График параболы построить: Квадратичная функция, как построить Параболу

Содержание

Квадратичная функция, как построить Параболу

Основные понятия

Функция — это зависимость «y» от «x», при которой «x» является переменной или аргументом функции, а «y» — зависимой переменной или значением функции.

Задать функцию означает определить правило в соответствии с которым по значениям независимой переменной можно найти соответствующие ее значения. Вот, какими способами ее можно задать:

  • Табличный способ. Помогает быстро определить конкретные значения без дополнительных измерений или вычислений.
  • Графический способ: наглядно.
  • Аналитический способ, через формулы. Компактно и можно посчитать функцию при произвольном значении аргумента из области определения.
  • Словесный способ.

График функции — это объединение всех точек, когда вместо «x» можно подставить произвольные значения и найти координаты этих точек.

Построение квадратичной функции

Квадратичная функция задается формулой y = ax2 + bx + c, где x и y — переменные, a, b, c — заданные числа, обязательное условие — a ≠ 0. В уравнении существует следующее распределение:

  • a — старший коэффициент, который отвечает за ширину параболы. Большое значение a — парабола узкая, небольшое — парабола широкая.
  • b — второй коэффициент, который отвечает за смещение параболы от центра координат.
  • с — свободный член, который соответствует координате пересечения параболы с осью ординат.

График квадратичной функции — парабола, которая имеет следующий вид для y = x2:

 

Точки, обозначенные зелеными кружками называют базовыми точками. Чтобы найти их координаты для функции y = x2, нужно составить таблицу:

x

-2

-1

0

1

2

y

4

1

0

1

4

Если в уравнении квадратичной функции старший коэффициент равен единице, то график имеет ту же форму, как y = x2 при любых значениях остальных коэффициентов.

График функции y = –x2 выглядит, как перевернутая парабола:

 

Зафиксируем координаты базовых точек в таблице:

x

-2

-1

0

1

2

y

-4

-1

0

-1

-4

Посмотрев на оба графика можно заметить их симметричность относительно оси ОХ. Отметим важные выводы:

  • Если старший коэффициент больше нуля a > 0, то ветви параболы напрaвлены вверх.
  • Если старший коэффициент меньше нуля a < 0, то ветви параболы напрaвлены вниз.

Как строить график квадратичной функции — учитывать значения х, в которых функция равна нулю. Иначе это можно назвать нулями функции. На графике нули функции f(x) — это точки пересечения у = f(x) с осью ОХ.

Так как ордината (у) любой точки на оси ОХ равна нулю, поэтому для поиска координат точек пересечения графика функции у = f(x) с осью ОХ, нужно решить уравнение f(x) = 0.

Для наглядности возьмем функцию y = ax2 + bx + c, для построения которой нужно решить квадратное уравнение ax2 + bx + c = 0. В процессе найдем дискриминант D = b2 — 4ac, который даст нам информацию о количестве корней квадратного уравнения.

Рассмотрим три случая:

  1.  Если D < 0, то уравнение не имеет решений и парабола не имеет точек пересечения с осью ОХ. Если a > 0,то график выглядит так:
  1. Если D = 0, то уравнение имеет одно решение, а парабола пересекает ось ОХ в одной точке. Если a > 0, то график имеет такой вид:
  2. Если D > 0, то уравнение имеет два решения, а парабола пересекает ось ОХ в двух точках, которые можно найти следующим образом:



Если a > 0, то график выглядит как-то так:

 

На основе вышеизложенного ясно, что зная направление ветвей параболы и знак дискриминанта, у нас есть понимание, как будет выглядеть график конкретной функции.

Координаты вершины параболы также являются важным параметром графика квадратичной функции и находятся следующим способом:

Ось симметрии параболы — прямая, которая проходит через вершину параболы параллельно оси OY.

Чтобы построить график, нам нужна точка пересечения параболы с осью OY. Так как абсцисса каждой точки оси OY равна нулю, чтобы найти точку пересечения параболы y = ax2 + bx + c с осью OY, нужно в уравнение вместо х подставить ноль: y(0) = c. То есть координаты этой точки будут соответствовать: (0; c).

На изображении отмечены основные параметры графика квадратичной функции:

 

Алгоритм построения параболы

Рассмотрим несколько способов построения квадратичной параболы. Наиболее удобный способ можно выбрать в соответствии с тем, как задана квадратичная функция.

Уравнение квадратичной функции имеет вид y = ax

2 + bx + c.

Разберем общий алгоритм на примере y = 2x2 + 3x — 5.

Как строим:

  1. Определим направление ветвей параболы. Так как а = 2 > 0, ветви параболы направлены вверх.
  2. Найдем дискриминант квадратного трехчлена 2x2 + 3x — 5.

D = b2 — 4ac = 9 — 4 * 2 * (-5) = 49 > 0

√D = 7

В данном случае дискриминант больше нуля, поэтому парабола имеет две точки пересечения с осью ОХ. Чтобы найти их координаты, решим уравнение:

2x2 + 3x — 5 = 0

  1. Координаты вершины параболы:
  1. Точка пересечения с осью OY находится: (0; -5) и ей симметричная.
  2. Нанести эти точки на координатную плоскость и построить график параболы:

Уравнение квадратичной функции имеет вид y = a * (x — x₀)

2 + y₀

Координаты его вершины: (x₀; y₀). В уравнении квадратичной функции y = 2x2 + 3x — 5 при а = 1, то второй коэффициент является четным числом.

Рассмотрим пример: y = 2 * (x — 1)2 + 4.

Как строим:

  1. Воспользуемся линейным преобразованием графиков функций. Для этого понадобится:
  • построить y = x2,
  • умножить ординаты всех точек графика на 2,
  • сдвинуть его вдоль оси ОХ на 1 единицу вправо,
  • сдвинуть его вдоль оси OY на 4 единицы вверх.
  1. Построить график параболы для каждого случая.

Уравнение квадратичной функции имеет вид y = (x + a) * (x + b)

Рассмотрим следующий пример: y = (x — 2) * (x + 1).

Как строим:

  1. Данный вид уравнения позволяет быстро найти нули функции:

(x — 2) * (x + 1) = 0, отсюда х₁ = 2, х₂ = -1.

  1. Определим координаты вершины параболы:
  1. Найти точку пересечения с осью OY:

с = ab =(-2) * (1)= -2 и ей симметричная.

  1. Отметим эти точки на координатной плоскости и соединим плавной прямой.2+bx_в+с\)

    Ось симметрии проходит через вершину параболы и параллельна оси \(y\) (ординат). \(x_1\) и \(x_2\) – нули функции. Их можно найти, приравняв формулу функции к нулю и решив соответствующее квадратное уравнение.

    3 параметра позволяющих сопоставить формулу квадратичной функции и график:





    1.


    \(a>0\) — ветви параболы направлены вверх


    \(a<0\) — ветви параболы направлены вниз


    2.


    \(c\) равна ординате точки пересечения

    графика с осью \(y\)


    3.2+5x+1\)      \(x_в= \frac{-5}{2}=-2,5\) так же как на графике 3


    Ответ:  

    Как построить график квадратичной функции (параболу)?


    Квадратичную функцию можно строить, как и все остальные, выбирая точки наугад (подробнее можно прочитать здесь). Но есть способ позволяющий строить параболу быстрее, выбирая точки осмысленно.

    1. Найдите координаты вершины параболы. Поставьте точку вершины на координатной плоскости и проведите через неё ось симметрии параболы.
    2. Найдите точку пересечения графика с осью \(y\): \(x=0;y=c\). Постройте точку симметричную точке \((0;c)\) относительно оси параболы.
    3. Найдите координату целой точки, лежащей вблизи оси параболы.  Отметьте  симметричную ей точку на плоскости.

    4. Соедините точки плавной линией.



    \(a=2\), \(b=8\), \(c=2\)

    1.2-4x+5=0\) нет корней, т.к. нету \(x\) при которых y будет равен нулю (функция не пересекает ось \(x\))


    Смотрите также:
    Линейная функция
    Виды графиков функций
    Квадратные неравенства

    Скачать статью

    Как построить параболу | Алгебра

    Как построить параболу? Существует несколько способов построения графика квадратичной функции. Каждый из них имеет свои плюсы и минусы. Рассмотрим два способа.

    Начнём с построения графика квадратичной функции вида y=x²+bx+c и y= -x²+bx+c.

    График квадратичной функции y=x²+bx+c — парабола, ветви которой направлены вверх. Для построения графика достаточно найти координаты вершины параболы. Абсцисса вершины параболы находится по формуле

       

    для нахождения ординаты можно подставить в формулу y=x²+bx+c вместо каждого x найденное значение хₒ: yₒ=xₒ²+bxₒ+c. От вершины (хₒ; yₒ ) строим параболу y=x².

    Пример.

    Построить график функции y=x²+2x-3.

    Решение:

    y=x²+2x-3 — квадратичная функция. График — парабола ветвями вверх. Координаты вершины параболы

       

       

    От вершины (-1;-4) строим график параболы y=x²(как от начала координат. Вместо (0;0) — вершина (-1;-4). От (-1;-4) идём вправо на 1 единицу и вверх на 1 единицу, затем влево на 1 и вверх на 1; далее: 2 — вправо, 4 — вверх, 2- влево, 4 — вверх; 3 — вправо, 9 — вверх, 3 — влево, 9 — вверх. Если этих 7 точек недостаточно, далее — 4 вправо, 16 — вверх и т. д.).

    y=x²+2x-3

      График квадратичной функции y= -x²+bx+c — парабола, ветви которой направлены вниз. Для построения графика ищем координаты вершины и от неё строим параболу y= -x².

    Пример.

    Построить график функции y= -x²+2x+8.   

    Решение:

    y= -x²+2x+8 — квадратичная функция. График — парабола ветвями вниз. Координаты вершины параболы

       

       

    От вершины строим параболу y= -x² (1 — вправо, 1- вниз; 1 — влево, 1 — вниз; 2 — вправо, 4 — вниз; 2 — влево, 4 — вниз и т. д.):

    y= -x²+2x+8

    Этот способ позволяет построить параболу быстро и не вызывает затруднений, если вы  умеете строить графики функций y=x² и y= -x². Недостаток: если координаты вершины — дробные числа, строить график не очень удобно. Если требуется знать точные значения точек пересечения графика с осью Ох, придется дополнительно решить уравнение x²+bx+c=0 (или —x²+bx+c=0), даже если эти точки непосредственно можно определить по рисунку.

    Другой способ построения параболы —  по точкам, то есть можно найти  несколько точек графика и через них провести параболу (с учетом того, что прямая x=хₒ является её осью симметрии). Обычно для этого берут вершину параболы, точки пересечения графика с осями координат и 1-2 дополнительные точки.

    Примеры.

    Построить график функции y=x²+5x+4.

    Решение:

    y=x²+5x+4 — квадратичная функция. График — парабола ветвями вверх. Координаты вершины параболы

       

       

    то есть вершина параболы — точка (-2,5; -2,25).

    Ищем точки пересечения графика с осями координат. В точке пересечения с осью Ох y=0: x²+5x+4=0. Корни квадратного уравнения х1=-1, х2=-4, то есть получили две точки графике (-1; 0) и (-4; 0).

    В точке пересечения графика с осью Оy х=0: y=0²+5∙0+4=4. Получили точку (0; 4).

    Для уточнения графика можно найти дополнительную точку. Возьмем х=1, тогда y=1²+5∙1+4=10, то есть еще одна точка графика — (1; 10). Отмечаем эти точки на координатной плоскости. С учетом симметрии параболы относительно прямой, проходящей через её вершину, отметим еще две точки: (-5; 6) и (-6; 10) и проведем через них параболу:

     

    y=x²+5x+4

    Построить график функции y= -x²-3x.

    Решение:

    y= -x²-3x — квадратичная функция. График — парабола ветвями вниз. Координаты вершины параболы

       

       

    Вершина (-1,5; 2,25) — первая точка параболы.

    В точках пересечения графика с осью абсцисс y=0, то есть решаем уравнение -x²-3x=0. Его корни — х=0 и х=-3, то есть (0;0) и (-3; 0) — еще две точки графика. Точка (о; 0) является также  точкой пересечения параболы с осью ординат.

    При х=1 y=-1²-3∙1=-4, то есть (1; -4) — дополнительная точка для построения графика.

    y= -x²-3x

     

    Построение параболы по точкам — более трудоёмкий, по сравнению с первым, способ. Если парабола не пересекает ось Oх, дополнительных точек потребуется больше.

    Прежде чем продолжить построение графиков квадратичных функций вида y=ax²+bx+c, рассмотрим построение графиков функций с помощью геометрических преобразований. Графики функций вида y=x²+c также удобнее всего строить, используя одно из таких преобразований — параллельный перенос.

    Квадратичная функция и ее график

    В этой статье мы поговорим о том, что такое квадратичная функция, научимся строить ее график и определять вид графика в зависимости от знака дискриминанта и знака старшего коэффициента.
    Итак.

    Функция вида , где  называется квадратичной функцией.

    В уравнении квадратичной функции:

    aстарший коэффициент

    bвторой коэффициент

    с  — свободный член.

    Графиком квадратичной функции является квадратичная парабола, которая для функции  имеет вид:

    Обратите внимание на точки, обозначенные зелеными кружками — это, так называемые «базовые точки». Чтобы найти координаты этих точек для функции , составим таблицу:

    Внимание! Если в уравнении квадратичной функции старший коэффициент , то график квадратичной функции имеет ровно такую же форму, как график функции  при любых значениях остальных коэффициентов.

    График  функции  имеет вид:

    Для нахождения координат базовых точек составим таблицу:

     

    Обратите внимание, что график функции  симметричен графику функции относительно оси ОХ.

    Итак, мы заметили:

    Если старший коэффициент a>0, то ветви параболы напрaвлены вверх.

    Если старший коэффициент a<0, то ветви параболы напрaвлены вниз.

    Второй параметр для построения графика  функции — значения х, в которых функция равна нулю, или нули функции. На графике нули функции  — это точки пересечения графика функции с осью ОХ.

    Поскольку ордината (у) любой точки, лежащей на оси ОХ равна нулю, чтобы найти координаты  точек  пересечения графика функции с осью ОХ, нужно решить уравнение .

    В случае квадратичной функции  нужно решить квадратное уравнение .

    Теперь внимание!

    В процессе решения квадратного уравнения мы находим дискриминант: , который определяет число корней квадратного уравнения.

    И здесь возможны три случая:

    1. Если ,то уравнение  не имеет решений, и, следовательно, квадратичная парабола  не имеет точек пересечения с осью ОХ. Если ,то график функции выглядит как-то так:

    2. Если ,то уравнение  имеет одно решение, и, следовательно, квадратичная парабола   имеет одну точку пересечения с осью ОХ. Если ,то график функции выглядит примерно так:

    3.  Если ,то уравнение  имеет два решения, и, следовательно, квадратичная парабола   имеет две точки пересечения с осью ОХ:

    ,  

    Если ,то график функции выглядит примерно так:

    Следовательно, зная направление ветвей параболы и знак дискриминанта, мы уже можем в общих чертах определить, как выглядит график нашей функции.

    Следующий важный параметр графика квадратичной функции — координаты вершины параболы:

     

    Прямая, проходящая через вершину параболы параллельно оси OY является осью симметрии параболы.

    И еще один параметр, полезный при построении графика функции — точка пересечения параболы  с осью OY.

    Поскольку абсцисса любой точки, лежащей на оси OY равна нулю, чтобы найти точку пересечения параболы  с осью OY, нужно в уравнение параболы вместо х подставить ноль: .

    То есть точка пересечения параболы с осью OY имеет координаты (0;c).

    Итак, основные параметры графика квадратичной функции показаны  на рисунке:

    Рассмотрим несколько способов построения квадратичной параболы. В зависимости от того, каким образом задана квадратичная функция, можно выбрать наиболее удобный.

    1. Функция задана формулой .

    Рассмотрим общий алгоритм построения графика квадратичной параболы на примере построения графика функции 

    1. Направление ветвей параболы.

    Так как ,ветви параболы направлены вверх.

    2. Найдем дискриминант квадратного трехчлена 

     

    Дискриминант квадратного трехчлена больше нуля, поэтому парабола имеет две точки пересечения с осью ОХ.

    Для того, чтобы найти их координаты, решим уравнение: 

    ,  

    3.   Координаты  вершины параболы:

    4. Точка пересечения параболы с осью OY: (0;-5),и ей симметричная относительно оси симметрии параболы.

    Нанесем эти точки на координатную плоскость, и соединим их плавной кривой:

    Этот способ можно несколько упростить.

    1. Найдем координаты вершины параболы.

    2. Найдем координаты точек, стоящих справа и слева от вершины.

    Воспользуемся результатами построения графика функции

    Кррдинаты вершины параболы

    Ближайшие к вершине точки, расположенные  слева от вершины имеют абсциссы соответственно -1;-2;-3

    Ближайшие к вершине точки, расположенные справа имеют абсциссы  соответственно 0;1;2

    Подставим значения х в уравнение функции, найдем ординаты этих точек и занесем их  в таблицу:

    Нанесем эти точки на координатную плоскость и соединим плавной линией:

    2.  Уравнение квадратичной функции имеет вид  — в этом уравнении — координаты вершины параболы

    или в уравнении квадратичной функции  , и второй коэффициент — четное число.

    Построим для примера график функции .

    Вспомним линейные преобразования графиков функций. Чтобы построить график функции , нужно

    • сначала построить график функции ,
    • затем одинаты всех точек графика умножить на 2,
    • затем сдвинуть его вдоль оси ОХ на 1 единицу вправо,
    • а затем вдоль оси OY на 4 единицы вверх:

    Теперь рассмотрим построение  графика функции . В уравнении этой функции , и второй коэффициент — четное число.

    Выделим в уравнении функции полный квадрат: 

    Следовательно,  координаты вершины параболы: . Старший коэффициент равен 1, поэтому построим по шаблону параболу с вершиной в точке (-2;1):

    3.  Уравнение квадратичной функции имеет вид y=(x+a)(x+b)

    Построим для примера график функции y=(x-2)(x+1)

    1. Вид уравнения функции позволяет легко найти нули функции — точки пересечения графика функции с осью ОХ:

    (х-2)(х+1)=0, отсюда 

    2. Координаты вершины параболы:

    3. Точка пересечения с осью OY: с=ab=(-2)(1)=-2 и ей симметричная.

    Нанесем эти точки на  координатную плоскость и построим график:

     

    График квадратичной функции.

    Перед вами график квадратичной функции вида .

    Кликните по чертежу.
    Подвигайте движки.
    Исследуйте зависимость
    — ширины графика функции от значения коэффициента ,
    — сдвига графика функции вдоль оси от значения  ,

    — сдвига графика функции вдоль оси от значения  
    — направления ветвей параболы от знака коэффициента
    — координат вершины параболы от значений и :

    Скачать таблицу квадратичная функция

    И.В. Фельдман, репетитор по математике.

    Пошаговое руководство построение графика квадратичной функции

    Для того, чтобы начертить график функции в Прямоугольной системе координат, нам необходимы две перпендикулярные прямые xOy (где O это точка пресечения x и y), которые называются «координатными осями», и нужна единица измерения.2-\frac{\Delta}{4a}$
    где Δ = b2 — 4ac

    Если a > 0, то минимальным значением f(x) будет $-\frac{\Delta}{4a}$ , которое получается, если $x=-\frac{b}{2a}$.
    Графиком будет выпуклая парабола, вершина которой (точка, в которой она меняет направление) это $V(-\frac{b}{2a};-\frac{\Delta}{4a})$.

    Если a < 0, то минимальное значение f(x) будет $-\frac{\Delta}{4a}$
    , которое получается, если $x=-\frac{b}{2a}$.
    Графиком будет вогнутая парабола, вершина которой это$V(-\frac{b}{2a};-\frac{\Delta}{4a})$.

    Парабола симметрична относительно прямой, которую она пересекает $x=-\frac{b}{2a}$ и которая называется «осью симметрии».
    Именно поэтому, когда мы присваиваем знаячения x, то вибираем их симметричными относительно $-\frac{b}{2a}$.
    При построении графика, точки пересечения с осями координат очень важны.

    |. Точка, расположенная на оси Ox имеет форму P(x, 0), потому что расстояние от неё до Ox равно 0. Если точка находиться и на Ox и на графике функции,то она также имеет вид P(x, f(x)) ⇒ f(x) = 0.

    Таким образом, для того чтобы найти координаты точки пересечения с осью Ox, мы должны решить уравнение f(x)=0.
    Мы получаем уравнение a2 + bx + c = 0.

    Решение уравнения зависит от знака Δ = b2 — 4ac.

    Иммем следующие варианты:

    1) Δ < 0,
    тогда у уравнения нет решений в R (множестве действительных чисел) и график не пересекает Ox. Форма графика будет:

    или

    2) Δ = 0,
    тогда у уравнения два решения $x_1=x_2=-\frac{b}{2a}$

    График касается оси Ox в вершине параболы. Форма графика будет:

    или

    3) Δ > 0,
    тогда у уравнения два разных решения.

    $x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ и
    $x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$

    График функции будет пересекать ось Ox в точках M(x1 и Ox. Форма графика будет:

    или

    ||. Точка, находящаяся на оси Oy имеет форму R(0, y), потому что расстояние от Oy равно 0. Если точка находиться и на Oy и на графике функции, то она также имеет форму R(x, f(x)) ⇒ x = 0 ⇒ R(0, f(0)).

    В случае квадратичной функции,
    f(0) = a×02 + b×0 + c ⇒ R(0, c).

    Необходимые шаги для построения графика квадратичной функции

    f: R → R
    f(x) = ax2 + bx + c

    1. Составляем таблицу переменных, куда заносим некоторые важные значения x.

    2. Вычисляем координаты вершины$V(-\frac{b}{2a};-\frac{\Delta}{4a})$.

    3. Также записываем 0 в таблицу и нулевые значения симметричные $-\frac{b}{2a}$.

    или

    4. Мы определяем точку пересечения с осью Ox,решая уравнение f(x)=0 и записываем корни x1 и x2 в таблице.
    Δ > 0 ⇒

    Δ < 0 ⇒ точек пересечения нет. В этом случае мы выберем два удобных значения, которые симметричны $-\frac{b}{2a}$

    Δ = 0 ⇒ график касается Ox прямо в вершине параболы. Мы снова выберем два удобных значения, симметричных $-\frac{b}{2a}$.
    Для лучшего определения формы графика мы может выбрать другие пары значений для x, но они должны быть симметричны $-\frac{b}{2a}$.

    5. Мы наносим эти значения на систему координат и строим график, соединяя эти точки.

    Пример 1
    f: R → R
    f(x) = x2 — 2x — 3
    a = 1, b = -2, c = -3
    Δ = b2 — 4×a×c = (-2)2 — 4×1×(-3) = 16
    $-\frac{b}{2a}=\frac{2}{2}=1$
    ⇒ V(1; -4)

    1. $-\frac{\Delta}{4a}=-\frac{16}{4}=-4$

    2. f(0) = -3
    Симметричное 0 значение относительно 1 равно 2.
    f(2) = -3

    3. f(x) = 0 ⇒ x2 — 2x — 3 = 0
    Δ = 16 > 0
    $x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{2-4}{2}=-1$

    $x_1=\frac{2+4}{2}=3$

    Мы нашли точки:
    A(-1; 0)
    B(0; -3)
    V(1; -4)
    C(2; -3)
    D(3; 0)

    График будет иметь вид:

    Пример 2
    f: R → R
    f(x) = -x2 — 2x + 8
    a = -1, b = -2, c = 8
    Δ = b2 — 4×a×c = (-2)2 — 4×(-1)×8 = 36
    $-\frac{b}{2a}=\frac{2}{-2}=-1$
    ⇒ V(-1; 9)

    1. $-\frac{\Delta}{4a}=-\frac{-36}{-4}=9$

    2. f(0) = 8
    f(-2) = 8 (симметричное 0 значение относительно -1 равно -2)

    3. f(x) = 0 ⇒ -x2 — 2x + 8 = 0
    Δ = 36
    x1 = 2 и x2 = -4

    A(-4; 0)
    B(-2; 8)
    V(-1; 9)
    C(0; 8)
    D(2; 0)

    Пример 3
    f: R → R
    f(x) = x2 — 4x + 4
    a = 1, b = -4, c = 4
    Δ = b2 — 4×a×c = (-4)2 — 4×1×4 = 0
    $-\frac{b}{2a}=\frac{4}{2}=2$
    ⇒ V(2; 0)

    1. $-\frac{\Delta}{4a}=0$

    2. f(0) = 4
    f(4) = 4 (симметричное 0 значение относительно 2 равно 4)

    3. f(x) = 0 ⇒ x2 — 4x + 4 = 0
    Δ = 0
    x1 = x2 = $-\frac{b}{2a}$ = 2

    A(-2; 9)
    B(0; 4)
    V(2; 0)
    C(4; 4)
    D(5; 9)

    Пример 4
    f: R → R
    f(x) = -x2 + 4x — 5
    a = -1, b = 4, c = -5
    Δ = b2 — 4×a×c = 42 — 4×(-1)×(-5) = 16 — 20 = -4
    $-\frac{b}{2a}=\frac{-4}{-2}=2$
    ⇒ V(2; -1)

    1. $-\frac{\Delta}{4a}=-\frac{-4}{-4}=-1$

    2. f(0) = -5
    f(4) = -5 (симметричное 0 значение относительно 2 равно 4)

    3. f(x) = 0 ⇒ -x2 + 4x — 5 = 0,
    Δ < 0
    У этого уравнения нет решений.
    Мы выбрали симметричные значения вокруг 2

    A(-1; -10)
    B(0; 5)
    V(2; -1)
    C(4; -5)
    D(5; -10)

    Если область определения не R (множество действительных чисел), а какой-то интервал, то мы стираем часть графика, которая соответствует тем значениям x, которые не находятся в данном интервале. Необходимо записать конечные точки интервала в таблице.

    Пример 5
    f: [0; +∞) → R
    f(x) = x2 — 2x — 3
    a = 1, b = -2, c = -3
    Δ = b2 — 4×a×c = (-2)2 — 4×1×(-3) = 16
    $-\frac{b}{2a}=1$
    ⇒ V(1; -4)

    1. $-\frac{\Delta}{4a}=-4$

    2. f(0) = -3
    f(2) = -3 симметричное 0 значение относительно 1 равно 2)

    3. f(x) = 0 ⇒ x2 — 2x — 3 = 0,
    Δ = 16
    x1 = -1 ∉ [0; ∞)
    x2 = 3

    A(0; -3)
    V(1; -4)
    B(2; -3)
    C(3; 0)

    Построение графика квадратичной функций: алгоритм и примеры

     

    Квадратичной функцией называется функция вида: 
    y=a*(x^2)+b*x+c,
    где а – коэффициент при старшей степени неизвестной х,
    b – коэффициент при неизвестной х,
    а с — свободный член.2 + 4*(1)-1= 4.
    9. Соединяем полученные точки и подписываем график.

    В результате получится такой график.

    Нужна помощь в учебе?

    Предыдущая тема: Графики функции: от чего зависит вид графика функции
    Следующая тема:&nbsp&nbsp&nbspРешение неравенств второй степени с одной переменной: приводим примеры

    графиков квадратичных функций | Безграничная алгебра

    Части параболы

    График квадратичной функции представляет собой параболу, и его части предоставляют ценную информацию о функции.

    Цели обучения

    Опишите части и особенности парабол

    Основные выводы

    Ключевые моменты
    • График квадратичной функции представляет собой U-образную кривую, называемую параболой.
    • Знак коэффициента [латекс] а [/ латекс] квадратичной функции влияет на то, открывается ли график вверх или вниз.Если [latex] a <0 [/ latex], график хмурится (открывается), а если [latex] a> 0 [/ latex], то график улыбается (открывается). {2} + bx + c [/ latex].

      , где [латекс] a [/ латекс], [латекс] b [/ латекс] и [латекс] c [/ латекс] — константы, а [латекс] a \ neq 0 [/ латекс].

      График квадратичной функции представляет собой U-образную кривую, называемую параболой. Эта форма показана ниже.

      Парабола: График квадратичной функции — это парабола.

      В графиках квадратичных функций знак коэффициента [латекс] а [/ латекс] влияет на то, открывается ли график вверх или вниз. Если [latex] a <0 [/ latex], график хмурится (открывается), а если [latex] a> 0 [/ latex], то график улыбается (открывается).Это показано ниже.

      Направление параболы: Знак коэффициента [латекс] а [/ латекс] определяет направление параболы.

      Характеристики парабол

      Параболы имеют несколько узнаваемых особенностей, которые характеризуют их форму и расположение на декартовой плоскости.

      Вершина

      Одной из важных особенностей параболы является то, что у нее есть крайняя точка, называемая вершиной. Если парабола раскрывается, вершина представляет собой самую низкую точку на графике или минимальное значение квадратичной функции.Если парабола раскрывается вниз, вершина представляет собой наивысшую точку на графике или максимальное значение. В любом случае вершина является поворотной точкой на графике.

      Ось симметрии

      Параболы также имеют ось симметрии, параллельную оси y. Ось симметрии — это вертикальная линия, проведенная через вершину.

      [латекс] y [/ латекс] -intercept

      Пересечение y — это точка, в которой парабола пересекает ось y .Для графика квадратичной функции не может быть более одной такой точки. Если бы это было так, кривая не была бы функцией, так как было бы два значения [latex] y [/ latex] для одного значения [latex] x [/ latex], равного нулю.

      [латекс] х [/ латекс] -перехват

      Перемычки x — это точки, в которых парабола пересекает ось x . Если они существуют, то точки пересечения x представляют нули или корни квадратичной функции, значения [latex] x [/ latex], при которых [latex] y = 0 [/ latex].Может быть ноль, один или два [latex] x [/ latex] -перехватчика. Количество перехватов [latex] x [/ latex] варьируется в зависимости от расположения графика (см. Диаграмму ниже).

      Возможные точки пересечения [latex] x [/ latex]: Парабола не может иметь точек пересечения по оси x, одной точки пересечения по оси x или двух точек пересечения по оси x

      Напомним, что если квадратичная функция установлена ​​равной нулю, то результатом будет квадратное уравнение. Решения уравнения называются корнями функции. Это те же корни, которые наблюдаются как [латекс] х [/ латекс] -перехваты параболы.

      Обратите внимание, что для парабол с двумя пересечениями [latex] x [/ latex] вершина всегда попадает между корнями. Из-за того, что параболы симметричны, координата [latex] x [/ latex] вершины находится точно посередине координат [latex] x [/ latex] двух корней.

      Графическая интерпретация квадратичных решений

      Корни квадратичной функции можно найти алгебраически или графически. 2 + k [/ latex]

    • Когда записано в форме вершины, легко увидеть вершину параболы в [latex] (h, k) [/ latex].
    • Легко преобразовать форму вершины в стандартную форму.
    • Сложнее, но все же возможно преобразовать стандартную форму в форму вершины. В этом процессе используется техника, называемая завершением квадрата.
    Ключевые термины
    • константа : идентификатор, связанный с неизменным значением.
    • вершина : точка на кривой с локальным минимумом или максимумом кривизны.
    • квадратичный : многочлен второй степени.2-4x + 4. [/ Latex]: Ось симметрии — это вертикальная линия, параллельная оси y при [latex] x = 1 [/ latex].

      [латекс] и [/ латекс] -перехват параболы

      Коэффициент [латекс] c [/ латекс] управляет высотой параболы. В частности, это точка, в которой парабола пересекает ось y. Точка [latex] (0, c) [/ latex] является точкой пересечения [latex] y [/ latex] параболы. Обратите внимание, что парабола выше имеет [latex] c = 4 [/ latex] и пересекает ось [latex] y [/ latex] в точке [latex] (0,4).[/ латекс]

      OpenAlgebra.com: Графические параболы

      На данный момент в нашем исследовании мы должны быть в состоянии найти x — и y -перехваты и решить любое квадратное уравнение. Теперь мы изучим простой метод их построения графика.

      График квадратного уравнения называется параболой.

      Одна из наших основных функций

      может быть нанесен на график путем нанесения точек. Мы делаем это, выбирая около пяти значений x и находя соответствующие им значения y .

      График :

      Чем больше точек мы нанесем, тем легче будет увидеть, что график имеет U-образную форму. Вершина в данном случае — это точка, в которой график изменяется от убывания к возрастанию, или точка с наименьшим значением y . Здесь вершиной является (0, 0), которая также является пересечением x и y . Линия x = 0, ось y , является линией симметрии .Это линия, по которой мы могли бы сложить нашу бумагу, чтобы увидеть, что две стороны графика совпадают.

      По графику найдите пересечения x и y , вершину, пятую точку на графике и линию симметрии.

      Линия симметрии: x = 1

      x-точки пересечения: (-2,0) и (4,0)

      y-перехват: (0, -8)

      Вершина: (1, -9)

      5-я точка: (2, -8)

      Напомним, что две точки определяют линию — это не относится к параболам.Для парабол требуется минимум 3 точки, но обычно мы хотим найти как минимум пять точек, чтобы построить красивый график. Найдите вершину, пересекающую x и y , а также линию симметрии.

      График:

      Шаг 1 : Найдите точку пересечения y , (0, c ).

      Шаг 2 : Найдите x -перехваты, установив y = 0 и решив для x .

      Шаг 3 : Найдите вершину.Вы можете найти значение x вершины, используя вершину x = -b / (2a).

      Шаг 4 : Постройте точки и определите ось симметрии.

      Область и диапазон вышеуказанной функции можно определить по графику. В предыдущей задаче домен состоит из всех действительных чисел, а диапазон состоит из всех действительных чисел, больших или равных -1. Также полезно отметить, что у нас есть минимальное значение y , равное -1, это будет важным фактом при работе с задачами со словами.

      Совет : Ось симметрии любой квадратичной функции будет вертикальной линией

      При попытке найти точки пересечения x , в которых результирующее квадратное уравнение не учитывается, просто используйте квадратную формулу для его решения.

      График:

      Эта парабола выглядит немного иначе, обратите внимание, что она открывается вниз, а также обратите внимание, что предыдущая парабола открылась. Есть простой тест, чтобы узнать, в какую сторону он открывается, еще до того, как мы начнем.

      Поэтому, когда вас попросят изобразить параболу, вы можете получить две важные части информации, не выполняя никакой работы.При осмотре вы можете определить, открывается ли он вверх или вниз, и вы можете определить перехват и .

      Нанесите на график и обозначьте все важные точки :

      Нанесите на график и обозначьте все важные точки :

      Область предыдущей задачи — все действительные числа, а диапазон состоит из всех действительных чисел, больших или равных −5. Также обратите внимание, что минимальное значение y равно −5. Оказывается, не все параболы имеют две точки пересечения x , как можно было бы ожидать.Иногда у них есть только один перехват x , а иногда нет.
      Имейте в виду, что все квадратичные функции имеют вершину и точку пересечения y . Кроме того, мы по-прежнему сможем найти другую точку, используя симметрию. Поэтому в некоторых случаях допустимо нанести на график и пометить только три точки.

      Обозначьте все важные точки и отметьте их:

      Обозначьте и обозначьте все важные моменты:

      Снаряд Проблема : объект выбрасывается из 100-футового здания с начальной скоростью 44 фута в секунду.Сколько времени потребуется, чтобы достичь максимальной высоты? Какая максимальная высота?

      Примеры видео на YouTube :

      Ведущий коэффициент / вершина

      Графики
      Квадратичные функции:
      Ведущий коэффициент
      / The Vertex
      (стр.
      2 из 4)

      Разделы: Введение,
      Значение ведущего коэффициента / Вершина, Примеры


      Общий вид квадратичной
      это « y = ax 2 + bx + c «.Для построения графиков старший коэффициент « a »
      указывает, насколько «толстой» или «худой» будет парабола.
      быть.

      для | a | > 1 (такой
      так как a = 3 или a = –4) парабола
      будет «худой», потому что она быстрее разрастается (в три раза
      так быстро или в четыре раза быстрее, соответственно, в случае нашего образца
      значения
      из ).

      для | a | <1 (такой как a = 1 / 3 или a = –1 / 4 ),
      парабола будет «толстой», потому что она растет медленнее (треть
      так же быстро или на четверть от скорости соответственно в примерах). Кроме того, если a отрицательно, парабола перевернута.

      Вы можете увидеть это
      тенденции, если посмотреть, как кривая y = ax 2 движется как « a »
      изменений:

      Как видите, как
      ведущий коэффициент изменяется от очень отрицательного до слегка отрицательного до нуля
      (не совсем квадратичный) от слегка положительного до очень положительного, парабола
      переходит от худого перевернутого к толстому перевернутому к прямой (называемой
      «вырожденная» парабола) к толстому правому боку к худому
      правой стороной вверх.Авторские права
      © Элизабет Стапель 2002-2011 Все права защищены

      Есть простой, хотя и немного
      «тупой», способ запомнить разницу между правой стороной вверх
      параболы и перевернутые параболы:

        положительный квадратичный y = x 2 отрицательный квадратичный y = — x 2

      Это может быть полезная информация:
      Если, например, у вас есть уравнение, в котором a отрицательно, но вы каким-то образом придумываете точки на графике, которые делают его
      Посмотрите, как будто квадратичный — правая сторона, тогда вы будете знать, что вы
      нужно вернуться и проверить свою работу, потому что что-то не так, .


      Параболы всегда имеют
      самая низкая точка (или самая высокая точка, если парабола перевернута). Этот
      точка, в которой парабола меняет направление, называется «вершиной».

      Если квадратичная записана
      в виде y = a ( x h ) 2 + k, тогда
      вершина — это точка ( h , k ).Это делает
      смысл, если задуматься. Квадрат всегда положителен (для
      парабола, направленная вверх правой стороной), если она не равна нулю. Так что у тебя всегда будет это
      фиксированное значение k ,
      и тогда вы всегда будете что-то добавлять к нему, чтобы увеличить на , если, конечно, квадратная часть не равна нулю. Таким образом, наименьшее значение y может быть y = k ,
      и это наименьшее значение будет, когда часть в квадрате, x h , равна
      нуль.И часть в квадрате равна нулю, когда x h = 0, или
      когда x = h . Тоже самое
      рассуждение работает, причем k является наибольшим значением, и квадратная часть всегда вычитается из него,
      для перевернутых парабол.

      (Примечание: « a »
      в форме вершины « y = a ( x h ) 2 + k »
      квадратичной такой же, как « a »
      в общей форме квадратного уравнения: « y = ax 2 + bx + c ».)

      Поскольку вершина полезна
      точки, и поскольку вы можете «считать» координаты для
      вершина из вершины формы квадратичной, вы можете видеть, где вершина
      форма квадратичной может быть полезной, особенно если вершина не одна
      ваших значений T-диаграммы. Однако квадратичные обычно не пишут на
      форма вершины. Вы можете заполнить
      квадрат для преобразования ax 2 + bx + c в форму вершины, но для нахождения вершины проще просто использовать формулу.(Формула вершины
      выводится из процесса завершения квадрата, так же как квадратичный
      Формула. В любом случае запоминание, вероятно, проще, чем завершение
      кв.)

      Для данного квадратичного y = ax 2 + bx + c ,
      вершина ( h , k ) найдена
      вычисляя h = b / 2 a ,
      а затем вычисляя y при h , чтобы найти k .Если вы уже выучили квадратичный
      Формула, вы можете
      легко запомнить формулу для k ,
      поскольку он связан как с формулой для h , так и с дискриминантом в квадратичной формуле: k = (4 ac b 2 )
      / 4 а .

      • Найдите вершину
        из y = 3 x 2 + x -2 и изобразите параболу.

        Чтобы найти вершину, я
        посмотрите на коэффициенты a , b ,
        и c .
        Формула для вершины дает мне:

        Тогда я могу найти k , оценив y при h = –1 / 6 :

          k = 3 (–1 / 6 ) 2 + (–1 / 6 ) — 2

            = 3 / 36 1 / 6 -2

            = 1 / 12 2 / 12
            24 / 12

            = –25 / 12

        Итак, теперь я знаю, что
        вершина находится в точке ( –1 / 6 , –25 / 12 )
        .С использованием
        формула была полезна, потому что это не та точка, которую я, вероятно,
        попасть в мою Т-диаграмму.

        Мне нужны дополнительные
        очков для моего графика:

        Теперь я могу
        график, а вершину обозначу:

      Когда вы записываете
      вершине в домашнем задании запишите точные координаты: «( –1 / 6 , –25 / 12 )».Но для построения графиков десятичное приближение «(–0,2,
      –2.1) «может быть
      более полезно, так как его легче определить по осям.

      Единственное другое соображение
      относительно вершины находится «ось симметрии». Если вы посмотрите
      на параболе вы заметите, что можете провести вертикальную линию вправо
      вверх через середину, что разделило бы параболу на два зеркальных
      половинки.Эта вертикальная линия, проходящая прямо через вершину, называется осью
      симметрии. Если вас спросят об оси, запишите строку « x = h », где h — это
      просто координата x
      вершины. Итак, в приведенном выше примере ось будет вертикальной.
      строка x = h = –1 / 6 .

      Полезное примечание: если ваш квадратичный x -перехватывает
      оказываются красивыми аккуратными числами (так что с ними относительно легко работать),
      ярлык для поиска оси симметрии — отметить, что эта вертикальная
      линия всегда находится точно между двумя точками пересечения x .Таким образом, вы можете просто усреднить два перехвата, чтобы получить местоположение
      ось симметрии и координата x
      вершины. Однако, если у вас беспорядочные x -перехватывания
      (как в примере выше), или если квадратичная на самом деле не пересекает ось x
      (как вы увидите на следующей странице), тогда вам нужно будет использовать формулу
      найти вершину.

      << Предыдущий Наверх | 1 | 2 | 3 | 4 |
      Вернуться к указателю Далее >>

      Цитируйте эту статью
      как:

      Стапель, Елизавета.«Графики квадратичных функций: ведущий коэффициент / вершина». Пурпурная Математика . Доступна с
      https://www.purplemath.com/modules/grphquad2.htm .
      Дата обращения [Дата] [Месяц] 2016 г.

      Алгебра — параболы

      Показать мобильное уведомление

      Показать все заметки Скрыть все заметки

      Похоже, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана ( i.е. вы, вероятно, пользуетесь мобильным телефоном). Из-за характера математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в альбомном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку от вашего устройства (должна быть возможность прокручивать, чтобы увидеть их), а некоторые элементы меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

      Раздел 4-2: Параболы

      В этом разделе мы хотим посмотреть на график квадратичной функции.2} + bx + c \]

      Графики квадратичных функций называются параболами . Вот несколько примеров парабол.

      Все параболы имеют неопределенную U-образную форму, и у них будет самая высокая или самая низкая точка, которая называется вершиной . Параболы могут открываться вверх или вниз и могут иметь или не иметь \ (x \) — точки пересечения, и они всегда будут иметь одну точку пересечения \ (y \).

      Также обратите внимание, что парабола, которая открывается вниз, всегда открывается вниз, а парабола, которая открывается вверх, всегда открывается.Другими словами, парабола не сразу развернется и не начнет открываться, если она уже начала открываться вниз. Точно так же, если он уже начал открываться, он не развернется и не начнет внезапно открываться.

      Пунктирная линия с каждой из этих парабол называется осью симметрии . Каждая парабола имеет ось симметрии, и, как показано на графике, график по обе стороны от оси симметрии является зеркальным отображением другой стороны.Это означает, что если мы знаем точку на одной стороне параболы, мы также будем знать точку на другой стороне, основываясь на оси симметрии. Мы увидим, как найти эту точку, когда рассмотрим несколько примеров.

      Мы, вероятно, должны сделать быстрый обзор перехватов, прежде чем двигаться дальше. Пересечения — это точки, в которых график будет пересекать ось \ (x \) или \ (y \). Мы также видели график в разделе, где мы вводили точки пересечения, где точка пересечения просто касалась оси, но не пересекала ее.

      Поиск перехвата — довольно простой процесс. Чтобы найти \ (y \) — точку пересечения функции \ (y = f \ left (x \ right) \), все, что нам нужно сделать, это установить \ (x = 0 \) и оценить, чтобы найти \ (y \ ) координаты. Другими словами, \ (y \) — точка пересечения — это точка \ (\ left ({0, f \ left (0 \ right)} \ right) \). Мы находим перехват \ (x \) — почти таким же образом. Мы устанавливаем \ (y = 0 \) и решаем полученное уравнение для координат \ (x \). Итак, нам нужно будет решить уравнение

      \ [е \ влево (х \ вправо) = 0 \]

      А теперь вернемся к параболам.Есть базовый процесс, который мы всегда можем использовать, чтобы получить довольно хороший набросок параболы. Вот.

      Рисование параболы
      1. Найдите вершину. Мы скоро обсудим, как это найти. Это довольно просто, но есть несколько способов его найти, поэтому мы обсудим их отдельно.
      2. Найдите \ (y \) — точку пересечения, \ (\ left ({0, f \ left (0 \ right)} \ right) \).
      3. Решите \ (f \ left (x \ right) = 0 \), чтобы найти \ (x \) координаты \ (x \) — точек пересечения, если они существуют.Как мы увидим в наших примерах, у нас может быть 0, 1 или 2 \ (x \) — перехватов.
      4. Убедитесь, что у вас есть хотя бы одна точка по обе стороны от вершины. Это необходимо для того, чтобы получить точный набросок. Если парабола имеет два пересечения \ (x \), то эти точки у нас уже будут. Если он имеет точку пересечения 0 или 1 \ (x \), мы можем либо просто вставить другое значение \ (x \), либо использовать точку пересечения \ (y \) и ось симметрии, чтобы получить вторую точку.
      5. Нарисуйте график.На данный момент мы набрали достаточно очков, чтобы получить довольно хорошее представление о том, как будет выглядеть парабола.

      Теперь мы рассмотрим две формы параболы. Эта первая форма значительно упростит построение парабол. К сожалению, большинство парабол не в такой форме. Вторая форма является более распространенной и потребует немного (и лишь немного) дополнительной работы, чтобы нарисовать график параболы.

      Давайте посмотрим на первую форму параболы.2} + k \]

      Есть две части информации о параболе, которые мы можем мгновенно получить из этой функции. Во-первых, если \ (a \) положительно, тогда парабола откроется, а если \ (a \) отрицательна, то парабола откроется. Во-вторых, вершиной параболы является точка \ (\ left ({h, k} \ right) \). Будьте очень осторожны со знаками при получении здесь вершины.

      Итак, когда нам посчастливится иметь такую ​​форму параболы, мы получаем вершину бесплатно.2} — 8 \) Показать решение

      Сначала нам нужно найти вершину. Однако нам нужно быть осторожными со знаками. Сравнивая наше уравнение с приведенной выше формой, мы видим, что у нас должны быть \ (h = — 3 \) и \ (k = — 8 \), поскольку это единственный способ получить правильные знаки в нашей функции. Следовательно, вершина этой параболы равна

      \ [\ left ({- 3, — 8} \ right) \]

      Теперь давайте найдем точку пересечения \ (y \). Это не что иное, как быстрая оценка функции.2} — 8 = 2 \ left (9 \ right) — 8 = 10 \ hspace {0,25 дюйма} y — {\ mbox {intercept:}} \ left ({{\ mbox {0,10}}} \ right) \]

      Далее нам нужно найти \ (x \) — точки пересечения. Это означает, что нам нужно будет решить уравнение. Однако, прежде чем мы это сделаем, мы можем сказать, будут ли они у нас или нет, еще до того, как мы начнем решать уравнение.

      В этом случае мы имеем \ (a = 2 \), что положительно, и поэтому мы знаем, что парабола раскрывается. Также вершина — это точка ниже оси \ (x \).2} & = 4 \\ x + 3 & = \ pm \ sqrt 4 = \ pm 2 \\ x & = — 3 \ pm 2 \ hspace {0,25in} \ Rightarrow \ hspace {0,25in} x = — 1, \, \, x = — 5 \ end {align *} \]

      Тогда два интерцепта x равны

      \ [\ left ({- 5,0} \ right) \ hspace {0,25 дюйма} {\ mbox {и}} \ hspace {0,25 дюйма} \ left ({- 1,0} \ right) \]

      Теперь у нас есть точки по обе стороны от вершины, так что мы официально закончили поиск точек.Тем не менее, давайте немного поговорим о том, как найти вторую точку с помощью точки пересечения \ (y \) — и оси симметрии, так как в конечном итоге это нам понадобится.

      Во-первых, обратите внимание, что точка пересечения \ (y \) — имеет координату \ (x \), равную 0, в то время как вершина имеет координату \ (x \), равную -3. Это означает, что точка пересечения \ (y \) находится на расстоянии 3 вправо от оси симметрии, поскольку она будет двигаться прямо вверх от вершины.

      Теперь левая часть графика будет зеркальным отображением правой части графика.Итак, поскольку есть точка в \ (y = 10 \), которая находится на расстоянии 3 вправо от оси симметрии, также должна быть точка в \ (y = 10 \), которая находится на расстоянии 3 до слева от оси симметрии.

      Итак, поскольку координата \ (x \) вершины равна -3, а эта новая точка находится на расстоянии 3 влево, ее координата \ (x \) должна быть -6. Тогда координаты этой новой точки равны \ (\ left ({- 6,10} \ right) \). Мы можем проверить это, оценив функцию в \ (x = — 6 \).2} — 8 = 2 \ влево (9 \ вправо) — 8 = 10 \]

      Итак, мы были правы. 2} — 1 \) Показать решение

      Хорошо, мы не будем вдаваться в подробности.2} — 1 = — 4 — 1 = — 5 \]

      Перехватчик \ (y \) — это \ (\ left ({0, — 5} \ right) \).

      Теперь мы знаем, что вершина начинается ниже оси \ (x \), а парабола открывается вниз. Это означает, что не может быть \ (x \) — пересечений, поскольку ось \ (x \) находится над вершиной, а парабола всегда будет открываться вниз. Это означает, что в целом нет причин проходить процесс решения, чтобы найти то, чего не будет.

      Но давайте все равно сделаем это.2} & = — 1 \\ x — 2 & = \ pm \, i \\ x & = 2 \ pm \, i \ end {align *} \]

      Итак, у нас есть комплексные решения. Сложные решения всегда будут указывать на отсутствие \ (x \) — перехватов.

      Теперь нам нужны точки по обе стороны от вершины, поэтому мы будем использовать точку пересечения \ (y \) и ось симметрии, чтобы получить вторую точку. Пересечение \ (y \) — это расстояние в два слева от оси симметрии и находится в \ (y = — 5 \), поэтому должна быть вторая точка только с тем же значением \ (y \). расстояние 2 вправо от оси симметрии.2} + 4 \) Показать решение

      Это на самом деле довольно просто построить график. Сначала мы заметим, что он откроется вверх.

      Итак, вершина, вероятно, является точкой, в которой большинство студентов сталкиваются здесь с проблемами. Поскольку у нас есть x 2 , это означает, что у нас должно быть \ (h = 0 \), и поэтому вершина равна \ (\ left ({0,4} \ right) \).

      Обратите внимание, что это означает, что с этой параболой не будет никаких \ (x \) — пересечений, поскольку вершина находится выше оси \ (x \), а парабола открывается вверх.2} + 4 = 4 \ hspace {0,25 дюйма} y — {\ mbox {intercept:}} \ left ({0,4} \ right) \]

      Перехватчик \ (y \) точно такой же, как вершина. Такое случается время от времени, поэтому нам не стоит слишком об этом беспокоиться. Хотя это будет означать, что на этот раз мы не сможем использовать \ (y \) — точку пересечения, чтобы найти вторую точку по другую сторону вершины. Фактически, у нас даже нет точки, кроме вершины!

      Итак, нам нужно найти точки по обе стороны от вершины.2} + 4 = 8 \ hspace {0,25 дюйма} \ Rightarrow \ hspace {0,25 дюйма} \ left ({2,8} \ right) \ end {align *} \]

      Обратите внимание, что мы могли бы получить здесь вторую точку, используя ось симметрии, если бы захотели.

      Вот набросок графика.

      Итак, мы видели несколько примеров этой формы параболы. Однако, как отмечалось ранее, большинство парабол не даны в такой форме. Итак, нам нужно взглянуть на то, как построить параболу в общем виде.2} + bx + c \]

      В этой форме знак \ (a \) будет определять, будет ли парабола открываться вверх или вниз, как это было в предыдущем наборе примеров. 2} + 4x + 4 \) Показать решение

      В этой заключительной части мы имеем \ (a = 1 \), \ (b = 4 \) и \ (c = 4 \).2} + 4 \ left ({- 2} \ right) + 4 = 0 \ end {align *} \]

      Итак, вершина \ (\ left ({- 2,0} \ right) \). Обратите внимание, что поскольку координата \ (y \) этой точки равна нулю, она также является точкой пересечения с \ (x \). Фактически, это будет единственный \ (x \) — перехватчик для этого графа. Это имеет смысл, если мы примем во внимание тот факт, что вершина в данном случае является самой низкой точкой на графике, и поэтому график просто не может касаться оси \ (x \) где-либо еще.

      Тот факт, что эта парабола имеет только один \ (x \) — точку пересечения, можно проверить, решив, как мы делали до этого момента в других примерах.2} \ hspace {0,25 дюйма} \ Rightarrow \ hspace {0,25 дюйма} x = — 2 \ end {align *} \]

      Конечно, есть только один \ (x \) — перехватчик. Обратите внимание, что это будет означать, что нам придется использовать ось симметрии, чтобы получить вторую точку пересечения \ (y \) — в этом случае.

      Кстати, перехватчик \ (y \) в данном случае равен \ (\ left ({0,4} \ right) \). Это означает, что вторая точка — это \ (\ left ({- 4,4} \ right) \).

      Вот набросок графика.2} — 6x + \ frac {3} {2}} \ right) \]

      Обратите внимание, что это часто приводит к дроблению проблемы, с которой нам нужно иметь дело. Также обратите внимание, что если нам посчастливилось получить коэффициент 1 при члене x 2 , нам не нужно будет выполнять этот шаг.

      Вот здесь процесс действительно начинает отличаться от того, что мы видели до этого момента. Мы по-прежнему берем половину коэффициента при \ (x \) и возводим его в квадрат.2} — 6x + 9 — 9 + \ frac {3} {2}} \ right) \]

      Мы складываем и вычитаем это количество внутри скобок, как показано. Обратите внимание, что все, что мы здесь делаем, это добавляем ноль, так как 9-9 = 0! Указанный здесь порядок важен. 2} — \ frac {{15}} {2}} \ right) \]

      В качестве последнего шага мы снова умножаем 2.2+ 5x + 3`

      Рисование парабол

      Чтобы нарисовать график квадратного уравнения, выполните следующие действия:

      (a) Проверить, является ли «a> 0» или «a <0», чтобы решить, является ли он U-образным или n-образным.

      (б) Вершина:
      Координата x минимальной точки (или максимальной точки) определяется как

      .

      `х = -b / (2a)`

      (который можно показать, завершив квадратный метод, с которым мы встречались ранее).

      Мы подставляем это значение x в нашу квадратичную функцию (выражение y ). Тогда у нас будут координаты ( x , y ) минимальной (или максимальной) точки. Это называется вершиной параболы.

      (c) Координаты точки пересечения y (замените `x = 0`). Это всегда легко найти!

      (d) Координаты точек пересечения x (подставьте `y = 0` и решите квадратное уравнение), если их легко найти. 2-8 (2) + 6 = -2`

      Итак, минимальная точка — `(2, -2)`

      Шаг (c)

      Перехват y находится путем подстановки x = 0 в выражение y .2 -4x -3`, показывающая максимальную точку и пересечения с осями

      Как построить параболу в Word | Small Business

      Парабола — это изогнутая линия с определенными характеристиками. Любая точка кривой находится на одинаковом расстоянии от фиксированной точки и фиксированной прямой линии. Результат выглядит как половина эллипса или дуга, образующаяся, когда объект подбрасывается в воздух и падает с небольшого расстояния. Поскольку это не математическая программа, Microsoft Word не может построить график из данных, которые вы вводите, но с его большим набором инструментов рисования вы можете нарисовать параболу после того, как вычислите ее форму.

      Настройка сетки графика

      Откройте приложение Microsoft Word для нового пустого документа.

      Щелкните вкладку «Вставка» и кнопку «Фигуры» на панели «Иллюстрации». Выберите форму прямоугольника.

      Удерживая нажатой клавишу Shift, щелкните и перетащите мышь в окне документа, чтобы создать квадратную форму, которая будет контуром вашего графика.

      Щелкните, чтобы выбрать объект формы, и обратите внимание, что в правом верхнем углу ленты появляется специальная версия вкладки «Формат», которая называется «Средства рисования».«Эта вкладка содержит все команды рисования Word, но появляется только при выборе объекта рисования.

      Нажмите кнопку« Выровнять »на панели« Упорядочить »вкладки« Инструменты рисования »и выберите« Просмотреть линии сетки »в раскрывающемся списке. в раскрывающемся меню. На странице появляется бледно-серая сетка, которая поможет вам выровнять нарисованные объекты. Щелкните свой квадрат и перетащите его, чтобы он совпал с сеткой.

      Нажмите «Заливка фигуры» на панели «Стили фигур» и выберите «Без заливки», чтобы удалить любой цвет с квадрата. Вы хотите, чтобы линии сетки за квадратом были видны.

      Используйте серые линии сетки, чтобы построить параболу, или нарисуйте свои собственные горизонтальные и вертикальные линии внутри квадрата. Инструмент «Линия» расположен на панели «Вставить фигуры» в крайнем левом углу вкладки «Инструменты рисования». Если вы рисуете свои собственные линии, вы можете использовать кнопки на панели «Стили фигур», чтобы раскрасить их или изменить толщину линии.

      Рисование параболы

      Щелкните вкладку «Инструменты рисования», панель «Вставить фигуры» и выберите «Кривая» из линейных объектов.

      Щелкните крайнюю левую точку параболы, затем щелкните правой кнопкой мыши точку, в которой линия фокусировки пересекает ось Y. Это создает первую половину вашей параболической кривой.

      Дважды щелкните крайнюю правую точку параболы, чтобы создать вторую половину кривой и завершить инструмент кривой. Линия параболы теперь представляет собой отдельный графический объект на экране.

      Используйте кнопки «Заливка фигуры» и «Контур фигуры» на панели «Стили фигур», чтобы настроить цвет кривой параболы, если хотите.

      Ссылки

      Ресурсы

      Советы

      • Если вы решите использовать автоматические линии сетки Word в качестве миллиметровой бумаги, все же рекомендуется использовать инструменты рисования, чтобы нарисовать линию для осей X и Y, чтобы придать вашему графику больше определение.

      Предупреждения

      • Инструмент кривой в Word знает только о точках, которые вы щелкнули, и полученная кривая является приблизительной, а не точной графикой по всем осям X и Y точка за точкой.Если вам нужно отрегулировать кривую параболы после ее рисования, нажмите кнопку «Редактировать фигуру» на панели «Вставить фигуры» на вкладке «Инструменты рисования» и выберите «Редактировать точки». Это позволяет вам захватывать точки на кривой параболы и перемещать их.

      Писатель биографии

      Кейтлин Келли работала в сфере информационных технологий в качестве консультанта по вычислениям и коммуникациям и веб-менеджера в течение 15 лет, прежде чем стать внештатным писателем в 2003 году. Она специализируется на учебных и технических материалах в области компьютеров, игр и ремесел.Келли имеет степень бакалавра математики и информатики Бостонского колледжа.

      Графические параболы

      Как только вы поймете, как устроена парабола, вы можете использовать эту информацию для построения графика.

      Чтобы построить параболу …

      1. Определите, открывается ли она вверх, вниз, влево или вправо.

      2. Найдите и начертите вершину

      3. Проведите линию симметрии

      4. Найдите и нанесите на график больше точек, подставив значения вместо x или y.

      5. Совместите эти точки на другой стороне линии симметрии

      6. Нарисуйте параболу.

      Примеры:

      1. График

      Сначала мы знаем, что он вертикальный, поскольку x возведен в квадрат. Поскольку a отрицательно, он открывается вниз.

      Вершина равна (-3, -1). Давайте нарисуем это:

      Теперь мы проведем линию симметрии через эту точку. Поскольку это вертикальная парабола, линия симметрии вертикальна.

      Далее мы подставим значения для x. Мы хотим выбрать значения, которые находятся рядом с нашей линией симметрии, но с той же стороны. Итак, поскольку наша линия симметрии находится в точке x = -3, давайте использовать x = -2 и x = -1.

      Итак, подставим -2 вместо x и решим относительно y:

      y = -2 (1) -1

      y = -2-1

      y = -3 Координата: (-2, — 3)

      И сделаем то же самое с x = -1:

      y = -2 (4) -1

      y = -8-1

      y = -9 Координата: (-1, -9)

      И давайте построим две найденные точки:

      Теперь мы можем использовать линию симметрии, чтобы найти совпадающие точки на другой стороне.Каждая точка справа должна быть отражена слева. Если он находится на расстоянии одного пробела от линии, то есть совпадающая точка на расстоянии одного пробела с другой стороны. Если он находится на расстоянии двух пробелов, точка совпадения находится на расстоянии двух пробелов и т. Д. (См. Ниже)

      Чтобы закончить, мы просто рисуем параболу.

      Технически линия симметрии не является частью ответа, поэтому чистый график параболы будет выглядеть так:

      2. График

      Для начала, сначала мы знаем, что он горизонтальный, поскольку y возведен в квадрат. , а поскольку a положительно, он открывается вправо.

      Вершина равна (-4, 2). Давайте нарисуем это:

      Теперь мы проведем линию симметрии через эту точку. Поскольку это горизонтальная парабола, линия симметрии горизонтальна.

      Обычно мы подставляем значения вместо x. Мы могли бы это сделать, но для этого нам потребуется изменить уравнение. Вместо этого мы можем подставить значения для y.

      Мы хотим выбрать значения, которые находятся рядом с нашей линией симметрии, но с той же стороны. Итак, поскольку наша линия симметрии находится в точке y = 2, мы будем использовать y = 1 и y = 0.Однако, если мы используем 1, мы собираемся получить дробь, поэтому давайте пропустим это значение и используем y = 0.

      Давайте подставим 0 для y и решим для x:

      x = 2- 4

      x = -2 Координата: (-2, 0)

      Если мы используем y = -1, мы снова получим дробь, поэтому давайте используем y = -2

      x = 8-4

      x = 4 Координата: (4, -2)

      И давайте построим две найденные точки:

      Теперь мы можем использовать линию симметрии, чтобы найти совпадающие точки на другой стороне.

      Добавить комментарий

      Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

      2021 © Все права защищены.