Уравнения с модулем. Исчерпывающий гид (ЕГЭ — 2021)

4. Для каждого интервала запишем и решим уравнение. Важно проследить, чтобы ответы соответствовали интервалу!

Примеры:

I. \(\displaystyle x<-3\).

Здесь оба модуля раскрываем «с минусом»:

\(\displaystyle-\left( x+3 \right)+\left( 2{x}-1 \right)=1\text{ }\Leftrightarrow \text{ }-{x}-3+2{x}-1=1\text{ }\Leftrightarrow \text{ }x=5\text{ }>-3\) – этот корень сторонний.

II. \(\displaystyle-3\le x<\frac{1}{2}\).

Здесь первый модуль раскрываем «с плюсом», а второй – «с минусом»:

\(\displaystyle\left( x+3 \right)+\left( 2{x}-1 \right)=1\text{ }\Leftrightarrow \text{ }x+3+2{x}-1=1\text{ }\Leftrightarrow \text{ }x=-\frac{1}{3}\) – этот корень попадает в «свой» интервал, значит, он подходит.

III. \(\displaystyle x\ge \frac{1}{2}\).

Здесь оба модуля раскрываем «с плюсом»:

\(\displaystyle\left( x+3 \right)-\left( 2{x}-1 \right)=1\text{ }\Leftrightarrow \text{ }x+3-2{x}+1=1\text{ }\Leftrightarrow \text{ }x=3\) – этот корень тоже является решением.

Проверим полученные корни:

I. \(\displaystyle x=5:\text{ }\left| 5+3 \right|-\left| 2\cdot 5-1 \right|=8-9=-1\ne 1\) (корень и правда сторонний).

II. \(\displaystyle x=-\frac{1}{3}:\text{ }\left| -\frac{1}{3}+3 \right|-\left| 2\cdot \left( -\frac{1}{3} \right)-1 \right|=\frac{8}{3}-\frac{5}{3}=1\).

III. \(\displaystyle x=3:\text{ }\left| 3+3 \right|-\left| 2\cdot 3-1 \right|=6-5=1\).

Ответ: \(\displaystyle-\frac{1}{3};\text{ }3.\)

Примеры:

Решения:

1. \( \displaystyle \left| x+2 \right|-\left| 3{x}-1 \right|+\left| 4-x \right|=3\)\( \displaystyle \left[ \begin{array}{l}x+2=0\text{  }\Rightarrow \text{  }x=-2\\3{x}-1=0\text{  }\Rightarrow \text{ }x=\frac{1}{3}\\4-x=0\text{  }\Rightarrow \text{  }x=4\end{array} \right.\) 

I. \( \displaystyle -2\le x<\frac{1}{3}.\)

\( \displaystyle -\left( x+2 \right)+\left( 3{x}-1 \right)+\left( 4-x \right)=3\)

\( \displaystyle x=2>-2\Rightarrow \) – корень сторонний

II.  \( \displaystyle -2\le x<\frac{1}{3}\)

\( \displaystyle \left( x+2 \right)+\left( 3{x}-1 \right)+\left( 4-x \right)=3\Leftrightarrow \)

\( \displaystyle 3x=-2\Leftrightarrow x=-\frac{2}{3}\in \left[ -2;\frac{1}{3} \right)\) – подходит

III. \( \displaystyle \frac{1}{3}\le x<4\)

\( \displaystyle \left( x+2 \right)-\left( 3{x}-1 \right)+\left( 4-x \right)=3\Leftrightarrow \)

\( \displaystyle -3x=-4\Leftrightarrow x=\frac{4}{3}\in \left[ \frac{1}{3};4 \right)-\) подходит

IV. \( \displaystyle x\ge 4\)

\( \displaystyle \left( x+2 \right)-\left( 3{x}-1 \right)-\left( 4-x \right)=3\Leftrightarrow \)

\( \displaystyle x=4\Leftrightarrow x=-4<4\text{ }-\) корень сторонний

Ответ: \( -\frac{2}{3};\text{  }\frac{4}{3}.\)

2. \( \left| 3{x}-5 \right|+\left| 3+2x \right|=2\left| x+1 \right|\text{  }\Leftrightarrow \text{  }\left| 3{x}-5 \right|+\left| 3+2x \right|-2\left| x+1 \right|=0. \)

\( \left[ \begin{array}{l}3{x}-5=0\text{  }\Rightarrow \text{ }x=\frac{5}{3}\\3+2x=0\text{  }\Rightarrow \text{ }x=-\frac{3}{2}\\x+1=0\text{    }\Rightarrow \text{  }x=-1\end{array} \right.\)

I. \( \displaystyle x<-\frac{3}{2}\)

\( \displaystyle -\left( 3{x}-5 \right)-\left( 3+2x \right)+2\left( x+1 \right)=0\Leftrightarrow \)

\( \displaystyle -3x=-4\Leftrightarrow x=\frac{4}{3}>-\frac{3}{2}\Rightarrow \) корень сторонний

II. \( \displaystyle -\frac{3}{2}\le x<-1\)

\( \displaystyle -\left( 3{x}-5 \right)+\left( 3+2x \right)+2\left( x+1 \right)=0\Leftrightarrow \)

\( \displaystyle x=-10<-1\Rightarrow \) корень сторонний

III. \( \displaystyle -1\le x<\frac{5}{3}\)

\( \displaystyle -\left( 3{x}-5 \right)+\left( 3+2x \right)-2\left( x+1 \right)=0\Leftrightarrow \)

\( \displaystyle -3x=-6\Leftrightarrow x=2\text{  }>\frac{5}{3}\Rightarrow \) корень сторонний

IV. \( \displaystyle x\ge \frac{5}{3}\)

\( \displaystyle \left( 3{x}-5 \right)+\left( 3+2x \right)-2\left( x+1 \right)=0\Leftrightarrow \)

\( \displaystyle 3x=4\Leftrightarrow x=\frac{4}{3}<\frac{5}{3}\Rightarrow \) корень сторонний

Итак, ни на одном интервале не нашлось корней.  Значит, решений это уравнение не имеет.

Ответ: Решений не имеет.

Конспект урока для 11 класса «Решение уравнений с модулем»

Схема конспекта урока

Педагог Черноусова Татьяна Георгиевна

Предмет алгебра Класс 11

Тема урока: Решение уравнений с модулем.

Цель урока: систематизировать и обобщить знания, умения и навыки решать уравнения с модулем.

Образовательные: обобщить и систематизировать знания учащихся о модуле и его свойствах; умения решать различные уравнения, содержащие модуль и уравнения, приводимые к уравнениям, содержащим модуль.

.

Развивающие цели: развивать творческую и мыслительную деятельность учащихся, навыки проектно-исследовательской деятельности, способствовать формированию навыков коллективной работы, развивать умение чётко и ясно излагать свои мысли.

Воспитательные цели: формирование интереса к предмету посредством вовлечения их в проектную деятельность, способствовать формированию навыков взаимодействия в малых группах.

Тип урока: урок систематизации знаний

Применяемые технологии: проектная

Оборудование: . компьютер, проектор, экран, карточки – задания, инструкция о работе над проектом, информационные мини-проекты учащихся, опросный лист, таблицы.

Предварительное задание: Найдите в интернете информацию: свойства модуля; геометрический смысл модуля. Подготовить информационные мини – проекты.

Ответы учащихся:

-Уравнения 1, 7, 10 можно решить на основании определения модуля.

-Уравнение 2 не имеет решений, так как модуль – величина неотрицательная.

Воспользоваться определением

модуля и рассмотреть 2 условия:

5). x -10 и x -1

По свойству модуля: получим уравнение, содержащее модуль

Постепенно раскрывать модули

Методом интервалов.

1). Найдём значения х, при которых значения выражений, стоящих под знаком модуля равны нулю.

2). Эти значения х разбивают ОДЗ на промежутки.

3). На каждом из полученных промежутков можно записать уравнение без знаков модуля. Получим

совокупность систем.

..

.

Критерии и нормы оценки знаний и умений обучающихся применительно к различным формам контроля знаний.

Составлены на основании письма Министерства Просвещения № 117 – М от 10.03.1977 и согласовано на ГМО учителей математики.

Программа. элективного курса по алгебре в 8 классе. по теме: «Модуль. Решение уравнений и неравенств с модулем».

Пояснительная записка.

Пояснительная записка. Программа элективного курса «Решение задач с модулем и параметром» составлена на основе учебного плана МБОУ имени В.П. Чкалова на 2013-2014 учебный год. На изучение элективного курса

Подробнее

Пояснительная записка

1 Пояснительная записка Профильное обучение в гимназии направлено на обеспечение углубленного изучения математики, а, значит, прежде всего, на осознанное изучение данного предмета, на развитие математического

Подробнее

Пояснительная записка.

Пояснительная записка. методов решения уравнений и неравенств с модулем и своим содержанием привлекает внимание учащихся 10 классов, которым интересна математика. Предлагаемый курс является развитием системы

Подробнее

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА Факультативный курс Квадратный трехчлен и его неравенства рассчитан на 34 часа (1 час в неделю), предназначен для учащихся 9-го класса общеобразовательной школы, является предметно-ориентированным.

Подробнее

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА Становление профильного образования является одним из приоритетов направления модернизации образования в России. Необходимым условием создания образовательного пространства, способствующего

Подробнее

Пояснительная записка

Пояснительная записка Программа курса освещает намеченные, но мало проработанные в основном курсе математики и учебных пособиях современной школы вопросы. Он поддерживает изучение основного курса математики,

Подробнее

Пояснительная записка

Пояснительная записка Данный курс поддерживает изучение основного курса математики, направлен на систематизацию знаний, способствует лучшему освоению базового курса математики, расширению представления

Подробнее

Cрок реализации программы 1 год

Управление образования городского округа «Охинский» Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа г. Охи РАБОЧАЯ УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА ОБЪЕДИНЕНИЯ ДОПОЛНИТЕЛЬНОГО

Подробнее

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА Рабочая программа по элективному курсу «Избранные вопросы математики» для учащихся 10 классов составлена на основе примерной программы среднего общего образования (профильный уровень)

Подробнее

Рабочая программа Факультативный курс

Согласовано Утверждаю Руководитель МО математического цикла Директор МОБУ «Боровая СОШ» Дементьева Е. Г. Ерѐмина Т.Н. «26» августа 2015г. 2015г. Рабочая программа Факультативный курс Подготовка к ЕГЭ по

Подробнее

b, где x, y переменные, k, b параметры.

