Урок алгебры 10 класс «Функции и графики», УМК Колмогоров А.Н.

Открытый урок по алгебре и началам анализа.

10 класс.

Учитель: Образцова Л.В.

Тема урока. Функции и их графики.

Цель урока: обобщить и систематизировать знания учащихся о функциях, области определения и области значений, графике функции. Познакомиться со способами геометрических преобразований графиков функций.

Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор.

Организационный момент.

Повторение.

Самостоятельная работа. По готовым чертежам тригонометрических функций установить её вид. Задания дифференцированные, I – IV в. В IV варианте самостоятельно построить график y= -2cos x.

Изучение новой темы. Лекция.

1.С понятием функции вы познакомились в курсе алгебры. При изучении начал анализа пользуются следующим определением:
Числовой функцией с областью определения D называется соответствие, при котором каждому числу х из множества D сопоставляется по некоторому правилу число у, зависящее от х.

Независимую переменную х называют аргументом функции. Число у, соответствующее числу х, называют значением функции в точке х, обозначают f(x).

Область определения функции обозначают D(f). Множество, состоящее из всех чисел f(x), таких, что х принадлежит области определения функции f, называют областью значений функции f и обозначают E(f).

Функции вида f(x)=p(x), где p(x)-многочлен, называют целыми рациональными функциями, а функции вида , где p(x) и q(x)- многочлены, называют дробно — рациональными функциями. Область определения дробно – рациональной функции – множество всех действительных чисел, из которого исключены корни многочлена q(x).

2. Графиком функции f называют множество всех точек (х, у) координатной плоскости, где у= f(x), а х «пробегает» всю область определения функции f.

По готовым чертежам, спроецированным на доску, назвать графики функций, изученных ранее.

Функции и их графики

у = х2 , 2) у = кх + b, 3)у = , 4) у = х3 , 5) у = sin x, 6) y = cos x,

7) y = tg x, 8) y = ctg x

Сегодня мы рассмотрим преобразования графиков.

Проекция мультимедиа.

y=f(x)+b – параллельный перенос на вектор (0;b) вдоль оси ординат

х1 = х

y1 = y + b

y=f(x+a) – параллельный перенос вдоль оси абсцисс

на вектор (a;0)

х1 = х +a

y1 = y

3) y=kf(x) -растяжение (сжатие) вдоль оси оу с коэффициентом k

х1 = х

y1 = k y

|k| › 1 – растяжение, 0 ‹ |k| ‹ 1- сжатие

4) y=f(kx) -растяжение (сжатие) вдоль оси ох с коэффициентом k

х1 = k х

y1 = y

|k| › 1 –сжатие, 0 ‹ |k |‹ 1- растяжение

5) y= — f(x) – симметричное отображение относительно оси ох

y= f(x)

y= -f(x)

6) y= | f(x)|

График функции у = | f(x)| получается из графика у = f(x) следующим образом: часть графика у = f(x), лежащая над осью ох, сохраняется, часть его, лежащая под осью ох, отображается симметрично относительно оси ох:

7) y= f(| x|)

График функции у = f(|x|) получается из графика у = f(x) следующим образом: при х ≥ 0 график у = f(x) сохраняется, а при х

0 полученная часть графика отображается симметрично относительно оси оу.

Вид преобразования графика, один из примеров функции записывается в тетрадь.

Закрепление.

Выполнить устно № 40 (а, б), № 42, 46.

V. Подведение итогов урока.

VI. Домашнее задание.

п. 3, № 40 (в, г), № 43 (а, б), 47.

Урок алгебры «Функции. Графики функций». 10-й класс

ХОД УРОКА

1. Организационный момент

Учащиеся сидят группами. Сообщается тема урока
и цели 1 и 2.

2. Выбор «Моя позиция на уроке» 1 этап (Презентация. Слайд 2)

Учитель.  Но, кроме чисто
математических целей, предлагаю каждому из вас
поставить перед собой личностную цель.

Психолог Антон Григорьевич Рубинштейн писал:
«Личность – это человек со своей четко
выработанной жизненной позицией…»

Вот я вам и предлагаю сегодня на уроке
проконтролировать собственный выбор той или
иной позиции на уроке.

Итак, название нашего урока «Моя позиция на
уроке» (Презентация.
Слайд 3)

Из папки достаньте карточки «Моя позиция на
уроке», на которой указаны варианты возможных
позиций: лидер, ведомый, слушатель, критик,
помощник, творческая личность, исследователь,
зритель… или можете предложить свой вариант.

Отметьте, пожалуйста, каким-либо значком
выбранную позицию в I столбце. Отложите в сторону
карточки, приступаем к  работе.

3. Фронтальная работа (повторение)

– Предлагаю вам ответить на вопросы:

1. Что называется функцией? (Презентация.
   Слайд 4)
2. Свойства функции: (используя презентацию) (Презентация. Слайд 5)

а) область определения; (Презентация.
Слайд 6)

б) область значений функции; (Презентация.
Слайд 7)

в) нули функции; (Презентация.
Слайд 8)

г) характер монотонности; (Презентация.
Слайд 9)

д) график функции. (Презентация.
Слайд 10)

– А теперь по графику функции попытаемся
назвать функцию и вспомнить её свойства
(используя презентацию) (Презентация.
Слайды 11-20)

Ответы:  

1) Прямая пропорциональность y = kx ;

 2) Линейная функция y = ax + b;

 3) Квадратичная функция y = ax² +
bx + c;

 4) Обратная пропорциональность ;

 5) Дробно-линейная функция  .

4. Самоанализ своей деятельности на 1 этапе
урока.

– Предлагаю вернуться к карточкам  «Моя
позиция на уроке». (Презентация.
Слайд 21)

Придерживались ли вы ранее выбранной позиции?
Если «да», то подтвердите это во II столбце. Если
«нет», то укажите знаком во  II столбце, какой
позиции вы придерживались.

Как вы считаете, готовы ли мы, используя ранее
полученные знания, строить графики более сложных
функций.

5. Задание для работы в группах. (Презентация. Слайд 22)

Переходим к следующему этапу урока: работа в
группах.

Построить график функции: (Презентация.
Слайд 23)

В каждой папке есть лист А 4 в клетку. Вы должны
выбрать в группе человека, который будет строить
график на этом листе, остальные – работают в
тетради.

6. Выбор «Моя позиция на уроке» 2 этап (Презентация. Слайд 24)

– Задание знаете, оцените свои силы и
настроение и выберите свою позицию на следующий
этап урока и отметьте её знаком в III столбце
карточки «Моя позиция на уроке».

7. Практическая работа в группах (Презентация. Слайд 25)

Ребята работают, помогая друг другу, при
необходимости учитель может оказать помощь или
посоветовать, на какие моменты при выполнении
задания обратить внимание.

Графики построены. От каждой группы лист А 4 
с графиком на доске (при помощи магнитов). Оценим
творчество каждой группы и уровень выполнения
задания.

Учитель: График любой функции можно
построить в программе Excel. Показываю график,
построенный в программе Excel. (Презентация.
Слайд 26)

Второе задание. Используя построенный
график, для каждого значения параметра m
определить  количество  решений 
уравнения: (Презентация.
Слайд 27)

Каждая группа записывает ответ, затем
проверяем: (Презентация.
Слайд 28)

• если , то
  уравнение имеет одно решение;
• если , то
  уравнение имеет два решения;
• если , то
  уравнение имеет три решения;
• если m = 5, то уравнение не имеет решений;

8. Самоанализ своей деятельности на 2 этапе
урока (Презентация.
Слайд 29)

– Предлагаю вернуться к карточкам  «Моя
позиция на уроке». Придерживались ли вы ранее
выбранной позиции? Если «да», то подтвердите это
в  IV столбце. Если «нет», то укажите знаком в IV
столбце, какой позиции вы придерживались.

9. Образовательный итог урока (Презентация. Слайд 30)

– Какие проблемы возникли при построении
графика функции?

– Какие вопросы требуют дополнительной
отработки?   

Учитель дает словесную оценку работе групп,
учеников.

– Каждый из вас сегодня попытался
контролировать свою позицию на уроке. Если
хотите, подпишите свою карточку «Моя позиция на
уроке». Все карточки положите в папку, мне
хотелось бы знать, какую позицию на каждом этапе
урока вы выбирали, и что из этого получилось.

10. Домашнее задание. (Слайд 31)

1. Построить график функции:
2. Определить для каждого значения параметра m
   количество решений уравнения:

Дополнительное задание:  построить график в
программе Excel.

Список литературы:

1. Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н.,
Шевкин А.В. Алгебра и начала математического
анализа. 10 класс. М. :  Просвещение, 2010.

2. Потапов М.К., Шевкин А.В. Алгебра и начала
математического анализа. 10 класс. Дидактические
материалы. М. :  Просвещение, 2010.

100 ballov.kz образовательный портал для подготовки к ЕНТ и КТА

В 2021 году казахстанские школьники будут сдавать по-новому Единое национальное тестирование. Помимо того, что главный школьный экзамен будет проходить электронно, выпускникам предоставят возможность испытать свою удачу дважды. Корреспондент zakon.kz побеседовал с вице-министром образования и науки Мирасом Дауленовым и узнал, к чему готовиться будущим абитуриентам.

— О переводе ЕНТ на электронный формат говорилось не раз. И вот, с 2021 года тестирование начнут проводить по-новому. Мирас Мухтарович, расскажите, как это будет?

— По содержанию все остается по-прежнему, но меняется формат. Если раньше школьник садился за парту и ему выдавали бумажный вариант книжки и лист ответа, то теперь тест будут сдавать за компьютером в электронном формате. У каждого выпускника будет свое место, огороженное оргстеклом.

Зарегистрироваться можно будет электронно на сайте Национального центра тестирования. Но, удобство в том, что школьник сам сможет выбрать дату, время и место сдачи тестирования.

Кроме того, в этом году ЕНТ для претендующих на грант будет длиться три месяца, и в течение 100 дней сдать его можно будет два раза.

— Расскажите поподробнее?

— В марте пройдет тестирование для желающих поступить на платной основе, а для претендующих на грант мы ввели новые правила. Школьник, чтобы поступить на грант, по желанию может сдать ЕНТ два раза в апреле, мае или в июне, а наилучший результат отправить на конкурс. Но есть ограничение — два раза в один день сдавать тест нельзя. К примеру, если ты сдал ЕНТ в апреле, то потом повторно можно пересдать его через несколько дней или в мае, июне. Мы рекомендуем все-таки брать небольшой перерыв, чтобы еще лучше подготовиться. Но в любом случае это выбор школьника.

— Система оценивания останется прежней?

— Количество предметов остается прежним — три обязательных предмета и два на выбор. Если в бумажном формате закрашенный вариант ответа уже нельзя было исправить, то в электронном формате школьник сможет вернуться к вопросу и поменять ответ, но до того, как завершил тест.

Самое главное — результаты теста можно будет получить сразу же после нажатия кнопки «завершить тестирование». Раньше уходило очень много времени на проверку ответов, дети и родители переживали, ждали вечера, чтобы узнать результат. Сейчас мы все автоматизировали и набранное количество баллов будет выведено на экран сразу же после завершения тестирования.
Максимальное количество баллов остается прежним — 140.

— А апелляция?

— Если сдающий не будет согласен с какими-то вопросами, посчитает их некорректными, то он сразу же на месте сможет подать заявку на апелляцию. Не нужно будет ждать следующего дня, идти в центр тестирования, вуз или школу, все это будет электронно.

— С учетом того, что школьникам не придется вручную закрашивать листы ответов, будет ли изменено время сдачи тестирования?

— Мы решили оставить прежнее время — 240 минут. Но теперь, как вы отметили, школьникам не нужно будет тратить час на то, чтобы правильно закрасить лист ответов, они спокойно смогут использовать это время на решение задач.

— Не секрет, что в некоторых селах и отдаленных населенных пунктах не хватает компьютеров. Как сельские школьники будут сдавать ЕНТ по новому формату?

— Задача в том, чтобы правильно выбрать время и дату тестирования. Центры тестирования есть во всех регионах, в Нур-Султане, Алматы и Шымкенте их несколько. Школьники, проживающие в отдаленных населенных пунктах, как и раньше смогут приехать в город, где есть эти центры, и сдать тестирование.

— На сколько процентов будет обновлена база вопросов?

— База вопросов ежегодно обновляется как минимум на 30%. В этом году мы добавили контекстные задания, то что школьники всегда просили. Мы уделили большое внимание истории Казахстана и всемирной истории — исключили практически все даты. Для нас главное не зазубривание дат, а понимание значения исторических событий. Но по каждому предмету будут контекстные вопросы.

