Виды окружности: Please Wait… | Cloudflare

Содержание

Окружность: радиус, хорда, диаметр и дуга

Окружность — это геометрическая фигура, образованная замкнутой кривой линией, все точки которой одинаково удалены от одной и той же точки.

Точка, от которой одинаково удалены все точки окружности, называется центром окружности. Центр окружности обычно обозначают большой латинской буквой  O:

Окружность делит плоскость на две области — внутреннюю и внешнюю. Геометрическая фигура, ограниченная окружностью, — это круг:

Построение окружности циркулем

Для построения окружности используют специальный прибор — циркуль:

Установим циркулю произвольный раствор (расстояние между ножками циркуля) и, поставив его ножку с остриём в какую-нибудь точку плоскости (например, на листе бумаги), станем вращать циркуль вокруг этой точки. Другая его ножка, снабжённая карандашом или грифелем, прикасающимся к плоскости, начертит на плоскости замкнутую линию — окружность:

Радиус, хорда и диаметр

Радиус — это отрезок, соединяющий любую точку окружности с центром. Радиусом также называется расстояние от точки окружности до её центра:

Все радиусы окружности имеют одну и ту же длину, то есть они равны между собой. Радиус обозначается буквой  R  или  r.

Хорда — это отрезок, соединяющий две точки окружности. Хорда, проходящая через центр, называется диаметром окружности.

Диаметр обозначается буквой  D.  Диаметр окружности в два раза больше её радиуса:

D = 2r.

Дуга

Дуга — это часть окружности, ограниченная двумя точками. Любые две точки делят окружность на две дуги:

Чтобы различать дуги, на которые две точки разделяют окружность, на каждую из дуг ставят дополнительную точку:

Для обозначения дуг используется символ  :

  • AFB  — дуга с концами в точках  A  и  B,  содержащая точку  F;
  • AJB  — дуга с концами в точках  A  и  B,  содержащая точку  J.

О хорде, которая соединяет концы дуги, говорят, что она стягивает дугу.

Хорда  AB  стягивает дуги  AFB  и  AJB.

Окружность и круг — геометрия и искусство

В Древней Греции круг и окружность считались венцом совершенства. Действительно, в каждой своей точке окружность устроена одинаковым образом, что позволяет ей двигаться самой по себе. Это свойство окружности сделало возможным возникновение колеса, поскольку ось и втулка колеса должны все время быть в соприкосновении.

В школе изучается много полезных свойств окружности. Одной из самых красивых теорем является следующая: проведем через заданную точку прямую, пересекающую заданную окружность, тогда произведение расстояний от этой точки до точек пересечения окружности с прямой не зависит от того, как именно была проведена прямая. Этой теореме около двух тысяч лет.

На рис. 2 изображены две окружности и цепочка окружностей, каждая из которых касается этих двух окружностей и двух соседей по цепочке.  Швейцарский геометр Якоб Штейнер около 150 лет назад доказал следующее утверждение: если при некотором выборе третьей окружности цепочка замкнется, то она замкнется и при любом другом выборе третьей окружности. Отсюда следует, что если однажды цепочка не замкнулась, то она не замкнется при любом выборе третьей окружности. Художнику, рисовавшему изображенную цепочку, пришлось бы немало потрудиться, чтобы она получилась, или обратиться к математику для расчета расположения двух первых окружностей, при котором цепочка замыкается.

Вначале мы упомянули о колесе, но еще до колеса люди использовали круглые бревна — катки для перевозки тяжестей.

А можно ли использовать катки не круглой, а какой-нибудь другой формы? Немецкий инженер Франц Рело обнаружил, что таким же свойством обладают катки, форма которых изображена на рис. 3. Эта фигура получается, если провести дуги окружностей с центрами в вершинах равностороннего треугольника, соединяющие две другие вершины. Если провести к этой фигуре две параллельные касательные, то расстояние между ними будет равно длине стороны исходного равностороннего треугольника, так что такие катки ничем не хуже круглых. В дальнейшем были придуманы и другие фигуры, способные выполнять роль катков.

Энц. «Я познаю мир. Математика», 2006

Урок 33. круг. окружность (центр, радиус, диаметр) — Математика — 3 класс

Математика, 3 класс

Урок №33. Круг. Окружность (центр, радиус, диаметр)

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

— что такое окружность и круг?

— какие элементы имеет окружность?

— чем отличается круг от окружности?

Глоссарий по теме:

Окружность — это замкнутая кривая, все точки которой одинаково удалены от центра.

Круг – это геометрическая фигура, которая ограничена окружностью.

Радиус- это отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой на окружности.

Диаметр – отрезок, который соединяет две точки окружности, проходящий через центр.

Основная и дополнительная литература по теме урока:

1. Моро М. И., Бантова М. А. и др. Математика 3 класс. Учебник для общеобразовательных организаций М.; Просвещение, 2017. с. 94-96.

2. Рудницкая В. Н. Тесты по тматематике:3 класс. М.:Издательство «Экзамен», 2016 с. 48-51.

3. Рудницкая В.Н. Контрольные работы по математике:3 класс. М.: Издательство»Экзамен», 2017, с. 49-54.

4. Рудницкая В. Н. КИМ ВПР. Математика .3 класс. М.: Издательство «Экзамен», 2018, с. 77-79.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

С незапамятных времен люди используют в своей жизни круг.

1. Около 3300 года до нашей эры стали применять гончарный круг, делать круглую посуду – тарелки, вазы, кастрюли, горшки, сковородки. У посуды есть окружность (верхний край) и круг (дно).

2. Мы не можем представить свою жизнь без машин: автобус, велосипед, швейная, машинки, самолет, луноход, различные станки, подъемный кран…Они не похожи друг на друга, но присмотримся к ним повнимательнее. Есть у них у всех похожие части – детали, и одна из них – колесо. Сначала колеса были круглые и гладкие, чтобы по земле легко катились, а потом человек придумал много разных колес.

3. Круг и окружность широко применяются в архитектуре и искусстве: круглые арки, своды, купола. Круг – это форма кочевых шатров и поселений. Еще древние греки обнаружили, что с помощью циркуля и линейки можно построить множество фигур, включая шестиугольники, квадраты и другие правильные многоугольники, и создавать волшебные узоры.

4. Необозрима сфера применения круга в математике: тригонометрический круг, круги Эйлера, задачи на построение, круговые диаграммы и т.д. Многие приборы имеют круглую шкалу, в математике таким прибором является транспортир .

5. Картинки с волшебными кругами люди используют в медицинских целях, когда на них смотришь, кажется, что они двигаются. Если смотреть на них несколько минут, то проходит головная боль. 

6. Также человек использует круг, как универсальный символ, означающий целостность, непрерывность, первоначальное совершенство. Три концентрических круга символизируют прошлое, настоящее и будущее; три сферы земли: землю, воздух и воду.

Круг в жизни человека имеет очень важную роль, и без использования круглых предметов обойтись невозможно.

Окружность и круг – удивительно гармоничные, совершенные, простые фигуры. Окружность – единственная замкнутая кривая, которая может “скользить сама по себе”, вращаясь вокруг центра, поэтому колеса делают круглыми, а не квадратными или треугольными.

Круг – это колесо. Колесо – это прогресс – движение вперед. Если остановится колесо, то остановится колесо Истории. Остановятся все виды транспорта, остановятся все часы и механизмы, фабрики и заводы.

Круг – символ цикличности, повторяемости. Все движется по кругу.

Круг дает ощущение взаимосвязи с Космосом.

Сама природа выбирает эту удобную и компактную форму как шар и круг.

Сравним две фигуры.

На 1 рисунке видим замкнутую кривую линию, на которой находятся точки К и С на одинаковых расстояниях от точки О.Такая замкнутая кривая называется окружностью. Точка О — центр окружности. Все точки, поставленные на окружности, находятся на одинаковом расстоянии от центра!

Есть специальный инструмент, который позволяет чертить окружности – это циркуль.

На рисунке 2 видим геометрическую фигуру, которая ограничена окружностью. Эта фигура называется круг.

Вывод: окружность — граница круга; круг — часть внутри окружности. В таблице указаны отличительные признаки круга и окружности:

Если соединить любую точку окружности с ее центром, то получится отрезок, который называется радиусом.

Если соединить 2 точки окружности, проходящих через центр, получится отрезок, который называется диаметром.

Диаметр делит круг на две равные части и все диаметры у окружности равной длины.

Задания тренировочного модуля:

1. Длина радиуса составляет 6 см. Чему равен диаметр окружности?

6см; 12 см; 3см.

Правильный ответ: 12см.

2. Заполните таблицу

радиус

4 см

3 см

7 дм

5 дм

диаметр

Правильный ответ:

радиус

4 см

3 см

7 дм

5 дм

диаметр

8 см

6 см

14 дм

10 дм

Свойства окружностей. Прямые, отрезки и углы, связанные с окружностью. Взаимное расположение окружности и прямой, окружности и точки, двух окружностей. Свойства углов, связанных с окружностью. Метрические соотношения в окружности

Адрес этой страницы (вложенность) в справочнике dpva.ru:  главная страница  / / Техническая информация / / Математический справочник / / Математика для самых маленьких. Шпаргалки. Детский сад, Школа.  / / Свойства окружностей. Прямые, отрезки и углы, связанные с окружностью. Взаимное расположение окружности и прямой, окружности и точки, двух окружностей. Свойства углов, связанных с окружностью. Метрические соотношения в окружности

Поделиться:   




Свойства окружностей. Прямые, отрезки и углы, связанные с окружностью.


Взаимное расположение окружности и прямой, окружности и точки, двух окружностей.

Свойства углов, связанных с окружностью. Метрические соотношения в окружности.










Прямые, отрезки и углы, связанные с окружностью:

Центральный угол измеряется дугой, на которую он опирается. Если отнести длину этой дуги к радиусу окружности то получится радианная мера угла.

Взаимное расположение окружности и прямой:

1. Окружность и прямая не имеют общих точек

2. Окружность и прямая имеют 2 общие точки (l — секущая)

3. Окружность и прямая имеют 1 общую точку (l — касательная)

Взаимное расположение окружности и точки:

1. Точка лежит вне окружности (2 касательные через точку А)

2. Точка лежит внутри окружности (нет касательных через точку А)

3. Точка лежит на окружности (1 касательная через точку А)

Взаимное расположение двух окружностей:

1. Одна окружность лежит внутри другой.

2. Одна окружность касается другой изнутри.

3. Окружности пересекаются.

  

4. Одна окружность касается другой снаружи или одна окружность лежит вне другой.










Свойства углов, связанных с окружностью:

Вписанный угол равен половине центрального, опирающегося на ту же дугу:

Все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны:
Все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, вершины которых лежат по одну сторону от этой хорды, равны:

Любые два вписанных угла, опирающиеся на одну и ту же хорду, вершины которых лежат по разные стороны хорды, составляют в сумме 180°=π

Все вписанные углы, опирающиеся на диаметр, прямые:

Угол между пересекающимися хордами:

Угол между секущими, пересекающимися вне окружности:

Угол между касательной и секущей:

Угол между касательными:

Угол между касательной и хордой:

Метрические соотношения в окружности (длины отрезков):

Отрезки пересекающихся хорд связаны соотношением:

Отрезки касательных, проведенных из общей точки, равны:

Квадрат длины отрезка касательной равен произведению длин отрезков секущей, проведенной из той же точки:

Произведения длин отрезков секущих, проведенных из общей точки, равны:


Поиск в инженерном справочнике DPVA. Введите свой запрос:


Поиск в инженерном справочнике DPVA. Введите свой запрос:

Если Вы не обнаружили себя в списке поставщиков, заметили ошибку, или у Вас есть дополнительные численные данные для коллег по теме, сообщите , пожалуйста.

Вложите в письмо ссылку на страницу с ошибкой, пожалуйста.

Коды баннеров проекта DPVA.ru
Начинка: KJR Publisiers

Консультации и техническая
поддержка сайта: Zavarka Team

Проект является некоммерческим. Информация, представленная на сайте, не является официальной и предоставлена только в целях ознакомления. Владельцы сайта www.dpva.ru не несут никакой ответственности за риски, связанные с использованием информации, полученной с этого интернет-ресурса.
Free xml sitemap generator

Окружность, круг, сегмент, сектор. Формулы и свойства

Определение. Окружность — это совокупность всех точек на плоскости, которые находятся на одинаковом расстоянии от заданной точки О, которая называется центром окружности.


Определение. Единичная окружность — окружность, радиус которой равна единице.


Определение. Круг — часть плоскости, ограничена окружностью.

Определение. Радиус окружности R — расстояние от центра окружности О до любой точки окружности.

Определение. Диаметр окружности D — отрезок, который соединяет две точки окружности и проходит через ее центр.


Основные свойства окружности

1. Диаметр окружности равен двум радиусам.

D = 2r

2. Кратчайшее расстояние от центра окружности к секущей (хорде) всегда меньше радиуса.

3. Через три точки, которые не лежат на одной прямым, можно провести только одну окружность.

4. Среди всех замкнутых кривых с одинаковой длиной, окружность имеет наибольшую площадь.

5. Если две окружности соприкасаются в одной точке, то эта точка лежит на прямой, что проходит через центры этих окружностей.


Формулы длины окружности и площади круга

Формулы длины окружности

1. Формула длины окружности через диаметр:

L = πD

2. Формула длины окружности через радиус:

L = 2πr

Формулы площади круга

1. Формула площади круга через радиус:

S = πr2

2. Формула площади круга через диаметр:

S = πD24


Уравнение окружности

1. Уравнение окружности с радиусом r и центром в начале декартовой системы координат:

r2 = x2 + y2

2. Уравнение окружности с радиусом r и центром в точке с координатами (a, b) в декартовой системе координат:

r2 = (x — a)2 + (y — b)2

3. Параметрическое уравнение окружности с радиусом r и центром в точке с координатами (a, b) в декартовой системе координат:

{ x = a + r cos t
y = b + r sin t


Касательная окружности и ее свойства

Определение. Касательная окружности — прямая, которая касается окружности только в одной точке.

Основные свойства касательных к окружности

1. Касательная всегда перпендикулярна к радиусу окружности, проведенного в точке соприкосновения.

2. Кратчайшее расстояние от центра окружности к касательной равна радиусу окружности.

3. Если две касательные, с точками соприкосновения B и C, на одной окружности не параллельны, то они пересекаются в точке A, а отрезок между точкой соприкосновения и точкой пересечения одной касательной равен таком же отрезке на другой касательной:

AB = AC

Также, если провести прямую через центр окружности О и точку пересечения A этих касательных, то углы образованный между этой прямой и касательными будут равны:

∠ОAС = ∠OAB



Секущая окружности и ее свойства

Определение. Секущая окружности — прямая, которая проходит через две точки окружности.

Основные свойства секущих

1. Если с точки вне окружности (Q) выходят две секущие, которые пересекают окружность в двух точках A и B для одной секущей и C и D для другой секущей, то произведения отрезков двух секущих равны между собою:

AQ ∙ BQ = CQ ∙ DQ

2. Если из точки Q вне окружности выходит секущая прямая, что пересекает окружность в двух точках A и B, и касательная с точкой соприкосновения C, то произведение отрезков секущей равна квадрату длины отрезка касательной:

AQ ∙ BQ = CQ2


Хорда окружности ее длина и свойства

Определение. Хорда окружности — отрезок, который соединяет две точки окружности.

Длина хорды

1. Длина хорды через центральный угол и радиус:

AB = 2r sin α2

2. Длина хорды через вписанный угол и радиус:

AB = 2r sin α

Основные свойства хорд

1. Две одинаковые хорды стягивают две одинаковые дуги:

если хорды AB = CD, то

дуги ◡ AB = ◡ CD

2. Если хорды параллельные, то дуги между ними будут одинаковые:

если хорды AB ∣∣ CD, то

◡ AD = ◡ BC

3. Если радиус окружности перпендикулярен к хорде, то он разделяет хорду пополам в точке их пересечения:

если OD ┴ AB, то

AC = BC

4. Если две хорды AB и CD пересекаются в точке Q, то произведение отрезков, что образовались при пересечении, одной хорды равны произведению отрезков другой хорды:

AQ ∙ BQ = DQ ∙ QC

5. Хорды с одинаковой длиной находятся на одинаковом расстоянии от центра окружности.

если хорды AB = CD, то

ON = OK

6. Чем больше хорда тем ближе она к центру.

если CD > AB, то

ON < OK


Центральный угол, вписанный угол и их свойства

Определение. Центральный угол окружности — угол, вершиной которого есть центр окружности.

Определение. Угол вписанный в окружность — угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны угла пересекают окружность.

Основные свойства углов

1. Все вписанные углы, которые опираются на одну дугу — равны.

2. Вписанний угол, который опирается на диаметр будет прямым (90°).

3. Вписанный угол равен половине центрального угла, что опирается на ту же дугу

β = α2

4. Если два вписанных угла опираются на одну хорду и находятся по различные стороны от нее, то сумма этих углов равна 180°.

α + β = 180°


Определение. Дуга окружности (◡) — часть окружности, которая соединяет две точки на окружности.

Определение. Градусная мера дуги — угол между двумя радиусами, которые ограничивают эту дугу. Градусная мера дуги всегда равна градусной мере центрального угла, который ограничивает эту дугу своими сторонами.

Формула длины дуги через центральный угол (в градусах):

l = πr180°∙ α


Определение. Полуокружность — дуга в которой концы соединены диаметром окружности.

Определение. Полукруг (◓) — часть круга, которая ограничена полуокружностью и диаметром.


Определение. Сектор (◔) — часть круга, которая ограничена двумя радиусами и дугой между этими радиусами.

Формула. Формула площади сектор через центральный угол (в градусах)

S = πr2360°∙ α



Определение. Сегмент — часть круга, которая ограничена дугой и хордой, что соединяет ее концы.

Определение. Концентрические окружности — окружности с различными радиусами, которые имеют общий центр.{\circ}]\).

Определение градусной меры дуги окружности

Градусной мерой дуги окружности называется градусная мера соответствующего ей центрального угла (т. е. центрального угла, который высекает эту дугу на окружности).


$$
\overset{\smile}{AB}=\angle AOB
$$

Определение вписанного угла


Угол называется вписанным в окружность, если его вершина лежит на окружности, а стороны пересекают окружность. Говорят, что вписанный угол опирается на дугу, которую он вместе со своей внутренней областью высекает на окружности.

Вписанный угол \(ACB\) опирается на дугу \(AB\).

Теорема о вписанном угле


Градусная мера угла, вписанного в окружность, равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается, и равна половине градусной меры соответствующего этой дуге центрального угла.


$$
\alpha=\frac{1}{2}\beta=\frac{1}{2}\overset{\smile}{AB}
$$

Угол, опирающийся на диаметр


Угол, вписанный в окружность, прямой, тогда и только тогда, когда он опирается на диаметр.{\circ} \Rightarrow ABCD\) – вписанный

Угол, образованный хордами


Градусная мера каждого из вертикальных углов, образованных двумя пересекающимися хордами, равна полусумме градусных мер дуг, которые эти углы высекают на окружности.


$$
\alpha=\frac{1}{2}\left(\overset{\smile}{AB}+\overset{\smile}{CD}\right)
$$

Угол, образованный касательной и хордой


Градусная мера угла, образованного касательной к окружности и хордой с концом в точке касания, равна половине градусной меры дуги окружности, заключённой внутри этого угла.


$$
\alpha=\frac{1}{2}\overset{\smile}{AB}
$$

Угол с вершиной на окружности


Пусть вершина угла принадлежит окружности, а одна из его сторон и продолжение другой стороны пересекают окружность. Тогда градусная мера этого угла равна полусумме градусных мер дуг, которые он вместе с вертикальным ему углом высекают на окружности.


$$
\alpha=\frac{1}{2}\left(\overset{\smile}{AB}+\overset{\smile}{BC}\right)
$$

Угол с вершиной в круге


Градусная мера угла, вершина которого принадлежит кругу, равна полусумме градусных мер дуг, которые этот угол вместе с вертикальным ему высекает на окружности.


\(
\alpha=\frac{1}{2} ( \)дуга\(_1\) + дуга\(_2 )\)

Угол, образованный секущими


Градусная мера угла, образованного двумя секущими к окружности, равна полуразности градусных мер дуг, которые он высекает на окружности.



$$
\alpha=\frac{1}{2}\left(\overset{\smile}{AB}-\overset{\smile}{CD}\right)
$$

Угол, образованный касательными


Градусная мера угла, образованного двумя касательными к окружности, равна полуразности градусных мер дуг, на которые точки касания делят окружность.



$$
\alpha=\frac{1}{2}\left(\overset{\smile}{ACB}-\overset{\smile}{ADB}\right)
$$

Угол, образованный касательной и секущей


Градусная мера угла, образованного касательной и секущей к окружности, равна полуразности градусных мер дуг, которые этот угол высекает на окружности.



$$
\alpha=\frac{1}{2}\left(\overset{\smile}{AB}-\overset{\smile}{BC}\right)
$$

Признак касания прямой и окружности

Градусная мера угла, образованного касательной и секущей к окружности, равна полуразности градусных мер дуг, которые этот угол высекает на окружности.

$$
\alpha=\frac{1}{2}\left(\overset{\smile}{AB}-\overset{\smile}{BC}\right)
$$

Угол с вершиной вне круга


Если вершина угла лежит вне круга, а каждая сторона пересекает круг или касается его, то градусная мера этого угла равна полуразности градусных мер дуг, которые он высекает на окружности.


\(
\alpha=\frac{1}{2} ( \)дуга\(_1\) – дуга\(_2 )\)

Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ (Справочник по математике — Планиметрия

Серединный перпендикуляр к отрезку

      Определение 1. Серединным перпендикуляром к отрезку называют, прямую, перпендикулярную к этому отрезку и проходящую через его середину (рис. 1).

Рис.1

      Теорема 1. Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку находится на одном и том же расстоянии от концов этого отрезка.

      Доказательство. Рассмотрим произвольную точку   D,   лежащую на серединном перпендикуляре к отрезку   AB   (рис.2), и докажем, что треугольники   ADC   и   BDC   равны.

Рис.2

      Действительно, эти треугольники являются прямоугольными треугольниками, у которых катеты   AC   и   BC   равны, а катет   DC   является общим. Из равенства треугольников   ADC   и   BDC   вытекает равенство отрезков   AD   и   DB.   Теорема 1 доказана.

      Теорема 2 (Обратная  к теореме 1). Если точка находится на одном и том же расстоянии от концов отрезка, то она лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку.

      Доказательство. Докажем теорему 2 методом «от противного». С этой целью предположим, что некоторая точка   E   находится на одном и том же расстоянии от концов отрезка, но не лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку. Приведём это предположение к противоречию. Рассмотрим сначала случай, когда точки   E   и   A   лежат по разные стороны от серединного перпендикуляра (рис.3). В этом случае отрезок   EA   пересекает серединный перпендикуляр в некоторой точке, которую мы обозначим буквой   D.

Рис.3

      Докажем, что отрезок   AE   длиннее отрезка   EB.   Действительно,

      Таким образом, в случае, когда точки   E   и   A   лежат по разные стороны от серединного перпендикуляра, мы получили противоречие.

Рис.4

      Теперь рассмотрим случай, когда точки   E   и   A   лежат по одну сторону от серединного перпендикуляра (рис.4). Докажем, что отрезок   EB   длиннее отрезка   AE.   Действительно,

      Полученное противоречие и завершает доказательство теоремы 2

Окружность, описанная около треугольника

      Определение 2. Окружностью, описанной около треугольника, называют окружность, проходящую через все три вершины треугольника (рис.5). В этом случае треугольник называют треугольником, вписанным в окружность, или вписанным треугольником.

Рис.5

Свойства описанной около треугольника окружности. Теорема синусов

Фигура Рисунок Свойство
Серединные перпендикуляры
к сторонам треугольника
Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.
Посмотреть доказательство
Окружность, описанная около треугольника Около любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.
Посмотреть доказательство
Центр описанной около остроугольного треугольника окружности Центр описанной около остроугольного треугольника окружности лежит внутри треугольника.
Центр описанной около прямоугольного треугольника окружности Центром описанной около прямоугольного треугольника окружности является середина гипотенузы.
Посмотреть доказательство
Центр описанной около тупоугольного треугольника окружности Центр описанной около тупоугольного треугольника окружности лежит вне треугольника.
Теорема синусов

Для любого треугольника справедливы равенства (теорема синусов):

,

где   a , b , c   – стороны треугольника,   A , B , С   – углы треугольника,   R   – радиус описанной окружности.

Посмотреть доказательство

Площадь треугольника

Для любого треугольника справедливо равенство:

S = 2R2 sin A sin B sin C ,

где   A , B , С   – углы треугольника,   S   – площадь треугольника,   R   – радиус описанной окружности.

Посмотреть доказательство

Радиус описанной окружности

Для любого треугольника справедливо равенство:

где   a , b , c   – стороны треугольника,   S   – площадь треугольника,   R   – радиус описанной окружности.

Посмотреть доказательство

Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника

Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.

Посмотреть доказательство

Окружность, описанная около треугольника

Около любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.

Посмотреть доказательство

Центр описанной около остроугольного треугольника окружности

Центр описанной около остроугольного треугольника окружности лежит внутри треугольника.

Центр описанной около прямоугольного треугольника окружности

Центром описанной около прямоугольного треугольника окружности является середина гипотенузы.

Посмотреть доказательство

Центр описанной около тупоугольного треугольника окружности

Центр описанной около тупоугольного треугольника окружности лежит вне треугольника.

Теорема синусов

Для любого треугольника справедливы равенства (теорема синусов):

,

где   a , b , c   – стороны треугольника,   A , B , С   – углы треугольника,   R   – радиус описанной окружности.

Посмотреть доказательство

Площадь треугольника

Для любого треугольника справедливо равенство:

S = 2R2 sin A sin B sin C ,

где   A , B , С   – углы треугольника,   S   – площадь треугольника,   R   – радиус описанной окружности.

Посмотреть доказательство

Радиус описанной окружности

Для любого треугольника справедливо равенство:

где   a , b , c   – стороны треугольника,   S   – площадь треугольника,   R   – радиус описанной окружности.

Посмотреть доказательство

Доказательства теорем о свойствах описанной около треугольника окружности

      Теорема 3. Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.

      Доказательство. Рассмотрим два серединных перпендикуляра, проведённых к сторонам   AC   и   AB   треугольника   ABC,   и обозначим точку их пересечения буквой   O   (рис. 6).

Рис.6

      Поскольку точка   O   лежит на серединном перпендикуляре к отрезку   AC,   то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

CO = AO .

      Поскольку точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку   AB,   то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

AO = BO .

      Следовательно, справедливо равенство:

CO = BO ,

откуда с помощью теоремы 2 заключаем, что точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку   BC. Таким образом, все три серединных перпендикуляра проходят через одну и ту же точку, что и требовалось доказать.

      Следствие. Около любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.

      Доказательство. Рассмотрим точку   O,   в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника   ABC   (рис. 6).

      При доказательстве теоремы 3 было получено равенство:

AO = OB = OC ,

из которого вытекает, что окружность с центром в точке   O   и радиусами   OA,   OB,   OC   проходит через все три вершины треугольника   ABC,   что и требовалось доказать.

      Теорема 4 (теорема синусов). Для любого треугольника (рис. 7)

Рис.7

справедливы равенства:

.

      Доказательство. Докажем сначала, что длина хорды окружности радиуса   R хорды окружности радиуса   R,   на которую опирается вписанный угол величины   φ ,   вычисляется по формуле:

      Рассмотрим сначала случай, когда одна из сторон вписанного угла является диаметром окружности (рис.8).

Рис.8

      Угол   MPN,   как угол,опирающийся на диаметр, является прямым угломугол,опирающийся на диаметр, является прямым углом, и равенство (1) вытекает из определения синуса угла прямоугольного треугольника.

      Поскольку все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны, то для произвольного вписанного угла всегда найдется равный ему вписанный угол, у которого одна из сторон является диаметром окружности.

      Формула (1) доказана.

      Из формулы (1) для вписанного треугольника   ABC   получаем (рис.7):

      Теорема синусов доказана.

      На сайте можно также ознакомиться с нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

Семейство кругов | Типы кругов

Например, если нам даны два круга, и нам нужно разрешить третий круг, касаясь остальных обоих кругов. Для этого нам понадобится еще одно условие. Без условия мы получаем уравнение семейства окружностей, которое удовлетворяет данным двум условиям. Наложение третьего условия приведет к уравнению, которое представляет конкретный круг.

Давайте обсудим некоторые способы нахождения семейства круга, когда вам задаются определенные условия:

1.Когда семейство кругов имеет фиксированный центр

Уравнение (xy) 2 + (yk) 2 = r 2

Где (h, k) является фиксированным, а единственный изменяющийся параметр — r . Фиксация радиуса даст определенный круг.

2. Уравнение семейства окружностей, проходящих через пересечение двух окружностей S 1 = 0 и S 2 = 0.

Общее уравнение семейства окружностей проходит через пересечение S 1 и S 2 , который определяется как S 1 + KS 2 = 0, где k -1.Снова у нас остается одно уравнение с параметром (k) семейства кругов. Далее значение параметра дает уникальный круг.

Внимание:

Если k = –1, мы получим уравнение общей хорды, т.е. прямую линию вместо окружности. Пусть S 1 ≡ x 2 + y 2 + 2g 1 x + 2f 1 y + c 1 = 0

S 2 ≡ x 2 + y 2 + 2g 2 x + 2f 2 y + c 2 = 0

Поскольку точка лежит на обеих окружностях,

⇒ xA 2 + yA 2 + 2g 1 xA + 2f 1 yA + c1 = 0

Итак, xA 2 + yA 2 + 2g 2 xA + 2f 2 yA + c 2 = 0

⇒ xA 2 + yA 2 + 2g 1 xA + 2f 1 yA + c1 + λ (xA 2 + yA 2 + 2g 1 xA + 2f 1 yA + c 1 ) = 0

⇒ Точка A (xA, yA) лежит на S 1 + λ S 2 = 0 ∀ λ ∈ R

Аналогично точка B (xB, yB) лежит на S 1 + λ S 2 = 0 ∀ λ ∈ R

Следовательно, S 1 + λ S 2 = 0 — семейство окружностей, проходящих через пересечение S 1 = 0 и S 2 = 0.

3. Уравнение окружности, описывающей треугольник, стороны которого задаются формулами L 1 = 0, L 2 = 0 и L 3 = 0.

Это уравнение дается формулой L 1 L 2 + λL 2 L 3 + мкл 3 L 1 = 0, что обеспечивает коэффициент при xy = 0 и коэффициент при x 2 = коэффициент при y 2 . Более того, конкретное значение параметров λ и µ дает вам уникальный круг.

4. Семейство окружности, касающейся окружности S = ​​0 и линии L = 0 в точке контакта

Семейство задается уравнением S + λL = 0, где λ — требуемое семейство.

5. Семейство окружностей, проходящих через две упомянутые точки, то есть A (x 1 , y 1 ) и B (x 2 , y 2 ).

Уравнение круга: (x — x 1 ) (x — x 2 ) + (y — y 1 ) (y — y 2 ) = 0, где AB — его диаметр, а

\ [\ begin {bmatrix} x & y & 1 \\ x_ {1} & y_ {1} & 1 \\ x_ {2} & y_ {2} & 1 \ end {bmatrix} = 0 \]

— это уравнение прямой, проходящей через точки A и B.

Требуемое уравнение семейства кругов:

\ [(x — x_ {1}) (x — x_ {2}) + (y — y_ {1}) (y — y_ {2}) + \ лямбда \ begin {bmatrix} x & y & 1 \\ x_ {1} & y_ {1} & 1 \\ x_ {2} & y_ {2} & 1 \ end {bmatrix} = 0 \]

6. Семейство соприкасающихся кругов Заданная линия L = 0 в точке (x1, y1) на линии равна

(x — x 1 ) 2 + (y — y 1 ) 2 + λL = 0. конкретное значение параметров λ, которое дает уникальный круг.Уравнение семейства окружностей касается линии y — y 1 = m (x — x 1 ) at (x 1 , y 1 ) для любых значений m равно (x — x 1 ) 2 + (y — y 1 ) 2 + λ [(y — y 1 ) — m (x — x 1 )] = 0.

Здесь мы можем иметь два подварианты в зависимости от того, параллельна ли линия оси x или оси y.

Если эта линия, проходящая через (x 1 , y 1 ), параллельна оси x, уравнение семейства окружностей, соприкасающихся с ней в точке (x 1 , y 1 ), принимает вид (x — x 1 ) 2 + (y — y 1 ) 2 + K (y — y 1 ) = 0.

Более того, если сквозная линия (x 1 , y 1 ) параллельна оси x, то уравнение семейства окружностей, соприкасающихся с ней в точке (x 1 , y 1 ) становится (x — x 1 ) 2 + (y — y 1 ) 2 + K (y — y 1 ) = 0.

7. Уравнение окружности, описывающей четырехугольник, который Стороны по порядку выражаются линиями L 1 = 0, L 2 = 0, L 3 = 0 и L 4 = 0.

Уравнение требуемого семейства определяется выражением L 1 L 3 + λL 2 L 4 = 0, что обеспечивает коэффициент x 2 = коэффициент y 2 и коэффициент xy = 0.

Типы окружностей

1. Концентрические окружности

Когда две или более окружности имеют общий центр, эти окружности называются концентрическими окружностями.

На приведенном выше рисунке есть три круга внутри друг друга.Все эти круги разного размера и имеют разный радиус. Все круги имеют один общий центр, то есть C, но не общий радиус. Как и на этом рисунке, первый внутренний круг имеет радиус 1 , средний круг имеет радиус 2 , а третий внешний круг имеет радиус 3 . Это означает, что все три круга имеют разные измерения с одним и тем же центром. Следовательно, если все круги имеют радиус, то круги не будут концентрическими.В результате они будут лежать друг на друге и не смогут видеть и относиться друг к другу как к одному кругу.

Вот уравнение концентрической окружности — x 2 + y 2 + 2gx + 2fy + c = 0 is x 2 + y 2 + 2gx + 2fy + k = 0 (Уравнение различается только постоянным членом).

2. Контакт кругов

Когда внешняя поверхность двух кругов соприкасается, это называется контактом кругов.

В контакте кругов может быть два случая.

Случай (i), когда две окружности касаются внешней поверхности снаружи и когда расстояние между их центрами равно сумме их радиусов. В этом случае круги должны удовлетворять заданному уравнению.

Уравнение — c 1 c 2 = r 1 + r 2

На приведенном выше рисунке есть две окружности, соприкасающиеся с внешней стороны в точке P. круги имеют разные центры c 1 и c 2 .Расстояние между обоими центрами складывается из их радиусов.

Случай (i), когда две окружности, соприкасающиеся с внутренней поверхностью, имеют свои центры, равные разности их радиусов.

Уравнение — c 1 c 2 = r 1 — r 2 или r 2 — r 1

На рисунке выше, внешняя из двух окружностей соприкасаются внутри в точке P. Точно так же в случае (i) обе окружности имеют разные центры c 1 и c 2 .

3. Ортогональные круги

Когда две окружности пересекают друг друга под прямым углом, они называются ортогональными окружностями. Согласно теореме Пифагора, две окружности радиусами r 1 и r 2 , расстояние между центрами которых d друг от друга, ортогональны, если r 1 2 + r 2 2 = d 2 . Рисунок в качестве примера приведен ниже.

Ниже мы упоминаем решенный пример, чтобы найти уравнение окружности через точки пересечения двух заданных окружностей.

Пример: найти уравнение круга через пересечение кругов x 2 2 + y 2 2 — 8x — 2y + 7 = 0 и x 2 2 + y 2 2 — 4x + 10y + 8 = 0 и прошел через точку (-1, -2).

Решение — Уравнение любых окружностей, проходящих через пересечение окружностей S 11 = x 2 2 + y 2 2 — 8x — 2y + 7 = 0 и S 22 = x 2 2 + y 2 2 — 4x + 10y + 8 = 0 is S 11 + λS 22 = 0

Следовательно, уравнение искомого круга имеет вид (x 2 2 + y 2 2 — 8x — 2y + 7) + λ (x 2 2 + y 2 2 — 4x + 10y + 8) = 0 , где λ (≠ -1) в произвольном вещественном числе

Точка (-1, -2) прошла через окружность.Следовательно, (1 + λ) + 4 (1 + λ) + 4 (2 + λ) + 4 (1 — 5λ) + 7 + 8λ = 0

⇒ 24 — 3λ = 0

⇒ λ = 8

. Теперь подставляем значение λ = 8 в уравнение (x 2 2 + y 2 2 — 8x — 2y + 7) + λ (x 2 2 + y 2 2 — 4x + 10y + 8) = 0, получаем необходимое уравнение как 9x 2 2 + 9y 2 2 — 40x + 78y + 71 = 0.

Circle — JavaTpoint

В геометрии круг — самая важная форма для изучения.Теоретическая важность круга применима во многих предметах, таких как физика, астрономия, математика и т. Д. В дошкольном образовании мы вводим множество геометрических форм, чтобы мы могли понять другие предметы, в которых применяются принципы круга .

В геометрии круглая фигура называется кругом . В этом разделе мы узнаем определение круга , диаметр круга, длину окружности, и другие части круга.Наряду с этим мы также изучим типы круга , свойства, формулы и .

Определение круга

Изогнутая линия, имеющая такое же расстояние от центра и соединяющаяся в точке, где она начинается, называется окружностью . Другими словами, это геометрическое место всех точек, равноудаленных от начала координат. Примеры круга: колесо , монета, компакт-диск и т. Д. На следующем рисунке представлена ​​форма круга.

Части круга

Круг состоит из следующих частей:

  • Диаметр: Отрезок линии, который проходит через центр и касается границы круга с обеих сторон, называется диаметром . Это самая длинная хорда круга. Это вдвое больше диаметра. Обозначается он d . На следующем рисунке отрезок AB — это диаметр.
  • Радиус: Отрезок линии, который касается центра с одной стороны и касается границы с другой стороны, называется радиусом .Другими словами, расстояние между центром и окружностью называется радиусом . Это половина диаметра. Обозначается он r . На следующем рисунке отрезок OA — это радиус.
  • Окружность: Расстояние по окружности называется окружностью . Другими словами, длина дуги окружности называется окружностью. Это периметр круга. Это обозначено как На следующем рисунке зеленая пунктирная линия обозначает длину окружности.
  • Начало или центр: Точка в середине круга, которая находится на одинаковом расстоянии от всех точек на круге, называемая началом . Он также известен как центр . Обозначается он O . На следующем рисунке O обозначает начало или центр круга.
  • Касательная: Отрезок линии, который касается окружности в общей точке, называется касательной . Он всегда вычерчивается вне круга.На следующем рисунке отрезок AB является касательной.
  • Точка касания: Точка, в которой касательная линия касается окружности, называется точкой касания . На следующем рисунке отрезок AB касается окружности в точке P .
  • Хорда: Отрезок линии, концы которого лежат на окружности, называется хордой . Он также делит круг на две части. На следующем рисунке отрезок AB является хордой.
  • Дуга: Часть окружности называется дугой . Есть две части дуги:
    • Малая дуга: Меньшая часть дуги называется младшей дугой . На следующем рисунке зеленая дуга показывает вспомогательную дугу.
    • Большая дуга: Большая часть дуги называется большой дугой . На следующем рисунке красная дуга показывает большую дугу.

  • Сегмент: Область, заключенная между дугой и хордой, называется сегментом .Сегменты состоят из двух частей:
    • Малый сегмент: Меньшая часть сегмента круга называется вспомогательной дугой .
    • Большой сегмент: Большая часть сегмента круга называется большой дугой .

    На следующем рисунке показаны малый и большой сегменты круга.

  • Сектор: Область, заключенная между двумя радиусами равной длины, называется сектором круга.
    • Малый сектор: Меньшая часть сектора круга называется второстепенным сектором .
    • Основной сектор: Большая часть сектора круга называется основным сектором .

    На следующем рисунке показаны малый и большой сектор круга.

  • Секанс: Отрезок, пересекающий окружность в двух точках, называется секущей . На следующем рисунке отрезок AB является секущей.

Типы окружностей

Существуют три типа кругов:

  • Касательная окружность: Это круг, который пересекает более двух окружностей в общей точке, называется касательными окружностями . У него нет общего центра. На следующем рисунке показана касательная окружность. Все три круга пересекаются друг с другом в общей точке P .
  • Концентрический круг: Два или более двух кругов с одинаковым центром называются концентрическим кругом . Эти окружности имеют разный радиус. На следующем рисунке показаны три окружности разного радиуса с одним и тем же центром O .
  • Конгруэнтная окружность: Две или более двух окружностей с одинаковыми радиусами, но с разными центрами называются конгруэнтной окружностью . На следующем рисунке показаны две окружности с одинаковыми радиусами, но с двумя разными центрами.

Формулы круга

  • Площадь круга (A) = πr 2
  • Диаметр (d) = 2 × радиус (r)
  • Радиус (r) =
  • Окружность (C) = 2πr

Радиус также можно найти, используя следующую формулу.Это применимо, когда в вопросе указана окружность.

Свойства круга

Некоторые из важных свойств круга следующие:

  • Окружности с одинаковым радиусом называются конгруэнтными.
  • Диаметр круга — это самая длинная хорда круга.
  • Перпендикуляр, опущенный из центра, делит пояс на две равные части.
  • Радиус всегда перпендикулярен касательной в точке, где он касается окружности.
  • Углы, образованные одной и той же дугой на окружности круга, всегда равны.
  • Угол, образованный дугой в центре, в два раза больше вписанного угла, образованного той же дугой.

Какие части круга

Какие части круга

До сих пор мы обсуждали треугольник и четырехугольник, которые имеют линейные границы. Круг — замкнутая фигура, имеющая криволинейную границу.
Когда мы думаем о кругах, первое, что приходит в голову, это их круглая форма, например, браслеты, монеты, кольца, тарелки, чапати, пицца, компакт-диски и т. Д. Колеса автомобиля, автобуса, велосипеда, грузовика и т. Д. поезд, и самолет тоже круглой формы. Если мы возьмем камень, привяжем его к одному концу веревки и раскачиваем в воздухе, удерживая другой конец веревки, путь, пройденный камнем, будет круговым, и он будет образовывать круг.

Подробнее:

  1. Окружность: Окружность — это совокупность всех тех точек на плоскости, которые находятся на заданном постоянном расстоянии от заданной фиксированной точки на плоскости.
  2. Центр: Окружность — это замкнутая фигура, состоящая из точек на плоскости, находящихся на одинаковом расстоянии от фиксированной точки, называемой центром окружности. На рисунке О — центр.
  1. Радиус: Постоянное расстояние от центра называется радиусом окружности. На рисунке OA — радиус
  2. Хорда: Отрезок линии, соединяющий две точки на окружности, называется хордой окружности.На рисунке AB — хорда окружности. Если аккорд проходит через центр, это самый длинный аккорд. PQ, PR и ST — хорды круга. Хорда ST проходит через центр, следовательно, это диаметр.
  3. Диаметр: Хорда, проходящая через центр круга, называется диаметром круга. У круга бесконечное количество диаметров. CD — это диаметр круга, как показано на рисунке. Если d — диаметр круга, то d = 2r. где r — радиус.или самая длинная хорда называется диаметром.
    На рисунке AB — диаметр, а дуги CD и DC — полукруги.
  4. Дуга: Непрерывный отрезок круга называется дугой. Пусть A, B, C, D, E, F — точки на окружности. Круг разделен на разные части. Тогда части AB, BC, CD, DE, EF и т. Д. Являются дугами окружности.
    Пусть P, Q — две точки на окружности. Эти P, Q делят круг на две части. Каждая часть представляет собой дугу. Эти дуги обозначены против часовой стрелки
  5. Окружность круга: Периметр круга называется его окружностью.Длина окружности радиуса r равна 2πr.
  6. Полукруг: Диаметр круга делит круг на две равные части. Каждая часть называется полукругом. Можно также сказать, что половина круга называется полукругом. На рисунке AXB и AYB представляют собой два полукруга.
  7. Отрезок: Пусть AB — хорда окружности. Затем AB делит область, заключенную в круг (т. Е. Круговой диск), на две части. Каждая из частей называется отрезком круга.Сегмент, содержащий меньшую дугу, называется второстепенным сегментом, а сегмент, содержащий большую дугу, называется большим сегментом, а сегмент круга — это область между дугой и хордой круга.
  8. Центральные углы: Рассмотрим круг. Угол, образованный дугой в центре O, называется центральным углом. Вершина центрального угла всегда находится в центре O.
  9. Градус дуги: Градус вспомогательной дуги — это величина центрального угла, образованного дугой.

    Размер окружности окружности в градусах всегда равен 360 °.

  10. Внутри и снаружи круга
    Круг делит плоскость, на которой лежит, на три части.
    (i) Внутри круга. который называется внутренней частью круга
    (ii) кругом
    (iii) вне круга, который называется внешней стороной круга.
    Круг и его внутренняя часть составляют круговую область.
  11. Сектор:
    Сектор — это область кругового диска, которая находится между дугой и двумя радиусами, соединяющими концы дуги и центр.OAB — это сектор, показанный на рисунке.
    Квадрант: Четвертая часть круглого диска называется квадрантом.
  12. Положение точки:
    Точка внутри круга: Точка P, такая что OP Точка внутри круга также называется внутренней точкой . (Пример: центр круга)
    Точка за пределами круга: Точка Q, такая, что OQ> r, считается лежащей вне круга C (O, r) = {X, OX = r}
    Точка вне круга окружность также называется внешней точкой .
    Точка на окружности: Точка S, такая что OS = r, считается лежащей на окружности C (O, r) = {X, OX = r}.
    Круглый диск: Он определяется как набор внутренних точек и точек на окружности. В обозначениях набора это записывается как: C (O, r) = {X: P OX ≤ r}
  13. Концентрические окружности:
    Окружности с одинаковым центром и разным радиусом называются концентрическими окружностями.
    Замечание. Слово «радиус» используется для обозначения отрезка прямой, соединяющего центр с любой точкой окружности, а также для обозначения его длины.
  14. Конгруэнтность кругов и дуг
    Конгруэнтные круги: Два круга называются конгруэнтными тогда и только тогда, когда один из них может быть наложен на другой, так что он точно покрывает его. Это означает, что две окружности равны тогда и только тогда, когда их радиусы равны. т.е. C (O, r) и C (O ’, r) конгруэнтны, если только если r = s.
    Конгруэнтные дуги: Две дуги окружности конгруэнтны, если одну из них можно наложить на другую, чтобы точно покрыть ее.Это возможно только при одинаковой степени измерения двух дуг.

Пример 1: Возьмите две точки A и B на плоском листе. Нарисуйте круг с центром A, радиусом AC и внешней стороной B.
Решение: Отметьте на бумаге две точки A и B.
A • • B
Так как точка B должна находиться вне круга, возьмите A в качестве центра и радиус (r) меньше AB, чтобы нарисовать круг.

Пример 2: Найдите диаметр окружности радиусом 6 см.
Решение: Мы знаем,
Диаметр = 2 × радиус
∴ Диаметр = 2 × 6 см = 12 см

Что такое круг и его свойства? (определение, формулы, примеры)

Круг — это замкнутая форма, образованная путем отслеживания точки, которая движется в плоскости таким образом, что расстояние до нее от данной точки является постоянным. Слово круг происходит от греческого слова kirkos, что означает обруч или кольцо. В этой статье мы рассмотрим важные термины, связанные с кругами, их свойствами и различными формулами кругов.

Ниже приводится краткое описание тем, которые мы рассмотрим в этой статье:

Определение круга

Когда набор всех точек , которые находятся на на фиксированном расстоянии от фиксированной точки , соединяются, полученная геометрическая фигура называется окружностью.

Давайте теперь немного узнаем о терминологии, используемой в кругах.

Термины, связанные с кругами

Центр

Неподвижная точка в окружности называется центром.

  • Итак, набор точек находится на фиксированном расстоянии от центра круга.

Радиус

Радиус — это фиксированное расстояние между центром и набором точек. Он обозначается «R» .

Диаметр

Диаметр — это линейный сегмент, имеющий граничные точки окружностей в качестве конечных точек и проходящий через центр.

  • Итак, логически диаметр можно разбить на две части:
    • Одна часть от одной граничной точки круга до центра
    • И, другая часть от центра до другой граничной точки.
      • Следовательно, Диаметр = Двойная длина радиуса или «D = 2R»

Окружность

Это мера внешней границы круга.

Итак, длина круга или периметр круга называется окружностью.

Дуга окружности

Дуга окружности — это часть окружности.

Из любых двух точек, лежащих на границе круга, можно создать две дуги: Малую и Большую дугу.

  • Малая дуга: Более короткая дуга, образованная двумя точками.
  • Большая дуга: Более длинная дуга, образованная двумя точками.

Сектор круга:

Сектор образуется путем соединения концов дуги с центром.

  • При соединении конечных точек с центром будут получены два сектора: Minor и Major.
    • По умолчанию мы учитываем только второстепенный сектор, если не указано иное.

полукруг

Полукруг — это половина круга или,

  • Полукруг получается, когда круг делится на две равные части.

Теперь, когда мы знаем всю терминологию, относящуюся к кругам, давайте узнаем о свойствах круга.

Геометрия — важная тема для асов, если вы планируете набрать 700+ на GMAT. Позвольте нам помочь вам достичь совершенства в GMAT Geometry.Начните с подписки на бесплатную пробную версию и учитесь у лучших в отрасли. В конце концов, о нас больше всего отзываются на gmatclub.

Кэрри Лоу, Гильермо, Сириш и Рагхав — это лишь некоторые из студентов, которые с помощью электронного GMAT набрали Q50 + балл в разделе GMAT Quant.

Важные свойства круга — линии

Свойства, относящиеся к линиям в окружности

аккорд

Хорда — это отрезок прямой, концы которого лежат на границе круга.

Свойства хорды
  1. Перпендикуляр, опущенный из центра, делит пояс на две равные части.
Касательная

Касательная — это линия, которая касается окружности в любой точке.

Свойства касательной
  1. Радиус всегда перпендикулярен касательной в точке, где он касается окружности.

Важные свойства круга, связанные с углами

Свойства, относящиеся к углам в окружности

Угол с надписью

Вписанный угол — это угол между двумя хордами, когда они встречаются на границе круга.

Свойства вписанных углов

1. Углы, образованные одной и той же дугой на окружности окружности, всегда равны.

2. Угол в полукруге всегда равен 90 °.

Центральный угол

Центральный угол — это угол, образующийся, когда две линейные сегменты встречаются таким образом, что одна из конечных точек обоих линейных сегментов находится в центре, а другая — на границе круга.

Свойство центральных углов
  • Угол, образованный дугой в центре, в два раза превышает вписанный угол , образованный той же дугой.

Важные формулы круга: площадь и периметр

Ниже приведены некоторые математические формулы, которые помогут вам вычислить площадь и периметр / длину окружности.

Периметр:

  • Периметр или окружность круга = 2 × π × R.
  • Длина дуги = (Центральный угол, образованный дугой / 360 °) × 2 × π × R.

Площадь:

  • Площадь круга = π × R²
  • Площадь сектора = (Центральный угол, образованный сектором / 360 °) × π × R².

Обзор всех свойств круга

Вот обобщенный список всех свойств, которые мы изучили в статье до этого момента.

Важные свойства
Линии по окружности аккорд Перпендикуляр, опущенный из центра, делит пояс на две равные части.
Касательная Радиус всегда перпендикулярен касательной в точке, где он касается окружности.
Углы по окружности Угол вписанный 1. Углы, образованные одной и той же дугой на окружности окружности, всегда равны.
2. Угол в полукруге всегда равен 90.
Центральный угол Угол, образованный дугой в центре, вдвое больше вписанного угла, образованного той же дугой.
Важные формулы Окружность круга 2 × π × R.
Длина дуги
(Центральный угол, образованный дугой / 360 °) × 2 × π × R
Площадь круга π × R²
Площадь сектора
(Центральный угол, образованный дугой / 360 °) × π × R²

Применение свойств в вопросах

Вопрос 1

Длина двух сторон прямоугольного треугольника, кроме гипотенузы, составляет 6 см и 8 см.Если этот прямоугольный треугольник вписан в круг, то какова площадь круга?

  1. 5 π
  2. 10 π
  3. 15 π
  4. 20 π
  5. 25 π
Решение

Шаг 1: Дано

  • Длина двух сторон прямоугольного треугольника, кроме гипотенузы, составляет 6 см и 8 см.
  • Этот треугольник вписан в круг.

Шаг 2: найти

Шаг 3: подход и разработка

Нарисуем схематическое изображение.

Применяя свойство, что угол в полукруге равен 90º, мы можем сказать, что AB — это диаметр окружности.

  • И, как только мы найдем длину диаметра, мы сможем найти радиус, а затем мы также сможем найти площадь круга.

Применение теоремы Пифагора в △ ABC,

  • AB² = AC² + BC²
    • AB² = 6² + 8² = 36 +64 = 100
    • AB = 10 см

Поскольку AB — диаметр, AB = 2R = 10

Площадь круга = π × R² = π × 5² = 25 π.

Следовательно, правильный ответ — вариант E.

Вопрос 2

На приведенной выше диаграмме О — центр круга. Если OB = 5 см и ∠ABC = 30 0 , то какова длина дуги AC?

  1. 5π / 6
  2. 5π / 3
  3. 5π / 2
  4. 10π
Решение

Шаг 1: Дано

Шаг 2: найти

Шаг 3: подход и разработка

  • Длина дуги = (Центральный угол дуги / 360 °) × 2 × π × R.

Чтобы найти длину дуги, нам нужно значение двух переменных, центрального угла, образованного дугой, и радиуса.

  • Нам уже дан радиус как OB = 5см
  • Нам нужно найти ∠AOC

При визуализации диаграммы угол, вписанный дугой AC, равен ABC, а центральный угол дугой AC равен AOC.

  • Следовательно, мы можем применить свойство, согласно которому угол, образованный дугой в центре, в два раза больше вписанного угла, образованного той же дугой.
  • Таким образом, AOC = 2 × ∠ABC = 2 × 30 ° = 60 °

Теперь мы знаем и центральный угол, образованный дугой.

  • Следовательно, длина дуги AC = (центральный угол дуги / 360 °) × 2 × π × R.
    • = (60 ° / 360 °) × 2 × π × 5.
    • = (1/6) × 2 × π × 5.
    • = (5π / 3) см

Таким образом, правильный ответ — вариант Б.

Если вам понравилась эта статья, вот еще несколько статей, связанных с геометрией:

кругов — объяснение и примеры

Круг — одна из важных геометрических фигур. На экзамене по геометрии большинство вопросов состоит из прямоугольников, треугольников и кругов.

Мы все видели круги раньше. У них идеально круглая форма, что делает их идеальными для хула-хупинга! Эта статья объяснит, что такое круг, его свойства и части.

Что такое круг в геометрии?

Слово « круг » происходит от греческого слова, означающего « обруч » или « кольцо ». В геометрии круг определяется как замкнутая двумерная фигура, в которой множество всех точек в плоскости находится на равном расстоянии от заданной точки, называемой « центр ».”

Никогда не путайте круг с многоугольником. Круг — это не многоугольник, потому что он состоит из кривых.

История круга древняя. Раньше люди считали, что Луна, Солнце и другие планеты имеют круглую форму, потому что не существовало концепции трехмерных форм — математики изучают круги, которые помогли им развить вычисления и астрономию.

В 1700 году до нашей эры Папирус Райнда предложил метод определения площади круга. В то время значение пи не было точным.В 300 г. до н.э. Евклид изложил свойства кругов в своей книге. Наконец, в 1880 году немецкий математик Линдеманн решил проблему со значением числа пи и доказал, что число пи является трансцендентным (а не корнем любого многочлена с рациональными коэффициентами).

Круги вокруг нас! Вот некоторые из реальных примеров кругов:

  • Колесо велосипеда
  • Монета
  • Обеденная тарелка
  • Часы настенные
  • Колеса обозрения

Таким образом, круг — важная форма в области геометрии.Давайте посмотрим на стороны и свойства круга.

Части круга

  • Центр: Центр — это середина круга. На приведенной выше диаграмме центр круга указывает на «.
  • Радиус : это отрезок прямой от центра круга, соединяющий любую точку на самом круге. Радиус круга обозначается буквой « r » (нижний регистр) или « R » (верхний регистр).

Линия OT — это радиус вышеуказанной окружности.

  • Диаметр : Диаметр круга — это отрезок прямой, проходящий через центр круга и имеющий оба конца круга. Математически диаметр в два раза больше радиуса круга. Диаметр круга обозначается « D » или «» .

Линия PQ — диаметр окружности.

  • Хорда : Хорда — это отрезок прямой с обоими концами на окружности.Линия RS — это хорда круга выше. Диаметр круга — самая длинная хорда.
  • Секанс : Секанс — это удлиненная хорда круга.

Линия 2 ( l 2 ) является секущей окружности выше.

  • Дуга : Дуга — это кривая вдоль внешней линии окружности
  • Касательная : касательная к окружности — это прямая линия, которая касается окружности с внешней стороны, внешней линии окружности.Линия 2 ( l 2 ) является касательной к окружности.
  • Сегмент : Сегмент — это область, ограниченная дугой и хордой.
  • Сектор : Сектор — это область, образованная дугой и двумя радиусами. Область OTP — это сектор круга, как показано выше.
  • Окружность : Окружность круга — это общее расстояние по всей внешней линии круга
  • Площадь круга : Область, ограниченная внешней линией круга
  • Кольцо : Кольцо — это объект в форме кольца, образованный между двумя концентрическими (окружности с общим центром) окружностями.Например, заштрихованная область в кружке ниже называется кольцом.

Свойства круга

Есть несколько фактов о кругах. Эти факты о кругах известны как свойства круга. Давайте изучим их.

  • Окружности одинакового радиуса или диаметра конгруэнтны.
  • Самая длинная хорда круга называется диаметром.
  • Диаметр круга в два раза больше радиуса самого круга.
  • Диаметр делит круг на две равные половины.
  • Внешняя линия круга равноудалена от центра.
  • Независимо от размера радиуса или диаметра, все окружности одинаковы.
  • Радиус представляет собой серединный перпендикуляр хорды.
  • Две или более хорды равны по длине, если все они равноудалены от центра окружности.
  • Угол, образованный между радиусом и касательной, всегда составляет 90 градусов (прямой угол)
  • Две касательные равны, если они имеют общую точку начала координат.
  • Угол, образуемый окружностью в центре круга, равен четырем прямым углам.
  • Окружность двух или более разных окружностей пропорциональна их соответствующим радиусам.
  • Дуги одной окружности пропорциональны своим соответствующим углам.
  • Радиусы одинаковых окружностей или одной и той же окружности равны.
  • Равные круги имеют площадь и равную длину окружности.
  • Расстояние между самой длинной хордой и центром круга равно нулю.
  • Перпендикулярное расстояние от центра окружности до хорды увеличивается по мере уменьшения длины хорды, и наоборот.
  • Круг может описывать многоугольники, такие как треугольник, трапеция, прямоугольник и т. Д.
  • Точно так же круг может быть вписан внутри многоугольника, такого как прямоугольник, воздушный змей, квадрат, трапеция и т. Д.
  • Касательные, нарисованные на обоих концах диаметра, всегда параллельны друг другу.
  • Два радиуса, соединяющие концы хорды с центром окружности, образуют равнобедренный треугольник.
  • Равные дуги соединяют равные углы в центре окружности.

Пример 1

Что из следующего имеет круглую форму?

  1. Пицца
  2. Футбол
  3. оранжевый
  4. Все это.

Решение

Все упомянутые формы имеют круглую форму.

Следовательно, правильный выбор — D.

Пример 2

Круглая чаша имеет диаметр 9 дюймов.Какой радиус чаши?

Решение

Мы знаем, что радиус круга равен половине диаметра.

Следовательно,

Радиус = 9/2 = 4,5 дюйма

Пример 3

Какая из следующих частей круга также может быть хордой круга?

  1. Радиус
  2. Диаметр
  3. Дуга
  4. Сектор

Решение

Хорда — это отрезок прямой с обоими концами на окружности.Диаметр круга — самая длинная хорда.

Следовательно, правильный выбор — B.

Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урок

Основная информация об окружностях (геометрия, круги) — Mathplanet

Окружность — это все точки в одной плоскости, которые находятся на равном расстоянии от центральной точки. Круг состоит только из точек на границе. Вы можете представить круг как обруч. Кругом являются только точки на границе.Точки внутри хула-хупа не являются частью круга и называются внутренними точками.

Расстояние между средней точкой и границей круга называется радиусом. Отрезок, концы которого находятся на окружности и проходит через среднюю точку, называется диаметром. Диаметр в два раза больше радиуса. Отрезок линии, конечные точки которого находятся на круговой границе, но не проходят через среднюю точку, называется хордой.

Расстояние по окружности называется окружностью C и может быть определено с помощью радиуса r или диаметра d:

$$ \ C = 2 \ pi r $$

$$ C = \ pi d $$

Круг такой же, как 360 °.Вы можете разделить круг на более мелкие части. Часть круга называется дугой, а дуга — в соответствии с ее углом. Дуги делятся на малые дуги (0 °

Длина дуги l определяется путем подстановки градуса дуги v и длины окружности C в следующую формулу:

$$ l = C \ cdot \ frac {v} {360} $$

Когда диаметры пересекаются в центре круга, они образуют центральные углы.Например, когда вы разрезаете торт, вы начинаете свои кусочки с середины.


Пример

Как и в случае с тортом выше, мы делим круг на 8 частей с одинаковым углом. Окружность круга составляет 20 единиц длины. Определите длину дуги каждой детали.

Сначала нам нужно найти угол для каждой части, поскольку мы знаем, что полный круг равен 360 °, мы можем легко сказать, что каждая часть имеет угол 360/8 = 45 °. Мы подставляем эти значения в нашу формулу для длины дуг:

$$ l = C \ cdot \ frac {v} {360} $$

$$ l = 20 \ cdot \ frac {45} {360} = 2.5 $$

Следовательно, длина наших дуг составляет 2,5 единицы длины. Мы могли бы еще проще сказать это, просто разделив окружность на количество частей одинакового размера: 20/8 = 2,5


Видеоурок

Каков угол дуги окружности, если мы разделим круг на 12 частей одинакового размера

Круг

Круг сделать легко:

Нарисуйте кривую на расстоянии
«радиуса» от центральной точки.

А так:

Все точки находятся на одинаковом расстоянии от центра.

Самостоятельно нарисовать

Вставьте булавку в доску, оберните вокруг нее веревку и вставьте в петлю карандаш. Держите веревку натянутой и нарисуйте круг!

Играй с ним

Попробуйте перетащить точку, чтобы увидеть, как меняются радиус и окружность.

(Посмотрите, сможете ли вы сохранить постоянный радиус!)

Радиус, диаметр и окружность

Радиус — это расстояние от центра наружу.

Диаметр проходит прямо по окружности через центр.

Окружность — это расстояние один раз по окружности.

А вот и действительно крутая штука:

Когда мы разделим длину окружности на диаметр, мы получим 3,141592654 …
, что является числом π (Пи)

.

Итак, когда диаметр равен 1, длина окружности равна 3,141592654 …

Можно сказать:

Окружность = π × Диаметр

Пример. Вы ходите по кругу диаметром 100 м. Как далеко вы прошли?

Пройденное расстояние = Окружность = π × 100 м

= 314м (с точностью до метра)

Также обратите внимание, что диаметр в два раза больше радиуса:

Диаметр = 2 × Радиус

Так же верно и то:

Окружность = 2 × π × Радиус

Вкратце:

× 2 × π
Радиус Диаметр Окружность

Вспоминая

Длина слов может помочь вам запомнить:

  • Радиус — кратчайшее слово и кратчайшая мера
  • Диаметр длиннее
  • Обхват самый длинный

Определение

Окружность плоская (двумерная), поэтому:

Площадь

Площадь круга в π умножена на квадрат радиуса, который записывается:

A = π r 2

Где

  • A — Площадь
  • r — радиус

Чтобы вспомнить, подумайте «Пирог в квадрате» (хотя пироги обычно круглые):

Пример: Какова площадь круга с радиусом 1.2 м?

Площадь = πr 2

= π × 1,2 2

= 3,14159 … × (1,2 × 1,2)

= 4,52 (до 2 знаков после запятой)

Или, используя Диаметр:

A = ( π /4) × D 2

Площадь по сравнению с квадратом

Окружность составляет около 80% площади квадрата аналогичной ширины.
Фактическое значение (π / 4) = 0.785398 … = 78,5398 …%

И кое-что интересное для вас:

См. Площадь круга по линиям

Имена

Поскольку люди изучали круги в течение тысяч лет, у них появились особые имена.

Никто не хочет говорить «та линия, которая начинается с одной стороны круга, проходит через центр и заканчивается на другой стороне» , когда они могут просто сказать «Диаметр».

Итак, вот самые распространенные специальные имена:

линии

Линия, которая «просто касается» круга, когда проходит мимо, называется касательной .

Линия, пересекающая круг в двух точках, называется секущей .

Отрезок линии, который идет от одной точки к другой на окружности круга, называется хордой .

Если он проходит через центр, он называется диаметром .

Часть окружности называется Дугой .

Ломтики

Есть два основных «кусочка» круга.

Кусочек «пиццы» называется сектором.

А отрезок, образованный аккордом, называется отрезком.

Общие сектора

Квадрант и Полукруг — это два особых типа сектора:

Четверть круга называется Квадрантом .

Полукруг называется Полукруг.

Внутри и снаружи

У круга есть внутренняя и внешняя стороны (конечно же!).Но у него также есть «включено», потому что мы можем оказаться прямо на круге.

Пример: «A» находится вне круга, «B» находится внутри круга, а «C» находится на круге.

Эллипс

Круг — это «частный случай» эллипса.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *