Арктангенс 2 5: Арктангенс — калькулятор онлайн

Содержание

Онлайн калькулятор: Тригонометрические функции

Простейшие тригонометрические функции

Тригонометрические функции — вид элементарных функций, к которым относятся следующие функции:
sin — синус
cos — косинус
tg — тангенс
ctg — котангенс
sec — секанс
cosec — косеканс
versin — версинус (синус-верзус)
vercos — коверсинус (косинус-верзус)
haversin — гаверсинус (половина от синус-верзус)
exsec — экссеканс
excsc — экскосеканс

Для того чтобы вычислить все эти тригонометрические функции сразу для заданного угла, введите значение угла в поле Угол и получите результат в виде таблицы значений всех функций для этого угла. Угол можно задать в градусах, радианах, градах, минутах и секундах, для выбора единицы измерения — просто щелкните на ее название.

Тригонометрические функции

Единицы измерения
Точность вычисления

Знаков после запятой: 10

Файл очень большой, при загрузке и создании может наблюдаться торможение браузера.

Загрузить
close

content_copy Ссылка save Сохранить extension Виджет

Как известно из школы, синус угла (sin) — это отношение длины противоположного этому углу катета к гипотенузе, а косинус (cos) — это отношение прилежащего этому углу катета к гипотенузе.

Остальные тригонометрические функции можно выразить через синус и косинус:
Тангенс: (отношение длины противоположного углу катета к прилежащему катету)
Котангенс: (отношение длины прилежащего к углу катета к противоположному катету)
Секанс: (отношение длины гипотенузы к прилежащему к углу катету)
Косеканс: (отношение длины гипотенузы к противоположному катету)

Редко используемые тригонометрические функции:

Версинус:

Коверсинус:

Гаверсинус:

Экссеканс:

Экскосеканс:

определение, формула, таблица, график, свойства

Определение

Арктангенс (arctg или arctan) – это обратная тригонометрическая функция.

Арктангенс x определяется как функция, обратная к тангенсу x, где x – любое число (x∈ℝ).

Если тангенс угла у равен х (tg y = x), значит арктангенс x равняется y:

arctg x = tg-1 x = y, причем -π/2<y<π/2

Примечание: tg-1x означает обратный тангенс, а не тангенс в степени -1.

Например:

arctg 1 = tg-1 1 = 45° = π/4 рад

График арктангенса

Функция арктангенса пишется как y = arctg (x). График в общем виде выглядит следующим образом:

Свойства арктангенса

Ниже в табличном виде представлены основные свойства арктангенса с формулами.

Таблица арктангенсов

arctg x (°) arctg x (рад) x
-90° -π/2 -∞
-71.565° -1.2490 -3
-63.435° -1.1071 -2
-60° -π/3 -√3
-45° -π/4 -1
-30° -π/6 -1/√3
-26.565° -0.4636 -0.5
0 0
26.565° 0.4636 0.5
30° π/6 1/√3
45° π/4 1
60° π/3 √3
63.435° 1.1071 2
71.565° 1.2490 3
90° π/2

microexcel.ru

Нахождение значений арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса

В данной статье рассматриваются вопросы нахождения значений арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса заданного числа. Для начала вводятся понятия арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса. Рассматриваем основные их значения, по таблицам, в том числе и Брадиса, нахождение этих функций.

Значения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса

Необходимо разобраться в понятиях «значения арксинуса, арккосинуса, арктангенса, арккотангенса».

Определения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса числа помогут разобраться в вычислении заданных функций. Значение тригонометрических функций угла равняется числу a, тогда автоматически считается величиной этого угла. Если a – число, тогда это и есть значение функции.

Для четкого понимания рассмотрим пример.

Если имеем арккосинус угла равного π3, то значение косинуса отсюда равно 12 по таблице косинусов. Данный угол расположен в промежутке от нуля до пи, значит, значение арккосинуса 12 получим π на 3. Такое тригонометрическое выражение записывается как arcos(12)=π3.

Величиной угла может быть как градус, так и радиан. Значение угла π3 равняется углу в 60 градусов (подробней разбирается в теме перевода градусов в радианы и обратно). Данный пример с арккосинусом 12 имеет значение 60 градусов. Такая тригонометрическая запись имеет вид arccos12=60°

Основные значения arcsin, arccos, arctg и arctg

Благодаря таблице синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов, мы имеет точные значения угла при 0, ±30, ±45, ±60, ±90, ±120, ±135, ±150, ±180 градусов. Таблица достаточно удобна и из нее можно получать некоторые значения для аркфункций, которые имеют название как основные значения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса.

Таблица синусов основных углов предлагает такие результаты значений углов:

sin(-π2)=-1, sin(-π3)=-32, sin(-π4)=-22, sin(-π6)=-12,sin 0 =0, sinπ6=12, sinπ4=22, sinπ3=32, sinπ2=1

Учитывая их, можно легко высчитать арксинус числа всех стандартных значений, начиная от -1 и заканчивая 1, также значения от –π2 до +π2 радианов, следуя его основному значению определения. Это и является основными значениями арксинуса.

Для удобного применения значений арксинуса занесем в таблицу. Со временем придется выучить эти значения, так как на практике приходится часто к ним обращаться. Ниже приведена таблица арксинуса с радианным и градусным значением углов.

α -1 -32 -22 -12 0 12 22 32
arcsin αкак угол

 

в радианах

 

-π2 -π3 -π4 -π6 0 π6 π4 π3
в градусах -90° -60° -45° -30° 30° 45° 60°
arcsin α как число -π2 -π3 -π4 -π6 0 π6 π4 π3

Для получения основных значений арккосинуса необходимо обратиться к таблице косинусов основных углов. Тогда имеем:

cos 0=1, cos π6=32 , cos π4=22, cos π3=12, cosπ2=0,cos2π3=-12, cos3π4=-22, cos5π6=-32, cosπ=-1

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание

Следуя из таблицы, находим значения арккосинуса:

arccos (-1)=π, arccos (-32)=5π6, arcocos (-22)=3π4, arccos-12=2π3, arccos 0 =π2, arccos 12=π3, arccos 22=π4, arccos32=π6, arccos 1 =0

Таблица арккосинусов.

α -1 -32 -22 -12 0 12 22 32 1
arccos αкак угол

 

в радианах

 

π 5π6 3π4 2π3 π2 π3 π4 π6 0
в градусах 180° 150° 135° 120° 90° 60° 45° 30°
arccos α как число π 5π6 3π4 2π3 π2 π3 π4 π6 0

Таким же образом, исходя из определения и стандартных таблиц, находятся значения арктангенса и арккотангенса, которые изображены в таблице арктангенсов и арккотангенсов ниже.

α -3 -1 -33 0 33 1 3
arctg aкак угол в радианах -π3 -π4 -π6 0 π6 π4 π3
в градусах -60° -45° -30° 30° 45° 60°
arctg a как число -π3 -π4 -π6 0 π6 π4 π3

Нахождение значений по таблицам синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов Брадиса

arcsin, arccos, arctg и arcctg

Для точного значения arcsin, arccos, arctg и arcctg числа а необходимо знать величину угла. Об этом сказано в предыдущем пункте. Однако, точное значении функции нам неизвестно. Если необходимо найти числовое приближенное значение аркфункций, применяют таблицу синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов Брадиса.

Такая таблица позволяет выполнять довольно точные вычисления, так как значения даются с четырьмя знаками после запятой. Благодаря этому числа выходят точными до минуты. Значения arcsin, arccos, arctg и arcctg отрицательных и положительных чисел сводится к нахождению формул arcsin, arccos, arctg и arcctg противоположных чисел вида arcsin(-α)=-arcsin α, arccos(-α)=π-arccos α, arctg(-α)=-arctg α, arcctg(-α)=π-arcctg α.

Рассмотрим решение нахождения значений  arcsin, arccos, arctg и arcctg с помощью таблицы Брадиса.

Если нам необходимо найти значение арксинуса 0,2857, ищем значение, найдя таблицу синусов. Видим, что данному числу соответствует значение угла sin 16 градусов и 36 минут. Значит, арксинус числа 0,2857 – это искомый угол в 16 градусов и 36 минут. Рассмотрим на рисунке ниже.

Правее градусов имеются столбцы называемые поправки. При искомом арксинусе 0,2863 используется та самая поправка в 0,0006, так как ближайшим числом будет 0,2857. Значит, получим синус 16 градусов 38 минут и 2 минуты, благодаря поправке. Рассмотрим рисунок с изображением таблицы Брадиса.