1 Пояснительная записка Основная функция курса по выбору «Решение задач с параметром» направлена на повышение интереса к математике. Общеизвестно, что на вступительных экзаменах в ВУЗы довольно часто предлагаются

Подробнее

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА Рабочая программа составлена на основе: — Федерального компонента государственного образовательного стандарта среднего (полного) общего образования (профильный уровень) по математике

Подробнее

I. ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА.

I. ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА. Основная задача обучения математики в школе обеспечить прочное и сознательное овладение учащимися системой математических знаний и умений, необходимых в повседневной жизни и трудовой

Подробнее

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА Факультативный курс Подготовка к ЕГЭ по математике соответствует Государственному стандарту среднего образования по математике. При разработке данной программы учитывалось то, что

Подробнее

Пояснительная записка

Пояснительная записка Учебный курс «Модуль» предназначен для учащихся 9 класса общеобразовательных учреждений, рассчитан на 14 часов. Он основан на знаниях и умениях, полученных учащимися при изучении

Подробнее

I. Пояснительная записка

I. Пояснительная записка Программа элективного курса предназначена для учащихся 11 классов социально — экономического профиля и рассчитана на 17 часов. Математика практически единственный учебный предмет,

Подробнее

Виды деятельности на занятиях:

Пояснительная записка программы платной образовательной услуге «Избранные вопросы математики» для учащихся 0-классов Платная образовательная программа «Избранные вопросы математики» для учащихся 0- классов

Подробнее

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА Элективный курс Решение задач повышенной трудности разработан в рамках реализации концепции предпрофильного обучения на старшей ступени общего образования и соответствует Государственному

Подробнее

Пояснительная записка

Пояснительная записка Календарно тематическое планирование элективного курса по математике в 8 классе составлено на основании нормативных документов: Федеральный уровень 1. Федеральный закон от 9.1.01

Подробнее

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА Рабочая программа внеурочной деятельности «От простого к сложному» (далее Рабочая программа) составлена на основании следующих нормативно-правовых документов: Фундаментального ядра

Подробнее

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА. Класс 9

Муниципальное казенное общеобразовательное учреждение Ханты-Мансийского района «Средняя общеобразовательная школа с. Елизарово» Рассмотрена на заседании ШМО Протокол от 20 г. Согласовано Заместитель директора

Подробнее

Пояснительная записка.

1 2 Пояснительная записка. Курс «Решение задач с параметрами» является предметно-ориентированным и предназначен для обучающихся 10 и 11 классов, сориентированных на получение высшего профессионального

Подробнее

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА НАПРАВЛЕННОСТЬ ПРОГРАММЫ Направленность программы естественнонаучная. АКТУАЛЬНОСТЬ Навыки решения математических задач совершенно необходимы всякому ученику, желающему хорошо подготовиться

Подробнее

Департамент образования

АДМИНИСТРАЦИЯ ГОРОДА НИЖНЕГО НОВГОРОДА Департамент образования Муниципальное бюджетное образовательное учреждение средняя общеобразовательная школа 44 с углубленным изучением отдельных предметов ПРИНЯТА:

Подробнее

Пояснительная записка

Пояснительная записка Этот курс предлагает учащимся знакомство с математикой как с общекультурной ценностью, выработкой понимания ими того, что математика является инструментом познания окружающего мира

Подробнее

Пояснительная записка

Пояснительная записка Одной из возможностей развивать математическое мышление учащихся является широкое применение внеклассной работы. Интересным и ценным видом внеклассной работы стало проведение кружковых

Подробнее

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА Рабочая программа кружка «Избранные вопросы математики» для учащихся 10 классов составлена на основе примерной программы среднего (полного) общего образования (базовый уровень). Программа

Подробнее

Powered by TCPDF (

Powered by TCPDF (www.tcpdf.org) Элективный курс «Элементарная алгебра в ЕГЭ » Элективный курс «Элементарная алгебра в ЕГЭ» рассчитан на 34 часа для учащихся 11 классов. Данная программа курса сможет привлечь

Подробнее

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА. 9 класс

ДЕПАРТАМЕНТ СПОРТА И ТУРИЗМА ГОРОДА МОСКВЫ Государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение города Москвы «Московское среднее специальное училище олимпийского резерва 4 имени А. Я.

Подробнее

Пояснительная записка

Пояснительная записка Программа элективного курса рассчитана на 35 часов. Она предназначена для повышения эффективности подготовки учащихся 10 класса к итоговой аттестации по математике за курс полной

Подробнее

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА Рабочая программа элективного курса «Решение задач с параметрами» для учащихся 9 классов составлена на основе авторской программы факультативных курсов В.А.Ермеев, «Факультативный

Подробнее

Пояснительная записка

Пояснительная записка Выявление личностного потенциала ученика невозможно без его деятельного участия. Одним из видов такой деятельности может быть изучение элективных курсов, позволяющих углубить и расширить

Подробнее

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА.

(11 класс)

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА по курсу «Решение сложных задач по математике» (11 класс) Пояснительная записка Элективный курс «Решение сложных задач по математике» предназначен для учащихся 11 класса. Курс разработан

Подробнее

Пояснительная записка

Пояснительная записка 1 Профильное обучение в гимназии направлено на обеспечение углубленного изучения математики, а, значит, прежде всего, на осознанное изучение данного предмета, на развитие математического

Подробнее

Пояснительная записка Цели курса:

Пояснительная записка Программа элективного курса по теме: «Практикум по математике» ориентирована на приобретение практического опыта при решении задач и упражнений. Задачи и упражнения, предлагаемые

Подробнее

«Основные вопросы алгебры в ГИА»

Рабочая программа Факультатива «Основные вопросы алгебры в ГИА» для 8 класса Учитель: Скибина Наталья Ивановна п. Новоозёрный 2017 год ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА. Данный курс «Основные вопросы алгебры в ГИА»

Подробнее

Пояснительная записка

Пояснительная записка Рабочая программа элективного курса «Функции помогают уравнениям» разработана на основе авторской программы заслуженного учителя РФ Ю.В. Лепехина «Элективный курс «Математика 10-11

Подробнее

Пояснительная записка

Пояснительная записка Основная задача обучения математике в школе заключается в обеспечении прочного и сознательного овладения учащимися системой математических знаний и умений, необходимых в повседневной

Подробнее

АВТОРЕФЕРАТ БАКАЛАВРСКОЙ РАБОТЫ

Министерство образования и науки Российской Федерации Министерство образования и науки Российской Федерации ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «САРАТОВСКИЙ

Подробнее

Пояснительная записка

1 Рабочая программа элективного учебного предмета «Задачи с параметрами» Пояснительная записка Данная программа по выбору своим содержанием сможет привлечь внимание учащихся 11 класса, которым интересна

Подробнее

Решение уравнений и неравенств содержащие модули

Управление образования
администрации г. Чебоксары

Муниципальное образовательное
учреждение

«Средняя общеобразовательная
школа №55»

Решение уравнений
и неравенств, содержащие модули.

Учитель математики

Морозова Галина Сергеевна.

.

Чебоксары
2010 г

Пояснительная записка.

Существенной характеристикой числа,
как в действительной, так и в комплексной
области является понятие его абсолютной
величины (модуля).

Это понятие имеет широкое распространение
в различных отделах физико-математических
наук. Так, в математическом анализе одно
из первых и фундаментальных понятий –
понятие предела – в своем определении
содержит понятие абсолютной величины
числа. В теории приближенных вычислений
первым, важнейшим понятием, является
понятие абсолютной погрешности
приближенного числа. В механике основным
первоначальным понятием является
понятие вектора, важнейшей характеристикой
которого служит его абсолютная величина
(модуль).

С понятием модуля (абсолютной величины)
действительного числа учащиеся знакомятся
еще в 6 классе. Однако в программах
общеобразовательных школ и соответствующих
учебниках в дальнейшем это понятие ни
в теоретических материалах, ни в задачах
и упражнениях почти не применяется.
Возможность решения уравнений и
неравенств, содержащих неизвестные под
знаком модуля, имеют учащиеся классов
или школ с углубленным изучением
математики и некоторых других
альтернативных школ, однако и в учебниках
для этих школ задач подобного рода до
обидного мало. В то же время на ЕГЭ задачи
с модулем предлагаются все чаще и чаще.

Несмотря на кажущуюся простоту определения
модуля числа, решение уравнений и
неравенств, содержащих неизвестные под
знаком модуля, вызывает у учащихся
определенные трудности. По-видимому,
они связаны с тем, что решение задач
подобного рода предполагает элементарные
навыки исследования, логического
мышления, заключающиеся в переборе
различных возможных случаев, так как в
подавляющем большинстве задач одно
уравнение или неравенство с модулем
равносильно совокупности или системе
нескольких уравнений и неравенств,
освобожденных от знака модуля.

Цели курса:

• классификации способов решений уравнений
  и неравенств, содержащих неизвестную
  под знаком модуля;

• систематизации и обобщении различной
  информации о модуле и решении задач с
  модулем, содержащихся в многочисленной
  литературе;

• рассмотрение некоторых методов при
  решении задач с модулем.

Задачами данной методической разработки
стали:

• ввести
  определение модуля и показать
  геометрический смысл модуля; рассмотреть
  свойства модуля;

• рассмотреть
  решения основных видов уравнений,
  содержащих переменную под знаком
  модуля;

• показать
  решения основных видов неравенств,
  содержащих переменную под знаком
  модуля;

• расширить
  сферу математических знаний, общекультурный
  кругозор у учащихся.

Методические
рекомендации.

Разработанный
курс может быть использован учителями
математики при подготовке к математическим
олимпиадам, ЕГЭ, централизованному
тестированию и вступительным экзаменам
в ВУЗ.

Для реализации
целей и задач этого курса предполагаются
следующие формы занятий: лекции учителя,
доклады учеников, самостоятельная
работа по разборке решенных уравнений
и неравенств.

Успешность
усвоения курса определяется преобладанием
самостоятельной творческой работы
ученика в содружестве с учителем.

Содержание

Введение

1. Определение
   модуля. Свойства модуля.

1. Определение
   модуля.

2. Геометрический
   смысл модуля.

3. Формула
   расстояния между двумя точками числовой
   прямой.

4. Свойства
   модуля.

2. Решение
   уравнений с модулем.

1. Уравнения
   вида |f(x)|=a.

2. Уравнения
   вида |f(x)|=|g(x)|

3. Уравнения
   вида |f(x)|=
   g(x)

4. Уравнения
   вида .

3. Решение
   неравенств с модулем.

1. Неравенства
   вида |f(x)|a

2. Неравенства
   вида

3. Неравенства
   вида
   и .

4. Метод
   интервалов.

4. План
   урока по теме «Решение
   уравнений, содержащих знак абсолютной
   величины (модуля)»(8 класс)

5. Примерные
   тесты для подготовки к ЕГЭ.

6. Заключение.

Литература

Урок
по теме:

«Решение уравнений,
содержащих знак абсолютной величины
(модуля)»

(9 класс)

Цель урока: Обобщение и
систематизация знаний учащихся , развитие
навыка решения уравнений и логического
мышления учащихся.

Оборудование урока: таблица
“Модуль”, плакаты с изображением
уравнений содержащих переменную под
знаком модуля и с графическим способом
решения уравнений.

План урока

1. Вступительное
   слово учителя.

2. Некоторые
   способы решения уравнений, содержащих
   переменную под знаком модуля. (Сообщения
   учащихся).

а)Метод интервалов.

б)Графический метод.

