График уравнения с двумя переменными: График линейного уравнения с двумя переменными: алгоритм построения — ошкольное образовательное учреждение № 4 «Алёнушка»

Содержание

График линейного уравнения с двумя переменными: алгоритм построения

Линейное уравнение с двумя переменными — любое уравнение, которое имеет следующий вид: a*x + b*y =с. Здесь x и y есть две переменные, a,b,c – некоторые числа.

Решением линейного уравнения a*x + b*y = с , называется любая пара чисел (x,y) которая удовлетворяет этому уравнению, то есть обращает уравнение с переменными x и y в верное числовое равенство. Линейное уравнение имеет бесконечное множество решений.

Если каждую пару чисел, которые являются решением линейного уравнения с двумя переменными, изобразить на координатной плоскости в виде точек, то все эти точки образуют график линейного уравнения с двумя переменными. Координатами точками будут служить наши значения x и у. При этом значение х будет являться абсциссой, а значение у – ординатой.

График линейного уравнения с двумя переменными

Графиком линейного уравнения с двумя переменными называется множество всевозможных точек координатной плоскости, координаты которых будут являться решениями этого линейного уравнения. Несложно догадаться, что график будет представлять собой прямую линию. Поэтому такие уравнения и называются линейными.

Алгоритм построения

Алгоритм построения графика линейного уравнения с двумя переменным.

1. Начертить координатные оси, подписать их и отметить единичный масштаб.

2. В линейном уравнении положить х = 0, и решить полученное уравнение относительно у. Отметить полученную точку на графике.

3. В линейном уравнении в качестве у взять число 0, и решить полученное уравнение относительно х. Отметить полученную точку на графике

4. При необходимости взять произвольное значение х, и решить полученное уравнение относительно у. Отметить полученную точку на графике.

5. Соединить полученные точки, продолжить график за них. Подписать получившуюся прямую.

Пример: Построить график уравнения 3*x – 2*y =6;

Положим х=0, тогда – 2*y =6; y= -3;

Положим y=0, тогда 3*x = 6; x=2;

Отмечаем полученные точки на графике, проводим через них прямую и подписываем её. Посмотрите на рисунок ниже, график должен получиться именно таким.

Нужна помощь в учебе?

Предыдущая тема: Линейное уравнение с двумя переменными: решение и свойства
Следующая тема:&nbsp&nbsp&nbspСистемы линейных уравнений с двумя переменными

График линейного уравнения с двумя переменными

Вопросы
занятия:

·
ввести понятие «график линейного уравнения с двумя переменными»;

·
рассмотреть поведение графика в зависимости от значений коэффициентов перед
переменными.

Материал
урока

На
прошлом уроке мы с вами познакомились с линейным уравнением с двумя переменным.
Давайте, вспомним определение.

И
сегодня на уроке мы будем вести речь о графике такого уравнения.

Сформулируем
определение:

Графиком
уравнения с двумя переменными называется множество всех точек
координатной плоскости, координаты которых являются решениями этого уравнения.

Рассмотрим
уравнение:

Обратите
внимание, что полученная формула имеет вид линейной функции, графиком которой
является прямая.

Так
как прямая определяется двумя точками, то для построения графика нам достаточно
указать две точки. Так:

Таким
образом, получили две точки с координатами:

Теперь
на координатной плоскости отметим эти точки и проведём через них линию.

Эта
прямая является графиком исходного уравнения.

Все
точки, принадлежащие графику, – это пары чисел, которые являются решениями
нашего уравнения.

Теперь
рассмотрим уравнение, в котором коэффициент при одной из переменных равен нулю.

Например,

А
это постоянная функция. С предыдущих уроков нам известно, что график такой
функции – это прямая, которая проходит через точку с координатами (0; 2)
и параллельна оси Ox.

Все
точки, принадлежащие этой прямой, – это пары чисел, которые являются решениями
данного уравнения. И таких решений бесконечно много.

Сформулируем
определение.

Определение.

Графиком
линейного уравнения с двумя переменными, в котором хотя бы один
из коэффициентов при переменных не равен нулю, является прямая.

А
теперь давайте рассмотрим случай, когда в линейном уравнении оба коэффициента
при переменных равны нулю.

Давайте,
рассмотрим примеры построения графиков линейных уравнений.

Пример.

Итоги
урока.

Итак,
сегодня на уроке мы выяснили, что же представляет собой график линейного
уравнения с двумя переменными и научились строить такие графики.

Линейное уравнение с двумя переменными и его график, примеры

График линейного уравнения с двумя переменными

В линейном уравнении с двумя переменными ax+by=c , a и b называют коэффициентами при переменных, c — свободным членом.

Если хотя бы один из коэффициентов при переменных не равен нулю, графиком линейного уравнения с двумя переменными является прямая.

Действительно:

$$ ax+by = c \iff y = — \frac{a}{b} x+ \frac{c}{b} $$

Если сравним полученное уравнение $с y = kx+ \tilde b$ (см. §38 данного справочника), получаем:

$$ k = -\frac{a}{b} , \tilde b = \frac{c}{b}$$

Графиком $y = kx+ \tilde b$ является прямая, угловой коэффициент k определяет угол наклона, слагаемое $\tilde b$ – точку пересечения прямой с осью Y (см. §39 данного справочника).

Точки пересечения с осями координат:

${\left\{ \begin{array}{c} x = 0 \\ y = \frac{c}{b}\end{array} \right.}, {\left\{ \begin{array}{c} x = \frac{c}{a} \\ y = 0\end{array} \right.}$

Внимание!