Бывают ситуации, когда искомого числа нет в таблице и даже с поправками его не найти, тогда отыскивается два самых близких значения синусов. Если искомое число 0,2861573, то числа 0,2860 и 0,2863 являются ближайшими его значениями. Этим числам соответствуют значения синуса 16 градусов 37 минут и 16 градусов и 38 минут. Тогда приближенное значение данного числа можно определить с точностью до минуты.

Таким образом находятся значения arcsin, arccos, arctg и arcctg.

Нахождение значения arcsin, arccos, arctg и arcctg

Чтобы найти арксинус через известный арккосинус данного числа, нужно применить тригонометрические формулы arcsin α+arccos α=π2, arctg α+arcctg α=π2 (не обходимо просмотреть тему формул суммы арккосинуса и арксинуса, суммы арктангенса и арккотангенса).

При известном arcsin α= -π12 необходимо найти значение arccos α, тогда необходимо вычислить арккосинус по формуле:

arccos α=π2−arcsin α=π2−(−π12)=7π12.

Если необходимо найти значение арктангенса или арккотангенса числа a с помощью известного арксинуса или арккосинуса, необходимо производить долгие вычисления, так как стандартных формул нет. Рассмотрим на примере.

Если дан арккосинус числа а равный π10, а вычислить арктангенс данного числа поможет таблица тангенсов. Угол π10 радиан представляет собой 18 градусов, тогда по таблице косинусов видим, что косинус 18 градусов имеет значение 0,9511, после чего заглядываем в таблицу Брадиса.

При поиске значения арктангенса 0,9511  определяем, что значение угла имеет 43 градуса и 34 минуты. Рассмотрим по таблице ниже.

Фактически, таблица Брадиса помогает в нахождении необходимого значения угла и при значении угла позволяет определить количество градусов.

Открытая Математика. Алгебра. Тригонометрические уравнения

Найдём условие, при котором будут равны синусы двух углов. Пусть sin a = sin b. Тогда sin a – sin b = 0, и по известной формуле разности синусов имеем

2sina-b2cosa+b2=0.

Значит, либо sina-b2=0,
то есть a-b2=πn,
 n∈ℤ,
либо cosa+b2=0,
то есть a+b2=π2+πn,
 n∈ℤ.
Итак, sin a = sin b тогда и только тогда, когда либо a – b = 2πn, либо a + b = (2n + 1)π, n∈ℤ.

Рассмотрим решение простейшего уравнения sin x = a. Если |a| > 1, то решений нет, если |a| ≤ 1, то в силу периодичности синуса решений будет бесконечно много. По определению обратных тригонометрических функций, одно из решений − это arcsin a. Следовательно, наше уравнение можно переписать в виде sin x = sin (arcsin a). Тогда либо x – arcsin a = 2πn, n∈ℤ, либо x + arcsin a = 2(n + 1)π, n∈ℤ. Оба эти равенства могут быть объединены в одно:

x=(-1)narcsina+πn, n∈ℤ.

Это равенство называется формулой общего решения уравнения sin x = a, |a| ≤ 1.

Аналогично можно показать, что формула общего решения уравнения cos x = a при |a| ≤ 1 имеет вид

x=±arccos a+2πn, n∈ℤ.

Формула общего решения уравнения tg x = a при любом действительном a имеет вид

x = arctg a + πn, n∈ℤ.

Формула общего решения уравнения ctg x = a при любом действительном a имеет вид

x = arcctg a + πn, n∈ℤ.

Рассмотренные уравнения называются простейшими тригонометрическими уравнениями.

Простейшие тригонометрические уравнения

Решите уравнение sin 2x = cos 3x.


Воспользуемся формулой приведения sin2x=cos(π2-2x),
получаем

cos(π2-2x)-cos3x=0.

По формуле разности синусов имеем

2sinπ2-2x+3x2sin3x-π2+2×2=0.

Следовательно, либо π4+x2=πk,
то есть x=-π2+2πk, k∈ℤ,
либо 5×2-π4=πk,
то есть x=π10+2πk5, k∈ℤ.



Ответ. x=-π2+2πk, k∈ℤ, x=π10+2πk5, k∈ℤ.


Решите уравнение sin x – 2 cos x = 0.


Преобразуем уравнение sin x = 2 cos x. Рассмотрим те x, для которых cos x = 0. Для этих x sin x = ±1. Следовательно, эти x не являются корнями исходного уравнения, так как при их подстановке получается неверное числовое равенство 0 = ±1. Значит, cos x ≠ 0. Разделим обе части уравнения на cos x ≠ 0, имеем tg x = 2, x = arctg 2 + πn, n∈ℤ.



Ответ.  x = arctg 2 + πn, n∈ℤ.


Решите уравнение sin2 x – 6 sin x cos x + 5 cos2 x = 0.




Те значения переменной x, для которых cos x = 0, не являются решениями, в чём можно убедиться непосредственной подстановкой. Разделим обе части уравнения на cos2 x, получим

tg2x – 6 tg x + 5 = 0.

Это уравнение является квадратным относительно переменной t = tg x:

t2 – 6t + 5 = 0.


Корни этого уравнения: t1=1
и t2=5.
Уравнение tgx=1
имеет решения x=π4+πn, n∈ℤ.
Уравнение tg x = 5 имеет решения x=arctg 5+πn, n∈ℤ.



Ответ. x=π4+πn, x=arctg 5+πn, n∈ℤ.


Только что рассмотренные уравнения называются однородными уравнениями соответственно 1-го и 2-го порядка. Вспомним определение многочлена n-ной степени, данное в § 2.1.1. Однородным многочленом n-ного порядка относительно переменных u и v называется многочлен, у которого сумма степеней переменных постоянна у всех членов.

Аналогично, уравнения au + bu = 0 и au2 + bvu + cv2 = 0 также называются однородными уравнениями 1-го и 2-го порядка. В нашем случае было u = sin x и v = cos x.

Уравнение 1-го порядка делением на v сводится к линейному относительно новой переменной t=uv.
Уравнения 2-го порядка делением на v2
сводятся к квадратному относительно t=uv.

Уравнения с обратными тригонометрическими функциями, как правило, удаётся решить, применяя одну и ту же тригонометрическую функцию к обеим частям данного уравнения.

Решите уравнение arccos x = arctg x.


Применим функцию косинус к обеим частям данного уравнения. Имеем x=cos(arctg x).
Так как область определения данного уравнения − множество x∈[-1; 1],
то:

x∈[-1; 1]⇒{arccosx∈[0; π]arctgx∈[-π4; π4]⇒{arccosx∈[0; π4]arctgx∈[0; π4]⇒x>0⇒x=cos(arctg x)=11+tg2 (arctg x)=11+x2.


Значит, x > 0. Решаем полученное иррациональное уравнение:

x2=11+x2⇔x4+x2-1=0⇔x2=-1±52.
Так как x > 0, то x=5-12.


Ответ. 5-12.


Арктангенс, арккотангенс — свойства, графики, формулы

Арктангенс, arctg

Определение и обозначения

Арктангенс ( y = arctg x )
 – это функция, обратная к тангенсу ( x = tg y ). Он имеет область определения    и множество значений  .
tg(arctg x) = x     ;
arctg(tg x) = x     .

Арктангенс обозначается так:
.

График функции арктангенс

График функции   y = arctg x.

График арктангенса получается из графика тангенса, если поменять местами оси абсцисс и ординат. Чтобы устранить многозначность, множество значений ограничивают интервалом   , на котором функция монотонна. Такое определение называют главным значением арктангенса.

Арккотангенс, arcctg

Определение и обозначения

Арккотангенс ( y = arcctg x )
 – это функция, обратная к котангенсу ( x = ctg y ). Он имеет область определения    и множество значений  .
ctg(arcctg x) = x     ;
arcctg(ctg x) = x     .

Арккотангенс обозначается так:
.

График функции арккотангенс

График функции   y = arcctg x.

График арккотангенса получается из графика котангенса, если поменять местами оси абсцисс и ординат. Чтобы устранить многозначность, область значений ограничивают интервалом   , на котором функция монотонна. Такое определение называют главным значением арккотангенса.