в)Раскрытие модуля по определению

3. Решение
   уравнения, в котором под знаком модуля
   находится выражение, тоже содержащее
   модуль. (Сообщение учителя).

4. Подведение
   итогов урока.

Ход урока.

Вступительное слово учителя. Сообщается
план семинара и почему именно эта тема
выбрана.

1. Вступительное
   слово учителя.

Математика за 2500 лет своего существования
накопила богатейший инструмент для
исследования окружающего нас мира.
Однако, как заметил один из ведущих
математиков, кораблестроителей академик
Крылов, человек обращается к математике
не затем, чтобы любоваться неисчислимыми
сокровищами, ему, прежде всего, необходимо
ознакомиться со столетними испытанными
инструментами, научится ими искусно
владеть.

Существенной характеристикой
действительного числа является абсолютная
величина. Это понятие имеет широкое
распространение в различных отделах
физико-математических и технических
наук. Так в математическом анализе одно
из первых и фундаментальных понятий –
понятие предела – в своем определении
содержит понятие абсолютной величины
числа. В теории приближенных вычислений
первым важнейшим понятием является
понятие абсолютной погрешности
приближенного числа. В механике основным
первоначальным понятием является
понятие вектора, важнейшей характеристикой
которого служит его абсолютная величина.

При решении уравнений, содержащих
переменную под знаком модуля, чаще всего
применяются следующих методы: 1) раскрытие
модуля по определению, 2) возведение
обоих частей в квадрат, 3) метод разбиения
на промежутки, 4) графический метод.

2. Сообщение
   №1
   «Некоторые
   способы решения уравнений с модулями».
   Напомним сначала определение числа x:

Приведем
также основные свойства модуля, часто
применяемых в решение задач:

1. |ab|=|a||b|;

2. |a|ⁿ=|aⁿ|;

4. |a|=0,
   если a=0

Поговорим о некоторых способах решения
задач с модулем. Среди них один занимает
самое главное место, так как он является
самым общим, однако, иногда не самым
рациональным. Заключается он в следующем.

1. Метод
   интервалов.

Предположим, что имеется уравнение или
неравенство, в которое входят один или
несколько модулей.

1. Первым делом нужно отделить критические
   точки. Под этим мы понимаем все значения
   переменной, при которых один из модулей
   обращается в нуль.

2. Нанесите полученное множество значений
   на ось данной переменной, например Ox.
   Прямая разобьется на несколько конечных
   и два бесконечных интервала. Каждый
   интервал соответствует знакопостоянству
   подмодульных выражений.

3. Рассмотреть столько случаев решения,
   сколько получилось интервалов. При
   этом освобождаться от модулей нужно,
   проверяя знак подмодульного выражения.
   Т.е. изменять его на противоположный,
   если выражение отрицательно и оставлять
   его прежним в противном случае. Важно
   не забыть, что частным
   ответом в каждом из полученных случаев
   является пересечение интервала и
   найденного решения.

4. Объединить полученные в каждом интервале
   ответы в один.

Рассмотрим
подробнее этот метод на следующем
примере.

|x + 2| +
|x — 3| = 5

Нанесем
на числовую прямую значение x, при котором
x + 2 = 0 и значение x, при котором x – 3 = 0.
Числовая прямая разобьется на промежутки
(-;
-2), [-2; 3], (3; +).

Решим
уравнений на каждом из этих интервалов.

Рассмотрим первый промежуток, чтобы
определить знак подмодульного выражения,
возьмем контрольную точку x = 3, подставим
ее в наше уравнение –3 + 2 < 0 и во второе
-3 – 3 < 0. Аналогично рассмотрим знаки
подмодульных выражений на втором и
третьем промежутках.

Решим
уравнение на каждом из этих промежутков,
т.е. решим равносильную уравнению
совокупность смешанных систем:

Вывод:
Решение второй системы является
объединением решений 3-х систем.

Ответ:
x принадлежит [-2;3] или все значения
сегмента [-2;3].

2. Сообщение
   №2 Графический метод.

Этот способ уже не столь универсален,
но им нельзя пренебрегать, если он
применим. Часто уравнение или неравенства
с модулем содержит только линейные
выражения относительно переменной. В
этом случае существует очень простой
рецепт построения графиков с модулями,
что часто существенно облегчает решение
задачи. Он базируется на простом замечании
– графики таких выражений состоят из
кусков линий, т.е. являются ломаными.
Метод состоит в следующем:

1. Найти, как и раньше, все критические
   точки и нанести их на ось абсцисс. Найти
   непосредственно значения заданной
   функции в этих точках (это удобно делать
   с помощью отдельной таблицы) и нанести
   их на координатную плоскость.

2. В каждой из конечных интервалов,
   получаемых после разбиения критическими
   точками, график является прямой и может
   быть простым соединением нанесенных
   в предыдущем пункте точек на координатной
   плоскости.

3. Выбрать две удобные для вычисления
   точки, расположенные в левом и правом
   бесконечных интервалах и аналогично
   п.1 найти значения функций в них.
   Окончательно, соединяя построенный
   участок графика с оставшимися двумя
   точками, получим требуемый график.

Проиллюстрируем
это на примере построения графика
|x+2|+|x-3|=5. Построим график функции

у = |x +
2| + |x – 3| и y = 5

х + 2 =
0, x –3 = 0

x₁ =
–2 x₂ = 3

Наносим на ось корни линейных функций
стоящих под знаком модуля. На каждом из
трех промежутков знаки этих линейных
функций постоянны и мы можем избавиться
от знака модуля.

если x
< – 2, то y =-(x + 2) – (x – 3) = –2x + 1
если –2
< x < 3, то y = +(x + 2) – (x – 3) = x + 2 – x + 3 =
5
если x > 3, то y = +(x + 2) + (x – 3) = 2x – 1

При построении графика провести
вертикальные прямые x = –2 и x = 3, которые
разобьют плоскость на три части. В левой
части надо провести прямую y=–2x + 1, в
центральной полосе y = 5 и в правой y = 2x –
1: (для контроля надо следить, чтобы
ломаная была непрерывной, т.е. чтобы
значения в разделяющих точках изломах,
вычисленные по соседним формулам
совпали). В нашем случае при x — 2 значение
функции y = –2x + 1 совпадает со значением
y = 5, точно так же при x=3 совпадают значения
функции y = 5 и y=2x – 1

Графики и
y = 5 пересекаются на промежутке, если
.

Ответ

3. Сообщение
   №3 Раскрытие модуля по определению .

Решить
уравнение

Решение.

.

Проверим
справедливость неравенства
для найденных значений х:

1. 
   верное неравенство, значит 0 – корень
   данного уравнения.

2. неверное
   неравенство, значит
   — посторонний корень.

3. верное
   неравенство, значит
   – корень данного уравнения

Ответ:
;
0.

3. Решение
   уравнения, в котором под знаком модуля
   находится выражение содержащее модуль.

Решить
уравнение

Решение.

.

Ответ:
.

3. Итоги урока.
   Домашнее задание.

Всем
учащимся даются задания для самостоятельного
решения:

Записать в тетради решения
уравнений вида:

1.
|2x-3|=11

2.
|2x-5|=5-4x

3.
|4x-3|=4x-3

4.
|x+2|+|x-3|=5

5.
|x+1|-|x-2|+|3x+6|=5

6.
2u+v=7,     |u-v|=2

7.
3|x+1|+2|y-2|=20,     x+2y=4

8.
x+1|+|y+1|=8, 2x-|y+1|=5

9.
|x+1|-|x|+3|x-1|-2|x-2|=x+2

10.
Найти все значения, при которых система
уравнения ах+(а–1)y =
2+4а 3|x|+2у=а-5.

Имеет
единственное решение. Найти это решение.

Примерные тесты для подготовки к ЕГЭ.

Тест №1

Тест №2

Заключение.

В практике преподавания математики в
средней школе и других средних учебных
заведениях понятие абсолютной величины
числа (модуля числа) встречаются
неоднократно.

В VI классе, в курсе приближенных
вычислений, при уяснении понятия
абсолютной погрешности приближенного
числа формируется понятие абсолютной
величины числа. Во втором полугодии VI
класса вводится определение абсолютной
величины числа, с помощью этого понятия
формулируются правила действий над
рациональными числами.

В VIII классе при рассмотрении свойств
арифметического квадратного корня
находит свое новое приложение понятие
абсолютной величины числа.

В VIII классе при рассмотрении свойств
арифметического квадратного корня
находит свое новое приложение понятие
абсолютной величины числа. Например:

, и другие.

В IX классе в теме “Степень с рациональным
показателем” рассматриваются свойства
корней n – й степени, где также используется
понятие абсолютной величины числа; так,
например,
, если m – нечетное.

В X классе понятие абсолютной величины
числа встречается при изучении предела
функций, при исследование функций на
ограниченность и при изучение комплексных
чисел, где понятие абсолютной величины
получает свое дальнейшее развитие в
более общей числовой области.

Таким образом, во всех классах, в
соответствии с учебной программой,
следует включать и рассматривать
упражнения, содержащие знак абсолютной
величины числа.

В VI классе можно решать уравнения вида:k
· |x| + b = k₁ · |x| + b₁
и |k·x+b|=a.

В VII классе имеется возможность
рассматривать решения уравнений вида
|k·|x|+b|=c; |kx+b|=ax+c и т.п., систем уравнений
вида:|2x-y|=1, |x+2y|=2x-4, а так же построение
графиков функций вида: y=k·|x|+b; y=|k·x+b|;
y=|k·|x|+b|; y=1/|x| и др.

В VIII классе приложения понятия абсолютной
величины распространяются на квадратные
уравнения, график квадратного трехчлена
и др. Можно решать уравнения вида:

ax²+b·|x|+c=0;

Можно рассмотреть построение графиков
функций:

y=ax²+b·|x|+c;
y=|ax²+bx+c|;
y=|ax²+b·|x|+c|;

;

;

y=||||x|-2|+1|-3| и др.

При построении графиков целесообразно
пользоваться методом преобразования
графиков (Параллельный перенос, симметрия
и др.).

В IX-X классе решение уравнений, систем
уравнений, неравенств и построение
графиков функций, аналитические выражения
которых содержат знак абсолютной
величины, рассматриваются для
трансцендентных функций и уравнений,
изучаемых в школе.

Таким образом, поставленные и решённые
задачи в данной методической разработке
имеют большое значение при составлении
промежуточного контроля и при подготовке
к ЕГЭ.

Литература

1. Гайдуков
   И. И. Абсолютная величина. М., Просвещение,
   1966.

2. Гусев
   В.А. и др. 300 задач. М., Просвещение, 1993.

3. Литвиненко
   В.Н, Мордкович А.Г. Практикум по решению
   задач. Алгебра. Тригонометрия. М.,
   Просвещение, 1991.

4. Сидоров
   Н.Н. Модуль числа. Уравнения и неравенства:
   Учебное пособие. Чебоксары:1998.

8 класс. Алгебра. Модуль действительного числа. — Решение уравнений с модулем.

