Формулы для геометрической и арифметической прогрессии: 404 — Страница не найдена

Содержание

Арифметическая прогрессия – Определение, Примеры, Формулы 9 класс

Определение числовой последовательности

Числовая последовательность — это множество чисел, каждому из которых можно присвоить уникальный номер.

Последовательности можно задавать разными способами:

 

  1. Словесно — когда правило последовательности объясняется словами:

    «Последовательность простых чисел: 4, 6, 10, 19, 21, 33…»

  2. Аналитически — когда указана формула ее n-го члена: yn = f(n).

    Последовательность yn = C называют постоянной или стационарной.

  3. Рекуррентно — когда указывается правило, которое помогает вычислить n-й член последовательности, если известны её предыдущие члены.

    Арифметическая прогрессия — (an), задана таким соотношением:
    a1 = a, an+1= an + d.

    Последовательность Фибоначчи — когда каждое следующее число равно сумме двух предыдущих чисел: an+1 = an + an-1.

    Пример: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55…

  4. Графически — когда график последовательности состоит из точек с абсциссами
    1, 2, 3, 4…

Так как алгебраическая числовая последовательность — это частный случай числовой функции, то ряд свойств функций рассматриваются и для последовательностей.

Свойства числовых последовательностей:

 

  1. Последовательность {yn} называют возрастающей, если каждый ее член кроме первого больше предыдущего:

    y1 < y2 < y3 < … < yn < yn+1 < …

  2. Последовательность {yn} называют убывающей, если каждый ее член кроме первого меньше предыдущего:

    y1 > y2 > y3 > … > yn > yn+1 > …

    Возрастающие и убывающие последовательности называют монотонными последовательностями.

  3. Последовательность можно назвать периодической, если существует такое натуральное число T, что начиная с некоторого N, выполняется равенство: yn = yn+T. Число T — длина периода.

 

 

Запишем числа, которые первые пришли в голову: 7, 19, 0, -1, 2, -11, 0… Сколько бы чисел не написали, всегда можно сказать, какое из них первое, какое — второе и так до последнего. То есть мы можем их пронумеровать.

Пример числовой последовательности выглядит так:

В такой математической последовательности каждый номер соответствует одному числу. Это значит, что в последовательности не может быть двух первых чисел и т.д. Первое число (как и любое другое) — всегда одно.

N-ный член алгебраической последовательности — это число с порядковым номером n.

Всю последовательность можно обозначить любой буквой латинского алфавита, например, a. Каждый член этой последовательности — той же буквой с индексом, который равен номеру этого члена: a1, a2,…, a10…, an.

N-ый член последовательности можно задать формулой. Например:

  • Формула an = 3n — 5 задает последовательность: −2, 1, 4, 7, 10…
  • Формула an = 1 : (n + 2) задает последовательность: 13, 14, 15, 16…

Определение арифметической прогрессии

Так как числовая последовательность — это частный случай функции, которая определена на множестве натуральных чисел, арифметическую прогрессию можно назвать частным случаем числовой последовательности.

Рассмотрим основные определения и как найти арифметическую прогрессию.

Арифметическая прогрессия — это числовая последовательность a1, a2,…, an,… для которой для каждого натурального n выполняется равенство:

an+1= an + d, где d — это разность арифметической прогрессии.

Описать словами эту формулу можно так: каждый член арифметической прогрессии равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом d.

Разность между последующим и предыдущим членами, то есть разность арифметической прогрессии можно найти по формуле:

Если известны первый член a1 и n-ый член прогрессии, разность можно найти так:

Арифметическая прогрессия бывает трех видов:

 

  1. Возрастающая — арифметическая прогрессия, у которой положительная разность, то есть d > 0.

    Пример: последовательность чисел 11, 14, 17, 20, 23… — это возрастающая арифметическая прогрессия, так как ее разность d = 3 > 0.

  2. Убывающая — арифметическая прогрессия, у которой отрицательная разность, то есть d < 0.

    Пример: последовательность чисел 50, 48, 46, 44, 43… — это убывающая арифметическая прогрессия, так как ее разность d = –2 < 0.

  3. Стационарная — арифметическая прогрессия, у которой разность равна нулю, то есть d = 0.

    Пример: последовательность чисел 23, 23, 23, 23, 23… — это стационарная арифметическая прогрессия, так как ее разность d = 0.

Свойство арифметической прогрессии

Переведем с языка формул на русский: каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому двух соседних с ним членов. Что как раз объясняет название «арифметическая» прогрессия.

Рассмотрим пример арифметической прогрессии.

Дано: арифметическая прогрессия (an), где a1 = 0 и d = 2.

Найти: первые пять членов прогрессии и десятый член прогрессии.

Решение арифметической прогрессии:

 

  1. Чтобы найти последующий член прогрессии, нужно к предыдущему прибавить разность:

    a2 = a1 + d = 0 + 2 = 2;

    a3 = a2 + d = 2 + 2 = 4;

    a4 = a3 + d = 4 + 2 = 6;

    a5 = a4 + d = 6 + 2 = 8.

  2. Используем общую формулу an = a1 + d * (n — 1).

    По условиям задачи n = 10, подставляем в формулу:

    a10 = a1 + 2 * (10 — 1) = 0 + 2⋅9 = 18.

Формулы арифметической прогрессии

В 9 классе проходят все формулы арифметической прогрессии. Давайте узнаем, какими способами ее можно задать:

 

  1. Рекуррентной формулой:
  2. Формулой n-го члена: an = a1+ d · (n — 1).
  3. Формулой вида an = kn + b, где k и b — числа, n — число членов последовательности.

Сумма первых n членов арифметической прогрессии (аn) обозначается Sn:

Формулы нахождения суммы n членов арифметической прогрессии:

Чтобы быстрее запомнить формулы можно использовать такую табличку с основными определениями:

Формула n-го члена арифметической прогрессии

Из определения арифметической прогрессии следует, что равенство истинно:

Поэтому:

и т.д.

Значит,

Переведем с языка формул на русский: если мы знаем первый член и разность арифметической прогрессии, то можем найти любой ее член.

Арифметическую прогрессию можно назвать заданной, если известен ее первый член и разность.

Формулу an = a1 + d * (n — 1) называют формулой n-го члена арифметической прогрессии.

Доказательство формулы n-го члена арифметической прогрессии

Формулу n-го члена арифметической прогрессии можно доказать при помощи метода математической индукции.

Пусть дано:

Нужно доказать:

Как доказываем:

 

  1. Формула верна при n = 1.

    Действительно,

  2. Предположим, что формула верна при n = k, то есть
  3. Докажем, что формула верна и при n = k + 1, то есть
  4. Из условия и предположения получаем:

    Согласно принципу математической индукции формула верна для любого натурального числа.

Геометрическая прогрессия

Геометрическая прогрессия — это последовательность (bn), в которой каждый последующий член можно найти, если предыдущий член умножить на одно и то же число q.

Если последовательность (bn) является геометрической прогрессией, то для любого натурального значения n справедлива зависимость:

bn+1 = bn * q, где q — знаменатель геометрической прогрессии

Если в геометрической прогрессии (bn) известен первый член b1 и знаменатель q, то можно найти любой член прогрессии:

  • b2 = b1 * q;
  • b3 = b2 * q = b1 * q * q = b1 * q²;
  • b4 = b1 * q³;
  • и т. д.

Общий член геометрической прогрессии bn можно вычислить при помощи формулы:

bn = b1 * qn−1, где n — порядковый номер члена прогрессии, b1 — первый член последовательности, q — знаменатель.

Пример 1. 2, 6, 18, 54,… — геометрическая прогрессия b = 2, q = 3.

Пример 2. 3, -3, 3, -3,… — геометрическая прогрессия b = 3, q = -1.

Пример 3. 7, 7, 7, 7,… — геометрическая прогрессия b = 7, q = 1.

Формулы прогрессий. Арифметическая прогрессия. Геометрическая прогрессия

Понятие числовой последовательности

Введем два определения числовой последовательности:

Определение 1

Числовая функция, у которой область определения совпадает с натуральным рядом чисел, будет называться числовой последовательностью.

Определение 2

Отображения натурального ряда чисел на множество действительных чисел будет называться числовой последовательностью: $f:N→R$

Числовая последовательность обозначается следующим образом:

${p_k }={p_1,p_2,…,p_k,…}$

где $p_1,p_2,…,p_k,…$ — действительные числа.

Есть три различных способа для задания числовых последовательностей. Опишем их.

  • Аналитический.

    В этом способе последовательность задается в виде формулы, с помощью которой можно найти любой член этой последовательности, подставляя в нее вместо переменной натуральные числа.

  • Рекуррентный.

    Данный способ задания последовательности заключается в следующем: Дается первый (или несколько первых) член данной последовательности, а затем формула, которая связывает любой член ее с предыдущим членом или предыдущими членами.

  • Словесный.

    При этом способе числовая последовательность просто описывается без введения каких-либо формул.

Готовые работы на аналогичную тему

Двумя частными случаями числовых последовательностей являются арифметическая и геометрическая прогрессии.

Арифметическая прогрессия

Определение 3

Арифметической прогрессией называется последовательность, которая словесно описывается следующим образом: Задано первое число. Каждое же последующее определяется как сумма предыдущего с наперед заданным конкретным числом $d$.

В этом определении данное наперед заданное число будем называть разностью арифметической прогрессии.

Очевидно, что рекуррентно эту последовательность записываем следующим образом:

$p_1,p_{k+1}=p_k+d.$

Замечание 1

Отметим, что частным случаем арифметической прогрессии является постоянная прогрессия, при которой разность прогрессии равняется нулю.

Для обозначения арифметической прогрессии в ее начале изображается следующий символ:

Из рекуррентного соотношения для данной последовательности легко выводится формула для нахождения любого члена через первый:

$p_k=p_1+(k-1)d$

Сумма $k$ первых членов можно найти по формуле

$S_k=\frac{(p_1+p_k)k}{2}$ или $S_k=\frac{(2p_1+(k-1)d)k}{2} $

У арифметической прогрессии есть так называемое характеристическое свойство, которое определяется формулой:

$p_k=\frac{p_{k-1}+p_{k+1}}{2}$

Геометрическая прогрессия

Определение 4

Геометрической прогрессией называется последовательность, которая словесно описывается следующим образом: Задано первое число, не равное нулю. 2=p_{k-1} p_{k+1}$

Примеры задач

Пример 1

Найти сумму $5$ членов прогрессии, описывающей четные положительные числа.

Решение.

Последовательность положительных четных чисел имеет вид

$2,4,6,8,10,…$

Она является арифметической.

Очевидно, что разность данной арифметической прогрессии равняется

$d=4-2=2$

Тогда по второй формуле суммы арифметической прогрессии, получим:

$S_5=\frac{2\cdot 2+(5-1)\cdot 2}{2\cdot 5}=30$

Ответ: $30$.

Пример 2

Найти сумму $5$ членов прогрессии, описывающей степени натуральных чисел тройки.

Решение.

Последовательность таких чисел имеет вид

$3,9,27,81,…$

Она является геометрической.

Очевидно, что знаменатель данной геометрической прогрессии равняется

$q=\frac{9}{3}=3$

Тогда по второй формуле суммы арифметической прогрессии, получим:

$S_5=\frac{3\cdot (3^5-1)}{3-1}=363$

Ответ: $363$.

Геометрическая прогрессия (ЕГЭ — 2021)

Многие знают, что шахматная игра была придумана в Индии. Когда индусский царь познакомился с нею, он был восхищен ее остроумием и разнообразием возможных в ней положений.

Узнав, что она изобретена одним из его подданных, царь решил лично наградить его. Он вызвал изобретателя к себе и приказал просить у него все, что он пожелает, пообещав исполнить даже самое искусное желание.

Сета попросил время на размышления, а когда на другой день Сета явился к царю, он удивил царя беспримерной скромностью своей просьбы. Он попросил выдать за первую клетку шахматной доски \( \displaystyle 1\) пшеничное зерно, за вторую \( \displaystyle 2\) пшеничных зерна, за третью \( \displaystyle -4\), за четвертую \( \displaystyle -8\) и т.д.

Царь разгневался, и прогнал Сета, сказав, что просьба слуги недостойна царской щедрости, но пообещал, что слуга получит свои зерна за все \( \displaystyle 64\) клетки доски.

А теперь вопрос: используя формулу суммы членов геометрической прогрессии, посчитай, сколько зерен должен получить Сета?

Начнем рассуждать. {64}}=1024\cdot 1024\cdot 1024\cdot 1024\cdot 1024\cdot 1024\cdot 64\)

Конечно, если ты хочешь, то можешь взять калькулятор и посчитать, что за число в итоге у тебя получится, а если нет, придется поверить мне на слово: итоговым значением выражения будет \( \displaystyle 18~\ 446~\ 744~\ 073~\ 709~\ 551~\ 615\).

То есть:

\( \displaystyle 18\) квинтильонов \( \displaystyle 446\) квадрильонов \( \displaystyle 744\) триллиона \( \displaystyle 73\) миллиарда \( \displaystyle 709\) миллионов \( \displaystyle 551\) тысяч \( \displaystyle 615\).

Фух) Если желаете представить себе огромность этого числа, то прикиньте, какой величины амбар потребовался бы для вмещения всего количества зерна.

При высоте амбара \( \displaystyle 4\) м и ширине \( \displaystyle 10\) м длина его должна была бы простираться на \( \displaystyle 300\text{ }000\text{ }000\) км, — т.е. вдвое дальше, чем от Земли до Солнца.

Если бы царь был бы силен в математике, то он мог бы предложить самому ученому отсчитывать зерна, ведь чтобы отсчитать миллион зерен, ему бы понадобилось не менее \( \displaystyle 10\) суток неустанного счета, а учитывая, что необходимо отсчитать \( \displaystyle 18\) квинтильонов, зерна пришлось бы отсчитывать всю жизнь.