— По вашему мнению система справится с возможными хакерскими атаками, взломами?

— Информационная безопасность — это первостепенный и приоритетный вопрос. Центральный аппарат всей системы находится в Нур-Султане. Связь с региональными центрами сдачи ЕНТ проводится по закрытому VPN-каналу. Коды правильных ответов только в Национальном центре тестирования.

Кроме того, дополнительно через ГТС КНБ (Государственная техническая служба) все тесты проходят проверку на предмет возможного вмешательства. Здесь все не просто, это специальные защищенные каналы связи.

— А что с санитарными требованиями? Нужно ли будет школьникам сдавать ПЦР-тест перед ЕНТ?

— ПЦР-тест сдавать не нужно будет. Требование по маскам будет. При необходимости Центр национального тестирования будет выдавать маски школьникам во время сдачи ЕНТ. И, конечно же, будем измерять температуру. Социальная дистанция будет соблюдаться в каждой аудитории.

— Сколько человек будет сидеть в одной аудитории?

— Участники ЕНТ не за семь дней будут сдавать тестирование, как это было раньше, а в течение трех месяцев. Поэтому по заполняемости аудитории вопросов не будет.

— Будут ли ужесточены требования по дисциплине, запрещенным предметам?

— Мы уделяем большое внимание академической честности. На входе в центры тестирования, как и в предыдущие годы, будут стоять металлоискатели. Перечень запрещенных предметов остается прежним — телефоны, шпаргалки и прочее. Но, помимо фронтальной камеры, которая будет транслировать происходящее в аудитории, над каждым столом будет установлена еще одна камера. Она же будет использоваться в качестве идентификации школьника — как Face ID. Сел, зарегистрировался и приступил к заданиям. Мы применеям систему прокторинга.

Понятно, что каждое движение абитуриента нам будет видно. Если во время сдачи ЕНТ обнаружим, что сдающий использовал телефон или шпаргалку, то тестирование автоматически будет прекращено, система отключится.

— А наблюдатели будут присутствовать во время сдачи тестирования?

— Когда в бумажном формате проводили ЕНТ, мы привлекали очень много дежурных. В одной аудитории было по 3-4 человека. При электронной сдаче такого не будет, максимум один наблюдатель, потому что все будет видно по камерам.

— По вашим наблюдениям школьники стали меньше использовать запрещенные предметы, к примеру, пользоваться телефонами?

— Практика показывает, что школьники стали ответственнее относиться к ЕНТ. Если в 2019 году на 120 тыс. школьников мы изъяли 120 тыс. запрещенных предметов, по сути у каждого сдающего был телефон. То в прошлом году мы на 120 тыс. школьников обнаружили всего 2,5 тыс. телефонов, и у всех были аннулированы результаты.

Напомню, что в 2020 году мы также начали использовать систему искусственного интеллекта. Это анализ видеозаписей, который проводится после тестирования. Так, в прошлом году 100 абитуриентов лишились грантов за то, что во время сдачи ЕНТ использовали запрещенные предметы.

— Сколько средств выделено на проведение ЕНТ в этом году?

Если раньше на ЕНТ требовалось 1,5 млрд тенге из-за распечатки книжек и листов ответов, то сейчас расходы значительно сокращены за счет перехода на электронный формат. Они будут, но несущественные.

— Все-таки почему именно в 2021 году было принято решение проводить ЕНТ в электронном формате. Это как-то связано с пандемией?

— Это не связано с пандемией. Просто нужно переходить на качественно новый уровень. Мы апробировали данный формат на педагогах школ, вы знаете, что они сдают квалификационный тест, на магистрантах, так почему бы не использовать этот же формат при сдаче ЕНТ. Тем более, что это удобно, и для школьников теперь будет много плюсов.

Контрольная работа по теме «Функции» для 10 класса (4 варианта)

Вариант №1

1. Функция y = f (x) задана своим графиком (рис. 1). Найдите по графику:

1. область определения:
   
   Ответ
2. область значений функции:
   
   Ответ
3. промежутки возрастания:
   
   Ответ
4. нули функции:
   
   Ответ
5. наибольшее значение функции:
   Ответ

2. Найдите область определения функции

3. Постройте график функции

4. Постройте график функции

5. Решите уравнение

6. Решите уравнение

Вариант №2

1. Функция y = f (x) задана своим графиком (рис. 1). Найдите по графику:

1. область определения:
   
   Ответ
2. область значений функции:
   
   Ответ
3. промежутки возрастания:
   
   Ответ
4. нули функции:
   
   Ответ
5. наибольшее значение функции:
   
   Ответ

2. Найдите область определения функции:

3. Постройте график функции

4. Постройте график функции

5. Решите уравнение

6. Решите уравнение

Вариант №3

1. Функция y = f (x) задана своим графиком (рис. 1). Найдите по графику:

1. область определения:
   
   Ответ
2. область значений функции:
   
   Ответ
3. промежутки возрастания:
   
   Ответ
4. нули функции:
   
   Ответ
5. наибольшее значение функции:
   
   Ответ

2. Найдите область определения функции:

3. Постройте график функции

4. Постройте график функции

5. Решите уравнение

6. Решите уравнение

Вариант №4

1. Функция y = f (x) задана своим графиком (рис. 1). Найдите по графику:

1. область определения:
   
   Ответ
2. область значений функции:
   
   Ответ
3. промежутки возрастания:
   
   Ответ
4. нули функции:
   
   Ответ
5. наибольшее значение функции:
   
   Ответ

2. Найдите область определения функции:

3. Постройте график функции

4. Постройте график функции

5. Решите уравнение

6. Решите уравнение

▶▷▶ контрольная работа по алгебре 10 класс графики функций

▶▷▶ контрольная работа по алгебре 10 класс графики функций

контрольная работа по алгебре 10 класс графики функций — Yahoo Search Results Yahoo Web Search Sign in Mail Go to Mail» data-nosubject=»[No Subject]» data-timestamp=’short’ Help Account Info Yahoo Home Settings Home News Mail Finance Tumblr Weather Sports Messenger Settings Want more to discover? Make Yahoo Your Home Page See breaking news more every time you open your browser Add it now No Thanks Yahoo Search query Web Images Video News Local Answers Shopping Recipes Sports Finance Dictionary More Anytime Past day Past week Past month Anytime Get beautiful photos on every new browser window Download Контрольные работы по алгебре 10 класс, контрольные по mathematics-testscom/algebra- 10 -klass/ Cached Контрольная по алгебре 10 класса, 10 КЛАСС Контрольная работа №2 «Свойства и графики График функции, построение графика, урок по алгебре за 10 mathematics-testscom/postroenie-grafikov Cached Графики наших функций получается из графика функции y=x 2, путем его параллельного переноса: б) на две единицы вверх, в) на три единицы вниз Контрольная работа по теме «Тригонометрические функции, их infourokru/kontrolnaya-rabota-po-teme Cached Контрольная работа №3 Свойства и графики тригонометрических функций Вариант 1 Контрольная Работа По Алгебре 10 Класс Графики Функций — Image Results More Контрольная Работа По Алгебре 10 Класс Графики Функций images Контрольная работа по теме «Преобразование графиков функций infourokru/kontrolnaya_rabota_po_teme Cached Контрольная работа по теме «Преобразование графиков функций » алгебра 8 — й класс представлена в четырёх вариантах Контрольная работа 10 по алгебре степенные функции Лучшие okna-forestaru/kontrolnie-raboti/kontrolnaya Cached Контрольная работа рассчитана на непрофильные классы со средним области определения, области значений степенных функций , Контрольная работа по алгебре и началам анализа в 10 классе на тему Контрольная работа по алгебре 8 класс функции и графики poiskvstavropoleru/2018/02/05/kontrolnaya-rabota-po Cached Контрольная работа по алгебре 8 класс функции и графики никольский Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся в этой точке на отрезки, длины которых относятся как 2 : 1, считая Контрольная работа 10 класс по теме Функции и графики mathlogru › Кимы Контрольная работа по теме Функции и графики в 10 классе « МАТЛОГ » — сайт для всех, кто интересуется математикой Контрольная работа по алгебре 7 класс Мерзляк АГ Тема multiurokru/files/kontrol-naia-rabota-po Cached Контрольная работа по теме «Функции» 7 класс , алгебра Контрольная работа № 6 алгебра 7 класс УМК Мерзляк АГ Алгебра 10 класс Контрольная работа № 3 по теме kopilkaurokovru/matematika/prochee/alghiebra_ 10 Cached Просмотр содержимого документа «Алгебра 10 класс Контрольная работа № 3 по теме Контрольная работа по алгебре функции и их графики nivaria-islaturru/kontrolnie-raboti/kontrolnaya Cached Контрольная работа по алгебре «Функции и их свойства, квадратный трехчлен» 9 Класс Победителю конкурса книголюбов разрешается выбрать две книги из 10 различных книг Promotional Results For You Free Download | Mozilla Firefox ® Web Browser wwwmozillaorg Download Firefox — the faster, smarter, easier way to browse the web and all of Yahoo 1 2 3 4 5 Next 26,500 results Settings Help Suggestions Privacy (Updated) Terms (Updated) Advertise About ads About this page Powered by Bing™

• Муравина ОВ М: 2013 — 320 с Все учебники Алгебра и начала анализа 10 -11 классы Учебник Мордкович АГ (2001
• возрастает на промежутке [a; b]? 3) В какой точке функции принимает свое наименьшее значение? 6Запишите уравнение
• пожелания Все материалы проверены антив Скрыть 6 Контрольная работа по алгебре 10 класс графики функций — смотрите картинки ЯндексКартинки › контрольная работа по алгебре 10 класс графики Пожаловаться Информация о сайте Ещё картинки 7 Контрольная работа » Функции и их свойства» 10 класс uchitelyacom › …kontrolnaya…funkcii-i…10-klasshtml Сохранённая копия Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте Контрольная работа № 1 по теме « Функции и их свойства» — умения строить эскиз графика функции и находить по эскизу промежутки Контрольная работа по алгебре «Тригонометрические функции » 11 класс Читать ещё Контрольная работа № 1 по теме « Функции и их свойства» Цель: проверить уровень усвоение ГОСО — умение находить значение функции в точке; — умение находить область определения функции ; — умения строить эскиз графика функции и находить по эскизу промежутки Контрольная работа по алгебре «Тригонометрические функции » 11 класс 29-09-2015

4 четверти Контрольные на темы: «Определение тригонометрических функций «

затем вверх на 2 ед Уравнение функции имеет вид: 1)y=f(x-3)-2 2)y=f(x+3)-2 3)y=f(x-3)+2 4)y=f(x+3)+2 5 Найдите нули функции Скрыть Контрольные работы по алгебре и началам анализа 10 allengorg › d/math/math935htm Сохранённая копия Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте 10 класс Дудницын ЮП

• алгебра Контрольная работа № 6 алгебра 7 класс УМК Мерзляк АГ Алгебра 10 класс Контрольная работа № 3 по теме kopilkaurokovru/matematika/prochee/alghiebra_ 10 Cached Просмотр содержимого документа «Алгебра 10 класс Контрольная работа № 3 по теме Контрольная работа по алгебре функции и их графики nivaria-islaturru/kontrolnie-raboti/kontrolnaya Cached Контрольная работа по алгебре «Функции и их свойства
• 10 КЛАСС Контрольная работа №2 «Свойства и графики График функции
• кто интересуется математикой Контрольная работа по алгебре 7 класс Мерзляк АГ Тема multiurokru/files/kontrol-naia-rabota-po Cached Контрольная работа по теме «Функции» 7 класс