Комментарии преподавателя

При­мер 3. Ре­шить урав­не­ние .

Ре­ше­ние. Вос­поль­зу­ем­ся вто­рым опре­де­ле­ни­ем мо­ду­ля:  и за­пи­шем наше урав­не­ние в виде си­сте­мы урав­не­ний при раз­лич­ных ва­ри­ан­тах рас­кры­тия мо­ду­ля.

.

Ответ..

При­мер 4. Ре­шить урав­не­ние IхI = х.

Ре­ше­ние. Ана­ло­гич­но ре­ше­нию преды­ду­ще­го при­ме­ра по­лу­ча­ем, что .

Ответ..

При­мер 5. Ре­шить урав­не­ние .

Ре­ше­ние. Решим через след­ствие из пер­во­го опре­де­ле­ния мо­ду­ля: . Изоб­ра­зим это на чис­ло­вой оси с уче­том того, что ис­ко­мый ко­рень будет на­хо­дить­ся на рас­сто­я­нии 2 от точки 3 (рис. 3).

Рис. 3.

 Ис­хо­дя из ри­сун­ка, по­лу­ча­ем корни урав­не­ния: , т. к. точки с та­ки­ми ко­ор­ди­на­та­ми на­хо­дят­ся на рас­сто­я­нии 2 от точки 3, как то тре­бу­ет­ся в урав­не­нии.

Ответ. .

При­мер 6. Ре­шить урав­не­ние .

Ре­ше­ние. По срав­не­нию с преды­ду­щей за­да­чей име­ет­ся толь­ко одно услож­не­ние – это то, что нет пол­но­го сход­ства с фор­му­ли­ров­кой след­ствия о рас­сто­я­нии между чис­ла­ми на ко­ор­ди­нат­ной оси, т. к. под зна­ком мо­ду­ля на­хо­дит­ся знак плюс, а не минус. Но при­ве­сти к необ­хо­ди­мо­му виду неслож­но, что мы и про­де­ла­ем:

. Изоб­ра­зим это на чис­ло­вой оси ана­ло­гич­но преды­ду­ще­му ре­ше­нию (рис. 4).

Рис. 4.

Корни урав­не­ния .

Ответ. .

При­мер 7. Ре­шить урав­не­ние .

Ре­ше­ние. Это урав­не­ние еще немно­го слож­нее преды­ду­ще­го, т. к. неиз­вест­ная на­хо­дит­ся на вто­ром месте и со зна­ком минус, кроме того, она еще и с чис­ло­вым мно­жи­те­лем. Для ре­ше­ния пер­вой про­бле­мы вос­поль­зу­ем­ся одним из свойств мо­ду­ля  и по­лу­чим:

.

Для ре­ше­ния вто­рой про­бле­мы вы­пол­ним за­ме­ну пе­ре­мен­ных: , что при­ве­дет нас к про­стей­ше­му урав­не­нию . По вто­ро­му опре­де­ле­нию мо­ду­ля . Под­ста­вим эти корни в урав­не­ние за­ме­ны и по­лу­чим два ли­ней­ных урав­не­ния:

 и .

Ответ..

Источник конспекта: http://interneturok.ru/ru/school/algebra/8-klass/funktsiya-y-x-svoystva-kvadratnogo-kornya/modul-deystvitelnogo-chisla?konspekt&chapter_id=920

Источник видео: http://www.youtube.com/watch?v=3H8oAbbkA1g

Урок 4: Уравнения с модулем

План урока:

Модуль числа

Решение уравнений с модулем

Уравнения с параметрами

Модуль числа

Напомним, что такое модуль числа. Так называют значение числа, взятое без учета его знака. То есть модуль чисел 9 и (– 9) одинаков и равен 9. Для обозначения модуля применяют специальные прямоугольные скобки:

|9| = |– 9| = 9

|674| = |– 674| = 674

|2,536| = |– 2,536| = 2,536

Грубо говоря, операция нахождения модуля сводится к отбрасыванию у числа знака «минус», если он у него есть. Вообще, если число х неотрицательно, то его модуль |х| = х. Если же число отрицательно, то его модуль имеет противоположное значение: |х| = х. Математически это можно записать так:

Именно такое определение обычно и применяется в математике.

Модуль играет важную роль в математике. Дело в том, с его помощью удобно записывать расстояние между двумя точками на координатной прямой. Пусть на ней отмечены точки a и b. Расстояние между ними равно |a – b|, причем неважно, какое из этих чисел больше, а какое меньше:

Также модуль возникает при извлечении квадратного корня из четной степени числа:

В частности, если n = 1, получим формулу:

Для того чтобы получить график функции у = |x|, сначала надо построить график функции без учета знака модуля:

Далее следует выполнить преобразование. Те точки графика, которые располагаются выше оси Ох, остаются на своем месте. В данном случае это та часть графика, которая находится в I четверти. Те же точки, которые располагаются ниже оси Ох, должны быть симметрично (относительно этой самой оси Ох) отображены. В результате они окажутся выше оси Ох:

В результате получилась «галочка».

Пример. Постройте график ф-ции у = |х² – 4х + 3|

Решение. Для построения графика функции, содержащей модуль, сначала надо построить график для «подмодульного» выражения. Поэтому построим график у = х² – 4х + 3. Это квадратичная ф-ция, ее график – это парабола:

Часть графика, в промежутке от 1 до 3, находится ниже оси Ох. Чтобы построить ф-цию у = |х² – 4х + 3|, надо перевернуть эту часть графика:

Решение уравнений с модулем

Изучим простейший случай уравнения, содержащего модуль, когда вся его слева записано выр-ние в модульных скобках, а справа находится число. То есть уравнение имеет вид

|у(х)| = b

где b – какое-то число, а у(х) – произвольная ф-ция.

Если b< 0, то ур-ние корней не имеет, ведь модуль не может быть отрицательным.

Пример. Найдите корни ур-ния

|125x¹⁰ + 97x⁴– 12,56х³ + 52х² + 1001х – 1234| = – 15

Решение: Справа стоит отрицательное число. Однако модуль не может быть меньше нуля. Это значит, что у ур-ния отсутствуют корни.

Ответ: корни отсутствуют.

Если b = 0, то мы получим какое-то произвольное ур-ние у(х) = 0, у которого могут быть корни. Проще говоря, модульные скобки в таком случае можно просто убрать.

Пример. Решите ур-ние

|13х – 52| = 0

Решение.

Ясно, что подмодульное выр-ние равно нулю:

13х – 52 = 0

13х = 52

х = 4

Ответ: 4.

Наиболее интересен случай, когда b> 0, то есть в правой части стоит положительное число. Ясно, что тогда под модулем находится либо само это число b, либо противоположное ему число – b:

|b| = b

|– b| = b

То есть мы получаем два различных ур-ния: у(х) = bи у(х) = – b.

Пример. Решите ур-ние

|х| = 10

Решение. В правой части – положительное число, поэтому либо х = – 10, либо х = 10.

Ответ: 10; (– 10).

Пример. Решите ур-ние

|10х + 5| = 7

Решение. Исходное ур-ние разбивается на два других ур-ния:

10х + 5 = 7 или 10х + 5 = – 7

10х = 2 или 10х = – 12

х = 0,2 или х = – 1,2

Ответ: 0,2; (– 1,2).

Пример. Найдите корни ур-ния

|x²– 2х – 4| = 4

Решение. Снова заменим исходное равенство на два других:

x²– 2х – 4 = 4 или x²– 2х – 4 = – 4

Имеем два квадратных ур-ния. Решим каждое из них:

x²– 2х – 4 = 4

x²– 2х – 8 = 0

D = b²– 4ас = (– 2)² – 4•1•(– 8) = 4 + 32 = 36

х₁ = (2 – 6)/2 = – 2

х₂ = (2 + 6)/2 = 4

Нашли корни (– 2) и 4. Решаем второе ур-ние:

x²– 2х – 4 = – 4

x²– 2х = 0

х(х – 2) = 0

х = 0 или х – 2 = 0

х = 0 или х = 2

Получили ещё два корня: 0 и 2.

Ответ: – 2, 4, 0, 2

Встречаются случаи, когда в уравнении, содержащем знак модуля, под ним находятся обе части равенства:

|у(х)| = |g(x)|

Здесь возможны два варианта. Либо подмодульные выр-ния равны друг другу (у(х) = g(x)), либо у них противоположные значения (у(х) = – g(x)). То есть снова надо решить два ур-ния.

Пример. Решите ур-ние

|x² + 2x– 1| = |х + 1|

Решение. Выр-ния справа и слева (без знака модуля) либо равны, либо противоположны. Можно составить два ур-ния:

x² + 2x– 1 = х + 1 или x² + 2x– 1 = – (х + 1)

х² + х – 2 = 0 или х² + 3х = 0

Решим 1-ое ур-ние:

х² + х – 2 = 0

D = b²– 4ас = 1² – 4•1•(– 2) = 1 + 8 = 9

х₁ = (1 – 3)/2 = – 1

х₂ = (1 + 3)/2 = 2

Теперь переходим ко 2-омуур-нию:

х² + 3х = 0

х(х + 3) = 0

х = 0 или х + 3 = 0

х = 0 или х = – 3

Всего удалось найти 4 корня: (– 1), (– 2), 2 и 0.

Ответ:(– 1), (– 2), 2, 0.

Возможен случай, когда в левой части равенства находится модуль выр-ния, а в правой – обычное выражение, без модуля. Такое ур-ние имеет вид |у(х)| = g(x). Здесь также возможны два варианта: у(х) = g(x) или у(х) = – g(x). Однако следует учитывать ещё один факт. Модуль не может быть отрицательным, а потому должно выполняться нер-во g(x)⩾ 0. Но это неравенство не надо решать. Достаточно просто подставить в него все полученные корни и проверить, справедливо ли нер-во.

Пример. Найдите решение уравнения, содержащего модуль:

|х² + 3,5х – 20| = 4,5х

Решение. Рассмотрим два отдельных равенства:

х² + 3,5х – 20 = 4,5х илих² + 3,5х – 20 = – 4,5х

х² – х – 20 = 0 или х² + 8х – 20 = 0

Решим каждое из полученных квадратных ур-ний.

х² – х – 20 = 0

D = b²– 4ас = 1² – 4•1•(– 20) = 1 + 80 = 81

х₁ = (1 – 9)/2 = – 4

х₂ = (1 + 9)/2 = 5

х² + 8х – 20 = 0

D = b²– 4ас = 8² – 4•1•(– 20) = 64 + 80 = 144

х₃ = (– 8 – 12)/2 = – 10

х₄ = (– 8 + 12)/2 = 2

Итак, получили 4 корня: (– 4), 5, (– 10) и 2. Однако правая часть исходного ур-ния, 4,5x, не может быть отрицательной, ведь модуль числа – это всегда неотрицательная величина:

4,5х ≥ 0

Для х = – 4 и х = – 10 это условие не выполняется, поэтому эти корни должны быть исключены.

