Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ (Справочник по математике — Тригонометрия

      Рассмотрим тригонометрические круги, изображенные на рисунке 1 и рисунке 2.

Рис.1

Рис.2

      На тригонометрическом круге, изображенном на рисунке 1, центральные углы измерены в градусах, а на тригонометрическом круге, изображенном на рисунке 2, те же центральные углы измерены в радианах.

      Углом в   1   градус называют угол, составляющий     полного угла. Углом в   k°   называют угол в   k   раз больший угла в   1° .

      Углом в   1   радиан называют центральный угол тригонометрического круга, которому соответствует дуга окружности тригонометрического круга длиной   1 .   Углом в   k   радиан называют центральный угол тригонометрического круга в   k   раз больший угла в   1   радиан.

      Следствие 1. Углом в   k   радиан является центральный угол тригонометрического круга, которому соответствует дуга окружности тригонометрического круга длиной   k .

      Следствие 2. Полный угол является углом в   2π   радиан.

      Для того, чтобы найти формулы, связывающие градусную и радианную меры угла, рассмотрим рисунки 3 и 4

На этих рисунках изображены прямые углы, причем на рисунке 3 прямой угол измерен в градусах и равен   90° ,   а на рисунке 4 прямой угол измерен в радианах и равен  радиан. Следовательно,

Таким образом, формулы, связывающие градусную и радианную меры угла, имеют вид

Поскольку , то

По этой причине углы, составляющие целое число радиан, изображаются на тригонометрическом круге так, как это показано на рисунке 5.

Рис.5

      Замечание. Тригонометрическая формула sin α означает, что рассматривается синус угла в   α   радиан, а тригонометрическая формула   sin α°   означает, что рассматривается синус угла в   α   градусов. По такому же правилу определяются значения косинуса, тангенса и котангенса.

      Пример. Найти наименьшее из чисел:

      Решение. Поскольку

то наименьшим числом является число     cos 3 .

      На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике.

Измерение углов: градусы и радианы

Анна Малкова

Почему полный круг составляет 360 градусов? Что такое радиан и как перевести градусы в радианы? И при чем здесь число ? Статья для тех, кто сдает ЕГЭ или просто интересуется математикой.

Для измерения углов принято использовать две основные единицы: градусы и радианы.

Начнем с привычных градусов.

Полный круг составляет 360 градусов – это мы все знаем.

Да, но почему 360?

В метре 100 сантиметров. В рубле 100 копеек, в килограмме 1000 грамм. Мы привыкли к десятичной системе, и возникла она оттого, что на каждой руке у нас по 5 пальцев, а на двух руках — по 10.

А вот в часе 60 минут, в круге 360 градусов. И в сутках 24 часа. Древние шумеры умудрились придумать двенадцатеричную систему счисления! И при этом они тоже считали по пальцам. Нет, у них не было по 6 пальцев на каждой руке. Просто считали не пальцы, а фаланги четырех пальцев (кроме большого).

Кстати, круг легко делится именно на 6 частей (умеете?). А число 12 (дюжина) делится на 2, 3, 4, 6 и, собственно, 12.

И это не все. Древние шумерские астрономы обнаружили, что в день равноденствия Солнце встает почти точно на Востоке и заходит почти точно на Западе, причем от восхода до заката проходит по небу путь, в 360 раз больший, чем видимый с Земли диаметр Солнца. Небесную полуокружность разделили на 180 градусов.

Точнее, угловой диаметр Солнца равен примерно 32 угловых минуты, то есть чуть больше 0,5 градуса. Он еще и немного меняется в течение года из-за того, что орбита Земли не круговая, а эллиптическая.

Так что утверждение о том, что в День равноденствия Солнце проходит по небу путь, равный 360 своим «шагам» (то есть 360 видимым диаметрам солнца) – верно с некоторой точностью.
Конечно, древние астрономы наблюдали не только за движением Солнца. Они заметили, что яркая планета Юпитер совершает полный оборот вокруг Солнца за 12 лет. Точнее, не 12, а 11,86 лет, но уж очень им хотелось округлить до своего любимого числа.

Да что там Юпитер! Посмотрим на Луну. Юпитер на небе еще и не каждый найдет (а вы сможете?) – зато Луну, особенно полную, трудно не заметить! Месяц – промежуток от полнолуния до полнолуния – равен примерно 29,5 суток. Почти 30, верно?

Наша Земля совершает полный оборот вокруг Солнца за 365 дней (точнее, за 365,242 суток), и это – солнечный год.

И тогда лунный год – это 12 месяцев, в каждом месяце 30 дней (округлили), вот и получается 360 дней в году, почти столько же, сколько в солнечном, в котором 365 дней.

«Может быть, боги хотели сделать в году ровно 360 дней, но им кто-нибудь помешал, вот и получилось 365». Возможно, так и рассуждали древние астрономы, деля круг на 360 частей, 360 градусов. Тем более, что 360 – число, имеющее целых 24 делителя.

Число 360 делится на 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90, 120, 180 и 360. Очень удобно делить 360 градусов на части!

Обозначается: 360°. Этот кружок вверху – специальный символ для обозначения градуса.

Есть и другая мера измерения углов – радианная.

1 радиан – центральный угол, опирающийся на дугу, равную радиусу окружности.

Как перевести градусы в радианы и наоборот?

Полный круг – это 360 градусов. Отношение длины окружности к ее диаметру равно числу , приближенно Значит, длина окружности равна где – радиус.

Составим пропорцию. Длина окружности так относится к длине дуги на нашем рисунке, как – к величине угла, опирающегося на эту дугу, то есть к углу в 1 радиан.

1 радиан –

Слева в нашей пропорции углы, справа – длина полной окружности и длина отмеченной на рисунке дуги.

Из этой пропорции получаем, что радиан. Значит, полный круг – это радиан. Тогда полкруга – это радиан, четверть круга (то есть ) – это радиан.

Любой угол, выраженный в градусах, можно перевести в радианы. И наоборот, 1 радиан приблизительно равен 57 градусам.

Что такое Угол? Определение, виды, как обозначают? Примеры

Определение угла

Угол — это простая геометрическая фигура. Определение угла напрямую связано с понятием луча.

Луч — прямая линия, у которой есть начало, но нет конца, и продолжается она только в одну сторону.

Если нам дана прямая a на плоскости, и на ней есть некоторая точку O — выходит, что прямая разделена точкой на две части, каждая из которых является лучом с началом в точке O.

Луч можно обозначить одной строчной буквой латинского алфавита или двумя прописными. Например, вот так:

Угол — часть плоскости между двумя линиями, исходящими из одной точки. Каждая сторона угла является лучом, а вершина — общим началом сторон.

В математике существует специальный символ для обозначения угла, вот он: ∠.

Если стороны угла названы малыми латинскими буквами, то их записывают после символа. Например, так: ∠ab или ∠ba.

Если стороны угла названы большими буквами, то обозначение угла будет состоять из символа и трех букв, при этом вершина всегда записывается в центре. При сторонах угла OA и OB название угла запишем так: ∠AOB и ∠BOA.

Иногда можно встретить обозначение в виде цифр — так тоже можно.

Для наглядности — все способы обозначения углов:

Что такое вершина и стороны угла:

• Стороны угла — лучи, из которых состоит угол.
• Вершина угла — общее начало сторон угла.

Биссектриса — это луч, который исходит из вершины угла и делит его на два равных угла.

Так как угол делит плоскость на две части, одна будет внутренней областью угла, а другая — внешней областью угла. Вот так:

При разделении развернутым углом на плоскости любая из его частей считается внутренней областью развернутого угла.

Единица измерения углов — градусы. Символ для обозначения градуса угла: °.

Определение смежных и вертикальных углов

Смежные углы — это пара углов, у которых одна сторона общая, а две другие стороны лежат на одной прямой. Таким образом два смежных угла составляют развернутый угол. Общая сторона двух смежных углов называется наклонной к прямой, на которой лежат другие стороны, при условии, что смежные углы не равны.

Вертикальные углы — это пара углов, у которых есть общая вершина, при этом стороны одного угла составляют продолжение сторон другого угла.

При пересечении прямых получается четыре пары смежных и две пары вертикальных углов. Вот как это выглядит:

Виды углов

Есть разные типы углов и у каждого своё название:

• острый
• прямой
• тупой
• развернутый
• выпуклый
• полный

Различать виды углов в геометрии важно. Определять можно на глаз или с помощью линейки.

Острый угол — это угол, который меньше прямого угла, то есть < 90°.

Прямой угол — это угол, стороны которого перпендикулярны друг другу. Прямой угол всегда равен половине развернутого угла, то есть = 90°.

Если два смежных угла равны между собой, то каждый из них является прямым. Для удобства прямой угол обозначается уголком. Вот так:

На картинке изображены два прямых угла ∠AOC и ∠COB. Общая сторона OC перпендикулярна прямой AB, а точка O — основание перпендикуляра.

Развернутый угол — это открытый угол, который образован двумя лучами и равен сумме двух прямых углов. Развернутый угол равен 180°. Как выглядит развернутый угол показано на первой картинке.

Неразвернутый угол — это любой угол, который не является развернутым, то есть не равен 180°.

Тупой угол — это угол, который больше прямого угла, но меньше развернутого:
90° < тупой угол < 180°.

Выпуклый угол — это угол, который больше развернутого угла, но меньше полного:
180° < выпуклый угол < 360°.

Полный угол — это угол, обе стороны которого совпадают с одним лучом. Он равен сумме четырех прямых углов, то есть = 360°.

Прилежащие углы — это пара углов с общей вершиной и стороной, другие стороны при этом лежат по разные стороны от общей стороны.

На картинке мы видим два прилежащих угла ∠AOB и ∠BOC, общую вершину O и общую сторону OB.

Можно сформулировать определение по-другому: если из вершины любого угла провести луч, разделяющий угол на два, то образованные углы будут прилежащими.

Чтобы найти угол, который разделен лучом, нужно сложить полученные углы: ∠AOB = ∠AOC + ∠COB. Из этого можно выделить следующие верные разности:

• ∠AOC = ∠AOB — ∠COB,
• ∠COB = ∠AOB — ∠AOC.

Сравнение углов

Для сравнения углов можно использовать самый простой способ из программы 4 класса — метод наложения. Для этого нужно совместить две вершины и сторону одного угла со стороной другого. Если стороны заданных углов совпадут, значит углы равные. Если нет, то угол, который лежит внутри другого, будет меньшим. Здесь два наглядных примера с равными и неравными углами:

При этом развернутые углы всегда являются равными.

Совмещение углов ∠𝐴𝐵𝐶 и ∠𝑀𝑁𝐾 происходит следующим образом:

1. Вершину 𝐵 одного угла совмещаем с вершиной 𝑁 другого угла.
2. Сторону 𝐵𝐴 одного угла накладываем на сторону 𝑁𝑀 другого угла так, чтобы стороны 𝐵𝐶 и 𝑁𝐾 располагались в одном направлении.

Если совпадут и другие стороны, то углы равны: ∠𝐴𝐵𝐶 = ∠𝑀𝑁𝐾.

Если нет, то один угол — меньше другого: ∠𝐴𝐵𝐶<∠𝑀𝑁𝐾.

Сравнить углы можно также, измерив их величины. Для этого понадобится специальный инструмент для построения и измерения углов — транспортир. Вот, как он выглядит:

Как правильно измерять углы

Измерение углов похоже на измерение отрезков: нужно сравнить их с углом, принятым за единицу измерения. В геометрии обычно за единицу измерения принимают градус — угол, равный 1/180 части развернутого угла. Обозначается — 0.

Градусная мера угла — положительное число, которое показывает, сколько раз градус и его части укладываются в данном углу.

Есть еще две возможные меры угла: минуты и секунды. Они позволяют выполнять более точные расчеты, особенно, когда величина не является целым обозначением градуса.

Минута — 1/60 часть градуса. Обозначается — ´.

Секунда — 1/60 часть минуты. Обозначается — ´´.

Градус состоит из 3600 секунд, то есть: 1° = 60′ = 3600′.

Как происходит измерение угла: сначала измеряются стороны угла, а после его внутренняя область. Всегда нужно считать количество уложенных углов, так как они предопределяют меру измеряемого угла.

Когда луч делит угол на два или более углов, градусная мера всего угла равна сумме градусных мер этих углов.

На рисунке изображен угол АОВ, он состоит из углов АОС, СОD и DОВ. Можно записать так: ∠ A O B = ∠ A O C + ∠ D O B = 45° + 30° + 60° = 135 °.

Угол называется прямым, если он равен 90°, а острым, если он меньше 90°, тупым, если он больше 90°, но меньше 180°. Развернутый угол имеет 180°.

Равные углы имеют равную градусную меру.

Обозначение углов на чертеже

Чертеж помогает решать задачки по геометрии в разы быстрее. Чтобы наглядно изображать дуги, углы и прочие фигурки, придумали даже отдельное направление — геометрический чертеж.

Задачи с углами могут быть разными и не всегда есть возможность правильно изобразить и отметить угол. Вот, что важно запомнить при обозначении лучей и углов:

• Равные углы обозначают одинаковым количеством дуг.
• Неравные углы обозначают разным количеством дуг, чтобы они отличались между собой.
• Для обозначения на чертеже более трех углов используем разные виды дуг: волнистые, зубчатые.

На чертеже отмечены острые, равные и неравные углы.

Обозначать углы можно разными цветами. Главное, чтобы было просто и броско. При этом необязательно отмечать все-все углы — достаточно только тех, которые нам нужны для решения задачки.

Вникать во все тонкости математической вселенной комфортнее с внимательным наставником. Наши учителя объяснят сложную тему, ответят на неловкие вопросы и вдохновят ребенка учиться. А красочная платформа с увлекательными заданиями поможет заниматься современно и в удовольствие. Запишите ребенка на бесплатный пробный урок в онлайн-школу Skysmart и попробуйте сами!

Урок 27. углы. измерение углов — Математика — 5 класс

Математика

5 класс

Урок № 27

Углы. Измерение углов

Перечень рассматриваемых вопросов:

— понятие «угол», «величина угла»;

— виды углов;

— построение углов;

— измерение величины угла.

Тезаурус

Угол – геометрическая фигура, образованная двумя лучами (сторонами угла), выходящими из одной точки, которая называется вершиной угла.

Градус – единица измерения углов, составляющая часть развёрнутого угла.

Градусная мера угла – число, которое показывает, сколько единиц измерения (градусов) содержится между сторонами этого угла.

Обязательная литература

Никольский С. М. Математика. 5 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. // С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников и др. – М.: Просвещение, 2017. – 272 с.

Дополнительная литература

1. Чулков П. В. Математика: тематические тесты. 5 класс. // П. В. Чулков, Е. Ф. Шершнёв, О.Ф. Зарапина. – М.: Просвещение, 2009. – 142 с.

2. Шарыгин И. Ф. Задачи на смекалку: 5-6 классы. // И. Ф. Шарыгин, А. В. Шевкин. – М.: Просвещение, 2014. – 95 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

«Я думаю, что никогда до настоящего времени мы не жили в такой геометрический период. Всё вокруг – геометрия», – сказал в своё время французский архитектор Ле Корбюзье, и трудно с ним не согласиться. Геометрические фигуры постоянно встречаются в творениях природы и человека.

Сегодня мы рассмотрим ещё одну геометрическую фигуру – угол, разберём его виды и опишем процесс построения и измерения углов.

Для начала определим, что называют углом.

Углом называют геометрическую фигуру, образованную двумя лучами, выходящими из одной точки.

Построим угол. Для этого отметим на плоскости точку О и проведём два луча – ОК и ОМ. Получим геометрическую фигуру, образованную точкой О и двумя лучами, исходящими из этой точки. Такую геометрическую фигуру и называют углом.

Лучи ОК и ОМ называют сторонами угла, точку О – общее начало этих лучей – называют вершиной угла.

Обозначается угол чаще всего тремя буквами. Например, ∠КОМ или ∠МОК. В середине пишется буква, которой обозначена вершина угла. Также угол можно обозначать и одной буквой, поставленной у вершины угла. Например, ∠О.

Начертим два луча, исходящих из точки О и принадлежащих одной прямой.

Лучи ОС и OК вместе с точкой О дополняют друг друга до прямой – это дополнительные лучи. Угол называют развёрнутым, если его стороны являются дополнительными лучами.

Угол СОК – развёрнутый.

Построим развёрнутый угол АОВ и полуокружность с центром в точке О. Полуокружность разделим на 180 равных частей. Если построим углы с вершиной в точке О, стороны которых проходят через точки деления полуокружности, то таких углов будет 180. Один такой угол будет составлять часть развёрнутого угла.

рисунок

Меру угла, составляющего часть развёрнутого угла, принимают за единицу измерения углов и называют градусом. Обозначают: 1º.

Градусной мерой угла называют число, которое показывает, сколько единиц измерения (градусов) содержится между сторонами этого угла.

Например, градусная мера угла КOВ равна 25 градусам, так как в нём единица измерения градус содержится двадцать пять раз. Записывают: ∠КОВ = 25º.

рисунок

Стоит отметить, что для более точного измерения угла используют доли градуса:

– минуты, которые обозначают одной чёрточкой сверху над цифрой справа,

– секунды, которые обозначаются двумя чёрточками над цифрой справа.

В одном градусе содержится 60 минут, а в одной минуте – 60 секунд.

Например, если угол А равен 10 градусам 5 минутам, записывают: ∠А = 10º5′.

Градусная мера развёрнутого угла равна 180º.

Для измерения углов в градусах пользуются прибором, который называется транспортиром. На транспортире имеется шкала – полуокружность, разделённая на 180 равных частей. На линейке транспортира чёрточкой отмечен центр полуокружности транспортира.

Чтобы найти градусную меру угла, например, угла АВС, нужно совместить центр транспортира с вершиной угла, в данном случае точкой В; расположить линейку транспортира так, чтобы одна из сторон угла прошла через начало отсчёта шкалы транспортира – ноль градусов^{(в данном случае сторона АВ), и найти на шкале транспортира деление, через которое проходит другая сторона угла – в данном случае сторона ВС.}

Это деление шкалы покажет градусную меру угла. В нашем случае – это 120º.

Транспортир применяется также для построения угла, мера которого известна. Построим, например, угол KNM, равный 60º. Для этого:

— проведём луч NM;

— совместим центр транспортира с точкой N;

— расположим линейку транспортира так, чтобы луч NM прошёл через начало отсчёта шкалы транспортира;

— найдём на шкале транспортира деление, соответствующее шестидесяти градусам, и отметим напротив него точку К;

— проведём луч NK. Мы построили угол KNM, равный 60º.

Ответить на вопрос, равны ли углы, и, если не равны, то какой из них больше или меньше, можно, сравнивая их градусные меры. Углы с равными градусными мерами равны. Из двух углов больше тот, который имеет большую градусную меру; а меньше тот, который имеет меньшую градусную меру.

Углы можно сравнить также наложением. Если при этом они совпадают, то равны.

Помимо развёрнутого, углы можно разделить на следующие виды: прямой, острый и тупой.

Угол называют прямым, если его градусная мера равна 90º.

Острым – если его градусная мера меньше 90º.

Тупым – если его градусная мера больше 90º^{и меньше 180º.}

Рассмотрим ещё два вида углов, которые встречаются в геометрических задачах: это вертикальные углы, то есть пара углов с общей вершиной, которые образованы при пересечении двух прямых так, что стороны одного угла являются продолжением сторон другого. Например, угол один и два.

И смежные углы – это два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются дополнительными полупрямыми.

Например, угол САВ и угол САD.

Вместе смежные углы составляют развёрнутый угол. Следовательно, сумма величин смежных углов составляет 180º.

Итак, сегодня мы познакомились с разными видами углов и научились строить их с помощью транспортира.

Для определения величины углов используется прибор, который называют транспортир. Но существуют и более высокоточные приборы.

Так, гониометр использовался для определения положения судна в море или океане.

Теодолит – прибор для измерения горизонтальных и вертикальных углов при геодезических работах, в строительстве и т. п.

Секстант применялся для измерения высоты Солнца над горизонтом с целью определения географических координат той местности, в которой производится измерение, и на судах.

Посох Якова, служащий для измерения углов, – один из первых инструментов для астрономических наблюдений.

Что такое градусная мера угла?

☰

Углы измеряют в разных единицах измерениях. Это могут быть градусы, радианы. Чаще всего углы измеряют в градусах. (Не следует путать этот градус с мерой измерения температуры, где также используется слово «градус).

1 градус — это угол, который равен 1/180 части развернутого угла. Другими словами, если взять развернутый угол и поделить его на 180 равных между собой частей-углов, то каждый такой маленький угол будет равен 1 градусу. Размер всех других углов определяется тем, сколько таких маленьких углов можно внутри измеряемого угла уложить.

Обозначается градус знаком °. Это не ноль и не буква О. Это такой специальный, введенный для обозначения градуса, символ.

Таким образом, развернутый угол равен 180°, прямой угол равен 90°, острые углы имеют размер меньший, чем 90°, а тупые — больший, чем 90°.

В метрической системой для измерения расстояния используется метр. Однако используются и более крупные и мелкие единицы. Например, сантиметр, миллиметр, километр, дециметр. По аналогии с этим в градусной мере углов также выделяют минуты и секунды.

Одна градусная минута равна 1/60 градуса. Обозначается она одним знаком ‘.

Одна градусная секунда равна 1/60 минуты или 1/3600 градуса. Обозначается секунда двумя знаками ‘, то есть ».

В школьной геометрии градусные минуты и секунды используются редко, однако надо уметь понимать, например, такую запись: 35°21’45». Это значит, что угол равен 35 градусов + 21 минута + 45 секунд.

С другой стороны, если угол нельзя измерить точно лишь в целых градусах, то не обязательно вводить минуты и секунды. Достаточно использовать дробные значения градуса. Например, 96,5°.

Понятно, что минуты и секунды можно перевести в градусы, выразив их в долях градуса. Например, 30′ равно (30/60)° или 0,5°. А 0,3° равно (0,3 * 60)’ или 18′. Таким образом, использование минут и секунд — это лишь вопрос удобства.

Радиан, Углы больше 360 градусов, Положительные и отрицательные углы

Когда прямые пересекаются, то получается четыре разные области по отношению к точке пересечения.
Эти новые области называют углами.

На картинке видны 4 разных угла, образованных пересечением прямых AB и CD

Обычно углы измеряются в градусах, что обозначается как °.
Когда объект совершает полный круг, то есть движется из точки D через B, C, A, а затем обратно к D, то говорят что он повернулся на 360 градусов (360°).{\circ} = \frac{260}{360} = \frac{7}{9}$ кругов
Объект описал $2\frac{7}{9}$ кругов

Когда объект вращается по часовой стрелки, то он образует отрицательный угол вращения, а когда вращается против часовой стрелке — положительный угол. До этого момента мы рассматривали только положительные углы.

В форме диаграммы отрицательный угол может быть изображен так, как это показано ниже.

Рисунок ниже показывает знак угла, который измеряется от общей прямой, 0 оси (оси абсцисс — х оси)

Это означает, что при наличии отрицательного угла, мы можем получить соответствующий ему положительный угол.
Например, нижняя часть вертикальной прямой это 270°. Когда измеряется в негативную сторону, то получим -90°. Мы просто вычитаем 270 из 360.
Имея отрицательный угол, мы прибавляем 360, для того чтобы получить соотвествующий положительный угол.
Когда угол равен -360°, это означает, что объект совершил более одного круга по часовой стрелке.

Пример 3
1. Найти соответствующий положительный угол
a) -35°
b) -60°
c) -180°
d) — 670°

2. Найти соответствующий отрицательный угол 80°, 167°, 330°и 1300°.
Решение
1. Для того, чтобы найти соответствующий положительный угол мы прибавляем 360 к значению угла.
a) -35°= 360 + (-35) = 360 — 35 = 325°
b) -60°= 360 + (-60) = 360 — 60 = 300°
c) -180°= 360 + (-180) = 360 — 180 = 180°
d) -670°= 360 + (-670) = -310
Это означает один круг по часовой стрелке (360)
360 + (-310) = 50°
Угол равен 360 + 50 = 410°

2. Для того, чтобы получить соответсвующий отрицательный угол мы вычитаем 360 от значения угла.
80° = 80 — 360 = — 280°
167° = 167 — 360 = -193°
330° = 330 — 360 = -30°
1300° = 1300 — 360 = 940 (пройден один круг)
940 — 360 = 580 (пройден второй круг)
580 — 360 = 220 (пройден третий круг)
220 — 360 = -140°
Угол равен -360 — 360 — 360 — 140 = -1220°
Таким образом 1300° = -1220°

Радиан — это угол из центра круга, в который заключена дуга, длина которой равна радиусу данного круга.{\circ}$
c) 1 рад = 57,3°
$2,4 = \frac{2,4 \times 57,3}{1} = 137,52$

Отрицаетльные углы и углы больше, чем $2\pi$ радиан

Для того чтобы преобразовать отрицательный угол в положительный, мы складываем его с $2\pi$.
Для того чтобы преобразовать положительный угол в отрицательный, мы вычитаем из него $2\pi$.

Пример 5
1. Преобразовать $-\frac{3}{4}\pi$ и $-\frac{5}{7}\pi$ в позитивные углы в радианах.

Решение
Прибавляем к углу $2\pi$
$-\frac{3}{4}\pi = -\frac{3}{4}\pi + 2\pi = \frac{5}{4}\pi = 1\frac{1}{4}\pi$

$-\frac{5}{7}\pi = -\frac{5}{7}\pi + 2\pi = \frac{9}{7}\pi = 1\frac{2}{7}\pi$

Когда объект вращается на угол больший, чем $2\pi$;, то он делает больше одного круга.
Для того, чтобы определить количество оборотов (кругов или циклов) в таком угле, мы находим такое число, умножая которое на $2\pi$, результат равен или меньше, но как можно ближе к данному числу.

Пример 6
1. Найти количество кругов пройденных объектом при данных углах
a) $-10\pi$
b) $9\pi$
c) $\frac{7}{2}\pi$

Решение
a) $-10\pi = 5(-2\pi)$;
$-2\pi$ подразумевает один цикл в направлении по часовой стрелке, то это означает, что
объект сделал 5 циклов по часовой стрелке.

b) $9\pi = 4(2\pi) + \pi$, $\pi =$ пол цикла
объект сделал четыре с половиной цикла против часовой стрелки

c) $\frac{7}{2}\pi=3,5\pi=2\pi+1,5\pi$, $1,5\pi$ равно три четверти цикла $(\frac{1,5\pi}{2\pi}=\frac{3}{4})$
объект прошел один и три четверти цикла против часовой стрелки

Урок математики в начальной школе. Тема: «Градус. Измерение углов транспортиром»

Тип урока: формирование новых знаний.

Цели и задачи:

• проверить знания учащихся по теме “Угол”;
• познакомить с новой единицей измерения (градус)
  и прибором для измерения углов — транспортиром;
• составить алгоритм измерения угла;
• используя алгоритм измерения угла, научиться
  измерять разные виды углов;
• составить алгоритм для построения угла;
• используя алгоритм построения угла, научиться
  строить разные виды углов;
• классифицировать углы по видам;

Оборудование: презентация SMART
Notebook к уроку по заданной теме, транспортир,
угольники, карточки для самостоятельной работы

Проблемный вопрос: как измерить углы с
помощью транспортира? (Какие нужно выполнять
условия, чтобы точно измерить градусную меру
угла транспортиром?)

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Название темы урока, постановка цели.(слайд
1)

Введение

Французский писатель XIX столетия Анатоль
Франц однажды заметил, что: “Учиться можно
только весело. Чтобы переваривать эти знания,
нужно поглощать эти знания с аппетитом”.

Давайте сегодня на уроке будем следовать этому
совету. Будем активны, будем поглощать знания с
большим желанием, потому что они пригодятся вам в
дальнейшей жизни. (слайд 2)

III. Устная работа.

1. Математическая карусель. (слайд 2)

2. Назовите углы, изображенные на рисунке.
Найдите среди этих углов прямые и развернутые.
(слайд 3)

3. Какие углы образуют на циферблате часов
минутная и часовая стрелки в:

а) 6 ч; б) 13 ч; в) 15 ч; г) 16 ч 30 мин; д) 8 ч 15 мин? (слайд 5)

IV. Объяснение нового материала.

В соответствии с п. 5.2 учебника, рассмотреть
вопросы;

Единица измерения углов.

Классификация углов по градусной мере.

Специальный измерительный прибор —
транспортир. Сравнить шкалы транспортира со
шкалой линейки, обращая внимание на сходства и
различия: цена наименьшего деления на линейке — 1
мм, на транспортире — 1°, большее деление на
линейке — 10 мм, на транспортире — 10°. ( слайды 6-8)

V. Доклад на тему “ История возникновения
транспортира”. 

(рассказ заранее подготовленного ученика)
(слайд 9)

4. Измерение углов с помощью транспортира.

Дать алгоритм измерения углов с помощью
транспортира (сдайды 11,12)

VI. Формирование умений и навыков. (слайды 13)

РТ, часть 2, № 49, 50, 51;

№49

• < AOC=40⁰
• <AOM=120⁰
• < AOB =76⁰
• <AOK =165⁰

№50 самостоятельно

• АОС=90⁰,
• <AOB=45⁰,
• <AOD=130⁰

№ 51

• <A= 60⁰;
• <B=55⁰ ;
• <C= 85⁰ ;
• <D= 30⁰ ;
• <E= 110⁰ ;
• <F=150⁰ .

2. У, № 478, 481 (а).

Физкультминутка “Истинно — ложно” (слайд
14)

Если утверждение верно, ученики должны встать,
если ложно — присесть, руки на пояс: угол, равный
45°, — острый;

• угол, равный 170°, — острый;
• угол, равный 89°, — тупой;
• угол, равный 55°, — прямой;
• угол, равный 100°, — тупой;
• угол, равный 1°, — острый;
• угол, равный 137°, — острый;
• угол, равный 70°, — острый;
• угол, равный 89⁰, — развернутый;
• угол, равный 155°, — прямой;
• угол, равный 100°, — тупой;
• угол, равный 1°,— прямой.

VII. Самостоятельная работа по карточкам (слайд
15,16)

Измерить выделенные углы.

Класс делится на 2 группы мальчиков и девочек. Мальчикам раздаются карточки с
“ракетами”, а девочкам с
“солнышком”.

VIII. Итоги урока. (слайд 17)

ВЫЧЕРКНИТЕ НЕВЕРНЫЕ ВЫСКАЗЫВАНИЯ

1) Углы измеряют с помощью линейки.

2) Углы измеряют с помощью транспортира.

3) Единицы измерения углов — килограммы.

4) Единицы измерения углов — градусы.

5) 1^о равен 1/180 части развернутого угла.

6) Развернутый угол имеет градусную меру 180°.

7) Острый угол меньше развернутого.

8) Прямой угол имеет градусную меру 90°.

9) Тупой угол больше развернутого.

10) Острый угол меньше прямого.

11) Прямой угол больше тупого.

12) Тупой угол больше прямого, но меньше
развернутого.

IХ. Домашнее задание. У, № 479, 481 (б), 482 (б), 289 (в).
(слайд 18)

Измерение углов

Измерение углов

Понятие угла

Понятие угла — одно из важнейших понятий в геометрии. Понятия равенства, суммы и разности углов важны и используются во всей геометрии, но предмет тригонометрии основан на измерении углов.

Части градуса теперь обычно обозначаются десятичной дробью. Например, семь с половиной градусов теперь обычно пишут 7.5 & ​​град.

Когда один угол рисуется на плоскости xy для анализа, мы нарисуем его в стандартной позиции с вершиной в начале координат (0,0), одна сторона угла вдоль x ось, а другая сторона выше оси x .

Радианы

Краткая справка по истории радианов

Хотя слово «радиан» было придумано Томасом Мьюиром и / или Джеймсом Томпсоном около 1870 года, математики долгое время измеряли углы таким способом. Например, Леонард Эйлер (1707–1783) в своей книге Elements of Algebra явно сказал, что углы следует измерять по длине дуги, отрезанной в единичной окружности.Это было необходимо, чтобы дать его знаменитую формулу, включающую комплексные числа, которая связывает функции знака и косинуса с экспоненциальной функцией.

e ^iθ = cos θ + i sin θ

где θ — это то, что позже было названо измерением угла в радианах. К сожалению, объяснение этой формулы выходит далеко за рамки этих заметок. Но для получения дополнительной информации о комплексных числах см. Мой Краткий курс комплексных чисел.

Радианы и длина дуги

Альтернативное определение радианов иногда дается в виде отношения. Вместо того, чтобы брать единичную окружность с центром в вершине угла θ , возьмите любую окружность с центром в вершине угла. Тогда радианная мера угла — это отношение длины вытянутой дуги к радиусу r окружности. Например, если длина дуги равна 3, а радиус круга равен 2, тогда мера в радианах равна 1.5.

Причина, по которой это определение работает, заключается в том, что длина вытянутой дуги пропорциональна радиусу круга. В частности, определение в терминах отношения дает ту же цифру, что и приведенная выше с использованием единичного круга. Однако это альтернативное определение более полезно, поскольку вы можете использовать его для соотнесения длин дуг с углами. Длина дуги равна радиусу r, в умноженному на угол θ , где угол измеряется в радианах.

Например, дуга θ = 0,3 радиана в окружности радиуса r = 4 имеет длину 0,3 умноженную на 4, то есть 1,2.

Радианы и площадь сектора

Сектор круга — это часть круга, ограниченная двумя радиусами и дугой круга, соединяющей их концы. Площадь этого сектора легко вычислить по радиусу r окружности и углу θ между радиусами, когда он измеряется в радианах.Так как площадь всего круга составляет πr ² , а сектор относится ко всей окружности, так как угол θ равен 2 π , поэтому

Общие углы

Ниже приведена таблица общих углов как при измерении в градусах, так и при измерении радиан. Обратите внимание, что измерение в радианах дано в единицах π . Его, конечно, можно было бы указать в десятичной дроби, но радианы часто появляются с коэффициентом π .
.

Упражнения

Эдвин С.Кроули написал книгу « Тысяча упражнений в плоской и сферической тригонометрии», Университет Пенсильвании, Филадельфия, 1914. Задачи этого короткого курса взяты из этого текста (но не все 1000 из них!). пять знаков точности, поэтому студентам пришлось потрудиться, чтобы решить их, и они использовали таблицы логарифмов, чтобы помочь в умножении и делении. Студенты должны были уметь пользоваться таблицей синус-косинусов, таблицей касательных, таблицей логарифмов, таблицей log-sin-cos и таблицей log-tan.Теперь мы можем пользоваться калькуляторами! Это означает, что вы можете сосредоточиться на концепциях, а не на трудоемких вычислениях.

Кроули использовал не десятичные дроби градуса, а минуты и секунды.

Каждый комплекс упражнений включает в себя, во-первых, формулировку упражнений, во-вторых, некоторые подсказки для решения упражнений, а в-третьих, ответы на упражнения.

1. Выразите следующие углы в радианах.

(а). 12 градусов, 28 минут, то есть 12 ° 28 ‘.
(б). 36 ° 12 ‘.

2. Сократите следующие числа радианов до градусов, минут и секунд.

(а). 0,47623.

(б). 0,25412.

3. Учитывая угол a и радиус r, , чтобы найти длину продолжающейся дуги.

(а). a = 0 ° 17 ’48 дюймов, r = 6,2935.

(б). a = 121 ° 6 ’18 дюймов, r = 0,2163.

4. Учитывая длину дуги l и радиус r, , чтобы найти угол в центре.

(а). л = 0,16296, л = 12,587.

(б). л = 1,3672, л = 1,2978.

5. Зная длину дуги l и угол a , который она проходит в центре, найти радиус.

(а). a = 0 ° 44 ’30 дюймов, l = 0,032592.
(б). a = 60 ° 21 ‘6 дюймов, l = 0,4572.

6. Найдите длину с точностью до дюйма дуги окружности 11 градусов 48,3 минуты, если радиус составляет 3200 футов.

7. Кривая железной дороги образует дугу окружности 9 градусов 36,7 минут, радиус до центральной линии пути составляет 2100 футов. Если калибр 5 футов, найдите разницу в длине двух рельсов с точностью до полудюйма.

9. На сколько можно изменить широту, идя на север на одну милю, если предположить, что Земля представляет собой сферу радиусом 3956 миль?

10. Вычислите длину в футах одной угловой минуты на большом круге Земли. Какова длина дуги в одну секунду?

14. На окружности радиусом 5,782 метра длина дуги составляет 1,742 метра. Какой угол он образует в центре?

23. Воздушный шар, известный как 50 футов в диаметре, сужается к глазу под углом 8 1/2 минут.Как далеко это?

Подсказки

1. Чтобы преобразовать градусы в радианы, сначала преобразуйте количество градусов, минут и секунд в десятичную форму. Разделите количество минут на 60 и прибавьте к количеству градусов. Так, например, 12 ° 28 ‘равно 12 + 28/60, что равно 12,467 °. Затем умножьте на π и разделите на 180, чтобы получить угол в радианах.

2. И наоборот, чтобы преобразовать радианы в градусы, разделите на π и умножьте на 180.Таким образом, 0,47623, деленное на π и умноженное на 180, дает 27,286 °. Вы можете преобразовать доли градуса в минуты и секунды следующим образом. Умножьте дробь на 60, чтобы получить количество минут. Здесь 0,286 умножить на 60 равно 17,16, поэтому угол можно записать как 27 ° 17,16 ‘. Затем возьмите любую оставшуюся долю минуты и снова умножьте на 60, чтобы получить количество секунд. Здесь 0,16 умножить на 60 равно примерно 10, поэтому угол также можно записать как 27 ° 17 ’10 дюймов.

3. Чтобы найти длину дуги, сначала преобразуйте угол в радианы. Для 3 (a) 0 ° 17’48 «составляет 0,0051778 радиана. Затем умножьте его на радиус, чтобы найти длину дуги.

4. Чтобы найти угол, разделите его на радиус. Это дает вам угол в радианах. Их можно преобразовать в градусы, чтобы получить ответы Кроули.

5. Как упоминалось выше, радиан умноженный на радиус = длина дуги, поэтому, используя буквы для этой задачи, ar = l, , но необходимо сначала преобразовать из градусного измерения в радиан .Итак, чтобы найти радиус r, сначала преобразует угол a в радианы, а затем разделит его на длину l дуги.

6. Длина дуги равна радиусу, умноженному на угол в радианах.

7. Помогает нарисовать фигуру. Радиус внешнего рельса равен 2102,5, а радиус внутреннего рельса — 2097,5.

9. У вас есть круг радиусом 3956 миль и дуга этого круга длиной 1 милю.Какой угол в градусах? (Средний радиус Земли был известен довольно точно в 1914 году. Посмотрим, сможете ли вы узнать, каким, по мнению Эратосфена, был радиус Земли, еще в III веке до н. Э.)

10. Угловая минута равна 1/60 градуса. Преобразовать в радианы. Радиус — 3956. Какова длина дуги?

14. Поскольку длина дуги равна радиусу, умноженному на угол в радианах, отсюда следует, что угол в радианах равен длине дуги, деленной на радиус.Радианы легко преобразовать в градусы.

23. Представьте, что диаметр воздушного шара является частью дуги окружности с вами в центре. (Это не совсем часть дуги, но довольно близко). Длина дуги составляет 50 футов. Вы знаете угол, так каков радиус этого круга?

Ответы

1. (а). 0,2176. (б). 0,6318.

2. (а). 27 ° 17 ’10 «. (B). 14,56 ° = 14 ° 33,6′ = 14 ° 33’36».

3. (а). 0,03259 (б). 2,1137 умножить на 0,2163 равно 0,4572.

4. (а). 0,16296 / 12,587 = 0,012947 радиан = 0 ° 44 ’30 дюймов.

(б). 1,3672 / 1,2978 = 1,0535
радианы = 60,360 ° = 60 ° 21,6 ‘= 60 ° 21’ 35 «.

5. (а). л / год = 0,032592 / 0,01294 = 2,518.

(б). л / год = 0,4572 / 1,0533 = 0,4340.

6. ra = (3200 ‘) (0.20604) = 659,31 ‘= 659’ 4 дюйма.

7. Угол a = 0,16776 радиана. Разница в длине составляет
2102,5 a — 1997,5 a , что составляет 5 a. Таким образом, ответ составляет 0,84 фута, что с точностью до дюйма составляет 10 дюймов.

9. Угол = 1/3956 = 0,0002528 радиан = 0,01448 ° = 0,8690 ‘= 52,14 дюйма.

10. Одна минута = 0,0002909 радиан. 1.15075 миль = 6076 футов.Следовательно, одна секунда будет соответствовать 101,3 фута.

14. a = л / об = 1,742 / 5,782 = 0,3013 радиан = 17,26 ° = 17 ° 16 ‘.

23. Угол a равен 8,5 ‘, что составляет 0,00247 радиана. Таким образом, радиус равен r = л / год = 50 / 0,00247 = 20222 ‘= 3,83 мили, почти четыре мили.

Насчет цифр точности.

Кроули старается давать свои ответы примерно с той же точностью, что и данные в вопросах.Это важно, особенно сейчас, когда у нас есть калькуляторы. Например, в задаче 1 точка отсчета равна 12 ° 28 ‘, что соответствует примерно четырем знакам точности, поэтому ответ 0,2176 также должен быть дан только с точностью до четырех знаков. (Обратите внимание, что ведущие нули не учитываются при вычислении цифр точности.) Ответ 0,21758438 предполагает восемь цифр точности, и это будет вводить в заблуждение, поскольку данная информация не была такой точной.

Другой пример см. В задаче 3 (a). Данные 0 ° 17’48 «и 6.2935 с точностью до 4 и 5 знаков соответственно. Следовательно, ответ должен быть дан только с точностью до 4 цифр, так как ответ не может быть более точным, чем наименее точные данные. Таким образом, ответ, который может дать калькулятор, а именно 0,032586547, следует округлить до четырех цифр (не включая ведущие нули) до 0,03259.

Хотя окончательные ответы должны быть выражены с соответствующим числом цифр точности, вы все равно должны сохранять все цифры для промежуточных вычислений.

градусов как единица измерения угла

градус как единица измерения угла — Math Open Reference

Определение: мера
угол.
Один градус — это одна 360-я часть полного круга.

Попробуй это
Отрегулируйте угол ниже, перетащив оранжевый на R. Обратите внимание на количество градусов для любого конкретного угла.

Измерение угла

В геометрии
угол.
измеряется в градусах, где полный круг равен 360 градусам.Небольшой угол может составлять около 30 градусов.
Обычно, когда требуется более точная мера, мы просто добавляем десятичные разряды к градусам. Например 45,12 °

Маленький кружок после числа означает «градусы». Таким образом, это будет произноситься как «сорок пять целых два десятых градуса».

градусов — минуты — секунды

При измерении широты и долготы каждый градус делится на минуты и секунды.
Степень делится на 60 минут. Для более точных измерений минута снова делится на 60 секунд,
Однако эта последняя мера настолько мала, что используется только там, где углы
поданный
на экстремальных расстояниях, таких как астрономические измерения и измерения широты и долготы.

Эти минуты и секунды (как ни странно) не имеют ничего общего со временем. Они просто все меньшие и меньшие части градуса.

См. Также Градусы — Минуты — Калькулятор секунд.
для калькулятора, который может складывать и вычитать углы в этой форме.

Когда используются только минуты и секунды, мы обычно говорим «угловые минуты» и «угловые секунды», чтобы избежать путаницы с единицами времени.

В каком направлении измерять?

На рисунке выше отрегулируйте точку R так, чтобы линия пересекала точку с отметкой 315 °.Начиная с Q и идя против часовой стрелки, мы видим, что размер равен 315 °. Но если бы мы пошли по часовой стрелке от Q, это было бы 45 ° (360-315). Что правильно?

Оба они есть, но по соглашению предполагается меньший. Поэтому в этих условиях угол в центре составляет 45 °.
Большая мера (315 °) называется
угол рефлекса RPQ.

Углы, которые вы должны знать

На приведенном выше рисунке показано, как выглядят различные угловые меры, измеренные в градусах.В общем, вы должны уметь
чтобы визуально оценить любой угол с точностью до 15 °, и вы должны быть в состоянии распознать общие углы (показаны красным) на месте и сами зарисовать их.

Другие меры

• Радианы

  Угол может быть измерен в радианах, где полный круг составляет 2 пи радиана (около 6,28).
  Это широко используется в тригонометрии.

• Грады

  В некоторых маркшейдерских работах используется град. В круге 400 градусов, поэтому прямой угол равен 100 градусам.Вы редко увидите этот агрегат. Думайте об оценках как о «метрических градусах».

• Морские углы

  Судовые навигаторы используют углы, которые измеряются несколько иначе, с помощью системы, разработанной сотни лет назад для Nautical Alamanac — книги навигационных таблиц.
  Каждый градус, как обычно, делится на 60 минут, но секунд нет.
  Вместо этого минуты выражаются в десятичном формате. Например, 23 ° 34,62 ‘читается как «23 градуса 34,62 минуты.
  См. Также «Калькулятор морского угла».

Что попробовать

1. На рисунке выше нажмите «Скрыть детали».
2. Отрегулируйте положение точки R
3. Оценить угол RPQ
4. Нажмите «Показать подробности», чтобы узнать, насколько близко вы подошли
5. Повторить.

Вы должны быть особенно в состоянии оценить углы, близкие к красным на рисунке выше, поскольку они часто встречаются в геометрии.

Другие ракурсы

Общие

Угловые типы

Угловые отношения

(C) Открытый справочник по математике, 2011 г.
Все права защищены.

Знакомство с углами | SkillsYouNeed

После того, как вы усвоили представление о точках, линиях и плоскостях, следующее, что нужно рассмотреть, — это то, что происходит, когда две линии или лучи встречаются в точке, создавая между ними угол .

Углы используются во всей геометрии для описания таких форм, как многоугольники и многогранники, а также для объяснения поведения линий, поэтому рекомендуется ознакомиться с некоторой терминологией, а также с тем, как мы измеряем и описываем углы.

Что такое угол?

Углы образуются между двумя лучами, выходящими из одной точки:

Углы обычно изображаются в виде дуги (части круга), как указано выше.

Свойства углов

Углы измеряются в градусах , что является мерой округлости или поворота.

Полный оборот, который вернет вас лицом в том же направлении, составляет 360 °. Таким образом, полукруг составляет 180 °, а четверть круга или прямой угол — 90 °.

Два или более угла на прямой в сумме составляют 180 °. На приведенной выше диаграмме круг слева разделен на три сектора, причем углы зеленого и белого секторов равны 90 °, а в сумме — 180 °.

На рисунке справа показано, что сумма углов a и b также составляет 180 °. Когда вы смотрите на диаграмму вот так, это легко увидеть, но на практике об этом также удивительно легко забыть.

Обозначение различных углов

Угол меньше 90 ° считается острым , а угол больше 90 °, но меньше 180 ° — тупой .

Угол ровно 180 ° считается прямым . Углы больше 180 ° называются углами рефлекса .

Циферблат часов можно демонстрировать под разными углами. Часовая стрелка часов вращается по мере того, как время идет в течение дня. Угол поворота выделен зеленым цветом.

Противоположные углы: пересекающиеся линии

Когда две линии пересекаются, противоположные углы равны. В этом случае не только a и a совпадают, но, конечно же, a и b в сумме дают 180 °:

Перекрестки с параллельными линиями: особый случай

Наша страница Введение в геометрию вводит понятие параллельных линий: линий, которые всегда идут бок о бок и никогда не пересекаются, как железнодорожные пути.

Углы вокруг любых прямых, пересекающих параллельные прямые, также обладают некоторыми интересными свойствами.

Если две параллельные прямые (A и B) пересекаются третьей прямой (C), то угол пересечения пересекающейся прямой будет одинаковым для обеих параллельных прямых.

Говорят, что два угла a и два угла b равны .

Вы также сразу увидите, что a и b в сумме дают 180 °, так как они находятся на прямой линии.

Угол c, который, как вы поймете из предыдущего раздела, идентичен a, называется , заменяющим на a.

Углы Z и F

,

c и a называются z-углами , потому что, если вы проследите линию от вершины c к основанию a, она образует форму z (выделена красным на диаграмме выше).

a и a называются F-углами , потому что линия образует F-образную форму от нижней части верхнего угла a вниз и вокруг нижней части нижнего угла a (на диаграмме выделено зеленым цветом)

Измерительные углы

Транспортир обычно используется для измерения углов.Транспортиры обычно круглые или полукруглые и сделаны из прозрачного пластика, так что их можно размещать поверх фигур, нарисованных на листе бумаги, что позволяет измерять угол.

В этом примере показано, как использовать транспортир для измерения трех углов треугольника, но тот же метод применяется к другим формам или любым углам, которые вы хотите измерить.

• Совместите центральную метку на основании транспортира с вершиной , или точкой, в которой линии пересекаются.Треугольник имеет три вершины, по одной на каждый угол, который необходимо измерить.
• Большинство транспортиров имеют двунаправленную шкалу, что означает, что вы можете проводить измерения в любом направлении. Убедитесь, что вы используете правильную шкалу — вы должны легко определить, больше или меньше ваш угол 90 °, и поэтому используйте правильную шкалу. Если вы не уверены, взгляните на наш раздел, посвященный углам именования.

В этом примере зарегистрированные углы: A = 90 °, B = 45 ° и C = 45 °.

Многоугольники часто определяются их внутренними углами, а сумма внутренних углов зависит от количества сторон. Например, внутренние углы треугольника всегда составляют 180 °. Подробнее об этом см. На нашей странице Полигоны .

градусов или радианов?

Когда нам нужно измерить или описать угол, мы обычно используем «градусы» в качестве единицы измерения. Однако очень редко вы можете встретить углы, указанные в радианах .

Радиан — это международная стандартная единица измерения углов (СИ), которая используется во многих областях науки и математики.

Выше мы говорили, что полный поворот углов по дуге окружности равен 360 °. Он также равен 2π радиан, где π (пи) — специальное число, равное (приблизительно) 3,142 (больше о π можно найти на нашей странице в Специальные числа и понятия ).

Один радиан равен 360 / 2π = 57,3 °. Мы также используем число «пи», когда нам нужно вычислить площадь или длину окружности круга или объем сферы (подробнее об этом читайте на нашей странице в Curved Shapes ).

Двигаемся дальше…

Как только вы поймете, что такое углы и как их измерять, вы можете применить это на практике с многоугольниками и многогранниками всех видов, а также использовать свои знания для расчета площади (подробнее об этом читайте на нашей странице Расчет площади).

Измерение углов транспортиром

На этом уроке геометрии для 4-го класса объясняется, как измерять углы с помощью транспортира, а также предлагаются различные упражнения для учеников.

Видео ниже объясняет, что такое угловая мера, как измерять углы с помощью транспортира и как рисовать углы с помощью транспортира.

1. Измерьте углы.

2. Измерьте углы. Обозначьте каждый
угол острый или тупой.

3. Таша замерила острый угол, получилось 146 °. Учитель указал
что она прочитала неправильный набор чисел на транспортире.

Какой угол является правильным для измеренного ею угла?

4.Измерьте следующие углы самостоятельно.
транспортир. Если нужно, сделайте стороны уголков
дольше с линейкой.

6. Нарисуйте четыре точки и соедините их так, чтобы получился
четырехугольник.
Измерьте все углы своего четырехугольника. Затем добавьте меры углов.

Вы получили 360 градусов или близко?

Этот урок взят из книги Марии Миллер Math Mammoth Geometry 1 и размещен на сайте www.HomeschoolMath.net с разрешения автора. Авторские права © Мария Миллер.

Уголки: Типы | Острый угол | Дополнительный | Тупой

Внутренние и внешние углы

Внутренняя часть уголка

Внутренний угол — это угол внутри формы. Область между лучами, составляющая угол и простирающаяся от вершины до бесконечности. Сумма внутренних углов треугольника всегда равна 180 градусам.\ circ} \)

Указанные выше углы являются дополнительными углами

Еще несколько видов уголков

Прилегающие углы

Любые два общих угла —

• обыкновенный луч или сторона
• общая вершина
• и чьи интерьеры не перекрывают друг друга

называются смежными углами .

Внутренние части \ ({\ angle ABD} \) и \ ({\ angle CBD} \) не перекрываются и, следовательно, являются смежными углами.

Вертикально противоположные углы

Углы, противоположные друг другу при пересечении двух линий, называются вертикально противоположными углами . Они всегда равны.

Пример: \ ({\ angle PTS} \) и \ ({\ angle RTQ} \) — вертикально противоположные углы.

Что такое поперечный?

Рассмотрим две линии AB и CD

Пусть отрезок XY будет линией, которая пересекает эти две прямые в двух разных точках, P и Q.

Линия, которая пересекает две другие прямые в двух разных точках, известна как линия , пересекающая линии .

На изображении выше XY — это поперечное сечение. Когда трансверсаль пересекает пару параллельных линий, вы получаете разные типы углов.

Давайте обсудим эти углы.

Соответствующие углы

Соответствующие углы — это углы, которые:

• имеют разные вершины
• лежат на той же стороне поперечного, и лежат выше (или ниже) линий
• Они всегда равны.

Когда трансверсаль пересекает две параллельные прямые, соответствующие углы всегда равны.

На приведенном выше рисунке \ ({\ angle 1} \) & \ ({\ angle 5} \), \ ({\ angle 2} \) & \ ({\ angle 6} \), \ ({\ угол 4} \) & \ ({\ angle 8} \), \ ({\ angle 3} \) & \ ({\ angle 7} \) — все пары соответствующих углов.

Альтернативные внутренние углы

Альтернативные внутренние углы — это те углы, которые:

• имеют разные вершины
• лежат на чередующихся сторонах поперечной
• лежат между двумя линиями внутри

Когда трансверсаль пересекает две параллельные прямые, образующиеся чередующиеся внутренние углы всегда равны.

Здесь \ ({\ angle 1} \) и \ ({\ angle 2} \) — альтернативные внутренние углы.

Альтернативные внешние углы

Альтернативные внешние углы — это те углы, которые:

• имеют разные вершины
• лежат на чередующихся сторонах поперечной
• являются внешними по отношению к линиям

Когда трансверсаль пересекает две параллельные прямые, образующиеся чередующиеся внешние углы всегда равны.

Здесь \ ({\ angle 1} \) & \ ({\ angle 2} \) имеют разные вершины.

Они лежат на противоположной стороне поперечины.

Следовательно, \ ({\ angle 1} \) & \ ({\ angle 2} \) — альтернативные внешние углы.

Внутренние углы

Внутренние углы — это те углы, которые:

• имеют разные вершины
• лежит между двумя линиями
• и находятся на одной стороне поперечной

Когда трансверсаль пересекает две параллельные линии, внутренние углы равны , всегда дополнительные .

На изображении выше \ ({\ angle 1} \) & \ ({\ angle 2} \) имеют разные вершины.

Они лежат по одну сторону от поперечины.

\ ({\ angle 1} \) & \ ({\ angle 2} \) — внутренние углы по отношению к прямым AB и CD соответственно.

Следовательно, \ ({\ angle 1} \) и \ ({\ angle 2} \) являются ко-внутренними углами, и они являются дополнительными.

Свойство внешнего угла треугольника

Внешний угол треугольника всегда равен сумме противоположных внутренних углов.{\ circ} — \ angle 2
\ end {array}

Сумма, полученная в обоих случаях, равна: \ ({\ angle 1} \) + \ ({\ angle 3} \) = \ ({\ angle 4} \)

В любом треугольнике внешний угол всегда равен сумме его внутренних противоположных углов.

Это свойство внешнего угла треугольников .

Типы углов на основе вращения

Углы могут быть двух типов в зависимости от направления измерения или направления вращения:

1. Положительные углы
2. Отрицательные углы

Положительные углы

Угол , образованный направлением против часовой стрелки, является положительным углом .

От начала координат, если угол нарисован в плоскости \ ((+ \ textit {x}, + \ textit {y}) \), он образует положительный угол. \ circ} \)

Помогите своему ребенку набрать больше баллов с помощью запатентованного БЕСПЛАТНОГО диагностического теста Cuemath. Получите доступ к подробным отчетам, индивидуальным планам обучения и БЕСПЛАТНОЙ консультации. Попытайтесь пройти тест сейчас.

Решенные примеры

Определите недостающий угол.

Раствор:

Обратите внимание, что два угла вместе образуют прямой угол.\ circ \)

Хотите понять «Почему» за «Что»? Изучите Angles с нашими экспертами по математике в LIVE, персонализированных и интерактивных онлайн-классах Cuemath.

Сделайте своего ребенка экспертом по математике, Забронируйте БЕСПЛАТНЫЙ пробный урок сегодня!

Практические вопросы

Вот несколько занятий для вас. Выберите / введите свой ответ и нажмите кнопку «Проверить ответ», чтобы увидеть результат.

Важные темы

Ниже приводится список тем, тесно связанных с ракурсами. Эти темы также дадут вам представление о том, как такие концепции рассматриваются в Cuemath.

Образцы материалов олимпиады по математике

IMO (Международная олимпиада по математике) — это конкурсный экзамен по математике, который ежегодно проводится для школьников.Он побуждает детей развивать свои навыки решения математических задач с точки зрения соревнований.

Вы можете БЕСПЛАТНО скачать образцы работ по оценкам ниже:

Чтобы узнать больше об олимпиаде по математике, щелкните здесь.

Часто задаваемые вопросы (FAQ)

1. Какие бывают 5 типов углов?

5 типов углов: прямые углы, острые углы, тупые углы, прямые углы и углы отражения.

2.Что такое угол в математике?

В плоской геометрии угол — это фигура, образованная двумя лучами, называемыми сторонами угла, имеющими общую конечную точку, называемую вершиной угла. Угол обозначается символом \ (\ angle \)

3. Какие бывают 7 типов углов?

7 типов углов: прямые углы, острые углы, тупые углы, прямые углы, углы отражения, полные углы и дополнительные углы.

4. Как вы описываете углы?

В плоской геометрии угол можно описать как фигуру, образованную двумя лучами, встречающимися в общей конечной точке, называемой вершиной угла.

8.1: Измерение угла — Математика LibreTexts

Угол — это мера размера отверстия двух пересекающихся линий. VERTEX является точкой пересечения, а линии, образующие проем, называются СТОРОНАМИ .

Угол можно назвать по

3 буквы с вершиной посередине: \ (\ angle ABC \) или только вершиной \ (\ angle B \), либо числом или буквой, помещенными внутри угла.

В круге 360 градусов. Углы измеряются в градусах.

A Прямой угол составляет 90 градусов или 1/4 окружности. Right Angle будет выглядеть следующим образом.

Острый угол — это угол меньше 90 градусов. Ниже приведены примеры острых углов

.

Тупой угол — это угол больше 90 градусов и меньше 180 градусов. Ниже приведены примеры тупых углов.

A Прямой угол — это угол, равный 180 градусам.

Вертикальные углы

При пересечении двух прямых линий они образуют четыре угла.

Предположим, что \ (\ angle A \) равен 65 градусам, \ (\ angle B \) равен 115 градусам, \ (\ angle C \) равен 65 градусам, а \ (\ angle D \) равен 115 градусам

.

Вы заметили, что противоположные углы равны при измерении? Противоположные углы также называются , вертикальные углы .Когда две прямые линии пересекаются или пересекаются, вертикальные углы равны и всегда равны . Прямой угол — 180 градусов.

Углы W и X образуют прямую линию, вместе они составляют 180 градусов.

Они также известны как Смежные углы . Смежные углы в сумме составляют 180 градусов. Смежные углы тоже

• \ (\ angle Y \) и \ (\ angle Z \),
• \ (\ angle W \) и \ (\ angle Y \)
• \ (\ angle X \) и \ (\ angle Z \).

Сумма трех углов треугольника всегда составляет 180 градусов.

Линии Z и Y параллельны друг другу. Линия P, пересекающая обе линии, называется Transversal .

\ (\ angle C \) и \ (\ angle F \) называются Альтернативными внутренними углами ; Они равны по размеру.

\ (\ angle D \) и \ (\ angle E \) также называются Альтернативными внутренними углами .

Если угол равен 70 градусам, то \ (\ angle P \) будет равен 110 градусам, их сумма равна 180 градусам.

• \ (\ angle P \) и \ (\ angle Q \) — противоположные углы, поэтому они равны 110 градусам, потому что вертикальные углы равны друг другу.
• \ (\ angle P \) и \ (\ angle T \) и соответствующие углы, поэтому оба равны 110 градусам.
• \ (\ angle W \) равняется 70 градусам, потому что \ (\ angle T \) плюс \ (\ angle W \) должно равняться в сумме 180 градусам.

Строительные блоки — Классификационные углы

Если вы посмотрите
вокруг вас повсюду вы увидите углы.Углы измеряются в градусах.
Градус — это часть круга: в круге 360 градусов,
представлен так: 360.

Ты можешь думать
прямого угла равняется одной четвертой окружности, равной 360 деленным на 4, или
90.

Прямой угол
самый распространенный угол — края записной книжки, ступеньки,
дверные обшивки, края рамок для картин — все это образует прямые углы.
Давайте посмотрим на некоторые другие типы углов.Прямой угол представляет половину
круга. 360, разделенное на 2, равно 180 — это мера прямой
угол. Острый угол — это любой угол, который меньше 90. Тупой
угол больше 90, но меньше 180.

Мы можем оценить
угол измеряет, глядя на них и мысленно сравнивая их с углами
мы знаем, например, под прямым углом. Но как точно измерить углы?

Это полезное
Инструмент называется транспортиром, и он должен быть у любого изучающего геометрию!
Он используется как для измерения углов, так и для их рисования.Чтобы использовать транспортир,
поместите стрелку на вершину угла, который вы хотите измерить, и прочтите
измерение шкалы в градусах.

Два угла, которые
имеют одинаковую меру, называются конгруэнтными углами.

Вот два
углы, которые оба имеют размер 30. Мы говорим, что угол x конгруэнтен углу
л .

А теперь посмотрим
под некоторыми парами углов. Два угла называются дополнительными, если их размеры
сложить до 180.Эти два угла 90 являются дополнительными, потому что 90 + 90 = 180.