{2}}-{x}-1=\left( {x}-\frac{-1+\sqrt{5}}{2} \right)\left( {x}-\frac{-1-\sqrt{5}}{2} \right)\)

Вернемся к неравенству. Оно принимает вид:

\(\displaystyle \frac{\left( {x}-\frac{-1+\sqrt{5}}{2} \right)\left( {x}-\frac{-1-\sqrt{5}}{2} \right)}{\left( {x}-1 \right)\left( x+2 \right)\left( x+3 \right)}\ge 0\)

Теперь нужно расположить эти корни на числовой оси, а для этого надо понять, где находятся числа \(\displaystyle \frac{-1-\sqrt{5}}{2}\) и \(\displaystyle \frac{-1+\sqrt{5}}{2}\) относительно \(\displaystyle 1\), \(\displaystyle -2\) и \(\displaystyle -3\).

Подробно о том, как это делается, читай в теме «Сравнение чисел».

\(\displaystyle \begin{array}{l}2<\sqrt{5}<3\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\\1<-1+\sqrt{5}<2\text{ }\Leftrightarrow \\\frac{1}{2}<\frac{-1+\sqrt{5}}{2}<1\end{array}\)

\(\displaystyle \begin{array}{l}2<\sqrt{5}<3\text{ }\Leftrightarrow \\-3<-\sqrt{5}<-2\text{ }\Leftrightarrow \\-4<-1-\sqrt{5}<-3\text{ }\Leftrightarrow \\-2<\frac{-1-\sqrt{5}}{2}<-\frac{3}{2}\end{array}\)

Рациональные неравенства — теория и формулы, подготовка к ЕГЭ по математике

Рациональное неравенство — это неравенство, которое можно свести к виду \[\Large{\dfrac{P(x)}{Q(x)}\lor 0}\]где \(P(x),\
Q(x)\) — многочлены.2+x-2\leqslant 0\]

\[{\Large{\text{Линейные неравенства}}}\] Линейные неравенства – это неравенства вида \[ax+b \lor 0, \qquad
\lor — \text{ один из знаков } \geqslant, \ \leqslant, \ >, \
<;\quad a,b — \text{ числа,}\]или сводящиеся к такому виду.
Область допустимых значений \(x\) (ОДЗ) таких неравенств — все вещественные числа (\(x\in \mathbb{R}\)).

Общее правило решения линейных неравенств:

1) Для того, чтобы решить данное неравенство, необходимо привести его к виду \(ax\lor -b\), то есть перенести число \(b\) в правую часть.

2) Если коэффициент \(a\) перед \(x\) – положительный, то неравенство равносильно \(x\lor -\dfrac ba\), то есть после деления обеих частей неравенства на \(a\) знак неравенства не меняется.

3) Если коэффициент \(a\) перед \(x\) – отрицательный, то неравенство равносильно \(x\land -\dfrac ba\), то есть после деления обеих частей неравенства на \(a\) знак неравенства меняется на противоположный.

4) Если \(a=0\), то неравенство равносильно \(0\lor -b\), что либо верно при всех значениях переменной \(x\) (например, если это \(0>-1\)), либо неверно ни при каких значениях \(x\) (например, если это \(0\leqslant -3\)).
То есть ответом будут либо \(x\in\mathbb{R}\), либо \(x\in
\varnothing\).

Замечание
Заметим, что знаку \(\leqslant\) противоположен знак \(\geqslant\), а знаку \(<\) – знак \(>\). И наоборот.

Пример 1
Решить неравенство \(5-3x>-1\).

Решение. I способ
Сделаем цепочку преобразований:

\[5-3x>-1 \ \Rightarrow \ -3x>-1-5 \ \Rightarrow \ -3x>-6 \
\Rightarrow \ x<\dfrac 63 \ \Rightarrow \ x<2\] Таким образом, ответом будет \(x\in(-\infty;2)\).
Заметим, что т.к. мы делили неравенство на \(-3\), то знак неравенства поменялся.

Решение. II способ
Можно перенести слагаемое \(-3x\) в правую часть, а \(-1\) – в левую:

\[5-3x>-1 \ \Rightarrow \ 5+1>3x \ \Rightarrow \ 3x<6 \ \Rightarrow \ x<2\]

Пример 2
Решить неравенство \((1-\sqrt2)x+2\leqslant 0\).

Решение
Заметим, что перед \(x\) находится отрицательный коэффициент. Поэтому:

\[(1-\sqrt2)x\leqslant -2 \Rightarrow x\geqslant -\dfrac 2{1-\sqrt2}\] Преобразуем число \(-\dfrac 2{1-\sqrt2}\): домножим числитель и знаменатель дроби на сопряженное к \(1-\sqrt2\), то есть на \(1+\sqrt2\), чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе:

\[-\dfrac 2{1-\sqrt2}=-\dfrac{2(1+\sqrt2)}{(1-\sqrt2)(1+\sqrt2)}=
-\dfrac{2(1+\sqrt2)}{1-2}=2(1+\sqrt2)\]
Таким образом, ответ \(x\in [2+2\sqrt2;+\infty)\).
Перейдем к квадратичным неравенствам, которые являются очень важным инструментом в решении задач.

\[{\Large{\text{Метод интервалов}}}\]

Приступим к рассмотрению общего метода для решения любого рационального неравенства, то есть неравенства вида

\[(**)\qquad \dfrac{P(x)}{Q(x)}\geqslant 0 \qquad (\text{на месте }\geqslant
\text{может стоять любой из} \leqslant, \ <, \ >)\]

Область допустимых значений \(x\) (ОДЗ) таких неравенств — все вещественные числа, кроме нулей знаменателя.

Существует два способа решения таких неравенств:

1 способ: Классический. Т.к. дробь положительна (отрицательна) тогда и только тогда, когда числитель и знаменатель дроби одного знака (разных знаков), то неравенство \((*)\) равносильно совокупности: \[{\large{\left[\begin{gathered}
\begin{aligned}
&\begin{cases} P(x)\geqslant 0\\ Q(x)>0 \end{cases}\\
&\begin{cases} P(x)\leqslant 0\\ Q(x)<0 \end{cases}
\end{aligned}
\end{gathered}
\right.}}\]

Такой способ подойдет для решения любого неравенства, где слева стоит дробь, а справа — \(0\).
Но, как правило, для решения большинства рациональных неравенств он неудобен. Почему? Вы сможете убедиться в этом после того, как мы рассмотрим метод интервалов.

2 способ: Удобный. Метод интервалов (будем рассматривать этот метод на примере конкретного неравенства, чтобы было понятней).
Заметим, что первые три шага созданы для того, чтобы преобразовать неравенство к более простому виду, что поможет вам не допустить ошибку в решении подобных задач. Метод интервалов – это всего лишь удобный инструмент для решения рациональных неравенств, и если вы будете всегда пользоваться одним и тем же алгоритмом, то вероятность допустить ошибку при решении таких неравенств будет минимальной.
Данный алгоритм специально расписан подробно, чтобы у вас не возникло вопросов; всего после нескольких использований этого алгоритма вы будете решать рациональные неравенства очень быстро и без ошибок!

1 ШАГ. Необходимо перенести все слагаемые в одну часть (пусть это будет левая часть) неравенства так, чтобы в другой части неравенства остался \(0\), и привести эти слагаемые к общему знаменателю так, чтобы в левой части неравенства получилась дробь. Затем нужно разложить числитель и знаменатель полученной дроби, то есть многочлены \(P(x), \ Q(x)\), на множители.
 
Например, неравенство \(\dfrac1{x+1}<1\) нужно переписать в виде \(\dfrac1{x+1}-1<0\), затем привести к общему
 
знаменателю \(\dfrac1{x+1}-\dfrac{x+1}{x+1}<0\), затем записать в виде одной дроби левую часть: \(\dfrac{1-(x+1)}{x+1}<0\) и
 
привести подобные слагаемые: \(\dfrac{-x}{x+1}<0\).2\), или, что то же самое, \((x-0)(x-0)\) – произведение двух одинаковых линейных скобок.

4 ШАГ. Теперь, когда левая часть неравенства состоит из произведения только хороших линейных скобок (в каких-то степенях), можно приступить к самому методу интервалов.

Его суть состоит в том, что левая часть неравенства — всюду непрерывная функция, кроме тех точек, где знаменатель дроби равен нулю. Поэтому точки, в которых эта функция равна нулю (то есть ее числитель равен нулю) и точки, в которых эта функция не существует (то есть ее знаменатель равен нулю), разбивают область определения этой функции на промежутки, причем на каждом промежутке функция принимает значения строго одного знака.

