Формула на движение задачи: Задачи на движение для подготовки к ЕГЭ по математике (2021) — ошкольное образовательное учреждение № 4 «Алёнушка»

Содержание

Задачи на движение для подготовки к ЕГЭ по математике (2021)

Допустим, тебе надо проплыть \( \displaystyle10\) км. Когда ты преодолеешь это расстояние быстрее? Когда ты будешь двигаться по течению или против?

Решим задачку и проверим.

Добавим к нашему пути данные о скорости течения – \( \displaystyle 3\) км/ч и о собственной скорости плота – \( \displaystyle 7\) км/ч. Какое время ты затратишь, двигаясь по течению и против него?

Конечно, ты без труда справился с этой задачей! По течению – \( \displaystyle 1\) час, а против течения аж \( \displaystyle 2,5\) часа!

В этом и есть вся суть задач на движение с течением.

Несколько усложним задачу. Лодка с моторчиком плыла из пункта \( \displaystyle A\) в пункт \( \displaystyle B\) \( \displaystyle 3\) часа, а обратно – \( \displaystyle 2\) часа.

Найдите скорость течения, если скорость лодки в стоячей воде – \( \displaystyle 40\) км/ч

Обозначим расстояние между пунктами, как \( \displaystyle AB\), а скорость течения – как \( \displaystyle x\).

Все данные из условия занесем в таблицу:

Путь S	Скорость v, км/ч	Время t, часов
A –> B (против течения)	\( \displaystyle AB\)	\( \displaystyle 40-x\)	3
B –> A (по течению)	\( \displaystyle AB\)	\( \displaystyle 40+x\)	2

Мы видим, что лодка проделывает один и тот же путь, соответственно:

\( \displaystyle \left( 40-x \right)\cdot 3\text{ }=\text{ }\left( 40+x \right)\cdot 2\)

\( \displaystyle 120-\text{ }\text{ }3x\text{ }=\text{ }80+2x\)

\( \displaystyle 40=5x\)

\( \displaystyle x=8\)

Что мы брали за \( \displaystyle x\)? Скорость течения. Тогда это и будет являться ответом:) Скорость течения равна \( \displaystyle 8\) км/ч.

Еще одна задача

Байдарка в \( \displaystyle 8:00\) вышла из пункта \( \displaystyle A\) в пункт \( \displaystyle B\), расположенный в \( \displaystyle 26\) км от \( \displaystyle A\).

Пробыв в пункте \( \displaystyle B\) \( \displaystyle 1\) час \( \displaystyle 20\) минут, байдарка отправилась назад и вернулась в пункт \( \displaystyle A\) в \( \displaystyle 20:00\).

Определите (в км/ч) собственную скорость байдарки, если известно, что скорость течения реки \( \displaystyle 5\) км/ч.

Итак, приступим. Прочитай задачу несколько раз и сделай рисунок. Думаю, ты без труда сможешь решить это самостоятельно.

Все величины у нас выражены в одном виде? Нет. Время отдыха у нас указано и в часах, и в минутах.

Переведем это в часы:

\( \displaystyle 1\) час \( \displaystyle 20\) минут = \( \displaystyle 1\frac{20}{60}=1\frac{1}{3}\) ч.

Теперь все величины у нас выражены в одном виде. Приступим к заполнению таблицы и поиску того, что мы возьмем за \( \displaystyle x\).

Пусть \( \displaystyle x\) – собственная скорость байдарки. Тогда, скорость байдарки по течению равна \( \displaystyle x+5\), а против течения равна \( \displaystyle x-5\).

Запишем эти данные, а так же путь (он, как ты понимаешь, одинаков) и время, выраженное через путь и скорость, в таблицу:

Путь S	Скорость v, км/ч	Время t, часов
Против течения	26	\( \displaystyle x-5\)	\( \displaystyle \frac{26}{x-5}\)
По течению	26	\( \displaystyle x+5\)	\( \displaystyle \frac{26}{x+5}\)

Посчитаем, сколько времени байдарка затратила на свое путешествие:

\( \displaystyle 20.00-8.00\text{ }=\text{ }12\) часов.

Все ли \( \displaystyle 12\) часов она плыла? Перечитываем задачу.

Нет, не все. У нее был отдых \( \displaystyle 1\) час \( \displaystyle 20\) минут, соответственно, из \( \displaystyle 12\) часов мы вычитаем время отдыха, которое, мы уже перевели в часы:

\( \displaystyle 12-1\frac{1}{3}=10\frac{2}{3}\) ч байдарка действительно плыла. {2}}-25 \right)\)

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые. Далее решаем получившееся квадратное уравнение.

С этим, я думаю, ты тоже справишься самостоятельно. Какой ответ у тебя получился? У меня \( \displaystyle 8\) км/ч.

Задачи на движение (математические формулы) | Учебно-методическое пособие по математике (4 класс) на тему:

t- время

V сближения = V1 + V2

S=(V1 + V2) • t

t = S: ( V1 + V2)

t- время t- время

V удаления = V1 + V2

S= V удаления • t + d

t- время t- время

V удаления = V1 + V2

S= V удаления • t

V1 > V2

d t- встречи

V сближения = V1 — V2

S= (V1 — V2) • t встречное — d t встречное = S: V сближения

V1 = S: t + V2

t- время

d s

V удаления = V1 — V2

S= (V1 — V2) • t + d

t= S: (V1 — V2) d-расстояние между точками

1. Задачи на встречное движение

2. Движение в противоположных

направлениях

3. Движение в противоположных

направлениях

4. Движение вдогонку

5. Движение с остановками

Эта книжка – помощница будет полезна учащимся 4 класса, учителям, родителям, желающим помочь своим детям научиться решать задачи «на движение».

В книжке представлены математические модели и формулы по решению задач на разные виды движения. Это основная группа задач, которые считаются трудными для учеников начальных классов.

Научиться преодолевать трудности в решении задач на движение – это значит научиться определять зависимость между величинами: скорость, время, расстояние.

Урок 35. задачи на движение — Математика — 5 класс

Математика

5 класс

Урок № 35

Задачи на движение

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

Понятия скорости, времени, расстояния.
Формулы нахождения скорости, времени, расстояния.
Понятия скорости сближения, скорости удаления.

Глоссарий по теме

Расстояние – это длина от одного пункта до другого.

Большие расстояния, в основном, измеряются в метрах и километрах.

Расстояние обозначается латинской буквой S.

Чтобы найти расстояние, надо скорость умножить на время движения:

S = v ∙ t

Скорость – это расстояние, пройденное телом за единицу времени. Под единицей времени подразумевается 1 час, 1 минута или 1 секунда.

Скорость обозначается латинской буквой v.

Чтобы найти скорость, нужно расстояние разделить на время движения:

v = S : t

Время – это продолжительность каких-то действий, событий.

Время движения обозначается маленькой латинской буквой t.

Чтобы найти время, нужно расстояние разделить на скорость движения:

t = S : v

Скорость сближения – это расстояние, пройденное двумя объектами навстречу друг другу за единицу времени.

Чтобы найти скорость сближения, нужно сложить скорости объектов.

Скорость удаления – это расстояние, которое увеличивается за единицу времени между двумя объектами, двигающимися в противоположных направлениях.

Чтобы найти скорость удаления, нужно сложить скорости объектов.

Чтобы найти скорость удаления при движении в одном направлении, нужно из большей скорости вычесть меньшую скорость.

Основная литература

1. Никольский С. М. Математика. 6 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений // С. М. Никольский, М. К., Потапов, Н. Н. Решетников и др. — М.: Просвещение, 2017. — 258 с.

2. Потапов М. К., Шевкин А. В. Математика. Книга для учителя. 5 – 6 классы — М.: Просвещение, 2010

Дополнительная литература

1. Чесноков А. С., Нешков К. И. Дидактические материалы по математике 5 кл. – М.: Академика учебник, 2014

2. Бурмистрова Т. А. Математика. Сборник рабочих программ. 5–6 классы // Составитель Бурмистрова Т. А.

3. Потапов М. К. Математика: дидактические материалы. 6 кл. // Потапов М. К., Шевкин А. В. — М.: Просвещение, 2010

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Очень часто нам встречаются задачи на нахождение скорости, времени и расстояния. Что же всё это такое? Сейчас нам предстоит в этом разобраться.

Расстояние – это длина от одного пункта до другого. (Например, расстояние от дома до школы 2 километра). В основном большие расстояния измеряются в метрах и километрах. Общепринятое обозначение расстояния – заглавная латинская буква S.

Скоростью называют расстояние, пройденное телом за единицу времени. Под единицей времени подразумевается 1 час, 1 минута или 1 секунда. Скорость обозначается маленькой латинской буквой v.

Рассмотрим задачу:

Двое школьников решили проверить, кто быстрее добежит от двора до спортплощадки. Расстояние от двора до спортплощадки 200 метров. Первый школьник добежал за 50 секунд. Второй за 100 секунд. Кто из ребят бежал быстрее?

Решение:

Быстрее бежал тот, кто за 1 секунду пробежал большее расстояние. Говорят, что у него скорость движения больше. Чтобы найти скорость, нужно расстояние разделить на время движения.

Давайте найдём скорость первого школьника. Для этого разделим 200 метров на время движения первого школьника, то есть на 50 секунд:

200 м : 50 с = 4

Если расстояние дано в километрах, а время движения в часах, скорость измеряется в километрах в час (км/ч).

У нас расстояние дано в метрах, а время в секундах. Значит, скорость измеряется в метрах в секунду:

200 м : 50 с = 4 (м/с)

Скорость движения первого школьника составляет 4 метра в секунду.

Теперь найдём скорость движения второго школьника. Для этого разделим расстояние на время движения второго школьника:

200 м : 100 c = 2 (м/с)

Скорость движения первого школьника – 4 (м/с).

Скорость движения второго школьника – 2 (м/с).

4 (м/с) > 2 (м/с)

Скорость первого школьника больше. Значит, он бежал до спортплощадки быстрее.

Иногда возникает ситуация, когда требуется узнать, за какое время тело преодолеет то или иное расстояние. Время движения обозначается маленькой латинской буквой t.

Рассмотрим задачу:

От дома до спортивной секции 1200 метров. Мы должны доехать туда на велосипеде. Наша скорость будет 600 метров в минуту. За какое время мы доедем до спортивной секции?

Решение:

Если за одну минуту мы будем проезжать 600 метров, то сколько таких минут нам понадобится для преодоления тысячи двухсот метров? Очевидно, что надо разделить 1200 метров на то расстояние, которое мы будем проезжать за одну минуту, то есть на 600 метров. Тогда мы получим время, за которое мы доедем до спортивной секции:

1200 : 600 = 2 (мин)

Ответ: мы доедем до спортивной секции за 2 минуты.

Скорость, время и расстояние связаны между собой.

Если известны скорость и время движения, то можно найти расстояние. Оно равно скорости, умноженной на время:

S = v ∙ t

Рассмотрим задачу:

Мы вышли из дома и направились в магазин. Мы дошли до магазина за 15 минут. Наша скорость была 60 метров в минуту. Какое расстояние мы прошли?

Решение:

Если за одну минуту мы прошли 60 метров, то сколько таких отрезков по шестьдесят метров мы пройдём за 15 минут? Очевидно, что умножив 60 метров на 15 минут, мы определим расстояние от дома до магазина:

v = 60 (м/мин)

t = 15 (минут)

S = v ∙ t = 60 ∙ 15 = 900 (метров)

Ответ: мы прошли 900 метров.

Если известно время и расстояние, то можно найти скорость:

v = S : t

Рассмотрим задачу:

Расстояние от дома до школы 800 метров. Школьник дошёл до этой школы за 8 минут. Какова была его скорость?

Скорость движения школьника – это расстояние, которое он проходит за одну минуту. Если за 10 минут он преодолел 800 метров, то какое расстояние он преодолевал за одну минуту?

Чтобы ответить на этот вопрос, нужно разделить расстояние на время движения школьника:

S = 800 метров

t = 8 минут

v = S : t = 800 : 8 = 100 (м/мин)

Ответ: скорость школьника была 100 м/мин.

Если известна скорость и расстояние, то можно найти время:

t = S : v

Рассмотрим задачу:

От дома до спортивной секции 600 метров. Мы должны дойти до неё пешком. Наша скорость будет 120 метров в минуту (120 м/мин). За какое время мы дойдём до спортивной секции?

Если за одну минуту мы будем проходить 120 метров, то сколько таких минут со ста двадцатью метрами будет в шестистах метрах?

Чтобы ответить на этот вопрос, нужно 600 метров разделить на расстояние, которое мы будем проходить за одну минуту, то есть на 120. Тогда мы получим время, за которое мы дойдём до спортивной секции:

S = 600 метров

v = 120 (м/мин)

t = S : v = 600 : 120 = 5 (минут).

Ответ: мы дойдём до спортивной секции за 5 минут.

Итак, все рассмотренные нами формулы мы можем представить в виде треугольника для лучшего запоминания:

Теперь рассмотрим типы задач на движение.

Задачи на сближение.

Скорость сближения – это расстояние, пройденное двумя объектами навстречу друг другу за единицу времени.

Например, если из двух пунктов навстречу друг другу отправятся два пешехода, причём скорость первого будет 100 метров в минуту, а второго – 105 метров в минуту, то скорость сближения будет составлять 100 плюс 105, то есть 205 метров в минуту. Значит, каждую минуту расстояние между пешеходами будет уменьшаться на 205 метров.

Чтобы найти скорость сближения, нужно сложить скорости объектов.

Задача.

Из двух пунктов навстречу друг другу выехали одновременно два велосипедиста. Скорость первого велосипедиста 13 км/ч, а скорость второго – 15 км/ч. Через 3 часа они встретились. Определите расстояние между населёнными пунктами.

Решение:

Найдём скорость сближения велосипедистов:

13 км/ч + 15 км/ч = 28 км/ч

Определим расстояние между населёнными пунктами. Для этого скорость сближения умножим на время движения:

28 ∙ 3 = 84 км

Ответ: расстояние между населёнными пунктами 84 км.

Задачи на скорость удаления.

Например, если два пешехода отправятся из одного и того же пункта в противоположных направлениях, причём скорость первого будет 4 км/ч, а скорость второго 6 км/ч, то скорость удаления будет составлять 4 плюс 6, то есть 10 км/ч. Каждый час расстояние между двумя пешеходами будет увеличиваться на 10 километров.

Чтобы найти скорость удаления, нужно сложить скорости объектов.

Рассмотрим задачу:

С причала одновременно в противоположных направлениях отправились теплоход и катер. Скорость теплохода составляла 60 км/ч, скорость катера 130 км/ч. Какое расстояние будет между ними через 2 часа?

Решение:

Определим скорость удаления. Для этого сложим их скорости:

60 + 130 = 190 км/ч.

Получили скорость удаления равную 190 км/ч. Данная скорость показывает, что за час расстояние между теплоходом и катером будет увеличиваться на 190 километров.

Чтобы узнать какое расстояние будет между ними через два часа, нужно 190 умножить на 2:

190 ∙ 2 = 380 км.

Ответ: через 2 часа расстояние между теплоходом и катером будет составлять 380 километров.

Задачи на движение объектов в одном направлении.

В предыдущих пунктах мы рассматривали задачи, в которых объекты (люди, машины, лодки) двигались либо навстречу друг другу, либо в противоположных направлениях. В первом случае мы находили скорость сближения – в ситуации, когда два объекта двигались навстречу друг другу. Во втором случае мы находили скорость удаления – в ситуации, когда два объекта двигались в противоположных направлениях. Но объекты также могут двигаться в одном направлении, причём с различной скоростью.

Рассмотрим задачу:

Из города в одном и том же направлении выехали легковой автомобиль и автобус. Скорость автомобиля 130 км/ч, а скорость автобуса 90 км/ч. Какое расстояние будет между ними через 1 час? Через 3 часа?

Решение:

Найдём скорость удаления. Для этого из большей скорости вычтем меньшую:

130 км/ч − 90 км/ч = 40 км/ч

Каждый час легковой автомобиль отдаляется от автобуса на 40 километров. За один час расстояние между автомобилем и автобусом будет 40 км. За 3 часа в три раза больше:

40 ∙ 3 = 120 км

Ответ: через один час расстояние между автомобилем и автобусом будет 40 км, через три часа – 120 км.

Рассмотрим ситуацию, в которой объекты начали своё движение из разных пунктов, но в одном направлении.

Задача.

Пусть на одной улице имеется дом, школа и аттракцион. Дом находится на одном конце улицы, аттракцион на другом, школа между ними. От дома до школы 900 метров. Два пешехода отправились в аттракцион в одно и то же время. Причём первый пешеход отправился в аттракцион от дома со скоростью 90 метров в минуту, а второй пешеход отправился в аттракцион от школы со скоростью 85 метров в минуту. Какое расстояние будет между пешеходами через 3 минуты? Через сколько минут после начала движения первый пешеход догонит второго?

Решение:

Определим расстояние, пройденное первым пешеходом за 3 минуты. Он двигался со скоростью 90 метров в минуту. За три минуты он пройдёт в три раза больше, то есть 270 метров:

90 ∙ 3 = 270 метров

Определим расстояние, пройденное вторым пешеходом за 3 минуты. Он двигался со скоростью 85 метров в минуту. За три минуты он пройдёт в три раза больше, то есть 255 метров:

85 ∙ 3 = 255 метров

Теперь найдём расстояние между пешеходами. Чтобы найти расстояние между пешеходами, можно к расстоянию от дома до школы (900м) прибавить расстояние, пройденное вторым пешеходом (255м), и из полученного результата вычесть расстояние, пройденное первым пешеходом (270м):

900 + 255 = 1155 м

1155 – 270 = 885 м

Либо из расстояния от дома до школы (900 м) вычесть расстояние, пройденное первым пешеходом (270 м), и к полученному результату прибавить расстояние, пройденное вторым пешеходом (255 м):

900 – 270 = 630 м

630 + 255 = 885 м

Таким образом, через три минуты расстояние между пешеходами будет составлять 885 метров.

Теперь давайте ответим на вопрос: через сколько минут после начала движения первый пешеход догонит второго?

В самом начале пути между пешеходами было расстояние 900 м. Через минуту после начала движения расстояние между ними будет составлять 895 метров, поскольку первый пешеход двигается на 5 метров в минуту быстрее второго:

90 ∙ 1 = 90 м

85 ∙ 1 = 85 м

900 + 85 – 90 = 985 – 90 = 895 м

Через три минуты после начала движения расстояние уменьшится на 15 метров и будет составлять 885 метров. Это был наш ответ на первый вопрос задачи:

90 ∙ 3 = 270 м

85 ∙ 3 = 255 м

900 + 255 – 270 = 1155 – 270 = 885 м

Можно сделать вывод, что каждую минуту расстояние между пешеходами будет уменьшаться на 5 метров.

А раз изначальные 900 метров с каждой минутой уменьшаются на одинаковые 5 метров, то мы можем узнать сколько раз 900 метров содержат по 5 метров, тем самым определяя через сколько минут первый пешеход догонит второго:

900 : 5 = 180 минут.

Ответ: через три минуты расстояние между пешеходами будет составлять 885 метров, первый пешеход догонит второго через 180 минут = 3 часа.

Разбор решения заданий тренировочного модуля

№1. Тип задания: ввод с клавиатуры пропущенных элементов в тексте

Заполните таблицу:

	S	v	t
1.	135 км	9 км/ч	____ ч
2.	____ м	12 м/с	4 с
3.	132 м	____ м/мин	11 мин

Для заполнения пропусков воспользуемся формулами нахождения скорости, времени, расстояния:

Надо найти время: t = S : v

135 : 9 = 15 часов.

Надо найти расстояние: S = v ∙ t

12 ∙ 4 = 48 м.

Надо найти скорость: v = S : t

132 : 11 = 12 м/мин.

Верный ответ:

	S	v	t
1.	135 км	9 км/ч	15 часов
2.	48 м	12 м/с	4 с
3.	132 м	12 м/мин	11 мин

№2. Тип задания: единичный / множественный выбор

Выберите верный ответ к задаче:

Из пунктов А и В, расстояние между которыми 300 км, отправились одновременно навстречу друг другу мотоциклист и автомобилист. Скорость автомобиля 60 км/ч, а мотоцикла 30 км/ч. Какое расстояние будет между ними через 3 часа?

Варианты ответов:

Эта задача относится к типу задач на сближение, т.е. нам надо:

сложить скорости мотоциклиста и автомобилиста:

60 + 30 = 90 км/ч – скорость сближения;

узнать, сколько километров они пройдут за 3 часа вместе. Для этого:

90 ∙ 3 = 270 км;

из общего расстояния нам осталось вычесть пройденное:

300 – 270 = 30 км

Верный ответ: 2. 30 км.

Задачи на движение в одном направлении: примеры и решение

Рассмотрим задачи, в которых речь идёт о движении в одном направлении. В таких задачах два каких-нибудь объекта движутся в одном направлении с разной скоростью, отдаляясь друг от друга или сближаясь друг с другом.

Задачи на скорость сближения

Скорость сближения — это скорость, с которой объекты сближаются друг с другом.

Чтобы найти скорость сближения двух объектов, которые движутся в одном направлении, надо из большей скорости вычесть меньшую.

Задача 1. Из города выехал автомобиль со скоростью 40 км/ч. Через 4 часа вслед за ним выехал второй автомобиль со скоростью 60 км/ч. Через сколько часов второй автомобиль догонит первый?

Решение: Так как на момент выезда второго автомобиля из города первый уже был в пути 4 часа, то за это время он успел удалиться от города на:

40 · 4 = 160 (км).

Второй автомобиль движется быстрее первого, значит каждый час расстояние между автомобилями будет сокращаться на разность их скоростей:

60 — 40 = 20 (км/ч) — это скорость сближения автомобилей.

Разделив расстояние между автомобилями на скорость их сближения, можно узнать, через сколько часов они встретятся:

160 : 20 = 8 (ч).

Решение задачи по действиям можно записать так:

1) 40 · 4 = 160 (км) — расстояние между автомобилями,

2) 60 — 40 = 20 (км/ч) — скорость сближения автомобилей,

3) 160 : 20 = 8 (ч).

Ответ: Второй автомобиль догонит первый через 8 часов.

Задача 2. Из двух посёлков между которыми 5 км, одновременно в одном направлении вышли два пешехода. Скорость пешехода, идущего впереди, 4 км/ч, а скорость пешехода, идущего позади 5 км/ч. Через сколько часов после выхода второй пешеход догонит первого?

Решение: Так как второй пешеход движется быстрее первого, то каждый час расстояние между ними будет сокращаться. Значит можно определить скорость сближения пешеходов:

5 — 4 = 1 (км/ч).

Оба пешехода вышли одновременно, значит расстояние между ними равно расстоянию между посёлками (5 км). Разделив расстояние между пешеходами на скорость их сближения, узнаем через сколько второй пешеход догонит первого:

5 : 1 = 5 (ч).

Решение задачи по действиям можно записать так:

1) 5 — 4 = 1 (км/ч) — это скорость сближения пешеходов,

2) 5 : 1 = 5 (ч).

Ответ: Через 5 часов второй пешеход догонит первого.

Задача на скорость удаления

Скорость удаления — это скорость, с которой объекты отдаляются друг от друга.

Чтобы найти скорость удаления двух объектов, которые движутся в одном направлении, надо из большей скорости вычесть меньшую.

Задача. Два автомобиля выехали одновременно из одного и того же пункта в одном направлении. Скорость первого автомобиля 80 км/ч, а скорость второго — 40 км/ч.

1) Чему равна скорость удаления между автомобилями?

2) Какое расстояние будет между автомобилями через 3 часа?

3) Через сколько часов расстояние между ними будет 200 км?

Решение: Сначала узнаем скорость удаления автомобилей друг от друга, для этого вычтем из большей скорости меньшую:

80 — 40 = 40 (км/ч).

Каждый час автомобили отдаляются друг от друга на 40 км. Теперь можно узнать сколько километров будет между ними через 3 часа, для этого скорость удаления умножим на 3:

40 · 3 = 120 (км).

Чтобы узнать через сколько часов расстояние между автомобилями станет 200 км, надо расстояние разделить на скорость удаления:

200 : 40 = 5 (ч).

Ответ:

1) Скорость удаления между автомобилями равна 40 км/ч.

2) Через 3 часа между автомобилями будет 120 км.

3) Через 5 часов между автомобилями будет расстояние в 200 км.

Простые задачи на движение. 4 класс

{module Адаптивный блок Адсенс в начале статьи}

ПРОСТЫЕ ЗАДАЧИ НА ДВИЖЕНИЕ

4 КЛАСС

Решение простых задач на движение для 4 класса обычно выполняется в одно действие.

Основной формулой для решения задач такого типа является формула зависимости расстояния пройденного объектом от скорости движения данного объекта и времени движения:

S = v · t

где S — расстояние (пройденный путь)

v — скорость объекта (км/ч; м/с)

t — время, в течение которого объект был в движении.

В зависимости от условия задачи, существует несколько способов применения основной формулы для решения задач на движение.

Рассмотрим несколько примеров решения таких задач.

В задаче на движение могут быть известны скорость движения и время движения, а расстояние (пройденный путь) необходимо найти. В данном случае основная формула применяется в своем первоначальном виде.

Пример: Скорость грузового поезда 35 км/час. Поезд был в пути 2 часа. Какое расстояние он прошёл?

Решение: S = v · t = 35 · 2 = 70 (км) — расстояние пройденное поездом.

Ответ: 70.

В задаче на движение могут быть известны расстояние и время, а скорость движения необходимо найти. В данном случае из основной формулы выражается скорость движения.

Пример: Велосипедист проехал 36 км за 2 часа. С какой скоростью он двигался?

Решение: v = S / t = 36 ÷ 2 = 18 (км/час) — скорость движения велосипедиста.

Ответ: 18.

В задаче на движение могут быть известны расстояние и скорость движения, а время в пути необходимо найти. В данном случае из основной формулы нужно выразить время через расстояние и скорость.

Пример: Охотник верхом на лошади проехал 28 км со скоростью 14 км/час. Сколько времени он потратил на дорогу?

Решение: t = S / v = 28 ÷ 14 = 2 (часа) — охотник потратил на дорогу.

Ответ: 2.

Примеры простых задач на движение для 4 класса:

1) Расстояние от города до посёлка 30 км. Сколько времени потребуется пешеходу, чтобы пройти это расстояние со скоростью 6 км/час?

2) Мальчик пробежал 20 м за 10 сек. С какой скоростью бежал мальчик?

3) Крейсер проплыл 80 км со скоростью 40 км/час. Сколько времени он затратил?

4) Муха летела со скоростью 5 м/сек 15 секунд. Какое расстояние она пролетела?

5) Грач пролетел 100 м со скоростью 10 м/сек. Сколько времени он был в пути?

6) За 3 секунды сокол пролетел 78 м. Какова скорость сокола?

7) Орёл летел со скоростью 30 м/с 6 секунд. Сколько метров пролетел орёл?

8) Расстояние в 450 км скорый поезд проехал за 5 часов. С какой скоростью ехал поезд?

9) Лыжник прошёл с одинаковой скоростью 70 км за 5 часов. Какова скорость лыжника?

10) Туристы проехали 5 часов на лодке со скоростью 12 км/час. Какое расстояние они проплыли?

11) Расстояние в 240 км мотоциклист проехал со скоростью 40 км/час. За сколько часов мотоциклист проехал это расстояние?

12) За 2 часа вертолёт пролетел 600 км. С какой скоростью летел вертолёт?

13) За 3 дня верблюд прошёл 240 км. С какой скоростью шёл верблюд?

14) Легковой автомобиль проехал 270 км за 3 часа. С какой скоростью ехал автомобиль?

15) Мотоциклист ехал 4 часа со скоростью 70 км/час. Какое расстояние проехал мотоциклист?

{module Адаптивный блок Адсенс в конце статьи}

Формула одновременного движения вдогонку. Движение вдогонку (формула)

Движение является способом существования всего, что человек видит вокруг себя. Поэтому задачи на перемещение разных объектов в пространстве являются типичными проблемами, которые предлагается разрешить школьникам. В данной статье подробно рассмотрим движение вдогонку и формулы, которые необходимо знать, чтобы уметь решать задачи такого типа.

Перед тем, как переходить к рассмотрению вдогонку, необходимо разобраться с этим понятием подробнее.

Под движением подразумевают изменение пространственных координат объекта за определенный промежуток времени. Например, автомобиль, который движется по дороге, самолет, который летит в небесах, или кошка, бегущая по траве, — все это примеры движения.

Важно отметить, что рассматриваемый движущийся объект (автомобиль, самолет, кошка) считают безмерным, то есть его размеры не имеют совершенно никакого значения для решения проблемы, поэтому ими пренебрегают. Это своего рода математическая идеализация, или модель. Для подобного объекта существует название: материальная точка.

Движение вдогонку и его особенности

Теперь перейдем к рассмотрению популярных школьных задач на движение вдогонку и формул для него. Под этим видом движения понимают перемещение двух или более объектов в одном направлении, которые отправляются в свой путь из разных пунктов (материальные точки имеют разные начальные координаты) или/и в разное время, но из одного и того же пункта. То есть создается ситуация, при которой одна материальная точка пытается догнать другую (другие), поэтому эти задачи получили такое название.

Согласно определению, особенностями движения вдогонку являются следующие:

Наличие двух и более движущихся объектов. Если двигаться будет только одна материальная точка, то ей «некого» будет догонять.
Прямолинейное перемещение в одном направлении. То есть объекты осуществляют движение вдоль одной и той же траектории и в одном направлении. Движение навстречу друг другу не входит в число рассматриваемых задач.
Пункт отправления играет важную роль. Идея заключается в том, чтобы в момент начала движения объекты были разделены в пространстве. Такое разделение будет иметь место, если они стартуют в одинаковое время, но из разных пунктов или же из одного пункта, но в разное время. Старт двух материальных точек из одного пункта и в одинаковое время к задачам вдогонку не относится, поскольку в этом случае один объект будет постоянно удаляться от другого.

Формулы движения вдогонку

В 4 классе общеобразовательной школы обычно рассматриваются подобные задачи. Это означает, что формулы, которые необходимы для решения, должны быть максимально простыми. Такому случаю удовлетворяет равномерное прямолинейное движение, в котором фигурируют три физических величины: скорость, пройденный путь и время движения:

Скорость — величина, показывающая расстояние, которое проходит тело за единицу времени, то есть она характеризует быстроту изменения координат материальной точки. Обозначается скорость латинской буквой V и измеряется, как правило, в метрах в секунду (м/с) или в километрах в час (км/ч).
Путь — это расстояние, которое проходит тело за время своего движения. Он обозначается буквой S (D) и выражается обычно в метрах или километрах.
Время — период движения материальной точки, который обозначается буквой T и приводится в секундах, минутах или часах.

Описав основные величины, приведем формулы движения вдогонку:

s = v*t;
v = s/t;
t = s/v.

Решение любой задачи рассматриваемого типа базируется на применении этих трех выражений, которые необходимо запомнить каждому школьнику.

Пример решения задачи №1

Приведем пример задачи движения вдогонку и решения (формулы, необходимые для него, приведены выше). Проблема формулируется следующим образом: «Грузовик и легковой автомобиль одновременно выезжают из пунктов A и B со скоростями 60 км/ч и 80 км/ч соответственно. Оба транспортных средства движутся в одном направлении так, что автомобиль приближается к пункту A, а грузовик удаляется от обоих пунктов. Через какое время автомобиль догонит грузовик, если расстояние между A и B составляет 40 км?».

Перед тем как решать задачу, необходимо научить ребят определять суть проблемы. В данном случае она заключается в неизвестном времени, которое проведут оба транспортных средства в пути. Предположим, что это время равно t часам. То есть через время t автомобиль догонит грузовик. Найдем это время.

Рассчитаем расстояние, которое пройдет каждый из движущихся объектов за время t, имеем: s 1 = v 1 *t и s 2 = v 2 *t, здесь s 1 , v 1 = 60 км/ч и s 2 , v 2 = 80 км/ч — пройденные пути и скорости движения грузовика и автомобиля до того момента, когда второй догонит первого. Поскольку расстояние между пунктами A и B равно 40 км, то автомобиль, догнав грузовик, пройдет путь на 40 км больше, то есть s 2 — s 1 = 40. Подставляя в последнее выражение формулы для путей s 1 и s 2 , получим: v 2 *t — v 1 *t = 40 или 80*t — 60*t = 40, откуда t = 40/20 = 2 ч.

Отметим, что данный ответ можно получить, если использовать понятие скорости сближения между движущимися объектами. В задаче она равна 20 км/ч (80-60). То есть при этом подходе возникает ситуация, когда один объект движется (автомобиль), а второй относительно него стоит на месте (грузовик). Поэтому достаточно поделить расстояние между пунктами A и B на скорость сближения, чтобы решить задачу.

Пример решения задачи №2

Приведем еще один пример задач на движение вдогонку (формулы для решения используются те же): «Из одного пункта выезжает велосипедист, а через 3 часа в ту же сторону выезжает автомобиль. Через какое время после начала своего движения автомобиль догонит велосипедиста, если известно, что он движется в 4 раза быстрее?».

Решать эту задачу следует так же, как и предыдущую, то есть необходимо определить, какой путь пройдет каждый участник движения до момента, когда один догонит другого. Предположим, что автомобиль догнал велосипедиста через время t, тогда получаем следующие пройденные пути: s 1 = v 1 *(t+3) и s 2 = v 2 *t, здесь s 1 , v 1 и s 2 , v 2 — пути и скорости велосипедиста и автомобиля соответственно. Заметим, что до того, как автомобиль догнал велосипедиста, последний находился в пути t + 3 часа, так как он выехал на 3 часа раньше.

Зная, что оба участника отправились из одного пункта, и пройденные ими пути будут равны, получаем: s 2 = s 1 или v 1 *(t+3) = v 2 *t. Скорости v 1 и v 2 нам не известны, однако в условии задачи сказано, что v 2 = 4*v 1 . Подставляя это выражение в формулу для равенства путей, получим: v 1 *(t+3) = 4*v 1 *t или t+3 = 4*t. Решая последнее, приходим к ответу: t = 3/3 = 1 ч.

Формулы движения вдогонку являются простыми, тем не менее школьников в 4 классе важно научить мыслить логически, понимать значение величин, с которыми они имеют дело, и осознавать проблему, которая перед ними стоит. Ребят рекомендуется призывать к рассуждениям вслух, а также к командной работе. Кроме того, для наглядности задач можно использовать компьютер и проектор. Все это способствует развитию у них абстрактного мышления, коммуникативных навыков, а также математических способностей.

Цель урока:
познакомить учащихся с
новым видом задач на движение (вдогонку).

обучающие
: учиться читать и
записывать информацию, представленную в виде
различных математических моделей, строить
высказывания, продолжать учиться называть цели
конкретного задания, алгоритм (план работы),
проверять, исправлять и оценивать результаты
работы так, как это было описано ранее.
развивающие
: способствовать развитию
математического мышления, познавательной
активности обучающихся, умения пользоваться
математической терминологией.
воспитательные
: продолжить работу по
воспитанию взаимопомощи, культуры общения,
способствующей созданию благоприятного
психологического климата;
воспитывать внимание, самостоятельность,
самоконтроль, аккуратность, прививать интерес к
предмету.

Тип урока: Урок изучения и первичного
закрепления новых знаний

Методы и приемы: словесные, наглядные,
частично-поисковые.

Используемые учебники и учебные пособия: Учебник
“Математика” Алматы “Атамра” 2011

Используемое оборудование:

интерактивное оборудование (мультимедийный
проектор), компьютер,
интер.доска.

Ход урока

1. Вводно-мотивационная часть

Всем она давно знакома —
Ждёт послушно возле дома,
Только выйдешь из ворот-
Куда хочешь поведёт.

Какое действие совершают машины по дороге?

Прочитайте дружно, хором наш девиз:

Смело иди вперед,
Не стой на месте,
Чего не сделает один,
Сделаем вместе!

2. Актуализация знаний. Минутка чистописания

Запишите формулы нахождения расстояния,
скорости и времени.

Чем отличаются величины: расстояние и
скорость?

— Расстояние
– это путь, пройденный за
несколько единиц времени;

— Cкорость
– это путь, пройденный за одну
единицу времени

3. Устный счёт (задачи на движение)

Задача №1

Шофер все сильнее давит на газ
Скорость – сто километров в час.
Тебе нетрудно будет сказать,
Сколько проедет за три часа
Автомобиль со скоростью этой?
Решай поскорее – жду ответа!

100 х 3 = 300 (км)

Задача №2

За 5 часов один пешеход
Тридцать пять километров пройдет.
Должен быть ответ поскорее готов:
Сколько пройдет он за восемь часов
Если скорость свою не изменит?
Решай – и учитель ответ оценит!

1) 35: 5 = 7 (км/ч)

2) 7 х 8 = 56 (км)

Задача №3

Возьми-ка ручку,
Открой чистый лист,
Задачу послушай: “Прошел турист
Со скоростью пять километров в час
Сто километров.” Ответ найди:
Сколько часов он был в пути?

Решение: 100: 5 = 20 (час.)

Задача №4

Лора задачу быстро решила:
“Пятьсот километров проедет машина
За десять часов. Какова же скорость?”
Лора решала, не беспокоясь:
Пятьсот умножает на десять скоро.
Ответ получает. Права ли Лора?

Решение:

Лора не права!
500: 10 = 50 (км/ч)

4. Закрепление пройденного.

С какими видами движения вы знакомы?

Встречное движение

Движение в противоположных направлениях.

Движение с отставанием.

С какой темой мы познакомились на прошлых
уроках? (- Одновременное движение с отставанием.)

Работа по группам

(Группам раздаются карточки со схемами к
задачам)

Задание: Какое направление движения
соответствует решению?

14 км/ч+12км/ч=26км/ч
14 км/ч-12км/ч=2км/ч

5. Проблемная ситуация. Решите задачи по
схемам.

Почему не удалось решить вторую задачу? — Это
задача на движение вдогонку.

Не умеем находить скорость сближения при
движении вдогонку.

Постановка учебной задачи.

Какова же тема нашего урока? Задачи на
движение вдогонку.

Какие цели мы поставим?

познакомиться со скоростью сближения при
движении вдогонку;
научиться решать задачи на движение вдогонку.

7.
“Открытие” учащимися нового
знания.

а) Работа над задачей стр. 230 №3

Вначале понаблюдаем, что происходит с
объектами при движении вдогонку. Заполним
таблицу, чтобы сделать верные выводы.

(Текст задачи на стр.230 №3, чертежи с числовым
лучом, таблица у каждого ученика.)

Прочитайте условие вслух.

Из городов, длина пути между которыми 240км,
одновременно в одном направлении выехали
автомобиль и автобус. Скорость автомобиля 80 км/ч,
а скорость автобуса 56км/ч. Сколько километров
будет между ними через 2 часа?

Разбор задачи:

В какой точке находится автомобиль? В точке 0.

А автобус? В точке 240.

Какое между ними расстояние до начала
движения? 240 км

Занесите в таблицу.

Покажите на числовом луче, где будет
находиться автомобиль через час.

В точке 80.

И где через час будет находиться автобус. В
точке 296 .

Как изменилось расстояние между ними?
Расстояние между объектами за каждую единицу
времени будет уменьшаться на одно и то же число.

Как это записать? (Vб — Vм)

Составьте выражение и внесите запись в
таблицу. 240 – (80-56) x 1 = 216 км

Покажите на числовом луче, в каких точках
будут находиться автомобиль и автобус через два
часа. В точках 160 и 352

Как изменилось расстояние между объектами
через два часа? Уменьшилось еще на (80-56) x 2

Узнайте, какое расстояние стало между ними
через два часа, запишите выражение в таблицу 240
– (80-56) x 2 = 192 км

Сделайте вывод, с помощью какой формулы мы
узнали, как изменяется расстояние при движении
вдогонку? d = S – (V 1 – V 2) x t

Запишите формулы зависимости между
величинами: S, t, V.

Vсбл= (V 1 – V 2) Sп = Vсбл. x t,

t встр.= S: (V 1 – V 2), V 1 = S: t – V 2

d = S – (V 1 – V 2) x t

8. Для закрепления работа над задачей стр.231 №9

9. Рефлексия.

Что такое скорость сближения.

(- Скорость сближения – расстояние, при котором
объекты сближаются за единицу времени.)

Как найти скорость сближения при движении
вдогонку?

Vсбл = (Vб – Vм),

Какие еще знания необходимы, чтобы успешно
решать задачи на движение вдогонку?

Sп = Vсбл. x t,

t встр.= S: (Vб – Vм), V1= S: t – V2

Цель урока:
познакомить учащихся с
новым видом задач на движение (вдогонку).

обучающие
: учиться читать и
записывать информацию, представленную в виде
различных математических моделей, строить
высказывания, продолжать учиться называть цели
конкретного задания, алгоритм (план работы),
проверять, исправлять и оценивать результаты
работы так, как это было описано ранее.
развивающие
: способствовать развитию
математического мышления, познавательной
активности обучающихся, умения пользоваться
математической терминологией.
воспитательные
: продолжить работу по
воспитанию взаимопомощи, культуры общения,
способствующей созданию благоприятного
психологического климата;
воспитывать внимание, самостоятельность,
самоконтроль, аккуратность, прививать интерес к
предмету.

Тип урока: Урок изучения и первичного
закрепления новых знаний

Методы и приемы: словесные, наглядные,
частично-поисковые.

Используемые учебники и учебные пособия: Учебник
“Математика” Алматы “Атамра” 2011

Используемое оборудование:

интерактивное оборудование (мультимедийный
проектор), компьютер,
интер.доска.

Ход урока

1. Вводно-мотивационная часть

Всем она давно знакома —
Ждёт послушно возле дома,
Только выйдешь из ворот-
Куда хочешь поведёт.

Какое действие совершают машины по дороге?

Прочитайте дружно, хором наш девиз:

Смело иди вперед,
Не стой на месте,
Чего не сделает один,
Сделаем вместе!

2. Актуализация знаний. Минутка чистописания

Запишите формулы нахождения расстояния,
скорости и времени.

Чем отличаются величины: расстояние и
скорость?

— Расстояние
– это путь, пройденный за
несколько единиц времени;

— Cкорость
– это путь, пройденный за одну
единицу времени

3. Устный счёт (задачи на движение)

Задача №1

Шофер все сильнее давит на газ
Скорость – сто километров в час.
Тебе нетрудно будет сказать,
Сколько проедет за три часа
Автомобиль со скоростью этой?
Решай поскорее – жду ответа!

100 х 3 = 300 (км)

Задача №2

За 5 часов один пешеход
Тридцать пять километров пройдет.
Должен быть ответ поскорее готов:
Сколько пройдет он за восемь часов
Если скорость свою не изменит?
Решай – и учитель ответ оценит!

1) 35: 5 = 7 (км/ч)

2) 7 х 8 = 56 (км)

Задача №3

Возьми-ка ручку,
Открой чистый лист,
Задачу послушай: “Прошел турист
Со скоростью пять километров в час
Сто километров.” Ответ найди:
Сколько часов он был в пути?

Решение: 100: 5 = 20 (час.)

Задача №4

Лора задачу быстро решила:
“Пятьсот километров проедет машина
За десять часов. Какова же скорость?”
Лора решала, не беспокоясь:
Пятьсот умножает на десять скоро.
Ответ получает. Права ли Лора?

Решение:

Лора не права!
500: 10 = 50 (км/ч)

4. Закрепление пройденного.

С какими видами движения вы знакомы?

Встречное движение

Движение в противоположных направлениях.

Движение с отставанием.

С какой темой мы познакомились на прошлых
уроках? (- Одновременное движение с отставанием.)

Работа по группам

(Группам раздаются карточки со схемами к
задачам)

Задание: Какое направление движения
соответствует решению?

14 км/ч+12км/ч=26км/ч
14 км/ч-12км/ч=2км/ч

5. Проблемная ситуация. Решите задачи по
схемам.

Почему не удалось решить вторую задачу? — Это
задача на движение вдогонку.

Не умеем находить скорость сближения при
движении вдогонку.

Постановка учебной задачи.

Какова же тема нашего урока? Задачи на
движение вдогонку.

Какие цели мы поставим?

познакомиться со скоростью сближения при
движении вдогонку;
научиться решать задачи на движение вдогонку.

7.
“Открытие” учащимися нового
знания.

а) Работа над задачей стр. 230 №3

(Текст задачи на стр.230 №3, чертежи с числовым
лучом, таблица у каждого ученика.)

Прочитайте условие вслух.

Разбор задачи:

В какой точке находится автомобиль? В точке 0.

А автобус? В точке 240.

Какое между ними расстояние до начала
движения? 240 км

Занесите в таблицу.

Покажите на числовом луче, где будет
находиться автомобиль через час.

В точке 80.

И где через час будет находиться автобус. В
точке 296 .

Как это записать? (Vб — Vм)

Составьте выражение и внесите запись в
таблицу. 240 – (80-56) x 1 = 216 км

Как изменилось расстояние между объектами
через два часа? Уменьшилось еще на (80-56) x 2

Узнайте, какое расстояние стало между ними
через два часа, запишите выражение в таблицу 240
– (80-56) x 2 = 192 км

Запишите формулы зависимости между
величинами: S, t, V.

Vсбл= (V 1 – V 2) Sп = Vсбл. x t,

t встр.= S: (V 1 – V 2), V 1 = S: t – V 2

d = S – (V 1 – V 2) x t

8. Для закрепления работа над задачей стр.231 №9

9. Рефлексия.

Что такое скорость сближения.

(- Скорость сближения – расстояние, при котором
объекты сближаются за единицу времени.)

Как найти скорость сближения при движении
вдогонку?

Vсбл = (Vб – Vм),

Какие еще знания необходимы, чтобы успешно
решать задачи на движение вдогонку?

Sп = Vсбл. x t,

t встр.= S: (Vб – Vм), V1= S: t – V2

Тема
: Решение задач на движение (вдогонку)

Цель:
Научиться решать задачи на движение.

Задачи:

Образовательные:

Сравнивать различные виды движения: вдогонку, навстречу друг другу, в противоположных направлениях, с отставанием.

Отработать правила нахождения скорости сближения, удаления, вдогонку и с отставанием; зависимость между физическими величинами S
, t
и v
(словесные формулировки).
Воспитательные:

Воспитывать уважение к предмету, умение видеть математические задачи в окружающем мире.
Развивающие:

Развивать умение искать различные способы решения задач и выделять рациональные способы решения. Развивать критическое мышление.

Тип урока
: систематизация и обобщение знаний

Оборудование:

1. опорные схемы; формулы.

2. Распечатки тренажёра, теста.

3. Компьютер, проектор, экран

Ход урока.

I

) Организационный момент.
— Начинается урок. Пусть он пойдёт ребятам впрок! II) Психологический настрой.
— Давайте, ребята, задачи решать, Делить, умножать, прибавлять, вычитать. Запомните все, что без точного счета Не сдвинется с места любая работа. III) Актуализация знаний.
Первая стадия ВЫЗОВ:

А) «Отсроченная отгадка»

Нужны ли нам умения решать задачи на движение?

Зачем они нам необходимы? (чтобы не опаздывать на встречи, уметь спланировать время выхода, рассчитать скорость движения, чтобы не было аварий, и т.д.)

Какие существуют виды задач?

Что общего и в чем различие этих задач?

Б) «Свои примеры»

Работа в парах. Игра «Светофор» (повторение связей между величинами: скорость, время, расстояние)

«Светофор» — повторение связей между величинами: S, V, t, Vсближения, Vудаления, Vсближения (движение вдогонку).

Каждый ученик берёт по 3 кружка из 6 предложенных (см. Приложение 1) и показывает кружок с символом другому ученику, тот рассказывает, как найти данную величину. Первый ученик его проверяет по обратной стороне кружка, где записан правильный ответ. Затем другой ученик показывает первому ученику свой кружок, поочерёдно взаимотренаж продолжается дальше.

Пересечение тем. Игра «Точный бросок»
— Чтобы правильно рассчитать скорость объекта движения, время или расстояние нужно уметь быстро и точно считать устно. Посчитаем устно. Игра «Точный бросок»

678+24= 248:4= 362-246= 64+474= 808 -537=

218*3= 415-204= 545+85= 515:5= 124*5=

IV) Постановка учебной задачи

Сегодня на уроке будем совершенствовать свои умения решать и составлять задачи на движение встречное, в противоположных направлениях и вдогонгку. Подготовимся к «Блиц – турниру»

V) Закрепление

Вторая стадия ОСМЫСЛИВАНИЕ

А) Фронтальная работа.

Возьмите карточку №1, рассмотрите первую схему. (см. Приложение 2)

Как двигаются объекты? (Навстречу друг другу)

Как изменяется расстояние? (Оно уменьшается)

Какую скорость будем находить? (Скорость сближения)

Как её найдем? (Скорости двух объектов сложим)

Карточка №1

13 км/ч 15 км/ч

Км t
встр.=3ч

t
встр.=

Составьте по схеме взаимообратные задачи и решите их.

Коллективная проверка

Какое движение рассмотрели? (Встречное)

Какую скорость находили? (Скорость сближения)

Физминутка:
Мы на пояс руки ставим, локти в стороны расставим. Повороты начинаем. Правый локоть наблюдаем, теперь левый замечаем. Правый, левый, правый, левый. Плечики не поднимаем, головою лишь вращаем. Перед грудью руки сводим, пальцы глазками находим. Руки плавно поднимаем, глазками их провожаем. Опускаем, поднимаем, только глазками вращаем, голову не поднимаем. Воздух плавно выдыхаем.

VI) Закрепление

Работа в парах.

Рассмотрите карточку №2.

Карточка № 2.

a
км/
ч b
км/
ч

а +
b



(а + b)


a 
4 + b 
4

t = 4
ч

Км

а км/
ч

Км/
ч

с км

t = 4
ч

(а + b)


c
: 4 – а

(с – а 
4) : 4

а км/
ч

b
км/
ч

c
км

t =
? ч

с: (а + b)

c
: а + с: b

с: а – с: b

Км/
ч

b
км/
ч

с км

t
= 4 ч

(c – b

4) : 4

(а + b)


c
: 4 — b

Определите по схеме как двигаются объекты? (В противоположных направлениях.)

Как изменяется расстояние? (Оно увеличивается.)

Какую скорость находим? (Скорость удаления.)

Как находим? (Скорости объектов складываем.)

Работаем в парах по алгоритму.

Алгоритм работы: Iв IIв, IIв Iв.

Б) Прием Инсерт

Давайте проверим ваши предположения

Прочитайте текст, используя значки:

V уже знал

Новое

Думал иначе

Не понял

Текст читается индивидуально.

СКОРОСТЬ (словарь) –

та или иная степень быстроты движения

та или степень быстроты какого-нибудь действия вообще

расстояние, пройденное в единицу времени.

Скорость — это расстояние, пройденное в единицу времени. Скорость можно измерить и сравнить, значит, скорость является величиной. В качестве единиц измерения скорости обычно используют такие единицы, как метр в секунду (м/с), метр в минуту (м/мин), километр в час (км/ч) и т. д.

Название единицы скорости образуется из единицы длины и единицы времени. Но бывают и другие единицы скорости, имеющие особые названия. Например, моряки измеряют скорость движения в «узлах» (1 узел примерно равен 2 км/ч).

Чем больше скорость предмета, тем меньше он находится в пути. Различные тела движутся с разной скоростью. Например, средняя скорость поезда 100 км в час, человек движется со средней скоростью 4км в час, автомобиль в городе – 60 км в час. В животном мире рекордсменами скорости являются гепард – 70 км в час и улитка – 1,5 мм в секунду. Скорости измеряются различными приборами: спидометром – автомобиль, лагом — корабль, скоростомером — поезд, анемометром измеряют скорость воздушных потоков, для современных велосипедов придумали компьютерный спидометр.

В) Работа у доски

Задача 1
Миша начал догонять Борю, когда расстояние между нами было 100м. Миша идёт со скоростью 80м/мин, а Боря – со скоростью 60м/мин. Через Сколько времени Миши догонит Борю?

Задача 2

Из пунктов А и В одновременно в одном направлении выехали 2 поезда. Скорость первого поезда равна 80 км/ч, а скорость второго, идущего вдогонку первому поезду, равна 110 км/ч. Встреча произошла через 4 часа после выезда поездов. На каком расстоянии друг от друга находятся Пункты А и В?

VII) Рефлексия

Чему мы учились на уроке?

Что вам понравилось?

Что было трудно?

Прикрепите свой флажок к рисунку, который выражает ваше настроение

VIII) Домашнее задание. Идеальное задание.

Придумай задачу на движение вдогонку, в которой надо узнать:

а) время встречи;

б) скорость одного из движущих объектов;

в) первоначальное расстояние между ними.

Для начала вспомним формулы, которые используют при решении подобных задач: S = υ·t
, υ = S: t
, t = S: υ
где S – расстояние, υ – скорость движения, t – время движения.

Когда два объекта движутся равномерно с разными скоростями, то расстояние между ними за каждую единицу времени или увеличивается, или уменьшается.

Скорость сближения
– это расстояние, на которое сближаются объекты за единицу времени.
Скорость удаления
– это расстояние, на которое удаляются объекты за единицу времени.

Движение на сближение
встречное движение
и движение вдогонку
. Движение на удаление
можно разделить на два вида: движение в противоположных направлениях
и движение с отставанием
.

Трудность для некоторых учеников заключается в том, чтобы правильно поставить «+» или «–» между скоростями при нахождении скорости сближения объектов или скорости удаления.

Рассмотрим таблицу.

Из неё видно, что при движении
объектов в противоположные стороны
их скорости складываются
. При движении в одну сторону
– вычитаются
.

Примеры решения задач.

Задача №1.
Две автомашины движутся навстречу друг другу со скоростями 60км/ч и 80 км/ч. Определите скорость сближения машин.
υ 1 = 60 км/ч
υ 2 = 80 км/ч
Найти υ сб
Решение.

υ сб = υ 1 + υ 2
– скорость сближения в разных направлениях
)

υ сб = 60 + 80 = 140 (км/ч)

Ответ:
скорость сближения 140 км/ч.

Задача №2.
Из одного пункта в противоположных направлениях выехали две автомашины со скоростями 60 км/ч и 80 км/ч. Определите скорость удаления машин.
υ 1 = 60 км/ч
υ 2 = 80 км/ч
Найти υ уд
Решение.

υ уд = υ 1 + υ 2
– скорость удаления (знак «+» так как из условия понятно, что машины движутся в разных направлениях
)

υ уд = 80 + 60 = 140 (км/ч)

Ответ:
скорость удаления 140 км/ч.

Задача №3.
Из одного пункта в одном направлении выехали сначала автомобиль со скоростью 60 км/ч, а затем мотоцикл со скоростью 80 км/ч. Определите скорость сближения машин.
(Видим, что здесь случай движения вдогонку, поэтому находим скорость сближения)

υ ав = 60 км/ч
υ мот = 80 км/ч
Найти υ сб
Решение.

υ сб = υ 1 – υ 2
– скорость сближения (знак «–» так как из условия понятно, что машины движутся в одном направлении
)

υ сб = 80 – 60 = 20 (км/ч)

Ответ:
скорость сближения 20 км/ч.

То есть название скорости – сближения или удаления – не влияют на знак между скоростями. Имеет значение только направление движения
.

Рассмотрим другие задачи.

Задача № 4.
Из одного пункта в противоположных направлениях вышли два пешехода. Скорость одного из них 5 км/ч, другого – 4 км/ч. Какое расстояние будет между ними через 3 ч?
υ 1 = 5 км/ч
υ 2 = 4 км/ч
t = 3 ч
Найти S
Решение.

в разных направлениях
)

υ уд = 5 + 4 = 9 (км/ч)

S = υ уд ·t

S = 9·3 = 27 (км)

Ответ:
через 3 ч расстояние будет 27 км.

Задача № 5.
Два велосипедиста одновременно выехали навстречу друг другу из двух пунктов, расстояние между которыми 36 км. Скорость первого 10 км/ч, второго 8 км/ч. Через сколько часов они встретятся?
S = 36 км
υ 1 = 10 км/ч
υ 2 = 8 км/ч
Найти t
Решение.

υ сб = υ 1 + υ 2 – скорость сближения
(знак «+» так как из условия понятно, что машины движутся в разных направлениях
)

υ сб = 10 + 8 = 18 (км/ч)

(время встречи можно рассчитать по формуле)

t = S: υ сб

t = 36: 18 = 2 (ч)

Ответ:
встретятся через 2 ч.

Задача №6. Два поезда отошли от одной станции в противоположных направлениях. Их скорости 60 км/ч и 70км/ч. Через сколько часов расстояние между ними будет 260 км?
υ 1 = 60 км/ч
υ 2 = 70 км/ч
S = 260 км
Найти t
Решение
.
1 способ
υ уд = υ 1 + υ 2 – скорость удаления
(знак «+» так как из условия понятно, что пешеходы движутся в разных направлениях
)

υ уд = 60 + 70 = 130 (км/ч)

(Пройденное расстояние находим по формуле)

S = υ уд ·t
⇒ t
= S: υ уд

t = 260: 130 = 2 (ч)

Ответ:
через 2 ч расстояние между ними будет 260 км.
2 способ
Сделаем пояснительный рисунок:

Из рисунка видно, что

1) через заданное время расстояние между поездами будет равно сумме расстояний, которые прошли каждый из поездов:

S = S 1 + S 2
;
2) каждый из поездов ехал одинаковое время (из условия задачи), значит,

S 1 =υ 1 · t
—расстояние которое проехал 1 поезд
S 2 =υ 2 · t
— расстояние которое проехал 2 поезд
Тогда,
S =
S 1 + S 2
= υ 1 · t + υ 2 · t = t · (υ 1 + υ 2)
= t · υ уд

t = S: (υ 1 + υ 2)
— время за которое оба поезда проедут 260 км
t = 260: (70 + 60) = 2 (ч)

Ответ:
расстояние между поездами будет 260 км через 2 ч.

1. Два пешехода одновременно вышли навстречу друг другу из двух пунктов, расстояние между которыми 18 км. Скорость одного из них 5 км/ч, другого – 4 км/ч. Через сколько часов они встретятся? (2 ч)
2. Два поезда отошли от одной станции в противоположных направлениях. Их скорости 10 км/ч и 20 км/ч. Через сколько часов расстояние между ними будет 60 км? (2 ч)
3. Из двух сел, расстояние между которыми 28 км, одновременно навстречу друг другу вышли два пешехода. Скорость первого 4 км/ч, скорость второго 5 км/ч. На сколько километров за час пешеходы сближаются друг с другом? Какое расстояние будет между ними через 3 часа? (9 км, 27 км)
4. Расстояние между двумя городами 900 км. Два поезда вышли из этих городов навстречу друг другу со скоростями 60 км/ч и 80 км/ч. На каком расстоянии друг от друга были поезда за 1 час до встречи? Есть ли в задаче лишнее условие? (140 км, есть)
5. Велосипедист и мотоциклист выехали одновременно из одного пункта в одном направлении. Скорость мотоциклиста 40 км/ч, а велосипедиста 12 км/ч. Какова скорость их удаления друг от друга? Через сколько часов расстояние между ними будет 56 км? (28 км/ч, 2 ч)
6. Из двух пунктов, удаленных друг от друга на 30 км, выехали одновременно в одном направлении два мотоциклиста. Скорость первого 40 км/ч, второго 50 км/ч. Через сколько часов второй догонит первого?
7. Расстояние между городами А и В 720 км. Из А в В вышел скорый поезд со скоростью 80 км/ч. Через 2 часа навстречу ему из В в А вышел пассажирский поезд со скоростью 60 км/ч. Через сколько часов они встретятся?
8. Из села вышел пешеход со скоростью 4 км/ч. Через 3 часа вслед за ним выехал велосипедист со скоростью 10 км/ч. За сколько часов велосипедист догонит пешехода?
9. Расстояние от города до села 45 км. Из села в город вышел пешеход со скоростью 5 км/ч. Через час навстречу ему из города в село выехал велосипедист со скоростью 15 км/ч. Кто из них в момент встречи будет ближе к селу?
10. Старинная задача.
Некий юноша пошел из Москвы к Вологде. Он проходил в день 40 верст. Через день вслед за ним был послан другой юноша, проходивший в день 45 верст. Через сколько дней второй догонит первого?
11. Старинная задача
. Собака усмотрела в 150 саженях зайца, который пробегает в 2 минуты по 500 сажен, а собака за 5 минут – 1300 сажен. Спрашивается, в какое время собака догонит зайца?
12. Старинная задача
. Из Москвы в Тверь вышли одновременно 2 поезда. Первый проходил в час 39 верст и прибыл в Тверь двумя часами раньше второго, который проходил в час 26 верст. Сколько верст от Москвы до Твери?

100 ballov.kz образовательный портал для подготовки к ЕНТ и КТА

В 2021 году казахстанские школьники будут сдавать по-новому Единое национальное тестирование. Помимо того, что главный школьный экзамен будет проходить электронно, выпускникам предоставят возможность испытать свою удачу дважды. Корреспондент zakon.kz побеседовал с вице-министром образования и науки Мирасом Дауленовым и узнал, к чему готовиться будущим абитуриентам.

— О переводе ЕНТ на электронный формат говорилось не раз. И вот, с 2021 года тестирование начнут проводить по-новому. Мирас Мухтарович, расскажите, как это будет?

— По содержанию все остается по-прежнему, но меняется формат. Если раньше школьник садился за парту и ему выдавали бумажный вариант книжки и лист ответа, то теперь тест будут сдавать за компьютером в электронном формате. У каждого выпускника будет свое место, огороженное оргстеклом.

Зарегистрироваться можно будет электронно на сайте Национального центра тестирования. Но, удобство в том, что школьник сам сможет выбрать дату, время и место сдачи тестирования.

Кроме того, в этом году ЕНТ для претендующих на грант будет длиться три месяца, и в течение 100 дней сдать его можно будет два раза.

— Расскажите поподробнее?

— В марте пройдет тестирование для желающих поступить на платной основе, а для претендующих на грант мы ввели новые правила. Школьник, чтобы поступить на грант, по желанию может сдать ЕНТ два раза в апреле, мае или в июне, а наилучший результат отправить на конкурс. Но есть ограничение — два раза в один день сдавать тест нельзя. К примеру, если ты сдал ЕНТ в апреле, то потом повторно можно пересдать его через несколько дней или в мае, июне. Мы рекомендуем все-таки брать небольшой перерыв, чтобы еще лучше подготовиться. Но в любом случае это выбор школьника.

— Система оценивания останется прежней?

— Количество предметов остается прежним — три обязательных предмета и два на выбор. Если в бумажном формате закрашенный вариант ответа уже нельзя было исправить, то в электронном формате школьник сможет вернуться к вопросу и поменять ответ, но до того, как завершил тест.

Самое главное — результаты теста можно будет получить сразу же после нажатия кнопки «завершить тестирование». Раньше уходило очень много времени на проверку ответов, дети и родители переживали, ждали вечера, чтобы узнать результат. Сейчас мы все автоматизировали и набранное количество баллов будет выведено на экран сразу же после завершения тестирования.
Максимальное количество баллов остается прежним — 140.

— А апелляция?

— Если сдающий не будет согласен с какими-то вопросами, посчитает их некорректными, то он сразу же на месте сможет подать заявку на апелляцию. Не нужно будет ждать следующего дня, идти в центр тестирования, вуз или школу, все это будет электронно.

— С учетом того, что школьникам не придется вручную закрашивать листы ответов, будет ли изменено время сдачи тестирования?

— Мы решили оставить прежнее время — 240 минут. Но теперь, как вы отметили, школьникам не нужно будет тратить час на то, чтобы правильно закрасить лист ответов, они спокойно смогут использовать это время на решение задач.

— Не секрет, что в некоторых селах и отдаленных населенных пунктах не хватает компьютеров. Как сельские школьники будут сдавать ЕНТ по новому формату?

— Задача в том, чтобы правильно выбрать время и дату тестирования. Центры тестирования есть во всех регионах, в Нур-Султане, Алматы и Шымкенте их несколько. Школьники, проживающие в отдаленных населенных пунктах, как и раньше смогут приехать в город, где есть эти центры, и сдать тестирование.

— На сколько процентов будет обновлена база вопросов?

— База вопросов ежегодно обновляется как минимум на 30%. В этом году мы добавили контекстные задания, то что школьники всегда просили. Мы уделили большое внимание истории Казахстана и всемирной истории — исключили практически все даты. Для нас главное не зазубривание дат, а понимание значения исторических событий. Но по каждому предмету будут контекстные вопросы.

— По вашему мнению система справится с возможными хакерскими атаками, взломами?

— Информационная безопасность — это первостепенный и приоритетный вопрос. Центральный аппарат всей системы находится в Нур-Султане. Связь с региональными центрами сдачи ЕНТ проводится по закрытому VPN-каналу. Коды правильных ответов только в Национальном центре тестирования.

Кроме того, дополнительно через ГТС КНБ (Государственная техническая служба) все тесты проходят проверку на предмет возможного вмешательства. Здесь все не просто, это специальные защищенные каналы связи.

— А что с санитарными требованиями? Нужно ли будет школьникам сдавать ПЦР-тест перед ЕНТ?

— ПЦР-тест сдавать не нужно будет. Требование по маскам будет. При необходимости Центр национального тестирования будет выдавать маски школьникам во время сдачи ЕНТ. И, конечно же, будем измерять температуру. Социальная дистанция будет соблюдаться в каждой аудитории.

— Сколько человек будет сидеть в одной аудитории?

— Участники ЕНТ не за семь дней будут сдавать тестирование, как это было раньше, а в течение трех месяцев. Поэтому по заполняемости аудитории вопросов не будет.

— Будут ли ужесточены требования по дисциплине, запрещенным предметам?

— Мы уделяем большое внимание академической честности. На входе в центры тестирования, как и в предыдущие годы, будут стоять металлоискатели. Перечень запрещенных предметов остается прежним — телефоны, шпаргалки и прочее. Но, помимо фронтальной камеры, которая будет транслировать происходящее в аудитории, над каждым столом будет установлена еще одна камера. Она же будет использоваться в качестве идентификации школьника — как Face ID. Сел, зарегистрировался и приступил к заданиям. Мы применеям систему прокторинга.

Понятно, что каждое движение абитуриента нам будет видно. Если во время сдачи ЕНТ обнаружим, что сдающий использовал телефон или шпаргалку, то тестирование автоматически будет прекращено, система отключится.

— А наблюдатели будут присутствовать во время сдачи тестирования?

— Когда в бумажном формате проводили ЕНТ, мы привлекали очень много дежурных. В одной аудитории было по 3-4 человека. При электронной сдаче такого не будет, максимум один наблюдатель, потому что все будет видно по камерам.

— По вашим наблюдениям школьники стали меньше использовать запрещенные предметы, к примеру, пользоваться телефонами?

— Практика показывает, что школьники стали ответственнее относиться к ЕНТ. Если в 2019 году на 120 тыс. школьников мы изъяли 120 тыс. запрещенных предметов, по сути у каждого сдающего был телефон. То в прошлом году мы на 120 тыс. школьников обнаружили всего 2,5 тыс. телефонов, и у всех были аннулированы результаты.

Напомню, что в 2020 году мы также начали использовать систему искусственного интеллекта. Это анализ видеозаписей, который проводится после тестирования. Так, в прошлом году 100 абитуриентов лишились грантов за то, что во время сдачи ЕНТ использовали запрещенные предметы.

— Сколько средств выделено на проведение ЕНТ в этом году?

Если раньше на ЕНТ требовалось 1,5 млрд тенге из-за распечатки книжек и листов ответов, то сейчас расходы значительно сокращены за счет перехода на электронный формат. Они будут, но несущественные.

— Все-таки почему именно в 2021 году было принято решение проводить ЕНТ в электронном формате. Это как-то связано с пандемией?

— Это не связано с пандемией. Просто нужно переходить на качественно новый уровень. Мы апробировали данный формат на педагогах школ, вы знаете, что они сдают квалификационный тест, на магистрантах, так почему бы не использовать этот же формат при сдаче ЕНТ. Тем более, что это удобно, и для школьников теперь будет много плюсов.

Проблемы с движением

Вот несколько примеров решения проблем с движением.

Пример 1

Сколько времени потребуется автобусу со скоростью 72 км / ч, чтобы проехать 36 км?

Сначала обведите то, что вы пытаетесь найти — сколько времени потребуется (время). Задачи движения решаются с помощью уравнения

Поэтому просто подключите: 72 км / ч — это скорость (или скорость) автобуса, а 36 км — это расстояние.

Таким образом, автобусу потребуется полчаса, чтобы проехать 36 км со скоростью 72 км / ч.

Пример 2

С какой скоростью в милях в час должен проехать автомобиль, чтобы проехать 600 миль за 15 часов?

Сначала обведите в кружок то, что вы должны найти — как быстро (скорость). Теперь, используя уравнение d = rt , просто подставьте 600 для расстояния и 15 для времени.

Итак, скорость 40 миль в час.

Пример 3

Миссис Беневидес покидает Бербанк в 9 утра и едет на запад по шоссе Вентура со средней скоростью 50 миль в час.Мисс Твилл покидает Бербанк в 9:30 и едет на запад по шоссе Вентура со средней скоростью 60 миль в час. В какое время мисс Твилл догонит миссис Беневидес и сколько миль они пройдут каждый?

Сначала обведите то, что вы пытаетесь найти — , в какое время и сколько миль. Теперь дайте t постоять за то время, пока мисс Твилл едет, прежде чем догнать миссис Беневидес. Затем миссис Беневидес ведет машину несколько часов, прежде чем ее обгонят. Затем настройте следующую диаграмму.

	ставка r	х	время t	=	расстояние d
Г-жа Твил	60 миль / ч		т		60 т
Госпожа Беневидес	50 миль / ч

Поскольку каждый проходит одинаковое расстояние,

г-жаТвил обгоняет миссис Беневидес через 2,5 часа езды. Точное время можно определить, используя время начала мисс Твилл: 9:30 + 2:30 = 12 часов дня. С тех пор, как г-жа Твилл путешествовала 2,5 часа со скоростью 60 миль в час, она проехала 2,5 × 60, что составляет 150 миль. Итак, госпожа Беневидес обгоняется в 12 часов дня, и каждая из них проехала 150 миль.

Кинематические уравнения и решение проблем

Четыре кинематических уравнения, описывающие математическую связь между параметрами, описывающими движение объекта, были введены в предыдущей части Урока 6.Четыре кинематических уравнения:

В приведенных выше уравнениях символ d обозначает смещение объекта. Символ t обозначает время, в течение которого объект двигался. Символ a обозначает ускорение объекта. А символ v обозначает мгновенную скорость объекта; индекс i после v (как в v _i) указывает, что значение скорости является начальным значением скорости, а индекс f (как в v _f) указывает, что значение скорости является окончательным значением скорости.

Стратегия решения проблем

В этой части Урока 6 мы исследуем процесс использования уравнений для определения неизвестной информации о движении объекта. Процесс включает использование стратегии решения проблем, которая будет использоваться на протяжении всего курса. Стратегия предполагает следующие шаги:

Постройте информативную диаграмму физической ситуации.
Определите и перечислите данную информацию в переменной форме.
Определите и перечислите неизвестную информацию в переменной форме.
Определите и перечислите уравнение, которое будет использоваться для определения неизвестной информации из известной информации.
Подставьте известные значения в уравнение и используйте соответствующие алгебраические шаги, чтобы найти неизвестную информацию.
Проверьте свой ответ, чтобы убедиться, что он разумный и математически правильный.

Использование этой стратегии решения проблем при решении следующей проблемы смоделировано в примерах A и B ниже.

Пример задачи A

Има Харрин приближается к светофору, движущемуся со скоростью +30,0 м / с. Загорается желтый свет, и Има тормозит и останавливается. Если ускорение Имы составляет -8,00 м / с ², то определите смещение автомобиля во время заноса. (Обратите внимание, что направление векторов скорости и ускорения обозначено знаком + и -.)

Решение этой проблемы начинается с построения информативной диаграммы физической ситуации. Это показано ниже. Второй шаг включает идентификацию и перечисление известной информации в переменной форме. Обратите внимание, что значение v _f можно предположить равным 0 м / с, поскольку машина Имы останавливается. Начальная скорость (v _i) кабины +30,0 м / с, так как это скорость в начале движения (заносное движение). А ускорение (а) автомобиля равно — 8.00 м / с ². (Всегда обращайте особое внимание на знаки + и — для данных количеств.) Следующий шаг стратегии включает перечисление неизвестной (или желаемой) информации в переменной форме. В этом случае проблема запрашивает информацию о перемещении автомобиля. Итак, d — неизвестная величина. Результаты первых трех шагов показаны в таблице ниже.

Схема:	Дано:	Находка:
	v _i = +30.0 м / с v _f = 0 м / с a = — 8,00 м / с ²	d = ??

Схема:

Дано:

Находка:

v _i = +30.0 м / с
v _f = 0 м / с

a = — 8,00 м / с ²

d = ??

Следующий шаг стратегии включает определение кинематического уравнения, которое позволит вам определить неизвестную величину. На выбор предлагается четыре кинематических уравнения. В общем, вы всегда будете выбирать уравнение, которое содержит три известные и одну неизвестную переменные. В этом конкретном случае тремя известными переменными и одной неизвестной переменной являются v _f, v _i, a и d.Таким образом, вы будете искать уравнение, в котором перечислены эти четыре переменные. Анализ четырех приведенных выше уравнений показывает, что уравнение в правом верхнем углу содержит все четыре переменные.

v _f ² = v _i ² + 2 • a • d

После того, как уравнение идентифицировано и записано, следующий шаг стратегии включает в себя замену известных значений в уравнение и использование соответствующих алгебраических шагов для поиска неизвестной информации.Этот шаг показан ниже.

(0 м / с) ² = (30,0 м / с) ² + 2 • (-8,00 м / с ²) • d

0 м ² / с ² = 900 м ² / с ² + (-16,0 м / с ²) • d

(16,0 м / с ²) • d = 900 м ² / с ² — 0 м ² / с ²

(16,0 м / с ²) * d = 900 м ² / с ²

d = (900 м ² / с ²) / (16.0 м / с ²)

d = (900 м ² / с ²) / (16,0 м / с ²)

d = 56,3 м

Решение, приведенное выше, показывает, что автомобиль заносит расстояние 56,3 метра. (Обратите внимание, что это значение округлено до третьей цифры.)

Последний шаг стратегии решения проблем включает проверку ответа, чтобы убедиться, что он является одновременно разумным и точным. Стоимость кажется достаточно разумной. Машине требуется значительное расстояние, чтобы занести из 30.0 м / с (примерно 65 миль / ч) до остановки. Расчетное расстояние составляет примерно половину футбольного поля, что делает его очень разумным расстоянием для заноса. Проверка точности включает подстановку вычисленного значения обратно в уравнение для смещения и обеспечение того, чтобы левая часть уравнения была равна правой части уравнения. В самом деле!

Пример задачи B

Бен Рушин ждет на светофоре.Когда он наконец стал зеленым, Бен ускорился из состояния покоя со скоростью 6,00 м / с ² за время 4,10 секунды. Определите перемещение машины Бена за этот период времени.

И снова решение этой проблемы начинается с построения информативной диаграммы физической ситуации. Это показано ниже. Второй шаг стратегии включает идентификацию и перечисление известной информации в переменной форме. Обратите внимание, что значение v _i можно вывести как 0 м / с, поскольку машина Бена изначально находится в состоянии покоя.Ускорение (а) автомобиля составляет 6,00 м / с ². Время (t) равно 4,10 с. Следующий шаг стратегии включает перечисление неизвестной (или желаемой) информации в переменной форме. В этом случае проблема запрашивает информацию о перемещении автомобиля. Итак, d — неизвестная информация. Результаты первых трех шагов показаны в таблице ниже.

Схема:	Дано:	Находка:
	v _i = 0 м / с т = 4.10 с a = 6,00 м / с ²	d = ??

Схема:

Дано:

Находка:

v _i = 0 м / с
т = 4.10 с

a = 6,00 м / с ²

d = ??

Следующий шаг стратегии включает определение кинематического уравнения, которое позволит вам определить неизвестную величину. На выбор предлагается четыре кинематических уравнения. Опять же, вы всегда будете искать уравнение, которое содержит три известные переменные и одну неизвестную переменную. В этом конкретном случае тремя известными переменными и одной неизвестной переменной являются t, v _i, a и d.Анализ четырех приведенных выше уравнений показывает, что уравнение в левом верхнем углу содержит все четыре переменные.

d = v _i • t + ½ • a • t ²

d = (0 м / с) • (4.1 с) + ½ • (6,00 м / с ²) • (4,10 с) ²

d = (0 м) + ½ • (6,00 м / с ²) • (16,81 с ²)

d = 0 м + 50,43 м

d = 50,4 м

Решение, приведенное выше, показывает, что автомобиль преодолеет расстояние 50,4 метра. (Обратите внимание, что это значение округлено до третьей цифры.)

Последний шаг стратегии решения проблем включает проверку ответа, чтобы убедиться, что он является одновременно разумным и точным.Стоимость кажется достаточно разумной. Автомобиль с ускорением 6,00 м / с / с достигнет скорости примерно 24 м / с (примерно 50 миль / ч) за 4,10 с. Расстояние, на которое такая машина будет перемещена в течение этого периода времени, будет примерно половиной футбольного поля, что делает это расстояние очень разумным. Проверка точности включает подстановку вычисленного значения обратно в уравнение для смещения и обеспечение того, чтобы левая часть уравнения была равна правой части уравнения.В самом деле!

Два приведенных выше примера задач иллюстрируют, как кинематические уравнения могут быть объединены с простой стратегией решения проблем для прогнозирования неизвестных параметров движения для движущегося объекта. Если известны три параметра движения, можно определить любое из оставшихся значений. В следующей части Урока 6 мы увидим, как эту стратегию можно применить к ситуациям свободного падения. Или, если интересно, вы можете попробовать несколько практических задач и сравнить свой ответ с данными решениями.

Equations of Motion — The Physics Hypertextbook

Обсуждение

постоянное ускорение

Для точности этот раздел должен называться «Одномерные уравнения движения при постоянном ускорении». Учитывая, что такое название было бы стилистическим кошмаром, позвольте мне начать этот раздел со следующей оговорки.Эти уравнения движения действительны только тогда, когда ускорение постоянное и движение ограничено прямой линией.

Учитывая, что мы живем в трехмерной вселенной, в которой единственная константа — это изменение, у вас может возникнуть соблазн сразу отказаться от этого раздела. Было бы правильно сказать, что ни один объект никогда не двигался по прямой с постоянным ускорением в любом месте Вселенной в любое время — ни сегодня, ни вчера, ни завтра, ни пять миллиардов лет назад, ни тридцать миллиардов лет в будущем. , никогда.Об этом я могу сказать с абсолютной метафизической уверенностью.

Так что же тогда хорошего в этом разделе? Что ж, во многих случаях полезно предположить, что объект двигался или будет двигаться по прямому пути с почти постоянным ускорением; то есть любое отклонение от идеального движения можно по существу игнорировать. Движение по криволинейной траектории можно считать фактически одномерным, если имеется только одна степени свободы для задействованных объектов.Дорога может извиваться и поворачиваться и исследовать всевозможные направления, но автомобили, движущиеся по ней, имеют только одну степень свободы — свободу двигаться в одном или противоположном направлении. (Вы не можете двигаться по дороге по диагонали и надеетесь остаться на ней надолго.) В этом отношении это мало чем отличается от движения, ограниченного прямой линией. Аппроксимация реальных ситуаций моделями, основанными на идеальных ситуациях, не считается обманом. Так поступают в физике. Это настолько полезный метод, что мы будем использовать его снова и снова.

Наша цель в этом разделе — вывести новые уравнения, которые можно использовать для описания движения объекта в терминах его трех кинематических переменных: скорости ( v ), положения ( с ) и времени ( т ). Есть три способа объединить их в пары: скорость-время, положение-время и скорость-положение. В этом порядке их также часто называют первым, вторым и третьим уравнениями движения, но нет веских причин для изучения этих имен.

Поскольку мы имеем дело с движением по прямой линии, направление будет обозначено знаком — положительные величины указывают в одну сторону, а отрицательные величины указывают в противоположную сторону.Определение того, какое направление является положительным, а какое отрицательным, совершенно произвольно. Законы физики изотропны ; то есть они не зависят от ориентации системы координат. Однако некоторые проблемы легче понять и решить, если одно направление предпочтительнее другого. Пока вы последовательны в решении проблемы, это не имеет значения.

скорость-время

Связь между скоростью и временем проста при равномерно ускоренном прямолинейном движении.Чем дольше ускорение, тем больше изменение скорости. Изменение скорости прямо пропорционально времени, когда ускорение постоянно. Если скорость увеличивается на определенную величину за определенное время, она должна увеличиваться вдвое на эту величину в два раза быстрее. Если объект уже стартовал с определенной скоростью, то его новая скорость будет равна старой скорости плюс это изменение. Вы должны быть в состоянии увидеть уравнение уже мысленным взором.

Это самое простое из трех уравнений, которое можно вывести с помощью алгебры.Начнем с определения ускорения.

Расширить ∆ v до v — v ₀ и сжать ∆ t до t .

Затем найдите v как функцию от t .

v = v ₀ + при [1]

Это первое уравнение движения . Он записывается как полином — постоянный член ( против ₀), за которым следует член первого порядка ( на ).Поскольку наивысший порядок равен 1, правильнее называть его линейной функцией .

Символ v ₀ [vee naught] называется начальной скоростью или скоростью a раз t = 0. Его часто называют «первой скоростью», но это довольно наивный способ Опишите это. Лучшее определение было бы сказать, что начальная скорость — это скорость, которую имеет движущийся объект, когда он впервые становится важным в проблеме. Скажем, метеор был замечен глубоко в космосе, и проблема заключалась в том, чтобы определить его траекторию, тогда начальная скорость, вероятно, будет той скоростью, которую он имел при первом наблюдении.Но если проблема заключалась в том, что тот же самый метеор сгорает при входе в атмосферу, то начальная скорость, вероятно, равна скорости, которую он имел при входе в атмосферу Земли. Ответ на вопрос «Какая начальная скорость?» «Это зависит от обстоятельств». Это оказывается ответом на множество вопросов.

Символ v — это скорость через t после начальной скорости. Ее часто называют конечной скоростью , но это не делает ее «последней скоростью» объекта. Возьмем случай с метеором.Какая скорость обозначена символом v ? Если вы внимательно слушали, значит, вы должны были ожидать ответа. По-разному. Это может быть скорость метеора, когда он проходит мимо Луны, входит в атмосферу Земли или ударяется о поверхность Земли. Это также может быть скорость метеорита, находящегося на дне кратера. (В этом случае v = 0 м / с.) Является ли какое-либо из этих значений конечной скоростью? Кто знает. Кто-то мог извлечь метеорит из дыры в земле и уехать вместе с ним.Это актуально? Наверное, нет, но это зависит от обстоятельств. Для такого рода вещей нет правил. Вы должны проанализировать текст задачи на предмет физических величин, а затем присвоить значение математическим символам.

Последняя часть этого уравнения на — это изменение скорости по сравнению с начальным значением. Напомним, что a — это скорость изменения скорости, а t — это время после некоторого начального события _{. Ставка раз время меняется. Если объект ускоряется со скоростью 10 м / с ², через 5 с он будет двигаться на 50 м / с быстрее.Если бы он стартовал со скоростью 15 м / с, то его скорость через 5 с была бы…}

15 м / с + 50 м / с = 65 м / с

позиция-время

Смещение движущегося объекта прямо пропорционально скорости и времени. Двигайся быстрее. Иди дальше. Двигайтесь дольше (как и дольше). Иди дальше. Ускорение усугубляет эту простую ситуацию, поскольку скорость теперь также прямо пропорциональна времени. Попробуйте сказать это словами, и это прозвучит нелепо. «Смещение прямо пропорционально времени и прямо пропорционально скорости, которая прямо пропорциональна времени.»Время удваивается, поэтому смещение пропорционально квадрату времени. Автомобиль, разгоняющийся в течение двух секунд, преодолеет в четыре раза больше расстояния, чем автомобиль, ускоряющийся всего за одну секунду (2 ² = 4). Автомобиль, ускоряющийся в течение трех секунд покрыли бы расстояние в девять раз большее (3 ² = 9).

Если бы это было так просто. Этот пример работает, только когда начальная скорость равна нулю. Смещение пропорционально квадрату времени, когда ускорение постоянное, а начальная скорость равна нулю.Истинное общее утверждение должно учитывать любую начальную скорость и то, как она менялась. Это приводит к ужасно запутанному утверждению соразмерности. Смещение прямо пропорционально времени и пропорционально квадрату времени, когда ускорение постоянно. Функция, которая является одновременно линейной и квадратной, называется квадратичной , что позволяет нам значительно сжать предыдущее утверждение. Смещение является квадратичной функцией времени при постоянном ускорении

Формулировки пропорциональности полезны, но не столь общие, как уравнения.Мы до сих пор не знаем, каковы константы пропорциональности для этой проблемы. Один из способов понять их — использовать алгебру.

Начнем с определения средней скорости.

Расширить ∆ с до с — с ₀ и сжать ∆ t до t .

Решите для позиции.

с = с ₀ + vt [a]

Чтобы продолжить, нам нужно прибегнуть к небольшому трюку, известному как теорема о средней скорости или правило Мертона .Я предпочитаю последнее, так как правило может применяться к любой величине, которая изменяется с одинаковой скоростью, а не только к скорости. Правило Мертона было впервые опубликовано в 1335 году в Мертон-колледже в Оксфорде английским философом, математиком, логиком и калькулятором Уильямом Хейтсбери (1313–1372). Когда скорость изменения величины постоянна, ее среднее значение находится на полпути между ее конечным и начальным значениями.

v = ½ ( v + v ₀) [4]

Подставьте первое уравнение движения [1] в это уравнение [4] и упростите его, исключив v .

v = ½ [( v ₀ + при ) + v ₀]

v = ½ (2 v ₀ + при )

v = v ₀ + ½ at [b]

Теперь замените [b] на [a], чтобы исключить v [vee bar].

с = с ₀ + ( v ₀ + ½ при ) т

И, наконец, найдите s как функцию от t .

с = с ₀ + v ₀ т + ½ при ² [2]

Это второе уравнение движения . Он записывается как полином — постоянный член ( с ₀), за которым следует член первого порядка ( v ₀ t ), за которым следует член второго порядка (½ при ²). ). Поскольку наивысший порядок равен 2, правильнее называть его квадратичным .

Символ s ₀ [ess naught] часто рассматривается как начальная позиция . Символ s — это позиция на t позже. Если хотите, вы можете назвать ее конечной позицией . Изменение положения (∆ s ) называется смещением или расстоянием (в зависимости от обстоятельств), и некоторые люди предпочитают писать второе уравнение движения таким образом.

∆ с = v ₀ t + ½ при ² [2]

скорость-позиция

Первые два уравнения движения описывают одну кинематическую переменную как функцию времени.По сути…

Скорость прямо пропорциональна времени при постоянном ускорении ( v ∝ t ).
Смещение пропорционально квадрату времени при постоянном ускорении (∆ с ∝ т ²).

Объединение этих двух утверждений дает начало третьему, не зависящему от времени. При замене должно быть очевидно, что…

Смещение пропорционально квадрату скорости при постоянном ускорении (∆ с ∝ v ²).

Это утверждение особенно важно для безопасности вождения. Когда вы вдвое увеличиваете скорость автомобиля, требуется в четыре раза больше расстояния, чтобы его остановить. Увеличьте скорость втрое, и вам понадобится в девять раз больше расстояния. Это хорошее практическое правило, которое следует запомнить.

Концептуальное введение сделано. Пришло время вывести формальное уравнение.

способ 1

Объедините первые два уравнения вместе таким образом, чтобы исключить время как переменную. Самый простой способ сделать это — начать с первого уравнения движения…

v = v ₀ + при [1]

решить на время…

и подставляем во второе уравнение движения…

с = с ₀ + v ₀ т + ½ при ² [2]

нравится…

с =	с ₀ + с ₀	⎛ ⎜	v — v ₀	⎞ ⎟	+ ½ а	⎛ ⎜	v — v ₀	⎞ ² ⎟ ⎠
			а				а

с — с ₀ =	vv ₀ — v ₀ ²	+	v ²-2 vv ₀ + v ₀ ²
	а		2 а

2 a ( с — с ₀) = 2 ( vv ₀ — v ₀ ²) + ( v ² — 2 vv ₀ + v ₀ ²)

2 a ( с — с ₀) = v ² — v ₀ ²

Возведите объект в квадрат скорости, и все готово.

v ² = v ₀ ² + 2 a ( с — с ₀) [3]

Это третье уравнение движения . Еще раз, символ s ₀ [ess naught] — это начальная позиция , а s — это позиция через некоторое время t позже. При желании вы можете написать уравнение, используя ∆ s — изменение положения , смещение или расстояние в зависимости от ситуации.

v ² = v ₀ ² + 2 a ∆ s [3]

способ 2

Более сложный способ вывести это уравнение — начать со второго уравнения движения в этой форме…

∆ с = v ₀ t + ½ при ² [2]

и решите ее на время. Это непростая работа, поскольку уравнение квадратично. Переставьте термины так…

½ при ² + v ₀ t — ∆ s = 0

и сравните его с общей формой квадратичной.

ось ² + bx + c = 0

Решение этой задачи дает известное уравнение…

x =	— b ± √ ( b ² — 4 ac )
	2 а

Замените символы в общем уравнении эквивалентными символами из нашего преобразованного второго уравнения движения…

т =	— v ₀ ± √ [ v ₀ ² — 4 (½ a ) (∆ s )]
	2 (½ a )

почисти немного…

т =	— v ₀ ± √ ( v ₀ ² — 2 a ∆ с )
	а

, а затем подставьте его обратно в первое уравнение движения.

v = v ₀ + при [1]

v = v ₀ + a	⎛ ⎜	— v ₀ ± √ ( v ₀ ² — 2 a ∆ с )	⎞ ⎟
		а

Материал отменяется, и мы получаем это…

v = ± √ ( v ₀ ² + 2 a ∆ с )

Выровняйте обе стороны, и все готово.

v ² = v ₀ ² + 2 a ∆ s [3]

Это было не так уж и плохо, не так ли?

исчисления выводов

Исчисление — это сложная математическая тема, но она значительно упрощает вывод двух из трех уравнений движения. По определению, ускорение — это первая производная скорости по времени. Возьмите операцию в этом определении и отмените ее. Вместо того, чтобы дифференцировать скорость для определения ускорения, интегрируйте ускорение для определения скорости.Это дает нам уравнение скорость-время. Если предположить, что ускорение постоянное, мы получим так называемое первое уравнение движения [1].

а	=
дв	=	и ДТ

	=
v — v ₀	=	при

в	=	v ₀ + at [1]

Опять же, по определению, скорость — это первая производная положения по времени.Выполните эту операцию в обратном порядке. Вместо того, чтобы различать положение для определения скорости, интегрируйте скорость, чтобы найти положение. Это дает нам уравнение положения-времени для постоянного ускорения, также известное как второе уравнение движения [2].

v dt

( v ₀ + at ) dt

т
⌠ ⌡	( v ₀ + at ) dt
0

с — с ₀

v ₀ t + ½ при ²

с ₀ + v ₀ t + ½ при ² [2]

В отличие от первого и второго уравнений движения, нет очевидного способа вывести третье уравнение движения (то, которое связывает скорость с положением) с помощью расчетов.Мы не можем просто перепроектировать это по определению. Нам нужно разыграть довольно изощренный трюк.

Первое уравнение движения связывает скорость со временем. По сути, мы вывели его из этой производной…

Второе уравнение движения связывает положение со временем. Это произошло от этой производной…

Третье уравнение движения связывает скорость с положением. По логике, это должно происходить от производной, которая выглядит так…

Но что это значит? Ну, ничего по определению, но, как и все количества, оно равно себе.Оно также равно самому себе, умноженному на 1. Мы будем использовать специальную версию 1 (^dt _dt) и специальную версию алгебры (алгебра с бесконечно малыми). Посмотрите, что происходит, когда мы это делаем. Мы получаем одну производную, равную ускорению (^dv _dt), а другую производную, равную обратной скорости (^dt _ds).

дв	=	дв	1
DS		DS
дв	=	дв	дт
DS		DS	дт
дв	=	дв	дт
DS		дт	DS
дв	=	а	1
DS			в

Следующий шаг, разделение переменных.Соберите вместе похожие вещи и интегрируйте их. Вот что мы получаем, когда ускорение постоянное…

		=
в дв		=	и DS

		=
½ ( v ² — v ₀ ²)		=	a ( с — с ₀)

	v ²	=	v ₀ ² + 2 a ( с — с ₀) [3]

Безусловно, умное решение, и оно было не так уж сложно, чем первые два варианта.Однако на самом деле это сработало только потому, что ускорение было постоянным — постоянным во времени и постоянным в пространстве. Если бы ускорение каким-либо образом менялось, этот метод был бы неудобно трудным. Мы вернемся к алгебре, чтобы спасти наше здравомыслие. Не то чтобы в этом что-то не так. Алгебра работает, а здравомыслие стоит сэкономить.

v =	v ₀ + at	[1]
		+
с =	с ₀ + v ₀ t + ½ при ²	[2]
		=
v ² =	v ₀ ² + 2 a ( с — с ₀)	[3]

Проблемы с расстоянием — в том же направлении

Проблемы с движением — одни из самых распространенных словесных проблем, с которыми вы можете столкнуться в количественном разделе GMAT.Эти вопросы по решению проблем попадают в одну из трех категорий:

Движение в противоположных направлениях
Движение в одном направлении (проблемы «догнать»)
Вопросы туда и обратно

В этом уроке мы рассмотрим движение в одном направлении.

2. Движение в одном направлении («догонять»): основы

Все типы вопросов движения в GMAT требуют от вас применения следующей базовой формулы расстояния :

Расстояние = Скорость * Время

Общая идея вопросов о движении «В одном направлении» или «догнать» состоит в том, что два объекта движутся в одном направлении с разной скоростью.Одна сущность обычно начинается за другой и движется с большей скоростью, чтобы «догнать» первую сущность. В самом вопросе обычно предлагается выяснить, сколько времени требуется второму объекту, чтобы догнать первый объект, или, возможно, сколько расстояния должно пройти второе предприятие, прежде чем догнать (т. Е. «Догнать») первый объект.

Независимо от того, какая информация вам предоставляется и что вас в конечном итоге просят решить, эти вопросы всегда сводятся к решению для одной из переменных в формуле расстояния.Есть три важных шага, чтобы найти недостающий элемент, который вам предлагается решить.

Стратегия

Шаг 1: Нарисуйте диаграмму, показывающую, что вам говорит проблема. Это поможет вам представить себе, что вы решаете, и обдумать сам вопрос.

Диаграмма обычно выглядит примерно так:

Шаг 2: Лучшей отправной точкой для решения вопросов в одном направлении является использование этой формулы:

d ₁ = d₂

Шаг 3: Установите индивидуальную формулу расстояния для каждого объекта, d₁ и d₂, и установите их равными друг другу.* Вас могут попросить найти расстояние, пройденное каждой сущностью, или, возможно, вас просто спросят, сколько времени (т. Е. , время в Формуле расстояния) требуется одной сущности, чтобы догнать другую.

* Примечание: По более сложным вопросам лицо / объект 2 может стартовать издалека или обогнать лицо / объект 2 на определенное расстояние. В этом случае очевидно, что d₁ и d₂ не будут равны. Вы захотите использовать диаграмму в качестве руководства и при необходимости скорректировать уравнение. Например, если проблема спрашивает вас, сколько времени потребуется человеку / сущности 2, чтобы догнать и обогнать человека / сущность 1 на 2 мили, тогда ваша диаграмма может выглядеть так:

Таким образом, чтобы эти два расстояния были «равными», вам необходимо скорректировать уравнение следующим образом (при условии, что показатель дан в милях):

d ₁ + 2 = d₂

Другими словами, Человек / Сущность 1 теоретически должен проехать еще 2 мили, чтобы его расстояние было равным расстоянию Человека / Сущности 2.

По GMAT

Все это станет более понятным, если вы увидите, как эта стратегия применяется к образцу вопроса GMAT. Посмотрите это видео для пошаговой подачи заявки:

Решение проблем базовой кинематики | Безграничная физика

Приложения

Есть четыре кинематических уравнения, которые описывают движение объектов без учета его причин.

Цели обучения

Выберите, какое кинематическое уравнение использовать в задачах, в которых начальное начальное положение равно нулю

Основные выводы

Ключевые моменты

Четыре кинематических уравнения включают пять кинематических переменных: [latex] \ text {d} [/ latex], [latex] \ text {v} [/ latex], [latex] \ text {v} _0 [/ latex] , [латекс] \ text {a} [/ latex] и [латекс] \ text {t} [/ latex].
Каждое уравнение содержит только четыре из пяти переменных, а другая отсутствует.
Важно выбрать уравнение, которое содержит три известные переменные и одну неизвестную переменную для каждой конкретной ситуации.

Ключевые термины

кинематика : Раздел физики, связанный с движущимися объектами.

Кинематика — это раздел классической механики, который описывает движение точек, тел (объектов) и систем тел (групп объектов) без учета причин движения.2 + 2 \ text {ad} [/ latex]

Обратите внимание, что четыре кинематических уравнения включают пять кинематических переменных: [latex] \ text {d} [/ latex] , [latex] \ text {v} [/ latex] , [latex] \ text {v } _0 [/ latex] , [латекс] \ text {a} [/ latex] и [латекс] \ text {t} [/ latex]. Каждое из этих уравнений содержит только четыре из пяти переменных, а другая отсутствует. Это говорит нам, что нам нужны значения трех переменных, чтобы получить значение четвертой, и нам нужно выбрать уравнение, которое содержит три известные переменные и одну неизвестную переменную для каждой конкретной ситуации.

Вот основные этапы решения проблем с использованием этих уравнений:

Шаг первый — Определите, что именно необходимо определить в проблеме (определите неизвестные).

Шаг второй. Найдите уравнение или систему уравнений, которые помогут вам решить проблему.

Шаг третий — Подставьте известные значения вместе с их единицами измерения в соответствующее уравнение и получите численные решения вместе с единицами измерения.

Шаг четвертый. Проверьте ответ, чтобы узнать, разумен ли он: имеет ли он смысл?

Навыки решения проблем, очевидно, необходимы для успешного прохождения количественного курса физики.Что еще более важно, способность применять общие физические принципы, обычно представленные уравнениями, к конкретным ситуациям — очень мощная форма знания. Это намного эффективнее, чем запоминание списка фактов. Аналитические навыки и способность решать проблемы могут быть применены к новым ситуациям, тогда как список фактов не может быть достаточно длинным, чтобы содержать все возможные обстоятельства. Такие аналитические навыки полезны как для решения задач на уроках физики, так и для применения физики в повседневной и профессиональной жизни.

Диаграммы движения

Диаграмма движения — это графическое описание движения объекта, которое представляет положение объекта через равные промежутки времени.

Цели обучения

Построить диаграмму движения

Основные выводы

Ключевые моменты

Диаграммы движения представляют движение объекта, отображая его местоположение в разное время с равным интервалом на одной диаграмме.
Диаграммы движения показывают начальное положение и скорость объекта, а также несколько точек в центре диаграммы.Эти пятна показывают состояние движения объекта.
Диаграммы движения содержат информацию о положении объекта в определенные моменты времени и поэтому более информативны, чем диаграмма путей.

Ключевые термины

стробоскопический : Относится к инструменту, который заставляет циклически движущийся объект казаться медленно движущимся или неподвижным.
диаграмма : график или диаграмма.
движение : изменение положения относительно времени.

Диаграмма движения — это графическое описание движения объекта. Он отображает местоположение объекта в разное время с равным интервалом на одной диаграмме; показывает начальное положение и скорость объекта; и представляет несколько точек в центре диаграммы. Эти пятна показывают, ускорился или замедлился объект. Для простоты объект представлен простой формой, например закрашенным кружком, который содержит информацию о положении объекта в определенные моменты времени.По этой причине диаграмма движения дает больше информации, чем диаграмма пути. Он также может отображать силы, действующие на объект в каждый момент времени.

— диаграмма движения по простой траектории. Представьте себе объект в виде хоккейной шайбы, скользящей по льду. Обратите внимание, что шайба преодолевает одинаковое расстояние за единицу пути по траектории. Можно сделать вывод, что шайба движется с постоянной скоростью и, следовательно, во время движения нет ускорения или замедления.

Шайба, скользящая по льду : Диаграмма движения шайбы, скользящей по льду.Шайба движется с постоянной скоростью.

Одно из основных применений диаграмм движения — это представление фильма через серию кадров, снятых камерой; это иногда называют стробоскопической техникой (как показано на рисунке). Просмотр объекта на диаграмме движения позволяет определить, ускоряется или замедляется объект или находится в постоянном покое. Когда кадры сделаны, мы можем предположить, что объект находится в постоянном покое, если он занимает одно и то же положение с течением времени. Мы можем предположить, что объект ускоряется, если есть видимое увеличение пространства между объектами с течением времени, и что он замедляется, если есть видимое уменьшение пространства между объектами с течением времени.Объекты на кадре очень близко подходят друг к другу.

прыгающий мяч : прыгающий мяч, снятый с помощью стробоскопической вспышки со скоростью 25 изображений в секунду.

Задачи кинематики (описания движения) — Физика

Проблемы кинематики (описание движения)

Эти проблемы, также известные как проблемы с движением, просят вас описать движение. Время — ключевая переменная, которая говорит вам работать с кинематическими уравнениями. Если вас спрашивают только о положениях и скоростях, вы также можете решить задачу с помощью функции сохранения энергии.

Примеры проблем

Одномерные кинематические задачи
Задачи двумерной кинематики
Изменение проблем с ускорением

Как решать кинематические задачи

1. Определите проблему

Любая задача, которая требует от вас описать движение объекта, не беспокоясь о причине этого движения, является проблемой кинематики, независимо от того, что было указано или запрошено в задаче.В некоторых случаях для решения проблемы можно использовать кинематику или энергию. Однако, если вас спросят о времени или горизонтальном движении, вам, скорее всего, понадобится кинематика.

2. Нарисуйте картинку:

Поскольку кинематические задачи сосредоточены на описании движения, ваше изображение должно быть изображением движения или траектории интересующего объекта. Обязательно отметьте ключевые точки на изображении (любую точку, о которой вам дают информацию, любую точку, о которой вас просят предоставить информацию, и любую точку, например, начало движения, где вы знаете информацию (например, v _y = 0 в верхней части дуги) без явного указания.Будьте осторожны: вы НЕ знаете, что v = 0, когда объект достигает земли. Как только он касается земли, на него действует новая сила, и проблема меняется. Кинематические уравнения, которые вы будете использовать, действительны только до момента, когда объект почти коснется земли.

Помимо отметки ключевых точек, вы должны указать начало координат. Другими словами, выберите место, где x = 0 и y = 0. Все остальные значения положения затем измеряются от этого места.

Наконец, кинематические переменные (x, v и a) являются векторами, поэтому вы сможете работать с уравнениями только в одном направлении за раз.Очень легко забыть работать с правильным компонентом, пока вы находитесь в середине проблемы, поэтому потратив несколько минут на разделение всех векторов на компоненты и организацию их в таблице, вы сэкономите много ошибок и сэкономите время в долгосрочной перспективе. запустить.

3. Выберите отношение

Есть три ключевых кинематических уравнения. Если вы внимательно выберете уравнение, которое наиболее точно описывает ситуацию в вашей проблеме, вы не только решите проблему за меньшее количество шагов, но и лучше поймете ее.Три уравнения, записанные для движения в направлении x, следующие:

x = x ₀ + v ₀ Δt + ½ a (Δt) ² (связывает положение и время)
v = v ₀ + aΔt (связывает скорость и время)
v ² = v ₀ ² + 2a (Δx) (связывает скорость и положение)

Обратите внимание, что в некоторых книгах приводится более трех уравнений. Например, они могут воспроизвести эти уравнения с –g вместо a для движения в направлении y или объединить их вместе в уравнение дальности.Все это уравнения частного случая — они представляют собой частично решенные версии этих трех основных уравнений и работают только в определенных ситуациях. (Уравнение дальности, например, действительно только в том случае, если объект приземляется на той же высоте, с которой был брошен.) Гораздо лучше всегда начинать с одного из трех основных уравнений. Они всегда применимы и всегда используются одинаково.

Самая большая проблема в кинематических задачах — выбрать лучшее уравнение для решения вашей задачи.Чтобы сделать это, подумайте, какой ответ вы хотите получить. Если проблема требует от вас должности, то какая это позиция? Если вам нужно положение в данный момент времени, выберите уравнение 1. Если вы хотите положение при заданной скорости, выберите уравнение 2. v ₀ и a встречаются во всех уравнениях, и поэтому, если вас попросят решить для любой из этих переменных вам нужно будет определить две известные величины и выбрать уравнение, которое их связывает.

4. Решите проблему
Кинематические уравнения являются векторными уравнениями и поэтому должны решаться отдельно в направлениях x и y.Для решения многих задач вам нужно будет работать только в одном измерении. Если вам когда-нибудь понадобится связать эти два понятия (например, если ваш вопрос требует x-позиции, когда объект имеет данную y-позицию), вам нужно пройти сквозь время. Используйте то, что вы знаете, чтобы найти время в этом направлении, а затем используйте время в другом направлении для получения желаемой информации.
Единственная сложная алгебра в кинематике — это решение уравнения 1, когда v ₀ не равно нулю. В этом случае вам нужно будет использовать расширение.
5. Анализируйте результаты
Решив проблему, взгляните на нее еще раз. Ваш ответ имеет смысл? Было ли это поведение, которое вы интуитивно ожидали найти? Можете ли вы сейчас выполнить действия, которые раньше вызывали у вас проблемы, или лучше определить, какое уравнение лучше всего использовать? Вы можете словами объяснить, что происходит? Если вы определили это как кинематическую проблему только из-за заголовка раздела в вашем учебнике, укажите информацию, которую вы бы использовали для распознавания подобной проблемы на выпускном экзамене.

Помогите! Я не могу найти пример, который мне нужен для работы!

Вы уверены, что ваша проблема связана с кинематикой?
Распространенная ошибка — слишком много думать. Если вам сообщают расстояние и запрашивают среднюю скорость, или наоборот, они напрямую связаны через определение средней скорости. Проверьте задачи определения и соотношения, чтобы увидеть, сможете ли вы найти полезный пример.
Также возможно, что вашу проблему лучше решить с помощью энергии и импульса.Между кинематическими и энергетическими проблемами много общего, поэтому проверьте задачи Energy и Momentum, чтобы увидеть, сможете ли вы найти там полезный пример.
Да, моя проблема определенно проблема кинематики.
В таком случае подумайте шире о том, что является полезным примером. Помните, вам было поручено практиковать подход к решению проблем не потому, что ответы на ваши проблемы особенно интересны. Пример, в котором вы просто заменяете числами числа в задаче, даст вам возможность попрактиковаться в вводе чисел на калькуляторе, но ничего не научит вас физике, а когда вы будете сдавать экзамен, каждая задача будет казаться вам новой и непохожей.Так что думайте о своем примере как о поддержке, которая поможет вам практиковать подход к решению проблем.
И каждая проблема в этом разделе использует тот же подход, поэтому любая проблема является подходящим примером, который поможет вам подойти к вашей проблеме. Способ решения определяется не тем, как выглядит проблема, а ее типом (в данном случае кинематикой), который необходимо учитывать. Тем не менее, разные ситуации требуют от вас решения разных побочных задач.Если вас просят время, вам может потребоваться решить квадратное уравнение, а если проблема двумерная, вам может потребоваться перейти между направлениями x и y. Поэтому, если в вашей проблеме есть какая-либо из этих функций, вам может быть полезно выбрать пример, который также имеет. Но не волнуйтесь, вам не нужен (и не нужен) пример, который точно соответствовал бы вашей задаче!

Темы по алгебре: задачи с дистанционным словом

Урок 10: Задачи с дистанционным словом

/ ru / algebra-themes / Introduction-to-word-tasks / content /

Что такое задачи с дистанционным словом?

Задачи с дистанционным словом — это распространенный тип задач по алгебре.Они включают сценарий, в котором вам нужно выяснить, насколько быстро , насколько далеко или как длинный перемещался один или несколько объектов. Их часто называют задачами поезда , потому что один из самых известных типов задач расстояния включает определение того, когда два поезда, идущие навстречу друг другу, пересекаются.

В этом уроке вы узнаете, как решать задачи с поездами и несколько других распространенных типов задач на расстояние. Но сначала давайте рассмотрим некоторые основные принципы, которые применимы к любой задаче о расстоянии .

Основы дистанционных задач

Существует три основных аспекта движения и перемещения: расстояние , скорость и время . Чтобы понять разницу между ними, вспомните, когда вы в последний раз куда-то ездили.

Расстояние — это расстояние , которое вы прошли. Скорость — это скорость , на которую вы проехали. Время — это то, как длин заняла поездка.

Связь между этими вещами можно описать следующей формулой:

расстояние = скорость x время
d = rt

Другими словами, расстояние , которое вы проехали, равно скорости , с которой вы проехали, умноженное на раз, когда вы проехали .Для примера того, как это будет работать в реальной жизни, представьте, что ваша последняя поездка была такой:

Вы проехали 25 миль — это расстояние .
Вы проехали в среднем 50 миль в час — это скорость .
Поездка заняла 30 минут или 0,5 часа — это время .

Согласно формуле, если мы умножим коэффициент на и на , произведение должно быть нашим расстоянием.

И это так! Мы проехали 50 миль в час за 0.5 часов — и 50 ⋅ 0,5 равно 25, что соответствует нашему расстоянию.

Что, если бы мы проехали 60 миль в час вместо 50? Как далеко мы сможем проехать за 30 минут? Мы могли бы использовать ту же формулу, чтобы выяснить это.

60 ⋅ 0,5 равно 30, поэтому наше расстояние будет 30 миль.

Решение задач с расстоянием

Когда вы решаете любую задачу о расстоянии, вам нужно будет сделать то, что мы только что сделали — по формуле найти расстояние , скорость или время .Попробуем еще одну простую задачу.

В свой выходной Ли отправился в зоопарк. Он ехал со средней скоростью 65 миль в час, и ему потребовалось два с половиной часа, чтобы добраться от дома до зоопарка. Как далеко зоопарк от его дома?

Во-первых, мы должны идентифицировать информацию, которую мы знаем. Помните, мы ищем любую информацию о расстоянии, скорости или времени. По задаче:

Скорость составляет 65 миль в час.
Время — два с половиной часа, или 2.5 часов.
Расстояние неизвестно — это то, что мы пытаемся найти.

Вы можете представить поездку Ли в виде диаграммы, подобной этой:

Эта диаграмма — начало понимания этой проблемы, но нам все еще нужно выяснить, что делать с числами для расстояния , скорости и времени . Чтобы отслеживать информацию в задаче, мы создадим таблицу. (Сейчас это может показаться чрезмерным, но это хорошая привычка даже для простых задач и может значительно упростить решение сложных проблем.) Вот как выглядит наша таблица:

Мы можем поместить эту информацию в нашу формулу: расстояние = скорость ⋅ время .

Мы можем использовать формулу расстояние = скорость ⋅ время , чтобы найти расстояние, пройденное Ли.

d = rt

Формула d = rt выглядит так, когда мы подставляем числа из задачи. Неизвестное расстояние представлено переменной d .

d = 65 ⋅ 2,5

Чтобы найти d , все, что нам нужно сделать, это умножить 65 на 2.5. 65 ⋅ 2,5 равно 162,5.

d = 162,5

У нас есть ответ на нашу задачу: d = 162,5. Другими словами, расстояние, которое Ли проехал от своего дома до зоопарка, составляет 162,5 мили.

Будьте осторожны, используйте те же единицы измерения , для скорости и времени. Можно умножить 65 миль на часов на 2,5 часов , потому что они используют одну и ту же единицу: часов . Однако что, если бы время было записано в другой единице, например, в минутах ? В этом случае вам нужно будет преобразовать время в часы, чтобы использовать ту же единицу, что и скорость.

Решение для скорости и времени

В только что решенной задаче мы вычислили для расстояние , но вы можете использовать формулу d = rt для решения для скорости и времени . Например, взгляните на эту задачу:

После работы Джанаэ полчаса гуляла по своему району. Всего она прошла полторы мили. Какая у нее была средняя скорость в милях в час?

Мы можем представить себе прогулку Джанэ примерно так:

И мы можем настроить информацию из известной нам проблемы так:

Таблица повторяет факты, которые мы уже знаем из задачи.Джанаэ прошла полторы мили или 1,5 мили за полчаса, или 0,5 часа.

Как всегда, мы начинаем с нашей формулы. Далее мы заполним формулу информацией из нашей таблицы.

d = rt

Скорость представлена как р , потому что мы еще не знаем, насколько быстро шла Джанаэ. Так как мы решаем для r , нам придется получить его в одиночку с одной стороны уравнения.

1,5 = r ⋅ 0,5

Наше уравнение требует, чтобы r было равно , умноженному на на 0.5, поэтому мы можем получить r только на одной стороне уравнения, разделив с обеих сторон на 0,5:
1,5 / 0,5 = 3.

3 = г

r = 3, поэтому 3 — это ответ на нашу проблему. Джанаэ прошла 3 миль в час.

В задачах на этой странице мы решили для расстояния и скорости перемещения , но вы также можете использовать уравнение перемещения для решения для времени . Вы даже можете использовать его для решения определенных задач, когда вы пытаетесь определить расстояние, скорость или время двух или более движущихся объектов.Мы рассмотрим подобные проблемы на следующих нескольких страницах.

Задачи, состоящие из двух частей и задачи туда и обратно

Вы знаете, как решить эту проблему?

Билл поехал навестить друга. Его друг живет в 225 милях от города. Он ехал по городу со средней скоростью 30 миль в час, затем он ехал по автомагистрали со скоростью в среднем 70 миль в час. Поездка заняла в общей сложности три с половиной часа. Как далеко Билл проехал по шоссе?

Эта задача является классической задачей , состоящей из двух частей, , потому что она просит вас найти информацию об одной части двухэтапной поездки.Эта проблема может показаться сложной, но не пугайтесь!

Вы можете решить эту проблему, используя те же инструменты, которые мы использовали для решения более простых задач на первой странице:

Уравнение перемещения d = rt
Таблица для отслеживания важной информации

Начнем с таблицы . Взгляните еще раз на проблему. На этот раз информация, относящаяся к расстоянию , скорости и времени , была подчеркнута.

Билл поехал навестить друга. Его друг живет в 225 милях на расстоянии км. Он проехал по городу со средней скоростью 30 миль в час , затем он проехал по автомагистрали со средней скоростью 70 миль в час . Поездка заняла три с половиной часа, всего часа. Как далеко Билл проехал по шоссе?

Если вы попытались заполнить таблицу так, как мы это делали на предыдущей странице, вы могли заметить проблему: слишком много информации . Например, задача содержит , две скорости — 30 миль в час и 70 миль в час .Чтобы включить всю эту информацию, давайте создадим таблицу с дополнительной строкой. Верхний ряд чисел и переменных будет обозначен как в городе , а нижний ряд будет обозначен как между штатами .

	расстояние	ставка	время
в городе		30
межгосударственный		70

Мы заполнили ставки, но как насчет расстояния и раз ? Если вы посмотрите на проблему, то увидите, что это , всего цифр, что означает, что они включают как время в городе, так и на межштатной автомагистрали.Таким образом, общее расстояние равно 225. Это означает, что это правда:

Межгосударственное расстояние + расстояние до города = Общее расстояние

Вместе, расстояние между штатами и расстояние между городами равны общему расстоянию . Видеть?

В любом случае, мы пытаемся выяснить, как далеко проехал Билл на межгосударственном шоссе , поэтому давайте представим это число как d . Если расстояние между штатами составляет d , это означает, что расстояние в городе — это число, равное итоговому значению 225, когда прибавляет к d .Другими словами, это равно 225 — d .

Мы можем заполнить нашу диаграмму так:

	расстояние	скорость	время
в городе	225 — d	30
межгосударственный	d	70

Мы можем использовать ту же технику заполнить графу раз . Общее время 3,5 часов . Если мы говорим, что время на межштатной автомагистрали t , то оставшееся время в городе равно 3.5 — т . Мы можем заполнить остальную часть нашей диаграммы.

	расстояние	скорость	время
в городе	225 — d	30	3,5 — t
межгосударственный	d	70	t

Теперь мы можем работать над решением проблемы. Основное различие между задачами на первой странице и этой задачей состоит в том, что эта задача включает двух уравнений.Вот модель для поездок по городу :

225 — d = 30 ⋅ (3,5 — т)

А вот и для межгосударственного проезда :

d = 70 т

Если вы попытались решить любую из этих задач самостоятельно, вы могли бы найти это невозможным: поскольку каждое уравнение содержит две неизвестные переменные, они не могут быть решены сами по себе. Попробуйте сами. Если вы работаете с любым уравнением отдельно, вы не сможете найти числовое значение для d . Чтобы найти значение d , нам также необходимо знать значение t .

Мы можем найти значение т в обеих задачах, объединив их. Давайте еще раз посмотрим на наше уравнение путешествия между штатами.

Хотя нам неизвестно числовое значение d , это уравнение говорит нам, что d равно 70 t .

d = 70 т

Поскольку 70 t и d равны , равны , мы можем заменить d на 70 t .Подстановка 70 t вместо d в нашем уравнении для межгосударственного путешествия не поможет нам найти значение t — все это говорит нам о том, что 70 t равно самому себе, что мы уже знали.

70т = 70т

А как насчет нашего другого уравнения, уравнения для путешествий по городу?

225 — d = 30 ⋅ (3,5 — т)

Когда мы заменяем d в этом уравнении на 70 t , решение уравнения внезапно становится намного проще.

225 — 70 т = 30 ⋅ (3,5 — т)

Наше новое уравнение может показаться более сложным, но на самом деле мы можем его решить. Это потому, что у него только одна переменная: t . Найдя t , мы можем использовать его для вычисления значения d — и найти ответ на нашу проблему.

Чтобы упростить это уравнение и найти значение t , нам нужно получить только t на одной стороне знака равенства. Нам также нужно максимально упростить правую часть .

225 — 70 т = 30 ⋅ (3,5 — т)

Начнем с правой стороны: 30 раз (3,5 — т ) это 105-30 т .

225 — 70 т = 105 — 30 т

Далее, давайте сократим 225 рядом с 70 t . Для этого вычтем 225 с обеих сторон. Справа это означает вычитание 225 из 105. 105 — 225 равно -120.

— 70 т = -120 — 30 т

Наш следующий шаг — сгруппировать подобных терминов — помните, наша конечная цель — иметь t слева от знака равенства и число справа .Мы сократим -30 t с правой стороны на , добавив 30 t с обеих сторон. С правой стороны мы добавим его к -70 t . -70 т + 30 т составляет -40 т .

— 40 т = -120

Наконец, чтобы получить t отдельно, мы разделим каждую сторону на ее коэффициент: -40. -120 / — 40 — 3.

т = 3

Итак, t равно 3. Другими словами, время, за которое Билл проехал по межгосударственной магистрали, равно 3 часам .Помните, мы в конечном итоге пытаемся найти distanc e , которые Билл путешествовал по автомагистрали между штатами. Давайте еще раз посмотрим на строку между штатами нашего графика и посмотрим, достаточно ли у нас информации, чтобы выяснить это.

	расстояние	скорость	время
межгосударственный	d	70	3

Похоже, что мы. Теперь, когда нам не хватает только одной переменной, мы сможем довольно быстро найти ее значение.

Чтобы найти расстояние, воспользуемся формулой перемещения расстояние = скорость ⋅ время .

d = rt

Теперь мы знаем, что Билл ехал по межгосударственной автомагистрали 3 часа со скоростью 70 миль в час , поэтому мы можем заполнить эту информацию.

d = 3 ⋅ 70

Наконец, мы закончили упрощать правую часть уравнения. 3 ⋅ 70 это 210.

д = 210

Итак, d = 210. У нас есть ответ на нашу проблему! Расстояние 210.Другими словами, Билл проехал 210 миль и миль по шоссе.

Решение задачи туда и обратно

Может показаться, что решение первой проблемы заняло много времени. Чем больше вы будете практиковаться в решении этих задач, тем быстрее они решатся. Попробуем аналогичную задачу. Эта задача называется задачей туда и обратно, потому что она описывает путь туда и обратно — поездку, которая включает в себя обратный путь. Несмотря на то, что поездка, описанная в этой задаче, немного отличается от поездки в нашей первой задаче, вы сможете решить ее таким же образом.Давайте посмотрим:

Ева ехала на работу со средней скоростью 36 миль в час. По дороге домой она попала в пробку и проехала в среднем 27 миль в час. Ее общее время в машине составило 1 час 45 минут, или 1,75 часа. Как далеко Ева живет от работы?

Если у вас возникли проблемы с пониманием этой проблемы, вы можете представить себе дорогу Евы на работу следующим образом:

Как всегда, начнем с заполнения таблицы с важной информацией. Сделаем скандал с информацией о ее поездке на работу и с работы .

1,75 — т для описания поездки с работы. (Помните, что общее время в пути составляет 1,75 часа , поэтому время с до работы и от работы должно равняться 1,75.)

Из нашей таблицы мы можем написать два уравнения:

Поездка на работу может быть представлена как d = 36 t .
Поездку с работы можно представить как d = 27 (1.75 — т ).

В обоих уравнениях d представляет собой общее расстояние. Из диаграммы вы можете видеть, что эти два уравнения равны , равны друг другу — в конце концов, Ева проезжает одинаковое расстояние до и от работы .

Как и в случае с последней решенной задачей, мы можем решить эту, объединив два уравнения.

Начнем с нашего уравнения для поездки из работы .

d = 27 (1.75 — т)

Затем мы подставим значение d из нашего в уравнение , d = 36 t . Поскольку значение d равно 36 t , мы можем заменить любое вхождение d на 36 t .

36т = 27 (1,75 — т)

Теперь давайте упростим правую часть. 27 ⋅ (1,75 — т ) составляет 47,25.

36 т = 47,25 — 27 т

Затем мы сократим -27 t на , добавив 27 t к обеим сторонам уравнения. 36 т + 27 т — 63 т .

63т = 47,25

Наконец, мы можем получить t отдельно, разделив обе части на его коэффициент: 63. 47,25 / 63 равно 0,75.

т = 0,75

т равно 0,75. Другими словами, времени , которое потребовалось Еве, чтобы добраться до работы, составляет 0,75 часа . Теперь, когда мы знаем значение t , мы сможем найти расстояние до работы Евы.

Если вы догадались, что мы снова будем использовать уравнение перемещения , вы были правы. Теперь мы знаем значение двух из трех переменных, что означает, что мы знаем достаточно, чтобы решить нашу проблему.

d = rt

Во-первых, давайте введем известные нам значения. Будем работать с номерами на рейс на работу . Мы уже знали коэффициент : 36. И мы только что узнали время : 0,75.

d = 36 ⋅ 0,75

Теперь все, что нам нужно сделать, это упростить уравнение: 36 ⋅.75 = 27,

д = 27

d равно 27. Другими словами, расстояние до места работы Евы составляет 27 миль . Наша проблема решена.

Проблемы с пересекающимися расстояниями

Проблема с расстоянием пересечения — это проблема, при которой две вещи перемещаются на в направлении друг к другу. Вот типичная проблема:

Пауни и Спрингфилд находятся в 420 милях друг от друга. Поезд покидает Пауни, направляясь в Спрингфилд, в то время как поезд покидает Спрингфилд, направляясь в Пауни.Один поезд движется со скоростью 45 миль в час, а другой — 60 миль в час. Как долго они будут путешествовать до встречи?

Эта задача просит вас рассчитать, сколько времени потребуется этим двум поездам, движущимся навстречу друг другу, чтобы пересечь пути. Поначалу это может показаться запутанным. Несмотря на то, что это реальная ситуация, может быть трудно представить себе расстояние и движение абстрактно. Эта диаграмма может помочь вам понять, как выглядит эта ситуация:

Если вы все еще не уверены, не волнуйтесь! Вы можете решить эту проблему так же, как вы решили две задачи на предыдущей странице.Вам просто понадобится диаграмма и формула хода .

Пауни и Спрингфилд находятся на расстоянии 420 миль друг от друга . Поезд отправляется из Пауни в сторону Спрингфилда, в то время как поезд выезжает из Спрингфилда в сторону Пауни. Один поезд движется со скоростью 45 миль в час , а другой — 60 миль в час . Как долго они будут путешествовать до встречи?

Начнем с заполнения нашей диаграммы. Это снова проблема, на этот раз с подчеркнутой важной информацией.Начнем с заполнения самой очевидной информации: рейтинг . Проблема дает нам скорость каждого поезда. Мы обозначим их , быстрый поезд и медленный поезд , . Скоростной поезд идет со скоростью 60 миль в час . Медленный поезд идет всего 45 миль в час .

Мы также можем поместить эту информацию в таблицу:

	расстояние	скорость	время
скоростной поезд		60
медленный поезд		45

Мы не знаем расстояние, на которое едет каждый поезд встретить другого еще — мы просто знаем общее расстояние .Чтобы встретиться, поезда преодолеют суммарное расстояние , равное общему расстоянию. Как вы можете видеть на этой диаграмме, это верно независимо от того, как далеко едет каждый поезд.

Это означает, что, как и в прошлый раз, мы представим расстояние одного как d , а расстояние до другого — как минус d. Таким образом, расстояние для быстрого поезда будет d , а для медленного поезда — 420 — d .

	расстояние	скорость	время
быстрый поезд	d	60
медленный поезд	420 — d	45

Потому что мы ищем для времени оба поезда едут до встречи, время будет одинаковым для обоих поездов. Мы можем представить это с т .

	расстояние	скорость	время
быстрый поезд	d	60	t
медленный поезд	420 — d	45	t

Таблица дает нам два уравнений: d = 60 t и 420 — d = 45 t .Так же, как мы сделали с задачей , состоящей из двух частей, , мы можем объединить эти два уравнения.

Уравнение для быстрого поезда само по себе не решается, но оно говорит нам, что d равно 60 t .

d = 60 т

Другое уравнение, описывающее медленный поезд , тоже не может быть решено в одиночку. Однако мы можем заменить d его значением из первого уравнения.

420 — d = 45 т

Поскольку мы знаем, что d равно 60 t , мы можем заменить d в этом уравнении на 60 t .Теперь у нас есть уравнение, которое мы можем решить.

420 — 60 т = 45 т

Чтобы решить это уравнение, нам нужно получить t и его коэффициенты с одной стороны от знака равенства и любые другие числа с другой. Мы можем начать с отмены -60 t слева на , добавив 60 t с обеих сторон. 45 т + 60 т — 105 т .

420 = 105 т

Теперь нам просто нужно избавиться от коэффициента рядом с t .Мы можем сделать это, разделив обе стороны на 105. 420/105 равно 4.

4 = т

t = 4. Другими словами, , время , которое требуется поездам для встречи, составляет 4 часа . Наша проблема решена!

Если вы хотите быть уверенным в своем ответе, вы можете проверить его , используя уравнение расстояния с t , равным 4. Для нашего скоростного поезда уравнение будет иметь вид d = 60 ⋅ 4. 60 ⋅ 4 равно 240, поэтому расстояние, которое проехал наш быстрый поезд , составит 240 миль. Для нашего медленного поезда уравнение будет d = 45 ⋅ 4. 45 ⋅ 4 равно 180, поэтому расстояние, пройденное медленным поездом , составляет 180 миль .

Помните, как мы сказали, что расстояние, на которое едет медленный поезд и быстрый поезд, должно равняться общему расстоянию ? 240 миль + 180 миль равно 420 миль, что является полным расстоянием от нашей задачи. Наш ответ правильный.

Практическая задача 1

Вот еще одна проблема с расстоянием пересечения.Он похож на тот, который мы только что решили. Посмотрим, сможете ли вы решить эту проблему самостоятельно. Когда вы закончите, прокрутите вниз, чтобы увидеть ответ и объяснение.

Джон и Дэни живут в 270 милях друг от друга. Однажды они решили ехать навстречу друг другу и тусоваться везде, где встречались. Джон ехал в среднем 65 миль в час, а Дэни ехал в среднем 70 миль в час. Как долго они ехали, прежде чем встретились?

Задача 1 ответ

Вот практическая задача 1:

Джон и Дэни живут в 270 милях друг от друга.Однажды они решили ехать навстречу друг другу и тусоваться везде, где встречались. Джон проехал в среднем 65 миль в час, а Дэни — 70 миль в час. Как долго они ехали, прежде чем встретились?

Ответ: 2 часа .

Давайте решим эту задачу так же, как и другие. Сначала попробуйте составить диаграмму. Должно получиться так:

	расстояние	скорость	время
Jon	d	65	t
Dani	270 — d	70	t

Вот как мы в графике заполнено:

Расстояние: Вместе, Дэни и Джон преодолеют общее расстояние между ними к тому времени, когда они встретятся.Это 270. Расстояние Джона представлено как d , поэтому расстояние Дэни составляет 270 — d .
Скорость: Задача сообщает нам скорости Дэни и Джона. Дэни едет со скоростью 65 миль в час , а Джон — со скоростью 70 миль в час .
Время: Поскольку Джон и Дэни проезжают одинаковое количество времени до встречи, их время в пути равно t .

Теперь у нас есть два уравнения. Уравнение путешествия Джона: d = 65 t .Уравнение путешествия Дэни: 270 — d = 70 t . Чтобы решить эту проблему, нам нужно объединить их.

Уравнение для Джона говорит нам, что d равно 65 t . Это означает, что мы можем объединить два уравнения, заменив d в уравнении Дэни на 65 t .

270 — 65 т = 70 т

Давайте получим t с одной стороны уравнения и число с другой. Первый шаг к этому — избавиться от -65 t с левой стороны.Мы отменим его на , добавив 65 t в обе стороны: 70 t + 65 t равно 135 t .

270 = 135 т

Все, что осталось сделать, это избавиться от 135 рядом с t . Мы можем сделать это, разделив обе стороны на 135: 270/135 равно 2.

2 = т

Вот и все. t равно 2. У нас есть ответ на нашу проблему: Дэни и Джон проехали 2 часа за до встречи.

Проблемы с дистанцией обгона

Последний тип задачи о расстоянии, которую мы обсудим в этом уроке, — это задача, в которой один движущийся объект обгоняет — или проходит — другой. Вот типичная проблема обгона:

Семья Хилл и семья Платтеров отправляются в путешествие. Холмы уехали за 3 часа до Platters, но Platters едут в среднем на 15 миль в час быстрее. Если семье Платтер требуется 13 часов, чтобы догнать семью Хилл, насколько быстро едут Хиллз?

Вы можете представить себе момент, когда семья Платтеров отправилась в путешествие, примерно так:

Задача говорит нам, что семья Платтера догонит семью Хилл за 13 часов, и просит нас использовать эту информацию, чтобы найти для семьи Хилл рейтинг .Как и в случае с некоторыми другими проблемами, которые мы решили в этом уроке, может показаться, что у нас недостаточно информации для решения этой проблемы, но у нас есть. Приступим к составлению нашей диаграммы. Расстояние может быть d как для Холмов, так и для Платтеров — когда Платтеры догонят Холмы, обе семьи пройдут точно такое же расстояние.

	расстояние	скорость	время
холмы	d
Пластины	d

Заполнение ставки и время будет требуется еще немного подумать.Мы не знаем ставки для каждой семьи — помните, это то, что мы пытаемся выяснить. Однако мы знаем, что Platters ехали на миль в час быстрее , чем Hills. Это означает, что если ставка семьи Хилл составляет рубля , то ставка семьи Платтер будет рубля + 15.

	расстояние	скорость	время
холмы	d	r
пластины	d	r + 15

Теперь все, что осталось, это время.Мы знаем, что Platters потребовалось 13 часов , чтобы догнать Холмы. Однако помните, что Hills покинули на 3 часа раньше, чем Platters — это означает, что когда Platters догнали, они ехали на 3 часа больше, чем Platters. 13 + 3 — 16, так что мы знаем, что Хиллз ехали 16 часов к тому времени, когда Платтерс догнали их.

	расстояние	скорость	время
холмы	d	r	16
пластины	d	r + 15	13

Наши диаграмма дает нам два уравнения.Путешествие семьи Хилл можно описать следующим образом: d = r equation 16. Уравнение путешествия семьи Платтеров: d = ( r + 15) ⋅ 13. Как и в случае с другими нашими задачами, мы можем объедините этих уравнений, заменив переменную в одном из них.

Уравнение семейства Хиллов уже имеет значение d , равное r ⋅ 16. Поэтому мы заменим d в уравнении Платтера на r ⋅ 16 .Таким образом, это будет уравнение, которое мы сможем решить.

р 16 = (г + 15) ⋅ 13

Во-первых, давайте упростим правую часть: r ⋅ 16 равно 16 r .

16r = (r + 15) ⋅ 13

Далее упростим правую часть и умножим ( r + 15) на 13.

16р = 13р + 195

Мы можем получить r и их коэффициенты слева, вычитая 13 r из 16 r : 16 r — 13 r равно 3 r .

3р = 195

Теперь все, что осталось сделать, это избавиться от 3 рядом с r . Для этого разделим обе стороны на 3: 195/3 равно 65.

г = 65

Итак, вот наш ответ: r = 65. Семья Хилл проехала в среднем миль в час 65 миль в час.

Вы можете решить любую проблему обгона так же, как мы. Просто не забудьте уделить особое внимание настройке диаграммы. Точно так же, как семья Хилл решила эту проблему, человек или транспортное средство, начавшее движение первым , всегда будет иметь большее время в пути .

Практическая задача 2

Попробуйте решить эту проблему. Это похоже на проблему, которую мы только что решили. Когда вы закончите, прокрутите вниз, чтобы увидеть ответ и объяснение.

Поезд, движущийся со скоростью 60 миль в час, отправляется со станции в полдень. Час спустя поезд, движущийся со скоростью 80 миль в час, уезжает в том же направлении по параллельному пути. Во сколько второй поезд догоняет первый?

Ответ на задачу 2

Вот практическая задача 2:

Поезд, движущийся со скоростью 60 миль в час, отправляется со станции в полдень.Час спустя поезд, движущийся со скоростью 80 миль в час, уезжает в том же направлении по параллельному пути. Во сколько второй поезд догоняет первый?

Ответ: 16:00

Чтобы решить эту проблему, начните с построения диаграммы. Вот как это должно выглядеть:

	расстояние	скорость	время
быстрый поезд	d	80	t
медленный поезд	d	60	t + 1

Вот пояснение к графику:

Расстояние: Оба поезда пройдут одинаковое расстояние к тому моменту, когда быстрый поезд догонит медленный, поэтому расстояние для обоих составляет d .
Скорость: Задача сообщает нам, насколько быстро ехал каждый поезд. Быстрый поезд имеет скорость 80 миль в час , а медленный поезд имеет скорость 60 миль в час .
Время: Мы будем использовать t для представления времени в пути скоростного поезда до того, как он догонит его. Поскольку медленный поезд отправился на час раньше, чем быстрый, он должен будет ехать на час больше, когда его догонит быстрый поезд. Это t + 1.

Теперь у нас есть два уравнения.Уравнение для скоростного поезда: d = 80 t . Уравнение для медленного поезда: d = 60 ( t + 1). Чтобы решить эту проблему, нам нужно объединить уравнений.

Уравнение для скоростного поезда говорит, что d равно 80 t . Это означает, что мы можем объединить два уравнения, заменив d в уравнении медленного поезда на 80 t .

80т = 60 (т + 1)

Во-первых, давайте упростим правую часть уравнения: 60 ⋅ ( t + 1) равно 60 t + 60.

80т = 60т + 60

Чтобы решить уравнение, нам нужно получить t с одной стороны от знака равенства и число с другой. Мы можем избавиться от 60 т с правой стороны, вычитая 60 т с обеих сторон: 80 т -60 т составляет 20 т .

20т = 60

Наконец, мы можем избавиться от 20 рядом с t , разделив обе стороны на 20. 60 разделить на 20 равно 3.

т = 3

Итак, т равно 3. Скорый поезд прошел 3 часа . Однако это не ответ на нашу проблему. Давайте снова посмотрим на исходную проблему. Обратите внимание на последнее предложение — вопрос, на который мы пытаемся ответить.

Наша проблема не спрашивает, сколько длин проехал любой из поездов.Он спрашивает , в какое время второй поезд догонит первый.

Задача говорит нам, что медленный поезд ушел в полдень, а быстрый — на час позже. Это означает, что скорый поезд ушел в , 13:00, . Из наших уравнений мы знаем, что скоростной поезд проехал 3 часов . 1 + 3 равно 4, поэтому быстрый поезд догнал медленный в 16:00 . Ответ на задачу — 16:00.

Задачи на движение для подготовки к ЕГЭ по математике (2021)

Задачи на движение (математические формулы) | Учебно-методическое пособие по математике (4 класс) на тему:

Урок 35. задачи на движение — Математика — 5 класс

Задачи на движение в одном направлении: примеры и решение

Задачи на скорость сближения

Задача на скорость удаления

Простые задачи на движение. 4 класс

Формула одновременного движения вдогонку. Движение вдогонку (формула)

Движение вдогонку и его особенности

Формулы движения вдогонку

Пример решения задачи №1

Пример решения задачи №2

100 ballov.kz образовательный портал для подготовки к ЕНТ и КТА

Проблемы с движением

Пример 1

Пример 2

Пример 3

Кинематические уравнения и решение проблем

Пример задачи A

Пример задачи B

Equations of Motion — The Physics Hypertextbook

Обсуждение

постоянное ускорение

скорость-время

позиция-время

скорость-позиция

способ 1

способ 2

исчисления выводов

Проблемы с расстоянием — в том же направлении

2. Движение в одном направлении («догонять»): основы

Стратегия

По GMAT

Решение проблем базовой кинематики | Безграничная физика

Приложения

Цели обучения

Основные выводы

Ключевые моменты

Ключевые термины

Диаграммы движения

Цели обучения

Основные выводы

Ключевые моменты

Ключевые термины

Задачи кинематики (описания движения) — Физика

Проблемы кинематики (описание движения)

Примеры проблем

Одномерные кинематические задачи

Задачи двумерной кинематики

Изменение проблем с ускорением

Как решать кинематические задачи

1. Определите проблему

2. Нарисуйте картинку:

3. Выберите отношение

4. Решите проблему

5. Анализируйте результаты

Помогите! Я не могу найти пример, который мне нужен для работы!

Вы уверены, что ваша проблема связана с кинематикой?

Да, моя проблема определенно проблема кинематики.

Темы по алгебре: задачи с дистанционным словом

Урок 10: Задачи с дистанционным словом

Что такое задачи с дистанционным словом?

Основы дистанционных задач

Решение задач с расстоянием

Решение для скорости и времени

Задачи, состоящие из двух частей и задачи туда и обратно

Решение задачи туда и обратно

Проблемы с пересекающимися расстояниями

Практическая задача 1

Задача 1 ответ

Проблемы с дистанцией обгона

Практическая задача 2

Ответ на задачу 2

Добавить комментарий Отменить ответ