Яндекс Яндекс Найти Поиск Поиск Картинки Видео Карты Маркет Новости ТВ онлайн Музыка Переводчик Диск Почта Коллекции Реклама Все Ещё Дополнительная информация о запросе Показаны результаты для Нижнего Новгорода Москва 1 Тест по алгебре ( 10 класс ) по теме: Контрольные nsportalru › Школа › Алгебра › …-po-algebre-10-klass Сохранённая копия Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте Сайт – выбор пользователей Подробнее о сайте ройте график функции у которой 5 Найдите функцию , обратную функции Постройте на одном чертеже графики Итоговая контрольная работа по алгебре 10 класс Предлагаю два варианта контрольной работы для учащихся 10 класса Контрольная работа по алгебре 10 класс Тема контрольной Читать ещё ройте график функции у которой 5 Найдите функцию , обратную функции Постройте на одном чертеже графики этих взаимно обратных функций 6 Известно, что функция возрастает на R Решите неравенство Рекомендации по оцениванию контрольной работы Итоговая контрольная работа по алгебре 10 класс Предлагаю два варианта контрольной работы для учащихся 10 класса Контрольная работа по алгебре 10 класс Тема контрольной работы » Повторение и расширение сведений о функции » Контрольные работы по алгебре 10 класс Разработка контрольных работ по математике контрольные работы по алгебре 10 класс Мордкович Скрыть 2 Алгебра 10 класс Контрольная работа № 1 по теме kopilkaurokovru › matematika…10_klass…rabota_1_po… Сохранённая копия Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте Контрольная работа № 1 по теме: Числовые функции Вариант 1 Выполните задания : Постройте график функции Найдите Просмотр содержимого документа « Алгебра 10 класс Контрольная работа № 1 по теме: «Числовые функции »» Контрольная работа № 1 по теме: «Числовые функции » Читать ещё Контрольная работа № 1 по теме: Числовые функции Вариант 1 Выполните задания : Постройте график функции Найдите область определения Найдите область значений Найд Просмотр содержимого документа « Алгебра 10 класс Контрольная работа № 1 по теме: «Числовые функции »» Контрольная работа № 1 по теме: «Числовые функции » Вариант 1 Выполните задания : Постройте график функции Найдите область определения Найдите область значений Скрыть 3 Сборник контрольных работ по алгебре , ( 10 класс ) урокрф › library/sbornik…rabot_po_algebre_10_klass… Сохранённая копия Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте КИМ для учителя-предметника для 10 класса Учебно-дидактические материалы по Алгебре для 10 класса — умение находить область определения функции ; — умения строить эскиз графика функции и находить по эскизу промежутки возрастания и убывания , экстремумы функции , точки пересечения с осями Читать ещё КИМ для учителя-предметника для 10 класса Учебно-дидактические материалы по Алгебре для 10 класса — умение находить область определения функции ; — умения строить эскиз графика функции и находить по эскизу промежутки возрастания и убывания , экстремумы функции , точки пересечения с осями координат Скрыть 4 Контрольная работа 10 класс по теме » Функции » infourokru › kontrolnaya…klass-po…funkcii…grafiki… Сохранённая копия Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте Сайт – выбор пользователей Подробнее о сайте Постройте график функции Контрольная работа по теме « Функции и графики » Контрольная работа по теме « Функции и графики » Вариант 1 Все категории Алгебра Английский язык Астрономия Биология Всемирная история Читать ещё Постройте график функции Контрольная работа по теме « Функции и графики » Вариант 2 Найдите область определения функции Решите неравенство Найдите наибольшее значение функции Напишите уравнение прямой, проходящей через точки А(4;1) и В(6;3) Закрасьте множество точек, координаты которых удовлетворяют неравенству Постройте график функции Контрольная работа по теме « Функции и графики » Вариант 1 Найдите область определения функции Все категории Алгебра Английский язык Астрономия Биология Всемирная история Скрыть 5 Контрольные работы по алгебре 10 класс mathematics-testscom › algebra-10-klass…10-klass… Сохранённая копия Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте Алгебра – 10 класс Контрольные работы с ответами к учебнику Мордковича АГ за 1, 2, 3, 4 четверти Контрольные на темы: «Определение тригонометрических функций «, «Свойства и графики тригонометрических функций » Читать ещё Алгебра – 10 класс Контрольные работы с ответами к учебнику Мордковича АГ за 1, 2, 3, 4 четверти Контрольные на темы: «Определение тригонометрических функций «, «Свойства и графики тригонометрических функций «, «Тригонометрические уравнения», «Тригонометрические функции сложения аргумента», «Правила и формулы отыскания производных», «Применение производной к исследованию функций » и др Дополнительные материалы по алгебре Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания Все материалы проверены антив Скрыть 6 Контрольная работа по алгебре 10 класс графики функций — смотрите картинки ЯндексКартинки › контрольная работа по алгебре 10 класс графики Пожаловаться Информация о сайте Ещё картинки 7 Контрольная работа » Функции и их свойства» 10 класс uchitelyacom › …kontrolnaya…funkcii-i…10-klasshtml Сохранённая копия Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте Контрольная работа № 1 по теме « Функции и их свойства» — умения строить эскиз графика функции и находить по эскизу промежутки Контрольная работа по алгебре «Тригонометрические функции » 11 класс Читать ещё Контрольная работа № 1 по теме « Функции и их свойства» Цель: проверить уровень усвоение ГОСО — умение находить значение функции в точке; — умение находить область определения функции ; — умения строить эскиз графика функции и находить по эскизу промежутки Контрольная работа по алгебре «Тригонометрические функции » 11 класс 29-09-2015, 20:57 Контрольная работа по теме «Тригонометрические функции » форма ЕГЭ Скрыть 8 Контрольная работа 10 класс «Числовые функции » multiurokru › Обо мне › …-naia-rabota-10-klass… Сохранённая копия Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте Контрольная работа вы 10 классе «Числовые функции » в двух вариантах содержит пять заданий Контрольная работа по алгебре и началам анализа №1 10 классс Вариант 1 1Найти промежутки возрастания и убывания , наименьшее значение функции у = — 4х – 5 2 Определить четность или нечетность функции у Читать ещё Контрольная работа вы 10 классе «Числовые функции » в двух вариантах содержит пять заданий Контрольная работа по алгебре и началам анализа №1 10 классс Вариант 1 1Найти промежутки возрастания и убывания , наименьшее значение функции у = — 4х – 5 2 Определить четность или нечетность функции у = 2 — 5х + 3 Для функции f(х)= 3х + 2 , найти обратную функцию 4Найти значение функции f(х)= 1- ( )-1 , при х = 5 Построить график функции : а) у = (х + 3)2 — 1; б)у = Скрыть 9 Решебник к сборнику контрольных работ по алгебре для math-helpernet › izbrannoe…k…po-algebre…10-klassa… Сохранённая копия Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте Решения контрольных работ по алгебре и началам анализа из сборника для 10 класса Глизбург В И (под ред АГ Мордковича) Контрольные работы для 10 класса общеобразовательных учреждений (профильный уровень) / В И Глизбург ; под ред А Г Мордковича — М : Мнемозина, 2007 — 62 с» Сборник Читать ещё Решения контрольных работ по алгебре и началам анализа из сборника для 10 класса Глизбург В И (под ред АГ Мордковича) Профильный уровень Варианты 1,2,3,4 Контрольные работы для 10 класса общеобразовательных учреждений (профильный уровень) / В И Глизбург ; под ред А Г Мордковича — М : Мнемозина, 2007 — 62 с» Сборник контрольных работ предназначен для тех учителей математики, которые используют в своей преподавательской деятельности УМК, созданный авторским коллективом под руководством А Г Мордковича для изучения в 10 -м классе профильной старшей школы курса алгебры и начал анализа Скрыть 10 Проверочные работы по алгебре 10 класс videourokinet › Разработки › Алгебра › …-9/10-class/?uc=70 Сохранённая копия Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте 10 класс Углубленный уровень Муравин ГК, Муравина ОВ М: 2013 Алгебра и начала математического анализа 10 класс Все темы Глава 1 Функции и графики Читать ещё 10 класс Углубленный уровень Муравин ГК, Муравина ОВ М: 2013 — 320 с Все учебники Алгебра и начала анализа 10 -11 классы Учебник Мордкович АГ (2001, 335с) Алгебра и начала математического анализа 10 класс (базовый и проф уровни) Колягин ЮМ и др (2011, 368с) Алгебра и начала математического анализа 10 класс Муравин ГК (2013, 288с) Алгебра и начала математического анализа 10 класс Профильный уровень Пратусевич МЯ и др Все темы Глава 1 Функции и графики 1 Понятие функции 2 Прямая, гипербола, парабола и окружность 3 Непрерывность и монотонность функций 4 Квадратичная и дробно-линейная функции Преобразование графиков Глава 2 Степени и корни Скрыть Контрольная работа по математике на тему » Функции » videourokinet › Разработки › kontrolnaya-rabota-po… Сохранённая копия Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте Контрольная работа по теме » Функции » содержит задания : — найди значения функции в указанных точках; — найди область определения функции ; — постройте график функции и по графику определите промежутки монотонности и Контрольная работа 10 класс функция | Контрольные reshuzadachiby › kontrolnaya…10-klass-funkciyahtml Сохранённая копия Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте Примерная контрольная работа для 10 класс — полностью соответствует новой программе 2017 года Читать ещё Примерная контрольная работа для 10 класс — полностью соответствует новой программе 2017 года Примерная контрольная работа для 10 класс — полностью соответствует новой программе 2017 года Файл Скрыть Чат с компанией Задайте свои вопросы консультанту Контрольное тестирование по теме » Функции и графики » doc4webru › …po…funkcii-i-grafiki-klasshtml Сохранённая копия Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте Контрольное тестирование по Математике » Функции и графики » 10 класс Скачать материал 4Построен график функции у=f(x) Выполнили параллельный перенос вправо на 3 ед, затем вверх на 2 ед Читать ещё Контрольное тестирование по Математике » Функции и графики » 10 класс Скачать материал Контрольное тестирование по теме » Функции и графики » 1 Найдите область определения функции 1) x 2) x 3) x-0,4 4) x 2 Найдите множество значений функции 1) х4 2) x графику найдите уравнение функции х 1) y=x2+4 2) y=–x2-4 3)y=(x-4)2 4)y=x2-4 4Построен график функции у=f(x) Выполнили параллельный перенос вправо на 3 ед, затем вверх на 2 ед Уравнение функции имеет вид: 1)y=f(x-3)-2 2)y=f(x+3)-2 3)y=f(x-3)+2 4)y=f(x+3)+2 5 Найдите нули функции Скрыть Контрольные работы по алгебре и началам анализа 10 allengorg › d/math/math935htm Сохранённая копия Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте 10 класс Дудницын ЮП, Кронгауз ВЛ Содержание К учителю 5 Тематика контрольных работ 9 Контрольная работа № 1 10 Вариант 1 10 Вариант 2 10 Вариант 3 11 Вариант 4 11 Контрольная Построение графиков функции 44 VII Читать ещё 10 класс Дудницын ЮП, Кронгауз ВЛ М: 2007 — 63 с Содержание К учителю 5 Тематика контрольных работ 9 Контрольная работа № 1 10 Вариант 1 10 Вариант 2 10 Вариант 3 11 Вариант 4 11 Контрольная работа № 2 12 Вариант 1 12 Вариант 2 12 Вариант 3 13 Вариант 4 13 Контрольная работа № 3 14 Вариант 1 14 Вариант 2 14 Вариант 3 15 Вариант 4 15 Контрольная работа № 4 16 Вариант 1 , 16 Вариант 2 16 Вариант 3 17 Вариант 4 17 Контрольная работа № 5 18 Вариант 1 ‘ 18 Вариант 2 18 Вариант 3 19 Вариант 4 19 Контрольная работа № 6 20 Вариант 1 20 Вариант 2 20 Вариант 3 21 Вариант 4 21 Контрольная работа № 7 22 Вариант 1 22 Вариант 2 22 Вариант 3 23 Вари Построение графиков функции 44 VII Скрыть 10 класс Алгебра — профильный уровень Контрольная pandiaru › text/80/562/20php Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте 10 класс АЛГЕБРА — ПРОФИЛЬНЫЙ УРОВЕНЬ Контрольная работа № 1 По теме «Числовые функции » 1 вариант 1 Найдите область определения функции 2 Найдите значения функции в точках 1; — x 3 Постройте график функции Контрольная работа 10 класс по теме Функции и графики mathlogru › kontrolnaya…10-klass…funkcii-i-grafiki/ Сохранённая копия Показать ещё с сайта Пожаловаться Информация о сайте Контрольная работа « Функции и графики » Вариант 1 Обязательная часть 3) В какой точке функции принимает свое наименьшее значение? 6Запишите уравнение, задающее геометрическое место точек, равноудаленных от точек А(-2; 1) и В(6; 3) Дополнительная часть 7 Закрасьте множество точек, координаты Читать ещё Контрольная работа « Функции и графики » Вариант 1 Обязательная часть 1 Укажите область значений функции y=(x^2-1)/x^2 2 Решите неравенство: 6/x+6/(x+1)≤5 3 Какая из функций , заданных графиком (см рис в DOC), возрастает на промежутке [a; b]? 3) В какой точке функции принимает свое наименьшее значение? 6Запишите уравнение, задающее геометрическое место точек, равноудаленных от точек А(-2; 1) и В(6; 3) Дополнительная часть 7 Закрасьте множество точек, координаты которых удовлетворяют неравенству (y-3x)(2y+x)≥0 8 Найдите наименьшее значение функции y=1/√(3+x-1/4 x^2 ) 9 Постройте график функции y=|4|x|-3-x^2| Вариант 2 Обязательная часть Скрыть Вместе с « контрольная работа по алгебре 10 класс графики функций » ищут: итоговая контрольная работа по алгебре 10 класс корень знак контрольные работы по алгебре 10 класс мордкович базовый уровень контрольная работа 1 по алгебре 10 класс контрольная работа по алгебре 9 класс входная контрольная работа по алгебре 10 класс контрольная работа по алгебре 11 класс входная контрольная работа по алгебре 10 класс мордкович с ответами контрольная работа по геометрии 10 класс решите уравнение 1 2 3 4 5 дальше Браузер Для безопасных прогулок в сети 0+ Установить

Урок в 10 классе «Функции и их графики»

Математика-это то , посредством чего люди управляют природой и собой. (А.Н. Колмагоров) Функции и их графики .

