y x 2 6 x 5

Вы искали y x 2 6 x 5? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное
решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и y x 2 6x 5, не
исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению
в вуз.
И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение.
Например, «y x 2 6 x 5».

Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей
жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек
использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на
месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который
может решить задачи, такие, как y x 2 6 x 5,y x 2 6x 5,y x2 6 x 5,y x2 6x 5,y x2 6x 5 как решить функцию,y x2 6x 5 построить график функции,построить график функции y 6x 5 x 2,построить график функции y x 2 6x 5,построить график функции y x2 6x 5,построить график функции y x2 6x 5 и найти ее наименьшее значение. На этой странице вы найдёте калькулятор,
который поможет решить любой вопрос, в том числе и y x 2 6 x 5. Просто введите задачу в окошко и нажмите
«решить» здесь (например, y x2 6 x 5).

Где можно решить любую задачу по математике, а так же y x 2 6 x 5 Онлайн?

Решить задачу y x 2 6 x 5 вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный
онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо
сделать — это просто
ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести
вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице
калькулятора.

Тема 4

В первой части экзаменационной работы чаще всего  предоставлены задания проверяющие:

а) умения «считывать» свойства функции по ее графику;

б) умение анализировать графики, которые описывают зависимость между величинами, например, между расстоянием и временем, между объемом выполненной работы и временем и т. д., умение установить соответствие между графиком функции  ее аналитическим заданием.

Во второй части работы практически во всех заданиях по этой теме требуется сначала построить график функции, а затем  его использовать и ответить на дополнительные вопросы.

Чаще всего в заданиях встречаются квадратичные, линейные или кусочно-заданные функции.

Теоретическая часть

D(y) (область определения функции у) множество на котором задается функция. При графическом способе задания функции ее область определения может считываться по графику. Если функция задана аналитически (по формуле) и ее область определения не указана, то это означает, что функция задается  на естественной области определения.

Е(у) (область значений функции у), которые  она принимает при всех значениях аргумента из ее области определения. Проще находить область значений функции, если задан график. В этом случае надо спроецировать все точки графика функции на ось 0у.

Получившееся множество точек  будет областью значений функции.

Нули функции. Для функции f(x), заданной графически,- это абсциссы точек, в которых график функции пересекает ось абсцисс или касается ее. Чтобы найти нули функции, заданной аналитически, надо решить уравнение f(x)=0.

Функция называется возрастающей на множестве Х, если большему значению аргумента из этого множества Х, соответствует  большее значение функции.

Функция называется убывающей на множестве Х, если большему значению аргумента из этого множества Х, соответствует  меньшее значение функции.

Функция  у f(x) называется  четной, если выполняется два условия:

1) 

2)

График четной функции симметричен относительно оси ординат.

Функция  у f(x) называется нечетной, если выполняется два условия:

1)  

2)

График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Свойства линейной функции

1) .

2) , если .

E(y)={b}, если k=0.

3) монотонность:

если k>0, то функция возрастает на всей области определения;

если k<0,то функция убывает на всей области определения.

Свойства обратной пропорциональности

1) .

2) .

3) монотонность:

если k>0, то функция убывает на всей области определения;

если k<0,то функция возрастает на всей области определения.

4) функция является нечетной.

Свойства дробно-рациональной функции ,

где P(x) и Q(x) — многочлены от х.

1) Область определения D(y) — любые действительные х, не обращающие знаменатель Q(x) в нуль.

2) Множество значений Е(у) зависит от конкретной функции.

Свойства квадратичной функции у=ax²+bx+c

— коэффициенты, .

1) .

2) График квадратного трехчлена — парабола с вершиной в точке с абсциссой , направленная ветвями вверх, если а>0; направленная ветвями вниз, если a<0.

3) Множество значений зависит от координат вершины параболы и направления ветвей.

Свойства функции

1) .

2) .

3) Монотонность: функция возрастает на всей области определения.

Примеры решения заданий контрольной работы

Задание 1

График описывает движение парусной яхты, которая первую часть пути прошла под парусом. Спустив парус, она продолжала движение.

1) Найдите скорость яхты «под парусом» и «без паруса» (выразив ее в км/ч).

2) На каком расстоянии от начала движения находилась яхта через 50 минут, через 2 часа?

3) Сколько времени потребуется яхте на обратный путь, если она будет двигаться с той же скоростью, что и на первом участке «под парусом»?

Решение 1: Под парусом яхта прошла 30 км за 60 минут, т.е. за 1 час, значит, ее скорость была . Без паруса яхта прошла 5 км за 60 минут, значит ее скорость была 5 км/ч.

Ответ: 30 км/ч; 5 км/ч.

Решение 2: На графике найдем точку с абсциссой, равной 50. Найдем ординату этой точки. Она равна 25. Получили, что за 50 минут яхта пройдет 25 км. Аналогично, за 120 минут — 35 км.

Ответ: 25 км, 35 км.

Решение 3: Обратный путь составляет 35 км. Скорость яхты 30 км/ч. Найдем время обратного пути: , что составляет 1 час 10 минут.

Ответ: 1 час 10 минут.

Задание 2

Используя график функции y=f(x), определите, какое утверждение верно.

А) Нулями функции являются числа -7; -2; 4.

Б) Функция убывает на промежутке .

В) f(x)<0 при -7<x<0.

Г) f(0)=6.

Решение: Нулями функции являются числа -7; 4. , поэтому х=-2 не является нулями функции. f(0)=5. Функция принимает положительные значения, т.е. график функции расположен выше оси абсцисс, при —7<x<4. Функция возрастает на промежутке . Функция убывает на промежутке .

Ответ: Б.

Задание 3

Постойте график функции .

А) При каких значениях аргумента функция принимает положительные значения?

Б) Какова область ее значений?

В) Какие значения принимает функция, если ?

Г) Найдите координаты точки пересечения графика функции с осями.

Решение: Построим график функции и с помощью его ответим на вопросы.

Графиком линейной функции является прямая. Найдем координаты двух точек, принадлежащих этой прямой (-3; 0) и

(3; 4).

Ответим на вопросы:

А) функция принимает положительные значения там, где график расположен выше оси 0х, т.е. на промежутке .

Ответ: .

Б) функция модет принимать любые значения, поэтому область ее значений .

Ответ: .

В) y(-3)=0, y(1,5)=3. Если , то .

Ответ: [0; 3].

Г) точка пересечения с осью абсцисс уже найдена: (-3; 0). Точку пересечения с осью ординат найдем по графику: (0; 2).

Ответ: (-3; 0); (0; 2).

Задание 4

Постойте график функции y=x²-6x+5.

А) При каких значениях аргумента функция принимает положительные значения?

Б) Укажите наименьшее значение функции.

В) Какова область ее значений?

Г) Найдите координаты точки пересечения графика функции с осью 0х.

Д) Укажите промежутки возрастания и убывания функции.

Е) Какие значения принимает функция, если ?

Решение: Построим график функции y=x²-6x+5. Графиком квадратичной функции является парабола. Для ее построения найдем координаты вершины параболы и точки пересечения с осями координат , y(3)=-4. Ветви параболы направлены вверх, координаты вершины (3; -4). Найдем точки пересечения с осями координат:

А) выше оси абсцисс (y>0) находится точка графика с абсциссами больше 5 или меньше 1.

Ответ: ;

Б) наименьшее значение функции у=-4 функция принимает в своей вершине.

Ответ: -4 — наименьшее значение функции;

В) функция может принимать все значения, больше, чем значения в своей вершине.

Ответ: .

Г) точек пересечения с осью 0х две. Их координаты (1; 0) и (5; 0).

Ответ: (1; 0) и (5; 0).

Д) Правее абсциссы вершины функция возрастает, а левее — убывает.

Ответ: промежуток возрастания функции , промежуток убывания функции .

Е) изобразим график функции y=x²-6x+5, если . Для того чтобы найти значение функции, можно найти ординаты всех точек получившегося графика. Спроектируем точки графика на ось ординат, получим отрезок

[-4;5].

Ответ: [-4;5].

Замечание: Обратите внимание на то, что нахождение области значений недостаточно было найти значения функции на концах промежутка [0; 4]: y(0)=5, у(4)=-3. Функция убывает на промежутке [0; 3] и возрастает на промежутке [3; 4], поэтому на промежутке [2;4] принимает значения, меньшие -3.

Задание 5

Постройте график функции . Сколько общих точек может иметь с этим графиком прямая y=m?

Решение: Для построения графика функции «раскроем» модуль. Преобразуем выражение под знаком модуля .

х(х=4)>0, если x<-4 или x>0;

, если .

Построим каждую из парабол на заданной области определения.

Прямая y=m может иметь с графиком этой функции две, три или четыре общих точки, но может их не иметь. Все будет зависеть от расположения прямой. Для того чтобы определить значения параметра m в каждом случае, надо «перемешать» прямую y=m вдоль оси 0y и замечать количество пересечений графика функции и прямой.

Ответ: при m=0 и m>4 прямая y=m может иметь с графиком функции две общие точки. При m=4<4 прямая y=m может иметь с графиком функции четыре общие точки. При m<0 прямая y=m не имеет с графиком функции общих точек.

Задание 6

Задайте аналитическую функцию, график которой иображен на рисунке.

Решение: График заданной кусочной функции состоит из трех прямых, заданных на своих интервалах. Зададим аналитически каждую из прямых.

1) На интервале -4х0 прямая проходит через точки с координатами

(-4;4) и (-2;0). Уравнение прямой y=kx+b. Найдем коэффициенты k и b, решив систему уравнений

Уравнение прямой на этой интервале имеет вид y=-2x-4.

2) На интервале  прямая проходит через точки с координатами (0;-4) и (4;-1). Аналогично первому интервалу, получим y=0,75x-4.

3) На интервале  прямая проходит через точки с координатами (8;2) и (9;2). Уравнение прямой имеет вид у=2.

4) Зададим функцию изображенную на рисунке:

Замечание: Если задана кусочная функция, то концы областей определения включаются только в один из интервалов, причем не имеет значения в какой.

Задание 7

Найдите область определения следующих функций, заданных аналитически:

А) ;

Б) .

Решение:

А) Областью определения функции  является промежуток , поэтому область определения функции  можно найти из неравенства .

Ответ: [2;4].

Б) Областью определения дробно-рациональной функции  являются любые действительные х, не обращающие знаменатель Q(x) в нуль. Поэтому областью определения функции  являются все действительные числа, кроме корней уравнения х²-9=0: х=3 или х=-3.

Обратите внимание на то, что сокращение дроби на общий множитель привело бы к неверному ответу.

Ответ:

Скачать задания контрольной работы № 4

Желаю успехов!

Нина Васильевна

График трехчлена y = x² + px + q

y = x² – 8x + 19. (1)

Сначала преобразуем этот трехчлен, выделив в нем квадрат двучлена x – 4:

y = (x – 4)² + 3. (2)

Видим, что график функции (2) можно получить, перенеся в направлении оси ординат вверх на 3 единицы график функции y = (x – 4)² (§ 121).
Но график функции y = (x – 4)² является графиком функции y = x², перенесенным в направлении оси абсцисс на 4 единицы вправо (§ 122).

Отсюда следует, что график функции (2), или, что то же, функции (1), можно получить, перенеся график функции y = x² на 4 единицы вправо и на 3 единицы вверх (черт. 70).

Рассуждая таким же образом, построим график трехчлена:

y = x² + 6x + 7. (3)

Представим трехчлен в таком виде:

y = (x + 3)² – 2.

Заключаем, что график трехчлена (3) можно получить, перенеся график функции y = x² на 3 единицы влево и на 2 единицы вниз (черт. 71).

Точно так же графиком трехчлена

y = x² – 5x – 1,

который можно представить в виде

является парабола y = x², перенесенная на единицы вправо и на единицы вниз.

Возьмем теперь трехчлен:

y = x² + px + q.

Его можно представить в таком виде:

Отсюда заключаем, что график трехчлена y = x² + px + q можно получить, перенеся график функции y = x² в направлении оси абсцисс на единиц и в направлении оси ординат на единиц.

Таким образом, графиком трехчлена y = x² + px + q является парабола y = x², расположенная симметрично относительно прямой, параллельной оси ординат и отстоящей от нее на расстоянии, равном. Вершина параболы находится в точке.

Пример 1.

y = x² + 2x – 3.

Здесь. Значит, графиком трехчлена является парабола y = x², перенесенная на 1 единицу влево и на 4 единицы вниз (черт. 72).

Пример 2.

y = x² + 4x + 3.

Здесь. График дан на чертеже 73.

Подготовка к ОГЭ. Построение графиков функций, содержащих модуль.

Задание №23. Построение графиков функций,  содержащих модуль
Задание 1.  Постройте график функции  y=x+3|x|−x2
 и определи­
те, при каких значениях c прямая  y = c имеет с графиком ровно три
общие точки.
Решение.
1) x≥0,y=x+3x−x2
y=−x2+4x  – парабола, ветви направлены вниз
x0=−b
2a=−4
−2=2;
y0=y(x0)=−22+4∙2=4
(2; 4) – вершина параблы
2) x<0,y=x−3x−x2
2a= 2
−2=−1;
y=−x2−2x  – парабола, ветви направлены вниз
x0=−b
y0=y(x0)=−(−1)2−2∙(−1)=1
(­1; 1) – вершина параблы
3) Прямая  y = c имеет с графиком ровно три общие точки при c=0 и
c=1.
1) Постройте   график   функции  y=x+3|x|−x2
  и   определите,   при
каких значениях c прямая  y = c имеет с графиком ровно три общие
точки.
2) Постройте   график   функции  y=x+5|x|−x2
  и   определите,   при
каких значениях c прямая  y = c имеет с графиком ровно три общие
точки.
3) Постройте график функции  y=−2x+4|x|−x2
 и определите, при
каких значениях c прямая  y = c имеет с графиком ровно три общие
точки.
4) Постройте график функции  y=2x+6|x|−x2
  и определите, при
каких значениях c прямая  y = c имеет с графиком ровно три общие
точки. 5) Постройте   график   функции  y=x2−3|x|+x   и   определите,   при
каких значениях c прямая  y = c имеет с графиком ровно три общие
точки.
6) Постройте график функции  y=|x|x+|x|−6x   и определите, при
каких значениях  m  прямая    y = m  имеет с графиком ровно одну
общую точку.
7) Постройте график функции  y=x2−4|x|+2x   и определите, при
каких значениях c прямая  y = c имеет с графиком ровно три общие
точки.
8) Постройте график функции  y=2x+4|x|−x2
  и определите, при
каких значениях c прямая  y = c имеет с графиком ровно три общие
точки.
9) Постройте   график   функции  y=x2−5|x|−x   и   определите,   при
каких значениях c прямая  y = c имеет с графиком ровно три общие
точки.
10) Постройте график функции  y=|x|(x+1)−6x  и определите, при
каких значениях m прямая  y = m имеет с графиком ровно две общие
точки.
11) Постройте график функции   y=x2−4|x|−2x   и определите, при
каких значениях m прямая  y = m имеет с графиком не менее одной,
но не более трёх общих точек.
Задание 2. Постройте график функции  y=|x2+2x−3|  
Решение.
1) Построим график функции  y=x2+2x−3
Графиком функции  y=x2+2x−3  является парабола вида  y=x2
с вершиной в точке (x0, y0)
2 =−1;
2a=−2
x0=−b
1
−¿
¿
y0=y(x0)=¿
(­1; ­4) – вершина параблы
2) В интервалах, где функция отрицательна произведем 
отображение относительно оси абцисс.
Задания. Постройте 
графики функций
1) y=|x2−3x+1|
2) y=|x2−x−2|
3) y=|x2−6x+5|
4) y=|−x2+8x−10|
5) y=|x2−2x|
6) y=|x2−4x|
Задание 3. Постройте график функции  y=x2−2|x|−3 Решение.
1) Построим график функции  y=x2−2x−3
Графиком функции  y=x2−2x−3  является парабола вида  y=x2
с вершиной в точке (x0, y0)
2=1;
x0=−b
2a=2
y0=y(x0)=12−2∙1−3=−4
(1; ­4) – вершина параблы
2) В интервалах, где аргумент положителен произведем отображение 
относительно оси ординат.
Задания. Постройте графики 
функций
1) y=x2−3|x|−2  
2) y=x2−5|x|+6  
3) y=x2−4|x|+3  
4) y=x2−6|x|+8  
5) y=x2−5|x|+4  
6) y=x2−6|x|+5

Построение графиков квадратичной функции, содержащей модуль

1. Построение графиков квадратичной функции, содержащей модуль

2.

Актуализация опорных знаний

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Определение квадратичной функции
Алгоритм построения квадратичной функции
Как, зная график функции y=f(x) построить графики следующих
функций:
y=f(-x)
y=-f(x)
y=f(x+m)
y=f(x)+n
y=f(x+m)+n
y=kf(x)
y=|f(x)|
y=f(|x|)

3. Устно Дан график функции y = x2 – 4x + 3. Составьте формулу функции, график которой:

1) симметричен данному относительно оси:
а) x;
б) y;
2) получается из данного параллельным переносом на
1а) y = –x2 + 4x – 3;
1б) y = x2 + 4x + 3
2
y = x2 – 6x + 6;
(1; 2)
3) получается из данного растяжением в 2 раза от оси
а) x;
б) y
4) получается из данного сжатием в 2 раза к оси
а) x;
б) y
3а) y = 0,25×2 – 2x + 3;
3б) y = 2×2 – 8x + 6;
4а) y = 4×2 – 8x + 3
4б) y = 0,5×2 – 2x + 1,5;
Найдите соответствия:
у х2 5
у 0,3х
2
у ( х 3)
2
у х 2 5
2

5.

Построить график функции y=|-2×2 +8x -6|

1. Построим график функции y= -2×2 +8x -6
Ветви параболы направлены вниз
Вершина в точке:
b
8
2,
2a
4
y0 8 16 6 2
xo
Ось симметрии: х=2
Нули функции
Х1 =1, Х2 =3
х
0
1
2
3
4
у
-6
-0
2
0
-6
2. отразим части параболы,
расположенные в нижней части
полуплоскости, симметрично
относительно оси абсцисс.
Применение преобразований при построении графика функции
Y
2
Построим график функции y =| — 2 x +6 x -2 |
1.Сначала построим график функции
y = — 2 x 2+8 x -6
Преобразуем трехчлен:
2 x 8 x 6 2 x 4 x 3
2
2
2 x 2 2 x 2 4 4 3
2 x 2 1 2 x 2 2
2
2
6
2
1
0
-1
-2
y 2 x 2 2
2
-3
-4
-5
-6
2. отразим части параболы, расположенные в
нижней части полуплоскости, симметрично
относительно оси абсцисс.
1
x

7. Аналитическое построение

Построить график функции y=|x|x
По определению модуля: y = x2 ,x>0
— x2 ,x
x>0
y
0
x
x

8. Построим график функции y=|x2-5x|+x-3 с помощью узловых точек

x2-5x=0, x(x-5)=0, x=0 илиx=5
|
||
x=0или x=5 разбивают числовую
прямую на три промежутка
0
5
I. x=-1;
(-1)2 -5(-1)>0
y=x2-5x+x-3 =x2-4x-3
Строим параболу и выделяем ту часть,
которая находится на промежутке ;0
II. x=1;
12 -5*1
y=-x2+5x+x-3 =-x2 +6x-3
Строим параболу и выделяем ту часть,
которая находится на промежутке 0;5
III. x=6;
62 -5*6>0
y=x2-4x-3 Эту параболу уже строили, поэтому
выделим ту часть,
которая находится на промежутке 5;
Выделенные части являются графиком
функции
|||
x

9. Постройте графики функций:

Вариант 1
а) y=|x2 -4|
б) y=|2x-x2 |
Вариант 2
а)y=|x2 -1|
б) y=|x2 +2x-1|
Вариант 3
Вариант 4
а) y=|(x-3)2 -1| б) а) y=|-(x+2)2 +3|
y=x2 -|x-1|
б) y=|2+4|x|-x2|

10.

Проверь себя !

Вариант 1
Вариант 2
а) y=|x2 -4|
а) y=|x2 -1|
б) y=|x2 +2x-1|
б) y=|2x-x2 |
Вариант3
Вариант 4
а) y=|(x-3)2 -1|
а) y=|-(x+2)2 +3|
б) y=x2 -|x-1|
б) y=|2+4|x|-x2|

11. Основные преобразования графиков:

параллельные переносы;
симметрии относительно осей координат;
растяжения (сжатия) от (к) осей (осям) координат;
преобразования, связанные с модулями.

12. Алгоритм построения графика функции у = ах2 + bх +с.

1. Определить направление ветвей параболы.
2. Найти координаты вершины параболы
(т; п).
3. Провести ось симметрии.
4. Определить точки пересечения графика
функции с осью Ох, т.е. найти нули
функции.
5. Составить таблицу значений функции
с учетом оси симметрии параболы.

13. Перенос вдоль оси ординат

График функции y= f (x) + b при b >0
можно получить параллельным переносом вдоль
оси ординат графика функции y= f (x) на b
единиц вверх.
y= x2 +2
Y
2
1
y=x2
0 1
График функции y=f(x)-b при b>0 можно
получить параллельным переносом вдоль оси
ординат графика функции y=f(x) на b единиц
вниз
x
Y
1
0 1
-2
y=x2
x
y= x2 -2

14. Перенос вдоль оси ординат

График функции y= f(x)+b при b >0
можно получить так :
1. построить график функции y= f (x)
2.перенести ось абсцисс на b единиц
вверх
Y
2
На b
вверх
0
0
1
x
1
x
Y
График функции y=f(x)-b при b>0
можно получить так:
1. построить график функции y=f(x)
2 перенести ось абсцисс на единиц вниз
1
Вниз
На b
0
-2
0
x
1
x

15. Перенос вдоль оси абсцисс

График функции y= f (x + c) можно получить
параллельным переносом вдоль оси абсцисс графика
функции y= f (x) на |c| единиц влево при c >0 .
Y
y=x2
1
-2
0
1
x
y=(x+2)2
График функции y=f(x+c) можно получить
параллельным переносом вдоль оси абсцисс графика
функции y=f(x) на |c| единиц вправо при c
y=x2
Y
y=(x-2)2
1
0
1
2
x

16.

Перенос вдоль оси абсцисс

График функции y= f (x + c) при c >0
можно получить так :
1. построить график функции y= f (x)
2.перенести ось ординат на |b| единиц
вправо
y
1
0
График функции y=f(x+c) при c
можно получить так:
1. Построить график функции y=f(x)
2. Перенести ось ординат на |c| единиц
влево
y
y
1
1
y
1
1 0
x
0
0 1
x

17. Сжатие ( растяжение ) графика вдоль оси ординат

График функции y= b f (x)
при b>1 можно получить
растяжением графика функции
y= f (x) вдоль оси ординат
y=2×2
Y
1
y=x2
0 1
График функции y=bf(x) при
0
графика функции y=f(x) вдоль
оси ординат
x
y=0,5×2
Y
1
0 1
y=x2
x

18. Симметрия относительно оси абсцисс

Чтобы построить график фунуции y= -f(x):
1. Строим график функции y=f(x)
2. Отражаем его симметрично относительно оси
абсцисс.
y=x2
0 1
x
y=-x2

19. график функции y = f(|x|), y = |f(x)|

график функции y = f(|x|) получается из графика функции y = f(x)
следующим преобразованием:
1)
точки графика, имеющие неотрицательные абсциссы – неподвижны;
2) точки графика, имеющие отрицательные абсциссы заменяются на
точки, полученные из неподвижных отражением относительно оси y.
график функции y = |f(x)| получается из графика функции y = f(x)
следующим преобразованием:
1)
точки графика, имеющие неотрицательные ординаты – неподвижны;
2) точки графика, имеющие отрицательные ординаты, отражаются
относительно оси x.

20. Функция, содержащая операцию « взятие модуля»

y
Чтобы построить график функции y= |f( x) |:
1. Строим график функции y= f(x),
2.Часть графика, расположенную в верхней
полуплоскости сохраняем.
3. Часть графика, расположенную в нижней
полуплоскости. отображаем симметрично
относительно оси абсцисс в верхнюю
полуплоскость.
0
x

Параграф 2.2. Свойства и графики основных функций.

Работу выполнила: Казанцева А.А. студентка группы 45.2

Пункт 2.2. Свойства и графики основных функций.

Объяснение и обоснование

1. Линейная функция y = kx + b.Линейной функцией называется функция вида
y = kx + b, где k и b — некоторые числа.
Обоснуем основные характеристики этой функции: область определения, область
значений, четность или нечетность, возрастание и убывание.
Область определения — множество всех действительных чисел: D (y) = R,
поскольку формула kx + b имеет смысл при всех действительных значениях
x, то есть для любого действительного x мы можем вычислить значение
kx + b (из свойств действительных чисел, которые строго доказываются в
курсах математического анализа, следует, что для любых действительных
чисел х, k и b однозначно определены произведение kх и сумма kх + b = у).
Область значений линейной функции будет разной в зависимости от зна-
чения коэффициента k.
Если k = 0, то функция имеет вид y = b, то есть ее
область значений состоит из одного числа b. В таком
случае графиком линейной функции y = b является
прямая, параллельная оси Ox, которая пересекает
ось Oy в точке b (рис. 19).
Если k ≠ 0, то E (y) = R (обоснование приведено в примере 3).
Четность и нечетность линейной функции существенно
зависит от значений коэффициентов b и k.
При b = 0 и k ≠ 0 функция y = kx + b превращается в функцию y = kx,
которая является нечетной, поскольку для всех x из ее области определения

f (-x) = k (-x) = -kx = -f (x).

Таким образом, график функции y = kx (рис. 22) симметричен относительно
точки O.
При k = 0 получаем функцию y = b, которая является
четной, поскольку для всех x из ее области определения
f (-x) = b = f (x). То есть график функции y = b
симметричен относительно оси Oy (рис. 21).
В общем случае при k ≠ 0 и b ≠ 0 функция
y = kx + b не является ни четной, ни нечетной, поскольку
f (-x) = k (-x) + b = -kx + b ≠ f (x) и также
f (-x) = -kx + b = -(kx — b) ≠ -f (x).
Возрастание и убывание линейной функции зависит от значения коэффициента k.
При k = 0 получаем функцию y = b — постоянную. При k > 0 функция y = kx + b
возрастает, а при k < 0 — убывает (обоснование приведено в примере 4).
В курсе геометрии было показано, что графиком линейной функции y = kx + b всегда является прямая линия.
Поскольку при x = 0 функция принимает значение y = b, то эта прямая всегда
пересекает ось Oy в точке b. Графики линейных функций приведены в таблице 3/
2. Функция y = k/x (k ≠ 0).
Эта функция выражает обратно пропорциональную зависимость.
Область определения: х ≠ 0. Это можно записать также так:

D (y) = (- ∞; 0) U (0; + ∞).

Область значений: у Ф 0. Это можно записать также так:

E (y) = (- ∞; 0) U (0; + ∞).

Для обоснования области значений функции y = k/x обозначим k/x = a.
Тогда из этого равенства получим x = k/a для всех a ≠ 0. То есть
для всех a ≠ 0 существует значение x = k/a, при котором
y =k/x = k/(k/a) = a. Таким образом, y принимает все
действительные значения, не равные нулю.

Функция нечетная, поскольку ее областью определения является множество,
симметричное относительно точки О, и f (-x) = -k/x = -f(x). Таким образом,
её график симметричен относительно начала координат (рис. 23).

Возрастание и убывание функции зависит от знака коэффициента k.
Если х2 > х1 (то есть х2 — х1 > 0), то для сравнения значений f(х2) и f(х1)
рассмотрим их разность: f(x2)-f(x1) = k/x2 — k/x1 = -k(x2-x1)/x2x1.

На промежутке (0; +∞) значение х1 > 0 и х2 > 0, следовательно, х1х2 > 0.
На промежутке (-∞;0) значение х1 < 0 и х2 < 0, значит, х1х2 > 0.
Учитывая, что х2 — х1 > 0 на каждом из промежутков (—∞; 0) или (0; +∞), при
k > 0 из равенства (1) получаем f(х2) — f(х1) < 0, а при k < 0 получаем f(х2) — f(х1) > 0.

При k > 0 на каждом из промежутков (—∞; 0) и (0; +∞), если х2 > х1, то f (х2) < f (х1),
таким образом, функция убывает на каждом из этих промежутков.

При k < 0 на каждом из промежутков (—∞; 0) и (0; +∞), если х2 > х1, то f (х2) > f (х1),
следовательно, функция возрастает на каждом из этих промежутков.

Из курса алгебры известно, что график функции у = k/x называется
гиперболой (она состоит из двух ветвей). При k > 0 ветви гиперболы
находятся в I и III координатных четвертях, а при k < 0 — во II и IV четвертях (рис. 23).

Замечание. Характеризируя возрастание или убывание функции у = k/x (k ≠ 0),
следует помнить, что, например, функция у = 1/x (рис. 24) убывает
каждом из промежутков (—∞; 0) и (0; +∞), но на всей области определения (х ≠ 0)
эта функция не является убывающей (и не является возрастающей).

Действительно, если взять х1 = —1 и х2 = 1, то x2 > x1, но f(x2) = f(1) = 1, а f(x1) = f(—1) = —1,
то есть большему значению аргумента не соответствует меньшее значение функции,
и на всей ее области определения функция f(x) = 1/x не является убывающей.

Поэтому же нельзя сказать, что функция f (x) = 1/x — убывает на
объединении интервалов (—∞; 0) U (0; +∞).

3. Функция y = ax² (a ≠ 0).Как известно из курса алгебры, графиком этой
функции является парабола, ветви которой направлены вверх при а > 0 (рис. 25, а)
и вниз при а < 0 (рис. 25, б). Поскольку при х = 0 значение у = 0, то график
всегда проходит через начало координат.

<Область определения: х ∈ R, поскольку значение у = ах² можно вычислить при
любых значениях х (из свойств действительных чисел, которые строго
доказываются в курсах математического анализа, следует, что для любых
действительных чисел х и а однозначно определены произведения х • х = х2 и ах²
и ax² = y).

Функция четная, поскольку f (—x) = а (—х)² = ах² = f (x). Таким образом, ее
график симметричен относительно оси Оу.

Область значений. Для нахождения области значений функции у = ax²
обозначим ax² = u. Поскольку а ≠ 0, то из этого равенства x² = u/a (*). При а > 0
уравнение (*) имеет решение для любого u ≥ 0, а при а < 0 уравнение (*) имеет
решение для любого u ≤ 0.

Следовательно, при а > 0 Е (у) = [0; +∞), а при а < 0 Е (у) = (—∞; 0].

Возрастание и убывание.
Если x2 > x1 ( то есть x2 — x1 >0), то для сравнения значений y(x2) и y(x1) рассмотрим их разность
y(x2)-y(x1) = ax2² — ax1² = a(x2² — x1²) = a(x2-x1)(x2+x1). (2)

На промежутке [0; +∞) значение х1 ≥ 0 и х2 > 0, следовательно, х2 + х1 > 0.

На промежутке (—∞; 0] значение х1 < 0 и х2 ≤ 0, значит, х2 + х1 < 0.

Учитывая, что х2 — х1 > 0 на каждом из указанных промежутков, из равенства (2)
получаем:

— при a > 0 на промежутке [0; +∞) у (х2) — у (х1) > 0, а на промежутке (—∞; 0]
y(x2) — y(x1) < 0.

— при a < 0 на промежутке [0; +∞) у (х2) — у (х1) < 0, а на промежутке (—∞; 0]
y(x2) — y(x1) > 0.

Следовательно, при х2 > х1, если a > 0, то на промежутке [0; +∞) у(х2) > y(x1)
функция возрастает, а на промежутке (—∞; 0] у (х2) < у (х1) функция убывает.
если же a < 0, то на промежутке [0; +∞) у (х2) < у (х1)
функция убывает, а на промежутке (—∞; 0] у (х2) > у (х1) функция возрастает.
Соответствующие графики приведены также в таблице 3.

4. Квадратичная функция y = ax² + bx + c (a ≠ 0).
Из курса агебры за 9 класс известно, что функция вида
y = ax² + bx +c, где a,b,c — действительные числа, причём
a≠0, называется квадратичной.Ее графиком является парабола,
ветви которой направлены вверх при а > 0 и вниз при а < 0.

Абсцисса вершины этой параболы x0 =-b/2a. Для обоснования этого
достаточно в заданном квадратном трехчлене выделить полный квадрат:
y = ax² + bx + c = a(x² + (b/a)x + c/a) = a(x + b/2a)² + (4ac — b²)/4a, то есть
y = ax² + bx + c = a(x + b/2a)² + y0, где y0 = (4ac — b²)/4a = -D/4a (3)
(D = b² — 4ac — дискриминант квадратного треёхчлена ax² + bx + c).

Напомним, что в зависимости от знака дискриминанта D парабола или
пересекает ось Ох (D > 0), или не пересекает (D < 0), или касается ее (D = 0).
Основные варианты расположения графика функции у = ax²2 + bx + с (a ≠ 0)
представлены в таблице 4.
Охарактеризуем свойства функции у = ax² + bx + с (a ≠ 0).

Область определения: D (у) = R, поскольку значение у = ax²2 + bx + с (a ≠ 0)
можно вычислить при любых значениях х (из свойств действительных чисел,
которые строго доказываются в курсах математического анализа, следует, что для
любых действительных чисел х, а, b и с однозначно определены произведения
х • х = х&, ах² и bx и суммы ах² + bx, (ax² + bx) + с = ax² + bx + с = у).

Область значений. Для нахождения области значений функции у = ax² + bx + с
используем формулу (3) и обозначим a(x + b/2a)² + y0 = u. Поскольку a ≠ 0, то
из этого равенства: (x + b/2a)² = (u — y0)/a.

ВОПРОСЫ ДЛЯ КОНТРОЛЯ:

1.Какая функция называется линейной? Назовите свойства линейной функции.
Какая линия является графиком линейной функции? Приведите примеры
линейных функций и их графиков.

2. Какая линия является графиком функции у = k/x (k≠ 0)? Приведите
графиков функций у = k/x при k > 0 и при k < 0. По графикам
укажите свойства этой функции при k > 0 и при k < 0. Докажите нечетность
функции у = k/x (k≠ 0).

3. Какая линия является графиком функции у = ax² (a ≠ 0)?
Как расположен этот график при а > 0 и при а < 0? Приведите примеры графиков функций
у = ax² при а > 0 и при а < 0. По графикам укажите свойства этой
функции при а > 0 и при а < 0. Докажите четность функции у = ax² (a ≠ 0).

4. Какая линия является графиком функции у = ax²2 + bx + с (a ≠ 0)?
Как расположен график при а > 0 и при а < 0? Как найти абсциссу
вершины графика функции у = ax²2 + bx + с (a ≠ 0)?
Приведите примеры графиков этой функции при а > 0 и при а < 0.
По графикам укажите свойства этой функции при а > 0 и при а < 0.

1. Постройте график функции:
1) y = 3x — 2;     2)y = -x + 4;     3) y = -2     4) y = -5x     5) y = 0     6)y = 4x
Есть ли среди этих функций чётные или нечётные? Ответ обоснуйте.

2. По приведёнными графикам функций y = kx + b (рис. 26) укажите знаки k и b в каждом случае.

Постройте график функции (3 — 5 ).
3. 1) y = -2/x;     2) y = 3/x     3) y = 1/x     4) y = 5/x

4. 1) y = -2x²     2) y = 3x²     3) y = -3x²     4) y = 5x²

5. 1) y = x² — 6x + 7     2) y = -x² + 4x + 2    3) y = 2x² — 2x + 1    4) y = -3x² + 6x

6. По приведённым графикам функции y = ax² + bx + c (a≠) (рис. 27)
укажите знаки a, b, c в каждом случае.

2.Квадратичная функция y=x² — Функции и их графики

В уравнении квадратичной функции:

a – старший коэффициент

b – второй коэффициент

с  — свободный член.

Графиком квадратичной функции является квадратичная парабола, которая для функции  имеет вид:

 Точки, обозначенные зелеными кружками – это, так
называемые «базовые точки». Чтобы найти координаты этих точек для
функции , составим таблицу:

Внимание! Если в уравнении квадратичной функции старший коэффициент , то график квадратичной функции имеет ровно такую же форму, как график функции  при любых значениях остальных коэффициентов.

График  функции  имеет вид:

Для нахождения координат базовых точек составим таблицу:

Обратите внимание, что график функции  симметричен графику функции относительно оси ОХ.

Итак, мы заметили:

Если старший коэффициент a>0, то ветви параболы напрaвлены вверх.

Если старший коэффициент a<0, то ветви параболы напрaвлены вниз.

Второй параметр для построения графика  функции – значения х, в которых функция равна нулю, или нули функции. На графике нули функции  — это точки пересечения графика функции с осью ОХ.

Поскольку ордината (у) любой точки, лежащей на оси ОХ равна нулю, чтобы найти координаты  точек  пересечения графика функции с осью ОХ, нужно решить уравнение .

В случае квадратичной функции  нужно решить квадратное уравнение .

В процессе решения квадратного уравнения находим дискриминант: , который определяет число корней квадратного уравнения.

И здесь возможны три случая:

1. Если ,то уравнение  не имеет решений, и, следовательно, квадратичная парабола  не имеет точек пересечения с осью ОХ. Если ,то график функции выглядит как-то так:

2. Если ,то уравнение  имеет одно решение, и, следовательно, квадратичная парабола   имеет одну точку пересечения с осью ОХ. Если ,то график функции выглядит примерно так:

3.  Если ,то уравнение  имеет два решения, и, следовательно, квадратичная парабола   имеет две точки пересечения с осью ОХ:

,  

Если ,то график функции выглядит примерно так:

Следующий важный параметр графика квадратичной функции – координаты вершины параболы:

Прямая, прохдящая через вершину параболы параллельно оси OY является осью симметрии паработы.

И еще один параметр, полезный при построении графика функции – точка пересечения параболы  с осью OY.

Поскольку абсцисса любой точки, лежащей на оси OY равна нулю, чтобы найти точку пересечения параболы  с осью OY, нужно в уравнение параболы вместо х подставить ноль: .

То есть точка пересечения параболы с осью OY имеет координаты (0;c).

Итак, основные параметры графика квадратичной функции показаны  на рисунке:

2-6x + 5 [-8.36, 14.15, -5.5, 7.75]}

Уравнение симметрии

Ось симметрии снова является осью x. 3) x 2 = 4ay для a> 0. В этом случае парабола открывается вверх. Ось симметрии — это ось y. 4) y 2 = -4ay для a <0. Парабола открывается вниз, и ось симметрии снова совпадает с осью y. 1) Квадратное уравнение -> f (x) = y = ax 2 + bx + c Пример: квадратное уравнение как f (x) = x 2 + 5x + 6 Эта линия симметрии называется _____ Это всегда вертикальная линия который проходит через точку поворота кривой.Формула: Ось симметрии: Примеры: 1. Что представляет собой уравнение оси симметрии параболы, представленной как y = x2 6x 4? 2. Ответ: Найдите вершину, ось симметрии, фокус и направляющую заданной параболы и эскизной кривой: x 2 + 8y — 2x = 7 … ось симметрии x = 1. уравнение … Ось симметрии: дана квадратичная функция в стандартной форме, f (x) = ax 2 + bx + c, вертикальная линия, заданная графиком уравнения, x = -b / (2a), равна называется осью симметрии графика квадратичной функции.Используйте предоставленную информацию, чтобы написать уравнение формы вершины каждой параболы. 1) y … Определите вершину и ось симметрии каждого. Затем нарисуйте график. 15 … Ось симметрии параболы, определяемой функцией y = ax2 + bx + c, является вертикальной линией, проходящей через вершину. Вычисление оси симметрии x = — Вершина находится на оси симметрии. Следовательно, координата x вершины равна 2a Axis of Symmetry 67.) -2-1 Vertex © По каждому уравнению определите его ключевые характеристики.Покажите ВСЕ работы и используйте правильные обозначения! . .. ось симметрии: в (26) максимум или минимум: (-0000) домен: [му … 2. Определите? вершина, ось? симметрия, домен и? диапазон, а затем изобразите уравнение. у = -2 (х + 5) 2 +4. 3. Постройте параболу. Дай? вершина, ось? симметрия, домен и диапазон. е (х) = х 2 + 6х + 5. 4. Постройте параболу. Дай? вершина, ось? симметрия, домен и диапазон. е (х) = х 2 + 10х + 9. 5. Постройте следующую параболу. Используйте предоставленную информацию, чтобы написать уравнение формы вершины каждой параболы.1) y … Определите вершину и ось симметрии каждого. Затем нарисуйте график. 15 … Сал переписывает квадратное уравнение в форме вершины и показывает, как оно выявляет вершину соответствующей параболы. Бесплатный калькулятор симметрии функций — шаг за шагом определите, является ли функция симметричной относительно оси x, оси y или начала координат .2.Определите? вершина, ось? симметрия, домен и? диапазон, а затем изобразите уравнение. у = -2 (х + 5) 2 +4. 3. Постройте параболу. Дай? вершина, ось? симметрия, домен и диапазон. е (х) = х 2 + 6х + 5. 4. Постройте параболу. Дай? вершина, ось? симметрия, домен и диапазон. е (х) = х 2 + 10х + 9. 5. Постройте следующую параболу. 600. Парабола, показанная справа, имеет нули в точках 0 и 50. Ее вершина находится в (25, 600). (а) Запишите уравнение оси симметрии. (б) Найдите формулы для параболы. 525-450- (a) Формула для оси симметрии: Щелкните для номера списка 375 (b) Укажите формулы для параболы ниже в запрошенной форме. 2. Определите? вершина, ось? симметрия, домен и? диапазон, а затем изобразите уравнение.у = -2 (х + 5) 2 +4. 3. Постройте параболу. Дай? вершина, ось? симметрия, домен и диапазон. е (х) = х 2 + 6х + 5. 4. Постройте параболу. Дай? вершина, ось? симметрия, домен и диапазон. е (х) = х 2 + 10х + 9. 5. Постройте следующую параболу. Квадратное уравнение представляет собой вертикальную параболу. Ось симметрии в вертикальной параболе — это вертикальная линия. Уравнение оси симметрии в вертикальной параболе равно x-координате вершины. Координата x вершины равна формуле. следовательно. уравнение оси симметрии совпадает с линией симметричных уравнений x − 12 = y + 13 = z. Например, уравнение сфероида с осью z в ​​качестве оси симметрии задается следующим образом: x2a2 + y2a2 + z2c2 = 1. Когда уравнение имеет форму в квадрате плюс 𝑏𝑥 плюс 𝑐, какова наша функция, уравнение для оси симметрии равно равно отрицательному 𝑏 над двумя. Итак, для нашего уравнения нам нужно взять отрицательное 𝑏 над двумя. А для нас 𝑏 отрицательно 14. 20 ноября, 2020 · Ось симметрии — это идея, используемая для построения графиков некоторых алгебраических выражений, которые создают параболы или почти U-образные формы.Они называются квадратичными функциями, и их форма обычно выглядит следующим образом: y = ax 2 + bx + c. Ось симметрии — это идея, используемая для построения графиков определенных алгебраических выражений, которые создают параболы или почти U-образные формы. Вместо этого он будет слева или справа от него, в зависимости от уравнения, и, возможно, потребуется некоторая манипуляция с функцией, чтобы вычислить Симметрия обратных функций — если (a, b) является точкой на графике функции f, то (b, a) — точка на графике обратного. Кроме того, два графика будут симметричными относительно прямой y = x. На следующем графике видно, что функции

Найти уравнение оси симметрии для параболы y = x2 + 4. Размещено: …

График уравнения симметричен относительно оси x, если вы можете заменить y на y и получить эквивалентное уравнение График уравнения симметричен относительно начала координат, если вы можете заменить x на x и y на y и получите эквивалентное уравнение. Просмотрите эти примеры. Симметрия графов.Круги 4/10

для парабол, ось симметрии которых параллельна оси x, и (x — h) 2 = 4 p (y — k) для парабол, ось симметрии которых параллельна оси y. . Эти стандартные формы представлены ниже вместе с их общими графиками и ключевыми характеристиками.

2) Найдите вершину и ось симметрии. Файл. x-координата. вершины = −𝐛𝟐𝐚 (также уравнение для оси симметрии.). Подставьте значение. Икс. в квадратное уравнение и решите относительно.y-координата. Писать . вершина. как упорядоченная пара (x, y).

Эта линия симметрии называется _____. Это всегда вертикальная линия, проходящая через точку поворота кривой. Формула: Ось симметрии: Примеры: 1. Что представляет собой уравнение оси симметрии параболы, представленной как y = x2 6x 4? 2.

Мы обсуждаем симметрию относительно оси x, оси y и начала координат, и мы даем методы для определения того, какой, если он есть симметрия, граф Симметрия может быть полезна при построении графика уравнения, поскольку она говорит, что если мы знаем одну часть графа, тогда мы также будем знать оставшуюся (и симметричную) часть…

Ось симметрии: Рисунок 3. График Примера. Пример 3. Запишите в форму уравнение x = 5 y 2 — 30 y + 11. х = а (у — к) 2 + ч. Определите направление проема, вершину, фокус, направляющую и ось симметрии. х = 5 у 2-30 у + 11. Выньте коэффициент при y 2 из членов, включающих y, чтобы вы могли завершить …

ось симметрии: пересечения по оси x: пример 3: график y = x2 — x — 2. ось симметрии xy: x- перехватывает: Пример 4: График y = -x2 — 6x — 7.Ось симметрии xy: пересечения с x: построение квадратичных уравнений — День 2. Страница 1 из 4 Alg I Quadratics Day 2 Graphic Organizer.doc

Итак, уравнение оси симметрии x = 0. Максимальное значение y равен 0, и это происходит, когда x = 0. Вершиной (или точкой поворота) параболы является точка (0, 0).

Ось симметрии в параболе. В этом уроке нас интересует симметрия параболы в координатной плоскости x-y. На рисунке 2 показана парабола, ось симметрии которой лежит на оси y…

Алгебра I »Квадратичные уравнения и функции» J.2. Построение графика y = ax2 + bx + c квадратичных функций. Дом. Построение графика y = ax2 + bx + c с использованием вершины и оси симметрии. Анализируем максимум против минимума. Обзор.

Уравнение оси симметрии \ (x = 3 \). Вопрос. Для параболы \ (y = (x + 6) (x-4) \) определить координаты и характер ее точки поворота и уравнение оси симметрии.

Решение для Найдите ось симметрии параболы, уравнение которой f (x) = 3 (x + 2) 2 — 5.Используйте ось симметрии, чтобы найти вторую точку параболы…

Объясните, почему ось симметрии для y = 2 x 2 — 5 x — 12 совпадает с осью симметрии для y = 2 x 2 — 5 x . В общем, какова ось симметрии для y = ax 2 + bx + c? Имеет ли ваше описание смысл для y = 2 x 2 — 5 x + 7, даже если кривая не имеет пересечений по оси x? 687. (Продолжение).

Симметрия обратных функций — Если (a, b) является точкой на графике функции f, то (b, a) является точкой на графике обратной функции.Кроме того, два графика будут симметричными относительно прямой y = x. На следующем графике видно, что функции

(Среднее количество страниц = 1038¸140 = 7,4 на единицу)

Scribd является крупнейшим в мире сайтом для чтения и публикации в социальных сетях.

Определите вершину, ось симметрии, нули и точку пересечения оси Y параболы, показанной ниже. Если [latex] a <0 [/ latex], парабола открывается вниз. Мы можем использовать общую форму параболы, чтобы найти уравнение для оси симметрии.

Мы узнаем, как найти ось симметрии параболы по ее уравнению. Приведена формула и проиллюстрирован метод на нескольких проработанных примерах.

19. Ось симметрии x = 3 Vertex (3, 8) Max = 8 Количество x — ints = 2 Y — int = (0, –10) Область x є R Диапазон y ≤ 8 20. Направление: вверх Вершина (2, –3) Ось симметрии x = 2 Min = –3 Количество x — int = 2 Y — int = (0, –1) Область x є R Диапазон y ≥ –3 21. y = –2 (x + 2) 2 + 6 22. (a) 20 м (b) 32 м (c) 2 секунды (d) 36 м

Бесплатный калькулятор оси параболы — Пошаговое вычисление оси параболы Этот веб-сайт использует файлы cookie для убедитесь, что вы получите лучший опыт.2 + 4x + 6

Каждая парабола имеет ось симметрии, которая представляет собой линию, разделяющую график на две идеальные половины. На этой странице мы попрактикуемся в рисовании оси на графике, изучении формулы, формулировке уравнения оси симметрии, когда мы знаем уравнение параболы.

20 февраля 2018 г. · Чтобы найти ось симметрии, воспользуйтесь формулой: x = -b / 2a. Как только вы найдете ось симметрии, вы можете использовать исходную формулу, чтобы найти значение y. Поскольку ось симметрии — это значение x вершины.

Линия симметрии графа. Две стороны графика по обе стороны от оси симметрии выглядят как зеркальные изображения друг друга (среднее количество страниц = 1038¸140 = 7,4 на единицу). Найдите уравнение оси симметрии для параболы y = x2. + 4. Опубликовано: …

Как построить график yx2 + 6x + 9 класс 11 по математике CBSE

Подсказка: Этот тип вопросов основан на концепции построения графиков для квадратного уравнения.{2}} + 6x + 9 \] получается.

Примечание: Мы не должны просто проводить прямые линии между точками. Поскольку данное уравнение является квадратным уравнением, график всегда будет параболой. Поскольку мы получаем одинаковые значения y для разных значений x, не считайте решение неправильным. Избегайте ошибок в расчетах при решении точек.

Построение графических квадратичных уравнений с использованием оси симметрии

Квадратное уравнение


это

многочлен

уравнение

степень

2

.Стандартная форма квадратного уравнения:

0

знак равно

а

Икс

2

+

б

Икс

+

c

где

а

,

б

а также

c

все реальные числа и

а

≠

0

.

Если мы заменим

0

с участием

y

, то получаем

квадратичная функция

y

знак равно

а

Икс

2

+

б

Икс

+

c

чей график будет

парабола

.

Осью симметрии этой параболы будет линия

Икс

знак равно

—

б

2

а

.

Ось симметрии проходит через вершину, поэтому

Икс

-координата вершины

—

б

2

а

.

Заменять

Икс

знак равно

—

б

2

а

в уравнении, чтобы найти

y

-координата вершины. Заменить еще несколько

Икс

-значения в уравнении, чтобы получить соответствующие

y

-значения и нанесите точки.Присоединяйтесь к ним и вытяните параболу.

Пример 1:

Постройте параболу

y

знак равно

Икс

2

—

7

Икс

+

2

.

Сравните уравнение с

y

знак равно

а

Икс

2

+

б

Икс

+

c

найти значения

а

,

б

, а также

c

.

Здесь,

а

знак равно

1

,

б

знак равно

—

7

а также

c

знак равно

2

.

Используйте значения коэффициентов, чтобы написать уравнение

ось симметрии

.

График квадратного уравнения в виде

y

знак равно

а

Икс

2

+

б

Икс

+

c

осью симметрии является линия

Икс

знак равно

—

б

2

а

.Итак, уравнение оси симметрии данной параболы имеет вид

Икс

знак равно

—

(

—

7

)

2

(

1

)

или же

Икс

знак равно

7

2

.

Заменять

Икс

знак равно

7

2

в уравнении, чтобы найти

y

-координата вершины.

y

знак равно

(

7

2

)

2

—

7

(

7

2

)

+

2

знак равно

49

4

—

49

2

+

2

знак равно

49

—

98

+

8

4

знак равно

—

41 год

4

Следовательно, координаты вершины равны

(

7

2

,

—

41 год

4

)

.

А теперь замените еще несколько

Икс

-значения в уравнении, чтобы получить соответствующие

y

-значения.

Постройте точки и соедините их, чтобы получить параболу.

Пример 2:

Постройте параболу

y

знак равно

—

2

Икс

2

+

5

Икс

—

1

.

Сравните уравнение с

y

знак равно

а

Икс

2

+

б

Икс

+

c

найти значения

а

,

б

, а также

c

.

Здесь,

а

знак равно

—

2

,

б

знак равно

5

а также

c

знак равно

—

1

.

Используйте значения коэффициентов, чтобы написать уравнение оси симметрии.

График квадратного уравнения в виде

y

знак равно

а

Икс

2

+

б

Икс

+

c

осью симметрии является линия

Икс

знак равно

—

б

2

а

. Итак, уравнение оси симметрии данной параболы имеет вид

Икс

знак равно

—

(

5

)

2

(

—

2

)

или же

Икс

знак равно

5

4

.

Заменять

Икс

знак равно

5

4

в уравнении, чтобы найти

y

-координата вершины.

y

знак равно

—

2

(

5

4

)

2

+

5

(

5

4

)

—

1

знак равно

—

50

16

+

25

4

—

1

знак равно

—

50

+

100

—

16

16

знак равно

34

16

знак равно

17

8

Следовательно, координаты вершины равны

(

5

4

,

17

8

)

.

А теперь замените еще несколько

Икс

-значения в уравнении, чтобы получить соответствующие

y

-значения.

Постройте точки и соедините их, чтобы получить параболу.

Пример 3:

Постройте параболу

Икс

знак равно

y

2

+

4

y

+

2

.

Здесь,

Икс

является функцией

y

. Парабола открывается «вбок», а ось симметрии параболы горизонтальна. Стандартная форма уравнения горизонтальной параболы:

Икс

знак равно

а

y

2

+

б

y

+

c

где

а

,

б

, а также

c

все реальные числа и

а

≠

0

а уравнение оси симметрии имеет вид

y

знак равно

—

б

2

а

.

Сравните уравнение с

Икс

знак равно

а

y

2

+

б

y

+

c

найти значения

а

,

б

, а также

c

.

Здесь,

а

знак равно

1

,

б

знак равно

4

а также

c

знак равно

2

.

Используйте значения коэффициентов, чтобы написать уравнение оси симметрии.

График квадратного уравнения в виде

Икс

знак равно

а

y

2

+

б

y

+

c

осью симметрии является линия

y

знак равно

—

б

2

а

.

Итак, уравнение оси симметрии данной параболы имеет вид

y

знак равно

—

4

2

(

1

)

или же

y

знак равно

—

2

.

Заменять

y

знак равно

—

2

в уравнении, чтобы найти

Икс

-координата вершины.

Икс

знак равно

(

—

2

)

2

+

4

(

—

2

)

+

2

знак равно

4

—

8

+

2

знак равно

—

2

Следовательно, координаты вершины равны

(

—

2

,

—

2

)

.

А теперь замените еще несколько

y

-значения в уравнении, чтобы получить соответствующие

Икс

-значения.

Постройте точки и соедините их, чтобы получить параболу. 2 + bx + c $$

1. Если $$ | a | <1 $$ график параболы расширяется.Это просто означает, что U-образная парабола тянется в сторону.
2. Если $$ | a | > 1 $$ график графика сужается (эффект противоположен | a | <1). 2 + k $$
   • (h, k) — вершина
   • Если a положительно, то парабола открывается вверх, как правильная буква «U».(как в стандартной форме)
   • Если a отрицательно, график открывается вниз, как перевернутый «U». (Как в стандартной форме)
   • Если | a | <1 график параболы расширяется. Это просто означает, что U-образная парабола тянется в сторону.
   • Если | a | > 1, график графика сужается (эффект противоположен | a |> 1).

   От вершины к стандартной форме

   Пример того, как преобразовать уравнение параболы из вершины в стандартную форму.
   Уравнение в вершинной форме: y = (x — 1) ²

   Чтобы преобразовать уравнение в стандартную форму, просто разверните и упростите биномиальный квадрат (Обновите FOIL для умножения биномов)

   Практическая задача

   Задача 1

   Парабола 1 имеет уравнение вершинной формы: y = (x + 3) ²

   Чтобы переписать это уравнение в стандартной форме Разверните (x + 3) (x + 3)

   Покажи ответ

   (x + 3) (x + 3) = x² + 3x + 3x + 9
   x² + 6x + 9
   y = x² + 6x + 9

   Проблема 2

   Измените форму вершины уравнения параболы на стандартную форму. y = (x + 3) ² + 4

   Покажи ответ

   (x + 3) (x + 3) + 4 = x² + 3x + 3x + 9 + 4
   x² + 6x + 13
   y = x² + 6x + 13

   Задача 3

   Измените форму вершины уравнения параболы на стандартную форму.y = (x — 3) ² + 2

   Покажи ответ

   (x — 3) (x — 3) + 2 = x² — 3x — 3x + 9 + 2
   x² — 6x + 11
   y = x² — 6x + 11

   Проблема 4

   Преобразуйте приведенное ниже уравнение из вершинной формы в стандартную форму. y — 4 = (x — 3) ²

   Покажи ответ

   y = (x — 3) ² + 4
   y = x² -6x + 9 + 4
   y = x² -6x + 13

   Проблема 5

   Измените приведенное ниже уравнение параболы в стандартную форму.
   y — 3 = (x — 5) ²

   Покажи ответ

   y = (x — 5) ² + 3
   y = x² –10x + 25 + 3
   y = x² –10x + 28

   От стандартной формы к вершине

   Чтобы преобразовать уравнение из стандартной формы в форму вершины, иногда необходимо
   завершение квадрата

   Задача 6

   Преобразуйте приведенное ниже уравнение из стандартной формы в вершинную. y = x² + 2x + 1

   Покажи ответ

   Проблема 7

   Какова вершинная форма параболы, уравнение стандартной формы которой имеет вид y = x² + 6x +9

   Покажи ответ

   Проблема 8

   Какова вершинная форма параболы, уравнение стандартной формы которой имеет вид y = x² + 6x + 10

   Покажи ответ

   Проблема 9

   Преобразуйте приведенное ниже уравнение из стандартной формы в вершинную. y = x² + 6x + 8

   Покажи ответ

   Проблема 10

   Какова вершинная форма параболы, уравнение стандартной формы которой имеет вид y = x² + 10x + 25

   Покажи ответ

   Задача 11

   Какова вершинная форма параболы, уравнение стандартной формы которой имеет вид y = x² + 10x + 27

   Покажи ответ

   (x + 5) ² + 2 = (x² + 10x + 25) + 2
   у = (х + 5) ² + 2

   Проблема 12

   Какова вершинная форма параболы, уравнение стандартной формы которой имеет вид y = x² + 10x + 21

   Покажи ответ

   (x + 5) ² — 4 = (x² + 10x + 25) — 4
   
   y = (x + 5) ² — 4

   Проблема 13

   Преобразуйте приведенное ниже уравнение из стандартной формы в вершинную. y = x² + 12x + 34

   Покажи ответ

   (x + 6) ² — 2 = (x² + 12x + 36) — 2
   
   y = (x + 6) ² — 2

   Проблема 14

   Какова вершинная форма параболы, уравнение стандартной формы которой имеет вид y = x² + 14x + 40

   Покажи ответ

   (x + 7) ² — 7 = (x² + 14x + 49) — 9
   
   y = (x + 7) ² — 9

   Проблема 15

   Преобразуйте приведенное ниже уравнение из стандартной формы в вершинную. y = x² + 18x + 71

   Покажи ответ

   (x + 9) ² — 10 = (x² + 18x + 81) — 10
   
   y = (x + 9) ² — 10

   Проблема 16

   Какова вершинная форма параболы, уравнение стандартной формы которой y = x² — 16x + 71

   Покажи ответ

   (x — 8) ² + 7 = (x² — 16x + 64) + 7
   
   y = (x — 8) ² + 7

   Проблема 17

   Какова вершинная форма параболы, уравнение стандартной формы которой имеет вид y = x² + 18x + 95

   Покажи ответ

   (x + 9) ² + 14 = (x² + 18x + 81) + 14
   
   y = (x + 9) ² + 14

   Решите квадратные уравнения -x2-6x = 5 Tiger Algebra Solver

   Переформатирование ввода:

   Изменения, внесенные в ваш ввод, не должны влиять на решение:

   (1): «x2» заменено на «x ^ 2». 2-6 * x- (5) = 0

   Пошаговое решение:

   Шаг 1:

   Шаг 2:

   Вытягивание как термины:

   2.1 Вытягивание как факторы:

   -x ² — 6x — 5 = -1 • (x ² + 6x + 5)

   Попытка разложить на множители путем разделения среднего члена

   2.2 Факторинг x ² + 6x + 5

   Первый член равен x ² его коэффициент равен 1.
   Средний член + 6x, его коэффициент равен 6.
   Последний член, «константа», равен +5

   Шаг-1: Умножьте коэффициент первого члена на константу 1 • 5 = 5

   Шаг-2: Найдите два множителя 5, сумма которых равна коэффициенту среднего члена, который равен 6.

   	-5	+	-1	=	-6
   	-1	+	-6
   	1	+	5	=	6	Вот и все

   Шаг 3: Перепишите полиномиальное разбиение среднего члена, используя два фактора, найденные на шаге 2 выше, 1 и 5
   x ² + 1x + 5x + 5

   Шаг 4: сложите первые 2 члена, вычитая одинаковые множители:
   x • (x + 1)
   Складываем последние 2 члена, вычитая общие множители :
   5 • (x + 1)
   Шаг 5: сложите четыре члена из шага 4:
   (x + 5) • (x + 1)
   Какая желаемая факторизация

   Уравнение в конце шага 2:

    (-x - 5) • (x + 1) = 0
    

   Шаг 3:

   Теория — Корни продукта:

   3. 1 Произведение нескольких членов равно нулю.

   Если произведение двух или более членов равно нулю, то хотя бы одно из членов должно быть равно нулю.

   Теперь мы решим каждый член = 0 отдельно

   Другими словами, мы собираемся решить столько уравнений, сколько членов есть в продукте

   Любое решение для члена = 0 также решает продукт = 0.

    
    Решение уравнения с одной переменной: 
    
    3.2 Решите: -x-5 = 0 
    
    Добавьте 5 к обеим сторонам уравнения: 
    -x = 5 
    Умножьте обе части уравнения на (-1): x = -5 
    
    
    Решение уравнения с одной переменной: 
    
    3.3 Решение: x + 1 = 0 
    
    Вычтем 1 из обеих частей уравнения: 
    x = -1 
    
    
    
    Дополнение: решение квадратного уравнения напрямую 
    
    Решение x  2  + 6x + 5 = 0 напрямую 
    Ранее мы разложили этот многочлен на множители, разделив средний член. давайте теперь решим уравнение, заполнив квадрат и используя квадратичную формулу
    
    Парабола, поиск вершины: 
    4. 1 Найдите вершину y = x  2  + 6x + 5
    Параболы имеют самую высокую или самую низкую точку, называемую вершиной. Наша парабола открывается и, соответственно, имеет самую низкую точку (также известный как абсолютный минимум). Мы знаем это даже до того, как нанесли «y», потому что коэффициент первого члена, 1, положительный (больше нуля).
    Каждая парабола имеет вертикальную линию симметрии, проходящую через ее вершину. Из-за этой симметрии линия симметрии, например, будет проходить через середину двух x-точек пересечения (корней или решений) параболы.То есть, если парабола действительно имеет два реальных решения.
    Параболы могут моделировать множество реальных жизненных ситуаций, например высоту над землей объекта, брошенного вверх через некоторый промежуток времени. Вершина параболы может предоставить нам информацию, например, максимальную высоту, которую может достичь объект, брошенный вверх. По этой причине мы хотим иметь возможность найти координаты вершины.
    Для любой параболы Ax  2  + Bx + C координата x вершины задается как -B / (2A).В нашем случае координата x равна -3,0000
    Подставив в формулу параболы -3,0000 для x, мы можем вычислить координату y: 
    y = 1,0 * -3,00 * -3,00 + 6,0 * -3,00 + 5,0 
    или y = — 4.000
    Парабола, графическая вершина и X-пересечения: 
    Корневой график для: y = x  2  + 6x + 5 
    Ось симметрии (пунктирная) {x} = {- 3.00} 
    Вершина в {x, y } = {-3,00, -4,00} 
    x -Перехваты (корни): 
    Корень 1 в {x, y} = {-5,00, 0,00} 
    Корень 2 в {x, y} = {-1.00, 0.00}
    Решите квадратное уравнение, заполнив квадрат 
    4.2 Решение x  2  + 6x + 5 = 0, заполнив квадрат.
    Вычтем 5 из обеих частей уравнения: 
    x  2  + 6x = -5
    А теперь самое умное: возьмите коэффициент при x, равный 6, разделите его на два, получив 3, и возведите его в квадрат. 9
    Добавьте 9 к обеим частям уравнения: 
    В правой части получим: 
    -5 + 9 или, (-5/1) + (9/1) 
    Общий знаменатель двух дробей равен 1 Добавление (-5/1) + (9/1) дает 4/1 
    Таким образом, прибавляя к обеим сторонам, мы наконец получаем: 
    x  2  + 6x + 9 = 4
    Добавление 9 завершило левую часть в полный квадрат: 
    x  2  + 6x + 9 = 
    (x + 3) • (x + 3) = 
    (x + 3)  2  
    Вещи, которые равны одному и тому же, также равны друг другу . Поскольку 
    x  2  + 6x + 9 = 4 и 
    x  2  + 6x + 9 = (x + 3)  2  
   , то согласно закону транзитивности 
    (x + 3)  2  = 4
    Мы будем называть это уравнение уравнением. # 4.2.1
    Принцип квадратного корня гласит, что когда две вещи равны, их квадратные корни равны.
    Обратите внимание, что квадратный корень из 
    (x + 3)  2  равен 
    (x + 3)  2/2  = 
    (x + 3)  1  = 
    x + 3
    Теперь, применяя Принцип квадратного корня для уравнения.# 4.2.1 получаем: 
    x + 3 = √ 4
    Вычтем 3 с обеих сторон, чтобы получить: 
    x = -3 + √ 4
    Поскольку квадратный корень имеет два значения, одно положительное, а другое отрицательное 
    x  2  + 6x + 5 = 0 
    имеет два решения: 
    x = -3 + √ 4 
    или 
    x = -3 — √ 4
    Решите квадратное уравнение с помощью квадратичной формулы 
    4.3 Решение x  2  + 6x + 5 = 0 по квадратичной формуле.
    Согласно квадратичной формуле, x, решение для Ax  2  + Bx + C = 0, где A, B и C — числа, часто называемые коэффициентами, дается как: 
      
    — B ± √ B  2  -4AC 
    x = ———————— 
    2A
    В нашем случае A = 1 
    B = 6 
    C = 5
    Соответственно B  2  — 4AC = 
    36-20 = 
    16
    Применение формулы квадратного уравнения:
    -6 ± √ 16 
    x = ————— 
    2
    Можно ли упростить √ 16?
    Да! Разложение на простые множители 16 равно 
    2 • 2 • 2 • 2 
    Чтобы можно было удалить что-либо из-под корня, должно быть 2 экземпляра этого (потому что мы берем квадрат i.(2) + 2kx + 5 не пересекает ось x
    Если график пересекает ось x, x  2  + 2kx + 5 должен быть равен нулю. Таким образом, мы можем ответить на эквивалентный вопрос: для какого k x  2  + 2kx + 5 = 0 не имеет решения? Теперь это более простая задача (корни квадратного уравнения). Мы можем применить общий метод рассмотрения дискриминанта x  2  + 2kx + 5. Используя обозначение стандартной квадратной формулы, где в данном случае a = 1, b = 2k и c = 5, мы оцениваем дискриминант: b  2  -4ac = (2k)  2 -4  1  5 = 4k  2  — 20.Теперь, поскольку дискриминант появляется в знаке квадратного корня в квадратном уравнении, если он отрицательный, не может быть никаких реальных решений уравнения (отлично, это то, что мы хотим!). Таким образом, мы хотим, чтобы дискриминант был отрицательным: 4k  2  -20 <0. Разделим обе части неравенства на 4 так, чтобы получилось k  2  -5 <0. Теперь мы должны проявлять большую осторожность, следующее рассуждение является общим:   ОШИБКА  : перегруппируйте неравенство, чтобы мы получили k . 2  <5, затем скруглить обе стороны, так что мы имеем k   ЭТО НЕПРАВИЛЬНО  . Имея дело с неравенством, затрагивающим такие силы, как мы, мы должны быть предельно осторожны. ошибка в рассуждениях выше заключается в том, что когда мы говорим k <- sqrt (5), это на самом деле форма распространенной ошибки, заключающейся в том, что неравенство не меняется при умножении обеих частей уравнения на отрицательное. Вместо этого, когда имеешь дело с неравенством полномочий, всегда разумнее нарисовать график ситуации.k  2 -5 — это стандартная квадратичная U-образная форма (подумайте, y = x  2 ), сдвинутая вниз на 5. Набросав это, становится ясно, что этот график меньше 0, когда он находится между двумя корнями. Корни k  2 -5 легко найти: k  2  -5 = 0 подразумевает k  2  = 5 подразумевает k = sqrt (5) или k = -sqrt (5). Сравнивая это с графиком теперь мы видим, что дискриминант отрицательный для — sqrt (5)  2  + 2kx + 5 не пересекает ось x.
    .