А теперь решим простую задачку на сумму членов геометрической прогрессии.

Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ (Справочник по математике — Алгебра

Определение арифметико-геометрической прогрессии

      Рассмотрим более сложный, чем арифметическая или геометрическая прогрессии, тип последовательности чисел. Эта последовательность носит название арифметико-геометрической прогрессии, поскольку обладает рядом свойств, присущих, как арифметической, так и геометрической прогрессиям.

      Определение. Арифметико-геометрической прогрессией называют числовую последовательность

x1 ,  x2 , … xn , …

заданную рекуррентной формулой

xn = q xn – 1 + d ,       n > 1 (1)

с начальным условием

где буквами

q ,   d ,   c1 ,

обозначены заданные числа, удовлетворяющие условиям

(3)

      Замечание.  Условия (3) входят в определение, поскольку при   q = 1   арифметико–геометрическая прогрессия превращается в арифметическую прогрессию, а при   d = 0   арифметико–геометрическая прогрессия превращается в геометрическую прогрессию.

Вывод формулы общего члена арифметико-геометрической прогрессии

     Перейдем от последовательности

x1 ,  x2 , … xn , …

к последовательности

y1 ,  y2 , … yn , …

по формулам

где   t   – некоторое число, которое мы определим чуть позже.

      Поскольку

xn – 1 = yn – 1 + t ,

то формула (1) преобразуется следующим образом:

Следовательно,

yn = q yn – 1 +
+ ( q – 1) t + d ,       n > 1 .
(5)

      Если теперь положить

(6)

то формула (5) принимает вид

yn = q yn – 1 ,       n > 1 , (7)

откуда вытекает, что последовательность

y1 ,  y2 , … yn , …

является геометрической прогрессией со знаменателем   q.

      Для того, чтобы найти первый член этой геометрической прогрессии, воспользуемся равенствами (2) и (4):

      Итак,

(8)

      Поскольку

yn = y1q n – 1,

то из формул (7) и (8) получаем формулу для общего члена геометрической прогрессии (7):

(9)

      Из формулы (9) с помощью равенств (4) и (6) получаем формулу общего члена арифметико-геометрической прогрессии:

      Итак, формула общего члена арифметико-геометрической прогрессии имеет вид:

      Вывод формулы общего члена закончен.

      На сайте можно также ознакомиться с нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

Прогрессии — Математика — Теория, тесты, формулы и задачи

Оглавление:

 

Основные теоретические сведения

Арифметическая прогрессия

К оглавлению…

Формулы n-го члена арифметической прогрессии:

Соотношение между тремя соседними членами арифметической прогрессии:

Формула суммы арифметической прогрессии:

Свойство арифметической прогрессии:

 

Геометрическая прогрессия

К оглавлению…

Формулы n-го члена геометрической прогрессии:

Соотношение между тремя соседними членами геометрической прогрессии:

Формула суммы геометрической прогрессии:

Формула суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

Свойство геометрической прогрессии:

 

Как успешно подготовиться к ЦТ по физике и математике?

Для того чтобы успешно подготовиться к ЦТ по физике и математике, среди прочего, необходимо выполнить три важнейших условия:

  1. Изучить все темы и выполнить все тесты и задания приведенные в учебных материалах на этом сайте. Для этого нужно всего ничего, а именно: посвящать подготовке к ЦТ по физике и математике, изучению теории и решению задач по три-четыре часа каждый день. Дело в том, что ЦТ это экзамен, где мало просто знать физику или математику, нужно еще уметь быстро и без сбоев решать большое количество задач по разным темам и различной сложности. Последнему научиться можно только решив тысячи задач.
  2. Выучить все формулы и законы в физике, и формулы и методы в математике. На самом деле, выполнить это тоже очень просто, необходимых формул по физике всего около 200 штук, а по математике даже чуть меньше. В каждом из этих предметов есть около десятка стандартных методов решения задач базового уровня сложности, которые тоже вполне можно выучить, и таким образом, совершенно на автомате и без затруднений решить в нужный момент большую часть ЦТ. После этого Вам останется подумать только над самыми сложными задачами.
  3. Посетить все три этапа репетиционного тестирования по физике и математике. Каждый РТ можно посещать по два раза, чтобы прорешать оба варианта. Опять же на ЦТ, кроме умения быстро и качественно решать задачи, и знания формул и методов необходимо также уметь правильно спланировать время, распределить силы, а главное правильно заполнить бланк ответов, не перепутав ни номера ответов и задач, ни собственную фамилию. Также в ходе РТ важно привыкнуть к стилю постановки вопросов в задачах, который на ЦТ может показаться неподготовленному человеку очень непривычным.

Успешное, старательное и ответственное выполнение этих трех пунктов, а также ответственная проработка итоговых тренировочных тестов, позволит Вам показать на ЦТ отличный результат, максимальный из того, на что Вы способны.

 

Нашли ошибку?

Если Вы, как Вам кажется, нашли ошибку в учебных материалах, то напишите, пожалуйста, о ней на электронную почту (адрес электронной почты здесь). В письме укажите предмет (физика или математика), название либо номер темы или теста, номер задачи, или место в тексте (страницу) где по Вашему мнению есть ошибка. Также опишите в чем заключается предположительная ошибка. Ваше письмо не останется незамеченным, ошибка либо будет исправлена, либо Вам разъяснят почему это не ошибка.

Арифметическая прогрессия на примерах

Арифметической прогрессией называют последовательность чисел (членов прогрессии )

в которой каждый последующий член отличается от предыдущего на сталое слагаемое, которое еще называют шагом или разницей прогрессии.

Таким образом, задавая шаг прогрессии и ее первый член можно найти любой ее элемент по формуле

1) Каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго номера является средним арифметическим от предыдущего и следующего члена прогрессии

Обратное утверждение также верно. Если среднее арифметическое соседних нечетных (четных) членов прогрессии равно члену, который стоит между ними, то данная последовательность чисел является арифметической прогрессией . По этим утверждением очень просто проверить любую последовательность.

Также по свойству арифметической прогрессии, приведенную выше формулу можно обобщить до следующей

В этом легко убедиться, если расписать слагаемые справа от знака равенства

Ее часто применяют на практике для упрощения вычислений в задачах.

2) Сумма n первых членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле

Запомните хорошо формулу суммы арифметической прогрессии, она незаменима при вычислениях и довольно часто встречается в простых жизненных ситуациях.

3) Если нужно найти не всю сумму, а часть последовательности начиная с k-го ее члена, то в Вам пригодится следующая формула суммы

4) Практический интерес представляет отыскание суммы n членов арифметической прогрессии начиная с k-го номера . Для этого используйте формулу

На этом теоретический материал заканчивается и переходим к решению распространенных на практике задач.

 

Пример 1. Найти сороковой член арифметической прогрессии 4;7;…

Решение:

Согласно условию имеем

Определим шаг прогрессии

По известной формуле находим сороковой член прогрессии

 

Пример2. Арифметическая прогрессия задана третьим и седьмым ее членом . Найти первый член прогрессии и сумму десяти.

Решение:

Распишем заданные элементы прогрессии по формулам

От второго уравнения вычтем первое, в результате найдем шаг прогрессии

Найденное значение подставляем в любое из уравнений для отыскания первого члена арифметической прогрессии

Вычисляем сумму первых десяти членов прогрессии

Не применяя сложных вычислений ми нашли все искомые величины.

 

Пример 3. Арифметическую прогрессию задано знаменателем и одним из ее членов . Найти первый член прогрессии, сумму 50 ее членов начиная с 50 и сумму 100 первых.

Решение:

Запишем формулу сотого элемента прогрессии

и найдем первый

На основе первого находим 50 член прогрессии

Находим сумму части прогрессии

и сумму первых 100

Сумма прогрессии равна 250.

 

Пример 4.

Найти число членов арифметической прогрессии, если:

а3-а1=8, а2+а4=14, Sn=111.

Решение:

Запишем уравнения через первый член и шаг прогрессии и определим их

Полученные значения подставляем в формулу суммы для определения количества членов в сумме

Выполняем упрощения

и решаем квадратное уравнение

Из найденных двух значений условии задачи подходит только число 8 . Таким образом сумма первых восьми членов прогрессии составляет 111.

 

Пример 5.

Решить уравнение

1+3+5+…+х=307.

Решение: Данное уравнение является суммой арифметической прогрессии. Выпишем первый ее член и найдем разницу прогрессии

Найденные величины подставим в формулу суммы прогрессии для отыскания числа слагаемых

Как и в предыдущем задании, выполним упрощения и решим квадратное уравнение

Выбираем более логичное из двух значений . Имеем, что сумма 18 членов прогрессии с заданными величинами а1=1, d=2 равна Sn=307.

На этом знакомство с арифметической прогрессией только начинается. В книгах вы найдете много подобных задач, методика решений которых не была рассмотрена . Приведенного материала должно хватить Вам с головой, чтобы разобраться и решить задачи самостоятельно. Если же нет то обращайтесь и мы Вам поможем с вычислениями.

Похожие материалы:

Геометрическая прогрессия | umath.ru

Определение геометрической прогрессии

Определение. Последовательность, каждый член которой, начиная со второго, получается из предыдущего умножением на одно и то же число , называется геометрической прогрессией. Число называется знаменателем прогрессии.

То есть геометрическая прогрессия определяется рекуррентным соотношением

   

Итак, для n-го члена геометрической прогрессии справедлива формула

   

Теорема 2. Квадрат любого члена геометрической прогрессии, начиная со второго, равен произведению предыдущего и последующего членов:

   

Доказательство. Из определения геометрической прогрессии

   

Следовательно,

   

откуда

   

Обратное утверждение тоже верно. Если для всех членов последовательности начиная со второго, выполняется равенство то эта последовательность — геометрическая прогрессия.

Сумма первых n членов геометрической прогрессии

Вычислим сумму первых n членов геометрической прогрессии знаменатель которой :

(1)  

Умножим это равенство на :

   

или

(2)  

Вычтем из равенства (2) равенство (1), и приведя подобные члены, получим Отсюда, так как имеем

   

или

(3)  

Так как то формулу (3) можно переписать в виде

(4)  

Пример 2. Считается, что шахматы были изобретены в V в. н. э. в Индии. По легенде, когда создатель шахмат показал своё изобретение правителю страны, тому настолько понравилась игра, что он решил щедро отблагодарить её создателя, позволив мудрецу самостоятельно выбрать награду.

Мудрец попросил короля за первую клетку шахматной доски дать ему одно зерно пшеницы, за вторую — два, за третью — четыре, и так далее, удваивая количество зёрен за каждую клетку. Правитель рассмеялся, услышав столь ничтожную на первый взгляд просьбу, и, быстро согласившись, повелел своим казначеям подсчитать и выдать нужное количество зерна. Однако спустя неделю зерно всё ещё не было подсчитано. Интересно, в чём же причина такой задержки?

Давайте подсчитаем величину награды, то есть найдём сумму геометрической прогрессии

   

По формуле (3) получаем

   

   

Именно столько зёрен должен был выдать король. Это примерно 1200 триллионов тонн или 1500 куб. км. пшеницы, что эквивалентно амбару размерами 10х10х15 км. Для справки, это примерно в 1800 раз больше всего урожая пшеницы 2009 года.

Примерно такие расчёты и показали королю, когда тот поинтересовался, почему зерно всё ещё не выдано.

Наверное, вы спросите, чем же всё закончилось. Легенда гласит, что король «не остался в долгу» перед хитрым изобретателем, и, выдав ему пшеницу (конечно, намного меньше), предложил тому пересчитать каждое зёрнышко, чтобы не было сомнений в том, что он честно с ним расплатился.

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии

Рассмотрим геометрическую прогрессию Если её знаменатель то эта последовательность называется бесконечно убывающей геометрической прогрессией.

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогресcии выражается формулой

(5)  

2.2: Арифметические и геометрические последовательности

Расследуй!

Для рисунков из точек ниже нарисуйте следующий рисунок в последовательности. Затем дайте рекурсивное определение и замкнутую формулу для количества точек в \ (n \) -м шаблоне.

Теперь перейдем к вопросу о нахождении замкнутых формул для конкретных типов последовательностей.

Арифметические последовательности

Если члены последовательности отличаются на константу, мы говорим, что это последовательность , арифметическая .Если начальный член (\ (a_0 \)) последовательности равен \ (a \), а общая разность равна \ (d \ text {,} \), то мы имеем

Рекурсивное определение: \ (a_n = a_ {n-1} + d \) с \ (a_0 = a \ text {.} \)

Закрытая формула: \ (a_n = a + dn \ text {.} \)

Откуда мы это знаем? Для рекурсивного определения нам нужно указать \ (a_0 \ text {.} \) Затем нам нужно выразить \ (a_n \) через \ (a_ {n-1} \ text {.} \) Если мы вызовем первый член \ (a \ text {,} \), затем \ (a_0 = a \ text {.} \) Для рекуррентного отношения, по определению арифметической последовательности, разница между последовательными членами является некоторой константой, скажем \ (д \ текст {.} \) Итак \ (a_n — a_ {n-1} = d \ text {,} \) или, другими словами,

\ begin {уравнение *} a_0 = a \ qquad a_n = a_ {n-1} + d. \ end {уравнение *}

Чтобы найти замкнутую формулу, сначала напишите общую последовательность:

\ begin {align *} a_0 & = a \\ a_1 & = a_0 + d = a + d \\ a_2 & = a_1 + d = a + d + d = a + 2d \\ a_3 & = a_2 + d = a + 2d + d = a + 3d \\ & \ vdots \ end {align *}

Мы видим, что для нахождения \ (n \) -го члена нам нужно начать с \ (a \), а затем добавить \ (d \) несколько раз.Фактически, добавьте это \ (n \) раз. Таким образом, \ (a_n = a + dn \ text {.} \)

Пример \ (\ PageIndex {1} \)

Найдите рекурсивные определения и закрытые формулы для приведенных ниже последовательностей. Предположим, что первым перечисленным термином является \ (a_0 \ text {.} \)

  1. \ (2, 5, 8, 11, 14, \ ldots \ text {.} \)
  2. \ (50, 43, 36, 29, \ ldots \ text {.} \)
Решение

Сначала мы должны проверить, действительно ли эти последовательности являются арифметическими, взяв разности последовательных членов.Так вы обнаружите общую разницу \ (d \ text {.} \)

  1. \ (5-2 = 3 \ text {,} \) \ (8-5 = 3 \ text {,} \) и т. Д. Чтобы перейти от каждого термина к следующему, мы добавляем три, поэтому \ (d = 3 \ text {.} \) Следовательно, рекурсивное определение — \ (a_n = a_ {n-1} + 3 \) с \ (a_0 = 2 \ text {.} \) Замкнутая формула \ (a_n = 2 + 3n \ text {.} \)
  2. Здесь общая разница \ (- 7 \ text {,} \), поскольку мы добавляем \ (- 7 \) к 50, чтобы получить 43, и так далее. Таким образом, у нас есть рекурсивное определение \ (a_n = a_ {n-1} — 7 \) с \ (a_0 = 50 \ text {.} \) Замкнутая формула \ (a_n = 50 — 7n \ text {.} \)

    А как насчет последовательностей типа \ (2, 6, 18, 54, \ ldots \ text {?} \) Это не арифметика, потому что разница между терминами непостоянна. Однако соотношение и между последовательными членами постоянно. Мы называем такие последовательности геометрическими .

    Рекурсивное определение геометрической последовательности с начальным членом \ (a \) и общим отношением \ (r \): \ (a_n = a_ {n} \ cdot r; a_0 = a \ text {.{n} \ text {.} \)

    Пример \ (\ PageIndex {3} \)

    Найдите рекурсивную и замкнутую формулу для последовательностей ниже. Опять же, первым перечисленным термином является \ (a_0 \ text {.} \)

    1. \ (3, 6, 12, 24, 48, \ ldots \) ​​
    2. \ (27, 9, 3, 1, 1/3, \ ldots \) ​​
    Решение

    Опять же, мы должны сначала проверить, действительно ли эти последовательности геометрически, на этот раз разделив каждый член на его предыдущий член. Предполагая, что это соотношение является постоянным, мы найдем \ (r \ text {.{п} \ текст {.} \)

    В приведенных выше примерах и формулах мы предположили, что исходный термин был \ (a_0 \ text {.} \). Если ваша последовательность начинается с \ (a_1 \ text {,} \), вы можете легко найти термин, который было бы \ (a_0 \) и использовать это в формуле. Например, если мы хотим получить формулу для последовательности \ (2, 5, 8, \ ldots \) ​​и настаиваем на том, чтобы \ (2 = a_1 \ text {,} \), то мы можем найти \ (a_0 = -1 \) (поскольку последовательность арифметическая с общей разницей 3, имеем \ (a_0 + 3 = a_1 \)).Тогда закрытая формула будет \ (a_n = -1 + 3n \ text {.} \)

    Суммы арифметических и геометрических последовательностей

    Расследуй!

    В вашем продуктовом магазине по соседству есть автомат с кеглями.

    1. Предположим, что автомат с конфетами в настоящее время вмещает ровно 650 кеглей, и каждый раз, когда кто-то вставляет четверть, из автомата выходит ровно 7 кеглей.
      1. Сколько кеглей останется в машине после того, как будут вставлены 20 четвертей?
      2. Останется ли когда-нибудь в автомате ровно ноль кеглей? Объяснять.
    2. Что, если автомат выдаст 7 Skittles первому покупателю, вложившему четверть, 10 — второму, 13 — третьему, 16 — четвертому и т.д. машина?
    3. А что, если автомат выдаст 4 Skittles первому покупателю, 7 — второму, 12 — третьему, 19 — четвертому и т. Д. Сколько Skittles выдало автомат после того, как 20 четвертей были помещены в автомат?

    Посмотрите на последовательность \ ((T_n) _ {n \ ge 1} \), которая начинается с \ (1, 3, 6, 10, 15, \ ldots \ text {.} \) Эти числа называются треугольными числами , поскольку они представляют количество точек в равностороннем треугольнике (подумайте, как вы располагаете 10 кеглей для боулинга: ряд из 4 плюс ряд из 3 плюс ряд из 2 и ряд из 1).

    Это арифметическая последовательность? Нет, поскольку \ (3-1 = 2 \) и \ (6-3 = 3 \ ne 2 \ text {,} \), поэтому нет общей разницы. Последовательность геометрическая? Нет. \ (3/1 = 3 \), но \ (6/3 = 2 \ text {,} \), поэтому нет общего отношения. Что делать?

    Обратите внимание, что различия между терминами образуют арифметическую последовательность: \ (2, 3, 4, 5, 6, \ ldots \ text {.} \) Это означает, что \ (n \) -й член последовательности \ (1,3,6,10,15, \ ldots \) ​​является суммой первых \ (n \) членов последовательности \ (1,2,3,4,5, \ ldots \ text {.} \) Мы говорим, что первая последовательность — это последовательность частичных сумм второй последовательности (частичные суммы, потому что мы не берем сумму всего бесконечно много терминов). Если мы знаем, как складывать члены арифметической последовательности, мы могли бы использовать это, чтобы найти замкнутую формулу для последовательности, отличия которой являются членами этой арифметической последовательности.

    Это станет яснее, если мы запишем треугольные числа так:

    \ begin {align *} 1 & = 1 \\ 3 & = 1 + 2 \\ 6 & = 1 + 2 + 3 \\ 10 & = 1 + 2 + 3+ 4 \\ \ vdots & \ qquad \ vdots \ \ T_n & = 1 + 2 + 3 + \ cdots + n. \ end {выровнять *}

    Подумайте, как мы можем найти сумму первых 100 натуральных чисел (то есть \ (T_ {100} \)). Вместо того, чтобы складывать их по порядку, мы перегруппируем и добавим \ (1 + 100 = 101 \ text {.} \) Следующая пара, которую нужно объединить, это \ (2 + 99 = 101 \ text {.} \) Затем \ (3+ 98 = 101 \ текст {.}\) Продолжать. Это дает 50 пар, каждая из которых в сумме дает \ (101 \ text {,} \), поэтому \ (T_ {100} = 101 \ cdot 50 = 5050 \ text {.} \)

    В общем, используя такую ​​же перегруппировку, мы обнаруживаем, что \ (T_n = \ frac {n (n + 1)} {2} \ text {.} \) Между прочим, это в точности то же самое, что \ ({n +1 \ choose 2} \ text {,} \), что имеет смысл, если вы думаете о треугольных числах как о подсчете количества рукопожатий, которые происходят на вечеринке с \ (n + 1 \) людьми: первый человек трясет \ (n \) рук, следующий пожимает еще \ (n-1 \) рук и так далее.

    Суть всего этого в том, что некоторые последовательности, хотя и не арифметические или геометрические, могут быть интерпретированы как последовательность частичных сумм арифметических и геометрических последовательностей. К счастью, есть методы, которые можно использовать для быстрого вычисления этих сумм.

    Суммирование арифметических последовательностей: обратное и сложение

    Вот метод, который позволяет нам быстро найти сумму арифметической последовательности.

    Пример \ (\ PageIndex {4} \)

    Найдите сумму: \ (2 + 5 + 8 + 11 + 14 + \ cdots + 470 \ text {.} \)

    Решение

    Идея состоит в том, чтобы имитировать, как мы нашли формулу для треугольных чисел. Если мы сложим первый и последний члены, мы получим 472. Второй член и предпоследний член также в сумме составляют 472. Чтобы отслеживать все, мы могли бы выразить это следующим образом. Назовем сумму \ (S \ text {.} \) Тогда

    \ (S = \) \ (2 \) \ (+ \) \ (5 \) \ (+ \) \ (8 \) \ (+ \ cdots + \) \ (467 \) \ (+ \) 470
    \ (+ \ quad S = \) \ (470 \) \ (+ \) \ (467 \) \ (+ \) \ (464 \) \ (+ \ cdots + \) \ (5 \) \ (+ \) 2
    \ (2S = \) \ (472 \) \ (+ \) \ (472 \) \ (+ \) \ (472 \) \ (+ \ cdots + \) \ (472 \) \ (+ \) \ (472 \)

    Чтобы найти \ (2S \), мы прибавляем 472 к себе несколько раз.Какой номер? Нам нужно решить, сколько членов ( слагаемое, ) в сумме. Поскольку члены образуют арифметическую последовательность, \ (n \) -й член в сумме (считая \ (2 \) как 0-й член) можно выразить как \ (2 + 3n \ text {.} \) Если \ ( 2 + 3n = 470 \), тогда \ (n = 156 \ text {.} \) Итак, \ (n \) находится в диапазоне от 0 до 156, что дает 157 членов в сумме. Это число 472 в сумме для \ (2S \ text {.} \) Таким образом,

    \ begin {уравнение *} 2S = 157 \ cdot 472 = 74104 \ end {уравнение *}

    Теперь легко найти \ (S \ text {:} \)

    \ begin {уравнение *} S = 74104/2 = 37052 \ end {уравнение *}

    Это будет работать для любой суммы арифметических последовательностей.Назовите сумму \ (S \ text {.} \) Обратный и сложите. Это дает одно число, добавленное к самому себе много раз. Найдите количество раз. Умножить. Разделить на 2. Готово.

    Пример \ (\ PageIndex {5} \)

    Найдите замкнутую формулу для \ (6 + 10 + 14 + \ cdots + (4n — 2) \ text {.} \)

    Решение

    Опять же, у нас есть сумма арифметической последовательности. Нам нужно знать, сколько терминов в последовательности. Ясно, что каждый член в последовательности имеет вид \ (4k -2 \) (о чем свидетельствует последний член).Но для каких значений \ (k \)? Чтобы получить 6, \ (k = 2 \ text {.} \) Чтобы получить \ (4n-2 \), возьмите \ (k = n \ text {.} \) Итак, чтобы найти количество терминов, нам нужно знать сколько целых чисел находится в диапазоне \ (2,3, \ ldots, n \ text {.} \) Ответ: \ (n-1 \ text {.} \) (Есть \ (n \) числа от 1 в \ (n \ text {,} \), поэтому на один меньше, если мы начнем с 2.)

    Теперь переверните и добавьте:

    \ (S = \) \ (6 \) \ (+ \) \ (10 ​​\) \ (+ \ cdots + \) \ (4н-6 \) \ (+ \) \ (4н-2 \)
    \ (+ \ quad S = \) \ (4н-2 \) \ (+ \) \ (4н-6 \) \ (+ \ cdots + \) \ (10 ​​\) \ (+ \) 6
    \ (2S = \) \ (4n + 4 \) \ (+ \) \ (4n + 4 \) \ (+ \ cdots + \) \ (4n + 4 \) \ (+ \) \ (4n + 4 \)

    Поскольку есть \ (n-2 \) членов, получаем

    \ begin {уравнение *} 2S = (n-2) (4n + 4) \ qquad \ mbox {so} \ qquad S = \ frac {(n-2) (4n + 4)} {2} \ end { уравнение *}

    Помимо нахождения сумм, мы можем использовать эту технику для нахождения замкнутых формул для последовательностей, которые мы распознаем как последовательности частичных сумм.

    Пример \ (\ PageIndex {6} \)

    Используйте частичные суммы, чтобы найти замкнутую формулу для \ ((a_n) _ {n \ ge 0} \), которая начинается с \ (2, 3, 7, 14, 24, 37, \ ldots \ ldots \) ​​

    Решение

    Во-первых, если вы посмотрите на различия между терминами, вы получите последовательность различий: \ (1,4,7,10,13, \ ldots \ text {,} \), которая является арифметической последовательностью. Написано по-другому:

    \ begin {align *} a_0 & = 2 \\ a_1 & = 2 + 1 \\ a_2 & = 2 + 1 + 4 \\ a_3 & = 2 + 1 + 4 + 7 \ end {align *}

    и так далее.Мы можем записать общий член \ ((a_n) \) в терминах арифметической последовательности следующим образом:

    \ begin {уравнение *} a_n = 2 + 1 + 4 + 7 + 10 + \ cdots + (1 + 3 (n-1)) \ end {уравнение *}

    (мы используем \ (1 + 3 (n-1) \) вместо \ (1 + 3n \), чтобы индексы выровнялись правильно; для \ (a_3 \) мы складываем до 7, что составляет \ ( 1 + 3 (3-1) \)).

    Мы можем перевернуть и сложить, но начальные 2 не соответствуют нашему шаблону. Это просто означает, что нам нужно убрать двойку из обратной части:

    \ (a_n = \) \ (2 \) \ (+ \) \ (1 \) \ (+ \) \ (4 \) \ (+ \ cdots + \) \ (1 + 3 (п-1) \)
    \ (+ ~ a_n = \) \ (2 \) \ (+ \) \ (1 + 3 (п-1) \) \ (+ \) \ (1 + 3 (п-2) \) \ (+ \ cdots + \) \ (1 \)
    \ (2a_n = \) \ (4 \) \ (+ \) \ (2 + 3 (п-1) \) \ (+ \) \ (2 + 3 (п-1) \) \ (+ \ cdots + \) \ (2 + 3 (п-1) \)

    Не считая первого члена (4), есть \ (n \) слагаемых в \ (2 + 3 (n-1) = 3n-1 \), поэтому правая часть становится \ (2+ (3n-1 ) п \ текст {.} \)

    Наконец, решая \ (a_n \), получаем

    \ begin {уравнение *} a_n = \ d \ frac {4+ (3n-1) n} {2}. \ end {уравнение *}

    На всякий случай проверяем \ (a_0 = \ frac {4} {2} = 2 \ text {,} \) \ (a_1 = \ frac {4 + 2} {2} = 3 \ text {,} \) и т.д. У нас есть правильная замкнутая формула.

    Суммирование геометрических последовательностей: умножение, сдвиг и вычитание

    Чтобы найти сумму геометрической последовательности, мы не можем просто перевернуть и сложить. Вы понимаете почему? Причина, по которой мы добавляли один и тот же термин много раз к самому себе, заключается в том, что разница была постоянной.Таким образом, когда мы добавили разницу в одном направлении, мы вычли разницу в другом направлении, оставив постоянную сумму. Для геометрических сумм у нас есть другая техника.

    Пример \ (\ PageIndex {7} \)

    Что такое \ (3 + 6 + 12 + 24 + \ cdots + 12288 \ text {?} \)

    Решение

    Умножьте каждый член на 2, обычное отношение. Вы получите \ (2S = 6 + 12 + 24 + \ cdots + 24576 \). Теперь вычтите: \ (2S — S = -3 + 24576 = 24573 \ text {.} \) Поскольку \ (2S — S = S \ text {,} \), у нас есть ответ.

    Чтобы лучше понять, что произошло в приведенном выше примере, попробуйте написать это так:

    \ (S = \) \ (3 \, + \) \ (6 + 12 + 24 + \ cdots + 12288 \)
    \ (- ~ 2S = \) \ (6 + 12 + 24 + \ cdots + 12288 \) \ (+ 24576 \)
    \ (- S = \) \ (3 \, + \) \ (0 + 0 + 0 + \ cdots + 0 \) \ (- 24576 \)

    Затем разделите обе стороны на \ (- 1 \), и мы получим тот же результат для \ (S \ text {.{n + 1}} {- 4} \)

    Даже если это может показаться новой техникой, вы, вероятно, использовали ее раньше.

    Пример \ (\ PageIndex {9} \)

    Экспресс \ (0,464646 \ ldots \) ​​в виде дроби.

    Решение

    Пусть \ (N = 0.46464646 \ ldots \ text {.} \) Рассмотрим \ (0.01N \ text {.} \) Получаем:

    \ (N = \) \ (0,4646464 \ ldots \) ​​
    \ (- \) \ (0.01N = \) \ (0,00464646 \ ldots \) ​​
    \ (0,99N = \) \ (0,46 \)

    Итак \ (N = \ frac {46} {99} \ text {.} \) Что мы сделали? Мы рассматривали повторяющуюся десятичную дробь \ (0,464646 \ ldots \) ​​как сумму геометрической последовательности \ (0,46, 0,0046, 0,000046, \ ldots \). Общее отношение равно \ (0,01 \ text {.} \) Единственная реальная разница в том, что что сейчас мы вычисляем бесконечную геометрическую сумму , у нас нет лишнего «последнего» члена для рассмотрения.п к = п! \ текст {.} \)

    Арифметических и геометрических последовательностей

    Расследуй! 18

    Для рисунков из точек ниже нарисуйте следующий рисунок в последовательности. Затем дайте рекурсивное определение и замкнутую формулу для количества точек в \ (n \) -м шаблоне.

    Теперь перейдем к вопросу о нахождении замкнутых формул для конкретных типов последовательностей.

    Арифметические последовательности

    Если члены последовательности отличаются на константу, мы говорим, что это последовательность , арифметическая .Если начальный член (\ (a_0 \)) последовательности равен \ (a \), а общая разность равна \ (d \ text {,} \), то мы имеем

    Рекурсивное определение: \ (a_n = a_ {n-1} + d \) с \ (a_0 = a \ text {.} \)

    Замкнутая формула: \ (a_n = a + dn \ text {.} \)

    Откуда мы это знаем? Для рекурсивного определения нам нужно указать \ (a_0 \ text {.} \) Затем нам нужно выразить \ (a_n \) через \ (a_ {n-1} \ text {.} \) Если мы вызовем первый член \ (a \ text {,} \), затем \ (a_0 = a \ text {.} \) Для рекуррентного отношения, по определению арифметической последовательности, разница между последовательными членами является некоторой константой, скажем \ (д \ текст {.} \) Итак \ (a_n — a_ {n-1} = d \ text {,} \) или, другими словами,

    \ begin {уравнение *}
    a_0 = a \ qquad a_n = a_ {n-1} + d.
    \ end {уравнение *}

    Чтобы найти замкнутую формулу, сначала напишите общую последовательность:

    \ begin {align *}
    а_0 \ amp = а \\
    a_1 \ amp = a_0 + d = a + d \\
    a_2 \ amp = a_1 + d = a + d + d = a + 2d \\
    a_3 \ amp = a_2 + d = a + 2d + d = a + 3d \\
    \ amp \ vdots
    \ end {выровнять *}

    Мы видим, что для нахождения \ (n \) -го члена нам нужно начать с \ (a \), а затем добавить \ (d \) несколько раз. Фактически, добавьте это \ (n \) раз.Таким образом, \ (a_n = a + dn \ text {.} \)

    Пример2.2.1

    Найдите рекурсивные определения и закрытые формулы для приведенных ниже последовательностей. Предположим, что первым перечисленным термином является \ (a_0 \ text {.} \)

    1. \ (2, 5, 8, 11, 14, \ ldots \ text {.} \)
    2. \ (50, 43, 36, 29, \ ldots \ text {.} \)

    Решение

    Сначала мы должны проверить, действительно ли эти последовательности являются арифметическими, взяв разности последовательных членов. Так вы обнаружите общую разницу \ (d \ text {.} \)

    1. \ (5-2 = 3 \ text {,} \) \ (8-5 = 3 \ text {,} \) и т. Д.Чтобы перейти от каждого термина к следующему, мы добавляем три, поэтому \ (d = 3 \ text {.} \) Рекурсивное определение, следовательно, \ (a_n = a_ {n-1} + 3 \) с \ (a_0 = 2 \ text {.} \) Замкнутая формула \ (a_n = 2 + 3n \ text {.} \)
    2. Здесь общая разница \ (- 7 \ text {,} \), поскольку мы прибавляем \ (- 7 \) к 50, чтобы получить 43, и так далее. Таким образом, у нас есть рекурсивное определение \ (a_n = a_ {n-1} — 7 \) с \ (a_0 = 50 \ text {.} \) Замкнутая формула \ (a_n = 50 — 7n \ text {.} \)

    А как насчет последовательностей типа \ (2, 6, 18, 54, \ ldots \ text {?} \) Это не арифметика, потому что разница между терминами непостоянна. 2 \\
    \ amp \ vdots
    \ end {выровнять *}

    Мы должны умножить первый член \ (a \) на \ (r \) несколько раз, а точнее, \ (n \) раз.{n} \ text {.} \)

    Пример2.2.2

    Найдите рекурсивную и замкнутую формулу для последовательностей ниже. Опять же, первым перечисленным термином является \ (a_0 \ text {.} \)

    1. \ (3, 6, 12, 24, 48, \ ldots \) ​​
    2. \ (27, 9, 3, 1, 1/3, \ ldots \) ​​

    Решение

    Опять же, мы должны сначала проверить, действительно ли эти последовательности геометрически, на этот раз разделив каждый член на его предыдущий член. Предполагая, что это соотношение является постоянным, мы найдем \ (r \ text {.} \)

    1. \ (6/3 = 2 \ text {,} \) \ (12/6 = 2 \ text {,} \) \ (24/12 = 2 \ text {,} \) и т. Д.{n} \ text {.} \)

    В приведенных выше примерах и формулах мы предположили, что начальный термин был \ (a_0 \ text {.} \). Если ваша последовательность начинается с \ (a_1 \ text {,} \), вы можете легко найти термин, который были \ (a_0 \) и используйте это в формуле. Например, если мы хотим получить формулу для последовательности \ (2, 5, 8, \ ldots \) ​​и настаиваем на том, чтобы \ (2 = a_1 \ text {,} \), то мы можем найти \ (a_0 = -1 \) (поскольку последовательность арифметическая с общей разницей 3, имеем \ (a_0 + 3 = a_1 \)). Тогда закрытая формула будет \ (a_n = -1 + 3n \ text {.} \)

    Подраздел Суммы арифметических и геометрических последовательностей

    Расследуй! 19

    В вашем продуктовом магазине по соседству есть автомат с кеглями.

    1. Предположим, что автомат для конфет в настоящее время вмещает ровно 650 кеглей, и каждый раз, когда кто-то вставляет четверть, из автомата выходит ровно 7 кеглей.

      1. Сколько кеглей останется в машине после того, как будут вставлены 20 четвертей?

      2. Останется ли когда-нибудь в автомате ровно ноль кеглей? Объяснять.

    2. Что, если автомат выдаст 7 Skittles первому покупателю, вложившему четверть, 10 — второму, 13 — третьему, 16 — четвертому и т.д. в машину?

    3. Теперь, что, если автомат выдаст 4 Skittles первому покупателю, 7 — второму, 12 — третьему, 19 — четвертому и т. Д. Сколько Skittles выдаст автомат после того, как 20 четвертей помещены в автомат?

    Посмотрите на последовательность \ ((T_n) _ {n \ ge 1} \), которая начинается с \ (1, 3, 6, 10, 15, \ ldots \ text {.} \) Эти числа называются треугольными числами , поскольку они представляют количество точек в равностороннем треугольнике (подумайте, как вы располагаете 10 кеглей для боулинга: ряд из 4 плюс ряд из 3 плюс ряд из 2 и ряд из 1).

    Это арифметическая последовательность? Нет, поскольку \ (3-1 = 2 \) и \ (6-3 = 3 \ ne 2 \ text {,} \), поэтому нет общей разницы. Последовательность геометрическая? Нет. \ (3/1 = 3 \), но \ (6/3 = 2 \ text {,} \), поэтому нет общего отношения. Что делать?

    Обратите внимание, что различия между терминами образуют арифметическую последовательность: \ (2, 3, 4, 5, 6, \ ldots \ text {.} \) Это означает, что \ (n \) -й член последовательности \ (1,3,6,10,15, \ ldots \) ​​является суммой первых \ (n \) членов последовательности \ (1,2,3,4,5, \ ldots \ text {.} \) Мы говорим, что первая последовательность — это последовательность частичных сумм второй последовательности (частичные суммы, потому что мы не берем сумму всего бесконечно много терминов). Если мы знаем, как складывать члены арифметической последовательности, мы могли бы использовать это, чтобы найти замкнутую формулу для последовательности, отличия которой являются членами этой арифметической последовательности.

    Это станет яснее, если мы запишем треугольные числа так:

    \ begin {align *}
    1 \ amp = 1 \\
    3 \ amp = 1 + 2 \\
    6 \ amp = 1 + 2 + 3 \\
    10 \ amp = 1 + 2 + 3+ 4 \\
    \ vdots \ amp \ qquad \ vdots \\
    T_n \ amp = 1 + 2 + 3 + \ cdots + n.
    \ end {выровнять *}

    Подумайте, как мы можем найти сумму первых 100 натуральных чисел (то есть \ (T_ {100} \)). Вместо того, чтобы складывать их по порядку, мы перегруппируем и добавим \ (1 + 100 = 101 \ text {.} \) Следующая пара, которую нужно объединить, это \ (2 + 99 = 101 \ text {.} \) Затем \ (3+ 98 = 101 \ текст {.}\) Продолжать. Это дает 50 пар, каждая из которых в сумме дает \ (101 \ text {,} \), поэтому \ (T_ {100} = 101 \ cdot 50 = 5050 \ text {.} \)

    В общем, используя такую ​​же перегруппировку, мы обнаруживаем, что \ (T_n = \ frac {n (n + 1)} {2} \ text {.} \) Между прочим, это в точности то же самое, что \ ({n +1 \ choose 2} \ text {,} \), что имеет смысл, если вы думаете о треугольных числах как о подсчете количества рукопожатий, которые происходят на вечеринке с \ (n + 1 \) людьми: первый человек трясет \ (n \) рук, следующий пожимает еще \ (n-1 \) рук и так далее.

    Суть всего этого в том, что некоторые последовательности, хотя и не арифметические или геометрические, могут быть интерпретированы как последовательность частичных сумм арифметических и геометрических последовательностей. К счастью, есть методы, которые можно использовать для быстрого вычисления этих сумм.

    Подраздел Суммирование арифметических последовательностей: обратное и сложение

    Вот метод, который позволяет нам быстро найти сумму арифметической последовательности.

    Пример2.2.4

    Найдите сумму: \ (2 + 5 + 8 + 11 + 14 + \ cdots + 470 \ text {.} \)

    Решение

    Идея состоит в том, чтобы имитировать, как мы нашли формулу для треугольных чисел. Если мы сложим первый и последний члены, мы получим 472. Второй член и предпоследний член также в сумме составляют 472. Чтобы отслеживать все, мы могли бы выразить это следующим образом. Назовем сумму \ (S \ text {.} \) Тогда

    \ (S = \) \ (2 \) \ (+ \) \ (5 \) \ (+ \) \ (8 \) \ (+ \ cdots + \) \ (467 \) \ (+ \) 470
    \ (+ \ quad S = \) \ (470 \) \ (+ \) \ (467 \) \ (+ \) \ (464 \) \ (+ \ cdots + \) \ (5 \) \ (+ \) 2
    \ (2S = \) \ (472 \) \ (+ \) \ (472 \) \ (+ \) \ (472 \) \ (+ \ cdots + \) \ (472 \) \ (+ \) \ (472 \)

    Чтобы найти \ (2S \), мы прибавляем 472 к себе несколько раз.Какой номер? Нам нужно решить, сколько членов ( слагаемое, ) в сумме. Поскольку члены образуют арифметическую последовательность, \ (n \) -й член в сумме (считая \ (2 \) как 0-й член) можно выразить как \ (2 + 3n \ text {.} \) Если \ ( 2 + 3n = 470 \), тогда \ (n = 156 \ text {.} \) Итак, \ (n \) находится в диапазоне от 0 до 156, что дает 157 членов в сумме. Это число 472 в сумме для \ (2S \ text {.} \) Таким образом,

    \ begin {уравнение *}
    2S = 157 \ cdot 472 = 74104
    \ end {уравнение *}

    Теперь легко найти \ (S \ text {:} \)

    \ begin {уравнение *}
    S = 74104/2 = 37052
    \ end {уравнение *}

    Это будет работать для любой суммы арифметических последовательностей.Назовите сумму \ (S \ text {.} \) Обратный и сложите. Это дает одно число, добавленное к самому себе много раз. Найдите количество раз. Умножить. Разделить на 2. Готово.

    Пример2.2.5

    Найдите замкнутую формулу для \ (6 + 10 + 14 + \ cdots + (4n — 2) \ text {.} \)

    Решение

    Опять же, у нас есть сумма арифметической последовательности. Нам нужно знать, сколько терминов в последовательности. Ясно, что каждый член в последовательности имеет вид \ (4k -2 \) (о чем свидетельствует последний член). Но для каких значений \ (k \)? Чтобы получить 6, \ (k = 2 \ text {.} \) Чтобы получить \ (4n-2 \), возьмите \ (k = n \ text {.} \) Итак, чтобы найти количество членов, нам нужно знать, сколько целых чисел находится в диапазоне \ (2,3, \ ldots, n \ text {.} \) Ответ: \ (n-1 \ text {.} \) (Есть \ (n \) числа от 1 до \ (n \ text {,} \), поэтому один меньше, если мы начнем с 2.)

    Теперь переверните и добавьте:

    \ (S = \) \ (6 \) \ (+ \) \ (10 ​​\) \ (+ \ cdots + \) \ (4н-6 \) \ (+ \) \ (4н-2 \)
    \ (+ \ quad S = \) \ (4н-2 \) \ (+ \) \ (4н-6 \) \ (+ \ cdots + \) \ (10 ​​\) \ (+ \) 6
    \ (2S = \) \ (4n + 4 \) \ (+ \) \ (4n + 4 \) \ (+ \ cdots + \) \ (4n + 4 \) \ (+ \) \ (4n + 4 \)

    Поскольку есть \ (n-2 \) членов, получаем

    \ begin {уравнение *}
    2S = (n-2) (4n + 4) \ qquad \ mbox {so} \ qquad S = \ frac {(n-2) (4n + 4)} {2}
    \ end {уравнение *}

    Помимо нахождения сумм, мы можем использовать эту технику для нахождения замкнутых формул для последовательностей, которые мы распознаем как последовательности частичных сумм.

    Пример2.2.6

    Используйте частичные суммы, чтобы найти замкнутую формулу для \ ((a_n) _ {n \ ge 0} \), которая начинается с \ (2, 3, 7, 14, 24, 37, \ ldots \ ldots \) ​​

    Решение

    Во-первых, если вы посмотрите на различия между терминами, вы получите последовательность различий: \ (1,4,7,10,13, \ ldots \ text {,} \), которая является арифметической последовательностью. Написано по-другому:

    \ begin {align *}
    а_0 \ amp = 2 \\
    а_1 \ amp = 2 + 1 \\
    а_2 \ amp = 2 + 1 + 4 \\
    а_3 \ amp = 2 + 1 + 4 + 7
    \ end {выровнять *}

    и так далее. Мы можем записать общий член \ ((a_n) \) в терминах арифметической последовательности следующим образом:

    \ begin {уравнение *}
    a_n = 2 + 1 + 4 + 7 + 10 + \ cdots + (1 + 3 (n-1))
    \ end {уравнение *}

    (мы используем \ (1 + 3 (n-1) \) вместо \ (1 + 3n \), чтобы индексы выровнялись правильно; для \ (a_3 \) мы складываем до 7, что составляет \ ( 1 + 3 (3-1) \)).

    Мы можем перевернуть и сложить, но начальные 2 не соответствуют нашему шаблону. Это просто означает, что нам нужно убрать двойку из обратной части:

    \ (a_n = \) \ (2 \) \ (+ \) \ (1 \) \ (+ \) \ (4 \) \ (+ \ cdots + \) \ (1 + 3 (п-1) \)
    \ (+ ~ a_n = \) \ (2 \) \ (+ \) \ (1 + 3 (п-1) \) \ (+ \) \ (1 + 3 (п-2) \) \ (+ \ cdots + \) \ (1 \)
    \ (2a_n = \) \ (4 \) \ (+ \) \ (2 + 3 (п-1) \) \ (+ \) \ (2 + 3 (п-1) \) \ (+ \ cdots + \) \ (2 + 3 (п-1) \)

    Не считая первого члена (4), есть \ (n \) слагаемых в \ (2 + 3 (n-1) = 3n-1 \), поэтому правая часть становится \ (2+ (3n-1 ) п \ текст {.} \)

    Наконец, решая \ (a_n \), получаем

    \ begin {уравнение *}
    a_n = \ d \ frac {4+ (3n-1) n} {2}.
    \ end {уравнение *}

    На всякий случай проверяем \ (a_0 = \ frac {4} {2} = 2 \ text {,} \) \ (a_1 = \ frac {4 + 2} {2} = 3 \ text {,} \) и т.д. У нас есть правильная замкнутая формула.

    Подраздел Суммирование геометрических последовательностей: умножение, сдвиг и вычитание

    Чтобы найти сумму геометрической последовательности, мы не можем просто перевернуть и сложить. Вы понимаете почему? Причина, по которой мы добавляли один и тот же термин много раз к самому себе, заключается в том, что разница была постоянной.Таким образом, когда мы добавили разницу в одном направлении, мы вычли разницу в другом направлении, оставив постоянную сумму. Для геометрических сумм у нас есть другая техника.

    Пример2.2.7

    Что такое \ (3 + 6 + 12 + 24 + \ cdots + 12288 \ text {?} \)

    Решение

    Умножьте каждый член на 2, обычное отношение. Вы получите \ (2S = 6 + 12 + 24 + \ cdots + 24576 \ text {.} \) Теперь вычтите: \ (2S — S = -3 + 24576 = 24573 \ text {.} \) Поскольку \ (2S — S = S \ text {,} \) у нас есть ответ.

    Чтобы лучше понять, что произошло в приведенном выше примере, попробуйте написать это так:

    \ (S = \) \ (3 \, + \) \ (6 + 12 + 24 + \ cdots + 12288 \)
    \ (- ~ 2S = \) \ (6 + 12 + 24 + \ cdots + 12288 \) \ (+ 24576 \)
    \ (- S = \) \ (3 \, + \) \ (0 + 0 + 0 + \ cdots + 0 \) \ (- 24576 \)

    Затем разделите обе части на \ (- 1 \), и мы получим тот же результат для \ (S \ text {.{n + 1}} {- 4} \)

    Даже если это может показаться новой техникой, вы, вероятно, использовали ее раньше.

    Пример2.2.9

    Экспресс \ (0,464646 \ ldots \) ​​в виде дроби.

    Решение

    Пусть \ (N = 0.46464646 \ ldots \ text {.} \) Рассмотрим \ (0.01N \ text {.} \) Получаем:

    \ (N = \) \ (0,4646464 \ ldots \) ​​
    \ (- \) \ (0,01N = \) \ (0,00464646 \ ldots \) ​​
    \ (0.99N = \) \ (0,46 \)

    Итак \ (N = \ frac {46} {99} \ text {.} \) Что мы сделали? Мы рассматривали повторяющуюся десятичную дробь \ (0,464646 \ ldots \) ​​как сумму геометрической последовательности \ (0,46, 0,0046, 0,000046, \ ldots \). Общее отношение равно \ (0,01 \ text {.} \) Единственная реальная разница в том, что что сейчас мы вычисляем бесконечную геометрическую сумму , у нас нет лишнего «последнего» члена для рассмотрения. На самом деле, это результат взятия предела, как в исчислении, когда вы вычисляете бесконечных геометрических сумм.п к = п! \ текст {.} \)

    Подраздел Упражнения

    1

    Рассмотрим последовательность \ (5, 9, 13, 17, 21, \ ldots \) ​​с \ (a_1 = 5 \)

    1. Дайте рекурсивное определение последовательности.

    2. Приведите замкнутую формулу для \ (n \) -го члена последовательности.

    3. Является ли \ (2013 \) членом последовательности? Объяснять.

    4. Сколько членов в последовательности \ (5, 9, 13, 17, 21, \ ldots, 533 \)?

    5. Найдите сумму: \ (5 + 9 + 13 + 17 + 21 + \ cdots + 533 \ text {.{th} \) член \ (1, 6, 15, 28, 45, \ ldots \ text {,} \), где \ (b_0 = 1 \)

    Решение

    1. \ (a_n = a_ {n-1} + 4 \) с \ (a_1 = 5 \ text {.} \)
    2. \ (a_n = 5 + 4 (n-1) \ text {.} \)
    3. Да, поскольку \ (2013 = 5 + 4 (503-1) \) (поэтому \ (a_ {503} = 2013 \)).

    4. 133

    5. \ (\ frac {538 \ cdot 133} {2} = 35777 \ text {.} \)
    6. \ (b_n = 1 + \ frac {(4n + 6) n} {2} \ text {.} \)
    2

    Рассмотрим последовательность \ ((a_n) _ {n \ ge 0} \), которая начинается с \ (8, 14, 20, 26, \ ldots \ text {.{99} a_k \ text {.} \)

Решение

  1. \ (32 \ text {,} \) то есть \ (26 + 6 \ text {.} \)

  2. \ (a_n = 8 + 6n \ text {.} \)
  3. \ (30500 \ text {.} \) Нам нужно \ (8 + 14 + \ cdots + 602 \ text {.} \) Перевернуть и сложить, чтобы получить 100 сумм из 610, всего 61000, что вдвое превышает сумму мы ищем.
3

Рассмотрим сумму \ (4 + 11 + 18 + 25 + \ cdots + 249 \ text {.} \)

  1. Сколько членов (слагаемых) в сумме?

  2. Вычислите сумму.Не забудьте показать всю свою работу.

Решение

  1. 36.

  2. \ (\ frac {253 \ cdot 36} {2} = 4554 \ text {.} \)
4

Рассмотрим последовательность \ (1, 7, 13, 19, \ ldots, 6n + 7 \ text {.} \)

  1. Сколько терминов в последовательности?

  2. Какой предпоследний семестр?

  3. Найдите сумму всех членов последовательности.

Решение

  1. \ (n + 2 \) терминов, поскольку для получения 1 по формуле \ (6n + 7 \) мы должны использовать \ (n = -1 \ text {.} \) Таким образом, у нас есть члены \ (n \) плюс члены \ (n = 0 \) и \ (n = -1 \).
  2. \ (6n + 1 \ text {,} \), что на 6 меньше, чем \ (6n + 7 \) (или вставьте \ (n-1 \) для \ (n \)).
  3. \ (\ frac {(6n + 8) (n + 2)} {2} \ text {.} \) Переверните и сложите. Каждая сумма дает константу \ (6n + 8 \) и есть \ (n + 2 \) членов.
5

Найдите \ (5 + 7 + 9 + 11+ \ cdots + 521 \ text {.} \)

Решение

\ (68117 \ text {.} \) Если мы возьмем \ (a_0 = 5 \ text {,} \), члены суммы будут арифметической последовательностью с закрытой формулой \ (a_n = 5 + 2n \ text {.{30}} \ text {.} \)

8

Найдите \ (x \) и \ (y \) такие, что \ (27, x, y, 1 \) является частью арифметической последовательности. Затем найдите \ (x \) и \ (y \), чтобы последовательность была частью геометрической последовательности. (Предупреждение: \ (x \) и \ (y \) могут быть не целыми числами.)

9

Начиная с любого прямоугольника, мы можем создать новый прямоугольник большего размера, прикрепив квадрат к длинной стороне. Например, если мы начнем с прямоугольника \ (2 \ times 5 \), мы приклеим квадрат \ (5 \ times 5 \), образуя прямоугольник \ (5 \ times 7 \):

  1. Создайте последовательность прямоугольников, используя это правило, начиная с прямоугольника \ (1 \ times 2 \).Затем запишите последовательность периметров для прямоугольников (первый член последовательности будет 6, так как периметр прямоугольника \ (1 \ times 2 \) равен 6 — следующий член будет 10).

  2. Повторите описанную выше часть на этот раз, начиная с прямоугольника \ (1 \ times 3 \).

  3. Найдите рекурсивные формулы для каждой из последовательностей периметров, которые вы нашли в частях (a) и (b). Не забудьте также указать начальные условия.

  4. Являются ли последовательности арифметическими? Геометрический? Если нет, то близки ли они к к любому из них (т.е., являются ли различия или соотношения почти постоянными)? Объяснять.

10

Рассмотрим последовательность \ (2, 7, 15, 26, 40, 57, \ ldots \) ​​(с \ (a_0 = 2 \)). Рассматривая различия между терминами, выразите последовательность как последовательность частичных сумм. Затем найдите замкнутую формулу для последовательности, вычислив \ (n \) -ю частичную сумму.

