\(x\)

\(0\)

\(0. {\prime \prime}=0 : x=1$ ; при $x=0$ и
$x=2$ вторая производная не существует.

Таким образом, на промежутках $(0 ; 1)$ и
$(2 ;+\infty)$ функция вогнута, а на промежутках
$(-\infty ; 0)$ и
$(1 ; 2)$ — выпукла. Так как при переходе через точку
$x=1$ вторая производная поменяла знак, то эта точка является точкой перегиба.

7) Эскиз графика.

Примеры построения графиков функций

В
автоматическом режиме (по умолчанию)
MathCAD строит график в интервале изменения
переменных x и y: (-5;5). Если в этой области
функция не является непрерывной (имеет
разрыв), график не строится. Можно
перестроить пределы изменения x и y в
окне форматирования. Можно задать
пределы изменения x и y аналитически, в
нужной области рассмотрения графика и
построить сетку с нужными параметрами.
Рассмотрим построение графиков различными
способами.

Пример
3.10

Пример
3.10

Построить
график поверхности функции
разными
способами.

1
способ. «Быстрый» график»
(Рис.3.24).

Для
построения графика:

• функция
  определена

• вызвать
  Graph -> Surface Plot

• на
  месте шаблона указать имя функции F.

Рис.
3.24. Листинг
построения графика поверхности примера
3.10

2
способ. Использование сетки. Построить
график
Fпо
20 точкам. Переменная x меняется от 8 д и
о 10 , y меняется, от 10 до 12.

Для
построения графика в определенной
области изменения независимых переменных
с определенным шагом надо задать узловые
точки
,,
как индексные переменные по точкам.
Затем сформировать матрицу значений
функции в точках в виде:.

• Задать
  количество точек.

• Ввести
  номер точки i номер точки j как ранжированные
  переменные.

• Задать
  пределы для x y. Задать
  икак
  индексные переменные по сетке.

• Определить
  матрицу
  .

• Вставить
  график, на месте шаблона вставить имя
  матрицы (Рис.3.24).

График
строится не от значений x и y, а от номера
точки.

,
,

,
,

,
,

Значение
функции
в
крайних точках сетки:

,

,

Рис.
3.25. Листинг
построения графика поверхности примера
3.10 при задании сетки

3
способ. Использование функции CreateMesh()
. Встроенная функция в MathCAD для построения
графика поверхности. Создает массив,
представляющий х-, у- и z-координаты
параметрической поверхности, заданной
функцией F(). Создает сетку на поверхности
определенной функции F() с параметрами
, заданными аргументами.

M=CreateMesh
(F, x0, x1, y0, y1, xgrid, ygrid, fmap),

F-
функция,

x0,
x1, y0, y1 – диапазон изменения переменных
x и y,

xgrid,
ygrid – количество точек переменной х и
количество точек переменной y (размеры
сетки переменных), количество точек
можно задать один раз.

fmap
– векторная функция от трех аргументов,
задающая преобразование координат,
определяет систему координат: декартову,
сферическую или цилиндрическую. Если
параметр присутствует, то график будет
построен в указанной системе координат.
Для графика в декартовой системе этот
аргумент можно не вводить.

Имеются
две встроенные графические функции,
которые могут использоваться в аргументах
fmap: sph3xyz и syl2xyz.

cyl2xyz
– функция преобразования координат из
цилиндрической системы в декартову;

ph3xyz
– функция преобразования координат из
сферической системы в декартову.

На
pис.3.26
показано построение графика функции
примера с применением CreateMesh() . Указаны
границы изменения x – от 8,2 до 10, границы
изменения y, – от 10,2 до 12 количество
точек сетки – 20 для x и для y. График
строится от значений x и y.

Рис.
3.26. Листинг
построения графика поверхности примера
3.10 с использованием функции CreateMesh()

Если
не указать параметры сетки, функция
CreateMesh по умолчанию создает сетку на
поверхности с диапазоном изменения
переменных от -5 до 5 и с сеткой 20×20 точек.
M=CreateMesh (W) (Рис.3.27).

Рис.
3.27. Листинг
построения графика поверхности примера
3.10 с использованием функции CreateMesh()
(параметры по умолчанию)

Общая схема исследования функции и построения графиков (Лекция №11)

1. 1. Найти ОДЗ и точки разрыва функции.
   2. Найти точки пересечения графика функции с осями координат.

2. Провести
   исследование функции с помощью первой производной, то есть найти точки экстремума
   функции и интервалы возрастания и убывания.
3. Исследовать
   функцию с помощью производной второго порядка, то есть найти точки перегиба графика
   функции и интервалы его выпуклости и вогнутости.
4. Найти асимптоты графика функции: а) вертикальные, b) наклонные.
5. На основании проведенного исследования построить график функции.

Заметим,
что перед построением графика полезно установить, не является ли данная функция
четной или нечетной.

Вспомним, что функция
называется четной, если при изменении знака аргумента значение функции не
меняется: f(-x) = f(x) и функция называется
нечетной, если f(-x) = -f(x).

В этом случае достаточно
исследовать функцию и построить её график при положительных значениях
аргумента, принадлежащих ОДЗ. При отрицательных значениях аргумента график
достраивается на том основании, что для четной функции он симметричен относительно
оси Oy, а для нечетной
относительно начала координат.

Примеры. Исследовать функции и построить их графики.

1. .
   1. Область определения функции D(у)= (–∞; +∞). Точек разрыва нет.

   Пересечение с
   осью Ox: x =
   0,у=0.

   Функция нечетная, следовательно, можно исследовать ее только на
   промежутке [0, +∞).

   
   2. . Критические точки: x₁ = 1; x₂= –1.

   
   3.

   
   4. а) Вертикальных асимптот нет

   б) . Асимптота – y = 0.

   
   

2. .
   1. D(y)=(–∞; +∞). Точек
      разрыва нет.

      Пересечение с
      осью Ox: .

   3. .
   4. а) Вертикальных асимптот нет

      б).

      
      Наклонных асимптот
      нет.

3. .
   1. D(y)=(0; +∞). Функция
      непрерывна на области определения.

      Пересечение с осью :

   4. а) .

      Вертикальная асимптота x = 0.

      
      б).

      Наклонная
      асимптота y = 0.

4. .
   1. D(y)=(
      –∞;0)È(0;1)È(1;+∞).