Ответ: 2 и 5

Мы рассмотрели три случая, когда ур-ние имеет вид:

1. у(х) = b (b– это некоторая константа)
2. |у(х)| = |g(x)|
3. |у(х)| = g(x)

Однако порою ур-ние не удается свести ни к одному из этих видов. Тогда для решения уравнений и неравенств, содержащих модуль, следует рассматривать их на отдельных интервалах, где подмодульные выр-ния не изменяют свой знак.

Пример. Найдите корни ур-ния

|x + 1| + |x– 4| = 6

Решение. Выр-ния х + 1 и х – 4 меняют знак при переходе через точки (– 1) и 4:

Если отметить обе точки на прямой, то они образуют на ней 3 интервала:

Исследуем ур-ние на каждом из полученных промежутков.

Так как при х <– 1 оба подмодульные выр-ния отрицательны, то можно записать, что

|x + 1| = – (х + 1) = – х – 1

|x– 4| = – (х – 4) = – х + 4

Тогда ур-ние примет вид

|x + 1| + |x– 4| = 6

– х – 1 – х + 4 = 6

–2х = 3

х = – 1,5

Это значение удовлетворяет условию х <– 1, поэтому корень верный.

Далее изучим случай, когда х∊[– 1; 4). Здесь отрицательно только выражение x– 4, поэтому модули заменяются так:

|x + 1| = х + 1

|x– 4| = – (х – 4) = – х + 4

Ур-ние примет вид:

|x + 1| + |x– 4| = 6

x + 1 – x+ 4 = 6

5 = 6

Получили неверное тождество. Получается, что на промежутке [– 1; 4) корней нет.

При х ≥4 выр-ния х – 4 и х + 1 положительны, поэтому

|x + 1| = х + 1

|x– 4| = х – 4

Исходное ур-ние будет выглядеть так

|x + 1| + |x– 4| = 6

х + 1 + х – 4 = 6

2х = 9

х = 4,5

Найденный корень удовлетворяет условию х ≥4, поэтому он также должен быть включен в ответ.

Уравнения с параметрами

Изучим ур-ния:

5х = 10

5х = 15

5х = 20

Для решения каждого из них надо число справа поделить на 5 (множитель перед х). В итоге получаем значения х, равные 2, 3 и 4.

Теперь обозначим число в правой части буквой, например, как v. Тогда все эти ур-ния будут выглядеть одинаково:

5х = v

Решением таких ур-ний будет дробь v/5.

Надо понимать разный смысл, который мы вкладываем при этом в буквы х и v. Через х мы обозначили переменную, то есть ту величину, значение которой необходимо найти. Под буквой v подразумевалась заранее известная величина, то есть константа, которая известна заранее в каждом конкретном ур-нии. Такую величину называют параметром, а ур-ние 5х = v называют уравнением с параметром.

Изучая уравнение с параметром, мы рассматриваем не одно конкретное ур-ние, а сразу целую группу, или семейство ур-ний. Например, все ур-ния первой степени можно описать в виде

ах + b= 0

где х – это переменная величина, а числа а, b– это параметры. Для описания квадратного ур-ния в общем виде необходимы уже три параметра (а, b и с):

ах² + bx + c = 0

Параметры встречаются не только при описании ур-ний, но и, например, при рассмотрении функций. Так, линейная функция задается формулой у = kx + b. Здесь числа k и b являются параметрами. Так как ур-ние у = kx + b задает на плоскости прямую линию, то величины k и b порою называют параметрами уравнения прямой.

Если при решении обычного ур-ния мы определяем значение его корней в виде конкретных чисел, то при решении ур-ний с параметром находят формулу, позволяющую при заданном значении параметра вычислить значение корня.

Пример. Решите ур-ние

х² – 2ах = 0

и найдите его корни при значении параметра а, равном 3.

Решение. Вынесем множитель х за скобки:

х² – 2ах = 0

х(х – 2а) = 0

х = 0 или х – 2а = 0

х = 0 или х = 2а

Получили, что при любом значении параметра а ур-ние имеет два корня. Один из них равен нулю при любом значении а, а второй вычисляется по формуле х = 2а:

при а = 3х = 2•3 = 6

Ответ: есть два корня – 0 и 2а. При а = 2 корни равны 0 и 6.

Пример. Решите ур-ние

р²х – 3рх = р² – 9

Решение. Слева вынесем за скобки множитель рх, а выр-ние справа преобразуем, используя формулу разности квадратов:

рх(р – 3) = (р – 3)(р + 3)

Возникает желание поделить обе части рав-ва на р(р – 3), чтобы выразить х. Однако сразу так делать нельзя, ведь если величина р(р – 3) равна нулю, то получится деление на ноль.

Поэтому сначала изучим случаи, когда один из множителей слева равен нулю. Если р = 0, то мы получим рав-во

0•х•(0 – 3) = (0 – 3) (3 – 0)

0 = – 9

Это неверное тождество, а потому при р = 0 ур-ние корней не имеет.

Если р – 3 = 0, то есть р = 3, получится следующее

3•х•0 = 0•(3 + 3)

0 = 0

Это равенство верно при любом х. Значит, при р = 3 корнем ур-ния является любое число.

Если же р≠ 0 и р ≠ 3, то произведение р(р – 3) также не равно нулю, а потому обе части равенства можно поделить на р(р – 3). Тогда получим

В этом случае ур-ние имеет единственный корень.

Ответ: при р = 0 корней нет; при р = 3 корнем является любое число; при других рх = (р + 3)/р.

Часто в задаче требуется не выразить корень ур-ния через параметр, а лишь оценить количество корней ур-ния или диапазон их значений.

Пример. Сколько корней имеет ур-ние

|х² – 6х + 5| = b

при различных значениях параметра b.

Решение. Будем решать ур-ние графическим методом. Для этого сначала построим график у = |х² – 6х + 5|. В модульных скобках находится обычная квадратичная функция, чьи ветви смотрят вверх. Найдем нули функции:

х² – 6х + 5 = 0

D = b²– 4ас = (– 6)² – 4•1•5 = 36 + 20 = 16

х₁ = (6 – 4)/2 = 1

х₂ = (6 + 4)/2 = 5

Итак, нули ф-ции – это точки 1 и 5. Найдем координату х₀ вершины параболы по формуле:

х₀ = –b/2a = 6/2 = 3

Подставив х₀ в квадратичную ф-цию найдем координату у₀ вершины параболы:

3² – 6•3 + 5 = 9 – 18 + 5 = – 4

Теперь построим квадратичную ф-цию:

Для построения графика, содержащего модуль функции, надо отобразить точки с отрицательными ординатами (они находятся ниже оси Ох) симметрично относительно оси Ох:

Мы построили график левой части ур-ния. График правой части представляет собой горизонтальную прямую у = b. Можно выделить 5 различных случаев взаимного расположения этих графиков:

При b< 0 прямая пролегает ниже графика. Общих точек у графиков нет, а потому ур-ние корней не имеет.

При b = 0 прямая у = 0 касается графика в 2 точках: (1; 0) и (5; 0). Получаем 2 корня.

Если 0 <b< 4, то прямая пересекает график в 4 точках.

При b = 4 прямая у = 4 касается перевернутой вершины параболы, а также пересекает ветви ещё в 2 точках. Итого 3 корня.

Наконец, при b>4 есть горизонтальная прямая пересекает график лишь в 2 точках, то есть получаем 2 корня.

Ответ: нет корней при b< 0; 2 корня при b = 0 и b> 4; 3 корня при b = 4; 4 корня при 0 <b< 4.

Пример. При каком а ур-ние

х⁴ – (а + 2)х² + 3а – 3 = 0

имеет ровно 4 корня?

Решение. Это ур-ние является биквадратным, то есть для его решения нужно произвести замену у = х²:

у² – (а + 2)у + 3а – 3 = 0 (1)

Для того, чтобы исходное ур-ние имело 4 корня, необходимо, чтобы у квадратного уравнения с параметром(1) было два положительных корня: у₁ и у₂. Тогда, проводя обратную замену х² = у₁ и х² = у₂, мы получим два разных квадратных ур-ния, корни которых будут равны

Если же хоть один из двух корней, например, у₁, окажется равным нулю, то величины

Совпадут (они обе будут равны нулю), и останется лишь 3 корня. Если же у₁ будет отрицательным числом, то ур-ние

х² = у₁

вовсе не будет иметь решений, и тогда останется не более 2 корней.

Итак, решим ур-ние (1):

у² – (а + 2)у + 3а – 3 = 0

D = b²– 4ас = (– (а + 2))² – 4•1•(3а – 3) = (а + 2)² – 12 а + 12 =

= а² + 4а + 4 – 12а + 12 = а² – 8а + 16 = а² – 2•4•а + 4² = (а – 4)²

Чтобы у ур-ния (1) было два различных корня, дискриминант должен быть положительным. Величина (а – 4)² положительна при всех значениях а, кроме а = 4, которое обращает дискриминант в ноль. Значит, а ≠ 4.

Извлечем корень из дискриминанта:

Корни ур-ния (1) можно вычислить по формулам:

И у₁, и у₂ должны быть положительными величинами, однако у₁ меньше, чем у₂ (ведь для его вычисления дискриминант брали со знаком «минус», а не «плюс»). Поэтому достаточно записать нер-во:

Получили неравенство, содержащее модуль. Для избавления от модульных скобок в нер-ве рассмотрим 2 случая. Если а – 4>0, то есть а > 4, выполняется равенство

|а – 4| = а – 4

Тогда имеем

а + 2 – (а – 4) > 0

6> 0

Это нер-во выполняется при любом допустимом значении а, поэтому при а >4 исходное ур-ние имеет 4 корня.

Если а < 4, то справедливо соотношение

|а – 4| = – (а – 4)

Тогда получится следующее:

а + 2 – |а – 4|> 0

а + 2 – (– (а – 4)) > 0

а + 2 + а – 4 > 0

2а > 2

а > 1

Итак, при условии, что а< 4, должно выполняться нер-во а > 1. Это значит, что а∊(1; 4). С учетом первого случая, при котором было получено решение

а > 4

можно записать окончательный ответ: а∊(1; 4)∪(4; + ∞).

Ответ: а∊(1; 4)∪(4; + ∞).

Пример. При каких параметрах а у ур-ния

х² – 2(а + 1)х + а² + 2а – 3 = 0

существует два корня, которые принадлежат интервалу (– 5; 5)?

Решение. Данное ур-ние является квадратным. Найдем его дискриминант:

D = b²– 4ас = (– 2(а + 1))² – 4•1•( а² + 2а – 3) = 4(а² + 2а + 1) – 4(а² + 2а – 3) =

= 4(а² + 2а + 1 – а²– 2а + 3) = 4•4 = 16

Получаем, что при любом а дискриминант положителен, а потому уур-ния 2 корня. Вычислить их можно по формулам

Для того, чтобы оба решения уравнения с параметром принадлежали интервалу (– 5; 5), нужно, чтобы меньший из них (это х₁) был больше – 5, больший (это х₂) – меньше – 5:

Значит, должны выполняться два нер-ва

х₁>– 5и х₂<5

а – 1 >– 5 и а + 3 < 5

а >– 4 и а < 2

Эти два нер-ва выполняются, если а∊(– 4; 2)

Ответ: (– 4; 2)

1 x модуль

Вы искали 1 x модуль? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное
решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и 1 модуль x, не
исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению
в вуз.
И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение.
Например, «1 x модуль».

Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей
жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек
использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на
месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который
может решить задачи, такие, как 1 x модуль,1 модуль x,1 модуль x 2,1 модуль x 3,1 модуль х,2 модуль x,2 модуль х,2 х модуль,2х 3 5 модуль,3 модуль x,3 модуль х,4 x 5 модуль,4 модуль х,5 модуль,5 модуль x,5 модуль х,7 класс уравнения модулями с,f x модуль x,x 2 модуль,x 3 модуль,x 5 модуль,x модуль,x модуль 2,y модуль 1 x 1,выражения с модулем,действия с модулем,действия с модулями,задания с модулем,задачи с модулем,задачи с модулями,икс модуль,как избавиться от модуля,как модуль умножить на модуль,как раскрывается модуль,как раскрывать модули,как раскрывать модуль,как раскрывать модуль в уравнении,как раскрыть модуль в уравнении,как решается модуль,как решать квадратные уравнения с модулем,как решать модули,как решать модуль,как решать модуль в модуле,как решать модуль равен модулю,как решать модульные уравнения,как решать модульные уравнения 7 класс,как решать примеры с модулем,как решать примеры с модулями,как решать с модулем,как решать уравнение с двойным модулем,как решать уравнение с модулем,как решать уравнение с модулем 7 класс,как решать уравнение с модулями,как решать уравнения 6 класс с модулями,как решать уравнения с двойным модулем,как решать уравнения с двумя модулями,как решать уравнения с модулем,как решать уравнения с модулем 10 класс,как решать уравнения с модулем 7 класс,как решать уравнения с модулем 9 класс,как решать уравнения с модулями,как решать уравнения с модулями 10 класс,как решать уравнения с модулями 7 класс,как решаются модули,как решаются уравнения с модулем,как решаются уравнения с модулями,как решить квадратное уравнение с модулем,как решить модуль,как решить модуль в модуле,как решить модульное уравнение,как решить уравнение квадратное с модулем,как решить уравнение с двумя модулями,как решить уравнение с модулем,как решить уравнение с модулем 7 класс,как решить уравнение с модулями,как решить уравнения с модулем,как убрать модуль в уравнении,как умножить модуль на модуль,калькулятор модулей уравнений,калькулятор решение уравнений с модулем,калькулятор уравнений с модулем,калькулятор уравнений с модулями,калькулятор уравнений с модулями онлайн,калькулятор уравнения с модулем,квадратное уравнение с модулем,квадратные уравнения с модулем,квадратные уравнения с модулем как решать,линейные уравнения с модулем,минус модуль х равен минус х решить,модули как раскрывать,модули как решать,модули как решаются,модули примеры,модули решение,модули решение уравнений,модули уравнения,модуль 1 x,модуль 1 х,модуль 1 х больше 2,модуль 2 x,модуль 2 х,модуль 2 х 3,модуль 3 x,модуль 3 равен х,модуль 3 х,модуль 4 х,модуль 5 x 4,модуль 5 х,модуль x,модуль x 1,модуль x 1 3,модуль x 2,модуль x 2 3,модуль x 3,модуль x 4,модуль x 4 3,модуль x 4 x,модуль x 5,модуль x 5 x,модуль x равен,модуль x равен x,модуль в модуле,модуль в модуле как решать,модуль в модуле как решить,модуль в модуле решение,модуль в модуле уравнение,модуль в уравнении как раскрыть,модуль в уравнениях,модуль выражения,модуль икс,модуль икс равен икс,модуль как раскрыть,модуль как решается,модуль как решать,модуль как решить,модуль квадратного уравнения,модуль минус икс,модуль минус икс равен икс,модуль плюс модуль равно модуль,модуль примеры,модуль примеры решения,модуль равен 2,модуль равен x,модуль равен модулю как решать,модуль равен модулю уравнение,модуль раскрыть,модуль решение,модуль решение уравнений,модуль уравнение,модуль уравнения,модуль х,модуль х 1,модуль х 1 х 3,модуль х 1 х 3 1,модуль х 2,модуль х 2 5,модуль х 3,модуль х 3 2,модуль х 4,модуль х 4 х,модуль х 5,модуль х 5 2,модуль х 8 5,модуль х минус х,модуль х модуль у 1,модуль х модуль у 3,модуль х равен 3,модуль числа решение уравнений,модуль числа уравнения,модульное уравнение,модульное уравнение решить онлайн,модульные уравнения,модульные уравнения 10 класс,модульные уравнения 7 класс,модульные уравнения 7 класс как решать,модульные уравнения как решать,модульные уравнения решение,модуля решение,онлайн раскрытие модуля,онлайн решение модулей,онлайн решение модульных уравнений,онлайн решение уравнение с модулем,онлайн решение уравнений с модулем,онлайн решение уравнений с модулем с подробным решением,онлайн решение уравнений с модулями,онлайн решение уравнения с модулем,онлайн решить уравнение с модулем,онлайн решить уравнения с модулем,онлайн уравнения с модулем,правила модуля,правила раскрытия модуля,правило модуля,правило раскрытия модуля,примеры как решать модули,примеры модули,примеры модуль,примеры решения квадратные уравнения с модулем,примеры с модулем,примеры с модулем как решать,примеры с модулями,примеры с модулями 7 класс,примеры с модулями как решать,примеры с модулями примеры решений,простейшие уравнения с модулем,равен модуль 2,раскрытие модулей,раскрытие модуля,раскрытие модуля в уравнении,раскрытие модуля онлайн,раскрыть модуль,раскрыть модуль онлайн,решение задач с модулем,решение квадратных уравнений с модулем,решение линейных уравнений с модулем 7 класс примеры,решение модулей,решение модулей онлайн,решение модули,решение модуль в модуле,решение модульные уравнения,решение модульных уравнений,решение модульных уравнений 7 класс,решение модульных уравнений онлайн,решение модуля,решение онлайн модулей,решение примеров с модулем,решение примеров с модулями,решение с модулем,решение уравнение онлайн с модулем,решение уравнение с модулем,решение уравнение с модулем онлайн,решение уравнений модули,решение уравнений модуль,решение уравнений модуль числа,решение уравнений онлайн с модулем,решение уравнений онлайн с модулями,решение уравнений онлайн с подробным решением с модулем,решение уравнений с двойным модулем,решение уравнений с двумя модулями,решение уравнений с модулем,решение уравнений с модулем 7 класс,решение уравнений с модулем 7 класс примеры,решение уравнений с модулем калькулятор,решение уравнений с модулем онлайн,решение уравнений с модулем онлайн с подробным решением,решение уравнений с модулем с подробным решением,решение уравнений с модулем с подробным решением онлайн,решение уравнений с модулями,решение уравнений с модулями онлайн,решение уравнения онлайн с модулем,решение уравнения с модулем,решение уравнения с модулем онлайн,решение уравнения с модулем онлайн калькулятор,решения уравнений с модулем,решения уравнений с модулями,решите уравнение с модулем,решить модульное уравнение онлайн,решить онлайн уравнение с модулем,решить уравнение модуль х равен минус х,решить уравнение модуль х равен х,решить уравнение онлайн с модулем,решить уравнение с модулем,решить уравнение с модулем онлайн,решить уравнение с модулем онлайн с решением,решить уравнения онлайн с модулем,решить уравнения с модулем онлайн,рівняння з модулем,рівняння з модулями,с двумя модулями уравнение,сложные уравнения с модулем,у 2 модуль х,у 3 модуль х,у модуль х 2,уравнение модуль,уравнение модуль в модуле,уравнение модуль равен модулю,уравнение с двойным модулем как решать,уравнение с двумя модулями,уравнение с модулем,уравнение с модулем 7 класс,уравнение с модулем как решать,уравнение с модулем как решать 7 класс,уравнение с модулем квадратное,уравнение с модулем квадратное уравнение,уравнение с модулем онлайн,уравнение с модулем онлайн решение,уравнение с модулем примеры,уравнение с модулем решение,уравнение с модулем решение онлайн,уравнение с модулями,уравнение с модулями 7 класс,уравнение с модулями как решать,уравнения в модуле,уравнения модули,уравнения модуль,уравнения модуль числа,уравнения онлайн с модулем,уравнения с двойным модулем как решать,уравнения с двумя модулями,уравнения с двумя модулями как решать,уравнения с модулем,уравнения с модулем 10 класс как решать,уравнения с модулем 7 класс,уравнения с модулем 7 класс примеры решения,уравнения с модулем 8 класс примеры решения,уравнения с модулем как решать,уравнения с модулем как решать 7 класс,уравнения с модулем как решить,уравнения с модулем калькулятор,уравнения с модулем калькулятор онлайн,уравнения с модулем онлайн,уравнения с модулем онлайн калькулятор,уравнения с модулем примеры,уравнения с модулем примеры решения,уравнения с модулем простейшие,уравнения с модулем решение,уравнения с модулем решение онлайн,уравнения с модулем решить онлайн,уравнения с модулем с двойным модулем,уравнения с модулем сложные,уравнения с модулями,уравнения с модулями 10 класс,уравнения с модулями 7 класс,уравнения с модулями 7 класс в ответе 0,уравнения с модулями 7 класс объяснение,уравнения с модулями как решать,уравнения с модулями примеры решений,уравнения содержащие модуль,х 1 модуль,х 2 модуль,х 2 модуль 3,х 3 2 модуль,х 5 модуль,х модуль. На этой странице вы найдёте калькулятор,
который поможет решить любой вопрос, в том числе и 1 x модуль. Просто введите задачу в окошко и нажмите
«решить» здесь (например, 1 модуль x 2).

Где можно решить любую задачу по математике, а так же 1 x модуль Онлайн?

Решить задачу 1 x модуль вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный
онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо
сделать — это просто
ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести
вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице
калькулятора.

Eureka Math 8 класс Модуль 7 Урок 5 Ответы на вопросы — CCSS Math Answers

Engage NY Eureka Math 8-й класс Модуль 7 Урок 5 Ответы на вопросы

Eureka Math 8 класс Модуль 7 Урок 5 Пример ключа ответа

Пример 1.
x ³ + 9x = \ (\ frac {1} {2} \) (18x + 54)
Ответ:
Теперь, когда мы знаем о квадратных корнях и кубических корнях, мы можем объединить эти знания с наши знания свойств равенства, чтобы начать решение нелинейных уравнений, таких как x ³ + 9x = \ (\ frac {1} {2} \) (18x + 54).{3}} \)
x = 3
Теперь мы проверяем правильность нашего решения.
3 ³ + 9 (3) = \ (\ frac {1} {2} \) (18 (3) + 54)
27 + 27 = \ (\ frac {1} {2} \) (54 + 54)
54 = \ (\ frac {1} {2} \) (108)
54 = 54
Поскольку левая сторона совпадает с правой, наше решение является правильным.

Пример 2.
x (x — 3) — 51 = — 3x + 13
Ответ:
Давайте посмотрим на другое нелинейное уравнение. Найдите положительное значение x, при котором уравнение выполняется: x (x — 3) — 51 = — 3x + 13.{2}} \) = ± \ (\ sqrt {64} \)
x = ± \ (\ sqrt {64} \)
x = ± 8
Теперь мы проверим правильность нашего решения.
Дайте студентам время проверить свою работу.
Пусть x = 8.
8 (8 — 3) — 51 = — 3 (8) + 13
8 (5) — 51 = — 24 + 13
40 — 51 = — 11
— 11 = — 11

Пусть x = — 8.
— 8 (- 8 — 3) — 51 = — 3 (- 8) + 13
— 8 (- 11) — 51 = 24 + 13
88 — 51 = 37
37 = 37
Теперь ясно, что левая сторона в точности такая же, как и правая, и наше решение правильное.{2}} \) = ± \ (\ sqrt {81} \)
x = ± \ (\ sqrt {81} \)
x = ± 9

Чек:
9 ² -14 = 5 (9) + 67-5 (9)
81-14 = 45 + 67-45
67 = 67

(- 9) ² — 14 = 5 (- 9) + 67 — 5 (- 9)
81 — 14 = — 45 + 67 + 45
67 = 67

г. Объясните, как вы решили уравнение.
Ответ:
Чтобы решить уравнение, мне пришлось сначала использовать свойства равенства, чтобы преобразовать уравнение в форму x ² = 81. Затем мне пришлось извлечь квадратный корень из обеих частей уравнения, чтобы определить что x = 9, поскольку число x возводится в квадрат.{2}} \) = ± \ (\ sqrt {121} \)
x = ± \ (\ sqrt {121} \)
x = ± 11

Чек:
11 (11 — 1) = 121 — 11
11 (10) = 110
110 = 110

— 11 (- 11 — 1) = 121 — (- 11)
— 11 (- 12) = 121 + 11
132 = 132

Упражнение 3. {3}} \)
6 = x

Чек:
216 + 6 = 6 (6 ² -5) + 6 (6)
222 = 6 (31) + 36
222 = 186 + 36
222 = 222

Упражнение 7.
а. Что мы пытаемся определить на диаграмме ниже?

Ответ:
Нам нужно определить значение x так, чтобы его квадратный корень, умноженный на 4, удовлетворял уравнению
5 ² + (4 \ (\ sqrt {x} \)) ² = 11 ² .

г. Определите значение x и проверьте свой ответ.
Ответ:
5 ² + (4 \ (\ sqrt {x} \)) ² = 11 ²
25 + 4 ² (\ (\ sqrt {x} \)) ² = 121
25 — 25 + 4 ² (\ (\ sqrt {x} \)) ² = 121 — 25
16x = 96
\ (\ frac {16x} {16} \) = \ (\ frac {96} {16} \)
x = 6
Значение x равно 6.

Чек:
5 ² + (4 \ (\ sqrt {6} \)) ² = 11 ²
25 + 16 (6) = 121
25 + 96 = 121
121 = 121

Eureka Math 8 класс Модуль 7 Урок 5 Набор задач Ключ с ответами

Найдите положительное значение x, которое делает каждое уравнение истинным, а затем убедитесь, что ваше решение правильное. {3}} \) = \ (\ sqrt [3] {8} \)
х = 2

Чек:
2 ² (2 + 7) = \ (\ frac {1} {2} \) (14 (2 ² ) + 16)
4 (9) = \ (\ frac {1} {2} \) (56 + 16)
36 = \ (\ frac {1} {2} \) (72)
36 = 36

Вопрос 2.{2}} \) = \ (\ sqrt {1} \)
8x = 1
\ (\ frac {8x} {8} \) = \ (\ frac {1} {8} \)
x = \ (\ frac {1} {8} \)

Чек:
(8 (\ (\ frac {1} {8} \))) ² = 1
1 ² = 1
1 = 1

Вопрос 5.
(9 \ (\ sqrt {x} \)) ² — 43x = 76
Ответ:
(9 \ (\ sqrt {x} \)) ² — 43x = 76
9 ² (√x) ² — 43x = 76
81x — 43x = 76
38x = 76
\ (\ frac {38x} {38} \) = \ (\ frac {76} {38} \)
х = 2

Чек:
(9 (\ (\ sqrt {2} \))) ² — 43 (2) = 76
9 ² (\ (\ sqrt {2} \)) ² — 86 = 76
81 (2) — 86 = 76
162 — 86 = 76
76 = 76

Вопрос 6.{2}} \)
\ (\ sqrt {58} \) = x

Чек:
3 ² + 7 ² = (\ (\ sqrt {52} \)) ²
9 + 49 = 58
58 = 58
Поскольку x = \ (\ sqrt {58} \ ) длина гипотенузы равна \ (\ sqrt {58} \) мм. {2}} \) ⋅ \ (\ sqrt {2} \)
x = 4 \ (\ sqrt {2 } \)

Чек:
(\ (\ frac {1} {2} \) (4 \ (\ sqrt {2} \))) ² — 3 (4 \ (\ sqrt {2} \)) = 7 ( 4 \ (\ sqrt {2} \)) + 8 — 10 (4 \ (\ sqrt {2} \))
\ (\ frac {1} {4} \) (16) (2) — 3 (4 \ (\ sqrt {2} \)) = 7 (4 \ (\ sqrt {2} \)) — 10 (4 \ (\ sqrt {2} \)) + 8
\ (\ frac {32} {4 } \) — 3 (4 \ (\ sqrt {2} \)) = 7 (4 \ (\ sqrt {2} \)) — 10 (4 \ (\ sqrt {2} \)) + 8
8 — 3 (4 \ (\ sqrt {2} \)) = (7-10) (4 \ (\ sqrt {2} \)) + 8
8-3 (4 \ (\ sqrt {2} \)) = — 3 (4 \ (\ sqrt {2} \)) + 8
8 — 8 — 3 (4 \ (\ sqrt {2} \)) = — 3 (4 \ (\ sqrt {2} \)) + 8 — 8
— 3 (4 \ (\ sqrt {2} \)) = — 3 (4 \ (\ sqrt {2} \))

Вопрос 10.{2}} \) ⋅ \ (\ sqrt {7} \)
x = 3 \ (\ sqrt {7} \)

Чек:
11 (3 \ (\ sqrt {7} \)) + 3 \ (\ sqrt {7} \) (3 \ (\ sqrt {7} \) — 4) = 7 (3 \ (\ sqrt {7} \) + 9)
33 \ (\ sqrt {7} \) + 3 ² (\ (\ sqrt {7} \)) ² — 4 (3 \ (\ sqrt {7} \ )) = 21 \ (\ sqrt {7} \) + 63
33 \ (\ sqrt {7} \) — 4 (3 \ (\ sqrt {7} \)) + 9 (7) = 21 \ (\ sqrt {7} \) + 63
33 \ (\ sqrt {7} \) — 12 \ (\ sqrt {7} \) + 63 = 21 \ (\ sqrt {7} \) + 63
(33 — 12 ) \ (\ sqrt {7} \) + 63 = 21 \ (\ sqrt {7} \) + 63
21 \ (\ sqrt {7} \) + 63 = 21 \ (\ sqrt {7} \) + 63
21 \ (\ sqrt {7} \) + 63 — 63 = 21 \ (\ sqrt {7} \) + 63 — 63
21 \ (\ sqrt {7} \) = 21 \ (\ sqrt {7 } \)

Eureka Math 8 класс Модуль 7 Урок 5 Ключ ответа на входной билет

Вопрос 1. {3}} \) = \ (\ sqrt [3] {27} \)
x = 3

Чек:
(4 (3)) ³ = 1728
12 ³ = 1728
1728 = 1728

Home — 8-я математика — миссис Бейкер

В этом году студенты расширяют свойства экспонент до целочисленных показателей в Модуле 1. Они используют модель числовой прямой для поддержки своего понимания рациональных чисел и системы счисления. Система счисления пересматривается в конце года (в Модуле 7) для построения действительной числовой линии посредством подробного изучения иррациональных чисел.

В Модуле 2 студенты изучают конгруэнтность, экспериментируя с поворотами, отражениями и перемещениями геометрических фигур. Их изучение конгруэнтности завершается введением в теорему Пифагора, в которой учитель проводит студентов через доказательство теоремы «квадрат в квадрате». Студенты применяют теорему в реальных приложениях и математических задачах в течение года. (В Модуле 7 студенты учатся самостоятельно доказывать теорему Пифагора и оцениваются на основе этих знаний в этом модуле. )

Экспериментальное изучение поворотов, отражений и перемещений в Модуле 2 подготавливает студентов к более сложной работе по пониманию влияния растяжения на геометрические фигуры в их исследовании подобия в Модуле 3. Они используют похожие треугольники для решения неизвестного угла и длины стороны. и проблемы местности. Модуль 3 завершается повторным рассмотрением доказательства теоремы Пифагора с точки зрения подобных треугольников.

В Модуле 4 учащиеся используют аналогичные треугольники, изученные в Модуле 3, чтобы объяснить, почему наклон линии четко определен.Учащиеся изучают связь между пропорциональными отношениями, линиями и линейными уравнениями, поскольку они разрабатывают способы представления линии a различными уравнениями (например, y = mx + b, y — y1 = m (x — x1)). Они анализируют и решают линейные уравнения и пары одновременных линейных уравнений. Уравнения линии обеспечивают естественный переход к идее функции, исследуемой в следующих двух модулях.

В Модуле 5 учащихся знакомят с функциями в контексте линейных уравнений и формул площади / объема. Они определяют, оценивают и сравнивают функции, используя уравнения линий как источник линейных функций и формулы площади и объема как источник нелинейных функций.

В Модуле 6 студенты возвращаются к линейным функциям в контексте статистики и вероятности, поскольку двумерные данные обеспечивают поддержку в использовании линейных функций.

К Модулю 7 студенты уже несколько месяцев используют теорему Пифагора. Они достаточно подготовлены, чтобы выучить и объяснить доказательство теоремы самостоятельно.Теорема Пифагора также используется, чтобы мотивировать обсуждение иррациональных квадратных корней (иррациональные кубические корни вводятся через объем сферы). Таким образом, поскольку год начался с изучения системы счисления, он заканчивается тем, что учащиеся понимают иррациональные числа и способы их представления (радикалы, неповторяющиеся десятичные разложения) на действительной числовой прямой.

8 класс / Математика 8 Видео

2019-20 Math 8 Essential Math Concepts (EMCs)

1. Решение задач с использованием вещественных чисел, включая экспоненты и научную запись (модули 1-2 в учебнике по математике)
2. Различение и сравнение пропорциональных и непропорциональных соотношений (модули 3-4 в учебнике GoMath)
3. Написание линейных уравнений и функций (GoMath Учебные модули 5-6)
4. Решение линейных уравнений (модуль 7 учебника GoMath)
5. Создание и решение систем линейных уравнений (модуль 8 учебника GoMath)
6. Изучение и использование трансформационной геометрии (модули 9-10 учебника GoMath)
7.Изучение и использование угловых соотношений в параллельных линиях и треугольниках (модуль 11 учебника GoMath)
8. Доказательство и применение теоремы Пифагора (модуль 12 учебника GoMath)
9. Знать и использовать формулы объема (модуль 13 учебника GoMath)
10. Изучение закономерностей ассоциации в двумерных данных и статистике (модули 14-15 учебника по математике)

Домены, кластеры и стандарты 8-го уровня
Щелкните домен или стандарт, чтобы просмотреть видеоролики Khan Academy, соответствующие домену / стандарту.
ПРИМЕЧАНИЕ. Содержание видео Khan Academy не является собственностью Capistrano USD, поэтому использование видео остается на усмотрение зрителя.

Система счисления

• Знайте, что есть числа, которые не являются рациональными, и округлите их рациональными числами.

EMC 1: (8.NS.1, 8.NS.2)

Выражения и уравнения

• Работа с радикалами и целыми показателями.

EMC 1: (8.EE.1, 8.EE.2, 8.EE.3, 8.EE.4)

• Поймите связи между пропорциональными отношениями, линиями и линейными уравнениями.

EMC 2: (8.EE.5, 8.EE.6)

• Анализируйте и решайте линейные уравнения и пары одновременных линейных уравнений.

EMC 4: (8.EE.7, 8.EE.7a, 8.EE.7b)

EMC 5: (8.EE.8, 8.EE.8b, 8.EE.8a, 8.EE.8c)

Функции

• Определение, оценка и сравнение функций.

EMC 3: (8.F.1, 8.F.2, 8.F.3)

• Используйте функции для моделирования отношений между величинами.

ЭМС 3: (8.F.4, 8.F.5)

Геометрия

• Поймите соответствие и сходство с помощью физических моделей, прозрачных пленок или программного обеспечения для работы с геометрией.

EMC 6: (8.G.1, 8.G.1a, 8.G.1b, 8.G.1c, 8.G.2, 8.G.3, 8.G.4)

EMC 7: (8.G.5)

• Понять и применить теорему Пифагора.

EMC 8: (8.G.6, 8.G.7, 8.G.8)

• Решайте реальные и математические задачи, связанные с объемом цилиндров, конусов и сфер.

EMC 9: (8.G.9)

Статистика и вероятность

• Изучите закономерности ассоциации в двумерных данных.

EMC 10: (8.SP.1, 8.SP.2, 8.SP.3, 8. SP.4)

8 класс средней школы (9780544056787) :: Домашние задания и ответы :: Slader

		Вы готовы?	стр. 224
		Понимание словаря	с.225
8,1	Решение систем линейных уравнений с помощью построения графиков	Твоя очередь	стр. 229
		Практическое руководство	стр. 232
		Независимая практика	с.233
8,2	Решение систем заменой	Твоя очередь	стр. 236
		Практическое руководство	стр.240
		Независимая практика	стр.241
8. 3	Решение систем методом исключения	Твоя очередь	стр. 244
		Практическое руководство	п.248
		Независимая практика	стр.249
8,4	Решение систем методом исключения с умножением	Твоя очередь	с.252
		Практическое руководство	п.256
		Независимая практика	п.257
8,5	Решение особых систем	Твоя очередь	стр. 259
		Практическое руководство	с.262
		Независимая практика	п.263
		Готовы к работе?	п. 265
		Смешанный обзор	п. 266
		Обзор руководства: модуль 7	с.268
		Задачи производительности	с. 270
		Обзор учебного пособия: модуль 8	с. 270
		Смешанный обзор	стр.271

Eureka math 8 класс, модуль 3 урок 12

Модуль 1: Свойства умножения и деления и решение задач с модулями 2–5 и 10: 3-й класс (Eureka Math / EngageNY) Модуль 2: Расстановка значений и решение задач с помощью единицы измерения: 3-й класс (Eureka Math / EngageNY) Модуль 3: Умножение и деление с единицами измерения 0, 1, 6–9 и кратными 10: 3-й класс (Eureka Math / EngageNY)

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 Eureka Math ™ 8 класс, модуль 1 Учащийся File_A… Напишите экспоненциальное выражение, используя основание 3 и экспоненты 5, 7 и 12, которое будет …

3 Рациональные числа Эврика Математика 1 класс Модуль 1 Урок 1 Эврика Математика 4 класс Модуль 3 Рассказ о единицах Урок 31. Eureka Math 4 класс Модуль 3 История модулей Урок 31 — Отображение 8 лучших рабочих листов, найденных для этой концепции. Некоторые из рабочих листов для этой концепции — это помощник по математике Eureka 20152016, модуль 3, Eureka Math

Eureka Math предлагает полную комплект печатных материалов PreK – 12, включая издания для учителей, рабочие тетради для учащихся и многое другое.Новые учебные пособия для учащихся «Учись, практикуй и добивайся успеха» (классы K – 8) предлагают учителям несколько способов дифференцировать обучение, обеспечивать дополнительную практику и оценивать обучение учащихся и доступны на армянском, арабском, французском языках … вы здесь описание, но сайт не позволяет нам.

eureka math история соотношений модуль 8 линейных функций 6 октября 2020 г. Автор: Erskine Caldwell Ltd ID ТЕКСТА f6340aa0 Электронная книга в формате PDF Библиотека Epub 122015 c2015 великие умы eureka mathorg история соотношений обзор учебной программы для 6 8 классов 20 a история соотношения модуль обзора учебной программы и приблизительный номер

класс 8 »Введение Распечатайте эту страницу.В 8-м классе учебное время должно быть сосредоточено на трех критических областях: (1) формулирование и рассуждение о выражениях и уравнениях, включая моделирование связи двумерных данных с линейным уравнением и решение линейных уравнений и систем линейных уравнений; (2) понимание концепции функции и использование функций для количественного описания …

Страница не найдена | Официальный сайт Sta. Rosa Объединенная школа-старшая школа

Страница не найдена | Официальный сайт Sta.Отделение интегрированной школы-старшей школы Роза

Этот веб-сайт принимает Руководство по обеспечению доступности веб-контента (WCAG 2.0) в качестве стандарта доступности для всех связанных с ним веб-разработок и услуг. WCAG 2.0 также является международным стандартом ISO 40500. Это подтверждает его как стабильный технический стандарт, на который можно ссылаться.

WCAG 2.0 содержит 12 руководств, организованных по 4 принципам: воспринимаемый, работоспособный, понятный и надежный (сокращенно POUR). Для каждого руководства есть проверяемые критерии успеха.Соответствие этим критериям оценивается по трем уровням: A, AA или AAA. Руководство по пониманию и применению Руководства по обеспечению доступности веб-контента 2.0 доступно по адресу: https://www.w3.org/TR/UNDERSTANDING-WCAG20/.

Специальные возможности

Комбинация клавиш быстрого доступа Активация Комбинированные клавиши, используемые для каждого браузера.

Chrome для Linux нажмите (Alt + Shift + shortcut_key)
Chrome для Windows нажмите (Alt + shortcut_key)
Для Firefox нажмите (Alt + Shift + shortcut_key)
Для Internet Explorer нажмите (Alt + Shift + shortcut_key), затем нажмите (ввод)
В Mac OS нажмите (Ctrl + Opt + shortcut_key)

Заявление о доступности (комбинация + 0): страница утверждения, на которой будут показаны доступные ключи доступности.Домашняя страница (комбинация + H): клавиша доступа для перенаправления на домашнюю страницу.
Основное содержимое (комбинация + R): ярлык для просмотра раздела содержимого текущей страницы.
FAQ (комбинация + Q): ярлык для страницы часто задаваемых вопросов.
Контакт (комбинация + C): ярлык для страницы контактов или формы запросов.
Отзыв (комбинация + K): ярлык для страницы обратной связи.
Карта сайта (комбинация + M): ярлык для раздела карты сайта (нижнего колонтитула) на странице.
Поиск (комбинация + S): ярлык для страницы поиска.

Нажмите esc или нажмите кнопку закрытия, чтобы закрыть это диалоговое окно.×

Филиппинское стандартное время:

Запрошенная вами страница могла быть перемещена в новое место или удалена с сайта.

Вернитесь на ГЛАВНУЮ СТРАНИЦУ или найдите то, что ищете, в поле поиска ниже.

Страница не найдена | ЗННХС

Страница не найдена | ЗННХС | Официальный сайт

Этот веб-сайт принимает Руководство по обеспечению доступности веб-контента (WCAG 2.0) в качестве стандарта доступности для всех связанных с ним веб-разработок и услуг. WCAG 2.0 также является международным стандартом ISO 40500. Это подтверждает его как стабильный технический стандарт, на который можно ссылаться.

WCAG 2.0 содержит 12 руководств, организованных по 4 принципам: воспринимаемый, работоспособный, понятный и надежный (сокращенно POUR). Для каждого руководства есть проверяемые критерии успеха. Соответствие этим критериям оценивается по трем уровням: A, AA или AAA. Руководство по пониманию и применению принципов доступности веб-контента 2.0 доступен по адресу: https://www.w3.org/TR/UNDERSTANDING-WCAG20/.

Специальные возможности

Комбинация клавиш быстрого доступа Активация Комбинированные клавиши, используемые для каждого браузера.

Chrome для Linux нажмите (Alt + Shift + shortcut_key)
Chrome для Windows нажмите (Alt + shortcut_key)
Для Firefox нажмите (Alt + Shift + shortcut_key)
Для Internet Explorer нажмите (Alt + Shift + shortcut_key), затем нажмите (ввод)
В Mac OS нажмите (Ctrl + Opt + shortcut_key)

Заявление о доступности (комбинация + 0): страница утверждения, на которой будут показаны доступные ключи доступности.Домашняя страница (комбинация + H): клавиша доступа для перенаправления на домашнюю страницу.
Основное содержимое (комбинация + R): ярлык для просмотра раздела содержимого текущей страницы.
FAQ (комбинация + Q): ярлык для страницы часто задаваемых вопросов.
Контакт (комбинация + C): ярлык для страницы контактов или формы запросов.
Отзыв (комбинация + K): ярлык для страницы обратной связи.
Карта сайта (комбинация + M): ярлык для раздела карты сайта (нижнего колонтитула) на странице.
Поиск (комбинация + S): ярлык для страницы поиска.

Нажмите esc или нажмите кнопку закрытия, чтобы закрыть это диалоговое окно.×

Запрошенная вами страница могла быть перемещена в новое место или удалена с сайта.

Вернитесь на ГЛАВНУЮ СТРАНИЦУ или найдите то, что ищете, в поле поиска ниже.

.