линейная функция, квадратичная, кубическая и y=1/x

 

Степенной называется функция вида y=xⁿ (читается как y равно х в степени n), где n – некоторое заданное число. Частными случаями степенных функций является функции вида y=x, y=x², y=x³, y=1/x и многие другие. Расскажем подробнее о каждой из них.

Линейная функция y=x

¹ (y=x)

График прямая линия, проходящая через точку (0;0) под углом 45 градусов к положительному направлению оси Ох.

График представлен ниже.

Основные свойства линейной функции:

• Функция возрастающая и определена на всей числовой оси. 
• Не имеет максимального и минимального значений. 

Квадратичная функция y=x

²

Графиком квадратичной функции является парабола. 

Общий вид параболы представлен на рисунке ниже.

Основные свойства квадратичной функции:

• 1.  При х =0, у=0, и у>0 при х0
• 2. Минимальное значение  квадратичная функция достигает в своей вершине. Ymin при x=0; Следует также заметить, что максимального значения у функции не существует.
• 3. Функция убывает на промежутке (-∞;0] и возрастает на промежутке [0;+∞). 
• 4. Противоположным значениям х соответствует одинаковые значения y. 

Кубическая функция y=x

³

Графиком кубической функции называется кубическая парабола.

Общий вид параболы представлен на рисунке ниже.  

Основные свойства кубической функции:

• 1. При х =0, у=0. у>0 при х>0 и y
• 2. У кубической функции не существует не максимального ни минимального значения.
• 3. Кубическая функция возрастает на всей числовой оси (-∞;+∞).
• 4. Противоположным значениям х, соответствуют противоположные значения y.

Функция вида y=x

^-1 (y=1/x)

Графиком функции y=1/x называется гипербола.

Общий вид гиперболы представлен на рисунке ниже.

Основные свойства функции y = 1/x:

• 1. Точка (0;0) центр симметрии гиперболы. 
• 2. Оси координат – асимптоты гиперболы.
• 3. Прямая y=x ось симметрии гиперболы.
• 4. Область определения функции все х, кроме х=0.
• 5. y>0 при x>0; y
• 6. Функция убывает как на промежутке (-∞;0), так и на промежутке (0;+∞).
• 7. Функция не ограничена ни снизу, ни сверху.
• 8. У функции нет ни наибольшего, ни наименьшего значений.
• 9. Функция непрерывна на промежутке (-∞;0) и на промежутке (0;+∞). Имеет разрыв в точке х=0.
• 10. Область значений функции два открытых промежутка (-∞;0) и (0;+∞).

Нужна помощь в учебе?

Предыдущая тема: Четные и нечетные функции: графики и свойства
Следующая тема:&nbsp&nbsp&nbspОпределение корня n-ой степени: извлечение корня

Открытая Математика. Функции и Графики. Параллельный перенос

Пусть имеется график функции y = f (x). Зададимся целью построить график функции y = f₁ (x), где f₁ (x) = f (x) + B. Ясно, что области определения этих функций совпадают. Пусть A (x₀; y₀) – точка на графике функции y = f (x). Соответствующая ей точка A′ (x₀; y₁) с той же абсциссой имеет координаты A′ (x₀; y₀ + B). Точка A′ получается из точки A сдвигом на B вертикально вверх, если B > 0, и на |B| вниз, если B < 0. Обобщая это рассуждение на все точки, приходим к выводу, что график функции y = f (x) + B получается из графика функции y = f (x) параллельным переносом вдоль оси OY на B вверх, если B > 0, и на |B| вниз, если B < 0.

Алгебраически для каждой точки графика это можно записать системой

{x′=x,y′=y+B,

где x и y – координаты какой-либо точки старого графика, x′ и y′ – соответствующей ей точки нового.

Аналогичным образом можно построить график функции y = f (x – b). Точка A′ (x′; y′) нового графика имеет такую же ординату, как и точка A (x; y), если x′ = x + b. Таким образом, чтобы построить точку A′, нужно сместить точку A вправо, если b > 0, и влево, если b < 0.

Параллельный перенос графиков

График функции y = f (x – b) получается из графика функции y = f (x) параллельным переносом вдоль оси OX на b вправо, если b > 0, и на |b| влево, если b < 0.

