Презентация — Функция y = x²

Слайды и текст этой онлайн презентации

Слайд 1

Приступая к изучению нового, необходимо повторить уже пройденное
Учитель Попкова Т.Г. МОУ СОШ № 2 МО г.Горячий Ключ

Слайд 2

Повторение
№1.Установите соответствие
а) k>0; m>0. б) k>0; m0. г) k№2.Определите расположение прямой в системе координат
1) y = 7x; 2) x = — 4; 3) y = -0,4x; 4) y = 2,7 5) x = 0
1) Параллельно Оx; 2)в 1 и 3 четверти; 3) во 2 и 4 четверти; 4) параллельно Оy; 5) Совпадает с Оy.

Слайд 3

Проверка
1 2 3 4
Б В А Г
№1.
№2.
1 2 3 4 5
2 4 3 1 5

Слайд 4

Рассмотрим математические зависимости
P = 4a
s = 2·55+60 · t
S = a²
Модель зависимости S = a² (где каждому а соответствует единственное значение S) можно записать в виде y = x². Получили новую функциональную зависимость.
a=1, P =4 a=5, P =20
t=1, s =170 t=2, s =230
a=3, S=9 a=7, S=49
Прямая пропорциональность
Линейная
?

Слайд 5

Тема урока : Функция y = x², её свойства и график.
1) x= 0, y= 0
2) 2² = 4 и (-2)² = 4, т.е. x² = (-x)²
3) x – любое число, y ≥ 0
X 1 2 3 4
y 1 4 9 16
График – парабола с вершиной (0;0)

Слайд 6

1.Найти значения y при заданном значении x
y = x2, при x = -3; 0; 0,5.
Если x = -3, то y = (-3)2 = 9
Если x = 0, то y = 02 = 0
Если x = 0,5, то y = (0,5)2 = 0,25

Слайд 7

2.Найти значения x при заданном значении y
y = x2, при y = 4; 0; -1.
Если y = 4, то x = 2
Проверим графически?!
А другие варианты есть?
Две общие точки!
Значит, и корней два!!!
x1 = 2; x2 = -2

Слайд 8

1)[-2;2]
3.Найти наибольшее и наименьшее значения функции y= x²
yнаим = 0 yнаиб = 4
2)[-3;2)
yнаим = 0 yнаиб = 9

Квадратичная функция y = kx² и её свойства. Парабола. Алгебра, 8 класс: уроки, тесты, задания.

Тест «Функция y=ax2, её график и свойства», 9 класс

Тест «Функция y=ax², её график и свойства», 9 класс

1. Функцию вида y=ax²+bx+c называют … .

2. Из приведённых ниже функций выберите квадратичные

3. Запишите название графика квадратичной функции

____________________.

4. Сколько нулей функции может иметь квадратичная функция?

5. Направление ветвей параболы зависит от коэффициента … .

6. Выберите те функции, графиками которых является парабола с ветвями направленными вниз.

7. График функции y=ax²  всегда проходит через точку с координатами …

8 . По графику определите знак старшего коэффициента квадратичной функции (в ответ запишите только знак + или -).

9. Выберите точки, принадлежащие графику функции

y=3x²

10. Установите соответствие между функцией и её нулями

Ключ к тесту:

Тест «Функция y=ax², её график и свойства», 9 класс

1. Функцию вида y=ax²+bx+c называют … .

2. Из приведённых ниже функций выберите квадратичные

3. Запишите название графика квадратичной функции

____________________.

4. Сколько нулей функции может иметь квадратичная функция?

5. Направление ветвей параболы зависит от коэффициента … .

6. Выберите те функции, графиками которых является парабола с ветвями направленными вниз.

7. График функции y=ax²  всегда проходит через точку с координатами …

8 . По графику определите знак старшего коэффициента квадратичной функции (в ответ запишите только знак + или -).

9. Выберите точки, принадлежащие графику функции

y=3x²

10. Установите соответствие между функцией и её нулями

Ключ к тесту:

Функции вида y = x², y = x³ и их свойства

Функция вида у = х² называется квадратичной, графиком функции является парабола с вершиной в точке (0; 0), ветви параболы направлены вверх, график симметричен относительно оси ординат.

Построим график функции y = x². Составим таблицу соответственных значений x и y:

Свойства функции y = x²

• График функции неограниченно продолжается вверх справа и слева от оси y.
• Если x = 0, то y = 0. То есть график функции проходит через начало координат.
• Если x ≠ 0, то y > 0. Так как квадрат любого числа, отличного от нуля, положителен, то все точки графика кроме (0; 0), расположены выше оси x.
• Противоположным значениям x соответствует одно и то же значение y. Это следует из того, что (–x)² = x² для любого значения x. Значит, точки графика, имеющие противоположные абсциссы, симметричны относительно оси y.
• Функция убывает на промежутке (–\(\infty\); 0] и возрастает на промежутке [0; +\(\infty\)).
• Минимального значения квадратичная функция достигает в своей вершине: Y_min при x = 0. Следует также заметить, что максимального значения у функции не существует.

Функция вида у = х³ называется кубической, графиком функции является кубическая парабола с вершиной в точке (0; 0), график симметричен относительно начала координат.

Построим график функции y = x³. Составим таблицу соответственных значений x и y, округляя значения y до сотых:

Свойства функции y = x³

• График функции неограниченно продолжается вверх справа от оси y и неограниченно продолжается вниз слева от оси y.
• Если x = 0, то y = 0. То есть график функции проходит через начало координат.
• Если x > 0, то y > 0, если x < 0, то y < 0, так как куб положительного числа – положительное число, а куб отрицательного числа – отрицательное число. Значит график функции расположен в первой и третьей координатных четвертях.
• Противоположным значениям x соответствует противоположные значения y. Это следует из того, что (–x)³ = –x³ для любого значения x. Значит, точки графика, имеющие противоположные абсциссы, симметричны относительно начала координат.
• У кубической функции не существует ни максимального, ни минимального значения.
• Кубическая функция возрастает на всей числовой оси (–\(\infty\); +\(\infty\)).

Квадратичная функция, ее свойства, примеры и график

Функция y = ax² + bx + c, где a, b и c — заданные числа, a ≠ 0, x — переменная, называется квадратичной функцией. Другими словами, квадратичная функция – это зависимость, содержащая аргумент в квадрате. Отсюда и ее название.

При этом многочлен ax² + bx + c называют квадратным трехчленом. Числа a, b и c называются коэффициентами квадратного трехчлена: a — первым коэффициентом, b — вторым,                        c — свободным членом. Значения x, при которых квадратный трехчлен обращается в нуль, называются корнями квадратного трехчлена.

Для нахождения корней квадратного трехчлена нужно решить квадратное уравнение                 ax² + bx + c = 0. Рассмотрим пример, найдем корни квадратного трехчлена x² — x — 2. Решая уравнение x² — x — 2 = 0, получаем: x₁ = -1, x₂ = 2.

Число корней квадратного уравнения ax² + bx + c = 0 зависит от знака его дискриминанта                     D = b² — 4ac, а значит и квадратный трехчлен:

• имеет два различных корня, если D > 0;
• имеет один корень (два равных корня), если D = 0;
• не имеет действительных корней, если D < 0.

Рассмотрим пример, квадратный трехчлен 3x² — 8x + 5 имеет два различных корня, так как          D = 8² — 4* 3*5 = 4 > 0, корни этого трехчлена: x₁ = 5/3,  x₂ = 1.

Квадратный трехчлен 4x² — 4x + 1 имеет один корень, так как D = 4² — 4*4*1 = 0, корень этого трехчлена  х = 1/2.

Квадратный трехчлен 2x² — 5x + 6 не имеет действительных корней, так как                                       D = 5² — 4*2*6 = — 23 < 0.

График квадратичной функции

Рассмотрим самую простую квадратичную функцию y = x², т. е. функцию y = ax² + bx + c, при a = 1, b = c = 0. Для построения графика этой функции составим таблицу ее значений.

Отметим точки на координатной плоскости и соединим их плавной линией.

Кривая, являющаяся графиком функции y = x², называется параболой. Ось ординат является осью симметрии параболы. Точку пересечения параболы с ее осью симметрии называют вершиной параболы. Вершиной параболы y = x² является начало координат.

Рассмотрим функцию вида y = 2x², чтобы построить график составим таблицу значений.

Сравним графики функций y = 2х² и y = х². При одном и том же х значение функции y = 2х² в 2 раза больше значения функции y = х². Это значит, что каждую точку графика y = 2х² можно получить из точки графика функции y = х² с той же абсциссой увеличением ее ординаты в 2 раза. Говорят, что график функции y = 2х² получается растяжением графика функции y = х² в 2 раза вдоль оси ординат.

Рассмотрим функцию вида y = 1/2x², чтобы построить график составим таблицу значений.

Сравним графики функций y = 1/2x² и y = х². Каждую точку графика y = 1/2x² можно получить из точки графика функции  y = х² с той же абсциссой уменьшением ее ординаты в 2 раза. Говорят, что график функции y = 1/2x² получается сжатием графика функции y = х² в 2 раза вдоль оси ординат.

Рассмотрим функцию вида y = —x²,  и сравним с функцией y = х². При одном и том же значении х значения этих функций равны по модулю и противоположны по знаку. Следовательно, график функции y = —x² можно получить симметрией относительно оси абсцисс графика функции  y = х². Составим таблицу значений.

Говорят, что ветви параболы y = х² направлены вверх, а ветви параболы y = —x² направлены вниз. Аналогично график функции y = -2х² симметричен графику функции y = 2х² относительно оси абсцисс. График функции y = -1/2х² симметричен графику функции y = 1/2х² относительно оси абсцисс. График функции y = ах² при любом а ≠ 0 также называют параболой. При а > 0 ветви параболы направлены вверх, а при а < 0 вниз.

Рассмотрим функцию вида y = x² — 2х — 3, чтобы построить график составим таблицу значений.

Вообще, графиком функции y = ax² + bx + c является парабола, получаемая сдвигом параболы      y = ax² вдоль координатных осей. Равенство y = ax² + bx + c называют уравнением параболы.

Автор публикации

0

Комментарии: 4Публикации: 93Регистрация: 04-09-2015

Степенная функция, ее свойства и график

Вы знакомы с
функциями y=x, y=x²,
y=x³,
y=1/xи т. д. Все эти функции являются
частными случаями степенной функции,
т. е. функцииy=x^p,
где p — заданное действительное
число.
Свойства и график степенной
функции существенно зависит от свойств
степени с действительным показателем,
и в частности от того, при каких значенияхx иp имеет смысл степеньx^p. Перейдем
к подобному рассмотрению различных
случаев в зависимости от
показателя
степениp.

1. Показатель
   p=2n -четное натуральное число.

В этом случае степенная функция y=x²ⁿ,
гдеn— натуральное число, обладает
следующими

свойствами:

• область определения — все действительные
  числа, т. е. множество R;

• множество значений — неотрицательные
  числа, т. е. y больше или равно 0;

• функция y=x²ⁿ четная,
  так какx²ⁿ=(-x)²ⁿ

• функция
  является убывающей на промежутке x<0
  и
  возрастающей на промежутке x>0.

График функции y=x²ⁿ имеет
такой же вид, как например график
функцииy=x⁴.

     
  2. Показатель p=2n-1— нечетное
натуральное число
В этом случае
степенная функцияy=x^2n-1 ,
где натуральное число, обладает
следующими свойствами:

• область определения — множество R;

• множество значений — множество R;

• функция y=x^2n-1нечетная,
  так как (-x)^2n-1=x^2n-1;

• функция
  является возрастающей на всей
  действительной оси.

График функции y=x2n-1имеет такой
же вид, как, например, график функцииy=x3.

       3.Показатель p=-2n,
гдеn — натуральное число.

В этом случае
степенная функция y=x^-2n=1/x²ⁿ
обладает следующими свойствами:

• область определения — множество R, кроме
  x=0;

• множество значений — положительные
  числа y>0;

• функция  y=1/x²ⁿчетная,
  так как1/(-x)²ⁿ=1/x²ⁿ;

• функция
  является возрастающей на промежутке
  x<0 и убывающей на промежутке x>0.

График функции y=1/x²ⁿимеет
такой же вид, как, например, график
функции y=1/x².

     
 4.Показатель p=-(2n-1), гдеn—
натуральное число.
В этом случае
степенная функцияy=x^-(2n-1)обладает
следующими свойствами:

• область определения — множество R, кроме
  x=0;

• множество значений — множество R,
  кроме y=0;

• функция y=x^-(2n-1)нечетная,
  так как (-x)^-(2n-1)=-x^-(2n-1);

• функция
  является убывающей на промежутках x<0иx>0.

График функции y=x^-(2n-1)имеет
такой же вид, как, например, график
функцииy=1/x³.

2. Обратные тригонометрические функции, их свойства и графики.

Обратные тригонометрические функции,
их свойства и графики.Обра́тные
тригонометри́ческие фу́нкции (круговые
функции, аркфункции) — математические
функции,
являющиеся обратными к тригонометрическим
функциям.

1. Функция arcsin

График
функции .

Арксинусом числа m называется
такое значение угла x,
для которого 

Функция  непрерывна
и ограничена на всей своей числовой
прямой. Функция  является
строго возрастающей.

1. [Править]Свойства функции arcsin

2. [Править]Получение функции arcsin

Дана
функция  На
всей своей области
определения она
является кусочно-монотонной,
и, значит, обратное соответствие  функцией
не является. Поэтому мы рассмотрим
отрезок, на котором она строго возрастает
и принимает все значения области
значений — .
Так как для функции  на
интервале каждому
значению аргумента соответствует
единственное значение функции, то на
этом отрезке существует обратная
функция  график
которой симметричен графику функции  на
отрезке  относительно
прямой 

100 ballov.kz образовательный портал для подготовки к ЕНТ и КТА

В 2021 году казахстанские школьники будут сдавать по-новому Единое национальное тестирование. Помимо того, что главный школьный экзамен будет проходить электронно, выпускникам предоставят возможность испытать свою удачу дважды. Корреспондент zakon.kz побеседовал с вице-министром образования и науки Мирасом Дауленовым и узнал, к чему готовиться будущим абитуриентам.

— О переводе ЕНТ на электронный формат говорилось не раз. И вот, с 2021 года тестирование начнут проводить по-новому. Мирас Мухтарович, расскажите, как это будет?

— По содержанию все остается по-прежнему, но меняется формат. Если раньше школьник садился за парту и ему выдавали бумажный вариант книжки и лист ответа, то теперь тест будут сдавать за компьютером в электронном формате. У каждого выпускника будет свое место, огороженное оргстеклом.

Зарегистрироваться можно будет электронно на сайте Национального центра тестирования. Но, удобство в том, что школьник сам сможет выбрать дату, время и место сдачи тестирования.

Кроме того, в этом году ЕНТ для претендующих на грант будет длиться три месяца, и в течение 100 дней сдать его можно будет два раза.

— Расскажите поподробнее?

— В марте пройдет тестирование для желающих поступить на платной основе, а для претендующих на грант мы ввели новые правила. Школьник, чтобы поступить на грант, по желанию может сдать ЕНТ два раза в апреле, мае или в июне, а наилучший результат отправить на конкурс. Но есть ограничение — два раза в один день сдавать тест нельзя. К примеру, если ты сдал ЕНТ в апреле, то потом повторно можно пересдать его через несколько дней или в мае, июне. Мы рекомендуем все-таки брать небольшой перерыв, чтобы еще лучше подготовиться. Но в любом случае это выбор школьника.

— Система оценивания останется прежней?

— Количество предметов остается прежним — три обязательных предмета и два на выбор. Если в бумажном формате закрашенный вариант ответа уже нельзя было исправить, то в электронном формате школьник сможет вернуться к вопросу и поменять ответ, но до того, как завершил тест.

Самое главное — результаты теста можно будет получить сразу же после нажатия кнопки «завершить тестирование». Раньше уходило очень много времени на проверку ответов, дети и родители переживали, ждали вечера, чтобы узнать результат. Сейчас мы все автоматизировали и набранное количество баллов будет выведено на экран сразу же после завершения тестирования.
Максимальное количество баллов остается прежним — 140.

— А апелляция?

— Если сдающий не будет согласен с какими-то вопросами, посчитает их некорректными, то он сразу же на месте сможет подать заявку на апелляцию. Не нужно будет ждать следующего дня, идти в центр тестирования, вуз или школу, все это будет электронно.

— С учетом того, что школьникам не придется вручную закрашивать листы ответов, будет ли изменено время сдачи тестирования?

— Мы решили оставить прежнее время — 240 минут. Но теперь, как вы отметили, школьникам не нужно будет тратить час на то, чтобы правильно закрасить лист ответов, они спокойно смогут использовать это время на решение задач.

— Не секрет, что в некоторых селах и отдаленных населенных пунктах не хватает компьютеров. Как сельские школьники будут сдавать ЕНТ по новому формату?

— Задача в том, чтобы правильно выбрать время и дату тестирования. Центры тестирования есть во всех регионах, в Нур-Султане, Алматы и Шымкенте их несколько. Школьники, проживающие в отдаленных населенных пунктах, как и раньше смогут приехать в город, где есть эти центры, и сдать тестирование.

— На сколько процентов будет обновлена база вопросов?

— База вопросов ежегодно обновляется как минимум на 30%. В этом году мы добавили контекстные задания, то что школьники всегда просили. Мы уделили большое внимание истории Казахстана и всемирной истории — исключили практически все даты. Для нас главное не зазубривание дат, а понимание значения исторических событий. Но по каждому предмету будут контекстные вопросы.

— По вашему мнению система справится с возможными хакерскими атаками, взломами?

— Информационная безопасность — это первостепенный и приоритетный вопрос. Центральный аппарат всей системы находится в Нур-Султане. Связь с региональными центрами сдачи ЕНТ проводится по закрытому VPN-каналу. Коды правильных ответов только в Национальном центре тестирования.

Кроме того, дополнительно через ГТС КНБ (Государственная техническая служба) все тесты проходят проверку на предмет возможного вмешательства. Здесь все не просто, это специальные защищенные каналы связи.

— А что с санитарными требованиями? Нужно ли будет школьникам сдавать ПЦР-тест перед ЕНТ?

— ПЦР-тест сдавать не нужно будет. Требование по маскам будет. При необходимости Центр национального тестирования будет выдавать маски школьникам во время сдачи ЕНТ. И, конечно же, будем измерять температуру. Социальная дистанция будет соблюдаться в каждой аудитории.

— Сколько человек будет сидеть в одной аудитории?

— Участники ЕНТ не за семь дней будут сдавать тестирование, как это было раньше, а в течение трех месяцев. Поэтому по заполняемости аудитории вопросов не будет.

— Будут ли ужесточены требования по дисциплине, запрещенным предметам?

— Мы уделяем большое внимание академической честности. На входе в центры тестирования, как и в предыдущие годы, будут стоять металлоискатели. Перечень запрещенных предметов остается прежним — телефоны, шпаргалки и прочее. Но, помимо фронтальной камеры, которая будет транслировать происходящее в аудитории, над каждым столом будет установлена еще одна камера. Она же будет использоваться в качестве идентификации школьника — как Face ID. Сел, зарегистрировался и приступил к заданиям. Мы применеям систему прокторинга.

Понятно, что каждое движение абитуриента нам будет видно. Если во время сдачи ЕНТ обнаружим, что сдающий использовал телефон или шпаргалку, то тестирование автоматически будет прекращено, система отключится.

— А наблюдатели будут присутствовать во время сдачи тестирования?

— Когда в бумажном формате проводили ЕНТ, мы привлекали очень много дежурных. В одной аудитории было по 3-4 человека. При электронной сдаче такого не будет, максимум один наблюдатель, потому что все будет видно по камерам.

— По вашим наблюдениям школьники стали меньше использовать запрещенные предметы, к примеру, пользоваться телефонами?

— Практика показывает, что школьники стали ответственнее относиться к ЕНТ. Если в 2019 году на 120 тыс. школьников мы изъяли 120 тыс. запрещенных предметов, по сути у каждого сдающего был телефон. То в прошлом году мы на 120 тыс. школьников обнаружили всего 2,5 тыс. телефонов, и у всех были аннулированы результаты.

Напомню, что в 2020 году мы также начали использовать систему искусственного интеллекта. Это анализ видеозаписей, который проводится после тестирования. Так, в прошлом году 100 абитуриентов лишились грантов за то, что во время сдачи ЕНТ использовали запрещенные предметы.

— Сколько средств выделено на проведение ЕНТ в этом году?

Если раньше на ЕНТ требовалось 1,5 млрд тенге из-за распечатки книжек и листов ответов, то сейчас расходы значительно сокращены за счет перехода на электронный формат. Они будут, но несущественные.

— Все-таки почему именно в 2021 году было принято решение проводить ЕНТ в электронном формате. Это как-то связано с пандемией?

— Это не связано с пандемией. Просто нужно переходить на качественно новый уровень. Мы апробировали данный формат на педагогах школ, вы знаете, что они сдают квалификационный тест, на магистрантах, так почему бы не использовать этот же формат при сдаче ЕНТ. Тем более, что это удобно, и для школьников теперь будет много плюсов.

% PDF-1.4
%
876 0 объект
>
эндобдж

xref
876 104
0000000016 00000 н.
0000003595 00000 н.
0000003680 00000 н.
0000003918 00000 н.
0000004582 00000 н.
0000004658 00000 п.
0000004735 00000 н.
0000004810 00000 н.
0000004888 00000 н.
0000005150 00000 н.
0000008761 00000 н.
0000009157 00000 н.
0000009558 00000 н.
0000009970 00000 н.
0000010242 00000 п.
0000010615 00000 п.
0000017507 00000 п.
0000018009 00000 п.
0000018421 00000 п.
0000018741 00000 п.
0000018930 00000 п.
0000019727 00000 п.
0000020046 00000 н.
0000020403 00000 п.
0000020699 00000 п.
0000026358 00000 п.
0000026784 00000 п.
0000027196 00000 п.
0000027467 00000 н.
0000027515 00000 п.
0000027562 00000 п.
0000027610 00000 п.
0000028028 00000 п.
0000028794 00000 п.
0000029669 00000 н.
0000030075 00000 п.
0000030817 00000 п.
0000031056 00000 п.
0000031093 00000 п.
0000031146 00000 п.
0000031194 00000 п.
0000031653 00000 п.
0000032307 00000 п.
0000032385 00000 п.
0000034169 00000 п.
0000034590 00000 п.
0000034886 00000 п.
0000036736 00000 п.
0000037081 00000 п.
0000037351 00000 п.
0000039227 00000 п.
0000039347 00000 п.
0000039399 00000 п.
0000039934 00000 н.
0000041041 00000 п.
0000041290 00000 н.
0000041563 00000 п.
0000042638 00000 п.
0000043894 00000 п.
0000045051 00000 п.
0000045422 00000 п.
0000045684 00000 п.
0000045735 00000 п.
0000046231 00000 п.
0000046612 00000 п.
0000047937 00000 п.
0000048571 00000 п.
0000060711 00000 п.
0000061450 00000 п.
0000071746 00000 п.
0000074836 00000 п.
0000075791 00000 п.
0000078483 00000 п.
0000079818 00000 п.
0000083073 00000 п.
0000087041 00000 п.
0000090850 00000 н.
0000092199 00000 п.
0000092394 00000 п.
0000092973 00000 п.
0000093393 00000 п.
0000093924 00000 п.
0000094999 00000 н.
0000096882 00000 п.
0000097026 00000 п.
0000097202 00000 п.
0000097346 00000 п.
0000097490 00000 н.
0000097640 00000 п.
0000097784 00000 п.
0000097978 00000 п.
0000098148 00000 п.
0000104794 00000 н.
0000105838 00000 п.
0000108992 00000 н.
0000110095 00000 н.
0000110469 00000 н.
0000128067 00000 н.
0000129799 00000 н.
0000130926 00000 н.
0000148524 00000 н.
0000150286 00000 н.
0000151490 00000 н.
0000002376 00000 н.
трейлер
] / Назад 1532046 >>
startxref
0
%% EOF

979 0 объект
> поток
h ޤ TkL [u? uQu @ [KeJnKK̡d & ۠ P ރ թ sN [h2f> / i1-26S6? ~ 9

Парабола

Парабола — это набор точек на плоскости, которые находятся на одинаковом расстоянии от данной точки и данной прямой в этом самолете.Данная точка называется фокусом , , а линия называется направляющей . Середина перпендикулярного сегмента от фокуса к директрисе называется вершиной параболы. Линия, проходящая через вершину и фокус, называется осью симметрии (см. Рисунок 1.)

Рис. 1. Две возможные параболы.

Уравнение параболы можно записать в двух основных формах:

В форме 1 парабола открывается вертикально.(Он открывается в направлении « y ».) Если a > 0, он открывается вверх. См. Рисунок 1 (а). Если a <0, открывается вниз. Расстояние от вершины до фокуса и от вершины до линии директрисы одинаковое. Это расстояние

Парабола с вершиной в точке ( h , k ), открывающаяся вертикально, будет иметь следующие свойства.

• В центре внимания будет.

• У директрисы будет уравнение.

• Ось симметрии будет иметь уравнение x = h .

• Его форма будет y = a ( x — h ) ² + k .

В форме 2 парабола открывается горизонтально. (Он открывается в направлении « x ».) Если a > 0, он открывается вправо. См. Рисунок 1 (b). Если a <0, он открывается влево.

Парабола с вершиной в точке ( h , k ), открывающейся горизонтально, будет иметь следующие свойства.

• В центре внимания будет.

• У директрисы будет уравнение.

• Ось симметрии будет иметь уравнение: y = k .

• Его форма будет x = a ( y — k ) ² + h .

Пример 1

Нарисуйте график y = x ² . Укажите, в каком направлении открывается парабола, и определите ее вершину, фокус, направляющую и ось симметрии.

Уравнение y = x ² можно записать как

y = 1 ( x -0) ² + 0

, поэтому a = 1, h = 0 и k = 0. Поскольку a > 0 и парабола открывается вертикально, ее направление — вверх (см. Рисунок 2).

Вершина: ( h , k ) = (0, 0)

Фокус:.

Directrix:.

Ось симметрии:

Рисунок 2. Свойства парабол.

Пример 2

График. Укажите, в каком направлении открывается парабола, и определите ее вершину, фокус, направляющую и ось симметрии.

Уравнение такое же, как.

Поскольку a <0 и парабола открывается горизонтально, эта парабола открывается влево (см. Рисунок 3).

Вершина: ( h , k ) = (–3, –2)

Фокус:

Директрикс:

Ось симметрии:

Рисунок 3. График примера.

Пример 3

Запишите уравнение x = 5 y ² -30 y + 11 в форму

x = a ( y — k ) ² + h

Определите направление раскрытия, вершины, фокуса, директрисы и оси симметрии.

x = 5 y ² -30 y + 11

Вычтите коэффициент y ² из членов, включающих y , чтобы вы могли заполнить квадрат.

x = 5 ( y ² — 6 y ) + 11

Завершение квадрата в круглых скобках добавляет 5 (9) = 45 к правой стороне. Добавьте это количество в левую часть, чтобы уравнение оставалось сбалансированным.

Вычтем 45 с обеих сторон.

x = 5 ( y -3) ² -34

Направление: открывается вправо ( a > 0, открывается горизонтально)

Вершина: ( h , k ) = (–34, 3)

Фокус:

Директрикс:

Ось симметрии:

Мой заголовок

% PDF-1.7
%
1 0 obj
>>> / Метаданные 89 0 R / OpenAction [4 0 R / FitH] / PageMode / UseOutlines / Pages 3 0 R / Тип / Каталог >>
эндобдж
5 0 obj
>
эндобдж
89 0 объект
> поток
application / pdf

2010-11-04T13: 50: 48ZCreator2010-11-24T18: 37: 25Z2010-11-24T18: 37: 25ZkeywordsProduceruuid: 7a86d084-3187-2a49-9932-a0cf0de0d730uuid: bf6268f3-f9e4-ff43-9d8c-23f67

конечный поток
эндобдж
3 0 obj
>
эндобдж
4 0 объект
> / Повернуть 0 / Тип / Страница >>
эндобдж
50 0 объект
> / Повернуть 0 / Тип / Страница >>
эндобдж
51 0 объект
> поток
x] YǑs’w ݥ] e6},

Квадратичная функция: изменения параболы

Вы можете использовать квадратичные функции, чтобы изучить, как уравнение влияет на форму параболы.Вот как сделать параболу шире или уже или как повернуть ее на бок.

Родительская функция

Марк Перри / Getty Images

Родительская функция — это шаблон домена и диапазона, который распространяется на других членов семейства функций.

Некоторые общие черты квадратичных функций

• 1 вершина
• 1 линия симметрии
• Наивысшая степень (наибольшая экспонента) функции 2
• График — парабола

Родители и потомки

Уравнение для квадратичной родительской функции имеет вид

y =
х
² , где
х ≠ 0.

Вот несколько квадратичных функций:

• y = x ² — 5
• y = x ² — 3 x + 13
• y = — x ² + 5 x + 3

Дети — это трансформации родителя. Некоторые функции будут сдвигаться вверх или вниз, открываться шире или более узко, смело поворачиваться на 180 градусов или сочетать вышеперечисленное.Узнайте, почему парабола открывается шире, открывается более узко или поворачивается на 180 градусов.

Изменить a, изменить график

Другой вид квадратичной функции:

y =
топор
² +
с, где
a ≠ 0

В родительской функции y = x ² , a = 1 (поскольку коэффициент x равен 1).

Когда a больше не 1, парабола будет открываться шире, открываться более узко или переворачиваться на 180 градусов.

Примеры квадратичных функций, где a ≠ 1 :

• y = — 1 x ² ; ( a = -1)
• y = 1/2 x ² ( a = 1/2)
• y = 4 x ² ( a = 4)
• y = 0,25 x ² + 1 ( a = 0,25)

Изменить

на , Изменить график

• Когда a отрицательно, парабола переворачивается на 180 °.
• Когда | а | меньше единицы, парабола раскрывается шире.
• Когда | а | больше 1, парабола открывается более узко.

Помните об этих изменениях при сравнении следующих примеров с родительской функцией.

Пример 1. Переворот параболы

Сравните y = — x ² до y = x ² .

Поскольку коэффициент при — x ² равен -1, тогда a = -1.Когда a отрицательно 1 или отрицательно, парабола перевернется на 180 градусов.

Пример 2: Парабола расширяется

Сравните y = (1/2) x ² до y = x ² .

• y = (1/2) x ² ; ( a = 1/2)
• y = x ² ; ^{( a = 1)}

Поскольку абсолютное значение 1/2 или | 1/2 | меньше 1, график откроется шире, чем график родительской функции.

Пример 3: Парабола открывает более узкий угол

Сравните y = 4 x ² до y = x ² .

• y = 4 x ² ( a = 4)
• y = x ² ; ^{( a = 1)}

Поскольку абсолютное значение 4 или | 4 | больше 1, график откроется более узко, чем график родительской функции.

Пример 4: Комбинация изменений

Сравните y = -.25 x ² до y = x ² .

• y = -.25 x ² ( a = -.25)
• y = x ² ; ^{( a = 1)}

Поскольку абсолютное значение -.25 или | -.25 | меньше 1, график откроется шире, чем график родительской функции.5} \ end {align *} \]

Помните, что если мы возьмем минус до нечетной степени, то знак минус может выйти вперед.