overline {A_2A_3} = \ overline {A_3A_4} = \ overline {A_4A_5} $
Мы соединяем A ₅ с B и проводим линии через A ₄ , A ₃ , A ₂ и A ₁ , которые параллельны A ₅ B.

Они пересекают AB в точках B ₄ , B ₃ , B ₂ и B ₁ соответственно.
Эти точки делят отрезок $ \ overline {AB} $ на пять равных отрезков.

Действительно, из трапеции BB ₃ A ​​ ₃ A ​​ ₅ мы видим, что $ \ overline {BB_4} = \ overline {B_4B_3} $.
Таким же образом из трапеции B ₄ B ₂ A ​​ ₂ A ​​ ₄ ,
получаем $ \ overline {B_4B_3} = \ overline {B_3B_2} $

При этом от трапеции B ₃ B ₁ A ​​ ₁ A ​​ ₃ ,
$ \ overline {B_3B_2} = \ overline {B_2B_1} $.