1. Если x = 0, то y = 0.

График функции проходит через начало координат.

2. Если x ≠ 0, то y > 0.

График функции расположен в верхней полуплоскости.

3. Противоположным значениям аргумента соответствуют равные значения функции.

Пояснение: допустим, x = –2, y = 8. При x = 2 значение y не меняется и составляет 8.

4. В промежутке (–∞; 0] функция убывает, а в промежутке [0; +∞) — возрастает.

5. Наименьшее значение функции равно нулю. Это значение она принимает при x = 0 (см.пункт 1).

Наибольшего значения функция не имеет. Т.е. областью значений функции является промежуток [0; +∞).

1. Если x = 0, то y = 0.

График функции проходит через начало координат.

2. Если x ≠ 0, то y < 0.

График функции расположен в нижней полуплоскости.

3. Противоположным значениям аргумента соответствуют равные значения функции.

График функции представляет собой симметричную фигуру относительно оси y.

Пояснение: допустим, x = –4, y = –8. При x = 4 значение y не меняется и составляет –8.

4. В промежутке (–∞; 0] функция возрастает, а в промежутке [0; +∞) — убывает.

5. Наибольшее значение функции равно нулю. Это значение она принимает при x = 0 (см.пункт 1).

Наименьшего значения функция не имеет. Т.е. областью значений функции является промежуток (–∞; 0].3)}
}
for(i in x){f(x)}
plot(x,y)

r

Поделиться

Источник

Unknown    

16 января 2016 в 19:12

3 ответа

• Нарисуйте f (x)=0, если x<=1, иначе (x-1)*(x-1) с matplotlib и очистите часть f (x)=0, когда x<=1

  Я хочу использовать matplotlib, чтобы нарисовать график f(x)=0 if x<=1 else (x-1)*(x-1) Трудность заключается в том, что часть f(x)=0, когда x<=1 перекрывается с осью X. Как я могу сделать эту часть более ясной? Спасибо.

• Haskell функция foldl (\x y — > x*2 + y*2) 0 поведение

  Я застрял с проблемой. В чем разница между этими двумя функциями: foldl (\x y -> x*2 + y*2) 0 [1,2,3] = 22 foldr (\x y -> x*2 + y*2) 0 [1,2,3] = 34 foldl (\x y -> x*2 + y*2) 0 [1,2,3] ⇒ f( f( f(0,1),2 ),3 ) foldr (\x y -> x*2 + y*2) 0 [1,2,3] ⇒ f( 3,f( 2, f(1,0) ) ) где f = \x y ->.3*(x<=0)
  plot(x,y)
  

  R интерпретирует (x > 0) как логическое значение (T или F), а затем автоматически преобразует его в 1 и 0.

  Поделиться

  
  Carlos Alberto    

  16 января 2016 в 20:23

  ---

  • Совпадение если есть X в первом и X во втором Y может быть 0

    В настоящее время я работаю над программой. Мне нужен regex, который принимает Y и X и что пары X разделены Y. Это не обязательно должно быть равное число, но оно не может содержать несколько X’E на стороне друг друга. Примеры: # Don’t match: XXXYYYYY #Match: XYXYYYY X Моя попытка до сих пор:…

  • Короткий способ записи (\(x, y) — > (f x, g y))

    Для функций f :: a → b , g :: c → d , как написать lambda \(x, y) → (f x, g y) :: (a, b) → (c, d) более сжато? Я попробовал (f, g) , но – как и следовало ожидать, я полагаю-безуспешно.

  ---

  Похожие вопросы:

  Что такое алгоритм композиции функций, который будет работать для нескольких аргументов,таких как h(x,y) .2 + 2*x ?…

  Как реализовать F (g x) (h x) точечно-свободно в Haskell?

  Из этого ответа можно узнать, как реализовать функцию \x y z -> f x (g y z) бессмысленным способом в Haskell, где f и g являются функциями. И мой вопрос таков Как написать функцию \x -> f (g…

  Пытаюсь найти все упорядоченные пары (x, y), такие что f (x,y) = 0 и g (x,y) = 0; т. е. я пытаюсь найти корни многопеременной функции

  Примечание: первоначально у меня было chi = 1, но я изменил его на chi = 0 (это более простой случай). Мои уравнения f (x, y) и g (x,y) исходят из следующего кода: import numpy as np from pylab…

  Нарисуйте f (x)=0, если x<=1, иначе (x-1)*(x-1) с matplotlib и очистите часть f (x)=0, когда x<=1

  Я хочу использовать matplotlib, чтобы нарисовать график f(x)=0 if x<=1 else (x-1)*(x-1) Трудность заключается в том, что часть f(x)=0, когда x<=1 перекрывается с осью X. Как я могу сделать эту…

  Haskell функция foldl (\x y — > x*2 + y*2) 0 поведение

  Я застрял с проблемой. В чем разница между этими двумя функциями: foldl (\x y -> x*2 + y*2) 0 [1,2,3] = 22 foldr (\x y -> x*2 + y*2) 0 [1,2,3] = 34 foldl (\x y -> x*2 + y*2) 0 [1,2,3] ⇒ f(…

  Совпадение если есть X в первом и X во втором Y может быть 0

  В настоящее время я работаю над программой. Мне нужен regex, который принимает Y и X и что пары X разделены Y. Это не обязательно должно быть равное число, но оно не может содержать несколько X’E на…

  Короткий способ записи (\(x, y) — > (f x, g y))

  Для функций f :: a → b , g :: c → d , как написать lambda \(x, y) → (f x, g y) :: (a, b) → (c, d) более сжато? Я попробовал (f, g) , но – как и следовало ожидать, я полагаю-безуспешно.

  Используйте x если z равно true иначе используйте z

  Мне нужно forLoop1, чтобы использовать y , если z равно 1, иначе используйте x и то же самое для forLoop2, но наоборот мой код: for z in range(3): count=[0]*plys for y in range(len(game)): #forLoop1.2-4ac}{4a})$.

  ---

  Пример 1. На рисунке изображён график квадратичной функции y=f(x).

  Какие из следующих утверждений о данной функции неверны? Запишите их номера.

  1. Функция убывает на промежутке [1; +∞) .

  2. Наименьшее значение функции равно −4 .

  3. f(−2) < f(3) .

  Видео-решение.

  subjects/mathematics/квадратичная_функция.txt · Последние изменения: 2013/04/26 16:56 — ¶

  Введение в линейные функции | Безграничная алгебра

  Что такое линейная функция?

  Линейные функции — это алгебраические уравнения, графики которых представляют собой прямые линии с уникальными значениями наклона и пересечения по оси Y.

  Цели обучения

  Описание частей и характеристик линейной функции

  Основные выводы

  Ключевые моменты

  • Линейная функция — это алгебраическое уравнение, в котором каждый член является либо константой, либо произведением константы и (первой степени) одной переменной.
  • Функция — это отношение со свойством, согласно которому каждый вход связан ровно с одним выходом.
  • Отношение — это набор упорядоченных пар.
  • График линейной функции — это прямая линия, но вертикальная линия не является графиком функции.
  • Все линейные функции записываются в виде уравнений и характеризуются своим наклоном и интервалом [латекс] y [/ латекс].

  Ключевые термины

  • отношение : набор упорядоченных пар.
  • переменная : символ, представляющий величину в математическом выражении, используемом во многих науках.
  • линейная функция : алгебраическое уравнение, в котором каждый член является либо константой, либо произведением константы и (первой степени) одной переменной.
  • функция : отношение между набором входов и набором допустимых выходов со свойством, что каждый вход связан ровно с одним выходом.

  Что такое линейная функция?

  Линейная функция — это алгебраическое уравнение, в котором каждый член является либо константой, либо произведением константы и (первой степени) одной переменной.Например, обычное уравнение [латекс] y = mx + b [/ latex] (а именно форма пересечения наклона, о которой мы узнаем больше позже) является линейной функцией, потому что оно удовлетворяет обоим критериям с [латекс] x [/ latex] и [latex] y [/ latex] как переменные и [latex] m [/ latex] и [latex] b [/ latex] как константы. Он линейный: показатель степени члена [latex] x [/ latex] равен единице (первая степень), и он следует определению функции: для каждого входа ([latex] x [/ latex]) существует ровно один выход ([latex] y [/ latex]). Также его график представляет собой прямую линию.

  Графики линейных функций

  Происхождение названия «линейный» происходит от того факта, что множество решений такого уравнения образует прямую линию на плоскости. На графиках линейной функции ниже константа [latex] m [/ latex] определяет наклон или градиент этой линии, а постоянный член [latex] b [/ latex] определяет точку, в которой линия пересекает ось [latex] y [/ latex], иначе известная как перехватчик [latex] y [/ latex].

  Графики линейных функций: Синяя линия, [latex] y = \ frac {1} {2} x-3 [/ latex] и красная линия, [latex] y = -x + 5 [/ latex] обе являются линейными функциями.Синяя линия имеет положительный наклон [latex] \ frac {1} {2} [/ latex] и [latex] y [/ latex] -пересечение [latex] -3 [/ latex]; красная линия имеет отрицательный наклон [латекс] -1 [/ латекс] и пересечение [латекс] y [/ латекс] [латекс] 5 [/ латекс].

  Вертикальные и горизонтальные линии

  Вертикальные линии имеют неопределенный наклон и не могут быть представлены в форме [latex] y = mx + b [/ latex], а могут быть представлены в виде уравнения формы [latex] x = c [/ latex] для константы [ latex] c [/ latex], потому что вертикальная линия пересекает значение на оси [latex] x [/ latex], [latex] c [/ latex].Например, график уравнения [latex] x = 4 [/ latex] включает в себя одно и то же входное значение [latex] 4 [/ latex] для всех точек на линии, но будет иметь разные выходные значения, такие как [latex ] (4, -2), (4,0), (4,1), (4,5), [/ latex] и так далее. Однако вертикальные линии НЕ являются функциями, поскольку каждый вход связан с более чем одним выходом.

  Горизонтальные линии имеют нулевой наклон и представлены в виде [latex] y = b [/ latex], где [latex] b [/ latex] — пересечение [latex] y [/ latex]. График уравнения [latex] y = 6 [/ latex] включает в себя одно и то же выходное значение 6 для всех входных значений в строке, например [latex] (- 2,6), (0,6), (2 , 6), (6,6) [/ латекс] и т. Д.Горизонтальные линии ЯВЛЯЮТСЯ функцией, потому что отношение (набор точек) имеет свойство, состоящее в том, что каждый вход связан ровно с одним выходом.

  Наклон

  Наклон описывает направление и крутизну линии и может быть рассчитан по двум точкам на линии.

  Цели обучения

  Рассчитайте наклон линии, используя «превышение пробега», и определите роль наклона в линейном уравнении

  Основные выводы

  Ключевые моменты

  • Наклон линии — это число, которое описывает как направление, так и крутизну линии; его знак указывает направление, а величина указывает крутизну.
  • Отношение подъема к разбегу — это наклон линии, [латекс] m = \ frac {rise} {run} [/ latex].
  • Наклон линии можно рассчитать по формуле [латекс] m = \ frac {y_ {2} — y_ {1}} {x_ {2} — x_ {1}} [/ latex], где [латекс] (x_1, y_1) [/ latex] и [latex] (x_2, y_2) [/ latex] — это точки на линии.

  Ключевые термины

  • крутизна : скорость, с которой функция отклоняется от задания.
  • направление : увеличение, уменьшение, горизонтальное или вертикальное.

  Наклон

  В математике наклон линии — это число, которое описывает как направление , так и крутизну линии . Наклон часто обозначают буквой [латекс] м [/ латекс]. Вспомните форму отрезка-пересечения линии, [латекс] y = mx + b [/ latex]. Ввод уравнения линии в эту форму дает вам наклон ([латекс] м [/ латекс]) линии и его [латекс] y [/ латекс] -пересечение ([латекс] b [/ латекс]). Теперь мы обсудим интерпретацию [latex] m [/ latex] и то, как рассчитать [latex] m [/ latex] для данной линии.

  Направление линии: возрастающее, убывающее, горизонтальное или вертикальное. Линия увеличивается, если она идет вверх слева направо, что означает положительный наклон ([latex] m> 0 [/ latex]). Линия уменьшается, если она идет вниз слева направо и наклон отрицательный ([латекс] m <0 [/ latex]). Если линия горизонтальна, наклон равен нулю и является постоянной функцией ([latex] y = c [/ latex]). Если линия вертикальная, наклон не определен.

  Уклон линий: наклон линии может быть положительным, отрицательным, нулевым или неопределенным.

  Крутизна или уклон линии измеряется абсолютной величиной уклона. Уклон с большим абсолютным значением указывает на более крутую линию. Другими словами, линия с наклоном [латекс] -9 [/ латекс] круче, чем линия с наклоном [латекс] 7 [/ латекс].

  Расчет уклона

  Наклон рассчитывается путем нахождения отношения «вертикального изменения» к «горизонтальному изменению» между любыми двумя отдельными точками на линии. Это соотношение представлено частным («подъем за пробегом») и дает одно и то же число для любых двух различных точек на одной линии.Он представлен [латекс] m = \ frac {rise} {run} [/ latex]. [Latex] [/ latex]

  Визуализация наклона: наклон линии рассчитывается как «подъем за пробегом».

  Математически уклон м линии равен:

  [латекс] \ displaystyle m = \ frac {y_ {2} — y_ {1}} {x_ {2} — x_ {1}} [/ latex]

  Две точки на линии необходимы, чтобы найти [латекс] м [/ латекс]. Учитывая две точки [латекс] (x_1, y_1) [/ latex] и [латекс] (x_2, y_2) [/ latex], взгляните на график ниже и обратите внимание, как «подъем» наклона определяется разницей в значениях [latex] y [/ latex] двух точек, а «пробег» определяется разницей в значениях [latex] x [/ latex].

  Наклон, представленный графически: Наклон [латекс] m = \ frac {y_ {2} — y_ {1}} {x_ {2} — x_ {1}} [/ latex] рассчитывается по двум точкам [латекс ] \ left (x_1, y_1 \ right) [/ latex] и [latex] \ left (x_2, y_2 \ right) [/ latex].

  Теперь мы посмотрим на некоторые графики на координатной сетке, чтобы найти их наклоны. Во многих случаях мы можем найти уклон, просто посчитав подъем и разбег. Начнем с определения двух точек на линии. Если возможно, мы стараемся выбирать точки с координатами, которые являются целыми числами, чтобы упростить наши вычисления.

  Пример

  Найдите наклон линии, показанной на координатной плоскости ниже.

  Найдите наклон линии: Обратите внимание, что линия увеличивается, поэтому обязательно ищите положительный наклон.

  Найдите две точки на графике, выбирая точки, координаты которых являются целыми числами. Мы будем использовать [latex] (0, -3) [/ latex] и [latex] (5, 1) [/ latex]. Начиная с точки слева, [latex] (0, -3) [/ latex], нарисуйте прямоугольный треугольник, идущий от первой точки ко второй точке, [latex] (5, 1) [/ latex].

  Определите точки на линии: нарисуйте треугольник, чтобы обозначить подъем и бег.

  Посчитайте подъем на вертикальной ножке треугольника: [латекс] 4 [/ латекс] единицы.

  Посчитайте пробег по горизонтальной стороне треугольника: [латекс] 5 [/ латекс] единиц.

  Воспользуйтесь формулой наклона, чтобы получить отношение подъема к пробегу:

  [латекс] \ displaystyle \ begin {align} m & = \ frac {rise} {run} \\ & = \ frac {4} {5} \ end {align} [/ latex]

  Наклон линии [латекс] \ frac {4} {5} [/ латекс].Обратите внимание, что наклон положительный, поскольку линия наклонена вверх слева направо.

  Пример

  Найдите наклон линии, показанной на координатной плоскости ниже.

  Найдите наклон линии: мы видим, что наклон уменьшается, поэтому обязательно ищите отрицательный наклон.

  Найдите две точки на графике. Ищите точки с координатами, которые являются целыми числами. Мы можем выбрать любые точки, но мы будем использовать [latex] (0, 5) [/ latex] и [latex] (3, 3) [/ latex].

  Определите две точки на линии: Точки [латекс] (0, 5) [/ latex] и [latex] (3, 3) [/ latex] находятся на линии.

  [латекс] \ displaystyle m = \ frac {y_ {2} — y_ {1}} {x_ {2} — x_ {1}} [/ latex]

  Пусть [latex] (x_1, y_1) [/ latex] будет точкой [latex] (0, 5) [/ latex], а [latex] (x_2, y_2) [/ latex] будет точкой [latex] ( 3, 3) [/ латекс].

  Подставляя соответствующие значения в формулу наклона, получаем:

  [латекс] \ displaystyle \ begin {align} m & = \ frac {3-5} {3-0} \\ & = \ frac {-2} {3} \ end {align} [/ latex]

  Наклон линии [латекс] — \ frac {2} {3} [/ latex]. Обратите внимание, что наклон отрицательный, поскольку линия наклоняется вниз слева направо.

  Прямое и обратное изменение

  Две переменные в прямой вариации имеют линейную зависимость, а переменные в обратной вариации — нет.

  Цели обучения

  Распознайте примеры функций, которые изменяются прямо и обратно

  Основные выводы

  Ключевые моменты

  • Две переменные, которые изменяются пропорционально друг другу, считаются находящимися в прямом изменении.
  • Связь между двумя прямо пропорциональными переменными может быть представлена ​​линейным уравнением в форме пересечения наклона и легко моделируется с помощью линейного графика.
  • Обратное изменение противоположно прямому изменению; две переменные считаются обратно пропорциональными, когда изменение выполняется для одной переменной, а противоположное — для другой
    .
  • Связь между двумя обратно пропорциональными переменными не может быть представлена ​​линейным уравнением, и его графическое представление представляет собой не линию, а гиперболу.

  Ключевые термины

  • гипербола : Коническое сечение, образованное пересечением конуса с плоскостью, которая пересекает основание конуса и не касается конуса.
  • пропорционально : с постоянным соотношением. Две величины (числа) называются пропорциональными, если вторая изменяется в прямой арифметической зависимости от первой.

  Прямое изменение

  Проще говоря, две переменные находятся в прямом изменении, когда то же самое, что происходит с одной переменной, происходит с другой. Если [latex] x [/ latex] и [latex] y [/ latex] находятся в прямой вариации, а [latex] x [/ latex] удваивается, то [latex] y [/ latex] также удваивается.Эти две переменные можно считать прямо пропорциональными.

  Например, зубная щетка стоит [латекс] 2 [/ латекс] доллара. Покупка зубных щеток [латекс] 5 [/ латекс] будет стоить [латекс] 10 [/ латекс] долларов, а покупка зубных щеток [латекс] 10 [/ латекс] будет стоить [латекс] 20 [/ латекс] долларов. Таким образом, мы можем сказать, что стоимость напрямую зависит от стоимости зубных щеток.

  Прямое изменение представлено линейным уравнением и может быть смоделировано путем построения линии. Поскольку мы знаем, что отношения между двумя значениями постоянны, мы можем дать их отношение с:

  [латекс] \ displaystyle \ frac {y} {x} = k [/ latex]

  Где [латекс] k [/ латекс] — постоянная величина.

  Переписав это уравнение, умножив обе части на [latex] x [/ latex], получим:

  [латекс] \ displaystyle y = kx [/ латекс]

  Обратите внимание, что это линейное уравнение в форме пересечения наклона, где [latex] y [/ latex] -intercept [latex] b [/ latex] равно [latex] 0 [/ latex].

  Таким образом, любая линия, проходящая через начало координат, представляет собой прямую вариацию между [latex] x [/ latex] и [latex] y [/ latex]:

  Прямо пропорциональные переменные: График [latex] y = kx [/ latex] демонстрирует пример прямого изменения между двумя переменными.

  Возвращаясь к примеру с зубными щетками и долларами, мы можем определить ось [latex] x [/ latex] как количество зубных щеток и ось [latex] y [/ latex] как количество долларов. При этом переменные будут подчиняться соотношению:

  [латекс] \ displaystyle \ frac {y} {x} = 2 [/ latex]

  Любое увеличение одной переменной приведет к равному увеличению другой. Например, удвоение [latex] y [/ latex] приведет к удвоению [latex] x [/ latex].

  Обратная вариация

  Обратное изменение противоположно прямому изменению.В случае обратного изменения увеличение одной переменной приводит к уменьшению другой. Фактически, две переменные считаются обратно пропорциональными, когда операция изменения выполняется для одной переменной, а противоположное — для другой. Например, если [latex] x [/ latex] и [latex] y [/ latex] обратно пропорциональны, если [latex] x [/ latex] удваивается, то [latex] y [/ latex] уменьшается вдвое.

  Например, время, затрачиваемое на поездку, обратно пропорционально скорости движения.Если ваш автомобиль движется с большей скоростью, путь к месту назначения будет короче.

  Зная, что взаимосвязь между двумя переменными постоянна, мы можем показать, что их взаимосвязь:

  [латекс] \ displaystyle yx = k [/ латекс]

  Где [латекс] k [/ латекс] — это константа, известная как константа пропорциональности. Обратите внимание, что пока [latex] k [/ latex] не равно [latex] 0 [/ latex], ни [latex] x [/ latex], ни [latex] y [/ latex] никогда не могут равняться [latex] 0 [/ latex] тоже.Мы можем изменить приведенное выше уравнение так, чтобы переменные располагались по разные стороны:

  [латекс] \ displaystyle y = \ frac {k} {x} [/ latex]

  Обратите внимание, что это не линейное уравнение. Невозможно представить это в виде перехвата склона. Таким образом, обратная зависимость не может быть представлена ​​линией с постоянным наклоном. Обратное изменение можно проиллюстрировать графом в форме гиперболы, изображенным ниже.

  Обратно пропорциональная функция: Обратно пропорциональная зависимость между двумя переменными графически представлена ​​гиперболой.

  Нули линейных функций

  Ноль или интервал [латекс] x [/ latex] — это точка, в которой значение линейной функции будет равно нулю.

  Цели обучения

  Практика нахождения нулей линейных функций

  Основные выводы

  Ключевые моменты

  • Ноль — это точка, в которой значение функции будет равно нулю. Его координаты [latex] (x, 0) [/ latex], где [latex] x [/ latex] равно нулю графика.
  • Нули могут наблюдаться графически или решаться алгебраически.
  • Линейная функция не может иметь нуля, одного или бесконечного числа нулей. Если функция представляет собой горизонтальную линию (slope = [latex] 0 [/ latex]), она не будет иметь нулей, если только ее уравнение не будет [latex] y = 0 [/ latex], и в этом случае их будет бесконечно много. Если линия не горизонтальная, у нее будет один ноль.

  Ключевые термины

  • ноль : также известен как корень; значение [latex] x [/ latex], при котором функция [latex] x [/ latex] равна [latex] 0 [/ latex].
  • линейная функция : алгебраическое уравнение, в котором каждый член является либо константой, либо произведением константы и (первой степени) одной переменной.
  • Y-пересечение : точка, в которой линия пересекает ось [latex] y [/ latex] декартовой сетки.

  График линейной функции представляет собой прямую линию. Графически то место, где линия пересекает ось [latex] x [/ latex], называется нулем или корнем. Алгебраически ноль — это значение [latex] x [/ latex], при котором функция [latex] x [/ latex] равна [latex] 0 [/ latex].Линейные функции могут не иметь нуля, одного или бесконечного числа нулей. Если через любую точку оси [latex] y [/ latex], кроме нуля, проходит горизонтальная линия, нулей нет, так как линия никогда не пересечет ось [latex] x [/ latex]. Если горизонтальная линия перекрывает ось [latex] x [/ latex] (проходит через ось [latex] y [/ latex] в нуле), то имеется бесконечно много нулей, поскольку линия пересекает [latex] x [/ latex] — ось несколько раз. Наконец, если линия вертикальная или имеет наклон, то будет только один ноль.

  Графическое определение нулей линейных функций

  Нули можно наблюдать графически. [Latex] x [/ latex] -перехват, или ноль, является свойством многих функций. Поскольку [latex] x [/ latex] -intercept (ноль) является точкой, в которой функция пересекает ось [latex] x [/ latex], она будет иметь значение [latex] (x, 0) [/ латекс], где [латекс] х [/ латекс] — ноль.

  Все линии со значением наклона будут иметь один ноль. Чтобы найти нуль линейной функции, просто найдите точку, в которой линия пересекает ось [latex] x [/ latex].

  Нули линейных функций: синяя линия, [latex] y = \ frac {1} {2} x + 2 [/ latex], имеет ноль в [latex] (- 4,0) [/ latex]; красная линия, [latex] y = -x + 5 [/ latex], имеет ноль в [latex] (5,0) [/ latex]. Поскольку каждая линия имеет значение для наклона, каждая линия имеет ровно один ноль.

  Алгебраическое нахождение нулей линейных функций

  Чтобы найти нуль линейной функции алгебраически, установите [latex] y = 0 [/ latex] и решите для [latex] x [/ latex].

  Нуль от решения линейной функции выше графически должен соответствовать алгебраическому решению той же функции.

  Пример: найти ноль [latex] y = \ frac {1} {2} x + 2 [/ latex] алгебраически

  Сначала замените [latex] 0 [/ latex] на [latex] y [/ latex]:

  [латекс] \ displaystyle 0 = \ frac {1} {2} x + 2 [/ латекс]

  Затем решите для [латекс] x [/ латекс]. Вычтите [латекс] 2 [/ латекс], а затем умножьте на [латекс] 2 [/ латекс], чтобы получить:

  [латекс] \ displaystyle \ begin {align} \ frac {1} {2} x & = — 2 \\ x & = — 4 \ end {align} [/ latex]

  Ноль [латекс] (- 4,0) [/ латекс]. Это тот самый ноль, который был найден с помощью графического метода.

  Уравнения пересечения наклона

  Форма линии с пересечением наклона резюмирует информацию, необходимую для быстрого построения ее графика.

  Цели обучения

  Преобразуйте линейные уравнения в форму с пересечением наклона и объясните, почему это полезно

  Основные выводы

  Ключевые моменты

  • Форма пересечения линии наклона задается выражением [latex] y = mx + b [/ latex], где [latex] m [/ latex] — наклон линии, а [latex] b [/ latex] — [latex] y [/ latex] -перехват.
  • Константа [latex] b [/ latex] известна как перехват [latex] y [/ latex]. Из формы пересечения наклона, когда [latex] x = 0 [/ latex], [latex] y = b [/ latex], а точка [latex] (0, b) [/ latex] является уникальной точкой на линия также на оси [latex] y [/ latex].
  • Чтобы построить линию в форме пересечения наклона, сначала постройте точку пересечения [latex] y [/ latex], затем используйте значение наклона, чтобы найти вторую точку на линии. Если значение наклона является целым числом, используйте [латекс] 1 [/ латекс] в качестве знаменателя.
  • Используйте алгебру, чтобы найти [latex] y [/ latex], если уравнение не записано в форме пересечения наклона. Только тогда можно точно определить значение наклона и точки пересечения [латекс] y [/ латекс] из уравнения.

  Ключевые термины

  • наклон : отношение вертикального и горизонтального расстояний между двумя точками на линии; ноль, если линия горизонтальная, неопределенная, если линия вертикальная.
  • Y-пересечение : точка, в которой линия пересекает ось [latex] y [/ latex] декартовой сетки.

  Форма пересечения уклона

  Одним из наиболее распространенных представлений линии является форма пересечения наклона. Такое уравнение задается выражением [латекс] y = mx + b [/ latex], где [latex] x [/ latex] и [latex] y [/ latex] — переменные, а [latex] m [/ latex] и [ latex] b [/ latex] — константы. При записи в этой форме константа [latex] m [/ latex] является значением наклона, а [latex] b [/ latex] является перехватом [latex] y [/ latex]. Обратите внимание, что если [latex] m [/ latex] равно [latex] 0 [/ latex], то [latex] y = b [/ latex] представляет собой горизонтальную линию.Обратите внимание, что это уравнение не допускает вертикальных линий, поскольку для этого потребуется, чтобы [latex] m [/ latex] было бесконечным (неопределенным). Однако вертикальная линия определяется уравнением [латекс] x = c [/ latex] для некоторого постоянного [latex] c [/ latex].

  Преобразование уравнения в форму пересечения наклона

  Написание уравнения в форме пересечения наклона полезно, поскольку по форме легко определить наклон и точку пересечения [латекс] y [/ латекс]. Это помогает находить решения различных проблем, таких как построение графиков, сравнение двух линий, чтобы определить, параллельны они или перпендикулярны, и решение системы уравнений.

  Пример

  Давайте запишем уравнение в форме пересечения наклона с [latex] m = — \ frac {2} {3} [/ latex] и [latex] b = 3 [/ latex]. Просто подставьте значения в форму пересечения наклона, чтобы получить:

  [латекс] \ displaystyle y = — \ frac {2} {3} x + 3 [/ latex]

  Если уравнение не в форме пересечения наклона, решите для [латекс] y [/ латекс] и перепишите уравнение.

  Пример

  Давайте запишем уравнение [латекс] 3x + 2y = -4 [/ latex] в форме пересечения наклона и определим наклон и точку пересечения [латекс] y [/ латекс].Чтобы решить уравнение для [latex] y [/ latex], сначала вычтите [latex] 3x [/ latex] из обеих частей уравнения, чтобы получить:

  [латекс] \ displaystyle 2y = -3x-4 [/ латекс]

  Затем разделите обе части уравнения на [латекс] 2 [/ латекс], чтобы получить:

  [латекс] \ displaystyle y = \ frac {1} {2} (- 3x-4) [/ latex]

  Что упрощается до [латекс] y = — \ frac {3} {2} x-2 [/ latex]. Теперь, когда уравнение имеет форму пересечения наклона, мы видим, что наклон [латекс] m = — \ frac {3} {2} [/ latex] и [латекс] y [/ latex] -перерез [латекс] б = -2 [/ латекс].

  Построение уравнения в форме пересечения наклона

  Начнем с построения графика уравнения из предыдущего примера.

  Пример

  Мы строим график линии [latex] y = — \ frac {3} {2} x-2 [/ latex], используя метод пересечения наклона. Начнем с построения [latex] y [/ latex] -intercept [latex] b = -2 [/ latex], координаты которого равны [latex] (0, -2) [/ latex]. Значение наклона диктует, где разместить следующую точку.

  Так как значение наклона равно [latex] \ frac {-3} {2} [/ latex], подъем составляет [latex] -3 [/ latex], а пробег равен [latex] 2 [/ latex].Это означает, что из интервала [latex] y [/ latex], [latex] (0, -2) [/ latex] переместите [latex] 3 [/ latex] единицы вниз и переместите [latex] 2 [/ латекс] единицы правая. Таким образом, мы приходим к точке [латекс] (2, -5) [/ латекс] на линии. Если поставить знак минус вместе со знаменателем вместо того, чтобы наклон был записан как [latex] \ frac {3} {- 2} [/ latex], мы можем вместо этого переместить [latex] 3 [/ latex] единицы и влево [ latex] 2 [/ latex] единицы из [latex] y [/ latex] -перехвата, чтобы прибыть в точку [latex] (- 2,1) [/ latex], также на линии.

  График угла наклона: график линии [латекс] y = — \ frac {3} {2} x-2 [/ latex].

  Пример

  Изобразим уравнение [латекс] 12x-6y-6 = 0 [/ latex]. Сначала мы решаем уравнение для [latex] y [/ latex], вычитая [latex] 12x [/ latex], чтобы получить:

  [латекс] \ displaystyle -6y-6 = -12x [/ латекс]

  Затем добавьте [latex] 6 [/ latex], чтобы получить:

  [латекс] \ displaystyle -6y = -12x + 6 [/ латекс]

  Наконец, разделите все члены на [latex] -6 [/ latex], чтобы получить форму пересечения наклона:

  [латекс] \ displaystyle y = 2x-1 [/ латекс]

  Наклон составляет [латекс] 2 [/ latex], а интервал [latex] y [/ latex] — [latex] -1 [/ latex].Используя эту информацию, легко построить графики. Начните с построения [latex] y [/ latex] -intercept [latex] (0, -1) [/ latex], затем используйте значение наклона, [latex] \ frac {2} {1} [/ latex ], чтобы переместить [латекс] на 2 [/ латекс] единицы и вправо [латекс] на 1 [/ латекс] единицу.

  График угла наклона: График линии [латекс] y = 2x-1 [/ latex].

  Уравнения точечного уклона

  Уравнение «точка-наклон» — это еще один способ представления линии; нужен только наклон и единичная точка.

  Цели обучения

  Используйте форму «точка-наклон», чтобы найти уравнение прямой, проходящей через две точки, и убедитесь, что оно эквивалентно форме «наклон-пересечение» уравнения

  Основные выводы

  Ключевые моменты

  • Уравнение точки и наклона задается следующим образом: [латекс] y-y_ {1} = m (x-x_ {1}) [/ latex], где [латекс] (x_ {1}, y_ {1}) [ / latex] — это любая точка на линии, а [latex] m [/ latex] — это наклон линии.
  • Уравнение «точка-уклон» требует наличия по крайней мере одной точки и уклона. Если есть две точки и нет наклона, наклон можно сначала рассчитать по двум точкам, а затем выбрать одну из двух точек для написания уравнения.
  • Уравнение точки-наклона и уравнения пересечения наклона эквивалентны. Можно показать, что с учетом точки [латекс] (x_ {1}, y_ {1}) [/ latex] и наклона [латекс] m [/ latex], [латекс] y [/ latex] -перехват ([ latex] b [/ latex]) в уравнении угла наклона есть [latex] y_ {1} -mx_ {1} [/ latex].

  Ключевые термины

  • Уравнение угла наклона точки : Уравнение линии, заданной точкой [латекс] (x_ {1}, y_ {1}) [/ латекс] и наклоном [латекс] м [/ латекс]: [латекс] y-y_ {1} = m (x-x_ {1}) [/ латекс].

  Уравнение точечного уклона

  Уравнение точки-наклона — это способ описания уравнения прямой. Форма «точка-наклон» идеальна, если вам даны наклон и только одна точка, или если вам даны две точки и вы не знаете, что такое перехват [latex] y [/ latex].Учитывая наклон, [латекс] м [/ латекс] и точку [латекс] (x_ {1}, y_ {1}) [/ latex], уравнение угла наклона точки:

  [латекс] \ displaystyle y-y_ {1} = m (x-x_ {1}) [/ latex]

  Проверить, что форма «точка-уклон» эквивалентна форме

  Чтобы показать, что эти два уравнения эквивалентны, выберите общую точку [latex] (x_ {1}, y_ {1}) [/ latex]. Подставьте общую точку в уравнение [латекс] y = mx + b [/ latex]. Уравнение теперь [латекс] y_ {1} = mx_ {1} + b [/ latex], что дает нам упорядоченную пару, [латекс] (x_ {1}, mx_ {1} + b) [/ latex] .Затем подставьте эту точку в уравнение угла наклона точки и решите для [latex] y [/ latex], чтобы получить:

  [латекс] \ displaystyle y- (mx_ {1} + b) = m (x-x_ {1}) [/ latex]

  Распределить знак минус через и распределить от [latex] m [/ latex] до [latex] (x-x_ {1}) [/ latex]:

  [латекс] \ displaystyle y-mx_ {1} -b = mx-mx_ {1} [/ latex]

  Добавьте [латекс] mx_ {1} [/ latex] с обеих сторон:

  [латекс] \ displaystyle y-mx_ {1} + mx_ {1} -b = mx-mx_ {1} + mx_ {1} [/ latex]

  Объедините похожие термины:

  [латекс] \ displaystyle y-b = mx [/ латекс]

  Добавьте [латекс] b [/ латекс] с обеих сторон:

  [латекс] \ displaystyle y-b + b = mx + b [/ латекс]

  Объедините похожие термины:

  [латекс] \ displaystyle y = mx + b [/ латекс]

  Следовательно, эти два уравнения эквивалентны, и любое из них может выразить уравнение линии в зависимости от того, какая информация дается в задаче или какой тип уравнения требуется в задаче.

  Пример: напишите уравнение линии в форме точки-наклона, учитывая точку [латекс] (2,1) [/ latex] и наклон [латекс] -4 [/ latex], и преобразуйте в форму пересечения наклона

  Запишите уравнение прямой в форме точки наклона:

  [латекс] \ displaystyle y-1 = -4 (x-2) [/ latex]

  Чтобы преобразовать это уравнение в форму пересечения наклона, решите уравнение для [латекс] y [/ латекс]:

  [латекс] \ displaystyle y-1 = -4 (x-2) [/ latex]

  Распределить [латекс] -4 [/ латекс]:

  [латекс] \ displaystyle y-1 = -4x + 8 [/ латекс]

  Добавьте [латекс] 1 [/ латекс] с обеих сторон:

  [латекс] \ displaystyle y = -4x + 9 [/ латекс]

  Уравнение имеет то же значение, в какой бы форме оно ни было, и дает один и тот же график.

  Линейный график: График линии [латекс] y-1 = -4 (x-2) [/ latex] через точку [latex] (2,1) [/ latex] с наклоном [латекс] -4 [/ latex], а также наклонно-перехватывающая форма [latex] y = -4x + 9 [/ latex].

  Пример: запишите уравнение линии в форме «точка-наклон» с учетом точки [латекс] (- 3,6) [/ latex] и точки [латекс] (1,2) [/ latex] и преобразуйте ее в наклон- форма перехвата

  Поскольку у нас есть две точки, но нет наклона, мы должны сначала найти наклон:

  [латекс] \ displaystyle m = \ frac {y_ {2} -y_ {1}} {x_ {2} -x_ {1}} [/ latex]

  Подставляем значения баллов:

  [латекс] \ displaystyle \ begin {align} m & = \ frac {-2-6} {1 — (- 3)} \\ & = \ frac {-8} {4} \\ & = — 2 \ end {align} [/ латекс]

  Теперь выберите одну из двух точек, например [латекс] (- 3,6) [/ латекс].Подставьте эту точку и рассчитанный наклон в уравнение угла наклона точки, чтобы получить:

  [латекс] \ displaystyle y-6 = -2 [x — (- 3)] [/ латекс]

  Будьте осторожны, если одна из координат отрицательная. Распределив знак минус через круглые скобки, окончательное уравнение будет:

  [латекс] \ displaystyle y-6 = -2 (x + 3) [/ латекс]

  Если вы выберете другой пункт, уравнение будет выглядеть следующим образом: [латекс] y + 2 = -2 (x-1) [/ latex], и любой ответ правильный.

  Далее раздаем [латекс] -2 [/ латекс]:

  [латекс] \ displaystyle y-6 = -2x-6 [/ латекс]

  Добавьте [латекс] 6 [/ латекс] с обеих сторон:

  [латекс] \ displaystyle y = -2x [/ латекс]

  Опять же, две формы уравнений эквивалентны друг другу и образуют одну и ту же линию.Единственное отличие — это форма, в которой они написаны.

  Линейные уравнения в стандартной форме

  Линейное уравнение, записанное в стандартной форме, позволяет легко вычислить нулевой или [латексный] х [/ латексный] интервал уравнения.

  Цели обучения

  Объясните процесс и полезность преобразования линейных уравнений в стандартную форму

  Основные выводы

  Ключевые моменты

  • Стандартная форма линейного уравнения записывается как: [латекс] Ax + By = C [/ latex].
  • Стандартная форма полезна при вычислении нуля уравнения. Для линейного уравнения в стандартной форме, если [latex] A [/ latex] не равно нулю, то перехват [latex] x [/ latex] происходит в [latex] x = \ frac {C} {A} [/ latex ].

  Ключевые термины

  • ноль : Также известный как корень, ноль — это значение [latex] x [/ latex], при котором функция [latex] x [/ latex] равна 0.
  • форма пересечения наклона : Линейное уравнение, записанное в форме [латекс] y = mx + b [/ latex].
  • Y-образная точка : точка, в которой линия пересекает ось Y декартовой сетки.

  Стандартная форма

  Стандартная форма — это еще один способ составления линейного уравнения. В стандартной форме линейное уравнение записывается как:

  [латекс] \ displaystyle Ax + By = C [/ latex]

  , где [latex] A [/ latex] и [latex] B [/ latex] не равны нулю. Уравнение обычно записывается так, что [latex] A \ geq 0 [/ latex], по соглашению. График уравнения представляет собой прямую линию, и каждая прямая линия может быть представлена ​​уравнением в стандартной форме.

  Например, рассмотрим уравнение в форме перехвата наклона: [латекс] y = -12x +5 [/ latex]. Чтобы записать это в стандартной форме, обратите внимание, что мы должны переместить член, содержащий [latex] x [/ latex], в левую часть уравнения. Добавляем [latex] 12x [/ latex] с обеих сторон:

  [латекс] \ displaystyle y + 12x = 5 [/ латекс]

  Уравнение теперь в стандартной форме.

  Использование стандартной формы для поиска нулей

  Напомним, что ноль — это точка, в которой значение функции будет равно нулю ([latex] y = 0 [/ latex]), и является перехватом функции [latex] x [/ latex].Мы знаем, что точку пересечения y линейного уравнения можно легко найти, поместив уравнение в форму углового пересечения. Однако, когда линейное уравнение находится в такой форме, нуль уравнения не сразу очевиден. Однако нулевой или [latex] x [/ latex] -перехват линейного уравнения может быть легко найден путем преобразования его в стандартную форму.

  Для линейного уравнения в стандартной форме, если [latex] A [/ latex] не равно нулю, то перехват [latex] x [/ latex] происходит в [latex] x = \ frac {C} {A} [/ латекс].

  Например, рассмотрим уравнение [латекс] y + 12x = 5 [/ latex].

  В этом уравнении значение [latex] A [/ latex] равно 1, а значение [latex] C [/ latex] равно 5. Следовательно, ноль уравнения находится при [latex] x = \ frac {5} {1} = 5 [/ латекс]. Ноль — это точка [латекс] (5, 0) [/ латекс].

  Обратите внимание, что пересечение и наклон [latex] y [/ latex] также могут быть рассчитаны с использованием коэффициентов и константы уравнения стандартной формы. Если [latex] B [/ latex] не равно нулю, то интервал y , то есть координата y точки, в которой график пересекает ось y (где [latex] x [ / latex] равно нулю), это [latex] \ frac {C} {B} [/ latex], а наклон линии равен [latex] — \ frac {A} {B} [/ latex].

  Пример: Найдите ноль уравнения [латекс] 3 (y — 2) = \ frac {1} {4} x +3 [/ latex]

  Мы должны записать уравнение в стандартной форме, [latex] Ax + By = C [/ latex], что означает получение членов [latex] x [/ latex] и [latex] y [/ latex] с левой стороны, и константы в правой части уравнения.

  Распределите 3 слева:

  [латекс] \ displaystyle 3y — 6 = \ frac {1} {4} x +3 [/ латекс]

  Добавьте 6 к обеим сторонам:

  [латекс] \ displaystyle 3y = \ frac {1} {4} x + 9 [/ латекс]

  Вычтите [латекс] \ frac {1} {4} x [/ latex] с обеих сторон:

  [латекс] \ displaystyle 3y — \ frac {1} {4} x = 9 [/ латекс]

  Переставить в [латекс] Ax + By = C [/ latex]:

  [латекс] \ displaystyle — \ frac {1} {4} x + 3y = 9 [/ latex]

  Уравнение имеет стандартную форму, и мы можем подставить значения для [латекс] A [/ латекс] и [латекс] C [/ латекс] в формулу для нуля:

  [латекс] \ displaystyle \ begin {align} x & = \ frac {C} {A} \\ & = \ frac {9} {- \ frac {1} {4}} \\ & = -36 \ end {align} [/ латекс]

  Ноль — [латекс] (- 36, 0) [/ латекс].

  Нулей функции — объяснение и примеры

  Одна из наиболее распространенных проблем, с которыми мы сталкиваемся в наших базовых и продвинутых классах алгебры, — это поиск нулей определенных функций — сложность будет меняться по мере того, как мы продвигаемся и овладеваем мастерством решения нулей функций.

  Судя по названию, нули функции — это значения x, где f (x) равно нулю.

  Мы находим нули на уроках математики и в повседневной жизни.Например, если мы хотим узнать сумму, которую нам нужно продать, чтобы обеспечить безубыточность, мы в конечном итоге найдем нули уравнения, которое мы составили. Это лишь один из многих примеров проблем и моделей, в которых нам нужно найти нули f (x).

  Благодаря обширному применению функций и их нулей мы должны научиться манипулировать различными выражениями и уравнениями, чтобы находить их нули. В этой статье мы научимся:

  • Знать, что представляет собой ноль функции.
  • Узнайте, как найти нули общих функций.
  • Определить нули функции по ее графику.

  Давайте продолжим и начнем с понимания фундаментального определения нуля.

  Что такое ноль функции?

  Понимание того, что представляют собой нули, может помочь нам узнать, когда находить нули функций по их выражениям, и узнать, как находить их по графику функции. Как правило, нули функции — это значение x, когда сама функция становится нулем .

  Нули функции могут иметь различную форму — если они возвращают значение y, равное 0, мы будем считать его нулем функции.

  Нули определения функции

  Нули функции — это значения x, когда f (x) равно 0 . Отсюда и его название. Это означает, что когда f (x) = 0, x является нулем функции. Когда график проходит через x = a, a называется нулем функции. Следовательно, (a, 0) является нулем функции .

  • Функция f (x) = x + 3 имеет ноль при x = -3, поскольку f (-3) = 0.
  • Функция g (x) = x ² -4 имеет два нуля: x = -4 и х = 4.Это означает, что f (-4) = 0 и f (4) = 0.
  • График h (x) проходит через (-5, 0), поэтому x = -5 является нулем h (x) и h (-5) = 0.

  Если дан график функции, ее действительные нули будут представлены отрезками по оси x. Это имеет смысл, поскольку нули являются значениями x, когда y или f (x) равны 0.

  Перехваты функции x: (x ₁ , 0), (x ₂ , 0), (x ₃ , 0) и (x ₄ , 0). Это означает, что для приведенного выше графика его действительные нули равны {x ₁ , x ₂ , x ₃ , x ₄ } .

  Однако есть случаи, когда график не проходит через точку пересечения по оси x. Это не означает, что функция не имеет нулей, но вместо этого нули функции могут иметь сложную форму.

  Как найти нули функции

  ?

  Нахождение нулей функции может быть столь же простым, как выделение x на одной стороне уравнения и многократное изменение выражения для нахождения всех нулей уравнения.

  В общем случае для данной функции f (x) ее нули можно найти, установив функцию на ноль .Значения x, которые представляют заданное уравнение, являются нулями функции. Чтобы найти нули функции, найдите значения x, где f (x) = 0.

  Как найти нули квадратичной функции?

  Существует множество сложных уравнений, которые в конечном итоге можно свести к квадратным уравнениям. Вот почему на наших промежуточных классах алгебры мы будем уделять много времени изучению нулей квадратичных функций.

  Чтобы найти нули квадратичной функции, мы приравниваем данную функцию к 0 и решаем значения x, которые удовлетворяют уравнению.Вот несколько важных напоминаний при нахождении нулей квадратичной функции:

  • Убедитесь, что квадратное уравнение имеет стандартную форму (ax ² + bx + c = 0).
  • Фактор, когда это возможно, но не бойтесь использовать формулу корней квадратного уравнения.
  • Квадратичная функция может иметь не более двух нулей.

  Мы уже знакомы с различными стратегиями нахождения нулей квадратичных функций в прошлом, поэтому вот руководство о том, как выбрать лучшую стратегию:

  Как найти нули полиномиальной функции?

  Тот же процесс применяется для полиномиальных функций — приравнивает полиномиальную функцию к 0 и находит значения x, которые удовлетворяют уравнению .Это руководство может помочь вам найти лучшую стратегию поиска нулей полиномиальных функций.

  Нужен дополнительный обзор решения полиномиальных уравнений? Не беспокойтесь, перейдите по этой ссылке и освежите свои знания о решении полиномиальных уравнений.

  Как найти нули рациональной функции?

  Рациональные функции — это функции, у которых есть полиномиальное выражение как для числителя, так и для знаменателя. Применяя тот же принцип при нахождении нулей других функций, мы приравниваем рациональную функцию к 0.

  Допустим, у нас есть рациональная функция f (x) с числителем p (x) и знаменателем q (x).

  f (x) = p (x) / q (x)

  Чтобы найти его ноль, мы приравниваем рациональное выражение к нулю.

  p (x) / q (x) = 0

  Поскольку q (x) никогда не может быть равным нулю, мы упрощаем уравнение до p (x) = 0. Что это означает для всех рациональных функций?

  При нахождении нуля рациональных функций мы приравниваем числитель к 0 и решаем относительно x .

  Как найти нули других функций?

  Как вы уже догадались, правило остается неизменным для всех видов функций .Если задана уникальная функция, обязательно приравняйте ее выражение к 0, чтобы найти ее нули.

  Вот еще несколько функций, с которыми вы, возможно, уже сталкивались в прошлом:

  Тип функции	Пример
  Логарифмическая функция	f (x) = log 2 2x Узнайте, как решать логарифмические уравнения здесь.
  Функция мощности	f (x) = 3x 1/3 Попрактикуйтесь в решении уравнений, включающих степенные функции, здесь.
  Экспоненциальная функция	f (x) = 2 x + 1
  Тригонометрическая функция	f (x) = -3 sin x

  В любой из этих функций будут добавлены нули. вернуть значения x, где функция равна нулю. Получив график этих функций, мы можем найти их действительные нули, проверив точки пересечения графика по оси x.

  График выше показывает f (x) = -3 sin x от -3π до 3π. Все точки пересечения по оси x графика — это все нули функции между интервалами.Следовательно, нули между данными интервалами: {- 3 π, -2 π , — π, 0, π, 2π, 3π}.

  Готовы применить то, что мы только что узнали? Давайте попробуем решить некоторые из этих задач.

  Пример 1

  Функция f (x) имеет следующую таблицу значений, как показано ниже.

  На основании таблицы, каковы нули функции f (x)?

  Решение

  Всегда возвращайтесь к тому факту, что нули функций являются значениями x, когда значение функции равно нулю.

  Мы видим, что когда x = -1, y = 0, а когда x = 1, y = 0 тоже. Следовательно, нули f (x) равны -1 и 1.

  Пример 2

  График f (x) показан ниже. Используя этот график, каковы нули функции f (x)?

  Решение

  График f (x) проходит через ось x в точках (-4, 0), (-1, 0), (1, 0) и (3, 0). Это точки пересечения по оси x и, следовательно, действительные нули функции f (x).

  Следовательно, нулей f (x) равны {-4, -1, 1, 3} .

  Пример 3

  Какие нули у g (x) = –x ³ — 3x ² + x + 3?

  Решение

  Найдите ноль g (x), приравняв кубическое выражение к 0.

  –x ³ — 3x ² + x + 3 = 0

  Переставьте уравнение, чтобы мы могли сгруппировать и разложите выражение на множители.

  –x ³ + x — 3x ² + 3 = 0

  -x (x ² — 1) — 3 (x ² — 1) = 0

  (-x-3) (x ² — 1) = 0

  Примените свойство разности двух квадратов, a ² — b ² = (a — b), (a + b) ко второму множителю.

  (-x-3) (x — 1) (x + 1) = 0

  Приравняйте каждый множитель к 0, чтобы найти x.

  -x- 3 = 0 -x = 3 x = 3

  x — 1 = 0 x = 1

  x + 1 = 0 x = -1

  Следовательно, нулей g (x) равны {-1, 1, 3}.

  Пример 4

  Какие нули у h (x) = –2x ⁴ — 2x ³ + 14x ² + 2x — 12?

  Решение

  Приравняйте выражение h (x) к 0, чтобы найти его нули.Это приведет к полиномиальному уравнению.

  –2x ⁴ — 2x ³ + 14x ² + 2x — 12 = 0

  Разделите обе части уравнения на -2, чтобы упростить уравнение.

  x ⁴ + x ³ — 7x ² — x + 6 = 0

  Перечислите возможные рациональные множители выражения, используя теорему о рациональных нулях. В нашем случае p = 1 и q = 6.

  Факторы p	± 1
  Факторы q	± 1, ± 2, ± 3, ± 6
  Возможные нули (p / q)	± 1/6, ± 1/3, ± 1/2, ± 1

  Давайте продолжим и воспользуемся синтетическим делением, чтобы увидеть, если x = 1 и x = -1 может удовлетворять уравнению.

  Это означает, что x = 1 является решением, а h (x) можно переписать как -2 (x — 1) (x ³ + 2x ² -5x — 6). Используйте кубическое выражение в следующем синтетическом делении и посмотрите, является ли x = -1 также решением.

  Следовательно, x = -1 — решение, а (x + 1) — множитель h (x). Следовательно, мы имеем h (x) = -2 (x — 1) (x + 1) (x ² + x — 6).

  Чтобы найти два оставшихся нуля h (x), приравняйте квадратное выражение к 0.

  x ² + x — 6 = 0

  (x — 3) (x + 2) = 0

  x + 2 = 0 x = -2

  x — 3 = 0 x = 3

  Следовательно, нулей h (x) равны {-2, — 1, 1, 3}.

  Пример 5

  Какие нули у g (x) = (x ⁴ -10x ² + 9) / (x ² -4)?

  Решение

  Функция g (x) является рациональной функцией, поэтому, чтобы найти ее ноль, приравняйте числитель к 0.

  x ⁴ -10x ² + 9 = 0

  Решите относительно x который удовлетворяет уравнению для нахождения нулей g (x).

  Пусть a = x ² и сведем уравнение к квадратному уравнению.

  (x ² ) ² — 10x ² + 9 = 0

  a ² — 10a + 9 = 0

  (a — 1) (a — 9) = 0

  Уравнять каждое коэффициент к 0, чтобы найти, затем подставьте x ² обратно, чтобы найти возможные значения нулей g (x).

  a — 1 = 0 x 2 — 1 = 0 x 2 = 1 x = ± 1

  a — 9 = 0 x 2 2 — 9 = 0 x 2 = 9 x = ± 3

  Следовательно, нули g (x) равны {-3, -1, 1, 3}.

  Практические вопросы

  1. Воспользуйтесь приведенными ниже таблицами и найдите нули для каждой соответствующей функции.

  а.

  x	-3	-2	-1	0	1	2	3
  f (x) —		-8	0	6	16	36

  б.

  x	-3	-2	-1	0	1	2	3
  f (x)		0	-1	0	15	80

  с.

  f (x)

  x	-π / 2	-π / 3	-π / 6	0	π / 6	π / 3	π / 2
  0	√3	1 / √3	0	-1 / √3	-√3	0

  2.Каковы нули следующих функций на графиках, показанных ниже?

  а.

  б.

  с.

  3. Найдите нули следующих функций.

  а. f (x) = 2x ³ + 3x ² — 3x — 2

  б. g (x) = -2x ⁴ + 4x ³ + 18x ² — 4x — 16

  c. h (x) = (x ⁴ — 1) / (x ⁴ + 2x ³ — 9x ² — 2x + 8)

  Изображения / математические рисунки создаются с помощью GeoGebra.

  Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урок

  пересечения по оси x и y

  х- и y-перехватчики Графическая концепция x — и y — перехватов довольно просто. x -перехваты — это место, где график пересекает ось x , и точки пересечения y находятся там, где график пересекает ось y .Проблемы Начнем с того, что мы попытаемся алгебраически разобраться с перехватами. Чтобы прояснить алгебраическую часть, подумайте еще раз о топоры. Когда вы впервые познакомились с декартовой плоскостью, вам показали обычный номер линии начальной школы (ось x ), а затем показано, как вы можете нарисовать перпендикуляр числовая прямая (ось y ) через нулевую точку на первой числовой строке. Брать При более внимательном рассмотрении вы увидите, что ось y также является линией « x = 0».В Таким же образом ось x также является линией « y = 0». Тогда алгебраически перехват x — точка на графике где y равно нулю, а a y -перехват — точка на графике где x равно нулю. Более конкретно, -перехват x — это точка в уравнении, где значение y равно нулю, а -перехват y — это точка в уравнении, в которой значение x равно нулю. Найдите x — и y -перехваты 25 x 2 + 4 y 2 = 9 Используя определения перехватов, я действуйте следующим образом: x — интервал (ов): y = 0 для интервала (ов) x , поэтому: Тогда x -перехват это точки ( 3 / 5 , 0) и (–3 / 5 , 0) y — перехват (ы): Авторские права © Элизабет Стапель 1999-2011 Все права защищены x = 0 для интерцепта (ов) y , поэтому: Тогда y -перехват это точки (0, 3 / 2 ) и (0, –3 / 2 ) Просто помните: какой бы перехватчик вы ни искали для другая переменная устанавливается в ноль. В дополнение к указанным выше соображениям вам следует считайте следующие термины взаимозаменяемыми: Другими словами, следующие упражнения эквивалентны: Найдите интервалы x из y = x 3 + 2 x 2 — x — 3 Решить x 3 + 2 x 2 — x — 3 = 0 Найдите нули / корни f ( x ) = x 3 + 2 x 2 — x — 3 Если вы сохраните этот эквивалент на задней панели голова, многие упражнения будут иметь гораздо больше смысла.Например, если они дадут вам что-то вроде следующий график: … и прошу вас найти «решения», вы узнаете, что они означают «найти перехватчики x », и вы сможете ответить на вопрос, даже при том, что они неуклюже использовали математические термины, и они никогда не давали вам уравнение. Вверх | Вернуться к индексу Цитируйте эту статью как: Стапель, Елизавета.«пересечения по оси x и y». Пурпурная математика . Доступна с https://www.purplemath.com/modules/intrcept.htm . Доступ [Дата] [Месяц] 2016

  Как построить график y = 0 — математический класс [видео 2021 года]

  Вставка значений

  Второй метод включает построение нескольких точек, чтобы увидеть, как ведет себя график.Давайте пройдемся по этим шагам сейчас.

  • 1. Подставьте несколько значений для x, а затем найдите, что равно y. Вы можете использовать x = -2, x = -1, x = 0, x = 1 и x = 2.
  • 2. Отметьте точки, которые вы нашли.
  • 3. Соедините точки, чтобы найти график.

  Построение графика y = 0

  Метод 1

  Теперь давайте продолжим и построим график вашего уравнения y = 0. Мы сделаем это в обоих направлениях, чтобы вы могли увидеть, как работают оба. Узнав оба пути, вы можете выбрать наиболее простой для вас.

  Первый способ включает использование формы пересечения наклона y = mx + b. Пошли. Шаг первый — записать уравнение в форме пересечения наклона.

  1. Переписав y = 0 в форме пересечения наклона, вы получите y = 0x + 0.
  2. Обозначьте свой наклон как 0 и точку пересечения оси Y как 0.
  3. Постройте точку пересечения с y. Y-точка пересечения равна 0, поэтому вы ставите точку в точке (0, 0).
  4. Найдите следующую точку, используя уклон. Наклон равен 0, поэтому это говорит вам о том, что независимо от того, как далеко вы уйдете влево или вправо, ваше значение y всегда будет равно 0.Таким образом, вы переходите на один пробел вправо для x = 1. Поскольку ваш наклон равен 0, ваше значение y по-прежнему равно 0; он не идет ни вверх, ни вниз. Ваша следующая точка — (1, 0).
  5. Подключение ваших точек. Вы соединяете две точки линией, и вы получаете график y = 0.

  y = 0 график

  И готово!

  Метод 2

  Давайте попробуем второй способ, чтобы увидеть, как он работает.

  1.Вы подключаете x = -2, x = -1, x = 0, x = 1 и x = 2. Помните, что это линейное уравнение, поэтому в нем есть переменная x. Он просто скрыт, потому что умножается на 0, как вы видели, когда записывали всю форму пересечения наклона предыдущим способом для решения этой проблемы. В этот x вы будете вставлять свои значения. Итак, подключив их, вы получите:

  x	y
  -2	0
  -1	0
  0	0
  1	0
  2	0

  2.Вы продолжаете и наносите все эти точки на график.

  3. Затем вы проводите линию через все эти точки.

  y = 0 график

  А вот и ваш график!

  Ярлык

  Есть ярлык для решения этой проблемы, если вы помните, что наклон 0, который есть у этой проблемы, всегда будет давать вам горизонтальную линию. Если вы это знаете, то можете просто провести горизонтальную линию через точку пересечения оси Y, в данном случае 0.Поскольку уравнение y = 0 имеет точку пересечения оси y, равную 0, ваш график по существу представляет собой ось x.

  Попробуем на примере.

  Эрик изучает девочек и пауков. Он смотрит, меняет ли количество пауков, как девушки относятся к паукам. Ось Y в его исследовании показывает, насколько девочкам нравятся пауки. Значение y, равное 0, означает, что девочкам не нравятся пауки и никогда не будут. Значение x, равное 1, означает 1 паука, значение x, равное 2, означает 2 паука. Его исследование показало, что, сколько бы пауков ни было, девочки всегда говорили, что пауков им не нравятся.Значение y всегда равно 0. Эрик видит, что его данные соответствуют графику y = 0. Изобразите это уравнение в виде графика.

  Вы видите, что эта задача просит вас построить график уравнения y = 0. Вы хорошо справились, если вспомнили, что это уравнение представляет собой горизонтальную линию, проходящую через ось Y в точке 0.

  y = 0 график

  Резюме урока

  Для обзора, есть два метода, которые вы можете использовать для построения графика y = 0: форма пересечения наклона и вставка значений .Но вы также можете запомнить ярлык, который заключается в том, что наклон нуля всегда будет представлен в виде горизонтальной линии, и поэтому, когда y = 0, график по существу будет показывать линию, проходящую через ось x.

  Asymptotes — Бесплатная справка по математике

  Асимптота — это, по сути, линия, к которой график приближается, но не пересекает. Например, на следующем графике \ (y = \ frac {1} {x} \) линия приближается к оси x (y = 0), но никогда не касается ее. Независимо от того, как далеко мы уходим в бесконечность, линия на самом деле не достигнет y = 0, но всегда будет становиться все ближе и ближе.

  \ (y = \ frac {1} {x} \)

  Это означает, что прямая y = 0 является горизонтальной асимптотой. Горизонтальные асимптоты возникают чаще всего, когда функция является дробью, где верхняя часть остается положительной, а нижняя стремится к бесконечности. Возвращаясь к предыдущему примеру, \ (y = \ frac {1} {x} \) — это дробь. Когда мы уходим в бесконечность по оси x, верхняя часть дроби остается 1, но нижняя становится все больше и больше. В результате вся дробь фактически становится меньше, хотя и не достигает нуля.2 + 1 \) будет намного больше. Поскольку нижняя часть будет преобладать над верхней, дробь приближается к нулю, когда x приближается к бесконечности. Это уравнение также имеет асимптоту при y = 0.

  Теперь давайте найдем пример с асимптотой, не расположенной в y = 0. Вот график \ (y = \ frac {3x} {x + 2} \):

  Теперь посмотрим, что происходит, когда x стремится к бесконечности. Знаменатель дроби равен x + 2, и поскольку x становится действительно огромным, +2 практически не имеет смысла (какая разница между 100000 и 100002?), Поэтому мы просто притворимся, что +2 на мгновение пропало.Теперь наше уравнение выглядит так:

  $$ y = \ frac {3x} {x} $$

  Сократите x, и у вас будет y = 3. Вы только что взяли предел , когда x приблизился к бесконечности, и обнаружили, что асимптота равна y = 3. Когда x стремится к бесконечности, y становится действительно очень близким к 3. Чтобы найти горизонтальные асимптоты, просто посмотрите, что происходит, когда x стремится к бесконечности.

  Второй тип асимптоты — это вертикальная асимптота, которая также является линией, к которой график приближается, но не пересекает.Вертикальные асимптоты почти всегда возникают, потому что знаменатель дроби стал равен 0, а вершина — нет. Например, \ (y = \ frac {4} {x-2} \):

  Обратите внимание, что по мере приближения графика к x = 2 слева кривая быстро падает в сторону отрицательной бесконечности. Это потому, что числитель остается на 4, а знаменатель приближается к 0. Это означает, что сама дробь становится очень большой и отрицательной. Когда x равно 2, функция не существует, потому что вы не можете разделить на 0.Сразу после 2 он возобновляется на положительной бесконечности, потому что числитель равен 4, а знаменатель снова очень крошечный, но на этот раз положительный.

  Чтобы найти вертикальные асимптоты, ищите любое обстоятельство, при котором знаменатель дроби равен нулю. Это наиболее вероятные кандидаты, и в этот момент вы можете построить график функции для проверки или взять предел, чтобы увидеть, как график ведет себя по мере приближения к возможной асимптоте.

  Также имейте в виду, что тригонометрические функции могут многократно стремиться к нулю, поэтому секущая функция, которая также записывается как \ (y = \ frac {1} {cos (x)} \), имеет много вертикальных асимптот:

  Все эти вертикальные линии на самом деле являются асимптотами, что дает хороший момент.Ваш калькулятор или компьютер, скорее всего, нарисуют асимптоты в виде черных линий, которые выглядят как остальная часть графика. Это потому, что компьютер хочет соединить все точки, а он не такой умный, как вы. Вы должны использовать собственное суждение, чтобы распознать асимптоты, когда вы видите компьютеризированный график.

  Надеюсь, вы узнали немного о горизонтальных и вертикальных асимптотах. Если вам нужна дополнительная информация, перейдите на нашу доску сообщений и задайте свой вопрос.

  Обнаружение и понимание Y-пересечения (с примерами)

  Пересечение оси y графика — это точка, в которой он пересекает ось y, которая является вертикальной осью от плоскости координат xy.Ниже мы увидим, как найти точку пересечения по оси Y для любой функции и почему функция может иметь не более одного точки пересечения по оси Y в целом. Вы также всегда можете прокрутить вниз до видео-примера.

  реклама

  Увидеть это на графике

  Прежде чем мы углубимся в детали, рассмотрим приведенный ниже график. Как видите, это линейная функция (график представляет собой линию), и она пересекает ось Y в точке (0, 3). Это говорит о том, что точка пересечения по оси Y равна 3.

  Поскольку любая точка вдоль оси y имеет координату x, равную 0, форма любого пересечения с y будет \ ((0, c) \) для некоторого числа \ (c \).2 + 4 (0) — 1 \\ & = \ в коробке {-1} \ end {align} \)

  Таким образом, точка пересечения оси Y равна –1 и находится в точке \ ((0, –1) \).

  Присмотритесь

  Теперь, когда мы увидели, как их найти, могут возникнуть два интересных вопроса:

  1. Может ли функция иметь более одного пересечения по оси y?
  2. Может ли функция не иметь перехвата по оси y?

  Отвечая на эти вопросы, помните, что по определению функция может иметь только один выход (значение y) для каждого входа (значение x).Функция, имеющая более одного пересечения по оси y, нарушит это, так как это будет означать, что есть два выхода для \ (x = 0 \). Следовательно, функция не может иметь более одного пересечения по оси y.

  А как насчет перехвата? Что ж, рассмотрим график ниже. Это график функции: \ (y = \ dfrac {1} {x} \)

  Эта функция никогда не пересекает ось Y, потому что, поскольку вы не можете разделить на ноль, она не определена в \ (x = 0 \). Фактически, каждый раз, когда функция не определена в 0, она не будет иметь точки пересечения по оси Y.

  Пример видео

  В видео ниже я покажу вам три примера того, как найти точку пересечения оси y. Как вы увидите, идея довольно проста!

  Сводка

  При работе с любым графом необходимо знать две полезные вещи: местоположение любых точек пересечения по оси x и точку пересечения по оси Y, если она существует. Для линейной функции (линии) этих двух точек достаточно, чтобы быстро нарисовать график. Однако для более сложных функций поиск перехвата часто является частью более глубокого анализа.

  объявление

  Продолжайте изучение построения графиков

  Следующие статьи могут оказаться полезными, если вы продолжите изучать графики:

  Подпишитесь на нашу рассылку новостей!

  Мы всегда публикуем новые бесплатные уроки и добавляем новые учебные пособия, руководства по калькуляторам и пакеты задач.

  Подпишитесь, чтобы получать электронные письма (раз в пару или три недели) с информацией о новинках!

  Связанные

  Домен и диапазон

  В
  
  домен
  
  из

  функция

  ж

  (

  Икс

  )

  — это набор всех значений, для которых определена функция, а
  
  диапазон
  
  функции — это набор всех значений, которые

  ж

  берет.

  (В гимназии вы, вероятно, называли домен набором замены, а диапазон — набором решений. Их также можно было назвать входом и выходом функции.)

  
  Пример 1:
  

  Рассмотрим функцию, показанную на диаграмме.

  Здесь домен — это множество

  {

  А

  ,

  B

  ,

  C

  ,

  E

  }

  .D

  не входит в домен, так как функция не определена для

  D

  .

  Диапазон — это набор

  {

  1

  ,

  3

  ,

  4

  }

  .

  2

  не входит в диапазон, так как в домене нет буквы, которая сопоставляется с

  2

  .

  Вы также можете поговорить о домене

  связь

  , где один элемент в домене может быть сопоставлен более чем с одним элементом в диапазоне.

  
  Пример 2:
  

  Рассмотрим соотношение

  {

  (

  0

  ,

  7

  )

  ,

  (

  0

  ,

  8

  )

  ,

  (

  1

  ,

  7

  )

  ,

  (

  1

  ,

  8

  )

  ,

  (

  1

  ,

  9

  )

  ,

  (

  2

  ,

  10

  )

  }

  .

  Здесь отношение задано как набор упорядоченных пар. Домен — это набор

  Икс

  -координаты,

  {

  0

  ,

  1

  ,

  2

  }

  , а диапазон — это набор

  y

  -координаты,

  {

  7

  ,

  8

  ,

  9

  ,

  10

  }

  . Обратите внимание, что элементы домена

  1

  а также

  2

  связаны с более чем одним элементом диапазона, поэтому это
  
  нет
  
  функция.

  Но чаще, особенно при работе с графиками на координатной плоскости, мы имеем дело с функциями, в которых каждый элемент области связан с одним элементом диапазона. (См.

  Тест вертикальной линии

  .)

  
  Пример 3:
  

  Область определения функции

  ж

  (

  Икс

  )

  знак равно

  1

  Икс

  все действительные числа, кроме нуля (так как at

  Икс

  знак равно

  0

  , функция не определена: деление на ноль недопустимо!).

  Диапазон также состоит из действительных чисел, кроме нуля. Вы можете видеть, что на кривой есть точка для каждого

  y

  -значение кроме

  y

  знак равно

  0

  .

  Домены также могут быть указаны явно, если есть значения, для которых функция может быть определена, но которые мы не хотим рассматривать по какой-то причине.

  
  Пример 4:
  

  Следующие обозначения показывают, что область определения функции ограничена интервалом

  (

  —

  1

  ,

  1

  )

  .

  ж

  (

  Икс

  )

  знак равно

  Икс

  2

  ,

  —

  1

  < Икс < 1

  График этой функции показан на рисунке. Обратите внимание на белые кружки, которые показывают, что функция не определена в

  Икс

  знак равно

  —

  1

  а также

  Икс

  знак равно

  1

  .

  Добавить комментарий Отменить ответ

  Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

  Комментарий *

  Имя *

  Email *

  Сайт