3

6

Risolvere per ?

cos(x)=1/2

7

Risolvere per x

sin(x)=-1/2

8

Преобразовать из градусов в радианы

225

9

Risolvere per ?

cos(x)=( квадратный корень 2)/2

10

Risolvere per x

cos(x)=( квадратный корень 3)/2

11

Risolvere per x

sin(x)=( квадратный корень 3)/2

12

График

g(x)=3/4* корень пятой степени x

13

Найти центр и радиус

x^2+y^2=9

14

Преобразовать из градусов в радианы

120 град. {2}+2 a b+2 a c+2 b c$

Читать следующую тему: формула «квадрат разности».

Слишком сложно?

Квадрат суммы не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!

Формулы сокращенного умножения / Блог / Справочник :: Бингоскул

Содержание:

• Таблица формул сокращенного умножения
• Примеры использования
• Формулы для квадратов
• Формулы для кубов
• Формулы для четвертой степени

Таблица формул сокращенного умножения

Примеры использования формул

Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.

(a+b)² = a²+2ab+b²

Пример: (x + 3y)² = x² + 2 ·x·3y + (3y)² = x² + 6xy + 9y²

---

 

Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.

(a-b)² = a²-2ab+b²

Пример: (4x –y)² = (4x)²-2·4x·y + y² = 16x² — 8xy + y²

---

Разность квадратов двух выражений равна произведению разности самих выражений на их сумму.

a²–b² = (a–b)(a+b)

Пример: 9x² – 16y² = (3x)² – (4y)² = (3x – 4y)(3x + 4y)

---

Куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения плюс утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго плюс куб второго выражения.

(a+b)³ = a³+3a²b+3ab²+b³

Пример: (x + 2y)³ = x³ + 3·x²·2y + 3·x·(2y)² + (2n)³ = x³ + 6x²y + 12xy² + 8y³

---

Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго минус куб второго выражения.

(a-b)³ = a³— 3a²b+3ab²-b³

Пример: (2x – y)³ = (2x)³-3·(2x)²·y + 3·2x·y² – y³ = 8x³ – 12x²y + 6xy² – y³

---

Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы самих выражений на неполный квадрат их разности.

a³+b³ = (a+b)(a²–ab+b²)

Пример: 125 + 8y³ = 5³ + (2y)³ = (5 + 2y)(5² — 5·2y + (2y)²) = (5 + 2y)(25 – 10y + 4y²)

---

Разность кубов двух выражений равна произведению разности самих выражений на неполный квадрат их суммы.

a³— b³ = (a-b)(a²+ab+b²)

Пример: 64x³ – 8 = (4x)³ – 2³ = (4x – 2)((4x)² + 4x·2 + 2²) = (4x – 2)(16x² + 8x + 4)

---

Формулы для квадратов

• (a \pm b)^2= a^2 \pm 2ab + b^2
• a^2 — b^2 = (a + b)(a — b)
• (a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc

 

Формулы для кубов

• (a \pm b)^3= a^3 \pm 3a^2b +3ab^2 \pm b^3
• a^3 — b^3 = (a \pm b)(a^2\mp ab+b^2)
• (a+b+c)^3=a^3+b^3+c^3+3a^2b+3a^2c+3ab^2+3ac^2+3b^2c+3bc^2+6abc

Формулы для четвертой степени

• (a \pm b)^4= a^4 \pm 4a^3b +6a^2b^2\pm 4ab^3+b^4
• a^4 — b^4 = (a-b)(a+b)(a^2 +b^2) (выводится из a^2 — b^2)

 

---

В заданиях ЕГЭ по математике применяются формулы сокращенного умножения.

Решай с ответами задание 5 по математике база ЕГЭ

Смотри также: Основные формулы по математике

Формулы сокращенного умножения: таблица, примеры использования

Формулы сокращенного умножения (ФСУ) применяются для возведения в степень и умножения чисел и выражений. Часто эти формулы позволяют произвести вычисления более компактно и быстро.

В данной статье мы перечислим основные формулы сокращенного умножения, сгруппируем их в таблицу, рассмотрим примеры использования этих формул, а также остановимся на принципах доказательств формул сокращенного умножения.

Формулы сокращенного умножения. Таблица

Впервые тема ФСУ рассматривается в рамках курса «Алгебра» за 7 класс. Приведем ниже 7 основных формул.

Формулы сокращенного умножения

1. формула квадрата суммы: a+b2=a2+2ab+b2
2. формула квадрата разности: a-b2=a2-2ab+b2
3. формула куба суммы: a+b3=a3+3a2b+3ab2+b3
4. формула куба разности: a-b3=a3-3a2b+3ab2-b3
5. формула разности квадратов: a2-b2=a-ba+b
6. формула суммы кубов: a3+b3=a+ba2-ab+b2
7. формула разности кубов: a3-b3=a-ba2+ab+b2

Буквами a, b, c в данных выражениях могут быть любые числа, переменные или выражения. Для удобства использования лучше выучить семь основных формул наизусть. Сведем их в таблицу и приведем ниже, обведя рамкой.

Первые четыре формулы позволяют вычислять соответственно квадрат или куб суммы или разности двух выражений.

Пятая формула вычисляет разность квадратов выражений путем произведения их суммы и разности.

Шестая и седьмая формулы — соответственно умножение суммы и разности выражений на неполный квадрат разности и неполный квадрат суммы. 

Формула сокращенного умножения иногда еще называют тождествами сокращенного умножения. В этом нет ничего удивительного, так как каждое равенство представляет собой тождество.

При решении практических примеров часто используют формулы сокращенного умножения с переставленными местами левыми и правыми частями. Это особенно удобно, когда имеет место разложение многочлена на множители.

Дополнительные формулы сокращенного умножения

Не будем ограничиваться курсом 7 класса по алгебре и добавим в нашу таблицу ФСУ еще несколько формул.  

Во-первых, рассмотрим формулу бинома Ньютона.

a+bn=Cn0·an+Cn1·an-1·b+Cn2·an-2·b2+..+Cnn-1·a·bn-1+Cnn·bn

Здесь Cnk — биномиальные коэффициенты, которые стоят в строке под номером n в треугольнике паскаля.  Биномиальные коэффициенты вычисляются по формуле:

Cnk=n!k!·(n-k)!=n(n-1)(n-2)..(n-(k-1))k!

Как видим, ФСУ для квадрата и куба разности и суммы — это частный случай формулы бинома Ньютона при n=2 и n=3соответственно.

Но что, если слагаемых в сумме, которую нужно возвести в степень, больше, чем два? Полезной будет формула квадрата суммы трех, четырех и более слагаемых.

a1+a2+..+an2=a12+a22+..+an2+2a1a2+2a1a3+..+2a1an+2a2a3+2a2a4+..+2a2an+2an-1an

Как читать эту формулу? Квадрат суммы n слагаемых равен сумме квадратов всех слагаемых и удвоенных произведений всех возможных пар этих слагаемых.

Еще одна формула, которая может пригодится — формула формула разности n-ых степеней двух слагаемых.

an-bn=a-ban-1+an-2b+an-3b2+.. +a2bn-2+bn-1

Эту формулу обычно разделяют на две формулы — соответственно для четных и нечетных степеней. 

Для четных показателей 2m:

a2m-b2m=a2-b2a2m-2+a2m-4b2+a2m-6b4+..+b2m-2

Для нечетных показателей 2m+1:

a2m+1-b2m+1=a2-b2a2m+a2m-1b+a2m-2b2+..+b2m

Формулы разности квадратов и разности кубов, как вы догадались, являются частными случаями этой формулы при n=2 и n=3 соответственно. Для разности кубов b также заменяется на -b.

Как читать формулы сокращенного умножения?

Дадим соответствующие формулировки для каждой формулы, но сначала разберемся с принципом чтения формул. Удобнее всего делать это на примере. Возьмем самую первую формулу квадрата суммы двух чисел.

a+b2=a2+2ab+b2.

Говорят: квадрат суммы двух выражений a и b равен сумме квадрата первого выражения, удвоенного произведения выражений и квадрата второго выражения.

Все остальные формулы читаются аналогично. Для квадрата разности a-b2=a2-2ab+b2  запишем:

квадрат разности двух выражений a и b равен сумме квадратов этих выражений минус удвоенное произведение первого и второго выражения.

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание

Прочитаем формулу a+b3=a3+3a2b+3ab2+b3. Куб суммы двух выражений a и b равен сумме кубов этих выражений,  утроенного произведения квадрата первого выражения на второе и утроенного произведения квадрата второго выражения на первое выражение.

Переходим к чтению формулы для разности кубов a-b3=a3-3a2b+3ab2-b3. Куб разности двух выражений a и b равен кубу первого выражения минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе, плюс утроенное произведение квадрата второго выражения на первое выражение, минус куб второго выражения.

Пятая формула a2-b2=a-ba+b (разность квадратов) читается так: разность квадратов двух выражений равна произведению разности и суммы двух выражений.

Выражения типа a2+ab+b2 и a2-ab+b2 для удобства называют соответственно неполным квадратом суммы и неполным квадратом разности.

С учетом этого, формулы суммы и разности кубов прочитаются так:

Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений на неполный квадрат их разности.

Разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений на неполный квадрат их суммы.

Доказательство ФСУ

Доказать ФСУ довольно просто. Основываясь на свойствах умножения, проведем умножение частей формул в скобках.

Для примера рассмотрим формулу квадрата разности.

a-b2=a2-2ab+b2.

Чтобы возвести выражение во вторую степень нужно это выражение умножить само на себя.

a-b2=a-ba-b.

Раскроем скобки:

a-ba-b=a2-ab-ba+b2=a2-2ab+b2.

Формула доказана. Остальные ФСУ доказываются аналогично.

Примеры применения ФСУ

Цель использования формул сокращенного умножения — быстрое и краткое умножение и возведение выражений в степень. Однако, это не вся сфера применения ФСУ. Они широко используются при сокращении выражений, сокращении дробей, разложении многочленов на множители. Приведем примеры.

Пример 1. ФСУ

Упростим выражение 9y-(1+3y)2.

Применим формулу суммы квадратов и получим:

9y-(1+3y)2=9y-(1+6y+9y2)=9y-1-6y-9y2=3y-1-9y2

Пример 2. ФСУ

Сократим дробь 8×3-z64x2-z4.

Замечаем, что выражение в числителе — разность кубов, а в знаменателе — разность квадратов.

8×3-z64x2-z4=2x-z(4×2+2xz+z4)2x-z2x+z.

Сокращаем и получаем:

8×3-z64x2-z4=(4×2+2xz+z4)2x+z

Также ФСУ помогают вычислять значения выражений. Главное — уметь заметить, где применить формулу. Покажем это на примере.

Возведем в квадрат число 79. Вместо громоздких вычислений, запишем:

79=80-1;792=80-12=6400-160+1=6241.

Казалось бы, сложное вычисление проведено быстро всего лишь с использованием формул сокращенного умножения и таблицы умножения.

Еще один важный момент — выделение квадрата двучлена. Выражение 4×2+4x-3 можно преобразовать в вид 2×2+2·2·x·1+12-4=2x+12-4. Такие преобразования широко используются в интегрировании.

Урок 13. многочлены от нескольких переменных — Алгебра и начала математического анализа — 10 класс

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс

Урок №13. Многочлены от нескольких переменных.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

1) определение многочлена от нескольких переменных;

2) понятие симметрических многочленов;

3) формулы сокращенного умножения для старших степеней;

4) бином Ньютона;

5) метод неопределенных коэффициентов.

Глоссарий по теме

Многочлен Р(х;у) называют однородным многочленом n-й степени, если сумма показателей степеней переменных в каждом члене многочлена равна n. Если Р(х;у) — однородный многочлен, то уравнение Р(х;у) = 0 называют однородным уравнением.

Многочлен Р(х;у) называют симметрическим, если он сохраняет свой вид при одновременной замене х на у и у на х.

Уравнение Р(x;y) = а, где , называютсимметрическим, если Р(х;y) — симметрический многочлен.

Треугольник Паскаля —бесконечная таблица биномиальных коэффициентов, имеющая треугольную форму. В этом треугольнике на вершине и по бокам стоят единицы. Каждое число равно сумме двух расположенных над ним чисел. Строки треугольника симметричны относительно вертикальной оси. Назван в честь Блеза Паскаля. 

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл. – М.: Просвещение, 2014.

Дополнительная литература:

Шабунин М.И., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. Дидактические материалы Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл. – М.: Просвещение, 2017.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Многочлены от нескольких переменных можно складывать, вычитать, перемножать, возводить в натуральную степень, разлагать на множители — это вам известно из курса алгебры 7—9-го классов. Этот урок позволит нам несколько расширить знания о многочленах.

Пример 1. Разложить на множители многочлен: 2x²-5xy+2y².

Воспользуемся методом группировки

2x²-5xy+2y²⁼ 2x²-4xy-xy+2y²= 2x(x-2y) –y(x-2y)=

(x-2y)(2x+2y).

Пример 2. Выведем формулу сокращенного умножения для «квадрата суммы» (x+y+z+u)².

(x+y+z+u)²=((x+y)+(z+u))²= (x+y)²+2(x+y)(z+u)+(z+u)²= x²+y²+z²+u²+2(xy+xz+xu+yz+yu+zu).

Итак, мы получили (x+y+z+u)²= x²+y²+z²+u²+2(xy+xz+xu+yz+yu+zu).

Среди многочленов от двух переменных выделяют однородные и симметрические многочлены.
 
Многочлен Р(х;у) называют однородным многочленом n-й степени, если сумма показателей степеней переменных в каждом члене многочлена равна n. Если Р(х;у) — однородный многочлен, то уравнение Р(х;у) = 0 называют однородным уравнением.

Приведем примеры.

1) р(х; у)=2х+3у – однородный многочлен первой степени; соответственно 2х+3у=0 – однородное уравнение первой степени.

2) р(х; у)=3х²+5ху-7у²  — однородный многочлен второй степени; соответственно 3х²+5ху-7у² =0 — однородное уравнение второй степени.

3) p(x; y)= x³+4xy²-5y³ — однородный многочлен третьей степени; x³+4xy²-5y³ =0 соответственно  — однородное уравнение третьей степени.

4) p(x; y)= a_nxⁿ+a_n-1x^n-1y+a_n-2x^n-2y²₊…+a₁xy^n-1+a₀yⁿ — общий вид однородного многочлена n-й степени.

Рассмотрим еще один метод разложения многочленов на множители-

метод неопределенных коэффициентов. Суть метода неопределённых коэффициентов состоит в том, что вид сомножителей, на которые разлагается данный многочлен, угадывается, а коэффициенты этих сомножителей (также многочленов) определятся путём перемножения сомножителей и приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях переменной. Теоретической основой метода являются следующие утверждения

1. Два многочлена равны тогда и только тогда, когда равны их коэффициенты.
2. Любой многочлен третьей степени имеет хотя бы один действительный корень, а потому разлагается в произведение линейного и квадратичного сомножителя.
3. Любой многочлен четвёртой степени разлагается в произведение многочленов второй степени.

Пример 3.  Разложить на множители многочлен

3 x ³ – x ² – 3 x + 1.

Решение. Поскольку многочлен третьей степени разлагается в произведение линейного и квадратичного сомножителей, то будем искать многочлены x – p и ax ² + bx + c такие, что справедливо равенство 3 x ³ – x ² – 3 x + 1 = ( x – p )( ax ²+ bx + c ) = ax ³ + ( b – ap ) x ² + ( c – bp ) x – pc . Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в левой и правой частях этого равенства, получаем систему четырех уравнений для определения четырех неизвестных коэффициентов:

Решая эту систему, получаем: a = 3, p = –1, b = 2, c = –1. Итак, многочлен 3 x ³ – x ² – 3 x + 1 разлагается на множители: 3 x ³ – x ² – 3 x + 1 = ( x – 1)(3 x ² + 2 x – 1).

Стоит отметить, что существует достаточно изящный способ решения однородных уравнений. Поясним его суть на примере.

Пример 4. Решим уравнение x³+4xy²-5y³ =0

Заметим, что если в заданном уравнении взять х=0, то получится у=0; это означает, что пара (0; 0) является решением однородного уравнения. Пусть теперь х. Разделим почленно обе части заданного однородного уравнения на х³, получим:

Введем новую переменную . Тогда уравнение примет вид 1+4z²-5z³=0.

Далее последовательно находим:

5z³-4z²-1=0

(5z³-5z²)+(z²-1)=0

5z²(z-1)+(z-1)(z+1)=0

(z-1)(5z²+z+1)=0

Из уравнения z-1=0 находим z=1, уравнение 5z³-4z²-1=0 действительных корней не имеет.

Если z=1, то , т.е. у=х. Это значит, что любая пара вида (t; t) является решением заданного однородного уравнения. Между прочим, и отмеченная нами ранее пара (0; 0) также входит в указанный перечень решений.

Ответ: (t; t), где t- любое действительное число.

Теперь поговорим о симметрических многочленах. Многочлен Р(х;у) называют симметрическим, если он сохраняет свой вид при одновременной замене х на у и у на х. Например, симметрическим является двучлен x²y+xy². В самом деле, при одновременной замене х на у и у на х получится двучлен y²x+yx², но это то же самое, что x²y+xy² . Другие примеры симметрических многочленов: xy, x+y, x²+y², x³+y³, x⁴+y⁴ и т.д. Первые два из записанных многочленов считаются основными в том смысле, что любые другие симметрические многочлены можно представить в виде некоторой комбинации многочленов х + у и ху.

Теорема. Любой симметрический многочлен Р(х;у) можно представить в виде многочлена от ху и х+у.

Например,

x²+y²=(x+y)²-2xy

x³+y³=(x+y)³-3xy(x+y)

x⁴+y⁴= 2xy(x²+y²)-(x⁴+y⁴)+3(xy)² и т. д.

Уравнение Р(x;y) = а, где , называют симметрическим, если Р(х;y) — симметрический многочлен. Мы с вами рассматривали его на предыдущем уроке.

А теперь перейдем к такому понятию как бином Ньютона.

Слово бином означает «Два числа». В математике биномом называют «формулу для разложения на отдельные слагаемые целой неотрицательной степени суммы двух переменных». Бином Ньютона — название формулы, выражающей степень двучлена в виде суммы одночленов.

Давайте вслед за Ньютоном попробуем ее вывести, чтобы затем применять.

Вы наверняка помните (или, по крайней мере, должны помнить), формулы сокращенного умножения для квадрата и куба суммы двух слагаемых (такая сумма называется «бином», по-русски – двучлен.

(a+b)²=a²+2ab+b²

(a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³

Если вы забыли эти формулы, можно их получить напрямую, раскрыв скобки в очевидных равенствах

(a+b)²=(a+b)(a+b)

(a+b)³=(a+b)(a+b)(a+b)

Может быть, вам приходил в голову вопрос: можно ли (без компьютера) получить формулы типа для биномов четвертой степени, пятой, десятой – какой угодно?

Давайте попробуем дойти напрямую хотя бы до пятой степени, а там, может быть, окажется «рояль в кустах» (для порядка будем размещать слагаемые в правой части по убыванию степени а, она убывает от максимума до нуля):

(a+b)⁴=(a+b)³(a+b)=(a³+3a²b+3ab²+b³)(a+b)=a⁴+4a³b+6a²b²+4ab³+b⁴

(a+b)⁵=(a+b)⁴(a+b)=(a⁴+4a³b+6a²b²+4ab³+b⁴)(a+b)=a⁵+5a⁴b+10a³b²+10a²b³+5ab⁴+b⁵

Теперь отдельно выпишем численные коэффициенты в правых частях формул при возведении бинома в заданную степень:

n=2 1,2,1

n=3 1,3,3,1

n=4 1,4,6,4,1

n=5 1,5,10,5,1

Легко проверить, что выписанные на численные коэффициенты – это строчки треугольника Паскаля, начиная с третьей. Этот «усеченный треугольник», в котором не хватает первых двух строк, легко сделать полным (получить строчки при n=0 и n=1):

n=0, (a+b)⁰=1

n=1, (a+b)¹=a+b

Окончательно получим:

n=0 1

n=1 1,1

n=2 1,2,1

n=3 1,3,3,1

n=4 1,4,6,4,1

n=5 1,5,10,5,1

Общая формула бинома Ньютона:

.

Правая часть формулы называется разложением степени бинома.

 — называется биномиальными коэффициентами, а все слагаемые — членами бинома.

Треугольник Паскаля — бесконечная таблица биномиальных коэффициентов, имеющая треугольную форму. В этом треугольнике на вершине и по бокам стоят единицы. Каждое число равно сумме двух расположенных над ним чисел. Строки треугольника симметричны относительно вертикальной оси. Назван в честь Блеза Паскаля. 

На самом деле, о треугольнике Паскаля было известно задолго до Паскаля — его знал живший в XI-XII вв. среднеазиатский математик и поэт Омар Хайям (к сожалению, его сочинение об этом до нас не дошло). Первое, дошедшее до нас описание формулы бинома Ньютона содержится в появившейся в 1265 г. книге среднеазиатского математика ат-Туси, где дана таблица чисел   (биномиальных коэффициентов) до n=12 включительно.

Европейские ученые познакомились с формулой бинома Ньютона, по-видимому, через восточных математиков. Детальное изучение свойств биномиальных коэффициентов провел французский математик и философ Б. Паскаль в 1654 г.

В заключении рассмотрим пример, в котором использование бинома Ньютона позволяет доказать делимость выражения на заданное число.

Пример 5.

Доказать, что значение выражения 5ⁿ+28n-1, где n – натуральное число, делится на 16 без остатка.

Решение: представим первое слагаемое выражение как 5ⁿ= (4+1)ⁿ и воспользуемся формулой бинома Ньютона:

Полученное произведение доказывает делимость исходного выражения на 16. 

Бином Ньютона применяется при доказательстве Теоремы Ферма, в теории бесконечных рядов и выводе формулы Ньютона-Лейбница

Примеры и разборы решения заданий тренировочного модуля

№1.

Из данных многочленов выделите симметрические:

1. 2х²-5ху+2у²-6
2. 6x⁴-16xy²-6y³+19
3. -3ху+6х²-5у²+8
4. 16x⁴y²+16x²y⁴-x⁴-y⁴

Решение: к данному заданию применим определение симметрических многочленов (Многочлен Р(х;у) называют симметрическим, если он сохраняет свой вид при одновременной замене х на у и у на х). Получим, что нам подходят 1 и 4 пункты.

Верный ответ:

1. 2х²-5ху+2у²-6
2. 6x⁴-16xy²-6y³+19
3. -3ху+6х²-5у²+8
4. 16x⁴y²+16x²y⁴-x⁴-y⁴

№2.

(а+b)⁵= __a⁵ +___a⁴b+___a³b²+___a²b³+___ab⁴+__b⁵

Решение: для решения данного задания воспользуемся треугольником Паскаля

1    
1    1    
1    2    1    
1    3    3    1    
1    4    6    4    1    
1    5    10    10    5    1

Нас интересует последняя строчка.

Применив ее, получим ответ:

(а+b)⁵= 1a⁵ +5a⁴b+10a³b²+10a²b³+5ab⁴+1b⁵

2x y

Вы искали 2x y? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное
решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и 2x y в квадрате, не
исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению
в вуз.
И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение.
Например, «2x y».

Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей
жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек
использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на
месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который
может решить задачи, такие, как 2x y,2x y в квадрате,2×2 y 2,2y x,2y x 2,3y 2 x 2,x 2 2y 2,x 2 y 2 формула,x 2y x y,x y 2,x y 2 формула,x y 3,x y квадрат,x в квадрате y в квадрате 1,×2 y2 формула,y 2 x 2 формула,y 2x x2 y x,y x формула,y квадрат x,формула x 2 y 2,формула x y 2,формула x2 y2,формула y 2 x,формула y x 2,формула y x 3,х 2 x y 2,х 2 y 2. На этой странице вы найдёте калькулятор,
который поможет решить любой вопрос, в том числе и 2x y. Просто введите задачу в окошко и нажмите
«решить» здесь (например, 2×2 y 2).

Где можно решить любую задачу по математике, а так же 2x y Онлайн?

Решить задачу 2x y вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный
онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо
сделать — это просто
ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести
вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице
калькулятора.

Круговые уравнения

Круг сделать легко:

Нарисуйте кривую на расстоянии
«радиуса» от центральной точки.

А так:

Все точки находятся на одинаковом расстоянии
от центра.

На самом деле определение круга равно

Круг на графике

Нарисуем на графике окружность радиуса 5:

Теперь давайте определим именно , где находятся все точки.

Делаем прямоугольный треугольник:

А затем используйте Пифагор:

x ² + y ² = 5 ²

Таких точек бесконечное количество, вот несколько примеров:

х	y	x 2 + y 2
5	0	5 2 + 0 2 = 25 + 0 = 25
3	4	3 2 + 4 2 = 9 + 16 = 25
0	5	0 2 + 5 2 = 0 + 25 = 25
−4	−3	(−4) 2 + (−3) 2 = 16 + 9 = 25
0	−5	0 2 + (−5) 2 = 0 + 25 = 25

Во всех случаях точка на окружности подчиняется правилу x ² + y ² = радиус ²

Мы можем использовать эту идею, чтобы найти пропущенное значение

Пример:

x значение 2 и радиус из 5

Начать с: x ² + y ² = r ²

Известные нам значения: 2 ² + y ² = 5 ²

Переставить: y ² = 5 ² -2 ²

Корень квадратный с обеих сторон: y = ± √ (5 ² -2 ² )

Решить: y = ± √21

у ≈ ± 4.58 …

( ± означает два возможных значения: одно с + , другое с — )

А вот две точки:

Более общий случай

Теперь поставим центр на (а, б)

Итак, круг — это всех точек (x, y) , которые находятся на расстоянии «r», от центра (a, b) .

Теперь давайте определим, где находятся точки (используя прямоугольный треугольник и Пифагор):

Идея та же, что и раньше, но нам нужно вычесть a и b :

И это «Стандартная форма» для уравнения круга!

На нем сразу отображается вся важная информация: центр (a, b) и радиус r .

Пример: круг с центром в точке (3,4) и радиусом 6:

Начать с:

(x − a) ² + (y − b) ² = r ²

Вставьте (a, b) и r:

(x − 3) ² + (y − 4) ² = 6 ²

Затем мы можем использовать наши навыки алгебры, чтобы упростить и изменить это уравнение, в зависимости от того, для чего оно нам нужно.

Попробуйте сами

«Общая форма»

Но вы можете увидеть уравнение круга, а не знать его !

Потому что это может не быть в аккуратной «Стандартной форме» выше.

В качестве примера поместим некоторые значения в a, b и r, а затем расширим их

Начнем с: (x − a) ² + (y − b) ² = r ²

Пример: a = 1, b = 2, r = 3: (x − 1) ² + (y − 2) ² = 3 ²

Развернуть: x ² — 2x + 1 + y ² — 4y + 4 = 9

Соберите как термины: x ² + y ² — 2x — 4y + 1 + 4-9 = 0

И в итоге получаем:

x ² + y ² — 2x — 4y — 4 = 0

Это уравнение круга, но «замаскировано»!

Так что, когда вы видите что-то подобное, подумайте «хм… что может быть кругом! »

Фактически, мы можем записать его в «Общая форма» , поместив константы вместо чисел:

x ² + y ² + Ax + By + C = 0

Примечание. Общая форма всегда имеет x ² + y ² для первых двух условий .

Переход от общей формы к стандартной

Теперь представьте, что у нас есть уравнение в общей форме :

x ² + y ² + Ax + By + C = 0

Как мы можем поместить его в стандартную форму вот так?

(x − a) ² + (y − b) ² = r ²

Ответ — пройти Квадрат (прочтите об этом) дважды… один раз для x и один раз для y :

Пример: x

² + y ² — 2x — 4y — 4 = 0

Начать с: x ² + y ² — 2x — 4y — 4 = 0

Совместите x с и y с: (x ² — 2x) + (y ² — 4y) — 4 = 0

Константа справа: (x ² — 2x) + (y ² — 4y) = 4

Теперь завершите квадрат для x (возьмите половину −2, возведите ее в квадрат и прибавьте к обеим сторонам):

(x ² — 2x + (−1) ² ) + (y ² — 4y) = 4 + (−1) ²

И завершите квадрат y (возьмите половину −4, возведите ее в квадрат и прибавьте к обеим сторонам):

(x ² — 2x + (−1) ² ) + (y ² — 4y + (−2) ² ) = 4 + (−1) ² + (−2) ²

Убрать:

Упростить: (x ² — 2x + 1) + (y ² — 4y + 4) = 9

Наконец: (x — 1) ² + (y — 2) ² = 3 ²

И он у нас в Стандартном Бланке!

(Примечание: здесь использовался предыдущий пример a = 1, b = 2, r = 3, так что мы все поняли правильно!)

Единичный круг

Если мы поместим центр круга в (0,0) и установим радиус равным 1, то получим:

(x − a) 2 + (y − b) 2 = r 2 (x − 0) 2 + (y − 0) 2 = 1 2 x 2 + y 2 = 1 Каково уравнение единичной окружности

Как нарисовать круг вручную

1.Участок центр (а, б)

2. Нанесите 4 точки «радиусом» от центра вверх, вниз, влево и вправо.

3. Сделайте набросок!

Пример: График (x − 4)

² + (y − 2) ² = 25

Формула для круга: (x − a) ² + (y − b) ² = r ²

Итак, центр находится по адресу (4,2)

И r ² равно 25 , поэтому радиус равен √25 = 5

Итак, мы можем построить:

• Центр: (4,2)
• Вверх: (4,2 + 5) = (4,7)
• Вниз: (4,2−5) = (4, −3)
• Слева: (4−5,2) = (−1,2)
• Справа: (4 + 5,2) = (9,2)

А теперь нарисуйте круг как можно лучше!

Как нарисовать круг на компьютере

Нам нужно изменить формулу так, чтобы мы получили «y =».

У нас должно получиться два уравнения (верхнее и нижнее обведенные кружком), которые затем можно построить.

Пример: График (x − 4)

² + (y − 2) ² = 25

Итак, центр находится в (4,2), а радиус √25 = 5

Переставьте, чтобы получить «y =»:

Начнем с: (x − 4) ² + (y − 2) ² = 25

Переместите (x − 4) ² вправо: (y − 2) ² = 25 — (x − 4) ²

Извлеките квадратный корень: (y − 2) = ± √ [25 — (x − 4) ² ]

(обратите внимание на ± «плюс / минус»…
может быть два квадратных корня!)

Переместите «−2» вправо: y = 2 ± √ [25 — (x − 4) ² ]

Итак, когда мы построим эти два уравнения, у нас должен получиться круг:

• y = 2 + √ [25 — (x − 4) ² ]
• y = 2 — √ [25 — (x − 4) ² ]

Попробуйте построить график этих функций в графическом редакторе функций.

Также можно использовать Equation Grapher, чтобы сделать все это за один раз.

Полиномиальные тождества

Когда у нас есть сумма (разность) двух или трех чисел в степени 2 или 3 и нам нужно снять скобки, мы используем полиномиальные тождества
(короткие формулы умножения) :

(x + y) ² = x ² + 2xy + y ²
(x — y) ² = x ² — 2xy + y ²

Пример 1: Если x = 10, y = 5a
(10 + 5a) ² = 10 ² + 2 · 10 · 5a + (5a) ² = 100 + 100a + 25a ²

Пример 2: если x = 10, а y равно 4,
(10-4) ² = 10 ² — 2 · 10 · 4 + 4 ² = 100 — 80 + 16 = 36

Верно и обратное:
25 + 20a + 4a ² = 5 ² + 2 · 2 · 5 + (2a) ² = (5 + 2a) ²

Последствия вышеуказанных формул:

(-x + y) ² = (y — x) ² = y ² — 2xy + x ²
(-x — y) ² = (- (x + y)) ² = (x + y) ² = x ² + 2xy + y ²

Формулы 3 степени:

(x + y) ³ = x ³ + 3x ² y + 3xy ² + y ³
(x — y) ³ = x ³ — 3x ² y + 3xy ² — y ³

Пример: (1 + ² ) ³ = 1 ³ + 3.1 ² .a ² +
3.1. (A ² ) ² + (a ² ) ³ = 1 + 3a ² + 3a ⁴ + a ⁶

(x + y + z) ² = x ² + y ² + z ² + 2xy + 2xz + 2yz
(x — y — z) ² = x ² + y ² + z ² — 2xy — 2xz + 2yz

Факторные правила

x ² — y ² = (x — y) (x + y)

x ² + y ² = (x + y) ² — 2xy
или
x ² + y ² = (x — y) ² + 2xy

Пример: 9a ² — 25b ² = (3a) ² — (5b) ² =
(3a — 5b) (3a + 5b)

x ³ — y ³ = (x — y) (x ² + xy + y ² )
x ³ + y ³ = (x + y) (x ² — ху + у ² )

---

Если n натуральное число

x ⁿ — y ⁿ = (x — y) (x ^n-1 + x ^n-2 y +. 2 + 20 $

---

3) Решите уравнение: x ² -25 = 0
Решение: x ² -25 = (x — 5) (x + 5)
=> мы должны решить следующие 2 уравнения:
x — 5 = 0 или x + 5 = 0
, поэтому уравнение имеет два решения: x = 5 и x = -5.

Связанные ресурсы:

Викторина о полиномиальных тождествах

Упрощение полиномиальных выражений — проблемы с решениями

Факторинг полиномов — проблемы с решениями

Полиномиальные тождества на форуме

Предварительные требования

Предварительные требования

Предполагается, что вы знаете следующий материал, поступающий в курс алгебры колледжа.Пожалуйста, обновите себя, если вы этого не сделаете.

Интервальное обозначение

Альтернативной формой выражения неравенств является использование интервальной записи. Интервал
запись состоит из двух значений, разделенных запятыми.

Первое значение — это левая конечная точка интервала, а второе значение — правая
рука конечная точка интервала. Левая конечная точка всегда находится слева, а конечная точка
правая конечная точка всегда справа. Если неравенство будет длиться вечно в
отрицательное направление, тогда левая конечная точка должна быть отрицательной бесконечностью.Если
неравенство продолжается вечно в положительном направлении, тогда правая конечная точка должна
быть положительной бесконечностью.

Каждая конечная точка заключена в квадратную скобку [] или круглую скобку (). Левая рука
за конечной точкой следует левая скобка [или левая скобка (а правая
за конечной точкой следует правая скобка] или правая скобка). Скобка означает
конечная точка включена, а круглые скобки означают, что конечная точка не включена.
Бесконечность (положительная или отрицательная) никогда не включается и всегда должна быть заключена в
скобка.

Открытый интервал — это когда обе конечные точки не включены (). Закрытый интервал — это когда
обе конечные точки включены []. Полуоткрытый (или полузакрытый, если вы пессимист)
интервал — это когда одна конечная точка включена, а другая — нет (] или [).

Примеры обозначения интервалов

Запишите: -2

Запишите: -2 <= x <5 как [-2, 5)

.

Запишите: x> = 2 как [2, + ∞)

Запишите: x <5 как (-∞, 5)

Абсолютное значение

Большинство людей знают, что абсолютное значение любого числа
нулевой или положительный.Однако математически это требует
кусочное определение.

При работе с абсолютными значениями это означает, что
удалить абсолютное значение из алгебраического выражения, выражение абсолютного значения
необходимо заменить на два корпуса. Один случай получается простым отбрасыванием абсолютного
знаки значения и оставление аргумента. Другой случай получается противоположным
аргумента функции абсолютного значения. Затем прорабатывается каждый случай
индивидуально.

Иногда можно решить уравнение, содержащее абсолютные значения, используя
плюс-минус при удалении знаков абсолютного значения. Будьте осторожны при этом, и если вы
испытываете затруднения, затем вернитесь к двум отдельным случаям.

Другой способ исключить абсолютное значение — возвести обе части уравнения в квадрат.
Принятие абсолютного значения делает вещи неотрицательными, а возведение в квадрат — неотрицательными. Итак, если вы что-то возводите в квадрат, вам больше не нужно брать его абсолютное значение.Однако будьте осторожны при возведении в квадрат обеих частей уравнения, так как это может привести к
посторонние решения.

Свойства поля действительных чисел

• Свойство замыкания — сумма или произведение любых двух действительных чисел является другим действительным числом.
• Коммутативное свойство — Порядок терминов или факторов может быть изменен.
• Ассоциативное свойство — Группировка терминов или факторов может быть изменена.
• Свойства идентичности — К любому числу добавляется ноль.Один умноженный на любой
  число — это число.
• Обратные свойства — Любое число плюс противоположное ему равно нулю. Любое число, кроме нуля,
  раз это взаимно один.
• Распределительное свойство — Умножение распределяет поверх сложения.

Обратите внимание, что свойства определены для сложения и умножения. Несколько из
свойства не работают для вычитания или деления.

Основная теорема арифметики

Каждое целое число больше единицы является простым числом или может быть записано как уникальное.
произведение простых чисел.

Простые числа — ваши друзья. Умейте множить числа, используя простые числа, это сделает
потом жизнь станет намного проще.

Экспоненты

При умножении двух множителей с одинаковым основанием складывайте экспоненты.

При умножении двух множителей с одинаковым показателем, но с разным основанием, умножьте
баз и сохраните экспоненту.

При возведении в степень умножьте показатели вместе.

Научная запись

Уметь преобразовывать число из научного представления в обычное представление и из
регулярное обозначение в научном обозначении.

Калькулятор TI-82 / TI-83 использует ключ EE в качестве ключа экспоненциальной записи. Когда
вы видите число, подобное 1.253E12, что на самом деле означает 1.253 × 10 ¹² .

Корни

Знать, как преобразовывать радикальную форму в рациональную экспоненциальную форму. В рациональном
экспоненты, знаменатель экспоненты — это индекс корня и
числитель — это мощность выражения.

Например, x ^2/3 будет кубическим корнем из x ² .

Будьте осторожны при извлечении корня энной степени энной степени. Если мощность ровная, то вы
необходимо брать абсолютное значение основания при упрощении радикала.

Упрощенная радикальная форма

Значение имеет упрощенную радикальную форму, если выполняются следующие условия.

• Показатели всех простых множителей в подкоренном выражении должны быть меньше
  чем индекс радикала. По сути, это означает, что у вас не может быть квадрата
  корень x ³ .
• В подкоренном остатке дроби отсутствуют.
• В знаменателе радикалов нет.
• Нет общих множителей у показателя при простом числе
  фактор подкоренного и индекс радикала. Это означает, что вы
  следует уменьшить ваш индекс и мощность, если это возможно.

Факторинговые многочлены

Знать частные случаи разности двух квадратов, суммы двух квадратов.
(который является простым по сравнению с действительным числом и не учитывается), разница
из двух кубиков, сумма двух
кубов, а разница в два n ^-го степеней.

• Разница двух квадратов: x ² — y ² = (x — y) (x + y)
• Сумма двух квадратов: x ² + y ² , без множителя над реальными числами
• Разница двух кубов: x ³ — y ³ = (x — y) (x ² + xy + y ² )
• Сумма двух кубов: x ³ +
  y ³ = (x + y) (x ² — xy + y ² )
• Разница двух терминов n ^th градусов: x ⁿ — y ⁿ = (x — y) (x ^n-1 + x ^n-2 y +… + xy ^n-2 + y ^n-1 )

Вышеупомянутые шаблоны действительно используются в качестве руководящих указаний. Например, 4x ² -25 — это разница двух квадратов. Некоторая специально созданная сумма квадратов
будет фактор, но это
сверх того, что я ожидаю, что вы узнаете об этом курсе.

Знайте, как разложить на множители трехчлен, не являющийся особым случаем. Вы можете найти
В этом случае выгоден метод факторинга AC.

Умейте факторно группировать.

Особые продукты

Знать квадрат и кубы двучлена.

• Квадрат суммы: (x + y) ² =
  х ² + 2xy + у ²
• Разница в квадрате: (x — y) ² = x ² — 2xy + y ²
• Сумма в кубе: (x + y) ³ = x ³ + 3x ² y + 3xy ² + y ³
• Разность в кубе: (x — y) ³ = x ³ — 3x ² y + 3xy ² — y ³

Это частные случаи так называемой теоремы о биномиальном разложении, которые будут рассмотрены в разделе
7.5.

Дробные выражения

Выражения не имеют знаков равенства. Если бы они это сделали, это были бы уравнения. Когда там
не является знаком равенства, вы не можете умножить обе части уравнения (потому что нет
уравнение) по наименьшему общему знаменателю и избавляемся от знаменателя.

Это означает, что при работе с рациональными (дробными) выражениями вы будете
иметь знаменатель в окончательном ответе (если только он не делится с множителем в
числитель).

Вы разделите или уменьшите множителей в числителе на множителей в знаменателе. Делать
не отменять (если только вы не хотите, чтобы у инструкторов закипела кровь). Не делить
отдельные термины (множители умножаются, члены складываются).

С составными дробями, содержащими одночлены, вы можете инвертировать, а затем умножить.

Однако, когда в составной дроби входят многочлены, обычно проще
умножьте верхнюю и нижнюю дроби на наименьший общий знаменатель числа
два знаменателя.

Декартова плоскость

Уметь построить декартову систему координат. Это также известно как
x-y координатная плоскость. Знайте названия секторов. Ознакомьтесь с
понятие упорядоченной пары
а также
быть способным
строить
точки
в системе
учитывая его координаты.

Координата x также известна как абсцисса, а координата y также известна
как ордината.

Формулы

Вы должны знать следующие формулы.

• Расстояние между двумя точками.Это в основном просто пифагорейский
  Теорема. Найдите изменение координат x и изменение координат y.
  Возведите каждую из них в квадрат и сложите их вместе. Наконец, извлеките квадратный корень.
• Формула средней точки. Середина между двумя точками находится путем сложения
  x и делим на 2, складываем вместе y и делим на 2.
• Уравнение окружности с центром (h, k) и радиусом r. (x-h) ² + (y-k) ² = r ²

Изучение данных

Вы не несете ответственности за этот раздел книги.Однако настоятельно рекомендуется, чтобы
вы прочитаете материал и освоитесь с ним. Мы будем использовать это
быстро в главе 1. Несколько полезных замечаний о том, как использовать калькулятор для данных
исследование доступно в разделах TI-82 и Статистика онлайн-заметок.

---

Содержание: Примечания по алгебре колледжа

---

Веб-сайт Джеймса Джонса

Точечный наклон линейных уравнений — Задача 2

Чтобы написать уравнение прямой с учетом двух точек на прямой, начните с определения наклона.Помните, что наклон — это изменение значений y по сравнению с изменением значений x, или (y2-y1) / (x2-x1). Используйте данные баллы. Одна точка — это (x1, y1), а другая — (x2, y2). Не имеет значения, какой из них (x1, y1), а какой (x2, y2). Вставьте значения и просто. Результат — значение уклона. Затем используйте форму «точка-наклон» y-y1 = m (x-x1) и вставьте только что рассчитанный наклон и одну из заданных точек. Подставьте значения для m, x1 и y1. Упростите, а затем решите относительно y, чтобы преобразовать уравнение в форму с угловым пересечением (y = mx + b).

Это задача, в которой все, что мне дано, — это две точки, и меня просят найти уравнение и представить его в форме наклон-пересечение. Эта проблема обязательно проявится в вашем домашнем задании или на вашем тесте. С этим типом задач в Math уже нет.

Итак, давайте начнем. Первое, что я знаю, это то, что это линия, поэтому у нее будет постоянный наклон, и чтобы найти наклон, я собираюсь использовать эту формулу y2 минус y1 вместо x2 минус x1.Как только я узнаю наклон, я смогу использовать любую точку. Я могу выбрать какую из них в форме Point-Slope, которая выглядит так, это форма уравнения Point-Slope, потому что в ней используются точка и наклон. Я использую наклон здесь с одной из моих точек, а затем мне все равно придется упростить его, чтобы преобразовать его в форму Slope-Intercept, которая выглядит так, как y равно mx плюс b.

Обратите внимание, что я еще не занимался математикой; Все, что я сделал, — это собрал формулы, которые мне понадобятся для решения этой задачи.Вот почему для решения этой задачи вам нужно много знать математику, и поэтому учителя любят ставить ее на тесты. Им нравится включать это в свои домашние задания, чтобы понять, что именно.

Хорошо, поехали. Первое, что я собираюсь сделать, это найти склон. Я собираюсь обозначить эти x1, y1 меткой x2, y2, а затем, чтобы найти наклон, я сделаю y2, убираю y1 поверх x2, убираю x1. Будьте очень осторожны со своими негативными знаками. Когда я упрощаю это, у меня будет -6 вместо -12, что уменьшится до +1/2.Это мой номер наклона.

Теперь, когда я помещаю его в форму «точка-наклон», я могу использовать любую точку. Я могу выбрать все, что захочу. Лично я не большой поклонник негативов. Я могу их делать, но это дает мне больше возможностей ошибаться, поэтому я выберу этот момент. В этом пункте слишком много минусов. В любом случае я должен получить тот же ответ.

Ладно, посмотрим. В форме Point-Slope у меня будет y минус 3, равное моему количеству наклона, умноженному на x, убирающее мое значение x. Это форма уравнения Point-Slope.Я почти на месте. У меня есть уравнение, но они хотят, чтобы я превратил его в пересечение уклона. Помните, что точки пересечения наклона выглядят так, мне нужно получить y отдельно.

Для этого мне нужно сначала упростить правую часть, распределив эту половину, половина -4 равна -2. Тогда я почти закончил. Последнее, что мне нужно сделать, это изолировать y, добавив 3 к обеим сторонам, так что у меня y будет равно 1 / 2x плюс 1. Это мой окончательный ответ. Это форма Slope-Intercept. Это была форма Point-Slope.Это был наклон, черт возьми, в этой задаче есть несколько вариантов словарного запаса, и вы, ребята, еще раз, поэтому эта задача является классической на ваших уроках математики. Я обещаю, что это обязательно появится, так что вы можете посмотреть это видео пару раз, пока не почувствуете себя абсолютно уверенными во всех этих различных процессах.

кругов

Круг в стандартной форме

Окружность Окружность — это набор точек на плоскости, которые лежат на фиксированном расстоянии от данной точки, называемой центром.это набор точек на плоскости, которые лежат на фиксированном расстоянии, называемом радиусом Фиксированное расстояние от центра круга до любой точки на окружности., от любой точки, называемой центром. Диаметр — длина отрезка прямой, проходящего через центр окружности, концы которой находятся на окружности. — длина отрезка прямой, проходящего через центр, концы которого лежат на окружности. Кроме того, круг может быть образован пересечением конуса и плоскости, перпендикулярной оси конуса:

В прямоугольной координатной плоскости, где центр окружности с радиусом r находится (h, k), мы имеем

Рассчитайте расстояние между (h, k) и (x, y), используя формулу расстояния,

(х-ч) 2+ (у-к) 2 = г

Квадрат обеих сторон приводит нас к уравнению круга в стандартной форме Уравнение круга, записанное в виде (x − h) 2+ (y − k) 2 = r2, где (h, k) — центр, а r — это радиус.,

(х-ч) 2+ (у-к) 2 = г2

В этой форме центр и радиус очевидны. Например, учитывая уравнение (x − 2) 2+ (y + 5) 2 = 16, мы имеем

(x − h) 2+ (x − k) 2 = r2 ↓↓↓ (x − 2) 2+ [y — (- 5)] 2 = 42

В этом случае центр равен (2, −5) и r = 4. Далее следуют другие примеры:

Уравнение	Центр	Радиус
(x − 3) 2+ (y − 4) 2 = 25	(3,4)	г = 5
(x − 1) 2+ (y + 2) 2 = 7	(1, −2)	г = 7
(x + 4) 2+ (y − 3) 2 = 1	(−4,3)	г = 1
x2 + (y + 6) 2 = 8	(0, −6)	г = 22

График круга полностью определяется его центром и радиусом.

Пример 1

График: (x − 2) 2+ (y + 5) 2 = 16.

Решение:

В этой форме мы видим, что центр равен (2, −5), а радиус r = 4 единицы. От центра отметка указывает на 4 единицы вверх и вниз, а также на 4 единицы влево и вправо.

Затем нарисуйте круг через эти четыре точки.

Ответ:

Как и любой график, мы заинтересованы в поиске точек пересечения x и y .

Пример 2

Найдите точки пересечения: (x − 2) 2+ (y + 5) 2 = 16.

Решение:

Чтобы найти y -перехват, установите x = 0:

(x − 2) 2+ (y + 5) 2 = 16 (0−2) 2+ (y + 5) 2 = 164 + (y + 5) 2 = 16

Это уравнение можно решить, извлекая квадратные корни.

(y + 5) 2 = 12y + 5 = ± 12y + 5 = ± 23y = −5 ± 23

Следовательно, y -перехваты — это (0, −5−23) и (0, −5 + 23).Чтобы найти перехват x , установите y = 0:

(x − 2) 2+ (y + 5) 2 = 16 (x − 2) 2+ (0 + 5) 2 = 16 (x − 2) 2 + 25 = 16 (x − 2) 2 = −9x −2 = ± −9x = 2 ± 3i

И поскольку решения сложны, мы заключаем, что реальных перехватов x не существует. Обратите внимание, что это имеет смысл, учитывая график.

Ответ: x -перехватов: нет; y -перехватывание: (0, −5−23) и (0, −5 + 23)

Зная центр и радиус круга, мы можем найти его уравнение.

Пример 3

Изобразите окружность с радиусом r = 3 единицы с центром в точке (−1,0). Приведите его уравнение в стандартной форме и определите точки пересечения.

Решение:

Учитывая, что центр равен (−1,0), а радиус равен r = 3, мы нарисуем график следующим образом:

Замените h , k и r , чтобы найти уравнение в стандартной форме.Поскольку (h, k) = (- 1,0) и r = 3, имеем

(x − h) 2+ (y − k) 2 = r2 [x — (- 1)] 2+ (y − 0) 2 = 32 (x + 1) 2 + y2 = 9

Уравнение круга: (x + 1) 2 + y2 = 9, используйте это, чтобы определить y -перехватывания.

(x + 1) 2 + y2 = 9 Установить x = 0 и решить относительно y. (0 + 1) 2 + y2 = 91 + y2 = 9y2 = 8y = ± 8y = ± 22

Следовательно, y -перехваты — это (0, −22) и (0,22). Чтобы найти алгебраически перехваты x , установите y = 0 и найдите x ; это оставлено читателю в качестве упражнения.

Ответ: Уравнение: (x + 1) 2 + y2 = 9; y -перехваты: (0, −22) и (0,22); x -перехват: (−4,0) и (2,0)

Особое значение имеет единичная окружность: Окружность с центром в начале координат и радиусом 1; его уравнение: x2 + y2 = 1.,

х2 + у2 = 1

Или,

(х-0) 2+ (у-0) 2 = 12

В этой форме должно быть ясно, что центр равен (0,0), а радиус равен 1 единице.Кроме того, если мы решим относительно y , мы получим две функции:

x2 + y2 = 1y2 = 1 − x2y = ± 1 − x2

Функция, определяемая параметром y = 1 − x2, является верхней половиной круга, а функция, определяемой параметром y = −1 − x2, является нижней половиной единичного круга:

Попробуй! Изобразите и обозначьте точки пересечения: x2 + (y + 2) 2 = 25.

Ответ:

Круг в общей форме

Мы видели, что график круга полностью определяется центром и радиусом, которые можно прочитать из его уравнения в стандартной форме.Однако уравнение не всегда приводится в стандартной форме. Уравнение окружности в общем виде Уравнение окружности записывается в виде x2 + y2 + cx + dy + e = 0. следует:

x2 + y2 + cx + dy + e = 0

Здесь c , d и e — действительные числа. Шаги для построения графика круга с учетом его уравнения в общем виде следуют ниже.

Пример 4

График: x2 + y2 + 6x − 8y + 13 = 0.

Решение:

Начните с переписывания уравнения в стандартной форме.

• Шаг 1: Сгруппируйте члены с одинаковыми переменными и переместите константу вправо. В этом случае вычтите 13 с обеих сторон и сгруппируйте члены, включающие x , и члены, включающие y , следующим образом.

  x2 + y2 + 6x − 8y + 13 = 0 (x2 + 6x + ___) + (y2−8y + ___) = — 13

• Шаг 2: Заполните квадрат для каждой группы.Идея состоит в том, чтобы добавить значение, завершающее квадрат, (b2) 2, к обеим сторонам для обеих группировок, а затем разложить на множители. Для членов, включающих x , используйте (62) 2 = 32 = 9, а для членов, включающих y , используйте (−82) 2 = (- 4) 2 = 16.

  (x2 + 6x +9) + (y2−8y + 16) = — 13 + 9 + 16 (x + 3) 2+ (y − 4) 2 = 12

• Шаг 3: Определите центр и радиус по уравнению в стандартной форме. В этом случае центр равен (−3,4), а радиус r = 12 = 23.
• Шаг 4: От центра отметьте радиус по вертикали и горизонтали, а затем нарисуйте круг через эти точки.

Ответ:

Пример 5

Определите центр и радиус: 4×2 + 4y2−8x + 12y − 3 = 0.

Решение:

Мы можем получить общий вид, сначала разделив обе части на 4.

4×2 + 4y2−8x + 12y − 34 = 04×2 + y2−2x + 3y − 34 = 0

Теперь, когда у нас есть общая форма круга, где оба члена второй степени имеют старший коэффициент, равный 1, мы можем использовать шаги для его переписывания в стандартной форме. Начните с добавления 34 к обеим сторонам и сгруппируйте одинаковые переменные.

(x2−2x + ___) + (y2 + 3y + ___) = 34

Затем заполните квадрат для обеих группировок. Используйте (−22) 2 = (- 1) 2 = 1 для первой группировки и (32) 2 = 94 для второй группировки.

(x2−2x +1) + (y2 + 3y + 94) = 34 + 1 + 94 (x − 1) 2+ (y + 32) 2 = 164 (x − 1) 2+ (y + 32) 2 = 4

Ответ: Центр: (1, −32); радиус: r = 2

Таким образом, чтобы преобразовать стандартную форму в общую, мы умножаем, а для преобразования из общей формы в стандартную форму заполняем квадрат.

Попробуй! График: x2 + y2−10x + 2y + 21 = 0.

Ответ:

Основные выводы

• График круга полностью определяется его центром и радиусом.
• Стандартная форма уравнения круга: (x − h) 2+ (y − k) 2 = r2. Центр — (h, k), а радиус — r единиц.
• Для построения круга отметьте точки r единиц вверх, вниз, влево и вправо от центра. Нарисуйте круг через эти четыре точки.
• Если уравнение круга дано в общем виде x2 + y2 + cx + dy + e = 0, сгруппируйте члены с одинаковыми переменными и заполните квадрат для обеих группировок.Это приведет к стандартной форме, из которой мы можем прочитать центр и радиус круга.
• Мы распознаем уравнение круга, если оно квадратично как в x , так и в y , где коэффициенты при квадрате членов одинаковы.

Тематические упражнения

Часть A: Круг в стандартной форме

Определите центр и радиус по уравнению окружности в стандартной форме.

Определите стандартную форму уравнения окружности с учетом ее центра и радиуса.

7. Центр (5,7) с радиусом r = 7.

8. Центр (−2,8) с радиусом r = 5.

9. Центр (6, −11) с радиусом r = 2.

10. Центр (−4, −5) с радиусом r = 6.

11. Центр (0, −1) с радиусом r = 25.

12. Центр (0,0) с радиусом r = 310.

График.

Найдите точки перехвата x и y .

Найдите уравнение круга.

33. Окружность с центром (1, −2), проходящим через (3, −4).

34. Окружность с центром (−4, −1), проходящим через (0, −3).

35. Окружность, диаметр которой определяется формулами (5,1) и (−1,7).

36. Круг, диаметр которого определяется (−5,7) и (−1, −5).

37. Круг с центром (5, −2) и площадью 9π квадратных единиц.

38. Круг с центром (−8, −3) и окружностью 12π квадратных единиц.

39. Найдите площадь круга по уравнению (x + 12) 2+ (x − 5) 2 = 7.

40. Найдите длину окружности по уравнению (x + 1) 2+ (y + 5) 2 = 8.

Часть B: Круг в общей форме

Перепишите в стандартной форме и графике.

Дан круг в общем виде, определите точки пересечения.

65. Определите площадь круга, уравнение которого x2 + y2−2x − 6y − 35 = 0.

66. Определите площадь круга, уравнение которого равно 4×2 + 4y2−12x − 8y − 59 = 0.

67. Определите длину окружности, уравнение которой x2 + y2−5x + 1 = 0.

68. Определите длину окружности по уравнению x2 + y2 + 5x − 2y + 3 = 0.

69. Найдите общий вид уравнения окружности с центром в точке (−3,5), проходящей через (1, −2).

70. Найдите общий вид уравнения окружности с центром (−2, −3), проходящей через (−1,3).

По графику круга определите его уравнение в общем виде.

Часть C: Обсуждение

75. Является ли центр круга частью графика? Объяснять.

76. Составьте свой круг, напишите его в общем виде и нанесите на график.

77. Объясните, как можно отличить уравнение параболы в общем виде от уравнения окружности в общем виде. Привести пример.

78. У всех кругов есть перехваты? Какое возможное количество перехватов? Проиллюстрируйте свое объяснение графиками.

ответов

1. Центр: (5, −4); радиус: r = 8

3. Центр: (0, −6); радиус: r = 2

5. Центр: (−1, −1); радиус: r = 7

25. x -перехватов: (1 ± 5,0); y — перехватывает: (0,2 ± 22)

27. x -перехватов: нет; y — перехватывает: (0,3), (0,5)

29. x -перехватов: (± 52,0); y -перехват: (0, ± 52)

31. x -перехватов: нет; y -перехватов: нет

41. (х + 2) 2+ (y − 1) 2 = 9;

43. (х + 1) 2+ (у + 6) 2 = 1;

45. х2 + (у + 3) 2 = 4;

47. (х + 4) 2+ (у + 6) 2 = 36;

49. (х-12) 2+ (у + 1) 2 = 1;

51. (x + 2) 2+ (y − 4) 2 = 6;

53. (x − 12) 2+ (y − 1) 2 = 14;

55. (х + 1) 2+ (y − 32) 2 = 2;

57. (х + 32) 2+ (у + 52) 2 = 4;

59. x -перехват: (2,0), (3,0); y -перехватов: нет

61. x -перехват: (0,0); y — перехватывает: (0,0), (0,6)

63. x -перехватывания: (−32,0), (3,0); y -перехват: (0, ± 322)

Математическое выражение: Формула наклона

00:00:01.110
В этом уроке мы узнаем, как вывести и использовать формулу наклона.

00:00: 06.190
Из предыдущего урока мы узнали, что наклон линии равен: «изменение y» делится на «изменение x».

00:00: 14.160
Используя это определение, мы можем теперь вывести формулу наклона.

00:00: 19.210
Поставим первую точку на координатную плоскость.

00:00: 23.150
Теперь, поскольку мы выводим формулу, мы можем представить координату x и координату y как x1 и y1 соответственно.

00:00: 33.070
Поместим вторую точку на самолет.

00:00: 37.130
Опять же, мы можем представить координату x и координату y как x2 и y2 соответственно.

00:00: 44.110
Теперь, используя эти две точки, мы можем провести прямую линию и отсюда вывести формулу наклона.

00:00: 51.230
Теперь представьте, что мы бежим от x1 до x2. Изменение x будет x2 минус x1.

00: 01: 02.050
Хорошо, с этим мы можем заменить «изменение x» на «x2 минус x1».

00: 01: 08.220
Далее, ссылаясь на координаты y, когда мы поднимаемся отсюда, «изменение y» будет, y2 минус y1.

00: 01: 19.070
Теперь, с этим, мы можем заменить «изменение y» на «y2 минус y1».

00: 01: 26.120
Наконец, наклон равен: «y2 минус y1» делится на «x2 минус x1».

00: 01: 34.130
Следуя соглашению, мы можем представить наклон переменной m.

00: 01: 40.190
Итак, теперь у нас есть формула наклона, m равно: «y2 минус y1» делится на «x2 минус x1».

00: 01: 49.240
Хорошо, давайте воспользуемся этой формулой, чтобы найти наклон этой прямой.

00: 01: 55.190
Давайте посмотрим на фактические координаты первой точки. у нас есть x1 как 2.0 и y1 как 3.0.

00: 02: 05.060
Точно так же для второй точки у нас x2 как 5.0, а y2 как 6.0.

00: 02: 13.180
Теперь мы можем найти наклон этой прямой, просто подставив эти координаты в формулу наклона.

00:02:20.180
Позвольте мне показать вам, заменяя y2 на 6, y1 на 3, x2 на 5 и x1 на 2.

00: 02: 36.010
Теперь мы видим, что эти скобки нам не нужны. Итак, удалим их.

00: 02: 42.020
Давайте упростим: умножение отрицательного числа на скобку 3,0 дает отрицательное значение 3,0.

00: 02: 49.060
Умножение отрицательного числа на скобку 2,0 дает отрицательное значение 2,0.

00: 02: 54.160
6,0 минус 3,0 дает положительный результат 3,0. 5,0 минус 2,0 дает положительный результат 3.0.

00: 03: 04.120
Теперь положительное 3 делится на положительное 3 дает положительное 1.

00: 03: 09.220
Итак, наклон этой прямой положительный 1.

00: 03: 15.100
Давайте посмотрим на другой пример. Но сначала позвольте мне изменить координаты этих точек.

00: 03: 24.100
Используя эту формулу, мы можем заменить y2 на 4.0, y1 на отрицательное 1.0, x2 на 1.0 и x1 на 6.0.

00: 03: 40.130
Теперь мы видим, что эти скобки нам не нужны.Итак, удалим их.

00: 03: 46.170
Давайте упростим это, отрицательное умножение на квадратную скобку отрицательное 1,0 дает положительное 1,0

00: 03: 54.080
Умножение отрицательного числа на скобку 6.0 дает отрицательное значение 6.0.

00: 03: 59.240
4,0 плюс 1,0 дает положительный результат 5. 1,0 минус 6,0 дает отрицательный результат 5.

00: 04: 09.130
Теперь положительное 5,0 делится на отрицательное 5,0 дает отрицательное 1.

00: 04: 17.050
Итак, наклон этой прямой отрицательный 1.

00: 04: 21.200
На этом урок все. Попробуйте ответить на практический вопрос, чтобы проверить свое понимание.

Круг: уравнение — другие примеры

В этом уроке будут рассмотрены еще несколько примеров уравнений окружностей.

Пример 6 Найдите центр и радиус окружности x ² + y ² — 4x + 6y — 3 = 0.

Решение Сравнивая это с общим уравнением круга, т.е.2 — (-3)} \) = 4

Пример 7 Найдите уравнение круга, который касается прямой 3x + 4y = 5 и имеет центр (2, 1).

Решение Нам дан центр окружности, но не радиус. Вместо этого мы знаем, что круг касается линии.

Что это нам говорит? Вспомните из ваших предыдущих занятий, что радиус окружности перпендикулярен касательной. Другими словами, расстояние по перпендикуляру от центра до касательной будет равно радиусу.2} \) = 1.

Следовательно, требуемое уравнение: (x — 2) ² + (y — 1) ² = 1

Пример 8 Найдите уравнение окружности, лежащей в первом квадранте, которая касается обеих осей и имеет радиус 3.

Решение Это немного другое. Нам дан радиус круга, но не центр. Вместо этого мы знаем, что круг касается обеих осей и лежит в первом квадранте.Вот как будет выглядеть круг.

Так как круг касается осей, расстояние от центра до обеих осей должно быть равно радиусу (что-то похожее на предыдущий пример). И расстояния от осей — не что иное, как координаты центра.

Следовательно, координаты центра должны быть (3, 3). И требуемое уравнение будет (x — 3) ² + (y — 3) ² = 3 ²

У нас есть специальное уравнение — уравнение круга, касающегося обеих осей и лежащего в первом (или третьем) квадранте, радиус которого равен ‘a’, будет равен (x — a) ² + (y — а) ² = а ²

(Также найдите уравнение тех, которые лежат в квадранте 2 ^nd или 4 ^ой )

Пример 9 Найдите уравнение круга, проходящего через точки (0, 0), (4, 0) и (0, 3).

Решение У нас будут лучшие и интересные способы найти уравнения окружностей, проходящих через три точки, но пока я расскажу об основном методе.

Начнем с общего уравнения, в котором есть три неизвестных: g, f и c. Значения этих неизвестных будут найдены путем составления трех уравнений для этих неизвестных, полученных путем подстановки данных координат в уравнение круга. Давайте начнем.

Пусть уравнение круга будет x ² + y ² + 2gx + 2fy + c = 0.

Подставляя (0, 0), получаем (0) ² + (0) ² + 2g (0) + 2f (0) + c = 0

Подставляя (4, 0), получаем (4) ² + (0) ² + 2g (4) + 2f (0) + c = 0

Наконец, подставив (0, 0), получим (0) ² + (3) ² + 2g (0) + 2f (3) + c = 0

При решении уравнений значения g, f и c получаются как -2, -3/2 и 0 соответственно.

Требуемое уравнение: x ² + y ² — 4x — 3y = 0 .

Пример 10 Найдите уравнение круга, который проходит через точки (0, 3), (3, 0) и чей центр лежит на прямой 3x + 2y = 5

Решение Эта проблема в чем-то похожа на предыдущую. Мы снова предположим, что уравнение имеет вид x ² + y ² + 2gx + 2fy + c = 0, и получим два уравнения, подставив заданные точки.

Подставляя (3, 0), получаем (3) ² + (0) ² + 2g (3) + 2f (0) + c = 0, а при подстановке (0, 3) получаем ( 0) ² + (3) ² + 2g (0) + 2f (3) + c = 0.А как насчет третьего?

Было задано, что центр, то есть (-g, -f) лежит на прямой 3x + 2y = 5. Это даст нам третье уравнение, которое 3 (-g) + 2 (-f) = 5

При решении уравнений значения g, f и c получаются как -1, -1 и -3 соответственно.

Требуемое уравнение: x ² + y ² — 2x — 2y — 3 = 0 .

В следующем уроке я рассмотрю еще пару уравнений круга. Увидимся там!

.