А нам как раз нужно найти те значения \(x\), при которых функция \(\geqslant 0\). Причем, т.к. наша функция — рациональная, то ее область определения — это все действительные числа (\(\mathbb{R}\)), кроме нулей знаменателя. Поэтому отметим нули каждой скобки на вещественной прямой (а ноль каждой скобки – это как раз ноль числителя или знаменателя), причем нули знаменателя – выколотые, нули числителя – закрашенные (если знак неравенства нестрогий, как в примере, то есть \(\geqslant \) или \(\leqslant \)) или выколотые (если знак неравенства строгий, то есть \(>\) или \(<\)).
Заметим, что если мы отметили \(n\) точек, то числовая прямая разобьется на \(n+1\) промежутков.

Расставим знак на каждом промежутке \(\color{red}{{\Large{\text{справа налево}}}}\). Будем ставить “\(+\)”, если функция на этом промежутке принимает положительные значения, и “\(-\)” — если отрицательные. Нулю функция равна в закрашенных точках.
Первые три шага мы делали для того, чтобы не подставлять точки из каждого промежутка и не вычислять, какого знака будет левая часть неравенства (что бывает неудобно, если числа, которые нужно отмечать на прямой, “некрасивые”). Знаки мы будем расставлять, выявив некоторую закономерность.2\) не сменит свой знак на отрицательный, поэтому вся левая часть останется по знаку такой же, как и была на \((\frac23;1)\) (т.е. положительной). Аналогично при переходе через точки \(0, -1\).

5 ШАГ. Неравенство практически решено и нам остается только записать ответ. В нашем случае, т.к. знак преобразованного \((***)\) неравенства \(\geqslant 0\) (нестрогий), то в ответ пойдут промежутки со знаком “\(+\,\)” (где значение функции больше нуля) и закрашенные точки (где значение функции равно нулю): \[x\in \Big(-\infty;-1\Big)\cup \left(-1;\dfrac23\right)\cup
\left(\dfrac23;1\right]\cup\Big(3;+\infty\Big)\]Напоминаем, что если точка не входит в ответ, то она пишется в круглой скобке “\((\)” или “\()\)”, если входит в ответ – то в квадратной скобке “\([\)” или “\(]\)”. Бесконечности всегда пишутся в круглых скобках.
 

\[{\Large{\text{Квадратичные неравенства}}}\]

Квадратичным неравенством называется любое неравенство вида \[ax^2+bx+c \lor 0, \quad a\ne 0,\]

или сводящееся к такому виду.2\) всегда больше или равно \(0\).
 

3.2.2. Рациональные неравенства

Глава 3. Решение уравнений и неравенств

3.2.

3.2.2.

Рассмотрим выражение вида:

(Вместо знака < могут стоять знаки >, ≤, ≥.)

Основным методом решения неравенств вида (1) является метод интервалов. Начнём рассматривать его, прежде всего, для многочленов. Этот метод основан на том, что двучлен (x – a) положителен при x > a и отрицателен при x < a, то есть при переходе через точку x = a этот двучлен меняет знак.

Отсюда следуют полезные замечания.

• Многочлен
  то есть двучлен в нечётной степени, положителен и отрицателен на тех же интервалах, что и (x – a).

• Многочлен
  то есть двучлен в чётной степени, не меняет знак при переходе через точку x = a, а в самой точке обращается в нуль.

  Вывод. Многочлены вида при решении строгих неравенств («<» или «>») можно опустить, так как они не влияют на знак неравенства. При этом из решения нужно исключить точки, в которых многочлен равен нулю:

• Многочлен
  всегда положителен и потому при решении любого неравенства может быть опущен.

• При переходе через точку x = a может изменить знак только двучлен (x – a), остальные двучлены не меняют знака.

Пример 1

Решите неравенство

Рассмотрим стандартный приём решения рациональных неравенств, основанный на сведении данного неравенства к неравенству для многочлена, метод решения которого (метод интервалов) нам уже известен. Итак, рассмотрим рациональное неравенство

где f (x) и g (x) − рациональные функции, то есть функции, представимые в виде отношения многочленов. Перенося обе части рационального неравенства в левую часть, представим её в виде отношения двух многочленов:
(Такой вид неравенства называется стандартным.) Заметим, что:

• 
  то есть отношение двух многочленов положительно тогда и только тогда, когда положительно их произведение.

• то есть отношение двух многочленов отрицательно тогда и только тогда, когда отрицательно их произведение.

Итак,

Левая часть полученных неравенств есть произведение многочленов, то есть сама является многочленом. А поскольку его знак совпадает со знаком дроби
то дробь меняет или не меняет знак при переходе через точку x = a в зависимости от того, входит в него двучлен (x – a) в чётной или нечётной степени.

Если же двучлен (x – a) входит в многочлен P (x) в степени k, а в многочлен Q (x) − в степени l, то в многочлен P (x) · Q (x) этот двучлен войдёт в степени k + l, а в дробь
− в степени k – l. Легко проверить, что для любых чисел k и l чётность чисел k + l и k – l одинакова. Следовательно, вывод о поведении дроби
при переходе через точку x = a мы сделаем в точности такой же, как если бы наше неравенство было представлено в виде многочлена P (x) · Q (x).

Таким образом, показан принципиальный метод решения рациональных неравенств. Имея в виду последнее замечание, метод интервалов для рациональных функций можно сформулировать в следующем виде.

1. Привести неравенство к стандартному виду

2. Разложить на множители многочлены P (x) и Q (x) (как мы знаем, для этого придётся решить уравнения P (x) = 0 и Q (x) = 0).

3. Нули числителя, не совпадающие с нулями знаменателя, отметить на числовой оси точками, а нули знаменателя − кружочками (эти точки, очевидно, не входят в ОДЗ рациональной функции и потому они как будто «выколоты» из числовой оси).

4. Подставить мысленно в неравенство очень большое число (большее самого большого из корней числителя и знаменателя) для того, чтобы определить, какой знак имеет рациональная функция на самом правом интервале. Провести кривую знаков, проходя через все точки, отмеченные на числовой прямой, меняя или не меняя знак в зависимости от суммарной степени двучлена, отвечающего данной точке.

5. Записать ответ, обращая особое внимание на граничные точки, часть из которых может быть «выколота».

Таким образом, для нестрогих рациональных неравенств имеем по определению

Пример 2

Решить неравенство

Заметим, что на двучлен (x – 2) можно спокойно сокращать; встретившись и в числителе и в знаменателе, он не будет влиять на знак неравенства. Надо лишь не забыть, что x ≠ 2, так как при x = 2 не определён знаменатель данной дроби.



Рациональные неравенства — Математика — Теория, тесты, формулы и задачи

Оглавление:

Основные теоретические сведения

Некоторые рекомендации к решению рациональных неравенств

К оглавлению…

При решении линейных неравенств есть только одна большая фишка: необходимо менять знак неравенства при делении (или умножении) неравенства на отрицательное число. Менять знак неравенства значит изменять знак «меньше» на знак «больше» или наоборот. При этом знаки плюс на минус в обход ранее изученных математических правил нигде менять не надо. Если мы делим или умножаем неравенство на положительное число знак неравенства менять не нужно. В остальном решение линейных неравенств полностью идентично решению линейных уравнений.

В линейных и в любых других рациональных неравенствах ни в коем случае нельзя домножать или делить левую или правую части неравенства на выражения, содержащие переменную (кроме случаев, когда данное выражение положительно либо отрицательно на всей числовой оси, в этом случае при делении на всегда отрицательное выражение знак неравенства нужно поменять, а при делении на всегда положительное выражение знак неравенства нужно сохранить).

Решение неравенств вида:

Проводится с помощью метода интервалов, который состоит в следующем:

1. Изображаем координатную прямую, на которую наносим все числа a_i. Эти числа, расположенные в порядке возрастания, разобьют координатную прямую на (n+1) промежутков знакопостоянства функции f(x).
2. Таким образом, определив знак f(x) в любой точке каждого промежутка (обычно эта точка выбирается из удобства арифметических действий), определяем знак функции на каждом промежутке. Главное при этом не подставлять в функцию сами границы промежутков.
3. Выписываем в ответ все те промежутки, знак функции на которых соответствуют основному условию неравенства.

Нужно также отметить, что не обязательно исследовать знак функции на каждом промежутке подстановкой некоторого значения из этого промежутка. Достаточно определить таким образом знак функции только на одном промежутке (обычно на крайнем правом), а затем двигаясь от этого промежутка влево вдоль числовой оси можно чередовать знаки промежутков по принципу:

• Если скобка из которой взялось число через которое мы переходим стоит в нечетной степени, то при переходе через соответствующую точку знак неравенства меняется.
• А если соответствующая скобка стоит в четной степени, то при переходе через соответствующую точку знак неравенства не меняется.