Четность

Функция арктангенс является нечетной:
arctg(–x) = arctg(–tg arctg x) = arctg(tg(–arctg x)) = – arctg x

Функция арккотангенс не является четной или нечетной:
arcctg(–x) = arcctg(–ctg arcctg x) = arcctg(ctg(π–arcctg x)) = π – arcctg x ≠ ± arcctg x.

Свойства – экстремумы, возрастание, убывание

Функции арктангенс и арккотангенс непрерывны на своей области определения, то есть для всех x. (см. доказательство непрерывности). Основные свойства арктангенса и арккотангенса представлены в таблице.

  y = arctg x y = arcctg x
Область определения и непрерывность – ∞ < x < + ∞ – ∞ < x < + ∞
Множество значений
Возрастание, убывание монотонно возрастает монотонно убывает
Максимумы, минимумы нет нет
Нули, y = 0 x = 0 нет
Точки пересечения с осью ординат, x = 0 y = 0 y = π/2
π
0

Таблица арктангенсов и арккотангенсов

В данной таблице представлены значения арктангенсов и арккотангенсов, в градусах и радианах, при некоторых значениях аргумента.

 x arctg x arcctg x
град. рад. град. рад.
– ∞ – 90° 180° π
– 60° 150°
– 1 – 45° 135°
– 30° 120°
0 0 90°
30° 60°
1 45° 45°
60° 30°
+ ∞ 90° 0

≈ 0,5773502691896258
≈ 1,7320508075688772

Формулы

См. Вывод формул обратных тригонометрических функций

Формулы суммы и разности

     при

     при

     при

     при

     при

     при

Выражения через логарифм, комплексные числа

См. Вывод формул
,
.

Выражения через гиперболические функции

Производные

См. Вывод производных арктангенса и арккотангенса > > >

Производные высших порядков:
Пусть  . Тогда производную n-го порядка арктангенса можно представить одним из следующих способов:
;
.
Символ означает мнимую часть стоящего следом выражения.

См. Вывод производных высших порядков арктангенса и арккотангенса > > >
Там же даны формулы производных первых пяти порядков.

Аналогично для арккотангенса. Пусть  . Тогда
;
.

Интегралы

Делаем подстановку   x = tg t   и интегрируем по частям:
;
;
;

Выразим арккотангенс через арктангенс:
.

Разложение в степенной ряд

При   |x| ≤ 1   имеет место следующее разложение:
;
.

Обратные функции

Обратными к арктангенсу и арккотангенсу являются тангенс и котангенс, соответственно.

Следующие формулы справедливы на всей области определения:
tg(arctg x) = x    
ctg(arcctg x) = x    .

Следующие формулы справедливы только на множестве значений арктангенса и арккотангенса:
arctg(tg x) = x     при
arcctg(ctg x) = x     при .

Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано:   Изменено:

Инженерный калькулятор. Профессиональный онлайн-калькулятор по расчету тригонометрических функций.

Клавиша Обозначение Пояснение
удаление одного символа Удаляет последний символ
С сброс Кнопка сброса. Полностью сбрасывает калькулятор в положение «0»
Радианы радианы Выражение угла в радианах. Используется только для тригометрических функциях cos, sin, tg, ctg, arcsin, arccos, arctg,arcctg.
Градусы градусы Выражение угла в градусах. Используется только для тригометрических функциях cos, sin, tg, ctg.
sin sin Тригонометрическая функция синус. Обозначается как «sin(x)». Угол (x) может быть задан в радианах либо градусах.
cos cos Тригонометрическая функция косинус. Обозначается как «cos(x)». Угол (x) л может быть задан в радианах либо градусах.
tg tg Тригонометрическая функция тангенс. Обозначается как «tg(x)». Угол (x) может быть задан в радианах либо градусах.
ctg ctg Тригонометрическая функция котангенс. Обозначается как «ctg(x)». Угол (x) может быть задан в радианах либо градусах.
arcsin arcsin Обратная тригонометрическая функция арксинус. Обозначается как «arcsin(x)». Угол (x) может быть задан в радианах либо градусах.
arccos arccos Обратная тригонометрическая функция арккосинус. Обозначается как «arccos(x)». Угол (x) может быть задан в радианах либо градусах.
arctg arctg Обратная тригонометрическая функция арктангенс. Обозначается как «arctg(x)». Угол (x) может быть задан в радианах либо градусах.
arcctg arcctg Обратная тригонометрическая функция арккотангенс. Обозначается как «arcctg(x)». Угол (x) может быть задан в радианах либо градусах.
ln ln Натуральный логарифм. Обозначение ln(x).
log log Десятичный логарифм.
e e Число «e» — основание натурального логарифма. Число «e» называют числом Эйлера или числом Непера. Приблизительно равно 2,71828.
Pi число Пи Число «Пи» — математическая константа. Приблизительно равно 3,14.
корень Извлечение корня из числа. При повторном нажатие на кнопку «корня» производится вычисление корня из результата. Например: корень из 16 = 4; корень из 4 = 2
x2 возведение в квадрат Возведение числа в квадрат. При повторном нажатие на кнопку «возведение в квадрат» производится возведение в квадрат результата Например: квадрат 2 = 4; квадрат 4 = 16
1/x дробь Вывод в десятичные дроби. В числителе 1, в знаменателе вводимое число

Где на окружности находится arctg 1 3. Урок «Арктангенс и арккотангенс. Решение уравнений tgx = а, ctgx = a». Что такое арксинус, арккосинус? Что такое арктангенс, арккотангенс

Ранее по программе учащиеся получили представление о решении тригонометрических уравнений, ознакомились с понятиями арккосинуса и арксинуса, примерами решений уравнений cos t = a и sin t = a. В этом видеоуроке рассмотрим решение уравнений tg x = a и ctg x = a.

В начале изучения данной темы рассмотрим уравнения tg x = 3 и tg x = — 3. Если уравнение tg x = 3 будем решать с помощью графика, то увидим, что пересечение графиков функций y = tg x и y = 3 имеет бесконечное множество решений, где x = x 1 + πk. Значение x 1 — это координата x точки пересечения графиков функций y = tg x и y = 3. Автор вводит понятие арктангенса: arctg 3 это число, tg которого равен 3, и это число принадлежит интервалу от -π/2 до π/2. Используя понятие арктангенса, решение уравнения tg x = 3 можно записать в виде x = arctg 3 + πk.

По аналогии решается уравнение tg x = — 3. По построенным графикам функций y = tg x и y = — 3 видно, что точки пересечения графиков, а следовательно, и решениями уравнений, будет x = x 2 + πk. С помощью арктангенса решение можно записать как x = arctg (- 3) + πk. На следующем рисунке увидим, что arctg (- 3) = — arctg 3.

Общее определение арктангенса выглядит следующим образом: арктангенсом а называется такое число из промежутка от -π/2 до π/2, тангенс которого равен а. Тогда решением уравнения tg x = a является x = arctg a + πk.

Автор приводит пример 1. Найти решение выражения arctg.Введем обозначения: арктангенс числа равен x, тогда tg x будет равен данному числу, где x принадлежит отрезку от -π/2 до π/2. Как в примерах в предыдущих темах, воспользуемся таблицей значений. По этой таблице тангенсу данного числа соответствует значение x = π/3. Запишем решение уравнения арктангенс заданного числа равен π/3, π/3 принадлежит и интервалу от -π/2 до π/2.

Пример 2 — вычислить арктангенс отрицательного числа. Используя равенство arctg (- a) = — arctg a, введем значение x. Аналогично примеру 2 запишем значение x, которое принадлежит отрезку от -π/2 до π/2. По таблице значений найдем, что x = π/3, следовательно, — tg x = — π/3. Ответом уравнения будет — π/3.

Рассмотрим пример 3. Решим уравнение tg x = 1. Запишем, что x = arctg 1 + πk. В таблице значению tg 1 соответствует значение x = π/4, следовательно, arctg 1 = π/4. Подставим это значение в исходную формулу x и запишем ответ x = π/4 + πk.

Пример 4: вычислить tg x = — 4,1. В данном случае x = arctg (- 4,1) + πk. Т.к. найти значение arctg в данном случае нет возможности, ответ будет выглядеть как x = arctg (- 4,1) + πk.