      Функция имеет две точки
      разрыва x= 0 и x= 1.

      Точек пересечения с осями
      координат нет.

   2. при любых
      действительных значениях x. Поэтому функция возрастает
      на всей числовой прямой.
   3.  

   4.  

      а)

      Вертикальные асимптоты x =
      0, x = 1.

      б)

      Наклонная
      асимптота y = x + 1.

ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

Во многих приложениях математического анализа
встречаются комбинации показательных функций. Эти комбинации рассматриваются
как новые функции и обозначаются:

– гиперболический
синус.

– гиперболический
косинус.

С помощью этих функций можно определить еще две функции.

– гиперболический
тангенс.

– гиперболический
котангенс.

Функции sh x, ch x, th x определены, очевидно, для всех значений x,
т.е. их область определения (–∞; +∞). Функция
же cthx определена всюду за
исключением точки x = 0.

Между гиперболическими функциями существуют
следующие соотношения, аналогичные соответствующим соотношениям между
тригонометрическими функциями.

Найдем: .

Т.е. .

.

Итак, .

Следовательно, .

Найдем производные гиперболических функций

.

Аналогично можно показать .

.

Т.е. и .

Графики гиперболических функций. Для того чтобы изобразить графики функций

shx и chx нужно вспомнить графики функций y
= e^x и y = e^—x

Проведем исследования функции y = th x.

1. 1. D(f) = (–∞; +∞), точек
      разрыва нет.
   2. Точка
      пересечения с осями координат .

2.  

   , функция возрастает на (–∞; +∞).

4. 1. Вертикальной асимптоты нет.
   2. .

y = cth x

1. D. Точка разрыва x = 0 cth x = 0 – нет
2.  

   убывает на .

4. 2. При x → +∞

Исследование функций и построение графиков

Опорными точками при исследовании функций и построения их графиков служат характерные точки – точки разрыва, экстремума, перегиба, пересечения с осями координат.
С помощью дифференциального исчисления можно установить характерные особенности изменения функций:
возрастание и убывание, максимумы и минимумы, направление выпуклости и вогнутости графика, наличие асимптот.

Эскиз графика функции можно (и нужно) набрасывать уже после нахождения асимптот и точек экстремума,
а сводную таблицу исследования функции удобно заполнять по ходу исследования.

Обычно используют следующую схему исследования функции.

1. Находят область определения, интервалы непрерывности и точки разрыва функции.

2. Исследуют функцию на чётность или нечётность (осевая или центральная симметрия графика.

3. Находят асимптоты (вертикальные, горизонтальные или наклонные).

4. Находят и исследуют промежутки возрастания и убывания функции, точки её экстремума.

5. Находят интервалы выпуклости и вогнутости кривой, точки её перегиба.

6. Находят точки пересечения кривой с осями координат, если они существуют.

7. Составляют сводную таблицу исследования.

8. Строят график, учитывая исследование функции, проведённое по вышеописанным пунктам.

 Пример. Исследовать функцию

и построить её график.

Решение.

1. Область определения функции – вся числовая прямая. Множеством значений данной функции, как и всякой показательной функции, служит интервал ]0, +∞[. Поэтому график функции расположен выше оси Ox,

2. Напомним: из школьного курса известно, что функция y = f(x) называется чётной, если

для всех x, принадлежащих области определения функции.

.

График чётной функции симметричен относительно оси Oy, так как, по определению, вместе с любой своей точкой (x; y) он содержит и точку (-x; y).

Функция y = f(x) называется нечётной, если

для всех x, принадлежащих области определения функции.

График нечётной функции симметричен относительно начала координат, так как, по определению, вместе с любой своей точкой (x; y) он содержит и точку (-x; -y).

Наша исследуемая функция чётная, так как

её график симметричен относительно оси Oy. Поэтому исследование можно выполнять только для ]0, +∞[.

3. Вертикальных асимптот у графика нет, поскольку функция непрерывна на всей числовой прямой. Горизонтальной асимптотой является ось Ox, так как

Поскольку кривая имеет двустороннюю горизонтальную асимптоту y = 0, у неё не может быть наклонных асиптот.

4. Находим .
Из уравнения
имеем .

Так как при переходе через значение x = 0 меняет знак с плюса на минус, то функция в точке x = 0 переходит от возрастания к убыванию, а (0; 1) – точка максимума.
Касательная к кривой в этой точке горизонтальна, поскольку
.

5. Находим
Из уравнения
получаем
т.е. .

Учитывая чётность функции, исследуем знаки в окрестности только точки
.

Следовательно, при x = 1 кривая
меняет выпуклость на вогнутость. Так как
то
—
точка перегиба кривой. Угловой коэффициент касательной к кривой в этой точке
.
Поэтому в точке перегиба касательная образует с осью Ox тупой угол.

6. График не пересекает оси Ox, поскольку он расположен выше неё. Найдём точки пересечения кривой с осью Oy: полагая x=0, имеем

Тем самым получим точку (0; 1) графика, которая совпадает с
точкой максимума.

7. Составим сводную таблицу исследования функции, куда внесём все характерные точки и интервалы между ними. Учитывая чётность функции, получаем следующую таблицу:

8. Используя результаты исследования, строим график функции (см. рисунок).

Весь блок «Производная»

Построение графиков функций в MATLAB

Здравствуйте! В этой статье мы разберем построение графиков на MATLAB для различных математических функций, а также научимся выводить несколько графиков одновременно.

Где прописывать код

Но для начала научимся создавать скрипты в Matlab. Так вам будет удобнее работать с Matlab, писать коды и вообще приятнее, когда видишь всю программу сразу, а не построчно. Делается это просто: нажать New --> Script --> ScriptCtrl+N.

Откроется вот такое окно:

После того, как вы напишите сюда свой код, нужно его запустить. Это делается с помощью вот этой кнопки.

Графики MATLAB

Построение графиков функций в MATLAB можно реализовать разными способами, например, через plot или polar, с полным списком можете ознакомиться здесь. 2) ‘, [-2 2])

И последний:

Построить график функции y=tan(x/2) для интервала — π ≤ x ≤ π и -10 ≤ y ≤10.

ezplot('tan(x/2) ', [-pi pi])
axis([-pi pi -10 10])

В данном случае мы указали границы оси с помощью axis от -π до π.

Если остались вопросы по поводу построения графиков функций в MATLAB, то обязательно пишите в комментариях, ответим.

Поделиться ссылкой:

Похожее

Графики основных функций

Основные функции

В этом разделе мы графически изображаем семь основных функций, которые будут использоваться на протяжении всего курса. Каждая функция отображается в виде точек. Помните, что f (x) = y и, следовательно, f (x) и y могут использоваться как взаимозаменяемые.

Любая функция вида f (x) = c, где c — любое действительное число, называется постоянной функцией Любая функция вида f (x) = c, где c — действительное число. . Постоянные функции линейны и могут быть записаны как f (x) = 0x + c. В этой форме ясно, что наклон равен 0, а точка пересечения y равна (0, c). Оценка любого значения для x , например x = 2, приведет к c .

График постоянной функции представляет собой горизонтальную линию. Домен состоит из всех действительных чисел ℝ, а диапазон состоит из одного значения { c }.

Далее мы определяем функцию идентичности Линейную функцию, определяемую формулой f (x) = x.е (х) = х. Оценка любого значения x приведет к тому же значению. Например, f (0) = 0 и f (2) = 2. Идентификационная функция является линейной, f (x) = 1x + 0, с наклоном m = 1 и y -перехват (0, 0).

И домен, и диапазон состоят из действительных чисел.

Функция возведения в квадрат Квадратичная функция, определяемая формулой f (x) = x2., Определяемая формулой f (x) = x2, является функцией, полученной возведением в квадрат значений в области определения. Например, f (2) = (2) 2 = 4 и f (−2) = (- 2) 2 = 4.Результат возведения в квадрат ненулевых значений в домене всегда будет положительным.

Результирующий изогнутый график называется параболой. Изогнутый график, образованный функцией возведения в квадрат. Область состоит из всех действительных чисел ℝ, а диапазон состоит из всех y -значений, больших или равных нулю [0, ∞).

Кубическая функция Кубическая функция, определяемая как f (x) = x3., Определяемая как f (x) = x3, возводит все значения в области в третью степень.Результаты могут быть положительными, нулевыми или отрицательными. Например, f (1) = (1) 3 = 1, f (0) = (0) 3 = 0 и f (−1) = (- 1) 3 = −1.

И домен, и диапазон состоят из всех действительных чисел ℝ.

Обратите внимание, что функции константы, тождества, возведения в квадрат и куба являются примерами основных полиномиальных функций. Следующие три основные функции не являются полиномами.

Функция абсолютного значения Функция, определенная как f (x) = | x |., Определенная как f (x) = | x |, является функцией, где выходные данные представляют расстояние до начала координат на числовой прямой.Результат вычисления функции абсолютного значения для любого ненулевого значения x всегда будет положительным. Например, f (−2) = | −2 | = 2 и f (2) = | 2 | = 2.

Область функции абсолютного значения состоит из всех действительных чисел ℝ, а диапазон состоит из всех y -значений, больших или равных нулю [0, ∞).

Функция квадратного корня Функция, определяемая как f (x) = x., Определяемая как f (x) = x, не определяется как действительное число, если значения x отрицательны.Следовательно, наименьшее значение в домене равно нулю. Например, f (0) = 0 = 0 и f (4) = 4 = 2.

И домен, и диапазон состоят из действительных чисел, больших или равных нулю [0, ∞).

Обратная функция Функция, определенная как f (x) = 1x., Определенная как f (x) = 1x, является рациональной функцией с одним ограничением на область определения, а именно x ≠ 0. Обратное значение x , очень близкое к нулю, очень велико. Например,

f (1/10) = 1 (110) = 1⋅101 = 10f (1/100) = 1 (1100) = 1⋅1001 = 100f (1/1000) = 1 (11000) = 1⋅10001 = 1 000

Другими словами, когда значения x приближаются к нулю, их обратные значения будут стремиться либо к положительной, либо к отрицательной бесконечности.Это описывает вертикальную асимптоту — вертикальную линию, к которой график становится бесконечно близким. по оси y . Кроме того, там, где значения x очень велики, результат обратной функции очень мал.

f (10) = 110 = 0,1 f (100) = 1100 = 0,01 f (1000) = 11000 = 0,001

Другими словами, когда значения x становятся очень большими, результирующие значения y стремятся к нулю. Это описывает горизонтальную асимптоту — горизонтальную линию, к которой график становится бесконечно близким, где значения x стремятся к ± ∞.по оси x . После нанесения ряда точек можно определить общий вид обратной функции.

И область, и диапазон обратной функции состоят из всех действительных чисел, кроме 0, который может быть выражен с использованием обозначения интервала следующим образом: (−∞, 0) ∪ (0, ∞).

Таким образом, основными полиномиальными функциями являются:

Основные неполиномиальные функции:

Кусочно-определенные функции

Кусочная функция Функция, определение которой изменяется в зависимости от значений в домене., или функция разделения Термин, используемый при ссылке на кусочную функцию., — это функция, определение которой изменяется в зависимости от значения в домене. Например, мы можем написать функцию абсолютного значения f (x) = | x | как кусочная функция:

f (x) = | x | = {x, если x≥0 − x, если x <0

В этом случае используемое определение зависит от знака значения x . Если значение x положительное, x≥0, то функция определяется как f (x) = x. И если значение x отрицательное, x <0, тогда функция определяется как f (x) = - x.

Ниже приведен график двух частей на одной прямоугольной координатной плоскости:

Пример 1

График: g (x) = {x2, если x <0x, если x≥0.

Решение:

В этом случае мы строим график функции возведения в квадрат по отрицательным значениям x и функции квадратного корня по положительным значениям x .

Обратите внимание на открытую точку, используемую в начале координат для функции возведения в квадрат, и на закрытую точку, используемую для функции извлечения квадратного корня.Это было определено неравенством, которое определяет область определения каждой части функции. Вся функция состоит из каждой части, нанесенной на одну и ту же координатную плоскость.

Ответ:

При оценке значение в домене определяет подходящее определение для использования.

Пример 2

Для функции h найти h (−5), h (0) и h (3).

ч (t) = {7t + 3ift <0−16t2 + 32tift≥0

Решение:

Используйте h (t) = 7t + 3, где t отрицательно, на что указывает t <0.

h (t) = 7t + 5h (−5) = 7 (−5) + 3 = −35 + 3 = −32

Если t больше или равно нулю, используйте h (t) = — 16t2 + 32t.

h (0) = — 16 (0) +32 (0) h (3) = 16 (3) 2 + 32 (3) = 0 + 0 = −144 + 96 = 0 = −48

Ответ: h (−5) = — 32, h (0) = 0 и h (3) = — 48

Попробуй! График: f (x) = {23x + 1, если x <0x2, если x≥0.

Ответ:

Определение функции может отличаться в разных интервалах домена.

Пример 3

График: f (x) = {x3, если x <0x, если 0≤x≤46, если x> 4.

Решение:

В этом случае постройте график кубической функции на интервале (−∞, 0). Изобразите тождественную функцию на интервале [0,4]. Наконец, постройте график постоянной функции f (x) = 6 на интервале (4, ∞). И поскольку f (x) = 6, где x> 4, мы используем открытую точку в точке (4,6). Если x = 4, мы используем f (x) = x и, таким образом, (4,4) — это точка на графике, обозначенная закрытой точкой.

Ответ:

Функция наибольшего целого числа Функция, которая присваивает любое действительное число x наибольшему целому числу, меньшему или равному x , обозначается f (x) = [[x]]., Обозначается f (x) = [[x]] , присваивает наибольшее целое число, меньшее или равное любому действительному числу в своем домене. Например,

f (2,7) = [[2,7]] = 2f (π) = [[π]] = 3f (0,23) = [[0,23]] = 0f (−3,5) = [[- 3,5]] = — 4

Эта функция связывает любое действительное число с наибольшим целым числом, меньшим или равным ему, и ее не следует путать с округлением.

Пример 4

График: f (x) = [[x]].

Решение:

Если x — любое действительное число, то y = [[x]] — наибольшее целое число, меньшее или равное x .

⋮ −1≤x <0⇒y = [[x]] = - 10≤x <1⇒y = [[x]] = 01≤x <2⇒y = [[x]]] = 1 ⋮

Используя это, мы получаем следующий график.

Ответ:

Область определения наибольшей целой функции состоит из всех действительных чисел ℝ, а диапазон состоит из набора целых чисел ℤ.Эту функцию часто называют минимальной функцией — термин, используемый для обозначения наибольшей целочисленной функции. и имеет множество приложений в информатике.

Основные выводы

• Точки графика для определения общей формы основных функций. Следует запомнить форму, а также домен и диапазон каждого из них.
• Основные полиномиальные функции: f (x) = c, f (x) = x, f (x) = x2 и f (x) = x3.
• Основные неполиномиальные функции: f (x) = | x |, f (x) = x и f (x) = 1x.
• Функция, определение которой изменяется в зависимости от значения в домене, называется кусочной функцией. Значение в домене определяет подходящее определение для использования.

Тематические упражнения

Часть A: Основные функции

Сопоставьте график с определением функции.

Оценить.

7. f (x) = x; найти f (−10), f (0) и f (a).

8. f (x) = x2; найти f (−10), f (0) и f (a).

9. f (x) = x3; найти f (−10), f (0) и f (a).

10. ф (х) = | х |; найти f (−10), f (0) и f (a).

11. f (x) = x; найти f (25), f (0) и f (a), где a≥0.

12. f (x) = 1x; найти f (−10), f (15) и f (a), где a ≠ 0.

13. f (x) = 5; найти f (−10), f (0) и f (a).

14. f (x) = — 12; найти f (−12), f (0) и f (a).

15. График f (x) = 5 и укажите область определения и диапазон.

16. График f (x) = — 9 и укажите область определения и диапазон.

Функция кубического корня.

17. Найдите точки на графике функции, определяемой формулой f (x) = x3 с x -значениями в наборе {−8, −1, 0, 1, 8}.

18. Найдите точки на графике функции, определяемой формулой f (x) = x3 с x -значениями в наборе {−3, −2, 1, 2, 3}. Воспользуйтесь калькулятором и округлите до ближайшей десятой.

19. Постройте график функции корня куба, определяемый как f (x) = x3, путем нанесения точек, найденных в предыдущих двух упражнениях.

20. Определите область и диапазон функции кубического корня.

Найдите упорядоченную пару, которая задает точку P .

Часть B: кусочные функции

Постройте график кусочных функций.

25. g (x) = {2, если x <0x, если x≥0

26. g (x) = {x2, если x <03, если x≥0

27. h (x) = {xifx <0xifx≥0

28. h (x) = {| x |, если x <0x3ifx≥0

29. f (x) = {| x |, если x <24ifx≥2

30. f (x) = {xifx <1xifx≥1

31. g (x) = {x2ifx≤ − 1xifx> −1

32. g (x) = {- 3ifx≤ − 1x3ifx> −1

33. h (x) = {0ifx≤01xifx> 0

34. h (x) = {1xifx <0x2ifx≥0

35. f (x) = {x2ifx <0xif0≤x <2−2ifx≥2

36. f (x) = {xifx <−1x3if − 1≤x <13ifx≥1

37. g (x) = {5ifx <−2x2if − 2≤x <2xifx≥2

38. g (x) = {xifx <−3 | x | если − 3≤x <1xifx≥1

39. h (x) = {1xifx <0x2if0≤x <24ifx≥2

40. h (x) = {0ifx <0x3if0 2

Оценить.

45. f (x) = {x2ifx≤0x + 2ifx> 0

    Найдите f (−5), f (0) и f (3).

46. f (x) = {x3ifx <02x − 1ifx≥0

    Найдите f (−3), f (0) и f (2).

47. g (x) = {5x − 2ifx <1xifx≥1

    Найдите g (−1), g (1) и g (4).

48. g (x) = {x3ifx≤ − 2 | x | ifx> −2

    Найдите g (−3), g (−2) и g (−1).

49. h (x) = {- 5ifx <02x − 3if0≤x <2x2ifx≥2

    Найдите h (−2), h (0) и h (4).

50. h (x) = {- 3xifx≤0x3if0 4

    Найдите h (−5), h (4) и h (25).

51. f (x) = [[x − 0,5]]

    Найдите f (−2), f (0) и f (3).

52. f (x) = [[2x]] + 1

    Найдите f (−1.2), f (0.4) и f (2.6).

Оцените по графику f .

53. Найдите f (−4), f (−2) и f (0).

54. Найдите f (−3), f (0) и f (1).

55. Найдите f (0), f (2) и f (4).

56. Найдите f (−5), f (−2) и f (2).

57. Найдите f (−3), f (−2) и f (2).

58. Найдите f (−3), f (0) и f (4).

59. Найдите f (−2), f (0) и f (2).

60. Найдите f (−3), f (1) и f (2).

61. Стоимость автомобиля в долларах выражается через количество лет, прошедших с момента приобретения нового автомобиля в 1975 году:

    1. Определите стоимость автомобиля в 1980 году.
    2. В каком году автомобиль оценивается в 9 000 долларов?

62. Стоимость единицы нестандартных ламп в долларах зависит от количества произведенных единиц в соответствии со следующим графиком:

    1. Какова стоимость единицы, если производится 250 нестандартных ламп?
    2. Какой уровень производства минимизирует стоимость единицы?

63. Продавец автомобилей получает комиссию на основе общего объема продаж каждый месяц x в соответствии с функцией:
    г (х) = {0.03x, если 0≤x <20,0000,05x, если 20,000≤x <50,0000,07x, если x≥50,000

    1. Если общий объем продаж продавца за месяц составляет 35 500 долларов, какова его комиссия в соответствии с функцией?
    2. Сколько ей потребуется для перехода на следующий уровень в структуре комиссионных?

64. Аренда лодки стоит 32 доллара за час, а каждый дополнительный час или неполный час стоит 8 долларов.Постройте график стоимости аренды лодки и определите стоимость аренды лодки на 412 часов.

Часть C: Обсуждение

65. Объясните начинающему изучающему алгебру, что такое асимптота.

66. Изучите и обсудите разницу между функциями пола и потолка.Какие приложения вы можете найти, которые используют эти функции?

ответы

7. f (−10) = — 10, f (0) = 0, f (a) = a

9. f (−10) = — 1000, f (0) = 0, f (a) = a3

13. f (−10) = 5, f (0) = 5, f (a) = 5

15. Домен: ℝ; диапазон: {5}

17. {(−8, −2), (−1, −1), (0,0), (1,1), (8,2)}

45. f (−5) = 25, f (0) = 0 и f (3) = 5

47. г (-1) = — 7, г (1) = 1 и г (4) = 2

49. ч (-2) = — 5, ч (0) = — 3 и ч (4) = 16

51. f (−2) = — 3, f (0) = — 1 и f (3) = 2

53. f (−4) = 1, f (−2) = 1 и f (0) = 0

55. f (0) = 0, f (2) = 8 и f (4) = 0

57. f (−3) = 5, f (−2) = 4 и f (2) = 2

59. f (−2) = — 1, f (0) = 0 и f (2) = 1

Графические кубические функции — объяснения и примеры

Графические кубические функции дают двумерную модель функций, где x возведен в третью степень.

Построение графиков кубических функций в некотором смысле похоже на построение графиков квадратичных функций. В частности, мы можем использовать базовую форму кубического графа, чтобы помочь нам создавать модели более сложных кубических функций.

Перед изучением графических кубических функций полезно ознакомиться с преобразованиями графов, координатной геометрией и графическими квадратичными функциями. Для построения графиков кубических функций также потребуется приличное знание алгебры и алгебраических манипуляций с уравнениями.

В этом разделе мы рассмотрим:

• Как построить график кубической функции

Как построить график кубической функции

Перед построением графика кубической функции важно ознакомиться с родительской функцией , у = х ³ .

Существуют вычислительные методы, позволяющие легко находить локальные экстремумы. В частности, мы можем найти производную кубической функции, которая будет квадратичной функцией.Затем мы можем использовать ключевые точки этой функции, чтобы выяснить, где находятся ключевые точки кубической функции. Однако это будет рассмотрено более подробно в разделах по исчислению, посвященных использованию производной.

Здесь мы сосредоточимся на том, как мы можем использовать преобразования графиков, чтобы найти форму и ключевые точки кубической функции.

Ключевые моменты родительской функции

Родительская функция, x ³ , проходит через начало координат. Он имеет форму, которая выглядит как две половинки парабол, которые указывают в противоположных направлениях, склеенных вместе.

Вершина

Вершина кубической функции — это точка, в которой функция меняет направление. В родительской функции эта точка является началом координат.

Чтобы сдвинуть эту вершину влево или вправо, мы можем прибавлять или вычитать числа в кубической части функции. Например, функция (x-1) ³ — это кубическая функция, сдвинутая на одну единицу вправо. В этом случае вершина находится в точке (1, 0).

Чтобы сдвинуть эту функцию вверх или вниз, мы можем добавлять или вычитать числа после кубической части функции.Например, функция x ³ +1 — это кубическая функция, сдвинутая на одну единицу вверх. Его вершина равна (0, 1).

Reflection

Как и раньше, если мы умножим кубовую функцию на число a, мы можем изменить растяжение графика. Например, 0,5x ³ сжимает функцию, а 2x ³ расширяет ее.

Если это число, a, отрицательное, график переворачивается вверх ногами, как показано.

Отсечка по оси Y

Как и в случае с квадратичными функциями и линейными функциями, точка пересечения по оси Y — это точка, в которой x = 0.Чтобы найти его, вы просто находите точку f (0).

В родительской функции точка пересечения по оси Y и вершина — это одно и то же. В функции (x-1) ³ точка пересечения по оси y равна (0-1) ³ = — (- 1) ³ = -1.

Х-перехватывает.

В отличие от квадратичных функций, кубические функции всегда будут иметь по крайней мере одно действительное решение. Их может быть до трех. Например, функция x (x-1) (x + 1) упрощается до x ³ -x. Однако из начальной формы функции мы можем видеть, что эта функция будет равна 0, когда x = 0, x = 1 или x = -1.

Есть формула для решений кубического уравнения, но она намного сложнее, чем соответствующая для квадратичных:

³ √ _{(( ^-b³ / 27a³ + ^bc / 6a² — ^d / 2a² ) + √ (( ^-b³ / 27a³ + ^bc / 6a² — ^d / 2a²}

94) ² _3a — ^b² / _9a² ) ³)) + ³ √ _{(( ^-b³ / 27a³ + / 6a² ^bc / 6a² 9079 d3 ) + √ (( ^-b³ / 27a³ + ^bc / 6a² — ^d / 2a² ) ²- ( ^c / 3a —}

26 b²904 / _3a —

26 b²904 ) ³)) — ^b / _3a .

Это довольно длинная формула, поэтому многие люди полагаются на калькуляторы, чтобы найти нули кубических функций, которые нелегко разложить на множители.

Примеры

В этом разделе будет рассмотрено, как построить графики простых примеров кубических функций без использования производных.

Пример 1

Постройте график функции -x ³ .

Пример 1 Решение

Единственное отличие данной функции от родительской — наличие знака минус.Если мы умножим кубическую функцию на отрицательное число, она отобразит функцию по оси абсцисс.

Таким образом, функция -x ³ — это просто функция x ³ , отраженная по оси x. Его вершина по-прежнему (0, 0). Эта точка также является единственным пересечением по оси x или y в функции.

Пример 2

Постройте график функции (x-2) ³ -4.

Пример 2 Решение

Снова воспользуемся родительской функцией x ³ , чтобы найти график данной функции.

В этом случае нам нужно помнить, что все числа, добавленные к x-члену функции, представляют собой горизонтальный сдвиг, в то время как все числа, добавленные к функции в целом, представляют вертикальный сдвиг.

В данной функции мы вычитаем 2 из x, что представляет собой сдвиг вершины на две единицы вправо. Это может показаться нелогичным, потому что, как правило, отрицательные числа представляют движение влево, а положительные числа — движение вправо. Однако при преобразованиях графа все преобразования, выполняемые непосредственно в x, принимают ожидаемое противоположное направление.

Мы также вычитаем 4 из функции в целом. Это означает, что мы сдвинем вершину на четыре единицы вниз.

За исключением этих двух смен, функция очень похожа на родительскую функцию. Вершина будет в точке (2, -4).

Новое пересечение оси Y будет:

(0-2) ³ -4

-8-4

Таким образом, точка будет (0, -12).

Мы можем решить это уравнение относительно x, чтобы найти точку пересечения x:

0 = (x-2) ³ -4

4 = (x-2) ³ .

На этом этапе мы должны извлечь кубический корень из обеих частей. Это дает нам:

∛ (4) = x-2

∛ (4) + 2 = x.

Десятичное приближение этого числа составляет 3,59, поэтому пересечение по оси x приблизительно равно (3,59, 0).

Таким образом, мы построим график функции, как показано ниже.

Пример 3

Упростим функцию x (x-2) (x + 2). Затем найдите ключевые моменты этой функции.

Пример 3 Решение

В текущей форме легко найти точки пересечения по оси x и y этой функции.

Установка x = 0 дает нам 0 (-2) (2) = 0. Таким образом, точка пересечения по оси Y равна (0, 0). Следовательно, это также будет x-перехват.

Однако в этом случае фактически имеется более одного пересечения по оси x. Если x = 2, средний член (x-2) будет равен 0, а функция будет равна 0. Аналогично, если x = -2, последний член будет равен 0, и, следовательно, функция будет равна 0.

Таким образом, мы имеем три точки пересечения по оси x: (0, 0), (-2, 0) и (2, 0).

Расширение функции дает нам x ³ -4x.Поскольку мы ничего не добавляем непосредственно к кубу x или к самой функции, вершиной является точка (0, 0).

Следовательно, функция соответствует приведенному ниже графику.

Пример 4

Упростите и изобразите функцию x (x-1) (x + 3) +2. Затем найдите ключевые моменты этой функции.

Пример 4 Решение

Предположим на мгновение, что эта функция не содержит 2 в конце. X-точки пересечения функции x (x-1) (x + 3) равны 0, 1 и -3, потому что, если x равен любому из этих чисел, вся функция будет равна 0.Y-точка пересечения такой функции равна 0, потому что, когда x = 0, y = 0.

Расширение функции x (x-1) (x + 3) дает нам x ³ + 2x ² -3x. Опять же, поскольку ничего не добавляется напрямую к x и в конце функции ничего нет, вершиной этой функции является (0, 0).

Теперь давайте добавим 2 в конец и подумаем, что это значит.

Фактически, мы просто сдвигаем функцию x (x-1) (x + 3) на две единицы вверх. Мы можем добавить 2 ко всем значениям y в наших перехватах.

То есть теперь мы знаем точки (0, 2), (1, 2) и (-3, 2). Первая точка (0, 2) — точка пересечения по оси y.

Отсечка по оси x этой функции более сложна. Для построения графиков мы можем просто аппроксимировать это, сдвинув график функции x (x-1) (x + 3) на две единицы вверх, как показано.

Пример 5

Определите алгебраическое выражение для показанной кубической функции. Обязательно укажите все ключевые моменты.

Пример 5 Решение

Форма этой функции очень похожа на функцию и x ³ .Мы можем увидеть, является ли это просто функцией в кубе x со смещенной вершиной, определив вершину и проверив некоторые точки.

Похоже, вершина находится в точке (1, 5). Мы также можем видеть точки (0, 4), которые являются пересечением по оси Y, и (2, 6).

Если функция действительно является просто сдвигом функции x ³ , расположение вершины подразумевает, что ее алгебраическое представление (x-1) ³ +5.

Если x = 0, эта функция равна -1 + 5 = 4. Точка (0, 4) будет на этом графике.

Аналогично, если x = 2, мы получаем 1 + 5 = 6. Опять же, точка (2, 6) будет на этом графике.

Таким образом, получается функция (x-1) ³ +5.

Практические задачи

1. Постройте график функции (x-1) ³
2. Постройте график функции — (x-1) ³
3. Постройте график функции (x + 1) (x-1) (x + 2)
4. Приблизительный график функции (x-2) (x + 2) (x-1) +1
5. Какое алгебраическое выражение для показанной функции?

Практика Решения проблем

5. f (x) = — (x + 2) ³ -1

Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урок

Графические рациональные функции

Рациональные функции имеют вид

y

знак равно

ж

Икс

, где

ж

Икс

это

рациональное выражение

.

Вот некоторые из примеров рациональных функций:

y

знак равно

1

Икс

,

y

знак равно

Икс

Икс

2

—

1

,

y

знак равно

3

Икс

4

+

2

Икс

+

5

Графики рациональных функций нарисовать сложно.Чтобы нарисовать график рациональной функции, вы можете начать с поиска

асимптоты

и перехватывает.

Этапы построения графиков рациональных функций:

1. Найдите асимптоты рациональной функции, если таковые имеются.
2. Нарисуйте асимптоты пунктирными линиями.
3. Найти

   Икс

   -перехват

   (песок

   y

   -перехват

   рациональной функции, если таковая имеется.

4. Найдите значения

   y

   для нескольких разных значений

   Икс

   .

5. Постройте точки и нарисуйте плавную кривую, чтобы соединить точки. Убедитесь, что график не пересекает вертикальные асимптоты.

Пример:

Постройте график рациональной функции

y

знак равно

4

Икс

+

1

2

Икс

+

1

Вертикальная асимптота рациональной функции равна

Икс

-значение, где знаменатель функции равен нулю.Приравняйте знаменатель к нулю и найдите значение

Икс

.

2

Икс

+

1

знак равно

0

Икс

знак равно

—

1

2

Вертикальная асимптота рациональной функции равна

Икс

знак равно

—

0,5

.

Эта функция имеет

Икс

-перехват в

—

1

4

,

0

а также

y

-перехват в

0

,

1

.Найдите больше точек на функции и нанесите график функции.

Иногда перед построением графика данную рациональную функцию необходимо упростить. В этом случае, если есть какие-либо исключенные значения (где функция не определена), кроме асимптот, то есть дополнительный шаг, связанный с построением графика функции.

Чтобы представить неопределенную функцию, убедитесь, что функция не является непрерывной гладкой кривой при исключенном значении. Это исключенное значение обычно называют дырой в рациональной функции.

Например, рациональная функция

y

знак равно

4

Икс

2

+

Икс

2

Икс

2

+

Икс

есть дыра в

Икс

знак равно

0

.

Обратите внимание, что графики рациональных функций удовлетворяют

тест вертикальной линии

.

Графические полиномиальные функции

Графические полиномиальные функции

Полиномиальные функции вида f ( x ) = x ⁿ (где n — положительное целое число) образуют один из двух основных графиков, показанных на рисунке 1.

Рисунок 1. Графики многочленов

Графики многочленов.

Каждый график имеет начало координат в качестве точки пересечения x и точки пересечения y . Каждый граф содержит упорядоченную пару (1,1). Если полиномиальную функцию можно разложить на множители, можно сразу же найти ее перехват x . Затем изучается, что происходит между этими перехватами слева от крайнего левого перехвата и справа от крайнего правого перехвата.

Пример 1

График f ( x ) = x ⁴ — 10 x ² + 9.

Нули этой функции — –1, 1, –3 и 3. То есть –1, 1, –3 и 3 являются перехватами x этой функции.

Если x <–3, скажем, x = –4, тогда

Итак, для x <–3, f ( x )> 0.

Если –1 < x <1, скажем, x = 0, тогда

Итак, для –1 < x <1, f ( x )> 0.

Аналогичным образом видно, что

• при x > 3, f ( x )> 0

• при –3 < x <–1, f ( x ) <0

• , когда 1 < x <3, f ( x ) <0

Затем на графике есть точки в заштрихованных областях, как показано на рисунке 2.

Перехват y этой функции находится путем нахождения f (0).

f (0) = 9

, поэтому (0, 9) — это точка на графике. Чтобы завершить график, найдите и нанесите на карту несколько точек. Вычислите f ( x ) для нескольких замен целых чисел; затем соедините эти точки, чтобы сформировать плавную кривую (см. рисунок 3).

Обратите внимание, что f ( x ) = x ⁴ -10 x ² + 9 имеет ведущий член с четной степенью. Крайняя правая и крайняя левая части графика будут идти в одном направлении.Поскольку ведущий коэффициент положителен, обе стороны поднимутся вверх. Если бы ведущий коэффициент был отрицательным, обе стороны пошли бы вниз.

Рис. 2. График f (x).

Рисунок 3. Нули функции.

Пример 2

График f ( x ) = x ³ -19 x + 30.

f ( x ) = x ³ -19 x + 30 можно разложить на множители с помощью теоремы о рациональном нуле:

f ( x ) теперь можно записать в факторизованной форме и дополнительно разложить на множители.

= ( x — 2) ( x — 3) ( x + 5)

Нули этой функции — 2, 3 и –5 (см. Рисунок 4).

Обратите внимание, что f ( x ) = x ³ -19 x + 30 имеет главный член, который имеет положительный коэффициент и нечетную экспоненту. Эта функция всегда будет идти вверх в крайнее правое положение и вниз в крайнее левое положение. Если бы ведущий коэффициент был отрицательным с нечетной экспонентой, график пошел бы вверх в крайнее левое положение и вниз в крайнее правое положение.

Рисунок 4. Кубическое уравнение.

Графические функции абсолютных значений — ChiliMath

Этот урок посвящен построению графика функции абсолютного значения, когда выражение внутри символа абсолютного значения является линейным. Он является линейным, если переменная «x» имеет степень 1. График функции абсолютного значения имеет форму «V» или перевернутого «V».

Функция абсолютного значения в форме уравнения

Общая форма линейной функции абсолютного значения:

• , где вершина (нижняя или верхняя точка) расположена в

делит график на две равные половины

КЛЮЧЕВЫЕ МОМЕНТЫ:

• Конкретный подход, который мы собираемся использовать, состоит в том, чтобы найти «правильное количество точек», которые можно нанести на ось xy, чтобы у нас было хорошее приближение того, как выглядит график функции абсолютного значения.

• Не попадайтесь в общую ловушку, чтобы всегда использовать x = 0 в качестве среднего значения координат x. Иногда это может сработать, но эта идея не так надежна.

• Я предлагаю использовать x-координату вершины \ left ({{{- b} \ over m}, \, c} \ right), которая равна x = {{- b} \ over m} как среднее значение всех значений x в таблице.

• Другими словами, как только вы определили среднее значение для x, выберите любые произвольные значения x слева и справа от него, если они правильно разнесены.

Опять же, лучший способ проиллюстрировать эту простую идею — использовать примеры!

Примеры построения графиков функций абсолютных значений

Пример 1: Изобразите функцию абсолютного значения ниже, используя таблицу значений.

Это основная форма функции абсолютного значения. Если вы видите, что единственное выражение внутри символа абсолютного значения — это просто «x», предположим, что вершина графа появится, когда x = 0.

Или, если вы хотите использовать приведенную выше формулу для поиска вершины, перепишите данную функцию в стандартной форме, чтобы вы могли идентифицировать значения m, b и c.

Вершина рассчитывается как

Поскольку x = 0, это становится центральным значением всех x. Теперь мы можем выбрать числа слева и справа от нуля. Я бы посоветовал использовать равное количество чисел с одинаковым приращением.

Выберите -3, -2, -1 слева от нуля и +1, +2, +3 справа. Вычислить все значения x в функцию y = \ left | х \ право | чтобы получить соответствующие значения y.

Обратите внимание, что на графике есть нижняя точка, определяемая средним значением x, которое является координатой x самой вершины, т.е.е. (0,0).

Пример 2: Постройте график функции абсолютного значения ниже, используя таблицу значений.

Первый шаг — найти координату x вершины, которая будет служить центральной точкой в ​​таблице значений x.

Перепишите y = \ left | {x — 2} \ right | \, \, \, поскольку y = \ left | {1x + \ left ({- 2} \ right)} \ right | + 0, где m = 1, b = -2 и c = 0. Мы вычисляем вершину как…

Координата x вершины будет центральным значением всех x в таблице.Мы сгенерировали остальную часть x, найдя три числа слева и справа от среднего значения 2 с приращением 1. Вы можете использовать приращение 2, и поверьте мне, график будет таким же.

Постройте точки на плоскости xy и соедините точки прямой кромкой. Если вы все правильно поняли, у вас должно быть что-то похожее ниже. Как видите, нижняя точка графика — это вершина, расположенная в точке (2,0).

Пример 3: Постройте график функции абсолютного значения ниже, используя таблицу значений.

Я надеюсь, вы начнете понимать, что первый шаг — всегда выражать данную функцию абсолютного значения в стандартной форме. Это позволяет нам определить правильные значения m, b и c, которые мы будем использовать для замены в формулу.

Понятно, что требуются значения m = 2, b = 6 и c = -4.

Затем вычисляем вершину следующим образом;

Наша таблица значений будет иметь центральное значение x = — 3. Сгенерируйте 3 числа слева и справа от x = — 3 с шагом 1.Затем вычислите каждое значение x в функции y = \ left | {\, ​​2x + 6 \,} \ right | — 4 \, чтобы получить соответствующие значения y в таблице.

Ваш стол должен выглядеть примерно так

Постройте точки на декартовой плоскости и соедините их с помощью прямой кромки, например линейки.

Пример 4: Изобразите функцию абсолютного значения ниже, используя таблицу значений.

Это пример функции абсолютного значения, график которой представляет собой перевернутую букву «V».Это происходит потому, что коэффициент символа абсолютного значения отрицательный, то есть — 1.

Давайте перепишем это в стандартном виде.

Это означает, что m = 1, b = -3 и c = -2.

Решение вершины функции,

Таблица значений будет иметь центральное значение x = 3.

Нанесение точек на ось xy,

Практика с рабочими листами

Возможно, вас заинтересует:

Решение уравнений абсолютных значений
Решение неравенств абсолютных значений

графиков: типы, примеры и функции — математический класс [видео 2021 года]

Линейные графики

Линейные графики создаются линейными функциями этой формы:

Линейные функции имеют переменные первой степени и две константы, определяющие положение графика.Эти функции всегда выстраиваются в линию. Константа м определяет наклон линии вниз или вверх. Если он положительный, линия будет наклоняться вверх, а если отрицательная, то линия будет наклоняться вниз.

Графики мощности

Графики мощности создаются функциями только с одним членом и степенью. Мощность может быть положительной, отрицательной или даже дробной.

Графики, создаваемые этими функциями, зависят от мощности.Если степень положительная, график меняет направление в зависимости от числа степеней. Если степень четная, у графа оба ребра будут идти в одном направлении. Если степень нечетная, у графа одно ребро поднимается вверх, а другое опускается. Если мощность отрицательная, она будет состоять из двух частей. Каждая часть будет избегать строки x = 0, потому что это приведет к делению на ноль. Когда степень является дробной, график идет вверх при x = 0, а затем, когда значение y положительное, он начинает изгибаться в направлении оси x.

Квадратичные графики

Квадратичные — это функции, в которых наивысшая степень равна двум.

Они построены на параболах. Константы a, , b, и c определяют положение параболы на графике. a сообщает вам, будет ли парабола открываться вверх или вниз.Если положительный, он откроется и улыбнется. Если он отрицательный, он откроется и нахмурится.

Полиномиальные графы

Полиномы — это более общая функция, чем квадратичная, и позволяют использовать более высокие степени, которые по-прежнему являются целыми числами.

Эти функции создают более интересные графики с большим количеством кривых.Наивысшая степень функции показывает, сколько кривых или подъемов и падений может иметь график.

Rational Graphs

Графики Rational взяты из функций, которые являются делением двух многочленов. Когда они будут построены, вы увидите, что график разделен на части. Области, которые избегает график, — это места, где происходит деление на ноль.

Экспоненциальные графики

Экспоненты — это степень, в которой переменная x является степенью.

Когда b больше единицы, вы увидите экспоненциальный рост. Если он меньше единицы, но больше нуля, вы увидите экспоненциальный спад. Рост — это когда график поднимается вправо. Распад — это когда он падает вправо.

Логарифмические графики

Логарифмические функции включают построение логарифмов.

Эти графики похожи на экспоненты, за исключением того, что они растут раньше и растут медленнее.

Синусоидальный

Синусоидальный график использует функции, внутри которых есть синусоидальная функция.

На графике отображается волновая картина.

Краткое содержание урока

Различные типы графиков зависят от типа отображаемой функции. Восемь наиболее часто используемых графиков: линейные, степенные, квадратичные, полиномиальные, рациональные, экспоненциальные, логарифмические и синусоидальные. У каждого есть уникальный график, который легко визуально отличить от остальных.

Вы можете увидеть другие типы графиков, которых здесь нет. Это потому, что существует множество различных типов функций, и чем больше вы продолжаете изучать математику, тем больше вы будете подвергаться воздействию.То, что вы узнали в этом уроке, является хорошей начальной основой для типов графиков, которые вы увидите.

Результат обучения

После того, как вы закончите этот урок, вы сможете назвать и определить восемь наиболее часто используемых графиков.

Примеры графических тригонометрических функций

.