При этом нужно учитывать еще и следующие замечания:

• В строгих неравенствах (знаки «меньше» или «больше») границы промежутков никогда не входят в ответ, а на числовой оси они изображаются выколотыми точками.
• В нестрогих неравенствах (знаки «меньше либо равно» или «больше либо равно») те границы промежутков, которые взяты из числителя всегда входят в ответ и изображаются закрашенными точками (так как в этих точках функция действительно обращается в ноль, что удовлетворяет условию).
• А вот границы взятые из знаменателя в нестрогих неравенствах всегда изображаются выколотыми точками и в ответ никогда не входят (так как в этих точках в ноль обращается знаменатель, что недопустимо).
• Во всех неравенствах если одна и та же скобка есть и в числителе и в знаменателе, то сокращать на эту скобку нельзя. Нужно изобразить соответствующую ей точку выколотой на оси, и не забыть исключить из ответа. При этом при чередовании знаков промежутков, проходя через эту точку знак менять не нужно.

Итак еще раз самое важное: при записи окончательного ответа в неравенствах не потеряйте отдельные точки, удовлетворяющие неравенству (это корни числителя в нестрогих неравенствах), и не забудьте исключить из ответа все корни знаменателя во всех неравенствах.

При решении рациональных неравенств более сложного вида чем указан выше, необходимо сначала алгебраическими преобразованиями свести их именно к такому виду, а затем применить метод интервалов с учетом всех уже описанных тонкостей. Таким образом, можно предложить следующий алгоритм для решения рациональных неравенств:

1. Все слагаемые, дроби и другие выражения необходимо перенести в левую часть неравенства.
2. При необходимости привести дроби к общему знаменателю.
3. Разложить числитель и знаменатель полученной дроби на множители.
4. Решить полученное неравенство методом интервалов.

При этом при решении рациональных неравенств не допускается:

1. Перемножать дроби «крест-накрест».
2. Как и в уравнениях, нельзя сокращать множители с переменной с обеих сторон неравенства. Если такие множители есть, то после переноса всех выражений в левую часть неравенства их нужно вынести за скобки, а затем учесть те точки которые они дадут после окончательного разложения полученного выражения на множители.
3. Отдельно рассматривать числитель и знаменатель дроби.

Как и в остальных темах по математике, при решении рациональных неравенств можно применять метод замены переменной. Главное не забывать, что после введения замены, новое выражение должно стать проще и не содержать старой переменной. Кроме того, нужно не забывать выполнять обратную замену.

При решении систем рациональных неравенств нужно по очереди решить все неравенства входящие в систему. Система требует выполнения двух и более условий, причем мы ищем те значения неизвестной величины, которые удовлетворяют сразу всем условиям. Поэтому, в ответе системы неравенств нужно указать общие части всех решений отдельных неравенств (или общие части всех заштрихованных промежутков, изображающих ответы каждого отдельного неравенства).

При решении совокупностей рациональных неравенств также по очереди решают каждое из неравенств. Совокупность требует нахождения всех значений переменной, удовлетворяющих хотя бы одному из условий. То есть любому из условий, нескольким условиям или всем условиям вместе. В ответе совокупности неравенств указывают все части всех решений отдельных неравенств (или все части всех заштрихованных промежутков, изображающих ответы каждого отдельного неравенства).

Решение некоторых типов неравенств с модулями

К оглавлению…

Неравенства с модулями можно и нужно решать последовательно раскрывая модули на промежутках их знакопостоянства. Таким образом, нужно поступать примерно также как при решении уравнений с модулями (об этом ниже). Но есть несколько относительно простых случаев в которых решение неравенства с модулем сводится к более простому алгоритму. Так например, решение неравенства вида:

Сводится к решению системы:

В частности неравенство:

Может быть заменено равносильной системой:

Ну а если в аналогичном неравенстве заменить знак «меньше» на «больше»:

То его решение сводится уже к решению совокупности:

В частности неравенство:

Может быть заменено равносильной совокупностью:

Таким образом, необходимо запомнить, что для неравенства «модуль меньше» мы получаем систему, где должны одновременно выполняться оба условия, а для неравенства «модуль больше» мы получаем совокупность, в которой должно выполняться любое из условий.

При решении рациональных неравенств с модулем вида:

Целесообразно переходить к следующему равносильному рациональному неравенству без модуля:

Такое неравенство нельзя решать извлечением корня (если по-честному извлекать корень, то снова нужно поставить модули, и Вы вернетесь к началу, если про модули забыть, это равносильно тому, чтобы в самом начале про них просто забыть, а это, конечно, ошибка). Все скобки нужно перенести налево и, ни в коем случае не раскрывая скобки, применить формулу разности квадратов.

Еще раз повторимся, что для решения всех других типов неравенств с модулями кроме указанных выше нужно раскрывать все модули входящие в неравенство на промежутках их знакопостоянства и решать полученные неравенства. Напомним подробнее общий смысл этого алгоритма:

• Сначала находим точки на числовой оси, в которых обращается в ноль каждое из выражений, стоящих под модулем.
• Далее делим всю числовую ось на интервалы между полученными точками и исследуем знак каждого из подмодульных выражений на каждом интервале. Заметьте, что для определения знака выражения надо подставить в него любое значение переменной из интервала, кроме граничных точек. Выбирайте те значения переменной, которые легко подставлять.
• Далее на каждом полученном интервале раскрываем все модули в исходном неравенстве в соответствии с их знаками на данном интервале и решаем полученное обычное рациональное неравенство с учетом всех правил и тонкостей решения обычных неравенств без модулей.
• Решение каждого из неравенств полученных на конкретном промежутке объединяем в систему с самим промежутком, а все такие системы объединяем в совокупность. Таким образом из решений всех неравенств выбираем только те части которые вошли в промежуток, на котором было получено данное неравенство, и записываем все эти части в итоговый ответ.

Рациональные неравенства /qualihelpy

Пример 1. Решите неравенство .Решение. 1. Рассмотрим функцию .

2. Найдем нули функции, решая уравнение 

 .

3. Корни нечетной кратности –3 и 7 нанесем на координатную прямую один раз, а корень четной кратности 2 – два раза (рис. 7.8). 

Определим знаки значений функции на любом промежутке, например, на промежутке , найдя значение функции в точке , принадлежащей этому промежутку: .

Определим знаки значений функции на остальных промежутках, чередуя их при переходе через точки –3 и 7 и сохраняя знак (чередуя дважды) при переходе через точку 2.

4. Объединив промежутки, на которых функция отрицательна, получим решение данного неравенства: .Ответ: .Пример 2. Решите неравенство .Решение. 1. Рассмотрим функцию .

3. Нанесем нули и точки разрыва функции на координатную прямую, при этом точки разрыва отметим на координатной прямой «пустыми» кружочками, а нули функции «зачерненными» кружочками (рис. 7.9). Определим знаки значений функции на полученных промежутках. 

4. Так как функция  может быть как положительной, так и равной нулю (на это указывает смысловой знак неравенства  ), то решением неравенства является объединение промежутков, на которых функция неотрицательна и число : .Ответ: .Пример 3. Решите неравенство .Решение. Запишем неравенство в виде  и разложим его левую часть на множители: , , .1. Рассмотрим функцию .

3. Нанесем нули функции на координатную прямую (рис. 7.10) и определим знаки функции на полученных промежутках.

4. Решением неравенства является промежуток, на котором функция  отрицательна: .Ответ:  .Пример 4. Решите неравенство . Решение. 1. Рассмотрим функцию .

3. Нанесем числа –1 и 5 на координатную прямую и определим знаки значений функции на полученных промежутках (рис. 7.11).

4. Решением неравенства является промежуток, на котором функция  отрицательна: .Ответ: . Пример 5. Определите количество целых решений неравенства .Решение. Запишем неравенство в виде :  ,1. Рассмотрим функцию .3. Нанесем полученные числа на координатную прямую (рис. 7.12) и определим знак значений функции  на промежутке , подставив в функцию любое число из указанного промежутка, например, число 0: . Определим знак значений функции на остальных промежутках, чередуя их при переходе через точки 5 и –5 (числа 5 и –5 – корни нечетной кратности).4. Так как функция не положительна, то решением исходного неравенства является интервал  (рис. 7.12).

Ответ: 9.