( Область определения, область значений функции .

Теория

• 1. Сформулируйте определение числовой функции.
• 2. Что называется областью определения функции?
• 3. Что называется областью значений функции?
• 4.Какие преобразования графиков функции вам известны?

Устная работа

1. Найдите область определения функции. Что является графиком функции?

• y = sin ² x + cos² x
• y = t g x · cos x
• у=

2 .Найдите область значений функции.

y = 11 sin x

y = I cos 3x I

y = 2cosx + 3

3. Какие преобразования необходимы для построения данных графиков функций ?

• y=
• y=Ix+5I-4
• y=cos(x +
• y=sin3x

4. Найдите значения функции:

у=sin 2x при х=

• Если х= , то у=
• Если х= то у=
• Если х= — , то у=-1

18.11.13

Классная работа .

№ 54(г)

Найти область определения и область значений функции .

Ответ:D(f)=R, E(f)=[1;1,5]

Построить график функции

y=IsinIxII

РАЗМИНКА.

Самостоятельная работа

• Построить график функции:
• Вариант1. Вариант2.
• y=Ix-2I y=IxI-3

у=sin(x — )+1 y=2-

y=1+cos2x y=sin3x-1

Подобно тому, как все искусства тяготеют к музыке, все науки стремятся к математике. (Джордж Сантаяна)

Тригонометрия в физике

• В технике и окружающем нас мире часто приходится сталкиваться с периодическими процессами, которые повторяются через одинаковые промежутки времени. Такие процессы называют колебательными .

Примерами простых колебательных систем могут служить груз на пружине или математический маятник.

Математический маятник

На рисунке изображены колебания маятника, он движется по кривой, называемой косинусом.

Траектория пули (мяча) и проекции векторов на оси X и Y

Из рисунка видно, что проекции векторов на оси Х и У соответственно равны:

υ x = υ o cos α

υ y = υ o sin α

Тригонометрия в Биологии

Движение рыб в воде происходит по закону синуса или косинуса, если зафиксировать точку на хвосте, а потом рассмотреть траекторию движения.

При плавании тело рыбы принимает форму кривой, которая напоминает график функции y=tgx.

При полёте птицы траектория взмаха крыльев образует синусоиду .

Связь биоритмов с тригонометрией

• Модель биоритмов можно построить с помощью графиков тригонометрических функций.

• Для этого необходимо ввести дату рождения человека ( день, месяц, год ) и длительность прогноза.

Модель биоритмов

ТРИГОНОМЕТРИЯ в медицине.

При каждом сокращении сердца по всему организму – начиная от синусного узла – распространяется электрический ток. Его можно зарегистрировать с помощью электрокардиографа. Он вычерчивает электрокардиограмму (синусоиду).

Тригонометрия в архитектуре

Феликс Кандела Ресторан в Лос-Манантиалесе

Сантьяго Калатрава Винодельня «Бодегас Исиос»

ТРИГОНОМЕТРИЯ

Сферы

применения

• Астрономия
• Геодезия
• Картография
• Механика
• Оптика
• Акустика
• …………… ..
• …………… ..
• ………………

• Строительство
• Архитектура
• Дизайн
• Навигация
• Медицина
• Музыка
• Спорт
• …………………
• …………………

Домашнее задание:

П.3 №54(а,б,в) №55(а,б)

Спасибо за урок!

Домашнее задание:

П.3

№ 54(а,б,в)

№ 55(а,б)

Построение графиков функций

Вопросы
занятия:

·    
рассмотреть
применение производных для построения графиков.

Материал
урока.

Прежде
чем приступить к изучению нового материала, выполните упражнение.

Упражнение.

Мы с вами уже построили достаточно много
графиков функции. Для того, чтобы построить графики функции мы с вами строили
таблицу значений функций, отмечали точки с полученными координатами на
плоскости и соединяли плавно полученные точки. Как же мы выбирали точки для
построения таблиц? А выбирали мы их произвольно.

Но иногда, например, когда речь шла о
параболе, мы находили координаты именно вершины параболы или искали точки
пересечения графика функции с осями. Но если дальше продолжать строить по
произвольным точкам, то может получиться так, что свойства функции не будут
видны на графике. Пусть у нас есть таблица значений для некой функции f(x).
Давайте отметим их на координатной плоскости и плавно соединим. Получим график
функции f(x).
А теперь давайте посмотрим, как выглядел бы график нашей функции, если бы мы не
включили в таблицу эту точку? Тогда бы вид графика был совершенно другой. И мы
бы не могли по графику сказать существуют ли экстремумы функции.

Чтобы такого не происходило надо выбирать
особо важные точки графика, которые определяют его вид.

К особо важным точкам графика функции f(x)
относят:

– стационарные и критические точки;

– точки экстремума;

– точки пересечения графика функции с
осями координат;

– точки разрыва функции.

В курсе математического анализа
разработана универсальная схема исследования свойств функции и построения её
графика. Мы будем использовать упрощённые варианты указанной схемы.

Давайте рассмотрим несколько примеров.

Рассмотрим ещё один пример.

Давайте ещё раз повторим схему
исследования функции для построения её графика.

Характеристики функций и их графиков

Результаты обучения

• Определите, представляет ли отношение функцию.
• Найдите значения функции.
• Определите, является ли функция взаимно однозначной.
• Используйте тест вертикальной линии для определения функций.
• Изобразите функции в библиотеке функций.

Реактивный лайнер меняет высоту по мере увеличения расстояния от точки старта полета.Вес подрастающего ребенка со временем увеличивается. В каждом случае одно количество зависит от другого. Между двумя величинами существует взаимосвязь, которую мы можем описывать, анализировать и использовать для прогнозирования. В этом разделе мы разберем такие отношения.

Характеристики функций

Отношение — это набор упорядоченных пар. Набор первых компонентов каждой упорядоченной пары называется областью отношения, а набор вторых компонентов каждой упорядоченной пары называется диапазоном отношения.Рассмотрим следующий набор упорядоченных пар. Первые числа в каждой паре — это первые пять натуральных чисел. Второе число в каждой паре вдвое больше первого.

[латекс] \ влево \ {\ влево (1,2 \ вправо), \ влево (2,4 \ вправо), \ влево (3,6 \ вправо), \ влево (4,8 \ вправо), \ влево (5,10 \ right) \ right \} [/ латекс]

Домен [латекс] \ left \ {1,2,3,4,5 \ right \} [/ latex]. Диапазон: [латекс] \ left \ {2,4,6,8,10 \ right \} [/ latex].

Обратите внимание, что значения в домене также известны как входные значения или значения независимой переменной и часто обозначаются строчной буквой [latex] x [/ latex].Значения в диапазоне также известны как выход значений или значения зависимой переменной и часто обозначаются строчной буквой [латекс] y [/ латекс].

Функция [latex] f [/ latex] — это отношение, которое присваивает одно значение в диапазоне каждому значению в домене . Другими словами, значения [latex] x [/ latex] не используются более одного раза. В нашем примере, который связывает первые пять натуральных чисел с числами, удваивающими их значения, это отношение является функцией, потому что каждый элемент в домене, [latex] \ left \ {1,2,3,4,5 \ right \} [/ latex] соединяется ровно с одним элементом в диапазоне, [latex] \ left \ {2,4,6,8,10 \ right \} [/ latex].

Теперь давайте рассмотрим набор упорядоченных пар, который связывает термины «четный» и «нечетный» с первыми пятью натуральными числами. Это будет выглядеть как

[латекс] \ left \ {\ left (\ text {odd}, 1 \ right), \ left (\ text {even}, 2 \ right), \ left (\ text {odd}, 3 \ right), \ left (\ text {even}, 4 \ right), \ left (\ text {odd}, 5 \ right) \ right \} [/ latex]

Обратите внимание, что каждый элемент в домене [latex] \ left \ {\ text {even,} \ text {odd} \ right \} [/ latex] — это , а не в паре с ровно одним элементом в диапазоне, [latex ] \ left \ {1,2,3,4,5 \ right \} [/ латекс].Например, термин «нечетный» соответствует трем значениям из домена [латекс] \ left \ {1,3,5 \ right \} [/ latex], а термин «четный» соответствует двум значениям из диапазона, [латекс] \ left \ {2,4 \ right \} [/ латекс]. Это нарушает определение функции, поэтому это отношение не является функцией.

На этом изображении сравниваются отношения, которые являются функциями, а не функциями.

(a) Это отношение является функцией, потому что каждый вход связан с одним выходом. Обратите внимание, что input [latex] q [/ latex] и [latex] r [/ latex] оба дают output [latex] n [/ latex].(б) Эта связь также является функцией. В этом случае каждый вход связан с одним выходом. (c) Эта связь не является функцией, потому что input [latex] q [/ latex] связан с двумя разными выходами.

A Общее примечание: Функции

Функция — это отношение, в котором каждое возможное входное значение приводит ровно к одному выходному значению. Мы говорим: «Выход — это функция входа».

Входные значения составляют область , а выходные значения составляют диапазон .

Как сделать: учитывая отношение между двумя величинами, определите, является ли отношение функцией.

1. Определите входные значения.
2. Определите выходные значения.
3. Если каждое входное значение приводит только к одному выходному значению, связь является функцией. Если какое-либо входное значение приводит к двум или более выходам, связь не является функцией.

Пример: определение того, являются ли прайс-листы меню функциями

Меню кофейни состоит из позиций и их цен.

1. Цена зависит от товара?
2. Товар зависит от цены?

Показать решение

1. Начнем с рассмотрения ввода как пунктов меню. Выходные значения — это цены. У каждого элемента в меню есть только одна цена, поэтому цена является функцией этого элемента.
2. Два пункта меню имеют одинаковую цену. Если мы рассматриваем цены как входные значения, а товары как выходные, то с одним и тем же входным значением может быть связано несколько выходных данных.Следовательно, товар не зависит от цены.

Пример: определение того, являются ли правила оценки класса функциями

В конкретном классе математики общая процентная оценка соответствует среднему баллу. Является ли средний балл функцией процентной оценки? Является ли процентная оценка функцией среднего балла? В таблице ниже показано возможное правило присвоения баллов.

Показать решение

Для любой процентной оценки существует связанный средний балл, поэтому средний балл является функцией процентной оценки. Другими словами, если мы введем процентную оценку, на выходе получится конкретный средний балл.

В данной системе оценок существует диапазон процентных оценок, соответствующих одному и тому же среднему баллу.Например, учащиеся, получившие средний балл 3,0, могут иметь различные процентные оценки от 78 до 86. Таким образом, процентная оценка не является функцией среднего балла.

Попробуйте

В таблице ниже перечислены пять величайших бейсболистов всех времен в порядке рангов.

1. Является ли ранг функцией имени игрока?
2. Имя игрока зависит от ранга?

Показать решение

1. да
2. да.(Примечание: если бы два игрока были разделены, скажем, за 4-е место, то имя не зависело бы от ранга.)

Использование обозначения функций

Как только мы определим, что отношение является функцией, нам необходимо отобразить и определить функциональные отношения, чтобы мы могли их понять и использовать, а иногда и чтобы мы могли программировать их в компьютерах. Есть разные способы представления функций. Стандартное обозначение функции — это представление, упрощающее работу с функциями.

Чтобы представить «рост является функцией возраста», мы начинаем с определения описательных переменных [latex] h [/ latex] для роста и [latex] a [/ latex] для возраста. Буквы [latex] f, g [/ latex] и [latex] h [/ latex] часто используются для обозначения функций точно так же, как мы используем [latex] x, y [/ latex] и [latex] z [/ латекс] для обозначения чисел и [латекс] A, B [/ латекс] и [латекс] C [/ латекс] для представления наборов.