Алгебраически это записывается системой:

{x′=x+by′=y

Область определения функции, соответствующей новому графику, также смещается на a по отношению к области определения функции, задающей старый график.

В общем случае график функции y = f (x – b) + B получается из графика функции y = f (x) параллельным переносом, при котором начало координат O (0, 0) переходит в точку O′ (b, B). Обычно находят точку O′ и проводят через нее вспомогательные координатные оси, относительно которых строят график функции y = f (x).

Как построить y = 1 / x в виде единого графика Ru Python

Есть ли простой способ построить функцию, которая стремится к бесконечности в положительном и отрицательном как один сюжет, без графика, соединяющего оба конца положительного и отрицательного?

Например, построение y = 1 / x с использованием этого кода дает результат:

import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt def f(x): return 1/x fx_name = r'$f(x)=\frac{1}{x}$' x=np.setdiff1d(np.linspace(-10,10,100),[0]) #to remove the zero y=f(x) plt.plot(x, y, label=fx_name) plt.legend(loc='upper left') plt.show() 

Но я хотел бы получить этот результат, который я достигаю, построив два отдельных домена:

 import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt def f(x): return 1/x fx_name = r'$f(x)=\frac{1}{x}$' xfn=np.setdiff1d(np.linspace(-10,0,100),[0]) xfp=np.setdiff1d(np.linspace(0,10,100),[0]) yfn=f(xfn) yfp=f(xfp) yf = plt.plot(xfn, yfn, label=fx_name) plt.plot(xfp, yfp, color=yf[0].get_color()) plt.legend(loc='upper left') plt.show() 

Есть короткие сокращения? Большое спасибо.

Решение

Включите нуль в массив домена и подавите деление на ноль. Это заставляет один элемент возвращенной совокупности со-домена быть «inf», а «inf» не отображается.

 import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt def f(x): with np.errstate(divide='ignore', invalid='ignore'): return 1/x fx_name = r'$f(x)=\frac{1}{x}$' x=np.linspace(-10,10,101) y=f(x) plt.plot(x, y, label=fx_name) plt.legend(loc='upper left') plt.show() 

Я предпочитаю этот метод, так как он избегает ручного управления массивом и может быть легко повторно использован для других функций, которые используют один и тот же домен (например, y = 1 / (x + 2)). Спасибо всем за вклад.

На самом деле вы хотите включить x = 0 потому что это приводит к y = nan , образуя зазор на графике.

 import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt def f(x): return 1/x fx_name = r'$f(x)=\frac{1}{x}$' # using 101 steps results in in array including the value 0 x=np.linspace(-10,10,101) # f(0) = nan -> a nan value creates a gap y=f(x) plt.plot(x, y, label=fx_name) plt.legend(loc='upper left') plt.show() 

Не так просто, как ваш обходной путь, но вы можете вставить элемент «nan» в индекс, где знак переворачивается, например:

 idx = np.argmax(np.diff(np.sign(y)))+1 x = np.insert(x, idx, np.nan) y = np.insert(y, idx, np.nan) 

«Нан» заставляет Matplotlib прерывать линию.

основанный на Rutger Kassies ides:

 n_points = 100 x=np.setdiff1d(np.linspace(-10,10,n_points),[0]) #to remove the zero y=f(x) y[n_points//2-1:n_points//2+1] = np.nan 

используйте свой исходный сюжет, установите точки вокруг 0 ​​на np.nan . таким образом слишком много точек получают значение None но оно симметрично.

вы также можете настроить ваше linspace таким образом, чтобы f(x) = np.nan : n_points = 101 . ( этот ответ и 2 комментария заявили, что прямо перед тем, как я сделал … пожалуйста, кредит там).

График функции, построение графика, урок по алгебре за 10 класс, презентация

Дата публикации: 09 апреля 2017.

Ребята, мы с вами построили много графиков функций, например, параболы, гиперболы, графики тригонометрических функций и другие. Давайте вспомним, как мы это делали. Мы выбирали точки на оси абсцисс, высчитывали значения ординат нашей функций и плавно соединяли наши ординаты на координатной плоскости. То есть, мы строили график по точкам. При построении многих графиков, точки нужно выбирать обдуманно. Теперь давайте обобщим наши знания и напишем общие правила построения графиков функций.