Пример 6. Найдите среднее арифметическое целых решений неравенства .Решение. Данное неравенство равносильно системе неравенств  Решим каждое неравенство системы методом интервалов, предварительно умножив эти неравенства на .1. Первое неравенство примет вид  или . Оно справедливо для любых , так как график квадратичной функции  не пересекает ось абсцисс (D 2. Второе неравенство примет вид . Его решение:  (рис. 7.13).Поскольку решение второго неравенства является подмножеством решений первого, то интервал  является решением исходной системы неравенств. Запишем целые решения системы неравенств: 2, 3, 4, 5. Найдем среднее арифметическое этих чисел:  .Ответ: .Пример 7. Найдите сумму целых решений системы неравенств , удовлетворяющих условию . Решение. Запишем неравенство  в виде ,  и решим его методом интервалов. Согласно рисунку 7.14 запишем его решение: .Решим систему неравенств   на отрезке :                                                                                               Решение первого неравенства системы показано на рисунке 7.15: .Решение второго неравенства системы показано на рисунке 7.16: .Решение системы неравенств показано на рисунке 7.17: .Исходная система неравенств имеет два целых решения, удовлетворяющих условию . Найдем сумму этих решений: .Ответ: . Пример 8. Найдите область определения функции .Решение. Имеем иррациональную функцию четной степени корня. Следовательно, выражение, стоящее под знаком радикала, не должно быть отрицательным:   или  , . 

Решим полученное неравенство методом интервалов.

1. Рассмотрим функцию .2. Найдем нули функции, решая уравнение , откуда . Найдем точки разрыва функции, решая уравнение , откуда .

3. Нанесем нули и точки разрыва функции на координатную прямую и определим знаки значений функции на полученных промежутках (рис. 7.18).

4. Решением неравенства является промежуток , на котором функция  положительна, и точка 2, в которой функция обращается в нуль.Ответ:  .

Метод интервалов — материалы для подготовки к ЕГЭ по Математике

Метод интервалов – простой способ решения дробно-рациональных неравенств. Так называются неравенства, содержащие рациональные (или дробно-рациональные) выражения, зависящие от переменной.

1. Рассмотрим, например, такое неравенство

Метод интервалов позволяет решить его за пару минут.

В левой части этого неравенства – дробно-рациональная функция. Рациональная, потому что не содержит ни корней, ни синусов, ни логарифмов – только рациональные выражения. В правой – нуль.

Метод интервалов основан на следующем свойстве дробно-рациональной функции.

Дробно-рациональная функция может менять знак только в тех точках, в которых она равна нулю или не существует.

Найдем нули функции в левой части нашего неравенства. Для этого разложим числитель на множители. (Если вы не помните, что такое нули функции и знак функции на промежутке – смотрите статью «Исследование графика функции»).

Напомним, как раскладывается на множители квадратный трехчлен, то есть выражение вида  .

, где  и  — корни квадратного уравнения .

Получим:

Рисуем ось и расставляем точки, в которых числитель и знаменатель обращаются в нуль.

Нули знаменателя и  — выколотые точки, так как в этих точках функция в левой части неравенства не определена (на нуль делить нельзя). Нули числителя и  — закрашены, так как неравенство нестрогое. При  и  наше неравенство выполняется, так как обе его части равны нулю.

Эти точки разбивают ось на промежутков.

Определим знак дробно-рациональной функции в левой части нашего неравенства на каждом из этих промежутков. Мы помним, что дробно-рациональная функция может менять знак только в тех точках, в которых она равна нулю или не существует. Это значит, что на каждом из промежутков между точками, где числитель или знаменатель обращаются в нуль, знак выражения в левой части неравенства будет постоянным — либо «плюс», либо «минус».

И поэтому для определения знака функции на каждом таком промежутке мы берем любую точку, принадлежащую этому промежутку. Ту, которая нам удобна.
. Возьмем, например, и проверим знак выражения в левой части неравенства. Каждая из «скобок» отрицательная. Левая часть имеет знак .

Следующий промежуток: . Проверим знак при . Получаем, что левая часть поменяла знак на .

. Возьмем . При выражение положительно — следовательно, оно положительно на всем промежутке от до .

При  левая часть неравенства отрицательна. 

И, наконец, . Подставим и проверим знак выражения в левой части неравенства. Каждая «скобочка» положительна. Следовательно, левая часть имеет знак .

Мы нашли, на каких промежутках выражение положительно. Осталось записать ответ:

Ответ: .

Обратите внимание: знаки на промежутках чередуются. Это произошло потому, что при переходе через каждую точку ровно один из линейных множителей поменял знак, а остальные сохранили его неизменным.

Мы видим, что метод интервалов очень прост. Чтобы решить дробно-рациональное неравенство методом интервалов, приводим его к виду:

, или , или , или .

(в левой части — дробно-рациональная функция, в правой — нуль).

Затем — отмечаем на числовой прямой точки, в которых числитель или знаменатель обращаются в нуль.
Эти точки разбивают всю числовую прямую на промежутки, на каждом из которых дробно-рациональная функция сохраняет свой знак.
Остается только выяснить ее знак на каждом промежутке.
Мы делаем это, проверяя знак выражения в любой точке, принадлежащей данному промежутку. После этого — записываем ответ. Вот и всё.

Но возникает вопрос: всегда ли знаки чередуются? Нет, не всегда! Надо быть внимательным и не расставлять знаки механически и бездумно.

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

2. Рассмотрим еще одно неравенство.

Снова расставляем точки на оси . Точки и  — выколотые, поскольку это нули знаменателя. Точка  — тоже выколота, поскольку неравенство строгое.

При числитель положителен, оба множителя в знаменателе отрицательны. Это легко проверить, взяв любое число с данного промежутка, например, . Левая часть имеет знак :

При числитель положителен; первый множитель в знаменателе положителен, второй множитель отрицателен. Левая часть имеет знак :

При ситуация та же! Числитель положителен, первый множитель в знаменателе положителен, второй отрицателен. Левая часть имеет знак :

Наконец, при все множители положительны, и левая часть имеет знак :

Ответ: .

Почему нарушилось чередование знаков? Потому что при переходе через точку «ответственный» за неё множитель не изменил знак. Следовательно, не изменила знак и вся левая часть нашего неравенства.

Вывод: если линейный множитель  стоит в чётной степени (например, в квадрате), то при переходе через точку  знак выражения в левой части не меняется. В случае нечётной степени знак, разумеется, меняется.

3. Рассмотрим более сложный случай. От предыдущего отличается тем, что неравенство нестрогое:

Левая часть та же, что и в предыдущей задаче. Та же будет и картина знаков:

Может, и ответ будет тем же? Нет! Добавляется решение Это происходит потому, что при и левая, и правая части неравенства равны нулю — следовательно, эта точка является решением.

Ответ: .

В задаче на ЕГЭ по математике такая ситуация встречается часто. Здесь абитуриенты попадают в ловушку и теряют баллы. Будьте внимательны!

4. Что делать, если числитель или знаменатель не удается разложить на линейные множители? Рассмотрим такое неравенство:

Квадратный трехчлен  на множители разложить нельзя: дискриминант отрицателен, корней нет. Но ведь это и хорошо! Это значит, что знак выражения при всех одинаков, а конкретно — положителен. Подробнее об этом можно прочитать в статье о свойствах квадратичной функции.

И теперь мы можем поделить обе части нашего неравенства на величину , положительную при всех . Придём к равносильному неравенству:

— которое легко решается методом интервалов.

Обратите внимание — мы поделили обе части неравенства на величину, о которой точно знали, что она положительна. Конечно, в общем случае не стоит умножать или делить неравенство на переменную величину, знак которой неизвестен.

5. Рассмотрим еще одно неравенство, на вид совсем простое:

Так и хочется умножить его на . Но мы уже умные, и не будем этого делать. Ведь может быть как положительным, так и отрицательным. А мы знаем, что если обе части неравенства умножить на отрицательную величину — знак неравенства меняется.

Мы поступим по другому — соберём всё в одной части и приведём к общему знаменателю. В правой части останется нуль:

И после этого — применим метод интервалов.

Решение рациональных неравенств

Рациональное уравнение есть приравненная к нулю сумма нескольких дробей, числителем и знаменателем которых являются многочлены. Например рациональным является уравнение:

Соответственно, если знак равенства заменить на один из знаков > , < , ³ , £, то у нас получится рациональное неравенство.

Основной метод решения рационального уравнения заключается в приведении всех дробей к общему знаменателю, т.е. в преобразовании суммы дробей в одну несократимую дробь вида , где P(x), Q(x) – многочлены.

После проведения такого преобразования, остается решить уравнение P(x) = 0, поскольку лишь при тех x, когда числитель обращается в нуль, обращается в нуль вся дробь. А решение уравнения P(x) = 0 рассматривалось в предыдущей главе.

Заметьте, что перед приведением уравнения к общему знаменателю полезно сначала попытаться сократить все дроби. А затем попытаться найти замену переменной, которая может упростить уравнение.

Однако для решения неравенства недостаточно решить уравнение P(x) = 0, поскольку знак дроби определяется не только знаком числителя, но и знаком знаменателя. Поэтому нужно решить два уравнения P(x) = 0 и Q(x) = 0, а потом представить дробь в виде:

Подобно тому, как мы делали это в параграфе I.4. Здесь x_i – корни числителя, а x_i^* – корни знаменателя.

Внимание ловушка. Каждый сомножитель и в числителе, и в знаменателе дроби должен выглядеть именно
( x – x_i ), а не ( x_i – x ). Потому что во втором случае сразу изменяется знак всей дроби. Об этом часто забывают, особенно если знаменатель дроби был сразу представлен в виде произведения нескольких простых сомножителей.

После нахождения корней числителя и знаменателя можно приступить к расстановке точек на числовой прямой, причем нужно аккуратно сравнивать значения x_i между собой, особенно если это дроби или иррациональные числа. А затем можно определить знаки дроби на получившихся интервалах. При этом действует правило, если коэффициент А в полученной дроби положительный, то на интервале от наибольшего корня до бесконечности дробь имеет знак “+”, а в противном случае “–”; знаки дроби в остальных интервалах чередуются.

Получается примерно такая картинка:

Из которой можно выписать те промежутки, где знак дроби соответствует знаку неравенства.

Причем нужно помнить, что x_i^* – это всегда “пустые” точки, которым соответствуют круглые скобки, а x_i будут “закрашенными” точками, если неравенство не строгое (³ или £), и им будут соответствовать квадратные скобки. (При строгом неравенстве все точки, расставленные нами на числовой прямой, “пустые”.)

9.7: Решение рациональных неравенств — математика LibreTexts

Решение рациональных неравенств

Мы научились решать линейные неравенства после того, как научились решать линейные уравнения. Техники были почти такими же, за одним важным исключением. Когда мы умножали или делили на отрицательное число, знак неравенства менялся.

Только что научившись решать рациональные уравнения, мы теперь готовы решать рациональные неравенства. Рациональное неравенство — это неравенство, содержащее рациональное выражение.{2}} \ leq \ dfrac {3} {x} \ quad \) являются рациональными неравенствами, поскольку каждое из них содержит рациональное выражение.

Когда мы решаем рациональное неравенство, мы будем использовать многие методы, которые мы использовали для решения линейных неравенств. Мы особенно должны помнить, что когда мы умножаем или делим на отрицательное число, знак неравенства должен меняться.

Еще одно отличие состоит в том, что мы должны тщательно обдумать, какое значение может сделать рациональное выражение неопределенным и поэтому должно быть исключено.

Когда мы решаем уравнение и получаем \ (x = 3 \), мы знаем, что есть одно решение — 3.

Когда мы решаем неравенство и получаем \ (x> 3 \), мы знаем, что есть много решений. Мы графически отображаем результат, чтобы лучше показать все решения, и начинаем с 3. Три становится критической точкой, и затем мы решаем, затенять ли слева или справа от нее. Цифры справа от 3 больше 3, поэтому заштриховываем правую часть.

Чтобы решить рациональное неравенство, мы сначала должны записать неравенство только с одним частным слева и 0 справа.

Затем мы определяем критические точки, которые нужно использовать для разделения числовой прямой на интервалы. Критическая точка — это число, которое делает рациональное выражение нулевым или неопределенным.

Затем мы оценим множители числителя и знаменателя и найдем частное в каждом интервале. Это определит интервал или интервалы, которые содержат все решения рационального неравенства.

Мы записываем решение в интервальной нотации, стараясь определить, включены ли конечные точки.

Пример \ (\ PageIndex {1} \)

Решите и запишите решение в интервальной записи: \ (\ dfrac {x-1} {x + 3} \ geq 0 \)

Решение

Шаг 1 . Запишите неравенство в виде одного частного слева и нуля справа.

Наше неравенство находится в такой форме. \ [\ Dfrac {x-1} {x + 3} \ geq 0 \ nonumber \]

Шаг 2 . Определите критические точки — точки, в которых рациональное выражение будет нулевым или неопределенным.

Рациональное выражение будет равно нулю, когда числитель равен нулю. Поскольку \ (x-1 = 0 \) при \ (x = 1 \), то 1 является критической точкой.

Рациональное выражение будет неопределенным, если знаменатель равен нулю. Поскольку \ (x + 3 = 0 \) при \ (x = -3 \), то -3 является критической точкой.

Критические точки — 1 и -3.

Шаг 3 . Используйте критические точки, чтобы разделить числовую прямую на интервалы.

Числовая строка разделена на три интервала:

\ [(- \ infty, -3) \ quad (-3,1) \ quad (1, \ infty) \ nonumber \]

Шаг 4 .Проверяйте значение в каждом интервале. Над числовой линией показан знак каждого фактора рационального выражения в каждом интервале. Под числовой линией показан знак частного.

Чтобы найти знак каждого фактора в интервале, мы выбираем любую точку в этом интервале и используем ее в качестве контрольной. Любая точка интервала будет давать выражению тот же знак, поэтому мы можем выбрать любую точку интервала.

\ [\ text {Интервал} (- \ infty, -3) \ nonumber \]

Число -4 находится в интервале \ ((- \ infty, -3) \).Проверить \ (x = -4 \) в выражении в числителе и знаменателе.

Числитель:

\ [\ begin {array} {l} {x-1} \\ {-4-1} \\ {-5} \\ {\ text {Negative}} \ end {array} \ nonumber \]

Знаменатель:

\ [\ begin {array} {l} {x + 3} \\ {-4 + 3} \\ {-1} \\ {\ text {Negative}} \ end {array} \ nonumber \]

Над числовой линией отметьте множитель \ (x-1 \) отрицательным, а множитель \ (x + 3 \) отметьте отрицательным.

Так как отрицательное, разделенное на отрицательное, является положительным, отметьте частное положительного в интервале \ ((- \ infty, -3) \).

\ [\ text {Интервал} (-3,1) \ nonumber \]

Число 0 находится в интервале \ ((- 3,1) \). Тест \ (x = 0 \).

Числитель:

\ [\ begin {array} {l} {x-1} \\ {0-1} \\ {-1} \\ {\ text {Negative}} \ end {array} \ nonumber \]

Знаменатель:

\ [\ begin {array} {l} {x + 3} \\ {0 + 3} \\ {3} \\ {\ text {Positive}} \ end {array} \ nonumber \]

Над числовой линией отметьте множитель \ (x-1 \) отрицательным и отметьте \ (x + 3 \) положительным.

Так как отрицательное, разделенное на положительное, является отрицательным, частное помечается отрицательным в интервале \ ((- 3,1) \).

\ [\ text {Интервал} (1, \ infty) \ nonumber \]

Число 2 находится в интервале \ ((1, \ infty) \). Тест \ (x = 2 \).

Числитель:

\ [\ begin {array} {l} {x-1} \\ {2-1} \\ {1} \\ {\ text {Positive}} \ end {array} \ nonumber \]

Знаменатель:

\ [\ begin {array} {l} {x + 3} \\ {2 + 3} \\ {5} \\ {\ text {Positive}} \ end {array} \ nonumber \]

Над числовой линией отметьте множитель \ (x-1 \) положительный и отметьте \ (x + 3 \) положительный.

Поскольку положительное, деленное на положительное, является положительным, отметьте частное положительное в интервале \ ((1, \ infty) \).

Шаг 5 . Определите интервалы, в которых неравенство верно. Запишите решение в интервальной записи.

Мы хотим, чтобы частное было больше или равно нулю, чтобы числа в интервалах \ ((- \ infty, -3) \) и \ ((1, \ infty) \) были решениями.

А как насчет критических точек?

Критическая точка \ (x = -3 \) делает знаменатель 0, поэтому ее нужно исключить из решения, и мы отмечаем ее круглыми скобками.

Критическая точка \ (x = 1 \) составляет все рациональное выражение 0. Неравенство требует, чтобы рациональное выражение было больше или равно. Итак, 1 — это часть решения, и мы обозначим его скобкой.

Напомним, что когда у нас есть решение, состоящее из более чем одного интервала, мы используем символ объединения \ (\ cup \), чтобы соединить два интервала. Решение в обозначении интервала \ ((- \ infty, -3) \ cup [1, \ infty) \).