График линейной функции ax+by=c с ненулевыми коэффициентами очень удобно чертить по двум точкам пересечения с осями координат: точка на оси X ( $\frac{c}{a}$;0) и точка на оси Y (0; $\frac{c}{b}$)

Равенство нулю коэффициентов при переменных:

$a = 0,b \neq 0$

$a \neq 0, b = 0$

$0x+2y = 4 \Rightarrow y = 2$

График – прямая, параллельная оси Х.

$3x+0y = 3 \Rightarrow x = 1$

График – прямая, параллельная оси У.

0x+0y = 0

x, $y \in \Bbb R$ — любое действительное число.

График – вся координатная плоскость

0x+0y = 5

Решений нет.

График – пустое множество.

Взаимное расположение графиков двух уравнений

$$ a_1 x+b_1 y = c_1 и a_2 x+b_2 y = c_2 $$

$ \frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2} $

$ \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2} $

$ \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} $

Прямые пересекаются

Прямые параллельны

Прямые совпадают

Примеры

Пример 1. Постройте график линейного уравнения по двум точкам пересечения с осями.

Пример 2. Постройте в одной координатной плоскости графики, найдите точку пересечения:

а) x+2y = 4 и x-2y = 4

Точка пересечения (4;0)

б) x+y = 4 и x-y = -1

Точка пересечения (1,5;2,5)

График линейного уравнения с двумя переменными

Текст этой презентации

Слайд 1

График линейного уравнения с двумя переменными

Слайд 2

Цель урока:
ввести понятие графика уравнения с двумя переменными; повторить построение графика линейной функции по двум точкам; закрепить навыки нахождения одной переменной через другую.

Слайд 3

Устные упражнения
а) 3х – у = 14 б) 5у + х² = 16 в) 7ху – 5у = 12 г) 5х + 2у = 16 Ответ: 3х – у = 14 5х + 2у = 16

Слайд 4

Выбрать точку, которая принадлежит графику уравнения
2х + 5у = 12 А(-1; -2), В(2; 1), С(4; -4), D(11; -2). D(11; -2).

Слайд 5

x
8 6 4 2
-2
е ж з и к л м
а б в г д
у ф х ц ч ш щ
й э ю я п р с
н о т й
(6;4) (-2;-2) (4;4) (-2;-2) (4;6) (-6;4) (0;2)
М О Л О Д Е Ц
y
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

Слайд 6

Построение графика функции y=3x.
Х
у
Х
у
Х
у
-независимая переменная (придумываем)
-зависимая переменная (считаем)
0
2
0
6
х
у
-4 0 2 4 6 8
6 4 2 -2 -4
Построение графика функции y=-2x.
Построение графика функции y=-2x+3.
0 2
0
-4
0 2
3
-1

Слайд 7

Каждая пара чисел, являющаяся решением уравнения с переменными х и у, изображается в координатной плоскости точкой, координатами которой служит пара чисел. Все эти точки образуют график уравнения.

Слайд 8

Выясним, что представляет собой график уравнения 3х+2у=6
Выразим переменную у через х у=-1,5х+3 Формулой у=-1,5х+3 задается линейная функция, графиком которой служит прямая. Уравнения 3х+2у=6 и у=-1,5х+3 равносильны, то эта прямая является и графиком уравнения 3х+2у=6

Слайд 9

Построим график функции y=-1,5x+3.
Х 0 2
у 3 0
х
у
3 2 1 -1 -2
Пары точек (0;3) и (2;0) Являются решением данного уравнения 3х+2у=6

Слайд 10

Графиком уравнения с двумя переменными называется множество всех точек координатной плоскости, координаты которых являются решениями этого уравнения

Слайд 11

Если в линейном уравнении коэффициент при х равен нулю, то графиком такого уравнения является прямая
y=kx +b – линейная функция. y=0x +b, тогда y=b Прямые параллельны оси х
х
у
6 4 2 -2 -4
у=6
у=4
у=-4

Слайд 12

Если в линейном уравнении коэффициент при у равен нулю, то графиком такого уравнения является прямая
y=kx +b – линейная функция. 0y+kx=b, тогда х=b/ k Прямые параллельны оси у
у
6 4 2 -2 -4
х=-4
х=4
х=2

Слайд 13

Графиком линейного уравнения с двумя переменными, в котором хотя бы один из коэффициентов при переменных не равен нулю, является прямая.

Слайд 14

Уравнение ax+by=c, в котором оба коэффициента при переменных равны нулю, имеет вид 0x+0y=c. При с=0 любая пара чисел является решением этого уравнения, а его графиком -вся координатная плоскость. При с≠0 уравнение не имеет решений и его график не содержит ни одной точки

Слайд 15

ФизкультминуткаУпражнение 1 «Глядя в небо»
Цель этого упражнения — устранение вредных эффектов от неподвижного сидения в течение длительного периода времени и профилактика грыжи межпозвоночных дисков поясничного отдела. Поза: стоя В положении стоя положите руки на бедра. Медленно отклоняйтесь назад, глядя на небо или в потолок. Вернитесь в исходное положение. Повторите 10 раз.

Слайд 16

№1048(Б)

Слайд 17

Слайд 18

Слайд 19

№1051

Слайд 20

Самостоятельная работа
1 вариант 1. Какие из пар чисел (1;1), (6;5), (9;11) являются решением уравнения 5х – 4у — 1 =0? 2. Постройте график функции 2х + у = 4.
2 вариант 1. Какие из пар чисел (1;1), (1;2), (3;7) являются решением уравнения 7х – 3у — 1 =0? 2. Постройте график функции 5х + у – 4 = 0.

Слайд 21

Самостоятельная работа
1 вариант №1 (1;1), (9;11)
2 вариант №1 1. (1;2)

Слайд 22

Х
У
2
0
1 в №2
4

Слайд 23

Х
У
1
0
2 в №2
4

Слайд 24

Оцените свои знания, полученные на уроке
У меня все отлично
У меня все хорошо
Возникли трудности

Слайд 25

Домашняя работа.
П.41, №1045, 1048 (а, в,д)

§ 1. Линейные уравнения с двумя переменными — ЗФТШ, МФТИ

В первом задании мы рассмотрели линейные уравнения с одной переменной. Например, уравнения `2x+5=0`, `3x+(8x-1)+9=0` являются линейными уравнениями с переменной `x`. Уравнение, содержащее переменные `x` и `y`, называется уравнением с двумя переменными. 2=7` являются уравнениями с двумя переменными.

Уравнение вида `ax+by=c` называется линейным уравнением с двумя переменными, где `x` и `y` переменные, `a`, `b`, `c` — некоторые числа.

Например, уравнения `2x+y=3`, `x-y=0` являются линейными уравнениями с двумя переменными.

Решением уравнения с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая это уравнение в верное равенство.

Например, `x=3`, `y=4` является решением уравнения `2x+3y=18`, будем эту пару чисел записывать так `(3;4)`. Очевидно, что пара чисел `(4;3)` не является решением уравнения, т. к. `2*4+3*3=17!=18`. При нахождении решений с двумя переменными на первом месте в паре чисел пишем значение для переменной `x`, а на втором месте – значение переменной `y`.

Если каждое решение одного уравнения является решением второго уравнения и обратно, то данные уравнения называются равносильными. Например, решения уравнений `2x+y=3` и `4x+2y=6` совпадают, следовательно, эти уравнения равносильные.

1) если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение, равносильное данному;

2) если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получим уравнение, равносильное данному.

Укажите три различных решения для уравнения `3x+y-2=0`.

Если `x=0`, то `y=2`; если `y=0`, то `x=2/3`; если `x=1`, то `y=-1`.

Таким образом, пары чисел `(0;2)`, `(2/3;0)`, `(1;-1)` являются решениями данного уравнения. Заметим, что данное уравнение имеет бесконечно много решений. Для заданного значения `x` значение `y=2-3x`, т. е. любая пара чисел `(x;2-3x)`, где `x` — любое число, является решением уравнения.

Рассмотрим координатную плоскость `Oxy` и отметим на ней все точки `(x,y)`, для которых пара чисел `x` и `y` является решениями уравнения. Например, рассмотрим уравнение `y=2`. Этому уравнению удовлетворяют все пары чисел `(x;2)`.Точки, для которых `x` — любое число, а `y=2`, лежат на прямой `y=2`. Эта прямая параллельна оси `x` и проходит через точку `(0;2)` (см. рис. 1).

Рассмотрим уравнение `x=3`. Каждая пара чисел, являющаяся решением данного уравнения, изображается точкой с координатами `x` и `y` на координатной плоскости `Oxy`. Решениями данного уравнения являются пары чисел `(3;y)`. Точки с координатами `x=3` и `y` лежат на прямой `x=3`, эта прямая параллельна оси `Oy` и проходит через точку `(3;0)` (см. рис. 2).

Графиком уравнения с двумя переменными называется множество всех точек координатной плоскости, координаты которых являются решениями данного уравнения.

На рис. 1 графиком уравнения является прямая `y=2`, на рис. 2 графиком уравнения является прямая `x=3`.

Рассмотрим теперь уравнение `2x+3y-1=0`. Выразим переменную `y` через `x`, получаем `y=1/3-2/3x`, это уравнение задаёт линейную функцию, и нам известно, что её графиком является прямая. Чтобы построить эту прямую, достаточно рассмотреть две точки, координаты которых удовлетворяют уравнению, а затем через эти две точки провести прямую. При `x=0` `y=1/3` и при `x=1/2` `y=0`. График данного уравнения приведён на рис. 3.

Рассмотрим уравнение `(x-4)(x+y-4)=0`. Произведение двух скобок равно нулю, каждая скобка может равняться нулю. Наше уравнение распадётся на два уравнения: `x=4` и `x+y-4=0`. Графиком первого уравнения является прямая, параллельная оси `Oy` и проходящая через точку `(4;0)`. Графиком второго уравнения является график линейной функции `y=4-x`, эта прямая проходит через точки `(4;0)` и `(0;4)`. График данного уравнения приведён на рис. 4.

Постройте график уравнения `|x|+|y|=1`.

Этот пример можно решать двумя способами. Пусть `x>=0` и `y>=0`, точки с такими координатами лежат в первой четверти. Получаем уравнение `x+y=1`, так как `|x|=x` и `|y|=y`. Графиком данного уравнения является прямая, проходящая через точки `A(1;0)` и `B(0;1)`. Графику исходного уравнения принадлежат точки полученной прямой, лежащие в первой четверти, т. е. графику принадлежат точки отрезка `AB`, где `A(1;0)` и `B(0;1)`.

Пусть теперь `x<=0` и `y>=0` тогда получаем уравнение `-x+y=1`, рассматриваем точки полученной прямой, лежащие во второй четверти. Это будет отрезок `BC`, где `C(-1;0)`. При `x<=0`, `y<=0` получим отрезок `CD` где `D(0;-1)`, и при `>=0`, `y<=0` получим отрезок `DA`. Таким образом, график данного уравнения состоит из точек квадрата `ABCD` (рис. 5).

Этот пример можно решать другим способом. Пусть `y>=0`, тогда наше уравнение эквивалентно уравнению `y=1-|x|`. В первом задании мы строили график функции `y=|x|` (см. рис. 6). График функции `y=-|x|` получается зеркальным отражением относительно оси `Ox` графика функции `y=|x|` (см. рис. 7). График функции `y=1-|x|` получается из графика функции `y=-|x|` сдвигом вдоль оси `Oy` на единицу вверх (см. рис. 8). У полученного графика рассматриваем только точки, для которых `y>=0`. Получим ломаную `ABC` с рис. 5.

Далее рассматриваем `y<=0`, получим, что графиком уравнения при `y<=0` является ломаная `CDA` с рис. 2=11`,

`(x+2-y-1)*(x+2+y+1)=11`.

Если `x` и `y` целые числа, то выражения, стоящие в скобках, являются целыми числами. А это могут быть числа `+-1` и `+-11`. Решаем `4` системы уравнений:

$$ \left\{\begin{array}{l}x+2-y-1=1,\\ x+2+y+1=11;\end{array}\right.$$

$$ \left\{\begin{array}{l}x+2-y-1=11,\\ x+2+y+1=1;\end{array}\right.$$

$$ \left\{\begin{array}{l}x+2-y-1=-1,\\ x+2+y+1=-11;\end{array}\right.$$

$$ \left\{\begin{array}{l}x+2-y-1=-11,\\ x+2+y+1=-1.\end{array}\right.$$

Решая эти системы, получаем `4` решения: `(4;4)`, `(4;-6)`, `(-8;-6)`, `(-8;4)`.

График линейного уравнения с двумя переменными

1. График линейного уравнения с двумя переменными

2. Графиком уравнения с двумя неизвестными называется множество всех точек координатной плоскости, координаты которых являются

решениями этого уравнения.

3. №1. Выразите у через х в уравнении:

а)
б)
в)
г)
3х – у = 2;
5х + 2у = 7;
х + 2у = 4;
2х – у = 11.
Проверь себя:
а) у = 3х – 2;
б) у = — 2,5х + 3,5;
в) у = — 0,5х + 2;
г) у = 2х – 11.
У = кх + b

4. №2. Из графиков, изображённых на рисунке, выберите: графики линейной функции; графики прямой пропорциональности.

5. № 3. Построить график уравнения 4х + 2у = 8.

Выразим переменную у
через х:
2у = 8 – 4х,
у = 4 – 2х.
у = -2х + 4 – линейная
функция, графиком
является прямая.
уу
у
4
4х+2у=8
1
х
у
0
4
2
0
0
12
х
aх + by = c
у
a = 0 => by = c,
y = c/b =>
=> график – прямая,
проходящая через
точку (0; c/b)
параллельно оси ОХ
c/b
0
х
aх + by = c
у
b = 0 => ax = c,
x = c/a =>
=> график – прямая,
проходящая через
точку (c/a; 0)
параллельно оси OY
0 c/a
х

8. Вывод: графиком линейного уравнения с двумя переменными, в котором хотя бы один из коэффициентов при переменных отличен от

нуля, является прямая.
aх + by = c
а = 0 и b = 0 => 0 = c, =>
=> при с = 0 график – любая точка
координатной плоскости;
при с≠ 0 уравнение решений не имеет,
следовательно график построить
невозможно.

10. № 4. Покажите построением, что графики уравнений у= — х + 5; 2х – у = 16; х + 2у – 3 = 0 пересекаются в одной точке. Найдите

координаты этой точки.

11. Решение.

у
1) у = — х + 5.
х
0
у
5
2) 2х – у = 16,
у = 2х – 16
х
5
у
-6
5
0
8
0
3) х + 2у – 3 = 0,
2у = 3 – х,
у = — 0,5х + 1,5
х
у
0
1,5
3
0
5
4
3
2
У = -х +5
1
-3
0
1 2 3 4 5
-1
Х + 2у – 3 = 0
-2
-3
-4
-5
-6
6 7 8
А(7; — 2)
2х – у = 16
х
Домашнее задание: п.41,
№№ 1046, 1048 (а,в,д,е)

Построение графика квадратного уравнения с двумя переменными. Как построить график уравнения.

Преимущества построения графиков онлайн

На этом уроке мы подробно рассмотрим построение графиков уравнений. Вначале вспомним, что такое рациональное уравнение и множество его решений, образующее график уравнения. Подробно рассмотрим график линейного уравнения и свойства линейной функции, научимся читать графики. Далее рассмотрим график квадратного уравнения и свойства квадратичной функции. Рассмотрим гиперболическую функцию и ее график и график уравнения окружности. Далее перейдем к построению и изучению совокупности графиков.

Тема: Системы уравнений

Урок: Графики уравнений

Мы рассматриваем рациональное уравнение вида и системы рациональных уравнений вида

Мы говорили, что каждое уравнение в этой системе имеет свой график, если конечно имеются решения уравнений. Мы рассмотрели несколько графиков различных уравнений.

Сейчас мы систематически рассмотрим каждое из известных нам уравнений, т. е. выполним обзор по графикам уравнений
.

1. Линейное уравнение с двумя переменными

x, y — в первой степени; a,b,c — конкретные числа.

Пример:

Графиком этого уравнения является прямая линия.

Мы действовали равносильными преобразованиями — y оставили на месте, всё остальное перенесли в другую сторону с противоположными знаками. Исходное и полученное уравнения равносильны, т.е. имеют одно и то же множество решений. График этого уравнения мы умеем строить, и методика его построения такова: находим точки пересечения с координатными осями и по ним строим прямую.

В данном случае

Зная график уравнения, мы можем многое сказать о решениях исходного уравнения, а именно: если сли

Эта функция возрастает, т.е. с увеличением x увеличивается y. Мы получили два частных решения, а как записать множество всех решений?

Если точка имеет абсциссу x, то ордината этой точки

Значит, чисел

У нас было уравнение, мы построили график, нашли решения. Множество всех пар — сколько их? Бесчисленное множество.

Это рациональное уравнение,

Найдем y, равносильными преобразованиями получаем

Положим и получаем квадратичную функцию, ее график нам известен.

Пример: Построить график рационального уравнения.

Графиком является парабола, ветви направлены вверх.

Найдем корни уравнения:

Схематически изобразим график (Рис. 2).

С помощью графика мы получаем всевозможные сведения и о функции, и о решениях рационального уравнения. Мы определили промежутки знакопостоянства, теперь найдем координаты вершины параболы.

У уравнения бесчисленное множество решений, т.е. бесчисленное множество пар , удовлетворяющих уравнению, но все А каким может быть x? Любым!

Если мы зададим любое x, то получим точку

Решением исходного уравнения является множество пар

3. Построить график уравнения

Необходимо выразить y. Рассмотрим два варианта.

Графиком функции является гипербола, функция не определена при

Функция убывающая.

Если мы возьмем точку с абсциссой , то ее ордината будет равна

Решением исходного уравнения является множество пар

Построенную гиперболу можно сдвигать относительно осей координат.

Например, график функции — тоже гипербола — будет сдвинут на единицу вверх по оси ординат.

4. Уравнение окружности

Это рациональное уравнение с двумя переменными. Множеством решений являются точки окружности. Центр в точке радиус равен R (Рис. 4).

Рассмотрим конкретные примеры.

Приведем уравнение к стандартному виду уравнения окружности, для этого выделим полный квадрат суммы:

— получили уравнение окружности с центром в .

Построим график уравнения (Рис. 5).

b. Построить график уравнения

Вспомним, что произведение равно нулю тогда и только тогда, когда один из сомножителей равен нулю, а второй существует.

График заданного уравнения состоит из совокупности графиков первого и второго уравнений, т. е. двух прямых.

Построим его (Рис. 6).

Построим график функции Прямая будет проходить через точку (0; -1). Но как она пройдет — будет возрастать или убывать? Определить это нам поможет угловой коэффициент, коэффициент при x, он отрицательный, значит функция убывает. Найдем точку пересечения с осью ox, это точка (-1; 0).

Аналогично строим график второго уравнения. Прямая проходит через точку (0; 1), но возрастает, т.к. угловой коэффициент положителен.

Координаты всех точек двух построенных прямых и являются решением уравнения.

Итак, мы проанализировали графики важнейших рациональных уравнений, они будут использоваться и в графическом методе и в иллюстрации других методов решения систем уравнений.

1. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Учеб. Для общеобразоват. Учреждений.- 4-е изд. — М.: Мнемозина, 2002.-192 с.: ил.

2. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М.: Мнемозина, 2002.-143 с.: ил.

3. Макарычев Ю. Н. Алгебра. 9 класс: учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, И. Е. Феоктистов. — 7-е изд., испр. и доп. — М.: Мнемозина, 2008.

4. Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В. Алгебра. 9 класс. 16-е изд. — М., 2011. — 287 с.

5. Мордкович А. Г. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. — 12-е изд., стер. — М.: 2010. — 224 с.: ил.

6. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Л. А. Александрова, Т. Н. Мишустина и др.; Под ред. А. Г. Мордковича. — 12-е изд., испр. — М.: 2010.-223 с.: ил.

1. Раздел College.ru по математике ().

2. Интернет-проект «Задачи» ().

3. Образовательный портал «РЕШУ ЕГЭ» ().

1. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М. : Мнемозина, 2002.-143 с.: ил. № 95-102.

Пусть задано уравнение с двумя переменными F(x; y)
. Вы уже познакомились со способами решения таких уравнений аналитически. Множество решений таких уравнений можно представить и в виде графика.

Графиком уравнения F(x; y) называют множество точек координатной плоскости xOy, координаты которых удовлетворяют уравнению.

Для построения графика уравнения с двумя переменными сначала выражают в уравнении переменную y через переменную x.

Наверняка вы уже умеете строить разнообразные графики уравнений с двумя переменными: ax + b = c – прямая, yx = k – гипербола, (x – a) 2 + (y – b) 2 = R 2 – окружность, радиус которой равен R, а центр находится в точке O(a; b).

Пример 1.

Построить график уравнения x 2 – 9y 2 = 0.

Решение.

Разложим на множители левую часть уравнения.

(x – 3y)(x+ 3y) = 0, то есть y = x/3 или y = -x/3.

Ответ: рисунок 1.

Особое место занимает задание фигур на плоскости уравнениями, содержащими знак абсолютной величины, на которых мы подробно остановимся. Рассмотрим этапы построения графиков уравнений вида |y| = f(x) и |y| = |f(x)|.

Первое уравнение равносильно системе

{f(x) ≥ 0,
{y = f(x) или y = -f(x).

То есть его график состоит из графиков двух функций: y = f(x) и y = -f(x), где f(x) ≥ 0.

Для построения графика второго уравнения строят графики двух функций: y = f(x) и y = -f(x).

Пример 2.

Построить график уравнения |y| = 2 + x.

Решение.

Заданное уравнение равносильно системе

{x + 2 ≥ 0,
{y = x + 2 или y = -x – 2.

Строим множество точек.

Ответ: рисунок 2.

Пример 3.

Построить график уравнения |y – x| = 1.

Решение.

Если y ≥ x, то y = x + 1, если y ≤ x, то y = x – 1.

Ответ: рисунок 3.

При построении графиков уравнений, содержащих переменную под знаком модуля, удобно и рационально использовать метод областей
, основанный на разбиении координатной плоскости на части, в которых каждое подмодульное выражение сохраняет свой знак.

Пример 4.

Построить график уравнения x + |x| + y + |y| = 2.

Решение.

В данном примере знак каждого подмодульного выражения зависит от координатной четверти.

1) В первой координатной четверти x ≥ 0 и y ≥ 0. После раскрытия модуля заданное уравнение будет иметь вид:

2x + 2y = 2, а после упрощения x + y = 1.

2) Во второй четверти, где x

3) В третьей четверти x

4) В четвертой четверти, при x ≥ 0, а y

График данного уравнения будем строить по четвертям.

Ответ: рисунок 4.

Пример 5.

Изобразить множество точек, у которых координаты удовлетворяют равенству |x – 1| + |y – 1| = 1.

Решение.

Нули подмодульных выражений x = 1 и y = 1 разбивают координатную плоскость на четыре области. Раскроем модули по областям. Оформим это в виде таблицы.

Область	Знак подмодульного выражения	Полученное уравнение после раскрытия модуля
I	x ≥ 1 и y ≥ 1	x + y = 3
II	x	-x + y = 1
III	x	x + y = 1
IV	x ≥ 1 и y	x – y = 1

Ответ: рисунок 5.

На координатной плоскости фигуры могут задаваться и неравенствами
.

Графиком неравенства
с двумя переменными называется множество всех точек координатной плоскости, координаты которых являются решениями этого неравенства.

Рассмотрим алгоритм построения модели решений неравенства с двумя переменными
:

Записать уравнение, соответствующее неравенству.
Построить график уравнения из пункта 1.
Выбрать произвольную точку в одной из полуплоскостей. Проверить, удовлетворяют ли координаты выбранной точки данному неравенству.
Изобразить графически множество всех решений неравенства.

Рассмотрим, прежде всего, неравенство ax + bx + c > 0. Уравнение ax + bx + c = 0 задает прямую, разбивающую плоскость на две полуплоскости. В каждой из них функция f(x) = ax + bx + c сохраняет знак. Для определения этого знака достаточно взять любую точку, принадлежащую полуплоскости, и вычислить значение функции в этой точке. Если знак функции совпадает со знаком неравенства, то эта полуплоскость и будет решением неравенства.

Рассмотрим примеры графического решения наиболее часто встречающихся неравенств с двумя переменными.

1)
ax + bx + c ≥ 0. Рисунок 6
.

2)
|x| ≤ a, a > 0. Рисунок 7
.

3)
x 2 + y 2 ≤ a, a > 0. Рисунок 8
.

4)
y ≥ x 2 . Рисунок 9.

5)
xy ≤ 1. Рисунок 10.

Если у вас появились вопросы или вы хотите попрактиковаться изображать на плоскости модели множества всех решений неравенств с двумя переменными с помощью математического моделирования, вы можете провести бесплатное 25-минутное занятие с онлайн репетитором
после того, как зарегистрируетесь . Для дальнейшей работы с преподавателем у вас будет возможность выбрать подходящий для вас тарифный план.

Остались вопросы? Не знаете, как изобразить фигуру на координатной плоскости?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь .
Первый урок – бесплатно!

сайт,
при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Линейное уравнение с двумя переменными — любое уравнение, которое имеет следующий вид: a*x + b*y =с
. Здесь x и y есть две переменные, a,b,c — некоторые числа.

Решением линейного уравнения a*x + b*y = с, называется любая пара чисел (x,y) которая удовлетворяет этому уравнению, то есть обращает уравнение с переменными x и y в верное числовое равенство. Линейное уравнение имеет бесконечное множество решений.

График линейного уравнения с двумя переменными

Алгоритм построения

Алгоритм построения графика линейного уравнения с двумя переменным.

1. Начертить координатные оси, подписать их и отметить единичный масштаб.

5. Соединить полученные точки, продолжить график за них. Подписать получившуюся прямую.

Пример:
Построить график уравнения 3*x — 2*y =6;

Положим х=0, тогда — 2*y =6; y= -3;

Положим y=0, тогда 3*x = 6; x=2;

Прямоугольная система координат это пара перпендикулярных координатных линий, называемых осями координат, которые размещены так, что они пересекаются в их начале.

Обозначение координатных осей буквами х и у является общепринятым, однако буквы могут
быть любые. Если используются буквы х и у, то плоскость называется xy-плоскость
. В различных приложениях могут применяться отличные от букв x и y буквы, и как показано с нижерасположенных рисунках, есть uv-плоскости
и ts-плоскости
.

Упорядоченная пара

Под упорядоченной парой действительных чисел мы имеем в виду два действительных чисел в определённом порядке. Каждая точка P в координатной плоскости может быть связана с уникальной упорядоченной парой действительных чисел путём проведения двух прямых через точку P: одну перпендикулярно оси Х, а другую — перпендикулярно оси у.

Например, если мы возьмём (a,b)=(4,3), тогда на координатной полоскости

Построить точку Р(a,b) означает определить точку с координатами (a,b) на координатной плоскости. Например, различные точки построены на рисунке внизу.

В прямоугольной системе координат оси координат делят плоскость на четыре области, называемые квадрантами. Они нумеруются против часовой стрелки римскими цифрами, как показано на рисунке

Определение графика

Графиком
уравнения с двумя переменными х и у, называется множество точек на ху-плоскости, координаты которых являются членами множества решений этого уравнения

Пример: нарисовать график y = x 2

Из-за того, что 1/x не определено, когда x=0, мы можем построить только точки, для которых x ≠0

Пример: Найдите все пересечения с осями
(a) 3x + 2y = 6
(b) x = y 2 -2y
(c) y = 1/x

Пусть y = 0, тогда 3x = 6 or x = 2

является искомой точкой пересечения оси x.

Установив, что х=0, найдем что точкой пересечения оси у является точка у=3.

Таким эе образом вы можете решить уравнение (b), а решения для (c) приведено ниже

x-пересечение

Пусть y = 0

1/x = 0 => x не может быть определено, то есть нет пересечения с осью у

Пусть x = 0

y = 1/0 => y также не определено, => нет пересечения с осью y

На рисунке внизу точки (x,y), (-x,y),(x,-y) и (-x,-y) обозначают углы прямоугольника.

График симметричен относительно оси х, если для каждой точки (x,y) графика, точка (x,-y) есть также точкой на графике.

График симметричен относительно оси y, если для каждой точки графика (x,y) точка (-x,y) также принадлежит графику.

График симметричен относительно центра координат, если для каждой точки (x,y) графика, точка (-x,-y) также принадлежит этому графику.

Определение:

График функции
на координатной плоскости определяется как график уравнения y = f(x)

Постройте график f(x) = x + 2

Пример 2. Постройте график f(x) = |x|

График совпадает с линией y = x для x>
0 и с линией y = -x

для x

graph of f(x) = -x

Соединяя эти два графика, мы получаем

график f(x) = |x|

Пример 3. Постройте график

t(x) = (x 2 — 4)/(x — 2) =

= ((x — 2)(x + 2)/(x — 2)) =

= (x + 2) x ≠ 2

Следовательно, эта функция может быть записана в виде

y = x + 2 x ≠ 2

График h(x)= x 2 — 4 Or x — 2

график y = x + 2 x ≠ 2

Пример 4. Постройте график

Графики функций с перемещением

Предположим, что график функции f(x) известен

Тогда мы можем найти графики

y = f(x) + c — график функции f(x), перемещённый

ВВЕРХ на c значений

y = f(x) — c — график функции f(x), перемещённый

ВНИЗ на c значений

y = f(x + c) — график функции f(x), перемещённый

ВЛЕВО на c значений

y = f(x — c) — график функции f(x), перемещённый

Вправо на c значений

Пример 5. Постройте

график y = f(x) = |x — 3| + 2

Переместим график y = |x| на 3 значения ВПРАВО, чтобы получить график

Переместим график y = |x — 3| на 2 значения ВВЕРХ, чтобы получить график y = |x — 3| + 2

Постройте график

y = x 2 — 4x + 5

Преобразуем заданное уравнение следующим образом, прибавив к обеим частям 4:

y + 4 = (x 2 — 4x + 5) + 4 y = (x 2 — 4x + 4) + 5 — 4

y = (x — 2) 2 + 1

Здесь мы видим, что этот график может быть получен перемещением графика y = x 2 вправо на 2 значения, потому что x — 2, и вверх на 1 значение, потому что +1.

y = x 2 — 4x + 5

Отражения

(-x, y) есть отражением (x, y) относительно оси y

(x, -y) есть отражением (x, y) относительно оси x

Графики y = f(x) и y = f(-x) являются отражением друг друга относительно оси y

Графики y = f(x) и y = -f(x) являются отражением друг друга относительно оси x

График может быть получен отражением и перемещением:

Нарисуйте график

Найдём его отражение относительно оси y, и получим график

Переместим этот график вправо
на 2 значения и получим график

Вот искомый график

Если f(x) умножена на положительною постояную c, то

график f(x) сжимается по вертикали, если 0

график f(x) растягивается по вертикали, если c > 1

Кривая не является графиком y = f(x) для любой функции f

Графики и уравнения двух переменных

Декартова система

Декартова система координат используется для визуализации точек на графике путем отображения расстояний между точками по двум осям.

Цели обучения

Объясните, как нанести точки на декартовую плоскость и что это значит.

Основные выводы

Ключевые моменты

Декартова система координат — это 2-мерная плоскость с горизонтальной осью, известной как [latex] x [/ latex] -ось, и вертикальной осью, известной как [latex] y [/ latex]-осью.
В декартовой системе координат каждая точка однозначно определяется на плоскости с парой числовых координат, каждая из которых является расстоянием со знаком от точки до одной из двух осей.
Числовые координаты точки представлены упорядоченной парой [latex] (x, y) [/ latex], где координата [latex] x [/ latex] — это расстояние точки от [latex] y [/ латекс] -оси, а координата [latex] y [/ latex] — это расстояние от [latex] x [/ latex] -оси.
Декартова система координат разбита на четыре квадранта, обозначенных I, II, III и IV, начиная с верхнего правого угла и двигаясь против часовой стрелки.
Независимая переменная находится на оси [latex] x [/ latex] и состоит из входных значений. Зависимая переменная находится на оси [latex] y [/ latex] и состоит из выходных значений.

Ключевые термины

независимая переменная : произвольный ввод; в декартовой плоскости значение [латекс] х [/ латекс].
Ось Y : ось на графике, которая обычно проводится снизу вверх, при этом значения растут дальше вверх.
Квадрант : Одна из четырех четвертей декартовой плоскости, ограниченная осью [латекс] x [/ латекс] и осью [латекс] y [/ латекс].
зависимая переменная : произвольный вывод; в декартовой плоскости значение [латекс] y [/ латекс].
Ось x : ось на графике, которая обычно рисуется слева направо со значениями, увеличивающимися вправо.
упорядоченная пара : набор, содержащий ровно два элемента в фиксированном порядке, используемый для представления точки в декартовой системе координат.Обозначение: [latex] (x, y) [/ latex].

Декартова система координат, названная в честь «отца аналитической геометрии», французского математика 17-го века Рене Декарта, представляет собой двумерную плоскость с горизонтальной осью и вертикальной осью. Обе оси простираются до бесконечности, а стрелки используются для обозначения бесконечной длины. Горизонтальная ось называется осью [latex] x [/ latex], а вертикальная ось — осью [latex] y [/ latex]. Точка пересечения осей называется началом координат.

Для построения точек используется декартова система координат. Точки задаются однозначно в декартовой плоскости парой числовых координат, которые представляют собой расстояния со знаком от точки до двух осей. Каждая точка может быть представлена упорядоченной парой [latex] (x, y) [/ latex], где координата [latex] x [/ latex] — это расстояние точки от оси [latex] y [/ latex]. а координата [latex] y [/ latex] — это расстояние от оси [latex] x [/ latex]. Таким образом, точка пересечения двух осей — [латекс] (0,0) [/ латекс]. На оси [latex] x [/ latex] числа увеличиваются вправо и уменьшаются влево; на оси [latex] y [/ latex] числа увеличиваются при движении вверх и уменьшаются при движении вниз.

Декартова система координат: Декартова система координат с 4 точками, нанесенными, включая начало координат, в [latex] (0,0) [/ latex].

Точки графика

Чтобы построить точку [latex] (2,3) [/ latex], например, вы начинаете с начала координат (где две оси пересекаются). Затем переместите три юнита вправо и два вверх.

Точка [латекс] (- 3,1) [/ latex] находится путем перемещения трех единиц влево от начала координат и одной единицы вверх.

Нецелочисленные координаты [latex] (- 1.5, -2.5) [/ latex] лежат между -1 и -2 на оси [latex] x [/ latex] и между -2 и -3 на [latex ] y [/ latex] -ось. Следовательно, вы перемещаете полторы единицы влево и две с половиной единицы вниз.

Независимые и зависимые переменные

Декартова плоскость особенно полезна для построения серии точек, которые показывают взаимосвязь между двумя переменными.

Например, существует взаимосвязь между количеством машин, которые моет автомойка, и деньгами, которые приносит бизнес (его доходом). Выручка или объем производства зависят от количества машин или материалов, которые они моют. Следовательно, доход — это зависимая переменная ([latex] y [/ latex]), а количество автомобилей — независимая переменная ([latex] x [/ latex]). Выручка отображается по оси [латекс] y [/ латекс], а количество вымытых автомобилей — по оси [латекс] x [/ латекс].

Квадранты

Декартова система координат разбита на четыре квадранта по двум осям.Эти квадранты обозначены I, II, III и IV, начиная с верхнего правого угла и продолжая против часовой стрелки, как показано на рисунке ниже.

Декартовы координаты: Четыре квадранта декартовой системы координат. Стрелки на осях указывают, что они бесконечно продолжаются в своих соответствующих направлениях.

Некоторые основные правила, касающиеся этих квадрантов, могут быть полезны для быстрого построения точек:

Квадрант I: точки имеют положительные координаты [latex] x [/ latex] и [latex] y [/ latex], [latex] (x, y) [/ latex].
Квадрант II: точки имеют отрицательные координаты [латекс] x [/ латекс] и положительные [латекс] y [/ латекс], [латекс] (- x, y) [/ latex].
Квадрант III: точки имеют отрицательные координаты [latex] x [/ latex] и [latex] y [/ latex], [latex] (- x, -y) [/ latex].
Квадрант IV: Точки имеют положительные [латекс] x [/ латекс] и отрицательные [латекс] y [/ латекс] координаты, [латекс] (x, -y) [/ latex].
Точки, которые имеют значение 0 для любой координаты, лежат на самих осях и не считаются находящимися ни в одном из квадрантов (например,г., [латекс] (4,0) [/ латекс], [латекс] (0, -2) [/ латекс]).