Что же такое график функции?

График функции – это множество точек, абсциссы которых являются значениями из области определения, а ординаты — значениями функции y= f(x). График любой функций строят по точкам. Но если мы точно не знаем, какой будет вид у графика, то точки надо выбирать обдуманно. Ребята, какие важные точки есть у функций?

Давайте, вспомним их:

а) Стационарные и критические точки. Такие точки мы научились находить при вычислении экстремумов функций. Это точки, в которой производная либо равна нулю, либо не существует.
б) Точки экстремума. Точки максимума и минимума функций. Точки, возле которых определяется характер монотонности.
в) Точки пересечения графика с осью абсцисс и осью ординат. Значения, в которых функция y= f(x)= 0 – точки пересечения с осью абсцисс. А если вычислить f(0) – то эта точка пересечения с осью ординат.
г) Точки разрыва функций. Эти точки ищутся для не непрерывных функций.

Правило построения графиков функций

Ребята, давайте запишем основные правила построения графиков функций:

• Если функция y= f(x) непрерывна на всей числовой прямой, то надо найти стационарные и критические точки, точки экстремума, промежутки монотонности, точки пересечения графика с осями координат и при необходимости выбрать еще несколько контрольных точек, в которых следует подсчитать значение нашей функции.
• Если функция y= f(x) определена не на всей числовой прямой, то начинать следует с нахождения области определения функции, с указания точек ее разрыва.
• Полезно исследовать функцию на чётность, поскольку графики четной или нечетной функций обладают симметрией (соответственно относительно оси y или относительно начала координат), и, следовательно, можно сначала построить только ветвь графика при x ≥ 0, а затем дорисовать симметричную ветвь.
• Если
  то прямая y= b является горизонтальной асимптотой нашего графика функции. Асимптота — это некоторой ориентир для нашей функции. Это то, к чему стремится график функции в точке, но не достигает этого значения.
• Если f(x)=$\frac{p(x)}{q(x)}$; и при x= a знаменатель обращается в нуль, а числитель отличен от нуля, то x= a — это вертикальная асимптота.

Несколько правил, упрощающих построение графиков функций:

а) График функции y= f(x) + a получается из графика функции y= f(x) (график y= f(x) заранее известен), путем параллельного переноса графика y= f(x) на а единиц вверх, если а > 0; и на а единиц вниз, если а

Для примера построим три графика: а) y= x², б) y= x² + 2, в) y= x² — 3.

Графики наших функций получается из графика функции y=x², путем его параллельного переноса: б) на две единицы вверх, в) на три единицы вниз.

Графики наших функций:

б) График функции y= f(x + a) получается из графика функции y= f(x) (график y= f(x) заранее известен). Используем параллельный перенос графика y= f(x) на а единиц влево, если а > 0, и на а единиц вправо, если а

Для примера построим три графика: а) y= (x — 2)², б) y= (x + 1)².

Графики наших функций получается из графика функции y= x², путем его параллельного переноса: б) на две единицы вправо, в) на одну единицу влево.

Графики наших функций:

в) Для построения графика функции y= f(-x), следует построить график функции y= f(x) и отразить его относительно оси ординат. Полученный график является графиком функции y= f(-x).

Для примера построим два графика: a) y= x³, б) y= (-x)³.

Графики нашей функций получается из графика функции y=x³, путем отражения относительно оси ординат.

г) Для построения графика функции y= -f(x) следует построить график функции y=f(x) и отразить его относительно оси абсцисс.

Для примера построим два графика: a) y= cos(x), б) y=-cos(x). Графики нашей функций получается из графика функции y= cos(x), путем отражения относительно оси абсцисс.

Ребята, теперь давайте построим графики функций, вид которых заранее не известен. Будем использовать правила, которые мы определили в начале.

Примеры на построение

I. Построить график функции: y= 2x² + 4x — 5.

Решение:
1) Область определения: D(y)= (-∞; +∞).
2) Найдем стационарные точки:
y’= 4x + 4,
4x + 4 = 0,
x= -1.
3) Определим вид стационарной точки и характер монотонности:

Точка x= -1 – точка минимума. Найдем значение функции в точке x= -1
y(-1)= 2(-1)² + 4(-1) — 5= -7.
Итак, наша функция убывает на промежутке =(-∞;-1), x= -1 – точка минимума, функция возрастает на промежутке (-1; +∞).

Вычислим значения функции в паре точек:

Построим график функции:

II. Построить график функции: y= 5x³ — 3x⁵.

Решение:
1) Область определения: D(y)= (-∞;+∞).
2) Найдем стационарные точки:
y’= 15x² — 15x⁴,
y’= 15x²(1 — x²)= 15x²(1 — x)(1 + x),
15x²(1 — x)(1 + x)= 0,
x= 0; ±1.
3) Определим вид стационарной точки и характер монотонности:

Точка x= -1 – точка минимума.2-4}$= y(x)

По определению функция четная. Значит, график функции симметричен относительно оси ординат, можно сначала построить график функции для x ≥ 0.
3) Прямая x= 2 – вертикальная асимптота, т.к. знаменатель нашей функции в этой точке обращается в нуль.

Найдем горизонтальную асимптоту:

Прямая y= 1 – горизонтальная асимптота.

4) Найдем стационарные и критические точки:

Критических точек у нашей функции нет, т.к. производная определена всюду на области определения нашей функции.
5) Определим вид стационарной точки и характер монотонности:

Точка x= 0 – точка максимума.

Итак, наша функция четная. Она возрастает на промежутке равном (-∞;0), x= 0 – точка максимума. Функция убывает на (0;+∞).
Прямая x= 2 – вертикальная асимптота. Прямая y= 1 – горизонтальная асимптота.

Вычислим значения функции в паре точек:

Т.к. функция четная построим сначала график для x ≥ 0.

Используя свойство четных функций, отразим график функции относительно оси ординат. {- 1} \ left (x \ right) = \ sqrt {x} [/ latex].{-1} \ left (x \ right) [/ latex] — это график [латекса] f \ left (x \ right) [/ latex], отраженного относительно диагональной линии [латекс] y = x [/ latex], которую мы назовем идентификационной линией, показанной на рисунке 8.

Рисунок 8. Функции квадратного и квадратного корня в неотрицательной области

Эта взаимосвязь будет соблюдаться для всех однозначных функций, поскольку она является результатом функции и ее обратного обмена входами и выходами. Это эквивалентно смене ролей вертикальной и горизонтальной осей.{-1} \ left (x \ right) [/ латекс].

Рисунок 9

Решение

Это взаимно однозначная функция, поэтому мы сможем набросать обратную. Обратите внимание, что показанный график имеет видимую область [латекс] \ left (0, \ infty \ right) [/ latex] и диапазон [latex] \ left (- \ infty, \ infty \ right) [/ latex], поэтому обратный будет иметь домен [latex] \ left (- \ infty, \ infty \ right) [/ latex] и диапазон [latex] \ left (0, \ infty \ right) [/ latex].

Если отразить этот график по линии [latex] y = x [/ latex], точка [latex] \ left (1,0 \ right) [/ latex] отражается в [latex] \ left (0,1 \ right) [/ latex] и точка [latex] \ left (4,2 \ right) [/ latex] отражается в [latex] \ left (2,4 \ right) [/ latex].{-1} [/ latex], тогда [latex] f \ left (f \ left (x \ right) \ right) = x [/ latex], и мы можем вспомнить несколько функций, обладающих этим свойством. Идентификационная функция выполняет, как и обратная функция, потому что

[латекс] \ frac {1} {\ frac {1} {x}} = x [/ латекс]

Любая функция [латекс] f \ left (x \ right) = c-x [/ latex], где [latex] c [/ latex] является константой, также равна своей собственной обратной.

Если родительской функцией является y = 1 / x, опишите изменение в уравнении y = 5 / x

y = 5 / x — это та же кривая общей формы, но каждое значение y в 5 раз больше, чем для кривой y = 1 / x

в 1-м квадранте или в 5 раз меньше в 3-м квадранте.

Обе кривые являются гиперболами, причем каждая половина гиперболы симметрична относительно начала координат или линии y = -x

Обе кривые асимптотичны по осям y и x.

, но y = 1 / x приближается к каждой оси быстрее, чем y = 5 / x

Оба являются стандартными гиперболами, повернутыми на 45 градусов.

Вершины гиперболы y = 1 / x равны (1,1) и (-1, -1) Вершины y = 5 / x равны

(5 ^1/2 , 5 ^1/2 ) и (-5 ^1/2 , -5 ^1/2 ). Вершины — это две точки, которые являются кратчайшим расстоянием

от одной половины гиперболы до другой половины.На полпути между

вершинами, на y = 1 / x или y = 5 / x находится начало координат (0,0)

Переход от точки на графике y = 1 / x к соответствующей точке на y = 5 / x равно

, что эквивалентно растягиванию значений y на коэффициент 5 по абсолютной величине

или перемещению кривой влево с коэффициентом 5 в квадранте 3

или вниз с коэффициентом 5

и перемещению кривая вправо с коэффициентом 5 в квадранте 1

или вверх с коэффициентом 5

Если вы хотите перейти от y = 1 / x к y = 5 / x, переместившись на 45 градусов по диагонали

, двигайтесь одновременно вверх и вправо, с коэффициентом

, квадратный корень из 5, в 1-м квадранте,

или переместитесь на 45 градусов вниз и влево с коэффициентом

квадратного корня из 5 в квадранте 3.Точка (1,1), смещенная вправо

, становится (5 ^1/2 , 5 ^1/2 ) в квадранте 1, переходя от y = 1 / x к y = 5 / x

Ни то, ни другое кривая имеет любые пересечения по оси y или x

Наклоны обеих кривых приближаются к пределу нуля, когда x приближается к бесконечности

и к отрицательной или положительной бесконечности, когда x приближается к нулю слева или справа

Например, если (2, 1/2) — точка на y = 1 / x, тогда (10, 1/2) — точка на y = 5 / x

10 равно 2 x 5. Умножьте координату x на 5, чтобы получить соответствующую точку на y = 5 / x

Или, если (2, 1/2) находится на y = 1 / x, то (2,5 / 2) находится на y = 5 / x.Умножьте координату y на 5.

Все координаты x и y симметричны. Если (2,1 / 2) находится на графике, то же самое и (1 / 2,2)

В общем случае, если (x, y) находится на графике, то (y, x) находится на том же графе. Если (x, y) находится на графике y = 1 / x, то

, а также (5x, y) и (x, 5y) на графике y = 5 / x. Это сдвиг вверх или вправо в 5 раз.

Если x и y не являются отрицательными, то сдвиг вниз или влево в 5 раз.

Гипербола представляет собой конический разрез, вертикальный разрез в два раза. конусы, соединенные вместе их заостренным дном,

одна чашка лицевой стороной вверх и одна вверх дном, форма

напоминает некоторые бумажные стаканчики у водоохладителя.

Гипербола — единственное коническое сечение, которое имеет две отдельные непересекающиеся половины. Каждая половина находится в

другом квадранте

Модуль 04 — Взаимное y = 1 / x

Управление настройками файлов cookie

Вы можете управлять своими предпочтениями относительно того, как мы используем файлы cookie для сбора и использования информации, пока вы находитесь на веб-сайтах TI, изменяя статус этих категорий.

Категория	Описание	Разрешить
Аналитические и рабочие файлы cookie	Эти файлы cookie, включая файлы cookie Google Analytics, позволяют нам распознавать и подсчитывать количество посетителей на сайтах TI и видеть, как посетители перемещаются по нашим сайтам.Это помогает нам улучшить работу сайтов TI (например, облегчая вам поиск информации на сайте).
Рекламные и маркетинговые файлы cookie	Эти файлы cookie позволяют размещать рекламу на основе интересов на сайтах TI и сторонних веб-сайтах с использованием информации, которую вы предоставляете нам при взаимодействии с нашими сайтами. Объявления на основе интересов отображаются для вас на основе файлов cookie, связанных с вашими действиями в Интернете, такими как просмотр продуктов на наших сайтах.Мы также можем передавать эту информацию третьим лицам для этих целей. Эти файлы cookie помогают нам адаптировать рекламные объявления в соответствии с вашими интересами, управлять частотой, с которой вы видите рекламу, и понимать эффективность нашей рекламы.
Функциональные файлы cookie	Эти файлы cookie помогают идентифицировать вас и хранить ваши действия и информацию об учетной записи для обеспечения расширенной функциональности, в том числе более персонализированного и актуального опыта на наших сайтах.Если вы не разрешите использование этих файлов cookie, некоторые или все функции и услуги сайта могут работать некорректно. Если вы не разрешите использование этих файлов cookie, некоторые или все функции и услуги сайта могут работать некорректно.
Файлы cookie социальных сетей	Эти файлы cookie позволяют идентифицировать пользователей и контент, подключенный к онлайн-социальным сетям, таким как Facebook, Twitter и другим платформам социальных сетей, и помогают TI улучшить охват социальных сетей.
Строго необходимо	Эти файлы cookie необходимы для работы сайтов TI или для выполнения ваших запросов (например, для отслеживания того, какие товары вы поместили в корзину на TI.com, для доступа к защищенным областям сайта TI или для управления настроенными вами настройки файлов cookie).	Всегда на связи

РЕШЕНО: График y = 1 / x ^ {2} и y = 1 / x ^ {3} на s…

Стенограмма видео

Хорошо, в этом вопросе нас просят сравнить неподходящее с девушками.Думаю, от единицы до бесконечности. Не проверяйте это. Вы хотите бесконечность для одного над X в квадрате DX, и мы сравним это с неподходящим для девушки до бесконечности над X в кубе DX. Мы собираемся сказать, какой из них, по нашему мнению, даст нам большее число. Я думаю, они хотели, чтобы мы построили небольшой график. Да. Хорошо, так что сфотографируйте их, это начнется с y, равным единице над X в квадрате. Итак, сразу мы знаем, что мы не спрашивали или ноль, потому что вы не можете разделить историю на ноль и иметь вертикальный аспект прямо здесь.Гм, мы можем поставить точки. Мы можем видеть, равен ли x единице. Тогда почему он идет, если ты прав. Фактически C F X равно двум. Тогда почему он goto 1/4? Итак, мы приближаемся к цели и находимся на 1/4, что равно трем. Тогда у нас будет 1/9, и даже обучение продолжится так, что X равно 1/2. Так вот. Тогда мы получим половину квадрата, равную 1/4, а его четверть выше ставит меня здесь на четыре. Итак, мы получили график. Это похоже на график по X. За исключением того, что у нас также будет ах, отрицательная сторона.Но это вопрос заботы Шри. От одного до бесконечности. Итак, один закончился. X в квадрате, гм, один над X в кубе. Теперь у нас снова есть тот же аспект. Он тут же ноль при той же 0,11. И мы будем делать разные машины. Итак, у нас там та же точка, 11 Но теперь, если X равно двум, у нас будет 1/4 часа, фактически восьмая. Так что, может, мне стоило сделать масштаб, но получше. Но он будет там ниже и съест меньше 1/4. А потом для троих у нас будет 1/9 вместо 1/9.Мы говорим это в прошлый раз? Нет, не знал. Но, например, площадь крушения. У нас есть 1/9 при тройке и один из ее X Q b 1/27. Итак, с этого момента мы можем видеть, что будет ниже X в квадрате, который хочет разрушить квадратную кривую, и это все, что действительно имеет значение. Поглаживание от единицы до бесконечности. Итак, исходя из этого, тот факт, что он находится под красной кривой ниже черной кривой. Мы видим, что этот меньше. Вот и ваш ответ. Гм, и если бы вы действительно достигли предела, вы бы это тоже увидели.Но мы можем просто сказать, что этот больше. Ого.

Как линеаризовать криволинейный график данных

Адаптировано из Сводка графических методов — Инструкция по моделированию — AMTA. Также спасибо Джейн Нельсон, Орландо, Флорида, за незабываемые названия форм графов.

Если ваши данные представлены в виде кривой, то отображаемые вами переменные имеют нелинейную математическую форму или взаимосвязь. Нелинейные данные математически сложно анализировать.Однако, если мы сможем преобразовать данные в линейную (прямую) форму, мы сможем использовать наши знания о прямых линиях, чтобы узнать о физике, задействованной в нашем эксперименте. Итак, если мы сталкиваемся с нелинейными (изогнутыми) данными, наша цель — преобразовать данные в линейную (прямую) форму, которую можно легко проанализировать. Этот процесс называется линеаризацией.

Есть четыре возможности для форм графиков, с которыми мы будем иметь дело. Каждая фигура представляет данные в различной математической форме.

Linear — Наша цель!	Отличник	Отстающий	Нонконформист
Математическая форма: y = mx + b или y = kx	Математическая форма: y = x 2	Математическая форма: y = √x	Математическая форма: у = 1 / х или y = 1 / x 2
Данные уже линейные. Проведите наиболее подходящую линию и рассчитайте уклон.	Создайте новый вычисляемый столбец с квадратом переменной оси x. (X = x 2 ). Затем постройте график y по сравнению с X	Создайте новый вычисляемый столбец с , возведя в квадрат переменную оси Y: (Y = y 2 ). Затем постройте график Y по сравнению с x	Создайте новый вычисляемый столбец с переменной оси x как 1 / x или 1 / x 2 (X = 1 / x или X = 1 / x 2 ). Затем постройте график y по сравнению с X

1. Создайте новый вычисляемый столбец на основе математической формы (формы) ваших данных.
2. Постройте новый график, используя новый вычисляемый столбец данных на одной из осей.
3. Если новый график (с использованием вычисляемого столбца) прямой, вам удалось линеаризовать данные.
4. Нарисуйте наиболее подходящую линию С ПОМОЩЬЮ ЛИНЕЙКИ! НЕ ПОДКЛЮЧАЙТЕ ТОЧКИ !!
5. Рассчитайте наклон наиболее подходящей линии (с единицами измерения), выбрав две точки из наиболее подходящей линии.Выберите две точки, которые находятся на разумном расстоянии друг от друга (одна в начале линии, а другая в конце). Не использовать точки данных.
6. Напишите уравнение линии наилучшего соответствия, используя реальные физические переменные из вашего эксперимента. Мы называем это уравнение физическим уравнением , поскольку оно записано в переменных из нашего эксперимента.
7. ВАЖНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ:
   • Наклон физического уравнения может иметь важное физическое значение и связан с величиной, которая остается постоянной на протяжении всего эксперимента.
   • Вертикальный отрезок физического уравнения равен значение переменной вертикальной оси, когда значение горизонтальной оси равно нулю и будет иметь единицы измерения вертикальной оси.

Логарифмические и экспоненциальные графики

Экспоненциальные функции

y = a ^x

Обычная экспоненциальная функция всегда имеет точки
(0, 1), (1, основание) и (-1, 1 / основание)
поскольку
a ⁰ = 1, a ¹ = a и a ^{-1 ​​} = 1 / a

Ось x — это асимптота, график никогда не пересекает ось x.

Когда база больше 1

А когда база меньше 1

Пример

Чтобы вычислить значения y, возведите x в степень основания.

y = 2 ^x

Таблица значений

Обычная функция журнала всегда имеет точки

(1, 0) и (основание, 1)
с
г.
log _a 1 = 0 и loga _a = 1

Ось y — это асимптота, график никогда не пересекает ось y.

Пример

Для вычисления значений y,

Если y = a ^x
x = журнал _a y

Сдвиг графиков журнала влево и вправо

Возьмем график y = logx

Здесь база 10.
Найдите точки (1,0) и (10,1)

Теперь возьмем графики y = log (x + 2) и y = log (x-2)

Обратите внимание, как они сдвигаются в обратном направлении!

Переключение вверх и вниз

Опять же, база равна 10.
Найдите точки (1,0) и (10,1)

(1,0) переместился в (1, 2), а (10,1) переместился в (10,3)

(1,0) переместился в (1, -2), а (10,1) переместился в (10, -1)

Собираем все вместе

График ниже имеет уравнение y = log (x + a) + b.
Найдите значения целых чисел a и b.
Запишите уравнение графика.

Во-первых, обратите внимание на асимптоту при x = -3.
График сместился на три места влево.
Это означает, что a должно быть 3.

, поэтому y = log (x + 3) + b.

База 10, так как в журнале нет нижнего индекса.
Это означает, что точка (10,1) обычно существует.

Однако это переместилось на три позиции влево, поэтому
ожидаем точку (7,1)

На графике, когда x = 7, y = -1.
Это означает, что график сдвинулся на два деления вниз.
b должно быть равно -2.

, поэтому a = 3, b = -2
и y = log (x + 3) –2

© Александр Форрест

Asymptotes — Бесплатная справка по математике

Асимптота — это, по сути, линия, к которой график приближается, но не пересекает. Например, на следующем графике \ (y = \ frac {1} {x} \) линия приближается к оси x (y = 0), но никогда не касается ее.Независимо от того, как далеко мы уходим в бесконечность, линия на самом деле не достигнет y = 0, но всегда будет становиться все ближе и ближе.

\ (y = \ frac {1} {x} \)

Это означает, что прямая y = 0 является горизонтальной асимптотой. Горизонтальные асимптоты возникают чаще всего, когда функция является дробью, где верхняя часть остается положительной, а нижняя стремится к бесконечности. Возвращаясь к предыдущему примеру, \ (y = \ frac {1} {x} \) — это дробь. Когда мы уходим в бесконечность по оси x, верхняя часть дроби остается 1, но нижняя становится все больше и больше.2 + 1 \) будет намного больше. Поскольку нижняя часть будет преобладать над верхней, дробь приближается к нулю, когда x приближается к бесконечности. Это уравнение также имеет асимптоту при y = 0.

Теперь давайте найдем пример с асимптотой, не расположенной в y = 0. Вот график \ (y = \ frac {3x} {x + 2} \):

Теперь посмотрим, что происходит, когда x стремится к бесконечности. Знаменатель дроби равен x + 2, и поскольку x становится действительно большим, +2 практически не имеет смысла (какая разница между 100000 и 100002?), Поэтому мы просто притворимся, что +2 на мгновение пропало.Теперь наше уравнение выглядит так:

$$ y = \ frac {3x} {x} $$

Сократите x, и у вас будет y = 3. Вы только что взяли предел , когда x приблизился к бесконечности, и обнаружили, что асимптота равна y = 3. Когда x стремится к бесконечности, y становится действительно очень близким к 3. Чтобы найти горизонтальные асимптоты, просто посмотрите, что происходит, когда x стремится к бесконечности.

Второй тип асимптоты — это вертикальная асимптота, которая также является линией, к которой график приближается, но не пересекает.Вертикальные асимптоты почти всегда возникают, потому что знаменатель дроби стал равен 0, а вершина — нет. Например, \ (y = \ frac {4} {x-2} \):

Обратите внимание, что по мере приближения графика к x = 2 слева кривая быстро падает в сторону отрицательной бесконечности. Это потому, что числитель остается на 4, а знаменатель приближается к 0. Это означает, что сама дробь становится очень большой и отрицательной. Когда x равно 2, функция не существует, потому что вы не можете разделить на 0.Сразу после 2 он возобновляется на положительной бесконечности, потому что числитель равен 4, а знаменатель снова очень крошечный, но на этот раз положительный.

Чтобы найти вертикальные асимптоты, ищите любое обстоятельство, при котором знаменатель дроби равен нулю. Это наиболее вероятные кандидаты, и в этот момент вы можете построить график функции для проверки или взять предел, чтобы увидеть, как график ведет себя по мере приближения к возможной асимптоте.

Также имейте в виду, что тригонометрические функции могут постоянно стремиться к нулю, поэтому секущая функция, которая также записывается как \ (y = \ frac {1} {cos (x)} \), имеет много вертикальных асимптот:

Все эти вертикальные линии на самом деле являются асимптотами, что дает хороший момент.Ваш калькулятор или компьютер, скорее всего, нарисуют асимптоты в виде черных линий, которые выглядят как остальная часть графика. Это потому, что компьютер хочет соединить все точки, а он не такой умный, как вы. Вы должны использовать собственное суждение, чтобы распознать асимптоты, когда вы видите компьютеризированный график.

Надеюсь, вы узнали немного о горизонтальных и вертикальных асимптотах. Если вам нужна дополнительная информация, перейдите на нашу доску сообщений и задайте свой вопрос.

.