9 простых задач на математику

Ссыл­ку на эту ста­тью може­те исполь­зо­вать, что­бы про­ве­рить базо­вые мате­ма­ти­че­ские навы­ки любо­го чело­ве­ка. Кида­е­те ему ссыл­ку и про­си­те при вас (не читая реше­ния) поре­шать какие угод­но задач­ки. Все эти задач­ки уже у нас были в раз­ное вре­мя в этом году. Поэто­му если вы наш хард­кор­ный чита­тель с само­го мар­та, то може­те спо­кой­но меди­ти­ро­вать сле­ду­ю­щие пять минут, это кайф.

Таракан на стене

В ваш подъ­езд дву­мя эта­жа­ми ниже въе­ха­ли новые жиль­цы, кото­рые при­вез­ли с собой тара­ка­нов, но не при­вез­ли еды. Насе­ко­мые в поис­ках еды ста­ли полз­ти вверх по вен­ти­ля­ци­он­ной шах­те и ско­ро добе­рут­ся до вашей квар­ти­ры. Но караб­кать­ся вверх им неудоб­но: за час они под­ни­ма­ют­ся на 1 м, но сра­зу после это­го теря­ют рав­но­ве­сие и ска­ты­ва­ют­ся на ⅔ м вниз.

Вопрос: сколь­ко часов у вас есть на покуп­ку лову­шек для тара­ка­нов, если рас­сто­я­ние от вас до сосе­дей по вен­ти­ля­ци­он­ной шах­те — 7 м?

За один пол­ный час тара­кан про­пол­за­ет ⅓ м: под­ни­ма­ет­ся на метр и опус­ка­ет­ся на ⅔:

1 — ⅔ = ⅓ м — про­пол­за­ет тара­кан за час.

С дру­гой сто­ро­ны, послед­ний метр тара­кан про­пол­зёт тоже за 1 час: он добе­рёт­ся до вер­ха за 60 минут, но ска­ты­вать­ся вниз ему уже не надо, пото­му что он достиг ров­ной поверх­но­сти. Зна­чит, нуж­но узнать, сколь­ко вре­ме­ни ему пона­до­бит­ся на остав­ши­е­ся 6 м:

7 м до вас — 1 м, кото­рый он про­пол­зёт за один заход = 6 м, кото­рые тара­кан будет мед­лен­но полз­ти и скатываться.

Что­бы узнать остав­ше­е­ся вре­мя, раз­де­лим рас­сто­я­ние на скорость:

6 м / ⅓ м в час = 18 часов.

Полу­ча­ет­ся, что тара­кан про­пол­зёт 6 м за 18 часов, а остав­ший­ся метр пре­одо­ле­ет за час, пото­му что ска­ты­вать­ся уже не при­дёт­ся. Полу­ча­ем общее время:

18 + 1 = 19 часов.

Зна­чит, у вас есть 19 часов на то, что­бы купить ловуш­ки и гель от тара­ка­нов. Логика!

Долгий перелёт

Пред­ставь­те, что вам нуж­но пару раз по рабо­те сле­тать из Моск­вы во Вла­ди­во­сток и вер­нуть­ся назад. Пер­вый раз вы лети­те туда и обрат­но при пол­ном шти­ле. Во вто­рой раз при точ­но таком же пере­лё­те в оба кон­ца посто­ян­но дует запад­ный ветер оди­на­ко­вой силы: туда попут­ный, а обрат­но — лобо­вой. Как изме­нит­ся общее вре­мя полё­та во вто­ром слу­чае: умень­шит­ся, уве­ли­чит­ся или оста­нет­ся таким же, как в пер­вом случае?

Самая пер­вая реак­ция на такую зада­чу — ска­зать, что вре­мя не изме­нит­ся. Всё кажет­ся логич­ным: когда летишь туда, ветер чуть уско­ря­ет само­лёт, а когда обрат­но — точ­но так же замед­ля­ет. Но это вер­но толь­ко наполовину.

В рам­ках зада­чи при­мем ско­рость само­лё­та за 800 кило­мет­ров в час. А ветер пусть дует со ско­ро­стью 100 кило­мет­ров в час. Мы зна­ем, что в реаль­ных усло­ви­ях всё намно­го слож­нее и ско­ро­сти нель­зя скла­ды­вать напря­мую, но для упро­ще­ния допу­стим, что это воз­мож­но. Рас­сто­я­ние от Моск­вы до Вла­ди­во­сто­ка по воз­ду­ху — 6 400 километров.

Первая командировка — без ветра

Если вет­ра нет, то у нас есть толь­ко ско­рость само­лё­та, кото­рая не меня­ет­ся в обо­их слу­ча­ях. Рас­сто­я­ние тоже оди­на­ко­вое, зна­чит вре­мя полё­та будет неиз­мен­ным в путе­ше­ствии туда и обрат­но. Най­дём его:

6 400 / 800 = 8 часов.

Это зна­чит, что в без­вет­рен­ную пого­ду наш само­лёт будет лететь из Моск­вы во Вла­ди­во­сток 8 часов, и столь­ко же лететь обрат­но. В сум­ме — 16 часов.

Вторая командировка — дует постоянный ветер

Когда летишь во Вла­ди­во­сток и дует попут­ный ветер, само­лёт и в самом деле летит быст­рее: ско­рость послед­не­го скла­ды­ва­ет­ся со ско­ро­стью ветра.

800 + 100 = 900 (км/ч).

Тогда само­лёт наше рас­сто­я­ние прой­дёт за 7 часов 7 минут:

6 400 / 900 = 7,11 часа.

Когда летишь обрат­но и дует встреч­ный ветер, то ско­рость само­лё­та падает:

800 — 100 = 700 (км/ч).

И путь обрат­но он с этой ско­ро­стью про­де­ла­ет уже за 9 часов 8 минут:

6 400 / 700 = 9,14 часа.

Полу­ча­ет­ся, что общее вре­мя туда и обрат­но при таком вет­ре будет равно:

7 часов 7 минут + 9 часов 8 минут = 16 часов 15 минут.

Посто­ян­ный ветер уве­ли­чи­ва­ет общее вре­мя полё­та, и чем силь­нее ветер — тем боль­ше вре­ме­ни зай­мёт полёт.

Если ветер будет дуть в 3 раза силь­нее — 300 кило­мет­ров в час, то до Вла­ди­во­сто­ка само­лёт доле­тит за 5 часов 48 минут, а обрат­но ему потре­бу­ет­ся уже 12 часов 48 минут, что в сум­ме даст 18 часов 36 минут.

Но почему?

Пото­му что математика:

6 400 / 800 + 6 400 / 800 = 16.

6 400 / 900 + 6 400 / 700 = 16,25.

Полторы белки

Пол­то­ры бел­ки за пол­то­ры мину­ты съе­да­ют пол­то­ра оре­ха. Сколь­ко оре­хов съе­дят 9 белок за 9 минут?

Пер­вое, что хочет­ся сра­зу отве­тить — 9 оре­хов. Но это было бы слиш­ком просто.

Самое безум­ное в этой зада­че — пол­то­ры бел­ки. Давай­те от них изба­вим­ся и будем даль­ше рабо­тать уже с целы­ми животными.

Даль­ше в реше­нии будем исхо­дить из того, что бел­ки всё едят одно­вре­мен­но друг с дру­гом, неза­ви­си­мо от их коли­че­ства. В обыч­ной жиз­ни так и про­ис­хо­дит, и мы тоже будем при­дер­жи­вать­ся того же.

Узна­ем, на что спо­соб­на одна бел­ка за пол­то­ры минуты:

1,5 бел­ки за 1,5 мину­ты съе­да­ют 1,5 оре­ха → 1 бел­ка за те же 1,5 мину­ты съест 1 орех.

Теперь выяс­ним, сколь­ко оре­хов она съест за 9 минут. Для это­го нам нуж­но пол­то­ры мину­ты умно­жить на 6, а зна­чит и коли­че­ство съе­ден­но­го тоже нуж­но умно­жить на 6:

1 бел­ка за (1,5 * 6) минут съест (1 * 6) орехов

↓

1 бел­ка за 9 минут съест 6 орехов. 

Оста­лось запу­стить 9 белок одно­вре­мен­но и посчи­тать, сколь­ко оре­хов они оси­лят за те же 9 минут:

(1 * 9) белок за 9 минут съе­дят (6 * 9) орехов

↓

9 белок за 9 минут съе­дят 54 ореха!

Поче­му? Пото­му что математика!

Рекрутер и бесконечный офис

В одной круп­ной ком­па­нии появил­ся безум­ный рекру­тер, кото­рый нани­мал на рабо­ту толь­ко джу­ни­о­ров. У него был хит­рый план — запол­нить ими весь офис и полу­чить за это пре­мию от началь­ства. Что­бы это сде­лать, он каж­дый день нани­мал столь­ко же людей, сколь­ко уже рабо­та­ет в офи­се. Гру­бо гово­ря, удва­и­вал чис­ло джуниоров.

Когда он толь­ко начи­нал, в ста­ром офи­се рабо­тал толь­ко один джу­ни­ор, но 30 дней спу­стя все рабо­чие места в офи­се были пол­но­стью заня­ты напу­ган­ны­ми, ниче­го не пони­ма­ю­щи­ми джуниорами.

В новом, точ­но таком же по раз­ме­ру офи­се с пер­во­го дня рабо­та­ет в 2 раза боль­ше людей, чем на стар­те в ста­ром — целых 2 джу­ни­о­ра вме­сто одно­го. Сколь­ко вре­ме­ни уйдёт у безум­но­го рекру­те­ра на то, что­бы запол­нить новый офис и полу­чить свою квар­таль­ную премию?

Каза­лось бы, что если на стар­те в 2 раза боль­ше людей, то и новый офис запол­нит­ся быст­рее в 2 раза — за 15 дней вме­сто 30, но это не так.

Смысл в том, что, по усло­вию зада­чи, рекру­тер удва­и­ва­ет чис­ло людей каж­дый день. Это зна­чит, что в новом офи­се это удво­е­ние про­изо­шло фак­ти­че­ски на день рань­ше, чем в ста­ром, а зна­чит, и джу­ни­о­ры его пол­но­стью зай­мут толь­ко на день рань­ше — за 29 дней вме­сто 30.

Если вы люби­те точ­ные мате­ма­ти­че­ские реше­ния вме­сто рас­суж­де­ний — вот реше­ние. Сна­ча­ла посчи­та­ем, сколь­ко людей все­го вме­ща­ет каж­дый офис. Для это­го запи­шем каж­дые удво­е­ния начи­ная с одно­го джуниора:

день 1: 1 джуниор

день 2: 2 джуниора

день 3: 4 джуниора

день 4: 8 джуниоров . . .

Если выве­сти общую фор­му­лу, получим:

день 1: 2 в нуле­вой сте­пе­ни джуниоров

день 2: 2¹ джуниоров

день 3: 2² джуниоров

день 4: 2³ джуниоров

. . .

день 30: 2 в 29-й сте­пе­ни джуниоров

Полу­ча­ет­ся, что наш офис вме­ща­ет 2 в 29-й сте­пе­ни джу­ни­о­ров. Если удво­е­ние про­ис­хо­дит каж­дый день и на стар­те у нас 2 джу­ни­о­ра, то для ново­го офи­са полу­чим такое урав­не­ние, где х — коли­че­ство дней:

2 в 29-й сте­пе­ни = 2 в сте­пе­ни х

Оче­вид­но, что х = 29, а, зна­чит, на запол­не­ние все­го ново­го офи­са пона­до­бит­ся 29 дней, как мы и гово­ри­ли в начале.

Задача про бармена и гурмана

У бар­ме­на экс­клю­зив­но­го лофт-хипста-бара на ули­це Рубин­штей­на есть толь­ко два оди­на­ко­вых ста­ка­на по 150 мл. Один ста­кан — пол­ный, и в нём про­стая вода, а в дру­гом 40-градусная вод­ка, и он напо­ло­ви­ну пуст. Утро-с.

В бар зашёл посе­ти­тель и попро­сил сде­лать ему 15-градусный рас­твор спир­та. Наход­чи­вый бар­мен не рас­те­рял­ся и смог при­го­то­вить его, исполь­зуя толь­ко эти два ста­ка­на. Как он это сде­лал и какой объ­ём полу­чил­ся в итоге?

Вряд ли эта зада­ча когда-нибудь попа­дёт­ся на собе­се­до­ва­нии в ИТ-компанию, но она может при­го­дить­ся в реаль­ной жиз­ни — напри­мер, завтра.

Это вари­ант клас­си­че­ской зада­чи на пере­ли­ва­ния, толь­ко надо счи­тать ещё кре­пость рас­тво­ра и его объём.

Берём полу­пу­стой ста­кан с вод­кой и доли­ва­ем в него воды до пол­но­го. Полу­ча­ем целый ста­кан 20-градусного спир­та ((40 + 0) / 2 = 20). Во вто­ром ста­кане оста­лась поло­ви­на чистой воды, она нам сей­час пригодится.

В ста­кан с остав­шей­ся водой нали­ва­ем наш рас­твор спир­та — сно­ва до кра­ёв. В нём теперь 10 гра­ду­сов ((20 + 0) / 2 = 10). В дру­гом оста­лось пол­ста­ка­на 20-градусного спирта.

Финаль­ным эта­пом бар­мен берёт и раз­бав­ля­ет эти пол­ста­ка­на 10-градусным рас­тво­ром из пол­но­го ста­ка­на так, что­бы жид­кость сно­ва дошла до края. В ито­ге полу­ча­ет­ся 15-градусный рас­твор ((20 + 10) / 2 = 15) объ­ё­мом в 150 мл!

Популярная школьная задача

Вот вам очень про­стой мате­ма­ти­че­ский пример:

8 / 2(2 + 2)

Вы уди­ви­тесь, но боль­шин­ство людей не смо­гут пра­виль­но это посчи­тать. Посчи­тай­те сами и потом смот­ри­те пра­виль­ный ответ:

В интер­не­те мно­го спо­ров про такие при­ме­ры, поэто­му мы реши­ли разо­брать­ся, какие ошиб­ки совер­ша­ют чаще все­го и поче­му мно­гие счи­та­ют непра­виль­но. Для реше­ния нам пона­до­бят­ся три мате­ма­ти­че­ских правила:

1. То, что в скоб­ках, выпол­ня­ет­ся в первую оче­редь. Если ско­бок несколь­ко, они выпол­ня­ют­ся сле­ва направо.
2. При отсут­ствии ско­бок мате­ма­ти­че­ские дей­ствия выпол­ня­ют­ся сле­ва напра­во, сна­ча­ла умно­же­ние и деле­ние, потом — сло­же­ние и вычитание.
3. Меж­ду мно­жи­те­лем и скоб­кой (или дву­мя скоб­ка­ми) может опус­кать­ся знак умножения.

Раз­бе­рём подроб­нее, что это зна­чит в нашем случае.

1. То, что в скоб­ках, выпол­ня­ет­ся в первую оче­редь. То есть в нашем при­ме­ре, вне зави­си­мо­сти от чего угод­но, сна­ча­ла схлоп­нут­ся скобки:

8 / 2(2 + 2) → 8 / 2(4)

2. Меж­ду чис­лом и скоб­кой мож­но опу­стить знак умно­же­ния. У нас перед скоб­кой двой­ка, то есть мож­но сде­лать такую замену:

8 / 2(4) → 8 / 2 × 4

3. Мате­ма­ти­че­ские дей­ствия при отсут­ствии ско­бок выпол­ня­ют­ся сле­ва напра­во: как при чте­нии, сна­ча­ла умно­же­ние и деле­ние, потом — сло­же­ние и вычи­та­ние. Умно­же­ние и деле­ние име­ют оди­на­ко­вый при­о­ри­тет. Нет тако­го, что сна­ча­ла все­гда дела­ет­ся умно­же­ние, затем деле­ние, или наобо­рот. Со сло­же­ни­ем и вычи­та­ни­ем то же самое.

Неко­то­рые счи­та­ют, что раз мно­жи­те­ли были напи­са­ны близ­ко друг к дру­гу (когда там сто­я­ли скоб­ки), то оно выпол­ня­ет­ся в первую оче­редь, ссы­ла­ясь при этом на раз­ные мето­ди­че­ские посо­бия. На самом деле это не так, и нет тако­го скры­то­го умно­же­ния, кото­рое име­ет при­о­ри­тет над дру­гим умно­же­ни­ем или деле­ни­ем. Это такое же умно­же­ние, как и осталь­ные, и оно дела­ет­ся в общем поряд­ке — как и при­ня­то во всём мате­ма­ти­че­ском мире.

Полу­ча­ет­ся, что нам сна­ча­ла надо сло­жить 2 + 2 в скоб­ках, потом 8 раз­де­лить на 2, и полу­чен­ный резуль­тат умно­жить на то, что в скобках:

8 / 2 × (2 + 2) = 8 / 2 × 4 = 4 × 4 = 16

Кста­ти, если на айфоне запи­сать это выра­же­ние точ­но так же, как в усло­вии, теле­фон тоже даст пра­виль­ный ответ.

А инже­нер­ный каль­ку­ля­тор на Windows 10 так запи­сы­вать не уме­ет и про­пус­ка­ет первую двойку-множитель. Попро­буй­те сами 🙂

Тут в тред вры­ва­ют­ся мате­ма­ти­ки и с воп­ля­ми «Шустеф!» пояс­ня­ют криком:

«В АЛГЕБРЕ ТОТ ЖЕ ПОРЯДОК ДЕЙСТВИЙ, ЧТО И В АРИФМЕТИКЕ, но есть исклю­че­ние: в алгеб­ре знак умно­же­ния свя­зы­ва­ет ком­по­нен­ты дей­ствия силь­нее, чем знак деле­ния, поэто­му знак умно­же­ния опус­ка­ет­ся. Напри­мер, a:b·c= a: (b·c)».

Этот текст из «Мето­ди­ки пре­по­да­ва­ния алгеб­ры», курс лек­ций, Шустеф М. Ф., 1967 год. (стр. 43)

Раз в спор­ном при­ме­ре знак умно­же­ния опу­щен, то спор­ный при­мер алгеб­ра­и­че­ский, а зна­чит, сна­ча­ла умно­жа­ем 2 на 4, а потом 8 делим на 8!

Та самая цитата. 

А вот как на это отве­ча­ют те, кто дей­стви­тель­но в теме и не ленит­ся пол­но­стью посмот­реть первоисточник:

«Для устра­не­ния недо­ра­зу­ме­ний В. Л. Гон­ча­ров ука­зы­ва­ет, что пред­по­чти­тель­нее поль­зо­вать­ся в каче­стве зна­ка деле­ния чер­той и ста­вить скоб­ки [87]. П. С. Алек­сан­дров и А. Н. Кол­мо­го­ров [59] пред­ло­жи­ли изме­нить поря­док дей­ствий в ариф­ме­ти­ке и решать, напри­мер, так: 80:20×2=80:40=2 вме­сто обыч­но­го: 80:20×2=4×2=8. Одна­ко это пред­ло­же­ние не нашло поддержки».

Если апел­ли­ро­вать к Фри­де Мак­совне Шустеф, то выхо­дит, что:

1. В. Л. Гон­ча­ров гово­рит так: «Ребя­та, исполь­зуй­те чер­ту и ставь­те скоб­ки, что­бы ни у кого не было вопро­сов про приоритет».
2. Если у нас всё же бит­ва ариф­ме­ти­ки и алгеб­ры, то, по П. С. Алек­сан­дро­ву и А. Н. Кол­мо­го­ро­ву, при­мер нуж­но решать сле­ва напра­во, как обыч­но. Они, конеч­но, пред­ло­жи­ли решать такое по-другому, но науч­ное сооб­ще­ство их не поддержало.

Самое инте­рес­ное, что даль­ше в при­ме­рах Фри­да Мак­сов­на поль­зу­ет­ся как раз пра­виль­ным поряд­ком дей­ствий, объ­яс­няя реше­ние. Даже там, где есть умно­же­ние на скоб­ку с опу­щен­ным зна­ком, она выпол­ня­ет дей­ствия сле­ва направо.

Пол­ная цита­та из Шустеф, кото­рая, ока­зы­ва­ет­ся, име­ет в виду совсем не то. 

Что не так с отчётом?

Один тре­бо­ва­тель­ный HR-директор дал зада­ние мене­дже­ру: про­ве­сти опрос сре­ди веб-программистов и выяс­нить, на каком язы­ке они пишут чаще все­го — на JavaScript или на PHP. Через неде­лю мене­джер при­нёс такой отчёт:

• коли­че­ство опро­шен­ных — 300;
• уме­ет писать на JavaScript — 234;
• уме­ет писать на PHP — 213;
• уме­ют писать на обо­их язы­ках — 144;
• вооб­ще не пишут код — 0.

HR-директор посмот­рел на отчёт и ска­зал мене­дже­ру «У тебя ошиб­ка в отчё­те. Дан­ные фаль­си­фи­ци­ро­ва­ны. Ты уво­лен в свя­зи с утра­той дове­рия». За какую ошиб­ку уво­ли­ли менеджера?

Что­бы най­ти ошиб­ку, давай­те про­ве­рим циф­ры из отчё­та и срав­ним их с исход­ны­ми. Для нача­ла выяс­ним, кто уме­ет писать ТОЛЬКО на JavaScript. Что­бы это сде­лать, возь­мём тех, кто уме­ет на нём писать, и вычтем отту­да тех, кто пишет на обо­их языках:

234 − 144 = 90 (чистых JavaScript-программистов)

Точ­но так же посчи­та­ем тех, кто пишет ТОЛЬКО на PHP: возь­мём общее коли­че­ство PHP-программистов и вычтем из них тех, кто уме­ет писать на обо­их языках.

213 − 144 = 69 (чистых PHP-программистов)

А теперь сло­жим три груп­пы: тех, кто пишет толь­ко на JavaScript (90 чело­век), кто пишет толь­ко на PHP (69 чело­век) и тех, кто пишет на двух язы­ках сра­зу (144 человека).

90 + 69 + 144 = 303

Полу­чи­лось 303 чело­ве­ка, а в опро­се заяв­ле­но 300.

Понят­но, что рас­хож­де­ние в 3 чело­ве­ка не вли­я­ет на общую ста­ти­сти­ку, но для тре­бо­ва­тель­но­го HR-директора это­го было достаточно.

Программисты и часы

— Доб­рое утро. Кото­рый сей­час час?

— Сло­жи 1/4 вре­ме­ни, про­шед­ше­го с полу­но­чи до сей­час, с 1/2 от сей­час до полуночи.

— Спа­си­бо, я понял.

— Не сомневался.

Вопрос: кото­рый час?

На самом деле это очень про­стая зада­ча, если пом­нить, что в сут­ках 24 часа.

Пусть от полу­но­чи до сей­час про­шло Х вре­ме­ни. Тогда от сей­час до полу­но­чи оста­лось 24 – Х времени.

С дру­гой сто­ро­ны, если мы сло­жим чет­верть вре­ме­ни от полу­но­чи до сей­час и поло­ви­ну вре­ме­ни от сей­час до полу­но­чи, то как раз полу­чим Х — вре­мя, кото­рое сейчас:

(¼ × Х) + (½ × (24 − Х)) = Х

Рас­кры­ва­ем скобки:

Х/4 + 12 − Х/2 = Х

Пере­не­сём все Х в одну сто­ро­ну, а 12 — в другую:

Х − Х/4 + Х/2 = 12

Х + Х/4 = 12

5Х/4 = 12

5Х = 48

Х = 9,6

Полу­ча­ет­ся, что с полу­но­чи про­шло 9,6 часа, или 9 часов 36 минут.

Ответ: на часах 9:36.

Необычный автосалон

Один авто­са­лон купил подер­жан­ную маши­ну за 450 тысяч и через неде­лю про­дал её за 525 тысяч. Дирек­тор сало­на решил, что такая модель поль­зу­ет­ся спро­сом, так что он дал мене­дже­рам зада­ние — най­ти ещё одну подоб­ную маши­ну. Они нашли такую же за 550 тысяч, купи­ли её, но дирек­тор повёл себя стран­но. Он сно­ва поста­вил на неё цен­ник в 525 тысяч, и маши­на ушла за два дня. Помо­ги­те бух­гал­те­рии понять, зара­бо­тал в ито­ге салон или поте­рял часть денег?

У этой зада­чи три реше­ния: инту­и­тив­ное, поша­го­вое и бух­гал­тер­ское. Срав­ни­те подходы.

Мно­гие реша­ют эту зада­чу так:

1. Было 450 тысяч.
2. Купи­ли маши­ну и про­да­ли за 525 тысяч.
3. После про­да­жи зара­бо­та­ли 75.
4. Взя­ли в долг 25.
5. Купи­ли вто­рую маши­ну и про­да­ли сно­ва за 525.
6. Изна­чаль­но было 450, ста­ло 525, зна­чит, при­быль сно­ва соста­ви­ла 75 тысяч, а общая — 150 тысяч.
7. Отда­ём 25 дол­га, полу­ча­ем при­быль 125 тысяч.

Но это непра­виль­но. Пра­виль­но — ниже.

Давай­те раз­бе­рём эту сдел­ку по шагам, что­бы понять, сколь­ко денег было у сало­на на каж­дом этапе.

В самом нача­ле у них было 450 тысяч — запом­ним это. Эти день­ги пошли на покуп­ку пер­вой маши­ны, поэто­му на вто­ром шаге у сало­на ста­ло 0 руб­лей, но появил­ся автомобиль.

На тре­тьем шаге его про­да­ли за 525 тысяч, кото­рые и ушли в кас­су. Пока при­быль сало­на рав­на: 525 − 450 = 75 тысяч.

Вто­рая маши­на сто­и­ла на 25 тысяч доро­же, чем у них было — 550, поэто­му салон взял в долг 25 тысяч и купил её (шаг номер четы­ре). Здесь при­быль сало­на исчез­ла и появил­ся убы­ток в 25 тысяч.

Пятым шагом они про­да­ли вто­рую маши­ну за 525 тысяч, поло­жи­ли день­ги в кас­су и ста­ли раз­би­рать­ся с дол­га­ми. После того как они вер­ну­ли сум­му, кото­рую были долж­ны, у сало­на оста­лось 500 тысяч, а начи­на­ли они с сум­мы в 450 тысяч. Полу­ча­ет­ся, что они зара­бо­та­ли 500 − 450 = 50 тысяч.

Бух­гал­те­ры рабо­та­ют так: счи­та­ют все дохо­ды и рас­хо­ды, а потом нахо­дят саль­до — раз­ни­цу меж­ду ними. Сде­ла­ем то же самое.

Дохо­ды: 525 с пер­вой про­да­жи и столь­ко же со вто­рой. Полу­ча­ет­ся 525 + 525 = 1050 тысяч.

Рас­хо­ды: 450 за первую маши­ну и 550 за вто­рую. Полу­ча­ет­ся 450 + 550 = 1000 тысяч.

Саль­до: дохо­ды минус рас­хо­ды. Это 1050 − 1000 = 50 тысяч.

Задачи по математике 3 класс.



Задача 1.

Для приготовления обеда повару понадобилось 24 кг картошки, свеклы в 3 раза меньше, а лука в 2 раза меньше чем свеклы. Сколько килограмм лука потратил повар?

Решение:
• 1) 24 : 3 = 8
• 2) 8 : 2 = 4
• Выражение: 24 : 8 : 2 = 4
• Ответ: 4 кг.

Задача 2

Оля вырезала из бумаги 5 квадратов, 7 треугольников, а кругов в 2 раза больше чем треугольников. Сколько всего Оля вырезала фигур?

Решение:
• 1) 7 * 2 = 14
• 2) 5 + 7 + 14 = 26
• Ответ: 26 фигур.

Задача 3

Первое число 12, второе в 3 раза меньше, а третье в 4 раза больше чем второе. Вычисли сумму этих трех чисел.

Решение:
• 1) 12 : 3 = 4 (второе число)
• 2) 4 * 4 = 16 (третье число)
• 3) 12 + 4 = 16 (сумма первого и второго чисел)
• 4) 16 + 16 = 32 (сумма трех чисел)
• Выражение: 12 : 3 * 4 + 4 + 12 = 32
• Ответ: 32



Задача 4

В школьную столовую привезли 6 кг, лимонов, яблок на 24 кг больше чем лимонов, а груш на 12 кг меньше чем яблок. Сколько килограмм груш привезли в школьную столовую?

Решение:
• 1) 6 + 24 = 30 (в столовую привезли яблок)
• 2) 30 — 12 = 18 (привезли груш)
• Выражение: (6 + 24) — 12 = 18
• Ответ: 18 кг груш привезли в столовую.

Задача 5

Для приготовления обеда повару понадобилось 24 кг картошки, свеклы в 3 раза меньше, а лука в 2 раза меньше чем свеклы. Сколько килограмм лука потратил повар?

Решение:
• 1) 24 : 3 = 8 (понадобилось свеклы)
• 2) 8 : 2 = 4 (понадобилось лука)
• Выражение: 24 : 3 : 2 = 4
• Ответ: 4 кг лука понадобилось повару.

Задача 6

Для приготовления крахмала требуется 6 кг картошки. Сколько крахмала получится из 36 кг картофеля?

Решение:
• 1) 36 : 6 = 6
• Ответ: 6 кг крахмала.

Задача 7

В поход пошли 24 мальчика, а девочек в 3 раза меньше, чем мальчиков. Сколько всего детей пошло в поход?

Решение:
• 1) 24 : 3 = 8 (девочек пошло в поход)
• 2) 24 + 8 = 32
• Выражение: 24 : 3 + 8 = 32
• Ответ: 32.



Задача 8

Ящик с виноградом и три одинаковых ящика с яблоками весят 45 кг. Сколько весит один ящик с яблоками, если ящик с виноградом весит 15 кг.

Решение:
• 1) 45 — 15 = 30 (весят 3 ящика с яблоками)
• 2) 30 : 3 = 10 (весит один ящик с яблоками)
• Выражение: (45 — 10) : 3 = 10
• Ответ: 10 кг.

Задача 9

На детской площадке катались дети на двух и трехколесных велосипедах. Сколько и каких велосипедов было на площадке, если всего было 21 колесо и 8 велосипедов?

Решение:
• 1) 8 * 2 = 16 (было бы колес, если бы все велосипеды были двухколесными)
• 2) 21 — 16 = 5
• 2) 8 — 5 = 3
• Ответ: на площадке было 5 трехколесных велосипедов и 3 двухколесных.

Задача 10

В парке выкорчевали 6 орешников, а вместо них посадили 18 орешников. Во сколько раз больше посадили орешников, чем выкорчевали?

Решение:
• 1) 18 : 6 = 3
• Ответ: в 3 раза больше орешников посадили.

Задача 11

Отцу 36 лет, а сыну 9. Во сколько раз отец старше сына и на сколько лет сын моложе отца?

Решение:
• 1) 36 : 9 = 4
• 2) 36 — 9 = 27
• Ответ: в 4 раза сын моложе отца; на 27 лет отец старше сына.

Задача 12

Автобус за 8 часов работы расходует 48 литров топлива. Сколько литров топлива израсходует автобус за 6 часов работы?

Решение:
• 1) 48 : 8 = 6 (литров топлива автобус расходует за 1 час)
• 2) 6 * 6 = 36 (литров автобус расходует за 6 часов)
• Выражение: 48 : 8 * 6 = 36
• Ответ: 36 литров.

Задача 13

В столовую привезли абрикосы. Из них на компот взяли 3 килограмма, а на варенье в 3 раза больше. Сколько всего абрикос привезли в столовую?

Решение:
• 1) 3 * 3 = 9 (взяли абрикос на варенье)
• 2) 3 + 9 = 12 (всего в столовую привезли абрикос)
• Выражение: 3 * 3 + 3 = 9
• Ответ: 9 кг абрикос.



Урок 50. решение задач в 2 действия — Математика — 1 класс

Математика

1 класс

Урок №50

Решение задач в 2 действия

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

Глоссарий по теме:

Задача – это математический рассказ, в котором есть условие и вопрос. Чтобы ответить на вопрос задачи, ее нужно решить.

Части задачи – условие, вопрос, решение, ответ.

Список литературы:

1. Моро М. И., Бантова М. А., Бельтюкова Г. В. и др.Математика. 1 класс. Учебник для общеобразовательных организаций. В 2 ч. Ч.1/ –6-е изд. – М.: Просвещение, 2015. – с.62, 63

2. Волкова С. И. Математика. Проверочные работы. 1 кл: учебное пособие для общеобразовательных организаций. М.: Просвещение, 2014.- с.50, №2, с.51, №2

3. Волкова С. И. Математика. Рабочая тетрадь. 1 кл. 2 часть: учебное пособие для общеобразовательных организаций. М.: Просвещение, 2016.-с.33

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Решим задачу.

В одной коробке 6 карандашей, во второй на 2 карандаша меньше. Сколько карандашей в двух коробках?

О чём говорится в задаче? Правильно, о коробках и карандашах.

Что нам известно в задаче? Что в одной коробке было 6 карандашей.

Что сказано о количестве карандашей во второй коробке? Их на 2 меньше, чем в первой коробке.

Что нужно узнать в задаче? Сколько карандашей в двух коробках? Сразу можно ответить на вопрос задачи? Сразу ответить на вопрос задачи нельзя, потому что не сказано, сколько карандашей во второй коробке. Как это можно узнать? От шести отнять два. Теперь можно узнать, сколько всего карандашей в двух коробках? Да.

Составим план решения задачи:

1) Сначала надо узнать, сколько карандашей во второй коробке.

2) Потом можно узнать, сколько всего карандашей в двух коробках.

Решение:

1) 6 – 2 = 4 (к.)

2) 6 + 4 = 10 (к.)

Ответ: всего 10 карандашей.

Рассуждая так же, решим следующую задачу.

На верхней полке 6 книг, а на нижней – на 4 книги больше. Сколько книг на двух полках?

О чём говорится в задаче? О полках и книгах.

Сколько книг на верхней полке? Шесть.

Сколько книг на второй полке? Неизвестно, но сказано, что на 4 книги больше. Т.е. их столько же, сколько на верхней полке, и ещё четыре.

Что нужно узнать в задаче? Сколько книг на двух полках.

Можно ли сразу узнать, сколько книг на двух полках? Нет.

Почему? Мы не знаем, сколько книг на второй полке.

Как найти, сколько книг на второй полке?

Нужно к шести прибавить четыре,получится десять книг.

Теперь можем узнать, сколько книг на двух полках? Да.

Составим план решения задачи:

1) Сначала надо узнать, сколько книг на нижней полке.

2) Потом можно узнать, сколько книг на двух полках.

Решение:

1) 6 + 4 = 10 (кн.)

2) 6 + 10 = 16 (кн.)

Ответ: 16 книг на двух полках.

Тренировочные задания.

1. Выберите задачу, которая решается два действия

Варианты ответов:

1. На одной полке стоят 4 книги, на другой — на 3 книги больше. Сколько книг на второй полке?

2. На одной клумбе распустилось 6 тюльпанов, а на другой — на 3 тюльпана меньше. Сколько тюльпанов распустилось на двух клумбах?

3. На первой проволоке 5 шариков, на второй — на 4 шарика больше. Сколько шариков на второй проволоке?

Правильный ответ:

2.На одной клумбе распустилось 6 тюльпанов, а на другой — на 3 тюльпана меньше. Сколько тюльпанов распустилось на двух клумбах?

2. Решите задачу и выделите цветом правильное решение.

В одной вазе лежало 6 яблок, в другой на 3 яблока меньше. Сколько яблок в двух вазах?

Варианты ответов:

Первый вариант: 6 – 3 = 3 (яб.)

Второй вариант: 6 + 3 = 9 (яб.)

Третий вариант:

1) 6-3=3 (яб.)

2) 6+3=9 (яб.)

Вспомним, что эта задача решается в 2 действия, следовательно, верным будет третий вариант.

Правильный ответ:

1) 6-3=3 (яб.)

2) 6+3=9 (яб.)

Задачи на пропорции по математике — примеры с ответами

Понятие пропорции

Чтобы решать задачи на тему пропорции, вспомним главное определение.

Пропорция в математике — это равенство между отношениями двух или нескольких пар чисел или величин.

Вывод из главного свойства пропорции:

• Крайний член равен произведению средних, которые разделены на другой крайний. То есть для пропорции a/b = c/d:
• Средний член равен произведению крайних, которые разделены на другой средний. То есть для пропорции a/b = c/d:

Решить пропорцию — значит найти неизвестный член. Свойство пропорции — главный помощник в решении.

Запомним!

Равенство двух отношений называют пропорцией.

Рассмотрим легкие и сложные задачи, которые можно решить с помощью пропорции. 5, 6, 7, 8 класс — неважно, всем школьникам полезно проанализировать занимательные задачки.

Задачи на пропорции с решением и ответами

Свойства пропорции придумали не просто так! С их помощью можно найти любой из членов пропорции, если он неизвестен. Решим 10 задач на пропорцию.

Задание 1. Найти неизвестный член пропорции: x/2 = 3/1

Как решаем:

В этом примере неизвестны крайние члены, поэтому умножим средние члены и разделим полученный результат на известный крайний член:

x = (2 * 3)/1 = 6

Ответ: x = 6.

Задание 2. Найти неизвестный член: 1/3 = 5/y

Как решаем:

y = (3 * 5)/1 = 15

Ответ: y = 15.

Задача 3. Решить пропорцию: 30/x = 5/8

Как решаем:

x = (30 * 8)/5 = 48

Ответ: x = 48.

Задание 4. Решить: 7/5 = y/10

Как решаем:

y = (7 * 10)/5 = 14

Ответ: y = 14.

Задание 5. Известно, что 21x = 14y. Найти отношение x — к y

Как решаем:

• Сначала сократим обе части равенства на общий множитель 7: 21x/7 = 14y/7.

  Получим: 3x = 2y.

• Теперь разделим обе части на 3y, чтобы в левой части убрать множитель 3, а в правой части избавиться от y: 3x/3y = 2y/3y.
• После сокращения отношений получилось: x/y = 2/3.

Ответ: 2 к 3.

На следующем примере мы узнаем как составить пропорцию по задаче💡

Задание 6. Из 300 подписчиков в инстаграм 108 человек — поставили лайк под постом. Какой процент всех подписчиков составляют те, кому понравился пост и они поставили лайк?

Как решаем:

• Примем всех подписчиков за 100% и запишем условие задачи кратко:

  300 — 100%

  108 — ?%

• Составим пропорцию: 300/108 = 100/x.
• Найдем х: (108 * 100) : 300 = 36.

Ответ: 36% всех подписчиков поставили лайк под постом.

Задание 7. Подруга Гарри Поттера при варке оборотного зелья использовала водоросли и пиявки в отношении 5 к 2. Сколько нужно водорослей, если есть только 450 грамм пиявок?

Как решаем:

• Составим пропорцию: 5/2 = x/450.
• Найдем х: (5 * 450) : 2 = 1125.

Ответ: на 450 грамм пиявок нужно взять 1125 гр водорослей.

Задание 8. Известно, что арбуз состоит на 98% из воды. Сколько воды в 5 кг арбуза?

Как решаем:

Вес арбуза (5 кг) составляет 100%. Вода — 98% или х кг.

Составим пропорцию:

5 : 100 = х : 98

х = (5 * 98) : 100

х = 4,9

Ответ: в 5 кг арбуза содержится 4,9 кг воды.

Перейдем к примерам посложнее. Рассмотрим задачу на пропорции из учебника по алгебре за 8 класс.

Задание 9. Папин автомобиль проезжает от одного города до другого за 13 часов со скоростью 75 км/ч. Сколько времени ему понадобится, если он будет ехать со скоростью 52 км/ч?

Как рассуждаем:

Скорость и время связаны обратно пропорциональной зависимостью: чем больше скорость, тем меньше времени понадобится.

Обозначим:

• v1 = 75 км/ч
• v2 = 52 км/ч
• t1 = 13 ч
• t2 = х

Как решаем:

1. Составим пропорцию: v1/v2 = t2/t1.

   Соотношения равны, но перевернуты относительно друг друга.

2. Подставим известные значения: 75/52 = t2/13

   t2 = (75 * 13)/52 = 75/4 = 18 3/4 = 18 ч 45 мин

Ответ: 18 часов 45 минут.

Задание 10. 24 человека за 5 дней раскрутили канал в телеграм. За сколько дней выполнят ту же работу 30 человек, если будут работать с той же эффективностью?

Как рассуждаем:

1. В заполненном столбце стрелку ставим в направлении от большего числа к меньшему.

2. Чем больше людей, тем меньше времени нужно для выполнения определенной работы (раскрутки канала). Значит, это обратно пропорциональная зависимость.

3. Поэтому направим вторую стрелку в противоположную сторону. Обратная пропорция выглядит так:

Как решаем:

1. Пусть за х дней могут раскрутить канал 30 человек. Составляем пропорцию:

   30 : 24 = 5 : х

2. Чтобы найти неизвестный член пропорции, нужно произведение средних членов разделить на известный крайний член:

   х = 24 * 5 : 30

   х = 4

3. Значит, 30 человек раскрутят канал за 4 дня.

Ответ: за 4 дня.

Давайте практиковаться еще! Приходите на интерактивные уроки по математике в онлайн-школу Skysmart. Мы создали тысячи увлекательных заданий, чтобы учеба не вгоняла в тоску, а вдохновляла и приносила приятные оценки в дневник.

На бесплатном вводном уроке расскажем, как у нас все устроено и наметим план развития школьника.

Задачи для первого класса по математике

• Школьное образование

(20 голосов: 4.2 из 5)

Оправ­ляя ребенка в пер­вый класс, роди­тели все­гда меч­тают о том, что их чадо будет отлично учиться и по всем пред­ме­там полу­чать только выс­шие оценки. И если чте­нию научить малыша совсем не сложно, то пони­мать и решать мате­ма­ти­че­ские задачи детям не все­гда легко. Чтобы пер­во­класс­ник успе­вал по мате­ма­тике в школе, роди­тели либо нани­мают репе­ти­тора, что не все­гда финан­сово оправ­дано, либо пыта­ются зани­маться с детьми само­сто­я­тельно. В этом мате­ри­але мы рас­ска­жем, как под­тя­нуть пер­во­класс­ника по мате­ма­тике в домаш­них усло­виях, рас­ска­жем о раз­лич­ных типах задач и о мето­дах их решений.

Как учить ребенка математическому счету

Роди­тели пер­во­класс­ни­ков должны пом­нить о том, что в воз­расте 5–7 лет у детей еще плохо раз­вито абстракт­ное мыш­ле­ние. Вспом­ните сказку о Бура­тино, когда он счи­тал яблоки, кото­рые якобы забрал «Некто». Так и ребе­нок 5–7 лет еще не в состо­я­нии пред­ста­вить усло­вие задачи.

Лучше всего поль­зо­ваться нагляд­ными посо­би­ями, кото­рые ребе­нок смо­жет уви­деть, потро­гать. Это могут быть счет­ные палочки, кубики или кар­тинки, выре­зан­ные из кар­тона (напри­мер, набор кар­тон­ных ежи­ков, цве­точ­ков, листи­ков и про­чего). Выкла­ды­вайте перед ребен­ком все усло­вие задачи из нагляд­ных мате­ри­а­лов: было столько-то, доба­вили или отняли столько-то. Так ему будет проще пони­мать усло­вие задачи и легче нахо­дить ее решение.

Еще один важ­ный момент при обу­че­нии детей состоит в том, что ребе­нок дол­жен научиться отли­чать задачи друг от друга по типам. Для этого можно ори­ен­ти­ро­вать его на какие-то клю­че­вые слова. Напри­мер, если в задаче упо­ми­на­ются слова «доба­вили», «при­несли», «при­ле­тели», «при­бе­жали» и дру­гие, обо­зна­ча­ю­щие при­со­еди­не­ние, то это задача на сложение.

Пони­мая, к какому типу отно­сится та или иная задача, ребе­нок научится опре­де­лять нуж­ный алго­ритм реше­ния и успешно справ­ляться с заданием.

Задачи на сложение для первоклассников

Как уже гово­ри­лось, задачи на сло­же­ние имеют общий при­знак – при­со­еди­не­ние. Еще одним при­зна­ком задач на сло­же­ние есть сло­во­со­че­та­ние «сколько всего» в вопросе задания.

Ребе­нок дол­жен научиться четко пони­мать, что если в усло­вии есть при­со­еди­не­ние чего-либо, то ему нужно скла­ды­вать име­ю­щи­еся цифры. Ребе­нок дол­жен пони­мать, что такое пер­вое сла­га­е­мое, вто­рое сла­га­е­мое и сумма, и уметь нахо­дить их в усло­вии задания.

Чтобы ребе­нок хорошо осва­и­вал уст­ный счет, ему необ­хо­димо регу­лярно зани­маться сче­том «в уме». Если вы на кани­ку­лах, хотя бы один раз в день зада­вайте ему при­меры для раз­ви­тия памяти. Зани­маться можно даже по дороге в школу или в секции.

Пять-десять при­ме­ров еже­дневно не слиш­ком уто­мят пер­во­класс­ника, но при­не­сут много пользы для его даль­ней­шей учебы.

Ниже при­ве­дены задачи для пер­во­класс­ни­ков на сло­же­ние. Для удоб­ства мы их раз­били на вари­анты, чтобы при заня­тиях на дому вы могли про­ре­ши­вать с ребен­ком уже ском­плек­то­ван­ные задания.

Вариант 1

• Наташа про­чи­тала за кани­кулы 5 книг, а Катя про­чи­тала 4 книги. Сколько книг дети про­чи­тали вме­сте за каникулы?
• На одной ветке яблони висело 6 яблок, а на дру­гой – 7. Сколько яблок было на обеих вет­ках яблони?
• В классе на окне стоят цветы в горш­ках. На пер­вом окне стоит 2 цветка, на вто­ром 3 цветка, а на тре­тьем 1 цве­ток. Сколько всего цве­тов в классе?
• В семье Алеши живет 2 маль­чика и 1 девочка. В семье Тани – 1 девочка и 1 маль­чик. У Сережи в семье живут 2 маль­чика, а у Кати – только 1 девочка. Сколько всего дево­чек живет в семьях всех детей? А сколько мальчиков?
• По резуль­та­там оце­нок за 1 чет­верть в 1‑А классе 10 отлич­ни­ков, 14 хоро­ши­стов и 2 тро­еч­ника. В 1‑Б классе – 8 отлич­ни­ков, 12 хоро­ши­стов и 3 тро­еч­ника. А в 1‑В – 11 отлич­ни­ков, 11 хоро­ши­стов и 4 тро­еч­ника. Сколько отлич­ни­ков, хоро­ши­стов и тро­еч­ни­ков во всей парал­лели пер­вых классов?

Вариант 2

• Наташе 8 лет, сколько ей будет через 3 года? Через 4 года, через 10 лет?
• В мага­зине кан­це­ля­рии Насте понра­ви­лись фло­ма­стеры за 18 руб­лей. У нее есть 10 руб­лей, 5 руб­лей, 2 рубля и 1 рубль. Хва­тит ли девочке денег на покупку?
• На про­гулку вышли 6 дево­чек и 12 маль­чи­ков. Сколько всего детей вышли на прогулку?
• У Саши пачка счет­ных пало­чек. Из них 10 крас­ные, 8 синие и 12 жел­тые. Сколько всего пало­чек в пачке?
• На день рож­де­ния к Полине при­шли 4 подружки и 5 дру­зей. Сколько всего детей будет сидеть за празд­нич­ным сто­лом? (здесь важно, чтобы ребе­нок не забыл посчи­тать саму Полину, ответ в задачке – 10 детей).
  

  Вариант 3

• Дети при­шли в парк и уви­дели птиц, пла­ва­ю­щих на озере: 8 лебе­дей и 12 уток. Сколько всего птиц пла­вало на озере?
• На суб­бот­нике в школе дети сажали саженцы. Петя поса­дил 2 саженца, Антон – 3, Наташа с Катей 2 саженца. Сколько всего сажен­цев поса­дили дети?
• В коробке на столе лежали кон­феты. Маша съела 5 кон­фет, Алена – 3 кон­феты, Настя – 6 кон­фет, а Коля съел 6 кон­фет и коробка опу­стела. Сколько кон­фет было в коробке с самого начала?
• В кол­лек­ции Марины 20 откры­ток. У Юли тоже 20 откры­ток. Сколько всего откры­ток у девочек?
• У Севы было 20 марок, ему пода­рили еще 4 марки. Сколько всего марок стало у Севы?

Вариант 4

• Мама поса­дила 20 кустов огур­цов и 17 кустов поми­до­ров. Сколько всего кустов рас­те­ний поса­дила мама?В поне­дель­ник в сто­ло­вую при­везли 8 сто­лов, во втор­ник – 7 сто­лов, а в чет­верг – еще 10. Сколько всего сто­лов полу­чила сто­ло­вая за неделю?
• Паша и папа пошли в поход. В пер­вый день они про­шли 12 км. Во вто­рой – 10 км, в тре­тий – 8, а в чет­вер­тый 11. Какой путь пре­одо­лели папа и Паша?
• В зоо­парке живет 12 обе­зьян, 8 тиг­ров, 2 слона, 6 мед­ве­дей и 4 енота. Сколько всего живот­ных в зоопарке?

Важно! Если каж­дый день про­ре­ши­вать один вари­ант зада­ний на сло­же­ние с ребен­ком, то на кон­троль­ных он будет пока­зы­вать бле­стя­щие результаты.

• В 1‑А классе 13 маль­чи­ков и 12 дево­чек. В 1‑Б классе 12 маль­чи­ков и 15 дево­чек, а в 1‑В классе 10 маль­чи­ков и 12 дево­чек. Сколько всего маль­чи­ков и сколько дево­чек во всех пер­вых классах?

Задачи на вычитание для первоклассников

Задачи на вычи­та­ние тоже имеют свои при­знаки и осо­бен­но­сти. В усло­вии все­гда можно встре­тить какое-то из харак­тер­ных сло­во­со­че­та­ний: «сколько оста­лось», «было столько-то, из них…», «было столько-то, столько-то ушло/улетело/убежало/испортилось и т.д.» и про­чие. Здесь тоже важно пони­мать, что такое пер­вое сла­га­е­мое, вто­рое сла­га­е­мое и сумма, уметь нахо­дить их в усло­вии зада­ния, потому что задачи на вычи­та­ние явля­ются обрат­ными от сло­же­ния. И поня­тия здесь немного дру­гие: умень­ша­е­мое, вычи­та­е­мое, разность.

Ниже при­ве­дены задачи для пер­во­класс­ни­ков на вычи­та­ние. Для удоб­ства мы их тоже раз­били на вари­анты, чтобы при выпол­не­нии домаш­них зада­ний дети могли про­ре­ши­вать уже ском­плек­то­ван­ные задания.

Здесь есть задачи как на нахож­де­ние остатка («сколько оста­лось»), так и на умень­ше­ние («на сколько изме­ни­лось число»).

Вариант1

•  Андрей живет на 7 этаже, а Алена на 3 этажа ниже. На каком этаже живет Алена?
• У Володи 17 маши­нок, а у Саши нет ни одной. Володя пода­рил Саше 8 маши­нок. Сколько у него осталось?
• Наташе 12 лет, а ее брату Сереже на 7 лет меньше. Сколько лет Сереже?
• В саду росло 10 яблонь, а груш – на 4 меньше. Сколько груш росло в саду?
• За пер­вый день Мила про­чи­тала 24 стра­ницы в книге, а за вто­рой на 3 меньше. Сколько стра­ниц про­чи­тала Мила во вто­рой день?

Вариант 2

•  В школь­ной биб­лио­теке дети полу­чают книги. Петя взял 8 книг, Алеша – на 2 книги меньше, чем Петя, а Ваня на 3 книги больше чем Алеша. Сколько книг взял каж­дый маль­чик? Сколько книг они взяли вместе?
• На столе в вазе лежало 25 ягод. Марина съела 4 ягоды, Алиса съела 6 ягод, Мила съела 3 ягоды, а осталь­ные ягоды доела Катя. Сколько ягод съели Марина и Алиса? Мила и Катя? Сколько ягод съела Катя?
• На столе сто­яло 10 таре­лок, а в рако­вине – на 6 меньше. Сколько таре­лок было в раковине?
• Сереже 15 лет, его сестре Ларисе на 4 года меньше. А самому млад­шему брату Борису – на 7 лет меньше, чем Ларисе. Сколько лет Ларисе и Борису?
• Мама поса­дила 30 кустов огур­цов, 17 кустов взо­шли. Сколько всего кустов огур­цов пропало?

Вариант 3

• Дети пошли в лес за гри­бами. Дима нашел 10 сыро­е­жек и 7 белых гри­бов. Таня нашла на 3 сыро­ежки меньше, и на 2 белых меньше. Сколько и каких гри­бов нашла Таня?
• В пер­вом доме 12 подъ­ез­дов, во вто­ром доме на 4 подъ­езда меньше, чем в пер­вом. А в тре­тьем доме на 6 подъ­ез­дов меньше чем в пер­вом. Сколько подъ­ез­дов в каж­дом из домов?
• В пер­вой кор­зине 23 яблока, а во вто­рой на 11 яблок меньше. Сколько яблок в обеих корзинах?
• В спек­такле участ­во­вали 12 дево­чек, а маль­чи­ков на 3 меньше. Сколько маль­чи­ков участ­во­вало в спектакле?
• В одной вазе стоит 15 роз, а в дру­гой на 8 меньше. Сколько роз во вто­рой вазе?

Вариант 4

•  Кон­феты стоял 30 руб­лей, а хлеб на 15 руб­лей дешевле. Сколько стоит хлеб?
• Бабушка испекла пирожки. С кар­тош­кой 30 штук, с повид­лом на 10 меньше, чем с кар­тош­кой, а с капу­стой на 5 меньше, чем с кар­тош­кой. Сколько и каких пирож­ков испекла бабушка?
• В авто­бусе ехало 20 муж­чин. Жен­щин было на 5 меньше, чем муж­чин, а детей – на 7 меньше, чем жен­щин. Сколько всего людей ехало в автобусе?
• В школь­ной биб­лио­теке дети полу­чают книги. Саша взял 5 книг, Миша – на 2 книги меньше, чем Саша, а Сережа на 2 книги больше чем Миша. Сколько книг взял каж­дый маль­чик? Сколько книг они взяли вместе?
• На поливку ого­рода израс­хо­до­вали 20 ведер воды. На грядки с капу­стой пошло 12 ведер. Сколько пошло на грядки с морковкой?

Задачи на сравнение для первоклассников

•  Задачи на срав­не­ние направ­лены на нахож­де­ние какого-либо числа, мень­шего или боль­шего от исход­ного. В прин­ципе, в какой-то мере их можно отне­сти к зада­чам на сло­же­ние или вычи­та­ние, поэтому эти задачи мы решили не рас­пи­сы­вать по вари­ан­там, а при­ве­сти несколько подоб­ных примеров:
• На крыше сидело 10 кошек: 7 чер­ных и 3 серых. На сколько чер­ных кошек больше, чем серых?
• В деревне у бабушки есть куры и утки. Кур 18, а уток – 15. На сколько кур больше, чем уток.
• У Тани 3 куклы, а у Дины – на 4 больше. Сколько кукол у Дины? На сколько кукол у Тани меньше?
• Марине 14 лет, а Мише 9. На сколько лет Марина старше Миши?
• В гараже стоит 8 машин. Из них 3 гру­зо­вых и 5 лег­ко­вых. На сколько гру­зо­вых машин меньше, чем легковых?
• Диме на день рож­де­ния пода­рили подарки. Сна­чала мама и папа пода­рили 2 подарка, потом дру­зья при­несли 5 подар­ков. На сколько подар­ков больше стало у Димы?
• В пер­вый день кани­кул Юра решил 5 задач, во вто­рой – 7, а в тре­тий – 2. На сколько задач больше решил Юра во вто­рой день?
• На сколько задач меньше чем в пер­вый решил Юра в тре­тий день? А на сколько меньше задач он решил в тре­тий день, чем во второй?

• У Сони было 3 апель­сина и 10 яблок. На сколько яблок больше, чем апельсинов?

• У Оли 3 зайца и 2 белки. У Милы 5 кукол и 1 мишка. У кого больше игру­шек и на сколько?

• На лугу пас­лись коровы. К ним при­шли 7 коз и всего стало 15 живот­ных на лугу. Сколько было коров?

  Задачи на логику для первоклассников

   Раз­ви­тию логи­че­ского мыш­ле­ния уже посвя­ща­лись ста­тьи с реко­мен­да­ци­ями педа­го­гов и переч­нями упраж­не­ний и зада­ний. Здесь мы при­ве­дем несколько логи­че­ских задач, кото­рые поз­во­лят не только раз­ви­вать, но и тре­ни­ро­вать логику первоклассников.

• Что легче? Кило­грамм ваты или кило­грамм гвоздей?В ста­кан, кружку и чашку налили чай, ком­пот и какао. В кружке не какао. В чашке не какао, и не ком­пот. Что и во что налили?
• Сколько паль­цев на 3 руках?
• Сколько лап у 4 кошек?
• Сколько рук у 10 детей?
• Лена и Миша уви­дели в море 2 паро­хода. Сколько паро­хо­дов уви­дел каж­дый из детей?
• Из-под кро­вати тор­чат хво­стики котят. Сколько всего котят, если видно 7 хвостиков?
• За забо­ром спря­та­лись собаки. Из-под забора видно 12 лап, сколько всего собак за забором?
• На столе лежат 5 пер­си­ков и 8 груш. Сколько всего будет яблок и слив?
• На столе стоят 2 ста­кана с моло­ком. Петя выпил молоко и поста­вил стан на стол. Сколько ста­ка­нов на столе?
• Из школы вышел Ваня. Навстречу ему шли 3 девочки. Сколько детей шло из школы?
• Из дома в школу шли семь пер­во­класс­ни­ков: Петя, Маша, Лиза, Гриша, Толя, Миша и Лариса, и 4 вто­ро­класс­ника: Сережа, Таня, Мила и Ваня. Сколько дево­чек шло в школу?
• Чтобы попасть в театр 2 доче­рям и 2 мате­рям пона­до­би­лось 3 билета. Как такое могло случиться?
• Миша старше Лены на 2 года. На сколько он будет старше Лена через 5 лет?
• Лена и Милана поса­дили по 10 цвет­ков и закон­чили работу одно­вре­менно. Милана начала работу раньше. Кто из дево­чек рабо­тал медленнее? 
  

  Вместо заключения

  Мате­ма­ти­че­ское раз­ви­тие пер­во­класс­ни­ков имеет огром­ное зна­че­ние в их обра­зо­ва­нии. Решая при­меры и задачи, ребе­нок при­об­ре­тает новый опыт, зна­ния и навыки. Учится логи­че­ски и мате­ма­ти­че­ски мыс­лить, нахо­дить реше­ние из раз­лич­ных ситу­а­ций, более успешно осва­и­вать смеж­ные науки в даль­ней­шей учебе.

  Нельзя пус­кать на само­тек успе­ва­е­мость детей, и нужно вся­че­ски стре­миться помочь им в этом слож­ном деле, как учеба в пер­вом классе. Ведь именно в это время закла­ды­ва­ется фун­да­мент его даль­ней­шей учебы в школе.

  Математика 1 класс. Видео

Логические задачи по математике для 1 класса с ответами, решениями

Логические задачи по математике для 1 класса

Логические задачи по математике для 1 класса позволяют развить у ребенка способность последовательно мыслить, а также умение думать в целом. Однако иногда случается так, что у ребенка пропадает желание заниматься математикой в школе, хотя в процессе подготовки к поступлению в первый класс он проявлял большой интерес к логическим задачкам. Случается это по той причине, что ребенку очень быстро надоедают похожие задания. Чтобы школьнику было действительно интересно, его все время нужно стараться заинтересовывать чем-то новым.

Виды математических задач для детей 1 класса

Как показывает практика, среди наиболее интересных задач для учеников первых классов обычно выделяют следующие:

•логические – на сложение и вычитание;

•составные – в несколько действий;

•текстовые – логические и математические.

Интересно! Кроссворды для детей 6 лет

Ребенок будет с удовольствием решать поставленные перед ним задачи, если чередовать их и придумывать к ним условия, которые будут интересны детям.

Логические задачи на сложение и вычитание

В рамках учебного процесса в школе чаще всего встречаются обычные задачи на сложение и вычитание. Однако ребенку будет куда интереснее заниматься математикой, если задачи будут побуждать его к логическим размышлениям, а не просто машинально вычитать и прибавлять цифры. Приведем несколько наглядных примеров логических  задач по математике для 1 класса с ответами и картинками.

Пример №1

Условие. Три подружки взяли в каждую руку по 1 воздушному шарику. Сколько всего шариков есть у девочек?

Решение и ответ. У девочек имеется 6 шариков, так как каждая подружка взяла по одному шару, как в левую, так и в правую руку.

Пример №2 

Условие. На тарелке лежит 1 пирожное, 2 конфеты и 3 груши. Сколько всего фруктов находится на тарелке?

Решение и ответ. Количество фруктов в тарелке – 3 штуки. Потому что только груши являются фруктом, а пирожное и конфеты – нет.

Пример №3 

Условие. У фермера была 12-литровая бочка, в которой находилось 7 литров воды, а также полностью наполненное водой ведро, объемом 8 литров. Бочку дополнили доверху из ведра. Сколько литров воды осталось в ведре?

Решение и ответ. В ведре осталось 3 литра воды. В бочке не хватало 5 литров (12-7=5), которые фермер взял из ведра, где изначально находилось 8 литров жидкости (8-5=3).

Как видите, задачи составлены таким образом, чтобы помимо работы с цифрами ребенку приходилось проявлять смекалку.

Однако, как показывает практика, в возрасте 7 лет дети могут иметь разный уровень подготовки. Следовательно, приведенные выше задачи могут показаться для кого-то из малышей слишком сложными. В этом случае имеет смысл предложить ему более простые задачки на сложение и вычитание. Однако суть остается прежней – задания должны быть интересными. Зная, чем увлекается ребенок, можно составить задачу, которая будет интересна конкретно ему.

Пример

Условие. У Маши было 2 яблока, а у ее подруги Леры – 3. Сколько всего яблок у девочек?

Решение и ответ. Всего у девочек 5 яблок (2+3=5).

Составные – в несколько действий

Такие задачи в два или три действия ученикам 1 класса наверняка понравятся. Кроме того, с их помощью у ребенка будет очень хорошо развиваться логика и память.

Пример №1

Условие. Монстрик фиолетового цвета скушал 4 целых апельсина. А его друг – красный монстрик, съел 7 половинок таких же апельсинов. Кто из них скушал больше апельсинов?

Решение и ответ. Фиолетовый монстрик съел больше, чем его друг. 1 целый апельсин – это 2 половинки. Значит, 4 целых апельсина можно записать, как 2+2+2+2=8 половинок. 8>7, значит фиолетовый монстрик скушал больше, чем его друг. 

Пример №2

Условие. На столе у Светы было 8 пирожных. К ней пришло 5 гостей, и каждый из них скушал по 1 пирожному. Хозяйка подумала, что нужно добавить вкусностей, поэтому достала из холодильника еще 4 пирожных и добавила их на стол к оставшимся сладостям. Однако гости сказали, что уже сыты и не стали брать добавку. Сколько всего пирожных осталось на столе?

Решение и ответ. На столе осталось 7 пирожных. 8-5=3 пирожных, осталось на столе после того, как гости взяли себе по 1 штуке. 3+4=7 пирожных оказалось на столе, когда хозяйка добавила вкусностей из холодильника.

Интересно! Умение детей по возрастам

Текстовые – логические и математические на сообразительность    

Такие задачи очень хорошо развивают у детей 7 лет умение логически мыслить. Далее мы рассмотрим несколько примеров таких заданий с их решением.

Пример №1

Условие. У Фёдора есть две сестры и два брата. Кого в семье больше: женщин или мужчин?

Ответ. Мужчин в этой семье на 1 человека больше, потому что Федор тоже мужчина.

Пример №2

Условие. Ира, Надя, Коля и Аня решили заняться спортом. У них есть 2 скакалки и 2 мяча. Известно, что у Ани в руках скакалка, а у Коли и у Нади – одинаковые предметы. Какие предметы в руках у Коли, Нади и Иры?

Ответ. У Коли и Нади в руках мячи, а у Иры – скакалка.

Пример №3

Условие. Учитель выдал ученикам картинку, на которой изображены различные фигуры разных цветов, и загадал одну из них. Чтобы у детей была возможность назвать правильную фигуру, преподаватель дал им несколько подсказок:

•фигура точно не синяя и не квадратная;

•она треугольная или круглая.

Ответ. Глядя на картинку, методом исключения мы можем определить, о какой именно фигуре идет речь. Учитель загадал оранжевый треугольник.

Такие математические задания-головоломки способствуют развитию логики и тренирует навыки владения основными приемами мышления в целом. Обобщение, сравнение, выделение определенных признаков – всему этому ребенка учат задания такого типа.

Пример №4

Условие. Найдите закономерность и продолжите ряд подходящими цифрами: 5,6,8,11,15,…

Ответ. …20,26,33 и так далее. В ряду вышеуказанных чисел мы видим определенную закономерность. Сначала мы прибавили 1, потом 2, затем 3, после этого 4, затем 5, потом 6 и так далее. То есть, с каждым шагом мы прибавляем число на единицу больше, чем предыдущее.    

Усложненные задачи по математике на логику

Некоторые дети довольно легко справляются с обычными математическими задачами и показывают очень хорошие результаты в школе. Таких преуспевающих учеников нередко отправляют на олимпиады.

Далее приведем примеры логических задач по математике, с которыми ученик первого класса может столкнуться на олимпиаде.

Пример №1

Условие. Известно, что кролик легче, чем щенок на 2 килограмма. Если посадить щенка на левой чаше весов, а кролика на правой, то какая чаша весом будет располагаться выше? Каким образом после этого нужно использовать две имеющиеся гири, чтобы уравновесить весы?

Решение и ответ. Исходя из условий задачи, мы можем быть уверены, что щенок тяжелее кролика, а, значит, правая сторона весов, на которой сидит кролик, будет находиться выше. Чтобы весы уравновесились, гиря, находящаяся в чаше с кролем, должна быть тяжелее на 2 килограмма, чем гиря, которую мы разместим в чашу с щенком (3-1=2). Таким образом, получается, что в чашу к щенку нам нужно поставить гирю весом 1 килограмм, а к кролику – утяжелитель в 3 килограмма.  

Пример №2

Условие. Рассмотрите картинку и определите стоимость медвежонка, исходя из имеющихся данных.

Решение и ответ. В первом ряду мы видим уточку и вертолет, общая стоимость которых составляет 4 условных единицы. Во втором ряду мы наблюдаем те же игрушки, но рядом с ними расположен еще и медвежонок. При этом нам известно, что общая стоимость этих трех предметов – 10 условных единиц. Так мы можем вычислить цену медвежонка (10-4=6).  

Математика действительно очень интересная наука, знание которой очень помогает человеку в повседневной жизни. Поэтому важно прививать ребенку любовь к ней с самых малых лет. Как это сделать вы уже знаете, главное – чтобы малышу было интересно.

Интересно! Поделки из ватных дисков

Надеемся, что приведенные в статье логические задачи по математике для 1 класса окажутся вам полезными, и ваш ребенок достигнет успеха в школе.

Задачи на собеседованиях в Apple, Google, Adobe и Microsoft

22 Февраля, 2015,
16:00

298122

Кому не хотелось бы устроиться на работу в Google, Intel, Amazon или Apple? Многие IT-компании славятся тем, что на собеседовании задают соискателям каверзные задачи на математику, логику и общую сообразительность. Наверное, один из самых знаменитых примеров — это вопрос о том, почему канализационные люки круглые. Редакция AIN.UA постаралась подобрать самые интересные примеры таких задач, для решения которых требуется знание математики на школьном уровне или просто смекалка. Некоторые из них приводят сами компании, некоторые — публикуют пользователи, которые ходили на собеседование, некоторые — собраны на популярных сайтах задач.

Почти под каждой задачей приведен верный ответ (или, по крайней мере, один из возможных верных ответов), набранный шрифтом белого цвета — увидеть его можно, выделив соответствующую область.

Что спрашивают в Apple

1. Задача на логику. Шелдон Купер (тот самый гениальный физик из популярного сериала) дошел в игровом квесте в погоне за сокровищами до последнего рубежа. Перед ним — две двери, одна ведет к сокровищу, вторая — к смертельно опасному лабиринту. У каждой двери стоит стражник, каждый из них знает, какая дверь ведет к сокровищу. Один из стражников никогда не врет, другой — врет всегда. Шелдон не знает, кто из них врун, а кто нет. Прежде чем выбрать дверь, задать можно только один вопрос и только одному стражнику.

Вопрос: Что спросить Шелдону у стражника, чтобы попасть к сокровищу?

Ответ: Можно спросить любого, при этом задать вопрос так: «Какая дверь, по мнению другого стражника, правильная?». Если он спросит у правдивого, то получит данные о том, какая дверь ведет к лабиринту, ведь врущий стражник всегда врет. Если же он спросит у врущего стражника, опять же, узнает, какая дверь ведет к лабиринту, ведь тот соврет о двери, на которую укажет правдивый стражник. 

2. Землю захватили инопланетяне. Они планируют уничтожить всю планету, но решили дать человечеству шанс. Они выбрали десяток самых умных людей и поместили их в абсолютно темную комнату, посадив в ряд, один за другим. На каждого из людей надели по шляпе, шляпы всего двух цветов — розовые и зеленые. После того, как все шляпы оказываются на головах, свет включается.

Инопланетянин начинает с последнего человека в ряду и спрашивает о том, какого цвета шляпа у него на голове. Других слов, кроме цвета шляпы, произносить нельзя. Отмалчиваться — тоже. Если он отвечает верно, остается в живых, ошибается — его убивают.

Нельзя посмотреть, какого цвета ваша шляпа, но можно договориться о некоем принципе, по которому отвечать всем. Расположение шляп — случайное, комбинации могут быть любыми, вам видны все шляпы, которые расположены перед вами.

Вопрос: Что нужно отвечать, чтобы выжило как можно больше людей?

Ответ: Первый отвечающий считает количество зеленых шляп перед собой, если это нечетное число, он называет «зеленый», если четное — «розовый». Следующий, видя количество и цвет шляп перед собой, может таким образом вычислить, какого цвета шляпа у него на голове (к примеру, если зеленых все еще нечетное количество, то очевидно, что на нем — розовая), и так далее. Таким образом гарантированно выживают 9 из 10, а у первого отвечавшего шанс 1 к 1. 

Что спрашивают в Adobe

3. У вас 50 мотоциклов, с заполненным топливом баком, которого хватает на 100 км езды.

Вопрос: Используя эти 50 мотоциклов, как далеко вы сможете заехать (учитывая, что изначально они находятся в условно одной точке пространства)?

Ответ: Самый простой ответ: завести их все одновременно и проехать 100 км. Но есть и другое решение. Сначала переместите все мотоциклы на 50 км. Затем, перелейте топливо из половины мотоциклов в другую половину. У вас таким образом — 25 мотоциклов с полным баком. Проедьте еще 50 км и повторите процедуру. Так можно забраться на 350 км (не учитывая того топлива, которое останется от «лишнего» мотоцикла при разделе 25 надвое).

Что спрашивают в Microsoft

4. У вас бесконечный запас воды и два ведра — на 5 литров и 3 литра.

Вопрос: Как вы отмерите 4 литра?

Ответ: Наполните водой пятилитровое ведро и вылейте часть воды в трехлитровое. У вас сейчас 3 литра в маленьком ведре и 2 — в большом. Опустошите маленькое ведро и перелейте туда оставшиеся 2 литра из большого. Снова наполните большое ведро и перелейте из него воду в малое. Там уже есть 2 литра воды, так что долить придется литр, а в большом останется 4 литра.

5. У вас два отрезка веревки. Каждый таков, что если поджечь его с одного конца, он будет гореть ровно 60 минут.

Вопрос: Имея только коробку спичек, как отмерить с помощью двух отрезков такой веревки 45 минут (рвать веревки нельзя)?

Ответ: Один из отрезков поджигается с двух концов, одновременно с этим поджигается второй отрезок, но с одного конца. Когда первый отрезок догорит полностью, пройдет 30 минут, от первого также останется 30-минутный отрезок. Поджигая его с двух концов, получим 15 минут. 

Задачи в Google

6. У вас имеется 8 шариков одинакового вида и размера.

Вопрос: Как найти более тяжелый шарик, используя весы и всего два взвешивания?

Ответ: Отберите 6 шариков, разделите их на группы по 3 шарика и положите на весы. Группа с более тяжелым шариком перетянет чашу. Выберите любые 2 шарика из этой тройки и взвесьте. Если тяжелый шарик среди них, вы это узнаете, если они весят одинаково — тяжелый тот, что остался. Если же более тяжелого шарика в группах по 3 шарика не оказалось, он — среди 2 оставшихся.

Задачи в Qualcomm

7. Эту задачку описал пользователь, которого собеседовали на позицию senior systems ENGINEer. Он отметил в описании задачи, что у него был свой ответ, по поводу которого он долго спорил с человеком, проводившим собеседование.

Предположим, у нас происходит 10 пакетных передач данных по беспроводной сети. Канал не очень качественный, так что есть вероятность 1/10, что пакет данных не будет передан. Трансмиттер всегда знает, удачно или неудачно был передан пакет данных. Когда передача неудачная, трансмиттер будет передавать пакет до тех пор, пока не преуспеет.

Вопрос: Какую пропускную способность канала получаем?

Ответ: По версии пользователя, ответ должен был быть 9 пакетов в секунду. Но человек, проводивший интервью, с ним не согласился, правда, ответа не назвал, но повторял, что «из-за ретрансмиссии пропускная способность должна быть уменьшена больше, чем на 1/10». 

Задачи в «Яндексе»

8. Эту задачу предлагали решить для вступления в Школу анализа данных в феврале 2014 года. Ответа на задачи из «Яндекса» у нас, к сожалению, нет.

Игра состоит из одинаковых и независимых конов, в каждом из которых выигрыш происходит с вероятностью p. Когда игрок выигрывает, он получает 1 доллар, а когда проигрывает — платит 1 доллар. Как только его капитал достигает величины N долларов, он объявляется победителем и
удаляется из казино.

Вопрос: Найдите вероятность того, что игрок рано или поздно проиграет все деньги, в зависимости от его стартового капитала K.

9. Эту задачу предлагали решить разработчикам на собеседовании, и она больше связана непосредственно с программированием, чем предыдущие примеры.

Имеется морфологический словарь объемом примерно 100 000 входов, в котором глаголы совершенного и несовершенного вида помещены в отдельные статьи (то есть «делать» и «сделать» считаются разными словарными входами). Вам требуется найти в словаре такие видовые пары и «склеить» статьи в одну.

Вопрос: Опишите общий сценарий решения такой задачи и примерный алгоритм поиска видовых пар.

И бонус

10. Эту задачу приписывают Альберту Эйнштейну — якобы с ее помощью он подбирал себе ассистентов. Другая почти легендарная история приписывает авторство Льюису Кероллу. Отметим, что она очень просто решается на бумаге, но если хотите хардкора — попробуйте решить в уме.

1. На улице стоят пять домов.
2. Англичанин живет в красном доме.
3. У испанца есть собака.
4. В зеленом доме пьют кофе.
5. Украинец пьет чай.
6. Зеленый дом стоит сразу справа от белого дома.
7. Тот, кто курит Old Gold, разводит улиток.
8. В желтом доме курят Kool.
9. В центральном доме пьют молоко.
10. Норвежец живет в первом доме.
11. Сосед того, кто курит Chesterfield, держит лису.
12. В доме по соседству с тем, в котором держат лошадь, курят Kool.
13. Тот, кто курит Lucky Strike, пьет апельсиновый сок.
14. Японец курит Parliament.
15. Норвежец живет рядом с синим домом.
16. Каждый из домов покрашен в отдельный цвет, в каждом доме живет представитель отдельной национальности, у каждого — свой питомец, своя любимая марка сигарет и напиток.

Вопрос: Кто пьет воду? Кто держит зебру?

Ответ: Японец держит зебру, норвежец пьет воду. 

нерешенных математических задач | Сложнейшие математические задачи и уравнения

3. Гипотеза о простом числе близнецов.

Вместе с гипотезой Гольдбаха гипотеза о простых числах близнецов является наиболее известной в математике, называемой теорией чисел, или изучением натуральных чисел и их свойств, часто с использованием простых чисел. Поскольку вы знаете эти числа с начальной школы, высказывать предположения несложно.

Когда два простых числа имеют разность, равную 2, они называются простыми числами-близнецами.Итак, 11 и 13 являются простыми числами-близнецами, как 599 и 601. Итак, это факт теории чисел первого дня, что существует бесконечно много простых чисел. Итак, существует ли бесконечно много двойных простых чисел ? Гипотеза двойного простого числа утверждает, что да.

Давайте углубимся. Первое в паре простых чисел-близнецов, за одним исключением, всегда на 1 меньше кратного 6. Итак, второе простое число-близнец всегда на 1 больше, чем кратное 6. Вы можете понять почему, если готовы к немного следуйте теории чисел.

Все простые числа после 2 нечетны.Четные числа всегда на 0, 2 или 4 больше, чем кратные 6, в то время как нечетные числа всегда на 1, 3 или 5 больше, чем кратные 6. Что ж, одна из этих трех возможностей для нечетных чисел вызывает проблему. Если число на 3 больше, чем кратное 6, то оно имеет множитель 3. Наличие множителя 3 означает, что число не является простым (за единственным исключением самого 3). Вот почему каждое третье нечетное число не может быть простым.

Как ваша голова после этого абзаца? А теперь представьте себе головную боль каждого, кто пытался решить эту проблему за последние 170 лет.

Хорошая новость в том, что за последнее десятилетие мы добились многообещающего прогресса. Математикам удавалось подходить к все более и более близким версиям гипотезы двойных простых чисел. Это была их идея: проблема с доказательством того, что существует бесконечно много простых чисел с разницей в 2? Как насчет доказательства того, что существует бесконечно много простых чисел с разницей в 70 000 000? Это было хорошо доказано в 2013 году Итангом Чжаном из Университета Нью-Гэмпшира.

За последние шесть лет математики улучшили это число в доказательстве Чжана с миллионов до сотен.Уменьшение числа до 2 и будет решением гипотезы о простом близнеце. Самое близкое, что мы подошли — с учетом некоторых тонких технических предположений — 6. Время покажет, не за горами ли последний шаг от 6 до 2 или эта последняя часть бросит вызов математикам еще на десятилетия.

Онлайн-решение математических задач

Абсолютно бесплатный универсальный инструмент для решения математических задач:

Онлайн-решение математических задач

Решайте свои математические задачи в Интернете.Бесплатная версия дает вам только ответы. Если вы хотите, чтобы
решения, вам необходимо подписаться на бесплатную пробную учетную запись.

Базовый математический план

Basic Math Solver предлагает вам решение онлайн-задач с дробями, метрических преобразований, степенных и радикальных задач.
Можно найти площадь и объем прямоугольников, кругов,
треугольники, трапеции, коробки, цилиндры, конусы, пирамиды, сферы.
Вы можете упрощать и оценивать выражения, множить / множить многочлены, комбинировать выражения.

Онлайн-решатель предварительной алгебры (геометрии)

Вы можете решать все задачи из основного математического раздела, а также решать простые уравнения, неравенства и задачи с координатной плоскостью.
Вы также можете оценивать выражения, множители множителей, выражения объединения / умножения / деления.

Онлайн-решатель алгебры

Я советую вам подписаться на этот решатель алгебры.
Вы можете шаг за шагом решать свои задачи алгебры онлайн — уравнения, неравенства, радикалы, строить графики, решать полиномиальные задачи.
Если ваша домашняя работа по математике включает уравнения, неравенства, функции, многочлены, матрицы, это правильный пробный счет.

Онлайн-программа для определения тригонометрии

Решите все типы тригонометрических (sin, cos, tan, sec, scs, cot) выражений, уравнений, неравенств.
График тригонометрических функций.
Тригонометрия прямоугольного треугольника.

Онлайн-программа для предварительного вычисления

Включите все вышеперечисленное плюс нахождение пределов (lim), сумм, матриц.

Онлайн-вычислитель

Решайте интегральные задачи — определенные, неопределенные интегралы.

Решатель онлайн-статистики

Решите свои проблемы вероятности, комбинации, перестановки.
Статистика — найти медиану, среднее (арифметическое, геометрическое, квадратичное), моду, дисперсию,
нормальные распределения, t-распределение.
Решатель успешно выполняет статистическую проверку гипотез

Онлайн-программа для решения химии

Вы можете решать уравнения химии онлайн.

Другие калькуляторы:

Если вы сможете решить одну из этих 6 основных математических задач, вы выиграете приз в 1 миллион долларов | The Independent

В 2000 году Институт математики Клэя объявил задачи Премии тысячелетия.Это был сборник из семи важнейших математических задач, которые остались нерешенными.

Отражая важность проблем, Институт предложил приз в размере 1 миллиона долларов каждому, кто сможет предоставить строгое и рецензируемое решение любой из проблем.

В то время как одна из проблем, гипотеза Пуанкаре, была классно решена в 2006 году (математик, решивший ее, Григорий Перельман, одинаково хорошо отверг и приз в миллион долларов, и желанную медаль Филдса), остальные шесть проблем остаются нерешенными. .

Вот шесть математических задач, настолько важных, что решение любой из них стоит 1 миллион долларов.

P vs NP

(Getty Images / iStockphoto)

Некоторые проблемы просты, а некоторые сложные.

В мире математики и информатики существует множество задач, которые мы знаем, как запрограммировать компьютер для «быстрого» решения — основы арифметики, сортировка списка, поиск по таблице данных. Эти проблемы могут быть решены за «полиномиальное время», сокращенно «P.»Это означает, что количество шагов, необходимых для сложения двух чисел или сортировки списка, управляемо растет вместе с размером чисел или длиной списка.

Но есть еще одна группа проблем, для которой легко проверить, действительно ли или нет возможное решение проблемы, но мы не знаем, как эффективно найти решение. Нахождение простых множителей большого числа является такой проблемой — если у меня есть список возможных факторов, я могу умножить их вместе и посмотрю, верну ли я свой первоначальный номер. Но нет известного способа быстро найти множители произвольно большого числа. Действительно, безопасность Интернета зависит от этого факта.

По историческим и техническим причинам проблемы, для которых мы можем быстро проверить возможное решение, называются разрешимыми за «недетерминированное полиномиальное время» или «NP».

Любая проблема в P автоматически находится в NP — если я могу решить проблему быстро, я могу так же быстро проверить возможное решение, просто решив проблему и посмотрев, соответствует ли ответ моему возможному решению.Суть вопроса P vs NP заключается в том, верно ли обратное: если у меня есть эффективный способ проверить решения проблемы, есть ли эффективный способ на самом деле найти эти решения?

Большинство математиков и компьютерных ученых считают, что ответ отрицательный. Алгоритм, который мог бы решать задачи NP за полиномиальное время, имел бы ошеломляющие последствия для большей части математики, науки и технологий, и эти последствия настолько необычны, что дают основания сомневаться в том, что это возможно.

Конечно, доказать, что такого алгоритма не существует, само по себе является невероятно сложной задачей. Возможность окончательно сделать такое заявление о подобных проблемах, вероятно, потребует гораздо более глубокого понимания природы информации и вычислений, чем мы имеем в настоящее время, и почти наверняка будет иметь глубокие и далеко идущие последствия.

Прочтите официальное описание P vs NP от Института математики Клэя здесь.

Уравнения Навье-Стокса

На удивление сложно объяснить, что происходит, когда вы добавляете сливки в утренний кофе.

Уравнения Навье-Стокса представляют собой гидродинамическую версию трех законов движения Ньютона. Они описывают, как поток жидкости или газа будет развиваться в различных условиях. Подобно тому, как второй закон Ньютона описывает, как скорость объекта будет изменяться под действием внешней силы, уравнения Навье-Стокса описывают, как скорость потока жидкости будет изменяться под действием внутренних сил, таких как давление и вязкость, а также внешних сил. силы, подобные гравитации.

Уравнения Навье-Стокса представляют собой систему дифференциальных уравнений.Дифференциальные уравнения описывают, как конкретная величина изменяется с течением времени при некоторых начальных начальных условиях, и они полезны при описании всех видов физических систем. В случае уравнений Навье-Стокса мы начинаем с некоторого начального потока жидкости, а дифференциальные уравнения описывают, как этот поток развивается.

Решение дифференциального уравнения означает нахождение некоторой математической формулы для определения того, каким будет ваше интересующее количество на самом деле в любой конкретный момент времени, на основе уравнений, описывающих, как это количество изменяется.Многие физические системы, описываемые дифференциальными уравнениями, такие как вибрирующая гитарная струна или поток тепла от горячего объекта к холодному, имеют хорошо известные решения этого типа.

Однако уравнения Навье-Стокса сложнее. С математической точки зрения инструменты, используемые для решения других дифференциальных уравнений, здесь не оказались полезными. Физически жидкости могут демонстрировать хаотическое и турбулентное поведение: дым, исходящий от свечи или сигареты, имеет тенденцию сначала течь плавно и предсказуемо, но быстро превращается в непредсказуемые вихри и завитки.

Возможно, такое турбулентное и хаотическое поведение означает, что уравнения Навье-Стокса не могут быть решены точно во всех случаях. Возможно, удастся построить некую идеализированную математическую жидкость, которая, следуя уравнениям, в конечном итоге станет бесконечно турбулентной.

Любой, кто сможет построить способ решения уравнений Навье-Стокса во всех случаях или показать пример, в котором уравнения не могут быть решены, получит премию тысячелетия за эту задачу.

Прочтите официальное описание уравнений Навье-Стокса Институтом математики Клея здесь.

Теория Янга-Миллса и квантовый разрыв масс

Математика и физика всегда были взаимовыгодными отношениями. Развитие математики часто открывало новые подходы к физической теории, а новые открытия в физике стимулировали более глубокие исследования лежащих в их основе математических объяснений.

Квантовая механика, пожалуй, самая успешная физическая теория в истории.Материя и энергия ведут себя по-разному в масштабе атомов и субатомных частиц, и одним из величайших достижений 20-го века стало теоретическое и экспериментальное понимание этого поведения.

Одной из основных опор современной квантовой механики является теория Янга-Миллса, которая описывает квантовое поведение электромагнетизма, а также слабых и сильных ядерных взаимодействий в терминах математических структур, возникающих при изучении геометрических симметрий. Предсказания теории Янга-Миллса были подтверждены бесчисленными экспериментами, и эта теория является важной частью нашего понимания того, как устроены атомы.

Несмотря на этот физический успех, теоретические математические основы теории остаются неясными. Одна из проблем, представляющих особый интерес, — это «массовая щель», которая требует, чтобы определенные субатомные частицы, которые в некотором роде аналогичны безмассовым фотонам, вместо этого действительно имели положительную массу. Разрыв в массах — важная часть того, почему ядерные силы чрезвычайно сильны по сравнению с электромагнетизмом и гравитацией, но имеют чрезвычайно малый радиус действия.

Задача Премии тысячелетия, таким образом, состоит в том, чтобы показать общую математическую теорию, лежащую в основе физической теории Янга-Миллса, и получить хорошее математическое объяснение разрыва между массами.

Прочтите официальное описание теории Янга-Миллса и проблемы массового разрыва, подготовленное Институтом математики Клэя.

Гипотеза Римана

Возвращаясь к древним временам, простые числа — числа, делящиеся только сами на себя и 1 — были объектом восхищения математиков. На фундаментальном уровне простые числа являются «строительными блоками» целых чисел, поскольку любое целое число может быть однозначно разбито на произведение простых чисел.

Учитывая центральную роль простых чисел в математике, вопросы о том, как простые числа распределяются вдоль числовой прямой, то есть насколько далеко простые числа находятся друг от друга, представляют собой активные области интереса.

К 19 веку математики открыли различные формулы, которые дают приблизительное представление о среднем расстоянии между простыми числами. Однако остается неизвестным, насколько близко к этому среднему остается истинное распределение простых чисел — то есть, есть ли части числовой прямой, где имеется «слишком много» или «слишком мало» простых чисел в соответствии с этими средними формулами.

Гипотеза Римана ограничивает эту возможность, устанавливая границы того, насколько далеко от среднего может отклоняться распределение простых чисел. Гипотеза эквивалентна и обычно формулируется в терминах того, лежат ли все решения уравнения, основанного на математической конструкции, называемой «дзета-функцией Римана», вдоль определенной линии в плоскости комплексных чисел. Действительно, изучение функций, подобных дзета-функции, стало отдельной областью математических интересов, что сделало гипотезу Римана и связанные с ней проблемы еще более важными.

Как и несколько задач, связанных с Премией тысячелетия, существуют значительные свидетельства того, что гипотеза Римана верна, но строгое доказательство остается неуловимым. На сегодняшний день вычислительные методы показали, что около 10 триллионов решений уравнения дзета-функции попадают в требуемую линию, и никаких контрпримеров не найдено.

Конечно, с математической точки зрения 10 триллионов примеров истинности гипотез абсолютно не заменяют полного доказательства этой гипотезы, в результате чего гипотеза Римана остается одной из открытых проблем, связанных с присуждением Премии тысячелетия.

Прочтите официальное описание гипотезы Римана Институтом математики Глина здесь.

Гипотеза Берча и Суиннертона-Дайера

Одним из самых старых и обширных объектов математического исследования являются диофантовы уравнения или полиномиальные уравнения, для которых мы хотим найти целочисленные решения. Классическим примером, который многие могут вспомнить из школьной геометрии, являются тройки Пифагора или наборы из трех целых чисел, удовлетворяющие теореме Пифагора x2 + y2 = z2.

В последние годы алгебраисты особенно изучали эллиптические кривые, которые определяются особым типом диофантовых уравнений. Эти кривые имеют важные приложения в теории чисел и криптографии, и поиск целочисленных или рациональных решений для них является важной областью исследования.

Одним из самых ошеломляющих математических достижений последних нескольких десятилетий было доказательство Эндрю Уайлсом классической Великой теоремы Ферма, в котором говорилось, что версий пифагоровых троек более высокой степени не существует.Доказательство этой теоремы Уайлсом явилось следствием более широкого развития теории эллиптических кривых.

Гипотеза Берча и Суиннертона-Дайера предоставляет дополнительный набор аналитических инструментов для понимания решений уравнений, определяемых эллиптическими кривыми.

Прочтите здесь официальное описание гипотезы Берча и Суиннертона-Дайера от Института математики Клэя.

Гипотеза Ходжа

Математическая дисциплина алгебраической геометрии, в широком смысле, представляет собой изучение многомерных форм, которые могут быть определены алгебраически, когда решение задается алгебраическими уравнениями.

В качестве чрезвычайно простого примера вы можете вспомнить из школьной алгебры, что уравнение y = x2 приводит к параболической кривой, когда решения этого уравнения вычерчиваются на миллиметровой бумаге. Алгебраическая геометрия имеет дело с многомерными аналогами этого вида кривой, когда рассматривают системы множественных уравнений, уравнений с большим количеством переменных и уравнения на плоскости комплексных чисел, а не действительные числа.

В 20 веке процветали изощренные методы понимания кривых, поверхностей и гиперповерхностей, являющихся предметами алгебраической геометрии.Сложные для представления формы можно сделать более управляемыми с помощью сложных вычислительных инструментов.

Гипотеза Ходжа предполагает, что определенные типы геометрических структур имеют особенно полезный алгебраический аналог, который можно использовать для лучшего изучения и классификации этих форм.

Прочтите официальное описание гипотезы Ходжа Институтом математики Клэя здесь.

Подробнее:

• Сколько зарабатывают самые высокооплачиваемые работники в 20 профессиях
• Семь устаревших «правил» мужского стиля, которые вы теперь можете игнорировать
• 16 навыков, которым трудно научиться, но которые окупятся навсегда

Прочтите оригинальную статью на Business Insider UK.© 2017. Следите за новостями Business Insider UK в Twitter.

Математика средней школы (10, 11 и 12 классы)

Математика средней школы для 10, 11 и 12 классов представлены математические вопросы и задачи для проверки глубокого понимания математических концепций и вычислительных процедур. Предоставляются подробные решения и ответы на вопросы.

сорт 12

11 класс

10 класс

Онлайн-калькуляторы

• Математические калькуляторы и решатели онлайн
• Онлайн-калькуляторы и решатели геометрии
• Калькулятор проверки делимости. Онлайн-калькулятор, который проверяет целые числа на видимость 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 и 13.
• Калькуляторы сложения, вычитания и умножения целых чисел. Три отдельных онлайн-калькулятора для сложения, вычитания и умножения целых чисел.
• Калькулятор частных и остатков. Онлайн-калькулятор, вычисляющий частное и остаток от деления двух целых чисел.
• Калькулятор наименьшего общего кратного (lcm). Вычислите наименьшее общее кратное двух положительных целых чисел.
• Калькулятор наибольшего общего коэффициента (GCF). Вычислите наибольший общий делитель двух натуральных чисел.
• Калькулятор основных факторов. Разложите положительное целое число на простые множители.
• Калькулятор сложения дробей. Добавьте 2 или 3 дроби и уменьшите окончательный ответ.
• Калькулятор умножения дробей. Умножьте 2 дроби и уменьшите ответ.
• Калькулятор деления дробей. Разделите 2 дроби и уменьшите ответ.
• Калькулятор сокращения дробей. Перепишите дроби в уменьшенном виде.

Больше математики в средней школе (6, 7, 8, 9 классы) — бесплатные вопросы и задачи с ответами
Больше математики для начальной школы (4 и 5 классы) с бесплатными вопросами и задачи с ответами Домашняя страница
Автор —
электронная почта сообщить об этом объявлении

6 обманчиво простых математических задач, которые никто не может решить

Все мы знаем, что математика действительно сложна. Настолько сложно, что буквально целая страница в Википедии посвящена нерешенным математическим задачам, несмотря на то, что некоторые из величайших умов мира работают над ними круглосуточно.

Но, как указывает Эйвери Томпсон в Popular Mechanics , , по крайней мере, с самого начала, некоторые из этих задач кажутся на удивление простыми — настолько простыми на самом деле, что любой, кто имеет некоторые базовые знания математики, может их понять … включая нас. К сожалению, оказалось, что доказать их немного сложнее.

Вдохновленные списком Томпсона, мы составили собственный список обманчиво простых математических задач, которые расстроят (и, надеюсь, вдохновят) вас.

Гипотеза двойного простого числа

Простые числа — это те волшебные единороги, которые делятся только на себя и 1. Насколько нам известно, существует бесконечное количество простых чисел, и математики постоянно работают над поиском следующего по величине простого числа. номер.

Но существует ли бесконечное количество пар простых чисел, которые отличаются на два, например 41 и 43? По мере того, как простые числа становятся все больше и больше, эти простые числа-близнецы труднее найти, но теоретически их должно быть бесконечно… Проблема в том, что пока никто не смог это доказать.

Проблема с подвижным диваном

Клаудио Роккини

Это то, с чем большинство из нас боролось раньше — вы переезжаете в новую квартиру и пытаетесь взять с собой свой старый диван. Но, конечно, вам нужно завести его за угол, прежде чем вы сможете удобно расположиться на нем в гостиной.

Вместо того, чтобы отказываться и просто покупать мешочек с фасолью, математики хотят знать: какой самый большой диван, который вы могли бы разместить под углом 90 градусов, независимо от формы, без его изгиба? (Хотя они смотрят на все это с двухмерной точки зрения.)

Томпсон объясняет:

«Самая большая площадь, которая может уместиться за углом, называется — я вас не шучу — константой дивана.

Никто точно не знает, насколько он большой, но у нас есть довольно большие диваны, которые действительно работают, поэтому мы знаем, что он должен быть не меньше их. У нас также есть некоторые диваны, которые не работают, поэтому они должны быть меньше этих. В целом, мы знаем, что постоянная дивана должна быть в пределах от 2,2195 до 2,8284 ».

Спорим, Росс из друзей хотел бы, чтобы кто-то сказал ему это.

Friends / NBC

Гипотеза Коллатца

XKCD

Гипотеза Коллатца — одна из самых известных нерешенных математических задач, потому что она настолько проста, что вы можете объяснить ее ребенку младшего школьного возраста, и они вероятно, будут достаточно заинтригованы, чтобы попытаться найти ответ для себя.

Итак, вот как это происходит: выберите число, любое число.

Если четное, разделите на 2. Если нечетное, умножьте на 3 и прибавьте 1.Теперь повторите эти шаги еще раз со своим новым номером. В конце концов, если вы продолжите идти, вы в конечном итоге будете получать 1 каждый раз (попробуйте сами, мы подождем).

Как бы просто это ни звучало, это действительно работает. Но проблема в том, что, хотя математики и показали, что это так с миллионами чисел, они не нашли ни одного числа, которое не соответствовало бы правилам.

«Возможно, вместо этого существует какое-то действительно большое число, стремящееся к бесконечности, или, может быть, число, которое застревает в цикле и никогда не достигает 1», — объясняет Томпсон.«Но никто никогда не мог доказать это наверняка».

Гипотеза Била

Гипотеза Била в основном выглядит следующим образом …

Если A ^x + B ^y = C ^z

И A, B, C, x, y и z — все положительные целые числа (целые числа больше 0), тогда A, B и C должны иметь общий простой множитель.

Общий простой множитель означает, что каждое из чисел должно делиться на одно и то же простое число.Итак, 15, 10 и 5 имеют общий простой делитель 5 (все они делятся на простое число 5).

Пока все так просто и похоже на то, что вы решили бы в алгебре средней школы.

Но вот в чем проблема. Математикам никогда не удавалось решить гипотезу Биля, если все x, y и z больше 2.

Например, давайте использовать наши числа с общим простым множителем 5 из предыдущего опыта ….

5 ¹ + 10 ¹ = 15 ¹

но

5 ² + 10 ² ≠ 15 ²

В настоящее время предлагается приз в 1 миллион долларов США для всех, кто может предложить рецензируемое доказательство этой гипотезы… так что рассчитывайте.

Задача «Вписанный квадрат»

Клаудио Роккини

Для этого нужно немного нарисовать. На листе бумаги нарисуйте петлю — это не обязательно должна быть какая-то заданная форма, просто замкнутая петля, которая не перекрещивается.

Согласно гипотезе вписанного квадрата, внутри этого цикла вы должны уметь нарисовать квадрат, все четыре угла которого касаются петли, как на диаграмме выше.

Звучит просто … но с математической точки зрения существует множество возможных форм петель — и в настоящее время невозможно сказать, сможет ли квадрат коснуться всех из них.

«Это уже было решено для ряда других форм, таких как треугольники и прямоугольники, — пишет Томпсон, — но квадраты — дело хитрое, и до сих пор формальное доказательство ускользало от математиков».

Гипотеза Гольдбаха

Подобно гипотезе двойного простого числа, гипотеза Гольдбаха представляет собой еще один, казалось бы, простой вопрос о простых числах, известный своей обманчивой простотой. Возникает вопрос: является ли каждое четное число больше 2 суммой двух простых чисел?

Кажется очевидным, что в конце концов ответ будет положительным, 3 + 1 = 4, 5 + 1 = 6 и так далее.

Но, опять же, никто не смог доказать, что так будет всегда, несмотря на годы попыток.

Реальность такова, что по мере того, как мы продолжаем вычислять все большие и большие числа, мы можем в конечном итоге найти то, которое не является суммой двух простых чисел … или такое, которое бросает вызов всем правилам и логике, которые у нас есть до сих пор. И можете быть уверены, что математики не перестанут искать, пока не найдут его.

10 математических уравнений, которые никогда не решались

Математика сыграла важную роль во многих изобретениях и теориях, которые изменили жизнь.Но есть еще некоторые математические уравнения, которым удалось ускользнуть даже от величайших умов, таких как Эйнштейн и Хокинс. Однако другие уравнения слишком велики, чтобы их можно было вычислить. Так что по какой-то причине эти загадочные проблемы так и не были решены. Но какие они?

Как и все мы, вы, вероятно, ожидаете трудностей следующего уровня в этих математических задачах. Удивительно, но это не так. Некоторые из этих уравнений даже основаны на концепциях начальной школы и легко понятны — просто неразрешимы.

1. Гипотеза Римана

Уравнение: σ (n) ≤ Hn + ln (Hn) eHn

• Где n — целое положительное число
• Hn — номер n-й гармоники
• σ (n) — сумма натуральных чисел, делящихся на n

Например, если n = 4, то σ (4) = 1 + 2 + 4 = 7 и h5 = 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4. Решите это уравнение, чтобы доказать или опровергнуть следующее неравенство n≥1? Верно ли это для всех n≥1?

Эта проблема называется элементарной версией гипотезы Римана Лагариаса и имеет цену в миллион долларов, предложенную Clay Mathematics Foundation за ее решение.

2. Гипотеза Коллатца

Уравнение: 3n + 1

• где n — положительное целое число n / 2
• , где n — неотрицательное целое число

Докажи ответ end, перебирая 1,4,2,1,4,2,1,…, если n — положительное целое число. Это повторяющийся процесс, и вы будете повторять его с новым значением n, которое получите. Если ваше первое n = 1, то ваши последующие ответы будут 1, 4, 2, 1, 4, 2, 1, 4… бесконечно. И если n = 5, ответы будут 5,16,8,4,2,1, остальное будет еще одним циклом значений 1, 4 и 2.

Это уравнение было сформировано в 1937 году человеком по имени Лотар Коллатц, поэтому его называют гипотезой Коллатца.

3. Гипотеза Эрдёша-Штрауса

Уравнение: 4 / n = 1 / a + 1 / b + 1 / c

• где n≥2
• a, b и c — целые положительные числа.

Это уравнение направлено на то, чтобы увидеть, сможем ли мы доказать, что если n больше или равно 2, то можно записать 4 * n как сумму трех положительных единичных дробей.

Это уравнение было сформировано в 1948 году двумя людьми по имени Пол Эрдеш и Эрнст Штраус, поэтому его называют гипотезой Эрдеша-Штрауса.

4. Уравнение четыре

Уравнение: Используйте 2 (2∧127) -1 — 1, чтобы доказать или опровергнуть, простое это число или нет?

Выглядит довольно просто, не так ли? Вот небольшой контекст проблемы.

Возьмем простое число 2. Теперь 22 — 1 = 3, которое также является простым числом. 25-1 = 31, которое также является простым числом, поэтому 27-1 = 127. 2127 −1 = 170141183460469231731687303715884105727 также является простым.

5. Гипотеза Гольдбаха

Уравнение: Докажите, что x + y = n

• где x и y — любые два простых числа
• n ≥ 4

Эта проблема, как бы относительно проста она ни казалась, никогда не была решена.Решение этой проблемы принесет вам бесплатный миллион долларов. Это уравнение было впервые предложено Гольдбахом, отсюда и название гипотеза Гольдбаха.

Если вы все еще не уверены, выберите любое четное число, например 6, оно также может быть выражено как 1 + 5, что является двумя простыми числами. То же самое для 10 и 26.

6. Уравнение шесть

Уравнение: Докажите, что (K) n = JK1N (q) JO1N (q)

Это уравнение пытается изобразить связь между квантовыми инвариантами узлов и гиперболической геометрией узловых дополнений.Хотя это уравнение относится к математике, вы должны быть хорошо знакомы с физикой, чтобы понять эту концепцию.

7. Гипотеза Уайтхеда

Уравнение: G = (S | R)

• , когда комплекс K (S | R) CW асферический
• , если π2 (K (S | R)) = 0

В этом уравнении вы доказываете утверждение, сделанное г-ном Уайтхедом в 1941 году в алгебраической топологии, что каждый подкомплекс асферического комплекса CW, который связан и в двух измерениях, также является сферическим.Он был назван в честь этого человека, по предположению Уайтхеда.

8. Уравнение восемь

Уравнение: (EQ4)

Это уравнение является определением морфизма и называется картой сборки. Ознакомьтесь с сокращенной C * -алгеброй, чтобы лучше понять концепцию этого уравнения.

9. Константа Эйлера-Маскерони

Уравнение: y = limn → ∞ (∑m = 1n1m − log (n))

Выясните, является ли y рациональным или иррациональным в приведенном выше уравнении. Чтобы полностью понять эту проблему, вам нужно еще раз взглянуть на рациональные числа и их концепции.Символ y известен как постоянная Эйлера-Маскерони и имеет значение 0,5772.

Это уравнение было вычислено с точностью до половины триллиона цифр, и все же никто не мог сказать, рациональное это число или нет.

10. Уравнение Ten

Уравнение: π + e

Найдите сумму и определите, является ли она алгебраической или трансцендентной. Чтобы понять этот вопрос, вам нужно иметь представление об алгебраических действительных числах и о том, как они действуют. Число пи или π возникло в 17 веке и трансцендентно вместе с e.а как насчет их суммы? Пока это так и не было решено.

Заключение

Как вы можете видеть в приведенных выше уравнениях, существует несколько, казалось бы, простых математических уравнений и теорий, которые никогда не отменялись. Проходят десятилетия, а эти проблемы остаются нерешенными. Если вы ищете головоломку, решение этих проблем поможет вам сэкономить деньги.

Оставьте первый комментарий ниже.

15 самых сложных вопросов по SAT математике

Хотите проверить себя, отвечая на самые сложные вопросы по математике SAT? Хотите знать, что делает эти вопросы такими сложными и как их лучше всего решать? Если вы готовы по-настоящему погрузиться в математический раздел SAT и нацелиться на этот высший балл, то это руководство для вас.

Мы собрали то, что мы считаем , из 15 самых сложных вопросов для текущего SAT , со стратегиями и ответами на каждый из них. Все это сложные вопросы SAT Math из практических тестов SAT College Board, а это значит, что их понимание — один из лучших способов учиться для тех из вас, кто стремится к совершенству.

Изображение: Соня Севилья / Викимедиа

Краткий обзор SAT Math

Третий и четвертый разделы SAT всегда будут математическими разделами .Первый математический подраздел (с меткой «3») позволяет использовать калькулятор , не , а второй математический подраздел (с меткой «4») разрешает использование калькулятора. Однако не беспокойтесь о разделе без калькулятора: если вам не разрешено использовать калькулятор для ответа на вопрос, это означает, что вам не нужен калькулятор, чтобы ответить на него.

Каждый математический подраздел расположен в порядке возрастания сложности (где чем больше времени требуется на решение задачи и чем меньше людей ответят на нее правильно, тем сложнее).В каждом подразделе вопрос 1 будет «легким», а вопрос 15 — «сложным». Однако возрастающая сложность сбрасывается с простого на сложный на сетке.

Таким образом, вопросы с несколькими вариантами ответов упорядочены по возрастающей сложности (вопросы 1 и 2 будут самыми легкими, вопросы 14 и 15 будут самыми сложными), но уровень сложности будет сброшен для секции сетки (то есть вопросы 16 и 17 снова будут будьте «легкими», и вопросы 19 и 20 будут очень сложными).

Таким образом, за очень немногими исключениями, наиболее сложные математические задачи SAT будут сгруппированы в конце сегментов с несколькими вариантами ответов или во второй половине вопросов сетки. Однако, помимо места в тесте, у этих вопросов есть еще несколько общих черт. Через минуту мы рассмотрим примеры вопросов и способы их решения, а затем проанализируем их, чтобы выяснить, что общего у этих типов вопросов.

Но сначала: следует ли вам сейчас сосредоточиться на самых сложных математических вопросах?

Если вы только начинаете подготовку к учебе (или если вы просто пропустили этот первый, важный шаг), обязательно остановитесь и пройдите полный практический тест, чтобы определить свой текущий уровень оценок. Ознакомьтесь с нашим руководством по всем бесплатным практическим тестам SAT, доступным в Интернете, а затем сядьте и сдавайте все сразу.

Самый лучший способ оценить свой текущий уровень — просто пройти практический тест SAT, как если бы он был настоящим, соблюдая строгий график и работая без перерывов только с разрешенными перерывами (мы знаем — вероятно, это не ваш любимый способ провести субботу) . Как только вы получите хорошее представление о своем текущем уровне и процентильном рейтинге, вы можете установить контрольные точки и цели для получения окончательного результата по SAT Math.

Если вы в настоящее время набираете баллы в диапазоне 200–400 или 400–600 по SAT Math, лучше всего сначала ознакомиться с нашим руководством по повышению своего балла по математике , чтобы он постоянно был на уровне 600 или выше, прежде чем начать. в попытке решить самые сложные математические задачи на тесте.

Если, однако, вы уже набрали больше 600 баллов по математике и хотите проверить свои способности на реальном SAT, то обязательно переходите к остальной части этого руководства. Если вы стремитесь к совершенству (или близкому к нему), вам необходимо знать, как выглядят самые сложные вопросы по математике SAT и как их решать.И, к счастью, именно этим мы и займемся.

ПРЕДУПРЕЖДЕНИЕ: Поскольку количество официальных практических тестов SAT ограничено, вы можете подождать, чтобы прочитать эту статью, пока не попробуете все или большую часть первых четырех официальных практических тестов (поскольку большинство вопросов, приведенных ниже, были приняты. из этих тестов). Если вы беспокоитесь о том, чтобы испортить эти тесты, прекратите читать это руководство сейчас; вернитесь и прочтите, когда вы их закончите.

Теперь перейдем к нашему списку вопросов (ууу)!

Изображение: Niytx / DeviantArt

15 самых сложных вопросов по SAT Math

Теперь, когда вы уверены, что должны попытаться ответить на эти вопросы, давайте приступим прямо к делу! Мы собрали 15 самых сложных вопросов по SAT Math, которые вы можете попробовать ниже, а также пошаговые инструкции, как получить ответ (если вы в тупике).

Нет калькулятора Вопросы по SAT по математике

Вопрос 1

$$ C = 5/9 (F-32) $$

Приведенное выше уравнение показывает, как температура $ F $, измеренная в градусах Фаренгейта, соотносится с температурой $ C $, измеренной в градусах Цельсия. Основываясь на уравнении, какое из следующих утверждений должно быть верным?

1. Повышение температуры на 1 градус по Фаренгейту эквивалентно повышению температуры на 5/9 градусов Цельсия.
2. Повышение температуры на 1 градус Цельсия эквивалентно повышению температуры на 1.8 градусов по Фаренгейту.
3. Повышение температуры на 5 долларов / 9 градусов по Фаренгейту эквивалентно повышению температуры на 1 градус Цельсия.

A) только I
B) только II
C) только III
D) только I и II

ОБЪЯСНЕНИЕ ОТВЕТА: Думайте об уравнении как об уравнении для линии

$$ y = mx + b $$

, где в данном случае

$$ C = {5} / {9} (F − 32) $$

или

$$ C = {5} / {9} F — {5} / {9} (32) $$

Вы можете видеть, что наклон графика составляет $ {5} / {9} $, что означает, что при увеличении на 1 градус по Фаренгейту увеличение составляет $ {5} / {9} $ на 1 градус Цельсия.

$$ C = {5} / {9} (F) $$

$$ C = {5} / {9} (1) = {5} / {9} $$

Следовательно, утверждение I верно. Это эквивалентно тому, что увеличение на 1 градус Цельсия равно увеличению на $ {9} / {5} $ градусов по Фаренгейту.

$$ C = {5} / {9} (F) $$

$$ 1 = {5} / {9} (F) $$

$$ (F) = {9} / {5} $$

Поскольку $ {9} / {5} $ = 1.8, утверждение II верно.

Единственный ответ, в котором и утверждение I, и утверждение II являются истинными, — это D , но если у вас есть время и вы хотите быть абсолютно внимательными, вы также можете проверить, соответствует ли утверждение III (увеличение на $ {5} / { 9} $ градус Фаренгейта равен увеличению температуры на 1 градус Цельсия) верно:

$$ C = {5} / {9} (F) $$

$$ C = {5} / {9} ({5} / {9}) $$

$$ C = {25} / {81} (\ which \ is ≠ 1) $$

Увеличение на 5 долларов / 9 градусов по Фаренгейту приводит к увеличению на {25} / {81} долларов, а не на 1 градус Цельсия, и поэтому утверждение III неверно. 2 $
D) Значение не может быть определено на основе предоставленной информации.12 $$

Окончательный ответ: A.

Вопрос 4

Точки A и B лежат на окружности радиуса 1, а длина дуги $ {AB} ↖⌢ $ равна $ π / 3 $. Какая часть окружности окружности равна длине дуги $ {AB} ↖⌢ $?

ОБЪЯСНЕНИЕ ОТВЕТА: Чтобы выяснить ответ на этот вопрос, вам сначала нужно знать формулу для определения длины окружности.

Длина окружности $ C $ равна $ C = 2πr $, где $ r $ — радиус окружности.Для данной окружности радиусом 1 длина окружности равна $ C = 2 (π) (1) $ или $ C = 2π $.

Чтобы узнать, какая часть окружности составляет длину $ {AB} ↖⌢ $, разделите длину дуги на длину окружности, что даст $ π / 3 ÷ 2π $. Это деление можно представить как $ π / 3 * {1/2} π = 1/6 $.

Дробь $ 1/6 $ также может быть переписана как $ 0,166 $ или 0,167 $.

Окончательный ответ: 1/6 доллара, 0,166 доллара или 0,167 доллара.

Вопрос 5

$$ {8-i} / {3-2i} $$

Если приведенное выше выражение переписать в форме $ a + bi $, где $ a $ и $ b $ — действительные числа, каково значение $ a $? (Примечание: $ i = √ {-1} $)

ОБЪЯСНЕНИЕ ОТВЕТА: Чтобы переписать $ {8-i} / {3-2i} $ в стандартной форме $ a + bi $, вам нужно умножить числитель и знаменатель $ {8-i} / {3- 2i} $ сопряженным, $ 3 + 2i $.2 = -1 $, последняя дробь может быть уменьшена упрощенно до

$$ {24 + 16i-3i + 2} / {9 — (- 4)} = {26 + 13i} / {13} $$

, что упрощается до 2 + i $. Следовательно, когда $ {8-i} / {3-2i} $ переписывается в стандартной форме a + bi, значение a равно 2.

Окончательный ответ: A.

Вопрос 6

В треугольнике $ ABC $ мера $ ∠B $ равна 90 °, $ BC = 16 $ и $ AC $ = 20. Треугольник $ DEF $ похож на треугольник $ ABC $, где вершины $ D $, $ E $ и $ F $ соответствуют вершинам $ A $, $ B $ и $ C $ соответственно, а также каждой стороне треугольника $. DEF $ составляет $ 1/3 $ длины соответствующей стороны треугольника $ ABC $.2} = √ {400-256} = √ {144} = 12 $$

Поскольку треугольник DEF подобен треугольнику ABC, с вершиной F, соответствующей вершине C, мера $ \ angle ∠ {F} $ равна мере $ \ angle ∠ {C} $. Следовательно, $ sin F = sin C $. От сторон треугольника ABC,

$$ sinF = {\ Against \ side} / {\ hypotenuse} = {AB} / {AC} = {12} / {20} = {3} / {5} $$

Следовательно, $ sinF = {3} / {5} $.

Окончательный ответ: {3} / {5} $ или 0,6.

Вопросы SAT по математике, разрешенные калькулятором

Вопрос 7

Неполная таблица выше суммирует количество учащихся-левшей и учащихся-правшей с разбивкой по полу для учащихся восьмых классов средней школы им. Кейзеля.Учениц-правшей в 5 раз больше, чем учениц-левшей, и учеников-правшей в 9 раз больше, чем учениц-левшей. Если в школе всего 18 учеников-левшей и 122 ученика-правшей, что из следующего наиболее близко к вероятности того, что случайно выбранный ученик-правша будет женщиной? (Примечание: предположим, что ни один из восьмиклассников не является одновременно правшой и левшой.)

А) 0.410
B) 0,357
C) 0,333
D) 0,250

ОБЪЯСНЕНИЕ ОТВЕТА: Чтобы решить эту проблему, вы должны создать два уравнения, используя две переменные ($ x $ и $ y $) и предоставленную вам информацию. Пусть $ x $ будет количеством учениц-левшей и пусть $ y $ будет количеством учениц-левшей. Используя информацию, приведенную в задаче, количество учащихся-правшей будет составлять 5 долларов США, а количество учащихся-правшей будет составлять 9 лет.Поскольку общее количество студентов-левшей составляет 18, а общее количество студентов-правшей — 122, система уравнений ниже должна быть верной:

$$ x + y = 18 $$

$$ 5x + 9y = 122 $$

Когда вы решаете эту систему уравнений, вы получаете $ x = 10 $ и $ y = 8 $. Таким образом, из 122 учащихся-правшей 5 * 10, или 50, — девушки. Следовательно, вероятность того, что случайным образом выбранный студент-правша будет женщиной, составляет {50} / {122} $, что с точностью до тысячных составляет 0,410.

Окончательный ответ — А.

Вопросы 8 и 9

Используйте следующую информацию как для вопроса 7, так и для вопроса 8.

Если покупатели входят в магазин со средней скоростью $ r $ покупателей в минуту и ​​каждый остается в магазине в течение среднего времени T $ минут, среднее количество покупателей в магазине, равное N $, в любой момент времени составляет задается формулой $ N = rT $. Эта связь известна как закон Литтла.

По оценкам владельца магазина Good Deals Store, в рабочее время в магазин заходит в среднем 3 покупателя в минуту, и каждый из них остается в среднем на 15 минут.Владелец магазина использует закон Литтла, чтобы оценить, что в магазине одновременно находится 45 покупателей.

Вопрос 8

Закон Литтла может применяться к любой части магазина, например к определенному отделу или кассовым линиям. Владелец магазина определяет, что в рабочее время примерно 84 покупателя в час совершают покупку, и каждый из этих покупателей проводит в очереди в кассе в среднем 5 минут. Сколько в среднем покупателей в любое время в рабочее время ожидают в очереди у кассы, чтобы совершить покупку в магазине Good Deals Store?

ОБЪЯСНЕНИЕ ОТВЕТА: Поскольку в вопросе говорится, что закон Литтла может применяться к любой отдельной части магазина (например, только к кассе), тогда среднее количество покупателей, $ N $, в очереди к кассе в любой time равно $ N = rT $, где $ r $ — это количество покупателей, заходящих в кассу в минуту, а $ T $ — это среднее количество минут, которое каждый покупатель проводит в очереди.

Поскольку 84 покупателя в час совершают покупку, 84 покупателя в час входят в кассу. Однако это необходимо преобразовать в количество покупателей в минуту (для использования с $ T = 5 $). Поскольку в часе 60 минут, тариф составляет $ {84 \ shoppers \ per \ hour} / {60 \ minutes} = 1,4 $ покупателя в минуту. Используя данную формулу с $ r = 1,4 $ и $ T = 5 $, получаем

$$ N = rt = (1.4) (5) = 7 $$

Таким образом, среднее количество покупателей, $ N $, в очереди на кассу в любое время в рабочее время равно 7.

Окончательный ответ 7.

Вопрос 9

Владелец магазина Good Deals Store открывает новый магазин в другом конце города. По оценкам владельца нового магазина, в рабочее время в него заходят в среднем 90 покупателей в час, и каждый из них остается в среднем на 12 минут. Среднее количество покупателей в новом магазине в любой момент времени на какой процент меньше среднего количества покупателей в исходном магазине в любое время? (Примечание: игнорируйте символ процента при вводе ответа.Например, если ответ 42,1%, введите 42,1)

ОБЪЯСНЕНИЕ ОТВЕТА: Согласно исходной информации, предполагаемое среднее количество покупателей в исходном магазине в любой момент времени (N) составляет 45. В вопросе говорится, что в новом магазине менеджер оценивает, что в среднем 90 покупателей в час (60 минут) заходят в магазин, что эквивалентно 1,5 покупателям в минуту (r). Менеджер также подсчитал, что каждый покупатель остается в магазине в среднем 12 минут (T).Таким образом, по закону Литтла в каждый момент времени в новом магазине в среднем находится $ N = rT = (1.5) (12) = 18 $ покупателей. Это

$$ {45-18} / {45} * 100 = 60 $$

На

процента меньше, чем среднее количество покупателей в исходном магазине в любое время.

Окончательный ответ — 60.

Вопрос 10

На плоскости $ xy $ точка $ (p, r) $ лежит на прямой с уравнением $ y = x + b $, где $ b $ — постоянная. Точка с координатами $ (2p, 5r) $ лежит на прямой с уравнением $ y = 2x + b $.Если $ p ≠ 0 $, каково значение $ r / p $?

A) 2/5 долларов США

B) 3/4 $

C) 4/3 долл. США

D) $ 5/2 $

ОБЪЯСНЕНИЕ ОТВЕТА: Поскольку точка $ (p, r) $ лежит на прямой с уравнением $ y = x + b $, точка должна удовлетворять уравнению. Подстановка $ p $ вместо $ x $ и $ r $ вместо $ y $ в уравнение $ y = x + b $ дает $ r = p + b $, или $ \ bi b $ = $ \ bi r- \ bi p $.

Аналогично, поскольку точка $ (2p, 5r) $ лежит на прямой с уравнением $ y = 2x + b $, точка должна удовлетворять уравнению.Замена $ 2p $ на $ x $ и $ 5r $ на $ y $ в уравнении $ y = 2x + b $ дает:

$ 5r = 2 (2p) + b $

$ 5r = 4p + b $

$ \ bi b $ = $ \ bo 5 \ bi r- \ bo 4 \ bi p $.

Затем мы можем установить два уравнения, равных $ b $, равным друг другу и упростить:

$ б = р-п = 5р-4п $

$ 3p = 4r $

Наконец, чтобы найти $ r / p $, нам нужно разделить обе части уравнения на $ p $ и на $ 4 $:

$ 3p = 4r $

3 доллара США = {4r} /

доллара США на человека

$ 3/4 = р / п $

Правильный ответ: B , 3/4 доллара.

Если вы выбрали варианты A и D, возможно, вы неправильно сформировали свой ответ из коэффициентов в пункте $ (2p, 5r) $. Если вы выбрали вариант C, возможно, вы перепутали $ r $ и $ p $.

Обратите внимание, что пока он находится в разделе калькулятора теста SAT, вам совершенно не нужен калькулятор для его решения!

Вопрос 11

Зерновой бункер состоит из двух правых круглых конусов и правого круглого цилиндра с внутренними размерами, представленными на рисунке выше. 2h $$

можно использовать для определения общего объема силоса.2) (5) = ({4} / {3}) (250) π $$

, что примерно равно 1047,2 кубических футов.

Окончательный ответ — D.

Вопрос 12

Если $ x $ — среднее (среднее арифметическое) $ m $ и $ 9 $, $ y $ — среднее значение $ 2m $ и $ 15 $, а $ z $ — среднее значение $ 3m $ и $ 18 $, то что есть среднее значение $ x $, $ y $ и $ z $ в пересчете на $ m $?

A) млн $ + 6
B) млн $ + 7
C) 2 млн + 14
D) 3 млн + 21

ОБЪЯСНЕНИЕ ОТВЕТА: Поскольку среднее (среднее арифметическое) двух чисел равно сумме двух чисел, разделенных на 2, уравнения $ x = {m + 9} / {2} $, $ y = {2m +15} / {2} $, $ z = {3m + 18} / {2} $ верны.2-x- {11} / {4} $$

и

$$ y = k $$

Реальное решение системы двух уравнений соответствует точке пересечения графиков этих двух уравнений на плоскости $ xy $.

График $ y = k $ — это горизонтальная линия, которая содержит точку $ (0, k) $ и трижды пересекает график кубического уравнения (поскольку оно имеет три действительных решения). Учитывая график, единственная горизонтальная линия, которая трижды пересекала бы кубическое уравнение, — это линия с уравнением $ y = −3 $ или $ f (x) = −3 $.2 $$

Динамическое давление $ q $, создаваемое жидкостью, движущейся со скоростью $ v $, можно найти с помощью приведенной выше формулы, где $ n $ — постоянная плотность жидкости. Инженер-авиастроитель использует формулу для определения динамического давления жидкости, движущейся со скоростью $ v $, и той же жидкости, движущейся со скоростью 1,5 $ v $. Каково отношение динамического давления более быстрой жидкости к динамическому давлению более медленной жидкости?

ОБЪЯСНЕНИЕ ОТВЕТА: Чтобы решить эту проблему, вам необходимо задать уравнения с переменными.2 = (2.25) q_1 $$

Следовательно, коэффициент динамического давления более быстрой жидкости равен

$$ {q2} / {q1} = {2.25 q_1} / {q_1} = 2.25 $$

Окончательный ответ — 2,25 или 9/4.

Вопрос 15

Для полинома $ p (x) $ значение $ p (3) $ равно $ -2 $. Что из следующего должно быть верным относительно $ p (x) $?

A) $ x-5 $ — множитель $ p (x) $.
B) $ x-2 $ — множитель $ p (x) $.
C) $ x + 2 $ — множитель $ p (x) $.
D) Остаток от деления $ p (x) $ на $ x-3 $ равен -2 $.1 $ и не выше), остаток — действительное число.

Следовательно, $ p (x) $ можно переписать как $ p (x) = (x + k) q (x) + r $, где $ r $ — действительное число.

В вопросе указано, что $ p (3) = -2 $, поэтому должно быть верно, что

$$ — 2 = p (3) = (3 + k) q (3) + r $$

Теперь мы можем включить все возможные ответы. Если ответ A, B или C, $ r $ будет $ 0 $, а если ответ D, $ r $ будет $ -2 $.

A. $ -2 = p (3) = (3 + (-5)) q (3) + 0 $
$ -2 = (3-5) q (3) $
$ -2 = (- 2 ) q (3) $

Это могло быть правдой, но только если $ q (3) = 1 $

Б.$ -2 = p (3) = (3 + (-2)) q (3) + 0 $
$ -2 = (3-2) q (3) $
$ -2 = (-1) q ( 3) $

Это могло быть правдой, но только если $ q (3) = 2 $

C. $ -2 = p (3) = (3 + 2) q (3) + 0 $
$ -2 = (5) q (3) $

Это может быть правдой, но только если $ q (3) = {- 2} / {5} $

D. $ -2 = p (3) = (3 + (-3)) q (3) + (-2) $ 900 33 $ -2 = (3 — 3) q (3) + (-2) $
-2 = (0) q (3) + (-2)

долл. США

Это всегда будет истинным независимо от того, что такое $ q (3) $.

Из вариантов ответа единственное, что должно быть истинным относительно $ p (x) $, — это D, а остаток от деления $ p (x) $ на $ x-3 $ равен -2.

Окончательный ответ — D.

Хотите улучшить свой результат SAT на 160 баллов? Мы написали руководство о 5 лучших стратегиях, которые вы должны использовать, чтобы улучшить свой результат. Скачать бесплатно сейчас:

Вы заслуживаете того, чтобы вздремнуть, задав эти вопросы.

Что общего у самых сложных вопросов по SAT Math?

Важно понимать, что делает эти сложные вопросы «сложными». Таким образом, вы сможете понять и решить похожие вопросы, когда вы увидите их в день тестирования, а также получите лучшую стратегию для выявления и исправления ваших предыдущих математических ошибок SAT.

В этом разделе мы рассмотрим, что общего у этих вопросов, и приведем примеры каждого типа.Некоторые из причин, по которым самые сложные вопросы по математике являются самыми сложными вопросами по математике, заключаются в том, что они:

# 1: Проверить несколько математических понятий одновременно

Здесь мы должны иметь дело с мнимыми числами и дробями одновременно.

Секрет успеха: Подумайте, какую применимую математику вы могли бы использовать для решения задачи, выполняйте по одному шагу за раз и пробуйте каждый метод, пока не найдете тот, который работает!

# 2: задействовать множество шагов

Помните: чем больше шагов вам нужно предпринять, тем легче где-то на ходу напортачить!

Мы должны решить эту проблему поэтапно (делая несколько средних значений), чтобы разблокировать остальные ответы в эффекте домино.Это может сбивать с толку, особенно если вы в стрессе или у вас не хватает времени.

Секрет успеха: Не торопитесь, делайте шаг за шагом и перепроверяйте свою работу, чтобы не ошибиться!

# 3: Тестируйте концепции, с которыми вы мало знакомы

Например, многие учащиеся менее знакомы с функциями, чем с дробями и процентами, поэтому большинство функциональных вопросов считаются задачами «высокой сложности».

Если вы не разбираетесь в функциях, это может быть сложной проблемой.

Секрет успеха: Просмотрите математические концепции, с которыми вы не так хорошо знакомы, например, функции. Мы предлагаем использовать наши отличные бесплатные руководства по тестированию SAT Math.

# 4: написаны необычно или запутанно

Может быть сложно точно определить, какие вопросы задает , не говоря уже о том, как их решить. Это особенно верно, когда вопрос находится в конце раздела, а у вас не хватает времени.

Поскольку в этом вопросе содержится так много информации без диаграммы, может быть трудно разобраться в этом за ограниченное время.

Секрет успеха: Не торопитесь, проанализируйте, что от вас просят, и нарисуйте диаграмму, если это вам поможет.

# 5: Используйте много разных переменных

При таком большом количестве различных переменных очень легко запутаться.

Секрет успеха: Не торопитесь, проанализируйте, что от вас просят, и подумайте, является ли включение цифр хорошей стратегией для решения проблемы (это не относится к вопросу выше, но может быть ко многим другим. SAT переменные вопросы).

На вынос

SAT — это марафон, и чем лучше вы к нему подготовитесь, тем лучше вы будете себя чувствовать в день теста. Знание того, как отвечать на самые сложные вопросы, которые может бросить вам тест, сделает сдачу настоящего SAT намного менее сложной задачей.

Если вы считаете, что эти вопросы были легкими, не стоит недооценивать влияние адреналина и усталости на вашу способность решать проблемы. Продолжая учиться, всегда придерживайтесь надлежащих рекомендаций по времени и старайтесь проходить полные тесты, когда это возможно. Это лучший способ воссоздать реальную среду тестирования, чтобы вы могли подготовиться к реальной сделке.

Если вы считаете, что эти вопросы были сложными, обязательно укрепит свои математические знания, ознакомившись с нашими индивидуальными руководствами по математическим темам для SAT. Здесь вы увидите более подробные объяснения рассматриваемых тем, а также более подробную разбивку ответов.

Что дальше?

Почувствовали, что эти вопросы оказались сложнее, чем вы ожидали? Взгляните на все темы, затронутые в разделе SAT по математике, а затем отметьте, какие разделы были для вас особенно трудными.Затем взгляните на наши индивидуальные руководства по математике, которые помогут вам укрепить любую из этих слабых сторон.

Не хватает времени на сдачу экзамена по математике? Наш гид поможет вам выиграть время и увеличить свой счет.

Хотите набрать наивысший балл? Ознакомьтесь с нашим руководством о том, как набрать 800 баллов по математике в разделе SAT, написанном отличным игроком.

Хотите улучшить свой результат SAT на 160 баллов?

Посетите наши лучшие в своем классе онлайн-классы подготовки к SAT.Мы гарантируем возврат ваших денег , если вы не улучшите свой SAT на 160 или более баллов.

Наши классы полностью онлайн, и их ведут эксперты SAT. Если вам понравилась эта статья, вам понравятся наши классы. Наряду с занятиями под руководством экспертов вы получите индивидуальное домашнее задание с тысячами практических задач, организованных по индивидуальным навыкам, чтобы вы учились наиболее эффективно. Мы также дадим вам пошаговую индивидуальную программу, которой вы будете следовать, чтобы вы никогда не запутались, что изучать дальше.