(Группы получают карточки с приложением №1)

Задание №1 Самостоятельная работа

• Укажите виды уравнений:

а) х²+9х-20=0 в) х^{2 —}8х=0

б) 2х²-7х-30=0 г) 35х²+150=0

(ответы записывают в тетрадь).

1 группа х²+4х-5=0 х²-х-72=0 х²+3х-28=0 х⁴-13х²+36=0

2 группа х²-10х+16=0 х²-10х+21=0 х²-6х+8=0 х⁴-34х²+225=0

3 группа х²-7х+12=0 х²-9х+18=0 х²-4х-5=0 х⁴— 20х²+64=0

4 группа х²+5х-6=0 х²-7х-18=0 х²-9х+14=0 х⁴— 4х²+45=0

5 группа х²-8х+15=0 х²-6х+8=0 х²-7х-18=0 х⁴— 20х²+100=0

(Учитель открывает ответы уравнений, ребята сверяются, выясняют , что есть в задании такие уравнения, которые они не смогли решить. Представители групп записывают свои биквадратные уравнения на доске.).

-Сравните, пожалуйста, уравнения: х²-7х-18=0 х⁴— 20х²+100=0.

-Чем они отличаются? (1 слагаемое в 2 раза меньше)

-Вы уже знаете способы решения квадратных уравнений различных видов. Теперь переходим к рассмотрению уравнений, приводящихся к решению квадратных уравнений.

-Как бы вы назвали эти уравнения?

-Вот перед вами примеры. Скажите, что нового мы сегодня узнаем?

-Научимся решать биквадратные уравнения. Находить его корни

-Всё это вы будете узнавать вместе самостоятельно.

Задание №2

( Каждая группа получает карточку с 1 биквадратным уравнением, с его решением по алгоритму . Прил № 2)

1. Разберите решённое уравнение в группе. Умейте объяснить.
2. Составьте алгоритм решения биквадратного уравнения.

(на листах А-3 каждая группа расписывает алгоритм решения биквадратного уравнения. ).

Для проверки ребятам раздаются правильный вариант АЛГОРИТМА решения уравнения.

Приложение №3

Алгоритм решения биквадратного уравнения.

• Ввести замену переменной: пусть у²=х
• Составить квадратное уравнение с новой переменной:

aх²+bx+c=0

• Решить новое квадратное уравнение.
• Вернуться к замене переменной.
• Решить получившиеся квадратные уравнения
• Сделать вывод о числе решений биквадратного уравнения.
• Записать ответ.

Задание №3 Приложение №4

— От чего зависит количество корней квадратного уравнения?

(От дискриминанта).

-Сейчас мы проведём исследование: сколько корней имеет биквадратное уравнение).

1 вариант х⁴-10х²+9=0, 4 корня

2 вариант х⁴-13х+36=0 , 4корня

3 вариант х⁴+5х²+4=0, корни отриц.

• Найдите корни уравнения.

1 вариант х⁴-х²-20=0; После выполнения сверяются с ключами.

2 вариант у⁴-у²-6=0;

3 вариант t⁴-6t²+9=0;

4 вариант n⁴-13n²+36=0

5 вариант х⁴+7х²+12=0

Задание №5 «Инсерт» — чтение с пометкой. Маркировка текста по мере его чтения «Инсерт». Приложение №6

ИНСЕРТ (приложение)

«V» — уже знал

«+» — новое

«-» — думал иначе

«?» — не понял, есть вопросы

Во время чтения текста необходимо попросить учащихся делать на полях пометки, а после прочтения текста заполнить таблицу, где значки станут заголовками граф таблицы. В таблицу кратко заносятся сведения из текста.

—

д/з Задача Бхаскары об обезьянках

3. Рефлексия.

-Сегодня на уроке вы самостоятельно разобрались с биквадратными уравнениями.

-Что вы узнали о биквадратных уравнениях.

(ответы записывают).

1 группа х²+4х+5=0 х²-х-72=0 х²+3х-28=0 х⁴-13х²+36=0

2 группа х²-10х+16=0 х²-10х+21=0 х²-6х+8=0 х⁴-34х²+225=0

3 группа х²-7х+12=0 х²-9х+18=0 х²-4х+5=0 х⁴— 20х²+64=0

4 группа х²+5х-6=0 х²-7х-18=0 х²-9х+14=0 х⁴— 4х²+45=0

5 группа х²-8х+15=0 х²-6х+8=0 х²-7х-18=0 х⁴— 20х²+100=0

Задание №2 Приложение №2

^{x⁴ — 25x² + 144 = 0}

• x⁴ — 25x² + 144 = 0
• сделаем замену x² = y
• получим квадратное уравнение y² — 25y + 144 = 0
• D = 25² — 4 • 1 • 144 = 625 — 576 = 49
• y₁ = 16
• y₂ = 9
• значит, x² = 16; x² = 9
• Ответ: x₁ = 4; x₂ = -4; x₃ = 3; x₄ = -3

^{4x⁴ — 5x² + 1 = 0}

• сделаем замену x² = y
• получим квадратное уравнение 4y² — 5y + 1 = 0
• D = 5² — 4 • 4 • 1 = 25 — 16 = 9
• y₁ = 1
• y₂ = 0,25
• значит, x² = 1; x² = 0,25
• Ответ: x₁ = 1; x₂ = -1; x₃ = 0,5; x₄ = -0,5

^{x⁴ + 5x² — 36 = 0}

• сделаем замену x² = y
• получим квадратное уравнение y² + 5y — 36 = 0
• D = 5² — 4 • 1 • (-36) = 25 — (-144) = 169
• y₁ = 4
• y₂ =-9
• значит, x² = 4; x² = -9
• Ответ: x₁ = 2; x₂ = -2

^{x⁴ — 6x² + 8 = 0}

• сделаем замену x² = y
• получим квадратное уравнение y² — 6y + 8 = 0
• D = 6² — 4 • 1 • 8 = 36 — 32 = 4
• y₁ = 4
• y₂ =2
• значит, x² = 4; x² = 2
• Ответ: x₁ = 2; x₂ = -2 ; x₃ = √2; x₄ = -√2

^{x⁴ — 2x² — 3 = 0}

• сделаем замену x² = y
• получим квадратное уравнение y² — 2y — 3 = 0
• D = 2² — 4 • 1 • (-3) = 4 — (-12) = 16
• y₁ = 3
• y₂= -1
• значит, x² = 3; x² = -1
• Ответ: x₁,₂=±√3;

План самостоятельной работы

1. Разберите решённое уравнение в группе. Умейте объяснить.
2. Составьте алгоритм решения биквадратного уравнения.

(на листах А-3 каждая группа расписывает алгоритм решения биквадратного уравнения.).

Для проверки ребятам раздаются правильный вариант АЛГОРИТМА решения уравнения.

Приложение №3

Алгоритм решения биквадратного уравнения.

• Ввести замену переменной: пусть у²=х
• Составить квадратное уравнение с новой переменной:

aх²+bx+c=0

• Решить новое квадратное уравнение.
• Вернуться к замене переменной.
• Решить получившиеся квадратные уравнения
• Сделать вывод о числе решений биквадратного уравнения.
• Записать ответ.

Задание №3 Приложение №4

Решение биквадратных уравнений.

1 вариант х⁴-10х²+9=0, 4 корня

2 вариант х⁴-13х+36=0 , 4корня

3 вариант х⁴+5х²+4=0, корни отрицательные, биквадр. .

«V» — уже знал

«+» — новое

«-» — думал иначе

«?» — не понял, есть вопросы

Во время чтения текста необходимо попросить учащихся делать на полях пометки, а после прочтения текста заполнить таблицу, где значки станут заголовками граф таблицы. В таблицу кратко заносятся сведения из текста.

ТЕКСТ

Необходимость решать квадратные уравнения еще в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения вавилоняне умели решать еще около 2000 лет до н. э. правило решения этих уравнений, изложенное в Вавилонских текстах, совпадает по существу с современными, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила.

Некоторые виды квадратных уравнений решали древнегреческие математики, сводя их решение к геометрическим построениям.

В 9 веке квадратные уравнения стали известны в Багдаде, их вывел математик Мухаммед Бен — Муса Ал – Хорезми, он мог найти положительные корни любого уравнения и его метод, в отличие от греческого, был почти алгебраическим.