[латекс] \ begin {align} & h \ text {is} f \ text {of} a && \ text {Мы называем функцию} f; \ text {высота является функцией возраста}.\\ & h = f \ left (a \ right) && \ text {Мы используем круглые скобки для обозначения ввода функции} \ text {. } \\ & f \ left (a \ right) && \ text {Мы называем функцию} f; \ text {выражение читается как} » f \ text {of} a ». \ end {align} [/ latex]

Помните, мы можем использовать любую букву для названия функции; мы можем использовать обозначение [латекс] h \ left (a \ right) [/ latex], чтобы показать, что [latex] h [/ latex] зависит от [latex] a [/ latex]. Входное значение [latex] a [/ latex] должно быть помещено в функцию [latex] h [/ latex], чтобы получить выходное значение.Скобки указывают, что возраст вводится в функцию; они не указывают на умножение.

Мы также можем дать алгебраическое выражение в качестве входных данных для функции. Например, [латекс] f \ left (a + b \ right) [/ latex] означает «сначала добавьте [latex] a [/ latex] и [latex] b [/ latex], и результат будет входом для функции [латекс] е [/ латекс] ». Мы должны выполнять операции именно в таком порядке, чтобы получить правильный результат.

A Общее примечание: обозначение функций

Обозначение [латекс] y = f \ left (x \ right) [/ latex] определяет функцию с именем [latex] f [/ latex].Это читается как [latex] «y [/ latex] является функцией [latex] x». [/ Latex] Буква [latex] x [/ latex] представляет входное значение или независимую переменную. Буква [латекс] y [/ latex] или [латекс] f \ left (x \ right) [/ latex] представляет выходное значение или зависимую переменную.

Пример: использование обозначения функций для дней в месяце

Используйте обозначение функции для представления функции, входом которой является название месяца, а выходом — количество дней в этом месяце в невисокосном году.

Показать решение

Количество дней в месяце является функцией названия месяца, поэтому, если мы назовем функцию [latex] f [/ latex], мы напишем [latex] \ text {days} = f \ left (\ text {месяц} \ справа) [/ латекс] или [латекс] d = f \ left (m \ right) [/ латекс].Название месяца — это вход в «правило», которое связывает определенное число (выход) с каждым входом.

Например, [латекс] f \ left (\ text {April} \ right) = 30 [/ latex], потому что в апреле 30 дней. Обозначение [latex] d = f \ left (m \ right) [/ latex] напоминает нам, что количество дней, [latex] d [/ latex] (вывод), зависит от названия месяца, [ латекс] м [/ латекс] (вход).

Анализ решения

Мы должны ограничить функцию невисокосными годами. В противном случае у февраля было бы 2 выхода, и это не было бы функцией.Также обратите внимание, что входные данные функции не обязательно должны быть числами; входные данные функции могут быть именами людей, метками геометрических объектов или любым другим элементом, определяющим какой-либо вид вывода. Однако большинство функций, с которыми мы будем работать в этой книге, будут иметь числа как входы и выходы.

Пример: интерпретация обозначения функции

Функция [латекс] N = f \ left (y \ right) [/ latex] дает количество полицейских, [latex] N [/ latex], в городе в году [latex] y [/ latex].Что означает [латекс] f \ left (2005 \ right) = 300 [/ latex]?

Показать решение

Когда мы читаем [латекс] f \ left (2005 \ right) = 300 [/ latex], мы видим, что входным годом является 2005. Значение для выходных данных — количество полицейских [латекс] N [/ latex] , равно 300. Помните, [латекс] N = f \ left (y \ right) [/ latex]. Выражение [латекс] f \ left (2005 \ right) = 300 [/ latex] говорит нам, что в 2005 году в городе было 300 полицейских.

Вопросы и ответы

Вместо обозначения, такого как [latex] y = f \ left (x \ right) [/ latex], могли бы мы использовать тот же символ для вывода, что и для функции, например [latex] y = y \ left (x \ right) [/ latex], что означает « y является функцией x ?»

Да, это часто делается, особенно по прикладным предметам, использующим высшую математику, например физике и инженерии.Однако, исследуя математику, нам нравится различать такую ​​функцию, как [latex] f [/ latex], которая является правилом или процедурой, и выводом [latex] y [/ latex], который мы получаем, применяя [latex ] f [/ latex] к конкретному входу [latex] x [/ latex]. Вот почему мы обычно используем такие обозначения, как [латекс] y = f \ left (x \ right), P = W \ left (d \ right) [/ latex] и так далее.

Представление функций с помощью таблиц

Распространенный метод представления функций — в виде таблицы. Строки или столбцы таблицы отображают соответствующие входные и выходные значения.В некоторых случаях эти значения представляют все, что мы знаем об отношениях; в других случаях таблица предоставляет несколько избранных примеров из более полных отношений.

В таблице ниже перечислены входные числа каждого месяца (январь = 1, февраль = 2 и т. Д.) И выходное значение количества дней в этом месяце. Эта информация представляет все, что мы знаем о месяцах и днях для данного года (который не является високосным). Обратите внимание, что в этой таблице мы определяем функцию дней в месяце [latex] f [/ latex], где [latex] D = f \ left (m \ right) [/ latex] определяет месяцы целым числом. а не по имени.

В таблице ниже определяется функция [латекс] Q = g \ left (n \ right) [/ latex].Помните, что эта запись говорит нам, что [latex] g [/ latex] — это имя функции, которая принимает входные данные [latex] n [/ latex] и выдает на выходе [latex] Q [/ latex].

В таблице ниже показан возраст детей в годах и их рост.В этой таблице показаны лишь некоторые из имеющихся данных о росте и возрасте детей. Сразу видно, что эта таблица не представляет функцию, потому что одно и то же входное значение, 5 лет, имеет два разных выходных значения, 40 дюймов и 42 дюйма

Как: по таблице входных и выходных значений определить, представляет ли таблица функцию.

1. Определите входные и выходные значения.
2. Проверьте, сопряжено ли каждое входное значение только с одним выходным значением. Если это так, таблица представляет функцию.

Пример: определение таблиц, представляющих функции

Какая таблица, A, B или C, представляет функцию (если есть)?

Показать решение

a) и b) определяют функции.В обоих случаях каждое входное значение соответствует ровно одному выходному значению. c) не определяет функцию, потому что входное значение 5 соответствует двум различным выходным значениям.

Когда таблица представляет функцию, соответствующие входные и выходные значения также могут быть указаны с использованием обозначения функции.

Функция, обозначенная a), может быть представлена ​​записью

[латекс] f \ left (2 \ right) = 1, f \ left (5 \ right) = 3, \ text {and} f \ left (8 \ right) = 6 [/ latex]

Аналогично, утверждения [латекс] g \ left (-3 \ right) = 5, g \ left (0 \ right) = 1, \ text {и} g \ left (4 \ right) = 5 [/ latex] представляют функцию в b).

c) нельзя выразить аналогичным образом, потому что он не представляет функцию.

Когда мы знаем входное значение и хотим определить соответствующее выходное значение для функции, мы оцениваем функцию. Оценка всегда дает один результат, потому что каждое входное значение функции соответствует ровно одному выходному значению.

Когда мы знаем выходное значение и хотим определить входные значения, которые будут производить это выходное значение, мы устанавливаем выход равным формуле функции и решаем для входа.Решение может дать более одного решения, потому что разные входные значения могут давать одно и то же выходное значение.

Определить, является ли функция взаимно однозначной

Некоторые функции имеют заданное выходное значение, соответствующее двум или более входным значениям. Например, на следующей биржевой диаграмме цена акции составляла 1000 долларов в пять разных дат, что означает, что было пять различных входных значений, которые все привели к одному и тому же выходному значению в 1000 долларов.

Однако некоторые функции имеют только одно входное значение для каждого выходного значения, а также имеют только один выход для каждого входа.Мы называем эти функции взаимно однозначными функциями. В качестве примера рассмотрим школу, в которой используются только буквенные оценки и десятичные эквиваленты, как указано в.

Эта система оценок представляет собой функцию «один-к-одному», потому что каждая вводимая буква дает один конкретный выходной средний балл, а каждый средний балл соответствует одной вводимой букве.

Чтобы визуализировать эту концепцию, давайте еще раз посмотрим на две простые функции, схематически изображенные в пунктах (a) и (b) ниже.

Функция в части (a) показывает взаимосвязь, которая не является однозначной, потому что входы [latex] q [/ latex] и [latex] r [/ latex] дают выход [latex] n [/ latex ]. Функция в части (b) показывает взаимосвязь, которая является функцией «один-к-одному», потому что каждый вход связан с одним выходом.

Общее примечание: индивидуальная функция

Однозначная функция — это функция, в которой каждое выходное значение соответствует ровно одному входному значению.{2} [/ латекс]. Поскольку площади и радиусы являются положительными числами, существует ровно одно решение: [latex] r = \ sqrt {\ frac {A} {\ pi}} [/ latex]. Таким образом, площадь круга однозначно зависит от радиуса круга.

Попробуйте

1. Является ли остаток функцией номера банковского счета?
2. Является ли номер банковского счета функцией баланса?
3. Является ли баланс однозначной функцией номера банковского счета?

Показать решение

1. да, потому что каждый банковский счет (вход) имеет единственный баланс (выход) в любой момент времени. {2} + 2p [/ latex], решите относительно [латекс] h \ left (p \ right) = 3 [/ latex].{2} + 2p — 3 = 0 && \ text {Вычтите по 3 с каждой стороны}. \\ & \ left (p + 3 \ text {) (} p — 1 \ right) = 0 && \ text {Factor}. \ end {align} [/ latex]

   Если [латекс] \ left (p + 3 \ right) \ left (p — 1 \ right) = 0 [/ latex], либо [latex] \ left (p + 3 \ right) = 0 [/ latex] или [латекс] \ left (p — 1 \ right) = 0 [/ latex] (или оба они равны 0). Мы установим каждый коэффициент равным 0 и решим для каждого случая [латекс] p [/ латекс].

   [латекс] \ begin {align} & p + 3 = 0, && p = -3 \\ & p — 1 = 0, && p = 1 \ hfill \ end {align} [/ latex]

   Это дает нам два решения.Выход [латекс] h \ left (p \ right) = 3 [/ latex], когда вход либо [latex] p = 1 [/ latex], либо [latex] p = -3 [/ latex].

   Мы также можем проверить, построив график, как на рисунке 5. График проверяет, что [latex] h \ left (1 \ right) = h \ left (-3 \ right) = 3 [/ latex] и [latex] h \ left (4 \ справа) = 24 [/ латекс].

   Попробуйте

   Учитывая функцию [латекс] g \ left (m \ right) = \ sqrt {m — 4} [/ latex], решите [latex] g \ left (m \ right) = 2 [/ latex].

   Вычисление функций, выраженных в формулах

   Некоторые функции определяются математическими правилами или процедурами, выраженными в форме уравнения .Если возможно выразить выход функции с помощью формулы , включающей входную величину, то мы можем определить функцию в алгебраической форме. Например, уравнение [латекс] 2n + 6p = 12 [/ латекс] выражает функциональную взаимосвязь между [латексом] n [/ латексом] и [латексом] p [/ латексом]. Мы можем переписать его, чтобы решить, является ли [latex] p [/ latex] функцией [latex] n [/ latex].

   Практическое руководство. Для данной функции в форме уравнения напишите ее алгебраическую формулу.

   1. Решите уравнение, чтобы изолировать выходную переменную с одной стороны от знака равенства с другой стороной как выражение, которое включает только входную переменную.
   2. Используйте все обычные алгебраические методы для решения уравнений, такие как сложение или вычитание одной и той же величины с обеих сторон или от них, или умножение или деление обеих сторон уравнения на одинаковую величину.

   Пример: поиск уравнения функции

   Выразите отношение [латекс] 2n + 6p = 12 [/ latex] как функцию [latex] p = f \ left (n \ right) [/ latex], если это возможно.

   Показать решение

   Чтобы выразить отношение в этой форме, нам нужно иметь возможность записать отношение, где [latex] p [/ latex] является функцией [latex] n [/ latex], что означает запись его как [latex] p = [/ latex] выражение, включающее [latex] n [/ latex].

   [латекс] \ begin {align} & 2n + 6p = 12 \\ [1mm] & 6p = 12 — 2n && \ text {Subtract} 2n \ text {с обеих сторон}. \\ [1mm] & p = \ frac {12 — 2n} {6} && \ text {Разделите обе стороны на 6 и упростите}. \\ [1 мм] & p = \ frac {12} {6} — \ frac {2n} {6} \\ [1 мм] & p = 2- \ frac {1} {3} n \ end {align} [/ latex ]

   Следовательно, [латекс] p [/ latex] как функция [latex] n [/ latex] записывается как

   [латекс] p = f \ left (n \ right) = 2- \ frac {1} {3} n [/ latex]

   Анализ решения

   Важно отметить, что не все отношения, выраженные уравнением, также можно выразить как функцию с формулой.{y} [/ latex], если мы хотим выразить [latex] y [/ latex] как функцию [latex] x [/ latex], не существует простой алгебраической формулы, включающей только [latex] x [/ latex] что равно [латекс] y [/ латекс]. Однако каждый [latex] x [/ latex] определяет уникальное значение для [latex] y [/ latex], и существуют математические процедуры, с помощью которых [latex] y [/ latex] может быть найден с любой желаемой точностью. В этом случае мы говорим, что уравнение дает неявное (подразумеваемое) правило для [latex] y [/ latex] как функции [latex] x [/ latex], даже если формулу нельзя записать явно.

   Оценка функции, заданной в табличной форме

   Как мы видели выше, мы можем представлять функции в виде таблиц. И наоборот, мы можем использовать информацию в таблицах для написания функций, и мы можем оценивать функции с помощью таблиц. Например, насколько хорошо наши питомцы вспоминают теплые воспоминания, которыми мы с ними делимся? Существует городская легенда, что у золотой рыбки память 3 секунды, но это всего лишь миф. Золотая рыбка может помнить до 3 месяцев, в то время как бета-рыба имеет память до 5 месяцев.И хотя продолжительность памяти щенка не превышает 30 секунд, взрослая собака может запоминать 5 минут. Это скудно по сравнению с кошкой, у которой объем памяти составляет 16 часов.

   Функция, которая связывает тип домашнего животного с продолжительностью его памяти, легче визуализировать с помощью таблицы. См. Таблицу ниже.

   Домашнее животное	Объем памяти в часах
   Щенок	0,008
   Взрослая собака	0.083
   Кот	16
   Золотая рыбка	2160
   Бета-рыба	3600

   Иногда оценка функции в табличной форме может быть более полезной, чем использование уравнений. Здесь вызовем функцию [латекс] П [/ латекс].

   Домен функции — это тип домашнего животного, а диапазон — это действительное число, представляющее количество часов, в течение которых хранится память домашнего животного.Мы можем оценить функцию [latex] P [/ latex] при входном значении «золотая рыбка». Мы бы написали [латекс] P \ left (\ text {goldfish} \ right) = 2160 [/ latex]. Обратите внимание, что для оценки функции в табличной форме мы идентифицируем входное значение и соответствующее выходное значение из соответствующей строки таблицы. Табличная форма для функции [latex] P [/ latex] кажется идеально подходящей для этой функции, больше, чем запись ее в форме абзаца или функции.

   Практическое руководство. Для функции, представленной в виде таблицы, определите конкретные выходные и входные значения.

   
   

   1. Найдите данный вход в строке (или столбце) входных значений.
   2. Определите соответствующее выходное значение в паре с этим входным значением.
   3. Найдите заданные выходные значения в строке (или столбце) выходных значений, отмечая каждый раз, когда это выходное значение появляется.
   4. Определите входные значения, соответствующие заданному выходному значению.

   Пример: оценка и решение табличной функции

   Используя приведенную ниже таблицу,

   1. Вычислить [латекс] g \ left (3 \ right) [/ latex].
   2. Решите [латекс] g \ left (n \ right) = 6 [/ latex].

   [латекс] н [/ латекс]	1	2	3	4	5
   [латекс] г (п) [/ латекс]	8	6	7	6	8

   Показать решение

   • Оценка [latex] g \ left (3 \ right) [/ latex] означает определение выходного значения функции [latex] g [/ latex] для входного значения [latex] n = 3 [/ latex].Выходное значение таблицы, соответствующее [latex] n = 3 [/ latex], равно 7, поэтому [latex] g \ left (3 \ right) = 7 [/ latex].
   • Решение [latex] g \ left (n \ right) = 6 [/ latex] означает определение входных значений, [latex] n [/ latex], которые дают выходное значение 6. В таблице ниже показаны два решения: [ латекс] n = 2 [/ латекс] и [латекс] n = 4 [/ латекс].

   [латекс] n [/ латекс]	1	2	3	4	5
   [латекс] г (п) [/ латекс]	8	6	7	6	8

   Когда мы вводим 2 в функцию [latex] g [/ latex], мы получаем 6.Когда мы вводим 4 в функцию [latex] g [/ latex], наш результат также равен 6.

   Попробуйте

   Используя таблицу из предыдущего примера, оцените [латекс] g \ left (1 \ right) [/ latex].

   Показать решение

   [латекс] г \ влево (1 \ вправо) = 8 [/ латекс]

   Поиск значений функции из графика

   Оценка функции с помощью графика также требует нахождения соответствующего выходного значения для данного входного значения, только в этом случае мы находим выходное значение, глядя на график.Решение функционального уравнения с использованием графика требует нахождения всех экземпляров данного выходного значения на графике и наблюдения за соответствующими входными значениями.

   Пример: чтение значений функций из графика

   Учитывая график ниже,

   1. Вычислить [латекс] f \ left (2 \ right) [/ latex].
   2. Решите [латекс] f \ left (x \ right) = 4 [/ latex].

   Показать решение

   1. Чтобы оценить [латекс] f \ left (2 \ right) [/ latex], найдите точку на кривой, где [latex] x = 2 [/ latex], затем прочтите [latex] y [/ latex] — координата этой точки.Точка имеет координаты [latex] \ left (2,1 \ right) [/ latex], поэтому [latex] f \ left (2 \ right) = 1 [/ latex].
   2. Чтобы решить [латекс] f \ left (x \ right) = 4 [/ latex], мы находим выходное значение [latex] 4 [/ latex] по вертикальной оси. Двигаясь горизонтально по линии [latex] y = 4 [/ latex], мы обнаруживаем две точки кривой с выходным значением [latex] 4: [/ latex] [latex] \ left (-1,4 \ right) [/ латекс] и [латекс] \ влево (3,4 \ вправо) [/ латекс]. Эти точки представляют два решения [латекса] f \ left (x \ right) = 4: [/ latex] [latex] x = -1 [/ latex] или [latex] x = 3 [/ latex].Это означает [латекс] f \ left (-1 \ right) = 4 [/ latex] и [latex] f \ left (3 \ right) = 4 [/ latex], или когда ввод [латекс] -1 [ / latex] или [latex] \ text {3,} [/ latex] вывод будет [latex] \ text {4} \ text {.} [/ latex] См. график ниже.

   Попробуйте

   Используя график, решите [латекс] f \ left (x \ right) = 1 [/ latex].

   Показать решение

   [латекс] x = 0 [/ латекс] или [латекс] x = 2 [/ латекс]

   Определение функций с помощью графиков

   Как мы видели в примерах выше, мы можем представить функцию с помощью графика.Графики отображают множество пар ввода-вывода на небольшом пространстве. Предоставляемая ими визуальная информация часто упрощает понимание взаимоотношений. Обычно мы строим графики с входными значениями по горизонтальной оси и выходными значениями по вертикальной оси.

   Наиболее распространенные графики называют входное значение [latex] x [/ latex] и выходное значение [latex] y [/ latex], и мы говорим, что [latex] y [/ latex] является функцией [latex] x [ / latex] или [latex] y = f \ left (x \ right) [/ latex], если функция называется [latex] f [/ latex].График функции — это набор всех точек [латекс] \ left (x, y \ right) [/ latex] в плоскости, которая удовлетворяет уравнению [латекс] y = f \ left (x \ right) [/ latex ]. Если функция определена только для нескольких входных значений, то график функции представляет собой только несколько точек, где координата x каждой точки является входным значением, а координата y каждой точки является соответствующее выходное значение. Например, черные точки на графике на графике ниже говорят нам, что [латекс] f \ left (0 \ right) = 2 [/ latex] и [latex] f \ left (6 \ right) = 1 [/ latex ].Однако набор всех точек [latex] \ left (x, y \ right) [/ latex], удовлетворяющих [latex] y = f \ left (x \ right) [/ latex], является кривой. Показанная кривая включает [латекс] \ left (0,2 \ right) [/ latex] и [latex] \ left (6,1 \ right) [/ latex], потому что кривая проходит через эти точки.

   Тест вертикальной линии может использоваться для определения того, представляет ли график функцию. Вертикальная линия включает все точки с определенным значением [latex] x [/ latex]. Значение [latex] y [/ latex] точки, где вертикальная линия пересекает график, представляет собой выход для этого входного значения [latex] x [/ latex].Если мы можем нарисовать любую вертикальную линию , которая пересекает график более одного раза, тогда график , а не определяет функцию, потому что это значение [latex] x [/ latex] имеет более одного вывода. Функция имеет только одно выходное значение для каждого входного значения.

   Как сделать. Для данного графика используйте тест вертикальной линии, чтобы определить, представляет ли график функцию.

   1. Проверьте график, чтобы убедиться, что какая-либо вертикальная линия пересекает кривую более одного раза.
   2. Если такая линия есть, график не представляет функцию.
   3. Если ни одна вертикальная линия не может пересекать кривую более одного раза, график действительно представляет функцию.

   Пример: применение теста вертикальной линии

   Какой из графиков представляет функцию [латекс] y = f \ left (x \ right)? [/ Latex]

   Показать решение

   Если какая-либо вертикальная линия пересекает график более одного раза, отношение, представленное на графике, не является функцией. Обратите внимание, что любая вертикальная линия будет проходить только через одну точку двух графиков, показанных в частях (a) и (b) графика выше.Из этого можно сделать вывод, что эти два графика представляют функции. Третий график не представляет функцию, потому что при максимальном значении x вертикальная линия пересекает график более чем в одной точке.

   Попробуйте

   Представляет ли приведенный ниже график функцию?

   Тест горизонтальной линии

   После того, как мы определили, что график определяет функцию, простой способ определить, является ли функция взаимно однозначной, — это использовать тест горизонтальной линии .Проведите через график горизонтальные линии. Горизонтальная линия включает все точки с определенным значением [latex] y [/ latex]. Значение [latex] x [/ latex] точки, где вертикальная линия пересекает функцию, представляет вход для этого выходного значения [latex] y [/ latex]. Если мы можем нарисовать любую горизонтальную линию , которая пересекает график более одного раза, тогда график , а не представляет собой взаимно-однозначную функцию, потому что это значение [latex] y [/ latex] имеет более одного входа.

   Практическое руководство. Имея график функции, используйте тест горизонтальной линии, чтобы определить, представляет ли график однозначную функцию.

   1. Проверьте график, чтобы увидеть, пересекает ли нарисованная горизонтальная линия кривую более одного раза.
   2. Если такая линия есть, функция не взаимно однозначная.
   3. Если ни одна горизонтальная линия не может пересекать кривую более одного раза, функция взаимно однозначна.

   Пример: применение теста горизонтальной линии

   Рассмотрим функции (a) и (b), показанные на графиках ниже.

   Являются ли какие-либо функции взаимно однозначными?

   Показать решение

   Функция в (a) не является взаимно однозначной.Горизонтальная линия, показанная ниже, пересекает график функции в двух точках (и мы даже можем найти горизонтальные линии, которые пересекают его в трех точках).

   Функция в (b) взаимно однозначная. Любая горизонтальная линия будет пересекать диагональную линию не более одного раза.

   Определение основных функций набора инструментов

   В этом тексте мы исследуем функции — формы их графиков, их уникальные характеристики, их алгебраические формулы и способы решения с ними проблем.Учимся читать, начинаем с алфавита. Изучая арифметику, мы начинаем с чисел. При работе с функциями также полезно иметь базовый набор стандартных элементов. Мы называем их «функциями набора инструментов», которые образуют набор основных именованных функций, для которых нам известны график, формула и специальные свойства. Некоторые из этих функций запрограммированы на отдельные кнопки на многих калькуляторах. Для этих определений мы будем использовать [latex] x [/ latex] в качестве входной переменной и [latex] y = f \ left (x \ right) [/ latex] в качестве выходной переменной.

   Мы будем часто видеть эти функции набора инструментов, комбинации функций набора инструментов, их графики и их преобразования на протяжении всей этой книги. Будет очень полезно, если мы сможем быстро распознать эти функции набора инструментов и их возможности по имени, формуле, графику и основным свойствам таблицы. Графики и примерные значения таблицы включены в каждую функцию, показанную ниже.

   Ключевые понятия

   • Отношение — это набор упорядоченных пар. Функция — это особый тип отношения, в котором каждое значение домена или вход приводит ровно к одному значению диапазона или выходу.
   • Функциональная нотация — это сокращенный метод соотнесения ввода и вывода в форме [латекс] y = f \ left (x \ right) [/ latex].
   • В табличной форме функция может быть представлена ​​строками или столбцами, относящимися к входным и выходным значениям.
   • Чтобы оценить функцию, мы определяем выходное значение для соответствующего входного значения. Алгебраические формы функции можно оценить, заменив входную переменную заданным значением.
   • Чтобы найти конкретное значение функции, мы определяем входные значения, которые дают конкретное выходное значение.
   • Алгебраическая форма функции может быть записана из уравнения.
   • Входные и выходные значения функции можно определить по таблице.
   • Связь входных значений с выходными значениями на графике — еще один способ оценить функцию.
   • Функция взаимно однозначна, если каждое выходное значение соответствует только одному входному значению.
   • График представляет функцию, если любая вертикальная линия, проведенная на графике, пересекает график не более чем в одной точке.
   • График представляет собой взаимно однозначную функцию, если любая горизонтальная линия, проведенная на графике, пересекает график не более чем в одной точке.

   Глоссарий

   зависимая переменная

   выходная переменная

   домен

   набор всех возможных входных значений для отношения

   функция

   отношение, в котором каждое входное значение дает уникальное выходное значение

   тест горизонтальной линии

   метод проверки взаимно однозначности функции путем определения того, пересекает ли какая-либо горизонтальная линия график более одного раза

   независимая переменная

   входная переменная

   вход

   каждый объект или значение в домене, который относится к другому объекту или значению посредством отношения, известного как функция

   индивидуальная функция

   функция, для которой каждое значение вывода связано с уникальным значением ввода

   выход

   каждый объект или значение в диапазоне, который создается, когда входное значение вводится в функцию

   диапазон

   набор выходных значений, которые являются результатом входных значений в отношении

   отношение

   набор заказанных пар

   тест вертикальной линии

   метод проверки того, представляет ли график функцию путем определения того, пересекает ли вертикальная линия график не более одного раза

   Представление функций в виде правил и графиков (Алгебра 1, Обнаружение выражений, уравнений и функций) — Mathplanet

   Давайте начнем с примера:

   В магазине морковь стоит 2 доллара.50 / фунт. Цена, которую платит покупатель, зависит от того, сколько фунтов моркови он покупает. Другой способ сказать это — сказать, что общая стоимость является функцией купленных фунтов стерлингов. Мы можем записать это в виде уравнения.

   $$ итого \: стоимость = цена \: за \: фунт \: \ cdot \: вес \: куплено $

   или

   $$ y = 2,50 \ cdot x $$

   Функция — это уравнение, которое показывает взаимосвязь между входом x и выходом y, причем для каждого входа существует ровно один выход. Другое слово для ввода — это домен, а для вывода — диапазон.Как мы заявляли ранее, цена y, которую должен заплатить покупатель, зависит от того, сколько фунтов моркови x покупает покупатель. Количество купленных фунтов называется независимой переменной, поскольку это то, что мы меняем, тогда как общая цена называется зависимой переменной, поскольку она зависит от того, сколько фунтов мы фактически покупаем.

   Входная переменная = Независимая переменная = Домен

   Выходная переменная = Зависимая переменная = Диапазон

   Функции обычно представлены правилом функции, в котором зависимая переменная y выражается через независимую переменную x.

   $$ y = 2,50 \ cdot x $$

   Вы можете представить свою функцию в виде графика. Самый простой способ построить график — начать с создания таблицы, содержащей входы и соответствующие им выходы. Мы снова используем пример с морковью

   .

   Вход, x (фунт)	Объем производства, y ($)
   0	0
   1	2,50
   2	5.00
   3	7,50

   Пара входного значения и соответствующего ему выходного значения называется упорядоченной парой и может быть записана как (a, b). В упорядоченной паре первое число, вход a, соответствует горизонтальной оси, а второе число, выход b, соответствует вертикальной оси.

   Таким образом, мы можем записать наши значения в виде упорядоченных пар

   (0, 0) — эта упорядоченная пара также называется исходной точкой
   (1, 2.5)
   (2, 5)
   (3, 7,5)

   Затем эти упорядоченные пары можно отобразить в виде графика.

   Соединение любого набора входов с соответствующими выходами называется отношением. Каждая функция — это отношение, но не все отношения — это функции. В приведенном выше примере с морковью каждый ввод дает ровно один вывод, который квалифицирует его как функцию.

   Если вы не уверены, является ли ваше отношение функцией или нет, вы можете провести вертикальную линию прямо через ваш график.Если отношение не является функцией, график содержит как минимум две точки с одинаковой x-координатой, но с разными y-координатами.

   Отношение, изображенное на графике слева, показывает функцию, тогда как отношение на графике справа не является функцией, поскольку вертикальная линия пересекает график в двух точках.

   ---

   Видеоурок

   Напишите правило для функции:

   Ввод	0	1	2	4	5
   выход	4	3	2	0	-1

   8 Функции преподавания и обучения | Как студенты учатся: история, математика и естественные науки в классе

   ПРИМЕЧАНИЯ

   1.	Изучение функций, как мы определяем его здесь, в значительной степени пересекается с темой «алгебры», традиционно преподаваемой в Соединенных Штатах в девятом классе, хотя национальные стандарты и стандарты многих штатов теперь рекомендуют изучать аспекты алгебры в более ранних классах (поскольку делается в большинстве других стран). Хотя функции являются важной частью алгебры, другие аспекты алгебры, такие как решение уравнений, в этой главе не рассматриваются.
   2.	Thomas, 1972, стр. 17.
   3.	Гольденберг, 1995; Leinhardt et al., 1990; Romberg et al., 1993.
   4.	Натан и Кёдингер, 2000.
   5.	Кёдингер и Натан, 2004.
   6.	Кёдингер и Натан, 2004.
   7.	Koedinger et al., 1997.
   8.	Кальчман, 2001.
   9.	Schoenfeld et al., 1993.
   10.	Schoenfeld et al., 1987.
   11.	Schoenfeld et al., 1998, стр. 81.
   12.	Chi et al., 1981.
   13.	Chi et al., 1981; Schoenfeld et al., 1993.
   14.	Кальчман, 2001.

   ССЫЛКИ

   Chi, M.T.H., Feltovich, P.J., and Glaser, R. (1981). Категоризация и представление физических задач специалистами и новичками. Когнитивные науки , 5 , 121-152.

   Гольденберг, Э. (1995). Множественные представления: средство понимания.Д. Перкинс, Дж. Шварц, М. Вест и М. Виск (редакторы), Программное обеспечение идет в школу: обучение пониманию с помощью новых технологий (стр. 155-171). Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета.

   Кальчман М. (2001). Использование неопиажеской структуры для изучения и обучения математическим функциям . Докторская диссертация, Торонто, Онтарио, Университет Торонто.

   Кёдингер, К.Р., и Натан, М.Дж. (2004). Реальная история проблем истории: влияние представлений на количественные рассуждения. Журнал обучающих наук , 13 (2).

   Koedinger, K.R., Anderson, J.R., Hadley, W.H., and Mark, M.A. (1997). Интеллектуальное обучение идет в школу в большом городе. Международный журнал искусственного интеллекта в образовании , 8 , 30-43.

   Лейнхардт, Г., Заславский, О., Стейн, М. (1990). Функции, графики и графики: задачи, обучение и обучение. Обзор исследований в области образования , 60 (1), 1-64.

   Натан, М.Дж., и Кёдингер, К.Р. (2000). Убеждения учителей и исследователей в раннем развитии алгебры. Журнал исследований в области математического образования , 31 (2), 168-190.

   Ромберг, Т., Феннема, Э., и Карпентер, Т. (1993). Интегрирующие исследования графического представления функций . Махва, Нью-Джерси: Лоуренс Эрлбаум Ассошиэйтс.

   Примечания к функциям и их графикам

   Отношение f из набора A к набору B называется функцией , если каждый элемент набора A имеет одно и только одно изображение в наборе B.

   Функция f является отношением, если никакие две упорядоченные пары в отношении не имеют одного и того же первого элемента.

   f = {(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5), (5, 6), (6, 7)}

   Функция, которая является соотношением между два набора могут быть представлены графически, потому что это набор упорядоченных пар и может быть нанесен на декартову плоскость.

   Обозначение f : A → B означает, что f является функцией от A до B.

   A = домен f = {1, 2, 3, 4, 5, 6} и B = Ко-домен f = {2, 3, 4, 5, 6, 7}

   Учитывая a ϵ A, существует уникальный элемент b в B, такой что f ( а ) = б.

   Набор всех значений f ( a ), взятых вместе, называется диапазоном f или изображением A под f .

   Символически, диапазон f = {b: b = f (a), для некоторых a в A} = {2, 3, 4, 5, 6, 7}.

   Различные типы функций и их графическое представление.
   Функция идентичности

   Функция f: R → R называется функцией идентичности, если f (x) = x, ∀ x ϵ R обозначается I _R .

   Пусть A = {1, 2, 3}

   Функция f: A → A, определенная как f (x) = x, является тождественной функцией.

   f = {(1,1), (2,2), (3,3)}.

   График функции идентичности — это прямая линия, проходящая через начало координат.

   Каждая точка на этой линии равноудалена от осей координат.
   Прямая составляет угол 45 ° с осями координат.

   Линейная функция
   Функция f: R → R называется линейной функцией, если f (x) = ax + b, где a ≠ 0, a и b — действительные константы, а x — действительная переменная.

   Рассмотрим линейную функцию, f (x) = 3x + 7, ∀ x ϵ R

   Упорядоченные пары, удовлетворяющие линейной функции: (0, 7), (-1, 4), (-2, 1).

   Построив эти точки на декартовой плоскости и затем соединив их, мы получим график линейной функции f от x, равной 3x + 7, ∀ x ϵ R, как показано на рисунке.

   Постоянная функция
   Функция f : R → R называется постоянной функцией, если f (x) = c, ∀ x ϵ R, где c — константа.

   Пусть f : R → R — постоянная функция, определяемая формулой f (x) = 4, ∀ x ϵ R.

   Упорядоченные пары, удовлетворяющие линейной функции: (0, 4), (-1, 4 ), (2, 4).

   Если диапазон функции является одноэлементным набором, он называется постоянной функцией.

   Построив эти точки на декартовой плоскости и затем соединив их, мы получим график постоянной функции f от x = 4, ∀ x ϵ R, как показано.

   Кроме того, из графика мы можем заключить, что график постоянной функции, f (x) = c, всегда представляет собой прямую линию, параллельную оси X, пересекающую ось Y в точке (0, c) .

   Полиномиальная функция
   Функция f: R → R называется полиномиальной функцией, если для всех x в R y = f (x) = a ₀ + a ₁ x + a ₂ x ² + …………… .. + a _n x ⁿ , где n — неотрицательное целое число и ₀ , a ₁ , a _{2 …… ..} a _n — действительные числа.

   Примеры полиномиальных функций
   f (x) = x ² + 5x + 6, ∀ x ϵ R

   и f (x) = x ³ + 4x + 2, ∀ x ϵ R

   Примечание. В полиномиальной функции степени переменных должны быть неотрицательными целыми числами.

   Например, f (x) = √x + 2 (∀ x ϵ R) не является полиномиальной функцией, потому что степень x является рациональным числом.

   Рассмотрим полиномиальную функцию, f (x) = 3x ² + 2x -3, ∀ x ϵ R

   Упорядоченные пары, удовлетворяющие полиномиальной функции: (0, -3), (-1, -2), (1, 2), (2, 13), (-2, 5).

   Построив эти точки на декартовой плоскости и затем соединив их, мы получим график полиномиальной функции f от x, равной 3 x ² + 2 x — 3, ∀ x ϵ R, как показано.

   Рациональная функция
   Если f (x) и g (x) — две полиномиальные функции, то f (x) g (x) такая, что g (x) ≠ 0 и ∀ x ϵ R, называется рациональная функция.

   Рассмотрим функцию f (x) = 2x — 53x — 2 (x ≠ ⅔).

   Упорядоченные пары, удовлетворяющие полиномиальной функции: (0, 5), (2,-), (1, -3).

   Построив эти точки на декартовой плоскости и затем соединив их, мы получим график данной рациональной функции, как показано.

   Функция модуля
   Функция f: R → R, определенная как f (x) = | x | (∀ x ϵ R) называется модульной функцией.
   Если x отрицательно, то значение функции равно минус x, а если x неотрицательно, то значение функции равно x. т.е. f (x) = x, если x ≥ 0 = — x, если x <0.

   Упорядоченные пары, удовлетворяющие полиномиальной функции: (0, 0), (-1, 1), (1, 1), (- 3, 3), (3, 3).

   Построив эти точки на декартовой плоскости и затем соединив их, мы получим график функции модуля f от x, равного модулю x.

   Сигнальная функция
   Функция f: R → R, определенная как f (x) = xx, называется сигнальной функцией.

   Его также можно определить как

   1 если x> 0

   f (x) = 0, если x = 0

   -1, если x <0 (, ∀ x ϵ R)

   Упорядоченные пары, удовлетворяющие знаковой функции: (1, 1), (2, 1), (0, 0), (-1, -1), (-5, -1).

   Построив эти точки на декартовой плоскости и затем соединив их, мы получим график знаковой функции f от x, равной модулю x, деленному на x.

   
   

   Домен функции signum — R, , а диапазон — {-1,0,1}.

   Также записывается как знак (х).

   Наибольшая целая функция

   Функция f: R → R, определенная как f (x) = [x], ∀ x ϵ R, принимает значение наибольшего целого числа, меньшего или равного x.

   Из определения [x] мы видим, что

   [x] = -1 для -1 £ x <0

   [x] = 0 для 0 £ x <1

   [x] = 1 для 1 £ x <2

   [x] = 2 для 2 £ x <3 и т. Д.

   ⇒ f (2.5) даст значение 2, а f (1.2) даст значение 1, и так далее…

   Следовательно, график наибольшей целочисленной функции такой, как показано.

   Исчисление I — Общие графы

   Большинство людей вышли из класса алгебры, способного работать с функциями в форме \ (y = f (x) \).Однако многие функции, с которыми вам придется иметь дело в классе Calculus, имеют форму \ (x = f (y) \), и с ними легко работать только в этой форме. Итак, вам нужно привыкнуть к работе с функциями в таком виде.

   Хорошая особенность этих функций заключается в том, что если вы можете работать с функциями в форме \ (y = f (x) \), то вы можете работать с функциями в форме \ (x = f (y) \) даже если вы не так хорошо с ними знакомы.

   Давайте сначала рассмотрим уравнение.2} + на + c \]

   Это общая форма этого вида параболы, и это будет парабола, которая открывается влево или вправо в зависимости от знака \ (a \). \ (Y \) — координата вершины задается как \ (y = — \ frac {b} {{2a}} \), и мы находим \ (x \) — координату, подставляя это в уравнение. Итак, вы можете видеть, что это очень похоже на тип параболы, с которым вы уже привыкли иметь дело.

   Вернемся к примеру. Наша функция — парабола, которая открывается вправо (\ (a \) положительно) и имеет вершину в \ (\ left (-4,3 \ right) \).2} — 6y + 5 & = 0 \\ \ left ({y — 5} \ right) \ left ({y — 1} \ right) & = 0 \ end {align *} \]

   Итак, наша парабола будет иметь \ (y \) — точки пересечения в точках \ (y = 1 \) и \ (y = 5 \). Вот набросок графика.

   Функции и взаимосвязи — стало проще

   Введение

   Упорядоченная пара — это набор входов и выходов, представляющий взаимосвязь между двумя значениями. Отношение — это набор входов и выходов, а функция — это отношение с одним выходом для каждого входа.

   Что такое функция?

   Некоторые отношения имеют смысл, а другие — нет. Функции — это отношения, которые имеют смысл. Все функции являются отношениями , но не все отношения являются функциями.

   Функция — это отношение, в котором для каждого входа существует только один выход.

   Вот отображение функций. Домен — это вход или x-значение , а диапазон — это выход или y-значение .

   Каждое значение x связано только с одним значением y.

   Хотя входы, равные -1 и 1, имеют одинаковый выход, это отношение по-прежнему является функцией, потому что каждый вход имеет только один выход.

   Это отображение не является функцией. Вход для -2 имеет более одного выхода.

   Графические функции

   Использование входов и выходов, перечисленных в таблицах, картах и ​​списках, позволяет легко нанести точку на координатную сетку . Используя график точек данных, вы можете определить, является ли отношение функцией, используя тест с вертикальной линией .Если вы можете провести вертикальную линию через график и коснуться только одной точки, отношение является функцией.

   Взгляните на график этой карты отношений. Если бы вы провели вертикальную линию через каждую точку на графике, каждая линия касалась бы только одной точки, так что это отношение является функцией.

   Специальные функции

   Специальные функции и их уравнения имеют узнаваемые характеристики.

   Постоянная функция

   $ f (x) = c $

   Значение c может быть любым числом, поэтому график постоянной функции представляет собой горизонтальную линию.Вот график $ f (x) = 4 $

   .

   Функция идентификации

   долл. США f (x) = x

   долл. США

   Для функции идентификации значение x совпадает с значением y. График представляет собой диагональную линию, проходящую через начало координат.

   Линейная функция

   долл. США f (x) = mx + b

   долл. США

   Уравнение, записанное в форме угла наклона-пересечения , является уравнением линейной функции , а график функции представляет собой прямую линию.

   Вот график $ f (x) = 3x + 4 $

   Функция абсолютного значения

   долл. США f (x) = | x |

   долл. США

   Функция абсолютного значения легко узнать по V-образному графику. График состоит из двух частей и представляет собой одну из кусочных функций.

   Это лишь некоторые из наиболее часто используемых специальных функций.

   Обратные функции

   Обратная функция меняет местами входы и выходы.{-1} (x) = \ frac {x + 4} {3} $.

   Не всякая инверсия функции является функцией, поэтому для проверки используйте тест вертикальной линии.

   Функциональные операции

   Вы можете складывать, вычитать, умножать и делить функции .

   • $ f (x) + g (x) = (f + g) (x)

   долларов США

   • $ f (x) — g (x) = (f — g) (x)

   долларов

   • $ f (x) \ times g (x) = (f \ times g) (x)

   долларов США

   • $ \ frac {f (x)} {g (x)} = \ frac {f} {g} (x)

   долларов США

   Посмотрите на два примера операций функции:

   Какова сумма этих двух функций? Просто добавьте выражения.2 \) домен представляет собой набор всех действительных чисел, а диапазон — только неотрицательные действительные числа.

   Домен = \ ((- \ infty, \ infty) \) и Диапазон = \ ((0, \ infty) \)

   Мы определяем функцию \ (f: \ mathbb {R} — {0} \ rightarrow \ mathbb {R} \) как \ (f (x) = \ dfrac {1} {x} \).

   Заполните приведенную ниже таблицу.

   \ (х \)	-2	-1,5	-1	-0.5	0,25	0,5	1	1,5	2
   \ (y = \ dfrac {1} {x} \)

   Найдите домен и диапазон функции.

   Решение

   Допишем данную таблицу, найдя значения функции при заданных значениях \ (x \).

   \ (х \)	-2	-1,5	-1	-0,5	0,25	0,5	1	1,5	2
   \ (y = \ dfrac {1} {x} \)	-0.5	-0,67	-1	-2	4	2	1	0,67	0,5

   Нарисуем график функции.

   Из графика мы можем заметить, что область определения и диапазон функции являются действительными числами, кроме 0.

   Итак, домен и диапазон \ (f (x) = \ dfrac {1} {x} \) — это \ (\ mathbb {R} / \ {0 \} \).

   Г-жа Эми попросила своих учеников найти диапазон и область применения функции, указанной на доске.

   Можете определить то же самое?

   Решение

   Сначала мы установим знаменатель равным 0, а затем решим относительно \ (x \).

   \ [\ begin {align *} 3 -x & = 0 \\ -x & = -3 \\ x & = 3 \ end {align *} \]

   Следовательно, мы исключим \ (3 \) из домена.

   Итак, домен — это набор действительных чисел \ (x \), где \ ((x <3) \) и \ ((x> 3) \)

   Давайте найдем диапазон \ (y = \ dfrac {x + 1} {3-x} \)

   Решим данное уравнение относительно \ (x \)

   \ [\ begin {align} (3-x) y & = x + 1 \\ [0,2 см] 3y-xy & = x + 1 \\ [0,2 см] 3y-1 & = x + xy \\ [0,2 см] x (1 + y) & = 3y-1 \\ [0,2 см] x & = \ dfrac {3y-1} {1 + y} \ end {align} \]

   Окончательное уравнение представляет собой дробь, а дробь НЕ определяется, если ее знаменатель равен нулю.Итак,

   \ [\ begin {align} 1 + y & \ neq 0 \\ [0,2 см]
   y & \ neq-1 \ end {align} \]

   Следовательно, диапазон данной функции — это набор всех действительных чисел, исключая -1

   Домен = \ ((- \ infty, 3) \ cup (3, \ infty) \), Диапазон = \ ((- \ infty, -1) \ cup (-1, \ infty) \)

   ---

   Интерактивные вопросы

   Вот несколько упражнений для практики.

   Выберите / введите свой ответ и нажмите кнопку «Проверить ответ», чтобы увидеть результат.

   ---

   Подведем итоги

   Этот мини-урок был посвящен увлекательной концепции домена и диапазона функции. Математическое путешествие по домену и диапазону функции начинается с того, что студент уже знает, и переходит к творческому созданию новой концепции в молодых умах. Сделано так, чтобы не только было понятно и легко понять, но и навсегда осталось с ними.В этом заключается магия Куэмат.

   Мы надеемся, что вам понравилось изучать определение домена и диапазона, домен и диапазон графика, уравнение домена и диапазона, домен и диапазон тригонометрических функций, домен и диапазон экспоненциальной функции, а также примеры домена и диапазона.

   О компании Cuemath

   В Cuemath наша команда экспертов по математике стремится сделать обучение интересным для наших любимых читателей, студентов!

   Благодаря интерактивному и увлекательному подходу к обучению-обучению-обучению учителя исследуют тему со всех сторон.

   Будь то рабочие листы, онлайн-классы, сеансы сомнений или любые другие формы отношений, мы в Cuemath верим в логическое мышление и интеллектуальный подход к обучению.

   ---

   Часто задаваемые вопросы о домене и диапазоне функций

   1. Каков диапазон в функции?

   Диапазон функции — это набор всех выходных сигналов, которые может выдавать функция.

   2. Как вы пишете домен и диапазон?

   Мы пишем область определения функции, находя набор всех возможных входов для функции.

   Мы записываем диапазон функции, найдя набор всех выходных данных, которые функция может дать.

   3. Каков естественный домен и диапазон функции?

   Естественный домен функции — это набор всех возможных входов для функции.

   Диапазон функции — это набор всех выходных сигналов, которые может выдавать функция.

   4. Каковы область определения и диапазон постоянной функции?

   Пусть постоянная функция равна \ (f (x) = k \).

   Область определения постоянной функции задается \ (\ mathbb {R} \), то есть набором действительных чисел.

   Диапазон постоянной функции задается одноэлементным набором \ ({k} \).

   5. Как алгебраически найти область определения и диапазон функции?

   Пусть функция будет \ (y = f (x) \).

   Чтобы вычислить область определения функции алгебраически, мы просто решаем уравнение, чтобы определить значения независимой переменной \ (x \).

   Чтобы вычислить диапазон функции алгебраически, мы просто выражаем \ (x \) как \ (x = g (y) \), а затем находим область определения \ (g (y) \).

   6. Как найти область определения и диапазон уравнения?

   Чтобы найти область, мы просто решаем уравнение \ (y = f (x) \), чтобы определить значения независимой переменной \ (x \).

   Чтобы вычислить диапазон функции, мы просто выражаем \ (x \) как \ (x = g (y) \), а затем находим область определения \ (g (y) \).

   7. В чем разница между доменом и диапазоном функции?

   Область функции — это набор всех возможных входов для функции.

   Диапазон функции — это набор всех выходных сигналов, которые может выдавать функция.

   8. Какова область и диапазон отношений?

   Пусть \ (R \) будет отношением непустого множества \ (A \) к непустому множеству \ (B \).

   Набор первых элементов в порядковых парах в отношении \ (R \) называется областью.

   Набор вторых элементов в парах порядка в отношении \ (R \) называется диапазоном.

   9. Что такое область и диапазон составных функций?

   Пусть составная функция будет \ (h = f \ circ g \).2 + k \) составляет:

   • \ (y \ geq k \), если функция имеет минимальное значение, то есть, когда a> 0
   • \ (y \ leq k \), если функция имеет максимальное значение, то есть, когда a <0

   .