Дифференциальные уравнения 1 порядка: Дифференциальные уравнения первого порядка — rajak.rs

Содержание

Дифференциальные уравнения первого порядка — rajak.rs

Общий вид дифференциального уравнения первого порядка:

$F\left( {x,y,y’} \right) = 0$.

Его общее решение имеет вид:

$y = f\left( {x,c} \right)$.

 

Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка.

  1. Дифференциальные уравнения с разделёнными перемеными: \[{f_1}\left( x \right)dx = {f_2}\left( y \right)dy,\] где множителем при $dx$ является функция, зависящая только от $x$, а множителем при $dy$ является функция, зависящая только от $y$. Решение находится методом интегрирования обеих частей.\[\int {{f_1}\left( x \right)dx}  = \int {{f_2}\left( y \right)dy}  + C\]
  2. Дифференциальные уравнения вида \[y’ = {f_1}\left( x \right){f_2}\left( y \right)dy,\] где правая часть представляет собой произведение двух функций, из которых одна не зависит от $x$, а вторая не зависит от $y$, называется уравнением с разделяющимися переменными. Метод решения:\[\int {\frac{{dy}}{{{f_2}\left( x \right)}}}  = \int {{f_1}\left( x \right)dx}  + C\]
  3. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными, записанные в форме дифференциалов: \[{f_1}\left( x \right) \cdot {f_2}\left( y \right)dx + {f_3}\left( x \right) \cdot {f_4}\left( y \right)dy = 0\] для решения таких дифференциальных уравнений их надо привести к уравнениям с разделёнными переменными. n} \cdot \varphi \left( {\frac{y}{x}} \right)\]

    Однородная функция нулевой степени может быть записана в виде \[f\left( {x,y} \right) = \varphi \left( {\frac{y}{x}} \right)\]

    Если функции $M\left( {x,y} \right)$ и $N\left( {x,y} \right)$ однородные одной и той же степени $n$, то дифференциальное уравнение \[M\left( {x,y} \right)dx + N\left( {x,y} \right)dy = 0\] называется однородным.

    Уравнение $y’ = f\left( {x,y} \right)$ называется однородным, если оно имеет вид: \[y’ = \varphi \left( {\frac{y}{x}} \right)\]

    Очевидно, что $f\left( {x,y} \right)$ однородная функция нулевого измерения.

    Однородные уравнения приводятся к уравнению с разделяющимися перемеными при помощи подстановки.

    $t = \frac{y}{x}$ т.е. $y = tx$ и $y’ = t’x + t$ или в дифференциалах $dy = tdx + xdt$.

    Линейные уравнения первого порядка.

    Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется такое дифференциальное уравнение, в которое неизвестные функции  $y$ и ${y’}$ входят в первых степенях и не перемножаются между собой. n}}} \cdot y’ = \frac{{z’}}{{\left( {1 — n} \right)}}$ получим дифференциальное уравнение вида:\[\begin{gathered}
      \frac{{z’}}{{\left( {1 — n} \right)}} + P\left( x \right)z\left( x \right) = Q\left( x \right) \hfill \\
      \frac{{dz}}{{dx}} + \left( {1 — n} \right)P\left( x \right)z\left( x \right) = Q\left( x \right)\left( {1 — n} \right) \hfill \\
    \end{gathered} \]Это линейное уравнение I-го порядка, для его решения применяем, например, подстановку Бернулли.

     

     

    Порядок дифференциального уравнения и его решения, задача Коши

    Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную,
    неизвестную функцию этой переменной и её производные (или дифференциалы) различных порядков.

    Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной, содержащейся в нём.

    Кроме обыкновенных изучаются также дифференциальные уравнения с частными производными. Это уравнения,
    связывающие независимые переменные ,
    неизвестную функцию этих переменных и её частные производные по тем же переменным. Но мы будем рассматривать только
    обыкновенные дифференциальные уравнения и поэтому будем для краткости опускать слово «обыкновенные».

    Примеры дифференциальных уравнений:

    (1) ;

    (2) ;

    (3) ;

    (4) ;

    (5) .

    Уравнение (1) — четвёртого порядка, уравнение (2) — третьего порядка, уравнения (3) и (4) — второго
    порядка, уравнение (5) — первого порядка.

    Дифференциальное уравнение n-го порядка не обязательно должно содержать явно функцию, все
    её производные от первого до n-го порядка и независимую переменную. В нём могут не содержаться явно производные
    некоторых порядков, функция, независимая переменная.

    Например, в уравнении (1) явно нет производных третьего и второго порядков, а также функции;
    в уравнении (2) — производной второго порядка и функции; в уравнении (4) — независимой переменной; в уравнении (5) — функции.
    Только в уравнении (3) содержатся явно все производные, функция и независимая переменная.

    Решением дифференциального уравнения называется всякая функция y = f(x), при
    подстановке которой в уравнение оно обращается в тождество.

    Процесс нахождения решения дифференциального уравнения называется его интегрированием.

    Пример 1. Найти решение дифференциального уравнения .

    Решение. Запишем данное уравнение в виде .
    Решение состоит в нахождении функции по её производной. Изначальная функция, как известно из интегрального исчисления, есть
    первообразная для , т. е.

    .

    Это и есть решение данного дифференциального уравнения. Меняя в нём C, будем получать
    различные решения. Мы выяснили, что существует бесконечное множество решений дифференциального уравнения первого порядка.

    Общим решением дифференциального уравнения n-го порядка называется его решение, выраженное
    явно относительно неизвестной функции и содержащее n независимых произвольных постоянных, т. е.

    Решение дифференциального уравнения в примере 1 является общим.

    Частным решением дифференциального уравнения называется такое его решение, в котором
    произвольным постоянным придаются конкретные числовые значения.

    Пример 2. Найти общее решение дифференциального уравнения
    и частное решение при .

    Решение. Проинтегрируем обе части уравнения такое число раз, которому равен порядок дифференциального уравнения.

    ,

    ,

    .

    В результате мы получили общее решение —

    данного дифференциального уравнения третьего порядка.

    Теперь найдём частное решение при указанных условиях. Для этого подставим вместо произвольных коэффициентов
    их значения и получим

    .

    Если кроме дифференциального уравнения задано начальное условие в виде ,
    то такая задача называется задачей Коши. В общее решение уравнения подставляют значения и
    и находят значение произвольной постоянной C,
    а затем частное решение уравнения при найденном значении C. Это и есть решение задачи Коши.

    Пример 3. Решить задачу Коши для дифференциального уравнения из примера 1
    при условии .

    Решение. Подставим в общее решение
    значения из начального условия y = 3, x = 1. Получаем

    .

    Записываем решение задачи Коши для данного дифференциального уравнения первого порядка:

    .

    При решении дифференциальных уравнений, даже самых простых, требуются хорошие навыки интегрирования
    и взятия производных, в том числе сложных функций. Это видно на следующем примере.

    Пример 4. Найти общее решение дифференциального уравнения .

    Решение. Уравнение записано в такой форме, что можно сразу же интегрировать обе его части.

    .

    Применяем метод интегрирования заменой переменной (подстановкой). Пусть ,
    тогда .

    Требуется взять dx и теперь — внимание — делаем это по правилам дифференцирования сложной
    функции, так как x и есть сложная функция («яблоко» — извлечение квадратного корня или, что то же самое — возведение в степень
    «одна вторая», а «фарш» — самое выражение под корнем):

    Находим интеграл:

    Возвращаясь к переменной x, получаем:

    .

    Это и есть общее решение данного дифференциального уравнения первой степени.

    Не только навыки из предыдущих разделов высшей математики потребуются в решении дифференциальных
    уравнений, но и навыки из элементарной, то есть школьной математики. Как уже говорилось, в дифференциальном уравнении любого порядка может и не быть
    независимой переменной, то есть, переменной x. Помогут решить эту проблему не забытые (впрочем, у кого как) со
    школьной скамьи знания о пропорции. Таков следующий пример.

    Пример 5. Найти общее решение дифференциального уравнения .

    Решение. Как видим, переменная x в уравнении отсутствует. Вспоминаем из курса дифференциального
    исчисления, что производная может быть записана также в виде .
    В результате уравнение приобретает вид

    ,

    то есть, в нём в некотором виде появился x.

    Теперь вспомнаем одно из свойств пропорции: из пропорции
    выткают следующие пропорции:

    ,

    то есть в пропорции можно менять местами крайние и средние члены или те и другие одновременно.

    Применяя это свойство, преобразуем уравнение к виду

    ,

    после чего интегрируем обе части уравнения:

    .

    Оба интеграла — табличные, находим их:

    и получаем решение данного дифференциалного уравнения первого порядка:

    .

    Эта статья представила необходимый минимум сведений о дифференциальных уравнениях и их решениях и
    должна помочь вам уверенно и увлечённо перейти к изучению различных видов дифференциальных уравнений.

    Всё по теме «Дифференциальные уравнения»

    Поделиться с друзьями

    Дифференциальные уравнения первого порядка

    Далее в тексте – функции своих аргументов. Штрих ′ означает производную по аргументу. – постоянные.

    Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной

    Как решать дифференциальные уравнения первого порядка

    Пусть мы имеем дифференциальное уравнение первого порядка, разрешенное относительно производной:
    .
    Разделив это уравнение на , при , мы получим уравнение вида:
    ,
    где .

    Далее смотрим, не относятся ли эти уравнения к одному из перечисленных ниже типов. Если нет, то перепишем уравнение в форме дифференциалов. Для этого пишем и умножаем уравнение на . Получаем уравнение в форме дифференциалов:
    .

    Если это уравнение не является уравнением в полных дифференциалах, то считаем, что в этом уравнении – независимая переменная, а – это функция от . Разделим уравнение на :
    .
    Далее смотрим, не относится ли это уравнение к одному из, перечисленных ниже типов учитывая, что и поменялись местами.

    Если и для этого уравнения не найден тип, то смотрим, нельзя ли упростить уравнение простой подстановкой. Например, если уравнение имеет вид:
    ,
    то замечаем, что . Тогда делаем подстановку . После этого уравнение примет более простой вид:
    .

    Если и это не помогает, то пытаемся найти интегрирующий множитель ⇓.

    Уравнения с разделяющимися переменными

    ;
    .
    Делим на и интегрируем. При получаем:
    .
    Подробнее >>>

    Уравнения, приводящиеся к уравнениям с разделяющимися переменными

    Делаем подстановку . Тогда
    ;
    .
    Далее разделяем переменные и интегрируем.
    Подробнее >>>

    Однородные уравнения

    Решаем подстановкой:
    ,
    где – функция от . Тогда
    ;
    .
    Разделяем переменные и интегрируем.
    Подробнее >>>

    Уравнения, приводящиеся к однородным

    Вводим переменные и :
    ;
    .
    Постоянные и выбираем так, чтобы свободные члены обратились в нуль:
    ;
    .
    В результате получаем однородное уравнение в переменных и .
    Подробнее >>>

    Обобщенные однородные уравнения

    Делаем подстановку . Получаем однородное уравнение в переменных и .
    Подробнее >>>

    Линейные дифференциальные уравнения

    Есть три метода решения линейных уравнений.

    1) Метод интегрирующего множителя.
    Умножаем уравнение на интегрирующий множитель :
    ;
    .
    Далее интегрируем.
    Подробнее >>>

    2) Метод Бернулли.
    Ищем решение в виде произведения двух функций и от переменной :
    .
    ;
    .
    Одну из этих функций мы можем выбрать произвольным образом. Поэтому в качестве выбираем любое не нулевое решение уравнения:
    .
    Определив , получаем уравнение с разделяющимися переменными для .
    Подробнее >>>

    3) Метод вариации постоянной (Лагранжа).
    Здесь мы сначала решаем однородное уравнение:

    Общее решение однородного уравнения имеет вид:
    ,
    где – постоянная. Далее мы заменяем постоянную на функцию , зависящую от переменной :
    .
    Подставляем в исходное уравнение. В результате получаем уравнение, из которого определяем .
    Подробнее >>>

    Уравнения Бернулли

    Подстановкой уравнение Бернулли приводится к линейному уравнению.

    Также это уравнение можно решать методом Бернулли. То есть ищем решение в виде произведения двух функций, зависящих от переменной :
    .
    Подставляем в исходное уравнение:
    ;
    .
    В качестве выбираем любое не нулевое решение уравнения:
    .
    Определив , получаем уравнение с разделяющимися переменными для .

    Подробнее >>>

    Уравнения Риккати

    Оно не решается в общем виде. Подстановкой

    уравнение Риккати приводится к виду:
    ,
    где – постоянная;   ;   .
    Далее, подстановкой:

    оно приводится к виду:
    ,
    где .

    Свойства уравнения Риккати и некоторые частные случаи его решения представлены на странице
    Дифференциальное уравнение Риккати >>>

    Уравнения Якоби

    Решается подстановкой:
    .
    Подробнее >>>

    Уравнения в полных дифференциалах

    При условии
    .
    При выполнении этого условия, выражение в левой части равенства является дифференциалом некоторой функции:
    .
    Тогда
    .
    Отсюда получаем интеграл дифференциального уравнения:
    .

    Для нахождения функции , наиболее удобным способом является метод последовательного выделения дифференциала. Для этого используют формулы:
    ;
    ;
    ;
    .
    Подробнее >>>

    Интегрирующий множитель

    Если дифференциальное уравнение первого порядка не приводится ни к одному из перечисленных типов, то можно попытаться найти интегрирующий множитель . Интегрирующий множитель – это такая функция, при умножении на которую, дифференциальное уравнение становится уравнением в полных дифференциалах. Дифференциальное уравнение первого порядка имеет бесконечное число интегрирующих множителей. Однако, общих методов для нахождения интегрирующего множителя нет.
    Подробнее >>>

    Уравнения, не решенные относительно производной y’

    Уравнения, допускающие решение относительно производной y’

    Сначала нужно попытаться разрешить уравнение относительно производной . Если это возможно, то уравнение может быть приведено к одному из перечисленных выше типов.

    Уравнения, допускающие разложение на множители

    Если удастся уравнение разложить на множители:
    ,
    то задача сводится к последовательному решению более простых уравнений:
    ;
    ;

    ;
    Подробнее >>>

    Уравнения, не содержащие x и y

    Здесь – постоянная:
    ,
    где – корень уравнения
    .
    Подробнее >>>

    Уравнения, не содержащие x или y

      или  
    Ищем решение в параметрическом виде. Вводим параметр . Полагаем . Тогда
      или   .
    Далее интегрируем уравнение:
    ;
    .
    В результате получаем выражение второй переменной через параметр .

    Более общие уравнения:
      или  
    также решаются в параметрическом виде. Для этого нужно подобрать такую функцию , чтобы из исходного уравнения можно было выразить или через параметр .
    Чтобы выразить вторую переменную через параметр , интегрируем уравнение:
    ;
    .
    Подробнее >>>

    Уравнения, разрешенные относительно y

    Уравнения Клеро

    Такое уравнение имеет общее решение

    Подробнее >>>

    Уравнения Лагранжа

    Решение ищем в параметрическом виде. Полагаем , где – параметр.
    Подробнее >>>

    Уравнения, приводящиеся к уравнению Бернулли

    Эти уравнения приводятся к уравнению Бернулли, если искать их решения в параметрическом виде, введя параметр и делая подстановку .
    Подробнее >>>

    Использованная литература:
    В.В. Степанов, Курс дифференциальных уравнений, «ЛКИ», 2015.
    Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин, Сборник задач по высшей математике, «Лань», 2003.

    Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано:

    Дифференциальные уравнения: виды, методы решения

    Существует целый ряд задач, в которых установить прямую связь между величинами, применяемыми для описания процесса, не получается. Единственное, что можно сделать, это получить равенство, запись которого включает производные исследуемых функций, и решить его. Решение дифференциального уравнения позволяет установить непосредственную связь между величинами.

    В этом разделе мы займемся разбором решений дифференциальных уравнений, неизвестная функция в которых является функцией одной переменной. Мы построили теоретическую часть таким образом, чтобы даже человек с нулевым представлением о дифференциальных уравнениях мог без труда получить необходимые знания и справиться с приведенными задачами.

    Если какие-то термины окажутся для вас новыми, обратитесь к разделу «Определения и понятия теории дифференциальных уравнений». А тем временем перейдем к рассмотрению вопроса о видах дифференциальных уравнений.

    Для каждого из видов дифференциальных уравнений применяется свой метод решения. В этом разделе мы рассмотрим все эти методы, приведем примеры с подробными разборами решения. После ознакомления с темой вам необходимо будет определять вид дифференциального уравнения и выбирать наиболее подходящий из методов решения поставленной задачи.

    Возможно, прежде чем приступить к решению дифференциальных уравнений, вам придется освежить в памяти такие темы как «Методы интегрирования» и «Неопределенные интегралы».

    Начнем ознакомление с темой мы с видов обыкновенных дифференциальных уравнений 1-го порядка. Эти уравнения могут быть разрешены относительно производной. Затем перейдем в ОДУ 2-го и высших порядков. Также мы уделим внимание системам дифференциальных уравнений.

    Напомним, что y’=dxdy, если y является функцией аргумента x.

    Дифференциальные уравнения первого порядка

    Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка вида y’=f(x)

    Начнем с примеров таких уравнений.

    Пример 1

    y’=0, y’=x+ex-1, y’=2xx2-73

    Оптимальным для решения дифференциальных уравнений f(x)·y’=g(x) является метод деления обеих частей на f(x). Решение относительно производной позволяет нам прийти к уравнению вида y’=g(x)f(x). Оно является эквивалентом исходного уравнения при f(x) ≠ 0.

    Пример 2

    Приведем примеры подобных дифференциальных уравнений:

    ex·y’=2x+1, (x+2)·y’=1

    Мы можем получить ряд дополнительных решений в тех случаях, когда существуют значения аргумента х, при которых функции f(x) и g(x)одновременно обращаются в 0. В качестве дополнительного решения в уравнениях f(x)·y’=g(x) при заданных значениях аргумента может выступать любая функция, определенная для заданного значения х.

    Пример 3

    Наличие дополнительных решений возможно для дифференциальных уравнений x·y’=sin x, (x2-x)·y’=ln(2×2-1)

    Ознакомиться с теоретической частью и примерами решения задач таких уравнений вы можете в разделе «Простейшие дифференциальные уравнения 1-го порядка».

    Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными вида f1(y)·g1(x)dy=f2(y)·g2(x)dx или f1(y)·g1(x)·y’=f2(y)·g2(x)

    Поговорим теперь об уравнениях с разделенными переменными, которые имеют вид f(y)dy=g(x)dx. Как следует из названия, к данному виду дифференциальных уравнений относятся выражения, которые содержат переменные х и у, разделенные знаком равенства. Переменные находятся в разных частях уравнения, по обе стороны от знака равенства.

    Решить уравнения с разделенными переменными можно путем интегрирования обеих его частей: ∫f(y)dy=∫f(x)dx

    Пример 4

    К числу дифференциальных уравнений с разделенными переменными можно отнести следующие из них:

    y23dy=sin xdx, eydy=(x+sin 2x)dx

    Для того, чтобы прийти от ДУ с разделяющимися переменными к ДУ с разделенными переменными, необходимо разделить обе части уравнения на произведение f2(y) ⋅ g1(x). Так мы придем к уравнению f1(y)f2(y)dy=g2(x)g1(x)dx. Преобразование можно будет считать эквивалентным в том случае, если одновременно f2(y) ≠ 0 и g1(x) ≠ 0. Если хоть одно из условий не будет соблюдаться, мы можем потерять часть решений.

    Пример 5

    В качестве примеров дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными можно привести следующие из них: dydx=y·(x2+ex), (y2+arccos y)·sin x·y’=cos xy.

    К уравнениям с разделяющимися переменными мы можем прийти от ряда дифференциальных уравнений других видов путем замены переменных. Например, мы можем подставить в исходное уравнение z = ax+by. Это позволит нам перейти к дифференциальному уравнению с разделяющимися переменными от дифференциального уравнения вида y’=f(ax+by), a,b∈R.

    Пример 6

    Подставив z = 2x+3y в уравнение y’=1e2x+3y получаем dzdx=3+2ezez.

    Заменив z=xy или z=yx в выражениях y’=fxy или y’=fyx, мы переходим к уравнениям с разделяющимися переменными.

    Пример 7

    Если произвести замену z=yx в исходном уравнении y’=yx·lnyx+1, получаем x·dzdx=z·ln z.

    В ряде случаев прежде, чем производить замену, необходимо произвести преобразования исходного уравнения.

    Пример 8

    Предположим, что в условии задачи нам дано уравнение y’=y2-x22xy. Нам необходимо привести его к виду y’=fxy или y’=fyx. Для этого нам нужно разделить числитель и знаменатель правой части исходного выражения на x2 или y2.

    Пример 9

    Нам дано уравнение y’=fa1x+b1y+c1a2x+b2y+c2, a1, b1, c1, a2, b2, c2 ∈R.

    Для того, чтобы привести исходное уравнение к виду y’=fxy или y’=fyx, нам необходимо ввести новые переменные u=x-x1v=y-y1, где (x1;y1) является решением системы уравнений a1x+b1y+c1=0a2x+b2y+c2=0

    Введение новых переменных u=x-1v=y-2 в исходное уравнение y’=5x-y-33x+2y-7 позволяет нам получить уравнение вида dvdu=5u-v3u+2v.

    Теперь выполним деление числителя и знаменателя правой части уравнения на u. Также примем, что z=uv. Получаем дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными u·dzdu=5-4z-2z23+2z.

    Подробный разбор теории и алгоритмов решения задач мы привели в разделе «Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными».

    Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка y’+P(x)·y=Q(x)

    Приведем примеры таких уравнений.

    Пример 10

    К числу линейных неоднородных дифференциальных уравнений 1-го порядка относятся:

    y’-2xy1+x2=1+x2;y’-xy=-(1+x)e-x

    Для решения уравнений этого вида применяется метод вариации произвольной постоянной. Также мы можем представить искомую функцию у в виде произведения y(x) = u(x)v(x). Алгоритмы применения обоих методов мы привели в разделе «Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка».

    Дифференциальное уравнение Бернулли y’+P(x)y=Q(x)ya

    Приведем примеры подобных уравнений.

    Пример 11

    К числу дифференциальных уравнений Бернулли можно отнести:

    y’+xy=(1+x)e-xy23;y’+yx2+1=arctgxx2+1·y2

    Для решения уравнений этого вида можно применить метод подстановки z=y1-a, которая выполняется для того, чтобы свести исходное уравнение к линейному дифференциальному уравнению 1-го порядка. Также применим метод представления функции у в качестве y(x) = u(x)v(x).

    Алгоритм применения обоих методов приведен в разделе «Дифференциальное уравнение Бернулли». Там же можно найти подробный разбор решения примеров по теме.

    Нужна помощь преподавателя?

    Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

    Описать задание

    Уравнения в полных дифференциалах P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0

    Если для любых значений x и y выполняется ∂P(x,y)∂y=∂Q(x,y)∂x, то этого условия необходимо и достаточно, чтобы выражение P(x, y)dx+Q(x, y)dy представляло собой полный дифференциал некоторой функции U(x, y)=0, то есть, dU(x, y)=P(x, y)dx+Q(x, y)dy. Таким образом, задача сводится к восстановлению функции U(x, y)=0 по ее полному дифференциалу.

    Пример 12

    Выражение, расположенное в левой части записи уравнения (x2-y2)dx-2xydy=0 представляет собой полный дифференциал функции x33-xy2+C=0

    Для более подробного ознакомления с теорией и алгоритмами решения примеров можно обратиться к разделу «Уравнения в полных дифференциалах».

    Дифференциальные уравнения второго порядка

    Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами  y»+py’+qy=0, p,q∈R

    Линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами обычно решается достаточно просто. Нам необходимо найти корни характеристического уравнения k2+pk+q=0. Здесь возможны три варианта в зависимости от различных p и q:

    • действительные и различающиеся корни характеристического уравнения k1≠k2, k1, k2∈R;
    • действительные и совпадающие k1=k2=k, k∈R;
    • комплексно сопряженные k1=α+i·β, k2=α-i·β.

    Значения корней характеристического уравнения определяет, как будет записано общее решение дифференциального уравнения. Возможные варианты:

    • y=C1ek1x+C2ek2x;
    • y=C1ekx+C2xekx;
    • y=ea·x·(C1cos βx+C2sin βx).

    Пример 13

    Предположим, что у нас есть линейное однородное дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами y»+3y’=0. Найдем корни характеристического уравнения k2+3k=0. Это действительные и различные k1 =-3 и k2=0. Это значит, что общее решение исходного уравнения будет иметь вид:

    y=C1ek1x+C2ek2x⇔y=C1e-3x+C2e0x⇔y=C1e-3x+C2

    Восполнить пробелы в теоретической части и посмотреть подробный разбор примеров по теме можно в статье «Линейные однородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами».

    Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами y»+py’+qy=f(x), p,q∈R

    Основным способом решение уравнений данного вида является нахождение суммы общего решения y0, которое соответствует линейному однородному дифференциальному уравнению y»+py’+qy=0, и частного решения y~ исходного уравнения. Получаем: y=y0+y~.

    Способ нахождения y0 мы рассмотрели в предыдущем пункте. Найти частное решение y~ мы можем методом неопределенных коэффициентов при определенном виде функции f(x), которая расположена в правой части записи исходного выражения. Также применим метод вариации произвольных постоянных.

    Пример 14

    К числу линейных неоднородных дифференциальных уравнений 2-го порядка с постоянными коэффициентами относятся:

    y»-2y’=(x2+1)ex;y»+36y=24sin(6x)-12cos(6x)+36e6x

    Теоретические выкладки и подробный разбор примеров по теме можно найти в разделе «ЛНДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами».

    Линейные однородные дифференциальные уравнения (ЛОДУ) y»+p(x)·y’+q(x)·y=0 и линейные неоднородные дифференциальные уравнения (ЛНДУ) второго порядка y»+p(x)·y’+q(x)·y=f(x)

    Линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения и постоянными коэффициентами являются частными случаями дифференциальных уравнений этого вида.

    На некотором отрезке [a; b] общее решение линейного однородного дифференциального уравнения y»+p(x)·y’+q(x)·y=0 представлено линейной комбинацией двух линейно независимых частных решений y1 и y2 этого уравнения, то есть, y=C1y1+C2y2.

    Частные решения мы можем выбрать из систем независимых функций:

    1) 1, x, x2, . .., xn2) ek1x, ek2x, …, eknx3) ek1x, x·ek1x, …, xn1·ek1x,ek2x, x·ek2x, …, xn2·ek2x,…ekpx, x·ekpx, …, xnp·ekpx4) 1, chx, shx

    Однако существуют примеру уравнений, для которых частные решения не могут быть представлены в таком виде.

    Пример 15

    Возьмем для примера линейное однородное дифференциальное уравнение xy»-xy’+y=0.

    Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения y»+p(x)·y’+q(x)·y=f(x) мы можем найти в виде суммы y=y0+y~, где y0 — общее решение соответствующего ЛОДУ, а y~ частное решение исходного дифференциального уравнения. Найти y0 можно описанным выше способом. Определить y~ нам поможет метод вариации произвольных постоянных.

    Пример 16

    Возьмем для примера линейное неоднородное дифференциальное уравнение xy»-xy’+y=x2+1.

    Более подробно этот раздел освещен на странице «Линейные дифференциальные уравнения второго порядка».

    Дифференциальные уравнения высших порядков

    Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка

    Мы можем провести замену y(k)=p(x) для того, чтобы понизить порядок исходного дифференциального уравнения F(x, y(k), y(k+1), . .., y(n))=0, которое не содержит искомой функции и ее производных до k-1 порядка.

    В этом случае y(k+1)=p'(x), y(k+2)=p»(x), …, y(n)=p(n-k)(x), и исходное дифференциальное уравнение сведется к F1(x, p, p’, …, p(n-k))=0. После нахождения его решения p(x) останется вернуться к замене y(k)=p(x) и определить неизвестную функцию y.

    Пример 17

    Дифференциальное уравнение y»’xln(x)=y» после замены y»=p(x) станет уравнением с разделяющимися переменными y»=p(x), и его порядок с третьего понизится до первого.

    В уравнении, которое не содержит аргумента х и имеет вид F(y, y’, y», …, y(n))=0, порядок может быть заменен на единицу следующим образом: необходимо провести замену dydx=p(y), где p(y(x)) будет сложной функцией. Применив правило дифференцирования, получаем:

    d2ydx2=dpdydydx=dpdyp(y)d3ydx3=ddpdyp(y)dx=d2pdy2dydxp(y)+dpdydpdydydx==d2pdy2p2(y)+dpdy2p(y)

    Полученный результаты подставляем в исходное выражение. При этом мы получим дифференциальное уравнение, порядок которого на единицу меньше, чем у исходного.

    Пример 18

    Рассмотрим решение уравнения 4y3y»=y4-1. Путем замены dydx=p(y) приведем исходное выражение к уравнению с разделяющимися переменными 4y3pdpdy=y4-1.

    Более подробно решения задач по теме рассмотрены в разделе «Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка».

    Линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами y(n)+fn-1·y(n-1)+…+f1·y’+f0·y=0 и y(n)+fn-1·y(n-1)+…+f1·y’+f0·y=f(x)

    Решение уравнений данного вида предполагает выполнение следующих простых шагов:

    • находим корни характеристического уравнения kn+fn-1·kn-1+…+f1·k+f0=0;
    • записываем общее решение ЛОДУ y0 в стандартной форме, а общее решение ЛНДУ представляем суммой y=y0+y~, где y~ — частное решение неоднородного дифференциального уравнения. 

    Нахождение корней характеристического уравнения подробно описано в разделе «Решение уравнений высших степеней». Для нахождения y~ целесообразно использовать метод вариации произвольных постоянных.

    Пример 19

    Линейному неоднородному ДУ с постоянными коэффициентами y(4)+y(3)-5y»+y’-6y=xcosx+sinx соответствует линейное однородное ДУ y(4)+y(3)-5y»+y’-6y=0.

    Более детальный разбор теории и примеров по теме вы можете найти на странице « Линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами».

    Линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения высших порядков y(n)+fn-1(x)·y(n-1)+…+f1(x)·y’+f0(x)·y=0 и y(n)+fn-1(x)·y(n-1)+…+f1(x)·y’+f0(x)·y=f(x)

    Найти решение ЛНДУ высших порядков можно благодаря сумме y=y0+y~, где y0 — общее решение соответствующего ЛОДУ, а y~ — частное решение неоднородного дифференциального уравнения.

    y0 представляет собой линейную комбинацию линейно независимых функций y1, y2, …, yn, каждая из которых является частным решением ЛОДУ, то есть, обращает равенство y(n)+fn-1(x)·y(n-1)+…+f1(x)·y’+f0(x)·y=0 в тождество. Частные решения y1, y2, …, yn обычно подбираются из известных систем линейно независимых функций. Подобрать их далеко не всегда просто и возможно, в этом и заключается основная проблема.

    После того, как мы найдем общее решение ЛОДУ, найти частное решение соответствующего ЛНДУ можно благодаря методу вариации произвольных постоянных. Итак, y=y0+y~=∑Cj·yj+y~j=1n

    Получить более подробную информацию по теме можно в разделе «Дифференциальные уравнения высших порядков».

    Системы дифференциальных уравнений вида dxdt=a1x+b1y+c1dydt=a2x+b2y+c2

    Данная тема подробно разобрана на странице «Системы дифференциальных уравнений». Там же приведены примеры задач с подробных разбором.

    Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.

    Филиппов А. Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. Научно-издательский центр «Регулярная и хаотическая динамика». 2000.

     

    1. Линейные уравнения первого порядка.

    Уравнение $$y’+P(x)y=Q(x)\qquad (1)$$ называется линейным. 2}$ те же рассуждения побуждают нас искать частное решение в виде  $y=\frac{a}{x}.$ Подставляя $y=\frac{a}{x}$ в уравнение, найдем постоянную $a.$     

     

     

     

     

    Решение дифференциальных уравнений первого порядка

    Определение и формулы дифференциальных уравнений первого порядка

    Таким образом, дифференциальное уравнение первого порядка в общем случае содержит независимую переменную x, неизвестную (искомую) функцию и ее первую производную .

    Функция называется решением дифференциального уравнения (1), если после подстановки функции в это уравнение оно обращается в тождество:

       

    Решение дифференциальных уравнений первого порядка

    Решить дифференциальное уравнение означает, что нужно найти такое множество функций , которые удовлетворяют заданному уравнению. Это множество функций имеет вид

       

    где C – произвольная постоянная, который называется общим решением дифференциального уравнения (1).

    График, соответствующий решению дифференциального уравнения (1), называется интегральной кривой этого уравнения.

    Для того чтобы из множества решений выделить единственное, нужно задать начальные условия.

    Задача отыскания решения уравнения (1), которое удовлетворяет начальному условию , называется задачей Коши.

    Любое решение задачи Коши уравнения (1) называется частным решением этого уравнения.

    Если общее решение уравнения (1) записано в неявном виде , то оно называется общим интегралом этого уравнения.

    Если дифференциальное уравнение первого порядка, разрешенное относительно производной, то его называют уравнением, записанными в нормальной форме:

       

    Далее рассмотрим методы решения неоднородных линейных дифференциальных уравнений первого порядка

       

    1. Метод Бернулли или метод подстановки

    Делаем замену

       

    а тогда по правилу дифференцирования произведения получаем, что

       

    Подставляя эти выражения в исходное дифференциальное уравнение, будем иметь:

       

    Во втором и третьем слагаемом левой части последнего равенства вынесем функцию u за скобки:

       

    Функцию и подбираются таким образом, чтобы выражение , стоящее в скобках, обращалось в нуль:

       

    Тогда уравнение (3) распадается на два, которые запишем в виде следующей системы:

       

    Второе уравнение системы получаем из уравнения (3) с учетом того, что второе слагаемое обнуляется.

    Далее находится решение полученной системы. вначале из первого уравнения находится функция (это уравнение решается как уравнение с разделяющимися переменными):

       

    Подставляем полученную функцию v во второе уравнение системы:

       

    А тогда, находим и искомую функцию

       

    2. Метод Лагранжа или метод вариации произвольной постоянной

    Этот метод применяется для решения неоднородных дифференциальных уравнений вида (2).

    Вначале находится решение соответствующего однородного уравнения

       

    которое, как уже было сказано выше, является дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными. Пусть полученное решение

       

    Далее варьируем постоянную C. То есть считаем, что она есть функцией переменной x:

       

    И тогда общее решение исходного неоднородного уравнения ищем в виде:

       

    Неизвестную функцию находим подстановкой последнего выражения в исходное неоднородное уравнение (2).

    Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка

    Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка — класс дифференциальных уравнений первого порядка, наиболее легко поддающихся решению и исследованию. К нему относятся уравнения в полных дифференциалах, уравнения с разделяющимися переменными, однородные уравнения первого порядка и линейные уравнения первого порядка. Все эти уравнения можно проинтегрировать в конечном виде.

    Отправной точкой изложения будет служить дифференциальное уравнение первого порядка, записанное в т. н. симметричной форме:

    где функции и определены и непрерывны в некоторой области .

    Уравнения в полных дифференциалах

    Если в уравнении (1) левая часть представляет собой полный дифференциал, то есть , то такое уравнение называется уравнением в полных дифференциалах (частный случай так называемого пфаффова уравнения). Интегральные кривые такого уравнения суть линии уровней функции , т. е. определяются уравнением при всевозможных значениях произвольной постоянной .

    Если в области выполнено условие , то общее решение уравнения (1) определяется из уравнения как неявная функция . Через каждую точку области проходит единственная интегральная кривая уравнения (1).

    Если рассматриваемая область односвязна, а производные также непрерывны в , то для того, чтобы (1) было уравнением в полных дифференциалах, необходимо и достаточно выполнения условия

    (признак уравнения в полных дифференциалах).

    Интегрирующий множитель

    Непрерывная функция в называется интегрирующим множителем уравнения (1), если уравнение является уравнением в полных дифференциалах, то есть для некоторой функции . Число интегрирующих множителей данного уравнения бесконечно.

    Функция является интегрирующим множителем уравнения (1) тогда и только тогда, когда она удовлетворяет уравнению

    (область по-прежнему полагаем односвязной; уравнение (2) является следствием признака уравнения в полных дифференциалах).

    Уравнение (2) в общем виде решается сложнее, чем (1), но для интегрирования (1) достаточно знать один интегрирующий множитель, то есть найти какое-либо одно решение уравнения (2). Обычно ищут решение (2) в виде или , но это не всегда возможно.

    Алгоритм решения

    (1)

    (2)

    (3)

    Возьмём (3).1 и проинтегрируем по переменной t:

    (*)

    Подставим в (3).2:

    В получившемся равенстве слагаемые, содержащие t, уничтожатся. Получим: . Проинтегрируем по x и подставим в (*).

    Уравнения с разделяющимися переменными

    Если в уравнении (1) , то это уравнение с разделяющимися переменными. Его можно записать в симметричном виде:

    • Решения уравнения с разделяющимися переменными
      • Решения уравнения являются решениями (3).
      • Если область выбрана так, что , то разделив на получим уравнение с разделёнными переменными

    Это частный случай уравнения в полных дифференциалах. Для него очень просто получить решение в квадратурах. Интегральная кривая уравнения (3), проходящая через точку , имеет вид:

    Пример дифференциального уравнения

    Дифференциальные уравнения —

    DE первого порядка

    Показать уведомление для мобильных устройств

    Показать все заметки Скрыть все заметки

    Похоже, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана (, т.е. , вероятно, вы используете мобильный телефон). Из-за особенностей математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме.Если ваше устройство не находится в альбомном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку от вашего устройства (вы сможете прокручивать их, чтобы увидеть их), а некоторые пункты меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

    Глава 2: Дифференциальные уравнения первого порядка

    В этой главе мы рассмотрим решение дифференциальных уравнений первого порядка. Наиболее общее дифференциальное уравнение первого порядка можно записать как,

    \ [\ begin {уравнение} \ frac {{dy}} {{dt}} = f \ left ({y, t} \ right) \ label {eq: eq1} \ end {уравнение} \]

    Как мы увидим в этой главе, не существует общей формулы для решения \ (\ eqref {eq: eq1} \).Вместо этого мы рассмотрим несколько особых случаев и посмотрим, как их решить. Мы также рассмотрим часть теории, лежащей в основе дифференциальных уравнений первого порядка, а также некоторые приложения дифференциальных уравнений первого порядка. Ниже приведен список тем, обсуждаемых в этой главе.

    Линейные уравнения — В этом разделе мы решаем линейные дифференциальные уравнения первого порядка, то есть дифференциальные уравнения в форме \ (y ‘+ p (t) y = g (t) \). Мы даем подробный обзор процесса, используемого для решения этого типа дифференциального уравнения, а также вывод формулы, необходимой для интегрирующего коэффициента, используемого в процессе решения.

    Разделимые уравнения — В этом разделе мы решаем разделимые дифференциальные уравнения первого порядка, то есть дифференциальные уравнения в форме \ (N (y) y ‘= M (x) \). Мы дадим вывод процесса решения этого типа дифференциального уравнения. Мы также начнем искать интервал применимости решения дифференциального уравнения.

    Точные уравнения — В этом разделе мы обсудим определение и решение точных дифференциальных уравнений.{n} \). В этом разделе также будет представлена ​​идея использования подстановки для решения дифференциальных уравнений.

    Подстановки — в этом разделе мы продолжим с того места, где закончился последний раздел, и рассмотрим пару других замен, которые можно использовать для решения некоторых дифференциальных уравнений. В частности, мы обсудим использование решений для решения дифференциальных уравнений вида \ (y ‘= F (\ frac {y} {x}) \) и \ (y’ = G (ax + by) \).

    Интервалы достоверности — в этом разделе мы подробно рассмотрим интервалы достоверности, а также ответим на вопрос о существовании и уникальности дифференциальных уравнений первого порядка.

    Моделирование с помощью дифференциальных уравнений первого порядка — В этом разделе мы будем использовать дифференциальные уравнения первого порядка для моделирования физических ситуаций. В частности, мы рассмотрим проблемы смешивания (моделирование количества вещества, растворенного в жидкости, и жидкость как на входе, так и на выходе), проблемы популяции (моделирование популяции в различных ситуациях, в которых популяция может входить или выходить) и падающие объекты (моделирование скорости падающего объекта под действием силы тяжести и сопротивления воздуха).

    Равновесные решения — В этом разделе мы определим равновесные решения (или точки равновесия) для автономных дифференциальных уравнений, \ (y ‘= f (y) \). Мы обсуждаем классификацию равновесных решений как асимптотически устойчивые, нестабильные или полустабильные равновесные решения.

    Метод Эйлера. В этом разделе мы кратко рассмотрим довольно простой метод приближения решений дифференциальных уравнений. Мы выводим формулы, используемые методом Эйлера, и даем краткое обсуждение ошибок в приближении решений.

    Дифференциальные уравнения — Линейные уравнения

    Показать уведомление для мобильных устройств

    Показать все заметки Скрыть все заметки

    Похоже, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана (, т.е. , вероятно, вы используете мобильный телефон). Из-за особенностей математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме.Если ваше устройство не находится в альбомном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку от вашего устройства (вы сможете прокручивать их, чтобы увидеть их), а некоторые пункты меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

    Раздел 2-1: Линейные дифференциальные уравнения

    Первым частным случаем дифференциальных уравнений первого порядка, который мы рассмотрим, является линейное дифференциальное уравнение первого порядка.В этом случае, в отличие от большинства случаев первого порядка, которые мы рассмотрим, мы действительно можем вывести формулу для общего решения. Общее решение выводится ниже. Однако мы бы посоветовали вам не запоминать саму формулу. Вместо того, чтобы запоминать формулу, вы должны запомнить и понять процесс, который я собираюсь использовать для получения формулы. На самом деле с большинством проблем легче справиться, используя процесс, а не формулу.

    Итак, давайте посмотрим, как решить линейное дифференциальное уравнение первого порядка.Помните, когда мы проходим этот процесс, цель состоит в том, чтобы прийти к решению в форме \ (y = y \ left (t \ right) \). Иногда легко упустить из виду цель, когда мы проходим через этот процесс впервые.

    Чтобы решить линейное дифференциальное уравнение первого порядка, мы ДОЛЖНЫ начать с дифференциального уравнения в форме, показанной ниже. Если дифференциальное уравнение не в такой форме, то процесс, который мы собираемся использовать, не сработает.

    \ [\ begin {уравнение} \ frac {{dy}} {{dt}} + p \ left (t \ right) y = g \ left (t \ right) \ label {eq: eq1} \ end {уравнение} \]

    Где и \ (p (t) \), и \ (g (t) \) — непрерывные функции.Напомним, что быстрое и грязное определение непрерывной функции состоит в том, что функция будет непрерывной при условии, что вы можете рисовать график слева направо, даже не беря в руки карандаш / ручку. Другими словами, функция является непрерывной, если в ней нет дыр или разрывов.

    Теперь мы собираемся предположить, что где-то в мире существует некая магическая функция, \ (\ mu \ left (t \ right) \), называемая интегрирующим коэффициентом . На этом этапе не беспокойтесь о том, что это за функция и откуда она взялась.Мы выясним, что такое \ (\ mu \ left (t \ right) \), когда у нас будет формула для общего решения.

    Итак, теперь, когда мы предположили существование \ (\ mu \ left (t \ right) \), умножаем все в \ (\ eqref {eq: eq1} \) на \ (\ mu \ left (t \ right) \). Это даст.

    \ [\ begin {уравнение} \ mu \ left (t \ right) \ frac {{dy}} {{dt}} + \ mu \ left (t \ right) p \ left (t \ right) y = \ mu \ left (t \ right) g \ left (t \ right) \ label {eq: eq2} \ end {уравнение} \]

    Вот здесь и вступает в игру магия \ (\ mu \ left (t \ right) \).Мы собираемся предположить, что что бы ни было \ (\ mu \ left (t \ right) \), оно будет удовлетворять следующему.

    \ [\ begin {уравнение} \ mu \ left (t \ right) p \ left (t \ right) = \ mu ‘\ left (t \ right) \ label {eq: eq3} \ end {уравнение} \]

    Снова не беспокойтесь о том, как мы можем найти \ (\ mu \ left (t \ right) \), который будет удовлетворять \ (\ eqref {eq: eq3} \). Как мы увидим, при условии непрерывности \ (p (t) \) мы можем его найти. Итак, подставив \ (\ eqref {eq: eq3} \), мы приходим к.

    \ [\ begin {уравнение} \ mu \ left (t \ right) \ frac {{dy}} {{dt}} + \ mu ‘\ left (t \ right) y = \ mu \ left (t \ right) g \ left (t \ right) \ label {eq: eq4} \ end {Equation} \]

    На этом этапе мы должны признать, что левая часть \ (\ eqref {eq: eq4} \) — не что иное, как следующее правило продукта.\ prime} \, dt}} = \ int {{\ mu \ left (t \ right) g \ left (t \ right) \, dt}} \]

    \ [\ begin {уравнение} \ mu \ left (t \ right) y \ left (t \ right) + c = \ int {{\ mu \ left (t \ right) g \ left (t \ right) \, dt}} \ label {eq: eq6} \ end {уравнение} \]

    Обратите внимание, что здесь включена константа интегрирования \ (c \) из левой части интегрирования. Это жизненно важно. Если его не указывать, вы каждый раз будете получать неправильный ответ.

    Последний шаг — это некоторая алгебра, которую нужно решить для решения, \ (y (t) \).

    \ [\ begin {align *} \ mu \ left (t \ right) y \ left (t \ right) & = \ int {{\ mu \ left (t \ right) g \ left (t \ right) \, dt}} — c \\ y \ left (t \ right) & = \ frac {{\ int {{\ mu \ left (t \ right) g \ left (t \ right) \, dt}} — c} } {{\ mu \ left (t \ right)}} \ end {align *} \]

    Теперь, с точки зрения обозначений, мы знаем, что постоянная интегрирования \ (c \) — это неизвестная константа, и поэтому, чтобы облегчить нашу жизнь, мы включим знак минус перед ней в константу и вместо этого будем использовать плюс. .Это НЕ повлияет на окончательный ответ решения. Итак, с этим изменением у нас есть.

    \ [\ begin {уравнение} y \ left (t \ right) = \ frac {{\ int {{\ mu \ left (t \ right) g \ left (t \ right) \, dt}} + c}} {{\ mu \ left (t \ right)}} \ label {eq: eq7} \ end {уравнение} \]

    Опять же, изменение знака константы не повлияет на наш ответ. Если вы решите сохранить знак минус, вы получите то же значение \ (c \), что и мы, за исключением того, что у него будет противоположный знак. Подключив \ (c \), мы получим точно такой же ответ.

    С константами интеграции в этом разделе очень много шуток, так что вам нужно к этому привыкнуть. Когда мы делаем это, мы всегда будем стараться очень ясно дать понять, что происходит, и попытаться оправдать, почему мы сделали то, что мы сделали.

    Итак, теперь, когда у нас есть общее решение для \ (\ eqref {eq: eq1} \), нам нужно вернуться и определить, что это за магическая функция \ (\ mu \ left (t \ right) \). . На самом деле это более простой процесс, чем вы думаете.\ prime} = p \ left (t \ right) \]

    Как и в случае с процессом, прежде всего, нам нужно объединить обе стороны, чтобы получить.

    \ [\ begin {align *} \ ln \ mu \ left (t \ right) + k & = \ int {{p \ left (t \ right) \, dt}} \\ \ ln \ mu \ left (t \ right) & = \ int {{p \ left (t \ right) \, dt}} + k \ end {align *} \]

    Вы заметите, что константа интегрирования с левой стороны, \ (k \), была перемещена в правую часть и снова поглощена знаком минус, как мы это делали ранее.{\ int {{p \ left (t \ right) \, dt}}}} \ label {eq: eq8} \ end {уравнение} \]

    Итак, теперь у нас есть формула для общего решения \ (\ eqref {eq: eq7} \) и формула для интегрирующего множителя \ (\ eqref {eq: eq8} \). Однако у нас есть проблема. У нас есть две неизвестные константы, и чем больше у нас неизвестных констант, тем больше у нас проблем в дальнейшем. Поэтому было бы неплохо, если бы мы смогли найти способ устранить одну из них (мы не будем
    уметь устранить и то, и другое….).

    На самом деле это довольно просто сделать.{\ int {{p \ left (t \ right) \, dt}}}}}} \ end {align *} \]

    Итак, \ (\ eqref {eq: eq7} \) можно записать таким образом, что единственное место, где появляются две неизвестные константы, — это их соотношение. Тогда, поскольку и \ (c \), и \ (k \) — неизвестные константы, так же и отношение этих двух констант. Поэтому мы просто назовем соотношение \ (c \), а затем исключим \ (k \) из \ (\ eqref {eq: eq8} \), поскольку в конечном итоге оно просто поглотится в \ (c \). {\ int {{p \ left (t \ right) \, dt}}}} \ label {eq: eq10} \ end {формула} \]

    Теперь реальность такова, что \ (\ eqref {eq: eq9} \) не так полезен, как может показаться.Часто проще просто выполнить процесс, который привел нас к \ (\ eqref {eq: eq9} \), чем использовать формулу. Мы не будем использовать эту формулу ни в одном из наших примеров. Нам нужно будет регулярно использовать \ (\ eqref {eq: eq10} \), поскольку эту формулу проще использовать, чем процесс ее получения.

    Процесс решения

    Процесс решения линейного дифференциального уравнения первого порядка выглядит следующим образом.

    1. Приведите дифференциальное уравнение в правильную начальную форму, \ (\ eqref {eq: eq1} \).
    2. Найдите интегрирующий коэффициент \ (\ mu \ left (t \ right) \), используя \ (\ eqref {eq: eq10} \).
    3. Умножьте все в дифференциальном уравнении на \ (\ mu \ left (t \ right) \) и убедитесь, что левая часть становится правилом произведения \ (\ left ({\ mu \ left (t \ right) y \ left ( t \ right)} \ right) ‘\) и напишите это как таковое.
    4. Объедините обе стороны, убедитесь, что вы правильно применили постоянную интеграции.
    5. Найдите решение \ (y (t) \).

    Давайте поработаем пару примеров. Начнем с решения дифференциального уравнения, полученного нами в разделе «Поле направления».

    Пример 1 Найдите решение следующего дифференциального уравнения.

    \ [\ frac {{dv}} {{dt}} = 9,8–0,196 об. \]

    Показать решение

    Во-первых, нам нужно получить дифференциальное уравнение в правильной форме.

    \ [\ frac {{dv}} {{dt}} + 0,196v = 9.{- 0,196т}} \]

    Из решения этого примера мы теперь можем понять, почему постоянная интеграции так важна в этом процессе. Без него в этом случае мы получили бы одно постоянное решение \ (v (t) = 50 \). Используя постоянную интегрирования, мы получаем бесконечно много решений, по одному для каждого значения \ (c \).

    Вернувшись в раздел поля направления, где мы впервые вывели дифференциальное уравнение, используемое в последнем примере, мы использовали поле направления, чтобы помочь нам наметить некоторые решения.Посмотрим, правильно ли мы их поняли. Чтобы набросать некоторые решения, все, что нам нужно сделать, это выбрать разные значения \ (c \), чтобы получить решение. Некоторые из них показаны на графике ниже.

    Итак, похоже, мы неплохо сделали набросок графиков в секции поля направлений.

    Теперь вспомните из раздела «Определения», что начальные условия позволят нам сосредоточиться на конкретном решении. В решениях дифференциальных уравнений первого порядка (не только линейных, как мы увидим) будет одна неизвестная константа, поэтому нам понадобится ровно одно начальное условие, чтобы найти значение этой константы и, следовательно, найти решение, к которому мы пришли.Начальное условие для дифференциальных уравнений первого порядка будет иметь вид

    \ [y \ left ({{t_0}} \ right) = {y_0} \]

    Напомним также, что дифференциальное уравнение с достаточным количеством начальных условий называется задачей начального значения (IVP). {- 0.{\ ln \, \, \ sec \ left (x \ right)}} = \ sec \ left (x \ right) \]

    А интеграл сделать можно? Если нет, перепишите касательную обратно в синусы и косинусы, а затем используйте простую замену. Обратите внимание, что мы можем опустить столбцы абсолютного значения на секансе из-за ограничений на \ (x \). Фактически, это причина ограничений на \ (x \). Отметим также, что есть две формы ответа на этот интеграл. Они эквивалентны, как показано ниже. Что вы используете — это действительно вопрос предпочтений.{\ ln f \ left (x \ right)}} = f \ left (x \ right) \ label {eq: eq11} \ end {уравнение} \]

    Это важный факт, о котором вы всегда должны помнить при возникновении подобных проблем. Мы захотим максимально упростить интегрирующий коэффициент во всех случаях, и этот факт поможет в этом упрощении.

    Вернемся к примеру. Умножьте интегрирующий коэффициент на дифференциальное уравнение и убедитесь, что левая часть соответствует правилу произведения. Также обратите внимание, что мы умножаем интегрирующий коэффициент на переписанное дифференциальное уравнение, а НЕ на исходное дифференциальное уравнение.2} \ left (x \ right) \, dx}} \\ \ sec \ left (x \ right) y \ left (x \ right) & = — \ frac {1} {2} \ cos \ left ({ 2x} \ right) — \ tan \ left (x \ right) + c \ end {align *} \]

    Обратите внимание на использование тригонометрической формулы \ (\ sin \ left ({2 \ theta} \ right) = 2 \ sin \ theta \ cos \ theta \), которая упростила интеграл. Затем найдите решение.

    \ [\ begin {align *} y \ left (x \ right) & = — \ frac {1} {2} \ cos \ left (x \ right) \ cos \ left ({2x} \ right) — \ cos \ left (x \ right) \ tan \ left (x \ right) + c \ cos \ left (x \ right) \\ & = — \ frac {1} {2} \ cos \ left (x \ right) \ cos \ left ({2x} \ right) — \ sin \ left (x \ right) + c \ cos \ left (x \ right) \ end {align *} \]

    Наконец, примените начальное условие, чтобы найти значение \ (c \).

    \ [\ begin {align *} 3 \ sqrt 2 = y \ left ({\ frac {\ pi} {4}} \ right) & = — \ frac {1} {2} \ cos \ left ({\ frac {\ pi} {4}} \ right) \ cos \ left ({\ frac {\ pi} {2}} \ right) — \ sin \ left ({\ frac {\ pi} {4}} \ right) + c \ cos \ left ({\ frac {\ pi} {4}} \ right) \\ 3 \ sqrt 2 & = — \ frac {{\ sqrt 2}} {2} + c \ frac {{\ sqrt 2}} {2} \\ c & = 7 \ end {align *} \]

    Тогда решение есть.

    \ [y \ left (x \ right) = — \ frac {1} {2} \ cos \ left (x \ right) \ cos \ left ({2x} \ right) — \ sin \ left (x \ right) + 7 \ соз \ влево (х \ вправо) \]

    Ниже представлен график решения.2} \]

    Ниже представлен график решения.

    Давайте рассмотрим последний пример, который больше рассматривает интерпретацию решения, а не поиск решения.

    Пример 6 Найдите решение следующей IVP и определите все возможные варианты поведения решения как \ (t \ to \ infty \). {\ frac {t } {2}}} \]

    Теперь, когда у нас есть решение, давайте посмотрим на долгосрочное поведение ( i.е. \ (t \ to \ infty \)) решения. Первые два члена решения останутся конечными при всех значениях \ (t \). Это последний член, который будет определять поведение решения. Экспонента всегда будет стремиться к бесконечности как \ (t \ to \ infty \), однако в зависимости от знака коэффициента \ (c \) (да, мы уже нашли его, но для простоты этого обсуждения мы продолжим называть это \ (c \)). В следующей таблице показано долгосрочное поведение решения для всех значений \ (c \).

    Диапазон \ (c \) Поведение решения при \ (t \ to \ infty \)
    \ (с \) <0 \ (y \ left (t \ right) \ to — \ infty \)
    \ (с \) = 0 \ (y \ left (t \ right) \) остается конечным
    \ (с \)> 0 \ (y \ left (t \ right) \ to \ infty \)

    Это поведение также можно увидеть на следующем графике некоторых решений.

    Теперь, поскольку мы знаем, как \ (c \) относится к \ (y_ {0} \), мы можем связать поведение решения с \ (y_ {0} \). В следующей таблице показано поведение решения в терминах \ (y_ {0} \) вместо \ (c \).

    Диапазон \ (y_ {0} \)

    Поведение решения как \ (t \ to \ infty \)

    \ ({y_0} <- \ frac {{24}} {{37}} \) \ (y \ left (t \ right) \ to — \ infty \)
    \ ({y_0} = — \ frac {{24}} {{37}} \) \ (y \ left (t \ right) \) остается конечным
    \ ({y_0}> — \ frac {{24}} {{37}} \) \ (y \ left (t \ right) \ to \ infty \)

    Обратите внимание, что для \ ({y_0} = — \ frac {{24}} {{37}} \) решение останется конечным.Так бывает не всегда.

    Исследование долгосрочного поведения решений иногда бывает важнее, чем само решение. Предположим, что указанный выше раствор дает температуру в металлическом бруске. В этом случае нам нужно решение (я), которое останется конечным в долгосрочной перспективе. Благодаря этому исследованию у нас теперь будет значение начального условия, которое даст нам это решение, и, что более важно, значения начального условия, которых нам нужно избежать, чтобы мы не расплавили стержень.

    Дифференциальные уравнения — разделяемые уравнения

    Показать уведомление для мобильных устройств

    Показать все заметки Скрыть все заметки

    Похоже, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана (, т.е. , вероятно, вы используете мобильный телефон). Из-за особенностей математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме.Если ваше устройство не находится в альбомном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку от вашего устройства (вы сможете прокручивать их, чтобы увидеть их), а некоторые пункты меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

    Раздел 2-2: Разделимые уравнения

    Теперь мы приступим к рассмотрению нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка. Первый тип нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка, который мы рассмотрим, — это сепарабельные дифференциальные уравнения.

    Разделимое дифференциальное уравнение — это любое дифференциальное уравнение, которое мы можем записать в следующей форме.

    \ [\ begin {уравнение} N \ left (y \ right) \ frac {{dy}} {{dx}} = M \ left (x \ right) \ label {eq: eq1} \ end {уравнение} \]

    Обратите внимание, что для того, чтобы дифференциальное уравнение было разделимым, все \ (y \) в дифференциальном уравнении должны быть умножены на производную, а все \ (x \) в дифференциальном уравнении должны быть на другом сторона знака равенства.

    Чтобы решить это дифференциальное уравнение, сначала проинтегрируем обе части относительно \ (x \), чтобы получить,

    \ [\ int {{N \ left (y \ right) \ frac {{dy}} {{dx}} \, dx}} = \ int {{M \ left (x \ right) \, dx}} \ ]

    Теперь помните, что \ (y \) на самом деле \ (y \ left (x \ right) \), поэтому мы можем использовать следующую замену:

    \ [u = y \ left (x \ right) \ hspace {0,25 дюйма} du = y ‘\ left (x \ right) \, dx = \ frac {{dy}} {{dx}} \, dx \]

    Применяя эту замену к интегралу, получаем

    \ [\ begin {уравнение} \ int {{N \ left (u \ right) \, du}} = \ int {{M \ left (x \ right) \, dx}} \ label {eq: eq2} \ конец {уравнение} \]

    На этом этапе мы можем (надеюсь) интегрировать обе стороны, а затем обратно подставить \ (u \) в левой части.Обратите внимание, что, как подразумевается в предыдущем предложении, на данный момент может оказаться невозможным вычислить один или оба интеграла. Если это так, то мы мало что сможем сделать, чтобы использовать этот метод для решения дифференциального уравнения.

    Теперь описанный выше процесс является математически правильным способом решения этого дифференциального уравнения. Однако обратите внимание, что если мы «отделим» производную, мы можем записать дифференциальное уравнение как,

    \ [N \ left (y \ right) dy = M \ left (x \ right) dx \]

    Очевидно, что мы не можем таким образом отделить производные, но давайте представим, что можем, и увидим, что приходим к ответу с меньшими усилиями.

    Теперь мы объединяем обе стороны этого, чтобы получить,

    \ [\ begin {уравнение} \ int {{N \ left (y \ right) dy}} = \ int {{M \ left (x \ right) dx}} \ label {eq: eq3} \ end {уравнение} \]

    Итак, если мы сравним \ (\ eqref {eq: eq2} \) и \ (\ eqref {eq: eq3} \), мы увидим, что единственная разница находится слева, и даже тогда единственная реальная разница — \ (\ eqref {eq: eq2} \) имеет интеграл в терминах \ (u \), а \ (\ eqref {eq: eq3} \) имеет интеграл в терминах \ (y \). В остальном реальной разницы нет.Интеграл слева — это точно такой же интеграл в каждом уравнении. Единственное отличие — буква, используемая в интеграле. Если мы проинтегрируем \ (\ eqref {eq: eq2} \), а затем обратно подставим вместо \ (u \), мы получим то же самое, как если бы мы просто интегрировали \ (\ eqref {eq: eq3} \) от начала.

    Поэтому, чтобы облегчить работу, мы просто воспользуемся \ (\ eqref {eq: eq3} \), чтобы найти решение дифференциального уравнения. Кроме того, после выполнения интеграций у нас будет неявное решение, которое мы, надеюсь, сможем найти для явного решения, \ (y (x) \).Обратите внимание, что не всегда можно найти явное решение.

    Напомним из раздела «Определения», что неявное решение — это решение, которое не имеет формы \ (y = y \ left (x \ right) \), в то время как явное решение было записано в этой форме.

    Нам также придется побеспокоиться о сроке действия многих из этих решений. Напомним, что интервал достоверности был диапазоном независимой переменной, \ (x \) в данном случае, на которой решение действительно.Другими словами, нам нужно избегать деления на ноль, комплексных чисел, логарифмов отрицательных чисел или нуля, и т. Д. Большинство решений, которые мы получим из разделяемых дифференциальных уравнений, не будут действительны для всех значений \ (x \ ).

    Давайте начнем с довольно простого примера, чтобы мы могли увидеть процесс, не теряясь в деталях других проблем, которые часто возникают в связи с этими проблемами.

    Пример 1 Решите следующее дифференциальное уравнение и определите интервал применимости решения.2} x \ hspace {0.25in} \, \, \, y \ left (1 \ right) = \ frac {1} {{25}} \]

    Показать решение

    Понятно, надеюсь, что это дифференциальное уравнение разделимо. Итак, давайте разделим дифференциальное уравнение и проинтегрируем обе части. Как и в случае с линейным первым порядком, официально мы возьмем константу интегрирования с обеих сторон от интегралов по обе стороны от знака равенства. Их можно переместить в одну сторону и впитать друг в друга. Мы будем использовать соглашение, которое помещает единственную константу на сторону с \ (x \), учитывая, что мы в конечном итоге будем решать для \ (y \), и поэтому константа в любом случае окажется на этой стороне.2}}} \ end {выровнять *} \]

    Теперь, что касается решений, у нас есть решение. Однако нам нужно начать беспокоиться о сроках действия.

    Напомним, что есть два условия, которые определяют срок действия. Во-первых, это должен быть непрерывный интервал без разрывов и отверстий. Во-вторых, он должен содержать значение независимой переменной в начальном условии, в данном случае x = 1.

    Итак, в нашем случае нам нужно избежать двух значений \ (x \).А именно \ (x \ ne \ pm \ sqrt {\ frac {{28}} {3}} \ приблизительно \ pm \, 3.05505 \), так как это даст нам деление на ноль. Это дает нам три возможных интервала действия.

    \ [- \ infty

    Однако только один из них будет содержать значение \ (x \) из начального условия, поэтому мы можем видеть, что

    \ [- \ sqrt {\ frac {{28}} {3}}

    должен быть интервалом действия для этого решения.

    Вот график решения.

    Обратите внимание, что это не означает, что любой из двух других интервалов, перечисленных выше, не может быть интервалом действия для любого решения дифференциального уравнения. При правильном начальном условии любое из этих условий могло быть периодом действия.

    Мы предоставим вам возможность проверить детали следующих претензий. Если мы используем начальное условие

    \ [y \ left ({- 4} \ right) = — \ frac {1} {{20}} \]

    мы получим точно такое же решение, но в этом случае интервал действия будет первым.

    \ [- \ infty

    Аналогично, если мы используем

    \ [y \ left (6 \ right) = — \ frac {1} {{80}} \]

    в качестве начального условия мы снова получаем точно такое же решение, и в этом случае третий интервал становится интервалом действия.

    \ [\ sqrt {\ frac {{28}} {3}}

    Итак, простое изменение начального условия может дать любой из возможных интервалов. 2} — 4x — 2} \ right)}}} {2} \ end {align *} \]

    Затем обратите внимание, что мы можем вынести 4 из квадратного корня (получится 2…), а затем немного упростить.2} — 4x + 2} \ end {align *} \]

    Мы почти у цели. Обратите внимание, что на самом деле у нас здесь два решения («\ (\ pm \)»), и нам нужно только одно решение. На самом деле верным может быть только один из признаков. Итак, чтобы выяснить, какой из них правильный, мы можем повторно применить к нему начальное условие. Только один из знаков даст правильное значение, поэтому мы можем использовать его, чтобы выяснить, какой из знаков правильный. Подстановка \ (x \) = 1 в решение дает.

    \ [3 = y \ left (1 \ right) = 2 \ pm \ sqrt {1 + 2 — 4 + 2} = 2 \ pm 1 = 3, \, 1 \]

    В этом случае похоже, что «+» — правильный знак для нашего решения.2} — 4x + 2 \ ge 0 \]

    Другими словами, нам нужно убедиться, что величина под радикалом остается положительной.

    Используя систему компьютерной алгебры, такую ​​как Maple или Mathematica, мы видим, что левая часть равна нулю при \ (x \) = –3,36523, а также два комплексных значения, но мы можем игнорировать комплексные значения для вычислений интервала достоверности. Наконец, ниже показан график количества под радикалом.

    Итак, чтобы получить реальные решения, нам потребуется \ (x \ ge — 3.{\ mbox {36523}} \), потому что это диапазон значений \ (x \), для которых величина положительна. Также обратите внимание, что этот интервал также содержит значение \ (x \), которое находится в начальном состоянии, как и должно.

    Следовательно, срок действия решения равен \ (x \ ge — 3. {\ Mbox {36523}} \).

    Вот график решения.

    Пример 3 Решите следующую IVP и найдите интервал годности решения.2} \ end {align *} \]

    Обратите внимание, что мы смогли возвести в квадрат обе стороны неравенства, потому что в этом случае обе стороны неравенства гарантированно будут положительными. Наконец, решая для \ (x \), мы видим, что единственный возможный диапазон \ (x \) ‘, который не дает деления на ноль или квадратного корня из отрицательных чисел, будет

    \ [- \ frac {{\ sqrt 5}} {2}

    и, что довольно хорошо, это также содержит начальное условие \ (x = 0 \). Таким образом, этот интервал является нашим сроком действия.2} — 4x — 4> 0 \]

    Квадратичная функция будет равна нулю в двух точках \ (x = 2 \ pm 2 \ sqrt 2 \). График квадратичной зависимости (показанный ниже) показывает, что на самом деле есть два интервала, в которых мы получим положительные значения полинома и, следовательно, могут быть возможные интервалы достоверности.

    Итак, возможные интервалы действия —

    \ [\ begin {array} {c} — \ infty

    Из квадратичного графика видно, что второй содержит \ (x \) = 5, значение независимой переменной из начального условия.2}}} dr}} & = \ int {{\ frac {1} {\ theta} d \ theta}} \\ — \ frac {1} {r} & = \ ln \ left | \ тета \ право | + c \ end {align *} \]

    Теперь примените начальное условие, чтобы найти \ (c \).

    \ [- \ frac {1} {2} = \ ln \ left (1 \ right) + c \ hspace {0,25 дюйма} c = — \ frac {1} {2} \]

    Итак, неявное решение —

    \ [- \ frac {1} {r} = \ ln \ left | \ тета \ право | — \ frac {1} {2} \]

    Решение для \ (r \) дает нам явное решение.

    \ [r = \ frac {1} {{\ frac {1} {2} — \ ln \ left | \ theta \ right |}} \]

    Итак, есть две проблемы для нашего решения. Во-первых, нам нужно избегать \ (\ theta = 0 \) из-за натурального логарифма. Обратите внимание, что из-за абсолютного значения \ (\ theta \) нам не нужно беспокоиться о том, что \ (\ theta \) будет отрицательным. Нам также нужно будет избегать деления на ноль. Другими словами, нам нужно избегать следующих моментов.

    \ [\ begin {align *} \ frac {1} {2} — \ ln \ left | \ тета \ право | & = 0 \\ \ ln \ left | \ тета \ право | & = \ frac {1} {2} \ hspace {0.{\ frac {1} {2}}} \\ \ theta & = \ pm \ sqrt {\ bf {e}} \ end {align *} \]

    Итак, эти три точки разбивают числовую строку на четыре части, каждая из которых может быть периодом действия.

    \ [\ begin {array} {c} — \ infty

    Фактическим интервалом действия будет тот, который содержит \ (\ theta = 1 \). Следовательно, срок действия равен \ (0 <\ theta <\ sqrt {\ bf {e}} \).

    Вот график решения.2} + 2t + 3} \ right) + \ frac {5} {2} \]

    Невозможно найти явное решение этой проблемы, поэтому нам придется оставить решение в его неявной форме. Поиск интервалов достоверности из неявных решений часто может быть очень трудным, поэтому мы также не будем беспокоиться об этом для этой проблемы.

    Как показал этот последний пример, не всегда можно найти явные решения, поэтому будьте начеку в таких случаях.

    Дифференциальные уравнения — точные уравнения

    Сначала определите \ (M \) и \ (N \) и убедитесь, что дифференциальное уравнение является точным.2} + 1 \ hspace {0,25 дюйма} {N_x} = 2x \ end {align *} \]

    Итак, дифференциальное уравнение является точным согласно тесту. Однако мы уже знали это, поскольку дали вам \ (\ Psi \ left (x, y \ right) \). Однако неплохо проверить это и хотя бы один раз пройти тест.

    Теперь, как нам найти \ (\ Psi \ left (x, y \ right) \)? Напомним, что

    \ [\ begin {align *} {\ Psi _x} & = M \\ {\ Psi _y} & = N \ end {align *} \]

    Мы можем использовать любой из них, чтобы начать поиск \ (\ Psi \ left (x, y \ right) \) путем интегрирования следующим образом.

    \ [\ Psi = \ int {{M \, dx}} \ hspace {0,25 дюйма} {\ mbox {OR}} \ hspace {0,25 дюйма} \ Psi = \ int {{N \, dy}} \]

    Однако нам нужно быть осторожными, поскольку это не даст нам точной функции, которая нам нужна. Часто не имеет значения, с какой из них вы работаете, в то время как в других задачах одна будет значительно проще, чем другая. В этом случае не имеет значения, какой из них мы используем, поскольку любой из них будет столь же простым.

    Итак, воспользуемся первым.3} + h \ left (y \ right) \]

    Обратите внимание, что в этом случае «константа» интегрирования на самом деле вообще не является константой, но вместо этого она будет функцией оставшейся переменной (переменных), в данном случае \ (y \).

    Напомним, что при интеграции мы спрашиваем, какую функцию мы дифференцировали, чтобы получить функцию, которую мы интегрируем. Поскольку здесь мы работаем с двумя переменными и говорим о частичном дифференцировании по \ (x \), это означает, что любой член, содержащий только константы или \ (y \), отличался бы от нуля, поэтому нам нужно подтвердите этот факт, добавив функцию от \ (y \) вместо стандартной \ (c \).

    Хорошо, у нас есть большая часть \ (\ Psi \ left (x, y \ right) \), нам просто нужно определить \ (h (y) \), и мы закончим. 2} + 1 = N \]

    Отсюда видно, что

    \ [h ‘\ left (y \ right) = 2y + 1 \]

    Обратите внимание, что на этом этапе \ (h (y) \) должен быть только функцией \ (y \), и поэтому, если в уравнении на этом этапе есть какие-либо \ (x \), мы где-то ошиблись и пора его искать.2} + 25 = 0 \]

    При решении этого уравнения равен нулю при \ (x \) = –11.81557624 и \ (x \) = –1.396

    3. Обратите внимание, что для решения этого уравнения вам потребуется некоторая вычислительная помощь. Вот график полинома под радикалом.

    Итак, похоже, есть два интервала, где многочлен будет положительным.

    \ [\ begin {array} {c} — \ infty

    Однако напомним, что интервалы допустимости должны быть непрерывными интервалами и содержать значение \ (x \), которое используется в начальном условии.3} \]

    Итак, как отмечалось выше, это линейное дифференциальное уравнение, которое мы знаем, как решить. 3} \ hspace {0.4} \ ln x \ end {выровнять *} \]

    Обратите внимание, что мы опустили столбцы абсолютного значения на \ (x \) в логарифме из-за предположения, что \ (x> 0 \).

    Теперь нам нужно определить постоянную интегрирования. Это можно сделать одним из двух способов. Мы можем преобразовать вышеприведенное решение в решение в терминах \ (y \), а затем использовать исходное начальное условие или мы можем преобразовать начальное условие в начальное условие в терминах \ (v \) и использовать его.4} \ left ({1 + 16 \ ln \ frac {x} {2}} \ right)}} \]

    Обратите внимание, что мы сделали небольшое упрощение в решении. Это поможет определить срок действия.

    Однако, прежде чем найти интервал действия, мы упомянули выше, что можем преобразовать исходное начальное условие в начальное условие для \ (v \). Давайте вкратце поговорим о том, как это сделать. Для этого все, что нам нужно сделать, это вставить \ (x = 2 \) в подстановку, а затем использовать исходное начальное условие. {- \, \ frac {1} {{16}}}} \ hspace {0.{- \, \ frac {1} {{16}}}}

    Вот график решения.

    Решение линейных дифференциальных уравнений первого порядка

    Возможно, вам сначала захочется прочитать о дифференциальных уравнениях и разделении переменных!

    Дифференциальное уравнение — это уравнение с функцией и одной или несколькими производными:

    Пример: уравнение с функцией y и ее

    производная
    dy
    dx

    Здесь мы рассмотрим решение специального класса дифференциальных уравнений, называемого линейными дифференциальными уравнениями первого порядка

    Первый орден

    Они «Первого Ордена», когда их всего
    dy
    dx
    , а не
    д 2 л
    dx 2
    или
    д 3 л
    dx 3
    и т. Д.

    Линейная

    Дифференциальное уравнение первого порядка является линейным , когда его можно сделать так:

    dy
    dx
    + Р (х) у = Q (х)

    Где P (x) и Q (x) — функции от x.

    Для ее решения есть специальный метод:

    • Мы изобретаем две новые функции от x, называем их u и v и говорим, что y = uv .
    • Затем мы решаем найти и , а затем находим v , убираем, и все готово!

    И мы также используем производную от y = uv (см. Производные правила (правило продукта)):

    dy
    dx
    = u
    дв
    dx
    + v
    и
    dx

    ступеней

    Вот пошаговый метод их решения:

    Давайте попробуем пример, чтобы увидеть:

    Пример 1: Решите это:

    dy
    dx

    л
    х
    = 1

    Во-первых, это линейно? Да, так как в форме

    dy
    dx
    + P (x) y = Q (x)
    , где P (x) = —
    1
    х
    и Q (x) = 1

    Итак, давайте выполним шаги:

    Шаг 1:
    Подставляем y = uv и
    dy
    dx
    = u
    дв
    dx
    + v
    и
    dx

    Так это:
    dy
    dx

    л
    х
    = 1

    Становится этим: u
    дв
    dx
    + v
    и
    dx

    ув
    х
    = 1

    Шаг 2: Факторизуйте детали, включающие v

    Фактор v : u
    дв
    dx
    + v (
    и
    dx

    u
    х
    ) = 1

    Шаг 3. Положите член v равным нулю

    v член равен нулю:
    и
    dx

    u
    х
    = 0

    Итак:
    и
    dx
    знак равно
    u
    х

    Шаг 4: Решите, используя разделение переменных, чтобы найти u

    Отдельные переменные:
    и
    u
    знак равно
    dx
    х

    Поставьте знак интеграла: ∫
    и
    u
    = ∫
    dx
    х

    Интегрировать: ln (u) = ln (x) + C

    Сделайте C = ln (k): ln (u) = ln (x) + ln (k)

    Итак: u = kx

    Шаг 5: подставьте u обратно в уравнение на шаге 2

    (помните, что термин v равен 0, поэтому его можно игнорировать): kx
    дв
    dx
    = 1

    Шаг 6: Решите это, чтобы найти v

    Отдельные переменные: k dv =
    dx
    х

    Поставить знак интеграла: ∫ k дв.

    = ∫
    dx
    х

    Интегрировать: kv = ln (x) + C

    Сделайте C = ln (c): kv = ln (x) + ln (c)

    А так: kv = ln (cx)

    И так: v =
    1
    к
    ln (сх)

    Шаг 7: Подставляем в y = uv , чтобы найти решение исходного уравнения.

    y = uv: y = kx
    1
    к
    ln (сх)

    Упростить: y = x ln (cx)

    И он производит это прекрасное семейство кривых:

    y = x ln (cx) для различных значений c

    Что означают эти кривые? Они являются решением уравнения
    dy
    dx

    л
    х
    = 1

    Другими словами:

    В любом месте на любой из этих кривых
    наклон минус
    л
    х
    равно 1

    Давайте проверим несколько точек на c = 0.6 кривая:

    Расчет по графику (до 1 знака после запятой):

    Точка х y Наклон (
    dy
    dx
    )
    dy
    dx

    л
    х
    А 0,6 -0,6 0 0 —
    −0.6
    0,6
    = 0 + 1 = 1
    B 1,6 0 1 1 —
    0
    1,6
    = 1 — 0 = 1
    С 2,5 1 1,4 1,4 —
    1
    2,5
    = 1,4 — 0,4 = 1

    Почему бы не проверить несколько пунктов самостоятельно? Здесь вы можете построить кривую.

    Может, вам поможет еще один пример? Может, посложнее?

    Пример 2: Решите это:

    dy
    dx

    3 года
    х
    = х

    Во-первых, это линейно? Да, так как в форме

    dy
    dx
    + P (x) y = Q (x)
    , где P (x) = —
    3
    х
    и Q (x) = x

    Итак, давайте выполним шаги:

    Шаг 1:
    Подставляем y = uv и
    dy
    dx
    = u
    дв
    dx
    + v
    и
    dx

    Так это:
    dy
    dx

    3 года
    х
    = х

    Становится этим: u
    дв
    dx
    + v
    и
    dx

    3uv
    х
    = х

    Шаг 2: Факторизуйте детали, включающие v

    Фактор v : u
    дв
    dx
    + v (
    и
    dx

    3u
    х
    ) = х

    Шаг 3. Положите член v равным нулю

    v член = ноль:
    и
    dx

    3u
    х
    = 0

    Итак:
    и
    dx
    знак равно
    3u
    х

    Шаг 4: Решите, используя разделение переменных, чтобы найти u

    Отдельные переменные:
    и
    u
    = 3
    dx
    х

    Поставьте знак интеграла: ∫
    и
    u
    = 3 ∫
    dx
    х

    Интегрировать: ln (u) = 3 ln (x) + C

    Сделайте C = −ln (k): ln (u) + ln (k) = 3ln (x)

    Тогда: uk = x 3

    Итак: u =
    х 3
    к

    Шаг 5: подставьте u обратно в уравнение на шаге 2

    (помните, что термин v равен 0, поэтому его можно игнорировать) 🙁
    х 3
    к
    )
    дв
    dx
    = х

    Шаг 6: Решите это, чтобы найти v

    Отдельные переменные: dv = k x −2 dx

    Поставьте знак интеграла: ∫ dv = ∫ k x −2 dx

    Интегрировать: v = −k x −1 + D

    Шаг 7: Подставляем в y = uv , чтобы найти решение исходного уравнения.

    у = УФ: у =
    х 3
    к
    (−k x −1 + D)

    Упростить: y = −x 2 +
    D
    к
    х 3

    Заменить D / k одной константой c : y =
    c
    х 3 — х 2

    И он производит это прекрасное семейство кривых:

    у = с
    x 3 — x 2 для различных значений c

    И еще пример, на этот раз еще сложнее :

    Пример 3: Решите это:

    dy
    dx
    + 2xy = −2x 3

    Во-первых, это линейно? Да, так как в форме

    dy
    dx
    + P (x) y = Q (x)
    , где P (x) = 2x и Q (x) = −2x 3

    Итак, давайте выполним шаги:

    Шаг 1:
    Подставляем y = uv и
    dy
    dx
    = u
    дв
    dx
    + v
    и
    dx

    Так это:
    dy
    dx
    + 2xy = −2x 3

    Становится этим: u
    дв
    dx
    + v
    и
    dx
    + 2xuv
    = −2x 3

    Шаг 2: Факторизуйте детали, включающие v

    Фактор v : u
    дв
    dx
    + v (
    и
    dx
    + 2xu
    ) = −2x 3

    Шаг 3. Положите член v равным нулю

    v член = ноль:
    и
    dx
    + 2xu = 0

    Шаг 4: Решите, используя разделение переменных, чтобы найти u

    Отдельные переменные:
    и
    u
    = −2x dx

    Поставить знак интеграла:
    и
    u
    = −2 x dx

    Интегрировать: ln (u) = −x 2 + C

    Сделайте C = −ln (k): ln (u) + ln (k) = −x 2

    Тогда: uk = e −x 2

    Итак: u =
    e −x 2
    к

    Шаг 5: подставьте u обратно в уравнение на шаге 2

    (помните, что термин v равен 0, поэтому его можно игнорировать) 🙁
    e −x 2
    к
    )
    дв
    dx
    = −2x 3

    Шаг 6: Решите это, чтобы найти v

    Отдельные переменные: dv = −2k x 3 e x 2 dx

    Поставьте знак интеграла: ∫ дв.

    = ∫ −2k x 3 e x 2 dx

    Интегрировать: v = о нет! это трудно!

    Посмотрим… мы можем интегрировать по частям … где написано:

    ∫ RS dx = R ∫ S dx — ∫ R ‘(∫ S dx) dx

    (Боковое примечание: здесь мы используем R и S, использование u и v может сбивать с толку, поскольку они уже означают что-то другое.)

    Выбор R и S очень важен, это лучший выбор, который мы нашли:

    Итак, вперед:

    Первый вытащить k: v

    = k ∫ −2x 3 e x 2 dx

    R = −x 2 и S = 2x e x 2 : v

    = k ∫ (−x 2 ) (2xe x 2 ) dx

    Теперь интегрировать по частям: v

    = kR ∫ S dx — k ∫ R ‘(∫ S dx) dx

    Положить R = −x 2 и S = ​​2x e x 2

    А также R ‘= −2x и ∫ S dx = e x 2

    Таким образом, получается: v

    = −kx 2 ∫ 2x e x 2 dx — k ∫ −2x (e x 2 ) dx

    Теперь интегрируйте: v

    = −kx 2 e x 2 + k e x 2 + D

    Упростить: v

    = ke x 2 (1 − x 2 ) + D

    Шаг 7: Подставляем в y = uv , чтобы найти решение исходного уравнения.

    у = УФ: у =
    e −x 2
    к
    (ke x 2 (1 − x 2 ) + D)

    Упростить: y = 1 — x 2 + (
    D
    к
    ) д x 2

    Заменить D / k одной константой c : y = 1 — x 2 +
    c
    e x 2

    И мы получаем красивое семейство кривых:

    y = 1 — x 2 +
    c
    e x 2 для различных значений c

    Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

    Определение линейного уравнения первого порядка

    Дифференциальное уравнение типа

    \ [y ’+ a \ left (x \ right) y = f \ left (x \ right), \]

    , где \ (a \ left (x \ right) \) и \ (f \ left (x \ right) \) — непрерывные функции от \ (x, \), называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением первого порядка.Мы рассматриваем два метода решения линейных дифференциальных уравнений первого порядка:

    • Использование интегрирующего коэффициента;
    • Метод изменения постоянной.

    Использование интегрирующего коэффициента

    Если линейное дифференциальное уравнение записано в стандартной форме:

    \ [y ’+ a \ left (x \ right) y = f \ left (x \ right), \]

    интегрирующий коэффициент определяется по формуле

    \ [{u \ left (x \ right)} = {\ exp \ left ({\ int {a \ left (x \ right) dx}} \ right).} \]

    Умножение левой части уравнения на интегрирующий множитель \ (u \ left (x \ right) \) преобразует левую часть в производную произведения \ (y \ left (x \ right) u \ left (x \ справа). \)

    Общее решение дифференциального уравнения выражается следующим образом:

    \ [y = \ frac {{\ int {u \ left (x \ right) f \ left (x \ right) dx} + C}} {{u \ left (x \ right)}}, \]

    где \ (C \) — произвольная постоянная.

    Метод изменения постоянной

    Этот метод аналогичен предыдущему.Для начала необходимо найти общее решение однородного уравнения:

    \ [y ’+ a \ left (x \ right) y = 0. \]

    Общее решение однородного уравнения содержит константу интегрирования \ (C. \). Заменим константу \ (C \) некоторой (пока неизвестной) функцией \ (C \ left (x \ right). \) By Подставляя это решение в неоднородное дифференциальное уравнение, можно определить функцию \ (C \ left (x \ right). \)

    Описанный алгоритм называется методом изменения константы.Конечно, оба метода приводят к одному и тому же решению.

    Задача начального значения

    Если помимо дифференциального уравнения существует еще начальное условие в виде \ (y \ left ({{x_0}} \ right) = {y_0}, \), такая задача называется задачей начальной стоимости (IVP). или проблема Коши.

    Частное решение для IVP не содержит константы \ (C, \), которая определяется подстановкой общего решения в начальное условие \ (y \ left ({{x_0}} \ right) = {y_0}.3}. \)

    Решение.

    Мы решим эту задачу, используя метод изменения постоянной.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.