В Индии задачи на квадратные уравнения встречаются уже в 499 году. Правило решения квадратных уравнений, приведенных к виду ax² + bx + c = 0 , где a не равно 0, дал индийский ученый Брахмагупта (7 век)

Формулы решения квадратных уравнений в Европе были впервые изложены в ”Книге абака”, написанной в 1202 году итальянским математиком Леонардо Фибоначчи. Его книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и Германии, Франции и других странах Европы.

Но общее правило решения квадратных уравнений, при всевозможных комбинациях коэффициентов b и c было сформулировано в Европе лишь в 1544 году М.Штифелем.
Занимаясь квадратными уравнениями, вы уже заметили, что информация об их корнях скрыта в коэффициентах. Кое-что “скрытое” для нас уже открылось.
От чего зависит наличие или отсутствие корней квадратного уравнения?

Приложение №7

Задание №6

Задача Бхаскары об обезьянках

ЗАДАЧА

БХАСКАРЫ

Обезьянок резвых стая

Всласть поевши, развлекаясь.

Их в квадрате часть восьмая

На поляне забавлялась,

А двенадцать по лианам

Стали прыгать, повисая….

Сколько ж было обезьянок, ты Скажи мне в этой стае

Биквадратные уравнения. Алгебра 8 класс

1. Биквадратные уравнения

Алгебра 8 класс
Актуализация знаний
учащихся:
1)
Какое уравнение называется квадратным?
2)
Что называется дискриминантом
квадратного уравнения?
3)
Какие виды квадратных уравнений вы
знаете?
4)
Какое квадратное уравнение называется
неполным?
5) Какое уравнение называется приведенным?
6) По каким формулам находятся корни
квадратных уравнений?
7) Сформулируйте теорему Виета.
8) Сформулируйте обратную теорему Виета.
Найдите подбором корни уравнения:
а)t²-3t+2=0
t₁=1; t₂=2
б)t²-5t+4=0
t₁=1; t₂=4
в)t²-20t+64=0
t₁=4; t₂=16
г)t²-5t+6=0
t₁=2; t₂=3
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Уравнение вида
ах⁴+bх²+с=0,
где а, b и с –данные числа и а≠0,
а х — неизвестное, называют
биквадратным уравнением.
х² = t
at²+bt+c=0

6. Алгоритм решения биквадратного уравнения:

1)
Вводим в уравнение новую переменную путем
обозначения какого- то выражения из этого
уравнения;
2)
Вместо этого выражения подставляем новую
переменную и получим квадратное уравнение
относительно новой переменной;
3) Решаем полученное квадратное уравнение;
4) Способом подстановки находим значение
исходной переменной;
5) С помощью проверки определяем корни данного
уравнения.
Пример1:
х⁴-4х²+3=0
х²=t
t²-4t+3=0
t₁=3 ;
t₂=1
1) x²=3 ;
X=±
Ответ: х₁,₂=±
; х₃,₄=±1.
2) x²=1
x=±1
Пример2:
x⁴-2x²-2=0
x²=t
t²-2t-2=0
D=12
t₁,₂=1±
1) x²=1+
2) x²=1-
x₁,₂=±
Ответ: х₁,₂=±
нет корней
Пример3:
2х⁴-3х²+5=0
х²=t
2t²-3t+5=0
D=9-4*2*5=9-40=-31
D
Корней нет
Ответ: корней нет.
Пример4:
9х⁴-6х²+1=0
(3х²-1)²=0
3х²-1=0
х²=
х=±
Ответ: х₁,₂=±
Пример5:
х⁴+10х²+25=0
(х²+5)²=0
х²+5=0
х²=-5
нет корней
Ответ: корней нет.

13. Самостоятельная работа:

№
Уравнение
1
х4-10х2+9=0
2
2х4 –х2-1=0
3
х4+5х2+4=0
4
2х4+5х2+4=0
5
х4-8х2+16=0
х4+8х2+16=0
6
Знак
дискриминан
та
Корни
нового
уравнения
Знаки
корней
нового
уравнения
Корни
исходящего
уравнения
Кол-во
решений
биквадратного
уравнения

14. Проверяем работу:

№
Уравнение
Знак
дискриминант
а
Корни
нового
уравнения
Знаки
корней
нового
уравнения
Корни
исходящего
уравнения
Кол-во
решений
биквадратного
уравнения
1
х4-10х2+9=0
D˃0
z1=1, z2=9
z1˃0, z2˃0
x1,2=±1,
x3,4=±3.
4
2
2х4 –х2-1=0
D˃0
z1=1, z2=0,5
z1˃0, z2
x1,2=±1.
2
3
х4+5х2+4=0
D˃0
z1=-4, z2=-1
z1
Корней нет
0
4
2х4+5х2+4=0
D
Корней нет
—
Корней нет
—
5
х4-8х2+16=0
D=0
z=4
z˃0
x1,2=±2
2
6
х4+8х2+16=0
D=0
z=-4
Корней нет
0
Вопросы:
1. Какое уравнение
называется биквадратным?
2. Как решают биквадратные
уравнения?
3. Сколько корней может иметь
биквадратное уравнение?
Домашнее задание:
№776, 778

Презентация к открытому уроку по алгебре на тему «Биквадратные уравнения и его корни». 8-й класс

Класс – 8.

Цели урока:

• образовательная: дать определение биквадратного уравнения, научиться решать биквадратные уравнения, исследовать от чего зависит количество корней биквадратного уравнения;
• воспитательная: формировать умение работать в парах, выслушивать мнение товарища, доказывать свою точку зрения;
• развивающая: развивать навыки самостоятельной и исследовательской работы.

Тип урока: изучение и первичное закрепление новых знаний.

Форма урока: урок-исследование.

Оборудование: учебник «Алгебра, 8» авторов Г. В.Дорофеев, С.Б.Суворова, Е.А.Бунимович и др., компьютер.

Приложение: презентация «Биквадратное уравнение и его корни», для создания которой использована программа PowerPoint из пакета программ Microsoft Office.

План урока.

1. Организационный момент. Слайд 1.
2. Актуализация знаний. Слайд 2, 3, 4.
3. Открытие детьми темы урока. Слайд 5, 6.
4. Постановка детьми целей урока. Слайд 7.
5. Пример решения биквадратного уравнения. Слайд 8.
6. Работа в парах – исследование. Слайд 9.
7. Итоги исследования. Слайд 10.
8. Итог урока. Слайд 11.
9. Задание на дом. Слайд 12.

Ход урока

1. Организационный момент

 Начало урока — организационный момент, готовность, приветствие.

— Здравствуйте, ребята! Садитесь. Представится.

— Начинаем урок алгебры. Сегодня вы будете исследователями! Желаю вам удачи, хорошего настроения и взаимопонимания! Девизом урока пусть будут слова Л. Н.Толстого. Слайд 1.

2. Актуализация знаний

Обратите внимание на уравнение: 10х² + 12х + 2019 = 0.

— Назовите вид данного уравнения.

— Назовите коэффициенты данного уравнения (10.12.2019)

— О каком событии говорят коэффициенты уравнения? (Дата занятия) Слайд 2.

— Повторим формулы дискриминанта и корней квадратного уравнения. Для этого продолжите предложения или ответьте на вопросы письменно в тетради. Далее выйдет желающий представитель с каждого ряда оформит на доске, получившиеся ответы. Слайд 3.

Проверка у доски.

— Решите устно квадратные уравнения, они нам пригодятся далее при решении. Как называются эти уравнения? Слайд 4.

+ Неполные квадратные уравнения.

+ 1) нет корней;
2) x=3 и x= -3;
3) x=0 и x= -5;
4) x=2 и x= -2;
5) нет корней;
6) x=√5 и x= -√5.

3.  Открытие темы урока

— Для того чтобы узнать тему урока, давайте разгадаем что же у нас тут зашифровано? Слайд 5.

+ Приставка «Би» обозначает два, т.е. «дважды квадратное».

— Как вы думаете, к какому математическому понятию относится это определение?

+ Оно относится к слову «уравнение».

— Совершенно верно! Теперь вы можете сказать, какова тема нашего сегодняшнего урока.

+ Тема урока «Решение биквадратных уравнений». Слайд 6.

4. Постановка целей урока

— Каковы для вас цели урока?

+ Мы должны узнать, какое уравнение называется биквадратным.

— Хорошо. Но ведь, как и любое уравнение, оно должно иметь корни. Значит, чему ещё вы должны научиться?

+ Как найти его корни.

— Верно.

Слайд 7.

+ Биквадратным называется уравнение вида ах⁴ + вх² + с = 0, где а ≠ 0.

— Существенно ли замечание, что а ≠ 0?

+ Да, т. к. если а будет равно 0, то уравнение будет квадратным (неполным).

— Хорошо. Приведите пример биквадратного уравнения.

+ Например, 10х⁴ + 5х² + 3 = 0 (Дети приводят примеры биквадратных уравнений).

5. Пример решения биквадратного уравнения

— Давайте разберем способ решения биквадратного уравнения  х⁴ + 3х² – 28= 0.

— Делаем замену:

Пусть х²= t, t ≥ 0 – замена переменной, тогда х⁴ = t²

t² +3t– 28= 0

Получилось полное квадратное уравнение, решаем его через дискриминант:

D=b²−4ac= 3² − 4×1×(-28) = 9 + 112 = 121

Дискриминант больше нуля, следовательно, два корня, найдем их:

Возвращаюсь к прежней переменной, для этого подставим вместо переменной t полученные числа:

— Алгоритм решения биквадратного уравнения следующий:

Слайд 8.

1) Ввести замену переменной: пусть х² = t;

2) Составить квадратное уравнение с новой переменной: at² + bt + c=0;

3) Решить новое квадратное уравнение;

4) Вернуться к замене переменной;

5) Решить получившиеся квадратные уравнения;

6) Сделать вывод о числе решений биквадратного уравнения;

7) Записать ответ.

6. Работа в парах – исследование (совместное выполнение заданий на решение биквадратных уравнений)

— Сейчас вам необходимо поработать в парах и исследовать: сколько корней может иметь биквадратное уравнение. Возьмите карточку №1, котороя лежит у вас на столе. Алгоритм работы задан на карточках. Внимательно прочитайте и следуйте по алгоритму.

— По окончанию данного этапа работы, вам необходимо образовать новую пару. Для этого ученик, сидящий за II вариантом должен пересесть на одно место назад, так как показано на схеме слайда, а последний ученик пройдет за первую парту. Слайд 9.

— Тем ребятам, кому не хватило пары и тем, кто сидит на последней (нечетной) парте, необходимо выполнить индивидуальное задание.

— После того как произошла смена напарников, организуйте работу в новых парах в соответствии с инструкцией на Карточке №2.

7. Итоги исследования

— Сейчас мы сделаем выводы о том, от чего зависит количество корней биквадратного уравнения.

+ Фронтальный опрос по заполнению таблицы.

Сопоставления результатов предположениям, выдвинутым в ходе работы над первым биквадратным уравнением (Карточка №1)

— Итоги исследования мы поместим в таблицу.

— Посмотрите и прокомментируйте. Слайд 10 — заполнение таблицы.

8. Итог урока

— Сегодня на уроке вы самостоятельно разобрались с биквадратными уравнениями. И мы должны подвести итог.

— Каждая группа получает набор бумаги, вырезанной в форме ладошки. Задача группы – написать о том:

• Какие у вас были затруднения на уроке?
• Нашли ли вы выход из затруднения?
• Остались ли у вас затруднения после окончания урока?
• Что понравилось на уроке?
• Что не понравилось на уроке? Слайд 11.

 + После заполнения все ступни вывешиваются на доску и прочитываются.

9. Задание на дом

— Решить 2 уравнения и заполнить последние 2 строки таблицы. Слайд 12.

— Урок окончен. До свидания!

Поблагодарить за работу!

Приложение

Презентация на тему: «Биквадратные уравнения».

библиотека
материалов

Содержание слайдов

Номер слайда 1

«Ум человеческий только тогда понимает обобщения, когда он сам его сделал или проверил.» Л.Н.Толстой.

Номер слайда 2

Учитель математики МОУ СОШ №3 Галяс М. Ю. г. Комсомольска-на-Амуре, Хабаровского края .

Номер слайда 3

План самостоятельной работы Прочитайте определение биквадратного уравнения (учебник стр.64). Запишите определение в тетрадь. Существенно ли замечание, что а не равно нулю? Разберите решенное уравнение в учебнике. Составьте алгоритм решения этого уравнения и запишите его. Работайте парами Обсудите составленный алгоритм друг с другом. Дайте учителю сигнал о готовности, подняв руку.

Номер слайда 4

Биквадратное уравнение – уравнение вида ах4+bх2+с=0, где а≠0. Пример: 9х4-5х2+4=0, х4+4х2=0.

Номер слайда 5

Алгоритм решения биквадратного уравнения Ввести замену переменной: пусть х2=t. Составить квадратное уравнение с новой переменной: at2+bt+c=0. Решить новое квадратное уравнение. Вернуться к замене переменной. Решить получившиеся квадратные уравнения. Сделать вывод о числе решений биквадратного уравнения. Записать ответ.

Номер слайда 6

Пример: 4х4-5х2+1=0 Пусть х2=t; 4t2-5t+1=0; D=(-5)2-4·4·1=25-16=9; t1= t2= Обратная подстановка: х2= ; х2=1; х3=-1; х4=1. х1= — ; х2= Ответ: х1,2=± , х3,4=±1.

Номер слайда 7

Таблица для исследования числа решений биквадратных уравнений № Уравнение Знак дискриминанта (D) Корни нового уравнения t1 и t2 Знаки корней нового уравнения Корни исходного уравнения Кол-во решений биквадратного уравнения 1 х4-10х2+9=0 D>0 t1=1, t2=9 t1>0, t2>0 4 2 2×4-x-1=0 D>0 t1=1, t2=-0,5 t1>0, t20 t1=-4, t2=-1 t10 2 6 x4+8×2+16=0 D=0 t=-4 t

Номер слайда 8

Домашнее задание с. 65 №222, Провести исследование: может ли биквадратное уравнение иметь ровно 3 действительных корня?

Номер слайда 9

Конспект урока по Алгебре «Биквадратное уравнение и его корни» 8 класс

Учитель математики Апенькина Наталья Александровна

Конспект урока

Класс – 8.

Тема – «Биквадратное уравнение и его корни».

Цели урока: 

образовательная: дать определение биквадратного уравнения, научиться решать биквадратные уравнения, исследовать число корней биквадратного уравнения;

воспитательная: формировать умение работать в парах, выслушивать мнение товарища, доказывать свою точку зрения;

развивающая: развивать навыки самостоятельной и исследовательской работы.

 Тип урока: изучение и первичное закрепление новых знаний.

Форма урока: урок-исследование.

Оборудование: учебник «Алгебра, 8 кл. компьютер, плакат с кроссвордом.

Приложение: презентация «Биквадратное уравнение и его корни», для создания которой использована программа PowerPoint из пакета программ Microsoft Office. 

План урока.

1. Организационный момент. Слайд 1.

2. Актуализация знаний.

3. Открытие детьми темы урока (кроссворд). Слайд 2.

4. Постановка детьми целей урока.

5. Самостоятельная работа. Слайд 3.

6. Итог самостоятельной работы. Слайды 4, 5.

7. Пример решения биквадратного уравнения. Слайд 6.

8. Исследование. 

9. Итоги исследования. Слайд 7.

10. Итог урока.

11. Задание на дом. Слайд 8. Слайд 9.

Ход урока.

1. Организационный момент.

— Здравствуйте, ребята! Садитесь.

Начинаем урок алгебры. Сегодня вы будете исследователями! Желаю вам удачи, хорошего настроения и взаимопонимания! Девизом урока пусть будут слова Л. Н. Толстого. Слайд 1. 

2. Актуализация знаний.

— В начале для разминки выполним устные упражнения (на доске записаны упражнения) и повторим формулы дискриминанта и корней квадратного уравнения.

(х²)² = …; (у²)² = …; выполните обратную задачу: а⁴ = …; решить уравнения: х² = 9, а² = 16, у² = 1, в² = 0, с² = 17, р² = — 25, к² = — 6, х² = ¼. Придумайте уравнение такого же вида (х² = а), которое имеет 2 корня, 1 корень и не имеет корней.

— Какой общий вид имеет квадратное уравнение? По какой формуле находим дискриминант? Корни уравнения?

+ Отвечают дети.

3. Открытие темы урока.

— Для того чтобы узнать тему урока, давайте разгадаем кроссворд. 

1. Третья степень числа. (Куб) 

2. Подкоренное выражение в формуле корней квадратного уравнения. (Дискриминант) 

3. Значение переменной, обращающее уравнение в верное равенство. (Корень) 

4. Уравнения, имеющие одинаковые корни. (Равносильные) 

5. Равенство с переменной. (Уравнение) 

6. Квадратное уравнение, с первым коэффициентом равным нулю. (Приведенное) 

7. Многочлен в правой части квадратного уравнения. (Трехчлен) 

8. Равенство, содержащее числа и переменные. (Формула) 

9. Французский математик. (Виет) 

10. Числовой множитель — в произведении. (Коэффициент) 

11. Один из видов квадратного уравнения. (Неполное) 

12. Множество корней уравнения. (Решения) 

— Прочитайте слово, которое получилось в выделенной горизонтальной строке. 

+ Биквадратное.

— Как вы думаете, к какому математическому понятию относится это определение?

+ Оно относится к слову «уравнение».

— Совершенно верно! Теперь вы можете сказать, какова тема нашего сегодняшнего урока.

+ Тема урока «Биквадратное уравнение». Слайд 2.

4. Постановка целей урока.

— Каковы для вас цели урока?

+ Мы должны узнать, какое уравнение называется биквадратным.

— Хорошо. Но ведь, как и любое уравнение, оно должно иметь корни. Значит, чему ещё вы должны научиться?

+ Как найти его корни. 

— Верно.  Дети приводят примеры биквадратных уравнений).

Слайд 5.

— Какой алгоритм решения биквадратного уравнения вы записали?

+ Алгоритм следующий:

1) Ввести замену переменной: пусть х² = t.

2) Составить квадратное уравнение с новой переменной: at² + bt + c=0.

3) Решить новое квадратное уравнение.

4) Вернуться к замене переменной.

5) Решить получившиеся квадратные уравнения.

6) Сделать вывод о числе решений биквадратного уравнения.

7) Записать ответ.

— Молодцы! Посмотрите слайд 6.

У кого что-то не так – исправьте.

7. Пример решения биквадратного уравнения.

Прокомментируйте устно пример решения биквадратного уравнения 

(слайд 7). 

8.Исследование.

— Сейчас мы проведём исследование: сколько корней имеет биквадратное уравнение. Каждая пара получит своё уравнение и решит его. (Учитель раздаёт уравнения: х⁴-10х²+9=0, 2х⁴ –х²-1=0, х⁴+5х²+4=0, 2х⁴+5х²+4=0, 

х⁴-8х²+16=0, х⁴+8х²+16=0. )

А потом мы сделаем выводы о том, сколько корней имеют биквадратные уравнения.

+ Дети решают уравнения……………………………………………………………

— Итак, что получилось? Рассказывает 1 пара.

+ х⁴-10х²+9=0. У нас получился дискриминант положительный, значит, квадратное уравнение имеет 2 корня, корни тоже положительные, значит всего 4 корня.

-Хорошо. Вторая пара.

+ 2х⁴ –х²-1=0. Дискриминант положительный, один корень положительный, а другой отрицательный, значит, биквадратное уравнение имеет 2 корня.

— Третья пара.

+ х⁴+5х²+4=0. Дискриминант квадратного уравнения положительный, но корни отрицательные, значит, биквадратное уравнение не имеет корней.

— Четвёртая пара.

+ 2х⁴+5х²+4=0. А у нас дискриминант отрицательный, поэтому уравнение не имеет корней.

— Молодцы! Следующая пара.

+ Уравнение х⁴-8х²+16=0 имеет 2 корня, т.к. квадратное уравнение имеет 1 корень (Д=0).

— И последняя пара.

+ Уравнение х⁴+8х²+16=0 не имеет корней, т.к. хотя и Д=0, но корень-то отрицательный.

9. Итог исследования.

Итоги исследования мы поместим в таблицу.

Посмотрите и прокомментируйте. Слайд 8.

+ Ученики комментируют по цепочке.

10. Итог урока.

— Подведём итог урока. Чем пополнился ваш багаж знаний? 

Скажите, что понравилось на уроке? А что не понравилось? Чем отличается квадратное уравнение от биквадратного? Что означает приставка «би»? Зачем нам нужно изучать биквадратные уравнения? 

+ Дети отвечают.

11. Задание на дом (дифференцированное). Слайд 9. 

Уравнения, сводящиеся к квадратным

Алгебра. 8 класс. Квадратные уравнения. Тест 7.

Вариант 1.

1. Решить биквадратное уравнение х⁴-13х²+36=0.

A) -3; 3; B) Ø; C) -3; -2; 2; 3; D) -2; 2.

2. Решить биквадратное уравнение 25x⁴+16x²-9=0.

A) -0,6; 0,6; B) Ø; C) -1; -0,6; 0,6; 1; D) -1; 1.

5. Решить уравнение методом введения вспомогательной переменной.

(х²-11х+1)²+8(х²-11х+1)-9=0.

A) Ø; B) 0; 1; 10; C) 1; 10; D) 0; 1; 10; 11.

Вариант 2.

1. Решить биквадратное уравнение х⁴+13х²+36=0.

A) -3; 3; B) Ø; C) -3; -2; 2; 3; D) -2; 2.

2. Решить биквадратное уравнение 25x⁴-16x²-9=0.

A) -0,6; 0,6; B) Ø; C) -1; -0,6; 0,6; 1; D) -1; 1.

5. Решить уравнение методом введения вспомогательной переменной.

(х²+х+2)²-6(х²+х+2)+8=0.

A) Ø; B) -2; -1; 0; 1; C) 2; 4; D) 0; 2; 4.

Вариант 3.

1. Решить биквадратное уравнение х⁴+5х²-36=0. В ответе запишите сумму квадратов корней.

A) 8; B) решений нет; C) 4; D) 97.

2. Решить биквадратное уравнение 25x⁴-21x²-4=0. В ответе запишите сумму квадратов корней.

A) 2,16; B) 1; C) 2; D) решений нет.

В ответе запишите сумму квадратов корней.

A) 25; B) 2; C) 9; D) решений нет.

В ответе запишите сумму квадратов корней.

A) решений нет; B) 1; C) 15,25; D) 204,0625.

5. Решить уравнение методом введения вспомогательной переменной. В ответе запишите сумму квадратов корней.

(х²+6х+1)²+7(х²+6х+1)-8=0.

A) 9; B) 45; C) решений нет; D) 36.

Вариант 4.

1. Решить биквадратное уравнение х⁴-5х²-36=0. В ответе запишите сумму квадратов корней.

A) 9; B) решений нет; C) 0; D) 18.

2. Решить биквадратное уравнение 25x⁴+21x²-4=0. В ответе запишите сумму квадратов корней.

A) 0,32; B) 0; C) решений нет; D) 0,16.

В ответе запишите сумму квадратов корней.

A) 4; B) 9; C) 16; D) решений нет.

В ответе запишите сумму квадратов корней.

A) 1; B) решений нет; C) 0; D) 307,25.

5. Решить уравнение методом введения вспомогательной переменной. В ответе запишите сумму квадратов корней.

(х²-6х-6)²+5(х²-6х-6)-6=0.

A) 86; B) 12; C) решений нет; D) 85.

Справочные материалы.

1) Для решения биквадратного уравнения вида ax⁴+bx²+c=0 применяют замену переменной: x²=t, решают квадратное уравнение at²+bt+c=0, а затем из равенств  x²=t₁ и x²=t₂ находят корни данного уравнения или доказывают, что их нет.

Примечание. Все примеры подобраны так, чтобы вы могли применить один из следующих рациональных способов решения: теорему Виета или метод коэффициентов.

Поделиться новостью в соцсетях

Формула корней квадратного уравнения

Мы с вами уже знаем, что Квадратным
уравнением называется уравнение вида ,
где  –
переменная, ,
 и
 –
некоторые числа, причем .

В алгебре, геометрии, физике и др. науках очень часто решение
задачи сводится к нахождению корней квадратных уравнений. Поэтому очень важно
научиться решать квадратные уравнения.

Решить уравнение:

Мы с вами решили это уравнение методом выделения полного
квадрата, т.е. применили формулу квадрата разности.

Решить уравнение:

Мы
снова нашли корни уравнения методом выделения полного
квадрата. Но этот метод частенько приводит к громоздким преобразованиям.
Поэтому древние  математики вывели формулу корней квадратного уравнения,
которую можно применять при решении любого квадратного уравнения.

Можно получить эти формулы, решая квадратное уравнение в
общем виде методом выделения полного квадрата.

Итак, рассмотрим
квадратное уравнение общего вида , где .

Мы с вами определили, что знак дроби, записанной в правой
части уравнения зависит от знака дискриминанта. Поэтому при решении этого уравнения
возможны три случая.

Первый случай:

Вывод: уравнение , при , имеет два различных корня. Которые находят по формулам:

Обычно эти формулы объединяют в одну, записывая её следующим
образом:

Второй случай:

Вывод: уравнение , при ,имеет единственный корень. Который вычисляется по формуле:

Третий случай:

Вывод: уравнение
, при ,не имеет корней.

Таким образом: в зависимости от значения дискриминанта квадратное уравнение , может иметь:

1.
Два различных корня:  . При .

2.
Один корень: . При .

3.
Не имеет корней. При .

Запишем алгоритм решения квадратных уравнений.

Задание: решить уравнения.

Обратите внимание, второй коэффициент в начальном уравнении
чётный. Есть формула корней квадратного уравнения с чётным вторым
коэффициентом. С помощью неё удобнее вычислять корни. Давайте выведем её.

Давайте найдём корни последнего уравнения по новой формуле.

Итоги:

Выражение  называется
дискриминантом квадратного уравнения.

При решении квадратного уравнения возможны три
случая в зависимости от знака дискриминанта:

1)               
Если ,
то уравнение имеет два различных корня, которые вычисляются по формуле: .

2)               
Если ,
то уравнение имеет единственный корень, который вычисляется по формуле .

3)               
Если ,
то уравнение не имеет корней.

Квадратное уравнение — формулы, примеры квадратного уравнения

Квадратные уравнения представляют собой алгебраические выражения второй степени и имеют форму ax ² + bx + c = 0. Слово « Quadratic » происходит от слова « Quad », что означает квадрат. Другими словами, квадратное уравнение — это «уравнение степени 2 ». Есть много сценариев, в которых используются квадратные уравнения. Знаете ли вы, что при запуске ракеты ее путь описывается квадратным уравнением? Дальнейшие квадратные уравнения имеют множество приложений в физике, технике и астрономии.

Квадратные уравнения — это уравнения второй степени относительно x, которые имеют два ответа на x. Эти два ответа для x также называются корнями квадратных уравнений и обозначаются как (α, β). Мы узнаем больше о корнях квадратного уравнения в нижеследующем содержании.

Что такое квадратное уравнение?

Квадратное уравнение — это алгебраическое выражение второй степени по x. Стандартная форма квадратного уравнения — ax ² + bx + c = 0, где a, b — коэффициенты, x — переменная, а c — постоянный член.Первым условием того, чтобы уравнение было квадратным уравнением, является коэффициент при x ² является ненулевым членом (a 0). Для записи квадратного уравнения в стандартной форме сначала записывается член x ² , затем член x и, наконец, постоянный член. Числовые значения a, b, c обычно не записываются как дроби или десятичные дроби, а записываются как целые значения.

Далее в реальных математических задачах квадратные уравнения представлены в различных формах: (x — 1) (x + 2) = 0, -x ² = -3x + 1, 5x (x + 3) = 12x, x ³ = х (х ² + х — 3). Все эти уравнения необходимо преобразовать в стандартную форму квадратного уравнения перед выполнением дальнейших операций.

Формула квадратного уравнения

Формула квадратного уравнения ax ² + bx + c = 0 помогает найти корни квадратного уравнения. Для квадратного уравнения вида ax ² + bx + c = 0 формула для нахождения корней выглядит следующим образом. Далее, применяя знак «+» в приведенной ниже формуле, мы можем получить один корень квадратного уравнения, а другой корень можно получить, применив знак «-».2 — 4ac}} {2a} \)

Также эта формула позволяет найти корни всех квадратных уравнений. Некоторые уравнения, которые нельзя легко разложить на множители, можно решить с помощью приведенной выше формулы.

Важные формулы для решения квадратных уравнений

Следующий список важных формул полезен при решении квадратных уравнений.

• Стандартная форма квадратного уравнения: ax ² + bx + c = 0
• Дискриминант квадратного уравнения D = b ² — 4ac
• Для D> 0 корни действительны и различны. 2 \).
• Для положительных значений a (a> 0) квадратичное выражение f (x) = ax ² + bx + c имеет минимальное значение при x = -b / 2a.
• Для отрицательного значения a (a <0) квадратичное выражение f (x) = ax ² + bx + c имеет максимальное значение при x = -b / 2a.
• Для a> 0 диапазон квадратного уравнения ax ² + bx + c = 0 равен [b2 — 4ac / 4a, ∞)
• Для a <0 диапазон квадратного уравнения ax ² + bx + c = 0 равен: (∞, — (b2 — 4ac) / 4a]

Корни квадратного уравнения

Корни квадратного уравнения — это два значения x, которые получаются путем решения квадратного уравнения.Корни квадратного уравнения обозначаются символами alpha (α) и beta (β). Эти корни квадратного уравнения также называются нулями уравнения. Здесь мы узнаем больше о том, как определить природу корней квадратного уравнения без фактического нахождения корней уравнения. А также проверьте формулы, чтобы найти сумму и произведение корней уравнения.

Природа корней квадратного уравнения

Природу корней квадратного уравнения можно определить, фактически не находя корни (α, β) уравнения.Это возможно, если взять значение дискриминанта, которое является частью формулы для решения квадратного уравнения. Величина b ² — 4ac называется дискриминантом квадратного уравнения и обозначается буквой «D». На основе значения дискриминанта можно предсказать природу корней квадратного уравнения.

Дискриминант: D = b ² — 4ac

• D> 0, корни реальные и разные
• D = 0, корни действительные и равные.
• D <0, корни не существуют или корни мнимые.

Связь между коэффициентами и корнями квадратного уравнения

Коэффициент при x ² , член x и постоянный член квадратного уравнения ax ² + bx + c = 0 полезны для более подробного изучения свойств корней квадратного уравнения. Сумму и произведение корней квадратного уравнения можно вычислить непосредственно из уравнения, фактически не находя корни квадратного уравнения.Сумма корней квадратного уравнения равна отрицательному значению коэффициента при x, деленного на коэффициент при x ² . Произведение корня уравнения равно постоянному члену, деленному на коэффициент при x ² . Для квадратного уравнения ax ² + bx + c = 0 сумма и произведение корней выглядят следующим образом.

Сумма корней: α + β = -b / a = — Коэффициент x / Коэффициент x

²

Произведение корней: αβ = c / a = Постоянный член / коэффициент x

²

Квадратное уравнение также может быть составлено для заданных корней уравнения.Если α, β, являются корнями квадратного уравнения, то квадратное уравнение выглядит следующим образом.

x ² — (α + β) x + αβ = 0

Методы решения квадратных уравнений

Квадратные уравнения могут быть решены для получения двух значений x или двух корней уравнения. Существует четыре различных метода нахождения корней квадратного уравнения. Четыре метода решения квадратных уравнений заключаются в следующем.

• Факторизация квадратных уравнений
• Формульный метод поиска корней
• Способ заполнения квадрата
• Графический метод поиска корней

Давайте подробно рассмотрим каждый из вышеперечисленных методов, чтобы понять, как использовать эти методы, их приложения и способы их использования.

Факторизация квадратных уравнений

Факторизация квадратного уравнения выполняется в несколько этапов. Для общей формы квадратного уравнения ax ² + bx + c = 0 нам нужно сначала разделить средний член на два члена так, чтобы произведение членов было равно постоянному члену. Далее, мы можем взять общие термины из доступного термина, чтобы окончательно получить требуемые коэффициенты. Для понимания факторизации общий вид квадратного уравнения можно представить следующим образом.

x ² + (a + b) x + ab = 0

x ² + ax + bx + ab = 0

х (х + а) + Ь (х + а)

(х + а) (х + b) = 0

Давайте разберемся с факторизацией на примере ниже.

x ² + 5x + 6 = 0

x ² + 2x + 3x + 6 = 0

х (х + 2) + 3 (х + 2) = 0

(x + 2) (x + 3) = 0

Таким образом, два полученных фактора квадратного уравнения — это (x + 2) и (x + 3).

Формульный метод поиска корней

Квадратные уравнения, которые нельзя решить методом факторизации, можно решить с помощью формулы. В формуле решения квадратного уравнения используются члены стандартной формы квадратного уравнения. С помощью приведенной ниже формулы мы можем получить два корня x, сначала используя положительный знак в формуле, а затем используя отрицательный знак. С помощью этой формулы можно решить любое квадратное уравнение.

Помимо вышеупомянутых двух методов решения квадратных уравнений, существует еще один важный метод решения квадратного уравнения. Метод завершения квадрата квадратного уравнения также полезен для нахождения корней уравнения. Этот метод включает в себя многочисленные алгебраические вычисления и поэтому был объяснен как отдельная тема.

Способ заполнения квадрата

Метод завершения квадрата квадратного уравнения заключается в алгебраическом возведении в квадрат и упрощении, чтобы получить требуемые корни уравнения.Рассмотрим квадратное уравнение ax ² + bx + c = 0, a ≠ 0. Чтобы определить корни этого уравнения, мы упростим его следующим образом:

топор ² + bx + c = 0

топор ² + bx = -c

x ² + bx / a = -c / a

Теперь представим левую часть в виде полного квадрата, введя новый член (b / 2a) ² с обеих сторон:

x ² + bx / a + (b / 2a) ² = -c / a + (b / 2a) ²

(x + b / 2a) ² = -c / a + b ² / 4a ²

(x + b / 2a) ² = (b ² — 4ac) / 4a ²

x + b / 2a = + √ (b ² — 4ac) / 2a

Теперь, используя этот метод завершения квадрата, мы можем консолидировать значения корней уравнения. После упрощения и извлечения квадратного корня два возможных корня квадратного уравнения равны x = (-b + √ (b ² — 4ac)) / 2a. Здесь знак «+» дает один корень, а знак «-» — другой корень квадратного уравнения. Как правило, этого подробного метода избегают, и для получения требуемых корней используется только формула.

Графические квадратные уравнения

График квадратного уравнения ax ² + bx + c = 0 может быть получен путем представления квадратного уравнения в виде функции y = ax ² + bx + c.Далее, решая и подставляя значения для x, мы можем получить значения y, мы можем получить множество точек. Эти точки могут быть представлены на оси координат, чтобы получить график в форме параболы для квадратного уравнения.

Точка, где график пересекает горизонтальную ось x, является решением квадратного уравнения. Эти точки также можно получить алгебраически, приравняв значение y к 0 в функции y = ax ² + bx + c и решив относительно x. 2 + b_2x + c_2 = 0 \).2 \)

Максимальное и минимальное значение квадратичного выражения

Максимальное и минимальное значение квадратного уравнения ax ² + bx + c = 0 можно увидеть на графиках ниже. Для положительных значений a (a> 0) квадратичное выражение имеет минимальное значение при x = -b / 2a, а для отрицательного значения a (a <0) квадратичное выражение имеет максимальное значение при x = -b / 2а.

Максимальное и минимальное значения квадратичных выражений дополнительно помогают найти диапазон квадратичного выражения: диапазон квадратичных выражений также зависит от значения a.Для положительных значений a (a> 0) диапазон составляет [b ² — 4ac / 4a, ∞), а для отрицательных значений a (a <0) диапазон составляет (∞, - (b ² — 4ац) / 4а).

Для a> 0, диапазон: [b ² — 4ac / 4a, ∞)

Для a <0, диапазон: (∞, - (b ² — 4ac) / 4a]

Советы и хитрости:

Некоторые из приведенных ниже советов и приемов по квадратным уравнениям помогают упростить решение квадратных уравнений.

1. Квадратные уравнения обычно решаются путем факторизации. Но в тех случаях, когда она не может быть решена путем факторизации, используется формула.
2. Корни квадратного уравнения также называют нулями уравнения.
3. Для квадратных уравнений, имеющих отрицательные значения дискриминанта, корни представлены с помощью комплексных чисел.
4. Сумма и произведение корней квадратного уравнения могут использоваться для нахождения высших алгебраических выражений, включающих эти корни.

Связанные темы

Часто задаваемые вопросы по квадратным уравнениям

Что такое квадратное уравнение в математике?

Квадратное уравнение в математике — это уравнение второй степени вида ax ² + bx + c = 0. Здесь a, b — коэффициенты, c — постоянный член, а x — переменная. Поскольку переменная x имеет вторую степень, у этого квадратного уравнения есть два корня или ответ. Корни квадратного уравнения могут быть найдены либо путем факторизации, либо с помощью формулы.

Каковы некоторые из возможных приложений квадратных уравнений?

Квадратные уравнения используются для нахождения нулей параболы и ее оси симметрии. Есть много реальных приложений квадратных уравнений. Например, его можно использовать в задачах на время бега, чтобы оценить скорость, расстояние или время во время путешествия на машине, поезде или самолете. Квадратные уравнения описывают взаимосвязь между количеством и ценой товара. Точно так же расчеты спроса и затрат также считаются задачами квадратных уравнений.Также можно отметить, что спутниковая тарелка или телескоп-рефлектор имеет форму, которая определяется квадратным уравнением.

Чем квадратные уравнения отличаются от линейных?

Линейная степень — это уравнение с одной степенью и одной переменной, а квадратное уравнение — это уравнение с двумя степенями и одной переменной. Линейное уравнение имеет вид ax + b = 0, а квадратное уравнение имеет вид ax ² + bx + c = 0. Линейное уравнение имеет один корень, а квадратное уравнение имеет два корня или два ответа.Кроме того, квадратное уравнение является продуктом двух линейных уравнений.

Как упростить квадратное уравнение?

Первым шагом в процессе упрощения квадратного уравнения является преобразование его в стандартную форму ax ² + bx + c = 0. Кроме того, его можно упростить, найдя его множители в процессе факторизации. Также для уравнения, которое трудно разложить на множители, оно решается с помощью формулы. Кроме того, есть несколько других способов упростить квадратное уравнение.2 — 4ac}} {2a} \).

Каковы 4 способа решения квадратного уравнения?

Четыре способа решения квадратного уравнения заключаются в следующем.

• Метод факторизации
• Метод формул
• Метод заполнения квадратов
• Графический метод

Как решить квадратное уравнение с помощью факторинга?

Квадратное уравнение может быть решено факторизацией через последовательность из трех шагов.Сначала разделите средний член таким образом, чтобы произведение разделенных членов было равно произведению первого и последнего членов. Предположим, что квадратное уравнение имеет вид x ² + (a + b) x + ab = 0, и его можно разбить как x ² + ax + bx + ab = 0. В качестве второго шага, возьмите общий термин из первых двух и последних двух терминов. x (x + a) + b (x + a) = 0, (x + a) (x + b) = 0. Наконец, приравняйте каждый из множителей к нулю и получите значения x. x + a = 0 и x + b = 0, и, следовательно, мы можем получить x = -a и x = -b

Как решить квадратные уравнения, заполнив квадрат?

Квадратное уравнение, решаемое методом завершения квадрата по формуле (a + b) ² = a ²

Как решить квадратные уравнения с помощью графиков?

Квадратное уравнение решается аналогично линейному уравнению с помощью построения графиков.Возьмем квадратное уравнение ax ² + bx + c = 0 как y = ax ² + bx + c. Здесь мы берем набор значений x и y и строим график этого квадратного уравнения. Эти две точки, где этот график пересекает ось x, являются возможными решениями этого квадратного уравнения.

Как найти значение дискриминанта в квадратном уравнении?

Значение дискриминанта в квадратном уравнении может быть найдено из переменных и постоянных членов стандартной формы квадратного уравнения ax ² + bx + c = 0.Значение дискриминанта составляет D = b ² — 4ac, и он помогает предсказать природу корней квадратного уравнения без фактического нахождения корней уравнения.

Как узнать природу корней квадратного уравнения?

Дискриминант помогает предсказать природу корней квадратного уравнения. Определитель квадратного уравнения ax ² + bx + c = 0 равен b ² — 4ac. Дискриминант обозначается как D = b ² — 4ac.Если D> 0, корни действительны и различны, при D = 0 корни равны, а при D <0 корни являются мнимыми комплексными числами.

Насколько важен дискриминант в определении природы корней квадратного уравнения?

Дискриминант очень нужен, чтобы легко определить природу корней квадратного уравнения. Без дискриминанта определение природы корней уравнения — долгий процесс, поскольку нам сначала нужно решить уравнение, чтобы найти оба корня.Следовательно, дискриминант — важная и необходимая величина, которая помогает легко определить природу корней квадратного уравнения.

Когда квадратные уравнения имеют равные корни?

У данного квадратного уравнения равные корни, если дискриминант квадратного уравнения равен нулю. Для квадратного уравнения вида ax ² + bx + c = 0 дискриминант D = b ² — 4ac = 0. Здесь оба корня равны, и каждый имеет значение x = -b / 2a.2 — 4ac}} {2a} \).

Какова стандартная форма квадратного уравнения?

Стандартная форма квадратного уравнения — ax ² + bx + c = 0. Здесь сначала записывается член x ² , затем член x, и, наконец, записывается член константы. Кроме того, a, b — коэффициенты, c — постоянный член, и все они имеют целые значения. Кроме того, первый член в этом квадратном уравнении всегда имеет положительный знак.

Решение квадратичной формулы по квадратичной формуле

Решение квадратичной формулы

Вот шаги, необходимые для решения квадратичной формулы с использованием формулы корней:

Пример 1 — Решить:

Пример 2 — Решить:

Щелкните здесь, чтобы просмотреть практические задания

Пример 3 — Решить:

Щелкните здесь, чтобы просмотреть практические задания

Пример 4 — Решить:

Нажмите здесь, чтобы узнать о практических проблемах

Пример 5 — Решить:

Щелкните здесь, чтобы просмотреть практические задания

предварительное вычисление алгебры — Есть ли общая формула для решения уравнений 4-й степени (квартики)?

Конечно, есть, но это некрасиво, сложно и не стоит запоминать.Люди знают об этом и цитировали или цитировали это для вас, но на самом деле они никогда бы не использовали это. Если вам нужно что-то действительно полезное для решений с ручкой и бумагой, вы можете понять фактическую теорию, лежащую в основе решения. Ниже я приведу один метод.

Формула Quartic — это лишь конечный результат этой методологии, записанный в терминах исходных коэффициентов. Из-за этого метод намного легче запомнить, чем формулу, поэтому меня раздражает, когда люди цитируют только формулу и говорят вам: «Не беспокойтесь, используйте компьютер».«Решение с ручкой и бумагой не сложно, это просто требует времени.

Понимание того, как это делается, даже если вы никогда не используете его, расширяет ваш мозг и ваше понимание, позволяет реализовать его в программировании и позволяет вам воссоздавать его всякий раз, когда он вам может понадобиться, вместо чрезмерной зависимости от компьютеров, которые всегда будут рядом вы, что, на мой взгляд, плохой математик.

Есть три метода решения квартиков, которые я знаю и знаю:

• Квадратичная факторизация Декарта
• Метод Эйлера
• Метод Феррари

Если кто-нибудь знает больше, дайте мне знать.

Метод Феррари — исторически первый метод, открытый. Метод Эйлера очень похож на метод Кардано для кубических форм и, вероятно, был смоделирован на основе того же подхода. Но я неравнодушен к технике квадратичной факторизации Декарта. Это относительно простой процесс, который я буду использовать ниже. Если вы хотите увидеть, как работают другие, дайте мне знать.

Все вышеперечисленные методы начинаются одинаково: депрессия (удаление члена степени $ n-1 $, в данном случае кубического члена) и нормализация (получение коэффициента опережения 1, т.е.2 + qz + r = 0 \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; (1) $$

Для некоторых $ p, q, r \ in \ mathbb {R} $. Это не влияет на корневые позиции; все, что сделал коэффициент опережения, — увеличил ненулевые значения. Абсолютно без потери общности по нулям. Все эти константы, $ p, q, r $, могут быть вычислены из исходных коэффициентов, $ a, b, c, d, e $. Кубического члена по-прежнему нет, и теперь нет и коэффициента опережения.

Интересно отметить, что случилось с многочленом.Мы начали с 5 произвольных констант и сократили их до 3, нормализовав шаг и убрав кубический член. Изначально у нас были произвольные значения $ a, b, c, d, e \ in \ mathbb {R} $, а теперь у нас есть произвольные значения $ p, q, r \ in \ mathbb {R} $. Хотя последние три вычисляются из исходных пяти, они имеют произвольные значения и нет потери общности. Это значительное упрощение проблемы. Отсутствие кубического члена окажется жизненно важным.

До сих пор все было просто настройкой: запись многочлена в сокращенной монической форме.Напомним, что все методы четвертой степени достигают по крайней мере этого. Далее мы реализуем метод факторизации Декарта.

Метод факторизации Декарта

Мы должны предполагать, что все коэффициенты действительны, $ p, q, r \ in \ mathbb {R} $. Это необходимое условие для того, чтобы методология работала. Причина в том, что теперь все решения с ненулевыми мнимыми компонентами входят в комплексно сопряженные пары. 2 } $$

Таким образом, мы, по сути, сократились до $ m $ как последнее неизвестное.2 = 0 $$

И, по сути, мы закончили. Остается кубический многочлен от $ w $, который разрешим с помощью собственных методов. Приемы, о которых, как я полагаю, вы уже знаете, если пытаетесь решить квартики. Как и в случае с квартиками, как вы уже знаете, существуют кубические формулы, но я рекомендую изучить методы, лежащие в их основе.

Если вам нужна помощь с кубиками, я рекомендую метод Кардано (исходное решение) или тригонометрическое решение Виета (я предпочитаю).Также есть Completing the Cube, хорошее доказательство концепции, но я бы никогда его не использовал. Смело задавайте по кубику отдельный вопрос и я с радостью отвечу.

Дело в том, что задача свелась с поиска корней квартики к задаче поиска корней кубики. Проблема попроще! Обычно так бывает. Все методы нахождения корня четвертой степени требуют сначала нахождения корней кубической, очевидной или нет. Так же, как поиск корней кубики требует решения квадратичной.2 — mz + \ frac {r} {n}) = 0 $.

Еще не сделано. Теперь каждый из этих квадратичных множителей должен быть решен с помощью формулы квадратиков, и у вас есть решения в $ z $. Это решает депрессивную моническую квартику, с которой мы начали метод квадратичной факторизации Декарта.

Наконец

Не забывайте об исходной квартике, которая была у нас в самом начале, до депрессии и нормализации. Мы ввели горизонтальный сдвиг на $ x = z- \ frac {b} {4a} $. Выполнение этого последнего бита решит исходную квартику в терминах $ x $, что и является решением, которое вы хотите.

Когда все будет готово, вы придете к набору решений. Обязательно проверьте свои ответы. У вас могут быть избыточные или лишние решения. Некоторые избыточные решения могут быть записаны очень разными алгебраическими способами, но будут представлять одно и то же числовое значение.

Если вы выразите окончательный ответ $ x $ в терминах исходных $ a, b, c, d, e $, у вас будут точно такие же «формулы четвертичной степени», которые другие люди цитируют. Выражение, конечно, будет немного отличаться в зависимости от того, какой из методов четвертой степени вы используете.

Проблемы

Если вас беспокоит предположение, что коэффициенты $ p, q, r $ действительны, не стоит. Все это означает, что $ a, b, c, d, e $ реальны, что обычно является хорошим предположением. Фактически, мы можем обобщить. Значения $ p, q, r $ можно сделать сложными, подразумевая только то, что исходная квартика имеет комплекс $ a, b, c, d, e $. Это также означает, что вам придется решать кубику с комплексными коэффициентами. Это выполнимо, и математика по-прежнему работает нормально.

Квадратных уравнений Задачи с решениями и пояснениями для 8 класса

Решения с полными пояснениями к вопросам 8 класса по квадратичной
уравнения.Некоторые из этих проблем могут быть сложными, и поэтому их стоит решить, даже если на них потребуется время.
Мы учимся, решая проблемы, которые поначалу не знали, как решить.

Дополнительные ссылки и ссылки

Больше математики в средней школе (6, 7, 8, 9 классы) — бесплатные вопросы и проблемы с ответами

Еще

математика средней школы (10, 11 и 12 классы) — бесплатные вопросы и задачи с ответами

Подробнее

математика средней школы (оценки 10, 11 и 12) — Бесплатные вопросы и проблемы с ответами

Еще

Начальная математика (4 и 5 классы) с бесплатными вопросами и проблемы с ответами
Домашняя страница
сообщить об этом объявлении

квадратных уравнений | Блестящая вики по математике и науке

Основная статья: Факторинговые многочлены

Мы можем решать квадратичные уравнения, используя факторинг и свойство нулевого произведения.2 + 2x + 3x + 6 & = 0 \\
х (х + 2) +3 (х + 2) & = 0.
\ end {align} x2 + 2x + 3x + 6x (x + 2) +3 (x + 2) = 0 = 0.
Взяв (x + 2) (x + 2) (x + 2) в качестве общего множителя, мы имеем
(x + 3) (x + 2) = 0x + 3 = 0 ⟹ x = −3x + 2 = 0 ⟹ x = −2. \ begin {align}
(х + 3) (х + 2) & = 0 \\
x + 3 & = 0 \ подразумевает x = -3 \\
x + 2 & = 0 \ подразумевает x = -2.
\ end {выровнены} (x + 3) (x + 2) x + 3x + 2 = 0 = 0⟹x = −3 = 0⟹x = −2.
Следовательно, два корня данного уравнения равны −3-3−3 и −2-2−2. □ _ \ квадрат □

Метод решения квадратного уравнения путем факторизации:

Шаг 1.2 + 1 = (х + я) (х-я). Х2 + 1 = (х + я) (х-я).

Попробуйте решить следующие проблемы:

х = 1, -1x = 1, -1x = 1, -1

х = 2, −2x = 2, -2x = 2, −2

х = −2x = -2x = −2

х = 0х = 0х = 0

Каковы решения уравнения

x2 = 4? х ^ 2 = 4? х2 = 4?

Отправьте свой ответ

Найдите положительный корень уравнения x2 + x − 20 = 0x ^ {2} + x-20 = 0x2 + x − 20 = 0.2 + 6a -6 a2 + 6a − 6 равно aaa, затем найдите минимальное значение aaa.

биквадратных уравнений | Суперпроф

Полиномиальные уравнения очень сложно решить. Наиболее часто используемый метод нахождения множителей полиномиального уравнения — это метод проб и ошибок, который не только отнимет у вас много времени, но и разочарует любого. Было обнаружено, что математика делает нашу жизнь легкой и легкой, поэтому мы пытаемся использовать метод «Биквадратных уравнений» для решения полиномиальных уравнений.

Биквадратные уравнения — это тип полиномиального уравнения, однако это означает, что не все полиномиальные уравнения являются биквадратными уравнениями. Ключ в том, чтобы проверить, есть ли в полиномиальном уравнении член нечетной степени? Если вы видели какой-либо член нечетной степени, это означает, что биквадратный метод не применим к этому уравнению, к сожалению, вам нужно использовать метод проб и ошибок для решения этого уравнения.

Например, вот уравнение, проверьте, есть ли в уравнении члены с нечетной степенью,

, не торопитесь и подумайте, можем ли мы применить биквадратный метод к этому уравнению? Если ваш ответ отрицательный, поздравляю! Вы узнали, когда использовать этот метод.Причина довольно проста, если вы проверите третий член (то есть), это член нечетной степени. Как упоминалось выше, вы не можете применить этот метод, если уравнение имеет член нечетной степени. Вот еще один пример, чтобы проверить себя, можем ли мы применить к этому уравнению метод биквадратного уравнения? Да, конечно! Потому что нет нечетных терминов. Слово нечетное не означает, что мы говорим о нечетных числах, не путайте с нечетными числами и нечетными терминами. Это последний пример, выясните, можем ли мы использовать этот метод или нет, ответ — нет, потому что он уже находится в форме квадратного уравнения.Мы используем метод биквадратного уравнения, чтобы преобразовать полиномиальные уравнения в квадратные уравнения, чтобы мы могли легко их решить, отказавшись от метода среднего члена или используя квадратную формулу.

Найдите репетитора по математике на Superprof.

Решение биквадратных уравнений

Теперь вы знаете первую вещь о биквадратном методе, а именно, что вы не можете применять его к уравнениям с нечетными членами. Следующее, что вам нужно понять, это преобразование полиномиального уравнения в биквадратное.Для этого мы используем технику, которую мы называем предположением . Это очень простой метод, вам нужно предположить, что переменная с определенной степенью соответствует другой переменной. Например, вот полиномиальное уравнение:

Здесь мы предположим, что уравнение преобразуется в квадратное уравнение. Лучшая часть предположения состоит в том, что вы можете предположить что угодно, однако убедитесь, что это соответствует вашей системе. Проще говоря, вы можете предположить что угодно, но не в пределе, чтобы вы могли работать над своим уравнением.Для приведенного выше уравнения мы предположим

. Вы можете использовать любую другую переменную, кроме t, это может быть a, b, c, d и т. Д. Давайте подставим наше предположение в приведенное выше уравнение:

Теперь это уравнение преобразовано в квадратное уравнение, которое означает, что наше предположение было правильным, но это еще не конец. Вам нужно решить указанное выше уравнение и получить его множители, к счастью, мы уже решили его, и вот множители

. Почему бы вам не взглянуть на исходное уравнение? Вы что-то заметили? Однако переменная в уравнении была переменной в ответе.Это произошло из-за того, что мы заменили переменную, помните? Не забывай об этом! Это очень частая ошибка. Студенты оставляют свои ответы в терминах, которые не являются ответом. Как только вы найдете коэффициенты, пора вернуть исходное значение, которое было. Вы сделаете что-то вроде этого:

Укореняется с обеих сторон:

* Потому что корень отрицательного числа означает мнимое число.

Другая распространенная ошибка состоит в том, что учащиеся забывают прибавить

при изучении факторов.Помните, что обычно биквадратные уравнения имеют четыре ответа, но в некоторых случаях может иметь и два ответа.

Лучшие доступные репетиторы по математике.

Первый урок бесплатно.

Примеры. среднесрочный метод разбиения для решения нашего уравнения:

Подстановка

Эту же процедуру можно использовать для решения уравнений типа:

2

Допустим

Использование квадратичной формулы для получения множителей:

3

Пусть

:

Используя метод среднесрочного разбиения, чтобы найти факторы:

Замена

Укоренение с обеих сторон

4

Пусть

Использование квадратичной формулы для нахождения множителей

Подстановка

Обездвиживание с обеих сторон

911 9000 Letters

:

Использование среднесрочного метода разбиения для поиска факторов

Замена

6

Let

:

9000 2 Использование квадратичной формулы для поиска факторов

Замена

Повысьте скорость обучения и понимание с репетитором по математике в Superprof.{\ frac {1} {3}}} = \ frac {1} {2} \ end {align *} \]

Двумя решениями этого уравнения являются \ (y = 1 \) и \ (y = \ frac {1} {2} \).

c \ (z — 9 \ sqrt z + 14 = 0 \) Показать решение

Это немного сложнее, чтобы увидеть, что он квадратный по форме, но это так. Чтобы увидеть это напоминание, что показатель степени квадратного корня равен половине, тогда мы можем заметить, что показатель степени первого члена в два раза больше показателя степени второго члена. Таким образом, это уравнение фактически сводится к квадратичной форме.2} = — 2 \ hspace {0,5 дюйма} \ Rightarrow \ hspace {0,25 дюйма} t = \ pm \ sqrt {- 2} = \ pm \ sqrt 2 \, \, i \ end {align *} \]

В этом случае мы получаем четыре решения, два из которых являются комплексными. Получение сложных решений из них на самом деле более распространено, чем может предложить этот набор примеров. Проблема в том, что для получения некоторых сложных решений требуются знания, которые мы не рассматриваем (и не будем раскрывать) в этом курсе.