Содержание
9 простых задач на математику
Ссылку на эту статью можете использовать, чтобы проверить базовые математические навыки любого человека. Кидаете ему ссылку и просите при вас (не читая решения) порешать какие угодно задачки. Все эти задачки уже у нас были в разное время в этом году. Поэтому если вы наш хардкорный читатель с самого марта, то можете спокойно медитировать следующие пять минут, это кайф.
Таракан на стене
В ваш подъезд двумя этажами ниже въехали новые жильцы, которые привезли с собой тараканов, но не привезли еды. Насекомые в поисках еды стали ползти вверх по вентиляционной шахте и скоро доберутся до вашей квартиры. Но карабкаться вверх им неудобно: за час они поднимаются на 1 м, но сразу после этого теряют равновесие и скатываются на ⅔ м вниз.
Вопрос: сколько часов у вас есть на покупку ловушек для тараканов, если расстояние от вас до соседей по вентиляционной шахте — 7 м?
За один полный час таракан проползает ⅓ м: поднимается на метр и опускается на ⅔:
1 — ⅔ = ⅓ м — проползает таракан за час.
С другой стороны, последний метр таракан проползёт тоже за 1 час: он доберётся до верха за 60 минут, но скатываться вниз ему уже не надо, потому что он достиг ровной поверхности. Значит, нужно узнать, сколько времени ему понадобится на оставшиеся 6 м:
7 м до вас — 1 м, который он проползёт за один заход = 6 м, которые таракан будет медленно ползти и скатываться.
Чтобы узнать оставшееся время, разделим расстояние на скорость:
6 м / ⅓ м в час = 18 часов.
Получается, что таракан проползёт 6 м за 18 часов, а оставшийся метр преодолеет за час, потому что скатываться уже не придётся. Получаем общее время:
18 + 1 = 19 часов.
Значит, у вас есть 19 часов на то, чтобы купить ловушки и гель от тараканов. Логика!
Долгий перелёт
Представьте, что вам нужно пару раз по работе слетать из Москвы во Владивосток и вернуться назад. Первый раз вы летите туда и обратно при полном штиле. Во второй раз при точно таком же перелёте в оба конца постоянно дует западный ветер одинаковой силы: туда попутный, а обратно — лобовой. Как изменится общее время полёта во втором случае: уменьшится, увеличится или останется таким же, как в первом случае?
Самая первая реакция на такую задачу — сказать, что время не изменится. Всё кажется логичным: когда летишь туда, ветер чуть ускоряет самолёт, а когда обратно — точно так же замедляет. Но это верно только наполовину.
В рамках задачи примем скорость самолёта за 800 километров в час. А ветер пусть дует со скоростью 100 километров в час. Мы знаем, что в реальных условиях всё намного сложнее и скорости нельзя складывать напрямую, но для упрощения допустим, что это возможно. Расстояние от Москвы до Владивостока по воздуху — 6 400 километров.
Первая командировка — без ветра
Если ветра нет, то у нас есть только скорость самолёта, которая не меняется в обоих случаях. Расстояние тоже одинаковое, значит время полёта будет неизменным в путешествии туда и обратно. Найдём его:
6 400 / 800 = 8 часов.
Это значит, что в безветренную погоду наш самолёт будет лететь из Москвы во Владивосток 8 часов, и столько же лететь обратно. В сумме — 16 часов.
Вторая командировка — дует постоянный ветер
Когда летишь во Владивосток и дует попутный ветер, самолёт и в самом деле летит быстрее: скорость последнего складывается со скоростью ветра.
800 + 100 = 900 (км/ч).
Тогда самолёт наше расстояние пройдёт за 7 часов 7 минут:
6 400 / 900 = 7,11 часа.
Когда летишь обратно и дует встречный ветер, то скорость самолёта падает:
800 — 100 = 700 (км/ч).
И путь обратно он с этой скоростью проделает уже за 9 часов 8 минут:
6 400 / 700 = 9,14 часа.
Получается, что общее время туда и обратно при таком ветре будет равно:
7 часов 7 минут + 9 часов 8 минут = 16 часов 15 минут.
Постоянный ветер увеличивает общее время полёта, и чем сильнее ветер — тем больше времени займёт полёт.
Если ветер будет дуть в 3 раза сильнее — 300 километров в час, то до Владивостока самолёт долетит за 5 часов 48 минут, а обратно ему потребуется уже 12 часов 48 минут, что в сумме даст 18 часов 36 минут.
Но почему?
Потому что математика:
6 400 / 800 + 6 400 / 800 = 16.
6 400 / 900 + 6 400 / 700 = 16,25.
Полторы белки
Полторы белки за полторы минуты съедают полтора ореха. Сколько орехов съедят 9 белок за 9 минут?
Первое, что хочется сразу ответить — 9 орехов. Но это было бы слишком просто.
Самое безумное в этой задаче — полторы белки. Давайте от них избавимся и будем дальше работать уже с целыми животными.
Дальше в решении будем исходить из того, что белки всё едят одновременно друг с другом, независимо от их количества. В обычной жизни так и происходит, и мы тоже будем придерживаться того же.
Узнаем, на что способна одна белка за полторы минуты:
1,5 белки за 1,5 минуты съедают 1,5 ореха → 1 белка за те же 1,5 минуты съест 1 орех.
Теперь выясним, сколько орехов она съест за 9 минут. Для этого нам нужно полторы минуты умножить на 6, а значит и количество съеденного тоже нужно умножить на 6:
1 белка за (1,5 * 6) минут съест (1 * 6) орехов
↓
1 белка за 9 минут съест 6 орехов.
Осталось запустить 9 белок одновременно и посчитать, сколько орехов они осилят за те же 9 минут:
(1 * 9) белок за 9 минут съедят (6 * 9) орехов
↓
9 белок за 9 минут съедят 54 ореха!
Почему? Потому что математика!
Рекрутер и бесконечный офис
В одной крупной компании появился безумный рекрутер, который нанимал на работу только джуниоров. У него был хитрый план — заполнить ими весь офис и получить за это премию от начальства. Чтобы это сделать, он каждый день нанимал столько же людей, сколько уже работает в офисе. Грубо говоря, удваивал число джуниоров.
Когда он только начинал, в старом офисе работал только один джуниор, но 30 дней спустя все рабочие места в офисе были полностью заняты напуганными, ничего не понимающими джуниорами.
В новом, точно таком же по размеру офисе с первого дня работает в 2 раза больше людей, чем на старте в старом — целых 2 джуниора вместо одного. Сколько времени уйдёт у безумного рекрутера на то, чтобы заполнить новый офис и получить свою квартальную премию?
Казалось бы, что если на старте в 2 раза больше людей, то и новый офис заполнится быстрее в 2 раза — за 15 дней вместо 30, но это не так.
Смысл в том, что, по условию задачи, рекрутер удваивает число людей каждый день. Это значит, что в новом офисе это удвоение произошло фактически на день раньше, чем в старом, а значит, и джуниоры его полностью займут только на день раньше — за 29 дней вместо 30.
Если вы любите точные математические решения вместо рассуждений — вот решение. Сначала посчитаем, сколько людей всего вмещает каждый офис. Для этого запишем каждые удвоения начиная с одного джуниора:
день 1: 1 джуниор
день 2: 2 джуниора
день 3: 4 джуниора
день 4: 8 джуниоров . . .
Если вывести общую формулу, получим:
день 1: 2 в нулевой степени джуниоров
день 2: 2¹ джуниоров
день 3: 2² джуниоров
день 4: 2³ джуниоров
. . .
день 30: 2 в 29-й степени джуниоров
Получается, что наш офис вмещает 2 в 29-й степени джуниоров. Если удвоение происходит каждый день и на старте у нас 2 джуниора, то для нового офиса получим такое уравнение, где х — количество дней:
2 в 29-й степени = 2 в степени х
Очевидно, что х = 29, а, значит, на заполнение всего нового офиса понадобится 29 дней, как мы и говорили в начале.
Задача про бармена и гурмана
У бармена эксклюзивного лофт-хипста-бара на улице Рубинштейна есть только два одинаковых стакана по 150 мл. Один стакан — полный, и в нём простая вода, а в другом 40-градусная водка, и он наполовину пуст. Утро-с.
В бар зашёл посетитель и попросил сделать ему 15-градусный раствор спирта. Находчивый бармен не растерялся и смог приготовить его, используя только эти два стакана. Как он это сделал и какой объём получился в итоге?
Вряд ли эта задача когда-нибудь попадётся на собеседовании в ИТ-компанию, но она может пригодиться в реальной жизни — например, завтра.
Это вариант классической задачи на переливания, только надо считать ещё крепость раствора и его объём.
Берём полупустой стакан с водкой и доливаем в него воды до полного. Получаем целый стакан 20-градусного спирта ((40 + 0) / 2 = 20). Во втором стакане осталась половина чистой воды, она нам сейчас пригодится.
В стакан с оставшейся водой наливаем наш раствор спирта — снова до краёв. В нём теперь 10 градусов ((20 + 0) / 2 = 10). В другом осталось полстакана 20-градусного спирта.
Финальным этапом бармен берёт и разбавляет эти полстакана 10-градусным раствором из полного стакана так, чтобы жидкость снова дошла до края. В итоге получается 15-градусный раствор ((20 + 10) / 2 = 15) объёмом в 150 мл!
Популярная школьная задача
Вот вам очень простой математический пример:
8 / 2(2 + 2)
Вы удивитесь, но большинство людей не смогут правильно это посчитать. Посчитайте сами и потом смотрите правильный ответ:
В интернете много споров про такие примеры, поэтому мы решили разобраться, какие ошибки совершают чаще всего и почему многие считают неправильно. Для решения нам понадобятся три математических правила:
- То, что в скобках, выполняется в первую очередь. Если скобок несколько, они выполняются слева направо.
- При отсутствии скобок математические действия выполняются слева направо, сначала умножение и деление, потом — сложение и вычитание.
- Между множителем и скобкой (или двумя скобками) может опускаться знак умножения.
Разберём подробнее, что это значит в нашем случае.
1. То, что в скобках, выполняется в первую очередь. То есть в нашем примере, вне зависимости от чего угодно, сначала схлопнутся скобки:
8 / 2(2 + 2) → 8 / 2(4)
2. Между числом и скобкой можно опустить знак умножения. У нас перед скобкой двойка, то есть можно сделать такую замену:
8 / 2(4) → 8 / 2 × 4
3. Математические действия при отсутствии скобок выполняются слева направо: как при чтении, сначала умножение и деление, потом — сложение и вычитание. Умножение и деление имеют одинаковый приоритет. Нет такого, что сначала всегда делается умножение, затем деление, или наоборот. Со сложением и вычитанием то же самое.
Некоторые считают, что раз множители были написаны близко друг к другу (когда там стояли скобки), то оно выполняется в первую очередь, ссылаясь при этом на разные методические пособия. На самом деле это не так, и нет такого скрытого умножения, которое имеет приоритет над другим умножением или делением. Это такое же умножение, как и остальные, и оно делается в общем порядке — как и принято во всём математическом мире.
Получается, что нам сначала надо сложить 2 + 2 в скобках, потом 8 разделить на 2, и полученный результат умножить на то, что в скобках:
8 / 2 × (2 + 2) = 8 / 2 × 4 = 4 × 4 = 16
Кстати, если на айфоне записать это выражение точно так же, как в условии, телефон тоже даст правильный ответ.
А инженерный калькулятор на Windows 10 так записывать не умеет и пропускает первую двойку-множитель. Попробуйте сами 🙂
Тут в тред врываются математики и с воплями «Шустеф!» поясняют криком:
«В АЛГЕБРЕ ТОТ ЖЕ ПОРЯДОК ДЕЙСТВИЙ, ЧТО И В АРИФМЕТИКЕ, но есть исключение: в алгебре знак умножения связывает компоненты действия сильнее, чем знак деления, поэтому знак умножения опускается. Например, a:b·c= a: (b·c)».
Этот текст из «Методики преподавания алгебры», курс лекций, Шустеф М. Ф., 1967 год. (стр. 43)
Раз в спорном примере знак умножения опущен, то спорный пример алгебраический, а значит, сначала умножаем 2 на 4, а потом 8 делим на 8!
Та самая цитата.
А вот как на это отвечают те, кто действительно в теме и не ленится полностью посмотреть первоисточник:
«Для устранения недоразумений В. Л. Гончаров указывает, что предпочтительнее пользоваться в качестве знака деления чертой и ставить скобки [87]. П. С. Александров и А. Н. Колмогоров [59] предложили изменить порядок действий в арифметике и решать, например, так: 80:20×2=80:40=2 вместо обычного: 80:20×2=4×2=8. Однако это предложение не нашло поддержки».
Если апеллировать к Фриде Максовне Шустеф, то выходит, что:
- В. Л. Гончаров говорит так: «Ребята, используйте черту и ставьте скобки, чтобы ни у кого не было вопросов про приоритет».
- Если у нас всё же битва арифметики и алгебры, то, по П. С. Александрову и А. Н. Колмогорову, пример нужно решать слева направо, как обычно. Они, конечно, предложили решать такое по-другому, но научное сообщество их не поддержало.
Самое интересное, что дальше в примерах Фрида Максовна пользуется как раз правильным порядком действий, объясняя решение. Даже там, где есть умножение на скобку с опущенным знаком, она выполняет действия слева направо.
Полная цитата из Шустеф, которая, оказывается, имеет в виду совсем не то.
Что не так с отчётом?
Один требовательный HR-директор дал задание менеджеру: провести опрос среди веб-программистов и выяснить, на каком языке они пишут чаще всего — на JavaScript или на PHP. Через неделю менеджер принёс такой отчёт:
- количество опрошенных — 300;
- умеет писать на JavaScript — 234;
- умеет писать на PHP — 213;
- умеют писать на обоих языках — 144;
- вообще не пишут код — 0.
HR-директор посмотрел на отчёт и сказал менеджеру «У тебя ошибка в отчёте. Данные фальсифицированы. Ты уволен в связи с утратой доверия». За какую ошибку уволили менеджера?
Чтобы найти ошибку, давайте проверим цифры из отчёта и сравним их с исходными. Для начала выясним, кто умеет писать ТОЛЬКО на JavaScript. Чтобы это сделать, возьмём тех, кто умеет на нём писать, и вычтем оттуда тех, кто пишет на обоих языках:
234 − 144 = 90 (чистых JavaScript-программистов)
Точно так же посчитаем тех, кто пишет ТОЛЬКО на PHP: возьмём общее количество PHP-программистов и вычтем из них тех, кто умеет писать на обоих языках.
213 − 144 = 69 (чистых PHP-программистов)
А теперь сложим три группы: тех, кто пишет только на JavaScript (90 человек), кто пишет только на PHP (69 человек) и тех, кто пишет на двух языках сразу (144 человека).
90 + 69 + 144 = 303
Получилось 303 человека, а в опросе заявлено 300.
Понятно, что расхождение в 3 человека не влияет на общую статистику, но для требовательного HR-директора этого было достаточно.
Программисты и часы
— Доброе утро. Который сейчас час?
— Сложи 1/4 времени, прошедшего с полуночи до сейчас, с 1/2 от сейчас до полуночи.
— Спасибо, я понял.
— Не сомневался.
Вопрос: который час?
На самом деле это очень простая задача, если помнить, что в сутках 24 часа.
Пусть от полуночи до сейчас прошло Х времени. Тогда от сейчас до полуночи осталось 24 – Х времени.
С другой стороны, если мы сложим четверть времени от полуночи до сейчас и половину времени от сейчас до полуночи, то как раз получим Х — время, которое сейчас:
(¼ × Х) + (½ × (24 − Х)) = Х
Раскрываем скобки:
Х/4 + 12 − Х/2 = Х
Перенесём все Х в одну сторону, а 12 — в другую:
Х − Х/4 + Х/2 = 12
Х + Х/4 = 12
5Х/4 = 12
5Х = 48
Х = 9,6
Получается, что с полуночи прошло 9,6 часа, или 9 часов 36 минут.
Ответ: на часах 9:36.
Необычный автосалон
Один автосалон купил подержанную машину за 450 тысяч и через неделю продал её за 525 тысяч. Директор салона решил, что такая модель пользуется спросом, так что он дал менеджерам задание — найти ещё одну подобную машину. Они нашли такую же за 550 тысяч, купили её, но директор повёл себя странно. Он снова поставил на неё ценник в 525 тысяч, и машина ушла за два дня. Помогите бухгалтерии понять, заработал в итоге салон или потерял часть денег?
У этой задачи три решения: интуитивное, пошаговое и бухгалтерское. Сравните подходы.
Многие решают эту задачу так:
- Было 450 тысяч.
- Купили машину и продали за 525 тысяч.
- После продажи заработали 75.
- Взяли в долг 25.
- Купили вторую машину и продали снова за 525.
- Изначально было 450, стало 525, значит, прибыль снова составила 75 тысяч, а общая — 150 тысяч.
- Отдаём 25 долга, получаем прибыль 125 тысяч.
Но это неправильно. Правильно — ниже.
Давайте разберём эту сделку по шагам, чтобы понять, сколько денег было у салона на каждом этапе.
В самом начале у них было 450 тысяч — запомним это. Эти деньги пошли на покупку первой машины, поэтому на втором шаге у салона стало 0 рублей, но появился автомобиль.
На третьем шаге его продали за 525 тысяч, которые и ушли в кассу. Пока прибыль салона равна: 525 − 450 = 75 тысяч.
Вторая машина стоила на 25 тысяч дороже, чем у них было — 550, поэтому салон взял в долг 25 тысяч и купил её (шаг номер четыре). Здесь прибыль салона исчезла и появился убыток в 25 тысяч.
Пятым шагом они продали вторую машину за 525 тысяч, положили деньги в кассу и стали разбираться с долгами. После того как они вернули сумму, которую были должны, у салона осталось 500 тысяч, а начинали они с суммы в 450 тысяч. Получается, что они заработали 500 − 450 = 50 тысяч.
Бухгалтеры работают так: считают все доходы и расходы, а потом находят сальдо — разницу между ними. Сделаем то же самое.
Доходы: 525 с первой продажи и столько же со второй. Получается 525 + 525 = 1050 тысяч.
Расходы: 450 за первую машину и 550 за вторую. Получается 450 + 550 = 1000 тысяч.
Сальдо: доходы минус расходы. Это 1050 − 1000 = 50 тысяч.
Задачи по математике 3 класс.
Страница | 1, | 2, | 3 |
Задача 1.
Для приготовления обеда повару понадобилось 24 кг картошки, свеклы в 3 раза меньше, а лука в 2 раза меньше чем свеклы. Сколько килограмм лука потратил повар?
Решение:
- 1) 24 : 3 = 8
- 2) 8 : 2 = 4
- Выражение: 24 : 8 : 2 = 4
- Ответ: 4 кг.
Задача 2
Оля вырезала из бумаги 5 квадратов, 7 треугольников, а кругов в 2 раза больше чем треугольников. Сколько всего Оля вырезала фигур?
Решение:
- 1) 7 * 2 = 14
- 2) 5 + 7 + 14 = 26
- Ответ: 26 фигур.
Задача 3
Первое число 12, второе в 3 раза меньше, а третье в 4 раза больше чем второе. Вычисли сумму этих трех чисел.
Решение:
- 1) 12 : 3 = 4 (второе число)
- 2) 4 * 4 = 16 (третье число)
- 3) 12 + 4 = 16 (сумма первого и второго чисел)
- 4) 16 + 16 = 32 (сумма трех чисел)
- Выражение: 12 : 3 * 4 + 4 + 12 = 32
- Ответ: 32
Задача 4
В школьную столовую привезли 6 кг, лимонов, яблок на 24 кг больше чем лимонов, а груш на 12 кг меньше чем яблок. Сколько килограмм груш привезли в школьную столовую?
Решение:
- 1) 6 + 24 = 30 (в столовую привезли яблок)
- 2) 30 — 12 = 18 (привезли груш)
- Выражение: (6 + 24) — 12 = 18
- Ответ: 18 кг груш привезли в столовую.
Задача 5
Для приготовления обеда повару понадобилось 24 кг картошки, свеклы в 3 раза меньше, а лука в 2 раза меньше чем свеклы. Сколько килограмм лука потратил повар?
Решение:
- 1) 24 : 3 = 8 (понадобилось свеклы)
- 2) 8 : 2 = 4 (понадобилось лука)
- Выражение: 24 : 3 : 2 = 4
- Ответ: 4 кг лука понадобилось повару.
Задача 6
Для приготовления крахмала требуется 6 кг картошки. Сколько крахмала получится из 36 кг картофеля?
Решение:
- 1) 36 : 6 = 6
- Ответ: 6 кг крахмала.
Задача 7
В поход пошли 24 мальчика, а девочек в 3 раза меньше, чем мальчиков. Сколько всего детей пошло в поход?
Решение:
- 1) 24 : 3 = 8 (девочек пошло в поход)
- 2) 24 + 8 = 32
- Выражение: 24 : 3 + 8 = 32
- Ответ: 32.
Задача 8
Ящик с виноградом и три одинаковых ящика с яблоками весят 45 кг. Сколько весит один ящик с яблоками, если ящик с виноградом весит 15 кг.
Решение:
- 1) 45 — 15 = 30 (весят 3 ящика с яблоками)
- 2) 30 : 3 = 10 (весит один ящик с яблоками)
- Выражение: (45 — 10) : 3 = 10
- Ответ: 10 кг.
Задача 9
На детской площадке катались дети на двух и трехколесных велосипедах. Сколько и каких велосипедов было на площадке, если всего было 21 колесо и 8 велосипедов?
Решение:
- 1) 8 * 2 = 16 (было бы колес, если бы все велосипеды были двухколесными)
- 2) 21 — 16 = 5
- 2) 8 — 5 = 3
- Ответ: на площадке было 5 трехколесных велосипедов и 3 двухколесных.
Задача 10
В парке выкорчевали 6 орешников, а вместо них посадили 18 орешников. Во сколько раз больше посадили орешников, чем выкорчевали?
Решение:
- 1) 18 : 6 = 3
- Ответ: в 3 раза больше орешников посадили.
Задача 11
Отцу 36 лет, а сыну 9. Во сколько раз отец старше сына и на сколько лет сын моложе отца?
Решение:
- 1) 36 : 9 = 4
- 2) 36 — 9 = 27
- Ответ: в 4 раза сын моложе отца; на 27 лет отец старше сына.
Задача 12
Автобус за 8 часов работы расходует 48 литров топлива. Сколько литров топлива израсходует автобус за 6 часов работы?
Решение:
- 1) 48 : 8 = 6 (литров топлива автобус расходует за 1 час)
- 2) 6 * 6 = 36 (литров автобус расходует за 6 часов)
- Выражение: 48 : 8 * 6 = 36
- Ответ: 36 литров.
Задача 13
В столовую привезли абрикосы. Из них на компот взяли 3 килограмма, а на варенье в 3 раза больше. Сколько всего абрикос привезли в столовую?
Решение:
- 1) 3 * 3 = 9 (взяли абрикос на варенье)
- 2) 3 + 9 = 12 (всего в столовую привезли абрикос)
- Выражение: 3 * 3 + 3 = 9
- Ответ: 9 кг абрикос.
Страница | 1, | 2, | 3 |
Урок 50. решение задач в 2 действия — Математика — 1 класс
Математика
1 класс
Урок №50
Решение задач в 2 действия
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:
Глоссарий по теме:
Задача – это математический рассказ, в котором есть условие и вопрос. Чтобы ответить на вопрос задачи, ее нужно решить.
Части задачи – условие, вопрос, решение, ответ.
Список литературы:
1. Моро М. И., Бантова М. А., Бельтюкова Г. В. и др.Математика. 1 класс. Учебник для общеобразовательных организаций. В 2 ч. Ч.1/ –6-е изд. – М.: Просвещение, 2015. – с.62, 63
2. Волкова С. И. Математика. Проверочные работы. 1 кл: учебное пособие для общеобразовательных организаций. М.: Просвещение, 2014.- с.50, №2, с.51, №2
3. Волкова С. И. Математика. Рабочая тетрадь. 1 кл. 2 часть: учебное пособие для общеобразовательных организаций. М.: Просвещение, 2016.-с.33
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Решим задачу.
В одной коробке 6 карандашей, во второй на 2 карандаша меньше. Сколько карандашей в двух коробках?
О чём говорится в задаче? Правильно, о коробках и карандашах.
Что нам известно в задаче? Что в одной коробке было 6 карандашей.
Что сказано о количестве карандашей во второй коробке? Их на 2 меньше, чем в первой коробке.
Что нужно узнать в задаче? Сколько карандашей в двух коробках? Сразу можно ответить на вопрос задачи? Сразу ответить на вопрос задачи нельзя, потому что не сказано, сколько карандашей во второй коробке. Как это можно узнать? От шести отнять два. Теперь можно узнать, сколько всего карандашей в двух коробках? Да.
Составим план решения задачи:
1) Сначала надо узнать, сколько карандашей во второй коробке.
2) Потом можно узнать, сколько всего карандашей в двух коробках.
Решение:
1) 6 – 2 = 4 (к.)
2) 6 + 4 = 10 (к.)
Ответ: всего 10 карандашей.
Рассуждая так же, решим следующую задачу.
На верхней полке 6 книг, а на нижней – на 4 книги больше. Сколько книг на двух полках?
О чём говорится в задаче? О полках и книгах.
Сколько книг на верхней полке? Шесть.
Сколько книг на второй полке? Неизвестно, но сказано, что на 4 книги больше. Т.е. их столько же, сколько на верхней полке, и ещё четыре.
Что нужно узнать в задаче? Сколько книг на двух полках.
Можно ли сразу узнать, сколько книг на двух полках? Нет.
Почему? Мы не знаем, сколько книг на второй полке.
Как найти, сколько книг на второй полке?
Нужно к шести прибавить четыре,получится десять книг.
Теперь можем узнать, сколько книг на двух полках? Да.
Составим план решения задачи:
1) Сначала надо узнать, сколько книг на нижней полке.
2) Потом можно узнать, сколько книг на двух полках.
Решение:
1) 6 + 4 = 10 (кн.)
2) 6 + 10 = 16 (кн.)
Ответ: 16 книг на двух полках.
Тренировочные задания.
1. Выберите задачу, которая решается два действия
Варианты ответов:
1. На одной полке стоят 4 книги, на другой — на 3 книги больше. Сколько книг на второй полке?
2. На одной клумбе распустилось 6 тюльпанов, а на другой — на 3 тюльпана меньше. Сколько тюльпанов распустилось на двух клумбах?
3. На первой проволоке 5 шариков, на второй — на 4 шарика больше. Сколько шариков на второй проволоке?
Правильный ответ:
2.На одной клумбе распустилось 6 тюльпанов, а на другой — на 3 тюльпана меньше. Сколько тюльпанов распустилось на двух клумбах?
2. Решите задачу и выделите цветом правильное решение.
В одной вазе лежало 6 яблок, в другой на 3 яблока меньше. Сколько яблок в двух вазах?
Варианты ответов:
Первый вариант: 6 – 3 = 3 (яб.)
Второй вариант: 6 + 3 = 9 (яб.)
Третий вариант:
1) 6-3=3 (яб.)
2) 6+3=9 (яб.)
Вспомним, что эта задача решается в 2 действия, следовательно, верным будет третий вариант.
Правильный ответ:
1) 6-3=3 (яб.)
2) 6+3=9 (яб.)
Задачи на пропорции по математике — примеры с ответами
Понятие пропорции
Чтобы решать задачи на тему пропорции, вспомним главное определение.
Пропорция в математике — это равенство между отношениями двух или нескольких пар чисел или величин.
Главное свойство пропорции: Произведение крайних членов равно произведению средних. a : b = c : d, где a, b, c, d — члены пропорции, a, d — крайние члены, b, c — средние члены. |
Вывод из главного свойства пропорции:
- Крайний член равен произведению средних, которые разделены на другой крайний. То есть для пропорции a/b = c/d:
- Средний член равен произведению крайних, которые разделены на другой средний. То есть для пропорции a/b = c/d:
Решить пропорцию — значит найти неизвестный член. Свойство пропорции — главный помощник в решении.
Запомним!
Равенство двух отношений называют пропорцией.
Рассмотрим легкие и сложные задачи, которые можно решить с помощью пропорции. 5, 6, 7, 8 класс — неважно, всем школьникам полезно проанализировать занимательные задачки.
Задачи на пропорции с решением и ответами
Свойства пропорции придумали не просто так! С их помощью можно найти любой из членов пропорции, если он неизвестен. Решим 10 задач на пропорцию.
Задание 1. Найти неизвестный член пропорции: x/2 = 3/1
Как решаем:
В этом примере неизвестны крайние члены, поэтому умножим средние члены и разделим полученный результат на известный крайний член:
x = (2 * 3)/1 = 6
Ответ: x = 6.
Задание 2. Найти неизвестный член: 1/3 = 5/y
Как решаем:
y = (3 * 5)/1 = 15
Ответ: y = 15.
Задача 3. Решить пропорцию: 30/x = 5/8
Как решаем:
x = (30 * 8)/5 = 48
Ответ: x = 48.
Задание 4. Решить: 7/5 = y/10
Как решаем:
y = (7 * 10)/5 = 14
Ответ: y = 14.
Задание 5. Известно, что 21x = 14y. Найти отношение x — к y
Как решаем:
- Сначала сократим обе части равенства на общий множитель 7: 21x/7 = 14y/7.
Получим: 3x = 2y.
- Теперь разделим обе части на 3y, чтобы в левой части убрать множитель 3, а в правой части избавиться от y: 3x/3y = 2y/3y.
- После сокращения отношений получилось: x/y = 2/3.
Ответ: 2 к 3.
На следующем примере мы узнаем как составить пропорцию по задаче💡
Задание 6. Из 300 подписчиков в инстаграм 108 человек — поставили лайк под постом. Какой процент всех подписчиков составляют те, кому понравился пост и они поставили лайк?
Как решаем:
- Примем всех подписчиков за 100% и запишем условие задачи кратко:
300 — 100%
108 — ?%
- Составим пропорцию: 300/108 = 100/x.
- Найдем х: (108 * 100) : 300 = 36.
Ответ: 36% всех подписчиков поставили лайк под постом.
Задание 7. Подруга Гарри Поттера при варке оборотного зелья использовала водоросли и пиявки в отношении 5 к 2. Сколько нужно водорослей, если есть только 450 грамм пиявок?
Как решаем:
- Составим пропорцию: 5/2 = x/450.
- Найдем х: (5 * 450) : 2 = 1125.
Ответ: на 450 грамм пиявок нужно взять 1125 гр водорослей.
Задание 8. Известно, что арбуз состоит на 98% из воды. Сколько воды в 5 кг арбуза?
Как решаем:
Вес арбуза (5 кг) составляет 100%. Вода — 98% или х кг.
Составим пропорцию:
5 : 100 = х : 98
х = (5 * 98) : 100
х = 4,9
Ответ: в 5 кг арбуза содержится 4,9 кг воды.
Перейдем к примерам посложнее. Рассмотрим задачу на пропорции из учебника по алгебре за 8 класс.
Задание 9. Папин автомобиль проезжает от одного города до другого за 13 часов со скоростью 75 км/ч. Сколько времени ему понадобится, если он будет ехать со скоростью 52 км/ч?
Как рассуждаем:
Скорость и время связаны обратно пропорциональной зависимостью: чем больше скорость, тем меньше времени понадобится.
Обозначим:
- v1 = 75 км/ч
- v2 = 52 км/ч
- t1 = 13 ч
- t2 = х
Как решаем:
- Составим пропорцию: v1/v2 = t2/t1.
Соотношения равны, но перевернуты относительно друг друга.
- Подставим известные значения: 75/52 = t2/13
t2 = (75 * 13)/52 = 75/4 = 18 3/4 = 18 ч 45 мин
Ответ: 18 часов 45 минут.
Задание 10. 24 человека за 5 дней раскрутили канал в телеграм. За сколько дней выполнят ту же работу 30 человек, если будут работать с той же эффективностью?
Как рассуждаем:
1. В заполненном столбце стрелку ставим в направлении от большего числа к меньшему.
2. Чем больше людей, тем меньше времени нужно для выполнения определенной работы (раскрутки канала). Значит, это обратно пропорциональная зависимость.
3. Поэтому направим вторую стрелку в противоположную сторону. Обратная пропорция выглядит так:
Как решаем:
- Пусть за х дней могут раскрутить канал 30 человек. Составляем пропорцию:
30 : 24 = 5 : х
- Чтобы найти неизвестный член пропорции, нужно произведение средних членов разделить на известный крайний член:
х = 24 * 5 : 30
х = 4
- Значит, 30 человек раскрутят канал за 4 дня.
Ответ: за 4 дня.
Давайте практиковаться еще! Приходите на интерактивные уроки по математике в онлайн-школу Skysmart. Мы создали тысячи увлекательных заданий, чтобы учеба не вгоняла в тоску, а вдохновляла и приносила приятные оценки в дневник.
На бесплатном вводном уроке расскажем, как у нас все устроено и наметим план развития школьника.
Задачи для первого класса по математике
- Школьное образование
(20 голосов: 4.2 из 5)
Оправляя ребенка в первый класс, родители всегда мечтают о том, что их чадо будет отлично учиться и по всем предметам получать только высшие оценки. И если чтению научить малыша совсем не сложно, то понимать и решать математические задачи детям не всегда легко. Чтобы первоклассник успевал по математике в школе, родители либо нанимают репетитора, что не всегда финансово оправдано, либо пытаются заниматься с детьми самостоятельно. В этом материале мы расскажем, как подтянуть первоклассника по математике в домашних условиях, расскажем о различных типах задач и о методах их решений.
Как учить ребенка математическому счету
Родители первоклассников должны помнить о том, что в возрасте 5–7 лет у детей еще плохо развито абстрактное мышление. Вспомните сказку о Буратино, когда он считал яблоки, которые якобы забрал «Некто». Так и ребенок 5–7 лет еще не в состоянии представить условие задачи.
Лучше всего пользоваться наглядными пособиями, которые ребенок сможет увидеть, потрогать. Это могут быть счетные палочки, кубики или картинки, вырезанные из картона (например, набор картонных ежиков, цветочков, листиков и прочего). Выкладывайте перед ребенком все условие задачи из наглядных материалов: было столько-то, добавили или отняли столько-то. Так ему будет проще понимать условие задачи и легче находить ее решение.
Еще один важный момент при обучении детей состоит в том, что ребенок должен научиться отличать задачи друг от друга по типам. Для этого можно ориентировать его на какие-то ключевые слова. Например, если в задаче упоминаются слова «добавили», «принесли», «прилетели», «прибежали» и другие, обозначающие присоединение, то это задача на сложение.
Понимая, к какому типу относится та или иная задача, ребенок научится определять нужный алгоритм решения и успешно справляться с заданием.
Задачи на сложение для первоклассников
Как уже говорилось, задачи на сложение имеют общий признак – присоединение. Еще одним признаком задач на сложение есть словосочетание «сколько всего» в вопросе задания.
Ребенок должен научиться четко понимать, что если в условии есть присоединение чего-либо, то ему нужно складывать имеющиеся цифры. Ребенок должен понимать, что такое первое слагаемое, второе слагаемое и сумма, и уметь находить их в условии задания.
Чтобы ребенок хорошо осваивал устный счет, ему необходимо регулярно заниматься счетом «в уме». Если вы на каникулах, хотя бы один раз в день задавайте ему примеры для развития памяти. Заниматься можно даже по дороге в школу или в секции.
Пять-десять примеров ежедневно не слишком утомят первоклассника, но принесут много пользы для его дальнейшей учебы.
Ниже приведены задачи для первоклассников на сложение. Для удобства мы их разбили на варианты, чтобы при занятиях на дому вы могли прорешивать с ребенком уже скомплектованные задания.
Вариант 1
- Наташа прочитала за каникулы 5 книг, а Катя прочитала 4 книги. Сколько книг дети прочитали вместе за каникулы?
- На одной ветке яблони висело 6 яблок, а на другой – 7. Сколько яблок было на обеих ветках яблони?
- В классе на окне стоят цветы в горшках. На первом окне стоит 2 цветка, на втором 3 цветка, а на третьем 1 цветок. Сколько всего цветов в классе?
- В семье Алеши живет 2 мальчика и 1 девочка. В семье Тани – 1 девочка и 1 мальчик. У Сережи в семье живут 2 мальчика, а у Кати – только 1 девочка. Сколько всего девочек живет в семьях всех детей? А сколько мальчиков?
- По результатам оценок за 1 четверть в 1‑А классе 10 отличников, 14 хорошистов и 2 троечника. В 1‑Б классе – 8 отличников, 12 хорошистов и 3 троечника.
А в 1‑В – 11 отличников, 11 хорошистов и 4 троечника. Сколько отличников, хорошистов и троечников во всей параллели первых классов?
Вариант 2
- Наташе 8 лет, сколько ей будет через 3 года? Через 4 года, через 10 лет?
- В магазине канцелярии Насте понравились фломастеры за 18 рублей. У нее есть 10 рублей, 5 рублей, 2 рубля и 1 рубль. Хватит ли девочке денег на покупку?
- На прогулку вышли 6 девочек и 12 мальчиков. Сколько всего детей вышли на прогулку?
- У Саши пачка счетных палочек. Из них 10 красные, 8 синие и 12 желтые. Сколько всего палочек в пачке?
- На день рождения к Полине пришли 4 подружки и 5 друзей. Сколько всего детей будет сидеть за праздничным столом? (здесь важно, чтобы ребенок не забыл посчитать саму Полину, ответ в задачке – 10 детей).
Вариант 3
- Дети пришли в парк и увидели птиц, плавающих на озере: 8 лебедей и 12 уток. Сколько всего птиц плавало на озере?
- На субботнике в школе дети сажали саженцы.
Петя посадил 2 саженца, Антон – 3, Наташа с Катей 2 саженца. Сколько всего саженцев посадили дети?
- В коробке на столе лежали конфеты. Маша съела 5 конфет, Алена – 3 конфеты, Настя – 6 конфет, а Коля съел 6 конфет и коробка опустела. Сколько конфет было в коробке с самого начала?
- В коллекции Марины 20 открыток. У Юли тоже 20 открыток. Сколько всего открыток у девочек?
- У Севы было 20 марок, ему подарили еще 4 марки. Сколько всего марок стало у Севы?
Вариант 4
- Мама посадила 20 кустов огурцов и 17 кустов помидоров. Сколько всего кустов растений посадила мама?В понедельник в столовую привезли 8 столов, во вторник – 7 столов, а в четверг – еще 10. Сколько всего столов получила столовая за неделю?
- Паша и папа пошли в поход. В первый день они прошли 12 км. Во второй – 10 км, в третий – 8, а в четвертый 11. Какой путь преодолели папа и Паша?
- В зоопарке живет 12 обезьян, 8 тигров, 2 слона, 6 медведей и 4 енота.
Сколько всего животных в зоопарке?
Важно! Если каждый день прорешивать один вариант заданий на сложение с ребенком, то на контрольных он будет показывать блестящие результаты.
- В 1‑А классе 13 мальчиков и 12 девочек. В 1‑Б классе 12 мальчиков и 15 девочек, а в 1‑В классе 10 мальчиков и 12 девочек. Сколько всего мальчиков и сколько девочек во всех первых классах?
Задачи на вычитание для первоклассников
Задачи на вычитание тоже имеют свои признаки и особенности. В условии всегда можно встретить какое-то из характерных словосочетаний: «сколько осталось», «было столько-то, из них…», «было столько-то, столько-то ушло/улетело/убежало/испортилось и т.д.» и прочие. Здесь тоже важно понимать, что такое первое слагаемое, второе слагаемое и сумма, уметь находить их в условии задания, потому что задачи на вычитание являются обратными от сложения. И понятия здесь немного другие: уменьшаемое, вычитаемое, разность.
Ниже приведены задачи для первоклассников на вычитание. Для удобства мы их тоже разбили на варианты, чтобы при выполнении домашних заданий дети могли прорешивать уже скомплектованные задания.
Здесь есть задачи как на нахождение остатка («сколько осталось»), так и на уменьшение («на сколько изменилось число»).
Вариант1
- Андрей живет на 7 этаже, а Алена на 3 этажа ниже. На каком этаже живет Алена?
- У Володи 17 машинок, а у Саши нет ни одной. Володя подарил Саше 8 машинок. Сколько у него осталось?
- Наташе 12 лет, а ее брату Сереже на 7 лет меньше. Сколько лет Сереже?
- В саду росло 10 яблонь, а груш – на 4 меньше. Сколько груш росло в саду?
- За первый день Мила прочитала 24 страницы в книге, а за второй на 3 меньше. Сколько страниц прочитала Мила во второй день?
Вариант 2
- В школьной библиотеке дети получают книги. Петя взял 8 книг, Алеша – на 2 книги меньше, чем Петя, а Ваня на 3 книги больше чем Алеша.
Сколько книг взял каждый мальчик? Сколько книг они взяли вместе?
- На столе в вазе лежало 25 ягод. Марина съела 4 ягоды, Алиса съела 6 ягод, Мила съела 3 ягоды, а остальные ягоды доела Катя. Сколько ягод съели Марина и Алиса? Мила и Катя? Сколько ягод съела Катя?
- На столе стояло 10 тарелок, а в раковине – на 6 меньше. Сколько тарелок было в раковине?
- Сереже 15 лет, его сестре Ларисе на 4 года меньше. А самому младшему брату Борису – на 7 лет меньше, чем Ларисе. Сколько лет Ларисе и Борису?
- Мама посадила 30 кустов огурцов, 17 кустов взошли. Сколько всего кустов огурцов пропало?
Вариант 3
- Дети пошли в лес за грибами. Дима нашел 10 сыроежек и 7 белых грибов. Таня нашла на 3 сыроежки меньше, и на 2 белых меньше. Сколько и каких грибов нашла Таня?
- В первом доме 12 подъездов, во втором доме на 4 подъезда меньше, чем в первом. А в третьем доме на 6 подъездов меньше чем в первом. Сколько подъездов в каждом из домов?
- В первой корзине 23 яблока, а во второй на 11 яблок меньше.
Сколько яблок в обеих корзинах?
- В спектакле участвовали 12 девочек, а мальчиков на 3 меньше. Сколько мальчиков участвовало в спектакле?
- В одной вазе стоит 15 роз, а в другой на 8 меньше. Сколько роз во второй вазе?
Вариант 4
- Конфеты стоял 30 рублей, а хлеб на 15 рублей дешевле. Сколько стоит хлеб?
- Бабушка испекла пирожки. С картошкой 30 штук, с повидлом на 10 меньше, чем с картошкой, а с капустой на 5 меньше, чем с картошкой. Сколько и каких пирожков испекла бабушка?
- В автобусе ехало 20 мужчин. Женщин было на 5 меньше, чем мужчин, а детей – на 7 меньше, чем женщин. Сколько всего людей ехало в автобусе?
- В школьной библиотеке дети получают книги. Саша взял 5 книг, Миша – на 2 книги меньше, чем Саша, а Сережа на 2 книги больше чем Миша. Сколько книг взял каждый мальчик? Сколько книг они взяли вместе?
- На поливку огорода израсходовали 20 ведер воды. На грядки с капустой пошло 12 ведер.
Сколько пошло на грядки с морковкой?
Задачи на сравнение для первоклассников
- Задачи на сравнение направлены на нахождение какого-либо числа, меньшего или большего от исходного. В принципе, в какой-то мере их можно отнести к задачам на сложение или вычитание, поэтому эти задачи мы решили не расписывать по вариантам, а привести несколько подобных примеров:
- На крыше сидело 10 кошек: 7 черных и 3 серых. На сколько черных кошек больше, чем серых?
- В деревне у бабушки есть куры и утки. Кур 18, а уток – 15. На сколько кур больше, чем уток.
- У Тани 3 куклы, а у Дины – на 4 больше. Сколько кукол у Дины? На сколько кукол у Тани меньше?
- Марине 14 лет, а Мише 9. На сколько лет Марина старше Миши?
- В гараже стоит 8 машин. Из них 3 грузовых и 5 легковых. На сколько грузовых машин меньше, чем легковых?
- Диме на день рождения подарили подарки. Сначала мама и папа подарили 2 подарка, потом друзья принесли 5 подарков.
На сколько подарков больше стало у Димы?
- В первый день каникул Юра решил 5 задач, во второй – 7, а в третий – 2. На сколько задач больше решил Юра во второй день?
- На сколько задач меньше чем в первый решил Юра в третий день? А на сколько меньше задач он решил в третий день, чем во второй?
У Сони было 3 апельсина и 10 яблок. На сколько яблок больше, чем апельсинов?
У Оли 3 зайца и 2 белки. У Милы 5 кукол и 1 мишка. У кого больше игрушек и на сколько?
На лугу паслись коровы. К ним пришли 7 коз и всего стало 15 животных на лугу. Сколько было коров?
Задачи на логику для первоклассников
Развитию логического мышления уже посвящались статьи с рекомендациями педагогов и перечнями упражнений и заданий. Здесь мы приведем несколько логических задач, которые позволят не только развивать, но и тренировать логику первоклассников.
- Что легче? Килограмм ваты или килограмм гвоздей?В стакан, кружку и чашку налили чай, компот и какао.
В кружке не какао. В чашке не какао, и не компот. Что и во что налили?
- Сколько пальцев на 3 руках?
- Сколько лап у 4 кошек?
- Сколько рук у 10 детей?
- Лена и Миша увидели в море 2 парохода. Сколько пароходов увидел каждый из детей?
- Из-под кровати торчат хвостики котят. Сколько всего котят, если видно 7 хвостиков?
- За забором спрятались собаки. Из-под забора видно 12 лап, сколько всего собак за забором?
- На столе лежат 5 персиков и 8 груш. Сколько всего будет яблок и слив?
- На столе стоят 2 стакана с молоком. Петя выпил молоко и поставил стан на стол. Сколько стаканов на столе?
- Из школы вышел Ваня. Навстречу ему шли 3 девочки. Сколько детей шло из школы?
- Из дома в школу шли семь первоклассников: Петя, Маша, Лиза, Гриша, Толя, Миша и Лариса, и 4 второклассника: Сережа, Таня, Мила и Ваня. Сколько девочек шло в школу?
- Чтобы попасть в театр 2 дочерям и 2 матерям понадобилось 3 билета.
Как такое могло случиться?
- Миша старше Лены на 2 года. На сколько он будет старше Лена через 5 лет?
- Лена и Милана посадили по 10 цветков и закончили работу одновременно. Милана начала работу раньше. Кто из девочек работал медленнее?
Вместо заключения
Математическое развитие первоклассников имеет огромное значение в их образовании. Решая примеры и задачи, ребенок приобретает новый опыт, знания и навыки. Учится логически и математически мыслить, находить решение из различных ситуаций, более успешно осваивать смежные науки в дальнейшей учебе.
Нельзя пускать на самотек успеваемость детей, и нужно всячески стремиться помочь им в этом сложном деле, как учеба в первом классе. Ведь именно в это время закладывается фундамент его дальнейшей учебы в школе.
Математика 1 класс. Видео
Логические задачи по математике для 1 класса с ответами, решениями
Логические задачи по математике для 1 класса
Логические задачи по математике для 1 класса позволяют развить у ребенка способность последовательно мыслить, а также умение думать в целом. Однако иногда случается так, что у ребенка пропадает желание заниматься математикой в школе, хотя в процессе подготовки к поступлению в первый класс он проявлял большой интерес к логическим задачкам. Случается это по той причине, что ребенку очень быстро надоедают похожие задания. Чтобы школьнику было действительно интересно, его все время нужно стараться заинтересовывать чем-то новым.
Виды математических задач для детей 1 класса
Как показывает практика, среди наиболее интересных задач для учеников первых классов обычно выделяют следующие:
•логические – на сложение и вычитание;
•составные – в несколько действий;
•текстовые – логические и математические.
Интересно! Кроссворды для детей 6 лет
Ребенок будет с удовольствием решать поставленные перед ним задачи, если чередовать их и придумывать к ним условия, которые будут интересны детям.
Логические задачи на сложение и вычитание
В рамках учебного процесса в школе чаще всего встречаются обычные задачи на сложение и вычитание. Однако ребенку будет куда интереснее заниматься математикой, если задачи будут побуждать его к логическим размышлениям, а не просто машинально вычитать и прибавлять цифры. Приведем несколько наглядных примеров логических задач по математике для 1 класса с ответами и картинками.
Пример №1
Условие. Три подружки взяли в каждую руку по 1 воздушному шарику. Сколько всего шариков есть у девочек?
Решение и ответ. У девочек имеется 6 шариков, так как каждая подружка взяла по одному шару, как в левую, так и в правую руку.
Пример №2
Условие. На тарелке лежит 1 пирожное, 2 конфеты и 3 груши. Сколько всего фруктов находится на тарелке?
Решение и ответ. Количество фруктов в тарелке – 3 штуки. Потому что только груши являются фруктом, а пирожное и конфеты – нет.
Пример №3
Условие. У фермера была 12-литровая бочка, в которой находилось 7 литров воды, а также полностью наполненное водой ведро, объемом 8 литров. Бочку дополнили доверху из ведра. Сколько литров воды осталось в ведре?
Решение и ответ. В ведре осталось 3 литра воды. В бочке не хватало 5 литров (12-7=5), которые фермер взял из ведра, где изначально находилось 8 литров жидкости (8-5=3).
Как видите, задачи составлены таким образом, чтобы помимо работы с цифрами ребенку приходилось проявлять смекалку.
Однако, как показывает практика, в возрасте 7 лет дети могут иметь разный уровень подготовки. Следовательно, приведенные выше задачи могут показаться для кого-то из малышей слишком сложными. В этом случае имеет смысл предложить ему более простые задачки на сложение и вычитание. Однако суть остается прежней – задания должны быть интересными. Зная, чем увлекается ребенок, можно составить задачу, которая будет интересна конкретно ему.
Пример
Условие. У Маши было 2 яблока, а у ее подруги Леры – 3. Сколько всего яблок у девочек?
Решение и ответ. Всего у девочек 5 яблок (2+3=5).
Составные – в несколько действий
Такие задачи в два или три действия ученикам 1 класса наверняка понравятся. Кроме того, с их помощью у ребенка будет очень хорошо развиваться логика и память.
Пример №1
Условие. Монстрик фиолетового цвета скушал 4 целых апельсина. А его друг – красный монстрик, съел 7 половинок таких же апельсинов. Кто из них скушал больше апельсинов?
Решение и ответ. Фиолетовый монстрик съел больше, чем его друг. 1 целый апельсин – это 2 половинки. Значит, 4 целых апельсина можно записать, как 2+2+2+2=8 половинок. 8>7, значит фиолетовый монстрик скушал больше, чем его друг.
Пример №2
Условие. На столе у Светы было 8 пирожных. К ней пришло 5 гостей, и каждый из них скушал по 1 пирожному. Хозяйка подумала, что нужно добавить вкусностей, поэтому достала из холодильника еще 4 пирожных и добавила их на стол к оставшимся сладостям. Однако гости сказали, что уже сыты и не стали брать добавку. Сколько всего пирожных осталось на столе?
Решение и ответ. На столе осталось 7 пирожных. 8-5=3 пирожных, осталось на столе после того, как гости взяли себе по 1 штуке. 3+4=7 пирожных оказалось на столе, когда хозяйка добавила вкусностей из холодильника.
Интересно! Умение детей по возрастам
Текстовые – логические и математические на сообразительность
Такие задачи очень хорошо развивают у детей 7 лет умение логически мыслить. Далее мы рассмотрим несколько примеров таких заданий с их решением.
Пример №1
Условие. У Фёдора есть две сестры и два брата. Кого в семье больше: женщин или мужчин?
Ответ. Мужчин в этой семье на 1 человека больше, потому что Федор тоже мужчина.
Пример №2
Условие. Ира, Надя, Коля и Аня решили заняться спортом. У них есть 2 скакалки и 2 мяча. Известно, что у Ани в руках скакалка, а у Коли и у Нади – одинаковые предметы. Какие предметы в руках у Коли, Нади и Иры?
Ответ. У Коли и Нади в руках мячи, а у Иры – скакалка.
Пример №3
Условие. Учитель выдал ученикам картинку, на которой изображены различные фигуры разных цветов, и загадал одну из них. Чтобы у детей была возможность назвать правильную фигуру, преподаватель дал им несколько подсказок:
•фигура точно не синяя и не квадратная;
•она треугольная или круглая.
Ответ. Глядя на картинку, методом исключения мы можем определить, о какой именно фигуре идет речь. Учитель загадал оранжевый треугольник.
Такие математические задания-головоломки способствуют развитию логики и тренирует навыки владения основными приемами мышления в целом. Обобщение, сравнение, выделение определенных признаков – всему этому ребенка учат задания такого типа.
Пример №4
Условие. Найдите закономерность и продолжите ряд подходящими цифрами: 5,6,8,11,15,…
Ответ. …20,26,33 и так далее. В ряду вышеуказанных чисел мы видим определенную закономерность. Сначала мы прибавили 1, потом 2, затем 3, после этого 4, затем 5, потом 6 и так далее. То есть, с каждым шагом мы прибавляем число на единицу больше, чем предыдущее.
Усложненные задачи по математике на логику
Некоторые дети довольно легко справляются с обычными математическими задачами и показывают очень хорошие результаты в школе. Таких преуспевающих учеников нередко отправляют на олимпиады.
Далее приведем примеры логических задач по математике, с которыми ученик первого класса может столкнуться на олимпиаде.
Пример №1
Условие. Известно, что кролик легче, чем щенок на 2 килограмма. Если посадить щенка на левой чаше весов, а кролика на правой, то какая чаша весом будет располагаться выше? Каким образом после этого нужно использовать две имеющиеся гири, чтобы уравновесить весы?
Решение и ответ. Исходя из условий задачи, мы можем быть уверены, что щенок тяжелее кролика, а, значит, правая сторона весов, на которой сидит кролик, будет находиться выше. Чтобы весы уравновесились, гиря, находящаяся в чаше с кролем, должна быть тяжелее на 2 килограмма, чем гиря, которую мы разместим в чашу с щенком (3-1=2). Таким образом, получается, что в чашу к щенку нам нужно поставить гирю весом 1 килограмм, а к кролику – утяжелитель в 3 килограмма.
Пример №2
Условие. Рассмотрите картинку и определите стоимость медвежонка, исходя из имеющихся данных.
Решение и ответ. В первом ряду мы видим уточку и вертолет, общая стоимость которых составляет 4 условных единицы. Во втором ряду мы наблюдаем те же игрушки, но рядом с ними расположен еще и медвежонок. При этом нам известно, что общая стоимость этих трех предметов – 10 условных единиц. Так мы можем вычислить цену медвежонка (10-4=6).
Математика действительно очень интересная наука, знание которой очень помогает человеку в повседневной жизни. Поэтому важно прививать ребенку любовь к ней с самых малых лет. Как это сделать вы уже знаете, главное – чтобы малышу было интересно.
Интересно! Поделки из ватных дисков
Надеемся, что приведенные в статье логические задачи по математике для 1 класса окажутся вам полезными, и ваш ребенок достигнет успеха в школе.
Задачи на собеседованиях в Apple, Google, Adobe и Microsoft
22 Февраля, 2015,
16:00
298122
Кому не хотелось бы устроиться на работу в Google, Intel, Amazon или Apple? Многие IT-компании славятся тем, что на собеседовании задают соискателям каверзные задачи на математику, логику и общую сообразительность. Наверное, один из самых знаменитых примеров — это вопрос о том, почему канализационные люки круглые. Редакция AIN.UA постаралась подобрать самые интересные примеры таких задач, для решения которых требуется знание математики на школьном уровне или просто смекалка. Некоторые из них приводят сами компании, некоторые — публикуют пользователи, которые ходили на собеседование, некоторые — собраны на популярных сайтах задач.
Почти под каждой задачей приведен верный ответ (или, по крайней мере, один из возможных верных ответов), набранный шрифтом белого цвета — увидеть его можно, выделив соответствующую область.
Что спрашивают в Apple
1. Задача на логику. Шелдон Купер (тот самый гениальный физик из популярного сериала) дошел в игровом квесте в погоне за сокровищами до последнего рубежа. Перед ним — две двери, одна ведет к сокровищу, вторая — к смертельно опасному лабиринту. У каждой двери стоит стражник, каждый из них знает, какая дверь ведет к сокровищу. Один из стражников никогда не врет, другой — врет всегда. Шелдон не знает, кто из них врун, а кто нет. Прежде чем выбрать дверь, задать можно только один вопрос и только одному стражнику.
Вопрос: Что спросить Шелдону у стражника, чтобы попасть к сокровищу?
Ответ: Можно спросить любого, при этом задать вопрос так: «Какая дверь, по мнению другого стражника, правильная?». Если он спросит у правдивого, то получит данные о том, какая дверь ведет к лабиринту, ведь врущий стражник всегда врет. Если же он спросит у врущего стражника, опять же, узнает, какая дверь ведет к лабиринту, ведь тот соврет о двери, на которую укажет правдивый стражник.
2. Землю захватили инопланетяне. Они планируют уничтожить всю планету, но решили дать человечеству шанс. Они выбрали десяток самых умных людей и поместили их в абсолютно темную комнату, посадив в ряд, один за другим. На каждого из людей надели по шляпе, шляпы всего двух цветов — розовые и зеленые. После того, как все шляпы оказываются на головах, свет включается.
Инопланетянин начинает с последнего человека в ряду и спрашивает о том, какого цвета шляпа у него на голове. Других слов, кроме цвета шляпы, произносить нельзя. Отмалчиваться — тоже. Если он отвечает верно, остается в живых, ошибается — его убивают.
Нельзя посмотреть, какого цвета ваша шляпа, но можно договориться о некоем принципе, по которому отвечать всем. Расположение шляп — случайное, комбинации могут быть любыми, вам видны все шляпы, которые расположены перед вами.
Вопрос: Что нужно отвечать, чтобы выжило как можно больше людей?
Ответ: Первый отвечающий считает количество зеленых шляп перед собой, если это нечетное число, он называет «зеленый», если четное — «розовый». Следующий, видя количество и цвет шляп перед собой, может таким образом вычислить, какого цвета шляпа у него на голове (к примеру, если зеленых все еще нечетное количество, то очевидно, что на нем — розовая), и так далее. Таким образом гарантированно выживают 9 из 10, а у первого отвечавшего шанс 1 к 1.
Что спрашивают в Adobe
3. У вас 50 мотоциклов, с заполненным топливом баком, которого хватает на 100 км езды.
Вопрос: Используя эти 50 мотоциклов, как далеко вы сможете заехать (учитывая, что изначально они находятся в условно одной точке пространства)?
Ответ: Самый простой ответ: завести их все одновременно и проехать 100 км. Но есть и другое решение. Сначала переместите все мотоциклы на 50 км. Затем, перелейте топливо из половины мотоциклов в другую половину. У вас таким образом — 25 мотоциклов с полным баком. Проедьте еще 50 км и повторите процедуру. Так можно забраться на 350 км (не учитывая того топлива, которое останется от «лишнего» мотоцикла при разделе 25 надвое).
Что спрашивают в Microsoft
4. У вас бесконечный запас воды и два ведра — на 5 литров и 3 литра.
Вопрос: Как вы отмерите 4 литра?
Ответ: Наполните водой пятилитровое ведро и вылейте часть воды в трехлитровое. У вас сейчас 3 литра в маленьком ведре и 2 — в большом. Опустошите маленькое ведро и перелейте туда оставшиеся 2 литра из большого. Снова наполните большое ведро и перелейте из него воду в малое. Там уже есть 2 литра воды, так что долить придется литр, а в большом останется 4 литра.
5. У вас два отрезка веревки. Каждый таков, что если поджечь его с одного конца, он будет гореть ровно 60 минут.
Вопрос: Имея только коробку спичек, как отмерить с помощью двух отрезков такой веревки 45 минут (рвать веревки нельзя)?
Ответ: Один из отрезков поджигается с двух концов, одновременно с этим поджигается второй отрезок, но с одного конца. Когда первый отрезок догорит полностью, пройдет 30 минут, от первого также останется 30-минутный отрезок. Поджигая его с двух концов, получим 15 минут.
Задачи в Google
6. У вас имеется 8 шариков одинакового вида и размера.
Вопрос: Как найти более тяжелый шарик, используя весы и всего два взвешивания?
Ответ: Отберите 6 шариков, разделите их на группы по 3 шарика и положите на весы. Группа с более тяжелым шариком перетянет чашу. Выберите любые 2 шарика из этой тройки и взвесьте. Если тяжелый шарик среди них, вы это узнаете, если они весят одинаково — тяжелый тот, что остался. Если же более тяжелого шарика в группах по 3 шарика не оказалось, он — среди 2 оставшихся.
Задачи в Qualcomm
7. Эту задачку описал пользователь, которого собеседовали на позицию senior systems ENGINEer. Он отметил в описании задачи, что у него был свой ответ, по поводу которого он долго спорил с человеком, проводившим собеседование.
Предположим, у нас происходит 10 пакетных передач данных по беспроводной сети. Канал не очень качественный, так что есть вероятность 1/10, что пакет данных не будет передан. Трансмиттер всегда знает, удачно или неудачно был передан пакет данных. Когда передача неудачная, трансмиттер будет передавать пакет до тех пор, пока не преуспеет.
Вопрос: Какую пропускную способность канала получаем?
Ответ: По версии пользователя, ответ должен был быть 9 пакетов в секунду. Но человек, проводивший интервью, с ним не согласился, правда, ответа не назвал, но повторял, что «из-за ретрансмиссии пропускная способность должна быть уменьшена больше, чем на 1/10».
Задачи в «Яндексе»
8. Эту задачу предлагали решить для вступления в Школу анализа данных в феврале 2014 года. Ответа на задачи из «Яндекса» у нас, к сожалению, нет.
Игра состоит из одинаковых и независимых конов, в каждом из которых выигрыш происходит с вероятностью p. Когда игрок выигрывает, он получает 1 доллар, а когда проигрывает — платит 1 доллар. Как только его капитал достигает величины N долларов, он объявляется победителем и
удаляется из казино.
Вопрос: Найдите вероятность того, что игрок рано или поздно проиграет все деньги, в зависимости от его стартового капитала K.
9. Эту задачу предлагали решить разработчикам на собеседовании, и она больше связана непосредственно с программированием, чем предыдущие примеры.
Имеется морфологический словарь объемом примерно 100 000 входов, в котором глаголы совершенного и несовершенного вида помещены в отдельные статьи (то есть «делать» и «сделать» считаются разными словарными входами). Вам требуется найти в словаре такие видовые пары и «склеить» статьи в одну.
Вопрос: Опишите общий сценарий решения такой задачи и примерный алгоритм поиска видовых пар.
И бонус
10. Эту задачу приписывают Альберту Эйнштейну — якобы с ее помощью он подбирал себе ассистентов. Другая почти легендарная история приписывает авторство Льюису Кероллу. Отметим, что она очень просто решается на бумаге, но если хотите хардкора — попробуйте решить в уме.
- На улице стоят пять домов.
- Англичанин живет в красном доме.
- У испанца есть собака.
- В зеленом доме пьют кофе.
- Украинец пьет чай.
- Зеленый дом стоит сразу справа от белого дома.
- Тот, кто курит Old Gold, разводит улиток.
- В желтом доме курят Kool.
- В центральном доме пьют молоко.
- Норвежец живет в первом доме.
- Сосед того, кто курит Chesterfield, держит лису.
- В доме по соседству с тем, в котором держат лошадь, курят Kool.
- Тот, кто курит Lucky Strike, пьет апельсиновый сок.
- Японец курит Parliament.
- Норвежец живет рядом с синим домом.
- Каждый из домов покрашен в отдельный цвет, в каждом доме живет представитель отдельной национальности, у каждого — свой питомец, своя любимая марка сигарет и напиток.
Вопрос: Кто пьет воду? Кто держит зебру?
Ответ: Японец держит зебру, норвежец пьет воду.
нерешенных математических задач | Сложнейшие математические задачи и уравнения
3. Гипотеза о простом числе близнецов.
Вместе с гипотезой Гольдбаха гипотеза о простых числах близнецов является наиболее известной в математике, называемой теорией чисел, или изучением натуральных чисел и их свойств, часто с использованием простых чисел. Поскольку вы знаете эти числа с начальной школы, высказывать предположения несложно.
Когда два простых числа имеют разность, равную 2, они называются простыми числами-близнецами.Итак, 11 и 13 являются простыми числами-близнецами, как 599 и 601. Итак, это факт теории чисел первого дня, что существует бесконечно много простых чисел. Итак, существует ли бесконечно много двойных простых чисел ? Гипотеза двойного простого числа утверждает, что да.
Давайте углубимся. Первое в паре простых чисел-близнецов, за одним исключением, всегда на 1 меньше кратного 6. Итак, второе простое число-близнец всегда на 1 больше, чем кратное 6. Вы можете понять почему, если готовы к немного следуйте теории чисел.
Все простые числа после 2 нечетны.Четные числа всегда на 0, 2 или 4 больше, чем кратные 6, в то время как нечетные числа всегда на 1, 3 или 5 больше, чем кратные 6. Что ж, одна из этих трех возможностей для нечетных чисел вызывает проблему. Если число на 3 больше, чем кратное 6, то оно имеет множитель 3. Наличие множителя 3 означает, что число не является простым (за единственным исключением самого 3). Вот почему каждое третье нечетное число не может быть простым.
Как ваша голова после этого абзаца? А теперь представьте себе головную боль каждого, кто пытался решить эту проблему за последние 170 лет.
Хорошая новость в том, что за последнее десятилетие мы добились многообещающего прогресса. Математикам удавалось подходить к все более и более близким версиям гипотезы двойных простых чисел. Это была их идея: проблема с доказательством того, что существует бесконечно много простых чисел с разницей в 2? Как насчет доказательства того, что существует бесконечно много простых чисел с разницей в 70 000 000? Это было хорошо доказано в 2013 году Итангом Чжаном из Университета Нью-Гэмпшира.
За последние шесть лет математики улучшили это число в доказательстве Чжана с миллионов до сотен.Уменьшение числа до 2 и будет решением гипотезы о простом близнеце. Самое близкое, что мы подошли — с учетом некоторых тонких технических предположений — 6. Время покажет, не за горами ли последний шаг от 6 до 2 или эта последняя часть бросит вызов математикам еще на десятилетия.
Онлайн-решение математических задач
Абсолютно бесплатный универсальный инструмент для решения математических задач:
Онлайн-решение математических задач
Решайте свои математические задачи в Интернете.Бесплатная версия дает вам только ответы. Если вы хотите, чтобы
решения, вам необходимо подписаться на бесплатную пробную учетную запись.
Базовый математический план
Basic Math Solver предлагает вам решение онлайн-задач с дробями, метрических преобразований, степенных и радикальных задач.
Можно найти площадь и объем прямоугольников, кругов,
треугольники, трапеции, коробки, цилиндры, конусы, пирамиды, сферы.
Вы можете упрощать и оценивать выражения, множить / множить многочлены, комбинировать выражения.
Онлайн-решатель предварительной алгебры (геометрии)
Вы можете решать все задачи из основного математического раздела, а также решать простые уравнения, неравенства и задачи с координатной плоскостью.
Вы также можете оценивать выражения, множители множителей, выражения объединения / умножения / деления.
Онлайн-решатель алгебры
Я советую вам подписаться на этот решатель алгебры.
Вы можете шаг за шагом решать свои задачи алгебры онлайн — уравнения, неравенства, радикалы, строить графики, решать полиномиальные задачи.
Если ваша домашняя работа по математике включает уравнения, неравенства, функции, многочлены, матрицы, это правильный пробный счет.
Онлайн-программа для определения тригонометрии
Решите все типы тригонометрических (sin, cos, tan, sec, scs, cot) выражений, уравнений, неравенств.
График тригонометрических функций.
Тригонометрия прямоугольного треугольника.
Онлайн-программа для предварительного вычисления
Включите все вышеперечисленное плюс нахождение пределов (lim), сумм, матриц.
Онлайн-вычислитель
Решайте интегральные задачи — определенные, неопределенные интегралы.
Решатель онлайн-статистики
Решите свои проблемы вероятности, комбинации, перестановки.
Статистика — найти медиану, среднее (арифметическое, геометрическое, квадратичное), моду, дисперсию,
нормальные распределения, t-распределение.
Решатель успешно выполняет статистическую проверку гипотез
Онлайн-программа для решения химии
Вы можете решать уравнения химии онлайн.
Другие калькуляторы:
Если вы сможете решить одну из этих 6 основных математических задач, вы выиграете приз в 1 миллион долларов | The Independent
В 2000 году Институт математики Клэя объявил задачи Премии тысячелетия.Это был сборник из семи важнейших математических задач, которые остались нерешенными.
Отражая важность проблем, Институт предложил приз в размере 1 миллиона долларов каждому, кто сможет предоставить строгое и рецензируемое решение любой из проблем.
В то время как одна из проблем, гипотеза Пуанкаре, была классно решена в 2006 году (математик, решивший ее, Григорий Перельман, одинаково хорошо отверг и приз в миллион долларов, и желанную медаль Филдса), остальные шесть проблем остаются нерешенными. .
Вот шесть математических задач, настолько важных, что решение любой из них стоит 1 миллион долларов.
P vs NP
(Getty Images / iStockphoto)
Некоторые проблемы просты, а некоторые сложные.
В мире математики и информатики существует множество задач, которые мы знаем, как запрограммировать компьютер для «быстрого» решения — основы арифметики, сортировка списка, поиск по таблице данных. Эти проблемы могут быть решены за «полиномиальное время», сокращенно «P.»Это означает, что количество шагов, необходимых для сложения двух чисел или сортировки списка, управляемо растет вместе с размером чисел или длиной списка.
Но есть еще одна группа проблем, для которой легко проверить, действительно ли или нет возможное решение проблемы, но мы не знаем, как эффективно найти решение. Нахождение простых множителей большого числа является такой проблемой — если у меня есть список возможных факторов, я могу умножить их вместе и посмотрю, верну ли я свой первоначальный номер. Но нет известного способа быстро найти множители произвольно большого числа. Действительно, безопасность Интернета зависит от этого факта.
По историческим и техническим причинам проблемы, для которых мы можем быстро проверить возможное решение, называются разрешимыми за «недетерминированное полиномиальное время» или «NP».
Любая проблема в P автоматически находится в NP — если я могу решить проблему быстро, я могу так же быстро проверить возможное решение, просто решив проблему и посмотрев, соответствует ли ответ моему возможному решению.Суть вопроса P vs NP заключается в том, верно ли обратное: если у меня есть эффективный способ проверить решения проблемы, есть ли эффективный способ на самом деле найти эти решения?
Большинство математиков и компьютерных ученых считают, что ответ отрицательный. Алгоритм, который мог бы решать задачи NP за полиномиальное время, имел бы ошеломляющие последствия для большей части математики, науки и технологий, и эти последствия настолько необычны, что дают основания сомневаться в том, что это возможно.
Конечно, доказать, что такого алгоритма не существует, само по себе является невероятно сложной задачей. Возможность окончательно сделать такое заявление о подобных проблемах, вероятно, потребует гораздо более глубокого понимания природы информации и вычислений, чем мы имеем в настоящее время, и почти наверняка будет иметь глубокие и далеко идущие последствия.
Прочтите официальное описание P vs NP от Института математики Клэя здесь.
Уравнения Навье-Стокса
На удивление сложно объяснить, что происходит, когда вы добавляете сливки в утренний кофе.
Уравнения Навье-Стокса представляют собой гидродинамическую версию трех законов движения Ньютона. Они описывают, как поток жидкости или газа будет развиваться в различных условиях. Подобно тому, как второй закон Ньютона описывает, как скорость объекта будет изменяться под действием внешней силы, уравнения Навье-Стокса описывают, как скорость потока жидкости будет изменяться под действием внутренних сил, таких как давление и вязкость, а также внешних сил. силы, подобные гравитации.
Уравнения Навье-Стокса представляют собой систему дифференциальных уравнений.Дифференциальные уравнения описывают, как конкретная величина изменяется с течением времени при некоторых начальных начальных условиях, и они полезны при описании всех видов физических систем. В случае уравнений Навье-Стокса мы начинаем с некоторого начального потока жидкости, а дифференциальные уравнения описывают, как этот поток развивается.
Решение дифференциального уравнения означает нахождение некоторой математической формулы для определения того, каким будет ваше интересующее количество на самом деле в любой конкретный момент времени, на основе уравнений, описывающих, как это количество изменяется.Многие физические системы, описываемые дифференциальными уравнениями, такие как вибрирующая гитарная струна или поток тепла от горячего объекта к холодному, имеют хорошо известные решения этого типа.
Однако уравнения Навье-Стокса сложнее. С математической точки зрения инструменты, используемые для решения других дифференциальных уравнений, здесь не оказались полезными. Физически жидкости могут демонстрировать хаотическое и турбулентное поведение: дым, исходящий от свечи или сигареты, имеет тенденцию сначала течь плавно и предсказуемо, но быстро превращается в непредсказуемые вихри и завитки.
Возможно, такое турбулентное и хаотическое поведение означает, что уравнения Навье-Стокса не могут быть решены точно во всех случаях. Возможно, удастся построить некую идеализированную математическую жидкость, которая, следуя уравнениям, в конечном итоге станет бесконечно турбулентной.
Любой, кто сможет построить способ решения уравнений Навье-Стокса во всех случаях или показать пример, в котором уравнения не могут быть решены, получит премию тысячелетия за эту задачу.
Прочтите официальное описание уравнений Навье-Стокса Институтом математики Клея здесь.
Теория Янга-Миллса и квантовый разрыв масс
Математика и физика всегда были взаимовыгодными отношениями. Развитие математики часто открывало новые подходы к физической теории, а новые открытия в физике стимулировали более глубокие исследования лежащих в их основе математических объяснений.
Квантовая механика, пожалуй, самая успешная физическая теория в истории.Материя и энергия ведут себя по-разному в масштабе атомов и субатомных частиц, и одним из величайших достижений 20-го века стало теоретическое и экспериментальное понимание этого поведения.
Одной из основных опор современной квантовой механики является теория Янга-Миллса, которая описывает квантовое поведение электромагнетизма, а также слабых и сильных ядерных взаимодействий в терминах математических структур, возникающих при изучении геометрических симметрий. Предсказания теории Янга-Миллса были подтверждены бесчисленными экспериментами, и эта теория является важной частью нашего понимания того, как устроены атомы.
Несмотря на этот физический успех, теоретические математические основы теории остаются неясными. Одна из проблем, представляющих особый интерес, — это «массовая щель», которая требует, чтобы определенные субатомные частицы, которые в некотором роде аналогичны безмассовым фотонам, вместо этого действительно имели положительную массу. Разрыв в массах — важная часть того, почему ядерные силы чрезвычайно сильны по сравнению с электромагнетизмом и гравитацией, но имеют чрезвычайно малый радиус действия.
Задача Премии тысячелетия, таким образом, состоит в том, чтобы показать общую математическую теорию, лежащую в основе физической теории Янга-Миллса, и получить хорошее математическое объяснение разрыва между массами.
Прочтите официальное описание теории Янга-Миллса и проблемы массового разрыва, подготовленное Институтом математики Клэя.
Гипотеза Римана
Возвращаясь к древним временам, простые числа — числа, делящиеся только сами на себя и 1 — были объектом восхищения математиков. На фундаментальном уровне простые числа являются «строительными блоками» целых чисел, поскольку любое целое число может быть однозначно разбито на произведение простых чисел.
Учитывая центральную роль простых чисел в математике, вопросы о том, как простые числа распределяются вдоль числовой прямой, то есть насколько далеко простые числа находятся друг от друга, представляют собой активные области интереса.
К 19 веку математики открыли различные формулы, которые дают приблизительное представление о среднем расстоянии между простыми числами. Однако остается неизвестным, насколько близко к этому среднему остается истинное распределение простых чисел — то есть, есть ли части числовой прямой, где имеется «слишком много» или «слишком мало» простых чисел в соответствии с этими средними формулами.
Гипотеза Римана ограничивает эту возможность, устанавливая границы того, насколько далеко от среднего может отклоняться распределение простых чисел. Гипотеза эквивалентна и обычно формулируется в терминах того, лежат ли все решения уравнения, основанного на математической конструкции, называемой «дзета-функцией Римана», вдоль определенной линии в плоскости комплексных чисел. Действительно, изучение функций, подобных дзета-функции, стало отдельной областью математических интересов, что сделало гипотезу Римана и связанные с ней проблемы еще более важными.
Как и несколько задач, связанных с Премией тысячелетия, существуют значительные свидетельства того, что гипотеза Римана верна, но строгое доказательство остается неуловимым. На сегодняшний день вычислительные методы показали, что около 10 триллионов решений уравнения дзета-функции попадают в требуемую линию, и никаких контрпримеров не найдено.
Конечно, с математической точки зрения 10 триллионов примеров истинности гипотез абсолютно не заменяют полного доказательства этой гипотезы, в результате чего гипотеза Римана остается одной из открытых проблем, связанных с присуждением Премии тысячелетия.
Прочтите официальное описание гипотезы Римана Институтом математики Глина здесь.
Гипотеза Берча и Суиннертона-Дайера
Одним из самых старых и обширных объектов математического исследования являются диофантовы уравнения или полиномиальные уравнения, для которых мы хотим найти целочисленные решения. Классическим примером, который многие могут вспомнить из школьной геометрии, являются тройки Пифагора или наборы из трех целых чисел, удовлетворяющие теореме Пифагора x2 + y2 = z2.
В последние годы алгебраисты особенно изучали эллиптические кривые, которые определяются особым типом диофантовых уравнений. Эти кривые имеют важные приложения в теории чисел и криптографии, и поиск целочисленных или рациональных решений для них является важной областью исследования.
Одним из самых ошеломляющих математических достижений последних нескольких десятилетий было доказательство Эндрю Уайлсом классической Великой теоремы Ферма, в котором говорилось, что версий пифагоровых троек более высокой степени не существует.Доказательство этой теоремы Уайлсом явилось следствием более широкого развития теории эллиптических кривых.
Гипотеза Берча и Суиннертона-Дайера предоставляет дополнительный набор аналитических инструментов для понимания решений уравнений, определяемых эллиптическими кривыми.
Прочтите здесь официальное описание гипотезы Берча и Суиннертона-Дайера от Института математики Клэя.
Гипотеза Ходжа
Математическая дисциплина алгебраической геометрии, в широком смысле, представляет собой изучение многомерных форм, которые могут быть определены алгебраически, когда решение задается алгебраическими уравнениями.
В качестве чрезвычайно простого примера вы можете вспомнить из школьной алгебры, что уравнение y = x2 приводит к параболической кривой, когда решения этого уравнения вычерчиваются на миллиметровой бумаге. Алгебраическая геометрия имеет дело с многомерными аналогами этого вида кривой, когда рассматривают системы множественных уравнений, уравнений с большим количеством переменных и уравнения на плоскости комплексных чисел, а не действительные числа.
В 20 веке процветали изощренные методы понимания кривых, поверхностей и гиперповерхностей, являющихся предметами алгебраической геометрии.Сложные для представления формы можно сделать более управляемыми с помощью сложных вычислительных инструментов.
Гипотеза Ходжа предполагает, что определенные типы геометрических структур имеют особенно полезный алгебраический аналог, который можно использовать для лучшего изучения и классификации этих форм.
Прочтите официальное описание гипотезы Ходжа Институтом математики Клэя здесь.
Подробнее:
• Сколько зарабатывают самые высокооплачиваемые работники в 20 профессиях
• Семь устаревших «правил» мужского стиля, которые вы теперь можете игнорировать
• 16 навыков, которым трудно научиться, но которые окупятся навсегда
Прочтите оригинальную статью на Business Insider UK.© 2017. Следите за новостями Business Insider UK в Twitter.
Математика средней школы (10, 11 и 12 классы)
Математика средней школы для 10, 11 и 12 классов представлены математические вопросы и задачи для проверки глубокого понимания математических концепций и вычислительных процедур. Предоставляются подробные решения и ответы на вопросы.
сорт 12
11 класс
10 класс
Онлайн-калькуляторы
- Математические калькуляторы и решатели онлайн
- Онлайн-калькуляторы и решатели геометрии
- Калькулятор проверки делимости.
Онлайн-калькулятор, который проверяет целые числа на видимость 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 и 13.
- Калькуляторы сложения, вычитания и умножения целых чисел. Три отдельных онлайн-калькулятора для сложения, вычитания и умножения целых чисел.
- Калькулятор частных и остатков. Онлайн-калькулятор, вычисляющий частное и остаток от деления двух целых чисел.
- Калькулятор наименьшего общего кратного (lcm). Вычислите наименьшее общее кратное двух положительных целых чисел.
- Калькулятор наибольшего общего коэффициента (GCF).
Вычислите наибольший общий делитель двух натуральных чисел.
- Калькулятор основных факторов. Разложите положительное целое число на простые множители.
- Калькулятор сложения дробей. Добавьте 2 или 3 дроби и уменьшите окончательный ответ.
- Калькулятор умножения дробей. Умножьте 2 дроби и уменьшите ответ.
- Калькулятор деления дробей. Разделите 2 дроби и уменьшите ответ.
- Калькулятор сокращения дробей.
Перепишите дроби в уменьшенном виде.
Больше математики в средней школе (6, 7, 8, 9 классы) — бесплатные вопросы и задачи с ответами
Больше математики для начальной школы (4 и 5 классы) с бесплатными вопросами и задачи с ответами Домашняя страница
Автор —
электронная почта сообщить об этом объявлении
6 обманчиво простых математических задач, которые никто не может решить
Все мы знаем, что математика действительно сложна. Настолько сложно, что буквально целая страница в Википедии посвящена нерешенным математическим задачам, несмотря на то, что некоторые из величайших умов мира работают над ними круглосуточно.
Но, как указывает Эйвери Томпсон в Popular Mechanics , , по крайней мере, с самого начала, некоторые из этих задач кажутся на удивление простыми — настолько простыми на самом деле, что любой, кто имеет некоторые базовые знания математики, может их понять … включая нас. К сожалению, оказалось, что доказать их немного сложнее.
Вдохновленные списком Томпсона, мы составили собственный список обманчиво простых математических задач, которые расстроят (и, надеюсь, вдохновят) вас.
Гипотеза двойного простого числа
Простые числа — это те волшебные единороги, которые делятся только на себя и 1. Насколько нам известно, существует бесконечное количество простых чисел, и математики постоянно работают над поиском следующего по величине простого числа. номер.
Но существует ли бесконечное количество пар простых чисел, которые отличаются на два, например 41 и 43? По мере того, как простые числа становятся все больше и больше, эти простые числа-близнецы труднее найти, но теоретически их должно быть бесконечно… Проблема в том, что пока никто не смог это доказать.
Проблема с подвижным диваном
Клаудио Роккини
Это то, с чем большинство из нас боролось раньше — вы переезжаете в новую квартиру и пытаетесь взять с собой свой старый диван. Но, конечно, вам нужно завести его за угол, прежде чем вы сможете удобно расположиться на нем в гостиной.
Вместо того, чтобы отказываться и просто покупать мешочек с фасолью, математики хотят знать: какой самый большой диван, который вы могли бы разместить под углом 90 градусов, независимо от формы, без его изгиба? (Хотя они смотрят на все это с двухмерной точки зрения.)
Томпсон объясняет:
«Самая большая площадь, которая может уместиться за углом, называется — я вас не шучу — константой дивана.
Никто точно не знает, насколько он большой, но у нас есть довольно большие диваны, которые действительно работают, поэтому мы знаем, что он должен быть не меньше их. У нас также есть некоторые диваны, которые не работают, поэтому они должны быть меньше этих. В целом, мы знаем, что постоянная дивана должна быть в пределах от 2,2195 до 2,8284 ».
Спорим, Росс из друзей хотел бы, чтобы кто-то сказал ему это.
Friends / NBC
Гипотеза Коллатца
XKCD
Гипотеза Коллатца — одна из самых известных нерешенных математических задач, потому что она настолько проста, что вы можете объяснить ее ребенку младшего школьного возраста, и они вероятно, будут достаточно заинтригованы, чтобы попытаться найти ответ для себя.
Итак, вот как это происходит: выберите число, любое число.
Если четное, разделите на 2. Если нечетное, умножьте на 3 и прибавьте 1.Теперь повторите эти шаги еще раз со своим новым номером. В конце концов, если вы продолжите идти, вы в конечном итоге будете получать 1 каждый раз (попробуйте сами, мы подождем).
Как бы просто это ни звучало, это действительно работает. Но проблема в том, что, хотя математики и показали, что это так с миллионами чисел, они не нашли ни одного числа, которое не соответствовало бы правилам.
«Возможно, вместо этого существует какое-то действительно большое число, стремящееся к бесконечности, или, может быть, число, которое застревает в цикле и никогда не достигает 1», — объясняет Томпсон.«Но никто никогда не мог доказать это наверняка».
Гипотеза Била
Гипотеза Била в основном выглядит следующим образом …
Если A x + B y = C z
И A, B, C, x, y и z — все положительные целые числа (целые числа больше 0), тогда A, B и C должны иметь общий простой множитель.
Общий простой множитель означает, что каждое из чисел должно делиться на одно и то же простое число.Итак, 15, 10 и 5 имеют общий простой делитель 5 (все они делятся на простое число 5).
Пока все так просто и похоже на то, что вы решили бы в алгебре средней школы.
Но вот в чем проблема. Математикам никогда не удавалось решить гипотезу Биля, если все x, y и z больше 2.
Например, давайте использовать наши числа с общим простым множителем 5 из предыдущего опыта ….
5 1 + 10 1 = 15 1
но
5 2 + 10 2 ≠ 15 2
В настоящее время предлагается приз в 1 миллион долларов США для всех, кто может предложить рецензируемое доказательство этой гипотезы… так что рассчитывайте.
Задача «Вписанный квадрат»
Клаудио Роккини
Для этого нужно немного нарисовать. На листе бумаги нарисуйте петлю — это не обязательно должна быть какая-то заданная форма, просто замкнутая петля, которая не перекрещивается.
Согласно гипотезе вписанного квадрата, внутри этого цикла вы должны уметь нарисовать квадрат, все четыре угла которого касаются петли, как на диаграмме выше.
Звучит просто … но с математической точки зрения существует множество возможных форм петель — и в настоящее время невозможно сказать, сможет ли квадрат коснуться всех из них.
«Это уже было решено для ряда других форм, таких как треугольники и прямоугольники, — пишет Томпсон, — но квадраты — дело хитрое, и до сих пор формальное доказательство ускользало от математиков».
Гипотеза Гольдбаха
Подобно гипотезе двойного простого числа, гипотеза Гольдбаха представляет собой еще один, казалось бы, простой вопрос о простых числах, известный своей обманчивой простотой. Возникает вопрос: является ли каждое четное число больше 2 суммой двух простых чисел?
Кажется очевидным, что в конце концов ответ будет положительным, 3 + 1 = 4, 5 + 1 = 6 и так далее.
Но, опять же, никто не смог доказать, что так будет всегда, несмотря на годы попыток.
Реальность такова, что по мере того, как мы продолжаем вычислять все большие и большие числа, мы можем в конечном итоге найти то, которое не является суммой двух простых чисел … или такое, которое бросает вызов всем правилам и логике, которые у нас есть до сих пор. И можете быть уверены, что математики не перестанут искать, пока не найдут его.
10 математических уравнений, которые никогда не решались
Математика сыграла важную роль во многих изобретениях и теориях, которые изменили жизнь.Но есть еще некоторые математические уравнения, которым удалось ускользнуть даже от величайших умов, таких как Эйнштейн и Хокинс. Однако другие уравнения слишком велики, чтобы их можно было вычислить. Так что по какой-то причине эти загадочные проблемы так и не были решены. Но какие они?
Как и все мы, вы, вероятно, ожидаете трудностей следующего уровня в этих математических задачах. Удивительно, но это не так. Некоторые из этих уравнений даже основаны на концепциях начальной школы и легко понятны — просто неразрешимы.
1. Гипотеза Римана
Уравнение: σ (n) ≤ Hn + ln (Hn) eHn
- Где n — целое положительное число
- Hn — номер n-й гармоники
- σ (n) — сумма натуральных чисел, делящихся на n
Например, если n = 4, то σ (4) = 1 + 2 + 4 = 7 и h5 = 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4. Решите это уравнение, чтобы доказать или опровергнуть следующее неравенство n≥1? Верно ли это для всех n≥1?
Эта проблема называется элементарной версией гипотезы Римана Лагариаса и имеет цену в миллион долларов, предложенную Clay Mathematics Foundation за ее решение.
2. Гипотеза Коллатца
Уравнение: 3n + 1
- где n — положительное целое число n / 2
- , где n — неотрицательное целое число
Докажи ответ end, перебирая 1,4,2,1,4,2,1,…, если n — положительное целое число. Это повторяющийся процесс, и вы будете повторять его с новым значением n, которое получите. Если ваше первое n = 1, то ваши последующие ответы будут 1, 4, 2, 1, 4, 2, 1, 4… бесконечно. И если n = 5, ответы будут 5,16,8,4,2,1, остальное будет еще одним циклом значений 1, 4 и 2.
Это уравнение было сформировано в 1937 году человеком по имени Лотар Коллатц, поэтому его называют гипотезой Коллатца.
3. Гипотеза Эрдёша-Штрауса
Уравнение: 4 / n = 1 / a + 1 / b + 1 / c
- где n≥2
- a, b и c — целые положительные числа.
Это уравнение направлено на то, чтобы увидеть, сможем ли мы доказать, что если n больше или равно 2, то можно записать 4 * n как сумму трех положительных единичных дробей.
Это уравнение было сформировано в 1948 году двумя людьми по имени Пол Эрдеш и Эрнст Штраус, поэтому его называют гипотезой Эрдеша-Штрауса.
4. Уравнение четыре
Уравнение: Используйте 2 (2∧127) -1 — 1, чтобы доказать или опровергнуть, простое это число или нет?
Выглядит довольно просто, не так ли? Вот небольшой контекст проблемы.
Возьмем простое число 2. Теперь 22 — 1 = 3, которое также является простым числом. 25-1 = 31, которое также является простым числом, поэтому 27-1 = 127. 2127 −1 = 170141183460469231731687303715884105727 также является простым.
5. Гипотеза Гольдбаха
Уравнение: Докажите, что x + y = n
- где x и y — любые два простых числа
- n ≥ 4
Эта проблема, как бы относительно проста она ни казалась, никогда не была решена.Решение этой проблемы принесет вам бесплатный миллион долларов. Это уравнение было впервые предложено Гольдбахом, отсюда и название гипотеза Гольдбаха.
Если вы все еще не уверены, выберите любое четное число, например 6, оно также может быть выражено как 1 + 5, что является двумя простыми числами. То же самое для 10 и 26.
6. Уравнение шесть
Уравнение: Докажите, что (K) n = JK1N (q) JO1N (q)
Это уравнение пытается изобразить связь между квантовыми инвариантами узлов и гиперболической геометрией узловых дополнений.Хотя это уравнение относится к математике, вы должны быть хорошо знакомы с физикой, чтобы понять эту концепцию.
7. Гипотеза Уайтхеда
Уравнение: G = (S | R)
- , когда комплекс K (S | R) CW асферический
- , если π2 (K (S | R)) = 0
В этом уравнении вы доказываете утверждение, сделанное г-ном Уайтхедом в 1941 году в алгебраической топологии, что каждый подкомплекс асферического комплекса CW, который связан и в двух измерениях, также является сферическим.Он был назван в честь этого человека, по предположению Уайтхеда.
8. Уравнение восемь
Уравнение: (EQ4)
Это уравнение является определением морфизма и называется картой сборки. Ознакомьтесь с сокращенной C * -алгеброй, чтобы лучше понять концепцию этого уравнения.
9. Константа Эйлера-Маскерони
Уравнение: y = limn → ∞ (∑m = 1n1m − log (n))
Выясните, является ли y рациональным или иррациональным в приведенном выше уравнении. Чтобы полностью понять эту проблему, вам нужно еще раз взглянуть на рациональные числа и их концепции.Символ y известен как постоянная Эйлера-Маскерони и имеет значение 0,5772.
Это уравнение было вычислено с точностью до половины триллиона цифр, и все же никто не мог сказать, рациональное это число или нет.
10. Уравнение Ten
Уравнение: π + e
Найдите сумму и определите, является ли она алгебраической или трансцендентной. Чтобы понять этот вопрос, вам нужно иметь представление об алгебраических действительных числах и о том, как они действуют. Число пи или π возникло в 17 веке и трансцендентно вместе с e.а как насчет их суммы? Пока это так и не было решено.
Заключение
Как вы можете видеть в приведенных выше уравнениях, существует несколько, казалось бы, простых математических уравнений и теорий, которые никогда не отменялись. Проходят десятилетия, а эти проблемы остаются нерешенными. Если вы ищете головоломку, решение этих проблем поможет вам сэкономить деньги.
Оставьте первый комментарий ниже.
15 самых сложных вопросов по SAT математике
Хотите проверить себя, отвечая на самые сложные вопросы по математике SAT? Хотите знать, что делает эти вопросы такими сложными и как их лучше всего решать? Если вы готовы по-настоящему погрузиться в математический раздел SAT и нацелиться на этот высший балл, то это руководство для вас.
Мы собрали то, что мы считаем , из 15 самых сложных вопросов для текущего SAT , со стратегиями и ответами на каждый из них. Все это сложные вопросы SAT Math из практических тестов SAT College Board, а это значит, что их понимание — один из лучших способов учиться для тех из вас, кто стремится к совершенству.
Изображение: Соня Севилья / Викимедиа
Краткий обзор SAT Math
Третий и четвертый разделы SAT всегда будут математическими разделами .Первый математический подраздел (с меткой «3») позволяет использовать калькулятор , не , а второй математический подраздел (с меткой «4») разрешает использование калькулятора. Однако не беспокойтесь о разделе без калькулятора: если вам не разрешено использовать калькулятор для ответа на вопрос, это означает, что вам не нужен калькулятор, чтобы ответить на него.
Каждый математический подраздел расположен в порядке возрастания сложности (где чем больше времени требуется на решение задачи и чем меньше людей ответят на нее правильно, тем сложнее).В каждом подразделе вопрос 1 будет «легким», а вопрос 15 — «сложным». Однако возрастающая сложность сбрасывается с простого на сложный на сетке.
Таким образом, вопросы с несколькими вариантами ответов упорядочены по возрастающей сложности (вопросы 1 и 2 будут самыми легкими, вопросы 14 и 15 будут самыми сложными), но уровень сложности будет сброшен для секции сетки (то есть вопросы 16 и 17 снова будут будьте «легкими», и вопросы 19 и 20 будут очень сложными).
Таким образом, за очень немногими исключениями, наиболее сложные математические задачи SAT будут сгруппированы в конце сегментов с несколькими вариантами ответов или во второй половине вопросов сетки. Однако, помимо места в тесте, у этих вопросов есть еще несколько общих черт. Через минуту мы рассмотрим примеры вопросов и способы их решения, а затем проанализируем их, чтобы выяснить, что общего у этих типов вопросов.
Но сначала: следует ли вам сейчас сосредоточиться на самых сложных математических вопросах?
Если вы только начинаете подготовку к учебе (или если вы просто пропустили этот первый, важный шаг), обязательно остановитесь и пройдите полный практический тест, чтобы определить свой текущий уровень оценок. Ознакомьтесь с нашим руководством по всем бесплатным практическим тестам SAT, доступным в Интернете, а затем сядьте и сдавайте все сразу.
Самый лучший способ оценить свой текущий уровень — просто пройти практический тест SAT, как если бы он был настоящим, соблюдая строгий график и работая без перерывов только с разрешенными перерывами (мы знаем — вероятно, это не ваш любимый способ провести субботу) . Как только вы получите хорошее представление о своем текущем уровне и процентильном рейтинге, вы можете установить контрольные точки и цели для получения окончательного результата по SAT Math.
Если вы в настоящее время набираете баллы в диапазоне 200–400 или 400–600 по SAT Math, лучше всего сначала ознакомиться с нашим руководством по повышению своего балла по математике , чтобы он постоянно был на уровне 600 или выше, прежде чем начать. в попытке решить самые сложные математические задачи на тесте.
Если, однако, вы уже набрали больше 600 баллов по математике и хотите проверить свои способности на реальном SAT, то обязательно переходите к остальной части этого руководства. Если вы стремитесь к совершенству (или близкому к нему), вам необходимо знать, как выглядят самые сложные вопросы по математике SAT и как их решать.И, к счастью, именно этим мы и займемся.
ПРЕДУПРЕЖДЕНИЕ: Поскольку количество официальных практических тестов SAT ограничено, вы можете подождать, чтобы прочитать эту статью, пока не попробуете все или большую часть первых четырех официальных практических тестов (поскольку большинство вопросов, приведенных ниже, были приняты. из этих тестов). Если вы беспокоитесь о том, чтобы испортить эти тесты, прекратите читать это руководство сейчас; вернитесь и прочтите, когда вы их закончите.
Теперь перейдем к нашему списку вопросов (ууу)!
Изображение: Niytx / DeviantArt
15 самых сложных вопросов по SAT Math
Теперь, когда вы уверены, что должны попытаться ответить на эти вопросы, давайте приступим прямо к делу! Мы собрали 15 самых сложных вопросов по SAT Math, которые вы можете попробовать ниже, а также пошаговые инструкции, как получить ответ (если вы в тупике).
Нет калькулятора Вопросы по SAT по математике
Вопрос 1
$$ C = 5/9 (F-32) $$
Приведенное выше уравнение показывает, как температура $ F $, измеренная в градусах Фаренгейта, соотносится с температурой $ C $, измеренной в градусах Цельсия. Основываясь на уравнении, какое из следующих утверждений должно быть верным?
- Повышение температуры на 1 градус по Фаренгейту эквивалентно повышению температуры на 5/9 градусов Цельсия.
- Повышение температуры на 1 градус Цельсия эквивалентно повышению температуры на 1.8 градусов по Фаренгейту.
- Повышение температуры на 5 долларов / 9 градусов по Фаренгейту эквивалентно повышению температуры на 1 градус Цельсия.
A) только I
B) только II
C) только III
D) только I и II
ОБЪЯСНЕНИЕ ОТВЕТА: Думайте об уравнении как об уравнении для линии
$$ y = mx + b $$
, где в данном случае
$$ C = {5} / {9} (F − 32) $$
или
$$ C = {5} / {9} F — {5} / {9} (32) $$
Вы можете видеть, что наклон графика составляет $ {5} / {9} $, что означает, что при увеличении на 1 градус по Фаренгейту увеличение составляет $ {5} / {9} $ на 1 градус Цельсия.
$$ C = {5} / {9} (F) $$
$$ C = {5} / {9} (1) = {5} / {9} $$
Следовательно, утверждение I верно. Это эквивалентно тому, что увеличение на 1 градус Цельсия равно увеличению на $ {9} / {5} $ градусов по Фаренгейту.
$$ C = {5} / {9} (F) $$
$$ 1 = {5} / {9} (F) $$
$$ (F) = {9} / {5} $$
Поскольку $ {9} / {5} $ = 1.8, утверждение II верно.
Единственный ответ, в котором и утверждение I, и утверждение II являются истинными, — это D , но если у вас есть время и вы хотите быть абсолютно внимательными, вы также можете проверить, соответствует ли утверждение III (увеличение на $ {5} / { 9} $ градус Фаренгейта равен увеличению температуры на 1 градус Цельсия) верно:
$$ C = {5} / {9} (F) $$
$$ C = {5} / {9} ({5} / {9}) $$
$$ C = {25} / {81} (\ which \ is ≠ 1) $$
Увеличение на 5 долларов / 9 градусов по Фаренгейту приводит к увеличению на {25} / {81} долларов, а не на 1 градус Цельсия, и поэтому утверждение III неверно. 2 $
D) Значение не может быть определено на основе предоставленной информации.12 $$
Окончательный ответ: A.
Вопрос 4
Точки A и B лежат на окружности радиуса 1, а длина дуги $ {AB} ↖⌢ $ равна $ π / 3 $. Какая часть окружности окружности равна длине дуги $ {AB} ↖⌢ $?
ОБЪЯСНЕНИЕ ОТВЕТА: Чтобы выяснить ответ на этот вопрос, вам сначала нужно знать формулу для определения длины окружности.
Длина окружности $ C $ равна $ C = 2πr $, где $ r $ — радиус окружности.Для данной окружности радиусом 1 длина окружности равна $ C = 2 (π) (1) $ или $ C = 2π $.
Чтобы узнать, какая часть окружности составляет длину $ {AB} ↖⌢ $, разделите длину дуги на длину окружности, что даст $ π / 3 ÷ 2π $. Это деление можно представить как $ π / 3 * {1/2} π = 1/6 $.
Дробь $ 1/6 $ также может быть переписана как $ 0,166 $ или 0,167 $.
Окончательный ответ: 1/6 доллара, 0,166 доллара или 0,167 доллара.
Вопрос 5
$$ {8-i} / {3-2i} $$
Если приведенное выше выражение переписать в форме $ a + bi $, где $ a $ и $ b $ — действительные числа, каково значение $ a $? (Примечание: $ i = √ {-1} $)
ОБЪЯСНЕНИЕ ОТВЕТА: Чтобы переписать $ {8-i} / {3-2i} $ в стандартной форме $ a + bi $, вам нужно умножить числитель и знаменатель $ {8-i} / {3- 2i} $ сопряженным, $ 3 + 2i $.2 = -1 $, последняя дробь может быть уменьшена упрощенно до
$$ {24 + 16i-3i + 2} / {9 — (- 4)} = {26 + 13i} / {13} $$
, что упрощается до 2 + i $. Следовательно, когда $ {8-i} / {3-2i} $ переписывается в стандартной форме a + bi, значение a равно 2.
Окончательный ответ: A.
Вопрос 6
В треугольнике $ ABC $ мера $ ∠B $ равна 90 °, $ BC = 16 $ и $ AC $ = 20. Треугольник $ DEF $ похож на треугольник $ ABC $, где вершины $ D $, $ E $ и $ F $ соответствуют вершинам $ A $, $ B $ и $ C $ соответственно, а также каждой стороне треугольника $. DEF $ составляет $ 1/3 $ длины соответствующей стороны треугольника $ ABC $.2} = √ {400-256} = √ {144} = 12 $$
Поскольку треугольник DEF подобен треугольнику ABC, с вершиной F, соответствующей вершине C, мера $ \ angle ∠ {F} $ равна мере $ \ angle ∠ {C} $. Следовательно, $ sin F = sin C $. От сторон треугольника ABC,
$$ sinF = {\ Against \ side} / {\ hypotenuse} = {AB} / {AC} = {12} / {20} = {3} / {5} $$
Следовательно, $ sinF = {3} / {5} $.
Окончательный ответ: {3} / {5} $ или 0,6.
Вопросы SAT по математике, разрешенные калькулятором
Вопрос 7
Неполная таблица выше суммирует количество учащихся-левшей и учащихся-правшей с разбивкой по полу для учащихся восьмых классов средней школы им. Кейзеля.Учениц-правшей в 5 раз больше, чем учениц-левшей, и учеников-правшей в 9 раз больше, чем учениц-левшей. Если в школе всего 18 учеников-левшей и 122 ученика-правшей, что из следующего наиболее близко к вероятности того, что случайно выбранный ученик-правша будет женщиной? (Примечание: предположим, что ни один из восьмиклассников не является одновременно правшой и левшой.)
А) 0.410
B) 0,357
C) 0,333
D) 0,250
ОБЪЯСНЕНИЕ ОТВЕТА: Чтобы решить эту проблему, вы должны создать два уравнения, используя две переменные ($ x $ и $ y $) и предоставленную вам информацию. Пусть $ x $ будет количеством учениц-левшей и пусть $ y $ будет количеством учениц-левшей. Используя информацию, приведенную в задаче, количество учащихся-правшей будет составлять 5 долларов США, а количество учащихся-правшей будет составлять 9 лет.Поскольку общее количество студентов-левшей составляет 18, а общее количество студентов-правшей — 122, система уравнений ниже должна быть верной:
$$ x + y = 18 $$
$$ 5x + 9y = 122 $$
Когда вы решаете эту систему уравнений, вы получаете $ x = 10 $ и $ y = 8 $. Таким образом, из 122 учащихся-правшей 5 * 10, или 50, — девушки. Следовательно, вероятность того, что случайным образом выбранный студент-правша будет женщиной, составляет {50} / {122} $, что с точностью до тысячных составляет 0,410.
Окончательный ответ — А.
Вопросы 8 и 9
Используйте следующую информацию как для вопроса 7, так и для вопроса 8.
Если покупатели входят в магазин со средней скоростью $ r $ покупателей в минуту и каждый остается в магазине в течение среднего времени T $ минут, среднее количество покупателей в магазине, равное N $, в любой момент времени составляет задается формулой $ N = rT $. Эта связь известна как закон Литтла.
По оценкам владельца магазина Good Deals Store, в рабочее время в магазин заходит в среднем 3 покупателя в минуту, и каждый из них остается в среднем на 15 минут.Владелец магазина использует закон Литтла, чтобы оценить, что в магазине одновременно находится 45 покупателей.
Вопрос 8
Закон Литтла может применяться к любой части магазина, например к определенному отделу или кассовым линиям. Владелец магазина определяет, что в рабочее время примерно 84 покупателя в час совершают покупку, и каждый из этих покупателей проводит в очереди в кассе в среднем 5 минут. Сколько в среднем покупателей в любое время в рабочее время ожидают в очереди у кассы, чтобы совершить покупку в магазине Good Deals Store?
ОБЪЯСНЕНИЕ ОТВЕТА: Поскольку в вопросе говорится, что закон Литтла может применяться к любой отдельной части магазина (например, только к кассе), тогда среднее количество покупателей, $ N $, в очереди к кассе в любой time равно $ N = rT $, где $ r $ — это количество покупателей, заходящих в кассу в минуту, а $ T $ — это среднее количество минут, которое каждый покупатель проводит в очереди.
Поскольку 84 покупателя в час совершают покупку, 84 покупателя в час входят в кассу. Однако это необходимо преобразовать в количество покупателей в минуту (для использования с $ T = 5 $). Поскольку в часе 60 минут, тариф составляет $ {84 \ shoppers \ per \ hour} / {60 \ minutes} = 1,4 $ покупателя в минуту. Используя данную формулу с $ r = 1,4 $ и $ T = 5 $, получаем
$$ N = rt = (1.4) (5) = 7 $$
Таким образом, среднее количество покупателей, $ N $, в очереди на кассу в любое время в рабочее время равно 7.
Окончательный ответ 7.
Вопрос 9
Владелец магазина Good Deals Store открывает новый магазин в другом конце города. По оценкам владельца нового магазина, в рабочее время в него заходят в среднем 90 покупателей в час, и каждый из них остается в среднем на 12 минут. Среднее количество покупателей в новом магазине в любой момент времени на какой процент меньше среднего количества покупателей в исходном магазине в любое время? (Примечание: игнорируйте символ процента при вводе ответа.Например, если ответ 42,1%, введите 42,1)
ОБЪЯСНЕНИЕ ОТВЕТА: Согласно исходной информации, предполагаемое среднее количество покупателей в исходном магазине в любой момент времени (N) составляет 45. В вопросе говорится, что в новом магазине менеджер оценивает, что в среднем 90 покупателей в час (60 минут) заходят в магазин, что эквивалентно 1,5 покупателям в минуту (r). Менеджер также подсчитал, что каждый покупатель остается в магазине в среднем 12 минут (T).Таким образом, по закону Литтла в каждый момент времени в новом магазине в среднем находится $ N = rT = (1.5) (12) = 18 $ покупателей. Это
$$ {45-18} / {45} * 100 = 60 $$
На
процента меньше, чем среднее количество покупателей в исходном магазине в любое время.
Окончательный ответ — 60.
Вопрос 10
На плоскости $ xy $ точка $ (p, r) $ лежит на прямой с уравнением $ y = x + b $, где $ b $ — постоянная. Точка с координатами $ (2p, 5r) $ лежит на прямой с уравнением $ y = 2x + b $.Если $ p ≠ 0 $, каково значение $ r / p $?
A) 2/5 долларов США
B) 3/4 $
C) 4/3 долл. США
D) $ 5/2 $
ОБЪЯСНЕНИЕ ОТВЕТА: Поскольку точка $ (p, r) $ лежит на прямой с уравнением $ y = x + b $, точка должна удовлетворять уравнению. Подстановка $ p $ вместо $ x $ и $ r $ вместо $ y $ в уравнение $ y = x + b $ дает $ r = p + b $, или $ \ bi b $ = $ \ bi r- \ bi p $.
Аналогично, поскольку точка $ (2p, 5r) $ лежит на прямой с уравнением $ y = 2x + b $, точка должна удовлетворять уравнению.Замена $ 2p $ на $ x $ и $ 5r $ на $ y $ в уравнении $ y = 2x + b $ дает:
$ 5r = 2 (2p) + b $
$ 5r = 4p + b $
$ \ bi b $ = $ \ bo 5 \ bi r- \ bo 4 \ bi p $.
Затем мы можем установить два уравнения, равных $ b $, равным друг другу и упростить:
$ б = р-п = 5р-4п $
$ 3p = 4r $
Наконец, чтобы найти $ r / p $, нам нужно разделить обе части уравнения на $ p $ и на $ 4 $:
$ 3p = 4r $
3 доллара США = {4r} /
доллара США на человека
$ 3/4 = р / п $
Правильный ответ: B , 3/4 доллара.
Если вы выбрали варианты A и D, возможно, вы неправильно сформировали свой ответ из коэффициентов в пункте $ (2p, 5r) $. Если вы выбрали вариант C, возможно, вы перепутали $ r $ и $ p $.
Обратите внимание, что пока он находится в разделе калькулятора теста SAT, вам совершенно не нужен калькулятор для его решения!
Вопрос 11
Зерновой бункер состоит из двух правых круглых конусов и правого круглого цилиндра с внутренними размерами, представленными на рисунке выше. 2h $$
можно использовать для определения общего объема силоса.2) (5) = ({4} / {3}) (250) π $$
, что примерно равно 1047,2 кубических футов.
Окончательный ответ — D.
Вопрос 12
Если $ x $ — среднее (среднее арифметическое) $ m $ и $ 9 $, $ y $ — среднее значение $ 2m $ и $ 15 $, а $ z $ — среднее значение $ 3m $ и $ 18 $, то что есть среднее значение $ x $, $ y $ и $ z $ в пересчете на $ m $?
A) млн $ + 6
B) млн $ + 7
C) 2 млн + 14
D) 3 млн + 21
ОБЪЯСНЕНИЕ ОТВЕТА: Поскольку среднее (среднее арифметическое) двух чисел равно сумме двух чисел, разделенных на 2, уравнения $ x = {m + 9} / {2} $, $ y = {2m +15} / {2} $, $ z = {3m + 18} / {2} $ верны.2-x- {11} / {4} $$
и
$$ y = k $$
Реальное решение системы двух уравнений соответствует точке пересечения графиков этих двух уравнений на плоскости $ xy $.
График $ y = k $ — это горизонтальная линия, которая содержит точку $ (0, k) $ и трижды пересекает график кубического уравнения (поскольку оно имеет три действительных решения). Учитывая график, единственная горизонтальная линия, которая трижды пересекала бы кубическое уравнение, — это линия с уравнением $ y = −3 $ или $ f (x) = −3 $.2 $$
Динамическое давление $ q $, создаваемое жидкостью, движущейся со скоростью $ v $, можно найти с помощью приведенной выше формулы, где $ n $ — постоянная плотность жидкости. Инженер-авиастроитель использует формулу для определения динамического давления жидкости, движущейся со скоростью $ v $, и той же жидкости, движущейся со скоростью 1,5 $ v $. Каково отношение динамического давления более быстрой жидкости к динамическому давлению более медленной жидкости?
ОБЪЯСНЕНИЕ ОТВЕТА: Чтобы решить эту проблему, вам необходимо задать уравнения с переменными.2 = (2.25) q_1 $$
Следовательно, коэффициент динамического давления более быстрой жидкости равен
$$ {q2} / {q1} = {2.25 q_1} / {q_1} = 2.25 $$
Окончательный ответ — 2,25 или 9/4.
Вопрос 15
Для полинома $ p (x) $ значение $ p (3) $ равно $ -2 $. Что из следующего должно быть верным относительно $ p (x) $?
A) $ x-5 $ — множитель $ p (x) $.
B) $ x-2 $ — множитель $ p (x) $.
C) $ x + 2 $ — множитель $ p (x) $.
D) Остаток от деления $ p (x) $ на $ x-3 $ равен -2 $.1 $ и не выше), остаток — действительное число.
Следовательно, $ p (x) $ можно переписать как $ p (x) = (x + k) q (x) + r $, где $ r $ — действительное число.
В вопросе указано, что $ p (3) = -2 $, поэтому должно быть верно, что
$$ — 2 = p (3) = (3 + k) q (3) + r $$
Теперь мы можем включить все возможные ответы. Если ответ A, B или C, $ r $ будет $ 0 $, а если ответ D, $ r $ будет $ -2 $.
A. $ -2 = p (3) = (3 + (-5)) q (3) + 0 $
$ -2 = (3-5) q (3) $
$ -2 = (- 2 ) q (3) $
Это могло быть правдой, но только если $ q (3) = 1 $
Б.$ -2 = p (3) = (3 + (-2)) q (3) + 0 $
$ -2 = (3-2) q (3) $
$ -2 = (-1) q ( 3) $
Это могло быть правдой, но только если $ q (3) = 2 $
C. $ -2 = p (3) = (3 + 2) q (3) + 0 $
$ -2 = (5) q (3) $
Это может быть правдой, но только если $ q (3) = {- 2} / {5} $
D. $ -2 = p (3) = (3 + (-3)) q (3) + (-2) $ 900 33 $ -2 = (3 — 3) q (3) + (-2) $
-2 = (0) q (3) + (-2)
долл. США
Это всегда будет истинным независимо от того, что такое $ q (3) $.
Из вариантов ответа единственное, что должно быть истинным относительно $ p (x) $, — это D, а остаток от деления $ p (x) $ на $ x-3 $ равен -2.
Окончательный ответ — D.
Хотите улучшить свой результат SAT на 160 баллов? Мы написали руководство о 5 лучших стратегиях, которые вы должны использовать, чтобы улучшить свой результат. Скачать бесплатно сейчас:
Вы заслуживаете того, чтобы вздремнуть, задав эти вопросы.
Что общего у самых сложных вопросов по SAT Math?
Важно понимать, что делает эти сложные вопросы «сложными». Таким образом, вы сможете понять и решить похожие вопросы, когда вы увидите их в день тестирования, а также получите лучшую стратегию для выявления и исправления ваших предыдущих математических ошибок SAT.
В этом разделе мы рассмотрим, что общего у этих вопросов, и приведем примеры каждого типа.Некоторые из причин, по которым самые сложные вопросы по математике являются самыми сложными вопросами по математике, заключаются в том, что они:
# 1: Проверить несколько математических понятий одновременно
Здесь мы должны иметь дело с мнимыми числами и дробями одновременно.
Секрет успеха: Подумайте, какую применимую математику вы могли бы использовать для решения задачи, выполняйте по одному шагу за раз и пробуйте каждый метод, пока не найдете тот, который работает!
# 2: задействовать множество шагов
Помните: чем больше шагов вам нужно предпринять, тем легче где-то на ходу напортачить!
Мы должны решить эту проблему поэтапно (делая несколько средних значений), чтобы разблокировать остальные ответы в эффекте домино.Это может сбивать с толку, особенно если вы в стрессе или у вас не хватает времени.
Секрет успеха: Не торопитесь, делайте шаг за шагом и перепроверяйте свою работу, чтобы не ошибиться!
# 3: Тестируйте концепции, с которыми вы мало знакомы
Например, многие учащиеся менее знакомы с функциями, чем с дробями и процентами, поэтому большинство функциональных вопросов считаются задачами «высокой сложности».
Если вы не разбираетесь в функциях, это может быть сложной проблемой.
Секрет успеха: Просмотрите математические концепции, с которыми вы не так хорошо знакомы, например, функции. Мы предлагаем использовать наши отличные бесплатные руководства по тестированию SAT Math.
# 4: написаны необычно или запутанно
Может быть сложно точно определить, какие вопросы задает , не говоря уже о том, как их решить. Это особенно верно, когда вопрос находится в конце раздела, а у вас не хватает времени.
Поскольку в этом вопросе содержится так много информации без диаграммы, может быть трудно разобраться в этом за ограниченное время.
Секрет успеха: Не торопитесь, проанализируйте, что от вас просят, и нарисуйте диаграмму, если это вам поможет.
# 5: Используйте много разных переменных
При таком большом количестве различных переменных очень легко запутаться.
Секрет успеха: Не торопитесь, проанализируйте, что от вас просят, и подумайте, является ли включение цифр хорошей стратегией для решения проблемы (это не относится к вопросу выше, но может быть ко многим другим. SAT переменные вопросы).
На вынос
SAT — это марафон, и чем лучше вы к нему подготовитесь, тем лучше вы будете себя чувствовать в день теста. Знание того, как отвечать на самые сложные вопросы, которые может бросить вам тест, сделает сдачу настоящего SAT намного менее сложной задачей.
Если вы считаете, что эти вопросы были легкими, не стоит недооценивать влияние адреналина и усталости на вашу способность решать проблемы. Продолжая учиться, всегда придерживайтесь надлежащих рекомендаций по времени и старайтесь проходить полные тесты, когда это возможно. Это лучший способ воссоздать реальную среду тестирования, чтобы вы могли подготовиться к реальной сделке.
Если вы считаете, что эти вопросы были сложными, обязательно укрепит свои математические знания, ознакомившись с нашими индивидуальными руководствами по математическим темам для SAT. Здесь вы увидите более подробные объяснения рассматриваемых тем, а также более подробную разбивку ответов.
Что дальше?
Почувствовали, что эти вопросы оказались сложнее, чем вы ожидали? Взгляните на все темы, затронутые в разделе SAT по математике, а затем отметьте, какие разделы были для вас особенно трудными.Затем взгляните на наши индивидуальные руководства по математике, которые помогут вам укрепить любую из этих слабых сторон.
Не хватает времени на сдачу экзамена по математике? Наш гид поможет вам выиграть время и увеличить свой счет.
Хотите набрать наивысший балл? Ознакомьтесь с нашим руководством о том, как набрать 800 баллов по математике в разделе SAT, написанном отличным игроком.
Хотите улучшить свой результат SAT на 160 баллов?
Посетите наши лучшие в своем классе онлайн-классы подготовки к SAT.Мы гарантируем возврат ваших денег , если вы не улучшите свой SAT на 160 или более баллов.
Наши классы полностью онлайн, и их ведут эксперты SAT. Если вам понравилась эта статья, вам понравятся наши классы. Наряду с занятиями под руководством экспертов вы получите индивидуальное домашнее задание с тысячами практических задач, организованных по индивидуальным навыкам, чтобы вы учились наиболее эффективно. Мы также дадим вам пошаговую индивидуальную программу, которой вы будете следовать, чтобы вы никогда не запутались, что изучать дальше.