Упражнение \ (\ PageIndex {1} \)

Решите и запишите решение в интервальной записи: \ (\ dfrac {x-2} {x + 4} \ geq 0 \)

Ответ

\ ((- \ infty, -4) \ чашка [2, \ infty) \)

Упражнение \ (\ PageIndex {2} \)

Решите и запишите решение в интервальной записи: \ (\ dfrac {x + 2} {x-4} \ geq 0 \)

Ответ

\ ((- \ infty, -2] \ чашка (4, \ infty) \)

Мы резюмируем шаги для удобства.

Как решить рациональное неравенство

Шаг 1. Запишите неравенство в виде одного частного слева и нуля справа.

Шаг 2. Определите критические точки — точки, в которых рациональное выражение будет нулевым или неопределенным.

Шаг 3. Используйте критические точки, чтобы разделить числовую прямую на интервалы.

Шаг 4. Проверьте значение в каждом интервале. Над числовой линией показаны знаки каждого множителя числителя и знаменателя в каждом интервале.Под числовой линией показан знак частного.

Шаг 5. Определите интервалы, в которых неравенство верно. Запишите решение в интервальной записи.

Следующий пример требует, чтобы мы сначала привели рациональное неравенство в правильную форму.

Пример \ (\ PageIndex {2} \)

Решите и запишите решение в интервальной записи: \ (\ dfrac {4 x} {x-6} <1 \)

Решение

\ [\ dfrac {4 x} {x-6} <1 \ nonumber \]

Вычтите 1, чтобы получить ноль справа.

\ [\ dfrac {4 x} {x-6} -1 <0 \ nonumber \]

Записываем 1 как дробь с помощью ЖК-дисплея.

\ [\ dfrac {4 x} {x-6} — \ frac {x-6} {x-6} <0 \ nonumber \]

Вычтите числители и поместите разницу над общим знаменателем.

\ [\ dfrac {4 x- (x-6)} {x-6} <0 \ nonumber \]

Упростить.

\ [\ dfrac {3 x + 6} {x-6} <0 \ nonumber \]

Разложите числитель на множители, чтобы отобразить все множители.

\ [\ dfrac {3 (x + 2)} {x-6} <0 \ nonumber \]

Найдите критические точки.

Частное будет равно нулю, если числитель равен нулю. Частное не определено, если знаменатель равен нулю.

\ [\ begin {array} {rlrl} {x + 2} & {= 0} & {x-6} & {= 0} \\ {x} & {= -2} & {x} & {= 6} \ end {array} \ nonumber \]

Используйте критические точки, чтобы разделить числовую прямую на интервалы.

Проверить значение в каждом интервале.

Над числовой линией показан знак каждого фактора рационального выражения в каждом интервале.Под числовой линией показан знак частного.

Определите интервалы, в которых неравенство верно. Мы хотим, чтобы частное было отрицательным, поэтому решение включает точки между −2 и 6. Поскольку неравенство строго меньше, конечные точки не включаются.

Запишем решение в интервальной записи как (−2, 6).

Упражнение \ (\ PageIndex {3} \)

Решите и запишите решение в интервальной записи: \ (\ dfrac {3 x} {x-3} <1 \).

Ответ

\ (\ left (- \ dfrac {3} {2}, 3 \ right) \)

Упражнение \ (\ PageIndex {4} \)

Решите и запишите решение в интервальной записи: \ (\ dfrac {3 x} {x-4} <2 \).

Ответ

\ ((- 8,4) \)

В следующем примере числитель всегда положительный, поэтому знак рационального выражения зависит от знака знаменателя.

Пример \ (\ PageIndex {3} \)

Решите и запишите решение в интервальной записи: \ (\ dfrac {5} {x ^ {2} -2 x-15}> 0 \).{2} -2 x-15}> 0 \ nonumber \]

Разложите на множитель знаменатель.

\ [\ dfrac {5} {(x + 3) (x-5)}> 0 \ nonumber \]

Найдите критические точки. Частное равно 0, когда числитель равен 0. Поскольку числитель всегда равен 5, частное не может быть 0.

Частное будет неопределенным, если знаменатель равен нулю.

\ [\ begin {выровнено} & (x + 3) (x-5) = 0 \\ & x = -3, x = 5 \ end {align} \ nonumber \]

Используйте критические точки, чтобы разделить числовую прямую на интервалы.{2} = 0} && {x-6 = 0} && {x + 1 = 0} \\ {x = 0} && {x = 6} && {x = -1} \ end {array} \ nonumber \ ]

Используйте критические точки, чтобы разделить числовую прямую на интервалы.

Над числовой линией показан знак каждого фактора в каждом интервале. Под числовой линией укажите знак частного.

Так как 0 исключен, решением являются два интервала \ ((- 1,0) \ cup (0,6) \), \ ((- 1,0) \) и \ ((0,6) \ ).

Упражнение \ (\ PageIndex {7} \)

Решите и запишите решение в интервальной записи: \ (\ dfrac {1} {2} + \ dfrac {4} {x ^ {2}} <\ dfrac {3} {x} \).{2}} <\ dfrac {3} {x} \).

Ответ

\ ((3,6) \)

Решите неравенство с помощью рациональных функций

При работе с рациональными функциями иногда полезно знать, когда функция больше или меньше определенного значения. Это приводит к рациональному неравенству.

Пример \ (\ PageIndex {5} \)

Учитывая функцию \ (R (x) = \ dfrac {x + 3} {x-5} \), найдите значения x, которые делают функцию меньше или равной 0.

Решение

Мы хотим, чтобы функция была меньше или равной 0.

\ [R (x) \ leq 0 \ nonumber \]

Заменить \ (R (x) \) рациональным выражением.

\ [\ dfrac {x + 3} {x-5} \ leq 0 \ quad x \ neq 5 \ nonumber \]

Найдите критические точки.

\ [\ begin {array} {rlrl} {x + 3 = 0} && {x-5 = 0} \\ {x = -3} && {x = 5} \ end {array} \ nonumber \]

Используйте критические точки, чтобы разделить числовую прямую на интервалы.

Тестовые значения в каждом интервале. Над числовой линией укажите знак каждого фактора в каждом интервале. Под числовой линией укажите знак частного. Запишите решение в интервальной записи. Поскольку 5 исключено, мы не включаем его в интервал.

\ [[- 3,5) \ nonumber \]

Упражнение \ (\ PageIndex {9} \)

Учитывая функцию \ (R (x) = \ dfrac {x-2} {x + 4} \), найдите значения \ (x \), которые делают функцию меньше или равной 0.

Ответ

\ ((- 4,2] \)

Упражнение \ (\ PageIndex {10} \)

Учитывая функцию \ (R (x) = \ dfrac {x + 1} {x-4} \), найдите значения \ (x \), которые делают функцию меньше или равной 0.

Ответ

\ ([- 1,4) \)

В экономике функция \ (C (x) \) используется для представления стоимости производства \ (x \) единиц товара. Среднюю стоимость единицы можно найти, разделив \ (C (x) \) на количество товаров \ (x \). Тогда средняя стоимость единицы будет \ (c (x) = \ dfrac {C (x)} {x}).

Пример \ (\ PageIndex {6} \)

Функция \ (C (x) = 10 x + 3000 \) представляет стоимость производства \ (x \), количество элементов.Найти:

1. Функция средней стоимости, \ (c (x) \)
2. Сколько единиц должно быть произведено, чтобы средняя стоимость была меньше 40 долларов.

Решение

1. \ [C (x) = 10 x + 3000 \ nonumber \]

Функция средней стоимости равна \ (c (x) = \ dfrac {C (x)} {x}) \). Чтобы найти функцию средней стоимости, разделите функцию стоимости на \ (x \).

\ [\ begin {align} & c (x) = \ dfrac {C (x)} {x} \\ & c (x) = \ dfrac {10 x + 3000} {x} \ end {align} \ nonumber \ ]

Функция средней стоимости равна \ (c (x) = \ dfrac {10 x + 3000} {x} \)

2. Мы хотим, чтобы функция \ (c (x) \) была меньше 40.

\ [c (x) <40 \ nonumber \]

Подставьте вместо c (x) рациональное выражение.

\ [\ dfrac {10 x + 3000} {x} <40, \ quad x \ neq 0 \ nonumber \]

Вычтите 40, чтобы получить 0 справа.

\ [\ dfrac {10 x + 3000} {x} -40 <0 \ nonumber \]

Перепишите левую часть как одно частное, найдя ЖК-дисплей и выполнив вычитание.

\ [\ begin {align} \ dfrac {10 x + 3000} {x} -40 \ left (\ dfrac {x} {x} \ right) & <0 \\ \ dfrac {10 x + 3000} {x } - \ dfrac {40 x} {x} & <0 \\ \ dfrac {10 x + 3000-40 x} {x} & <0 \\ \ dfrac {-30 x + 3000} {x} & <0 \ конец {выровнено} \ nonumber \]

Разложите числитель на множители, чтобы отобразить все множители.

\ [\ begin {array} {ll} {\ dfrac {-30 (x-100)} {x} <0} \\ {-30 (x-100) = 0} && {x = 0} \ end {массив} \ nonumber \]

Найдите критические точки.

\ [\ begin {array} {rl} {-30 \ neq 0} & {x-100 = 0} \\ & {x = 100} \ end {array} \ nonumber \]

Необходимо произвести более 100 наименований, чтобы средняя стоимость изделия не превышала 40 долларов США.

Упражнение \ (\ PageIndex {11} \)

Функция \ (C (x) = 20 x + 6000 \) представляет стоимость производства \ (x \), количество элементов.Найти:

1. Функция средней стоимости, \ (c (x) \)
2. Сколько единиц должно быть произведено, чтобы средняя стоимость была меньше 60 долларов.

Ответ

1. \ (c (x) = \ dfrac {20 x + 6000} {x} \)
2. Необходимо произвести более 150 наименований товаров, чтобы средняя стоимость изделия не превышала 60 долларов США.

Упражнение \ (\ PageIndex {12} \)

Функция \ (C (x) = 5 x + 900 \) представляет стоимость производства \ (x \), количество элементов.Найти:

1. Функция средней стоимости, \ (c (x) \)
2. Сколько единиц должно быть произведено, чтобы средняя стоимость была меньше 20 долларов.

Ответ

1. \ (c (x) = \ dfrac {5 x + 900} {x} \)
2. Необходимо произвести более 60 наименований, чтобы средняя стоимость изделия не превышала 20 долларов США.

Решение рациональных неравенств — ChiliMath

Ключевой подход к решению рациональных неравенств основан на нахождении критических значений рационального выражения, которые делят числовую прямую на отдельные открытые интервалы.

Критические значения — это просто нули числителя и знаменателя. Вы должны помнить, что нули знаменателя делают рациональное выражение неопределенным, поэтому их следует немедленно игнорировать или исключать как возможное решение. Однако нули числителя также необходимо проверять на предмет его возможного включения в общее решение.

В этом уроке я рассмотрю пять (5) рабочих примеров с разным уровнем сложности, чтобы проиллюстрировать как процедуры, так и концепции.

Примеры решения рациональных неравенств

Пример 1: Решите приведенное ниже рациональное неравенство.

Я начинаю решать это рациональное неравенство с написания его в общем виде. Общая форма подразумевает, что рациональное выражение расположено слева от неравенства, а ноль остается справа.

Общая форма имеет четыре (4) типа.

Приятно знать, что эта проблема уже в общей форме.Мой следующий шаг — найти нулей числителя и знаменателя .

Я могу найти нули числителя, полностью вычленив его, а затем отдельно установить каждый множитель равным нулю и решить относительно x. Точно так же поиск нулей знаменателя выполняется таким же образом.

Теперь я буду использовать нули, чтобы разделить числовую строку на интервалы. Нули числителя и знаменателя также известны как критические числа . В этом случае два критических числа делят числовую прямую на три отдельных интервала.

Следующий шаг — выбрать или выбрать число в каждом интервале и вычислить его обратно в исходное рациональное неравенство; чтобы определить, истинное это утверждение или ложное. Истинное утверждение означает, что интервал является частью решения, в противном случае это не так.

Как видите, числа, которые я выбрал для каждого интервала, выделены желтым.

Обратите внимание, что открытый интервал между -1 и 3, записанный как \ left ({- 1,3} \ right), дает истинное утверждение, которое подразумевает, что оно является частью решения.

Итак, где еще нам искать возможные решения, чтобы покончить с этим?

Проверяйте нули или критические числа числителей только в исходном уравнении. Если он дает верное утверждение, включите это критическое число как часть общего решения.

Нулей в числителе 3. Сейчас проверю.

Использование квадратной скобки указывает, что это часть решения, а открытая скобка (скобка) означает, что это не так.Я напишу свой окончательный ответ как \ left ({- 1, \ left. 3 \ right]} \ right ..

Пример 2: Решите приведенное ниже рациональное неравенство.

Во-первых, данное рациональное неравенство имеет общий вид, потому что рациональное выражение находится слева, а ноль — справа. Это хорошо!

Затем я вынесу за скобки числитель и знаменатель. После этого у вас должно получиться что-то вроде этого.

Теперь я могу найти нули числителя и знаменателя.

Эти нули или критические числа делят числовую строку на отдельные интервалы или части.

Выберите номер теста для каждого интервала и верните исходное рациональное неравенство.

Используйте факторизованную форму исходного рационального неравенства , чтобы оценить числа тестов для упрощения вычислений.

Цифры желтого цвета — это те числа, которые я выбрал для проверки достоверности каждого интервала.

Интервалы, дающие истинные утверждения, равны

.

Чтобы найти остальную часть решения, проверьте правильность нулей числителя только в исходном рациональном неравенстве.

Если вы сделали это правильно, вы должны согласиться с тем, что −4 и 2 — это недействительные ответы , потому что они не дают истинных утверждений после проверки.

Окончательный ответ на эту проблему в интервальной записи:

.

Пример 3: Решите приведенное ниже рациональное неравенство.

Я бы сначала вычленил числитель и знаменатель, чтобы найти их нули. В факторизованном виде у меня

Затем определите нули рационального неравенства, установив каждый множитель равным нулю, а затем решив относительно x.

• Нули числителя: –1 и 4
• Нули знаменателя: 4

Используйте нули как критические числа, чтобы разделить числовую прямую на отдельные интервалы. Я начинаю проверять достоверность каждого интервала, выбирая тестовые значения и оценивая их в соответствии с исходным рациональным неравенством. Желтым — числа, которые я выбрал.

Обратите внимание, что единственный интервал, дающий истинное утверждение, — это \ left ({- 1,4} \ right).

Более того, нули числителя не согласуются с исходным рациональным неравенством, поэтому я должен их игнорировать.

Окончательный ответ — просто \ left ({- 1,4} \ right).

Пример 4: Решите приведенное ниже рациональное неравенство.

Это рациональное неравенство не в общем виде . Правая часть должна быть равна нулю. Первый шаг — избавиться от константы на этой стороне путем вычитания обеих частей на 1. После этого сведите к одному рациональному выражению. У вас должен быть аналогичный предварительный шаг, вот так.

Затем найдите нули числителя и знаменателя.

• Нули в числителе: -7
• Нули в знаменателе: -3

Используйте нули как критические числа, чтобы разделить числовую линию на участки или интервалы.

Затем выберите номера тестов для каждого интервала и оцените их в общей форме, чтобы определить их истинностные значения. Желтым цветом обозначены выбранные значения. Вы можете выбрать другие числа, если они находятся в проверяемом интервале.

Интервалы, дающие истинные утверждения:

Между тем, после проверки нуля числителя при x = — \, 7 это также приводит к истинному утверждению.Используйте квадратную скобку, чтобы указать, что он включен в качестве решения.

Окончательный ответ в интервальной записи должен быть

.

Пример 5: Решите приведенное ниже рациональное неравенство.

Мне нужно обнулить правую часть рационального неравенства. Для этого я буду одновременно прибавлять x и вычитать 5 с обеих сторон. Однако моя конечная цель — выразить это в едином рациональном выражении. Здесь вам пригодятся ваши навыки складывания и вычитания рациональных выражений.У вас должны быть аналогичные шаги ниже.

Затем найдите нули числителя и знаменателя.

• Нули числителя: -3 и 5
• Нули знаменателя: 0

Используйте нули, чтобы разделить числовую прямую на отдельные интервалы. Выберите номера тестов для каждого интервала, чтобы проверить, приводит ли он к верным утверждениям. Выбранные тестовые значения для x выделены желтым цветом.

«Истинные» интервалы — это \ left ({- \, \ infty, — 3} \ right) и \ left ({0,5} \ right).Более того, нули числителя также сверяются с общим видом данного рационального неравенства. Следовательно, я должен включить -3 и 5 как часть решения с использованием квадратных скобок.

Окончательный ответ теперь становится

Практика с рабочими листами

Возможно, вас заинтересует:

Решение рациональных уравнений

Сложение и вычитание рациональных выражений

Умножение рациональных выражений

Алгебра — рациональные неравенства

Прежде чем мы перейдем к их решению, мы должны указать, что они НЕ решают так же, как мы решаем уравнения, содержащие рациональные выражения.В случае с уравнениями первое, что мы всегда делали, это вычищали знаменатели, умножая их на наименьший общий знаменатель. Однако с ними это не сработает.

Поскольку мы не знаем значения \ (x \), мы не можем умножить обе части на что-либо, содержащее \ (x \). Напомним, что если мы умножим обе части неравенства на отрицательное число, нам нужно будет изменить направление неравенства. Однако, поскольку мы не знаем значение \ (x \), мы не знаем, положительный или отрицательный знаменатель, и поэтому мы не знаем, нужно ли нам менять направление неравенства или нет.Фактически, что еще хуже, знаменатель будет как положительным, так и отрицательным для значений \ (x \) в решении, и это создаст реальные проблемы.

Итак, нам нужно оставить рациональное выражение в неравенстве.

Теперь основной процесс здесь такой же, как и с полиномиальными неравенствами. Первый шаг — получить ноль на одной стороне и записать другую сторону как единое рациональное неравенство. Здесь для нас это уже сделано.

Следующим шагом будет максимально возможное разложение числителя и знаменателя. Опять же, в данном случае это уже было сделано для нас.

Следующий шаг — определить, где числитель и знаменатель равны нулю. В данном случае это значения.

\ [{\ mbox {числитель:}} x = — 1 \ hspace {0,5 дюйма} {\ mbox {знаменатель:}} x = 5 \]

Эти числа нам нужны по нескольким причинам.Во-первых, как и в случае с полиномиальными неравенствами, это единственные числа, у которых рациональное выражение может изменить знак . Итак, мы построим числовую линию, используя эти точки, чтобы определить диапазоны, из которых следует выбирать контрольные точки, как мы это делали с полиномиальными неравенствами.

Однако есть еще одна причина, по которой требуется значение \ (x \), делающее знаменатель равным нулю. Независимо от того, что здесь происходит, у нас есть рациональное выражение, а это означает, что нам нужно избегать деления на ноль, и поэтому знание того, где знаменатель равен нулю, даст нам значения \ (x \), которых следует избегать для этого.

Вот числовая прямая этого неравенства.

Итак, нам нужны области, которые делают рациональное выражение отрицательным. Это означает средний регион. Кроме того, поскольку в неравенстве есть часть «или равно», нам также необходимо указать, где неравенство равно нулю, это означает, что мы включаем \ (x = — 1 \). Обратите внимание, что нам также нужно избегать \ (x = 5 \), поскольку это дает деление на ноль.

Решение этого неравенства:

\ [- 1 \ le x

Решение рациональных неравенств

Решение рационального неравенства — видео и стенограмма урока

Шаги для решения

Чтобы решить рациональное неравенство, мы выполняем следующие шаги:

1. Обозначим неравенство в общем виде.
2. Установите числитель и знаменатель равными нулю и решите. Полученные вами значения называются критическими значениями . Критические значения функции — это когда функция не определена или равна 0. Когда числитель равен 0, функция равна 0. Когда знаменатель равен 0, функция не определена.
3. Нанесите критические значения на числовую прямую, разбив числовую прямую на интервалы.
4. Возьмите номер теста из каждого интервала и подставьте его в исходное неравенство.Если это истинное утверждение, то интервал, из которого оно пришло, находится в решении. Если он делает ложное утверждение, то интервал, из которого оно пришло, не входит в решение.
5. Определите, должны ли конечные точки интервалов в решении быть включены в интервалы.

Давайте покончим с сомнением относительно того, сколько велосипедов вы должны продать, чтобы заработать немного денег, приняв рациональное неравенство, представляющее вашу прибыль, с помощью этих шагов.

Первое, что мы хотим сделать, это изложить его в общем виде.Хорошие новости! В данном случае это было сделано за нас. У нас есть рациональное выражение в левой части неравенства и 0 в правой части.

Затем мы хотим установить числитель и знаменатель равными 0 и решить.

Это дает нам критические значения x = -30, x = 30 и x = 0. Давайте изобразим их на числовой прямой, разбив числовую прямую на интервалы.

Теперь найдем тестовые значения для каждого интервала. Мы можем использовать любое число, попадающее в каждый интервал, в качестве тестового значения. Обычно рекомендуется использовать числа, с которыми легко работать. В этом случае давайте использовать -40 из интервала I, -1 из интервала II, 1 из интервала III и 40 из интервала IV.

Мы приближаемся! Теперь нам просто нужно вставить эти тестовые значения в исходное неравенство, чтобы увидеть, получим ли мы истинное или ложное утверждение для каждого из них.

Мы видим, что интервалы, которые делают наше неравенство истинным, составляют от -30 до 0 и от 30 до бесконечности.

Следующее, что нам нужно сделать, это определить, должны ли конечные точки этих интервалов быть включены в наше решение. Неравенство больше 0. Мы знаем, что если мы подставим -30 или 30, то рациональное выражение будет равно нулю, поэтому их не следует включать в интервалы. Точно так же, если мы подставим 0 для x , рациональное выражение будет неопределенным, поскольку у нас не может быть 0 в знаменателе.Таким образом, 0 не следует включать в интервалы.

Мы пришли к решению для нашего неравенства: решение — это все действительные числа x , такие, что -30 < x <0 или x > 30. Мы также можем записать решение, используя интервальную нотацию . Запись интервала — это способ записи интервала чисел. В обозначении интервалов мы записываем интервал как ( a , b ), что означает все числа между a и b .Когда мы не хотим включать конечную точку, мы используем круглые скобки, а когда мы действительно хотим включить конечную точку, мы используем скобки.

Теперь, когда дело доходит до нашей реальной проблемы, мы хотим знать, сколько велосипедов нужно продать, чтобы получить прибыль. Поскольку нельзя продать отрицательное количество велосипедов, мы можем не учитывать интервал (-30, 0). Это говорит нам о том, что для получения прибыли вам необходимо продать более 30 велосипедов — лучше начните!

Итоги урока

Давайте рассмотрим. Рациональные неравенства — это неравенства, содержащие рациональное выражение. Чтобы решить рациональные неравенства, выполните следующие действия:

1. Приведите неравенство в общем виде.
2. Установите числитель и знаменатель равными 0 и решите, чтобы получить критических значения .
3. Нанесите критические значения на числовую прямую, разбив числовую прямую на интервалы.
4. Возьмите номер теста из каждого интервала и подставьте его в исходное неравенство.Если это истинное утверждение, то интервал, из которого оно пришло, находится в решении. Если он делает ложное утверждение, то интервал, из которого оно пришло, не входит в решение.
5. Определите, должны ли конечные точки интервалов в решении быть включены в интервалы.

Эти виды неравенства могут проявляться во многих различных областях, таких как финансы, инженерия и медицина. Вот почему полезно знать, как с ними работать и решать.

Рациональное неравенство — Алгебра колледжа

Если вы считаете, что контент, доступный через Веб-сайт (как определено в наших Условиях обслуживания), нарушает одно
или другие ваши авторские права, сообщите нам, отправив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее
в
информацию, описанную ниже, назначенному ниже агенту.Если репетиторы университета предпримут действия в ответ на
ан
Уведомление о нарушении, оно предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, которая предоставила такой контент
средствами самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.

Ваше Уведомление о нарушении прав может быть отправлено стороне, предоставившей доступ к контенту, или третьим лицам, таким как
в виде
ChillingEffects.org.

Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатам), если вы существенно
искажать информацию о том, что продукт или действие нарушает ваши авторские права.Таким образом, если вы не уверены, что контент находится
на Веб-сайте или по ссылке с него нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к юристу.

Чтобы отправить уведомление, выполните следующие действия:

Вы должны включить следующее:

Физическая или электронная подпись правообладателя или лица, уполномоченного действовать от их имени;
Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены;
Описание характера и точного местонахождения контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права, в \
достаточно подробностей, чтобы позволить репетиторам университетских школ найти и точно идентифицировать этот контент; например, мы требуем
а
ссылка на конкретный вопрос (а не только на название вопроса), который содержит содержание и описание
к какой конкретной части вопроса — изображению, ссылке, тексту и т. д. — относится ваша жалоба;
Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; а также
Ваше заявление: (а) вы добросовестно считаете, что использование контента, который, по вашему утверждению, нарушает
ваши авторские права не разрешены законом, владельцем авторских прав или его агентом; (б) что все
информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство, что вы
либо владелец авторских прав, либо лицо, уполномоченное действовать от их имени.

Отправьте жалобу нашему уполномоченному агенту по адресу:

Чарльз Кон
Varsity Tutors LLC
101 S. Hanley Rd, Suite 300
St. Louis, MO 63105

Или заполните форму ниже: