Однородные дифференциальные уравнения первого порядка

Дифференциальное уравение первого порядка
называется однородным, если и
— однородные функции
одной и то же степени.

Функция
называется однородной функцией k-й степени, если для любого t выполняется равенство
.

В частном случае, если однородная функция имеет нулевую степень, то выполняется равенство

Пример 1. Установить, являются ли однородными функции

1) ;

2) ;

Решение. Находим

Следовательно, —
однородная функция третьей степени.

Аналогично устанавливается, что —
однородная функция четвёртой степени:

Отношение двух однородных функций одинаковых степеней также есть однородная функция, но
нулевой степени. Пусть и
— однородные функции
k-й степени. Это означает, что , а
. Их отношение — некоторая функция
, так как .

Как решить однородное дифференциальное уравнение первого порядка?

Решение однородного дифференциального уравнения первого порядка сводится к решению дифференциального
уравнения с разделяющимися переменными.

Для этого преобразуем уравнение к виду

или
,   (1)

где —
однородная функция нулевой степени как отношение однородных функций одинаковых степеней. Это равенство справедливо при любом t.
В частности, если , то
, или
, т. е. функция
представлена в виде функции
от .

Обозначим это отношение через z, т. е. ,
откуда . Тогда

и уравнение (1) преобразуется так:

Это уравнение с разделяющимися переменными. Разделив переменные и выполнив почленное интегрирование,
затем следует заменить z на .

Пример 5. Решить однородное дифференциальное уравнение

Решение. Поделим почленно уравнение на dx и получим

или

.

Произведём подстановку ,
откуда . Тогда уравнение примет вид

.

Путём дальнейших преобразований получаем

Итак, или

.

Почленное интегрирование даёт

.

Заменяя z на ,
получим

Чтобы избавиться от дробности, умножим обе части выражения на x в кубе и получим

— общий интеграл данного уравнения.

Выводы. Чтобы решать однородные дифференциальные уравнения, необходимо хорошо владеть
методами интегрирования — путём замены переменной и по частям. {2}+2xy)\;dx+xy\;dy=0$$

Решение:

Однородные дифференциальные уравнения 1 порядка

Готовые ответы к примерам на однородные дифференциальные уравнения первого порядка ищут многие студенты (ДУ 1 порядка самые распространенные в обучении), далее Вы их сможете подробно разобрать. Но прежде чем перейти к рассмотрению примеров рекомендуем внимательно прочитать краткий теоретический материал.
Уравнения вида P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0, где функции P(x,y) і Q(x,y) являются однородными функциями одного порядка называют однородным дифференциальным уравнением (ОДР).

Схема решения однородного дифференциального уравнения

1. Сначала нужно применить подстановку y=z*x, где z=z(x) – новая неизвестная функция (таким образом исходное уравнение сводится к дифференциальному уравнению с разделяющимися переменными.
2. Производная произведения равна y’=(z*x)’=z’*x+z*x’=z’*x+z или в дифференциалах dy=d(zx)=z*dx+x*dz.
3. Далее подставляем новую функцию у и ее производную y’ (или dy) в ДУ с разделяющимися переменными относительно x та z.
4. Решив дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными, сделаем обратную замену y=z*x, поэтому z= y/х, и получим общее решение (общий интеграл) дифференциального уравнения.
5. Если задано начальное условие y(x₀)=y₀, то находим частное решение задачи Коши. В теории все звучит легко, однако на практике не у всех так весело получается решать дифференциальные уравнения. Поэтому для углубления знаний рассмотрим распространенные примеры. На легких задачах нет особо Вас научить, поэтому сразу перейдем к более сложным.

Вычисления однородных дифференциальных уравнений первого порядка

Пример 1. Решить дифференциальное уравнение

Решение: Делим правую сторону уравнения на переменную, которая стоит множителем возле производной. В результате придем к однородного дифференциального уравнения 0 порядка

И здесь многим пожалуй стало интересно, как определить порядок функции однородного уравнения?
Вопрос достаточно уместен, а ответ на него следующий:
в правую сторону подставляем вместо функции и аргумента значение t*x, t*y. При упрощении получают параметр «t» в определенном степени k, его и называют порядком уравнения. В нашем случае «t» сократится, что равносильно 0-м степени или нулевом порядке однородного уравнения.
Далее в правой стороне можем перейти к новой переменной y=zx; z=y/x .
При этом не забываем выразить производную «y» через производную новой переменной. По правилу части находим

Уравнения в дифференциалах примет вид

Совместные слагаемые в правой и левой части сокращаем и переходим к дифференциальному уравнению с разделенными переменными.

Проинтегрируем обе части ДУ

Для удобства дальнейших преобразований постоянную сразу вносим под логарифм

По свойствам логарифмов полученное логарифмическое уравнение эквивалентно следующему

Эта запись еще не решение (ответ), необходимо вернуться к выполненной замене переменных

Таким образом находят общее решение дифференциальных уравнений. Если Вы внимательно читали предыдущие уроки, то мы говорили, что схему вычисления уравнений с разделенными переменными Вы должны уметь применять свободно и такого рода уравнения придется вычислять для более сложных типов ДУ.

Пример 2. Найти интеграл дифференциального уравнения

Решение:Схема вычислений однородных и сводных к ним ДУ Вам тепер знакома. Переносим переменную в правую сторону уравнения, а также в числителе и знаменателе выносим x², как общий множитель

Таким образом получим однородное ДУ нулевого порядка.
Следующим шагом вводим замену переменных z=y/x, y=z*x, о которой постоянно будем напоминать, чтобы Вы ее заучили

После этого ДУ записываем в дифференциалах

Далее преобразуем зависимость к дифференциальному уравнению с отделенными переменными

и интегрированием решаем его.

Интегралы несложные, остальные преобразования выполнены на основе свойств логарифма. Последнее действие включает экспонирования логарифма. Наконец возвращаемся к исходной замене и записываем решение дифференциального уравнения в форме

Константа «C» принимает любое значение. Все кто учится заочно имеют проблемы на экзаменах с данным типом уравнений, поэтому просьба внимательно посмотреть и запомнить схему вычислений.

Пример 3. Решить дифференциальное уравнение

Решение:Как следует из приведенной выше методики, дифференциальные уравнения такого типа решают методом введения новой переменной. Перепишем зависимость так, чтобы производная была без переменной

Далее по анализу правой части видим, что везде присутствует частка -ее и обозначаем за новую неизвестную
z=y/x, y=z*x.
Находим производную от y

С учетом замены первоначальное ДУ перепишем в виде

Одинаковые слагаемые упрощаем, а все получившие сводим к ДУ с отделенными переменными

Интегрированием обеих частей равенства

приходим к решению в виде логарифмов

Экспонируя зависимости находим общее решение дифференциального уравнения

которое после подстановки в него начальной замены переменных примет вид

Здесь С — постоянная, которую можно доопределить из условия Коши. Если не задана задача Коши то стала принимает произвольное действительное значение.
Вот и вся мудрость в исчислении однородных дифференциальных уравнений.

Лекция Однородные дифференциальные уравнения первого порядка

    Скачать с Depositfiles 

Лекция 2

Однородные дифференциальные уравнения первого порядка

Определение: Функция  называется однородной функцией n-го измерения относительно переменных х и у, если при любом  справедливо тождество

Примеры: — однородная функция первого измерения

— второго измерения

 — нулевого измерения.

Определение. Дифференциальное уравнение первого порядка

(1)

называется однородным относительно х и у, если функция  есть однородная функция нулевого измерения относительно х и у , т. е. 

Решение однородного уравнения:

По условию: .

Полагая здесь , получим: , и уравнение (1) запишем так:

(1’)

Заметим, что перед делением на х следует проверить наличие частного решения .

Сделаем подстановку ; ; .

 ;

Подставляя сюда после интегрирования , получим общий интеграл уравнения (1).

Пример. Найти общий интеграл дифф. уравнения .

Решение. Замена: ; ;

 ; 

  — общий интеграл

Замечание: Уравнение вида  будет однородным тогда и только тогда, когда  и  будут однородными функциями одного и того же измерения.

Пример. Найти общий интеграл уравнения:  — однородное уравнение. Заметим, что оно допускает частное решение .

Если , то делаем замену ; ; , ;

; ; . – общий интеграл.

Определение:

Линейным ДУ первого порядка называется уравнение, линейное относительно неизвестной функции и ее производной:

(1)

где  и  — непрерывные функции или константы.

Решение уравнения (1) будем искать решение в виде произведения двух функций

(2)

Тогда 

Тогда уравнение (1) можно записать в виде:

, или

(3)

Выберем  так, чтобы выполнялось равенство:

 (кроме ) (4)

Тогда 

Полагаем здесь (нам нужно любое решение уравнения (4))

Окончательно получим общее решение в виде 

Постоянную С можно найти из начальных условий: .

Пример: Решить задачу Коши

 ; ;

Уравнение Бернулли

Уравнения вида

(1)

где  и  – непрерывные функции (или константы),  и , называется уравнениями Бернулли. Заметим, что они допускают нулевое решение . Если, то они приводятся к линейным уравнениям заменой

(2)

Поделим обе части уравнения (1) на , получим

 (3)

(4)

-линейное д.у. Найдем его общее решение, сделаем в нем обратную замену  и получим общее решение уравнения (1).

Пример. Найти общее решение уравнения

(5)

Уравнение имеет нулевое решение . Найдем другие решения.

; ; ;

 — линейное д.у.

Практика

1. Уравнения с разделяющимися переменными.

1); 2); ;

3); 4) ; ;

2. Однородные

1); ; ;

2); 3);

4); 5);

6) ;

3. Линейные первого порядка

1) ; 2);

3); 4).

4. Уравнения Бернулли

1); 2).

    Скачать с Depositfiles 

Дифференциальные уравнения первого порядка — rajak.rs

Общий вид дифференциального уравнения первого порядка:

$F\left( {x,y,y’} \right) = 0$.

Его общее решение имеет вид:

$y = f\left( {x,c} \right)$.

Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка.

1. Дифференциальные уравнения с разделёнными перемеными: \[{f_1}\left( x \right)dx = {f_2}\left( y \right)dy,\] где множителем при $dx$ является функция, зависящая только от $x$, а множителем при $dy$ является функция, зависящая только от $y$. Решение находится методом интегрирования обеих частей.\[\int {{f_1}\left( x \right)dx}  = \int {{f_2}\left( y \right)dy}  + C\]
2. Дифференциальные уравнения вида \[y’ = {f_1}\left( x \right){f_2}\left( y \right)dy,\] где правая часть представляет собой произведение двух функций, из которых одна не зависит от $x$, а вторая не зависит от $y$, называется уравнением с разделяющимися переменными. Метод решения:\[\int {\frac{{dy}}{{{f_2}\left( x \right)}}}  = \int {{f_1}\left( x \right)dx}  + C\]
3. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными, записанные в форме дифференциалов: \[{f_1}\left( x \right) \cdot {f_2}\left( y \right)dx + {f_3}\left( x \right) \cdot {f_4}\left( y \right)dy = 0\] для решения таких дифференциальных уравнений их надо привести к уравнениям с разделёнными переменными.\[\int {\frac{{{f_1}\left( x \right)}}{{{f_3}\left( x \right)}}} dx + \int {\frac{{{f_4}\left( y \right)}}{{{f_2}\left( y \right)}}dy}  = C\]

Функция $f\left( {x,y} \right)$ называется однородной функцией n-го измерения, если при замене в ней переменных $x$ и $y$ соответственно на $tx$ и $ty$, где  $t$ — произвольная величина (параметр) получается та же функция, умноженная на ${t^n}$, т. n} \cdot \varphi \left( {\frac{y}{x}} \right)\]

Однородная функция нулевой степени может быть записана в виде \[f\left( {x,y} \right) = \varphi \left( {\frac{y}{x}} \right)\]

Если функции $M\left( {x,y} \right)$ и $N\left( {x,y} \right)$ однородные одной и той же степени $n$, то дифференциальное уравнение \[M\left( {x,y} \right)dx + N\left( {x,y} \right)dy = 0\] называется однородным.

Уравнение $y’ = f\left( {x,y} \right)$ называется однородным, если оно имеет вид: \[y’ = \varphi \left( {\frac{y}{x}} \right)\]

Очевидно, что $f\left( {x,y} \right)$ однородная функция нулевого измерения.

Однородные уравнения приводятся к уравнению с разделяющимися перемеными при помощи подстановки.

$t = \frac{y}{x}$ т.е. $y = tx$ и $y’ = t’x + t$ или в дифференциалах $dy = tdx + xdt$.

Линейные уравнения первого порядка.

Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется такое дифференциальное уравнение, в которое неизвестные функции  $y$ и ${y’}$ входят в первых степенях и не перемножаются между собой. n}}} \cdot y’ = \frac{{z’}}{{\left( {1 — n} \right)}}$ получим дифференциальное уравнение вида:\[\begin{gathered}
  \frac{{z’}}{{\left( {1 — n} \right)}} + P\left( x \right)z\left( x \right) = Q\left( x \right) \hfill \\
  \frac{{dz}}{{dx}} + \left( {1 — n} \right)P\left( x \right)z\left( x \right) = Q\left( x \right)\left( {1 — n} \right) \hfill \\
\end{gathered} \]Это линейное уравнение I-го порядка, для его решения применяем, например, подстановку Бернулли.

Глава 87. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка

Определение

Уравнения вида

Называется Однородным, если и однородные функции степени .

Понятие однородного дифференциального уравнения связано с понятием однородной функции.

Определение

Функция называется Однородной функцией степени , если для произвольного числа выполняется равенство .

Пример

Выяснить, являются ли однородными следующие функции:

А) . Так как , то данная функция однородна степени 2.

Б) . . Функция однородна степени 0.

В) . . Данная функция неоднородная.

Дифференциальное уравнение вида (8.4.1) можно привести к виду

И при помощи подстановки ( – неизвестная функция) преобразовать в уравнение с разделяющимися переменными. Поскольку , то Þ Þ Þ .После того, как общее решение последнего уравнения будет найдено, необходимо вернуться к старой функции .

Пример

Решить уравнение .

Решение

Разделим уравнение почленно на . Получим . Выполним замену . Следовательно, . Подстановка в исходное уравнение дает Þ – уравнение с разделяющимися переменными. Решая его, получим . Возвращаясь к функции , получим общее решение уравнения: .

Логарифмирование решения дает: .

Пример

Найти частное решение уравнения в точке .

Решение

Уравнение однородное нулевой степени – или . В результате подстановки (, ) получим уравнение с разделяющимися переменными относительно функции : . Интегрирование этого уравнения дает функцию: . Следовательно, общее решение исходного уравнения имеет вид: . Частное решение, соответствующее начальному условию, имеет вид: .

Определение

Дифференциальное уравнение вида

Где и – непрерывные функции, называется Линейным дифференциальным уравнением первого порядка.

Неизвестная функция и ее производная входят в указанное уравнение линейно, что и объясняет название уравнения.

Если , то уравнение (8.4.3) называется Линейным однородным уравнением, если же , то уравнение (8.4.3) называется Линейным неоднородным уравнением.

Пусть линейное однородное уравнение.

Соответствует уравнению (8.4.3). Мы рассмотрим так называемый метод вариации постоянной – метод решения неоднородного уравнения, основанный на предварительном решении однородного уравнения (8.4.4).

Уравнение (8.4.2) можно решить методом разделения переменных:

, откуда .

Потенцируя, получаем общее решение уравнения (8.4.4):

Где .

Общее решение неоднородного уравнения (8.4.3) ищем в виде (8.4.5), полагая константу новой неизвестной функцией от аргумента.

Подставим решение (8.4.5а¢) в уравнение (8.4.3).

,

Откуда после приведения подобных получаем уравнение для :

Интегрирование уравнения (8.4.4) дает выражение для : .

Подставляя выражение для в формулу общего решения, получаем окончательное выражение для решения неоднородного уравнения:

Где – произвольная постоянная.

Следует отметить, что некоторые нелинейные уравнения приводятся к линейным уравнениям соответствующими заменами неизвестной функции . К таковым относится Уравнение Бернулли:

Где и – непрерывные функции, а – некоторое постоянное число. При имеем линейное неоднородное уравнение, а при – линейное однородное уравнение .

Пусть и . Введем новую функцию . Тогда . Поделим обе части уравнения (8.4.8) на и умножим на : .

Выполняя замену, получим линейное неоднородное уравнение относительно новой функции : . Метод решения последнего нами уже изучен.

Пример

Решить уравнение .

Решение

Это линейное неоднородное уравнение первого порядка. Сначала решим соответствующее однородное уравнение . Разделяя переменные, получим Þ .