В примере 5 рассматривается решение неравенства tg x > 1. Для решения построим графики функций y = tg x и y = 1. Как видно на рисунке, эти графики пересекаются в точках x = π/4 + πk. Т.к. в данном случае tg x > 1, на графике выделим область тангенсоиды, которая находится выше графика y = 1, где x принадлежит интервалу от π/4 до π/2. Ответ запишем как π/4 + πk

Далее рассмотрим уравнение ctg x = a. На рисунке изображены графики функций у = ctg x, y = a, y = — a, которые имеют множество точек пересечения. Решения можно записать как x = x 1 + πk, где x 1 = arcctg a и x = x 2 + πk, где x 2 = arcctg (- a). Отмечено, что x 2 = π — x 1 . Из этого следует равенство arcctg (- a) = π — arcctg a. Далее дается определение арккотангенса: арккотангенсом а называется такое число из промежутка от 0 до π, котангенс которого равен а. Решение уравнения сtg x = a записывается в виде: x = arcctg a + πk.

В конце видеоурока делается еще один важный вывод — выражение ctg x = a можно записать в виде tg x = 1/a, при условии, что a не равно нулю.

ТЕКСТОВАЯ РАСШИФРОВКА:

Рассмотрим решение уравнений tg х = 3 и tg х= — 3. Решая первое уравнение графически, мы видим, что графики функций у = tg х и у = 3 имеют бесконечно много точек пересечения, абсциссы которых запишем в виде

х = х 1 + πk, где х 1 — это абсцисса точки пересечения прямой у = 3 с главной ветвью тангенсоиды (рис.1), для которой было придумано обозначение

arctg 3 (арктангенс трех).

Как же понимать arctg 3?

Это число, тангенс которого равен 3 и это число принадлежит интервалу (- ;). Тогда все корни уравнения tg х = 3 можно записать формулой х = arctg 3+πk.

Аналогично решение уравнения tg х = — 3 можно записать в виде х = х 2 + πk, где х 2 — это абсцисса точки пересечения прямой у = — 3 с главной ветвью тангенсоиды (рис.1), для которой было придумано обозначение arctg(-3) (арктангенс минус трех). Тогда все корни уравнения можно записать формулой: х = arctg(-3)+ πk. По рисунку видно, что arctg(- 3)= — arctg 3.

Сформулируем определение арктангенса. Арктангенсом а называется такое число из промежутка (-;), тангенс которого равен а.

Часто используют равенство: arctg(-а) = -arctg а, которое справедливо для любого а.

Зная определение арктангенса, сделаем общий вывод о решении уравнения

tg х= a: уравнение tg х = a имеет решение х = arctg а + πk.

Рассмотрим примеры.

ПРИМЕР 1.Вычислить arctg.

Решение. Пусть arctg = х, тогда tgх = и хϵ (- ;). Показать таблицу значений Следовательно, х =, так как tg = и ϵ (- ;).

Итак, arctg =.

ПРИМЕР 2. Вычислить arctg (-).

Решение. Используя равенство arctg(- а) = — arctg а, запишем:

arctg(-) = — arctg . Пусть — arctg = х, тогда — tgх = и хϵ (- ;). Следовательно, х =, так как tg = и ϵ (- ;). Показать таблицу значений

Значит — arctg=- tgх= — .

ПРИМЕР 3. Решить уравнение tgх = 1.

1. Запишем формулу решений: х = arctg 1 + πk.

2. Найдем значение арктангенса

так как tg = . Показать таблицу значений

Значит arctg1= .

3. Поставим найденное значение в формулу решений:

ПРИМЕР 4. Решить уравнение tgх = — 4,1(тангенс икс равно минус четыре целые одна десятая).

Решение. Запишем формулу решений: х = arctg (- 4,1) + πk.

Вычислить значение арктангенса мы не можем, поэтому решение уравнения оставим в полученном виде.

ПРИМЕР 5. Решить неравенство tgх 1.

Решение. Будем решать графически.

  1. Построим тангенсоиду

у= tgх и прямую у = 1(рис.2). Они пересекаются в точках вида х = + πk.

2. Выделим промежуток оси икс, на котором главная ветвь тангенсоиды расположена выше прямой у = 1, так как по условию tgх 1. Это интервал (;).

3. Используем периодичность функции.

Своийство 2. у=tg х — периодическая функция с основным периодом π.

Учитывая периодичность функции у= tgх, запишем ответ:

(;). Ответ можно записать в виде двойного неравенства:

Перейдем к уравнению ctg х = a. Представим графическую иллюстрацию решения уравнения для положительного и отрицательного а (рис.3).

Графики функций у= ctg х и у =а а также

у= ctg х и у=-а

имеют бесконечно много общих точек, абсциссы которых имеют вид:

х = х 1 + , где х 1 — это абсцисса точки пересечения прямой у =а с главной ветвью тангенсоиды и

х 1 = arcсtg а;

х = х 2 + , где х 2 — это абсцисса точки пересечения прямой

у = — а с главной ветвью тангенсоиды и х 2 = arcсtg (- а).

Заметим, что х 2 = π — х 1 . Значит, запишем важное равенство:

arcсtg (-а) = π — arcсtg а.

Сформулируем определение: арккотангенсом а называется такое число из интервала (0;π), котангенс которого равен а.

Решение уравнения ctg х = a записываются в виде: х = arcсtg а + .

Обратим внимание, что уравнение ctg х = a можно преобразовать к виду

tg х = , за исключение, когда а = 0.

Эта статья про нахождение значений арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса
данного числа. Сначала мы внесем ясность, что называется значением арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса. Дальше получим основные значения этих аркфункций, после чего разберемся, как находятся значения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса по таблицам синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов Брадиса. Наконец, поговорим про нахождение арксинуса числа, когда известен арккосинус, арктангенс или арккотангенс этого числа, и т.п.

Навигация по странице.

Значения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса

Сначала стоит разобраться, что вообще такое «значение арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса
».

Таблицы синусов и косинусов, а также тангенсов и котангенсов Брадиса позволяют найти значение арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса положительного числа в градусах с точностью до одной минуты. Здесь стоит оговориться, что нахождение значений арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса отрицательных чисел можно свести к нахождению значений соответствующих аркфункций положительных чисел, обратившись к формулам arcsin, arccos, arctg и arcctg противоположных чисел вида arcsin(−a)=−arcsin a
, arccos(−a)=π−arccos a
, arctg(−a)=−arctg a
и arcctg(−a)=π−arcctg a
.

Разберемся с нахождением значений арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса по таблицам Брадиса. Будем это делать на примерах.

Пусть нам требуется найти значение арксинуса 0,2857
. Находим это значение в таблице синусов (случаи, когда это значение отсутствует в таблице, разберем ниже). Ему соответствует синус 16
градусов 36
минут. Следовательно, искомым значением арксинуса числа 0,2857
является угол 16
градусов 36
минут.

Часто приходится учитывать и поправки из трех справа столбцов таблицы. К примеру, если нам нужно найти арксинус 0,2863
. По таблице синусов это значение получается как 0,2857
плюс поправка 0,0006
, то есть, значению 0,2863
соответствует синус 16
градусов 38
минут (16
градусов 36
минут плюс 2
минуты поправки).

Если же число, арксинус которого нас интересует, отсутствует в таблице и даже не может быть получено с учетом поправок, то в таблице нужно отыскать два наиболее близких к нему значения синусов, между которыми данное число заключено. Например, мы ищем значение арксинуса числа 0,2861573
. Этого числа нет в таблице, с помощью поправок это число тоже не получить. Тогда находим два наиболее близких значения 0,2860
и 0,2863
, между которыми исходное число заключено, этим числам соответствуют синусы 16
градусов 37
минут и 16
градусов 38
минут. Искомое значение арксинуса 0,2861573
заключено между ними, то есть, любое из этих значений угла можно принять в качестве приближенного значения арксинуса с точностью до 1
минуты.

Абсолютно аналогично находятся и значения арккосинуса, и значения арктангенса и значения арккотангенса (при этом, конечно, используются таблицы косинусов, тангенсов и котангенсов соответственно).

Нахождение значения arcsin через arccos, arctg, arcctg и т.п.

Например, пусть нам известно, что arcsin a=−π/12
, а нужно найти значение arccos a
. Вычисляем нужное нам значение арккосинуса: arccos a=π/2−arcsin a=π/2−(−π/12)=7π/12
.

Куда интереснее обстоит дело, когда по известному значению арксинуса или арккосинуса числа a
требуется найти значение арктангенса или арккотангенса этого числа a
или наоборот. Формул, задающих такие связи, мы, к сожалению, не знаем. Как же быть? Разберемся с этим на примере.

Пусть нам известно, что арккосинус числа a
равен π/10
, и нужно вычислить значение арктангенса этого числа a
. Решить поставленную задачу можно так: по известному значению арккосинуса найти число a
, после чего найти арктангенс этого числа. Для этого нам сначала потребуется таблица косинусов, а затем – таблица тангенсов.

Угол π/10
радиан – это угол 18
градусов, по таблице косинусов находим, что косинус 18
градусов приближенно равен 0,9511
, тогда число a
в нашем примере есть 0,9511
.

Осталось обратиться к таблице тангенсов, и с ее помощью найти нужное нам значение арктангенса 0,9511
, оно приближенно равно 43
градусам 34
минутам.

Эту тему логически продолжает материал статьи вычисление значений выражений, содержащих arcsin, arccos, arctg и arcctg
.

Список литературы.

  • Алгебра:
    Учеб. для 9 кл. сред. шк./Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Под ред. С. А. Теляковского.- М.: Просвещение, 1990.- 272 с.: ил.- ISBN 5-09-002727-7
  • Башмаков М. И.
    Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. сред. шк. — 3-е изд. — М.: Просвещение, 1993. — 351 с.: ил. — ISBN 5-09-004617-4.
  • Алгебра
    и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын и др.; Под ред. А. Н. Колмогорова.- 14-е изд.- М.: Просвещение, 2004.- 384 с.: ил.- ISBN 5-09-013651-3.
  • И. В. Бойков, Л. Д. Романова. Сборникк задач для подготовки к ЕГЭ, часть 1, Пенза 2003.
  • Брадис В. М.
    Четырехзначные математические таблицы: Для общеобразоват. учеб. заведений. — 2-е изд. — М.: Дрофа, 1999.- 96 с.: ил. ISBN 5-7107-2667-2

Урок и презентация на темы: «Арксинус. Таблица арксинусов. Формула y=arcsin(x)»

Дополнительные материалы

Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.

Пособия и тренажеры в интернет-магазине «Интеграл» для 10 класса от 1С


Программная среда «1С: Математический конструктор 6.1»
Решаем задачи по геометрии. Интерактивные задания на построение в пространстве

Что будем изучать:

1. Что такое арксинус?
2. Обозначение арксинуса.
3. Немного истории.
4. Определение.

6. Примеры.

Что такое арксинус?

Ребята, мы с вами уже научились решать уравнения для косинуса, давайте теперь научимся решать подобные уравнения и для синуса. Рассмотрим sin(x)= √3/2. Для решения этого уравнения требуется построить прямую y= √3/2 и посмотреть: в каких точках она пересекает числовую окружность. Видно, что прямая пересекает окружность в двух точках F и G. Эти точки и будут решением нашего уравнения. Переобозначим F как x1, а G как x2. Решение этого уравнения мы уже находили и получили: x1= π/3 + 2πk,
а x2= 2π/3 + 2πk.

Решить данное уравнение довольно просто, но как решить, например, уравнение
sin(x)= 5/6. Очевидно, что это уравнение будет иметь также два корня, но какие значения будут соответствовать решению на числовой окружности? Давайте внимательно посмотрим на наше уравнение sin(x)= 5/6.
Решением нашего уравнения будут две точки: F= x1 + 2πk и G= x2 + 2πk,
где x1 – длина дуги AF, x2 – длина дуги AG.
Заметим: x2= π — x1, т.к. AF= AC — FC, но FC= AG, AF= AC — AG= π — x1.
Но, что это за точки?

Столкнувшись с подобной ситуацией, математики придумали новый символ – arcsin(x). Читается, как арксинус.

Тогда решение нашего уравнения запишется так: x1= arcsin(5/6), x2= π -arcsin(5/6).

И решение в общем виде: x= arcsin(5/6) + 2πk и x= π — arcsin(5/6) + 2πk.
Арксинус — это угол (длина дуги AF, AG) синус, которого равен 5/6.

Немного истории арксинуса

История происхождения нашего символа совершенно такая же, как и у arccos. Впервые символ arcsin появляется в работах математика Шерфера и известного французского ученого Ж.Л. Лагранжа. Несколько ранее понятие арксинус рассматривал Д. Бернули, правда записывал его другими символами.

Общепринятыми эти символы стали лишь в конце XVIII столетия. Приставка «arc» происходит от латинского «arcus» (лук, дуга). Это вполне согласуется со смыслом понятия: arcsin x — это угол (а можно сказать и дуга), синус которого равен x.

Определение арксинуса

Если |а|≤ 1, то arcsin(a) – это такое число из отрезка [- π/2; π/2], синус которого равен а.

Если |а|≤ 1, то уравнение sin(x)= a имеет решение: x= arcsin(a) + 2πk и
x= π — arcsin(a) + 2πk

Перепишем:


x= π — arcsin(a) + 2πk = -arcsin(a) + π(1 + 2k).

Ребята, посмотрите внимательно на два наших решения. Как думаете: можно ли их записать общей формулой? Заметим, что если перед арксинусом стоит знак «плюс», то π умножается на четное число 2πk, а если знак «минус», то множитель — нечетный 2k+1.
С учётом этого, запишем общую формула решения для уравнения sin(x)=a:

Есть три случая, в которых предпочитают записывать решения более простым способом:

sin(x)=0, то x= πk,

sin(x)=1, то x= π/2 + 2πk,

sin(x)=-1, то x= -π/2 + 2πk.

Для любого -1 ≤ а ≤ 1 выполняется равенство: arcsin(-a)=-arcsin(a).

Напишем таблицу значений косинуса наоборот и получим таблицу для арксинуса.

Примеры

1. Вычислить: arcsin(√3/2).
Решение: Пусть arcsin(√3/2)= x, тогда sin(x)= √3/2. По определению: — π/2 ≤x≤ π/2. Посмотрим значения синуса в таблице: x= π/3, т.к. sin(π/3)= √3/2 и –π/2 ≤ π/3 ≤ π/2.
Ответ: arcsin(√3/2)= π/3.

2. Вычислить: arcsin(-1/2).
Решение: Пусть arcsin(-1/2)= x, тогда sin(x)= -1/2. По определению: — π/2 ≤x≤ π/2. Посмотрим значения синуса в таблице: x= -π/6, т.к. sin(-π/6)= -1/2 и -π/2 ≤-π/6≤ π/2.
Ответ: arcsin(-1/2)=-π/6.

3. Вычислить: arcsin(0).
Решение: Пусть arcsin(0)= x, тогда sin(x)= 0. По определению: — π/2 ≤x≤ π/2. Посмотрим значения синуса в таблице: значит x= 0, т.к. sin(0)= 0 и — π/2 ≤ 0 ≤ π/2.
Ответ: arcsin(0)=0.

4. Решить уравнение: sin(x) = -√2/2.
x= arcsin(-√2/2) + 2πk и x= π — arcsin(-√2/2) + 2πk.
Посмотрим в таблице значение: arcsin (-√2/2)= -π/4.
Ответ: x= -π/4 + 2πk и x= 5π/4 + 2πk.

5. Решить уравнение: sin(x) = 0.
Решение: Воспользуемся определением, тогда решение запишется в виде:
x= arcsin(0) + 2πk и x= π — arcsin(0) + 2πk. Посмотрим в таблице значение: arcsin(0)= 0.
Ответ: x= 2πk и x= π + 2πk

6. Решить уравнение: sin(x) = 3/5.
Решение: Воспользуемся определением, тогда решение запишется в виде:
x= arcsin(3/5) + 2πk и x= π — arcsin(3/5) + 2πk.
Ответ: x= (-1) n — arcsin(3/5) + πk.

7. Решить неравенство sin(x)
Решение: Синус — это ордината точки числовой окружности. Значит: нам надо найти такие точки, ордината которых меньше 0.7. Нарисуем прямую y=0.7. Она пересекает числовую окружность в двух точках. Неравенству y
Тогда решением неравенства будет: -π – arcsin(0.7) + 2πk

Задачи на арксинус для самостоятельного решения

1) Вычислить: а) arcsin(√2/2), б) arcsin(1/2), в) arcsin(1), г) arcsin(-0.8).
2) Решить уравнение: а) sin(x) = 1/2, б) sin(x) = 1, в) sin(x) = √3/2, г) sin(x) = 0.25,
д) sin(x) = -1.2.
3) Решить неравенство: а) sin (x)> 0.6, б) sin (x)≤ 1/2.

Функции sin, cos, tg и ctg всегда сопровождаются арксинусом, арккосинусом, арктангенсом и арккотангенсом. Одно является следствием другого, а пары функций одинаково важны для работы с тригонометрическими выражениями.

Рассмотрим рисунок единичной окружности, на котором графически отображено значений тригонометрических функций.

Если вычислить arcs OA, arcos OC, arctg DE и arcctg MK, то все они будут равны значению угла α. Формулы, приведенные ниже, отражают взаимосвязь основных тригонометрических функций и соответствующих им арков.

Чтобы больше понять о свойствах арксинуса, необходимо рассмотреть его функцию. График имеет вид асимметричной кривой, проходящей через центр координат.

Свойства арксинуса:

Если сопоставить графики sin
и arcsin
, у двух тригонометрических функций можно найти общие закономерности.

Арккосинус

Arccos числа а — это значение угла α, косинус которого равен а.

Кривая y = arcos x
зеркально отображает график arcsin x, с той лишь разницей, что проходит через точку π/2 на оси OY.

Рассмотрим функцию арккосинуса более подробно:

  1. Функция определена на отрезке [-1; 1].
  2. ОДЗ для arccos — .
  3. График целиком расположен в I и II четвертях, а сама функция не является ни четной, ни нечетной.
  4. Y = 0 при x = 1.
  5. Кривая убывает на всей своей протяженности. Некоторые свойства арккосинуса совпадают с функцией косинуса.

Некоторые свойства арккосинуса совпадают с функцией косинуса.

Возможно, школьникам покажется излишним такое «подробное» изучение «арков». Однако, в противном случае, некоторые элементарные типовые задания ЕГЭ могут ввести учащихся в тупик.

Задание 1.
Укажите функции изображенные на рисунке.

Ответ:
рис. 1 – 4, рис.2 — 1.

В данном примере упор сделан на мелочах. Обычно ученики очень невнимательно относятся к построению графиков и внешнему виду функций. Действительно, зачем запоминать вид кривой, если ее всегда можно построить по расчетным точкам. Не стоит забывать, что в условиях теста время, затраченное на рисунок для простого задания, потребуется для решения более сложных заданий.

Арктангенс

Arctg
числа a – это такое значение угла α, что его тангенс равен а.

Если рассмотреть график арктангенса, можно выделить следующие свойства:

  1. График бесконечен и определен на промежутке (- ∞; + ∞).
  2. Арктангенс нечетная функция, следовательно, arctg (- x) = — arctg x.
  3. Y = 0 при x = 0.
  4. Кривая возрастает на всей области определения.

Приведем краткий сравнительный анализ tg x и arctg x в виде таблицы.

Арккотангенс

Arcctg числа a — принимает такое значение α из интервала (0; π), что его котангенс равен а.

Свойства функции арккотангенса:

  1. Интервал определения функции – бесконечность.
  2. Область допустимых значений – промежуток (0; π).
  3. F(x) не является ни четной, ни нечетной.
  4. На всем своем протяжении график функции убывает.

Сопоставить ctg x и arctg x очень просто, нужно лишь сделать два рисунка и описать поведение кривых.

Задание 2.
Соотнести график и форму записи функции.

Если рассуждать логически, из графиков видно, что обе функции возрастающие. Следовательно, оба рисунка отображают некую функцию arctg. Из свойств арктангенса известно, что y=0 при x = 0,

Ответ:
рис. 1 – 1, рис. 2 – 4.

Тригонометрические тождества arcsin, arcos, arctg и arcctg

Ранее нами уже была выявлена взаимосвязь между арками и основными функциями тригонометрии. Данная зависимость может быть выражена рядом формул, позволяющих выразить, например, синус аргумента, через его арксинус, арккосинус или наоборот. Знание подобных тождеств бывает полезным при решении конкретных примеров.

Также существуют соотношения для arctg и arcctg:

Еще одна полезная пара формул, устанавливает значение для суммы значений arcsin и arcos, а также arcctg и arcctg одного и того же угла.

Примеры решения задач

Задания по тригонометрии можно условно разделить на четыре группы: вычислить числовое значение конкретного выражения, построить график данной функции, найти ее область определения или ОДЗ и выполнить аналитические преображения для решения примера.

При решении первого типа задач необходимо придерживаться следующего плана действий:

При работе с графиками функций главное – это знание их свойств и внешнего вида кривой. Для решения тригонометрических уравнений и неравенств необходимы таблицы тождеств. Чем больше формул помнит школьник, тем проще найти ответ задания.

Допустим в ЕГЭ необходимо найти ответ для уравнения типа:

Если правильно преобразовать выражение и привести к нужному виду, то решить его очень просто и быстро. Для начала, перенесем arcsin x в правую часть равенства.

Если вспомнить формулу arcsin (sin α) = α
, то можно свести поиск ответов к решению системы из двух уравнений:

Ограничение на модель x возникло, опять таки из свойств arcsin: ОДЗ для x [-1; 1]. 2

Калькулятор Arctan — вычисляет arctan (x) числа

Используйте этот калькулятор arctan, чтобы легко вычислить arctan заданного числа.Онлайн-инструмент вычисления арктангенса для вычисления функции тангенса дуги в градусах или радианах. Поддерживает ввод десятичных чисел (0,5, 6, -1 и т. Д.) И дробей (1/3, 3/4, 1/6, -4/3 и т. Д.).

Функция Arctan

Арктангенс (он же arcus tangens ) является одной из обратных тригонометрических функций (антитригонометрических функций) и является обратной функцией касательной. Иногда его пишут как tan -1 (x), но этого обозначения следует избегать, так как оно может вызвать путаницу с обозначением экспоненты.Арктангенс используется для получения угла из касательного тригонометрического отношения, которое представляет собой отношение между стороной, противоположной углу, и соседней стороной треугольника.

Функция охватывает все действительные числа (-∞ — + ∞), как и результаты нашего калькулятора. Диапазон значений угла обычно составляет от -90 ° до 90 °. Существует ряд правил арктангенса, например, tan (arctan (x)) = x или arctanα + arctanβ = arctan ((α + β) / (1-αβ)), а также синус арктангенса: sin (arctan (x)) = x / √ (1 + x 2 ), что может помочь вам в расчетах тригонометрии.

Как рассчитать арктангенс числа?

Самый простой способ вычислить это значение — использовать наш калькулятор арктангенса, который выдает результаты как в градусах, так и в радианах. Другие способы требуют предоставления дополнительной информации, такой как значения других тригонометрических функций для того же угла или для других углов в треугольнике (см. Пример ниже).

Вот таблица общих значений арктана:

Общие значения функции arctan
x arctan (x) (°) arctan (x) (рад.)
-∞ -90 ° -π / 2
-√3 -60 ° -π / 3
-1 -45 ° -π / 4
-1 / √3 -30 ° -π / 6
0 0 ° 0
1 / √3 30 ° π / 6
1 45 ° π / 4
√3 60 ° π / 3
+ ∞ 90 ° π / 2

π — это, конечно, математическая константа, примерно равная 3.14159.

Пример использования arctan

Учитывая приведенный ниже рисунок прямоугольного треугольника с известными длинами сторон a = 18 и b = 10 и прямым углом в точке C, как мы можем найти угол β в точке B, используя функцию обратной тангенса?

Зная, что касательная к β равна противоположной стороне, деленной на соседнюю, получаем tan (β) = b / a = 10/18 = 0,555. Затем просто используйте обратную функцию, чтобы получить β = arctan (0,555) = 29,03 ° (или 0,507 в радианах).

Расчет арктангенса дроби

Часто значение тангенса задается или вычисляется как простая дробь, например 3/4. Хотя для преобразования дроби в десятичную дробь можно использовать преобразователь дроби в десятичную дробь, наш калькулятор арктангенса фактически поддерживает прямой ввод различных дробей, таких как 1/2, 1/3, 1/6, 3/4, 4/3, -2. / 3 и даже 0,3 / 0,5. Чтобы вычислить arctan (3/4) или arctan (4/3) или другую дробь x / y, просто введите ее в поле ввода и нажмите «вычислить».

Для удобства, вот таблица общих значений арктангенса дробных тангенсов:

Общие значения тангенса угла наклона дробных касательных
x / y arctan (x / y) (°) arctan (x / y) (рад.)
1/2 26.565051 ° 0,463648 рад
1/3 18.434949 ° 0,321751 рад
3/4 36.869898 ° 0,643501 рад
4/3 53.130102 ° 0,927295 рад
1/6 9.462322 ° 0,165149 рад

Используя приведенный выше инструмент, вы можете вычислить его для любой простой дроби.

Калькулятор Arctan. Найти арктангенс

Воспользуйтесь этим калькулятором арктангенса, чтобы быстро найти арктангенс.Ищете ли вы простой ответ на вопрос «что такое арктан?» или вам интересно узнать об интегральном или производном от arctan, вы попали в нужное место. Ниже вы также найдете график arctan, а также аккуратную таблицу с часто используемыми значениями, такими как arctan (1) и arctan (0). Кроме того, вы можете просто ввести интересующее вас значение в этот инструмент, и вы найдете ответ в мгновение ока.

Заинтересованы в более продвинутой тригонометрии? Если вам нужно решить треугольники, ознакомьтесь с нашими калькуляторами закона синусов и закона косинусов.

Что такое арктан?

Арктангенс — это функция, обратная касательной. Проще говоря, мы используем arctan, когда хотим найти угол, для которого нам известно значение тангенса.

Однако, в самом строгом смысле, поскольку касательная является периодической тригонометрической функцией, у нее нет обратной функции. Тем не менее, мы можем определить обратную функцию, если ограничим область до интервала, в котором функция является монотонной. Обычно выбираемый интервал -π / 2

рэнд

Сокращение Определение Домен arctan x Диапазон обычных
основных значений
arctan (x)
tan -1 x,
atan
х = загар (у) все вещественные числа -π / 2 -90 °

Использование соглашения tan -1 x может привести к путанице в отношении разницы между арктангенсом и котангенсом.Оказывается, арктан и детская кроватка — разные вещи:

  • cot (x) = 1 / tan (x) , поэтому котангенс в основном является обратной величиной тангенса или, другими словами, мультипликативной обратной величиной
  • arctan (x) — угол, тангенс которого равен x

Надеемся, что теперь вы не сомневаетесь в том, что арктан и котан разные. Чтобы избежать дальнейших недоразумений, вы можете использовать arctan (x), а не tan -1 x нотацию .

График Arctan

Ограничивая область определения функции главной касательной, мы получаем значение арктангенса, которое изменяется исключительно от −π / 2 до π / 2 радиан.Однако область определения функции арктангенса — это все действительные числа. Тогда график выглядит следующим образом:

График Часто используемые значения
x арктан (х)
рад °
-∞ -π / 2 -90 °
-3 -1.2490 -71,565 °
-2 -1,1071 -63,435 °
-√3 -π / 3 -60 °
-1 -π / 4 -45 °
-√3 / 3 -π / 6 -30 °
0 0 0 °
√3 / 3 π / 6 30 °
1 π / 4 45 °
√3 π / 3 60 °
2 1.1071 63,435 °
3 1,2490 71,565 °
π / 2 90 °

Как создается этот арктановый граф? Отражая tan (x) в диапазоне (-π / 2 π / 2) через линию y = x.Вы также можете посмотреть на это, как поменять местами горизонтальную и вертикальную оси:

Свойства Arctan, отношения с тригонометрическими функциями, интеграл и производная от arctan

Отношения в тригонометрии имеют решающее значение для более глубокого понимания этой темы. Проверка прямоугольного треугольника с длинами сторон 1 и x является хорошей отправной точкой, если вы хотите найти отношения между arctan и основными тригонометрическими функциями:

  • Синус: sin (arctan (x)) = x / √ (1 + x²)
  • Косинус: cos (arctan (x)) = 1 / √ (1 + x²)
  • Тангенс: tan (arctan (x)) = x

Другие полезные отношения с арктангенсом:

  • arctan (x) = π / 2 - arccot ​​(x)
  • арктан (-x) = -арктан (x)
  • arcsin (x) = arctan (x / √ (1 - x²))
  • интеграл от arctan: ∫arctan (x) dx = x arctan (x) - (1/2) ln (1 + x²) + C
  • производное от arctan: d / dx arctan (x) = 1 / (1 + x²) где x ≠ -i, i
  • arctan (x) + arctan (1 / x) = π / 2 , для x> 0 и arctan (x) + arctan (1 / x) = -π / 2 , для x <0

Первое уравнение легко доказать, исходя из свойств прямоугольного треугольника с длинами сторон 1 и x, поскольку мы прекрасно знаем, что сумма углов в треугольнике равна 180 °.Вычитая прямой угол, равный 90 °, мы получаем два непрямых угла, которые в сумме должны составлять 90 °. Таким образом, мы можем записать углы как arctan (x) и arctan (1 / x).

Калькулятор Arctan — как пользоваться

Это действительно один из самых простых в использовании калькуляторов! Просто введите число, которое вы хотите найти арктанган . Поскольку домен arctan — это все вещественные числа, вам не о чем беспокоиться. Допустим, мы хотим найти арктангенс 1. Просто введите число, и калькулятор арктангенса отобразит результат .Как мы и ожидали, арктангенс 1 равен 45 °. Этот калькулятор арктангенса работает и в обратном направлении, то есть как стандартный калькулятор тангенса — введите угол во второе поле, и появится тангенс этого угла.

Функции Acos, Acot, Asin, Atan, Atan2, Cos, Cot, Degrees, Pi, Radians, Sin и Tan — Power Apps

  • 2 минуты на чтение

В этой статье

Вычисляет тригонометрические значения.

Описание

Основные функции

Функция Cos возвращает косинус своего аргумента, угол, указанный в радианах.

Функция Cot возвращает котангенс своего аргумента, угол, указанный в радианах.

Функция Sin возвращает синус своего аргумента, угол, указанный в радианах.

Функция Tan возвращает тангенс своего аргумента, угол, указанный в радианах.

Обратные функции

Функция Acos возвращает арккосинус или обратный косинус своего аргумента. Арккосинус — это угол, косинус которого является аргументом. Возвращаемый угол указывается в радианах в диапазоне от 0 (ноль) до π.

Функция Acot возвращает главное значение аркотангенса или обратного котангенса своего аргумента. Возвращаемый угол указывается в радианах в диапазоне от 0 (ноль) до π.

Функция Asin возвращает арксинус или обратный синус своего аргумента.Арксинус — это угол, синус которого является аргументом. Возвращаемый угол указывается в радианах в диапазоне от -π / 2 до π / 2.

Функция Atan возвращает арктангенс или арктангенс своего аргумента. Арктангенс — это угол, тангенс которого является аргументом. Возвращаемый угол указывается в радианах в диапазоне от -π / 2 до π / 2.

Функция Atan2 возвращает арктангенс или арктангенс заданных координат x и y в качестве аргументов.Арктангенс — это угол от оси x до линии, которая содержит начало координат (0, 0) и точку с координатами ( x , y ). Угол указывается в радианах между -π и π, исключая -π. Положительный результат представляет собой угол против часовой стрелки от оси x ; отрицательный результат представляет собой угол по часовой стрелке. Atan2 ( a , b ) равно Atan ( b / a ) , за исключением того, что a может равняться 0 (нулю) с функцией Atan2 .

Вспомогательные функции

Градусов Функция преобразует радианы в градусы. π радиан равняется 180 градусам.

Функция Pi возвращает трансцендентное число π, которое начинается с 3,141592 …

Радианы Функция преобразует градусы в радианы.

Банкноты

Если вы передадите в эти функции одно число, возвращаемое значение будет единственным результатом. Если вы передаете таблицу с одним столбцом, содержащую числа, возвращаемое значение представляет собой таблицу результатов с одним столбцом, по одному результату для каждой записи в таблице аргументов.Если у вас есть таблица с несколькими столбцами, вы можете преобразовать ее в таблицу с одним столбцом, как описано в работе с таблицами.

Если аргумент приведет к неопределенному значению, результатом будет пустое значение . Это может произойти, например, при использовании обратных функций с аргументами, выходящими за пределы допустимого диапазона.

Синтаксис

Основные функции

Cos ( радианы )
Кроватка ( радианы )
Sin ( радианы )
Tan ( радианы )

  • Radians — обязательно.Угол для работы.

Cos ( SingleColumnTable )
Cot ( SingleColumnTable )
Sin ( SingleColumnTable )
Tan ( SingleColumn90Table)

  • SingleColumnTable — Обязательно. Одноколоночная таблица углов для работы.

Обратные функции

Acos ( номер )
Acot ( номер )
Asin ( номер )
Atan ( номер )

  • Номер — Обязательно.Номер для работы.

Acos ( SingleColumnTable )
Acot ( SingleColumnTable )
Asin ( SingleColumnTable )
Atan (

11 SingleColumn)

  • SingleColumnTable — Обязательно. Таблица чисел, состоящая из одного столбца.

Атан2 ( X , Y )

  • X — Обязательно. X — координата оси.
  • Y — Обязательно. Y — координата оси.

Вспомогательные функции

градусов ( радиан )

  • Radians — обязательно. Угол в радианах для преобразования в градусы.

Pi ()

Радианы ( градусов )

  • Градусы — Обязательно. Угол в градусах для преобразования в радианы.

Примеры

Единый номер

Формула Описание Результат
Cos (1.047197) Возвращает косинус 1,047197 радиан или 60 градусов. 0,5
Детская кроватка (Pi () / 4) Возвращает котангенс 0,785398 … радиан или 45 градусов. 1
Sin (Пи () / 2) Возвращает синус 1.570796 … радиан или 90 градусов. 1
Тан (радианы (60)) Возвращает тангенс 1,047197 … радиан или 60 градусов. 1.732050 …
Acos (0,5) Возвращает арккосинус 0,5 в радианах. 1.047197 …
Acot (1) Возвращает арккотангенс 1 в радианах. 0,785398 …
Асин (1) Возвращает арксинус 1 в радианах. 1,570796 …
Атан (1.732050) Возвращает арктангенс 1,732050 в радианах. 1.047197 …
Атан2 (5, 3) Возвращает арктангенс угла от оси x линии, содержащей начало координат (0,0), и координату (5,3), которая составляет приблизительно 31 градус. 0,540419 …
Атан2 (4, 4) Возвращает арктангенс угла от оси x линии, содержащей начало координат (0,0) и координату (4,4), что составляет ровно π / 4 радиан или 45 градусов. 0,785398 …
Градусов (1.047197) Возвращает эквивалентное количество градусов для 1,047197 радиана. 60
Пи () Возвращает трансцендентное число π. 3,141592 …
радианы (15) Возвращает эквивалентное количество радианов для 15 градусов. 0,261799 …

Одноколоночная таблица

В примерах в этом разделе используется источник данных с именем ValueTable , который содержит следующие данные. -1 (y / x)
Калькуляторы Hewlett Packard *: atan (y / x)

* Большинство из них

Диапазон (Выход): От -90 ° до 90 °, от -π / 2 до π / 2 радиан

Как использовать арктангенс для получения atan (y, x)

Если точка находится в квадранте I:
Используйте atan (y / x)

Если точка находится в квадранте II или III:
Используйте atan (y / x) + 180 ° в режиме градусов
Используйте atan (y / x) + π в режиме радиан

Если точка находится в квадранте IV:
Используйте atan (y / x) + 360 ° в режиме градусов
Используйте atan (y / x) + 2 * π в режиме радиан

Следует использовать особые случаи, когда x или y равно 0:

Если x = 0 и yIf x = 0 и y> 0, угол равен 90 ° (π / 2 радиан)
Если y = 0 и x Если y = 0 и x> 0, угол равен 360 ° или 0 ° (2 * π или 0 радиан)

Функция аргумента

Используется комплексное число x + yi.

Калькуляторы TI: угол (x + y * i)
Калькуляторы Casio и Hewlett Packard: ARG (x + y * i)

Диапазон: от -180 ° до 180 °, от -π до π радиан

Как использовать Функция аргумента для получения atan2 (y, x)

Это отличный способ получить atan2, который умело использует комплексные числа. Кроме того, нужно помнить гораздо меньше вещей:

Если y≥0 (квадранты I и II):
Используйте ARG (x + yi) *

(* функция угла, если вы используете калькулятор TI)

Если y Используйте ARG (x + yi) + 360 ° для режима градусов
Используйте ARG (x + yi) + 2 * π для режима радиан

Надеюсь, этот совет будет вам полезен.С Днем Благодарения, и я очень благодарен всем, кто читал, следил и поддерживал мой блог в течение последних двух лет.

Эдди

Этот блог является собственностью Эдварда Шора. 2013

math.h — В чем разница между atan и atan2 в C ++?

Из школьной математики мы знаем, что касательная имеет определение

  tan (α) = sin (α) / cos (α)
  

, и мы различаем четыре квадранта на основе угла, который мы задаем функциям.Знак sin , cos и tan имеет следующее соотношение (где мы пренебрегаем точными кратными π / 2 ):

  Угол квадранта sin cos tan
-------------------------------------------------
  I 0 <α <π / 2 + + +
  II π / 2 <α <π + - -
  III π <α <3π / 2 - - +
  IV 3π / 2 <α <2π - + -
  

Учитывая, что значение tan (α) положительное, мы не можем различить, был ли угол из первого или третьего квадранта, и если он отрицательный, он мог исходить из второго или четвертого квадранта.Таким образом, по соглашению atan () возвращает угол из первого или четвертого квадранта (т.е. -π / 2 <= atan () <= π / 2 ), независимо от исходного ввода касательной.

Чтобы получить полную информацию, мы не должны использовать результат деления sin (α) / cos (α) , но мы должны смотреть на значения синуса и косинуса отдельно. И это то, что делает atan2 () . Он берет оба, sin (α) и cos (α) , и разрешает все четыре квадранта, добавляя π к результату atan () , когда косинус отрицательный.

Примечание: Функция atan2 (y, x) фактически принимает аргумент y и x , который является проекцией вектора длиной v и углом α на оси y и ось x, т.е.

  у = v * грех (α)
х = v * cos (α)
  

, что дает отношение

  y / x = tan (α)
  

Заключение:
atan (y / x) удерживает некоторую информацию и может только предполагать, что вход пришел из квадрантов I или IV.Напротив, atan2 (y, x) получает все данные и, таким образом, может определить правильный угол.

Функция

atan2 () в Python - GeeksforGeeks

Функция atan2 () в Python

atan2 (y, x) возвращает значение atan (y / x) в радианах. Метод atan2 () возвращает числовое значение между - и, представляющее угол точки (x, y) и положительной оси x.

Синтаксис:

 atan2 (y, x) 

Параметр:

  (y, x) -  Оба значения должны быть числовыми.

Возвращает:

 Возвращает атан (y / x) в радианах.
Двойное значение - это полярная координата (r, theta). 

TypeError:

 Возвращает TypeError, если передано что-либо, кроме float. 

Код # 1:

90

90

0 Выход:

atan2 (-0,5, -0,5): -2,3561944
345 atan2 (1,2, 1,5): 0,6747409422235526 atan2 (1,2, -1,5): 2,4668517113662407

Код # 2:

импорт математика

theta411 atan2 ( 0,9 , 0,9 )

печать ( "atan2 (-0,9, -0,9):" 7 90, theta)

theta2 = math.atan2 ( 1,2 , 1,5 )

печать ( "), " atan2, theta

theta3 = математ.atan2 ( 1,2 , 1,5 )

печать ( "atan2 (1,2, -1,5):" , theta3)

импорт математика

y 911, , 3 , 4 ]

x = [ 6 , 3 , 7,

для i в диапазоне ( len (x)):

theta = = .atan2 (y [i], x [i])

print (theta)

Вывод:

0,16514867741462683
0,5880026035475675
0,404828508343
0,46364760061
 

Код # 3: Программа, демонстрирующая ошибку

импорт математика

6

theta = math.atan2 ([y], [x])

print (theta)

Вывод:

 Traceback (последний звонок последний):
  Файл "/home/622586ab389561bcdbfff258aca01e65.py", строка 9, в
    theta = math.atan2 ([y], [x])
TypeError: требуется float
 

Практическое применение:
Эта функция используется для нахождения наклона в радианах, когда заданы координаты Y и X.

Код # 4:

импорт математика

X =
41 =
41 Y = 2

theta1 = math.atan2 (Y, X)

печать (theta1)

Выход:

 0,7853981633974483
 

Внимание компьютерщик! Укрепите свои основы с помощью курса Python Programming Foundation и изучите основы.

Для начала подготовьтесь к собеседованию. Расширьте свои концепции структур данных с помощью курса Python DS .

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *