Показательные уравнения нестандартного вида

Показательные уравнения нестандартного вида

Показательные уравнения нестандартного вида

Пример №1

5^2x2-1-3*5^(x+1)(x+2)-2*5^6(x+1)=0

Раскроем скобки в показателях степеней:

5^2x2-1-3*5^x2+3x+2-2*5^6x+6=0

Вынесем 5^6x+6 за скобки:

5^6x+6*(5^2x2-6x-7-3*5^x2-3x-4-2)=0

5^6x+6=0

5^2x2-6x-7-3*5^x2-3x-4-2=0

Выражение 5^6x+6=0 не имеет решения, т.к. aⁿ≠0. Представим 5^2x2-6x-7 как 5^2(x2-3x-4)+1 и обозначим 5^x2-3x-4 переменной t. Получим:

5t²-3t-2=0

По теореме Виета получим корни:

t₁=1

t₂=-2/5

Корень t₂=-2/5 не будет удовлетворять уравнению, т.к. положительное число в любой степени больше нуля. Подставим вместо t — 5^x2-3x-4

5^x2-3x-4=1

Заметим, что 1=5⁰

5^x2-3x-4=5⁰

Приравниваем показатели:

x²-3x-4=0

D=9+16=25, D>0, следовательно, уравнение имеет два действительных корня:

x₁=(3-5)/2=-1

x₂=(3+5)/2=4

Ответ: x=-1 и x=4.

Пример №2

5^x/(√x+2)*0,2^4/(√x+2)=125^x-4*0,04^x-2

Напишем сразу ОДЗ: x≥0, т.к. D(√)=R+ U 0

Заметим, что 0,2^4/(√x+2)=5^{-1(4/(√x+2))}=5^-4/(√x+2); 125^x-4=5^3(x-4)=5^3x-12; 0,04^x-2=5^-2(x-2)=5^4-2x

Обозначим √x переменной t>0

5^t2/(t+2)*5^-4/(t+2)=5^3t2-12*5^4-2t2

Отметим, что t≠0, т.к. деление на 0 не определено. При умножении складываем показатели степеней:

5^(t2-4)/(t+2)=5^t2-8

Приравниваем показатели степеней

(t²-4)/(t+2)=t²-8

(t²-4) по формуле квадрат разности будет (t+2)*(t-2)

Упростим:

(t+2)*(t-2)/(t+2)=t²-8

Получим:

t-2=t²-8

Перенесем все члены в правую часть уравнения:

t²-t-6=0

D=1+24=25, D>0, следовательно, уравнение имеет два действительных корня.

t₁=(1+5)/2=3

t₂=(1-5)/2=-2

t₂=-2 не удовлетворяет уравнению, т.к. в случае 5^(t2-4)/(t+2)=5^t2-8 при t=-2 (t+2)=0, а деление на 0 не определено. Подставим вместо t — √x

√x=3

Возведем левую и правую часть уравнения в квадрат:

x=9

Ответ: х=9.

Пример №3

3*4^x+(1/3)*9^x+2=6*4^x+1-(1/2)*9^x+1

Перенесем 3*4^x в правую часть уравнения, а (1/2)*9^x+1 — в левую:

(1/3)*9^x+2+(1/2)*9^x+1=6*4^x+1-3*4^x

В левой части уравнения 9^x+1 вынесем за скобки, а в правой — 4^x :

9^x+1 * (1/3 * 9 + 1/2)=4^x * (6*4-3)

Сложив действия в скобках, получим:

7/2 * 9^x+1=4^x*21

Поделим левую и правую часть уравнения на 21/2 :

9^x+1 * 1/3=4^x*2

Заметим, что 9^x=3^2x,4^x=2^2x и 1/3=3^-1

3^2x+2*3^-1=2^x*2

Сложим показатели степеней при умножении:

3^2x+1=2^2x+1

3^2x+1=2^2x+1 лишь в том случае, если 2^x+1=0, т.к. любое число в нулевой степени — 1.

2x+1=0

2x=-1

x=-1/2

Ответ: x=-1/2

Пример №4

49^1+√x-2-344*7^√x-2=-7

Напишем сразу ОДЗ: x-2≥0, т.к. D(√)=R+ U 0, следовательно, x≥2

Представим 49^1+√x-2 как 7^2√x-2*49 и перенесем -7 в левую часть уравнения с противоположным знаком:

7^2*√x-2*49-344*7^√x-2+7=0

Обозначим 7^√x-2 переменной t>0, т.к. положительное число в любой степени больше нуля.

49t²-344t+7=0

D=118336-1372=116964, D>0, следовательно, уравнение имеет два действительных корня:

t₁=(344-342)/108=1/49

t₂=(344+342)/108=7

t₁=1/49 не удовлетворяет уравнению, т.к. t должно быть больше 0 . Подставим вместо t — 7^√x-2

7^√x-2=7

Приравниваем показатели:

√x-2=1

Возведем левую и правую часть уравнения в квадрат:

x-2=1

Перенесем -2 в правую часть уравнения с противоположным знаком:

x=3

Ответ: х=3

Пример №5

(0,25)^|x|*√(3)^2x2-8-(27/4)^|x|=0

Представим (0,25)^|x| как(1/4)^|x|, √(3)^2x2-8 как 3^x2-4, а (27/4)^|x| как 3^3|x|*(1/4)^|x|:

(1/4)^|x|*3^x2-4-3^3|x|*(1/4)^|x|=0

Вынесем (1/4)^|x| за скобки:

(1/4)^|x|*(3^x2-4-3^3|x|)=0

Получим:

(1/4)^|x|

3^x2-4-3^3|x|=0

(1/4)^|x| не удовлетворяет, т.к. любое положительное число в любой степени больше нуля.

Модуль раскроется в двух случаях:

A. a≥0

B. a<0.

Рассмотрим случай A:

3^x2-4-3^3x=0

Перенесем 3^3x в правую часть уравнения с противоположным знаком:

3^x2-4=3^3x

Приравниваем показатели:

x²-4=3x

Перенесем 3x в левую часть уравнения с противоположным знаком:

x²-3x-4=0

По теореме Виета получим корни:

x₁=4

x₂=-1

Корень t₂=-1 не будет удовлетворять уравнению, т.к. мы оговорили, что a≥0.

Рассмотрим случай B:

3^x2-4-3^-3x=0

Перенесем 3^-3x в правую часть уравнения с противоположным знаком:

3^x2-4=3^-3x

Приравниваем показатели:

x²-4=-3x

Перенесем 3x в левую часть уравнения с противоположным знаком:

x²+3x-4=0

По теореме Виета получим корни:

x₁=-4

x₂=1

Корень t₂=1 не будет удовлетворять уравнению, т.к. мы оговорили, что a<0.

Ответ: х=4 и х=-4

Пример №6

(25^x2-5^x2)√-x=5^2x2+1-5^x2+1+20√-x-100

Напишем сразу ОДЗ: √-x≥0, т.к. D(√)=R+ U 0, следовательно, -x≥0, тогда x≤0.

Представим 25^x2 как 5^2x2:

(5^2x2-5^x2)√-x=5^2x2+1-5^x2+1+20√-x-100

Вынесем 5^x2, 20 и 5^x2+1 за скобки:

5^x2(5^x2-1)√-x=5^x2+1(5^x2-1)+20(√-x-5)

Перенесем 5^x2+1(5^x2-1)+20(√-x-5) в левую часть уравнения с противоположными знаками:

5^x2(5^x2-1)√-x — 5^x2+1(5^x2-1)-20(√-x-5)=0

Вынесем 5^x2(5^x2-1) за скобки:

5^x2(5^x2-1)(√-x-5)-20(√-x-5)=0

Вынесем (√-x-5) за скобки:

(√-x-5)(5^x2(5^x2-1)-20)=0

(√-x-5)=0

(5^x2(5^x2-1)-20)=0

Решим их по отдельности:

(√-x-5)=0

Перенесем -5 в правую часть уравнения с противоположным знаком:

√-x=5

Возведем левую и правую часть уравнения в квадрат:

-x=25

Домножим левую и правую часть уравнения на -1:

x=-25

(5^x2(5^x2-1)-20)=0

Раскроем скобки:

5^2x2-5^x2-20=0

5^x2 обозначим переменной t, тогда 5^2x2 будет t²:

t²-t-20=0

Получили квадратное уравнение:

D=1+80=81, D>0, следовательно, уравнение имеет два действительных корня

t₁=(1+9)/2=1

t₂=(1-9)/2=-4

Корень t₂=-4 не будет удовлетворять уравнению, т.к. любое положительное число в любой степени больше нуля.

Подставим вместо t — 5^x2:

5^x2=1

Заметим, что 5⁰=1:

5^x2=5⁰

Приравним показатели:

x²=0

x=0

Ответ: x=0 и x=-25

Пример №7

(3-2√2)^x2-2x+2+(17+√288)^0,5*x2-x+1=6

Заметим, что (17+√288)^0,5*x2-x+1=(3+2√2)^{2(0,5*x2-x+1)}

(3-2√2)^x2-2x+2+(3+2√2)^{2(0,5*x2-x+1)}=6

Раскроем скобки в показателе степени 2(0,5*x²-x+1)

(3-2√2)^x2-2x+2+(3+2√2)^x2-2x+2=6

Введем подстановку: (3-2√2)^x2-2x+2 обозначим переменной t. А (3+2√2)^x2-2x+2 домножим на сопряженные и получим:

((3+2√2)^x2-2x+2*(3-2√2)^x2-2x+2)/(3-2√2)^x2-2x+2=(3²-2√2²)^x2-2x+2=(9-8)^x2-2x+2/(3-2√2)^x2-2x+2=1^x2-2x+2/(3-2√2)^x2-2x+2=1/(3-2√2)^x2-2x+2

Следовательно, 1/(3-2√2)^x2-2x+2=1/t:

t+1/t=6

Отметим, что t≠0, т.к. деление на 0 не определено. Домножим левую и правую часть на t:

t2+1=6t

Перенесем 6t в левую часть уравнения с противоположным знаком:

t2-6t+1=0

Решим квадратное уравнение:

D=36-4=32, D>0, следовательно, уравнение имеет два действительных корня. Отметим, что √32=4√2

t₁=(6+4√2)/2=3+2√2

t₂=(6-4√2)/2=3-2√2

Заменим t₁ на (3-2√2)^x2-2x+2

3+2√2=(3-2√2)^x2-2x+2

Домножим 3+2√2 на сопряженные и получим:

(3+2√2)*(3-2√2)/(3-2√2)=(9-8)/(3-2√2)=1/(3-2√2)

Следовательно:

1/(3-2√2)=(3-2√2)^x2-2x+2

Заметим, что 1/(3-2√2)=(3-2√2)^-1

Следовательно:

(3-2√2)^-1=(3-2√2)^x2-2x+2

Приравняв показатели, получим:

-1=x²-2x+2

Перенесем -1 в правую часть уравнения с противоположным знаком:

x²-2x+3=0

D=4-8=-4, D<0, следовательно, уравнение не имеет действительных корней

Заменим t₂ на (3-2√2)^x2-2x+2

3-2√2=(3-2√2)x2-2x+2

Приравняв показатели, получим:

1=x²-2x+2

Перенесем 1 в правую часть уравнения с противоположным знаком:

x²-2x+1=0

Сложив формулу, получим:

(x-1)²=0

Следовательно:

x-1=0

Перенесем -1 в правую часть уравнения с противоположным знаком. Получим:

x=1

Ответ: x=1

<< Назад ] [ Начало ] [ Вперед >>

Различные методы решения уравнений

I. Линейные уравнения

II. Квадратные уравнения

ax² + bx + c = 0,  a
≠ 0, иначе уравнение становится линейным

Корни квадратного уравнения можно вычислять различными способами, например:

Мы хорошо умеем решать квадратные уравнения. Многие уравнения более высоких
степеней можно привести к квадратным.

III. Уравнения, приводимые к квадратным.

замена переменной: а) биквадратное уравнение ax²ⁿ
+ bxⁿ + c = 0, a
≠ 0, n ≥ 2  

2) симметрическое уравнение 3 степени – уравнение
вида

3) симметрическое уравнение 4 степени – уравнение
вида

ax⁴ + bx³ + cx²
+ bx + a =  0, a ≠
0, коэффициенты  a b c b a
или

ax⁴ + bx³ + cx² 
– bx + a =  0, a ≠
0, коэффициенты a b c (–b) a 

Т.к. x = 0 не
является корнем уравнения, то возможно деление обеих частей уравнения на x², тогда получаем:
.

Произведя замену

решаем квадратное уравнение a(t² –
2) + bt + c = 0

Например, решим уравнение x⁴ –
 2x³ – x² – 2x
+ 1 = 0, делим обе части на x²,

,
после замены

получаем уравнение t² – 2t – 3 = 0

– уравнение не имеет корней.

Ответ:

4) Уравнение вида (x – a)(x – b)(x – c)(x
– d) = Ax², коэффициенты ab =
cd

Например, (x + 2)(x +3)(x + 8)(x +
12) = 4x². Перемножив 1–4
и 2–3 скобки, получим (x² + 14x + 24)(x²
+11x + 24) = 4x², разделим обе части уравнения
на x², получим:

имеем  (t + 14)(t + 11 ) = 4.

5) Однородное уравнение 2 степени – уравнение вида
Р(х,у) = 0, где Р(х,у) –
многочлен, каждое слагаемое которого имеет степень 2.

Ответ: -2; -0,5; 0

IV. Все приведенные уравнения узнаваемы и типичны,
а как быть с уравнениями произвольного вида?

Пусть дан многочлен P_n(x) = a_nxⁿ
+ a_n-1x^n-1 + …+a₁x +
a₀ , где a_n≠ 0

Рассмотрим метод понижения степени уравнения.

Известно, что, если коэффициенты a являются
целыми числами и a_n = 1 , то целые
корни уравнения P_n(x) = 0
находятся среди делителей свободного члена a₀.
Например, x⁴ + 2x³ – 2x²
– 6x + 5 = 0, делителями числа 5 являются числа 5;
–5; 1; –1. Тогда
P₄(1) = 0, т.е.
x = 1 является корнем уравнения. Понизим
степень уравнения P₄(x) = 0 с
помощью деления “уголком” многочлена на множитель х –1,
получаем

P₄(x) = (x – 1)(x³
+ 3x² + x – 5).

Аналогично, P₃(1) = 0, тогда
P₄(x) = (x – 1)(x –
1)(x² + 4x +5), т.е. уравнение
P₄(x) = 0 имеет корни
x₁ = x₂ = 1.
Покажем более короткое решение этого уравнения (с помощью схемы Горнера).

значит, x₁ = 1 значит,
x₂ = 1.

Итак, (x
– 1)²(x² + 4x + 5) = 0

Что мы делали? Понижали степень уравнения.

V. Рассмотрим симметрические уравнения 3 и 5
степени.

а) ax³ + bx² +
bx + a = 0, очевидно, x = –1
корень уравнения, далее понижаем степень уравнения до двух.

б) ax⁵ + bx⁴ + cx³
+ cx² + bx + a = 0, очевидно,
x = –1 корень уравнения, далее понижаем степень
уравнения до двух.

Например, покажем решение уравнения 2x⁵
+ 3x⁴ – 5x³ – 5x² + 3x
+ = 0

 x = –1

 x = 1

 x = 1

Получаем (x – 1)²(x + 1)(2x²
+ 5x + 2) = 0. Значит, корни уравнения: 1; 1; –1;
–2; –0,5.

VI. Приведем список различных уравнений для решения
в классе и дома.

Предлагаю читателю самому решить уравнения 1–7 и получить ответы…

11.3.4. Решение показательных уравнений, приводящихся к квадратным уравнениям.

Автор Татьяна Андрющенко На чтение 2 мин. Просмотров 50 Опубликовано 2 июля 2012

Многие показательные уравнения заменой переменной сводятся к квадратному уравнению вида: ax²+bx+c=0.

Примеры.

Решить уравнение:

1) 4^x+2^x+1-3=0. Представим 4^x в виде степени с основанием 2.

(2²)^x+2^x∙2¹-3=0; при возведении степени в степень основание оставляют, а показатели перемножают: 2·х=х·2, поэтому:

(2^x)²+2∙2^x-3=0;

вводим новую переменную: пусть 2^x=y;

y²+2y-3=0.

Дискриминант для четного второго коэффициента: D₁=1²-1∙(-3)=1+3=4=2² – полный квадрат, поэтому применим теорему Виета: сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

y₁+y₂=-2, y₁∙y₂=-3. Подбираем корни: y₁=-3, y₂=1.

Возвращаемся к переменной х:

1) 2^x=-3, нет решений, так как значения показательной функции: Е(у)=(0; +∞). (только положительные числа).

2) 2^x=1. Число 1 можно представлять в виде нулевой степени по любому основанию.

2^x=2⁰;

x=0.

Ответ: 0.

2) 0,25^2x-5∙0,5^2x+4=0.  Решаем аналогично. Представляем 0,25^2x— в виде степени с основанием 0,5.

(0,5²)^2x-5∙0,5^2x+4=0;

(0,5^2x)²-5∙0,5^2x+4=0.

0,5^2x=y; ввели новую переменную у и получили приведенное квадратное уравнение:

y²—5y+4=0;

Дискриминант D=b²-4ac=5²-4∙1∙4=25-16=9=3² — полный квадрат, применяем теорему Виета: сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

y₁+y₂=5, y₁+y₂=4. Корни приведенного квадратного уравнения находим подбором: y₁=1, y₂=4 и возвращаемся к переменной х:

1) 0,5^2x=1; число 1 можно представлять в виде нулевой степени по любому основанию.

0,5^2x=0,5⁰;

2x=0;

x=0.

2) 0,5^2x=4; приведем степень  0,5^2x  к основанию 2, применив формулу:   (1/a)^x =а^-х 

(¹/₂)^2x=2²;

2^-2x=2²; приравниваем показатели:

— 2x=2 |:(-2)

x=-1.

Ответ: -1; 0.

Представим левую и правую части в виде степеней с основанием 4, используя формулы: а^-х=1/a^x  и  a^x∙a^y=a^x+y .

Если равны две степени с одинаковыми основаниями, то основания можно опустить и приравнять показатели степеней. Переносим дробь из правой части равенства в левую и упрощаем левую часть.

Находим дискриминант приведенного квадратного уравнения. Дискриминант является квадратом целого числа, поэтому, подбираем корни, пользуясь теоремой Виета:  сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

10.5. Нахождение рациональных корней многочлена с целыми коэффициентами.

10.5. НАХОЖДЕНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ КОРНЕЙ МНОГОЧЛЕНА С ЦЕЛЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

Теорема 4. Если многочлен с целыми коэффициентами f (x) = a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + … + a₁x+a₀  имеет рациональный корень x=p/q (q ≠ 0, дробь p/q  несократимая), то р является делителем свободного члена (a₀), а q — делителем коэффициента при стар­шем члене а_n.

     Если p/q является корнем многочлена f (х), то f(p/q) = 0. Подставляем p/q вместо х в f(x) и из последнего равенства имеем

            Умножим обе части равенства (1) на  (q ≠ 0). Получаем

В равенстве (2) все слагаемые, кроме последнего, делятся на р. Поэтому

a₀qⁿ = -(а_nрⁿ + a_n-1p^n-1q + … + a₁pq^n-1) делится на р.

Но когда мы записываем рациональное число в виде p/q, то эта дробь счи­тается несократимой, то есть р и q не имеют общих делителей. Произве­дение a₀qⁿ может делиться на р (если р и q — взаимно простые числа) только тогда, когда a₀ делится на р. Таким образом, р — делитель свобод­ного члена a₀.

Аналогично все слагаемые равенства (2), кроме первого, делятся на q. Тогда

a_npⁿ = -(a_n-1p^n-1q + … + a₁pq^-1 + a₀qⁿ) делится на q. Поскольку р и q — взаимно простые числа, то a_n делится на q, следовательно, q — де­литель коэффициента при старшем члене.

Отметим два следствия из этой теоремы. Если взять q = 1, то корнем многочлена будет целое число р — делитель a₀. Таким образом, имеет место:

Следствие 1. Любой целый корень многочлена с целыми коэффи­циентами является делителем его свободного члена.

Если в заданном многочлене f (х) коэффициент а_n = 1, то делителями а_n могут быть только числа ±1, то есть q =±1, и имеет место:

Следствие 2. Если коэффициент при старшем члене уравнения с целыми коэффициентами равен 1, то все рациональные корни этого уравнения (если они существуют) — целые числа.

Задача 1 Найдите рациональные корни многочлена 2х³ – х² + 12х – 6.

Пусть несократимая дробь p/q является корнем многочлена. Тогда р не­обходимо искать среди делителей свободного члена, то есть среди чисел ±1, ±2, ±3, ±6, а q — среди делителей старшего коэффициента: ±1, ±2.

Таким образом, рациональные корни многочлена необходимо искать сре­ди чисел ±1/2, ±1, +±3/2, ±2, ±3, ±6. Проверять, является ли данное число корнем многочлена, целесообразно с помощью схемы Горнера. При x = 1/2 имеем следующую таблицу.

Кроме того, по схеме Горнера мож­но записать, что

2х³ – х² + 12х – 6 = (x – 1/2) (2x² + 12).

Многочлен 2х² + 12 не имеет действительных корней (а тем более рацио­нальных), поэтому заданный многочлен имеет единственный рациональ­ный корень x =1/2.

Задача 2 Разложите многочлен Р (х) = 2х⁴ + 3х³ – 2х² – х – 2 на множители.

Ищем целые корни многочлена среди делителей свободного члена: ±1, ±2. Подходит 1. Делим Р (х) на х – 1 с помощью схемы Горнера.

Тогда Р (х) = (х – 1)(2х3 + 5х² + 3х + 2). Ищем целые корни кубического многочлена 2х³ + 5х² + 3х + 2 среди делителей его свободного члена: ±1, ±2. Подходит (–2). Делим на х + 2

Имеем  Р (х) = (х – 1)(х + 2)(2х² + х +1).

Квадратный трехчлен 2х² + х +1 не имеет действительных корней и на линейные множители не расклады­вается.

Ответ: Р (х) = (х – 1)(х + 2)(2х² + х +1).

Отметим, что во множестве действительных чисел не всегда можно найти все корни многочлена (например, квадратный трехчлен х² + х + 1 не имеет действительных корней). Таким образом, многочлен n-й степени не всегда можно разложить на линейные множители. В курсах высшей алгебры дока­зывается, что многочлен нечетной степени всегда можно разложить на ли­нейные и квадратные множители, а многочлен четной степени представить в виде произведения квадратных трехчленов.

Например, многочлен четвертой степени раскладывается в произведение двух квадратных трехчленов. Для нахождения коэффициентов этого раз­ложения иногда можно применить метод неопределенных коэффициентов.

Задача 3 Разложите на множители многочлен х⁴ + х³ + 3х² + х + 6.

Попытка найти рациональные корни ничего не дает: многочлен не имеет рациональных (целых) корней.

Попытаемся разложить этот многочлен в произведение двух квадратных трехчленов. Поскольку старший коэффициент многочлена равен 1, то и у квадратных трехчленов возьмем старшие коэффициенты равными 1. То есть будем искать разложение нашего многочлена в виде:

где а, b, с и d — неопределенные (пока что) коэффициенты. Многочлены, стоящие в левой и правой частях этого равенства, тождественно равны, поэтому и коэффициенты при одинаковых степенях х у них равны. Рас­кроем скобки в правой части равенства и приравняем соответствующие коэффициенты. Это удобно записать так:

х⁴+ х³+ 3х² + х + 6 = x⁴+ cx³+ dx²+

                                                      + ax³+ acx²+ adx +

                                                                    + bx²+ bcx + bd.

Получаем систему

Попытка решить эту систему методом подстановки приводит к уравне­нию 4-й степени, поэтому попробуем решить систему (4) в целых числах. Из последнего равенства системы (4) получаем, что b и d могут быть толь­ко делителями числа 6. Все возможные варианты запишем в таблицу.

Коэффициенты b и d в равенстве (3) равноправны, поэтому мы не рас­сматриваем случаи b = 6 и d = 1 или b = –6 и d = –1 и т. д.

Для каждой пары значений b и d из третьего равенства системы (4) най­дем ас = 3 – (b + d), а из второго равенства имеем а + с = 1.

Зная а + с и ас, по теореме, обратной теореме Виета, находим а и с как корни квадратного уравнения. Найденные таким образом значения а, b, с, d подставим в четвертое равенство системы (4) bс + ad = 1, чтобы выбрать те числа, которые являются решениями системы (4). Удобно эти рассуждения оформить в виде таблицы:

Как видим, системе (4) удовлетворяет набор целых чисел а = –1, b = 2, с = 2, d = 3. Тогда равенство (3) имеет вид

Поскольку квадратные трехчлены х² – х + 2 и х² + 2х + 3 не имеют не только рациональных, но и действительных корней, то равенство (5) дает окончательный ответ.

Упражнения

1. Найдите целые корни многочлена:

1) х³ – 5х + 4;

2) 2x³ + x² – 13x + 6;

3) 5х³ + 18х² – 10х – 8;

4) 4х⁴ – 11х² + 9х – 2.

2. Найдите рациональные корни уравнения:

1) х³ – 3х² + 2 = 0;

2) 2х³ – 5х² – х + 1 = 0;

3) 3х⁴ + 5х³ – х² – 5х – 2 = 0;

4) 3х⁴ – 8х³ – 2х² + 7х – 2 = 0.

3. Разложите многочлен на множители:

1) 2х³ – х² – 5х – 2;

2) х³ + 9х² + 23х +15;

3) х⁴ – 2х³ + 2х – 1;

4) х⁴ – 2х³ – 24х² + 50х – 25.

4. Найдите действительные корни уравнения:

1) х³ + х² – 4х + 2 = 0;

2) х³ – 7х – 6 = 0;

3) 2х⁴ – 5х³ + 5х² – 2 = 0;

4) 2х³ – 5х² + 1 = 0.

5*. Разложите многочлен на множители методом неопределенных коэффи­циентов:

1) х⁴ + х³ – 5х² + 13х – 6;

2) х⁴ – 4х³ – 20х² + 13х – 2.

6*. Разложите многочлен на множители, заранее записав его с помощью ме­тода неопределенных коэффициентов в виде (х² + bх + с)² – (mх + n)²: :

1) х⁴+ 4х – 1;

2) х⁴ – 4х³ – 1;

3) х⁴ + 4а³х – а⁴.

Как собрать кубик Рубика 2х2. Самая легкая инструкция по сборке кубика Рубика

☰

Как собрать

Кубик 2×2
Кубик 3×3
Кубик 4×4
Кубик 5×5
Кубик 6×6
Кубик 7×7
Пирамидка
Скьюб
Зеркальный
Мегаминкс
Скваер

Профи методики

Кубик 2х2
Ortega
CFOP (Фридрих)
CLL
Кубик 3×3
Фридрих
F2L
OLL
PLL
Roux
Вслепую
Кубик 4х4
Яу
Кубик 5×5
Яу5
Пирамидка
Кейхол

Интересно
Где купить
Школа
Как собрать кубик Рубика 2х2. Самая легкая инструкция по сборке кубика Рубика
Наглядный видео урок о том, как собрать кубик Рубика 2х2.
Кубик Рубика 2х2 интересная головоломка, для сборки которой достаточно знать всего 2 простых формулы.

Формулы, упомянутые в видео:
R U R’ U’
U R U’ L’ U R’ U’ L U

Хорошие современные кубики Рубика 2х2х2

Купить QiYi Valk2 2×2 M | Магнитный Валк 2х2 без наліпок
549 грн

Купить GAN 251 M 2×2 black | Ган 251 М черный
999 грн

Купить Smart Cube 2х2 Magnetic | Магнитный кубик без наклеек
299 грн

Купить YJ 2×2 YuPo V2M Stickerless | Кубик ЮПо V2 2×2 магнитный
249 грн

Кубик 2×2
Кубик 3×3
Кубик 4×4
Кубик 5×5
Кубик 6×6
Кубик 7×7

Пирамидка
Скъюб
Зеркальный
Мегаминкс
Скваер

Метод Ortega
CFOP (Фридрих)
Метод CLL
Метод F2L
Метод OLL
Метод PLL

Метод Roux
Сборка вслепую
Метод Яу
Метод Яу 5
Метод Кейхол

Интересно
Где купить
Школа

created with passion

2 «.

Пошаговое решение:

Шаг 1:

Уравнение в конце шага 1:

 (2  2  x  2  - 2x) - 2 = 0
 

Шаг 2:

Шаг 3:

Вытягивание как термины:

3.1 Коэффициенты вытягивания:

4x ² — 2x — 2 = 2 • (2x ² — x — 1)

Попытка разложить на множители путем разделения среднего члена

3.2 Факторинг 2x ² — x — 1

Первый член 2x ² , его коэффициент равен 2.
Средний член, -x, его коэффициент -1.
Последний член, «константа», равен -1

Шаг-1: Умножьте коэффициент первого члена на константу 2 • -1 = -2

Шаг-2: Найдите два множителя -2, сумма которых равен коэффициенту среднего члена, который равен -1.

Шаг 3: Перепишите полиномиальное разбиение среднего члена, используя два фактора, найденные в шаг 2 выше, -2 и 1
2x ² — 2x + 1x — 1

Шаг 4: сложите первые 2 члена, вычитая одинаковые множители:
2x • (x-1)
сложите последнее 2 члена, извлекая общие множители:
1 • (x-1)
Шаг 5: сложите четыре члена из шага 4:
(2x + 1) • (x-1)
Какая желаемая факторизация

Уравнение в конце шага 3:

 2 • (x - 1) • (2x + 1) = 0
 

Шаг 4:

Теория — Истоки продукта:

4.1 Произведение нескольких членов равно нулю.

Если произведение двух или более членов равно нулю, то хотя бы одно из членов должно быть равно нулю.

Теперь мы решим каждый член = 0 отдельно

Другими словами, мы собираемся решить столько уравнений, сколько членов есть в продукте

Любое решение для члена = 0 также решает продукт = 0.

Уравнения, которые никогда не верны:

4.2 Решить: 2 = 0

Это уравнение не имеет решения.
Ненулевая константа никогда не равна нулю.

Решение уравнения с одной переменной:

4.3 Решите: x-1 = 0

Добавьте 1 к обеим сторонам уравнения:
x = 1

Решение уравнения с одной переменной:

4.4 Решите: 2x + 1 = 0

Вычтем 1 из обеих частей уравнения:
2x = -1
Разделим обе части уравнения на 2:
x = -1/2 = -0.500

Приложение: прямое решение квадратного уравнения

 Непосредственное решение 2x  2  -x-1 = 0 

Ранее мы разложили этот многочлен на множители, разделив средний член. Давайте теперь решим уравнение, заполнив квадрат и используя квадратичную формулу

Парабола, найдя вершину:

5.1 Найдите вершину y = 2x ² -x-1

Параболы имеют наибольшее или наименьшее значение. точка называется Вершиной. Наша парабола открывается и, соответственно, имеет самую низкую точку (также известную как абсолютный минимум).Мы знаем это даже до того, как нанесли «y», потому что коэффициент первого члена, 2, положительный (больше нуля).

Каждая парабола имеет вертикальную линию симметрии, проходящую через ее вершину. Из-за этой симметрии линия симметрии, например, будет проходить через середину двух x-точек пересечения (корней или решений) параболы. То есть, если парабола действительно имеет два реальных решения.

Параболы могут моделировать множество реальных жизненных ситуаций, например высоту над землей объекта, брошенного вверх через некоторый промежуток времени.Вершина параболы может предоставить нам информацию, например, максимальную высоту, которую может достичь объект, брошенный вверх. По этой причине мы хотим иметь возможность найти координаты вершины.

Для любой параболы Ax ² + Bx + C координата x вершины задается как -B / (2A). В нашем случае координата x равна 0,2500

Подставив в формулу параболы 0,2500 для x, мы можем вычислить координату y:
y = 2,0 * 0,25 * 0,25 — 1,0 * 0.25 — 1,0
или y = -1,125

Парабола, графическая вершина и пересечения по оси X:

Корневой график для: y = 2x ² -x-1
Ось симметрии (пунктирная линия) {x} = {0,25}
Вершина в {x, y} = {0,25, -1,13}
x -Пересечения (корни):
Корень 1 в {x, y} = {-0,50, 0,00}
Корень 2 в {x, y} = { 1.00, 0.00}

Решите квадратное уравнение, заполнив квадрат.

5.2 Решение 2x ² -x-1 = 0, заполнив квадрат.

Разделите обе части уравнения на 2, чтобы получить 1 в качестве коэффициента первого члена:
x ² — (1/2) x- (1/2) = 0

Добавьте 1/2 к обеим сторонам уравнения:
x ² — (1/2) x = 1/2

Теперь умный бит: возьмите коэффициент при x, равный 1/2, разделите его на два, получив 1/4, и, наконец, возведите в квадрат, получая 1/16

Добавьте 1/16 к обеим сторонам уравнения:
В правой части получим:
1/2 + 1/16 Общий знаменатель двух дробей равен 16. Сложение (8/16 ) + (1/16) дает 9/16
Таким образом, добавляя к обеим сторонам, мы в итоге получаем:
x ² — (1/2) x + (1/16) = 9/16

Добавление 1/16 завершено. левая сторона в полный квадрат:
x ² — (1/2) x + (1/16) =
(x- (1/4)) • (x- (1/4)) =
( x- (1/4)) ²
Вещи, которые равны одному и тому же, также равны друг другу.Поскольку
x ² — (1/2) x + (1/16) = 9/16 и
x ² — (1/2) x + (1/16) = (x- (1/4)) ²
тогда, согласно закону транзитивности,
(x- (1/4)) ² = 9/16

Мы будем называть это уравнение уравнением. # 5.2.1

Принцип квадратного корня гласит, что когда две вещи равны, их квадратные корни равны.

Обратите внимание, что квадратный корень из
(x- (1/4)) ² равен
(x- (1/4)) ^2/2 =
(x- (1/4)) ¹ =
x- (1/4)

Теперь, применяя принцип квадратного корня к уравнению.# 5.2.1 получаем:
x- (1/4) = √ 9/16

Добавьте 1/4 к обеим сторонам, чтобы получить:
x = 1/4 + √ 9/16

Поскольку квадратный корень имеет два значения, одно положительное, а другое отрицательное
x ² — (1/2) x — (1/2) = 0
имеет два решения:
x = 1/4 + √ 9/16
или
x = 1/4 — √ 9/16

Обратите внимание, что √ 9/16 можно записать как
√ 9 / √ 16, что равно 3/4

Решите квадратное уравнение, используя квадратичную формулу

5.3 Решение 2x ² -x-1 = 0 по квадратичной формуле.

Согласно квадратичной формуле, x, решение для Ax ² + Bx + C = 0, где A, B и C — числа, часто называемые коэффициентами, дается как:

— B ± √ B ² -4AC
x = ————————
2A

В нашем случае A = 2
B = -1
C = -1

Соответственно B ² — 4AC =
1 — (-8) =
9

Применение квадратичной формулы:

1 ± √ 9
x = ————
4

Можно ли упростить √ 9?

Да! Разложение 9 на простые множители равно
3 • 3
Чтобы можно было удалить что-либо из-под корня, должно быть 2 экземпляра этого (потому что мы берем квадрат i.2-4x + 3} $ — Обмен стеков по математике

Сеть обмена стеков

Сеть Stack Exchange состоит из 176 сообществ вопросов и ответов, включая Stack Overflow, крупнейшее и пользующееся наибольшим доверием онлайн-сообщество, где разработчики могут учиться, делиться своими знаниями и строить свою карьеру.

Посетить Stack Exchange

2. 0

3. +0

6. Авторизоваться
   Зарегистрироваться

Mathematics Stack Exchange — это сайт вопросов и ответов для людей, изучающих математику на любом уровне, и профессионалов в смежных областях.Регистрация займет всего минуту.

Зарегистрируйтесь, чтобы присоединиться к этому сообществу

Кто угодно может задать вопрос

Кто угодно может ответить

Лучшие ответы голосуются и поднимаются наверх

Спросил
1 год, 3 мес назад

Просмотрено
364 раза

$ \ begingroup $

Как решить уравнение $ x ^ 2-2x = \ sqrt {2x ^ 2-4x + 3} $

Приведет ли возведение в квадрат обеих сторон члена $ x ^ 4 $, который может усложнить уравнение?

Н. 2 + 4x- 3 = 0 $.2-4x + 3) $ = $ (x-1) (x + 1) (x-1) (x-3) $ = 0. Итак, мы нашли четыре корня, но помните, что, поскольку мы возводили обе стороны в квадрат, мы ввели два новых решения. Подставляя обратно в исходное уравнение, мы видим, что x = 1 (повторяющийся корень) не является правильным решением, поскольку оно дает отрицательное значение под квадратным корнем.

Создан 05 янв.

ÄresÄres

7,66799 золотых знаков1212 серебряных знаков2727 бронзовых знаков

$ \ endgroup $

$ \ begingroup $

Чтобы ответить на ваш конкретный вопрос: да, возведение в квадрат вводит дополнительные «сол.2-2x + 1) = 0 $$, поэтому $ x = 1, -1 $ или 3 $.

Но проверка мы обнаруживаем, что $ x = 1 $ не является решением исходного уравнения.

Создан 05 янв.

альмагестальмагест

17.5k1919 серебряных знаков3939 бронзовых знаков

$ \ endgroup $

Mathematics Stack Exchange лучше всего работает с включенным JavaScript

Ваша конфиденциальность

Нажимая «Принять все файлы cookie», вы соглашаетесь с тем, что Stack Exchange может хранить файлы cookie на вашем устройстве и раскрывать информацию в соответствии с нашей Политикой в ​​отношении файлов cookie.

Принимать все файлы cookie

Настроить параметры

Умножение общих многочленов | Purplemath

Purplemath

Иногда (например, в исчислении) вам нужно умножить один многочленный многочлен на другой многчленный многочлен.Вы можете сделать это горизонтально, если хотите, но есть так много места для ошибки, что я всегда переключаюсь на вертикальное умножение, когда полиномы превышают длину двух членов (и обычно для биномов тоже). Для больших умножений вертикальное умножение обычно быстрее и с большей вероятностью даст вам правильный ответ.

MathHelp.com

• Упростить (4

  x ² -4 x -7) ( x + 3)

Вот как выглядит умножение по горизонтали:

(4 x ² -4 x -7) ( x + 3)

(4 x ² -4 x -7) ( x ) + (4 x ² -4 x -7) (3)

4 x ² ( x ) — 4 x ( x ) — 7 ( x ) + 4 x ² (3) — 4 x (3) — 7 (3)

4 x ³ -4 x ² -7 x + 12 x ² -12 x -21

4 x ³ -4 x ² + 12 x ² -7 x -12 x -21

4 x ³ + 8 x ² -19 x -21

Это было больно! Теперь сделаю вертикально:

Вот и лот попроще !!! Но в любом случае ответ один и тот же:

.

• Упростить (

  x + 2) ( x ³ + 3 x ² + 4 x -17)

Я просто сделаю это вертикально; по горизонтали слишком много проблем.

Обратите внимание, что, поскольку порядок не имеет значения для умножения, я все же могу поместить полином « x + 2» внизу для вертикального умножения, так же как я всегда помещал меньшее число внизу, когда делал регулярное вертикальное умножение с помощью простых чисел еще в гимназии.

x ⁴ + 5 x ³ + 10 x ² — 9 x — 34

• Упростить (3

  x ² -9 x + 5) (2 x ² + 4 x -7)

Я не тороплюсь и аккуратно выполню свою работу:

6 x ⁴ — 6 x ³ — 47 x ² + 83 x — 35

• Упростить (

  x ³ + 2 x ² + 4) (2 x ³ + x + 1)

Прежде всего, я замечаю, что члены этих многочленов имеют некоторую степень (то есть степень) «пробелов».

Первый полином имеет член x ³ , член x ² и постоянный член, но не член x ; а второй полином имеет член x ³ , член x и постоянный член, но не член x ² . Когда я делаю вертикальное умножение, мне нужно будет оставить в моей настройке пробелы, соответствующие «пробелам» в степенях членов многочленов, потому что мне почти наверняка понадобится это место.

(Это похоже на использование нулей в качестве «заполнителей» в обычных числах. У вас может быть цифра тысячи 3, цифра сотен 2 и цифра единиц 5, поэтому вы должны поставить 0 вместо десятков цифр, образуя число 3205.)

Вот как это выглядит:

Видите, как мне понадобились зазоры? Видите, как мне помогло то, что у меня все было выстроено в соответствии со степенью семестра? Если бы я не оставил пробелов при написании исходных коэффициентов, мои термины легко могли бы оказаться неверно выровненными в строках ниже.Потратив время на то, чтобы подробно описать вещи, я избавил себя от многих ненужных трудностей.

Мой ответ:

2 x ⁶ + 4 x ⁵ + x ⁴ + 11 x ³ + 2 x ² + 4 x + 4

У меня был один профессор, который мог просто смотреть на огромные полиномиальные произведения и каким-то образом сохранять все термины прямо, пока он производил умножение и сложение в уме.Он записывал термины один за другим, начиная с наивысшей степени до самой низкой, переходя прямо от исходного продукта к окончательному ответу. Он нас всех серьезно напугал!

Хотя вы можете стремиться к такому мастерству, не отказывайтесь от инструмента вертикального умножения, по крайней мере, когда вы только начинаете. Не пытайтесь пугать своих одноклассников, пока не научитесь пользоваться обычными методами.

Вы можете использовать виджет Mathway ниже, чтобы попрактиковаться в умножении общих многочленов.Попробуйте выполнить указанное упражнение или введите свое собственное. Затем нажмите кнопку и выберите «Умножить», чтобы сравнить свой ответ с ответом Mathway.

(Нажмите «Нажмите, чтобы просмотреть шаги», чтобы перейти непосредственно на сайт Mathway для платного обновления.)

URL: https://www.purplemath.com/modules/polymult3.htm

Тем по алгебре: Показатели

/ ru / algebra-themes / order-of-operations / content /

Что такое экспоненты?

Показатели — это числа, которые были умножены сами на себя.Например, 3 · 3 · 3 · 3 можно записать как показатель степени 3 ⁴ : число 3 было умножено само на себя 4 раза.

Экспоненты полезны, потому что они позволяют записывать длинные числа в сокращенной форме. Например, это число очень большое:

.

1 000 000 000 000 000 000 9 0005

Но вы могли бы записать это как экспонента:

10 ¹⁸

Он также работает с маленькими числами с большим количеством десятичных знаков.Например, это число очень маленькое, но состоит из множества цифр:

.

.00000000000000001

Его также можно было бы записать в виде экспоненты:

10 ^-17

Ученые часто используют экспоненты для обозначения очень больших и очень маленьких чисел. Вы также часто будете встречать их в задачах алгебры.

Понимание экспонентов

Как вы видели на видео, экспоненты записываются так: 4 ³ (вы бы прочитали это как 4 в 3-й степени ).Все показатели состоят из двух частей: с основанием , которое является умножаемым числом; и степень , , которая представляет собой количество раз, когда вы умножаете основание. 3.Не волнуйтесь, это точно такое же число: основание — это число слева, а степень — это число справа. В зависимости от типа калькулятора, который вы используете, и особенно если вы используете калькулятор на своем телефоне или компьютере, вам может потребоваться ввести показатель степени таким образом, чтобы вычислить его.

Показатели в 1-й и 0-й степени

Как бы вы упростили эти показатели?

7 ¹ 7 ⁰

Не расстраивайтесь, если вы запутались. Даже если вы чувствуете себя комфортно с другими показателями, непонятно, как вычислять их со степенями 1 и 0.К счастью, эти показатели следуют простым правилам:

• Показатели степени 1
  Любой показатель степени 1 равен основанию , поэтому 5 ¹ равно 5, 7 ¹ равно 7, а x ¹ равно x .
• Показатели степени 0
  Любой показатель степени 0 равен 1 , поэтому 5 ⁰ равно 1, а также 7 ⁰ , x ⁰ и любой другой показатель степени со степенью 0 вы можете придумать.

Операции с показателями

Как бы вы решили эту проблему?

2 ² ⋅ 2 ³

Если вы думаете, что вам нужно сначала решить экспоненты, а затем перемножить полученные числа, вы правы. (Если вы не уверены, ознакомьтесь с нашим уроком по порядку действий).

Как насчет этого?

х ³ / х ²

Или этот?

2x ² + 2x ²

Хотя вы не можете точно решить эти проблемы без дополнительной информации, вы можете упростить их.В алгебре вас часто просят выполнить вычисления экспонент с переменными в качестве основы. К счастью, эти показатели легко складывать, вычитать, умножать и делить.

Сложение экспонент

Когда вы добавляете два показателя степени, вы не добавляете фактические полномочия — вы добавляете основания. Например, чтобы упростить это выражение, вы просто добавите переменные. У вас есть два xs, которые можно записать как 2x . Итак, x ² + x ² будет 2x ² .

x ² + x ² = 2x ²

Как насчет этого выражения?

3 года ⁴ + 2 года ⁴

Вы добавляете 3y к 2y. Поскольку 3 + 2 равно 5, это означает, что 3 года ⁴ + 2 года ⁴ = 5 лет ⁴ .

3 года ⁴ + 2 года ⁴ = 5 лет ⁴

Вы могли заметить, что мы рассматривали только задачи, в которых добавляемые показатели имели одинаковую переменную и мощность.Это потому, что вы можете складывать экспоненты только в том случае, если их основания и экспоненты точно такие же, как . Таким образом, вы можете добавить их ниже, потому что оба члена имеют одинаковую переменную ( r ) и одинаковую мощность (7):

4к ⁷ + 9 ⁷

Вы не можете никогда добавлять что-либо из них в том виде, в каком они написаны. В этом выражении есть переменные с двумя разными степенями:

4к ³ + 9 ⁸

У этого есть те же возможности, но разные переменные, поэтому вы также не можете добавить его:

4к ² + 9с ²

Вычитание показателей

Вычитание экспонент работает так же, как их сложение.Например, вы можете придумать, как упростить это выражение?

5x ² — 4x ²

5-4 равно 1, поэтому, если вы сказали 1 x ² или просто x ² , вы правы. Помните, что, как и при сложении показателей, вы можете вычитать только показатели с одинаковой степенью и основанием .

5x ² — 4x ² = x ²

Показатели умножения

Умножение экспонент — это просто, но способ, которым вы это делаете, может вас удивить.Чтобы умножить степень, сложите степени . Например, возьмите это выражение:

x ³ ⋅ x ⁴

Степени равны 3 и 4 . Поскольку 3 + 4 равно 7, мы можем упростить это выражение до x ⁷ .

x ³ ⋅ x ⁴ = x ⁷

А как насчет этого выражения?

3x ² ⋅ 2x ⁶

Степени равны 2 и 6 , поэтому наша упрощенная экспонента будет иметь степень 8.В этом случае нам также потребуется умножить коэффициенты. Коэффициенты равны 3 и 2. Нам нужно умножить их, как и любые другие числа. 3⋅2 равно 6 , поэтому наш упрощенный ответ: 6x ⁸ .

3x ² ⋅ 2x ⁶ = 6x ⁸

Вы можете упростить умножение экспоненты только с той же переменной. Например, выражение 3x ² ⋅2x ³ ⋅4y ² будет упрощено до 24x ⁵ ⋅y ² .Для получения дополнительной информации перейдите к нашему уроку «Упрощение выражений».

Показатели деления

Деление показателей аналогично их умножению. Вместо того, чтобы складывать степени, вы вычитаете из . Возьмите это выражение:

х ⁸ / х ²

Поскольку 8-2 равно 6, мы знаем, что x ⁸ / x ² равно x ⁶ .

x ⁸ / x ² = x ⁶

А что насчет этого?

10x ⁴ / 2x ²

Если вы думаете, что ответ — 5x ² , вы правы! 10/2 дает нам коэффициент 5, а вычитание степеней ( 4-2 ) означает, что степень равна 2.

Возведение власти в степень

Иногда можно увидеть такое уравнение:

(х ⁵ ) ³

Показатель степени на другом показателе степени может сначала показаться запутанным, но у вас уже есть все навыки, необходимые для упрощения этого выражения. Помните, что показатель степени означает, что вы умножаете на основание само на себя столько раз. Например, 2 ³ это 2⋅2⋅2. Это означает, что мы можем переписать (x ⁵ ) ³ как:

x ⁵ ⋅x ⁵ ⋅x ⁵

Чтобы умножить экспоненты с одинаковым основанием, просто сложите показателей.Следовательно, x ⁵ ⋅x ⁵ ⋅x ⁵ = x ^{5 + 5 + 5} = x ¹⁵ .

На самом деле есть еще более короткий способ упростить подобные выражения. Взгляните еще раз на это уравнение:

(x ⁵ ) ³ = x ¹⁵

Вы обратили внимание, что 5⋅3 тоже равно 15? Помните, умножение — это то же самое, что и добавление чего-либо более одного раза. Это означает, что мы можем думать о 5 + 5 + 5, как мы делали раньше, как о 5 умноженных на 3.Следовательно, когда вы возводите степень в степень , вы можете на умножить степень .

Рассмотрим еще один пример:

(х ⁶ ) ⁴

Так как 6⋅4 = 24, (x ⁶ ) ⁴ = x ²⁴

х ²⁴

Рассмотрим еще один пример:

(3x ⁸ ) ⁴

Во-первых, мы можем переписать это как:

3x ⁸ ⋅3x ⁸ ⋅3x ⁸ ⋅3x ⁸

Помните, что при умножении порядок не имеет значения.Следовательно, мы можем переписать это снова как:

3⋅3⋅3⋅3⋅x ⁸ ⋅x ⁸ ⋅x ⁸ ⋅x ⁸

Поскольку 3⋅3⋅3⋅3 = 81 и x ⁸ ⋅x ⁸ ⋅x ⁸ ⋅x ⁸ = x ³² , наш ответ:

81x ³²

Обратите внимание, это также было бы то же самое, что и 3 ⁴ ⋅x ³² .

Все еще не знаете, как умножать, делить или возводить экспоненты в степень? Посмотрите видео ниже, чтобы узнать, как запомнить правила:

/ ru / algebra-themes / negative-numbers / content /

Три правила экспонент — Полный курс алгебры

Урок 13, Раздел 2

Вернуться в раздел 1

Правило 1.Та же база

Правило 2. Мощность продукта

Правило 3. Мощность мощности

Правило 1. То же основание

«Чтобы умножить степени одного основания, сложите экспоненты».

Например, a ² a ³ = a ⁵ .

Почему мы складываем экспоненты? Из-за того, что означают символы. Секция 1.

Пример 1. Умножение 3 x ² · 4 x ⁵ · 2 x

Решение . Задача означает (Урок 5): умножьте числа, затем сложите степени x :

.

3 x ² · 4 x ⁵ · 2 x = 24 x ⁸

Два фактора : x — x ² — умножить на пять факторов x — x ⁵ — умножить на один фактор x , получить всего 2 + 5 + 1 = 8 множителей x : x ⁸ .

Задача 1. Умножить. Примените правило Same Base.

Чтобы увидеть ответ, наведите указатель мыши на цветную область.
Чтобы закрыть ответ еще раз, нажмите «Обновить» («Reload»).
Сначала решите проблему сами!

Проблема 2.Различают следующие:

x · x и x + x .

x · x = x ². x + x = 2 x .

Пример 2. Сравните следующее:

а) x · x ⁵ б) 2 · 2 ⁵

Решение .

a) x · x ⁵ = x ⁶

b) 2 · 2 ⁵ = 2 ⁶

Часть b) имеет ту же форму , что и часть a). Это часть а) с x = 2.

Один множитель 2 умножает пять множителей 2, давая шесть множителей 2.

2 · 2 = 4 здесь неверно.

Проблема 3. Примените правило Same Base.

Проблема 4.Примените правило Same Base.

Правило 2: Сила произведения факторов

«Увеличьте каждый коэффициент до той же степени.«

Например, ( ab ) ³ = a ³ b ³ .

Почему мы можем это сделать? Опять же, в соответствии с тем, что означают символы:

( ab ) ³ = ab · ab · ab = aaabbb = a ³ b ³ .

Порядок факторов не имеет значения:

ab · ab · ab = aaabbb .

Задача 5. Применить правила экспонент.

Правило 3: Сила силы

«Чтобы взять степень степени, умножьте степени».

Например, ( a ² ) ³ = a ^{2 · 3} = a ⁶ .

Почему мы это делаем? Опять же, из-за того, что означают символы:

( a ² ) ³ = a ² a ² a ² = a ^{3 · 2} = a ⁶

Задача 6. Примените правила экспонент.

Пример 3.Примените правила экспонент: (2 x ³ y ⁴ ) ⁵

Решение . В скобках указаны три фактора: 2, x ³ и y ⁴ . Согласно Правилу 2 мы должны взять пятую степень каждого из них. Но чтобы взять степень степени, мы умножаем показатели. Следовательно,

(2 x ³ y ⁴ ) ⁵ = 2 ⁵ x ¹⁵ y ²⁰

Проблема 7.Применяйте правила экспонент.

Проблема 8.Применяйте правила экспонент.

a) 2 x ⁵ y ⁴ (2 x ³ y ⁶ ) ⁵ = 2 x ⁵ y ⁴ · 2 ⁵ x ¹⁵ y ³⁰ = 2 ⁶ x ²⁰ y ³⁴

b) abc ⁹ ( a ² b ³ c ⁴ ) ⁸
= abc ⁹ · a ¹⁶ b ²⁴ c ³² = a ¹⁷ b ²⁵ c ⁴¹ 05

Проблема 9.Используйте правила экспонент, чтобы вычислить следующее.

а) (2 · 10) ⁴ = 2 ⁴ · 10 ⁴ = 16 · 10 000 = 160 000

б) (4 · 10 ² ) ³
= 4 ³ · 10 ⁶ = 64 000 000

в) (9 · 10 ⁴ ) ²
= 81 · 10 ⁸ = 8 100 000 000

В степенях 10 столько же нулей, сколько в экспоненте 10.

Пример 4. Квадрат x ⁴ .

Решение . ( x ⁴ ) ² = x ⁸ .

Чтобы возвести в квадрат степень, удвойте показатель степени.

Проблема 10. Возведите следующее.

Часть c) иллюстрации: Квадрат числа никогда не бывает отрицательным.

(−6) (- 6) = +36. Правило знаков.

Задача 11. Примените правило экспонент — если возможно.

В итоге: Добавьте показателей степени, когда одно и то же основание появляется дважды: x ² x ⁴ = x ⁶ . Умножьте экспонентов, когда основание появится один раз — и в скобках:
( x ² ) ⁵ = x ¹⁰ .

Задача 12. Примените правила экспонент.

Проблема 13.Примените правило экспонент или добавьте похожие термины — если возможно.

а) 2 x ² + 3 x ⁴
Невозможно. Это не похоже на терминов .

б) 2 x ² · 3 x ⁴ = 6 x ⁶ . Правило 1.

в) 2 x ³ + 3 x ³
= 5 x ³ .Как термины. Показатель степени не меняется.

г) x ² + y ²
Невозможно. Это не похоже на термины.

e) x ² + x ²
= 2 x ² . Как термины.

f) x ² · x ²
= x ⁴ . Правило 1

г) x ² · y ³
Невозможно.Разные базы.

ч) 2 · 2 ⁶
= 2 ⁷ . Правило 1

i) 3 ⁵ + 3 ⁵ + 3 ⁵ =
3 · 3 ⁵ (При добавлении подобных терминов) = 3 ⁶ .

Мы продолжим правила экспонентов в 21 уроке.

Следующий урок: Умножение. Распределительное правило.

Вернуться в раздел 1

Содержание | Дом

Авторские права © 2021 Лоуренс Спектор

Вопросы или комментарии?

Электронная почта: themathpage @ яндекс.com

Вопросы по алгебре с решениями и пояснениями для 9 класса

Представлены подробные решения и полные пояснения к вопросам алгебры 9 класса.

Дополнительные ссылки и ссылки

Математика для средней школы (6, 7, 8, 9 классы) — Бесплатные вопросы и проблемы с ответами
Математика для средней школы (10, 11 и 12 классы) — Бесплатные вопросы и проблемы с ответами
Начальная математика (4 и 5 классы) с бесплатными вопросами и проблемами с ответами Домашняя страница
пожаловаться на это объявление

Квадратичные неравенства — объяснение и примеры

Подобно тому, как уравнения имеют разные формы, неравенства также существуют в разных формах, и квадратное неравенство является одним из них.

Квадратичное неравенство — это уравнение второй степени, в котором вместо знака равенства используется знак неравенства.

Решения квадратного неравенства всегда дают два корня. Природа корней может быть разной и определяется дискриминантом (b ² — 4ac).

Общие формы квадратичных неравенств:

ax ² + bx + c <0

ax ² + bx + c ≤ 0

ax ² + bx + c> 0

ax ² + bx + c ≥ 0

Примеры квадратичных неравенств:

x ² — 6x — 16 ≤ 0, 2x ² — 11x + 12> 0, x ² + 4> 0, x ² — 3x + 2 ≤ 0 и т. Д.

Как решить квадратичные неравенства?

Квадратичное неравенство — это уравнение второй степени, в котором вместо знака равенства используется знак неравенства.

Примеры квадратичных неравенств: x ² — 6x — 16 ≤ 0, 2x ² — 11x + 12> 0, x ² + 4> 0, x ² — 3x + 2 ≤ 0 и т. д.

Решение квадратного неравенства в алгебре аналогично решению квадратного уравнения. Единственное исключение состоит в том, что с квадратными уравнениями вы приравниваете выражения к нулю, но с неравенствами вам интересно знать, что находится по обе стороны от нуля i.е. минусы и плюсы.

Квадратные уравнения могут быть решены либо методом факторизации , либо с помощью квадратной формулы . Прежде чем мы научимся решать квадратные неравенства, давайте вспомним, как решаются квадратные уравнения, на нескольких примерах.

Как квадратные уравнения решаются методом факторизации?

Поскольку мы знаем, что можем решать квадратные неравенства аналогично квадратным уравнениям, полезно понять, как факторизовать данное уравнение или неравенство.

Давайте посмотрим здесь несколько примеров.

1. 6x ² — 7x + 2 = 0

Решение

⟹ 6x ² — 4x — 3x + 2 = 0

Разложите выражение на множители;

⟹ 2x (3x — 2) — 1 (3x — 2) = 0

⟹ (3x — 2) (2x — 1) = 0

⟹ 3x — 2 = 0 или 2x — 1 = 0

⟹ 3x = 2 или 2x = 1

⟹ x = 2/3 или x = 1/2

Следовательно, x = 2/3, ½

2. Решить 3x ² — 6x + 4x — 8 = 0

Решение

Факторизуйте выражение в левой части.

⟹ 3x ² — 6x + 4x — 8 = 0

⟹ 3x (x — 2) + 4 (x — 2) = 0

⟹ (x — 2) (3x + 4) = 0

⟹ x — 2 = 0 или 3x + 4 = 0

⟹ x = 2 или x = -4/3

Следовательно, корни квадратного уравнения равны x = 2, -4/3.

3. Решить 2 (x ² + 1) = 5x

Решение

2x ² + 2 = 5x

⟹ 2x ² — 5x + 2 = 0

⟹ 2x ² — 4x — x + 2 = 0

⟹ 2x (x — 2) — 1 (x — 2) = 0

⟹ (x — 2) (2x — 1) = 0

⟹ x — 2 = 0 или 2x — 1 = 0

⟹ x = 2 или x = 1/2

Следовательно, решения x = 2, 1/2.

4. (2x — 3) ² = 25

Решение

Разверните и разложите выражение на множители.

(2x — 3) ² = 25

⟹ 4x ² — 12x + 9-25 = 0

⟹ 4x ² — 12x — 16 = 0

⟹ x ² — 3x — 4 = 0

⟹ (x — 4) (x + 1) = 0

⟹ x = 4 или x = -1

5. Решить x ² + (4 — 3y) x — 12y = 0

Решение

Разверните уравнение;

x ² + 4x — 3xy — 12y = 0

Разложить на множители;

⟹ x (x + 4) — 3y (x + 4) = 0

x + 4) (x — 3y) = 0

⟹ x + 4 = 0 или x — 3y = 0

⟹ x = -4 или x = 3y

Таким образом, x = -4 или x = 3y

Чтобы решить квадратное неравенство, мы также применяем тот же метод, что проиллюстрирован в процедуре ниже:

• Запишите квадратное неравенство в стандартной форма: ax ² + bx + c, где a, b и — коэффициенты, а a ≠ 0
• Определите корни неравенства.
• Запишите решение в виде неравенств или интервалов.
• Если квадратное неравенство имеет вид: (x — a) (x — b) ≥ 0, то a ≤ x ≤ b, а если оно имеет вид: (x — a) (x — b) ≤ 0, когда a

Пример 1

Решите неравенство x ² — 4x> –3

Решение

Сначала сделайте одну сторону одной стороны неравенства равной нулю, сложив обе стороны по 3.

x ² — 4x> –3 ⟹ x ² — 4x + 3> 0

Фактор левой части неравенства.

x ² — 4x + 3> 0 ⟹ (x — 3) (x — 1)> 0

Решить относительно всех нулей неравенства;

Для, (x — 1)> 0 ⟹ x> 1 и для, (x — 3)> 0 ⟹ x> 3

Так как y положительно, мы выбираем значения x, при которых кривая будет выше ось абсцисс.
x <1 или x> 3

Пример 2

Решите неравенство x ² — x> 12.

Решение

Чтобы записать неравенство в стандартной форме, вычтите обе части неравенства на 12.

x ² — x> 12 ⟹ x ² — x — 12> 0.

Разложите на множители квадратичное неравенство, к которому нужно добраться;

( x -4) ( x + 3)> 0

Найти все нули для неравенства;

Для, (x + 3)> 0 ⟹ x> -3

Для x — 4> 0 ⟹ x> 4

Значения x <–3 или x> 4, следовательно, являются решением этого квадратичного неравенства.

Пример 3

Решить 2x ² <9x + 5

Решение

Запишите неравенство в стандартной форме, сделав одну сторону неравенства равной нулю.

2x ² <9x + 5 ⟹ 2x ² — 9x — 5 <0

Фактор левой части квадратичного неравенства.

2x ² — 9x — 5 <0 ⟹ (2x + 1) (x - 5) <0

Решить относительно всех нулей для неравенства

For, (x — 5) <0 ⟹ x <5 и для (2x + 1) <0 ⟹ x <-1/2

Поскольку y отрицателен для уравнения 2x ² — 9x — 5 <0, поэтому мы выбираем значения x, при которых кривая будет ниже ось x.

Следовательно, решение -1/2

Пример 4

Решить — x ² + 4 <0.

Решение

Поскольку неравенство уже является стандартом форма, поэтому мы факторизуем выражение.

-x ² + 4 <0 ⟹ (x + 2) (x - 2) <0

Решить для всех нулей неравенства

For, (x + 2) <0 ⟹ x <-2 и для, (x - 2) <0 ⟹ x <2

Значение y для –x ² + 4 <0 отрицательно; поэтому мы выбираем значения x, при которых кривая будет ниже оси x: –2 2

Пример 5

Решить 2x ² + x — 15 ≤ 0.

Решение

Разложите квадратное уравнение на множители.

2x ² + x — 15 = 0

2x ² + 6x — 5x− 15 = 0

2x (x + 3) — 5 (x + 3) = 0

(2x — 5) (x + 3) = 0

For, 2x — 5 = 0 ⟹ x = 5/2 и for, x + 3 = 0 ⟹ x = -3

Поскольку y для 2x ² + x — 15 ≤ 0 отрицательно, мы выбираем значения x, при которых кривая будет ниже оси x. Следовательно, x ≤ -3 или x ≥5 / 2 — решение.

Пример 6

Решить — x ² + 3x — 2 ≥ 0

Решение

Умножьте квадратное уравнение на -1 и не забудьте изменить знак.

x ² — 3x + 2 = 0

x ² — 1x — 2x + 2 = 0

x (x — 1) — 2 (x — 1) = 0

(x — 2) (x — 1) = 0

For, x — 2 = 0 ⟹ x = 2 и for, x — 1 = 0 ⟹x = 1

Следовательно, решение квадратного неравенства 1 ≤ x ≤ 2

Пример 7

Решить x ² — 3x + 2> 0

Решение

Разложите выражение на множители, чтобы получить;

x ² — 3x + 2> 0 ⟹ (x — 2) (x — 1)> 0

Теперь решите корни неравенства как;

(x — 2)> 0 ⟹ x> 2

(x — 1)> 0 ⟹x> 1

Кривая для x ² — 3x + 2> 0 имеет положительное значение y, поэтому выбираются значения x, в котором кривая будет выше оси x.Решение, следовательно, x <1 или x> 2.

Пример 8

Решить −2x ² + 5x + 12 ≥ 0

Решение

Умножить все выражение на -1 и изменить знак неравенства

−2x ² + 5x + 12 ≥ 0 ⟹2x ² — 5x — 12 ≤ 0

Разложите выражение на множители, чтобы получить;

(2x + 3) (x — 4) ≤ 0.

Решить корни;

(2x + 3) ≤ 0 ⟹ x ≤ -3/2.

(х — 4) ≤ 0 ⟹ x ≤ 4.

Применяя правило; (x — a) (x — b) ≥ 0, тогда a ≤ x ≤ b, мы можем удобно записать решения этого квадратичного неравенства как:

-3/2 ≤ x ≤ 4.

Пример 9

x ² — x — 6 <0

Решение

Разложите на множители x ² — x — 6, чтобы получить;

(x + 2) (x — 3) <0

Найдите корни уравнения как;

(x + 2) (x — 3) = 0

x = −2 или x = +3
Поскольку y отрицательно для x ² — x — 6 <0, то мы выбираем интервал, в котором кривая будет ниже оси x.