Решение

У нас есть \ (2 = 2 \ text {,} \) \ (7 = 2 + 5 \ text {,} \) \ (15 = 2 + 5 + 8 \ text {,} \) \ (26 = 2 + 5 + 8 + 11 \ text {,} \) и так далее.n (2 + 3k) \ text {.} \) Чтобы найти замкнутую формулу, мы переворачиваем и складываем. Получаем \ (a_n = \ frac {(4 + 3n) (n + 1)} {2} \) (у нас там \ (n + 1 \), потому что в сумме есть \ (n + 1 \) слагаемые для\)).

11

Если у вас достаточно зубочисток, вы можете сделать большую треугольную сетку. Ниже представлены треугольные решетки размера 1 и размера 2. Для сетки размера 1 требуется 3 зубочистки, для сетки размера 2 требуется 9 зубочисток.

  1. Пусть \ (t_n \) будет количеством зубочисток, необходимых для создания треугольной сетки размером \ (n \).Запишите первые 5 членов последовательности \ (t_1, t_2, \ ldots \ text {.} \)

  2. Найдите рекурсивное определение последовательности. Объясните, почему вы правы.

  3. Последовательность арифметическая или геометрическая? Если нет, то это последовательность частичных сумм арифметической или геометрической последовательности? Объясните, почему ваш ответ правильный.

  4. Используйте ваши результаты из части (c), чтобы найти замкнутую формулу для последовательности. Показать свою работу.

12

Используйте нотацию суммирования (\ (\ sum \)) или произведения (\ (\ prod \)), чтобы переписать следующее.n (2 + 3k) = (2) (5) (8) (11) (14) \ cdots (2 + 3n) \ text {.} \)

арифметических и геометрических последовательностей | Purplemath

Purplemath

Двумя простейшими последовательностями для работы являются арифметические и геометрические последовательности.

Арифметическая последовательность переходит от одного члена к другому, всегда добавляя (или вычитая) одно и то же значение.Например, 2, 5, 8, 11, 14, … является арифметическим, потому что каждый шаг добавляет три; а 7, 3, –1, –5, … — арифметические, потому что каждый шаг вычитает 4.

Число, добавляемое (или вычитаемое) на каждом этапе арифметической последовательности, называется «общей разницей» d , потому что, если вы вычтите (то есть, если вы найдете разницу) последовательных членов, вы всегда получите это общая ценность.

MathHelp.com

Геометрическая последовательность переходит от одного члена к другому путем умножения (или деления) на одно и то же значение. Итак, 1, 2, 4, 8, 16, … геометрически, потому что каждый шаг умножается на два; и 81, 27, 9, 3, 1, 1/3, … геометрический, потому что каждый шаг делится на 3.

Число, умноженное (или разделенное) на каждом этапе геометрической последовательности, называется «общим соотношением» r , потому что, если вы разделите (то есть, если вы найдете соотношение) последовательных членов, вы всегда получите это общая ценность.


  • Найдите общее различие и следующий член следующей последовательности:

Чтобы найти общую разницу, я должен вычесть пару следующих друг за другом членов.Неважно, какую пару я выберу, если они находятся рядом друг с другом. Чтобы быть внимательным, сделаю все вычитания:

11–3 = 8

19–11 = 8

27–19 = 8

35–27 = 8

Разница всегда равна 8, поэтому общая разница составляет d = 8.

Мне дали пять членов, так что шестой член последовательности будет следующим термином.Я нахожу следующий член, добавляя общее различие к пятому члену:

Тогда мой ответ:

общая разница: d = 8

шестой семестр: 43


  • Найдите общее отношение и седьмой член следующей последовательности:

Чтобы найти общее отношение, я должен разделить следующие пары членов.Неважно, какую пару я выберу, если они находятся рядом друг с другом. Чтобы быть внимательным, сделаю все деления:

Соотношение всегда 3, поэтому r = 3.

Мне дали пять сроков, так что шестой семестр — это следующий семестр; седьмой — срок после этого. Чтобы найти значение седьмого члена, я дважды умножу пятый член на обычное отношение:

a 6 = (18) (3) = 54

a 7 = (54) (3) = 162

Тогда мой ответ:

Общее отношение

: r = 3

седьмой семестр: 162


Поскольку арифметические и геометрические последовательности настолько хороши и правильны, у них есть формулы.

Для арифметических последовательностей общая разница составляет d , а первый член a 1 часто обозначается просто как « a ». Поскольку мы получаем следующий член, добавляя общую разницу, значение a 2 будет просто:

Продолжая, третий член:

a 3 = ( a + d ) + d = a + 2 d

Четвертый член:

a 4 = ( a + 2 d ) + d = a + 3 d

На каждом этапе общая разница умножалась на значение, которое было на единицу меньше индекса.Следуя этому шаблону, n -й член a n будет иметь форму:


Для геометрических последовательностей обычное отношение составляет r , а первый член a 1 часто обозначается просто как « a ». Поскольку следующий член мы получаем умножением на обычное отношение, значение a 2 будет просто:

Продолжая, третий член:

Четвертый член:

На каждом этапе обычное отношение увеличивалось до степени, которая была на единицу меньше индекса.Следуя этому шаблону, n -й член a n будет иметь форму:

Запомните эти формулы n -го члена перед следующим тестом.


  • Найдите десятый член и

    n -й член следующей последовательности:

Первое, что мне нужно сделать, это выяснить, какой это тип последовательности: арифметический или геометрический.Я быстро вижу, что различия не совпадают; например, разница между вторым и первым членами составляет 2 — 1 = 1, но разница между третьим и вторым членами составляет 4 — 2 = 2. Так что это не арифметическая последовательность.

С другой стороны, отношения последовательных членов одинаковы:

2 ÷ 1 = 2

4 ÷ 2 = 2

8 ÷ 4 = 2

(Я не делал деление с первым членом, потому что в нем участвовали дроби, и я ленив.Однако деление дало бы точно такой же результат.)

Итак, очевидно, что это геометрическая последовательность с общим отношением r = 2, а первый член равен a = 1/2. Чтобы найти n -й член, я могу просто подставить в формулу a n = ar ( n — 1) :

a n = (1/2) 2 n –1 = (2 -1 ) (2 n –1 )

= 2 (–1) + ( n — 1) = 2 n — 2

Чтобы найти значение десятого члена, я могу подставить n = 10 в формулу n -го члена и упростить:

Тогда мой ответ:

n -й член:

a n = 2 n –2

десятый семестр: 256


  • Найдите

    n -й член и первые три члена арифметической последовательности, имеющей a 6 = 5 и d = 3/2

n -й член арифметической последовательности имеет форму a n = a + ( n — 1) d .В данном случае эта формула дает мне

a 6 = a + (6 — 1) (3/2) = 5. Решая эту формулу для значения первого члена последовательности, я получаю а = –5/2. Потом:

a 1 =

–5/2

a 2 =

–5/2 + 3/2 = –1

a 3 =

–1 + 3/2 = 1/2

Это дает мне первые три члена последовательности.Поскольку у меня есть значение первого члена и общая разница, я также могу создать выражение для n -го члена и упростить:

–5/2 + ( n — 1) (3/2)

= –5/2 + (3/2) n — 3/2

= –8/2 + (3/2) n = (3/2) n — 4

Тогда мой ответ:

n -й семестр:

(3/2) n — 4

первые три семестра:

–5/2, –1, 1/2


  • Найдите

    n -й член и первые три члена арифметической последовательности, имеющей a, 4 = 93 и a 8 = 65.

Поскольку a 4 и a 8 разделены на четыре позиции, то из определения арифметической последовательности я знаю, что я бы получил от четвертого члена к восьмому, добавив общую разность четыре раза к четвертому члену. ; Другими словами, определение говорит мне, что a 8 = a 4 + 4 d . Используя это, я могу найти общую разницу d :

65 = 93 + 4 д

–28 = 4 d

–7 = d

Кроме того, я знаю, что четвертый член относится к первому члену по формуле a 4 = a + (4 — 1) d , поэтому, используя значение, которое я только что нашел для d , я могу найти значение первого члена a :

93 = a + 3 (–7)

93 + 21 = а

114 = а

Теперь, когда у меня есть значение первого члена и значение общей разницы, я могу быстро найти значения первых трех членов и общую форму n -го члена:

a 1 = 114

a 2 = 114 — 7 = 107

a 3 = 107 — 7 = 100

a n = 114 + ( n — 1) (- 7)

= 114-7 n + 7 = 121-7 n

Тогда мой ответ:

n -й семестр: 121 — 7 n

первые три семестра: 114, 107, 100


  • Найдите

    n, -й и 26-й члены геометрической последовательности: a 5 = 5/4 и a 12 = 160.

Два члена, для которых мне дали числовые значения, разнесены на 12-5 = 7 мест, поэтому, исходя из определения геометрической последовательности, я знаю, что перейду от пятого члена к двенадцатому, умножив пятый член по обыкновению семь раз; то есть a 12 = ( a 5) ( r 7 ). Я могу использовать это, чтобы найти значение общего отношения r :

160 = (5/4) ( r 7 )

128 = r 7

2 = r

Кроме того, я знаю, что пятый член относится к первому по формуле a 5 = ar 4 , поэтому я могу найти значение первого члена a :

5/4 = a (2 4 ) = 16 a

5/64 = а

Теперь, когда у меня есть значение первого члена и значение общего отношения, я могу подставить каждое в формулу для n -го члена, чтобы получить:

a n = (5/64) 2 ( n — 1)

= (5/2 6 ) (2 n –1 )

= (5) (2 –6 ) (2 n –1 )

= 5 (2 n –7 )

С помощью этой формулы я могу вычислить двадцать шестой член и упростить:

Тогда мой ответ:

n -й семестр:

(5/64) (2 n –1 )

26 семестр: 2,621,440


Когда мы узнаем, как работать с последовательностями арифметических и геометрических терминов, мы можем перейти к рассмотрению добавления этих последовательностей.


URL: https://www.purplemath.com/modules/series3.htm

Арифметико-геометрическая прогрессия | Блестящая вики по математике и науке

Теперь, когда мы нашли сумму конечного числа членов, давайте рассмотрим случай бесконечного числа членов. Мы, конечно, не можем вручную суммировать бесконечные числа, поэтому нам придется найти общий подход.Начнем с обсуждения проблемы, с которой вы столкнулись в верхней части этой страницы:

12 + 24 + 38 + 416 + 532 + ⋯ =? \ Large \ dfrac {\ color {# 3D99F6} {1}} {\ color {# D61F06} {2}} + \ dfrac {\ color {# 3D99F6} { 2}} {\ color {# D61F06} {4}} + \ dfrac {\ color {# 3D99F6} {3}} {\ color {# D61F06} {8}} + \ dfrac {\ color {# 3D99F6} { 4}} {\ color {# D61F06} {16}} + \ dfrac {\ color {# 3D99F6} {5}} {\ color {# D61F06} {32}} + \ cdots = \,? 21 +42 +83 +164 +325 + ⋯ =?


Допустим, данная серия является SSS, тогда

S = 12 + 24 + 38 + 416 + 532 + ⋯.S = \ dfrac 12 + \ dfrac 24 + \ dfrac 38+ \ dfrac {4} {16} + \ dfrac {5} {32} + \ cdots.S = 21 +42 +83 +164 +325 + ⋯.

Умножая SSS на 12 \ frac 1221, получаем

S2 = 14 + 28 + 316 + 432 + 564 + ⋯. \ dfrac S2 = \ dfrac 14 + \ dfrac 28 + \ dfrac {3} {16} + \ dfrac {4} {32} + \ dfrac {5} {64} + \ cdots.2S = 41 +82 +163 +324 +645 + ⋯.

Теперь вычитая S2 \ frac S22S из SSS, получаем

S = 12 + 24 + 38 + 416 + 532 + ⋯ S2 = 0 + 14 + 28 + 316 + 432 + 564 + ⋯ S (1−12) = 12 + 14 + 18 + 116 + 132 + ⋯ ⇒S2 = 12 + 14 + 18 + 116 + 132 + ⋯, \ begin {array} {rlllllllll}
S & = \ dfrac 12 & + \ dfrac 24 & + \ dfrac 38 & + \ dfrac {4} {16} & + \ dfrac {5} {32} + \ cdots \\
\ dfrac S2 & = 0 & + \ dfrac 14 & + \ dfrac 28 & + \ dfrac {3} {16} & + \ dfrac {4} {32} + \ dfrac {5} {64} + \ cdots \\
\ hline
S \ left (1- \ dfrac 12 \ right) & = \ dfrac 12 & + \ dfrac 14 & + \ dfrac 18 & + \ dfrac {1} {16} & + \ dfrac {1} {32} + \ cdots \ \
\ Rightarrow \ dfrac S2 & = \ dfrac 12 & + \ dfrac 14 & + \ dfrac 18 & + \ dfrac {1} {16} & + \ dfrac {1} {32} + \ cdots,
\ end {array} S2S S (1-21) ⇒2S = 21 = 0 = 21 = 21 +42 +41 +41 +41 +83 +82 + 81 +81 +164 +163 +161 +161 +325 + ⋯ + 324 +645 + ⋯ + 321 + ⋯ + 321 + ⋯,

, который является GP.2} = 2 1−21 21 + (1−21) 21 × 21 = 2.
Второе суммирование — это геометрическая прогрессия с суммой до бесконечности 141−12 = 12 \ frac {\ frac {1} {4}} {1 — \ frac {1} {2}} = \ frac {1} { 2} 1−21 41 = 21.
Следовательно, общая сумма равна 2−12 = 1,5 □ 2 — \ frac {1} {2} = 1,5 \ _ \ square 2−21 = 1,5 □.

Решение 2:

Данную серию можно записать как

14 + 38 + 516 + 732 + ⋯. \ Dfrac 14+ \ dfrac 38 + \ dfrac {5} {16} + \ dfrac {7} {32} + \ cdots .41 +83 +165 +327 + ⋯.

Умножив и разделив ряд на 444, получим

14 (1 + 32 + 54 + 78 + ⋯).2} \ right) = \ dfrac 14 \ left (2 + 4 \ right) = 1,5. \ _ \ квадрат S = 41 ⎝⎜⎜⎜⎛ 1−21 1 + (1−21) 22⋅21 ⎠⎟⎟⎟⎞ = 41 (2 + 4) = 1,5. □

Решение проблем ниже позволит проверить, хорошо ли вы разбираетесь в концепциях и способах решения проблем:

Найдите значение ppp для данного

3 + 14 (3 + p) +142 (3 + 2p) +143 (3 + 3p) + ⋯ = 8. {n-1} [/ латекс].

Ключевые термины
  • геометрическая последовательность : упорядоченный список чисел, в котором каждый член после первого находится путем умножения предыдущего на фиксированное ненулевое число, называемое общим отношением. Также известна как геометрическая прогрессия.

Определение геометрических последовательностей

Геометрическая прогрессия, также известная как геометрическая последовательность, представляет собой упорядоченный список чисел, в котором каждый член после первого находится путем умножения предыдущего на фиксированное ненулевое число, называемое обычным соотношением [латекс] r [/ latex ].{n-1} [/ латекс]

Такая геометрическая последовательность также следует рекурсивному соотношению:

[латекс] a_n = ra_ {n-1} [/ латекс]

для каждого целого числа [латекс] n \ ge 1. [/ Latex]

Поведение геометрических последовательностей

Обычно, чтобы проверить, является ли данная последовательность геометрической, просто проверяют, все ли последовательные записи в последовательности имеют одинаковое соотношение. Обычное отношение геометрического ряда может быть отрицательным, что приведет к чередованию последовательности. В чередующейся последовательности будут числа, которые переключаются между положительными и отрицательными знаками.Например: [латекс] 1, -3,9, -27,81, -243, \ cdots [/ latex] — геометрическая последовательность с общим соотношением [латекс] -3 [/ латекс].

Поведение геометрической последовательности зависит от значения общего отношения. Если общее отношение:

  • Положительно, все условия будут того же знака, что и начальный термин
  • Отрицательный, условия будут чередоваться между положительным и отрицательным
  • Больше, чем [latex] 1 [/ latex], будет экспоненциальный рост в сторону положительной бесконечности ([latex] + \ infty [/ latex])
  • [latex] 1 [/ latex], прогрессия будет постоянной
  • Между [латексом] -1 [/ латексом] и [латексом] 1 [/ латексом], но не между [латексом] 0 [/ латексом] будет экспоненциальный спад в сторону [латекса] 0 [/ латекса]
  • [latex] -1 [/ latex], прогрессия — чередующаяся последовательность (см. Чередующиеся серии)
  • Меньше [latex] -1 [/ latex], для абсолютных значений наблюдается экспоненциальный рост в сторону положительной и отрицательной бесконечности (из-за чередования знаков)

Геометрические последовательности (с общим соотношением, не равным [латекс] -1 [/ латекс], [латекс] 1 [/ латекс] или [латекс] 0 [/ латекс]) показывают экспоненциальный рост или экспоненциальное затухание, в отличие от линейный рост (или снижение) арифметической прогрессии, такой как [латекс] 4, 15, 26, 37, 48, \ cdots [/ латекс] (с общим отличием [латекс] 11 [/ латекс]).Этот результат был получен T.R. Мальтуса в качестве математической основы его принципа народонаселения. Обратите внимание, что два вида прогрессии связаны между собой: возведение в степень каждого члена арифметической прогрессии дает геометрическую прогрессию, а логарифм каждого члена в геометрической прогрессии с положительным общим отношением дает арифметическую прогрессию.

Интересным результатом определения геометрической прогрессии является то, что для любого значения общего отношения любые три последовательных термина [латекс] a [/ латекс], [латекс] b [/ латекс] и [латекс] c [/ латекс] удовлетворяет следующему уравнению:

[латекс] {b} ^ {2} = ac [/ latex]

Суммирование первых n членов геометрической последовательности

Используя обычное отношение и первый член геометрической последовательности, мы можем суммировать его члены.{n}} {1-r}} [/ латекс].

Ключевые термины
  • геометрическая серия : Бесконечная последовательность добавляемых чисел, члены которой находятся путем умножения предыдущего члена на фиксированное ненулевое число, называемое обычным отношением.
  • геометрическая прогрессия : серия чисел, в которой каждый член после первого находится путем умножения предыдущего на фиксированное ненулевое число, называемое обычным отношением.

Геометрические ряды являются примерами бесконечных рядов с конечными суммами, хотя не все из них обладают этим свойством.Исторически геометрические ряды играли важную роль в раннем развитии исчисления, и они по-прежнему занимают центральное место в изучении сходимости рядов. Геометрические ряды используются в математике и имеют важные приложения в физике, инженерии, биологии, экономике, информатике, теории очередей и финансах.

Члены геометрического ряда образуют геометрическую прогрессию, что означает, что соотношение следующих друг за другом членов в ряду постоянно. {n}}}} [/ латекс]

является геометрическим, потому что каждый последующий член может быть получен умножением предыдущего члена на [latex] \ displaystyle {\ frac {1} {2}} [/ latex].{n}}} [/ латекс]

Эту концепцию можно визуализировать с помощью диаграммы:

Бесконечная геометрическая серия: Каждый из фиолетовых квадратов получается путем умножения площади следующего большего квадрата на [latex] \ displaystyle {\ frac {1} {4}} [/ latex]. Площадь первого квадрата составляет [латекс] \ displaystyle {\ frac {1} {2} \ cdot \ frac {1} {2} = \ frac {1} {4}} [/ latex], а площадь второй квадрат — [латекс] \ displaystyle {\ frac {1} {4} \ cdot \ frac {1} {4} = \ frac {1} {16}} [/ latex].

Ниже приведены несколько геометрических рядов с разными общими отношениями.Поведение терминов зависит от общего соотношения [латекс] г [/ латекс]:

  • [латекс] 4 + 40 + 400 + 4000 + \ точки [/ латекс] имеет общее отношение [латекс] 10 [/ латекс]
  • [латекс] \ displaystyle {9 + 3 + 1 + \ frac {1} {3} + \ frac {1} {9} + \ dots} [/ latex] имеет общее соотношение [латекс] {\ frac {1 } {3}} [/ латекс]
  • [латекс] 3 + 3 + 3 + 3 + \ точки [/ латекс] имеет общее соотношение [латекс] 1 [/ латекс]
  • [латекс] \ displaystyle {1- \ frac {1} {2} + \ frac {1} {4} — \ frac {1} {8} + \ dots} [/ latex] имеет общее соотношение [латекс] — \ frac {1} {2} [/ latex]
  • [латекс] 3-3 + 3-3 + \ точки [/ латекс] имеет общее соотношение [латекс] -1 [/ латекс]

Значение [latex] r [/ latex] дает информацию о характере серии:

  • Если [латекс] r [/ латекс] находится между [латекс] -1 [/ латекс] и [латекс] +1 [/ латекс], члены ряда становятся все меньше и меньше, приближаясь к нулю в пределе, и ряд сходится к сумме.Рассмотрим последовательность, в которой [латекс] r [/ latex] равен половине [латекса] {\ left (\ frac {1} {2}, \ frac {1} {4}, \ frac {1} {8}, \ cdots \ right)} [/ latex], сумма которого равна единице.
  • Если [latex] r [/ latex] больше, чем [latex] 1 [/ latex] или меньше, чем [latex] -1 [/ latex], члены ряда становятся все больше и больше по величине. Сумма членов также становится все больше и больше, и в серии нет суммы. Сериал расходится.
  • Если [latex] r [/ latex] равно [latex] 1 [/ latex], все члены серии совпадают.Сериал расходится.
  • Если [latex] r [/ latex] равно [latex] -1 [/ latex], термины принимают поочередно два значения [latex] \ left (\ text {eg}, 2, -2,2, -2,2 , -2, \ cdots \ right) [/ латекс]. Сумма членов колеблется между двумя значениями [latex] \ left (\ text {eg.}, 2,0,2,0,2,0, \ cdots \ right) [/ latex]. Это другой тип дивергенции, и снова у ряда нет суммы.

Мы можем использовать формулу, чтобы найти сумму конечного числа членов в последовательности. {5}} {1-3} \\ & = 6 \ cdot \ frac {{-242}} {-2} \\ & = 6 \ cdot 121 \\ & = 726 \ end {align}} [/ латекс ]

Серия Infinite Geometric

Геометрические ряды — один из простейших примеров бесконечных рядов с конечными суммами.

Цели обучения

Вычислить сумму бесконечного геометрического ряда и определить, когда геометрический ряд сойдется.

Ключевые выводы

Ключевые моменты
  • Сумма геометрического ряда конечна, пока члены стремятся к нулю; поскольку числа близки к нулю, они становятся незначительно малыми, что позволяет вычислить сумму, несмотря на бесконечность ряда.
  • Для бесконечного геометрического ряда, который сходится, его сумму можно вычислить по формуле [latex] \ displaystyle {s = \ frac {a} {1-r}} [/ latex].
Ключевые термины
  • сходиться : приблизиться к конечной сумме.
  • геометрическая серия : Бесконечная последовательность суммированных чисел, члены которой постепенно меняются с общим соотношением.

Геометрический ряд — это бесконечный ряд, члены которого находятся в геометрической прогрессии или чьи последовательные члены имеют общее отношение. Если члены геометрического ряда стремятся к нулю, сумма его членов будет конечной. Когда числа близки к нулю, они становятся незначительно малыми, что позволяет вычислить сумму, несмотря на бесконечность ряда.

Говорят, что геометрический ряд с конечной суммой сходится. Ряд сходится тогда и только тогда, когда абсолютное значение общего отношения меньше единицы:

.

[латекс] \ левый | г \ право | <1 [/ латекс]

Что следует на примере бесконечного ряда с конечной суммой. Подсчитаем сумму [latex] s [/ latex] следующей серии:

[латекс] \ displaystyle {s = 1+ \ frac {2} {3} + \ frac {4} {9} + \ frac {8} {27} + \ cdots} [/ latex]

Эта серия имеет общее соотношение [латекс] \ displaystyle {\ frac {2} {3}} [/ latex].Если мы умножим на это обычное соотношение, то начальный член [латекс] 1 [/ latex] станет [latex] \ displaystyle {\ frac {2} {3}} [/ latex], [latex] \ displaystyle {\ frac {2} {3}} [/ latex] становится [latex] \ displaystyle {\ frac {4} {9}} [/ latex] и так далее:

[латекс] \ displaystyle {\ frac {2} {3} s = \ frac {2} {3} + \ frac {4} {9} + \ frac {8} {27} + \ frac {16} { 81} + \ cdots} [/ латекс]

Эта новая серия такая же, как и исходная, за исключением того, что отсутствует первый член. Вычитая новую серию [latex] \ displaystyle {\ frac {2} {3} s} [/ latex] из исходной серии, [latex] s [/ latex] отменяет все термины в оригинале, кроме первого:

[латекс] \ displaystyle {\ begin {align} s- \ frac {2} {3} s & = 1 \\ \ поэтому s & = 3 \ end {align}} [/ latex]

Подобный метод можно использовать для вычисления любого самоподобного выражения.n \ rightarrow 0 \\ & = \ frac {a} {1-r} \ end {align}} [/ latex]

Следовательно, для [latex] | r | <1 [/ latex] мы можем записать бесконечную сумму как:

[латекс] \ Displaystyle {s = \ frac {a} {1-r}} [/ латекс]

Пример

Найдите сумму бесконечного геометрического ряда [латекс] 64+ 32 + 16 + 8 + \ cdots [/ latex]

Сначала найдите [latex] r [/ latex], или постоянное соотношение между каждым членом и тем, что ему предшествует:

[латекс] \ displaystyle {\ begin {align} r & = \ frac {32} {64} \\ & = \ frac {1} {2} \ end {align}} [/ latex]

Подставьте [латекс] a = 64 [/ latex] и [latex] \ displaystyle r = \ frac {1} {2} [/ latex] в формулу суммы бесконечного геометрического ряда:

[латекс] \ displaystyle {\ begin {align} s & = \ frac {64} {1- \ frac {1} {2}} \\ & = \ frac {64} {\ frac {1} {2} } \\ & = 128 \ end {align}} [/ latex]

Применения геометрической серии

Геометрические ряды применяются в математике и естественных науках и являются одним из простейших примеров бесконечных рядов с конечными суммами.

Цели обучения

Применение геометрических последовательностей и рядов к различным физическим и математическим темам

Ключевые выводы

Ключевые моменты
  • Повторяющаяся десятичная дробь может рассматриваться как геометрическая последовательность, общее отношение которой равно степени [латекс] \ displaystyle {\ frac {1} {10}} [/ latex].
  • Архимед использовал сумму геометрического ряда для вычисления площади, заключенной между параболой и прямой линией.
  • Внутренняя часть снежинки Коха представляет собой объединение бесконечного множества треугольников.При изучении фракталов геометрические ряды часто возникают как периметр, площадь или объем самоподобной фигуры.
  • Знание бесконечных рядов позволяет нам решать древние проблемы, такие как парадоксы Зенона.
Ключевые термины
  • геометрическая серия : бесконечная последовательность суммированных чисел, члены которой постепенно изменяются с общим соотношением.
  • фрактал : природное явление или математический набор, который демонстрирует повторяющийся узор, который можно увидеть в любом масштабе.

Геометрические ряды сыграли важную роль в раннем развитии исчисления и продолжают оставаться центральной частью изучения сходимости рядов. Геометрические ряды используются во всей математике. У них есть важные приложения в физике, инженерии, биологии, экономике, информатике, теории массового обслуживания и финансах.

Геометрические ряды — один из простейших примеров бесконечных рядов с конечными суммами, хотя не все они обладают этим свойством.

Повторяющаяся десятичная дробь

Повторяющееся десятичное число можно рассматривать как геометрический ряд, общее отношение которого равно степени [латекс] \ displaystyle {\ frac {1} {10}} [/ latex].Например:

[латекс] \ displaystyle {0,7777 \ cdots = \ frac {7} {10} + \ frac {7} {100} + \ frac {7} {1000} + \ frac {7} {10000} + \ cdots} [/ латекс]

Формула суммы геометрического ряда может использоваться для преобразования десятичной дроби в дробь:

[латекс] \ displaystyle {\ begin {align} 0,7777 \ cdots & = \ frac {a} {1-r} \\ & = \ frac {\ frac {7} {10}} {1- \ frac {1 } {10}} \\ & = \ frac {\ left (\ frac {7} {10} \ right)} {\ left (\ frac {9} {10} \ right)} \\ & = \ left ( \ frac {7} {10} \ right) \ left (\ frac {10} {9} \ right) \\ & = \ frac {7} {9} \ end {align}} [/ latex]

Формула работает для любого повторяющегося термина.Еще несколько примеров:

[латекс] \ displaystyle {\ begin {align} 0.123412341234 \ cdots & = \ frac {a} {1-r} \\ & = \ frac {\ frac {1234} {10000}} {1- \ frac {1 } {10000}} \\ & = \ frac {\ left (\ frac {1234} {10000} \ right)} {\ left (\ frac {9999} {10000} \ right)} \\ & = \ left ( \ frac {1234} {10000} \ right) \ left (\ frac {10000} {9999} \ right) \\ & = \ frac {1234} {9999} \ end {align}} [/ latex]

[латекс] \ displaystyle {\ begin {align} 0,0

0909 \ cdots & = \ frac {a} {1-r} \\ & = \ frac {\ frac {9} {100}} {1- \ frac {1 } {100}} \\ & = \ frac {\ left (\ frac {9} {100} \ right)} {\ left (\ frac {99} {100} \ right)} \\ & = \ left ( \ frac {9} {100} \ right) \ left (\ frac {100} {99} \ right) \\ & = \ frac {9} {99} \\ & = \ frac {1} {11} \ конец {align}} [/ latex]

[латекс] \ displaystyle {\ begin {align} 0.143814381438 \ cdots & = \ frac {a} {1-r} \\ & = \ frac {\ frac {1438} {10000}} {1- \ frac {1} {10000}} \\ & = \ frac { \ left (\ frac {1438} {10000} \ right)} {\ left (\ frac {9999} {10000} \ right)} \\ & = \ left (\ frac {1438} {10000} \ right) \ left (\ frac {10000} {9999} \ right) \\ & = \ frac {1438} {9999} \ end {align}} [/ latex]

[латекс] \ displaystyle {\ begin {align} 0,9999 \ cdots & = \ frac {a} {1-r} \\ & = \ frac {\ frac {9} {10}} {1- \ frac {1 } {10}} \\ & = \ frac {\ left (\ frac {9} {10} \ right)} {\ left (\ frac {9} {10} \ right)} \\ & = \ left ( \ frac {9} {10} \ right) \ left (\ frac {10} {9} \ right) \\ & = \ frac {9} {9} \\ & = 1 \ end {align}} [/ латекс]

То есть повторяющаяся десятичная дробь с повторяющейся частью длины [латекс] n [/ latex] равна частному повторяющейся части (как целое число) и [латекс] 10 ^ n — 1 [/ latex].

Квадратура Параболы Архимеда

Архимед использовал сумму геометрического ряда для вычисления площади, заключенной между параболой и прямой линией. Его метод заключался в том, чтобы разрезать область на бесконечное количество треугольников.

Теорема Архимеда: Разбиение Архимеда параболического сегмента на бесконечное количество треугольников.

Теорема Архимеда утверждает, что общая площадь под параболой равна [latex] \ displaystyle {\ frac {4} {3}} [/ latex] площади синего треугольника.{3} + \ cdots} [/ latex]

Первый член представляет площадь синего треугольника, второй член — площади двух зеленых треугольников, третий член — площади четырех желтых треугольников и так далее. Упрощение дробей дает:

[латекс] \ displaystyle {1+ \ frac {1} {4} + \ frac {1} {16} + \ frac {1} {64} + \ cdots} [/ latex]

Это геометрический ряд с общим соотношением [латекс] \ displaystyle {\ frac {1} {4}} [/ latex], а дробная часть равна [latex] \ displaystyle {\ frac {1} {3} }[/латекс].

Фрактальная геометрия

Снежинка Коха: Внутренняя часть снежинки Коха состоит из бесконечного количества треугольников.

Снежинка Коха — это фрактальная форма, внутренность которой состоит из бесконечного количества треугольников. При изучении фракталов геометрические ряды часто возникают как периметр, площадь или объем самоподобной фигуры. В случае снежинки Коха ее площадь можно описать геометрическим рядом.

Построение снежинки Коха: первые четыре итерации: каждая итерация добавляет набор треугольников снаружи формы.

Область внутри снежинки Коха можно описать как объединение бесконечного числа равносторонних треугольников. На диаграмме выше треугольники, добавленные во второй итерации, имеют размер [латекс] \ displaystyle {\ frac {1} {3}} [/ latex], равный размеру стороны наибольшего треугольника, и поэтому они имеют ровно [латекс ] \ displaystyle {\ frac {1} {9}} [/ latex] область. Точно так же каждый треугольник, добавленный во второй итерации, имеет [latex] \ displaystyle {\ frac {1} {9}} [/ latex] площадь треугольников, добавленных в предыдущей итерации, и так далее.{3} + \ cdots} [/ latex]

Первый член этого ряда представляет площадь первого треугольника, второй член — общую площадь трех треугольников, добавленных во второй итерации, третий член — общую площадь двенадцати треугольников, добавленных в третьей итерации, и т. Д. . За исключением начального члена [латекс] 1 [/ латекс], этот ряд является геометрическим с постоянным соотношением [латекс] \ displaystyle {r = \ frac {4} {9}} [/ latex]. Первый член геометрического ряда — [латекс] \ displaystyle {a = 3 \ frac {1} {9} = \ frac {1} {3}} [/ latex], поэтому сумма составляет:

[латекс] \ displaystyle {\ begin {align} 1+ \ frac {a} {1-r} & = 1 + \ frac {\ frac {1} {3}} {1- \ frac {4} {9 }} \\ & = \ frac {8} {5} \ end {align}} [/ latex]

Таким образом, снежинка Коха имеет [латекс] \ displaystyle {\ frac {8} {5}} [/ latex] площади основного треугольника.

Парадоксы Зенона

Парадоксы Зенона — это набор философских проблем, изобретенных древнегреческим философом для поддержки учения о том, что истина противоречит нашим чувствам. Проще говоря, один из парадоксов Зенона гласит: существует точка A, которая хочет переместиться в другую точку B. Если A перемещается только на половину расстояния между ней и точкой B за один раз, она никогда не доберется туда, потому что вы можете продолжать делить оставшееся пространство пополам навсегда. Ошибка Зенона заключается в предположении, что сумма бесконечного числа конечных шагов не может быть конечной.Теперь мы знаем, что его парадокс не соответствует действительности, о чем свидетельствует сходимость геометрического ряда с [латексом] \ displaystyle {r = \ frac {1} {2}} [/ latex]. Эта проблема была решена современной математикой, которая может применить концепцию бесконечного ряда, чтобы найти сумму пройденных расстояний.

Формулы геометрической прогрессии, геометрические ряды, бесконечные геометрические ряды

В математике геометрическая прогрессия (последовательность) (также неточно известная как геометрическая последовательность ) представляет собой последовательность
чисел, так что частное любых двух последовательных членов последовательности является константой, называемой
обычное отношение последовательности.

Геометрическую прогрессию можно записать как:

ar 0 = a, ar 1 = ar, ar 2 , ar 3 , …
где r ≠ 0, r — обычное отношение, а a — коэффициент масштабирования (также первый член) .

Примеры

Геометрическая прогрессия со знаменателем 2 и масштабным коэффициентом 1 равна
1, 2, 4, 8, 16, 32 …

Геометрическая последовательность с общим соотношением 3 и масштабным коэффициентом 4 равна
4, 12, 36, 108, 324 …

Геометрическая прогрессия с обычным отношением -1 и масштабным коэффициентом 5 равна
5, -5, 5, -5, 5, -5 ,…

Формулы

Формулу для n-го члена можно определить как:

a n = a n-1 r
a n = a 1 ⋅r n-1

Формула обыкновенного отношения:

Если общее соотношение:

  • Отрицательный, результаты будут чередоваться между положительными и отрицательными .
    Пример:
    1, -2, 4, -8, 16, -32 … — обычное отношение равно -2, а первый член равен 1.

  • Больше 1, будет экспоненциальный рост к бесконечности (положительный) .
    Пример :
    1, 5, 25, 125, 625 … — обычное отношение равно 5.

  • Менее -1, будет экспоненциальный рост к бесконечности (положительный и отрицательный) .
    Пример :
    1, -5, 25, -125, 625, -3125, 15625, -78125, 3

    , -1953125 … — обычное отношение равно -5.


  • Между 1 и -1, будет экспоненциальный спад к нулю .
    Пример :
    4, 2, 1, 0,5, 0,25, 0,125, 0,0625 … — обычное отношение $ \ frac {1} {2} $
    4, -2, 1, -0,5, 0,25, -0,125, 0,0625 … — обычное отношение $ — \ frac {1} {2} $.

  • Ноль, результаты останутся на нуле .
    Пример :
    4, 0, 0, 0, 0 … — обычное отношение равно 0, а первый член равен 4.

Свойства геометрической прогрессии

a 2 k = a k-1 ⋅a k + 1
a 1 ⋅a n = a 2 ⋅a n-1 =… = a k ⋅a n-k + 1

Формула суммы первых n чисел геометрического ряда

S n = a 1 — a n r
1 — г
= 1 . 1 — р н
1 — г
Бесконечный геометрический ряд, где | r |

<1

Если | r | <1, тогда a n -> 0,
когда n -> ∞.
Сумма S такого бесконечного геометрического ряда определяется формулой:

что справедливо только при | r | <1.

1 — первый член.

Калькулятор геометрической прогрессии
Задачи геометрической прогрессии

Задача 1.
Последовательность 2, 4, 6, 8 … геометрическая прогрессия?
Решение: Нет, это не так. (2, 4, 8 — геометрическая прогрессия)


Задача 2
Если 2, 4, 8 … образуют геометрическую прогрессию. Какой 10-й срок?
Решение: Мы можем использовать формулу a n = a 1 ⋅ r n-1
a 10 = 2 ⋅ 2 10-1 = 2 ⋅ 512 = 1024


Задача 3
Найдите масштабный коэффициент и командное отношение геометрической прогрессии, если

a 5 — a 1 = 15
a 4 — a 2 = 6
Решение: есть две геометрические прогрессии.У первого есть
масштабный коэффициент 1 и общее отношение = 2
второе решение -16, 1/2

Дополнительные задачи:
Геометрическая прогрессия — задачи
Задачи с прогрессиями

Геометрические прогрессии на математическом форуме

Присоединяйтесь к нашему математическому форуму (регистрация не требуется!)

Форумы с прогрессиями

Сумма первых n членов геометрической последовательности

Если последовательность геометрическая, есть способы найти сумму первых n элементов.
термины, обозначенные Sn, без фактического добавления всех терминов.

Чтобы найти сумму первых Sn
члены геометрической последовательности используют формулу
Sn = a1 (1 − rn) 1 − r, r ≠ 1,
, где n
— количество слагаемых, a1
— первый член, а r
это обычное отношение.

Сумма первых n
термины геометрической последовательности называется геометрической серией.

Пример 1:

Найдите сумму первых 8 членов геометрического ряда, если a1 = 1
и r = 2.

S8 = 1 (1-28) 1-2 = 255

Пример 2:

Найдите S10
геометрической последовательности 24,12,6, ⋯.

Сначала найдите r.

r = r2r1 = 1224 = 12

Теперь найдите сумму:

S10 = 24 (1− (12) 10) 1−12 = 306964

Пример 3:

Вычислить.

∑n = 1103 (−2) n − 1

(Вы находите S10
для ряда 3−6 + 12−24 + ⋯, значащее отношение которого равно −2.)

Sn = a1 (1 − rn) 1 − rS10 = 3 [1 — (- 2) 10] 1 — (- 2 ) = 3 (1−1024) 3 = −1023

Для того, чтобы бесконечный геометрический ряд имел сумму, должно быть стандартное отношение r
должно быть между -1
и 1. Тогда при n
увеличивается, рН
становится все ближе и ближе к 0.Чтобы найти сумму бесконечного геометрического ряда, имеющего отношения с абсолютным значением меньше единицы, используйте формулу S = a11 − r, где a1
— первый член, а r
это обычное отношение.

Пример 4:

Найдите сумму бесконечной геометрической последовательности
27,18,12,8, ⋯.

Сначала найдите r:

r = a2a1 = 1827 = 23

Затем найдите сумму:

S = a11 − r

S = 271−23 = 81

Пример 5:

Найдите сумму бесконечной геометрической последовательности
8,12,18,27, ⋯
если он существует.

Сначала найдите r:

r = a2a1 = 128 = 32

Так как r = 32

не меньше единицы. Серия не имеет суммы.

Существует формула для вычисления n th члена геометрического ряда, то есть суммы первых n
члены геометрической последовательности.

См. Также: сигма-обозначение ряда
и сумма первых n
члены арифметической последовательности

.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *