Arctg, arcctg. Решение уравнений tgt=a, ctgt=a

Вопросы
занятия:

·    
познакомиться
с понятиями  arctg, arcctg;

·    
вывести
общую формулу решения уравнений вида tg
t = a; ctg t
= a.

Материал
урока.

Прежде
чем приступить к изучению нового материала, давайте выполним несколько
упражнений.

Упражнения.

На предыдущих уроках мы с вами
познакомились с понятиями arrcos
и arcsin и
научились решать уравнения вида cos
t = a
и sin t
= a, при а из
промежутка [-1; 1].

Сегодня на уроке, мы познакомимся с
понятием arctg, arcctg
и научимся решать простейшие тригонометрические уравнения вида tg
t = a,
ctg t
= a.

Функции арккосинус и арксинус мы вводили
как обратные функции для функций cos
t и sin
t. Аналогично, введём
функции arctg а и arcctg
а.
Напомним, что для того, чтобы на некотором промежутке существовала обратная
функция, необходимо, чтобы функция была непрерывна и монотонна на этом
промежутке.

Для функции y
= tg x
таким промежутком будет являться промежуток

[-π/2; π/2].

Обратите внимание, что арктангенсом любого
числа является угол.

Проведя аналогичный анализ графика функции
y = ctg
x, но поменяв промежуток
[-π/2; π/2] на промежуток [0; π], получим, что  arcctg
a – это такой угол из
промежутка [0; π], котангенс которого равен а.

Сформулируем основные свойства арктангенса
и арккотангенса.

arctg (-a) = — arctg a

arcctg (-a) = π — arcctg
a

Рассмотрим пример.

Пример.

Введённые понятия арктангенса и
арккотангенса помогают решать уравнение вида tg t = a и ctg
t = a.

Рассмотрим пример.

Пример.

Рассмотрим решение уравнения tg
t = a
в общем виде.

Рассмотрим пример.

Пример.

Решим уравнение ctg
t = a
в
общем виде.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример.

Пример.

Пример.

ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ
ФУНКЦИИ.

I.   
Взаимно обратные функции:

О: Две функции  f  и  g   называются взаимно  обратными, если равенство y = f(x)  верно тогда и только тогда, когда верно равенство  x = g(y).

Свойства:

           1.  f(g(y)) = y  или  g(f(x)) = x

2.   D(f) =E(g)  и  E(f) = D(g)

3.   если  f возрастает, то и g возрастает

     если  f убывает, то и g убывает

4.   Графики симметричны относительно

     прямой y = x

5.  Свойство производной: g‘(x) = 1/ f ‘(g(x))

II. Обратные тригонометрические функции:

Рассмотрим функцию  y = sin x 

на промежутке  [-p /2; p /2]

Тогда существует обратная:

y = arcsin x

Рассмотрим функцию  y = cos x 

на промежутке  [ 0; p ]

Тогда существует обратная:

y = arccos x

Рассмотрим функцию  y = tg x

на промежутке [-p /2; p /2]

Тогда существует обратная:

y = arctg x

Рассмотрим функцию  y = ctg x

на промежутке [ 0; p ]

Тогда существует обратная:

y = arcctg x

            III  Формулы

arcsin(-x) = — arcsin x

            arccos(-x) = p — arccos x

            arctg(-x) = — arctg x

            arcctg(-x) = p — arcctg x

            sin(arcsin x) = x

            cos(arccos x) = x

            tg(arctg x) = x

            ctg(arcctg x) = x

            sin(arccos x) = Ö 1 — x²

            cos(arcsin x) = Ö 1 — x²

cos(arctg x) = 1/Ö 1+ x²

sin(arctg x) = x /Ö 1+ x²

            tg(arcsin x) = x /Ö 1— x²

arcsin x + arccos x = p /2

arctg x + arcctg x = p / 2

tg(arcctg x) = ctg(arctg x) = 1/ x

IV.  Производные обратных триг.
ф-ий:

arcsin’
x = 1 /Ö 1— x²

            arccos’ x = -1 /Ö 1— x²

            arctg’ x =  1/(1+ x²)

            arcctg’ x =  -1/(1+ x²)

Чему равен arctg 3. Урок «Арктангенс и арккотангенс

Ранее по программе учащиеся получили представление о решении тригонометрических уравнений, ознакомились с понятиями арккосинуса и арксинуса, примерами решений уравнений cos t = a и sin t = a. В этом видеоуроке рассмотрим решение уравнений tg x = a и ctg x = a.

В начале изучения данной темы рассмотрим уравнения tg x = 3 и tg x = — 3. Если уравнение tg x = 3 будем решать с помощью графика, то увидим, что пересечение графиков функций y = tg x и y = 3 имеет бесконечное множество решений, где x = x 1 + πk. Значение x 1 — это координата x точки пересечения графиков функций y = tg x и y = 3. Автор вводит понятие арктангенса: arctg 3 это число, tg которого равен 3, и это число принадлежит интервалу от -π/2 до π/2. Используя понятие арктангенса, решение уравнения tg x = 3 можно записать в виде x = arctg 3 + πk.

По аналогии решается уравнение tg x = — 3. По построенным графикам функций y = tg x и y = — 3 видно, что точки пересечения графиков, а следовательно, и решениями уравнений, будет x = x 2 + πk. С помощью арктангенса решение можно записать как x = arctg (- 3) + πk. На следующем рисунке увидим, что arctg (- 3) = — arctg 3.

Общее определение арктангенса выглядит следующим образом: арктангенсом а называется такое число из промежутка от -π/2 до π/2, тангенс которого равен а. Тогда решением уравнения tg x = a является x = arctg a + πk.

Автор приводит пример 1. Найти решение выражения arctg.Введем обозначения: арктангенс числа равен x, тогда tg x будет равен данному числу, где x принадлежит отрезку от -π/2 до π/2. Как в примерах в предыдущих темах, воспользуемся таблицей значений. По этой таблице тангенсу данного числа соответствует значение x = π/3. Запишем решение уравнения арктангенс заданного числа равен π/3, π/3 принадлежит и интервалу от -π/2 до π/2.

Пример 2 — вычислить арктангенс отрицательного числа. Используя равенство arctg (- a) = — arctg a, введем значение x. Аналогично примеру 2 запишем значение x, которое принадлежит отрезку от -π/2 до π/2. По таблице значений найдем, что x = π/3, следовательно, — tg x = — π/3. Ответом уравнения будет — π/3.

Рассмотрим пример 3. Решим уравнение tg x = 1. Запишем, что x = arctg 1 + πk. В таблице значению tg 1 соответствует значение x = π/4, следовательно, arctg 1 = π/4. Подставим это значение в исходную формулу x и запишем ответ x = π/4 + πk.

Пример 4: вычислить tg x = — 4,1. В данном случае x = arctg (- 4,1) + πk. Т.к. найти значение arctg в данном случае нет возможности, ответ будет выглядеть как x = arctg (- 4,1) + πk.

В примере 5 рассматривается решение неравенства tg x > 1. Для решения построим графики функций y = tg x и y = 1. Как видно на рисунке, эти графики пересекаются в точках x = π/4 + πk. Т.к. в данном случае tg x > 1, на графике выделим область тангенсоиды, которая находится выше графика y = 1, где x принадлежит интервалу от π/4 до π/2. Ответ запишем как π/4 + πk

Далее рассмотрим уравнение ctg x = a. На рисунке изображены графики функций у = ctg x, y = a, y = — a, которые имеют множество точек пересечения. Решения можно записать как x = x 1 + πk, где x 1 = arcctg a и x = x 2 + πk, где x 2 = arcctg (- a). Отмечено, что x 2 = π — x 1 . Из этого следует равенство arcctg (- a) = π — arcctg a. Далее дается определение арккотангенса: арккотангенсом а называется такое число из промежутка от 0 до π, котангенс которого равен а. Решение уравнения сtg x = a записывается в виде: x = arcctg a + πk.

В конце видеоурока делается еще один важный вывод — выражение ctg x = a можно записать в виде tg x = 1/a, при условии, что a не равно нулю.

ТЕКСТОВАЯ РАСШИФРОВКА:

Рассмотрим решение уравнений tg х = 3 и tg х= — 3. Решая первое уравнение графически, мы видим, что графики функций у = tg х и у = 3 имеют бесконечно много точек пересечения, абсциссы которых запишем в виде

х = х 1 + πk, где х 1 — это абсцисса точки пересечения прямой у = 3 с главной ветвью тангенсоиды (рис.1), для которой было придумано обозначение

arctg 3 (арктангенс трех).

Как же понимать arctg 3?

Это число, тангенс которого равен 3 и это число принадлежит интервалу (- ;). Тогда все корни уравнения tg х = 3 можно записать формулой х = arctg 3+πk.

Аналогично решение уравнения tg х = — 3 можно записать в виде х = х 2 + πk, где х 2 — это абсцисса точки пересечения прямой у = — 3 с главной ветвью тангенсоиды (рис.1), для которой было придумано обозначение arctg(-3) (арктангенс минус трех). Тогда все корни уравнения можно записать формулой: х = arctg(-3)+ πk. По рисунку видно, что arctg(- 3)= — arctg 3.

Сформулируем определение арктангенса. Арктангенсом а называется такое число из промежутка (-;), тангенс которого равен а.

Часто используют равенство: arctg(-а) = -arctg а, которое справедливо для любого а.

Зная определение арктангенса, сделаем общий вывод о решении уравнения

tg х= a: уравнение tg х = a имеет решение х = arctg а + πk.

Рассмотрим примеры.

ПРИМЕР 1.Вычислить arctg.

Решение. Пусть arctg = х, тогда tgх = и хϵ (- ;). Показать таблицу значений Следовательно, х =, так как tg = и ϵ (- ;).

Итак, arctg =.

ПРИМЕР 2. Вычислить arctg (-).

Решение. Используя равенство arctg(- а) = — arctg а, запишем:

arctg(-) = — arctg . Пусть — arctg = х, тогда — tgх = и хϵ (- ;). Следовательно, х =, так как tg = и ϵ (- ;). Показать таблицу значений

Значит — arctg=- tgх= — .

ПРИМЕР 3. Решить уравнение tgх = 1.

1. Запишем формулу решений: х = arctg 1 + πk.

2. Найдем значение арктангенса

так как tg = . Показать таблицу значений

Значит arctg1= .

3. Поставим найденное значение в формулу решений:

ПРИМЕР 4. Решить уравнение tgх = — 4,1(тангенс икс равно минус четыре целые одна десятая).

Решение. Запишем формулу решений: х = arctg (- 4,1) + πk.

Вычислить значение арктангенса мы не можем, поэтому решение уравнения оставим в полученном виде.

ПРИМЕР 5. Решить неравенство tgх 1.

Решение. Будем решать графически.

1. Построим тангенсоиду

у= tgх и прямую у = 1(рис.2). Они пересекаются в точках вида х = + πk.

2. Выделим промежуток оси икс, на котором главная ветвь тангенсоиды расположена выше прямой у = 1, так как по условию tgх 1. Это интервал (;).

3. Используем периодичность функции.

Своийство 2. у=tg х — периодическая функция с основным периодом π.

Учитывая периодичность функции у= tgх, запишем ответ:

(;). Ответ можно записать в виде двойного неравенства:

Перейдем к уравнению ctg х = a. Представим графическую иллюстрацию решения уравнения для положительного и отрицательного а (рис.3).

Графики функций у= ctg х и у =а а также

у= ctg х и у=-а

имеют бесконечно много общих точек, абсциссы которых имеют вид:

х = х 1 + , где х 1 — это абсцисса точки пересечения прямой у =а с главной ветвью тангенсоиды и

х 1 = arcсtg а;

х = х 2 + , где х 2 — это абсцисса точки пересечения прямой

у = — а с главной ветвью тангенсоиды и х 2 = arcсtg (- а).

Заметим, что х 2 = π — х 1 . Значит, запишем важное равенство:

arcсtg (-а) = π — arcсtg а.

Сформулируем определение: арккотангенсом а называется такое число из интервала (0;π), котангенс которого равен а.

Решение уравнения ctg х = a записываются в виде: х = arcсtg а + .

Обратим внимание, что уравнение ctg х = a можно преобразовать к виду

tg х = , за исключение, когда а = 0.

Что такое арксинус, арккосинус? Что такое арктангенс, арккотангенс?

Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно «не очень…»
И для тех, кто «очень даже…»)

К понятиям арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс

учащийся народ относится с опаской. Не понимает он эти термины и, стало быть, не доверяет этой славной семейке.) А зря. Это очень простые понятия. Которые, между прочим, колоссально облегчают жизнь знающему человеку при решении тригонометрических уравнений!

Сомневаетесь насчёт простоты? Напрасно.) Прямо здесь и сейчас вы в этом убедитесь.

Разумеется, для понимания, неплохо бы знать, что такое синус, косинус, тангенс и котангенс. Да их табличные значения для некоторых углов… Хотя бы в самых общих чертах. Тогда и здесь проблем не будет.

Итак, удивляемся, но запоминаем: арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс — это просто какие-то углы.
Ни больше ни меньше. Бывает угол, скажем 30°. А бывает угол arcsin0,4.

Или arctg(-1,3).

Всякие углы бывают.) Просто записать углы можно разными способами. Можно записать угол через градусы или радианы. А можно — через его синус, косинус, тангенс и котангенс…

Что означает выражение

arcsin 0,4 ?

Это угол, синус которого равен 0,4
! Да-да. Это смысл арксинуса. Специально повторю: arcsin 0,4 — это угол, синус которого равен 0,4.

И всё.

Чтобы эта простая мысль сохранилась в голове надолго, я даже приведу разбивочку этого ужасного термина — арксинус:

arc
sin
0,4

угол,
синус которого
равен 0,4

Как пишется, так и слышится.) Почти. Приставка arc
означает дуга
(слово арка
знаете?), т.к. древние люди вместо углов использовали дуги, но это сути дела не меняет. Запомните эту элементарную расшифровку математического термина! Тем более, для арккосинуса, арктангенса и арккотангенса расшифровка отличается только названием функции.

Что такое arccos 0,8 ?
Это угол, косинус которого равен 0,8.

Что такое arctg(-1,3) ?
Это угол, тангенс которого равен -1,3.

Что такое arcctg 12 ?
Это угол, котангенс которого равен 12.

Такая элементарная расшифровка позволяет, кстати, избежать эпических ляпов.) Например, выражение arccos1,8 выглядит вполне солидно. Начинаем расшифровку: arccos1,8 — это угол, косинус которого равен 1,8… Скока-скока!? 1,8!? Косинус не бывает больше единицы!!!

Верно. Выражение arccos1,8 не имеет смысла. И запись такого выражения в какой-нибудь ответ изрядно повеселит проверяющего.)

Элементарно, как видите.) У каждого угла имеется свой персональный синус и косинус. И почти у каждого — свой тангенс и котангенс. Стало быть, зная тригонометрическую функцию, можно записать и сам угол. Для этого и предназначены арксинусы, арккосинусы, арктангенсы и арккотангенсы. Далее я всю эту семейку буду называть уменьшительно — арки.
Чтобы печатать меньше.)

Внимание! Элементарная словесная и осознанная
расшифровка арков позволяет спокойно и уверенно решать самые различные задания. А в непривычных
заданиях только она и спасает.

А можно переходить от арков к обычным градусам или радианам?
— слышу осторожный вопрос.)

Почему — нет!? Легко. И туда можно, и обратно. Более того, это иногда нужно обязательно делать. Арки — штука простая, но без них как-то спокойнее, правда?)

Например: что такое arcsin 0,5?

Вспоминаем расшифровку:
arcsin 0,5 — это угол, синус которого равен 0,5.
Теперь включаем голову (или гугл)) и вспоминаем, у какого угла синус равен 0,5? Синус равен 0,5 у угла в 30 градусов
. Вот и все дела: arcsin 0,5 — это угол 30°.
Можно смело записать:

arcsin 0,5 = 30°

Или, более солидно, через радианы:

Всё, можно забыть про арксинус и работать дальше с привычными градусами или радианами.

Если вы осознали, что такое арксинус, арккосинус… Что такое арктангенс, арккотангенс…
То легко разберётесь, например, с таким монстром.)

Несведущий человек отшатнётся в ужасе, да…) А сведущий вспомнит расшифровку:
арксинус — это угол, синус которого… Ну и так далее. Если сведущий человек знает ещё и таблицу синусов… Таблицу косинусов. Таблицу тангенсов и котангенсов, то проблем вообще нет!

Достаточно сообразить, что:

Расшифрую, т.е. переведу формулу в слова: угол, тангенс которого равен 1 (arctg1)
— это угол 45°. Или, что едино, Пи/4. Аналогично:

и всё… Заменяем все арки на значения в радианах, всё посокращается, останется посчитать, сколько будет 1+1. Это будет 2.) Что и является правильным ответом.

Вот таким образом можно (и нужно) переходить от арксинусов, арккосинусов, арктангенсов и арккотангенсов к обычным градусам и радианам. Это здорово упрощает страшные примеры!

Частенько, в подобных примерах, внутри арков стоят отрицательные
значения. Типа, arctg(-1,3), или, к примеру, arccos(-0,8)… Это не проблема. Вот вам простые формулы перехода от отрицательных значений к положительным:

Нужно вам, скажем, определить значение выражения:

Это можно и по тригонометрическому кругу решить, но вам не хочется его рисовать. Ну и ладно. Переходим от отрицательного
значения внутри арккосинуса к положительному
по второй формуле:

Внутри арккосинуса справа уже положительное
значение. То, что

вы просто обязаны знать. Остаётся подставить радианы вместо арккосинуса и посчитать ответ:

Вот и всё.

Ограничения на арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс.

С примерами 7 — 9 проблема? Ну да, есть там некоторая хитрость.)

Все эти примеры, с 1-го по 9-й, тщательно разобраны по полочкам в Разделе 555. Что, как и почему. Со всеми тайными ловушками и подвохами. Плюс способы резкого упрощения решения. Кстати, в этом разделе много полезной информации и практических советов по тригонометрии в целом. И не только по тригонометрии. Очень помогает.

Если Вам нравится этот сайт…

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся — с интересом!)

можно познакомиться с функциями и производными.

Функции sin, cos, tg и ctg всегда сопровождаются арксинусом, арккосинусом, арктангенсом и арккотангенсом. Одно является следствием другого, а пары функций одинаково важны для работы с тригонометрическими выражениями.

Рассмотрим рисунок единичной окружности, на котором графически отображено значений тригонометрических функций.

Если вычислить arcs OA, arcos OC, arctg DE и arcctg MK, то все они будут равны значению угла α. Формулы, приведенные ниже, отражают взаимосвязь основных тригонометрических функций и соответствующих им арков.

Чтобы больше понять о свойствах арксинуса, необходимо рассмотреть его функцию. График имеет вид асимметричной кривой, проходящей через центр координат.

Свойства арксинуса:

Если сопоставить графики sin
и arcsin
, у двух тригонометрических функций можно найти общие закономерности.

Арккосинус

Arccos числа а — это значение угла α, косинус которого равен а.

Кривая y = arcos x
зеркально отображает график arcsin x, с той лишь разницей, что проходит через точку π/2 на оси OY.

Рассмотрим функцию арккосинуса более подробно:

1. Функция определена на отрезке [-1; 1].
2. ОДЗ для arccos — .
3. График целиком расположен в I и II четвертях, а сама функция не является ни четной, ни нечетной.
4. Y = 0 при x = 1.
5. Кривая убывает на всей своей протяженности. Некоторые свойства арккосинуса совпадают с функцией косинуса.

Некоторые свойства арккосинуса совпадают с функцией косинуса.

Возможно, школьникам покажется излишним такое «подробное» изучение «арков». Однако, в противном случае, некоторые элементарные типовые задания ЕГЭ могут ввести учащихся в тупик.

Задание 1.
Укажите функции изображенные на рисунке.

Ответ:
рис. 1 – 4, рис.2 — 1.

В данном примере упор сделан на мелочах. Обычно ученики очень невнимательно относятся к построению графиков и внешнему виду функций. Действительно, зачем запоминать вид кривой, если ее всегда можно построить по расчетным точкам. Не стоит забывать, что в условиях теста время, затраченное на рисунок для простого задания, потребуется для решения более сложных заданий.

Арктангенс

Arctg
числа a – это такое значение угла α, что его тангенс равен а.

Если рассмотреть график арктангенса, можно выделить следующие свойства:

1. График бесконечен и определен на промежутке (- ∞; + ∞).
2. Арктангенс нечетная функция, следовательно, arctg (- x) = — arctg x.
3. Y = 0 при x = 0.
4. Кривая возрастает на всей области определения.

Приведем краткий сравнительный анализ tg x и arctg x в виде таблицы.

Арккотангенс

Arcctg числа a — принимает такое значение α из интервала (0; π), что его котангенс равен а.

Свойства функции арккотангенса:

1. Интервал определения функции – бесконечность.
2. Область допустимых значений – промежуток (0; π).
3. F(x) не является ни четной, ни нечетной.
4. На всем своем протяжении график функции убывает.

Сопоставить ctg x и arctg x очень просто, нужно лишь сделать два рисунка и описать поведение кривых.

Задание 2.
Соотнести график и форму записи функции.

Если рассуждать логически, из графиков видно, что обе функции возрастающие. Следовательно, оба рисунка отображают некую функцию arctg. Из свойств арктангенса известно, что y=0 при x = 0,

Ответ:
рис. 1 – 1, рис. 2 – 4.

Тригонометрические тождества arcsin, arcos, arctg и arcctg

Ранее нами уже была выявлена взаимосвязь между арками и основными функциями тригонометрии. Данная зависимость может быть выражена рядом формул, позволяющих выразить, например, синус аргумента, через его арксинус, арккосинус или наоборот. Знание подобных тождеств бывает полезным при решении конкретных примеров.

Также существуют соотношения для arctg и arcctg:

Еще одна полезная пара формул, устанавливает значение для суммы значений arcsin и arcos, а также arcctg и arcctg одного и того же угла.

Примеры решения задач

Задания по тригонометрии можно условно разделить на четыре группы: вычислить числовое значение конкретного выражения, построить график данной функции, найти ее область определения или ОДЗ и выполнить аналитические преображения для решения примера.

При решении первого типа задач необходимо придерживаться следующего плана действий:

При работе с графиками функций главное – это знание их свойств и внешнего вида кривой. Для решения тригонометрических уравнений и неравенств необходимы таблицы тождеств. Чем больше формул помнит школьник, тем проще найти ответ задания.

Допустим в ЕГЭ необходимо найти ответ для уравнения типа:

Если правильно преобразовать выражение и привести к нужному виду, то решить его очень просто и быстро. Для начала, перенесем arcsin x в правую часть равенства.

Если вспомнить формулу arcsin (sin α) = α
, то можно свести поиск ответов к решению системы из двух уравнений:

Ограничение на модель x возникло, опять таки из свойств arcsin: ОДЗ для x [-1; 1]. При а ≠0, часть сиcтемы представляет собой квадратное уравнение с корнями x1 = 1 и x2 = — 1/a. При a = 0, x будет равен 1.

Эта статья про нахождение значений арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса
данного числа. Сначала мы внесем ясность, что называется значением арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса. Дальше получим основные значения этих аркфункций, после чего разберемся, как находятся значения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса по таблицам синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов Брадиса. Наконец, поговорим про нахождение арксинуса числа, когда известен арккосинус, арктангенс или арккотангенс этого числа, и т.п.

Навигация по странице.

Значения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса

Сначала стоит разобраться, что вообще такое «значение арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса
».

Таблицы синусов и косинусов, а также тангенсов и котангенсов Брадиса позволяют найти значение арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса положительного числа в градусах с точностью до одной минуты. Здесь стоит оговориться, что нахождение значений арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса отрицательных чисел можно свести к нахождению значений соответствующих аркфункций положительных чисел, обратившись к формулам arcsin, arccos, arctg и arcctg противоположных чисел вида arcsin(−a)=−arcsin a
, arccos(−a)=π−arccos a
, arctg(−a)=−arctg a
и arcctg(−a)=π−arcctg a
.

Разберемся с нахождением значений арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса по таблицам Брадиса. Будем это делать на примерах.

Пусть нам требуется найти значение арксинуса 0,2857
. Находим это значение в таблице синусов (случаи, когда это значение отсутствует в таблице, разберем ниже). Ему соответствует синус 16
градусов 36
минут. Следовательно, искомым значением арксинуса числа 0,2857
является угол 16
градусов 36
минут.

Часто приходится учитывать и поправки из трех справа столбцов таблицы. К примеру, если нам нужно найти арксинус 0,2863
. По таблице синусов это значение получается как 0,2857
плюс поправка 0,0006
, то есть, значению 0,2863
соответствует синус 16
градусов 38
минут (16
градусов 36
минут плюс 2
минуты поправки).

Если же число, арксинус которого нас интересует, отсутствует в таблице и даже не может быть получено с учетом поправок, то в таблице нужно отыскать два наиболее близких к нему значения синусов, между которыми данное число заключено. Например, мы ищем значение арксинуса числа 0,2861573
. Этого числа нет в таблице, с помощью поправок это число тоже не получить. Тогда находим два наиболее близких значения 0,2860
и 0,2863
, между которыми исходное число заключено, этим числам соответствуют синусы 16
градусов 37
минут и 16
градусов 38
минут. Искомое значение арксинуса 0,2861573
заключено между ними, то есть, любое из этих значений угла можно принять в качестве приближенного значения арксинуса с точностью до 1
минуты.

Абсолютно аналогично находятся и значения арккосинуса, и значения арктангенса и значения арккотангенса (при этом, конечно, используются таблицы косинусов, тангенсов и котангенсов соответственно).

Нахождение значения arcsin через arccos, arctg, arcctg и т.п.

Например, пусть нам известно, что arcsin a=−π/12
, а нужно найти значение arccos a
. Вычисляем нужное нам значение арккосинуса: arccos a=π/2−arcsin a=π/2−(−π/12)=7π/12
.

Куда интереснее обстоит дело, когда по известному значению арксинуса или арккосинуса числа a
требуется найти значение арктангенса или арккотангенса этого числа a
или наоборот. Формул, задающих такие связи, мы, к сожалению, не знаем. Как же быть? Разберемся с этим на примере.

Пусть нам известно, что арккосинус числа a
равен π/10
, и нужно вычислить значение арктангенса этого числа a
. Решить поставленную задачу можно так: по известному значению арккосинуса найти число a
, после чего найти арктангенс этого числа. Для этого нам сначала потребуется таблица косинусов, а затем – таблица тангенсов.

Угол π/10
радиан – это угол 18
градусов, по таблице косинусов находим, что косинус 18
градусов приближенно равен 0,9511
, тогда число a
в нашем примере есть 0,9511
.

Осталось обратиться к таблице тангенсов, и с ее помощью найти нужное нам значение арктангенса 0,9511
, оно приближенно равно 43
градусам 34
минутам.

Эту тему логически продолжает материал статьи вычисление значений выражений, содержащих arcsin, arccos, arctg и arcctg
.

Список литературы.

• Алгебра:
  Учеб. для 9 кл. сред. шк./Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Под ред. С. А. Теляковского.- М.: Просвещение, 1990.- 272 с.: ил.- ISBN 5-09-002727-7
• Башмаков М. И.
  Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. сред. шк. — 3-е изд. — М.: Просвещение, 1993. — 351 с.: ил. — ISBN 5-09-004617-4.
• Алгебра
  и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын и др.; Под ред. А. Н. Колмогорова.- 14-е изд.- М.: Просвещение, 2004.- 384 с.: ил.- ISBN 5-09-013651-3.
• И. В. Бойков, Л. Д. Романова. Сборникк задач для подготовки к ЕГЭ, часть 1, Пенза 2003.
• Брадис В. М.
  Четырехзначные математические таблицы: Для общеобразоват. учеб. заведений. — 2-е изд. — М.: Дрофа, 1999.- 96 с.: ил. ISBN 5-7107-2667-2

Арксинус (y = arcsin
x
)
— это функция, обратная к синусу (x = sin
y
-1 ≤
x ≤ 1

и множество значений -π/2 ≤
y ≤ π/2

.

sin(arcsin
x)
= x

arcsin(sin
x)
= x

Арксинус иногда обозначают так:
.

График функции арксинус

График функции y = arcsin
x

График арксинуса получается из графика синуса, если поменять местами оси абсцисс и ординат. Чтобы устранить многозначность, область значений ограничивают интервалом ,
на котором функция монотонна. Такое определение называют главным значением арксинуса.

Арккосинус, arccos

Арккосинус (y = arccos
x
)
— это функция, обратная к косинусу (x = cos
y
). Он имеет область определения -1 ≤
x ≤ 1

и множество значений 0 ≤
y ≤ π
.

cos(arccos
x)
= x

arccos(cos
x)
= x

Арккосинус иногда обозначают так:
.

График функции арккосинус

График функции y = arccos
x

График арккосинуса получается из графика косинуса, если поменять местами оси абсцисс и ординат. Чтобы устранить многозначность, область значений ограничивают интервалом ,
на котором функция монотонна. Такое определение называют главным значением арккосинуса.

Четность

Функция арксинус является нечетной:
arcsin(-
x)
=
arcsin(-sin arcsin
x)
=
arcsin(sin(-arcsin
x))
=
— arcsin
x

Функция арккосинус не является четной или нечетной:
arccos(-
x)
=
arccos(-cos arccos
x)
=
arccos(cos(π-arccos
x))
=
π — arccos
x ≠ ± arccos
x

Свойства — экстремумы, возрастание, убывание

Функции арксинус и арккосинус непрерывны на своей области определения (см. доказательство непрерывности). Основные свойства арксинуса и арккосинуса представлены в таблице.

Таблица арксинусов и арккосинусов

В данной таблице представлены значения арксинусов и арккосинусов, в градусах и радианах, при некоторых значениях аргумента.

≈ 0,7071067811865476
≈ 0,8660254037844386

Формулы

Формулы суммы и разности

при или

при и

при и

при или

при и

при и

при

при

при

при

Выражения через логарифм, комплексные числа

Выражения через гиперболические функции

Производные

;

.

См. Вывод производных арксинуса и арккосинуса > > >

Производные высших порядков
:
,

где — многочлен степени .
Он определяется по формулам:
;

;

.

См. Вывод производных высших порядков арксинуса и арккосинуса > > >

Интегралы

Делаем подстановку x = sin
t
.
Интегрируем по частям, учитывая что -π/2
≤ t ≤ π/2

,
cos
t ≥ 0

:

.

Выразим арккосинус через арксинус:
.

Разложение в ряд

При |x| 1

имеет место следующее разложение:
;

.

Обратные функции

Обратными к арксинусу и арккосинусу являются синус и косинус , соответственно.

Следующие формулы справедливы на всей области определения:
sin(arcsin
x)
= x

cos(arccos
x)
= x
.

Следующие формулы справедливы только на множестве значений арксинуса и арккосинуса:
arcsin(sin
x)
= x
при
arccos(cos
x)
= x
при .

Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.

Значение arctg 1 3. Арксинус, формула, график функции арксинус, урок и презентация. График функции арккотангенс

Функции sin, cos, tg и ctg всегда сопровождаются арксинусом, арккосинусом, арктангенсом и арккотангенсом. Одно является следствием другого, а пары функций одинаково важны для работы с тригонометрическими выражениями.

Рассмотрим рисунок единичной окружности, на котором графически отображено значений тригонометрических функций.

Если вычислить arcs OA, arcos OC, arctg DE и arcctg MK, то все они будут равны значению угла α. Формулы, приведенные ниже, отражают взаимосвязь основных тригонометрических функций и соответствующих им арков.

Чтобы больше понять о свойствах арксинуса, необходимо рассмотреть его функцию. График имеет вид асимметричной кривой, проходящей через центр координат.

Свойства арксинуса:

Если сопоставить графики sin
и arcsin
, у двух тригонометрических функций можно найти общие закономерности.

Арккосинус

Arccos числа а — это значение угла α, косинус которого равен а.

Кривая y = arcos x
зеркально отображает график arcsin x, с той лишь разницей, что проходит через точку π/2 на оси OY.

Рассмотрим функцию арккосинуса более подробно:

1. Функция определена на отрезке [-1; 1].
2. ОДЗ для arccos — .
3. График целиком расположен в I и II четвертях, а сама функция не является ни четной, ни нечетной.
4. Y = 0 при x = 1.
5. Кривая убывает на всей своей протяженности. Некоторые свойства арккосинуса совпадают с функцией косинуса.

Некоторые свойства арккосинуса совпадают с функцией косинуса.

Возможно, школьникам покажется излишним такое «подробное» изучение «арков». Однако, в противном случае, некоторые элементарные типовые задания ЕГЭ могут ввести учащихся в тупик.

Задание 1.
Укажите функции изображенные на рисунке.

Ответ:
рис. 1 – 4, рис.2 — 1.

В данном примере упор сделан на мелочах. Обычно ученики очень невнимательно относятся к построению графиков и внешнему виду функций. Действительно, зачем запоминать вид кривой, если ее всегда можно построить по расчетным точкам. Не стоит забывать, что в условиях теста время, затраченное на рисунок для простого задания, потребуется для решения более сложных заданий.

Арктангенс

Arctg
числа a – это такое значение угла α, что его тангенс равен а.

Если рассмотреть график арктангенса, можно выделить следующие свойства:

1. График бесконечен и определен на промежутке (- ∞; + ∞).
2. Арктангенс нечетная функция, следовательно, arctg (- x) = — arctg x.
3. Y = 0 при x = 0.
4. Кривая возрастает на всей области определения.

Приведем краткий сравнительный анализ tg x и arctg x в виде таблицы.

Арккотангенс

Arcctg числа a — принимает такое значение α из интервала (0; π), что его котангенс равен а.

Свойства функции арккотангенса:

1. Интервал определения функции – бесконечность.
2. Область допустимых значений – промежуток (0; π).
3. F(x) не является ни четной, ни нечетной.
4. На всем своем протяжении график функции убывает.

Сопоставить ctg x и arctg x очень просто, нужно лишь сделать два рисунка и описать поведение кривых.

Задание 2.
Соотнести график и форму записи функции.

Если рассуждать логически, из графиков видно, что обе функции возрастающие. Следовательно, оба рисунка отображают некую функцию arctg. Из свойств арктангенса известно, что y=0 при x = 0,

Ответ:
рис. 1 – 1, рис. 2 – 4.

Тригонометрические тождества arcsin, arcos, arctg и arcctg

Ранее нами уже была выявлена взаимосвязь между арками и основными функциями тригонометрии. Данная зависимость может быть выражена рядом формул, позволяющих выразить, например, синус аргумента, через его арксинус, арккосинус или наоборот. Знание подобных тождеств бывает полезным при решении конкретных примеров.

Также существуют соотношения для arctg и arcctg:

Еще одна полезная пара формул, устанавливает значение для суммы значений arcsin и arcos, а также arcctg и arcctg одного и того же угла.

Примеры решения задач

Задания по тригонометрии можно условно разделить на четыре группы: вычислить числовое значение конкретного выражения, построить график данной функции, найти ее область определения или ОДЗ и выполнить аналитические преображения для решения примера.

При решении первого типа задач необходимо придерживаться следующего плана действий:

При работе с графиками функций главное – это знание их свойств и внешнего вида кривой. Для решения тригонометрических уравнений и неравенств необходимы таблицы тождеств. Чем больше формул помнит школьник, тем проще найти ответ задания.

Допустим в ЕГЭ необходимо найти ответ для уравнения типа:

Если правильно преобразовать выражение и привести к нужному виду, то решить его очень просто и быстро. Для начала, перенесем arcsin x в правую часть равенства.

Если вспомнить формулу arcsin (sin α) = α
, то можно свести поиск ответов к решению системы из двух уравнений:

Ограничение на модель x возникло, опять таки из свойств arcsin: ОДЗ для x [-1; 1]. При а ≠0, часть сиcтемы представляет собой квадратное уравнение с корнями x1 = 1 и x2 = — 1/a. При a = 0, x будет равен 1.

Урок и презентация на темы: «Арксинус. Таблица арксинусов. Формула y=arcsin(x)»

Дополнительные материалы

Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.

Пособия и тренажеры в интернет-магазине «Интеграл» для 10 класса от 1С

Программная среда «1С: Математический конструктор 6.1»
Решаем задачи по геометрии. Интерактивные задания на построение в пространстве

Что будем изучать:

1. Что такое арксинус?
2. Обозначение арксинуса.
3. Немного истории.
4. Определение.

6. Примеры.

Что такое арксинус?

Ребята, мы с вами уже научились решать уравнения для косинуса, давайте теперь научимся решать подобные уравнения и для синуса. Рассмотрим sin(x)= √3/2. Для решения этого уравнения требуется построить прямую y= √3/2 и посмотреть: в каких точках она пересекает числовую окружность. Видно, что прямая пересекает окружность в двух точках F и G. Эти точки и будут решением нашего уравнения. Переобозначим F как x1, а G как x2. Решение этого уравнения мы уже находили и получили: x1= π/3 + 2πk,
а x2= 2π/3 + 2πk.

Решить данное уравнение довольно просто, но как решить, например, уравнение
sin(x)= 5/6. Очевидно, что это уравнение будет иметь также два корня, но какие значения будут соответствовать решению на числовой окружности? Давайте внимательно посмотрим на наше уравнение sin(x)= 5/6.
Решением нашего уравнения будут две точки: F= x1 + 2πk и G= x2 + 2πk,
где x1 – длина дуги AF, x2 – длина дуги AG.
Заметим: x2= π — x1, т.к. AF= AC — FC, но FC= AG, AF= AC — AG= π — x1.
Но, что это за точки?

Столкнувшись с подобной ситуацией, математики придумали новый символ – arcsin(x). Читается, как арксинус.

Тогда решение нашего уравнения запишется так: x1= arcsin(5/6), x2= π -arcsin(5/6).

И решение в общем виде: x= arcsin(5/6) + 2πk и x= π — arcsin(5/6) + 2πk.
Арксинус — это угол (длина дуги AF, AG) синус, которого равен 5/6.

Немного истории арксинуса

История происхождения нашего символа совершенно такая же, как и у arccos. Впервые символ arcsin появляется в работах математика Шерфера и известного французского ученого Ж.Л. Лагранжа. Несколько ранее понятие арксинус рассматривал Д. Бернули, правда записывал его другими символами.

Общепринятыми эти символы стали лишь в конце XVIII столетия. Приставка «arc» происходит от латинского «arcus» (лук, дуга). Это вполне согласуется со смыслом понятия: arcsin x — это угол (а можно сказать и дуга), синус которого равен x.

Определение арксинуса

Если |а|≤ 1, то arcsin(a) – это такое число из отрезка [- π/2; π/2], синус которого равен а.

Если |а|≤ 1, то уравнение sin(x)= a имеет решение: x= arcsin(a) + 2πk и
x= π — arcsin(a) + 2πk

Перепишем:

x= π — arcsin(a) + 2πk = -arcsin(a) + π(1 + 2k).

Ребята, посмотрите внимательно на два наших решения. Как думаете: можно ли их записать общей формулой? Заметим, что если перед арксинусом стоит знак «плюс», то π умножается на четное число 2πk, а если знак «минус», то множитель — нечетный 2k+1.
С учётом этого, запишем общую формула решения для уравнения sin(x)=a:

Есть три случая, в которых предпочитают записывать решения более простым способом:

sin(x)=0, то x= πk,

sin(x)=1, то x= π/2 + 2πk,

sin(x)=-1, то x= -π/2 + 2πk.

Для любого -1 ≤ а ≤ 1 выполняется равенство: arcsin(-a)=-arcsin(a).

Напишем таблицу значений косинуса наоборот и получим таблицу для арксинуса.

Примеры

1. Вычислить: arcsin(√3/2).
Решение: Пусть arcsin(√3/2)= x, тогда sin(x)= √3/2. По определению: — π/2 ≤x≤ π/2. Посмотрим значения синуса в таблице: x= π/3, т.к. sin(π/3)= √3/2 и –π/2 ≤ π/3 ≤ π/2.
Ответ: arcsin(√3/2)= π/3.

2. Вычислить: arcsin(-1/2).
Решение: Пусть arcsin(-1/2)= x, тогда sin(x)= -1/2. По определению: — π/2 ≤x≤ π/2. Посмотрим значения синуса в таблице: x= -π/6, т.к. sin(-π/6)= -1/2 и -π/2 ≤-π/6≤ π/2.
Ответ: arcsin(-1/2)=-π/6.

3. Вычислить: arcsin(0).
Решение: Пусть arcsin(0)= x, тогда sin(x)= 0. По определению: — π/2 ≤x≤ π/2. Посмотрим значения синуса в таблице: значит x= 0, т.к. sin(0)= 0 и — π/2 ≤ 0 ≤ π/2.
Ответ: arcsin(0)=0.

4. Решить уравнение: sin(x) = -√2/2.
x= arcsin(-√2/2) + 2πk и x= π — arcsin(-√2/2) + 2πk.
Посмотрим в таблице значение: arcsin (-√2/2)= -π/4.
Ответ: x= -π/4 + 2πk и x= 5π/4 + 2πk.

5. Решить уравнение: sin(x) = 0.
Решение: Воспользуемся определением, тогда решение запишется в виде:
x= arcsin(0) + 2πk и x= π — arcsin(0) + 2πk. Посмотрим в таблице значение: arcsin(0)= 0.
Ответ: x= 2πk и x= π + 2πk

6. Решить уравнение: sin(x) = 3/5.
Решение: Воспользуемся определением, тогда решение запишется в виде:
x= arcsin(3/5) + 2πk и x= π — arcsin(3/5) + 2πk.
Ответ: x= (-1) n — arcsin(3/5) + πk.

7. Решить неравенство sin(x)
Решение: Синус — это ордината точки числовой окружности. Значит: нам надо найти такие точки, ордината которых меньше 0.7. Нарисуем прямую y=0.7. Она пересекает числовую окружность в двух точках. Неравенству y
Тогда решением неравенства будет: -π – arcsin(0.7) + 2πk

Задачи на арксинус для самостоятельного решения

1) Вычислить: а) arcsin(√2/2), б) arcsin(1/2), в) arcsin(1), г) arcsin(-0.8).
2) Решить уравнение: а) sin(x) = 1/2, б) sin(x) = 1, в) sin(x) = √3/2, г) sin(x) = 0.25,
д) sin(x) = -1.2.
3) Решить неравенство: а) sin (x)> 0.6, б) sin (x)≤ 1/2.

Арктангенс (y = arctg
x
)
— это функция, обратная к тангенсу (x = tg
y

tg(arctg
x)
= x

arctg(tg
x)
= x

Арктангенс обозначается так:
.

График функции арктангенс

График функции y = arctg
x

График арктангенса получается из графика тангенса, если поменять местами оси абсцисс и ординат. Чтобы устранить многозначность, множество значений ограничивают интервалом ,
на котором функция монотонна. Такое определение называют главным значением арктангенса.

Арккотангенс, arcctg

Арккотангенс (y = arcctg
x
)
— это функция, обратная к котангенсу (x = ctg
y
). Он имеет область определения и множество значений .

ctg(arcctg
x)
= x

arcctg(ctg
x)
= x

Арккотангенс обозначается так:
.

График функции арккотангенс

График функции y = arcctg
x

График арккотангенса получается из графика котангенса, если поменять местами оси абсцисс и ординат. Чтобы устранить многозначность, область значений ограничивают интервалом ,
на котором функция монотонна. Такое определение называют главным значением арккотангенса.

Четность

Функция арктангенс является нечетной:
arctg(-
x)
=
arctg(-tg arctg
x)
=
arctg(tg(-arctg
x))
=
— arctg
x

Функция арккотангенс не является четной или нечетной:
arcctg(-
x)
=
arcctg(-ctg arcctg
x)
=
arcctg(ctg(π-arcctg
x))
=
π — arcctg
x ≠ ± arcctg
x
.

Свойства — экстремумы, возрастание, убывание

Функции арктангенс и арккотангенс непрерывны на своей области определения, то есть для всех x
.
(см. доказательство непрерывности). Основные свойства арктангенса и арккотангенса представлены в таблице.

Таблица арктангенсов и арккотангенсов

В данной таблице представлены значения арктангенсов и арккотангенсов, в градусах и радианах, при некоторых значениях аргумента.

≈ 0,5773502691896258
≈ 1,7320508075688772

Формулы

Формулы суммы и разности

при

при

при

при

при

при

Выражения через логарифм, комплексные числа

,

.

Выражения через гиперболические функции

Производные

См. Вывод производных арктангенса и арккотангенса > > >

Производные высших порядков
:
Пусть .
Тогда производную n-го порядка арктангенса можно представить одним из следующих способов:
;

.

Символ означает мнимую часть стоящего следом выражения.

См. Вывод производных высших порядков арктангенса и арккотангенса > > >
Там же даны формулы производных первых пяти порядков.

Аналогично для арккотангенса. Пусть .
Тогда
;

.

Интегралы

Делаем подстановку x = tg
t
и интегрируем по частям:
;

;

;

Выразим арккотангенс через арктангенс:
.

Разложение в степенной ряд

При |x| ≤ 1

имеет место следующее разложение:
;

.

Обратные функции

Обратными к арктангенсу и арккотангенсу являются тангенс и котангенс , соответственно.

Следующие формулы справедливы на всей области определения:
tg(arctg
x)
= x

ctg(arcctg
x)
= x
.

Следующие формулы справедливы только на множестве значений арктангенса и арккотангенса:
arctg(tg
x)
= x
при
arcctg(ctg
x)
= x
при .

Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.

Ранее по программе учащиеся получили представление о решении тригонометрических уравнений, ознакомились с понятиями арккосинуса и арксинуса, примерами решений уравнений cos t = a и sin t = a. В этом видеоуроке рассмотрим решение уравнений tg x = a и ctg x = a.

В начале изучения данной темы рассмотрим уравнения tg x = 3 и tg x = — 3. Если уравнение tg x = 3 будем решать с помощью графика, то увидим, что пересечение графиков функций y = tg x и y = 3 имеет бесконечное множество решений, где x = x 1 + πk. Значение x 1 — это координата x точки пересечения графиков функций y = tg x и y = 3. Автор вводит понятие арктангенса: arctg 3 это число, tg которого равен 3, и это число принадлежит интервалу от -π/2 до π/2. Используя понятие арктангенса, решение уравнения tg x = 3 можно записать в виде x = arctg 3 + πk.

По аналогии решается уравнение tg x = — 3. По построенным графикам функций y = tg x и y = — 3 видно, что точки пересечения графиков, а следовательно, и решениями уравнений, будет x = x 2 + πk. С помощью арктангенса решение можно записать как x = arctg (- 3) + πk. На следующем рисунке увидим, что arctg (- 3) = — arctg 3.

Общее определение арктангенса выглядит следующим образом: арктангенсом а называется такое число из промежутка от -π/2 до π/2, тангенс которого равен а. Тогда решением уравнения tg x = a является x = arctg a + πk.

Автор приводит пример 1. Найти решение выражения arctg.Введем обозначения: арктангенс числа равен x, тогда tg x будет равен данному числу, где x принадлежит отрезку от -π/2 до π/2. Как в примерах в предыдущих темах, воспользуемся таблицей значений. По этой таблице тангенсу данного числа соответствует значение x = π/3. Запишем решение уравнения арктангенс заданного числа равен π/3, π/3 принадлежит и интервалу от -π/2 до π/2.

Пример 2 — вычислить арктангенс отрицательного числа. Используя равенство arctg (- a) = — arctg a, введем значение x. Аналогично примеру 2 запишем значение x, которое принадлежит отрезку от -π/2 до π/2. По таблице значений найдем, что x = π/3, следовательно, — tg x = — π/3. Ответом уравнения будет — π/3.

Рассмотрим пример 3. Решим уравнение tg x = 1. Запишем, что x = arctg 1 + πk. В таблице значению tg 1 соответствует значение x = π/4, следовательно, arctg 1 = π/4. Подставим это значение в исходную формулу x и запишем ответ x = π/4 + πk.

Пример 4: вычислить tg x = — 4,1. В данном случае x = arctg (- 4,1) + πk. Т.к. найти значение arctg в данном случае нет возможности, ответ будет выглядеть как x = arctg (- 4,1) + πk.

В примере 5 рассматривается решение неравенства tg x > 1. Для решения построим графики функций y = tg x и y = 1. Как видно на рисунке, эти графики пересекаются в точках x = π/4 + πk. Т.к. в данном случае tg x > 1, на графике выделим область тангенсоиды, которая находится выше графика y = 1, где x принадлежит интервалу от π/4 до π/2. Ответ запишем как π/4 + πk

Далее рассмотрим уравнение ctg x = a. На рисунке изображены графики функций у = ctg x, y = a, y = — a, которые имеют множество точек пересечения. Решения можно записать как x = x 1 + πk, где x 1 = arcctg a и x = x 2 + πk, где x 2 = arcctg (- a). Отмечено, что x 2 = π — x 1 . Из этого следует равенство arcctg (- a) = π — arcctg a. Далее дается определение арккотангенса: арккотангенсом а называется такое число из промежутка от 0 до π, котангенс которого равен а. Решение уравнения сtg x = a записывается в виде: x = arcctg a + πk.

В конце видеоурока делается еще один важный вывод — выражение ctg x = a можно записать в виде tg x = 1/a, при условии, что a не равно нулю.

ТЕКСТОВАЯ РАСШИФРОВКА:

Рассмотрим решение уравнений tg х = 3 и tg х= — 3. Решая первое уравнение графически, мы видим, что графики функций у = tg х и у = 3 имеют бесконечно много точек пересечения, абсциссы которых запишем в виде

х = х 1 + πk, где х 1 — это абсцисса точки пересечения прямой у = 3 с главной ветвью тангенсоиды (рис.1), для которой было придумано обозначение

arctg 3 (арктангенс трех).

Как же понимать arctg 3?

Это число, тангенс которого равен 3 и это число принадлежит интервалу (- ;). Тогда все корни уравнения tg х = 3 можно записать формулой х = arctg 3+πk.

Аналогично решение уравнения tg х = — 3 можно записать в виде х = х 2 + πk, где х 2 — это абсцисса точки пересечения прямой у = — 3 с главной ветвью тангенсоиды (рис.1), для которой было придумано обозначение arctg(-3) (арктангенс минус трех). Тогда все корни уравнения можно записать формулой: х = arctg(-3)+ πk. По рисунку видно, что arctg(- 3)= — arctg 3.

Сформулируем определение арктангенса. Арктангенсом а называется такое число из промежутка (-;), тангенс которого равен а.

Часто используют равенство: arctg(-а) = -arctg а, которое справедливо для любого а.

Зная определение арктангенса, сделаем общий вывод о решении уравнения

tg х= a: уравнение tg х = a имеет решение х = arctg а + πk.

Рассмотрим примеры.

ПРИМЕР 1.Вычислить arctg.

Решение. Пусть arctg = х, тогда tgх = и хϵ (- ;). Показать таблицу значений Следовательно, х =, так как tg = и ϵ (- ;).

Итак, arctg =.

ПРИМЕР 2. Вычислить arctg (-).

Решение. Используя равенство arctg(- а) = — arctg а, запишем:

arctg(-) = — arctg . Пусть — arctg = х, тогда — tgх = и хϵ (- ;). Следовательно, х =, так как tg = и ϵ (- ;). Показать таблицу значений

Значит — arctg=- tgх= — .

ПРИМЕР 3. Решить уравнение tgх = 1.

1. Запишем формулу решений: х = arctg 1 + πk.

2. Найдем значение арктангенса

так как tg = . Показать таблицу значений

Значит arctg1= .

3. Поставим найденное значение в формулу решений:

ПРИМЕР 4. Решить уравнение tgх = — 4,1(тангенс икс равно минус четыре целые одна десятая).

Решение. Запишем формулу решений: х = arctg (- 4,1) + πk.

Вычислить значение арктангенса мы не можем, поэтому решение уравнения оставим в полученном виде.

ПРИМЕР 5. Решить неравенство tgх 1.

Решение. Будем решать графически.

1. Построим тангенсоиду

у= tgх и прямую у = 1(рис.2). Они пересекаются в точках вида х = + πk.

2. Выделим промежуток оси икс, на котором главная ветвь тангенсоиды расположена выше прямой у = 1, так как по условию tgх 1. Это интервал (;).

3. Используем периодичность функции.

Своийство 2. у=tg х — периодическая функция с основным периодом π.

Учитывая периодичность функции у= tgх, запишем ответ:

(;). Ответ можно записать в виде двойного неравенства:

Перейдем к уравнению ctg х = a. Представим графическую иллюстрацию решения уравнения для положительного и отрицательного а (рис.3).

Графики функций у= ctg х и у =а а также

у= ctg х и у=-а

имеют бесконечно много общих точек, абсциссы которых имеют вид:

х = х 1 + , где х 1 — это абсцисса точки пересечения прямой у =а с главной ветвью тангенсоиды и

х 1 = arcсtg а;

х = х 2 + , где х 2 — это абсцисса точки пересечения прямой

у = — а с главной ветвью тангенсоиды и х 2 = arcсtg (- а).

Заметим, что х 2 = π — х 1 . Значит, запишем важное равенство:

arcсtg (-а) = π — arcсtg а.

Сформулируем определение: арккотангенсом а называется такое число из интервала (0;π), котангенс которого равен а.

Решение уравнения ctg х = a записываются в виде: х = arcсtg а + .

Обратим внимание, что уравнение ctg х = a можно преобразовать к виду

tg х = , за исключение, когда а = 0.

Арксинус (y = arcsin
x
)
— это функция, обратная к синусу (x = sin
y
-1 ≤
x ≤ 1

и множество значений -π/2 ≤
y ≤ π/2

.

sin(arcsin
x)
= x

arcsin(sin
x)
= x

Арксинус иногда обозначают так:
.

График функции арксинус

График функции y = arcsin
x

График арксинуса получается из графика синуса, если поменять местами оси абсцисс и ординат. Чтобы устранить многозначность, область значений ограничивают интервалом ,
на котором функция монотонна. Такое определение называют главным значением арксинуса.

Арккосинус, arccos

Арккосинус (y = arccos
x
)
— это функция, обратная к косинусу (x = cos
y
). Он имеет область определения -1 ≤
x ≤ 1

и множество значений 0 ≤
y ≤ π
.

cos(arccos
x)
= x

arccos(cos
x)
= x

Арккосинус иногда обозначают так:
.

График функции арккосинус

График функции y = arccos
x

График арккосинуса получается из графика косинуса, если поменять местами оси абсцисс и ординат. Чтобы устранить многозначность, область значений ограничивают интервалом ,
на котором функция монотонна. Такое определение называют главным значением арккосинуса.

Четность

Функция арксинус является нечетной:
arcsin(-
x)
=
arcsin(-sin arcsin
x)
=
arcsin(sin(-arcsin
x))
=
— arcsin
x

Функция арккосинус не является четной или нечетной:
arccos(-
x)
=
arccos(-cos arccos
x)
=
arccos(cos(π-arccos
x))
=
π — arccos
x ≠ ± arccos
x

Свойства — экстремумы, возрастание, убывание

Функции арксинус и арккосинус непрерывны на своей области определения (см. доказательство непрерывности). Основные свойства арксинуса и арккосинуса представлены в таблице.

Таблица арксинусов и арккосинусов

В данной таблице представлены значения арксинусов и арккосинусов, в градусах и радианах, при некоторых значениях аргумента.

≈ 0,7071067811865476
≈ 0,8660254037844386

Формулы

Формулы суммы и разности

при или

при и

при и

при или

при и

при и

при

при

при

при

Выражения через логарифм, комплексные числа

Выражения через гиперболические функции

Производные

;

.

См. Вывод производных арксинуса и арккосинуса > > >

Производные высших порядков
:
,

где — многочлен степени .
Он определяется по формулам:
;

;

.

См. Вывод производных высших порядков арксинуса и арккосинуса > > >

Интегралы

Делаем подстановку x = sin
t
.
Интегрируем по частям, учитывая что -π/2
≤ t ≤ π/2

,
cos
t ≥ 0

:

.

Выразим арккосинус через арксинус:
.

Разложение в ряд

При |x| 1

имеет место следующее разложение:
;

.

Обратные функции

Обратными к арксинусу и арккосинусу являются синус и косинус , соответственно.

Следующие формулы справедливы на всей области определения:
sin(arcsin
x)
= x

cos(arccos
x)
= x
.

Следующие формулы справедливы только на множестве значений арксинуса и арккосинуса:
arcsin(sin
x)
= x
при
arccos(cos
x)
= x
при .

Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.

Значение arctg 1 3. Что такое арксинус, арккосинус? Что такое арктангенс, арккотангенс? можно познакомиться с функциями и производными

Функции sin, cos, tg и ctg всегда сопровождаются арксинусом, арккосинусом, арктангенсом и арккотангенсом. Одно является следствием другого, а пары функций одинаково важны для работы с тригонометрическими выражениями.

Рассмотрим рисунок единичной окружности, на котором графически отображено значений тригонометрических функций.

Если вычислить arcs OA, arcos OC, arctg DE и arcctg MK, то все они будут равны значению угла α. Формулы, приведенные ниже, отражают взаимосвязь основных тригонометрических функций и соответствующих им арков.

Чтобы больше понять о свойствах арксинуса, необходимо рассмотреть его функцию. График имеет вид асимметричной кривой, проходящей через центр координат.

Свойства арксинуса:

Если сопоставить графики sin
и arcsin
, у двух тригонометрических функций можно найти общие закономерности.

Арккосинус

Arccos числа а — это значение угла α, косинус которого равен а.

Кривая y = arcos x
зеркально отображает график arcsin x, с той лишь разницей, что проходит через точку π/2 на оси OY.

Рассмотрим функцию арккосинуса более подробно:

1. Функция определена на отрезке [-1; 1].
2. ОДЗ для arccos — .
3. График целиком расположен в I и II четвертях, а сама функция не является ни четной, ни нечетной.
4. Y = 0 при x = 1.
5. Кривая убывает на всей своей протяженности. Некоторые свойства арккосинуса совпадают с функцией косинуса.

Некоторые свойства арккосинуса совпадают с функцией косинуса.

Возможно, школьникам покажется излишним такое «подробное» изучение «арков». Однако, в противном случае, некоторые элементарные типовые задания ЕГЭ могут ввести учащихся в тупик.

Задание 1.
Укажите функции изображенные на рисунке.

Ответ:
рис. 1 – 4, рис.2 — 1.

В данном примере упор сделан на мелочах. Обычно ученики очень невнимательно относятся к построению графиков и внешнему виду функций. Действительно, зачем запоминать вид кривой, если ее всегда можно построить по расчетным точкам. Не стоит забывать, что в условиях теста время, затраченное на рисунок для простого задания, потребуется для решения более сложных заданий.

Арктангенс

Arctg
числа a – это такое значение угла α, что его тангенс равен а.

Если рассмотреть график арктангенса, можно выделить следующие свойства:

1. График бесконечен и определен на промежутке (- ∞; + ∞).
2. Арктангенс нечетная функция, следовательно, arctg (- x) = — arctg x.
3. Y = 0 при x = 0.
4. Кривая возрастает на всей области определения.

Приведем краткий сравнительный анализ tg x и arctg x в виде таблицы.

Арккотангенс

Arcctg числа a — принимает такое значение α из интервала (0; π), что его котангенс равен а.

Свойства функции арккотангенса:

1. Интервал определения функции – бесконечность.
2. Область допустимых значений – промежуток (0; π).
3. F(x) не является ни четной, ни нечетной.
4. На всем своем протяжении график функции убывает.

Сопоставить ctg x и arctg x очень просто, нужно лишь сделать два рисунка и описать поведение кривых.

Задание 2.
Соотнести график и форму записи функции.

Если рассуждать логически, из графиков видно, что обе функции возрастающие. Следовательно, оба рисунка отображают некую функцию arctg. Из свойств арктангенса известно, что y=0 при x = 0,

Ответ:
рис. 1 – 1, рис. 2 – 4.

Тригонометрические тождества arcsin, arcos, arctg и arcctg

Ранее нами уже была выявлена взаимосвязь между арками и основными функциями тригонометрии. Данная зависимость может быть выражена рядом формул, позволяющих выразить, например, синус аргумента, через его арксинус, арккосинус или наоборот. Знание подобных тождеств бывает полезным при решении конкретных примеров.

Также существуют соотношения для arctg и arcctg:

Еще одна полезная пара формул, устанавливает значение для суммы значений arcsin и arcos, а также arcctg и arcctg одного и того же угла.

Примеры решения задач

Задания по тригонометрии можно условно разделить на четыре группы: вычислить числовое значение конкретного выражения, построить график данной функции, найти ее область определения или ОДЗ и выполнить аналитические преображения для решения примера.

При решении первого типа задач необходимо придерживаться следующего плана действий:

При работе с графиками функций главное – это знание их свойств и внешнего вида кривой. Для решения тригонометрических уравнений и неравенств необходимы таблицы тождеств. Чем больше формул помнит школьник, тем проще найти ответ задания.

Допустим в ЕГЭ необходимо найти ответ для уравнения типа:

Если правильно преобразовать выражение и привести к нужному виду, то решить его очень просто и быстро. Для начала, перенесем arcsin x в правую часть равенства.

Если вспомнить формулу arcsin (sin α) = α
, то можно свести поиск ответов к решению системы из двух уравнений:

Ограничение на модель x возникло, опять таки из свойств arcsin: ОДЗ для x [-1; 1]. При а ≠0, часть сиcтемы представляет собой квадратное уравнение с корнями x1 = 1 и x2 = — 1/a. При a = 0, x будет равен 1.

Арктангенс (y = arctg
x
)
— это функция, обратная к тангенсу (x = tg
y

tg(arctg
x)
= x

arctg(tg
x)
= x

Арктангенс обозначается так:
.

График функции арктангенс

График функции y = arctg
x

График арктангенса получается из графика тангенса, если поменять местами оси абсцисс и ординат. Чтобы устранить многозначность, множество значений ограничивают интервалом ,
на котором функция монотонна. Такое определение называют главным значением арктангенса.

Арккотангенс, arcctg

Арккотангенс (y = arcctg
x
)
— это функция, обратная к котангенсу (x = ctg
y
). Он имеет область определения и множество значений .

ctg(arcctg
x)
= x

arcctg(ctg
x)
= x

Арккотангенс обозначается так:
.

График функции арккотангенс

График функции y = arcctg
x

График арккотангенса получается из графика котангенса, если поменять местами оси абсцисс и ординат. Чтобы устранить многозначность, область значений ограничивают интервалом ,
на котором функция монотонна. Такое определение называют главным значением арккотангенса.

Четность

Функция арктангенс является нечетной:
arctg(-
x)
=
arctg(-tg arctg
x)
=
arctg(tg(-arctg
x))
=
— arctg
x

Функция арккотангенс не является четной или нечетной:
arcctg(-
x)
=
arcctg(-ctg arcctg
x)
=
arcctg(ctg(π-arcctg
x))
=
π — arcctg
x ≠ ± arcctg
x
.

Свойства — экстремумы, возрастание, убывание

Функции арктангенс и арккотангенс непрерывны на своей области определения, то есть для всех x
.
(см. доказательство непрерывности). Основные свойства арктангенса и арккотангенса представлены в таблице.

Таблица арктангенсов и арккотангенсов

В данной таблице представлены значения арктангенсов и арккотангенсов, в градусах и радианах, при некоторых значениях аргумента.

≈ 0,5773502691896258
≈ 1,7320508075688772

Формулы

Формулы суммы и разности

при

при

при

при

при

при

Выражения через логарифм, комплексные числа

,

.

Выражения через гиперболические функции

Производные

См. Вывод производных арктангенса и арккотангенса > > >

Производные высших порядков
:
Пусть .
Тогда производную n-го порядка арктангенса можно представить одним из следующих способов:
;

.

Символ означает мнимую часть стоящего следом выражения.

См. Вывод производных высших порядков арктангенса и арккотангенса > > >
Там же даны формулы производных первых пяти порядков.

Аналогично для арккотангенса. Пусть .
Тогда
;

.

Интегралы

Делаем подстановку x = tg
t
и интегрируем по частям:
;

;

;

Выразим арккотангенс через арктангенс:
.

Разложение в степенной ряд

При |x| ≤ 1

имеет место следующее разложение:
;

.

Обратные функции

Обратными к арктангенсу и арккотангенсу являются тангенс и котангенс , соответственно.

Следующие формулы справедливы на всей области определения:
tg(arctg
x)
= x

ctg(arcctg
x)
= x
.

Следующие формулы справедливы только на множестве значений арктангенса и арккотангенса:
arctg(tg
x)
= x
при
arcctg(ctg
x)
= x
при .

Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.

Что такое арксинус, арккосинус? Что такое арктангенс, арккотангенс?

Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно «не очень…»
И для тех, кто «очень даже…»)

К понятиям арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс

учащийся народ относится с опаской. Не понимает он эти термины и, стало быть, не доверяет этой славной семейке.) А зря. Это очень простые понятия. Которые, между прочим, колоссально облегчают жизнь знающему человеку при решении тригонометрических уравнений!

Сомневаетесь насчёт простоты? Напрасно.) Прямо здесь и сейчас вы в этом убедитесь.

Разумеется, для понимания, неплохо бы знать, что такое синус, косинус, тангенс и котангенс. Да их табличные значения для некоторых углов… Хотя бы в самых общих чертах. Тогда и здесь проблем не будет.

Итак, удивляемся, но запоминаем: арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс — это просто какие-то углы.
Ни больше ни меньше. Бывает угол, скажем 30°. А бывает угол arcsin0,4.

Или arctg(-1,3).

Всякие углы бывают.) Просто записать углы можно разными способами. Можно записать угол через градусы или радианы. А можно — через его синус, косинус, тангенс и котангенс…

Что означает выражение

arcsin 0,4 ?

Это угол, синус которого равен 0,4
! Да-да. Это смысл арксинуса. Специально повторю: arcsin 0,4 — это угол, синус которого равен 0,4.

И всё.

Чтобы эта простая мысль сохранилась в голове надолго, я даже приведу разбивочку этого ужасного термина — арксинус:

arc
sin
0,4

угол,
синус которого
равен 0,4

Как пишется, так и слышится.) Почти. Приставка arc
означает дуга
(слово арка
знаете?), т.к. древние люди вместо углов использовали дуги, но это сути дела не меняет. Запомните эту элементарную расшифровку математического термина! Тем более, для арккосинуса, арктангенса и арккотангенса расшифровка отличается только названием функции.

Что такое arccos 0,8 ?
Это угол, косинус которого равен 0,8.

Что такое arctg(-1,3) ?
Это угол, тангенс которого равен -1,3.

Что такое arcctg 12 ?
Это угол, котангенс которого равен 12.

Такая элементарная расшифровка позволяет, кстати, избежать эпических ляпов.) Например, выражение arccos1,8 выглядит вполне солидно. Начинаем расшифровку: arccos1,8 — это угол, косинус которого равен 1,8… Скока-скока!? 1,8!? Косинус не бывает больше единицы!!!

Верно. Выражение arccos1,8 не имеет смысла. И запись такого выражения в какой-нибудь ответ изрядно повеселит проверяющего.)

Элементарно, как видите.) У каждого угла имеется свой персональный синус и косинус. И почти у каждого — свой тангенс и котангенс. Стало быть, зная тригонометрическую функцию, можно записать и сам угол. Для этого и предназначены арксинусы, арккосинусы, арктангенсы и арккотангенсы. Далее я всю эту семейку буду называть уменьшительно — арки.
Чтобы печатать меньше.)

Внимание! Элементарная словесная и осознанная
расшифровка арков позволяет спокойно и уверенно решать самые различные задания. А в непривычных
заданиях только она и спасает.

А можно переходить от арков к обычным градусам или радианам?
— слышу осторожный вопрос.)

Почему — нет!? Легко. И туда можно, и обратно. Более того, это иногда нужно обязательно делать. Арки — штука простая, но без них как-то спокойнее, правда?)

Например: что такое arcsin 0,5?

Вспоминаем расшифровку:
arcsin 0,5 — это угол, синус которого равен 0,5.
Теперь включаем голову (или гугл)) и вспоминаем, у какого угла синус равен 0,5? Синус равен 0,5 у угла в 30 градусов
. Вот и все дела: arcsin 0,5 — это угол 30°.
Можно смело записать:

arcsin 0,5 = 30°

Или, более солидно, через радианы:

Всё, можно забыть про арксинус и работать дальше с привычными градусами или радианами.

Если вы осознали, что такое арксинус, арккосинус… Что такое арктангенс, арккотангенс…
То легко разберётесь, например, с таким монстром.)

Несведущий человек отшатнётся в ужасе, да…) А сведущий вспомнит расшифровку:
арксинус — это угол, синус которого… Ну и так далее. Если сведущий человек знает ещё и таблицу синусов… Таблицу косинусов. Таблицу тангенсов и котангенсов, то проблем вообще нет!

Достаточно сообразить, что:

Расшифрую, т.е. переведу формулу в слова: угол, тангенс которого равен 1 (arctg1)
— это угол 45°. Или, что едино, Пи/4. Аналогично:

и всё… Заменяем все арки на значения в радианах, всё посокращается, останется посчитать, сколько будет 1+1. Это будет 2.) Что и является правильным ответом.

Вот таким образом можно (и нужно) переходить от арксинусов, арккосинусов, арктангенсов и арккотангенсов к обычным градусам и радианам. Это здорово упрощает страшные примеры!

Частенько, в подобных примерах, внутри арков стоят отрицательные
значения. Типа, arctg(-1,3), или, к примеру, arccos(-0,8)… Это не проблема. Вот вам простые формулы перехода от отрицательных значений к положительным:

Нужно вам, скажем, определить значение выражения:

Это можно и по тригонометрическому кругу решить, но вам не хочется его рисовать. Ну и ладно. Переходим от отрицательного
значения внутри арккосинуса к положительному
по второй формуле:

Внутри арккосинуса справа уже положительное
значение. То, что

вы просто обязаны знать. Остаётся подставить радианы вместо арккосинуса и посчитать ответ:

Вот и всё.

Ограничения на арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс.

С примерами 7 — 9 проблема? Ну да, есть там некоторая хитрость.)

Все эти примеры, с 1-го по 9-й, тщательно разобраны по полочкам в Разделе 555. Что, как и почему. Со всеми тайными ловушками и подвохами. Плюс способы резкого упрощения решения. Кстати, в этом разделе много полезной информации и практических советов по тригонометрии в целом. И не только по тригонометрии. Очень помогает.

Если Вам нравится этот сайт…

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся — с интересом!)

можно познакомиться с функциями и производными.

Арксинус (y = arcsin
x
)
— это функция, обратная к синусу (x = sin
y
-1 ≤
x ≤ 1

и множество значений -π/2 ≤
y ≤ π/2

.

sin(arcsin
x)
= x

arcsin(sin
x)
= x

Арксинус иногда обозначают так:
.

График функции арксинус

График функции y = arcsin
x

График арксинуса получается из графика синуса, если поменять местами оси абсцисс и ординат. Чтобы устранить многозначность, область значений ограничивают интервалом ,
на котором функция монотонна. Такое определение называют главным значением арксинуса.

Арккосинус, arccos

Арккосинус (y = arccos
x
)
— это функция, обратная к косинусу (x = cos
y
). Он имеет область определения -1 ≤
x ≤ 1

и множество значений 0 ≤
y ≤ π
.

cos(arccos
x)
= x

arccos(cos
x)
= x

Арккосинус иногда обозначают так:
.

График функции арккосинус

График функции y = arccos
x

График арккосинуса получается из графика косинуса, если поменять местами оси абсцисс и ординат. Чтобы устранить многозначность, область значений ограничивают интервалом ,
на котором функция монотонна. Такое определение называют главным значением арккосинуса.

Четность

Функция арксинус является нечетной:
arcsin(-
x)
=
arcsin(-sin arcsin
x)
=
arcsin(sin(-arcsin
x))
=
— arcsin
x

Функция арккосинус не является четной или нечетной:
arccos(-
x)
=
arccos(-cos arccos
x)
=
arccos(cos(π-arccos
x))
=
π — arccos
x ≠ ± arccos
x

Свойства — экстремумы, возрастание, убывание

Функции арксинус и арккосинус непрерывны на своей области определения (см. доказательство непрерывности). Основные свойства арксинуса и арккосинуса представлены в таблице.

Таблица арксинусов и арккосинусов

В данной таблице представлены значения арксинусов и арккосинусов, в градусах и радианах, при некоторых значениях аргумента.

≈ 0,7071067811865476
≈ 0,8660254037844386

Формулы

Формулы суммы и разности

при или

при и

при и

при или

при и

при и

при

при

при

при

Выражения через логарифм, комплексные числа

Выражения через гиперболические функции

Производные

;

.

См. Вывод производных арксинуса и арккосинуса > > >

Производные высших порядков
:
,

где — многочлен степени .
Он определяется по формулам:
;

;

.

См. Вывод производных высших порядков арксинуса и арккосинуса > > >

Интегралы

Делаем подстановку x = sin
t
.
Интегрируем по частям, учитывая что -π/2
≤ t ≤ π/2

,
cos
t ≥ 0

:

.

Выразим арккосинус через арксинус:
.

Разложение в ряд

При |x| 1

имеет место следующее разложение:
;

.

Обратные функции

Обратными к арксинусу и арккосинусу являются синус и косинус , соответственно.

Следующие формулы справедливы на всей области определения:
sin(arcsin
x)
= x

cos(arccos
x)
= x
.

Следующие формулы справедливы только на множестве значений арксинуса и арккосинуса:
arcsin(sin
x)
= x
при
arccos(cos
x)
= x
при .

Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.

Эта статья про нахождение значений арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса
данного числа. Сначала мы внесем ясность, что называется значением арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса. Дальше получим основные значения этих аркфункций, после чего разберемся, как находятся значения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса по таблицам синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов Брадиса. Наконец, поговорим про нахождение арксинуса числа, когда известен арккосинус, арктангенс или арккотангенс этого числа, и т.п.

Навигация по странице.

Значения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса

Сначала стоит разобраться, что вообще такое «значение арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса
».

Таблицы синусов и косинусов, а также тангенсов и котангенсов Брадиса позволяют найти значение арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса положительного числа в градусах с точностью до одной минуты. Здесь стоит оговориться, что нахождение значений арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса отрицательных чисел можно свести к нахождению значений соответствующих аркфункций положительных чисел, обратившись к формулам arcsin, arccos, arctg и arcctg противоположных чисел вида arcsin(−a)=−arcsin a
, arccos(−a)=π−arccos a
, arctg(−a)=−arctg a
и arcctg(−a)=π−arcctg a
.

Разберемся с нахождением значений арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса по таблицам Брадиса. Будем это делать на примерах.

Пусть нам требуется найти значение арксинуса 0,2857
. Находим это значение в таблице синусов (случаи, когда это значение отсутствует в таблице, разберем ниже). Ему соответствует синус 16
градусов 36
минут. Следовательно, искомым значением арксинуса числа 0,2857
является угол 16
градусов 36
минут.

Часто приходится учитывать и поправки из трех справа столбцов таблицы. К примеру, если нам нужно найти арксинус 0,2863
. По таблице синусов это значение получается как 0,2857
плюс поправка 0,0006
, то есть, значению 0,2863
соответствует синус 16
градусов 38
минут (16
градусов 36
минут плюс 2
минуты поправки).

Если же число, арксинус которого нас интересует, отсутствует в таблице и даже не может быть получено с учетом поправок, то в таблице нужно отыскать два наиболее близких к нему значения синусов, между которыми данное число заключено. Например, мы ищем значение арксинуса числа 0,2861573
. Этого числа нет в таблице, с помощью поправок это число тоже не получить. Тогда находим два наиболее близких значения 0,2860
и 0,2863
, между которыми исходное число заключено, этим числам соответствуют синусы 16
градусов 37
минут и 16
градусов 38
минут. Искомое значение арксинуса 0,2861573
заключено между ними, то есть, любое из этих значений угла можно принять в качестве приближенного значения арксинуса с точностью до 1
минуты.

Абсолютно аналогично находятся и значения арккосинуса, и значения арктангенса и значения арккотангенса (при этом, конечно, используются таблицы косинусов, тангенсов и котангенсов соответственно).

Нахождение значения arcsin через arccos, arctg, arcctg и т.п.

Например, пусть нам известно, что arcsin a=−π/12
, а нужно найти значение arccos a
. Вычисляем нужное нам значение арккосинуса: arccos a=π/2−arcsin a=π/2−(−π/12)=7π/12
.

Куда интереснее обстоит дело, когда по известному значению арксинуса или арккосинуса числа a
требуется найти значение арктангенса или арккотангенса этого числа a
или наоборот. Формул, задающих такие связи, мы, к сожалению, не знаем. Как же быть? Разберемся с этим на примере.

Пусть нам известно, что арккосинус числа a
равен π/10
, и нужно вычислить значение арктангенса этого числа a
. Решить поставленную задачу можно так: по известному значению арккосинуса найти число a
, после чего найти арктангенс этого числа. Для этого нам сначала потребуется таблица косинусов, а затем – таблица тангенсов.

Угол π/10
радиан – это угол 18
градусов, по таблице косинусов находим, что косинус 18
градусов приближенно равен 0,9511
, тогда число a
в нашем примере есть 0,9511
.

Осталось обратиться к таблице тангенсов, и с ее помощью найти нужное нам значение арктангенса 0,9511
, оно приближенно равно 43
градусам 34
минутам.

Эту тему логически продолжает материал статьи вычисление значений выражений, содержащих arcsin, arccos, arctg и arcctg
.

Список литературы.

• Алгебра:
  Учеб. для 9 кл. сред. шк./Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Под ред. С. А. Теляковского.- М.: Просвещение, 1990.- 272 с.: ил.- ISBN 5-09-002727-7
• Башмаков М. И.
  Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. сред. шк. — 3-е изд. — М.: Просвещение, 1993. — 351 с.: ил. — ISBN 5-09-004617-4.
• Алгебра
  и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын и др.; Под ред. А. Н. Колмогорова.- 14-е изд.- М.: Просвещение, 2004.- 384 с.: ил.- ISBN 5-09-013651-3.
• И. В. Бойков, Л. Д. Романова. Сборникк задач для подготовки к ЕГЭ, часть 1, Пенза 2003.
• Брадис В. М.
  Четырехзначные математические таблицы: Для общеобразоват. учеб. заведений. — 2-е изд. — М.: Дрофа, 1999.- 96 с.: ил. ISBN 5-7107-2667-2

Архив — 09 ноября 2016

46 Часто задаваемые вопросы о налоге на услуги при трансграничных онлайн-услугах B2C OIDAR

Циркуляр № 202/12/2016-Налог на услуги —

11.09.2016

С 1 декабря 2016 года налог на услуги будет взиматься с онлайн-информации и услуг доступа к базе данных или поиска [OIDAR], предоставляемых любым лицом, находящимся на необлагаемой налогом территории …

Читать далее

Рег.Лимит приема наличных денег от иностранного туриста

RBI / 2016-17 / 113 A.P. (серия DIR) Циркуляр № 16 —

11.09.2016

В международных аэропортах для прибывающих и отбывающих пассажиров, имеющих определенные банкноты, стоимость которых не превышает пяти тысяч рупий, для обмена на банкноты, являющиеся законным платежным средством; …

Читать далее

Банки будут открыты 12 и 13 ноября

RBI / 2016-17 / 114 DBR.№Leg.BC.31 / 09.07.005 / 2016-17 —

11.09.2016

Банки должны оставаться открытыми для публичных операций в субботу, 12 ноября, и воскресенье, 13 ноября 2016 г., как обычные рабочие дни для проведения всех операций …

Читать далее

Скидка по государственным сборам за экспорт одежды — ставки пересмотрены, рег.

Циркуляр № 51/2016-Таможня —

11.09.2016

Внедрение схемы скидки государственных сборов за экспорт одежды, 2016 г. (Схема ROSL), уведомленная Министерством текстильной промышленности….

Читать далее

CBDT уведомляет об изменении протокола DTAC между Индией и Японией

Протокол

обеспечивает международно признанные стандарты для эффективного обмена информацией по налоговым вопросам, включая банковскую информацию и информацию без внутренних налоговых процентов. …

Читать далее

Понимание схемы банкнот OHD (1000 рупий и 500 рупий)

9.10.10 Нарендра Моди 8 ноября. 2016 (вторник) объявил о списании банкнот по 500 и 1000 рупий.Неожиданный ход вызвал паническую реакцию. Новости в социальных сетях являются вирусными. Мне, как налоговому консультанту, звонят по этому поводу. …

Читать далее

Самая дорогая валюта обесценилась за один ход

Правительство Индии сыграло козырную карту, поразив так много целей всего одним выстрелом, демонетизируя две самые ценные денежные знаки в Индии, а именно рупий. 500 и рупий. 1000 ….

Читать далее

Регистрация на портале GSTN и часто задаваемые вопросы по регистрации / миграции существующих налогоплательщиков

Зачисление действующего налогоплательщика на портале GSTN www.gst.gov.in и часто задаваемые вопросы по регистрации и миграции существующих налогоплательщиков …

Читать далее

Лучшие ставки с фиксированным депозитом и советы по экономии налогов!

Хотите вложить свои кровно заработанные деньги на фиксированный депозит? Читайте дальше, чтобы узнать все о лучших советах по процентной ставке FD и экономии налогов ….

Читать далее

Все о EMI, факторах, влияющих на ссуду EMI и их расчетах

В настоящее время ссуды доступны для всего, что нам нужно и помогает нам удовлетворить наши разнообразные потребности.Будь то жилищный кредит, автокредит, кредит на образование или даже свадебный кредит! Но первое, о чем мы думаем перед подачей заявки на кредит, — это его доступность ….

Читать далее

Архив — 20 июля 2020

CBDT разъясняет Действительность исключений по разделу 194N

Циркуляр № 14/2020-Налог на прибыль —

20.07.2020

CBDT поясняет, что три уведомления об освобождении по разделу 194N считаются выданными в соответствии с четвертой оговоркой к разделу 194N с поправками, внесенными Федеральным законом, 2020….

Читать далее

CBDT подписывает меморандум о взаимопонимании с MoMSME для обмена данными

Идентификатор выпуска: 1639978 —

20.07.2020

Меморандум о взаимопонимании будет способствовать беспрепятственному обмену определенной информацией, связанной с налоговой декларацией (ITR), Департаментом подоходного налога с MoMSME. Эти данные позволят MoMSME проверять и классифицировать предприятия по категориям Micro, Small и Medium в соответствии с критериями, указанными в Уведомлении №ТАК. 2119 (E) от 26.06.2020 MoMSME ….

Читать далее

Аннулирование / отмена регистрации GST | Раздел 30 | Закон о CGST 2017 | Серия GST, часть 20

1. Аннулирование аннулирования означает повторное действие аннулированной регистрации. Раздел 30 Закона о CGST 2017 в сочетании с Правилом 23 Правил CGST предусматривает отзыв аннулированных регистраций. 2. Заявление об отмене аннулирования: Раздел 30 (1) Зарегистрированное лицо, регистрация которого отменяется надлежащим должностным лицом самостоятельно m…

Читать далее

Анализ фразы «В отношении» в GST и ее влияние на заблокированный ITC

Будь то закон, все дело в интерпретации различных слов и фраз, которая вызывает расхождения во взглядах профессионалов. Одна такая фраза, которая использовалась в законе GST, — «в отношении», интерпретация которой может изменить размеры взглядов, которых придерживается…

Читать далее

Exporters Bonanza — SEIS

Exporters Bonanza Если вы экспортируете услуги, ваша чистая прибыль может быть увеличена на 5–7%, потому что правительство Индии стимулирует экспорт услуг? Существует схема «Экспорт услуг из Индии» (SEIS) во внешней торговой политике на 2015-2020 годы, в которой правительство Индии уведомило о различных приемлемых услугах, тарифах и условиях…

Читать далее

Новый режим подоходного налога или старый режим: что должен выбрать наемный налогоплательщик?

Новый режим подоходного налога или старый режим: что должен выбрать наемный налогоплательщик? В союзном бюджете, представленном в парламент в феврале 2020 года, министр финансов предложил новый налоговый режим в качестве альтернативы существующему старому налоговому режиму для физических лиц и венгерских форинтов. Поскольку новый налоговый режим не является обязательным в любом случае, […] …

Читать далее

Добровольное соблюдение деклараций по подоходному налогу за 2018-19 финансовый год (AY 2019-20)

Электронная кампания Департамента подоходного налога [Пресс-релиз CBDT от 18 июля 2020 года] A.Почему сейчас эта электронная кампания Эта электронная кампания реализована для решения> Предоставить возможность исправить несоответствия или недостатки в декларациях о подоходном налоге, уже поданных налоговыми инспекторами [подателями]> Предоставить возможность тем, кто не подал …

Читать далее

Право против прецедентного права> Роль профессионала (CA и юрист) (Часть II)

Это дополнение к ранее опубликованной статье под вышеуказанным заголовком («предыдущая статья»).Право против прецедентного права Роль профессионала (CA и юриста) — Часть I 1. Идея приобретения и владения «единицей» в здании с правами «собственности», несмотря на ее специфические характеристики, в отличие от независимой собственности. ..

Читать далее

Информация о Правиле 9A и электронной форме PAS-6

Понимание Правил 9A и электронной формы PAS-6 Всем публичным компаниям, не котирующимся на бирже (за исключением компании Nidhi, государственной компании и дочерней компании, находящейся в полной собственности), разрешено выпускать ценные бумаги только в дематериализованной форме, с указанием даты уведомления. 10 сентября 2018 г., при этом Правило 9A Компаний (проспект и выделение гл…

Читать далее

CA на практике — влияние ограничения комиссий на 15% — простой пример

Любой SMP с валовым годовым комиссионным доходом в размере рупий. 25L и удается получить любое аудиторское задание от группы среднего размера с гонорарами выше 5L, тогда это было легко возможно до 30.06.2020, поскольку такое задание составляло менее 40% от общей суммы гонораров в соответствии с предыдущим кодом, который был в силе с момента создания. […] …

Читать далее

% PDF-1.4
%
1 0 obj
>
эндобдж
6 0 obj

/Заголовок
/Предмет
/ Автор
/Режиссер
/ Ключевые слова
/ CreationDate (D: 20210427154441-00’00 ‘)
/ ModDate (D: 20160506110533 + 02’00 ‘)
>>
эндобдж
2 0 obj
>
эндобдж
3 0 obj
>
эндобдж
4 0 obj
>
эндобдж
5 0 obj
>
поток
Библиотека PDF Python — http://pybrary.net/pyPdf/2016-05-06T11:05:33+02:002016-05-06T11:05:33+02:002016-05-06T11:05:33+02: 00application / pdfuuid: 295c2888-97c6-43f2-b42b-29613da51536uuid: 6607eb0a-fe42-43bb-8aef-7fc2df8d7722

конечный поток
эндобдж
7 0 объект
>
эндобдж
8 0 объект
>
эндобдж
9 0 объект
>
эндобдж
10 0 obj
>
эндобдж
11 0 объект
>
эндобдж
12 0 объект
>
эндобдж
13 0 объект
>
эндобдж
14 0 объект
>
эндобдж
15 0 объект
>
эндобдж
16 0 объект
>
эндобдж
17 0 объект
>
эндобдж
18 0 объект
>
эндобдж
19 0 объект
>
эндобдж
20 0 объект
>
эндобдж
21 0 объект
>
эндобдж
22 0 объект
>
эндобдж
23 0 объект
>
эндобдж
24 0 объект
>
эндобдж
25 0 объект
>
эндобдж
26 0 объект
>
эндобдж
27 0 объект
>
эндобдж
28 0 объект
>
эндобдж
29 0 объект
>
эндобдж
30 0 объект
>
эндобдж
31 0 объект
>
эндобдж
32 0 объект
>
эндобдж
33 0 объект
>
эндобдж
34 0 объект
>
эндобдж
35 0 объект
>
эндобдж
36 0 объект
>
эндобдж
37 0 объект
>
эндобдж
38 0 объект
>
эндобдж
39 0 объект
>
эндобдж
40 0 объект
>
эндобдж
41 0 объект
>
эндобдж
42 0 объект
>
эндобдж
43 0 объект
>
эндобдж
44 0 объект
>
эндобдж
45 0 объект
>
эндобдж
46 0 объект
>
эндобдж
47 0 объект
>
эндобдж
48 0 объект
>
эндобдж
49 0 объект
>
эндобдж
50 0 объект
>
эндобдж
51 0 объект
>
эндобдж
52 0 объект
>
эндобдж
53 0 объект
>
эндобдж
54 0 объект
>
эндобдж
55 0 объект
>
эндобдж
56 0 объект
>
эндобдж
57 0 объект
>
эндобдж
58 0 объект
>
эндобдж
59 0 объект
>
эндобдж
60 0 объект
>
эндобдж
61 0 объект
>
эндобдж
62 0 объект
>
эндобдж
63 0 объект
>
эндобдж
64 0 объект
>
эндобдж
65 0 объект
>
эндобдж
66 0 объект
>
эндобдж
67 0 объект
>
эндобдж
68 0 объект
>
эндобдж
69 0 объект
>
эндобдж
70 0 объект
>
эндобдж
71 0 объект
>
эндобдж
72 0 объект
>
эндобдж
73 0 объект
>
эндобдж
74 0 объект
>
эндобдж
75 0 объект
>
эндобдж
76 0 объект
>
эндобдж
77 0 объект
>
эндобдж
78 0 объект
>
эндобдж
79 0 объект
>
эндобдж
80 0 объект
>
эндобдж
81 0 объект
>
эндобдж
82 0 объект
>
эндобдж
83 0 объект
>
эндобдж
84 0 объект
>
эндобдж
85 0 объект
>
эндобдж
86 0 объект
>
эндобдж
87 0 объект
>
эндобдж
88 0 объект
>
эндобдж
89 0 объект
>
эндобдж
90 0 объект
>
эндобдж
91 0 объект
>
эндобдж
92 0 объект
>
эндобдж
93 0 объект
>
эндобдж
94 0 объект
>
эндобдж
95 0 объект
>
эндобдж
96 0 объект
>
эндобдж
97 0 объект
>
эндобдж
98 0 объект
>
эндобдж
99 0 объект
>
эндобдж
100 0 объект
>
эндобдж
101 0 объект
>
эндобдж
102 0 объект
>
эндобдж
103 0 объект
>
эндобдж
104 0 объект
>
эндобдж
105 0 объект
>
эндобдж
106 0 объект
>
эндобдж
107 0 объект
>
эндобдж
108 0 объект
>
эндобдж
109 0 объект
>
эндобдж
110 0 объект
>
эндобдж
111 0 объект
>
эндобдж
112 0 объект
>
эндобдж
113 0 объект
>
эндобдж
114 0 объект
>
эндобдж
115 0 объект
>
эндобдж
116 0 объект
>
эндобдж
117 0 объект
>
эндобдж
118 0 объект
>
эндобдж
119 0 объект
>
эндобдж
120 0 объект
>
эндобдж
121 0 объект
>
эндобдж
122 0 объект
>
эндобдж
123 0 объект
>
эндобдж
124 0 объект
>
эндобдж
125 0 объект
>
эндобдж
126 0 объект
>
эндобдж
127 0 объект
>
эндобдж
128 0 объект
>
эндобдж
129 0 объект
>
эндобдж
130 0 объект
>
эндобдж
131 0 объект
>
эндобдж
132 0 объект
>
эндобдж
133 0 объект
>
эндобдж
134 0 объект
>
эндобдж
135 0 объект
>
эндобдж
136 0 объект
>
эндобдж
137 0 объект
>
эндобдж
138 0 объект
>
эндобдж
139 0 объект
>
эндобдж
140 0 объект
>
эндобдж
141 0 объект
>
эндобдж
142 0 объект
>
эндобдж
143 0 объект
>
эндобдж
144 0 объект
>
эндобдж
145 0 объект
>
эндобдж
146 0 объект
>
эндобдж
147 0 объект
>
эндобдж
148 0 объект
>
эндобдж
149 0 объект
>
эндобдж
150 0 объект
>
эндобдж
151 0 объект
>
эндобдж
152 0 объект
>
эндобдж
153 0 объект
>
эндобдж
154 0 объект
>
эндобдж
155 0 объект
>
эндобдж
156 0 объект
>
эндобдж
157 0 объект
>
эндобдж
158 0 объект
>
эндобдж
159 0 объект
>
эндобдж
160 0 объект
>
эндобдж
161 0 объект
>
эндобдж
162 0 объект
>
эндобдж
163 0 объект
>
эндобдж
164 0 объект
>
эндобдж
165 0 объект
>
эндобдж
166 0 объект
>
эндобдж
167 0 объект
>
эндобдж
168 0 объект
>
эндобдж
169 0 объект
>
эндобдж
170 0 объект
>
эндобдж
171 0 объект
>
эндобдж
172 0 объект
>
эндобдж
173 0 объект
>
эндобдж
174 0 объект
>
эндобдж
175 0 объект
>
эндобдж
176 0 объект
>
эндобдж
177 0 объект
>
эндобдж
178 0 объект
>
эндобдж
179 0 объект
>
эндобдж
180 0 объект
>
эндобдж
181 0 объект
>
эндобдж
182 0 объект
>
эндобдж
183 0 объект
>
эндобдж
184 0 объект
>
эндобдж
185 0 объект
>
эндобдж
186 0 объект
>
эндобдж
187 0 объект
>
эндобдж
188 0 объект
>
эндобдж
189 0 объект
>
эндобдж
190 0 объект
>
эндобдж
191 0 объект
>
эндобдж
192 0 объект
>
эндобдж
193 0 объект
>
эндобдж
194 0 объект
>
эндобдж
195 0 объект
>
эндобдж
196 0 объект
>
эндобдж
197 0 объект
>
эндобдж
198 0 объект
>
эндобдж
199 0 объект
>
эндобдж
200 0 объект
>
эндобдж
201 0 объект
>
эндобдж
202 0 объект
>
эндобдж
203 0 объект
>
эндобдж
204 0 объект
>
эндобдж
205 0 объект
>
эндобдж
206 0 объект
>
эндобдж
207 0 объект
>
эндобдж
208 0 объект
>
эндобдж
209 0 объект
>
эндобдж
210 0 объект
>
эндобдж
211 0 объект
>
эндобдж
212 0 объект
>
эндобдж
213 0 объект
>
эндобдж
214 0 объект
>
эндобдж
215 0 объект
>
эндобдж
216 0 объект
>
эндобдж
217 0 объект
>
эндобдж
218 0 объект
>
эндобдж
219 0 объект
>
эндобдж
220 0 объект
>
эндобдж
221 0 объект
>
/ ProcSet [/ PDF / Text / ImageC / ImageB / ImageI]
>>
эндобдж
222 0 объект
>
поток
x ڝ X͎7) H ~ ÇM ނ cǽ4 (rEI3lGE # 5- ݒ` I \ / ˇnq ޠ a9MZZӌwƒ ۅ H-Bt @ + kmqq / !? x7 $ d $ d, $ 9 @ D`7g «xUzZKVhx + Hx`ƄS {uI8 / a9 wtChJ &; jt> b # es \ gyPDE.Y \ {gdP + mH ޵ Dtp;}, c / U> $ oY) #W) GVqXO09 {> RZHX: @ yd`zĝ͑kQA {| ~

Cyklometrick funkce — arcsin, arccos, arstg, arctan, arccotg, arctan

Cyklometrick funkce arcsinus

Funkce arcsin ( x ) (na
Калкулакч
знаена грех ^-И ) je
Inverzn Funkc Ke
гониометрик
funkci sin ( x ). Vimnme si omezenho
defininho oboru:

Funkce arccos ( x ) (na
калкулакч
знаена cos ^-I ) je
Inverzn Funkc Ke
гониометрик
funkci cos ( x ).Vimnme si omezenho
defininho oboru:

Функц. Arctg ( x ) (na
калкулакч
знаена загар ^-И ) je
Inverzn Funkc Ke
гониометрик
funkci tg ( x ).Stejn jako funkce tg ( x ) je takt
rostouc.

Funkce arccotg ( x ) (na
калкулакч
nen uvedena) je
Inverzn Funkc Ke
гониометрик
funkci cotg ( x ).Stejn jako funkce cotg ( x ) je takt
klesajc.

Обновление реорганизации NTG

90 192

Общие сведения

Участие государства в технических заданиях NTG лето / осень 2010 ASG Нюрнберг октябрь 2011 NTGSG Брюссель октябрь 2010 Промежуточная EWGNTG январь 2011 Брюссель NTG / NTEC / NTEP Talinn февраль 2011 Первая EWGNTG Париж март 2011