Полагая функцией от и подставляя найденное решение в исходное неоднородное уравнение, получаем после приведения подобных дифференциальное уравнение для : .

После интегрирования этого уравнения и подстановки в уже найденное решение однородного уравнения получим искомое общее решение исходного уравнения: .

Пример

Решить уравнение .

Решение

Опять начнем с однородного уравнения . После разделения переменных и интегрирования уравнения получаем общее решение однородного уравнения . Полагая, что , получаем после подстановки в неоднородное уравнение . Откуда . Стало быть, общее решение исходного уравнения имеет вид .

Пример

Решить уравнение .

Решение

Данное нелинейное уравнение представляет собой уравнение Бернулли при . Заменой искомой функции мы получим линейное неоднородное уравнение относительно : . По формуле (8.4.7) получаем общее решение этого уравнения . Теперь выполняя обратную замену , получаем решение исходного нелинейного уравнения:

Рассмотрим еще один из возможных способов решения линейного неоднородного уравнения (8.4.3) и уравнения Бернулли (8.4.8).

Решение этих уравнений ищем в виде произведения двух функций . Тогда линейное уравнение и уравнение Бернулли сводятся к двум уравнениям с разделяющимися переменными.

Так как , то линейное уравнение (8.4.3) преобразуется к виду .

Найдем сначала какое–нибудь частное решение уравнения . Тогда функция Решение уравнения .

Пример

Решить уравнение .

Решение

Исходное уравнение есть линейное неоднородное уравнение . Пусть , тогда . Следовательно, или . Положим . Проинтегрировав это уравнение, найдем какое–нибудь частное решение этого уравнения . Например, при получаем . Подставляя в уравнение Функцию , получим уравнение относительно функции : . Решением этого уравнения с разделяющимися переменными есть функция . Окончательное выражение для решения исходного уравнения имеет вид .

Однородные дифференциальные уравнения первого порядка

Краткая теория

Методы решения других видов дифференциальных уравнений:

Примеры решения задач

Задача 1

Решить дифференциальное уравнение.

Решение

Преобразуем дифуравнение:

Пусть

Получаем:

Если вам сейчас не требуется платная помощь с решением задач, контрольных работ и типовых расчетов, но может потребоваться в дальнейшем, то, чтобы не потерять контакт
вступайте в группу ВК
сохраните контакт WhatsApp (+79688494598)
сохраните контакт Телеграм (@helptask) .

Общее решение дифуравнения:

Ответ:

Задача 2

Решить дифференциальное уравнение.

Решение

Преобразуем
дифуравнение:

Примем

Общее
решение дифуравнения:

Ответ:

Если вам сейчас не требуется платная помощь с решением задач, контрольных работ и типовых расчетов, но может потребоваться в дальнейшем, то, чтобы не потерять контакт
вступайте в группу ВК
сохраните контакт WhatsApp (+79688494598)
сохраните контакт Телеграм (@helptask) .

На цену сильно влияет срочность решения (от суток до нескольких часов). Онлайн-помощь на экзамене/зачете (срок решения 1,5 часа и меньше) осуществляется по предварительной записи.

Заявку можно оставить прямо в чате ВКонтакте, WhatsApp или Telegram, предварительно сообщив необходимые вам сроки решения и скинув условие задач.

17.2: Однородные линейные уравнения первого порядка

Простым, но важным и полезным типом разделяемых уравнений является однородное линейное уравнение первого порядка :

Определение: однородное линейное дифференциальное уравнение первого порядка

Однородное линейное дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид

\ [\ точка y + p (t) y = 0 \]

или аналогично

\ [\ точка y = -p (t) y. \]

«Линейный» в этом определении означает, что и \ (\ dot y \), и \ (y \) относятся к первой степени; «однородный» относится к нулю в правой части первой формы уравнения .

Пример \ (\ PageIndex {2} \)

Уравнение \ (\ dot y = 2t (25-y) \) может быть записано \ (\ dot y + 2ty = 50t \). Это линейно, но не однородно. Уравнение \ (\ dot y = ky \) или \ (\ dot y-ky = 0 \) является линейным и однородным с особенно простым \ (p (t) = — k \). {P (t)}, \ cr} \]

, где \ (P (t) \) — антипроизводная от \ (- p (t) \).{-3} \).

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Определение линейного уравнения первого порядка

Дифференциальное уравнение типа

\ [y ’+ a \ left (x \ right) y = f \ left (x \ right), \]

, где \ (a \ left (x \ right) \) и \ (f \ left (x \ right) \) — непрерывные функции от \ (x, \), называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением первого порядка. Мы рассматриваем два метода решения линейных дифференциальных уравнений первого порядка:

• Использование интегрирующего коэффициента;
• Метод изменения постоянной.

Использование интегрирующего коэффициента

Если линейное дифференциальное уравнение записано в стандартной форме:

\ [y ’+ a \ left (x \ right) y = f \ left (x \ right), \]

интегрирующий коэффициент определяется по формуле

\ [{u \ left (x \ right)} = {\ exp \ left ({\ int {a \ left (x \ right) dx}} \ right).} \]

Умножение левой части уравнения на интегрирующий множитель \ (u \ left (x \ right) \) преобразует левую часть в производную произведения \ (y \ left (x \ right) u \ left (x \ верно).\)

Общее решение дифференциального уравнения выражается следующим образом:

\ [y = \ frac {{\ int {u \ left (x \ right) f \ left (x \ right) dx} + C}} {{u \ left (x \ right)}}, \]

где \ (C \) — произвольная постоянная.

Метод изменения константы

Этот метод аналогичен предыдущему. Для начала необходимо найти общее решение однородного уравнения:

\ [y ’+ a \ left (x \ right) y = 0. \]

Общее решение однородного уравнения содержит постоянную интегрирования \ (C.\) Заменим константу \ (C \) некоторой (пока неизвестной) функцией \ (C \ left (x \ right). \) Подставив это решение в неоднородное дифференциальное уравнение, мы можем определить функцию \ (C \ влево (х \ вправо). \)

Описанный алгоритм называется методом изменения константы. Конечно, оба метода приводят к одному и тому же решению.

Задача начального значения

Если помимо дифференциального уравнения существует еще начальное условие в виде \ (y \ left ({{x_0}} \ right) = {y_0}, \), такая задача называется задачей начальной стоимости (IVP). или проблема Коши.3}. \)

Решение.

Мы решим эту проблему, используя метод изменения постоянной. Сначала находим общее решение однородного уравнения:

\ [xy ’= y, \]

, которую можно решить, разделив переменные:

\ [
{x \ frac {{dy}} {{dx}} = y, \; \;} \ Rightarrow
{\ frac {{dy}} {y} = \ frac {{dx}} {x }, \; \;} \ Rightarrow
{\ int {\ frac {{dy}} {y}} = \ int {\ frac {{dx}} {x}}, \; \;} \ Rightarrow
{ \ ln \ left | у \ право | = \ ln \ left | х \ право | + \ ln C, \; \;} \ Rightarrow
{y = Cx.3} + {C_1} x.} \]

Однородные уравнения

Определение однородного дифференциального уравнения

Дифференциальное уравнение первого порядка

\ [\ frac {{dy}} {{dx}} = f \ left ({x, y} \ right) \]

называется однородным уравнением, если правая часть удовлетворяет условию

\ [f \ left ({tx, ty} \ right) = f \ left ({x, y} \ right) \]

для всех \ (t. n} P \ left ({x, y} \ right).\]

Решение однородных дифференциальных уравнений

Однородное уравнение может быть решено заменой \ (y = ux, \), которая приводит к разделимому дифференциальному уравнению.

Дифференциальное уравнение вида

\ [{\ left ({{a_1} x + {b_1} y + {c_1}} \ right) dx} + {\ left ({{a_2} x + {b_2} y + {c_2}} \ right) dy} = {0} \]

преобразуется в разделяемое уравнение путем перемещения начала системы координат в точку пересечения заданных прямых линий.Если эти прямые параллельны, дифференциальное уравнение преобразуется в разделяемое уравнение с помощью замены переменной:

\ [z = ax + by. \]

Решенные проблемы

Щелкните или коснитесь проблемы, чтобы увидеть решение.

Пример 1

Решите дифференциальное уравнение \ (\ left ({2x + y} \ right) dx \) \ (- xdy = 0. \)

Пример 2

Решите дифференциальное уравнение \ (xy ’= y \ ln {\ large \ frac {y} {x} \ normalsize}. 2}.3}. \)

Пример 6

Решите уравнение \ (y ’= {\ large \ frac {{2x + 1}} {{3y + x + 2}} \ normalsize}. \)

Пример 7

Найдите общее решение дифференциального уравнения \ (y ’= {\ large \ frac {{x — y + 3}} {{x — y}} \ normalsize}. \)

Пример 1.

Решите дифференциальное уравнение \ (\ left ({2x + y} \ right) dx \) \ (- xdy = 0. \)

Решение.

Легко видеть, что многочлены \ (P \ left ({x, y} \ right) \) и \ (Q \ left ({x, y} \ right), \) соответственно в \ (dx \ ) и \ (dy, \) — однородные функции первого порядка.2} du = 0.}
\]

Разделив обе стороны на \ (x \), получим:

\ [{xdu = 2dx \; \; \ text {или} \; \;} \ kern-0.3pt {du = 2 \ frac {{dx}} {x}.} \]

При делении на \ (x, \) мы можем потерять решение \ (x = 0. \) Прямая подстановка показывает, что \ (x = 0 \) действительно является решением данного дифференциального уравнения.

Проинтегрируйте последнее выражение, чтобы получить:

\ [{\ int {du} = 2 \ int {\ frac {{dx}} {x}} \; \; \ text {или} \; \;} \ kern-0.3pt {u = 2 \ ln \ left | х \ право | + C,} \]

где \ (C \) — постоянная интегрирования.

Возвращаясь к старой переменной \ (y, \), мы можем написать:

\ [{y = ux} = {x \ left ({2 \ ln \ left | x \ right | + C} \ right).} \]

Таким образом, уравнение имеет два решения:

\ [{y = x \ left ({2 \ ln \ left | x \ right | + C} \ right), \; \;} \ kern-0.3pt {x = 0.} \]

Однородные дифференциальные уравнения

Здесь мы рассмотрим специальный метод решения «Однородных дифференциальных уравнений»

Однородные дифференциальные уравнения

Дифференциальное уравнение первого порядка — это Однородное , когда оно может иметь следующую форму:

dy dx = F ( y x )

Мы можем решить эту проблему, используя разделение переменных, но сначала мы создаем новую переменную v = y x

v = y x , что также равно y = vx

И dy dx = d (vx) dx = v dx dx + x dv dx (в соответствии с Правилом продукта)

Что можно упростить до dy dx = v + x dv dx

Используя y = vx и dy dx = v + x dv dx , мы можем решить дифференциальное уравнение.

Пример покажет, как это все делается:

Пример: Решить

dy dx = x ² + y ² xy

Можно ли сделать это в стиле F ( y x )?

Начать с: x ² + y ² xy

Отдельные термины: x ² xy + y ² xy

Упростить: x y + y x

, величина, обратная первому члену: ( y x ) ⁻¹ + y x

Да, у нас есть функция (y / x).

Итак, вперед:

Начать с: dy dx = ( y x ) ⁻¹ + y x

y = vx и dy dx = v + x dv dx : v + x dv dx = v ⁻¹ + v

Вычтите v с обеих сторон: x dv dx = v ⁻¹

Теперь используйте разделение переменных:

Разделите переменные: v dv = 1 x dx

Поставьте знак интеграла впереди: ∫v dv = ∫ 1 x dx

Интегрировать: v ² 2 = ln (x) + C

Тогда получаем C = ln (k) : v ² 2 = ln (x) + ln (k)

Линия комбайна: v ² 2 = ln (kx)

Упростить: v = ± √ (2 ln (kx))

Теперь подставляем обратно v = y x

Заменитель v = y x : y x = ± √ (2 ln (kx))

Упростить: y = ± x √ (2 ln (kx))

И у нас есть решение.

Положительная часть выглядит так:

Другой пример:

Пример: Решить

dy dx = y (x − y) x ²

Можно ли сделать это в стиле F ( y x )?

Начать с: y (x − y) x ²

Отдельные термины: xy x ² — y ² x ²

Упростить: y x — ( y x ) ²

Да! Итак, поехали:

Начать с: dy dx = y x — ( y x ) ²

y = vx и dy dx = v + x dv dx v + x dv dx = v — v ²

Вычтите v с обеих сторон: x dv dx = −v ²

Теперь используйте разделение переменных:

Разделите переменные: — 1 v ² dv = 1 x dx

Поставьте знак интеграла впереди: ∫− 1 v ² dv = ∫ 1 x dx

Интегрировать: 1 v = ln (x) + C

Затем получаем C = ln (k) : 1 v = ln (x) + ln (k)

Линия комбайна: 1 v = ln (kx)

Упростить: v = 1 ln (kx)

Теперь подставляем обратно v = y x

Заменитель v = y x : y x = 1 ln (kx)

Упростить: y = x ln (kx)

И у нас есть решение.

Вот несколько примеров значений k:

И последний пример:

Пример: Решить

dy dx = x − y x + y

Можно ли сделать это в стиле F ( y x )?

Начать с: x − y x + y

Разделить на x: x / x − y / x x / x + y / x

Упростить: 1 − y / x 1 + y / x

Да! Итак, поехали:

Начать с: dy dx = 1 − y / x 1 + y / x

y = vx и dy dx = v + x dv dx v + x dv dx = 1 − v 1 + v

Вычтите v с обеих сторон: x dv dx = 1 − v 1 + v — v

Тогда: x dv dx = 1 − v 1 + v — v + v ² 1 + v

Упростить: x dv dx = 1−2v − v ² 1 + v

Теперь используйте разделение переменных:

Разделите переменные: 1 + v 1−2v − v ² dv = 1 x dx

Поставьте знак интеграла впереди: ∫ 1 + v 1−2v − v ² dv = ∫ 1 x dx

Интегрировать: — 1 2 ln (1−2v − v ² ) = ln (x) + C

Тогда получаем C = ln (k) : — 1 2 ln (1−2v − v ² ) = ln (x) + ln (k)

Линия комбайна: (1−2v − v ² ) ^−½ = kx

Квадратное и обратное: 1−2v − v ² = 1 k ² x ²

Теперь подставляем обратно v = y x

Заменитель v = y x : 1-2 ( y x ) — ( y x ) ² = 1 k ² x ²

Умножить на x ² : x ² −2xy − y ² = 1 k ²

Мы почти у цели… хотя приятно выделить y!
Мы можем попытаться разложить на множители x ² −2xy − y ² , но сначала мы должны немного изменить порядок:

Изменить знаки: y ² + 2xy − x ² = — 1 k ²

Заменить — 1 k ² на c: y ² + 2xy − x ² = c

Добавьте 2x ² к обеим сторонам: y ² + 2xy + x ² = 2x ² + c

Фактор: (y + x) ² = 2x ² + c

Квадратный корень: y + x = ± √ (2x ² + c)

Вычтем x из обеих частей: y = ± √ (2x ² + c) — x

И у нас есть решение.

Положительная часть выглядит так:

Дифференциальные уравнения —

DE первого порядка

Показать мобильное уведомление

Показать все заметки Скрыть все заметки

Похоже, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана ( i.е. вы, вероятно, пользуетесь мобильным телефоном). Из-за характера математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в альбомном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку от вашего устройства (должна быть возможность прокручивать, чтобы увидеть их), а некоторые элементы меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

Глава 2: Дифференциальные уравнения первого порядка

В этой главе мы рассмотрим решение дифференциальных уравнений первого порядка.Наиболее общее дифференциальное уравнение первого порядка можно записать как,

\ [\ begin {уравнение} \ frac {{dy}} {{dt}} = f \ left ({y, t} \ right) \ label {eq: eq1} \ end {уравнение} \]

Как мы увидим в этой главе, не существует общей формулы для решения \ (\ eqref {eq: eq1} \). Вместо этого мы рассмотрим несколько частных случаев и посмотрим, как их решить. Мы также рассмотрим часть теории, лежащей в основе дифференциальных уравнений первого порядка, а также некоторые приложения дифференциальных уравнений первого порядка.Ниже приводится список тем, обсуждаемых в этой главе.

Линейные уравнения — В этом разделе мы решаем линейные дифференциальные уравнения первого порядка, то есть дифференциальные уравнения в форме \ (y ‘+ p (t) y = g (t) \). Мы даем подробный обзор процесса, используемого для решения этого типа дифференциального уравнения, а также вывод формулы, необходимой для интегрирующего коэффициента, используемого в процессе решения.

Разделимые уравнения — В этом разделе мы решаем разделимые дифференциальные уравнения первого порядка, т.е.е. дифференциальные уравнения вида \ (N (y) y ‘= M (x) \). Мы дадим вывод процесса решения этого типа дифференциального уравнения. Мы также начнем искать интервал применимости решения дифференциального уравнения.

Точные уравнения — В этом разделе мы обсудим определение и решение точных дифференциальных уравнений. Мы разработаем тест, который можно использовать для идентификации точных дифференциальных уравнений и дать подробное объяснение процесса решения.{n} \). В этом разделе также будет представлена ​​идея использования подстановки для решения дифференциальных уравнений.

Подстановки — в этом разделе мы продолжим с того места, где закончился последний раздел, и рассмотрим пару других замен, которые можно использовать для решения некоторых дифференциальных уравнений. В частности, мы обсудим использование решений для решения дифференциальных уравнений вида \ (y ‘= F (\ frac {y} {x}) \) и \ (y’ = G (ax + by) \).

Интервалы достоверности — в этом разделе мы подробно рассмотрим интервалы достоверности, а также ответим на вопрос о существовании и уникальности дифференциальных уравнений первого порядка.

Моделирование с помощью дифференциальных уравнений первого порядка — В этом разделе мы будем использовать дифференциальные уравнения первого порядка для моделирования физических ситуаций. В частности, мы рассмотрим проблемы смешивания (моделирование количества вещества, растворенного в жидкости, и жидкость как на входе, так и на выходе), проблемы популяции (моделирование популяции в различных ситуациях, в которых популяция может входить или выходить) и падающие объекты. (моделирование скорости падающего объекта под действием силы тяжести и сопротивления воздуха).

Равновесные решения — В этом разделе мы определим равновесные решения (или точки равновесия) для автономных дифференциальных уравнений, \ (y ‘= f (y) \). Мы обсуждаем классификацию равновесных решений как асимптотически устойчивые, нестабильные или полустабильные равновесные решения.

Метод Эйлера. В этом разделе мы кратко рассмотрим довольно простой метод приближения решений дифференциальных уравнений. Мы выводим формулы, используемые методом Эйлера, и даем краткое обсуждение ошибок в приближении решений.

Однородное дифференциальное уравнение первого порядка (с линейным сдвигом)

Есть ли более простой метод решения этого уравнения?

$$ (x-2y + 1) \ text dx + (4x-3y-6) \ text dy = 0 $$

$$ \ frac {\ text dy} {\ text dx} = \ frac {2y-x-1} {4x-3y-6} $$

$$ \ frac {\ text d Y} {\ text d X} = \ frac {2 (Y + k) — (X + h) -1} {4 (X + h) -3 (Y + k) -6} $$

$$ \ frac {\ text d Y} {\ text d X} = \ frac {2Y-X + (2k-h-1)} {4X-3Y + (4h-3k-6)} $$

$$ 2k-h-1 = 0 \ qquad4h-3k-6 = 0 $$
$$ h = 2k-1 \ qquad 4 (2k-1) -3k-6 = 0 $$
$$ 5k-10 = 0 \ qquad k = 2 \ qquad h = 2 (2) -1 \ qquad h = 3 $$
$$ y = Y + 2 \ qquad \ qquad x = X + 3 $$
$$ Y = y-2 \ qquad \ qquad X = x-3 $$

$$ \ frac {\ text d Y} {\ text d X} = \ frac {2Y-X} {4X-3Y} = \ frac {2 \ left (\ frac {Y} {X} \ right) -1} {4-3 \ left (\ frac {Y} {X} \ right)} $$

$$ \ left (\ frac {Y} {X} \ right) = V \ qquad Y = VX $$

$$ \ frac {\ text d Y} {\ text d X} = X \ frac {\ text d V} {\ text d X} + V $$

$$ X \ frac {\ text d V} {\ text d X} + V = \ frac {2V-1} {4-3V} $$

$$ X \ frac {\ text d V} {\ text d X} = \ frac {2V-1} {4-3V} -V $$

$$ X \ frac {\ text d V} {\ text d X} = \ frac {2V-1} {4-3V} -V \ left (\ frac {4-3V} {4-3V} \ right ) $$

$$ X \ frac {\ text d V} {\ text d X} = \ frac {3V ^ 2-2V-1} {4-3V} $$

$$ \ frac {\ text dX} {X} = \ frac {4-3V} {3V ^ 2-2V-1} \ text dV $$

$$ \ int \ frac {\ text dX} {X} = \ int \ frac {4-3V} {3V ^ 2-2V-1} \ text dV $$

$$ \ ln X = \ int \ frac {4-3V} {3V ^ 2-2V-1} \ text dV $$

$$ 3V ^ 2-2V-1 = (V-1) \ overline {\ bigg) 3V ^ 2-2V-1} $$

$$ \ qquad3V + 1 $$$$ = (V-1) \ overline {\ bigg) 3V ^ 2-2V-1} $$$$ \ quad \ qquad3V ^ 2-3V $$$$ \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad V-1 $$$$ \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ underline {V-1} $$$$ \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad 0 $$

$$ 3V ^ 2-2V-1 = (V-1) (3V + 1) $$

$$ \ frac {4-3V} {3V ^ 2-2V-1} = \ frac {4-3V} {(V-1) (3V + 1)} = \ frac {\ alpha} {(V- 1)} + \ frac {\ beta} {(3V + 1)} = \ frac {(3V + 1) \ alpha + (V-1) \ beta} {(V-1) (3V + 1)} $$

$$ 4-3V = (3V + 1) \ alpha + (V-1) \ beta $$
$$ 4-3V = 3V \ alpha + \ alpha + V \ betaa- \ beta $$
$$ 4-3V = \ alpha- \ beta + (3 \ alpha + \ beta) V $$
$$ 4 = \ alpha- \ beta $$
$$ — 3 = 3 \ alpha + \ beta $$
$$ 4 + \ beta = \ alpha $$
$$ — 3 = 3 (4+ \ beta) + \ beta $$
$$ — 15 = 4 \ beta $$
$$ \ beta = \ frac {-15} {4} $$
$$ 4 = \ alpha- \ left (\ frac {-15} {4} \ right) $$
$$ \ alpha = 4- \ frac {15} {4} = \ frac {16} {4} — \ frac {15} {4} = \ frac14 $$

$$ \ ln X = \ int \ frac {1/4} {V-1} — \ frac {15/4} {3V + 1} \ text d V $$

$$ \ ln X = \ frac {1} {4} \ int \ frac {1} {V-1} — \ frac {15} {3V + 1} \ text d V $$

$$ 4 \ ln X = \ ln (V-1) -5 \ ln (3V + 1) + c $$

$$ \ ln \ left (X ^ 4 \ right) = \ ln \ left ({\ frac {(V-1)} {(3V + 1) ^ 5}} \ right) + c $$

$$ X ^ 4 = \ frac {V-1} {(3V + 1) ^ 5} \ times e ^ c $$

$$ (3V + 1) ^ 5X ^ 4 = e ^ c (V-1) $$

$$ (3V + 1) ^ 5X ^ 5 = AX (V-1) $$

$$ (3XV + X) ^ 5 = A (XV-X) $$

$$ (3X \ tfrac {Y} {X} + X) ^ 5 = A (X \ tfrac {Y} {X} -X) $$

$$ (3Y + X) ^ 5 = A (Y-X) $$

$$ (3 (y-2) + (x-3)) ^ 5 = A ((y-2) — (x-3)) $$

$$ (3y + x-9) ^ 5 = A (y-x + 1) $$

Дифференциальные уравнения первого и второго порядка

Дифференциальные уравнения первого и второго порядка

Дифференциальные уравнения первого порядка

Дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид:

Линейные уравнения:

Общее общее решение дается формулой

где

называется интегрирующим коэффициентом .

Разделимые уравнения:

(1)

Решите уравнение g ( y ) = 0, которое дает постоянную
решения.

(2)

Непостоянные решения даются

Уравнения Бернулли:

(1)

Рассмотрим новую функцию.

(2)

Новое уравнение, которому удовлетворяет v , имеет вид

(3)

Решите новое линейное уравнение, чтобы найти v .

(4)

Возврат к старой функции y через подстановку.

(5)

Если n > 1, добавьте решение y = 0 к уже полученным
(4).

Однородные уравнения:

является однородным , если функция f ( x , y ) однородна, то есть

Подстановкой мы рассматриваем новую функцию

Новое дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет z , имеет вид

которое является сепарабельным уравнением.Решения постоянные
f (1, z ) — z = 0, а непостоянные —

Не забудьте вернуться к старой функции y = xz .

Точные уравнения:

— точное значение , если

Условие точности гарантирует
существование функции F ( x , y ) такой, что

Все решения даются неявным уравнением

Дифференциальные уравнения второго порядка

Однородные линейные уравнения с постоянными коэффициентами:

Запишите характеристическое уравнение

(1)

Если и — различные действительные числа (это происходит
если), то общее решение

(2)

Если (что произойдет, если), то
общее решение

(3)

Если и — комплексные числа (что происходит, если
), то общее решение

где

это

Неоднородные линейные уравнения:

Общее решение дается формулой

где — частное решение, а — общее
решение связанного однородного уравнения

Для поиска были разработаны два основных метода.

Метод неопределенных коэффициентов или метод угадывания

Этот метод работает для уравнения

где a , b и c постоянны и

где — полиномиальная функция степени n . В этом случае мы имеем

где

Константы и должны быть определены. Сила
s равно 0, если не является корнем
характеристическое уравнение.Если это простой корень, то
s = 1 и s = 2, если это двойной корень.
Замечание. Если неоднородный член г ( x )
удовлетворяет следующим

где есть формы, указанные выше, то мы разбиваем
исходное уравнение в уравнения N

затем найдите конкретное решение. Конкретное решение
исходное уравнение дается

Метод изменения параметров

Этот метод работает до тех пор, пока мы знаем два линейно независимых
решения однородного уравнения

Обратите внимание, что этот метод работает независимо от того, являются ли коэффициенты
постоянный или нет.конкретный
решение как

где и — функции. Отсюда и название метода.
Функции и решения системы:

что подразумевает

Следовательно, мы имеем

Уравнения Эйлера-Коши:

где b и c — постоянные числа. Путем подстановки установить

тогда новое уравнение, которому удовлетворяет y ( t ),

которое является дифференциальным уравнением второго порядка с постоянной
коэффициенты.

(1)

Запишите характеристическое уравнение

(2)

Если корни и являются различными действительными числами,
то общее решение дается формулой

(2)

Если корни и равны (), то
общее решение

(3)

Если корни и являются комплексными числами, то
общее решение

где и.

[Дифференциальные уравнения]

[Геометрия]
[Алгебра]
[Тригонометрия]

[Исчисление]
[Комплексные переменные]
[Матричная алгебра]

Домашняя страница S.O.S MATHematics

Вам нужна дополнительная помощь? Пожалуйста, разместите свой вопрос на нашем

S.O.S. Математика CyberBoard.

Авторские права 1999-2021 MathMedics, LLC. Все права защищены.

Свяжитесь с нами

Math Medics, LLC. — П.О. Box 12395 — El Paso TX 79913 — США

пользователей онлайн за последний час

.