Линейные уравнения с дробями | Алгебра

Линейные уравнения с дробями не содержат переменной в знаменателе. Чтобы решить линейное уравнение с дробями, удобно избавиться от знаменателей.

Для этого нужно найти наименьший общий знаменатель всех входящих в уравнение дробей и обе части уравнения умножить на это число.

Наименьший общий знаменатель данных дробей равен 6. Дополнительный множитель к первой дроби равен 2, ко второй — 3, к 5 — 6. Умножаем обе части уравнения на наименьший общий знаменатель:

В результате наименьший общий знаменатель и знаменатель каждой дроби сокращаются, и получаем линейное уравнение, не содержащее дробей.

Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:

Обе части уравнения делим на число, стоящее перед иксом:

Из полученной неправильной дроби выделяем целую часть

Ответ: -4 6/7.

Наименьший общий знаменатель данных дробей равен 20. Найдем дополнительный множитель к каждой дроби и умножим обе части уравнения на 20:

Можно, конечно, сразу же умножить дополнительный множитель на числитель каждой дроби. Но, к сожалению, наибольшее количество ошибок при решении линейных уравнений с дробями допускается именно на этом шаге. Скобки — друзья ученика :). Поэтому лучше воспользоваться их помощью:

Особенно полезны скобки в случае, когда перед дробью стоит знак «минус».

После раскрытия скобок можно сразу же перенести неизвестные в одну сторону уравнения, известные — в другую (не забыв при переносе изменить их знаки), а можно сначала упростить каждую часть, приведя подобные слагаемые, а потом уже переносить.

Ответ: -34.

Здесь наименьший общий знаменатель дробей равен 12. Находим дополнительный множитель к каждой дроби и умножаем обе части уравнения на 12:

Раскрываем скобки и упрощаем

Обе части уравнения делим на число, стоящее перед иксом:

Ответ: -5.

Уравнения такого вида можно решить, использовать основное свойство пропорции (в верной пропорции произведение крайних членов равно произведению средних членов):

при делении двух отрицательных чисел получается положительное число, поэтому минусы можно сразу же не писать.

Если это возможно, лучше ответ записать в виде десятичной дроби:

Ответ: 0,1875.

Решение дробных уравнений с преобразованием в квадратные уравнения

Дробным уравнением называется уравнение, в котором хотя бы одно из
слагаемых — дробь, в знаменателе которой присутствует неизвестное. Например, дробным уравнением
является уравнение .

Решать дробные уравнения удобно в следующем порядке:

• найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение, если каждая дробь имеет смысл,
• заменить данное уравнение целым, умножив обе его часть на общий знаменатель,
• решить получившееся целое уравнение,
• исключить из его корней те, которые обращают в нуль общий знаменатель.

Пример 1. Решить дробное уравнение:

.

Решение. Воспользуемся основным свойством дроби с представим левую и
правую части этого уравнения в виде дробей с одинаковым знаменателем:

.

Эти дроби равны при тех и только тех значениях, при которых равны их
числители, а знаменатель отличен от нуля. Если знаменатель равен нулю, то дроби, а
следовательно, и уравнение не имеет смысла.

Таким образом, чтобы найти корни данного уравнения, нужно решить уравнение

.

Упростив уравнение (раскрыв скобки и приведя подобные члены), получим квадратное уравнение

.

При решении квадратного уравнения получаем его корни:

.

Найденные корни не обращают знаменатель в нуль, поэтому они являются
корнями исходного дробного уравнения.

Пример 2. Решить дробное уравнение:

.

Решение. Найдём общий знаменатель дробей, входящих в данное дробное
уравнение. Общий знаменатель —

.

Заменим исходное уравнение целым. Для этого умножим обе его части на
общий знаменатель. Получим:

Выполним необходимые преобразования в полученном уравнении и придём к
квадратному уравнению

.

Решенив квадратное уравнение, получаем его корни:

.

Если x = -3, то
найденный на первом шаге знаменатель обращается в нуль:

,

то же самое, если x = 3.

Следовательно, числа -3 и 3 не являются корнями исходного уравнения, а,
поскольку никакие другие корни не найдены, данное уравнение не имеет решения.

Пример 3. Решить дробное уравнение:

.

Решение. Найдём общий знаменатель дробей, входящих в данное
уравнение. Для этого знаменатели дробей разложим на множители:

.

Общий знаменатель — выражение

Заменим исходное уравнение целым, умножив обе его части на общий знаменатель. Получим:

Выполнив преобразования, придём к квадратному уравнению

.

Решенив квадратное уравнение, получаем его корни:

.

Ни один из корней не обращает общий знаменатель в нуль. Следовательно,
числа -4 и 9 — корни данного уравнения.

Пример 4. Решить дробное уравнение:

.

Решение. Введём новую переменную, обозначив .
Получим уравнение с переменной y:

.

Корни этого уравнения:

Значит

или .

Из уравнения находим, что

.

Из уравнения находим, что

.

Итак, данное уравнение имеет четыре корня:

, .

Другие темы в блоке «Школьная математика»

Как решать дробные уравнения? | О математике понятно

        Итак, друзья, продолжаем осваивать решение основных типов алгебраических уравнений. Мы с вами уже хорошо (надеюсь) знаем, как именно надо решать линейные и квадратные уравнения. Осталось разобрать ещё одним основным типом уравнений — дробными уравнениями.

        Иногда их называют более научно и солидно — дробные рациональные уравнения. Или дробно-рациональные уравнения. Это сути не меняет.)

        Дробные уравнения — незаменимая вещь во многих других темах математики. Особенно — в текстовых задачах. Но для успешного их решения жизненно необходимо ориентироваться в трёх смежных темах:

        1. Дроби и действия с дробями и дробными выражениями.

        2. Тождественные преобразования уравнений.

        3. Решение линейных и квадратных уравнений.

        Без этих трёх китов браться за решение дробных уравнений слишком уж самонадеянно, я бы сказал. Почему? Да потому, что непонимание, как, скажем, работать с дробями (сокращать, приводить к общему знаменателю и т.д.) автоматически будет приводить к полному провалу и в дробных уравнениях. Намёк понятен?)

        Так что тем, у кого проблемы хотя бы по одной из вышеперечисленных тем — настоятельно рекомендую освежить их в памяти, да и по ссылочкам пройтись.

        Итак, вперёд!

Что такое дробное уравнение? Примеры.

        Дробное уравнение, как следует непосредственно из названия, — это уравнение, в котором есть дроби. Обязательно. Причём (важно!) не просто дроби, а дроби, у которых есть икс в знаменателе. Хотя бы в одном.

        Например, вот такое уравнение:

        Или такое:

        Или вот такое:

        И так далее.) Напоминаю, что, если в знаменателях сидят только числа, то такие уравнения к дробным не относятся. Либо это линейные уравнения, либо квадратные.

        Например:

        Это линейное уравнение, хотя тут тоже есть дроби. Почему? Да потому, что знаменатели дробей — четвёрка и пятёрка. Т.е. просто числа. И ни один из знаменателей не содержит иксов.

        Или такое уравнение:

        Это обычное квадратное уравнение, несмотря на двойку в знаменателе. Опять же, по причине того, что двойка — не икс, и деления на неизвестное в дроби нету.

        В общем, вы поняли.

Как решать дробные уравнения? Убираем дроби!

        Как это ни странно, дробные уравнения в большинстве своём решаются довольно просто. По чётким и несложным правилам. Каким же именно образом?

        Первым делом надо избавиться от дробей! Это ключевой шаг в решении любого дробного уравнения, который должен быть освоен идеально. Ибо после того, как все дроби исчезли, уравнение, чаще всего, превращается в линейное или квадратное. А дальше мы уже с вами знаем, что делать.)

        Но… Как же нам избавиться от дробей?! Легко! Применяя всё те же старые добрые тождественные преобразования! В чём же суть?

        Вникаем. Нам надо помножить обе части уравнения на одно и то же выражение. Но не на какое попало, а на такое, чтобы все знаменатели посокращались! Одним махом.) Ибо дальше, без знаменателей, жизнь становится гораздо проще и приятнее.)

        Это только на конкретном примере показать можно. Итак, решаем первое уравнение из нашего списка:

        Первое, что приходит на ум — перенести всё в одну сторону, привести всё к общему знаменателю и т.д. Забудьте, как кошмарный сон! Так делают только в одном случае — при решении дробно-рациональных неравенств методом интервалов. Это отдельная большая тема.

        А в уравнениях нам надо сразу умножить обе части на такое выражение, которое нам позволит сократить все знаменатели. И какое же это выражение?

        Давайте его конструировать.) Смотрим ещё раз на уравнение:

        Понятно, что в левой части для ликвидации знаменателя нам необходимо умножение на (х+3), а в правой — на 3. Но математика позволяет умножать обе части уравнения только на одно и то же выражение! На разные — не катит. Ничего не поделать, так уж она устроена…)

        Значит, нам надо скомбинировать такое выражение, которое одновременно делилось бы как на (х+3), так и на тройку. Причём очень важно — только с помощью умножения! И какое же это выражение? Очевидно, это 3(х+3). То есть, по сути, общий знаменатель обеих дробей.

        Итак, для ликвидации всех дробей наше уравнение надо умножать на выражение 3(х+3).

        Умножаем:

        Это самое обычное умножение дробных выражений, но, так уж и быть, расписываю детально:

        Прошу обратить внимание: скобки (х+3) я не раскрываю! Прямо так, целиком, их и пишу, как будто бы это одна буква. Ибо наша основная на данный момент задача — дроби убрать. Чего без произведения никак не сделаешь… И зачем же нам тогда париться с раскрытием скобок?!

        А вот теперь мы видим, что в левой части сокращается целиком (х+3), а в правой 3. Чего мы и добивались! И теперь с чувством глубокого удовлетворения производим сокращение:

        Вот и отлично. Дроби исчезли. После сокращения получилось безобидное линейное уравнение:

        2∙3 = х+3

        А его (надеюсь) уже решит каждый:

        х = 3

        Решаем следующий примерчик:

        И опять избавляемся от того, что нам не нравится. В данном примере это дробь 20/х. Одна единственная. Для её ликвидации правую часть надо домножить на знаменатель. То есть, просто на х. Но тогда и левую часть тоже надо домножить на х: так уж второе тождественное преобразование требует.

        Вот и домножаем! Всю левую часть и всю правую часть:

        Напоминаю, что эта вертикальная чёрточка с умножением всего лишь означает, что обе части нашего уравнения мы умножаем на «х».    

        Вперёд!

        А вот теперь — снова внимание! Очередные грабли. Заметьте, что при умножении левой части на икс, выражение (9 — х) я взял в скобки! Почему? Потому, что мы умножаем на икс всю левую часть целиком, а не отдельные её кусочки!

        Дело всё в том, что частенько после умножения народ записывает левую часть вот так:

        Это категорически неверно. Дальше можно уже не решать, да…)

        Но у нас всё хорошо, будем дорешивать.

        С чистой совестью сокращаем икс справа и получаем уравнение уже безо всяких дробей, в одну строчку.

        (9 — х)∙х = 20

        Вот и отлично. Все дроби исчезли напрочь, теперь можно и скобки раскрыть:

        9х — х² = 20

        Переносим всё влево и приводим к стандартному виду:

        Получили классическое квадратное уравнение. Но минус перед квадратом икса — нехорош. Забыть его проще простого! От него всегда можно избавиться умножением (или делением) уравнения на (-1). Проще говоря, меняем в левой части все знаки на противоположные. А справа как был ноль, так ноль же и останется:

        Решаем через дискриминант (или подбираем по теореме Виета) и получаем два корня:

        х₁ = 4

        х₂ = 5

        И все дела.)

        Как вы видите, в первом случае уравнение после преобразований стало линейным, а здесь — квадратным.

        А бывает и так, что после ликвидации дробей вообще все иксы сокращаются и остаётся чистая правда. Что-нибудь типа 3=3.  Это означает, что икс может быть любым. Какой икс ни возьми — всё равно всё посокращается и останется железное равенство 3=3.

        Или наоборот, может получиться какая-нибудь белиберда, типа 3=4. А это будет означать, что корней нет. Какой икс ни возьми — всё сократится и останется бред…

        Надеюсь, такие сюрпризы вас уже нисколько не удивят.) Если всё же удивят, то прогуляйтесь по ссылочке: Линейные уравнения. Как решать линейные уравнения? А чуть конкретнее — особые случаи при решении линейных уравнений. Эти сюрпризы (полная пропажа иксов после преобразований) — они ко всем видам уравнений относятся. И дробные — не исключение.)

        Разумеется, при попытке ликвидации дробей встречаются и неожиданности. И одну из них мы рассмотрим прямо сейчас.

Раскладываем на множители!

        Решаем третье уравнение по списку:

        А вот тут некоторые могут и зависнуть. На что же такое надо домножить всё уравнение, чтобы за один шаг сократились все знаменатели? Можно, конечно, взять и тупо перемножить все три знаменателя, получить

        x(x²+2x)(x+2)

        и домножить на эту конструкцию всё уравнение. Математика не возражает.) Но… Может быть, есть выражение попроще?

        Что ж, вскрою тайну: да, всё гораздо проще! Если в совершенстве владеть таким мощным приёмом, как разложение на множители. Привет седьмому классу!)

        А попробуем-ка разложить на множители каждый из знаменателей? Ну, с х и х+2 точно ничего не сделать, а вот х²+2х вполне себе раскладывается! Выносим один икс за скобку и получаем:

        х²+2х = х(х+2)

        Отлично. Вставим наше разложение в исходное уравнение:

        Вот теперь всё и прояснилось.) Теперь уже отчётливо видно, что гораздо проще будет умножать обе части уравнения на х(х+2). Это выражение гораздо короче и прекрасно делится на каждый из знаменателей: и на x, и на (х+2), и само на себя — на х(х+2).

        Вот на х(х+2) и умножаем:

        И снова расписываю подробно, дабы не запутаться. В левой части я буду использовать скобки: там сумма дробей. В правой части скобки не нужны: там одна дробь. Вот и пишем:

        А теперь производим умножение. В левой части большие скобки умножаем на наше выражение х(х+2). Разумеется, по правилу раскрытия скобок, сначала первую дробь, затем — вторую. Ну, а в правой части, по правилу умножения дробей, просто умножаем числитель:

        Я уж не стал здесь рисовать единички в знаменателях, несолидно… И, опять же, малые скобки в числителях я не раскрываю! Они нам сейчас для сокращения понадобятся! И да… Откуда появились скобки (х — 3) в числителе первой дроби — думаю, уже не стоит объяснять?)

        С удовольствием сокращаем все дроби:

        (x-3)(x+2) + 3 = x

        Раскрываем оставшиеся скобки, приводим подобные и собираем всё слева:

        x² + 2x — 3x — 6 + 3 — х = 0

        x² — 2x — 3 = 0

        И снова получили квадратное уравнение.) Решаем и получаем два корня:

        x₁ = -1

        x₂ = 3

        Вот и всё. Это и есть ответ.)

        Из этого примера можно сделать важный вывод:

        Если знаменатели дробей можно разложить на простые множители — обязательно делаем это! Пригодится при ликвидации дробей. Причём раскладываем всё до упора, используя все возможные способы из алгебры седьмого класса!

        Как вы видите, всё просто и логично. Мы меняем исходное уравнение так, чтобы после наших преобразований из примера исчезло всё то, что нам не нравится. Или мешает. В данном случае это — дроби. И точно так же мы будем поступать и со всякими логарифмами, синусами, показателями и прочей жестью.) Мы всегда будем от всего этого избавляться.)

        Ну что, порешаем?)

        Решить уравнения:

        Ответы (как обычно, вразброс):

        x = 3

        x₁ = 0,5;    x₂ = 3

        x = 2

        х = 6

        x = 2,6

        x₁ = 2;    x₂ = 5

        Последнее задание не решается? Что ж, формулы сокращённого умножения всяко помнить надо, да…)

        Всё решилось? Что ж, здорово! Значит, полпути в решении дробных уравнений мы с вами уже преодолели. Эта первая часть пути — избавление от дробей. Осталась вторая. Не менее важная!

        Всё просто, но… Пришло время открыть вам горькую правду. Успешное решение дробных уравнений этого урока вовсе не гарантирует успех в решении всех остальных примеров этой темы. Даже очень простых, подобных этим. К сожалению…

        Но об этом — дальше.)

Как освободиться от иррациональности в знаменателе: способы, примеры, решения

При изучении преобразований иррационального выражения очень важным является вопрос о том, как освободиться от иррациональности в знаменателе дроби. Целью этой статьи является объяснение этого действия на конкретных примерах задач. В первом пункте мы рассмотрим основные правила данного преобразования, а во втором – характерные примеры с подробными пояснениями.

Понятие освобождения от иррациональности в знаменателе

Начнем с пояснения, в чем вообще заключается смысл такого преобразования. Для этого вспомним следующие положения.

Об иррациональности в знаменателе дроби можно говорить в том случае, если там присутствует радикал, он же знак корня. Числа, которые записаны при помощи такого знака, часто относятся к числу иррациональных. Примерами могут быть 12, -2x+3, x+yx-2·x·y+1, 117-5 . К дробям с иррациональными знаменателями также относятся те, что имеют там знаки корней различной степени (квадратный, кубический и т.д.), например, 343, 1x+x·y4+y. Избавляться от иррациональности следует для упрощения выражения и облегчения дальнейших вычислений. Сформулируем основное определение:

Определение 1

Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби – значит преобразовать ее, заменив на тождественно равную дробь, в знаменателе которой не содержится корней и степеней.

Такое действие может называться освобождением или избавлением от иррациональности, смысл при этом остается тем же. Так, переход от 12  к 22 , т.е. к дроби с равным значением без знака корня в знаменателе и будет нужным нам действием.  Приведем еще один пример: у нас есть дробь xx-y . Проведем необходимые преобразования и получим тождественно равную ей дробь x·x+yx-y, освободившись от иррациональности в знаменателе.

После формулировки определения мы можем переходить непосредственно к изучению последовательности действий, которые нужно выполнить для такого преобразования.

Основные действия для избавления от иррациональности в знаменателе дроби

Для освобождения от корней нужно провести два последовательных преобразования дроби: умножить обе части дроби на число, отличное от нуля, а затем преобразовать выражение, получившееся в знаменателе. Рассмотрим основные случаи.

В наиболее простом случае можно обойтись преобразованием знаменателя. Например, мы можем взять дробь со знаменателем, равным корню из 9. Вычислив 9, мы запишем в знаменателе 3 и избавимся таким образом от иррациональности.

Однако гораздо чаще приходится предварительно умножать числитель и знаменатель на такое число, которое потом позволит привести знаменатель к нужному виду (без корней). Так, если мы выполним умножение 1x+1  на x+1, мы получим дробь x+1x+1·x+1  и сможем заменить выражение в ее знаменателе на x+1. Так мы преобразовали 1x+1 в x+1x+1 , избавившись от иррациональности.

Иногда преобразования, которые нужно выполнить, бывают довольно специфическими. Разберем несколько наглядных примеров.

Как преобразовать выражение в знаменателе дроби

Как мы уже говорили, проще всего выполнить преобразование знаменателя.

Пример 1

Условие: освободите дробь 12·18+50 от иррациональности в знаменателе.

Решение

Для начала раскроем скобки и получим выражение 12·18+2·50. Используя основные свойства корней, перейдем к выражению 12·18+2·50. Вычисляем значения обоих выражений под корнями и получаем 136+100. Здесь уже можно извлечь корни. В итоге у нас получилась дробь 16+10, равная 116. На этом преобразования можно закончить.

Запишем ход всего решения без комментариев:

12·18+50=12·18+2·50==12·18+2·50=136+100=16+10=116

Ответ: 12·18+50=116.

Пример 2

Условие: дана дробь 7-x(x+1)2. Избавьтесь от иррациональности в знаменателе.

Решение

Ранее в статье, посвященной преобразованиям иррациональных выражений с применением свойств корней, мы упоминали, что при любом A и четных n мы можем заменить выражение Ann  на |A| на всей области допустимых значений переменных. Следовательно, в нашем случае мы можем записать так: 7-xx+12=7-xx+1 . Таким способом мы освободились от иррациональности в знаменателе.

Ответ: 7-xx+12=7-xx+1.

Избавление от иррациональности методом умножения на корень

Если в знаменателе дроби находится выражение вида A и само выражение A не имеет знаков корней, то мы можем освободиться от иррациональности, просто умножив обе части исходной дроби на A. Возможность этого действия определяется тем, что A на области допустимых значений не будет обращаться в 0. После умножения в знаменателе окажется выражение вида A·A, которое легко избавить от корней: A·A=A2=A. Посмотрим, как правильно применять этот метод на практике.

Пример 3

Условие: даны дроби x3 и -1×2+y-4. Избавьтесь от иррациональности в их знаменателях.

Решение

Выполним умножение первой дроби на корень второй степени из 3. Получим следующее:

x3=x·33·3=x·332=x·33

Во втором случае нам надо выполнить умножение на x2+y-4 и преобразовать получившееся выражение в знаменателе:

-1×2+y-4=-1·x2+y-4×2+y-4·x2+y-4==-x2+y-4×2+y-42=-x2+y-4×2+y-4

Ответ: x3=x·33  и -1×2+y-4=-x2+y-4×2+y-4 .

Если же в знаменателе исходной дроби имеются выражения вида Anm или Amn (при условии натуральных m и n), нам нужно выбрать такой множитель, чтобы получившееся выражение можно было преобразовать в Ann·k  или An·kn (при натуральном k). После этого избавиться от иррациональности будет несложно. Разберем такой пример.

Пример 4

Условие: даны дроби 7635 и xx2+1415. Избавьтесь от иррациональности в знаменателях.

Решение

Нам нужно взять натуральное число, которое можно разделить на пять, при этом оно должно быть больше трех. Чтобы показатель 6 стал равен 5, нам надо выполнить умножение на 625. Следовательно, обе части исходной дроби нам придется умножить на 625:

7635=7·625635·625=7·625635·62=7·625655==7·6256=7·3656

Во втором случае нам потребуется число, большее 15, которое можно разделить на 4 без остатка. Берем 16. Чтобы получить такой показатель степени в знаменателе, нам надо взять в качестве множителя x2+14. Уточним, что значение этого выражения не будет 0 ни в каком случае. Вычисляем:

xx2+1415=x·x2+14×2+1415·x2+14==x·x2+14×2+1416=x·x2+14×2+1444=x·x2+14×2+14

Ответ: 7635=7·3656 и xx2+1415=x·x2+14×2+14.

Избавление от иррациональности методом умножения на сопряженное выражение

Следующий метод подойдет для тех случаев, когда в знаменателе исходной дроби стоят выражения a+b, a-b, a+b, a-b, a+b, a-b. В таких случаях нам надо взять в качестве множителя сопряженное выражение. Поясним смысл этого понятия.

Для первого выражения a+b сопряженным будет a-b, для второго a-b – a+b . Для a+b  – a-b, для a-b – a+b, для a+b – a-b, а для a-b  – a+b. Иначе говоря, сопряженное выражение – это такое выражение, в котором перед вторым слагаемым стоит противоположный знак.

Давайте рассмотрим, в чем именно заключается данный метод. Допустим, у нас есть произведение вида a-b·a+b . Оно может быть заменено разностью квадратов a-b·a+b=a2-b2, после чего мы переходим к выражению a−b, лишенному радикалов. Таким образом, мы освободились от иррациональности в знаменателе дроби с помощью умножения на сопряженное выражение. Возьмем пару наглядных примеров.

Пример 5

Условие: избавьтесь от иррациональности в выражениях 37-3 и x-5-2.

Решение 

В первом случае берем сопряженное выражение, равное 7+3. Теперь производим умножение обеих частей исходной дроби на него:

37-3=3·7+37-3·7+3=3·7+372-32==3·7+37-9=3·7+3-2=-3·7+32

Во втором случае нам понадобится выражение -5+2, которое является сопряженным выражению -5-2. Умножим на него числитель и знаменатель и получим:

x-5-2=x·-5+2-5-2·-5+2==x·-5+2-52-22=x·-5+25-2=x·2-53

Возможно также перед умножением выполнить преобразование: если мы вынесем из знаменателя сначала минус, считать будет удобнее:

x-5-2=-x5+2=-x·5-25+2·5-2==-x·5-252-22=-x·5-25-2=-x·5-23==x·2-53

Ответ: 37-3=-3·7+32  и x-5-2=x·2-53.

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание

Важно обратить внимание на то, чтобы выражение, полученное в итоге умножения, не обращалось в 0 ни при каких переменных из области допустимых значений для данного выражения.

Пример 6

Условие: дана дробь xx+4. Преобразуйте ее так, чтобы в знаменателе не было иррациональных выражений.

Решение

Начнем с нахождения области допустимых значений переменной x. Она определена условиями x≥0 и x+4≠0. Из них можно сделать вывод, что нужная область представляет собой множество x≥0.

Сопряженное знаменателю выражение представляет собой x-4. Когда мы можем выполнить умножение на него? Только в том случае, если x-4≠0 . На области допустимых значений это будет равносильно условию x≠16. В итоге мы получим следующее:

xx+4=x·x-4x+4·x-4==x·x-4×2-42=x·x-4x-16

Если x будет равен 16, то мы получим:

xx+4=1616+4=164+4=2

Следовательно, xx+4=x·x-4x-16 при всех значениях x, принадлежащих области допустимых значений, за исключением 16. При x=16 получим xx+4=2.

Ответ: xx+4=x·x-4x-16, x∈[0, 16)∪(16, +∞)2, x=16.

Преобразование дробей с иррациональностью в знаменателе с использованием формул суммы и разности кубов

В предыдущем пункте мы выполняли умножение на сопряженные выражения с тем, чтобы потом использовать формулу разности квадратов. Иногда для избавления от иррациональности в знаменателе полезно воспользоваться и другими формулами сокращенного умножения, например, разностью кубов a3−b3=(a−b)·(a2+a·b+b2). Этой формулой удобно пользоваться, если в знаменателе исходной дроби стоят выражения с корнями третьей степени вида A3-B3, A32+A3·B3+B32. и т.д. Чтобы применить ее, нам нужно умножить знаменатель дроби на неполный квадрат суммы A32+A3·B3+B32  или разность A3-B3.  Точно также можно применить и формулу суммы a3+b3=(а)·(a2−a·b+b2).

Пример 7

Условие: преобразуйте дроби 173-23  и 34-2·x3+x23 так, чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе.

Решение

Для первой дроби нам нужно воспользоваться методом умножения обеих частей на неполный квадрат суммы 73 и 23, поскольку потом мы сможем выполнить преобразование с помощью формулы разности кубов:

173-23=1·732+73·23+23273-23·732+73·23+232==732+73·23+232733-233=723+7·23+2237-2==493+143+435

Во второй дроби представим знаменатель как 22-2·x3+x32. В этом выражении виден неполный квадрат разности 2 и x3 , значит, мы можем умножить обе части дроби на сумму 2+x3 и воспользоваться формулой суммы кубов. Для этого должно быть соблюдено условие 2+x3≠0, равносильное x3≠-2 и x≠−8:

34-2·x3+x23=322-2·x3+x32==3·2+x322-2·x3+x32·2+x3=6+3·x323+x33==6+3·x38+x

Подставим в дробь -8 и найдем значение:

34-2·83+823=34-2·2+4=34

Подведем итоги. При всех x, входящих в область значений исходной дроби (множество R), за исключением -8, мы получим 34-2·x3+x23=6+3·x38+x. Если x=8, то 34-2·x3+x23=34.

Ответ: 34-2·x3+x23=6+3·x38+x, x≠834, x=-8.

Последовательное применение различных способов преобразования

Часто на практике встречаются более сложные примеры, когда мы не можем освободиться от иррациональности в знаменателе с помощью всего одного метода. Для них нужно последовательно выполнять несколько преобразований или подбирать нестандартные решения. Возьмем одну такую задачу.

Пример N

Условие: преобразуйте 574-24, чтобы избавиться от знаков корней в знаменателе.

Решение

Выполним умножение обеих частей исходной дроби на сопряженное выражение 74+24 с ненулевым значением. Получим следующее:

574-24=5·74+2474-24·74+24==5·74+24742-242=5·74+247-2

А теперь применим тот же способ еще раз:

5·74+247-2=5·74+24·7+27-2·7+2==5·74+24·7+272-22=5·74+74·7+27-2==5·74+24·7+25=74+24·7+2

Ответ: 574-24=74+24·7+2.

Уравнения с дробями | Математика

Линейные уравнения с дробями в 6 классе можно решать по обычной схеме: неизвестные — в одну сторону, известные — в другую, изменив при этом их знак. Другой путь — предварительно упростить уравнение, превратив его из линейного уравнения с дробями в линейное уравнение с целыми числами. 

Сначала на примере одного линейного уравнения с дробями рассмотрим оба способа решения.

1 способ: Это — линейное уравнение. Неизвестные — в одну сторону, известные — в другую, изменив при этом их знаки:

Приводим к общему знаменателю дроби в каждой части уравнения:

Это — простейшее линейное уравнение. Обе части уравнения делим на число, стоящее перед иксом:

При делении чисел с разными знаками получаем отрицательное число. По правилу деления дробей:

После сокращения имеем:

(В данном случае ответ можно записать и в виде десятичной дроби: х=-0,8).

2 способ:

Обе части уравнения умножим почленно на наименьший общий знаменатель всех входящих в него дробей, в данном случае он равен 24:

При умножении на знаменатель дроби сокращаются, в знаменателе остается единица, которую не пишем. От  линейного уравнения с дробями перешли к линейному уравнению с целыми числами:

Неизвестные — в одну сторону, известные — в другую с противоположными знаками:

Обе части уравнения делим на число, стоящее перед иксом:

Ответ: -4/5.

Как видите, второй способ существенно упрощает решение линейного уравнения с дробями.

Обе части уравнения умножаем почленно на наименьший общий знаменатель всех входящих в него дробей. Здесь он равен 60:

Вместо линейного уравнения с дробями получили линейное уравнение с целыми числами. Неизвестные переносим в одну сторону, известные — в другую, изменив при этом их знаки:

Обе части уравнения делим на число, стоящее перед иксом:

Сокращаем дробь на 3:

Ответ: 5/11.

Обе части уравнения умножаем почленно на наименьший общий знаменатель всех входящих в него дробей:

В результате линейное уравнение с дробями заменили на линейное уравнение с целыми числами:

Неизвестные — в одну сторону, известные — в другую, изменив при этом их знаки:

Обе части уравнения делим на число, стоящее перед иксом:

Ответ: 2,9.

В следующий раз рассмотрим линейные уравнения с смешанными дробями.

Решение уравнений с переменной в знаменателе дроби

$\frac{2x+3}{2x-1}=\frac{x-5}{x+3}$

Решение:

1.Перенесем дробь из правой части уравнения в левую

\[\frac{2x+3}{2x-1}-\frac{x-5}{x+3}=0\]

Для того чтобы правильно это сделать, вспомним, что при перенесении элементов в другую часть уравнения меняется знак перед выражениями на противоположный. Значит, если в правой части перед дробью был знак «+», то в левой перед ней будет знак «-».Тогда в левой части получим разность дробей.

2.Теперь отметим что у дробей разные знаменатели, значит для того, чтобы составить разность необходимо привести дроби к общему знаменателю. Общим знаменателем будет произведение многочленов, стоящих в знаменателях исходных дробей: $(2x-1)(x+3)$

Для того чтобы получить тождественное выражение, числитель и знаменатель первой дроби необходимо умножить на многочлен $(x+3)$, а второй на многочлен $(2x-1)$.2+11х-5=20х+4$

Тогда дробь примет вид

\[\frac{{\rm 20х+4}}{(2x-1)(х+3)}=0\]

3.Дробь равна $0$, если ее числитель равен 0. Поэтому мы приравниваем числитель дроби к $0$.

\[{\rm 20х+4=0}\]

Решим линейное уравнение:

$20x=-4$

$X=-0,2$

4.Проведем выборку корней. Это значит, что необходимо проверить, не обращаются ли знаменатели исходных дробей в $0$ при найденных корнях.

Поставим условие, что знаменатели не равны $0$

\[2x-1\ne 0 x+3\ne 0\]

х$\ne 0,5$ х$\ne -3$

Значит допустимы все значения переменных, кроме $-3$ и $0,5$.

Найденный нами корень является допустимым значением, значит его смело можно считать корнем уравнения. Если бы найденный корень был бы не допустимым значением, то такой корень был бы посторонним и ,конечно, не был бы включен в ответ.

Ответ:$-0,2.$

Действия с дробями

Дроби можно складывать, вычитать, умножать и делить. Также, дроби можно сравнивать между собой. В принципе, всё что можно делать с обычными числами, можно делать и с дробями.

Сложение дробей с одинаковыми знаменателями

Сложение дробей бывает двух видов:

1. Сложение дробей с одинаковыми знаменателями;
2. Сложение дробей с разными знаменателями.

Сначала изýчим сложение дробей с одинаковыми знаменателями. Тут всё просто. Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить без изменения.

Например, слóжим дроби    и  . Складываем числители, а знаменатель оставляем без изменения:

Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на четыре части. Если к   пиццы прибавить пиццы, то получится пиццы:

Пример 2. Сложить дроби и .

Опять же складываем числители, а знаменатель оставляем без изменения:

В ответе получилась неправильная дробь .  Если наступает конец задачи, то от неправильных дробей принято избавляться. Чтобы избавится от неправильной дроби, нужно выделить в ней целую часть. В нашем случае целая часть выделяется легко — два разделить на два будет один:

Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на две части. Если к пиццы прибавить еще пиццы, то получится одна целая пицца:

Пример 3. Сложить дроби    и  .

Опять же складываем числители, а знаменатель оставляем без изменения:

Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на три части. Если к пиццы прибавить ещё пиццы, то получится пиццы:

Пример 4. Найти значение выражения 

Этот пример решается точно также, как и предыдущие. Числители необходимо сложить, а знаменатель оставить без изменения:

Попробуем изобразить наше решение с помощью рисунка. Если к  пиццы прибавить  пиццы и ещё прибавить  пиццы, то получится 1 целая и ещё  пиццы.

Как видите в сложении дробей с одинаковыми знаменателями нет ничего сложного. Достаточно понимать следующие правила:

1. Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить без изменения;
2. Если в ответе получилась неправильная дробь, то нужно выделить в ней целую часть.

Сложение дробей с разными знаменателями

Теперь научимся складывать дроби с разными знаменателями. Когда складывают дроби, знаменатели этих дробей должны быть одинаковыми. Но одинаковыми они бывают не всегда.

Например, дроби   и  сложить можно, поскольку у них одинаковые знаменатели.

А вот дроби    и    сразу сложить нельзя, поскольку у этих дробей разные знаменатели. В таких случаях дроби нужно приводить к одинаковому (общему) знаменателю.

Существует несколько способов приведения дробей к одинаковому знаменателю. Сегодня мы рассмотрим только один из них, поскольку остальные способы могут показаться сложными для начинающего.

Суть этого способа заключается в том, что сначала ищется наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей обеих дробей. Затем НОК делят на знаменатель первой дроби и получают первый дополнительный множитель. Аналогично поступают и со второй дробью — НОК делят на знаменатель второй дроби и получают второй дополнительный множитель.

Затем числители и знаменатели дробей умножаются на свои дополнительные множители. В результате этих действий, дроби у которых были разные знаменатели, обращаются в дроби, у которых одинаковые знаменатели. А как складывать такие дроби мы уже знаем.

Пример 1. Сложим дроби  и 

У этих дробей разные знаменатели, поэтому нужно привести их к одинаковому (общему) знаменателю.

В первую очередь находим наименьшее общее кратное знаменателей обеих дробей. Знаменатель первой дроби это число 3, а знаменатель второй дроби — число 2. Наименьшее общее кратное этих чисел равно 6

НОК (2 и 3) = 6

Теперь возвращаемся к дробям  и . Сначала разделим НОК на знаменатель первой дроби и получим первый дополнительный множитель. НОК это число 6, а знаменатель первой дроби это число 3. Делим 6 на 3, получаем 2.

Полученное число 2 это первый дополнительный множитель. Записываем его к первой дроби. Для этого делаем небольшую косую линию над дробью и записываем над ней найденный дополнительный множитель:

Аналогично поступаем и со второй дробью. Делим НОК на знаменатель второй дроби и получаем второй дополнительный множитель. НОК это число 6, а знаменатель второй дроби — число 2. Делим 6 на 2, получаем 3.

Полученное число 3 это второй дополнительный множитель. Записываем его ко второй дроби. Опять же делаем небольшую косую линию над второй дробью и записываем над ней найденный дополнительный множитель:

Теперь у нас всё готово для сложения. Осталось умножить числители и знаменатели дробей на свои дополнительные множители:

Посмотрите внимательно к чему мы пришли. Мы пришли к тому, что дроби у которых были разные знаменатели, превратились в дроби у которых одинаковые знаменатели. А как складывать такие дроби мы уже знаем. Давайте дорешаем этот пример до конца:

Таким образом, пример завершается.  К  прибавить  получается .

Попробуем изобразить наше решение с помощью рисунка. Если к  пиццы прибавить  пиццы, то получится одна целая пицца и еще одна шестая пиццы:

Приведение дробей к одинаковому (общему) знаменателю также можно изобразить с помощью рисунка. Приведя дроби  и  к общему знаменателю, мы получили дроби  и . Эти две дроби будут изображаться теми же кусками пицц. Различие будет лишь в том, что в этот раз они будут разделены на одинаковые доли (приведены к одинаковому знаменателю).

Первый рисунок изображает дробь  (четыре кусочка из шести), а второй рисунок изображает дробь  (три кусочка из шести). Сложив эти кусочки мы получаем  (семь кусочков из шести). Эта дробь неправильная, поэтому мы выделили в ней целую часть. В результате получили  (одну целую пиццу и еще одну шестую пиццы).

Отметим, что мы с вами расписали данный пример слишком подробно. В учебных заведениях не принято писать так развёрнуто. Нужно уметь быстро находить НОК обоих знаменателей и дополнительные множители к ним, а также быстро умножать найденные дополнительные множители на свои числители и знаменатели. Находясь в школе, данный пример нам пришлось бы записать следующим образом:

Но есть и обратная сторона медали. Если на первых этапах изучения математики не делать подробных записей, то начинают появляться вопросы рода «а откуда вон та цифра?», «почему дроби вдруг превращаются совсем в другие дроби?«.

Поэтому на первых этапах советуем записывать каждую мелочь. Хвастаться можно лишь в будущем, когда будут усвоены азы.

Чтобы легче было складывать дроби с разными знаменателями, можно воспользоваться следующей пошаговой инструкцией:

1. Найти НОК знаменателей дробей;
2. Разделить НОК на знаменатель каждой дроби и получить дополнительный множитель для каждой дроби;
3. Умножить числители и знаменатели дробей на свои дополнительные множители;
4. Сложить дроби, у которых одинаковые знаменатели;
5. Если в ответе получилась неправильная дробь, то выделить её целую часть;

Пример 2. Найти значение выражения .

Воспользуемся инструкцией, которая приведена выше.

Шаг 1. Найти НОК знаменателей дробей

Находим НОК знаменателей обеих дробей. Знаменатели дробей это числа 2, 3 и 4

Шаг 2. Разделить НОК на знаменатель каждой дроби и получить дополнительный множитель для каждой дроби

Делим НОК на знаменатель первой дроби. НОК это число 12, а знаменатель первой дроби это число 2. Делим 12 на 2, получаем 6. Получили первый дополнительный множитель 6. Записываем его над первой дробью:

Теперь делим НОК на знаменатель второй дроби. НОК это число 12, а знаменатель второй дроби это число 3. Делим 12 на 3, получаем 4. Получили второй дополнительный множитель 4. Записываем его над второй дробью:

Теперь делим НОК на знаменатель третьей дроби. НОК это число 12, а знаменатель третьей дроби это число 4. Делим 12 на 4, получаем 3. Получили третий дополнительный множитель 3. Записываем его над третьей дробью:

Шаг 3. Умножить числители и знаменатели дробей на свои дополнительные множители

Умножаем числители и знаменатели на свои дополнительные множители:

Шаг 4. Сложить дроби у которых одинаковые знаменатели

Мы пришли к тому, что дроби у которых были разные знаменатели, превратились в дроби, у которых одинаковые (общие) знаменатели. Осталось сложить эти дроби. Складываем:

Сложение не поместилось на одной строке, поэтому мы перенесли оставшееся выражение на следующую строку. Это допускается в математике. Когда выражение не помещается на одну строку, его переносят на следующую строку, при этом надо обязательно поставить знак равенства (=) на конце первой строки и в начале новой строки. Знак равенства на второй строке говорит о том, что это продолжение выражения, которое было на первой строке.

Шаг 5. Если в ответе получилась неправильная дробь, то выделить в ней целую часть

У нас в ответе получилась неправильная дробь. Мы должны выделить у неё целую часть. Выделяем:

Получили ответ

Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

Вычитание дробей бывает двух видов:

1. Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями
2. Вычитание дробей с разными знаменателями

Сначала изучим вычитание дробей с одинаковыми знаменателями.

Чтобы вычесть из одной дроби другую, нужно из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить без изменения.

Например, найдём значение выражения  . Чтобы решить этот пример, надо из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить без изменения. Так и сделаем:

Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на четыре части. Если от  пиццы отрезать   пиццы, то получится  пиццы:

Пример 2. Найти значение выражения .

Опять же из числителя первой дроби вычитаем числитель второй дроби, а знаменатель оставляем без изменения:

Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на три части. Если от  пиццы отрезать   пиццы, то получится  пиццы:

Пример 3. Найти значение выражения

Этот пример решается точно также, как и предыдущие. Из числителя первой дроби нужно вычесть числители остальных дробей:

В ответе получилась неправильная дробь. Выделим в ней целую часть:

Как видите в вычитании дробей с одинаковыми знаменателями ничего сложного нет. Достаточно понимать следующие правила:

1. Чтобы вычесть из одной дроби другую, нужно из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить без изменения;
2. Если в ответе получилась неправильная дробь, то нужно выделить в  ней целую часть.

Вычитание дробей с разными знаменателями

Теперь научимся вычитать дроби у которых разные знаменатели. Когда вычитают дроби их знаменатели должны быть одинаковыми. Но одинаковыми они бывают не всегда.

Например, от дроби  можно вычесть дробь , поскольку у этих дробей  одинаковые знаменатели. А вот от дроби  нельзя вычесть дробь , поскольку у этих дробей разные знаменатели. В таких случаях дроби нужно приводить к одинаковому (общему) знаменателю.

Общий знаменатель находят по тому же принципу, которым мы пользовались при сложении дробей с разными знаменателями. В первую очередь находят НОК знаменателей обеих дробей. Затем НОК делят на знаменатель первой дроби и получают первый дополнительный множитель, который записывается над первой дробью. Аналогично НОК делят на знаменатель второй дроби и получают второй дополнительный множитель, который записывается над второй дробью.

Затем дроби умножаются на свои дополнительные множители. В результате этих операций, дроби у которых были разные знаменатели, обращаются в дроби, у которых одинаковые знаменатели. А как вычитать такие дроби мы уже знаем.

Пример 1. Найти значение выражения:

У этих дробей разные знаменатели, поэтому нужно привести их к одинаковому (общему) знаменателю.

Сначала находим НОК знаменателей обеих дробей. Знаменатель первой дроби это число 3, а знаменатель второй дроби — число 4. Наименьшее общее кратное этих чисел равно 12

НОК (3 и 4) = 12

Теперь возвращаемся к дробям  и

Найдём дополнительный множитель для первой дроби. Для этого разделим НОК на знаменатель первой дроби. НОК это число 12, а знаменатель первой дроби — число 3. Делим 12 на 3, получаем 4. Записываем четвёрку над первой дробью:

Аналогично поступаем и со второй дробью. Делим НОК на знаменатель второй дроби. НОК это число 12, а знаменатель второй дроби — число 4. Делим 12 на 4, получаем 3. Записываем тройку над второй дробью:

Теперь у нас всё готово для вычитания. Осталось умножить дроби на свои дополнительные множители:

Мы пришли к тому, что дроби у которых были разные знаменатели, превратились в дроби у которых одинаковые знаменатели. А как вычитать такие дроби мы уже знаем. Давайте дорешаем этот пример до конца:

Получили ответ

Попробуем изобразить наше решение с помощью рисунка. Если от  пиццы отрезать  пиццы, то получится  пиццы

Это подробная версия решения. Находясь в школе, нам пришлось бы решить этот пример покороче. Выглядело бы такое решение следующим образом:

Приведение дробей  и  к общему знаменателю также может быть изображено с помощью рисунка. Приведя эти дроби к общему знаменателю, мы получили дроби  и . Эти дроби будут изображаться теми же кусочками пицц, но в этот раз они будут разделены на одинаковые доли (приведены к одинаковому знаменателю):

Первый рисунок изображает дробь  (восемь кусочков из двенадцати), а второй рисунок — дробь  (три кусочка из двенадцати). Отрезав от восьми кусочков три кусочка мы получаем пять кусочков из двенадцати. Дробь  и описывает эти пять кусочков.

Пример 2. Найти значение выражения

У этих дробей разные знаменатели, поэтому сначала нужно привести их к одинаковому (общему) знаменателю.

Найдём НОК знаменателей этих дробей.

Знаменатели дробей это числа 10, 3 и 5. Наименьшее общее кратное этих чисел равно 30

НОК (10, 3, 5) = 30

Теперь находим дополнительные множители для каждой дроби. Для этого разделим НОК на знаменатель каждой дроби.

Найдём дополнительный множитель для первой дроби. НОК это число 30, а знаменатель первой дроби — число 10. Делим 30 на 10, получаем первый дополнительный множитель 3. Записываем его над первой дробью:

Теперь находим дополнительный множитель для второй дроби. Разделим НОК на знаменатель второй дроби. НОК это число 30, а знаменатель второй дроби — число 3. Делим 30 на 3, получаем второй дополнительный множитель 10. Записываем его над второй дробью:

Теперь находим дополнительный множитель для третьей дроби. Разделим НОК на знаменатель третьей дроби. НОК это число 30, а знаменатель третьей дроби — число 5. Делим 30 на 5, получаем третий дополнительный множитель 6. Записываем его над третьей дробью:

Теперь всё готово для вычитания. Осталось умножить дроби на свои дополнительные множители:

Мы пришли  к тому, что дроби у которых были разные знаменатели, превратились в дроби у которых одинаковые (общие) знаменатели. А как вычитать такие дроби мы уже знаем. Давайте дорешаем этот пример.

Продолжение примера не поместится на одной строке, поэтому переносим продолжение на следующую строку. Не забываем про знак равенства (=) на новой строке:

В ответе получилась правильная дробь, и вроде бы нас всё устраивает, но она слишком громоздка и некрасива. Надо бы сделать её проще. А что можно сделать? Можно сократить эту дробь.

Чтобы сократить дробь , нужно разделить её числитель и знаменатель на наибольший общий делитель (НОД) чисел 20 и 30.

Итак, находим НОД чисел 20 и 30:

Теперь возвращаемся к нашему примеру и делим числитель и знаменатель дроби  на найденный НОД, то есть на 10

Получили ответ

Умножение дроби на число

Чтобы умножить дробь на число, нужно числитель данной дроби умножить на это число, а знаменатель оставить без изменений.

Пример 1. Умножить дробь  на число 1.

Умножим числитель дроби на число 1

Запись можно понимать, как взять половину 1 раз. К примеру, если пиццы взять 1 раз, то получится  пиццы

Из законов умножения мы знаем, что если множимое и множитель поменять местами, то произведение не изменится. Если выражение , записать как , то произведение по прежнему будет равно . Опять же срабатывает правило перемножения целого числа и дроби:

Эту запись можно понимать, как взятие половины от единицы. К примеру, если имеется 1 целая пицца и мы возьмем от неё половину, то у нас окажется  пиццы:

Пример 2. Найти значение выражения

Умножим числитель дроби на 4

В ответе получилась неправильная дробь. Выделим в ней целую часть:

Выражение  можно понимать, как взятие двух четвертей 4 раза. К примеру, если  пиццы взять 4 раза, то получится две целые пиццы

А если поменять множимое и множитель местами, то получим выражение . Оно тоже будет равно 2. Это выражение можно понимать, как взятие двух пицц от четырех целых пицц:

Число, которое умножается на дробь, и знаменатель дроби разрешается сокращать, если они имеют общий делитель, бóльший единицы.

Например, выражение можно вычислить двумя способами.

Первый способ. Умножить число 4 на числитель дроби, а знаменатель дроби оставить без изменений:

Второй способ. Умножаемую четвёрку и четвёрку, находящуюся в знаменателе дроби , можно сократить. Сократить эти четвёрки можно на 4, поскольку наибольший общий делитель для двух четвёрок есть сама четвёрка:

Получился тот же результат 3. После сокращения четвёрок, на их месте образуются новые числа: две единицы. Но перемножение единицы с тройкой, и далее деление на единицу ничего не меняет. Поэтому решение можно записать покороче:

Сокращение может быть выполнено даже тогда, когда мы решили воспользоваться первым способом, но на этапе перемножения числа 4 и числителя 3 решили воспользоваться сокращением:

А вот к примеру выражение можно вычислить только первым способом — умножить число 7 на числитель дроби , а знаменатель оставить без изменений:

Связано это с тем, что число 7 и знаменатель дроби не имеют общего делителя, бóльшего единицы, и соответственно не сокращаются.

Некоторые ученики по ошибке сокращают умножаемое число и числитель дроби. Делать этого нельзя. Например, следующая запись не является правильной:

Сокращение дроби подразумевает, что и числитель и знаменатель будет разделён на одно и тоже число. В ситуации с выражением деление выполнено только в числителе, поскольку записать  это всё равно, что записать . Видим, что деление выполнено только в числителе, а в знаменателе никакого деления не происходит.

Умножение дробей

Чтобы перемножить дроби, нужно перемножить их числители и знаменатели. Если в ответе получится неправильная дробь, нужно выделить в ней целую часть.

Пример 1. Найти значение выражения .

Умножаем числитель первой дроби на числитель второй дроби, а знаменатель первой дроби на знаменатель второй дроби:

Получили ответ . Желательно сократить данную дробь. Дробь можно сократить на 2. Тогда окончательное решение примет следующий вид:

Выражение  можно понимать, как взятие  пиццы от половины пиццы. Допустим, у нас есть половина пиццы:

Как взять от этой половины две третьих? Сначала нужно поделить эту половину на три равные части:

И взять от этих трех кусочков два:

У нас получится  пиццы. Вспомните, как выглядит пицца, разделенная на три части:

Один кусок от этой пиццы и взятые нами два кусочка будут иметь одинаковые размеры:

Другими словами, речь идет об одном и том же размере пиццы. Поэтому значение выражения  равно 

Пример 2. Найти значение выражения

Умножаем числитель первой дроби на числитель второй дроби, а знаменатель первой дроби на знаменатель второй дроби:

В ответе получилась неправильная дробь. Выделим в ней целую часть:

Пример 3. Найти значение выражения 

Умножаем числитель первой дроби на числитель второй дроби, а знаменатель первой дроби на знаменатель второй дроби:

В ответе получилась правильная дробь, но будет хорошо, если её сократить. Чтобы сократить эту дробь, нужно числитель и знаменатель данной дроби разделить на наибольший общий делитель (НОД) чисел 105 и 450.

Итак, найдём НОД чисел 105 и 450:

Теперь делим числитель и знаменатель нашего ответа на НОД, который мы сейчас нашли, то есть на 15

Представление целого числа в виде дроби

Любое целое число можно представить в виде дроби. Например, число 5 можно представить как  . От этого пятёрка своего значения не поменяет, поскольку выражение    означает «число пять разделить на единицу», а это, как известно равно пятёрке:

Обратные числа

Сейчас мы познакомимся с очень интересной темой в математике. Она называется «обратные числа».

Определение. Обратным к числу a называется число, которое при умножении на a даёт единицу.

Давайте подставим в это определение вместо переменной a число 5 и попробуем прочитать определение:

Обратным к числу 5 называется число, которое при умножении на 5 даёт единицу.

Можно ли найти такое число, которое при умножении на 5, даёт единицу? Оказывается можно. Представим пятёрку в виде дроби:

Затем умножить эту дробь на саму себя, только поменяем местами числитель и знаменатель. Другими словами, умножим дробь на саму себя, только перевёрнутую:

Что получится в результате этого? Если мы продолжим решать этот пример, то получим единицу:

Значит обратным к числу 5, является число , поскольку при умножении 5 на получается единица.

Обратное число можно найти также для любого другого целого числа.

Примеры:

• обратным числа 2 является дробь

• обратным  числа 3 является дробь

• обратным числа 4 является дробь

Найти обратное число можно также для любой другой дроби. Для этого достаточно перевернуть её.

Примеры:

Деление дроби на число

Допустим, у нас имеется половина пиццы:

Разделим её поровну на двоих. Сколько пиццы достанется каждому?

Видно, что после разделения половины пиццы получилось два равных кусочка, каждый из которых составляет  пиццы. Значит каждому достанется по  пиццы.

Деление дробей выполняется с помощью обратных чисел. Обратные числа позволяют заменить деление умножением.

Чтобы разделить дробь на число, нужно эту дробь умножить на число, обратное делителю.

Пользуясь этим правилом, запишем деление нашей половины пиццы на две части.

Итак, требуется разделить дробь  на число 2. Здесь делимым является дробь , а делителем число 2.

Чтобы разделить дробь  на число 2, нужно эту дробь умножить на число, обратное делителю 2. Обратное делителю 2 это дробь . Значит нужно умножить  на 

Получили ответ . Значит при делении половины на две части получается четверть.

Попробуем понять механизм этого правила. Для этого рассмотрим следующий простейший пример. Пусть у нас имеется одна целая пицца:

Умножим её на 2. То есть повторим её два раза (или возьмём два раза). В результате будем иметь две пиццы:

Теперь угостим этими пиццами двоих друзей. То есть разделим две пиццы на 2. Тогда каждому достанется по одной пицце:

Разделить две пиццы на 2 это всё равно, что взять половину от этих пицц, то есть умножить число 2 на дробь 

В обоих случаях получился один и тот же результат.

Тоже самое происходило, когда мы делили половину пиццы на две части. Чтобы разделить  на 2, мы умножили эту дробь на число, обратное делителю 2. А обратное делителю 2 это дробь 

Пример 2. Найти значение выражения 

Умножим первую дробь на число, обратное делителю:

Допустим, имеется четверть пиццы и нужно разделить её на двоих:

Если разделить эту четверть на две части, то каждая получившаяся часть будет одной восьмой частью целой пиццы:

Заменять деление умножением можно не только при работе с дробями, но и с обычными числами. Например, все мы знаем, что 10 разделить на 2 будет 5

10 : 2 = 5

Заменим в этом примере деление умножением. Чтобы разделить число 10 на число 2, можно умножить число 10 на число, обратное числу 2. А обратное числу 2 это дробь 

Как видно результат не изменился. Мы снова получили ответ 5.

Можно сделать вывод, что деление можно заменять умножением при условии, что вместо делителя будет подставлено обратное ему число.

Пример 3. Найти значение выражения

Умножим первую дробь на число, обратное делителю. Обратное делителю число это дробь 

Допустим, имелось пиццы:

Как разделить такую пиццу на шестерых? Если каждый из трех кусков разделить пополам, то можно получить 6 равных кусков

Эти шесть кусков являются шестью кусками из двенадцати. А один из этих кусков составляет . Поэтому при делении  на 6 получается 

Деление числа на дробь

Правило деления числа на дробь такое же, как и правило деления дроби на число.

Чтобы разделить число на дробь, нужно умножить это число на дробь, обратную делителю.

Например, разделим число 1 на .

Чтобы разделить число 1 на , нужно это число 1 умножить на дробь, обратную дроби . А обратная дроби  это дробь 

Выражение  можно понимать, как определение количества половин в одной целой пицце. Допустим, имеется одна целая пицца:

Если зададим вопрос «сколько раз половина содержится в этой пицце», то ответом будет 2. Действительно, половина содержится в одной целой пицце два раза

Пример 2. Найти значение выражение 

Умножим число 2 на дробь, обратную делителю. А обратная делителю дробь это дробь 

Допустим, у нас имеются две целые пиццы:

Если зададим вопрос «сколько раз половина содержится в двух пиццах», то ответом будет 4. Действительно, половина содержится в двух пиццах четыре раза:

Деление дробей

Чтобы разделить дробь на дробь, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй.

Например, разделим  на 

Чтобы разделить  на , нужно  умножить на дробь, обратную дроби . А обратная дроби  это дробь 

Допустим, имеется половина пиццы:

Если зададим вопрос «сколько раз четверть пиццы содержится в этой половине», то ответом будет 2. Действительно, четверть пиццы содержится в половине пиццы два раза:

Пример 1. Найти значение выражения 

Умножаем первую дробь на дробь, обратную второй. Грубо говоря, умножаем первую дробь на перевёрнутую вторую:

Пример 2. Найти значение выражения

Умножаем первую дробь на дробь обратную второй:

Здесь советуем остановиться и потренироваться. Решите несколько примеров, приведенных ниже. Можете использовать материалы сайта, как справочник. Это позволит вам научиться работать с литературой.

Каждая следующая тема будет более сложной, поэтому нужно тренироваться.

Задания для самостоятельного решения:

Задание 1. Найдите значение выражения:

Решение:

Задание 2. Найдите значение выражения:

Решение:

Задание 3. Найдите значение выражения:

Решение:

Задание 4. Найдите значение выражения:

Решение:

Задание 5. Найдите значение выражения:

Решение:

Задание 6. Найдите значение выражения:

Решение:

Задание 7. Найдите значение выражения:

Решение:

Задание 8. Найдите значение выражения:

Решение:

Задание 9. Найдите значение выражения:

Решение:

Задание 10. Найдите значение выражения:

Решение:

Задание 11. Найдите значение выражения:

Решение:

Задание 12. Найдите значение выражения:

Решение:

Задание 13. Найдите значение выражения:

Решение:

Задание 14. Найдите значение выражения:

Решение:

Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже

Навигация по записям

Решение уравнений с очисткой дробей

Результаты обучения

• Используйте наименьший общий знаменатель, чтобы исключить дроби из линейного уравнения перед его решением
• Решите уравнения с дробями, которые требуют нескольких шагов

Вы можете чувствовать себя ошеломленным, когда видите дроби в уравнении, поэтому мы собираемся показать метод решения уравнений с дробями, в котором вы используете общий знаменатель, чтобы исключить дроби из уравнения.Результатом этой операции будет новое уравнение, эквивалентное первому, но без дробей.

Обратите внимание на то, что каждый член в уравнении умножается на наименьший общий знаменатель. Вот что отличает его от оригинала!

ПРИМЕР

Решение: [латекс] \ frac {1} {8} x + \ frac {1} {2} = \ frac {1} {4} [/ latex].

Решение:

В последнем примере наименьший общий знаменатель был [латекс] 8 [/ латекс].Теперь ваша очередь найти ЖК-дисплей и очистить дроби, прежде чем решать эти линейные уравнения.

Обратите внимание, что после того, как мы очистили уравнение дробей, оно было похоже на те, которые мы решали ранее в этой главе. Мы изменили проблему на ту, которую уже знали, как решить!

Решите уравнения, очистив знаменатели

1. Найдите наименьший общий знаменатель для всех дробей в уравнении.
2. Умножьте обе части уравнения на этот ЖК-дисплей.Это очищает фракции.
3. Выделите переменные члены с одной стороны и постоянные члены с другой.
4. Упростите обе стороны.
5. Используйте свойство умножения или деления, чтобы коэффициент переменной был равен [latex] 1 [/ latex].

Вот пример с тремя переменными членами. После того, как вы очистите дроби с помощью ЖК-дисплея, вы упростите три члена переменных, а затем выделите переменную.

Пример

Решение: [латекс] 7 = \ frac {1} {2} x + \ frac {3} {4} x- \ frac {2} {3} x [/ latex].

Показать решение

Решение:
Мы хотим очистить дроби, умножив обе части уравнения на ЖК-дисплей всех дробей в уравнении.

А теперь попробуйте аналогичную проблему. Очистите дроби, упростите и решите.

Осторожно!

Одна из самых распространенных ошибок при очистке дробей — это забвение умножения ОБЕИХ частей уравнения на ЖК-дисплей. Если ваш ответ не проходит, убедитесь, что вы умножили обе части уравнения на ЖК-дисплей.

В следующем примере у нас будут переменные и дроби с обеих сторон уравнения. После того, как вы очистите дроби с помощью ЖК-дисплея, вы увидите, что это уравнение похоже на уравнения с переменными с обеих сторон, которые мы решили ранее.Не забудьте выбрать переменную сторону и постоянную сторону, чтобы помочь вам организовать свою работу.

Пример

Решение: [latex] x + \ frac {1} {3} = \ frac {1} {6} x- \ frac {1} {2} [/ latex].

Показать решение

Решение:

Теперь вы можете попробовать решить уравнение с дробями, у которых переменные находятся по обе стороны от знака равенства.Ответ может быть дробным.

В следующем видео мы показываем еще один пример того, как решить уравнение, которое содержит дроби и переменные по обе стороны от знака равенства.

В следующем примере мы начинаем с уравнения, в котором переменный член заключен в скобки и умножен на дробь. Вы можете очистить дробь, или, если вы используете свойство распределения, оно удалит дробь. Вы понимаете почему?

ПРИМЕР

Решение: [латекс] 1 = \ frac {1} {2} \ left (4x + 2 \ right) [/ latex].

Показать решение

Решение:

Теперь вы можете попробовать решить уравнение, в котором переменный член в скобках умножен на дробь.

Как найти переменную как часть дроби

Если вы считаете, что контент, доступный через Веб-сайт (как определено в наших Условиях обслуживания), нарушает
или другие ваши авторские права, сообщите нам, отправив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее
в
информацию, описанную ниже, назначенному ниже агенту. Если репетиторы университета предпримут действия в ответ на
ан
Уведомление о нарушении, оно предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, которая предоставила такой контент
средствами самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.

Ваше Уведомление о нарушении прав может быть отправлено стороне, предоставившей доступ к контенту, или третьим лицам, таким как
в виде
ChillingEffects.org.

Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатам), если вы существенно
искажать информацию о том, что продукт или действие нарушает ваши авторские права. Таким образом, если вы не уверены, что контент находится
на Веб-сайте или по ссылке с него нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к юристу.

Чтобы отправить уведомление, выполните следующие действия:

Вы должны включить следующее:

Физическая или электронная подпись правообладателя или лица, уполномоченного действовать от их имени;
Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены;
Описание характера и точного местонахождения контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права, в \
достаточно подробностей, чтобы позволить репетиторам университетских школ найти и точно идентифицировать этот контент; например нам требуется
а
ссылка на конкретный вопрос (а не только на название вопроса), который содержит содержание и описание
к какой конкретной части вопроса — изображению, ссылке, тексту и т. д. — относится ваша жалоба;
Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; а также
Ваше заявление: (а) вы добросовестно считаете, что использование контента, который, по вашему мнению, нарушает
ваши авторские права не разрешены законом, владельцем авторских прав или его агентом; (б) что все
информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство, что вы
либо владелец авторских прав, либо лицо, уполномоченное действовать от их имени.

Отправьте жалобу нашему уполномоченному агенту по адресу:

Чарльз Кон
Varsity Tutors LLC
101 S. Hanley Rd, Suite 300
St. Louis, MO 63105

Или заполните форму ниже:

Уравнения и неравенства с исключением дробей

Ой … что они с тобой сделали?

Когда используется много дробей, есть еще один способ упростить уравнение перед его решением: избавиться от дробей.Сметите их, упакуйте в мешки для мусора и выбросьте в залив. Но не совсем, потому что это мусор. Чтобы избавиться от дробей, мы выбираем полезное число и умножаем обе части уравнения на это число. Число полезно, если при умножении исключаются все дроби.

Плюс, если номер достаточно хорошо справляется с очисткой фракций, может быть, мы увидим, как это работает с нашей спальней.

Пример задачи

Решите уравнение.

Способ 1: Вычтите ² / ₃ с каждой стороны, чтобы затем упростить эту правую сторону.

Способ 2: Найдите на ЖК-дисплее дроби — в данном случае 6. Умножьте левую часть уравнения на 6 и правую часть уравнения на 6, чтобы получить:

Oy . Так много дробей и скобок, что нам лучше упростить эту лоху. К счастью, это упрощается до:

4 + 6 x = 1

Намного лучше. Обратите внимание, что в уравнении больше нет дробей, не говоря уже о том, что скобки тоже пропали, что является приятным бонусом.Теперь вычтите 4 с обеих сторон.

6 x = -3

Таково решение уравнения. В любом случае, мы закончили с небольшой долей, но было приятно хоть какое-то время без них.

Убедитесь, что вы понимаете, что избавление от дробей — это не то же самое, что «упрощение». Когда мы «упрощаем», мы переписываем выражения по обе стороны от знака =, чтобы они были более аккуратными, но мы не меняем значение ни одного выражения. Когда мы исключаем дроби, мы умножаем обе части выражения на одно и то же число и, следовательно, меняем значения обоих выражений, но таким образом, чтобы масштаб оставался сбалансированным.Каждая сторона намного тяжелее. Фактически, нам, вероятно, следует положить все это на более прочный стол.

Уравнения с дробями — Полный курс алгебры

24

Очистка фракций

2-й уровень

Чтобы решить уравнение с дробями, мы преобразуем его в уравнение без дробей, которое мы умеем решать. Методика называется очисткой от фракций.

Пример 1. Решите относительно x :

Решение . Очистить следующие дроби:

Умножьте обе части уравнения — каждый член — на НОК знаменателей.Тогда каждый знаменатель разделит на кратное. Тогда у нас будет уравнение без дробей.

НОК 3 и 5 равно 15. Следовательно, умножьте обе части уравнения на 15.

Слева распределите по 15 на каждый член.Теперь каждый знаменатель разделится на 15 — вот в чем суть — и мы получим следующее простое уравнение, «очищенное» от дробей:

Мы говорим «умножить» обе части уравнения, но мы пользуемся преимуществом того факта, что порядок, в котором мы умножаем или делим, не имеет значения. (Урок 1.) Следовательно, мы сначала разделим НОК на каждый знаменатель и таким образом очистим от дробей.

Мы выбираем кратных каждого знаменателя, потому что каждый знаменатель будет тогда его делителем.

Пример 2. Очистите дроби и решите относительно x :

Решение .НОК 2, 6 и 9 равно 18. (Урок 23 по арифметике). Умножьте обе части на 18 — и отмените.

9 x — 15 x = 2.

Нет необходимости писать 18. Ученик должен просто взглянуть на и увидеть, что 2 перейдет в 18 девять (9) раз. Таким образом, этот член становится 9 x .

Затем посмотрите и увидите, что 6 будет в 18 три (3) раза.Таким образом, этот член становится 3 · −5 x = −15 x .

Наконец, посмотрите и увидите, что 9 превратится в 18 два (2) раза. Таким образом, этот член становится 2 · 1 = 2.

Вот очищенное уравнение и его решение:

Пример 3.Решить относительно x :

½ (5 x — 2) = 2 x + 4.

Решение . Это уравнение с дробью. Очистить дроби путем умножения обеих сторон на 2:

В следующих задачах очистить дроби и решить для x :

Чтобы увидеть каждый ответ, наведите указатель мыши на цветную область.
Чтобы закрыть ответ еще раз, нажмите «Обновить» («Reload»).
Сначала решите проблему сами!

При решении любого уравнения с дробями в следующей строке вы пишете —

5 x — 2 x = 30

— должно быть без дробей .

Задача 4. Дробь равна дроби.

Мы видим, что когда одна дробь равна одной дроби, тогда уравнение может быть очищено «перекрестным умножением».«

2-й уровень

Следующий урок: задачи Word

Содержание | Дом

Сделайте пожертвование, чтобы TheMathPage оставалась в сети.
Даже 1 доллар поможет.

Авторские права © 2021 Лоуренс Спектор

Вопросы или комментарии?

Эл. Почта: [email protected]

Сократите простые или сложные дроби с помощью пошагового решения математических задач

ИЗДЕЛИЯ ФРАКЦИЙ

Произведение двух фракций определяется следующим образом.

Произведение двух дробей — это дробь, числитель которой является произведением числителей, а знаменатель — произведением знаменателей данных дробей.

в символах,

Любой общий множитель, встречающийся как в числителе, так и в знаменателе любой дроби, может быть разделен до или после умножения.

Пример 1 Найдите продукт

Решение

Те же процедуры применяются к дробям, содержащим переменные.

Пример 2 Найдите продукт

Решение Сначала мы разделим числитель и знаменатель на общие множители, чтобы получить

Теперь, умножая оставшиеся множители числителей и знаменателей, получаем

Если к какому-либо из факторов добавлен отрицательный знак, рекомендуется действовать так, как если бы все факторы были положительными, а затем прикрепить соответствующий знак к результату.Положительный знак прилагается, если на факторах нет отрицательных знаков или четного количества отрицательных знаков; отрицательный знак ставится, если у факторов нечетное количество отрицательных знаков.

Пример 3

Когда дроби содержат алгебраические выражения, необходимо по возможности разложить множители и разделить общие множители перед умножением.

Пример 4 Найдите произведение.

Решение

Сначала мы должны разложить числители и знаменатели на множители, чтобы получить

Теперь, разделив общие множители, получим

Теперь умножим оставшиеся множители числителей и знаменателей, чтобы получить

Обратите внимание, что при составлении дробных ответов мы умножаем числитель и оставляем знаменатель в факторизованном виде.Очень часто в таком виде более полезны дроби.

В алгебре мы часто переписываем выражение, например, как эквивалентное выражение. Используйте ту форму, которая наиболее удобна для конкретной задачи.

Пример 5

Распространенные ошибки: помните, что мы можем разделять только общие факторы, а не общие термины! Например,

, потому что x — это термин, который нельзя разделить. Аналогично

, потому что 3 не является множителем всего числителя 3y + 2.

КОТИРОВКИ ФРАКЦИЙ

При делении одной дроби на другую мы ищем число, умножение которого на делитель дает делимое. Это в точности то же самое понятие, что и деление одного целого числа на другое; a ÷ b — это число q, частное, такое, что bq = a.

Чтобы найти, ищем такое число q, что. Чтобы решить это уравнение относительно q, мы умножаем каждый член уравнения на. Таким образом,

В приведенном выше примере мы называем номер обратной величиной числа.В общем, дробь является обратной величиной. То есть, мы получаем обратную дробь, «инвертируя» дробь. В целом

Частное двух дробей равно произведению дивиденда на обратную величину делителя.

То есть, чтобы разделить одну дробь на другую, мы инвертируем делитель и умножаем. В символах,

Пример 1

Как и при умножении, когда дроби в частном имеют знаки, рекомендуется продолжить решение проблемы, как если бы все факторы были положительными, а затем прикрепить соответствующий знак к решению.

Пример 2

Некоторые частные встречаются так часто, что полезно распознать эквивалентные формы напрямую. Один футляр —

В целом

Пример 3

Когда дроби в частном включают алгебраические выражения, необходимо по возможности разложить на множители и разделить общие множители перед умножением.

Пример 4

СУММЫ И РАЗЛИЧИЯ ФРАКЦИЙ С ПОДОБНЫМИ ДЕНОМИНАТОРАМИ

Сумма двух или более арифметических или алгебраических дробей определяется следующим образом:
Сумма двух или более дробей с общими знаменателями — это дробь с одинаковым знаменателем и числителем, равная сумме числителей исходных дробей.

В целом

Пример 1

Если используется вычитание, перед сложением полезно перейти к стандартной форме.

Пример 2

Мы должны быть особенно осторожны с биномиальными числителями. Например, нужно переписать

, где весь числитель заключен в круглые скобки.

СУММЫ ДОБРОВ С НЕПОДОБНЫМИ ЗНАМЕНАМИ

В разделе 6.3 мы добавили дроби с одинаковыми знаменателями. В этом разделе мы добавим дроби с разными знаменателями.

НАИМЕНЕЕ РАСПРОСТРАНЕННОЕ ЗНАЧЕНИЕ

В общем, наименьшее натуральное число, кратное каждому знаменателю набора дробей, называется наименьшим общим знаменателем (ЖКД) набора дробей. Иногда мы можем получить ЖК-дисплей путем осмотра. Если ЖК-дисплей не виден сразу, мы можем использовать специальную процедуру, чтобы найти его.

Чтобы найти ЖК-дисплей:

1. Полностью разложите каждый знаменатель на множители, по возможности выровняв общие множители.
2. Включите в ЖК-дисплей каждый из этих множителей, максимальное количество раз, которое он встречается в любом единственном знаменателе.

Пример 1 Найдите наименьший общий знаменатель дробей

Решение Наименьший общий знаменатель для содержит среди своих факторов множители 12, 10 и 6.

Таким образом, на ЖК-дисплее отображается 60. (Это наименьшее натуральное число, которое делится на 12, 10 и 6.)

ЖК-дисплей набора алгебраических дробей — это простейшее алгебраическое выражение, кратное каждому знаменателю в наборе.Таким образом, ЖКД фракции

, потому что это простейшее выражение, кратное каждому знаменателю.

Пример 2 Найдите ЖКИ дробей

Решение

Следуя методике из Примера 1, получаем

Таким образом, ЖК-дисплей равен x ² (x + l) (x — 1).

Мы можем складывать дроби с разными знаменателями, сначала преобразовывая дроби в эквивалентные дроби с одинаковыми знаменателями, а затем складывая.

Чтобы сложить дроби с разными знаменателями:

1. Найдите на ЖК-дисплее набор дробей.
2. Преобразуйте каждую дробь в эквивалентную дробь, используя ЖК-дисплей в качестве знаменателя.
3. Сложите дроби, используя свойство

Пример 3 Запишите суммы и как отдельные члены.

Решение В каждом случае на ЖК-дисплее отображается 10. Мы строим каждую дробь до дроби со знаменателем 10. Таким образом,

эквивалентно

из которого получаем

Иногда дроби имеют биномиальные знаменатели.

Пример 4 Запишите сумму в виде одного члена.

Решение ЖК-дисплей равен (x + 2) (x — 1). Мы строим каждую дробь до дроби со знаминателем (x + 2) (x — 1), вставляя круглые скобки по мере необходимости, и получаем

Теперь, когда у нас есть одинаковые знаменатели, мы можем сложить числители, упростить и получить

Пример 5 Запишите сумму в виде одного члена.

Решение Сначала мы разложим знаменатели на множители, чтобы получить ЖК-дисплей.

Теперь мы преобразовываем каждую дробь в дроби с этим знаменателем и получаем

Теперь мы можем сложить числители, упростить и получить

Распространенные ошибки Обратите внимание, что мы можем складывать только дроби с одинаковыми знаменателями.Таким образом,

Кроме того, мы добавляем только числители дробей с одинаковыми знаменателями. Таким образом,

РАЗЛИЧИЯ ФРАКЦИЙ С НЕДОСТАТОЧНЫМИ ЗНАЧИТЕЛЯМИ

Мы вычитаем дроби с разными знаменателями аналогично сложению дробей. Однако сначала запишем каждую дробь в стандартном виде. Таким образом, любая дробь в виде

сначала записывается как

Теперь мы можем складывать дроби.

Пример 1 Запишите разницу одним членом.

Решение Начнем с записи в стандартной форме как. ЖК-дисплей 12x. Мы строим каждую дробь до эквивалентной дроби с этим знаменателем, чтобы получить

Теперь добавление числителей дает

Опять же, следует проявлять особую осторожность с биномиальными числителями.

Пример 2 Запишите разницу в виде одного члена.

Решение сначала следует записать как

, где весь числитель заключен в круглые скобки.Затем мы получаем ЖК-дисплей 6 и строим каждую дробь до дробей со знаминателем 6, складываем числители и упрощаем.

В следующих примерах используются биномиальные знаменатели.

Пример 3 Запишите разницу в виде одного члена.

Решение Начнем с записи в стандартной форме как. ЖК-дисплей равен (x — l) (x + 2), и мы строим каждую дробь до эквивалентной дроби с этим знаменателем, чтобы получить

Теперь добавляем числители и упрощаем выходы

Пример 4 Запишите разницу

как единый термин

Решение Мы сначала разложим на множители знаменатели и запишем дроби в стандартной форме, чтобы получить

Мы находим ЖК-дисплей (x + 7) (x — 3) (x + 3) и строим каждую дробь до эквивалентной дроби с этим знаменателем, чтобы получить

Теперь добавляем числители и упрощаем yield

КОМПЛЕКСНЫЕ ФРАКЦИИ

Дробь, содержащая одну или несколько дробей либо в числителе, либо в знаменателе, либо в обоих, называется комплексной дробью.Например,

— сложные фракции. Как и простые дроби, сложные дроби представляют собой частные. Например,

В случаях, подобных уравнению (1), в котором числитель и знаменатель комплексной дроби не содержат сумм или разностей, мы можем просто инвертировать делитель и умножить. То есть

В случаях, подобных уравнению (2), в котором числитель или знаменатель комплексной дроби содержит суммы или разности, мы не можем просто инвертировать делитель и умножить.Однако мы можем использовать фундаментальный принцип дробей для упрощения сложных дробей. Фактически, мы также можем использовать фундаментальный принцип для упрощения сложных дробей приведенной выше формы (1).

Пример 1 Упростите, используя фундаментальный принцип дробей.

Решение Умножаем числитель и знаменатель на ЖК-дисплей всех дробей в числителе и знаменателе; в этом случае на ЖК-дисплее отображается 4. В результате получается простая дробь, эквивалентная данной сложной дроби.

В следующем примере показано упрощение уравнения (2) на стр. 255.

Пример 2 Упростить

Решение Умножаем числитель и знаменатель на ЖК-дисплей всех дробей в числителе и знаменателе; в данном случае LCD 6. Получаем

ДРОБНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Чтобы решить уравнение, содержащее дроби, обычно проще всего сначала найти эквивалентное уравнение, не содержащее дробей. Мы делаем это, умножая каждый член уравнения на наименьший общий знаменатель дробей.

Хотя мы можем применять изученные нами алгебраические свойства в любом порядке, следующие шаги показывают порядок, наиболее полезный при решении уравнения, когда решение неочевидно. Конечно, не всегда все шаги необходимы.

Чтобы решить уравнение:

1. Очистите дроби, если они есть, умножив каждый член уравнения на ЖК-дисплей.
2. Запишите любое выражение, содержащее круглые скобки, как выражение без скобок.
3. Объедините любые одинаковые термины в любом элементе.
4. Получить все термины, содержащие переменную в одном члене, и все термины, не содержащие переменную в другом члене.
5. Разделите каждый член на коэффициент переменной, если он отличается от 1.
6. Проверьте ответ, был ли каждый член уравнения умножен на выражение, содержащее переменную.

Пример 1 Решить.

Решение Мы умножаем каждый член на ЖК-дисплей 15, чтобы получить эквивалентное уравнение, не содержащее дроби.

Свойство умножения равенства (раздел 3.4) позволяет нам умножить каждый член уравнения на ненулевое значение, чтобы получить эквивалентное уравнение. Таким образом, чтобы решить уравнение

мы бы умножили каждый член на LCD 4 (x — 5). Отметим, что x не может равняться 5, поскольку 4 (x — 5) равно 0, если x = 5. Полное решение показано в следующем примере.

Пример 2 Решить.

Решение Мы умножаем каждый член на ЖК-дисплей 4 (x — 5), чтобы получить

Применяя распределительное свойство, получаем

Решение относительно x дает

-21x = -189; х = 9

Обратите внимание, что 4 (x — 5) не равно нулю для a = 9.Таким образом, a = 9 является допустимым решением уравнения.

Когда уравнения содержат более одной переменной, иногда желательно решить одну переменную в терминах другой переменной (переменных).

Пример 3 Решите относительно a через a, b и c.

Решение Мы умножаем каждый член на LDC 3xc, чтобы получить

Теперь, разделив каждый член на 2x, мы получим

ПРИЛОЖЕНИЯ

Проблемы со словами в следующих упражнениях приводят к уравнениям с дробями.В это время вы можете просмотреть шаги, предлагаемые для решения задач со словами, и шаги, предлагаемые на странице 260, для решения уравнений, содержащих дроби.

Пример 1 Если к числу прибавить определенное число, то получится 11. Найдите число.

Решение

Шаги 1-2 Сначала мы записываем то, что хотим найти (число), в виде словосочетания. Затем мы представляем число в виде переменной.
Номер: х

Шаг 3 Эскиз не применим.

Шаг 4 Теперь мы можем написать уравнение. Помните, что «of» означает умножение.

Шаг 5 Решение уравнения дает

Шаг 6 Номер 12.

Уравнения для задач, связанных с движением, иногда включают дроби. Основная идея задач движения состоит в том, что пройденное расстояние d равно произведению скорости перемещения r и времени пути t. Таким образом, d = rt. Мы можем решить эту формулу относительно r или t, чтобы получить:

Таблица, подобная показанной в следующем примере, помогает при решении проблем с движением.

Пример 2 Экспресс проходит 180 миль за то же время, что и грузовой поезд — 120 миль. Если экспресс идет на 20 миль в час быстрее, чем груз, найдите скорость каждого из них.

Шаги решения 1-2. Мы представляем две неизвестные величины, которые мы хотим найти, в виде словосочетаний. Затем мы представляем словосочетания в терминах одной переменной.

Скорость грузового поезда: r

Скорость экспресса: r + 20

Шаг 3 Затем мы составляем таблицу, в которой указаны расстояния, скорости и время.

Шаг 4 Поскольку времена обоих поездов одинаковы, мы можем приравнять выражения для времени, чтобы получить

Шаг 5 Теперь мы можем решить для r, сначала умножив каждый член на ЖК-дисплей r (r + 120), и мы получим

Шаг 6 Скорость грузового поезда составляет 40 миль в час, а скорость экспресса — 40 + 20, или 60 миль в час.

СООТНОШЕНИЕ И ПРОПОРЦИЯ

Частное двух чисел a ÷ b или иногда называют отношением и читают как «отношение a к b.»Это удобный способ сравнить два числа.

Пример 1 Выразите в виде отношения.

а. От 3 до 5 дюймов
b. От 8 до 12 метров
c. С 6 по 10

Решения

Утверждение, что два отношения равны, например

называется пропорцией и читается как «2 — это 3, как 4 — это 6», и «a — это отношение к b, как c — к d». Числа a, b, c и d называются первым, вторым, третьим и четвертым членами пропорции соответственно. Первый и четвертый члены называются крайними точками пропорции, а второй и третий члены называются средними значениями пропорции.

Пример 2 Выразить в виде доли.

Если каждое соотношение в пропорции

умножаем на bd, получаем

Таким образом,

В любой пропорции произведение крайностей равно произведению средних.

Доля — это особый тип дробного уравнения. Приведенное выше правило получения эквивалентного уравнения без знаменателей является частным случаем нашего общего подхода.

Пример 3 Решите пропорцию.

Решение

Применяя свойство (1) выше, мы получаем

КОНВЕРСИИ

Мы можем использовать пропорции для преобразования английских единиц измерения в метрические единицы и наоборот. Следующие ниже базовые отношения будут полезны при настройке соответствующих пропорций для конверсий.

1 метр (м) = 39,37 дюйма (дюйм)

1 килограмм (кг) = 2,2 фунта (фунта)

1 километр (км) = 0,62 мили (миль)

1 литр (1) = 1,06 кварты (кварты)

1 фунт (фунт) = 454 грамма (г)

1 дюйм (дюйм.) = 2,54 см (см)

При преобразовании единиц проще всего выполнить шесть описанных шагов.

Пример 4 Измените 8 дюймов на сантиметры.

Решение

Шаги 1-2 Представьте, что нужно найти (в сантиметрах), в словосочетании и в терминах переменной.
Сантиметров: x

Шаг 3 Составьте таблицу, показывающую основные отношения между дюймами и сантиметрами.

Шаг 4 Используя таблицу из шага 3, запишите соотношение дюймов к сантиметрам.

Шаг 5 Решите относительно x, приравняв произведение средних к произведению крайностей.

8 (2,54) = 1 · x
20,32 = x

Step 6 Восемь дюймов равны 20,32 сантиметра.

РЕЗЮМЕ ГЛАВЫ

1. Следующие свойства используются для перезаписи произведений и частных дробей.

2. Наименьшее натуральное число, кратное каждому знаменателю набора дробей, называется наименьшим общим знаменателем (ЖКД) дробей.Следующие свойства используются для перезаписи сумм и разностей дробей.

3. Дробь, содержащая одну или несколько дробей либо в числителе, либо в знаменателе, либо в обоих, называется комплексной дробью . Мы можем упростить сложную дробь, умножив числитель и знаменатель на ЖК-дисплей всех дробей в числителе и знаменателе.

4. Мы можем решить уравнение, содержащее дроби, получив эквивалентное уравнение, в котором решение очевидно при осмотре.Как правило, лучше всего получить эквивалентное уравнение, не содержащее дробей, умножив каждый член уравнения на ЖКД дробей.

5. Частное двух чисел называется отношением ; утверждение, что два соотношения равны, называется соотношением . В пропорции

   a и d называются крайними значениями пропорции, а b и c называются средними . В любой пропорции этой формы

   ad = bc

Упрощение сложных дробей — ChiliMath

Когда «нормальная» дробь содержит дроби либо в числителе, либо в знаменателе, либо в обоих, то мы считаем ее сложной дробью.Этот тип фракции также известен как составная фракция.

Есть два метода , используемых для упрощения такого вида дроби.

Метод 1

Ключевые шаги :

• Создайте единую дробь в числителе и знаменателе.
• Примените правило деления дробей, умножив числитель на величину, обратную или обратную знаменателю.
• При необходимости упростите.

Метод 2

Ключевые шаги :

• Найдите наименьший общий знаменатель (LCD) всех знаменателей в комплексных дробях.
• Умножьте этот ЖК-дисплей на числитель и знаменатель комплексной дроби.
• При необходимости упростите.

Пройдя несколько примеров, вы должны понять, что Method 2 намного лучше, чем Method 1 , потому что почти всегда требуется меньше шагов, чтобы добраться до окончательного ответа.

Примеры упрощения сложных дробей

Пример 1: Упростите сложную дробь ниже.

И числитель, и знаменатель комплексной дроби уже выражены как отдельные дроби.Это здорово!

Следующий шаг — применить правило деления, умножив числитель на обратную величину знаменателя. Закончите, исключив общие факторы, чтобы получить окончательный ответ.

Найдите ЖК-дисплей всей проблемы, то есть ЖК-дисплей верхнего и нижнего знаменателей.

Поскольку ЖК-дисплей 3y и 6y — это просто \ textbf {6y}, теперь мы умножим комплексный числитель и знаменатель на этот ЖК-дисплей. После этого мы можем ожидать, что проблема будет сведена к одной дроби, которую можно упростить, как обычно.2} Умножьте верх и низ на этот ЖК-дисплей.

Пример 3: Упростите сложную дробь ниже.

Создайте единичные дроби в числителе и знаменателе, затем разделите дроби.

Общий ЖК-дисплей знаменателей равен \ color {красный} 6x. Используйте это для умножения на верхнее и нижнее выражения.

Пример 4: Упростите приведенную ниже сложную дробь.

Для этой задачи мы будем использовать , метод 1 только .

Задача требует, чтобы вы применили метод FOIL (умножение двух биномов) и простую факторизацию трехчлена. Сначала это может показаться немного устрашающим; однако, если вы обратите внимание на детали, гарантирую, что все не так уж и плохо.

Если вы заметили, комплексный знаменатель уже находится в желаемой форме — с одним дробным символом. Это означает, что нам нужно немного поработать над сложным числителем. Нашим следующим шагом будет преобразование сложного числителя в «простую» или одинарную дробь.

Пример 5: Упростите сложную дробь ниже.

Для этой задачи мы будем использовать , метод 2, только .

Обратите внимание, что ЖК-дисплей всех знаменателей имеет только \ color {красный} 12x. Используйте это как общий множитель как для верхних, так и для нижних выражений.

Практика с рабочими листами

Возможно, вас заинтересует:

Умножение комплексных дробей

Разделение комплексных чисел

Как избавиться от экспонентов в алгебраическом уравнении

Обновлено 30 ноября 2020 г. 2 + 4

Вычтем 2 x ² из обеих частей уравнения.Поскольку вы выполнили одну и ту же операцию с обеими сторонами уравнения, вы не изменили его значение. Но вы фактически удалили показатель степени, оставив вам:

y — 5 = 4

При желании вы можете завершить решение уравнения для y , добавив 5 к обеим сторонам уравнения, что даст вам:

y = 9

Часто проблемы не так просты, но это возможность, на которую стоит обратить внимание.

Ищите возможности для разложения на множители

Со временем, практикой и большим количеством математических классов вы соберете формулы для разложения на множители определенных типов многочленов.Это очень похоже на сбор инструментов, которые вы храните в ящике для инструментов, пока они вам не понадобятся. Хитрость заключается в том, чтобы научиться определять, какие многочлены можно легко разложить на множители. Вот некоторые из наиболее распространенных формул, которые вы можете использовать, с примерами их применения:

Если ваше уравнение содержит два квадрата чисел со знаком минус между ними — например, x ² — 4 ² — их можно разложить на множители по формуле a ² — b ² = (a + b) (a — b) .